Matemáticas 3
Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado con 2 incógnitas cuya
forma general es:
“aX + bY + c = 0”
“a, b, c” son constantes reales, “X, Y" son variables. Toda ecuación lineal
graficada es una línea recta.
Grafica la expresión “2X – 3Y – 12 = 0”
2X – 3Y -12=0
2X - 3(0) - 12=0
2X = 12
X = 12 / 2
X=6
2(0) – 3Y -12 = 0
-3Y = 12
Y = 12 / -3
Y = -4
Función Lineal
La función lineal esta definida por la ecuación:
f(x) = mX + b
Donde:
f(x) =Y
m= pendiente de la recta
b= ordenada al origen (intersección en el eje “Y “ )
Además “m, b" son constantes reales
Ejemplo:
Indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya
ecuación es: -7X - Y + 21 = 0
-7X -Y + 21 = 0
-Y = 7X – 21
Y = 7X – 21 / -1
Y = -7X + 21
m = -7
b = 21
indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación :
4x – ½ y + 2/5 = 0
- ½ Y = -4X - 2/5
Y = ( -4X -2/5 ) / - ½
Y = 8X + 4/5
m=8
b = 4/5
Pendiente
La pendiente (m) indica cuantas unidades cambia la ordenada cuando “X”
aumenta una unidad.
Para encontrar la pendiente de una recta que pasa por 2 puntos se
utiliza la ecuación
m = Y2 – Y1 / X2 – X1
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
P1 (1 , - 4)
P2 ( 5 , 4 )
m= 4 – ( -4) / 5 – 1
m= 4 + 4 / 5 – 1
m= 8/4
m= 2
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales esta formado por 2 ecuaciones de
primer grado con 2 incógnitas; los métodos de resolución son 2:
•
•
Método grafico: se grafican las 2 ecuaciones en el mismo plano
cartesiano; el punto de intersección de ambas líneas será el punto
solución del sistema. Si las líneas fueran coincidentes, entonces el
sistema tiene una infinidad de soluciones; si las líneas fueran
paralelas entonces el sistema no tiene solución y se le llama
sistema inconsistente.
Método algebraico: existen 2 métodos el de “suma o resta” y el
de “sustitución”
Resolución del sistema de ecuaciones por el método de suma o resta
X+Y–2=0
X–Y–4=0
Eliminamos Y dado que tienen el mismo valor pero signo diferente y nos
queda
2X – 6 = 0
2X = 6
X = 6/2
X=3
Sustituimos “X” en cualquier ecuación
3+Y–2=0
Y=-3+2
Y=-1
( X , Y ) = (3 , -1)
Resuelve el siguiente sistema por el método de suma o resta
3X + 2Y – 6 = 0
X – 2Y – 10 = 0
4X – 16 = 0
4X = 16
X =16/4
X=4
3(4) + 2Y – 6 = 0
12 + 2Y – 6 = 0
2Y= -12 + 6
2Y = - 6
Y = -6 / 2
Y = -3
(X , Y) = (4 , - 3)
Resolución del sistema de ecuaciones por el método de substitución
3X + 2Y = 5 ….(1)
X + 3Y = 4 ….(2)
Despejamos “X” de la ecuación (2) (por ser la mas simple)
X + 3Y = 4
X = 4 – 3y ….(3)
Sustituimos “X” en la ecuación (1) (no puede ser en la misma que se despejo)
3 ( 4 – 3Y) + 2Y = 5
12 – 9Y + 2Y = 5
12 – 7Y = 5
- 7Y = 5 – 12
-7Y = -7
Y = -7 / -7
Y=1
Sustituimos “Y” en la ecuación (3)
X = 4 – 3(1)
X=4–3
X= 1
Ejercicio
El perímetro de un rectángulo mide 26 metros y uno de sus lados es 3
metros mas largo que el otro. ¿Cuales son sus dimensiones?
