PRE 2022-I CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 1,1 INTRODUCCION La trigonometría es una rama de las matemáticas, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". En términos generales, la trigonometría estudia las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente; secante y cosecante e interviene directa o indirectamente en otras ramas de la matemática, ciencia, ingeniería y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias entre estrellas, en la medición de distancias de puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. La trigonometría ha aportado mucho en nuestra sociedad, como por ejemplo los cálculos para la estabilidad de las edificaciones, el cálculo preciso de todo tipo de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera, etc. En el campo científico, la trigonometría aporta, por ejemplo, en la elaboración de métodos numéricos, para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se pueda trabajar con los métodos convencionales. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Definición: Es aquel ángulo generado por la rotación de un rayo en un plano, alrededor de un punto fijo, llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final). B O O : vértice OA : lado inicial OB : lado final : medida del ángulo trigonométrico A Convención: Cuando el rayo gira en sentido horario se generan ángulos de medida negativa, mientras que, cuando el rayo gira en sentido antihorario, se generan ángulos de medida positiva. Sentido antihorario Observaciones: • La medida de un ángulo trigonométrico puede tomar cualquier valor real. • El ángulo trigonométrico que se genera cuando el rayo gira en sentido antihorario hasta que el lado final coincida por primera vez con el lado inicial, se denomina ángulo de una vuelta. Sentido horario Ángulo de una vuelta Nota: • Para realizar operaciones aritméticas con ángulos trigonométricos, se recomienda que los ángulos estén en un mismo sentido (horario o antihorario). • De preferencia se toma ángulos trigonométricos en sentido antihorario, para utilizar propiedades geométricas que se puedan presentar. • Se recomienda el siguiente criterio para cambiar el sentido en que se genera el ángulo: 𝐁 𝐁 θ 𝐎 –θ 𝐀 𝐎 𝐀 APLICACIÓN 01: De la figura mostrada, calcule el número de vueltas equivalente a α − β + θ. A) − 2 D) − 1/2 B) − 3 E) − 3/2 α C) − 4 β θ RESOLUCIÓN: Debemos colocar todos los ángulos en sentido antihorario, para aprovechar alguna propiedad geométrica. • −α + A = 1 vuelta De la gráfica −α • β + B = 2 vueltas observamos que: A • −θ + C = −1 vuelta Sumando −α + β − θ + A + B + C = 2 vueltas ,Reemplazando ∗ , −α + β − θ = 3/2 vueltas B C β θ α−β+θ Finalmente, = −3/2 A + B + C = 1/2 vuelta (∗) CLAVE: E 1 vuelta SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR I. SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS: Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado sexagesimal (1°), que