Trigonometría: Ángulos y Sistemas de Medición Angular - UNI

PRE 2022-I
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
1,1
INTRODUCCION
La trigonometría es una rama de las matemáticas, cuyo significado etimológico
es "la medición de los triángulos".
En
términos
generales,
la
trigonometría
estudia
las
razones
trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente; secante y cosecante e
interviene directa o indirectamente en otras ramas de la matemática, ciencia,
ingeniería y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son
usadas en astronomía para medir distancias entre estrellas, en la medición de
distancias de puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
La trigonometría ha aportado mucho en nuestra sociedad, como por ejemplo los
cálculos para la estabilidad de las edificaciones, el cálculo preciso de todo tipo
de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera, etc.
En el campo científico, la trigonometría aporta, por ejemplo, en la elaboración de
métodos numéricos, para realizar una ecuación diferencial o resolver una
integral que no se pueda trabajar con los métodos convencionales.
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Definición:
Es aquel ángulo generado por la rotación de un rayo en un plano,
alrededor de un punto fijo, llamado vértice, desde una posición inicial
(lado inicial) hasta una posición final (lado final).
B
O
O : vértice
OA : lado inicial
OB : lado final
 : medida del ángulo trigonométrico

A
Convención:
Cuando el rayo gira en sentido horario
se generan ángulos de medida
negativa, mientras que, cuando el
rayo gira en sentido antihorario, se
generan ángulos de medida positiva.
Sentido antihorario
Observaciones:
• La medida de un ángulo trigonométrico puede
tomar cualquier valor real.
• El ángulo trigonométrico que se genera cuando
el rayo gira en sentido antihorario hasta que el
lado final coincida por primera vez con el lado
inicial, se denomina ángulo de una vuelta.
Sentido horario
Ángulo de una vuelta
Nota:
• Para realizar operaciones aritméticas con ángulos trigonométricos, se
recomienda que los ángulos estén en un mismo sentido (horario o
antihorario).
• De preferencia se toma ángulos trigonométricos en sentido antihorario,
para utilizar propiedades geométricas que se puedan presentar.
• Se recomienda el siguiente criterio para cambiar el sentido en que se
genera el ángulo:
𝐁
𝐁
θ
𝐎
–θ
𝐀
𝐎
𝐀
APLICACIÓN 01:
De la figura mostrada, calcule el número de
vueltas equivalente a α − β + θ.
A) − 2
D) − 1/2
B) − 3
E) − 3/2
α
C) − 4
β
θ
RESOLUCIÓN:
Debemos colocar todos los ángulos en sentido antihorario, para
aprovechar alguna propiedad geométrica.
• −α + A = 1 vuelta
De la gráfica
−α
• β + B = 2 vueltas
observamos
que:
A
• −θ + C = −1 vuelta
Sumando −α + β − θ + A + B + C = 2 vueltas
,Reemplazando ∗ , −α + β − θ = 3/2 vueltas
B
C
β
θ
α−β+θ
Finalmente,
= −3/2
A + B + C = 1/2 vuelta (∗)
CLAVE: E
1 vuelta
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
I. SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado
sexagesimal (1°), que se define como la 360ava parte del ángulo de una
vuelta, es decir:
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎𝐨
= 𝟏𝐨
𝟑𝟔𝟎
En este sistema se tienen como subunidades el minuto sexagesimal (1′) y
el segundo sexagesimal (1′ ′), donde:
𝟏𝐨 = 𝟔𝟎′
𝟏′ = 𝟔𝟎"
Nota:
 a°b′ c" = a° + b′ + c"
 a° = 3600a "
 a° = 60a ′
 a′ = 60a "
𝟏𝐨 = 𝟑𝟔𝟎𝟎"
APLICACIÓN 02:
Si α = 1m4° n7′ p9′′ es el suplemento del complemento de 34,4525°,
n+𝑝
calcule:
m
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN: Recordemos que: • Complemento de β: Cβ = 90° − β
• Suplemento de θ: Sθ = 180° − θ
Entonces, α = 180° − 𝟗𝟎° − 𝟑𝟒, 𝟒𝟓𝟐𝟓°
⇒ 𝛂 = 𝟏𝟐𝟒, 𝟒𝟓𝟐𝟓°
Ahora debemos reescribir α en términos de grados, minutos y segundo
α = 124° + 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟓° = 124° + 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟓 ⋅ 𝟔𝟎′ = 124° + 𝟐𝟕, 𝟏𝟓′
= 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟎, 𝟏𝟓′ = 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟎, 𝟏𝟓 ⋅ 𝟔𝟎′′ = 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟗′′
Finalmente, α = 124°27′ 9′′ ⇒ m = 2, n = 2, p = 0
n+p 2+0
n+p
Piden calcular:
=
=1
m
2
m
CLAVE: A
II. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado centesimal
(1g ), que se define como la 400ava parte del ángulo de una vuelta, es decir:
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚
= 𝟏𝐠
𝟒𝟎𝟎
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟒𝟎𝟎𝐠
En este sistema se tienen como subunidades el minuto centesimal (1m ) y
el segundo centesimal (1s ), donde:
𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝐦
𝟏𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝐬
Nota:
Ejemplo:
 ag bm c s = ag + bm + c s

 ag = 100am
 ag = 10000as
 abc, defg …g = abc g dem fg, …s
𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐬
am
=
100as
1435,34123 …g = 1435g 34m 12,3s
III. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O INTERNACIONAL:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un radián (1 rad),
que se define como la medida del ángulo central en una circunferencia,
que subtiende en ella un arco de igual longitud que el radio de dicha
circunferencia.
