REPASO SOBRE TÉCNICAS DE CONTEO
Curso: Estadística Empresarial I
Profesora: Mónica Aparicio Valdez
Técnicas de Conteo
Permiten determinar el número de maneras
diferentes en que puede ocurrir un experimento
aleatorio o un evento sin necesidad de
enumerarlo explícitamente.
Principio de adición
Suponga que un procedimiento, designado como A, puede hacerse de n1
maneras, y que un segundo procedimiento, designado como B, puede
hacerse de n2 maneras. Suponga además que no es posible que ambos
procedimientos, A y B, se lleven a cabo simultáneamente. Entonces el
número de maneras en que se puede hacer A ó B es n1 + n2.
Este
resultado se puede extender para más de dos procedimientos.
Ejemplo:
Un hombre tiene 3 jeans, 4 pantalones de dril y 2 pantalones de lanilla ¿de
cuántas maneras distintas puede escoger un pantalón para ir a trabajar?
Respuesta: 3 + 4 + 2 = 9 maneras distintas.
Más ejemplos:
1. Suponga que Pedro tiene que decidir porqué medio viajar de la ciudad B a
la ciudad C, y tiene como alternativas 5 empresas por vía terrestre y 3
líneas aéreas. ¿De cuántas formas diferentes Pedro podrá realizar dicho
viaje? Respuesta: 5 + 3 = 8 formas.
2. Leticia puede ir de su casa a la universidad en tres líneas de microbús, o en
taxi, o en el auto de su mamá. ¿De cuántas maneras diferentes puede
ir de su casa a la universidad? Respuesta: 3 + 1 + 1 = 5 maneras.
3. Una persona desea adquirir un artefacto que se vende en cualquiera de 4
tiendas de la zona A de la ciudad, en 5 tiendas de la zona B, en 3 tiendas
de la zona C y en 2 tiendas de la zona D de la ciudad ¿De cuantas tiendas
puede adquirir el artefacto? Respuesta: 4 + 5 + 3 + 2 = 14 maneras.
Principio de multiplicación
Suponga que un procedimiento, designado como A, puede hacerse de n1
maneras, y que un segundo procedimiento, designado como B, puede hacerse
de n2 maneras. También suponga que cada una de las maneras de efectuar A
puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar B. Entonces el
procedimiento que consta de A seguido de B se puede hacer de n1 * n2
maneras. Este resultado se puede extender para más de dos
procedimientos
Ejemplo:
Un hombre tiene 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 camisas, ¿de cuántas
maneras distintas puede combinar su ropa para vestirse?
Respuesta: 2 * 3 * 4 = 24 maneras distintas.
Principio de multiplicación
Zapatos
Z1, Z2
Pantalones
P1, P2, P3
Camisas
C1, C2, C3,C4
{Z1P1C1} {Z1P1C2} {Z1P1C3} … {Z1P2C1} {Z1P2C2} {Z1P2C3} … {Z2P3C4}
= 2 * 3 * 4 = 24
Más ejemplos:
1.
Una computadora se ensambla en dos etapas, para la
primera se tiene disponibles 6 líneas de armado, y para la
segunda 5. ¿De cuántas maneras diferentes (posibilidades)
puede moverse la computadora en el proceso de
ensamblaje?
Etapa I
L1, L2, L3, L4,
L5, L6
Etapa II
L1, L2, L3, L4, L5
Respuesta: 6 * 5 = 30 maneras distintas (posibilidades).
2.
Suponga que tiene que viajar de la ciudad A a la ciudad C,
pasando por la ciudad B. Para ir de A hacia B tiene que ser
por vía terrestre y tiene disponibles 7 empresas, para ir de B
hacia C debe ser por vía aérea y tiene dos líneas aéreas. ¿ De
cuántas formas diferentes (posibilidades) puede viajar de la
ciudad A hacia la ciudad C?
Respuesta: 7 * 2 = 14 maneras distintas (posibilidades).
3. ¿Cuántos números pares de dos dígitos se pueden formar con
los números del 1 al 8, considerando la repetición de
números?
Respuesta : 8 x 4 = 32 números (posibilidades).
A
Vía terrestre:
7 empresas
Vía aérea:
2 empresas
C
B
Dígito 1
Puede ir aquí
cualquiera de los 8
números
(1,2,3,4,5,6,7,8)
Dígito2
Puede ir aquí
cualquiera de los 4
números par (2,4,6, 8)
Factorial
El factorial de un número n, denotado por n! , se define de la
siguiente manera:
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 2 1
5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120
Con EXCEL :
5! = 5 ∗ 4! = 120
Utilizamos Factorial para el caso de ordenamiento lineal simple.
Producto de los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive.
Propiedades:
1. n! = n(n-1)!
