Mg Fernando Salvador Jácome
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LOGRO GENERAL DE APRENDIZAJE
Al finalizar el curso, el estudiante selecciona adecuadamente una
turbomáquina para una determinada necesidad demostrando un
conocimiento sólido de sus características, modo de operación y
aplicabilidad.
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Logro específico de aprendizaje:
Al finalizar la unidad, el estudiante identifica los diferentes tipos de
turbinas hidráulicas utilizadas para tomar la energía de los fluidos.
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Saberes
Previos
El número de Reynolds es uno de los números adimensionales más importantes
de la mecánica de fluidos y, a su vez, de los más básicos. De hecho, es uno de
los primeros conceptos que se aprenden en cualquier curso de mecánica de
fluidos. A grandes rasgos, este número, que a continuación os definiremos, nos
permite a los ingenieros identificar a priori si un flujo será laminar o turbulento.
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Ahora bien, ¿en qué consiste el número de Reynolds? Este número
indica la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
viscosas de un fluido. Explico qué son cada una, de la forma más
simplificada posible:
Las fuerzas de inercia son aquellas que tiene cualquier cuerpo que
sufre una aceleración o una deceleración. De cursos de física
elementales, sabemos que esta fuerza se puede expresar como el
producto de la masa y la aceleración, Fi=m·a. Aplicando esta
definición a un fluido, se puede expresar como Fi=ρ·v2·L2, donde ρ es
la densidad, v es la velocidad del fluido y L es una longitud
característica (que explicamos más adelante).
Las fuerzas viscosas son aquellas que se oponen al movimiento
libre del fluido por el rozamiento interno de sus partículas (entre otros
conceptos). Se puede expresar como Fv=µ·L·v, donde µ es la
viscosidad dinámica del fluido.
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Como hemos dicho, el número de Reynolds no es más que el cociente entre
ambas fuerzas, por lo que se puede formular como:
Y por tanto, tenemos la definición final del número de Reynolds como:
Si el Re es pequeño, las fuerzas viscosas son más importantes que las
fuerzas de inercia. Esto implica que la viscosidad del fluido va a provocar
que el movimiento de las partículas sea ordenado, estamos ante un flujo
laminar.
Si el Re es grande, las fuerzas de inercia dominarán sobre las fuerzas
viscosas. En efecto, tenemos un flujo turbulento.
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Semejanza de Turbo-maquinas
Transfor
mación
Los constructores de máquinas hidráulicas que desarrollan
nuevos tipos, disponen de laboratorios de ensayos de modelos.
En particular, el alto costo de una turbina hidráulica de gran
potencia absorbe los gastos de construcción y experimentación
de un modelo, cuyo
ensayo corrobora o rectifica el diseño.
En los ensayos de máquinas hidráulicas, la fuerza
predominante es la de viscosidad. Por tanto, el modelo y el
prototipo, además de ser geométricamente semejantes, deben
ensayarse a igual número de Reynolds, R, para conservar la
semejanza dinámica
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En la práctica, esto resulta imposible. Así, por ejemplo, si se construye un
modelo reducido de una bomba de agua a escala 1/5, siendo 1000 rpm la
velocidad de giro del prototipo, y el ensayo del modelo se hiciera también
con agua (nm = np), entonces, de la condición de semejanza dinámica se
tiene:
donde se ha tomado como velocidad característica, la velocidad
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• Sustituyendo las ecuaciones anteriores en (1) obtenemos
de donde:
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Esto equivale a suponer que la viscosidad no entra en juego y, por tanto, que
los rendimientos del modelo y del prototipo son iguales. Aunque en la realidad
no sucede así (en el ejemplo anterior, el rendimiento del modelo podría ser del
orden del 50%, mientras que el del prototipo sería del 80%), la hipótesis
anterior ha conducido a excelentes resultados, excepto en lo que respecta a
predicción de rendimientos
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"En el ensayo de turbinas hidráulicas, se ha utilizado la siguiente
fórmula, con buenos resultados:
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En el ensayo de bombas, se ha utilizado la siguiente fórmula, con buenos
resultados también:
la cual relaciona los rendimientos de una misma bomba (λ=1), funcionando
a distintos números de revoluciones.
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Las leyes de semejanza sirven para:
▪ Predecir el comportamiento de una máquina de distinto tamaño, pero
geométricamente semejante a otra, cuyo comportamiento (caudal,
potencia, n, etc.) se conoce, trabajando en las mismas condiciones, sobre
todo en condiciones de óptimo rendimiento, o bien, en condiciones de igual
rendimiento, por ejemplo, 50% del rendimiento máximo.
