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Cálculo II
Cilindros y Superficies Cuadráticas
Cilindros y Superficies Cuadráticas
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ejercicio se deriven.
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Índice del tema
1.
SUPERFICIES
1.1. Intersecciones con los ejes
1.2. Trazas
1.3 Secciones Paralelas a los planos coordenados
2.
CURVAS COMO INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES
3.
DESCRIPCIÓN DE REGIONES
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Introducción
Claramente, el espacio es el verdadero protagonista de la Arquitectura e Ingeniería. La
realización de un proyecto de ingeniería introduce en el ambiente una alteración espacial:
volúmenes, superficies, líneas y sus articulaciones plásticas y cromáticas concurren juntas al
crear ideas que se plasmarán en una realidad concreta (1).
La Ingeniería no puede expresarse ni comunicarse más que con medios gráficos y éstos tienen
gran importancia porque, convenientemente elegidos y usados con maestría, pueden simular la
deseada realidad proyectual. Es muy difícil, por ejemplo, proponer soluciones si no se conoce la
geometría de una estructura. Una geometría del diseño en la ue la palab a diseño reviste el
doble significado de invención – proyectación y de operación gráfica para la construcción de la
propia invención (1).
Fig.1: En la industria
Disponible
en:
https://www.google.com.pe/search?q=supe
rficies+cuadraticas+en+ingenieria+industria
Fig.3: En ingeniería civil
Disponible en: http://rn-di.blogspot.com/2015/03/matematicaaplicaciones-al-diseno.html
Fig.2: En ingeniería de Diseño
Disponible en: http://repr-trid-obj-aga.blogspot.com/
Fig.4: En ingeniería civil
https://free-d.nl/project/show/id/52
Por tanto, las leyes de la Geometría son la primera y la última justificación de todo proyecto,
desde la idea inicial hasta la composición y ejecución final.
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1. Superficies cuadráticas
1.1
Definición: Se llama superficie cuadrática al conjunto de todos los puntos, y
solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la
forma:
Ax2  By 2  Cz2  Dxy  Eyz  Fxz  Gx  Hy  Iz  J  0
1.2
(1)
Discusión de la ecuación de una superficie.
Para graficar, en algunos casos es necesario, obtener los puntos de corte con los ejes
coordenados, las trazas y secciones paralelas las cuales se obtienen, tal como se indica
a continuación:
1.2.1 Cortes con los ejes coordenados
Con el eje x: Hagamos, y = 0 y z = 0, se tiene: x = x
o
Con el eje y: Hagamos, x = 0 y z = 0, se tiene: y = y
o
Con el eje z: Hagamos, x = 0 y y = 0, se tiene: z = z
o
1.2.2 Cortes con los planos coordenados (Trazas)
Con el plano xy : z = 0.
Con el plano yz : x = 0.
Con el plano xz : y = 0.
1.2.3 Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Paralelos a xy : z = k.
Paralelos a yz : x = k.
Paralelos a xz : y = k
En la siguiente tabla, se muestra el gráfico de seis superficies cuadráticas
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1.3
Gráficos de Superficies cuadráticas completas
Superficie
Ecuación
Superficie
Ecuación
Cono
Elipsoide
Las trazas horizontales
son elipses.
 Todas las trazas son
elipses.
Las trazas verticales:
 Si k  0 : x  k e
y  k son hipérbolas.
 Si k  0 : son pares
de líneas.
 Si a  b  c , se
tiene una esfera
Paraboloide Elíptico
Hiperboloide de una hoja
 Las trazas horizontales
son elipses.
 Las trazas verticales
con hipérbolas.
 Las
trazas
horizontales
son
elipses (a  b) y
circunferencias
(a  b)
El eje de simetría
corresponde a de las
variables
cuyo
coeficiente es negativo.
 Las trazas verticales
son parábolas.
Hiperboloide de dos hojas
Paraboloide Hiperbólico
 Las trazas horizontales
son hipérbolas.
 Las trazas verticales
son parábolas.
Las trazas horizontales
( z  k ) son elipses si
zc ó zc
Las trazas verticales con
hipérbolas.
Los dos signos menos
indican las dos hojas.
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1.4 Ejercicios
1.
Identifique la superficie. 2 x 2  3 y 2  4 z 2  4 x  6 y  8z  2  0 . Incluya:
a.
Intersección con los ejes.
b.
Las trazas.
c.
Las secciones planas paralelas al plano coordenado XZ.
d.
Trace su gráfica.
Solución:
a. Intersección con los ejes:
Eje x:
y  z  0  2 x 2  4 x  2  0  x  1  punto 1, 0, 0
Eje y:

 0 ; 1 
5

2
2
 puntos
x  z  0  3 y  6 y  2  0  3( y  1)  5  y  1 
3

 0 ; 1 


2 
 0; 0; 1 
2 

2
 puntos 
Eje z: y  x  0  4 z 2  8 z  2  0  z  1 
2
2 

 0; 0; 1  2 


b. Trazas
z  0  2x 2  4x  3 y 2  9 y  2  0
Plano XY: z=0
Plano XZ: y=0
Plano YZ: x=0
2x  1  3 y  1  3  0  hipérbola con centro (1;1)
Plano XY:
2
2
y  0  2 x 2  4 x  4 z 2  8z  2  0
2x  1  4z  1  4  0  elipse con centro (1;1)
Plano XZ:
2
2
x  0  3 y 2  9 y  4 z 2  8 z  2  0
2x  1  3 y  1  1  0  hipérbola con centro (1;1)
Plano YZ:
2
2
c. Las secciones planas paralelas al plano coordenado XZ.
y  k  2 x 2  4 x  3 y 2  9 y  4 z 2  8z  2  0
2x  1  4z  1  1  3k  1  familia de elipses para todo k  R
2
2
2
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
5
; 0 
3


