Estudiante: Gabriel Carrizalez CI 30.709.805 Análisis Matemático II, Sección 04 Series de potencias y serie binomial 1. Series de potencias: Para poder definir que es una serie de potencia, primero debemos saber que son series infinitas de términos constantes. Una serie en matemática, sería una suma de infinitos términos constantes. Una generalización de la noción suma o también conocida como sucesión de sumas parciales. A diferencia de las series infinitas, las cuales consisten en solo términos constantes. Ahora las series de potencias es una serie de términos variables y esta puede considerarse una generalización de una función polinomial, funciones como ex y Arctg(x) como expresarse como series de potencia. Estas series convergen o divergen, Es convergente cuando da un valor exacto o número y es divergente cuando esta es igual a infinito. Para que una serie de potencia sea convergente o divergente todo dependerá de los valores de X que esta tome. Como por ejemplo en la siguiente serie de potencia tenemos: Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Relación gráfica en la aproximación de una función a mayor cantidad de términos de la serie de potencias En el siguiente video se observa como se hace una aproximación mediante serie de 1 𝑛−1 potencia de la siguente función : g(x)=1(1−𝑥)2 , usando la siguiente serie de potencia ∑10 𝑛=1 𝑛𝑥 Series de Taylor Una serie de Taylor es una serie de potencia de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir funciones que son infinitamente diferenciables. Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre la factorial de n(n!), y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n. En términos formales o matemáticos, la serie de Taylor tiene la siguiente forma: Podemos usar los primeros términos de una serie de Taylor para obtener un valor aproximado para una función. Ejemplo de serie de Taylor de la función g(x) = ex Expansión de la serie Taylor 𝑿𝟐 𝑿𝟑 ex = 1+X+ 𝟐! + 𝟑! +… ∞ 𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐬𝐢𝐠𝐦𝐚 ∑ 𝒏=𝟎 𝑿𝒏 𝒏! Series de MaClaurin La serie de MaClaurin es un caso particular de la serie de Taylor, donde se concentra en a=0 a diferencia de la serie de Taylor que toma un numero cualquiera. La siguiente imagen representa la diferencia entre la serie de Taylor y la serie de MaClaurin, De acuerdo a lo anterior, se debe tomar en cuenta que existen dos funciones que no se pueden desarrollar por la serie de MaClaurin, estas serían: ln(x) y cot(x). 2. Serie binomial La serie binomial de Newton matemáticamente es una expansión, dado que el binomio (𝑎 + 𝑏)𝑛 puede expandirse, Newton comenzó este trabajo sabiendo que n es un entero, pensando no sólo en la posibilidad de que el exponente de la expansión no fuese entero añadió un exponente k, el cual sería un real. De acuerdo a lo anterior, se puede decir que n es un número real positivo, negativo o incluso fraccionario y los coeficientes binomiales se encuentran mediante k, donde k≤n, además k tiene que ser un entero ya que de otra forma no se podría encontrar la factorial. Con esto llegamos a la conclusión de que la serie binomial se desprende del teorema del binomio de Newton el cual dice: 𝑛 𝑛 (𝑎 + 𝑏) = ∑ 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑛𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 𝑘=0 Diferencias entre serie binomial y series de potencias Una de las diferencias entre serie binomial y serie de potencia se basa en que en la serie binomial los coeficientes se encuentran mediante k, mientras que en las series de potencia solo se encuentran mediante n, Otra diferencia es que las series de potencias pueden considerarse como una generalización de una función polimonial, mientras que las series de potencia se desprende del teorema del binomio. Utilidad de las series de potencias y binomiales en el ámbito de las matemáticas e ingeniería Las series binomiales son de gran importancia ya que tienen aplicaciones en diversas áreas de las diversas ciencias, y ayudan a resolver ciertos problemas que por métodos convencionales sería muy difícil hacerlos, sobre todo cuando las cantidades que se manejan son muy pequeñas. El objetivo de las series de potencias, es calcular sumas de series numéricas para aproximar funciones no polinómicas con polinomios y calcular valores aproximados de integrales definidas. Gracias a las series de potencias se puede asignar una expresión analítica a curvas que no se podían representar a través de ecuaciones algebraicas, estas nos permiten dar un tratamiento similar al de las curvas algebraicas, también llamadas curvas mecánicas, también se logró resolver el problema milenario de la cuadratura del círculo, por lo que hoy en día se puede utilizar para resolver problemas de este tipo. Referencias Bibliograficas Louis, Lethold. (1994). The Calculus 7. Tom M, Apostol. (1999). Calculus volume 1.
