UD14-Solucionario MAT II

Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 352
BIBLIOGRAFÍA
Ofrecemos bibliográfica donde encontrar información sobre las cuestiones expuestas, además, en Internet
puede localizarse sin dificultad trabajos realizados sobre los aspectos reseñados.
● ESPINEL FEBLES, Mª. C. (1999) El poder y las coaliciones, Suma, nº 31, 109-117
● ESPINEL FEBLES, Mª. C. (1999) Sistema de reparto de poder en las elecciones locales, Números nº 39, 13-19
● GARFUNKEL, S. (1999) Las matemáticas en la vida cotidiana., Addison-Wesley/Universidad Autónoma de
Madrid, Madrid.
● MULERO, J. (2016) El secreto de los números. Universitat d´Alacant
● NORTES CHECA, A. (2001) Matemáticas electorales: desproporcionalidad y alianzas, Suma, nº 36, 43-49
● PÉREZ CARRETERO, F. D. (2012) Matemáticas y política. Las leyes electorales, Suma, nº 71, 31-38
● RAMÍREZ GONZÁLEZ, V. (1985) Matemática Aplicada a la distribución de escaños. Método de reparto P. R.
I., Epsilón nº 6/7
● RAMÍREZ GONZÁLEZ, V. (1990) Fórmulas electorales basadas en sucesiones de divisores., Suma nº 7, 29-38
● TORRA, V. (2014) Las matemáticas van a las urnas. RBA. Barcelona.
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SOLUCIONARIO
CUESTIONES INICIALES página 354
1. Un test consta de cuatro preguntas a las que hay que contestar verdadero (V) o falso (F). Si una persona
contesta al azar, escribe todas las posibles respuestas que puede obtener.
Las posibles respuestas son:
{(VVVV), (VVVF), (VVFV), (VFVV), (FVVV), (VVFF), (VFVF), (FVFV), (VFFV), (FVVF), (FFVV), (VFFF), (FVFF), (FFVF),
(FFFV), (FFFF)}
2. Lanzamos dos dados al aire y anotamos la suma de los puntos de sus caras superiores. ¿Qué es más
probable obtener, suma 7 o suma 8?
Los sucesos asociados a suma 7 son {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}y los asociados a suma 8 son {(2,6),
(3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Por lo cual es más probable sacar suma 7.
3. La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es
1
. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y
2
cruz al lanzar dos monedas?
La probabilidad de obtener cara y cruz es 1/2 · 1/2 · 2 = 1/2
4. Una urna tiene 12 bolas blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas, una detrás de otra y devolvemos la
primera a la urna. Halla la probabilidad de sacar una bola de cada color.
La probabilidad de obtener una bola de cada color es
12
12 8
ꞏ2 
ꞏ
25
20 20
5. En un conservatorio de música el 60% de los alumnos estudian piano, el 50% violín y el 30% ninguno de
estos instrumentos. ¿Qué probabilidad hay de elegir un alumno que estudie piano y violín a la vez?
El 70% estudian alguno de estos instrumentos. Por tanto, hay un 40% que estudian ambos a la vez.
2
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 356
1. Encuentra el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes fenómenos o experimentos
aleatorios:
a) El sexo de las familias de cuatro hijos.
b) Extraer dos papeletas de una urna que contiene 4 papeletas negras, 6 blancas y 2 rojas.
c) Lanzar dos dados y anotar la diferencia, en valor absoluto, de las puntuaciones de sus caras superiores.
a) Llamando V al suceso «nacer varón» y H «nacer hembra», tenemos el siguiente espacio muestral:
E = {VVVV, VVVH, VVHV, VHVV, HVVV, VVHH, VHVH, VHHV, HVVH, HVHV, HHVV, VHHH, HVHH, HHVH, HHHV,
HHHH}
b) Llamando N al suceso «extraer papeleta negra», B al suceso «extraer papeleta blanca» y R «extraer
papeleta roja», tenemos el siguiente espacio muestral:
E = {N-N, N-B, N-R, B-B, B-R, R-R}
c) En el lanzamiento de dos dados podemos obtener 36 resultados distintos, la diferencia, en valor absoluto
de las puntuaciones de las caras superiores oscila de 0 y 5, por tanto, el espacio muestral es:
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 357
2. En cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad 1 de la página anterior, propón un ejemplo de:
a) Suceso imposible.
b) Suceso seguro
c) Suceso elemental.
d) Suceso compuesto.
a) Un ejemplo de suceso imposible en cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad 1 de la página
anterior, pueden ser:
● Tener cinco varones en una familia de cuatro hijos.
● Extraer dos papeletas de color azul.
● Obtener diferencia 6, en valor absoluto.
b) Un ejemplo de suceso seguro en cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad 1 de la página
anterior, pueden ser:
● Obtener E = {VVVV, VVVH, VVHV, VHVV, HVVV, VVHH, VHVH, VHHV, HVVH, HVHV, HHVV, VHHH, HVHH,
HHVH, HHHV, HHHH}
● Obtener E = {N-N, N-B, N-R, B-B, B-R, R-R}
● Obtener E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c) Un ejemplo de suceso elemental en cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad 1 de la página
anterior, pueden ser:
● Tener {HVHV} en una familia de cuatro hijos.
● Obtener una papeleta roja y otra negra, es decir, {N-R}.
● Obtener diferencia 5 en valor absoluto.
d) Un ejemplo de suceso compuesto en cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad 1 de la página
anterior, pueden ser:
● El suceso «tener tres hijas y un hijo» en una familia de cuatro hijos.
● El suceso «obtener al menos una papeleta roja».
● El suceso «obtener diferencia múl plo de 2».
3. En el experimento aleatorio de lanzar dos dados al aire y anotar la suma de los puntos de sus caras
superiores, indica los elementos de los siguientes sucesos y su tipo:
a) A = «obtener un 12»
b) B = «obtener un 1»
c) C = «obtener suma múltiplo de 3»
En el lanzamiento de dos dados podemos obtener 36 resultados distintos. La suma de los puntos de sus caras
superiores oscila entre 2 y 12, lo que da lugar a que el espacio muestral sea:
E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
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SOLUCIONARIO
Los elementos de los sucesos del enunciado son:
a) El suceso A = «obtener suma 12» está formado por el suceso elemental {6-6}. Por tanto, el suceso A es un
suceso elemental
b) El suceso B = «obtener suma 1» no es posible. El suceso B es un suceso imposible.
c) El suceso C = «obtener suma múltiplo de 3» = {3, 6, 9, 12} = {1-2, 2-1, 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, 3-6, 4-5, 5-4,
6-3, 6-6}. El suceso C es un suceso compuesto.
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ACTIVIDADES
SOLUCIONARIO
página 359
4. Lanzamos al aire dos dados tetraédricos. Determina:
a) El espacio muestral.
b) Los sucesos: X = «obtener suma par»; Y = «obtener números iguales»; X ∩ Y; X ∪ Y y X  Y.
c) Un suceso compatible con X y uno incompatible con Y.
a) El espacio muestral está formado por 16 sucesos elementales expresados en la forma (a, b), siendo a el
número de la cara inferior del primer dado tetraédrico y b el número de la cara inferior del segundo dado.
El espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),…,(4, 3), (4, 4)}.
b) Los sucesos pedidos son:
● Los sucesos elementales que forman el suceso X son:
X = {(1, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 2), (3, 3) (2, 4), (4, 4)}
● Los sucesos elementales que forman el suceso Y son:
Y = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
● Los sucesos elementales que forman el suceso X  Y son:
X  Y = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} = Y
● Los sucesos elementales que forman el suceso X U Y son:
X  Y = {(1, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 2), (3, 3) (2, 4), (4, 4)} = X
● Los sucesos elementales que forman el suceso X  Y son:
X  Y = {(3, 1), (2, 4), (1, 3), (4, 2)}
c) Un suceso compatible con el suceso X es A = «obtener suma un número primo».
Un suceso incompatible con el suceso Y es B = «obtener suma un número impar».
5. Una bolsa contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Sacamos dos a la vez. Determina:
a) El espacio muestral.
b) Los sucesos: A = «una bola tiene el número 3» y B = «una bola tiene un número par».
c) Los sucesos A  B , A  B y B - A.
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SOLUCIONARIO
a) El espacio muestral está formado por 28 sucesos elementales. Al sacar las dos bolas a la vez el número de
agrupaciones de dos bolas son las combinaciones de 8 elementos tomadas de 2 en 2.
Utilizaremos la notación “ab” de forma que “ab” = “ba” y no pueden existir la agrupación de la forma “aa”.
El espacio muestral es:
E {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78}
Los sucesos elementales del suceso A = «una bola tiene el número 3» son: A = {13, 23, 34, 35, 36, 37, 38}
Los sucesos elementales del suceso B = «una bola tiene un número par» son:
B = {12, 23, 14, 34, 25, 45, 16, 36, 56, 27, 47, 67, 18, 38, 58, 78}
c) Los sucesos elementales que forman el suceso A  B son: A  B = {24, 15, 26, 46, 17, 57, 28, 48, 68}.
Los sucesos elementales que forman el suceso A  B son:
A  B = {12, 13, 14, 24, 15, 25, 35, 45, 16, 26, 46, 56, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 18, 28, 48, 58, 68, 78}.
Los sucesos elementales que forman el suceso B – A son:
B – A = {12, 14, 25, 45, 16, 56, 27, 47, 67, 18, 58, 78}
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 361
6. En una escuela de idiomas se pueden estudiar, entre otros, chino, italiano y alemán. El 25% de los
alumnos estudian alemán, el 20% italiano y el 14% chino. Además, el 12% estudian alemán e italiano, el
5% alemán y chino, el 10% italiano y chino y el 3% los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes no estudian
ninguno de estos idiomas? ¿Cuántos estudian solo alemán? ¿Cuántos estudian solo chino y alemán?
En el diagrama de la imagen pueden verse los porcentajes que
aparecen en el enunciado para cada uno de los idiomas citados y
sus intersecciones.
El porcentaje de estudiantes que estudian alguno de estos tres
idiomas es:
2% + 7% + 3% + 2% + 9% + 11% + 1% = 35%
El porcentaje de estudiantes que no estudian ninguno de estos
tres idiomas es:
100% - 35% = 65%.
El porcentaje de los que estudian solo alemán es el 11%.
El porcentaje de los que estudian solo chino y alemán es el 2%.
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ACTIVIDADES página 363
7. Tiramos al aire cuatro monedas. Halla las siguientes probabilidades:
a) Que en las cuatro salga lo mismo.
c) Obtener al menos una cruz.
b) Sacar dos caras y dos cruces.
d) Obtener como máximo una cara.
El espacio muestral tiene 16 sucesos elementales.
Las probabilidades pedidas son:
a) P (Que en las cuatro salga lo mismo) =
b) P (Obtener 2 caras y 2 cruces) =
2
1
  0,125.
16 8
6
3
  0,375 .
16 8
c) P (Obtener al menos una cruz) = 1 – P (No obtener ninguna cruz) = 1 
d) P (Obtener como máximo una cara) =
9
1
15