En la figura:
A
Además, se demuestra que:
R
O
θ
Si: L = R ⇒ 𝛉 = 𝟏𝐫𝐚𝐝
L
R
B
𝐦∡𝟏 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟐𝛑𝐫𝐚𝐝
Donde: π ≈ 3,141593
APLICACIÓN 03:
Si el suplemento del ángulo de medida 8π/13 rad
se expresa
aproximadamente como 7ag 9bm c1s . Exprese a + c b + c ° en radianes.
A) 𝜋/12
B) 𝜋/6
C) 𝜋/4
D) 𝜋/3
RESOLUCIÓN: El ángulo 𝛼 buscado es el suplemento de
α= π
8π
−
13
rad ⇒ α =
5π
13
8𝜋
13
E) 𝜋/2
rad, entonces
rad
Convirtiendo al sistema centesimal:
Sabemos que: π rad <> 200g
⇒α=
5𝛑
13
𝐫𝐚𝐝 =
5
13
𝟐𝟎𝟎𝐠 ⇒ α ≈ 76,9231𝑔
Recuerde que: a … c, defg …g = a … c g dem fg, …s
Entonces, α ≈ 76,9231g = 76g 92m 31s . Así tenemos que: 𝐚 = 𝟔, 𝐛 = 𝟐, 𝐜 = 𝟑
De lo que piden, θ = a + c b + c
π
Convirtiendo a radianes: θ = 4 rad
°
=
9 5
°
⇒ θ = 45°
CLAVE: D
RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
De lo anterior, tenemos que: m∢1vuelta <> 360° <> 400g <> 2π rad.
Simplificando:
𝟏𝟖𝟎° <>
𝟐𝟎𝟎𝐠
<> 𝛑𝐫𝐚𝐝
o,
𝛑
𝟗° <> 𝟏𝟎 <>
𝐫𝐚𝐝
𝟐𝟎
𝐠
También podemos relacionar los minutos y segundos de los sistemas
sexagesimal y centesimal:
9o <> 10g
9 60′ <> 10 100m
𝟐𝟕′ <> 𝟓𝟎𝐦
27′ <> 50m
27 60′′ <> 50 100𝑠
𝟖𝟏′′ <> 𝟐𝟓𝟎𝒔
Consideración:
 Dado que: m∡1vuelta <> 360° <> 400g <> 2πrad ⇒ 𝟏𝐫𝐚𝐝 > 𝟏° > 𝟏𝐠 .
CONVERSIÓN DE UNIDADES ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Es el proceso de cambio de unidades en que se expresa un ángulo. El
método a utilizar será el del FACTOR DE CONVERSIÓN, que consiste en
multiplicar la medida del ángulo a convertir por una fracción que vale 1,
pero que estará escrita con dos medidas equivalentes; una en el
numerador en las unidades del sistema que deseamos y otro en el
denominador en las unidades del sistema que ya no deseamos.
