Geometría Analítica: Unidad Didáctica para Secundaria

Centro de Estudios de Postgrado
Centro de Estudios de Postgrado
Trabajo Fin de Máster
UNIDAD DIDÁCTICA:
INICIACIÓN A LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Alumno/a:
Calatrava Hernández, Ángel
Tutor/a: Prof. D. Antonio Jesús López Moreno
Prof. D. Julio Guerrero García
Dpto:
Matemáticas
Junio, 2021
Índice
Resumen: .......................................................................................................................... 6
Abstract: ............................................................................................................................ 6
1.
Introducción .............................................................................................................. 7
2.
Objetivos ................................................................................................................... 8
3.
Fundamentación curricular....................................................................................... 9
4.
5.
6.
3.1.
Análisis de las disposiciones curriculares vigentes ............................................ 9
3.2.
Análisis de distintos libros de texto ................................................................. 17
3.2.1.
Contextualización de la Unidad Didáctica dentro del libro ...................... 17
3.2.2.
Introducción de la Unidad Didáctica......................................................... 17
3.2.3.
Adaptación al currículo vigente ................................................................ 18
3.2.4.
Estructura y desarrollo de los contenidos ................................................ 20
3.2.5.
Tipología de actividades propuestas ........................................................ 22
Fundamentación epistemológica ........................................................................... 25
4.1.
Coordenadas cartesianas en el plano .............................................................. 25
4.2.
Vectores ........................................................................................................... 27
4.3.
Operaciones con vectores libres ...................................................................... 29
4.4.
Producto escalar de dos vectores .................................................................... 30
4.5.
El plano afín y los sistemas de referencia sobre el mismo .............................. 31
4.6.
Ecuaciones de la recta ...................................................................................... 32
4.7.
Propiedades afines: incidencia, intersección y paralelismo ............................ 35
4.8.
Distancias, ángulos y perpendicularidad en el plano ....................................... 37
4.9.
Definición y ecuaciones de la circunferencia ................................................... 40
Fundamentación didáctica: investigaciones sobre aprendizaje y/o la enseñanza 42
5.1.
Dificultades durante el aprendizaje ................................................................. 43
5.2.
Estrategias, recursos y herramientas que potencien el aprendizaje ............... 45
5.3.
Papel del profesorado durante el proceso. ..................................................... 47
5.4.
Conclusiones .................................................................................................... 48
Proyección didáctica: elaboración de una unidad didáctica. ................................. 49
1
6.1.
Título ................................................................................................................ 49
6.2.
Justificación ...................................................................................................... 49
6.2.1.
Justificación curricular .............................................................................. 49
6.2.2.
Justificación social y/o profesional ........................................................... 51
6.2.3.
Justificación interna .................................................................................. 51
6.2.4.
Justificación estética ................................................................................. 52
6.2.5.
Justificación cultural ................................................................................. 53
6.3.
Contextualización del centro y del aula ........................................................... 53
6.4.
Objetivos .......................................................................................................... 55
6.4.1.
Objetivos generales de la etapa ............................................................... 55
6.4.2.
Objetivos de área ...................................................................................... 57
6.4.3.
Objetivos de la unidad didáctica............................................................... 59
6.5.
Competencias clave ......................................................................................... 59
6.6.
Contenidos ....................................................................................................... 61
6.7.
Metodología ..................................................................................................... 63
6.8.
Actividades y recursos ...................................................................................... 64
6.8.1.
Actividades ................................................................................................ 64
6.8.2.
Recursos .................................................................................................... 65
6.9.
Atención a la diversidad ................................................................................... 66
6.10.
Temporalización ........................................................................................... 68
6.11.
Evaluación ..................................................................................................... 80
6.11.1.
Criterios de evaluación.......................................................................... 80
6.11.2.
Criterios de calificación ......................................................................... 84
7.
Conclusiones ........................................................................................................... 85
8.
Referencias bibliográficas ....................................................................................... 86
ANEXO I: ACTIVIDADES ................................................................................................... 89
ANEXO II: EVALUACIÓN ................................................................................................ 107
2
Índice de ilustraciones
Ilustración 1. Coordenadas cartesianas (elaboración propia). ....................................... 26
Ilustración 2. Distancia entre dos puntos en coordenadas cartesianas (elaboración
propia)............................................................................................................................. 26
Ilustración 3. Circunferencia en coordenadas cartesianas (elaboración propia). .......... 27
Ilustración 4. Propiedad de los vectores libres (elaboración propia). ............................ 28
Ilustración 5. Suma de vectores libres (elaboración propia). ......................................... 29
Ilustración 6. Ecuación vectorial de la recta (elaboración propia). ................................ 32
Ilustración 7. Distancia de un punto a una recta (I) (elaboración propia)...................... 37
Ilustración 8. Distancia de un punto a una recta (I) (elaboración propia)...................... 38
Ilustración 9. Ángulo entre dos rectas en el plano (elaboración propia). ...................... 39
Ilustración 10. Circunferencia a partir de tres puntos no alineados (elaboración propia).
........................................................................................................................................ 40
Ilustración 11. Imagen y planos del Hipódromo de la Zarzuela. Fuente:
https://es.wikiarquitectura.com/edificio/hipodromo-de-la-zarzuela/# ........................ 52
Ilustración 12. Ubicación del C.D.P. La Milagrosa. Fuente: https://www.google.es/maps
........................................................................................................................................ 54
Ilustración 13. Entrada a las instalaciones del C.D.P. La Milagrosa. Fuente:
https://www.google.es/maps ........................................................................................ 54
Ilustración 14. Actividad 1.1. Evaluación Inicial propuesta con PLICKERS (elaboración
propia)............................................................................................................................. 90
Ilustración 15. Actividad 2.1. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 181, elaboración
propia)............................................................................................................................. 91
Ilustración
16.
Actividad
4.1.
Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v01coords.htm ... 92
Ilustración
17.
Actividad
4.2.
Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v03suma.htm ...... 92
Ilustración
18.
Actividad
4.3.
Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v04resta.htm ...... 93
Ilustración
19.
Actividad
4.4.
Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v06cl2.htm .......... 93
Ilustración 20. Actividad 6.2. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 182, elaboración
propia)............................................................................................................................. 94
3
Ilustración 21. Actividad 7.1. Fase 4 (elaboración propia). ............................................ 95
Ilustración 22. Actividad 7.1. Fase 6 (elaboración propia). ............................................ 96
Ilustración 23. Actividad 7.1. Fase 8 (elaboración propia). ............................................ 96
Ilustración
24.
Actividad
9.1.
Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v14recta_2puntos.h
tml ................................................................................................................................... 98
Ilustración 25. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 1 (elaboración propia). .............. 99
Ilustración 26. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 2 (elaboración propia). ............ 100
Ilustración 27. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 2 (elaboración propia). ............ 100
Ilustración 28. Actividad 10.2. Croquis (elaboración propia). ...................................... 102
Ilustración 29. Actividad 10.3. Repaso con PLICKERS (elaboración propia). ................ 104
Ilustración 30. Actividad 11.1. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 181, elaboración
propia)........................................................................................................................... 104
Ilustración 31. Actividad 11.5 (elaboración propia). .................................................... 105
Ilustración 32. Actividad 12.5 (elaboración propia). .................................................... 106
Índice de tablas
Tabla 1. Definición de los elementos que integran el currículo según art. 2 RD 1105/2014
(elaboración propia). ...................................................................................................... 10
Tabla 2. "Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas", asignatura de
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas, 4º E.S.O. Fuente: RD 1105/2014,
de 26 de diciembre (elaboración propia). ...................................................................... 12
Tabla 3. "Bloque 3. Geometría", asignatura de Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas, 4º E.S.O. Fuente: RD 1105/2014, de 26 de diciembre (elaboración propia).
........................................................................................................................................ 13
Tabla 4. "Estrategias metodológicas", asignatura de Matemáticas orientadas a las
enseñanzas académicas, 4º E.S.O. Fuente: Orden de 14 de julio de 2016 de la Consejería
de Educación de la JJAA (elaboración propia). ............................................................... 15
Tabla 5. Contenido curricular para la unidad didáctica objeto de este documento
(elaboración propia). ...................................................................................................... 16
Tabla 6. Contenidos de los libros de texto analizados. Editoriales Bruño, SM y Anaya
(elaboración propia). ...................................................................................................... 19
Tabla 7. Ecuaciones de la recta en el plano afín (elaboración propia). .......................... 34
4
Tabla 8. Descripción de la metodología "desde arriba hacia abajo" (Costa Llobet, 2011)
(elaboración propia). ...................................................................................................... 46
Tabla 9. Descripción del análisis de la relación entre el uso del GDS GeoGebra y la
resolución en papel y lápiz (Iranzo & Fortuny, 2008) (elaboración propia). .................. 47
Tabla 10. Correspondencia entre objetivos generales de etapa (RD 1105/2014) y
objetivos de área (ORDEN de 14 de julio de 2016) (elaboración propia). ..................... 58
Tabla 11. Contenidos de la unidad didáctica. Fuente: RD 1105/2014 (elaboración propia).
........................................................................................................................................ 62
Tabla 12. Recursos a emplear en la unidad didáctica (elaboración propia). .................. 66
Tabla 13. Criterios de evaluación. Fuente: RD 1105/2014 y ORDEN de 14 de julio de 2016
(elaboración propia). ...................................................................................................... 83
Tabla 14. Instrumentos de evaluación (elaboración propia). ......................................... 84
Tabla 15. Evaluación individual (elaboración propia). .................................................. 108
Tabla 16. Rubrica 1 (fuente citada, elaboración propia). ............................................. 109
Tabla 17. Rubrica 2 (fuente citada, elaboración propia). ............................................. 110
Tabla 18. Rubrica 3 (fuente citada, elaboración propia). ............................................. 111
Tabla 19. Rubrica 4 (fuente citada, elaboración propia). ............................................. 112
Tabla 20. Rubrica 5 (fuente citada, elaboración propia). ............................................. 113
5
Resumen:
En el presente Trabajo Fin de Máster, que se presenta para la obtención del título
“Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y
Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas”, en la especialidad de
Matemáticas, y que lleva por título “Iniciación a la Geometría Analítica”, se desarrollan
los contenidos así descritos en el currículo de la materia “Matemáticas orientadas a las
enseñanzas académicas. 4º ESO”, dentro de la etapa de Educación Secundaria
Obligatoria. Así, durante la programación de la unidad didáctica se desarrollarán
contenidos relacionados con vectores, ecuaciones de la recta, propiedades de
paralelismo y perpendicularidad, etc.
Para la elaboración de este documento se ha llevado a cabo un análisis curricular,
epistemológico y didáctico, para con todo ello, elaborar una programación de la unidad
didáctica indicada, desarrollando las metodologías, actividades y recursos que permitan
la consecución de los objetivos planteados y el desarrollo de las competencias que se
pretenden tratar. En todo momento se han seguido las disposiciones normativas y
reglamentarias vigentes, tanto a nivel estatal como autonómico.
Palabras clave:
Matemáticas, Trabajo Fin de Máster, Unidad Didáctica, Geometría Analítica
Abstract:
In this Master’s Final Project, which is presented to obtain the title of the University
Master’s Degree “Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria
Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas”, in the
specialty of Mathematics, and which is entitled “Initiation to Analytical Geometry”, the
contents described in the curriculum of the subject “Matemáticas orientadas a las
enseñanzas académicas. 4º ESO”, included in the Compulsory Secondary Education
stage are shown. During the teaching unit programming, content related to vectors,
equations of lines, properties of parallelism and perpendicularity, etc. will be developed.
For the preparation of this document, a curricular, epistemological and didactic analysis
has been carried out, in order to design a program of the indicated didactic unit which
describes the methodologies, activities and resources that allow the achievement of the
proposed objectives and the development of the competencies treated. In every
moment, the normative and regulatory provisions in force have been followed, both at
state and regional level.
Keywords:
Mathematics, Master’s Final Project, Didactic Unit, Analytical Geometry
6
1. Introducción
Se desarrolla este documento como parte de los requerimientos necesarios para la
obtención del título “Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria
Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas”, en la
especialidad de Matemáticas, tras haber desarrollado el resto de asignaturas del mismo,
entre las que se incluye la realización de prácticas de profesorado en un centro de
enseñanza.
Este proceso ha permitido adquirir una serie de conocimientos y competencias que han
ayudado en la elaboración de este documento, destacando además la gran cantidad de
recursos que han sido puestos a disposición por parte del profesorado del Máster, que
no solo han permitido llevarlo a cabo con mayores garantías, sino que, y no menos
importante, se espera que permitan un mejor desarrollo de la profesión.
En concreto, en este documento se lleva a cabo la unidad didáctica de título “Iniciación
a la Geometría Analítica”, pues engloba esta los contenidos así descritos en el
correspondiente currículo vigente, y entre los que se encuentran el trabajo con vectores
y coordenadas, las distintas ecuaciones de la recta en el plano, así como el estudio de
las propiedades de incidencia, paralelismo y perpendicularidad de estas.
De este modo, este documento se compondrá de:
-
-
-
-
Un análisis de las disposiciones curriculares vigentes y de diversos libros de texto
que se usan en la actualidad en los centros de enseñanza. Se analizará así tanto
el marco normativo en el que debe ubicarse la unidad como la transposición
didáctica que llevan a cabo diversas editoriales, estudiando la contextualización
de la misma, las metodologías y actividades desarrolladas, etc.
Una exposición del “saber matemático”, o fundamentación epistemológica, de
los contenidos que se desarrollarán durante la unidad, estableciendo el marco
del conocimiento matemático sobre el que se trabajará.
Un estudio y análisis de numerosos artículos e investigaciones relacionadas con
la didáctica de los conceptos tratados, intentando determinar posibles errores u
obstáculos que se produzcan durante el proceso de aprendizaje, así como
recursos o elementos que permitan su mejora.
Con todo ello, se desarrollará una programación de la unidad, que incluirá desde
su justificación hasta sus criterios de evaluación y calificación, pasando por la
contextualización del centro y aula, los objetivos pretendidos, las competencias
a desarrollar, los contenidos a tratar, las metodologías, actividades y recursos a
utilizar y, por supuesto, la temporalización de las distintas sesiones que
conformarán la unidad didáctica.
7
2. Objetivos
Todo lo indicado en el apartado anterior se plantea de cara a conseguir los objetivos que
a continuación se exponen, entre los que se pueden destacar los que ya recoge el
“Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y
Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas”:
-
-
-
-
-
Potenciar una actitud positiva y crítica hacia el desarrollo de la identidad
profesional docente, colaborando con los agentes del ámbito educativo y, de
forma especial, con los equipos directivos de los centros docentes.
Integrar experiencias profesionales con procesos de formación e investigación en
el aula, a través de la reflexión crítica, sobre todo lo que se experimenta o se
aprende.
Propiciar una formación cultural, personal, ética y social adecuada para el
ejercicio de la profesión docente con el rigor científico que se debe aplicar en el
ámbito de la educación de adolescentes.
Promover el reconocimiento, análisis y atención de las características
diferenciales del alumnado, según su desarrollo evolutivo, contextos familiares,
sociales y culturales de referencia.
Conocer las competencias profesionales docentes propias de cada especialidad y
su relación con las demás competencias a través de mecanismos de
transversalidad.
Dentro de este título, el Trabajo Fin de Máster tiene además un papel importante, pues
representa la culminación de las enseñanzas recibidas y aprendizajes adquiridos durante
el desarrollo del curso académico, permitiendo reflejar las competencias desarrolladas
durante el proceso.
Por lo tanto, durante este trabajo se buscará desarrollar estos objetivos, analizando y
estudiando tanto la información puesta a disposición como aquella que se estime
necesaria para llevar a cabo la consecución de estos objetivos. Se buscará así integrar
todo ello de manera coherente en la unidad didáctica objeto de este trabajo, haciendo
uso de los conocimientos y competencias adquiridas, al mismo tiempo que se potencian
y desarrollan.
De este modo, se pretende llevar a cabo una unidad didáctica qué, partiendo de la
información disponible, como ya se ha comentado, a nivel curricular, epistemológico y
didáctico, incluya y englobe metodologías, actividades y recursos que permitan
desarrollar las competencias en el alumnado, así como la asimilación de los contenidos
y los objetivos previstos en la misma, intentado reducir las situaciones que perjudican a
estos y fomentando y generando en el aula situaciones que optimicen el proceso de
enseñanza–aprendizaje.
8
3. Fundamentación curricular
Los saberes matemáticos se crean por los matemáticos profesionales en ámbitos
distintos a en los que tiene lugar la enseñanza. Para llevar este conocimiento al aula se
genera un proceso que Yves Chevallard denomina como “transposición didáctica”,
definida como el “conjunto de transformaciones que sufre un saber con el fin de ser
enseñado” (García Armenteros, 2021). De este modo el sistema social de enseñanza
selecciona, organiza e integra estos saberes dentro del currículo, construyendo los
objetos a enseñar. Estos objetos forman por tanto el “saber a enseñar”, el cual debe ser
accesible a todos los enseñantes. Los expertos forman los objetos de enseñanza a partir
de este saber.
Por otro lado, los redactores de manuales escolares transforman este saber en “saber
escolar”, a partir del cual el profesor, mediante sus concepciones sobre el proceso
enseñanza–aprendizaje y su labor, lo transforma en “saber enseñado”.
Sin embargo, no será este saber el que finalmente aprendan los alumnos,
transformándose en última instancia el “saber enseñado” en el “saber del alumno”.
Para estudiar este proceso, se llevará a cabo en primer lugar un análisis y exposición de
las disposiciones curriculares vigentes para posteriormente analizar diversos libros de
texto presentes a día de hoy en la enseñanza, estudiando sus características en lo
relativo a, entre otras, su adaptación y ajuste al currículo vigente, su estructura y
desarrollo de contenidos, los tipos de actividades propuestas, así como posibles
fenómenos didácticos derivados de la forma en que se presentan y organizan los
contenidos y actividades.
3.1.
Análisis de las disposiciones curriculares vigentes
En primer lugar, se lleva a cabo un análisis de las disposiciones normativas en relación
con el currículo vigente, en este caso para la materia del cuarto curso de la etapa de
Educación Secundaria Obligatoria “Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas. 4º ESO”, dentro de la cual se engloban los contenidos relativos a la unidad
didáctica objeto de este documento: “Iniciación a la geometría analítica”.
A este respecto, el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece
el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato recoge, tal
y como se establece en su preámbulo, el currículo básico de las asignaturas
correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria y el Bachillerato, diseñado a
partir de los objetivos propios y de las competencias a desarrollar en cada etapa,
estableciendo bloques de contenidos, criterios de evaluación y estándares de
aprendizaje evaluables en todas las asignaturas, siendo todos estos elementos los
referentes en la planificación de la concreción curricular y en la programación didáctica
y, determinando, por tanto, los procesos de enseñanza y aprendizaje.
9
Estos elementos aparecen, además, convenientemente definidos en el artículo 2 del
Real Decreto 1105/20141. De este modo se establece:
OBJETIVOS:
Referentes relativos a los logros que el estudiante debe alcanzar al
finalizar cada etapa, como resultado de las experiencias de
enseñanza-aprendizaje intencionalmente planificadas a tal fin.
Capacidades para aplicar de forma integrada los contenidos
propios de cada enseñanza y etapa educativa, con el fin de lograr
COMPETENCIAS:
la realización adecuada de actividades y la resolución eficaz de
problemas complejos.
CONTENIDOS:
Conjunto de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes que
contribuyen al logro de los objetivos de cada enseñanza y etapa
educativa y a la adquisición de competencias. Los contenidos se
ordenan en asignaturas, que se clasifican en materias y ámbitos,
en función de las etapas educativas o los programas en que
participe el alumnado.
Especificaciones de los criterios de evaluación que permiten
definir los resultados de aprendizaje, y que concretan lo que el
ESTÁNDARES DE estudiante debe saber, comprender y saber hacer en cada
APRENDIZAJE
asignatura; deben ser observables, medibles y evaluables y
EVALUABLES:
permitir graduar el rendimiento o logro alcanzado. Su diseño debe
contribuir y facilitar el diseño de pruebas estandarizadas y
comparables.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN:
Referente específico para evaluar el aprendizaje del alumnado.
Describen aquello que se quiere valorar y que el alumnado debe
lograr, tanto en conocimientos como en competencias; responden
a lo que se pretende conseguir en cada asignatura.
METODOLOGÍA
DIDÁCTICA:
Conjunto de estrategias, procedimientos y acciones organizadas y
planificadas por el profesorado, de manera consciente y reflexiva,
con la finalidad de posibilitar el aprendizaje del alumnado y el
logro de los objetivos planteados.
Tabla 1. Definición de los elementos que integran el currículo según art. 2 RD 1105/2014 (elaboración
propia).
1
Real Decreto 1105/2014 de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación
Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, publicado en el Boletín Oficial del Estado número 3, de 3 de
enero de 2015.
10
Particularizando para la asignatura de Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas, en concreto para el cuarto curso de la E.S.O., se observa que la misma se
divide en cinco bloques, denominados “Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en
matemáticas”, “Bloque 2. Números y álgebra”, “Bloque 3. Geometría”, “Bloque 4.
Funciones”, y “Bloque 5. Estadística y probabilidad”, de los cuales se consideran para el
desarrollo de este documento el primero, por ser transversal y común al resto, tal y
como se recoge en el Real Decreto, donde se hace referencia a que este gira en torno a
procesos elementales en el desarrollo matemático, tales como “la resolución de
problemas, proyectos de investigación matemática, la matematización y modelización,
las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios
tecnológicos”, y el tercero, por recoger los contenidos a desarrollar en esta unidad
didáctica. Así, de los elementos anteriormente descritos, el Real Decreto recoge los
contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables, que serán:
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.
Contenidos
Planificación del proceso de resolución de problemas.
Estrategias y procedimientos puestos en práctica: uso del lenguaje apropiado: (gráfico, numérico, algebraico, etc.), reformulación
del problema, resolver subproblemas, recuento exhaustivo, empezar por casos particulares sencillos, buscar regularidades y
leyes, etc.
Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación de unidades a los resultados, comprobación e
interpretación de las soluciones en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc.
Planteamiento de investigaciones matemáticas escolares en contextos numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y
probabilísticos.
Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.
Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo
científico.
Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:
a). la recogida ordenada y la organización de datos.
b). la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos.
c). facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o
estadístico.
d). el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas.
e). la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos.
f). comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.
Criterios de evaluación
1. Expresar verbalmente, de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema.
2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando
las soluciones obtenidas.
3. Describir y analizar situaciones de cambio, para encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas, en contextos
numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos, valorando su utilidad para hacer predicciones.
4. Profundizar en problemas resueltos planteando pequeñas variaciones en los datos, otras preguntas, otros contextos, etc.
5. Elaborar y presentar informes sobre el proceso, resultados y conclusiones obtenidas en los procesos de investigación.
6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales,
estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.
7. Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia
y limitaciones de los modelos utilizados o construidos.
8. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.
9. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.
10. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.
11. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o
estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con
sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas.
11
12. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando,
analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo
exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción.
Estándares de aprendizaje evaluables
1.1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión
adecuada.
2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).
2.2. Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema.
2.3. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, valorando su utilidad y eficacia.
2.4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas reflexionando sobre el proceso de
resolución de problemas. Identifica patrones, regularidades y leyes matemáticas en situaciones de cambio, en contextos
numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos Utiliza las leyes matemáticas encontradas para realizar
simulaciones y predicciones sobre los resultados esperables, valorando su eficacia e idoneidad.
4.1. Profundiza en los problemas una vez resueltos: revisando el proceso de resolución y los pasos e ideas importantes,
analizando la coherencia de la solución o buscando otras formas de resolución.
4.2. Se plantea nuevos problemas, a partir de uno resuelto: variando los datos, proponiendo nuevas preguntas, resolviendo otros
problemas parecidos, planteando casos particulares o más generales de interés, estableciendo conexiones entre el problema y
la realidad.
5.1. Expone y defiende el proceso seguido además de las conclusiones obtenidas utilizando distintos lenguajes: algebraico,
gráfico, geométrico, estadístico-probabilístico.
6.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.
6.2. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático, identificando el problema o problemas
matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios.
6.3. Usa, elabora o construye modelos matemáticos sencillos que permitan la resolución de un problema o problemas dentro
del campo de las matemáticas.
6.4. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.
6.5. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos,
proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.
7.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre él y sus resultados.
8.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica
razonada.
8.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad
de la situación.
8.3. Distingue entre problemas y ejercicios y adopta la actitud adecuada para cada caso.
8.4. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas,
tanto en el estudio de los conceptos como en la resolución de problemas.
9.1. Toma decisiones en los procesos de resolución de problemas, de investigación y de matematización o de modelización,
valorando las consecuencias de las mismas y su conveniencia por su sencillez y utilidad.
10.1. Reflexiona sobre los problemas resueltos y los procesos desarrollados, valorando la potencia y sencillez de las ideas claves,
aprendiendo para situaciones futuras similares.
11.1. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o
estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente.
11.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y
extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.
11.3. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de
medios tecnológicos.
11.4. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender
propiedades geométricas.
12.1. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido, …), como resultado del proceso de
búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su
discusión o difusión.
12.2. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.
12.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la
información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.
Tabla 2. "Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas", asignatura de Matemáticas
orientadas a las enseñanzas académicas, 4º E.S.O. Fuente: RD 1105/2014, de 26 de diciembre
(elaboración propia).
12
Bloque 3. Geometría.
Contenidos
Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en radianes.
Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos.
Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes,
áreas y volúmenes.
Iniciación a la geometría analítica en el plano: Coordenadas. Vectores. Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad.
Semejanza. Figuras semejantes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.
Aplicaciones informáticas de geometría dinámica que facilite la comprensión de conceptos y propiedades geométricas.
Criterios de evaluación
1. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal e internacional y las relaciones y razones de la trigonometría
elemental para resolver problemas trigonométricos en contextos reales.
2. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos,
técnicas o fórmulas más adecuadas y aplicando las unidades de medida.
3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar
formas y configuraciones geométricas sencillas.
Estándares de aprendizaje evaluables
1.1. Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas empleando medios tecnológicos, si fuera
preciso, para realizar los cálculos.
2.1. Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para calcular ángulos, longitudes, áreas y volúmenes
de cuerpos y figuras geométricas.
2.2. Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones.
2.3. Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros, círculos, paralelepípedos, pirámides,
cilindros, conos y esferas y las aplica para resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas.
3.1. Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores.
3.2. Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector.
3.3. Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla.
3.4. Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.
3.5. Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio analítico de las condiciones de
incidencia, paralelismo y perpendicularidad.
3.6. Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar sus propiedades y características.
Tabla 3. "Bloque 3. Geometría", asignatura de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas,
4º E.S.O. Fuente: RD 1105/2014, de 26 de diciembre (elaboración propia).
El resto de elementos que integran el currículo se recogen en la ORDEN de 14 de julio
de 2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Secundaria
Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan determinados aspectos
de la atención a la diversidad y se establece la ordenación de la evaluación del proceso
de aprendizaje del alumnado de la, en aquel momento denominada, Consejería de
Educación de la Junta de Andalucía, publicado en el Boletín Oficial de la Junta de
Andalucía número 144, de 28 de julio de 2016.
