alfonse-gobran-algebra-elemental-libro

Iifl' _ I _ ÍI_ i_1Í._Ii _I ___%'_ ¿VA ¡I __ _ __ _ LF0 N SE _ '¿___ _ I _ _ _ _'_ ___ __¡____|i____ _lbl.. ___| I I___ _. `_l____ _ __|'_¡_ _q____ __' W” G _..¿V __ : Ú_ü I ___ __ M .___ __ __ I _m *_ _` fiu_ _%_ _m_ _“¿ ¿I |=óRMuLAs BÁSICAS Reciúngulo Cuadrado l 1.1 I Í Á=ÍW A ¬ 1* P ¬= 4.1' P=2Í+2\'. .I arca ¡1::rín1c¡rn [J .1 ;'|n::¦ 1' la rgu P purtmnrnn H' :.1m:Im 1 lildú Trupezoide Parulelogramn ,Jr I 1': lš h 1. Af=¿›h .1 h :ù en bum: I: :ill ur:1 A = *hfzì 1 " + A fr., fr, áruu l1:1s±,~s. ¡I ulillra ba) Circuln " .1 = frrrz .1 {. r I\*u::±: I.: 1 letra g|'i<; 11:: C = ."l1'rr :ir '.::.1 cir¢..¬unfe|'e lucia radio 'rr mi] sf: Llfia para rI::pfl:: ;¬:nt;¬n' ui 1'u.'u1"n:rn ìrr;u:ci 011111 = ' 3.1416. Triángulo d Triángulo rectángulo r' *L ct fr l A=ìbh ¡J Teorema de Pitágoras: rr' + b' = r:' P=rr4 It ër' mb oalotos área .Fl1 123' 7.: "U§h e hipotenusa perímetro base altura lados Angulo Una manera de medir los ángulos es con grados (°). Un ángulo Un ángulo Un ángulo Un ángulo Si la suma de de de de de 90° se llama ángulo recto. 180" se llama ángulo llano. 0° a 90° se llama ángulo agudo. 90° a 180° se llama ángulo obtuso. dos ángulos es de 90°. istos se llaman ángulos oomplerrtentarios. Si la suma de dos ángulos es de 130", los ángulos se llaman supl emenlarios. La suma de los ángulos de un triángulo es de l80°. Si uno de los ángulos de un triángulo es de 90". éste se llama triángulo rectángulo. Interés simple =Prr Temperatura A=P l Pr: C _: 5 gti' 3) 'T Distancia. rapidez, ilompo l d=rr fr r=e ¡= I' " "ä 'U' . interés simple principal monto tasa de interés ¡:~ tiempo (en años) C 9 F='šC l 32 grados Fahrenheit grados Celsius d distancia r r rapidez tiempo d I' i ul ls” ._ ¡J . ._ \/ ,"~f __. ¡.1 .r 2' .Ill .L /' ¡I ff/ _. f H' I. Alfonse Gobran Troduclor: Eduardo O|odo Univorsldod Autonomo do Guudololnro Guodoloioru. Jalisco, Mèxico Grupo Iberoamérica /il. :r (lÍ=rr.«; †.± *.~f .lis oi' ¿ì'iíEïl9. 1/ntrm flf ~ Ã›'¿r_ .ífƒifƒf ' I.| Version en español de la obra Beginning Algebra por Alfonse Gobran Edicion original en ingles publicada por PWS›KENT Publishing Company Copyright 1990 en Estados Unidos de América. ISBN 0 534 92443 3 I`).R. © 1990 por Grupo Editorial Iberoamérica, SA. de CN. yƒo Wadsworth International!Iberoamérica, Belmont, California 94002. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electronico. mecánico, de lotorreproduccion, de almacenamiento en memoria o cualquier otro sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica yfo Wadsworth International!Iberoamérica, división de Wadsworth Inc. ISBN 968 72.70 51 9 Impreso en Mexico Editor: Nicolás Grepe P. Productor: Enrique Fradera T. Revision tecnica: Francisco Fragoso Fotografia de Cubierta: Sup erstoclt lnc.¡Uiseño: Susan M.C`. Calfey Grupo Editorial Iberoamérica, ELA. de C.`V. Rio Ganges No. 64, Col. Cuauhtémoc, 06500 México, l).F. Apolo. 5 192. Tela. 511 2517, 203 ÍÚ41, 208 7631, 5`l›=l 0424. Reg. CNIEM 1332 _'II" _I I “_” __ __ I I I _" II_ I I _I|HI__.|_ __' R _ "____' .I_. I' Í _____ __I _ __I PJ HH ¡_ Ut' LI _" ___ I I.I¿L1! :__ “__. IIïfl 1 I_ _ J_ FTI _I I _.I _ _________| __ _ ___"I I |_ _ Í ' I '_ I _* II '__ I *I II I' _H II_ '__ N f I Pkót.ooo Álgebra Elemental, es una introducción a los fundamentos de álgebra para los estudiantes con poco o ningún conocimiento sobre el tema. El texto lc da al estudiante una herramienta eficaz para aprender los fundamentos del álgebra durante un trimestres y un semestre. Mis objetivos al preparar este libro fueron presentar claramente al estudiante el material y elaborar logica y sencillamente los conceptos en cada capitulo. ÉI'lf0CIU6_ Creo que la matemática se entiende mejor si se aplican los conceptos a ejemplos especificos; en consecuencia, este testo remarea el dominio de la destreza algebraica mediante ejemplos. Las explicaciones matemáticas son concisas y las siguen numerosos ejemplos. Tuve gran cuidado en preparar dichos ejemplos, de tal manera que fueran paralelos a los problemas del grupo de ejerci cios. En la obra se encuent.ran más de B O00 ejercicios de mecanización, que van de fáciles a com plcjos y convenientemente dosificados_ El planteamiento de los problemas con palabras tiene un lugar especial en mi enfoque con respec to a los fundamentos del álgebra. Se presenta una diversidad de problemas para plantearse con el lenguaje común en forma gradual y se refuerza continuamente dicho procedimiento con nume rosos ejercicios. El tema de las expresiones verbales escritas en forma de ecuaciones algebraicas se presenta en el Capitulo 4. Una amplia variedad de problemas planteados en lenguaje común se incluyen también en los Capitulos 7. 8 y ll. l!`lfl0V3CÍOfl6$ U8 9513 GCÍÍCÍÓIT. Se han conservado todas las caracteristicas que han hecho que Álgebra Elemental tenga tanta aceptacion en sus ediciones anteriores. Además, se ha agregado material sobre el redondeo de fracciones decimales en el capitulo 2. En varias secciones se incluyen ahora notas aclaratorias y otros ejemplos para que sirvan de ayuda alos estudiantes. Se incluyen varios problemas nuevos en los ejercicios de repaso de cada capitulo y en los que abarcan varios capitulos. Estos ejerci cios nuevos eontribuyen a los ya de por si abundantes tan apreciados por los usuarios del texto. IX Pnotooo Que se incluyera este material nuevo fue en respuesta a los comentarios y recomendaciones que proporcionaron profesores de matemáticas, Agradezco a todos ustedes que me mantienen infor mado sobre las necesidades actuales de su salon de clase. Su información constante es determi nante para que este libro siga siendo eficaz en la enseñanza y aprendizaje, Material auxiliar. Hay un material muy completo que pueden utilizar quienes adopten esta edicion para su curso que incluye: l_ EXPTEST_ Un banco computarizado de exámenes que contiene cientos de preguntas dc se leccion mtiltiple y que pueden ser editados, reacomodados o amplilìcados_ Los usuarios pueden agregar también sus propias preguntas aldisco. EXPTEST está disponible para computadoras personales IBM y compatibles, tanto en discos de 3 II2" conto de 5 I/4". PWS KENT Pu blishing (2o_ dispone de ttn disco de muestra de IEXPTEST (discos de 3 I/2" 3 S lf4"). 2. Libro de respuestas. Disponible para los instructores, este suplemento tiene las respuestas a los ejercicios con número par del texto. 3. Banco dc exámenes. Disponible para los instructores, este libro de exámenes modelo ofrece ayuda adicional para examinar a los estudiantes sobre los conceptos algebraicos presentados en el texto Agradecimientos Quiero agradecer a todos aquellos que usan mi libro como ayuda en su trabajo. Mediante sus comentarios al personal de ventas de PWS KENT y sus respuestas a nuestra encuesta han ayuda do en gran medida a la revision del texto. Agradezco también a las personas siguientes que con sus evaluaciones escritas han contribuido a las ediciones anteriores: Roger K. Anderson, West Los Angeles College ; Thomas Arbutisl ti, Corrtrrrrrrriry College of Allegheny County; Joseph Cleary, Messusolt Courrrrtrnlty College; Helen H. David, Diablo Valley College; James C. Davis, Mesa College; Joseph Dclšlassio, Commurtlty College of ftllegheny County; Arthur Dull, Diablo Valley College; Nancy Hyde, Hrotvoru' Corrurrurrlry College; .loltn Lenhert, Long Beuelr City College; Gerald Marlette, Ctryuhogu Corrrrnunlty Cottage: Kalman Mccs, Courrrrunity College of /tlleglreny County; Juanita O'Donley, University of Oklulrorrre: Ron Pottorff, Cuyultogu Corrrrrtunity College; Ronald A. Stoltenberg, Sent Houston Store University; James O. Thomas, Southern University; Robert l.. Traughbcr, Somo Burlruro (.