Ejercicios de Estadística y Probabilidad
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Probabilidad y Estadística Sección 1: Estadística descriptiva 1. Categorías. Cincuenta personas están agrupadas en cuatro categorías A, B, C y D. En la tabla se muestra el número de personas que entran en cada una Categoría Frecuencia A 11 B 14 C 20 D 05 a) b) c) d) e) ¿Cuál es la unidad experimental? ¿Cuál es la variable que se mide? ¿es cualitativa o cuantitativa? Construya una gráfica de sectores o de pastel para describir los datos ¿Qué proporción de las personas están en la categoría A? ¿Qué porcentaje de la personas no están en la categoría B? 2. Jeans. Un fabricante de jeans tiene plantas es California, Arizona y Texas. Se selecciona al azar un grupo de 22 jeans de la base de datos computarizada, y se registra el estado en el cual se produce cada uno: CA AZ AZ TX CA CA CA CA TX TX TX AZ AZ CA AZ TX CA AZ TX TX TX AZ a) ¿Cuál es la unidad experimental? b) ¿Cuál es la variable que se mide? ¿es cualitativa o cuantitativa? c) Construya una gráfica de sectores para describir los datos d) ¿Qué proporción de los jeans se hace en Texas? e) ¿Qué estado produjo mayor cantidad de jeans en el grupo? 3. Distribuciones de raza en las fuerzas armadas. Las cuatro ramas de las fuerzas armadas de los Estados Unidos son distintas en su conformación en relación con el género, la raza y las distribuciones de edad. En la tabla siguiente se muestra el análisis racial de los miembros del ejército y de la fuerza aérea de los Estados Unidos. Ejército Fuerza aérea Blanco 58.4% 75.5% Negro 26.3% 16.2% Hispano 08.9% 05.0% Otro 06.4% 03.3% a) b) c) d) Defina la variable que ha sido medida en esta tabla ¿la variable es cuantitativa o cualitativa? ¿Qué representan los números? Construya una gráfica de sectores para describir el análisis racial en el Ejército de los Estados Unidos e) Construya una gráfica de barras para describir el análisis racial de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos f) ¿qué porcentaje de los miembros del Ejército de los Estados Unidos son minoría, es decir, no son blancos? ¿cuál es el porcentaje en la fuerza aérea de los Estados Unidos? 4. Para los siguientes conjuntos de datos determine el intervalo, la amplitud mínima de clase y una amplitud de clase conveniente Número de Valores Número de Intervalo Amplitud Amplitud de mediciones mínimo y clases mínima de clase máximo clase conveniente 75 0.5 a 1.0 25 0 a 100 200 1200 a 1500 5. Remítase al ejercicio 4. Para los mismos conjuntos de datos seleccione un punto de partida conveniente y enumere los límites para las dos primeras clases Número de Valores mínimo y Punto de inicio Primeras dos mediciones máximo conveniente clases 75 0.5 a 1.0 25 0 a 100 200 1200 a 1500 6. Recorrido en un laberinto. Un sicólogo experimental midió el tiempo que tardó una rata en ir por un laberinto en cada uno de cinco días. Los resultados se muestran en la tabla. Construya una gráfica de líneas para describir los datos. ¿considera que la rata fue aprendiendo el camino? Día Tiempo (segundos) 1 45 2 43 3 46 4 32 5 25 7. Construya un diagrama de tallo y hojas para estas 50 mediciones: 3.1 4.9 2.8 3.6 2.5 4.5 3.5 3.7 4.1 4.9 2.9 2.1 3.5 4.0 3.7 2.7 4.0 4.4 3.7 4.2 3.8 6.2 2.5 2.9 2.8 5.1 1.8 5.6 2.2 3.4 2.5 3.6 5.1 4.8 1.6 3.6 6.1 4.7 3.9 3.9 4.3 5.7 3.7 4.6 4.0 5.6 4.9 4.2 3.1 3.9 a) Describa la forma de la distribución de datos. ¿encuentra algunos valores atípicos? b) Use el diagrama de tallo y hojas para identificar la observación más pequeña. c) Encuentre la octava y novena observaciones mayores 8. Remítase al ejercicio 7. Construya un histograma de frecuencias relativas para los datos. a) ¿aproximadamente cuántos intervalos de clase debe usar? b) Comprueba que 0.7 puede ser un ancho de clase adecuado para la tabla de distribución de frecuencias c) Suponga que decide usar clases comenzando en 1.5 con un ancho de clase de 0.7 es decir, [1.5, 2.2), [2.2, 2.9). Construye el histograma de frecuencias relativas para los datos. d) ¿qué fracción de las mediciones son menores que 5.0 e) ¿qué fracción de las mediciones son mayores o iguales a 3.6? f) Compare el histograma de frecuencias relativas con el diagrama de tallo y hojas del ejercicio 7. ¿son similares las formas? 9. Considere este conjunto de datos 4.5 3.2 3.5 3.9 3.5 3.9 4.3 4.8 3.6 3.3 4.3 4.2 3.9 3.7 4.3 4.4 3.4 4.2 4.4 4.0 3.6 3.5 3.9 4.0 a) Construya un diagrama de tallo y hojas con el dígito principal como tallo b) Construya un diagrama de tallo y hojas usando cada dígito principal dos veces como tallo ¿esta técnica mejora la presentación de los datos? Explique 10. Medición con el tiempo. El valor de una variable cuantitativa se mide una vez al año durante un periodo de 10 años. Aquí tiene los datos: Año Medición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 61.5 62.3 60.7 59.8 58.0 58.2 57.5 57.5 56.1 56.0 Forme una gráfica de líneas para describir la variable a medida que cambia con el tiempo. 11. Preescolar. Las edades (en meses) a las que 50 niños se inscribieron al nivel preescolar se listan a continuación: 38 40 30 35 39 40 48 36 31 36 47 35 34 43 41 36 41 43 48 40 32 34 41 30 46 35 40 30 46 37 55 39 33 32 32 45 42 41 36 50 42 50 37 39 33 45 38 46 36 31 a) Construya un diagrama de tallo y hojas para los datos b) Elabore un histograma de frecuencias relativas para estos datos. Comience el límite inferior de la primera clase en 30 y use una amplitud de clase de cinco meses c) ¿qué proporción de los niños tenían 35 meses (2 años 11 meses) o más, pero menores de 45 meses (3 años 9 meses) cuando se inscribieron en preescolar? d) Si se eligiera al azar un niño de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que el niño tuviera menos de 50 meses de edad (4 años 2 meses) cuando se inscribió en preescolar? 12. Las películas más taquilleras. A continuación se presentan las 10 películas más taquilleras del 2011 y su recaudación en millones de euros: Recaudación en millones de euros 1. Harry Potter y las Reliquias de la Muerte, parte 2 1328 2. Transformers 3: El lado oscuro de la luna 1123 3. Piratas del Cribe: En mareas misteriosas 1043 4. Kung – Fu Panda 2 666 5. La saga Crepúsculo: Amanecer, parte 1 652 6. Fast & Furious 5 626 7. Resacón 2, ¡ahora en Tailandia! 581 8. Los pitufos 3D 563 9. Cars 2 551 10. Río 485 Traza un diagrama de tallo y hojas para los datos utilizando la cifra de las centenas como tallo Película 13. Campeones de bateo. Los oficiales de la liga mayor de beisbol (MLB) han coronado a un campeón de bateo en la Liga Nacional cada año desde 1876. En la tabla se lista una muestra de los promedios de bateo de los ganadores: Año Nombre Promedio 1876 Roscoe Barnes .403 1893 Hugh Duffy .378 1915 Larry Doyle .320 1917 Edd Roush .341 1934 Paul Waner .362 1911 Honus Wagner .334 1898 Willie Keeler .379 1924 Roger Hornsby .424 1963 Tommy Davis .326 1992 Gary Sheffield .330 1954 Willie Mays .345 1975 Bill Madlock .354 1958 Richie Ashburn .350 1942 Ernie Lombardi .330 1948 Stan Musial .376 1971 Joe Torre .363 1996 Tony Gwynn .353 1961 Roberto Clemente .351 1968 Pete Rose .335 1885 Roger Connor .371 Construya un histograma de frecuencias relativas para describir los promedios de bateo de estos 20 campeones 14. Una enfermedad recurrente. La duración en meses entre el inicio de una enfermedad y su recurrencia se registró para n = 50 pacientes: 2.1 4.4 2.7 32.3 9.9 9.0 2.0 6.6 3.9 1.6 14.7 9.6 16.7 7.4 8.2 19.2 6.9 4.3 3.3 1.2 4.1 18.4 0.2 6.1 13.5 7.4 0.2 8.3 0.3 1.3 14.1 1.0 2.4 2.4 18.0 8.7 24.0 1.4 8.2 5.8 1.6 3.5 11.4 18.0 25.7 3.7 12.6 23.1 5.6 0.4 a) Construya un histograma de frecuencias relativas para los datos b) ¿describiría la forma como aproximadamente simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda? c) Dé la fracción de tiempos de recurrencia menores a 10 meses 15. Derby de Kentucky. El siguiente conjunto de datos muestra los tiempos ganadores (en segundos) para las carreras del Derby de Kentucky de 1950 a 2011. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1950 121.3 122.3 121.3 122.0 123.0 121.4 123.2 122.1 125.0 122.1 1960 122.2 124.0 120.2 121.4 120.0 121.1 122.0 120.3 122.1 121.4 1970 123.2 123.1 121.4 119.2 124.0 122.0 121.3 122.1 121.1 122.2 1980 122.0 122.0 122.2 122.1 122.2 120.1 122.4 123.2 122.2 125.0 1990 122.0 123.0 123.0 122.2 123.3 121.1 121.0 122.4 122.2 123.2 2000 121.0 120.0 121.1 121.2 124.1 122.8 121.4 122.2 121.8 122.7 2010 124.5 122.0 Describe la distribución de tiempos ganadores por medio de un histograma de frecuencias relativas. Comenta acerca de la forma de la distribución y busca algún tiempo inusual 16. Aqua Running. La técnica Aqua Running ha sido recomendada como método de acondicionamiento cardiovascular para atletas lesionados y personas que desean un programa de ejercicios aeróbicos de bajo impacto. En un estudio publicado en el Journal of Sports Medicine se investigó la relación entre cadencia de ejercicio y frecuencia cardiaca, midiendo ésta última en 20 voluntarios saludables a una cadencia de 48 ciclos por minuto. Los datos se alistan aquí: 87 109 79 80 96 95 90 92 96 98 101 91 78 112 94 98 94 107 81 96 Construye un diagrama de tallo y hojas para describir los datos. Analiza las características de la distribución de datos 17. Los años de los peniques. Se reunieron 50 monedas de 1 centavo y se registraron sus edades, al calcular AÑOS = AÑO ACTUAL – AÑO DE LA MONEDA. Dibuja un histograma de frecuencias relativas para describir la distribución de años de los peniques. ¿Cómo describirías la forma de la distribución? 