Funciones Elementales: Apuntes de Matemáticas I (1º Bachillerato)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10.- FUNCIONES-1ª PARTE
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
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1.- FUNCIONES ELEMENTALES
Una función f es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real
y = f(x).
Las letras x e y se llaman variables. Se dice que y es la imagen de x.
El conjunto de todos los puntos del plano (x, y) que cumplen la fórmula o ecuación y = f(x) se llama
gráfica de la función f.
Por tanto, para que la relación entre la “x” y la “y” sea una función no puede haber valores de “x” a los
que les corresponda más de un valor de “y”.
Ejemplos:
1) La fórmula y =  x NO corresponde a una función pues, por ejemplo, a x = 4 le corresponden
dos valores de y, que son y = 2 , y = –2
2) La gráfica
NO corresponde a una función porque hay valores de “x” a los
que les corresponde dos valores de y


 lineales : y  mx




 de grado menor que 2 :  afines : y  mx  n


cons tantes : y  n



polinómicas : 
cuadráticas : y  ax2  bx  c



de grado mayor que 2 : y  p(x), con gradop  2






Funciones elementales : 
racionales : y  p(x) . Caso particular : y  k (de proporcionalidad inversa)

x
q(x)


con radicales : y  g(x)

exponenciales : y  ax


logarítmicas : y  loga x


Directas : y  senx, y  cos x, y  tgx

trigonométricas : 

Inversas : y  arcsenx, y  arc cos x, y  arctgx

Dominio de definición y recorrido de una función
El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que existe
f(x). Se representa por D(f).
El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la
variable “y”. Se representa por Rec(f) ó también por Im(f)
Y
7
6
5
4
3
2
Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
D(f) = R – { – 4}
Rec(f) = (–∞, 5]
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X
1
2
3
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Puntos de corte de una gráfica con los ejes de coordenadas
Con el eje X: Como la ecuación del eje X es y = 0, para calcular los puntos de corte de la gráfica de
 y  f(x)
una función f(x) con el eje X resolvemos el sistema 
. Obtenemos la ecuación f(x) = 0.
y  0
Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje X
Con el eje Y: Como la ecuación del eje Y es x = 0, para calcular el punto de corte con el eje Y
 y  f(x)
. Obtenemos entonces x = 0 , y = f(0), que da lugar al punto (0, f(0)).
resolvemos el sistema 
x  0
Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Y
5x  6
, para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación
x3
5x  6
6
6
 0  5x  6  0(x  3)  5x  6  0  x  . El punto de corte es P( ,0)
x3
5
5
5.0  6
Para calcular el punto de corte con el eje Y hallamos f(0) 
 2 . El punto de corte es Q(0, –2)
03
Por ejemplo, si f(x) 
Estudio del signo de una función
Estudiar el signo de una función es determinar los intervalos del eje X donde f(x) > 0 (o sea la gráfica
está “por encima” del eje X) y los intervalos donde es f(x) < 0 (o sea la gráfica está “por debajo” del
eje X).
Por ejemplo, esta función
corta al eje X en los puntos (–1, 0) y (3, 0).
Por tanto, la función es positiva en el intervalo (– 1, 3) pues en este intervalo la gráfica está por
“encima” del eje X y negativa en el resto, es decir en (–∞,–1) U (3, ∞)
Puntos de corte de dos gráficas
Para calcular los puntos de corte de las gráficas de dos funciones f y g a partir de las fórmulas
 y  f(x)
. Si el sistema no tiene solución entonces las gráficas
resolvemos el sistema de ecuaciones 
 y  g(x)
no se tocan
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Ejemplos:
1) Calcular los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x) = x2 , g(x) = 5x – 6 . Debemos
 y  x2
resolver el sistema 
. Igualando, x2 = 5x – 6 →x2 – 5x + 6 = 0→ x = 2, x = 3
 y  5x  6
2
Si x = 2, y = 2 = 4 → Punto P(2, 4)
Si x = 3, y = 32 = 9 → Punto Q(3, 9)
Los puntos de corte de las gráficas son P y Q
2) Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b g(x) = – x2 + c. Determínese a, b y c, sabiendo que las
gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y (1, 0)
Solución
La gráfica de f pasa por (  2,  3)  f(  2)   3  (  2)2  a . (  2)  b   3   2a  b   7

2
La gráfica de g pasa por (  2,  3)  g(  2)   3   (  2)  c   3  c  1
 L a g rá fic a d e f p a s a p o r (1 , 0 )  f (1 )  0  1 2  a . 1  b  0  a  b   1

2
 L a g rá fic a d e g p a s a p o r (1 , 0 )  g(1 )  0   1  c  0  c  1
  2a  b   7
R e so lv ien d o el siste m a 
o b ten em o s a  2 , b   3 . Lueg o , a  2 , b   3, c  1
a  b  1
3) Ley de oferta y demanda
Puedes ver en qué consiste esta ley en el enlace
https://economipedia.com/definiciones/ley-de-oferta-y-demanda.html
y ver un caso real en el video del siguiente enlace
https://www.youtube.com/watch?v=LrVhhHVEgHs
Simetría de una función
Funciones pares: Una función es par si su gráfica es simétrica respecto del eje Y. Las funciones pares
cumplen f(–x) = f(x)
Ejemplo: La función f(x) = 7x4 – 3x2 + 2 es par porque f(–x) = 7(–x)4 – 3(–x)2 + 2 = 7x4 – 3x2 + 2 = f(x)
Funciones impares: Una función es impar si su gráfica es simétrica respecto del origen de
coordenadas. Las funciones impares cumplen f(–x) = – f(x)
Ejemplo: La función f(x) = 2x3 – 5x es impar porque f(–x) = 2(–x)3 – 5(–x) = –2x3 + 5x = –f(x)
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ACTIVIDADES
1.- En las siguientes funciones estudia el dominio, el recorrido y el signo:
a)
b)
Y
c)
X
d)
3
0
6
8
10
Y
6
5
4
3
2
1
2.- Sea f la función dada por la gráfica
X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
Calcula: a) D(f) b) Rec(f)
c) f(2)
d) f(–3)
f) Los valores de x para los que f vale 3
e) El intervalo donde f es negativa
7x  4
determina: a) f(–0,75)
b) Los puntos de corte con los ejes
5x  2
c) La solución de la ecuación f(x) = –3
d) El intervalo donde f(x) es negativa
3.- Dada la función f(x) 
2.- OPERACIONES CON FUNCIONES.
Dadas dos funciones f y g se definen las siguientes operaciones:
Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Ejemplo: Si f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x – 4  (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 2x – 4 = 5x – 3
Función opuesta: (–f)(x) = – f(x) Ejemplo: Si f(x) = 2x – 4  (–f)(x)= –f(x) = –2x + 4
Resta de funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3  (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – 3 – x – 3 = x2 – x – 6
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Producto de un número por una función: (a.f)(x) = a.f(x)
Ejemplo: Si f(x) = x2 + x – 2  (3f)(x) = 3f(x) = 3x2 + 3x – 6
Producto de funciones: (f.g)(x) = f(x) . g(x)
Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3  (f.g)(x) = f(x)g(x) = (x2 – 3)(x – 3) = x3 – 3x2 – 3x + 9
 