se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta, es decir: 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎𝐨 = 𝟏𝐨 𝟑𝟔𝟎 En este sistema se tienen como subunidades el minuto sexagesimal (1′) y el segundo sexagesimal (1′ ′), donde: 𝟏𝐨 = 𝟔𝟎′ 𝟏′ = 𝟔𝟎" Nota: a°b′ c" = a° + b′ + c" a° = 3600a " a° = 60a ′ a′ = 60a " 𝟏𝐨 = 𝟑𝟔𝟎𝟎" APLICACIÓN 02: Si α = 1m4° n7′ p9′′ es el suplemento del complemento de 34,4525°, n+𝑝 calcule: m A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: Recordemos que: • Complemento de β: Cβ = 90° − β • Suplemento de θ: Sθ = 180° − θ Entonces, α = 180° − 𝟗𝟎° − 𝟑𝟒, 𝟒𝟓𝟐𝟓° ⇒ 𝛂 = 𝟏𝟐𝟒, 𝟒𝟓𝟐𝟓° Ahora debemos reescribir α en términos de grados, minutos y segundo α = 124° + 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟓° = 124° + 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟓 ⋅ 𝟔𝟎′ = 124° + 𝟐𝟕, 𝟏𝟓′ = 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟎, 𝟏𝟓′ = 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟎, 𝟏𝟓 ⋅ 𝟔𝟎′′ = 124° + 𝟐𝟕′ + 𝟗′′ Finalmente, α = 124°27′ 9′′ ⇒ m = 2, n = 2, p = 0 n+p 2+0 n+p Piden calcular: = =1 m 2 m CLAVE: A II. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS: Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado centesimal (1g ), que se define como la 400ava parte del ángulo de una vuelta, es decir: 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟏𝐠 𝟒𝟎𝟎 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟒𝟎𝟎𝐠 En este sistema se tienen como subunidades el minuto centesimal (1m ) y el segundo centesimal (1s ), donde: 𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝐦 𝟏𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝐬 Nota: Ejemplo: ag bm c s = ag + bm + c s ag = 100am ag = 10000as abc, defg …g = abc g dem fg, …s 𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐬 am = 100as 1435,34123 …g = 1435g 34m 12,3s III. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O INTERNACIONAL: Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un radián (1 rad), que se define como la medida del ángulo central en una circunferencia, que subtiende en ella un arco de igual longitud que el radio de dicha circunferencia. En la figura: A Además, se demuestra que: R O θ Si: L = R ⇒ 𝛉 = 𝟏𝐫𝐚𝐝 L R B 𝐦∡𝟏 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟐𝛑𝐫𝐚𝐝 Donde: π ≈ 3,141593 APLICACIÓN 03: Si el suplemento del ángulo de medida 8π/13 rad se expresa aproximadamente como 7ag 9bm c1s . Exprese a + c b + c ° en radianes. A) 𝜋/12 B) 𝜋/6 C) 𝜋/4 D) 𝜋/3 RESOLUCIÓN: El ángulo 𝛼 buscado es el suplemento de α= π 8π − 13 rad ⇒ α = 5π 13 8𝜋 13 E) 𝜋/2 rad, entonces rad Convirtiendo al sistema centesimal: Sabemos que: π rad <> 200g ⇒α= 5𝛑 13 𝐫𝐚𝐝 = 5 13 𝟐𝟎𝟎𝐠 ⇒ α ≈ 76,9231𝑔 Recuerde que: a … c, defg …g = a … c g dem fg, …s Entonces, α ≈ 76,9231g = 76g 92m 31s . Así tenemos que: 𝐚 = 𝟔, 𝐛 = 𝟐, 𝐜 = 𝟑 De lo que piden, θ = a + c b + c π Convirtiendo a radianes: θ = 4 rad ° = 9 5 ° ⇒ θ = 45° CLAVE: D RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR De lo anterior, tenemos que: m∢1vuelta <> 360° <> 400g <> 2π rad. Simplificando: 𝟏𝟖𝟎° <> 𝟐𝟎𝟎𝐠 <> 𝛑𝐫𝐚𝐝 o, 𝛑 𝟗° <> 𝟏𝟎 <> 𝐫𝐚𝐝 𝟐𝟎 𝐠 También podemos relacionar los minutos y segundos de los sistemas sexagesimal y centesimal: 9o <> 10g 9 60′ <> 10 100m 𝟐𝟕′ <> 𝟓𝟎𝐦 27′ <> 50m 27 60′′ <> 50 100𝑠 𝟖𝟏′′ <> 𝟐𝟓𝟎𝒔 Consideración: Dado que: m∡1vuelta <> 360° <> 400g <> 2πrad ⇒ 𝟏𝐫𝐚𝐝 > 𝟏° > 𝟏𝐠 . CONVERSIÓN DE UNIDADES ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Es el proceso de cambio de unidades en que se expresa un ángulo. El método a utilizar será el del FACTOR DE CONVERSIÓN, que consiste en multiplicar la medida del ángulo a convertir por una fracción que vale 1, pero que estará escrita con dos medidas equivalentes; una en el numerador en las unidades del sistema que deseamos y otro en el denominador en las unidades del sistema que ya no deseamos. Por ejemplo: 01) Convertir: θ = 36º al sistema radial πrad Multiplicamos a: θ = 36º × m ∢ sistema radial ⇒ θ = 36° × m ∢ sistema sexagesimal 180° π ⇒ θ = 5 rad 02) Convertir: θ = 50g al sistema radial πrad Multiplicamos a: θ = 50g × m ∢ sistema radial ⇒ θ = 50g × m ∢ sistema centesimal 200g π ⇒ θ = 4 rad 03) Convertir: θ = 72º al sistema centesimales Multiplicamos a: θ = 72º × m ∢ sistema centesimal ⇒ θ = 72° × m ∢ sistema sexagesimal 04) Convertir: θ = π rad 54 Multiplicamos a: θ = θ= × m ∢ sistema sexagesimal m ∢ sistema radial π ⇒ θ = 54 rad × 1 ⇒ θ = 3° + 3 (60′ ) ⇒ θ = 3° + 20′ ⇒ θ = 3°20′ Nota: 1rad ≈ 57°17′ 44,8" 9° ⇒ θ = 80g al sistema sexagesimal π rad 54 10° 3 10g 1rad ≈ 63g 66m 19,8s 180° πrad APLICACIÓN 04: 𝐀 De la figura calcule la medida radial del ángulo positivo AOB; si además x > 0. A) D) π 30 π 10 B) E) π 20 π 9 C) π 15 𝐎 𝟏𝟎 + 𝐱 − 𝟗𝐱 𝟐 𝐦 𝟓𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 ′ RESOLUCIÓN: Colocando los ángulos en sentido antihorario, tenemos, 5x 2 − 2x − 15 ′ <> − 10 + x − 9x 2 m Convertimos de minutos sexagesimales centesimales: m 50 2 m 5x 2 − 2x − 15 ′ ⋅ = − 10 + x − 9x 𝟓𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 ′ 𝐎 27 ⇒ 50 5x 2 − 2x − 15 = 27 9x 2 − x − 10 Operando: 7x 2 − 73x − 480 = 0 ⇒ 7x + 32 x − 15 = 0 Como x > 0: x = 15 π πrad ′ o Finalmente: m∡AOB = rad ⇒ m∡AOB = 1080 = 18 × o 10 180 𝐁 𝐀 𝟗𝐱 𝟐 − 𝐱 − 𝟏𝟎 𝐦 ′ 𝐁 CLAVE: D RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LAS MEDIDAS DE UN MISMO ÁNGULO EN LOS TRES SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR. Si medimos un ángulo en los tres sistemas conocidos: B Se cumple que: De donde: O S° Cg R rad Reduciendo: También: A Donde: S: número de grados sexagesimales. C: número de grados centesimales. R: número de radianes. S° <> Cg <> Rrad S° Cg Rrad = = g 360° 400 2πrad 𝐒 𝐂 𝐑 = = 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝛑 𝐒 𝐂 𝟐𝟎𝐑 = = 𝟗 𝟏𝟎 𝛑 Observaciones: Siendo S el número de grados sexagesimales, C el número de grados centesimales y R el número de radianes de un mismo ángulo; se cumple: Si el ángulo es generado en sentido antihorario: 