5 1 9 1 2 20 0 25 0 17 1 4 4 3 0 25 3 3 8 28 5 21 14 9 0 5 0 2 1 0 0 1 19 0 2 0 20 16 22 10 19 36 23 0 1 17 6 0 5 0 18. Números del seguro social. Se pidió a un grupo de 70 estudiantes registrar el último dígito de su número de seguro social. 1 6 9 1 5 9 0 2 8 4 0 7 3 4 2 3 5 8 4 2 3 2 0 0 2 1 2 7 7 4 0 0 9 9 5 3 8 4 7 4 6 6 9 0 2 6 2 9 5 8 5 1 7 7 7 8 7 5 1 8 3 4 1 9 3 8 6 6 6 6 a) Antes de graficar los datos, usa tu sentido común para inferir la forma de la distribución de datos. Explica tu razonamiento b) Representa los datos en un diagrama de tallo y hojas y comprueba tus inferencias realizadas en el inciso a Sección 2: Medidas de Tendencia Central 19. Ingresos de Fortune 500. Diez de los 100 negocios más grandes de los Estados Unidos, se seleccionaron al azar del Fortune 500, y se listan a continuación junto a sus ingresos (en millones de dólares): Compañía Ingresos General Motors $ 186 763.0 Home Depot 58 247.0 AT&T 46 727.0 Johnson & Johnson 36 298.0 Safeway 32 399.2 Intel 26 764.0 Viacom 24 522.0 FedEx 20 607.0 Coca – Cola 19 564.0 Bristol – Myers Squibb 18 119.0 a) Traza una gráfica de tallo y hojas para los datos. ¿Están sesgados los datos? b) Calcula en ingreso promedio (media) para éstos 10 negocios. Ubique el ingreso mediano c) ¿Cuál de las dos medidas del inciso b describe mejor el centro de los datos? Explica 20. Atún. Un artículo de la revista Consumer Reports da el precio, un promedio estimado para una lata de 6 onzas o una bolsa de 7.06 onzas para 14 marcas distintas de atún empacado en agua, con base a los precios pagados a nivel nacional en supermercado: 0.99 1.92 1.23 0.85 0.65 0.53 1.41 1.12 0.63 0.67 0.69 0.60 0.60 0.66 a) Encuentra el precio promedio para las 14 marcas distintas de atún b) Encuentra en precio mediano para las 14 marcas de atún c) Con base a sus hallazgos de sus incisos a y b, ¿considera que la distribución de precios es sesgada? Explica 21. Inflación promedio. La inflación promedio para el primer semestre de 2012 en España fue la siguiente: 5.4% 4.3% 4.9% 4% 3.1% y 2.8%. Utiliza la media geométrica para calcular la inflación promedio en este periodo 22. Inflación promedio, de nuevo. La inflación promedio para el segundo semestre de 2012 en España fue la siguiente: 2.4% 2.6% 1.6% 0.7% 0% y – 0.4%. Utiliza la media geométrica para calcular la inflación promedio en este periodo 23. Matrícula de un colegio. La siguientes cifras representan los aumentos o disminuciones porcentuales en la matrícula de cierta escuela particular en los últimos 12 años: 14% 9% 21% 13% 0% – 5% 1% 11% 20% 34% 22% 9% Determina el aumento o disminución promedio en la matrícula de ésta escuela durante éste periodo Sección 3: Medidas de dispersión 24. Se tiene n 8 mediciones: 4, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 2 a) Determina el rango b) Calcula x , x̂ y R c) Calcula s 2 y s por medio de la fórmula de cálculo d) Usa el método de introducción de datos en tu calculadora para hallar x , s y s 2 . Comprueba que tus respuestas sean las mismas que las de los incisos b yc 25. Se tienen n 8 mediciones: 3, 1, 5, 6, 4, 4, 3, 5 a) Calcula el rango b) Calcula la media muestral c) Calcula la varianza y la desviación estándar de la muestra d) Compara el rango y la desviación estándar. ¿Cuántas desviaciones estándar tiene aproximadamente el rango? 26. Un hallazgo arqueológico. Un artículo de Archaeometry describe un análisis de 26 muestras de cerámica romano – británica hallada en cuatro sitios de horneado en el Reino Unido. Las muestras fueron analizadas para determinar su composición química. El porcentaje de óxido de hierro en cada una de cinco muestras recolectadas en la isla Thorns fue: 1.28 2.39 1.50 1.88 1.51 a) Calcula el rango b) Calcula la varianza y la desviación estándar muestral por medio de la fórmula c) Compara el rango y la desviación estándar ¿alrededor de cuántas desviaciones estándar tiene el rango? 27. Alberta, Canadá. La temperatura promedio para los meses de enero a Diciembre de 2012 en Alberta, Canadá fueron las siguientes: – 12, – 9, 0, 10, 18, 20, 23, 22, 17, 8, 2, – 5 a) Determina la temperatura promedio (media) en Alberta, Canadá durante el 2012 b) Determina la temperatura mediana y el rango medio c) Calcula el rango d) Calcula s 2 y s e) Compara el rango y la desviación estándar ¿alrededor de cuántas desviaciones estándar tiene el rango? 28. Emergencia de manejo. El tiempo requerido para que un conductor de automóvil responda a una situación de emergencia en particular se registró para n 10 conductores. Los tiempos (en segundos) fueron: 0.5 0.8 1.1 0.7 0.6 0.9 0.7 0.8 0.7 0.8 a) Calcula la media muestral b) Explore los datos y use la fórmula de aproximación de s para hallar un valor aproximado de la desviación estándar muestral c) Calcula la desviación estándar utilizando la fórmula de cálculo para s y compara tu respuesta con la del inciso b 29. De nuevo atún. Remítase al ejercicio 20. De acuerdo al conjunto de datos mostrado, utiliza la fórmula de aproximación de s y compárela con el valor de s obtenido con la fórmula de cálculo 30. Empaquetamiento de carne para hamburguesas. Los datos listados aquí son los pesos (en libras) de 27 paquetes de carne molida en el mostrador de carne de un supermercado: 1.08 0.99 0.97 1.18 1.41 1.28 0.83 1.06 1.14 1.38 0.75 0.96 1.08 0.87 0.89 0.89 0.96 1.12 1.12 0.93 1.24 0.89 0.98 1.14 0.92 1.18 1.17 a) Construye un diagrama de tallo y hojas o un histograma de frecuencias relativas para mostrar la distribución de los pesos. ¿la distribución tiene forma de campana relativamente? b) Determina la media y la desviación estándar del conjunto de datos c) Identifica el porcentaje de mediciones en los intervalos x s , x 2s y x 3s d) ¿Cómo se contrastan los porcentajes obtenidos en el inciso c con los de la regla empírica? 31. Televidentes. El número de horas frente al televisor por casa y los horarios de mayor audiencia son dos factores que afectan el ingreso por anuncios de las televisoras. Una muestra aleatoria de 25 casas en un área particular produjeron las siguientes estimaciones de horas diarias frente al televisor por casa: 3.0 6.0 7.5 15.0 12.0 6.5 8.0 4.0 5.5 6.0 5.0 12.0 1.0 3.5 3.0 7.5 5.0 10.0 8.0 3.5 9.0 2.0 6.5 1.0 5.0 a) Examina los datos y utiliza el rango para hallar un valor aproximado para s . Aplique este valor para comprobar sus cálculos del inciso b b) Calcula la media x y la desviación estándar s de la muestra. Compara s con el valor aproximado obtenido en el inciso a c) Identifica el porcentaje de las horas frente al televisor por casa que cae dentro de los intervalos x 2s . Compara con el porcentaje correspondiente dado por la regla empírica 32. Una distribución de mediciones tiene relativamente una forma de campana con media 50 y desviación estándar 10 a) ¿Qué proporción de las mediciones cae entre 40 y 60? b) ¿Qué proporción de las mediciones cae entre 30 y 70? c) ¿Qué proporción de las mediciones caerá entre 30 y 60? d) Si se elige una medición al azar de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 60? 33. Un conjunto de datos tiene una media de 75 y una desviación estándar de 5. Usted no sabe nada más acerca del tamaño del conjunto de datos o su forma de distribución a) ¿Qué puede decir acerca de la proporción de mediciones que cae entre 60 y 90? b) ¿Acerca de la proporción de mediciones que cae entre 65 y 85? c) ¿Acerca de la proporción de mediciones menores que 65? 34. Rosas de tallo largo. Una cepa de rosas de tallo largo tiene una distribución normal aproximada con una longitud media de 15 pulgadas y una desviación estándar de 2.5 pulgadas. a) Si se aceptan sólo aquellas con una longitud de tallo mayor que 12.5 pulgadas (“rosas de tallo largo”), ¿qué porcentaje de esas rosas sería inaceptable? b) ¿Qué porcentaje de esas rosas tendría una longitud de tallo entre 12.5 y 20 pulgadas? 35. Derechos sobre la madera. Una compañía interesada en los derechos para explotar los recursos madereros en cierta superficie de árboles de pino recibe la noticia de que el diámetro medio de éstos árboles es de 14 pulgadas con una desviación estándar de 2.8 pulgadas. Suponga que la distribución de diámetros tiene aproximadamente forma de campana a) ¿Qué fracción de árboles tendrá diámetros entre 8.4 y 22.4 pulgadas? b) ¿Qué fracción de los árboles tendrá diámetros mayores a 16.8 pulgadas? 36. Frecuencias respiratorias. ¿es normal su frecuencia de respiración? En realidad, no hay una frecuencia de respiración estándar par los humanos. Varía de tan baja como 4 respiraciones por minuto a tan alta como 70 o 75 para una persona que realiza ejercicio extenuante. Suponga que las frecuencias de respiración en reposo para un grupo de estudiantes universitarios tienen una distribución de frecuencias relativas con forma de campana con una media de 12 y una desviación estándar de 2.3 respiraciones por minuto. ¿Qué fracción de los estudiantes tendría tasas de respiración en los siguientes intervalos? a) 9.7 a 14.3 respiraciones por minuto b) 7.4 a 16.6 respiraciones por minuto c) más de 18.9 o menos de 5.1 respiraciones por minuto 37. Old Faithful. Los datos siguientes son 30 tiempos de espera entre erupciones del géiser Old Faithful en el Parque Nacional Yellowstone 56 89 51 79 58 82 52 88 52 78 69 75 77 72 71 55 87 53 85 61 93 54 76 80 81 59 86 78 71 77 a) Calcula el rango b) Usa la fórmula de aproximación de s para calcular la desviación estándar de las 30 mediciones c) Calcula la desviación estándar de la muestra s d) ¿Qué proporción de las mediciones está a 2 desviaciones estándar de la media? ¿a 3 desviaciones estándar? ¿éstas proporciones concuerdan con las dadas por el Teorema de Chevyshev? 