Por ejemplo:
01) Convertir: θ = 36º al sistema radial
πrad
Multiplicamos a: θ = 36º × m ∢ sistema radial
⇒ θ = 36° ×
m ∢ sistema sexagesimal
180°
π
⇒ θ = 5 rad
02) Convertir: θ = 50g al sistema radial
πrad
Multiplicamos a: θ = 50g × m ∢ sistema radial
⇒ θ = 50g ×
m ∢ sistema centesimal
200g
π
⇒ θ = 4 rad
03) Convertir: θ = 72º al sistema centesimales
Multiplicamos a: θ = 72º ×
m ∢ sistema centesimal
⇒ θ = 72° ×
m ∢ sistema sexagesimal
04) Convertir: θ =
π
rad
54
Multiplicamos a: θ =
θ=
×
m ∢ sistema sexagesimal
m ∢ sistema radial
π
⇒ θ = 54 rad ×
1
⇒ θ = 3° + 3 (60′ )
⇒ θ = 3° + 20′
⇒ θ = 3°20′
Nota:
 1rad ≈ 57°17′ 44,8"
9°
⇒ θ = 80g
al sistema sexagesimal
π
rad
54
10°
3
10g
 1rad ≈ 63g 66m 19,8s
180°
πrad
APLICACIÓN 04:
𝐀
De la figura calcule la medida radial del ángulo
positivo AOB; si además x > 0.
A)
D)
π
30
π
10
B)
E)
π
20
π
9
C)
π
15
𝐎
𝟏𝟎 + 𝐱 − 𝟗𝐱 𝟐
𝐦
𝟓𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 ′
RESOLUCIÓN: Colocando los ángulos en sentido antihorario, tenemos,
5x 2 − 2x − 15 ′ <> − 10 + x − 9x 2 m
Convertimos de minutos sexagesimales centesimales:
m
50
2 m
5x 2 − 2x − 15 ′ ⋅
=
−
10
+
x
−
9x
𝟓𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓
′
𝐎
27
⇒ 50 5x 2 − 2x − 15 = 27 9x 2 − x − 10
Operando: 7x 2 − 73x − 480 = 0 ⇒ 7x + 32 x − 15 = 0
Como x > 0: x = 15
π
πrad
′
o
Finalmente: m∡AOB =
rad
⇒ m∡AOB = 1080 = 18 ×
o
10
180
𝐁
𝐀
𝟗𝐱 𝟐 − 𝐱 − 𝟏𝟎
𝐦
′
𝐁
CLAVE: D
RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LAS MEDIDAS DE UN MISMO ÁNGULO EN LOS TRES
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR.
Si medimos un ángulo en los
tres sistemas conocidos:
B
Se cumple que:
De donde:
O
S°
Cg
R rad
Reduciendo:
También:
A
Donde:
S: número de grados sexagesimales.
C: número de grados centesimales.
R: número de radianes.
S° <> Cg <> Rrad
S°
Cg
Rrad
=
=
g
360° 400
2πrad
𝐒
𝐂
𝐑
=
=
𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝛑
𝐒
𝐂
𝟐𝟎𝐑
=
=
𝟗 𝟏𝟎
𝛑
Observaciones:
Siendo S el número de grados sexagesimales, C el número de grados
centesimales y R el número de radianes de un mismo ángulo; se cumple:
 Si el ángulo es generado en sentido antihorario:
𝐂>𝐒>𝐑
 Si el ángulo es generado en sentido horario: 𝐂 < 𝐒 < 𝐑
 De la relación general:
𝐒
𝐂
𝐑
=
=
𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝛑
𝐒 = 𝟏𝟖𝟎𝐤; 𝐂 = 𝟐𝟎𝟎𝐤; 𝐑 = 𝛑𝐤
𝛑𝐤
𝐒 = 𝟗𝐤; 𝐂 = 𝟏𝟎𝐤; 𝐑 =
𝟐𝟎
APLICACIÓN 05:
Sean S y C los números enteros que expresan las medidas de un ángulo en
los sistemas sexagesimal y centesimal, tal que cumplen que: 20 < 3C − 2S < 80.
Determine la menor medida del ángulo en radianes.
A) π/20
B) π/15
C) π/10
D) π/6
E) π/5
RESOLUCIÓN:
𝐂
𝟐𝟎𝐑
Como S y C representan los números de las medidas de un 𝐒
=
=
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, tenemos que: 𝟗 𝟏𝟎
𝛑
π
S = 9k, C = 10k, R =
k
También,
20
Note que para que S y C sean números enteros k debe tomar un valor entero.
Y si requerimos que R sea la menor medida, k debe ser el menor valor posible.
Reemplazando en la condición del problema, 20 < 3(10k) − 2 9k < 80.
⇒ 20 < 12k < 80. Simplificando, ⇒ 1,666 … < k < 6,666 …
Entonces, k = 2
𝜋
Finalmente, R = .
10
π
rad
Es decir el ángulo buscado es
10
CLAVE: C
APLICACIÓN 06:
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo
positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial,
respectivamente. Calcule la medida de dicho ángulo, si los
ángulos α y β cumplen:
RC R2
2R2 RS
α=
+
rad y β =
+
rad
4
π
π
4
Siendo 𝛼 y 𝛽 complementarios.
