Los números reales y sus subconjuntos
Los números reales son un conjunto fundamental en matemáticas que incluye todos los números
que pueden representarse en la recta numérica. Se pueden clasificar en varios subconjuntos:
1. Números naturales (N\mathbb{N}N): Incluyen todos los números enteros positivos,
comenzando desde 1 (1, 2, 3, ...). En algunas definiciones, también se incluye el 0.
2. Números enteros (Z\mathbb{Z}Z): Incluyen todos los números naturales, sus opuestos
(números negativos) y el cero (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
3. Números racionales (Q\mathbb{Q}Q): Son aquellos que pueden expresarse como el
cociente de dos enteros, donde el denominador no es cero (por ejemplo, 12\frac{1}{2}21, 3, 4.5). Incluyen todos los números enteros y fracciones.
4. Números irracionales: Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos
enteros. Su representación decimal es no periódica y no termina. Ejemplos incluyen
2\sqrt{2}2 y π\piπ.
5. Números reales (R\mathbb{R}R): Este conjunto incluye todos los números racionales e
irracionales.
Estos subconjuntos forman una jerarquía en la que cada conjunto es un subconjunto del siguiente.
La comprensión de estos números y sus propiedades es fundamental para el estudio de
matemáticas avanzadas y sus aplicaciones en diversas disciplinas.
1.2 Intervalos en los reales y su representación gráfica
Los intervalos en los números reales son conjuntos de números que se encuentran entre dos
extremos, y se utilizan para representar rangos de valores. Hay diferentes tipos de intervalos, cada
uno con su notación y representación gráfica:
Tipos de Intervalos
1. Intervalo Abierto (a,b)(a, b)(a,b):
o
Definición: Incluye todos los números entre aaa y bbb, excluyendo aaa y bbb.
o
Notación: (a,b)(a, b)(a,b)
o
Representación gráfica: Se representan con círculos vacíos en aaa y bbb en la recta
numérica.
2. Intervalo Cerrado [a,b][a, b][a,b]:
o
Definición: Incluye todos los números entre aaa y bbb, incluyendo aaa y bbb.
o
Notación: [a,b][a, b][a,b]
o
Representación gráfica: Se representan con círculos llenos en aaa y bbb.
3. Intervalo Semi-abierto o Semi-cerrado [a,b)[a, b)[a,b) o (a,b](a, b](a,b]**:
o
Definición: Incluye uno de los extremos, pero no el otro.
[a,b)[a, b)[a,b): Incluye aaa pero no bbb.
(a,b](a, b](a,b]: Incluye bbb pero no aaa.
o
Notación: [a,b)[a, b)[a,b) o (a,b](a, b](a,b]
o
Representación gráfica: Un círculo lleno en el extremo incluido y un círculo vacío
en el extremo excluido.
4. Intervalos Infinito:
o
Definición: Puede extenderse indefinidamente en una dirección.
o
Notación:
o
(−∞,b)(-\infty, b)(−∞,b): Todos los números menores que bbb.
(a,∞)(a, \infty)(a,∞): Todos los números mayores que aaa.
[a,∞)[a, \infty)[a,∞) o (−∞,b](-\infty, b](−∞,b]: Incluyendo o excluyendo
los extremos.
Representación gráfica: Se utiliza una flecha para indicar la extensión infinita.
Ejemplos de Intervalos
(2,5)(2, 5)(2,5): Números entre 2 y 5, excluyendo 2 y 5.
[3,7][3, 7][3,7]: Números entre 3 y 7, incluyendo ambos.
(−∞,0)(-\infty, 0)(−∞,0): Todos los números negativos.
[1,∞)[1, \infty)[1,∞): Todos los números mayores o iguales a 1.
Representación Gráfica
Al graficar intervalos, la recta numérica se utiliza para marcar los puntos extremos, y se indican los
extremos con círculos llenos o vacíos según corresponda.
Esta forma de representar intervalos es fundamental en análisis matemático y en la resolución de
problemas donde se trabaja con rangos de valores.
1.3 Definiciones básicas
Variable: Símbolo que representa un valor numérico; puede ser dependiente (depende de
otra variable) o independiente (no depende de ninguna otra).
Relación: Conjunto de pares ordenados que relacionan elementos de dos conjuntos.
Función: Relación especial donde a cada elemento del dominio le corresponde
exactamente un elemento del rango.
