8° libro en digital F Prima

8
REFORMA MATEMÁTICA
COSTA RICA
f'
GRUPO EDITORIAL
Edición especial
Copyright 2015
f'
Grupo Editorial
Diseño, armado y portada
f'
Grupo Editorial
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita de f ' Grupo Editorial.
[email protected]
Teléfonos: 2444-1330
8614-4242
. 510
. P945m
8
F prima Grupo Editorial
Matemática 8: Hacia la resolución de problemas /
F prima Grupo Editorial -- 1a ed. -- Alajuela, Costa Rica:
F prima Grupo Editorial, 2014
175 p. ; 27 X 21 cm.
ISBN 978-9930-513-01-9
1. MATEMÁTICA – ESTUDIO Y ENSEÑANZA.
2. MATEMÁTICAS – ENSEÑANZA DIVERSIFICADA. I. Título.
INTRODUCCIÓN
Para responder a la muestra de respeto, cortesía y admiración de tantos docentes con esta
Editorial, por fin logramos desarrollar con éxito la totalidad del nuevo programa de
estudio, incluyendo primaria. Han sido muchos años, desde el año 2012, cuando apenas
se gestaba la reforma de la educación matemática en Costa Rica, que hemos estado
investigando y realimentándonos con aportes de muchísimos docentes de todo el país, para
crear una colección de libros con estándares internacionales pero plenamente adaptados
a la realidad nacional.
Adoptando el enfoque principal del programa de estudio de
Matemáticas, la Resolución de Problemas con énfasis en contextos reales, aprobado el 21
de mayo de 2012 por el Consejo Superior de Educación de Costa Rica.
A continuación se presenta la distribución de habilidades y lecciones por periodo de octavo
año, usando la estrategia sugerida en el Documento de integración de habilidades para
Octavo año (Elaborado por el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa
Rica).
DISTRIBUCIÓN DE HABILIDADES Y LECCIONES POR PERIODO DE OCTAVO AÑO
Primer periodo
Segundo periodo
Tercer periodo
NÚMEROS
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ESTADÍSTICA
Habilidades
Lecciones
Habilidades
Lecciones
Habilidades
Lecciones
H1, H2, H3 y H4
8
H3 Y H4
3
H5 y H6
3
H5
3
H7, H8, H9, H10, H14,
H15 y H16
12
H6, H7, H8, H9 y H10
22
H11
3
H11, H12, H13, H14 y
H16
10
H12
3
H1, H2 y H15
9
H13
4
H17 y H18
7
GEOMETRÍA
H1, H2 y H3
8
H4, H5, H6, H7, H8,
H9, H10 y H11
9
H12
5
H13, H14, H15 y H16
5
60
H1, H2, H3, H4
14
PROBABILIDAD
H1, H2, H3, H4, H5,
H6
H7, H8, H9, H10, H11
y H12
Suma total de lecciones por periodo
54
36
“El vehículo para transitar por el mundo de la razón es la matemática”
f'
Grupo Editorial
10
12
ÍNDICE
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Números racionales
1. Números racionales
2. Aproximaciones decimales y expansión decimal exacta y periódica
3. Representaciones distintas de un mismo número racional y representación en la recta numérica
Operaciones, cálculos y estimaciones
4. Suma y resta con fracciones homogéneas y heterogéneas
5. Multiplicación de números racionales
6. División de números racionales
7. Conmutatividad y asociatividad de la suma y la multiplicación
8. Cálculo mental
9. Resolución de cálculos (mental, papel y lápiz y calculadora)
10. Problemas con números racionales
11. Operaciones con potencias
12. Raíces n-ésimas de un número racional y raíces n-ésimas de un producto
13. Operaciones con números racionales
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Transformaciones en el plano
14. Homotecia
15. Puntos, ángulos y lados homólogos en una homotecia
Triángulos
16. Figuras semejantes
17. Triángulos semejantes
18. Triángulos congruentes
19. Problemas de semejanza y congruencia
20. Teorema de Thales
21. Teorema de la paralela media
Visualización espacial
22. Visualización espacial de la pirámide y el prisma
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Expresiones algebraicas
23. Expresión algebraica
24. Valor numérico
25. Monomios
26. Suma y resta de monomios
27. Multiplicación y división monomios
28. Binomio, trinomio y polinomio
29. Suma y resta de polinomios
30. Multiplicaciones de polinomios
31. Productos notables
Ecuaciones
32. Diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación
33. Solución de una ecuación
34. Ecuaciones equivalentes
35. Problemas con ecuaciones de primer grado
Funciones
36. Representación de funciones
37. Relación entre una ecuación y una función
38. Ecuaciones de primer grado
39. Ecuaciones literales
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Recolección de información
40. Distribución de frecuencias
41. Medidas estadísticas de resumen (moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido)
El azar, espacio muestral, eventos y probabilidad
42. Situaciones aleatorias y deterministas
43. Espacio muestral
44. Eventos y su clasificación
45. Probabilidad de un evento
46. Propiedades de las probabilidades
CAPÍTULO 5: RESPUESTAS
47. Respuestas
8
10
12
17
19
20
21
24
25
27
29
30
31
34
37
41
44
49
55
59
64
68
76
78
82
84
85
87
88
90
93
104
105
106
108
112
114
116
123
128
131
136
138
140
143
147
149
Capítulo 1
Números
f'
Grupo Editorial
CONOCIMIENTOS
Números racionales
 Concepto de número
racional
 Representaciones
 Relaciones de orden
Operaciones, cálculos y
estimaciones
 Suma
 Resta
 Multiplicación
 División
 Potencias
 Raíces
Combinación de
operaciones
HABILIDADES ESPECÍFICAS
1. Identificar números racionales en diversos contextos.
2. Realizar aproximaciones decimales de números racionales.
3. Identificar los números racionales representados con expansión
decimal exacta y con expansión decimal periódica.
4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un
mismo número racional.
5. Comparar y ordenar números racionales en notación decimal,
fraccionaria y mixta.
6. Representar números racionales en la recta numérica, en
cualquiera de sus representaciones.
7. Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos
contextos.
8. Aplicar la multiplicación y división de números racionales en
diversos contextos.
9. Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la
suma y multiplicación para simplificar cálculos con números
racionales.
10. Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de números racionales en cualquiera de sus
representaciones.
11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y
exponente entero.
12. Calcular raíces n-ésimas de un número racional.
13. Calcular resultados de operaciones con números racionales de
expresiones donde haya combinación de ellas con paréntesis o
sin ellos.
14. Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de
operaciones con racionales.
15. Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la
resolución de cálculos, según el problema dado.
16. Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la
aplicación de operaciones con números racionales.
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
Problema introductorio 1
A. Considere la siguiente tabla con los precios de los combustibles.
Precios nacionales
Precios en colones al consumidor en estaciones de servicio, rigen a partir del 02
de febrero de 2012
Productos
Precio / litro
Imp. Único
Margen precio
de estaciones
Precio / litro
total
Gasolina súper
351, 7460
213,0000
50,5548
615,0000
Gasolina plus 91
346,3730
203,5000
50,5548
600,0000
Diésel 50
403,7050
120, 2500
50,5548
575, 0000
Información tomada de: http://www.recope.go.cr/info_clientes/precios_productos/
a)
Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 10 000 en gasolina Plus 91 , ¿cuántos
litros me dan?
b)
Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 12000 en gasolina súper, ¿cuántos litros
me dan?
c)
Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 8500 en diésel, ¿cuántos litros me dan?
B. Juan contrajo una deuda de ₡ 17 500 . Su padre, un hermano y un amigo deciden
ayudarle a pagarla por lo que se reparten la deuda equitativamente entre ellos
tres. ¿Cuánto debe pagar cada uno?
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7
8
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
H1: Identificar números racionales en diversos contextos.
H2: Realizar aproximaciones decimales de números racionales.
H3: Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódica.
H4: Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional.
Números racionales
Definición
Símbolo
Conjunto formado por todo número que
Notación por
comprensión
puede representarse como el cociente de
dos números enteros (con denominador

distinto de cero). Este conjunto de números
a

 tq a  , b   y b  0 
b

incluye a los números enteros.
Ejemplos
1)
Un hombre tiene un terreno de 22 hectáreas, quiere repartirla entre sus cuatro
hijos en partes iguales ¿Cuánto terreno le quedará a cada uno?
Solución: Es suficiente realizar la división de
22  4  5,5
cuyo resultado no
corresponde a un número entero, en este caso el resultado 5, 5 o
11
corresponde
2
a un número racional.
R/: A cada uno de los hijos le corresponde 5, 5 o
2)
11
hectáreas.
2
Si camino 10m en dirección oeste y me devuelvo una cuarta parte de dicho
recorrido, ¿cuánto me desplacé con respecto al lugar del que salí?
Solución: En este caso multiplicamos 10 
1
 2, 5 cuyo resultado corresponde a la
4
distancia en metros que me devolví en el recorrido. Luego, a la distancia original le
restamos 2,5m y obtenemos 10  2,5  7,5 .
R/: La distancia que me desplacé con respecto al lugar de salida fue de 7, 5 o
metros.
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15
2
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 1
A. Resuelva cada uno de los problemas haciendo uso de la calculadora.
1
1
1) Para realizar una receta se ocupa
kg de azúcar y un
kg de mantequilla
2
4
¿Cuánto suman entre los dos ingredientes?
2)
En una empresa se debe trabajar 2 horas extras cada día ¿Cuántos se deben
trabajar en toda la semana?
3)
Si al salario por semana se le rebaja el 9,5 % para CCSS y el salario es de ₡ 50 000
¿Cuánto me pagan?
4)
Si se caminan veinte kilómetros al norte y luego me devuelvo ocho hacia el sur
¿Cuántos kilómetros avancé desde el punto de partida?
5)
Si los miércoles se le recarga a los celulares una cuarta parte más de lo que se
paga ¿Cuánto extra me recarga si pago mil colones?
6)
Si una madre deja de herencia a sus hijos
₡ 20 000 000
y tiene cuatro hijos
¿Cuánto le corresponde a cada uno si la distribución se hace de forma
equitativa?
6
de esta cantidad, ¿cuánto debo?
5
7)
Si tengo ₡ 25 y hago compras por los
8)
Si una persona llega una hora antes a su trabajo durante cuatro semanas, en una
jornada laboral de seis días por semana ¿Cuántas horas extras trabajó?
9)
Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó
7
2
de taza para
hacer un pastel. ¿Cuántas tazas de leche le quedaron?
10) Si el salario de un trabajador es de
₡ 80000 por semana y sus gastos durante
cuatro semanas son de ₡ 420000 ¿Cuánto dinero queda debiendo en ese plazo
de tiempo?
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9
10
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
H1: Identificar números racionales en diversos contextos.
H2: Realizar aproximaciones decimales de números racionales.
H3: Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódica.
H4: Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional.
Aproximaciones decimales
Una forma de calcular aproximaciones decimales en números racionales es
realizando la división del numerador entre el denominador, de esta forma
obtenemos una aproximación.
Ejemplos
Realice las aproximaciones decimales de los siguientes números racionales
a)
21
 21  4  5, 25
4
c)
9
 9  11  0,818181...  0,81
11
b)
16
 16  5  3, 2
5
d)
7
 7  6  1, 66666...1,16
6
Expansión decimal exacta y periódica
Expansión decimal exacta
Expansión decimal periódica.
Son aquellas cuando se puede
Son aquellas cuando algún
contar la cantidad de decimales.
decimal se repite infinitamente.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determine la expansión decimal
1
a)
 1 2  0,5
2
Determine la expansión decimal
a)
1
 1  3  0,33333...0,3
3
b)
21
 21  4  5, 25
4
b)
9
 9  11  0,818181...  0,81
11
c)
16
 16  5  3, 2
5
c)
7
 7  6  1,166666...1,16
6
Observación: primero utilizar el algoritmo de la división para enfatizar en el estudiante cómo es que
se obtienen las representaciones decimales de los números racionales, y posteriormente con la
calculadora, ya que esta última nos da una aproximación.
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CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 2
A. Realice las aproximaciones decimales de los siguientes números racionales
expresados en notación fraccionaria. (Sugerencia: No utilice la calculadora para
enfatizar cómo es que se obtienen las representaciones decimales de los números
racionales)
13
37
2
20
1)
6)
11)
16)




2
3
5
7
2)
7

2
7)
5

7
12)
3

7
17)
17

8
3)
14

2
8)
19

4
13)
5

6
18)
17

9
4)
10

3
9)
22

7
14)
11

5
19)
21

10
5)
14

3
10)
21

5
15)
54

6
20)
68

13
B. Determine si los siguientes números racionales, tienen expansión decimal exacta o
expansión decimal periódica.
1)
15

2
6)
24

9
11)
21

5
16)
27

7
2)
9

4
7)
7

13
12)
7

3
17)
8

17
3)
11

2
8)
19

2
13)
6

17
18)
13

19
4)
2

5
9)
11

13
14)
11

7
19)
21

23
5)
13

5
10)
7

14
15)
5

18
20)
17

22
f ' GRUPO EDITORIAL
11
12
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
H5: Comparar y ordenar números racionales en notación decimal, fraccionaria y mixta.
H6: Representar números racionales en la recta numérica, en cualquiera de sus representaciones.
Representaciones distintas de un mismo número racional
Fraccionaria
Decimal
Mixta
7
5
1, 4
1 52
Analicemos algunos ejemplos de cómo pasar de una notación a otra
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Fraccionaria a decimal
7
 7  5  1, 4
5
Fraccionaria a mixta
5
7
7

5 1
5
2
Mixta a fraccionaria
1  52
7
1 52 

5
5
Decimal a fraccionaria
14 7
1, 4 

10 5
7
 1 52
5
Números racionales en la recta numérica
Para ubicar fracciones en la recta numérica es bastante sencillo si utilizamos la
representación decimal para tener una aproximación de la fracción y así determinar
entre cuáles números enteros se ubica.
Ejemplos
a)
1
 0, 5
2
b)
0,5
c)
 1 12   1, 5
d)
3
 1, 5
2
Representación en la recta numérica
Observación: Utilizar la estimación mental y la calculadora para realizar tales representaciones en la
recta numérica.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 3
A. Considere los ingredientes que utiliza María para hacer un bizcocho de limón:
 3 Huevos
1

kg de azúcar
4
 0,20 litros de aceite

3
kg de harina de repostería.
8

1 23 sobres de levadura

1 yogurt de sabor a limón.
De acuerdo con la información anterior:
1) Indique los ingredientes necesarios para hacer 2 bizcochos.
2) Si tenemos una docena de huevos, un kilo de azúcar, un litro de aceite, un kilo
de harina de repostería, seis sobres de levadura y cuatro yogures de limón.
Entonces ¿es posible hacer 3 bizcochos? En caso negativo, indique ¿qué
ingredientes serían necesarios y en qué cantidad?
3)
Para el cumpleaños de José hicimos un bizcocho. Los niños se comieron
del bizcocho y los padres se comieron
que quedó para los abuelos.
2
5
1
del bizcocho. Calcule la fracción
4
B. Represente cada número racional dado a continuación de tres formas diferentes
cada uno.
15
27
4) 5 23
8) 1,8
1)
12)


2
7
5) 6 73
9) 2,4
9
5
2)

13) 12 73
6) 5 8
4
10) 5,5
11
3
14) 1, 25
7) 7 5
3)

11) 6,5
2
C. Represente cada número racional dado a continuación en una recta numérica.
 15
7) 3,4
13) 2 52
3
19)
1)
7
2
1
4
5
20)
4
8)
14)
7
2) 2 12
4
5
2
21)
5
15) 2,7
3) 4, 6
9
9)
4
22) 11 13
10
16) 1 56
4)
2
12
10) 7 3
23)
3
41
13
17)
 17
1
15
5)
6
11)
24)
5
5
11
18) 4 85
6) 3 12
12) 7 53
25) 1 34
f ' GRUPO EDITORIAL
13
14
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
Problema introductorio 1
Ester compró 3 metros de plástico para forrar cuadernos. Ella necesitó 1 15 m para
forrar algunos, su hermano Randall utilizó 0,6m y su hermana Hellen usó
a) ¿Cuánto plástico utilizaron para forrar los cuadernos?
b) ¿Cuánto plástico sobró?
f ' GRUPO EDITORIAL
1
m.
3
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
Problema introductorio 2
2
1
hora Matemática y
hora lo dedicó a Ciencias, ¿cuánto tiempo,
3
2
en horas, estudió María en total?
María estudió
f ' GRUPO EDITORIAL
15
16
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
Problema introductorio 3
José tiene 9kg de arena para jugar con sus amigos. ¿Cuántos paquetes de
pueden hacer con toda esa arena?
f ' GRUPO EDITORIAL
1
kg
3
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos.
H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos.
H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales.
H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.
Suma y resta con fracciones homogéneas
Ejemplos
Resuelva las siguientes sumas y restas de números racionales.
a)
4
 2 13 
3
4 7
 
3 3
11

4  7 11

3
3
b)
7
2,5   
2
5
7
 
2
2

2

5  7 2

 1
2
2
c)
7,5  4 12 
15
9
 
2
2
24



15  9 24

 12
2
2

Suma y resta con fracciones heterogéneas
Procedimiento:
a) Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se llama
mínimo común denominador de las fracciones (mcd).
b) Se realiza (mcd)  denominador  numerador, en cada fracción.
c) Se efectúa la operación correspondiente (suma o resta) y conserva el  m c d 
d) Se realiza la simplificación de la fracción resultante.
Observación: Otra forma es aplicando la asociatividad y conmutatividad en el caso de más de dos
términos, sumando los dos primeros que se asocien y luego los otros: como se indica en el ejemplo 1
Ejemplos
Resuelva las siguientes sumas y restas de números racionales.
a)
1 3 2
  
3 5 3
1 2 3
   
3 3 5
3 3
 
3 5
3
1 
5
8
5
b)
4
  1 34 
3
4
7
 
3
4


m.c.d .12
16
21




12  3  4  12  4  7

12
16  21

12
5
12
f ' GRUPO EDITORIAL
7
 1 13  1, 6   
2
4 8
7
   
3 5
2

c)
m.c.d .30
48
105

 



 30  3  4  30  5  8   30  2  7

30
40  48  105

30
193
30
40
17
18
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 4
A. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales ( fracciones
homogéneas )
7
9
1 2
3
3 4
8)
15)
 
  
 
1)
2
2
5 5
5
3 3
2)
7 9
 
5 5
3)
3 12 
4)
5 1
1 
3 3
9)
9

2
5) 1, 25 
7

4
3
4
 
3
3
16)
7
6
3
  
5
5
5
7

4
17)
2
  1 23   3 13 
3
10) 1 14  
6
11) 3, 8   
5
12) 2 56  1 16 
6) 1 54  1, 2 
13)  5   4, 5 
7)
4
 1 13 
6
14) 4 13  1 13 
2)
3 4
 
3 9
8)
4
1 23   
7
3)
4
 1 16 
5
9)

4)
2 52 
1
2
18) 2, 4  2 52  3 15 
19) 0, 4  2 52  1, 6 
20) 4 3  1 3  
1
1
7

3
6
 3 54 
5
B. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales ( fracciones
heterogéneas )
7 9
5
1
5 1
1)
7)    1 16 
13)     
 
2 4
3
2
3 2
6

7
5) 1, 75  
6)
5

16
3
  2 12 
8
21) 3, 8  
14) 
19
4
  4 13  
9
3
30
 1,875 
7
15) 
2
 2, 2  5 23 
5
10) 
20
  2 34 
8
16) 
9
11
 2, 6  7 14 
4
8
11) 
3 1 3
  
5 6 6
17) 3 5  
12) 
1
6 1
  
5
3 2
18) 2.5  
f ' GRUPO EDITORIAL
1
4
 1.8 
10
7
  7 13 
4
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos.
H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos.
H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales.
H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.
Multiplicación de números racionales
Se multiplica numerador por numerador, denominador por denominador y se
simplifica el resultado. Sin olvidar que se debe aplicar la ley de signos        ,
       ,        y        tal y como se estudió con los números enteros.
Ejemplos
Efectúe las siguientes multiplicaciones de números racionales.
a)
28


4 7
 
3 
6

b)
18
28 14

18 9
7

6
28



4
7
 
3
6


1
1
c)  1 3   1 6 
1 13  
28



4
7
  
3
6


18
18
28 14

18 9
28
14
 
18
9
Observación: Antes de realizar la multiplicación es importante verificar que todas las fracciones estén
simplificadas, de lo contrario se deben simplificar y posteriormente realizar la multiplicación.
Ejercicios de movilización 5
A. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia: simplifique
si es posible antes de multiplicar).
7 9
2
7
3
5
19
11
1)
7)
13)    
19) 
 


 
2 4
5 10
8
3
6
8
30
5 7
16
20
5
20) 
 3 94 
2)
8)
14) 
 
 1, 4 
 
7
4 6
11
11
4
3)
9 6


5 15
9)
11
3
 
2
5
15) 
13
  1, 4 
3
7
4)
 1 83 
6
13
3
10)
 
4
6
5
16) 
  7 34 
6
3
 1 78 
7
1
6)
 1 78 
8
11)
9
  2 34 
5
4
12) 3 15   
8
17) 2, 4  
5)
5

14
4
18)  2, 2  

13
f ' GRUPO EDITORIAL
21)  7 78  1, 4 
5
22)  2 11
 4, 2 
23)  3 95   2,8 
3
24) 2, 6  5 11

25) 5 75   2, 2 
19
20
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos.
H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos.
H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales.
H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.
División de números racionales
Se multiplica numerador por denominador, denominador por numerador y se
simplifica el resultado. Sin olvidar que se debe aplicar la ley de signos        ,
       ,        y        , tal y como se estudió con los números enteros.
Ejemplos
Efectúe las siguientes multiplicaciones de números racionales.
a)
4 7
 
3 6
24

46

3

7

21
24 8

21 7
b)
7

6
4
7
 
3
6
24

46


3

7

1 13  
21

24
8

21
7
c)
1 13   1 16 
4
7
 
3
6
24

46

3

7


21
24 8

21 7
Observación: Antes de realizar la división es importante verificar que todas las fracciones estén
simplificadas, de lo contrario se deben simplificar y posteriormente realizar la división.
Ejercicios de movilización 6
B. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia:
simplifique si es posible antes de dividir).
5 7
1
7
3
7
17
11
1)
7)
13)    
19) 
 


 
2 4
5
19
7
3
5
8
7
30
1 7
11
5
8)
20) 
 1, 2 
 3 54 
2)
14) 
 
 
9
7
4 3
13
4
13
7
21)  5 78  1, 4 
7
6
21
9)



3)
15) 


  1, 6 
2
5
22)  2 95  2, 2 
5 13
3
11
5
5
7
10)
 
23)  3 17   2, 2 
4)
16) 
 1 83 
  7 34 
4
6
6
6
24) 2, 6  5 73 
7
3
7
3
7
11)
 34 
5)
17) 2, 4  
 28 

5
25) 7 75   4, 2 
7
13
3
5
4
26)  3 85  7, 2 
12) 2 15   
6)
18) 3, 2  
 1 78 

8
3
11
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos.
H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos.
H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales.
H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.
Conmutatividad y asociatividad de la suma
La correcta utilización de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la
suma permite simplificar los cálculos con números racionales.
Ejemplos
Efectúe
las
siguientes
operaciones
de
números
racionales
utilizando
la
conmutatividad y asociatividad de la suma.
1 2 3 
   
2 3 2 
a)
b)
1 3 2
   
2
2 3


2, 4   2 24  1, 6  
 1, 6   2 24 
2,4

4
4  2 12 
2
5

2
13
2
4
2
2 
3
8
3
Conmutatividad y asociatividad de la multiplicación
La correcta utilización de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la
multiplicación permite simplificar los cálculos con números racionales.
Ejemplos
Efectúe
las
siguientes
operaciones
de
números
racionales
conmutatividad y asociatividad de la multiplicación.
a)
2 3 5
  
3 2 2
b)
2 3 5
   
3 2 2

11
 1 10 
   
10
3
4


1
1
1
  2 34  3 13  
10
1  11 10 
    
10  4 3 
5

2
1
5
2
3
1
11
 
3
4
11

12
f ' GRUPO EDITORIAL
utilizando
la
21
22
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 7
A. En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice la propiedad de conmutatividad y
asociatividad de la suma para simplificar los cálculos (reordenar la operación) y
resuelva cada una de las nuevas operaciones planteadas.
3 4 2
1 2 2
7)     
  