1
f
Ejemplo: Si f(x) = x2 + x – 2    (x) 
()
1
1
 2
f(x) x  x  2
x x
f g
f g
 
1 x
f
1 f
 
Función inversa para el producto:   (x) =
()
Cociente de funciones:   (x) =( )
 
f
 g
Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3    (x) 
f(x) x2  3

g(x) x  3
Composición de funciones: Dada una función f que transforma x en y = f(x) y otra función g que
f
g
transforma y en g(y), x 
 y  f(x)  g(y)  g[f(x)] . Se define la función compuesta de f con g
así: (g o f) (x) = g[ f(x) ]
Ejemplo: Si f(x) = x2, g(x) = x – 2, entonces (f o g)(x) = f[g(x)] = [g(x)]2 = (x – 2)2.
Observa que (g o f)(x) = g[f(x)] = f(x) – 2 = x2 – 2.
Función recíproca o inversa para la composición: Si f es una función que transforma x en y = f(x)
f
x  y  f(x) , se define la función recíproca de f, en caso de que exista, como la función f–1 que
f 1
transforma y en x: y  f(x) 
 x  f 1 (y) . Es decir y  f(x)  x  f 1 (y)
Para calcular la fórmula de f –1(x) a partir de la fórmula de f(x) el proceso es el siguiente:
1º) Escribimos y = f(x) e intercambiamos “x” por “y”
2º) Despejamos “y”
La función f –1 siempre cumple: f –1[f(x)] = f [f –1(x)] = x
Ejemplo:
2
hacemos:
x 3
2
2
2  3x
int ercambiando x por y
despejando y
y
 x 
 xy  3x  2  y 
x 3
y 3
x
Para hallar la inversa de f(x) 
Luego, la función recíproca de f es f 1 (x) 
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2  3x
x
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Las gráficas de las funciones f y g = f –1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer
cuadrante, y = x:
Ejercicios resueltos
1) Realiza las siguientes composiciones de funciones:
1
a) f o g , siendo f(x) =
6  3x
Solución: (f o g)(x)  f[g(x)] 
x2  2 .
, g(x) =
2
1
2
6  3.[g(x)]

1
2
2
6  3.[ x  2]
1

2
6  3.(x  2)
1

3x2
b) n o m , siendo m(x) = 27x + 3 , n(x) = log2 x
Solución: (n o m)(x)  n[m(x)]  log [m(x)]  log [27x  3 ]  7x  3
2
c) f o f , siendo f(x) =
2
x 9
x
Solución: (f o f)(x)  f[f(x)]  f(x)  9 
f(x)
x9
x  9  9x
9
10x  9
x
x


x9
x9
x9
x
x
2) Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2x + 7
int ercambiando x por y
despejando y
Solución: y  2x  7 
x  2y  7 
b) g(x) =
x2  3
int ercambiando x por y
Solución:
x7
x7
 y  f 1 (x) 
2
2
 y  3  x  y  3
despejando y
y  x2  3  x  y 2  3  x2 
2
2
2
2
x2  3  y 2   x2  3  y. Hay dos inversas : g1 (x)  x2  3 ; g1 (x)   x2  3
1
Luego, la función recíproca de f es f 1 (x) 
3x  2
c) h(x) =
2
x7
2
int ercambiando x por y
3y  2
despejando y
y
 x 
 xy  x  3y  2
3x  2
x 1
y 1
Solución:
x 1
x2
x2
xy  3y  x  2  (x  3)y  x  2  y 
x 3
 h1 (x) 
x 3
d) i(x) = 1 – 5.3x + 2
y  1  5.3x  2  x  1  5.3y  2  5.3y  2  1  x
Solución:
1x
1x
1x
1x
3y  2 
 log (3y  2 )  log
 y  log
 2  i 1 (x)  log
2
3
3 5
3 5
3 5
5
int ercambiando x por y
despejando y
e) j(x) = 6 – log2 (x+1)
int ercambiando x por y
Solución:
despejando y
y  6  log (x  1)  x  6  log (y  1)  log (y  1)  6  x
2
6x
2
2
6x
 y 1  y  2
1
6x
 1  j (x)  2
1
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2
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Construcción de gráficas por traslación
1) La gráfica de la función “f(x) + k” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) |k| unidades.
Se trasladará hacía arriba, si k > 0 ó hacía abajo, si k < 0.
Ejemplos
2) La gráfica de la función “f(x – k)” se obtiene trasladando la gráfica de f(x)
Se trasladará hacía la derecha, si k > 0 ó hacía la izquierda, si k < 0.
|k| unidades.
Ejemplos
En general, la gráfica de la función “f(x – a) + b” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) “a” unidades
en horizontal y “b” unidades en vertical
Construcción de gráficas por simetría
La gráfica de “– f(x)” es la simétrica de la gráfica de f(x) respecto del eje X.
Ejemplo
Construcción de gráficas por dilatación o contracción
La gráfica de la función “k.f(x)”, con k > 0 se obtiene multiplicando por k cada valor “y” de la gráfica
de f(x). Por tanto, si k > 1 la gráfica de f(x) se “estira” y si k < 1 se “contrae”.
Ejemplos
Si k es negativo, se obtiene la gráfica de “–kf(x)” y, después, se halla su simétrica respecto del eje X.
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ACTIVIDADES
1.- Realiza las siguientes composiciones de funciones:
a) f o g y g o f , siendo f(x) = 3x – 4 , g(x) = x2 + 1
b) f o g , siendo f(x) =
2.- Calcula la función recíproca de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x – 5
2x  1
x 2
3.- Dadas f(x) 
d) f(x) = 1 + 3.2x – 1
5.- Si f(x) 
, g(x) =
x2  1
b) f(x) =
x2  4
e) f(x) = 5 + log (x – 3)
1
x 1
, g(x)  2
, calcular: a) (f o g)(x)
x 1
x 9
4.- Dadas las funciones f(x) 
2  2x
2
x1
d) f o f , siendo f(x) =
x
c) g o f , siendo f(x) = 32x – 1 , g(x) = log3 x
c) f(x) =
1
b) (g o f)
 1 
d) f 