Dominio: Conjunto de todos los valores de entrada (x) de una función.
Rango: Conjunto de todos los valores de salida (f(x)).
1.4 Función real de variable real y sus distintas
representaciones
Una función real de variable real es una relación matemática que asigna a cada número real xxx un
único número real f(x)f(x)f(x). Se denota generalmente como f:R→Rf: \mathbb{R} \to
\mathbb{R}f:R→R.
Representaciones de una Función
1. Representación Algebraica:
o
Se expresa mediante una fórmula matemática. Ejemplo:
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3
g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5g(x)=x2−5
2. Representación Gráfica:
o
Se representa en un plano cartesiano, donde el eje xxx corresponde a los valores
de la variable independiente y el eje yyy corresponde a los valores de f(x)f(x)f(x).
o
Por ejemplo, la función f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 se grafica como una parábola.
3. Representación Tabular:
o
Consiste en una tabla que muestra pares de valores (x,f(x))(x, f(x))(x,f(x)). Ejemplo:
xxx f(x)f(x)f(x)
-2 1
-1 2
0
3
1
4
2
5
4. Representación por Conjuntos de Puntos:
o
Se puede listar un conjunto de puntos que pertenecen a la función, generalmente
usando coordenadas. Ejemplo:
o
{(−2,1),(−1,2),(0,3),(1,4),(2,5)}\{(-2, 1), (-1, 2), (0, 3), (1, 4), (2,
5)\}{(−2,1),(−1,2),(0,3),(1,4),(2,5)}
Propiedades de las Funciones
Dominio: Conjunto de todos los valores posibles de xxx que se pueden utilizar en la
función.
Rango: Conjunto de todos los valores que puede tomar f(x)f(x)f(x).
Crecimiento y decrecimiento: Determina cómo se comporta la función a medida que se
cambian los valores de xxx.
Continuidad: Una función es continua si no tiene saltos o interrupciones en su gráfica.
Ejemplo de Función
Consideremos la función f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2:
Representación algebraica: f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
Representación gráfica: Se puede dibujar una parábola que abre hacia arriba.
Representación tabular:
xxx f(x)f(x)f(x)
-2 4
-1 1
0
0
1
1
2
4
Conjunto de puntos: {(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}\{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,
4)\}{(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}
Conclusión
Las funciones reales de variable real son fundamentales en matemáticas y se utilizan en diversas
áreas, como cálculo, álgebra y análisis. Sus distintas representaciones permiten estudiar sus
propiedades y comportamientos de manera efectiva.
1.5 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales
Las funciones algebraicas son aquellas que se definen a partir de expresiones algebraicas. Se
dividen principalmente en dos categorías: funciones polinómicas y funciones racionales.
Funciones Polinómicas
Una función polinómica es una función de la forma:
f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0f(x)=an
xn+an−1xn−1+…+a1x+a0
donde:
nnn es un entero no negativo que representa el grado del polinomio.
an,an−1,…,a0a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0an,an−1,…,a0 son coeficientes reales, y an≠0a_n \neq
0an
Ejemplos:
1. f(x)=2x3−4x2+3x−1f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 1f(x)=2x3−4x2+3x−1 (grado 3)
2. g(x)=x2+2x+1g(x) = x^2 + 2x + 1g(x)=x2+2x+1 (grado 2)
3. h(x)=−5h(x) = -5h(x)=−5 (un polinomio constante, grado 0)
Propiedades de las Funciones Polinómicas
Dominio: El dominio de cualquier función polinómica es R\mathbb{R}R (todos los números
reales).
Continuidad: Son continuas y suaves en todo su dominio.
Comportamiento asintótico: El comportamiento de la función a medida que xxx tiende a
±∞\pm \infty±∞ depende del término de mayor grado.
Funciones Racionales
Una función racional es una función que se puede expresar como el cociente de dos polinomios:
f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)
donde P(x)P(x)P(x) y Q(x)Q(x)Q(x) son polinomios y Q(x)≠0Q(x) \neq 0Q(x)
Ejemplos:
1. f(x)=x2−1x+2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}f(x)=x+2x2−1
2. g(x)=2x3+3x2−4g(x) = \frac{2x^3 + 3}{x^2 - 4}g(x)=x2−42x3+3
Propiedades de las Funciones Racionales
Dominio: El dominio se obtiene excluyendo los valores de xxx que hacen que Q(x)=0Q(x) =
0Q(x)=0.
