Tema 8: Métodos aproximados

Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2007
Tema 8: Métodos aproximados
Teorema variacional.
Dado un sistema cuyo operador Hamiltoniano es independiente del
tiempo y cuyo valor propio de la energía más bajo es
, si
es
cualquier función dependiente de las coordenadas del sistema, que
se comporta bien, entonces:
;
Ejercicio 1
Estimación de la energía del estado fundamental del átomo de H.
Sea la función:
donde α es el parámetro variacional.
Empleando
como función de prueba, calcular la energía del estado
fundamental del átomo de H.
Ejercicio 2
Estimación de la energía del estado fundamental del oscilador armónico.
Sea la función:
1
1
donde β es el parámetro variacional y
2
∞, ∞ .
Empleando
como función de prueba, calcular la energía del estado
fundamental del oscilador armónico.
Sugerencia: realice el cambio de variable
·
Ejercicio 3
Normalización de una función de prueba optimizada.
Calcular N para que la siguiente función esté normalizada:
1
·
1
√
2
1
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2007
Determinante secular.
Sea una función de la forma:
y
son los parámetros variacionales, sus valores tales que la
función
presenta la mínima energía surgen de la resolución del
sistema lineal:
0
donde:
,
El sistema tiene soluciones no triviales solo si:
0
Este determinante recibe el nombre de determinante secular
Ejercicio 4
La ecuación secular.
Considerar la siguiente función de prueba para una partícula de masa m en
una caja situada entre 0
:
2
y
donde los coeficientes
son los parámetros variacionales.
a. - Demostrar que
b. - Calcular
,
,
,
,
c. - Calcular la energía de la partícula en la caja en su estado
fundamental.
d. - Calcular los coeficientes
y
.
Ejercicio 5
Teoría de perturbaciones.
Utilizar la teoría de perturbaciones de primer orden para calcular la energía de
una partícula de masa m en una caja situada entre 0
, tal que en dicha
caja el potencial viene dado por:
2