𝐂>𝐒>𝐑 Si el ángulo es generado en sentido horario: 𝐂 < 𝐒 < 𝐑 De la relación general: 𝐒 𝐂 𝐑 = = 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝛑 𝐒 = 𝟏𝟖𝟎𝐤; 𝐂 = 𝟐𝟎𝟎𝐤; 𝐑 = 𝛑𝐤 𝛑𝐤 𝐒 = 𝟗𝐤; 𝐂 = 𝟏𝟎𝐤; 𝐑 = 𝟐𝟎 APLICACIÓN 05: Sean S y C los números enteros que expresan las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, tal que cumplen que: 20 < 3C − 2S < 80. Determine la menor medida del ángulo en radianes. A) π/20 B) π/15 C) π/10 D) π/6 E) π/5 RESOLUCIÓN: 𝐂 𝟐𝟎𝐑 Como S y C representan los números de las medidas de un 𝐒 = = ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, tenemos que: 𝟗 𝟏𝟎 𝛑 π S = 9k, C = 10k, R = k También, 20 Note que para que S y C sean números enteros k debe tomar un valor entero. Y si requerimos que R sea la menor medida, k debe ser el menor valor posible. Reemplazando en la condición del problema, 20 < 3(10k) − 2 9k < 80. ⇒ 20 < 12k < 80. Simplificando, ⇒ 1,666 … < k < 6,666 … Entonces, k = 2 𝜋 Finalmente, R = . 10 π rad Es decir el ángulo buscado es 10 CLAVE: C APLICACIÓN 06: Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente. Calcule la medida de dicho ángulo, si los ángulos α y β cumplen: RC R2 2R2 RS α= + rad y β = + rad 4 π π 4 Siendo 𝛼 y 𝛽 complementarios. RESOLUCIÓN: Como α y β son complementarios entonces 𝛂 + 𝛃 = ∎ Utilizaremos: S = 180k; C = 200k; R = πk (𝛑𝐤)(𝟐𝟎𝟎𝐤) 𝛑𝐤 + Reemplazando, α = 𝟒 𝛑 𝟐 𝟐 𝛑𝐤 rad y β = 𝛑 𝟐 𝛑 . 𝟐 A) 15°16′ π B) rad 14 C)15g D)17°35′ π E) rad 17 ∆ 𝛑𝐤 𝟏𝟖𝟎𝐤 + 𝟒 rad ⇒ α = 𝟓𝟏𝛑 𝐤 𝟐 rad y β = 𝟒𝟕𝛑 𝐤 𝟐 rad 1 𝛑 𝟏 2 𝟐 𝟐 𝟐 En ∆ , = 𝛂 + 𝛃 = 𝟓𝟏𝛑 𝐤 + 𝟒𝟕𝛑 𝐤 = 𝟗𝟖𝛑 𝐤 ⇒ k = ∴ 𝐤= 196 𝟏𝟒 𝟐 π π Finalmente el ángulo mide rad. En ∎ : R = 14 CLAVE: B 14 Comentarios finales: 1. Relación entre los números de grados, minutos y segundos de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal. Sistema # de grados # de minutos # de segundos Sexagesimal Centesimal S C 60S 100C 3600S 10000C 2. Relación entre los números de grados sexagesimales, centesimales y radianes complemento y el suplemento de un mismo ángulo en los tres sistemas. Sistema Ángulo Complemento Suplemento Sexagesimal Centesimal S C 180 – S 200 – C Radial R 90 – S 100 – C π −R 2 π−R 3. A lo largo del curso utilizaremos técnicas algebraicas para propósitos de resolver los problemas, entre las técnicas mas utilizadas están: Completar cuadrados: Esta técnica es utilizada para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, obtener el valor máximo o mínimo de una expresión cuadrática. Ejemplo: • 4𝑥 2 + 4𝑥 + 12 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 𝟏 + 𝟏𝟏 = 2x + 1 2 + 11 Mínimo valor: 𝟏𝟏 • 𝟏𝟏 + 6𝑥 − 𝑥 2 = − x 2 − 6x + 𝟗 + 𝟐𝟎 = 20 − x − 3 2 Máximo valor: 𝟐𝟎 Desigualdad de las medias Esta técnica es utilizada obtener el valor máximo o mínimo de una expresión. a+b Dados dos números reales 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: MA a, b = Si a, b > 2 0: 𝐌𝐀 𝐚, 𝐛 ≥ 𝐌𝐆 𝐚, 𝐛 MG a, b = ab Ejemplo: 3 • Para 𝑥 > 0: El menor valor de 2x + x es: 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐𝐱 + 𝟑/𝐱 𝟑 𝐌𝐆 𝟐𝐱, 𝐱 = 𝐌𝐀 𝟐𝐱, = 𝐱 𝟐 𝟑 𝟐𝐱 ⋅ 𝐱 𝟐𝐱 + 𝟑/𝐱 ⇒ ≥ 𝟔 𝟐 APLICACIÓN 07: Si se cumple que 167 p − q = 157 p + q p, siendo p y q, los números de segundos sexagesimales y minutos centesimales de un mismo ángulo, respectivamente. Halle el valor de p. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: Considerando S y C los números de grados sexagesimales y centesimales del ángulo mencionado, respectivamente, tenemos: p = 3600S Además, para este problema usaremos: q = 100C S = 9k; C = 10k ∆ En la condición del problema, 167 3600S − 100C = 157 3600S + 100C ⋅ p Simplificando, 167 36S − C = 157 36S + C ⋅ p Reemplazando ∆ , 167 36 9k − 10k = 157 36 9k + 10k ⋅ p 167 314 = 157 334 ⋅ p Simplificando, ⇒ p = 1 CLAVE: A APLICACIÓN 08: Calcule la menor medida radial que puede tomar un ángulo, si la diferencia de la doscientava parte de su número de segundos centesimales y la ciento veinteava parte de su número de segundos sexagesimales es igual a: x 2 + 6x + 55; x ∈ ℝ A) π 40 B) π 50 C) π 80 D) π 100 E) RESOLUCIÓN: Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; hacemos: a:número de segundos sexagesimales ⇒ a = 3600S b: número de segundos centesimales Interpretando el enunciado: ⇒ b = 10000C b a − = x 2 + 6x + 55 200 120 10000C 3600S Reemplazando: − = x 2 + 6x + 9 + 46 200 120 π 200 ⇒ 50C − 30S = x + 3 2 + 46 πk Utilizaremos: S = 9k; C = 10k; R = 20 Nos quedaría: 230k = x + 3 De esta manera: x + 3 2 2 ⇒ 50(10k) − 30(9k) = x + 3 2 + 46 ∀x ∈ ℝ: x 2 ≥ 0 1 +46 ≥ 46 ⇒ 230k ≥ 46 ⇒ k ≥ 5 Sabemos que: + 46 ≥0 ⇒ x+3 2 230k R= πk 20 Para que la medida radial sea la menor posible, el valor de k debe ser el menor: ⇒ k mínimo La menor medida radial sería: R mínimo π Finalmente: R mínimo = 100 πk mínimo π 1 = = 20 20 5 1 = 5 CLAVE: D APLICACIÓN 09: Si el número que representa el suplemento de un ángulo en el sistema centesimal es al número que representa su complemento en radianes como 700 es a 𝜋, calcule la medida del ángulo en el sistema sexagesimal. A) 18° B) 24° C) 36° D) 45° E) 54° RESOLUCIÓN: Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; interpretamos el problema de la siguiente manera: • Suplemento de un ángulo en el sistema centesimal: 200 − C. π • Complemento de un ángulo en el sistema internacional: − R. 2 200 − C 700 ⇒ 200π − πC = 350π − 700R ⨂ Del problema tenemos: π = π − R 2 C R = ⇒ C = 200k, R = πk Como 200 π Reemplazando en ⨂ , 200π − π 200k = 350π − 700 πk ⇒ 500πk = 150π 3 3π Entonces, k = . El ángulo tiene medida: rad. 10 10 CLAVE: E En el sistema sexagesimal: 54° PROBLEMA 01: En la figura mostrado se cumple 1500x β= 2 ,x > 0 x + 6x + 4 Calcule α, si β adopta su mayor valor posible. α° β° RESOLUCIÓN: Colocando los ángulos del grafico en sentido antihorario: A) − 150 B) − 120 C) 120 D) 150 E) 240 −α° ∆ Observamos que −α + β + 90 = 360 ⇒ β = 270 + α Veamos el mayor valor que puede tomar β: β° 1500 1500x = β= 2 4 x + 6x + 4 x+x+6 𝟒 Nota: Para que 𝛃 tome su mayor valor, el denominador 