Tema 47
Sucesiones geométricas
En la misma forma que los elementos de una progresión aritmética se forman sumando al término anterior una cantidad constante
que hemos llamado diferencia o razón de la progresión, es posible
que a partir de un número inicial formemos números multiplicando siempre por un mismo número que ahora llamaremos el factor
o razón de la progresión.
Orden del
rebote
Altura
1
3× 2
3
2
3× 2
3
3
3× 2
3
4
3× 2
3
5
3× 2
3
A
A
n
3× 2
3
0
1
2
3
4
n –1
Una sucesión en la cual cada
término es igual al anterior multiplicado por un valor constante r,
se llama progresión geométrica.
En ella el cociente de cada término y el anterior es constante
an
= r , razón de la progrean – 1
sión geométrica.
Si r > 1 se dice que la progresión
es creciente, si r < 1, la progresión es decreciente.
Una situación que puede ilustrar este hecho es el fenómeno
que se observa cuando hacemos
rebotar una pelota y permitimos
rebotes sucesivos. Consideremos
que la altura que alcanza en el
primer rebote es 3 m y que en
cada nuevo rebote solo alcanza
Matemáticas
9
2 de la altura alcanzada en el anterior, entonces las alturas de los
3
rebotes sucesivos serán los mostrados en la tabla.
En una progresión geométrica o sucesión geométrica el enésimo
término an, puede expresarse a partir del término anterior como
an = an – 1 × r o también a partir del primer término an = a1 × r n – 1.
Ejemplo
Para la sucesión {10; 6; 3,6; 2,16; …}, hallemos:
a. La razón,
b. El décimo término y
c. Determinemos si la progresión crece o decrece.
d. Como la razón es constante y resulta de un cociente
entre dos términos consecutivos r = 6 = 3,6 = 0,6
10
6
9
e. a 10 = 10 × (0,6) = 10 × 0,0100777 = 0,100777
f. La sucesión decrece porque r < 1.
Al igual que una progresión aritmética, algunas veces podemos
calcular algunos términos entre dos elementos conocidos, de
modo que se forme una progresión geométrica; tales términos los
llamaremos medios geométricos. En particular, si solamente ubicamos un término m entre dos dados a y b, entonces a, m, b es
una progresión geométrica y m = ab . Existe m siempre que a y
b tengan el mismo signo y tendrá el mismo signo que ellos.
Cuando adicionamos los términos de una progresión geométrica
obtenemos la serie geométrica. Al igual que con las series aritméticas, algunas veces podemos hallar el valor de la suma utilizando
Matemáticas
a1(r n – 1)
la expresión: Sn =
, con r ≠ 1. En forma equivalente
r –1
a1
a1r n
Sn =
+
, con r ≠ 1.
1–r r –1
1
6
Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión cuyo
término general se presenta.
a. an = 2 × 3 n – 1 ________________
Una pelota se lanza hacia arriba y alcanza una altura de 5 m. Cada vez que rebota pierde 2 de su al3
tura. ¿Cuánto recorre hasta parar su movimiento?
____________________________
7
b. an = 5 × 1
________________
2
Expresa una forma para el término enésimo de la progresión geométrica cuyos primeros términos son:
a. 3, 3 , 3 , 3 , … ________________
10 100 1000
b. 5, 15, 45, 135, … ________________
Ubica cinco términos entre 64 y 1 de modo que se
forme una progresión geométrica. Si duplicas el número de términos ubicados ¿qué ocurre con la razón?
_____________________
8
La carpeta de Sierpinski se construye siguiendo los siguientes pasos:
n –1
2
9
3
Define, recursivamente, cada una de las progresiones dadas en los ítems anteriores. ___________________________
4
Decide si cada una de las progresiones es geométrica o
aritmética.
a. 5, 10, 15, 20, 25, … ________________
b. 5, 25, 125, 625, … ________________
c. 5, −10, 15, −20, 25, … ________________
d. 5, 5 , 5 , 5 , … ________________
2 4 8
5
El primer término de una progresión geométrica es 22 y su
razón es 2. ¿Cuál es su décimo término? ¿Y si la razón es
(–2), ¿cuál es el décimo término? ____________
1. Divide cada lado de un cuadrado en tres partes iguales.
2. Une, con paralelas a los lados, los puntos de división.
3. Elimina el cuadrado central de los nueve cuadrados
en que quedó dividido el cuadrado inicial, quedando
ocho.
4. Repite el proceso en cada uno de los ocho cuadrados
que quedaron.
a. Escribe una sucesión de los perímetros de cada
cuadrado retirado en cada repetición y otra del
área de los mismos.
b. ¿Cuál es la serie asociada a cada sucesión?
_________________________
c. Demuestra que la suma total de las áreas de los
cuadrados retirados, después de repetir el proceso infinitas veces es 1.