Problema de tritangencia y generalización analítica Hallar CIRCULO DE RADIO r y centro (a,b): (el problema inicial pide el radio Circulo: (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟 2 Tal que sea: tα→ Tangente a parábola y = x2 en el punto (α;α2) tβ→ Tangente a parábola y = x2/4 en el punto (β;β2/4) t2→ Tangente a recta y=2 Tangente a un círculo: Derivando en la ecuación implícita del círculo: (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟 2 → 2(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 2(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)𝑦𝑦 ′ = 0 → 𝑦𝑦 ′ = 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 EL CIRCULO BUSCADO, ES EL CIRCULO INSCRITO EN EL TRIANGULO DELIMITADO POR LAS TRES TANGENTES. Tenemos que las coordenadas de los vértices que se encuentran en la recta y=2 son: ∩ tα;t2 → � ∩ tβ;t2 → � 𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝜷𝜷 𝟐𝟐 𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝟐𝟐� ; 𝟐𝟐� → � 𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝟐𝟐� Nos faltarían las coordenadas del tercer punto que es el de la intersección de las dos tangentes: 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � 2 � 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝑦𝑦 = ∗ �𝑥𝑥 − � 2 2 Luego despejando en y: 𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝛽𝛽 ∗ �𝑥𝑥 − � = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � 2 2 2 𝛽𝛽 2 2 2 𝛼𝛼 2 − 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽 4 𝑥𝑥 − = 2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼 2 → 2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 2 − → 𝑥𝑥 �2𝛼𝛼 − � = 𝛼𝛼 2 − → 𝑥𝑥 = 𝛽𝛽 2 2 4 4 4 2 2𝛼𝛼 − 2 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 2 2 2 𝛼𝛼 2 4 − 4 → 𝑥𝑥 = 1 → 𝑥𝑥 = 4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 𝑥𝑥 = 𝛽𝛽 𝛽𝛽 4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 2𝛼𝛼 − 2𝛼𝛼2 − 2 1 𝛼𝛼 2 − 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼 � 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼 [4𝛼𝛼 2 − 𝛽𝛽 2 − 𝛼𝛼 (4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 )] 4𝛼𝛼 2 − 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼 4𝛼𝛼 2 − 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼 (4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) � → 𝑦𝑦 = − � → 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼 � − 2 4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 2𝛼𝛼 [−𝛽𝛽 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 ] 2𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ] 𝛼𝛼𝛼𝛼 (𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 2𝛼𝛼 [4𝛼𝛼 2 − 𝛽𝛽 2 − 𝛼𝛼(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 )] → 𝑦𝑦 = → 𝑦𝑦 = → 𝑦𝑦 = 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) 2(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) ∩ tα;tβ → � 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 −𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜶𝜶𝜶𝜶(𝜶𝜶−𝜷𝜷) 𝟒𝟒𝜶𝜶−𝜷𝜷 ; 𝟒𝟒𝟒𝟒−𝜷𝜷 � Por lo tanto, se trata del incentro de dicho triangulo y con la fórmula de las coordenadas del incentro de un triángulo: Con lo que tenemos el circulo definido calculando las longitudes de los lados por las distancias entre los puntos y el radio por sus coordenadas o la formula del círculo inicial. Lo cual resulta un pedazo de carro de ecuaciones. Por lo visto anteriormente podemos poner: 𝟐𝟐 1. (𝜶𝜶 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = 𝒓𝒓𝟐𝟐 2. (𝜷𝜷 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + � 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = 𝒓𝒓𝟐𝟐 3. (𝒂𝒂 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 → 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 = 𝒓𝒓 4. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒚𝒚′ = 𝜷𝜷 5. 𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝜶𝜶 𝜶𝜶𝟐𝟐 −𝒃𝒃 𝒂𝒂−𝜷𝜷 = 𝒚𝒚′ = 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 −𝒃𝒃 Sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas,(x- a resolver. A continuación realizamos una tentativa: De 3. (𝑎𝑎 − 𝑎𝑎)2 + (2 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟 2 → 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 = 𝒓𝒓 → (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 Y sustituyendo, el sistema queda de 4 ec. con 4 incog.: 𝟐𝟐 1. (𝜶𝜶 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 2. (𝜷𝜷 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + � 4. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒚𝒚′ = 5. 𝜷𝜷 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝜶𝜶 𝜶𝜶𝟐𝟐 −𝒃𝒃 𝒂𝒂−𝜷𝜷 = 𝒚𝒚′ = 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 −𝒃𝒃 Despejando en 4: 4. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒚𝒚′ = 𝒂𝒂−𝜶𝜶 𝜶𝜶𝟐𝟐 −𝒃𝒃 𝟏𝟏 → 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = 𝒂𝒂 − 𝜶𝜶 → 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + � 𝟐𝟐 Ordenando en 5: 5. 𝜷𝜷 𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝜷𝜷 = 𝒚𝒚′ = 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 −𝒃𝒃 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 → � 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = 𝒂𝒂 − 𝜷𝜷 → � 𝟐𝟐 𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒 � = 𝒂𝒂 − 𝜷𝜷 → 𝜷𝜷 �𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒� = 𝟖𝟖(𝒂𝒂 − 𝜷𝜷) Y sustituyendo la a en el sistema nos queda de 3 ec. Con tres incog. (α,β,b) 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 1. (𝜶𝜶 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 → �𝜶𝜶 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + �� + �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 2. (𝜷𝜷 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐 + � 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 → �𝜷𝜷 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + �� + � 𝟐𝟐 3. 