2. 0! = 1
Factorial
Ejemplo 1: 5 alumnos van a ser ubicados en una fila de 5 carpetas ¿cuántas
posibilidades (maneras distintas) hay para ubicar a los alumnos? Caso:
ordenamiento lineal simple.
Carpeta 2
Carpeta 3
Carpeta 4
Puede ir aquí
cualquiera de
los 4 alumnos
que aún no
están ubicados
Puede ir aquí
cualquiera de
los 3 alumnos
que aún no
están ubicados
Puede ir aquí
cualquiera de
los 2 alumnos
que aún no
están ubicados
Carpeta 5
Carpeta 1
Puede ir aquí
cualquiera de
los 5 alumnos
Solución: 5
*
4
*
= 5! = 120 posibilidades
3
*
2
Puede ir aquí
sólo 1 alumno
que aún no
está ubicado
*
1
Se tienen 120 posibilidades para ubicar a los alumnos en una fila de 5 carpetas.
Con EXCEL: =FACT(5)
Combinaciones
La combinatoria es una técnica de conteo que permite calcular el
número de grupos distintos de r elementos que pueden formarse
a partir de un total de n elementos diferentes. La principal
característica de los grupos de una combinatoria es que no interesa
el orden (el orden no es relevante) en que aparecen los
componentes del grupo. Por ejemplo, los grupos de tamaño 3 (a,c,b),
(b,a,c), (a,b,c), (b,c,a), (c,b,a), (c,a,b) son todos iguales.
n
n!
C
r n r ! r!
n
r
La fórmula para calcular el número de combinaciones de n objetos
tomados en grupos de r elementos (r < n) es:
Combinaciones
Ejemplo 2: El profesor de una clase de 20 alumnos desea formar grupos
de 3 alumnos para realizar una actividad ¿cuántas posibilidades tiene el
profesor para formar grupos distintos de 3 alumnos?
Respuesta: El orden no es relevante; se trata de una combinatoria.
n
n!
C
r n r ! r!
n
r
C
20
3
20
20!
1,140 posibilidades
3 20 3!3!
Con EXCEL:
=COMBINAT(20;3)
1,140 posibilidades de formar arreglos o grupos distintos de 3 alumnos a partir de 20 alumnos.
Combinaciones
Ejemplo 3: Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas
en un examen. ¿Cuántas posibilidades (maneras distintas) tiene el
estudiante para hacer la selección de las 8 preguntas?
Respuesta: El orden no es relevante; se trata de una combinatoria.
n
n!
C
r n r ! r!
n
r
10
8
C
10
10!
45 posibilidades
8 10 8!8!
Con EXCEL:
=COMBINAT(10;8)
Combinaciones
Ejemplo 4: ¿Cuántas posibilidades se tienen para formar equipos de 4
personas a partir de 9 personas que pueden ser elegidas?
Respuesta: El orden no es relevante; se trata de una combinatoria.
Con EXCEL:
=COMBINAT(9;4)
9
9!
C
126 posibilidades
4 9 4 !4!
9
4
Ejemplo 5: Si en el grupo de 9 personas del ejercicio anterior se sabe que 4 son
administradores, 3 son ingenieros y 2 son economistas.
i) Determine cuántas posibilidades se tienen para formar equipos de tres personas.
ii)Si se desea que el equipo esté formado por una persona de cada especialidad
iii) Si se desea que el equipo tenga 2 ingenieros iv) Si se desea que el equipo tenga
por lo menos 2 administradores.
Combinaciones
Tenemos 9 personas de las cuales 4 son administradores (A), 3 son ingenieros
(I) y 2 son economistas (E).
i) Determine cuántas posibilidades se tienen para formar equipos de tres
personas (sin restricciones).
9
9!
9
C3
84 posibilidades
3
9 3!3!
ii) Determine cuántas posibilidades se tienen para formar equipos de tres
personas. Restricción: El equipo debe estar formado por una persona de cada
especialidad.
C14 * C13 * C12
4 A, 3 I, 2 E
4 * 3 * 2 24 posibilidades
1 1
1
iii) Determine cuántas posibilidades se tienen para formar equipos de tres
personas. Restricción: El equipo debe tener exactamente 2 ingenieros.
3I,
2
3
6
C
*
C
2
1
4A , 2E (6 de otras profesiones)
1
3 * 6 18 posibilidades
Combinaciones
iv) Determine cuántas posibilidades se tienen para formar
equipos de tres personas. Restricción: En el equipo debe haber
por lo menos 2 administradores.
4A
2ó3
3I , 2E (5 de otras profesiones)
1ó0
C 24 * C15 C34 * C05
6 * 5 4 *1 34
posibilidades
15
Permutaciones
La permutación es una técnica de conteo para determinar el número total de
arreglos de r elementos que se pueden formar a partir de n elementos diferentes.
