Tecnológico de Costa Rica Resúmenes: Matrices, Determinantes, Números complejos Resumen (Matrices y sistemas de ecuaciones lineales) Matriz: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales o complejos. Los elementos de una matriz se organizan en filas (horizontales) y columnas (verticales). Notación aij : Si A es una matriz de tamaño m × n entonces aij es el elemento de A que se ubica en la fila i, columna j (para cada i = 1, . . . , m y cada j = 1. . . , n). Algunos tipos de matrices Una matriz cuadrada es una que tiene igual número de filas y columnas: m = n. Una matriz columna es una que tiene una sola columna: n = 1. Una matriz fila es una que solo tiene una sola fila: m = 1. Una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su transpuesta (A = AT ). Matriz identidad: La matriz identidad de orden n (o tamaño n) es la matriz n×n con 1s en la diagonal y 0s en las demÁs posiciones. Dicho de otra forma, el elemento i, j de la identidad es igual a 1 si i = j, o a 0 si i 6= j. Se denota In . Teorema: Sean A, B, C y D matrices de tamaños m × n, n × p, p × q y n × p, respectivamente. A · In = Im · A = A A · (B · C) = (A · B) · C A · (B + D) = A · B + A · D (B + D) · C = B · C + D · C (A · B)T = B T · AT Dimensión o tamaño de una matriz: La dimensión o tamaño de una matriz con m filas y n columnas es la expresión m × n Matriz transpuesta: Si A es una matriz m × n, su transpuesta, denotada AT , es la matriz de tamaño n × m que resulta de convertir las filas de A en columnas, y las columnas de A en filas. Operaciones con matrices: Si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n son matrices de tamaño m × n, y k es un número real, entonces k · A = k · (aij )m×n = (k · aij )m×n (cada aij se multiplica por k). A + B = (aij + bij )m×n (se suma cada aij con cada bij ). A − B = (aij − bij )m×n (se resta cada aij con cada bij ). Producto de una fila por una columna: Si A es una matriz fila (1 × n) y B es una matriz columna (n × 1), entonces su producto es b11 . A·B = a11 · · · a1n .. = a11 b11 +...+a1n bn1 bn1 Producto de matrices: Si A tiene tamaño m × n y B tiene tamaño n × p, entonces el producto A · B es la matriz C de tamaño m × p tal que Cm×p = Am×n · Bn×p n X donde cij = aik bkj k=1 Matriz de coefientes de un sistema de ecuaciones: La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas en el sistema, con una fila para cada ecuación y una columna para cada incógnita. Operaciones elementales entre las filas de una matriz: Multiplicar por un escalar distinto de cero. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila. Intercambiar dos filas. Matriz aumentada de un sistema: La matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz que contiene a la matriz de coeficientes del sistema, aumentada con una columna adicional que contiene las constantes al lado derecho del signo de igualdad en cada ecuación. Matriz inversa: Si A es una matriz de tamaño n×n se dice que es invertible si existe una matriz A−1 de tamaño n × n, tal que A · A−1 = In = A−1 · A. Teorema: Si A y B son matrices invertibles del mismo tamaño entonces AT y A · B también son invertibles, con −1 T AT = A−1 y (A · B)−1 = B −1 · A−1 Tecnológico de Costa Rica Resúmenes: Matrices, Determinantes, Números complejos Resumen (Determinantes) El determinante de una matriz A = det(A) = |A| = a b es c d a b = ad − bc. c d El determinante de una matriz An×n con (n ≥ 2) es n X (−1)i+j aij Mij para i fijo entre 1 y n j=1 |A| = n X (−1)i+j aij Mij para j fijo entre 1 y n i=1 Teorema: Si A y B son matrices cuadradas de igual tamaño entonces: |A · B| = |A| · |B| |A−1 | = 1 si A es invertible |A| |AT | = |A| Teorema: Si A es una matriz triangular (superior o inferior) entonces su determinante es el producto de su diagonal: |A| = a11 · a22 · · · ann donde Mij , es el menor de aij , es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. Teorema: Si A es una matriz cuadrada entonces: Teorema: Si A es una matriz cuadrada entonces: Al intercambiar