𝜷𝜷 �𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒� = 𝟖𝟖(𝒂𝒂 − 𝜷𝜷) 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 𝟏𝟏 → 𝜷𝜷 �𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒� = 𝟖𝟖 �𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + � − 𝜷𝜷� 𝟐𝟐 Vamos a despejar b en 3, porque sólo en esa ecuación no se halla afectado de ningún exponente: 𝟏𝟏 𝜷𝜷 �𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒� = 𝟖𝟖 �𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + � − 𝜷𝜷� → 𝛽𝛽 3 − 𝛽𝛽4𝑏𝑏 = 16𝛼𝛼 3 − 16𝛼𝛼𝛼𝛼 + 8𝛼𝛼 − 8𝛽𝛽 → 𝟐𝟐 16𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛽𝛽4𝑏𝑏 = 16𝛼𝛼 3 + 8𝛼𝛼 − 8𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 3 → 4𝑏𝑏(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) = 16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 → 4𝑏𝑏(4𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) = 16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 → 𝒃𝒃 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 Sustituyendo b en 1. y 2. Tendremos un sistema de dos ecuaciones no lineales con 2 incógnitas en α;β En 1: �𝜶𝜶 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + �� + �𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 → 𝟐𝟐 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) 1 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) �𝛼𝛼 − 2𝛼𝛼 �𝛼𝛼 − + �� + �𝛼𝛼 2 − � = 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) = �2 − � → 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) 𝛼𝛼(16𝛼𝛼 3 − 4𝛽𝛽𝛼𝛼 2 − 16𝛼𝛼 3 − 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) + 𝛽𝛽 3 + 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 ) �𝛼𝛼 − � + �𝛼𝛼 2 − � = 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 = �2 − 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) � → 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) 8𝛼𝛼 2 + 4𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 8𝛽𝛽𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 3 𝛼𝛼 � � + �𝛼𝛼 2 − � = 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 = �2 − 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) � → 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 8𝛼𝛼 2 + 4𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 8𝛽𝛽𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 3 𝛼𝛼 2𝛽𝛽 + 𝛽𝛽 3 − 8𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽𝛼𝛼 2 � � +� � = 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 = �2 − 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) � → 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 8𝛼𝛼 2 + 4𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 8𝛽𝛽𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 3 𝛼𝛼 2𝛽𝛽 + 𝛽𝛽 3 − 8𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽𝛼𝛼 2 � � +� � = 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 (32𝛼𝛼 − 16𝛼𝛼 3 − 8𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 3 ) =� � → 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜶𝜶� + �𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 � = �𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 � Y en 2: �𝜷𝜷 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝒃𝒃 + �� + � − 𝒃𝒃� = (𝟐𝟐 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝟒 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) 1 𝛽𝛽 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) �𝛽𝛽 − 2𝛼𝛼 �𝛼𝛼 − + �� + � − � = 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 4 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 (16𝛼𝛼 3 + 8(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ) − 𝛽𝛽 3 ) = �2 − � 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 2 𝛽𝛽 3 + 8𝛽𝛽 − 4𝛽𝛽𝛼𝛼 2 − 8𝛼𝛼 8𝛼𝛼 − 2𝛽𝛽 𝛽𝛽 2 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � �𝛽𝛽 − 2𝛼𝛼 � + �� + � − � = (16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 ) 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 4 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 2 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � = �2 − � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 2 2 16𝛼𝛼𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 8𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 2𝛼𝛼𝛽𝛽 3 − 12𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛽𝛽 2 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � � + � +� − � = 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 4 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 2 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � = �2 − � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 2 2 4𝛼𝛼𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 + 8𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 2𝛼𝛼𝛽𝛽 3 4𝛼𝛼𝛽𝛽 2 − 16𝛼𝛼 3 − 8𝛼𝛼 + 8𝛽𝛽 � � +� � = 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝟖𝟖(𝜶𝜶 − 𝜷𝜷) − 𝜷𝜷𝟑𝟑 � = �2 − � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝜷𝜷 2 2 4𝛼𝛼𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 + 8𝛽𝛽𝛼𝛼 3 − 2𝛼𝛼𝛽𝛽 3 4𝛼𝛼𝛽𝛽 2 − 16𝛼𝛼 3 − 8𝛼𝛼 + 8𝛽𝛽 � � +� � = 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 2 32𝛼𝛼 − 16𝛼𝛼 3 − 8𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 3 =� � 16𝛼𝛼 − 4𝛽𝛽 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 �𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 � + �𝟒𝟒𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟖𝟖𝟖𝟖� = (�𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 � Finalmente tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas: 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜶𝜶� + �𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 � = �𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 � 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 �𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 � + �𝟒𝟒𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟖𝟖𝟖𝟖� = (�𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 � 𝟐𝟐 �𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 � + �𝟒𝟒𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟖𝟖𝟖𝟖� 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝜶𝜶𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜶𝜶� + �𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝜷𝜷𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 � Que es un pedazo de carro OTRA POSIBILIDAD DE ATAQUE DEL