Manual de Problemas de Matemáticas para 6.º y 7.º Grado

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Índice
pág. 5
Páginas preliminares
Nivel 1
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Los datos y la estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea.
i) Enunciados y Soluciones
Nivel 2
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Los datos y la estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea.
i) Enunciados y Soluciones
Nivel 3
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Los datos y la estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea.
i) Enunciados y Soluciones
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pág. 13
pág. 14
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pág. 40
pág. 59
pág. 59
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pág. 109
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pág. 131
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pág. 156
pág. 175
pág. 178
pág. 185
pág. 203
pág. 204
pág. 214
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A los Profesores que están involucrados con las
Olimpiadas de Matemática
Las soluciones de la colección de problemas tienen como objetivo orientar
a los Profesores sobre el enfoque que tienen los mismos en las Olimpiadas
de Matemática, de modo que puedan asesorar a sus alumnos en el proceso
de resolución.
En ese sentido, no es aconsejable mostrar muy pronto la solución de un
problema al estudiante. Lo correcto es dejar que trabaje el problema,
imagine estrategias de solución; dejar que invierta tiempo en la búsqueda
de la solución y cuando se decide ayudarlo, darle orientaciones, pistas
(nunca la solución), que le permitan seguir trabajando el problema y,
luego, en última instancia, analizar con el estudiante la solución del
mismo. Esperamos que a los chicos les lleve más de una hora de trabajo la
resolución de algunos de los problemas propuestos.
Recomendamos a los profesores no quedarse con la solución del problema
que se presenta, sino que busquen otros procesos diferentes. Al hacerlo
podrán descubrir procedimientos más sencillos o más elegantes que los
propuestos.
La resolución de problemas es un proceso que puede resultar muy
placentero pero que requiere esfuerzo mental. Cuando una cuestión
planteada se puede resolver en forma inmediata, ¡tenemos un ejercicio,
no un problema!
María Luz Callejo, española y doctora en matemática, nos propone en su
libro Un Club Matemático para la Diversidad unas pautas para la resolución
de problemas, que a su vez ha adaptado del libro Aventuras Matemáticas
del connotado matemático español Miguel de Guzmán. Las trascribimos a
continuación y recomendamos que se las aplique en el aula porque son
verdaderamente muy útiles.
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PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Primera Fase:
FAMILIARIZARSE CON EL PROBLEMA
•
•
•
•
•
•
Lee el problema lentamente, trata de entender todas las palabras.
Distingue los datos de la incógnita; trata de ver la situación.
Si puedes, haz un dibujo o un esquema de la situación.
Si los datos del problema no son cantidades muy grandes, intenta
expresar la situación jugando con objetos (fichas, botones, papel,
etc.).
Si las cantidades que aparecen en el enunciado son grandes, entonces
imagínate el mismo problema con cantidades más pequeñas y haz
como dice el punto anterior.
Si el problema está planteado en forma general, da valores concretos a
los datos y trabaja con ellos.
Segunda Fase:
BUSCA UNAS CUANTAS ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA
Lee la siguiente lista. Te puede ayudar:
• ¿Es semejante a otros problemas que ya conoces?
• ¿Cómo se resuelven éstos? ¿Alguna idea te podría servir?
• Imagínate un problema más fácil para empezar y así animarte.
• Experimenta con casos particulares, ¿te dan alguna pista natural al
lenguaje matemático?
• Supón el problema resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de partida
con la situación final?
• Imagínate lo contrario de lo que quieres demostrar, ¿llegas a alguna
conclusión?
• ¿El problema presenta alguna simetría o regularidad?
• ¿Será el caso general más sencillo que el caso particular?
Tercera Fase:
SELECCIONA UNA DE LAS ESTRATEGIAS Y TRABAJA CON ELLA
•
•
•
•
No te arrugues fácilmente.
No te emperres con una estrategia. Si ves que no conduce a nada,
déjala.
Si la estrategia que elegiste no va bien, acude a otras de las
estrategias que seleccionaste o haz una combinación de ellas.
Trata de llegar hasta el final.
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Cuarta Fase:
REFLEXIONA SOBRE EL PROCESO SEGUIDO
•
•
•
•
•
•
¿Entiendes bien tu solución? ¿Entiendes por qué funciona? ¿Tiene
sentido esta solución o es absurda?
¿Cómo ha sido tu camino? ¿Dónde te atascaste? ¿En qué momento y
cómo has salido de los atascos?
¿Cuáles han sido los momentos de cambio de rumbo? ¿Han sido
acertados?
¿Sabes hacerlo ahora de manera más sencilla?
¿Sabes aplicar el método empleado a casos más generales?
¿Puedes resolver otras situaciones relacionadas con el tema que sean
interesantes?
Les deseamos un buen trabajo. Si este material les resulta de utilidad, nos
damos por satisfechos y esperamos se comuniquen con nosotros ante
cualquier inquietud que tengan.
Características del material de apoyo
Este material está dividido en secciones. A más de la clásica separación
por niveles, hemos creído oportuno establecer dentro de cada nivel una
división auxiliar, de modo que los docentes puedan ir graduando el trabajo
con sus alumnos.
Esta división es la siguiente:
1. Problemas para el Aula
En esta sección hemos incluido los problemas más accesibles. Los hemos
denominado Problemas para el Aula porque pensamos que serán útiles
también para los docentes que, aunque no participen todavía en las
Olimpiadas, puedan llevarlos al aula y utilizarlos para modificar la
metodología utilizada en las clases normales; que están enfocadas casi
siempre en procesos mecánicos, de repetición, del uso de extensos
formularios, del encasillamiento de los temas desarrollados en
compartimientos estancos y de la exclusiva resolución de ejercicios. Este
enfoque metodológico impide el desarrollo del pensamiento lógico –
matemático de nuestros alumnos.
Es el momento oportuno para trabajar algunas estrategias heurísticas
básicas. Este material puede servir como un aporte para que el docente
cuente con contenidos que le permita aplicar lo que se les está pidiendo
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desde el MEC, o sea, utilizar los pasos de George Polya para evaluar el
trabajo de los alumnos.
Estos problemas están seleccionados para que los alumnos y docentes que
se inician en las actividades de las Olimpiadas puedan encontrar un espacio
cómodo para comenzar a trabajar en la resolución de problemas.
2. Problemas Desafiantes
En esta sección hemos incluido aquellos problemas que requieren más
trabajo de razonamiento matemático.
Están pensados para perfeccionar a los alumnos en la resolución de
problemas, avanzando más en el conocimiento y aplicación de las
estrategias heurísticas que pueda hacer el docente y fijando el objetivo de
que los alumnos expliquen por escrito el proceso que han seguido en la
resolución de un problema. Digamos que este es el momento oportuno para
introducir la idea de la demostración axiomática.
Además dentro de cada una de estas dos secciones, los problemas están
agrupados de acuerdo a los contenidos programáticos, siguiendo lo
indicado por los programas del MEC.
Los problemas agrupados en la sección Miscelánea, son problemas en los
cuales se puede encontrar más de un área de conocimiento, ya sea por el
enunciado del problema o por el procedimiento elegido para su solución.
Por ejemplo Geometría y Teoría de Números o problemas de Estrategia.
Esta situación es bastante común en los problemas de Olimpiadas.
El nivel de dificultad de los problemas no está definido por los contenidos
programáticos que en ellos se contempla.
Recomendaciones para el uso del material
Recomendamos que el trabajo se comience siempre resolviendo los
problemas de menor nivel de dificultad, tanto dentro de un nivel como así
también al considerar los otros niveles. En un buen entrenamiento para un
alumno del Nivel 2, se debería comenzar por ver cómo responde al Nivel 1
para luego pasar al nivel que le corresponde.
Lo mismo para un alumno del Nivel 3. Si el profesor piensa que el Nivel 1
no tiene suficientes desafíos, lo hará trabajar primero con el Nivel 2.
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Todo el proceso de aprender a resolver problemas se realiza a través del
tiempo. Es imposible pensar que con un solo año de trabajo obtendremos
logros significativos, aunque se pueden dar excepciones.
OMAPA
Organización Multidisciplinaria de Apoyo a Profesores y Alumnos.
Dirección: Dr. César López Moreira 693 c/ Nuestra Sra. Del Carmen
Telefax: (021) 605-154 / 612-135
web: www.omapa.org.py ; e-mail: [email protected]
Rodolfo Berganza Meilicke
Director Académico de las Olimpiadas Nacionales de Matemática
Teléfono: (021) 331-538 − (0971) 201-758
e-mail: [email protected]
Observación: para la escritura de valores numéricos, escritura de la hora y
escritura de las unidades de medida hemos utilizado las Normas
Paraguayas 161, 164, 165, 166 y 180 de la Ley Nº 15 235 de 1980.
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NIVEL 1
6.º y 7.º Grado
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La geometría y la medida
Contenidos:
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado)
• Área de figuras geométricas planas: rectángulo, cuadrado, triángulo,
trapecio, rombo. (5.º y 6.º Grados)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (6.º y 7.º Grados)
• Clases de triángulo según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (6.º y 7.º Grados)
• Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (6.º y 7.º
Grados)
• Diagonal de polígonos. (6.º y 7.º Grados)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (6.º y 7.º
Grados)
• Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados)
• Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º
Grados)
• Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados)
• Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º
Grados)
• Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Triángulos. Concepto. Elementos. Característica. (6.º y 7.º Grados)
• Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de
lados. Diagonal de un polígono. Polígono regular. (6.º y 7.º Grados)
• Polígonos cóncavo y convexo. Concepto, características. Región:
interior, exterior y frontera. (6.º y 7.º Grados)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º y 7.º
Grados)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricas (cubo, prisma,
cilindro). (6.º y 7.º Grados)
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Problemas para el Aula
Problema 101 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
En un cuadrilátero ABCD, el ángulo DAB mide 130º. ¿Cuál puede ser
la medida del ángulo ABD?
A) 90º
C) 52º
E) 62º
B) 44º 18’
D) 55º 18’
F) n. d. l. a.
Solución
Trazamos la diagonal DB y tenemos el
ángulo ABD.
Considerando el triángulo ADB tenemos:
Y + 130º + X = 180º
Y + X = 50º
Problema 102 (2
da
X < 50º
La respuesta es: B
Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
En la figura, el punto O está sobre la recta
AB y es el vértice de todos los ángulos. OE
es la bisectriz del ángulo AOC, OF es la
bisectriz del ángulo COD y OG es la
bisectriz del ángulo DOB.
∠
∠
∠
Si GOB = 2 DOF = 3 COE , ¿cuál es la medida
del ángulo COD?
C) 45º
E) 52º
1
F) n. d. l. a.
D) 49 º
11
A) 20º
B) 22
⇒
3
º
11
Solución
∠
A la medida de GOB denominamos x, entonces:
∠
GOB = x
;
∠
DOF =
1
x
2
14
;
∠
COE =
1
x
3
Como las bisectrices dividen a los ángulos en dos partes iguales tenemos:
∠
∠
∠
2 GOB + 2 DOF + 2 COE = 180º
∠
∠
∠
GOB + DOF + COE = 90º
x+
1
1
x = 90º
x+
3
2
∠
∠
COD = 2 DOF
⇒
⇒
2—
x = 49
1
º
11
1
x=x
2
La respuesta es: D
da
Problema 103 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 9)
Una pirámide tiene en total 400 aristas. ¿Cuántos lados tiene la
base de la pirámide?
A) 100
C) 200
E) 400
B) 150
D) 300
F) n. d. l. a.
Solución
Vemos en el gráfico que la cantidad
de aristas siempre es el doble que
las aristas que tiene la base.
Luego, si una pirámide tiene en
total 400 aristas, la cantidad de
lados de la basa es:
400 ÷ 2 = 200
La respuesta es: C
Problema 104 (2
da
Ronda Colegial 2007 – Problema 14)
Las dos circunferencias de la figura tienen el mismo
centro O. El segmento AB mide 5 cm y el radio OB 7
cm. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las dos
circunferencias?
A) 24 π cm
C) 14 π cm
E) 4 π cm
B) 18 π cm
D) 10 π cm
F) n. d. l. a.
15
Solución
Los radios de las circunferencias son:
OA = OB − AB = 7 cm − 5 cm = 2 cm
OB = 7 cm
Las longitudes de las dos circunferencias son:
2 π — 2 cm = 4 π cm
2 π — 7 cm = 14 π cm
Por lo tanto:
4 π cm + 14 π cm = 18 π cm
La respuesta es: B
da
Problema 105 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 16)
¿Cuál es el valor de (a − b)?
A) 45º
C) 35º
E) 25º
B) 40º
D) 30º
F) n. d. l. a.
Solución
La diagonal forma un ángulo de 45º con uno de los lados.
Además, en todo triángulo, un ángulo externo es igual a la
suma de los ángulos internos no adyacentes a él. Entonces:
a = b + 45º
⇒
a − b = 45º
La respuesta es: A
Problema 106 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 3)
En el cuadrilátero de la figura, ¿cuál es la
medida del ángulo a?
16
Solución
Calculamos primero la medida del ángulo x:
180º = x + 120º
⇒
x = 60º
⇒
⇒
a = 112º
En el cuadrilátero tenemos:
a + a + 34º + a − 70º + 60º = 360º
3 a = 336º
Problema 107 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 16)
En tres caras de una esquina de un cubo se trazan
las diagonales como se muestra en la figura. ¿Cuál
de las siguientes plantillas corresponde al cubo
dado?
Solución
Supongamos que el primer cuadrado de la fila de
cuatro (en la figuras de las opciones), corresponda
a la cara de enfrente. Al mirar la cara superior nos
damos cuenta que los segmentos a y b deben estar
en línea recta al desarmar el cubo.
Entonces debemos considerar las alternativas A) y D).
Pero, al doblar nuevamente para armar el cubo, atendiendo la fila de
cuatro cuadrados, la esquina de la izquierda del primer cuadrado coincide
con la esquina de la derecha del cuarto cuadrado, situación que no
corresponde a la opción A) pero si a la D); dado que los tres segmento
marcados forman un triángulo equilátero.
La respuesta es: D
17
Problema 108 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 14)
Si se corta un cubo de 1 m3 en cubitos de 1 mm3 y luego se colocan
los cubitos obtenidos uno encima del otro, ¿cuál es la altura de la
torre de cubos?
A) 100 m
B) 1 000 km
C) 10 km
D) 1 km
E) 100 000 mm
Solución
3
3
Como 1 m = 1 000 000 000 mm , se obtienen 1 000 000 000 cubitos de 1
mm de arista.
Si se los encima formando una torre, la altura que la torre alcanza es:
1 000 000 000 mm = 1 000 000 m = 1 000 km
La respuesta es: B
18
Problemas Desafiantes
Problema 109 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
El área de un paralelogramo ABCD es 25. Se traza la diagonal BD.
¿Cuál es el área del triángulo BCD?
A) 5
C) 12, 5
E) 50
B) 6,25
D) 25
F) n. d. l. a.
Solución
El segmento BH es la altura del triángulo
DCB pero también es la distancia entre las
rectas AB y DC.
Entonces, el triángulo ADB tiene la misma
altura que el triángulo DCB. Luego sus áreas
son iguales:
(ADB) = (DCB)
Pero:
(ADB) + (DCB) = (ABCD) = 25
Entonces ambos triángulos tienen como área:
(ADB) = (DCB) = 12,5
La respuesta es: C
Problema 110 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
Se dibujan dos circunferencias con el mismo centro y radios de 6
cm y 10 cm.
¿Cuál es el área de la superficie comprendida entre las dos
circunferencias?
2
2
2
A) 4 π cm
C) 36 π cm
E) 100 π cm
2
2
B) 16 π cm
D) 64 π cm
F) n. d. l. a.
19
Solución
C es el centro
circunferencias.
de
las
dos
La circunferencia mayor tiene como
radio CA = 10 cm y la menor CB = 6
cm.
El área de la circunferencia mayor
es:
2
2
π r = π (10 cm) = 100 π cm
2
Y el de la menor:
2
π (6 cm) = 36 π cm
2
Y la diferencia entre las áreas equivale al área comprendida entre las dos
circunferencias:
2
2
100 π cm − 36 π cm = 64 π cm
2
La respuesta es: D
da
Problema 111 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
En un trapecio ABCD, AB ║CD y CD = 3 AB. Hallar la razón entre las
áreas (ABD) y (BCD).
A) 1 : 2
C) 1 : 3
E) 2 : 3
B) 2 : 1
D) 3 : 1
F) n. d. l. a.
Solución
La altura H del trapecio es al mismo tiempo
altura de los triángulos ABD y BCD.
Luego:
x ⋅H
(ABD ) = 2 = 1
(BCD) 3 x ⋅ H 3
2
La respuesta es: C
20
Problema 112 (2
da
Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
El perímetro del rectángulo ABCD es 74. ¿Cuál es el
área AOD?
A) 340
C) 85
E) 25
B) 170
D) 40
F) n. d. l. a.
Solución
El perímetro es:
AB + BC + CD + DA = AB + AD + AB + AD = 2 AB + 2 AD
Luego:
⇒
2 AD = 34
(ADB) =
20 × 17
= 170
2
74 = 2 — 20 + 2 AD
⇒
AD = 17
El área del triángulo ADB es:
Como AC y DB son las diagonales del rectángulo ABCD, se cortan en su
punto medio. Entonces, los triángulos AOD y AOB tienen iguales sus bases
DO y OB y además tienen la misma altura. Entonces:
(AOD) = (AOB) = 170 ÷ 2 = 85
La respuesta es: C
da
Problema 113 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 10)
En un cuadrado ABCD, el área es 148. E es el punto medio del lado
AD. ¿Cuál es el área (BDE)?
A) 74
C) 49
E) 29
B) 66
D) 37
F) n. d. l. a.
21
Solución
Como (ABCD) = 148 resulta que (ABD) = 74.
Los triángulos ABE y EBD tienen las bases que con
las mismas medidas:
AE = ED (E es punto medio)
También los dos triángulos tienen la misma altura
(AB). Entonces:
(AEB) = (EBD)
⇒
(EBD) = 37
La respuesta es: D
da
Problema 114 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 12)
Rafael dibuja triángulos equiláteros, cuyos lados miden números
enteros y cuyos perímetros son menores que 33 cm. ¿Cuántos
triángulos diferentes puede dibujar Rafael?
A) 12
C) 10
E) 8
B) 11
D) 9
F) n. d. l. a.
Solución
Como el triángulo es equilátero, si llamamos l a la medida del lado,
tenemos:
P=l—3
⇒
•
P= 3
Como P ≤ 32 cm, tenemos:
P = {3 cm , 6 cm , 9 cm , 12 cm , 15 cm , 18 cm , 21 cm ,
24 cm , 27 cm , 30 cm}
Entonces, son posibles 10 triángulos.
La respuesta es: C
da
Problema 115 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 13)
Un polígono regular tiene 2 007 lados. Desde uno de los vértices se
dibujan todas las diagonales posibles. ¿Cuál es la cantidad de
diagonales que se pueden trazar desde ese vértice?
A) 2 006
C) 2 003
E) 2 000
B) 2 004
D) 2 001
F) n. d. l. a.
22
Solución
Vemos que elegido
en
vértice,
se
pueden
trazar
diagonal a (n – 3)
vértices.
Es decir no se puede trazar una diagonal al mismo vértice y a los dos
vértices vecinos (así tendríamos uno de los lados).
Es decir, si el polígono tiene 2 007 lados, la cantidad de diagonales que se
pueden trazar desde un mismo vértice es:
n − 3 = 2 007 − 3 = 2 004
La respuesta es: B
da
Problema 116 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 15)
Un cuadrado y un paralelogramo tienen iguales sus áreas. El
cuadrado tiene 32 cm de perímetro y la base del paralelogramo
tiene 2 cm más que uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál es la
altura del paralelogramo?
A) 0,8 cm
C) 3,2 cm
E) 12,8 cm
B) 1,6 cm
D) 6,4 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos el cuadrado ABCD
y el paralelogramo MNPQ. H
es
la
altura
del
paralelogramo
correspondiente al lado QP
o MN.
También podríamos haber considerado la altura correspondiente al lado NP
(por ejemplo).
Como el perímetro del cuadrado mide 32 cm, la medida de uno de los
lados es:
AB = 32 cm ÷ 4 = 8 cm
23
⇒
QP = 10 cm
El área del cuadrado es:
2
(ABCD) = (8 cm) = 64 cm
2
⇒
(MNPQ) = 64 cm
2
Luego:
2
⇒
64 cm = QP — H
2
H = 64 cm ÷ 10 cm = 6,4 cm
La respuesta es: D
Problema 117 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 6)
En un triángulo ABC, el lado BC mide 21 cm y la altura AH mide 12
cm. Se traza la mediana BM (AM = MC).
Calcular la distancia del punto M al lado BC.
Solución
Calculamos primeramente el área
del triángulo ABC:
(ABC) =
21 cm ⋅ 12 cm
2
= 126 cm
2
Como BM es mediana, divide al triángulo
ABC en dos triángulos con áreas iguales.
Entonces:
2
2
21 cm ⋅ d
2
⇒
(ABM) = (BMC) = 126 cm ÷ 2 = 63 cm
Pero:
(BMC) =
21 cm ⋅ d
2
⇒
2
63 cm =
d = 6 cm
Problema 118 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 8)
En el rectángulo de la figura, ¿qué relación existe
entre las áreas (AOD) y (AOB)?
24
Solución
Las diagonales de un rectángulos se cortan en sus puntos medios, por lo
tanto DO = OB.
Luego, los triángulos AOD y AOB tienen sus bases iguales y tienen la misma
altura. Por lo tanto, sus áreas son iguales.
Problema 119 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 10)
En un cuadrado ABCD, los lados miden 20 cm; E es el punto medio
del segmento AB y F es el punto medio del segmento BC. Calcular
el área del triángulo DEF.
Solución
El en gráfico se han ubicado los datos del
problema teniendo en cuenta que E y F son
puntos medios.
Entonces, el área del triángulo DEF
obtendremos sacando del área del
cuadrado en área de los triángulos
que sobran.
Así tenemos:
(DEF) = (ABCD) − [(ADE) + EBF) + DCF)]
 20 cm ⋅ 10 cm   10 cm ⋅ 10 cm   20 cm ⋅ 10 cm 
2
(DEF) = (20 cm) − 
+
+

2
2
2
 
 


2
2
2
2
2
(DEF) = 400 cm − (100 cm + 50 cm + 100 cm ) = 150 cm
Problema 120 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 3)
En un cuadrado ABCD, se elige un punto E en el interior del
cuadrado, tal que el triángulo CDE sea equilátero. Calcular la
∠
medida de AEB .
Solución
∠
∠
Como el triángulo CDE es equilátero, CDE = CED = 60 º .
∠
Entonces: ADE = 90 º −60 º = 30 º y también DE = AD, con lo
cual el triángulo ADE es isósceles.
25
Luego:
∠
∠
DAE = AED =
180º − 30º
= 75º
2
∠
Lo mismo ocurre con el triángulo BCE. Por lo tanto: BEC = 75º .
Considerando los ángulos formados alrededor del punto E tenemos:
∠
75º + 60 º + 75º + AEB = 360 º
⇒
∠
AEB = 150 º
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por dibujar correctamente
Por calcular la medida del ángulo ADE
Por demostrar que ADE (o BCE) es isósceles
Por mencionar que el otro también es
isósceles BCE (o ADE)
Por calcular la medida del ángulo AEB
1 punto
1 punto
2 puntos
1 punto
2 puntos
Problema 121 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 8)
Sobre dos rectas paralelas l y m se dibujan 8 puntos: 5 en la recta l
y 3 en la recta m. ¿Cuál es el número total de segmentos que se
pueden dibujar cuyos extremos estén uno en la recta l y el otro en
la recta m?
A) 28
B) 25
C) 20
D) 18
E) 15
Solución 1
En el gráfico se puede ver
que de cada punto hemos
trazado tres segmentos.
Entonces, el total de
segmentos es 15.
La respuesta es: E
26
Solución 2
Llamamos A, B, C, D y E a los puntos que estás sobre la letra l y F, G y H a
los que están sobre la recta m.
Entonces, desde uno de los puntos, por ejemplo A, se pueden trazar los
segmentos:
AF, AG y AH
Luego, desde un punto de la recta l se pueden trazar 3 segmentos.
Como hay 5 puntos sobre la recta l, el total de segmentos es:
3 × 5 = 15
La respuesta es: E
Problema 122 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 10)
Verónica corta un papel que tiene forma de cuadrado con
perímetro 20 cm en dos rectángulos. El perímetro de uno de los
rectángulos es de 16 cm. ¿Cuál es el perímetro del otro rectángulo?
A) 4 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 14 cm
E) 16 cm
Solución
Como el perímetro del cuadrado es 20 cm,
los lados miden:
AB = BC = CD = DA = 20 cm ÷ 4 = 5 cm
Trazando EF paralela a AB y DC tenemos
formados dos rectángulos. Digamos que:
PDEFC = 16 cm
Entonces:
⇒ 5 cm + CF = 8 cm
2 (DC + CF) = 16 cm
Luego: BF + CF = 5 cm
⇒
⇒
CF = 3 cm
BF = 2 cm
Y el perímetro buscado es:
PEABF = 2 (AB + BF) = 2 (5 cm + 2 cm) = 14 cm
La respuesta es: D
27
Problema 123 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 20)
¿Cuál es el valor del ángulo “x” en
figura?
A) 50º
B) 60º
C) 40º
D) 20º
E) 30º
la
Solución
Calculamos los ángulos “a” y “b”:
30º + a = 180º
⇒
a = 150º
40º + b = 180º
⇒
b = 140º
Como la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º, tenemos:
50º + 140º + 150º + x = 360º
⇒
x = 20º
La respuesta es: D
Problema 124 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 24)
El área del cuadrado mayor de la figura es 1.
¿Cuál de las siguientes opciones NO puede ser el
área de cualquier triángulo de la figura?
1
1
3
C)
B)
A)
2
4
8
3
1
E)
D)
6
8
Solución
Vemos que el cuadrado está dividido en 8 triángulos iguales.
Vemos cuáles son los tipos de triángulo que podemos destacar:
28
Entonces:
En la Figura 1
→
En la Figura 2
→
En la Figura 3
→
1
8
2 1
=
8 4
4 1
=
8 2
La respuesta es: A
Problema 125 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 26)
La figura representa a un cuadrado dividido en cuatro
regiones.
