n - unam

LA INTEGRAL DE LEBESGUE PARA FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE.
RESULTADOS TEÓRICOS.
LA MEDIDA DE LEBESGUE. CONJUNTOS MEDIBLES.
11.1. Dado un conjunto abierto no vació G de la recta real, existe una familia finita o
numerable {Vn: nœL}, formada por intervalos abiertos disjuntos dos a dos (sus
componentes conexas), tal que
UV
n
=G
n∈L
Esta descomposición que llamaremos Descomposición Canónica del abierto G, es única y
permite definir la longitud o medida de Lebesgue de G en la siguiente forma:
m(G ) = ∑ m(Vn ) ,
n∈L
m(Vn ) la longitud del intervalo Vn (m(Vn ) = +∞ si Vn
m(Vn ) = β n − α n si Vn = (α n , β n ) es acotado)
siendo
no es acotado, y
11.2. La medida exterior de Lebesgue. En lo sucesivo se denotara por la familia de los
subconjuntos abiertos de la recta real.
La medida exterior de Lebesgue de un conjunto arbitrario E ⊂ ¡ se define por
m *(G ) = inf {m(G ) : E ⊂ G ∈ G}
Evidentemente , m * (G ) = m (G ) si G es abierto. La función del conjunto m tiene las
siguientes propiedades:
(a) 0≤ m * (G ) ≤ +∞ para cada E ⊂ ¡ ; m * (∅ ) =0.
(b) m * ( E ) ≤ m * ( F ) si E ⊂ F ⊂ ¡ .
∞
(c) m * ( E ) ≤
∑ m *( E )
n =1
n
sí
{En : n ∈ ¥ }
es una sucesión de subconjuntos de ¡
cuya
unión es E.
11.3. Conjuntos de Borel. Una familia
∑
de partes de ¡
se dice que es una
σ − a lg ebra si posee las siguientes propiedades:
(a) ¡ ∈ ∑ .
(b) Sí
E ∈ ∑ , entonces E c ∈ ∑ .
(c) Sí
{En : n ∈ ¥ } ⊂ ∑
y E=
∞
UE
n
, entonces
n =1
E ∈ ∑.
11.4. Conjuntos medibles Lebesgue. Se dice que un conjunto E ⊂ ¡ es medible Lebesgue
(o, más brevemente, medible) si para cada subconjunto T ∈ ¡ se verifica:
(a)
m *(T ) = m *(T I E ) + m *(T I E c )
+∞ = a + ∞ = +∞ + a , con a ∈ ¡ ).
(se
utiliza
el
convenio
usual:
Se denotara por M a la familia de los subconjuntos medibles de la recta real, M es una
σ − a lg ebra que contiene a los conjuntos nulos y a los abiertos (y por tanto a los
conjuntos de Borel). Por lo tanto, son conjuntos medibles Lebesgue todos los que se
E = BU N , donde B ∈ B y N ∈N. El reciproco también es
pueden expresar en la forma
cierto, por lo que se tiene:
(b) M ={E⊂ ¡ : E=B∩N, B∈B, N∈N}.
11.5. La medida de Lebesgue. Propiedades. La medida de Lebesgue, m es la restricción de
la medida exterior de Lebesgue, m*, a la σ − a lg ebra M de los conjuntos medibles. La
medida de Lebesgue m tiene las siguientes propiedades:
(a) 0≤ m ( E ) ≤ +∞ para cada E ∈ M ; m(∅ ) =0.
∞
(b) Sí E = U En , En ∈ M para todo n ∈ ¥ y En I Em = ∅ para n≠m, entonces
n =1
∞
m ( E ) = ∑ m ( En ) .
n =1
∞
(c) Sí ( En ) es una sucesión creciente de conjuntos medibles y E = U En se verifica
n =1
que m( E ) = lim m( En )
n →∞
(d) Sí ( En ) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles tal que m( En ) < +∞
∞
para algún
n ∈ ¥ , y sí E = I En , entonces m( E ) = lim m( En ) .
n →∞
n =1
Una propiedad especial de la medida de Lebesgue es su in variancia por traslaciones:
(e) Sí E ∈ M y a ∈ ¡ , entonces a + E ∈ M y m( a + E ) = m( E)
11.6. Funciones Medibles. Se dice
que una función
f : E → ¡ , definida sobre un
E ∈ M , es medible Lebesgue ( o, más brevemente, medible) si para
cada α ∈ ¡ el conjunto { x ∈ E : f ( x) > α } es medible. Sí f : E → ¡ es medible, entonces
conjunto medible
para cada conjunto de Borel B ⊂ ¡ , la anti-imagen f
(a) Sí
f,g :E → ¡
f+
( B) es medible.
son funciones medibles, también son medibles las
α f , (α ∈ ¡ )
funciones: f + g , f · g ,
f ,
−1
y
fI g
f Ug ,
f−
(donde
( f U g )(t ) = max( f (t ), g (t )) ,
( f I g )(t ) = min( f (t ), g (t )),
f + = f U0,
f − = −( f I 0)).
