Control #3 1. Suponga que dos barras de largo L se - U

Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Probabilidad y Estadı́stica MA 3403, 11/06/12
Prof. R. Gouet.
Control #3
1. Suponga que dos barras de largo L se rompen independientemente y al azar. Luego se toma el
segmento más corto de la primera barra, el más largo de la segunda y se unen, dando origen a una
barra de largo Z.
a) (4 pts.) Obtenga la densidad de probabilidad de la va Z.
b) (2 pts.) Calcule E(Z).
Sol:
a) Observamos que X e Y son va independientes, uniformes en [0, L]; que
Z = mı́n{X, L − X} + máx{Y, L − Y }
y que, consecuentemente, UX := mı́n{X, L − X} y VY := máx{Y, L − Y } son variables aleatorias independientes. Para calcular la densidad de UX trabajamos primero con la función de
distribución FUX (u) = P (UX ≤ u). Evidentemente, 0 ≤ UX ≤ L/2, por lo tanto, basta calcular
FUX (u) para u ∈ [0, L/2], porque fuera del intervalo la distribución vale 0 o 1.
FUX (u) = P (máx{X, L−X} ≤ u) = P (X ≤ u, L−X ≤ u) = P (L−u ≤ X ≤ u) =
u − (L − u)
,
L
para u ∈ (0, L/2). Derivando FUX (u) obtenemos
2
1
(u).
L [0,L/2]
Es decir, UX es una va uniforme en [0, L/2]. Ahora, para calcular la densidad de VY usamos
que VY = L − UY , por lo tanto,
∫ ∞
FVY (v) = P (VY ≤ v) = P (L − UY ≤ v) = P (UY ≥ L − v) =
fUY (u)du
fUX (u) =
L−v
pero, para v ∈ [L/2, L],
∫ ∞
∫
fUY (u)du =
L−v
∫
∞
L/2
fUX (u)du =
L−v
L−v
2
2
L
du = (v − ).
L
L
2
Finalmente, derivando con respecto a v obtenemos
2
1
(v).
L [L/2,L]
Es decir, VY es uniforme en [L/2, L]. Para concluir hacemos la convolución fUX ∗ fVY : para
z ∈ [L/2, 3L/2] calculamos
∫ L
∫ ∞
4
1
(z − v)1[L/2,L] (v)dv.
fZ (z) = fUX ∗ fVY (z) =
fUX (z − v)fVY (v)dv = 2
L 0 [0,L/2]
−∞
fVY (v) =
Notamos que
1[0,L/2] (z − v)1[L/2,L] (v) = 1 ⇔ máx{L/2, z − L/2} ≤ v ≤ mı́n{L, z}.
Concluimos con
4
4
fZ (z) = 2 (mı́n{L, z} − máx{L/2, z − L/2})1[L/2,3L/2] (z) = 2 (L/2 − |z − L|)1[L/2,3L/2] (z).
L
L
Notamos que Z tiene densidad triangular en el intervalo [L/2, 3L/2].
b) Para calcular E(Z) no se requiere conocer la densidad de Z. En efecto,
L = mı́n{X, L−X}+máx{X, L−X} = UX +VX = UY +VY = mı́n{Y, L−Y }+máx{Y, L−Y }.
Además, E(VY ) = E(VX ) y entonces
E(Z) = E(UX + VY ) = E(UX ) + E(VY ) = E(UX ) + E(VX ) = E(UX + VX ) = E(L) = L.
Por otra parte, sabiendo de la parte (a) que la densidad de Z es triangular en [L/2, 3L/2] y
que esta es simétrica c/r a L, concluimos también que E(Z) = L.
2. Sean X, Y v.a. independientes idénticamente distribuidas exponenciales de parámetro 1.
a) (3 pts.) Aplique el método del Jacobiano para calcular la densidad conjunta del vector (U, V ),
donde U = X/(X + Y /a), V = X + Y /a y a > 0.
b) (2 pts.) Determine, si es que existen, valores de a para los cuales U y V son independientes.
c) (1 pts.) Calcule la densidad condicional fU |V (u|v) para todo a > 0.
Sol:
a) Consideramos la función g : R2+ → [0, 1] × R+ , definida por
g(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (x/(x + y/a), x + y/a),
cuya inversa es h : [0, 1] × R+ → R2+ , dada por
h(u, v) = (uv, av(1 − u)).
El valor absoluto del determinante del Jacobiano de h se calcula fácilmente como av. Finalmente
tenemos que
fU,V (u, v) = fX,Y (uv, av(1 − u))av = ave−uv e−av(1−u) 1[0,∞) (uv)1[0,∞) (av(1 − u)).
