Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica Industrial
Electromagnetismo II
IE-429
Ing. Jonnathan André López Sánchez
Líneas de transmisión
Parámetros de líneas de transmisión
Ángel Omar Laínez
Lara
20181230157
Sección 1400
Ciudad Universitaria
Tegucigalpa MDC 20 de junio 2024
I. ¿Por qué en líneas de transmisión trabajamos con voltajes, corrientes y
potencia, en lugar de seguir con teoría de campos y el vector de
Poynting?
Por simplicidad y conveniencia trabajamos con voltajes, corrientes y
potencia en líneas de transmisión porque son más manejables para el
análisis, es conveniente porque permite aplicar las leyes y técnicas de
circuitos. El uso de voltajes y corrientes permite aplicar las leyes de
Kirchhoff. También simplifica la medición directa y el análisis de
potencia.
La teoría de campos y el vector de Poynting proporcionan una
descripción más completa y precisa de la transmisión de energía eléctrica,
en la práctica es más conveniente y eficiente trabajar con voltajes,
corrientes y potencia. eléctricos.
II. ¿Cuáles son las ecuaciones que relacionan los voltajes, corrientes y
potencia con las cantidades de campo?
Ecuaciones de Maxwell
Ley de Gauss para el campo eléctrico
𝑄
∮ 𝐸 · 𝑑𝐴 = 𝜖
0
𝑠
𝜌
∇·𝐸 = 𝜖
0
Ley de Gauss para el campo magnético
∮ 𝑠𝐵 · 𝑑𝐴 = 0
∇ · 𝐵 = 0
Ley de Faraday de la inducción
(𝜕𝐵)
∇ × 𝐸 =− (𝜕𝑡)
Ley de Ampere-Maxwell
𝜕𝑡
∇ × 𝐵 = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜀0 𝜕𝐸
𝑉=
− ∫ 𝐸 · 𝑑𝑙
𝐼=
− ∮ 𝐻 · 𝑑𝑙
La impedancia característica
+
𝑍0 =
𝑉0
+
𝐼0
−
=−
𝑉0
−
𝐼0
La potencia de entrada promedio.
1
{
∗
}
𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2 𝑅𝑒 𝑉(𝑧) · 𝐼 (𝑧)
III.¿A qué se le conocen como ecuaciones del telegrafista? ¿De dónde se
fundamentan estas ecuaciones? ¿Acaso poseen toda la información (o son
equivalentes) a las ecuaciones de Maxwell?
Las ecuaciones del telegrafista son ecuaciones diferenciales parciales que
describen el comportamiento de una línea de transmisión, son importantes
para el análisis de líneas de transmisión, contienen la información
necesaria para describir la propagación de voltajes y corrientes. Estas
ecuaciones se utilizan para determinar cómo se propagan las señales
eléctricas y electromagnéticas a lo largo de la línea. Las ecuaciones del
telegrafista describen la relación entre voltaje y corriente en una línea de
transmisión, teniendo en cuenta los parámetros distribuidos de la línea:
resistencia (R), inductancia (L), conductancia (G) y capacitancia (C).
Las ecuaciones del telegrafista son una forma simplificada y
especializada de las ecuaciones de Maxwell, aplicadas a la geometría de
una línea de transmisión, pero no son equivalentes en términos de
generalidad.
Las desarrolló Heaviside y se fundamentan en las ecuaciones de
Maxwell, específicamente a partir de las de Ampere-Maxwell y de
Faraday. Las ecuaciones del telegrafista no contienen toda la información
de las ecuaciones de Maxwell, pero son una simplificación que se aplica
específicamente al análisis de líneas de transmisión. Mientras que las
ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo
electromagnético en cualquier situación y en cualquier medio, las
ecuaciones del telegrafista están diseñadas para modelar el
comportamiento de una línea de transmisión específica.