 g(x) 
c) f –1(x)
2
, g(x) = 2x +3, hallar f o g, g o f y la inversa de la función f
x 3
x 1
, ¿Qué relación existe entre f(1/x) y f(x)?
x 1
3.- FUNCIONES POLINÓMICAS
Son aquellas de la forma f(x) = p(x) siendo p(x) un polinomio. Su dominio de definición es R, pues la
fórmula se puede hallar para cualquier valor de “x”.
Así, por ejemplo, si f(x) = x2 – 3x + 1 entonces la fórmula se puede calcular para cualquier número
real. Por tanto, D(f) = R
Funciones polinómicas de grado menor que 2
Todas estas funciones tienen como gráfica una línea recta. El coeficiente de x, o sea m, es la
pendiente de la recta.
Si la pendiente es positiva la función es creciente, si es negativa la función es decreciente y si es cero
es constante.
Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos:
- Funciones lineales: Son del tipo f(x) = mx , con m  0.
La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).
Por ejemplo: f(x) = 3x , f(x) = –2x son funciones lineales.
Y
y = 3x
Y
3
y = -2x
Función
creciente
m=3>0
Función
decreciente
m = -2 < 0
1
X
X
1
-2
- Funciones afines: Son del tipo f(x) = mx + n, con m , n  0.
La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).
El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen y la recta corta la eje Y en
el punto (0, n)
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Por ejemplo: f(x) = 2x – 5 ,
f(x) = –3x + 1
son funciones afines.
Y
Y
y = 2x - 5
y = -3x + 1
1
1
X
1
X
-3
-2
-5
La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5 La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1
- Funciones constantes: Son del tipo f(x) = n.
La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n).
Por ejemplo: f(x) = 1
,
f(x) = –5 son funciones constantes.
Y
Y
X
1
y=1
-5
y = -5
X
Ejercicios resueltos
1) Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de
matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades.
Si estamos 6 meses, nos gastaremos en total 246 €, y si estamos 15 meses, nos costará 570 €.
Calcula cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año
Solución: x = nº de meses, y = precio en €. La gráfica es una recta que pasa por P(6, 246) Q(15,570)
324
Como d
PQ  (9,324)  m 
 36  r : y  246  36(x  6)  r : y  36x  30
r
r
9
Entonces, 1 año = 12 meses; el precio es y = 36 . 12 + 30 = 462 €
2) Un fabricante debe entregar sus productos en un radio de 600 km.
Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones:
Transportista A: 0,60 €/km
Transportista B: 45 € fijos y 0,50 €/km
a) Escribe la fórmula de la función km-precio para cada transportista
Solución: Transportista A: y = 0,60x
Transportista B: y = 0,50x + 45
b) Representa gráficamente las dos funciones anteriores usando los mismos ejes de coordenadas
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c) Calcula el punto donde se cortan y explica su significado.
0,60x = 0,50x + 45  x = 450 , y = 270  Se cortan en el punto (450, 270) que significa que para 450
km los dos transportistas cobran lo mismo, 720 €
d) Averigua cuál de ellos sale más barato para un recorrido de 400 km.
x = 400  Transportista A: y = 0,60 . 400 = 240 € Transportista B: y = 0,50 . 400 + 45 = 245 €
Sale más barato el transportista A.
También se podría haber obtenido a partir de las gráficas porque para x = 400 la gráfica del
transportista A está por debajo de la del transportista B.
e) ¿Y para 500 km?
x = 500  Transportista A: y = 0,60 . 500 = 300 € Transportista B: y = 0,50 . 500 + 45 = 295 €
Sale más barato el transportista B.
También se podría haber obtenido a partir de las gráficas porque para x = 400 la gráfica del
transportista B está por debajo de la del transportista A.
Funciones cuadráticas
Son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado, f(x) = ax2 + bx + c, siendo a ≠ 0
y su gráfica es una parábola.
Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba.
Decimos entonces que la función es convexa
Si a < 0, la parábola tiene las ramas hacía abajo.
Decimos entonces que la función es cóncava
e: x = xv
V = vértice
e = eje de simetría
V(xv , yv)
V(xv , yv)
V = vértice
e = eje de simetría
e: x = xv
El vértice V es un mínimo absoluto
El vértice V es un máximo absoluto
El vértice de la parábola, V(xv , yv) , se calcula por las fórmulas:
−b
2a
yv = f(x v )
xv =
Ejercicios resueltos
1) Elabora la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:
b
0
x 

 0, y  f(0)  3.02  3  3  V(0, 3)
v
v
2a
2.3
a) f(x) = 3x2 – 3 Solución
x 1
(1,0)
Puntos de corte con el eje X : 0  3x2  3 

x  1 ( 1,0)
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1
b) f(x)  x2  x  3
5
Solución
2
x 
v
0
b
1
5
5
15
5
25 5
7
5 7

 , y  f( )      3 
  3   V( , ). Puntos de corte co n el eje X :
v
2a 2. 1
2
2
52
2
20 2
4
2 4
5
x 0 5
1 2
.5
x  x  3   0  x 2  5x  15 (incom patib le)  no corta al eje X. Tabla de valores :
y 3 3
5
2) Se considera la función f(x) = mx2− nx + 4.
Calcula los valores de los parámetros m y n para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 10)
Solución
2
La gráfica pasa por (1, 10)  f(1)  10  10  m.1  n.1  4  m  n  6

