Práctico 1 - Centro de Matematica

Introducción al Análisis Real
Curso 2012
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 1
La idea de este ejercicio es mostrar cómo se puede extender la noción de área en el plano, que conocemos
para figuras tales como rectángulos, cı́rculos, etc., a una familia de conjuntos muy grande, que contiene por
ejemplo a los subconjuntos abiertos y a los subconjuntos cerrados del plano. En el curso se verá que las ideas
presentadas acá se extienden de forma natural a espacios más generales, dando lugar a la noción de medida en
espacios abstractos.
Sea R la familia de rectángulos acotados en el plano (abiertos, cerrados, semiabiertos). Denotaremos por
Rabcd al rectángulo cuyos vértices están determinados por las coordenadas (a, c), (b, c), (b, d) y (a, d). Considérese
A : R → [0, ∞), la función área que conocemos de la Geometrı́a Elemental, de modo que se tiene:
!
n
n
[
X
A(∅) = 0, A(Rabcd ) = (b − a) · (d − c), A
Ri =
A(Ri )
i=1
i=1
donde R1 , . . . , Rn son rectángulos disjuntos dos a dos cuya unión es también un rectángulo.
Decimos que un conjunto en el plano es elemental si puede ser representado como una unión finita de
rectángulos disjuntos dos a dos. Sea E la familia de conjuntos elementales.
(i) Probar que la familia E es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas, diferencias y diferencias simétricas
(la diferencia simétrica entre A y B es A 4 B := A ∪ B \ (A ∩ B)).
(ii) Definimos la función A0 : E → [0, +∞) de la siguiente manera: si E = ∪ni=1 Ri con Ri ∈ R disjuntos entre
sı́, entonces
n
X
0
A (E) :=
A(Ri ).
i=1
Probar que A0 no depende de la representación elegida de E como unión disjunta de rectángulos.
(iii) Sean E, E1 , . . . , En , . . . conjuntos elementales tales que E ⊆ ∪n En . Probar que entonces
X
A0 (E) ≤
A0 (En ).
n
(sugerencia: quizás sea conveniente empezar con E = R, rectángulo cerrado).
(iv) Definimos la medida exterior de un conjunto A como
λ∗ (A) :=
X
ı́nf
A⊆∪n Rn
A(Rn )
n
donde el ı́nfimo se toma respecto a todos los cubrimientos numerables (Rn )n≥1 de A por rectángulos.
Probar que λ∗ verifica las siguientes propiedades:
λ∗ (∅) = 0,
λ∗ (A) ≤ λ∗ (B) cuando A ⊂ B,
λ∗ es sub-aditiva, es decir, si {An } ⊆ P(R2 ) (partes de R2 ) y A ⊆ ∪n An entonces
X
λ∗ (A) ≤
λ∗ (An ).
n
(v) De ahora en adelante nos restringiremos a trabajar en el cuadrado unidad Q := [0, 1] × [0, 1]. Definimos
la medida interior λ∗ : P(Q) → [0, +∞) como
λ∗ (A) := 1 − λ∗ (Ac ).
Diremos que A ∈ P(Q) es medible si λ∗ (A) = λ∗ (A) y en ese caso el valor común lo denotaremos por
λ(A). Sea M la familia de conjuntos medibles. Probar que E ⊂ M y que λ|E = A0 .
(vi) Probar que A es medible si, y sólo si, dado ε > 0 existe B elemental tal que λ∗ (A 4 B) < ε.
1
(vii) Probar que M es cerrada bajo intersecciones finitas, uniones finitas, y también bajo diferencias y diferencias simétricas.
(viii) Si A1 , . . . , An son conjuntos medibles disjuntos entonces
!
n
n
[
X
λ
Ai =
λ(An ).
i=1
i=1
(ix) Probar que M es cerrada bajo intersecciones numerables y bajo uniones numerables. Concluir que los
conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son medibles.
(x) Probar la σ-aditividad de λ, es decir: si {An } ⊆ M es una familia numerable disjunta de conjuntos
medibles, entonces
!