RESOLUCIÓN: Como α y β son complementarios entonces 𝛂 + 𝛃 =
∎
Utilizaremos: S = 180k; C = 200k; R = πk
(𝛑𝐤)(𝟐𝟎𝟎𝐤)
𝛑𝐤
+
Reemplazando, α =
𝟒
𝛑
𝟐
𝟐 𝛑𝐤
rad y β =
𝛑
𝟐
𝛑
.
𝟐
A) 15°16′
π
B)
rad
14
C)15g
D)17°35′
π
E)
rad
17
∆
𝛑𝐤 𝟏𝟖𝟎𝐤
+
𝟒
rad
⇒ α = 𝟓𝟏𝛑 𝐤 𝟐 rad y β = 𝟒𝟕𝛑 𝐤 𝟐 rad
1
𝛑
𝟏
2
𝟐
𝟐
𝟐
En ∆ , = 𝛂 + 𝛃 = 𝟓𝟏𝛑 𝐤 + 𝟒𝟕𝛑 𝐤 = 𝟗𝟖𝛑 𝐤 ⇒ k =
∴ 𝐤=
196
𝟏𝟒
𝟐
π
π
Finalmente el ángulo mide rad.
En ∎ : R = 14
CLAVE: B
14
Comentarios finales:
1. Relación entre los números de grados, minutos y segundos de un
mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal.
Sistema
# de grados
# de minutos
# de segundos
Sexagesimal
Centesimal
S
C
60S
100C
3600S
10000C
2. Relación entre los números de grados sexagesimales, centesimales y
radianes complemento y el suplemento de un mismo ángulo en los
tres sistemas.
Sistema
Ángulo
Complemento
Suplemento
Sexagesimal
Centesimal
S
C
180 – S
200 – C
Radial
R
90 – S
100 – C
π
−R
2
π−R
3. A lo largo del curso utilizaremos técnicas algebraicas para propósitos de
resolver los problemas, entre las técnicas mas utilizadas están:
Completar cuadrados:
Esta técnica es utilizada para encontrar las raíces de una ecuación
cuadrática, obtener el valor máximo o mínimo de una expresión cuadrática.
Ejemplo:
• 4𝑥 2 + 4𝑥 + 12 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 𝟏 + 𝟏𝟏 = 2x + 1 2 + 11
Mínimo valor: 𝟏𝟏
• 𝟏𝟏 + 6𝑥 − 𝑥 2 = − x 2 − 6x + 𝟗 + 𝟐𝟎 = 20 − x − 3 2
Máximo valor: 𝟐𝟎
Desigualdad de las medias
Esta técnica es utilizada obtener el valor máximo o mínimo de una expresión.
a+b
Dados dos números reales 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: MA a, b =
Si a, b >
2
0:
𝐌𝐀 𝐚, 𝐛 ≥ 𝐌𝐆 𝐚, 𝐛
MG a, b = ab
Ejemplo:
3
• Para 𝑥 > 0: El menor valor de 2x + x es: 𝟐 𝟔
𝟑
𝟐𝐱 + 𝟑/𝐱
𝟑
𝐌𝐆 𝟐𝐱, 𝐱 =
𝐌𝐀 𝟐𝐱,
=
𝐱
𝟐
𝟑
𝟐𝐱 ⋅ 𝐱
𝟐𝐱 + 𝟑/𝐱
⇒
≥ 𝟔
𝟐
APLICACIÓN 07:
Si se cumple que 167 p − q = 157 p + q p, siendo p y q, los números de
segundos sexagesimales y minutos centesimales de un mismo ángulo,
respectivamente. Halle el valor de p.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN:
Considerando S y C los números de grados sexagesimales y centesimales del
ángulo mencionado, respectivamente, tenemos:
p = 3600S
Además, para este problema usaremos:
q = 100C
S = 9k; C = 10k
∆
En la condición del problema, 167 3600S − 100C = 157 3600S + 100C ⋅ p
Simplificando, 167 36S − C = 157 36S + C ⋅ p
Reemplazando ∆ , 167 36 9k − 10k = 157 36 9k + 10k ⋅ p
167 314 = 157 334 ⋅ p
Simplificando, ⇒ p = 1
CLAVE: A
APLICACIÓN 08:
Calcule la menor medida radial que puede tomar un ángulo, si la diferencia
de la doscientava parte de su número de segundos centesimales y la
ciento veinteava parte de su número de segundos sexagesimales es igual
a:
x 2 + 6x + 55; x ∈ ℝ
A)
π
40
B)
π
50
C)
π
80
D)
π
100
E)
RESOLUCIÓN:
Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; hacemos:
a:número de segundos sexagesimales
⇒ a = 3600S
b: número de segundos centesimales
Interpretando el enunciado:
⇒ b = 10000C
b
a
−
= x 2 + 6x + 55
200 120
10000C 3600S
Reemplazando:
−
= x 2 + 6x + 9 + 46
200
120
π
200
⇒ 50C − 30S = x + 3
2
+ 46
πk
Utilizaremos: S = 9k; C = 10k; R =
20
Nos quedaría: 230k = x + 3
De esta manera: x + 3
2
2
⇒ 50(10k) − 30(9k) = x + 3
2
+ 46
∀x ∈ ℝ: x 2 ≥ 0
1
+46 ≥ 46 ⇒ 230k ≥ 46 ⇒ k ≥
5
Sabemos que:
+ 46
≥0 ⇒ x+3
2
230k
R=
πk
20
Para que la medida radial sea la menor posible, el valor de k debe ser el menor:
⇒ k mínimo
La menor medida radial sería: R mínimo
π
Finalmente:
R mínimo =
100
πk mínimo
π 1
=
=
20
20 5
1
=
5
CLAVE: D
APLICACIÓN 09:
Si el número que representa el suplemento de un ángulo en el sistema
centesimal es al número que representa su complemento en radianes como
700 es a 𝜋, calcule la medida del ángulo en el sistema sexagesimal.