Las regiones no sombreadas corresponden a cuadrados de
lados 1 y 2. ¿Qué fracción del cuadrado mayor es la que
está sombreada?
1
5
2
C)
B)
A)
3
9
3
1
4
E)
D)
2
9
Solución
El área del cuadrado mayor es:
2
3 =9
El área sombreada es:
2×1+2×1=2+2=4
4
9
La respuesta es: D
La fracción que corresponde a la superficie sombreada es:
29
30
El número y las operaciones – Expresiones
algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencias y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales.
(5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7 y 11. (5.º Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5.º Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Algoritmos y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales de
números racionales en notación decimal y fraccionaria. (5º Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6.º Grado)
• Notación científica. (6.º Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias
de diez. (6.º Grado)
• Lee y escribe comprensivamente números racionales en notación
fraccionaria y decimal, hasta los millonésimos. (6.º Grado)
• Lee y escribe números naturales hasta la centena del millón. (6.º
Grado)
• Concepto de razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y
magnitud. (6.º Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado)
• Regla de tres. (6.º Grado)
• Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado)
• Representación de los números enteros en la recta numérica.
(7º. Grado)
• Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado)
• Representación de los números enteros en la recta numérica.
(7º. Grado)
31
Problemas para el Aula
Problema 126 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
Dados los conjuntos M y N, ¿cuál es el
resultado de (M ∪ N − M)?
A) {a , b , c , d}
B) {c , d , e , f , g}
C) {c , d}
D) {e , f , g}
E) {a , b , c , d , e , f , g}
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos en primer lugar la unión de los dos conjuntos:
M ∪ N = {a , b , c , d , e , f , g}
Luego efectuamos:
{a , b , c , d , e , f , g} − {a , b , c , d} = {e, f, g}
La respuesta es: D
Problema 127 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
Con los dígitos 0, 2, 3, 5, 6, 9 se escriben números de dos cifras
que sean divisibles entre 15. ¿Qué cantidad de números se pueden
escribir?
A) 30
C) 20
E) 3
B) 25
D) 5
F) n. d. l. a.
Solución
Para cumplir la condición del problema los números deben ser múltiplos de
3 y de 5 al mismo tiempo, es decir, múltiplos de 15.
La lista es: 30, 60, 90
La respuesta es: E
32
Problema 128 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
A
39 51
?
=
, ¿cuál es la razón
Dada la proporción
A
B
B
4
17
2
E)
C)
A)
13
7
13
7
3
F) n. d. l. a.
D)
B)
7
13
Solución
Recordamos la propiedad fundamental de las proporciones: “En toda
proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios”. Entonces:
39 51
=
A
B
Problema 129 (2
39 A
=
51 B
⇒
⇒
A 13
=
B 17
La respuesta es: E
da
Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
3
1 2
¿Por cuánto se debe multiplicar  +  para que resulte ?
2
2
5


2
1
1
E)
C)
A)
5
3
2
3
2
F) n. d. l. a.
D)
B)
5
3
Solución
Efectuamos primero la adición:
1 2
9
+ =
2 5 10
Entonces:
3
9
—N=
2
10
⇒
3
5
N= 2 =
9
3
10
La respuesta es: F
33
Problema 130 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 2)
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
(2007 − 2005) + (2005 − 2000) + (2000 − 1982) +
(1982 −1973) + (1973 − 1958) + (1958 − 1932)
Solución
Efectuamos primero las operaciones que están entre paréntesis:
2 + 5 + 18 + 9 + 15 + 26 = 75
Problema 131 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 4)
Calcular el producto de los divisores que tiene el número 20.
Solución
Buscamos los divisores del número 20:
1
2
4
20
10
5
El producto es:
1 × 2 × 4 × 5 × 10 × 20 = 8 000
Problema 132 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 1)
Este es mi código secreto:
=6 ; ∇=7 ; ♣=∇−
;♠=8 ; ♥=3 ; ♦=♠−♥
¿Qué número representa ∇ ♠ ♣ ♦ ♥?
A) 768 153
D) 735 186
B) 531 867
E) 768 783
C) 768 351
Solución
Como:
♣=∇−
=7−6=1
⇒
♣=1
♦=♠−♥=8−3=5
⇒
♦=5
Entonces:
∇
♠♣♦♥
→
768 153
La respuesta es: A
34
Problema 133 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 2)
¿Cuánto es 2 007 ÷ (2 + 0 + 0 + 7) − 2 × 0 × 0 × 7?
A) 1
B) 9
C) 214
D) 223
E) 2 007
Solución
2 007 ÷ 9 − 0 = 223
La respuesta es: D
Problema 134 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 3)
Observa el funcionamiento de la máquina A:
Si entran 7 y 9, ¿qué sale?
A) 56
B) 15
D) 63
E) 62
C) 8
Solución
7y9
→
7 × 9 − 1 = 63 − 1 = 62
La respuesta es: E
Problema 135 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 4)
A) 6
D) 0
Diego descubre la regla y
completa la casilla vacía.
¿Qué número escribió Diego
en la casilla vacía?
C) 1
B) 3
E) 2
Solución
La regla es:
3
2 =8 ;
1
4 =4
Entonces:
2
3 =9
La respuesta es: E
35
Problema 136 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 5)
Sergio dice: Dora tiene 8 caramelos más que Estela. Pablo dice:
Dora tiene el triple de caramelos de los que tiene Estela“.
Si los dos dicen la verdad, ¿cuántos caramelos tiene Dora?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 24
E) 32
Solución
Según Sergio:
D=E+8
Según Pablo:
D=3E
Entonces:
E+8=3E
⇒
8=2E
⇒
E = 4; D = 12
La respuesta es: C
Problema 137 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 6)
En el lago del Parque Ñu Guazu han plantado flores de loto. Cada
mes las flores de loto duplican la superficie que están cubriendo.
1
de la superficie del lago. ¿En
En 10 meses llegan a cubrir
4
cuántos meses terminarán de cubrir el lago?
A) 1
B) 2
C) 12
D) 20
E) 40
Solución
Resolvemos por medios de un gráfico:
La respuesta es: B
36
Problema 138 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 9)
Si eliminamos cuatro letras de la palabra CANGURO y se invierte el
orden de las letras que quedan, ¿cuál de los siguientes sería un
posible resultado?
A) ONC
B) AGR
C) ARC
D) OAU
E) GRN
Solución
Escribimos la palabra:
C A N G U R O
Invertimos el orden de la palabra:
O R U G N A C
Ahora analizamos las respuestas:
A) O R U G N A C
B) O R U G N A C
C) O R U G N A C
D) O R U G N A C
E) O R U G N A C
La respuesta es: A
Problema 139 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 21)
Sandra escribe todos los números de dos cifras tales que la suma de
sus cifras es 5. ¿Cuál es el valor de la suma de todos los números
que escribió Sandra?
A) 160
B) 165
C) 55
D) 110
E) 180
Solución
La lista es:
14, 23, 32, 41, 50
La suma de esos números es: 160
La respuesta es: A
Problema 140 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 1)
Sonia camina de izquierda a derecha y coloca los números que
consigue en el camino en una cesta. ¿Cuáles de los siguientes
números podría colocar en su cesta durante su recorrido?
37
A) 2 , 3 y 5
D) 1 , 2 y 4
B) 2 , 3 y 4
E) 1 , 5 y 6
C) 1 , 2 y 5
Solución
Vemos que la única alternativa es seguir el camino de los números 2, 3 y 5.
La respuesta es: A
Problema 141 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 2)
Los alumnos del octavo grado se colocan en dos filas desiguales. En
la fila de Pedro hay 8 alumnos delante de él y 5 detrás. En la otra
fila, María ocupa el séptimo lugar, exactamente a la mitad de la
fila. ¿Cuántos alumnos hay en el octavo grado?
A) 24
B) 25
C) 28
D) 26
E) 27
Solución
En la fila de Pedro:
5+1+8
→
14 alumnos
→
13 alumnos
En la fila de María:
6+1+6
En total:
14 alumnos + 13 alumnos = 27 alumnos
La respuesta es: E
Problema 142 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 3)
Un número se llama capicúa si se puede escribir en orden inverso y
resulta el mismo número. Por ejemplo 35 853 es un número
capicúa.
El número 15 951 es capicúa. ¿Cuántos números hay entre éste y el
próximo número capicúa?
A) 900
B) 100
C) 1010
D) 109
E) 710
38
Solución
El capicúa siguiente es 16 061. Entonces, la lista es:
15 952 , 15 953 , 15 954 , . . . , 16 058 , 16 059 , 16 060
La cantidad de números en la lista es:
16 060 − 15 951 = 109
La respuesta es: D
Problema 143 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 13)
Había 60 pájaros distribuidos en tres árboles. En cierto momento, 6
pájaros se fueron del primer árbol, 8 pájaros se fueron del segundo
árbol y 4 pájaros se fueron del tercer árbol. Luego de esto, quedó
el mismo número de pájaros en cada uno de los tres árboles.
¿Cuántos pájaros había en el segundo árbol?
A) 20
B) 24
C) 26
D) 21
E) 22
Solución
Sumamos cuántos pájaros en total se fueron:
6 + 8 + 4 = 18
Sacando esto a 60 y repartiendo entre 3 tendremos la cantidad de pájaros
que quedaron en cada árbol:
60 − 18 = 42
;
42 ÷ 3 = 14
En el segundo árbol había:
14 + 8 = 22
La respuesta es: E
39
Problemas Desafiantes
Problema 144 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
En la operación, M y N son dígitos. ¿Cuántos son los
posibles valores de N?
A) 8
C) 5
E) 3
B) 6
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
Lo primero que se observa es que M y N no pueden valor 0. Luego mirando
las unidades tenemos:
N + 2 + M = 13
⇒
M + N = 11
Como M y N tienen como máximo valor 9, los posibles valores de N son:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
La respuesta es: A
Problema 145 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
Se escribe una lista de 9 números naturales consecutivos y luego se
halla la suma de esos 9 números, que da 504.
¿Cuál es el número menor de la lista?
A) 50
C) 52
E) 54
B) 51
D) 53
F) n. d. l. a.
Solución
Como los números son consecutivos, al dividir 504 entre 9 tendremos el
número del medio:
504 ÷ 9 = 56
Y el primer número de la lista es:
56 − 4 = 52
La respuesta es: C
40
Problema 146 (2
da
Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
En la figura, U es el conjunto universal, A es un
conjunto contenido en U y la parte sombreada es
A’, el complemento de A.
En el diagrama de Venn que está a continuación,
¿cuál es el resultado de V ∩ W’?
A)
C)
E)
B)
D)
F) n. d. l. a.
Solución
→
W’
→
V ∩ W’
La respuesta es: C
Problema 147 (2
da
Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
3
1
de
del dinero que tiene en comprar golosinas y
Camila gasta
4
3
lo que le sobra en la compra de útiles. A Camila le queda
2 400
G después de hacer sus gastos. ¿Qué cantidad de dinero tenía
Camila antes de comenzar a gastar?
A) 14 400 G
C) 8 000 G
E) 4 800 G
B) 12 000 G
D) 7 200 G
F) n. d. l. a.
41
Solución
Si primero gasta
Luego gasta
2
1
de su dinero, le sobra .
3
3
3
de los que le sobra, o sea:
4
1
3
2
=
×
2
4
3
En total gastó:
5
1
1
=
+
6
2
3
Le queda:
1
5
6
=
−
6
6
6
1
del dinero que tenía es 2 400 G. Lo que tenía Camila antes de
6
comenzar a gastar es:
Entonces,
2 400 G — 6 = 14 400 G
La respuesta es: A
da
Problema 148 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
En la sucesión: 2007, 1995, 1983, M, 1959, 1947, N, 1923. ¿Cuál es
el valor de M − N?
A) 72
C) 42
E) 12
B) 60
D) 36
F) n. d. l. a.
Solución
Tratamos de encontrar la “ley de formación”:
2 007 − 1 995 = 12
1 995 − 1 983 = 12
1 959 − 1 947 = 12
42
Entonces, los valores de M y N son:
M = 1 983 −12 = 1 971
N = 1 947 − 12 = 1 935
Luego:
M − N = 36
La respuesta es: D
da
Problema 149 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
Se tiene una fracción A. Si se suma el doble de A con el triple de A
15
. ¿Cuál es el valor de A?
y con el cuádruplo de A se obtiene
37
25
10
5
E)
C)
A)
111
111
37
20
5
F) n. d. l. a.
D)
B)
111
111
Solución
Calculamos la suma:
2A+3A+4A=9A
⇒
9A=
15
37
15
15
15
5
=
=
A = 37 =
9
37 × 9 333 111
La respuesta es: B
da
Problema 150 (2 Ronda Colegial 2007 – Problema 11)
Se multiplican los números enteros y diferentes X e Y entre sí y se
obtiene 216. Ambos números son mayores que 10 pero menores que
20. ¿Cuántos pares X, Y son posibles?
A) 5
C) 3
E) 1
B) 4
D) 2
F) n. d. l. a.
43
Solución
Construimos la siguiente tabla:
X
1
2
3
4
Y
216
108
72
54
X
6
8
9
12
Y
36
27
24
18
Vemos que el par que podemos considerar es:
12, 18
La respuesta es: E
Problema 151 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 1)
En el gráfico, U es el conjunto universal, A es un conjunto
contenido en el conjunto universal.
La región sombreada corresponde a A’, complemento de A
(A’ = U – A)
En este diagrama de Venn determinar B’ – A’.
Solución
Determinamos primero B’.
Luego A’.
44
Y por último B’ − A’.
Problema 152 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 5)
Se tiene dos fracciones propias en las que el numerador de una de
ellas es el denominador de la otra. Se determina la suma de estas
12
, obteniéndose al
dos fracciones y el resultado se multiplica por
7
final 2.
¿Cuáles son las dos fracciones?
Solución
C
A
.
una de las fracciones. Entonces la otra fracción puede ser
Sea
A
B
Sumamos las dos fracciones:
C
A
A 2 + BC
=
+
AB
A
B
12
A 2 + BC
=2
×
7
AB
14
7
A 2 + BC
=
=
12
6
AB
⇒
2
A + BC = 7 ; AB = 6
Construimos la siguiente tabla:
A
1
2
3
6
B
6
3
2
1
45
C
1
1
No
No
Si A es 1 las fracciones son:
1
1
(no es fracción propia)
y
6
1
Si A es 2 las fracciones son:
1
2
y
2
3
Problema 153 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 7)
Con los dígitos 1, 3, 5 se escribe todos los números posibles de 2
cifras y de 3 cifras (en un mismo número no se puede repetir uno
de los dígitos).
Hallar la suma de todos los números que se puede escribir.
Solución
Los números de dos cifras son:
13 , 31 , 15 , 51 , 35 , 53
La suma es:
13 + 31 + 15 + 51 + 35 + 53 = 198
La lista de números de tres cifras es:
135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531
La suma es:
135 + 153 + 315 + 351 + 513 + 531 = 1 998
La suma total es:
198 + 1 998 = 2 196
46
Problema 154 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 9)
En la adición, cada letra representa a un
dígito diferente.
Calcular el resultado de la sustracción.
Solución
A puede ser 1 ó 2. Si A = 1, B + 1 = 13, lo cual es imposible porque B es un
dígito.
Luego, A = 2. Entonces, B + 2 = 3 ⇒ B = 1.
Por lo tanto, C + 1 = 6 ⇒ C = 5.
La suma es:
215 + 21 = 36
Y la sustracción:
215 − 21 = 194
Problema 155 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 1)
En una librería se vende: 1 caja de marcadores por 20 000 G y
2
libros de cuentos por 50 000 G.
La mamá de Laura compró 18 libros de cuentos y varias cajas de
marcadores. Pagó con cuatro billetes de 100 000 G y cinco billetes
de 50 000 G y le dieron 20 000 G de vuelto.
¿Cuánto gastó para comprar los marcadores?
Solución
Calculamos primero cuánto gastó la mamá de Laura:
4 × 100 000 G + 5 × 50 000 G − 20 000 G = 630 000 G
Cada libro cuesta: 50 000 G ÷ 2 = 25 000 G
Entonces, al comprar los libros gastó:
18 × 25 000 G = 450 000 G
47
Luego, en los marcadores gasta:
630 000 G − 450 000 G = 180 000 G
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por hallar cuanto gastó la mamá
Por hallar el precio de un libro
Por calcular el gasto en libros
Por hallar el resultado
2 puntos
2 puntos
2 puntos
1 punto
Observación: Si no, se hallar el precio de un libro y calcular directamente
el gasto en libros:
9 × 50 000 G = 450 000 G
Los criterios de corrección quedarían entonces:
•
•
•
Por hallar cuanto gastó la mamá
Por calcular el gasto en libros
Por hallar el resultado
3 puntos
3 puntos
1 punto
Problema 156 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 2)
Daniel escribe en una hoja la lista de todos los números naturales,
mayores que 0 y menores de 1000 que son simultáneamente
múltiplos de 9 y de 15.
Tacha luego todos los números de la lista que son múltiplos de 25.
Determinar cuántos números quedan sin tachar.
Solución
Escribimos la lista de los múltiplo de 9:
9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 , 90 , . . . . . . . . . .
Y la lista de los múltiplos de 15:
15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90 , . . . . . . . . . . . .
Los números que son comunes en las dos listas, son múltiplos de 45.
48
Entonces, los múltiplos de 45 menores que 1000 son:
45 , 90 , 135 , 180 , 225* , 270 , 315 , 360 , 405 , 450* ,
495 , 540 , 585 , 630 , 675* , 720 , 765 , 810 , 855 , 900* ,
945, 990
La cantidad de números que quedan sin tachar en la lista es: 18
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
•
Por escribir la lista de los primeros múltiplos de 9 y 15
Por encontrar los elementos comunes en ambas listas
Por afirmar que los números son múltiplos de 45
Por escribir la lista de los múltiplos de 45
Por eliminar los múltiplos de 25
Por dar la solución correcta
1 punto
1 punto
1 punto
2 puntos
1 punto
1 punto
Observación: Si calculan el mcm de 9 y 15 los criterios serían:
•
•
•
•
Por afirmar que los números son múltiplos de 45
Por escribir la lista de los múltiplos de 45
Por eliminar los múltiplos de 25
Por dar la solución correcta
3 puntos
2 puntos
1 punto
1 punto
Problema 157 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 5)
Completar las casillas del gráfico
con los números del 1 al 9, sin
repetir ninguno, de modo que la
suma de cada una de las cuatro
líneas sea la misma.
Ya se ha escrito los números 6 y 9.
Determinar todas las posibilidades.
Solución
Llamamos “x” al número que está
en la esquina vacía. La suma de
todos los números es:
1 + 2 + . . . . . . + 9 = 45
49
Al sumar las 4 sumas correspondientes a las líneas; 9, 6 y
considerar dos veces. Llamamos S a esa suma. Así tenemos:
x
se debe
S = 45 + 9 + 6 + x = 60 + x
La suma S debe ser múltiplo de 4, entonces:
→
60 + x
•
4
Esto significa que los posibles valores de x son 4 y 8. El valor 4 es imposible
porque, si x es 4 la suma S será 64 y la suma de cada línea 16. Entonces, en
una de las líneas tendríamos 6 + 4 + 6 = 16 lo cual es imposible de acuerdo
a las condiciones del problema.
Luego, el valor de x es 8. Entonces:
S = 68
⇒
La suma de cada línea es 68 ÷ 4 = 17
Calculamos los dígitos de las líneas donde están los dígitos 9, 6 y 8:
17 − (9 + 6) = 2; 17 − (6 + 8) = 3
Los dígitos no usados son: 1, 4, 5, 7.
Como 17 − 9 = 8 y 17 − 8 = 9, los pares que podemos elegir son: (1 + 7) y
(4 + 5). Con estos valores tenemos 4 posibilidades:
50
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por determinar una expresión para la suma de las casillas
Por definir que la suma debe ser múltiplo de 4
Por determinar la suma de cada fila
Por cada solución hallada 1 punto
hasta
1 punto
1 punto
1 punto
4 puntos
Observación: el último ítem es independiente de los anteriores.
Problema 158 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 7)
132 pasajeros cruzan un río en botes, de las cuales, 60 personas
navegan en botes de sólo cinco personas por bote, 36 en botes de
sólo 4 personas por bote y el resto usa botes de sólo 3 personas por
bote.
¿Cuántos botes utilizaron en total, si todos los botes navegaron con
carga máxima?
A) 12
B) 9
C) 24
D) 30
E) 33
Solución
Calculamos cuántos botes usaron los grupos de personas:
60 ÷ 5
→
12 botes
36 ÷ 4
→
9 botes
Las personas que falta contabilizar son:
132 − (60 + 36) = 36
La cantidad de botes usados por esas personas es:
36 ÷ 3 = 12
Y la cantidad de botes:
12 + 9 + 12 = 33
La respuesta es: E
51
Problema 159 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 12)
b
Si 2ª — 5 = 4 000, ¿cuál es el valor de a + b?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Solución
Tenemos:
b
2ª — 5 = 4 000
b
⇒
5
2ª — 5 = 2 — 5
3
Entonces, a = 5 y b = 3. Por lo tanto:
a+b=5+3=8
La respuesta es: D
Problema 160 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 13)
Alba tiene 10 años de edad. Su madre Elisa tiene cuatro veces la
edad de Alba. ¿Cuántos años tendrá Elisa cuando su hija Alba tenga
el doble de su edad actual?
A) 80
B) 40
C) 50
D) 70
E) 60
Solución
En la actualidad:
Alba
Elisa
→
→
10 años
40 años
Para que Alba tenga el doble (20 años) tendrá que pasar 10 años. Entonces,
la edad de Elisa será:
50 años
La respuesta es: C
Problema 161 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 14)
Quince niños están colocados en una circunferencia. Todos ellos
utilizan sombreros. El primer sombrero es rojo, el segundo blanco,
el tercero azul, el cuarto rojo, el quinto blanco, el sexto azul y así
sucesivamente.
Pedro con sombrero naranja quiere entrar, pero no quiere
colocarse con alguien que tenga sombrero azul.
52
¿En cuántos lugares puede colocarse Pedro?
A) 2
B) 4
D) 10
E) 15
C) 5
Solución
Formamos la lista de los 15 niños escribiendo la inicial del color de sus
sombreros:
R−B−A−R−B−A−R−B−A−R−B−A−R−B−A
Como Pedro no quiere estar al lado de un niño con sombrero Azul, tendrá
que entrar entre niños que tengan sombrero Rojo o Blanco. Entonces podrá
elegir 5 lugares.
La respuesta es: C
Problema 162 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 17)
Susana juega con una caja que contiene sólidos de madera. Ella
observa que 6 cubos pequeños pesan igual que 7 cilindros, 7
cilindros pesan igual que 3 cubos grandes y 2 cubos grandes pesan
igual que un chocolate de 200 gramos. ¿Cuánto pesa, en gramos, un
cubo pequeño?
A) 50
B) 70
C) 100
D) 150
E) 200
Solución
Escribimos las relaciones, teniendo en cuenta que CP es el peso de un cubo
pequeño, CI es el peso de un cilindro y CG es el peso de un cubo grande:
6 CP = 7 CI
7 CI = 3 CG
2 CG = 200 g
⇒
CG = 100 g
7 CI = 3 — 100 g = 300 g
6 CP = 300 g
⇒
CP = 50 g
La respuesta es: A
53
Problema 163 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 18)
Imagina que calculas la suma de los dígitos del cuadrado de un
entero cualquiera mayor que 2 007. ¿Cuál es el menor resultado
que puedes obtener?
A) 27
B) 19
C) 10
D) 2
E) 1
Solución
La lista comienza con 2 008 y sigue hasta el infinito.
En algún momento llegaremos a números como 10 000 , 100 000 , etc. El
cuadrado de esta clase de números comenzará con 1 y luego vendrán la
cantidad que corresponda de ceros. Entonces la suma será:
1+0+0+0+0+...+0=1
La respuesta es: E
Problema 164 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 19)
En una cuadrícula, Ana colorea los cuadrados pequeños que se
encuentran en las diagonales de la cuadrícula. ¿Cuáles son las
dimensiones de la cuadrícula si Ana coloreó un total de 9
cuadrados pequeños?
A) 3 × 3
B) 4 × 4
C) 5 × 5
D) 8 × 8
E) 9 × 9
Solución
En una cuadrícula 5 × 5 hay 5 cuadrados en cada diagonal, pero hay uno
que está en el centro, entonces, el total de cuadrados coloreados será:
5+5−1=9
La respuesta es: C
Problema 165 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 22)
A la derecha de un número de 2 dígitos se escribe el mismo número
obteniéndose un número de 4 dígitos. ¿Cuántas veces es el número
de 4 dígitos más grande que el número de 2 dígitos?
A) 1 000
B) 1 001
C) 100
D) 101
E) 10
54
Solución
Sea ab el número de dos dígitos. Entonces, el número de 4 dígitos es
abab .
Entonces tenemos:
abab = 1 000 a + 100 b + 10 a + b = 1 010 a + 101 b = 101 (10 a + b)
ab = 10 a + b
Luego:
101 (10 a + b)
= 101
10 a + b
La respuesta es: D
Problema 166 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 23)
En la secuencia 012343210012343210012343210012343210 . . . ,
(cuál es el dígito que ocupa el lugar número 1 000?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Solución
Separamos la secuencia para ver cómo se va repitiendo la parte que es
igual:
012343210 012343210 012343210 012343210 . . .
Al dividir 1 000 entre 9 obtenemos:
1 000 = 9 — 111 + 1
La respuesta es: A
Problema 167 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 25)
4
3
5
¿En cuántos ceros termina el número 24 — 75 — 15 ?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 8
E) 5
55
Solución
Determinamos la descomposición canónica de cada número buscando
factores 2 y 5 que producirán los ceros:
4
3
4
12
3
2 3
3
6
5
5
5
5
24 = (2 — 3) = 2
—3
75 = (3 — 5 ) = 3 — 5
15 = (3 — 5) = 3 — 5
4
En total tenemos 12 factores 2 y 11 factores 5.
