La recta

IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
I NTRODUCCIÓN AL A NÁLISIS M ATEMÁTICO
L A RECTA
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ciencias Básicas y Tecnológicas 2023-I
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Trujillo, 2023
Contenido
IAM
E.G.U.N.T.
1
Competencia/ Capacidad
Competencia/
Capacidad
2
La recta
Motivación:Casos prácticos
3
Ecuación vectorial de una recta en el plano
Ecuación vectorial de una recta en el plano
Ejemplos
4
Puntos sobre una recta
5
Ecuación analítica de una recta en el plano
Pendiente de una recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación de la recta
Forma general de la ecuación de recta
6
Distancia de una recta a un punto dado
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Competencia/Capacidades
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Competencia
Demuestra compromiso, sensibilidad, eticidad e iniciativa ante los
problemas de su entorno para promover el desarrollo social y la
preservación del medio.
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Capacidad Terminal
Demuestra compromiso y participación con sus pares para
optimizar el trabajo en equipo.
Identifica los elementos de la recta y de las secciones cónicas.
Construye la ecuación de la recta y de las cónicas a partir de
parámetros dados.
Casos prácticos
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Inclinación
Una rampa para silla de ruedas tiene una elevación de 3 pies por
cada cambio horizontal de 5 pies. Determine la inclinación de la
rampa
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Rampa
Caso práctico
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Presupuesto
Suponga que el costo de un bolquete de carga es de $ 120 000 y
cada año se devalúa el 8 % de su precio original. Encuentre una
fórmula para el valor v del bolquete después de t años.
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Presupuesto
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Observación:
La recta
Una recta L en R2 , queda bien definida mediante dos puntos, S y
T , como se muestra en la siguiente gráfica.
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Recta en forma vectorial
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Observaciones
Los puntos S y T vectorialmente se representan como s y
t(como se ve en fig. anterior) y a partir de ello se obtiene el
vector v = t − s cuya representación geométrica está sobre
la recta L.
En general un vector u(x, y ) estará sobre la recta L si u es
paralelo a v (vector dirección), como se observa en la
siguiente gráfica.
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Definición
La recta L que pasa por los puntos S(x1 , y1 ) y T (x2 , y2 ) queda
definida vectorialmente como:
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
u = s + r (t − s) r ∈ R
(1)
donde s y t son la representación vectorial de los puntos S y T . r
es un parámetro.
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Observaciones
El vector v = t − s cuya representación geométrica está
sobre la recta L, se le llama dirección.
En general un vector u(x, y ) estará sobre la recta L si u es
paralelo a v (vector dirección), como se observa en la
siguiente gráfica.
Si el parámetro r se restringe a un intervalo cerrado
(a ≤ r ≤ b) entonces se tiene un segmento de la recta L.
Si r = 0 entonces, en la ecuación de la recta u = s. Si r = 1
entonces u = t. Por tanto, cuando r ∈ [0, 1], el punto U
recorre el segmento que une los puntos S y T . Los demas
puntos de la recta se obtienen cuando r < 0 y r > 1.
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Interpretación del parámetro
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Interpretación del parámetro
Ecuación vectorial de una recta en el plano
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Observaciones
La ecuación vectorial de la recta se puede usar para calcular
las coordenadas de un punto que esté sobre el segmento
ST a una distancia dada de S.
Las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta L son:
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
x = x1 + r (x2 − x1 )
y = y1 + r (y2 − y1 ) r ∈ R
donde S(x1 , y1 ) y S(x2 , y2 ). U(x, y ).
(2)
Ejemplos
IAM
1
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
2
La recta
Motivación:Casos
prácticos
3
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
4
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
x0 =
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
5
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
6
Distancia de una
recta a un punto
dado
Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los
puntos S(3, −2) y T (4, 4).
Determine las coordenadas de los puntos que trisecan al
segmento cuyos extremos son los puntos (3, −4) y (6, 2).
Determine la ecuación paramétrica vectorial del segmento
que une el punto (2,5) con el punto medio del segmento
cuyos extremos son (5,1) y (7,-3).
