Guía Examen Extraordinario Física 1 - CETIS 54

GUÍA PARA EXÁMEN
EXTRAORDINARIO
FÍSICA 1
CETIS No. 54 “GUADALUPE VICTORIA”
ó
- La presente guía servirá de apoyo para los alumnos que presentarán el
examen extraordinario de la materia de FÍSICA 1, cuarto semestre del
bachillerato para el CETIS No. 54, se apoya en el programa vigente de Física 1
no obstante, no sustituye el libro de texto y/o los apuntes o temas
específicos que cada profesor de asignatura haya realizado durante el curso
del
semestre
correspondiente.
- Para presentarse al examen, previo registro ante Servicios Escolares, es
indispensable llevar pluma color azul o negra, lápiz, sacapuntas, goma y
calculadora; el uso de cualquier dispositivo electrónico que no sea una
calculadora como lo es el celular, está prohibido, quien sea sorprendido
utilizándolo se les suspenderá el examen.
ELABORÓ:
PROF. JOSÉ ALBERTO MANZANO L.
TEMAS GENERALES
1. Conversión de unidades y vectores
2. Movimiento rectilíneo uniforme
3. Movimiento uniformemente acelerado
4. Movimiento parabólico
5. Fuerza
6. Energía
Página | 1
1.
Conversión de unidades y vectores
MAGNITUDES FUNDAMENTALES:
Las magnitudes fundamentales más importantes utilizadas en Química son: longitud,
masa, tiempo, cantidad de sustancia, temperatura y corriente eléctrica. Cada una de
estas magnitudes tiene su propia unidad irreductible.
MAGNITUDES DERIVADAS:
Las magnitudes derivadas son magnitudes físicas obtenidas de combinaciones de
las fundamentales. Por ejemplo, el volumen es una magnitud derivada, que se
obtiene al elevar al cubo la longitud, o la aceleración es una magnitud derivada
al ser una razón o cociente entre la longitud entre el tiempo elevado al cuadrado.
UNIDADES:
a) SISTEMAS DE UNIDADES:
En Química, normalmente, se usan dos sistemas de unidades. El CGS (centímetro-gramosegundo), cuya unidad básica de longitud es el centímetro (cm), de masa el gramo (g)
y la del tiempo el segundo (s); y el SI (Sistema Internacional de Unidades), en donde
la unidad básica de longitud es el metro (m), la masa el kilogramo (kg) y la del
tiempo es el segundo (s). Ambos sistemas definen unidades básicas individuales
para cada magnitud fundamental y son definidos por la Oficina Internacional de
Pesos y Medidas, no obstante existen otros sistemas de unidades como el Sistema
Inglés, donde la unidad básica de longitud es el pie (ft), de masa es la libra (lb) y
el tiempo es también el segundo (s). Existen equivalencias para convertir de una
unidad a otra, al final de este documento se anexan tablas donde se refieren
dichas equivalencias.
b) PREFIJOS DE LAS UNIDADES:
En cualquier sistema de unidades suelen utilizarse prefijos para designar
múltiplos decimales o fracciones decimales de las unidades básicas. Los prefijos
comunes son:
Para cantidades grandes:
MULTIPLO
PREFIJO
ABREVIATURA
10 (1x101)
Deca
D
100 (1x102)
Hecto
h
1000 (1x103)
Kilo
k
1000000 (1x106)
Mega
M
1000000000 (1x109)
Giga
G
1000000000000 (1x1012)
Tera
T
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1000000000000000 (1x1015)
Peta
P
1000000000000000000 (1x1018)
Exa
E
1000000000000000000000 (1x1021)
Zetta
Z
Para cantidades pequeñas:
MULTIPLO
PREFIJO
ABREVIATURA
0.1 (1x10–1)
deci
d
0.01 (1x10–2)
centi
c
0.001 (1x10-3)
mili
m
0.000001 (1x10-6)
micro
µ
0.000000001 (1x10-9)
nano
n
0.000000000001 (1x10-12)
pico
p
0.000000000000001 (1x10-15)
femto
f
0.000000000000000001 (1x10-18)
atto
a
0.000000000000000000001 (1x10-21)
zepto
z
c) UNIDADES DERIVADAS:
Las magnitudes físicas derivadas se miden en unidades donde se combinan unidades
fundamentales. Aunque las unidades que se usan para medir magnitudes físicas
derivadas provienen realmente de las unidades básicas, a menudo se les dan
nombres especiales para mayor conveniencia.
Por ejemplo, el VOLUMEN es una magnitud derivada, a la que se le asigna una unidad
especial el LITRO, en el SI, el litro es igual a 1000 centímetros cúbicos (cm3).
La FUERZA y la ENERGIA son también magnitudes derivadas, la unidad derivada de la
energía es el ERGIO (CGS) y el JOULE (SI). A continuación se presentan algunas
unidades derivadas de fuerza y energía en los dos sistemas y la relación que hay
entre ellas:
UNIDAD
FUERZA
ENERGIA
Nombre de la unidad SI
- Abreviatura
- Unidades Básicas
Nombre de la unidad CGS
Newton
N
kg*m*s–2
Dina
Joule
J
kg*m2*s–2
Ergio
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- Unidades Básicas
g*cm*s–2
Nombre de la unidad
Sistema Inglés
- Abreviatura
- Unidades Básicas
Poundal
Factores de conversión
pdl
lb*ft*s-2
1N = 1x105Dinas
1Dina = 1x10–5N
g*cm2*s–2
Brithis Thermal Unit
BTU
El BTU no tiene unidades
básicas pero tiene
equivalencias: 4x10-5 pdl*f ó 12
pdl*in
1J = 1x107 Ergios
1Ergio = 1x10–7J
d) CONVERSION DE UNIDADES:
Hay otras relaciones útiles entre CGS, SI y otras unidades que es importante
conocer; algunas se pueden deducir por los prefijos y otras hay que aprenderlas
de memoria o buscarlas en los libros, en la siguiente tabla se tienen estos
factores de conversión:
UNIDAD
FACTOR
LONGUITUD
MASA
VOLUMEN
PRESION
TEMPERATURA
1 m = 100 cm, 1 Angstrom (Å) =1x10–8 cm
1 kg = 1000 g
1 m3 = 1000 litros
1 atm = 760 torr = 101325 Pa
°K = °C + 273; °C = 5/9(°F – 32); °R = °F + 460
Para convertir un valor con ciertas unidades a otras, se utilizan los factores de
conversión que son la relación o razón (división) de las equivalencias de
unidades; por ejemplo, de la tabla de equivalencias al final de este documento
tenemos que 1cm=0.3937 pulgadas (in), luego si se quiere convertir 3cm a pulgadas se
estructura el factor de conversión poniendo en el numerador la unidad que quiero
a la que se quiere convertir y en el denominador la unidad a cancelar:
3 𝑐𝑚 (
0.3937 𝑖𝑛
) = 1.1811 𝑖𝑛
1 𝑐𝑚
De la misma forma si la unidad a convertir está en el denominador, la unidad a
cancelar se pone en el numerador, así por ejemplo si se quiere convertir 2 g/cm 3 a
lb/gal US se utilizan varios factores de conversión para pasar a la unidad
deseada, 453.59g=1 lb; 1cm3= 1*10-6 m3; 264.172 gal US= 1 m3:
2
𝑔
1 𝑙𝑏
1 𝑐𝑚3
1 𝑚3
𝑙𝑏
(
)
(
)
(
) = 16.69
3
−6
3
𝑐𝑚 453.59 𝑔 1 ∗ 10 𝑚
264.172𝑔𝑎𝑙 𝑈𝑆
𝑔𝑎𝑙 𝑈𝑆
e) NOTACION CIENTIFICA:
La Notación Científica es un método para expresar números grandes o pequeños
como factores de las potencias de 10.
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Se pueden usar exponentes de 10 para hacer que la expresión de las mediciones
científicas
sea más compacta, más fácil de entender y más sencilla de manejar.
Para expresar números en notación científica, se utiliza la siguiente expresión:
a x 10b
Donde, a es un número decimal entre 1 y 10 (sin ser igual a 10) y b es un entero
positivo, negativo o cero. Representa los lugares que el punto decimal se recorre,
si se recorre a la derecha el signo del exponente será negativo, si se recorre a la
izquierda el exponente será positivo. Por ejemplo:
0.0000000013m = 1.3x10-9m
602200000000000000000000.0 átomos/at – g = 6.022x1023 átomos/at – g
f) CIFRAS SIGNIFICATIVAS:
La exactitud de una medición depende de la cantidad del instrumento de medición y
del cuidado que se tenga al medir. Cuando se da una medida, se expresa con el
número de CIFRAS SIGNIFICATIVAS que mejor represente su propia exactitud y la del
instrumento empleado.
g) APROXIMACION:
Las reglas para realizar aproximaciones son sencillas, si el dígito que sigue al
último que se va a expresar es:
4 o menos, éste se descarta y el número queda con el último dígito original ej. 3.43
la aproximación o redondeo quedaría en 3.4
5 o más, se aumenta en uno el último dígito que se aproxima o redondea, ej. 3.45 la
aproximación o redondeo quedaría en 3.5
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Escribir en notación científica los siguientes números 0.000056 m y 707000000 J:
Paso 1: Se ubica el punto decimal, para números pequeños el punto decimal se
recorrerá hacia la derecha, y para números grandes hacia la izquierda, hasta
dejar 1 sola unidad como cifra significativa:
0.000056 m = 5.6 * 10-5 m
Para el primer número se recorren 5 lugares hacia la derecha dejando una sola
unidad como cifra significativa, el exponente será negativo en la potencia de 10,
por eso queda 10-5.
707000000.0 J = 7.07 * 108 J
Para el segundo número se recorren 8 lugares hacia la izquierda dejando una sola
unidad como cifra significativa, el exponente será positivo en la potencia de 10,
por eso queda 108.
2. Convertir 23 toneladas a libras:
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Paso 1: localizar la equivalencia, en las tablas de conversión al final; 1 ton =
2204.4 lb
Paso 2: generar el factor de conversión; se genera una razón o división donde se
pondrá en el numerador la equivalencia de la nueva unidad a la que se quiere
llegar, en este caso libras y en el denominador la unidad a cancelar, en este caso
toneladas:
2204.4 lb
factor de conversión= (
)
1 ton
Paso 3: verificar si hay algún prefijo de cantidad en la unidad que se quiere
convertir, en este caso no existe el prefijo de cantidad, al valor a convertir no se
le agrega ninguna cantidad y será:
valor a convertir= 23 ton
Paso 4: hacer operaciones con el factor de conversión
directamente por el valor que se quiere convertir:
que
se
multiplica
2204.4 lb
Nueva unidad en lb= 23 ton ∗ (
1 ton
) = 50701.2 lb ó 5.07 ∗ 104 lb
3. Convertir 3.3 MN*m a BTU:
Paso 1: localizar las equivalencias, en las tablas de conversión al final; 1 N*m = 1
J y 1056 J = 1 BTU
Paso 2: generar los factores de conversión; se genera una o varias razones o
divisiones, en este caso como no hay conversión directa de N*m a BTU, se utiliza un
primer factor donde se pondrá en el numerador la equivalencia de la nueva unidad
a la que se quiere llegar que son J y en el denominador la unidad a cancelar, en
este caso N*m; y un segundo factor donde en el numerador estará la unidad final a
la que se quiere llegar BTU y en el denominador la unidad a cancelar, en este caso
J:
factores de conversión= (
1J
1 BTU
) (1056 J)
1N∗m
Paso 3: verificar si hay algún prefijo de cantidad en la unidad que se quiere
convertir, en este caso existe el prefijo de cantidad mega (M) o 1*10 6, este prefijo
será sustituido por su equivalencia numérica, entonces el valor a convertir será:
valor a convertir= 3.3 MN*m = 3.3*106 N*m
Paso 4: hacer operaciones con los factores de conversión que se multiplican
directamente por el valor que se quiere convertir:
1J
1 BTU
Nueva unidad en BTU= 3.3 ∗ 106 N ∗ m ∗ (
)
(
) = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝐁𝐓𝐔
1N∗m 1056 J
Página | 6
4. Una barra uniforme de acero tiene una longitud de 16 pulgadas y una masa de
6.25 libras.
Determinar la masa de la barra en gramos por centímetro de longitud.
Paso 1: Determinar la longitud de la barra en las unidades requeridas de cm,
usando la equivalencia de las tablas, 1 in = 2.54 cm
Longuitud = 16 in ∗ (
2.54 cm
) = 40.6 cm
1 in
Paso 2: Determinar la masa de la barra en las unidades requeridas de g, usando la
equivalencia de las tablas, 454 g = 1 lb
Masa = 6.25 lb ∗ (
454 g
) = 2837.5 g
1 lb
Paso 3: Determinar la relación masa-volumen de la barra en las unidades
requeridas de g/cm, por lo que haciendo la división, queda:
Masa
2837.5 g
𝐠
) = 𝟔𝟗. 𝟖𝟗
=(
Longuitud
40.6 cm
𝐜𝐦
5. Una barra de metal tiene una masa de 15 lb y desplaza un volumen de agua de
3.053x10-2 ft3. Determinar la densidad de la barra en gramos por centímetro cubico
(g/cm3).
Paso 1: Determinar la densidad del metal, sabiendo que la densidad es la relación
masa/volumen, la masa se tiene equivale a 15 lb, el volumen equivale al volumen
desplazado que equivale a 3.053x10-2 ft3, luego la relación masa-volumen será:
Densidad =
masa
15 lb
lb
)
=(
=
491.3
volumen
3.053 ∗ 10−2 ft 3
ft3
Paso 2: Hacer la conversión de unidades a las requeridas de g/cm 3, esto generando 2
factores de conversión de unidades, el primer factor para pasar lb a g, usando la
equivalencia 454 g = 1 lb; y en el segundo factor usando la equivalencia 1 ft3 =
28316.84 cm3, así el proceso de conversión queda:
Conversión a
g
lb
454 g
1 ft3
𝐠
(
)
=
491.3
∗
∗
(
) = 𝟕. 𝟖𝟕
3
3
3
cm
ft
1 lb
28316.84cm
𝐜𝐦𝟑
6. Convertir 40 °C y –5 °C a la escala Fahrenheit
°C =
Sustituyendo:
5
9
(°F − 32) despejando °F = °C + 32
9
5
9
a) °F = 5 40° + 32 = 𝟏𝟎𝟒°𝐅
9
b) °F = 5 (−5°) + 32 = 𝟐𝟑°𝐅
8. Expresar –22 °F en grados Centígrados y en grados Kelvin.
Sustituyendo:
Página | 7
5
5
a) °C = 9 (°F − 32) = 9 (−22° − 32°) = −𝟑𝟎°𝐂
b) °K = °C + 273 = (−30°) + 273 = 𝟐𝟒𝟑°𝐊
EJERCICIOS:
CONVIERTIR, USANDO LAS EQUIVALENCIAS QUE VIENEN AL FINAL LAS SIGUIENTES UNIDADES, NO
OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
1.
2.
3.
4.
5.
45.45 ton a lb
8.89 N a kgf
165.75 m3 a pies cúbicos (ft3) y a barriles estadounidenses (Ba US)
9.42 J a BTU
2.75 W a Hp
USANDO LOS DOS PRIMEROS EJEMPLO DE LA TABLA COMPLETA EL RESTO DE LAS CASILLAS
CONVIRTIENDO LAS SIGUIENTES UNIDADES VALOR REAL, NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CON PREFIJO
SEGÚN SE REQUIERA:
NÚMERO REAL
3500000 N (Newton)
0.0000000012 lb (libras)
8566000000
ton
NOTACIÓN CIENTÍFICA
3.5*106 N
1.2*10-9 lb
PREFIJO
3.5 MN
1.2 nlb
(toneladas)
(litros)
(metros)
9.524*1015 L
3.45 µm
0.0000000022N*m
(Newton*metro o Joule)
VECTORES
Un vector cualquiera tiene las siguientes características:
1. Punto de aplicación u origen.
2. Magnitud, intensidad o módulo del vector. Indica su valor y se representa por la
longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.
3. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, puede ser horizontal, vertical u
oblicua.
4. Sentido. Queda señalado por la punta de la flecha e indica hacia dónde actúa el
vector. El sentido de éste se puede identificar de manera convencional con signos
(+) o (-).
En la siguiente figura se muestran dos vectores cuya dirección es vertical, pero
uno es vertical hacia arriba V1, es decir, positivo (por convención); el otro es
vertical hacia abajo V3, o sea, negativo. También se aprecian dos vectores (V2 y V4),
cuya dirección es horizontal, a la derecha, es decir, positivo (por convención), y el
otro es horizontal a la izquierda, o sea, negativo.
También se aprecian dos vectores F1 y F2, con las mismas magnitudes, pero uno con
sentido positivo a la derecha y otro con signo negativo a la izquierda.
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Para determinar la magnitud y dirección de un vector, se suele utilizar
paralelismo, es decir se considera la coincidencia de las líneas que forman o
proyectan los vectores, de tal forma que se puedan utilizar figuras geométricas
conocidas como los triángulos, y a través de las relaciones que estas figuras
simples tienen, determinar o calcular la información que no se conozca.
Por ejemplo, en la siguiente figura:
α
Se puede considerar para el vector ax, un valor de 4 en su magnitud y para el
vector ay un valor de 3. Se quiere saber el valor del vector a y el ángulo α. El
valor del vector a representa la magnitud escalar (cantidad) del vector y el
ángulo α representa la dirección que tiene dicho vector, la flecha en la punta nos
orienta en el sentido, que en este caso lo ubica en el cuadrante positivo (+)*(+).
Para determina los valores se requiere utilizar relación=es trigonométricas, que
nos permiten mediante simples operaciones obtener los valores que no se conocen,
así se tiene:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎⃗𝑦
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑎⃗
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎⃗𝑥
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑎⃗
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑎⃗𝑦
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎⃗𝑥
Página | 9
También se puede conocer el valor de la magnitud de alguno de los vectores si se
conoce la magnitud de los otros dos vectores, esto mediante el teorema de
Pitágoras; así:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
Siendo a y b los catetos del triangulo rectángulo y c la hipotenusa, llevado al
ejemplo anterior:
2
2
𝑎⃗2 = 𝑎⃗𝑥 + 𝑎⃗𝑦
Luego, si 𝑎⃗𝑥 = 4 𝑦 𝑎⃗𝑦 = 3, entonces sustituyendo en la relación de Pitágoras y
despejando 𝑎⃗ queda:
2
2
𝑎⃗ = √𝑎⃗𝑥 + 𝑎⃗𝑦 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
El ángulo α se puede determinar por la relación trigonométrica de la tangente,
despejando el ángulo con la función inversa de la tangente; así:
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑎⃗𝑦 3
3
3
= , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) ó 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 ( ) = 36.87°
𝑎⃗𝑥 4
4
4
Si se conociera el ángulo y uno de sus lados, pues se utiliza la función
trigonométrica respectiva que asocie el lado conocido y así se despeja el lado
desconocido; por ejemplo si 𝛼 = 35° 𝑦 𝑎⃗𝑦 = 3, ¿Cuál sería el valor de 𝑎⃗𝑥 ?
Usando la relación trigonométrica del seno, se tiene:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑎⃗𝑦
3
, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛 (35°) =
𝑎⃗
𝑎⃗
Despejando el vector 𝑎⃗, se obtiene su valor:
𝑎⃗ =
3
= 5.23
𝑠𝑒𝑛 (35°)
El ejemplo anterior fue para un solo vector, pero pueden existir varios vectores
que tienen una secuencia y por lo tanto deberán sumarse o restarse según sea el
caso; por ejemplo:
F1y=6
β
F1
F2
F2y=4
α
γ
F1x=5
FR
F2x=8
X
Página | 10
Y
En el plano anterior, se tiene los vectores F 1 y F2, uno empieza en el origen y el
otro, F2, está colocado consecutivamente después de F1, por lo que la suma de los dos
da como resultante el vector FR, se conocen los valores de los componentes
proyectados de todos los vectores, en el eje de las x y en el eje de las y.