Continuidad: Son continuas en su dominio, pero pueden tener discontinuidades (puntos
donde Q(x)=0Q(x) = 0Q(x)=0), que pueden ser discontinuidades removibles (si el
numerador también se anula) o discontinuidades esenciales (donde el límite no existe).
Asintotas: Pueden tener asintotas verticales (en xxx donde Q(x)=0Q(x) = 0Q(x)=0) y
asintotas horizontales (dependiendo del grado de P(x)P(x)P(x) y Q(x)Q(x)Q(x)).
Ejemplo de Función Racional
Consideremos la función:
f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}f(x)=x−2x2−4
Dominio: Excluimos x=2x = 2x=2 porque Q(2)=0Q(2) = 0Q(2)=0.
Simplificación: f(x)=(x−2)(x+2)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}f(x)=x−2(x−2)(x+2) para
x≠2x \neq 2x
lo que se simplifica a f(x)=x+2f(x) = x + 2f(x)=x+2.
Comportamiento: La función tiene una discontinuidad en x=2x = 2x=2 (discontinuidad
removible).
Conclusión
Las funciones polinómicas y racionales son fundamentales en el estudio de las matemáticas y se
utilizan en diversas aplicaciones, como cálculo y modelado de fenómenos reales.
1.6 Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas
y exponenciales
Las funciones trascendentes son funciones que no pueden ser expresadas como polinomios. Las
más comunes incluyen las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Aquí te doy un
resumen de cada una:
1. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus
lados. Las funciones principales son:
Seno: sin(x)\sin(x)sin(x)
Coseno: cos(x)\cos(x)cos(x)
Tangente: tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}tan(x)=cos(x)sin(x)
Cotangente: cot(x)=cos(x)sin(x)\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}cot(x)=sin(x)cos(x)
Secante: sec(x)=1cos(x)\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}sec(x)=cos(x)1
Cosecante: csc(x)=1sin(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}csc(x)=sin(x)1
Propiedades:
Dominio y Rango:
o
sin(x)\sin(x)sin(x) y cos(x)\cos(x)cos(x) tienen dominio R\mathbb{R}R y rango
[−1,1][-1, 1][−1,1].
o
tan(x)\tan(x)tan(x) tiene dominio R∖{π2+nπ ∣ n∈Z}\mathbb{R} \setminus \left\{
\frac{\pi}{2} + n\pi \,|\, n \in \mathbb{Z} \right\}R∖{2π+nπ∣n∈Z} y rango
R\mathbb{R}R.
Periodicidad: Las funciones trigonométricas son periódicas, con un período de 2π2\pi2π
para sin\sinsin y cos\coscos, y π\piπ para tan\tantan.
2. Funciones Logarítmicas
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se define como:
f(x)=loga(x)f(x) = \log_a(x)f(x)=loga(x)
donde aaa es la base (con a>0a > 0a>0 y a≠1a \neq 1a
natural:
La función más común es el logaritmo
f(x)=ln(x)=loge(x)f(x) = \ln(x) = \log_e(x)f(x)=ln(x)=loge(x)
Propiedades:
Dominio: x>0x > 0x>0.
Rango: R\mathbb{R}R.
Comportamiento: A medida que xxx tiende a 0, ln(x)\ln(x)ln(x) tiende a −∞-\infty−∞. A
medida que xxx tiende a ∞\infty∞, ln(x)\ln(x)ln(x) tiende a ∞\infty∞.
3. Funciones Exponenciales
Una función exponencial tiene la forma:
f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax
donde a>0a > 0a>0 y a≠1a \neq 1a
es la base del logaritmo natural.
La función exponencial más común es exe^xex, donde eee
Propiedades:
Dominio: R\mathbb{R}R.
Rango: f(x)>0f(x) > 0f(x)>0 para todo xxx.
Crecimiento: Es siempre creciente si a>1a > 1a>1 y decreciente si 0<a<10 < a < 10<a<1.
Comportamiento asintótico: Tiende a 0 cuando x→−∞x \to -\inftyx→−∞ y a ∞\infty∞
cuando x→∞x \to \inftyx→∞.