A) 18°
B) 24°
C) 36°
D) 45°
E) 54°
RESOLUCIÓN: Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; interpretamos el
problema de la siguiente manera:
• Suplemento de un ángulo en el sistema centesimal: 200 − C.
π
• Complemento de un ángulo en el sistema internacional: − R.
2
200 − C 700
⇒ 200π − πC = 350π − 700R ⨂
Del problema tenemos: π
=
π
−
R
2
C
R
=
⇒ C = 200k, R = πk
Como
200 π
Reemplazando en ⨂ , 200π − π 200k = 350π − 700 πk ⇒ 500πk = 150π
3
3π
Entonces, k = . El ángulo tiene medida:
rad.
10
10
CLAVE: E
En el sistema sexagesimal: 54°
PROBLEMA 01:
En la figura mostrado se cumple
1500x
β= 2
,x > 0
x + 6x + 4
Calcule α, si β adopta su mayor valor posible.
α°
β°
RESOLUCIÓN: Colocando los ángulos del grafico en sentido antihorario:
A) − 150
B) − 120
C) 120
D) 150
E) 240
−α°
∆
Observamos que −α + β + 90 = 360 ⇒ β = 270 + α
Veamos el mayor valor que puede tomar β:
β°
1500
1500x
=
β= 2
4
x + 6x + 4
x+x+6
𝟒
Nota: Para que 𝛃 tome su mayor valor, el denominador 𝐱 + 𝐱 + 𝟔 debe ser mínimo.
El menor valor para el denominador lo obtenemos con 𝐌𝐀 ≥ 𝐌𝐆 para x y 4/x.
4
4
4
∗
⇒ β = 150
x + ≥ 2 x ⋅ ≥ 4 ⇒ x + + 6 = 10
x
x
x
α = −120
Reemplazando ∗ en ∆ :
CLAVE: B
PROBLEMA 02:
En la figura adjunta, si x > 0, entonces calcule el
mayor valor de θ en radianes. (considere π ≈ 22/7).
A) 85/21
D) 112/21
B) 97/21
E) 121/21
C) 104/21
RESOLUCIÓN:
1
1
De la figura, observamos que: θ + 4x +
= 2π ⇒ θ = 2π − 4x +
(∆)
9x
9x
1
Como x > 0, aplicamos MA ≥ MG para 4x y 9x
Debe ser mínimo para
1
4x +
que 𝜽 sea máximo.
9x ≥ 4x ∙ 1 ⟹ 4x + 1 ≥ 4
9x 3
2
9x
Mínimo valor: 4x +
En (∗): θMáximo
1
9x
=
4
3
4
22 4
= 2π − = 2 ∙
−
3
7 3
104
∴ θMáximo =
21
CLAVE: C
PROBLEMA 03:
En la siguiente figura, calcule el mayor valor que
puede tomar el ángulo α (en radianes), sabiendo que
θ = x 2 − 18x + 90 ° y ϕ =
A) 3𝜋/10
y2 +8y+1
y
B) 7𝜋/10
g
θ
, y > 0.
C) 9𝜋/10
α
D) 10𝜋/11
ϕ
E) 14𝜋/15
RESOLUCIÓN: Del triángulo tenemos que: α + θ + ϕ = 180° ∆
Note que α = 180° − θ + ϕ , y para que tome el mayor valor, θ y ϕ deben ser
mínimos, sin depender de los sistemas en que estén representados los ángulos.