𝐱 + 𝐱 + 𝟔 debe ser mínimo. El menor valor para el denominador lo obtenemos con 𝐌𝐀 ≥ 𝐌𝐆 para x y 4/x. 4 4 4 ∗ ⇒ β = 150 x + ≥ 2 x ⋅ ≥ 4 ⇒ x + + 6 = 10 x x x α = −120 Reemplazando ∗ en ∆ : CLAVE: B PROBLEMA 02: En la figura adjunta, si x > 0, entonces calcule el mayor valor de θ en radianes. (considere π ≈ 22/7). A) 85/21 D) 112/21 B) 97/21 E) 121/21 C) 104/21 RESOLUCIÓN: 1 1 De la figura, observamos que: θ + 4x + = 2π ⇒ θ = 2π − 4x + (∆) 9x 9x 1 Como x > 0, aplicamos MA ≥ MG para 4x y 9x Debe ser mínimo para 1 4x + que 𝜽 sea máximo. 9x ≥ 4x ∙ 1 ⟹ 4x + 1 ≥ 4 9x 3 2 9x Mínimo valor: 4x + En (∗): θMáximo 1 9x = 4 3 4 22 4 = 2π − = 2 ∙ − 3 7 3 104 ∴ θMáximo = 21 CLAVE: C PROBLEMA 03: En la siguiente figura, calcule el mayor valor que puede tomar el ángulo α (en radianes), sabiendo que θ = x 2 − 18x + 90 ° y ϕ = A) 3𝜋/10 y2 +8y+1 y B) 7𝜋/10 g θ , y > 0. C) 9𝜋/10 α D) 10𝜋/11 ϕ E) 14𝜋/15 RESOLUCIÓN: Del triángulo tenemos que: α + θ + ϕ = 180° ∆ Note que α = 180° − θ + ϕ , y para que tome el mayor valor, θ y ϕ deben ser mínimos, sin depender de los sistemas en que estén representados los ángulos. Minimizando θ y ϕ: • θ = x 2 − 18x + 81 + 9 °= • ϕ= y2 +8y+1 y g 1 = y+ +8 y x−9 2 + 9 ° ⇒ θ = 9° g ⇒ ϕ = 10g Convertimos ϕ a grados sexagesimales ⇒ ϕ = 9° En ∆ : α = 180° − θ + ϕ ⇒ α = 162° 9π En radianes, α = 10 CLAVE: C PROBLEMA 04: Si se cumple: a−3 ° a+6 g Halle el valor positivo de 𝑎. RESOLUCIÓN: Convertiremos sexagesimal. a−3 ° 𝟗° g a + 6 ⋅ 𝟏𝟎𝐠 10 𝑎 − 3 9 𝑎+6 m = todos m A) 10 C) 3 10 E) 5 10 g ′ 𝟐𝟕′ ⋅ 𝐦= 𝟓𝟎 a−6 a+3 ° los ángulos 𝟗° a − 6 g ⋅ 𝟏𝟎𝐠 a+3 ° B) 2 10 D) 4 10 involucrados al sistema ′ 9(𝑎 − 6) ⋅ 𝟐𝟕 = 50 10 a + 3 ⇒ 27 ⋅ 102 𝑎2 − 32 = 50 ⋅ 92 𝑎2 − 62 Despejando, a2 = 90 Finalmente el valor positivo de a es 3 10 CLAVE: C PROBLEMA 05: Si 𝑆, 𝐶 y 𝑅 son los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes respectivamente, tal que se cumple: S5 36 + C5 40 + 5R5 π = 3 S 4 + C4 + R4 A) 3𝜋 5 C) 𝜋 E) B) D) 7π 5 4π 5 6𝜋 5 Calcule la medida del ángulo en radianes. RESOLUCIÓN: 𝐒 = 𝟗𝐤 Convenientemente tomamos 𝐂 = 𝟏𝟎𝐤 𝐤𝛑 𝐑= 𝟐𝟎 Reemplazando en el problema y factorizando, k S5 4.(9k) C5 R5 + + 4𝛑k 4(10k) 20 =3 S4 + C4 + R4 𝒌 S4 +C4 +R4 𝟒 = 3 S 4 + C4 + R4 Entonces k = 12. 𝟏𝟐𝛑 𝟑𝛑 Finalmente, la medida en radianes del ángulo es:𝐑 = 𝟐𝟎 = 𝟓 CLAVE: A PROBLEMA 06: Los números que expresan las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales son: S = 3q − 2p y C = 2−p + 3q . Calcule la menor medida del ángulo en radianes. A) π 50 B) 𝜋 40 C) 𝜋 30 D) 𝜋 20 E) 𝜋 10 π RESOLUCIÓN: Para este problema S = 9k, C = 10k y R = ∆ k 20 usaremos: Restando, C − S = k. 1 Para que 𝐑 sea mínimo, 𝐤 debe −p p De las condiciones del problema: C − S = 2 + 2 2 ser mínimo. 1 −p p De (1) y 2 : k = 2 + 2 = p + 2p 2 ≥2 El menor valor que puede tomar k es 2. π En ∆ , R = 10 CLAVE: E PROBLEMA 07: En un nuevo sistema de medición angular, su unidad es el grado A, 1A . Si su subunidad es el minuto "a" (1a ) tal que 1A <> 50a . 