Gráficas de las Funciones Trascendentes
1. Funciones Trigonométricas: Suelen tener forma de ondas.
2. Funciones Logarítmicas: Aumentan lentamente y se acercan al eje yyy (asimptótica).
3. Funciones Exponenciales: Crecen rápidamente, con un valor siempre positivo.
Conclusión
Las funciones trascendentes son esenciales en matemáticas y en diversas aplicaciones, incluyendo
ciencia e ingeniería. Comprender sus propiedades y comportamientos es clave para el estudio de
funciones más complejas.
1.7 Funciones definidas por partes
Las funciones definidas por partes son aquellas que se definen con diferentes expresiones o reglas
en distintos intervalos de su dominio. Esta forma de definición permite que una función tenga
comportamientos diversos según el valor de la variable independiente.
Notación
Una función definida por partes se expresa generalmente de la siguiente manera:
f(x)={f1(x)si x<af2(x)si a≤x<bf3(x)si x≥bf(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{si } x < a \\ f_2(x) & \text{si
} a \leq x < b \\ f_3(x) & \text{si } x \geq b \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧f1(x)f2(x)f3(x)si x<asi a≤x<bsi x≥b
Ejemplo
Consideremos la siguiente función definida por partes:
f(x)={x2si x<02x+1si 0≤x<35si x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } 0
\leq x < 3 \\ 5 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧x22x+15si x<0si 0≤x<3si x≥3
Análisis de la Función
Para x<0x < 0x<0: f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2. Esta parte es una parábola que abre hacia arriba.
Para 0≤x<30 \leq x < 30≤x<3: f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1. Esta parte es una línea recta
con pendiente 2.
Para x≥3x \geq 3x≥3: f(x)=5f(x) = 5f(x)=5. Esta parte es una constante.
Propiedades
1. Dominio: El dominio de la función es la unión de los intervalos definidos por las partes.
2. Continuidad: Es importante verificar la continuidad en los puntos de cambio (x=0x = 0x=0 y
x=3x = 3x=3 en nuestro ejemplo). Se debe comprobar si los límites laterales coinciden con
el valor de la función en esos puntos.
3. Gráfica: La gráfica de una función definida por partes combina las gráficas de cada una de
sus partes. Es fundamental prestar atención a las condiciones de inclusión (≤ o <) en cada
intervalo.
Gráfica del Ejemplo
Para graficar la función:
1. Dibuja la parábola y=x2y = x^2y=x2 para x<0x < 0x<0.
2. Dibuja la línea y=2x+1y = 2x + 1y=2x+1 desde el punto (0,1)(0, 1)(0,1) hasta el punto
(3,7)(3, 7)(3,7).
3. Para x≥3x \geq 3x≥3, traza una línea horizontal en y=5y = 5y=5.
Conclusión
Las funciones definidas por partes son útiles en situaciones donde un comportamiento diferente es
necesario en distintos intervalos del dominio. Este enfoque es común en aplicaciones prácticas,
como en economía o física.
1.8 Operaciones con funciones
Adición: (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Sustracción: (f−g)(x)=f(x)−g(x)(f - g)(x) = f(x) - g(x)(f−g)(x)=f(x)−g(x)
Multiplicación: (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)
División: (fg)(x)=f(x)g(x)\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}(gf)(x)=g(x)f(x) (si
g(x)≠0g(x) \neq 0g(x)
Composición: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x))
1.9 Transformaciones rígidas y no rígidas
Las transformaciones en geometría se dividen en dos categorías principales: rígidas y no rígidas.
Transformaciones Rígidas
Las transformaciones rígidas mantienen las distancias y los ángulos. Es decir, la forma y el tamaño
de las figuras no cambian. Las principales transformaciones rígidas son:
Traslación: Mueve todos los puntos de una figura a la misma distancia en la misma
dirección.
Rotación: Gira una figura alrededor de un punto fijo (centro de rotación) un ángulo
específico.
Reflexión: Espeja una figura a través de una línea (eje de reflexión), invirtiendo su posición.
Transformaciones No Rígidas
Las transformaciones no rígidas pueden cambiar la forma y el tamaño de las figuras. Esto
incluye:
Escalamiento: Aumenta o disminuye el tamaño de una figura, manteniendo la proporción.
Distorsión: Cambia la figura de manera no uniforme, alterando las proporciones y la forma
de la figura original.
Resumen
Rígidas: Mantienen la forma y el tamaño (traslación, rotación, reflexión).
No Rígidas: Cambian la forma y/o el tamaño (escalamiento, distorsión).