𝜕𝑣(𝑧,𝑡)
𝜕𝑧
=− 𝑅𝑖(𝑧, 𝑡) − 𝐿
𝑑𝑉(𝑧)
𝑑𝑧
=− (𝑅 + 𝑗𝑤𝐿) · 𝐼(𝑧)
2
𝑑 𝑉(𝑧)
2
𝑑𝑧
𝜕𝑖(𝑧,𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝑖(𝑧,𝑡)
𝜕𝑧
=− 𝐺𝑣(𝑧, 𝑡) − 𝐶
𝑑𝐼(𝑧)
𝑑𝑧
=− (𝐺 + 𝑗𝑤𝐶) · 𝑉(𝑧)
2
2
𝑑 𝐼(𝑧)
− 𝛾 · 𝑉(𝑧) = 0
2
𝑑𝑧
𝜕𝑣(𝑧,𝑡)
𝜕𝑡
2
− 𝛾 · 𝐼(𝑧) = 0
→ 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝐵 = (𝑅 + 𝑗𝑤𝐿)(𝐺 + 𝑗𝑤𝑐)
+ −𝛾𝑧
𝑉(𝑧) = 𝑉0 𝑒
− 𝛾𝑧
+ −𝛾𝑧
+ 𝑉0 𝑒
→ 𝑍0 =
𝐼(𝑧) = 𝐼0 𝑒
𝑅+𝑗𝑤𝐿
𝛾
=
𝑅+𝑗𝑤𝐿
𝐺+𝑗𝑤𝐶
− 𝛾𝑧
+ 𝐼0 𝑒
IV. Muestra al menos tres modelos circuitales de una porción infinitesimal de
línea de los cuales se pueden obtener las ecuaciones del telégrafo (ver
problema 11.3) y dedúcelas a partir de estos.
Modelo de Circuito T
Modelo de Circuito-π
Modelo de Línea de dos cables paralelos
V. A partir de las ecuaciones diferenciales del telégrafo se deduce el voltaje
y corriente generales en una línea de transmisión. ¿Son ondas atenuadas o
no, en qué condiciones? ¿Viajan en una sola dirección?
Las soluciones Generales para el voltaje y corriente.
+ −𝛾𝑧
𝑉(𝑧) = 𝑉0 𝑒
+
− 𝛾𝑧
+ 𝑉0 𝑒
+
𝑉0
−𝛾𝑧
𝐼(𝑧) = 𝑍 𝑒
0
−
𝑉0
𝛾𝑧
− 𝑍 𝑒
0
−
𝑉0 𝑦 𝑉0 son las amplitudes de las ondas viajando en las direcciones
positiva y negativa del eje z. 𝑍0 es la Impedancia Característica y
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝐵 es la constante de propagación, donde α es el coeficiente de
atenuación y β es el coeficiente de fase.
Las ondas pueden ser atenuadas o no dependiendo de la presencia de los
parámetros R (resistencia) y G(conductancia):
Si R=0 y G=0, no hay atenuación (α=0). En este caso, las ondas viajan sin
perder energía a lo largo de la línea de transmisión.
Si R≠0 o G≠0, hay atenuación (α>0). Esto significa que la amplitud de las
ondas disminuye exponencialmente a medida que viajan a lo largo de la
línea.
Las soluciones V(z,t) y I(z,t) muestran que las ondas pueden viajar en
ambas direcciones a lo largo de la línea:
La atenuación ocurre cuando la energía de la onda se disipa por la
resistencia del conductor y la pérdida de energía en el dieléctrico que
rodea a los conductores. La atenuación aumenta con la frecuencia de la
señal y la longitud de la línea, y puede reducir la amplitud de la onda a
medida que viaja a lo largo de la línea.
En condiciones ideales, una línea de transmisión sin pérdidas, las ondas
pueden viajar sin atenuación. La energía de la onda se conserva a medida
que se propaga a lo largo de la línea y no se produce pérdida de potencia.
En conclusión, las ondas están atenuadas si hay resistencia (R) o
conductancia (G) en la línea de transmisión (α>0). Si R=0 y G=0, las
ondas no están atenuadas (α=0).
Las ondas no viajan en una sola dirección, sino que pueden propagarse en
ambas direcciones, positiva y negativa del eje z a lo largo de la línea de
transmisión.
VI. ¿Cómo se define la constante de propagación 𝛾 y la impedancia
característica 𝑍𝑜? ¿Cómo se relaciona la impedancia característica con las
amplitudes 𝑉0 +,𝑉0 −,𝐼0 + ,𝐼0 − .
Constante de propagación (γ): Es un parámetro que describe cómo una
onda electromagnética se propaga a lo largo de la línea de transmisión. Se
define como:
La constante de propagación γ describe cómo se propagan las ondas a lo
de la línea de transmisión. Incluye tanto la atenuación (α) como el
cambio de fase (β). Se define como:
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽
● α es el coeficiente de atenuación, que representa la pérdida de amplitud
de la onda a lo largo de la línea.
● β es el coeficiente de fase, que representa el cambio de fase de la onda a
lo largo de la línea.
Para una línea de transmisión con parámetros distribuidos R, L, G y C por
unidad de longitud, la constante de propagación se calcula como:
𝛾 = (𝑅 + 𝑗𝑤𝐿)(𝐺 + 𝑗𝑤𝐶)
Impedancia característica (Z0): Es la resistencia aparente que presenta la
línea de transmisión cuando se observa desde sus extremos.