PROBLEMA En base a que sabemos que se cumple la propiedad de que “Las rectas bisectrices de los ángulos formados por las rectas tangentes al círculo tα; tβ;t2 cuyos vértices son: B ∩ tα;t2 → � 𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝟐𝟐� D ∩ tβ;t2 → � 𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝟐𝟐� Se intersecan en el incentro y centro de la circunferencia buscada: L (a;2-r)” Se trata de buscar el punto L de intersección entre las dos bisectrices de esos dos ángulos. Previamente encontraremos las ecuaciones de esas dos rectas: Recta BL y Recta DL. Para la Recta BL 𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝐵𝐵𝐵𝐵 La pendiente de la recta tα (recta BE) como ya hemos visto anteriormente es 2α = tan(<B) , siendo <B el ángulo que forman en el punto B las rectas tα (recta BE) y t2. (recta BD) La recta BL es la bisectriz del ángulo π –(<B). Esta recta forma un ángulo con la horizontal: π- [π-(<B)]/2 de forma que: 𝜋𝜋 − [𝜋𝜋−(<𝐵𝐵)] 2 𝜋𝜋 = + 2 <𝐵𝐵 2 Sabemos que: para dos ángulos cualesquiera α y β: En este caso: Su pendiente será : mBL= tan[π/2+(<B)/2] =− 1 𝐵𝐵 tan��< �� 2 = −1/𝜕𝜕 𝜋𝜋 < 𝐵𝐵 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � + 2 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 tan 𝜋𝜋 2 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜋𝜋 < 𝐵𝐵 2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � + 2 2 En adelante por comodidad: (<B/2) ≡ Por lo tanto: 𝜹𝜹 𝟐𝟐 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 = − 1 𝛿𝛿 tan� � 2 = − Expresión (3) Y recordemos que: 𝛿𝛿 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡 = tan 𝛿𝛿 = 2𝛼𝛼 = tan �2 � De las fórmulas de la tangente de ángulo mitad y ángulo doble: Tenemos que: 1 𝜕𝜕 2 𝛿𝛿 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 �2 � = 2 𝛿𝛿 2 tan � � 2 𝛿𝛿 2 �1 − �tan � �� � 2 Y EN NUESTRO CASO: 2𝛼𝛼 = 2𝜕𝜕 → 𝛼𝛼(1 − 𝜕𝜕 2 ) = 𝜕𝜕 1 − 𝜕𝜕 2 → 𝛼𝛼 − 𝛼𝛼𝜕𝜕 2 = 𝜕𝜕 𝛼𝛼𝜕𝜕 2 + 𝜕𝜕 − 𝛼𝛼 = 0 → 𝜕𝜕 = − → Entrando en la discusión de las soluciones: √1+4𝛼𝛼 2 1 𝜕𝜕 = − − → 2𝛼𝛼 2𝛼𝛼 decreciente la recta 𝜕𝜕 = − 1 2𝛼𝛼 + √1+4𝛼𝛼 2 2𝛼𝛼 −𝜕𝜕 = → −𝜕𝜕 = 1+√1+4𝛼𝛼 2 2𝛼𝛼 1−√1+4𝛼𝛼 2 2𝛼𝛼 1 → − = 𝜕𝜕 Entrando en el punto B como pertenece a la recta: � 1 → − = 𝜕𝜕 1 √1 + 4𝛼𝛼 2 ± 2𝛼𝛼 2𝛼𝛼 2𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 valor positivo que no es por ser 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝑩𝑩𝑩𝑩 valor negativo ya que α>0. 1+√1+4𝛼𝛼 2 𝟏𝟏−�𝟏𝟏+𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ; 𝟐𝟐� → 𝟐𝟐 = � � + 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 → 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 − � � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟏𝟏 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 + 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 → 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 → 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 Por lo tanto, la ecuación de la primera bisectriz es: 𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝑥𝑥 + Expresión (1) partiendo de un punto conocido de la parábola 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 A(α;α2) 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 Trazamos la tangente por ese punto: Visto anteriormente: para tangente por el punto (𝜌𝜌; 𝜏𝜏𝜌𝜌2 ) 𝝆𝝆 𝑦𝑦 = 2𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝒙𝒙 − � = 𝒚𝒚 𝟐𝟐 Con 𝝉𝝉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝝆𝝆 = 𝜶𝜶 ; 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑦𝑦 = 2𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 → 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼 2 El circulo tangente en A. Debe tener el centro en la recta perpendicular a la tangente a la parábola en A. y pasa por el punto A: 𝑥𝑥 𝛼𝛼 1 𝑦𝑦 = − � � + 𝑛𝑛 → 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴 → 𝛼𝛼 2 = − � � + 𝑛𝑛 → 𝛼𝛼 2 = 𝑛𝑛 − � � → 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼 2 + 2𝛼𝛼 2𝛼𝛼 2 Expresión (2) Recta normal en el punto 1 2 → 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 + 𝛼𝛼 2 + 1 2 Ahora introducimos la recta y=2, a la cual también tiene que ser tangente el circulo, por lo cual debe estar su centro sobre la bisectriz del ángulo de 𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟖𝟖 ; 𝟐𝟐� punto de vértice B � 𝟐𝟐𝟐𝟐 intersección de la tangente con la propia recta Y=2: La bisectriz será la recta de ecuación: Recordando la expresión (1) 𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝑥𝑥 + 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 Luego el lugar geométrico de centros posibles en función del valor del punto A conocido: Lo averiguaremos en base a las expresiones (1) y (2) Despejando Y 𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 = − 𝑥𝑥 1 −𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝛼𝛼 2 + = 𝑥𝑥 + 2𝛼𝛼 2 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �− 1 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 −2𝛼𝛼 2 1 + � 𝑥𝑥 = + + − 2𝛼𝛼 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 2 2 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �− � 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝜶𝜶 + � 𝒙𝒙 = + − 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟒𝟒 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 � + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 − (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝜶𝜶)�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝒙𝒙 = + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒𝟒𝟒�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝜶𝜶�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝜶𝜶 �𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝜶𝜶 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 𝒙𝒙= 𝟑𝟑𝟑𝟑�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝜶𝜶 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 −�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 ) ecuación paramétrica De las x de los centros exteriores a la parábola Expresaremos para graficarla en geogebra Para la coordenada x de los