 Resolviendo el sistema, m  6, n  12

n
 1  n  2m
x v  1 

2m
3) La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla
a) Halla la función cuadrática que se ajusta a los datos
Solución
La gráfica pasa por (2, 15)  f(2)  15  15  a.22  b.2  c  4a  2b  c  15

f(x)  ax2  bx  c La gráfica pasa por (3, 16)  f(3)  16  16  a.32  b.3  c  9a  3b  c  16

2
La gráfica pasa por (5, 12)  f(5)  12  12  a.5  b.5  c  25a  5b  c  12
 Resolviendo el sistema, a  1, b  6, z  7. Luego, f(x)  x2  6x  7
b) Calcula la temperatura cuando han transcurrido 4 h. Solución: x  4  f(4)  42  6.4  7  15ºC
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4) Dibuja en los mismos ejes las rectas y = 4x , y = 8 – 4x y la parábola y = 2x – x2 y encuentra los
puntos de contacto.
Solución

2
y  2x  x2 . Vértice : x 
 1 ; y  2.1  12  1  V(1, 1); rectas : y  4x , y  8  4x
v
v
2.( 1)
 y  2x  x2
 2x  x2  4x  x2  2x  0 (soluciones : x  0, x  2)
Puntos de corte : 
 y  4x
x  0  y  4.0  0  P(0, 0) ; x  2  y  4.( 2)  8  Q( 2,  8)
 y  2x  x2
 2x  x2  8  4x  x2  6x  8  0 (soluciones : x  2, x  4)

 y  8  4x
x  2  y  8  4.2  0  R(2, 0) ; x  4  y  8  4.4  8  Q(4,  8)
 y  4x
 4x  8  4x  8x  8 (solución : x  1). x  1  y  4.1  4  T(1, 4)