Determinar cual es el valor de cada vector y los ángulos que describen (α, β y γ):
Se puede notar que los ángulos α y γ son positivos, pues abren en contra del
movimiento de las manecillas del reloj; el ángulo β es negativo, pues abre en
dirección al movimiento de las manecillas del reloj. Para determinar la magnitud
del vector F1, se utilizan los valores de los componentes x y y, que por el plano
serán F1x=5 y F1y=6, luego el vector F1, por el teorema de Pitágoras será:
F1 2 = F1𝑥 2 + F1𝑦 2
F1 = √F1𝑥 2 + F1𝑦 2 = √52 + 62 = √25 + 36 = √61 = 7.81
y el ángulo α, por la relación trigonométrica de la tangente:
tan(𝛼 ) =
6
5
𝛼 = arctan(1.2) = 50.19°
Es importante aclarar que la función arctan equivale a la inversa de la tangente,
o sea tan-1 en las calculadoras convencionales actuales. Así para F 2:
F2 2 = F2𝑥 2 + F2𝑦 2
F2 = √F2𝑥 2 + F2𝑦 2 = √(8 − 5)2 + (4 − 6)2 = √9 + 4 = √13 = 3.6
y el ángulo β, por la relación trigonométrica de la tangente:
tan(𝛽 ) =
−2
3
𝛽 = arctan(−0.666) = −33.7°
Es importante aclarar que se tomó un valor negativo para el numerador de la tan
β, debido a que el componente y de ese vector F 2 tiene sentido para abajo, o sea
negativo. Y por el resultado cuadra con el ángulo negativo que describe dicho
vector F2.
La suma de los vectores F1 y F2 será FR, los componentes FRx y FRy serán: FRx= F1x + F2x
= 5 + 8=13 y
FRy= F2y = 4; así la magnitud de FR es:
F𝑅 2 = F𝑅𝑥 2 + F𝑅𝑦 2
Página | 11
F𝑅
= √F𝑅𝑥 2 + F𝑅𝑦 2 = √132 + 42 = √169 + 16 = √185 = 13.6
y el ángulo α, por la relación trigonométrica de la tangente:
tan(𝛾) =
4
13
𝛾 = arctan(0.3077) = 17.1°
La ley de los senos y cosenos también son igualdades que se pueden utilizar, sobre
todo cuando no se tiene un triángulo rectángulo, como en los siguientes casos:
b
γ
α
a
β
c
Ley de los senos:
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛾
Ley de los cosenos:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos (𝛼)
Entonces, si se conoce por ejemplo a=5, b=4 y α=35º, se puede sustituir en la ley de
los senos:
5
4
=
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 35° 𝑠𝑒𝑛 𝛽
4 ∗ 𝑠𝑒𝑛 35°
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
= 0.4588; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛽
5
𝛽 = arcsen(0.4588) = 27.31°
γ se puede encontrar con la relación donde la suma de los ángulos interiores de un
triángulo debe sumar 180º:
γ = 180º - ( 35º + 27.31º ) = 117.7º
Y c se puede encontrar aplicando el resto de la ley de los senos:
4
𝑐
=
0.4588 𝑠𝑒𝑛 117.7°
Despejando c:
𝑐=
4 ∗ 𝑠𝑒𝑛 117.7°
= 7.71
0.4588
Página | 12
Entonces, si se conoce por ejemplo c=10, b=4 y α=30º, se puede sustituir en la ley de
los cosenos, para encontrar a:
𝑎2 = 42 + 102 − 2 ∗ 4 ∗ 10 ∗ cos (30°)
𝑎 = √16 + 100 − 80 ∗ cos(30°) = √116 − 69.282 = 6.835
Luego se puede aplicar ley de los senos para encontrar el resto de las variables:
6.835
4
=
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 30° 𝑠𝑒𝑛 𝛽
4 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30°
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
= 0.2926; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛽
6.835
𝛽 = arcsen(0.2926) = 17°
γ se puede encontrar con la relación donde la suma de los ángulos interiores de un
triángulo debe sumar 180º:
γ = 180º - ( 30º + 17º ) = 133º
EJERCICIOS:
DETERMINA LOS SIGUIENTES VALORES DEL VECTOR, SU COMPONENTE Y SU ÁNGULO, SEGÚN LOS
DATOS QUE SE PROPORCIONAN EN CADA CASO:
α
1.
2.
3.
Si 𝑎⃗𝑥 = 7.746 𝑦 𝑎⃗𝑦 = 2, ¿cuánto vale 𝑎⃗ 𝑦 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼?
Si el ángulo 𝛼 = 60° 𝑦 𝑎⃗𝑦 = 6.062, ¿cuánto vale 𝑎⃗𝑥 𝑦 𝑎⃗ ?
Si el ángulo 𝛼 = 45° 𝑦 𝑎⃗ = 1.4142, ¿cuánto vale 𝑎⃗𝑥 𝑦 𝑎⃗𝑦 ?
PARA EL SIGUIENTE SISTEMA, DETERMINAR EL VALOR DE F R, F1 Y F2, ASÍ COMO DE LOS ÁNGULOS
α, β Y γ:
F1y=5
β
F1
F2
F2y=3
α
γ
F1x=5
FR
F2x=10
X
Página | 13
Y
2. Movimiento rectilíneo uniforme
DISTANCIA:
La distancia recorrida por un móvil es una magnitud escalar (magnitud sin
dirección ni sentido), es decir que sólo interesa saber cuál es la magnitud o valor
de la longitud recorrida por un móvil durante su trayectoria seguida, sin
importar en qué dirección lo hace.
Por ejemplo, si a una persona le recomiendan correr 3 km todos los días para tener
buena condición física, no importa si lo hace en línea recta corriendo 1.5 km de
ida y 1.5 km de regreso, o los recorre de manera circular a un parque hasta
completar los 3 kilómetros.
DESPLAZAMIENTO:
El desplazamiento de un móvil es una magnitud vectorial, pues corresponde a una
distancia medida en una dirección particular entre dos puntos: el de partida y el
de llegada, teniendo también un sentido.
Así, una persona puede caminar 5 m al norte y 5 m al sur para regresar al mismo
punto de donde partió. Tendremos entonces que su distancia recorrida es de 10m, sin
embargo, su desplazamiento es igual a cero, porque regresó al mismo lugar de
partida.
RAPIDEZ:
La rapidez es una cantidad escalar que únicamente indica la relación entre la
distancia recorrida y el tiempo requerido para recorrer dicha distancia.
Así en la siguiente figura se ilustra, para llegar del punto A al punto S se
demora 30 minutos o 1/2 hora, la distancia es de 1.5 km.
S
1500 m
A
Así la rapidez será:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 =
1500𝑚
𝑚
𝑘𝑚
𝑚
= 3000
=3
= 50
0.5 ℎ
ℎ
ℎ
𝑚𝑖𝑛
Como se observa, no importa que recorrido se haga para llegar del punto A al punto
S, la rapidez solo considera la razón o división entre la distancia y el tiempo.
VELOCIDAD:
La velocidad es una cantidad vectorial, es decir considera además de la relación
entre el desplazamiento recorrido y el tiempo requerido para recorrerlo, la
dirección o inclinación (ángulo) sobre algún eje de referencia, la horizontal por
Página | 14
ejemplo, así como el sentido que tiene dicho vector, es decir a la derecha o
izquierda, arriba o abajo.
Tomando en cuenta la misma figura que se utilizó para la rapidez, para llegar del
punto A al punto S se demora 30 minutos o 1/2 hora, pero el desplazamiento será el
señalado por el vector V.
S
V=1000 m
α=40
°
A
Así la velocidad en magnitud será:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
1000𝑚
𝑚
𝑘𝑚
𝑚
= 2000
=2
= 33.3
0.5 ℎ
ℎ
ℎ
𝑚𝑖𝑛
Como se observa, la dirección que tiene el vector es de 40° sobre la horizontal y
con sentido de izquierda a derecha. En este caso no solo es la relación de la
magnitud desplazada si no también la inclinación y hacia donde se dirige el
vector.
Es importante mencionar que cuando la rapidez y la velocidad tienen la misma
dirección y la magnitud de la longitud recorrida es la misma no hay diferencia
entre un concepto y otro. De hecho en la mayoría de los planteamientos para
resolución de problemas se suele dar el mismo tratamiento y de hecho se considera
en lugar de rapidez como la magnitud de la velocidad.
VELOCIDAD PROMEDIO:
En general cualquier cuerpo en movimiento no suele tener una velocidad constante,
es decir que no varíe la misma velocidad con el tiempo, pues los cambios de
dirección y la misma naturaleza del movimiento hace que la magnitud de la
velocidad no sea constante.
En estricto sentido se debería considerar cada desplazamiento y los cambios de
dirección que se tienen y los tiempos definidos por estos cambios, sin embargo esto
haría que muchos de los cálculos se volvieran bastante engorrosos o poco
prácticos al momento de determinar una distancia, un tiempo o la propia velocidad.
Para esto se suele usar una medida estadística bastante útil y aproximada para
las magnitudes de las velocidades cuando no son iguales y este concepto o medida
estadístico es el promedio.
∑ 𝑣⃗
; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣⃗
𝑛
Así por ejemplo, se tiene la siguiente tabla con la magnitud de varias velocidades:
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
Página | 15
v (m/s)
25
32
43
Cual será la distancia recorrida si el móvil que la describe lo hace en una sola
dirección en un tiempo total de 652 s.
La velocidad promedio será:
𝑣⃑ =
(25 + 32 + 43)
𝑚
= 33.33
3
𝑠
La distancia como se recorre en una misma dirección será la misma que el
desplazamiento por lo que para este problema no se requiere ubicar una dirección
y sentido; así con solo multiplicar la velocidad por el tiempo se obtiene el valor
de la distancia recorrida:
𝑑⃑ = 33.33
VELOCIDAD INSTANTANEA:
𝑚
∗ 652 𝑠 = 21733.3 𝑚 = 21.73 𝑘𝑚
𝑠
Se entiende como velocidad instantánea aquella que se determina en un tiempo
determinado a partir de la relación:
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜2 − 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜1
∆𝐷𝑒𝑠𝑝.
=
lim
∆𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜→0 ∆𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜2 − 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜1
.
Es decir, cuando se quiere determinar la velocidad precisa cuando el
desplazamiento varía respecto del tiempo, la velocidad será la pendiente de la
recta que toca a la curva del desplazamiento que está en función del tiempo. Así
por ejemplo se tiene la siguiente gráfica de la posición de un móvil en función
del tiempo:
Distancia vs tiempo
35
m recorridos
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo en s
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Y se quiere determinar la velocidad instantánea en el t=4 segundos, la velocidad
no será la simple relación metros recorridos / tiempo o sea 10m/4s=2.5 m/s. Para
determinar la velocidad se requiere determinar la pendiente de la recta que toca
a la curva de desplazamiento justo a los 4 segundos; como se aprecia se ha trazado
una línea tangente (línea que toca la curva en un solo punto), así de esta línea
tangente se obtiene para el punto de tiempo en 5 segundos la distancia es 15 m y
para el tiempo en 3 segundos la distancia es 5 m, así la velocidad será la
pendiente entre estos 4 puntos:
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡. =
15𝑚 − 5𝑚 10 𝑚
𝑚
=
=5
5𝑠−3𝑠
2𝑠
𝑠
PROBLEMAS RESUELTOS:
1.
Un móvil tiene un desplazamiento como el que se muestra en el gráfico, cuyo
componente dx=3.5 km y el componente dy=8.2916 km, el tiempo para lograr ese
desplazamiento fue de 54 minutos y la distancia total recorrida fue de
dis.=10.7 km; determine:
a) La magnitud de la velocidad del móvil en m/min y mi/h.
b) La rapidez del móvil en mi/h.
c) La dirección (grados α respecto a la horizontal) del móvil.
dy=8.2916 km
dis.
d
α
dx=3.5 km
X
Y
a) Como se explicó, la velocidad se considera un vector, como tal será la razón
o división resultante de la magnitud del desplazamiento d entre el tiempo
utilizado para recorrer ese desplazamiento; luego entonces, a partir de los
componentes x y y del desplazamiento y usando el Teorema de Pitágoras:
𝑑 2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2
𝑑 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 = √(3.5𝑘𝑚)2 + (8.2916𝑘𝑚)2 = √81𝑘𝑚2 = 9𝑘𝑚 = 9000𝑚
Para obtener la magnitud de la velocidad en m/min, se dividen los 9000m
entre 54 minutos:
𝑣̅ =
9000 𝑚
𝑚
= 166.6
54 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
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Luego para convertir a mi/h se utilizan las equivalencias al final del
documento; 1 mi=1609.344m
𝑣̅ = 166.6
𝑚
1 𝑚𝑖
60 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖
∗(
)∗(
) = 6.211
𝑚𝑖𝑛 1609.344 𝑚
1ℎ
ℎ
b) La rapidez se calculará a partir de la distancia total recorrida, que en
este caso equivale a 10.7 km o 10700 m, entonces:
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 =
c)
10700 𝑚
𝑚
1 𝑚𝑖
60 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖
= 198.15
∗(
)∗(
) = 7.39
54 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛 1609.344 𝑚
1ℎ
ℎ
El ángulo que describe la dirección de la velocidad hacia donde se dirige
el móvil se calcula con la relación trigonométrica de la tangente que
relaciona a los componentes x y y de la velocidad:
tan 𝛼 =
𝑑𝑦
3.5𝑘𝑚
=
= 0.4221
8.2916𝑘𝑚
𝑑𝑥
Aplicando la función inversa o arco tangente para despejar α, se tiene:
𝛼 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (0.4221) = 22.9°
2.
Un barco recorre un rio con una velocidad constante equivalente a 32.5 mi/h,
determinar la velocidad resultante en cada caso, si la velocidad del río es
de 18 mi/h con sentido hacia el Este:
a) El barco se mueve en el sentido de la corriente que lleva el río.
b) El barco se mueve en el sentido opuesto a la de la corriente del río.
c) En sentido perpendicular a la de la corriente del río.
d) Para el caso c, además determinar el ángulo de la velocidad resultante, y si
el ancho del rio es de 10 mi, ¿Cuánto tiempo tardará en cruzar el rio? y ¿en
cuantas millas en la horizontal respecto del punto donde empieza a
cruzarlo perpendicularmente llega?
ESTE
RIO
a)
b)
c)
18 mi/h
32.5 mi/h
32.5 mi/h
18 mi/h
32.5 mi/h
18 mi/h
18 mi/h
a) Para el primer problema, la velocidad del barco se suma como vector de la
velocidad del rio que se dirige al Este, luego:
𝑣 = 𝑣𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜 + 𝑣𝑟𝑖𝑜 = 32.5
𝑚𝑖
𝑚𝑖
𝑚𝑖
+ 18
= 50.5
ℎ
ℎ
ℎ
Página | 18
La velocidad resultante para el primer caso, será únicamente la suma de la
velocidad del barco con la velocidad del rio, la dirección es 0° sobre la
dirección Este.
b) Para el segundo caso, la velocidad va en contra del flujo del río, por lo que
la suma vectorial de ambos será:
𝑚𝑖
𝑚𝑖
𝑚𝑖
+ 18
= −14.5
ℎ
ℎ
ℎ
Se considera la velocidad del barco como negativa, pues se dirige en sentido
contrario al flujo del río, la resultante será la velocidad de -14.5 con
dirección Oeste.
𝑣 = 𝑣𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜 + 𝑣𝑟𝑖𝑜 = −32.5
c)
Para el caso donde el barco va de forma perpendicular al flujo del río, se
requiere obtener la resultante entre la velocidad del barco y la velocidad
del rio, debido a que son dos vectores, uno la velocidad del barco en
dirección norte perpendicular al flujo del río con una velocidad en
magnitud de 32.5 mi/h y el otro vector la velocidad propia del río con
magnitud 18 mi/h en dirección Este, se determina mediante Pitágoras:
N
32.5 mi/h
v
α
E
18 mi/h
2
2
𝑣 2 = 𝑣𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜
+ 𝑣𝑟𝑖𝑜
= (32.5
𝑣
2
2
= √𝑣𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜
+ 𝑣𝑟𝑖𝑜
= √(32.5
𝑚𝑖 2
𝑚𝑖
) + (18 )2
ℎ
ℎ
𝑚𝑖 2
𝑚𝑖
𝑚𝑖
) + (18 )2 = 37.15
ℎ
ℎ
ℎ
Este valor de 37.15 mi/h será la velocidad resultante en la que irá el barco
de manera diagonal sobre el río.
d) El ángulo α se determina a partir de la relación trigonométrica de la
tangente, entre la velocidad del río y la del barco:
𝑚𝑖
32.5 ℎ
tan 𝛼 =
= 1.8
𝑚𝑖
18 ℎ
𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (1.8) = 61°
Como la distancia entre los extremos del río o el ancho del río es igual a
10 mi y se cuenta con el ángulo que forma la velocidad resultante que será
el mismo que forme el desplazamiento con la función seno se relaciona el
ancho del río, el ángulo y el desplazamiento del río:
Página | 19
sen 𝛼 =
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑟𝑖𝑜
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
sen 61° =
10 𝑚𝑖
𝐷𝑒𝑠𝑝.
Despejando el desplazamiento:
𝐷𝑒𝑠𝑝. =
10 𝑚𝑖
= 11.43 𝑚𝑖
sen 61°
Luego la distancia que recorre el barco en diagonal es de 11.43 mi. Para
encontrar el tiempo en que recorre esa distancia se despeja de la magnitud
de velocidad:
𝐷𝑒𝑠𝑝.
𝑚𝑖 11.43 𝑚𝑖
→ 37.15
=
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
ℎ
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑣̅ =
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
11.43 𝑚𝑖
60 𝑚𝑖𝑛
= 0.308 ℎ → 0.308 ℎ ∗ (
) = 18.46 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖
1ℎ
37.15 ℎ
La distancia sobre la horizontal a la que llega el barco se obtiene usando
cualquier función trigonométrica, pues ya se conoce el ángulo y 2 de los
lados, luego usando la tangente con el desplazamiento y el ángulo se tiene:
tan 𝛼 =
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟í𝑜
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
tan 61° =
10 𝑚𝑖
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
Despejando la distancia horizontal:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 =
10 𝑚𝑖
= 5.54 𝑚𝑖
tan 61°
3.
Un móvil se desplaza 350 m al Oeste y 290 m al Sur en 3.6 minutos, luego 550 m
al Este y 160 m al Sur en 4.5 minutos, luego 240 m al Oeste y 610 m al Norte en
5.2 minutos y por último 390 m al Este y 190 m al Norte en 3.2 minutos:
a) ¿Cuál es la rapidez del móvil en cada tramo en pies (ft)/s?
b) ¿Cuál es la velocidad del móvil en cada tramo en yardas (yd)/h?
c) ¿Cuál es la velocidad resultante del móvil en millas (mi)/h?
d) ¿Cuál es la rapidez total del móvil en pulgadas (in)/s?