puntos tenemos q.e.d.: 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟑𝟑 + 𝜶𝜶 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 E(C6)presaremos para graficarla en GeoGebra 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 − �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Y ex)presamos para representarlo en Excel: ((4*(B6)^3+(B6)+3*(B6)*raiz(1+4*(B6)^2 )-(2*(B6))^3*raiz(1+4*(B6)^2 )))/(4*(B6)^2-raiz(1+4*(B6)^2 )+1) Para la coordenada y tenemos de forma análoga y sustituyendo: 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 1 + 𝛼𝛼 2 + → 𝑦𝑦 = − 2 𝟑𝟑𝟑𝟑�𝟏𝟏+𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟒𝟒𝜶𝜶𝟑𝟑 +𝜶𝜶−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 �𝟏𝟏+𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 −�𝟏𝟏+𝟒𝟒𝜶𝜶𝟐𝟐 +𝟏𝟏 + 𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ecuación paramétrica de las y de los centros De los círculos bitangentes exteriores a la parábola y= x2 y a la recta y = 2. Repetiremos el procedimiento para la segunda parábola y=x^2/4 Para la Recta DL 𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝐷𝐷𝐷𝐷 La pendiente de la recta tβ (recta DP) como ya hemos visto anteriormente es β/2 = tan(<D) , siendo <D el ángulo que forman en el punto D las rectas tβ (recta DP) y t2. (recta BD) La recta DL es la bisectriz del ángulo <D. Esta recta forma un ángulo con la horizontal: (<D)]/2 En este caso: Su pendiente será : mDL= tan[(<D)/2] En adelante por comodidad: (<D/2) ≡ Por lo tanto: 𝜽𝜽 𝟐𝟐 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 = tan � � = 𝜔𝜔 2 Y recordemos que: 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡 = tan 𝜃𝜃 = 𝛽𝛽 2 De las fórmulas de la tangente de ángulo mitad y ángulo doble: Tenemos que: 𝜃𝜃 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 �2 � = 2 Y EN NUESTRO CASO: 𝜃𝜃 = tan �2 � 𝜃𝜃 2 tan � � 2 𝜃𝜃 2 �1 − �tan � �� � 2 2 2𝜔𝜔 𝛽𝛽 = → 𝛽𝛽(1 − 𝜔𝜔2 ) = 4𝜔𝜔 2 1 − 𝜔𝜔 2 → 𝛽𝛽 − 𝛽𝛽𝜔𝜔2 = 4𝜔𝜔 → 𝛽𝛽𝜔𝜔2 + 4𝜔𝜔 − 𝛽𝛽 = 0 → 𝜔𝜔 = − Entrando en la discusión de las soluciones: 2 �4+𝛽𝛽2 2 �4+𝛽𝛽2 𝜔𝜔 = − − 𝛽𝛽 𝜔𝜔 = − + 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽 → 𝜔𝜔 = − → 𝜔𝜔 = 2+�4+𝛽𝛽2 = 𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 valor negativo que no es por ser creciente la recta 𝛽𝛽 �4+𝛽𝛽2 −2 𝛽𝛽 = 2𝛽𝛽�4+𝛽𝛽2 −4𝛽𝛽 2𝛽𝛽2 = 𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 valor positivo ya que β>0. Entrando en el punto D como pertenece a la recta: � �4 + 𝛽𝛽 2 − 2 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 �4 + 𝛽𝛽 2 − 2 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 ; 𝟐𝟐� → 𝟐𝟐 = � � + 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 → 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 − � � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝛽𝛽 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝛽𝛽 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 − ��4 + 𝛽𝛽 2 − 2��𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� 2𝛽𝛽 2 → 𝒏𝒏𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − ��4 + 𝛽𝛽 2 − 2��𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� Por lo tanto, la ecuación de la SEGUNDA BISECTRIZ es: 𝒚𝒚𝑫𝑫𝑫𝑫 = 𝒚𝒚𝑫𝑫𝑫𝑫 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� La Recta normal al punto (β:β2/4) es: 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 + 2𝛽𝛽 2 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� �𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� �𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 → 𝒚𝒚′ = → 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝜷𝜷 → 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙 + 𝒏𝒏 → = + 𝒏𝒏 → 𝒏𝒏 = − 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝜷𝜷 → 𝒚𝒚 = La normal será: 𝒚𝒚 = − 4 �16 + 4𝛽𝛽 2 ± 2𝛽𝛽 2𝛽𝛽 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟖𝟖 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝑵𝑵 → =− + 𝑵𝑵 → + = 𝑵𝑵 → 𝑵𝑵 = 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝒚𝒚 = − Igualando las Y 𝟐𝟐𝟐𝟐 ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 ( 𝟐𝟐𝟐𝟐��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 ( ( ( 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� �𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 + ��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐� 𝜷𝜷 ��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐� 𝜷𝜷 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐� 𝜷𝜷 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 𝒙𝒙 + 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝟐𝟐 (𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟖𝟖)𝜷𝜷𝟐𝟐 ) 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 + ) 𝒙𝒙 = 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 + ) 𝒙𝒙 = 𝜷𝜷 𝟐𝟐 + ) 𝒙𝒙 = 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 + − =− 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 𝒙𝒙 + 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 −��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐��𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟖𝟖� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 ��𝟒𝟒+𝜷𝜷𝟐𝟐 −𝟐𝟐��𝜷𝜷𝟐𝟐 +𝟖𝟖� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟒𝟒 + ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� � + � 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝜷𝜷 + � + � �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝜷𝜷 𝟖𝟖 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟖𝟖 + � + � �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝜷𝜷 𝜷𝜷 𝟒𝟒 ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� 𝟐𝟐 + ) 𝜷𝜷 𝜷𝜷 ( 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜷𝜷 + � + 𝟒𝟒� �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝜷𝜷 − 𝟖𝟖 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝟒𝟒�𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 + �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷 𝜷𝜷 𝟖𝟖 + 𝟒𝟒 − − 𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 O bien: 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜷𝜷 − 𝜷𝜷 − 𝟖𝟖� + + 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 � Y por lo tanto la coordenada y de los centros interiores es: 𝒚𝒚 = − 𝒚𝒚 = − 𝒚𝒚 = − 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝒙𝒙 + + 𝟐𝟐 𝜷𝜷 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝜷𝜷 𝜷𝜷𝟐𝟐 ( � − 𝜷𝜷 − 𝟖𝟖� + + 𝟒𝟒) + + 𝟐𝟐 𝜷𝜷 �𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 Graficando en Gogebra debo poner para x= F(β) 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄: → 𝒚𝒚 = 𝑭𝑭(𝒙𝒙) 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 �𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 − 𝟖𝟖� + + 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 � También se puede poner: 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐�𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� − 𝟒𝟒�𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� 𝟒𝟒𝟒𝟒 ��𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒 ��𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒 ��𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒 ��𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 � Para analizar con EXCEL: = 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟒𝟒�𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟖𝟖 𝟒𝟒 − − + 𝟐𝟐 �𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙 ��𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝒙𝒙 =((C6)^4+2*((C6)^2+8)*RAIZ(4+(C6)^2 )-4((C6)^2+8))/(4*(C6)*(RAIZ(4+(C6)^2 ))) Listas de puntos obtenidas para los centros de las bitangentes: Analizando con geogebra Solución final Obtenemos dando valores a los parámetros, puntos de centros de las bitangentes exterior e interior para el caso concreto del problema, buscamos unas curvas de ajuste que sean lo más precisas posibles en el rango del problema y hallamos su punto de intersección en el cual debe darse la tritangencia deseada. Expresión de las x exteriores Expresión de las x interiores Rango Parametro α 0< α ≤ 2 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 0,32 0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 0,68 0,7 0,72 0,74 0,76 0,78 0,8 0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1 1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2 1,22 1,24 1,26 1,28 1,3 1,32 1,34 1,36 1,38 1,4 1,42 1,44 1,46 1,47 1,48 1,5 1,52 1,54 1,56 1,58 1,6 1,62 1,64 1,66 1,68 1,7 1,72 1,74 1,76 1,78 1,8 1,82 1,84 1,86 1,88 1,9 1,92 1,94 1,96 1,98 2 2,02 2,04 2,06 2,08 2,1 2,12 2,14 Rango Parametro Centros circunferencias Centros circunferencias bitangentes exteriores Y=2 Y=x^2 bitangentes interiores Y=2 Y=x^2/4 en el rango de α en el rango de β β X 0 < 𝛽𝛽 ≤ 2 2 0,1 20,19704883 0,2 16,90160295 0,3 14,55773919 0,4 12,80820618 0,5 11,4544924 0,6 10,37746151 0,7 9,501277446 0,8 8,775366798 0,9 8,164706003 1 7,644270877 1,1 7,19570604 1,2 6,805242997 1,3 6,46235274 1,4 6,158847215 1,5 5,88826431 1,6 5,645437149 1,7 5,426186269 1,8 5,227095612 1,9 5,045346836 2 4,878594952 2,1 4,724873734 2,2 4,582522903 2,3 4,45013144 2,4 4,326493017 2,5 4,210570622 2,6 4,101468245 2,7 3,998408026 2,8 3,900711686 2,9 3,807785326 3 3,719106906 3,1 3,634215879 3,2 3,552704541 3,3 3,474210797 3,4 3,398412068 3,5 3,325020141 3,6 3,253776792 3,7 3,184450057 3,8 3,116831036 3,9 3,050731151 4 2,985979781 4,1 2,922422208 4,2 2,859917846 4,3 2,798338694 4,4 2,73756798 4,5 2,677498982 4,6 2,618033989 4,7 2,559083385 4,8 2,500564846 4,9 2,442402625 5 2,384526917 5,1 2,326873302 5,2 2,269382242 5,3 2,211998637 5,4 2,154671422 5,5 2,097353217 5,6 2,04 5,7 1,982570822 5,8 1,925027549 5,9 1,867334625 6 1,809458865 6,1 1,751369259 6,2 1,693036805 6,3 1,634434346 6,4 1,575536432 6,5 1,516319189 6,6 1,456760196 6,7 1,396838387 6,8 1,336533942 6,9 1,275828203 7 1,245319315 7,1 1,214703591 7,2 1,153143528 7,3 1,091132369 7,4 1,028655339 7,5 0,96569847 7,6 0,902248555 7,7 0,838293089 7,8 0,773820229 7,9 0,70881875 8 0,643278007 8,1 0,577187893 8,2 0,510538813 8,3 0,443321648 8,4 0,375527729 8,5 0,307148804 8,6 0,238177023 8,7 0,168604906 8,8 0,098425323 8,9 0,027631479 9 -0,043783111 9,1 -0,115824636 9,2 -0,188499008 9,3 -0,261811875 9,4 -0,335768635 9,5 -0,410374453 9,6 -0,485634269 9,7 -0,561552813 20 -10 -15 -20 10,2 10,3 10,4 Y x -100,475244 -69,9089456 -51,4723257 -39,5000443 -31,2856345 -25,4036538 -21,0454124 -17,7244142 -15,1337577 -13,0720837 -11,4028434 -10,0307922 -8,88785991 -7,92435447 -7,1033162 -6,39679644 -5,78334556 -5,24628138 -4,77247265 -4,35146974 -3,97487373 -3,63587202 -3,32889207 -3,04934019 -2,79340226 -2,5578902 -2,3401226 -2,137831 -1,94908585 -1,77223743 -1,60586849 -1,44875593 -1,29983973 -1,15819741 -1,02302317 -0,8936105 -0,76933784 -0,64965657 -0,5340809 -0,42217942 -0,31356789 -0,20790318 -0,10487803 -0,00421666 0,09432909 0,19098301 0,28594736 0,37940536 0,47152329 0,56245235 0,65233032 0,74128293 0,82942516 0,91686232 1,00369101 1,09 1,17587097 1,26137921 1,3465942 1,43158013 1,51639644 1,60109818 1,68573644 1,77035866 1,85500899 1,9397285 2,0245555 2,10952571 2,19467253 2,237322 2,28002717 2,36561882 2,45147488 2,53762099 2,62408126 2,71087831 2,79803341 2,8855666 2,97349672 3,06184156 3,15061789 3,23984153 3,32952743 3,41968973 3,51034182 3,60149634 3,6931653 3,78536008 3,87809145 3,97136965 4,06520442 4,159605 4,25458018 4,35013831 4,44628736 4,54303492 4,6403882 0,050093672 0,100747514 0,152512502 0,205921753 0,26148285 0,319671523 0,380926894 0,445648377 0,514194147 0,586881039 0,66398564 0,745746297 0,832365793 0,924014431 1,020833333 1,122937759 1,230420345 1,343354154 1,461795488 1,585786438 1,715357143 1,85052779 1,991310342 2,13771003 2,289726629 2,447355536 2,610588679 2,779415284 2,953822502 3,13379594 3,319320088 3,510378679 3,706954973 3,909031988 4,116592694 4,329620153 4,548097641 4,772008736 5,001337391 5,236067977 5,476185331 5,721674769 5,972522112 6,228713688 6,490236335 6,757077401 7,029224732 7,306666667 7,589392023 7,877390086 8,17065059 8,469163708 8,77292003 9,081910552 9,396126659 9,715560106 10,040203 10,37004781 10,70508729 11,04531454 11,39072295 11,74130618 12,09705817 12,45797313 12,82404548 13,19526991 