Podemos ordenar los términos y despejar las desigualdades en las indicadoras para obtener:
fU,V (u, v) = ave−v(u(1−a)+a) 1[0,1] (u)1[0,∞) (v).
b) Para estudiar al independencia es necesario calcular las marginales. En primer término
∫ ∞
∫ ∞
fU,V (u, v)dv = a
ve−v(u(1−a)+a) dv1[0,1] (u).
fU (u) =
−∞
0
Por otra parte, recordando que la esperanza de una va exponencial de parámetro λ es 1/λ,
tenemos
∫ ∞
1
vλe−λv dv = ,
λ
0
por lo tanto, identificando λ con u(1 − a) + a, resulta
∫ ∞
1
.
ve−v(u(1−a)+a) dv =
(u(1 − a) + a)2
0
Observe que la integral arriba converge solo si u(1 − a) + a > 0 y que esto es ası́ porque a > 0
y u ∈ [0, 1]. Obtenemos
a
fU (u) =
1 (u).
(u(1 − a) + a)2 [0,1]
Por otra parte,
∫
fV (v) =
∞
−∞
−av
∫
fU,V (u, v)du = ave
0
2
1
e−vu(1−a) du1[0,∞) (v).
En la integral de arriba debemos distinguir el caso a = 1 de a ̸= 1 para evitar una division por
0. Si a = 1 tenemos
∫ 1
−v
fV (v) = ve
du1[0,∞) (v) = ve−v 1[0,∞) (v)
0
y vemos que la densidad corresponde a una gamma Γ(1, 2). Ahora, si a ̸= 1
fV (v) = ave−av
1 − e−v(1−a)
a −av
1[0,∞) (v) =
e (1 − e−v(1−a) )1[0,∞) (v).
v(1 − a)
1−a
Examinamos la independencia comparando fU,V con fU fV : si a = 1 tenemos
fU,V (u, v) = ve−v 1[0,1] (u)1[0,∞) (v)
y fU (u)fV (v) = 1[0,1] (u)ve−v 1[0,∞) (v)
y observamos coincidencia de manera que U y V son va independientes. Si a ̸= 1 tenemos
fU,V (u, v) = ave−v(u(1−a)+a) 1[0,1] (u)1[0,∞) (v)
y
a
a −av
1[0,1] (u)
e (1 − e−v(1−a) )1[0,∞) (v).
2
(u(1 − a) + a)
1−a
Es evidente que en este caso no hay igualdad y las va U, V son dependientes.
fU (u)fV (v) =
3. Sean X1 , . . . , Xn n observaciones iid del modelo de Rayleigh, cuya función de distribución es Fθ (x) =
2
2
1 − e−x /(2θ ) , x ≥ 0, donde θ > 0 es un parámetro desconocido.
1 ∑n
2
a) (2 pts.) Calcule el EMV de θ2 y muestre que está dado por θ̂2 (x1 , . . . , xn ) = 2n
i=1 xi .
b) (2 pts.) Defina en general la propiedad de insesgamiento de un estimador de una función g(θ)
y averigüe si θ̂2 es insesgado.
c) (2 pts.) Defina en general el error cuadrático medio (ecm) de un estimador de una función g(θ)
y calcule el ecm de θ̂2 .
Sol:
a) La función de verosimilitud se obtiene multiplicando las densidades marginales. Para obtener la
2
2
densidad derivamos la distribución Fθ obteniendo fθ (x) = θx2 e−x /(2θ ) . Luego, la verosimilitud
se escribe como
∏n
n
∏
xi − ∑n x2 /(2θ2 )
i=1 i
l(θ) =
fθ (xi ) = i=1
e
.
θ2n
i=1
Tomando log y derivando c/r a θ llegamos a la ecuación
n
2n
1 ∑ 2
−
+ 3
xi = 0,
θ
θ
i=1
cuya solución es precisamente θ̂2 (x1 , . . . , xn ).
b) Un estimador ĝ es insesgado para g(θ) si Eθ (ĝ(X1 , . . . , Xn )) = g(θ), ∀θ ∈ Θ. Para ver el
insesgamiento de ĝ tenemos que calcular
∫ ∞
∫ ∞ 3
∫ ∞
x −x2 /(2θ2 )
u −u/(2θ2 )
Eθ (X12 ) =
x2 fθ (x)dx =
e
dx
=
e
du = 2θ2 .
2
2
θ
2θ
0
0
0
Vemos finalmente que
1 ∑ 2
Xi ) = θ2 .
2n
n
Eθ (θ̂2 (X1 , . . . , Xn )) = Eθ (
i=1
c) El ecm de un estimador ĝ se define como Eθ ((ĝ(X1 , . . . , Xn ) − g(θ))2 ). En el caso de θ̂2 hay
que calcular la varianza porque es insesgado. Tenemos
n
n
1 ∑ 2
1 ∑
V arθ (X12 )
θ4
V arθ (θ̂ (X1 , . . . , Xn )) = V arθ (
Xi ) = 2
V arθ (Xi2 ) =
= .
2n
4n
4n
n
2
i=1
3
i=1