cinematicapresentacion

CINEMÁTICA
Descripción del movimiento
Física y Química 4º ESO
La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y
decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.
¿Qué es un sistema de referencia?
Sistema de referencia.- Cuerpos o puntos considerados ”fijos” que se toman como
referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia un
sistema de coordenadas, un observador y un reloj.
Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del
sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a
nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al
Sol estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en
marcha parece que se mueve respecto a nosotros.
PARA
PARA DESCRIBIR
DESCRIBIR PERFECTAMENTE
PERFECTAMENTE UN
UN MOVIMIENTO
MOVIMIENTO HACE
HACE FALTA
FALTA INDICAR
INDICAR
RESPECTO
RESPECTOAAQUÉ
QUÉSISTEMA
SISTEMADE
DEREFERENCIA
REFERENCIASE
SEHAN
HANREALIZADO
REALIZADOLAS
LASMEDIDAS.
MEDIDAS.
Movimiento : Cambio de posición de un
cuerpo respecto a otro(s), tomado(s)
como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)
Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales
Vector posición.- Es un vector que determina la posición de un
cuerpo respecto del sistema de referencia elegido.
Vector posición en 1D:
0
Vector posición en 3D:
r=(4;6;3)
X=5
z=3
Vector posición en 2D:
y=6
y=7
r=(4;7)
0
x=4
x=4
0
Nota: el Vector posición siempre
nace del origen de coordenadas.
Vector de posición y vector desplazamiento
•
→
El vector de posición r1 de un móvil, es el
vector con origen en O y extremo en P1.
→
→
Se representa por OP = r
1
P1
Δs
Y
→
→
Δr
P2
r1
→
r2
1
Se
Sedenomina
denominaTrayectoria
Trayectoriaalalcamino
caminoseguido
seguidopor
porelel
móvil
móvilen
ensu
sumovimiento.
movimiento.Es
Esescalar
escalar
ElEl espacio
espacio (S)
(S) que
que recorre
recorre un
un cuerpo
cuerpo en
en su
su
movimiento
movimiento se
se define
define como
como lala longitud
longitud de
de lala
trayectoria
trayectoria recorrida
recorrida yy es
es también
también un
un escalar.
escalar. Se
Se
mide
mideen
enmetros
metros
X
y
desplazamiento
vectores
de
posición
trayectoria
x
Los vectores de posición determinan las
diferentes posiciones del movimiento
podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos
las posiciones como posición 1 y posición 2.
Son vectores que van desde el origen del
sistema de referencia a la posición que se
mide.
r r r
El vector
Δr = r2 − r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
Se
Sedefine
definevector
vectordesplazamiento
desplazamientocomo
comolaladistancia
distanciaen
enlínea
línearecta
rectaentre
entredos
dosposiciones
posiciones
inicial
y
final
del
recorrido.
inicial y final del recorrido.
Se
Secalcula
calcularestando
restandolos
losvectores
vectoresde
deposición
posiciónfinal
finaleeinicial.
inicial.Se
Semide
mideen
enmetros
metros
Es
Esvectorial.
vectorial.
EL
ELMOVIMIENTO
MOVIMIENTODE
DECUALQUIER
CUALQUIERMÓVIL
MÓVILQUEDA
QUEDAPERFECTAMENTE
PERFECTAMENTEDETERMINADO
DETERMINADO
SI
SE
CONOCE
COMO
VARIAN
LAS
COMPONENTES
DEL
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
VECTOR
DESPLAZAMIENTO
EN
FUNCIÓN
DEL
TIEMPO
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
→
En general, | Δ r | ≠ Δs
El valor numérico del desplazamiento y del espacio recorrido coinciden cuando el
movimiento es rectilíneo y no hay cambios de sentido.
En movimientos en una dimensión:
r
r
Δ r = Δx = Δx
Desplazamiento (Δx).- Es un vector que determina el cambio de la
posición de un cuerpo respecto del sistema de referencia elegido.
ΔX=Xf – Xi
Xf: posición final; Xi: posición inicial
Ejemplo1: un móvil parte de la posición x=5m hacia la posición x=12m,
determine el vector desplazamiento.
ΔX=Xf – Xi
ΔX=12 – 5
0
Xi=5
Xf=12
ΔX=7m
s=7m
Ejemplo2: un móvil parte de la posición x=8m hacia la posición x=5m,
determine el vector desplazamiento.