13,57164131 13,9531548 14,33980569 14,73158948 15,12850187 15,53053872 15,93769606 16,34997009 16,76735715 17,18985373 17,61745645 18,05016207 18,48796749 18,93086969 19,3788658 19,83195305 20,29012878 20,7533904 21,22173545 21,69516156 22,17366642 22,65724782 23,14590364 23,63963182 24,13843037 24,64229739 25,15123103 25,66522951 26,18429112 26,70841418 27,2375971 108,6887811 -28,85548976 -62,49676452 -108,6887811 29,95935709 30,51886836 31,08342965 y 1,00062656 1,00252486 1,00574998 1,01039123 1,0165686 1,02442826 1,03413744 1,04587906 1,05984634 1,07623792 1,09525338 1,1170895 1,14193724 1,16997938 1,20138889 1,2363278 1,27494665 1,31738427 1,36376791 1,41421356 1,46882653 1,52770201 1,59092579 1,65857497 1,7307187 1,80741882 1,88873061 1,97470337 2,06538103 2,16080271 2,26100317 2,36601333 2,47586062 2,59056942 2,71016132 2,83465547 2,96406884 3,09841645 3,23771159 3,38196601 3,53119008 3,68539297 3,84458274 4,00876651 4,17795052 4,35214026 4,53134054 4,71555556 4,90478897 5,09904397 5,2983233 5,50262934 5,71196414 5,92632943 6,14572667 6,3701571 6,59962175 6,83412145 7,07365685 7,31822849 7,56783674 7,82248188 8,08216407 8,3468834 8,61663985 8,89143336 9,17126379 9,45613094 9,74603458 10,0409744 10,3409502 10,6459615 10,9560079 11,2710892 11,5912048 11,9163543 12,2465373 12,5817533 12,9220019 13,2672826 13,6175949 13,9729383 14,3333123 14,6987166 15,0691505 15,4446136 15,8251054 16,2106255 16,6011733 16,9967485 17,3973505 17,8029788 18,2136331 18,6293129 19,0500177 19,475747 19,9065006 91,1311219 21,228902 49,9170981 91,1311219 22,1356163 22,5965061 23,0624174 Polinomio de grado 12 que aproxima el lugar geométrico de los centros exteriores de la lista anterior en el intervalo, es bastante exacto porque pasa cerca del punto de intersección de la parabola y=x^2 y la recta y=2, que es le caso de bitangencia con radio=0 Polinomio de grado 12 que aproxima el lugar geométrico de los centros interiores de la lista anterior en el intervalo, es bastante exacto porque pasa cerca del punto de intersección de la parábola y=x^2/4 y la recta y=2, que es le caso de bitangencia con radio=0 Es el centro → R ≈ 0,51 Es el circulo GENERALIZACION DEL PROBLEMA Tangente a una parábola, 𝒚𝒚 = 𝝉𝝉𝒙𝒙𝟐𝟐 en el punto 𝑹𝑹𝑹𝑹�𝝆𝝆; 𝝉𝝉𝝉𝝉𝟐𝟐 �: tρ De la ecuación de la recta: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑: 𝑦𝑦 ′ = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 → 𝑚𝑚 = 2𝜏𝜏𝜌𝜌 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 2𝜏𝜏𝜌𝜌2 + 𝑛𝑛 → 𝑛𝑛 = −𝜏𝜏𝜏𝜏2 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝝆𝝆 𝑦𝑦 = 2𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝒙𝒙 − � = 𝒚𝒚 𝟐𝟐 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎: 𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 = 0 → 0 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 �𝑥𝑥 − � → 𝑥𝑥 = 2 2 𝜌𝜌 1 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 = 1 → 1 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 �𝑥𝑥 − � → 1 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 → 1 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 → = 𝑥𝑥 2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝜌𝜌 2 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 = 2 → 2 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 �𝑥𝑥 − � → 2 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 → 2 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 → = 𝑥𝑥 2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝜌𝜌 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 = 𝛾𝛾 → 𝛾𝛾 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 �𝑥𝑥 − � → 𝛾𝛾 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 → 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 → = 𝑥𝑥 2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 Luego el punto intersección de la recta tangente en RO con la recta y = γ es: 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 , 𝛾𝛾 � 2𝜏𝜏𝜏𝜏 � En nuestro caso: 𝛼𝛼 tα→ Tangente a parábola y = x2 en el punto (α;α2)→ 𝜏𝜏 = 1 → 𝑦𝑦 = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � 𝛼𝛼 para y =0 → 0 = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � → 𝑥𝑥 = 2 𝛼𝛼 2 𝛼𝛼 2 para y =1 → 1 = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � → 1 = 2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼 2 → 𝑥𝑥 = 2 𝛼𝛼 para y =2 → 2 = 2𝛼𝛼 �𝑥𝑥 − � → 2 = 2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼 2 → 𝑥𝑥 = 2 𝛼𝛼 2 +1 2𝛼𝛼 𝛼𝛼 2 +2 2𝛼𝛼 1 tβ→ Tangente a parábola y = x2/4 en el punto (β;β2/4)→ 𝜏𝜏 = → 𝑦𝑦 = 4 para y =0 → 0 = para y =1 → 1 = 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 ∗ �𝑥𝑥 − � → 2 𝛽𝛽 ∗ �𝑥𝑥 − � → 2 𝛽𝛽2 4 𝛽𝛽2 4 = 𝛽𝛽 2 ∗ 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 = +1= 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽2 ∗ 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 = ( 4 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 + 1)/( ) 2 𝛽𝛽 ∗ �𝑥𝑥 − � 2 para y =2 → 2 = 𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 ∗ �𝑥𝑥 − � → 2 𝛽𝛽2 4 +2= 𝛽𝛽 2 ∗ 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 = 𝛽𝛽2 +2 4 𝛽𝛽 2 → 𝑥𝑥 = 𝛽𝛽2 +8 2𝛽𝛽 Y derivando en el circulo: (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟 2 2(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 2𝑦𝑦′(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) = 0 𝑦𝑦′ = 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 Sustituyendo todo en la ecuación paramétrica de las parábolas que pasan por (0,0) y �𝝆𝝆; 𝝉𝝉𝝉𝝉𝟐𝟐 � que son simétricas respecto al eje de coordenadas y tenemos que: → 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒂𝒂−𝝆𝝆 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 −𝒃𝒃 → 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐�𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝒃𝒃� = (𝒂𝒂 − 𝝆𝝆) → 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒂𝒂 − 𝝆𝝆 → 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝝆𝝆 − 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎 → 𝟐𝟐𝝆𝝆𝟑𝟑 𝝉𝝉𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + (𝝆𝝆 − 𝒂𝒂) = 𝟎𝟎 → 