Demuestre que las coordenadas del punto medio M(x0 , y0 )
del segmento con extremos S(x1 , y1 ) y T (x2 , y2 ) son:
x1 + x2
;
2
y0 =
y1 + y2
2
Determine las ecuaciones paramétricas cartesianas de la
recta que pasa por los puntos (2,-1) y (-3,4).
Si u = (3, 2) + r (−1, 2) es la ecuación paramétrica vectorial
de la recta L muestre que el punto (6,1) no está sobre la
recta L.
Vector dirección
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Vector dirección
Cualquier vector v no nulo que sea paralelo a la recta L se llama
vector dirección de L.
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Sea L una recta que pasa por S(x1 , y1 ) y que es paralela a
v = (h, k ). Un punto U(x, y ) está sobre L si y sólo si:
u = s + rv ;
r ∈R
(3)
Observaciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Si v es un vector dirección de la recta L que contiene al
punto S, entonces un punto U está sobre L si y sólo si u − s
es paralelo a v
Si v es un vector de dirección de la recta L que contiene al
punto S, entonces un punto u, está sobre L, si y sólo si :
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
(u − s) · v = 0
Si el vector de dirección v es unitario, entonces en la
ecuación u = s + rv , |r | es la distancia que separa a s de u.
Pues
d(S, U) = ∥u − s∥ = |r |∥v ∥ = |r |(1) = |r |
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
1
Sea L la recta cuya ecuación es: u = (1, 6) + r (3, 4).
Determine las coordenadas de los puntos que se encuentran
a 10 unidades de distancia de S(1, 6).
Solución: Por la observación anterior se hace unitario al vector
v = (3, 4) es decir ∥vv ∥ = ( 35 , 54 ). Luego u = (1, 6) + r ( 35 , 45 ).
Se busca las coordenadas de U(x, y ) tal que |r | = 10, esto es
r = 10 y r = 11. Luego:
para r = 10
u = (1, 6) + 10( 35 , 54 ) = (1, 6) + (6, 8) = (7, 14).
r = −10
u = (1, 6) − 10( 35 , 54 ) = (1, 6) + (−6, −8) = (−5, −2).
Angulo de inclinación de una recta
IAM
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Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Definición:
Sea L una recta en R2 , se llama ángulo de inclinación de L al
que forma con el eje X en su parte positiva cuando L se mueve
en sentido antihorario.
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Angulos en el plano
Pendiente de una recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Definición de pendiente
Se llama pendiente de una recta no vertical, a la tangente de su
ángulo de inclinación. Es decir, si θ es el ángulo de inclinación de
una recta L, entonces la pendiente denotada por m es:
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
m = tagθ
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente: m
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
m=
desplazamiento vertical(elevacion)
△y
y2 − y1
=
=
desplazamiento horizontal(avance)
△x
x2 − x1
Pendiente de una recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Pendiente de una recta en el plano
Teoremas
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
• La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 )
es:
y2 − y1
m=
x2 − x1
Teoremas
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
• La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 )
es:
y2 − y1
m=
x2 − x1
• Dos rectas no verticales, l1 y l2 con pendientes respectivas
m1 y m2 , son paralelas si y sólo si sus pendientes son
iguales. Es decir:
m1 = m2
Teoremas
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
• La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 )
es:
y2 − y1
m=
x2 − x1
• Dos rectas no verticales, l1 y l2 con pendientes respectivas
m1 y m2 , son paralelas si y sólo si sus pendientes son
iguales. Es decir:
m1 = m2
• Las rectas l1 y l2 con pendientes respectivas m1 y m2 , son
perpendiculares si y sólo si
m1 m2 = −1
···
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
• Si l1 y l2 se cortan y sus pendientes son m1 y m2 y Φ es el
ángulo entre l1 y l2 , entonces:
tag(Φ) =
m2 − m1
1 + m1 m2
con l2 de mayor inclinación y Φ ̸= 900 .