La respuesta es: B
Problema 168 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 28)
La suma de las edades de Alejo, Brenda y Víctor es 22. Cuando
Alejo tenga la edad que tiene Brenda, la suma de las edades de los
tres será 28 y cuando Alejo tenga la edad que tiene Víctor, la suma
de las edades de los tres será 37. ¿Cuál es la edad de Alejo?
A) 6
B) 8
C) 4
D) 7
E) 5
Solución
La suma de las edades actuales es:
A + B + V = 22
Debemos considerar que cada vez que uno de ellos cumple años, los otros
dos lo hacen también. Entonces, cada año, la suma aumenta en 3.
Como 28 − 22 = 6 y 6 ÷ 3 = 2, han pasado 2 años. Luego:
A+2=B
También 37 − 22 = 15 y 15 ÷ 3 = 5, han pasado 5 años:
A+5=V
Reemplazando en la ecuación original:
A + A + 2 + A + 5 = 22
⇒
56
3 A = 15
⇒
A=5
La respuesta es: E
Problema 169 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 29)
El paralelepípedo de la figura está formado por 4
dados.
Los números de dos caras que se tocan son iguales.
¿Cuál es el número que debería aparecer en la cara
marcada con un signo de interrogación?
A) 6
B) 5
C) 3
D) 2
E) No hay suficiente información
Solución
En la cara en que se tocan los dados en los que se
ve ? y a, está el número 6.
En la cara en que se tocan los dados en los que se
ve ? y b, está el número 3.
Entonces, el dado que tiene ? es:
Comparando las posiciones de este dado con el que está en la construcción
original donde aparecen el 6 y el 3, vemos que este dado se obtiene
“acostando” el dado de la figura original sobre la cara que tiene el número
2. Entonces, en la cara de arriba se ve el número 5.
La respuesta es: B
57
58
Los datos y la estadística
Contenidos:
• Tablas de frecuencia (absoluta y relativa). (5.º Grado)
• Gráficos de línea (5.º Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencia (6.º Grado)
• Gráfico circular (6.º Grado)
• Datos no agrupados, moda (7.º Grado)
Problemas para el Aula
Problema 170
Las calificaciones de matemática del curso de Marcos, incluido él,
fueron:
2,3,5,4,4,1,2,4,3,2,5,5,3,
3,4,5,3,3,2,4,1,1,2,2,4
¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la calificación 3?
A) 7
C) 5
E) 3
B) 6
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
Construimos la tabla de frecuencias:
La respuesta es: B
59
Problema 171
En el colegio de Raquel se hace un censo para saber la edad, entre
los estudiantes del 7.º Grado y se obtienen los siguientes datos de
las edades en años:
13 , 13 , 13 , 12 , 13 , 12 , 13 , 12 , 13 , 14
15 , 14 , 13 , 13 , 13 , 13 , 14 , 14 , 14 , 13
13 , 14 , 13 , 13 , 14 , 12 , 13 , 13 , 13 , 13
15 , 13 , 13 , 13 , 14 , 13 , 13 , 13 , 14 , 13
13 , 13 , 14 , 15 , 12 , 13 , 13 , 13 , 13 , 13
¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor frecuencia
absoluta?
A) 18
C) 40
E) 2
B) 22
D) 29
F) n. d. l. a.
Solución
Construimos la tabla de frecuencias:
Vemos que la mayor frecuencia absoluta es 32 y la menor 3. Entonces:
32 − 3 = 29
La respuesta es: D
60
Problema 172
El gráfico representa las temperaturas máximas que Miguel midió
en el termómetro de su casa, como tarea de la clase de Ciencias.
¿Qué frecuencia relativa corresponde a la temperatura de 29 ºC?
2
1
E)
A) 0
C)
5
5
3
1
F) n. d. l. a.
D)
B)
10
10
Solución
Elaboramos la tabla de frecuencias:
Temperatura
(en ºC)
Frecuencia
Absoluta
28
3
29
2
30
0
31
4
32
1
Frecuencia
Relativa
3
10
1
5
0
2
5
1
10
La respuesta es: C
61
Problema 173
La siguiente tabla de frecuencias corresponde al color de cabello
de los compañeros de Juana:
Color del
cabello
Rubio
Negro
Castaño
Frecuencia
absoluta
5
15
10
¿Cuál de los gráficos representa a los datos de la tabla?
Solución
Comparando con los datos de la tabla, vemos que
el gráfico C) corresponde a esos datos.
La respuesta es: C
62
Problema 174
En un pequeño pueblo se aplica una encuesta sobre la cantidad de
hijos que tienen cada familia. El resultado se tiene en la tabla
siguiente:
CANTIDAD
DE HIJOS
−
1
2
3
4
5
CANTIDAD DE
FAMILIAS
102
81
142
426
237
12
¿Cuántos hijos más tiene la familia cuya frecuencia relativa
porcentual es 42,6 %, que la que tiene como frecuencia 8,1 %?
Solución
Calculamos el total de familias encuestadas:
102 + 81 + 142 + 426 + 237 + 12 = 1 000
La frecuencia relativa porcentual es:
Familias sin hijos
Familias con 1 hijo
Familias con 2 hijos
Familias con 3 hijos
Familias con 4 hijos
Familias con 5 hijos
102 10,2
=
1 000 100
81
8,1
=
→
1 000 100
142 14,2
=
→
1 000 100
426
42,6
=
→
1 000 100
237
23,7
=
→
1 000 100
12
1,2
=
→
1 000 100
→
→
10,2 %
→
8,1 %
→
14,2 %
→
42,6 %
→
23,7 %
→
1,2 %
Entonces, la diferencia entre la cantidad de hijos es:
3−1=2
63
Problema 175
El gráfico circular corresponde a los
productos de la granja de Blas.
¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia
porcentual correspondiente a los tomates y
a los porotos?
A) 15 %
C) 30 %
E) 45 %
B) 20 %
D) 35 %
F) n. d. l. a.
Solución
Para el poroto tenemos:
⇒
X = 15 %
⇒
x = 45 %
Para el tomate:
Luego:
45 % − 15 % = 30 %
La respuesta es: C
Problema 176
La profesora de Manuela dio cierta cantidad de problemas a sus
alumnos. Manuela resolvió el 80 % de los problemas, Eloísa resolvió
el 50 % de los problemas y Raúl el 60 %.
La profesora elaboró una tabla de frecuencias con los problemas
resueltos por cada uno de ellos. ¿Cuál es la frecuencia relativa que
corresponde a Manuela?
3
1
4
E)
C)
A)
5
2
5
6
8
F) n. d. l. a.
D)
B)
19
19
64
Solución
Calculamos la suma que corresponde a los problemas resueltos por los tres:
80 % + 50 % + 60 % = 190 %
La tabla de frecuencias es:
FRECUEN CIA
RELATIVA
80
8
=
190 19
50
5
=
190 19
60
6
=
190 19
NOMBRE
Manuela
Eloísa
Raúl
La respuesta es: B
Problema 177
Se representan datos estadísticos en un gráfico circular. ¿Cuántos
grados corresponden a un porcentaje del 70 %?
A) 70º
C) 126º
E) 300º
B) 140º
D) 252º
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos planteando una regla de 3:
⇒
x = 252º
La respuesta es: D
Problema 178
Según estudios estadísticos, de cada 100 personas en el mundo, 86
leen y el resto son analfabetos. ¿Cuántos grados corresponde en
una torta a los analfabetos?
Solución
Si de cada 100personas, 86 leen, eso representa el 86 %. El porcentaje de
analfabetos es:
100 % − 86 % = 14 %
65
Entonces:
⇒
x = 50,4 º
Problema 179
Las calificaciones de matemáticas de los estudiantes de un 6º
fueron:
1,1,2,3,4,5,4,3,4,4,5,5,2,2,3
3,1,4,2,1,1,1,5,5,4,3,2,3,4,4
¿Cuál de las gráficas lineales corresponde?
Solución
Analizando los
corresponde:
datos
del
problema
encontramos
la
gráfica
que
La respuesta es: C
66
Miscelánea
Problema 180 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 4)
Cada una de las
figuras del gráfico
está formada por
cuadraditos.
A) Explicar la regla para formar las siguientes figuras.
B) ¿Cuántos cuadraditos forman la figura 2007?
Solución 1
Buscamos la relación entre el número que corresponde a la figura y la
cantidad de cuadraditos que la forma. Así tenemos:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
→
→
→
→
1
2+1
3+2+1
4+3+2+1
Figura 2007
→
2007 + 2006 + 2005 + . . . . . + 3 + 2 + 1
Sacamos el 2007 con lo que nos quedan 2006 números que forman 1003
pares que suman 2007:
2006 + 1 = 2007
2005 + 2 = 2007
2004 + 3 = 2007
Entonces, el total de cuadraditos que forman la figura 2007 es:
2007 × 1003 + 2007 = 2 015 028
67
Criterios de corrección
•
•
•
Por descubrir la regla para calcular la cantidad de
cuadraditos para las siguientes figuras
Por agrupar los términos para realizar la suma
Por hallar el resultado correcto
3 puntos
2 puntos
2 puntos
Solución 2
Vemos que para obtener la figura 2 (n = 2) a partir de la figura
1
(n − 1 = 1), debemos agregar 2 cuadraditos, por ejemplo, en la posición
que corresponde a un cuadrado 2 × 2:
Para pasar de la figura 2 a la figura 3, la situación es agregar 3
cuadraditos:
Entonces, para saber cuantos cuadraditos tiene la figura n, se puede
considerar que los cuadraditos están colocados en un casillero cuadrado de
n — n casillas en los lugares de la diagonal y en todos los lugares por debajo
de ella.
Luego, para un caso general, el número de cuadraditos de una figura es
n⋅n − n
+n .
2
En la fracción están representados los cuadraditos que se agregaron a la
figura n − 1 a lo que tenemos que agregar los n cuadraditos que ya
existían.
Para n = 2007, tenemos:
2007 ⋅ 2007 − 2007
+ 2007 = 2 015 028
2
68
Criterios de corrección
•
•
•
Por descubrir la regla para calcular la cantidad de
cuadraditos para las siguientes figuras
Por hacer la generalización
Por hallar el resultado correcto
3 puntos
2 puntos
2 puntos
Problema 181 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 15)
Observa la secuencia de figuras formadas con triangulitos:
¿Cuántos triangulitos se necesitan para formar la figura que sigue?
A) 44
B) 40
C) 36
D) 32
E) 28
Solución
Contando los triangulitos de las figuras encontramos:
Primera figura
Segunda figura
Tercera figura
→
→
→
8
16
24
Como:
8 + 8 = 16 y 16 + 8 = 24
La tercera figura tendrá:
24 + 8 = 32
La respuesta es: D
69
Problema 182 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 4)
Un grupo de alumnos, numerados 1, 2, 3,…, forman
una rueda y se colocan a igual distancia entre dos
contiguos. Pedro, el alumno con el número 4, está
exactamente enfrente de María, la alumna con el
número 11, como se indica en la figura. ¿Cuántos
alumnos forman el grupo?
A) 16
B) 13
C) 15
D) 14
E) 17
Solución
Se puede ver en la
distribución del gráfico que
hay 14 alumnos.
La respuesta es: D
Problema 183 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 5)
Si un canguro tarda 6 segundos en realizar 4 saltos, ¿cuántos
segundos tardará para realizar 10 saltos?
A) 20
B) 12
C) 10
D) 18
E) 15
Solución
Como tarda 6 segundos en dar 4 saltos, un salto lo hará en:
6 segundos ÷ 4 = 1,5 segundos
Entonces, para dar 10 saltos:
1,5 segundos — 10 = 15 segundos
La respuesta es: E
70
Problema 184 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 6)
En el cuadrado de la figura, los números 1, 2 y 3
deben ser colocados en las casillas. En cada fila y
en cada columna debe aparecer uno de estos tres
números. Si Harry comenzó a llenar el cuadrado,
¿de cuántas formas puede completar su tarea?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Solución
Demostraremos que hay una sola posibilidad.
Como la primera columna ya tiene ubicados al 1 y
al 2, necesariamente la tercera casilla se llena con
el 3.
Mirando la segunda fila, en la última casilla sólo
puede ir el 3.
Con esto ya se puede llenar lo que resta.
La respuesta es: E
Problema 185 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 7)
Bernardo, quien es más viejo que Pablo por un año menos 1 día,
nació el primero de enero de 2002. ¿Cuándo nació Pablo?
A) El 2 de enero de 2003
B) El 2 de enero de 2001
C) El 31 de diciembre de 2002 D) El 31 de diciembre de 2000
E) El 31 de diciembre de 2003
Solución
La fecha de nacimiento de Bernardo es: 01 − Enero − 2002.
Un año después es el 01 − Enero − 2003.
Y un día antes: 31 − Diciembre − 2002
La respuesta es: C
71
Problema 186 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 8)
Un robot camina sobre la tabla desde la
casilla A2 y en la dirección de la flecha
como se muestra en la figura. Sólo puede ir
hacia delante (no puede retroceder) y sólo
si consigue dificultades en su camino puede
doblar a su derecha y continuar. El robot se
detendrá en caso de que no pueda
continuar su camino al tratar de doblar a su
derecha. El robot no puede colocarse en las
casillas grises, ni salirse de la tabla. ¿En
qué parte del camino se detendrá?
A) A1
B) B2
C) D1
D) E1
E) Nunca se detiene
Solución
Marcaremos la secuencia de casillas que el robot recorre, siguiendo las
condiciones que se establecen en el problema:
A2 − B2 − B1 − A1 − A2 − A3 − A4
B4 − C4 − D4 − D3 − D2 − D1
La respuesta es: C
Problema 187 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 9)
A) BBA
D) BA
En el taller de un carpintero hay
dos máquinas A y B. La máquina A
imprime una raya horizontal en la
tabla, mientras que la máquina B le
da un giro de 45º a la derecha
tomando como centro de rotación
al centro del objeto. ¿Cuál es la
secuencia correcta para obtener la
Figura 2 empezando de la Figura 1?
B) ABB
C) BAB
E) BABBB
72
Solución
Porgamos a funcionar nuestras máquinas:
La respuesta es: B
Problema 188 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 10)
¿Cuál de las siguientes piezas se puede unir a la que se
muestra en la figura para formar un rectángulo? (El
rectángulo formado no debe tener “huecos” en blanco).
Solución
Tratamos de armar el rectángulo ubicando las piezas:
La respuesta es: B
73
Problema 189 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 11)
Ana, Blanca, Cecilia y Diana practican un deporte distinto cada
una: karate, fútbol, tenis y judo. A Ana no le gusta practicar, ni
presenciar los deportes que involucran pelotas. La que practica
judo y Blanca suelen asistir frecuentemente a los partidos de
fútbol para ver jugar a su amiga. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A) Ana practica fútbol
B) Cecilia practica tenis
C) Blanca practica tenis
D) Diana practica karate
E) Ana practica judo
Solución
Ana no practica ni presencia fútbol ni tenis.
Tampoco practica judo pues la compañera de Blanca lo practica y asisten a
los partidos de fútbol. Por lo tanto, Ana practica karate.
Por lo tanto A), D) y E) descartados.
Blanca no practica judo ni fútbol. Tampoco karate, que lo practica Ana.
Luego, Blanca practica tenis.
La respuesta es: C
Problema 190 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 12)
Laura tiene una tira
de papel de 27 cm
de largo.
Ella la cortó en cuatro rectángulos de diferentes tamaños, como se
indica en la figura. Luego dibujó dos segmentos de forma que
ambos segmentos conecten los centros de dos rectángulos
adyacentes, como se indica en la figura.
¿Cuál es la suma de las longitudes de los dos segmentos?
A) 12 cm
B) 13,5 cm
C) 14 cm
D) 14,5 cm
E) El número depende de la división
Solución
Como los segmentos unen los centros de los rectángulos, la suma de sus
longitudes será la mitad de la longitud de la tira de papel. Luego:
27 cm ÷ 2 = 13,5 cm
La respuesta es: B
74
Problema 191 (Validación Kanguro 2007 - Cadete – Problema 15)
¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados blancos
que habría que pintar de gris en la figura para que
ésta tenga un eje de simetría?
A) 4
B) 6
C) 5
D) 2
E) 3
Solución
Cuando no tenemos en cuenta los cuadrados pintados, la figura tiene 4
ejes de simetría.
Analizamos qué pasa con cada uno de estos ejes:
La respuesta es: E
75
76
NIVEL 2
8.º y 9.º Grado
77
78
La geometría y la medida
Contenidos:
• Puntos simétricos con relación a un segmento. (5º. Grado)
• Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías. (5º. Grado)
• Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo,
trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5º. Grado)
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5º. Grado)
• Longitud de la circunferencia. (5º. Grado)
• Unidades de medida de superficie. (5º. Grado)
• Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5º. Grado)
• Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5º. Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las
medidas de sus lados. (6.º Grado)
• Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6º. Grado)
• Ángulos complementarios y suplementarios. (6º. Grado)
• Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6º. Grado)
• Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6º. Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6º. Grado)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro). (6º. Grado)
• Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las
unidades de medidas de capacidad. (6º. Grado)
• Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y
submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6º. Grado)
• Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de
volumen, capacidad y peso. (6º. Grado)
• Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6º. Grado)
• Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado)
• Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo. (7.º Grado)
• Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes. Complemento
y suplementos de un ángulo. (7.º Grado)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado)
• Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado)
• Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de
lados. Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado)
79
•
•
•
•
•
•
•
•
Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7º. Grado)
Teorema de Pitágoras. (7º. Grado)
Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y
el plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos,
suma de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos
de un triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero.
(7º. Grado)
Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado)
Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)
Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones relativas de la recta y la
circunferencia, y de dos circunferencias. (8.º Grado)
Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular). (9.º
Grado)
Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos.
Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)
80
Problemas para el Aula
Problema 201 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
Pedro tiene un terreno que se ha dibujado en la
cuadrícula del gráfico. La escala utilizada es la
siguiente:
1 cuadrito
→
4 000 000 cm2
¿Cuál es la superficie del terreno de Pedro?
A) 15 dam2
C) 30 dam2
E) 60 dam2
2
2
B) 20 dam
D) 40 dam
F) n. d. l. a.
Solución
Determinamos en primer lugar cuántos cuadritos cubren el terreno de
Pedro:
5—6−
2⋅4
3⋅3
3⋅3 2⋅2
= 30 − 4,5 − 2 − 4,5 − 4 = 15
−
−
−
2
2
2
2
El terreno de Pedro cubre el equivalente a 15 cuadritos. Luego:
2
2
2
15 — 4 000 000 cm = 60 000 000 cm = 60 dam
La respuesta es: E
Problema 202 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
El área de un triángulo ABC es 80 cm2. La mediana AM mide
cm.
¿Cuál es la distancia del vértice B a la mediana AM?
A) 10 cm
C) 6 cm
E) 4 cm
B) 8 cm
D) 5 cm
F) n. d. l. a.
10
Solución
La mediana AM divide al triángulo ABC en
dos triángulos de igual área. Entonces:
(ABM) = 40 cm
81
2
Luego:
(ABM) =
2
40 cm =
AM ⋅ d
2
10 cm ⋅ d
2
⇒
d = 8 cm
La respuesta es: B
Problema 203 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
En el cuadrado MNPQ, cada uno de los lados mide
18.
¿Cuál es el área de la superficie pintada?
A) 121,5
C) 243,5
E) 486,5
B) 162
D) 324
F) n. d. l. a.
Solución
(MNSR) = (MNS) + (MSR)
(MNSR) =
18 ⋅ 9 9 ⋅ 9
+
= 81 + 40,5 = 121,5
2
2
La respuesta es: A
Problema 204 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
En un rectángulo ABCD, el área es 20 y sus lados tienen como
medida un número entero. ¿Cuál la cantidad de valores que puede
tener la medida del lado AB?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
El área de un rectángulo es largo por ancho. Sea “A” el largo y “B” el
ancho, entonces:
A — B = 20
82
Como los lados son números enteros, tenemos:
A
1
2
4
5
10
20
B
20
10
5
4
2
1
La respuesta es: F
Problema 205 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 11)
En un triángulo ABC se trazan los segmentos AM y BN (M pertenece
a BC, N pertenece a AC). Los ángulos AMC y BNC son
∠
∠ 
 ∠
suplementarios. Si ACB = 40º , ¿cuál es el valor de  BAM + ABN  ?




A) 20º
C) 50º
E) 80º
B) 40º
D) 70º
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
a + b = 180º
En el cuadrilátero MPNC:
∠
MPN = 360º − (a + b + 40º)
∠
MPN = 360º − (180º + 40º) = 140º
Los ángulos MPN y APB son iguales por ser opuestos por el vértice.
Entonces, considerando el triángulo APB:
x + y = 180º − 140º = 40º
La respuesta es: B
83
Problema 206 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 12)
En el trapecio ABCD las diagonales AC y BD
determinan los ángulos que están indicados
en la figura. ¿Cuál es el valor de (x + y)?
A) 112º
C) 68º
E) 50º
B) 76º
D) 60º
F) n. d. l. a.
Solución
En el triángulo APB tenemos:
∠
APB = 180º − (30º + 38º) = 112º
Los ángulos APB y APD son suplementarios, por ser adyacentes que forman
un par lineal.
Entonces:
∠
APD = 180º − 112º = 68º
En el triángulo APD:
68º + x + y = 180º
⇒ x + y = 112º
La respuesta es: A
Problema 207 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 13)
En el triángulo ABC, AB = AC, AH es la altura. ¿Cuál
es la medida del ángulo BAH?
A) 40º
C) 80º
E) 95º
B) 50º
D) 85º
F) n. d. l. a.
Solución
∠
∠
Cono el triángulo es isósceles, tenemos que ABH = ACH . Entonces:
∠
∠
ABH = ACH = 180º − 130º = 50º
84
Como el triángulo AHB es rectángulo por ser AH altura, tenemos:
∠
BAH = 90º − 50º = 40º
La respuesta es: A
Problema 208 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 2)
En el paralelogramo ABCD, AE = 8 cm, BE
= 6 cm, ED = AB.
Calcular el perímetro del paralelogramo.
Solución
Calculamos primero AB:
AB =
(8 cm) 2 + (6 cm) 2 = 64 cm2 + 36 cm2 = 100 cm2 = 10 cm
Entonces:
ED = AB = 10 cm
⇒
AD = 8 cm + 10 cm = 18 cm
Y el perímetro del paralelogramo es:
2 (10 cm + 18 cm) = 56 cm
Problema 209 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 4)
En un rectángulo ABCD, se ubica los puntos E , F , G , H, puntos
medios de AB , BC , CD , DA respectivamente. Uniendo estos
puntos en el orden dado se obtiene un rombo cuyo perímetro es
232.
Si AB = 84, ¿cuál es el área del rectángulo?
85
Solución
Calculamos cuánto miden los lados del rombo:
EF = FG = GH = HE = 232 ÷ 4 = 58
Como E es punto medio, tenemos:
AE = EB = 84 ÷ 2 = 42
Entonces:
AH =
58 2 − 42 2 = 3 364 − 1 764 = 1 600 = 40
⇒
AD = 80
El área del rectángulo es:
84 × 80 = 6 720
Problema 210 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 6)
En la figura se ven 4 círculos iguales de radio 1, dentro de
un cuadrado. Los círculos son tangentes entre si y
tangentes a los lados del cuadrado.
Calcular la medida de la superficie pintada de negro.
Solución
Si al área del cuadrado le sacamos el área de los 4 círculos,
tendremos el área de la superficie pintada de negro:
2
2
(4) − 4 π 1 = 16 − 4 π = 4 (4 − π) ≅ 3,434
Problema 211 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 9)
Un cuadrado pequeño es inscripto en uno más
grande como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
área del cuadrado pequeño?
A) 28
B) 34
C) 16
D) 49
E) 36
86
Solución
Por la simetría de la figura, hemos completado
algunos valores.
Llamamos “a” al lado del cuadrado pequeño,
entonces:
2
2
2
a = 3 + 5 = 9 + 25 = 34
La respuesta es: B
Problema 212 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 6)
Si se corta un cubo de 1 m3 en cubitos de 1 mm3 y luego se colocan
los cubitos obtenidos uno encima del otro, ¿cuál es la altura de la
torre de cubos?
A) 100 m
B) 1 000 km
C) 10 km
D) 1 km
E) 100 000 mm
Solución
3
Como el cubo tiene un volumen de 1 m , su arista
es de 1 m o sea 1 000 mm. Eso significa que en
cada arista caben 1 000 cubitos de 1 mm e arista.
El total de cubitos que se obtienen al cortar el
cubo es:
1 000 × 1 000 × 1 000 = 1 000 000 000
Al encimar todos los cubitos tenemos una altura de:
1 000 000 000 mm = 1 000 000 m = 1 000 km
La respuesta es: B
87
Problemas Desafiantes
Problema 213 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
En el cuadrado ABCD, E y F son puntos medios de
los segmentos AB y AD respectivamente. ¿Cuál es la
relación entre las áreas de la superficie sombreada
y la superficie en blanco?
A) 1 : 1
C) 3 : 5
E) 2 : 3
B) 1 : 2
D) 4 : 3
F) n. d. l. a.
Solución
Si 2 X es el lado del cuadrado, los
segmentos AE = EB = AF están
representados por X.
Calculamos las áreas de
triángulos AEF, EBC y FDC:
(AEF) =
los
X⋅X
1 2
X
=
2
2
(EBC) = (FDC) =
2X⋅X
2
=X
2
La suma de las tres áreas es:
5 2
1 2
2
2
X
X +X +X =
2
2
El área pintada es:
2
(2 X) −
3 2
5 2
X
X =
2
2
La razón que queremos determinar es:
3 2
X
3
2
=
5 2
5
X
2
La respuesta es: C
88
Problema 214 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
En un exágono regular ABCDEF, el área del triángulo ADE es 100.
¿Cuál es el área del trapecio ABCD?
A) 300
C) 200
E) 100
B) 250
D) 150
F) n. d. l. a.
Solución
Denominamos O al centro del exágono
regular. Trazamos FO y EO que forman 3
triángulos equiláteros de área 2 x.