38. Comerciales de TV. La duración media de los comerciales de televisión en una determinada cadena es de 75 segundos, con una desviación estándar de 20 segundos. Suponga que las duraciones tienen una distribución aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad aproximadamente de que un comercial dure menos de 35 segundos? ¿Más de 55 segundos? 39. Hijos de presidentes. En la tabla siguiente se muestran los nombres de los 43 presidentes de los Estados Unido junto al número de hijos en su familia Presidente Washington Adams Jefferson Madison Monroe J.Q. Adams Jackson Cleveland B. Harrison McKinley T. Roosevelt # hijos 0 5 6 0 2 4 0 5 3 2 6 Presidente Taft Wilson Harding Van Buren W.H. Harrison Tyler Polk Taylor Filmore Pierce Coolidge # hijos 3 3 0 4 10 14 0 6 2 3 2 Presidente Hoover F.D. Roosevelt Truman Eisenhower Kennedy L.B. Johnson Buchanan Lincoln A. Johnson Grant Hayes # hijos 2 6 1 2 3 2 0 4 5 4 8 Presidente Garfield Arthur Nixon Ford Carter Reagan G.H.W. Bush Clinton G.W. Bush Obama # hijos 7 3 2 4 4 4 6 1 2 2 a) Ordena los datos de menor a mayor b) Calcula la media y la desviación estándar para el conjunto de datos c) Construye los intervalos x s , x 2s y x 3s . Encuentra el porcentaje de mediciones que caen en éstos tres intervalos y compárelos con los porcentajes correspondientes dados por la Regla Empírica 40. Suponga que algunas mediciones ocurren más de una vez y que los datos …, xk están ordenados en una tabla de frecuencias de la sig. forma: Observaciones Frecuencia f i x1 x2 f1 f2 xk fk Las fórmulas de la media y la varianza para datos agrupados son: x x i n fi , donde n f i y s 2 x x1 , x2 , x f 2 2 i fi i n 1 i n Observe que si cada valor ocurre una vez, estas fórmulas se reducen a las dadas anteriormente. Aunque éstas fórmulas para datos agrupados son de mayor valor cuando se tiene un gran número de mediciones, a continuación se demuestra su uso para la muestra: 1, 0, 0, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2 a) Calcule x y s 2 directamente con las fórmulas para datos no agrupados b) La tabla de frecuencia para las n 15 mediciones es como sigue: x f 0 1 2 3 4 5 2 4 Calcule x y s 2 usando las fórmulas para datos agrupados. Compare con sus respuestas del inciso a 41. Las calificaciones finales para un grupo de 60 alumnos de preparatoria fueron las siguientes: 3, 7, 10, 10, 8, 6, 7, 8, 5, 9, 9, 10, 8, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 9, 5, 10, 5, 6, 7, 7, 8, 6, 6, 8, 7, 9, 5, 6, 10, 9, 7, 3, 0, 8, 9, 6, 8, 8, 6, 9, 5, 7, 7, 7, 10, 4, 8, 7, 5, 9, 9, 10, 6, 7 Por medio de una tabla de frecuencias y las fórmulas para datos agrupados, calcula x , s 2 y s para este conjunto de datos 42. Bachillerato Internacional. El Bachillerato Internacional (BI) es un programa académico avanzado ofrecido por un número creciente de escuelas en todo el país. Los estudiantes inscritos en éste programa se colocan en cursos avanzados y deben tomar exámenes BI en cada una de seis áreas al final de su último año. Los alumnos se clasifican en una escala de 1 a 7, donde 1 a 2 es deficiente, 3 mediocre, 4 promedio y 5 a 7 excelente. Durante su primer año de operación en la John W. Noth High School, 17 alumnos del último año presentaron el examen de economía BI con éstos resultados: Calificación Número de del examen estudiantes 7 1 6 4 5 4 4 4 3 4 Calcula la media y la desviación estándar para éstas calificaciones 43. A continuación encontrarás una tabla de distribución de frecuencias en la cual los datos están agrupados por clases. Llena los espacios en blanco correspondientes Clase Límite Límite Marca Frecuencia inferior superior de clase Absoluta A 1 5 18 B 6 10 30 C 11 15 34 D 16 20 36 E 21 25 29 F 26 30 13 44. Utiliza las fórmulas para datos agrupados y determina x , s 2 y s para la tabla del ejercicio anterior. ¿crees que los resultados obtenidos habrían sido los mismos si los datos individuales fueran conocidos y hubieras obtenido las medidas anteriores con las fórmulas para datos sueltos? Explica Sección 4: Medidas de posición relativa 45. A continuación encontrará dos conjuntos de datos para practicar. Llene los espacios en blanco para hallar los cuartiles solicitados Conjunto de datos Ordenados n Posición del Q1 Entre… Q1 Posición del Q3 Entre… 6, 2, 3, 8, 2, 5, 3, 9, 2, 0, 7, 1 0.13, 0.76, 0.34, 0.88, 0.21, 0.16, 0.28 7, 0, 1.7, 8.8, 10, 3, 3.1, 9, 8, 1.8, 8.9 23, 80, 36, 13, 41, 76, 58, 56, 30, 29, 43, 61 222, 198, 230, 208, 189, 229 2.3, 1.0, 2.1, 6.5, 2.8, 8.8, 1.7, 2.9, 4.4, 5.1, 2.0 46. Dado el siguiente conjunto de datos: 8, 7, 1, 4, 6, 6, 4, 5, 7, 6, 3, 0 a) Encuentra el resumen de los cinco números y el RIC b) Calcula x y s c) Calcula la puntuación z para las observaciones menor y mayor. ¿Alguna de estas observaciones es inusualmente grande o pequeña? 47. Encuentra el resumen de los cinco números y el RIC para estos datos: 19, 12, 16, 0, 14, 9, 6, 1, 12, 13, 10, 19, 7, 5, 8 48. Construye una gráfica de caja para estos datos e identifique cualquier valor extremo: 25, 22, 26, 23, 27, 26, 28, 18, 25, 24, 12 49. Construye una gráfica de caja para estos datos e identifique cualquier valor extremo: 3, 9, 10, 2, 6, 7, 5, 8, 6, 6, 4, 9, 22 50. Concentración de mercurio en delfines. Los científicos ambientales están cada vez más interesados en la acumulación de elementos tóxicos en mamíferos marinos y la trasferencia de éstos a su descendencia. El delfín rayado (Stenella coeruleoalba), considerado como el mayor depredador en la cadena alimenticia marina, fue objeto de estudio. Las concentraciones de mercurio (microgramos / gramo) en el hígado de 24 machos fueron los siguientes: 183.00 221.00 286.00 168.00 406.00 315.00 218.00 252.00 241.00 180.00 329.00 397.00 101.00 264.00 316.00 85.40 209.00 481.00 445.00 314.00 118.00 485.00 278.00 318.00 a) Elabora el resumen de los cinco números para este conjunto de datos b) Elabora la gráfica de caja y bigotes e identifica cualquier valor extremo Q3 51. Carne para hamburguesas. El peso (en libras) de los 30 paquetes de carne molida del ejercicio 30 se lista aquí en orden de menor a mayor: 0.75 0.83 0.87 0.89 0.89 0.89 0.92 0.93 0.96 0.96 0.97 0.98 0.99 1.06 1.08 1.08 1.12 1.12 1.14 1.14 1.17 1.18 1.18 1.24 1.28 1.38 1.41 a) Confirma los valores de la media y la desviación estándar, calculados en el ejercicio 30 como x 1.05 y s 0.17 b) Los dos paquetes más grandes de carne pesan 1.38 y 1.41 libras. ¿Estos dos paquetes son inusualmente pesados? Explique c) Construya una gráfica de caja y bigotes para los pesos de los paquetes. ¿Qué te indican la posición de la línea mediana y la longitud de los bigotes acerca de la forma de la distribución? 52. De nuevo, preescolar. Remítase al ejercicio 11. En base a las cifras mostradas en el mismo: a) Determina x y s b) Construye una gráfica de caja y bigotes para las edades de los prescolares seleccionados en el ejercicio 18 c) ¿Qué le dice la gráfica de caja y bigotes acerca de la distribución de éstos datos? Identifica posibles valores inusuales en la gráfica 53. Ciudades ventosas. ¿Hay algunas ciudades con más viento que otras? ¿Chicago merece el apelativo de “la ciudad ventosa”? Estos datos son las velocidades promedio (en millas por hora) para 45 ciudades seleccionadas en los Estados Unidos 8.9 12.4 8.6 11.3 9.2 8.8 35.1 6.2 7.0 7.1 11.8 10.7 7.6 9.1 9.2 8.2 9.0 8.7 9.1 10.9 10.3 9.6 7.8 11.5 9.3 7.9 8.8 8.8 12.7 8.4 7.8 5.7 10.5 10.5 9.6 8.9 10.2 10.3 7.7 10.6 8.3 8.8 9.5 8.8 9.4 a) Calcula el resumen de los cinco números b) Construye una gráfica de caja para los datos. ¿existen valores extremos? c) El valor x 35.1 se registró en Mt. Washington, New Hampshire y parece grande en comparación con las otras velocidades. Utiliza la puntuación z para decidir si se trata de una ciudad inusualmente ventosa d) La velocidad promedio del viento en Chicago se registró como 10.3 millas por hora. ¿Considera esto inusualmente ventoso? 54. Millaje de gasolina. A continuación se muestra una tabla de rendimiento en millas por galón (mpg) para cada uno de los 20 automóviles medianos seleccionados de una línea de producción durante el mes de marzo: 23.1 21.3 23.6 23.7 20.2 24.4 25.3 27.0 24.7 22.7 26.2 23.2 25.9 24.7 24.4 24.2 24.9 22.2 22.9 24.6 a) ¿Cuáles son las millas máximas y mínimas por galón? ¿Cuál es su rango? b) Elabora un diagrama de frecuencias relativas para estos datos. ¿Cómo describiría la forma de distribución? c) Encuentra la media y la desviación estándar d) Encuentra las puntuaciones z para los datos mayor y menor ¿los considera valores extremos? e) ¿Cuál es la mediana? Encuentra los cuartiles inferior y superior 55. De nuevo, el Derby de Kentucky. Remítase al ejercicio 15. En base a las cifras mostradas en el mismo: a) Determina x y s b) Construye una gráfica de caja y bigotes para los tiempos de carrera en el Derby de Kentucky c) ¿Qué le dice la gráfica de caja y bigotes acerca de la distribución de éstos datos? d) Identifica posibles valores inusuales en la gráfica 56. Arreglo de objetos. Los datos siguientes son los tiempos de respuesta en segundos para que n 25 alumnos de primer año de primaria acomoden tres objetos por tamaño. 