Cálculo Dif. e Int. II Tarea 1, Definición de Integral Argumenten todas

Cálculo Dif. e Int. II
Tarea 1, De…nición de Integral
Argumenten todas sus preguntas
1. (a) ¿Qué funciones tienen la propiedad de que toda suma inferior es igual a toda suma
superior?
(b) ¿Qué funciones tienen la propiedad de que alguna suma inferior es igual a alguna
suma superior (distinta)?
(c) ¿Qué funciones continuas tienen la propiedad de que todas las suma inferior son
iguales?
2. Mostrar que para una función f acotada en [a; b] y cualesquiera dos particiones P y Q
de [a; b] se tiene
S(f; P ) S(f; Q):
3. Sea f : [0; 1] ! R dada por f (x) = x. Probar que f es integrable y calcular su
integral (sin usar métodos de integración)
(Sugerencia: usar particiones homogeneas).
4. Sea f : [0; 1] ! R dada por f (x) = x2 . Probar que f es integrable y calcular su
integral (sin usar métodos de integración)
(Sugerencia: usar particiones homogeneas).
5. Sea f : [0; 2] ! R dada por
x si 0 x 1
x 2 si 1 x 2:
f (x) =
Probar que f es integrable y calcular su integral (sin usar métodos de integración).
6. Sea f : [0; 1] ! R dada por
f (x) =
1
1
q
si x es un irracional
si x = pq con (p; q) = 1
¿Es f integrable?
7. Si a < b < c < d y f es integrable sobre [a; d], demostrar que f es integrable sobre
[b; c]:
8. (a) Demostrar que si f es integrable sobre [a; b] y f (x)
entonces
Z b
f (x)dx 0:
a
1
0 para todo x de [a; b],
(b) Demostrar que si f y g son integrables sobre [a; b] y f (x)
[a; b], entonces
Z b
Z b
g(x)dx:
f (x)dx
g(x) para todo x de
a
a
9. Probar que si f es integrable en [a; b], entonces
Z
b
f (x)dx =
Z
b+c
f (x
c)dx:
10. Sea f una función. Se de…nen las funciones f + y f
como
a
a+c
f + (x) =
f (x) si f (x)
0
si f (x)
0
0
y
f (x) =
(a) Mostrar que f = f +
f
0
si f (x)
f (X) si f (x)
0
0
y que jf j = f + + f
(b) Mostrar que si f es integrable en [a; b], entonces también lo son f + y f .
(c) Mostrar que si f es integrable en [a; b], entonces también lo es jf j y, además,
Rb
jf j :
a
Rb
a
f
11. Supóngase que f es no decreciente en [a; b] (entonces f está acotada en [a; b]), y que
P = ft0 ; t1 ; : : : ; tn g es una partición de [a; b] :
(a) ¿Cómo son L(f; P ) y U (f; P )?
(b) Supóngase que ti
[f (b) f (a)] :
ti
1
=
para todo i. Demostrar que U (f; P )
L(f; P ) =
(c) Demostrar que f es integrable.
(d) Dar un ejemplo de una función no decreciente en [a; b] que sea discontinua en un
número in…nito de puntos.
12. Probar que si f es integrable sobre [a; b], f (x) 0 para todo x de [a; b] y f es continua
Rb
en un punto x0 de [a; b] con f (x0 ) > 0, entonces a f > 0:
Rb
13. (a) Supóngase que f es continua en [a; b] y que a f g = 0 para todas las funciones
continuas g en [a; b]. Mostrar que f = 0:
Rb
(b) Supóngase que f es continua en [a; b] y que a f g = 0 para todas las funciones
continuas g en [a; b] que satisfacen además la condición g(a) = g(b) = 0: Demostrar
que f = 0:
(Sugerencia: Dedúzcase una contradicción si se supone f (x0 ) > 0 o f (x0 ) < 0; la
g que se elija dependerá del comportamiento de f cerca de x0 ).
2
14. Supóngase que f es creciente.
(a) Si P = ft0 ; t1 ; : : : ; tn g es una partición de [a; b], sea P 0 = ff 1 (t0 ); f
Probar que
L(f 1 ; P ) + U (f; P 0 ) = bf 1 (b) af 1 (a):
(Sugerencia: hacer un dibujo)
(b) Demostrar que
Z
b
f
1
= bf
1
(b)
af
1
(a)
Z
f
a
f
1 (b)
f:
1 (a)
(Sugerencia: hacer un dibujo)
Rb p
(c) Hallar a n x para 0 a < b:
Entregar los problemas 1, 3, 5, 8, 11, 14 para el martes 6 de marzo de 2012.
3
1
(t1 ); : : : ; f
1
(tn )g :