5
; 0 
3

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d. Completando cuadrados: 2x  1  3 y  1  4z  1  1  Hiperboloide de
2
una hoja con centro en
2
2
(1; 1; 1) y eje paralelo al eje y
z
z
y
x
2.
Identifique la superficie. x 2  4 z 2  2 y  y 2  8z  4 . Incluya
a.
Intersección con los ejes.
b.
Las trazas.
c.
Las secciones planas paralelas a los planos coordenados.
d.
Trace su gráfica
Solución:
a.
Intersección con los ejes:
Eje X:
y  z  0  x 2  4  no existe
Eje Y:
x  z  0  y 1 5
x  y  0  4z  1  0  z  1
2
Eje Z:
b.
Trazas:
z  0   x 2   y  1  5  
2
Plano XY
centro
Plano XZ
Plano YZ
;
y  0  x 2  z  1  0 ; el punto
2
x  0   y  1  4z  1  1 ; Hipérbola de centro
2
2
2
plano YZ.
c.
x 2  y  1

1;
5
5
;−
Hipérbola de
en el plano ��.
;−
en el
Secciones planas paralelas al:
Plano XY:
z  k   x2   y  1  1  4k  1  hipérbolas con eje paralelo a eje y
2
2
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Plano XZ:
y  k   x 2  4z  1  1  k  1  Si k  2 o k  0 Elipses
2
2
PlanoYZ
x  k   y  1  z  1  1  k 2  hipérbolas con eje paralelo a eje y
2
3.
2
Dadas las superficies S1 : z  3 
x2
, S 2 : x  y  3 , bosqueje las superficies en el
3
primer octante y trace la curva de intersección C entre ambas.
Solución:
Se dibuja cada superficie y luego se traza la curva de intersección se obtiene:
z
3
S2
B (0; 3; 3)
Se reemplaza el
valor de x=0 en S1,
para obtener z=3 y
en S2, y=3.
C
3
A (3; 0; 0)
x
3
y
S1
Se coloca las coordenadas de los extremos de la curva, en este caso de los puntos A y B.
4.
Sean las superficies S1 : x  z  2 , S 2 : y  2 
x2
, bosqueje las superficies en el
2
primer octante y trace la curva de intersección C entre ambas.
Solución:
Las superficies S1 y S2 se intersectan en la curva que se muestra en el gráfico.
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Para obtener este punto:
z=2; x=0; se reemplaza
este valor en la ecuación
de S2 y se obtiene el valor
de y=2
Se reemplaza el valor
de x=2 en S2 para
obtener y=4.
1.5 Ejercicios Adicionales
1.
Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuádrica x 2 + y 2 − z 2 =
y explique
por qué la gráfica se ve como la gráfica del hiperboloide de una hoja en la Tabla 2.
a.
Si cambiamos la ecuación del inciso (a) a
gráfica?
b.
2.
2
−
2
¿Qué pasa si cambiamos la ecuación del inciso (a) a
+
2
+
2
=
2
+
¿cómo se afecta la
−
2
= ?
Encuentre una ecuación para la superficie formada por todos los puntos P para los cuales
la distancia de P al eje x es el doble de la distancia de P al plano yz. Identifique la
superficie.
3.
4.
Identifique la superficie.  2 x 2  3 y 2  4 z 2  4 x  6 y  8z  4  0 . Incluya
a.
Intersección con los ejes.
b.
Las trazas.
c.
Las secciones planas paralelas al plano coordenado YZ.
d.
Trace su gráfica
a.
Halle las intersecciones con los ejes, clasifique la superficie S y bosquéjela
b.
Encuentre e identifique las trazas de S con respecto a los planos xz y yz
Considere la superficie S : 4 x 2  y 2  4 z 2  8z  12  0 .
5. Dadas las siguientes superficies S1 : y  z  4 ;
S2 : x  y 2
a. Grafique las superficies en el primer octante.
b. Trace las curvas de intersección C entre ambas.
x2
, bosqueje las superficies en el
6. Sean las superficies S1 : x  z  2 , S 2 : y  2 
2
primer octante y trace la curva de intersección C entre ambas, colocando sus extremos.
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Resumen
Las superficies cuadráticas se clasifican según su ecuación en completas e incompletas. Dado
que estas superficies, presentan cierta dificultad en el momento de graficarlas; es de gran
utilidad determinar, en algunos casos, primero los cortes con los ejes, las trazas y secciones
paralelas.
Las superficies cuadráticas incompletas que se utilizan en el curso se les llama cilindros y dentro
de las superficies completas se puede mencionar a la esfera, elipsoide, paraboloide
(circunferencial y elíptico) e hiperboloides. Cada una de estas superficies tienen ecuaciones ya
definidas y ciertas características que una vez identificadas permitirán su fácil manejo dentro
del curso.
Hoy en día la forma y geometría de las superficies cuadráticas se pueden apreciar dentro de las
diversas ramas de la ingeniería en general.
Bibliografía
1. http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20g
eom%C3%A9trico/Cu%C3%A1dricas%20en%20la%20Ingenier%C3%ADa..pdf
2. Bibliografía básica: 2008. STEWART, James (2013), Cálculo de varias variables.
Trascendentes tempranas, 7E editado por Cengage Learning.
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