Minimizando θ y ϕ:
• θ = x 2 − 18x + 81 + 9 °=
• ϕ=
y2 +8y+1
y
g
1
= y+ +8
y
x−9
2
+ 9 ° ⇒ θ = 9°
g
⇒ ϕ = 10g
Convertimos ϕ a grados sexagesimales ⇒ ϕ = 9°
En ∆ : α = 180° − θ + ϕ ⇒ α = 162°
9π
En radianes, α =
10
CLAVE: C
PROBLEMA 04:
Si se cumple:
a−3 °
a+6 g
Halle el valor positivo de 𝑎.
RESOLUCIÓN: Convertiremos
sexagesimal.
a−3 °
𝟗°
g
a + 6 ⋅ 𝟏𝟎𝐠
10 𝑎 − 3
9 𝑎+6
m
=
todos
m
A)
10
C) 3 10
E) 5 10
g ′
𝟐𝟕′
⋅ 𝐦=
𝟓𝟎
a−6
a+3 °
los
ángulos
𝟗°
a − 6 g ⋅ 𝟏𝟎𝐠
a+3 °
B) 2 10
D) 4 10
involucrados
al
sistema
′
9(𝑎 − 6)
⋅ 𝟐𝟕 = 50
10 a + 3
⇒ 27 ⋅ 102 𝑎2 − 32 = 50 ⋅ 92 𝑎2 − 62
Despejando, a2 = 90
Finalmente el valor positivo de a es 3 10
CLAVE: C
PROBLEMA 05:
Si 𝑆, 𝐶 y 𝑅 son los números que representan la medida
de un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y
radianes respectivamente, tal que se cumple:
S5
36
+
C5
40
+
5R5
π
= 3 S 4 + C4 + R4
A)
3𝜋
5
C) 𝜋
E)
B)
D)
7π
5
4π
5
6𝜋
5
Calcule la medida del ángulo en radianes.
RESOLUCIÓN:
𝐒 = 𝟗𝐤
Convenientemente tomamos
𝐂 = 𝟏𝟎𝐤
𝐤𝛑
𝐑=
𝟐𝟎
Reemplazando en el problema y factorizando,
k
S5
4.(9k)
C5
R5
+
+ 4𝛑k
4(10k)
20
=3
S4
+ C4
+ R4
𝒌 S4 +C4 +R4
𝟒
= 3 S 4 + C4 + R4
Entonces k = 12.
𝟏𝟐𝛑
𝟑𝛑
Finalmente, la medida en radianes del ángulo es:𝐑 = 𝟐𝟎 = 𝟓
CLAVE: A
PROBLEMA 06:
Los números que expresan las medidas de un ángulo en los sistemas
sexagesimales y centesimales son: S = 3q − 2p y C = 2−p + 3q . Calcule la
menor medida del ángulo en radianes.
A)
π
50
B)
𝜋
40
C)
𝜋
30
D)
𝜋
20
E)
𝜋
10
π
RESOLUCIÓN: Para
este
problema S = 9k, C = 10k y R =
∆
k
20
usaremos:
Restando, C − S = k. 1
Para que 𝐑 sea
mínimo, 𝐤 debe
−p
p
De las condiciones del problema: C − S = 2 + 2
2
ser mínimo.
1
−p
p
De (1) y 2 : k = 2 + 2 = p + 2p
2
≥2
El menor valor que puede tomar k es
2.
π
En ∆ , R =
10
CLAVE: E
PROBLEMA 07:
En un nuevo sistema de medición angular, su unidad es el grado A, 1A .
Si su subunidad es el minuto "a" (1a ) tal que 1A <> 50a .
𝜋
2𝜋
𝑎
Se sabe que 100 <> 90 rad. Entonces halle el valor de y, si 3 rad <> y 𝐴 .
A) 30
B) 60
RESOLUCIÓN:
Del problema,
Tenemos,
Es decir,
C) 90
π
100a <> 90 rad
π
<>
<>
rad
90
180A <> π rad
2A
y
D) 120
E) 150
1A <> 50a
2A <> 100a
100a
2π
rad <> y A
Entonces, lo que pide el problema:
3
2π
rad <> 120A
3
⇒ y = 120
CLAVE: D
PROBLEMA 08:
Sabiendo que 𝐚
representa el numero de minutos
sexagesimales, 𝐛 el número de segundos sexagesimales y 𝐜
el número de segundos centesimales de un mismo ángulo.