1)
3 5 3
5 3 5
2)
7 3 1
  
4 5 4
3)
3 12 
4)
5 1 10
1  
3 4 3
9
 1 12 
4
8)
2  5 3
   
5  4 5
9)
2
 1 14  3 15  
5


10) 2, 4   2 24 
38 

5
5) 1, 2 
7
 3,8 
3
11)  0, 6  2 23   1, 4 
6) 1 53 
6
 3, 6 
7
12)
7
2
 4 12 1 13   
B. En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice la propiedad de conmutatividad y
asociatividad de la multiplicación para simplificar los cálculos (reordenar la
operación) y resuelva cada una de las nuevas operaciones planteadas.
7 3 2
2 7 1
1)
  
  
7)
2 4 7
5 5 2
2)
7 5 3
  
3 6 7
8)
1
 1, 4  3  
3
3)
9 6 5

 
5 11 9
9)
5  3

    0, 4  
2  5

4)
0, 625  1 53  1 53 
10) 
5)
8
 3 14  1 87 
15
11)
6)
1
 1 78  5 
5
12) 3 15   
6  7
1
    
7  3
4
20
   2 34  3 14  
13
15 
 4
  
16 
 8
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
C. Calcule el resultado de las siguientes sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de
números racionales.
17 11
2 7
1)
14)


 
2
2
5 3
2)
7 7
 
3 3
15) 1, 4 
3)
1
8
 
5 11
16) 
4)
17
 1 53 
3
17)
3
  2 53 
5
5)
3
 1 85 
13
18)
5
   1 34  3 14  
3
6)
1
 2 78 
9
19) 3 17   5 15  


3

7
7)
2
 2 83 
7
20) 2, 2   5 15  


3

7
8)
2, 4  4 17 
21) 7  
9)

3
 0,8 
5
11

8
22) 8  3 54 
2
 3 13 
5
10)  2 
2

5
23)  5 18 
7

3
3

5
24)  5 95  2 
11)  4  5 23 
25)  1 17   2, 2 
12) 
1
2
 4 17  
6
3
13)  3 16  4 
2

3
26) 2, 6  3 17 
27)  3 73   3, 2 
f ' GRUPO EDITORIAL
23
24
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales.
H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado.
H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales.
Cálculo mental
Para el cálculo mental de operaciones racionales se puede retomar y apoyarse en
1
una idea básica: n   1 , Se busca que consideren el entero expresado como una
n
fracción conveniente que facilite el establecimiento de relaciones, de esta forma,
3
4
1
es igual a 1  , analicemos otros ejemplos.
 1 ; entonces
3
3
3
Ejemplos
Utilice el cálculo mental para determinar los resultados de las siguientes operaciones.
8 5
13
a)
 
7 7
7
9 3 6
3
c)
 

4 4 4
2
8 11 3
b)  
 1
3 3 3
1
4
d)
 4
5
5
e)
1 5
 
3 
6 6
18/6
1 5
18
  
6 6
6
22 11

6
3
Ejercicios de movilización 11
A. Escriba el número que complete las siguientes operaciones. (cálculo mental)
1
5
13
1)
5)
9) ___ 
 ___  1
 ___  1
1
2
6
5
3
7
17
2)
6)
10) ___ 
 ___  1
 ___  1
1
8
3
9
2
8
13
3)
7)
11) ___ 
 ___  1
 ___  1
1
3
5
7
3
12
20
4)
8) ___ 
12) ___ 
 ___  1
1
1
5
7
9
B. Resuelva las siguientes operaciones. (cálculo mental)
3 7
2
1 7
1)
6)
11)    3 
 
 3
4 4
7
6 6
1 8
3
4 2
2)
7) 2 
12)
 

  1 
9 9
10
3 3
12 27
2
7 12
3)
8)
13)  


 9 
3
5
5
4
5 5
11 15
3
7 17
4)
9) 4 
14) 
 


 1 
2 2
11
10 10
1 5
7 3
12 3
5)
10)   
15) 
 
  15 
3 3
3 8
15 15
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales.
H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado.
H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales.
Resolución de cálculos
Los problemas con números racionales se pueden resolver utilizando al menos una de
las siguientes estrategias de cálculo: mental, calculadora o lápiz y papel.
Cálculo mental
Celeste compró 1,5kg de café a ₡ 2000 cada kilogramo ¿Cuánto pagó?
Solución:
En este caso podemos multiplicar mentalmente
1,5  2000  3000
Por lo tanto Celeste pagó ₡ 3000
Papel y lápiz
Gustavo compró 1,5kg de harina a ₡ 2450 cada kilogramo ¿Cuánto pagó?
Solución:
En este caso podemos multiplicar utilizando papel y lápiz
1,5 
3
2
3
7350
 2450 
 3675
2
2
Por lo tanto Gustavo pagó ₡ 3675
Calculadora
Maureen compró 1,75kg de queso a ₡ 2225 cada kilogramo ¿Cuánto pagó?
Solución:
En este caso podemos multiplicar utilizando la calculadora
1,75  2225  3893,75
Por lo tanto Maureen pagó ₡ 3893,75
f ' GRUPO EDITORIAL
25
26
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 12
A. Utilizando cálculo mental resuelva los siguientes problemas
1)
Si recargo el teléfono con ₡ 1000 y me regalan 0,5 más ¿En cuánto me queda
la recarga?
2) Si recorro 2000 m por cada media hora ¿Cuánto recorro en tres horas y
media?
3) Si diez uvas pesan 400g ¿Cuánto pesan 60 uvas?
4)
Si un kilo de carne vale ₡ 3500 ¿Cuánto valen 400g ?
5)
Si la entrada al estadio vale ₡ 7000 , pero si van tres personas le cobran la
mitad a cada uno. Si gastaron la mitad de lo que les salió la entrada en
refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno en total?
B. Utilizando papel y lápiz resuelva los siguientes problemas
1)
Si recargo el teléfono con ₡ 2000 y me regalan 0,75 más ¿En cuánto me
queda la recarga?
2) Si recorro 1850 m por cada media hora ¿Cuánto recorro en dos horas y
media?
3) Si un bloc pesa 6,2kg ¿Cuánto pesan 30 blocs?
4)
Si 17 fresas pesan 460g ¿Cuánto pesan 40 fresas?
5)
Si la entrada al estadio vale ₡ 7240 , pero si van cinco personas le cobran la
mitad a cada uno. Si gastaron la mitad de lo que les salió la entrada en
refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno en total?
C. Utilizando calculadora resuelva los siguientes problemas
1)
Si recargo el teléfono con ₡ 2250 y me regalan 0,82 más ¿En cuánto me
queda la recarga?
2) Si recorro 1234m por cada media hora ¿Cuánto recorro en dos horas y
cuarenta y cinco minutos?
3) Si 23 estudiantes pagan ₡ 2343 cada uno para un almuerzo ¿Cuánto pagan
en total?
4) Si dos kilos de frijoles valen ₡ 1237 ¿Cuánto valen 5,75kg ?
5)
Si la entrada al cine cuesta ₡ 1780 , pero si van cinco personas le cobran la
3
mitad a cada uno. Si gastaron
más de lo que les salió la entrada en
4
refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno y cuánto pagaron todos en total?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales.
H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado.
H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales.
Problemas con números racionales
Una de las formas de acción cognitiva que pueden generar capacidades
matemáticas de alto nivel es plantear problemas, en particular, con números
racionales.
Dicho planteamiento lo podemos hacer a partir de una operación
matemática dada. Un ejemplo básico de lo expuesto anteriormente se desarrolla a
continuación.
Ejemplo
a)
Dada la operación
3
2
 5   3 se plantea un posible problema.
2
3
Diana tiene cinco hermanos, compró tres medios kilos de fresas para uno de ellos,
y Juan compró dos tercios kilos para cada uno de sus tres compañeros. ¿Cuál es la
diferencia entre lo que compró Diana y Juan?
Ejercicios de movilización 13
A. Para cada una de las siguientes operaciones plantee un posible problema.
1)
1
1
 3  2
2
3
Problema:
2)
3
4
 2  4
5
3
Problema:
3)
7
3
 3  2
2
5
Problema:
f ' GRUPO EDITORIAL
27
28
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
B. Resolver los siguientes problemas que involucran operaciones con números
racionales.
6
1) Maureen utilizó
kg de mantequilla para hacer repostería y 1 18 kg para hacer
5
un queque ¿Qué cantidad de mantequilla utilizo en total?
5
kg de queso. Si le regaló 0, 5 kg a su mamá, entonces,
9
¿cuántos kilogramos de queso le quedaron a Marielos?
2)
Marielos compró
3)
Gustavo estudió 0, 25 horas Español y
4)
Un agricultor tiene un terreno sembrado de la siguiente manera: 0 , 32
3
sembrado de papas,
de zanahoria y el resto no está cultivado. ¿Qué parte
5
del terreno queda sin cultivar?
3
horas lo dedicó a Estudios Sociales,
4
¿cuánto tiempo, en horas, estudió Gustavo en total?
1
L de refresco para distribuir en cantidades iguales en 4 vasos.
4
¿Qué cantidad, en litros, de refresco tendrá cada vaso?
5) Se tiene
6) Se tiene 1 15 L
de agua para distribuir en cantidades iguales en 5 vasos. ¿Qué
cantidad, en litros, de agua tendrá cada vaso?
7) ¿Cuántos paquetes de
1
kg se pueden hacer con 22kg de frijoles?
2
8) Un grupo de estudiantes recogen botellas plásticas para reciclar, si recogen
veinticinco cada cinco minutos. ¿Cuántas recogen en cuatro horas y media?
9) En una empacadora de café se deben hacer para muestras, once paquetes
1
1
kg y treinta paquetes de
kg . ¿Cuántos kilos de café se utilizaron en
2
4
total?
10) Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2 23 tazas para
de
hacer un pastel y 3 14 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche le
quedaron?
11) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió
1
0,75 kilogramos. El segundo mes bajó
kilogramos, el tercer mes
2
2
aumentó 1 34 kilogramos, y el cuarto mes bajó
kilogramos. ¿Cuántos
3
kilogramos aumentó al final de los cuatro meses?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H11: Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero.
Propiedades de las potencias
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Potencia de exponente
entero negativo
Potencia de base
racional
Potencia de base racional y
exponente entero negativo
an 
1
, a 0
an
n
an
a

, b 0
 
bn
b
a
 
b
n
n
b
   , a  0, b  0
a
Ejemplos
Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero
a)
33 
1
1

3
3
27
2
b)  2   2  4
 
2
2
3
3
9
c)
3
 5   5  125

    
3
27
5
 3   3
3
3
3
Ejercicios de movilización 8
A. Resuelva las siguientes operaciones con potencias.
1)
32 
2)
2 2 
2
4
13)   
3
3
2

3)
4
4)
7 3 
5)
92 
6)
34 
3
14)   
2
23)  2 12 
15)  3 13  
 12 
24) 
 
 11 
2
16) 1, 2  
3
 2
 
 10 
17) 
54 
8)
102 
18)  0, 2  
9)
2
19) 1 12  
2
2
11) m
12) n
7




2
25)  0, 3 
26)  2 13 
2

3

4
4
10) 12
3
2
7)
11 
3
1
22)   
5
4
n
20)   
k
n
b
21)   
k
f ' GRUPO EDITORIAL
4
5
27)   
4
4
n
 
m
28) 
d
29)  
 p
m

29
30
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H12: Calcular raíces n-ésimas de un número racional.
Raíces n-ésimas de un número racional
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y
del divisor. Es decir,
n
a
a
n
 n
b
b
Raíces n-ésimas de un producto
La raíz n-ésima de un producto de números primos es igual a la raíz n-ésima de cada factor
primo. Es decir, n ab  n a  n b
Ejemplos
Calcule las raíces de los siguientes números racionales.
a)
1
1 1


4
4 2
b) 3
3
8
8 2
 3

27
27 3
c) 4
4
625
625 5
4

2041
2041 7
d)
400
16  25 4  5 10



324
9  36 3  6 9
Ejercicios de movilización 9
A. Calcule la raíz de los siguientes números racionales.
1)
4

25
7)
3
729

343
13) 3
17576

125000
19) 5
1

100000
2)
49

144
8)
3
216

1000
14)
1225

12100
20) 5
161051

371293
3)
9

169
9)
3
64

512
15) 4
1296

50625
4)
900

441
1

10) 3
1331
16)
1

32
81

100
11) 4
1

50625
17) 5
125

27
12) 4
81

625
18) 5
5)
6)
3
5
21) 3 2 10
27 
22)
6, 25 
23) 3 3, 375 
1

243
1

3125
f ' GRUPO EDITORIAL
24) 3 177 79 
52
25) 5 4 243

CAPÍTULO 1: NÚMEROS
OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
H13: Calcular resultados de operaciones con números racionales de expresiones donde hay combinación de ellas con paréntesis o sin ellos.
Combinación de operaciones con números racionales
1)
Si existen paréntesis se resuelven primero los redondos ( ) y luego [ ] tomando
en cuenta el orden de prioridad.
2)
Se realizan las potencias y raíces.
3)
Se efectúan las multiplicaciones y divisiones (en el orden que aparezcan “de
izquierda derecha”).
4)
Realizamos las sumas y las restas.
Ejemplo 1
Ejemplo 3
Calcule el resultados de la siguiente
operación
3
  51  1,3 
4
3 1
13
   
4 
5
10

Calcule el resultados de la siguiente
operación
2
13
3 2
  
4 13
47
52
Ejemplo 2
Calcule el resultados de la siguiente
operación 2  5  5  1  
2
 3


5
1

2   5   
2
 3 
5/2 

 5 5 
 2   
3
2

5/6
5
2  
6

5/3
5
3
f ' GRUPO EDITORIAL

1   2 1 
2 13  1, 4  2 

 1
  5
4   3
4





 

7 7
1   2 1 
 2    5

1 

3  5 
2 
3
4

 


4
 
1

6



 


 

7 7
1 


  4  5 1 
 6 
3  
5
 27   
5 



6


 5 
7  27   5 

  5  
3 5   6 
63 25


5
6
253
30
31
32
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de movilización 10
A. Resuelva las siguientes operaciones y simplifique al máximo.


1)
2
  31  1, 2 
3
14) 7  3 17  7 
2)
3
  2 2  2, 2 
5
15) 8 
3)
31  2 13 
2

5
41  3 14 
3

4
4)
2
1
1
5)    3 12  
5
2
 4
64 
3
 3  3  27  


9)
4 2
  5 12 
25 5
10)
3 1 3 27
1 

7 9
8
1
 4
5   
3
 3
11) 3 
2
 5
12) 4 
 6  
5
 4
1
 1
3   
3
 2
13) 4 15 



1 

625 
18)
2 7
 1

   4  5  2 
3 2
 5

19)
2
1
 2 14  4   5  0, 2   
3
3

20)
7 5
1   10 1


 2 
   3    5
3 3
3  3
5

21)
5 1
1
7

 3 7  3    2   2, 2  2  
3
3
3

3
7
1
8)     2 12 
2
 3
81 

16 
17)   3, 2  30  4
2
5
7)    0, 4  2 12 
2



16)   2,8  3  4
2
3
3
6)    4 12  
7
2
1

4



4   5

 0, 25  1  
  3 
9  3




8  3  1 3 2 
 
 2 
27  2  3 4 3 
24) 0,8  3 52  1, 4 



36  1  16 1 

 3  
 1 
47  4  25 4




 1

1 
2

 3 52  
  7 52 
32 
3
 81

22) 3 15  2, 4  2 
23) 3 14  1, 6  4  3
25) 3, 2  3 52  1, 4  5
f ' GRUPO EDITORIAL
Capítulo 2
Geometría
f'
Grupo Editorial
CONOCIMIENTOS
Transformaciones en el plano
 Homotecias
 Puntos homólogos
 Segmentos Homólogos
Triángulos

Semejanza

Congruencias

Teorema de Thales
Visualización espacial
 Pirámide recta

Caras laterales

Base

Apotemas

Ápice (cúspide)

Altura
 Sección plana
1. Prisma recto
HABILIDADES ESPECÍFICAS
1. Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al
someter un polígono dado a una homotecia.
2. Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono
y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.
3. Reconocer pares de figuras homotécicas en el plano de
coordenadas.
4. Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola
a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
5. Construir una figura congruente a una figura
sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
dada
6. Identificar figuras semejantes en diferentes contextos
7. Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
8. Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo
lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la
semejanza de triángulos
9. Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado
ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la
congruencia de triángulos.
10. Resolver problemas que
congruencia de triángulos.
involucren
la
semejanza
y
11. Utilizar software de geometría dinámica para visualizar
propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de
triángulos. (GeoGebra)
12. Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en
diversos contextos.
13. Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y
el ápice o cúspide de una pirámide.
14. Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma
recto.
15. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas
de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o
triangular.
16. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas
de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
Problema introductorio 1
Un foco alumbra la figura de un barco y proyecta una sombra de mayor tamaño
sobre la pared.
a)
¿Qué elementos permanecen invariantes?
b)
¿Hay relaciones métricas entre los lados y ángulos de los los barcos?
c)
¿Hay relaciones métricas entre las distancias del foco a la figura y de la figura a
la sombra?
f ' GRUPO EDITORIAL
35
36
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia.
H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.
H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas.
Homotecia
Es una transformación que a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por
un mismo factor. En general una homotecia de razón k diferente de
único punto fijo, llamado centro.
1 deja un
La relación entre los puntos, ángulos y lados
homólogos entre las dos figuras es fácil determinarla si hacemos uso de la tecnología *.
Caso 1: Homotecias directas k  0
Procedimientos
Figura
a)
Se construye el ABC
b)
Se construye un punto O llamado
centro de transformación.
c)
Se mide la distancia desde cada vértice
del ABC al punto O .
a) AO  2,8
b) BO  3
c) CO  2
Se establece una razón k (en este caso
3
k  ) y obtenemos:
2
3
OA '  k  OA
OA '   2,8
OA '  4, 2
2
3
OB '  k  OB
OB '   3
OB '  4,5
2
3
OC '  k  OC
OC '   2
OC '  3
2
d)
e)
Luego se unen estos puntos como se muestra en la figura y se forma el A ' B ' C ' el
cual se considera como la homotecia del ABC .
f)
En este caso como k  0 decimos que es una homotecia directa.
* Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
37
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia.
H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.
H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas.
Homotecia
Caso 2: Homotecias inversas k  0
La relación entre los puntos, ángulos y lados homólogos entre las dos figuras es fácil
determinarla si hacemos uso de la tecnología*.
Procedimientos
Figura
a)
Se construye el ABC
b)
Se construye un punto O llamado centro
de transformación.
c)
Se mide la distancia desde cada vértice
del ABC al punto O .
a) AO  2,8
d)
b) BO  3
c) CO  2
Se establece una razón k (en este caso
3
k   ) y obtenemos:
2
OA '  k  OA
OB '  k  OB
OC '  k  OC
e)
3
 2,8
2
3
OB '    3
2
3
OC '    2
2
OA '  
OA '  4, 2
OB '  4,5
OC '  3
Luego se unen estos puntos como se muestra en la figura y se forma el A ' B ' C ' el
cual se considera como la homotecia del ABC .
f)
En este caso como k  0 decimos que es una homotecia inversa.
* Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/
f ' GRUPO EDITORIAL
38
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 1
A. Con un foco alumbre un objeto (la mano, un basurero, un cuaderno, etc.) de tal
forma que se proyecte en la pared. Luego coloque el foco (por ejemplo a 1 m de
distancia en línea recta), de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la
pared. Luego, pruebe con otras distancias. Y conteste lo siguiente:
1) ¿Cuáles elementos permanecen invariantes?
2) Mida la distancia entre el foco y el objeto, luego entre el objeto y la pared. Y
establezca la razón entre las longitudes.
B. Determine la homotecia de las siguientes figuras, considerando los valores de la
razón k , según sea el caso.
1)
Determine la homotecia del
triángulo
ABC , y centro O
Para;
2)
k
1
3
Determine la homotecia del
polígono ABCDE , y centro O
Para;
3)
k
5
3
Determine la homotecia del
polígono ABCD , y centro O
Para;
k  2 y k  3
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
39
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia.
H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.
H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas.
Puntos, ángulos y lados homólogos en una homotecia
En toda homotecia se establecen puntos, lados y ángulos homólogos. La relación
entre los puntos, ángulos y lados homólogos entre las dos figuras es fácil determinarla
si hacemos uso de la tecnología*.
Ejemplo 1
El polígono A ' B ' C ' D ' E ' es una homotecia del polígono ABCDE
Figuras homotécicas
Puntos homólogos
A y A´ B y B´ C y C´ D y D´ E y E´
Ángulos homólogos
A y A´ B y B´ C y C´
D y D´ E y E´
Lados homólogos
AB y A ' B ' BC y B ' C ' CD y C ' D '
DE y D ' E ' EA y E ' A'
Ejemplo 2
El A ' B ' C ' es una homotecia del ABC
Figuras homotécicas
Puntos homólogos
A y A´ B y B´ C y C´
Ángulos homólogos
A y A´ B y B´ C y C´
Lados homólogos
AB y A ' B ' BC y B ' C ' CA y C ' A'
* Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/
f ' GRUPO EDITORIAL
40
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 2
A. Escriba utilizando la simbología correcta los puntos, ángulos y segmentos
homólogos de las siguientes figuras homotécicas.
B. Escriba utilizando la simbología correcta los puntos, ángulos y segmentos
homólogos de las siguientes figuras homotécicas.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 3
A. De acuerdo con las siguientes figuras, determine ¿cuál o cuáles son homotecias
del cuadrilátero ABCD ? Justifique su respuesta.
B. Identifique en las siguientes figuras, tres pares que son homotécicas. Justifique su
respuesta.
2
4
1
6
3
8
7
5
f ' GRUPO EDITORIAL
41
42
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
Problema introductorio 1
Con base en la figura anterior determine lo siguiente.
a)
¿Qué personaje de la historia se relaciona con esta imagen? Y si nació 625 a.C.
y murió en 547 a.C. ¿Cuántos años vivió?
b)
¿En qué continente se encuentra esta pirámide?
c)
¿Existen más pirámides en otros lugares fuera de este país?
d)
¿Qué propuso este personaje para calcular la altura de la pirámide?
e)
¿Cuál es la altura aproximada de la pirámide?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Figuras semejantes
Al someter una figura a una homotecia obtenemos otra que tiene la misma forma,
así como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
a)
En este caso sometemos el ABC a
una homotecia de centro D y razón
0, 5
b)
De esta forma obtenemos el A' B ' C ' ,
que es semejante al ABC , debido a
que la medida de sus lados son
proporcionales.
Ejemplo 2
a)
En este caso sometemos el EGF a
una homotecia de centro H y razón
1, 5 .
b)
De esta forma obtenemos el E ' G ' F '
que es semejante al EGF , debido a
que la medida de sus lados son
proporcionales.
Ejemplo 3
a)
Homotecia
razón k  1
Homotecia
razón k  1
Homotecia
razón k  1
En este caso sometemos el ABC a
una homotecia de centro D y razón
k 1
b)
Al ser k  1 obtenemos una figura con
las mismas medidas, por lo tanto se
denominan triángulos congruentes.
f ' GRUPO EDITORIAL
43
44
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 4
A. Someta a una homotecia las siguientes figuras y determine en cada caso si las
figuras resultantes son semejantes o congruentes según cada caso, además señale
los ángulos y lados homólogos.
1) ABC
con homotecias de razón
3
3
y 
y centro D
2
2
2) Polígono
ABCD con
homotecias de razón 1 y  1
y centro E
B. Dibuje en papel cuadriculado un triángulo rectángulo donde su altura sea el doble
que su base, tal y como se muestra en la siguiente figura.
Luego compare con sus compañeros
los dibujos que realizaron y conteste lo
siguiente:
1)
¿Puede haber varios triángulos que cumplan estas condiciones?
2)
Si es así, ¿cómo se podrían agrupar de acuerdo con sus características?
3)
¿Cuáles elementos de los triángulos construidos varían y cuáles no varían?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
C. Someta el triángulo ABC a una homotecia desde el punto D de razón 2 y otra
1
de razón
. Y conteste lo que se le solicita.
2
1)
¿Cuáles elementos permanecen invariantes y cuáles no?
2)
¿Qué razón existe entre las medidas de los lados de ambos triángulos?
3)
¿Qué razón existe entre las medidas de los ángulos de ambos triángulos?
D. Someta el triángulo ABC a una homotecia desde el punto D de razón 1 y otra
de razón  1 . Y conteste lo que se le solicita.
1)
¿Cuáles elementos permanecen invariantes y cuáles no?
2)
¿Qué razón existe entre las medidas de los lados de ambos triángulos?
3)
¿Qué razón existe entre las medidas de los ángulos de ambos triángulos?
4)
¿Pueden dos figuras ser semejantes y congruentes a la vez?
E. Cite con ejemplos cinco pares de figuras relacionadas con la vida cotidiana que
sean semejantes y cinco que sean congruentes.
f ' GRUPO EDITORIAL
45
46
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si tiene ángulos homólogos congruentes y lados
homólogos proporcionales.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes
Vértices homólogos
ABC  A´B´C´
B
A y A´
10
BAC  B´AC
´ ´
9
70º
60º
4, 5
50º B´
60º
ACB  AC
´ ´B´
A´B´ B´C´ A´C´