Entonces, considerando
triángulo ADE tenemos:
(ADE) = 4 x
⇒
el
área
del
100 = 4 x
x = 25
El área buscada es igual al área del cuadrilátero
AFED. Entonces:
(ABCD) = (AFED) = 6 x = 6 — 25 = 150
La respuesta es: D
Problema 215 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 15)
AD es el diámetro de la semicircunferencia
mayor cuyo centro es B, y C es el centro de
la semicircunferencia menor. Si se suman
las
longitudes
de
ambas
semicircunferencias se obtiene 30 π cm.
¿Cuál es la medida del segmento AD?
A) 10 cm
C) 40 cm
E) 60 cm
B) 20 cm
D) 50 cm
F) n. d. l. a.
89
Solución
Llamamos l1 y l2 a la longitud de las
semicircunferencias
mayor
y
menor
respectivamente.
Entonces:
L1 + L2 = 30 π cm
2 π ⋅ 2r 2 π⋅r
+
= 30 π cm
2
2
2 π r + π r = 30 π cm
r = 10 cm
3 π r = 30 π cm
⇒
⇒ 4 r = 40 cm
La respuesta es: C
Problema 216 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 16)
En un triángulo equilátero ABC de 10 cm de lado, los puntos D y E
están sobre los segmentos AB y AC respectivamente. Se traza DE
║ BC. El perímetro del trapecio DECB es 28 cm. ¿Cuál es el
perímetro del triángulo ADE?
A) 2 cm
C) 6 cm
E) 10 cm
B) 4 cm
D) 8 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Como DE ║ BC, el triángulo ADE es también
equilátero y por Thales, los segmentos DB y EC son
iguales.
Entonces, tenemos:
a + b =10 cm
a + 2 b + 10 cm = 28 cm
⇒
a + 2 b = 18 cm
a + 2 (10 cm − a) = 18 cm
⇒
a + 20 cm − 2 a = 18 cm
a = 2 cm
⇒
3 a = 6 cm
La respuesta es: C
90
Problema 217 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 8)
En una circunferencia de centro O, una cuerda AB mide 16 cm.
2
La superficie del triángulo AOB es 48 cm . Calcular la longitud de
la circunferencia.
Solución
Trazamos la altura del triángulo AOB, que
divide a la cuerda en dos partes iguales.
Entonces:
AB = 16 cm
⇒
AH = 8 cm
Como la superficie del triángulo AOB es 48
2
cm , tenemos:
(AOH) = 24 cm
8 cm ⋅ OH
2
= 24 cm
2
⇒
2
OH = 6 cm
Entonces, el radio de la circunferencia es:
r=
(8 cm) 2 + (6 cm) 2 = 100 cm2 = 10 cm
Y la longitud de la circunferencia es:
CFA = 2 π — 10 cm = 20 π cm ≅ 62,83 cm
Problema 218 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 10)
En la figura, ABCD es un rectángulo, E es el punto
medio de AB y F es el punto medio de BC.
2
El área pintada de negro es 10 cm .
Calcular la diferencia entre las áreas AEFD y BEF.
91
Solución
Tenemos:
(DFC) = 10 cm
2x⋅y
2
= 10 cm
2
2
⇒
xy = 10 cm
2
Luego:
(EBF) =
x⋅y
2
= 5 cm
2
Trazamos GF ║ DC, con lo cual G es punto medio de AD, con lo cual
tenemos que (DFC) = (DFG). Entonces:
2
(ABFG) = (GFCD) = 10 cm — 2 = 20 cm
2
Luego:
2
2
(AEFG) = (ABFG) − (EBF) = 20 cm − 5 cm = 15 cm
2
2
2
2
(AEFD) − (BEF) = 25 cm − 5 cm = 20 cm
Problema 219 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 2)
2
El cuadrado ABCD tiene 144 cm de área. Además:
BC = 3 PC
;
CD = 4 DQ
Calcular el área del triángulo PQR.
92
;
AD = 5 AR
Solución
El lado del cuadrado mide:
144 cm2 = 12 cm.
Entonces:
BC = 12 = 3 PC
CD = 12 = 4 DQ
⇒
⇒
AD = 12 = 5 AR
⇒
PC = 4 cm ; BP = 8 cm
DQ = 3 cm ; QC = 9 cm
48
12
cm
cm ; RD =
AR =
5
5
El área buscada es:
(PQR) = (ABCD) − (RDQ) − (QCP) − (ABPR)
(PQR ) = 144 −
12
48
8+
×
9
4
5 × 12 = 144 − 72 − 18 − 312 = 246
5 −
−
2
5
2
2
5
5
3×
(PQR) = 49,2 cm2
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por determinar la medida del lado del cuadrado ABCD
Por determinar (RDQ)
Por determinar (QCP)
Por determinar (ABPR)
Por calcular correctamente (PQR)
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
3 puntos
Problema 220 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 5)
∠
Un triángulo ABC ( B = 90º ), está inscripto en una circunferencia de
radio r. En el triángulo uno de los catetos tiene doble longitud que
el otro.
Demostrar que el área que queda al sacar del círculo el triángulo
4

ABC es r 2  π −  .
5

93
Solución
Sea O el centro de la circunferencia. Como
el triángulo inscripto es rectángulo,
entonces O es el punto medio de la
hipotenusa.
Trazamos OM ⊥ BC , ON ⊥ AB.
Como todo segmento trazado desde el
centro de la circunferencia, perpendicular
a una cuerda divide a esta en dos
segmentos iguales, tenemos:
AN = NB
;
BM = MC
Supongamos que sea el cateto BC el que tiene doble longitud que el otro
cateto. Denominamos “x” al segmento NB, entonces BM = 2 x.
Por otro lado, el cuadrilátero NBMO es un rectángulo, luego, el radio OB es
una de las diagonales del rectángulo. Entonces:
2
2
2
r = x + (2 x)
2
;
r =5x
2
El área del triángulo ABC es:
(ABC) = 2x ⋅ 4 x = 4 x 2
2
El área del círculo es:
2
Co = π — r
Luego:
2
2
2
π—r −4x =π—r −4—
4
r2
2
= r (π − )
5
5
Con esto se completa la demostración.
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por hacer un dibujo correcto
Por relacionar correctamente el radio de la
circunferencia con los catetos del triángulo
Por calcular el área del triángulo
Por completar la demostración
94
1 punto
2 puntos
2 puntos
2 puntos
Problema 221 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 5)
El área del cuadrado mayor de la figura es 1. ¿Cuál de los
siguientes valores no puede ser el área de alguno de los
triángulos que se encuentran en la figura?
3
8
1
D)
8
A)
1
4
3
E)
6
1
2
C)
B)
Solución
El cuadrado está dividido en 8 partes de igual área.
El área de este triángulo es
1
.
8
El área de este triángulo es
2 1
=
8 4
El área de este triángulo es
4 1
=
8 2
La respuesta es: A
Problema 222 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 11)
En el triángulo equilátero MNP, el área es 9
m2.
Se sabe además que MA = AF = FN = NE =
ED = DP = PC = CB = BM.
¿Cuál es el área de exágono ABCDEF?
A) 6,5 m2
B) 6 m2
C) 5 m2
2
2
D) 4,5 m
E) 4 m
95
Solución
O es el centro del triángulo equilátero MNP.
Por los puntos A, F, B, C, D, E y F trazamos
paralelas a los lados triángulo MNP. Con
esto tenemos dividido el triángulo en 9
triángulos equiláteros de igual área,
entonces, por ejemplo:
2
(MAB) = 9m ÷ 9 = 1 m
2
Luego, el área buscada es:
2
(ABCDEF) = 1 m — 6 = 6 m
2
La respuesta es: B
Problema 223 (Kanguro 2007 - Cadete – Problema 30)
En la figura se tienen 6 círculos de igual
radio. Los círculos son tangentes entre sí y
a los lados del rectángulo mayor. Los
vértices del rectángulo menor son los
centros de cuatro de los círculos.
Si el perímetro del rectángulo menor es 60 cm, ¿cuál es el perímetro del
rectángulo mayor?
A) 80 cm
B) 100 cm
C) 120 cm
D) 140 cm
E) 160 cm
Solución
Resolvemos el problema en función de los
radios de las circunferencias:
60 cm = 2 (2 r + 4 r)
30 cm = 6 r
⇒
r = 5 cm
Entonces, el perímetro del rectángulo mayor es:
2 (4 r + 6 r) = 20 r = 20 — 5 cm = 100 cm
La respuesta es: B
96
Problema 224 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 27)
Un trapecio es construido al cortar una esquina de un triángulo
equilátero. Luego, dos copias de ese trapecio son pegadas lado a
lado para formar un paralelogramo. El perímetro de ese
paralelogramo es 10 cm más largo que el perímetro del triángulo
original. ¿Cuál era el perímetro del triángulo original?
A) 10 cm
B) 30 cm
C) 40 cm
D) 60 cm
E) Se necesita más información
Solución
En el gráfico vemos el corte
en el triángulo equilátero y
el paralelogramo que se
arma posteriormente.
De acuerdo a las
denominaciones ubicadas,
tenemos:
Pparalelogramo = Ptriángulo + 10 cm
2 a + 2 b + 2 c = 2 a + b + 2 c + 10 cm
b = 10 cm
⇒
Ptriángulo = 10 cm — 3 = 30 cm
La respuesta es: B
Problema 225 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 28)
La figura muestra una pieza cuadrada de cerámica
de 20 cm por 20 cm, con figuras que corresponden
a cuartos de circunferencias de radio 10 cm con
centros en dos de los vértices del cuadrado. Se
quiere cubrir una superficie cuadrada de 80 cm por
80 cm con estas piezas de cerámica. ¿Cuál es la
longitud, en cm, de la curva más larga que se
puede formar con los cuartos de circunferencia de
las piezas al disponerlas de manera adecuada en la
superficie indicada?
A) 75 π
B) 100 π
C) 105 π
D) 110 π
E) 525 π
97
Solución
Llamamos “x” al arco que aparece
en el cuadrado, entonces, 4 x hace
un círculo.
Luego:
x=
2 π ⋅ 10 cm
= 5 π cm
4
En la curva encontramos 21 x. Por
lo tanto, la longitud de la curva es:
21 — 5 π cm = 105 π cm
La respuesta es: C
Problema 226 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 30)
En un triángulo ABC, D es el punto medio del segmento AB, E es el
punto medio del segmento DB y F es el punto medio del segmento
BC. Si el área del triángulo ABC es 96, ¿cuál es el área del triángulo
AEF?
A) 16
B) 48
C) 32
D) 24
E) 36
Solución
Comparado el triángulo BDF con el
triángulo ABC vemos que la base de BDF es
la mitad de la de ABC, y también su altura
es la mitad. Entonces, el área del triángulo
BDF es la cuarta parte del área del
triángulo ABC:
(BDF) = 96 ÷ 4 = 24
Como E es punto medio de BD, los
triángulos BEF y EDF tienen las bases
iguales y la misma altura. Por tanto:
(BEF) = (EDF) = 24 ÷ 2 = 12
98
También los triángulos BDF y DAF tienen sus bases iguales y la misma
altura.
Entonces:
(BDF) = (DAF) = 24
Por lo tanto:
(AEF) = (EDF) + (DAF) = 12 + 24 = 36
La respuesta es: E
Problema 227 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 11)
En la figura, ABC y CDE son triángulos
equiláteros y congruentes. Si la medida del
ángulo ACD es 80º ¿cuál es la medida del
ángulo ABD?
A) 25º
B) 30º
C) 35º
D) 40º
E) 45º
Solución
El triángulo BCD es isósceles (BC = CD),
entonces tenemos:
∠
∠
DBC = BDC = y
La medida del ángulo BCD es:
∠
BCD = 60º + 80º = 140º
Luego:
⇒
2 y + 140º = 180º
x + y = 60º
⇒
y = 20º
x = 40º
La respuesta es: D
99
Problema 228 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 12)
Los cuadrados de la figura
están formados por la
intersección del segmento
AB, que mide 24 cm y por la
línea quebrada A A1 A2 . . . .
. . A12 B.
¿Cuál es la longitud de A A1
A2 . . . . . . A12 B?
A) 72 cm
D) 56 cm
B) 48 cm
E) 106 cm
C) 96 cm
Solución
Vemos que:
c + d + e + f + g + h = 24 cm
Si sumamos los lados del primer
cuadrado (de la izquierda), nos da 3
veces la longitud “c”. Lo mismo, su
sumamos los tres lados del
cuadrado que está a continuación,
nos da 3 veces “d”. Entonces:
Longitud de AA1A2 . . . B = 3 c + 3 d + 3 e + 3 f + 3 g + 3 h
Longitud de AA1A2 . . . B = 3 (c + d + e + f + g + h) = 3 × 24 cm = 72 cm
La respuesta es: A
Problema 229 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 15)
Si el área de la región sombreada es 3 , ¿cuál es
el área del triángulo ABC que está inscripto en la
circunferencia de centro O?
A) 4 3
D) 2
B) 4
E) 3
100
C) 2 3
Solución
Como el triángulo está inscripto en la circunferencia y uno de sus lados
contiene al centro O, el triángulo es rectángulo (en B) y AC es la
hipotenusa.
Como AO = OC por ser radios, BO es una mediana y el área de los triángulos
ABO y OBC es la misma.
Entonces:
(ABC) = 2 (ABO) = 2 3
La respuesta es: C
101
102
El número y las operaciones – Expresiones
algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5º.
Grado)
• Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria. (5º.
Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5º. Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6º. Grado)
• Notación científica. (6º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (6.º
Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias
de diez. (6º. Grado)
• Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud.
(6º. Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6º. Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6º. Grado)
• Regla de tres (6º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales. (7º. Grado)
• Valor absoluto. (7º. Grado)
• Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos.
(7º. Grado)
• Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y
racionales en notación fraccionaria y decimal. (7º. Grado)
• Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con
números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal. (7º.
Grado)
• Leyes y propiedades de la potenciación. (7º. Grado)
• Radicación, concepto, características. (7º. Grado)
103
•
•
•
•
•
•
•
Ecuaciones lineales. (7º. Grado)
Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros,
incógnita, término independiente. (7º. Grado)
Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d. (7º. Grado)
Aplica algoritmos y propiedades de las operaciones de adición,
sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas: entre
monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios. (8.º Grado)
Utiliza el proceso de factorización de expresiones algebraicas
polinómicas, en diferentes contextos. (8.º Grado)
Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre
monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del
resto, regla de Ruffini. (8.º Grado)
Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla
de Ruffini. (8.º Grado)
104
Problemas para el Aula
Problema 230 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
El valor numérico del polinomio 5 x2 y + 8 x y2 es 288. Si x = 2 y,
¿cuál es el valor de (x + y)?
A) 2
C) 5
E) 8
B) 4
D) 6
F) n. d. l. a.
Solución
Trabajamos con el polinomio:
5 x2 y + 8 x y2 = 288
2
2
5 (2y) y + 8 (2y) y = 288
3
3
3
⇒
20 y + 16 y = 288
36 y = 288
⇒
x = 2y = 2 — 2 = 4
⇒
y=2
x+y=4+2=6
La respuesta es: D
Problema 231 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
2a 2 + 3a − 2
Al simplificar la expresión
obtiene?
a
A)
a+2
a+2
B)
a
C)
1
2a − 1
D) 2 a − 1
2a 2 − 3a + 1 , ¿qué expresión se
2a 2 − 3a
2a 2 − 5a + 3
E) a − 3
F) n. d. l. a.
Solución
Indicamos la división:
a (2 a − 3)
(2 a − 1) (a + 2)
2 a2 + 3 a − 2
2 a2 − 3 a
÷
=
÷
2
2
−
−
(
a
1
)
(
2
a
1
)
(
a
− 1) (2 a − 3)
2a −3a +1 2a −5a + 3
105
Simplificando:
a+2
a
÷
a −1 a −1
Como tenemos una división de fracciones homogéneas:
a+2
(a + 2) ÷ 1
a+2
a
(a + 2) ÷ 1
= (a + 2) ÷ a =
=
=
÷
a
(a − 1) ÷ (a − 1)
a −1 a −1
1
La respuesta es: B
Problema 232 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
3
2
El polinomio a − 3 a − 88 a se descompone en 3 factores. ¿Cuál
es la suma de estos factores?
A) a + 3
C) 3 (a + 2)
E) 2 (a − 3)
B) 3 (a − 1)
D) a − 3
F) n. d. l. a.
Solución
Factorizamos el polinomio:
3
2
2
a − 3 a − 88 a = a (a − 3 a − 88) = a (a − 11) (a + 8)
La suma de los factores es:
a + (a − 11) + (a + 8) = 3 a − 3 = 3 (a − 1)
La respuesta es: B
Problema 233 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
3
2
Dados dos polinomios P1 y P2 ; P1 — P2 = 6 a − 5 a + 6 a + 8 ;
P2 = 21 a + 14. ¿Cuál es el polinomio P1?
2
2
2
A) 3 a + 2 a − 5
C) a − 2 a + 5
E) a + 3 a + 4
2
2
B) 2 a + 4 a + 3
D) 2 a − 3 a + 4
F) n. d. l. a.
Solución
Determinamos primero el polinomio P2 dividiendo entre 7 la igualdad:
7 P2 = 21 a + 14
⇒
106
P2 = 3 a + 2
7
Calculamos ahora P1:
3
2
P1 = (6 a − 5 a + 6 a + 8) ÷ (3 a + 2)
La respuesta es: D
Problema 234 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 1)
2 007
?
¿Cuál es el valor de
2+0+0+7
A) 223
B) 75
D) 1003
E) 123
C) 213
Solución
Resolvemos las operaciones:
2 007
2 007
=
= 223
2+0+0+7
9
La respuesta es: A
Problema 235 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 4)
Si x es un número entero negativo, ¿cuál de los siguientes
números es el mayor de todos?
A) x − 2
B) 2 x
C) 6 x + 2
D) x + 1
E) - 2 x
Solución
Analizamos cada situación, asumiendo el mayor valor posible para x que es
-1:
A)
→
-1 − 2 = -3
⇒
valor ≤ -3
B)
→
2 — -1 = -2
⇒
valor ≤ -2
C)
→
6 — -1 + 2 = -4 ⇒
valor ≤ -4
D)
→
-1 + 1 = 0
⇒
valor ≤ 0
E)
→
-2 — -1 = 2
⇒
valor ≥ 2
La respuesta es: E
107
Problema 236 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 8)
Una organización internacional tiene 32 miembros. ¿Cuántos
miembros tendrá dentro de 3 años si el número de miembros
aumenta cada año con respecto al anterior en un 50 %?
A) 182
B) 128
C) 108
D) 96
E) 80
Solución
Hoy
→
32
Dentro de 1 año
→
32 + 32 × 0,5 = 48
Dentro de 2 años
→
48 + 48 × 0,5 = 72
Dentro de 3 años
→
72 + 72 × 0,5 = 108
La respuesta es: C
Problema 237 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 12)
En la adición de la derecha letras iguales
representan a un mismo dígito. ¿Cuál dígito se
utilizó en el lugar de la C?
A) 6
D) 3
B) 7
E) 1
C) 2
Solución
Atendiendo a las unidades de mil, vemos que B ≤ 4.
Los valores posibles para A son: 1 ó 6.
Si A = 1, B = 9 (imposible).
Luego, el valor de A es 6. Entonces:
⇒
B=3
C + 6 = 13
⇒
B+2+1=6
Si B = 3 tenemos:
C + A = 13
⇒
C=7
La respuesta es: B
108
Problemas Desafiantes
Problema 238 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
Los polinomios P1 y P2 son binomios que no se pueden factorizar.
Si P1 — P2 = 6 x2 − 11 x − 10, ¿cuál es el valor de P1 + P2?
A) 3 x − 5
C) 5 x − 3
E) 2 x + 2
B) 3 x + 2
D) 2 x − 5
F) n. d. l. a.
Solución
Factorizamos:
6 x2 − 11 x − 10
2
2
2
2
Como 6 x — 10 = 60 x = 2 — 3 — 5 x = 4 x — 15 x, tenemos:
2
6 x2 − 11 x − 10 = 6 x − 15 x + 4 x − 10 = 3 x (2 x − 5) + 2 (2 x − 5)
6 x2 − 11 x − 10 = (2 x − 5) (3 x + 2)
Luego:
(2 x − 5) + (3 x + 2) = 5 x − 3
La respuesta es: C
Problema 239 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
m 2
12 m
= , ¿cuál es el valor de (n
=
,
Dadas las proporciones
n 3
m 75
− m)?
A) 1
C) 4
E) 10
B) 3
D) 5
F) n. d. l. a.
Solución
Consideramos la primera proporción:
12 m
=
m 75
⇒
2
m = 12 — 75 = 900
109
⇒
m = 30
Luego:
30 2
=
n 3
⇒
2 n = 30 — 3
⇒
n = 45
Entonces:
n − m = 45 − 30 = 15
La respuesta es: F
Problema 240 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
La figura muestra un candado de seguridad
que tiene cuatro ruedas, cada una con los
dígitos de 0 al 9; y una clave de seguridad,
por ejemplo 1 973.
Al elegir una clave de seguridad en el candado, ¿cuál es la cantidad
de posibilidades de elección?
A) 24
C) 5 040
E) 10 000
B) 120
D) 6 561
F) n. d. l. a.
Solución
En cada una de las ruedas, tenemos 10 posibilidades pues podemos elegir
desde el 0 hasta el 9.
Entonces, la cantidad total de posibilidades es:
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
La respuesta es: E
Problema 241 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
3
y, tiene como valor numérico de P un
La expresión; P = 2 x −
4
número entero. Tanto x como y son números naturales mayores
que 4 pero menores que 20. ¿Cuál es la cantidad de valores
posibles para P?
A) 3
C) 15
E) 33
B) 12
D) 30
F) n. d. l. a.
110
Solución
Los valores posibles de x son:
→
5 , 6 , 7 , . . . , 19
15 valores
•
Como y debe ser 4 , los valores posibles son:
→
8 , 12 , 16
3 valores
En total:
15 — 3
→
45 valores
Analizamos los posibles valores en la siguiente tabla:
Nº
X
Y
P= 2X−
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
4
1
-2
6
3
0
8
5
2
10
7
4
12
9
6
14
11
8
16
13
10
18
15
12
20
111
3
Y
4
Valores
repetidos
1
2
3
4
5
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
13
13
14
14
14
15
15
15
16
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
8
12
16
17
14
22
19
16
24
21
18
26
23
20
28
25
22
30
27
24
32
29
26
6
7
8
9
10
11
12
Entonces, el total de valores posibles para P es:
45 − 12 = 33
La respuesta es: E
Problema 242 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
a
b
c
=
=
, a + b − c = 3. ¿Cuál es el valor de
En la proporción
42 56 91
(a − b)?
A) - 6
C) 6
E) 20
B) -14
D) 14
F) n. d. l. a.
Solución
Aplicamos la propiedad:
a
b
c
=
=
42 56 91
⇒
a+b−c
a−b
=
42 + 56 − 91 42 − 56
Entonces:
3 a−b
=
7 − 14
⇒
a−b=-6
La respuesta es: A
112
Problema 243 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
Se escriben números de 4 cifras distintas. ¿Cuántos de esos
números tienen la suma de sus cifras menor que 8?
A) 18
C) 36
E) 46
B) 26
D) 42
F) n. d. l. a.
Solución
Los números son de la forma abcd , con a ≠ b ≠ c ≠ d.
Vamos a calcular la cantidad de posibilidades (cantidad de números que
podemos escribir), eligiendo los dígitos posibles.
Con 1 adelante, tenemos:
1,0,2,3
→
Suma = 6
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
1,0,2,4
→
Suma = 7
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
2,0,1,3
→
Suma = 6
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
2,0,1,4
→
Suma = 7
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
→
Suma = 6
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
→
Suma = 7
→
Posibilidades: 1 × 3 × 2 × 1 = 6
Con 2 adelante:
Con 3 adelante:
3,0,1,2
Con 4 adelante:
4,0,1,2
Con 5 adelante no hay números, entonces, el total de posibilidades es:
6 × 6 = 36
La respuesta es: C
Problema 244 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 9)
Se tiene que A + B = C. Si A se aumenta en un 20% y B se disminuye
en un 20 %, la suma resulta igual a 88. Además se sabe que A − B =
-10. ¿Cuál es el valor de C?
A) 100
C) 88
E) 40
B) 90
D) 50
F) n. d. l. a.
113
Solución
Tenemos:
A + B = C (1)
(A + 0,2 A) + (B − 0,2 B) = 88
⇒
1,2 A + 0,8 B = 88 (2)
A − B = -10 (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
A = 40 , B = 50 y C = 90
La respuesta es: B
Problema 245 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 10)
Luisa tiene 10 caramelos más que Pedro. La cantidad de caramelos
7
de lo que tienen juntos Pedro y Luisa. Entre
que tiene Marta es
10
los tres tienen 85 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Marta?
A) 20
C) 30
E) 50
B) 25
D) 35
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos P, M y L a la cantidad de caramelos que tienen Pedro, Marta y
Luisa, respectivamente.
Entonces:
L = P + 10
M=
7
(P + L)
10
⇒
⇒
L − P = 10 (1)
10 M = 7 P + 7 L
⇒
10 M − 7 P − 7 L = 0 (2)
P + M + L = 85 (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
P = 20 , M = 35 y L = 30
La respuesta es: D
114
Problema 246 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 14)
En la división indicada, si se duplica el valor de A,
también C se duplica y el residuo aumenta en 15
unidades. ¿Cuál es el valor del residuo R?
C) 7,5
E) 30
D) 15
F) n. d. l. a.
A) 3
B) 5
Solución
Recordamos que:
A=B—C+R
⇒
2 A = 2 (B — C + R)
2 A = B — 2 C + R + 15
⇒
2 R = R + 15
⇒
R = 15
La respuesta es: D
Problema 247 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 1)
Calcular la suma del mayor cuadrado perfecto de 3 cifras con el
menor cubo perfecto de 4 cifras.
Solución
El mayor cuadrado perfecto de 3 cifras es:
2
31 = 961
2
2
Esto porque: 30 = 900 y 32 = 1 024
Y el menor cubo perfecto de 4 cifras es:
3
10 = 1 000
La suma pedida es:
961 + 1 000 = 1 961
Problema 248 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 3)
El polinomio 6 x2 − 11 x − 35 es el producto de dos factores
distintos de 1.
Calcular la suma de los cuadrados de esos dos factores.