`_'t,v College; W. R, Utz_ University of Missouri er Coltrrublu; Richard Watl tins, Tlrletvuter Corrrrrrturlfy College. En especial deseo agradecer a las siguientes personas cuyas evaluaciones por escrito contribuyeron significativamcntc a esta revision. Dr. Charles Cool t, Urtlverslty of South Carolina Surnrer; Michael Perlcotvslti, Uuiverrdry of Missouri Colurrtblu; Dr. Gloria B. Shier, Norrƒt Hennepln Corrtrrtunlty College; Fred Stiles, San Arrtoulo College; Katherine McKcnzic_ Urriverslry of Mirtrtesotet Richard B. Ruth, Jr. _'ih_'¡ipert_rbtrrg Unlttersityt Niclt Nickoloff, bjnokane Firfls Corrtir_trr_l__r College. Por último. expreso mi agradecitniettto al cuerpo tecnico de PWS KENT Publishing Company por su ayuda para hacer que este libro tenga el mejor de los exitos CONTENIDO 1 CONJUNTOS 1 Introducción 2 Representación Geomótrictt de los Erttcros no Negativos 3 Conjuntos. Definiciones 3,' Notación 6 Subconjuntos 9 Opcraciottes con (Íonjuntos Repaso del Capitulo l ll 13 DESARROI._I.O DEI. COHJUNTO DE LOS NUMEROS REALES 15 El Conjunto de los íìnleros No Negativos ló Suma dc Enteros No Negativos I6 Multiplicación de E. lnteros No Negativos 1'? Sustraeción de Enteros No Negativos 2! El Conjunto de los Enteros 21 Suma de Números Enteros 22 Sustracción o Resta de Números Entcros 25 Multiplicación de Números linteros 29' División de' Números Enteros División entre Cero 33 Factnrización de Números 35 El Cottjttttto de los Números Racionalcs 37 Reducción de Fracciones 39 Suma de Números Racionaies 43 Sustracción de Números Racionales 45 Multiplicaeiótt de Números Raciottales 49 División de Números Racionales 49 Operaciones (fontbinadas 52 Forma Decimal de Números Racionales 54 Números Mistos 5? Números irracionales y Números Reales 59 Valor Absoluto dc Números Reales 60 Repaso del Capitulo 2 62 OPERACÍONES BÁSICAS CON POLINOHIOS 65 Notación y Terminología Algehraicas 66 Evaluación de Expresiones 66 Adición de Polinomios 68 Sttstracciótt de Polinornios 70 Simbolos de Agrupación 73 3 5 Multiplicación de Polinomios l)elìnieión 1,' Notación 76 Multiplicación de Monomios 76 79 CONTENIDO Multiplicación de un Polinomio por un Monornio 85 Multiplicación de Polinomios B8 División de Polinomios 9l División de Monomios 91 División de un Polinomio por un Monomio 96 División de dos Polinomios 99 Repaso del Capítulo 3 IOS Cuadrados v Raices Cuadradas 209 Diferencia de Cuadrados 210 6.3 Factorización de un Trinomio 212 Trinomios de la Forma si + bit + c, b, c ly b = 0. c = 0 212 Trinomios de la Forma asi + btt + c. a = l a, b, c I. b = 0. c = O ECUACMNES UNEALFS ¡N UNA VARIABLE Repaso del Capitulo 6 109 7 FRACCIOHES Ecuaciones Equivalentes IIÚ Solución de Ecuaciones I l2 pmwemas p¡am¿,_¡,¿¡Ú5 con pa|ab¡ as ¿¡|| g¡gg¡¡¢¿$ 223 227 7 1 Simplilicación de Fracciones ¡23 Algcbraicas pmbmmas Rcfcmnuä a Númm 05 2l7 223 7.2 Adición de Fracciones 132 Algcbraicas pfobkmas ¿E pmcenmc ¡37 234 Fracciones con Denominadores Problemas de Mezclas igual@ Problemas de Valor Monetario Problemas de Movimiento 149 p, ¿,b¡¿.ma5 de 1 cmpu aw¡ 3 152 Mmm" Cilmún MÚ¡¡¡P¡iï' de P°|¡“°""¡°5 233 Fracciones con Denominadorcs Problemas Referentes a Edades pmbtemas dg patam ¿as 155 Problemas de Geometría 158 Rcpasü ¿Q Cap¡m|Ú 4 ¡¿¡ DESIGUILDÃDES IJHEÃLES Y VALORES Assaunos EN UNA VARMBLE 167 Definiciones y Notación 168 Propiedades de las Relaciones de Orden 170 Solución de Desigualdades Lineales en una Variable l72 Solución de Sistemas de Desigualdades Linealcs en una Variable 183 Solución de Ecuaciones Linealcs con vmüres ¿bsÚ¡um5 ¡$6 sepan» del capitulo 5 Repaso acumu¡a¡¡,_,u 192 234 Diäiìnms 24! 7.3 Multiplicación de Fracciones Mgebfaìcas 243 7.4 División de Fracciones Algebraicas 252 7.5 Operaciones Combinadas y ¡;¡,acc¡Dn,¿S ¿_ 0mp¡eja5 25 ¡ 7 (1 Ecuaciones Litcrales 265 7.7 Ecuaciones que Contienen Fracciones A|É¢b"a¡¢a5 259 73 Pmbifmaï P¡3“¡°fldÚ5 C0" Palabras 275 Repam de' Capii' 11° 7 232 3 E¢UA¢|0p¡¡$ Y pgflçyflpgpgg ¡_¡fl5¡||_55 Ey DOS VARMBIES 291 _ 8.! Loordenadas Rectangulares o Ci'~f'“5ìH““ 'i ¡95 292 8.2 Graficas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables 297 8.3 Pendiente de una Recta ¡Acrofluåcmu DE Pouuoiuos 3.4 Ecuaciones de Rectas 20, 308 Ecuación de una Recta que Pasa por Dos Puntos Dados Factores Comunes a Todos los terminos 204 Factoriaación de un Binomio 303 208 303 Ecuación de una Recta Dados Uno de sus Puntos P, (xp v|) y su Pendiente m 309 Gontenido Ecuación de una Recta Dadas sus lntercepciones 3 lo 8.5 Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales en Dos Variables 3ll 8.6 Solución de Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales en Dos Variables 3ll Solución Gráficas 312 Solución Algebraicas 314 Método de Eliminación 314 Método de Sustitución 319 8.7 Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables que Contienen Simbolos de Agrupación y Fracciones 322 8.8 Ecuaciones Fraccionarias que Pueden Hacerse Lineales 323 8.9 Problemas Planteados con Palabras 326 8.lO Gráficas de Desigualdades Linealcs en Dos Variables 336 Repaso del Capitulo 8 339 9 EXPONENTE5' Y APLICACIONES 365 9.1 lšisponenles Fraccionarios Positivos 9.2 Esponentes Cero y Negativos Repaso del Capitulo 9 362 “IO RADICALES 365 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Definiciones y Notación 366 Forma Estándar de Radicales 372369 Combinación de Radicales Multiplicación de Radicales 375 División de Radicales 379 introducción a los Números Complejos 385 Repaso del Capítulo IO 386 11 ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE 339 ll.l Introducción 390 ll.2 Solución de Ecuaciones Cuadrtiticas por Factorización 390 ll.3 Solución de Ecuaciones Cuadráticas Completando el Cuadrado 395 ¡L4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por la Fórmula General 400 11.5 Ecuaciones que Dan Lugar a Ecuaciones Cuadráticas 404 ll.ó Problemas Planteados con Palabras 407 11.? Gráficas de Ecuaciones Cuadráticas 41 l Coordenadas del Vertice y Ecuación de la Recta de Simetria 4l3 Solución Grtifìca de Ecuaciones Cuadráticas 417 Repaso del Capitulo 4l9 Repaso acumulativo 422 APÉNDICES 435 A Facroriaacidn de nn Binomio Suma de Cubos 436 Diferencia de Cabos 43 7 436 B Facrorizacidn de Polinomios de Cuatro Terminos 438 Agrupación en Tres y Uno 438 Agrupacion en Parejas 439 C Teorema de Pitágoras 444 M5 ¿ RESPUESTAS A LOS EIERCICIOS DE NUMEROS IMPAI 445 ÍNDICE 524 r 'I' __ ._..