 y  8  4x
5) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado
por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7
a) Representa la gráfica de la función f.
12
Vértice : t 
 6 ; f(6)  62  12.6  31  5  V(6, 5)
v
2.( 1)
Solución f(4)  42  12.4  31  1  punto inicial : (4, 1)
f(7)  72  12.7  31  4  punto final : (7, 4)
b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende?
Solución Alcanza el beneficio máximo para t = 6 (a los 6 años) y asciende a 5 millones de euros
c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este?
Solución Alcanza el beneficio mínimo para t = 4 (a los 4 años) y es de 1 millón de euros
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Funciones polinómicas de grado superior a dos
Su gráfica ya no es ni una recta ni una parábola.
Ejercicio resuelto
Tomando un cartón rectangular de dimensiones 2,1 dm x 1,6 dm se construye una caja sin tapa
recortando un cuadrado de lado x en cada esquina y luego doblando las cuatro pestañas:
a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja
Solución: La función superficie es S(x) = 16 . 21 – 4x2 = 336 – 4x2.
La función volumen es V(x) = (21 – 2x)(16 – 2x)x = 4x3 – 74x2 + 336x
b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores
Solución: Para que se pueda recortar el cuadradito, el lado x debe ser menor que la mitad del lado
menor del cartón. Luego, 0 < x < 8. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 8)
c) Halla la superficie y el volumen de la caja para x = 2,5 cm
Solución: S(2,5) = 336 – 4.2,52 = 311 cm2 V(2,5) = (21 – 2.2,5)(16 – 2.2,5)2,5 = 16. 11 . 2,5 = 440 cm3
d) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de
3 dm2 de superficie
Solución: 3 dm2 = 300 cm2. Luego, S(x) = 300 → 336 – 4x2 = 300 → 4x2 = 36 → x = 3
Debemos recortar un cuadradito de 3 cm de lado.
e) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 0,33 litros?
Solución: 0,33 l = 0,33 dm3 = 330 cm3. Luego, V(x) = 330 → 4x3 – 74x2 + 336x = 330
4x3 – 74x2 + 336x – 330 = 0. Resolviendo obtenemos x = 5
Debemos recortar un cuadradito de 5 cm de lado.
ACTIVIDADES
1.- Halla el punto de corte con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por P(–2, 3) y Q(–1, – 2)
2.- Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de forma que a medida que A se va vaciando, B se va
llenando.
El depósito A está lleno y tiene una capacidad de 35 litros y se vacía a razón de 2 litros por minuto.
El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de 1,5 litros por minuto.
a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes,
calcula el punto donde se cortan y explica su significado.
b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos
c) ¿Y a los 12 minutos?
3.- Elabora la gráfica de las funciones cuadráticas: a) y = 6x – x2
b) y = 2x2
c) y = –x2 + 2x – 1
4.- Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(−4, −5), B(−2, 3) y C(3, −12)
1 2
3
x x
2
2
a) Halla su vértice y los puntos de corte con los ejes.
5.- Dada la función cuadrática f(x) 
b) Representa en los mismos ejes de coordenadas la función anterior y la función lineal y 
y halla los puntos de corte de ambas funciones.
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3
x
4
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6.- Sean f(x) = x2 − 2x +3 y g(x) = (1/2)x2 + 1. Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes de
coordenadas y halla su punto de corte.
7.- Considera las funciones f(x) = 6x – x2 y g(x) = x2 – 2x. Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes
de coordenadas y halla sus puntos de corte.
8.- Sea f: R → R la función definida por f(x) = –x2 + 2x + 3.
Dibuja la gráfica de f y la recta 2x + y – 7 = 0 en los mismos ejes. Después calcula el punto de corte.
9.- Sea f: R → R la función definida por f(x) 
9  x2
. Dibuja la gráfica de f y la recta x + 2y = 5 en los
4
mismos ejes y calcula el punto de corte.
10.- Considera las siguientes curvas y = x2, y = 2 – x2, y = 4. Dibújalas en los mismos ejes y calcula
los puntos de corte.
11.- Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula
B(x) = – 0,01x2 + 10x – 900, siendo x el número de artículos fabricados.
a) Calcula el vértice de la gráfica e indica el número de artículos que deben fabricarse al mes para
que el beneficio sea máximo y también dicho beneficio máximo.
b) Calcula los puntos de corte de la gráfica con el eje X e indica el número de artículos para el cual el
beneficio es nulo.
12.- Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es “x” euros, su
beneficio diario, en euros, será: B(x) = −10x2 + 100x − 210, para x > 0.
a) Haz la gráfica de la función
b) Indica a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio y cuál es ese
beneficio máximo
13.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “y” (en metros) a la que se
encuentra en cada instante “x” (en segundos) viene dada por la expresión: y = –5x2 + 40x
a) Averigua en qué momento alcanza la altura máxima y cuál es esa altura.
b) ¿En qué momentos está en el suelo?
14.- Para cierto tipo de bengala se ha comprobado que el porcentaje de luminosidad (Y en
porcentaje) que produce viene dado en función del tiempo (X en minutos), a través de la función
f(x) = 100x – 25x2.
a) ¿Qué porcentaje de luminosidad se produce al cabo de medio minuto?
b) ¿Cuál fue el tanto por ciento de luminosidad máxima y en qué momento se produjo?
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se apaga la bengala?
15.- Dada la función f(x) = x2. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:
1
g(x) = x2 + 3
h(x) = x2 – 1 i(x) = (x – 5)2
j(x) = (x + 2)2 k(x) = –x2 l(x) = 3x2 m(x) = x2
2
16.- Se tiene una cartulina rectangular de dimensiones 8 dm x 4 dm
De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa.
a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja
b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores
c) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de
31 dm2 de superficie
e) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 12 litros?
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4.- FUNCIONES RACIONALES Y FUNCIONES CON RADICALES
p(x)
Su fórmula es del tipo f(x) 
siendo p(x) y q(x) polinomios. Su dominio corresponde a todos los
q(x)
números excepto los que anulan al denominador: D(f) = R – { x / q(x) = 0 }
Ejemplos:
3x  2
1) Si f(x) 
, entonces x – 1 = 0 ↔ x = 1. Luego, D(f) = R – {1}
x 1
x2  1
5
 5 
2) Si f(x) 
, entonces 5x + 3x2 = 0 ↔ x = 0, x =
. Luego, D(f)  R  0, 
2
3
5x  3x
 3
1
3) Si f(x)  2
, entonces x2 + x + 1 = 0 no tiene solución. Luego, D(f) = R
x  x 1
Funciones de proporcionalidad inversa
Son aquellas del tipo y 
k
, siendo k ≠ 0. En estas funciones, D(f) = R – { 0 } y se cumple que x e y
x
son i.p, pues xy = cte = k.
La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas (este tipo
de hipérbolas se llaman equiláteras).
Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas.
Si k > 0, la función es decreciente y la gráfica es
una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.
Si k < 0, la función es creciente y la gráfica es
una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.
Ejemplo:
Ejemplo:
Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas
Ejercicios resueltos
1) Halla la fórmula de esta función de proporcionalidad inversa.
Y
6
5
4
3
2
1
X
-6 -5 -4 -3 -2 -1
4
5
Como la gráfica es una hipérbola, la fórmula es del tipo y 
k
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
6
Solución
Como la gráfica pasa por ( 3,2) entonces 2 
k
6
 k  6. Luego, la fórmula es y 
3
x
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2) La distancia entre dos ciudades es 180 km. Halla la fórmula de la función que relaciona el tiempo y
la velocidad media con que se recorre dicha distancia.
Solución
180
Si x  tiempo e y  velocidad  dis tancia  velocidad x tiempo  180  y.x  y 
x
3) A partir de la gráfica de f(x) 
2
2
vamos a dibujar la gráfica de g(x) 
5
x
x 3
Forma mixta de una función racional
p(x) q(x)
p(x)
Sea f(x) 
una función racional. Hacemos la división
q(x)
r(x) c(x)
Usando la regla de la división: p(x) = q(x) . c(x) + r(x), siendo el grado de r(x) < grado de q(x).
Dividiendo los dos miembros de la igualdad entre q(x) se obtiene:
p(x) q(x).c(x) r(x)
p(x)
r(x)


