PROBLEMARIO BIMESTRAL ECUACIONES DIFERENCIALES Profesor: Freddy Reyes Sosa I. Para las siguientes ecuaciones determina el orden y si es lineal o no lineal. a) (1 − 𝑥)𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 5𝑦 = cos 𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑦 4 b) 𝑥 𝑑𝑥 3 − (𝑑𝑥 ) + 𝑦 = 0 c) 𝑡 5 𝑦 ′′ − 𝑡 3 𝑦 ′ + 6𝑦 = 0 𝑑2 𝑅 d) 𝑅 2 𝑑𝑡 2 + 𝑅 = 𝑘 donde k es una constante. II. Para las siguientes ecuaciones prueba que la solución propuesta es solución de dicha ecuación. a) 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 3𝑥 = −2𝑒 2𝑥 b) (𝑦 − 𝑥)𝑦′ = 𝑦 − 𝑥 + 8 𝑆𝑜𝑙. 𝑦 = 2𝑒 3𝑥 − 𝑒 2𝑥 𝑆𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑥 + 4√𝑥 + 2 𝑥 𝑆𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑒 −2 𝑆𝑜𝑙. 𝑦 = 4𝑒 −2𝑥 𝑦 = 5 tan 5𝑥 c) 2𝑦′ + 𝑦 = 0 d) 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5 = 0 e) 𝑦 ′ = 25 + 𝑦 2 III. La ecuación 𝑦 = 1 1+𝑐𝑒 −𝑥 es una solución de la ecuación 𝑦´ = 𝑦 − 𝑦 2 , determina el valor de “c” bajo la condición inicial 𝑦(−1) = 2 IV. La ecuación 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 es una solución de la ecuación 𝑦´´ − 𝑦 = 0, determina los valores de 𝑐1 𝑦 𝑐2 bajo las condiciones iniciales 𝑦(0) = 1 , 𝑦´(0) = 2 V. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de separación de variables. a) b) c) d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1)2 = 2𝑦 2 + 𝑦 = 1−𝑥 2 𝑦2 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 𝑦(0) = 𝜋 4 e) f) VI. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑁 𝑑𝑡 − 𝑥 2 (1 − 𝑦) = 0 + 𝑁 = 𝑁𝑡𝑒 𝑡+2 𝑦(0) = 3 𝑁(0) = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales por el método de factor integrante. 𝑑𝑦 a) 3 𝑑𝑥 + 12𝑦 = 4 b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒 3𝑥 c) 𝑦 ′ = 2𝑦 + 𝑥 2 + 5 d) 𝑥 2 𝑦 ′ + 𝑥(𝑥 + 2)𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 e) 𝑦 ′ − 𝑥 = 𝑥𝑒 2 f) VII. 𝑦(1) = 0 𝑑𝑥 𝑡 3 𝑑𝑡 + 3𝑡 2 𝑥 = 𝑡 𝑥(2) = 0 Para las siguientes ecuaciones, determina si son exactas, si sí, resuélvela, si no, encuentra un factor integrante que la vuelva exacta y resuélvela. a) (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (3𝑦 + 7)𝑑𝑦 = 0 b) (5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0 𝑦 c) (1 + 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 = (1 − 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑦 d) 6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 e) (10 − 6𝑦 + 𝑒 −3𝑥 )𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦 = 0 VIII. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥𝑦 3 − 1) b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 c) 𝑥 𝑑𝑥 − (1 + 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 d) 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 3𝑦 4 IX. 1 𝑦(1) = 2 Resuelve los siguientes problemas de modelación de ecuaciones diferenciales de primer orden. 1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 25% en 15 años. ¿Cuál será la población pasados 25 años? 3. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes.¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 4. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i(t). 5. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si larazón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcionala la cantidad de la sustancia presente al tiempo t,determine la cantidad que queda después de 24 horas. 6. Un paracaidista con una masa de 85kg se deja caer desde un helicóptero. Calcula la velocidad del paracaidista 10 segundos después de saltar. El coeficiente de resistencia del aire es de 10.1kg/s.