2X + 2Y = 26
X=3+Y
2(3 + Y) + 2Y = 26
6 + 2Y +2Y = 26
6 + 4Y = 26
4Y = 26 – 6
4Y= 20
Y = 20 / 4
Y=5
Una vez encontrado “Y” lo
sustituimos para encontrar “X”
X=3+5
X=8
Resolución de sistemas de ecuaciones con 3 variables
2X – 3Y + Z = -1 …(1)
X + 2Y + Z = 2 …(2)
-5X + 2Y- 3Z = -2 …(3)
Utilizando ecuación (1) y (2)
Invertimos todos los signos de la ecuación (2) para poder eliminar “Z”
2X – 3Y + Z = -1
-X – 2Y – Z = -2
X – 5Y = -3 ….(4)
Utilizando ecuación (2 ) y (3)
Multiplicamos la ecuación (2) por el valor de Z en la ecuación (3)
3X + 6Y + 3Z = 6
-5X + 2Y – 3Z = -2
-2X + 8Y = 4 …(5)
Ocupamos ecuación (4) y (5)
Multiplicamos la ecuación (4) por el valor de X en la ecuación (5)
(2)X – 5Y = -3
-2X + 8Y = 4
2X – 10Y = -6
-2X + 8Y = 4
- 2Y = -2
Y = -2 / -2
Y=1
Para encontrar el valor de “X” sustituimos “Y” en la ecuación (4) o (5)
X – 5(1) = -3
X – 5 = -3
X=5–3
X=2
Para encontrar el valor de “Z” sustituimos el valor de “X” y “Y” en
cualquiera de las 3 primeras ecuaciones
X + 2Y + Z = 2
2 + 2(1) + Z = 2
4+Z=2
Z=2–4
Z = -2
Por tanto X=2, Y=1, Z=-2
Tipos de rectas
Rectas paralelas (misma
pendiente)
Y = -2X + 3 … (1)
2Y = -4X -1 …(2)
Como la ecuación (1) ya esta
resuelta, pasamos a resolver la
ecuación (2)
Y = -4X/2 – ½
Y = -2X – ½
Rectas coincidentes (la misma recta en 2 ecuaciones)
-2/3 X + 2Y =1 … (1)
2Y = 2/3X + 1
Y = (2/3X + 1) / 2
Y = 2/6 X + ½
Y = 1/3 X + ½
-2X + 6Y = 3 …(2)
6Y = 2X + 3
Y = 2X/6 + 3/6
Y = 1/3 X + ½
Pendientes positivas
Pendientes negativas
Familias de rectas
Como en toda familia deben de tener algo en común.
Caso 1: familia de rectas que tienen la misma pendiente pero difieren en la
ordenada al origen, en este caso estamos hablando de una serie de
rectas como se ejemplifica a continuacion
Caso 2: familia de rectas que coinciden en su ordenada al origen, pero
difieren en su pendiente
Desigualdades lineales
Encuentra el conjunto solución de la desigualdad:
3X + Y + 1 ≥ 0
Primer paso:
Despejamos de la forma ya conocida
Y≥ - 3X – 1
Segundo paso:
Encuentra la recta crítica de comparación
Y = - 3X – 1
Tercer paso:
Grafica la critica
Números complejos
Un número complejo es un par ordenado con componentes reales:
“a, b”
C = {z | z = (a, b), a, b Є R}
Ejemplo:
Dos números complejos son iguales si y solo si tienen el mismo
primer componente y también son iguales sus segundos
componentes.
(a1, b1) = (a2, b2)
(3/2, 1) = (3/2, 2/2)
Cual es la grafica del complejo (5,7)
Recordemos que:
√¯4 = 2
√¯ -4 = √¯ 4 (-1) = √¯4 √¯1 = 2i
i = √¯ -1
2i = 2√¯ -1
7i = 7 √¯-1
√¯-7 = √¯7, i
√¯-3 = √¯3, i
(i) ² = (√¯ -1) ²
i² = -1
Operaciones con números complejos
Suma de números complejos
Se suman algebraicamente es decir se suman términos semejantes
(3, -2) + (-7, 5) = (-4, 3)
Propiedades para la suma de números complejos
Propiedad conmutativa
Z1+z2 = z2+z1
Propiedad asociativa
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Propiedad del elemento identidad
El elemento identidad o elemento neutro para los numero complejos es el
(0 , 0), (doble cero)
(3, 7) + (0, 0) = (3, 7)
(0, 0) + (π , √¯7) + (0, 0) = (π , √¯7)
Propiedad del inverso aditivo
Todo numero complejo tiene un inverso aditivo único excepto el (0 , 0)
todo numero complejo sumado con su inverso aditivo da como
resultado el (0 , 0)
(6, 12) = (-6, -12)
Multiplicación de números complejos
se operan como un binonimo simple y por ello es recomendable
manejarlos en su forma rectangular
(7, 2)(3, -1)
7+2i
3- i
21+6i
- 7i – 2i²
21 – i -2i²
21 – i -2 (-1)
21 – i + 2
23 - i
Propiedades para la multiplicación de números complejos
Propiedad conmutativa
z1 · z2 = z2 · z1
Propiedad asociativa
z1 (z2 · z3) = (z1 · z2) z3
Propiedad distributiva
z1 (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3
Propiedad del elemento identidad
El elemento identidad o elemento neutro para la multiplicación d e números
complejos es el (1 , 0)
(1, 0)(2, 23) = (2 – 0, 23 + 0) = (2, 23)
Propiedad del inverso multiplicativo o reciproco
Todo numero complejo tiene un reciproco único excepto el (0 , 0), todo
numero complejo multiplicado por su reciproco da como resultado (1 , 0)
El reciproco de (a, b) es:
(a/a²+b², -b/a²+b²)
División de números complejos
z1= (a1, b1)
z2= (a2, b2)
Entonces
z1/z2 = (a1)(a2) + (b1)(b2) + (b1)(a2) – (a1)(b2) i
(a2)² + (b2) ²
(a2)² + (b2) ²
Ejercicios:
6+3i / 2 +i = (12 + 3/ 4 + 1) + (6 – 6/ 4+1) i =
15/5 + 0/5 i =
3+0i=
3
Conjugados de números complejos:
Si (a+b) su conjugado seria: (a – b)
Si z= a + bi entonces su conjugado seria: z= a – bi
Si z= a – bi entonces su conjugado seria: z= a + bi
Si z= 4 + 7i entonces su conjugado siempre va a ser un numero real
Ejemplo
4 + 7i
4 – 7i
16 + 28i
- 28i – 49 i²
16 – 49 i²
Entonces
16 + 49 =
65
Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto de un número complejo representa geométricamente la
distancia que hay entre ese número y el origen; de forma algebraica lo
podemos obtener como:
|z| = |a + bi| = √¯a² + b²
Encuentra la distancia que hay entre el punto: z= -12, -16i al origen
|-12 -16i |= √¯ (12) ² + (-16) ²= √¯144 + 256 = √¯400 = 20
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Una ecuación de segundo grado o cuadráticas tiene como exponente
mayor un 2 y se resuelve por el método de factorizacion o por formula
general.
