Relación 3 1. Mostrar que, (a) f(x) = log x es integrable en (0,+∞). (b

Relación 3
1. Mostrar que,
sin x
log x es integrable en (0, +∞).
(a) f (x) = x(1+x)
x
(b) f (x) = √sin
no es integrable en (0, +∞), pero su integral impropia es
1+x
convergente.
(c) Lo mismo para, f (x) = x1 cos ( x1 ), en [0, 1] (Se puede usar el cambio x = 1t ).
(d) f (x) = x(log1( 1 ))α es integrable en [0, 12 ], si α > 1.
x
2. (a) Sea f : R −→ [0, +∞) medible de Lebesgue y An = {x ∈ R : 2n−1 ≤
P+∞
f (x) < 2n }. Mostrar que f es integrable, si y sólo si, la serie n=−∞ 2n m(An ) es
convergente.
(b) Sean f : [0, 1] −→ R medible de Lebesgue y S = {x ∈ [0, 1] : f (x) ∈ Z}.
R1
Prueba que, m(S) = limn→+∞ 0 | cos (πf (x))|n dx.(Sugerencia: utilizar el teorema
de convergencia dominada de Lebesgue ).
(c) Dar un ejemplo de una función integrable f en [0, 1] y tal que f 2 no sea
integrable.
(d) Sea f : R −→ [0, +∞) una función medible. Prueba que para todo t > 0 y
0<p<∞
Z
1
f p dx .
m ({x ∈ R : f (x) > t}) ≤ p
t R
p
(Sugerencia: si E = {x ∈ R : f (x) > t}, ℵE ≤ (f /t) ).
(e) Sean f : R −→ [0, +∞) una función integrable. Mostrar que
Z
Z
lim
f dx = 0 y
lim
f dx = 0
n→+∞
n→+∞
R\(−n,n)
(Sugerencia: ν(E) =
R
E
(n,n+1)
f dx es una medida en R).
3. (a) Calcular razonadamente, en los casos siguientes, el limn→+∞
nx
1 + n2 x2
√
nα x
,
1 + n2 x2
nx log x
,
1 + n2 x2
R1
0
fn (x) dx :
2
ne−x
,
1 + n2 x2
(Sugerencia: en los dos primeros podeis usar el teorema de convergencia dominada y en el cuarto un cambio de variable).
P+∞
x
(b) Mostrar que la función
n=1 n(x+n) es integrable en [0, 1] y calcular su
integral (Dejar el resultado como la suma de una serie cuyo término general no sea
una integral).
(c) Si fn (x) = 1+nn2 x2 , calcular según los valores de a el lı́mite
+∞
Z
lim
n→+∞
(d) Prueba que,
R1
√
x
0 1−x
fn dx
.
a
log ( x1 ) dx =
P+∞
4
n=0 (2n+3)2 .
4. (a) Prueba que, f (x) = e−|x| , es integrable en R.
1
P+∞
( n=0 xn =
1
1−x
si |x| < 1).
2
(b) Deduce que para cada n ≥ 1, fn (x) = e−nx
R +∞
(c) Calcular, limn→+∞ −∞ fn (x)dx .
2
+x
también lo es.
R +∞ 1 −xt
R 1 (xt)
√
5. Si F (t) = 0
dx y G(t) = 0 sin
dx,
1+x e
1−x
(a) Mostrar que F (G) está bién definida en (0, +∞) (R) .
(b) Probar que F (G) es continua en (0, +∞) (R).
(c) Probar que F (G) es derivable en (0, +∞) (R) y
0
Z
F (t) = −
0
+∞
x
e−xt dx ,
1+x
Z
0
1
G (t) =
0
x cos (xt)
√
dx
1−x
.
(d) Prueba que limt→0+ F (t) = +∞ (Puedes usar el teorema de convergencia
monótona).
R +∞
6. Sea F (t) = 0 xt−1 e−x dx.
(a) Mostrar que F está bién definida en (0, +∞).
(b) Probar que F es continua en (0, +∞) (La función g(t) = xt−1 es creciente si
x ≥ 1 y decreciente si 0 < x < 1).
R +∞
(c) Probar que F es derivable y F 0 (t) = 0 xt−1 (log x)e−x dx en (0, +∞). ¿Qué
podemos decir de F (2) , F (3) , . . . ?.
R1
R +∞
(d) Calcular limt→0+ F (t) (Escribir F (t) = 0 . . . dt+ 1 . . . dt y utilizar el teorema de convergencia monótona en (0, 1) y el de dominada o monótona en (1, +∞)).
7. En N consideramos la σ-álgebra P(N) con la medida c que cuenta el número
de elementos de cada subconjunto de N. Encontrar las funciones f : N −→ R
que son integrables respecto a c. (Toda función f : N −→ R se escribe como
P+∞
f = n=1 f (n)ℵ{n} ).
8. Sea
θ(s) =
+∞
X
k β χ( k1 − k1α , k1 − k1α ) .
k=2
Hallar los valores de α > 1 y β ∈ R, tales que
θ(s)
s
es integrable en (0 , 1).