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Angulo entre dos rectas en el plano
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Formas de ecuaciones de recta
1
Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la
pendiente de una recta L, entonces:
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
y − y1 = m(x − x1 )
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Formas de ecuaciones de recta
1
La recta
Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la
pendiente de una recta L, entonces:
Motivación:Casos
prácticos
y − y1 = m(x − x1 )
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
2
Pendiente-ordenada en el origen: Sea m y (0, b) la pendiente
y el punto en el eje de las ordenadas,
y = mx + b
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Formas de ecuaciones de recta
1
La recta
Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la
pendiente de una recta L, entonces:
Motivación:Casos
prácticos
y − y1 = m(x − x1 )
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
2
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Pendiente-ordenada en el origen: Sea m y (0, b) la pendiente
y el punto en el eje de las ordenadas,
y = mx + b
3
Forma general Sean A, B, C números reales con A y B no
ceros a la vez, entonces:
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Ax + By + C = 0
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Formas de ecuaciones de recta
1
Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
y − y1 =
y1 − y2
(x − x1 );
x1 − x2
x1 ̸= x2
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Formas de ecuaciones de recta
1
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
y − y1 =
y1 − y2
(x − x1 );
x1 − x2
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
2
Recta horizontal
y =b
m = 0 entonces α = 00 0 1800
x1 ̸= x2
Formas de ecuaciones de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Formas de ecuaciones de recta
1
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
y − y1 =
y1 − y2
(x − x1 );
x1 − x2
x1 ̸= x2
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
2
Recta horizontal
Puntos sobre una
recta
y =b
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
m = 0 entonces α = 00 0 1800
3
Recta vertical
x =a
m no existe es caso especial, luego tanα = ∞ , α = 900 .
Práctica
IAM
E.G.U.N.T.
1
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene
un ángulo de inclinación de 450 .
Motivación:Casos
prácticos
2
Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y B(−5, 7).
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
3
Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7),y D(8, 0) son vértices de un
cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados.
4
Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales.
5
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes
coordenados determinan en la recta 5x + 3y − 15 = 0.
6
Hallar la ecuación de la recta con pendiente -4 y pasa por la
intersección de l1 : 2x + y − 8 = 0 y l2 : 3x − 2y + 9 = 0.
7
Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes
coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0.
Competencia/
Capacidad
La recta
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
1.- Hallar la ec. de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene un
ángulo de inclinación de 450 .
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
1.- Hallar la ec. de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene un
ángulo de inclinación de 450 .
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Usaremos la fórmula Punto-pendiente: y − y1 = m(x − x1 ). Luego:
(x1 , y1 ) = (−6, −3) y m = tag(450 ), pero como tag(450 ) = 1
entonces m = 1. Por lo tanto la ecuación de la recta es:
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
y − (−3) = 1(x − (−6))
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
y +1=x +6
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Si se ordena y simplifica tenemos la forma general:
x −y +5=0
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
2.-Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y
B(−5, 7).
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
2.-Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y
B(−5, 7).
Usaremos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos dados:
y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 )
x2 − x1
Práctica de ecuación
de la recta
donde (x1 , y1 ) = (4, 2) y (x2 , y2 ) = (−5, 7), entonces la ecuación
de la recta es:
7−2
(x − 4)
y −2=
−5 − 4
5
y −2=
(x − 4)
−9
Forma general de la
ecuación de recta
ordenando y simplificando se tiene la forma general:
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
5x + 9y − 38 = 0
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
3.- Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0) son vértices de un
cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados.
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
3.- Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0) son vértices de un
cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Sean los lados del cuadrilátero AB, BC, CD y DA. Como el lado
DA está sobre el eje X su ecuación es el de la recta horizontal
y = 0.
El lado AB tiene por ecuación:
4−0
(x − 0)
2−0
y = 2x
Ejemplos
y −0=
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
El lado BC tiene por ecuación:
Ecuación de la recta
y −4=
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
7−4
(x − 2)
6−2
que simplificando es
3x − 4y + 10 = 0
···
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
···
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
La ecuación del lado CD es:
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
y −0=
0−7
(x − 8)
8−6
7
y = − (x − 8)
2
7x + 2y − 56 = 0
De esta forma se tienen las ecuaciones de las rectas que
continen a los lados del cuadrilátero.