 f(x) 
(esta es la forma mixta de la fracción)
 c(x) 
q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
Ejemplo: Para la función racional f(x) 
2
2x  7
6x2  5x  1 6x  5x  1
:
.
2x  7
r  57
3x  8  c(x)
Por tanto, la forma mixta es f(x)  3x  8 
57
2x  7
Funciones con radicales
Son funciones cuya fórmula es del tipo f(x)  n g(x)
* Si el índice es par el radicando debe ser mayor o igual que cero. Es decir, si f(x)  n g(x) , con n par
entonces D(f) = { x / g(x) ≥ 0}
Ejemplos:
1) Si f(x)  3  2x , entonces D(f) es el conjunto solución de la inecuación 3 – 2x ≥ 0 .
3
3
Como 3 – 2x ≥ 0 ↔ 3 ≥ 2x ↔  x , D(f)  (  , ]
2
2
x4
2) Si f(x)  2
, entonces x  4  0  x  4 ; x2  5x  6  0  x  2, x  3
x  5x  6
2
3
4
x4
 0     
x2  5x  6    0  0  . Luego, D(f)  [ 4, 2) ∪ (3,  )
x4
 0     
2
x  5x  6
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3) Si f(x) =
x2  4
2
x 9
2
entonces x2  4  0  x  2, x  2 ; x2  9  0  x  3, x  3
2
2
x 4  0  0 
 D(f)  (  ,  2] ∪ [2,  )  3
4) Si f(x)  2x  6  1  x , entonces D(f) es el conjunto de valores de x que cumplen 2x + 6 ≥ 0
y 1–x≥0.
La raíz del polinomio 2x  6 es x  3 y la del polinomio 1  x es x  1
3 1
2x  6  0    . Luego, D(f)  [ 3, 1]
1x    0 
* Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular
para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f(x)  3 x  2 , entonces D(f) = R.
ACTIVIDADES
1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las funciones:
a) f(x) 
1
2x  5
4x  1
b) f(x) =
2.- Dibuja las hipérbolas: a) f(x) = 12/x
c) f(x) =
2
x  5x  6
3x
2
x 1
b) f(x) = –3/x
Y
25
20
15
10
5
3.- Calcula la fórmula de la función f
X
-25 -20 -15 -10
-5
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
-20
-25
4.- Dada la función f(x) 
g(x) 
3x  5
x
5
. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:
x
(Nota: obtén primero la forma mixta)
2x  5
5
4x  7
x  3
h(x) 
i(x) 
j(x) 
k(x) 
x
x 1
x 3
x2
5.- Para realizar una zanja 4 trabajadores tardan 15 días. Se pide:
a) Fórmula de la función que relaciona x = nº de trabajadores con y = tiempo.
b) Número de trabajadores necesarios para hacer la zanja en 12 días
3
6.- Dada f(x)  . Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja la gráfica de la función f(x  2)  4
x
7.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las funciones: a) f(x)  3x  1
1
3x  2
b) f(x)  x2  2x  3 c) f(x) =
d) f(x) = 9  x 2 e) f(x)  x2  2x f) f(x) 
2
x
x  5x  6
g) f(x)  1 
3x
5x
h) f  x  
5  2x
i) h x  
x4
x2  4
x 1
j) f(x) =
x 3 
x  1 k) f(x) =
x  x +1
8.- Dada la función f(x)  x . Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:
g(x) = x  2
h(x) = x  3
i(x) = 2 x
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5.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Funciones exponenciales de base a
Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = ax , con a > 0, a ≠ 1
La gráfica de este tipo de funciones corta al eje Y en el punto (0, 1) y tiene como asíntota horizontal
al eje X. En estas funciones, D(f) = R
Si a > 1, es creciente.
Si a < 1, es decreciente.
Y
Y
x
y = (⅓)x
y= 2
Ejemplo:
1
X
Ejemplo:
1
X
Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje X y además Rec(f) = (0, ∞)
La función exponencial más importante en matemáticas es la de base el número “e”:
f(x) = ex , siendo e = 2,718281828…, que es un número irracional.
Funciones logarítmicas de base a
Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = loga (x),
con a > 0, a ≠ 1. En estas funciones D(f) = (0, ∞), pues sólo existe el logaritmo de un número positivo.
La gráfica de la función logarítmica de base a es una curva que corta al eje X en el punto (1, 0) y tiene
como asíntota vertical al eje Y.
Si a > 1, es creciente. Ejemplo:
Si a < 1, es decreciente. Ejemplo:
Y
1
Y
y = log2 (x)
y = log1/3 (x)
X
X
1
Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje Y y además Rec(f) = R
La función logarítmica más importante es la función logaritmo neperiano: f(x) = ln(x)
Las funciones f(x) = loga (x) y g(x) = log1/a (x) = –loga x son simétricas respecto del eje X
Por ejemplo,
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Las funciones f(x) = ax y g(x) = loga x son simétricas respecto de la recta y = x (bisectriz del I y III
cuadrantes). Por ejemplo:
Ejercicios resueltos
1) Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) f(x) =
6x
2  2x
x  6
6  x  0
 x  6
Solución: f está definida sólo cuando 


 D(f)  (  , 6]  1

x
x
x  1
2  2  0
2  2
b) f(x) =
log3 (x  1)
2x + 3
x  1
x  1  0

Solución: f está definida sólo cuando 

3  x  1  D(f)  (1,  )
2x  3  0
x  2
c) f(x)  log(x  1)
log(x  1)  0
x  1  1
x  0
Solución: f está definida sólo cuando 


 x  0  D(f)  [0,  )
x  1  0
 x  1
 x  1
2) Calcula la fórmula de la función f cuya gráfica es
Y
7
6
5
4
3
2
1
a)
X
-1
1
2
-1
Solución:
La fórmula es del tipo y  ax . Como la gráfica pasa por (1,5)
entonces 5  a1  a  5. Luego, la fórmula es y  5x
b)
La fórmula es del tipo y  log x. Como la gráfica pasa por (4,  1) entonces
a
Solución:
1  log 4  a1  4 
a
1
1
 4  a  . Luego, la fórmula es y  log x
1
a
4
4
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3) Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función g(x) = abx pasa por los puntos A(0, 5) y
B(2/3, 5/4).
2
2
2 5
5
g(0)  5  5  a.b0  a.1  a  a  5 ; g( )    a.b 3  5. b 3
3
4
4
Solución
3
3
2
1
1
1 b debe ser positivo
1
 2 
1
Luego, b 3    b 3      b2 
 b   
b 
4
64
8
8
4


4) Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función f(x) = loga (x + b) pasa por los puntos A(b, 3)
y B(3b, 4).
f(b)  3  3  log (2b)  a3  2b
Dividiendo la 2ª

a
ecuación entre la 1ª
Solución: 

 a  2. Luego, 23  2b  b  4
4
f(3b)  4  4  loga (4b)  a  4b
5) El crecimiento de dos cultivos diferentes de bacterias queda determinado, respectivamente, por
C(t) = 5 . 1,5t , C´(t) = 3,2 . 1,6t (t medido en horas y C(t) en miles). ¿Al cabo de cuánto tiempo
coincidirá el número de individuos de cada tipo?
1,5t 3,2
log 0,64
5 . 1,5t  3,2.1,6t 

