Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Prof. Adriana Valverde Calderón
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Definiciones
1. Se dice que una curva es cóncava hacia abajo en el intervalo ⟨
⟩ si todos sus puntos
están por debajo de cualquier tangente a la curva en ese intervalo.
2. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba en el intervalo ⟨
⟩ si todos sus
puntos están por encima de cualquier tangente a la curva en ese intervalo.
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Teoremas:
en todos los puntos del intervalo ⟨
1. Si
cóncava hacia abajo en el intervalo ⟨
cóncava hacia arriba en el intervalo ⟨
es
⟩ , entonces la curva
es
⟩.
en todos los puntos del intervalo ⟨
2. Si
⟩, entonces la curva
⟩.
PUNTO DE INFLEXIÓN
El punto ( x0 , f ( x0 )) sobre la gráfica de y f (x) es un punto de inflexión si f ' ' ( x0 ) 0
o f ' ' ( x0 ) no existe y f ' ' ( x) cambia de signo al pasar por el valor x x0
El punto de inflexión separa la parte cóncava hacia arriba de la parte cóncava hacia abajo.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
1
Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Prof. Adriana Valverde Calderón
Ejemplo
Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de:
Resolución
Analizar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión en la derivada de 2do. orden
definida sobre todo :
√
Puntos de inflexión:
√
√
𝑓
∩
∪
Puntos de inflexión: ( √
√ ⁄ )
∪
(√
∩
√ ⁄ )
Intervalos de concavidad:
En
⟨
√ ⟩
⟨ √ ⟩;
En
⟨ √
⟩
⟨√
es cóncava hacia arriba
⟩ ; cóncava hacia abajo.
CONCAVIDAD. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN
a.
Hallar la función derivada
b.
Hallar la función derivada de segundo orden
c.
Resolver las inecuaciones
d.
Si
⟨
⟩ entonces
será cóncava hacia arriba sobre ⟨
⟩
e.
Si
⟨
⟩ entonces
será cóncava hacia abajo sobre ⟨
⟩
PUNTOS DE INFLEXIÓN
El punto de inflexión de una función es el punto en el cual la función cambia la concavidad.
Hallar la derivada de segundo orden
2
Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Resolver la ecuación
Hallar la derivada de tercer orden
Sustituir en
entonces (
Prof. Adriana Valverde Calderón
para obtener los puntos críticos.
los puntos críticos. Si
no se anula en los puntos críticos
) será Punto de Inflexión.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Para representar gráficamente una función cualquiera dada en forma explícita hemos de
estudiar las siguientes características:
Dominio de la función
Simetrías
Puntos de corte con los ejes
Asíntotas
Monotonía: crecimiento y decrecimiento
Extremos relativos
Curvatura de la función
Puntos de inflexión
Ejemplo:
Bosquejar la gráfica de la función
⁄
, indicando sus asíntotas, puntos
críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad, valores extremos y
puntos de inflexión.
Asíntotas
Asíntota vertical:
Asíntota oblicua:
Puntos críticos
3
Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Prof. Adriana Valverde Calderón
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
crece
decrece
crece
crece
Intervalos de concavidad
Posible punto de inflexión en:
Intervalos de concavidad hacia arriba:
Intervalos de concavidad hacia abajo:
Valores extremos: Analizamos los intervalos de crecimiento
Máximo Relativo:
Puntos de inflexión: Analizamos los intervalos de concavidad
Punto de inflexión: (
)
Cuadro resumen del comportamiento de la gráfica de la función
Comportamiento de la Grafica
-1
-3/4
+
-
Creciente; Cóncava hacia abajo
0
-
Máximo Relativo
-
-
Decreciente; Cóncava hacia abajo
1
2
Punto de discontinuidad
6
+
-
Creciente; Cóncava hacia abajo
0
0
Punto de inflexión
+
+
Creciente; Cóncava hacia arriba
4
Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Prof. Adriana Valverde Calderón
Gráfica de la función:
Ejercicio: Analizar el comportamiento de la trayectoria de la gráfica de la función sobre
todo .
5
Apuntes de clase: Concavidad y Puntos de inflexión
Cálculo Diferencial
Prof. Adriana Valverde Calderón
La función es discontinua en
Intervalos de crecimiento y valores extremos:
√
Si
(
√ )
√
(
√ )
√
La función es creciente en: ⟨
√
La función es decreciente en: ⟨
⟩∪⟨
√ ⟩
√ ⟩∪⟨
√
⟩
Intervalos de concavidad y Puntos de inflexión:
Como
no existe punto de inflexión
La función es cóncava hacia arriba en: ⟨
⟩
La función es cóncava hacia abajo en: ⟨
⟩
6
0