dos filas o dos columnas de A, el determinante de A cambia de signo. Si una fila o columna de A es igual a cero entonces |A| = 0. Al multiplicar una fila o columna de A por un escalar k, el determinante de A se multiplica por k Si una fila o columna de A es un múltiplo de otra (o igual a otra) entonces |A| = 0. Al sumar a una fila o columna de A un múltiplo de otra, el determinante de A se mantiene igual. Si A es una matriz triangular con un cero en su diagonal entonces |A| = 0. Regla de Cramer Sea An×n la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con incognitas x1 , x2 , . . . , xn , y sea Aj el resultado de sustituir la columna j de A por el lado derecho del sistema. Si |A| = 6 0, entonces |Aj | xj = |A| para cada j = 1, 2, . . . , n. Si |A| = 0, el sistema no tiene solucion única. Si ademÁs existe algún |Aj | = 6 0, el sistema no tiene ninguna solución. Teorema: Si An×n es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones, entonces el sistema tiene solución única si, y solamente si, |A| = 6 0. Cofactor: Sea A una matriz de tamaño n × n. Entonces: El cofactor i, j de A es cij = (−1)i+j Mij , donde Mij es el menor de aij . La matriz adjunta de A es Adj(A) = C T , donde C es la matriz de cofactores. Si A es una matriz cuadrada con |A| = 6 0 entonces su inversa es 1 A−1 = Adj(A) |A| Tecnológico de Costa Rica Resúmenes: Matrices, Determinantes, Números complejos Resumen (Números complejos) Un número complejo z es uno de la forma z = a + bi con a, b ∈ R. El número a es la parte real de z, denotada Re z, y el número b es la parte imaginaria de z denotada Im z. El conjunto de los números complejos se denota C. Si z = a + bi es un número complejo, su conjugado es z = a − bi. Teorema Fundamental del álgebra Cualquier polinomio de grado n ≥ 1, con coeficientes reales o complejos, tiene al menos un cero complejo. Teorema (Corolario del Teorema Fundamental del álgebra) Si P es un polinomio de grado n, entonces P (x) se factoriza completamente como P (x) = a(x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − cn ) donde c1 , ..., cn son los ceros de P y a es el coeficiente de xn en P (x). Coordenadas polares: Los números r y θ son las coordenadas polares de z. r es el valor absoluto o módulo, y se denota |z|. θ es el argumento o amplitud. Teorema: Si z, w ∈ C entonces: z∓w =z∓w z·w =z·w z/w = z/w si w 6= 0 z=z Multiplicidad: Cuando un factor (x − c) aparece k veces en la factorización de P (x), se dice que (x − c) es un factor con multiplicidad k y que c es un cero con multiplicidad k. Los factores o ceros no repetidos (k = 1) se llaman simples y los repetidos (k > 1) se llaman múltiples. Teorema de los ceros conjugados Si P es un polinomio con todos sus coeficientes reales y x = a + bi es un cero de P , entonces su conjugado x = a − bi también es un cero de P . Función cis: Para un Ángulo θ se define la función cis θ = cos θ + i sen θ Forma rectangular de un número complejo: La forma rectangular de un número complejo es z = a + bi donde a es la parte real y b la parte imaginaria. Forma polar de un número complejo: La forma polar es z = rcisθ, donde r es el valor absoluto y θ el argumento. Argumento principal: El argumento principal de z = rcis θ es el único valor de θ en el intervalo ]−π, π]. Se denota θ = Arg(z). Productos, cocientes y potencias en forma polar: Si z = rcis α y w = scis β, entonces z · w = rs cis (α + β) z r = cis (α − β) w s Teorema (de las raı́ces n-ésimas) Las n raı́ces n−ésimas de z = rcis θ son √ ωk = n rcis nθ + k 2π para k = 0, . . ., n − 1 n (Puede usarse 360◦ en vez de 2π.) Teorema de DeMoivre Si z = rcis θ, entonces z n = rn cis (nθ), ∀ n ∈ Z. Teorema: Dado n ∈ N, cualquier número complejo distinto de 0 tiene n raı́ces n−ésimas. Exponente imaginario: Para x ∈ R se define eix = cis x (con x en radianes) Logaritmo complejo: Si r > 0 y θ ∈] − π, π], el logaritmo principal de rcis θ es Ln(z) = ln |z| + iArg(z) Potencias complejas: Si w, z ∈ C con w 6= 0, se define wz = ez Ln(w) .
