14.- Funciones (Parte A)

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES
DEFINICIÓN
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada
elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
f: A  B
x  y
x
y
1
2
3
4
5
5,5
6
2
3
3
2,5
3
4
5
y
Recorrido
Se expresa como:
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 x
Dominio
y se lee “f es una función de A en B”.

Se dice que y es la imagen de x mediante f lo cual se denota y = f(x), y que x es
pre-imagen de y.
Dominio de una función: es el conjunto formado por todas las pre-imágenes (x) y se denota Df.
Recorrido de una función: es el conjunto formado por todas las imágenes (y) y se denota Rf.
OBSERVACIÓN:
y se denomina variable dependiente y x se denomina variable independiente.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo ]a, b[ ?
I)
II)
a
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
I, II y III
Ninguno de ellos
b
III)
a
b
a
b
2.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[?
y
A)
a
y
B)
a
b x
a
3.
a
b x
y
D)
y
C)
x
y
E)
b x
b
a
x
b
Si f es la función señalada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es verdadera?
y
A)
B)
C)
D)
E)
Df = [1, 4]
Rf = [0, 3[
La imagen de 4 es 0.
x = 5 tiene imagen.
la pre-imagen de 1 es 0.
3
fig. 1
1
4.
Sea f(x)=
A)
B)
C)
D)
E)
5.
6,66
6
3
2
0
lR
lR
lR
lR
lR
–
–
–
–
3
4
5
3x  6 . ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio?
El dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
2
x+5
es
x+4
{4}
{-4}
{-5}
{-4, -5}
2
x
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la
fórmula que define la función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entre
paréntesis.
Algunos Tipos de Funciones
Función Continúa: Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si la
función no es continua, se llama discontinua.
Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta
la variable dependiente.
Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente disminuye.
Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la
variable dependiente toma un único valor.
EJEMPLOS
1.
Sea f: lR  lR, una función definida por f(x) = 3x + 2. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
-2
.
3
La pre-imagen de 11 es 3.
La imagen de 0 es
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
Si f(x) = x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Df = Rf
f(-1) = f(1)
f(1) < f(3)
f(-2) > f(1)
f(0) < 0
f(0) > f(-1)
Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?
A) 2
B) 3
C) 4,5
D) 6
E) 16
3
4.
Sea f(x) = x2 – 2x + 1. Entonces, f(x + 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
+ 1)(x – 2)
+ 1)2
– 1)
+ 2)2
+ 2)(x + 1)
Con respecto al gráfico de la función f de la figura 1, ¿cuál de las siguientes alternativas
es FALSA?
y
fig. 1
A)
B)
C)
D)
E)
6.
(x
(x
(x
(x
(x
2
f(-2) = -f(2)
f(0) = f(0,5)
f(1) > f(3)
f es creciente en el intervalo [-2, 3].
f es decreciente en el intervalo [2, 3].
1
-2 -1
1
2
3
x
-2
Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
y
f(x) es creciente.
g(x) es decreciente.
h(x) es decreciente.
f(x)
g(x)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
h(x)
fig. 2
Si f(x – 1) = x2, entonces el valor de f(3) es
A) 1
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
4
x
Modelos Lineales
Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales
distintos de cero.
Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx , con m número real distinto
de cero.
Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c , con c un número real.
y
y
y
x
x
Función Afín
Función Lineal
OBSERVACIÓN:
x
Función Constante
La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades:
 Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple que
f(a + b) = f(a) + f(b)

Para todo a perteneciente al Df y   lR se cumple que
f( · a) =  f(a)
EJEMPLOS
1.
¿Cuál es la ecuación de la función afín representada en el gráfico de la figura 1?
A) f(x) =
B) f(x) =
C) f(x) =
D) f(x) =
E) f(x) =
3
x–4
4
3
x+4
4
4
- x+4
3
4
x+4
3
3
- x+4
4
y
4
-3
5
fig. 1
x
2.
¿Cuál es la ecuación de la función lineal representada en el gráfico de la figura 2?
y
A) y = -2x
1
B) y = x
2
C) y = -4
1
D) y = - x
2
E) y = 2x
3.
x
-4
Si en la ecuación y – 3 = 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
fig. 2
2
su dominio es el conjunto de los números reales.
Su recorrido es {3}.
Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
Un aerogenerador comienza a funcionar cuando la velocidad del viento es 4 m/s,
generando una potencia p(v) que aumenta a través de un modelo lineal, hasta alcanzar
su potencia máxima de 850 kW a una velocidad del viento de 12 m/s. El generador
mantiene dicha potencia hasta que el viento logra una velocidad de 25 m/s, donde se
detiene en forma instantánea por motivos de seguridad. ¿Cuál de los siguientes gráficos
representa de mejor manera la situación descrita?
A)
p
B)
850
p
C)
850
850
4
12
v
25
D)
p
4
12
25
E)
p
v
4
12
25
p
850
4
25
12
6
v
4
12
25
v
v
APLICACIONES LINEALES
En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es
necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La
función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.
EJEMPLOS
1.
En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que el
modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $ 118, ¿cuál
es la función lineal que permite calcular el costo G de x kWh?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
G
G
G
G
G
=
=
=
=
=
641x
641 + 118x
118 + 641x
118x
118 – 641x
Si por cada 12 kilómetros recorridos un automóvil consume 1 litro de bencina, ¿cuál es la
función lineal que permite calcular el consumo C de bencina en función de la cantidad de
kilómetros x recorridos?
A)
C = 12x
B)
C=
x
12
C) C = x + 12
D) C = x – 12
12
E) C =
x
3.
Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ 10.500.
Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿cuál
es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempo
pactado?
A)
B)
C)
D)
E)
C
C
C
C
C
=
=
=
=
=
ax – 10.500
ax + 10.500
a(x – 360) + 10.500
a(x – 360) – 10.500
a(x + 360) – 10.500
7
4.
En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que el
modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m3 se
facturó el mes pasado $ 6.000, ¿cuál es la función lineal que permite calcular el costo
G de x m3 de agua?
A)
G = 900 +
6.000
x
15
G = 900 + 15 · 6.000 x
G = 900 – 15 · 6.000 x
6.000  900
x
D) G = 900 +
15
6.000  900
E) G = 900 –
x
15
B)
C)
5.
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior?
A)
G
B)
G
G
C)
6.000
6.000
6.000
900
900
900
5 10 15 x
D)
5 10 15
G
x
E)
5 10 15
G
6.000
6.000
900
900
5 10 15 x
8
5 10 15
x
x
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
3
5
7
y
y
y
y
2
4
6
8
1
2
3
4
5
6
7
C
D
D
B
E
E
A
B
C
E
E
C
E
B
A
D
B
D
B
D
D