______ï________ CAPÍTULO 1 F Conjuntos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 introduccion Representación geométrica de los enteros no negativos Conjunto, definiciones v notación Suoconjuntos Operaciones con conjuntos 1 2 1IC0N.IIIII`l'O$ Introducción El conocimiento de las matemáticas se ha vuelto esencial en tantos campos de la activi dad humana y en tantos aspectos de la vida, que la existencia sin cierta relación con las matemáticas elementales, por lo menos, resulta sumamente difícil. Los principios de las matemáticas se han utilizado desde los albores de la civiliza ción. La construcción de las pirámides de' Giza en Egipto hace más de S 000 años, cons tituye un monumento a la habilidad matemática de los ingenieros egipcios de la época. Aunque ellos sólo poseían las herramientas básicas, median y construían brillante mente. Construyeron figuras geométricas a partir de lineas rectas, trataron ángulos rectos y establecieron una unidad de medición llamada codo (aproximadamente igual a 52.49 am a 20% pulgadas). La aritmética se inicia con la necesidad del concepto del conteo. Si bien es virtualmente imposible establecer con exactitud cuando entró en uso el proceso de contar, se sabe que el sistema egipcio de jeroglíficos numéricos se remonta al año 3000 a.C. En la actualidad algunas tribus no poseen nombres para los números, mientras que otras agrupan a todas las cantidades superiores a 1 o 2 en el término "muchos". Supo nemos que asi fue como se originaron los números. Una vez que las cantidades fueron reconocidas y denominadas, el siguiente paso fue aprender que los mismos números se podían utilizar para contar cualquier colección de objetos. Incluso hoy en dia, en algunos paises, se utilizan diferentes conjuntos de números para contar distintas clases de objetos, tales como por ejemplo personas, animales, dias o árboles. Fue igualmente importante aprender a contar por medio de correspondencias', ya sea con los dedos de las manos o bien colocando piedreciilas en un mortal. Llevar la cuenta con los dedos dió lugar al sistema numérico de base 10 o decimal. Probablemente una de las primeras y más importantes formas de correspondencia fue la de contar rebaños de tal manera que el pastor pudiera saber si una oveja se había perdido o un camello habia nacido. Fue por la necesidad y el deseo de saber exactamente “cuántos” en palabras, y luego en simbolo, que se desarrollaron los sistemas de numeración. El sistema egipcio de numeración con jeroglíficos contenía símbolos para los nú meros I, 10, 100, 1000, etc. Los egipcios utilizaron el principio repetitivo para expresar números entre l y ia base, o sea el lO, y entre potencias de la base y escrìbian los simbo los sin un orden definido. Los romanos, al igual que los egipcios, emplearon el principio repetitivo en su sis tema de numeración de base ll). A diferencia de los egipcios, los romanos hicieron uso del concepto de orden en su esquema. Modificaron su sistema introduciendo simbolos para los números 5, S0, etc., los pasos intermedios de la base. El sistema indoarábigo de numeración sc inició con nueve símbolos para represen tar a los números del 1 al 9 inclusive. El concepto de cero apareció mucho mas tarde y se inventó para expresar la cantidad de elementos de una colección carente de obje tos. Durante miles de años los matemáticos usaron un espacio vacío en medio de un número para indicar un cero. Alrededor del año 300 a.C. se utilizó un punto para deno tar el lugar vacio. Incluso hoy en dia. el punto es el simbolo que se emplea en cl lengua je tirabe para de notar el número cero. El sistema de numeración indoarabigo es de base 10, A diferencia del sistema egipcio de jeroglíficos y el romano, el ¡ndoarribigo es un sistema de valor nosir innni. 1.2 Renressntadónøeontétrteadelosenterusnuneçatlvos 3 En la actualidad se utiliza una extension y modernización del sistema indoarábigo. Se usan diez simbolos digitos para representar los números: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos digitos se combinan en un sistema de valor posiciona! para representar cual quier número que se desee expresar. Cuando se escribe un número, por ejemplo 273, el 3 se encuentra en el lugar de las unidades, el 7 en el de las decenas y el 2 en el de las centenas. Es decir, hay 3 unida des, 7 decenas y 2 eentenas. Los números I, 2, 3, ete. se llaman números que se usan para contar o números naturales. Los números O, l, 2, etc. se llaman enteros no negativos. Representación geométrica de los enteros no negatrvos A veces es conveniente hacer uso de la geometria para ilustrar algunos resultados im portantes del álgebra. Es útil disponer de una representación geométrica dc los enteros no negativos. Para este fin, se traza una linea recta y se elige un punto de ella para representar el número cero. Dicho punto se llama origen. Se toma otro punto de la rec ta a cierta distancia y a la derecha del origen, el cual se asocia con ei número 1. El seg mento dc recta que va del origen al punto que representa al número l es la unidad de medida y es la escala que se emplea sobre la recta. Luego, a una unidad de distancia a la derecha del punto que representa al número I, se coloca otro punto para represen tar al 2. Este procedimiento se continúa hasta donde se quiera, estableciéndose asi una asociacion entre los enteros no negativos y puntos sobre la recta. unidad *Iii 1Oí0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 FIGURA 1.1 La Figura 1 1 muestra la recta numérica. La flecha al final de la recta indica que se continúa en esta forma y también la direccion en la que aumentan ios números. El seg lü unidades I í |› if 0 10 25 unidades 4 í+ 20 30 40 S0 í n me 0 25 100 unidade 5 S0 75 100 125 0 200 300 400 500 100 1 1 CONJUNTOS mento de la recta que representa la unidad de distancia, esto es, la escala empleada en la recta, se toma según convenga (ver Figura 1.21. Eligiendo una escala conveniente 5' extendiendo la recta tanto como se requiera. puede asociarse cualquier entero no negativo con un punto único dela recta. Cada pun to mareado sobre la recta es la grafica del número correspondiente. Los números se llaman coordenadas dc los puntos. Nota Si tr v h son las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta y si la grafica de Ir está a la derecha de la de rr, entonces b es mayor que rr, lo cual se denota b ::› rr. o cr es menor que b. que se e: :presa tt < 'I b. Para graficar algunos números. se traza una recta v se elige el origen. Se torna una unidad de distancia conveniente v se muestran los números asociados con algunos seg mentos conseeutivos de la recta numérica sólo para establecer la escala. Reeuerdesc que debe emplearse la misma escala sobre toda la recta numeriea. Traaar la grafica de los números 4. 8, 10, IE, lo. SOLUCIÓN Consìderese que cada segmento unitario de la recta representa al 2 (ver liigura 1.3). 1 1 0 D 2 Q 1 Q @ 4 (1 ti IU ll I4 lo lis 30 FIGURA 1.3 Para leer las coordenadas de puntos sobre una recta numérica. primero se determina la escala a utilizar, es decir, que tanto representa cada segmento unitario de la recta. Encontrar las coortlenttdas de los puntos ettcer|'at.ios en circttlo en la recta numérica mostrada en la Figura 1.4. SDLUCIÓN (Íada diria .itin de la recta ttuinerica tlatla representa 25; tie modo que las coordenadas de los puntos indicados son ISU. 215, 3. iri, 125. 