Página | 20
Primero se hace el trazo en un plano cartesiano o geográfico a fin de
ubicar cada vector y luego se procede a determinar cada concepto por cada
tramo:
N (+)
En el esquema anterior se representa cada recorrido en un color, rojo para
el primero, morado para el segundo, azul para el tercero y verde para el
cuarto, y en negro está el desplazamiento resultante. Este esquema es el que
se apega al movimiento real del móvil, sin embargo para un mejor análisis
se puede tomar un mismo punto de partida que sería el origen:
S (-)
Así para el primer recorrido:
1) El móvil se desplaza 350 m al Oeste, como referencia ese desplazamiento será
negativo, y luego 290 m al Sur, también será negativo, esto para la
velocidad y la referencia hacia donde se dirige, sin embargo para la
distancia solo se considera la longitud, sin signo. Luego para la distancia
será:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 1 = 350 𝑚 + 290 𝑚 = 640 𝑚
La rapidez se determina con el tiempo:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 1 =
640 𝑚
𝑚
= 182.85
3.6 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Página | 21
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la rapidez 1 en ft/s:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 1 = 182.85
𝑚
1 𝑓𝑡
1 𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑡
𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = 9.99 ≈ 10
𝑚𝑖𝑛 0.3048 𝑚
60 𝑠
𝑠
𝑠
La magnitud de la velocidad resultante se obtiene, primero determinando el
Desplazamiento 1 con el Teorema de Pitágoras, usando las distancias en x y
y con sus respectivos signos, y luego dividiendo entre el tiempo:
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜12 = 𝑑𝑥1
+ 𝑑𝑦1
= (−350 𝑚)2 + (−290 𝑚)2
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜1 = √𝑑𝑥1
+ 𝑑𝑦1
= √(−350 𝑚)2 + (−290 𝑚)2 = 454.53 𝑚
𝑣1 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜1 454.53 𝑚
𝑚
=
= 126.26
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
3.6 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la velocidad 1 en yd/h:
𝑣1 = 126.26
𝑚
1 𝑦𝑑
60 𝑚𝑖𝑛
𝑦𝑑
𝐾𝑦𝑑
∗(
)∗(
) = 8284.7
≈ 8.285
𝑚𝑖𝑛 0.9144 𝑚
1ℎ
ℎ
ℎ
El ángulo α1 se encuentra con la relación de la tangente:
tan 𝛼1 =
−290 𝑚
= 0.8285
−350 𝑚
𝛼1 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (0.8285) = 39.64°
Como se aprecia, la división de lados negativos determina un ángulo
positivo. Así la velocidad completa del vector para el primer recorrido
será:
𝑣1 = 8.285
𝐾𝑦𝑑
; 𝛼1 = 39.64° 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑆𝑂
ℎ
Así para el segundo recorrido:
2) El móvil se desplaza 550 m al Oeste, como referencia ese desplazamiento será
positivo, y luego 160 m al Sur, este desplazamiento será negativo, esto para
la velocidad. Para la distancia solo se considera la longitud. Luego para
la distancia será:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 2 = 550 𝑚 + 160 𝑚 = 710 𝑚
La rapidez se determina con el tiempo:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 2 =
710 𝑚
𝑚
= 157.78
4.5 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la rapidez 2 en ft/s:
Página | 22
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 2 = 157.78
𝑚
1 𝑓𝑡
1 𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = 8.63
𝑚𝑖𝑛 0.3048 𝑚
60 𝑠
𝑠
La magnitud de la velocidad resultante se obtiene, primero determinando el
Desplazamiento 2 con el Teorema de Pitágoras, usando las distancias en x y
y con sus respectivos signos, y luego dividiendo entre el tiempo:
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜22 = 𝑑𝑥2
+ 𝑑𝑦2
= (550 𝑚)2 + (−160 𝑚)2
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜2 = √𝑑𝑥2
+ 𝑑𝑦2
= √(550 𝑚)2 + (−160 𝑚)2 = 572.8 𝑚
𝑣2 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜2 572.8 𝑚
𝑚
=
= 127.29
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
4.5 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la velocidad 2 en yd/h:
𝑣2 = 127.29
𝑚
1 𝑦𝑑
60 𝑚𝑖𝑛
𝑦𝑑
𝐾𝑦𝑑
∗(
)∗(
) = 8352.4
≈ 8.352
𝑚𝑖𝑛 0.9144 𝑚
1ℎ
ℎ
ℎ
El ángulo α2 se encuentra con la relación de la tangente:
tan 𝛼2 =
−160 𝑚
= −0.29
550 𝑚
𝛼2 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (−0.29) = −16.2 °
Como se aprecia, la división de un lado negativo y otro positivo determina
un ángulo negativo. Así la velocidad completa del vector para el segundo
recorrido será:
𝑣2 = 8.352
𝐾𝑦𝑑
; 𝛼2 = −16.2° 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑆𝐸
ℎ
Para el tercer recorrido:
3) El móvil se desplaza 240 m al Oeste, como referencia ese desplazamiento
será negativo, y luego 610 m al Norte, este desplazamiento será positivo,
esto para la velocidad. Para la distancia solo se considera la longitud.
Luego para la distancia será:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 3 = 240 𝑚 + 610 𝑚 = 850 𝑚
La rapidez se determina con el tiempo:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 3 =
850 𝑚
𝑚
= 163.46
5.2 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la rapidez 3 en ft/s:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 3 = 163.46
𝑚
1 𝑓𝑡
1 𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = 8.93
𝑚𝑖𝑛 0.3048 𝑚
60 𝑠
𝑠
Página | 23
La magnitud de la velocidad resultante se obtiene, primero determinando el
Desplazamiento 3 con el Teorema de Pitágoras, usando las distancias en x y
y con sus respectivos signos, y luego dividiendo entre el tiempo:
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜32 = 𝑑𝑥3
+ 𝑑𝑦3
= (−240 𝑚)2 + (610 𝑚)2
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜3 = √𝑑𝑥3
+ 𝑑𝑦3
= √(−240 𝑚)2 + (610 𝑚)2 = 655.51 𝑚
𝑣3 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜3 655.51 𝑚
𝑚
=
= 126.1
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
5.2 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la velocidad 3 en yd/h:
𝑣3 = 126.1
𝑚
1 𝑦𝑑
60 𝑚𝑖𝑛
𝑦𝑑
𝐾𝑦𝑑
∗(
)∗(
) = 8271.7
≈ 8.272
𝑚𝑖𝑛 0.9144 𝑚
1ℎ
ℎ
ℎ
El ángulo α3 se encuentra con la relación de la tangente:
tan 𝛼3 =
610 𝑚
= −2.541
−240 𝑚
𝛼3 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (−2.541) = −68.52 °
Como se aprecia, la división de un lado positivo y otro negativo determina
un ángulo negativo. Así la velocidad completa del vector para el tercer
recorrido será:
𝑣3 = 8.272
𝐾𝑦𝑑
; 𝛼3 = −68.52° 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝑂
ℎ
Para el cuarto recorrido:
4) El móvil se desplaza 390 m al Este, como referencia ese desplazamiento será
positivo, y luego 190 m al Norte, este desplazamiento será positivo, esto
para la velocidad. Para la distancia solo se considera la longitud. Luego
para la distancia será:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 4 = 390 𝑚 + 190 𝑚 = 580 𝑚
La rapidez se determina con el tiempo:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 4 =
580 𝑚
𝑚
= 181.25
3.2 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la rapidez 4 en ft/s:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 4 = 181.25
𝑚
1 𝑓𝑡
1 𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = 9.91
𝑚𝑖𝑛 0.3048 𝑚
60 𝑠
𝑠
Página | 24
La magnitud de la velocidad resultante se obtiene, primero determinando el
Desplazamiento 4 con el Teorema de Pitágoras, usando las distancias en x y
y con sus respectivos signos, y luego dividiendo entre el tiempo:
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜42 = 𝑑𝑥4
+ 𝑑𝑦4
= (390 𝑚)2 + (190 𝑚)2
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜4 = √𝑑𝑥4
+ 𝑑𝑦4
= √(390 𝑚)2 + (190 𝑚)2 = 433.82 𝑚
𝑣4 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜4 433.82 𝑚
𝑚
=
= 135.56
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
3.2 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la velocidad 4 en yd/h:
𝑣4 = 135.56
𝑚
1 𝑦𝑑
60 𝑚𝑖𝑛
𝑦𝑑
𝐾𝑦𝑑
∗(
)∗(
) = 8895.5
≈ 8.896
𝑚𝑖𝑛 0.9144 𝑚
1ℎ
ℎ
ℎ
El ángulo α4 se encuentra con la relación de la tangente:
tan 𝛼4 =
190 𝑚
= 0.4871
390 𝑚
𝛼4 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (0.4871) = 25.97 °
Como se aprecia, la división ambos lados positivos determina un ángulo
positivo. Así la velocidad completa del vector para el cuarto recorrido
será:
𝑣4 = 8.896
𝐾𝑦𝑑
; 𝛼4 = 25.97° 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝐸
ℎ
Con los análisis por cada recorrido anteriores se cubre lo solicitado en
los incisos a y b. Para el inciso c se tiene:
Se requiere la suma de todos los componentes en x y en y para determinar
la velocidad resultante:
∑ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −350 𝑚 + 550 𝑚 − 240 𝑚 + 390 𝑚 = 350 𝑚
∑ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑦 = −290 𝑚 − 160 𝑚 + 610 𝑚 + 190 𝑚 = 350 𝑚
La magnitud de la velocidad resultante se obtiene, primero determinando el
Desplazamiento R con el Teorema de Pitágoras, como los procedimientos
anteriores, usando las distancias en x y y con sus respectivos signos, y
luego dividiendo entre el tiempo:
2
2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑅2 = 𝑑𝑥𝑅
+ 𝑑𝑦𝑅
= (350 𝑚)2 + (350 𝑚)2
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑅
2
2
= √𝑑𝑥𝑅
+ 𝑑𝑦𝑅
= √(350 𝑚)2 + (350 𝑚)2 = 494.97 𝑚
Para la velocidad se requiere la suma de los tiempos de cada recorrido:
Página | 25
𝑣𝑅 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑅
494.97 𝑚
𝑚
=
= 29.99
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
(3.6 + 4.5 + 5.2 + 3.2) 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la velocidad R en mi/h:
𝑣𝑅 = 29.99
𝑚
1 𝑚𝑖
60 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖
∗(
)∗(
) = 1.11
𝑚𝑖𝑛 1609.34 𝑚
1ℎ
ℎ
El ángulo αR se encuentra con la relación de la tangente:
tan 𝛼𝑅 =
350 𝑚
=1
350 𝑚
𝛼𝑅 = 𝑡𝑎𝑛−1 (1) = 45 °
Como se aprecia, la división ambos lados positivos determina un ángulo
positivo. Así la velocidad resultante del vector para el todo el recorrido
será:
𝑐) 𝑣𝑅 = 1.11
𝑚𝑖
; 𝛼𝑅 = 45° 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝐸
ℎ
La rapidez se obtendrá al sumar todas las distancias de todos los
recorridos entre el tiempo total:
∑ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 = 640 𝑚 + 710 𝑚 + 850 𝑚 + 580 𝑚 = 2780 𝑚
∑ 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 3.6 𝑚𝑖𝑛 + 4.5 𝑚𝑖𝑛 + 5.2 𝑚𝑖𝑛 + 3.2 𝑚𝑖𝑛 = 16.5 𝑚𝑖𝑛
La rapidez resultante R se determina con la distancia entre el tiempo:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑅 =
2780 𝑚
𝑚
= 168.48
16.5 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Usando las equivalencias de unidades del final se obtienen los factores
de conversión para la rapidez R en in/s:
𝑑) 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑅 = 168.48
4.
𝑚
1 𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛
𝑖𝑛
∗(
)∗(
) = 110.55
𝑚𝑖𝑛 0.0254 𝑚
60 𝑠
𝑠
Un móvil se mueve ciertas distancias en función del tiempo, de acuerdo con
la siguiente tabla y gráfica:
Página | 26
Distancia vs tiempo
30
km recorridos
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
tiempo en h
tiempo
desplazamiento
h (x)
Km (y)
0
5
0.4
12
0.9
18
1.5
18
2.1
25
2.7
19
3.4
13
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la velocidad en cada intervalo de tiempo en km/h?
¿Cuál es la velocidad promedio en km/h?
¿Existirá una distancia máxima?
¿Cuál sería la magnitud de la velocidad resultante de todo el trayecto?
a) La velocidad en cada intervalo estará dada por la pendiente en cada
segmento o intervalo de tiempo, así tomando pares de puntos se tiene:
tiempo
desplazamiento
h (x)
Km (y)
0
5
Intervalos
magnitud
Int. Desp. 1=12 Km-5 Km
Int. Tiem. 1=0.4 h-0 h
0.4
12
Velocidad instantánea
𝑣1 =
7 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= 17.5
0.4 ℎ
ℎ
Página | 27
4
0.4
12
Int. Desp. 2=18 Km-12 Km
Int. Tiem. 2=0.9 h-0.4 h
0.9
18
0.9
18
18
1.5
18
25
2.1
25
19
2.7
19
𝑣4 =
7 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= 11.67
0.6 ℎ
ℎ
𝑣5 =
−6 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= −10
0.6 ℎ
ℎ
𝑣6 =
−6 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= −8.6
0.7 ℎ
ℎ
Int. Desp. 6=13 Km-19 Km
Int. Tiem. 6=3.4 h-2.7 h
3.4
0 𝐾𝑚
𝐾𝑚
=0
0.6 ℎ
ℎ
Int. Desp. 5=19 Km-25 Km
Int. Tiem. 5=2.7 h-2.1 h
2.7
𝑣3 =
Int. Desp. 4=25 Km-18 Km
Int. Tiem. 4=2.1 h-1.5 h
2.1
6 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= 12
0.5 ℎ
ℎ
Int. Desp. 3=18 Km-18 Km
Int. Tiem. 3=1.5 h-0.9 h
1.5
𝑣2 =
13
Las velocidades 5 y 6 tienen signo negativo pues la distancia se acercó a
la del origen, por lo que significa que cambió el sentido de dicha
velocidad. Es importante mencionar que en este tipo de gráficas distancia
vs. Tiempo no se puede representar la orientación de cada vector de
velocidad como se hizo en los ejercicios anteriores, por lo que el sentido
viene acompañado del signo, pero solo es como referencia, la magnitud de
velocidad en si es positiva siempre, lo que ubica la dirección y sentido es
el ángulo y la orientación geográfica, ambos datos no es posible obtenerlos
con esta información.
b) La velocidad promedio será la suma de todas las magnitudes de las
velocidades considerándolas positivas, por lo que las velocidades 5 y 6 se
les cambiará el signo para poderlas sumar:
Velocidad instantánea
magnitud
𝑣1 = 17.5
𝑣2 = 12
𝑣3 = 0
𝐾𝑚
ℎ
𝐾𝑚
ℎ
𝐾𝑚
ℎ
𝑣4 = 11.67
𝐾𝑚
ℎ
Página | 28
𝑣5 = 10
𝐾𝑚
ℎ
𝑣6 = 8.6
𝐾𝑚
ℎ
∑ 𝑣𝑖 = (17.5 + 12 + 0 + 11.67 + 10 + 8.6)
𝐾𝑚
𝐾𝑚
= 59.77
ℎ
ℎ
Entonces la velocidad promedio está dada por la formula:
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚. =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝑚
∑ 𝑣⃗ 59.77 ℎ
𝐾𝑚
=
= 9.96
𝑛
6
ℎ
Es importante mencionar que en el tiempo promedio se contó el valor de 0
así como los 6 datos, esto es porque el tiempo transcurrió aunque la
velocidad tuvo un valor de cero.
c)
La distancia máxima será aquella donde hay un pico o máximo y luego
disminuye o se aproxima, esto es a la distancia de 25 metros según la
gráfica del problema, se puede distinguir que a partir de esa distancia el
móvil se vuelve a acercar a su origen, aunque no llega a el. Por lo tanto la
distancia máxima será 25 metros.
d) La magnitud de la velocidad resultante será determinada mediante la
pendiente del primer punto y el último, esto es:
tiempo
desplazamiento
h (x)
Km (y)
0
5
Intervalos
magnitud
Int. Desp. R=13 Km-5 Km
Int. Tiem. R=3.4 h-0 h
3.4
13
Velocidad resultante
𝑣𝑅 =
8 𝐾𝑚
𝐾𝑚
= 2.35
3.4 ℎ
ℎ
EJERCICIOS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, PARA LAS UNIDADES DONDE TENGAS QUE CONVERTIR,
LAS EQUIVALENCIAS VIENEN AL FINAL NO OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
Página | 29
1.
Un móvil tiene un desplazamiento como el que se muestra en el gráfico, cuyo
componente dx=-5 km y el componente dy=14.14 km, el tiempo para lograr ese
desplazamiento fue de 35 minutos y la distancia total recorrida fue de
dis.=17.3 km; determine:
a) La magnitud de la velocidad del móvil en m/min y mi/h.
b) La rapidez del móvil en ft/s.
c) La dirección (grados α respecto a la horizontal) del móvil, considerar el
signo del ángulo.
dy=14.14 km
d
dis.
α
X
dx=5 km
Y
2.
Un dron recorre un cañon con una velocidad constante equivalente a 60 mi/h,
determinar la velocidad resultante en cada caso, si la velocidad del viento
en el cañón es de 22 mi/h con sentido hacia el Este:
a) El dron se mueve en el sentido del flujo que lleva del viento.
b) El dron se mueve en el sentido opuesto al flujo del viento.
c) En sentido perpendicular al flujo del viento.
d) Para el caso c, además determinar el ángulo de la velocidad resultante, si
el dron tarda 0.086 h en atravesarlo con esa velocidad resultante, ¿Cuál es
el desplazamiento del dron en diagonal, de un extremo del cañón al otro? y
¿Cuál es el ancho del cañón?
ESTE
a)
CAÑON
b)
c)
Vviento=22
mi/h
60 mi/h
60 mi/h
60 mi/h
22 mi/h
3.
Un móvil se desplaza 2600 m al Oeste y 1900 m al Sur en 4 minutos, luego 4500
m al Este y 2100 m al Sur en 7 minutos, y por último 6300 m al Este y 4200 m
al Norte en 8 minutos:
a) ¿Cuál es la rapidez del móvil en cada tramo en millas (mi)/h?
Página | 30
b) ¿Cuál es la velocidad del móvil en cada tramo en kilómetros (Km)/h?
c) ¿Cuál es la velocidad resultante del móvil en kilómetros (Km)/h?
d) ¿Cuál es la rapidez total del móvil en millas (mi)/h?
4.
Un móvil se mueve ciertas distancias en función del tiempo, de acuerdo con
la siguiente tabla y gráfica:
Distancia vs tiempo
45
40
m recorridos
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
tiempo en min
tiempo
desplazamiento
min (x)
m (y)
0
3
1.5
15
2.5
35
3.5
35
4.5
25
6
40
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la velocidad en cada intervalo de tiempo en m/min?
¿Cuál es la velocidad promedio en m/min?
¿Cuál es la distancia máxima?
¿Cuál sería la magnitud de la velocidad resultante de todo el trayecto en
m/min?
Página | 31
3. Movimiento uniformemente acelerado
ACELERACIÓN:
Se considera a la aceleración como la variación de la velocidad entre el tiempo en
la cual dicho evento ocurre, es decir como una diferencia entre velocidades entre
una diferencia de tiempos.
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
∆𝑣
∆𝑡
Así por ejemplo, se tienen los siguientes datos:
v (m/s)
35
42
53
t(s)
0
5
13
Para la aceleración de 0 s a 5 s será:
𝑎1 =
𝑚
𝑚
42 𝑠 − 35 𝑠
5𝑠−0𝑠
= 1.4
𝑚
𝑠2
Para la aceleración de 5 s a 7 s será:
𝑎2 =
𝑚
𝑚
53 𝑠 − 42 𝑠
13 𝑠 − 5 𝑠
= 1.375
𝑚
𝑠2
De esta relación se puede entender, que al igual que la velocidad, la aceleración
será una pendiente que relaciona la diferencia de velocidad y la diferencia de
tiempo:
𝑎𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 =
𝑣2 − 𝑣1
∆𝑣
=
lim
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜2 − 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜1 ∆𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜→0 ∆𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Se puede considerar a la v2 como la velocidad final vf, y a la v1 como la velocidad
inicial vi, generalmente en los problemas prácticos se da la diferencia del tiempo
o el tiempo transcurrido en el que el proceso de aceleración ocurre, esto es el t1
que equivaldría al tiempo inicial sería 0 s, así se obtendría la fórmula 1 para
aceleración:
𝑎=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 1
𝑡
Del concepto de velocidad promedio, para únicamente los datos de velocidad final e
inicial se tiene:
𝑣𝑝 =
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
2
Del concepto de velocidad que es el desplazamiento entre el tiempo:
Página | 32
𝑣𝑝 =
𝑑
𝑡
De este se despeja el desplazamiento:
𝑑 = 𝑣𝑝 ∗ 𝑡
Esta última ecuación se combina con la de velocidad promedio, obteniendo la
formula 2:
𝑑=(
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
) ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 2
2
Despejando de la fórmula 1 la velocidad final Vf, se tendría la fórmula 3:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
Ahora sustituyendo la velocidad final de la fórmula 3 en la fórmula 2 quedaría:
𝑑=(
𝑑=(
𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 + 𝑣𝑖
)∗𝑡
2
2𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
2𝑣𝑖 𝑡 + 𝑎𝑡 2
)∗𝑡 =
2
2
𝑑=
2𝑣𝑖 𝑡 𝑎𝑡 2
𝑎𝑡 2
+
= 𝑣𝑖 𝑡 +
2
2
2
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +
𝑎𝑡 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 4
2
Por último, se pueden multiplicar la fórmula 1 y 2 quedando de la siguiente
manera:
𝑎∗𝑑=(
𝑎𝑑 = (
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
)((
) ∗ 𝑡)
𝑡
2
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 2
) ((
) ∗ 𝑡) =
𝑡
2
2
𝑎𝑑 =
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
2
De donde se puede despejar aceleración o desplazamiento, así:
𝑑=
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 5
2𝑎
𝑎=
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 6
2𝑑
Por lo que se puede tener un compendio de fórmulas para la aceleración:
Página | 33
FÓRMULAS DE ACELERACIÓN
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎=
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 1
𝑡
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
𝑑=(
) ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 2
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
𝑎𝑡 2
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 4
2
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 5
2𝑎
2
2
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎=
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 6
2𝑑
𝑑=
PROBLEMAS RESUELTOS:
Un móvil tiene una aceleración de 0.56 m/s2, si la velocidad con que inicia el
movimiento es de 20 km/h y la velocidad después de cierto tiempo es de 45
km/h:
d) ¿Cuál es el tiempo en segundos que le lleva el cambio de velocidades?
e) ¿Cuál es el tiempo en horas?
