1 Llamamos función a toda relación entre dos variables x, y, tal que

1. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN
Llamamos función a toda relación entre dos variables x, y, tal que para cada valor de x
existe un único valor de y.
Diremos que x es la variable independiente, y que y es la variable dependiente.
El valor de “y” depende del valor de “x”, por lo que se dice que “y es función de
x”. Diremos que el valor de la variable “y” que la función f asigna a un valor de la
variable x es la Imagen de x. ( y = f(x) )
2. FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
La relación funcional existente entre dos variables puede indicarse de distintas formas:
2.1. TABLA DE VALORES DE UNA FUNCIÓN.
Una Tabla de Valores de una función es una tabla en la que se recogen distintos
valores de la variable independiente “x” y sus correspondientes imágenes “y = f(x)”
2.2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.
La gráfica de una función f es el conjunto de puntos del plano (x, y) tales que y = f(x),
es decir, los puntos del plano cuya segunda coordenada es la Imagen de su primera
coordenada mediante f.
Observación: La gráfica de una función será en ocasiones una curva plana como una
recta, una parábola,… Sin embargo, en otras ocasiones, la gráfica de una determinada
función puede estar formada por un conjunto de puntos aislados. Esto último ocurrirá
cuando alguna de las variables tenga carácter discreto y no continuo, es decir, que sólo
pueda tomar algunos valores aislados, y no todos los valores intermedios.
2.3. EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE UNA FUNCIÓN.
La expresión algebraica de una función es una ecuación que expresa la relación
existente entre las variables dependiente e independiente.
f(x)
EJEMPLOS:
(E.1)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: y  4  x 2
TABLA DE VALORES:
x
-3
y
-5
 f  3  5
-2
0
 f  2   0
-1
3
 f  1  3
0
4
 f  0  4
1
3
 f 1  3
2
0
 f  2  0
3
-5
 f  3  5
1
(E.2) Consideremos una función que expresa la relación entre el número de personas
que intervienen en la construcción de un muro y el tiempo que tardan en hacerlo.
 Variable independiente  número de personas que intervienen en la
construcción.
 Variable dependiente  tiempo que tardan en construirlo.
La relación entre ambas variables se puede expresar de distintas formas:
GRÁFICA:
TABLA DE VALORES:
Nº de
Tiempo
personas
(h)
1
60
2
30
3
20
4
15
5
12
Tiempo
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: y 
60
x
En este caso, los puntos de la gráfica no
tiene sentido unirlos, ya que la variable
independiente sólo puede tomar valores
naturales.
nº de personas
ACTIVIDADES
(A.1) Dadas las siguientes gráficas, determina si corresponden a la gráfica de una
función o no. Razona tu respuesta.
(A.2) ¿La siguiente tabla puede representar una función? Razona tu respuesta.
x
-3
-2
-1
0
2
2
y
-16
12
12
-4
5
8
2
(A.3) Indica si las relaciones descritas a continuación, son funciones:
(a) A la longitud del lado de un cuadrado se le hace corresponder su área.
(b) Al número de lados de un polígono regular se le asocia el número de
diagonales que tiene.
(c) A cada número natural se le hace corresponder sus divisores.
(d) A cada número entero se le asocia su opuesto.
(e) A cada número entero se le asigna su raíz cuadrada.
(A.4) Elabora una tabla de valores para las siguientes funciones y represéntalas
gráficamente:
(a) f  x   2 x  3
(b) f  x   x 2  2 x  1
(A.5) Elabora una tabla de valores para cada una de las siguientes gráficas:
(a)
(b)
(A.6) Esta tabla de valores muestra la temperatura en una ciudad a lo largo de un día
del mes de enero:
Hora del día
Temperatura (ºC)
4
-5
8
-1
12
4
16
3
20
0
24
-1
(a) Indica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.
(b) Representa gráficamente los valores dados en la tabla. ¿Tiene sentido unir los
puntos dibujados?
(c) Representa la gráfica aproximada de la función que hace corresponder a cada
instante la temperatura que hacía en esa ciudad ese día.
(d) ¿En algún momento del día hubo una temperatura de 2ºC? ¿Entre qué horas?
(e) ¿A qué hora del día se alcanzó la máxima temperatura? ¿Y la mínima?
(A.7) Considera la función que relaciona el peso de un pollo con su precio.
(a) Cuales son las variables dependiente e independiente.