(b) Si
fn : E → ¡
es una sucesión de funciones medibles definidas sobre
E ∈ M también son medibles las siguientes funciones:
⎧
⎫
sup fn , definida sobre ⎨t ∈ E : sup fn (t ) < +∞ ⎬
n →∞
n →∞
⎩
⎭
inf f
n →∞
n
⎧
⎩
, definida sobre ⎨t ∈ E :
inf f
{
n →∞
n
⎫
(t ) > −∞ ⎬
⎭
lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : lim f n (t ) ∈ ¡
n →∞
n →∞
{
lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : lim f n (t ) ∈ ¡
n →∞
n →∞
{
}
}
lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : existe lim f n (t ) ∈ ¡
n →∞
(c)
Sea f : E → ¡
n →∞
}
medible Lebesgue, con f ( E ) ⊂ B ∈ B, y g : B → ¡ medible Borel.
Entonces g o f es medible Lebesgue.
(d)
Sean f , g : E → ¡
donde E es medible,
tales que f ( x ) = g ( x ) para casí todo
x ∈ E . Entonces f es medible si y solo si g es medible.
11.7 Funciones Simples. Se dice que una función h : ¡ → ¡ es simple si es una
combinación lineal de funciones características de conjuntos medibles, es decir,
m
h = ∑ α i χ Ai ,
αi ∈ ¡
donde
i =1
1≤ i ≤ m.
Ai ∈ M ,
y
Evidentemente, toda función simple h es medible y toma solo una cantidad finita de
valores. Recíprocamente, si h : ¡ → ¡ es medible y toma solo una cantidad finita de
valores β1 , β 2 ,..., β n , entonces
m
h = ∑ β i χ Bi , donde Bi = { x ∈ ¡ : h( x) = β i }
(se dice que h esta expresada en
i =1
forma canónica, es decir, los
conjuntos β i son disjuntos dos
βi
a dos, y los números
son
distintos dos a dos).
a) Sí
f : ¡ → [ 0, +∞ ] es una función medible, existe una sucesión creciente de
funciones simples
0 ≤ h1 ( x) ≤ h2 ( x) ≤ ... ≤ hn ( x) ≤ hn +1 ( x) ≤ ...,
tal que
f ( x ) = lim hn ( x) para todo x ∈ ¡ .
n →∞
(Sí
f
es
acotada,
puede
obtenerse la sucesión
hn de
modo que sea uniformemente
convergente hacia f.)
11.8. La integral de Lebesgue de una función medible no negativa. Sea h =
m
∑α χ
i =1
función simple no negativa, que se supone escrita en forma canónica, siendo
i
Ai
una
α1 ,α 2 ,...,α n
sus distintos valores que se alcanzan sobre los conjuntos medibles dos a dos A1 ,..., An . Se
define la integral de Lebesgue de h sobre el conjunto medible
n
∫ h = ∑ α m( A I
E
i =1
i
i
E)
(con el convenio usual 0(+∞)=0 y (+∞)=+∞ si >0).
E ∈ M mediante la suma
11.9. Propiedades de la integral de funciones medibles no negativas. Sean f , g : ¡ → ¡
funciones medibles no negativas y E , F ⊂ ¡ conjuntos medibles. Se verifica:
a) Sí 0 ≤ f ≤ g entonces
∫ f ≤∫g .
E
b) Sí E ⊂ F , entonces
E
∫ f ≤∫ f
E
F
0 ≤ α ≤ +∞ entonces ∫ α f = α ∫ f .
c) Sí
E
d)
∫ f = 0 si m( E ) = 0 o si
E
f ( x ) = 0 para casi todo x ∈ E aunque sea m( E ) = +∞ ).
E
11.10. Funciones Integrables. Primeras propiedades. Se dice que una función medible
f : ¡ → ¡ es integrable Lebesgue sobre el conjunto medible E cuando:
∫
f < +∞ .
