Progresión aritmética

Progresión aritmética
Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando
al anterior otro número fijo. Este número fijo se llama diferencia.
Es fácil demostrar que el término general es:
an = a1 + d(n-1)
y la suma de n términos es:
S = (a1 + an) . n / 2
Mi padre me ha contado esta historia: En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un
profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo
sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer
muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero...
una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó
¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma
101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le
regaló un libro de Aritmética.
Interpolación aritmética
Interpolar n términos entre dos números dados, p y q, consiste en la obtención de n términos
situados entre p y q, tales que formen una progresión aritmética de extremos p y q.
Entonces, para interpolar, tenemos que calcular la razón de la progresión aritmética. Como la
progresión aritmética resultante tiene n + 2 términos y sus extremos son p y q, la razón será
d = (q - p)/(n+1).
Progresión geométrica
Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene
multiplicando el anterior por otro número fijo. Este número fijo se llama razón.
Es fácil demostrar que el término general de una progresión geométrica es:
an = arn-1
y que la suma de n términos es:
S = (an.r - a1) / (r - 1)
Las progresiones geométricas tienen una propiedad interesante: el producto de dos términos
equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.
Utilizando esta propiedad se demuestra que el producto de los términos de una progresión
geométrica es:
Interpolación geométrica
Interpolar n términos, medios proporcionales o geométricos, entre dos números p y q, consiste
en la obtención de n términos situados entre p y q, tales que formen una progresión geométrica
de extremos p y q.
Siendo r la razón, q = p.r m+1
Guía de Ejercicios de Progresiones aritméticas y geométricas
1.- En una PA el 5to término es 11/3, el 7mo es 7. Si tiene 13 términos.
Determine:
a) el primero;
b) el último
c) la suma de los trece.
R: a) -3 b) 17 c) 91
2.- En una PG el 8vo término es ¼ y el 9eno 0,125. Si tiene 20 términos
Determine:
a) el primero;
b) el último
c) la suma de los veinte.
R: a) 32 b) 1/214 c) 26-2-14
3.-Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán
$ 9330.
Determinar
a) lo que ahorró el primer mes.
b) lo que ahorró el último mes.
R: a) $8 b) $303
4.-Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la
cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su
hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl?
R: a) $131072 b) $262143
5.-Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual
al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años?
R: $3993,35
6.- El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio
había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? R: 915527,34
7.-El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto
valdrá al cabo de 9 años?
R: $3184,77
8.-Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual.
¿Cuántos habitantes tendrán dentro de tres años?
R: 755827,2
9.-El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19000.
¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años?
R:$16137,58
10.-La población de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 años. Si su población en 1940 era
de 40000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? R/ 242137,8