(b) Si 1 kg de pollo cuesta 1,85 €, confecciona una tabla en la que se indiquen las
imágenes de 800g, 1’6 kg, 2 kg, 2’2 kg y 3 kg.
(c) Indica la expresión algebraica de esta función.
(d) Representa la gráfica de la función.
3
(A.8) La siguiente gráfica refleja la ayuda anual que los trabajadores de una empresa
reciben por los hijos a su cargo:
(a) Indica cuál es la variable independiente y
cuál la dependiente.
(b) Construye una tabla de valores con los
datos de la gráfica.
(c) ¿Por qué no se han unido los puntos de la
gráfica con una línea?
(A.9) La siguiente gráfica muestra información sobre el movimiento de un coche
desde que arranca en un semáforo hasta que se detiene en otro:
(a) Indica cuál es la variable independiente y
cuál la dependiente.
(b) ¿Qué espacio a recorrido el coche entre un
semáforo y otro?
(c) ¿Se puede asegurar que en cuatro
momentos del recorrido el coche ha
circulado a 40 km/h?
(d) ¿En algún tramo del recorrido la velocidad
ha sido constante?
(e) ¿En algún momento ha superado los 50
km/h?
(A.10) Relaciona cada una de las situaciones descritas con una de estas gráficas:
(a) La velocidad a la que circula un
coche por la autopista sin acelerar
ni frenar.
(b) El espacio que recorre una
persona que sale de su casa y
camina siempre al mismo ritmo,
sin detenerse hasta que llega a su
destino.
(c) El dinero que hay que pagar
según el número de botes de
refresco que se compren.
(d) La temperatura de un alimento que se saca del congelador y se deja descongelar.
(e) La altura a la que se encuentra una pelota que se deja caer y que rebota varias veces
hasta que rueda por el suelo.
(f) La velocidad a la que rueda un ciclista durante la ascensión a un puerto de montaña.
(A.11) Consideremos la función que hace corresponder a cada número su triple menos
10 unidades.
(a) Escribe su expresión algebraica.
(b) Calcula f  1 y f  4  . Representa la gráfica de la función.
(c) ¿La imagen de algún valor es 53? ¿De cuál?
4
(A.12) Representa la gráfica de las siguientes funciones; para ello construye
previamente una tabla de valores con las imágenes de – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 y 3.
(a) y  3   x  1
(d) y  x 2
(b) y  3  2 x
(c) y 
2x
3
(e) y  x 2  2
(f) y  x 2  1
(A.13) Dada la función f  x   2 x  1 , ¿Existe algún número entero cuya imagen sea
4 ? ¿Y uno cuya imagen sea 11?
OBSERVACIÓN:
SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
 Un Intervalo Cerrado [a, b] es el conjunto de los números reales mayores o iguales
que a y menores o iguales que b.
Ejemplo:
 1,3
 Un Intervalo Abierto (a, b) es el conjunto de los números reales mayores que a y
menores que b.
Ejemplo:
1, 4 
5
3. ESTUDIO GRÁFICO
DE UNA FUNCIÓN.
3.1. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores de la variable
independiente que tienen imagen. Se representa por Dom f(x).
El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la
variable dependiente. Se representa por Im (f).
Ejemplo: (E.3)
Dom  f    7, 1   2, 7 
Im  f    2,1  2   3,5
3.2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
Son los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados.
Gráficamente su determinación es inmediata. Para determinar analíticamente los puntos
de corte con los ejes de una función f cualquiera, se razona del siguiente modo:
 Corte con el eje X (eje de abscisas): son puntos del tipo  a, 0  . Para determinar
estos puntos se resuelve la ecuación f  x   0 .
 Corte con el eje Y (eje de ordenadas): solo hay uno  0, f  0  
Ejemplos: (E.4)
(E.5) Averigua los puntos de corte de la
función y  x 2  4 con los ejes de
coordenadas:
 CORTES CON EJE X  f  x   0 
 x2  4  0  x2  4 
 x   4  x  2 o x  2
La función tiene dos puntos de corte
con el eje X:  2, 0  y  2, 0 
 CORTE CON EJE Y   0, f  0  
f  0   02  4  4
CORTES CON EJE X   2, 0  y  3, 0 
CORTE CON EJE Y   0,3
La función corta al eje Y en el punto
 0, 4  .
6
3.3. CONTINUIDAD
Diremos que una función es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo, es
decir, “sin levantar el lápiz del papel”.
Los puntos donde una función no es continua se denominan puntos de discontinuidad.