 0,9375 .
16 16
5
 0,3125.
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ACTIVIDADES página 365
8. Un estudiante se presenta a un examen que consta de 12 temas, de los cuales se sabe 8. El profesor elige
dos temas al azar, que el estudiante debe desarrollar para aprobar el examen.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se sepa solo uno de los temas?
c) ¿Y de que se sepa al menos uno de ellos?
La información del enunciado puede verse en el
diagrama de árbol adjunto.
Las probabilidades pedidas son:
a) P ( Aprobar )  P ( Saber 1º y Saber 2º ) 

8 7
56
ꞏ

 0,4242
12 11 132
b) P ( Saber solo uno)  P ( Saber 1º y No saber 2º )  P ( No saber 1º y Saber 2º ) 

8 4
4 8
64
ꞏ

ꞏ 
 0,4848
12 11 12 11 132
c) P (Saber al menos uno) = 1 – P (No saber ninguno) =  1 
10
4 3
120
ꞏ

 0,9091
12 11 132
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 366
9. En una clase de bachillerato hay 10 chicas y 8 chicos. De ellos, 3 chicas y 4 chicos juegan al ajedrez. Si
escogemos un estudiante al azar, determina las siguientes probabilidades:
a) Que sea chica y no juegue al ajedrez.
b) Que no juegue al ajedrez sabiendo que es chico.
Sean los sucesos C = {Ser chica}, C = {Ser chico}, A = {Juega al ajedrez} y A = {No juega al ajedrez}.
Organizamos la información en la siguiente tabla de contingencia:
Juega ajedrez
No juega ajedrez
(A)
( A)
Ser chica (C)
3
7
10
Ser chico ( C )
4
4
8
TOTAL
7
11
18
TOTAL
Las probabilidades pedidas son:


a) P C  A 
11
7
 0,3889.
18


b) P A / C 
4
 0,5.
8
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ACTIVIDADES página 367
10. Un envío de frutas a un supermercado consta de naranjas y manzanas que se agrupan en cajones de
500 piezas: 300 naranjas y 200 manzanas. Por experiencias anteriores, se sabe que en cada envío están
estropeadas un 15% de las naranjas y un 5% de las manzanas. Se extrae una pieza al azar de un cajón
cualquiera.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté estropeada?
b) Si la pieza elegida está en buenas condiciones, ¿qué es más probable, que sea naranja o que sea
manzana?
Construimos un diagrama de árbol con los sucesos y sus correspondientes probabilidades:
a) La probabilidad pedida es:
P (Estropeada) = P (Estropeada y naranja) + P (Estropeada y manzana) =
300
200
 0,15 ꞏ
 0,05 ꞏ
 0,15 ꞏ 0,6  0,05 ꞏ 0,4  0,09  0,02  0,11
500
500
b) Las probabilidades pedidas son:
p ( Naranja y Buena)
P ( Naranja / Buena) 

P ( Buena)
p ( Manzana y Buena )
P ( Manzana / Buena ) 

P ( Buena )
12
0,85 ꞏ
0,85 ꞏ
300
200
 0,95 ꞏ
500
500
0,95 ꞏ
0,85 ꞏ
300
500
200
500
200
300
 0,95 ꞏ
500
500