[
X
λ
An =
λ(An )
n
n
(xi) Probar la continuidad por abajo de λ, es decir: si A1 ⊇ A2 ⊇ . . . es una sucesión decreciente de conjuntos
medibles, entonces
!
\
λ
An = lı́m λ(An ).
n→∞
n
Probar la continuidad por arriba de λ, es decir: si B1 ⊆ B2 ⊆ . . . es una sucesión creciente de conjuntos
medibles, entonces
!
[
λ
Bn = lı́m λ(Bn ).
n→∞
n
La función λ construida en el problema anterior es la que se denomina medida de Lebesgue en el cuadrado
unitario1 , y los conjuntos medibles son los conjuntos medibles Lebesgue.
Pasando en limpio, se ha seguido el proceso siguiente. En primer lugar se partió de una cierta noción de
medida, definida esencialmente en una clase elemental de conjuntos (uniones finitas de rectángulos), conocida
de antemano. En segundo lugar, a partir de ella se procedió a definir una medida exterior λ∗ y una medida
interior λ∗ en todos los subconjuntos del cuadrado unitario, las cuales representan aproximaciones “por exceso”
y “por defecto”, respectivamente, de lo que uno considerarı́a que debe ser su medida. Los conjuntos para los
cuales dichas medidas por exceso y por defecto coinciden se llaman medibles, y forman una clase de conjuntos
con la propiedad de ser cerrada por uniones numerables, y sobre la cual la medida es σ-aditiva. Este ejercicio
podrı́a repetirse para extender la longitud en R, el volumen en R3 , etc.
Si para definir la medida exterior se utilizan cubrimientos finitos de rectángulos en lugar de cubrimientos
numerables, se obtiene la noción de contenido exterior. Dicha noción fue considerada como una candidata
adecuada a generalizar el área por varios matemáticos en el siglo XIX, como Stolz, Harnack y Cantor. Las
indeseables propiedades del contenido exterior (no es ni siquiera aditivo) hizo que tanto G. Peano como C. Jordan
consideraran también un contenido interior (definido de forma similar a la medida interior en el ejercicio previo),
y llamaron medibles a aquellos conjuntos para los cuales ambos contenidos coinciden. Hoy se los llama medibles
Peano-Jordan, o simplemente medibles Jordan, y se los menciona en algunos cursos que tratan la integral de
Riemann de funciones reales de varias variables (nótese que claramente todo conjunto medible Peano-Jordan es
también medible Lebesgue, y que en tal caso el contenido y la medida coinciden). Sin embargo, hay conjuntos
que no son medibles Peano-Jordan que uno querrı́a considerar medibles, como por ejemplo los elementos del
cuadrado unitario de coordenadas racionales (porque el contenido exterior de un subconjunto denso en Q debe
ser por lo menos 1). Fue Borel quien percibió claramente por qué habı́a que considerar colecciones numerables
y sugirió los procedimientos a seguir, y fue Lebesgue quien desarrolló las ideas de Borel, y fue mucho más
allá también.
Puede verse fácilmente que una función acotada no negativa definida en un intervalo real [a, b] es integrable
según Riemann en dicho intervalo si y sólo si el conjunto {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} es medible PeanoJordan. Es decir que el contenido de Peano-Jordan está estrechamente vinculado a la integral de Riemann. De
la misma manera, la medida de Lebesgue, que extiende al contenido de Peano-Jordan, está vinculada a una
noción de integral que extiende a la de Riemann, y que se conoce como integral de Lebesgue.
1 Una forma de extender A sin restringirse a subconjuntos del cuadrado unitario Q es la siguiente. Considérese la grilla en el
plano determinada por coordenadas enteras, y sea Qm,n el cuadrado unitario que tiene su vértice inferior izquierdo en la coordenada
(m, n). Decimos que un conjunto A es medible si A ∩ Qm,n − (m, n) ⊆ Q es medible para todo m, n ∈ Z. Definimos su área como
X
λ(A) :=
λ(A ∩ Qmn − (m, n)).
m,n
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