5.
d) Para determinar el tiempo se tiene que elegir la fórmula correcta que
relacione todos los datos disponibles, a saber, por el problema se considera:
𝑘𝑚
𝑣𝑖 = 20
ℎ
𝑘𝑚
𝑣𝑓 = 40
ℎ
𝑚
𝑎 = 0.56 2
𝑠
De la primera fórmula se tienen todos los elementos, excepto el tiempo que
es el que se pretende encontrar, entonces se despeja tiempo de esta primera
fórmula:
𝑎=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 1
𝑡
𝑡=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎
No es posible sustituir directamente los valores, pues están en diferentes
unidades, la unidad de distancia en la velocidad está en metros y el tiempo
en horas, cosa distinta, la aceleración está en metros sobre segundo
cuadrado, por lo que conviene pasar la velocidad a m/s para que el
resultado de en segundos:
𝑣𝑖 = 20
𝑘𝑚 1000 𝑚
1ℎ
𝑚
∗(
)∗(
) = 5.5
ℎ
1 𝑘𝑚
3600 𝑠
𝑠
𝑣𝑓 = 40
𝑘𝑚 1000 𝑚
1ℎ
𝑚
∗(
)∗(
) = 11.1
ℎ
1 𝑘𝑚
3600 𝑠
𝑠
Así queda sustituida en la fórmula donde el tiempo está despejado:
Página | 34
𝑚
𝑚
11.1 𝑠 − 5.5 𝑠
𝑡=
= 9.92 𝑠
𝑚
0.56 2
𝑠
𝑚
𝑚∗𝑠 2
Del análisis de dimensiones se obtienen segundos: 𝑚𝑠 = 𝑚∗𝑠 = 𝑠
𝑠2
e)
El tiempo en horas es una conversión de los segundos con un factor:
𝑡 = 9.92 𝑠 ∗ (
1ℎ
) = 2.75 ∗ 10−3 ℎ = 2.75 𝑚ℎ
3600 𝑠
Un barco cerca de un puerto lleva una aceleración de 60 mi-nau/h2 durante
30 minutos, si la velocidad después de este tiempo es de 45 mi-nau/h (millas
náuticas/h),:
e) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento en km?
f) Si su aceleración aumenta a 75 mi-nau/h2 durante 15 minutos ¿Cuál será su
velocidad final en mi-nau/h?
6.
b) Para la primera
disponibles:
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑎 = 60
ℎ2
𝑡 = 30 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑣𝑓 = 45
ℎ
parte
del
problema
se
deben
considerar
los
datos
Como se quiere encontrar desplazamiento, y este dato en las fórmulas
involucra contar con la velocidad inicial 𝑣𝑖 , se requiere despejar de la
fórmula 3 𝑣𝑖 y luego utilizar ese valor en la fórmula 2 o 4 para encontrar
el desplazamiento; se utilizará la fórmula 2 para este caso:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
𝑣𝑖 = 𝑣𝑓 − 𝑎 ∗ 𝑡
En este caso solo es importante considerar el tiempo en horas y no en
minutos para que las unidades sean consistentes:
𝑡 = 30 𝑚𝑖𝑛 ∗ (
1ℎ
) = 0.5 ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
Sustituyendo en la fórmula 3 despejada:
𝑣𝑖 = 45
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
− (60
) ∗ 0.5 ℎ = 45
− 30
= 15
ℎ
ℎ2
ℎ
ℎ
ℎ
Sustituyendo en la fórmula 2, se obtiene:
𝑑=(
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
) ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 2
2
Página | 35
𝑑=(
45
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
ℎ + 15
ℎ ) ∗ (0.5 ℎ) = (60
ℎ ) ∗ (0.5 ℎ)
2
2
𝑑 = 30
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
∗ (0.5 ℎ) = 15 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
ℎ
De la tabla de equivalencias del final 1 milla náutica = 1.852 km, se obtiene
el factor de conversión y el resultado del desplazamiento en km:
𝑑 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢 ∗ (
1.852 𝑘𝑚
) = 27.78 𝑘𝑚
1 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
c)
Para la segunda parte del problema se indica que la aceleración aumenta a
75 mi-nau/h2, en un lapso de 15 minutos, y se pide la velocidad final de este
nuevo lapso; en este caso la velocidad final del inciso a anterior será la
nueva velocidad inicial, así se cuenta con la siguiente información:
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑎 = 75
ℎ2
𝑡 = 15 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑣𝑖 = 45
ℎ
Al igual que en el problema anterior, para que las unidades
consistentes en tiempo, se deben transformar los minutos a horas:
𝑡 = 15 𝑚𝑖𝑛 ∗ (
sean
1ℎ
) = 0.25 ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
Y de la fórmula 3 se obtiene la nueva velocidad final:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
𝑣𝑓 = 45
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
+ (75
) (0.25 ℎ) = 45
+ 18.75
ℎ
ℎ2
ℎ
ℎ
𝑣𝑓 = 63.75
𝑚𝑖𝑛𝑎𝑢
ℎ
Un auto de carreras arranca y acelera a 0.3 m/s 2 durante 4 minutos antes de
mantener una velocidad constante durante 10 segundos y dar vuelta en la
primer curva:
e) ¿Cuál es el desplazamiento cuando el auto deja de acelerar en km?
f) ¿Cuál es la velocidad del auto cuando deja de acelerar en km/h y mi/h?
g) ¿Cuál es el desplazamiento desde que arranca hasta la primer curva en km y
mi?
7.
a) Para la primera
disponibles:
𝑚
𝑎 = 0.3 2
𝑠
𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛
𝑚
𝑣𝑖 = 0
𝑠
parte
del
problema
se
deben
considerar
los
datos
Página | 36
Se considera la velocidad inicial igual a cero pues el auto está parado y
luego arranca con una aceleración de 0.3 m/s2, luego es necesario considera
el tiempo en segundos para que las unidades sean consistentes:
𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛 ∗ (
60 𝑠
) = 240 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
La fórmula a considerar será la 4 para determinar la distancia justo cuando
el auto deja de acelerar:
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +
𝑎𝑡 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 4
2
𝑚
(0.3 2 ) (240 𝑠)2
𝑚
𝑠
𝑑 = (0 ) ∗ (240 𝑠) +
= 0 𝑚 + 8640 𝑚
𝑠
2
𝑑 = 8640 𝑚
Este valor del desplazamiento es durante el tiempo de la aceleración por
lo que será la respuesta, solo queda convertirlo a km:
𝑑 = 8640 𝑚 ∗ (
b) Para la segunda
disponibles:
𝑚
𝑎 = 0.3 2
𝑠
𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛 = 240 𝑠
𝑚
𝑣𝑖 = 0
𝑠
parte
del
1 𝑘𝑚
) = 8.64 𝑘𝑚
1000 𝑚
problema
se
deben
considerar
los
datos
Se considera la fórmula 3 pues es la que contiene los datos requeridos para
obtener la velocidad cuando el vehículo deja de acelerar:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
𝑚
𝑚
𝑚
+ (0.3 2 ) (240 𝑠) = 72
𝑠
𝑠
𝑠
Se requieren hacer las conversiones necesarias para pasar 72 m/s a km/h y
mi/h
𝑣𝑓 = 0
𝑣𝑓 = 72
𝑚
1 𝑘𝑚
3600 𝑠
𝑘𝑚
∗(
)∗(
) = 259.2
𝑠
1000 𝑚
1ℎ
ℎ
𝑣𝑓 = 72
𝑚
1 𝑚𝑖
3600 𝑠
𝑚𝑖
∗(
)∗(
) = 161
𝑠
1609.34 𝑚
1ℎ
ℎ
c)
Para la tercer parte del problema se deben considerar los datos disponibles:
𝑚
𝑎=0 2
𝑠
𝑡 = 10 𝑠
Página | 37
𝑚
𝑠
Debido a que después de que acelera mantiene la velocidad constante
durante 10 segundos antes de dar vuelta, el desplazamiento recorrido será
directamente de la fórmula:
𝑣 = 72
𝑣𝑝 =
𝑑
𝑡
Donde se despejaría desplazamiento, esto porque ya no hay aceleración,
para quedar:
𝑚
∗ 10 𝑠 = 720 𝑚
𝑠
Este desplazamiento se sumaría al obtenido en el inciso a y sería el
desplazamiento desde que arranca hasta antes de la primer curva:
𝑑 = 𝑣𝑝 ∗ 𝑡 = 72
𝑑 𝑇 = 8640 𝑚 + 720 𝑚 = 9360 𝑚
Solo se convertiría a km y millas para completar lo solicitado:
𝑑 = 9360 𝑚 ∗ (
𝑑 = 9360 𝑚 ∗ (
1 𝑘𝑚
) = 9.36 𝑘𝑚
1000 𝑚
1 𝑚𝑖
) = 5.82 𝑚𝑖
1609.34 𝑚
8.
Un autobús tiene una aceleración partiendo del reposo equivalente a 2000
km/h2 y alcanza una velocidad de 85 km/h:
e) ¿Cuál es el desplazamiento alcanzado en mi?
f) ¿En cuantos minutos logra alcanzar el desplazamiento anterior?
a) Para la primer
disponibles:
𝑘𝑚
𝑎 = 2000 2
ℎ
𝑘𝑚
𝑣𝑖 = 0
ℎ
𝑘𝑚
𝑣𝑓 = 85
ℎ
parte
del
problema
se
deben
considerar
los
datos
Como se observa, la formula correcta que involucra los datos es la número 5,
así es posible determinar el desplazamiento del autobús:
𝑑=
𝑑=
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 5
2𝑎
𝑘𝑚
𝑘𝑚
(85 ℎ )2 − (0 ℎ )2
2(2000
𝑘𝑚
)
ℎ2
=
𝑘𝑚
(85 ℎ )2
4000
𝑘𝑚
ℎ2
𝑑 = 1.806 𝑘𝑚
Del análisis de dimensiones se obtienen kilómetros:
𝑘𝑚2
ℎ2
𝑘𝑚
ℎ2
𝑘𝑚 2 ∗ℎ 2
= 𝑘𝑚∗ℎ2 = 𝑘𝑚
A partir de las equivalencias se obtiene la conversión a millas:
Página | 38
𝑑 = 1.806 𝑘𝑚 ∗ (
b) Para la segunda
disponibles:
𝑘𝑚
𝑎 = 2000 2
ℎ
𝑑 = 1.806 𝑘𝑚
𝑚
𝑣𝑖 = 0
𝑠
parte
del
1 𝑚𝑖
) = 1.12 𝑚𝑖
1.60934 𝑘𝑚
problema
se
deben
considerar
los
datos
La fórmula a considerar será la 4 para determinar la distancia justo cuando
el autobús alcanza su velocidad final:
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +
𝑎𝑡 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 4
2
𝑘𝑚
(2000 2 ) (𝑡)2
𝑚
ℎ
1.806 𝑘𝑚 = (0 ) ∗ 𝑡 +
𝑠
2
De la fórmula anterior, se despeja tiempo:
𝑡=√
(1.806 𝑘𝑚) ∗ 2
= √1.806 ∗ 10−3 ℎ2
𝑘𝑚
2000 2
ℎ
𝑡 = 4.25 ∗ 10−2 ℎ
Este valor de tiempo se requiere convertir a minutos:
𝑡 = 4.25 ∗ 10−2 ℎ ∗ (
60 𝑚𝑖𝑛
) = 2.55 𝑚𝑖𝑛
1ℎ
9.
Un móvil tiene para una velocidad inicial de 15 mi/h y un tiempo de 120 min;
y para una velocidad final de 58 mi/h un tiempo 150 minutos:
a) ¿Cuál es la aceleración en m/s2?
b) ¿Cuál es el desplazamiento alcanzado en km?
c) ¿En cuanto tiempo en minutos se logra el recorrido?
a) Para la primer
disponibles:
𝑚𝑖
𝑣𝑖 = 15
ℎ
𝑚𝑖
𝑣𝑓 = 58
ℎ
𝑡𝑖 = 120 𝑚𝑖𝑛
𝑡𝑓 = 150 𝑚𝑖𝑛
parte
del
problema
se
deben
considerar
los
datos
La aceleración tendrá que ser determinada como una pendiente:
𝑎=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Se debe considerar la conversión de los tiempos en minutos a horas:
Página | 39
𝑡𝑖 = 120 𝑚𝑖𝑛 ∗ (
𝑡𝑓 = 150 𝑚𝑖𝑛 ∗ (
𝑎=
1ℎ
)=2ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
1ℎ
) = 2.5 ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖
𝑚𝑖
58 ℎ − 15 ℎ
2.5 ℎ − 2 ℎ
= 86
𝑚𝑖
𝑚𝑖
ℎ2
𝑚𝑖
Del análisis de dimensiones se obtienen: ℎℎ = ℎ2
A partir de las equivalencias se obtiene la conversión a m/s2:
𝑎 = 86
b) Para la segunda
disponibles:
𝑚𝑖
𝑎 = 86 2
ℎ
𝑚𝑖
𝑣𝑖 = 15
ℎ
𝑚𝑖
𝑣𝑓 = 58
ℎ
𝑚𝑖 1609.34 𝑚
1ℎ 2
𝑚
∗
(
)
∗
(
) = 1.068 ∗ 10−2 2
2
ℎ
1 𝑚𝑖
3600 𝑠
𝑠
parte
del
problema
se
deben
considerar
los
datos
La fórmula a considerar será la 5 para determinar el desplazamiento:
𝑑=
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 5
2𝑎
𝑚𝑖 2
𝑚𝑖
𝑚𝑖
(58 ℎ )2 − (15 ℎ )2 3139 ℎ2
𝑑=
=
𝑚𝑖
𝑚𝑖
2 ∗ (86 2 )
172 2
ℎ
ℎ
𝑑 = 18.25 𝑚𝑖
Del análisis de dimensiones se obtienen:
𝑚𝑖2
ℎ2
𝑚𝑖
ℎ2
𝑚𝑖 2 ∗ℎ 2
= 𝑚𝑖∗ℎ2 = 𝑚𝑖
Este valor de millas se requiere convertir a kilómetros:
𝑑 = 18.25 𝑚𝑖 ∗ (
1.60934 𝑘𝑚
) = 29.37 𝑘𝑚
1 𝑚𝑖
c) Para la tercera parte del problema solo hay que considerar los tiempos:
𝑡𝑖 = 120 𝑚𝑖𝑛
𝑡𝑓 = 150 𝑚𝑖𝑛
Por lo que la diferencia de tiempos será el tiempo total del recorrido:
𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 150 𝑚𝑖𝑛 − 120 min = 30 𝑚𝑖𝑛
Página | 40
EJERCICIOS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, PARA LAS UNIDADES DONDE TENGAS QUE CONVERTIR,
LAS EQUIVALENCIAS VIENEN AL FINAL NO OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
Un móvil tiene una velocidad final de 27 m/s, una aceleración de 0.0153 m/s 2,
que se logra en 12.5 minutos:
d) ¿Cuál es la velocidad inicial en m/s?.
e) ¿Cuál es el desplazamiento recorrido en millas?.
2.
Un avión acelera del principio de una pista a 9680 km/h 2, si la distancia
recorrida antes de despegar es de 2.5 km:
e) ¿Cuánto tiempo en minutos le lleva recorrer la pista?.
f) ¿Cuál es la velocidad al despegue en mi/h?
3.
Un automóvil tiene una aceleración de 8.1*10 -2 m/s2, partiendo del reposo
alcanza una velocidad de 125 km/h:
e) ¿En cuanto tiempo en minutos alcanza esta velocidad?
f) ¿Cuál es el desplazamiento en millas que recorre?
4.
5.
Un móvil tiene para una velocidad inicial de 45 km/h y un tiempo de 65 min;
y para una velocidad final de 89 km/h un tiempo 93 minutos:
a) ¿Cuál es la aceleración en m/s2?
b) ¿Cuál es el desplazamiento alcanzado en millas?
c) ¿En cuánto tiempo en minutos se logra el recorrido?
4. Movimiento parabólico
CAIDA LIBRE:
Un cuerpo tiene una caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y la
resistencia a dicha caída se puede despreciar; como la ejercida por el aire a un
cuerpo. El científico italiano Galileo Galilei fue el primero en demostrar en 1590
que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de fricción, caen a
la Tierra con la misma aceleración. Por tanto, si dejamos caer simultáneamente
desde cierta altura una piedra grande y una pequeña, las dos piedras caerán al
suelo en el mismo tiempo. Con base en estos resultados se afirma que la
aceleración gravitacional produce sobre los cuerpos con caída libre un movimiento
uniformemente acelerado, motivo por el cual la magnitud de su velocidad aumenta
en forma constante, mientras la aceleración permanece fija.
La caída libre de los cuerpos es un ejemplo práctico de movimiento uniformemente
acelerado.
Al hacer la medición de la magnitud de la aceleración de la gravedad en distintos
lugares de la Tierra, se ha encontrado que ésta no es igual en todas partes, pues
existen pequeñas diferencias; sin embargo, para fines prácticos la magnitud
Página | 41
aceptada es de 9.8066 m/s2, cantidad que redondeada puede considerarse en forma
aproximada como g=9.8 m/s2 (la gravedad se suele representar con la letra g
marcada), sin errores significativos en los cálculos de movimiento.
Para hacer una correcta interpretación del fenómeno que se presenta durante una
caída libre, en un tiro vertical o en un tiro parabólico, al resolver problemas,
debemos considerar que la aceleración de la gravedad es una magnitud vectorial
cuya dirección está dirigida hacia el centro de la Tierra. Como referencia, los
vectores dirigidos hacia arriba son positivos, y los dirigidos hacia abajo son
negativos; entonces, puesto que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia
abajo tendrá signo negativo g=-9.8 m/s2, para usarse en las fórmulas de movimiento
anteriormente analizadas; luego entonces sustituyendo el valor de g en las
fórmulas y en lugar de la distancia o desplazamiento la altura “h” se tiene:
FÓRMULAS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝒈=
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 1
𝑡
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖
ℎ=(
) ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 2
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝒈 ∗ 𝑡−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 3
𝒈𝑡 2
ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 +
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 4
2
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 5
2𝒈
𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2
𝒈=
−→ 𝑓𝑜𝑟𝑚. 6
2ℎ
ℎ=
Es importante considerar que en el movimiento de caída libre y tiro vertical se
desarrollan en una sola dimensión y en el sentido positivo (hacia arriba) y
negativo (hacia abajo).