5.2 3.8 5.7 3.9 3.7 4.2 4.1 4.3 4.7 4.3 3.1 2.5 3.0 4.4 4.8 3.6 3.9 4.8 5.3 4.2 4.7 3.3 4.2 3.8 5.4 a) Encuentra la medida y la desviación estándar par éstos 25 tiempos de respuesta b) Ordena los datos de menor a mayor c) Encuentra las puntuaciones z para los tiempos de respuesta menor y mayor. ¿Hay alguna razón para creer que estos tiempos son inusualmente grandes o pequeños? Explique d) Determina el resumen de los cinco números para el conjunto de datos e) Elabora una grafica de caja y bigotes para el mismo conjunto de datos f) Construye un diagrama de tallo y hojas para los tiempos de respuesta. ¿Cómo describiría la forma de la distribución? ¿La forma de la gráfica de caja confirma éste resultado? Sección 5: Conjuntos 57. Considerando los siguientes conjuntos: U 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 A x U x es un número par menor que 10 B x U x es divisor de 12 C x U x es múltiplo de 3 D x U 2 x 6 E x U x es un dígito F x U x es 13 G x U x2 21x 110 0 Determina: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) A B BE CD DB FB A D CE G C A' C ' D ' E ' m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) D G ' F 'C B E ' E ' D ' G ' F ' D ' B ' ( A B) ' (C D) ' (E ' F ) ' ( A B C) ' 58. Encuentra el área correspondiente a cada una de las operaciones, en cada uno de los diagramas: a) ( A C ) ( D B) ' b) ( D ' A) (C B) c) ( B ' A ' ) ' (C D ' ) d) ( B ' D ' ) '(C A) ' e) D C) B ' A f) B C ''A ' D' B D B C D A C A C A D B C A B D B D B C D A C A C A D C B A B D B D B C D A C A C A D B C A B D B D B C D A C A C A D C B A B D B D B C D A C A C A D B C A B D B D B C D A C A C A D C B A B D Sección 6: Elementos fundamentales de Probabilidad 59. Lanzamiento de un dado. Un experimento requiere lanzar un solo dado. Éstos son algunos eventos A : observar un número mayor que 2 B : observar un número par C : observar A y B D : observar A o B o ambos a) Liste los eventos simples del espacio muestral b) Liste los eventos simples de cada uno de los eventos de A hasta D c) ¿Qué probabilidades debe asignar a los eventos simples? d) Calcula las probabilidades de los seis eventos de A hasta D sumando las probabilidades apropiadas de los eventos simples 60. Un espacio muestral S consta de cinco eventos simples con estas probabilidades: PE3 0.4 PE4 2PE5 PE1 PE2 0.15 a) Encuentre las probabilidades para los eventos simples E4 y E5 b) Encuentre las probabilidades para estos dos eventos: c) Liste los eventos simples que hay en el evento A o B , o en ambos d) Liste los eventos que hay en ambos eventos A y B 61. Un espacio muestral contiene 10 eventos simples: E1 , E2 , , E10 . Si pE1 3 pE2 0.45 y los eventos simples restantes son equiprobables, encuentra las probabilidades de los eventos simples restantes 62. Cuatro monedas. Un frasco contiene cuatro monedas: Una de $1, una de $2 una de $5 y una de $10. Del frasco se seleccionan al azar 3 monedas: a) Liste los eventos simples de S S (1, 2, 5), (1, 2,10), (1, 5,10), (2, 5,10) b) ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de $2 o de $5 o ambas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de $2 y de $5? d) ¿Y cuál es de que la cantidad total extraída sea igual o mayor a $12? 63. ¿Preescolar o no? En el primer día de clases en el jardín de niños, la maestra selecciona al azar a uno de sus 25 alumnos y registra su género y si había asistido o no antes a preescolar. a) Construya un diagrama de árbol para este experimento. ¿Cuántos eventos simples hay? b) En la tabla siguiente se muestra la distribución de los 25 alumnos de acuerdo con el género y la experiencia prescolar. Utiliza la tabla para asignar probabilidades a los eventos simples del inciso a Varón Mujer Preescolar 8 9 Sin prescolar 6 2 c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno elegido a azar sea varón?¿y cuál es la probabilidad de que el alumno no haya tenido experiencia prescolar? 64. El problema de la urna. Un recipiente contiene 3 bolas rojas y 2 amarillas. Se seleccionan al azar 2 bolas y se registran sus colores. utiliza un diagrama de árbol para listar los 20 eventos simples del experimento, sin olvidar el orden en el que se extraen las bolas 65. El problema de la urna, continuación. Remítase al ejercicio anterior. Se elige al azar una bola del recipiente que contiene 3 bolas rojas y 2 amarillas. Se anota su color y se devuelve al recipiente antes de seleccionar una segunda bola. Liste los cinco eventos simples adicionales que deben añadirse al espacio muestral del ejercicio anterior 66. ¿Necesitas anteojos? En un estudio se clasifica un número grande de adultos a partir de si juzgó que necesitaban anteojos para corregir su visión de lectura o si usaban anteojos al leer. Las proporciones correspondientes a las 4 categorías se muestran en la tabla: Utilizaba anteojos para leer Sí No Necesitaba Sí 0.44 0.14 anteojos 0.02 0.40 No Si se elige un solo adulto de este grupo, encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) El adulto necesita anteojos b) El adulto necesita anteojos para leer, pero no los usa c) El adulto usa anteojos para leer ya sea que los necesite o no 67. Tipos de sangre. Todas las personas tienes el antígeno A o el antígeno B , o ambos o ninguno. Si tiene sólo el antígeno A , su sangre es tipo A ; si sólo tiene el antígeno B , su sangre es tipo B ; si tiene ambos, su sangre es tipo AB , si no tiene ninguno, su sangre es tipo O . En los Estados Unidos, el porcentaje de personas sangre tipo A es 31%, tipo B es 9%, tipo AB es 4% y tipo O , el resto de la población. SI se selecciona un ciudadano norteamericano al azar, determina la probabilidad de que: a) tenga sangre tipo O b) su sangre contenga el antígeno A c) su sangre no contenga el antígeno B 68. Carrera de 100metros. Cuatro corredores igualmente calificados, John, Bill, Ed y Dave, corren 100 metros y se registra el orden de llegada. a) ¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral? 4 ! 24 b) Si los corredores están igualmente calificados, ¿qué probabilidad debe asignar a cada evento simple? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Dave gane la competencia? d) ¿De que Dave gane y John quede en segundo lugar? e) ¿De que Ed y Bill ocupen los últimos lugares? 69. Moscas de la fruta. En un experimento de genética un investigador apareo dos moscas de la fruta del género Drosophila y observó los rasgos de 300 crías. Los resultados se muestran en la tabla: Tamaño del ala Normal Miniatura Normal Color del 140 6 ojo 3 151 Bermellón a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean normales el color del ojo y el tamaño del ala? b) ¿De que la mosca tenga los ojos color bermellón? c) ¿De que la mosca tenga ojos color bermellón o alas miniatura, o ambas cosas? 70. Par de dados. Se tiran dos dados de 6 caras cada uno. Determina la probabilidad de que: a) la suma sea mayor que 9 b) la suma sea un múltiplo de 4 Sección 7: Eventos independientes y mutuamente excluyentes 71. Utiliza las relaciones anteriores para hallar las probabilidades de la tabla siguiente: p( A) p(B) Condiciones para los eventos A y B p( A B) p( A B) p( A B) 0.3 0.3 0.1 0.2 0.4 0.4 0.5 0.5 0.12 0.7 Mutuamente excluyentes Independientes 72. Utiliza las relaciones anteriores para hallar las probabilidades de la tabla siguiente: p( A) p(B) Condiciones para los eventos A y B p( A B) p( A B) p( A B) 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 Mutuamente excluyentes Independientes 0.1 0 73. Un experimento da como resultado uno de los cinco eventos simples equiprobables, E1 , E2 , …, E5 . Los eventos A , B y C se definen como sigue: p( A) 0.4 A E1 , E3 p( B) 0.8 B E1 , E2 , E4 , E5 p(C ) 0.6 C E2 , E4 , E5 Encuentra las probabilidades asociadas a estos eventos compuestos listando los eventos simples de cada uno a) A ' f) A B b) A B g) ( A B ) ' c) B C h) ( A B ) ' d) A B i) ( B C ) A e) B C j) ( A C ) B 74. Remítase al ejercicio 73 a) ¿son independientes los eventos A y C ? b) ¿son mutuamente excluyentes? 75. Remítase al ejercicio 73. Utiliza la regla de la adición para hallar p( A B) 76. Los eventos A y B son tales que p( A) 0.5 , p ( B ) 0.7 y p( A B) 0.4 , halla: a) p ( A B ) b) p ( A B ' ) 77. Los eventos A y B son tales que p( A) 0.35 , p( B) 0.6 y p( A B) 0.8 halla: a) p ( A B ) b) p( A ' B) 78. Dados. Un experimento consiste en arrojar dos dados y observar el número de puntos que aparecen en la cara superior. Los eventos A , B y C se definen como sigue: A : Observar un número menor que 9 B : Observar un número impar C : Observar un número múltiplo de 3 Encuentra las probabilidades relacionadas con los eventos siguientes utilizando el método del evento simple o las reglas y definiciones de ésta sección a) A ' l) ( B C ' ) g) A B h) B C b) B ' m) ( B A ' ) i) A B C c) C ' n) ( A ' B ' ) ( A B ) j) d) A B e) A C k) (C A) f) A B C 79. Remítase al ejercicio anterior. a) ¿Los eventos B y C son independientes? b) ¿Son mutuamente excluyentes? 80. Suponga que p( A) 0.4 y p( B) 0.2 . Si los eventos independientes, encuentra estas probabilidades: a) p ( A B) b) p ( A B) c) p ( A B ' ) d) p ( A B ' ) A y B son 81. Suponga que p( A) 0.3 y p( B) 0.5 . Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, encuentra estas probabilidades: a) p( A B) b) p( A B) c) p ( A ' B ' ) 82. Suponga que p( A) 0.4 y p( B A) 0.05 a) Encuentra p ( A B) b) ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? c) Suponiendo que A y B son eventos independientes, halla p(B) 83. Un experimento da como resultado uno los dos eventos A y B con las probabilidades mostradas en esta tabla de probabilidades: A A' 0.34 0.46 B 0.15 0.05 B' Encuentra las siguientes probabilidades: a) p( A) b) p(B) c) p( A B) 84. Los eventos A y p( A B) 0.13 , halla: a) p ( A B ) B son tales que: d) p( A B) e) p( A B) f) p( B A) p( A' ) 0.55 , b) p ( B ) 0 .6 y p( A ' B ' ) 85. Los eventos A y B son tales que: p( A B) 0.9 , p ( A B) 0.15 y p( B) 0.4 halla: a) p( A) b) p ( B A ' ) 86. Dos eventos A y B son tales que p ( A) 0.6 , p ( B ) 0 .4 p( A B) 0.9 . Halla la probabilidad de los siguientes eventos: a) A B b) A B c) AB ' y 87. A y B son dos eventos tales que: p( A) 0.3 , p( B) 0.45 p( A B) 0.55 Halla la probabilidad de los siguientes eventos: a) A B c) B A b) A B d) A ' B ' y 88. Juego del soldado suicida. En un juego para celular un soldado debe ir de su cuartel (C) hasta un abastecimiento de armas (A), pasando por un campo minado. Hay 5 caminos de C a P1, 3 de P1 a P2, 2 de P2 a P3, y 4 de P3 a A. Si para ir de un punto a otro sólo existe un camino seguro, ¿que probabilidad tiene el soldado de llegar a salvo? C P1 P2 P3 A 89. Juego del soldado suicida, de nuevo. Remítase al ejercicio anterior. Si en lugar de uno existen dos caminos seguros, ¿qué probabilidad tiene ahora de llegar a salvo? 