0,51
0,51

 0,5730
0,51  0,38 0,89
0,38
0,38

 0,4270
0,51  0,38 0,89
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 369
11. El 48% de los trabajadores de una empresa son hombres. Si en esa empresa el 82% de los hombres y el
75% de las mujeres están satisfechos con su trabajo, ¿qué porcentaje de trabajadores está satisfecho con
su trabajo en esa empresa?
En el diagrama de árbol que sigue se recoge la información del enunciado.
La probabilidad pedida es:
P (Satisfechos) = 0,48 · 0,82 + 0,52 · 0,75 = 0,3936 + 0,3900 = 0,7836 = 78,36%
12. La lista electoral de un determinado partido político está formada por un número igual de hombres
que de mujeres. Un análisis sociológico de dichas listas revela que el 60% de los hombres tiene 40 años o
más, mientras que el 30% de las mujeres tienen menos de 40 años. Se elige al azar una persona que forme
parte de las listas electorales. Calcula la probabilidad de que tenga menos de 40 años.
En el diagrama de árbol y puede verse la información del enunciado.
La probabilidad pedida es:
P (menos de 40) = 0,50 · 0,40 + 0,50 · 0,30 = 0,20 + 0,15 = 0,35
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 370
13. Una corporación informática utiliza tres bufetes de abogados para resolver sus casos legales en los
tribunales. El bufete A recibe el 30% de los casos legales y gana en los tribunales el 60% de los casos
presentados, el bufete B recibe el 50% de los casos legales y gana el 80% de los casos presentados, mientras
que el bufete C recibe el 20% de los casos legales y gana el 70% de los casos presentados. Se elige al azar
uno de los casos presentados en los tribunales. Si el caso elegido se ha ganado, calcula la probabilidad de
que haya sido encargado al bufete A.
Recogemos los datos del enunciado en un diagrama de árbol:
La probabilidad pedida es:
P ( A / Gana ) 
14
P ( A  Gana ) 0,30 ꞏ 0,60
0,18
1


  0,25.
P (Gana )
0,72
0,72 4
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 371
14. Una cadena de supermercados envasa tres variedades de queso en paquetes al vacío, en las
proporciones que se indican: curado 45%, semicurado 30% y tierno 25%. Parte del queso que recibe es de
importación, concretamente, el 25% del queso curado, el 23% del semicurado y el 20% del tierno. Se elige
al azar un paquete de queso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de importación?
b) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado?
Recogemos los datos en un diagrama de árbol.
a) La probabilidad de que el queso no sea de importación es:
P no Im p   0,45 ꞏ 0,75  0,30 ꞏ 0,77  0,25 ꞏ 0,80  0,3375  0,2310  0,2  0,7685
b) La probabilidad pedida es:
P Curado / Im p  
15
P Curado  Im p  0,45 ꞏ 0,25 0,1125


 0,4860
P (Im p )
1  0,7685 0,2315
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 372
Solución de la proposición de Nicómaco de Gerasa (viene al final de la página):
Todo número cubo perfecto es la diferencia entre dos números cuadrados perfectos.
Veamos, previamente, la siguiente proposición que también implica a los números impares:
“La suma de números impares nos va dando cuadrados perfectos”.
En efecto,
1
= 12
1+3=4
= 22
1+3+5=9
= 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
…
Veámoslo por inducción:
● Para n = es cierto: 1 = 12.
● Supongamos que para n = h los sea: 1 + 3 + 5 + 7+…+ (2h - 1) = h2.
Veamos que lo es para n = h + 1:
1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2h – 1) + (2 (h + 1) – 1) = h2 + (2h + 2 – 1) = h2 + 2h + 1 = (h + 1)2
De la proposición que se prueba en el libro de texto:
Si escribimos los números impares 1, 3, 5, 7, 9, 11… entonces el primero es el cubo de 1, la suma de los dos
siguientes, 3 + 5 = 8, es el cubo de 2, la suma de los tres siguientes, 7 + 9 + 11 = 27, el cubo de 3, y así
sucesivamente.
y de la proposición anterior, podemos concluir que:
13 = 1 2 - 0 2
23 = 3 2 - 1 2
33 = 6 2 - 3 2
43 = 102 - 62
…
2
2
 n ꞏ (n  1) 
 n ꞏ (n  1) 
Es decir, se verifica que: n  
 
 .
2
2




3
En efecto, desarrollando, obtenemos:
2
2

 

n 4  2n 3  n 2  n 4  2n 3  n 2
4n 3
 n ꞏ (n  1) 
 n ꞏ (n  1) 

 n3

 
 
2
2
4
4




16
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 373
 1 3
 .
1. Matrices. Sea A la matriz A  
 0 1
¿Cuáles son las matrices A2, A3, A4…? ¿Qué expresión tiene An, para cualquier valor de n? Intenta demostrar
que la expresión de An es válida para cualquier número natural.
 1 3  1 3
1 6
 ꞏ 
  

La matriz A2 es A 2  A ꞏ A  
 0 1  0 1  0 1 
 1 6   1 3
1 9
 1 9   1 3
 1 12 

1 
 ꞏ 
  

La matriz A3 es A 3  A 2 ꞏ A  
 0 1   0 1  0 1
 ꞏ 
  
La matriz A4 es A 4  A 3 ꞏ A  
 0 1   0 1  0
 1 3n 
.
1 
Podemos conjeturar que la matriz An es A n  
0
Vamos a demostrar que la expresión anterior de An es válida para cualquier número natural y, para ello,
utilizaremos el método de inducción.
● Para n = 1, 2, 3 y 4 ya ha sido comprobado más arriba.
 1 3h 
.
1 
● Supongamos que la potencia es cierta para n = h, entonces se verifica: A h  
0
Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1:
 1 3h   1 3   1 3h 
 ꞏ 
  
A h  1  A h ꞏ A  
1
 0 1   0 1  0
3   1 3 (h  1) 
  

1 
 0
 1 3n 
 para cualquier número natural n.
1 
Por tanto, A n  
0
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
2. Múltiplos de a + 1. Demuestra que la expresión a2n – 1 es divisible por a + 1.
Utilizamos el método de inducción.
● Se prueba para n = 1, en efecto, a 2 ꞏ 1  1  a 2  1  (a  1) ꞏ (a  1) es divisible por a + 1.
● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, es decir, a 2 h  1 es divisible por a + 1.
Veamos si es cierto para n = h + 1, es decir, tiene que cumplirse que a 2 ꞏ ( h  1)  1 es divisible por a + 1.
En efecto:
a 2 ꞏ ( h  1)  1  (a 2 h  1) ꞏ a 2  a 2  1  (a 2 h  1) ꞏ a 2  (a  1) ꞏ (a  1)
El primer sumando es divisible por a + 1 por la hipótesis de inducción y el segundo lo es porque contiene a (a
+ 1) como factor.
Por consiguiente, a2n – 1 es divisible por a + 1 para cualquier número natural.
3. Sumas de productos de números consecutivos. Demuestra que para cualquier número natural n se
verifica:
1 ꞏ2  2 ꞏ 3  3 ꞏ 4  ...  n ꞏ (n  1) 
n ꞏ (n  1) ꞏ (n  2)
3
Utilizaremos el método de inducción.
● Veamos que se verifica para n = 1:
1 ꞏ2  2 y
1ꞏ 2 ꞏ3 6
 2
3
3
● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, entonces se verifica:
1 ꞏ 2  2 ꞏ 3  3 ꞏ 4  ...  h ꞏ ( h  1) 
h ꞏ (h  1) ꞏ ( h  2)
3
Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1. Para ello, utilizamos la hipótesis de inducción anterior y
operamos adecuadamente, obteniendo:
[1 ꞏ 2  2 ꞏ 3  3 ꞏ 4  ...  h ꞏ ( h  1)]  ( h  1) ꞏ ( h  2) 
h ꞏ ( h  1) ꞏ ( h  2)
 ( h  1) ꞏ ( h  2) 
3
h  3 (h  1) ꞏ(h  2) ꞏ (h  3)
h