PROBLEMAS RESUELTOS:
10. Una esfera se deja caer desde una altura de 30 m:
f) ¿Cuál es el tiempo en segundos que le lleva llegar al suelo?
g) ¿Cuál es la velocidad en ft/min?
f)
Para determinar el tiempo se considera la altura de 30 m y que la velocidad
vertical inicial es 0 m/s, luego entonces verificando las fórmulas, la
número cuatro es de donde se podrá despejar el tiempo, considerando que la
altura es hacia abajo se tomará con valor negativo:
𝒈𝑡 2
ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 + 2 sustituyendo:
𝑚
(−9.8 2 )𝑡 2
𝑚
𝑠
−30 𝑚 = 0 (𝑡) +
𝑠
2
De esta última se despeja el tiempo:
2(−30 𝑚)
𝑡=√
𝑚 = 2.47 𝑠
−9.8 2
𝑠
Página | 42
g) La velocidad final de llegada al piso podrá ser considerada la fórmula
número 3:
𝑣𝑓 = 0
𝑚
𝑚
𝑚
− 9.8 2 ∗ 2.47 𝑠 = −24.2
𝑠
𝑠
𝑠
La velocidad será negativa porque se dirige hacia abajo. Pero la velocidad
se pide en ft/min, luego entonces convirtiendo:
𝑣𝑓 = −24.2
𝑚 3.2808 𝑓𝑡
60 𝑠
𝑓𝑡
𝐾𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = −4763.7
= −4.764
𝑠
1𝑚
1 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
11. Si la misma esfera del problema 1 se impulsa a una velocidad de 6 m/s desde
la misma altura de 30 m:
a) ¿Cuál es el tiempo en segundos que le lleva llegar al suelo?
b) ¿Cuál es la velocidad en ft/min?
a) Para determinar el tiempo igual que el problema anterior se considera la
fórmula 4, sin embargo la velocidad inicial será de -6 m/s, negativo pues se
dirige hacia abajo también:
𝒈𝑡 2
ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 + 2 sustituyendo:
𝑚
(−9.8 2 )𝑡 2
𝑚
𝑠
−30 𝑚 = −6 (𝑡) +
𝑠
2
Esta última ecuación se puede reacomodar, pasando los -30 m a la derecha e
igualando a 0 para quedar:
𝑚
(−9.8 2 ) 𝑡 2
𝑚
𝑠
0 = −6 (𝑡) +
+ 30 𝑚
𝑠
2
Suprimiendo las unidades:
0 = −4.9(𝑡 2 ) − 6(𝑡) + 30
Que representa una ecuación de segundo grado, cuya solución se obtiene por
la fórmula general para la solución de esta ecuación:
𝑡=
𝑡=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−(−6) ± √(−6)2 − 4(−4.9)(30)
2(−4.9)
𝑡=
6 ± √36 + 588 6 ± 24.97
=
−9.8
−9.8
De estos valores se toma el valor positivo que representa el tiempo en que
la esfera cae:
𝑡=
6 − 24.97 −18.97
=
= 1.93 𝑠
−9.8
−9.8
Página | 43
Que por lógica será menor al tiempo si se deja caer con velocidad inicial
de 0 m/s.
b) La velocidad final de llegada al piso podrá ser considerada con la misma
fórmula número 3:
𝑣𝑓 = −6
𝑚
𝑚
𝑚
− 9.8 2 ∗ 1.93 𝑠 = −24.91
𝑠
𝑠
𝑠
Pero la velocidad se pide en ft/min, luego entonces convirtiendo:
𝑣𝑓 = −24.91
𝑚 3.2808 𝑓𝑡
60 𝑠
𝑓𝑡
𝐾𝑓𝑡
∗(
)∗(
) = −4904.3
= −4.904
𝑠
1𝑚
1 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
TIRO LIBRE:
Este movimiento se presenta cuando un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba
observándose que la magnitud de su velocidad va disminuyendo hasta anularse al
alcanzar su altura máxima. Inmediatamente inicia su descenso para llegar al
mismo punto donde fue lanzado y adquiere la misma magnitud de velocidad con la
cual inició pero con sentido opuesto.
De igual manera, el tiempo empleado en subir es el mismo utilizado en bajar. En
conclusión, el tiro vertical sigue las mismas leyes de la caída libre de los
cuerpos y, por tanto, emplea las mismas ecuaciones.
En este tipo de movimiento generalmente resulta importante calcular la altura
máxima alcanzada por un cuerpo, el tiempo que tarda en subir hasta alcanzar su
altura máxima y el tiempo de permanencia en el aire; por tal motivo, se utilizarán
las ecuaciones necesarias
para calcular dichas magnitudes a partir de las ecuaciones generales
anteriormente planteadas.
12. Una esfera se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 11 m/s:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
b) ¿Cuál es el tiempo que dura en el aire?
c) ¿Cuál es la velocidad al segundo de ser lanzada?
a) Para determinar la altura máxima se podrá utilizar la fórmula 5, pues se
conoce el valor de la aceleración gravitacional y la velocidad inicial, la
velocidad final será 0 m/s cuando llegue a su altura máxima, contrario al
tiro vertical cuando se suelta un objeto y la velocidad inicial es 0 m/s:
ℎ=
𝑣𝑓2 −𝑣𝑖2
2𝒈
sustituyendo
𝑚2
𝑚
𝑚
(0 𝑠 )2 − (11 𝑠 )2 −121 𝑠 2
ℎ=
=
𝑚
𝑚 = 6.17 𝑚
2(−9.8 2 )
−19.6 2
𝑠
𝑠
Debido a que la altura es medida de donde inicia el movimiento hacia
arriba, tendrá un valor positivo.
Página | 44
b) Para determinar el tiempo se puede utilizar la fórmula 1 y despejar el
tiempo:
𝒈=
𝑣𝑓−𝑣𝑖
𝑡
despejando y sustituyendo
𝑚
𝑚
𝑚
0 𝑠 − 11 𝑠
−11 𝑠
𝑡=
𝑚 =
𝑚 = 1.12 𝑠
(−9.8 2 )
−9.8 2
𝑠
𝑠
Pero este tiempo no es el que permanece el objeto en el aire, sino el que le
lleva subir a la altura máxima, el tiempo en el aire será el doble de este,
pues el mismo tiempo que le lleva subir a la altura máxima le llevará
bajar:
𝑡 = 2 ∗ 1.12 𝑠 = 2.24 𝑠
c)
Para determinar la velocidad al segundo se puede utilizar la fórmula 3
directamente, pues se conoce la velocidad inicial y el tiempo:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝒈 ∗ 𝑡 sustituyendo
𝑣𝑓 = 11
𝑚
𝑚
𝑚
− 9.8 2 ∗ (1 𝑠) = 1.2
𝑠
𝑠
𝑠
TIRO PARABÓLICO HORIZONTAL:
Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una
velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal. Por ejemplo, la
trayectoria seguida por una pelota de voleibol después de recibir el golpe
durante el saque inicial, o el de un balón
de fútbol al ser despejado con un cierto ángulo por el portero.
En la figura se muestra un móvil que es lanzado con un ángulo de 60° sobre la
horizontal a una velocidad inicial de 40 m/s. El movimiento completo inicia con
una velocidad sobre la horizontal y terminará a una distancia que se puede
calcular dependiendo de las fórmulas de movimiento anteriormente descritas, con
una velocidad de igual magnitud pero sentido contrario.
Página | 45
La característica principal de este movimiento es que la velocidad en su
componente horizontal es constante, tendrá una altura máxima donde la velocidad
en su componente vertical será 0 y al final del movimiento, sobre la misma
horizontal, esta velocidad tendrá signo negativo.
El valor de la velocidad en su componente horizontal y vertical será, utilizando
las relaciones trigonométricas conocidas y analizadas en el repaso de vectores:
𝑣𝐻𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃
𝑣𝑉𝑖 = 𝑣𝑖 sen 𝜃
Así para el ejemplo de la figura:
Velocidad en su componente horizontal:
𝑚
𝑚
𝑣𝐻𝑖 = 40 cos 60° = 20
𝑠
𝑠
Velocidad en su componente vertical:
𝑚
𝑚
𝑣𝑉𝑖 = 40 sen 60° = 34.64
𝑠
𝑠
13. Una esfera se lanza desde un acantilado que tiene una altura de 25 m, a una
velocidad de 15 m/s:
a) ¿En cuánto tiempo llega al piso?
b) ¿Cuál es la distancia horizontal desde el pie del acantilado donde se lanza
hasta donde cae?
c) ¿Cuál es la velocidad final?
a) Para determinar el tiempo en que llega al suelo hay que considerar que el
movimiento no es el movimiento parabólico completo, sino solo la mitad como
la figura que se muestra anteriormente; luego la velocidad vertical cuando
inicia el movimiento es igual a 0 m/s, la altura vertical será un valor
negativo como en los ejercicios de caída libre, entonces se puede usar la
fórmula 4, pues la altura se conoce y la velocidad en su componente
vertical es 0 m/s:
𝒈𝑡 2
ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 + 2 sustituyendo:
Página | 46
𝑚
(−9.8 2 )𝑡 2
𝑚
𝑠
−25 𝑚 = 0 (𝑡) +
𝑠
2
𝑚
𝑠
𝑚
(−9.8 2 )𝑡 2
𝑠
2
−25 𝑚 = 0 (𝑡) +
De esta última se despeja el tiempo:
𝑡=√
𝑚
= (−4.9 2)𝑡 2
𝑠
−25 𝑚
𝑚 = 2.25 𝑠
−4.9 2
𝑠
b) Para determinar la distancia horizontal hay que considerar que la
velocidad en su componente horizontal se mantiene constante, luego se
usaría la formula sencilla que relaciona la velocidad con el
desplazamiento entre el tiempo:
𝑑
𝑡
Despejando el desplazamiento se tiene:
𝑣=
𝑑 =𝑣∗𝑡
Sustituyendo:
𝑑 = 15
c)
𝑚
∗ 2.25 𝑠 = 33.75 𝑚
𝑠
La velocidad final será una velocidad resultante de los componentes
verticales y horizontales, pero la velocidad inicial solo tiene el
componente horizontal, por lo que la velocidad inicial en el componente
vertical será 0 m/s, podrá utilizarse únicamente la fórmula 3 para
encontrar la velocidad final en el componente vertical:
𝑣𝑉𝑓 = 𝑣𝑉𝑖 + 𝒈 ∗ 𝑡 sustituyendo
𝑣𝑉𝑓 = 0
𝑚
𝑚
𝑚
− 9.8 2 ∗ (2.25 𝑠) = −22.05
𝑠
𝑠
𝑠
Luego por Pitágoras:
𝑣𝑓 = √(15
𝑚 2
𝑚
𝑚
) + (−22.05 )2 = 26.66
𝑠
𝑠
𝑠
De forma adicional, la dirección será el arco tangente del ángulo entre los
dos valores de velocidad, del que se obtiene un ángulo negativo sobre la
horizontal:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(
𝑚
−22.05 𝑠
𝑚 ) = −55.77°
15 𝑠
14. Se dispara un proyectil desde el suelo con un ángulo sobre la horizontal
equivalente a 50°, la velocidad inicial del proyectil es de 25 m/s:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
Página | 47
b) ¿Cuál es tiempo del proyectil en el aire?
c) ¿Cuál es la distancia horizontal de alcance desde donde se dispara el
proyectil?
a) Para determinar la altura máxima se deberá analizar el componente
vertical, así la velocidad en su componente inicial vertical será:
𝑚
𝑚
sen 50° = 19.15
𝑠
𝑠
El cual es positivo pues se dirige hacia arriba, luego con este valor es
posible determina con la fórmula 5 la altura máxima que alcanzará, pues la
velocidad final es 0 m/s a la altura máxima:
𝑣𝑉𝑖 = 25
ℎ=
𝑣𝑓2 −𝑣𝑖2
2𝒈
sustituyendo
𝑚2
𝑚
𝑚
(0 𝑠 )2 − (19.15 𝑠 )2 −366.76 𝑠 2
ℎ=
=
𝑚
𝑚 = 18.71 𝑚
2(−9.8 2 )
−19.6 2
𝑠
𝑠
b) Para determinar el tiempo se puede utilizar la fórmula 1 y despejar el
tiempo para el componente vertical para llegar a su altura máxima, así:
𝒈=
𝑣𝑓−𝑣𝑖
𝑡
despejando y sustituyendo
𝑚
𝑚
𝑚
0 𝑠 − 19.15 𝑠
−19.15 𝑠
𝑡=
=
𝑚
𝑚 = 1.95 𝑠
(−9.8 2 )
−9.8 2
𝑠
𝑠
Pero este tiempo no es el que permanece el objeto en el aire, sino el que le
lleva subir a la altura máxima, el tiempo en el aire será el doble de este,
pues el mismo tiempo que le lleva subir a la altura máxima le llevará
bajar:
𝑡 = 2 ∗ 1.95 𝑠 = 3.9 𝑠
c)
Para determinar la distancia horizontal se analiza el componente
horizontal, que como se dijo para este movimiento es constante, así el
componente horizontal es:
𝑣𝐻𝑖 = 25
𝑚
𝑚
cos 50° = 16.06
𝑠
𝑠
La distancia o desplazamiento alcanzado se obtiene directamente de la
fórmula de velocidad:
𝑑
𝑡
Despejando el desplazamiento se tiene:
𝑣=
𝑑 =𝑣∗𝑡
Sustituyendo:
Página | 48
𝑑 = 16.06
𝑚
∗ 3.9 𝑠 = 62.67 𝑚
𝑠
Un aspecto importante para considerar es el ángulo sobre la horizontal don el fin
de determinar cómo se debe direccionar un proyectil el cual se pretende de en un
blanco, luego entonces para determinar el tiempo se puede utilizar la fórmula 1 y
despejar el tiempo para el componente vertical para llegar a su altura máxima,
así:
𝒈=
𝑣𝑓−𝑣𝑖
despejando
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡=
𝒈
𝑡
Pero la velocidad final en el movimiento vertical es 0 y el tiempo en el que el
objeto permanece en el aire será el doble del que le toma subir a la altura máxima,
luego:
𝑡=
−2𝑣𝑉𝑖
𝒈
--1
El desplazamiento horizontal se puede obtener fácilmente de la fórmula de
velocidad:
𝑑𝐻 = 𝑣𝐻𝑖 ∗ 𝑡--2
Ahora las velocidades en cada uno de sus componentes, horizontal y vertical son a
partir del ángulo θ respecto de la vertical:
𝑣𝐻𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃--3
𝑣𝑉𝑖 = 𝑣𝑖 sen 𝜃--4
Sustituyendo 1 en 2, y luego 3 y 4 en 2 se tiene:
𝑑𝐻 = 𝑣𝑖 cos 𝜃 ∗
−2𝑣𝑖 sen 𝜃 −2𝑣𝑖 2 cos 𝜃 sen 𝜃
=
𝒈
𝒈
Existe una identidad trigonométrica donde 2 cos 𝜃 sen 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜃), entonces:
𝑑𝐻 =
−𝑣𝑖 2 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
𝒈
En este caso se puede despejar el ángulo, si se conoce la velocidad inicial y el
desplazamiento horizontal:
𝑑 ∗𝒈
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛( 𝐻 2 )
−𝑣𝑖
𝜃=
2
15. Se dispara un proyectil desde el suelo a una velocidad de 300 m/s, se
pretende que impacte en un blanco a 2800 m de distancia:
a) ¿Cuál es el ángulo que debe tener el cañón respecto de la horizontal para
impactar en el blanco?
b) ¿Cuál es tiempo del proyectil en el aire?
Página | 49
a) Para determinar el ángulo θ, solo es necesario sustituir los valores en la
formula recién deducida:
𝜃=
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(
𝜃=
𝑑 ∗𝒈
−𝑣𝑖
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛( 𝐻 2 )
2
sustituyendo
𝑚
2800 𝑚 ∗ (−9.8 2 )
𝑠 )
𝑚
−(300 𝑠 )2
17.75
=
= 8.87°
2
2
b) Para determinar el tiempo en el aire, solo es necesario sustituir los
valores en la formula del tiempo en el aire, calculando previo el
componente vertical de la velocidad inicial, con el ángulo recién calculado:
𝑣𝑉𝑖 = 𝑣𝑖 sen 𝜃 sustituyendo
𝑣𝑉𝑖 = 300
𝑚
𝑚
sen 8.87° = 46.28
𝑠
𝑠
𝑡=
−2𝑣𝑉𝑖
𝒈
𝑚
−2 ∗ (46.28 𝑠 )
𝑡=
= 9.44 𝑠
𝑚
−9.8 2
𝑠
EJERCICIOS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, PARA LAS UNIDADES DONDE TENGAS QUE CONVERTIR,
LAS EQUIVALENCIAS VIENEN AL FINAL NO OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
3. Un cuerpo cae en un acantilado de 150 ft:
f) ¿Cuál es el tiempo en segundos que le toma llegar al fondo del acantilado?.
g) ¿Cuál es la velocidad con la que llega al final en m/s?.
4.
Una bala es disparada al aire en posición
(milla/minuto):
g) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza en m?.
h) ¿Cuánto tiempo dura en el aire en s?
vertical
a
13
mi/min
5.
Una piedra es lanzada desde un acantilado a una velocidad horizontal
inicial equivalente a 20 m/s, el acantilado tiene una altura de 35 m:
g) ¿En cuánto tiempo en minutos le toma llegar al piso?
h) ¿Cuál es la distancia horizontal del pie del acantilado hasta donde cae en
m?
i) ¿Cuál es la velocidad final en mi/min?
6.
Un basquetbolista se impulsa a una velocidad 8.72 m/s y a un ángulo de 35°
sobre la horizontal:
d) ¿Cuál es la altura máxima a la que salta?
e) Si el basquetbolista mide 6 ft (pies) 6 in (pulgadas) ¿Cuál es la altura
máxima que alcanza su cabeza en m?
Página | 50
f) ¿Cuánto tiempo dura en el aire?
g) ¿Cuál es la distancia o desplazamiento horizontal que alcanza en m?
5. Fuerza
FUERZA:
La fuerza se puede definir como la capacidad para perturbar un cuerpo,
entendiéndose como perturbación a la causada por movimiento, deformación o cambio
en algún patrón de desempeño del cuerpo. La fuerza se puede clasificar en 4 tipos
generales:
1. Fuerzas gravitacionales , se producen debido a las fuerzas mutuas de atracción
que se manifiestan entre dos cuerpos cualesquiera del universo, y cuyo efecto en
la deformación del espacio y tiempo generan una atracción que está en función de
la masa de los cuerpos y de la distancia existente entre ellos. A estas fuerzas se
debe que los planetas mantengan sus órbitas elípticas, el efecto de la fuerza de
atracción llamada peso de los cuerpos y que todo cuerpo suspendido caiga hacia el
centro de la masa más grande por esa perturbación del espacio-tiempo. La magnitud
de la fuerza gravitacional puede ser muy grande si se trata de cuerpos
macroscópicos; sin embargo, es la más débil de todas las fuerzas fundamentales.
2. Fuerzas electromagnéticas, son las fuerzas que mantienen unidos a los átomos y
moléculas de cualquier sustancia, su origen se debe a las cargas eléctricas.
Cuando las cargas eléctricas se encuentran en reposo entre ellas se ejercen
fuerzas electrostáticas, y cuando
están en movimiento se producen fuerzas electromagnéticas. Son mucho más intensas
que las fuerzas gravitacionales. Además, las fuerzas gravitacionales siempre son
de atracción, mientras las fuerzas electromagnéticas pueden ser de atracción o de
repulsión.
3. Fuerzas nucleares fuertes, aunque no se sabe con certeza cuál es su origen se
supone que son engendradas por intermedio de mesones (partículas consideradas el
pegamento de la materia) entre las partículas del núcleo, son las encargadas de
mantener unidas a las partículas del núcleo atómico. Se requiere de la existencia
de fuerzas atractivas en el núcleo atómico, porque sin ellas sería inconcebible la
cohesión de los protones en el núcleo, toda vez que estas partículas, por tener
carga eléctrica positiva, deberían rechazarse. Las fuerzas nucleares son más
intensas que las fuerzas eléctricas en el núcleo y opuestas a ellas. Las fuerzas
nucleares manifiestan un alcance muy pequeño y su magnitud disminuye de manera
muy rápida fuera del núcleo.