90. Líneas de inspección. Dos inspectores examinan un artículo. Cuando entra a la línea un artículo defectuoso, la probabilidad de que el primer inspector la deje pasar es de 0.1. De los artículos defectuosos que deja pasar el primer inspector, el segundo dejará pasar 5 de 10. ¿Qué fracción de artículos defectuosos dejan pasar ambos inspectores? 91. NBA. Kobe Bryant, jugador de Los Ángeles Lakers, encesta 4 de cada 5 tiros libres que intenta. Si en este momento se dispone a lanzar 3 tiros libres, a) ¿cuál es la probabilidad de que enceste todos? b) ¿de que falle sólo uno? c) ¿de que enceste sólo uno? d) ¿de que falle todos? 92. ¿Starbucks o Italian Coffee? Una estudiante universitaria frecuenta los dos cafés del campus: 70% de las veces elige Starbucks y 30% opta por Italian Coffee. Sin tener en cuenta a donde va ella compra un café de moca en el 60% de sus visitas a) La próxima vez que entre a un café en el campus, ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a Starbucks y ordene un café de moca? b) Si ella va a un café y ordena uno de moca, ¿Cuál es la probabilidad de que ella esté en Italian Coffee? c) ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a Starbucks, u ordene un café de moca o ambas cosas 93. MLB. Derek Jeter tiene un promedio de bateo de 0.311, halla la probabilidad de que en el próximo juego: a) se vaya de 4 – 0 b) conecte un hit en 4 turnos al bat 94. ¿Pepsi o Coca Cola? En un supermercado se lleva a cabo un experimento de degustación, a los compradores se les pide probar dos muestras de bebidas: Pepsi y Coca Cola, y expresar su preferencia. Suponga que 4 compradores son elegidos al azar, y que en realidad no hay diferencia en el sabor de las dos marcas a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 compradores elijan Pepsi? b) ¿De que uno de los 4 compradores elija Pepsi? c) ¿De que la mitad elijan Pepsi y la mitad Coca Cola? 95. Pareja. La probabilidad de que el macho de una especie esté vivo dentro de 12 años es de 0.55 y la probabilidad que su pareja está aún viva dentro de 12 años es 0.60. Halla la probabilidad de que: a) ambos están vivos dentro de 12 años b) ambos estén muertos c) al menos uno de ellos está vivo dentro de 12 años d) sólo uno de ellos esté vivo 96. Detectores de humo. Un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B . Si el humo está presente, la probabilidad de que el humo sea detectado por el dispositivo A es 0.95 y por el dispositivo B , 0.98 a) Si hay humo, encuentra la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A o por el dispositivo B o por ambos b) Encuentra la probabilidad de que no sea detectado el humo 97. Dado cargado. Un dado cargado tiene el 30% de probabilidad de caer en 6. El resto de los números tienen la misma probabilidad de aparecer. Si se lanza 3 veces, halla la probabilidad de que: a) aparezca 6 las tres veces b) aparezca 2, luego 3 y luego 6 c) aparezca 6 sólo una vez 98. NFL. Los Philadelphia Eagles está arriba en los momios por 5 a 1 sobre los Detriot Lions, según las apuestas en Las Vegas, y los NY Jets están 2 a 3 en los momios por debajo de los Baltimore Ravens, halla la probabilidad matemática de que: a) ganen Lions y Ravens b) de Eagles y Jets, sólo uno obtenga la victoria 99. Día de nacimiento. En una reunión hay 7 personas, cada una con 28 años de edad. Nadie se acuerda (o no sabe) en qué día de la semana nació, pero un matemático que está entre ellos asegura que cualquiera que haya nacido entre 1901 y 2071 celebra su cumpleaños número 28 el mismo día de la semana en que nació, lo que permite a los 7 averiguar con rapidez que día nacieron. Calcule la probabilidad de que entre esas siete personas: a) todas hayan nacido en diferentes días b) por lo menos 2 hayan nacido el mismo día de la semana 100. Tomarse un café. Cuatro amigos deciden ir por separado a tomarse un cafecito en el Italian Coffee, el mismo día y a la misma hora. Resulta que en Puebla hay 10 sucursales de Italian Coffe. Determina la probabilidad de que: a) los cuatro vayan a diferente sucursal b) al menos dos de ellos se encuentren 101. Cumpleaños. En tu clase de matemáticas hay _____ alumnos (incluyéndote a ti). ¿Cuál es la probabilidad de que: a) todos cumplan años en diferente día? b) al menos alguien del grupo haya nacido en la misma fecha que tú? Nota: Considera sólo años de 365 días 102. Chelsea. Chelsea tiene un 30% de probabilidad de ganar el próximo año la Premier League, 9% de ganar la Champions, y 40% de ganar la FA Cup, halla la probabilidad de que Chelsea: a) gane la Premiere League, pero no la FA Cup ni la Champions b) gane al menos uno de estos campeonato 103. Tragamonedas. Un tragamonedas tiene 3 ventanillas que muestran una de las doce figuras contenidas en una rueda; al girar cada una podrá mostrar una cereza, un limón, una estrella o una barra. El jugador gana si aparecen los mismos elementos en las 3 ventanillas. Si cada uno de los 4 elementos tiene la misma probabilidad de aparecer en un giro dado, ¿Cuál es la probabilidad de ganar? 104. Tragamonedas, de nuevo. Remítase al ejercicio anterior. Si cada rueda de la máquina tiene una cereza, dos limones, tres estrellas y seis barras, y los premios son los siguientes: 3 cerezas 1000 dólares 3 limones 1100 dólares 3 estrellas 1110 dólares 3 barras 1111 dólar Determina la probabilidad de obtener un premio de 100 dólares o más 105. Soplones. Soplón es el nombre con el que se identifica a los empleados que informan el fraude corporativo, robo u otras actividades inmorales y quizá delictivas realizadas por compañeros de trabajo o el patrón. Aunque hay protección legal para los soplones, se sabe que cerca del 23% de quienes informaron de fraude sufrieron represalias como degradación o evaluaciones de bajo desempeño. Suponga que la probabilidad de que un empleado no de a conocer un caso de fraude es 0.69. Encuentre la probabilidad de que un trabajador informará un caso de fraude del que fue testigo y, en consecuencia, sufrirá alguna forma de represalia 106. Vagones de carga. Un vagón contiene 7 sistemas electrónicos complejos. El comprador desconoce que 3 están defectuosos. Se eligen 2 de los 7 sistemas para someterlos a una prueba exhaustiva y luego clasifican como defectuosos o no. ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentre ninguno defectuoso? 107. Exámenes. Un alumno va a presentar dos exámenes denominados Examen A y Examen B , en ese orden. Si aprueba el examen A , la probabilidad de aprobar el examen B es de 0.9. Si reprueba el examen A , la probabilidad de aprobar el examen B es de 0.3. Asumiendo que de acuerdo a lo que estudió tiene un 60% de aprobar el examen A ¿Cuál es la probabilidad de que a) apruebe los dos? b) apruebe sólo uno? c) repruebe los dos? 108. Autobús o metro. Un hombre para ir a trabajar toma el autobús o el metro con probabilidades respectivas de 0.3 y 0.7. Cuando toma el autobús llega tarde 30% de los días; si toma el metro, llega tarde 20%. Calcula la probabilidad de que haya tomado el autobús mañana llegue tarde al trabajo 109. Autobús o metro, de nuevo. Remítase al ejercicio anterior. Si en un día en particular el hombre llega tarde al trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado el autobús? 110. Juego de golf. El jugador A ha entrado a un torneo de golf pero no está seguro si entrará el jugador B . El jugador A tiene probabilidad 16 de ganar el torneo si entra el jugador B y probabilidad 3 4 de ganar si el jugador B no entra al torneo. Si la probabilidad de que el jugador B entre es probabilidad de que el jugador A gane el torneo 1 3 , halla la 111. Juego de golf, de nuevo. Remítase al ejercicio anterior. Si el jugador A ganó el torneo, determina la probabilidad de que el jugador B halla participado en él 112. Lanzamiento de una moneda. ¿Cuántas veces se debe lanzar una moneda para obtener una probabilidad igual o mayor que 0.99 de observar por lo menos una cara? 113. Se estima que aproximadamente en el 7% de las corridas de toros ocurre que un toro logra embestir al torero en turno matándolo o enviándolo al hospital. Determina a cuántas corridas de toros deberá asistir un espectador, para que la probabilidad de ser testigo, por lo menos una vez, del momento en que el toro embiste al torero sea: a) superior a 0.5 b) superior a 0.7 114. ¿Cuántas veces deberá lanzarse un par de dados para apostar con ventaja a que por lo menos una vez saldrá el doble seis? [Este problema tiene importancia histórica, porque en 1654 – cuando aún no nacía la teoría de las probabilidades como ciencia – el Caballero de Meré planteó este problema al geómetra y ex-niño prodigio francés Blas Pascal (1623 – 1662), quien lo resolvió en poco tiempo y cuéntase que a partir de este incidente surgió su interés por crear la ciencia de las probabilidades] 115. Según Yakov Perelman (física recreativa) la probabilidad de ver un raro y hermoso destello de luz verde en el momento crítico en que se consuma la puesta de Sol es de 0.01. Determina cuántas puestas de Sol deberás presenciar, para que la probabilidad de ver el misterioso destello de luz verde, por lo menos una vez, sea: a) superior a 0.5 b) superior a 0.9 116. En el sorteo de la Lotería Nacional se emiten 50 000 boletos y sólo uno de ellos gana el premio mayor. La señora Esperancita participa en el sorteo con un boleto una vez por semana (52 veces al año). Determina durante cuántos años aproximadamente deberá participar, para que su probabilidad de ganar el premio mayor (por lo menos una vez) sea a) mayor a 0.5 b) mayor a 0.9 117. Linette tiene una hermana gemela. Según las estadísticas, la probabilidad que tiene un gemelo de tener gemelos en un embarazo es del 17%. ¿Cuántas veces tendría que embarazarse Linette para que su probabilidad de tener gemelos sea mayor al 90%? 