Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) • El intervalo 𝐼 en la definición (Cualquier función Φ, definida en un intervalo 𝐼 y que tiene al menos 𝑛 derivadas continuas en 𝐼, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en intervalo.) también se conoce con otros nombres como son intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de solución y puede ser un intervalo abierto(a,b), un intervalo cerrado [a,b], un intervalo infinito (𝑎, ∞), etcétera. Curva solución • La gráfica de una solución Φ de una EDO se llama curva solución. Puesto que Φ es una función derivable, es continua en su intervalo de definición 𝐼 (o dominio) de la solución Φ. Solución explícita e implícita y familia de soluciones. • Una solución explícita es aquella en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes . Para nuestros propósitos, consideramos una solución explícita como una fórmula explícita 𝑦 = 𝜙(𝑥) que podamos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. • Una solución implícita se dice que una relación 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 es una solución implícita de una ecuación ordinaria en un intervalo 𝐼, suponiendo que existe al menos una función 𝜙 que satisface la relación así como la ecuación deferencial en 𝐼. • Familia de soluciones. Una solución contiene una constante arbitraria representa un conjunto 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐 = 0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétricas. Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden 𝑛, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2 , . . . . . , 𝐶𝑛 = 0, buscamos una familia de soluciones n-paramétricas G 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2 , . . . . . , 𝐶𝑛 = 0. Esto significa que una sola ecuación diferencial puede tener un número infinito de soluciones correspondiendo a un número ilimitado de elecciones de los parámetros. Solución uniparamétrica, bi-paramétrica y solución particular. • Solución uniparamétrica demuestra que y = tan(x + c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial y' = 1 + y^2. 2) Usando esta familia, se obtiene la solución explícita y = tan(x + nπ) del problema con valores iniciales y'(0) = 0, y(0) = 0. 3) El intervalo de definición más largo para esta solución es I = (-π/2, π/2). • En una familia bi-paramétrica, para calcular una solución particular hay que conocer dos condiciones: una condición sobre la curva y otra sobre la derivada, llamadas condiciones iniciales, expresadas en general en la forma . 𝑦 0 = 𝑦0 ቊ 𝑦´ 0 = 𝑦´0 Estas condiciones permiten calcular el valor de los parámetros y determinar la solución particular correspondiente. Por ejemplo en la familia 𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑡 + 𝐶2 sin(2𝑡) , 𝐶1 , 𝐶2 𝜖𝑅 • Una solución de una ecuación diferencial que está libre de la elección de parámetros se llama solución particular. Ejemplo • Las trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica de parábolas: 𝑦 = 𝑐𝑥 2 , son las elipses de la familia: 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 𝑘.