17:?. .'l"' til. IUÚ FIGURA 1.4 ' 'l Í; 'J' H 200 __ . ,; ?;¡ .. 'f 300 fl _ 'Q H ' ' ' 3 "' ' 400 f 1 'W 1 500 pt 1.2 Representación geométrica de los enteros ne negativos 5 Ejercicios 1.2 (irafiquc los nt'tnte|'t¬›s siguientes utiliitartdo una recta numérica diferente en cada problema. ':*' PHP' 0. 4, ii. Iö. 28 E I' J' Gi.9° if', 'i'. I4. 23. 35 . 42 20. 25. 30. ' lll. 45 98. 100. 104. 105. 103 6.9, l5. IS 3 6 IS. 21. 2.4 ¬ .I 5 U. : 1___, »É "lll, 42. 48. 51.54 212. 213. 215. 216. 2.20 *.='?°'?`*:" '*!" Í [ineuentre las coordenadas de los puntos encerrados en circulo en las rectas numéricas mostradas cn la Figura l_5 _ lI_ ~ l 1 Q Ú 1 | l._ _ #1. , . ' o › t., _ t_: ¡_____,_, ' | '. |_ š o _ 1 _' | ,___ ___ _, | 1 ._ . _ _› 9 ¬` _ I I ._ . _. ,_ 11 . _.. ,H.' ,_., ¡n _ , _ __ _ ¡_ 'fIs. ` J ,. _ __ II flr4QyrQ44h4Q}44FJHrQyrJHGQyLL4{§Ä4%§áÁL§4L¢@}¿ÄLÉ p '=f U 7 14 ¬'I IP1 Q iP td É U 'IS n Q _ 13. ' _ . Ó F r 12. ¢ _ e › ' ' o › .. ÉÉ 1. 1 'I `ÍìjïFu:§ fi ffs IÍ _' 14 ii==¢'v“' ¿Ó fi _;" _ 13 _ _ Í ÚÚ It, _.. | 'Í . | 14. Q 1 @} {§ r U _ 15. ei 30 o ' GQ Q) »o Q; ¬r † 4 {} r 4 J5 › ' GU | __ ¡J IF It II If ?¬ .|_'_ o~ (É 1 ser 45 o QB o e fiå (U 1 J _ 1. of o €§ o 7§. ¶ ' y 1 16. se de QB te ir 1 IUU I Q) eh ae IÉÚ 4 4 @y~e @} al 4› 1 IÚU IÉU |4Ú i I ›` 17. G 4 dj l(l .gi hi) , . , 1 1 I ., 'Ii 1 QF 4F ¿D ~1 70 ` 1 _ 4 I ' " _.r. __, __ . P _ _ tr. _;_ __ t l4(l 'I 9 _ ,_ ...,. Q} 1) u I 26 20. ___" 4* 4P QP {I mi 4D I 40 64 FIGURA 1.5 'I , I Q} 4D l "¡ | 0 , 1 98 .It .|| I 2 '. . | II ¡¡$$¡¡g¿,¡$¡ 35 70 HJ5 ;. 19. ¢ ¢ 90* . QQI1 0 I I | 15'' o @y {} ¬o 4 1 18. ¡tii * Q 4› I 54 ,1 Lt ¿ i H sw Q 4h 4I› 4› 4§ I 4 S3 ' 'IICOU.Il.fiÌ'fl$ Si en un mapa cada centímetro (cm) representa S0 kilómetros (km), determine la dis tancia que separa a cada uno de los siguientes pares de puntos: 21. 24. AyB ' "'†' ByC 22. AvC 25. Byt) 23. AyD 26. CyD dado que en el mapa AB = 2cm, AC = 32 mm (milímetros), AD = 36mm, BC = 43mm, BD = 51 mm y CD = 22mm. Conjuntos, definiciones y notación El concepto de conjunto ha sido utilizado de forma tan generalizada en todas las mate maticas modernas, que es preciso su conocimiento por' parte de todo estudiante de nivel universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colec ciones de objetos de una manera abstracta. Segun G. Cantor (1845 1918), el matemático que desarrollo la teoria de conjuntos, “un conjunto es una agrupacion de objetos simples en un todo". Nótese que no se supone ninguna propiedad uniforme de los objetos que forman un conjunto fuera de que estan agrupados para constituirlo. La totalidad de estudiantes que estén cursando actualmente algebra elemental, for ma un conjunto. La coleccion formada por una pluma, una silla y una flor es otro conjunto. Los números l, 2, 3, etc., constituyen el que se llama conjunto de los números na turales, que se denota por N. Los números 0, l, 2, 3, etc., forman el conjunto de los enteros no negativos, denotado por W. Existen dos maneras de definir un conjunto. La primera consiste en hacer una lista de los objetos que lo componen y scpararlos con comas. La lista definitoria se escribe entre llaves { }_ Por ejemplo, A = {Marte, Venus, Neptuno} y N = {l, 2, 3, .__}_ Los tres puntos indican que se continúa en la misma forma. Nota Se acostumbra emplear letras mayúsculas para representar conjuntos, y minúsculas para los objetos pertenecientes a los mismos. Si X = {o, b, c, d}, entonces rr, b, c y d se llaman miembros o elementos del conjunto X. La notación rr E X se lcc “rr es un elemento del conjunto X Para denotar que un objeto e no es elemento de un conjunto X, se escribe e e X_ "ata El orden en que se escriban los elementos de un conjunto es indiferente. Por ejemplo, {l, 2, 3] y {3, 1, 2} definen el mismo conjun to. No es necesario, aunque si conveniente, escribir los números en orden creciente. 1.3 contentos, definiciones tr natacion Nota 7 Cuando se hace una lista delos miembros de un conjunto, cada elemento debe escribirse so lamente una vez, ya que de lo contrario se es taria haciendo referencia a un mismo miem bro en más de una ocasión. El conjunto de numerales del número 83 837 es {3, 7, 8}_ La segunda manera de definir un conjunto consiste en proporcionar la regla que identifica a sus elementos. Dicha regla se escribe también entre llaves. E = itodos los números naturales que son múltiplos de 2} Cuando un conjunto se define por medio de una regla, ésta debe expresarse con pala bras o bien, por brevedad, con simbolos. DEFINICIÓN dado. Una variable es una literal que adquiere varios valores en un problema Para nombrar a un miembro genérico de un conjunto de números, se emplea una varia ble tal como x, y, a, rn, rr, El conjunto X cuyos elementos cumplen una propiedad P se denota por X = {_t'|_r tiene la propiedad P} lo cual se lee “X es el conjunto de elementos x, tales que x tiene la propiedad P". La barra vertical empleada en la notación anterior es una abreviatura de la expresión “ta les que”. Enumerar los elementos del conjunto X = {x|x = Zn, rr G WL Primeramente se encuentran los valores que toma n. n toma los valores 0. l, 2, 3, Se determinan ahora los valores que adquiere Zn (Zn significa 2 por rr). Zn se obtiene multiplicando cada uno de los números 0, 1, "Z, _ _ _ por 2. De modo que .r = 2n toma los valores 0, 2. 4, 6, _ _ _ Por consiguiente X = {0, 2, 4, 6, _ _ _} Nata Lt. x = Zn, n e W} se puede escribir como l2n|n te W}. Enumerar los elementos del conjunto X = lxlx = Zn, n E WL Se encuentran los valores que toma ft. t _ ,. _ ti' __.__ J f I _ _ ~ 1rI¦'0NJl#I'I'O$ n toma los valores I, 2, 3, 4, Luego se detenninan los valores que adquiere 2:1 que son 2, 4, ó. 8, _ _ Se obtienen ahora los valores que toma 2:: l que son l, 3, 5, 7, __ Asique X={l,3_5,7,___| NOÚ3 La expresión 2 <'_ _r ct 8, .r E N se refiere a los números naturales entre 2 y 8. Es decir, .r toma los valores 3, 4, 5, 6, 7. Enumerar los elementos del conjunto X = {3_r|t] <: ,r <: lt), .r G NI: .r toma los valores l, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9. 3x toma los valores 3, 6, 9, 12, 15, 18, 2i, 24, 27. Entonces X = {3, 6, 9, l2, 15, 18, 21, 24, 27}_ DEFINICIÓN El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto nulo o va cio y se denota por et. El conjunto de números naturales entre l _v 2 es vacio. El conjunto de satélites naturales del planeta Venus también lo es, Ejercicios 1.3 Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes: Los nombres de los dias de la semana. Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 30 dias. Los nombres de los meses del año que tienen exactamente 31 dias. Los Los Los Los ?¦.T*'?"E":F'E"'i ¦_"' nombres nombres nombres nombres de de de de las los los los estaciones del ano. continentes de la Tierra. rios del mundo que corren de sur a norte. estados de la Unión Americana que comienza con la letra A Idem con la letra B. 9. 10. ll. idem con la letra (_`_ Los nombres de los cinco primeros presidentes de los Estados Unidos. Los números naturales pares entre l y 15. 12. 13. 14. IS. Los Los Los Los 16, 17. 