𝑍0 =
𝑅+𝑗𝑤𝐿
𝐺+𝑗𝑤𝐶
Para una línea sin pérdidas (R=0 y G=0)
𝑍0 =
𝐿
𝐶
Se relacionan
+
+
𝑉
𝐼0 = 𝑍0
0
−
−
𝑉
𝐼0 =− 𝑍0
0
VII. ¿Qué son líneas sin pérdidas y sin distorsión? ¿Cómo se relacionan los
valores o cuáles son los valores de R, L, G y C para estas líneas?
Menciona aplicaciones de estos tipos de líneas.
Las líneas sin pérdidas y sin distorsión son líneas de transmisión ideales
en las que no hay pérdida de energía ni distorsión de la señal a medida
que viaja a lo largo de la línea.
● La resistencia es cero en líneas sin pérdidas.
● La inductancia es cero en líneas sin distorsión.
● La conductancia es cero en líneas sin pérdidas.
● La capacitancia es infinita en líneas sin distorsión.
Algunas aplicaciones incluyen:
Análisis de redes: Las líneas sin pérdidas y sin distorsión se utilizan en el
análisis de circuitos y sistemas de transmisión para transmitir señales
eléctricas en condiciones ideales.
Teoría de antenas: En el diseño y análisis de antenas, las líneas de
transmisión sin pérdidas y sin distorsión se utilizan como modelos
simplificados para evaluar el rendimiento teórico de las antenas y los
sistemas de alimentación.
Teoría de microondas: En aplicaciones de microondas y sistemas de alta
frecuencia, las líneas sin pérdidas y sin distorsión son útiles para
comprender el comportamiento ideal de las señales en condiciones
ideales y para realizar análisis teóricos de sistemas de transmisión.
VIII. ¿Hay alguna diferencia entre las convenciones y nomenclaturas usadas
por Sadiku y Pozar? ¿Cuáles son?
Sadiku: Enfocado en la teoría fundamental del electromagnetismo con
aplicaciones a líneas de transmisión y circuitos eléctricos. Usa una
notación más estándar en el contexto educativo de electromagnetismo.
Pozar: Más enfocado en aplicaciones de microondas, y comunicaciones,
con un mayor énfasis en el diseño práctico y la implementación de
sistemas. Utiliza notaciones específicas para aplicaciones de microondas
y comunicaciones, incluyendo un uso más frecuente de impedancias
normalizadas.
1. Constante de Propagación (γ)
Sadiku define la constante de propagación γ como γ=α+jβ.
Pozar: Pozar también utiliza la convención γ=α+jβ, pero puede enfocarse
más en el contexto de ondas electromagnéticas en guías de onda y
estructuras más complejas, haciendo énfasis en aplicaciones.
2. Impedancia Característica (𝑍0 )
Sadiku: Enfatiza la impedancia característica en el contexto de las líneas
de transmisión con los parámetros distribuidos
Pozar: Usa la misma definición general para 𝑍0, pero en contextos más
específicos, como líneas de microstrip, guías de onda, y otras estructuras
usadas en ingeniería de microondas.
3. Ecuaciones del Telégrafo
Sadiku: Presenta las ecuaciones del telégrafo de forma clásica.
Pozar: Utiliza las mismas ecuaciones fundamentales, pero puede
enfocarse más en la interpretación física y aplicaciones prácticas en
sistemas de comunicación y microondas, usando variaciones específicas
dependiendo del tipo de línea de transmisión y frecuencia de operación.
4. Diagrama de Smith
Sadiku: Introduce el diagrama de Smith principalmente como una
herramienta para la resolución de problemas en líneas de transmisión.
Pozar: Hace un uso extensivo del diagrama de Smith para el diseño y
análisis de circuitos de microondas.
5. Ley de Ampere-Maxwell y Ley de Faraday
Sadiku: Presenta las leyes de Maxwell en un contexto amplio, cubriendo
tanto la teoría como ejemplos prácticos, y hace más uso de notaciones de
vectores y ecuaciones diferenciales.
Pozar: Cubre las leyes de Maxwell, puede enfocarse más en sus
aplicaciones en guías de onda, cavidades resonantes y estructuras de
microondas.
Estas diferencias reflejan los distintos énfasis de cada autor, con Sadiku
orientado más hacia una comprensión básica y amplia del
electromagnetismo y Pozar centrado en las aplicaciones prácticas en el
campo de microondas