Así, en esta ORDEN se establecen los objetivos de etapa, recogiendo que la enseñanza
de las Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas en la Educación Secundaria
Obligatoria contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que
les permitan:
1. Mejorar sus habilidades de pensamiento reflexivo y crítico e incorporar al lenguaje y
modos de argumentación la racionalidad y las formas de expresión y razonamiento
matemático, tanto en los procesos matemáticos, científicos y tecnológicos como en los
distintos ámbitos de la actividad humana.
13
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos
matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los
resultados utilizando los recursos más apropiados.
3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizar
técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis
de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos
apropiados a cada situación.
4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos,
cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras
fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos
elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los
mensajes.
5. Identificar las formas y relaciones espaciales que encontramos en nuestro entorno,
analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza
que generan, al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.
6. Utilizar de forma adecuada las distintas herramientas tecnológicas (calculadora,
ordenador, dispositivo móvil, pizarra digital interactiva, etc.) tanto para realizar cálculos
como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como
ayuda en el aprendizaje.
7. Actuar ante los problemas que surgen en la vida cotidiana de acuerdo con métodos
científicos y propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática
de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista
o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y
valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los
resultados y de su carácter exacto o aproximado.
9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza
en su propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito, adquiriendo un nivel de
autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos,
estéticos, prácticos y utilitarios de las matemáticas.
10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van
adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa,
analítica y crítica.
11. Valorar las matemáticas como parte integrante de la cultura andaluza, tanto desde
un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual,
14
apreciar el conocimiento matemático acumulado por la humanidad y su aportación al
desarrollo social, económico y cultural.
Al mismo tiempo se establecen diversas estrategias metodológicas, que para cada uno
de los bloques anteriormente mencionados son:
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.
En este bloque se puede introducir el conocimiento histórico, social y cultural de las Matemáticas que
servirá para la comprensión de los conceptos a través de la perspectiva histórica, así como para
contrastar las situaciones sociales de otros tiempos y culturas con las realidades actuales. Para ello se
deben realizar actividades de investigación que favorezcan el descubrimiento de personajes históricos
y sus aportaciones y el reconocimiento de mujeres matemáticas y las dificultades que tuvieron que
superar para acceder a la educación y a la ciencia.
El uso de los recursos TIC en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, las calculadoras y el
software específico deben convertirse en herramientas habituales para la construcción del pensamiento
matemático, introduciendo elementos novedosos como las aplicaciones multimedia que, en cualquier
caso, deben enriquecer el proceso de evaluación del alumnado, tales como libros interactivos con
simuladores, cuestionarios de corrección y autoevaluación automatizados, etc. Además, el uso de blogs,
wikis, gestores de contenido CMS, plataformas de e-learning, repositorios multimedia, aplicaciones en
línea y entornos colaborativos favorecen el aprendizaje constructivo y cooperativo.
Bloque 3. Geometría
En el bloque de Geometría, es conveniente conjugar la metodología tradicional con la experimentación
a través de la manipulación y con las posibilidades que ofrecen los recursos digitales interactivos para
construir, investigar y deducir propiedades. Asimismo, deben establecerse relaciones con otros ámbitos
como la naturaleza, el arte, la arquitectura o el diseño, destacando su importancia en la historia y
cultura de Andalucía.
El uso de materiales manipulativos como el tangram, los pentominós o los geoplanos favorecen la
enseñanza y el aprendizaje del cálculo de longitudes y áreas.
La utilización de metodologías como el ABP (Aprendizaje Basado en Problemas), formulando preguntas
al alumnado a partir de las cuales desarrollará su aprendizaje, trabajando con técnicas de aprendizaje
cooperativo, o el ABI (Aprendizaje Basado en la Investigación) a través de la resolución de problemas,
son muy útiles a la hora de elaborar tareas relacionadas con la semejanza, el Teorema de Tales o la
proporción cordobesa, que servirán para adquirir las competencias clave.
El uso de programas y aplicaciones informáticas (app) de geometría dinámica hacen que la enseñanza
de la Geometría sea más motivadora consiguiendo un aprendizaje más efectivo en el alumnado.
Estas mismas aplicaciones informáticas permiten representar y analizar modelos funcionales que
aparecen en el bloque de Funciones.
Tabla 4. "Estrategias metodológicas", asignatura de Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas, 4º E.S.O. Fuente: Orden de 14 de julio de 2016 de la Consejería de Educación de la JJAA
(elaboración propia).
15
Por último, se establecen, en relación con los criterios de evaluación objeto de esta
unidad didáctica (incluidos en los bloques primero y tercero), las competencias, sin
carácter exhaustivo, a desarrollar:
-
CCL: competencia lingüística.
CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
CD: competencia digital.
CAA: competencia de aprender a aprender.
CSC: competencias sociales y cívicas.
SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.
De este modo, para la unidad didáctica objeto de este documento quedarían definidos
y concretados todos los elementos integradores del currículo según el ordenamiento
jurídico estatal y autonómico, teniendo, para el bloque tercero, y a modo de síntesis:
Contenidos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje
evaluables
Iniciación a la geometría
analítica
en
el
plano:
Coordenadas.
Vectores.
Ecuaciones de la recta.
Paralelismo,
perpendicularidad.
3. Conocer y utilizar los
conceptos y procedimientos
básicos de la geometría
analítica
plana
para
representar, describir y
analizar
formas
y
configuraciones geométricas
sencillas. CCL, CMCT, CD,
CAA.
3.1. Establece correspondencias
analíticas entre las coordenadas de
puntos y vectores.
Ecuación reducida
circunferencia.
de
la
3.2. Calcula la distancia entre dos
puntos y el módulo de un vector.
3.3. Conoce el significado de
pendiente de una recta y diferentes
formas de calcularla.
3.4. Calcula la ecuación de una recta
de varias formas, en función de los
datos conocidos.
3.5. Reconoce distintas expresiones
de la ecuación de una recta y las
utiliza en el estudio analítico de las
condiciones
de
incidencia,
paralelismo y perpendicularidad.
3.6. Utiliza recursos tecnológicos
interactivos para crear figuras
geométricas
y
observar
sus
propiedades y características.
Tabla 5. Contenido curricular para la unidad didáctica objeto de este documento (elaboración propia).
16
3.2.
Análisis de distintos libros de texto
Se procede en este apartado al análisis y comparación de la Unidad Didáctica de
Geometría Analítica de tres libros de texto, estudiando su ajuste al currículo vigente, así
como el proceso de transposición didáctica que se lleva a cabo en cada uno de ellos,
analizando su estructura y desarrollo de contenidos, los tipos de actividades propuestas,
así como posibles fenómenos didácticos derivados de la forma en que se presentan y
organizan los contenidos y actividades. En concreto, los libros de texto analizados son:
-
Alcaide Guindo, F., Rocafort, J. A., & García Martín, D. (2016). Matemáticas
orientadas a las enseñanzas académicas. 4 ESO. Ediciones SM.
-
Arias Cabezas, J. M., & Maza Sáez, I. (2016). Matemáticas académicas 4 ESO.
Grupo Editorial Bruño.
-
Colerá Jiménez, J. .. (2016). Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas. 4º educación secundaria obligatoria. Anaya Educación.
3.2.1. Contextualización de la Unidad Didáctica dentro del libro
En cuanto a la contextualización de la Unidad Didáctica dentro del libro en los tres casos
la misma se ubica al final del bloque de Geometría, tras las Unidades Didácticas de
Semejanza y Trigonometría y Aplicaciones de la Trigonometría, en el caso de Ediciones
SM, tras las de Semejanza y Trigonometría y Resolución de Triángulos Rectángulos, en
el caso de la Editorial Bruño, y tras las de Semejanza y Trigonométrica, en el caso de
Anaya Educación. La única diferencia que se observa a este respecto es que tanto en el
caso de SM como en el de Bruño el siguiente bloque es el de Funciones mientras que en
el caso de Anaya este bloque se ubica antes del de Geometría, por lo que la Unidad
Didáctica de Geometría Analítica precede en este último caso al bloque de Estadística.
3.2.2. Introducción de la Unidad Didáctica
Se observan diferentes formas de llevar a cabo la introducción que se hace a la Unidad
Didáctica en cada una de las editoriales. Por un lado, Ediciones SM comienza con unas
preguntas introductorias al alumnado, al objeto de generar un posible debate en el aula,
acerca de cómo se representan ciertas magnitudes físicas como la fuerza o la
aceleración, si saben operar con vectores, si conocen formas de expresar la recta, etc.
Se propone también la lectura y reflexión acerca de un texto que relaciona los vectores
con los movimientos que se producen en las bolas de billar al ser golpeadas, dándole
una aplicación e importante, e inmediata, significancia al contenido, extrapolable al
mundo del alumnado. Aproximación ideal para trabajar en grupo de manera previo al
inicio de la unidad.
Por otro lado, el libro de la Editorial Bruño lleva a cabo una breve descripción del
contenido recogido en la unidad, sin ninguna referencia histórica o aplicativa de los
17
contenidos. Sí se presenta un mapa conceptual con los contenidos de la unidad que sin
duda podría ser de utilidad en la acomodación de los mismos por el alumnado.
Por último, Anaya introduce, en primer lugar, a dos importantísimas figuras en el campo
de la geometría analítica, en este caso a René Descartes (1596-1650) y a Pierre de
Fermat (1601-1655), los cuales crearon y desarrollaron de manera independiente y casi
simultánea la misma. Se considera esta una simple pero efectiva forma de introducir al
alumnado, contextualizado históricamente, el contenido a tratar, además de introducir
a dos personajes trascendentales en este campo. También, de manera breve y concisa,
se expone un sencillo ejemplo para explicar el significado y aplicaciones de los vectores.
En conclusión, tanto Anaya como SM realizan, aunque de manera muy distinta, unas
efectivas introducciones que pueden despertar la curiosidad y generar motivación en el
alumnado, siendo menos rica en contenido y propuestas la planteada por Bruño.
3.2.3. Adaptación al currículo vigente
Para analizar la adaptación de los contenidos al currículo vigente se expone en primer
lugar los distintos apartados y contenidos tratados en cada publicación:
EDITORIAL BRUÑO
EDITORIAL SM
EDITORIAL ANAYA
UNIDAD 9. GEOMETRÍA
ANALÍTICA
UNIDAD 7. GEOMETRÍA
ANALÍTICA.
UNIDAD 8. GEOMETRÍA
ANALÍTICA.
1. Vectores.
1.1. Vectores.
1.2. Cálculo del módulo y
argumento de un vector.
1.3. Vector opuesto.
1.4. Suma y resta de vectores.
1.5. Producto de un número por
un vector.
2. Ecuaciones de la recta.
2.1. Componentes de un vector
definido por dos puntos.
2.2. Vector director y pendiente
de una recta.
2.3. Vector normal.
2.4. Ecuaciones de la recta.
3. Otras ecuaciones de la recta.
3.1. Ecuación
punto
–
pendiente.
3.2. Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos.
3.3. Ejes de coordenadas.
1.
2.
3.
Vectores fijos y libres en
el plano.
Coordenadas de un vector
dado dos puntos.
Módulo de un vector.
Vector de posición.
Vectores equipolentes.
Vectores libres en el
plano.
Operaciones con vectores.
Combinación lineal.
Suma de dos vectores
libres.
Producto de un número
por un vector.
Combinación lineal de
vectores.
Punto medio de un
segmento.
Producto escalar de dos
vectores.
18
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Vectores en el plano.
Operaciones
con
vectores.
Producto de un vector por
un número.
Suma de vectores.
Resta de vectores.
Combinación lineal de
vectores.
Vectores que representan
puntos.
Punto medio de un
segmento.
Puntos alineados.
Ecuaciones de la recta.
Ecuación vectorial de la
recta.
Ecuaciones paramétricas
de la recta.
Ecuación de la recta en
forma continua.
EDITORIAL BRUÑO
EDITORIAL SM
EDITORIAL ANAYA
UNIDAD 9. GEOMETRÍA
ANALÍTICA
UNIDAD 7. GEOMETRÍA
ANALÍTICA.
UNIDAD 8. GEOMETRÍA
ANALÍTICA.
3.4. Rectas paralelas a los ejes
de coordenadas.
3.5. Punto medio de un
segmento.
4. Posiciones,
distancia
y
circunferencia.
4.1. Posición relativa de punto y
recta.
4.2. Posiciones relativas de dos
rectas en el plano.
4.3. Rectas
paralelas
y
perpendiculares.
4.4. Distancia entre dos puntos.
4.5. Circunferencia.
PR. escalar conocidas las
coordenadas.
Ángulo entre dos vectores.
4. Ecuación de la recta.
Ecuación vectorial de la
recta.
Ecuaciones paramétricas
de la recta.
Ecuación continua de la
recta y ecuación general.
Ecuación
explícita.
Pendiente y ordenada en
el origen.
Ecuación
punto
–
pendiente.
5. Problemas de incidencia.
Posición relativa de dos
rectas en el plano.
Rectas paralelas a una
dada.
Rectas perpendiculares a
una dada.
Ecuación explícita de la
recta.
7. Rectas. Paralelismo y
perpendicularidad.
Vector perpendicular una
a otro.
Recta perpendicular a
otra.
8. Rectas paralelas a los ejes
coordenados.
9. Posiciones relativas de
dos rectas.
10. Distancia
entre
dos
puntos.
11. Ecuación
de
una
circunferencia.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
APLICA TUS COMPETENCIAS.
COMPRUEBA LO QUE SABES.
GEOGEBRA / CABRI.
EJERCICIOS
RESUELTOS.
Y
PROBLEMAS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
TALLER DE MATEMÁTICAS.
ORGANIZA TUS IDEAS.
ACTIVIDADES CLAVE.
ACTIVIDADES.
PONTE A PRUEBA.
AUTOEVALUACIÓN.
Contenido atribuido a 1º de Bachillerato según RD 1105/2014.
LEYENDA
Contenido atribuido a 4º E.S.O. según ORDEN (y no según RD 1105/2014)
Tabla 6. Contenidos de los libros de texto analizados. Editoriales Bruño, SM y Anaya (elaboración
propia).
En ninguno de los libros analizados se observan incongruencias por defecto respecto a
lo establecido en el Real Decreto 1105/2014 de 26 de diciembre, por el que se establece
el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Si se observan, sin embargo, ciertos contenidos atribuidos según el currículo vigente
establecido en el Real Decreto 1105/2014 al curso de 1º de Bachillerato, en concreto a
19
la materia Matemáticas I, como son, por ejemplo, la introducción del concepto de
vectores libres en el plano, el producto escalar o el ángulo de dos vectores, que se
incluyen en el libro de la Editorial SM. También en el libro de esta Editorial y en el de la
Editorial Bruño se hace referencia al concepto de base ortonormal.
Por otro lado, la ecuación reducida de la circunferencia, contenido también reflejado en
el curso de 1º de Bachillerato por el Real Decreto, sí aparece en los libros de las Editorial
Bruño y Anaya. Es importante destacar que este contenido se atribuye a la materia
“Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 4º ESO” en la ORDEN de 14 de
julio de 2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación
Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, siendo esta la única
variación que se observa entre la ORDEN anterior, y el Real Decreto 1105/2014, de entre
los contenidos relacionados con la Unidad Didáctica objeto de este documento.
3.2.4. Estructura y desarrollo de los contenidos
En los tres libros analizados se observa una estructura en lo global similar, presentando
una ordenación de los contenidos prácticamente idéntica, así como una metodología
predominantemente tradicional en la exposición de los mismos, propensa a ser utilizada
por el docente con la metodología habitual de presentación y exposición de los
contenidos en clase. Así, se hace uso de representaciones y expresiones algebraicas que
a posteriori deberán ser utilizadas en la resolución de las tareas y actividades
planteadas, las cuales se presentan, por un lado, junto a los contenidos y junto a
actividades y tareas resueltas que sirven de ejemplo para la realización del resto, y por
otro, como un grueso de ejercicios y actividades en la parte final de la Unidad Didáctica,
de la cual hablaremos más adelante junto con el resto de secciones de distinta tipología
planteadas.
Se observa también cómo se usan de manera recurrente conocimientos previos para la
exposición y explicación de los contenidos que se están tratando en la unidad,
reforzando de este modo la acomodación de estos conocimientos y, permitiendo al
mismo tiempo, asimilar los nuevos de una manera más rápida y eficaz. Así:
-
-
-
Las tres editoriales relacionan el cálculo de la distancia entre dos puntos con la
aplicación del teorema de Pitágoras, siendo la distancia entre ambos la
hipotenusa del triángulo rectángulo que forman.
También en las tres editoriales se plantea cómo la pendiente de una recta es al
mismo tiempo la tangente del ángulo que forma la misma con la horizontal
(contenido de Trigonometría que en los tres casos ha sido tratado justo antes de
la unidad de Geometría Analítica).
Las Editoriales Anaya y SM relacionan la posición relativa de dos rectas con la
resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, siendo la
solución del mismo, en caso de existir, el punto de corte de ambas rectas.
20
-
Por último, la Editorial Anaya relaciona la perpendicularidad entre dos vectores
con los dos triángulos rectángulos y semejantes que forman ambos,
demostrando, así, que los ángulos formados con la horizontal son
complementarios, es decir, suman 90º.
Con todo ello, se observan ciertas particularidades en cada una de las editoriales:
-
Por un lado, la Editorial Bruño inicia siempre el apartado o contenido a tratar con
un epígrafe denominado “Piensa y Calcula”. En este, se plantea una cuestión que
debe ser resuelta por el alumnado previa al desarrollo de los contenidos con los
que se encuentra directamente relacionada.
Esta actividad puede sin duda servir de elemento dinamizador en el comienzo de
las sesiones, incluso proponiendo la resolución de la misma en parejas o grupos.
La resolución es fácilmente deducible si se hace uso de los contenidos que se
exponen en la misma sección, pero sin embargo la actividad puede colocar al
alumnado en una posición activa de trabajo, reduciendo la pasividad en el inicio
de la sesión.
Más allá de esto, se observa cómo la materia se trata de una manera muy
esquemática, reduciendo el contexto a su mínima expresión. Las expresiones
algebraicas que habrán de usarse para la resolución de tareas se plantean de
manera inmediata. En cualquier caso, predomina un marcado carácter
tecnológico en la publicación, lo que puede llevar, pese a disponer los conceptos
y procedimientos de una manera organizada y estructurada, a la memorización
de reglas y aplicación de las mismas en los ejercicios planteados.
-
La Editorial SM, por otro lado, realiza un desarrollo y exposición de los
contenidos más extenso que Bruño, si bien la metodología tradicional sigue
predominando y, al igual que en la publicación de Bruño, incita a una exposición
magistral. Esta lleva a cabo una exposición teórica de los contenidos en primer
lugar para, a continuación, aplicar los mismos en diversos ejemplos que servirán
de referencia para la resolución de actividades, favoreciendo esta estructura un
trabajo principalmente individual por parte del alumnado.
Se observa por otro lado como en el parte lateral de la hoja, en ciertos apartados,
se expone una sección titulada “Sabías que…”, la cual introduce aplicaciones del
contenido y personajes históricos relacionados con el mismo, si bien, se podrían
definir como de carácter “anecdótico”, pues se limitan a solamente dos
apartados y no plantean cuestión de ningún tipo. Quedaría a decisión del
docente la posibilidad de generar alguna actividad o trabajo a partir de estas.
-
Por último, la Editorial Anaya presenta una estructura más variada, al realizar,
en algunos apartados, una exposición que parte de la resolución de un ejemplo,
21
para, tras desarrollar el mismo, llegar a la definición teórica o expresión
algebraica que habrá de usarse en la resolución de ejercicios. Esta estructura
puede fomentar una mayor implicación del alumnado, al promover cierta
interacción con el mismo en el desarrollo de los citados ejemplos, reduciendo a
su vez la exposición magistral que predomina en las otras editoriales, y
aumentando con ello, el espacio dedicado a la resolución de ejemplos.
3.2.5. Tipología de actividades propuestas
De nuevo, en el catálogo de actividades propuestas en las tres editoriales se observan
numerosas similitudes, observándose cómo la estructura que se sigue es similar,
presentando junto a los contenidos tratados ejercicios resueltos que sirven para
justificar lo enunciado y expresado o para concluir en ello, junto a una serie de
actividades que permiten llevar a la práctica los contenidos tratados. Es al final de la
unidad cuando se presenta una gran cantidad de ejercicios, predominando un enfoque
individualista en la resolución de los mismos, a partir de la aplicación de los conceptos y
expresiones desarrolladas en anteriores sesiones.
En las tres editoriales predomina, al principio de esa sección final, una tipología de
actividades muy similar, que requieren de la simple aplicación de las expresiones
algebraicas expuestas y desarrolladas. Estas aparecen incluso categorizadas según los
contenidos tratados, facilitando de este modo la identificación de las expresiones o
procedimientos que deben ser utilizados en cada actividad. Además, en las Editoriales
Anaya y SM aparecen clasificadas en tres niveles de dificultad, factor que podría disuadir
o condicionar a parte del alumnado en la resolución de ciertas actividades.
Se observan por otro lado algunos cambios en la parte final de esta voluminosa sección
de actividades entre las tres editoriales. Así:
-
-
Bruño, del total de 88 actividades que plantea, denomina a 18 de ellas como
“Problemas”, y a las 10 últimas “Para profundizar”. Estas se caracterizan por
requerir una mayor acomodación de contenidos previos para su resolución,
planteando el uso tanto de ciertos lugares geométricos como el de diversas
propiedades de figuras planas, así como el de requerir el uso de diversos
contenidos tratados, interrelacionándolos, al haber suprimido ya en esta sección
la organización de actividades que se realizaba anteriormente.
De una manera similar opera la Editorial SM, realizando la misma subdivisión en
“Problemas para resolver” y “Actividades para pensar más”. En este caso, a pesar
de contar con un número superior de actividades (99), aparecen 5 solamente
para cada una de las secciones comentadas. Las actividades requieren
prácticamente de los mismos contenidos y recursos para su resolución, si bien
este caso, se presentan contextualizadas en distintos ámbitos como la
agricultura, navegación marítima, etc.
22
-
La Editorial Anaya, por otro lado, plantea un total de 84 actividades, de las cuales
cataloga como “Problemas” a 21, de las cuales 20 presentan un nivel medio de
dificultad y 1 actividad un nivel máximo. Tras esto plantea otros 3 ejercicios, que
denomina como “Problemas +”, en este caso con el máximo nivel de dificultad.
Al igual que en las otras dos editoriales, estos relacionan los contenidos tratados
con propiedades y lugares geométricos de figuras planas ya trabajadas
(paralelogramos, cuadriláteros, triángulos, circunferencias, etc.). Concluye la
sección de ejercicios con 4 actividades con epígrafe “Reflexiona sobre la teoría”,
las cuales apenas requieren del uso de expresiones algebraicas, sino de procesos
de razonamiento y pensamiento crítico.
Respecto a las actividades que presentan un tratamiento más variado de las
competencias, escapando en cierto modo a la aplicación de las expresiones y
procedimientos tratados en clase, estas se ubican tanto al inicio como al final de las
unidades, si bien es común la reducida presencia de las mismas. Así:
-
-
Bruño presenta en su introducción un mapa conceptual con los contenidos de la
unidad que podría ser de utilidad en la acomodación de los mismos por el
alumnado. Sin embargo, no plantea ningún tipo de introducción contextualizada
o referencia histórica que favorezca la compresión de los contenidos a través de
esa perspectiva. La unidad concluye con unos reducidos tutoriales y ejercicios
planteados para usar tanto el software matemático GeoGebra como Cabri. En
ambos casos se plantea la resolución de actividades de geometría dinámica, los
cuales pueden favorecer la motivación del alumnado y una mejor asimilación y
acomodación de los contenidos.
Por otro lado, la Editorial SM introduce la unidad con un texto titulado “los
vectores y el billar” que invita a reflexionar acerca de las aplicaciones de los
vectores en este conocido juego, planteando además cuestiones relacionadas
con la reflexión, etc. Permite relacionar los contenidos con otros ámbitos,
trabajando en grupos estas cuestiones. En la parte final plantea una serie de
“Actividades Clave”, las cuales aparecen resueltas, y que relacionan la
clasificación de triángulos con vectores, así como la mediatriz de un segmento y
las medianas de un triángulo con las ecuaciones de la recta; permitiendo
relacionar los contenidos tratados con otros previamente estudiados.
Concluye la unidad con una Autoevaluación y con una sección denominada
“Ponte a prueba” en la cual se contextualizan los contenidos tratados, en este
caso, con la ubicación de un punto limpio, la superficie de un huerto y la
trayectoria adecuada en el golpeo de una bola de billar. Actividades que podrían
realizarse de manera colaborativa, aunque no se especifica claramente si ese es
su objetivo.
23
-
Por último, la Editorial Anaya introduce la unidad presentando a René Descartes
(1596-1650) y a Pierre de Fermat (1601-1655), como desarrolladores de la
geometría analítica, si bien se echa en falta el planteamiento de alguna actividad
de investigación relacionada con estos personajes. También presenta un
ejemplo para explicar ciertas aplicaciones de los vectores.
Esta Editorial también expone una serie de actividades resueltas en su parte
final, similar a SM, en este caso relacionando los contenidos con la altura,
mediatriz y mediana de un triángulo, así como con la simetría respecto a un eje
o recta. Concluye con una sección denominada “Taller de matemáticas”, donde
se introduce el eje de coordenadas en el espacio, exponiendo como se calcularía
la distancia entre dos puntos en este caso. También se introduce la teoría de la
relatividad de Einstein, donde se supone un espacio de dimensión cuatro, sin
plantear sin embargo ningún tipo de actividad relacionada con este contenido.
Finalmente se plantea una actividad de reflexión contextualizada en una zona de
pasto y otra que plantea el cálculo de áreas compuestas por figuras geométricas
como el triángulo y la circunferencia.
En general, estas actividades, que sin duda nos pueden permitir trabajar y desarrollar
otras competencias además de la matemática, tienen una presencia muy reducida en
las tres editoriales, no estando incluso en algunas de ellas claro el procedimiento a
seguir y las competencias a tratar, limitándose en algunos casos a simples referencias a
otros ámbitos. Sin embargo, conviene indicar que podrían servir como un punto de
partida desde el que plantear en el aula tareas o proyectos colaborativos que pudieran
fomentar los procesos de modelización matemática o de indagación, entre otros.
En lo relativo a la implementación de recursos digitales es la Editorial Bruño quien mejor
materializa la misma, pues como se ha comentado dedica la parte final de la unidad en
exclusiva a este aspecto. Por otro lado, tanto SM como Anaya plantean a lo largo de la
unidad varios recordatorios para acceder a sus recursos web y poder trabajar con los
contenidos que se están tratando, lo cual puede favorecer el dinamismo de las sesiones,
así como la construcción del pensamiento matemático en el alumnado, enriqueciendo
de este modo el proceso de enseñanza y aprendizaje. Sin embargo, se echa en falta
mayor presencia de estas herramientas en las actividades propuestas en ambas
editoriales.
