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Ampliación de Análisis de Varias Variables Reales
Hoja 5
5.1. Estudiar si los siguientes conjuntos son medibles–Lebesgue:
2
2
a) {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 < e−x −y } ⊂ R2
b) {(x, y) : x2 − y 2 + x + y − 1 6∈ Q} ⊂ R2
5.2. Sean A y B dos conjuntos tales que (A \ B) ∪ (B \ A) tenga medida cero (se diferencian en un
conjunto de medida cero). Demostrar que A es medible - Lebesgue si y sólo si B lo es.
5.3. Decidir
si alguna
0
si
a) f (x) =
1
si
1
c) f (x) =
sen x
de las siguientes funcioneses medible–Lebesgue:
x 6∈ Q
1
si (x, y) ∈ Q × Q
b) f (x, y) =
x∈Q
x
si (x, y) 6∈ Q × Q
si x ∈ E
donde E es un conjunto no medible–Lebesgue
si x 6∈ E
5.4. En cada uno de los casos siguientes, dibujar aproximadamente las funciones fn y calcular
lı́mn fn (x) = f (x)
i
fn : [0, ∞) −→ R,
1
fn (x) = x n
ii
fn : [0, ∞) −→ R,
fn (x) =
xn
x−n
si
si
0≤x≤1
x>1
iii
fn : [0, 1] −→ R,
fn (x) =
n4 − n3 + 1
χ 1 (x)
(x + 1)n [0, n ]
iv
fn : R −→ R,
fn (x) = nln(n) χ[n,n+1] (x)
fn : R −→ R,
fn (x) = n sen(x/n)χ[n,∞) (x)
v
vi
fn : [0, π] −→ R,
fn (x) = sen2n+1 (x)
vii
fn (x) =
n
X
xk
k=1
k!
5.5. Demostrar el siguiente criterio de comparación para la integral de Lebesgue:
Sean f y g dos funciones medibles y no negativas en [a, ∞), integrables en cada sub-intervalo acotado
[b, c], a ≤ b < c < ∞, y supongamos que
f (x)
=L
x→∞ g(x)
lı́m
a) Si L 6= 0, entonces f es integrable en [a, ∞) si y sólo si g lo es.
b) Si L = 0, entonces si g es integrable en [a, ∞), f también lo es, y si f no es integrable, g tampoco.
5.6. Estudiar las siguientes integrales, calculando su valor cuando sea posible.
Z ∞
Z 1
Z 1
Z 2
dx
dx
10.
p
xp dx
x log x dx
1.
4.
7.
2
3
−∞ 1 + 4x
(x − 2)2
0
0
0
Z 4
Z ∞
Z ∞
Z 1
dx
log x
xdx
p
√
5.
dx
11.
x dx
2.
√
8.
x
4−x
0
0
1
1 − x2
0
Z 2
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dx
dx
dx
√
6.
exp(px)dx
3.
12.
9.
x2
x log x
4 − x4
−2
0
0
1
R
5.7. En los siguientes casos, estudiar si f es integrable en E; y cuando lo sea, hallar E f :
a)f (x, y) = (1 + x2 + y 2 )−1 ; E = R2
c) f (x, y) =
x2
b) f (x, y) = exp(−y 2 ); E = {(x, y) : x ≤ y}
x
; E = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1; x > 0; y > 0}
+ y2
d) f (x, y) =
cos(x2 + y 2 )
; E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
x2 + y 2
e) f (x, y) =
1
; E = {(x, y) : 0 < y < 1; 1 < x + y}
(x + y) ln2 (x + y)
f) f (x, y) = xe−y
sen y
; E = R2
y2
5.8. En los siguientes casos, calcular
R
E
f , comprobando que f es integrable en E:
a) E = {(x, y) : 0 < x2 + y 2 < 1}; f (x, y) = ln (x2 + y 2 )1/2
b) E = [0, 1] × [0, 1]; f (x, y) =
(1 − x − y)−1/3
0
c) E = R2 ; f (x, y) = exp(−(x2 + y 2 ))
−x2
c) E = (0, 1) × (0, 1); f (x, y) = √
y
si
si
x+y =
6 1
x+y =1