𝜋 2𝜋 𝑎 Se sabe que 100 <> 90 rad. Entonces halle el valor de y, si 3 rad <> y 𝐴 . A) 30 B) 60 RESOLUCIÓN: Del problema, Tenemos, Es decir, C) 90 π 100a <> 90 rad π <> <> rad 90 180A <> π rad 2A y D) 120 E) 150 1A <> 50a 2A <> 100a 100a 2π rad <> y A Entonces, lo que pide el problema: 3 2π rad <> 120A 3 ⇒ y = 120 CLAVE: D PROBLEMA 08: Sabiendo que 𝐚 representa el numero de minutos sexagesimales, 𝐛 el número de segundos sexagesimales y 𝐜 el número de segundos centesimales de un mismo ángulo. Halle θ en radianes donde: 4bc + 27c 2 m θ= ac A) 0,132 π rad B) 0,262 π rad C) 0,272 π rad D) 0,212 π rad E) 0,136 π rad RESOLUCIÓN: Considerando S y C las unidades de los grados en los 𝐒 𝐂Y sistemas sexagesimal y centesimal, respectivamente. Entonces: a = 60S b = 3600S c = 10000C m 𝟑𝟔𝟎𝟎𝐒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐂 𝐛 𝐜 + 27 ⋅ Del problema, θ = 4 + 27 = 4 ⋅ 𝟔𝟎𝐒 𝟔𝟎𝐒 𝐚 𝐚 θ = 240 + 4500 ⋅ 𝐂 m = 𝐒 240 + 4500 𝟏𝟎 𝟗 Convirtiendo a grados centesimales y luego a radianes: ⇒ θ = 52,4g π rad ⇒ θ = 0,262 π rad 200g 𝟗 = 𝟏𝟎 m m ⇒ θ = 5240 m CLAVE: B PROBLEMA 09: Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos tal que el valor de cualquier ángulo expresado en este nuevo sistema es equivalente a la tercera parte de la diferencia de la cuarta parte del número de grados sexagesimales y de la quinta parte del número de grados centesimales del mismo ángulo, ¿a cuántos radianes equivalen 10 unidades de este nuevo sistema? A) 2π B) 3π C) 4π D) 5π E) 6π RESOLUCIÓN: Sea α ángulo y S, C y R lo convencional para dicho ángulo, además consideramos N las unidades en el nuevo sistema. Entonces del problema, 1 S C N= − 3 4 5 π k Además si consideramos: S = 36k, C = 40k, R = k. Tenemos: N = 5 3 Para resolver el problema N = 10 (unidades en este nuevo sistema). CLAVE: E Así tenemos que k = 30. Finalmente los radianes equivalentes a 10 unidades del nuevo sistema son 6π. PROBLEMA 10: Reducir la siguiente serie: 90° A) 50g B) 100g + 50g + π + rad + ⋯ 16 D) 200g E) 250g 22°30′′ C) 150g RESOLUCIÓN: Convirtiendo los términos de la serie a grados centesimales: π g ′′ Z = 90° + 50 + 22°30 + rad + ⋯ 16 𝐠 𝐠 𝟏𝟎 𝟗° 𝟏𝟎 𝟗° 100g + 50g + 25g 1 2 3 Recuerde: 1 + r + r + r + ⋯ = 1−r Factorizando, Z = 100g 𝟐𝟎𝟎𝐠 𝛑 𝐫𝐚𝐝 + 12,5g + ⋯ si 0 < r < 1 1 1 1 1+ + + +⋯ 2 4 8 = 100g 1 1+ 2 1 1 + 2 1 ⇒ Z = 100 ⋅ Entonces el valor de la serie es: Z = 200g 1 − (1/2) g 2 1 + 2 3 +⋯ CLAVE: D PROBLEMA 11: Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulo en los sistemas convencionales. Calcule la media de dicho ángulo, si se cumple que: S C R 2 A) 1200g B) 900° este RESOLUCIÓN: Para usaremos: Reemplazando, + 3 + 4π = 941,5 C) 1600g D) 6π rad E) 12π rad problema S = 360k, C = 400k y R = 2π k ∆ S C R 360k 400k 2π k 400 1 941,5 = + + = + + = 180k + k+ k 2 3 4π 2 3 4π 3 2 1883 ⇒ 941,5 = k ⇒k=3 6 En ∆ , S = 1080°, C = 1200g y R = 6π CLAVE: A PROBLEMA 12: Si S, C y R son las medidas de una ángulo en grados sexagesimales, centesimales y en radianes, respectivamente y se cumple que: Halle la medida del ángulo mencionado en radianes. R−R C C C… S S S… 4 = A) 1 B) 2 10 C) 3 9 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: S = 9k y C = 10k. Para resolver este problema debemos suponer que los valores dados existen. En ese sentido podemos plantear lo siguiente: α= β= C C C… S S S… α En el problema, α= C⋅α β= S⋅β α=C β=S β 4 10 C = 9 S R−R 10k = 9k R−R 10 ⇒ 9 Finalmente, el ángulo en radianes es de R = 2. 