24
4. Fundamentación epistemológica
Se desarrolla en este apartado el “saber matemático” del que se partirá para llevar a
cabo la realización y planificación de la unidad didáctica de introducción a la geometría
analítica. Para ello se toma como base parte del temario recogido en la ORDEN de 9 de
septiembre de 1993 por la que se aprueban los temarios que han de regir en los
procedimientos de ingreso, adquisición de nuevas especialidades y movilidad para
determinadas especialidades de los Cuerpos de Maestros, Profesores de Enseñanza
Secundaria y Profesores de Escuelas Oficiales de Idiomas, regulados por el Real Decreto
850/1993, de 4 de junio, publicada en el Boletín Oficial del Estado número 226, de 21 de
septiembre de 1993. En concreto, se desarrollarán parcialmente los siguientes temas:
-
T34: análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos: incidencia,
paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc.
T40: Geometría de la circunferencia. Ángulos en la circunferencia. Potencia de
un punto respecto de una circunferencia.
T46: distintas coordenadas para describir el plano o el espacio. Ecuaciones de
curvas y superficies.
T51: sistemas de referencia en el plano y en el espacio. Ecuaciones de la recta y
el plano. Relaciones afines.
T53: Relaciones métricas: perpendicularidad, distancias, ángulos, áreas,
volúmenes, etc.
En primer lugar, se identifican las coordenadas cartesianas y los sistemas de referencia
en el plano. A continuación, se exponen aspectos relacionados con los vectores y sus
características, siguiendo con las principales ecuaciones de la recta en el plano, y
finalizando con sus propiedades de paralelismo y perpendicularidad, así como con la
definición y ecuaciones de la circunferencia.
4.1.
Coordenadas cartesianas en el plano
Un sistema de coordenadas cartesianas en el plano está formado por dos rectas
perpendiculares, denominando a una de ellas eje de las abscisas o también eje de las X,
y a la otra, eje de las ordenadas o eje de las Y, cortándose estos dos ejes en un punto
que se denomina origen de coordenadas y se denota por 0.
Fijados estos ejes de coordenadas es posible localizar cualquier punto del plano
mediante un par de números, a los que se les denomina coordenadas del punto. Por lo
tanto, todo punto P del plano podrá caracterizarse por sus coordenadas, o par ordenado
de números reales (x, y), identificándose el número x como la abscisa del punto P y el
número y como la ordenada. Del mismo modo, fijado un sistema de coordenadas
cartesianas existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares
ordenados de números reales.
25
El sistema cartesiano de representación fue introducido por el matemático francés Rene
Descartes (1596-1650) en el siglo XVII y proporciona una forma sencilla para describir el
plano y resolver numerosos problemas geométricos.
A continuación, se representa un sistema de coordenadas cartesianas, del que se puede
deducir que:
-
El origen del sistema de coordenadas tiene por coordenadas: (0, 0).
Los puntos situados en el eje de abscisas tienen por coordenadas: (x, 0).
Los puntos situados en el eje de ordenadas son de la forma: (0, y).
Ilustración 1. Coordenadas cartesianas (elaboración propia).
Del mismo modo, los siguientes postulados expresan claramente la utilidad de las
coordenadas cartesianas:
-
La distancia entre dos puntos del plano P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) viene dada por:
𝑑(𝑃, 𝑄) = +√(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Que se deduce fácilmente de la figura siguiente:
Ilustración 2. Distancia entre dos puntos en coordenadas cartesianas (elaboración propia).
26
-
La circunferencia de centro (a,b) es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan del centro, denominando a esta distancia radio, r, de la
circunferencia.
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑏)2 = 𝑟 2
La ecuación de la circunferencia puede deducirse de la figura siguiente:
Ilustración 3. Circunferencia en coordenadas cartesianas (elaboración propia).
4.2.
Vectores
Se define un vector fijo como un par ordenado de puntos A y B, recibiendo el punto A el
nombre de Origen y el punto B de Extremo. Es, por tanto, un segmento dotado de orden.
Como características de los vectores se pueden definir la dirección, el sentido y el
módulo:
-
-
Dirección: dos vectores fijos (A,B) y (C,D) tendrán la misma dirección si están
situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
Sentido: dos vectores fijos (A,B) y (C,D) de igual dirección, tendrán el mismo
sentido si se verifica una de las dos condiciones siguientes:
a) Si, situados en rectas paralelas, se traza una recta por ambos orígenes y los
puntos extremos están en el mismo semiplano.
b) Si, estando situados en la misma recta, ambos tienen el mismo sentido que
un tercer vector con la misma dirección y situado en otra recta paralela.
Módulo: dos vectores fijos (A,B) y (C,D) tendrán mismo módulo si los segmentos
⃗⃗⃗⃗⃗ su modulo se representa
que definen son iguales. Para un vector cualquiera 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
como: |𝐴𝐵
Es posible definir sobre el conjunto de vectores fijos del plano una relación de
equivalencia sí, siendo (A,B) y (C,D) dos vectores cualesquiera, ambos tienen igual
dirección, sentido y módulo. Esta relación se denomina de equivalencia o equipolencia.
(𝐴, 𝐵)~(𝐶, 𝐷) ⟺ (𝐴, 𝐵) 𝑦 (𝐶, 𝐷) tienen igual dirección, sentido y módulo.
27
De este modo se puede definir sobre el conjunto de los vectores fijos del plano un
conjunto de clases de equivalencia, recibiendo cada clase el nombre de vector libre, y
representándose la misma mediante una letra minúscula con una flecha sobre ella, en
contraposición con los vectores fijos, que se representan por su origen y extremo, en
ese orden, con una flecha sobre ambas letras.
⃗⃗⃗⃗⃗ ] = {𝑋𝑌
⃗⃗⃗⃗⃗ /𝑋𝑌
⃗⃗⃗⃗⃗ ~𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ }
𝑣 = [𝐴𝐵
Los conjuntos de vectores libres del plano se representan por 𝑉2, esto es, el espacio
vectorial real. Algunas de sus propiedades son:
-
Si 𝑣 es un vector libre y P un punto cualquiera del plano, existe un único
representante de 𝑣 con origen en P. Para su demostración, se distinguen dos
situaciones, considerando al vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 un representante cualquiera de 𝑣:
1- El punto P no pertenece a la recta que define el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 : si se traza por el
punto considerado una paralela a la recta que pasa por el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , y por el
punto B se traza una paralela a la recta que une A y P, se obtiene un punto
⃗⃗⃗⃗⃗ y, que, por lo tanto,
de intersección Q, único, del que se deduce que ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 ~𝐴𝐵
el vector fijo que define los puntos P y Q es el único representante de 𝑣 que
tiene origen en P.
B
Q
A
P
Ilustración 4. Propiedad de los vectores libres (elaboración propia).
2- El punto P pertenece a la recta que define el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 : si se considera un
punto O no perteneciente a la recta que pasa por ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , se obtiene análogo al
caso anterior el único representante de 𝑣 que tiene origen en O. Del mismo
modo, se obtiene el representante de 𝑣 que tiene origen en P.
A continuación, se exponen diferentes operaciones que pueden definirse sobre un
conjunto de vectores libres del plano.
28
4.3.
Operaciones con vectores libres
Definición 1. Si se consideran dos vectores libres 𝑢
⃗ y 𝑣, se define la suma de ambos
vectores como:
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ]
𝑢
⃗ + 𝑣 = [𝑂𝐴
𝐴𝐵 ] = [𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ un representante de 𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗
Demostración. Siendo O un punto cualquiera del plano, 𝑂𝐴
⃗ y 𝐴𝐵
un representante de 𝑣, y no dependiendo esta definición del punto O considerado, tal y
como puede observarse en la siguiente figura.
Ilustración 5. Suma de vectores libres (elaboración propia).
Siendo O’ otro punto cualquiera del plano, los puntos OAA’O’ forman un paralelogramo,
al igual que los puntos ABB’A’ y por lo tanto que los puntos OBB’O’, deduciendo de aquí
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , y finalmente, que la suma no depende del punto O elegido.
⃗⃗⃗⃗⃗ ~𝑂′𝐵′
que 𝑂𝐵
La operación suma de vectores libres verifica, además, las siguientes propiedades:
1- Conmutativa: 𝑢
⃗ +𝑣 =𝑣+𝑢
⃗
2- Asociativa: 𝑢
⃗ + (𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ) = (𝑢
⃗ + 𝑣) + 𝑤
⃗⃗
3- Elemento neutro: 𝑢
⃗ + ⃗0 = 𝑢
⃗
4- Elemento opuesto: 𝑢
⃗ + (−𝑢
⃗ ) = ⃗0
Por lo tanto, puede establecerse que el conjunto 𝑉2 con la operación suma definida tiene
estructura de grupo abeliano (𝑉2, +).
Definición 2. El producto de un escalar 𝑘 ∈ ℝ por un vector dado 𝑢
⃗ , 𝑘𝑢
⃗ , se define como
aquel vector libre que verifica:
1- La dirección de los vectores fijos que componen la clase 𝑘𝑢
⃗ es la misma que la
de los vectores 𝑢
⃗.
29
2- El sentido de los vectores fijos que componen la clase 𝑘𝑢
⃗ es el mismo si 𝑘 > 0 y
contrario 𝑘 < 0.
3- El módulo de cualquier vector fijo que representa la clase 𝑘𝑢
⃗ es |𝑘|multiplicado
por el módulo del vector 𝑢
⃗ : |𝑢
⃗ |.
La operación de producto de un vector por un escalar verifica, además, las siguientes
propiedades:
1- Distributiva respecto de los vectores: 𝑘(𝑢
⃗ + 𝑣) = 𝑘𝑢
⃗ + 𝑘𝑣
2- Distributiva respecto de los escalares: (𝑘 + 𝑎)𝑢
⃗ = 𝑘𝑢
⃗ + 𝑎𝑢
⃗
3- Pseudoasociativa: 𝑘(𝑎𝑢
⃗ ) = (𝑘𝑎)𝑢
⃗
4- Elemento unidad: 1𝑢
⃗ =𝑢
⃗
De este modo, el conjunto de los vectores del plano 𝑉2, con las operaciones interna y
externa definidas tiene estructura de espacio vectorial.
4.4.
Producto escalar de dos vectores
Definición 1. Se llama producto escalar a toda aplicación, en un espacio vectorial real,
𝑉, tal que 𝑓: 𝑉𝑥𝑉 → ℝ, verificando los siguientes axiomas:
I)
II)
III)
IV)
𝑓(𝑢
⃗ ,𝑢
⃗)>0
si 𝑢
⃗ ≠ ⃗0
𝑓(𝑢
⃗ , 𝑣) = 𝑓(𝑣, 𝑢
⃗)
𝑓(𝑢
⃗ ,𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ) = 𝑓(𝑢
⃗ , 𝑣) + 𝑓(𝑢
⃗ ,𝑤
⃗⃗ )
𝑓(𝛼𝑢
⃗ , 𝑣 ) = 𝛼𝑓(𝑣, 𝑢
⃗)
∀𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ∈ 𝑉
∀𝛼 ∈ℝ
El número real 𝑓(𝑢
⃗ , 𝑣) se representa 𝑢
⃗ ∙ 𝑣, y se dice que es el producto escalar de 𝑢
⃗ y 𝑣.
Definición 2. Dos vectores 𝑢
⃗ , 𝑣 ∈ 𝑉 se dice que son ortogonales si y solo si 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = 0,
verificando las siguientes propiedades:
1- El vector ⃗0 es ortogonal a todo vector.
2- El vector ⃗0 es el único vector ortogonal a sí mismo.
3- Si 𝑢
⃗ y 𝑣 son ortogonales y no nulos, son linealmente independientes.
Definición 3. Se define el coseno del ángulo que forman dos vectores 𝑢
⃗ , 𝑣 ∈ 𝑉 mediante
la expresión:
⃗ ∙𝑣
⃗
𝑢
cos(𝑢
⃗ , 𝑣) = ||𝑢⃗|∙|𝑣⃗||,
Que puede expresarse también como 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢
⃗ | ∙ |𝑣| cos(𝑢
⃗ , 𝑣)
De este modo, el par que forman el plano afín 𝐸2 y un producto escalar definido en 𝑉2
se denomina plano afín euclídeo.
30
4.5.
El plano afín y los sistemas de referencia sobre el mismo
Definición 1. Un plano afín sobre el cuerpo ℝ es una terna (E, V, +), donde: E es un
conjunto de elementos llamados puntos, V es un espacio vectorial de dimensión dos
sobre el cuerpo ℝ, y + es una aplicación de ExV en E que cumple los siguientes axiomas:
I)
II)
∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐸 ∃ 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝐴 + 𝑣 = 𝐵
∀ 𝐴 ∈ 𝐸 𝑦 ∀ 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ∈ 𝑉 (𝐴 +𝑣) + 𝑤
⃗⃗ = 𝐴 + (𝑣 + 𝑤
⃗⃗ )
Dados dos puntos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐸 a veces se escribe 𝑣 = 𝐵 − 𝐴 (axioma de substracción de
Weyl) para indicar que 𝐴 +𝑣 = 𝐵 . En este caso se supone que 𝐸 es el conjunto ℝ2 de
puntos del espacio y que 𝑉 es el espacio vectorial real de dimensión 2, 𝑉2, tal y como se
ha indicado anteriormente.
-
-
Proposición 1. Si ⃗0 ∈ 𝑉2 es el vector nulo entonces 𝐴 + ⃗0 = 𝐴 ∀ 𝐴 ∈ ℝ2
Demostración: según el axioma I ∀ 𝐴 ∈ ℝ2 ∃ 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑣 ∈ 𝑉2 ∶ 𝐴 + 𝑣 = 𝐴, y
como 𝑣 = 𝑣 + ⃗0 según el axioma II se verifica:
𝐴 = 𝐴 + 𝑣 = 𝐴 + (𝑣 + ⃗0) = (𝐴 + 𝑣) + ⃗0 = 𝐴 + ⃗0 ∎
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
Proposición 2. ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ2 se cumple que 𝐴𝐵
Demostración: considerando 𝑣 = 𝐴𝐵 𝑦 𝑤
⃗⃗ = 𝐵𝐴 entonces,
𝐴+𝑣 =𝐵 𝑦 𝐵+𝑤
⃗⃗ = 𝐴
y se verifica: 𝐴 = 𝐵 + 𝑤
⃗⃗ = (𝐴 + 𝑣) + 𝑤
⃗⃗ = 𝐴 + (𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ) y como 𝐴 = 𝐴 + ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗ ∎
según el axioma I 𝑣 + 𝑤
⃗⃗ = 0 luego 𝑤
⃗⃗ = −𝑣 ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = −𝐵𝐴
-
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
Proposición 3. ∀ 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 ⇒
Demostración: 𝐴 + (𝐴𝐵
𝐴𝐵 ) + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶 ∎
Donde se usan sucesivamente los axiomas II y I.
Del mismo modo, para un punto 𝐴 ∈ ℝ2 y para un subespacio vectorial S, engendrado
por el vector 𝑣 ≠ 0 ∈ 𝑉2 , se tiene 𝐴 + 𝑆 = {𝐴 + 𝑡𝑣 ∶ 𝑡 ∈ ℝ} del que se dice que es la
recta que pasa por A y tiene por dirección S, llamando a cualquier vector no nulo de S
vector de dirección de la recta A + S, y teniendo este conjunto estructura de espacio afín,
siendo lo que denominamos un subespacio afín de (ℝ2 , 𝑉2 , +).
Definición 2. Un sistema de referencia en el plano afín (ℝ2 , 𝑉2 , +) es una terna
{0, ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 } donde 0 ∈ ℝ2 y {𝑢
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 } es una base de 𝑉2. Este punto y esta base reciben el
nombre de origen y base del sistema de referencia respectivamente, denominando
además a las dos rectas {0 + 𝑥𝑢
⃗⃗⃗⃗1 ∶ 𝑥 ∈ ℝ} 𝑦 {0 + 𝑦𝑢
⃗⃗⃗⃗2 ∶ 𝑦 ∈ ℝ}, ejes del sistema de
referencia. Considerando igualmente este sistema de referencia y un punto 𝐴 ∈ ℝ2 se
verifica que:
∃ 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝑉2 ∶ 0 + 𝑎 = 𝐴, al que se denomina ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎 = 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 + 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 .
31
El par ordenado de números reales 𝑎1 y 𝑎2 reciben el nombre de coordenadas del punto
A en el sistema de referencia {0, ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 }, expresándose el punto como 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2 ).
Si se consideran dos puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2 ) y 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ) en un sistema de referencia
{0, ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 } entonces:
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴
𝑢1 + 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 ;
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏1 ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵
𝑢1 + 𝑏2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ queda:
Y como 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (𝑏1 − 𝑎1 )𝑢
⃗⃗⃗⃗1 + (𝑏2 −𝑎2 )𝑢
⃗⃗⃗⃗2
Siendo las coordenadas del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 en la base {𝑢
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 }: (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 ).
Por último, las coordenadas de un punto A tienen una interpretación geométrica. La
recta paralela al eje Y por el punto A es {𝐴 + 𝑡𝑢
⃗⃗⃗⃗2 }. Así, sea A’1 el punto de intersección
de esta recta con el eje X. Las abscisas de todos los puntos de la anterior recta coinciden
con las del punto A y son iguales a 𝑎1 . Por tanto, la abscisa de A’1 es 𝑎1 y la ordenada es
cero, ya que está en el eje OX. Las coordenadas de A’1 son (𝑎1,0). Esto indica que la
abscisa de un punto A es la abscisa del punto de corte del eje X con la recta paralela al
eje Y que pasa por A.
Análogamente la ordenada de un punto A es la ordenada del punto de corte del eje Y
con la recta paralela al eje X que pasa por A.
4.6.
Ecuaciones de la recta
A partir de lo expresado anteriormente, si se considera el sistema de referencia
{0, ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 } del plano afín, siendo {𝑒⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 } la base canónica del espacio vectorial real
bidimensional, se puede decir que la recta que pasa por un punto 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2 ) y que
tiene como vector de dirección el vector 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) es por definición el conjunto de
puntos:
{𝑃 + 𝑡𝑣 ∶ 𝑡 ∈ ℝ}
Ilustración 6. Ecuación vectorial de la recta (elaboración propia).
32
Por lo tanto, todo punto de la recta anterior es de la forma:
𝑄 = 𝑃 + 𝑡𝑣 .
Llamando 𝑟 al vector de posición del punto 𝑄 y 𝑝 al vector de posición del punto 𝑃, se
obtiene la ecuación vectorial de la recta:
⃗ =𝒑
⃗ + 𝒕𝒗
⃗.
𝒓
El punto 𝑄 es un punto arbitrario de la recta 𝑄 = (𝑥, 𝑦) , el punto 𝑃 es un punto dado
de la recta 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2 ) y 𝑣 es un vector de dirección de la recta. De la anterior ecuación
se puede deducir que:
𝑥𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑦𝑒⃗⃗⃗2 = 𝑝1 ⃗⃗⃗
𝑒1 + 𝑝2 ⃗⃗⃗
𝑒2 + 𝑡(𝑣1 ⃗⃗⃗
𝑒1 + 𝑣2 ⃗⃗⃗
𝑒2 ) = (𝑝1 + 𝑡𝑣1 )𝑒
⃗⃗⃗1 + ( 𝑝2 + 𝑡𝑣2 )𝑒⃗⃗⃗2.
De donde resultan las ecuaciones paramétricas de la recta:
𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒕𝒗𝟏 .
𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒕𝒗𝟐 .
Si en estas ecuaciones paramétricas se despeja el parámetro t y se igualan ambas
expresiones, entonces un punto cualquiera (𝑥, 𝑦) pertenece a la recta si y solamente si:
(𝒙 − 𝒑𝟏 )𝒗𝟐 = (𝒚 − 𝒑𝟐 )𝒗𝟏
𝒙−𝒑𝟏
ó
𝒗𝟏
=
𝒚− 𝒑𝟐
𝒗𝟐
si 𝒗𝟏 ≠ 𝟎 𝒚 𝒗𝟐 ≠ 𝟎
Siendo esta la ecuación continua de la recta. Operando en esta ecuación, queda:
𝑣2 𝑥 − 𝑣1 𝑦 − 𝑣2 𝑝1 + 𝑣1 𝑝2 = 0
Y llamando 𝐴 = 𝑣2 , 𝐵 = −𝑣1 , 𝐶 = − 𝑣2 𝑝1 + 𝑣1 𝑝2, se tiene:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎.
Que es la ecuación general o implícita de la recta.
Además, se llama inclinación de una recta r del plano afín al ángulo 𝛼 que forma el vector
de dirección 𝑣 con la parte positiva del eje X. A la tangente trigonométrica del ángulo 𝛼
se le denomina pendiente de la recta y se le designa por 𝑚:
𝑚 = tan 𝛼 =
𝑣2
.
𝑣1
De la ecuación continua de la recta se deduce:
𝑣
𝑦 − 𝑝2 = 𝑣2 (𝑥 − 𝑝1 ).
1
𝑣
Y como 𝑣 2 = 𝑚 (pendiente de la recta), queda la ecuación:
1
𝒚 − 𝒑𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝒑𝟏 ).
Que se conoce como ecuación de la recta en la forma punto – pendiente. De la ecuación
general o implícita de la recta resulta que:
33
𝐴
𝐶
𝑦 = − 𝐵 𝑥 − 𝐵.
𝐴
𝑣
𝐶
Teniendo en cuenta que − 𝐵 = 𝑣2 = 𝑚, y llamando − 𝐵 = 𝑛, se obtiene:
1
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏.
Que es la ecuación explícita de la recta, siendo 𝒎 la pendiente y 𝒏 la ordenada en el
origen. Luego la pendiente de una recta es el coeficiente de 𝒙 en la ecuación explícita.
Si se conocen dos puntos 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2 ) y 𝑄 = (𝑞1, 𝑞2 ) situados en la recta, un vector de
dirección de la recta es:
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑞1 − 𝑝1 , 𝑞2 − 𝑝2 )
𝑣 = 𝑃𝑄
Y al sustituir en la ecuación continua de la recta se obtiene la ecuación de la recta que
pasa por dos puntos:
𝒙−𝒑𝟏
𝒒𝟏 −𝒑𝟏
𝒚− 𝒑
= 𝒒 −𝒑𝟐 .
𝟐
𝟐
En esta expresión debe entenderse que, si alguno de los denominadores es nulo, debe
serlo también el correspondiente numerador, siendo posible escribir esta ecuación en
forma de determinante como sigue:
0
𝑥
−
𝑝1
|
𝑦− 𝑝2
1
𝑝1
𝑝2
0
𝑞1 − 𝑝1 | = 0
𝑞2 − 𝑝2
Y sumando a la primera y tercera columna la segunda, se obtiene:
1
|𝑥
𝑦
1
𝑝1
𝑝2
1
𝑞1 | = 0
𝑞2
Que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos expresada en forma de
determinante.
De este modo, a modo de compendio se exponen todas las posibles ecuaciones de la
recta en el plano afín consideradas:
⃗ =𝒑
⃗ + 𝒕𝒗
⃗
𝒓
Ecuación vectorial:
𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒕𝒗𝟏
Ecuaciones paramétricas:
𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒕𝒗𝟐
𝒙 − 𝒑𝟏 𝒚− 𝒑𝟐
=
𝒗𝟏
𝒗𝟐
Ecuación continua:
Ecuación general o implícita:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Ecuación en la forma punto – pendiente:
𝒚 − 𝒑𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝒑𝟏 )
Ecuación explícita:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
𝒙 − 𝒑𝟏
𝒚− 𝒑𝟐
=
𝒒𝟏 − 𝒑𝟏 𝒒𝟐 − 𝒑𝟐
Tabla 7. Ecuaciones de la recta en el plano afín (elaboración propia).
34
4.7.
Propiedades afines: incidencia, intersección y paralelismo
Definición 1. Se dice que dos puntos 𝑃 y 𝑄 son incidentes cuando son idénticos, es decir
𝑃 ≡ 𝑄. Si dos puntos son incidentes, entonces sus vectores de posición y sus
coordenadas coinciden.
Definición 2. Se dice que el punto 𝑃 es incidente con la recta r, cuando el punto 𝑃
pertenece a la recta (también puede decirse en este caso que r pasa por 𝑃).
Es evidente por tanto que si 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) es incidente con la recta r, entonces la
ecuación general o implícita de la misma: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, puede expresarse como:
𝐴 𝑥1 + 𝐵 𝑦1 + 𝐶 = 0
Por otro lado, si 𝑃 y 𝑄 son dos puntos distintos, existe una recta r que es incidente con
𝑃 y 𝑄, siendo esta precisamente la recta que pasa por los dos puntos 𝑃 y 𝑄.
Definición 3. Se dice que tres puntos distintos 𝑃, 𝑄 𝑦 𝑅 están alineados si son incidentes
con una misma recta.
-
Proposición 1. Tres puntos 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2 ), 𝑄 = (𝑞1, 𝑞2 ) y 𝑅 = (𝑟1 , 𝑟2 ), distintos,
están alineados si:
1 1 1
|𝑝1 𝑞1 𝑟1 | = 0
𝑝2 𝑞2 𝑟2
Demostración. Es suficiente comprobar que si el punto 𝑃 pertenece a la recta
que pasa por 𝑄 y 𝑅 debe verificar también su ecuación, la cual puede expresarse
en forma determinante como se indicó anteriormente:
1
|𝑥
𝑦
1
𝑞1
𝑞2
1
𝑟1 | = 0
𝑟2
De donde se deduce inmediatamente la proposición. ■
Definición 4. Dos rectas 𝑟 y 𝑠 son secantes si se cortan en un punto, es decir, si:
𝑟 ∩ 𝑠 = {𝑃}
-
Proposición 2. Expresando ambas rectas del plano afín en sus ecuaciones
generales:
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶 ′ = 0
𝐴
𝐵
Las rectas 𝑟 y 𝑠 son secantes si 𝐴′ ≠ 𝐵′
Demostración. Se considera el sistema de ecuaciones:
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
}
𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶′ = 0
Para que exista una única solución, debe ocurrir que:
35
𝐴 𝐵 𝐶
𝐴 𝐵
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (
) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (
)=2
𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝐴′ 𝐵′
𝐴
𝐵
De donde se deduce inmediatamente que 𝐴′ ≠ 𝐵′ ∎
-
Proposición 3. Tres rectas del plano afín 𝑟, 𝑠 y 𝑡 distintas dos a dos que tienen
por ecuaciones generales:
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0; 𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶 ′ = 0; 𝑡 ≡ 𝐴′′ 𝑥 + 𝐵 ′′ 𝑦 + 𝐶 ′′ = 0
Se cortan en un mismo punto si:
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴 𝐵
| 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ | = 0 𝑦 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ( 𝐴′ 𝐵′ ) = 2
𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′
𝐴′′ 𝐶′′
Demostración. Se considera el sistema de ecuaciones:
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶′ = 0 }
𝑡 ≡ 𝐴′′ 𝑥 + 𝐵 ′′ 𝑦 + 𝐶 ′′ = 0
Para que exista solución se tiene que cumplir, según el Teorema de Rouché–
Frobenius, que:
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ( 𝐴′ 𝐵′ ) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ( 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ ) = 2 ⇒ | 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ | = 0 ∎
𝐴′′ 𝐵′′
𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′
𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′
Definición 5. Si se consideran como rectas paralelas aquellas dos rectas que tienen igual
dirección, entonces sus vectores de dirección 𝑣 y 𝑤
⃗⃗ deben verificar que 𝑣 = 𝑡𝑤
⃗⃗ .