 (h  1) ꞏ (h  2) ꞏ   1  (h  1) ꞏ(h  2) ꞏ

3
3

3
Esto demuestra que la igualdad es cierta para cualquier valor de n.
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 376
1. Encuentra el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a) Distribución por sexo de los hijos en familias de 3 hijos.
b) Suma de los puntos obtenidos al extraer una ficha de un domino.
c) Extracción de 2 CD de una caja que contiene 7 en buen estado y 3 defectuosos.
Los espacios muestrales pedidos son:
a) E = {(vvv), (vvm), (vmv), (mvv), (vmm), (mvm), (mmv), (mmm)} siendo v, varón y m, mujer.
b) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
c) E = {DD, DB, BD, BB} siendo D, defectuoso y B en buen estado.
2. Consideremos el experimento aleatorio de tirar dos dados cúbicos al aire y anotar la suma de los puntos
de sus caras superiores. Sean los sucesos: A = «obtener suma múltiplo de 5»; B = «obtener suma mayor
que 8»; C = «obtener por suma un número primo». Halla:
a) A  B
c) A  B
b) A  B  C
d) A  C
Los sucesos pedidos tienen por elementos los siguientes:
a) A  B = {Obtener suma múltiplo de 5 y mayor de 8} = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)}
b) A  B  C = {Obtener suma múltiplo de 5 y mayor de 8 y suma número primo} = {  }
c) A  B = {Obtener suma múltiplo de 5 o mayor de 8} = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (3, 6), (4, 1), (4, 5), (4, 6),
(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
d) A  C = {Obtener suma no múltiplo de 5 y número primo} =
= {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 1), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)}
3. Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Consideramos los sucesos A = {Obtener figura},
B = {Obtener espadas} y C = {Obtener un número menor que 5}.
a) Expresa en función de A, B y C los siguientes sucesos:
● Se realiza alguno de los tres
● Se realizan los tres
● No se realiza ninguno de los tres
● Se realiza el A o el B, pero no el C
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
b) Describe los elementos correspondientes a cada uno de los sucesos del apartado a).
a) Las expresiones buscadas son:
●ABC
●ABC
●ABC
● A  B   C
b) Los elementos correspondientes a cada uno de los sucesos del apartado a) son:
● Cualquier figura o espada o cualquier carta menor que 5.
● Oros, copas o bastos mayores o iguales a 5 que no sean figuras.
● Este suceso es imposible porque no hay figuras con numeración menor que 5.
● Cualquier figura o cualquier espada con numeración mayor o igual que 5.
4. Sacamos una bola de una bolsa donde hay 20 bolas numeradas del 1 al 20. Consideramos los sucesos A
= {Obtener un número compuesto} y B = {Obtener un número tal que la suma de sus cifras sea impar}.
Describe los siguientes sucesos y encuentra, en cada caso, todos sus sucesos elementales:
a) A  B
c) A  B
b) A  B
d) A  B
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que aparecen a continuación:
A = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} y B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 18}
a) A  B = {Obtener un número compuesto y que la suma de sus cifras sea par} = {4, 6, 8, 15, 20}.
b) A  B = {Obtener un número primo y que la suma de sus cifras sea impar} = {3, 5, 7}.
c) A  B = {Obtener un número primo y que la suma de sus cifras sea par} = {2, 11, 13, 17, 19}.
d) A  B = {Obtener un número compuesto y la suma de sus cifras sea impar} = {1, 9, 10, 12, 14, 16, 18}.
5. En el espacio muestral E = {A, B, C}. ¿Cuál de las siguientes funciones es una probabilidad?
1
1
a) P (A) = 1 , P (B) = , P (C) =
3
2
6
b) P (A) = 1, P (B) = 
c) P (A) =
20
1
1
, P (C) =
5
5
1
1
5
, P (B) = , P (C) =
4
2
8
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
a) Es una probabilidad porque verifica los 3 axiomas.
b) No es una probabilidad pues falla el 2º axioma ya que P (B) = 
1
<0
5
c) No es una probabilidad pues falla el 1º axioma ya que P (A) + P (B) + P (C) =
1 1 5 11
+ + =
1
4 2 8
8
6. Se ha trucado un dado de forma que, al lanzarlo, obtenemos las probabilidades siguientes:
P (2) = 2 · P (1), P (3) = 3 · P (1), P (4) = 4 · P (1), P (5) = 5 · P (1), P (6) = 6 · P (1).
Halla el valor de las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral.
Sea P (1) = x. Con las relaciones de las probabilidades del enunciado y sabiendo que la probabilidad del
espacio muestral (suceso seguro) es 1, obtenemos:
x  2 x  3x  4 x  5 x  6 x  1 
21x  1 
x
1
21
Las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral son:
P (1) 
1
2
3
4
5
6
, P ( 2) 
, P (3) 
, P ( 4) 
, P (5) 
y P ( 6) 
21
21
21
21
21
21
7. Sean A y B dos sucesos que verifican P (A) = 0,6, P (B) = 0,5 y P A  B   0,9. ¿Son A y B compatibles?




En caso afirmativo, calcula P A  B y P A  B .
Teniendo en cuanta la expresión P A  B  P (A)  P (B)  P A  B y sustituyendo los valores del
enunciado, obtenemos:
0,9  0,6  0,5  P A  B 
P A  B  0,6  0,5  0,9
 P A  B  0,2
Al ser P A  B  0,2  0 , los sucesos A y B son incompatibles.


P A  B   P ( B)  P A  B  
Hallamos la probabilidad P A  B  :
P A  B   P A  B  1  P A  B
Hallamos la probabilidad P A  B :
21


P A  B  0,5  0,2  0,3.