18. Los números naturales divisibles entre 7. Los números naturales divisibles entre lll. Los números naturales entre 2 y 10 que son divisibles entre 9. números naturales ìmpares entre IU y 30. números naturales. enteros no negativos. números naturales divisibles entre 5. 1.4 subconjuntos 19, 20_ 21, 22, 23, 2,4, 25_ Los Los Los Las Los Las Los 26. 23. 30. 32. 34. 36. {_rl_r=rt+4,nEN] {_r | .r = fin, tt E Nj {_r | .r = 3:1 + l, rr E li"} {_r I _r = 4:1 2, rr E Ni {2n+3|nEW} {3rt 2 I tt EN¦ 37. {_r I _t' ' = {_r]_t' = {_r|_r = {5n + l {6rt 3 33. {3.r|_r>4,.r€iN} 39. {4_r|_r< 5__rE W} {2.r|__r<ó,_rEW} {2_r|2<__r =íl(),_t'EN] 4]. 43. {7.r|_r<l..tEN} {3.r|l<'i_t' =ï7,_rEN} {5.r|3<_r<.'ti,_rEW¦ 45. {4_r|0 r:_r<:ll__rEW} 31%? números naturales entre 40 3; 55 que son divisibles entre 15. números naturales entre 15 3' 25 que son divisibles entre 13. números naturales entre 20 y 30 que sort divisibles entre I7. letras de la palabra Mississippi numerales que forman al número 54 745. vocales del alfabeto. satélites naturales de la Tierra. {_r | .r = rr + 7,1: EN] 5:1, rr E W} 5:1 1 2. rr E l'l"} 'in r: 3,nEN} |nEW} I rtEN} SUDCOHÍUHÚOS DEFINICIÓN Un conjunto _ l es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B_ Si A es subconjunto de B, se escribe A C B_ Not3 Todo conjunto es subconjunto de si mismo. ¬ I. Si xt = il, 2, 3} v B _ {l, 2, 3, 4}, entonccsfi C B. 2. Los subconjuntos del conjunto {l, 2, 3} son llt 21 'gls lis 2'* III l2t Nota lt Q' El conjunto vacio es subconjunto de todo conjunto. l_a notación A (I B se lee “A no es sttbeon_iunto de B”. Esto significa que existe por lo menos un elemento de A que no esta en B. Si A = {rr, b, el y B == {t, 2, e, bj, entonces A a B. 'IICOIUUNTOS DEFINICIÓN Dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se expresa A = B, si todo ele mento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A. Nata A = B significa que las relaciones A C B 3.' B C A se cumplen simultáneamente. Si A = {l, 2, 3| y B = {3. l,2}, entonces/l = B. La notación A di' B, que se lee “A no es igual a B", significa que existe por lo menos un elemento que pertenece a A pero no a B. o bien por lo menos un elemento que perte nece a B pero no a A. Si A = Il, 3, 5] y B = {I, 2, 3, Si, entoncesA =f=B(¡Jero A C B). Ejercicios 1.4 Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A es elemento de B, ¿entonces A C B? Si todo elemento de A es elemento de B, ¿es A = B? Si/YC Vyae Y,¿eEX? Si x te A, ¿es {x} subconjunto de A? . Si _v E B, ¿es _r subconjunto de B? . Escriba todos los sttbconjuntos del conjunto {0}. . Escriba todos los subconjuntos del conjunto {l}. . Escriba todos los subconjuntos del conjunto la, bl. Si A = {o, b}, use uno de los símbolos { L EE, C, o GZ para hacer verdadera cada una de las siguientes expresiones: 9. o' A 12. f. cf: 15. 18. {o.b} {a.b} 10. b A 16. bC{r1. b} 13. {a} A A {b.a} ll. tí' A 17. {a.c} 14. r›c{r›} A DadoslosconjuntosA = {l, 2, 3},B = {l, 3, S},C = {2, 4, 6},D = {l, 2, 3, 4, 5} y E = {l, 2, 3, 4, 5. 6, ?}, determine cuáles de los enunciados siguientes son verdade ros yr cuáles son falsos. 19. 23. 27. ACB ACD BCB 20. 24. 28. ACE BCD ECE 21. 2.5. 29. BQIC CCD QCA 22. 26. 30. DCE A=C QÍQIC 1.5 Operaciones con conjuntos 11 Operaciones con coniuntos DEFINICIÓN La unión de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A U B, es el conjunto de todos los elementos que estan en el conjunto A y/o en el conjunto B. Es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de ios dos conjuntos. A U B = {.r|xE›A o xEB}. ìì 1.. SeaA = {l,2,3j y B: {l,3,5}; entonces A U B = ll, 2, 3, 5}. 2. Sea A = {2, 4, 6} y B = jo, 11, ej; entonces A U B = {2, 4, 6, o, h, ej. Nota Para dos conjuntos cualesquiera A y B, I. C iio 5*' ìsšs Cfl Uflìrs =BUA 2. C 4. ILU: CPI EL = El sii: DEFINICIÓN La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denota por A F1 B, es el conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B. A Ft B = {.›:|.r E A y xa B}. ì{ì í Lx entonces f .H ;,_._.i`“' 3" I "' Cb LM L FI ¡bie = (1, 3 }. 2. Si A = ja, h, ej y B = jd, e,f}; entonces A fl B = Q. DEFINICIÓN Dos conjuntos A y B son disjuntos o ajenos si A ("| B = ø. Nota Para dos conjuntos cualesquiera A y B, ':* *: eses DD nao: rw A =Bf`l./1 Pl Pl” LL 33 ou: = _&'¢c 1 1* CONJUNTOS Dados los conjuntos A = {.r|(l fc: .r zi lO, .HI NI y B = {3.t'|0 fr: .r «I 6, .Jr E Nj, encontrar A U B jr A (`l B. SOLUCIÓN tonces, El conjunto A ll. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 'Jl 3* B = {3, (1, 9, 12, lSl. lin AUB ={l,2,3,4,5,6,7,3,9,l2,l5jyAfiB={3,6,9}. DEFINICIÓN Se llama conjunto universal a aquel que contiene todos los elementos que interesan en tttta situación determinada. Se denota usualmente por U. SiA = {l, 2, 3. 4},B = {4, 6, 8},C` = {8, ll, l4} y A,B1rCcompren den el conjunto universal U, entonces U = {l, 2, 3, 4, ti, 8, ll, l4¦. EÍGPCÍCÍOS 1.5 Sean A y B dos conjuntos. . íí . . =so n~oa~e.n. .n;o Si Si Si Si Si Si Si Si Si tt E A, ¿debe ser entonces rr elemento de A LJ B? rr e. A, ¿debe ser entonces rr elemento de A Fl B? rr E A U B, ¿debe ser entonces n elemento de A '? tt E A U B, ¿debe ser entonces tt elemettto de B? of E A U B, ¿debe ser entonces rr elemento de A Ft B? rr G A O B, ¿debe ser entonces af elemento de A? a E A F1 B. ¿debe ser entonces tr elemento de B? tt e A r`t B, ¿debe ser entonces u elemento de A U B? A GC B y cr E A, ¿debe ser rr elemento de B? A (Z B jr rr C A U B, ¿dchc ser ct elemento de A ? A tí B y tr E A F1 B, ¿debe ser rr elemento de A? Sean A = ll, 2, 3, 4, Sl. B = {2, 4, tij. (Í = {6, 7, 3} ¿tf D = {5, 7, ill. Enumere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes: 12. 16. 20. 24. AUB BUD AUD BU@ I3, I7. 21. 25. AUC' CLJD BÑC DU@ 14. 18. 22. Dados A = {n|0«=: rr < 9,nEN}, B = AUD A HB BÑD IS. 19. 23. BUC A (WC Cl"lD {3rt lll) si n < 6, ne lfl/} y C = {2n + l|0 <: n =: 6, n e N}, encuentre cada uno de los siguientes conjuntos: Repaso del Capitulo 1 26. 29. AUB AFIB 27. 30. AUC' Al"lC.` 28 31 BUC BNC Entnnere los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes 32. 34. {2.r I .It E Nj Fl {3.r I .tr E Nj {3.t' | .r E. Wi Pl {5.r I .tr E W} 33. 35. {2.t' | .r E Wj H {5x I tr E W) {2x | .tr E W} Fl {7x I r E W} Determine el conjunto universal U para cada uno de los ejcructtis siguientes, st los con juntos dados comprenden U: 36. 37. 33. 39. 40. 41. = {l.2.3, l .5}, B: = {l,3,5,7,9}. B = I"'I*“' = {l,5.9, 13. iïj. B = !"“*!“* li " §3'~t.›.›G~ =MJo M t;'={3.e ¡I "_l.¡I IW L 'Jn 3=›3=›¦t› C B: bib ¡__ í Í Í' |rÚ"I¬¬| Fi lr É il _lIt t ot. . í í Ii É ¦. n I' |I"|'_ nna= si Ji`¬'* P x ':"*UUtn Ño7"'Zn l':YI"' Fi rs*= 1 ""`.t,. .3 _' __'' | |_|r' 1 .' . 22 uxn 1'`' ._ _. urf' 1'ÍÉ; ›ot _t9`. _f__j ' . __ 'lfl la l Repaso del Capítulo 1 Determine cuales dc las relaciones. C. (I . = . son vtilidas ntre los conjuntos 1. A {rr,h,t',rI}, B = jrƒ, ej, (Í ¬ ln, b, c'j,D = Io', t tt y L = {r, 11, ¿tj (Com af A con B, A con C, A con ¿J jr A con 1;', luego compare B con C B con D jr asi sucest vtttncnle.) Etttltttere los elementos dc cada uno de los siguientes conjuntos 2. 4. 6 (t|t .' .'=3n+2.nE .Wi {5n IinEN} {.r+2|3<í.r =Il0,.rEN} 3. 5. 7. {.