1.10 Funciones pares, impares y ni par ni impar
Las funciones se clasifican en pares, impares o ni par ni impar según sus propiedades en relación a
la simetría respecto al eje vertical (y) y al origen (0). Aquí te explico cada una:
Funciones Pares
Una función f(x)f(x)f(x) es par si cumple la condición:
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)
para todos los valores de xxx en su dominio. Esto significa que la gráfica de la función es simétrica
respecto al eje y.
Ejemplo: f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)f(−x)=(−x)2=x2=f(x)
Funciones Impares
Una función f(x)f(x)f(x) es impar si cumple la condición:
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)
para todos los valores de xxx en su dominio. Esto indica que la gráfica de la función es simétrica
respecto al origen.
Ejemplo: f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3
f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)
Funciones Ni Pares Ni Impares
Una función no es ni par ni impar si no cumple con ninguna de las condiciones anteriores. Esto
significa que su gráfica no presenta simetría ni respecto al eje y ni al origen.
Ejemplo: f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1
f(−x)=−x+1f(-x) = -x + 1f(−x)=−x+1, que no es igual a f(x)f(x)f(x) ni a −f(x)-f(x)−f(x).
Resumen
Función Par: Simétrica respecto al eje y (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)).
Función Impar: Simétrica respecto al origen (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)).
Ni Par Ni Impar: No cumple con las propiedades anteriores.
1.11 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Las funciones se clasifican en inyectivas, suprayectivas y biyectivas según cómo se relacionan sus
elementos de dominio y codominio. Aquí te explico cada una:
Función Inyectiva
Una función f:A→Bf: A \rightarrow Bf:A→B es inyectiva (o uno a uno) si diferentes elementos del
dominio se mapean a diferentes elementos del codominio. Es decir:
f(a1)=f(a2)⇒a1=a2f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2f(a1)=f(a2)⇒a1=a2
Esto significa que no hay dos elementos diferentes en AAA que tengan la misma imagen en BBB.
Ejemplo: f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x
Función Suprayectiva
Una función f:A→Bf: A \rightarrow Bf:A→B es suprayectiva (o sobre) si cada elemento del
codominio BBB tiene al menos un elemento del dominio AAA que se mapea a él. Esto significa que
la función cubre todo el codominio.
∀b∈B,∃a∈A tal que f(a)=b\forall b \in B, \exists a \in A \text{ tal que } f(a) =
b∀b∈B,∃a∈A tal que f(a)=b
Ejemplo: f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3 (considerando AAA y BBB como los números reales)
Cada número real bbb tiene un aaa tal que a=b3a = \sqrt[3]{b}a=3b.
Si f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b), entonces 2a=2b2a = 2b2a=2b implica que a=ba = ba=b.
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva. Esto significa que cada elemento
del dominio se mapea a un único elemento del codominio y, además, todos los elementos del
codominio son alcanzados por la función.
Ejemplo: f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1 (considerando AAA y BBB como los números reales)
Es inyectiva (no hay dos valores de xxx que produzcan el mismo f(x)f(x)f(x)) y suprayectiva
(cubre todos los números reales).
Resumen
Inyectiva: Diferentes elementos en AAA tienen diferentes imágenes en BBB.
Suprayectiva: Cada elemento en BBB es alcanzado por al menos un elemento en AAA.
Biyectiva: Es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.
1.12 La función inversa
Si f:A→Bf: A \to Bf:A→B es una función biyectiva, su función inversa f−1:B→Af^{-1}: B \to
Af−1:B→A cumple f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x para todo xxx en AAA.
1.13 La función implícita
Define relaciones que no se pueden expresar de forma explícita. Se representa comúnmente como
una ecuación de la forma F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0.
1.14 Formulación de funciones como modelos
matemáticos
Las funciones pueden modelar diversos fenómenos en contextos como la física, la economía, la
biología, entre otros, permitiendo predecir comportamientos y resultados.
1.15 Modelación de fenómenos (físicos, químicos,
económicos...) como funciones
Los fenómenos se representan matemáticamente mediante funciones para facilitar su análisis. Por
ejemplo:
Física: Ley de gravitación (función de la distancia).
Química: Velocidades de reacción (funciones logarítmicas).
Economía: Curvas de oferta y demanda (funciones polinomiales).
Si necesitas más detalles sobre algún tema específico o un enfoque diferente, ¡hazmelo saber!
4o mini