115
Solución
2
2
Como 6 x — -35 = -210 x y como 210 = 10 — 21, reescribimos el polinomio:
2
6 x2 − 11 x − 35 = 6 x − 21 x + 10 x − 35
6 x2 − 11 x − 35 = 3 x (2 x − 7) + 5 (2 x − 7) = (2 x − 7) (3 x + 5)
Hallamos por simple inspección el cuadrado de los binomios aplicando el
concepto de productos notables:
2
2
2
2
(2 x − 7) = 4 x − 28 x + 49
(3 x + 5) = 9 x + 30 x + 25
Luego:
2
2
2
4 x − 28 x + 49 + 9 x + 30 x + 25 = 13 x + 2 x + 74
Problema 249 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 5)
Se escribe todos los números de cuatro cifras, tales que el
producto de sus cifras sea 8.
¿Cuántos números se puede escribir?
Solución
Con el dígito 1 adelante tenemos 10 números:
1 118 , 1 181 , 1 811 , 1 124 , 1 142 , 1 2 14 , 1241 , 1 412 , 1 421 , 1 222
Con el dígito 2 adelante tenemos 6 números:
2 122 , 2 212 , 2 221 , 2 114 , 2 141 , 2 411
Con el dígito 4 adelante tenemos 3 números:
4 211 , 4 121 , 4 112
Y con el dígito 8 adelante, tenemos 1 número:
8 111
La cantidad total de números es:
10 + 6 + 3 + 1 = 20
116
Problema 250 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 7)
Si se triplica el dinero que tiene Alicia y se saca 1 000 G, se
obtiene menos que 122 000 G. Pero si se duplica el dinero de Alicia
y se agrega 4 000 G, resulta más que 82 000 G.
¿Cuánto dinero tiene Alicia?
Solución
Llamamos “A” al dinero que tiene Alicia. Entonces:
3 A − 1 000 < 122 000
⇒
2 A + 4 000 > 82 000
121 000
3
1 000 122 000
<
3
3
⇒
A<
A + 2000 > 41 000
⇒
A > 39 000
A−
⇒
Entonces:
39 000 < A <
121 000
≅ 40 333
3
Luego, Alicia tiene: 40 000 G
Problema 251 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 1)
La suma de dos números naturales A y B es mayor que 10 pero
menor que 15 (0 < A < B)
¿Cuántos pares (A, B) se puede obtener?
Solución
La suma cumple la propiedad:
10 < A + B < 15
Como la suma de dos números naturales es también un número natural, los
valores posibles para la suma son:
11 , 12 , 13 , 14
Para 11 las posibilidades son:
(1, 10) , (2 , 9) , (3 , 8) , (4 , 7) , (5 , 6)
117
→
5 pares
Para 12:
(1 , 11) , (2 , 10) , (3 , 9) , (4 , 8) , (5 , 7)
→
5 pares
Para 13:
(1 , 12) , (2 , 11) , (3 , 10) , (4 , 9) , (5 , 8) , (6 , 7)
→
6 pares
→
6 pares
Para 14:
(1 , 13) , (2 , 12) , (3 , 11) , (4 , 10) , (5 , 9) , (6 , 8)
En total son: 22 pares
Criterios de corrección
•
•
•
Por determinar los posibles valores de la suma
Por determinar la cantidad de pares para cada
valor de la suma
Por calcular la cantidad de pares
2 puntos
1 punto
(hasta 4 puntos)
1 punto
Problema 252 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 3)
Se escriben todos los números pares de cuatro cifras, terminados
en 2 o en 4, tales que el dígito de las unidades sea igual a la suma
de los otros tres dígitos.
¿Cuántos números se puede escribir?
Solución
Con el 2 en el lugar de las unidades, calculamos cuáles pueden ser las otras
tres cifras.
Así tenemos:
2=2+0+0
→
1 posibilidad
2=1+1+0
→
2 posibilidades
118
Con el 4 en el lugar de las unidades:
4=4+0+0
→
1 posibilidad
4=3+1+0
→
4 posibilidades
4=2+2+0
→
2 posibilidades
4=2+1+1
→
3 posibilidades
En total, la cantidad de números que se puede escribir es: 13
Criterios de corrección
•
•
•
Por calcular la posibilidades con el 2 en las unidades
o por escribir todos los números
Por calcular las posibilidades con el 4 en las unidades
o por escribir todos los números
Por calcular la cantidad de números
2 puntos
4 puntos
1 punto
Problema 253 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 4)
Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100 000 que son
3
iguales al resultado de multiplicar un cubo perfecto por .
2
Aclaración: Los cuadrados perfectos son los números que se
obtienen al elevar al cuadrado un número natural. Los cubos
perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo un
número natural.
Solución
2
Como a < 100 000 tenemos que a < 316,22.
3
3b
⇒
a=b
2
2
Como a debe ser un número natural, b tiene que tener como factores,
necesariamente 3 y 2. Entonces, sea b = 3 — 2 — k donde k es un cuadrado
perfecto. O sea k = 1 , 4 , 9 , 16 , . . .
3
Tenemos que a2 = b —
Luego, los posibles valores de b son: 6 , 24 , 54 , 96 , 150 , . . .
119
Calculamos valores de a:
3×6
= 6 × 9 = 18
2
⇒
a = 324
3 × 24
= 24 × 36 = 144
2
⇒
a = 20 736
a = 6×
a = 24 ×
a = 54 ×
2
2
3 × 54
= 54 × 81 = 486 (imposible porque 486 > 316,22)
2
Los cuadrados perfectos que cumplen las condiciones del problema son:
324
,
20 736
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por determinar el límite superior de a
Por demostrar que b tiene como factores 2 y 3
Por determinar los posibles valores de b
Por calcular los menores valores de a
Por demostrar que solo existen dos valores posibles
y hallarlos
1 punto
1 punto
2 puntos
1 punto
2 puntos
Problema 254 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 3)
¿En cuántos ceros termina el número 244 — 753 — 155?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 8
E) 5
Solución
La cantidad de ceros que tendrá el producto en la parte final depende de
cuántos productos 2 × 5 existan.
Para averiguarlo hacemos la descomposición canónica de los números:
4
3
4
12
4
24 = (2 — 3) = 2 — 3
3
2
3
6
3
75 = (5 — 3) = 5 — 3
5
5
5
5
15 = (3 — 5) = 3 — 5
120
Atendiendo a los factores 2 y 5 tenemos:
→
→
2
5
12 factores
11 factores
Entonces, en la parte final habrán: 11 ceros
La respuesta es: B
Problema 255 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 14)
La suma de las edades de Alejo, Brenda y Víctor es 22. Cuando
Alejo tenga la edad que tiene Brenda, la suma de las edades de los
tres será 28 y cuando Alejo tenga la edad que tiene Víctor, la suma
de las edades de los tres será 37. ¿Cuál es la edad de Alejo?
A) 6
B) 8
C) 4
D) 7
E) 5
Solución
Llamamos “A”, “B” y “V” a las edades actuales de Alejo, Brenda y Víctor
respectivamente.
Entonces:
A + B + V = 22 (1)
Relacionamos las edades de Alejo y Brenda, teniendo en cuenta que para
los dos, la cantidad de los años pasan de la misma:
28 − 22 = 6
⇒
6÷3 →
2 años
A + 2 = B (2)
Relacionamos ahora las edades de Alejo y Víctor:
37 − 22 = 15
⇒
15 ÷ 3 → 5 años
A + 5 = V (3)
Sustituyen (2) y (3) en (1):
A + A + 2 + A + 5 = 22
3 A = 15
⇒
A=5
La respuesta es: E
121
Problema 256 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 16)
¿Cuál es el resultado de la operación
(1 900 + 1 901 + 1 902 + . . . + 1 999) − (100 + 101 + 102 +. . . + 199)?
A) 180 000
D) 181 800
B) 178 200
E) 190 000
C) 1 800 000
Solución
Calculamos primero:
1 900 + 1 901 + 1 902 +. . . + 1 999
La cantidad de términos es:
1 999 − 1 899 = 100
Entonces, hay 50 parejas que suman 3 899:
1 900 + 1 999 = 3 899
1 901 + 1 998 = 3 899
1 902 + 1 997 = 3 899
Por lo tanto:
1 900 + 1 901 + 1 902 + . . . + 1 999 = 3 899 × 50 = 194 950
Calculamos la otra suma:
100 + 101 + 102 + . . . + 199
La cantidad de términos es:
199 − 99 = 100
Entonces, hay 50 parejas que suman 299. Luego:
100 + 101 + 102 + . . . + 199 = 299 × 50 = 14 950
Y la diferencia:
194 950 − 14 950 = 180 000
La respuesta es: A
122
Problema 257 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 18)
2
2
¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a: a c − 1 + a − c?
2
2
A) (c + 1) (a + 1)
B) (c + 1) (a − 1)
2
C) (c − 1) (a + 1)
D) (c + 1) (a + 1) (a − 1)
E) (c − 1) (a + 1) (a − 1)
Solución
Factorizamos la expresión:
2
2
2
a c − 1 + a − c = a (c + 1) + (-c − 1)
2
2
2
a c − 1 + a − c = a (c + 1) − (c + 1)
2
2
2
a c − 1 + a − c = (c + 1) (a − 1)
2
2
a c − 1 + a − c = (c + 1) (a + 1) (a − 1)
La respuesta es: D
Problema 258 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 20)
Fernanda dividió sus 2 007 caramelos en 3 bolsas A, B y C de
manera que cada bolsa contiene exactamente el mismo número de
2
de los caramelos de la bolsa A a
caramelos. Si Fernanda mueve
3
la bolsa C, ¿cuál es la razón entre el número de caramelos de la
bolsa A y los de la bolsa C?
A) 1 : 2
B) 1 : 3
C) 2 : 3
D) 3 : 2
E) 1 : 5
Solución
En cada bolsa la cantidad de caramelos es:
2 007 ÷ 3 = 669
Luego, la cantidad de caramelos que se lleva de la bolsa A a la bolsa C es:
2
= 446
669 ×
3
En las bolsas A y C quedan:
A
C
→
→
669 − 446 = 223
669 + 446 = 1 115
Entonces:
A
223 1
=
=
C 1115 5
La respuesta es: E
123
Problema 259 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 22)
Cuando en una feria se anunciaron los resultados de una rifa, el
moderador dijo: “Los tickets ganadores son aquellos cuyos
números tienen al menos 5 dígitos y tales que a lo más tres de sus
dígitos son mayores que 2”. Más tarde, el animador recibió tickets
con los números 1 022, 22 222, 102 334, 213 343,
3 042
531. ¿Cuántos de esos números corresponden a tickets ganadores?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Solución
Los que tienen al menos 5 dígitos son:
22 222 (no tiene dígitos mayores que 2)
102 334 (tiene 3 dígitos mayores que 2)
213 343 (tiene 4 dígitos mayores que 2)
3 042 531 (tiene 4 dígitos mayores que 2)
Los números que cumplen las condiciones del problema son:
22 222 y 102 334
La respuesta es: B
Problema 260 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 23)
Dada la siguiente expresión:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3
20
¿cuál es el valor de x?
19
20
A) 3
B) 3 − 1
19
19
D) 3 − 1
E) 3 + 1
C) 3
20
−3
Solución
Resolvemos la ecuación:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3
20
3x+3=3
20
3 (x + 1) = 3
19
x+1=3
19
x=3 −1
20
La respuesta es: D
124
Problema 261 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 25)
Para n ≥ 2 007, ¿cuál de las siguientes expresiones es la mayor?
2
n2 − 1
n −1
 n − 1
C)
B)
A) 

n
 n 
n2 + 1
n
n−2
E)
D)
n +1
n −1
Solución
Asignando a n valores mayores o igual a 2 007, llegamos a la siguiente
conclusión:
2
n2 − 1
n
n −1
n−2
 n − 1
<
<
<

 <
n +1
n
n −1
 n 
n2 + 1
La respuesta es: C
Problema 262 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 26)
¿Qué fracción ocupa el 13º lugar en la siguiente lista?
1
1
1
1
;...
;
;
;
20
6 12
2
1
B)
132
1
E)
182
1
156
1
D)
26
A)
C)
1
82
Solución
Trabajamos con los denominadores:
Término 1
Término 2
Término 3
Término 4
→
2=1×2
→
6=2×3
→ 12 = 3 × 4
→ 20 = 4 × 5
Término n →
n — (n + 1)
Entonces:
Término 13 →
13 × 14 = 182
La respuesta es: E
125
Problema 263 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 29)
Un grupo de estudiantes estaba resolviendo un interesante
problema de la competencia Kanguro Matemático. El número de
varones que resolvieron el problema fue el mismo número de
mujeres que no resolvieron el problema. ¿Qué son más: el número
de personas que resolvieron el problema o el de mujeres?
A) Mujeres
B) Personas que resolvieron el problema
C) Son las mismas cantidades
D) Imposible de saber
E) La situación no es posible
Solución
Llamamos V al número de varones, VR al número de varones que
resolvieron el problema y VN al número de varones que no resolvieron el
problema.
Así mismo llamamos M al número de mujeres, MR a las que resolvieron el
problema y MN a las que no lo resolvieron.
Entonces tenemos:
V = VR + VN
;
M = M R + MN
Como VR = MN resulta:
M = MR + V R
La respuesta es: C
Problema 264 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 3)
Ana, Blanca, Cecilia y Diana practican un deporte distinto cada
una: karate, fútbol, tenis y judo. A Ana no le gusta practicar, ni
presenciar los deportes que involucran pelotas. La que practica
judo y Blanca suelen asistir frecuentemente a los partidos de
fútbol para ver jugar a su amiga. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A) Ana practica fútbol
B) Cecilia practica tenis
C) Blanca practica tenis
D) Diana practica karate
E) Ana practica judo
126
Solución
Sabemos que Ana practica karate porque no le gusta jugar fútbol ni tenis y
tampoco ir a esos partidos, entonces no puede acompañar a Blanca a los
partidos de fútbol.
Por otro lado sabemos que Blanca no practica fútbol ni tampoco karate ni
judo. El departe que queda para Blanca es tenis.
La respuesta es: C
Problema 265 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 5)
Había 60 pájaros distribuidos en tres árboles. En cierto momento, 6
pájaros se fueron del primer árbol, 8 pájaros se fueron del segundo
árbol y 4 pájaros se fueron del tercer árbol. Luego de esto, quedó
el mismo número de pájaros en cada uno de los tres árboles.
¿Cuántos pájaros había en el segundo árbol?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 24
E) 26
Solución
Vamos a sacar de los 60 pájaros que había inicialmente, que volaron:
60 − (6 + 8 + 4) = 60 − 18 = 42
En cada árbol quedaron:
42 ÷ 3
→
14 pájaros
En el segundo árbol había:
14 pájaros + 8 pájaros = 22 pájaros
La respuesta es: C
Problema 266 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 7)
Sea N el menor entero positivo tal que al ser dividido por 4 deja
resto 1 y al ser dividido por 5 deja resto 3. ¿Cuál es el resto que
deja N al ser dividido por 20?
A) 4
B) 5
C) 13
D) 16
E) 19
127
Solución
Cuando el resto el 1, N − 1 debe ser múltiplo de 4. Entonces:
•
N−1= 4
⇒
•
N= 4 +1
La lista de los valores posibles de N es:
1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 , 41 , . . .
Por otro lado:
•
N−3= 5
La lista correspondiente es:
⇒
•
N= 5 +3
3 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 , 33 , 38 , 43 , . . .
Vemos que hay coincidencia en el 13 y el 33. El primer valor no puede ser y
si dividimos 33 entre 20 el residuo es 13, que es una de las opciones que
tenemos.
Otras coincidencias que podamos encontrar (como 53 por ejemplo)
también darán residuo 13.
La respuesta es: C
Problema 267 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 9)
José, Rafael y Eduardo tienen 30 pelotas en total. Si José le da 5
de sus pelotas a Rafael, Rafael le da 4 a Eduardo y Eduardo le da 2
a José, entonces cada uno de ellos tendrá el mismo número de
pelotas. ¿Cuántas pelotas tenía Eduardo al principio?
A) 13
B) 8
C) 11
D) 9
E) 12
Solución
Como hay 30 pelotas en total, si después de pasarse pelotas uno al otro se
quedan todos con la misma cantidad de pelotas, cada uno se queda con 10
pelotas.
Entonces, si llamamos E a la cantidad de pelotas que tenía Eduardo al
comienzo, tenemos:
E + 4 − 2 = 10
⇒
E=8
La respuesta es: B
128
Problema 268 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 10)
Una calculadora dañada no muestra el número 1. Por ejemplo, si
tratamos de escribir con ella el número 3131, sólo aparece en la
pantalla el número 33. Néstor trató de escribir un número de 6
dígitos en esa calculadora pero sólo apareció en pantalla el número
2 007. ¿Cuántos posibles números pudo haber intentado escribir
Néstor en la calculadora?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Solución
Tratamos de escribir los números de 6 dígitos siguiendo un estricto orden:
112 007
121 007
120 107
120 017
120 071
211 007
210 107
210 017
210 071
201 107
201 017
201 071
200 117
200 171
200 711
La respuesta es: D
Problema 269 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 13)
Sandra elige cuatro números de la tabla de la figura
y luego Sonia elige cuatro números de la tabla
distintos a los de Sandra. Se sabe que la suma de
los números que eligió Sandra es tres veces la suma
de los números que eligió Sonia. ¿Qué número de la
tabla no fue elegido por Sandra y por Sonia?
A) 14
B) 7
C) 23
D) 4
E) 24
Solución
La suma de todos los números es:
4 + 5 + 7 + 8 + 12+ 13 + 14 + 23 + 24 = 110
110 ÷ 4 = 27,5
La suma de los números que eligió Sonia debe estar alrededor de 27. Como
ella eligió 4 números, deben ser necesariamente los números menores:
129
4 + 5 + 7 + 8 = 24
24 × 3 = 72 y 72 + 24 = 96
Entonces:
110 − 96 = 14
La respuesta es: A
Problema 270 (Validación Kanguro 2007 - Junior – Problema 14)
Para la prueba de admisión de cierta universidad, un estudiante
debe responder correctamente al menos al 80 % de las preguntas.
Después de que Pedro ha trabajado 15 de las preguntas, se da
cuenta que no conoce la respuesta de 5 de ellas y entonces deja de
dar la respuesta a estas 5 preguntas; pero está seguro de sus
respuestas en las otras 10. Si Pedro responde correctamente el
resto de la prueba, entonces habrá ingresado. ¿Cuántas preguntas
tiene la prueba?
A) 40
B) 30
C) 35
D) 20
E) 25
Solución
Llamamos A al resto de las preguntas de la prueba. Como Pedro está
seguro de 10 de las preguntas, (10 + A) corresponden al 80 % de la prueba.
Luego:
10 + A
80 4
=
=
15 + A 100 5
50 + 5 A = 60 + 4 A
⇒
A = 10
Y el total de preguntas de la prueba es:
15 + A = 15 + 10 = 25
La respuesta es: E
130
Los datos y la estadística
Contenidos:
• Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado)
• Gráficos de línea. (5.º Grado)
• Tablas y gráficos estadísticos. (6º. Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencias. (6.º Grado)
• Gráfico circular. (6.º Grado)
• Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado)
• Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado)
• Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado)
• Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado)
• Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media (8.º
Grado)
Problemas para el Aula
Problema 271
Las calificaciones de la clase de Lucas fueron:
2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4
3, 2, 4, 1, 5, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4.
Calcular la media y la moda.
Para organizar los datos la profesora nos pidió que completemos la
siguiente tabla:
Nota
1
2
3
4
5
Frecuencia absoluta
3
Frecuencia relativa
3 ÷ 30 = 0,1
¡Hagamos ahora un gráfico circular!
Solución
MODA: 4
MEDIA: 95 ÷ 30 = 3,17 (Redondeando)
131
Porcentajes
10%
Nota
Frecuencia absoluta
1
2
3
4
5
3
7
7
8
5
Frecuencia relativa
(Redondeando)
3 ÷ 30 = 0,1
7 ÷ 30 = 0,2
7 ÷ 30 = 0,2
8 ÷ 30 = 0,3
5 ÷ 30 = 0,2
Porcentajes
10%
20%
20%
30%
20%
Problema 272
La temperatura mínima en Asunción, en una semana de invierno,
se comportó de la siguiente manera:
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
14º C
9º C
8º C
6º C
8º C
10º C
8º C
¿Cuál es la media o temperatura promedio de la semana?
A) 8º C
C) 10º C
E) 63º C
B) 9º C
D) 31,5º C
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos la suma de los siete valores:
14º C + 9º C + 8º C + 6º C + 8º C + 10º C + 8º C = 63º C
Entonces:
63º C ÷ 7 = 9º C
La respuesta es: B
132
Problema 273
Las calificaciones finales de Rosa fueron:
4,5,1,2,4,4,5,2,4,2,5,5,4,2,1,1,3
¿Qué valor se obtiene sumando la media y la moda?
Solución
Vemos que la calificación que más abunda es 4, por lo tanto la moda es 4.
La media es:
(5 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1) ÷ 17 ≅ 3,18
Sumando la media y la moda obtenemos:
3,18 + 4 = 7,18
Problema 274
En un barrio se hizo una encuesta acerca de la cantidad de hijos
por familia, y se obtuvo la siguiente tabla:
Cantidad
de hijos por
familia
0
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Cantidad
de familias
10
34
25
8
4
2
1
70
¿Cuál es la media que representa el número de hijos por familia en
ese barrio?
A) 3
C) 2,5
E) 1,8
B) 2,8
D) 2
F) n. d. l. a.
133
Solución
Completamos la tabla:
Cantidad
de hijos por
familia
0
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Cantidad
de familias
Cantidad de
hijos
10
34
25
8
4
2
1
70
0
34
50
24
16
10
6
140
Calculamos la media:
140 ÷ 70 = 2
La respuesta es: D
Problema 275
Las calificaciones de 36 alumnos en Matemática son:
2,3,5,1,4,5,3,2,2,1,2,3,4,4,5,2,5,3
1,4,3,1,2,5,2,3,3,1,4,3,2,1,2,1,3,1
¿Cuál es la diferencia entre las frecuencias
correspondientes a las calificaciones 1 y 5?
Solución
Nota
1
2
3
4
5
TOTAL
Frecuencia
absoluta
8
9
9
5
5
36
Frecuencia
relativa
0,222
0,25
0,25
0,139
0,139
La diferencia entre las calificaciones 1 y 5 es:
0,222 − 0,139 = 0,083
134
relativas
Problema 276
La profesora de matemática de Joel pide a sus alumnos que
registren en una tabla de frecuencias la cantidad de
paralelogramos que cumplen con las siguientes condiciones:
• La medida de todos sus lados deben estar expresadas con un
número natural.
• El área puede ser: 25, 36, 49, 64.
¿Cuál es la frecuencia relativa que corresponde a los rectángulos
de área 49?
2
5
2
E)
C)
A)
5
13
13
1
4
F) n. d. l. a.
D)
B)
2
13
Solución
Calculamos primero la cantidad de posibilidades que tenemos para cada
uno de las áreas:
Área 25:
Área 36:
Área 49:
Área 64:
1
5
25
5
(2 rectángulos)
1
2
3
4
6
36
18
12
9
6
(5 rectángulos)
1
7
49
7
(2 rectángulos)
1
2
4
8
64
32
16
8
(4 rectángulos)
Construimos la tabla de frecuencias:
Frecuencia
2
5
2
4
13
2
Vemos que para el área 49, la frecuencia relativa es:
13
La respuesta es: A
135
Área
25
36
49
64
TOTAL
Problema 277
Las calificaciones de 36 alumnos en Matemática son:
2,3,5,1,4,5,3,2,2,1,2,3,4,4,5,2,5,3
1,4,3,1,2,5,2,3,3,1,4,3,2,1,2,1,3,1
¿Cuál es el polígono de frecuencia correspondiente a los datos?
Solución
El polígono de frecuencia correspondiente es:
La respuesta es: F
136
Problema 278
En la tabla, aparecen las edades de los amigos de Betina,
incluyéndola también a ella. Calcular: la media, la mediana y la
moda.
Si a la lista se añade a Aline, que tiene 15 años, ¿cuál de los tres
parámetros se modificará más?
Solución
Nombre
Abel
Alberto
Amanda
Ana
Belén
Betina
Carlos
Cecilia
César
Cirilo
Daniel
David
Emilia
Fanny
Gabriel
Geovana
Juan
Ramona
Sandra
Samuel
Edad (años)
12
15
15
17
16
13
18
14
17
12
15
14
12
15
18
15
16
13
14
13
Ordenamos los datos en la siguiente lista:
12 , 12 , 12 , 13 , 13 , 13 , 14 , 14 , 14 , 15 ,
15 , 15 , 15 , 15 , 16 , 16 , 17 , 17 , 18 , 18
Para calcular la media sumamos todos los
datos:
12 × 3 + 13 × 3 + 14 × 3 + 15 × 5 + 16 × 2 + 17
× 2 + 18 × 2
La suma es: 294
Y la media es: 294 ÷ 20 = 14,7
Para hallar la mediana debemos determinar
el valor que está en el medio de la lista.
Como en total hay 20 valores, la mediana
ocupa el lugar número 10 y 11 de la lista.
Mediana =
15 + 15
= 15
2
La moda es el valor que más se repite.
Moda = 15
Al entrar en la lista Aline, la lista queda así:
12 , 12 , 12 , 13 , 13 , 13 , 14 , 14 , 14 , 15 ,
15 , 15 , 15 , 15 , 15 , 16 , 16 , 17 , 17 , 18 , 18
La suma ahora es: 294 + 15 = 309
137
La media es: 309 ÷ 21 = 14,71
Como ahora hay 21 valores, en el medio está el valor que ocupa el lugar
número 11. La mediana es: 15
Como la moda seguirá siendo 15, el único parámetro que varía es la media.
La variación es:
14,71 − 14,7 = 0,01
La media aumenta 0,01
Problema 279
En el cumpleaños de Franco hacen una encuesta de las edades de
los niños y niñas.
El resultado de la encuesta se expresa en el gráfico de barras
verticales.
¿Cuántos son los niños encuestados?
A) 31
D) 45
B) 53
E) 32
C) 23
F) n. d. l. a.