Halle θ en radianes donde: 4bc + 27c 2 m
θ=
ac
A) 0,132 π rad
B) 0,262 π rad
C) 0,272 π rad
D) 0,212 π rad
E) 0,136 π rad
RESOLUCIÓN: Considerando S y C las unidades de los grados en los
𝐒
𝐂Y
sistemas sexagesimal y centesimal, respectivamente.
Entonces:
a = 60S
b = 3600S c = 10000C
m
𝟑𝟔𝟎𝟎𝐒
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐂
𝐛
𝐜
+ 27 ⋅
Del problema, θ = 4 + 27 = 4 ⋅
𝟔𝟎𝐒
𝟔𝟎𝐒
𝐚
𝐚
θ = 240 + 4500 ⋅
𝐂 m
=
𝐒
240 + 4500
𝟏𝟎
𝟗
Convirtiendo a grados centesimales y luego a radianes:
⇒ θ = 52,4g π rad ⇒ θ = 0,262 π rad
200g
𝟗
=
𝟏𝟎
m
m
⇒ θ = 5240
m
CLAVE: B
PROBLEMA 09:
Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos tal que el valor de cualquier
ángulo expresado en este nuevo sistema es equivalente a la tercera parte de la
diferencia de la cuarta parte del número de grados sexagesimales y de la
quinta parte del número de grados centesimales del mismo ángulo, ¿a cuántos
radianes equivalen 10 unidades de este nuevo sistema?
A) 2π
B) 3π
C) 4π
D) 5π
E) 6π
RESOLUCIÓN:
Sea α ángulo y S, C y R lo convencional para dicho ángulo, además
consideramos N las unidades en el nuevo sistema. Entonces del problema,
1 S C
N=
−
3 4 5
π
k
Además si consideramos: S = 36k, C = 40k, R = k. Tenemos: N =
5
3
Para resolver el problema N = 10 (unidades en este nuevo sistema).
CLAVE: E
Así tenemos que k = 30.
Finalmente los radianes equivalentes a 10 unidades del nuevo sistema son 6π.
PROBLEMA 10:
Reducir la siguiente serie: 90°
A) 50g
B) 100g
+ 50g
+
π
+
rad + ⋯
16
D) 200g
E) 250g
22°30′′
C) 150g
RESOLUCIÓN: Convirtiendo los términos de la serie a grados centesimales:
π
g
′′
Z = 90° + 50 + 22°30 +
rad + ⋯
16
𝐠
𝐠
𝟏𝟎
𝟗°
𝟏𝟎
𝟗°
100g + 50g +
25g
1
2
3
Recuerde: 1 + r + r + r + ⋯ =
1−r
Factorizando, Z = 100g
𝟐𝟎𝟎𝐠
𝛑 𝐫𝐚𝐝
+ 12,5g + ⋯
si 0 < r < 1
1 1 1
1+ + + +⋯
2 4 8
= 100g
1
1+
2
1
1
+
2
1
⇒ Z = 100 ⋅
Entonces el valor de la serie es: Z = 200g
1 − (1/2)
g
2
1
+
2
3
+⋯
CLAVE: D
PROBLEMA 11:
Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulo
en los sistemas convencionales. Calcule la media de dicho ángulo, si se
cumple que:
S C R
2
A) 1200g
B) 900°
este
RESOLUCIÓN: Para
usaremos:
Reemplazando,
+
3
+
4π
= 941,5
C) 1600g
D) 6π rad
E) 12π rad
problema S = 360k, C = 400k y R = 2π k
∆
S C R
360k 400k 2π k
400
1
941,5 = + +
=
+
+
= 180k +
k+ k
2 3 4π
2
3
4π
3
2
1883
⇒ 941,5 =
k ⇒k=3
6
En ∆ , S = 1080°, C = 1200g y R = 6π
CLAVE: A
PROBLEMA 12:
Si S, C y R son las medidas de una ángulo en grados
sexagesimales, centesimales y en radianes,
respectivamente y se cumple que:
Halle la medida del ángulo mencionado en radianes.
R−R
C C C…
S S S…
4
=
A) 1
B) 2
10 C) 3
9 D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: S = 9k y C = 10k.
Para resolver este problema debemos suponer que los valores dados existen.
En ese sentido podemos plantear lo siguiente:
α=
β=
C C C…
S S S…
α
En el problema,
α= C⋅α
β= S⋅β
α=C
β=S
β
4
10
C
=
9
S
R−R
10k
=
9k
R−R
10
⇒
9
Finalmente, el ángulo en radianes es de R = 2.