La forma general de una ecuación cuadrática es:
aX² + bX + c = 0
Donde: “a, b, c” son constantes reales
Resolución de la ecuación cuadrática por el método de factorizacion.
X² + 7X + 12 = 0
(X + 3)(X + 4) = 0
X+3=0
x+4=0
X1= -3 x2= -4
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones
Resolución de la ecuación cuadrática por formula general
X= -b ± √¯b² - 4ac / 2a
Ejemplo
3X² = 4X -1
3X² - 4X + 1 = 0
X= 4± √¯ (- 4) ² - 4 (3)(1) / 2 (3)
X= 4± √¯16 – 12 / 6
X= 4± √¯4/6
X1= 4 + 2/ 6 = 6/6 = 1
X2= 4 -2 / 6 = 2/6 = 1/3
Análisis de la función cuadrática
•
La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola cuyo
vértice es :
V= ( -b/2a , 4ac - b²/ 4a)
•
la grafica es simétrica con respecto a la recta:
X= -b /2a
•
Si a>0 entonces la curva es cóncava hacia arriba y el vértice será
el punto mas bajo de la grafica.
• Si a <0 entonces la curva será cóncava hacia abajo y el punto
mas alto de la grafica será el vértice.
• Los puntos donde interceptan la gráfica con el eje “X” son llamados
raíces o ceros.
•
Para encontrar las raíces o ceros se convierte la función cuadrática
a la forma general haciendo que f(x) = 0; y se resuelve la ecuación
por algún método
f(x)= aX² + bX + c
• Para conocer el tipo de raíces se analiza el discriminante
Discriminante
El discriminante es la expresión “b² - 4ac” que se encuentra dentro del
radical en la formula general; de su valor depende el tipo de raíces o
ceros; de la siguiente forma:
1. Si “b² - 4ac = 0” entonces las 2 raíces son racionales reales,
iguales, la grafica de la parábola tiene su vértice en el eje “X”; por
lo que toca al eje “X” en un solo punto.
2. Si “b² - 4ac >0” si la raíz es exacta entonces serán 2 raíces
racionales reales diferentes; si la raíz es inexacta entonces serán 2
raíces irracionales reales diferentes; la grafica de la parábola
interfecta al eje en “X” en 2 puntos reales.
3. Si “b² - 4ac <0” entonces las raíces serán imaginarias, la gráfica
de la parábola no interfecta ni toca al eje “X”.
Ejercicio:
f(x): X²+6X+9=0
Vértice
v=(-b/2a , 4ac - b²/ 4a)
v= (-6 / 2(1) , 4 (1)(9) – (6) ²/ 4 (1) )
v= (-3 , 0)
Análisis de “a”
a=1
a>0
Discriminante
b² - 4ac = 36 – 36 = 0
b² - 4ac = 0
Las raíces son racionales reales iguales
Intersecta en un punto al eje “X”
Radices
X² + 6x + 9 = 0
(X + 3)(X + 3) = 0
X1 = -3 X2=-3
Desigualdades cuadráticas
X² - 5X > - 6
X² - 5X+6 > 0
Por tanto “Y” es > que cero
Convertimos la desigualdad en igualdad para resolverla
X² - 5X+6= 0
X= (5 ± √¯ 25 – 24)/2
X= (5± √¯ 1)/ 2
X1= 5+1 / 2 = 6/2 =3
X2= 5-1 / 2 = 4/2 = 2
{XЄR|X<2yX>3}
Recuerda:
Y<0
{XЄR|X>#yX<#}
{XЄR|#<X<#}
Y≤0
{XЄR|X≥#yX≤#}
{XЄR|#≤X≤#}
Y>0
{XЄR|X<#óX>#}
Y≥0
{XЄR|X≤#óX≥#}