ΔX=Xf – Xi
ΔX=5 – 8
0
Xf=5
Xi=8
ΔX= – 3m
s=3m
1
Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura:
a) al pasar del punto A al B;
b) al pasar del punto B al D;
c) al pasar del punto B al C;
d) al pasar del punto D al A.
A
D
-50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm
# Recuerda la definición de desplazamiento.
a) Δx AB = x B − x A = 30 − ( −50) = 80 cm
b) Δx BD = x D − x B = −20 − 30 = −50 cm
c) Δx BC = x C − x B = 50 − 30 = 20 cm
d) Δx DA = x A − x D = −50 − ( −20) = −30 cm
B
0
10 cm
20 cm
30 cm 40 cm
C
50 cm
# Analiza los resultados obtenidos.
Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -)
está relacionado con el sentido del movimiento
(hacia la derecha o hacia la izquierda).
Esto nos indica que el desplazamiento es una
magnitud vectorial.
2
Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir
del aula de CN -1, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la
derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el
desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor.
# Dibuja un esquema con el movimiento del profesor.
d dd d
-10 m
-5 m
CN1
# Calcula el desplazamiento total.
Δx = x f − x i = 3 m − 0 = 3 m
# Calcula la distancia recorrida.
s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m
5m
10 m
VELOCIDAD
VELOCIDAD
La
Lavelocidad
velocidades
eslalamagnitud
magnitud física
físicaque
queestudia
estudialalavariación
variaciónde
delalaposición
posiciónde
deun
uncuerpo
cuerpoen
en
función
funcióndel
deltiempo
tiemporespecto
respectoaaun
undeterminado
determinadosistema
sistemade
dereferencia.
referencia.
Sus
Susunidades
unidades: :m/s
m/s , ,km/
km/hh
Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han
viajado juntos. Tienen en común su velocidad media
•
•
vm = Δs
Magnitud velocidad media escalar:
Vector velocidad media:
→
→
→
vm = Δ r = Δ x
Δt
Δt
→
vm
Δt
Rapidez:
Rapidez:espacio
espaciorecorrido
recorrido
por
porintervalo
intervalode
detiempo
tiempo
ΔS S 2 − S1
=
Vm =
Δt
t 2 − t1
Se
Se define
define velocidad
velocidad media
media
como
el
cambio
de
posición
como el cambio de posiciónde
de
un
cuerpo
en
un
intervalo
de
un cuerpo en unr intervalo
r r de
r
tiempo:
r −r
Δr
tiempo:
→
= Δr
Δt
Vm =
;
vm = Δ x =
Δt
x 2 − x1
t 2 − t1
Δt
=
2
1
t 2 − t1
En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de
una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo.
a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor.
b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa?
x (m)
120
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico x-t y
contesta al apartado a).
III
100
IV
80
II
Si trazamos las tangentes a la curva en los
cuatro tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene menos inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo I;
por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velocidad es menor.
60
40
20
I
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
7
8
9
10
11
12
# Contesta al apartado b).
La tangente del tramo III es la que tiene la
mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s
es cuando la estudiante se mueve más rápidamente.
Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de
tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación.
x (m)
x (m)
x (m) 80
80
70
70
4
60
60
3535
30
2,5 2,5
25
25
20
2
2
30
30
30
3
3
40
40
20
15
1,5 1,5
20
20
0,5
11
22
33
tt (s)
(s)
Hemos trazado las tangentes a la
curva en los instantes 1, 2 y 3 s.
Vemos que sus pendientes son
cada vez mayores; por lo tanto, la
velocidad está aumentando.
15
10
1
1
10
10
0
-10 0
4040
4
3,5 3,5
50
50
00
xx (m)
4,5 4,5
10 5
0,5
0
0
0
44 0
55
1
50
1
6
6
02 0 2
0
3
2 3
2
t (s)t (s)
En este caso, hemos trazado las
tangentes a la curva en los
instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que
sus pendientes son cada vez
menores; por lo tanto, la velocidad
está disminuyendo.
4
4
4 4
6 5
8
5
6
t (s)
t (s)
8
10
10
12
12
Ahora la tangente a la “curva”
coincide con la propia recta. Como
su pendiente es constante, la
velocidad también es constante.