Estos arreglos se caracterizan porque el orden de sus componentes sí importa
(es relevante); es decir, que dos arreglos pueden tener los mismos elementos,
pero por la forma en que están dispuestos estos se consideran diferentes. Por
ejemplo, para la permutación el arreglo (a,b,c) es diferente al arreglo (b,c,a).
Caso 1: SIN REPETICIÓN.
Para calcular el número posible de arreglos que se pueden formar a partir de n
elementos diferentes, donde: r = número de elementos del arreglo. Los
elementos que componen el arreglo no se pueden repetir.
Donde: r < n
n!
P
n r !
n
r
Permutaciones
Ejemplo 6: Se debe seleccionar tres personas de entre un grupo de 5 candidatos para cubrir los
puestos de trabajo de supervisor, gerente de ventas y gerente de marketing ¿De cuántas formas
(posibilidades) se puede realizar dicha asignación de trabajos?
Es una permutación porque el orden es relevante en la selección; la selección es sin
repetición porque dos candidatos no pueden ocupar el mismo puesto.
n!
P
n r !
n
r
5!
5!
P
5 3! 2!
5
3
P35 = 60 posibilidades
Con EXCEL:
=PERMUTACIONES (5;3)
Se pueden obtener 60 arreglos de tamaño 3 que se diferencien en el orden en que se registran los
candidatos y en la forma como los candidatos aparecen en el arreglo. Si C1, C2, C3, C4 y C5 representan
a los candidatos, entonces el arreglo (C1,C4,C2) significa que el candidato C1 ocupa el puesto de
supervisor, el candidato C4 el puesto de gerente de ventas y el candidato C2 el puesto de gerente de marketing.
Por otro lado el arreglo (C2,C1,C4) significa que el candidato C2 ocupa el puesto de supervisor, el candidato C1 el
puesto de gerente de ventas y el candidato C4 el puesto de gerente de marketing.
Permutaciones
Ejemplo 7: Un grupo está formado por 5 personas y se desea formar una
comisión integrada por un presidente y un secretario. ¿Cuántas
posibilidades hay (maneras) de nombrar está comisión?
Es una permutación porque el orden es relevante en la selección.
n!
P
n r !
n
r
5!
5!
P
5 2! 3!
5
2
P25 = 20 posibilidades
Con EXCEL: =PERMUTACIONES (5;2)
Permutaciones
Ejemplo 8: ¿Cuántas posibilidades hay para formar señales (banderas) de 3 colores con
un total de 8 colores distintos, teniendo en cuenta que en las señales los colores no se
pueden repetir? Es una permutación porque es orden es relevante.
Los colores no se pueden repetir.
Ejemplo:
Si está pemitido
Si está pemitido
8!
8!
P
336
(8 3)! 5!
8
3
P38 336 señales (posibilidades)
Si está pemitido
No está pemitido
No está pemitido
Con EXCEL: =PERMUTACIONES (8;3)
Caso 2: CON REPETICIÓN.
Permutaciones
Para calcular el número posible de arreglos que se pueden formar a partir de n elementos
diferentes, donde: r = número de elementos del arreglo. Los elementos que componen
el arreglo sí se pueden repetir.
PRnr nr
Ejemplo 9:
Con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5 y 6 ¿Cuántos números posibles de tres cifras se pueden
formar (posibilidades) ?. Es una permutación porque es relevante el orden de la selección.
Si los números se pueden repetir (sin restricciones):
PR 6 216
6
3
3
Con EXCEL: =POTENCIA (6;3)
números (posibilidades)
Si los números no se pueden repetir (Caso 1: SIN REPETICIÓN).
Prn
n!
n r !
P36
6!
6!
= 120 números (posibilidades)
6 3! 3!
Con EXCEL: =PERMUTACIONES (6;3)
Permutaciones
Caso 3:
Número posible de arreglos con “n” elementos diferentes, tomados
todos a la vez (n = r)
n
Pn n!
Ejemplo 10:
a) Un empresario debe asignar a 5 vendedores a 5 distritos de la capital.
Distrito 1
Distrito 2
Distrito 3
Distrito 4
Distrito 5
Puede ir aquí
cualquiera de
los 5
vendedores
Puede ir aquí
cualquiera de
los 4
vendedores
Puede ir aquí
cualquiera de
los 3
vendedores
Puede ir aquí
cualquiera de
los 2
vendedores
Puede ir aquí
sólo 1
vendedor
Solución: 5
*
4
*
P 5! Con EXCEL: =PERMUTACIONES (5;5)
5
5
3
*
2
*
1
= 120 posibilidades para asignar a los 5 vendedores a los 5 distritos.
ó = FACT(5)
0