AB BC
AC
5
4,5 3


10
9
6
1
1
1


2
2
2
AB BC
AC


A´B´ B´C´ A´C´
10
9
6


5
4,5 3
2  2 2
C´
3
ABC  A´B´C´
Proporcionalidad de lados homólogos
C
6
70º
C y C´
Congruencia de ángulos homólogos
50º
A
B y B´
5
A´
Ejemplo 2
Triángulos semejantes
Vértices homólogos
AyD
ABC  DEF
B

C yF
Congruencia de ángulos homólogos


A
B yE
BAC  EDF
ABC  DEF
ACB  DFE
C
E
D
Proporcionalidad de lados homólogos



F
AB BC AC


DE EF DF
f ' GRUPO EDITORIAL
DE EF DF


AB BC AC
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de semejanza L.L.L. (lado, lado, lado)
Si los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces, los triángulos
son semejantes.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes por L.L.L.
ABC  A´B´C´
B
10
AB BC
AC


A´B´ B´C´ A´C´
10
9
6


5
4,5 3
2  2 2
9
A´B´ B´C´ A´C´


AB BC
AC
5
4,5 3


10
9
6
1
1
1


2
2
2
Entonces ABC  A´B´C´ por L.L.L.
C
A
Si existe proporcionalidad de lados homólogos
6
Es decir que los Vértices homólogos son
C´
A y A´
4, 5
C y C´
Y existe congruencia de ángulos homólogos
B´
3
B y B´
BAC  B´AC
´ ´
ACB  AC
´ ´B´
5
A´
ABC  A´B´C´
Ejemplo 2
Triángulos semejantes por L.L.L.
ABC  DEF
B



Es decir que los Vértices homólogos son
AyD
B yE
C yF
Y existe congruencia de ángulos homólogos


DE EF DF


AB BC AC
Entonces ABC  DEF por L.L.L.
C
E
D
AB BC AC


DE EF DF

A
Si existe proporcionalidad de lados homólogos
F
BAC  EDF
ACB  DFE
f ' GRUPO EDITORIAL
ABC  DEF
47
48
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de semejanza L.A.L. (lado, ángulo, lado)
Si existe una correspondencia entre dos triángulos de tal manera que dos parejas de
lados homólogos sean proporcionales y los ángulos comprendidos por esos lados
son congruentes, entonces, los triángulos son semejantes.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes por L.A.L.
ABC  A´B´C´
B
50º
9
10
Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos
C
A
Si existe proporcionalidad de dos lados
homólogos
AB
BC
AC
A´B´ B´C´ A´C´




A´B´ B´C´ A´C´
AB BC
AC
10
9
AC
5
4,5
A´C´




5
4,5
A´C´
10
9
AC
1
1
A´C´
AC


2  2 
2
2
AC
A´C´
BAC  B´AC
´ ´
Entonces ABC  A´B´C´ por L.A.L.
C´
4, 5
Es decir que los Vértices homólogos son
A y A´
B y B´
C y C´
Y existe congruencia de ángulos homólogos
ACB  AC
´ ´B´
restantes ABC  A´B´C´
50º B´
5
A´
Ejemplo 2
Triángulos semejantes por L.A.L.
ABC  DEF
B
Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos


A
C
E

D
Si existe proporcionalidad de dos lados
homólogos
AB BC AC
DE EF DF




DE EF DF
AB BC AC

F
BAC  EDF
Entonces ABC  DEF por L.A.L.
Es decir que los Vértices homólogos son
AyD
B yE
C yF
Y existe congruencia de ángulos homólogos
restantes ABC  DEF , ACB  DFE
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de semejanza A.A.A. (ángulo, ángulo, ángulo)
Si los ángulos homólogos de dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos
son semejantes.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes por A.A.A.
ABC  A´B´C´
B
Si existe congruencia de ángulos homólogos
BAC  B´AC
´ ´ , ABC  A´B´C´ , ACB  AC
´ ´B´
Entonces ABC  A´B´C´ por A.A.A
50º
Es decir que los Vértices homólogos son
A y A´
B y B´
C y C´
70º C
A 60º
C´
Y existe proporcionalidad de lados homólogos
70º
AB
BC
AC


A´B´ B´C´ A´C´
50º B´
A´B´ B´C´ A´C´


AB
BC
AC
60º
A´
Ejemplo 2
Triángulos semejantes por A.A.A.
Si existe congruencia de ángulos homólogos
BAC  EDF
ABC  DEF
B
ABC  DEF
ACB  DFE
Entonces ABC  DEF por A.A.A
Es decir que los Vértices homólogos son
A
C
E
D
AyD
B yE
C yF
Y existe proporcionalidad de lados homólogos
F
AB BC AC


DE EF DF
f ' GRUPO EDITORIAL
DE EF DF


AB BC AC
49
50
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 5
A. Determine en cada una de las siguientes figuras si  ABC es semejante con  DEF
, en caso de ser semejantes, justifique su respuesta con el criterio de semejanza que
utilizó, además escriba dicha semejanza de forma simbólica utilizando los ángulos
homólogos (por ejemplo ABC  FDE ).
1)
4)
7)
B
A
F
20
48
16
B
62º
B
52
F
C
E
A
35º
62º
D
C
12
35º
5
12
C
A
4
D
D
13
E
F
2)
C
5)
E
3
8)
B
B
46º
20
12
A
10
B
32
A
D
F
24
F
15
9
44
C
A
C
D
36
E
3)
C
E
6)
E
F
9)
15
20
12
B
10
E
36º
8
F
D
B
A
15
9
8
A
D
E
6
F
46º
62º
150
150
B
E
6
20
A 62º
36º
D
f ' GRUPO EDITORIAL
C
C
D
F
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Triángulos congruentes
Dos triángulos son congruentes si los lados y los ángulos de un triángulo son
respectivamente congruentes a los lados y los ángulos de otro triángulo.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes
Vértices homólogos
ABC  A´B´C´
B
A y A´
B y B´
C y C´
Congruencia de ángulos homólogos
50º
10
BAC  B´AC
´ ´
9
ABC  A´B´C´
ACB  AC
´ ´B´
70º C
A 60º
6
C´
70º
Congruencia de lados homólogos
9
AB  A´B´
6
A´
BC  B´C´
AC  AC
´ ´
50º B´
60º
10
Ejemplo 2
Triángulos congruentes
Vértices homólogos
ABC  DEF
B
AyD
B yE
C yF
Congruencia de ángulos homólogos
BAC  EDF
A
C
E
ABC  DEF
ACB  DFE
Congruencia de lados homólogos
D
F
AB  DE
f ' GRUPO EDITORIAL
BC  EF
AC  DF
51
52
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de congruencia L.L.L. (lado, lado, lado)
Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los
del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes por L.L.L.
ABC  A´B´C´
B
Si existe congruencia de lados homólogos
AB  A´B´
BC  B´C´
AC  AC
´ ´
Entonces ABC  A´B´C´ por L.L.L.
10
9
Es decir que los vértices homólogos son
A y A´
C
A
B y B´
C y C´
6
C´
9
Y existe congruencia de ángulos homólogos
6
B´
ABC  A´B´C´
ACB  AC
´ ´B´
10
A´
BAC  B´AC
´ ´
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por L.L.L.
ABC  DEF
B
Si existe congruencia de lados homólogos
AB  DE
BC  EF
AC  DF
Entonces ABC  DEF por L.L.L.
A
C
Es decir que los vértices homólogos son
AyD
B yE
C yF
E
Y existe congruencia de ángulos homólogos
BAC  EDF
D
F
ACB  DFE
f ' GRUPO EDITORIAL
ABC  DEF
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de congruencia L.A.L. (lado, ángulo, lado)
Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo
comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes por L.A.L.
Si existe congruencia de dos lados homólogos
AB  A´B´
ABC  A´B´C´
B
BC  B´C´
Y congruencia del ángulo homólogo entre
ellos
ABC  A´B´C´
50º
10
9
Entonces ABC  A´B´C´ por L.A.L.
Es decir que los vértices homólogos son
A y A´
B y B´
C y C´
C
A
C´
9
Existe congruencia de ángulos homólogos
50º B´
BAC  B´AC
´ ´
ACB  AC
´ ´B´
Y congruencia del lado homólogo restante
10
AC  AC
´ ´
A´
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por L.A.L.
Si existe congruencia de dos lados homólogos
AB  DE
ABC  DEF
AC  DF
Y congruencia del ángulo homólogo entre
ellos
B
BAC  EDF
A
C
E
Entonces ABC  DEF por L.A.L.
Es decir que los vértices homólogos son
AyD
B yE
C yF
Existe congruencia de ángulos homólogos
ABC  DEF
D
F
ACB  DFE
Y congruencia del lado homólogo restante
BC  EF
f ' GRUPO EDITORIAL
53
54
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Criterio de congruencia A.L.A. (ángulo, lado, ángulo)
Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos
de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes por
A.L.A.
ABC  A´B´C´
B
Entonces ABC  A´B´C´ por A.L.A.
Es decir que los vértices homólogos son
A y A´
B y B´
C y C´
70º C
70º
ACB  AC
´ ´B´
BC  B´C´
9
C´
ABC  A´B´C´
Y congruencia del lado homólogo entre ellos
50º
A
Si existe congruencia de dos ángulos homólogos
Existe congruencia del ángulo homólogo restante
BAC  B´AC
´ ´
9
50º B´
Y congruencia de los lados homólogos restantes
AB  A´B´
AC  AC
´ ´
A´
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por
A.L.A.
ABC  DEF
B
Si existe congruencia de dos ángulos homólogos
BAC  EDF
ACB  DFE
Y congruencia del lado homólogo entre ellos
AC  DF
Entonces ABC  DEF por A.L.A.
A
C
E
Es decir que los vértices homólogos son
AyD
B yE
C yF
Existe congruencia del ángulo homólogo restante
ABC  DEF
D
F
Y congruencia de los lados homólogos restantes
AB  DE
f ' GRUPO EDITORIAL
BC  EF
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 6
A. Determine el criterio que justifica la relación de congruencia entre  ABD y  CBD
en cada una de las siguientes figuras.
B
B
A
1)
6)
10)
10
10
A
6
D
6
D
C
D
B
A
7)
B
2)
A
C
C
3
3
B
11)
A
6
3)
D
6
D
C
6
A
4)
A
C
D
A
60º
D
C
6
8)
60º
3
3
B
30º 30º
B
B
12)
C
3
B
48º
B
48º
D
A
D
3
A
5)
D
C
C
B
B
9)
B
C
13)
9º 9º
A
D
C
A
71º 71º
C
D
f ' GRUPO EDITORIAL
D
A
C
55
56
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
B. Determine en cada una de las siguientes figuras si
 ABC
es congruentes con
 DEF , en caso de ser congruentes, justifique su respuesta con el criterio de
congruencia que utilizó, además escriba dicha congruencia de forma simbólica
utilizando los ángulos homólogos (por ejemplo ABC  FDE ).
1)
4)
B
A
7)
B
A
C
C
D
E
D
B
C
A
E
F
F
2)
B
C
8)
B
5)
A
F
D
E
C
E
A
F
B
C
A
E
D
E
F
D
F
3)
F
D
D
C
6)
B
B
E
F
9)
A
E
C
E
B
A
A
C
D
D
F
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1.
H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1.
H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos.
H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos
H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos.
H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos.
H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos.
Problemas con semejanza y congruencia
Ejemplo 1
Si D , E y F
son los puntos medios de los lados del
triángulo ABC y AEFD es un rectángulo, encuentre
un triángulo semejante al triángulo
ABC
y un
triángulo congruente al triángulo DEF .
Solución: Existen varios procedimientos correctos, pero lo importante es la
justificación que se realice para la solución.
a)
El
 ABC ~  ADE
AB AC

2
AD AE
por criterio lado-ángulo-lado, ya que
comparten el ángulo A que mide 90 .
b)
El DEF  EDA por criterio lado-lado-lado, ya que AD  EF , AE  DF
y
por ser
AEFD un rectángulo y comparten el segmento DE (diagonal del rectángulo).
Ejemplo 2
En la figura BCD  BAE y AB  4, BC  6, BD  14
A
y DC  10 entonces ¿cuál es la medida de AE ?
B
E
D
Solución: Por ser semejantes se establece que
a)
BC CD
Se sustituyen los valores en BA  AE
BC CD BD


BA AE BE
6 10

4 AE
20
 AE
3
b)
Concluimos que AE 
20
3
f ' GRUPO EDITORIAL
C
57
58
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 7
A. Resuelva los siguientes problemas que involucren la semejanza y congruencia de
triángulos.
1) Si tenemos que una torre mide 90 metros de altura, y en un determinado
momento del día, una vara vertical de 50 metros arroja una sombra de 70
metros. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?
2)
Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 metros en el
mismo momento que la sombra de Celeste, de altura 1, 80 metros, mide 3
metros.
3)
Entre Maureen, de 1, 70 metros de altura, y un árbol, hay un pequeño charco
en el que se refleja la copa del árbol. Calcule la altura de dicho árbol sabiendo
que las distancias que separan a Maureen del lugar de reflejo en el charco y
del árbol son de 3, 2 metros y 10, 7 metros, respectivamente.
4)
Para medir la altura de una montaña, Gustavo, de 1, 82 metros de altura, se
sitúa a 2,3 metros de un árbol de 3, 32 metros situado entre él y la montaña,
de forma que la copa del árbol, la cima de dicha montaña y los ojos de
Gustavo se encuentran en línea. Sabiendo que Gustavo se encuentra a 138
metros del pie de la montaña, calcule la altura de la montaña.
B. Marque con una “X” la respuesta correcta para cada uno de los siguientes
enunciados.
1) Si ABC  DEF , BC  35 cm , EF  21 cm y AC  20 cm entonces ¿Cuál es la
medida, en centímetros, de DF ?
A)
36, 75
B)
33, 3
C)
24
D) 12
2) Si el ABC  DEF , AB  15 cm , BC  21 cm y DE  5 cm , entonces, ¿Cuál es la
medida de EF en centímetros?
A) 7
C) 63
7
25
B)
D)
5
7
3) Considere el  MNQ . De acuerdo con los datos de la figura se cumple que
N
MN RP
MQ NQ


A)
C)

NP PQ
QR NP
P
B)
NQ QP

QM RQ
D)
MR NP

PQ RQ

M
f ' GRUPO EDITORIAL
R
Q
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
4)
59
De acuerdo con los datos de la figura, si  ABC   EDF , analice las siguientes
B
proposiciones
E
I.
BC  EF
II.
AB  DE
III. BAC  DEF
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
A) Solo la I
C) Solo la I y la III
B)
D) Solo la II y la III
Solo la II
A
F
C
D
5) De acuerdo con los datos de la figura, se cumple con certeza que
A)
 ACB   STR
C)
 ACB   RTS
B)
 ACB   RST
D)
 BCA   RST
S
C
B


A
R
T
6) De acuerdo con los datos de la figura, si  ABD   CEB , entonces, ¿cuál es la
B 10 C
longitud de BD ?
A) 3
B) 8
C)
D)
16
24
7
E
8
21
BED
D
A
30
 
7) De acuerdo con la figura, si A B  C D entonces el ABE  CDE por el criterio
A
A) A. A. A
C) L. A. L
E
B)
D) L. L. L
A. L. A
B
8)
Considere el
C
BC  DE
,
 ADE . De acuerdo con los datos de la figura, si
A
entonces ¿cuál es la medida de CE ?
A) 4
C) 12
16
8
B)
D)
3
3
8
4
B
C
D
9) Considere
el
D
E
6
. De acuerdo con los datos de la figura, si
 AED
AD  20, AC  6, ED  18 , entonces la medida de DB es
20
63
A)
C)
3
5
27
140
B)
D)

5
9
E
B

A
D
C
10) Considere el  ACE . De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la longitud
de BD ?
A)
B)
21
2
96
7
A
C)
D)
56
5
14
3
f ' GRUPO EDITORIAL

5
B

8
E
D
7
C
60
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
Problema introductorio 1
Una piscina tiene un máximo de 3, 2m de profundidad. El día de hoy se indica que
hay apenas 2,8m de altura del agua en la parte más profunda. Ana quiere entrar
a la piscina pero no sabe nadar, así que no quiere llegar a la parte más profunda.
Ella calcula que mide aproximadamente 1, 5m de los pies a los hombros. La zona
para bajar poco a poco es la parte inclinada y ella baja hasta apenas tocar el agua
con los pies y calcula que es aproximadamente de 0, 7m . ¿Cuánto más deberá
bajar Ana para que el agua le llegue a los hombros?
a)
¿Cuánto más deberá bajar Ana para que el agua le llegue a los hombros?
b)
¿Cuánto mide la pared inclinada hasta donde llega el agua de la piscina?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos.
Teorema de Thales
Cuando tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes o
concurrentes, los segmentos comprendidos entre las rectas paralelas son
proporcionales.
Ejemplo 1
Propiedades
a)
AB DE

BC EF
b)
AB BC

DE EF
l2
c)
AC DF

BC EF
l1
d)
AC DF

AB DE
l4
l5
A
D
E
B
C
F
l3
l1  l2  l3
Ejemplo 2
Propiedades
a)
l4
l5
A
D
2
3
2
E
15
4
B
5
C
F
l1  l2  l3
l3
b)
l2
3
AB DE
2 2
2 2

 
 
BC EF
5 15
5 5
4
AB BC
2 5
4 4

 
 
3 15
DE EF
3 3
2 4
c)
21
AC DF
7
7 7

  4  
BC EF
5 15
5 5
4
d)
21
AC DF
7
7 7

  4  
AB DE
2 3
2 2
2
l1
f ' GRUPO EDITORIAL
61
62
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos.
Teorema de Thales
Ejemplo 3
Procedimiento de solución
Determine la medida de E F
AB DE
3
2

 
BC EF
4 EF
l4
l5
A
EF 
D
l3
2
3
B
Forma alternativa de solución
E
l2
F
l1
4
C
42 8

3
3
AB BC
3
4

 
DE EF
2 EF
EF 
42 8

3
3
l1  l2  l3
Ejemplo 4
Procedimiento de solución
Determine la medida de D E
l4
AB DE
7 DE

 
BC EF
5
4
DE 
A
7
B
5
4  7 28

5
5
C
Forma alternativa de solución
l1  l2  l3
AB BC
7
5



DE EF
DE 4
DE 
l5
4
E
D
l1
l2
F
l3
f ' GRUPO EDITORIAL
4  7 28

5
5
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 8
1)
Procedimiento de solución
Determine la medida de E F
l4
l5
A
D
l3
2
3
B
E
l2
F
l1
5
C
l1  l2  l3
2)
Procedimiento de solución
Determine la medida de D E
l4
l5
A
D
l3
4
l2
B
E
7
6
F
C
l1
l1  l2  l3
3)
Determine la medida de B C
Procedimiento de solución
l4
l5
A
D
6
l3
5
E
B
l2
7
F
C
l1
l1  l2  l3
f ' GRUPO EDITORIAL
63
64
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
4)
Procedimiento de solución
Determine la medida de AB
l4
l5
A
D
l3
10
B
E
14
12
F
C
l2
l1
l1  l2  l3
5)
Procedimiento de solución
Determine la medida de E F
l4
A
19
B
12
C
l1  l2  l3
l5
17
D
l1
6)
F
E
l3
l2
Procedimiento de solución
Determine la medida de D E
l4
A
34
B
25
C
l1  l2  l3
l5
20
E
D
l1
l2
F
l3
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
7)
Determine la medida de B C
l4
A
7
3
Procedimiento de solución
B
C
l1  l2  l3
l5
8
3
D
l1
8)
5
2
E
F
l3
l2
Procedimiento de solución
Determine la medida de AB
l4
A
11
2
B
C
l1  l2  l3
l5
8
3
D
l1
9)
14
3
E
F
l3
l2
Procedimiento de solución
Determine la medida de AB
l4
A
21
5
B
C
l1  l2  l3
l5
5
D
l1
12
5
E
l2
F
l3
f ' GRUPO EDITORIAL
65
66
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos.
Teorema de la paralela media
En todo triángulo, un segmento paralelo a uno de los lados y definido por los puntos
medios, de los otros dos lados, se llama paralela media y mide la mitad del lado al
cual es paralela.
Ejemplo 1
Propiedades
E
A
B
a) DE 
b)
D
BC
2
BC  2  DE
DE  BC
C
Ejemplo 2
Procedimiento
Determine la medida de D E
E
B
A
D
10
BC
2
10
DE 
2
DE  5
DE 
DE  BC
C
Ejemplo 3
Procedimiento
Determine la medida de BC
E
A
B
BC  2  DE
BC  2  10
BC  20
10
D
C
DE  BC
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización 9
A. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando el Teorema de la paralela media de un
triángulo.
1)
Determine la medida de D E
E
A
5)
B
Determine la medida de BC
E
B
A
16
D
DE  BC
C
2)
D
16
DE  BC
C
Determine la medida de D E
6)
Determine la medida de BC
A
A
DE  BC
D
E
D
C
3)
DE  BC
E
B
37
37
B
C
Determine la medida de D E
7)
Determine la medida de B C
C
C
18
5
E
E
18
5
B
A
D
B
DE  BC
4)
DE  BC
Determine la medida de D E
B
8)
Determine la medida de BC
B
8
8
29
D
D
8
A
14, 5
8
13
E
A
D
13
C
A
DE  BC
13
E
DE  BC
f ' GRUPO EDITORIAL
13
C
67
68
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
B. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando el Teorema de la paralela media de un
triángulo.
1) Determine la medida de A C y
5) Determine la medida de EF y D E
BC
A
A
DE  BC
DE  BC
E
6
D
EF  AC
D
2)
B
F
A
E
C
F
DF
EF  AC
6
DF  AB
D
B
C
DE  BC
8
EF  AC
E
DF  AB
7)
7
B
F
Determine la medida de AB , BC y
AC
A
A
AB  18
DE  10
BC  16
E
C
F
AC  14
D
B
C
Determine la medida de BF , AD
y EF
8)
E
EF  12
DF  14
B
F
Determine la medida de DF , CF y
AD
A
A
DE  15
E
D
C
B
Determine la medida de DE, EF y
A
Determine la medida de DE, EF
D
4)
8
9
11
y DF
6)
F
DE  BC
D
3)
C
Determine la medida de AB , A C
y BC
8
EF  AC
5
7
C
E
F
BE  10
CD  13
E
D
B
C
f ' GRUPO EDITORIAL
F
DE  9
DC  12
B
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
VISUALIZACIÓN ESPACIAL
Problema introductorio 1
Considere la siguiente pirámide recta de base cuadrada de 40m de lado, con una
altura de 60 m .
Si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener:
a)
¿un triángulo como sección plana?
b)
¿un rectángulo no cuadrado?
c)
¿qué figuras se pueden obtener?
f ' GRUPO EDITORIAL
69
70
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
VISUALIZACIÓN ESPACIAL
H13: Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el ápice o cúspide de una pirámide.
H14: Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma recto.
H15: Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular.
H16 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
Pirámide
Prisma
Una pirámide es un poliedro, cuya base
es un polígono cualquiera y cuyas caras
laterales son triángulos con un vértice
común, que es el vértice de la pirámide.
Un prisma es un cuerpo limitado por
dos polígonos planos, paralelos e
iguales, llamados bases, y por tantos
paralelogramos como lados tenga
cada una de las bases.
ap
a
a p : apotema de la pirámide
a : apotema del polígono
a : apotema del polígono
Casos particulares
pirámide base triangular
prisma base triangular
pirámide base cuadrangular
prisma base cuadrangular
pirámide base rectangular
prisma base rectangular
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
71
Ejercicios de movilización 10
A. Identifique la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el ápice o cúspide
de las siguientes pirámides rectas.
1)
2)
3)
B. Identifique las caras laterales, las bases y la altura de los siguiente prismas rectos.
1)
2)
A
3)
E
B
A
C
D
G
E
B
D
F
F
C
H
G
E
B
C
D
f ' GRUPO EDITORIAL
A
F
72
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
C. Considere una pirámide recta de base triangular, si se hace un corte con un plano
paralelo, se puede obtener:
1)
¿un triángulo como sección plana?
2)
¿qué figuras se pueden obtener?
D. Considere una pirámide recta de base rectangular, si se hace un corte con un
plano paralelo, se puede obtener:
1)
¿un triángulo como sección plana?
2)
¿un rectángulo?
3)
¿un cuadrado?
4)
¿qué figuras se pueden obtener?
E. Considere un prisma recto de base triangular, si se hace un corte con un plano
paralelo, se puede obtener:
1)
¿un triángulo como sección plana?
2)
¿un rectángulo?
3)
¿un cuadrado?
4)
¿qué figuras se pueden obtener?
F. Considere un prisma recto de base cuadrangular, si se hace un corte con un plano
paralelo, se puede obtener:
1)
¿un triángulo como sección plana?
2)
¿un rectángulo?
3)
¿un cuadrado?
4)
¿qué figuras se pueden obtener?
G. Considere un prisma recto de base rectangular, si se hace un corte con un plano
paralelo, se puede obtener:
a)
¿un triángulo como sección plana?
b)
¿un rectángulo?
c)
¿un cuadrado?
d)
¿qué figuras se pueden obtener?
f ' GRUPO EDITORIAL
Capítulo 3
Relaciones y Álgebra
f'
Grupo Editorial
CONOCIMIENTOS
Funciones
 Función lineal
Expresiones Algebraicas
 Concepto de expresión
algebraica
 Valor numérico
 Monomios
 Monomios Semejantes
 Operaciones con monomios
 Factor numérico y factor literal
Polinomios
 Operaciones con polinomios
 Productos notables
Ecuaciones
 Ecuaciones del primer grado con
una incógnita
 Solución de una ecuación
 Cero de una función
 Raíz de una ecuación
1. Ecuaciones literales
HABILIDADES ESPECÍFICAS
1. Identificar situaciones dadas que pueden ser
expresadas algebraicamente en la forma y  ax  b
2. Representar de forma tabular,
gráficamente una función lineal.
algebraica
y
3. Identificar una expresión algebraica.
4. Utilizar leyes de potencias para la simplificación de
expresiones algebraicas.
5. Determinar el valor numérico de una expresión
algebraica.
6. Reconocer monomios semejantes.
7. Efectuar operaciones con monomios: suma, resta,
multiplicación y división.
8. Clasificar expresiones en monomios, binomios,
trinomios y polinomios de más de tres términos.
9. Sumar, restar y multiplicar polinomios.
10. Utilizar productos notables para desarrollar expresiones
algebraicas.
11. Identificar la diferencia entre una expresión algebraica
y una ecuación.
12. Comprobar si un número dado es solución de una
ecuación.
13. Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
14. Plantear y resolver problemas en contextos reales,
utilizando ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
15. Relacionar una ecuación de primer grado con unam
incógnita de la forma ax+ b = c con la función lineal
cuya representación algebraica es y = ax + b.
16. Resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
17. Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se
reducen ecuaciones del primer grado con una
incógnita.
18. Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Problema 1
El área A de un rectángulo de base b y altura h es modelada por la ecuación
A  b  h . Calcule el valor de A cuando b  2, 75 ;
h  1, 39
b
h
Problema 2
La ley de Boyle establece que en un recipiente cerrado con temperatura constante
la presión de un gas es inversamente proporcional a su volumen. El modelo es: P 
, siendo P la presión en atmósfera y V
k
V
el volumen en litros, k la constante de
proporcionalidad. Calcule la presión cuando V  0, 75 L ,
f ' GRUPO EDITORIAL
k  30 L  atm.
75
76
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H3: Identificar una expresión algebraica.
H4: Utilizar leyes de potencias para la simplificación de expresiones algebraicas.
Expresión algebraica
Es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones, como sumas,
restas, multiplicaciones, divisiones o potencias.
Constante
Variable
Es una cantidad que no varía. Es un
Corresponde a una letra o símbolo
número por sí solo, el cual se
que representa cualquier elemento
representa a veces mediante algún
de un conjunto.
símbolo o letra particular.
Ejemplos
7 ; 7;
Ejemplos
2
;
3
5 ; ; e
x ; tal que
x
denote cualquier
número natural  x    .
Observación: Se pueden utilizar leyes de potencias para simplificar expresiones
algebraicas. También se pueden proporcionar ejemplos numéricos para generalizar
la idea con variables.
Expresión numérica
57
1
 4
a)
11
5
5
b)
3   3
7 4
28
c) 7 2  7 7  714
d)
31 
1
3
Expresión algebraica
a)
y7
1
 4 si y  0
11
y
y
b)
x   x
7 4
28
c) m 2  m 7  m 9
d)
f ' GRUPO EDITORIAL
b 1 
1
si b  0
b
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 2
A. Escriba cinco ejemplos de variables y cinco ejemplos de constantes.
Variables
Constantes
1)
1)
2)
2)
3)
3)
4)
4)
5)
5)
B. Resuelva las siguientes expresiones numéricas y algebraicas utilizando las
propiedades de las potencias.
Expresión numérica
Expresión algebraica
9
3