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
RECTILÍNEO Y
Y UNIFORME
UNIFORME (MRU)
(MRU)
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Tiempo
50 100 150 200 250
(s)
Posición
A
B
C
D
E
Distancia al
200 400 600 800 1000
hangar (m)
x (m)
1000
600
200
Velocidad pendiente de
la gráfica
•
•
•
xx==V.t
•
V.t
•
50 100 150 200 250
Gráfica x-t
→
Δr
v=
Δt
→
→
→
r -r
= t-0
0
t (s)
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento
( Δr ) y el espacio recorrido (ΔS) coinciden en
valor numérico.
Como la velocidad es constante la velocidad
media y la instantánea coinciden.
v (m/s)
4
•
•
•
•
50 100 150 200 250
Gráfica v-t
→
→
⇒→
r = r +vt
0
•
En forma escalar: x = x0 + v t
t (s)
¾ Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU)
Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos
iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La
pendiente representa la velocidad del móvil.
La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.
¾ Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA)
Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones
iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama
uniformemente acelerado.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más
concretamente, dicha curva es una rama de parábola.
La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la
aceleración del móvil.
La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.
¾ Ecuaciones del movimiento
Posición
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
MRU
MRUA
x = xo + vt
x = xo + vot + ½ at2
Δx = vt
Δx = vot + ½ at2
Constante
v = vo + at
Nula
Constante
La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente
gráfica.
a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de
izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda?
b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está
moviendo en dichos instantes?
# Para contestar al apartado a) analiza los
cinco tramos de la gráfica x-t.
12
10
8
x (m)
6
4
2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
-4
-6
t (s)
# Contesta al apartado b).
El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes
t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s
(de izquierda a derecha)
De 0 a 1 s: el valor de la posición está
aumentando; el cuerpo se mueve de
izquierda a derecha.
De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la
posición x = 10 m.
De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m
a x = -5 m; el cuerpo se mueve de
derecha a izquierda.
De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en
la posición x = -5 m.
De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m
a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda
a derecha.
Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta:
Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis.
Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta.
Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante
de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde
permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s.
# Analiza cada uno de los tramos y
realiza los cálculos pertinentes.
350
300
250
Durante los primeros 50 s la posición pasa de x = 0 a x = 300 m.
200
x (m)
150
100
Permanece 60 s, hasta el instante
t = 110 s, en x = 300 m.
50
0
-50 0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240
-100
-150
t (s)
Recorre 400 m de “vuelta” a 10
m/s, por lo que invierte 40 s más,
hasta la posición x = -100 m.
Permanece 40 s, hasta el instante
t = 190 s, en x = -100 m.
Recorre los últimos 100 m, hasta
la posición x = 0, a 8 m/s, por lo
que invierte 12,5 s.
Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando
alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están
inicialmente separados una distancia de 60 km.
a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles.
b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t.
c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta?
# Elige un sistema de referencia
y contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
Coche:
Motocicleta:
xC = 80t
xM = 60 + 40t
# Contesta al apartado c).
Del análisis de las gráficas x-t se deduce
que el coche alcanza a la motocicleta en
la posición 120 km, 1,5 h después de
que el coche inicie su movimiento.
x (km)
Si tomamos como referencia la posición
inicial del coche, las ecuaciones son:
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
0,5
1
1,5
t (h)
Coche
Motocicleta
A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por
las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a
la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir,
80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor
en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.
2
2,5
El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de
9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad
constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del
pueblo lo logrará?
# Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos
movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de
referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”.
Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya
18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a
las 10 h, las ecuaciones de la posición son:
Tío Juan:
xJ = 18 + 9t
Cuñado:
xC = 11t
# Realiza ahora los cálculos pertinentes.
Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo
tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después
de haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde.
Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la
posición: xJ = xC = 99 km.
La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos
rectilíneos.
a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los
movimientos.
b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos:
algebraico y gráfico.
17
# Contesta al apartado a).
120
100
El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la
posición -25 m, se está moviendo con una velocidad
de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul).
El cuerpo B, inicialmente situado en la posición
40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente
de la recta magenta).
80
x (m)
60
40
20
0
-20
0
2
4
6
8
10
# Contesta al apartado b).
-40
t (s)
Móvil A
Móvil B
Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t.
Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es
decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s.
Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones
de la posición, se obtiene que x = 25 m.