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
4.- Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales.
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
4.- Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Tres puntos en el plano son coliniales si ellos pertenecen a una
misma recta. Si están en una misma recta, entonces tienen la
misma pendiente si se calcula con 2 cualesquiera de ellos: Sea
A(−5, 2), B(1, 4) y C(4, 5), luego:
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
mAB =
2
1
4−2
= =
1+5
6
3
5−4
1
=
4−1
3
5−2
3
1
mAC −
= =
4+5
9
3
Por lo tanto queda demostrados que los 3 puntos son coliniales.
mBC =
Forma general de la ecuación de recta
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Teorema
Una ecuación lineal en dos variables: Ax + By + C = 0,
representa una recta y reciprocamente.
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Observación
✓ m = − BA .
✓ ordenada en el origen es − CB .
Práctica
IAM
1
Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa por
(-2,4)y su m = −3.
2
Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0,
sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
3
Hallar la pendiente e intercepciones de la recta
7x − 9y + 2 = 0 con los ejes coordenados.
4
Halle el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme
con los ejes coordenados un triangulo rectángulo de área 2.5
u2
5
Muestre que la recta que pasa por los puntos (4,-1) y (7,2),
bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8,-3) y
(-4,-3).
6
Los vértices de un cuadrilátero son
A(−3, 2), B(3, 4), C(5, −4) y D(−1, −2). Muestre que los
puntos medios de los lados de dicho cuadrilátero son
vértices de un paralelogramo.
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
1.- Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa
por (-2,4) y su m = −3.
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
1.- Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa
por (-2,4) y su m = −3.
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
La ecuación en forma general de de la recta que pasa por (−2, 4)
y tiene pendiente m = −3 es: Ax + By + C = 0 por lo que nos
interesa hallar los valores de A, B y C(A ̸= 0; B ̸= 0).
Si pasa por (-2,4) se reemplaza en la ecuación x = −2 y y = 4 y
se tiene: −2A + 4B + C = 0 (∗).
Por otro lado m = −3 implica que −3 = − BA de donde se tiene:
A = 3B, reemplazando este valor en (∗), se tiene: −2B + C = 0
de donde C = 2B. Luego como B ̸= 0 entonces si B = 1 se tiene:
C = 2 y A = 3.
La ecuación buscada es:
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
3x + y + 2 = 0
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
2.- Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0,
sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
Soluciones
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
2.- Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0,
sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Sea
k
L1 : kx + (k − 1)y − 18 = 0, entonces mL1 = − k −1
. Sea
4
L2 : 4x + 3y + 7 = 0, su pendiente mL2 = − 3 . Luego:
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
−
k
4
=−
k −1
3
de donde se tiene:
k =4
Distancia de una recta a un punto dado
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Teorema
Sea la recta l con ecuación ax + by + c = 0 y el punto P1 (x1 , y1 ),
entonces la distancia de l a P se obtiene de la siguiente forma:
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
d=
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
|ax1 + by1 + c|
√
a2 + b 2
Observaciones
La distancia d es la longitud del segmento de recta
perpendicular dirigido de la recta l hacia el punto p1 .
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Figura: Distancia de punto a recta
Distancia dirigida
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
La distancia dirigida d de la recta dada ax + by + c = 0 al punto
dado P1 (x1 , y1 ) es:
ax1 + by1 + c
√
d=
± a2 + b 2
donde el signo del radical se elige como sigue:
1
Si c ̸= 0 el signo del radical es contrario al de c.
2
Si c = 0 y b ̸= 0, el radical y b tienen el mismo signo.
3
Si c = b = 0; el radical y a tienen el mismo signo.
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Hallar la distancia dirigida que separa al punto P1 (−3, −4) de
la recta cuya pendiente es -3/4 y que pasa por A(2, 1).