P A  B  1  0,2  0,8.
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SOLUCIONARIO
8. En la prueba final de una carrera de atletismo participan cuatro atletas que denotamos por M, C, R y S y
solo uno de ellos puede ser el ganador. La probabilidad de que gane M es el doble de la de que gane C, la
probabilidad de que gane C es triple de la de que gane R y la probabilidad de que gane S es la misma que
la de que gane R. ¿Cuál es la probabilidad de ganar C?
Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos:
P (M) = 2 · P (C); P (C) = 3 · P (R) y P (S) = P (R).
Como P (M) + P (C) + P (R) + P (S) = 1
Por lo tanto, P(C) =

6 · P (R) + 3 · P (R) + P (R) + P (R) = 1

P (R) =
1
11
3
11
9. Un dado tetraédrico esta trucado de modo que la probabilidad de obtener cualquier número es la misma
excepto la de obtener un 4 que es el doble de cualquiera de las demás. Halla la probabilidad de obtener
un 4.
Como P (1) + P (2) + P (3) + P (4) = 1 y haciendo P (1) = x
Por lo que P (4) =

x + x + x + 2x = 1

x=
1
5
2
5
10. En las familias de cuatro hijos, atendiendo al sexo de estos, halla las siguientes probabilidades:
a) Encontrar una familia con dos varones y dos mujeres.
b) Tener una familia con al menos dos varones.
c) Encontrar una familia con una mujer como máximo.
a) P (2 varones y 2 mujeres) =
b) P (Al menos 2 varones) =
11
 0,6875
16
c) P (Como máximo 1 mujer) =
22
6
= 0,375
16
5
 0,3125
16
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 377
11. Lanzamos tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de no obtener ninguna cara y la de obtener dos
caras y una cruz.
El espacio muestral asociado al experimento de lanzar tres monedas al aire es
E = {(ccc), (ccx), (cxc), (xcc), (cxx), (xcx), (xxc), (xxx)} siendo c = cara y x = cruz
Por tanto, P (No obtener ninguna cara) = P (tres cruces) =
12. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) =

1
1
5
, P (B) =
y P A  B  
. Halla:
4
3
12


d) P A  B 
a) PA  B 
c) P A  B

b) P A  B
1
3
y P (Obtener 2 caras y 1 cruz) =
8
8
Las probabilidades pedidas son:
a) P A  B  = P(A) + P(B) - P  A  B  



 


b) P A  B = 1  P ( A  B ) 
1 1 5
1
 

4 3 12
6
5
6

c) P A  B = P A  B  1  P ( A  B ) 
d) P A  B = P (A) - P A  B  =
7
12
1
12
13. Se consideran dos sucesos incompatibles X e Y asociados a un determinado experimento aleatorio y tal
que P (X) =
2
1
y P (Y) = . Halla:
5
2
a) PX  Y 

b) P X  Y



d) P X  Y 
c) P X  Y
Como los sucesos son incompatibles se verifica que P X  Y   0 . Utilizando las propiedades de la
probabilidad y las leyes de Morgan obtenemos:
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
a) P X  Y  = P (X) + P (Y) - P  X  Y  



2 1
9
 
5 2 10

b) P X  Y = P ( X )  P (Y )  P X  Y 




SOLUCIONARIO
2 1
2 1 2 1

 P( X )    
5 2
5 2 5 2
c) P X  Y = P ( X  Y )  1
d) P X  Y = 1  P ( X  Y ) 
1
10
14. De dos sucesos, A y B, de un mismo espacio muestral se sabe que:
P A  B   0,1


P A  B  0,6
P A / B   0,5
a) Calcula P (B).
b) Calcula P A  B .
c) ¿Son los sucesos A y B independientes? Razona la respuesta.
a) Para calcular la probabilidad P (B), sustituimos en la definición de probabilidad condicionada los valores
de P (A / B) = 0,5 y P A  B  0,1 . Obtenemos:
P A / B 
P A  B
0,1
 0,5 
P (B)
P (B)
 P (B) 
0,1
0,5
P (B)  0,2.
b) Para calcular la probabilidad P A  B tenemos en cuenta las leyes de Morgan y el valor del enunciado


P A  B  0,6 . Operando:




P A  B  P A  B  1  P A  B 
 0,6  1  P A  B   P A  B   0,4
c) Necesitamos conocer la probabilidad P (A).
En la expresión P A  B  P (A)  P (B)  P A  B , sustituimos los valores P A  B  0,4 , P
(B) = 0,2 y P A  B  0,1 y operamos para obtener P (A) = 0,3.
Para que A y B sean independientes debe cumplirse que P A  B  P (A) ꞏ P (B).
Calculamos cada miembro de la igualdad y vemos si son iguales. Obtenemos:
P A  B  0,1 y P (A) ꞏ P (B)  0,2 ꞏ 0,3  0,06
Como 0, 1 ≠ 0,06, los sucesos A y B son dependientes.
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
15. En un colegio hay 60 alumnos de bachillerato. De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los
dos idiomas. Se elige un alumno al azar.
a) Calcula la probabilidad de que estudie al menos un idioma.
b) Calcula la probabilidad de que estudie francés sabiendo que también estudia inglés.
c) Calcula la probabilidad de que no estudie inglés.
Sea I el conjunto de los alumnos que estudian inglés y F el de
los que estudian francés. La distribución de los alumnos puede
verse en el diagrama adjunto.
a) El suceso «estudiar al menos un idioma» es el suceso
contrario al de «estudiar ningún idioma» y por tanto:
P Estudie al menos un idioma   1 
8
52 13


 0,8667.
60 60 15
b) La probabilidad de que estudie francés sabiendo que también estudia inglés es: P F / I  

c) La probabilidad de que no estudie inglés es: P I 
12
3

 0,3.
40 10
20 1
  0,3333.
60 3
16. El 75% de los estudiantes de un instituto practican algún deporte, el 30% tocan un instrumento musical
y el 15% hacen deporte y tocan un instrumento musical. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante
que no realice ninguna de estas actividades? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que practique
algún deporte y no toque ningún instrumento musical?
Llamamos D a hacer deporte y M a instrumento musical. Las condiciones del enunciado son:
P (D) = 0,75; P (M) = 0,30 y PD  M   0,15
Utilizando las propiedades de la probabilidad obtenemos:
La probabilidad de elegir un alumno que no realiza ninguna de estas actividades, es:


P D  M  P ( D  M )  1  (0,75  0,30  0,15)  0,10
La probabilidad de elegir un alumno que practique algún deporte y no toque ningún instrumento musical,
es:


P D  M  P ( D )  P ( D  M )  0,75  0,15  0,60
17. Un cofre tiene 12 monedas de oro, 8 de plata y 5 de cobre. Halla la probabilidad de que al extraer dos
monedas, una detrás de la otra y sin devolver la primera al cofre, salgan del mismo material.
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
P (Dos de igual material) = P (Dos de oro) + P (Dos de plata) + P (Dos de cobre) =

12 11
8 7
5 4 208 26
ꞏ 
ꞏ
 ꞏ 

 0,3467
25 24 25 24 25 24 600 75
18. En una urna hay 75 bolas entre blancas, rojas y azules.
a) ¿Cuántas hay de cada color si la probabilidad de sacar blanca es 3 y la de sacar roja es 1 ?
5
15
b) ¿Y si la probabilidad de sacar azul fuera 1 y la de sacar roja, el doble?
5
a) Las probabilidades son: P Blanca   3 , P Roja   1 y P  Azul   1  3  1  1 .
5
15
5 15 3
El número de bolas de cada color será:
Blancas 
3
ꞏ 75  45
5
Rojas 
1
ꞏ 75  5
15
Azules 
1
ꞏ 75  25
3
b) En este caso las probabilidades son: P Blanca   1  1  2  2 , P Roja   2 y P  Azul   1 .
5 5 5
5
5
El número de bolas de cada color será:
Blancas 
2
ꞏ 75  30
5
Rojas 
2
ꞏ 75  30
5
Azules 
1
ꞏ 75  15
5
19. De una baraja española de 40 cartas sacamos tres, una detrás de la otra y sin reintegrar las cartas al
mazo. Halla las siguientes probabilidades:
a) Sacar tres bastos.
b) Sacar dos bastos y una espada.
c) Sacar una carta de cada palo.
a) P (Tres bastos) =
V10,3
V40,3

