Primer examen C´alculo I Mayo 27 de 2010 yx

Universidad
Industrial de
Santander
Primer examen
Cálculo I
Mayo 27 de 2010
Grupo
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Nombre:
Código:
Instrucciones:
Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.
Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.
No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.
El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.
Todos los puntos tienen el mismo valor.
No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.
1.
a) Una caja rectángular abierta con volumen de 2 m3 , tiene una base cuadrada. Exprese el
área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base.
b) Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s.
i) Exprese el radio r del balón como función del tiempo t (en segundos).
ii) Si V es el volumen del balón como una función del radio, halle V ◦ r.
y
2.
a) Sean f y g funciones lineales con ecuaciones
f (x) = m1 x + b1 y g(x) = m2 x + b2 ¿Es f ◦ g
una función lineal? Si es ası́, ¿cuál es el valor
de su pendiente?
1
b) En la figura se muestra la gráfica de f . Dibuje
la gráfica de la función y = f −1 (x + 3).
0
1
x
3. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial 100 individuos y
100000
que soporta una capacidad de 1000 individuos, está dada por P (t) =
donde t se
100 + 900e−t
mide en años. Encuentre la inversa de la función y úsela para encontrar el tiempo requerido
para que la población llegue a 900 individuos.
4. Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explı́que por qué. Si es falsa,
explı́que por qué o dé un ejemplo que refute la proposición.
sen−1 (x)
.
cos−1 (x)
Siempre se puede dividir entre ex .
Si f (s) = f (t) entonces s = t.
Si f es una función entonces f (3x) = 3f (x).
Si 0 < a < b entonces ln(a) < ln(b).
a) tan−1 (x) =
b)
c)
d)
e)
Profesores: Adriana Albarracı́n, Alberto Higuera, Claudia Montañez, Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas,
Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Martı́nez, Nelson López, Rosana Martı́nez, Rosario Iglesias, Viviana
Villamizar, William González.
Solución del 1er Examen de Cálculo I
1.
V = 2m3
Abase = x2
Asuperf icial = 4xy + x2
y
a)
x
Asuperf icial
Como V = x2y = 2, entonces y = 2/x2.
Reemplazando en el área superficial se
obtiene
2
8
8 + x3
2
2
= 4x
+x = +x =
.
x2
x
x
r
i) r (t) = 2t.
ii) V (r) = 34 πr3
b)
32
4
4
(V ◦ r) (t) = V (r (t)) = V (2t) = π (2t)3 = π 8t3 = πt3 .
3
3
3
2. a) f (x) = m1 x + b1,
g (x) = m2 x + b2.
(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (m2 x + b2) = m1 (m2 x + b2 ) + b1 = m1 m2 x + m1b2 +
b1
Por tanto (f ◦ g) (x) es una función lineal con pendiente m = m1 m2 .
b)
y
y
f
Se refleja f
respecto a la
recta y = x
f −1
1
0
1
1
x
0
f −1(x + 3)
1
x
se corre 3 unidades
hacia la izquierda
3.
100000
P (t) =
100 + 900e−t
=⇒
P ∗ 100 + 900e−t = 100000
=⇒
900P e−t = 100000 − 100P
100000 − 100P
=⇒
e−t =
900P
900P
9P
=
=⇒
et =
100000
− 100P
1000 − P
9P
=⇒
t (P ) = ln
1000 − P
9 ∗ 900
Luego t (900) = ln
= ln 81 = 4 ln 3.
1000 − 900
4. a)
b)
c)
d)
sen−1 (1) π/2
π
=
no esta definido.
Falsa. Contraejemplo: tan (1) = ,
4
cos−1 (1)
0
Verdadera, ya que ex > 0, ∀x ∈ R.
Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x2, se tiene que f (a) = f (−a) = a2 , pero
a 6= −a.
Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x5, no es cierto que:
−1
f (3x) = (3x)5 = 35x5
sea igual a 3f (x) = 3x5.
e) Verdadera, porque la función f (x) = ln x es una función creciente.