Solución
Hacemos el conteo de la cantidad de niños de cada edad que hay:
2 años
3 años
4 años
5 años
6 años
7 años
9 años
11 años
→
→
→
→
→
→
→
→
138
2
5
2
3
5
2
1
1
El total de niños es:
2 + 5 + 2 + 3 + 5 + 2 + 1 + 1 = 21
La respuesta es: F
Problema 280
En el primer ciclo de la escuela de Felipe se hizo una lista de las
edades de los niños. La lista es la siguiente:
7,7,8,9,8,9,7,9,8,9
8,7,9,8,7,9,7,8,6,8
7,8,8,9,9,9,8,7,8,6
7,7,7,8,8,7,9,9,9,8
7,8,8,9,7,8,9,8,9,8
6,7,8,7,9,8,7,9,8,8
7,7,8,7,9,9,8,9,8,7
8,9,8,8,9,8,7,9,8,8
7,9,8,9,9,8,7,8,7,9
7,8,9,7,9,9,9,8,7,7
¿Cuál es la suma de la media, la mediana y la moda?
A) 7,96
C) 20,36
E) 24,16
B) 8
D) 23,96
F) n. d. l. a.
Solución
Para calcular la mediana debemos ordenar los datos:
6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7
7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8
8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8
8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9
9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9
Como hay 100 valores, tomamos los ubicados en lugar 50 y 51 para calcular
la mediana:
Mediana =
8+8
=8
2
139
Calculamos la suma de los valores para hallar la media:
6 × 3 + 7 × 29 + 8 × 37 + 9 × 31 = 796
Media = 796 ÷ 100 = 7,96
El valor que más abunda es el 8, luego.
Moda = 8
Sumado la media, la mediana y la moda tenemos:
8 + 7,96 + 8 = 23,96
La respuesta es: D
140
Miscelánea
Problema 281 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 13)
Se marcan 6 puntos en dos rectas paralelas L1 y L2, de manera que
4 puntos están marcados en la recta L1 y 2 en la recta L2. ¿Cuál es
el número total de triángulos que pueden construirse tomando
como vértices 3 de esos 6 puntos?
A) 16
B) 12
C) 8
D) 18
E) 6
Solución
Determinamos los triángulos que se
pueden construir.
Primero, a partir del punto P:
PAB, PAC, PAD, PBC, PBD, PCD
A partir del punto Q:
QAB, QAC, QAD, QBC, QBD, QCD
A partir de los puntos A, B, C y D:
APQ, BPQ, CPQ, DPQ
La respuesta es: A
Problema 282 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 24)
¿De cuántas maneras se puede ir desde el extremo
superior de la hipotenusa hasta el extremo inferior
de la misma en el triángulo rectángulo de la figura,
si sólo puedes bajar, ir a la derecha o por la
hipotenusa?
A) 6
B) 10
C) 11
D) 14
E) 15
141
Solución
Determinamos los diferentes caminos:
AC , ABC , ADEC , ADEGHC , ADEGHJC , ADEIC ,
ADEHJC , AFHC , AFHJC , AFGIC , AFHJC , AEIC ,
AEGHC , AEGHJC
Contando, encontramos 14 caminos.
La respuesta es: D
Problema 283 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 21)
Los puntos A = (2006, 2007), B (2007, 2006), C (-2006, -2007) D
(2006, -2007) y E (2007, -2006) son marcados en un sistema de
coordenadas cartesianas. ¿Cuál es el segmento horizontal?
A) AB
B) BE
C) AD
D) BC
E) CD
Solución
Una recta representada en un sistema de coordenadas será horizontal si
tiene el mismo valor para sus ordenadas. Así, para el par ordenado (x, y)
de abscisa x y ordenada y, todos los pares ordenados que tengan el misma
valor para y estarán sobre una recta paralela al eje x, o sea una recta
horizontal.
Entonces, estos pares ordenados son:
C (-2006 , -2007) y D (2006 , -2007)
La respuesta es: E
Problema 284 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 9)
El siguiente juego se juega en una cuadrícula, en la que se colocan varias
fichas.
142
Los movimientos permitidos son:
En el sentido vertical se puede “comer” solamente hacia arriba,
saltando una sola casilla.
En el sentido horizontal se puede “comer” hacia la derecha o hacia
la izquierda, saltando una sola casilla.
La ficha sobre la que se salta al “comer” se debe quitar.
Para que se pueda realizar el movimiento, la casilla donde debe
caer la ficha que se mueve debe estar vacía.
Calcular cuál es la menor cantidad de
fichas que se debe colocar en las casillas
que están por debajo de la línea gruesa,
para que al finalizar el juego se llegue a la
situación indicada en el gráfico.
Solución
En el gráfico se puede ver cómo están
dispuestas las fichas para obtener el
resultado requerido.
Esta es la menor cantidad de fichas
necesarias.
La respuesta es: 8 fichas
Problema 285 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 2)
Cierto tipo de arbusto fue sembrado a lo largo de ambas aceras de
una calle. El primer arbusto se coloca en uno de los extremos de la
calle. La distancia entre cada par de arbustos próximos es de 2
metros. ¿Cuántos arbustos fueron sembrados si la calle tiene 20
metros de largo?
A) 20
B) 10
C) 12
D) 22
E) 11
143
Solución
Cada árbol está separado
del otro por 2 m. entonces,
en 20 m la cantidad de
veces que cabe 2 m es:
20 ÷ 2
→
10 veces
Entonces, en cada lado de la calle hay 11 árboles, contando desde el
primero.
En ambos lados de la calle hay: 22 árboles
La respuesta es: D
Problema 286 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 6)
En la tabla debe haber dos cuadrados marcados con
la letra A y dos cuadrados marcados con la letra B
en cada fila y en cada columna. ¿Qué letras deben
estar en las casillas marcadas con X e Y, en ese
orden?
A) AB
B) BA
C) AA
D) BB
E) Es imposible
Solución
Ubicamos algunas letras de acuerdo a los
datos conocidos.
Vemos que no es necesario completar toda
la tabla para dete4erminar los valores de X
e Y.
La respuesta es: C
Problema 287 (Kanguro 2007 - Junior – Problema 17)
Se eligen tres números del tablero de manera que todos
pertenezcan a filas distintas y a columnas distintas y se
suman los tres números, ¿cuál es la mayor suma que se
puede obtener?
A) 24
B) 18
C) 15
D) 12
E) 21
144
Solución
Para que se cumpla la condición del problema, los tres números deben
pertenecer a la diagonal del tablero. Entonces:
1 + 5 + 9 = 15
7 + 5 + 3 = 15
La respuesta es: C
145
146
NIVEL 3
1.º, 2.º y 3.er Año
147
148
La geometría y la medida
Contenidos:
• Puntos simétricos con relación a un segmento. (5º. Grado)
• Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías. (5º. Grado)
• Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo,
trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5º. Grado)
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5º. Grado)
• Longitud de la circunferencia. (5º. Grado)
• Unidades de medida de superficie. (5º. Grado)
• Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5º. Grado)
• Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5º. Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las
medidas de sus lados. (6.º Grado)
• Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6º. Grado)
• Ángulos complementarios y suplementarios. (6º. Grado)
• Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6º. Grado)
• Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6º. Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro) (6.º Grado)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro). (6º. Grado)
• Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las
unidades de medidas de capacidad. (6º. Grado)
• Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y
submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6º. Grado)
• Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de
volumen, capacidad y peso. (6º. Grado)
• Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6º. Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro) (6.º Grado)
• Ángulo. Concepto. Elementos: vértice, lados. (7.º Grado)
• Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado)
• Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo. (7.º Grado)
• Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes. Complemento
y suplementos de un ángulo. (7.º Grado)
• Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (7.º Grado)
• Triángulo rectángulo: características, hipotenusa y catetos. (7.º Grado)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado)
149
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado)
Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de
lados. Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado)
Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7º. Grado)
Teorema de Pitágoras. (7º. Grado)
Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y
el plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos,
suma de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos
de un triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero.
(7º. Grado)
Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado)
Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)
Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones de la recta y la circunferencia, y
de dos circunferencias. (8.º Grado)
Congruencia de triángulos, postulados. (8.º Grado)
Figuras semejantes. Concepto. Lados homólogos proporcionales y
ángulos congruentes. (8.º Grado)
Criterios de semejanza de triángulos. (8.º Grado)
Teorema de Thales. Segmentos correspondientes proporcionales. (8º
Grado)
Simetrías, traslaciones y rotaciones en el plano. (8.º Grado)
Simetría de figuras con respecto a una recta (axial) y con respecto a un
punto (central). (8.º Grado)
Homotecia. Figuras homotéticas. Propiedades. (8.º Grado)
Circunferencia. Concepto, características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones de la recta y de la circunferencia,
y de dos circunferencias. (8.º Grado)
Paralelismo y perpendicularidad entre planos, entre rectas y planos.
Plano secante. (9.º Grado)
Ángulo diedro. Concepto. Elementos: arista, caras. (9.º Grado)
Ángulo poliedro. Concepto. Clasificación: diedro, triedro. (9º Grado)
Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular). (9.º
Grado)
Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos.
Desarrolla plano de la superficie. (9.º Grado)
150
•
•
Cuerpos redondos. Concepto. Elementos. Características. (9.º Grado)
Cilindro, cono, esfera. Concepto. Características. Elementos.
Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)
151
Problemas para el Aula
Problema 301 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
En el rectángulo MNPQ, la diagonal NQ
mide 5 y la distancia de M a la diagonal NQ
es 2,4.
¿Cuál es el área del rectángulo?
A) 24
C) 10
E) 6
B) 12
D) 8
F) n. d. l. a.
Solución
La diagonal QN divide al rectángulo en dos
triángulos de igual área. Entonces:
(MQN) = (QNP)
Calculamos el área del triángulo MQN:
(MQN) =
5 × 2,4
=6
2
Y el área del rectángulo es:
(MNPQ) = 6 × 2 = 12
La respuesta es: B
Problema 302 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
En una circunferencia se traza la cuerda MN. Por M y N se trazan
las tangentes a la circunferencia, que se cortan en P. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones siempre se cumple?
∠
∠
∠
∠
A) PMN = MPN
B) PMN = PNM
∠
∠
∠
∠
C) PMN + PNM = 90 º
D) PNM = MPN
∠
∠
E) PMN + MPN = 90 º
F) n. d. l. a.
Solución
Recordemos que los segmentos de
tangentes comprendidos entre el punto de
intersección de las tangentes y los dos
puntos de tangencia son iguales.
152
Entonces:
PM = PN
Esto hace que el triángulo PMN sea isósceles, por lo tanto:
∠
∠
PMN = PNM
La respuesta es: B
Problema 303 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
2
El cubo de la figura tiene un área total de 96 cm .
¿Cuál es el área de la superficie sombreada?
A) 16 2 cm
2
B) 16 cm
2
C) 8 2 cm
2
D) 8 cm
2
2
E) 4 cm
F) n. d. l. a.
Solución
El área de cada una de las caras del cubo es:
2
96 cm ÷ 6 = 16 cm
2
Cada una de las aristas mide:
16 cm2 = 4 cm
Luego:
AB = DB = DC = 4 cm
Calculamos la diagonal BC:
BC =
(4 cm)2 + (4 cm)2 = 32 cm2
=4
2 cm
Y el área del triángulo ABC:
(ABC) =
AB ⋅ BC 4 cm ⋅ 4 2 cm
=
=8
2
2
2 cm
2
La respuesta es: C
153
Problema 304 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 7)
En el triángulo ABC, AB = AC, AH es la altura. ¿Cuál
es la medida del ángulo BAH?
A) 40º
C) 80º
E) 95º
B) 50º
D) 85º
F) n. d. l. a.
Solución
∠
∠
El triángulo ABC es isósceles con ABC = ACB . Luego:
∠
∠
ABC = ACB = 180º − 130º = 50º
Por lo tanto:
∠
BAC = 180º − (50º + 50º) = 80º
Entonces, como el triángulo ABC es isósceles y AH es la altura, tenemos:
∠
BAH = 80º ÷ 2 = 40º
La respuesta es: A
Problema 305 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 16)
∠
∠
En un cuadrilátero ABCD, AB = AC, AD = BD y ADB = BAC+ 30 º .
Calcular la medida del ángulo CBD.
A) 40º
C) 25º
E) 15º
B) 35º
D) 20º
F) n. d. l. a.
Solución
Los triángulos ABC y ADB son isósceles.
Por otro lado:
d = c + 30º
154
y
∠
CBD = a − b
En el triángulo ABC tenemos:
c = 180º − 2 a (1)
Y en el triángulo ADB:
2 b + d = 180º
⇒
2 b + c + 30º = 180º
⇒
c = 150º − 2 b (2)
De (1) y (2) se tiene:
180º − 2 a = 150º − 2 b
30º = 2 a − 2 b
⇒
a − b = 15º
La respuesta es: E
Problema 306 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 24)
¿Cuál es el radio del círculo inscripto en el rombo?
A)
D)
2a
b
B)
ab
E)
a 2 + b2
2b
a
a 2 + b2
C)
a 2 + b2
2
ab
Solución
Calculamos PQ:
PQ =
a 2 + b2
Pero:
PQ ⋅ r a ⋅ b
=
2
2
⇒
PQ — r = a — b
⇒
r=
a⋅b
a2 + b2
La respuesta es: D
155
Problemas Desafiantes
Problema 307 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 4)
En el trapecio ABCD, de área igual a 40, se han
trazado las diagonales AC y BD, que se encuentran
en el punto E. El área (AED) es 10 y el área (AEB) es
5. ¿Cuál es el área (DEC)?
A) 5
C) 15
E) 25
B) 10
D) 20
F) n. d. l. a.
Solución
Recordamos que en todo trapecio se cumple:
(ADE) = (BEC) = 10
Entonces:
(DEC) = (ABCD) − [(ADE) + (AEB) + (BEC)]
(DEC) = 40 − (10 + 5 + 10) = 15
La respuesta es: C
Problema 308 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
En un triángulo ABC, el área es 84 cm2. Se traza la altura BH, cuya
medida es 8 cm y se obtiene un triángulo ABH de 24 cm2 de área.
¿Cuál es la longitud del lado BC?
A) 10 cm
C) 12 cm
E) 17 cm
B) 11 cm
D) 15 cm
F) n. d. l. a.
Solución
En el triángulo ABC calculamos el lado AC:
(ABC) =
2
84 cm =
156
AC ⋅ BH
2
AC ⋅ 8 cm
2
⇒
AC = 21 cm
En el triángulo ABH calculamos el lado AH:
AH ⋅ BH
(ABH) =
2
2
24 cm =
AH ⋅ 8 cm
2
⇒
AH = 6 cm
Luego:
CH = AC − CH = 21 cm − 6 cm = 15 cm
En el triángulo HBC tenemos:
BC =
(8 cm)2 + (15 cm)2 = 64 cm2 + 225 cm2 = 289 cm2
BC = 17 cm
La respuesta es: E
Problema 309 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
En el cuadrado ABCD, los puntos medios de los segmentos
AB , AD y DC son E , F y G, respectivamente. ¿Cuál es la
razón del área (EFG) al área (ABCD)?
A) 3 : 4
C) 2 : 3
E) 1 : 4
B) 3 : 2
D) 4 : 1
F) n. d. l. a.
Solución
Como E y G son puntos medios, se tiene:
(AEGD) =
( ABCD)
2
Trazamos FM paralela a AB y DC. Esto hace
que se cumpla:
(EFG) = (EFH) = (FHG) = (FDG)
Entonces:
(EFG) =
( AEGD) ( ABCD)
=
2
4
157
⇒
1
(EFG)
=
( ABCD) 4
La respuesta es: E
Problema 310 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 12)
3
Con 12 cubos iguales de 64 cm de volumen cada uno, se arman
paralelepípedos rectángulos usando todos los cubos cada vez. ¿Cuál
es el área mayor que puede llegar a tener uno de los
paralelepípedos armados?
2
2
2
A) 800 cm
C) 400 cm
E) 300 cm
2
2
B) 448 cm
D) 320 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Vemos que 12 se puede expresar como:
12 ×1 × 1
;
6×2×1
;
4×3×1
;
3×2×2
Luego, podemos construir 4 paralelepípedos.
Calculamos las áreas de cada uno de ellos:
2 — 48 cm — 4 cm + 2 — 48 cm — 4 cm + 2 — 4 cm — 4 cm = 800 cm
2 — 24 cm — 4 cm + 2 — 24 cm — 8 cm + 2 — 4 cm — 8 cm = 640 cm
2
2
2 — 16 cm — 4 cm + 2 — 16 cm 12 cm + 2 — 4 cm — 12 cm = 608 cm
2 — 12 cm — 8 cm + 2 — 12 cm — 8 cm + 2 — 8 cm — 8 cm = 512 cm
2
2
La respuesta es: A
158
Problema 311 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 14)
El volumen de un cilindro es 720 π y su altura es 20. En el cilindro
está inscripto un prisma exagonal (el exágono de la base es
regular). ¿Cuál es el área lateral del prisma?
A) 800
C) 360
E) 180
B) 720
D) 240
F) n. d. l. a.
Solución
En el exágono inscripto en la circunferencia, el
lado del exágono tiene la misma medida que el
radio de la circunferencia.
Calculamos el radio de la circunferencia:
2
720 π = π r — 20
⇒
r=6
Entonces, el lado del exágono mide 6 y la altura del
prisma es la misma que la del cilindro.
El área lateral del prisma es:
AL = l — 6 — 20 = 6 — 6 — 20 = 720
La respuesta es: B
Problema 312 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 2)
En la pirámide regular de la figura, la base es un cuadrado
de 10 cm de lado.
3
El volumen de la pirámide es 400 cm .
Calcular el área de la cara lateral que está pintada de
negro.
Solución
Calculamos la altura de la pirámide:
3
400 cm =
100 cm2 ⋅ h
3
⇒
h = 12 cm
La apotema AH es la altura de los triángulos que forman las
caras laterales.
159
Calculamos:
AH =
144 cm2 + 25 cm2 = 13 cm
El área buscada es:
10 cm ⋅ 13 cm
2
= 65 cm
2
Problema 313 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 6)
En la figura, AO ⊥ OB, OC es bisectriz del
ángulo AOB.
AP = PM = MN = NO = 2
Calcular cuánto mide la superficie pintada
de negro.
Solución
Identificamos con 1, 2 y 3 las áreas.
La medida de los ángulos es:
∠
AOB = 90º
∠
∠
AOC = COB = (360º − 90º) ÷ 2 = 135º
Luego, el área 1 es:
π ⋅ 4 2 ⋅ 135º π ⋅ 2 2 ⋅ 135º
−
= 4,5 π
360 º
360 º
El área 2:
π ⋅ 6 2 ⋅ 135º π ⋅ 4 2 ⋅ 135º
−
= 7,5 π
360 º
360 º
160
El área 3:
π ⋅ 8 2 ⋅ 90 º π ⋅ 6 2 ⋅ 90 º
−
=7π
360 º
360 º
El área buscada es:
4,5 π + 7,5 π + 7 π = 19 π
Problema 314 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 7)
Calcular el área del cuadrilátero convexo
ABCD.
Solución
Trazamos la diagonal AC y se forman el
triángulo rectángulo ABC y el triángulo
isósceles ADC.
Calculamos la hipotenusa AC:
AC =
18 2 + 24 2 = 900 = 30
Entonces:
AM = MC = 15
Por lo tanto, la altura DM es:
DM =
17 2 − 152 = 64 = 8
El área buscada es:
(ABCD) = (ABC) + (ADC) =
30 × 8
18 × 24
= 216 + 120 = 336
+
2
2
161
Problema 315 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 10)
Se tiene 3 esferas de igual tamaño, 2 de ellas macizas y 1
hueca (de espesor despreciable).
Las dos esferas macizas se colocan dentro de un recipiente
cilíndrico de modo que sean tangentes entre ellas y
tangentes a las paredes del recipiente.
Se carga agua hasta que el cilindro (con las dos esferas
dentro) se llene completamente.
¿Qué parte de la esfera hueca se podrá llenar con el agua
que entró en el cilindro?
Solución
El radio del círculo que está en la base del cilindro es igual
al radio de cada esfera. Entonces, la altura del cilindro es 4
r.
Calculamos los volúmenes:
2
3
VCILINDRO = π — r — 4 r = 4 π r
VESFERA =
4
4 π r3
3
πr
−
3
3
4
4
3
3
3
πr
πr =
VH2O = 4 π r − 2 —
3
3
Como es también el volumen de una de las esferas, esta se llenará
totalmente.
Entonces, la esfera se llena en su 100 %.
Problema 316 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 2)
Un cuadrado ABCD tiene como medida de sus lados una longitud
entera. Este cuadrado se divide en 89 cuadrados más pequeños, 88
de los cuales tienen como medida de sus lados 1 y el restante tiene
como medida del lado una longitud entera mayor que 1.
Hallar todas las medidas posibles de uno de los lados del cuadrado
ABCD.
162
Solución
Sea “a” la medida de cada uno de los lados
del cuadrado ABCD y “b” la medida del lado
del cuadrado más pequeño
(b > 1).
Entonces:
a2 = b2 + 88 — 12
a2 = b2 + 88
⇒
a2 − b2 = 88
El 2º miembro se puede expresar como:
88 = 1 — 88
;
88 = 2 — 44
;
88 = 4 — 22
;
88 = 8 — 11
Como a2 − b2 = (a + b) (a – b) analizamos las posibilidades para (a + b) y (a
− b):
a + b = 88 , a − b = 1
⇒
2 a = 89 (imposible)
a + b = 44 , a − b = 2
⇒
2 a = 46
a + b = 22 , a − b = 4
⇒
2 a = 26 ⇒
a+b=1 , a−b=8
⇒
2 a = 19 (imposible)
⇒
a = 23
a = 13
Los posibles valores son: 13 , 23
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por determinar la expresión que relacione las
medidas de los lados de los cuadrados
Por factorizar la expresión
Por el análisis de algunas posibilidades
Por el análisis completo de las posibilidades
y respuesta correcta
163
hasta
1 punto
2 puntos
2 puntos
hasta
2 puntos
Problema 317 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 3)
En el cuadrado ABCD, E y F son puntos medios.
A) Demostrar que DE ⊥ CF
B) Determinar la relación proporcional
CF : PC : EP
Solución 1
Parte A
Los triángulos ADE y CDF son iguales, por lo
∠
tanto PCD = b.
Como a + b = 90º, tenemos:
∠
DPC = 180º − (a + b) = 180º − 90º = 90º
DE ⊥ CF
Parte B
Por otro lado, tenemos:
∆
∆
∆
∆
FPD − S − CDP − S − AED = BCE
Entonces, podemos escribir las proporciones:
EB CB
=
PD PC
⇒
x
2x
=
PD PC
⇒
PC = 2 PD
PD FP
=
PC PD
⇒
PD FP
=
2PD PD
⇒
PD = 2 FP
164
Luego:
CF = CE = PC + FP = 2 PD +
PC = 2 PD
EP =
5
1
PD = PD
2
2
(1)
(2)
3
5
PD − PD = PD
2
2
(3)
De (1) y (2) tenemos:
5
PD
CF 2
5
=
=
PC 2PD 4
⇒
CF : PC = 5 : 4
⇒
CF : EP = 5 : 3
⇒
PC : EP = 4 : 3
De (1) y (3) se tiene:
5
PD
CF 2
5
=
=
EP 3 PD 3
2
De (2) y (3):
PC 2PD 4
=
=
EP 3 PD 3
2
Luego, la relación pedida es:
5 : 4 : 3
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por demostrar que DE ⊥ CF
Por hallar relaciones significativas entre
triángulos
Por determinar CF : PC o CF : EP o PC : EP
(dos de ellos)
Por determinar CF : PC : EP
165
2 puntos
hasta
2 puntos
2 puntos
1 punto
Solución 2
Parte A
El triángulo AED se obtiene rotando el
triángulo CDF en 90º.
Como a + b = 90º, tenemos:
∠
DPC = 180º − (a + b) = 180º − 90º = 90º
DE ⊥ CF
Parte B
Por otro lado, tenemos:
∆
∆
∆
∆
FPD − S − CDP − S − AED = BCE
Entonces, podemos escribir las proporciones:
EB CB
=
PD PC
⇒
x
2x
=
PD PC
⇒
PC = 2 PD
PD FP
=
PC PD
⇒
PD FP
=
2PD PD
⇒
PD = 2 FP
Luego:
PC = 4 FP
(1)
CF = ED = PC + FP = 4 FP + FP = 5 FP
EP = ED – PD = 5 FP – 2 FP = 3 FP
De (1) , (2) y (3) la relación pedida CF : PC : EP es:
5 : 4 : 3
166
(2)
(3)
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por demostrar que DE ⊥ CF
Por hallar semejanzas significativas entre
triángulos
Por determinar CF , PC o EP en función de FP
(dos de ellos)
Por determinar CF : PC : EP
2 puntos
hasta
2 puntos
2 puntos
1 punto
Problema 318 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 5)
Sean tres circunferencias iguales con un punto común, que se
cortan también en A , B , C.
Demostrar que el radio de cada una de las tres circunferencias
dadas es igual al radio de la circunferencia circunscripta del
triángulo ABC y su punto común es el ortocentro del triángulo ABC.
Solución
∠
∠
ABP = ACP = a, ya que ambos
ángulos sostienen la misma cuerda
AP
y
están
inscriptos
en
circunferencias iguales.
∠
∠
Por analogía, BAP = BCP = b y
∠
∠
CBP = CAP = c
Además, 2a + 2b + 2c = 180º, por
ser ángulos internos del triángulo
ABC. Luego, a + b + c = 90º.
En el triángulo ABH:
∠
∠
∠
BHA = 180 º− BAH− ABH
∠
BHA = 180º − a − b − c = 90º
⇒
AH ⊥ BC
Por analogía:
CP ⊥ AB y BP ⊥ AC
⇒
P es el ortocentro del triángulo ABC.
167
Sea P’ el punto simétrico de P con
respecto al lado BC.
Por el teorema que dice: “El
simétrico del ortocentro de un
triángulo con respecto a uno de los
lados, está sobre la circunferencia
circunscripta al triángulo”, P’ se
encuentra sobre la circunferencia
circunscripta al triángulo ABC.