-
-
Proposición 4. Si 𝑟 y 𝑠 son dos rectas paralelas del plano afín, entonces sus
pendientes 𝑚 y 𝑚′ son iguales.
Para su demostración, si se consideran los vectores 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) y 𝑤
⃗⃗ = (𝑤1 , 𝑤2 )
cómo los vectores de dirección de las rectas 𝑟 y 𝑠 respectivamente, entonces
𝑣 = 𝑡𝑤
⃗⃗ y, además:
𝑣2
𝑡𝑤2
𝑤2
𝑚 = tan 𝛼 =
=
=
= 𝑚′ ∎
𝑣1
𝑡𝑤1
𝑤1
Corolario 1. Si las rectas 𝑟 y 𝑠 del plano que tienen por ecuaciones generales:
𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶 ′ = 0,
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0,
𝐴
𝐵
son paralelas, entonces: 𝐴′ = 𝐵′
Demostración. Se aplica de nuevo la definición de pendiente de la recta:
𝑚=−
-
𝐴
𝐴′
𝐴
𝐵
𝑦 𝑚′ = − ′ ⟹ 𝑚 = 𝑚′ ⟺ ′ = ′ ∎
𝐵
𝐵
𝐴
𝐵
Proposición 5. Si las rectas 𝑟 y 𝑠 del plano que tienen por ecuaciones generales
𝑠 ≡ 𝐴′ 𝑥 + 𝐵 ′ 𝑦 + 𝐶 ′ = 0,
𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0,
son paralelas, se verifica:
𝐴
𝐴 𝐵
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 (
) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ( ′
𝐴
𝐴′ 𝐵′
𝐵
𝐵′
36
𝐶
𝐴
) ó 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 ( ′
𝐶′
𝐴
𝐵
𝐵′
𝐶
)=1
𝐶′
Demostración. Es consecuencia del Teorema de Rouché–Frobenius, indicando la
primera parte que el sistema no tiene solución y, por lo tanto, que las rectas son
paralelas en sentido estricto. Además, si las rectas son paralelas, entonces según
𝐴
𝐵
el corolario anterior 𝐴′ = 𝐵′, luego verifican que:
-
𝐴
𝐵
𝐶
= ′≠ ′
′
𝐴
𝐵
𝐶
La segunda condición expresa que las rectas son coincidentes, luego son
paralelas, cumpliéndose en este caso que:
𝐴
𝐵
𝐶
= ′= ′ ∎
′
𝐴
𝐵
𝐶
Proposición 6. Dado un punto 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y una recta 𝑟 de ecuación general
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, la recta 𝑠 que es paralela a 𝑟 y pasa por 𝐴 tiene por ecuación:
𝐴(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦1 ) = 0
Demostración. Se hace uso de la ecuación de la recta en forma punto –
𝐴
pendiente, siendo la pendiente de la recta 𝑟, 𝑚 = − 𝐵 , que es también la de s
por ser paralelas, quedando la ecuación de s:
𝐴
𝑦 − 𝑦1 = − (𝑥 − 𝑥1 ) ⟹ 𝐴(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦1 ) = 0 ∎
𝐵
4.8.
Distancias, ángulos y perpendicularidad en el plano
Distancia entre dos puntos. Ya se indicó en el apartado 4.1. la expresión de la distancia
entre dos puntos del plano, la cual se obtenía de la Ilustración 2. Esto permite definir la
distancia entre dos puntos dados, P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), designada por 𝑑(𝑃, 𝑄) , como
el módulo del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 , expresándose como sigue:
⃗⃗⃗⃗⃗ | = +√(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
𝑑(𝑃, 𝑄) = |𝑃𝑄
Distancia de un punto a una recta. Para hallar la distancia del punto Q a una recta de
⃗ en primer lugar se obtiene la ecuación de la recta que pasando por un
vector normal 𝑁
⃗ = (𝑎, 𝑏).
punto P = (x1, y1), es perpendicular a un vector no nulo 𝑁
Ilustración 7. Distancia de un punto a una recta (I) (elaboración propia).
37
⃗ , es decir si:
Un punto T = (x, y) pertenece a la recta 𝑟 si el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑇 es ortogonal a 𝑁
⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁
𝑃𝑇 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 𝑥1 , 𝑦 − 𝑦1 ) y 𝑁
⃗ = (𝑎, 𝑏) entonces:
Y como 𝑃𝑇
𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 = 0
Si se denomina 𝑐 = −𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 resulta entonces:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Que es la ecuación general o implícita de la recta 𝑟, pudiendo interpretar los coeficientes
⃗ = (𝑎, 𝑏).
a y b de la misma como las componentes de un vector ortogonal a la recta 𝑟: 𝑁
Por lo tanto, un vector ortogonal a la recta 𝑟 y de módulo unitario será:
𝑛⃗ =
⃗
𝑁
𝑎
𝑏
)
=(
,
⃗|
|𝑁
√𝑎2 + 𝑏 2 √𝑎2 + 𝑏 2
Por otro lado, se calcula la distancia de un punto cualquiera 𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 ) a la recta de
ecuación general: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, siendo T = (x, y) un punto genérico de la recta 𝑟 y 𝑛⃗
un vector unitario y ortogonal a la misma, tal y como se ilustra a continuación.
Ilustración 8. Distancia de un punto a una recta (I) (elaboración propia).
De este modo, la distancia de 𝑄 a 𝑟 es:
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ = |𝑇𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛⃗| cos 𝛼 = |𝑇𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ | cos 𝛼
𝑑(𝑄, 𝑟) = 𝑇𝑄
Si el vector 𝑛⃗ tuviese sentido contrario al representado, entonces la distancia sería el
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗.
valor absoluto del producto escalar 𝑇𝑄
𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥, 𝑦2 − 𝑦) 𝑦 𝑛⃗ = ( 2
Como 𝑇𝑄
√𝑎
+𝑏 2
38
𝑏
, √𝑎2
+𝑏2
)
Resulta, por tanto:
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ =
𝑇𝑄
𝑎(𝑥2 − 𝑥) + 𝑏(𝑦2 − 𝑦)
√𝑎2 + 𝑏 2
Y como el punto T = (x, y) está situado en la recta 𝑟, entonces 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = −𝑐, con lo que
se obtiene:
𝑑(𝑄, 𝑟) =
|𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐|
√𝑎2 + 𝑏 2
Que es la fórmula que da la distancia de un punto 𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 ) a la recta de ecuación
general 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Por último, como caso particular la distancia del origen a una recta es:
𝑑(0, 𝑟) =
|𝑐|
√𝑎2 + 𝑏 2
Distancia entre dos rectas. Para hallar la distancia entre dos rectas que sean paralelas
basta hallar la distancia de un punto de una recta a la otra recta. Si las rectas se cortan
su distancia es cero.
Ángulo entre dos rectas. Se llama ángulo formado por dos rectas al menor ángulo que
forman éstas al cortarse. Dadas dos rectas 𝑟 y 𝑠 cuyas ecuaciones implícitas son:
𝑠 ≡ 𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0
𝑟 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Los vectores de dirección de estas rectas son, respectivamente:
𝑣 = (−𝑏, 𝑎); 𝑤
⃗⃗ = (−𝑏′, 𝑎′)
Ilustración 9. Ángulo entre dos rectas en el plano (elaboración propia).
El coseno del menor ángulo que forman estas rectas es:
39
cos 𝛼 = |
𝑣∙𝑤
⃗⃗
𝑏𝑏 ′ + 𝑎𝑎′
|=|
|
|𝑣| ∙ |𝑤
⃗⃗ |
√𝑎2 + 𝑏 2 ∙ √𝑎2 + 𝑏 2
Teniendo en cuenta que si en esta expresión no se toma el valor absoluto puede no
obtenerse el menor ángulo.
Si las rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares, entonces los vectores de dirección 𝑣 y 𝑤
⃗⃗ son
también perpendiculares, luego 𝑣 ∙ 𝑤
⃗⃗ = 0, de donde se obtiene:
𝑏𝑏 ′ + 𝑎𝑎′ = 0
Que es la condición de perpendicularidad de dos rectas.
Perpendicularidad de rectas en el plano. Dadas dos rectas 𝑟 y 𝑠 del plano cuyas
ecuaciones paramétricas son:
𝑥 = 𝑥 + 𝑡𝑣
𝑟 ≡ {𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣1
0
𝑠≡{
2
𝑥 = 𝑥′0 + 𝑡𝑢1
𝑦 = 𝑦′0 + 𝑡𝑢2
Siendo por tanto sus vectores de dirección: 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ); 𝑢
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ).
Si las rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares, el ángulo que forman es de noventa grados, y por
tanto se verifica que 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = 0, cómo se acaba de comprobar para el ángulo entre dos
rectas, siendo esta la condición para que las rectas sean ortogonales.
4.9.
Definición y ecuaciones de la circunferencia
Definición: en el plano euclídeo 𝐸2 , la circunferencia de centro el punto 𝐶 ∈ 𝐸2 y radio
𝜌 es el lugar geométrico de los puntos del plano situados a distancia 𝜌 de 𝐶.
-
Teorema. Por tres puntos no alineados del plano euclídeo 𝐸2 pasa una única
circunferencia.
Demostración. Sean 𝑃1 ,
r3
𝑃2 y 𝑃3 tres puntos no
alineados. Si se define la
mediatriz
de
un
segmento como el lugar
geométrico de los puntos
que equidistan de los
r1
extremos del segmento,
entonces las mediatrices
respectivas 𝑟1, 𝑟2 y 𝑟3 de
los segmentos ̅̅̅̅̅̅
𝑃2 𝑃3 , ̅̅̅̅̅̅
𝑃3 𝑃1
y ̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃2 se cortan las tres
en un mismo punto, que Ilustración 10. Circunferencia a partir de tres puntos no
alineados (elaboración propia).
40
se denomina 𝐶, pues 𝑟1 y 𝑟3 , por no estar alineados los puntos dados, se cortan
en un punto que equidista de 𝑃1 , 𝑃2 y 𝑃3 , luego por dicho punto pasa 𝑟2 . Como
𝐶 equidista de 𝑃1 , 𝑃2 y 𝑃3 , y es el único punto del plano con esa propiedad,
resulta que la circunferencia de centro 𝐶 y radio 𝜌 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑃1 ) =
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑃2 ) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑃3 ) es la única solución posible.
Ecuaciones de la circunferencia: si 𝐶(𝑎, 𝑏) son las coordenadas del centro de la
circunferencia en 𝐸2 , un punto cualquiera 𝑋(𝑥, 𝑦) será de la circunferencia si y solo si
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑋) = 𝜌, es decir, si 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑋)2 = 𝜌2 , quedando, por tanto:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝜌2 esto es,
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑎2 + 𝑏 2 − 𝜌2 ) = 0
Llamada ecuación implícita de la circunferencia. Si, recíprocamente, se dispone de una
ecuación de segundo grado en 𝑥 e 𝑦 como la anterior, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tal
que los coeficientes de 𝑥 e 𝑦 son 1 y sin término en 𝑥𝑦, tal ecuación puede escribirse en
−𝐴
−𝐵
𝐴 2
𝐵 2
la forma (𝑥 − 2 )2 + (𝑦 − 2 )2 + ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶 = 0, de modo que el conjunto de
puntos 𝑋(𝑥, 𝑦) del plano que satisfacen a la ecuación serán:
𝐴 2
𝐵 2
𝐴 2
𝐵 2
𝐴 2
𝐵 2
2
2
−𝐵
𝐴
𝐵
a) Si ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶 > 0, la circunferencia de centro (−𝐴
, ) y radio ( ) + ( ) − 𝐶.
2
2
2
2
−𝐵
b) Si ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶 = 0, el punto (−𝐴
, ).
2
2
c) Si ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶 < 0, el conjunto vacío.
41
5. Fundamentación
didáctica:
aprendizaje y/o la enseñanza
investigaciones
sobre
Se lleva a cabo en este apartado una recopilación de información acerca de
investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la geometría analítica en la etapa
de Educación Secundaria Obligatoria, y en particular de las investigaciones que se
centren, por un lado, en las dificultades que pueda encontrar el alumnado durante su
aprendizaje (errores, fenómenos didácticos, aprovechamiento de conocimientos
previos, etc.), y por otro lado, de estrategias, recursos o herramientas que potencien la
asimilación de los contenidos tratados. También se hará referencia al papel del
profesorado en este proceso de enseñanza y aprendizaje, buscando extraer
conclusiones que permitan optimizarlo.
Con todo ello, no se pretende elaborar el “estado de la cuestión”, sino localizar y
describir las investigaciones más relevantes que giren en torno a estos temas, para que,
a partir de ellas, sea posible extraer conclusiones que puedan ser trasladadas a la unidad
didáctica objeto de este documento.
En primer lugar, en el amplio espectro del estudio del proceso enseñanza–aprendizaje
de la geometría en la Educación Secundaria Obligatoria, se pueden localizar fácilmente
algunas de sus características en este ámbito en la última década (Barrantes, Balletbo,
& Fernández, 2013):
-
Abuso de la memorización de conceptos y propiedades, basándose en otros
conceptos previos también memorizados y no comprendidos.
Resolución de problemas de forma automática.
Desarrollo de aspectos métricos por encima de geométricos, etc.
Este tipo de enseñanza, tal y como indican estos autores, genera ciertas dificultades
relacionadas con la comprensión de conceptos por el alumnado, al mismo tiempo que
produce frustración e impotencia en el profesorado, pues se ve mermada la consecución
de los objetivos buscados.
De manera paralela, estos autores, en una completa labor de investigación en este
ámbito, relacionan distintos materiales y recursos que buscan el desarrollo de
metodologías activas, haciendo que las actividades desarrolladas en el proceso puedan
generar un aprendizaje más significativo en el alumnado (Barrantes, Balletbo, &
Fernández, 2013b). Las principales referencias citadas son:
-
El análisis de la relación entre el uso de GeoGebra, la resolución en lápiz y papel
y el pensamiento geométrico (Iranzo & Fortuny, 2009).
42
-
-
Concepción de los profesores de Secundaria sobre la demostración matemática,
mientras participaban en un entorno virtual de aprendizaje (Torregrosa, Haro, &
Llinares, 2010).
Uso de las cualidades topológico – métricas de los puzles para el desarrollo de
aprendizajes, destrezas y habilidades espaciales (Flores, 2002).
Demostración en Geometría como medio para el descubrimiento de otros
resultados (Ibañes, 2001).
En todos estos trabajos, y en otros tantos referidos en el artículo, se busca la motivación
del alumnado, valorando y comprendiendo la utilidad de los elementos matemáticos y,
posibilitando al mismo tiempo la organización y compresión de la información de una
forma “más plena”.
5.1.
Dificultades durante el aprendizaje
Continuando con el estudio del proceso enseñanza–aprendizaje, en este caso,
particularizando en relación con los obstáculos y errores que pueden entorpecerlo y
que provocan el desarrollo por parte del alumnado de esquemas conceptuales
incompletos o mal construidos, se puede hacer referencia al artículo “Obstáculos y
errores en la enseñanza–aprendizaje de las figuras geométricas” (Barrantes & Zapata,
2008). En este trabajo los autores recomiendan por un lado la necesidad de aumentar
las actividades de laboratorio, de forma que se produzca manipulación de los elementos
geométricos por el alumnado, y por otro, la generación en el aula de investigaciones y
proyectos acerca de figuras geométricas. Inciden también en que ciertas definiciones de
los libros de texto pueden suponer obstáculos en el aprendizaje al considerarse que los
esquemas conceptuales se construyen a partir de estas definiciones, produciendo
“incapacidad del alumno de resolver situaciones cotidianas”, para lo que recomiendan
construir estos esquemas a partir de la experiencia del alumnado, generando variedad
en las situaciones de aprendizaje. Esta variedad se puede llevar a cabo mediante el uso
de recursos de geometría dinámica, que permitan que el alumnado genere ideas por sí
mismo, interiorizando estas a partir del examen y modificación de las mismas. En
conclusión, implantando una metodología constructiva que provoque el
enfrentamiento a sus propios errores mediante tareas que requieran comprobación y
reflexión y, en definitiva, generando “conflictos en sus mentes que verifiquen la
inconsistencia de sus ideas frente a los distintos errores”.
Por otro lado, y ya en relación con la enseñanza y aprendizaje de la geometría analítica,
se ha llevado a cabo una búsqueda de información acerca de las dificultades que puede
presentar el alumnado al hacer frente a esta nueva, para ellos, concepción de la
geometría, y si es posible aprovechar los contenidos ya tratados ampliamente en la
geometría “sintética” para reforzar la asimilación de estos nuevos conceptos. A este
respecto, (Gascón, 2002) lleva a cabo un interesante análisis de la complementariedad
43
entre ambas geometrías en su artículo: “Geometría sintética en la ESO y analítica en el
Bachillerato. ¿Dos mundos completamente separados?”, en el que expone una serie de
argumentos para refutar esta alternativa entre geometrías, al mismo tiempo propone
distintas formas de conectar ambas técnicas en el proceso de enseñanza, poniendo con
ello de manifiesto su “complementariedad”.
Así, el autor expone que la tesis “de la continuidad entre las geometrías sintética y
analítica” requiere interpretar la actividad matemática como una actividad de
modelización, poniendo de manifiesto, a su vez, el papel del desarrollo de las técnicas
matemáticas en el proceso de estudio. De este modo, se puede observar, y así lo hace
el autor con diversos ejemplos, cómo una vez se exploran determinados problemas de
la geometría sintética, y se van introduciendo variaciones en los mismos, es posible
enfrentarse a determinadas limitaciones que conducen a su vez, a la necesidad de variar
las técnicas iniciales. Por lo tanto, en este proceso se pueden llegar a generar, como el
autor indica, técnicas “analíticas”, “cartesianas” o “algebraicas”.
Concluye este artículo con la reflexión de que “son precisamente las limitaciones de las
técnicas sintéticas las que dan sentido a las técnicas analíticas”, lo que pondría de
manifiesto la necesidad, al comenzar a impartir la geometría analítica, de retomar
ciertas técnicas de la geometría “sintética”, buscando así integrar la complementariedad
de ambas.
Se incide en esto pues no se debe obviar que, pese al carácter introductorio de la unidad
didáctica objeto de este documento, el correcto desarrollo de la misma y la optimización
del proceso de enseñanza–aprendizaje en ella puede generar una mayor significancia
de los conceptos tratados al conseguir relacionarlos con otros que ya están, en gran
medida, adquiridos por el alumnado, de forma que a partir de estos se puedan adquirir
satisfactoriamente los nuevos, mostrando así la continuidad y la complementariedad
existente entre los distintos elementos del currículo.
En relación con esta última idea se hace referencia al artículo “La génesis histórica de la
Geometría Analítica y la enseñanza en la Escuela Secundaria” (Colombo, Carolina, &
Rita, 2016), el cual lleva a cabo un amplio estudio de la historia de la geometría “clásica”,
el álgebra y la geometría “analítica”, poniendo de manifiesto que esta última no se
concibe sin la existencia del álgebra y de la geometría “clásica”, y por ello, no se justifica
llevar a cabo una transposición didáctica en la cual no estén relacionadas. Además, estos
autores inciden en la interrelación que existe a día de hoy entre todos estos ámbitos de
las matemáticas y en cómo deben formar parte del currículo que se imparta en los
centros de enseñanza, pero sin que se materialice la separación que actualmente se
observa.
44
5.2.
Estrategias, recursos y herramientas que potencien el
aprendizaje
Ya en lo relativo al uso de herramientas o recursos que puedan favorecer un aprendizaje
más eficiente de la geometría analítica, se observa cómo el empleo de software de
geometría dinámica se ha erigido como una herramienta de un gran potencial, tal y
como se propone en numerosos artículos de investigación.
De entre todo ellos, y relacionadas con la geometría analítica, predominan los trabajos
en los ámbitos de Bachillerato y primeros niveles universitarios, no abundando estudios
relacionados con esta geometría cuyo desarrollo y conclusiones puedan resultar de
interés en este documento. En cualquier caso, y dado el carácter introductorio de esta
unidad didáctica, los artículos a continuación expuestos se centran en las primeras
etapas de la geometría analítica, esto es, en las operaciones elementales con vectores y
en el aprendizaje de las ecuaciones de la recta y sus propiedades, obviando así aquellos
que tratan contenidos más alejados de los que se desarrollan en este documento y cuyas
conclusiones no pudieran ser extrapolables de cara a su uso como referencias.
Así se destaca, por un lado, el trabajo ‘Plataforma de Matematización en un entorno
GeoGebra dentro de un planteamiento didáctico “desde abajo hacia arriba”’ (Costa
Llobet, 2011), en el cual se analiza un nuevo enfoque en el procedimiento de enseñanza
de esta geometría en el primer curso de la etapa de Bachillerato. Las actividades que se
plantean buscan que el alumnado se enfrente a situaciones matemáticas en primer
lugar, mediante el recurso tecnológico GeoGebra, para después completar el mismo con
una formalización de los contenidos tratados.
Así, según el autor, se opera “desde abajo hacia arriba”, pues no se parte de la
formalización de los contenidos para después trabajar los mismos en actividades de
desarrollo. Al contrario, se promueve en primer lugar la matematización con actividades
contextualizadas y en segundo lugar la formalización de contenidos haciendo uso de las
metodologías transmisivas habituales.
Buscan, haciendo uso de este recurso (el cual permite llevar a cabo una completa
manipulación de los elementos matemáticos), analizar, por un lado, el desarrollo de la
matematización en las secuencias de implementación de actividades, y por otro, las
valoraciones subjetivas de los alumnos, así como comparar las estrategias de resolución
en este entorno frente a las estrategias convencionales.
De este modo, la metodología consistió en la realización de ocho actividades durante
siete sesiones, clasificando las mismas de la siguiente manera:
45
ACTIVIDAD
1
2
3
4
5
6
7
8
DESARROLLO
Investigación matemática que lleva al alumnado hasta la ecuación
vectorial de la recta. Se relacionan conceptos como suma de vectores,
producto de un vector escalar, etc.
En este caso se trabaja la proyección de vectores, el producto escalar y
el ángulo entre dos vectores, contextualizadas con actividades de Física.
Por último, se trabaja con las ecuaciones de la recta para replantear una
superficie rectangular y con la distancia entre tres puntos dados,
haciendo uso de los conceptos tratados anteriormente.
Tabla 8. Descripción de la metodología "desde arriba hacia abajo" (Costa Llobet, 2011) (elaboración
propia).
Con esto no se llevó a cabo una planificación convencional de la unidad, sino que el
alumnado debía realizar una serie de actividades sin haber presenciado la exposición
formal de aquellos conocimientos a desarrollar en estas actividades. Dicha exposición
de los contenidos se les proporcionaría posteriormente.
En el desarrollo de las actividades se facilitaba un cuestionario al alumnado, el cual,
además de permitir obtener la información relevante para la investigación, disponía de
una serie de preguntas que estaban diseñadas a modo de andamiaje para orientar o
provocar la reflexión del alumnado.
Se destaca así en el artículo que los mejores resultados se pudieron observar en aquellas
actividades que requerían de la manipulación y visualización de los elementos,
reduciéndose el rendimiento a medida que las actividades requerían de otros procesos
de razonamiento, variando la magnitud de este descenso de rendimiento en función del
alumnado.
Concluye el autor manifestando la ventaja que puede suponer el uso de estas
actividades y recursos en comparación con la metodología tradicional, incrementándose
la motivación, la implicación activa del alumnado, la reflexión y comprensión, y, además
observando un mejor rendimiento haciendo uso del recurso tecnológico, así como una
mejor valoración por parte del alumnado. Eso sí, finaliza enfatizando que esta
metodología es más eficiente, como ya se ha indicado, en fases donde predomine la
visualización y manipulación por parte del alumnado, siendo igualmente necesaria una
fase posterior en la que predominen parámetros más convencionales, haciendo uso de
metodologías transmisivas.
Al mismo tiempo, se destaca otra investigación, también llevada a cabo sobre la
interpretación del comportamiento de estudiantes de Bachillerato en la resolución de
46
problemas de geometría analítica, en este caso mediante el análisis de la relación entre
el uso del software de geometría dinámica GeoGebra y la resolución en papel y lápiz
(Iranzo & Fortuny, 2008).
En este caso se realizan dos problemas a lo largo de 3 sesiones:
SESIÓN
DESARROLLO
1
Introducción al uso de GeoGebra, trabajando en grupos y resolviendo
ejemplos y problemas de construcción con la ayuda del profesor.
2
En grupos de dos o tres alumnos se realiza el primer problema, pero solo
con lápiz y papel, así como realización del cuestionario preparado, este de
manera individual.
3
Resolución del primer problema, en este caso haciendo uso de GeoGebra,
así como del segundo problema. El alumnado debía además redactar el
proceso de cómo realizaban las actividades. Se finalizaba igualmente con la
realización de un cuestionario, en este caso acerca del uso de GeoGebra.
Tabla 9. Descripción del análisis de la relación entre el uso del GDS GeoGebra y la resolución en papel y
lápiz (Iranzo & Fortuny, 2008) (elaboración propia).
De los resultados que se obtuvieron se pudo observar cómo la mayor parte del
alumnado hacía uso de herramientas algebraicas y de medida, al mismo tiempo que
describía el recurso GeoGebra como una importante ayuda de cara a la visualización y
resolución de las actividades, generando además un “pensamiento más geométrico” en
la mayor parte del alumnado.
Por todo ello, los autores concluyen considerando que:
-
-
-
GeoGebra favorece llevar a cabo distintas representaciones de elementos y
conceptos matemáticos, ayudando a evitar ciertos obstáculos y permitiendo
realizar las actividades de manera distinta.
La influencia que pueda tener este recurso en el proceso variará en función del
alumnado y de las actividades propuestas, siendo necesario para llevar a cabo
una adecuada integración adaptar las actividades en función del alumnado.
Es necesario también llevar a cabo un análisis del rol que debe desarrollar el
profesorado en el uso de estos recursos tecnológicos.
5.3.
Papel del profesorado durante el proceso.
Esta referencia al papel del profesorado aparece analizada en el artículo “Tipos de
mensajes del profesor durante la producción de una demostración en geometría”
47
(Samper & Plazas, 2017), en donde se concluye la necesidad e importancia de “prever
cuidadosamente las preguntas y la información que se quiere proveer”, así como de
“desentrañar lo que comunican los estudiantes”, ya que el objetivo no es llevar a cabo
una presentación de la demostración, sino “dar pautas para que sean los estudiantes
quienes la generen”, además de que del análisis de lo transmitido por el estudiante el
profesorado podrá modificar su comunicación hacia este, favoreciendo de este modo la
asimilación del contenido tratado en ese momento. Esto, por otro lado, conllevará
incluso dejar que el alumnado plantee y desarrolle propuestas aun siendo erróneas,
para que sean estos quienes se den cuenta de por qué no es adecuada. Finaliza el
artículo con la consideración de que el papel que se requiere del profesorado conlleva
un mayor esfuerzo y preparación, pero “es así como se puede asegurar construcción
significativa de conocimiento”.
El rol del profesor y del alumnado dentro del aula se investigan también en el artículo
“La enseñanza y aprendizaje de la geometría en secundaria, la perspectiva de los
estudiantes” (Gamboa & Ballestero, 2010), en este caso incidiendo en la importancia de
que todo el proceso debe girar en torno al alumnado. Así, el profesorado debe
interiorizar que el principal actor del proceso es el alumnado, el cual debe promover por
sí mismo su aprendizaje, guiado eso sí por aquel.