118. Las mujeres mayores de 35 años tienen mayores posibilidades de una concepción múltiple (gemelos, trillizos, etc.). Por causas hormonales hay un incremento en la estimulación folicular ovárica provocando que los folículos produzcan múltiples óvulos. Esto significa que las mujeres que son madres a edades avanzadas tienen más probabilidades de tener mellizos que las madres jóvenes. Se calcula que el 70% de mujeres de más de 45 años tienen mellizos. De acuerdo a éste último dato, ¿cuántas veces tendría que embarazarse una mujer mayor de 45 años para que su probabilidad de un embarazo múltiple sea mayor al 90%? 119. El sorteo Melate que se realiza en México consiste en elegir cualquier combinación de 6 números de un total de 56 y sólo una combinación es la ganadora del primer premio. La señora Milagritos participa en dicho sorteo una vez por semana (52 veces al año). Determina cuánto tiempo deberá participar para que la probabilidad de ganar en este sorteo sea por lo menos: a) 0.5 c) 0.9 b) 0.75 d) 0.99 Sección 8: Distribuciones de Probabilidad 120. a) Halla el valor de c , para que la variable aleatoria X describa una distribución de probabilidad. 1 2 3 4 k c 0.06 0.21 0.13 P( X k ) b) Completa la tabla inicial del ejercicio 1 2 k 0.06 0.21 P( X k ) 3 0.13 4 5 2c 5 121. La variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribución de probabilidad: 0 1 2 3 k P( X k ) 2 3 4 a) Determina el valor de b) Completa la tabla inicial del ejercicio 0 1 2 3 k P( X k ) c) Halla P( X 1) y P ( X 2) 122. Considera la variable aleatoria X con una función de probabilidad definida por P( X 2) 0.23 , P( X 4) 0.13 , P( X 6) 0.09 , P( X 8) 0.05 . a) Determina el valor de b) Elabora la tabla de distribución correspondiente a este ejercicio 2 4 6 8 k P( X ) 123. Se lanzan un par de dados comunes de seis caras. Si X denota la suma de los puntos en la cara superior, a) Determina los posibles valores que la variable X puede tomar b) Muestra la distribución de probabilidad de X en una tabla c) Halla P( X 5) 124. Para la variable aleatoria X con probabilidad de distribución definida por 1 2 3 4 k 3 5 7 1 P( X k ) 16 16 16 16 Halla la media, la moda y la desviación típica para los valores de X 125. Un dado es lanzado una vez. Si la variable aleatoria X denota el número mostrado en la cara superior, determina el valor esperado de X 126. Un amigo y tú juegan apuestas con un dado de la siguiente forma: Si aparece 1 en la cara superior él te paga $100; si aparece 2, te paga $200, si aparece 3, te paga $300, si aparece 4, te paga $400, si aparece 5 tu le pagas $500 y si aparece 6 le pagas $600. ¿Quién tiene ventaja en este juego? 127. Eres el dueño de una casa de apuestas y colocas los siguientes premios (en US$) en algunos números como se muestra en la siguiente tabla: n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 premio $900 $540 $540 $900 El participante lanza un par de dados y cobra la cantidad estipulada en la tabla. ¿Cuánto deberías cobrar por participar en el juego si tu propósito es obtener una ganancia promedio de US$11 por cada participante? 128. Una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad dada por: 1 2 3 4 5 k 0.35 0.20 0.05 0.30 0.10 P( X k ) Determina la media, la moda y la desviación típica de esta distribución 129. Para la variable aleatoria X con probabilidad de distribución definida por – 11 –4 3 10 k 0.2 0.1 0.4 0.3 P( X k ) Halla la media, la moda y la desviación típica para los valores de X 130. Determina la media, la moda y la desviación típica de la tabla de distribución correspondiente al ejercicio 120 131. Determina la media, la moda y la desviación típica de la tabla de distribución correspondiente al ejercicio 121 132. Determina la media, la moda y la desviación típica de la tabla de distribución correspondiente al ejercicio 122 Sección 9: Distribución Binomial 133. Considera una variable aleatoria binomial con n 8 y p 0.7 Ubica la columna apropiada de la primera tabla y llena las probabilidades de la segunda tabla 0 1 2 3 4 5 6 7 k p( X k ) El problema Lista los valores de x Escribe la probabilidad 8 Encuentra la probabilidad 3 o menos 3 o más Más de 3 Menos de 3 Entre 3 y 5 (inclusive) Entre 3 (inclusive) y 5 134. Considera una variable aleatoria binomial con n 9 y p 0.4 . Ubica la columna apropiada de la primera tabla y llena las probabilidades de la segunda tabla 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k p( X k ) El problema Lista los valores de x Escribe la probabilidad Encuentra la probabilidad Exactamente 2 Más de 2 2 o más Entre 2(inclusive) y 7 (inclusive) 2 o menos Menos de 2 135. En una elección el 31% de los votantes están a favor del Partido Ambientalista Suizo. Ocho votantes son seleccionados aleatoriamente. Halla la probabilidad de que: a) Exactamente 5 de ellos favorezcan al PAS b) La mayoría de los seleccionados favorezcan al PAS c) Al menos 1 de los seleccionados favorezcan al PAS 136. Los doctores Shettles y Rorvik creadores del llamado “método casero” para que una pareja pueda tener mayor probabilidad de elegir el sexo de su bebé afirman que siguiendo los consejos estipulados en el mismo, se puede tener hasta un 75% de probabilidad de que el recién nacido tenga el sexo que eligió la pareja (http://www.todopapas.com/fertilidad/salud-concebir/nino-o-ninaahora-puedes-elegir-361). Supón que una pareja practica estas estrategias con el objetivo de tener sólo hijos varones. Si finalmente tuvieron 5 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que la mayoría sean varones? 137. En México, la incompatibilidad se da como razón legal en 70% de todos los casos de divorcio (aunque la causa real sea otra). Determina la probabilidad de 9 que 5 de los 6 casos siguientes de divorcio, registrados en el país, darán al incompatibilidad como razón legal 138. De acuerdo con informes del secretario de Protección y Vialidad del Distrito Federal (Metrópolis, marzo 2001), más o menos 1% de los agentes de tránsito se negarían a aceptar o proponer un soborno de parte de un automovilista que ha infringido el reglamento de tránsito. De 10 agentes de tránsito elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 90% de ellos acepten o propongan un soborno en las circunstancias antes mencionadas) 139. Según informes de la FIDE (Federación Internacional de Ajedrez), 42% de los grandes maestros de ajedrez del mundo nacieron en Rusia. Suponga que para un campeonato mundial de ajedrez se registran 16 grandes maestros. ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 25% de ellos (4) sean nacidos en Rusia 140. Según F. Wilson (Las armas secretas de la Segunda Guerra Mundial), cierto tipo de avión experimental, producido en Inglaterra hace más de 70 años, se fabricó en tres tipos: de 2, 4 y 6 motores. Se consideraba que la probabilidad de que un motor fallara era de 0.1, para cualquiera de los tres tipos, y un avión podía mantener el vuelo si funcionaban por lo menos la mitad de sus motores. ¿cuál avión era más seguro: el bimotor, el cuatrimotor o el hexamotor? ¿cuánto más seguro que los otros dos? 141. A nivel mundial se estima que el 39% de la población tiene sangre tipo “O”. Si 7 personas son seleccionadas de la población, determina la probabilidad de que: a) Exactamente 2 de ellas tengan sangre tipo “O” b) Al menos 6 personas tengan sangre tipo “O” 142. Un examen de “verdadero – falso” consiste en 8 preguntas. Un estudiante se presenta al examen sin haber estudiado y sólo se pone a adivinar las respuestas. a) Determina la probabilidad de que el estudiante obtenga al menos las cinco respuestas necesarias para aprobar con más de 6 b) La siguiente semana, el mismo estudiante se presenta a otro examen similar, pero ahora de 10 preguntas, de las cuales conoce la respuesta de 4 de ellas. Si intenta adivinar el resultado de las demás, ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe este examen con 6 o más? 143. Un sistema de seguridad para el hogar está diseñado para tener una confiabilidad del 99%. Suponga que 2 casas, denominadas “A” y “B”, que están equipadas con este sistema sufrieron un atentado de robo. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos: a) Sea activaron las dos alarmas b) Se activó por lo menos una alarma 144. Un fabricante encuentra que el 30% de las piezas producidas en una de sus líneas de producción están defectuosas. Durante una inspección, el fabricante selecciona 6 piezas de ésta línea de producción. Halla la probabilidad de que de que el fabricante encuentre: a) Dos defectuosas b) Al menos dos defectuosas 145. Susana tiene 10 macetas marcadas del 1 al 10. Cada maceta, y su contenido, es idéntica en cualquier sentido. Susana siembra una semilla, que tiene el 80% (0.8) de probabilidad de germinar, en cada maceta a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las semillas germinen? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente el 70% de las semillas germinen? c) Si en lugar de 10 tuviera n macetas, ¿cuál es la probabilidad de que todas germinen? 146. De todos los libros de Harry Potter vendidos hasta la fecha, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. Si a diez lectores de Harry Potter se les pregunta por su edad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Todos tengan 14 años o más b) La mitad tenga 14 años o más c) Por lo menos 3 tengan 13 años o menos 147. Una radiografía de Rayos X tiene un 95% de probabilidad de mostrar una fractura. Si se toman 5 radiografías distintas de un pie, halla la probabilidad de que: a) Las 5 radiografías muestren la fractura b) Al menos 4 radiografías muestren la fractura 148. Una compañía vitivinícola francesa produce vinos de mesa de alta calidad y ha solicitado catadores expertos capaces de discernir entre un vino fino y uno ordinario con sólo degustar un sorbo de cada tipo. Todos los aspirantes realizan una prueba consistente en probar 9 tipos de vino (con intervalos de un minuto entre un ensayo y el siguiente) y decidir si se trata de un vino fino u ordinario. La compañía ha determinado que aquellos aspirantes que acierten por lo menos en seis de los nueve ensayos serán contratados a) Determina la probabilidad de que un individuo que no conoce nada d e vinos y solo está adivinando logre pasar la prueba y sea contratado b) Calcula a probabilidad de que un catador experto (que es capaz de acertar 90% de las veces) no logre pasar la prueba 149. Determina la moda, la media y la desviación estándar de los ejercicios 135 – 148 (impares) 150. Determina la moda, la media y la desviación estándar de los ejercicios 135 – 148 (pares) 151. Según reportes de la Secretaría de Educación Pública, sólo el 2% de los mexicanos mayores de 10 años tiene el hábito de leer, siendo el promedio anual per cápita de 2.8 libros al año (en Japón las cifras correspondientes a los datos anteriores son 91% y 47 libros al año). Si en este momento seleccionamos 20 personas mayores de 10 años que están viendo la televisión en vez de estar leyendo ¿cuál es el número más probable de éstas 20 personas que tienen el buen hábito de la lectura? 152. Se estima que el 75% de los pacientes que solicitan consulta médica en las clínicas del IMSS tienen que esperar por lo menos 3 horas antes de que los atiendan*. Si en un momento hay 10 pacientes en la sala de espera, determine el número más probable de pacientes que tendrán que esperar al menos 3 horas *eso era antes, ahora es peor (nota del prof. de mate) 153. Los grandes maestros Vishy Anand, de la India, y Gary Kaspárov, de Rusia, juegan una serie de partidas de ajedrez (match). Los expertos estiman que la probabilidad de que una partida entre ellos termine en tablas (empate) es del 80%. Si en total disputan 24 partidas, para definir el Campeonato del Mundo, halla el número más probable de partidas que terminarán en tablas. 154. Suponga que un meteorito de tamaño considerable se acerca a la Tierra (como en la película Impacto profundo, de Steven Spielberg). Des los Estados Unidos, Francia y Rusia se lanzan en total seis misiles (dos desde cada país) con cargas nucleares para intentar destruirlo. Los científicos consideran que, dada la gran velocidad del meteorito y su lejanía, la probabilidad de impacto con cualquiera de los misiles es de solo 0.3 y, además se necesitan por lo menos dos impactos para destruirlo por completo. a) Halla el número más probable de misiles que impactarán el meteorito. b) Determina la probabilidad del número más probable de misiles que lo impactarán. c) Encuentra la probabilidad de que el meteorito sea destruido antes de que se estrelle con la Tierra. d) Determina la probabilidad de que el meteorito sea destruido solo por los misiles lanzados desde Rusia. 155. Dos amigos, Anselmo y Benito (A y B) juegan al boliche en carriles distintos y cada quien hará dos intentos por derribar todos los pinos (chuza), con el cuerdo de que quien haga menos chuzas en esos dos intentos, invitará una cena al otro. Suponga que las probabilidades de hacer chuza para Anselmo y Benito son 0.6 y 0.7, respectivamente. a) Halla la probabilidad de que empaten. b) Determina la probabilidad de que Benito tenga que pagar la cena de Anselmo. 156. Repite el problema de los amigos que juegan boliche, ahora con la condición de que cada quien tiene tres intentos. Muestre que el bolichista más débil incrementa su posibilidad de ganar la apuesta si juegan a tres intentos. ¿Cómo explicas éste hecho paradójico y contrario al sentido común? ¿Significa que a Anselmo le conviene apostar bajo estas nuevas condiciones? 157. Una moneda es lanzada ocho veces. Encuentra la probabilidad de obtener por lo menos dos águilas. 158. Repite el ejercicio anterior si se trata de una moneda cargada cuya probabilidad de que salga águila es 0.7 159. Un dado es lanzado cinco veces. Determina la probabilidad de que al menos dos veces el número mostrado en la cara superior sea 6. 160. Repite el ejercicio anterior si se trata de un dado cargado en el cual la probabilidad de observar un seis en la cara superior es 0.15 Sección 10: Distribución Multinomial 161. Se estima que actualmente el 40% de los divorcios se deben a infidelidad de alguno de los cónyuges, 50% a disputas económicas y 10% a otras causas. Si estos datos son correctos, ¿cuál es la probabilidad de que de 12 casos de divorcio al azar, 5 estén motivados por infidelidad conyugal, 5 por problemas económicos y 2 por otras causas? 162. En una comida campestre se elaboraron para una de las comidas una enorme cantidad de empanadas caseras de tamaño pequeño y de apariencia similar, pero rellenas de distintas cosas. 30% estaban llenas de atún, 20% de mole poblano con pollo y 50% de picadillo. El Sr. Hambrosio (con “H”) se acerca a la canasta y escoge al azar 9 empanadas para abrir el apetito a) Determina la probabilidad de que le hayan tocado 4 de picadillo y 5 de atún b) Calcula la probabilidad de que entre esas 9 empanadas haya por lo menos una de mole con pollo 163. De acuerdo con la teoría de Mendel, un cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia café, negra y blanca con una relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que un total de 8 descendientes, 5 sean cafés, 2 negros y 1 blanco 164. De una lista de distinguidos científicos que contribuyeron al desarrollo de la teoría de probabilidades y la estadística matemática entre 1490 y 1950, 40% fueron franceses, 30% rusos, 20% ingleses y 10% de otras nacionalidades. De 12 hombres de ilustres científicos elegidos al azar de dicha lista, determina la probabilidad de que 5 sean franceses, 4 rusos y 2 ingleses 165. Los automóviles que llegan a un cruce pueden virar hacia la izquierda, o hacia la derecha, o seguir de frente. En un estudio sobre los patrones del tránsito en este cruce, realizado durante un largo periodo, se ha observado que el 40% de lo automóviles da vuelta a la izquierda, 25% a la derecha y el resto se siguen de frente. Calcula la probabilidad de que para os siguientes 5 automóviles que lleguen al cruce: a) Uno de vuelta a la izquierda, uno a la derecha y tres sigan de frente b) Por lo menos uno de vuelta a la derecha 166. Los usuarios que salen de la estación del metro San Lázaro pueden hacerlo por 4 diferentes puertas. Si suponemos que es igualmente probable que el usuario utilice cualquiera de las 4 puertas calcula la probabilidad de que entre 4 personas: a) Dos seleccionen la puerta A, uno la B, uno la C y ninguno la D. b) Los cuatro seleccionen la misma puerta. c) Se utilicen la 4 puertas 167. En la Ciudad de México existen más de 10 periódicos (diarios). Los de mayor circulación son El Universal, La Jornada, Excélsior y Reforma. Durante los fines de semana El Universal Tiene el 30% del mercado de compradores, quizá debido a su abundante sección de clasificados; Excélsior el 20%; La Jornada el 15%, Reforma el 12% y todos los demás el 23%. Encuentra la probabilidad de que entre 12 personas que leen el periódico en una cafetería, un sábado por la mañana, cuatro lean El Universal, dos Excélsior y el resto cualquier otro diario. 168. Los 3 principales contendientes para la elección presidencial del 2012 fueron Enrique Peña Nieto que obtuvo el 39.5% de los votos, Andrés Manuel López Obrador que obtuvo el 30.4% de los votos y Josefina Vázquez Mota que obtuvo el 25.3% de los votos. Los votos restantes los obtuvo un partido minoritario. Si se hubiesen seleccionado al azar 12 boletas electorales ¿cuál es la probabilidad de que 7 hubieran sido para Peña Nieto y 5 para López Obrador 169. Se fabrica un dado de tal forma que al lanzarlo muestra en la cara superior los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 con las siguientes probabilidades respectivas: 0.10, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15 y 0.30. Si se lanza 6 veces este dado, calcula la probabilidad de que las caras 4, 5 y 6 salgan dos veces cada una 170. De acuerdo con la teoría de la herencia de Gregor Medel, si plantas de guisantes (chícharos) con semillas amarillas redondas se cruzan con plantes que tengan semillas arrugadas verdes, las probabilidades de obtener una planta que produzca semillas amarillas redondas, amarillas arrugadas, verdes redondas o verdes arrugadas es, respectivamente, 169 , 163 , 163 y 161 ¿cuál es la probabilidad de que de 9 de esas plantas obtenidas habrá 4 que produzcan semillas amarillas redondas, 2 que produzcan semillas amarillas arrugadas, 3 que produzcan semillas verdes redondas y ninguna que produzca semillas verdes arrugadas? 