E
Esta condición es equivalente a
∫f
+
< +∞ y
E
∫f
−
< +∞
E
Sí f es integrable sobre E, se define la integral ( de Lebesgue) de f sobre E por
∫ f =∫ f
E
+
E
−∫ f −
E
Se puede considerar ahora el conjunto l ( E ) , formado por todas las funciones f : E → ¡
que son integrables Lebesgue sobre el conjunto medible E. Se verifica:
1
a)
l1 ( E ) es un espacio vectorial, y la integral f → ∫ f es una aplicación lineal
E
1
sobre l ( E ) .
b) Sí f ∈ l ( E ) , entonces
1
f ∈ l(E) y
∫
E
f ≤∫ f .
E
c) Si f , g ∈ l ( E ) y f ( x ) ≤ g ( x ) para casi todo
1
d) Sí
∫
E
f ∈ l (E)
1
E = AU B ,
y
x ∈ E , entonces
∫
E
f ≤∫ g.
E
A, B ∈ M, AI B = ∅ ,
donde
entonces
f =∫ f +∫ f
A
1
B
e) Sí g ∈ l ( E ) y f : E → ¡
es medible tal que
f ( x) ≤ g ( x) para casi todo x ∈ E ,
entonces f ∈ l ( E ) .
1
11.11. Teorema de la convergencia monótona. Sea
f n : E → [ 0, +∞ ) una sucesión
creciente de funciones medibles definidas sobre un conjunto medible E. Sí la sucesión
creciente de las integrables
todo
∫
E
f n es convergente a un valor infinito, entonces, para casi
x ∈ E , el limite lim f n ( x) = f ( x ) es finito, y se define en casi todo E una función
n →∞
integrable f, que verifica:
∫
f = lim ∫ f n
n →∞ E
E
f n : E → [ 0, +∞ ) una sucesión de funciones medibles no
11.12. Lema de Fatuo. Sea
negativas tal que
lim ∫ f n < +∞
n →∞ E
Entonces
lim f n ( x) = f ( x)
n →∞
es finito para casi todo
x∈E , y
∫
E
f ≤ lim ∫ f n
n →∞ E
11.13. Teorema de la convergencia dominada. Sea f n : E → ¡
una sucesión de funciones
x ∈ E hacia
1
una función f : E → ¡ . Se supone que existe una función integrable g ∈ l ( E ) tal que
f n ≤ g para todo n ∈ ¥ . Entonces f es integrable, y se verifica que
medibles, definidas sobre un conjunto medible E, que converge a casi todo
lim ∫ f n − f = 0
n →∞ E
( y como consecuencia,
∫
E
f = lim ∫ f n ).
n →∞ E
11.14. Integración término a término
de una serie. Sea f n : E → ¡
una sucesión de
funciones integrables sobre el conjunto medible E. Se supone que la serie
convergente. Entonces la serie
∑
∞
n =1
∑ ∫
∞
n =1 E
f n es
f n ( x) converge absolutamente para casi todo x ∈ E ,
y su suma f ( x ) (definida para casi todo
verificando que
x ∈ E ) es una función integrable sobre E,
∞
∫
E
f = ∑ fn
n =1
11.15. La integral de Reimann y la integral de Lebesgue. Toda función acotada integrable
Reimann
f : [ a, b ] → ¡ es integral Lebesgue, con el mismo valor de la integral:
∫
b
a
Más, generalmente, si f : I → ¡
b
f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx
a
es una función localmente integrable Reimann, definida
sobre un intervalo no compacto I ⊂ ¡ , entonces f es medible Lebesgue.
PROBLEMAS RESUELTOS.
1. Pruébese directamente, utilizando la def. 11.1 que si
subconjuntos abiertos de ¡
y
{Gn : n ∈ ¥ } es
una sucesión de
∞
∞
n =1
n =1
G = UGn , entonces m(G ) ≤ ∑ m(Gn )
Dedúzcase de ello la propiedad 11.2( c ) de la medida exterior de Lebesgue.
Sol. Observemos que basta establecer la desigualdad
m(Gn ) < +∞ para todo n ∈ ¥ y la serie
que se desea probar cuando
∞
∑ m(G ) es convergente.
