Progresiones

Progresiones aritméticas y geométricas
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números, tales que la diferencia entre dos consecutivos
cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de los números impares 1,3,5,... donde la
diferencia es 2. Los términos de una progresión aritmética se suelen denotar como a0, a1, a2,... (o con otra
letra). En general, si la diferencia entre dos términos cualesquiera de la progresión es d, podemos
escribirla también como a0, a0+d, a0+2d,..., pero hay veces que conviene “empezar por el medio”, tomar
un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si el término a3 es especial
por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás términos en función de éste para
facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3−3d, a3−2d, a3−d, a3, a3+d, a3+2d,...
Ejemplo: caracterizar todos los triángulos tales que sus lados están en progresión aritmética, y sus alturas
están también en progresión aritmética.
Suponemos sin pérdida de generalidad que las longitudes de los lados son a≥b≥c. Como el producto de
lado por altura es igual al doble del área, tendremos que aha=bhb=chc, siendo ha≤hb≤hc las alturas desde
los vértices opuestos a los lados de longitudes a≥b≥c, respectivamente. Digamos entonces que a=b+d,
c=b−d, y que ha=hb−D, hc=hb+D, donde d y D son las diferencias respectivas de las progresiones
aritméticas. Tenemos entonces que el doble del área es igual a
(b + d )(hb − D ) = bhb = (b − d )(hb + D ) ,
de donde
− bD + dhb − Dd = 0 = bD − dhb − Dd .
Resulta entonces que ha de ser
Dd = bD − dhb = −(bD − dhb ) = 0 ,
y concluimos que d=D=0, es decir, el triángulo debe ser necesariamente equilátero. Además, todos los
triángulos equiláteros cumplen la condición del enunciado, pues sus lados están en progresión aritmética
de diferencia 0, y sus alturas también.
Suma de elementos de una progresión aritmética
La técnica para sumar los n primeros elementos de una progresión aritmética es muy útil y bastante
ingeniosa, y puede tener aplicaciones en otros ámbitos. Consiste en “repetir” la progresión pero en orden
inverso, e ir sumando uno a uno los términos de ambas progresiones:
a0
a0 + (n − 1)d
2a0 + (n − 1)d
a0 + d
a0 + (n − 2)d
2a0 + (n − 1)d
a0 + 2d
a0 + (n − 3)d
2a0 + (n − 1)d
...
a0 + (n − 2)d
a0 + (n − 1)d
...
a0 + d
a0
...
2a0 + (n − 1)d
2a0 + (n − 1)d
Vemos entonces que dos veces la suma buscada es igual a la suma de n términos, iguales cada uno de
ellos a la suma del primero y del último. Es decir, la suma de n términos consecutivos de una progresión
aritmética es igual a la suma del primero y del último, multiplicada por el número de términos, y partido
por 2. Por ejemplo, usando la técnica anterior, la suma de los 100 primeros enteros positivos es
(1 + 100)100 = 5050 .
2
El famoso matemático Gauss descubrió este método por sí mismo ¡cuando estaba en primaria!
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números, tales que el cociente entre dos consecutivos
cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de las potencias de 3, es decir, 1,3,9,27,81,...
donde el cociente es 3. Los términos de una progresión geométrica se suelen denotar también como a0,
a1, a2,... (o con otra letra). En general, si el cociente entre dos términos cualesquiera de la progresión es r
(y se suele llamar la razón de la progresión geométrica) podemos escribirla también como a0, a0r, a0r2,
a0r3,..., pero al igual que con las progresiones aritméticas, hay veces que conviene “empezar por el
medio”, tomar un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si
nuevamente el término a3 es especial por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás
términos en función de éste para facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3/r3, a3/r2,
a3/r, a3, a3r, a3r2,...
Suma y producto de elementos de una progresión geométrica
El cálculo del producto de n elementos consecutivos de una progresión geométrica se transforma
fácilmente en el cálculo de la suma de n elementos consecutivos de una progresión aritmética, agrupando
los exponentes de la razón r:
a0 ⋅ a1 ⋅ ... ⋅ an −1 = a0 ⋅ a0 r ⋅ ... ⋅ a0 r n −1 = a0 r1+ 2 + 3+...+ n −1 = a0 r
n
n
n ( n −1)
2
.
La suma de elementos de una progresión geométrica se simplifica mucho con el uso de otra técnica,
también bastante ingeniosa y que puede ser muy útil en otros ámbitos. Consiste en multiplicar todos los
términos de la sucesión por r, y luego restar términos iguales dos a dos:
a0 r
a0 r 2
...
a0 r n −1
− a0
− a0 r
− a0 r 2
...
− a0 r n −1
− a0
0
0
...
0
a0 r n
a0 r n
Vemos entonces que r veces la suma que nos interesa, menos la suma que nos interesa, es igual a a0rn−a0:
a0 + a1 + ... + an −1 = a0 + a0 r + ... + a0 r n −1 =
a0 r n − 1
.
r −1
División de ciertos polinomios a partir de sumas de progresiones geométricas
Sea una progresión geométrica con a0=1 y razón x. Claramente, los términos son 1, x, x2, x3,..., y la suma
de los n primeros términos es
1 + x + x 2 + ... + x n −1 =
xn − 1
.
x −1
Nos encontramos entonces con un conocido resultado, el polinomio x−1 divide al polinomio xn−1; esto
podríamos haberlo deducido del hecho de que x=1, que es la única raíz del polinomio del denominador, es
también raíz del polinomio del numerador. Ahora bien, también sabemos que x+1 divide a xn−1 si y sólo
si n es par, y que x+1 divide a xn+1 si y sólo si n es impar (nuevamente, nos basta con sustituir x=−1 en
estos dos polinomios para ver que se anulan). ¿Cuál es el cociente? Bien podemos dividir, bien podemos
tomar una progresión geométrica con razón −x, y considerar la suma de sus n primeros términos:
1 − x + x 2 − x 3 + ... + (− 1)
n −1
x n −1 =
(− 1)n x n − 1 = 1 − (− 1)n x n
− x −1
x +1
Ahora bien, si n es par, entonces el numerador es −(xn−1), y se tiene
.
