Referencias
Licenciatura en Actuaría
Estadística 2
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Prueba de la razón de verosimilitud
Hernández Jaramillo Edwin David, Torres Cruz Yesenia
29 de abril de 2024
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Integrantes
Yesenia Torres
David Jaramillo
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Definición. Prueba de Razón de Verosimilitud Generalizada
Para una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn con función de densidad
f (x ; θ), θ ∈ Θ (Θ es el espacio parametral completo) y una prueba
de hipótesis
H0 : θ ∈ Θ0 contra H1 : θ ∈ Θ1 = Θ − Θ0
Tenemos la Prueba de Razón de Verosimilitud Generalizada:
λ(x1 , . . . , xn ) =
supθ∈Θ0 L(θ; x1 , . . . , xn )
supθ∈Θ L(θ; x1 , . . . , xn )
Una prueba de cociente de verosimiliud (LRT) es cualquier prueba
que tiene una región de rechazo de la forma
C (RR)α := {x1 , . . . , xn : λ(x1 , . . . , xn ) ≤ λα }
para algún λα ∈ (0, 1) tal que P {Error tipo 1} ≤ α (Mood,
Graybill, and Boes 1974).
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Correspondencia entre LRTs y MLEs
Supongamos que θ̂ un MLE de θ existe y es obtenido mediante la
maximización de L(θ|x) sin restricciones. Tambien podemos
considerar el MLE de θ, llamado θ̂0 , obtenido mediante una
maximización restringida de L(θ|x), asumiendo a Θ0 como el
espacio parametral. Esto es, θˆ0 = θˆ0 (x) es el valor de θ ∈ Θ0 que
máximiza L(θ|x). Entonces, el LRT es:
λ(x) =
(Casella and Berger 2021)
L(θ̂0 |x)
L(θ̂|x)
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Observaciones
• L(θ; x1 , . . . , xn ) es la función de verosimilitud para una
muestra X1 , . . . , Xn con función de densidad conjunta
fx1 ,...,xn (x1 , . . . , xn ; θ) con θ ∈ Θ.
• Cuando las observaciones son remplazadas por las variables
aleatorias escribimos Λ = λ (X1 , . . . , Xn ). Con lo cual Λ es una
varaible aletoria y una estadística dado que no depende de
parametros desconocidos.
• Se satisface que 0 ≤ λ ≤ 1, pues el denominador toma el
supremo en un conjunto más grande que el numerador.
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Ejemplo
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de f (x ; θ) = θe −θx I(0,∞) (x )
donde Θ = {θ; θ > 0} y la prueba H0 : θ ≤ θ0 contra H1 : θ > θ0 .
Tenemos que la función de verosimilitud es
L(θ; x1 , . . . , xn ) = f (x1 ; θ) · · · f (xn ; θ)
= θe −θx1 · · · θe −θxn
= θn e −θnx̄
De estadística 1 sabemos que la estimación de máxima
verosimilitud de L(θ; x1 , . . . , xn ) la alcanza en θ̂ = x̄1
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Por lo que el supremo de la función de verosimilitud sobre el
espacio completo es
( )n
( )n
1
1
− x̄1 nx̄
sup L(θ; x1 , . . . , xn ) = L(θ̂; x1 , . . . , xn ) =
e
=
e −n
x̄
x̄
θ∈Θ
Y el supremo sobre el espacio restringido es
{( 1 )n −n
e
si θ̂ = x̄1 ≤ θ0
x̄
sup L(θ; x1 , . . . , xn ) =
θ0n e −nx̄ θ0
si x̄1 > θ0
θ∈Θ0
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Gráfica de la función de verosimilitud
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Teniendo así que
{
λ(x1 , . . . , xn ) =
1
si θ̂ = x̄1 ≤ θ0
(x̄ θ0 ) exp [n (x̄ θ0 − 1)]
si x̄1 > θ0
n
Ahora, la idea de la prueba de la razón de verosimilitud para este
ejemplo es rechazar H0 si λ(x1 , . . . , xn ) es muy pequeño y así
encontrar la región de rechazo
C (RR)α := {x1 , . . . , xn : λ(x1 , . . . , xn ) ≤ λα }
para algún λα ∈ (0, 1) tal que P {Error tipo 1} ≤ α
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En nuestro caso la región de rechazo estará dada por la regla de
rechazar H0 si θ0 < x̄1 y (x̄ θ0 )n exp [n (x̄ θ0 − 1)] ≤ λα .
Observemos que si renombramos y = x̄ θ0 , tenemos que y < 1 y la
función y n e −n(y −1) tiene un máximo en 1, por lo que
y n e −n(y −1) ≤ λα si y solo si y ≤ k, con 0 < k < 1.
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Por lo que la prueba de la razón de verosimilitud se reduce a la
sigueinte región de rechazo:
C (RR) := {x1 , . . . , xn : θ0 x̄ < k}
Con 0 < k < 1
Esto para un tamaño de la región crítica α deseado, con k
obtenido mediante la solución de
{
}
α = Pθ0 θ0 X̄ < k = Pθ0
{
θ0
n
∑
i=1
}
Xi < nk
∫ nk
=
0
1 n−1 −u
u e du
Γ(n)
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Fuentes consultadas
Casella, G. and R. L. Berger (2021).
Statistical inference.
Cengage Learning.
Mood, A. M., F. A. Graybill, and D. C. Boes (1974).
Introduction to the Theory of Statistics 1974.
McGraw-Hill Kogakusha.
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