Superficies cuadráticas. C Á L C U L O D E VAR I A S VAR I A B L E S D r. E l v i s C o r o m o t o A p o n t e Va l l a d a r e s Contenido(s): 1.4 3 Objetivo General Estudiar las características básicas de las funciones cuadráticas a través de la ecuación general que las definen y el uso de sus gráficas en ℝ3 para la comprensión de algunos tópicos del cálculo de varias variables. Objetivos Específicos Reconocer la ecuación y grafico de las funciones cuadráticas mediante sus curvas de nivel. Emplear el concepto de curvas de nivel y de simetría para graficar funciones cuadráticas. 4 Motivación Las funciones cuadráticas son empleadas en la arquitectura y en la física, por ejemplo, se construyen edificaciones como puentes, los templos donde se mantiene el sonido con cierta armonía. También se hace notar su utilidad en las proyecciones de la luz, por ejemplo, en los focos de los autos. Definición. Superficies Cuadráticas (x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = r2 1) Esfera: (h, k, l) es el centro de la esfera y r es la longitud del radio. Los conjuntos de nivel pueden ser: circunferencias, puntos o conjuntos vacíos. (𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2 + 𝒃2 + 𝒄 2 = 1 𝒂2 2) Elipsoide: (h, k, l) es el centro del elipsoide y a, b, c son las longitudes de los semiejes, respectivamente. Los conjuntos de nivel pueden ser: elipses, puntos o conjuntos vacíos. Superficies Cuadráticas 3) Hiperboloide de una hoja: (𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2 + 𝒃2 - 𝒄 2 = 1 𝒂2 (h, k, l) es el centro del hiperboloide y el signo negativo indica la dirección del eje de simetría; a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses o hipérbolas. 4) Hiperboloide de dos hojas: (𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2 - 𝒂2 - 𝒃2 + 𝒄2 = 1 (h, k, l) es el centro de hiperboloide y el signo positivo indica la dirección del eje de simetría; a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses, hipérbolas, puntos o conjuntos vacíos. 8 5) Paraboloide Elíptico: 𝐳−𝐥= 6) Paraboloide Hiperbólico: (𝒙−𝒉)2 𝒂2 + (𝒚−𝒌)2 𝒃2 (h, k, l) es el vértice del paraboloide y la variable lineal indica la dirección del eje de simetría; a, b son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses, parábolas, puntos o conjuntos vacíos. La concavidad del paraboloide los determina el dominio de la variable lineal. 𝐳−𝐥= (𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 𝒂2 𝒃2 (h, k, l) es el punto de silla del paraboloide y la variable lineal indica la dirección del respaldo de la silla; a, b son los parámetros de los conjuntos de nivel: hipérbolas, parábolas o rectas. El frente de la silla está dado por la variable cuadrática con signo positivo. En la siguiente figura se muestra la gráfica de z = y 2 - x 2 9 7) Cono elíptico: (𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2 + - 2 =0 𝒂2 𝒃2 𝒄 (h, k, l) es el vértice del cono y el signo negativo indica la dirección del eje de simetría; a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses, hipérbolas, rectas o puntos. 10 11 Ejemplo: 12 13 Ejemplo: 14 15 16 17 18 19 20 21 23 https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-6-superficies-cuadricas https://www.youtube.com/watch?v=Y15czEtObBc https://www.youtube.com/watch?v=Fi2vFA23-ls