5.4.
Conclusiones
Para concluir este apartado, destacar en base a los artículos e investigaciones estudiadas
y expuestas en este documento, en primer lugar, la importancia de intentar reducir o
eliminar los obstáculos y errores a través del uso de actividades de manipulación, que
generen variaciones en las situaciones de aprendizaje, haciendo uso por ejemplo de
recursos de geometría dinámica. Es decir, hacer uso de una metodología constructiva
que provoque que el alumnado se enfrente a sus propios errores mediante tareas que
requieran comprobación y reflexión, y que generen, por tanto, conflicto.
Por otro lado, intentar integrar las técnicas “sintéticas” y “analíticas” en el proceso,
aprovechado de este modo la complementariedad entre ambas, así como buscar
metodologías que varíen y complementen a otras más habituales, aumentando la
implicación activa del alumnado y su reflexión y compresión. A este respecto, como ya
se ha tratado, el uso de recursos tecnológicos puede ayudar, previa adaptación de las
actividades a las características del alumnado. Es decir, teniendo en cuenta que estos
recursos son un medio y no un fin, que adecuadamente integrados en el proceso de
enseñanza–aprendizaje pueden generar numerosas ventajas en el mismo.
Por último, pero no menos importante, la función del profesor como guía en este
proceso, apoyando al alumnado, siendo este el eje del mismo.
48
6. Proyección didáctica: elaboración de una unidad didáctica.
Se desarrolla en este apartado una unidad didáctica de la materia del cuarto curso de la
etapa de Educación Secundaria Obligatoria “Matemáticas orientadas a las enseñanzas
académicas. 4º ESO”, materia general del bloque de asignaturas troncales dentro de la
“Opción de enseñanzas académica para la iniciación al Bachillerato” de este cuarto
curso, según estipula el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se
establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Para ello, se llevará a cabo en primer lugar una justificación del porqué se deben trabajar
los contenidos que se desarrollarán en esta unidad didáctica, para continuar con una
contextualización del centro y del aula donde se impartirá, así como los objetivos,
competencias clave, contenidos, metodologías, recursos y actividades tratadas,
finalizando con la temporalización y procedimiento de evaluación de la misma.
6.1.
Título
La unidad didáctica se titula: “Iniciación a la geometría analítica en el plano:
Coordenadas. Vectores. Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad”.
6.2.
Justificación
La justificación del porqué se deben trabajar los contenidos incluidos en esta unidad
didáctica se puede realizar desde los siguientes puntos de vista:
6.2.1. Justificación curricular
Desde este punto de vista, y tal y como se ha visto en el apartado 3.1., conviene reflejar
los requerimientos curriculares que se indican por un lado en el Real Decreto
1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la
Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato y por otro, en la ORDEN de 14 de
julio de 2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación
Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía.
Así, dentro del Bloque de Geometría de la materia “Matemáticas orientadas a las
enseñanzas académicas. 4º ESO”, en el Real Decreto 1105/2014 se establecen los
siguientes contenidos, relacionados con la unidad didáctica que se trata: “Iniciación a la
geometría analítica en el plano: Coordenadas. Vectores. Ecuaciones de la recta.
Paralelismo, perpendicularidad”, a los que la ORDEN de 14 de julio de 2016 añade
“Ecuación reducida de la circunferencia”.
Asociados a estos contenidos, tanto en el Real Decreto 1105/2014 como en la ORDEN
de 14 de julio de 2016, se refleja el criterio de evaluación que se expone a continuación.
Además, en la ORDEN también se incluyen las abreviaturas de las competencias
asociadas. Así:
49
3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica
plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas
sencillas. CCL, CMCT, CD, CAA.
Estas competencias, o capacidades para aplicar de forma integrada los anteriores
contenidos, que se pretender trabajar y potenciar en esta unidad didáctica son:
-
-
CCL: competencia lingüística, desarrollada con la lectura comprensiva de los
enunciados y con la comunicación, oral o escrita, de los resultados.
CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología,
que se desarrolla con la formulación, planteamiento, interpretación y resolución
de problemas.
CD: competencia digital, que se trabaja con el uso de recursos tecnológicos.
CAA: competencia de aprender a aprender, desarrollada mediante el
tratamiento de la información y el razonamiento, al comprobar y autocorregir
resultados.
Pero además de estas, se busca desarrollar también:
-
-
-
CSC: competencias sociales y cívicas, mediante el trabajo colaborativo para la
resolución de problemas matemáticos, implicando actitudes de colaboración y
respeto en los procesos de toma de decisiones.
SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor, a través del establecimiento
de planes de trabajo en revisión y modificación continua mientras se avanza en
la resolución de los problemas.
CEC: conciencia y expresiones culturales, en el desarrollo de actividades que
integren elementos de nuestro patrimonio cultural.
Por último, en el Real Decreto 1105/2014, se establecen los estándares de aprendizaje
evaluables asociados al criterio de evaluación expuesto anteriormente, o lo que es lo
mismo, las especificaciones de los criterios de evaluación que van a permitir definir los
resultados de aprendizaje, concretando lo que el estudiante debe saber, comprender y
saber hacer, y que para este caso en concreto serán:
3.1. Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores.
3.2. Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector.
3.3. Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla.
3.4. Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.
3.5. Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio
analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad.
3.6. Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar
sus propiedades y características.
50
6.2.2. Justificación social y/o profesional
La geometría no puede sino considerarse como una parte fundamental de la cultura y
del día a día de nuestra sociedad, encontrando numerosos contextos en los que la
geometría aparece tanto de forma directa como indirecta (Arranz & Lobo, s.f.). Así, una
innumerable cantidad de elementos y objetos diarios de los que nos servimos tienen
formas geométricas precisas (infraestructuras de transporte y comunicaciones,
infraestructuras hidráulicas, edificios y viviendas, medios de transporte,
electrodomésticos, aparatos tecnológicos, representaciones gráficas de todos estos
elementos, etc.), sin contar con que las actividades relacionadas con estos elementos,
entre otras muchas (agricultura, pesca, ganadería, deporte, …), utilizan también
procedimientos geométricos.
Se puede destacar así la importancia de este ámbito de las matemáticas dentro del
estudio de la ciencia, que podrá llevarse a cabo por el alumnado en etapas académicas
posteriores, así como en el desarrollo de habilidades cotidianas, siendo la geometría una
importante rama del saber desde las primeras grandes civilizaciones.
Es por ello que los contenidos tratados tanto en esta unidad didáctica, como en las
anteriores y posteriores unidades de geometría se consideran esenciales, ya que dotan
al alumnado de una serie de habilidades y capacidades que pueden serles muy útiles en
su desempeño personal y profesional en distintas situaciones cotidianas, así como en
sus estudios posteriores.
Por último, y de manera complementaria, puede hacerse referencia a una de las
afirmaciones que Galileo Galilei (1564-1642) reflejó en su obra “Il Saggiatore” (ÁlvarezNodarse, 2017), en la cual dejaba claro que para comprender los fenómenos naturales
era necesario un lenguaje matemático, a partir de figuras geométricas:
“La filosofía [natural] está escrita en ese grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a
entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en
lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas,
sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente
en un oscuro laberinto”.
6.2.3. Justificación interna
Desde este punto de vista, el simple título de la unidad, haciendo referencia a su carácter
introductorio, ya adelanta que estos conceptos representan solo el principio de un
ámbito superior de las matemáticas, al unir el análisis matemático y el algebra con la
propia geometría, presentando el punto de partida y el marco sobre el que se
desarrollarán numerosos conceptos y objetos matemáticos en futuras etapas
académicas, tales como las secciones cónicas, sólidos de revolución, sistemas y
51
herramientas de georreferenciación, etc., elementos altamente utilizados en infinidad
de ámbitos profesionales y tecnológicos, tal y como se ha descrito anteriormente.
6.2.4. Justificación estética
La Geometría es la puerta de entrada a un mundo en el que se descubre que cualquier
forma, figura, desplazamiento, o en general, cualquier elemento geométrico, ya sea en
el plano o en el espacio, puede ser descrito algebraicamente, permitiendo de este modo
planificar, diseñar, construir, supervisar, en definitiva, y como su nombre propio indica,
analizar cualquier elemento geométrico y/o sus propiedades. Como ejemplo, y
relacionado también con la justificación social y profesional, se puede hacer referencia
a una de las múltiples construcciones arquitectónicas que hacen uso de estos conceptos
geométricos, las cubiertas en voladizo del Hipódromo de la Zarzuela (Madrid), diseñada
por los arquitectos Carlos Arniches Moltó (1895-1958) y Martín Domínguez Esteban
(1897-1970) y por el Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Eduardo Torroja Miret
(1899-1961), formadas por sectores de hiperboloide (Hipódromo de la Zarzuela - Ficha,
Fotos y Planos, s.f.).
Ilustración 11. Imagen y planos del Hipódromo de la
https://es.wikiarquitectura.com/edificio/hipodromo-de-la-zarzuela/#
52
Zarzuela.
Fuente:
6.2.5. Justificación cultural
La geometría analítica se asocia al trabajo desarrollado por los franceses René Descartes
(1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655) a principios del siglo XVII, que, aun siendo
coetáneos, desarrollaron obras independientes, nutriéndose, para el estudio de
elementos geométricos, del algebra en un sistema de coordenadas y del análisis
matemático.
Aunque existe constancia del desarrollo de estos sistemas de coordenadas o de
referencia con carácter previo a los trabajos de estos autores, principalmente por parte
de matemáticos griegos en el estudio de la geometría y el trabajo con secciones cónicas
(Apolonio, Pappus y Menecmo), el principal impulso y desarrollo de esta geometría se
atribuye a estos pensadores franceses.
Estos se ocuparon del estudio de los lugares geométricos y de la construcción
geométrica de resultados obtenidos a partir de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Posteriormente, Leonhard Paul Euler (1707-1783), entre sus innumerables trabajos,
llevo a cabo representaciones gráficas de curvas mediante sus expresiones analíticas, al
mismo tiempo que realizó importantes avances en la resolución de problemas sobre
puntos, rectas, distancias, etc.
Esta rama de las matemáticas, como se ha comentado anteriormente, ha formado y
forma parte de numerosos campos de la ciencia y del ámbito social, por lo que el estudio
de la misma puede despertar en el alumnado curiosidad e interés por conocer gran parte
del patrimonio cultural asociado a esta parcela del saber matemático, a la vez que puede
fomentar la integración de diversos elementos del currículo.
Por último, en relación con esto y con nuestro patrimonio cultural más cercano, se
puede volver a trabajar con los contenidos que tratan la proporción cordobesa, que aun
no siendo un contenido que forme parte de la unidad didáctica de geometría analítica
sí pertenece al bloque de Geometría de la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria,
de modo que permita el trabajo de ciertos conceptos de esta unidad a partir otros ya
conocidos por el alumnado, al mismo tiempo que se fomenta la interdisciplinariedad.
6.3.
Contextualización del centro y del aula
Se plantea el supuesto de realizar esta unidad didáctica en el C.D.P. “La Milagrosa”,
centro en el cual he desarrollado el periodo de prácticas formativas. Este se encuentra
ubicado en la localidad de Úbeda, provincia de Jaén, con una población de 34.329 2
habitantes. En concreto se ubica en la zona norte de la localidad, la zona de mayor
expansión de la ciudad, cerca además de una de las principales zonas verdes del
municipio, y rodeada a su vez, de numerosos comercios, locales y servicios de todo tipo.
2
Fuente: (Instituto Nacional de Estadística, 2021)
53
C.D.P. LA MILAGROSA
Ilustración 12. Ubicación del C.D.P. La Milagrosa. Fuente: https://www.google.es/maps
Se trata de un centro concertado, religioso y bilingüe, cuya misión educativa se orienta
al desarrollo de las capacidades físicas, intelectuales y afectivas de la persona,
respetándolas y potenciándolas.
Ilustración 13. Entrada a las instalaciones del C.D.P. La Milagrosa. Fuente:
https://www.google.es/maps
Ofrece a las familias un proyecto educativo cuya ideología combina fe, cultura y vida,
basada ésta en el pensamiento de sus fundadores: Vicente de Paul y Luisa de Marillac,
ambas figuras destacadas y muy presentes por su filosofía de enseñanza.
54
La oferta educativa que ofrece es amplia y variada, abarcando desde la Educación
Infantil hasta la Educación Secundaria Obligatoria, ambas inclusive. En concreto, cuenta
con una línea de Educación Infantil y dos líneas para cada una de las etapas
correspondientes a la Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria, siendo el
número actual de alumnos en el centro de 554.
Por otro lado, cuenta con numerosas y amplias instalaciones constituidas por diversos
pabellones y aulas, distribuidas en edificios independientes, la mayoría de los cuales
fueron construidos en su origen en el año 1956, aunque han sufrido diversas
modificaciones, ampliaciones y reformas a lo largo de los años, adaptándose a las
distintas normativas de edificación e instalaciones vigentes. Dispone además con
laboratorio de ciencias, biblioteca, aula de informática, taller de tecnología, pista
deportiva, comedor, capilla, zonas de jardín, zonas de recreo y huertos, siendo esto
último quizás una de las principales características diferenciadoras de este centro, al
poseer numerosas áreas al aire libre y zonas verdes para el esparcimiento de alumnado
y personal del centro, además de la ventaja que este hecho provoca en la excepcional
situación sanitaria en la que se encuentra actualmente nuestra sociedad.
Por último, en lo que se refiere al aula, dispone tanto de pizarra electrónica como de
proyector que nos permitirá introducir recursos tecnológicos en el desarrollo de la
unidad didáctica tales como demostraciones animadas, videos motivacionales o para
introducir actividades, etc. Por otro lado, para que el alumnado pueda ejercer como eje
dentro del proceso de aprendizaje se dispone también de aula con equipos informáticos
que permitirá el uso de software de geometría dinámica.
6.4.
Objetivos
A continuación, se pasa a desarrollar los objetivos generales de la etapa, los objetivos
específicos de área y los objetivos didácticos de la unidad didáctica de referencia.
6.4.1. Objetivos generales de la etapa
Siendo estos los logros que el alumnado debe alcanzar al finalizar cada etapa, como
resultado de las experiencias de enseñanza-aprendizaje planificadas a tal fin, según se
establece en el artículo 2 del Real Decreto 1105/2014. Además, en el artículo 11 de esta
misma disposición se indica que la etapa de Educación Secundaria Obligatoria
contribuye al desarrollo de las capacidades que permite al alumnado:
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a
los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y
grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato
y de oportunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad
plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.
55
b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo
como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y
como medio de desarrollo personal.
c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades
entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier
otra condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan
discriminación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia
contra la mujer.
d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus
relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo,
los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.
e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con
sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el
campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.
f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en
distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los
problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el
sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar,
tomar decisiones y asumir responsabilidades.
h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua
castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y
mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.
i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.
j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de
los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.
k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las
diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación
física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y
valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar
críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los
seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.
l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones
artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.
56
6.4.2. Objetivos de área
Por otro lado, para la materia “Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas”,
impartida en el tercer y cuarto curso de la E.S.O., se establecen en la ORDEN de 14 de
julio de 2016, los objetivos de la misma, los cuales contribuirán a desarrollar en el
alumnado las capacidades que les permitan:
1. Mejorar sus habilidades de pensamiento reflexivo y crítico e incorporar al lenguaje y
modos de argumentación la racionalidad y las formas de expresión y razonamiento
matemático, tanto en los procesos matemáticos, científicos y tecnológicos como en los
distintos ámbitos de la actividad humana.
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos
matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los
resultados utilizando los recursos más apropiados.
3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizar
técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis
de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos
apropiados a cada situación.
4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos,
cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras
fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos
elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los
mensajes.
5. Identificar las formas y relaciones espaciales que encontramos en nuestro entorno,
analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza
que generan, al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.
6. Utilizar de forma adecuada las distintas herramientas tecnológicas (calculadora,
ordenador, dispositivo móvil, pizarra digital interactiva, etc.) tanto para realizar cálculos
como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como
ayuda en el aprendizaje.
7. Actuar ante los problemas que surgen en la vida cotidiana de acuerdo con métodos
científicos y propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática
de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista
o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y
valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los
resultados y de su carácter exacto o aproximado.
57
9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza
en su propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito, adquiriendo un nivel de
autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos,
estéticos, prácticos y utilitarios de las matemáticas.
10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van
adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa,
analítica y crítica.
11. Valorar las matemáticas como parte integrante de la cultura andaluza, tanto desde
un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual,
apreciar el conocimiento matemático acumulado por la humanidad y su aportación al
desarrollo social, económico y cultural.
Se adjunta tabla con la correspondencia entre los objetivos generales de la etapa de
Educación Secundaria Obligatoria, establecidos según el Real Decreto 1105/2014, y los
objetivos del área de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas, recogidos
en la ORDEN de 14 de julio de 2016.
Objetivos de área
Objetivos
generales
de etapa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Tabla 10. Correspondencia entre objetivos generales de etapa (RD 1105/2014) y objetivos de área
(ORDEN de 14 de julio de 2016) (elaboración propia).
58
6.4.3. Objetivos de la unidad didáctica
Por último, se establecen los objetivos concretos para la unidad didáctica de referencia,
que deberán ser alcanzados durante el proceso por el alumnado. Estos deberán ser
coherentes con los contenidos, las actividades y los criterios y estándares de evaluación.
Serán:
1- Conocer, comprender y saber aplicar los conceptos y procedimientos de la
geometría analítica adecuadamente.
2- Reconocer y representar vectores, así como establecer correspondencias entre
estos y las coordenadas de puntos.
3- Interpretar y saber diferenciar las propiedades de los vectores: dirección, sentido
y módulo.
4- Saber aplicar estas propiedades para obtener la distancia entre dos puntos y
llevar a cabo operaciones elementales con vectores.
5- Conocer y saber expresar las distintas expresiones de la ecuación de la recta.
6- Interpretar adecuadamente los coeficientes en estas expresiones, para a partir
de ellos, estudiar las posiciones relativas entre rectas y entre puntos y rectas.
7- Conocer y saber aplicar la representación analítica de una circunferencia como
lugar geométrico.
8- Analizar e interpretar la relación entre los conceptos de la unidad, conocimientos
previos y su entorno, a través de la resolución de problemas contextualizados.
9- Emplear adecuadamente recursos tecnológicos que permitan la planificación y
resolución de actividades, al mismo tiempo que supriman posibles obstáculos en
el proceso.
6.5.
Competencias clave
Las competencias a desarrollar e integrar en el currículo se establecen en el artículo 2
del Real Decreto 1105/2014, entendiendo estas como las capacidades para aplicar de
forma integrada los contenidos, con el fin de lograr la realización adecuada de
actividades y la resolución eficaz de problemas complejos. A este respecto, la Orden
ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las
competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educación primaria, la
educación secundaria obligatoria y el bachillerato, identifica las mismas competencias
como “competencias clave”, según se indica en su Preámbulo, en base a “los resultados
de la investigación educativa y con las tendencias europeas recogidas en la
Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre
de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente”.
En este sentido, con esta unidad didáctica se busca desarrollar de manera integrada las
siguientes competencias:
59
-
-
-
-
-
-
-
CCL: competencia lingüística, desarrollada con la lectura comprensiva de los
enunciados y con la comunicación, oral o escrita, de los resultados. Estará por
tanto presente a lo largo de todo el proceso, durante cualquier interacción oral
o escrita entre el alumnado y el docente, pero especialmente durante las
actividades que se desarrollen en modo colaborativo.
CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología,
que se desarrolla mediante la formulación, planteamiento, interpretación y
resolución de problemas. El desarrollo de esta competencia favorece el
pensamiento lógico y la creatividad, además de que el pensamiento matemático
contribuye al desarrollo de las otras competencias. Así, se desarrollará la misma
en la realización de actividades, interpretando la información aportada y
desarrollando los conceptos matemáticos, analizando las representaciones
gráficas, manipulando expresiones algebraicas, etc.
CD: competencia digital, que se trabaja a través del uso de recursos tecnológicos.
Además, se ha podido comprobar en el estudio y recopilación de información
llevada a cabo en el apartado 5, como estos recursos favorecen el desarrollo de
la competencia matemática (CMCT) y de la competencia de aprender a aprender
(CAA), esta última a través de la comprobación de resultados, autocorrección y
la implicación activa del alumnado. En este sentido, se hará uso de software de
geometría dinámica para exponer los contenidos y para la resolución de
actividades.
CAA: competencia de aprender a aprender, desarrollada con el tratamiento de
la información y el razonamiento, al comprobar y autocorregir resultados, así
como a través de la implicación activa del alumnado. El uso de recursos
tecnológicos favorecerá el desarrollo de esta competencia.
CSC: competencias sociales y cívicas, mediante el trabajo colaborativo para la
resolución de problemas matemáticos, implicando actitudes de colaboración y
respeto en los procesos de toma de decisiones. De este modo, se buscará el
desarrollo de esta competencia a partir de la existencia de un ambiente de
trabajo, respeto y tolerancia en el aula, fomentando el debate y el diálogo en las
distintas fases del proceso.
SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor, a través del establecimiento
de planes de trabajo en revisión y modificación continua mientras se avanza en
la resolución de los problemas, que permitan el desarrollo proactivo del
alumnado. Esta competencia se desarrollará principalmente en la resolución de
las actividades planteadas, integrada con el resto de competencias.
CEC: conciencia y expresiones culturales, con la realización de actividades que
integren elementos de nuestro patrimonio cultural.
60
6.6.
Contenidos
Los contenidos a tratar en esta unidad serán los siguientes, relacionados con los
recogidos en el Real Decreto 1105/2014 y con los objetivos anteriormente planteados:
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas:
Según el Real Decreto 1105/2014 y la Orden
de 14 de julio de 2016
Unidad Didáctica
1.1- Planificación del proceso de resolución de
problemas.
1.2- Estrategias y procedimientos puestos en
práctica: uso del lenguaje apropiado:
(gráfico, numérico, algebraico, etc.),
reformulación del problema, resolver
subproblemas, recuento exhaustivo,
empezar por casos particulares sencillos,
buscar regularidades y leyes, etc.
1.3- Reflexión sobre los resultados: revisión de
las operaciones utilizadas, asignación de
unidades a los resultados, comprobación
e interpretación de las soluciones en el
contexto de la situación, búsqueda de
otras formas de resolución, etc.
Realización de actividades de aprendizaje
colaborativo y dialógico. Exposición y debate
acerca de los resultados obtenidos.
1.5- Práctica
de
los
procesos
de
matematización y modelización, en
contextos de la realidad y en contextos
matemáticos.
1.6- Confianza en las propias capacidades para
desarrollar actitudes adecuadas y
afrontar las dificultades propias del
trabajo científico.
Realización de actividades contextualizadas
con su propio entorno y conocimientos
previos.
1.7- Utilización de medios tecnológicos en el
proceso de aprendizaje para:
a) la recogida ordenada y la organización
de datos.
b) la elaboración y creación de
representaciones gráficas de datos
numéricos, funcionales o estadísticos.
Empleo del software de geometría dinámica
GeoGebra y de webs interactivas para la
resolución, representación y manipulación de
los objetos matemáticos tratados.
Empleo de recursos tecnológicos para la
manipulación de objetos matemáticos.
Realización de actividades de aprendizaje
colaborativo y dialógico. Exposición y debate
acerca de los resultados obtenidos.
61
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas:
Según el Real Decreto 1105/2014 y la Orden
de 14 de julio de 2016
Unidad Didáctica
c) facilitar la comprensión de propiedades
geométricas o funcionales y la realización
de cálculos de tipo numérico, algebraico o
estadístico.
d) el diseño de simulaciones y la
elaboración de predicciones sobre
situaciones matemáticas diversas.
Bloque 3. Geometría:
Según el Real Decreto 1105/2014 y la Orden
de 14 de julio de 2016
Unidad Didáctica
3.4- Iniciación a la geometría analítica en el
plano:
Coordenadas.
Vectores.
Ecuaciones de la recta. Paralelismo,
perpendicularidad.
3.5- Ecuación
reducida
de
la
circunferencia.
Coordenadas y vectores. Representación.
Propiedades de vectores (dirección, sentido y
módulo).
Operaciones con vectores: suma, resta,
combinación lineal y producto de un vector
por un número.
Distancia entre dos puntos.
Ecuaciones de la recta: ecuación vectorial,
ecuación paramétrica, ecuación continua,
ecuación punto – pendiente, ecuación de la
recta que pasa por dos puntos, ecuación
explícita y ecuación general o implícita.
Posición relativa de punto y recta. Incidencia,
paralelismo y perpendicularidad de rectas.
Ecuación reducida de la circunferencia.
Tabla 11. Contenidos de la unidad didáctica. Fuente: RD 1105/2014 (elaboración propia).
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6.7.
Metodología
Se describen en este apartado las estrategias metodológicas que se implantarán en la
unidad didáctica.
En primer lugar, se hará uso en varias sesiones de la metodología tradicional o
transmisiva. A partir de esta se introducirán los nuevos objetos y procesos matemáticos,
si bien se complementaran con el uso de la pizarra digital y el proyector para dinamizar
la clase, haciendo uso de elementos interactivos y audiovisuales que ayuden en el
proceso de asimilación. En este aspecto, es importante tener en cuenta el papel del
profesor como guía del proceso, de modo que este facilite el mismo a través de la
adecuada interacción con el alumnado, para lo que se implementarán desarrollos
explicativos que requieran la implicación activa y la participación. Se buscará construir
el conocimiento a partir de otros previos, al mismo tiempo que se fomente el debate en
el aula, siempre desde el respeto hacia el resto de compañeros y compañeras.
Estas metodologías se integrarán con juegos matemáticos que incrementen la
motivación del alumnado al mismo tiempo que se asimilan procedimientos y rutinas.
También se usarán aplicaciones que permitan llevar a cabo una evaluación continua de
una manera más amena para el alumnado.
Por otro lado, se implementarán metodologías de aprendizaje colaborativo y dialógico
que permitan incrementar la significancia de los conceptos tratados, mientras se
potencian otras competencias además de la matemática. En estas metodologías se
pretende que el alumnado interprete, clasifique y discrimine diferentes propiedades de
objetos matemáticos, así como la interpretación de distintas representaciones
algebraicas, construyendo significados y conexiones entre los conceptos que subyacen
a cada tipo de representación.
La competencia digital se desarrollará mediante metodologías basadas en el uso de
software de geometría dinámica y webs interactivas. Estas estarán presentes en varias
sesiones de la unidad didáctica, de modo que permitan, tal y como se estudió en el
apartado 5, paliar posibles obstáculos que suceden durante el aprendizaje mediante la
manipulación e implicación activa del alumnado. También permitirán generar reflexión
e incrementar la compresión de lo tratado. Para ello, se usará entre otros el software
GeoGebra, pues permite, al mismo tiempo, la representación gráfica y analítica de los
elementos matemáticos, lo que potencia enormemente el proceso de aprendizaje. Por
último, indicar que se presupone en el desarrollo de esta unidad didáctica, por su
ubicación en el curso escolar, que el alumnado ha trabajado ya con la aplicación
GeoGebra, no siendo necesario destinar recursos de esta unidad al aprendizaje de uso
de la misma, sin contar, por supuesto, con las posibles ayudas que necesite cualquier
alumno o alumna en la resolución de las actividades.