2−2 10 = 9 R−R CLAVE: B PROBLEMA 13: Dados dos ángulos complementarios 𝛼 y 𝛽, calcule la medida del menor ángulo en radianes si la diferencia de los cuatro tercios del número de sus grados sexagesimales de uno de ellos y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 20. A) 𝜋/12 B) 𝜋/9 C) 𝜋/6 D) 2𝜋/7 E) 2𝜋/9 RESOLUCIÓN: Sean Cα y Sα lo convencional para el ángulo α, Cβ y Sβ lo convencional para el 4 3 ángulo 𝛽. Del problema: S − C = 20 (1) 3 α 5 β También: Cα + Cβ = 100 → Cβ = 100 − Cα (2) 4 3 Reemplazando (2) en (1): Sα − 100 − Cα = 20 (3) 3 5 40 4 3 9k − 100 −10k = 20 → k = Pero S = 9k y C = 10k , reemplazando en (3): 9 3 5 Luego, como: πk R= 20 π 40 →R= 20 9 𝟐𝛑 ∴R= 𝟗 CLAVE: E PROBLEMA 14: Se mide un ángulo y se obtiene la siguiente relación: el triple del número de minutos centesimales, excede en 640 al doble del número de minutos sexagesimales. Calcule la medida del ángulo en radianes. A) 𝜋/80 B) 𝜋/60 C) 𝜋/50 D) 𝜋/40 E) 𝜋/30 RESOLUCIÓN: Sean 𝑆 y 𝐶 los números de los grados sexagesimales y centesimales, respectivamente. S: grados sexagesimales ⇒ 60S: minutos sexagesimales C: grados centesimales ⇒ 100C: minutos centesimales Planteando el problema: 3 100𝐶 − 2 60𝑆 = 640 10 S 9 10 ⇒ 640 = 3 100 ⋅ S − 2 60S ⇒S=3 9 π El ángulo dado es 3° y al convertirlo en radianes tenemos: 60 Como C = CLAVE: B PROBLEMA 15: Si S, C y R son las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial y se cumple que: 12 7 40 7 π 7 πC − 197R + + = S 3C 15R πS − 52R Exprese el ángulo en radianes. A) π/15 B) 2π/15 C) 2π/13 D) π/5 E) 2π/7 RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: 𝐒 = 𝟑𝟔𝐤, 𝐂 = 𝟒𝟎𝐤 y 𝐑 = 𝛑 𝐤 ∆ 𝟓 𝛑 7 Reemplazando: π ⋅ 𝟒𝟎𝐤 − 197 ⋅ 𝟓 𝐤 12 7 40 7 π 𝛑 = 𝟑𝟔𝐤 + 3 ⋅ 𝟒𝟎𝐤 + 𝛑 π ⋅ 𝟑𝟔𝐤 − 52 ⋅ 𝐤 15 ⋅ 𝐤 𝟓 𝟓 197 7 7 7 7 40 − πk 1 1 1 3 1 5 = + + ⇒ =3 52 3k 3k 3k 128 3k 36 − πk 5 2 Resolviendo, k = 3 2π Reemplazando en ∆ : R = CLAVE: B 15 PROBLEMA 16: Dados los ángulos suplementarios de medidas α y θ en radianes, donde: α= 60 π + 2 rad y SR 2R π 40 − rad 2 3R RC θ= Siendo S, C y R lo convencional para dicho ángulo no nulo. Calcule la medida del mayor de dichos ángulos en radianes. A) 5π/11 B) 3π/7 C) 2π/7 D) 5π/7 E) 3π/11 RESOLUCIÓN: Para este problema usaremos: 𝐒 = 𝟏𝟖𝟎𝐤, 𝐂 = 𝟐𝟎𝟎𝐤 y 𝐑 = 𝛑 𝐤 Reemplazamos en el problema: ∗ α= 60 180k∙πk ∗ θ= π 3∙π2 k2 π + 2∙π2 k2 − 40 πk∙200k Además: α + θ = π ⟹ 𝛂= ∆ Convenientemente, dividimos los valores: 𝟏 𝐤 𝟓 𝟔𝛑 𝟏 𝟐 𝟏𝟓𝛑 ⟹ 𝛉=𝐤 𝛂 = 𝛉 5 15π ∙ 6π 2 𝛂 𝟓 ⟹ = 𝛉 𝟐 Observe que 𝛼 es el mayor ángulo y por proporciones, 𝛂 = 𝟓 5π 𝛉+𝛂 𝟕 ⟹α= 7 π CLAVE: D