›:|.t'=6n ln {4n 3|n {.r 4|5<Zt äl3t Sean A 5' B dos conjuntos. Si 3 tï tr y A C B, ¿debe ser 3 elemento de B? Si tt E .4 1.' B C A, ¿dche ser rr elemento de B? Si 2 C A jr 2 fi B, ¿debe ser A = B? Si 5 et A U B, ¿debe ser 5 elemento de B U A? Si a E A Pt B, ¿tlcbc ser rr clentettto de B Ft A? Si b C A 1 ' ¿J C B, ¿debe ser I; elemento de A fl B 7 SÍHIUH A, ¿debe ser B sulaconjunto de A? SÍ. ill JH A, ¿debe ser A subconjunto de B? SÍ. IÑB B, ¿debe ser B subconjunto de A? ,ts 3 ca B, ¿debe ser A subconjunto de B? _ . __ Â' É GEILT ›tÚ."'¦;¡ :ge .í _¿_ Dados A = {n, ti, e, dl, B = {rr, c. el, C' = jo, rifl y D = {e,f gl enumere elementos de los conjuntos siguientes: s 5 . › _;. ›.¿ _ I. I '_Ì'? 'l iv | _ .›JI J. f'_Bsfi=,.f_fe,:f . L _ ¡ ' ,¬. ., ¬~ ,l _... ' , . II.. _ L», en _.r . _ t=Br;er;'e,'t¿ II ||1 ; I .lr F 1' II I '| |›' ' ll I | L | | _'r||| | ¡||. | _ _ ¿tt t.. JI _' ,I | ,_ ._ I I r '_| . | ¬.¡ 1 CAPÍTULO 2 Desarrollo del coniunto de los numeros reales 2.1 El COHÍUHÉO U9 IOS 9l'll'9I`0S HO FIQQBÉIVOS 2.2 El COFUUHÉO G9 IOS GHÉEFOS 2.5 El conjunto de los números racionales 2.4 Números irracionales y reales 2.5 valor absotuto de números reales 2 * DESIRRÓILÓ DEI. CONJUNTO DE LOS NÍIIIEROS QEÂLES Este capitulo se ocupa del desarrollo del sistema de los números reales. Se presentan propiedades y leyes de los números para proporcionar las herramientas básicas necesa rias con objeto de entender ciertos conceptos algebraicos. Para realizar lo anterior, se ntiliitan letras del alfabeto, llamadas números literales, en vez de números especificos. Las operaciones basicas con los números son la suma o adición, multiplicación, sustracción o resta jr tlivisitin. Estas cuatro operaciones se denominan operaciones bi narias puesto que están definidas para operar solo en dos números a la ver.. Los simbolos que se usan para indicar dichas operaciones son + o >< : llamado llamado llamado llamado más, para indicar la suma por, para indicar la rnttltiplicacitin menos, para indicar la resta entre o dividido por para indicar la división EI COHÍIIIIÍO CIE IOS BIIÚGFOS I10 IIEQBÉIVOS lil conjunto de los enteros no negativos li” {0. l. 2, 3, , . . } se itwentti a partir dc la necesidad de contar. Lil analisis de las operaciones btisicas en este conjunto mostrará la necesidad de ampliarlo al tie los nr'tmcros reales. Suma CIE €I'|f9I'Ó$ IIÓ IIGQHIIIVÓS Para dos enteros no neg.atis'os cualestjuiera n gr Ii existe utt entero no ttcgatitfo tinico llamado su suma. I.a sutna dc tr 1. ' lt se denota por tt + IJ. La suma de do . enteros no ttcgatisos tt y fr puede represetttarse en una recta nume rica. Partiendo del origen 3' motiéndose tr ttnitladcs tt la derecha, se llega a la gráfica del tnìmero rr, Desde este punto se recorren luego h unidades en la misnta dirección. Esto et.intlueirti a un punto que cstti a n + ri unitlatlcs del origen. La coordenatla de la! punto es la stttna de los tttitntcros tr 1.' JJ (l¬ìgttra .?.. ll. 1 tttt|tl.itleH | II tt:¦|tl;t¬ .I .rs ïnnïw unnnrï 1 I HI il 'r:úIusu\§I I I I H n n+h ì_ FIGURA 2.1 Las sigttietttcs son leg. cs dc la sutna dc enteros no nc¿t_ati~.fos. LEY CÓNMUTRTIVÃ DE U¡ SUMA ,_ , , _ _ _ _ . _, __ , l ata dos numeros cualcstjutcta tt, ¡J t. lflf. trtb bs tr. 2.1 Eloonluntodolosentenosnoneøaflvos 17 5 + 7 = 7 + 5. Nfltã _ __ _ _ En ocasiones se utilizan parentesas ( ) para agrupar los números. LEY Para tres números cualesquiera a, b. c E W, a+(b+c)=(a+b)+c 7 + (3 + 14) = (7 + 3) + 14. ELEIIENTD IDENTIDAD ¡MRA ¿A slmm _ _ _ _ Existe un numero unico 0, llamado elemento identidad aditivo, tal que para cualquier a E W. a+O=0+a=a. 8 + 0 = (J + 8 = 8. Nflfã Obien _ _ _ _ _ Si bien la suma es una operación bmana, se puede extender para obtener la suma de tres o más números sumando los dos primeros y luego cada número sucesivo al resultado de la suma anterior. 8+6+lI=(8+6)+lI=l4+l1=25_ 8+6+ll=8+(6+ll)=8+l'¡=25. Multiplicacron de enteros no negativos III' DEFINICIÓN El producto de dos enteros no negativos a y b se define como el entero no negativo a ' b que representa la suma b + I; + b + + b atérminosigualcs H Ú Los números o y b se llaman factores del producto. 2 1 DE$IlIDLlDÉ.DDH.llIITDDElD$I'ïD$Il'EIlE$ 3 * 4 = 4 + 4 + 4 "w'flpucAc¡Ó~ POR “Ro 3 términos iguales a 4 to 3 veces 4). Para cualquier a E W, a 0=0+(l+t]+ avecesü. Por consiguiente a +0 O = O. 6'0=0 El producto de dos números especificos tales como 5 y 3 se denota por 5 ' 3. 5 :>< 3. 5(3) ó (5)(3)_ El producto de un número especifico y uno literal tales como 3 y a se de nota por 3 ' o, 3 >< e, 3( sr). (3)(a), o simplemente 3a. Cuando se multiplican un núme ro especifico y uno literal, se escribe el especifico como primer factor, es decir, se escri be 3a y no a3. El producto de dos números literales tales como a y b se denota por a ' b, a x b, o(b), (o)(b), o simplemente ab. Las siguientes son leyes de la multiplicación de ente ros no negativos: |.EY CÚNHUTÃTÍVÃ DE LA _ _ Para (105 UUHICTÚS CUHIESQUIETH ti', É?, E W, ab = ba. 5 X 6 = 6 X 5. DE LA Para tres números cualesquiera a, b, e G W, atbe) = (ab)c_ 5 >< (8 >< 7) = (5 ><: 8) .X 7. ELEMENTO IDENTIDÃD PH LA EKÍSIE l.¡I'l HÚITIEFG ÚIIÍCD l, dülìümiflfldü idén tico rnultiplicativo, tal que para cualquier a E W. u><l=l><o=a_ 9: <:1=l><9=9_ 2.1 BCOIÚIIIÉOGQIDIII' IllII'II¦lìOlII¶3flV'tl$ DE LALEHYUL !"PIuchrågfi SOBRE LA SUMA l. 4(fl+b)=4a+4b 2. 6(a+7)=6 a+6><7 19 Para tres números cualesquiera tr, b. c E W, (b+c)a=a(b+c)=ab+ac_ =6a+42 3. (a+5)b=ab+5b “ata Si bien la multiplicación es una operación bi naria, se puede extender para obtener el pro ducto de tres o mas números como se hizo para la suma. 6><5><3=(6><5)><3=30><3=90 Obien 6><5x3=o›<(5:›<3)=6><l5=90 Ndta Cuando una expresión contiene sumas y mul tiplicaciones sin simbolos de agrupación, como los paréntesis. se efectúan las multipli caciones antes que las sumas. l.7><8+2=56+2=58 2.4+6><l2=4+72=76 3.5x7+3x8=35+24=59 Nota Cuando una expresión contiene símbolos de agrupación con solamente números especifi cos dentro de ellos, es más fácil realizar pri mero las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. 2 naaeeouonawmunromtosnúlmoslenms l. 7(3+8)+9=7(ll)+9=7'?+9=86 2. 6+5(3+4)=6+5{7)=6+35=4l 3. 3(4 + 2) + 5(6 +3) = 3(6) + 5(l4) = IB + 70= 33 Ejercicios 2.1 Efectúe las operaciones indicadas: l. 4. 7. I0. 5» <(4><7)= I ' if 50 x (2 :›< 28); if Í (2 x 8) x 5 's É" 9 x 2 x 4 _~; J 16. |2(l3)(5):: I9. |l(8)(0)(23) if' 13. 7(4›(2) __ 22. ls ›< 4ì+ s 1_<:=f.{¢› 25. 8 x 7 + 5 2 2155 28. 15(3) + 9 1514 Jl. 17(2) + llI'_¿'i`§ 34. 8 + 6 x 2=›ï0 37. IU + 5 x 41 9 Mi 40. 5 + 3(7) = .?.¿' 2. 5. s. 11. 14. 11. zo. za. 26 . 4><(f›><3)f F Zr _ 3 >< (7 :K 2)I " L5 (7 X 6) >< 3 '1¿_fj_.. (5 >< 9) >< 4=AE.U Qtlail (3 ›< 4) x 25:' :Im 9. 2 zx 3 x 5 ' 311.» s›<4><s= ffs 12. ll ›< 5 x 6 1 ?= se 10(3}(s)' 2% ls. 9(15)(2) = 2 9@ 25 ›< 9 ›< 4 >< sfsac ta. 16 x 7 x 5 x 8 1* litlåfi ssusitmtoizc 21. l9(0)t2l )(87) :_ G tz x s3_+ 7 esta 24. \3 x 4`\+ 101.1 so 6 x 1 0)+ 2 _". LJ. 27. (13 ›< 9\+ 1 = MQ 29. 7(l2) + 3 lI= te 30. 20(3) + 12 1;?, 32. 33. 13(7) + 3 ~= ¿M 14(8) + 7:.l¡ Cl ss. 3 +(7 ›< si :ee ss. 38. 6 + 9 x 4; :ff if 39. 41. 44. 7 + Biol 'Í Ce 20 + 5(8);. $0 42. 45. 9 + 3(9)_ 3@ 5 +í4 >< 3i ti? s + 12 >< s)=z,§ 17 + |3(1e)† lili 43. 7 + l3t4)':J=j;†1 46. 5(3 + 9)*:(¢x,`¡ 47. 