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Se buscará además establecer relaciones con el patrimonio cultural e histórico asociado
a las Matemáticas del entorno, a través de la investigación y la contextualización de
diversas actividades.
6.8.
Actividades y recursos
6.8.1. Actividades
Todas las actividades y tareas que se llevarán a cabo durante el desarrollo de la unidad
didáctica se incluyen en el ANEXO I: ACTIVIDADES. Estas han sido seleccionadas y
elaboradas a partir de diversas fuentes que se reflejan en el mencionado anexo,
buscando la asimilación de contenidos, objetivos y desarrollo de competencias
previstas, teniendo en cuenta además lo estudiado y expuesto en la sección 5 de este
documento. Se intenta así, por un lado, suprimir o paliar los posibles obstáculos y
errores que pueden tener lugar en el proceso de aprendizaje, y por otro, la motivación,
implicación activa y potenciación de competencias que se espera tenga lugar durante la
utilización y aprovechamiento de estos recursos. De entre estas actividades se pueden
destacar:
-
-
Actividades de investigación acerca de personajes históricos: a modo de
introducción a la unidad o a ciertas actividades se pedirá al alumnado que
busque información acerca de autores o autoras relacionadas con la unidad o
con el patrimonio arquitectónico e histórico sobre el que se trabajará. Con ello
se dedicará en clase un breve espacio de tiempo a debatir acerca de estos
personajes y de su obra, al mismo tiempo que se pedirá que presenten esta
información a través de la plataforma Google Classroom.
Estas actividades buscan, además de poner en contacto al alumnado con la
historia y con su entorno más cercano, en concreto, con el patrimonio de Úbeda
y alrededores, que asocien los contenidos de la unidad a contextos reales,
buscando en última instancia su motivación e implicación.
Actividades de aprendizaje colaborativo y dialógico: además de intentar generar
siempre que se pueda en la exposición de contenidos un ambiente de diálogo y
participativo se llevará a cabo una actividad de aprendizaje colaborativo que
abarcará la sesión 7 y parte de la 8. En esta, el alumnado deberá clasificar objetos
matemáticos, aprendiendo a discriminar y a reconocer diferentes propiedades
de estos, así como a interpretar diferentes representaciones algebraicas,
construyendo significados y conexiones entre todos estos conceptos. Con ello,
se pretende, además del desarrollo de la competencia matemática la
potenciación del resto de competencias.
64
-
En esa línea, buscando además el desarrollo de la competencia digital, se
realizarán actividades con recursos tecnológicos, diferenciando dentro de estas:
o Actividades de manipulación de los conceptos tratados en el aula, que
permiten la asimilación de los contenidos a través de la experimentación
directa. Estas actividades se desarrollarán también en modo
colaborativo.
o Actividades contextualizadas, en las cuales, además de aprovechar lo ya
comentado respecto a los recursos tecnológicos, se ubiquen los
conceptos en situaciones y problemas reales, además de integrar en
estas el patrimonio arquitectónico de su entorno. En ellas se trabajarán
gran parte de los contenidos de sesiones anteriores. También se
desarrollarán en modo colaborativo.
o Actividades de evaluación haciendo uso de la aplicación PLICKERS. Esta
permite llevar a cabo una evaluación mediante el uso de tarjetas
individuales que se reparten al alumnado:
(https://assets.plickers.com/plickers-cards/PlickersCards_2up_1-63.pdf).
El funcionamiento es sencillo: por ejemplo, si quiero contestar la opción
A oriento mi tarjeta con A hacia arriba y el profesor con un móvil o tableta
con cámara y que tenga instalada la aplicación puede recoger la
respuesta de todo el alumnado. Así, se van contestando a todas las
cuestiones, permitiendo al alumnado al final de la actividad comprobar
sus respuestas. Esta actividad se usará al inicio de la sesión a modo de
evaluación inicial, en relación principalmente con conocimientos previos
que se volverán a trabajar, y justo antes de la evaluación final, de modo
que los estudiantes puedan comprobar en qué estado se encuentra antes
de la prueba y que conceptos necesitan o no volver a trabajar.
Por último, indicar también que se llevan a cabo en gran parte de las sesiones
actividades para fijar los contenidos propuestos, destinadas a desarrollar la
competencia matemática principalmente, y que han sido extraídas en gran parte de los
libros de texto analizados en el apartado 3.1, aprovechando la gran variedad, tanto
cualitativa como cuantitativa, de estas.
6.8.2. Recursos
Se describen aquí el conjunto de ayudas pedagógicas de tipo personal, técnico o
material que facilitarán el logro de los objetivos y el correcto desarrollo de la unidad
didáctica. Estos recursos serán, en función de su tipología:
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Tipología
Recursos
-
-
Libro de texto asignado: Matemáticas orientadas
a las enseñanzas académicas. 4º educación
secundaria obligatoria. Anaya Educación. (Colerá
Jiménez, 2016).
Material complementario facilitado por el
profesorado.
Cuaderno de clase del alumnado.
Tarjetas de la herramienta Plickers.
Recursos audiovisuales:
-
Pizarra digital.
Proyector.
Recursos manipulativos:
-
Material de dibujo técnico.
Resto de material del alumnado.
Recursos tecnológicos:
-
Ordenadores.
Calculadora.
Software de geometría dinámica GeoGebra.
Webs interactivas.
Recursos ambientales:
-
Aula habitual.
Aula de informática.
Recursos humanos:
-
Profesor.
Alumnado.
Resto de profesorado, incluidos tutores.
Departamento de orientación.
Equipo directivo del centro.
Familias y resto del entorno.
Recursos impresos:
-
Tabla 12. Recursos a emplear en la unidad didáctica (elaboración propia).
6.9.
Atención a la diversidad
De cara a conseguir que el alumnado alcance los objetivos señalados anteriormente
podrá ser necesario llevar a cabo medidas de atención a la diversidad, tanto para aquel
con dificultades respecto al progreso esperado del grupo como para aquel con
competencias más desarrolladas, adaptando de este modo las propuestas educativas.
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A este respecto, el Real Decreto 1105/2014 establece en el segundo párrafo de su
artículo 9.1 que “Para que el alumnado con necesidad específica de apoyo educativo al
que se refiere el artículo 71 de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, pueda alcanzar el
máximo desarrollo de sus capacidades personales y los objetivos y competencias de cada
etapa, se establecerán las medidas curriculares y organizativas oportunas que aseguren
su adecuado progreso”, siendo a estos efectos el alumnado al que se refiere el artículo
71 de la Ley Orgánica 2/2006, aquel que requiera “una atención educativa diferente a la
ordinaria, por presentar necesidades educativas especiales, por retraso madurativo, por
trastornos del desarrollo del lenguaje y la comunicación, por trastornos de atención o de
aprendizaje, por desconocimiento grave de la lengua de aprendizaje, por encontrarse en
situación de vulnerabilidad socioeducativa, por sus altas capacidades intelectuales, por
haberse incorporado tarde al sistema educativo o por condiciones personales o de
historia escolar, puedan alcanzar el máximo desarrollo posible de sus capacidades
personales y, en todo caso, los objetivos establecidos con carácter general para todo el
alumnado”.
También la Orden de 14 de julio de 2016 indica que por Orden de la Consejería se
establecerán para esta etapa el “conjunto de actuaciones educativas de atención a la
diversidad dirigidas a dar respuesta a las diferentes capacidades, ritmos y estilos de
aprendizaje, motivaciones, intereses, situaciones socioeconómicas y culturales,
lingüísticas y de salud del alumnado, con la finalidad de facilitar la adquisición de las
competencias clave y el logro de los objetivos de la etapa y no podrán, en ningún caso,
suponer una discriminación que le impida alcanzar la titulación de Educación Secundaria
Obligatoria”.
En base a esto, podrán aplicarse medidas de carácter ordinario y medidas de carácter
específico, siendo las primeras aquellas que adaptan el currículo a la situación y entorno
del centro, así como al alumnado sin que se produzcan cambios en los objetivos. Estas
podrán ser actividades de refuerzo individual o de ampliación (según el ritmo de
aprendizaje y competencias del alumnado se adaptará parte de las actividades
propuestas en la unidad), agrupamientos flexibles, actividades y uso de recursos que
permitan adaptarse a las capacidades del alumno, realización de actividades en grupos
heterogéneos, etc.
Respecto a las medidas específicas, esto es, aquellas que se realicen de forma
personalizada para el alumnado con necesidades específicas de apoyo educativo, se
deberán llevar a cabo adaptaciones, adecuaciones o flexibilizaciones curriculares que
permitan un adecuado progreso.
Al encontrarse esta unidad didáctica en la fase intermedia del curso escolar, ya se cuenta
con información individualizada de todo el alumnado, procedente tanto de la evaluación
inicial que se realizó como del seguimiento que se ha realizado a lo largo de todo el
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curso. Esta información es la que nos permite diseñar y aplicar las diferentes medidas
de atención a la diversidad. En cualquier caso, y dado el carácter de esta unidad, aunque
se introducen conceptos nuevos se parte de contenidos ya tratados en años anteriores,
por lo que se realizará una evaluación inicial de estos conocimientos previos del
alumnado, que permita valorar la modificación de las medidas que se estén aplicando.
Todo ello en continua comunicación con el Departamento de Orientación, tutor del
grupo y resto de profesorado.
Al mismo tiempo, esta evaluación inicial permitirá ajustar si fuera necesario el nivel de
las actividades, tanto individual como colectivamente, así como potenciar aquellos
conceptos en los que se detecten más necesidades. El uso de aplicaciones como
GeoGebra nos permitirá adaptar de una manera más dinámica y flexible las actividades,
ya sea mediante refuerzo o ampliación de estas, según el ritmo de aprendizaje en cada
caso. También la realización de actividades en grupo se llevará a cabo formando grupos
heterogéneos de forma que el alumnado potencie y complemente las competencias del
resto de sus compañeros y compañeras. Las actividades de aprendizaje colaborativo y
dialógico que se realizan en las sesiones 7 y 8, y las actividades a desarrollar en
GeoGebra en las sesiones 9 y 10 permitirán llevar a cabo esta adaptación, según el ritmo
de aprendizaje del alumnado.
6.10.
Temporalización
Se plantea en este apartado la temporalización de las sesiones y la distribución de los
contenidos y actividades dentro de estas. Para ello se parte de la distribución temporal
dentro del cuarto curso de la E.S.O. de la materia Matemáticas orientadas a las
enseñanzas académicas, correspondiendo así a la unidad didáctica “7. Iniciación a la
geometría analítica” un total de 12 sesiones:
UNIDAD DIDÁCTICA
TEMPORALIZACIÓN (sesiones)
1. Números reales.
12
2. Expresiones algebraicas.
10
3. Ecuaciones y sistemas.
10
4. Inecuaciones y sistemas.
10
5. Semejanza y trigonometría.
10
6. Aplicaciones de la trigonometría.
6
7. Iniciación a la geometría analítica.
12
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UNIDAD DIDÁCTICA
TEMPORALIZACIÓN (sesiones)
8. Funciones.
12
9. Funciones elementales.
10
10. Introducción al concepto de límite.
10
11. Introducción al concepto de la derivada.
8
12. Combinatoria.
10
13. Probabilidad.
10
14. Estadística.
10
TOTAL
140
Estas sesiones serán de una hora de duración, contando por tanto con 12 horas para el
desarrollo de la unidad didáctica, que se distribuirá del siguiente modo:
-
SESIÓN 1: Introducción a la geometría analítica.
SESIÓN 2: Coordenadas y vectores. Propiedades. Representación.
SESIÓN 3: Operaciones con vectores. Distancia entre dos puntos.
SESIÓN 4: Actividades en aula de informática sobre vectores.
SESIÓN 5: Ecuaciones de la recta.
SESIÓN 6: Incidencia, paralelismo y perpendicularidad de rectas.
SESIÓN 7: Actividad de aprendizaje colaborativo: propiedades de paralelismo y
perpendicularidad.
SESIÓN 8: Posición relativa de punto y recta. Ecuación reducida de la
circunferencia.
SESIÓN 9: Actividades en aula de informática sobre ecuaciones de la recta y
posiciones relativas.
SESIÓN 10: Actividades contextualizadas en aula de informática. Repaso final.
SESIÓN 11: Evaluación de la unidad.
SESIÓN 12: Corrección y propuesta de actividades de refuerzo o ampliación.
En cuanto al desarrollo de los contenidos y actividades a lo largo de estas 12 sesiones,
se seguirá la siguiente distribución:
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SESIÓN 1: Introducción a la geometría analítica.
Objetivos: 1, 8, 9
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.7, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CD, CEC
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.12, CE.3
Desarrollo:
-
Se introduce la sesión haciendo una breve descripción de los conceptos que
se van a tratar durante la unidad. Se complementa con la reproducción del
siguiente video (15 minutos):
https://www.youtube.com/watch?v=2X58tuTrAfQ&list=WL&index=11&t=2s
-
Se debate acerca del mismo y se resuelven posibles dudas. Además, se lleva a
cabo una evaluación inicial mediante la aplicación PLICKERS (ANEXO I:
Actividad 1.1), sobre conocimientos previos y acerca de la compresión de lo
expuesto en el video. Servirá para detectar si se recuerdan conceptos como
pendiente y ordenada de una función lineal, cálculo de superficies de figuras
geométricas, etc. (25 minutos).
-
Se tratan en pizarra los conceptos en los que se hayan detectado más errores
en la actividad anterior. Se podrá hacer uso de los siguientes recursos para
aclarar contenidos (15 – 20 minutos):
o Pendiente y ordenada en una función lineal o recta:
Simulación Phet. Rectas: pendiente y ec explícita y puntopendiente.
o Proporción cordobesa:
https://www.geogebra.org/m/gskmDs82
-
Para finalizar se indica que en la aplicación Google Classroom disponen de la
primera actividad para casa: búsqueda de información acerca de algún autor
o autora importante en el contexto de la unidad (ANEXO I: Actividad 1.2).
70
SESIÓN 2: Coordenadas y vectores. Propiedades. Representación.
Objetivos: 2, 3, 9
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.7, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CAA, SIEP, CEC
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.12, CE.3
Desarrollo:
-
Se comienza con el desarrollo del concepto de vector y sus aplicaciones. Para
ello, se hace uso del libro de texto de Anaya, en concreto de la parte
introductoria con la actividad “Qué son los vectores y para qué sirven” (15
minutos).
-
Se continua con el desarrollo de las propiedades y con la representación de
vectores (25 minutos). Para ello, se hace uso del libro de texto:
o Representación y descripción de un vector.
o Propiedades: módulo, dirección y sentido.
o Igualdad entre vectores.
Para mejorar la compresión se podrá hacer uso de los siguientes recursos:
o https://infoymate.es/recursos/bruno.htm
o https://phet.colorado.edu/sims/html/vector-addition/latest/vectoraddition_es.html
-
Se finaliza la clase con un debate en grupos acerca de la actividad 1.2
introducida en la sesión anterior (15 – 20 minutos). Se pide que se entregue
por la plataforma Google Classroom copia del documento que se haya
redactado, indicando los cambios que han realizado tras el debate.
-
Se pide realizar como tarea las actividades 2.1 y 2.2 (ANEXO I).
71
SESIÓN 3: Operaciones con vectores. Distancia entre dos puntos.
Objetivos: 1, 3, 4
Contenidos: 1.2, 1.6, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CAA, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.2, CE.1.10, CE.3
Desarrollo:
-
Se comienza la clase realizando las dos actividades relacionadas con la sesión
anterior: 2.1 y 2.2 (10 minutos). Se comprueba que no existen dudas.
-
Relacionado con la última actividad se plantea un debate acerca de cómo
podría obtenerse la distancia entre dos puntos cualesquiera y se plantea para
realizar en clase la actividad 3.1 (ANEXO I) (15 minutos).
-
Se continua con el desarrollo de las operaciones con vectores. Estos conceptos
se plantearán analíticamente en esta sesión, incidiendo en lo importante de
trabajar por separado ambas coordenadas. Estos se analizarán
geométricamente en la siguiente sesión, estableciendo así la relación con sus
expresiones algebraicas. Los contenidos a tratar serán (30 minutos):
o Producto de un vector por un número.
o Suma y resta de vectores.
o Combinación lineal de vectores.
Para mejorar la compresión se podrá hacer uso de los siguientes recursos:
o https://infoymate.es/recursos/bruno.htm
o https://phet.colorado.edu/sims/html/vector-addition/latest/vectoraddition_es.html
-
Tras esto se plantea la realización en casa de la actividad 3.2 (ANEXO I).
72
SESIÓN 4: Actividades en aula de informática sobre vectores.
Objetivos: 1, 2, 3, 4, 9
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.7, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CD, CAA, CSC, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.3, CE.1.6, CE.1.11, CE1.12, CE.3
Desarrollo:
-
Se comenzará la sesión consultando si existen dudas relacionadas con lo
trabajado en la última sesión (no se corregirán las actividades, dejando que
sea el alumnado el que, tras esta sesión, revise si se realizaron correctamente
las operaciones, apoyándose en los recursos a utilizar). Se introducirán las
actividades a realizar en GeoGebra durante esta sesión, para lo que se
dispondrán en parejas (a criterio del profesor), indicando que los ejercicios
que se realicen se deberán entregar para su posterior evaluación (para lo que
se mostrará la rúbrica 4 al comienzo, que estará además a su disposición junto
al resto de rúbricas en la plataforma de Google Classroom) (5 minutos).
-
Se planteará la realización de las siguientes actividades (ANEXO I)(55 minutos):
o Actividad 4.1: Vectores y sus coordenadas.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v0
1coords.htm
o Actividad 4.2: Suma de vectores.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v0
3suma.htm
o Actividad 4.3: Resta de vectores.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v0
4resta.htm
o Actividad 4.4: Combinación lineal.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v0
6cl2.htm
Durante esta sesión se llevará a cabo un continuo seguimiento de cómo se van
desarrollando las actividades, apoyando en su resolución al alumnado, incluso
interviniendo si así se considera a nivel grupal cada cierto tiempo para
asegurar el mayor avance posible en el conjunto del alumnado. Se podrá hacer
uso del proyector para manipular directamente los recursos sobre los que se
esté trabajando o para presentar recursos ya tratados anteriormente.
73
SESIÓN 5: Ecuaciones de la recta.
Objetivos: 1, 5, 6
Contenidos: 1.1, 1.2, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CAA
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.3
Desarrollo:
-
Se da comienzo a la sesión consultando si existen dudas acerca de los
conceptos tratados hasta ahora y recordando que lo trabajado tanto en la
sesión anterior como en las siguientes que se realicen en el aula de informática
se valoraran de acuerdo a la rúbrica 4. Se revisarán también las actividades
pendientes de la sesión 3 (actividades 3.1 y 3.2) (10 minutos).
-
Se volverá a hacer mención a los conceptos de pendiente y ordenada en el
origen de una función lineal o recta, tratados en el segundo curso de la E.S.O.
y recordados en la primera sesión. Se incidirá en lo que significan y en cómo
pueden obtenerse (10 minutos).
-
Posteriormente se desarrollarán, haciendo uso de libro de texto, pizarra y
proyector, los siguientes conceptos (35 - 40 minutos):
o Ecuación vectorial de la recta.
o Ecuación paramétrica.
o Ecuación continua.
o Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
o Ecuación punto – pendiente.
o Ecuación general o implícita.
o Ecuación explícita.
Se seguirá el orden establecido, de forma que se observe cómo a partir de una
expresión de una ecuación se puede obtener la anterior y la posterior,
relacionando de este modo todas las expresiones indicadas. Se podrá hacer
uso del siguiente recurso https://infoymate.es/recursos/bruno.htm
Se concluirá recomendando que realicen en su cuaderno un esquema con
todas las expresiones y formas de obtenerlas (a modo de tarea para casa).
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SESIÓN 6: Incidencia, paralelismo y perpendicularidad de rectas.
Objetivos: 1, 5, 6
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.6, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CAA, CSC
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.10, CE.3
Desarrollo:
-
Se dará comienzo a esta sesión repasando lo trabajado en la anterior (se
realizará esquema en pizarra con las distintas expresiones trabajadas) (10
minutos).
-
Se pasará a desarrollar los siguientes conceptos, haciendo uso de los recursos
ya habitualmente utilizados (35 minutos):
o Relación entre pendiente de una recta y su vector dirección.
o Relación entre pendientes y vectores dirección de rectas paralelas.
o Relación entre pendientes y vectores dirección de rectas
perpendiculares.
o Relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas en función
de sus coeficientes.
Para finalizar la clase se plantean las siguientes actividades, terminándolas en
casa (15 minutos): 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4 (ANEXO I). Se recuerda que deben traer
los útiles de dibujo técnico para la siguiente clase.
-
SESIÓN 7: Actividad de aprendizaje colaborativo: propiedades de paralelismo y
perpendicularidad.
Objetivos: 1, 5, 6
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE1.3, CE.1.6, CE.1.9, CE.1.10, CE.3
Desarrollo:
75
-
Se consulta si existen dudas de lo hasta ahora tratado, se resuelven si es
necesario y se introduce la actividad de esta sesión (5 – 10 minutos).
-
Se realiza la actividad de aprendizaje colaborativo acerca de las propiedades
de paralelismo y perpendicularidad de rectas (actividad 7.1 del ANEXO I) (50
minutos).
-
Dado que no se podrá concluir la actividad en una sesión se propondrá
proseguir con ella en la siguiente sesión. Se recordará la tarea pendiente, que
será revisada en la próxima sesión.
SESIÓN 8: Posición relativa de punto y recta. Ecuación reducida de la circunferencia.
Objetivos: 1, 5, 6, 7
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 3.4, 3.5
Competencias: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE1.3, CE.1.6, CE.1.9, CE.1.10, CE.3
Desarrollo:
-
Se inicia la sesión revisando las actividades pendientes de la sesión 6 y
terminando la actividad iniciada en la sesión 7 (30 minutos).
-
Tras esto, se desarrollan los contenidos siguientes, haciendo uso de los
recursos habituales del aula (30 minutos):
o Posiciones relativas de dos rectas: resolución del sistema de
ecuaciones.
o Posición relativa de punto y recta.
o Ecuación reducida de la circunferencia.
-
Con las posibles dudas respecto a lo tratado resueltas se plantea para casa la
realización de las siguientes actividades: 8.1, 8.2 y 8.3 (ANEXO I).
76
SESIÓN 9: Actividades en aula de informática sobre ecuaciones de la recta y
posiciones relativas.
Objetivos: 1, 5, 6, 8, 9
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CD, CAA, CSC, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.3, CE.1.6, CE.1.9, CE.1.11, CE.1.12, CE.3
Desarrollo:
-
Tras la revisión de los ejercicios de la sesión anterior se procederá a introducir
las actividades a realizar en esta sesión (5 – 10 minutos).
-
Actividades a realizar (ANEXO I)(50 minutos):
o Actividad 9.1. Recta que pasa por dos puntos.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v1
4recta_2puntos.html
o Actividad 9.2.
o Actividad 9.3.
Durante esta sesión se procederá de manera similar a la anterior sesión en el
aula de informática (sesión 4), llevando a cabo una labor de apoyo en la
resolución de las actividades por parte del alumnado. Se podrá igualmente
hacer uso de los recursos ya expuestos anteriormente.
-
Se dará fin a la sesión tras proponer como tarea para casa que se busque
información acerca del arquitecto Andrés de Vandelvira (1509 – 1575), ya que
se trabajará con una de sus obras en la siguiente sesión.
SESIÓN 10: Actividades contextualizadas en aula de informática. Repaso final.
Objetivos: 1, 5, 6, 8, 9
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 3.4
Competencias: CCL, CMCT, CD, CAA, CSC, SIEP, CEC
77
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.3, CE.1.6, CE.1.9, CE.1.10, CE.1.11, CE.3
Desarrollo:
-
Se iniciará la sesión conversando acerca de la figura de Andrés de Vandelvira
(1509 – 1575), arquitecto renacentista con numerosas obras civiles y
arquitectónicas tanto en Úbeda como en la provincia de Jaén (5 minutos). Se
complementa esto con el siguiente video (se visualiza hasta 1 min 10 s):
https://www.youtube.com/watch?v=BMazCWvAAuA
-
Tras esta introducción se pasará a plantear y repartir la actividad 10.1 (ANEXO
I), la cual plantea llevar a cabo un diseño a escala del Puente Ariza (obra de
Vandelvira) (25 minutos).
-
Posteriormente, en la misma línea, se realizará la actividad 10.2 (ANEXO I).
Esta consistirá en un dimensionamiento de otra obra de importante valor
histórico en la zona como la Torre Ochavada (que forma parte del inmueble
Torres Oscuras de Torreperogil), en este caso previa a Vandelvira (25 minutos).
-
A modo de rápido repaso final de los principales conceptos se llevará cabo un
pequeño cuestionario con la aplicación PLICKES (actividad 10.3), recordando
que en la próxima sesión tendrá lugar la evaluación de la unidad (5 minutos).
-
Durante esta sesión se volverá a ejercer de apoyo en la resolución de las
actividades, tal y como se establece en el plan de clase de la sesión (ANEXO I).
SESIÓN 11: Evaluación de la unidad.
Objetivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Contenidos: 1.2, 1.3, 3.4, 3.5
Competencias: CCL, CMCT, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.2, CE.1.3, CE.3
Desarrollo:
78
-
Durante esta sesión se llevará a cabo una prueba escrita para valorar la
consecución de los objetivos y asimilación de los contenidos tratados en la
unidad. Esta prueba estará formada por las actividades 11.1, 11.2, 11.3, 11.4,
11.5, 11.6 (ANEXO I).
SESIÓN 12: Corrección y propuesta de actividades de refuerzo o ampliación.
Objetivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Contenidos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 3.4, 3.5
Competencias: CCL, CMCT, CAA, SIEP
Criterios de evaluación: CE.1.1, CE.1.2, CE.1.3, CE.1.9, CE.1.10, CE.3
Desarrollo:
-
En esta sesión final se lleva a cabo una revisión completa de la evaluación
escrita que se realizó en la clase anterior, incidiendo en aquellos posibles
errores detectados (40 minutos).
-
Se facilitan también las rúbricas que han permitido valorar el desarrollo de su
trabajo a lo largo de la unidad. Se concluye esta sesión y la unidad facilitando
una serie de actividades de refuerzo y de ampliación (ANEXO I) para aquella
parte del alumnado que necesite o quiera mejorar el resultado de la prueba
escrita, que deberán ser entregadas a través de la plataforma Google
Classroom, por lo que podrán comenzarse en clase y terminarlas en casa (20
minutos):
o Actividades de refuerzo para el alumnado que no haya superado la
prueba o que, tras haberla superado, se perciban carencias en la
asimilación de contenidos: 12.1, 12.2, 12.3
o Actividades de ampliación para el resto del alumnado: 12.4, 12.5
79
6.11.