n
n =1
a) Conviene empezar considerando el caso particular siguiente:
G = (a, b) y Gn = ( an , bn )
donde por la observación previa, no es restrictivo suponer que (an , bn ) es acotado
y
∑
∞
(bn − an ) < +∞ . Dado un intervalo compacto I = [u, v ] ⊂ G = Un =1 Gn existe
∞
n =1
m
m ∈ ¥ tal que I ⊂ Un =1 Gn . Es inmediato ahora que la longitud de I, I = v − u , es
m
∞
∑ (b
menor que
n =1
n − an ) ≤ ∑ (bn − an ) . (Esto es evidente cuando m =1, y el caso
n =1
general se obtiene fácilmente por inducción sobre el número m de intervalos). Por
otra parte, es claro que para cada c < m (G ) existe un intervalo compacto I ⊂ G
con
c < I ≤ m(G )
y,
por
lo
probado
anteriormente,
se
cumplirá
que
∞
I ≤ ∑ (bn − an ) , entonces para cada c < m(G ) se cumple que
n =1
∞
∞
n =1
n =1
c < ∑ m(Gn ) , luego m(G ) ≤ ∑ m(Gn )
b) Consideremos ahora el caso general, donde
G = U{(an , bn ) : n ∈ H } siendo H finito
o numerable, y los intervalos ( an , bn ), n ∈ H dos a dos disjuntos. Análogamente,
para cada
n ∈ ¥ se tiene:
Gn = U{(α j , β j ) : j ∈ M n } ,
donde cada M n es finito o numerable y los intervalos (α j , β j ), j ∈ M n son dos a dos
disjuntos. No hay inconveniente en suponer que los conjuntos M n ,
disjuntos
dos
a
dos.
∞ ⎧
⎫⎪
⎪
G = U ⎨ U (α j , β j ) ⎬ =
n =1 ⎩
⎪ j∈M n
⎭⎪
disjunta. Para cada
que se verifica:
U (α
Si
j
∞
M = Un =1 M n
es
claro
n ∈ ¥ , se han tomado
que
se
tiene:
, β j ) donde esa última unión ya no es necesariamente
j∈M
n ∈ H , sea H n = { j ∈ M : (α j , β j ) ⊂ ( an , bn )} . Es fácil de comprobar
(an , bn ) =
U (α , β
j
j∈H n
j
) . En efecto, dado t ∈ (an , bn ) , existe
j ∈ M tal que t ∈ (α j , β j ) ⊂ G . Como (an , bn ) es el mayor subintervalo abierto de G que
contiene M = A ∪ B
al punto t, se sigue que (α j , β j ) ⊂ ( an , bn ) , es decir, j ∈ H n . Según lo probado en
(a), se puede asegurar que
(bn − an ) ≤
∑ (β
j∈H n
j
− α j ) ∀n ∈ H ............(*).
∑
Como estamos suponiendo que la serie de números positivos
∞
n =1
m(Gn ) es
convergente, se obtiene que la suma
∞
∑ (β j − α j ) = ∑
j∈M
∑
n =1 j∈M n
∞
( β j − α j ) = ∑ m(Gn )
n =1
es finita. Por tanto, también son infinitas todas las sumas consideradas en (*), y
m(G ) = ∑ (bn − an ) ≤ ∑
n∈H
a) Sea ahora
∑
n∈H j∈H n
(β j − α j ) =
∞
∑ ( β j − α j ) = ∑ m(Gn )
j∈M
n =1
{ An : n ∈ ¥ } una sucesión de subconjuntos de
y A=
∞
UA
n
.
n =1
Bastara probar 11.2 c) cuando m *( An ) < +∞ para todo
es finita. Sea s < +∞ el valor de la suma. Dado
para cada
ε >0,
∞
∑ m *( A )
n
n =1
m*,
ε
existe un abierto Gn ∈ G tal que An ⊂ Gn y m(Gn ) ≤ m *( An ) + n .
2
n∈
Entonces G =
n ∈ , y la suma
según la definición de
∞
UG
n
es un abierto que contiene al conjunto A, por lo que se obtiene:
n =1
∞
∞
ε
n =1
n =1
2n
m *( A) ≤ m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) ≤∑ (m *( An ) +
como esta desigualdad se cumple para cada
que se quería probar.
ε >0,
) = s +ε
resulta que m * ( A) ≤ s , que es lo
S⊂
un conjunto acotado tal que m * ( S ) > 0 . Pruébese
que la función
f (t ) = m * ( S ∩ ( −t , t ) ) es continua. Dedúzcase que cada x ∈ es el punto medio de un
2. Sea
(
intervalo abierto I = ( a, b) tal que m * ( S ∩ I ) = m * S ∩ I
c
) = 12 m * ( S ) .
Sol. La medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones:
m * ( A) = m * ( x + A)
por lo que bastaría probar que x = 0 es el punto medio de un intervalo abierto
1
( − a, a ) = I tal que m * ( S ∩ I ) + m * ( S ∩ I c ) = m * ( S ) .
2
Sea ( −α , +α ) un intervalo que contiene a S, y consideremos la función
definida
en
[0,α ]
(siendo
f (0) = 0 ).