2t2e + 511 5” 43. s(|2 + 41 .=.iz›E 49. l2(5 + ó) 1 ¿'91 50. l3(7 + 0) =' 44 Sl. l9(U + 6) ' 'JIM 6(8 + 7) + l5:_1*_sf;`} l2(4 + 9) + 21.15€ 54. 57. 20(2 + 7) + 1 '_;t¿?I 55. 9(6 + 3) + 7 ' ' 53. 56. 59. 9 l l(3+6): 2,3 60. 7 + 3(8 + 71:5 7.. 62. l2+3(5+3):$ic›~ te + nz + 9) :W (7 x 5i+(5 rx 3\=5e (3 x 8\~i is ›< 431 ¿W sz. «ne + 2; + sf H" 58. 61. 4 + 2(3 + 4) .† C"'¬:›0 ¬ lt _ 5 + 5(l0 + 12121111 64. 3 x s\+(2 x 5) _ cg ss _ 67. 6 rx l2i+(8 x 9f_±_,ii¡ti ss. 4 s; 5* +15 ›< sì+(zo1 :so 71. (5 x SL (2 >< lt)+ 4 295 73. 3(7+2)+o(4+ l):5i 75. I5(7 + 3) + 8(6 + 9) _ ..?§H) 77. 4(6 + 24) + 0(l7 + 25) '_;l9 G* 63 23(3 + 2) + 5 :f 20 (2 ›< 7\+(4 ›< s\+ 2; _ _ .(3 ›<s}+E4><9\ii t Ir *` i6`«nIID . 'L. (ox 9+ ll x4+ lo ' Ulf 5(l1+ 4) + l2(6 + 4); 540 130 + 2) + ou: + si; ¡'59 3412+ is;+2u3+7).: is@ I 79. 2(n + lifsmiz 80. Sta + 6) mi + 3);.4a no sz. eta + 2) = '~lfUl 83. atb + 3);tti›t¶rL84. atb + 1) atb + 5):nt;{›5'186. e(b + lO) ab t IW' ' 87. 3(2a + l)=í:t_t5 88. 4(3a + 5) 91. 2(a + 2b)1¡¡.|q( _, 92. 3(2a + b) 1e(2a + sminso. me + s›2,la†=S`&f 6(2a + 3b) IZQ t| _1,g_l¿, 94. 5(3n + 4b)151 +2@ 2.2 Ei GOIIII mtb de los enteros 21 sustracción de enteros no negativos De la suma de enteros no negativos se tiene 4 + 2 = 6. Esto es, 2 es el número que sumado con 4 da por resultado 6. El número 2 también se llama diferencia entre ti v 4. En simbolos se escribe 6 4 = 2. Del mismo modo, puesto que 7 + 12 = 19, se tiene 19 7 = 12. La operación designada por el simboio , leido “menos”, se denomina sustracción o resta. Considérese ahora la diferencia que hay entre los enteros no negativos 4 y 9. No hay ningún número a E W tal que 9 + a = 4. Para tener un conjunto en el que exista el número a, se extiende el conjunto de los enteros no negativos agregando los enteros negativos, 1, 2, 3, _ _ __ El conjunto de los enteros DEFINICIÓN La unión del conjunto de los enteros negati vos y de los enteros no negativos constituye el conjunto de los enteros, que se denota por I: 1:.{..., 3, 2, 1,0,1,2,a,.._|. Cuando se juega a las cartas, es posible representar por + $10 una ganancia de $10, mientras que una pérdida de $8 se puede representar por $8. Cierta posición de 1000 metros sobre el nivel del mar puede denotarse por +1000 metros, mientras que una de 50 metros bajo dicho nivel, se puede denotar por 50 metros. A partir de estos dos ejemplos se ve que es posible emplear los signos + y para indicar dos direcciones opuestas. Puesto que los enteros positivos se sitúan a la derecha del origen en la recta numeri ca, los negativos deben ubicarse a la izquierda del origen. De esta manera las graficas del conjunto de los enteros negativos constituyen puntos a la izquierda del cero. En general, los enteros a y tt son coordenadas de puntos situados en lados opuestos con respecto al origen y equidistantes de él (Figura 2.2). 'I%ifi_|i¡I¡ D I ¦<n ¬'¬ H ¦ 3 2 1 o 1 2 1 4 FIGURA 2.2 Obsérvese que al hacer un recorrido hacia la derecha sobre la recta numérica, los números aumentan de valor y al hacerlo hacia la izquierda, disminuyen éste. 2 oanuottonaconnnroostosmnnosmtts Por ejemplo, 2 <: l, 3 < 0, 1 > 3, l .> 2. La dirección positiva es hacia la derecha, mientras que la negativa es hacia la izquierda Suma de números enteros Para sumar dos enteros negativos ( rr) y ( b) en la recta numérica, se empieza en el origen. (Figura 2.3). ti unidades u unidades || I t I (o+ bi “ii 0 íi í» FIGURA 2.3 Se recorren a unidades en la dirección negativa, hacia la izquierda del cero, y se llega a la gráfica del entero negativo ( a). A partir de este punto, se recorren b unida des en la misma dirección y se alcanza asi el punto que está a a + b unidades a la iz quierda del cero. La coordenada de este punto es to + b) e igual a la suma de los enteros negativos ( o) y ( bj. Observación La suma de dos enteros negativos cualesquie ra, existe y es un entero negativo. Sumar 4 y 3 en la recta numérica. SOLUCIÓN En la Figura 2_4, se recorren 4 unidades en la dirección negativa partien do del origen y, luego, 3 en la misma dirección. De esta manera se llega al punto cuya coordenada es 7. Por consiguiente ( 4) + ( 3) = 7. 3 unidades 4 unidades || I I ¿ió 'I 6 5 4 3 2 I « l 0 FIGURA 2.4 Nota TEOIEIIA ( 4) + ( 3) = 7 = Si o, b E N, entonces ( n) + ( b) = to + b). (4 + 3). 2.2 Etcolthntodolosettturos 23 ( 5) + ( 8) = (5 + 8) = 13. Para sumar un entero positivo o y uno negativo o, esto es, con el fin de encontrar o + ( b), se empieza en el origen (Figura 2.5). Se recorren o unidades en la dirección positiva y se alcanza la gráfica del número o. A partir de este punto, se recorren b uni dades en la dirección negativa y se llega asi al punto cuya coordenada es a + ( b). H ¦ 1 I ¬'›" I | ¿ Ú ii» U+i Iii ¿I FIGURA 2.5 WE Calcular 8 + ( 6) en la recta numérica. SOLUCIÓN En la Figura 2.6, partiendo del origen, se recorren 8 unidades en la direc ción positiva y se alcanza la grafica del número + 8. A partir de este punto, se recorren 6 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es + 2. Por consiguiente, 8 + ( 6) = 2. ||+3 ¦ I . 0 2 | | 6 4 I 6 3 FIGURA 2.6 Calcular 5 + ( 5) en la recta numérica. SDLUCIÓN En la Figura 2.7, se empieza en el origen v se recorren 5 unidades en la dirección positiva para alcanzar el punto cuya coordenada es + 5. A partir de este pun to, se recorren S unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es 0. Por lo tanto, 5 + ( 5) = 0. 1 +5 I | S i I | I I 0 FIGURA 2.7 1 2 3 4 s 2 orsntntouottawnamrooetosmhtmosnutes Calcular 2 + ( 9) en la recta numérica. SOLUCIÓN En la Figura 2.8, partiendo del origen, se recorren 2 unidades en la direc ción positiva y se alcanza el punto cuya coordenada es 2. A partir de este punto, se recorren 9 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es 7. Por consiguiente, 2 + ( 9) = 7. te + t.› (1 .I 5 4 3 2'. I 0 l 2 FIGURA 2.8 El mismo resultado puede obtenerse si se recorre primero en la dirección negativa (Fi gura 2.9). Empezando en el origen se recorren 9 unidades en dicha direccion y se alcan aa el punto cuya coordenada es 9. A partir de este punto, se recorren 2 unidades en la dirección positiva y se llega al punto cuya coordenada es 7. Por lo tanto, ( 9) + 2 = 7. __ i) I I l +2 I dit 9 8 I 1 lo : + 'I 6 S 4 i 2 l G FIGURA 2.9 "fm | a + ( ei = ( .tn + H. EÍBÍCÍCÍOS 2.2A Calcule gráficamente las sumas siguientes: + I' 'tt _l)+(._._ S ( 3)+( 5) 6+( 3) WI ft . 10 + ( 6) 2 + ( 10) 4+( 4) ( 2 )+6 ( 3) +7 IU t ( 6)+( 3) 6) ( 2) _g) _7) """ .« ._ ¬ )+ l2 5 )+2 ¿__ ( 3 )+ 2 Br ¡lluPl Fl!tn“FnZ~_':“¦ ot ¬_iu~›t= ++++ La I hi ll 14 17 20 23 . I 'l 3. ( 2) 1 ( 2) 6. 8+( 5) 9. 12. 15 18 21 24 Ó II II 4 + ( 7 6 + ( 12) 3) + 10 l)+8 I' "ti fl_" . "_'Ii. I'_I. |t))+1O 15)+20+( | 2.2 HCOIIIIDÍOOCIOSEITÍBÍOS 25 sustracción o resta de números enteros oermtctón _Si la suma de dos numeros _ _ es cero, se dice que los números son inversos aditivos. Para cada número o E I existe un número único ( rr) en I tal que o + ( tt) = 0. Por consiguiente, los números o 3* ( o) son inversos aditivos. El número ( a) se denomina algunas veces el negativo del número tr. Observación El negativo del número (tr) es (rr) o simple mente nf. mi 1. ( 5) es el inverso aditivo de 5; 5 + ( 5) = 0. 