Como
el
triángulo
BPC
es
congruente al triángulo BP’C,
entonces los radios de sus
circunferencias circunscriptas son
iguales.
Como la circunferencia circunscripta al triángulo BP’C es la misma
circunferencia circunscripta al triángulo ABC, está completada la
demostración.
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por hacer el gráfico para un caso general
Por igualdades de ángulos relevantes
Por probar que AH ⊥ BC y que P es ortocentro
Por usar el teorema sobre el ortocentro y sus simétricos
Por demostrar que los radios de las circunferencias
son iguales
1 punto
1 punto
2 puntos
1 punto
2 puntos
Problema 319 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 4)
Un cuadrado pequeño es inscripto en uno más
grande como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
área del cuadrado pequeño?
A) 28
B) 34
C) 16
D) 49
E) 36
168
Solución
Por la simetría de la figura, podemos establecer:
2
2
2
a = 3 + 5 = 9 + 25 = 34
La respuesta es: B
Problema 320 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 16)
En un triángulo ABC, D es el punto medio del segmento AB, E es el
punto medio del segmento DB y F es el punto medio del segmento
BC. Si el área del triángulo ABC es 96, ¿cuál es el área del triángulo
AEF?
A) 16
B) 24
C) 32
D) 36
E) 48
Solución
Como D y F son puntos medios, DF ║ AC.
Entonces, el área del triángulo BDF es:
(BDF) =
1
1
— 96 = 24
(ABC) =
4
4
Como E es punto medio se cumple que:
(DEF) = (EBF) =
1
— 24 = 12
2
Los triángulos AFD y DBF son iguales por tener sus bases de la misma
medida y la misma altura. Luego:
(AFD) = (DBF) = 24
Y el área que buscamos:
(AEF) = (AFD) + (DBF) = 24 + 12 = 36
La respuesta es: D
169
Problema 321 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 22)
AE es dividido en cuatro partes iguales y se
trazan semicircunferencias tomando a AE,
AD y DE cómo diámetros, creando caminos
de A a E como se muestra en la figura.
Determinar la razón entre la longitud del
camino superior y la longitud del camino
inferior.
A) 1 : 1
B) 2 : 3
C) 1 : 2
D) 3 : 2
E) 2 : 1
Solución
Vemos que AB = BC = CD = DE.
Calculamos primero la semicircunferencia superior:
2 π AC
= π — AC = π — 2 AB = 2 π AB
2
En la parte inferior
semicircunferencias:
debemos
sumar
las
longitudes
de
las
dos
2 π ⋅ 0,5 DE
2 π ⋅ 1,5 AB
= 1,5 π AB + 0,5 π DE = 2 π AB
+
2
2
Entonces:
2 π AB 1
=
2 π AB 1
La respuesta es: A
Problema 322 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 26)
El círculo de radio 1 tiene centro en O y
diámetro AB. La perpendicular a AB en O,
corta en C a la circunferencia.
El círculo con centro C y radio CA, se
superpone parcialmente con el anterior.
Hallar la superficie de la región
superpuesta.
3π − 2
B) π − 1
A)
4
π
4−π
D) 2 −
C)
2
2
π +1
E)
2
170
Solución
El radio CA es:
CA =
12 + 12 = 2
El triángulo ACB es rectángulo en C por
estar inscripto en una semi circunferencia.
Entonces, el área del sector de centro C y
radio CA es:
1
π ( 2 ) 2 ⋅ 90 º
π
=
360 º
2
A esta área debemos agregar los dos sectores circulares correspondientes a
las cuerdas CA y CB:
1
1
1
1⋅ 1
π 12 ⋅ 90 º
π−
π−
=
− (AOC) =
2
4
360 º
4
2
2(
1
1
1
π−1
π− )=
2
2
4
El área buscada es:
1
1
π−1=π−1
π+
2
2
La respuesta es: B
Problema 323 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 28)
Un triángulo equilátero y un hexágono
regular
son
inscriptos
en
una
circunferencia, que a su vez está inscripta
en un triángulo equilátero (ver figura). S1
es el área del triángulo grande, S2 el área
del triángulo pequeño y S3 el área del
hexágono.
¿Cuál
de
las
siguientes
igualdades es siempre cierta?
S + S2
A) S1 = S2 + S3
B) S 3 = 1
2
C) S1 = S3 + 3 S2
2
D) S 3 = S1 ⋅ S 2
171
2
E) S 3 = S1 ⋅ S 2
Solución
Relacionamos las superficies:
S3 = 2 S 2
;
S1 = 4 S 2
;
S1 = 2 S 3
Analizando la relación que hay entre las tres superficies, descubrimos que:
S1 — S 2 = 2 S 3 —
1
2
S3 = S 3
2
La respuesta es: E
Problema 324 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 30)
Dos circunferencias tienen sus centros en la
misma diagonal de un cuadrado. Ellas son
tangentes entre sí y con los lados del
cuadrado como se muestra en la figura. El
cuadrado tiene lado 1 cm. ¿Cuál es la suma,
en centímetros, de las longitudes de los
radios de las circunferencias?
1
1
B)
A)
2
2
C) 2 − 2
2 −1
D)
E) 1
Solución
Tenemos:
AB = R + r + O’B + OA (1)
AB =
O’B =
OA =
12 + 12 = 2
r2 + r2 = 2 r2 = r 2
R2 + R2 = 2 R2 = R 2
172
Reemplazando en (1):
2 ) + r (1 +
2 = R + r + r 2 + R 2 = R (1 +
2 = (1 +
R+r=
2
1+ 2
=
2
⋅
2)
2 ) (R + r)
1− 2
1+ 2 1− 2
=
2 −2
=2− 2
1− 2
La respuesta es: C
Problema 325 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 9)
Si el área de la región sombreada es 3 , ¿cuál es
el área del triángulo ABC que está inscripto en la
circunferencia de centro O?
A) 2
B) 2
3
D) 4
E) 4
3
C) 3
Solución
Como AC es a la vez diámetro de la circunferencia e hipotenusa del
triángulo, el triángulo ABC es rectángulo en B, siendo BO la mediana. Por
lo tanto:
(ABC) = 2 (ABO) = 2 —
3 =2
3
La respuesta es: B
Problema 326 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 10)
Una moneda de 1 cm de diámetro rueda por el
borde de un exágono regular de 1 cm de lado,
como se muestra en la figura.
¿Cuál es la longitud, en centímetros, del camino
cerrado que traza el centro de la moneda?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 6 + π
E) 6 + 2 π
173
Solución
El camino recorrido por el centro es 6 veces
el camino ABC. Luego:
AB + BC =
2 π ⋅ 0,5 ⋅ 60 º
+1
360 º
AB + BC =
π
+1
6
Luego:
6(
π
+ 1) = π + 6
6
La respuesta es: D
174
El número y las operaciones – Expresiones
algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5º.
Grado)
• Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria. (5º.
Grado)
• Algoritmos y propiedades de la multiplicación y de la división de
números racionales positivos en notación fraccionaria. (5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5º. Grado)
• Potencia como producto de factores idénticos. (6.º Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6º. Grado)
• Notación científica. (6º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (6.º
Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias
de diez. (6º. Grado)
• Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud.
(6º. Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6º. Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6º. Grado)
• Regla de tres (6º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales. (7º. Grado)
• Valor absoluto. (7º. Grado)
• Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con
base entera y racional. (7.º Grado)
• Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con
base entera y racional. (7.º Grado)
• Leyes de potencias: multiplicación de potencias de igual base, división
de potencias de igual base (ley de cancelación), potencia de una
potencia, potencia con exponente cero, potencia de un producto y de
175
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
un cociente, propiedad distributiva de la potenciación respecto al
conciente. (7.º Grado)
Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos.
(7º. Grado)
Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y
racionales en notación fraccionaria y decimal. (7º. Grado)
Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con
números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal. (7º.
Grado)
Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales, en situaciones que lo requieran. (7.º Grado)
Leyes y propiedades de la potenciación. (7º. Grado)
Radicación, concepto, características. (7º. Grado)
Ecuaciones lineales. (7º. Grado)
Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros,
incógnita, término independiente. (7º. Grado)
Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d. (7º. Grado)
Expresión
algebraica.
Concepto.
Características.
Elementos.
Clasificación. (8.º Grado)
Grado de un monomio. Monomios semejantes. (8.º Grado)
Clasificación de polinomios. Grado absoluto y relativo de un polinomio.
(8.º Grado)
Valor numérico de expresiones algebraicas. (.º Grado)
Algoritmos y propiedades de las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación con expresiones algebraicas: entre monomios, entre
polinomio y monomio, entre polinomios. (8.º Grado)
Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla
de Ruffini. (8.º Grado)
Factorización de expresiones algebraicas polinómicas, en diferentes
contextos. (8.º Grado)
Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla
de Ruffini. (8.º Grado)
Algoritmo y propiedades de las operaciones con radicales con
expresiones algebraicas. (9.º Grado)
Radicales semejantes. Introducción y extracción de factores de un
radical. (9.º Grado)
Algoritmo de las operaciones con radicales. (9.º Grado)
Expresiones conjugadas. Racionalización de denominadores. (9.º
Grado)
176
•
•
•
Ecuaciones con radicales. (9.º Grado)
Resolución analítica y gráfica de ecuaciones. (9.º Grado)
Ecuaciones de 2º grado. Reconstrucción de ecuaciones de 2º grado. (9.º
Grado)
177
Problemas para el Aula
Problema 327 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 8)
2
En la ecuación y = A x − B x; se cumple que si x = 4 , y = 4 pero
si x = 5 , y = 10. ¿Cuál es el valor de (A + B)?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
Consideramos la ecuación:
2
y=Ax −Bx
Luego:
4 = 16 A − 4 B (1)
10 = 25 A − 5 B (2)
Reso0lvieron el sistema. se obtiene:
A=1 ; B=3
⇒
A+B=4
La respuesta es: D
Problema 328 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
m2 + m + 1
?
¿Cuál es el equivalente de la expresión
m3
-6
-5
A) m
C) m
E) m
-1
-2
-3
2
B) m + m + m
D) m
F) n. d. l. a.
Solución
Aplicando la propiedad distributiva a la expresión dada, tenemos:
m2
m
1
-1
-2
-3
+
+
=m +m +m
3
3
3
m
m
m
La respuesta es: B
178
Problema 329 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
a
b
c
=
=
; a , b y c son enteros
En la proporción
2 007 2 005 2 003
positivos, como así también las razones. Si se suman a y b resulta
un número de cinco dígitos.
¿Cuáles de los siguientes valores son posibles para (a + b)?
A) 12 063
C) 20 060
E) Son posibles C y D
B) 16 084
D) 24 072
F) n. d. l. a.
Solución
Consideramos la proporción y aplicamos la propiedad de la suma de
antecedentes y consecuentes:
a
b
c
a+b
=
=
=
2 007 2 005 2 003 4 012
Vemos que:
20 060 ÷ 4 012 = 5
y
24 072 ÷ 4 012 = 6
La respuesta es: E
Problema 330 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 11)
Ana tiene 336 000 G y va a un negocio con intenciones de comprar
una cierta cantidad de aparatos de radio portátiles. Pero al
averiguar el precio se entera que cada aparato subió 14 000 G, con
lo que al final compra 4 aparatos menos de los que pensaba
comprar, utilizando todo el dinero que tenía. ¿Cuál es el precio de
un aparato de radio?
A) 22 000 G
C) 36 000 G
E) 50 000 G
B) 28 000 G
D) 40 000 G
F) n. d. l. a.
Solución
Con los datos, hacemos la siguiente tabla:
Cantidad de
aparatos
X
X−4
Precio de un
aparato
336 000
X
336 000
+ 14 000
X
179
Gasto en G
336 000
336 000
Entonces:
(X − 4) (
336 000
+ 14 000) = 336 000
X
336 000 + 14 000 X −
1 344 000
− 56 000 = 336 000
X
14 000 X − 56 000 −
1 344 000
=0
X
2
14 000 X − 56 000 X − 1 344 000 = 0
2
X − 4 X − 96 = 0
⇒
X = 12
Luego:
336 000
+ 14 000 = 28 000 + 14 000 = 42 000
X
La respuesta es: F
Problema 331 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 3)
¿Cuál es el valor de la expresión:
2 007 − (2 006 − (2 005 − ( . . . . − (2 − 1)) . . .))?
A) 1
B) 1 000
C) 1 003
D) 1 004
E) 2 006
Solución
Analizamos que pasa en una sucesión más pequeña:
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − (6 − (5 − (4 − (3 − (2 − 1)))))))))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − (6 − (5 − (4 − (3 − 1))))))))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − (6 − (5 − (4 − 2)))))))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − (6 − (5 − 2)))))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − (6 − 3)))))))
180
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − (7 − 3))))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − (8 − 4)))))
13 − (12 − (11 − (10 − (9 − 4))))
13 − (12 − (11 − (10 − 5)))
13 − (12 − (11 − 5))
13 − (12 − 6)
13 − 6 = 7
Hemos destacado en negrita los términos pares que figuran en las
diferencias y vemos que en ese caso, la diferencia es la mitad de ese
término par. Entonces:
2 007 − 1 003 = 1 004
La respuesta es: D
Problema 332 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 7)
20
Dada la expresión: x + (x + 1) + (x + 2) = 3 , ¿cuál es el valor de
x?
19
20
20
A) 3
B) 3 − 1
C) 3 − 3
19
19
D) 3 − 1
E) 3 + 1
Solución
Tenemos:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3
3x+3=3
x+1=
20
⇒
320
19
=3
3
20
3 (x + 1) = 3
⇒
x=3
19
20
−1
La respuesta es: D
181
Problema 333 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 8)
¿Cuál es el resultado de la operación?
(1 900 + 1 901 + 1 902 + … + 1 999) − (100 + 101 + 102 + … + 199)
A) 180 000
B) 178 200
C) 1 800 000
D) 181 800
E) 190 000
Solución
Resolvemos las dos sumas, que llamamos S y S’:
S = 1 900 + 1 901 + 1 902 + . . . + 1 997 + 1 998 + 1 999
1 900 + 1 999 = 3 899
Hay 50 parejas que suman 3 899
Luego:
S = 3 899 × 50 = 194 950
S’ = 100 + 101 + 102 + . . . + 197 + 198 + 199
199 + 100 = 299
Hay 50 parejas que suman 299
Entonces:
S’ = 299 × 50 = 14 950
El valor buscado es:
194 950 − 14 950 = 180 000
La respuesta es: A
Problema 334 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 9)
Una organización internacional tiene 32 miembros. ¿Cuántos
miembros tendrá dentro de 3 años si el número de miembros
aumenta cada año con respecto al anterior en un 50 %?
A) 182
B) 128
C) 108
D) 96
E) 80
182
Solución
La situación es como sigue:
Hoy
Dentro de 1 año →
Dentro de 2 años →
Dentro de 3 años →
→ 32 miembros
32 + 32 × 0,5
→
48 + 48 × 0,5
→
72 + 72 × 0,5
→
48 miembros
72 miembros
108 miembros
La respuesta es: C
Problema 335 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 15)
Se tienen 15 números naturales consecutivos en el que el mayor de
ellos es impar. Si la suma de todos los números pares es “a”, ¿cuál
es el menor de los 15 números?
a
a
−7
B) a − 15
C)
A)
7
8
a
− 16
E) a − 8
D)
16
Solución
La lista de los números es:
n , (n + 1) , (n + 2) , … , (n + 14)
El mayor, (n + 14) es impar, por lo tanto n también es impar.
La suma de los pares es:
(n + 1) + (n + 3) + … + (n + 13) = a
7 n + 49 = a
⇒
n=
a
−7
7
La respuesta es: A
Problema 336 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 25)
Sandra escribe todos los números de dos cifras tales que la suma de
sus cifras es 5. ¿Cuál es el valor de la suma de todos los números
que escribió Sandra?
A) 160
B) 165
C) 55
D) 110
E) 180
183
Solución
La lista de números es:
14 , 41 , 23 , 32 , 50
La suma de esos números es 160.
La repuesta es: A
Problema 337 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 13)
¿Cuál es la cantidad de números naturales de tres cifras n = abc , (a
2
2
2
≠ 0), para los cuales se cumple que a + b + c = 9?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Solución
Las posibilidades son:
9+0+0=9
⇒
3,0,0
1+4+4=9
⇒
1,2,2
Los números son:
122 , 212 , 221 , 300
La respuesta es: B
Problema 338 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 15)
La suma de cinco enteros consecutivos es igual a la suma de los
próximos tres enteros consecutivos. ¿Cuál es el mayor valor de esos
ocho números?
A) 11
B) 9
C) 30
D) 8
E) 60
Solución
Escribimos la igualdad:
x+x+1+x+2+x+3+x+4=x+5+x+6+x+7
5 x + 10 = 3 x + 18
⇒
2x=8
⇒
x=4
Entonces, el mayor número es:
x + 7 = 4 + 7 = 11
La respuesta es: A
184
Problemas Desafiantes
Problema 339 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
Se escriben números de 4 dígitos tales que la suma de los dígitos
sea mayor que 33 pero menor que 37. ¿Cuál es la cantidad de
números que cumplen esta condición?
A) 20
C) 14
E) 10
B) 16
D) 11
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos S a la suma de los 4 dígitos. Luego:
33 < S < 37
Los valores posibles para S son: 34 , 35 y 36
Para 34 tenemos la posibilidad de elegir los dígitos 9 , 9 , 8 y 8; o los
dígitos 9 , 9 , 9 y 7. Entonces la l sita de número es:
9 988 , 9 898 , 9 889 , 8 899 , 8 989 , 8 998 (6 números)
9 997 , 9 979 , 9 799 , 7 999 (4 números)
Para 35:
9 998 , 9 989 , 9 899 , 8 999 (4 números)
Para 36:
9 999 (1 número)
Entonces, el total de números es:
6 + 4 + 4 + 1 = 15
La respuesta es: F
185
Problema 340 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 2)
2
Dada la ecuación ax + bx + c = 0 (a , b y c enteros), las raíces son
2
5
y - . Si a , b y c asumen el menor valor absoluto posible para
5
2
cada uno de ellos, ¿cuál es valor de (a − b − c)?
A) 41
C) 21
E) – 1
B) – 41
D) – 21
F) n. d. l. a.
Solución
Reconstruimos la ecuación:
(x −
2
5
2
x− x−1=0
2
5
2
5
) (x + ) = 0
5
2
;
x +
21
x−1=0
10
⇒
10 x − 21 x − 10 = 0
x −
2
2
Entonces:
a − b − c = 10 − (-21) − (-10) = 41
La respuesta es: A
Problema 341 (1ra Ronda Colegial 2007 – Problema 1)
N M
8
se tiene que M + N = 36. ¿Cuál
=
=
En la proporción
P 55 55 − P
es el valor de (M + P)?
A) 13
C) 33
E) 77
B) 20
D) 57
F) n. d. l. a.
Solución
Recordamos que en toda proporción la suma (o resta) de los antecedentes
es a la suma (o resta) de los consecuentes como un antecedente cualquiera
esa su consecuente.
Aplicamos esto a la proporción conocida:
N M
8
=
=
P 55 55 − P
⇒
M −N
8
=
55 − P 55 − P
M + N = 36 (2)
186
⇒
M − N = 8 (1)
Resolviendo (1) y (2) tenemos:
M = 22 ; N = 14
Luego:
N M
=
P 55
⇒
P = 35
⇒
M + P = 22 + 35 = 57
La respuesta es: D
Problema 342 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 3)
María va al súper cada 2 días, Teresa cada 3 días y Betina cada 5
días. Un día lunes se encuentran las tres en el súper. ¿En qué día se
volverán a encontrar las tres?
A) lunes
C) miércoles
E) viernes
B) martes
D) jueves
F) n. d. l. a.
Solución
Como 2 , 3 y 5 son números primos, el máximo divisor común entre ellos
es:
2 × 3 × 5 = 30
A los 30 días se volverán a encontrar. Como se encontraron un lunes,
comenzamos a contar una semana de martes a lunes:
1ª semana) martes a lunes: 7 días
2ª semana) martes a lunes: 14 días
3ª semana) martes a lunes: 21 días
4ª semana) martes a lunes: 28 días
Como 30 = 28 — 1 + 2 consideramos los dos días que sobran:
martes y miércoles
La respuesta es: C
Problema 343 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 5)
Un número N tiene tres cifras. El dígito de las unidades es el doble
que el dígito de las centenas. ¿Cuál es la cantidad de valores
posibles para N?
A) 10
C) 30
E) 50
B) 20
D) 40
F) n. d. l. a.
187
Solución
N es de la forma abc . Tenemos que:
⇒
c=2a
a=1ó2ó3ó4
Entonces, los valores de c son:
2ó4ó6ó8
Armamos los números para b = 0:
102 , 204 , 306 , 408 (4 números)
Los valores de b pueden ser:
0 ó 1 ó 2 ó . . . 9 (10 posibilidades)
La cantidad de valores que puede tener n es:
4 × 10 = 40
La respuesta es: D
Problema 344 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 6)
El promedio de 8 números positivos es 15. Se borran 3 de esos
números y el promedio de los números que quedan es 15,4. ¿Cuál
es la suma de los números borrados?
A) 43
C) 60
E) 120
B) 50
D) 77
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos S a la asuma de los 8 números. Entonces:
S
8
15 =
⇒
S = 120
A la suma de los números que quedan llamamos S’:
15,4 =
S'
5
⇒
S’ = 77
La suma de los números que quedan es:
120 − 77 = 43
La respuesta es: A
188
Problema 345 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 9)
2
En la expresión 144 A = N , N es un número entero positivo de dos
dígitos. ¿Cuál es la cantidad de valores que puede tener A?
A) 4
C) 6
E) 8
B) 5
D) 7
F) n. d. l. a.
Solución
2
Como N = 144 A, tenemos:
N = 12
A
Luego:
A=1
A=4
A=9
A = 16
A = 25
A = 36
A = 49
A = 64
A = 81
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
N = 12
N = 24
N = 36
N = 48
N = 60
N = 72
N = 84
N = 96
N = 108
La respuesta es: E
Problema 346 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 10)
Pedro puede terminar un trabajo en 2 días trabajando solo. Luis
logra hacer ese trabajo en 3 días. Andrés emplea más tiempo que
ellos para hacer el trabajo. Si trabajan los tres juntos, pueden
terminar el trabajo en 1 día. ¿En cuánto tiempo harán el trabajo
Luis y Andrés trabajando juntos?
A) 2 días
C) 4 días
E) 6 días
B) 3 días
D) 5 días
F) n. d. l. a.
Solución
Como Pedro hace el trabajo en 2 días, en 1 día hace
hace en 1 día,
1
del trabajo.
3
189
1
del trabajo. Luis
2
Los tres trabajando juntos hacen en 1 día,
1
del trabajo.
1
Si llamamos A al tiempo que tarda Andrés en hacer el trabajo, en 1 día
1
partes del trabajo. Luego:
hará
A
1
1
1
1
1
−( + )=
=
6
3
2
1
A
Andrés tarda 6 días en hacer el trabajo.
Luis y Andrés trabajando juntos harán en 1 día:
1
1
1
1
=
+
=
2
6
3
x
Entonces, terminarán el trabajo en 2 días.
La respuesta es: A
Problema 347 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 13)
2
En la ecuación A x + B x + C = 0, (A , B , C enteros), las raíces son
3
2
y − . Si A asume su menor valor entero positivo, ¿cuál es el
4
3
valor del producto A — B — C?
A) -12
C) -48
E) -80
B) -36
D) -72
F) n. d. l. a.
Solución
Usando las raíces, reconstruimos la ecuación:
x1 =
2
3
x2 = −
3
4
⇒
x−
2
=0
3
⇒
x+
3
=0
4
190
Luego:
(x −
3
2
) (x + ) = 0
4
3
2
⇒
x +
1
2
3
=0
x−
x−
2
3
4
2
12 x + 9 x − 8 x − 6 = 0
2
12 x + x − 6 = 0
⇒
A = 12 , B = 1 , C = -6
Entonces:
A — B — C = 12 — 1 — -6 = - 72
La respuesta es: D
Problema 348 (2da Ronda Colegial 2007 – Problema 15)
Se tiene la sucesión 5 , 14 , 23 , 32 , 41 , . . .
¿Cuál de los siguientes números pertenece a la sucesión?
A) 2 004
C) 2 006
E) 2 005
B) 2 007
D) 2 003
F) n. d. l. a.
Solución
La sucesión se forma sumando 9 al término anterior. Entonces, la
diferencia entre cualquiera de los números dados y uno de los términos
•
conocidos debe ser 9 .
Analizamos:
2 004 − 14 (no es múltiplos de 9)
2 007 − 14 (no es múltiplos de 9)
2 006 − 23 (no es múltiplos de 9)
2 003 − 41 (es múltiplos de 9)
2 005 − 5 (no es múltiplos de 9)
La respuesta es: D
Problema 349 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 1)
Se escribe la siguiente sucesión de números naturales:
323 , 324 , 325 , … , 876 , 877 , 878
Calcular la suma de todos los números que están en la lista.
191
Solución
La diferencia entre los términos de la sucesión es 1.
La cantidad de números en la lista es:
878 − 322 = 556
Aplicando el método de Gauss tenemos:
323 + 878 = 1 201
324 + 877 = 1 201
325 + 876 = 1 201
Tenemos 278 parejas que suman 1 201, entonces, la suma de los números
de la lista es:
1 201 × 278 = 333 878
Problema 350 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 3)
Calcular la siguiente potencia:
4
(2 + 2 )
Solución
2
(2 + 2 )
2
[2 + 2 — 2 —
2
2
2 + ( 2 ) ] — [2 + 2 — 2 —
(4 + 4
16 + 16
— (2 + 2 )2
2 + 2) (4 + 4
2 + 8 + 16
2 + 32 + 8
68 + 38
192
2
2
2 +( 2) ]
2 + 2)
2 +8+8
2 +4
Problema 351 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 4)
La siguiente es una sucesión de números que se obtiene sumando 3
al número anterior:
… , 2 , 5 , 8 , 11 , …
Consideramos otra sucesión que se forma sumando 8. Calcular qué
número entre 1 y 10 debe ser el primer número de la sucesión,
para que 2 007 sea uno de los términos de la sucesión.