1)
37
m10

1)
m6
83

2)
89
h5

2)
h7
3)
10  
8 3
3)
  y 2 
4)     
 p  


5)
5
2 2
6)      
6 6
7)
2 10
2
2
  2 2 
4)     
 3  


5
5) 10  10 3 
2
x  
p 3  p10 
2
7
m m
6)      
h h
7 2 
7)
2
3
  
6
v 2 
2
r
8)   
u
C. Escriba una expresión algebraica que contenga:
8)
1)
una misma variable y una suma.
2)
dos variables distintas y una resta.
3)
tres variables distintas con una suma y una resta.
4)
tres variables distintas con una suma, una resta y una potencia.
5)
cuatro variables distintas con una suma, una multiplicación y una división.
6)
dos variables distintas con una resta, una multiplicación y una potencia.
f ' GRUPO EDITORIAL
77
78
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H5: Determinar el valor numérico de una expresión algebraica.
Valor numérico
Si en una expresión algebraica sustituimos las variables por números específicos, el
número resultante se le llama valor numérico de la expresión para tales números.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determine el valor numérico de la
expresión algebraica 7ab 2 , si a  1 y
b  3
Primero: Se sustituye el valor de a y b
en la expresión
7 ab 2 
Determine el valor numérico de la
expresión algebraica 3 x 2  2 x  4 , si
x  3
Primero: Se sustituye el valor de x en
la expresión 2
3x  2 x  4 
3   3  2   3  4 
2
7  1   3 
2
39
27
7  1  9  63
Segundo: El valor numérico de la
expresión algebraica es 63
Ejemplo 3
Determine el valor numérico de la
4
5xy  2 , si
expresión algebraica
y
x  1 y y  2
Primero: Se sustituye el valor de x y y
en la expresión
5 xy

10

10

 6 4
 6  4  17
Segundo: El valor numérico de la
expresión algebraica es 17
Ejemplo 4
Calcule el área de un triángulo de
base 5 cm y altura 8 cm .
Primero: Se sustituye el valor de b y
h en la expresión
4

y2
4
5   1   2  

2
 2 
bh
2
58
A
2
40
A
2
A  20
A
4

4
1  11
Segundo: El valor numérico de la
expresión algebraica es 11 para
x  1 y y  2 .
Segundo: El área del triángulo es
20 cm 2 para b  5 y h  8 .
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 3
A. Determine el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas según los
valores dados para sus variables.
1)
6ab
si
a  1 b  3
9)
2)
2x 2 y
si
x  1
y3
10)  5 x 2 y  3 yx  5 x
3)
8mp 4
si
m3
p  2
4)
3a 3b 2
si
a2
b  3
5)
2
4x y
6)
m  2n
7)
3 x 2  2 xm
8)
5xy  y
2
3
si
x2
si
m 1 n  2
6
si
si
y6
x6
x2
a  1 b  3
si
x  2
y  1
11)
4a 2  a  b 6
3
si
a3
b  3
12)
3a 2b ab 2

2
3
si
a6
b  3
13)
24b a 2

a
b
si
a  1 b  4
14)
4xy 2
z

z
xy
si
x3 y5
z 3
m  3
y3
si
2 ab  a 3b 2  1
B. Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas.
1)
Calcule el área de un triángulo de base diez centímetros y altura seis centímetros.
2)
Calcule el área de un cuadrado cuyo lado mide diez centímetros.
3)
Calcule el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide diez centímetros.
4)
Calcule el área de un rombo cuyo diagonal mayor tiene una longitud de veinte
centímetros y la diagonal menor quince centímetros.
5)
Calcule el perímetro de un rombo cuyo lado mide veintiocho centímetros.
6)
Calcule el área de un rectángulo de ocho metros de largo y cinco metros de
ancho.
7)
Calcule el perímetro de un rectángulo de ocho metros de largo y cinco metros
de ancho.
8)
Calcule el área de un trapecio de siete metros de base mayor, cuatro metros de
base menor y tres metros de altura.
9)
Calcule el área de un círculo cuyo radio mide doce centímetros.
10) Calcule el perímetro de un círculo cuyo radio mide doce centímetros.
f ' GRUPO EDITORIAL
79
80
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Problema introductorio 1
Un terreno tiene la forma de la siguiente figura, con las medidas de los lados
indicadas. Calcule el área total del terreno.
d
c
b
a
Problema introductorio 2
El costo total de una empresa que produce lapiceros es la suma de los costos fijos y
los costos variables. Suponga que cada lapicero le cuesta a la empresa ₡ 85, 00 y
que es vendido por ₡ 175, 00
. Si
x
es la cantidad de lapiceros producidos y
vendidos, escriba la expresión que representa el costo total correspondiente, si los
costos fijos de la empresa son de ₡ 2 500 000, 00 . Exprese los ingresos debidos a las
ventas en términos de x , y calcule la ganancia de la empresa (ganancia = ingresos
por ventas – costo total de producción).
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Problema introductorio 3
Calcule el área de un cuadrado de lado 2 a 2  5b 3 centímetros en términos de a, b
2a 2  5b 3
Problema introductorio 4
Calcule el área del cuadrado de lado 0, 4 a 3  5b 2 centímetros, en términos de a, b .
0, 4a 3  5b 2
f ' GRUPO EDITORIAL
81
82
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos
de operaciones.
Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el
producto y la potencia de exponente natural.
Además, todo monomio está
formado por un factor numérico y un factor literal.
Ejemplos
Monomio
Factor numérico
Factor literal
a)
3x
3
x
b)
2x 4
2
x4
c)
5 3
y
2
5
2
y3
d)
7 x 4 y 3
7
x4 y3
7 x 4 y 3
e)
5
7
5
x4 y3
z5
1
z5
g) 13
13
x0
f)
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CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 4
A. Determine en las siguientes expresiones algebraicas el factor numérico  FN  y
factor literal  FL  .
Expresión
Algebraica
1)
3x 2
3)
9a 3b
5)
15x 3 y 2
7)
6a 2b 3
9) 12hz 6
 FN 
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
11) 5xy
____
13) 15x 3 y 2
15) 18a 4 xy
____
____
____
____
____
2
17)
6x y
6
19)
9mn
2
21)
10 x2
5
23)
4m
10
25)
432
5
____
____
____
____
____
Expresión
Algebraica
 FL 
____
____
____
____
____
2)
4mn 4
4)
2am 3
6) 125z 3 a
8)
23
10) x 3 y 2 2
12) x 2 5 y 3
14) ax 2 10 y
16)
 xy 2
6
18)
3x
3
20)
4
3
22)
5
4
x 2 y3
24)
4
26)
3
2
f ' GRUPO EDITORIAL
 FN 
 FL 
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
83
84
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Suma y resta de monomios
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes (mismo factor literal). El
resultado se obtiene sumando o restando sus factores numéricos y conservando el
mismo factor literal.
Ejemplos
Efectúe las siguientes operaciones de sumas y restas con monomios.
a)
d)
3x  7 x 
3x  7 x 
b)
c)
10 x 2 yz  5 x 2 yz 
3  7 x 
3  7 x 
10  5 x 2 yz 
10 x
 4x
5 x 2 yz
10 x 2 y  6 x  13x 2 y  8 x 
e)
10  13 x 2 y   6  8 x 
 3x 2 y
13ab  6bc  13bc  8ab 
13  8 ab   6  13 bc 
 2x
21ab
 19bc
f)
1
2
4
7
a b a b 
2
3
5
10
1 4
 2 7
  a     b 
2 5
 3 10 
3
1
a 
b
10
30
Ejercicios de movilización 5
A. Efectúe las siguientes sumas y restas de monomios.
1)
5 x  3x
10)  6 xy  3 xy
2)
6y  9y
11)  17 a 6 b  5 a 6 b
3)
4a  a
4) 10 xy  12 xy
5) 13 yz  11 yz
6) 14ab  ab
7)
4 x 2 yz  9 x 2 yz
8) 15 xy 2 z  8 xy 2 z
9)
7abc 2  abc 2
12)  4 x 3 z  2 zx 3
18)
1
3
x x
3
2
24) 2m  3m  1m
19)
3
2
y y
15
5
26) 7 xy  16 xy  20 xy
13)  y  y
1
3
14) x  x
3
2
3
2
y y
15)
15
5
2mn 3mn

16)
5
10
3 2 5 2
17) bx  bx
9
3
25) 5mn  13mn  9mn
27) 5 ab 4  13ab 4  10 ab 4
20)
3 2 5 2
bx  bx
9
3
28)
21)
ab 3ab

2
2
4mn 6mn 10mn


3
5
3
29)
1
3
5
7
a b a b
3
4
6
8
30)
2
4
3
5
x y x y
5
3
10
6
31)
3
5
1
7
m n m n
7
4
2
6
22) 
23)
7 xy 3 xy

4
8
7 x 2
 x
9
3
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Multiplicación y división monomios
Para multiplicar (dividir) monomios se multiplican (dividen) los factores numéricos
entre sí y luego se multiplican (dividen) los factores literales entre sí utilizando las
propiedades de las potencias.
Ejemplos de multiplicación
Efectúe las siguientes operaciones de multiplicación con monomios.

a) 4 x 7 x   4  7  x  x
3
5
3
5
  28 x
b)
8
 5ab 2  2a 2b 
  5  2   a  a 2  b 2  b  
 10a 3b3
c)
 3m 2   n 2   4m 
d)
  3   1  4   m 2  m  n 2  
 12m3 n 2
2 3 2 9 3
x y  xy z  z 
3
4
 2 9
 3
2
3
   1   x  x  y  y   z  z  
 3 4

3 4 5 2
x y z
2
Ejemplos de división
Efectúe las siguientes operaciones de división con monomios.
a)
24 x5  6 x 2 
b)
24 x5  24   x 5 
3

  2   4x
2
6x
 6  x 
c)
2
25ab 2  25   a   b 2  5


b
 
15ab
 15   a   b  3
4 4
m np
 4 4   2 3 
3

 m np    mn   2
 3
 5

mn3
5
4
 4 2   m   n 
 3  p  
  
 3 5  m  n 
10m3 p
3n 2
 25ab   15ab 
d)
6 x 2 n y n 3  2 x n y n 1
6 x 2 n y n 3  6   x 2 n   y n 3 
  


2 x n y n 1  2   x n   y n 1 


3  x 2 n  n  y n 3 n 1  
3  x n  y n 3 n 1   3 x n y 2
f ' GRUPO EDITORIAL
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86
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 6
A. Efectúe las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios.
1) 5 x 3  7 x 5
20) 12 x 5  3 x 2
2) 13 x 2  2 x
21) 8a 7  4a 5
3)
y6  y3
22) y 6  y 3
4)
4 mn 2  7 m 2 n
23) 10 m 2 n 3  15m 2 n 2
5)
 12 a 4 y  3a 2 y 4
24)  12 ay 4  15 ay
6)
5a 3b 2  b 2
7)
4 m 2   n 2   5m
8)
 3m   3n 2   4 m
9)
 3c   b   c
4
 5 4   3

m np    mn 3 
4
2

 

25) 
3
10) 2 a  3a 2  2 a 3b
 10 3 2   7 2 5 
x y z  x y 
 6
 2

26) 
 2 2   2 3 
x y    xy 
 3
 3

27) 
28)
3 4 2
9 3 2
ab 
ab
5
10
29)
2 3 2 6 4 2
ab c  a b c
3
5
30)
3x3 y
9 x2 y3
31)
 xy 2 z 3
x 2 yz 5
32)
 8 a 3b 2
4ab 2
11)  y 2   y   y 2
12) 4x 2  y 2  x 2
13) 7 m   3m  m 6
14)
3 3 2 8 3
x y  xy z  z
4
5
15)
3 3
9
x y  x2 y 2 z3  z 4
5
4
16)
10 3 4 7 2
m np  m p  n5
6
2
17) 5a 6 n b 2  n  4 a 3 n b 4  3 n
18)
2 4 n 2 n 25 n 3 2 n n
x yz 
x y z
6
10
19)
13 2 n 3  n 1 9 n 1 3 n
m c
 m c
6
26
9 x 3 y 2 z
33)
5 xy 2 z 3
34) 4 x 2 n y n  3  2 n x n 1 y
35) 28 x 4 y n  2 z 2   21x 3 y 2  n z 5
36) 16 a 6.n b 2  3 n  2 a 3 n b 4  2 n
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CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios no semejantes
entre sí, unidos por la suma o resta.
Ejemplos
a) x  1
b)
3
m2
5
c) 4 y 2 z  7 x 2 y
d)
1 2 4 3 4 2
ac  ac
2
4
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios no semejantes
entre sí, unidos por la suma o resta.
Ejemplos
a) x 2  x  1
b)
3
5m 2  n  2
5
c)
9k 2  6n 
1
7
d) 4 a  7 x 2 y  7 z
Polinomio
Es una suma de monomios. Se le llama polinomio a la expresión formada por más de
tres términos no semejantes, considerando que un binomio y un trinomio también son
polinomios.
Ejemplos
a) x  y  r  4
b) x  y  z  1  n
c) 4 y 2  7 y  7 xy  1
d) 2 x 3  4 x  3 x  7  i
Ejercicios de movilización 7
A. Clasifique cada expresión algebraica en binomio, trinomio y/o polinomio.
15) xy
1) x  2
8) x 2  x  3
4
16)  4 x 2  6
5
2
m 1
2)
9) 4m  n  1
7
17) 5 xy 2  6 x 2 y  10 xy
7
2
2
3) 5 y z  8 x y
10) 5ab 2  8 x 2 y  9 yz
18) 4 x 3  5 x 2  2 x  9
2 2 3 4 5 4 3 2
abc  abc
4)
11) 3ab  2 ab 2  2 a 2 b
19) 5 xy 2  xy  16 x 2 y 2  3 y
3
6
20) 4 m 2  mn  7 nm  6 mn
5) 2ab  ba
12) 3 xy  6 yx  3 ab
6) 16za  az
1
 5 x 2  25 x 2
7)
4
13) mn  xy  3mn
2
2
14) y  y  y  y
2
4
f ' GRUPO EDITORIAL
21) ab  az 2  b 2  3az 2
22) 2 x  7 x 
1
x
5
87
88
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos.
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Suma y resta de polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los
monomios semejantes.
Ejemplo 1
Sumar
Ejemplo 2
 3 x  5    x  2 
Restar   3 x  5    x  2 
Primero: Se eliminan los paréntesis
Primero: Se cambia de signo los términos
redondos
del paréntesis redondo que está
3 x  5  x  2
precedido por el signo menos
Segundo: Se procede de forma
análoga a la suma y resta de
monomios
3 x  5  x  2
Segundo: Se procede de forma análoga a
la suma y resta de monomios
3 x  5  x  2 
3 x  5  x  2 
 4x  3
 2x  7
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Sumar  xy  14 y    3 x 2  y  7 xy 
Efectuar    4 ab  b  10 a    2 b  9 a    6 a  ab 
Primero: Se eliminan los paréntesis
Primero: Se eliminan los paréntesis
redondos
(aplicando las propiedades de los
xy  14 y  3 x  y  7 xy
2
ejemplos anteriores)
4ab  b  10a  2b  9a  6a  ab
Segundo: Se procede de forma
análoga a la suma y resta de
Segundo: Se procede de forma análoga a
monomios
la suma y resta de monomios
xy  14 y  3 x 2  y  7 xy 
4ab  b  10a  2b  9a  6a  ab 
 3 x 2  6 xy  13 y
3ab  b  13a
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 8
A. Efectúe las siguientes sumas y restas de polinomios.

   n  3m  5
1)
 4 x  6    x  3 
17) 4m  n
2)
 2 x  3    x  2 
18)  a  1    3 a  3b  10 
3)
  5 m  1   5 m  11
19)  x  1    x  2  y 
4)
 a  1   3 a  3 
5)
3 3 2  3 3 4 
 y  x y  x
3  5
7 
5
 x 1  x 1
    
 2 2  3 3
7)
  x  3   2 x  3
8)
 3 x  4    2 x  3 
9)
  x  1   4 x  6 


21)  3 12 xy 
3   3 2 y 9 
y    5 x   xy 
2   5
3 2 
23)    6 xy  x  12    4 xy  16    x  3 xy 
24)  14 m  2 n  3    7 n  m    n  8 m 
3a 2b  
a b
 a 4b  
   3
 4  
4
9  
2 6
2 3  
25)  
7 3 3   1 3 2 
y  x2 4 y  x
5  
3 
2
26)
 3a  2a    5a  a3    23 a  2a 
2
2
2
 3 x 2 2 x 5   2 x 2 3 x 1 

 

 
3 7  3
2 7
 2
 x 1  x 1
12)       
 2 2  3 3
27) 
13)  xy  15 y   2 x  y  9 xy
2

 2 x  3 x 2  3   5 x 2  5  x 
28) 


2
4

 


29)  ab  4a b 
14)  5 ab  3     3 ab  10 a  8 
 
3
22)    5 ab  b  12 a    3b  7 a    4 a  ab 
11) 
15) 9 y  4 x  3 y  9 x  13
3
6
2
y 9 
 xy 5   x
 y      xy 
 2 3   5 3 2 
10)  2 a  1   a  7 

6
20) 
6)

3
3
16)   5 m  n    5 n  11  m 

2
2


ab 2   a 2b ab 2 a 2b 




2   4
2
3 
30)  5 12 n  2, 2a m 
2

f ' GRUPO EDITORIAL
2

m2   a 2m
 0,5m 2  3 13 n 2 

2   4

89
90
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Multiplicaciones de polinomios
En la multiplicación de polinomios se utiliza la propiedad distributiva respecto a la
suma, posteriormente se aplican los procedimientos para la multiplicación de
monomios.
I Caso: Monomio por polinomio (binomio o trinomio)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Efectúe la multiplicación
Efectúe la multiplicación
3x 2  2 x 2  1 
2ab 2  2a 2b  bc 4  6 
Se aplica la propiedad distributiva
Se aplica la propiedad distributiva
respecto a la suma y obtenemos
respecto a la suma y obtenemos
3x 2  2 x 2  1  
 2ab2  2a 2b  bc 4  6  
3x 2  2 x 2  3x 2   1 
2ab2  2a 2b  2ab2   bc 4  2ab2  6 
6 x4 
 4a3b3
3x 2

 12ab2
2ab3c 4
Ejercicios de movilización 9
A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio.
1)
5 x  3 x 2  1
10) 2 z
2)
21x  x 2  2 
11)  4 p 4  2 p  1 
3)
3 x  9  16 x 
12) 5 p  9 p
4)
9a 4  25a 2  3
13)  15  v  2 
5)
2 a 3  5a 2  a 4 
14) 2 x  3
6) 12m
7)
3a   2a 3b 4  5 
8)
 n  9 n  3 
9)
3


 24m  12m 
3
6
3 z 2  5 z 2  y 2 
3
2
 24 z  2 
3
2
3

3
15)  9 y  64  5 y 2

2

17) 2 m  3m m
2
9
18)   5 ab  10  25 ab 2
f ' GRUPO EDITORIAL



20) 17 xy 4 y  3 x  2 x y
21) 2 ab
3
2
 3b  2a  5ab 

2
3
2
22) 9 xy 3  x  x
x
16)  z  1  6 z

19) 7 x 3 x  4 x  5
23) 3ac


  2 a b  5a b  1 
3 4
24) 2m  7  m
2
4 3
2

4 3

3
 3m

25) 5ab  10 a b  3ac 25ab

26) 4b  3a  2 a b 17 ab
2
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
II Caso: Binomio por binomio
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Efectúe la multiplicación
Efectúe la multiplicación
Se aplica la propiedad distributiva
respecto a la suma y obtenemos
 3a  4b  5a  6b  
Se aplica la propiedad distributiva
respecto a la suma y obtenemos
 x  3   x2  4 
 3a  4b  5a  6b 
 x  3   x2  4  
3a  5a  6b   4b  5a  6b  
3a  5a  3a   6b  4b  5a  4b   6b 
15a 2  18ab
 20ab 
24b 2


2ab
x  x2  x   4  3  x2  3   4 
x3
Se suma o resta los monomios
semejantes
15a 2  18ab  20ab  24b 2 
15a 2
x  x2  4   3  x2  4  
 4x
 3x 2  12
Se suma o resta los monomios
semejantes si existen.
24b 2
Ejercicios de movilización 10
A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de binomio por binomio.