𝝉𝝉𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝝆𝝆 − 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝝆𝝆𝟑𝟑 Tangente a una parábola, 𝒚𝒚 = 𝝉𝝉𝒙𝒙𝟐𝟐 en el punto 𝑹𝑹𝑹𝑹�𝝆𝝆; 𝝉𝝉𝝉𝝉𝟐𝟐 �: tρ Ce la ecuación Ce la recta: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑: 𝑦𝑦 ′ = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 → 𝑚𝑚 = 2𝜏𝜏𝜌𝜌 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 2𝜏𝜏𝜌𝜌2 + 𝑛𝑛 → 𝑛𝑛 = −𝜏𝜏𝜏𝜏2 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝝆𝝆 𝑦𝑦 = 2𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝒙𝒙 − � = 𝒚𝒚𝝆𝝆 𝟐𝟐 La perpendicular en el punto de tangencia será la recta normal.: 𝑦𝑦 = − � 1 𝑥𝑥 𝜌𝜌 𝜌𝜌 � + 𝑛𝑛 → 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑅𝑅𝑅𝑅 → 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = − � � + 𝑛𝑛 → 𝜏𝜏𝜌𝜌2 = 𝑛𝑛 − � � → 𝑛𝑛 = 𝜏𝜏𝜌𝜌2 + 2𝜏𝜏 2𝜌𝜌𝜌𝜌 2𝜌𝜌𝜌𝜌 2𝜌𝜌𝜌𝜌 → 𝒚𝒚𝝆𝝆 = − 𝒙𝒙 𝟏𝟏 + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 Volviendo a lo anterior, para buscar las circunferencias bitangentes a y =(x)2/4 y a la recta y = 2: Este caso la segunda bisectriz es la que corresponde por ser la curva y = (x)2/4 ojo es ella 𝜏𝜏 = 1/4 y ρ=β Punto de corte en la recta y=2 Punto N1 en el gráfico. La bisectriz era: 𝒚𝒚𝑫𝑫𝑫𝑫 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝜷𝜷𝟐𝟐 − ��𝟒𝟒 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� �𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟖𝟖� Y la perpendicular a la tangente en el pto M1(β;0,25β2) 𝒚𝒚 = − 𝟐𝟐 1 𝒙𝒙 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝜷𝜷 4 𝟐𝟐𝜷𝜷𝟐𝟐 Rehaciendo la hoja de cálculo –(para estos valores, y repitiendo la construcción en GeoGebra: La recta bisectriz del ángulo formado por la recta y= γ y la tangente en el punto RO (ρ;ρτ2) a la parábola paramétrica y = τx2 vendrá dada por su pendiente y por pasar por el punto: Como hemos visto antes el punto I intersección de la recta tangente en RO con la recta y = γ es: 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 , 𝛾𝛾 � 2𝜏𝜏𝜏𝜏 � Por todo ello, los lugares geométricos de los centros de los círculos bitangentes a la recta y = γ y a la parábola y=τx2 en el punto RO(ρ,τρ2) por el lado exterior de la parábola vienen dados por la expresión, de la intersección de la recta normal a la tangente en el punto RO, y la ecuación de la recta bisectriz b del ángulo formado por la tangente en RO con la recta y=γ y que pasa por el punto I anterior. Vamos pues a hallar la ecuación general de la recta bisectriz b: 𝑦𝑦𝑏𝑏 = 𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝑏𝑏 Consideraremos solo valores positivos, Del primer cuadrante, y que ρ, τ, y γ son valores conocidos. Buscamos las relaciones entre las pendientes de las rectas tangente y bisectriz, Sabemos por lo visto anteriormente en el caso particular del problema inicial que: 1 𝑚𝑚𝑏𝑏 = − Y recordemos que: 2𝜏𝜏𝜏𝜏 = 𝛿𝛿 tan � � 2 = − 1 𝜕𝜕 𝛿𝛿 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡 = tan 𝛿𝛿 = 2𝜏𝜏𝜏𝜏 = tan �2 � 2 2𝜕𝜕 → 𝜏𝜏𝜏𝜏(1 − 𝜕𝜕 2 ) = 𝜕𝜕 1 − 𝜕𝜕 2 → 𝜏𝜏𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜕𝜕 2 = 𝜕𝜕 → 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜕𝜕 2 + 𝜕𝜕 − 𝜏𝜏𝜏𝜏 = 0 → 𝜕𝜕 = − Entrando en la Discusión de las soluciones: 1 − 1 + 𝜕𝜕 = − 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝜕𝜕 = − 2𝜏𝜏𝜏𝜏 �1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 → Decreciente la recta 𝜌𝜌>0. �1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 decreciente. 2𝜏𝜏𝜏𝜏 → −𝜕𝜕 = −𝜕𝜕 = 1+�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1−�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 → − = 𝜕𝜕 1 → − = 𝜕𝜕 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1+�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1−�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 = 𝑚𝑚𝑏𝑏 1 �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 ± 2𝜏𝜏𝜏𝜏 2𝜏𝜏𝜏𝜏 valor positivo que no es por ser = 𝑚𝑚𝑏𝑏 valor negativo ya que es la recta Entrando en el punto I como pertenece a la recta: 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 , 𝛾𝛾 � → 𝛾𝛾 = � � + 𝑛𝑛𝑏𝑏 → 𝑛𝑛𝑏𝑏 = 𝛾𝛾 − � � � 2𝜏𝜏𝜏𝜏 2𝜏𝜏𝜏𝜏 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 𝛾𝛾�1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝑛𝑛𝑏𝑏 = 𝛾𝛾 − � � → 𝑛𝑛𝑏𝑏 = − → 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝑛𝑛𝑏𝑏 = − �𝛾𝛾�1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 1 − �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 Por lo tanto, la ecuación de la bisectriz b que interseca con los círculos exteriores es: 𝒚𝒚𝒃𝒃 = −𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 Ahora pues, el centro del círculo buscado es el punto de intersección de las dos rectas 𝒚𝒚𝝆𝝆 ∩ 𝒚𝒚𝒃𝒃 Hallaremos el lugar geométrico Ce esos círculos, pensando en el primer cuadrante y en función los parámetros 𝝉𝝉, 𝝆𝝆, y 𝜸𝜸 . Que siendo valores fijos el primero nos identifica la parábola en concreto de todo el haz de parábolas que pasan por el origen de coordenadas, el segundo nos indica el punto de dicha parábola en donde queremos que el círculo sea tangente y el tercero la recta paralela al eje y por donde será tangente ese círculo. El centro de los círculos exteriores a las parábolas bitangentes con la recta paralela es el valor que resuelve el sistema de dos ecuaciones con Cos incógnitas (5) (x;y) coordenadas del centro del circulo 𝒚𝒚𝝆𝝆 = − 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 𝝆𝝆 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 + → 𝒚𝒚𝝆𝝆 = − + + → 𝒚𝒚𝝆𝝆 = − + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒚𝒚𝒃𝒃 = Igualando en y: −𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 −𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 + (5) �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 =− 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 �−𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉𝝉𝝉 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � + 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = �−𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆� ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� �−𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 � = −𝒙𝒙 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� �𝒙𝒙�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙� = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� − 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆 − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 −𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 · 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜸𝜸𝝉𝝉𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆 − 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 −𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝝆𝝆 · �𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜸𝜸𝝉𝝉)� · �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆(𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) +�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) Ahora sustituyendo en y: 𝒚𝒚 = − � 𝝆𝝆 · �𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜸𝜸𝝉𝝉)� · �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆(𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) +�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 � + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS CENTROS DE LAS BITANGENTES EXTERIORES A LA PARABOLA y=τx)2 Y LA RECTA y= γ EN EL PUNTO (ρ.τρ2) Al escoger el valor negativo de la pendiente de la bisectriz anterior hemos escogido los centros de los círculos exteriores a las parábolas, que sería el caso de la parábola de color rojo en el grafico siguiente Si escogemos la pendiente positiva, estamos buscando los círculos interiores a las parábolas es el caso de la parábola azul. Ahora vamos a buscar, por procedimiento análogo: EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS CENTROS DE LAS BITANGENTES interiores A LA PARABOLA y=τx)2 Y LA RECTA y= γ EN EL PUNTO (ρ.τρ2) Recordando la expresión de las relaciones entre las pendientes de las rectas bisectrices: 𝜕𝜕 = − 1 2𝜏𝜏𝜏𝜏 − �1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 → −𝜕𝜕 = 1+�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 CRECIENTE la recta ya que 𝜌𝜌>0. 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 → − = 𝜕𝜕 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1+�1+4𝜏𝜏2 𝜌𝜌2 Así tomamos la bisectriz = 𝑚𝑚𝑏𝑏 valor positivo que SI es por ser y siguiendo el mismo desarrollo: Entrando en el punto I como pertenece a la recta: 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 2𝜏𝜏𝜏𝜏 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 , 𝛾𝛾 � → 𝛾𝛾 = � � + 𝑛𝑛𝑏𝑏 → 𝑛𝑛𝑏𝑏 = 𝛾𝛾 − � � 2𝜏𝜏𝜏𝜏 2𝜏𝜏𝜏𝜏 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � 𝑛𝑛𝑏𝑏 = 𝛾𝛾 − 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 𝛾𝛾�1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 𝛾𝛾 + 𝜏𝜏𝜌𝜌2 � → 𝑛𝑛𝑏𝑏 = − → 2𝜏𝜏𝜏𝜏 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � 𝑛𝑛𝑏𝑏 = �𝛾𝛾�1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 � − 𝜏𝜏𝜌𝜌2 1 + �1 + 4𝜏𝜏 2 𝜌𝜌2 Por lo tanto, la ecuación de la bisectriz b para los círculos interiores a las parábolas es: 𝒚𝒚𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � − 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Y el sistema de ecuaciones a resolver para los círculos interiores es: 𝒚𝒚𝝆𝝆 = − 𝒚𝒚𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 (6) �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � − 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 Ahora retomando para (6) pasamos a resolverlo: �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Igualando en y: 𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � − 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 =− + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟐𝟐𝝉𝝉𝝉𝝉𝝉𝝉 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � − 𝝉𝝉𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = �−𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆� ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� �𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙 + �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 � = −𝒙𝒙 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� �𝒙𝒙�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙� = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� + 𝝆𝝆 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 ��𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝝆𝝆 − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Ahora sustituyendo en y: 𝒚𝒚 = − � 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ES EL LUGAR GEOMÉTRICO dE LOS CENTROS DE LAS BITANGENTES INTERIORES A LA PARABOLA y=τx2 Y LA RECTA y= γ EN EL PUNTO (ρ.τρ2) . Por intersección de LOS dos lugares geométricos, DE LOS CENTROS HALLADOS es como encontramos el punto central de la circunferencia tritangente Igualando las x 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝝆𝝆 − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = E igualando las y �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) 𝝆𝝆 · �𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜸𝜸𝝉𝝉)� · �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆(𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) +�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) 𝝆𝝆 · �𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + (𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜸𝜸𝝉𝝉)� · �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝝆�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 � + −� 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 +�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 − (𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 ) = −� 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 − �𝜸𝜸�𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆 + �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝉𝝉𝟐𝟐 𝝆𝝆𝟑𝟑 + 𝝆𝝆 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 …se hallará alguna relación útil entre τ con ρ?..... continuará? En base al ejemplo resuelto, creo que sale un carro de ecuación que solo se puede aproximar por métodos numéricos.
