Mg Fernando Salvador Jácome Mg Fernando Salvador Jácome LOGRO GENERAL DE APRENDIZAJE Al finalizar el curso, el estudiante selecciona adecuadamente una turbomáquina para una determinada necesidad demostrando un conocimiento sólido de sus características, modo de operación y aplicabilidad. Mg Fernando Salvador Jácome Logro específico de aprendizaje: Al finalizar la unidad, el estudiante identifica los diferentes tipos de turbinas hidráulicas utilizadas para tomar la energía de los fluidos. Mg Fernando Salvador Jácome Saberes Previos El número de Reynolds es uno de los números adimensionales más importantes de la mecánica de fluidos y, a su vez, de los más básicos. De hecho, es uno de los primeros conceptos que se aprenden en cualquier curso de mecánica de fluidos. A grandes rasgos, este número, que a continuación os definiremos, nos permite a los ingenieros identificar a priori si un flujo será laminar o turbulento. Mg Fernando Salvador Jácome Ahora bien, ¿en qué consiste el número de Reynolds? Este número indica la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas de un fluido. Explico qué son cada una, de la forma más simplificada posible: Las fuerzas de inercia son aquellas que tiene cualquier cuerpo que sufre una aceleración o una deceleración. De cursos de física elementales, sabemos que esta fuerza se puede expresar como el producto de la masa y la aceleración, Fi=m·a. Aplicando esta definición a un fluido, se puede expresar como Fi=ρ·v2·L2, donde ρ es la densidad, v es la velocidad del fluido y L es una longitud característica (que explicamos más adelante). Las fuerzas viscosas son aquellas que se oponen al movimiento libre del fluido por el rozamiento interno de sus partículas (entre otros conceptos). Se puede expresar como Fv=µ·L·v, donde µ es la viscosidad dinámica del fluido. Mg Fernando Salvador Jácome Como hemos dicho, el número de Reynolds no es más que el cociente entre ambas fuerzas, por lo que se puede formular como: Y por tanto, tenemos la definición final del número de Reynolds como: Si el Re es pequeño, las fuerzas viscosas son más importantes que las fuerzas de inercia. Esto implica que la viscosidad del fluido va a provocar que el movimiento de las partículas sea ordenado, estamos ante un flujo laminar. Si el Re es grande, las fuerzas de inercia dominarán sobre las fuerzas viscosas. En efecto, tenemos un flujo turbulento. Mg Fernando Salvador Jácome Semejanza de Turbo-maquinas Transfor mación Los constructores de máquinas hidráulicas que desarrollan nuevos tipos, disponen de laboratorios de ensayos de modelos. En particular, el alto costo de una turbina hidráulica de gran potencia absorbe los gastos de construcción y experimentación de un modelo, cuyo ensayo corrobora o rectifica el diseño. En los ensayos de máquinas hidráulicas, la fuerza predominante es la de viscosidad. Por tanto, el modelo y el prototipo, además de ser geométricamente semejantes, deben ensayarse a igual número de Reynolds, R, para conservar la semejanza dinámica Mg Fernando Salvador Jácome En la práctica, esto resulta imposible. Así, por ejemplo, si se construye un modelo reducido de una bomba de agua a escala 1/5, siendo 1000 rpm la velocidad de giro del prototipo, y el ensayo del modelo se hiciera también con agua (nm = np), entonces, de la condición de semejanza dinámica se tiene: donde se ha tomado como velocidad característica, la velocidad Mg Fernando Salvador Jácome • Sustituyendo las ecuaciones anteriores en (1) obtenemos de donde: Mg Fernando Salvador Jácome Esto equivale a suponer que la viscosidad no entra en juego y, por tanto, que los rendimientos del modelo y del prototipo son iguales. Aunque en la realidad no sucede así (en el ejemplo anterior, el rendimiento del modelo podría ser del orden del 50%, mientras que el del prototipo sería del 80%), la hipótesis anterior ha conducido a excelentes resultados, excepto en lo que respecta a predicción de rendimientos Mg Fernando Salvador Jácome "En el ensayo de turbinas hidráulicas, se ha utilizado la siguiente fórmula, con buenos resultados: Mg Fernando Salvador Jácome En el ensayo de bombas, se ha utilizado la siguiente fórmula, con buenos resultados también: la cual relaciona los rendimientos de una misma bomba (λ=1), funcionando a distintos números de revoluciones. Mg Fernando Salvador Jácome Las leyes de semejanza sirven para: ▪ Predecir el comportamiento de una máquina de distinto tamaño, pero geométricamente semejante a otra, cuyo comportamiento (caudal, potencia, n, etc.) se conoce, trabajando en las mismas condiciones, sobre todo en condiciones de óptimo rendimiento, o bien, en condiciones de igual rendimiento, por ejemplo, 50% del rendimiento máximo. ▪ Predecir el comportamiento de una misma máquina, cuando varía alguna de sus características, por ejemplo: una bomba, para predecir cómo varía la altura efectiva, cuando varía el