2

3

1)
5x  y  3x  y 
10)  x  5  x  9
2)
 21x  2 y  x  2 y 
11)  y  4  y  2
3)
 y  3 x   y  16 x 
4)
 9a  3b  25a  b 
12) 2 x  3  x  5 
5)
 2a  a  5a  a 
6)
 12m  m  24m  2m 
15)
7)
 3a  5b   2a 3b 4  5a 
 4 p  1  2 p  r 
16)
8)
 n  x  9n  3 y 
 5 p  9  p  3
17) 2 m  3
9)
 5 p  9q  p  9q 
18)  5 ab  10   5 ab  10 
2
2
4

3
4
2
3
3

14) 2 z  2 y
2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
3
3
 24 z  2 
3
4
2

6
2

13)  9 y  6  2 y  1
4
2

3

2

2
2
 2m  3
2
91
92
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
III Caso: polinomio por polinomio
Ejemplo 1
Efectúe la multiplicación  x  3   x 2  x  4 
Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos
 x  3   x2  x  4  
x  x2  x  4   3  x2  x  4  
x  x2  x   x  x  4  3  x2  3   x  3  4 
x3 
 4 x  3x 2  3x
x2
 12
Se suma o resta los monomios semejantes
x3 
 4 x  3x 2  3x
x2
x3 
4x2
 7x
 12 
 12
Ejemplo 2
Efectúe la multiplicación  3a  b   a  ac  8c 
Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos
 3a  b  a  ac  8c  
3a  a  ac  8c   b  a  ac  8c  
3a  a  3a   ac  3a   8c  b  a  b   ac  b   8c 
3a 2 
3a 2c
 24ac
 ab
 abc
 8bc
Ejercicios de movilización 11
A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de polinomio por polinomio.
1)
2)
3)
 x  5  x2  x  9 
 y  4  y3  y  2
 9 y  6   2 y 3  5 y  1
 2 z  1 24 z  10 z  2 
5)  4 p  1 3 p  2 p  5 
6)  5m  2  3m  7 m  2 
4)
3
3
4
2
2
 3 x  y  2   x  xz  8 z  3 
8)  4 x  y  1   3 x  xz  8 z  5 
9)  5 x  y  2 z   3 x  5 xy  y  1
10)  2 x  y  3 f   x  xy  2 y  2 f 
7)
2
3

 25a  4c  5ab  b 
12)  2 d  3m  n  5d  4 m  6 mx  2n 
11) 9 a  b3c
4
2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
3
2
3
2
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Productos notables
Cuando determinemos una fórmula para encontrar el área de un cuadrado, un
rectángulo y otras figuras geométricas, estamos expresándolas en forma algebraica,
de igual manera podemos relacionar los productos notables con figuras geométricas,
como se indica en los siguientes ejemplos. Suponiendo que los números utilizados son
todos positivos.
Primer producto notable:  a  b   a 2  2ab  b 2
2
Justificación geométrica
Analicemos el cuadrado ABCD adjunto:
Primero: Recordemos que el área del cuadrado se
representa por l 2
Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado
es a  b por lo tanto el área sería  a  b 
a
b
B
A
2
a
Tercero: Se suma el área de cada una de las partes
 a  b   a 2  ab  ab  b2
2
 a  b   a 2  2ab  b2
a2
ab
ab
b2
2
Cuarto: Podemos concluir que
b
 a  b   a  2ab  b
2
2
D
C
2
Ejemplo 1:  2b  n  2  4b 2  4bn  n 2
Justificación geométrica
Analicemos el cuadrado ABCD adjunto:
Primero: Recordemos que el área del cuadrado se
representa por l 2
Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado
es 2b  n por lo tanto el área sería  2b  n 
2b
4b  4bn  n
n
2
C
Cuarto: Podemos concluir que  2b  n   4b 2  4bn  n 2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
 2b   4b 2
2bn
2bn
n2
2
2b
Tercero: Se suma el área de cada una de las partes
2
B
A
2
4b 2  2bn  2bn  n 2 
n
D
93
94
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 12
A. Determine la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas y represéntelas
en forma geométrica.
1)
 3a  b  
2)
c  d  
3)
 4m  2n  
4)
 2ab  3d  
5)
 2a  3b  
6)
 3a b  3cd  
2
2
2
2
3 2
4
2
2 2
2 2
2 2
B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable.
1)
 2x  3y 
2)
 9x  5 y 
3)
 4x  y 
4)
 6x  y 
5)
 10m  11n 
4
2
3
5
7
2
6)
 7m  15n 
2
7)
 a b b 
8)
 5a b  b 
9)
 7 b  3a b 
10)
 2m  9m b 
2
2
8
2
6
3 4
10
5
6 7
2
3
2
8
4
2
2
6
5 7
2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
11)
 10m  2m n 
12)
 11 p  12 p q 
13)
 5x  y 
14)
p
15)
 7x
3
5
12
2
11
n
4n 2
n4
 q 5 n 3 
3 n
2
 y 4 3 n 
2
2
2
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Segundo producto notable:  a  b   a 2  2ab  b 2
2
Justificación geométrica
Analicemos el cuadrado AEFG adjunto:
Primero: Recordemos que el área del cuadrado se
representa por l 2
Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es
a  b por lo tanto el área sería  a  b 
Tercero: Así  a  b 
2
a
G b B
A
2
es igual al área del cuadrado ABCD
menos el área de los rectángulos ECDI y el rectángulo
GBFI . Es decir,
 a a 2b 
a
E
b
 a  b   a 2  ab  b  a  b 
2
 a  b   a 2  ab  ba  b 2
2
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
F
I
2
b
H D
ab
C
Cuarto: Podemos concluir que  a  b   a  2ab  b
2
2
ab
2
2
Ejemplo 1:  3a  2b   9a 2  12ab  4b 2
2
Justificación geométrica
Analicemos el cuadrado AEFG adjunto:
Primero: Recordemos que el área del cuadrado se
representa por l 2
Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es
3a  2b por lo tanto el área sería  3a  2b 
Tercero: Así  3a  2b 
2
es igual al área del cuadrado ABCD
 3aa2 2b 
3a
E
2b
 3a  2b    3a   3a  2b  2b  3a  2b 
2
 3a  2b   9a 2  6ab  6ba  4b 2
2
 3a  2b   9a 2  12ab  4b 2
2
C
Cuarto: Podemos concluir que  3a  2b   9a  12ab  4b
2
G 2b B
A
2
menos el área de los rectángulos ECDI y el rectángulo
GBFI .
2
3a
2
f ' GRUPO EDITORIAL
2
ab
2
ab
F I
b2
D
H
95
96
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 13
A. Determine la equivalencia de las
siguientes expresiones algebraicas y
represéntelas en forma geométrica.
1)
 2a  b  
2)
n  d  
3)
 5m  2 n  
4)
 3ab  2d  
5)
 4a  3b  
6)
 2a b  3cd  
2
2
2
2
3 2
3
2
2 2
2 2
2 2
B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable.
1)
 3x  3 y 
2)
 5x  5 y 
3)
 2x  y 
4)
 3 y 
5)
 8n  11d 
2
2
3
5
7
2
6)
 2m  9n 
2
7)
 b b 
8)
 3a b  b 
9)
  7b  3ab 
10)
 5m  2m b 
2
2
8
2
6
6
4
5
6
7
2
3
2
2
8
2
6
5 7
2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
11)
 9m  2m n 
12)
  12 pq  9 p 
13)
  y  3x 
14)
m
15)
 3x
3
5 2
2
12 2
4n
n 2
n 3
 m5n6 
3 n
2
 y 43n 
2
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
97
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Tercer producto notable:  a  b  a  b   a 2  b 2
Justificación geométrica
Analicemos el rectángulo ABEF adjunto:
Primero: AE  a  b y AB  a  b . Recordemos que el área
del rectángulo es b  h
Segundo: En este caso la medida de los lados del rectángulo
son a  b y a  b por lo tanto el área sería  a  b   a  b 
Tercero: Así  a  b   a  b  es igual al área del cuadrado
A
 a b   a b 
a
AICH menos el área del rectángulo EGCH más el área del
rectángulo IBGF .
E
b
G
C
H
 a  b  a  b   a  ab  b  a  b 
 a  b  a  b   a 2 ab  ba  b 2
 a  b  a  b   a 2  b 2
2
2
F
D
b
a
Cuarto: Podemos concluir que  a  b  a  b   a  b
B
I
2
Ejemplo 1:  3a  2b  3a  2b   9a 2  4b 2
Justificación geométrica
Primero: AE  3a  2b y AB  3a  2b . Recordemos que el área
del rectángulo es b  h
Segundo: En este caso la medida de los lados del
rectángulo son 3 a  2 b y 3a  2b por lo tanto el área sería
 3a  2b   3a  2b 
Tercero: Así  3 a  2 b   3 a  2 b  es igual al área del cuadrado
A
 3a  2b   3a  2b 
AICH menos el área del rectángulo EGCH más el área del
rectángulo IBGF .
 3a  2b  3a  2b    3a   3a2b  2b  3a  2b 
 9a 2 6ab  6ab  4b 2
 a  b  a  b 
 9a 2  4b 2
 a  b  a  b 
3a
E
2b
G
C
H
2
3a
Cuarto: Podemos concluir que  3a  2b  3a  2b   9a  4b
2
f ' GRUPO EDITORIAL
B
I
2
F
D
2b
98
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 14
A. Determine la equivalencia de las
siguientes expresiones algebraicas y
represéntelas en forma geométrica.
1)
 2a  b   2a  b  
2)
 n  d  n  d  
3)
 5m  2 n   5m  2n  
4)
 3ab  2d  3ab  2d  
5)
 4a  3b  4a  3b  
6)
 2a b  3cd  2a b  3cd  
2
2
3
3
3
2
3
2
2 2
2
2
2
2 2
2
B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable.
1)
 2x  3y  2x  3y 
8)
 5a b  b  5a b  b 
2)
 5x  5 y   5x  5 y 
9)
3)
 4x  y  4x  y 
 7b  3a b  7b  3a b 
4)
 6 x  y  6 x  y 
10)
 2m  9m b  2m  9m b 
5)
 2m  3n  2m  3n 
11)
 10m  2m n  10m  2m n 
6)
 7 m  15n  7 m  15n 
12)
 11 p  12 p q  11 p  12 p q 
7)
 b  b  b  b 
13)
 5 x  y  5 x  y 
14)
p
2
2
2
2
6
4
10
5
4
6
10
5
f ' GRUPO EDITORIAL
6 7
2
8
6 7
4 6
3
2
5 7
3
5
12
n
n4
8
4 6
3
2
3
11
4n
5 7
12
n
4n
 q 5 n 3  p n  4  q 5 n 3 
5
2
11
CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
99
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
H6: Reconocer monomios semejantes.
H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos
H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Casos de productos notables
Para desarrollar expresiones algebraicas complicadas se pueden utilizar productos
notables agrupándolos de distintas maneras para su aplicación.
Veamos algunos
ejemplos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Desarrolle la expresión  2a  3b  c 2 
2
 2a  3b  c  
 2a  3b   c  
 2a  3b   2  2a  3b   c    c  
4a  12ab  9b   4a  6b   c   c 
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
4
4a 2  12ab  9b 2  4ac 2  6bc 2  c 4
Desarrolle la expresión  2a  3b  c 2 
 2a  3b  c  
 2a  3b   c  
 2a  3b   2  2a  3b   c    c  
4a  12ab  9b   4a  6b   c   c 
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
4a 2  12ab  9b 2  4ac 2  6bc 2  c 4
Ejercicios de movilización 15
A. Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas.
1)
 2a  3b  2c  
2
8)
 3ab  2bc  7  
2)
 5a  2b  c  
9)
 2a  4b  4c  
3)
 2a  2b  2c  
10)
 2a b  4b  4c  
4)
 2a  2b  2c  
11)
 2a b  2ac  4a c  
5)
 3a  5b  4c  
12)
 2a b  2ac  4a c  
6)
 3a  5b  4c  
13)
 3a b  3a b  3a b  
7)
 3ab  2bc  1  
14)
 3a b  3a b  3a b  
2
2
2
2
2
2
2
f ' GRUPO EDITORIAL
2
2
2
2 2
2 2
4
4
2
2
2
2
2
2
3
3
4 2
4 2
3
3
5
5
2
2
2
2
4
100
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
Problema introductorio 1
El monte Everest (la montaña más alta del mundo) es 5413m más alto que el volcán
Irazú (uno de los puntos más altos de Costa Rica).
Si la suma de sus alturas es
12 283m , plantee una ecuación que permita calcular la altura de cada uno de ellos.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
Problema introductorio 2
La inflación es una situación económica en la cual se incrementa los precios de los
bienes y servicios. Suponga que la gasolina aumenta la misma cantidad I de colones
cada año. Si el costo de la gasolina en cierto año es C0 entonces el costo C después
de t años es dado por la siguiente representación algebraica: C  C 0  I t
a)
Solicitar a cada estudiante que plantee un problema con esta situación.
b)
La ecuación anterior es un modelo de costos. Un posible problema sería: si la
gasolina aumenta 15% cada año, ¿cuántos colones costará al final de 5 años?
c)
Otra posibilidad es: si la gasolina aumenta 15% cada año, ¿cuánto tiempo será
necesario para que duplique de precio?
f ' GRUPO EDITORIAL
101
102
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
Problema introductorio 3
Una pintura muy famosa es la Gioconda del artista Leonardo da Vinci. Esta pintura
se encuentra en el Museo de Louvre en Paris, Francia. El cuadro tiene forma
rectangular y su altura es 24 centímetros más que su ancho. El perímetro del cuadro
es de 260 centímetros. Calcule la altura y el ancho del cuadro.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
Problema introductorio 4
Se desea reforestar un terreno que tiene forma rectangular. Si la parte más larga
excede en doscientos a el ancho y el perímetro del terreno es de
2400m . ¿Qué
dimensiones tiene el terreno y cuántos árboles se pueden sembrar si se colocan a
10m uno del otro?
f ' GRUPO EDITORIAL
103
104
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación.
H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación.
H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.
H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación
Expresión algebraica
Ecuación
Es aquella en la que se utilizan letras,
números y signos de operaciones, como
sumas,
restas,
multiplicaciones,
divisiones o potencias.
Es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas, denominadas miembros, en
las que aparecen datos e incógnitas,
relacionados
mediante
operaciones
matemáticas.
Ejemplos
Ejemplos
a)
2a  b
a)
b)
a b
b) b  y  mx
c)
c) 2  a 2  b 2
d)
b 2  4 ac
e)
a2  b2
f)
y  mx  b
A  bh
d) 3 y  2 x  mx  b
e)  4b  7 y  y  mx
f)
b  b 2  4ac
2a
A
h  B  b
2
Ejercicios de movilización 16
A. Identifique las siguientes expresiones en ecuaciones (E) y expresiones algebraicas
(EA)
Expresión
Expresión
1)
2a  3
2)
2a  3  a
3)
2a  b  c
4)
2a  b  c
5)
2x  3  x
6)
2x  3  x
7)
2x  3  x
8)
x  1  3  2x
9)
2x  2x  4
10) 2x  4  x
11) 4x  3  0
12) 3m 3  5
13) 0  4 x  3
14) x  4x  3
15) 3x  2  4 x  1
16) 3x  2  2 x  1
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
105
H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación.
H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación.
H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.
H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Solución de una ecuación
Al ser una ecuación una igualdad entre expresiones algebraicas, la podemos
comprobar sustituyendo el número dado en la o las variables, con el fin de verificar la
igualdad planteada.
Ejemplo 1
Ejemplo 1
Determinar si el número 4 es solución
Determinar si el número 3 es solución
de la ecuación
3 x  7
de la ecuación
3x  3  5x  3
Primero: Sustituimos el valor de la " x " ,
Primero: Sustituimos el valor de la
por el número 4 y comprobamos, que
por el número 3 y comprobamos, que
se mantenga la igualdad.
se mantenga la igualdad.
Segundo: Sustituimos,
Segundo: Sustituimos,
" x" ,
3  3  3  5  3  3
3 x  7
3 4  7
77
 9  3  15  3
 6  18
Tercero: Al comprobar la igualdad
Tercero:
concluimos que, 4 es solución de la
igualdad, concluimos que
ecuación 3  x  7
solución de la ecuación 3x  3  5x  3
Al comprobarse que no existe
3
no es
Nota: En el caso que no se mantenga la igualdad el número dado no es solución de la ecuación
Ejercicios de movilización 17
A. Comprobar si el número dado es solución de la ecuación planteada.
1)
Compruebe si el número 5 es
solución de la ecuación 3  x  8
5)
Determinar si el número 6 es solución
de la ecuación 2x  4  3x  5 .
2)
Compruebe si el número 6 es
solución de la ecuación 3  x  11
6)
Determinar si el número 2 es solución
de la ecuación 5x  7  7 x 17 .
3)
Compruebe si el número 3 es
solución de la ecuación 2x  2  8
7)
Determinar si el número 5 es solución
de la ecuación 5x  x  8x  2 .
4)
Compruebe si el número 10 es
solución de la ecuación 3x  x  40
8)
Determinar si el número 6 es solución
de la ecuación 3x  2x  7 x 10 .
f ' GRUPO EDITORIAL
106
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación.
H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación.
H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.
H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución, podemos
reducir la ecuación dada en otra ecuación equivalente aplicando operaciones en
ambos lados del igual (miembros de la ecuación).
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducir la ecuación 4x  8  10 a la
ecuación 4x  5  7
Reducir la ecuación 8x 10  4x  18 a la
ecuación x  2
Primero: Le restamos 3 a ambas
partes de la ecuación 4x  8  10 y
obtenemos
Primero: Restamos 4x y 10 en ambas
partes de la ecuación 8x 10  4x  18 y
obtenemos
8 x  4 x  10  10  4 x  4 x  18  10
4 x  8  3  10  3
4x  5  7
4x  8
Segundo: Comprobamos que al
restar 3 en ambas partes, obtenemos
la ecuación reducida 4x  5  7
Segundo: Dividimos entre 4 en ambas
partes de la ecuación resultante 4x  8
y obtenemos
4x 8

4 4
x2
Tercero: Comprobamos que al restar
4 x y 10 en ambas partes, y dividir
entre 4 obtenemos la ecuación
reducida x  2
Ejercicios de movilización 18
A. Reduzca las siguientes ecuaciones según se le indique
1)
10x  8  10 Reducir a 10 x  2
8)
4 x  8  24 Reducir a x  4
2)
12 x  5  10 Reducir a 12 x  5
9)
10 x  5  25 Reducir a x  2
3)
4x  2x  2x  5 Reducir a 4x  5
10) 6 x  5  3x  20 Reducir a x  5
4)
7 x  5  2x  8 Reducir a 7 x  2 x  13
11) 24x  28  6x  10 Reducir a x  1
5)
4x 12  5x 10 Reducir a 4x  5x  22
12) 3x  13  6 x  4 Reducir a x  3
6)
7 x  5  2 x  10 Reducir a 5x  5
13) 4x  15  8x  23 Reducir a x  2
7)
3x  4  2x  5 Reducir a x  1
14) 5x 13  12x  8 Reducir a x  3
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación.
H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación.
H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.
H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Lenguaje común y algebraico
Para la resolución de problemas es importante entender situaciones que se podrían
manifestar en lenguaje algebraico y en lenguaje común, esto nos ayuda a plantear
mejor y poder resolver cada situación. A continuación se presentan algunos casos.
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
a)
El doble de un número
a)
2x
b)
El doble de un número aumentado en tres
b)
2x  3
c)
Un numero disminuido en cuatro
c)
x4
d)
La mitad de un número más cinco
d)
x
5
2
e)
Un número par
e)
2x
f)
Un número impar
f)
2x  1
g)
El cuadrado de un número
g)
x2
h)
El cubo de un número
h)
x3
i)
Dos números enteros consecutivos
i)
x, x  1
j)
La cuarta parte de un número y su consecutivo.
j)
k)
El quíntuplo de un número más su quinta parte.
l)
La edad de una persona dentro de cuatro años
m) La edad de una persona hace de cuatro años
x
  x  1
4
x
k) 5x 
5
l)
x4
m)
x4
1
x
n)
Un número y su inverso.
n)
x,
o)
La diferencia de dos números impares
o)
 2 x  3   2 x  1
p)
El producto de un número con su consecutivo
p) x  x  1
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107
108
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación.
H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación.
H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella.
H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.
H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolución de problemas
Analicemos los siguientes ejemplos de problemas que se resuelven utilizando
ecuaciones de primer grado.
Ejemplo
Una malvada bruja separó a dos lindos niños de su padre por muchos años…para que
estos chicos puedan volver a estar junto a su padre deben determinar el día exacto de
un mes de mayo en que la bruja aplicó el hechizo…la única pista que tienen es el
siguiente problema:
“La suma del cuádruplo de un número y veintiocho equivale a la diferencia de siete
veces el número y cinco. ¿cuál es el número?”
Primero: Pasamos a lenguaje algebraico los datos del problema:
Lenguaje cotidiano
Lenguaje
algebraico
Un número desconocido
x
El cuádruplo de un número
4x
La suma del cuádruplo de un
número y veintiocho
4 x  28
Equivale

Siete veces el número
7x
La diferencia de siete veces
el número y cinco
7x  5
Segundo: Podemos utilizar el método de reducir la ecuación al máximo hasta obtener
el valor de la variable " x "
4 x  28  7 x  5
4 x  28 28  7 x  7 x  5  28 7x
4 x  7 x  5  28  33
 3 x  33
3
33
x
3
3
x  11
Tercero: Concluimos que el día exacto en que la bruja aplicó el hechizo fue el 11 de
mayo.
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CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 19
A. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones de primer grado.
1) La suma del cuádruplo de un número y veintiocho equivale a la diferencia de
siete veces el número y cinco. ¿cuál es el número?
2) El duplo de un número más el triple del mismo es igual a 30 . Halle el número.
3) La suma de un tercio de un número con un quinto del mismo es igual a 48 .
Determine el número.
35
4) La suma de un número y tres cuartos de ese número es
¿cuál es el número?
12
5) Si a la tercera parte de un número se le suma el doble del mismo número,
entonces el resultado es 35 ¿cuál es ese número?
6) Determine el número que debe restársele al numerador y al denominador de
5
17
la
fracción
a fin de que resulte otra fracción igual a
.
3
11
7) La suma de dos números enteros consecutivos es 423 . Determine los dos
números.
8) Determine tres números enteros consecutivos cuya suma sea 636 .
9) Determine los dos números consecutivos pares tal que la suma de ellos sea igual
a 426 .
10) Determine tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 642 .
11) La suma de dos números enteros impares y consecutivos es 424 . Determine los
dos números.
12) La suma de las edades de Melany y Edgar son 72 años. Si la edad de Edgar
excede en 12 años a la edad de Melany, entonces ¿cuántos años tiene cada
uno de ellos?
13) La suma de las edades de Santiago, Marielos y Rosibel son 57 años. Si la edad
de Marielos es 6 años menos que Santiago y 15 años más que Rosibel.
¿Cuántos años tiene cada uno?
14) La suma de las edades de una madre y su hija es 72 años y la edad de la
madre es el quíntuplo de la edad de su hija. ¿Cuál es la edad de cada una?
15) La edad actual de un padre es 3 veces la de su hijo. Dentro de 10 años la
edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo?
16) La edad de un padre es el triple de la de su hijo, dentro de 6 años será el
doble. Halle la edad de cada uno.
17) Un padre tiene 48 años y su hijo 12 . ¿Hace cuántos años la edad del padre
era igual a 10 veces la edad del hijo?
18) La suma de las edades de Celeste y Gustavo Adolfo son 17 años. Si la edad
de Celeste excede en 5 años a la edad de Gustavo Adolfo, entonces
¿cuántos años tiene cada uno de estos niños?
f ' GRUPO EDITORIAL
109
110
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIONES
Problema introductorio 1
En el año 2011 , para trasladarse en un taxi la tarifa era de ₡ 550 para el primer
kilómetro ₡ 200 para cada kilómetro adicional.
a)
Represente mediante una tabla la cantidad de dinero a pagar por la distancia
recorrida en kilómetros. Utilice como valor inicial el primer kilómetro.
b)
Plantee una representación algebraica que sirva de modelo para esta
situación.
c)
Represente en un sistema de ejes cartesianos la función descrita en el
problema.
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CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIONES
Problema introductorio 2
La población de asalariados cubiertos por el seguro de salud de la Caja
Costarricense de Seguro Social aparece indicada en la siguiente tabla:
Año
Número
de
asalariad
os
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
726 048 727 603 754 731 770 032 800 123 842 139 896 419 972 208 1 054 497 1 038 237 1 075 528
Fuente: Programa Estado de la Nación
2011 http://www.estadonacion.or.cr/
La cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de salud puede ser aproximada
por la función
A  t   39 908 t  678420 , en donde t representa el año, con
t 0
correspondiente al año 2000 . En este caso la gráfica correspondiente no pasa por
los puntos que representan los datos de la tabla. La función anterior es un modelo
lineal que aproxima los datos de la tabla.
a)
Represente en un sistema de ejes cartesianos la función descrita en el problema.
b)
¿En qué año la cantidad de asalariados será 1500 000 aproximadamente?
f ' GRUPO EDITORIAL
111
112
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIONES
H1: Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y  ax  b .
H2: Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal.
H15: Relacionar una ecuación de primer grado con una incógnita de la forma ax  b  c con la función lineal cuya representación algebraica es y  ax  b .
Representación de funciones
Algunas situaciones de la vida cotidiana se pueden expresar por medio de una
función lineal, ya sea en forma tabular, gráfica o algebraicamente ( y  ax  b ).
Ejemplo
Carlos es estudiante de octavo año y quiere comprarse un celular nuevo de última
tecnología por lo que decide trabajar lavando carros en su tiempo libre, tiene
ahorrado ₡ 50 000 y se gana por cada carro que lava ₡ 5 000 ¿Cuántos carros debe
lavar para pagar su celular si cuesta ₡ 350 000 ? Exprese la información en forma
tabular, algebraica y gráficamente.
Forma tabular
x : cantidad de autos
y : cantidad de dinero
0
50 000
1
2
3
4

