28.- Elementos secundarios en el triángulo

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su
prolongación.
C
F
E
H = ORTOCENTRO (punto de
intersección de las alturas)
H
A
D
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, el ABC es equilátero y el DEA es rectángulo isósceles CE es altura,
entonces  +  +  =
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1

105º
120º
135º
150º
165º

A
E
B

D
2.
En el MNO de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo MNO mide 40º, entonces el
ángulo PHQ mide
O
A)
B)
C)
D)
E)
Q
120º
130º
140º
150º
Ninguno de los anteriores
fig. 2
H
N
M
P
BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
C
 

I

A
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)


B
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
B
A) 10º
B) 20º
C) 50º
D) 60º
E) 110º
2.
70º
fig. 1
60º
D
x
A
C
Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos
triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
isósceles congruentes.
acutángulos congruentes.
isósceles acutángulos congruentes.
escalenos rectángulos congruentes.
isósceles rectángulos congruentes.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
C
F
A
E
G
D
G = CENTRO DE GRAVEDAD
(punto de intersección de las
transversales de gravedad)
B
Si ABC es rectángulo en C, entonces CD = AD = DB.
- G divide a cada transversal en la razón 1 : 2.
Es decir: AG = 2GE
CG = 2GD
BG = 2FG
OBSERVACIONES: -
EJEMPLOS
1.
En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE  BE . La medida del
ángulo x es
A
A)
B)
C)
D)
E)
40°
70°
80°
90°
no se puede calcular.
70º
E
x
C
B
2.
fig. 1
En el triángulo equilátero de la figura 2, se trazan las transversales de gravedad.
Entonces, es FALSO afirmar que
C
A) AEC  AEB
fig. 2
B) ECG  DBG
E
F
C) FCG  DBG
D) AGD  CGE
G
E) AGD  CGB
A
D
B

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del
triángulo.
C
O = CIRCUNCENTRO
(punto de intersección
de las simetrales)
O
A
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. ¿Cuál es la medida del x?
A) 139º
B) 90º
C) 51º
D) 49º
E)
41º
C
D
S
x
fig. 1
49º
49º
A
2.
R
B
En el MNO de la figura 2, C es el circuncentro, AC y BC son simetrales donde el
ángulo OMN mide 40º y el ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide
A)
B)
C)
D)
E)
O
140º
130º
120º
110º
100º
fig. 2
C
M
A
B
N

MEDIANA: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del
triángulo.
C
FE // AB
FD // BC
ADF  DBE  FEC  EFD
DE // AC
E
F
A
B
D
EJEMPLOS
1.
En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º
y DE es mediana. ¿Cuánto mide el
x?
R
A)
B)
C)
D)
E)
2.
35º
45º
50º
55º
60º
E
D
P
55º
fig. 1
x
Q
En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de
las medidas de los ángulos MON y ONM es
A)
B)
C)
D)
E)
140º
135º
130º
125º
120º
B
M
A
75º
fig. 2
50º
O
N
C
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al
lado distinto.
C

CD = hc = tc = bc = sc
AC  BC
AB  BC

A

D

B
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
30 30
E
F
30
30
A
G
30
30
B
D
EJEMPLOS
1.
En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al
vértice C. Si 2hc = AB , entonces se forman dos triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
2.
equilátero congruentes.
escalenos rectángulos congruentes.
isósceles rectángulos congruentes.
acutángulos congruentes.
escalenos no congruentes.
En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es punto medio de AB
bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de (x + y)?
C
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E)
30º
y
fig. 1
D
x
A
E
B
y
BD es
3.
En el triángulo PQR de la figura 2, si SRP  PQS y PS es transversal de gravedad,
entonces la medida del RSP es
R
fig. 2
A) 60º
S
B) 90º
C) 100º
D) 110º
E) 120º
Q
P
4.
El ABC es isósceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
BEC  ADC
ADB  EAB
BAE  ABD
fig. 3
I
II
III
I y II
I y III
E
D
A
B
5.
El triángulo DEF de la figura 4, es isósceles de base DF . Si R es punto medio de DF y
EFD = 50º, ¿cuánto mide el ángulo REF?
F
fig. 4
A) 25º
R
B) 30º
C) 40º
D) 50º
D
E
E) 80º
6.
El triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO , H es el ortocentro y
OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ?
L
40º
A) 140º
B) 120º
C) 100º
D) 70º
E)
50º
I
fig. 5
J
H
G
O