 0,9375t  0,64  t.log 0,9375  log 0,64  t 
7
t
Solución:
5
log 0,9375
1,6
Dentro de 7 horas
6) Una tribu de indios observa que la manada de búfalos del territorio donde se han instalado se
reduce según una función de decrecimiento exponencial dada por f(t) = kat, t en días.
Al principio había 1944 búfalos y 12 días después había sólo 1296 búfalos en la manada.
Si se mantiene el decrecimiento exponencial, calcular cuántos días tendrán que pasar para que deban
abandonar la pradera, sabiendo que esa tribu cambia de territorio cuando quedan menos
de 100 búfalos.
1944  ka0  k
Según el enunciado, f(0)  1944 y f(12)  1296. Luego, 
 1296  1944a12
12
1296  ka
Solución
1296 2
2
  a  12  0,97. Por tanto, f(t)  1944 .0,97t
1944 3
3
100
log
100
100
1944  97 días
100  1944 .0,97t 
 0,97t  log
 t.log 0,97  t 
1944
1944
log 0,97
a12 
ACTIVIDADES
1.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) = log (3x – 1)
log
ln(x)
2  3x
e) f(x)  3
2.- Haz la gráfica de las funciones exponenciales y logarítmicas: a) f(x) = 3x
b) f(x) = log3 x
b) f(x) = log2 (x2 – 3x + 2)
c) f(x) = log (x2 – 6x + 9)
- Página 20 -
d) f(x) =
x
1 x
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.- Calcula la fórmula de la función f cuya gráfica es
Y
7
6
5
4
3
2
1
X
-1
a)
1
2
-1
b)
4.- Determinar b sabiendo que la gráfica de la función f(x) = bx pasa por el punto (–2, 4). Calcular f(3)
5.- Determinar a sabiendo que la gráfica de la función f(x) = loga x pasa por el punto (3, 2).
6.- Algunos expertos estimaron, a comienzos de los años noventa, que el nº de enfermos de SIDA
crecía según la fórmula E(t) = 1000 . 1,2t , siendo t el nº de años transcurridos a partir de 1990.
Según la fórmula,
a) ¿Cuántos enfermos habría en el año 2020?
b) Si siguiera el mismo ritmo, ¿en qué año se llegaría al medio millón de afectados?
7.- Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto y actualmente hay 163 840 amebas con lo
cual la fórmula que permite hallar el nº de amebas es f(t) = 163840.2t. ¿Cuánto tiempo hace que
había 5 amebas?
8.- Dada la función f(x) = 2x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:
g(x) = 2x – 1
h(x) = 2x+2
i(x) = –2x
j(x) = 3.2x
9.- Dada la función f(x) = log2 x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las
funciones: g(x) = log2 x + 3
h(x) = log2 (x – 5)
i(x) = | log2 x |
j(x) =
1
log x
2
2
6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un
x − 3 , si x < 4
es una función definida en dos intervalos:
−x , si x ≥ 4
intervalo diferente. Por ejemplo, y = 
En (–∞ , 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x – 3 de extremo A(4, 1)
En [4, ∞ ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = –x de extremo B(4, – 4)
Y
X
y=x-3
4
y=-x
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Función valor absoluto
0
0
x
i
x s
i ,
s
, x
x

|
x
|
y
Es la función cuya fórmula es





Valor absoluto de una función
 f  x  si f  x   0
El valor absoluto de una función, |f| , se define así: | f | (x)  f  x   
.
 f  x  si f  x   0
Por tanto, la función |f| siempre se podrá expresar como una función definida a trozos.
La gráfica de la función |f| se puede obtener a partir de la gráfica de f “doblando” hacía arriba la parte
de gráfica que haya por debajo del eje X.
Ejemplos
Función parte entera
Es la función cuya fórmula es y = Ent(x) = “número entero ≤ x”
Ejercicios resueltos
 x 5
 2x  1 , si x  0
1) Calcula el dominio de definición de la función f(x) =  2
 x  2x , si x  0
 x  2
Solución
x 5
1
no se puede calcular cuando 2x  1  0, o sea si x  . Pero como esta
2x  1
2
expresión se define para x  0 siempre se podrá calcular para estos valores
x2  2x
no se puede calcular cuando x  2  0, o sea si x  2.
x2
Por tanto, D(f)  R  2
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
 , si x  1
2) Dibuja la gráfica de la función f(x)   x
 x2  4x  5 , si x  1

Solución
5, si x  2

3) Dibuja la gráfica de la función y = x2  2x  3, si  2  x  4
x  2, si x  4

Solución
2x , si x  0

4) Dibuja la gráfica de la función f(x)  log x, si 0  x  10
 x  11, si x  10

Solución
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de ptas
 x2 8x 8
 , si 0  x  5
 
produce una ganancia de f(x)   50 25 5
millones de ptas,
 5 , si x  5
 2x
a) Representa la función f(x)
Solución
b) Halla la inversión que produce máxima ganancia Solución 5 millones de ptas
c) Halla el valor de la inversión que produce ganancia nula. Solución 4 millones de ptas
6) Expresa como una función definida a trozos:
a) f(x) = |x – 3|
3
Solución: Como x  3  0  x  3 
x  3, si x  3
x 3
 0   f(x) | x  3 | 
x  3, si x  3
f(x) | x  3 |  x  3 0 x  3
b) f(x) = |x2 – 5x + 4|.
x 1
Como x  5x  4  0 

x4
2
Solución:
1
2
x  5x  4
2

4

0
2

0
2
2
f(x) | x  5x  4 | x  5x  4 0  x  5x  4 0 x  5x  4
x2  5x  4, si x  1 ó x  4
f(x) | x2  5x  4 | 
2
x  5x  4, si 1  x  4
c) f(x) = |x + 1| + |x – 1|
Como x  1  0  x   1 ; x  1  0  x  1
Solución:
x 1
x 1
1
0





1

0


f(x)  | x  1 |  | x  1 |  x  1  (  x  1)   2x 0 x  1  (  x  1)  2 0 x  1  x  1  2x
  2x, si x   1

f(x)  | x  1 |  | x  1 |  2, si  1  x  1
 2x, si x  1

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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  x 2  2 x, si x  1

d) f(x)  1, si  1  x  1
| x  2 |, si x  1

  x 2  2 x, si x   1
1
2

1, si  1  x  1
Solución: Como x  2  0  x  2  x  2

0   f(x)  
  x  2, si 1  x  2
| x  2 | x  2 0 x  2
 x  2, si x  2

ACTIVIDADES
 3x  1
, si x   1

g(x) =  2x  1
 x 2  4, si x   1

 2x  4
, si x  0

1.- Calcula el dominio de las funciones: f(x) =  x  1
 x 2  3x  2 , si x  0

1 , si x  0

2.- Dibuja la gráfica de f(x): a) f(x)   x2  1 , si 0  x  4
 2
 x  8x  17 , si x  4
2x , si x  1

c) f(x)   x2  3 , si  1  x  2
 x  3 , si x  2

2x  3, si x  1

d) f(x)   x2  2, si  1  x  1
ln x, si x  1


x2
2x 
, si x  4
b) f(x)  
2
2x  8 , si x  4

1, si x  3
 2
e) f(x) = x  4, si  3  x  3
6  2x, si x  3

3.- El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función
 5x2  40x  60 , si 0  x  6

f(x)   5x
donde x representa el gasto en publicidad, en miles de €.
  15 , si 6  x  10
2
a) Representa la función f.
b) Calcula el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.
c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
d) Calcula el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
4.- El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la
1 2
 8 t  t  5 , si 0  t  6
función B(t) expresada a continuación B(t)  
, t es el tiempo transcurrido en
t