4. Fuerzas nucleares débiles, se caracterizan por provocar inestabilidad en
determinados núcleos atómicos. Fueron detectadas en sustancias radiactivas
naturales y posteriormente, los científicos comprobaron que son determinantes en
casi todas las reacciones de decaimiento radiactivo. Las fuerzas débiles son es del
orden de 1025 veces más fuerte que las fuerzas gravitacionales, pero es de
aproximadamente 1012 veces más débil que las fuerzas electromagnéticas.
LEYES DE NEWTON
Página | 51
El estudio de como las fuerzas interactúan con los cuerpos a escala macro se le
conoce como dinámica de los cuerpos y esta determinado por 3 Leyes fundamentales
que deben su autoría a Isaac Newton quien en 1687 las postuló:
1.
Primer Ley de Newton (Ley de la inercia): Todo cuerpo se mantiene en su
estado de reposo o de movimiento continuo, si la resultante de las fuerzas
que actúan sobre él es igual a cero.
Esto implica en el sistema vectorial que la suma de las fuerzas en su
componente x y y que actúan sobre un cuerpo es igual a 0.
∑𝐹⃗ 𝑥 = 0
∑𝐹⃗ 𝑦 = 0
2.
Segunda Ley de Newton: Toda fuerza resultante diferente de cero al ser
aplicada a un cuerpo le produce una aceleración en la misma dirección en
que actúa. La magnitud de dicha aceleración es directamente proporcional a
la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa
del cuerpo.
Esto es si la fuerza aumenta sobre un cuerpo la aceleración producida por
esa fuerza aumentará también:
𝐹∝𝑎
Pero respecto a la masa, si la aceleración aumenta la masa disminuye y
viceversa:
𝑎∝
1
𝑚
Uniendo ambas proporciones en una sola ecuación, se tiene:
𝐹 =𝑚∗𝑎
3.
Tercer Ley de Newton: A toda acción corresponde una reacción de la misma
magnitud o intensidad, en la misma dirección pero con diferente sentido.
Esto significa que una fuerza puede ser ejercida por un cuerpo, pero la
reacción que reciba ese cuerpo tendrá la misma magnitud de la fuerza pero
ejercida 180° de donde se aplicó, es decir en sentido contrario.
Un aspecto importante son las unidades para la fuerza; se tiene que la fuerza que
produce una aceleración de 1 m/s2 ejercida sobre una masa de 1 kg será por la
fórmula:
𝐹 =𝑚∗𝑎
𝐹 = (1𝑘𝑔) ∗ (1
𝑚
𝑘𝑔 ∗ 𝑚
)=1
= 1 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 = 1 𝑁
2
𝑠
𝑠2
Página | 52
𝑘𝑔∗𝑚
Es decir, a la unidad de 1 𝑠 2 se le denomina Newton (en honor a Isaac Newton) en
el Sistema Internacional de Unidades y se abrevia con la letra N.
Esta unidad tiene su equivalencia en el sistema inglés, donde la unidad básica de
masa es la libra (lb) y la unidad básica de distancia es el pie (ft), el tiempo es
común para ambos sistemas, ya sea segundo (s), minuto (min) u hora (h):
𝐹 = (1𝑙𝑏) ∗ (1
𝐹=1
𝑓𝑡
𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡
)=1
= 1 𝑃𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑙 = 1 𝑝𝑑𝑙
2
𝑠
𝑠2
𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡
1𝑘𝑔
1𝑚
∗(
)∗(
) = 0.1382𝑁 = 1 𝑝𝑑𝑙
2
𝑠
2.2046 𝑙𝑏
3.281 𝑓𝑡
En el Sistema Internacional de Unidades existe también la unidad de fuerza que
deriva del gramo (g), centímetro (cm) y segundo:
𝐹 = (1𝑔) ∗ (1
𝑐𝑚
𝑔 ∗ 𝑐𝑚
)=1
= 1𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑠2
𝑠2
1 𝑑𝑖𝑛𝑎 = 1 ∗ 10−5 𝑁
EL PESO
Un aspecto importante en el análisis de fuerzas es el la debida a la atracción
terrestre sobre cualquier cuerpo; como se ha estudiado, la aceleración que produce
la tierra debida a su masa equivale a 9.8 m/s 2, esta aceleración se dirige hacia el
centro del planeta, así usando la fórmula de fuerza se puede determinar dicho
valor conociendo la masa del cuerpo, entonces si se tiene una masa de 1 kg la
fuerza ejercida por la tierra a ese cuerpo será:
𝐹 = (1𝑘𝑔) ∗ (9.8
𝑚
𝑘𝑔 ∗ 𝑚
) = 9.8
= 9.8 𝑁
2
𝑠
𝑠2
Esta fuerza se conoce como peso y se puede escribir como P, así la formula para el
peso será:
𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑃) = 𝑚 ∗ 𝑔
Donde g es la aceleración que produce la tierra a cualquier cuerpo (9.8 m/s 2).
Una unidad utilizada en la industria y en varios aspectos donde se utiliza
fuerza es el kilogramo fuerza y se puede definir como la fuerza ejercida sobre un
kilogramo de masa a una aceleración equivalente a g es decir 9.8 m/s 2. Así:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1𝑘𝑔𝑓 = (1𝑘𝑔) ∗ (9.8
𝑚
) = 9.8 𝑁
𝑠2
FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITACIONAL
La Ley de Gravitación Universal se enuncia de la siguiente manera: Dos cuerpos
cualesquiera se atraen con una fuerza cuya magnitud es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia que los separa.
Página | 53
Matemáticamente se expresa como:
𝐹∝
𝑚1 𝑚2
𝑑2
Para eliminar el símbolo de proporcionalidad, se requiere de una constante, que se
conoce como constante de gravitación universal, la cual es diferente a la
aceleración gravitacional de 9.8 m/s2, esta constante en el Sistema Internacional de
Unidades se define como:
𝐺 = 6.67 ∗ 10−11
𝑁 ∗ 𝑚2
𝑘𝑔2
Quedando la ecuación como:
𝐹=𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑑2
Por ejemplo, calcular la fuerza de atracción que ejercen dos masas, m 1=65 kg y m2=75
kg, a una distancia de 5 metros una de otra; entonces sustituyendo en la fórmula
anterior:
𝐹 = 6.67 ∗ 10−11
𝑁 ∗ 𝑚2 (65 𝑘𝑔)(75 𝑘𝑔)
= 1.3 ∗ 10−8 𝑁
(5𝑚)2
𝑘𝑔2
BALANCE DE FUERZAS
El análisis de fuerzas en cualquier sistema se lleva a cabo de manera similar al
análisis de velocidades, es necesario introducir un sistema de referencia y
analizarlo como vector.
Así por ejemplo se tiene el siguiente ejemplo:
N
12 N
8N
5 kg
P
En la figura anterior se puede observar una masa de 5 kg sobre la cual se ejerce
una fuerza de 12 N hacia la derecha (Este) y 8 N hacia la izquierda (Oeste), los
componentes verticales, hacia abajo será la fuerza debida al peso y hacia arriba
la fuerza de reacción que deriva en la 3 Ley de Newton, ejercida por el suelo sobre
el cuerpo pero en sentido contrario; estas dos fuerzas por estar en un plano no
inclinado harán que se cancelen. La fuerza de reacción que ejerce la superficie
del suelo sobre el cuerpo se le conoce como fuerza Normal ( N) y siempre es ejercida
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perpendicularmente a la superficie donde se encuentra el cuerpo al que se ejercen
las fuerzas o se analizan las fuerzas.
Como convencionalmente se hace, hacia la izquierda sobre el eje horizontal o de
las x se tomarán valores negativos, hacia la derecha sobre el mismo eje se tomarán
valores positivos; en el eje vertical o y, hacia arriba se tomarán valores positivos
y hacia abajo valores negativos; así se tendría en un sistema coordenado las
diferentes fuerzas que actúan:
N=49 N
12 N
-8 N
5 kg
P=-5kg(9.8 m/s2)=-49 N
Luego con esta información se hace un balance de fuerzas en cada eje, debido a que
no hay variación en el ángulo donde se aplican, es decir los ángulos son 0°, la
fuerza neta aplicada será la representada para cada eje, solo variando en el
signo o sentido de la fuerza:
∑𝐹⃗ 𝑥 = −8𝑁 + 12𝑁 = 4𝑁
∑𝐹⃗ 𝑦 = 49𝑁 − 49𝑁 = 0
Como se aprecia en el balance, para el componente x existe un diferencial de 4N, lo
que significa que el cuerpo se moverá hacia la derecha con la aceleración que
generan 4 N:
Despejando aceleración:
𝑚
4𝑁 = (5𝑘𝑔) ∗ 𝑎( 2 )
𝑠
𝑘𝑔 ∗ 𝑚
4
4𝑁
𝑠 2 = 0.8 𝑚
𝑎=
=
5𝑘𝑔
5𝑘𝑔
𝑠2
Esto es, se desplazará hacia la derecha con una aceleración de 0.8 m/s 2. El
componente vertical como se aprecia en la suma de fuerzas da como resultado 0 N,
lo que significa que no tendrá movimiento vertical.
Sea el siguiente ejemplo:
6N
2 kg
α=30°
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P=-2kg(9.8 m/s2)=-19.6 N
El
sistema
coordenado
es
conveniente siempre ubicarlo sobre el centro de gravedad o movimiento del cuerpo
sobre el cual se desplaza la fuerza, así se tendrá para este ejemplo:
α=30°
P=-19.6N
X (-)
Y (+)
6N
N
β=70°
F
Py
Y (-)
Px
X (+)
P=-19.6N
La fuerza del peso como se observa en el sistema coordenado inclinado, el ángulo
de proyección será 90°-30°=70°, esta proyección será para el componente x y y. Así con
este ángulo la proyección para cada caso será:
Para el componente y:
𝑠𝑒𝑛(70°) =
𝑃𝑦
𝑃𝑦
=
𝑃 −19.6𝑁
Despejando Py:
𝑃𝑦 = −19.6𝑁 ∗ 𝑠𝑒𝑛(70°) = −18.41𝑁
Para el componente x:
𝑃𝑥
𝑃𝑥
𝑐𝑜𝑠(70°) = =
𝑃 −19.6𝑁
Despejando Px:
Página | 56
𝑃𝑥 = 19.6𝑁 ∗ 𝑐𝑜𝑠(70°) = 6.7𝑁
De ahí se plantea el balance de fuerzas, para x y y:
∑ 𝐹𝑥 = −6𝑁 + 6.7𝑁 = 0.7𝑁
∑ 𝐹𝑦 = 18.41𝑁 − 18.41𝑁 = 0𝑁
Como se ha mencionado la fuerza normal N es perpendicular a la superficie donde
se encuentra el objeto o cuerpo, equivaldrá al componente y del peso pero en
sentido contrario, es decir con signo positivo.
La fuerza resultante será 0.7N hacia la derecha sobre el eje x; esto significa que
la fuerza de 6N no es suficiente para subir el bloque de 2kg sobre la pendiente de
30°. La aceleración del bloque en caída sobre el eje x de la pendiente será hacia la
derecha:
𝑎=
𝐹 0.7𝑁
𝑚
=
= 0.35 2
𝑚 2𝑘𝑔
𝑠
ESTÁTICA
La estática se puede definir como el estudio de los cuerpos o sistemas en
equilibrio; la suma de fuerzas que incide sobre un sistema o cuerpo y tiene como
resultado 0 en la interacción de sus vectores de tal manera que mantengan dicho
sistema o cuerpo en equilibrio.
Así, para que un edificio, una casa, un puente o cualquier estructura se mantenga,
requiere que la suma de fuerzas que interactúan en el sean 0.
Sea como ejemplo el siguiente sistema en la figura:
α=40°
F1
F2
50 Kg
¿Cuál será la fuerza de tensión F1 y F2 para que el sistema se mantenga en
equilibrio?
Se tendrá que hacer un balance de fuerza donde se tendrá que cumplir que:
∑𝐹⃗ 𝑥 = 0 𝑁
∑𝐹⃗ 𝑦 = 0 𝑁
El sistema planteado en un sistema coordenado será, con todos sus componentes y
proyecciones:
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F1Y
F1
F2
α=40°
F1X
P=50kg*(-9.8 m/s2)=490N
Luego el balance de masa será:
∑𝐹⃗ 𝑥 = −𝐹1𝑋 + 𝐹2 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 1
El componente F1x será negativo, pues se dirige hacia la izquierda del sistema y la
fuerza 2 (F2) positiva, pues se dirige a la derecha.
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝐹1𝑌 − 𝑃 = 𝐹1𝑌 − 490 𝑁 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 2
En el componente y la suma también será 0, el peso será negativo pues se dirige
hacia abajo y el componente de la fuerza en y de la fuerza F1 será positivo.
De la ecuación 2 se despeja F1Y quedando:
𝐹1𝑌 = 490 𝑁
Luego, para hallar la fuerza 1 (F1) se aplica una relación trigonométrica del
ángulo:
𝑠𝑒𝑛(40°) =
𝐹1𝑌 490 𝑁
=
𝐹1
𝐹1
De esta relación se despeja F1:
𝐹1 =
490 𝑁
490 𝑁
=
= 762 𝑁
𝑠𝑒𝑛(40°) 0.643
Con esta fuerza 1 y con el ángulo se puede determinar el componente x de la
fuerza 1:
𝑐𝑜𝑠(40°) =
𝐹1𝑋
𝐹1𝑋
=
𝐹1
762 𝑁
De esta relación se despeja F1X:
𝐹1𝑋 = 𝑐𝑜𝑠(40°) ∗ 762 𝑁 = 586.72 𝑁
De la ecuación 1 esta fuerza será negativa, y de esta misma ecuación 1 se despeja
F2:
−586.72 𝑁 + 𝐹2 = 0 𝑁
𝐹2 = 586.72 𝑁
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Entonces, la fuerza que se deberá ejercer en F 1 deberá ser igual o mayor a 762 N y
la que se deberá ejercer en F2 deberá ser igual o mayor a 586.72 N, para que el
sistema se mantenga en equilibrio.
MOMENTO DE FUERZA O TORSIÓN
El momento de una fuerza, también llamado momento de torsión o simplemente torque,
se define
como la capacidad que tiene una fuerza para hacer girar un cuerpo. También se
puede definir como la intensidad con que la fuerza, actuando sobre un cuerpo,
tiende a comunicarle un movimiento de rotación.
La magnitud del momento de una fuerza (M) se calcula multiplicando la magnitud de
la fuerza aplicada (F) por el brazo de la palanca (r), donde:
𝑀 =𝐹∗𝑟
Para aplicar correctamente el torque, hay que tener en cuenta el centro de
gravedad, que se puede definir en cualquier cuerpo como el punto donde actúa la
fuerza de gravedad sobre el cuerpo. En las figuras regulares es el centro
geométrico, en los cuerpos irregulares es donde confluyen o se intersecan dos o
más líneas verticales cuando se suspenden de diferentes partes.
En el balance para un sistema o cuerpo que puede recibir fuerzas que lo hagan
rotar o girar, dicho sistema se mantendrá en equilibrio si se cumplen las
siguientes condiciones:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 0 𝑁
⃗⃗⃗ = 0 𝑁
∑𝑀
Es decir la suma de fuerzas generalmente en el eje y, y el torque deben ser igual a
0.
Sea el siguiente ejemplo:
R1
6m
R2
3m
20 Kg
Una viga de 6 metros de longitud y de masa de 20 kg es soportada por dos puntales,
¿que fuerza se ejerce en cada puntal para que la viga no gire?:
Se deben balancear las fuerzas y los torques e igualarlos a 0:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑃 = 0
Página | 59
Para los torques, se debe tomar un punto de partida como origen o cero, puede ser
R1 o R2, en un principio este punto de origen no se considerará en el balance pues
daría 0 al multiplicar por la distancia 0; del mismo modo para el peso de la barra,
por ser una figura geométrica se determina el centro de gravedad a la mitad de la
distancia del largo de la barra, esto es 3m:
⃗⃗⃗ = (3𝑚 ∗ 𝑃) + ( 6𝑚 ∗ 𝑅2 ) = 0
∑𝑀
El peso será:
𝑃 = 20 𝑘𝑔 ∗ −9.8
𝑚
= −196 𝑁
𝑠2
Sustituyendo en el balance de torques:
⃗⃗⃗ = (3𝑚 ∗ −196 𝑁) + ( 6𝑚 ∗ 𝑅2 ) = 0
∑𝑀
−588 𝑁 ∗ 𝑚 + (6𝑚 ∗ 𝑅2 ) = 0
Despejando R2:
𝑅2 =
588 𝑁 ∗ 𝑚
= 98 𝑁
6𝑚
Sustituyendo en el balance de fuerzas:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 + 98 𝑁 − 196 𝑁 = 0
Despejando R1:
𝑅1 − 98 𝑁 = 0 → 𝑅1 = 98 𝑁
FUERZA DE FRICCIÓN
Todo cuerpo que está en contacto con otro ejerce un contacto o traslape de su
superficie, de tal manera que si se quiere mover uno de los dos objetos tendrá una
resistencia a ese movimiento causado por dicho traslape de superficies, que a
escala muy pequeña las superficies no son regulares y el contacto hace que haya
roce entre ellas. No importa el tipo de cuerpo, objeto o sistema que se trate, el
contacto entre estos genera esta resistencia; ciertos materiales pueden tener un
efecto que evite al máximo ese traslape o roce, como el aceite, agua o aire. A esa
resistencia al movimiento entre superficies se le conoce como fricción.
La fuerza causada por esta fricción se puede cuantificar, se ha comprobado que
esta fuerza es directamente proporcional a la fuerza normal N, que es la fuerza
de reacción causada por la superficie, perpendicular a esta y generalmente en
sentido contrario al peso:
𝐹𝑓 ∝ 𝑵(𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)
Para quitar el signo de proporcionalidad y cambiarlo por un signo igual, se
requiere de una constante, que se llama coeficiente de fricción y se denota por la
Página | 60
letra griega µ, este coeficiente es adimensional, es decir no tiene unidades o
dimensiones y es de dos tipos:
1.
Se le conoce como coeficiente de fricción estático, cuando el cuerpo u objeto
a mover presenta una resistencia inicial al movimiento o desplazamiento, se
le denota con el símbolo µe:
𝐹𝑓𝑒
𝐹𝑓𝑒 = 𝜇𝑒 ∗ 𝑵 → 𝜇𝑒 =
𝑵
Este coeficiente se determina midiendo la fuerza que se va ejerciendo, justo
antes de que se empiece a desplazar.
2.
El coeficiente de fricción dinámico se determina cuando el cuerpo u objeto
ya se desplaza pero sigue mostrando resistencia al movimiento, se determina
con el cuerpo en movimiento, es constante independientemente de la
velocidad del cuerpo siempre y cuando se mantenga el contacto, se denomina
con el símbolo µd:
𝐹𝑓𝑑 = 𝜇𝑑 ∗ 𝑵 → 𝜇𝑑 =
𝐹𝑓𝑑
𝑵
El coeficiente dinámico suele ser menor que el estático, aunque algunas
veces alcanzará el mismo valor que el estático, el coeficiente estático se
puede considerar como el máximo coeficiente, una vez roto ese umbral el
movimiento tendrá menor resistencia para continuar.
Es importante mencionar que la fuerza de fricción se ejerce paralela siempre a la
superficie de contacto y opuesta al sentido del movimiento, es decir la fuerza de
fricción siempre estará sobre el eje de las x u abscisas.
Ambos coeficientes dependen totalmente del material con que está hecha la
superficie de desplazamiento y el cuerpo en movimiento, en la literatura se pueden
encontrar algunos valores para estos materiales:
Superficies en
contacto
Coeficiente de
fricción estático (μe)
Coeficiente de
fricción dinámico (μd)
Cobre sobre acero
0.53
0,36
Acero sobre acero
0.74
0.57
Aluminio sobre acero
0.61
0.47
Caucho sobre cemento
1
0.8
Madera sobre madera
0.375
0.2
Madera sobre cuero
0.5
0.4
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Superficies en
contacto
Coeficiente de
fricción estático (μe)
Coeficiente de
fricción dinámico (μd)
Teflón sobre teflón
0,04
0.04
Por ejemplo, un bloque de madera de 8 kg se desplaza sobre una superficie
horizontal de madera también, la fuerza aplicada es sobre la línea horizontal al
bloque, entonces:
a) ¿Cuál será la fuerza por aplicar para que empiece a moverse?
b) Una vez en movimiento, ¿cuál será la fuerza necesaria para mantener un
movimiento constante?