▪ Predecir el comportamiento de una misma máquina, cuando varía alguna
de sus características, por ejemplo: una bomba, para predecir cómo varía
la altura efectiva, cuando varía el número de revoluciones ,o, en una
turbina, cómo varía el caudal, cuando varía la altura neta, etc., sobre todo
en condiciones de óptimo rendimiento, o bien, en condiciones de igual
rendimiento.
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Las tres primeras leyes se refieren a la misma bomba (λ = Dp/Dm =1) y
expresan la variación de las características de una misma bomba o de
bombas iguales, cuando varía el número de revoluciones
Primera Ley: "Los caudales son directamente proporcionales a los números
de
revoluciones".
Entonces,
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Segunda Ley: "Las alturas útiles son directamente
proporcionales a los cuadrados de los números de revoluciones".
Por tanto,
Tercera Ley: "Las potencias absorbidas son directamente
proporcionales a los cubos de los números de revoluciones".
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Se deduce así, entonces que:
Las tres leyes siguientes se refieren a dos bombas geométricamente
semejantes, pero de diámetros distintos, y expresan la variación de las
características de dos bombas semejantes geométricamente, con el tamaño, si
se mantiene constante el número de revoluciones.
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Cuarta Ley: "Los caudales son directamente proporcionales al cubo
de la relación de diámetros“.
Resultando que:
Quinta Ley: "Las alturas útiles son directamente proporcionales al
cuadrado de la relación de diámetros
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Luego,
Sexta Ley: "Las potencias absorbidas son directamente
proporcionales a la quinta potencia de la relación de diámetros".
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luego,
Estas leyes se pueden fundir dos a dos, haciendo que varíe primero el
diámetro y luego el número de revoluciones, obteniéndose las siguientes
fórmulas:
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"En el ensayo de turbinas hidráulicas, se ha utilizado la siguiente
fórmula, con buenos resultados:
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Agrupando de acuerdo al subíndice, resulta:
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad anterior, se
tiene:
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ns no es adimensional; por tanto, será distinto, según el sistema
de unidades utilizado: Por ejemplo, si n (rpm), Pa (c.v.), Hu (m)
Por lo tanto,
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LAS SEIS LEYES DE SEMEJANZA DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS:
Las tres primeras leyes se refieren a la misma turbina y expresan la variación de
las características de una misma turbina o de turbinas iguales cuando varía la
altura neta.
Primera ley:
Los números de revoluciones son directamente proporcionales a la raíz
cuadrada de
las alturas netas.
Segunda ley:
Las caudales son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las
alturas
netas.
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Tercera ley:
Las potencias útiles o las potencias en el eje son directamente
proporcionales a las
alturas netas elevadas a 3/2.
Cuarta ley:
Los números de revoluciones son inversamente proporcionales a los
diámetros.
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Quinta ley:
Los caudales son directamente proporcionales a los cuadrados de los
diámetros.
Sexta ley:
Las potencias en el eje son directamente proporcionales a los cuadrados de
los
diámetros
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Estas leyes se pueden fundir dos a dos, haciendo que varíe
primero el diámetro y luego la altura neta. Se obtienen las
siguientes expresiones:
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LAS ONCE LEYES DE SEMEJANZA DE LOS VENTILADORES
▪ En un mismo ventilador:
Primera ley: Los caudales son directamente proporcionales al número de
revoluciones.
Segunda ley: Las presiones totales engendradas son directamente
proporcionales al cuadrado del número de revoluciones.
Tercera ley: Las potencias son directamente proporcionales al cubo del
número de revoluciones.
▪ En ventiladores geométricamente semejantes:
Cuarta ley: Los caudales son directamente proporcionales al cubo de los
diámetros.
Quinta ley: Las presiones totales engendradas son directamente
proporcionales al cuadrado de los diámetros.
Sexta ley: Las potencias son directamente proporcionales a la quinta
potencia de los diámetros.
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Séptima ley: Los caudales no varían con la densidad del aire.
Octava ley: Las presiones estáticas engendradas varían en relación directa
con la densidad.
Novena ley: Las potencias absorbidas varían directamente con la densidad.
Décima ley: Las presiones estáticas engendradas son directamente
proporcionales a la presión barométrica e inversamente proporcionales a la
temperatura absoluta.
Undécima ley: Las potencias son directamente proporcionales a la presión
barométrica e inversamente proporcionales a la temperatura absoluta.
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La ley décima y undécima permiten predecir el comportamiento
de un ventilador en las condiciones atmosféricas actuales, a partir
de un ensayo realizado en condiciones atmosféricas distintas.:
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VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LAS BOMBAS HIDRÁULICAS
Para seleccionar una bomba hidráulica, los datos son: la altura manométrica H y el
caudal Q de la instalación. Es por ello que la velocidad específica de las bombas ns
se suele expresar en función de dichos parámetros.