720
 0,0121
59280
b) P (Dos bastos y una espada) =
c) P (Una de cada palo) =
2700
10 9 10
ꞏ3 
ꞏ
ꞏ
 0,0455
59280
40 39 38
V10,1 ꞏ V10,1 ꞏ V10,1
24000
ꞏ V4,3 
 0, 4049
V40,3
59280
20. Un dado está cargado de forma que la probabilidad de obtener 6 puntos es 1 / 2 y que las
probabilidades de obtener cada una de las otras caras son iguales. Se lanza el dado, calcula la probabilidad
de los siguientes sucesos:
a) Se obtiene un dos.
26
c) Se obtiene un número par.
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b) No se obtiene un tres.
SOLUCIONARIO
d) Se obtiene un número impar.
1
, la probabilidad de obtener cada uno de los restantes
2
1
1
1
resultados (equiprobables) será : 5 
. Por tanto, P (1)  P (2)  P (3)  P (4)  P (5)  .
10
2
10
Si la probabilidad de obtener un 6 es P (6) 
Las probabilidades pedidas son:
a) P (Obtener un 2) 
1
 0,1.
10
b) P ( No obtener un 3)  1  P (Obtener un 3)  1 
1
9

 0,9.
10 10
c) P (Obtener un número par)  P (2  4  6)  P (2)  P (4)  P (6) 
1
1
1 7

 
 0,7.
10 10 2 10
d) P (Obtener un número impar)  1  P (Obtener un número par )  1  0,7  0,3.
21. De una baraja española de 40 cartas se retiran los oros y los ases. De las 27 cartas que quedan se extraen
dos cartas al azar (sin devolver la primera), calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Ambas son del mismo palo.
c) Únicamente la segunda carta es una figura.
b) Al menos una es figura.
En la baraja quedan 9 cartas de copas, 9 de espadas y 9 de bastos. La extracción de la segunda carta está
condicionada por la primera extracción al ser sin devolución.
a) Puesto que la composición de la baraja es homogénea en cuanto a los tres palos que quedan, la
probabilidad de que las dos cartas sean de copas, de espadas o de bastos es la misma. Sea P1 el suceso «la
primera carta es de un determinado palo» y P2 el suceso «la segunda carta es del mismo palo».
Obtenemos: P (Mismo palo)  3 ꞏ P (P1 ) ꞏ P (P2 / P1 )  3 ꞏ
8
8
4
9


 0,3077.
ꞏ
26 13
27 26
b) El suceso «al menos una carta es figura” es el suceso contrario al A «ninguna de las dos cartas es figura».
Sea F1 el suceso «la primera carta es una figura» y F2 el suceso «la segunda carta es una figura».
Tenemos que P (A)  P (F1 ) ꞏ P (F2 / F1 ) 
18 17 17
17 22
ꞏ

. Entonces, P (A)  1 

 0,5641.
27 26 39
39 39
c) En esta caso, P (F1  F2 )  P (F1 ) ꞏ P (F2 / F1 ) 
27
3
18 9

 0,2308.
ꞏ
27 26 13
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
28
SOLUCIONARIO
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES página 378
22. En un parque de
atracciones hay, un día
concreto, el doble número de
mujeres que de hombres. Hay
niños, jóvenes y adultos que se
distribuyen según la tabla
adjunta:
NIÑOS
JÓVENES
ADULTOS
TOTAL
MUJERES
80
●
50
●
HOMBRES
●
30
●
●
TOTAL
●
●
70
300
a) Completa la tabla en tu cuaderno.
b) Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un niño o una niña.
c) Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre adulto.
a) La tabla quedaría del siguiente modo:
NIÑOS
JÓVENES
ADULTOS
TOTAL
MUJERES
80
70
50
200
HOMBRES
50
30
20
100
TOTAL
130
100
70
300
b) P (Niño o niña) =
130
 0,4333
300
c) P (Hombre adulto) =
20
 0,0667
300
23. Lanzamos dos dados al aire y anotamos los números de sus caras superiores.
a) Si se sabe que salió suma 7 ¿cuál es la probabilidad de que en uno de ellos apareciera un 3?
b) Si se sabe que en uno de ellos salió un 5, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de sus puntos, en
valor absoluto, fuera 2?
Los casos posibles son 36.
a) Los casos posibles en los que la suma es 7 son 6: {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} y de ellos hay 2
2
en los que sale un 3; por lo tanto P (Un 3/suma 7) =
 0,3333 .
6
b) Los casos posibles en los que en uno de ellos sale un 5 son 11:
{(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
29
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SOLUCIONARIO
y de ellos hay 2 en los que la diferencia, en valor absoluto, es 2; por tanto, P (Dif. 2/salió 5) =
2
 0,1818
11
24. Tres fábricas A, B, C producen respectivamente el 45%, el 30% y el 25% del total de cierta pieza de
automóvil. Los porcentajes de piezas defectuosas en la producción son del 4%, el 5% y el 6%,
respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que cierta pieza no sea defectuosa?
P (No defectuosa) = 0,45 · 0,96 + 0,30 · 0,95 + 0,25 · 0,94 = 0,952
25. En una universidad hay 400 estudiantes de los que 100 son chicos. Hay 110 que hablan francés, de los
que 105 son chicas. Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no hable francés? ¿Y de
que sea un chico que hable francés? Si hemos elegido un estudiante que habla francés ¿cuál es la
probabilidad de que sea chica?
Con los datos del enunciado completamos la siguiente tabla:
Chicas
Chicos
Total
Habla francés
105
5
110
No habla francés
195
95
290
Total
300
100
400
P (No hable francés) =
290
 0,725
400
P (Sea chica/ habla francés) =
P (Sea chico y hable francés) =
5
 0,0125
400
105
 0,9545
110
26. En una clase hay 7 calculadoras gráficas y 3 programables. La probabilidad de que en una sesión de
trabajo se agoten las pilas en las primeras es 0,05 y en las segundas 0,02.
a) Elegida una calculadora al azar, halla la probabilidad de que se agoten las pilas.
b) Sabiendo que a una calculadora se le han agotado las pilas ¿qué probabilidad hay de que fuera una
calculadora gráfica?
a) P (Se agoten las pilas) =
7
3
ꞏ 0,05 
ꞏ 0,02  0,041
10
10
7
ꞏ0,05
10
b) P (Gráfica/ Se han agotado las pilas) =
 0,8537
0,041
30
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SOLUCIONARIO
27. El ayuntamiento de una ciudad ha inaugurado una nueva piscina cubierta. Se realiza una encuesta a
2000 personas sobre si las instalaciones de la piscina son o no adecuadas. A un 35 % de los encuestados no
les parecen adecuadas. De los 2000 encuestados, 1600 viven habitualmente en la ciudad. Además, el
porcentaje de los que viven en la ciudad y les han parecido adecuadas es del 60 %.
a) Si se elige a un encuestado, ¿cuál es la probabilidad de que le parezca adecuada la piscina y viva en la
ciudad?
b) Si hemos elegido una encuesta de una persona que no vive habitualmente en la ciudad ¿cuál es la
probabilidad de que no le parezcan adecuadas las instalaciones de la piscina?
Con los datos del enunciado completamos la siguiente tabla:
Viven habitualmente
No viven habitualmente
Total
Adecuadas
960
340
1300
No adecuadas
640
60
700
Total
1600
400
2000
a) P (Adecuada y viva) =
960
 0,48
2000
b) P (No adecuadas/ No vive) = 60  0,15
400
28. El 75% de los alumnos de un instituto acude a clase en algún tipo de transporte y el resto acude andando.
Por otra parte, llegan puntuales a clase el 60% de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden
andando. Se pide:
a) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya llegado puntual a clase?
b) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya
acudido andando?
Sean los sucesos T = {Transporte}, A = {Andando}, P = {Puntual}, P = {No puntual}.
Colocamos los datos en el diagrama de árbol adjunto.
Las probabilidades pedidas son:

a) P P  0,75 ꞏ 0,4  0,25 ꞏ 0,1  0,325
b) P  A / P  
31
P  A  P  0,25 ꞏ 0,90 0,225 1