171. En una autopista, que casi siempre está despejada, existen 3 módulos de pago al llegar a la primera caseta de cobro. Las estadísticas muestran que 25% de los automovilistas que llegan a esta caseta usan el módulo uno, 45% utilizan el módulo dos y 30% pasan por el módulo tres. ¿cuál es la probabilidad de que de los próximos 8 autos que lleguen a esta caseta de cobro dos utilicen el módulo 1, tres el módulo 2 y dos el módulo 3? 172. En una tienda departamental se venden 4 tipos de queso, a saber: Panela, Oaxaca, Manchego y Chihuahua. De los distintos tipos de queso, sus ventas son 40, 20, 30 y 10%, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 clientes seleccionados al azar, 5 compren queso Panela, 2 compren queso Oaxaca, 2 compren queso Manchego y 1 compre queso Chihuahua? 173. Cuando Ronaldinho jugaba para el FC Barcelona, las estadísticas indicaban que de cada 10 goles que anotaba, 5 eran a balón parado (tiro libre o penalti), 1 era de cabeza y 4 en cualquier otro tipo de jugada. Si seleccionamos al azar 8 goles de Ronaldinho determina la probabilidad de que 5 sean a balón parado, uno de cabeza y los demás en cualquier otra forma Sección 11: Distribución Normal 174. Para la variable normal Z , halla: a) p (Z 0.5) b) p (Z 1.84) c) p (Z 1.62) d) p (Z 2.7) e) p (Z 1.97) f) g) h) i) j) p (Z p(Z p (Z p (Z p (Z 2.55) 1.9) 1.56) 2.44) 0.95) k) p (Z 0.37) 175. Para la variable normal Z , halla: a) p(1.75 Z 2.65) b) p(0.3 Z 2.5) c) p(1.92 Z 1.38) d) p(2.23 Z 2.92) e) p(2.17 Z 0.76) f) p(1.67 Z 2.22) l) g) h) i) j) k) l) p(Z 1.39) p(2.64 Z 1.04) p(1.43 Z 2.74) p(2.12 Z 0.58) p(2.61 Z 1.39) p(2.56 Z 0.92) p(1.75 Z 2.03) 176. Las bolsas de azúcar de una línea de producción tienen un peso promedio (media) de 1.01 kg y una desviación estándar de 0.02 kg a) Determina la proporción de bolsas que pesan menos de 1.03 kg b) Determina la proporción de bolsas que pesan más de 1.02 kg c) Determina la proporción de bolsas que pesan entre 1.00 kg y 1.05 kg 177. Las notas de un examen están distribuidas en forma normal con una calificación media de 68 y una desviación estándar de 8. Determina la probabilidad de que el estudiante haya obtenido una calificación: a) Menor que 60 b) Mayor que 80 c) Entre 55 y 70 178. En un estudio para determinar el tiempo que toma a un trabajador ensamblar una pieza electrónica se encontró que los tiempos se hallan normalmente distribuidos con una media de 322 minutos y una desviación típica de 2.6 minutos. Determina la proporción de trabajadores que tardan más de 324 minutos en ensamblar la pieza 179. Suponga que las cantidades de un tipo particular de bacterias en muestras de 1ml de agua potable tienden a aproximarse a una distribución normal, con una media de 84.9 y una desviación estándar de 9.2 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 1ml contenga más de 100 bacterias? 180. En una secundaria se midieron los tiempos que tomaba a un grupo de estudiante correr los 100m planos y se encontraron que tales tiempos estaban normalmente distribuidos con una media de 15.6s y una desviación estándar de 0.24s. Si el colegio decide que van a ir a la olimpiada estatal los tiempos menores de 15s, ¿qué proporción de los estudiantes acudirá a la misma? 181. Para un automóvil que viaja a 45 km/h, la distancia requerida para frenar tiene una distribución normal con una media de 16.3m y una desviación estándar de 2.7m. Suponga que Ud. viaja a 45km/h en un área residencial y un perro se cruza en su trayectoria a una distancia de 20m ¿cuál es la probabilidad de evitar atropellarlo, es decir, que su carro se detenga antes de recorrer los 20m que lo separan del perro? 182. Las estaturas de un grupo de personas están normalmente distribuidas con una media de 167 cm y una desviación estándar de 6 cm. Determina la probabilidad de que una persona seleccionada al azar mida: a) Más de 170 cm b) No más de 179 cm c) Entre 155 y 161 cm 183. El I.Q (Coeficiente intelectual) de una persona está determinado por una escala que está normalmente distribuida. La escala Stanford – Binet tiene una media de 100 y una desviación estándar de 16 a) Si una persona es elegida al azar, determina la probabilidad de que tenga un coeficiente intelectual considerado “normal”, es decir, entre 90 y 110 b) La cantante Shakira aprendió a leer a los 3 años y su IQ está registrado en 140. De acuerdo a la escala Stanford – Binet, ¿qué porcentaje de la población está por debajo de ella? 184. Un agricultor produce duraznos cuyos pesos están normalmente distribuidos con una media de 180g y una desviación típica de 20g. Los duraznos que exceden los 200g son vendidos a los envasadores obteniendo una ganancia de $ 4.6 por durazno; los que pesan entre 150 y 200g se venden a los mercados obteniendo una ganancia de $ 2.3 por durazno; finalmente, los que pesan menos de 150g se venden para preparar mermelada obteniendo ganancias de $ 1.15 por durazno. Determina a) el porcentaje de duraznos que se venden a los envasadores b) el porcentaje de duraznos que se venden a los mercados c) el porcentaje de duraznos que se utiliza para preparar mermelada d) la ganancia media por durazno 185. La duración de un tipo de lavadora automática tiene una distribución aproximadamente normal con media y desviación estándar de 3.1 y 1.2 años, respectivamente. Si este tipo de lavadoras están garantizadas por un año, ¿qué fracción de las ventas originales requerirá remplazo? 186. Las ventas diarias totales en un pequeño restaurante tienen una distribución de probabilidad que es aproximadamente normal, con una media de $12330 por día y una desviación estándar de $1118.90 a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean mayores a $14 000 durante un día? b) El restaurante debe tener por lo menos $10 000 en ventas diarias para compensar sus gastos. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado el restaurante recupere al menos lo gastado? Sección 12: Distribución Uniforme Continua 187. Se le pide a un alumno que elija un número al azar entre el 10 y el 90. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea: a) Mayor que 70 b) Menor que 20 c) Un número entre 50 y 60 188. Considera que la temperatura invernal promedio para una región del sur de Polonia se distribuye de igual manera entre niveles que van desde – 200C hasta 100C. Para un invierno cualquiera en dicha región, calcula la probabilidad de que la temperatura promedio sea: a) Menor a 00C b) Cualquier cantidad entre 0 y 50C c) Menor a – 50C 189. Los tranvías llegan a cierta plaza en a ciudad de Krakow (Cracovia) a la hora prefijada, con un margen de retraso X , que se distribuye uniformemente en el intervalo (0, 5) minutos. Halla la probabilidad de que el tranvía llegue ala plaza con un retraso que oscile entre 2 y 5 minutos 190. Un obrero de la pequeña ciudad polaca de Katowise sale de su casa todos los días a las 7:05 a.m. y camina hasta la estación de trenes. El tiempo que tarda en llegar a la estación se puede considerar como una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (20, 25) en minutos. Si el tren que necesita tomar sale puntualmente a las 7:28 a.m., determina la probabilidad de que en un día cualquiera dicho obrero pierda el tren 191. La novela polaca Quo vadis, de Henrik Sienkiewicz tiene 192 páginas. Supongamos que un amigo tuyo dice que está leyéndola porque es el año de la lectura en el Colegio Americano de Puebla, determina la probabilidad de que tu amigo lleve menos de 100 páginas leídas 192. El partido de debut de la selección de España se llevó a cado en el estadio Polideportivo Báltico d la ciudad de Gdansk (Polonia) y tiene una capacidad para 44000 espectadores con asientos numerados. Te encuentras una persona que fue a es partido y te muestra su boleto. ¿cuál es la probabilidad de que su boleto esté marcado con un número entre 20000 y 30000? 193. En una parada de autobuses del centro de Warszawa (Varsovia), los autobuses llegan en intervalos exactos de 15 minutos, a partir de las 6:30 a.m. y con precisión cronométrica infalible*. Si una persona llega a esa parada en un tiempo aleatorio entre las 7:00 y las 7:30 a.m., estando el momento de su llegada distribuido de manera uniforme dentro de ese intervalo, determina la probabilidad de que, para tomar el autobús, tenga que esperar a) Más de 10 minutos b) Cuando mucho 5 minutos *igual que en Puebla (nota del prof. de mate) 194. Halla , 2 y de los ejercicios 232 – 238. 195. Los gastos anuales en publicidad de la empresa polaca de cosméticos “Inglot”, tiene una media de US$ 80000 y una desviación estándar de US$ 20000.Suponga que estos gastos tienen una distribución uniforme con un intervalo entre a y b US$. Determina los valores de a y b 196. El canal 34 del Estado de México transmite un programa polaco de dibujos animados (Bolek y Lolek) que gusta mucho a los niños pequeños. Supuestamente la hora del inicio del programa es a las 5:00 p.m. (martes y viernes), pero se ha observado que la hora exacta de inicio es bastante errática. Suponga que dicha hora es una variable aleatoria X que tiene distribución uniforme dentro del intervalo (a, b) . Si se sabe que 0 (a partir de las 5:00 p.m.) y 12 minutos, determina los valores de a y b , con precisión hasta el minuto más cercano)