55 000
60 000
65 000
70 000

De esta forma si continuamos llenando la tabla obtendremos la cantidad de autos
que se ocupa lavar para llegar a ₡ 350 000 .
Forma algebraica
Podemos decir que la situación planteada puede ser expresada algebraicamente
en la forma y  ax  b . Es decir, y  5000 x  50000 (cantidad de colones es igual a
cinco mil por cantidad de autos más cincuenta mil).
En este caso para saber cuántos carros debe lavar para obtener ₡ 350 000
se
plantea una ecuación de primer grado 350 000  5000 x  50000 , el resultado nos da
que x  60 , que sería la cantidad de carros que debe lavar para obtener el dinero.
Observación: el tema de resolución de ecuaciones de primer grado se aborda en
este texto más adelante.
Forma gráfica
eje y
350000
300000
250000
200000
150000
100000
50000 






10 20 30 40 50 60
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eje x
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 1
A. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente los siguientes
problemas.
1)
Los estudiantes de octavo año realizan una campaña para ayudar a una
familia de escasos recursos, si tienen 3000 colones y cada estudiante aporta
500 colones. ¿Cuánto recaudan si 13 estudiantes colaboraron?
2)
Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra ₡ 10 000 por la visita,
más ₡ 3000 por cada hora de trabajo. ¿Cuánto cobró si trabajo 7 horas?
3)
En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm , se ha
observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo
que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm . Establecer una función
a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar
gráficamente.
4)
Por el alquiler de un carro cobran ₡ 20 000 diarios más ₡ 5 00 por kilómetro. Si
en un día se ha hecho un total de 60 km , ¿Cuánto debe pagar en total?.
5)
Una empresa adquiere una máquina por ₡ 200 000 . El valor de depreciación
anual de la máquina es ₡ 20 000 ¿Cuándo el valor de la máquina será ₡ 0 ?
6)
El director de un colegio analiza la matrícula de sus estudiantes. El año que se
fundó,
inició con
400
estudiantes. A partir de entonces la matrícula de
estudiantes fue aumentando en 50 cada año. ¿Cuántos estudiantes habrá
después de 15 años de su fundación?.
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113
114
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H1: Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y  ax  b .
H2: Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal.
H15: Relacionar una ecuación de primer grado con una incógnita de la forma ax  b  c con la función lineal cuya representación algebraica es y  ax  b .
Relación entre la ecuación ax  b  c y la función
y  ax  b
Resolver la ecuación ax  b  c corresponde en determinar el valor de x para el cual el
valor de la variable dependiente y en y  ax  b sea igual a c . Este valor de x se
conoce como la solución o raíz de la ecuación.
Además, cuando c  0 , la solución o raíz de la ecuación ax  b  0 también se conoce
como cero de la función representada algebraicamente por y  ax  b .
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resuelva 3 x  9  0
Resuelva 2x  4  7
3x  9  0
3x  9  9  0  9
2x  4  7
2x  4  7  7  7
2x  3  0
3x  9
3x 9

3
3
x  3
R/: La raíz o solución de la ecuación es
R/: En este caso reduciendo la ecuación
3 , además es un cero de la función
la podemos
representada
ax  b  c ; c  0 .
y  3x  9
par
algebraicamente
con
por
y  c  0 . Es decir, el
ordenado
 3, 0 
es
la
intersección con el eje x de la función
representada
y  3x  9 .
algebraicamente
por
expresar de la forma
Por lo tanto la raíz o solución de la
ecuación
representada
algebraicamente por
y  2x  3
con
y  c  0 , es un cero de función. Es decir,
el
par
ordenado
3 
 ,0
2 
es
la
intersección con el eje x de la función
representada
y  2x  3 .
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algebraicamente
por
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 20
A. Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma ax  b  c ; c  0 . Determine la solución
de la ecuación y el cero de la función
y  ax  b
con
y  c  0.
gráficamente.
1)
2x  3  4
6)
2x  3  4x  1
2)
3x  4  12
7)
3x  4  12 x  2
3)
4 x  5  20
8)
4x  5  20 x  3
4)
5x  6  30
9)
3x  8  18x  5
5)
7 x  7  21
10) 7 x  9  28x  6
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Represente
115
116
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
En matemáticas, la resolución de una ecuación es el problema de encontrar cuáles son
los valores (números) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una
ecuación). Estos valores se suelen denominar soluciones de la ecuación y se
representan en un conjunto denominado conjunto solución de la ecuación. Se utilizará
el método de reducción de forma simplificada.
I Caso: ax  c
La solución se puede expresar de la forma
x
factor a .
c
, es decir, pasamos a dividir el
a
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
a)
2 x  10
10
x
2
x5
b)
3 x  9
9
x
3
x  3
c)
4
x  16
3
x  16 
4
3
x  12
S  3
S  5
25
4
25
x
5
4
5
x
4
d) 5 x 
S  12
 5 
S  
4
Ejercicios de movilización 21
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
2x  4
6)
3x  18
2)
3x  12
7)
7 x  28
3)
4x  20
8)
6x  42
4)
5)
5x  30
7 x  21
9)
11)
5
x  80
2
15) 4 x 
44
3
12)
3
x  27
4
16) 8 x 
16
5
13)
6
x  48
5
17) 4 x 
4
19
14)
5
x  55
3
18) 9 x 
180
7
5x  35
10) 10x  10
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
117
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
II Caso: ax  b  c
cb
, es decir, pasamos con signo
a
contrario el término b y calculamos, por último, pasamos a dividir el factor a .
La solución se puede expresar de la forma
x
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
2 25
4
x  5  16
a) 2 x  3  10
b) 3 x  2  9
c)
d) 5 x  
3
4
3
2 x  10  3
 3x  9  2

25 2
4
5x 

x  16  5
2x  7
 3x  7
4
3
3
7
7

67
4
x
x
5x 
x  11
2
3
12
3
7

67
4
x
7 
x

5
x


11

S  
3
12
3
2
67
33
x

x


7
 
60
4
S  
3
 33 
 67 
S  
S 

4
 60 
Ejercicios de movilización 22
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
2x  3  4
6)
3x  8  18
2)
3x  4  12
7)
7 x  9  28
3)
4 x  5  20
8)
6x 10  42
4)
5)
5x  6  30
7 x  7  21
9)
11)
5
x  3  80
2
15) 4 x 
2 44

3
3
12)
3
x  4  27
4
16) 8 x 
4 16

5
5
13)
6
x  5  48
5
17) 4 x 
5 4

6 19
14)
5
x  6  55
3
18) 9 x 
7 180

3
7
5x 11  35
10) 10 x  12  10
f ' GRUPO EDITORIAL
118
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
III Caso: ax  b  cx  d
Se agrupa en el miembro izquierdo de la igualdad los términos con variable, y en el
miembro derecho de la igualdad los términos sin variable, teniendo cuidado de cambiar
los signos al pasarlos de un miembro a otro. Por último, procedemos de forma análoga
al I Caso.
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
a)
2 x  3  10 x  5
2 x  10 x  5  3
 8x  2
2
8
1
x
4
x
b)  3 x  2  3 x  3
3 x  3 x  3  2
0  5
En este caso como
0  5 decimos que la
solución es vacía.
 1 
S  
4
4
5
x  5  16 x 
3
2
4
5
x  16 x   5
3
2
44
15
x
3
2
15 44
x 
2 3
45
x
88
2 25
4

x
3 5
6
25
4 2
5x  x   
5
6 3
0x  0
c)
d)
5x 
00
En este caso como
0  0 decimos que
la
ecuación
infinitas soluciones.
 45 
S  
 88 
Ejercicios de movilización 23
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
2x  3  4x  1
2)
3x  4  12 x  2
3)
4x  5  20 x  3
4)
5x  6  30x  4
5)
3x  8  18x  5
6)
7 x  9  28x  6
11)
6
3
x  5  48 x 
5
7
7)
6x  10  42x  7
8)
5x  11  5x  8
12) 4 x 
2 44
5

x
3
3
2
9)
5
5
x  3  80 x 
2
2
13) 8 x 
4 16
6

x
5
5
5
10)
3
6
x  4  27 x 
4
5
14) 4 x 
5 4
3

x
6 19
7
f ' GRUPO EDITORIAL
tiene
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
119
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
IV Caso: ax  (cx  b )  d
Se eliminan los paréntesis teniendo en cuenta que si el signo fuera del paréntesis es
positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian de signo; por el contario, si el
signo fuera del paréntesis es negativo, los términos dentro del paréntesis sí cambian de
signo. Por último, procedemos de forma análoga al III Caso.
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
a) 10 x   2 x  3  5
b) 9 x   3 x  2   3
10 x  2 x  3  5
10 x  2 x  5  3
12 x  2
2
x
12
1
x
6
9 x  3x  2  3
1 
S  
6
9 x  3x  3  2
12 x  5
x
 4
 5
x  5 
 3
 2
4
5
16 x  x  5 
3
2
4
5
16 x  x   5
3
2
44
5
x
3
2
5 44
x

2
3
15
x
15 
88
S  
 88 
c) 16 x  
5
12
5
S  
12 
d)
25
2
3

x   5x    
4
3
5

25
2
3
x  5x   
4
3
5
25
3 2
x  5x   
4
5 3
5
1
x
4
15
1 5
x 
15 4
4
x
 4 
S  
75
 75 
Ejercicios de movilización 24
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
4 x   2 x  3  1
2) 12 x   3 x  4   2
3)
4)
5)
42 x   6 x  10   7
10)  48 x  
7)
35 x   5 x  11  8
11)
 44
2
5

x   4x    
3
3
2

8)
 5
 5
 80 x  
x  3 
 2
 2
12)
16
4
6

x   8x    
5
5
5

9)
3
 6
27 x   x  4  
4
 5
13)
4
5
3

x   4x    
19
6
7

20 x   4 x  5   3
30 x   5 x  6   4
28 x   7 x  9   6
 6
 3
x  5 
 5
 7
6)
f ' GRUPO EDITORIAL
120
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
V Caso: a (bx  c )  d (ex  f ) con a , b, c, d , e, f  
Se aplica la propiedad distributiva con respecto a la suma y procedemos de forma
análoga al III Caso.
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
6 
5 46

1
2


a) 3  4 x  5   3  2 x  3
b) 7  x  3   3  5 x  
c)
 3 x     x  2 
5 
3 3 7

2
7


12 x  15  6 x  9
18
8
8
3
x2 x
2 x  21  15 x 
12 x  6 x  9  15
5
7
3
2
6 x  6
18
8
8
3
x x  2
2 x  15 x    21
6
5
7
3
2
x
86
2
6
39
x
17 x 
x  1
35
3
2
2 86
39
x

x
 17
3 35
2
S  1
35
39
x
x
129
34
 35 
 39 
S 

S  
 129 
 34 
Ejercicios de movilización 25
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
7  4x  7  8 6x  9
7)
9
3


2  x  5   6  7 x  
8
4


2)
5  5 x  2   3  7 x  12 
8)
7
 5


3  x  17   12  4 x  
12 
 12


3)
3 12 x  17   12  4 x  11
9)
9 
6 43

 7 x     x  2 
8 
5 34

10)
15 
12  3  8

x  13 
 7x   

4 
5  4  9

11)
14
2  5  9
9 
 x 
 x 
45
5 9 5
25 
4) 15  7 x  12    3   8 x  13 
5)
6)
3  8 x  5   6  9 x  11
12 11x  32   2  3 x  13 
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
121
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
VI Caso: ax  (bx  c )  dx  (e x  f )
Se eliminan los paréntesis teniendo en cuenta que si el signo fuera del paréntesis es positivo,
los términos dentro del paréntesis no cambian de signo; por el contario, si el signo fuera del
paréntesis es negativo, los términos dentro del paréntesis sí cambian de signo. Por último,
procedemos de forma análoga al III Caso.
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
1
2


3x   4 x  5  5 x   2 x  6 
a)
b) 7 x   x  3   3 x   5 x  
2
7


3x  4 x  5  5 x  2 x  6
2
1
7 x  x  3  3 x  5 x 
3 x  4 x  5 x  2 x  6  5
7
2
4 x  11
2
1
7 x  x  3x  5 x   3
11
7
2
x
4
33
5
x
7
2
 11 
S 
5 33

x

 4 
2 7
35
x
 35 
S 

66
 66 
Ejercicios de movilización 26
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
7 x   4x  7   8x  6x  9
7)
9
3


2 x   x  5   6 x   7 x  
8
4


2)
5 x   5 x  2   3 x   7 x  12 
8)
7 
 5


3 x   x  17   12 x   4 x  
12 
 12


3)
3x  12 x  17   12 x   4 x  11
9)
9
6 4

3

x   7 x    x   x  2 
8
5 3

4

10)
15
12  3

 8

x   7x   
x
x  13 
4
5  4

 9

11)
1
2  5
9 
4
9
x x  
x x

4
5 9
25 
5
5
4) 15 x   7 x  12   3 x   8 x  13 
5)
6)
3 x   8 x  5   6 x   9 x  11
12 x  11x  32   2 x   3 x  13 
f ' GRUPO EDITORIAL
122
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
VII Caso: x  a  b
c
d
La solución se puede expresar de la forma x  c 
b

 a  , es decir, pasamos con signo
d

contrario el término a y calculamos, por último, pasamos a multiplicar el divisor c .
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
a)
x
10
3
2
7
x 10
 3
2 7
x 11

2
7
11
x
2
7
22
x
7
b)
 22 
S 

 7 
x
9
2
3
4
x 9
 2
3 4
x 17

3 4
17
x  3
4
51
x
4
c)
x
16
5 
4
11
x 16

5
4 11
x 39

4 11
39
x  4
11
156
x
11
d)
 325 
S 

 4 
156 
S 

 11 
 51 
S  
4
x
25
 10 
5
4
x 25

 10
5
4
x 65

5
4
65
x
5
4
325
x
4
Ejercicios de movilización 27
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
1)
2)
3)
4)
5)
x
5
4
3
6
x
1
6
4
5
x
3
7 
5
2
x
10
9 
6
11
x
7
 14 
7
12
x
18
8 
8
5
x
28
9 
7)
9
3
x
42
 10 
8)
10
21
x
35
 11 
9)
11
21
x
10
 12 
10)
12
13
6)
11)
x
5
 10 
13
2
15)
x
44
1 
17
3
12)
x
3
 17 
14
4
16)
x
16
2
18
5
13)
x
6
 25 
15
5
17)
x
4
3
19
19
14)
x
53
 30 
16
25
18)
x
180
4
20
7
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES
123
H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita.
H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras.
Ecuaciones de primer grado
VIII Caso: ax  b  e
cx  d
f
Multiplicamos en cruz y obtenemos el
V Caso, es decir f  ax  b   e  cx  d  .
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.
a)
 4 x  5  3
 2 x  3 2
2  4 x  5   3  2 x  3
b)
 2 x  3   3
5x  2 7
7  2 x  3   3  5 x  2 
14 x  21  15 x  6
14 x  15 x  6  21
29 x  15
15
x
29
8 x  10  6 x  9
8 x  6 x  9  10
2 x  1
1
x
2
 15 
S  
 29 
 1 
S  
2
c)
6  6 x  2 

4  3 x  5 
6  3 x  5   4  6 x  2 
18 x  30  24 x  8
18 x  24 x  8  30
 6 x  22
22
x
6
11
x
3
 11 
S 

 3 
Ecuaciones literales
Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se
representan mediante el uso de letras.
Ejemplos
Resuelva las siguientes ecuaciones literales para una de las letras indicadas.
a)
axm
despejar x
axm
x  ma
b)
mx  b  y
despejar b
mx  b  y
b  y  mx
f ' GRUPO EDITORIAL
c) 2a  x  p
despejar a
2a  x  p
2a  p  x
px
a
2
124
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 28
A. Resuelva las siguientes ecuaciones.
 2 x  3  6
1)
 4 x  5 7
2)
5x  2  3
 7 x  12  5
3)
12 x  17   12
 4 x  11 7
4)
5)
 7 x  12   4
 8x  13 15
 3x  12   7
 7 x  5 6
 8 x  5  10
 9 x  11 3
11x  32   1
7)
 3x  13 12
3  5 x  6 