número de revoluciones ,o, en una turbina, cómo varía el caudal, cuando varía la altura neta, etc., sobre todo en condiciones de óptimo rendimiento, o bien, en condiciones de igual rendimiento. Mg Fernando Salvador Jácome Las tres primeras leyes se refieren a la misma bomba (λ = Dp/Dm =1) y expresan la variación de las características de una misma bomba o de bombas iguales, cuando varía el número de revoluciones Primera Ley: "Los caudales son directamente proporcionales a los números de revoluciones". Entonces, Mg Fernando Salvador Jácome Segunda Ley: "Las alturas útiles son directamente proporcionales a los cuadrados de los números de revoluciones". Por tanto, Tercera Ley: "Las potencias absorbidas son directamente proporcionales a los cubos de los números de revoluciones". Mg Fernando Salvador Jácome Se deduce así, entonces que: Las tres leyes siguientes se refieren a dos bombas geométricamente semejantes, pero de diámetros distintos, y expresan la variación de las características de dos bombas semejantes geométricamente, con el tamaño, si se mantiene constante el número de revoluciones. Mg Fernando Salvador Jácome Cuarta Ley: "Los caudales son directamente proporcionales al cubo de la relación de diámetros“. Resultando que: Quinta Ley: "Las alturas útiles son directamente proporcionales al cuadrado de la relación de diámetros Mg Fernando Salvador Jácome Luego, Sexta Ley: "Las potencias absorbidas son directamente proporcionales a la quinta potencia de la relación de diámetros". Mg Fernando Salvador Jácome luego, Estas leyes se pueden fundir dos a dos, haciendo que varíe primero el diámetro y luego el número de revoluciones, obteniéndose las siguientes fórmulas: Mg Fernando Salvador Jácome "En el ensayo de turbinas hidráulicas, se ha utilizado la siguiente fórmula, con buenos resultados: Mg Fernando Salvador Jácome Mg Fernando Salvador Jácome Agrupando de acuerdo al subíndice, resulta: Sacando raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad anterior, se tiene: Mg Fernando Salvador Jácome ns no es adimensional; por tanto, será distinto, según el sistema de unidades utilizado: Por ejemplo, si n (rpm), Pa (c.v.), Hu (m) Por lo tanto, Mg Fernando Salvador Jácome LAS SEIS LEYES DE SEMEJANZA DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS: Las tres primeras leyes se refieren a la misma turbina y expresan la variación de las características de una misma turbina o de turbinas iguales cuando varía la altura neta. Primera ley: Los números de revoluciones son directamente proporcionales a la raíz cuadrada de las alturas netas. Segunda ley: Las caudales son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las alturas netas. Mg Fernando Salvador Jácome Tercera ley: Las potencias útiles o las potencias en el eje son directamente proporcionales a las alturas netas elevadas a 3/2. Cuarta ley: Los números de revoluciones son inversamente proporcionales a los diámetros. Mg Fernando Salvador Jácome Quinta ley: Los caudales son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros. Sexta ley: Las potencias en el eje son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros Mg Fernando Salvador Jácome Estas leyes se pueden fundir dos a dos, haciendo que varíe primero el diámetro y luego la altura neta. Se obtienen las siguientes expresiones: Mg Fernando Salvador Jácome LAS ONCE LEYES DE SEMEJANZA DE LOS VENTILADORES ▪ En un mismo ventilador: Primera ley: Los caudales son directamente proporcionales al número de revoluciones. Segunda ley: Las presiones totales engendradas son directamente proporcionales al cuadrado del número de revoluciones. Tercera ley: Las potencias son directamente proporcionales al cubo del número de revoluciones. ▪ En ventiladores geométricamente semejantes: Cuarta ley: Los caudales son directamente proporcionales al cubo de los diámetros. Quinta ley: Las presiones totales engendradas son directamente proporcionales al cuadrado de los diámetros. Sexta ley: Las potencias son directamente proporcionales a la quinta potencia de los diámetros. Mg Fernando Salvador Jácome Séptima ley: Los caudales no varían con la densidad del aire. Octava ley: Las presiones estáticas engendradas varían en relación directa con la densidad. Novena ley: Las potencias absorbidas varían directamente con la densidad. Décima ley: Las presiones estáticas engendradas son directamente proporcionales a la presión barométrica e inversamente proporcionales a la temperatura absoluta. Undécima ley: Las potencias son directamente proporcionales a la presión barométrica e inversamente proporcionales a la temperatura absoluta. Mg Fernando Salvador Jácome La ley décima y undécima permiten predecir el comportamiento de un ventilador en las condiciones atmosféricas actuales, a partir de un ensayo realizado en condiciones atmosféricas distintas.: Mg Fernando Salvador Jácome VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LAS BOMBAS HIDRÁULICAS Para seleccionar una bomba hidráulica, los datos son: la altura manométrica H y el caudal Q de la instalación. Es por ello que la velocidad específica de las bombas ns se suele expresar en función de dichos parámetros. Mg Fernando Salvador Jácome VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS Los datos para la fabricación de una turbina hidráulica son: la altura neta del salto H y la potencia de salida o de accionamiento Pa. Es por ello que la velocidad específica de las turbinas ns se suele expresar en función de dichos parámetros. Mg Fernando Salvador Jácome Práctica Problema Nº 1 Un modelo a escala reducida de un prototipo de bomba centrífuga ha sido ensayado en el laboratorio a una velocidad de giro n1 = 2950 rpm, habiéndose obtenido los siguientes resultados en el punto de funcionamiento de máximo rendimiento: H1 = 75 m, Q1 = 0,05 m3 s −1 y η = 0,76. El prototipo deberá operar en un punto de funcionamiento semejante al anterior del modelo, con un caudal Q2 = 0,45 m3 s −1 y una altura manométrica H2 = 117 m. Determinar: a) Relación entre tamaños de prototipo y modelo, D2/D1. b) Velocidad n2 a la que deberá girar el prototipo. c) Potencia consumida por el prototipo. Mg Fernando Salvador Jácome Mg Fernando Salvador Jácome b) Introduciendo el resultado anterior se obtiene de donde se determina (n1=2950 dato) c) La potencia consumida por el prototipo es Sustituyendo valores, se obtiene Mg Fernando Salvador Jácome Problema Nº 2 Se quiere diseñar un prototipo de bomba centrífuga para un caudal Q1 =6 m3s−1 y una altura H1 = 120 m, con una velocidad de giro n1 = 450 rpm. Se va a construir un modelo a escala que funcione con un caudal Q2 = 0,15 m3 s−1 y un consumo de potencia W˙2 = 150 kW. Se supondrá un rendimiento η = 0,88 en el punto de funcionamiento nominal. Calcular la velocidad de giro del modelo, n2, y la relación de tamaños de prototipo y modelo, D1/D2. Supóngase que, una vez construido el modelo, se le hace funcionar bajo una altura de 100 m; determinar si es posible, bajo alguna condición de funcionamiento, conseguir que el modelo suministre un caudal de 0,25 m3 s−1 manteniendo el rendimiento nominal Mg Fernando Salvador Jácome Solución Teniendo en cuenta que puede obtenerse Despreciando los efectos de viscosidad, deben ser iguales en las condiciones de funcionamiento semejantes de prototipo y modelo:(del ejercicio anterior) Mg Fernando Salvador Jácome Eliminando n1/n2 entre estas dos ecuaciones, resulta de donde se obtiene e introduciendo este resultado en la ecuación de donde se obtiene finalmente Mg Fernando Salvador Jácome Para que el punto de funcionamiento definido por sea semejante al correspondiente a debe cumplirse Mg Fernando Salvador Jácome Mg Fernando Salvador Jácome Problema Nº3 Si la turbina del ejemplo 2 girando a 70rpm trabajaba en las siguientes condiciones: (H = 20m; Q = 300m3 /s ; Pa = 50MW) Se instala en un salto de H = 30m, recalcular sus parámetros de funcionamiento, supóngase condiciones de ´optimo rendimiento. Mg Fernando Salvador Jácome De las formulas combinadas de las 6 leyes podemos obtener: Mg Fernando Salvador Jácome Problema Nº3 Dado un modelo y su prototipo, sabiendo que entre ellas se guardara una escala geométrica 1/4, que emplean el mismo fluido de trabajo y que el prototipo gira a 1200 rpm. Determine: a) Hallar, imponiendo igualdad de Reynolds, la velocidad de giro para el modelo. b) Fijada una velocidad de giro igual para modelo y prototipo, analizar las propiedades del fluido que cumplirían esta igualdad. Mg Fernando Salvador Jácome Solución: a) Si fijamos igualdad de numero de Reynolds se cumple que Rem = Rep → Dmum = Dpup La relación de escala significa que: La cual es una velocidad muy elevada Mg Fernando Salvador Jácome Aplicaciones de las leyes de semejanza: b) Ahora bien, como el fluido que se emplea es el mismo en ambos casos se buscar 'a que condiciones del mismo satisfacen la semejanza para igual velocidad de giro, nm = np. De las magnitudes características se busca una relación adimensional que incluya la viscosidad cinemática y se llega a: lo que significa que la viscosidad cinemática del prototipo debe ser νp = 16νm lo cual es inviable Mg Fernando Salvador Jácome Aplicaciones de las leyes de semejanza: • Determinar la respuesta de una máquina hidráulica cuando cambia alguna característica (velocidad de rotación, …) • Obtener las características de una máquina geométricamente semejante a otra pero de diferente tamaño • Parametrizar el comportamiento de las máquinas ensayadas a través de ábacos adimensionales y diagramas universales Mg Fernando Salvador Jácome Conclusiones CONCLUSIONES Mg Fernando Salvador Jácome Conclusión: "Todas las bombas geométricamente semejantes tienen el mismo número específico de revoluciones, ns". Mg Fernando Salvador Jácome Mg Fernando Salvador Jácome