De la tabla se puede observar que la madera sobre madera tiene un coeficiente
estático de 0.375, por lo que la fuerza mínima a aplicar para que empiece a moverse
es:
𝐹𝑓𝑒 = 𝜇𝑒 ∗ 𝑁 → 𝐹𝑓𝑒 = 0.375 ∗ 𝑵
La fuerza normal, como es perpendicular a la superficie, equivale en magnitud a la
del peso pero en sentido contrario:
𝑵 = 8 𝑘𝑔 ∗ 9.8
𝑚
= 78.4 𝑁
𝑠2
Entonces, la fuerza mínima requerida para que se empiece a desplazar será:
𝐹𝑓𝑒 = 0.375 ∗ 78.4 𝑁 = 29.4 𝑁
La fuerza necesaria para mantener el cuerpo de madera a una velocidad constante
será:
𝐹𝑓𝑑 = 0.2 ∗ 78.4 𝑁 = 15.68 𝑁
PROBLEMAS RESUELTOS:
16. Una esfera de 6 kg es impulsada sobre una superficie sin fricción con una
fuerza de 36.165 pdl, ¿Cuál es la aceleración que alcanza en m/s 2 y en ft/s2?:
a) Para este problema es necesario convertir la fuerza a unidades del Sistema
Internacional de Unidades (SIU) para determinar la aceleración a partir de
la fórmula de fuerza, de la equivalencia se tiene:
36.165 𝑝𝑑𝑙 ∗ (
0.1382 𝑁
) = 4.998𝑁 ≅ 5𝑁
1 𝑝𝑑𝑙
Así de la fórmula de fuerza se despeja la aceleración:
𝐹 = 𝑚∗𝑎
Página | 62
𝑎=
𝐹
𝑚
Por lo cual sustituyendo los valores para obtener la aceleración en las
unidades del SIU:
5𝑁
𝑎=
=
6 𝑘𝑔
5 𝑘𝑔 ∗ 𝑚
𝑚
𝑠2
= 0.833 2
6 𝑘𝑔
𝑠
b) Para el valor de la aceleración en unidades inglesas, se puede convertir el
valor anterior de m a ft, o aplicar la misma fórmula pero convirtiendo los 6
kg a lb; usemos el segundo caso para ilustrar mejor el ejemplo y el cambio
de unidades:
6 𝑘𝑔 ∗ (
2.2046 𝑙𝑏
) = 13.228 𝑙𝑏
1 𝑘𝑔
Por lo cual sustituyendo los valores para obtener la aceleración en las
unidades del Sistema Inglés:
36.165 𝑝𝑑𝑙
𝑎=
=
13.228 𝑙𝑏
36.165 𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡
𝑓𝑡
𝑠2
= 2.734 2
13.228 𝑙𝑏
𝑠
17. Cuál es la masa en libras de un cuerpo que tiene una aceleración de 4 ft/s 2
y es impulsado por una fuerza de 10 lbf:
Para determinar la masa hay que despejarla de la formula general:
𝐹 =𝑚∗𝑎
𝑚=
𝑓𝑡
𝑎=4 2
𝑠
𝐹 = 10 𝑙𝑏𝑓
𝐹
𝑎
La fuerza debe estar en unidades de Poundal que son lb*ft/s 2, por lo que las
libras fuerza se tendrán que pasar a Poundal, la equivalencia se busca en
las tablas de conversión al final; 1 pdl = 3.108*10-2 lbf:
10 𝑙𝑏𝑓 ∗ (
1 𝑝𝑑𝑙
) = 321.75 𝑝𝑑𝑙
3.108 ∗ 10−2 𝑙𝑏𝑓
𝑚=
321.75 𝑝𝑑𝑙
= 80.44 𝑙𝑏
𝑓𝑡
4 2
𝑠
18. ¿Cuál es la fuerza de atracción gravitacional en Poundals de dos pesos, uno
de 144.66 pdl y otro de 289.32 pdl que se encuentran separados por a una
distancia de 10 ft?:
Para determinar la fuerza de atracción se utiliza la fórmula:
Página | 63
𝐹=𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑑2
Para encontrar las masas, se requiere despejar los pesos, pero primero se
requiere convertir la aceleración gravitatoria de m/s 2 a ft/s2:
𝑚
3.281 𝑓𝑡
𝑓𝑡
𝑔 = −9.8 2 ∗ (
) = −32.154 2
𝑠
1𝑚
𝑠
𝑚1 =
𝑚2 =
𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡
𝑠 2 = 4.5 𝑙𝑏
𝑓𝑡
−32.154 2
𝑠
−144.66
𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡
𝑠 2 = 9 𝑙𝑏
𝑓𝑡
−32.154 2
𝑠
−289.32
Se requiere convertir la constante de atracción gravitacional G=6.67*10 11
N*m2/kg2 a pdl*ft2/lb2:
𝐺 = 6.67 ∗ 10
−11
2
𝑁 ∗ 𝑚2 7.233 𝑝𝑑𝑙
3.281𝑓𝑡 2
1 𝑘𝑔
∗(
)∗(
) ∗(
)
𝑘𝑔2
1𝑁
1𝑚
2.2046 𝑙𝑏
𝐺 = 1.0685 ∗ 10−9
𝑝𝑑𝑙 ∗ 𝑓𝑡 2
𝑙𝑏2
Con estas nuevas variables en unidades inglesas, es posible obtener la
fuerza de atracción en pdl:
𝐹 = 1.0685 ∗ 10−9
𝑝𝑑𝑙 ∗ 𝑓𝑡 2 (4.5 𝑙𝑏)(9 𝑙𝑏)
= 4.33 ∗ 10−10 𝑝𝑑𝑙
(10 𝑓𝑡)2
𝑙𝑏2
19. Una masa de 20 kg es jalada por dos fuerzas opuestas sobre una superficie
con fricción despreciable, pero unida a esta superficie mediante rieles, la
fuerza 1 jala hacia la izquierda con una fuerza de 15 N, con un ángulo
sobre la horizontal de 20°, la fuerza 2 jala hacia la derecha con un ángulo
sobre la horizontal de 30°, de esta segunda fuerza se quiere saber su
magnitud, a fin de que la aceleración que se genere hacia la derecha sea de
2.5 m/s2.
g) ¿Cuál es el valor de la F2 en N?
h) ¿Si no estuviera unida la masa a la superficie, con que ángulo la fuerza
resultante intentaría levantar a la masa (ángulo de la fuerza resultante)?
F1=15N
α1=20°
N=196
N
F2=?
α2=30°
P=(20 Kg)(-9.8 m/s2)=-196N
Página | 64
b) Para hacer el balance de fuerzas, se plantea el esquema de todas las
fuerzas en forma de vectores de cada una de ellas así como sus proyecciones
en los ejes x y y, entonces sería:
N=196N
F2Y
F1=15 N
F2
F1Y
α2=30
°
α1=20
°
F1X
F2X
P=196N
∑𝐹⃗ 𝑥 = −𝐹1𝑋 + 𝐹2𝑋
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝐹1𝑌 + 𝐹2𝑌 + 196𝑁 − 196𝑁
Ahora, se busca que la fuerza resultante genere una aceleración de 2.5 m/s 2
hacia el lado derecho del movimiento:
𝐹 = 𝑚∗𝑎
𝐹 = 12 𝑘𝑔 ∗ 2.5
𝑚
= 30 𝑁
𝑠2
Esta fuerza de 30 N es la fuerza resultante, no la fuerza 2, por lo que para
obtener la fuerza 2, primero se obtienen las proyecciones de la fuerza 1, la
cual se conoce, así como el planteamiento de las proyecciones de la fuerza
2:
cos(20°) =
𝐹1𝑋
𝐹1𝑋
=
𝐹1
15 𝑁
𝐹1𝑋 = 15 𝑁 ∗ cos(20°) = −14.1 𝑁
sen(20°) =
𝐹1𝑌
𝐹1𝑌
=
𝐹1
15 𝑁
𝐹1𝑌 = 15 𝑁 ∗ sen(20°) = 5.13 𝑁
cos(30°) =
𝐹2𝑋
𝐹2
𝐹2𝑋 = 𝐹2 ∗ cos(30°) = 0.866𝐹2
Página | 65
sen(30°) =
𝐹2𝑌
𝐹2
𝐹2𝑌 = 𝐹2 ∗ sen(30°) = 0.5𝐹2
Sustituyendo en las sumas de fuerzas para cada componente:
∑𝐹⃗ 𝑥 = − 14.1𝑁 + 0.866𝐹2
∑𝐹⃗ 𝑦 = 5.13 + 0.5𝐹2 + 196𝑁 − 196𝑁
Ahora, para obtener una ecuación que una a las dos sumas con la fuerza
resultante, se usa el Teorema de Pitágoras:
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
(𝐹
𝑅 ) = (∑𝐹 𝑥 ) + (∑𝐹 𝑦 )
2
Así se puede plantear:
(30)2 = (−14.1𝑁 + 0.866𝐹2 )2 + (5.13 + 0.5𝐹2 )2
900 = 198.81 − 24.42𝐹2 + 0.75𝐹2 2 +26.32 + 5.13𝐹2 + 0.25𝐹2 2
De la cual simplificando:
𝐹2 2 − 19.29𝐹2 − 674.87 = 0
Utilizando la solución general para ecuaciones de 2do grado se tiene:
𝑥=
𝐹2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−(−19.29) ± √(−19.29)2 − 4(1)(−674.87)
2(1)
𝐹2 =
19.29 + 55.42
= 37.356
2
Se toma el signo positivo, pues el valor negativo no tiene sentido físico.
d) Para determinar el ángulo de la resultante se tiene:
∑𝐹⃗ 𝑥 = − 14.1 + 0.866(37.356) = 18.25𝑁
∑𝐹⃗ 𝑦 = 5.13 + 0.5(37.356) = 23.808𝑁
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tan 𝜃 =
23.808𝑁
= 1.3045
18.25𝑁
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 −1 1.3045 = 52.52°
20. ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para levantar un bloque de 3 kg sobre
una pendiente de 45°, si la superficie está libre de fricción?:
F=?
3 kg
X (-)
F=?
α=45°
N
Y (+)
Px
β=45°
Y (-)
X (+)
Py
P=-9.8m/s2*3kg=-29.4N
Para determinar las proyecciones del peso en x y y, se tiene:
cos(45°) =
𝑃𝑋
𝑃𝑋
=
𝑃
29.4 𝑁
𝑃𝑋 = 29.4 𝑁 ∗ cos(45°) = 20.788 𝑁
sen(45°) =
𝑃𝑋
𝑃𝑋
=
𝑃
29.4 𝑁
𝑃𝑌 = 29.4 𝑁 ∗ sen(45°) = −20.788 𝑁
En el eje y, Py será la fuerza normal con signo positivo, y ambas fuerzas se
cancelan:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 20.788𝑁 − 20.788𝑁 = 0
∑𝐹⃗ 𝑥 = − 𝐹 + 20.788𝑁
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Para que el bloque se desplace hacia arriba de la pendiente la fuerza F
deberá ser mayor a 20.788 N.
21. Una masa de 60 kg pende de dos tensores en un techo, uno forma un ángulo de
70° y el otro un ángulo de 20°, ¿Cuál es la fuerza que ejerce cada tensor
para que el sistema esté en equilibrio?:
α2=20°
α1=70°
F1
F2
60 kg
F1
F1Y
α1=70
°
F1X
F2
F2Y
α2=20
°
F2X
P=60kg*(-9.8m/s2)=588N
Como se ve en el sistema coordenado, existen las 2 fuerzas que no se
conocen pero se tienen sus proyecciones y los ángulos, con esta información
es posible obtener las proyecciones en función de las fuerzas, primero se
hace el balance de fuerzas:
∑𝐹⃗ 𝑥 = −𝐹1𝑋 + 𝐹2𝑋 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 1
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝐹1𝑌 + 𝐹2𝑌 − 588𝑁 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 2
En el componente y está el peso que es negativo por la dirección de la
fuerza; ambas ecuaciones están igualadas a 0 debido a que el sistema está
en equilibrio.
Las proyecciones es posible ponerlas en función de las fuerzas con ayuda
de la trigonometría, así para la fuerza 1 (F1) y 2 (F2):
Página | 68
cos(70°) =
𝐹1𝑋
𝐹1
𝐹1𝑋 = 𝐹1 ∗ cos(70°) = 0.342𝐹1
sen(70°) =
𝐹1𝑌
𝐹1
𝐹1𝑌 = 𝐹1 ∗ sen(70°) = 0.9397 𝐹1
cos(20°) =
𝐹2𝑋
𝐹2
𝐹2𝑋 = 𝐹2 ∗ cos(20°) = 0.9397𝐹2
sen(20°) =
𝐹2𝑌
𝐹2
𝐹2𝑌 = 𝐹2 ∗ sen(20°) = 0.342𝐹2
Reescribiendo las ecuaciones 1 y 2, se tiene:
∑𝐹⃗ 𝑥 = − 0.342𝐹1 + 0.9397𝐹2 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 1
∑𝐹⃗ 𝑦 = 0.9397𝐹1 + 0.342𝐹2 − 588𝑁 = 0 𝑁 → 𝐸𝑐. 2
Se cuenta entonces con 2 ecuaciones con 2 incógnitas, es posible encontrar
los valores de F1 y F2, despejando F1 de la ecuación 1:
∑𝐹⃗ 𝑥 = − 0.342𝐹1 + 0.9397𝐹2 = 0 𝑁
0.9397𝐹2 = 0.342𝐹1
𝐹1 =
0.9397𝐹12
= 2.7476𝐹2
0.342
Con este valor de F1, es posible sustituirlo en la ecuación 2:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 0.9397𝐹1 + 0.342𝐹2 − 588𝑁 = 0 𝑁
0.9397𝐹1 + 0.342𝐹2 = 588𝑁
0.9397(2.7476𝐹2 ) + 0.342𝐹2 = 588𝑁
2.5819𝐹2 + 0.342𝐹2 = 588𝑁
2.9239𝐹2 = 588𝑁
𝐹2 =
588𝑁
= 201.1𝑁
2.9239
Página | 69
Luego, sustituyendo en el despeje de F1:
𝐹1 = 2.7476𝐹2 = 2.7476(201.1𝑁)
𝐹1 = 552.54𝑁
Que son las fuerzas que se ejercen en cada tensor.
22. ¿Cuál es la fuerza que ejercen los soportes que están colocados en los
extremos de una viga de 70 kg y 7 m de longitud, si además reciben una
fuerza de 250 N a 1 m de un extremo (izquierdo) y 400 N a 3 m del otro extremo
(derecho)?:
F1=250N
F2=400N
7m
R1
1m
R2
3m
3.5 m
P=70 Kg*(-9.8 m/s2)
Para resolver este problema se debe hacer el balance de fuerzas y momentos
de fuerza (torque) e igualarlos a 0, pues el sistema está en equilibrio, así
se tiene:
𝑚
𝑃 = 70𝑘𝑔 ∗ (−9.8 2 ) = −686𝑁
𝑠
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 + 𝑅2 − 250𝑁 − 400𝑁 − 686𝑁 = 0 𝑁
Simplificando fuerzas:
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 + 𝑅2 = 1336 𝑁
Balance para momento de fuerza:
∑ 𝑀 = (1𝑚) ∗ 𝐹1 + (3.5𝑚) ∗ 𝑃 + (4𝑚) ∗ 𝐹2 + (7𝑚) ∗ 𝑅2 = 0 𝑁
∑ 𝑀 = (1𝑚) ∗ −250𝑁 + (3.5𝑚) ∗ −686𝑁 + (4𝑚) ∗ −400𝑁 + (7𝑚) ∗ 𝑅2 = 0 𝑁
∑ 𝑀 = − 250𝑁 − 2401𝑁 − 1600𝑁 + (7𝑚) ∗ 𝑅2 = 0 𝑁
∑ 𝑀 = − 4251𝑁 + (7𝑚) ∗ 𝑅2 = 0 𝑁
Página | 70
∑ 𝑀 = (7𝑚) ∗ 𝑅2 = −4251 𝑁
Despejando R2:
𝑅2 =
−4251 𝑁
= 607.28𝑁
7𝑚
Despejando R1:
𝑅1 + 𝑅2 = 1336 𝑁
𝑅1 = 1336 𝑁 − 607.28𝑁 = 728.71𝑁
23. Para un sistema equilibrado como el que se muestra en la figura, donde una
barra de 10 m, cuya masa es de 50 kg, sostiene a dos masas en sus extremos de
100 kg y 150 kg, ¿Cuál es la distancia a la que se debe colocar un soporte
para que el sistema esté equilibrado?:
R1
10 m
x
F1
100 kg
F2
5m
150
kg
P=50 Kg*(-9.8
m/s2)
Para resolver este problema se debe hacer el balance de fuerzas y momentos
de fuerza (torque) e igualarlos a 0, pues el sistema está en equilibrio, así
se tiene:
𝑚
𝑃 = 50𝑘𝑔 ∗ (−9.8 2 ) = −490𝑁
𝑠
𝑚
𝐹1 = 100𝑘𝑔 ∗ (−9.8 2 ) = −980𝑁
𝑠
𝑚
𝐹2 = 150𝑘𝑔 ∗ (−9.8 2 ) = −1470𝑁
𝑠
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 − 𝑃 − 𝐹1 − 𝐹2 = 0 𝑁
Página | 71
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 − 490𝑁 − 980𝑁 − 1470𝑁 = 0 𝑁
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑅1 − 2940𝑁 = 0 𝑁 → 𝑅1 = 2940𝑁
Balance para momento de fuerza, donde se involucra la distancia que se
requiere para que el sistema esté equilibrado:
∑ 𝑀 = (5𝑚) ∗ 𝑃 + (10𝑚) ∗ 𝐹2 + 𝑥 ∗ 𝑅1 = 0 𝑁
∑ 𝑀 = (5𝑚) ∗ (−490𝑁) + (10𝑚) ∗ (−1470𝑁) + 𝑥 ∗ 𝑅1 = 0 𝑁
∑ 𝑀 = − 2450𝑁 ∗ 𝑚 − 14700𝑁 ∗ 𝑚 + 𝑥 ∗ (2490𝑁) = 0 𝑁
Despejando x:
𝑥=
17150𝑁 ∗ 𝑚
= 5.83𝑚
2490𝑁
24. Un objeto de 20 lb se encuentra sobre una superficie inclinada de 40° sobre
la horizontal, a) ¿Cuál es la fuerza mínima en poundals necesaria para
empezar a mover el bloque sobre la pendiente si el objeto es de aluminio y
la superficie donde se mueve es de acero? b) ¿Cuál es la fuerza en poundals
para mantenerlo en movimiento constante?:
F=?
N
20 lb
α=40°
Se debe determinar primero el peso del objeto, para esto se convierte la
aceleración gravitacional, de unidades en el Sistema Internacional de
Unidades al Sistema Inglés:
𝑚
3.281𝑓𝑡
𝑓𝑡
−9.8 2 ∗ (
) = −32.15 2
𝑠
1𝑚
𝑠
El peso será:
𝑓𝑡
𝑃 = 20𝑙𝑏 ∗ −32.15 2 = −643 𝑝𝑑𝑙
𝑠
Página | 72
a) Para resolver la fuerza necesaria para empezar a mover el bloque se
utiliza de literatura el coeficiente de fricción estático (µe), ya que se
conocen los materiales, aluminio para el objeto en movimiento y acero
para la superficie; µe=0.61, así se tiene el balance de fuerzas en un
sistema coordenado:
X (-)
Y (+)
F
N
β=50°
Py
Ffe
Px
X (+)
P=-643 pdl
Y (-)
∑𝐹⃗ 𝑥 = −𝐹 +𝐹𝑓𝑒 + 𝑃𝑥 = 0 → 𝐸𝑐. 1
∑𝐹⃗ 𝑦 = 𝑵 − 𝑃𝑦 = 0 → 𝐸𝑐. 2
De la ecuación 2 es posible obtener la fuerza normal N, y equivale a la
proyección del peso en y, esto es Py; mediante el ángulo de la
proyección que es de 50° y con las relaciones trigonométricas se saca
cada proyección del peso en el eje de las x y y; el ángulo de 50° se
obtiene de la diferencia entre 180° y el ángulo de la horizontal 40° mas
90° que es el ángulo que se forma entre la fuerza del peso y la
horizontal:
𝑃𝑥
cos(50°) =
𝑃
𝑃𝑥 = 𝑃 ∗ cos(50°) = (643 𝑝𝑑𝑙 ) ∗ 0.643 = 413.45 𝑝𝑑𝑙
sen(50°) =
𝑃𝑦
𝑃
𝑃𝑦 = 𝑃 ∗ sen(50°) = (643 𝑝𝑑𝑙 ) ∗ 0.766 = −492.54 𝑝𝑑𝑙
El valor de Py es negativo pues se ubica en el eje de las y negativo en
el sistema coordenado, no así el valor de Px que se encuentra en la
parte positiva del eje x.