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VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS
Los datos para la fabricación de una turbina hidráulica son: la altura neta
del salto H y la potencia de salida o de accionamiento Pa. Es por ello que la
velocidad específica de las turbinas ns se suele expresar en función de
dichos parámetros.
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Práctica
Problema Nº 1
Un modelo a escala reducida de un prototipo de bomba centrífuga
ha sido ensayado en el laboratorio a una velocidad de giro n1 =
2950 rpm, habiéndose obtenido los siguientes resultados en el
punto de funcionamiento de máximo rendimiento: H1 = 75 m, Q1
= 0,05 m3 s −1 y η = 0,76. El prototipo deberá operar en un punto
de funcionamiento semejante al anterior del modelo, con un
caudal Q2 = 0,45 m3 s −1 y una altura manométrica H2 = 117 m.
Determinar:
a) Relación entre tamaños de prototipo y modelo, D2/D1.
b) Velocidad n2 a la que deberá girar el prototipo.
c) Potencia consumida por el prototipo.
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b) Introduciendo el resultado anterior se obtiene
de donde se determina (n1=2950 dato)
c) La potencia consumida por el prototipo es
Sustituyendo valores, se obtiene
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Problema Nº 2
Se quiere diseñar un prototipo de bomba centrífuga para un caudal Q1 =6
m3s−1 y una altura H1 = 120 m, con una velocidad de giro n1 = 450 rpm. Se va
a construir un modelo a escala que funcione con un caudal Q2 = 0,15 m3 s−1 y
un consumo de potencia W˙2 = 150 kW. Se supondrá un rendimiento η = 0,88
en el punto de funcionamiento nominal.
Calcular la velocidad de giro del modelo, n2, y la relación de tamaños de
prototipo y
modelo, D1/D2. Supóngase que, una vez construido el modelo, se le hace
funcionar bajo una altura de 100 m; determinar si es posible, bajo alguna
condición de funcionamiento, conseguir que el modelo suministre un caudal
de 0,25 m3 s−1 manteniendo el rendimiento nominal
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Solución
Teniendo en cuenta que
puede obtenerse
Despreciando los efectos de viscosidad, deben ser iguales en las
condiciones
de funcionamiento semejantes de prototipo y modelo:(del ejercicio anterior)
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Eliminando n1/n2 entre estas dos ecuaciones, resulta
de donde se obtiene
e introduciendo este resultado en la ecuación
de donde se obtiene finalmente
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Para que el punto de funcionamiento definido por
sea semejante al correspondiente a
debe cumplirse
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Problema Nº3
Si la turbina del ejemplo 2 girando a 70rpm trabajaba en las siguientes
condiciones: (H = 20m; Q = 300m3 /s ; Pa = 50MW) Se instala en un salto de
H = 30m, recalcular sus parámetros de funcionamiento, supóngase
condiciones de ´optimo rendimiento.
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De las formulas combinadas de las 6 leyes podemos obtener:
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Problema Nº3
Dado un modelo y su prototipo, sabiendo que entre ellas se guardara
una escala geométrica 1/4, que emplean el mismo fluido de trabajo y
que el prototipo gira a 1200 rpm. Determine:
a) Hallar, imponiendo igualdad de Reynolds, la velocidad de giro para
el modelo.
b) Fijada una velocidad de giro igual para modelo y prototipo, analizar
las propiedades del fluido que cumplirían esta igualdad.
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Solución:
a) Si fijamos igualdad de numero de Reynolds se cumple que Rem =
Rep → Dmum = Dpup La relación de escala significa que:
La cual es una velocidad muy elevada
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Aplicaciones de las leyes de semejanza:
b) Ahora bien, como el fluido que se emplea es el mismo en ambos
casos se buscar 'a que condiciones del mismo satisfacen la semejanza
para igual velocidad de giro,
nm = np.
De las magnitudes características se busca una relación adimensional
que incluya la viscosidad cinemática y se llega a:
lo que significa que la viscosidad cinemática del prototipo debe ser νp
= 16νm lo cual es inviable
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Aplicaciones de las leyes de semejanza:
• Determinar la respuesta de una máquina hidráulica cuando
cambia alguna característica (velocidad de rotación, …)
• Obtener las características de una máquina geométricamente
semejante a otra pero de diferente tamaño
• Parametrizar el comportamiento de las máquinas ensayadas a
través de ábacos adimensionales y diagramas universales
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Conclusiones
CONCLUSIONES
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Conclusión: "Todas las bombas geométricamente
semejantes tienen el mismo número específico de
revoluciones, ns".
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