xn −1
= −1 + x − x 2 + ... + x n −1 = x n −1 − x n − 2 + ... + x 3 − x 2 + x − 1 ,
x +1
mientras que si n es impar, el numerador es xn+1, y se tiene
xn + 1
= 1 − x + x 2 − x 3 + ... + x n −1 = x n −1 − x n − 2 + ... + x 2 − x + 1 .
x +1
Supongamos ahora que nos piden dividir (como polinomios, no como números, y siempre y cuando sea
posible) an+bn entre am+bm (asumimos obviamente que n>m). ¿Cómo procederíamos? Podemos tomar
una progresión geométrica con primer término an−1 y razón b/a, con lo que tendríamos que la suma de sus
n primeros términos sería
a
n −1
− ba
n−2
+b a
2
n −3
− ... + (− 1)
n−2
b
n−2
a + (− 1) b
n −1
n −1
=
(− 1)n b
n
− a n −1
a
b
− −1
a
a n − (− 1) b n
.
=
a+b
n
Vemos entonces que, si n es impar, la división es claramente posible, siendo
a n + bn
= a n −1 − ba n − 2 + b 2 a n − 3 − ... − b n − 2 a + b n −1 .
a+b
Vemos también que si n es par, la división no es posible; es más, podemos calcular también el resto:
a n + b n a n − b n 2b n
2b n
.
= a n −1 − ba n − 2 + b 2 a n − 3 − ... + b n − 2 a − b n −1 +
=
+
a+b
a+b
a+b
a+b
Tenemos entonces que el resto sería 2bn, y el cociente an−1−ban−2+...+bn−2a−bn−1. Podemos proceder de la
misma forma, pero con una progresión con razón bm/am y término inicial an−m. Suponemos además que, al
hacer la división de n entre m, obtenemos cociente u y resto v, de forma que 0≤v<m.
a n − m − b m a n − 2 m + b 2 m a n − 3m − ... + (− 1)
u −2
=
b (u − 2 )m a n − (u −1)m + (− 1) b(u −1)m a n − um =
(− 1)u bum a n −um − a n − m
am
−
bm
−1
am
u −1
a n − (− 1) bum a v
.
a m + bm
u
=
Vemos entonces que, para que la división sea exacta, necesitamos en primer lugar que v=0, pues si no nos
queda un resto de la forma bn−(−1)u−1bumav. Entonces, n=um, y tenemos que ha de ser nuevamente u
impar, pues si no nos queda un resto de la forma 2bn, y finalmente, caso de que n sea múltiplo de m,
siendo el cociente entre ellos impar (único caso en que la división exacta es posible), llegamos a
a n + bn
= a n − m − b m a n − 2 m + b 2 m a n − 3m − ... − b n − 2 m a m + b n − m .
m
m
a +b
Estos resultados, o esta forma de trabajar, unida a la técnica de completar cuadrados (es decir, de añadir
términos a una expresión para que ésta sea el cuadrado de otra expresión más sencilla) se puede utilizar
para resolver el siguiente problema: un número positivo x verifica la relación
x2 +
1
=7.
x2
Demostrar que
x5 +
es entero y calcular su valor.
1
x5
Si tomamos el resultado anterior con a=x y b=1/x, vemos que no es posible dividir x5+1/x5 entre x2+1/x2,
pero sí entre x+1/x:
2
1 ⎛
1 ⎞⎛ 4
1
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎡⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎤
1⎞
⎛
2
x + 5 = ⎜ x + ⎟⎜ x − x + 1 − 2 + 4 ⎟ = ⎜ x + ⎟ ⎢⎜ x + 2 ⎟ − ⎜ x + 2 ⎟ − 1⎥ = 41⎜ x + ⎟ .
x ⎝
x ⎠⎝
x
x ⎠ ⎝
x ⎠ ⎣⎢⎝
x ⎠ ⎝
x ⎠ ⎦⎥
x⎠
⎝
5
Nos basta entonces con hallar x+1/x, que no parece fácil, hasta que consideramos su cuadrado:
2
1⎞
1
⎛
2
⎜x+ ⎟ = x +2+ 2 =9;
x⎠
x
⎝
x+
1
= ±3 .
x
Pero nos dicen que x es positivo, con lo que no puede ser x+1/x=−3, y ha de ser x+1/x=3, llegándose
finalmente a
x5 +
1
1⎞
⎛
= 41⎜ x + ⎟ = 123 .
5
x
x⎠
⎝
Ejercicios propuestos
Sean a0, a1, a2, a3, a4 cinco números positivos en progresión aritmética de diferencia d. Probar que
a + 4a1 + 4a3 + a 4
≤ 0
.
10
3
a2
3
3
3
3
¿Cuánto valdría la suma de los 2010 primeros enteros positivos que dan resto 2 al dividir entre 3?
Demostrar que si una progresión aritmética infinita de números enteros positivos, contiene un número que
es un cuadrado perfecto, entonces contiene infinitos números que son cuadrados perfectos.
En una progresión aritmética infinita de números enteros, demostrar que se pueden escoger infinitos
términos que formen una progresión geométrica.
Hallar todos los posibles casos en los que el producto de los 2009 primeros términos de una progresión
geométrica infinita de números enteros positivos es un cuadrado perfecto, y el producto de los 2010
primeros términos de la misma progresión geométrica también es un cuadrado perfecto.