Análogamente,
f (t ) ,
sea
(
)
g (t ) = m * S ∩ ( −t , t ) , 0 ≤ t ≤ α .
c
Como
(−t , t ) es
medible,
se
cumple
m * ( S ) = f (t ) + g (t ) . Bastará comprobar que f es continua en [ 0, α ] , por que
que
entonces, aplicando el teorema de Bolzano, se deducirá la existencia de un punto
a ∈ (0, α ) tal que
f (a) =
1
1
f (α ) = m *( S ) .
2
2
1
m *( S ) .
2
Este punto a también cumplirá que g ( a ) = m *( S ) − f ( a ) =
Para probar la continuidad de f en cada
t ∈ [ 0,α ] , obsérvese que, para cada h > 0 ,
S ∩ ( −t − h, t + h ) ⊂ ⎡⎣ S ∩ ( −t , t ) ⎤⎦ ∪ [ −t − h, −t ] ∪ [t , t + h ] ,
Por lo que aplicando 11.2.c) se obtiene:
m * ( S ∩ ( −t − h, t + h ) ) ≤ m * ( S ∩ ( −t , t ) ) + m * ( ( −t − h, −t ) ∪ ( t , t + h ) ) ,
decir,
es
f (t + h) ≤ f (t ) + 2h .
La desigualdad
0 ≤ f (t + h) − f (t ) ≤ 2h . Implica que f (t + h) → f (t ) cuando
t → 0 + . De este modo esta probada la continuidad por la derecha en el punto t.
Análogamente se probaría la continuidad por la izquierda.
3. Pruébese
que para cada E ⊂
m * ( E ) = m( A) .
Sol.
existe un conjunto de Borel, A, tal que E ⊂ A y
m * ( E ) = +∞ , bastará tomar A =
Sí
m * ( E ) < +∞ para cada
1
abierto Gn ⊃ E tal que m (Gn ) ≤ m * ( E ) + .
n
n ∈ existe un
. Sí
∞
Sea
A = ∩ Gn .
Evidentemente,
A
es
boreliano,
y
según
11.4.c),
n =1
m( A) = lim m(Gn ) ≤ m * ( E ) . Como E ⊂ A , resulta que m( A) = m * ( E ) .
n →∞
4. Sea
[ q1 , q2 ,..., qn ,...] = ¤
∞
una enumeración del conjunto de los números racionales y
G = UGn , donde Gn = (qn −
n =1
conjunto cerrado F ⊂
1
1
, qn + 2 ) . Pruébese que m(G ) < +∞ y que para cada
2
n
n
se verifica: m (G ΔF ) > 0 (G ΔF = (G F )
U( F
G )) .
Sol.
∞
∞
2
es cerrado, V = G F es
< +∞ . Sí F ⊂
2
n =1
n =1 n
abierto. Sí V ≠ ∅ , entonces m (V ) > 0 y, en consecuencia, m (G ΔF ) ≥ m (V ) > 0 .
Según 11.2.c)
m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) = ∑
V = ∅ , se tiene que ⊂ G ⊂ F , y como F es cerrado, resulta que
decir, F = ¡ . Teniendo en cuenta que
+∞ = m( ) = m(G ) + m(
G ) resulta
Sí
m (G Δ F ) ≥ m (
G ) = +∞ .
⊂ F , es
5. Sea M ⊂
un conjunto medible, con m ( M ) < +∞ y E ⊂ M . Pruébese que una
condición necesaria y suficiente para que E sea medible es que cumpla:
m( M ) = m * ( E ) + m * ( M E ).....(*) .
Indicación. Para probar la suficiencia, obtengase dos conjuntos medibles, A, B ∈ M tales
que
E ⊂ A⊂ M ,
M E⊂B⊂M ,
m( A) = m * ( E )
y
m( B ) = m *( M E )
m( A ∩ B ) = 0
Sol.
Según el problema 3, existen dos conjuntos de Borel, A′, B ′ ⊂ , tales que :
M E ⊂ B′
m * ( E ) = m( A′)
m * ( M E ) = m( B′) . Como M es
medible, los conjuntos A = M ∩ A′ y B = M ∩ B ′ también son medibles y,
evidentemente, E ⊂ A ⊂ M , M E ⊂ B ⊂ M .
Puesto que
m * ( E ) ≤ m( A) ≤ m( A′) = m * ( E ) , resulta:
m * ( E ) = m( A) .
E ⊂ A′
Análogamente,
m * ( M E ) = m( B )
Teniendo en cuenta que M = A ∪ B