Evaluación
Respecto a la evaluación se debe tener en cuenta tanto la asimilación de los contenidos
que se han tratado como el desarrollo de las competencias en el alumnado, integrando
así el conjunto de conocimientos, procesos, actitudes y contextos. De este modo, para
llevar a cabo la evaluación de esta unidad se tendrán en cuenta por un lado los criterios
de evaluación, siendo estos, según el Real Decreto 1105/2014, los referentes para
evaluar el aprendizaje, al describir aquello que se valora y que el alumnado debe lograr,
tanto en conocimientos como en competencias, y por otro las herramientas de
evaluación.
6.11.1. Criterios de evaluación
A estos, tal y como hemos comentado, se hace referencia tanto en el Real Decreto
1105/2014 como en la ORDEN de 14 de Julio de 2016 de la Junta de Andalucía.
Por un lado, en el Real Decreto 1105/2014 estos criterios se asocian a unos estándares
de aprendizaje evaluables, o tal y como se indica, a unas “especificaciones de los criterios
de evaluación que permiten definir los resultados de aprendizaje, y que concretan lo que
el estudiante debe saber, comprender y saber hacer en cada asignatura; deben ser
observables, medibles y evaluables y permitir graduar el rendimiento o logro alcanzado.
Su diseño debe contribuir y facilitar el diseño de pruebas estandarizadas y comparables.”
Por otro lado, la ORDEN los relaciona con las competencias a desarrollar, quedando así
todos los aspectos del currículo integrados. De este modo, los criterios de evaluación y
competencias y estándares de aprendizaje evaluables asociados, para los contenidos
tratados en esta unidad didáctica, englobados tanto en el “Bloque 1. Procesos, métodos
y actitudes en matemáticas” como en el “Bloque 3. Geometría” serán los siguientes. Se
incluye también un cuadro para llevar a cabo la evaluación de cada alumno y alumna
(ANEXO II), integrando los criterios de evaluación y los criterios de calificación, que se
describen en el apartado siguiente.
Contenidos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
1.1Planificación del CE.1.1.
Expresar
proceso de resolución verbalmente, de forma
de problemas.
razonada, el proceso
seguido en la resolución
de un problema. CCL,
CMCT.
EA.1.1.1. Expresa verbalmente, de
forma razonada, el proceso seguido en
la resolución de un problema, con el
rigor y la precisión adecuada.
1.2Estrategias
y CE.1.2. Utilizar procesos EA.1.2.1. Analiza y comprende el
procedimientos puestos de razonamiento y enunciado de los problemas (datos,
en práctica: uso del estrategias
de
80
Contenidos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
lenguaje
apropiado:
(gráfico,
numérico,
algebraico,
etc.),
reformulación
del
problema,
resolver
subproblemas, recuento
exhaustivo, empezar por
casos
particulares
sencillos,
buscar
regularidades y leyes,
etc.
resolución
de
problemas, realizando
los cálculos necesarios y
comprobando
las
soluciones obtenidas.
CMCT, CAA.
relaciones entre los datos, contexto
del problema).
1.3Reflexión sobre
los resultados: revisión
de las operaciones
utilizadas, asignación de
unidades
a
los
resultados,
comprobación
e
interpretación de las
soluciones
en
el
contexto de la situación,
búsqueda de otras
formas de resolución,
etc.
CE.1.3.
Describir
y
analizar situaciones de
cambio, para encontrar
patrones, regularidades
y leyes matemáticas, en
contextos numéricos,
geométricos,
funcionales, estadísticos
y
probabilísticos,
valorando su utilidad
para hacer predicciones.
CCL, CMCT, CAA.
EA.1.3.1.
Identifica
patrones,
regularidades y leyes matemáticas en
situaciones de cambio, en contextos
numéricos, geométricos, funcionales,
estadísticos y probabilísticos.
1.5Práctica de los
procesos
de
matematización
y
modelización,
en
contextos de la realidad
y
en
contextos
matemáticos.
CE.1.6.
Desarrollar
procesos
de
matematización
en
contextos de la realidad
cotidiana (numéricos,
geométricos,
funcionales, estadísticos
o probabilísticos) a
partir
de
la
identificación
de
problemas
en
situaciones
problemáticas de la
realidad. CMCT, CAA,
CSC, SIEP.
EA.1.6.2. Establece conexiones entre
un problema del mundo real y el
mundo matemático, identificando el
problema o problemas matemáticos
que subyacen en él y los conocimientos
matemáticos necesarios.
81
EA.1.2.4. Utiliza estrategias heurísticas
y procesos de razonamiento en la
resolución
de
problemas
reflexionando sobre el proceso de
resolución de problemas.
EA.1.6.3. Usa, elabora o construye
modelos matemáticos sencillos que
permitan la resolución de un problema
o problemas dentro del campo de las
matemáticas.
Contenidos
1.6Confianza en las
propias
capacidades
para
desarrollar
actitudes adecuadas y
afrontar las dificultades
propias del trabajo
científico.
1.7Utilización de
medios tecnológicos en
el
proceso
de
aprendizaje para:
a). la recogida ordenada
y la organización de
datos.
b). la elaboración y
creación
de
representaciones
gráficas
de
datos
numéricos, funcionales
o estadísticos.
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
CE.1.9.
Superar EA.1.9.1. Toma decisiones en los
bloqueos
e procesos de resolución de problemas,
inseguridades ante la de investigación y de matematización
resolución
de o de modelización, valorando las
situaciones
consecuencias de las mismas y su
desconocidas.
CMCT, conveniencia por su sencillez y utilidad.
CAA, SIEP.
CE.1.10.
Reflexionar
sobre las decisiones
tomadas, aprendiendo
de ello para situaciones
similares futuras. CMCT,
CAA, SIEP.
EA.1.10.1. Reflexiona sobre los
problemas resueltos y los procesos
desarrollados, valorando la potencia y
sencillez de las ideas claves,
aprendiendo para situaciones futuras
similares.
CE1.11. Emplear las
herramientas
tecnológicas adecuadas,
de forma autónoma,
realizando
cálculos
numéricos, algebraicos
o estadísticos, haciendo
representaciones
gráficas,
recreando
situaciones matemáticas
mediante simulaciones
o analizando con sentido
crítico
situaciones
diversas que ayuden a la
comprensión
de
conceptos matemáticos
o a la resolución de
problemas. CMCT, CD,
CAA.
EA.1.11.4. Recrea entornos y objetos
geométricos
con
herramientas
tecnológicas interactivas para mostrar,
analizar y comprender propiedades
geométricas.
c).
facilitar
la
comprensión
de
propiedades
geométricas
o
funcionales
y
la
realización de cálculos
de
tipo
numérico, CE.1.12. Utilizar las
de
la
algebraico o estadístico. tecnologías
información
y
la
d). el diseño de comunicación de modo
simulaciones
y
la habitual en el proceso
elaboración
de de
aprendizaje,
predicciones
sobre
82
EA.1.12.1.
Elabora
documentos
digitales propios (texto, presentación,
imagen, video, sonido…), como
resultado del proceso de búsqueda,
análisis y selección de información
relevante, con la herramienta
Contenidos
Criterios de evaluación
situaciones
matemáticas diversas.
buscando, analizando y tecnológica adecuada y los comparte
seleccionando
para su discusión o difusión.
información relevante
en Internet o en otras
fuentes,
elaborando
documentos
propios,
haciendo exposiciones y
argumentaciones de los
mismos y compartiendo
éstos
en
entornos
apropiados para facilitar
la interacción. CCL,
CMCT, CD, CAA.
3.4Iniciación a la
geometría analítica en el
plano:
Coordenadas.
Vectores. Ecuaciones de
la recta. Paralelismo,
perpendicularidad.
3.5Ecuación
reducida
de
circunferencia.
Estándares de aprendizaje evaluables
CE.3. Conocer y utilizar
los
conceptos
y
procedimientos básicos
de la geometría analítica
plana para representar,
describir y analizar
formas
y
configuraciones
la
geométricas sencillas.
CCL, CMCT, CD, CAA,
CEC.
EA.3.1. Establece correspondencias
analíticas entre las coordenadas de
puntos y vectores.
EA.3.2. Calcula la distancia entre dos
puntos y el módulo de un vector.
EA.3.3. Conoce el significado de
pendiente de una recta y diferentes
formas de calcularla.
EA.3.4. Calcula la ecuación de una
recta de varias formas, en función de
los datos conocidos.
EA.3.5. Reconoce distintas expresiones
de la ecuación de una recta y las utiliza
en el estudio analítico de las
condiciones de incidencia, paralelismo
y perpendicularidad.
EA.3.6. Utiliza recursos tecnológicos
interactivos para crear figuras
geométricas
y
observar
sus
propiedades y características.
Tabla 13. Criterios de evaluación. Fuente: RD 1105/2014 y ORDEN de 14 de julio de 2016 (elaboración
propia).
83
6.11.2. Criterios de calificación
Tras haber definido y relacionado todos los elementos a evaluar se describe cómo se
llevará a cabo esta evaluación, es decir, los criterios de calificación o instrumentos que
usaremos para llevarla a cabo, relacionando cada uno de ellos con su correspondiente
rúbrica, las cuales nos permitirán especificar la metodología de evaluación de cada una
de las actividades, tareas, pruebas e intervenciones del alumnado.
Así, los instrumentos de evaluación y su ponderación para esta unidad serán los que
siguen, incluyéndose cada una de las rubricas en el ANEXO II de este documento.
Instrumento de evaluación
Ponderación
Rúbrica
Búsqueda y tratamiento de la información
5%
1
Intervenciones en clase
10%
2
Resolución de problemas
10%
3
Actividades colaborativas
25%
4
Evaluación final
50%
5
Tabla 14. Instrumentos de evaluación (elaboración propia).
A este respecto, indicar por último lo que a efectos de evaluación de la materia establece
la ORDEN de 14 de julio de 2016, en la cual se establece que los “resultados de la
evaluación de cada materia se extenderán en la correspondiente acta de evaluación, en
el expediente académico del alumno o alumna y en el historial académico y se
expresarán mediante una calificación numérica, en una escala de uno a diez, sin emplear
decimales, que irá acompañada de los siguientes términos: Insuficiente (IN), Suficiente
(SU), Bien (BI), Notable (NT), Sobresaliente (SB), aplicándose las siguientes
correspondencias: Insuficiente: 1, 2, 3 o 4. Suficiente: 5. Bien: 6. Notable: 7 u 8.
Sobresaliente: 9 o 10. Se considerarán calificación negativa los resultados inferiores a 5”.
Se establece en la ORDEN, además, respecto a las competencias desarrolladas que “el
nivel competencial adquirido por el alumnado se reflejará al final de cada curso en el
acta de evaluación, en el expediente académico y en el historial académico, de acuerdo
con la secuenciación de los criterios de evaluación detallada en los Anexos I, II y III y con
la concreción curricular especificada en las programaciones didácticas. Con este fin se
emplearán los siguientes términos: Iniciado (I), Medio (M) y Avanzado (A)”.
84
7. Conclusiones
A modo de conclusión de este documento, indicar en primer lugar que, durante el
desarrollo del mismo, en primera instancia ha predominado el trabajo de investigación,
lectura y análisis, no solo de toda la documentación trabajada durante el transcurso de
este Máster, sino también de numerosos recursos que fueron proporcionados por el
profesorado.
Así, la integración de toda esta información se ha realizado a lo largo de los respectivos
apartados de los que se compone este documento, plasmando en primer lugar el marco
normativo curricular en el que debe ubicarse la unidad, describiendo todos los
elementos que componen el currículo (objetivos, competencias, contenidos,
metodologías didácticas, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje
evaluables), para continuar con el análisis de la transposición didáctica llevada a cabo
por diversas editoriales, pudiendo estudiar la contextualización de estas, así como las
metodologías y actividades desarrolladas.
Seguidamente se ha llevado a cabo una exposición del “saber matemático”, o
fundamentación epistemológica, de los elementos matemáticos que se han
desarrollado en la unidad matemática, para terminar esta fase de estudio con una
relación de artículos e investigaciones didácticas, donde se ha podido comprobar la
importancia de suprimir o reducir los obstáculos en el aprendizaje mediante el uso de
actividades de manipulación y experimentación, haciendo uso de recursos de geometría
dinámica. Estos recursos, al mismo tiempo, permiten mejorar la implicación activa y
motivación del alumnado, al convertirse este en el principal actor de su aprendizaje, sin
olvidar la función del profesor como guía en este proceso.
Tras esta fase de recopilación y análisis se ha desarrollado la programación de la unidad
didáctica objeto de este documento, en la cual se han intentado integrar de manera
ordenada todos los elementos descritos anteriormente, incluyendo desde la
justificación de la unidad hasta su evaluación, pasando por la descripción de los
objetivos perseguidos, las competencias que se busca desarrollar y potenciar y, por
último, los contenidos a tratar junto con las metodologías, actividades y recursos
puestos a disposición para ello, relacionando todo esto en la temporalización de las
distintas sesiones que conforman esta unidad.
Destacar asimismo la importancia del proceso de prácticas durante el desarrollo de este
documento, permitiendo analizar de primera mano el desarrollo de situaciones
didácticas que ponían de manifiesto la importancia de la implicación y motivación del
alumnado en el proceso, así como el gran avance que ha supuesto en la enseñanza el
uso de recursos tecnológicos que permitan al alumnado la manipulación y
experimentación con los elementos matemáticos.
85
8. Referencias bibliográficas
Alcaide Guindo, F., Rocafort, J. A., & García Martín, D. (2016). Matemáticas orientadas
a las enseñanzas académicas. 4 ESO. Ediciones SM.
Álvarez-Nodarse, R. (24 de Abril de 2017). Galileo y las Matemáticas del Universo.
Obtenido
de
https://institucional.us.es/blogimus/2017/04/galileo-y-lasmatematicas-del-universo/
Arias Cabezas, J. M., & Maza Sáez, I. (2016). Matemáticas académicas 4 ESO. Grupo
Editorial Bruño.
Arranz, J. M., & Lobo, M. d. (s.f.). Curso de Geometría. Obtenido de
http://maralboran.org/web_ma/geometria/textos/didac.htm
Arregui Fernández, J. (1988). Matemáticas COU. Madrid: Editorial Magisterio.
Arregui Fernández, J., Lafuente López, J., Morales González, I., & Padilla Garví, F. (1987).
Matemáticas. Curso de orientación universitaria. Madrid: Editorial Magisterio.
Barrantes, M., & Zapata, M. A. (2008). Obstáculos y errores en la enseñanza-aprendizaje
de las figuras geométricas. Revista Campo Abierto, 55-71.
Barrantes, M., Balletbo, I., & Fernández, M. Á. (2013). Enseñar Geometría en Secundaria.
ACADEMICUS, 26-33.
Barrantes, M., Balletbo, I., & Fernández, M. Á. (2013). La Enseñanza - Aprendizaje de la
Matemática (Geometría) en Educación Secundaria en la última década. Revista
de la Sociedad Argentina de Educación Matemática., 41-50.
Colerá Jiménez, J. .. (2016). Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 4º
educación secundaria obligatoria. Anaya Educación.
Colombo, E., Carolina, V., & Rita, M. (2016). "La génesis histórica de la Geometría
Analítica y la enseñanza en la Escuela Secundaria". Números, 93-110.
Costa Llobet, J. (2011). Plataforma de Matematización en un entorno Geogebra dentro
de un planteamiento didáctico "desde abajo hacia arriba". Enseñanza de las
Ciencias, 101-114.
De Diego Martín, B., Llerena Achútegui, A., & Padilla Garví, F. (2000). Temas de
oposiciones a profesores de enseñanza secundaria Matemáticas. Madrid:
Deimos.
Flores, P. (2002). Laberintos con alambre (estructuras topológico - métricas). . SUMA,
19-28.
86
Gamboa, R., & Ballestero, E. (2010). La enseñanza y aprendizaje de la geometría en
secundaria, la perspectiva de los estudiantes. Revista Electrónica Educare, 125142.
García Armenteros, M. (2021). Nociones de Didáctica de las Matemáticas (Asignatura
Aprendizaje y Enseñanza I de la materia de Matemáticas). Jaén: Universidad de
Jaén.
Gascón, J. (2002). Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos
mundos completamente separados? Revista SUMA, 13-25.
Hipódromo de la Zarzuela - Ficha, Fotos y Planos. (s.f.). Obtenido de
https://es.wikiarquitectura.com/edificio/hipodromo-de-la-zarzuela/#
Ibañes, M. (2001). Un ejemplo de demostración en Geometría como medio de
descubrimiento. . SUMA, 95-98.
Instituto Nacional de Estadística. (8 de Mayo
https://www.ine.es/jaxiT3/Datos.htm?t=2876
de
2021).
Obtenido
de
Iranzo, N., & Fortuny, J. M. (2008). La influencia del SGD en las estrategias de resolución
de problemas de geometría analítica. Investigación en educación matemática XII.
Iranzo, N., & Fortuny, J. M. (2009). La influencia conjunta del uso de geogebra y lápiz y
papel en la adquisión de competencia del alumnado. Revista de investigación y
experiencias didácticas., 433-445.
Samper, C., & Plazas, T. (2017). Tipos de mensajes del profesor durante la producción
de una demostración en geometría. Revista IberoAmericana de Educación
Matemática, 37-60.
Torregrosa, G., Haro, M. J., & Llinares, S. (2010). Concepciones del profesor sobre la
prueba de software dinámico: desarrollo de un entorno visual de aprendizaje.
Revista de educación., 379-404.
-
Referencias normativas:
Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación:
https://www.boe.es/eli/es/lo/2006/05/03/2/con
Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico
de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato:
https://www.boe.es/eli/es/rd/2014/12/26/1105/con
87
Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las
competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educación primaria, la
educación secundaria obligatoria y el bachillerato:
https://www.boe.es/eli/es/o/2015/01/21/ecd65
Orden de 14 de julio de 2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la
Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan
determinados aspectos de la atención a la diversidad y se establece la ordenación de la
evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado:
https://www.juntadeandalucia.es/boja/2016/144/18
88
ANEXO I: ACTIVIDADES
89
ANEXO I: ACTIVIDADES.
Actividad 1.1. Evaluación inicial con Plickers: https://www.plickers.com/library
Ilustración 14. Actividad 1.1. Evaluación Inicial propuesta con PLICKERS (elaboración propia).
90
Actividad 1.2. Búsqueda de información acerca de autor o autora.
Busca información acerca de algún autor o autora que contribuyera al desarrollo de la
geometría analítica. Prepara un documento escrito a mano para la próxima sesión con:
-
Nombre, fechas y lugar en las que vivió.
Principales ocupaciones.
Principales aportaciones a la geometría analítica.
Algún aspecto o anécdota que te parezca interesante acerca de su vida u obra.
Actividad 2.1. El cuadrilátero ABCD es un rombo, y M, N, P y Q, los puntos medios de
sus lados (Libro Editorial Anaya, página 181).
Ilustración 15. Actividad 2.1. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 181, elaboración propia).
Indica si los siguientes pares de vectores tienen el mismo módulo y/o la misma dirección
y sentido:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑄
c) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐶 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑃
d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶
Actividad 2.2. Dados los puntos A(-2,0), B(4,0), C(5,1) y D(-3,2), halla las coordenadas
de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑩𝑪, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑪𝑫 y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑫. Calcula, también, sus módulos (Libro Editorial
Anaya, página 181).
Actividad 3.1. Comprueba que el triángulo de vértices A(-1,0) B(3,2) y C(7,4) es
isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales? (Libro Editorial Anaya, página 182).
⃗ (𝟏, 𝟑), 𝒗
⃗ (−𝟐, 𝟓) y 𝒘
Actividad 3.2. Dados los vectores 𝒖
⃗⃗⃗ (−𝟏, −𝟑), efectúa estas
operaciones (Libro Editorial Anaya, página 181).:
⃗ +𝒗
⃗ +𝒘
a) 𝒖
⃗⃗⃗
⃗ −𝒗
⃗ −𝒘
b) 𝒖
⃗⃗⃗
⃗ +𝒗
⃗ − 𝟐𝒘
c) −𝟐𝒖
⃗⃗⃗
91
Actividad 4.1. Vectores y sus coordenadas:
Ilustración 16. Actividad 4.1. Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v01coords.htm
Actividad 4.2. Suma de vectores:
Ilustración 17. Actividad 4.2. Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v03suma.htm
92
Actividad 4.3. Resta de vectores:
Ilustración 18. Actividad 4.3. Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v04resta.htm
Actividad 4.4. Combinación lineal:
Ilustración 19. Actividad 4.4. Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v06cl2.htm
93
Actividad 6.1. Escribe, en cada caso, las ecuaciones: vectorial, paramétricas, en forma
continua y explícita de las rectas que pasan por el punto P(-4,3) y tienen como vector
dirección (Libro Editorial Anaya, página 182):
a) 𝑑 (2, −1)
b) 𝑑 (−1, −3)
Actividad 6.2. Escribe las ecuaciones paramétricas y explícita de las rectas r, s y t (Libro
Editorial Anaya, página 182).
s
r
t
Ilustración 20. Actividad 6.2. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 182, elaboración propia).
Actividad 6.3. Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto
P en los siguientes casos (Libro Editorial Anaya, página 182):
a) r: y = −2x + 3; P(−3,2)
b) r: 3x − 2y + 1 = 0; P(4, −1)
c) r: x = 3; P(0,4)
Actividad 6.4. Prueba que el cuadrilátero de vértices A(4,2), B(-2,5), C(-5,2) y D(-2,-4)
es un trapecio isósceles y calcula su perímetro (Libro Editorial Anaya, página 185).
Actividad 7.1. “Conectando perpendiculares” (actividad de aprendizaje colaborativo y
dialógico. Fuente: https://undergroundmathematics.org/geometry-of-equations/lotsof-lines/assets/a10.pdf)
Los contenidos que se tratan son paralelismo y perpendicularidad de rectas.
Los objetivos específicos de esta actividad son:
-
Aprender a identificar adecuadamente las propiedades de perpendicularidad.
Identificar rectas perpendiculares a partir de sus ecuaciones.
Relacionar las propiedades de paralelismo y perpendicularidad.
Comprender adecuadamente las razones de paralelismo y perpendicularidad.
94
La actividad se compondrá de las siguientes fases (descritas en el plan de clase):
1- Introducción y explicación de las actividades a realizar.
2- Trabajo en parejas: representación gráfica de rectas a partir de una pendiente
dada por el profesor, así como de ciertas paralelas y perpendiculares a las
mismas. Encontrar la conexión entre pendiente de una recta, de su paralela y de
su perpendicular.
3- Debate grupal: exposición de resultados obtenidos.
4- Trabajo en parejas: clasificación de las siguientes ecuaciones según las
propiedades que se indican.
ECUACIONES:
y = 4x + 4
4y = x + 3
y = 8x – 3
y + 4x + 6 = 0
3y = 2x – 8
y + 6x = 11
y + 8x = 6
2y + 8 = 3x
2y + x = 4
2y = 8x + 3
y = 6x – 4
y+x+8=0
PROPIEDADES:
Rectas paralelas:
Rectas perpendiculares:
Rectas con igual intersección en el eje y.
Rectas con igual intersección en el eje x.
Rectas que pasan por el punto (1,5).
Rectas que ….
Ilustración 21. Actividad 7.1. Fase 4 (elaboración propia).
5- Debate grupal: exposición por grupos de cómo se identifican las propiedades.
6- Trabajo en parejas: obtención de ecuaciones de los lados de una figura
cualquiera aportada por el profesor, representada sobre el plano.
95
Ilustración 22. Actividad 7.1. Fase 6 (elaboración propia).
7- Debate grupal: exposición de resultados obtenidos.
8- Trabajo en parejas: explicación paso a paso de ejercicio propuesto y resuelto.
ECUACIONES:
−
𝟏𝟖
= −𝟑
𝟔
−𝟑 →
𝒚=
(
EXPLICACIÓN:
𝟏
𝟑
𝟏
𝒙+𝒄
𝟑
−𝟐 + 𝟒 𝟏𝟏 + (−𝟕)
,
) = (𝟏, 𝟐)
𝟐
𝟐
𝟐=
𝟏
∗𝟏+𝒄
𝟑
𝒄=
𝒚=
𝟓
𝟑
𝟏
𝟓
𝒙+
𝟑
𝟑
𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟓 = 𝟎
Ilustración 23. Actividad 7.1. Fase 8 (elaboración propia).
96
Por último, el plan de clase de la actividad propuesta sería:
1- Introducción y explicación de las actividades a realizar. Se pide a los alumnos que
trabajen sobre papel cuadriculado.
2- Trabajo en parejas: una vez ubicados en parejas, se pide a cada pareja que, sobre
papel cuadriculado, dibujen una recta cualquiera que tenga pendiente igual al
número con que hemos identificado a esa pareja. A continuación, se pide dibujar
una recta paralela y otra perpendicular a la primera, haciendo uso del juego de
reglas y/o del transportador de ángulos si fuera necesario, y solicitando además
que calculen la pendiente de ambas rectas. Se continúa sugiriendo que dibujen
otras rectas con distinta pendiente y que intenten encontrar la conexión que
existe entre la pendiente de una recta, la de su paralela y la de su perpendicular.
3- Debate grupal: se exponen los resultados obtenidos, comprobando que se
comprende la relación existente entre las pendientes de ambas rectas. Se solicita
a cada pareja que aporten ejemplos de rectos con cierta pendiente, o
perpendicular a tal recta, facilitando al resto de compañeros la ecuación. Se
puede también pedir que calculen una recta perpendicular a una dada.
4- Trabajo en parejas: se reparte en clase la tabla que se ha expuesto
anteriormente, pidiendo que clasifiquen en cada propiedad un par de
ecuaciones de las propuestas. Se incluye una última propiedad que deben
descubrir, y cuyo único objetivo es que no clasifiquen “por descarte”. Durante
esta fase se hará un seguimiento del avance de cada pareja, solicitando, si se
estima necesario, razonamientos acerca de por qué han clasificado las
ecuaciones en cada propiedad.
Es probable que tras esta fase no quede tiempo en esta primera sesión, continuando
la siguiente fase en la siguiente sesión.
5- Debate grupal: se debate acerca de cómo han sido capaces de identificar ciertas
propiedades, confirmando que se han asimilado los contenidos.
6- Trabajo en parejas: se continúa proyectando la figura indicada, sobre ejes de
coordenadas en el plano, solicitando que averigüen posibles ecuaciones para
obtener cada lado de la figura.
7- Debate grupal: se comentan en clase los resultados obtenidos por cada pareja,
analizando el proceso de obtención de ecuaciones de cada una de ellas.
8- Trabajo en parejas: se reparte la última tabla expuesta, en la cual se muestra la
solución paso a paso de un ejercicio, pidiendo en este caso que expongan
razonadamente que se está realizando en cada paso. Se concluirá la actividad
pidiendo que entreguen los documentos facilitados para poder valorar y evaluar
su desempeño.
97
Actividad 8.1. Halla el punto de intersección de las rectas r y s en el caso siguiente
(Libro Editorial Anaya, página 182):
r: 3x − 2y + 9 = 0;
s: x − 2y + 5 = 0
Actividad 8.2. Representa las rectas 3x+6=0 y 2y-5=0 y halla su punto de intersección
(Libro Editorial Anaya, página 182).