1

, si 6  t  12
 2
meses. Representa gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto
ascendió?
5.- Expresa como una función definida a trozos y dibuja la gráfica:
a) f(x) = |2x + 4|
b) f(x) = |–x2 + 2x + 15|
c) f(x) = |x + 2| + |x – 3|
- Página 25 -
 x2 , si x  2

d) f(x)  5, si  2  x  1
| x  3 |, si x  1

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7.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Periodicidad de una función
Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo cada cierto intervalo del eje X.
La longitud del intervalo se llama periodo de la función y se representa con la letra p.
Función periódica de periodo p
Ejemplos:
Función periódica de periodo p = 4
Función periódica de periodo p = 3
Hay funciones que no son periódicas. Por ejemplo, la función cuya gráfica es
Si f es una función periódica de periodo p, se cumple que f(x + p) = f(x)
Funciones trigonométricas directas
y = sen x
Y
y = cos x
Y
2
2
1
1
y = tg x
Y
X
X
-2π -3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
-2π -3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
-1
-1
-2
-2
sen: R → [–1, 1] periodo = 2π
cos: R → [–1, 1] periodo = 2π
X
-3π/2
-π
-π/2
π
3π/2
tg): R – {π/2 + kπ} → R, periodo π
En todas las funciones trigonométricas el ángulo x debe expresarse en radianes
- Página 26 -
π/2
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Funciones trigonométricas inversas o recíprocas
arccos: [–1, 1] → [0, π]
arcsen: [–1, 1] → [–π/2, π/2]
arctg: R → (–π/2, π/2)
Ejercicios resueltos
1) f(x) = sen(5x) – 2 , hallar f –1
y
D(f –1)
int ercambiando x por y
despejando y
y  sen(5x)  2  x  sen(5y)  2  x  2  sen(5y)
Solución:
arcsen(x  2)
arcsen(x  2)
arcsen(x  2)  5 y 
 y  f 1 (x) 
5
5
restamos 2
1
Para que exista f debe ser  1  x  2  1  1  2  x  1  2  3  x  1  D(f 1 )  [ 3,  1]
1x
, hallar D(f), f –1 y D(f –1)
1x
Solución: Para que exista f debe ser x  1  0  x  1  D(f)  R  1
1  x int ercambiando x por y
1  y despejando y
1y
y  arctg
 x  arctg
 tg x 
1x
1 y
1y
1  tg x
1  tgx
tgx  y tgx  1  y  y  y tg x  1  tgx  y(1  tgx)  1  tgx  y 
 f 1 (x) 
1  tg x
1  tgx



x   k


3
 x   k 


2
Para que exista f 1 debe ser 

 D(f 1 )  R    k,  k´ 
2
4
2

tg x  1
x  3  k´ 

4
2) f(x)  arctg
3) f(x) 
1
, hallar D(f), f –1 y D(f –1)
2senx  1
Solución: Para que exista f debe ser 2senx  1  0  senx 
1



 x   2k  D(f)  R    2k 
2
6
6

1
1
int ercambiando x por y
despejando y
 x 
 2 x sen y  x  1
2senx  1
2sen y  1
x 1
x 1
x 1
sen y 
 y  arcsen
 f 1 (x)  arcsen
2x
2x
2x
y
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x 1

 x 1
 x 1  2x

1

0


1
0
x 1



2x
2x
2x y x  0
1
Para que exista f debe ser 1 
 1 y 2x  0  
y x  0 
y x  0 
x

1
x

1
x

1

2x
2x



1
1  0
0
 2x
 2x
 2x
1
0 1
3
 3x 1
0  2x
1
3x 1
1
y x  0; 3x 1  0  x  ; 2x  0  x  0; 1  x  0  x  1 
 0      D(f1)  (, ] ∪[1, )

3
2x
3
1  x  0
 2x
1 x
   0
2x
4) f(x) = tg(3x + π/2) , hallar D(f) y f –1
 
k
 k 
  k  3x  k  x 
 D(f)  R   
2 2
3
3



int ercambiando x por y
despejando y
y  tg(3x  )  x  tg(3y  )  arctgx  3y 
2
2
2


arctgx 
arctgx 
2  f 1 (x) 
2
y
3
3
Solución: Para que exista f debe ser 3x 
ACTIVIDADES
1
1.- Resuelve los siguientes apartados: a) f(x) 
, hallar D(f), f –1 y D(f –1)
cos x
1
x 3
b) f(x) 
, hallar D(f), f –1 y D(f –1)
c) f(x)  arccos
, hallar D(f) y f –1
2cos x  1
4
d) f(x) = cos(2x) , hallar f –1 y D(f –1)
e) f(x) = 3 sen x , hallar f –1 y D(f –1)
f) f(x) = 2cos x + 3, , hallar f –1 y D(f –1)
g) f(x) = 2tg (x/3) , hallar D(f), f –1 y D(f –1)
h) f(x) = sen(5x) – 2 , hallar f –1 y D(f –1)
i) f(x) = cos(x – 4) , hallar f –1 y D(f –1)
j) f(x) = arcsen(2x – 1) , hallar D(f) y f –1
k) f(x)  arc sen
6x  5
, hallar D(f) y f –1
x
l) f(x) = tg(2x – π) , hallar D(f) y f –1
2.- Dada la función f(x) = sen x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las
siguientes funciones:
1
g(x) = sen x + π
h(x) = sen(x – π/2)
i(x) = –sen x
j(x) = 2 sen x
k(x) = sen x
2
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