8)
4  7 x  8 
 x  5
6

9)
7  9 x  10 
 2 x  1
10) 8 
 9 x  11
6)
Ejercicios de movilización 29
A. Despeje la variable que se le solicita en cada ecuación.
1)
0  mx  b despejar x
2)
ab  c
3)
2a  b  m despejar b
11)
4)
c  3b  n despejar b
12) a 
despejar a
2a  3b
 2c despejar b
4
2a  3b
 2c despejar a
10)
4
9)
4a  b
 3 p despejar b
m
V f  Vi
t
5)
ab  3  n despejar a
13) V f  Vi  at
6)
a  b  c  p despejar p
14) g 
7)
a b
 c despejar a
2
15) 2 gh  V f
8)
c
a  5b
despejar b
2
16) 2 gh  V f
V f  Vi
t
despejar Vi
despejar t
despejar V f
   V  despejar h
i
   V  despejar g
f ' GRUPO EDITORIAL
i
Capítulo 4
Estadística y
Probabilidad
f'
Grupo Editorial
CONOCIMIENTOS
Recolección de información
 La experimentación
 Interrogación
Frecuencia
 Absoluta
 Porcentual
Representación
 Tabular: cuadros de frecuencia
absoluta y porcentual
 Gráfica: barras, circulares, lineales
y diagramas de puntos
Medidas de posición
 Moda
 Media aritmética
 Mínimo
 Máximo
 Recorrido
CONOCIMIENTOS
El azar
 Aleatoriedad
 Determinismo
Espacio muestral
 Espacio muestral, puntos
muéstrales y su representación.
Eventos
 Resultados favorables a un evento
 Eventos simples y compuestos
 Evento seguro, evento probable,
evento imposible
Probabilidad
 Eventos más probables, menos
probables e igualmente probables
 Definición clásica (o laplaciana)
Reglas básicas de probabilidad
 La probabilidad de cualquier
evento es un valor numérico entre
0 y 1.
La probabilidad de un evento seguir
es 1 y de un evento imposible es 0.
ESTADÍSTICA
HABILIDADES ESPECÍFICAS
1. Recolectar
datos
del
entorno
por
medio
de
experimentación o interrogación.
2. Utilizar representaciones tabulares o gráficas con
frecuencias absolutas o porcentuales, simples o
comparativas.
3. Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para
favorecer la construcción de cuadros y gráficos.
4. Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas
estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo,
mínimo y recorrido.
PROBABILIDAD
HABILIDADES ESPECÍFICAS
1. Identificar la presencia de azar en situaciones aleatorias.
2. Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y
deterministas.
3. Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como
resultados simples en una situación o experimento aleatorio
y representarlos por medio de la numeración de sus
elementos o de diagramas.
4. Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una
situación aleatoria.
5. Clasificar eventos en simples o compuestos.
6. Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una
situación aleatoria determinada.
7. Diferenciar entre eventos más probables, menos probables
e igualmente probables, de acuerdo con los puntos
muestrales a favor de cada evento.
8. Determinar la probabilidad de un evento como la razón
entre el número de resultados favorables entre el número
total de resultados.
9. Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la
teoría de probabilidad.
10. Deducir las propiedades de las probabilidades que están
vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad
para evento seguro, probable e imposible.
11. Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de
probabilidades.
12. Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones
en problemas vinculados con fenómenos aleatorios.
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Problema introductorio 1
Identificar si existen diferencias en las estaturas entre hombres y mujeres dentro del
grupo.
Problema introductorio 2
¿Cuál es el nivel de agrado que tienen las y los estudiantes por las frutas (mucho,
regular, poco, nada)? ¿Hay diferencias por sexo?
f ' GRUPO EDITORIAL
127
128
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación.
H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas.
H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos.
H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido.
Distribución de frecuencias
Es como se denomina en estadística a la agrupación de datos en categorías
mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada
categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de
modo que se pueda ver el número existente en cada clase.
Ejemplo
Las edades de 50 estudiantes de un colegio nocturno corresponden a
19
23
19
19
21
22
18
20
20
19
21
19
18
21
21
18
19
20
22
21
22
19
21
21
20
20
20
24
22
20
21
19
21
19
19
20
19
21
21
21
19
19
19
19
24
17
20
20
22
19
Distribución de frecuencia absoluta y
frecuencia relativa para las edades de 50
estudiantes de un colegio
Frecuencia
Frecuencia
Edad
absoluta
relativa
1
 0,02  2%
17
1
50
3
 0,06  6%
18
3
50
16
 0,32  32%
19
16
50
10
 0, 2  20%
20
10
50
12
 0, 24  24%
21
12
50
5
 0,1  10%
5
22
50
1
 0,02  2%
23
1
50
2
 0,04  4%
24
2
50
50
100%
Total
Observación: Se sugiere el uso de Microsoft Excel para la construcción con los estudiantes del cuadro
anterior y su respectiva representación por medio de gráficos.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Ejercicios de movilización 1
A. Recolectar por medio de experimentación o interrogación la información
necesaria para dar respuesta estadísticamente confiable a las siguientes
preguntas.
1)
¿Cuáles son los equipos de fútbol de primera división de Costa Rica que
presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo?
2)
¿Cuáles son las materias del Colegio que presentan mayor y menor número de
seguidores en el grupo?
B. Construya una distribución de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para
cada uno de los siguientes problemas. (Sugerencia: para aquellos estudiantes que
tengan acceso a una computadora, utilizar Microsoft Excel para la construcción
de los cuadros y gráficos estadísticos que permitan visualizar mejor la información
resumida)
1)
Las edades de 40
estudiantes universitarios que practican baloncesto de
corresponden a
20
21
20
21
2)
24
23
21
20
20
22
20
22
20
23
22
22
22
20
22
21
23
22
22
20
19
22
20
22
21
21
20
20
22
21
20
23
20
21
20
20
Una constructora entrevista a sus clientes para realizar la distribución de los
apartamentos que dispone, para lo cual solicita a cada uno de los clientes le
informen cuál es su preferencia respecto al piso (nivel) en el que les gustaría
que estuviera su apartamento. Las respuestas se muestran a continuación.
21
1
3
6
7
7
12
12
20
3
5
8
8
7
11
10
22
5
9
10
9
6
12
7
22
7
11
12
10
1
9
7
21
9
11
1
11
8
8
1
20
11
7
2
12
9
1
2
f ' GRUPO EDITORIAL
22
12
7
3
11
11
1
2
20
12
8
4
10
11
3
2
23
12
2
5
9
12
4
3
20
11
4
6
8
12
5
3
129
130
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
3)
Estudiantes de un colegio dieron un paseo en patineta, salieron del parque
rumbo a dicha institución, la velocidad en kilómetros por hora de cada
estudiante se describe a continuación.
22
23
21
21
22
22
21
25
25
25
23
24
21
22
25
25
25
22
21
23
21
22
25
21
22
23
24
25
21
22
23
24
25
25
21
21
26
22
23
23
26
26
21
21
24
26
21
21
26
23
23
26
24
24
23
4)
La siguiente lista contiene el número de horas que las familias representadas
por estudiantes de un Colegio invierten en ver televisión por semana.
5)
8
11
11
11
10
13
14
7
13
8
14
7
9
10
8
7
9
10
11
12
9
12
11
8
10
9
12
12
12
9
10
13
13
10
7
10
14
11
13
9
11
12
14
8
12
9
7
11
14
12
13
14
7
11
12
12
13
8
La siguiente lista contiene el resultado de consultar a un grupo de estudiantes
la cantidad de veces que accedan a una red social por internet durante una
semana.
12
14
15
17
6)
14
16
16
15
17
15
12
15
13
17
19
13
20
13
18
14
16
12
15
14
17
12
20
12
18
17
12
16
12
13
14
12
12
15
18
El número de páginas de los libros de una biblioteca de un hogar se muestran
a continuación.
151
141
226
151
351
226
201
201
151
226
311
311
351
201
226
171
171
251
201
151
311
371
371
251
f ' GRUPO EDITORIAL
251
226
151
371
251
251
226
226
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación.
H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas.
H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos.
H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido.
Medidas de resumen
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el
centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia
central o de centralización.
La moda
Se expresa con el símbolo M o y es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia
absoluta. Por tanto, puede existir varias modas o no existir ninguna moda en los datos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determine la moda de las siguientes
temperaturas en una ciudad durante
una semana 13° , 14° , 14° , 15° , 16° ,
Determine la moda de las siguientes
temperaturas en una ciudad durante
una semana 13° , 14° , 18° , 21° , 23° ,
24° , 28° .
M o : no existe
12° , 14°
M o  14
La media aritmética
Datos sin agrupar
 xi
x
n
Datos agrupados
  xi ni 
x
n
Ejemplo
Ejemplo
Calcule el promedio (media aritmética)
de las siguientes temperaturas 13° , 14° ,
Determine
el
promedio
(media
aritmética) de hijos por padre de
familia.
18° , 21° , 23° , 24° , 28° , 29° .
x
Número
de hijos
Frecuencia
absoluta
1
2
4
x
i
n
13  14  18  21  23  24  28  29
x
8
x  21, 25
3
4
x
6
5
3
 x n 
i
i
n
1  4  2  6  3  5  4  3 
x
18
x  2, 39
f ' GRUPO EDITORIAL
131
132
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Ejercicios de movilización 2
A. Considere la información que se presenta a continuación y determine el promedio
(media aritmética) y la moda para cada uno de los ejercicios.
1)
Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° ,
20° , 22° , 24° , 27° , 28° .
2)
Los pesos en kilogramos de 7
niños son 39, 40, 45, 47, 44, 43, 42 .
3)
Las notas obtenidas por 7 estudiantes en un examen son 95, 89, 80, 71, 84, 89, 80 .
4)
La estatura en metros de 5 jóvenes de un colegio son 1, 61; 1, 64; 1 , 62; 1, 65; 1, 60 .
5)
El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue
9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8 .
6)
La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba
fue
7)
28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28 .
Las notas obtenidas por un grupo de estudiantes fue
90
85 60 65 70 65 70 90 90 85
100 75 90 70 85 90 68 70 60 70
95
8)
60 60 90 70 85 65 75 75 85
Resultado de una encuesta a padres de familia:
Número de
hijos
Frecuencia
absoluta
1
2
4
3
4
9)
6
5
3
Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas.
Número de
páginas
110
120
130
140
150
Frecuencia
absoluta
2
10
11
7
6
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación.
H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas.
H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos.
H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido.
Máximo, mínimo y recorrido
En estadística descriptiva se denomina rango estadístico R o recorrido estadístico
al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable; por ello, comparte
unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos,
cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
Ejemplo 1
Determine el máximo, el mínimo y recorrido de las notas de los estudiantes.
Nota
71
73
75
77
79
81
86
91
93
94
Número de
estudiantes
2
2
3
7
8
18
16
10
2
2
Máximo: 94
Mínimo: 71
Recorrido:
R  94  71
R  23
Ejercicios de movilización 3
A. Determine el máximo, el mínimo y el recorrido de los datos para cada uno de los
ejercicios.
1)
El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue
9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8.
2)
Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° ,
20° , 22° , 24° , 27° , 28° .
3)
Los pesos en kilogramos de 6
4)
Las
notas
obtenidas
por
niños son 40, 45, 47, 44, 43, 42 .
7
estudiantes
en
un
examen
son
95, 89, 80, 71, 84, 89, 80 .
5)
La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba
fue
28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28 .
f ' GRUPO EDITORIAL
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CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
6)
La estatura en metros de 5 jóvenes de un colegio son 1, 61; 1 , 64; 1, 62; 1, 65; 1 , 60 .
7)
Resultado de una encuesta a padres de familia:
8)
9)
Número de
hijos
Frecuencia
absoluta
1
2
4
6
3
5
4
3
Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas.
Número de
páginas
110
Frecuencia
absoluta
120
10
130
11
140
7
150
6
2
Puntuaciones de 1 a 10 , obtenidos por un grupo de atletas.
Puntuación
3
Frecuencia
absoluta
4
4
4
5
6
6
14
7
5
8
7
9
16
10
10
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
EL AZAR
Problema introductorio 1
Discuta junto con sus compañeros ¿cuáles de las siguientes opciones representan
situaciones deterministas y cuáles representan situaciones aleatorias?, argumente las
razones por la que clasifica cada situación.
1)
¿En qué día de la semana nació el profesor de Matemáticas?
2)
¿Qué día de la semana será pasado mañana?
3)
El próximo bebé que nazca en el Hospital de la Mujer será una mujer.
4)
Identificar el lugar exacto donde caerá una piedra al lanzarla fuertemente hacia
arriba.
5)
Sacar una bola negra de una caja que contiene cinco bolas negras.
6)
En el próximo año lloverá menos en el mes de agosto que en el presente año.
7)
Determinar el ganador en el juego “Zapatito cochinito cambia de piecito”.
f ' GRUPO EDITORIAL
135
136
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
EL AZAR
H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias.
H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas.
H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la
numeración de sus elementos o de diagramas.
H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria.
H5: Clasificar eventos en simples o compuestos.
H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada.
Situaciones aleatorias
Son aquellas situaciones en donde no se sabe con seguridad lo que va a pasar. Estos
sucesos dependen del azar.
Ejemplos
Al lanzar una moneda al aire, se ignora si saldrá escudo o corona.
b) Al lanzar un dado al aire, no se sabe qué número saldrá.
c) Al jugar la lotería, se ignora qué número saldrá.
a)
Situaciones deterministas
Son los hechos o sucesos que ocurren con seguridad. En ellos se conoce de
antemano, con certeza, el resultado.
Ejemplos
a)
En horas, después de las 5 : 00 pm son las 6 : 00 pm .
Después de la noche sigue el día.
c) En días lectivos, ir el jueves al Colegio.
b)
Ejercicios de movilización 4
A. ¿Cuáles de las siguientes opciones representan situaciones deterministas y cuáles
representan situaciones aleatorias?, Justifique con argumentos.
1)
¿Qué día de la semana será pasado mañana?
2)
¿Cuántas rosas dará el rosal este verano?
3)
Al lanzar una moneda, ¿saldrá escudo o corona?
4)
Para un pescador, ¿Cuándo picará un pez el anzuelo?
5)
¿Quién ganará el partido entre Saprissa y Alajuelense?
6)
¿Lloverá la semana entrante?
7)
¿Será de noche a las tres de la madrugada?
8)
¿Saldrá un As al extraer una carta de la baraja?
9)
¿Quién será el presidente de Costa Rica en el 2018?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
ESPACIO MUESTRAL
Problema
Considere un juego en el que se lanza una moneda tres veces. Determine todos los
posibles resultados del experimento. Para identificar cada resultado puede emplear
terna de datos, por ejemplo, ECC significa que se obtuvo escudo en el primer
lanzamiento y corona en los otros dos.
f ' GRUPO EDITORIAL
137
138
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
ESPACIO MUESTRAL
H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias.
H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas.
H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la
numeración de sus elementos o de diagramas.
H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria.
H5: Clasificar eventos en simples o compuestos.
H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada.
Espacio muestral
Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados
posibles. Se simboliza con la letra E . Los elementos que lo forman se escriben entre
llaves:  
Ejemplo
Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, los posibles
resultados son 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Por tanto: E  1, 2, 3, 4, 5, 6
Ejercicios de movilización 5
A. Determinar el espacio muestral y sus puntos muestrales (resultados simples) para
cada una de las situaciones que se exponen a continuación:
1)
Considere un juego en el que se lanza una moneda una vez.
2)
Considere un juego en el que se lanza una moneda dos veces.
3)
Considere un juego en el que se lanza una moneda cuatro veces.
4)
Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una figura
tridimensional al azar de una bolsa compuesta por cinco tarjetas con distintas
figuras (pirámide, cilindro, prisma, cubo y esfera)
5)
Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de
una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.
6)
Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con las
caras enumeradas con los primeros seis números pares.
7)
Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado dos
veces.
8)
Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado tres
veces.
9)
Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer dos bolas al azar de
una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
EVENTOS
Problema
Las agrupaciones de puntos muestrales en un determinado espacio muestral se
llaman eventos o sucesos. Considere nuevamente el juego en el que se lanza una
moneda tres veces.
Determine los resultados simples o puntos muestrales a favor de cada uno de los
siguientes eventos:
1)
Obtener al menos un escudo (un escudo o más).
2)
Obtener tres coronas.
3)
Obtener menos de dos coronas.
Identifique los puntos muestrales que incluye cada uno de los siguientes eventos:
1)
Obtener más de tres escudos.
2)
Obtener tres o menos coronas.
De acuerdo con las posibilidades de ocurrencia de los eventos 1), 2), 3), 4) y 5)
anteriores, determine:
1)
¿Cuál o cuáles se pueden considerar como situaciones deterministas o seguras?
2)
¿Cuál o cuáles se pueden considerar imposibles?
f ' GRUPO EDITORIAL
139
140
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
EVENTOS
H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias.
H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas.
H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la numeración
de sus elementos o de diagramas.
H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria.
H5: Clasificar eventos en simples o compuestos.
H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada.
Eventos y su clasificación
Es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de
posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.
Evento simple
Evento compuesto
Es un subconjunto del espacio
Se llaman eventos compuestos los que
muestral que contiene un único
se forman combinando varios eventos
elemento.
simples.
Evento seguro
Evento probable
Evento imposible
Es aquel que tiene
Es aquel que tiene al
Es aquel que no tiene un
todos los posibles
menos un posible
posible resultado.
resultados.
resultado
Ejemplo 1
Se lanza un dado y se anotan sus respectivos resultados
Evento simple
Evento compuesto
Que el resultado sea par
Que el resultado sea par y mayor que 3
Evento seguro
Evento probable
Evento imposible
Que el resultado sea
Que el resultado sea 6
Que el resultado sea
menor o igual a 6
mayor que 6
Ejercicios de movilización 6
Determinar un evento simple, un evento compuesto, un evento seguro, un evento
probable y un evento imposible para cada una de las situaciones que se presentan
en el Trabajo cotidiano 4.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
Problema introductorio 1
Un juego trata de hacer caer una piedra sobre una figura geométrica desde una
distancia de 5 metros. Las figuras geométricas son: un círculo de diámetro 20 cm , un
cuadrado de 20 cm de lado y un triángulo equilátero de 20 cm de lado. Si la piedra
puede caer aleatoriamente en cualquier lugar, ¿en cuál figura tiene más
probabilidad de que caiga la piedra?
f ' GRUPO EDITORIAL
141
142
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
Problema introductorio 2
Al lanzar dos dados Cindy y Karla realizan el siguiente juego: Cindy gana si la suma
de los puntos es 2, 3, 4, 5, 10, 11 y 12, mientras que Karla gana si la suma de los
puntos es 6, 7 , 8 o 9. Karla reclama que al tocarle menos números Cindy va a ganar
el mayor número de veces; no obstante, proceden a jugar. Después de jugar
20 veces, Cindy únicamente ha ganado en 7 oportunidades. De acuerdo con lo
anterior, responda las siguientes interrogantes.
a)
Para un juego particular, es decir un lanzamiento de los dados, ¿cuántos puntos
tiene el espacio muestral? Se considera punto muestral un resultado simple al
lanzar los dados, por ejemplo ( 3,5 ) significa que en el primer dado se obtuvo un
tres y en el segundo un cinco.
b)
¿Serán los puntos muestrales igualmente probables?¿O existe duda de que unos
resultados son más probables que otros?
c)
¿Cuántos puntos muestrales están a favor del evento A: Cindy gana el juego y del
evento B: Karla gana el juego?
d)
Determine la proporción de resultados a favor del evento A (es decir la razón
entre el número de resultados a favor de A entre el total de resultados) y la
proporción de resultados a favor de B. Con base en estos valores indique quién
tiene más probabilidad de ganar, Cindy o Karla.
e)
¿A qué conclusiones se llega respecto a la inquietud planteada por Karla, sobre
que Cindy tiene más probabilidad de ganar el juego porque se le asignaron más
números?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
H7: Diferenciar entre eventos más probables, menos probables e igualmente probables, de acuerdo con los puntos muestrales a favor de cada evento.
H8: Determinar la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados favorables entre el número total de resultados.
H9: Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la teoría de probabilidad.
H10: Deducir las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad para evento seguro, probable e imposible.
H11: Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de probabilidades.
H12: Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios.
Probabilidad de un evento
Ejemplo 1
Se lanza un dado y se anotan sus respectivos resultados. De los siguientes eventos,
¿cuál es más probable y cuál menos probable?, ¿cuáles son igualmente probables?
Evento A
Evento B
Evento C
Que el resultado sea un
Que el resultado sea 6
Que el resultado sea un
número impar
número par
Puntos muestrales o resultados simples
Evento A
Evento B
Evento C
2, 4, 6
6
1, 3, 5
Por tanto:
1) El evento A es igualmente probable que el evento C.
2) El evento B es menos probable que el evento C.
3) El evento A es más probable que el evento B.
Probabilidad de un evento
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho
evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n .
h
p  P S  
n
Ejemplo 2
Considere el ejemplo anterior y determine para cada uno de los eventos estudiados
su respectiva probabilidad.
Evento A
Evento B
Evento C
Que el resultado sea un
número par
h 3 1
P par   
n 6 2
Que el resultado sea 6
h 1
P 6  
n 6
Que el resultado sea un
número impar
h 3 1
P impar   
n 6 2
Observación: Para valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la probabilidad, se puede
mencionar el rol de Laplace en la definición clásica del concepto de probabilidad.
f ' GRUPO EDITORIAL
143
144
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Ejercicios de movilización 7
A. Para cada uno de las siguientes situaciones, determine los puntos muestrales o
resultados simples de cada evento.
1)
Al levantar una ficha de dominó se obtenga, un número de puntos mayor que
9 o que sea múltiplo de 4 .
2)
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.
a) Evento A: Que salga el 7 .
b) Evento B: Que sea par.
c) Evento C: Que sea múltiplo de tres.
3)
Se lanzan tres dados.
a) Evento A: Obtener un
b) 6 en todos.
c) Evento B: Los puntos obtenidos sumen 7 .
4)
Al lanzar un dado al aire.
a) Evento A: Un número par.
b) Evento B: Un múltiplo de tres.
c) Evento C: Mayor que cuatro.
5)
Se extrae una bola al azar de una urna que tiene ocho bolas rojas, cinco
amarilla y siete verdes.
a) Evento A: Que sea roja.
b) Evento B: Que sea verde.
c) Evento C: Que sea amarilla.
d) Evento D: Que no sea roja.
e) Evento E: Que no sea amarilla.
6)
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6
negras.
a) Evento A: Que la bola sea roja o blanca.
b) Evento B: Que la bola no sea blanca.
B. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
C. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral si se extraen las dos bolas:
a) Con remplazo.
b) Sin remplazo.
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Problema introductorio 1
Considere el juego en el que se lanzan dos dados numerados de uno a seis. Se
considera la diferencia absoluta entre los resultados de los dados. Determine:
1)
El número de puntos muestrales vinculados con el evento A: obtener un número
menor de seis.
2)
El número de puntos muestrales vinculados con el evento B: el resultado es
cero.
3)
El número de puntos muestrales a favor del evento C: obtener un seis.
4)
¿Cuál de los posibles resultados de la diferencia absoluta de puntos es el más
probable?
Con base en los resultados de este ejercicio responda:
5)
¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de los eventos A, B o C citados
anteriormente?
6)
En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento seguro?
7)
En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento imposible?
8)
Para un evento que resulta probable, ¿en qué rango numérico se puede decir que
se encuentra su valor probabilístico?
f ' GRUPO EDITORIAL
145
146
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Problema introductorio 2
Se realiza una encuesta una semana antes de realizar las elecciones en un Colegio
para conocer la intención del voto, para ello se seleccionó una muestra de
10
estudiantes por nivel. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro:
Intención de voto para las elecciones estudiantiles de una muestra de 10
estudiantes por nivel
Nivel
Candidatos
A
B
C
Séptimo
4
3
3
Octavo
2
5
3
Noveno
6
2
2
Décimo
1
5
4
Undécimo
0
0
10
Total
13
15
22
Se sigue el supuesto de que la muestra es representativa de la población total de
estudiantes y de cada uno de los niveles. Además, la intención de voto se mantendrá
para la elección. De acuerdo con esta información responda las siguientes
interrogantes:
a)
¿Cuál candidato tendría una mayor probabilidad de ganar las elecciones?
b)
¿Cuál o cuáles candidatos tendrían mayor probabilidad de ganar las elecciones
si únicamente votaran estudiantes del Tercer Ciclo?
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
H7: Diferenciar entre eventos más probables, menos probables e igualmente probables, de acuerdo con los puntos muestrales a favor de cada evento.
H8: Determinar la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados favorables entre el número total de resultados.
H9: Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la teoría de probabilidad.
H10: Deducir las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad para evento seguro, probable e imposible.
H11: Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de probabilidades.
H12: Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios.
Propiedades de las probabilidades
Propiedad 1: La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1.
Propiedad 2: Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0 .
Propiedad 3: Si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.
Ejercicios de movilización 8
A. Hallar la probabilidad de que al levantar una ficha de dominó se obtenga un
número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4 .
B. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos, determine:
1) La probabilidad de que salga el 7 .
2) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
C. Se lanzan tres dados, determine la probabilidad de:
1) Obtener un 6 en todos.
2) Los puntos obtenidos sumen 7 .
D. Determine la probabilidad de que al lanzar un dado al aire, salga:
1) Un número par.
2) Un múltiplo de tres.
3) Mayor que cuatro.
E. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
1) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
2) La primera bola no se devuelve
f ' GRUPO EDITORIAL
147
148
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
F. Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una al
azar, determine la probabilidad de que:
1) Sea roja.
2) Sea verde.
3) Sea amarilla.
4) No sea roja.
5) No sea amarilla.
G. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:
1) Extraer las dos bolas con remplazo.
2) Sin remplazo.
H. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,
¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad
de que no sea blanca?
I. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10
morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno
que falta:
1) Sea hombre.
2) Sea mujer morena.
3) Sea hombre o mujer.
f ' GRUPO EDITORIAL
Capítulo 5
Respuestas
f'
Grupo Editorial
150
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
Ejercicios de
movilización 1
Parte A
1)
14 ℎ
,7 í
45250
28km
250
5000000 a cada
uno
7) 5
8) 20h
9) 4.5 tazas
10) 100 000
Ejercicios de
movilización 2
Parte A
1) 6.5
2) 3.5
3) 7
4) 3. 3
5) 4. 6
6) 12. 3
7) 0.71…
8) 4.75
9) 3.14…
10) 4.2
11) 0.4
12) 0.42…
13) 0.83
14) 2.2
15) 9
16) 2.85…
17) 2.125
18) 1.8
19) 2.1
20) 5.23…
Parte B
1) E
2) E
3) E
4) E
5) E
6) P
7) P
8) P
9) P
2)
3)
4)
5)
6)
10) E
11) E
12) P
13) INFINITA
14) INFINITA
15) P
16) P
17) INFINITA
18) INFINITA
19) INFINITA
20) P
Ejercicios de movilización 3
Parte A
1) el doble
2) Falta un octavo de
Harina
3)
Parte B
7.5
7
14)
1)
7)
15)
2)
8)
16)
3)
9)
17)
4)
10)
2)
18)
5)
11)
Ejercicios
de
movilización
5
Parte A
1)
6)
12)
2)
10)
3)
11)
4)
5)
12) −
6)
14)
7)
15)
8)
16)
9) −
17)
19)
19)
11) −
8
3
3
3
3)
4)
5)
6)
7)
8) −1
9)
10)
11)
1
15
2
2
1
9
5)
2.25
2
4
4
1
11
6)
5.5
5
2
2
2
17
7)
5.666
5
3
3
3
45
8) 0.01…
6
7
7
5
45
9)
5.625
5
8
8
3
38
10)
7.6
7
5
5
4
9
11)
1.8
1
5
5
2
12
12)
2.4
2
5
5
1
11
13)
5.5
5
2
2
1
13
14)
6.5
6
2
2
6
27
15) 3.85
3
7
7
3
87
16)
29
12
7
3
1
5
17) 1.25
1
4
4
Parte C
Usar la calculadora para
determinar la representación
decimal y poder así realizar
las representaciones en la
recta numérica.
4)
Ejercicios
de
movilización
4
Parte A
1)
12)
13) −10
14)
15)
16)
Parte B
7)
8)
9)
13)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
10) −
18)
20)
20)
12) −
13)
21)
Parte C
1) 14
21)
14)
22)
3)
15)
23)
4)
16)
24)
5)
17)
25)
6)
18)
26)
7)
19)
Ejercicios
de
movilización
7
Parte A
1)
8)
23)
2)
12)
24) −
3)
13)
4)
14)
Ejercicios de
movilización
6
Parte B
5)
15)
6)
16)
17) −1
18)
Parte B
1)
2)
3) 10.2
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
20)
21)
22) −
25) −
f ' GRUPO EDITORIAL
12)
2)
9)
10)
11)
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 1: NÚMEROS
6)
25)
Ejercicios de
movilización 10
Parte A
1)
20)
26)
2)
9)
21)
27)
3)
10)
22)
28)
4)
11)
23)
29)
5)
12)
24)
Ejercicios de
movilización
9
Parte A
1)
6)
2)
10)
3)
11)
6)
7) 44
8) 1350
9) 13
4)
12)
7)
11)
5)
13)
8)
6)
14)
9)
7)
15)
10)
8)
16)
9)
17)
10)
18) 4
17)
23)
18)
24)
19)
25)
26)
27)
Ejercicios de
movilización
8
Parte A
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22) 125
7)
8)
9)
23)
15)
24)
16)
(cambiar
47 por 49 en el
ejercicio)
17)
18)
25)
19)
Ejercicios de
movilización 11
Parte A
1)
20)
21)
2)
22)
3)
23)
24)
(resolver
con raíz
cuadrada)
4)
5)
3) 1ℎ
4)
1)
5)
2) −1
3) 3
4) −2
6)
10)
12)
22)
14)
2)
11) −4
21)
13)
8)
5)
20)
12)
7)
Parte B
19) −5
11)
Ejercicios de movilización
13
Parte A
Trabajo independiente del
estudiante
Parte B
1)
13) −4
14) 0
15) 14
Ejercicios de
movilización 12
Parte A
1) 1000.5
2) 14000m
3) 2400
4) 1400
5) 5250
Parte B
1) 2000.75
2) 9250m
3) 186kg
4) 1082.3g
5) 5430
Parte C
1) 2250.82
2) 6787m
3) 53889
4) 3556.375
5) 1557,5 y
7787,5
25)
f ' GRUPO EDITORIAL
151
152
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Ejercicios de movilización
1
Parte A
Trabajo independiente del
estudiante
Parte B
Trabajo independiente del
estudiante
Ejercicios de movilización
2
Parte A
Ángulos
homólogos
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
Segmentos
homólogos
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
Parte B
Ángulos
homólogos
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
<
< ′
Segmentos
homólogos
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′′
′ ′
′′
′ ′
′ ′
′′
′ ′
′ ′,
′ ′
Parte B
1) Sí
2) Semejantes
3) Varían las medidas de
los segmentos y el
área, pero se conserva
la proporción.
Parte C
1) La razón no varía pero
la medida sí.
2) Se mantiene semejante.
3) Los ángulos son
iguales.
Parte D
1) La posición del
triángulo varía pero es
la misma medida.
2) 1
3) 1
4) Sí
Parte E
Trabajo independiente del
estudiante
Ejercicios de movilización
5
Parte A
1) Razón es k=4 L.L.L
∆
~∆
2) Razón es k=4 L.L.L
∆
~∆
3) NO
4) L.A.L.
~∆
5) NO
6) A.A.A
~∆
7) A.A.A
~∆
8) A.A.A
~∆
9) L.A.L
~∆
Ejercicios de movilización
6
Parte A
1) L.L.L
2) L.A.L
3) A.L.A
4) L.L.L
5) L.A.L
6) A.L.A
7) L.L.L
8) L.A.L
9) A.L.A
10) L.L.L
11) A.L.A
12) L.A.L
13) L.L.L
Parte B
1) L.L.L, ∆
≅∆
2) L.A.L, ∆
≅
∆
3) A.L.A, ∆
≅
∆
4) NO
5) L.A.L, ∆
≅
∆
6) A.L.A, ∆
≅
∆
7) L.L.L, ∆
≅∆
8) L.A.L, ∆
≅
∆
9) A.L.A, ∆
≅
∆
Ejercicios de movilización
7
Parte A
1) 126m
2) 28.2m
3) 5.68m
4) 195.88
Ejercicios de movilización
3
Parte A
Todas
Parte B
2Y3 5Y7 1Y5
Ejercicios de movilización
4
Parte A
Trabajo independiente del
estudiante
Parte B
1) D
2) A
3) B
4) A
5) C
6) D
7) A
8) A
9) C
10) A
Ejercicios de movilización
8
Parte A
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Ejercicios de movilización
9
Parte A
1) 8
2)
3)
4)
5) 32
6) 74
7)
8) 29
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA
Parte B
= 14
= 12
2)
= 22
= 18
= 16
3)
=8
= 7,
=9
4)
= 15
= 13
= 13
5)
=5
=8
6)
=7
=6
=8
7)
= 28
= 20
= 24
8)
= 10
=9
= 12
Ejercicios de
movilización 10
Parte A
1) Base: DBC,
Caras laterales:
DAB, BAC, CAD,
Altura: EA,
Apotema: AF
Ápice: A.
2) Base: DCBA,
Caras laterales:
ADE, DCE, CEB,
ABE,
Altura: FE,
Apotema: EG,
Ápice E.
3) Base: GFED,
Caras laterales:
FGB, GBD, DEB,
EFB,
Altura: EA,
Apotema BC,
Ápice B.
1)
Parte B
1) Caras laterales:
2)
3)
DBC, EAF
Bases: ABDE,
Altura: de F al
punto medio de
AE.
Caras laterales:
ABCD, DFGC,
GFEH, HEAB,
Bases: GHBC,
FEAD,
Altura: DC.
Caras laterales:
BAGC,CDEG,
DEFH, BHF,
Bases: AGEF,
BCDH,
Altura: AB.
Parte C
1) Sí,
2) Triángulo,
prisma
Parte D
1) No,
2) Sí,
3) Sí,
4) Rectángulo,
cuadrado,
prisma
Parte E
1) No,
2) Sí,
3) Sí,
4) Rectángulo,
cuadrado,
prisma
Parte F
1) No,
2) Sí,
3) Sí,
4) Rectángulo,
cuadrado,
prisma
Parte G
1) No,
2) Sí,
3) No,
4) Rectángulo,
prisma
f ' GRUPO EDITORIAL
153
154
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 1
Parte A
1)
Estud
io
3000
8
7000
1
2
3
4
5
6
7
3500
9
7500
4000
10
8000
4500
11
8500
5000
12
9000
5500
13
9500
6000
65000
= 3000 +
La función es
Graficar
Ejercicios de
movilización 2
Parte A
Trabajo independiente del
estudiante
1) 3
2) 8
3) 10
∙ 500
Parte B
4)
2)
1
13000
La función es
Graficar
2
16000
3
19000
4
22000
5
25000
6
28000
7
31000
= 10000 + 300
3) Cada semana 0,5
La función es = 2 + 0,5
Graficar
5) 10
6)
7)
n es el número de semanas
8) 2
1) ( )
4) La función es
= 20000 + 500
y=20000+500*60=50000
Graficar
2)
3) ( )
4)
5)
0
200000
1
180000
La función es
Graficar
2
160000
3
140000
4
120000
5
100000
= 200000 − 20000
n =año
2
500
10
900
3
550
11
950
7
750
15
1150
La función es
Graficar
4
600
12
1000
= 400 + 50
5
650
13
1050
6
700
14
1100
x =año
105)
0
6)
( )
7)
6)
1
450
9
850
….
8
800
8)
Parte C
Trabajo independiente del
estudiante
Ejercicios de
movilización 3
Parte A
1) -18
2) 6
3) 384
4) 216
5) 3456
6) 5
7) 72
8) 819
9) 4
10) 36
11) 256
12) -180
f ' GRUPO EDITORIAL
13)
14)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Parte B
30
100
40cm
150
112cm
40
26m
8)
9) 144
10) 24
Ejercicios de movilización
4
Parte A
EA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
FN
3
4
9
2
-15
125
6
8
12
2
5
2
15
10
18
-1/6
1
-1
9/2
4/3
2
5/4
2/5
3/4
1849/
5
3
2
FL
m
ℎ
xy
x
mn
m
xy
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de
movilización 5
Parte A
1) 8x
2) 15y
3) 5a
4) 22xy
5) 24yz
6) 15ab
7) 13
8) 23xz
9) 8ab
10) -3xy
11) -22b
12) -6z
13) -2y
14)
x
15) y
7) −20
8) −36
9) −3
10) 12
11) −
12) −4
13) −21
12) Binomio
13) Binomio
14) Binomio
15) Monomio
16) Binomio
17) Trinomio
18) Polinomio
19) Polinomio
20) Monomio
21) Trinomio
22) Monomio
Ejercicios de
movilización 8
Parte A
1) -3x+9
2) –x-1
3) -10
4) 4a+4
14)
15)
16)
17) 20
18)
19)
20) 4
21) 2
22)
5)
−
6)
−
16)
23)
17) 2
24)
18)
25)
19)
26)
11)
27)
12)
28)
13) -8yx-14y-2
14) 2ab-11+10a
15) 6 − 13 + 13
16) -4m-4n+11
17)
+5+2
18) -2a+3b+11
19) –y+1
20)
7) -3x
8) -5x-1
9) -5x-1
10) a-6
21) ab
22)
29)
23)
24) 0
25) 9mn
26) 11xy
27) −18
28)
29)
30)
31)
−
+
−
Ejercicios de
movilización 6
Parte A
1) 35
2) 26
3)
4) −28
5) −36
6) −5
30)
31)
32) 2
33)
34)
35)
2
36) 8
Ejercicios de
movilización 7
Parte A
1) Binomio
2) Binomio
3) Binomio
4) Binomio
5) Monomio
6) Monomio
7) Binomio
8) Trinomio
9) Trinomio
10) Trinomio
11) Trinomio
−
20) −
+
+5
−2
21) 8
−
−
25)
−
−7
22) 4ab-2b-15ª
23) 5xy-4
24) -7m+4n+3
26)
27)
+
+
28)
29)
30)
+
−
−
f ' GRUPO EDITORIAL
Ejercicios de movilización 9
Parte A
1) 15 − 5
2) 21 − 42
3) 27 − 48
4) 225 − 27
5) 10 − 2
6) 288
− 144
7) −6
+ 15
8) 9 − 3
9) −15 + 3
10) −48 + 4
11) −8 − 4
12) −5 + 45
13) −15 + 30
14) 2 + 3
15) 45 − 320
16) 6 − 6
17) 2
+3
18) −125
+ 250
19) −21
+ 28 − 35
20) −68
− 51
+ 34
21) −6
+4
+ 10
22) −27 + 9
−9
23) −6
+ 15
−3
24) −6
− 21 +3
25) −125
+ 250
− 75
26) −68
+ 51
− 34
Ejercicios de movilización 10
Parte A
1) 15 − 2 −
2) 21 − 40
−4
3)
− 13 − 48
4) 225 − 9
+ 75
−3
5) 10 + 2 − 5 −
6) 286 + 24 − 24
7) 6
+ 15 − 10
− 25
8) 9 + 3
−9
−3
9) −5 + 45
+ 81 − 9
10)
− 9 − 5 + 45
11)
−2 −4 +8
12) 2 − 10 − 3 + 15
13) 18 − 9 − 12 + 6
14) 48 − 4 + 48
−4
15) 8 − 4
+2 −
16) −5 + 6 + 27
17) 4 + 12 + 9
18) 25
− 100
155
156
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 11
Parte A
3
2
1) x  6x 14x  45
3
2
2) y  y  6y  8+
3) 18y
4) 48z
4
12y
3
2
 45y  39y  6
6
 20z
5
 20z
3
10z
2
2
9) 49 + 42
+9
10) 4
+ 36
+ 81
11) 100
+ 40
+
4
12) 121
+ 264
+
144
13) 25
+ 10
+
14)
+2
+
6
5
4
2
5) 12 p  8p  20 p  3p  2 p  5 15) 49
5
3
2
6) 35m  29m 10m  6m  4
2
2
7) 3x  3x z  33xz  7x xy 
xyz+8zy+3y-16z-6
8) 12 − 4
− 33 − 25 −
3 +
+8 +5 +3 −8
2
2
 25x y  5y x+6xz2
2zy+10xyz-5x  y  2xy-y-2z
9) 15x
2
10) 2
−2
−3
−6 −2
−
+
+8 +3
12) 10
4
18
−8
− 15
−5
11) 225 + 36
9
− 75
15
+3
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
− 45
− 12
−
+
− 12
+ 12
+4
−
+
+2
Ejercicios de movilización 12
Parte A
9 +6 +
+2
+
16
+ 16
+4
4
+ 12
+9
4 + 12
+
9
+ 18
+9
Parte B
4 + 12
+9
81 + 90
+ 25
16 + 8
+
36 + 12
+
100
+ 220
+ 121
49
+ 210
+ 225
+2
+
25
+ 10
+
+ 14
6) 4
+
Ejercicios de movilización 13
Parte A
1) 4 − 4 +
2)
−2
+
3) 25
− 20
+4
4) 9
− 12
+4
5) 16 − 24
+9
6) 4
− 12
+
9
Parte B
1) 9 − 18
+9
2) 25 − 50
+ 25
3) 4 − 4
+
4) 9 − 6
+
5) 64
− 176
+ 121
6) 4
− 36
+ 81
7)
−2 +
8) 9
− 6
+
9) 49 − 42
+9
10) 25
− 20
+
4
11) 81
− 36
+4
12) 144
− 216
+
81
13)
−6
+9
14)
−2
+
15) 9
−6
+
Ejercicios de movilización 14
Parte A
1) 4 −
2)
−
3) 25
−4
4) 9
−4
5) 16 − 9
f ' GRUPO EDITORIAL
−9
Parte B
1) 4 − 9
2) 25 − 25
3) 16 −
4) 36 −
5) 4
−9
6) 49
− 225
7)
−
8) 25
−
9) 49 − 9
10) 4
− 81
11) 100
−4
12) 121
− 144
13) 25
−
14)
−
Ejercicios de movilización 15
Parte A
1) 4 + 6 + − 8 − 12 + 4
2) 25 + 10 + 4 − 10 − 4 +
3) 4
4) 4
5) 9
40
6) 9
40
7) 9
4
8) 9
28
9) 4
32
10) 4
16
11) 4
16
12) 4
16
13) 9
18
14) 9
9
+8 +8 +4 +8 +4
−4 −8 + −8 +4
− 20 + 25 + 24 −
+ 16
− 20 + 25 − 24 +
+ 16
+ 12
+4
−6 −
+1
− 12
+4
+ 42 −
+ 49
+8
+ 16 + 16
+
+ 16
− 16
+ 16 −
− 32
+ 16
+8
+4
+
+ 16
+ 16
−8
+4
+
− 16
+ 16
− 18
+9
−
+ 18
+9
+ 18
+9
+
+ 18
+ 18
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de
movilización 16
Parte A
1) E
2) EA
3) EA
4) E
5) E
6) EA
7) EA
8) E
9) EA
10) E
11) E
12) E
13) EA
14) E
15) E
16) EA
Ejercicios de
movilización 17
Parte A
1) SI
2) NO
3) NO
4) SI
5) NO
6) NO
7) NO
8) NO
Ejercicios de
movilización 18
Parte A
Trabajo
independiente del
estudiante
Ejercicios de
movilización 19
Parte A
1) 11
2) 6
3) 90
4)
5)
6)
7) 211 y 212
8) 211, 212 y 213
9) 212 y 214
10) 212, 214 y 216
11) 211 y 213
12) 30 y 42
13) 7,22 y 28
14) 12 y 60
15) 10
16) 6 y 18
17) 8
18) 6 Y 11
Ejercicios de
movilización 20
Parte A
Y=0
1)
=2 −1
2)
=3 −8
3)
= 4 − 15
4)
= 5 − 24
5)
= 7 − 14
6)
=2 −2
7)
=9 −2
8)
= 16 − 2
9)
= 21 − 13
10) = 35 − 15
16) S= −
10) S=
18) S= −
12) S= −
Ejercicios de
movilización 26
Parte A
1) S= −
14) S=
4) S=
5) S=
5) S={2}
Ejercicios de
movilización 24
Parte A
1) S= −
6) S= −
3) S= −
9) S= −
5) S=
11) S=
9) S= −
6) S=
10) S=
7) S=
11) S=
8) S=
12) S=
9) S=
Ejercicios de
movilización 27
Parte A
1) S= −
17) S= −
11) S=
Ejercicios de
movilización 22
Parte A
1) S=
13) S= −
2) S=
3) S=
4) S=
7) S= −
8) S= −
4) S= −
14) S=
10) S= −
15) S= −
12) S= −
17) S=
Ejercicios de
movilización 25
Parte A
1) S= −
Graficar con la ayuda del
geogebra on line en
https://chrome.google.com/
webstore/detail/geogebra/b
nbaboaihhkjoaolfnfoablhll
ahjnee
13) S=
Ejercicios de
movilización 21
Parte A
1) S={2}
2) S={4}
3) S={5}
4) S={6}
5) S={3}
6) S={−6}
7) S={−4}
8) S={−7}
9) S={−7}
10) S={−1}
11) S={32}
12) S={36}
13) S={40}
14) S={33}
16) S= −
15) S= −
2) S= −
18) S= −
Ejercicios de
movilización 23
Parte A
1) S={1}
2) S=
3) S=
4) S=
5) S=
6) S=
7) S=
8) S={ }
9) S=
11) S=
13) S=
2) S={1}
3) S=
4) S= −
2) S=∅
3) S={28}
6) S=
7) S= −
8) S=
10) S=
2) S= −
3) S= −
4) S= −
5) S= −
6) S=
7) S={165}
8) S={120}
9) S=
10) S=
11) S=
12) S=
13) S={357}
5) S=
14) S=
6) S=
15) S= −
7) S=
8) S= −
9) S= −
10) S=
11) S=
f ' GRUPO EDITORIAL
16) S= −
17) S={−61}
18) S= −
157
158
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de movilización 28
Parte A
1) S= −
2) S={1}
3) S=
4) S= −
5) S= −
6) S=
7) S=
8) S={0}
9) S=
10) S= −
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Ejercicios de movilización 29
Parte A
=
= +
=2 −
=
=
= − +
=2 +
=
=
=
=3
=
=
15) ℎ =
16)
−
− 49
+
=
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
3)
Ejercicios de movilización 1
Parte A
Trabajo independiente del estudiante
Parte B
1)
Edad
Frecuencia
absoluta
1
15
8
11
4
1
40
19
20
21
22
23
24
Total
Frecuencia
Relativa
0,025
0,0375
0,2
0,275
0,1
0,025
1
Kilómetros
21
22
23
24
25
26
Total
2,5%
37,5%
20%
27,5%
10%
2,5%
100%
Frecuencia
absoluta
14
9
10
6
10
6
55
Frecuencia
Relativa
0,25
0,16
0,18
0,10
0,18
0,10
1
25,4%
16,3%
18,18%
10,9%
18,18%
10,9%
100%
c) kilómetros
26
25
24
a) Baloncesto
22
20
21
21
0
10
Horas
Frecuencia
absoluta
6
6
7
7
9
10
7
6
58
22
23
2)
Pisos
Frecuencia
absoluta
6
5
6
3
4
3
8
6
6
4
9
10
70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Frecuencia
Relativa
0,085
0,071
0,085
0,042
0,057
0,042
0,11
0,085
0,085
0,057
0,12
0,14
1
8,5%
7,1%
8,5%
4,2%
5,7%
4,2%
11,42%
8,5%
8,5%
5,7%
12,8%
14,2%
100%
20
4)
7
8
9
10
11
12
13
14
Total
Frecuencia
Relativa
0,10
0,10
0,12
0,12
0,15
0,17
0,12
0,10
1
15
10
Horas
0
7 8 9 10 11 12 13 14
pisos
1
3
5
7
10,3%
10,3%
12,06%
12,06%
15,51%
17,24%
12,06%
10,3%
100%
d) Horas
5
b) Pisos
12
10
8
6
4
2
0
kilómetros
23
19
9 11
f ' GRUPO EDITORIAL
159
160
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
5)
Veces
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total
Frecuencia
absoluta
9
4
5
6
4
5
3
1
2
39
Frecuencia
Relativa
0,23
0,10
0,12
0,15
0,10
0,12
0,07
0,02
0,05
1
Ejercicios de movilización 2
Parte A
Pregunta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
6
Veces
2
0
12 13 14 15 16 17 18 19 20
6)
Páginas
141
151
171
201
226
251
311
351
371
Total
Frecuencia
absoluta
1
5
2
4
7
5
3
2
3
32
Frecuencia
Relativa
0,03
0,15
0,0625
0,125
0,218
0,15
0,09
0,0625
0,09
1
3,125%
15,625%
6,25%
12,5%
21,87%
15,625%
9,37%
6,25%
9,37%
100%
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Máximo
10
28
47
95
34
1,65
4
150
10
Mínimo
4
13
40
71
28
1,60
1
110
3
Recorrido
6
15
7
24
6
0,05
3
40
7
Ejercicios de movilización 4
Parte A
Determinista
Aleatorio
Aleatorio
Aleatorio
Aleatorio
Aleatorio
Determinista
Aleatorio
Aleatorio
f) Páginas
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Moda
No existe
No existe
89 y 80
No existe
7y8
28,30 y 31
70 y90
2
130
Ejercicios de movilización 3
Parte A
e) Veces
4
Promedio o Media
21,57
42,85
84
1,62
7,3
30,41
76,93
2,38
131,38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
23,07%
10,25%
12,82%
15,38%
10,25%
12,82%
7,69%
2,56%
5,12%
100%
Páginas
141151171201226251311351371
f ' GRUPO EDITORIAL
CAPITULO 5: RESPUESTAS
CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1)
2)
3)
4)
5)
Ejercicios de movilización 5
Parte A
={ , }
={
,
=
,
={
,
,
,
,
}
,
,
,
,
={ , , , , , }
,
,
,
,
,
,
}
,
,
,
,
,
,
Ejercicios de movilización 6
Parte A
Evento simple, seguro
Evento simple, probable
Evento simple, probable
Evento simple, probable
Evento simple, probable
Evento simple, probable
Evento simple, seguro
Evento simple, probable
Evento simple y probable
,
)
Ejercicios de movilización 7
Parte A
0 y 4, 1 y 3, 2 y 2, 4 y 4, 4 y 6, 5 y 3, 5 y 5, 5 y 6, 6 y 2, 6 y 4, 6 y 6.
a){(1,6), (6,1), (3,4), (4,3), (5,2), (2,5)},
b){(1,1), (1,3), (1,5), … . (5,4), (6,3), (6,6)}
a)(6,6,6) b) {(1,1,5) … , … . (1,2,4), … (1,3,3) … . , }
a)2,4,6 b)3,6 c)5,6
a)
b)
6) a)
)
E={ ,
a){ ,
b) { ,
,
c) b)
, d) b)
,
3)
Parte C
1)
2)
Parte D
1)
2)
3)
Parte E
1) M={ , , , }
2) cualquiera de los 4 posee igual
probabilidad
Parte F
1)
2)
3)
4)
5)
Parte G
1) Con reemplazo: son la roja uno con cada una
, e) b)
2)
,
}
Parte B
}
,
,
,
,
}
,
Parte C
a) Con reemplazo: son la roja uno con cada una de las 7 blancas, con
segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una,
además que saque una y luego saque la misma, de las 10 que son.
b) Sin reemplazo: son la roja uno con cada una de las 7 blancas, con
segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una.
,
1)
2)
= {2,4,6.8,10,12}
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
= (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
= {(1,1,1), (1,1,2), … … . . (6,6,6)} SON 216
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),
=
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), (
,
,
,
,
,
,
,
,
Ejercicios de movilización 8
Parte A
11
28
Parte B
,
de las 7 blancas, con segunda roja o con la
tercera roja y así sucesivamente con cada
una, además que saque una y luego saque la
misma, de las 10 que son.
Sin reemplazo: son la roja uno con cada una
de las 7 blancas, con segunda roja o con la
tercera roja y así sucesivamente con cada
una.
Parte H
1)
2)
Parte I
1)
2)
3) 1
f ' GRUPO EDITORIAL
161
BIBLIOGRAFÍA
1. Alcázar, A. (2007). Historia de la probabilidad. Recuperado el 7 de abril del 2012 de
http://web.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%20proba
bili dad.pdf
2. Alfaro, C. & Barrantes, H. (2008). ¿Qué es un problema matemático? Percepciones en la
enseñanza media costarricense. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación
Matemática, 4, 83-98.
3. Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada, España: Grupo de Educación
Estadística. Granada, España: Universidad de Granada.
4. Batanero, C. & Godino, J. (2012). Estocástica y su didáctica para maestros. Granada,
España: Universidad de Granada.
5. Brousseau, G. (1990). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la
didáctica de las Matemáticas? (Primera parte). Enseñanza de las Ciencias, 8(3), 259- 267.
6. Brousseau, G. (1991). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la
didáctica de las Matemáticas? (Segunda Parte). Enseñanza de las Ciencias, 9(1), 10- 21.
7. Casado, S. (n.d.). Los sistemas de numeración a lo largo de la historia. Recuperado de
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html#E
8. Consejo superior de Educación de Costa Rica (1994). Política educativa hacia el Siglo
XXI. Acuerdo tomado en la sesión Nº 82-94, el 8 de noviembre de 1994. Descargado de
http://www.oei.es/quipu/costarica/politicaeducativasigloXXI.pdf
9. Descartes, R. (2008). La géométrie [Editado por Hermann, A. Versión de 1886].
Recuperado de http://www.gutenberg.org/ebooks/26400/26400-pdf.pdf, doi: ISO-8859-1
10. Enzensberger, H. (1998). El diablo de los números. Madrid: Ediciones Siruela.
11. Gardner, H. (1995). Inteligencias múltiples: La teoría en la práctica. Barcelona: Ediciones
Paidós Ibérica, S. A.
12. Godino, J. (2004). Didáctica de las Matemáticas para maestros: Proyecto EdumatMaestros. Recuperado de http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/.
13. La enciclopedia on-line de las secuencias de números enteros. (2011, mayo 26).
Recuperado de http://oeis.org/
14. Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (1995a). Programa de estudios. Tercer
ciclo. Matemáticas. Costa Rica: autor.
15. Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (1995b). Programa de estudios. Ciclo
diversificado. Matemáticas. Costa Rica: autor.
16. OECD. (2010). Pisa 2009 results: what students know and can do – student performance in
reading,
mathematics
and
science
[Vol.
I].
Recuperado
de
http://dx.doi.org/10.1787/9789264091450-en doi: 10.1787/9789264091450-en
17. Pierce,
R.
(2008,
abril
08).
Razón
de
oro.
Recuperado
de
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razonoro.html
18. Polya, G. (1990). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
19. Rico, L. & Lupiáñez, J. (2008). Competencias matemáticas desde una perspectiva
curricular. Madrid, España: Alianza Editorial.
20. Schoenfeld, A. (2011). How we think. New York: Routledge.
21. Vygotsky, L. S. (1987). Collected works (vol. 1). New York: Plenum.