Actividad 8.3. Halla, en cada caso, la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
dada y cuyo radio mida la mitad (Libro Editorial Anaya, página 185).
a) x 2 + (y − 5)2 = 36
b) (x − 4)2 + (y + 3)2 = 12
Actividad 9.1. Recta que pasa por dos puntos.
Ilustración 24. Actividad 9.1. Fuente:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v14recta_2puntos.html
Actividad 9.2. Dados los puntos: A(2,-3), B(5,2) y C(4,4), halla el punto D de modo que
ABCD sea un paralelogramo. Fuente:
(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v13ejercicios.html)
Actividad 9.3. Dados los puntos A(-1,1) y B(5,3), escribe la condición que deben cumplir
las coordenadas del punto C(x,y) para que el triángulo ABC sea isósceles con el lado
AB desigual. Fuente:
(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v13ejercicios.html)
98
Actividad 10.1. Recreación del Puente Ariza.
El ayuntamiento de Úbeda quiere realizar, en homenaje a Andrés de Vandelvira, una
representación de una de sus más importantes obras de ingeniería civil, el Puente Ariza,
que salva el río Guadalimar. Como sabéis, tras la construcción del embalse del Giribaile
el puente se ve afectado por el nivel máximo del embalse, siendo habitual verlo en
ciertos momentos del año como nos muestra el profesor mediante el proyector.
Teniendo en cuenta estas circunstancias, así como el importante valor histórico de este
puente, el Ayuntamiento ha decidido llevar a cabo una réplica a escala del mismo en el
Parque Norte. Para ello, y en base a nuestros conocimientos de geometría, nos han
pedido que les ayudemos con el diseño. Así las cosas, nos han pasado los siguientes
bocetos hechos a mano, en el que nos consultan lo siguiente:
1- Si se considera una longitud de puente de 20 metros, ¿qué altura máxima tendrá
el puente si los estribos se ubican a 1,5 metros sobre el suelo y la inclinación
de las calzadas es 0,1 (10%)?
Las inclinaciones o pendientes son de signo contrario (creciente y decreciente).
Además, el punto de máxima altura se ubica en la mitad del puente.
Ilustración 25. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 1 (elaboración propia).
Altura máxima del puente sobre el suelo (cota 0 metros):
99
m.
2- Tras plantear la solución no quedan muy satisfechos y plantean que elevemos la
cota del puente lo necesario para que el arco tenga un radio de 3 metros
(suponemos que el arco es circular). En ese caso, teniendo en cuenta que los
estribos deben quedar a la misma altura, ¿qué inclinación tendrán ambas
calzadas?
Ilustración 26. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 2 (elaboración propia).
Inclinación de ambas calzadas:
y
.
3- Esta solución parece que tampoco les convence y deciden volver a la primera
opción. Al mismo tiempo nos piden, de cara a contactar con la cantera, que les
digamos que volumen total tendría la réplica, teniendo en cuenta un ancho de
2 metros y que el área libre del arco de circunferencia es de 5 m2.
A este respecto, nos podemos guiar por este croquis para calcular las áreas.
Ilustración 27. Actividad 10.1. Croquis de la cuestión 2 (elaboración propia).
100
Volumen total de la réplica:
m 3.
Por último, el plan de clase de esta actividad sería:
En todo momento se irán aclarando posibles conceptos externos a lo matemático que
puedan generar confusión (estribos, calzadas, etc.).
De cara a la resolución se irán planteando cuestiones que los guíen hacia el uso de los
conceptos de esta unidad, como:
-
-
-
-
¿Habéis ubicado la figura en algún sistema de coordenadas? En ese caso ¿dónde
habéis situado el eje X?
¿Habéis planteado algún tipo de ecuación de la recta para ambas calzadas? A
parte de la inclinación o pendiente, ¿qué otro dato necesitamos para poder
plantearlas?
El punto H (altura máxima), ¿a qué recta pertenecería? ¿Podríamos sustituir en
esta para obtener sus coordenadas?
¿Podríamos plantear un sistema de ecuaciones para obtener el punto H como
intersección de dos rectas?
Si lo único que nos piden es que modifiquemos la altura, ¿tenemos datos para
suficientes para obtener esas nuevas expresiones?
¿Podemos obtener esas expresiones en base a los datos que tenemos? Si
tenemos dos puntos de una recta, ¿nos faltaría algo más para poder plantear las
ecuaciones?
Si los estribos forman parte de las calzadas y, por lo tanto, pertenecen a las rectas
que las conforman, ¿podríamos obtener la inclinación a partir de los datos
facilitados?
Sin tener en cuenta el área del arco de circunferencia, ¿a qué figura geométrica
o composición de estas podría asemejarse el puente?
Se valorará la destreza al obtener los datos solicitados, independientemente del proceso
llevado a cabo, aunque se fomentará el trabajo en el ámbito gráfico y en el analítico. La
construcción de los elementos con GeoGebra les permitirá evitar posibles obstáculos
que aparezcan durante la resolución del ejercicio. En cualquier caso, se seguirá el avance
de todos los grupos, guiando a través de las cuestiones anteriores.
101
Actividad 10.2. Construyendo una torre ochavada.
En el próximo pasacalles de Torreperogil unos amigos quieren honrar la historia de su
pueblo y han pensado construir una torre ochavada de madera, que se parezca a la que
preside el recinto de Torres Oscuras, tal y como nos muestra el profesor mediante el
proyector.
Para ello, nos han pasado un boceto con las dimensiones de la plataforma en la que
harán el pasacalles (4x2 m) y nos han indicado que les gustaría que la torre pudiera
inscribirse en una circunferencia de 0,5 metros de radio (R) aproximadamente. También
nos han representado en planta la torre hecha a mano, dejando una separación (s) de
unos 20 cm hasta el borde de la plataforma.
Ilustración 28. Actividad 10.2. Croquis (elaboración propia).
Así las cosas, nos han pedido en primer lugar que les ayudemos a calcular la proporción
que existe entre el radio de la circunferencia que circunscribe a un octógono regular y
su lado.
Dimensión del lado del octógono regular:
102
m.
En segundo lugar, les gustaría saber en qué punto exacto de la plataforma habría que
centrar la figura, es decir la ubicación del centro de la circunferencia o del centro del
octógono, teniendo en cuenta cómo quieren colocarla sobre la plataforma.
Coordenadas del centro de la figura: (
,
).
Por último, para que el carpintero les prepare la madera necesaria nos preguntan qué
superficie total tendrá la torre, sin contar las bases, si la altura de la misma será de 2
metros.
m 2.
Superficie total de las caras de la figura:
Por último, se incluye el plan de clase de esta actividad:
Al igual que en la actividad anterior, en todo momento se irán aclarando posibles
conceptos externos a lo matemático que puedan generar confusión (ochavada, planta,
etc.).
Respecto a las cuestiones que los guíen hacia el uso de los conceptos de esta unidad:
-
¿Habéis ubicado la figura en algún sistema de coordenadas? En ese caso ¿dónde
habéis situado el eje X?
¿Cómo se denomina la proporción que nos relaciona el radio y el lado de un
octógono regular? La tenemos presente en una ciudad cercana.
¿Podemos construir el octógono en primer lugar, fuera de la plataforma?
¿Podemos colocarlo tal y como nos indican?
¿Podríamos representar la circunferencia que circunscribe al octógono,
haciendo uso de las herramientas de GeoGebra?
¿Podríamos obtener qué coordenadas tiene esa circunferencia observando
únicamente la expresión algebraica de la misma en GeoGebra?
Se facilitarán expresiones o conceptos previos (perímetro del octógono, cálculo de su
superficie, etc.) si se observara que eso les impide avanzar en la resolución del ejercicio.
Lo importante en este caso, además de la destreza que puedan mostrar en la resolución
del ejercicio, es la habilidad para trabajar con GeoGebra, representando las figuras que
nos facilitan, así como obtener las coordenadas y saber trabajar con la expresión de la
circunferencia.
103
Actividad 10.3. Repaso con Plickers: https://www.plickers.com/library
Ilustración 29. Actividad 10.3. Repaso con PLICKERS (elaboración propia).
Actividad 11.1. Observa la figura y completa el espacio para que se cumpla la igualdad
entre los siguientes vectores (Fuente: Libro Editorial Anaya. Página 181).
a) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ____ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ = ____ ⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑂𝐶
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
c) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑄 = ____ 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ____ 𝑁𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d) 𝐴𝐷
Ilustración 30. Actividad 11.1. (Fuente: Libro Editorial Anaya, página 181, elaboración propia).
104
⃗ (𝟎, 𝟏), 𝒗
⃗ (−𝟏, 𝟒) y 𝒘
Actividad 11.2. Dados los vectores 𝒖
⃗⃗⃗ (𝟑, −𝟐) efectúa las siguientes
operaciones:
a) −𝑢
⃗ + 3𝑣
1
b) 2 𝑣 − 𝑢
⃗ +𝑤
⃗⃗
Actividad 11.3. Da, en cada caso, un vector dirección y escribe las ecuaciones vectorial
y explícita de las rectas que pasan por ambos puntos.
a) A(1,0), B(0,-2)
b) E(4,1), F(-5,7)
Actividad 11.4. La recta r es paralela a 3x-2y+2=0, y la recta s es perpendicular a ellas.
Ambas pasan por el punto P(2,3). Expresa la ecuación de ambas, indicando el tipo de
ecuación.
Actividad 11.5. Dado el triángulo de vértices A(3,3) B(2,1) y C(-2,5), obtiene:
a) Las ecuaciones de los tres lados.
b) La paralela al eje X que pasa por el punto A.
c) El área del triángulo, teniendo en cuenta que la intersección de la paralela
anterior con el lado BC se produce en el punto D(0,3).
Ilustración 31. Actividad 11.5 (elaboración propia).
105
Actividad 11.6. Indica para cada expresión el centro y el radio de la circunferencia.
a) (x − 1)2 + (y + 1)2 = 144
b) x 2 + y 2 = 64
Actividad 12.1. Dados los puntos A(-3,0), B(3,0) y C(7,2), halla las coordenadas de los
vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑩𝑪 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑪. Calcula también sus módulos.
Actividad 12.2. Halla dos puntos de cada una de las siguientes rectas y expresa un
vector dirección de ellas:
a) x-3y+1=0
b) y=6
Actividad 12.3. Escribe la ecuación de las siguientes rectas y da, en cada caso, un vector
dirección:
a) Pasar por (-3,1) y su pendiente es -3.
b) Pasa por (6,4) y su pendiente es 0.
⃗ (𝟎, 𝟏), 𝒗
⃗ (𝒙, 𝟒) y 𝒘
Actividad 12.4. Dados los vectores 𝒖
⃗⃗⃗ (𝟑, 𝒚), calcula x e y para que se
⃗ +𝒗
⃗ = 𝟑𝒘
verifique: 𝒖
⃗⃗⃗
Actividad 12.5. Por motivos de herencia la siguiente parcela debe ser dividida en dos.
El camino de acceso se encuentra en el origen de coordenadas, por lo que deberemos
dividirla desde ese punto. Nos piden la ecuación de la recta que divida la parcela en
dos iguales, de cara a la colocación del vallado.
Ilustración 32. Actividad 12.5 (elaboración propia).
106
ANEXO II: EVALUACIÓN
107
ANEXO II. EVALUACIÓN
1- Evaluación individual.
CE.1.1.
CE.1.2.
CE.1.3.
CE.1.6.
CE.1.9.
CE1.10.
CE.1.11.
CE.1.12.
CCL
CMCT
CMCT
CAA
CCL
CMCT
CAA.
CMCT
CAA
CSC
SIEP
CMCT
CAA
SIEP
CCL
CMCT
CD
CAA
EA.1.1.1.
EA.1.2.1.
EA.1.2.4.
EA.1.3.1.
EA.1.6.2.
EA.1.6.3.
EA.1.9.1.
EA.1.10.1.
EA.1.11.4.
EA.1.12.1.
EA.3.1.
EA.3.2.
EA.3.3.
CE.3.
EA.3.4.
EA.3.5.
EA.3.6.
CALIFICACIÓN MEDIA
CALIFICACIÓN DE LA UNIDAD
Tabla 15. Evaluación individual (elaboración propia).
CCL
CMCT
CD
CAA
CEC.
108
CEC
SIEP
CSC
CAA
CD
CMCT
CCL
Evaluación de competencias
5 (50%)
4 (25%)
3 (10%)
2 (10%)
EAE
1 (5%)
CE
Competencias
NOMBRE:
UNIDAD DIDÁCTICA: Geometría Analítica.
Instrumento de
evaluación
2- Rúbrica 1: Búsqueda y tratamiento de la información.
Fuente de todas las rubricas:
https://colaboraeducacion30.juntadeandalucia.es/educacion/colabora/documents/15883
887/16172385/R%C3%BAbricas+de+evaluaci%C3%B3n/c5d85179-c5fe-f624-2e26c3c043d883c5?download=true
1
EXCELENTE (9-10)
BUENO (7-8)
ADECUADO (5-6)
MEJORABLE (1-4)
%
Utiliza
correctamente los
recursos y/o medios
a su alcance para
buscar toda la
información.
Utiliza
algún
recurso
y/o
medio a su
alcance
para
buscar toda la
información.
Utiliza algún recurso y/o
medio a su alcance para
buscar parte de la
información.
Utiliza
algún
recurso y/o medio
para buscar la
información con la
ayuda del docente
o
de
otro
alumno/a.
20%
Obtiene todos los
datos
necesarios
para dar respuesta
a
la
actividad,
ajustándose a los
tiempos
establecidos.
Obtiene
bastantes datos
para
dar
respuesta a la
actividad,
ajustándose a los
tiempos
establecidos.
Obtiene algunos datos
para dar respuesta a la
actividad,
con
dificultades
para
ajustarse a los tiempos
establecidos.
Obtiene algunos
datos con la ayuda
del docente o de
otro alumno/a sin
ajustarse a los
tiempos
establecidos.
20%
Tratamiento y
análisis de la
información
Analiza
la
información
obtenida de las
fuentes
consultadas,
extrayéndola
de
manera rigurosa y
ordenándola
sistemáticamente.
Analiza
la
información
obtenida de las
fuentes
consultadas,
extrayéndola y
ordenándola
correctamente.
Analiza parte de la
información obtenida
de
las
fuentes
consultadas,
ordenándola de manera
adecuada.
Interpretación
de los
resultados.
Realiza valoraciones
y/o emite juicios
sobre
la
información
obtenida de un
modo riguroso.
Realiza
valoraciones y/o
emite
juicios
sobre
la
información
obtenida.
Realiza
alguna
interpretación sobre la
información obtenida.
Expone/presenta
los principales
hallazgos de la
búsqueda
y
tratamiento de la
información
realizado.
Expone/presenta
algunos hallazgos de la
búsqueda y tratamiento
de
la
información
realizado.
Exposición de
conclusiones
Expone/presenta
los
principales
hallazgos de la
búsqueda
y
tratamiento de la
información
realizado
de
manera
clara,
rigurosa
y
coherente respecto
a
los
datos
obtenidos.
Búsqueda de la
información
Obtención de
la información
Realiza con apoyo
alguna de las
tareas
correspondientes
al tratamiento y
análisis
de
la
información.
Realiza alguna
interpretación con
la ayuda del
docente o de otro
alumno/a.
20%
20%
Expone con mucha
dificultad alguna
de
las
informaciones
obtenidas.
20%
VALORACIÓN FINAL
Tabla 16. Rubrica 1 (fuente citada, elaboración propia).
109
VALORACIÓN
3- Rúbrica 2. Intervenciones en clase.
2
EXCELENTE (9-10)
BUENO (7-8)
ADECUADO (5-6)
MEJORABLE (1-4)
Pronunciación y
entonación
Pronuncia
correctamente
y
con la entonación
adecuada,
sin
pausas
y
con
seguridad.
Pronuncia
correctamente
con algún fallo
en
la
entonación.
Tiene algunos fallos en la
pronunciación y en la
entonación.
Tiene
muchos
fallos tanto en la
pronunciación
como
en
la
entonación.
El volumen es el
adecuado a la
situación y dirige la
mirada a todo el
grupo.
El volumen no
es totalmente
adecuado a la
situación
y
dirige la mirada
a la mayoría del
grupo.
El volumen es bajo para
la situación y se centra
solo en algunos oyentes
y algunas oyentes del
grupo.
El volumen no es
adecuado a la
situación y apenas
mira a los oyentes
y las oyentes.
Utiliza
diversos
apoyos visuales y
referencias
al
trabajo realizado a
lo largo de su
exposición
que
refuerzan
el
contenido.
Utiliza algunos
apoyos visuales
a lo largo de su
exposición
y
referencias al
trabajo
realizado que
refuerzan
el
contenido.
Utiliza pocos apoyos
visuales a lo largo de su
exposición que refuerzan
el contenido.
No utiliza apoyos
visuales en su
exposición
o
apenas lo hace.
Demuestra
un
completo dominio
del tema tratado,
destacando
claramente
los
aspectos
importantes,
exponiéndolo
de
manera clara y
correcta,
y
utilizando
un
vocabulario
específico
del
mismo,
respondiendo
adecuadamente a
las preguntas del
grupo.
Demuestra un
buen dominio
del tema y
utiliza
normalmente
un vocabulario
específico del
mismo,
respondiendo
adecuadamente
a las preguntas
del grupo.
Demuestra un dominio
de la mayoría de las
partes del tema y utiliza
un vocabulario básico del
mismo,
no
siendo
certero en las respuestas
a las preguntas del
grupo.
Sigue un orden
lógico, con interés y
control emocional,
y
concluyéndola
correctamente y en
tiempo adecuado.
Sigue un orden,
con interés y
control
emocional,
y
concluyéndola
correctamente
y en tiempo
aproximado.
Sigue un cierto orden,
con alguna dificultad en
el control emocional y
aproximándose
al
tiempo establecido.
Volumen y
contacto visual
Recursos y
apoyos
Contenido
Cuestiones
formales y
secuencia
%
20%
20%
20%
Presenta lagunas
importantes del
tema y utiliza un
vocabulario pobre
del mismo.
25%
Tiene dificultades
para mantener un
orden, ajustarse al
tiempo
y
manifestar interés
y
control
emocional.
VALORACIÓN FINAL
Tabla 17. Rubrica 2 (fuente citada, elaboración propia).
110
15%
VALORACIÓN
4- Rúbrica 3. Resolución de problemas.
3
Lectura y
comprensión
del problema
Selección y
aplicación de
la estrategia
Solución
Análisis de la
solución
EXCELENTE (9-10)
Lee el enunciado
adecuadamente
identificando
e
interpretando
los
datos necesarios que
se dan en él, ya sea
de forma narrativa,
por
medio
de
gráficos,
tablas,
diagramas,
etc.,
además, localiza los
elementos a resolver,
así como los posibles
elementos
intermedios
necesarios para llegar
a estos.
La selección y la
aplicación de la
estrategia
elegida
demuestra la total
comprensión de los
conceptos
matemáticos
involucrados, ya que,
de
todas
las
estrategias
trabajadas en clase,
elige
de
forma
individual la más
eficiente y efectiva.
Aplica los cálculos de
forma correcta sin
cometer
errores
aritméticos
ni
algebraicos
ayudándose, si es
necesario,
de
fórmulas vistas en
clase, de forma
ordenada para llegar
a la solución correcta
y/o
a
su
interpretación.
Comprueba si la
solución
es
coherente,
sustituyendo el valor
obtenido
en
el
razonamiento inicial
y viendo que es
válida,
tanto
matemáticamente
como en la realidad a
la que el enunciado
se refiere, dando una
frase que responde a
la
pregunta
planteada.
BUENO (7-8)
Lee el enunciado
adecuadamente
identificando
e
interpretando los
datos necesarios
que se dan en él, ya
sea de forma
narrativa,
por
medio de gráficos,
tablas, diagramas,
etc.,
además,
localiza
los
elementos
a
resolver, pero le
cuesta ver los
posibles
elementos
intermedios
necesarios.
La selección y la
aplicación de la
estrategia elegida
demuestra
comprensión de
los
conceptos
matemáticos
involucrados, ya
que elige de forma
individual la más
efectiva, pero no
relaciona los datos
con las cantidades
desconocidas.
Aplica los cálculos
de forma correcta
sin
cometer
errores aritméticos
ni algebraicos y
ayudándose, si es
necesario,
de
fórmulas vistas en
clase, y llega a la
solución correcta
y/o
a
su
interpretación,
pero no lo hace de
forma ordenada.
Da la solución,
comprobando
previamente si es
coherente,
sustituyendo
el
valor obtenido en
el razonamiento
inicial y viendo que
es
válida
matemáticamente,
pero
no
comprueba si tiene
sentido en
la
realidad a la que el
enunciado
se
refiere.
ADECUADO (5-6)
Lee el enunciado e
identifica los datos que
se dan en él, aunque le
cuesta los que no son
dados
de
forma
narrativa.
Presenta
dificultades
para
entender cuáles son los
elementos a resolver.
MEJORABLE (1-4)
Tiene
muchas
dificultades para
extraer los datos,
incluso
con
ayuda.
La verbalización
sobre la situación
problemática
planteada
es
inexistente
o
incorrecta.
La selección y la
aplicación
de
la
estrategia
elegida
demuestra
comprensión parcial de
los
conceptos
matemáticos
involucrados, ya que la
estrategia elegida no es
la más adecuada en
esta ocasión.
No es capaz de
generar posibles
estrategias para
la resolución del
problema o el
desarrollo de la
estrategia elegida
es incorrecto y no
repara en ello.
Aplica los cálculos de
forma correcta sin
cometer
errores
aritméticos
ni
algebraicos
y
ayudándose, si es
necesario de fórmulas
vistas en clase, pero no
interpreta el resultado
obtenido
relacionándolo con la
solución correcta.
No aplica los
cálculos de forma
correcta ya que
comete
algún
error aritmético o
algebraico o la
fórmula
que
utiliza no es
correcta.
Da la solución del
problema, pero no
comprueba
si
es
coherente en ningún
caso.
No explicita
solución ni
contrasta.
111
25%
25%
35%
la
la
15%
VALORACIÓN FINAL
Tabla 18. Rubrica 3 (fuente citada, elaboración propia).
%
VALORACIÓN
5- Rúbrica 4. Actividades colaborativas.
4
EXCELENTE (9-10)
BUENO (7-8)
ADECUADO (5-6)
MEJORABLE (1-4)
%
Usa los materiales y
los
recursos
disponibles
de
acuerdo con el
procedimiento
establecido por el
grupo, ajustándose
al plazo previsto.
Usa los materiales y
los
recursos
disponibles con cierta
dificultad
para
ajustarse al plazo
previsto.
Usa los materiales
y los recursos
disponibles con
dificultad y sin
ajustarse al plazo
previsto.
15%
Planificación del
trabajo
Realiza un uso
adecuado de los
materiales y los
recursos disponibles
de acuerdo con el
procedimiento
establecido por el
grupo, ajustándose
al plazo previsto.
Comprende
y
asume
sus
responsabilidades y
las de los demás,
reconociendo
el
esfuerzo individual y
colectivo.
Comprende y asume
sus
responsabilidades,
con alguna dificultad
para
valorar
el
esfuerzo individual y
colectivo.
Elude
sus
responsabilidades
y
tiene
dificultades para
reconocer
el
esfuerzo
individual
y
colectivo.
15%
Responsabilidad
Comprende
y
asume
sus
responsabilidades y
las de los demás,
valorando
especialmente
el
esfuerzo individual y
colectivo.
Forma parte de las
dinámicas
establecidas por el
grupo, generando
propuestas
que
mejoran
el
aprendizaje
cooperativo.
Forma parte de las
dinámicas
establecidas por el
grupo, y realiza
alguna
propuesta
para mejorar el
aprendizaje
cooperativo.
Forma parte de las
dinámicas
establecidas por
el grupo con la
ayuda
del
docente.
25%
Participación
Forma parte activa
de las dinámicas
establecidas por el
grupo, generando
propuestas
que
mejoran
el
aprendizaje
cooperativo.
Interacciona
con
empatía
y
autocontrol,
manteniendo una
actitud respetuosa
hacia otros puntos
de vista.
Interacciona
manteniendo
una
actitud respetuosa
hacia otros puntos de
vista.
Interacciona con
dificultades,
necesitando
ayuda
para
mantener
actitudes
respetuosas.
20%
Habilidades
sociales
Interacciona
con
empatía
y
autocontrol,
manteniendo una
actitud respetuosa
hacia otros puntos
de vista y utilizando
diferentes
habilidades sociales
que contribuyen a la
cohesión.
Contribuye
de
manera activa a la
consecución de los
logros en el trabajo
grupal,
responsabilizándose
de su aportación en
la presentación del
producto
conseguido.
Contribuye a la
consecución de los
logros en el trabajo
grupal,
responsabilizándose
de su aportación en
la presentación del
producto
conseguido.
Contribuye
a
la
consecución de los
logros en el trabajo
grupal, con alguna
dificultad
para
responsabilizarse de
su aportación en la
presentación
del
producto
conseguido.
Contribuye algo a
la consecución de
los logros en el
trabajo
grupal,
con dificultades
para
responsabilizarse
de su aportación
en la presentación
del
producto
conseguido.
25%
Generación y
presentación
del producto
VALORACIÓN FINAL
Tabla 19. Rubrica 4 (fuente citada, elaboración propia).
112
VALORACIÓN
6- Rúbrica 5. Evaluación final.
5
Presentación
Corrección
ortográfica
Vocabulario
empleado
Contenido
EXCELENTE (9-10)
BUENO (7-8)
ADECUADO (5-6)
MEJORABLE (1-4)
La prueba respeta
todos los elementos
de
presentación
establecidos (título,
márgenes
legibilidad, limpieza
y orden).
La
prueba
respeta
casi
todos
los
elementos de
presentación
establecidos
(título,
márgenes
legibilidad,
limpieza
y
orden).
La
prueba
respeta
bastantes
de
los
elementos
de
presentación
establecidos
(título,
márgenes
legibilidad,
limpieza y orden).
La prueba respeta
poco
los
elementos
de
presentación
establecidos
(título, márgenes
legibilidad,
limpieza y orden).
El texto está escrito
correctamente.
El
texto
contiene algún
error
ortográfico no
significativo.
El texto presenta varios
errores ortográficos no
significativos o algún
error significativo.
El texto presenta
varios
errores
ortográficos
significativos para
su edad.
Vocabulario rico,
variado,
sin
repeticiones, y con
palabras
y
expresiones
específicas
del
tema.
Vocabulario
algo repetitivo y
poco variado,
aunque
palabras
específicas del
tema.
Vocabulario
algo
repetitivo y con pocas
palabras específicas del
tema.
El
vocabulario
empleado
es
pobre y repetitivo.
Demuestra
buen
dominio
del
contenido
requerido y lo
expresa oralmente
o por escrito de
forma coherente.
Demuestra
dominio
del
contenido
requerido y lo
expresa
oralmente o por
escrito de forma
coherente.
Demuestra
dominio
medio del contenido
requerido y lo expresa
oralmente o por escrito
de con algún error.
Demuestra
dominio bajo del
contenido
requerido y lo
expresa oralmente
o por escribir) con
diversos errores.
113
5%
10%
5%
VALORACIÓN FINAL
Tabla 20. Rubrica 5 (fuente citada, elaboración propia).
%
80%
VALORACIÓN