2−2
10
=
9
R−R
CLAVE: B
PROBLEMA 13:
Dados dos ángulos complementarios 𝛼 y 𝛽, calcule la medida del menor
ángulo en radianes si la diferencia de los cuatro tercios del número de sus
grados sexagesimales de uno de ellos y los tres quintos del número de grados
centesimales del otro es 20.
A) 𝜋/12
B) 𝜋/9
C) 𝜋/6
D) 2𝜋/7
E) 2𝜋/9
RESOLUCIÓN:
Sean Cα y Sα lo convencional para el ángulo α, Cβ y Sβ lo convencional para el
4
3
ángulo 𝛽. Del problema:
S − C = 20 (1)
3 α 5 β
También: Cα + Cβ = 100 → Cβ = 100 − Cα (2)
4
3
Reemplazando (2) en (1): Sα − 100 − Cα = 20 (3)
3
5
40
4
3
9k − 100 −10k = 20 → k =
Pero S = 9k y C = 10k , reemplazando en (3):
9
3
5
Luego, como:
πk
R=
20
π 40
→R=
20 9
𝟐𝛑
∴R=
𝟗
CLAVE: E
PROBLEMA 14:
Se mide un ángulo y se obtiene la siguiente relación: el triple del número de
minutos centesimales, excede en 640 al doble del número de minutos
sexagesimales. Calcule la medida del ángulo en radianes.
A) 𝜋/80
B) 𝜋/60
C) 𝜋/50
D) 𝜋/40
E) 𝜋/30
RESOLUCIÓN:
Sean 𝑆 y 𝐶 los números de los grados sexagesimales y
centesimales, respectivamente.
S: grados sexagesimales ⇒ 60S: minutos sexagesimales
C: grados centesimales
⇒ 100C: minutos centesimales
Planteando el problema: 3 100𝐶 − 2 60𝑆 = 640
10
S
9
10
⇒ 640 = 3 100 ⋅ S − 2 60S
⇒S=3
9
π
El ángulo dado es 3° y al convertirlo en radianes tenemos:
60
Como C =
CLAVE: B
PROBLEMA 15:
Si S, C y R son las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial y se cumple que:
12 7
40 7
π 7 πC − 197R
+
+
=
S
3C
15R
πS − 52R
Exprese el ángulo en radianes.
A) π/15
B) 2π/15
C) 2π/13
D) π/5
E) 2π/7
RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: 𝐒 = 𝟑𝟔𝐤, 𝐂 = 𝟒𝟎𝐤 y 𝐑 = 𝛑 𝐤
∆
𝟓
𝛑
7
Reemplazando: π ⋅ 𝟒𝟎𝐤 − 197 ⋅ 𝟓 𝐤
12 7
40 7
π
𝛑 = 𝟑𝟔𝐤 + 3 ⋅ 𝟒𝟎𝐤 +
𝛑
π ⋅ 𝟑𝟔𝐤 − 52 ⋅ 𝐤
15 ⋅ 𝐤
𝟓
𝟓
197
7
7
7
7
40 −
πk
1
1
1
3
1
5
=
+
+
⇒
=3
52
3k
3k
3k
128
3k
36 −
πk
5
2
Resolviendo, k =
3
2π
Reemplazando en ∆ : R =
CLAVE: B
15
PROBLEMA 16:
Dados los ángulos suplementarios de medidas α y θ en radianes, donde:
α=
60
π
+ 2 rad y
SR 2R
π
40
−
rad
2
3R
RC
θ=
Siendo S, C y R lo convencional para dicho ángulo no nulo. Calcule la medida del
mayor de dichos ángulos en radianes.
A) 5π/11
B) 3π/7
C) 2π/7
D) 5π/7
E) 3π/11
RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: 𝐒 = 𝟏𝟖𝟎𝐤, 𝐂 = 𝟐𝟎𝟎𝐤 y 𝐑 = 𝛑 𝐤
Reemplazamos en el problema:
∗ α=
60
180k∙πk
∗ θ=
π
3∙π2 k2
π
+ 2∙π2 k2
−
40
πk∙200k
Además: α + θ = π
⟹ 𝛂=
∆
Convenientemente, dividimos los valores:
𝟏
𝐤
𝟓
𝟔𝛑
𝟏
𝟐
𝟏𝟓𝛑
⟹ 𝛉=𝐤
𝛂
=
𝛉
5 15π
∙
6π 2
𝛂 𝟓
⟹ =
𝛉 𝟐
Observe que 𝛼 es el mayor ángulo y por
proporciones, 𝛂 = 𝟓
5π
𝛉+𝛂 𝟕 ⟹α= 7
π
CLAVE: D