  0,3333
1  0,325
0,675 3
P P 
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SOLUCIONARIO
29. En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de Matemáticas,
y en B tengo 12 novelas y 8 libros de Matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un
libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:
a) El libro elegido sea de Matemáticas.
b) Si el libro elegido resultó ser de Matemáticas, que fuera de la estantería B.
Sean los sucesos A = {Estantería A}, B = {Estantería B}, N = {Novelas}, E = {Ensayos} y M = {Matemáticas}.
Colocamos los datos en el diagrama de árbol adjunto.
Las probabilidades pedidas son:
a) P M  
1 1 1 2 1 1 13
ꞏ  ꞏ   
 0,325
2 4 2 5 8 5 40
1 2
ꞏ
b) P B / M   P B  M   2 5  8  0,6154
13
13
P M 
40
30. En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni remplazarla, se extrae
una segunda bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?
b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcula la probabilidad de que la primera bola extraída fuera
negra también.
Sean los sucesos N1 = {Sacar negra en la primera extracción}, N2 = {Sacar negra en la segunda extracción}, B1
= {Sacar blanca en la primera extracción} y B2 = {Sacar blanca en la segunda
extracción}.
Colocamos los datos en el diagrama de árbol adjunto.
Las probabilidades pedidas son:
a) P  N 2  
3 2
10 3
3
ꞏ

ꞏ

 0,2308
13 12 13 12 13
3 2
ꞏ



P
N
N
12  1  0,1667
13
1
2
b) P  N / N  

1
2
3
P N 2 
6
13
32
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES ACCESO A LA UNIVERSIDAD página 379
1. En una población se sabe que el 80% de los jóvenes tiene ordenador portátil, el 60% tiene teléfono móvil
y el 10% no tiene portátil ni móvil. Si un joven de esa población tiene teléfono móvil, calcula la probabilidad
de que dicho joven tenga también ordenador portátil.
Sean los sucesos OP = {Tener ordenador portátil} y M = {Tener teléfono móvil}.
Tenemos que calcular la probabilidad condicionada P OP / M   P OP  M  .
P (M )
La probabilidad de la unión es:




P OP  M   1  P OP  M  1  P OP  M  1  0,1  0,9
A su vez:
P OP  M   P (OP )  P ( M )  P OP  M  
 0,9  0,8  0,6  P OP  M   P OP  M   0,5
Por tanto, P OP / M  
0,5
 0,8333
0,6
En la figura pueden verse alguna de las probabilidades que aparecen
en la resolución.
2. Según un estudio reciente, el 68 % de los encuestados poseen un smartphone, el 38 % tiene una tablet
y el 16% disponen de ambos dispositivos.
a) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar no disponga de ninguno de los dos
dispositivos.
b) Resulta que la persona elegida posee un smartphone, ¿qué probabilidad hay de que tenga una tablet?
Sean los sucesos S = {Tener un smartphone} y T = {Tener una tablet}.
a) La probabilidad es:


P S  T  1  P S  T   1  P ( S )  P (T )  P S  T  
 1  0,68  0,38  0,16   1  0,90  0,10
b) La probabilidad pedida es:
P T / S  
33
P T  S  0,16

 0,2353
P (S )
0,68
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SOLUCIONARIO
 
3. En un experimento aleatorio, sean A y B dos sucesos con P A  0,4 y P (B) = 0,7. Si A y B son
independientes, calcula P A  B  y P (A - B).
Si A y B son independientes, se cumple: P  A  B   P ( A) ꞏ P ( B )  0,6 ꞏ 0,7  0,42.
Las probabilidades pedidas son:
● P  A  B   P ( A)  P ( B )  P  A  B   0,6  0,7  0,42  0,88


● P  A  B   P A  B  P ( A)  P  A  B   0,6  0,42  0,18
4. Los dos sucesos de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad, 0,5. La probabilidad de que
ocurra uno de ellos sabiendo que ha ocurrido el otro es 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra
ninguno de los sucesos?
Sean A y B los sucesos que verifican P (A) = P (B) = 0,5 y P (A/B) = 0,3. Entonces:
P A  B   P A / B  ꞏ P( B)  0,3 ꞏ 0,5  0,15




P A  B  P A  B  1  P( A  B)  1  [0,5  0,5  0,15]  0,15
5. En una granja hay patos de dos tipos, con pico rojo o con pico amarillo. Se observa que el 40% son
machos con pico amarillo, el 20% de todos tienen el pico rojo mientras que el 35% de los que tienen el pico
rojo son machos.
a) Elegido un pato al azar, halla la probabilidad de que sea macho.
b) Si el pato elegido es una hembra, ¿cuál es la probabilidad de que tenga el pico rojo?
Con los datos del enunciado completamos la siguiente tabla:
Pico rojo
Pico amarillo
Total
Machos
7
40
47
Hembras
13
40
53
Total
20
80
100
a) P (Macho) =
47
 0,47
100
b) P (Pico rojo/ Hembra) =
34
13
 0,2453
53
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6. La probabilidad de que un alumno de Bachillerato apruebe Matemáticas es de 0,5, de que apruebe inglés
es de 0,375 y de que no apruebe ninguna es de 0,25.
a) Halla la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.
b) Calcula la probabilidad de que apruebe las dos asignaturas.
c) Sabiendo que ha aprobado Inglés, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe Matemáticas?