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Solución:
La ecuación de la recta es:
y − 1 = −3/4(x − 2) ⇐⇒ 3x + 4y − 10 = 0. Luego
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
d(P1 , L) =
(3)(−3) + 4(−4) − 10
p
+ (3)2 + (4)2
−35
= −7
5
El signo negativo indica que el punto P1 y el origen están del
mismo lado de la recta L.
d(P1 , L) =
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Halle los valores de n para que la recta 5x − 12y + 3 + n = 0 y
el punto A(−3, 2) disten 4 unidades.
Solución:
Si d(A, L) = 4, se tiene:
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
5(−3) − 12(2) + 3 + n
p
=4
(5)2 + (12)2
|n − 36| = 52 ⇐⇒ n − 36 = ±52
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
luego n = 88 o n = −16.
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Halle la ecuación de una recta l de pendiente negativa que no
pasa por el primer cuadrante, y que forma con la recta
l1 : x − 2y − 6 = 0 un ángulo α medido en sentido antihorario
de l a l1 tal que tag(α)√= 2 y la distancia del origen de
coordenadas a l es 4 2
Solución
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Halle la ecuación de una recta l de pendiente negativa que no
pasa por el primer cuadrante, y que forma con la recta
l1 : x − 2y − 6 = 0 un ángulo α medido en sentido antihorario
de l a l1 tal que tag(α)√= 2 y la distancia del origen de
coordenadas a l es 4 2
Solución
l es la recta buscada de pendiente m. l1 tiene m1 = 21 . El ángulo
α formado ente l y l1 cumplen con la siguiente propiedad:
m2 − m1
tag(α) =
1 + m1 m2
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
2=
1
2 −m
1 + 12 m
⇒ m=−
3
4
Luego la ecuación de l es de la forma:
3
y = − x + b ⇒ 3x + 4y − 4b = 0
4
···
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
Para hallar b se usa el dato de la distancia del origen a l:
La recta
Motivación:Casos
prácticos
d=
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Luego
|ax1 + by1 + c|
|3(0) + 4(0) − 4b|
√
√
=
2
2
9 + 16
a +b
√
√
√
|b| = 5 2 ⇔ b = 5 2 ∨ b = −5 2
Las ecuaciones de l son:
√
√
3x + 4y − 20 2 = 0 ∨ 3x + 4y + 20 2 = 0
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
sólo una no pasa por el primer cuadrante.
Ejemplo
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
La relación entre la temperatura del aire, T (en F 0 ) y la altitud
h(sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. Cuando
la temperatura al nivel del mar es de 600 , un incremento de
5000 pies en la altitud disminuye aprox. en 180 la
temperatura. Exprese T en términos de h. Calcule la
temperatura del aire a una altitud de 15 000 pies.
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Solución:
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
Como T y h se relacionan linealmente, se busca una
ecuación de la forma:
T (h) = ah + b,
a, b constantes reales.
···
IAM
E.G.U.N.T.
solución(continuación):
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Como T = 60 cuando h = 0, entonces: 60 = a(0) + b ⇒ b = 60.
Luego la ecuación es: T = ah + 60.
Además por datos del problema, si h = 5000, la temperatura
disminuye en 180 , es decir: T = 60 − 18 = 42. Sustituyendo
estos valores en la ecuación T = ah + 60, se tiene:
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
42 = a(5000) + 60 ⇒ 5000a = −18 ⇒ a = −
Por tanto la ecuación buscada es:
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
T =−
9
h + 60
2500
9
2500
···
IAM
E.G.U.N.T.
Competencia/
Capacidad
La recta
Motivación:Casos
prácticos
Ecuación
vectorial de una
recta en el plano
Ecuación vectorial de
una recta en el plano
Ejemplos
Puntos sobre una
recta
Ecuación
analítica de una
recta en el plano
Pendiente de una
recta
Ecuación de la recta
Práctica de ecuación
de la recta
Forma general de la
ecuación de recta
Distancia de una
recta a un punto
dado
La temperatura del aire a una altura de 15000 pies se
ecuentra reemplazando en la fórmula lineal hallada.
T =−
9
(15000) + 60
2500
T = −54 + 60 = 60 F
Por tanto, la temperatura es de 60 F .