De la ecuación 2 y sabiendo que la fuerza normal N será positiva:
𝑵 − 𝑃𝑦 = 0 → 𝑵 = 𝑃𝑦 = 492.54 𝑝𝑑𝑙
De la ecuación de fuerza de fricción estática:
𝐹𝑓𝑒 = 𝜇𝑒 ∗ 𝑵 → 𝐹𝑓𝑒 = 0.61 ∗ 492.54 𝑝𝑑𝑙
𝐹𝑓𝑒 = 300.45 𝑝𝑑𝑙
Página | 73
Entonces de la ecuación 1 se tiene:
∑𝐹⃗ 𝑥 = −𝐹 +𝐹𝑓𝑒 + 𝑃𝑥
De tal manera que la fuerza para que el objeto se empiece a mover debe
ser mayor a:
𝐹 = 𝐹𝑓𝑒 + 𝑃𝑥
𝐹 = 300.45 𝑝𝑑𝑙 + 413.45 𝑝𝑑𝑙 = 713.8 𝑝𝑑𝑙
b) Para resolver la fuerza necesaria para que el bloque se mantenga en
movimiento se utiliza el mismo valor de Px, pero para calcular la
fuerza de fricción ahora se usará el coeficiente dinámico de fricción
(µd), esto es según la literatura µd=0.47
De la ecuación de fuerza de fricción dinámica:
𝐹𝑓𝑑 = 𝜇𝑑 ∗ 𝑵 → 𝐹𝑓𝑑 = 0.47 ∗ 492.54 𝑝𝑑𝑙
𝐹𝑓𝑑 = 231.5 𝑝𝑑𝑙
De la misma ecuación 2:
𝐹 = 𝐹𝑓𝑑 + 𝑃𝑥
𝐹 = 231.5 𝑝𝑑𝑙 + 413.45 𝑝𝑑𝑙 = 644.95 𝑝𝑑𝑙
EJERCICIOS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, PARA LAS UNIDADES DONDE TENGAS QUE CONVERTIR,
LAS EQUIVALENCIAS VIENEN AL FINAL NO OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
4.
Una esfera de 8.5 kg es impulsada sobre una superficie sin fricción con una
fuerza de 45.5 pdl, ¿Cuál es la aceleración que alcanza en m/s2 y en ft/s2?:
5.
¿Cuál es la fuerza de atracción gravitacional en Newtons de dos pesos, uno
de 160.5 pdl y otro de 292.5 pdl que se encuentran separados por a una
distancia de 25 ft?:
6.
Una masa de 35 lb es jalada por dos fuerzas opuestas sobre una superficie
con fricción despreciable, pero unida a esta superficie mediante rieles, la
fuerza 1 jala hacia la izquierda con una fuerza de 220 pdl, con un ángulo
sobre la horizontal de 30°, la fuerza 2 jala hacia la derecha con un ángulo
sobre la horizontal de 40°, de esta segunda fuerza se quiere saber su
magnitud, a fin de que la aceleración que se genere hacia la derecha sea de
6.5 ft/s2.
a. ¿Cuál es el valor de la F2 en pdl?
Página | 74
b.
¿Si no estuviera unida la masa a la superficie, con que ángulo la
fuerza resultante intentaría levantar a la masa (ángulo de la
fuerza resultante)?
N
F1=220pd
l
F2=?
α1=30°
α2=40°
P
7.
¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para levantar un bloque de 8 kg sobre
una pendiente de 60°, si la superficie está libre de fricción?:
F=?
8 kg
5.
α=60°
Una masa de 100 kg pende de dos tensores en un techo, uno forma un ángulo
de 60° y el otro un ángulo de 30°, ¿Cuál es la fuerza que ejerce cada tensor
para que el sistema esté en equilibrio?:
α2=30°
α1=60°
F1
F2
100 kg
6.
¿Cuál es la fuerza que ejercen los soportes que están colocados en los
extremos de una viga de 80 kg y 9 m de longitud, si además reciben una
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fuerza de 130 N a 2 m de un extremo (izquierdo) y 260 N a 3 m del otro extremo
(derecho)?:
F1=130N
F2=260N
9m
R1
2m
R2
3m
4.5 m
P
7.
Un objeto de 50 lb se encuentra sobre una superficie horizontal recibe una
fuerza de 835.9 pdl justo antes de empezar a moverlo y 562.62 pdl para
mantenerlo en movimiento constante a) ¿Cuál es el coeficiente de fricción
estático µe? b) ¿ ¿Cuál es el coeficiente de fricción dinámico µd?:
6. Energía
ENERGÍA:
Se puede entender a la energía como la capacidad para generar un trabajo,
generalmente involucra a la fuerza y la distancia en la que esta fuerza es
ejercida, de ahí se determina la unidad básica de la energía:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 ∗ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐹 ∗ 𝑑
1 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽) = 1 𝑁 ∗ 𝑚 → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
1𝑝𝑑𝑙 ∗ 𝑓𝑡 → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙é𝑠
En el Sistema Inglés existen unidades específicas de energía, pero que no tienen
una equivalencia específica con el pdl*ft, así 1 pdl*ft equivale a 0.0004 BTU
(British Termal Unit) o 0.0311 lbf*ft.
Existen varios tipos de energía, se mencionan algunos:
1. Energía calorífica, es la energía que se produce principalmente por reacciones
exotérmicas o endotérmicas de materiales, como la combustión, la cual es una
reacción de compuestos diversos con el oxígeno en presencia de alguna fuente de
ignición, y que se propagan al medio por algún fenómeno como la conducción,
convección y radiación.
2. Energía eléctrica , es la energía que se genera por una diferencia de potencial
al fluir una corriente por un material conductor, principalmente se obtiene en
Página | 76
generadores eléctricos, ya sea a base de combustibles, agua, viento, mareas etc.
También se puede obtener de pilas.
3.
Energía nuclear, Es la originada por la energía que mantiene unidas a las
partículas en el núcleo de los átomos, misma que es liberada en forma de energía
calorífica y radiante cuando se produce una reacción de fusión, caracterizada por
la. unión de dos núcleos ligeros para formar uno mayor, o bien, cuando se produce
una reacción de fisión al desintegrarse el núcleo de un elemento de peso atómico
elevado.
4. Energía radiante, Es la energía producida por ondas electromagnéticas que se
caracterizan por su propagación en el vacío a una velocidad cuya magnitud es de
aproximadamente 300 000 km/s, tal es el caso de las de radio, los rayos gamma,
rayos X, ultravioleta, infrarrojos o luminosos.
5. Energía química, Se produce cuando las sustancias reaccionan entre sí alterando
su constitución íntima o composición, liberando o absorbiendo energía, como es el
caso de la energía obtenida en los explosivos o en las pilas eléctricas.
6 Energía mecánica, Es la que tienen los cuerpos cuando por su posición o su
velocidad, son capaces de interaccionar con el sistema del cual forman parte para
realizar un trabajo. Se divide en energía potencial y cinética.
ENERGÍA POTENCIAL
Cuando se levanta un cuerpo cualquiera, a una cierta altura (h), se debe efectuar
un trabajo igual al producto de la magnitud de la fuerza aplicada por la altura
a la que fue desplazado.
Este trabajo se convierte en energía potencial gravitacional, llamada así pues su
origen se debe a la atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre el cuerpo.
El trabajo realizado será la fuerza debida a la atracción gravitacional o peso
por la altura, así se tendría:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐸𝑝 ) = 𝑃 ∗ ℎ
Donde P es el peso y h la altura. Como el peso se puede representar mediante la
ecuación:
𝑃 = 𝑚∗𝑔
Siendo m la masa del cuerpo y g la aceleración causada por la gravedad de la
tierra se puede sustituir en la fórmula de energía potencial, así:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐸𝑝 ) = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
ENERGÍA CINÉTICA
Todo cuerpo en movimiento tiene energía cinética. Por ejemplo, cuando una persona
camina o corre, un avión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para
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su despegue. Esta energía debida al movimiento puede ser asociada a varios
fenómenos como los dispositivos elásticos (resortes), vehículos o péndulos.
En general la energía cinética se puede asociar con la distancia recorrida por un
cuerpo y la fuerza ejercida por este para que se mantenga en movimiento:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) = 𝐹 ∗ 𝑑
La distancia de un cuerpo en movimiento se puede determinar mediante la fórmula:
𝑑 = 𝑣𝑖 ∗ 𝑡 +
𝑎 ∗ 𝑡2
2
Así al sustituir la ecuación de distancia en la ecuación de energía cinética:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) = 𝐹 ∗ (𝑣𝑖 ∗ 𝑡 +
𝑎 ∗ 𝑡2
)
2
La fuerza también se puede representar como F=m*a, considerando un sistema que
parte del reposo, es decir Vi=0, se sustituye en la ecuación de energía cinética:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) = 𝑚 ∗ 𝑎 ∗ (0 ∗ 𝑡 +
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) = 𝑚 ∗ 𝑎 ∗ 0 ∗ 𝑡 +
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) =
𝑎 ∗ 𝑡2
)
2
𝑚 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡2
2
𝑚 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑡 2 𝑚 ∗ (𝑎𝑡)2
=
2
2
Pero a*t=v, por lo que se puede resumir la fórmula como:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐸𝑐 ) =
𝑚 ∗ 𝑣2
2
La energía mecánica se puede considerar como la energía cinética más la energía
potencial, así se tiene:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ +
𝑚 ∗ 𝑣2
2
En todo caso la energía potencial que tenga un cuerpo se puede convertir en
energía cinética y viceversa, esto por el principio de conservación de la energía:
“La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma” , luego entonces la
energía mecánica se mantendrá en todo el proceso, solo variarán los valores de
energía cinética y potencial.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Página | 78
La cantidad de movimiento lineal de un cuerpo, o simplemente cantidad de
movimiento, es igual al producto de su masa por la magnitud de su velocidad:
𝐶⃗ = 𝑚 ∗ 𝑣
Se puede relacionar con el impulso, que se representa por el tiempo en el que una
fuerza se ejerce sobre un cuerpo:
𝐼⃗ = 𝐹 ∗ 𝑡
Estos dos conceptos están relacionados pues de la ecuación de fuerza y de la
fórmula de aceleración:
𝐹 =𝑚∗𝑎 = 𝑚∗(
Si Vi es igual a 0 y se despeja tiempo:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
)
𝑡
𝐹 ∗ 𝑡 = 𝑚𝑉𝑓
Ahora, se puede expresar el momento m*V para dos masas distintas cuando se
impactan entre sí, como en la figura:
La interacción de estas 2 masas con velocidades diferentes se tiene que el momento
de las dos masas será antes del choque:
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑈
⃗⃗2
𝑚1 ∗ 𝑈
Después del choque:
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2
𝑚1 ∗ 𝑉
Ahora, el impulso que tendrán las dos masas será para la primera:
⃗⃗1 − 𝑚1 ∗ 𝑈
⃗⃗1
𝐹1 ∗ 𝑡 = 𝑚1 ∗ 𝑉
Para la segunda masa:
⃗⃗2 − 𝑚2 ∗ 𝑈
⃗⃗2
𝐹2 ∗ 𝑡 = 𝑚2 ∗ 𝑉
Página | 79
De acuerdo con la 3er Ley de Newton se ejerce la misma fuerza en un sentido y otra
en otro, por lo que se puede representar:
𝐹1 ∗ 𝑡 = −𝐹2 ∗ 𝑡
Sustituyendo:
⃗⃗1 − 𝑚1 ∗ 𝑈
⃗⃗1 = −(𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2 − 𝑚2 ∗ 𝑈
⃗⃗2 )
𝑚1 ∗ 𝑉
Reordenando:
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑈
⃗⃗2 = 𝑚1 ∗ 𝑉
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2
𝑚1 ∗ 𝑈
PROBLEMAS RESUELTOS:
25. Un cuerpo de 60 kg se encuentra en lo alto de un acantilado de 30 m,
determine lo siguiente:
a. ¿Cuál es la energía potencial?
b. ¿Cuál es la energía mecánica estando el cuerpo arriba en el
acantilado?
c. ¿Si el cuerpo cae del acantilado, cual será la velocidad de caída
justo antes de llegar al piso manteniendo la energía mecánica total
del sistema?
d. ¿Cuál es la energía potencial y cuál es la energía cinética a la
mitad del trayecto en la caída y que velocidad lleva el cuerpo en
esta altura?
c)
Para determinar la energía potencial se utiliza la fórmula:
𝐸𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
𝑚
𝑘𝑔 ∗ 𝑚2
𝐸𝑝 = 60𝑘𝑔 ∗ 9.8 2 ∗ 30𝑚 = 17640
= 17640 𝐽 = 17.64 𝑘𝐽
𝑠
𝑠2
d) Para determinar la energía mecánica total del sistema se acude a la
fórmula:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ +
𝑚 ∗ 𝑣2
2
En la fórmula de energía mecánica, cuando el cuerpo se encuentra en la
altura máxima tiene una velocidad igual a cero, por lo que el segundo
término de la ecuación también valdrá 0, y solo quedará el valor de la
energía potencial:
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𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 17.64 𝑘𝐽 +
e)
𝑚 ∗ 02
= 17.64 𝑘𝐽
2
Para determinar la velocidad con la que el cuerpo llega al suelo será
usando la misma fórmula de energía mecánica, pues la energía se mantiene
conforme el objeto cae, la velocidad aumenta y la altura disminuye, el valor
de 17.64 kJ se mantiene, justo antes de llegar al suelo la altura será cero y
la velocidad máxima:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 17.64 𝑘𝐽 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 0𝑚 +
17.64 𝑘𝐽 = 0 +
𝑚 ∗ 𝑣2
2
60 𝑘𝑔 ∗ 𝑣 2
2
De esta última ecuación se despeja la velocidad:
60 𝑘𝑔 ∗ 𝑣 2
= 17.64 𝑘𝐽
2
2 ∗ 17.64 𝑘𝐽
𝑚
𝑣=√
= 24.25
60 𝑘𝑔
𝑠
f)
Para determinar la energía cinética y potencial a la mitad del trayecto de
caída, sería a los 15 m de la altura total del acantilado, con este dato es
posible calcular la energía potencial:
𝐸𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
𝑚
𝑘𝑔 ∗ 𝑚2
𝐸𝑝 = 60𝑘𝑔 ∗ 9.8 2 ∗ 15𝑚 = 8820
= 8820 𝐽 = 8.82 𝑘𝐽
𝑠
𝑠2
De la ecuación de energía mecánica:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐
Sustituyendo la energía potencial y la energía mecánica total:
17.64 𝑘𝐽 = 8.82 𝑘𝐽 + 𝐸𝑐
Despejando la energía cinética:
𝐸𝑐 = 17.64 𝑘𝐽 − 8.82 𝑘𝐽 = 8.82 𝑘𝐽
Con este valor se despeja de la fórmula de energía cinética la velocidad:
𝑣=√
2 ∗ 𝐸𝑐
2 ∗ 8.82 𝑘𝐽
𝑚
=√
= 17.14
𝑚
60 𝑘𝑔
𝑠
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26. Una pelota en reposo cuya masa es de 500 g es impulsada por un jugador,
imprimiéndole una velocidad de 12 m/s, si el tiempo de contacto con el valor
fue de 0.5 segundos ¿Cuál es la magnitud de fuerza ejercida sobre la pelota?:
Para determinar la fuerza se tiene que igualar el impulso con la cantidad
de movimiento:
𝐹∗𝑡 =𝑚∗𝑣
𝑚∗𝑣
𝑡
𝐹=
𝑚
𝑠
𝑚 = 500 𝑔 = 0.5 𝑘𝑔
𝑡 = 0.5 𝑠
𝑣 = 12
Sustituyendo:
𝐹=
𝑚
0.5 𝑘𝑔 ∗ 12 𝑠
𝐹 = 12
0.5 𝑠
𝑘𝑔 ∗ 𝑚
= 12 𝑁
𝑠2
27. Una bala de 10 g es disparada por un revolver de 1.4 kg, si la velocidad de
salida de la bala del revolver es de 400 m/s, a. ¿Cuál es la magnitud de
retroceso del cañón del revolver?, b. El tiempo de disparo es de 0.3 s ¿Cuál es
la fuerza de martilleo del revolver?
a. Para determinar la cantidad de movimiento se considera la fórmula:
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑈
⃗⃗2 = 𝑚1 ∗ 𝑉
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2
𝑚1 ∗ 𝑈
Como la bala y el revolver están en reposo antes del disparo, las
velocidades U1 y U2 valen 0:
⃗⃗1 + 𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2
0 = 𝑚1 ∗ 𝑉
𝑚1 = 10 𝑔 = 0.01 𝑘𝑔
𝑚2 = 1.4 𝑘𝑔
𝑉2 = 400
𝑚
𝑠
Pasando el término de m1 y V1 del lado izquierdo con signo negativo, y
despejando V1:
⃗⃗1 = 𝑚2 ∗ 𝑉
⃗⃗2
−𝑚1 ∗ 𝑉
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⃗⃗1 =
𝑉
⃗⃗1 = −
𝑉
⃗⃗2
𝑚2 ∗ 𝑉
−𝑚1
𝑚
0.01 𝑘𝑔 ∗ 400 𝑠
1.4 𝑘𝑔
= −2.86
𝑚
𝑠
La velocidad es negativa pues se produce contraria a la dirección donde
sale la bala.
b.
Para determinar la fuerza producto del gatilleo del revolver se utiliza la
fórmula y el tiempo de 0.3 s:
𝐹∗𝑡 =𝑚∗𝑣
𝐹=
𝑚
𝑠
𝑚 = 1.4 𝑘𝑔
𝑡 = 0.3 𝑠
𝑚∗𝑣
𝑡
𝑣 = −2.86
Sustituyendo:
𝐹=
𝑚
1.4 𝑘𝑔 ∗ −2.86 𝑠
𝐹 = 13.34
0.3 𝑠
𝑘𝑔 ∗ 𝑚
= 13.34 𝑁
𝑠2
EJERCICIOS:
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, PARA LAS UNIDADES DONDE TENGAS QUE CONVERTIR,
LAS EQUIVALENCIAS VIENEN AL FINAL NO OLVIDES INCLUIR EL DESARROLLO:
1.
¿Cuál es la energía potencial en Newtons (N) de un objeto de 1.5 kg que
alcanza una altura de 33 ft?:
2.
¿Cuál es la velocidad en km/s de un meteoro de 3.8 kg de masa que se
desintegra en la atmósfera si la energía que lleva es de 9.31 kJ?:
3.
Una masa de 100 lb se encuentra a 130 ft de altura.
a. ¿Cuál es su energía potencial y mecánica en Joules (J)?
b. Si el objeto cae, ¿Cuál es su energía potencial y cinética a los 100 ft
de altura?
c. ¿Cuál es la velocidad de caída a los 100 ft de altura?
d. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad justo antes de llegar al suelo?
4.
Una polea de 300 kg dispara un objeto de 40 kg a una velocidad de 60 km/h:
a. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la polea?
b. ¿Cuál es la fuerza que recibe la polea por ese impulso?
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ANEXO UNIDADES:
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Página | 85