En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados.
a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?
b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s
de iniciado el movimiento.
t (s)
v (m/s)
0
-12
2
-2
4
8
6
18
35
8
28
25
10
38
# Contesta al apartado a).
v (m/s)
45
40
30
20
15
10
5
0
-5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Se trata de un movimiento
uniformemente acelerado
ya que la velocidad es directamente proporcional al
tiempo y la gráfica v-t es
una recta.
Vemos que vo = -12 m/s y
que la aceleración (pendiente
de la recta) es:
a = 50/10 = 5 m/s²;
-10
-15
# Contesta al apartado b).
t (s)
La ecuación del desplazamiento es: Δx = vot + ½ at². Para t = 7 s, Δx = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.
MOVIMIENTO
Física y Química
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
UNIFORMEMENTE
1º BACHILLERATO
ACELERADO
(MRUA)
7
ACELERADO (MRUA)
2
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración
normal, pero la velocidad va cambiando en módulo
(aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración
tangencial.
v (m/s)
v
tg α = a
α
v0
• La aceleración media coincide con la
aceleración instantánea
aceleración es constante
t
t (s)
Gráfica v-t
Δt
v (m/s)
que
la
→
• La ecuación a = Δ v se transforma en:
Δt
Δv v − v
v = v0 + a t
a=
⇒
=
→
t0
ya
t−0
0
• El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es
v
el espacio recorrido
v0
v−v
A=v0·(t −t0)+ 0 ·(t −t0)
2
Sustituyendo A y v por su valor resulta:
t0
t
Gráfica v-t
t (s)
v +a·(t −t0)−v0
x−x0 =v0·(t −t0)+ 0
·(t −t0)
2
x = x0 + v0t +
1 2
at
2
La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior.
a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima?
b) ¿Cuándo la aceleración es negativa?
c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál?
9
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico v-t y
contesta al apartado a).
v (km/h)
III
140
V
120
VI
Si trazamos las tangentes a la curva en los
seis tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene más inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo III;
por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la
aceleración es máxima.
100
II
80
60
IV
I
40
20
# Contesta al apartado b).
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t (h)
1,2
1,4
1,6
La aceleración será negativa cuando lo sea
la pendiente de la tangente; eso ocurre en el
tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente.
# Contesta al apartado c).
La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces
la tangente es horizontal y su pendiente nula.
13
a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación.
La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa.
b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos.
30
25
15
x (m)
x (m )
20
10
5
0
0
1
2
3
4
5
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
t (s)
v (m/s)
10
5
El móvil se encuentra
inicialmente en la
0
-5 0durante
posición x = 0 y,
2,5
1
2 s, 3se mueve
4
5
-10
a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m.
-15
Después, durante
-20 1 s, permanece en dicha
posición. Finalmente,
durante 1 s más,
-25
-30
vuelve al punto de partida con una velocidad
de -25 m/s.
t (s)
16
14
El móvil 12se encuentra inicialmente en la
posición10x = 10 m y, durante 2 s, se mueve
8
a 5 m/s hasta
llegar a la posición x = 20 m.
6
Cambia bruscamente
su velocidad a 15 m/s,
4
2
velocidad que mantiene durante 1 s, hasta
0
la posición0 x = 135 m.
Finalmente,
permanece
2
3
4
5
v (m/s)
15
# Contesta al apartado
b).
a).
en reposo en dicha posición.
t (s)
La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en
marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el
desplazamiento del cuerpo en esos 10 s.
20
# Analiza cuántos movimientos podemos distinguir
en la gráfica v-t.
v (m/s)
16
14
De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con
v = 15 m/s.
De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s².
De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s².
12
10
8
6
4
A1 =
2
4+5
⋅ 15 = 67,5
2
A2 =
0
0
1
2
3
4
5
6
7
5 ⋅ 10
= 25
2
8
9
10
11
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
t (s)
El desplazamiento también puede
calcularse como el “área bajo la curva”
en una gráfica v-t. En este caso, el
valor del desplazamiento coincide con
la suma de las áreas de un trapecio
(67,5 m) y de un triángulo (25 m).
Δx1 = vt = 15·4 = 60 m
Δx2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m
Δx3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m
El desplazamiento total es la suma de estos tres
desplazamientos parciales: 92,5 m.
La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista.
Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h.
# Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU)
y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA).
v (km/h)
II
12
10
8
6
4
III
I
2
0
-2
0
1
2
3
4
5
IV
-4
6
7
V
-6
t (h)
# Determina la distancia recorrida.
El ciclista se mueve hacia la derecha durante
2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h
restantes. En dichos intervalos de tiempo
recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente;
en total, 32,5 km.
MRU Æ de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h
de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h
MRUA Æ de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h²
de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h²
(en el instante t = 2,5 h, el
ciclista invierte el sentido del
movimiento)
de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h²
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
ΔxI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km
ΔxII = vt = 10·1 = 10 km
ΔxIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km
ΔxIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km
ΔxV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km
El desplazamiento total es la suma de estos cinco
desplazamientos parciales: 2,5 km.
Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una
rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire.
a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s.
b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla?
c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total
empleado.
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = 20 m
vo = 40 m/s
v = 40 – 9,8t
y = 20 + 40t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
# Contesta al apartado a).
Sustituyendo en las ecuaciones del
movimiento t por 6,
v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s
y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m
El signo – del primer resultado
indica que el objeto está bajando y
el valor de la posición significa que
se encuentra por encima del punto
de lanzamiento.
# Contesta al apartado b).
X
# Contesta al apartado c).
El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que:
20 = 20 + 40t – 4,9t2; 0 = 40t – 4,9t2; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene
dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s.
La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye
que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velocidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También
vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
Cuando se alcanza la altura máxima
se cumple que la velocidad es nula,
cosa que sucede en un instante tal
que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s;
por lo tanto,
ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m
Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de
14,7 m/s de intensidad.
a) ¿Cuál es la profundidad del pozo?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = ?
vo = 0
a = -9,8 m/s2
v = -9,8t
y = yo - 4,9t2
X
v = -14,7 m/s
# De acuerdo con la información
disponible, analiza qué apartado
debes contestar primero.
De la ecuación de la velocidad deducimos que:
-14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el
tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del
pozo.
En ese instante la posición de la piedra es y = 0;
por lo tanto, en la ecuación de la posición podemos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por lo
que la profundidad del pozo es: yo = 11 m.
a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera
despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo
invertirá en dicho recorrido?
b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad
inicial de 15 m/s.
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado a).
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado b).
Y
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
yo = 45 m
vo = 0
a = -9,8 m/s2
v=?
t=?
X
v = -9,8t
y = 45 - 4,9t2
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 4,9t2;
45
t=
=3s
4,9
La velocidad del libro en ese instante es:
v = -9,8·3 = -29,4 m/s
¡Comenta los resultados!
yo = 45 m
vo = -15 m/s
a = -9,8 m/s2
X
v=?
t=?
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
v = -15 - 9,8t
y = 45 -15t - 4,9t2
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 15t - 4,9t2, ecuación de 2º grado completa, cuyas
soluciones son:
t=
15 ± 225 − 4 ⋅ ( −4,9) ⋅ 45 15 ± 33,3 ⎧− 4,93
=
=⎨
− 9,8
− 9,8
⎩1,87
La velocidad del libro en el instante válido es:
v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s
Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de
5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que
alcanzará el cuerpo.
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
yo = h = ?
vo = -5 m/s
v = -5 - 9,8t
y = h - 5t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
v=?
t=6s
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Debes perder el miedo a las
expresiones algebraicas y
trabajar con “letricas” como
si fuesen números. Fíjate en
las condiciones que cumple
la posición del cuerpo cuando
t = 6 s.
X
Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación
de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m.
La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto,
la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.
a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s
¿Qué altura alcanzará (la piedra)?
b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que
en el último segundo? ¿Por qué?
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
v=0
y=h=?
a = -9,8 m/s2
yo = 0
vo = 29,4 m/s
X
# Contesta al apartado a).
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Calculamos, en primer lugar, el tiempo
invertido por la piedra en subir.
En el punto más alto se cumple que
v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t;
t = 29,4/9,8 = 3 s.
v = 29,4 - 9,8t
y = 29,4t - 4,9t2
Sustituyendo este valor en la ecuación
de la posición, tenemos:
h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m
# Contesta al apartado b).
Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente,
el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de
subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados.
• En el primer segundo: Δy(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m
• En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la
piedra en los instantes 3 s y 2 s:
Δy(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m