Los datos del problema son: P(M) = 0,5 ; P(I) = 0,375 ; P M  I  0,25


a) PM  I   1  P( M  I )  1 - P M  I  0,75
b) PM  I   P( M )  P( I )  PM  I   0,5  0,375  0,75  0,125
c) P (M / I) =
PM  I  0,125

 0,3333
P( I )
0,375
7. Calcula P(A/B) , sabiendo que P(A) 
1
1
5
, P(B) 
y P(A  B) 
3
4
12
Utilizando las propiedades de la probabilidad y la definición de probabilidad condicionada obtenemos:
P A  B  = P (A) + P (B) - P A  B  
1 1 5 1
 
  0,1667
3 4 12 6
1 1

PAB
PB  P A  B  4 6 1


  0,3333
P A/ B 
1
3
P B 
P B 
4




8. En una empresa el 72,5% de los trabajadores tienen teléfono móvil. De estos, el 70% tienen tablet. Por
otro lado, el 33,3% de los que no tienen teléfono móvil si tienen tablet.
a) ¿Qué tanto por ciento tienen ambos aparatos?
b) ¿Qué tanto por ciento tienen tablet?
c) Si un trabajador elegido al azar no dispone de tablet, ¿qué probabilidad hay de que tenga teléfono móvil?
Las probabilidades pedidas son:
a) Tienen ambos aparatos: 0,725· 0,70 = 0,5075, es decir el 50,75%.
b) Tienen tablet: 0,725 · 0,7 + 0,275 · 0,333 = 0,5991, es decir el 59,91%.
c) P (Teléfono móvil /No tablet) =
0,725 ꞏ 0,30
 0,5425 . Por tanto la probabilidad de que no teniendo tablet
1  0,5991
si tenga teléfono móvil es 0,5425.
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9. El pasado invierno una ciudad disponía de una vacuna para proteger a la población frente al virus de la
gripe. Si una persona se ha vacunado, la probabilidad de que se infecte con el virus es de 0,1; sin la vacuna,
dicha probabilidad es de 0,3. El 40% de la población se vacunó.
a) Halla la probabilidad de que una persona elegida al azar se infecte con el virus.
b) Si la persona elegida al azar se ha infectado con el virus ¿cuál es la probabilidad de que esté vacunada?
Las probabilidades pedidas son:
a) P (Se infecte con el virus) = P (Vacunado) · P (Infecte con virus/ Vacunado) + P (No vacunado) · P (Infecte con virus/
No vacunado) = 0,40 · 0,1 + 0,60 · 0,3 = 0,22
b) P (Vacunada / Infectada con el virus) =
0,40 ꞏ 0,1
 0,1818
0,22
10. Los miembros de una sociedad de Amigos del Camino de Santiago son el 30% españoles, el 60%
franceses y el resto de otras nacionalidades. Los franceses de la sociedad son peregrinos en la proporción
de uno de cada mil, los españoles en la proporción de uno de cada cien, mientras que el resto de los
miembros de la sociedad es peregrino en la proporción de uno de cada diez mil. Se elige al azar un miembro
de la sociedad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea peregrino?
b) Si el miembro elegido resultó ser peregrino del Camino de Santiago, ¿cuál es la probabilidad de que no
sea español ni francés?
Las probabilidades pedidas son:
a) P (peregrino) = 0,3 · 0,01 + 0,6 · 0,001 + 0,1 · 0,0001 = 0,00361.
b) P (Ni español ni francés / peregrino) =
36
0,1 ꞏ 0,0001
 0,00277 .
0,00361
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES PROYECTO página 380
1. Los seres vivos podemos ser:
(n, n), que llamaremos “Normal” (N)
(n, a), que llamaremos “Híbrido” (H)
(a, a), que llamaremos “Albino” (A)
Del enunciado podemos interpretar que:
- La probabilidad de que un ser vivo de la muestra sea (n, n) es p2.
- La probabilidad de que un ser vivo de la muestra sea (n, a) es 2pq.
- La probabilidad de que un ser vivo de la muestra sea (a, a) es q2.
Recogiendo en un diagrama de árbol toda la información, tenemos:
37
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SOLUCIONARIO
La probabilidad de que un individuo de la próxima generación sea Normal (N), Híbrido (H) o Albino (A), la
obtenemos sumando los productos de las probabilidades de los caminos que terminan en N, H o A,
respectivamente.
Por ejemplo, la probabilidad de que un ser vivo sea albino es:
P (Albina) = 2pq · 2pq ·
1
1
1
+ 2pq · q2 ·
+ q2 · 2pq ·
+ q2q2 · 1 = q2 · (p + q)2 = q2
4
2
2
que es la probabilidad pedida en el apartado 1º.
Si hacemos una tabla de contingencia y calculamos la probabilidad de que un ser vivo de la próxima
generación sea N, H o A, observaremos que la probabilidad es la misma que en la generación de la muestra.
nn,nn
NORMAL
HÍBRIDO
ALBINO
p4
0
0
2 · 2p3q
nn,na
nn,aa
1
2
0
1
na,na
4p2q2 4
0
1
2
0
2p2q2 · 1
0
2 · 2p3q
1
4p2q2 2
2 · 2pq3
na,aa
aa,aa
1
2
1
4p2q2 4
2 · 2pq3
0
0
q4 · 1
p2
2pq
q2
*
1
2
En cada casilla de la tabla hemos puesto la probabilidad del suceso definido por la fila y la columna en la que
se encuentra. Por ejemplo, en la casilla indicada con (*) tenemos la probabilidad de que los padres sean
ambos na y el hijo Albino.
Debajo de cada columna hemos puesto la suma de los números de la misma, que es la probabilidad de que
un individuo en la próxima generación sea Normal, Híbrido o Albino, respectivamente.
38
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SOLUCIONARIO
2. Suponemos ahora que los albinos se emparejan sólo con albinos.
Las parejas ahora pueden ser nn con nn, nn con na, na con na y aa con aa, y los albinos sólo pueden nacer de
parejas como los dos últimos.
Un albino (aa) se empareja con un (aa) con probabilidad 1. Como los (nn) y (na) sólo se emparejan entre ellos,
veamos la probabilidad de cada uno de los emparejamientos. Para ello determinemos la proporción de un
ser vivo (n, a) y (n, n) entre la población de no albinos.
Si H es el número de seres vivos de la muestra, tenemos:
- p2H es el número de seres vivos de la muestra que son (n, n)
- 2pqH es el número de seres vivos de la muestra que son (n, a).
La suma p2H + 2pqH es el número de seres vivos no albinas, luego:
- La proporción de seres vivos (n, n) entre la población no albina es:
p2H
p
p


2
p H  2 pqH
p  2q 1  q
- Y la proporción de seres vivos (n, a) entre la población no albina es:
2 pqH
2q

p H  2 pqH 1  q
2
Recogiendo la información en un diagrama de árbol, como anteriormente, tenemos:
39
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
Al igual que antes, la probabilidad de que un individuo de la próxima generación sea albino, la obtenemos
sumando los productos de las probabilidades de los caminos que terminan en A.
P ( Albino)  2 pq ꞏ
2q 1
2q 2
ꞏ  q2 ꞏ 1 ꞏ 1 
1 q 4
1 q
Podemos hacer también una tabla de contingencia que nos proporcione las probabilidades de que un
elemento de la próxima generación sea N, H o A.
NORMAL
HÍBRIDO
ALBINO
p3
1 q
0
0
nn,nn
2ꞏ
nn,na
40
2 p 2q 1
ꞏ
1 q 2
2ꞏ
2 p 2q 1
ꞏ
1 q 2
0
na,na
4 pq 2 1
ꞏ
1 q 4
4 pq 2 1
ꞏ
1 q 2
4 pq 2 1
ꞏ
1 q 4
aa,aa
0
0
q2
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Matemáticas II- UD14 PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
Sumando cada una de las columnas, obtenemos:
p 3  2 p 2 q  pq 2
p  p  q
p


P ( Normal ) 
1 q
1 q
1 q
2
P ( Híbrido) 
P ( Albino ) 
41
2 p 2 q  2 pq 2 2 pq  p  q 
2p


1 q
1 q
1 q
pq 2
q 2  p  q  1 2q 2
 q2 

1 q
1 q
1 q
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