Solución
En la sucesión que tenemos como ejemplo, se cumple que la diferencia
entre cualquiera de los términos de la misma es múltiplo de 3.
En efecto:
11 − 2 = 9
;
8−2=6
;
11 − 8 = 3
Entonces, en la segunda sucesión, la diferencia entre 2 007 y un término
de la sucesión debe ser múltiplo de 8.
Luego:
•
2 007 − 2 = 2 005 (no es 8 )
Para que la diferencia sea múltiplo de 8, las tres últimas cifras deben ser
divisibles entre 8.
Entonces, la única posibilidad es:
2 007 − 7 = 2 000
El número es: 7
Problema 352 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 9)
Los números 112 , 436 y 319 se dividen por un número A y se
obtiene en todos los casos como residuo 4.
Hallar el número A.
193
Solución
Llamamos x ,y , z a los cocientes de las divisiones. Entonces:
112 = A x + 4
436 = A y + 4
319 = A z + 4
⇒
⇒
⇒
108 = A x
432 = A y
315 = A z
Nos fijamos en la descomposición canónica de esos números:
2
3
108 = 2 — 3
4
3
432 = 2 — 3
2
315 = 3 — 5 — 7
En las tres igualdades, identificamos un factor común que es 9.
Observación: también 3 es factor común, pero A tiene que ser mayor que
4.
Entonces, el valor de A es: 9
Problema 353 (4a Ronda Final 2007 – Problema 1)
Se escribe una lista de 2 007 números naturales. El promedio de
esos números es 12.
Se borraron siete números que están uno a continuación de otro, y
el promedio de los que quedaron es 11,915.
Los siete números borrados son tales que el 7º número es el doble
del 6º, el 6º número es el doble del 5º y así hasta el primero de los
siete.
Hallar los 7 números que se borraron.
Solución
Sea S la suma de los 2 007 números, entonces:
S
= 12
2 007
⇒
S = 24 084
Sea S’ la suma de los números que quedaron:
S'
= 11,915
2 000
⇒
S’ = 23 830
La suma de los números que se borraron es:
24 084 − 23 830 = 254
194
Luego:
x + 2 x + 4 x + 8 x + 16 x + 32 x + 64 x = 254
⇒
127 x = 254
x=2
Los números borrados son:
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por hallar la suma de los 2 007 números
Por hallar la suma de los números que quedaron
Por determinar la suma de los números que se borraron
Por hallar uno de los números borrados
Por hallar todos los números borrados
1 punto
1 punto
2 puntos
2 puntos
1 punto
Problema 354 (4ra Ronda Final 2007 – Problema 4)
Los números 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
se tienen que distribuir, uno en
cada círculo del diagrama, de modo
que la suma de los tres números
ubicados en tres círculos alineados
sea siempre la misma.
¿Qué número es imposible ubicar en
el círculo E?
(Son alineados por ejemplo
ADE , DCB).
Solución 1
Si formamos ternas con los círculos alineados tenemos:
A
A
A
D
E
D
C
B
C
F
195
E
F
G
B
G
Vemos que el círculo A aparece tres veces en las ternas. Como el número 4
es el “centro” de la lista, podemos pensar que el 4 tiene que estar en A.
En efecto, poniendo el 4 en el centro podemos formas las ternas:
3 + 4 + 5 = 12
2 + 4 + 6 = 12
1 + 4 + 7 = 12
Tenemos armadas tres ternas. Tratemos de armas las otras dos:
7 + 3 + 2 = 12
6 + 5 + 1 = 12
Al distribuir los números en el diagrama, encontramos
posibilidades, pero en todas ellas el cuatro está en el círculo A.
algunas
Vamos a fundamentar porqué el 4 no puede estar en el círculo E. Cualquier
número que esté en A estará tres veces en las cinco ternas. Entonces:
196
Si está el 1:
•
3 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 = 57 (no es 5 )
Si está el 2:
•
2 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 = 58 (no es 5 )
Si está el 3:
•
2 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 = 59 (no es 5 )
Si está el 4:
2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 2 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 = 60
Si está el 5:
•
2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 2 × 6 + 2 × 7 = 61 (no es 5 )
Si está el 6:
•
2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 2 × 7 = 62 (no es 5 )
Si está el 7:
•
2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 = 63 (no es 5 )
Vemos que el 4 debe estar necesariamente en A para que se pueda
distribuir la suma en 5 partes iguales. Entonces, 4 no puede estar en E.
La respuesta es: 4
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
Por formar las ternas con los círculos
Por descubrir que el 4 “puede” estar en A
Por armar las ternas posibles
Por hacer la distribución de los números en los círculos
Por justificar que el 4 solo puede estar en A
197
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
3 puntos
Solución 2
Si formamos ternas con los círculos alineados tenemos:
A
A
A
D
E
D
C
B
C
F
E
F
G
B
G
Al efectuar las sumas tenemos:
3 A + 2 (B + C + D + E + F + G)
Esta suma debe ser necesariamente múltiplo de 5 para que se pueda
distribuir en cinco partes iguales. Entonces:
3 A + 2 (B + C + D + E + F + G)
→
múltiplo de 5
Las posibilidades son:
3 — 1 + 2 (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 57
3 — 2 + 2 (1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 58
3 — 3 + 2 (2 + 1 + 4 + 5 + 6 + 7) = 59
3 — 4 + 2 (2 + 3 + 1 + 5 + 6 + 7) = 60
3 — 5 + 2 (2 + 3 + 4 + 1 + 6 + 7) = 61
3 — 6 + 2 (2 + 3 + 4 + 5 + 1 + 7) = 62
3 — 7 + 2 (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1) = 63
La única posibilidad para A es 4, luego es imposible ubicar 4 en E.
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por formar las ternas con los círculos
Por determinar la suma de las ternas
Por establecer que la suma debe ser múltiplo de 5
Por demostrar que la única posibilidad para A es 4
198
1 punto
2 puntos
2 puntos
2 puntos
Problema 355 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 13)
Cuando en una feria se anunciaron los resultados de una rifa, el
moderador dijo: “Los tickets ganadores son aquellos cuyos
números tienen al menos 5 dígitos y tales que a lo más tres de sus
dígitos son mayores que 2”. Más tarde, el animador recibió tickets
con los números 1 022 , 22 222 , 102 334 , 213 343 ,
3 042
531. ¿Cuántos de esos números corresponden a tickets ganadores?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Solución
Los números con al menos 5 dígitos son:
22 222 , 102 334 , 213 343 y 3 042 531
1) 22 222
→
no tiene dígitos mayores que 2
2) 102 334
→
tiene 3 dígitos mayores que 2
3) 213 343
→
tiene 4 dígitos mayores que 2
4) 3 042 531
→
tiene 4 dígitos mayores que 2
Los números que cumplen las condiciones del problema son 1) y 2).
La respuesta es: B
Problema 356 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 14)
¿Qué fracción ocupa el 13mo lugar en la siguiente lista?
1
2
1
156
1
D)
26
A)
;
1
6
1
12
1
B)
132
1
E)
182
;
;
1
20
Solución
Atendiendo a los denominadores tenemos:
2 , 6 , 12 , 20 , …
199
;
…
C)
1
82
Entonces:
→
→
→
→
→
El término 1 es
El término 2 es
El término 3 es
El término 4 es
El término 13 es
1—2
2—3
3—4
4—5
13 — 14 = 182
La respuesta es: E
Problema 357 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 18)
8
Para obtener el número 8 , ¿cuál es el exponente al que debemos
4
elevar el número 4 ?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 8
E) 16
Solución
Sustituimos 8 en la expresión dada:
8
8
8
8
8
4
8 = (4 — 2) = 4 — 2 = 4 — 4 = 4
12
Vemos que:
4 3
(4 ) = 4
12
La respuesta es: B
Problema 358 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 19)
Si a ⊗ b = a
A)
b , ¿cuál es el valor de ( 18 ⊗ 2) ⊗ ( 3 ⊗ 48)?
6 12
B) 6
D) 72
C) 18
2
3
E) 12
Solución
Calculamos:
18 ⊗ 2 =
18 ⋅ 2 = 36 = 6
3 ⊗ 48 =
3 ⋅ 48 = 144 = 12
6 ⊗ 12 = 6 —
12 = 6 —
4 ⋅3 = 6 — 2
200
3 = 12 3
La respuesta es: E
Problema 359 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 27)
Sea n el menor número entero positivo que puede ser escrito como
la suma de 9 enteros positivos consecutivos y también como la
suma de 10 enteros positivos consecutivos. ¿Cuál es el dígito de las
decenas de n?
A) 5
B) 3
C) 1
D) 4
E) 2
Solución
Tenemos que:
n = x + (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x +8) = 9 x + 36
n = a + (a + 1) + (a + 2) + . . . + (a + 9) = 10 a + 45
Por lo tanto:
9 x + 36 = 10 a + 45
⇒
9 x − 9 = 10 a
Entonces, 9 x − 9 debe ser múltiplo de 10. Además, para que n tenga su
menor valor posible, el valor de x debe ser también el menor posible.
Vemos que si x = 11, a = 9. Luego:
n = 9 — 11 + 36 = 135
n = 10 — 9 + 45 = 135
La respuesta es: B
Problema 360 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 29)
2
Las soluciones reales de la ecuación cuadrática x − 3 x + 1 = 0
3
3
son a y b. ¿Cuál es el valor de a + b ?
A) 24
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
201
Solución
Por las relaciones de Vieta tenemos:
an − 1
a+b=-
an
a—b=
an − 2
an
=-
−3
=3
1
=
1
=1
1
Luego:
3
(a + b) = 3
3
2
3
2
3
a + 3 a b + 3 a b + b = 27
3
3
a + 3 ab (a + b) + b = 27
3
3
3
3
a + b = 27 − 9 = 18
La respuesta es: B
⇒
a + 3 — 1 — 3 + b = 27
Problema 361 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 14)
x+1
x
y+2
y
Dada la ecuación 2
+2 =3
− 3 , donde x e y son enteros,
¿cuál es el valor de x?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) - 1
Solución
2
x+1
x
x
y+2
−3
y
x
y
2
y
y
2
+2 =3
2 —2+2 =3 —3 −3
x
2 (2 + 1) = 3 (3 − 1)
x
3—2 =8—3
y
⇒
2 x 8 23
= =
3
3y 3
⇒
x=3
La respuesta es: A
202
Los datos y la estadística
Contenidos:
• Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado)
• Gráficos de línea. (5.º Grado)
• Tablas y gráficos estadísticos. (6º. Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencias. (6.º Grado)
• Gráfico circular. (6.º Grado)
• Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado)
• Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado)
• Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado)
• Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado)
• Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media (8.º
Grado)
• Experimento aleatorio. (9.º Grado)
• Evento o suceso. (9.º Grado)
• Espacio muestral. (9.º Grado)
• Casos favorables, casos posibles. (9.º Grado)
• Probabilidad de un evento. Regla de Laplace, (9.º Grado)
• Tablas de frecuencia y polígonos de frecuencia (9.º Grado)
• La mediana. (9.º Grado)
• Interpretación de tablas, polígonos de frecuencia y mediana (9.º
Grado)
203
Problemas para el Aula
Problema 362
La gráfica representa el resultado
de una encuesta que se aplicó al 2.º
Ciclo del colegio de Eliseo, con
respecto a la edad de los
alumnos.
Determinar la media, la mediana y
la moda.
Solución
Registramos las cantidades de alumnos con 9 años, 10 años, etc. Que van a
estar en la lista de datos:
10 (9 años) , 38 (10 años) , 20 (11 años) , 16 (12 años) , 30 (13 años)
La cantidad de alumnos encuestado es:
10 + 38 + 20 + 16 + 30 = 114
Calculamos la media:
9 × 10 + 10 × 38 + 11 × 20 + 12 × 16 + 13 × 30 = 1 272
1 272 ÷ 114
→
11,16 años
Para calcular la mediana, tenemos que tener en cuenta los datos
ordenados. Como son 114 datos, los números que ocupan los lugares 57 y
58 debemos usar para calcular la mediana. Entonces:
10 + 38 = 48
;
48 + 20 = 68
Los lugares 57 y 58 están ocupados por el valor “11 años”. Luego:
204
11 + 11
2
→
11 años
Como el valor de mayor frecuencia es la moda, eso corresponde a 10 años.
Tenemos:
Media = 11,16 años
;
Mediana = 11 años
;
Moda = 10 años
Problema 363
En un barrio se hace una encuesta sobre la cantidad de hijos que
tiene cada familia, para analizar el promedio de la cantidad de
hijos por familia. El resultado se muestra en la siguiente tabla:
Cantidad
de hijos
1
2
3
4
5
6
Cantidad
de familias
40
120
60
25
20
10
¿Cuál es la diferencia entre la mayor frecuencia porcentual y la
menor frecuencia porcentual?
A) 33,3 %
C) 20,7 %
E) 18,7 5
B) 27,7 %
D) 20,3 %
F) n. d. l. a.
Solución
Completamos la tabla anterior:
Cantidad
de hijos
1
2
3
4
5
6
Cantidad
de familias
40
120
60
25
20
10
205
Frecuencia
40
240
180
100
100
60
La frecuencia porcentual mayor es:
240
720
→
33,3 %
40
720
→
5,6 %
Y la menor:
La diferencia es:
33,3 % − 5,6 % = 27,7 %
La respuesta es: B
Problema 364
En el problema anterior determinar la media, la mediana y la moda
correspondiente a la cantidad de hijos en cada familia.
Solución
Para calcular la mediana tenemos que hacer una lista ordenada con la
cantidad de hijos que tiene cada familia.
Hacemos un resumen de dicha lista y determinamos la suma:
1 × 40 + 2 × 120 + 3 × 60 + 4 × 25 + 5 × 20 + 6 × 10 = 720
La cantidad de números en la lista es:
40 + 120 + 60 + 25 + 20 + 10 = 275
Entonces, el número que ocupa el legar 138 es la mediana. Vamos
calculando:
40 + 120 = 160
Entonces, la mediana es 2.
La media es:
720 ÷ 275 = 2,62.
Como el número más abundante en la lista es 2, esa es la moda.
En resumen:
Mediana: 2
;
Media: 2,62
206
;
Moda: 2
Problema 365
El gráfico contiene
datos de la
producción de caña
de azúcar en el
Paraguay.
¿Cuánto es el
porcentaje de
crecimiento de la
superficie de cultivo
de la caña de
azúcar entre los
años 2001/02 y
2007/08?
Solución
Vemos que la superficie de cultivo varió desde 60 000 há hasta 90 000 há.
Si consideramos las 60 000 há como el 100 %, entonces:
30 000 há corresponde al 50 %
Problema 366
La profesora pide a Lida y 21 de sus compañeros que piensen en un
número entero entre 12 y 18 y luego dicten ese número a su
compañero Luis.
La lista de Luis es la siguiente:
16 , 15 , 16 , 13 , 14 , 15 , 17 , 15 , 13 , 16 , 15
14 , 15 , 14 , 13 , 15 , 16 , 17 , 14 , 17 , 13 , 17
Luego los estudiantes deben calcular la media, la mediana y la
moda. Una vez hecho esto, Luis debe agregar tres números iguales
a la lista de tal modo que no varía la media, la mediana ni la
moda.
¿Qué número agrega Luis?
A) 13
C) 15
E) Es imposible
B) 14
D) 16
F) n. d. l. a.
207
Solución
Calculamos la suma de los datos:
13 × 4 + 14 × 4 + 15 × 6 + 16 × 4 + 17 × 4 = 330
Vemos que la cantidad de datos es 22. Luego la media es:
330 ÷ 22 = 15
Como hay 22 números, la mediana debemos calcular con los números que
se ubican en el lugar 11 y 12. Esos números son 15 y 15. Entonces:
15 + 15
= 15
2
Como 15 es el número más abundante, esa es la moda.
Para que la moda no varíe Luis debe agregar tres números 15.
Veamos que pasa con los otros parámetros.
Evidentemente, al agregar los tres números 15, estos se ubican en la parte
media de la lista y la mediana sigue siendo 15.
Veamos que ocurre con la media:
13 × 4 + 14 × 4 + 15 × 9 + 16 × 4 + 17 × 4 = 375
375 ÷ (22 + 3) = 15
La respuesta es: C
Problema 367
José tira cuatro monedas simultáneamente.
A) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras?
B) ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 caras?
Solución
El espacio muestral es:
1) Salen 4 caras:
(ca , ca , ca , ca)
208
→
1
2) Salen 3 caras:
(ca , ca , ca , cr)
(ca , ca , cr , ca)
(ca , cr , ca , ca)
(cr , ca , ca , ca)
→
(ca , ca , cr , cr)
(ca , cr , ca , cr)
(cr , ca , ca , cr)
(ca , cr , cr , ca)
(cr , ca , cr , ca)
(cr , cr , ca , ca)
→
6
(ca , cr , cr , cr)
(cr , ca , cr , cr)
(cr , cr , ca , cr)
(cr , cr , cr , ca)
→
4
→
1
4
3) Salen 2 caras:
4) Sale 1 cara:
5) No sale ninguna cara:
(cr , cr , cr , cr)
La cantidad de elementos del espacio muestral es:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Luego, lo probabilidad de que salgan 3 caras es:
4 1
= (4 casos favorables, 16 casos posibles)
16 4
Y la probabilidad de que salgan al menos 2 caras es:
11
(11 casos favorables, 16 casos posibles)
16
209
Problema 368
Marcos tira tres dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma de los números que se ven en las caras superiores
sea 12?
Solución
Los números que se ven en las tres caras superiores pueden ser:
1) Con 1 adelante:
(1 , 1 , 1) (1 , 1 , 2) (1 , 1 , 3) (1 , 1 , 4) (1 , 1, 5) (1 , 1 , 6)
(1 , 2 , 1) (1 , 2 , 2) (1 , 2 , 3) (1 , 2 , 4) (1 , 2 , 5) (1 , 2 , 6)
(1 , 3 , 1) (1 , 3 , 2) (1 , 3 , 3) (1 , 3 , 4) (1 , 3 , 5) (1 , 3 , 6)
(1 , 4 , 1) (1 , 4 , 2) (1 , 4 , 3) (1 , 4 , 4) (1 , 4 , 5) (1 , 4 , 6)
(1 , 5 , 1) (1 , 5 , 2) (1 , 5 , 3) (1 , 5 , 4) (1 , 5 , 5) (1 , 5 , 6)
(1 , 6 , 1) (1 , 6 , 2) (1 , 6 , 3) (1 , 6 , 4) (1 , 6 , 5) (1 , 6 , 6)
Vemos, que las posibilidades son:
6 × 6 = 36
Como adelante también podemos tener 2 , 3 , 4 , 5 , ó 6, la cantidad de
casos posibles es:
36 × 6 = 216
Calculamos ahora los casos favorables. La suma 12 la podemos obtener:
1,5,6
2,4,6
2,5,5
3,3,6
3,4,5
4,2,6
4,3,5
4,4,4
→
→
→
→
→
→
→
→
6 posibilidades
6 posibilidades
3 posibilidades
3 posibilidades
6 posibilidades
6 posibilidades
6 posibilidades
1 posibilidad
La cantidad de casos favorables es:
6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 1 = 37
Luego, la posibilidad de tener la suma 12 es:
37
216
210
Problema 369
En el problema anterior, calcular la probabilidad de que algún
número obtenido sea mayor o igual a 15.
Solución
Para obtener 15 podemos usar los siguientes tres números:
3,6,6
4,5,6
5,5,5
→
→
→
3 posibilidades
6 posibilidades
1 posibilidad
→
→
3 posibilidades
3 posibilidades
→
3 posibilidades
→
1 posibilidad
Para 16:
4,6,6
5,5,6
Para 17:
5,6,6
Para 18:
6,6,6
La cantidad de casos favorables:
3 + 6 + 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 20
La probabilidad es:
20
5
=
216 54
Problema 370
Elías tiene 210 tarjetas con los números del 1 al 210 escrito en
cada una de las tarjetas.
Elías elige aleatoriamente una tarjeta.
Determinar la probabilidad de que el número elegido sea divisible
entre 3 o entre 5.
211
Solución
Tenemos que determinar cuántos múltiplos de 3 y de 5 hay desde 1 hasta
210:
210 ÷ 3 = 70
210 ÷ 5 = 42
En total hay 112. Pero debemos sacar los múltiplos de 15, en donde
estarán repetidos los múltiplos de 3 o de 5:
210 ÷ 15 = 14
Entonces, en total tenemos:
112 − 14 = 98
La probabilidad es:
98
7
=
210 15
Problema 371
En la clase de Mirta hay 15 varones y 7 mujeres. Se elige aleatoriamente
dos estudiantes.
Determinar la probabilidad de que:
a) los dos sean varones.
b) Los dos sean mujeres.
c) Sea un varón y una mujer.
Solución
Calculamos primero la cantidad de estudiantes:
15 + 7
→
22 estudiantes
Los dos sucesos son dependientes el uno del otro, porque al hacer la
primero elección, para la segunda elección quedan sólo 21 estudiantes.
Entonces:
212
Para la pregunta a, la probabilidad es:
15
22
14 5
=
21 11
Para la pregunta b, la probabilidad es:
7
22
6
1
=
21 11
En la pregunta c tenemos en cuenta la siguiente.
Probabilidad de que sea Varón y Mujer + Probabilidad de que sea Mujer y
Varón (o sea de que sea elegido primero un varón y por otro lado de que
sea elegida primera una mujer). Así tenemos:
15 7
7 15 5
×
+
×
=
22 21 22 21 11
213
Miscelánea
Problema 372 (3ra Ronda Regional 2007 – Problema 8)
En un rombo ABCD, el perímetro es 60 y el área 216. Las medidas
de las dos diagonales del rombo son números naturales. Hallar
cuanto miden las diagonales.
Solución
Las dos diagonales son perpendiculares y se cortan
en sus puntos medios.
Entonces, el rombo ABCD queda dividido en 4
triángulos rectángulos iguales.
Calculamos la medida de los lados:
AB = BC = CD = DA = 60 ÷ 4 = 15
Por otro lado:
216 =
2 y ⋅2 z
2
⇒
y z = 108
Pero como x2 = y2 + z2, tenemos que buscar dos números cuyo producto sea
108 y tales que la suma de sus cuadrados sea 225.
Formamos una tabla con los divisores de 108:
1
2
3
4
6
9
108
54
36
24
18
12
2
2
Verificando vemos que solamente 9 + 12 = 225.
Entonces, las medidas de las diagonales son:
9 × 2 = 18
;
214
12 × 2 = 24
Problema 373 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 11)
En la figura, se muestra un triángulo ABC
en el que aparecen trazados dos segmentos
que parten del vértice A y dos segmentos
que parten del vértice B. Los extremos
finales de estos segmentos están en los
lados opuestos a dichos vértices.
Nótese que estos segmentos dividen al triángulo en nueve
“partes”. Si se trazaran cuatro segmentos que partan del vértice A
y cuatro segmentos que partan del vértice B hasta sus respectivos
lados opuestos, ¿cuál es el número de “partes” en las que queda
dividido el triángulo? (Los segmentos trazados no deben coincidir
con los lados del triángulo)
A) 16
B) 25
C) 36
D) 42
E) 49
Solución
Mirando el dibujo en sentido
vertical, vemos que el triángulo
ABM está dividido en 5 partes.
Como hay 4 triángulos más
parecidos al triángulo ABM, el total
de partes es:
5 × 5 = 25
La respuesta es: B
Problema 374 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 6)
Los puntos A = (2 006 , 2 007) , B (2 007 , 2 006) ,
C (-2 006 , - 2 007) , D (2 006 , -2 007) y E (2 007 , - 2 006) son
marcados en un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Cuál es el
segmento horizontal?
A) AB
B) BE
C) AD
D) BC
E) CD
215
Solución
Para que un segmento sea horizontal en un sistema de coordenadas
cartesianas, todos los puntos que pertenecen al segmento tienen que tener
un mismo valor de las ordenadas.
Como eso ocurre con los puntos C y D, el segmento horizontal es CD.
La respuesta es: E
Problema 375 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 11)
Blas está construyendo carreteras. Hay tres vehículos M , N , P.
El notó que el orden en que los vehículos llegan al final no es el mismo que
tenían al principio. ¿Por cuál camino de las alternativas dadas Blas puede
reemplazar la X del principio para llegar al orden que tienen los vehículos
al final?
Solución
Recomponiendo la
situación, vemos que
corresponde los caminos
marcados con A.
La respuesta es: A
Problema 376 (Validación Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 12)
Una bola de billar golpea el borde de la mesa con
un ángulo de 45º, como se muestra en la figura. ¿A
cuál de las esquinas llegará primero?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) No llega a ninguna
216
Solución
En el dibujo se ve la trayectoria que sigue
la bola de billar.
La respuesta es: C
Problema 377 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 17)
Un grupo de estudiantes estaba resolviendo un interesante
problema de la Olimpiada de Matemática, organizada por Omapa.
El número de varones que resolvieron el problema fue el mismo
número de mujeres que no resolvieron el problema. ¿Qué son más:
el número de personas que resolvieron el problema o el de
mujeres?
A) Mujeres
B) Personas que resolvieron el problema
C) Son las mismas cantidades
D) Imposible de saber
E) La situación no es posible
Solución
Llamamos V al número de varones, VR al número de varones que
resolvieron el problema y VN al número de varones que no resolvieron el
problema.
Así mismo llamamos M al número de mujeres, MR a las que resolvieron el
problema y VN a las que no lo resolvieron.
Entonces tenemos:
V = VR + VN
;
M = M R + MN
Como VR = MN resulta:
M = MR + V R
Son iguales
217
Problema 378 (Kanguro 2007 - Estudiante – Problema 10)
Sebastián tiene 2 007 pelotas de tres posibles colores: amarillo,
verde y azul. Si por cada pelota amarilla hay tres pelotas verdes y
cinco azules, ¿cuál es la cantidad de pelotas verdes?
A) 223
B) 446
C) 669
D) 892
E) 111
Solución
Relacionamos las cantidades de pelotas:
1+3+5=9
Dividiendo 2 007 entre 9:
2 007 ÷ 9 = 223
Hay 223 conjuntos de 9 pelotas, donde 1 es amarilla, 3 verdes y 5 azules.
La cantidad de pelotas verdes es:
223 × 3 = 669
La respuesta es: C
218