BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS
POSTGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS
\ANOMALIAS Y REPRESENTACIONES
TENSORIALES
DE GRUPOS DE LIE"
TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS MATEMATICAS
PRESENTA
LIC. ALMA DOLORES ROJAS PACHECO
DIRECTOR DE TESIS
DR. J. LORENZO DIAZ CRUZ
PUEBLA, PUE.
ENERO DE 2007
Índice general
Introducción VIII
1. Aspectos básicos del Modelo Estándar 1
2. Anomalías 5
2.1. Corrientes (axiales) y Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Calculo de la anomalía triangular (en el espacio de momentos) . . . . . . . . . . . 6
2.3. Expresión de la anomalía triangular en el espacio de coordenadas. . . . . . . . . . 11
2.4. Anomalía No-Abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Cancelación de Anomalías 18
3.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Mecanismos de cancelación de anomalías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Cancelación de la anomalía en el Modelo Electrodebil . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Anomalías en Teorías SU(N) 24
4.1. Etiquetas de los multipletes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Numero de partículas (dimensión de la representación) . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Diagramas de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4. Acoplamiento de multipletes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5. Anomalías de representaciones de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6. Dimensión (Regla de los factores sobre el gancho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7. Anomalías en SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Aspectos de Teorías de Gran Unificación (GUT's) 33
5.1. Motivacion de GUT's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2. El Modelo GUT SU(5) Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.2. Gran Unificación con SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.3. Rompimiento espontáneo de la simetría en SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.4. Masas de los fermiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3. Anomalías en el Modelo mínimo de SUSY SU(5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4. Problema de sabor y otras representaciones tensoriales en SU(5). . . . . . . . . . . 41
5.5. Cancelación de anomalías con la representación 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Conclusiones 44
Introducción
Una anomalía se presenta cuando una simetría clásica no se respeta a nivel cuantico.
Clásicamente una simetría esta asociada a una corriente conservada (@¹J¹ = 0).Existen ciertas
identidades (conocidas como Identidades de Ward) que se requieren para probar que una
teoría es renormalizable. Hay una clase de diagramas que contienen loops fermionicos
cerrados acoplados a vectores axiales que no satisfacen tales identidades. Para que una teoría
sea renormalizable estos diagramas anomalos deben cancelarse entre si.
En esta tesis se estudia el concepto de anomalía en Teoría Cuantica de Campos (QFT). Se
revisa como aparece este ente en teorías con fermiones chirales, y en particular en los
diagramas de triangulo que involucran corrientes axiales, para el caso abeliano. Así mismo, se
estudia la formula de la anomalía en el caso no abeliano, en particular para grupos SU(N).