3.4. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Una función es creciente en un determinado intervalo cuando, al aumentar la
variable independiente, la variable dependiente también aumenta (al aumentar la x,
aumenta la y).
Una función es decreciente en un determinado intervalo cuando, al aumentar la
variable independiente, la variable dependiente disminuye (al aumentar la x,
disminuye la y).
Una función es constante en un determinado intervalo cuando, al aumentar la
variable independiente, la variable dependiente mantiene el mismo valor (al aumentar
la x, no cambia la y).
3.5. EXTREMOS RELATIVOS
Los puntos en los que una función pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa,
se denominan extremos relativos.
Distinguimos dos tipos de extremos relativos:
 La función alcanza un máximo relativo en un punto si pasa de ser creciente a ser
decreciente.
 La función alcanza un mínimo relativo en un punto se pasa de ser decreciente a ser
creciente.
(E.6):
Estudia la monotonía de la siguiente función y determina sus extremos relativos:
MONOTONÍA:
− La función es Creciente en:
 7, 3   1, 2    4, 7 
− La función es Decreciente en:
 3, 1   2, 4 
EXTREMOS RELATIVOS
− La función tiene dos Máximos relativos:
en x  3 y en x  2
− La función tiene dos Mínimos relativos:
en x  1 y en x  4
7
ACTIVIDADES
(A.14) Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(A.15) Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(A.16) Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
(a) y  3x  2
(c) y  3  6 x
(e) y  x 2  1
(b) y  5  x
(d) y  x 2  2 x
(f) y  x 2  1
(A.17) Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
(A.18) Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
(a)
(b)
8
(A.19) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(A.20) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos
de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
9
(A.21) Dada la siguiente gráfica de una función:
(a) Señala los puntos de corte con los
ejes de coordenadas.
(b) Haz un estudio de la monotonía de
la función.
(c) Indica los máximos y los mínimos
relativos.
(A.22) Estudia la monotonía de la siguiente función e indica los extremos relativos, así
como los puntos de corte con los ejes.
(A.23) La siguiente gráfica muestra la evolución, a lo largo de un día, de la temperatura
de un paciente ingresado en un hospital:
(a) Indica entre qué horas del día le subió al paciente la temperatura, entre cuáles
permaneció constante y entre cuáles le bajó.
(b) ¿Qué dos temperaturas máximas alcanzó el paciente a lo largo del día?
(c) ¿Cuál fue su temperatura mínima a lo largo del día?
(d) A las 14 h le administraron un medicamento para bajarle la temperatura, ¿hasta qué
hora le causó efecto? ¿Cuántos grados consiguió bajarle la temperatura este
medicamento?
10
(A.24) Los beneficios o las pérdidas anuales producidos por un plan de inversión vienen
dados, en cientos de euros, por la expresión
B  x    x2  5x  4
donde x es la cantidad inicial invertida.
(a) Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función.
(b) ¿Qué representan los puntos de corte con los ejes? Calcúlalos.
(c) ¿Para qué valores se obtienen beneficios? ¿Y pérdidas?
(d) ¿En qué intervalo es el beneficio creciente? ¿Y decreciente?
(e) ¿Cuándo se obtiene el beneficio máximo? ¿A cuánto asciende?
(A.25) En un cibercafé se ha establecido la siguiente tarifa de precios: 1 € por conexión
inicial a Internet, más 1 € por cada 15 min o fracción de 15 min que se esté conectado.
(a) Construye una tabla de valores de la función que relaciona el tiempo de conexión
(hasta un máximo de 3 h) y el precio que se paga por ella.
(b) Representa gráficamente la función.
(c) Estudia la continuidad de la función.
(A.26) Una fábrica de piensos quiera promocionar un producto cuyo precio es de 0’60
€/kg. Para ello ofrece los siguientes descuentos, en función de los kilogramos
comprados, x:
− Si x es mayor que 10 kg y menor o igual que 20 kg, el descuento será de un
4% por kilogramo.
− Si x es mayor que 20 kg y menor o igual que 30 kg, habrá un descuento del 5
% por kilogramo.
− Si se compran más de 30 kg, el descuento por kilogramo ascenderá al 10 %.
(a) ¿Cuánto se paga por cada kilogramo si se compran 24 kg? ¿Y si se compran 27 kg?
(b) Haz una tabla de valores y representa gráficamente la función que relaciona la
cantidad comprada con el precio por kilogramo.
(c) ¿Es una función continua?
11