2. 8 es el inverso aditivo de ( 8): ( 8) + 8 = 0. TEOREIIA 'I Si rr E N, entonces ( a) = tr. DEIIOSTRACION Se hizo notar antes que no solamente es ( u) el inverso aditivo de rr, sino que también rr lo es de ( nf). Puesto que ( tr) + [ ( o)] = 0, ( o) es el inverso aditivo de ( o). De esta manera ( rr) 3* o son inversos aditivos de ( rr). Puesto que los inversos aditivos son únicos, ( cr) = o. ( 10) = IO. °EF'""7'Ú" si a, e c ¡_ entonces a s = tv + ( bt; e sea, sustraer o restar b de tr es igual a sumar el inverso aditivo de b al número o. +( 4) = TEOREIIA 4. Si d, b G N, entonces ( o) + b = a' + b = (tr b). 2 I DESIRROLI ODE.COI.IlHTODEI.O$HII$D5REAI.B "ata a b=o+( b)=( b)+o= b+o. Observación Cuando a es numéricamente menor que b y se tiene tr + b, se escribe como + b o y luego se efectúa ia operación. 7 +19 = +19 7 = 12. Cuando n es numerieamente mayor que b y se tiene tr + b, se escribe en la forma (e b) y luego se realiza la operación lÚ+3= (10 8)= 2. 1. ( 8)+6= 8 +6 2. 5 3= 3 l 5 " (3 6)” '(2)' 2 " (3 5)* 3.10 ( 6)=l()+6=l6 NOM d b = ( rr) + ( b) = (d + b). 9 13 = ( 9) + ( 13) = (9 + 13) = Ndfã Si n > b, entonces o 365 294 = 71. b 2: 0. Si a = b, entonces o 259 259 = 0. b = 0. Si n <: b, entonces o b : 0. 2641 14023 22. 5473 = = = 5473 + 2641 (5473 2641) 2832. Sio,be¡ya=#b,entoncesn bath a 7 5 = 2 mientrasque 5 7 = 2. 2.2 Bconimtiodolosanceros I. 7 l5= U' (7+ l5)= 22 2.3 3+( 7) ( 6)=3 3 7+6=3+6 3 7 =(8+6) (3 I 7) =l4 lO=4 3. l0+(4 l2)=l0+( 8)=lO 8=2 4.7 I (2 l5)=7'+( l3)= l3+7= (13 7)= 6 5. IT i (6 l4)= l7+( 8)= 17 8 = 6. 6 ( 4+8)=6 [4)=6 4=2 7. l2 (3 l0)=l2 ( 7) =l2+7=l9 (17 l S)= 25 1. Restar (5) de (7). (7) (5) =7 5=2 2. Restar (IO) de (3). (3) (l0)=3 l0= l0+3 = (10 3)= 7 3. Restar ( 5) de (7). (7) ( 5)=7+5=l2 4. Restar (5) de ( 7). ( 7) (5)= 7 5= (7+5)= 12 5. Rcstar ( 5) de ( 7). ( 7) ( 5)= 7+5= (7 5)= 2 6. Restar ( 15) de ( 9). ( 9) ( l5)= 9+ l5= 15 9=6 Ejercicios 2.23 Obtenga los valores de las siguientes expresiones: 3)+( 6) 9)+( I) + 3) «n_n |_I " "' f" tf 1I'I" I +( ll) ¡Iii í 9249?' 2. 5. 3.. ll. ( 5)+( 3) ( l2)+( 7) 20 + ( 14) 22+( 19) ( 4)+( 10) l5)+( 3) 25 + ( 13) l3+( 16) .ilïh Í PFP? 2 omnenouooetcomtntrooetosntinmoseentes 12) 13 20) 16. FOo 19. ___ U'I++ + _ ¬_ I 22. 12 4 25 4 74 8 28 _ [2 l6+2 31 _4 9 6 7+ll 8 34 _ 37 .17+(4 10) 40 _ l5+(l4 22) 43 _9+(6 25) 4+( |5+2) 46 _ 49 .S (6 4) 52 _ 17 (16 7) 10 (6 IS) 55 S8 2 (l3 2l) 61 _ 64 _ 67 69 71 _ 73 _ 75 _ 77 2 ( 4 10) ts ( e+2) (8)+( 201 ( 14. 17. 20_ 23. 26. 29 32 35 33 41 44 47 50 53 56 S9 62 65 (9) + ( 8) ( 4) ( 13)+( 7) (20) ( 7) (14)+( 0I¦ l" J" IU"\ 6 (7 9)+(3 1 l ) 9+(10 16) (7 15) 5 + ( 10) 12 +( 15) 6 15 Í 20+t3 ll 4+6 16 27+5 12 21 9 l7+6 4 8+(l2 16) 6 1 (8 20) 4+(2l 34) 3+ ( 13 i 8) 10 (3 6) 8 (15 7) 13 (9 l6) l2 ( 2 3) 5" 18. 21. 24. 27_ 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. Sl. 54. 57. 60. 63. 66. 11) ze) te ++un 2 7 zo +1s is ss +19 4 13 14 22 + 33 ts zo+(1 12) 11+(2 11) 1e+( to+4) s+ (9 23) (zo 12) (io 4) (10 is) I'* JND _ ._ »_ I 'É' Lú ' I FI¦I\' I ( 8 14 ( 11 + si 15 ( 3 +9) ze ( e+14) 68. l0+( 2) ( ts) (zo) 6 ( ó 13) 70. 72. 74. l2+( t'›) (10) ( 3) 18 ( 9)+ ( 8) (6) tl +( 4) ( 16) (30) 3 m tu ut n rs. 6 (12 20) (23 9) 76. Efectúe la suma de cada una de las siguientes parejas de números: 79 81 33. 85 87 354 y 73 215 y 370 280 y 573 735 v 216 164 y 253 80. 82. 84. 86. 38. 792 y 439 428 y 853 217 y 306 827 y 359 628 y 513 En los ejercicios siguientes reste el primer número del segundo: 89. 91. 93. 95. 97. 99. 101. 103. 105. IO de 13 20 de 12 8 de 6 4 de 15 2 de 9 lt) de 7 14 de 25 30 de 18 164 de 238 107. 891 de 274 l09_ 274 de 642 lll. 632 de 315 113. 115. 117. 119. 138 de 264 849 de 372 249 de 764 774 de 568 2) 90. 92. 94. 96. 98. 100. 102. 104. 106. 108. 110. 112. 114. 116. 118. 120. 8 de 17 19 de 14 9 de 2 3 de 8 ll de 22 13 de 6 23 de 42 25 de 4 207 de 529 712 de S36 298 de 423 923 de 487 241 de 570 504 de 263 391 de 473 S62 de 474 2.2 EIOOIÚIIIICOOOIOSDIICOIDS 29 Multiplicación de números enteros La multiplicación de enteros positivos es la misma que la de los números naturales. Se requiere solamente definir el producto de un entero positivo y uno negflivo y el de dos enteros negativos. TEOREIIA Si rr, b E N, entonces et b) = (ob). Es decir, el producto de un entero positivo y uno negativo es un entero negativo_ 3( 4) = (3 :>< 4) = 12. TEOREHA Si rr, b E N, entonces ( o)( h) = oh. DEMOSTRACION ( a)( b) = l (e)l( b) = l(e)( b)l = I (eb)l = ob 0 sea, el producto de dos enteros negativos es uno positivo. mi 1. 2. mui' íí_ ( 6)( 9) = 6 X 9 = .'54 s›<4.><3=[ 5x41(3› = t 20)(3) = 60 3 'it 8)(6) = l7( Siltó) = ( Seite) = 336 4. 2( 9)(l0) = [ 2( 9)i(i()) = (lB)(l0) = ISO 5. 3( 4)( 8) = 1 3( 4)l( 8) = (t2)( si = se NDCQ __ _ Cuando una expresion contiene sumas, restas v multiplicaciones sin simbolos de agrupación, se efectúan estas últimas antes que las sumas y restas. 2 oesnneouooctcorwnronrtosnúttmositutes 1. 4( 8)+7= 32 i 7= 2. 10 10 _ lfi( 4)] 6( 4) 25 10 ( 24)=l0+24=34 3. 40 42 + 108 (40 + 42) + 108 32 + 103 = 26 5 >< 8 + 7( 6) 12( 9) NOC8 I. 2. 12(3 12( 6) 10 72 10 = 10 9) ó(4 7)+2 12 + 4( 9) 12 13 3(3 5. 15 6. 20( 4 7. 13 13 6) 7(2 3(o + 2b 36 = 24 3(2) e=1 15 7( 9) 15 + 63 = 73 ll) 1) 82 6( 3)+2 13 i 2=20 3. l2+4(3 12) 4. __ _ _ Cuando una expresion contiene simbolos de agrupación con solamente números especifi cos en su interior, es más fácil realizar prime ro las operaciones incluidas en dichos simbolos. 13( 3 +2) 5) = 20( 5) i3( 6) 100 + 78 = 22 3( 4) + ( 3)(2b) + ( 3)( 5) 3o ób +15 4 2.2 flcottlllncodetosenteros Ejercicios 2.26 Encuentre los valores de las siguientes expresiones I. 4. 7. lt). 13. 16. 19. 22. 25. 28. 31. 34. 37. 40. 43. 46. 49. 52. S5. 5( 6) 4(12) 8(5)(6) 6( 3){9) 9(7)( 2) 2(4)( 3) 4( 5)t 8) 5 x 7 2 20 >< 3 3 7 + 3 4 csrsiw XXX oesci 3 19 9 zx 4 20 + 5 tx 12 le 4 >< 3 18 12 >< 7 13(5 7) 7(8 23) 23(ó 4) 2_ S. 8. ll. 14. 17. 20. 23. 26. 29_ 32. 35. 38. 41. 44. 47. S0. 3( 9) 15( 4) 13t3)(4) 5( 4)(0) 12(3)( 1) 8(3)( 2) 4( ó)( 10) 11 :›< 10 9 17 >< 4 14 )()('l.i›.lL.i 'I + te.i te 23 17 + 2 x 8 12 8 x 6 l5(7 3) 2()(8 ~ 12) 53. 1()(3 + 2) unen to 1 4i óI_ 64. 67. 70. 15( 7 + 7) 10 8(5 + 2) 12 5(7 10) 18 8(6 15) 56. ó(15 ll) 59. 7(5 21) 62. 30( 17 + 17) 65. 8 4(3 2) 68. 9 3(8 ll) 71. 16 9(7 14) 73. 9(1i 74. S8. i4(l2 5) 15) ló 4(3 77. 5(1 76. ó(4 13) 7 79. 20 ( 18)+8( 2) B1. 12 2><8+2 ( 9) 83. 9 >< 7 6x10 7( 4) 85. 8 + 2( 4) 6(7 8) 87. 8 >< 12 5( 4)+7(2 10) 89. 4 6(t() 8)+6(4 15) 91. 3 3( 2 5)+3( 3+7) 93. 2( 2 6) 7 1 4(3 1) 95. 9( 8+6) t 9 4('7 3) 97. 6 X 7( 1) 3 X 8( 2) 99. 3( 2)( 3)+7( 4)( 3) 17) 8 3. 7(8) 6. 6( 7) 9. 7( 2)(3) 12. 9(0)( 6) 15. l7(4)( I) 18. 21. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. Sl. 54. 57. 60. 63. 66. 69. 72. 75. 78. ó( 5)( 7) 2( l2)( 3) 6 x 12 7 2 >< 6 + 4 8 >< ll + 9 2 x 17 2 15 6 x 5 6 + 4 >< 13 11 + 6 x 9 13 7 zx 5 9(2() 6) Btó 9) 8(9 + 3) 11(8 3) 12(l5 18) 7 ó(4 + 3) 13 7(8 5) 20 10(2) 7) ó(8 10) 9 2(7 12) 7(ó lo) 9) 80. 82. 19 3 x' 4 + 5( 2) 6 3( 8) 6( 7)+( 20) 34. l1><3+3( 4) 2( 13) 9( 3) l2( 5) 13(4 9( 4) 6( 6) 7(3 3) _ 3+2( 2 3) 'i(1 5) _ 5 10(8 6) 3(2 17) _ ó( 3 7)+3 8(3 5) _ 7(3 10) 12+2(ll 6) _ 7( 4)(s) 9 >< s( 2) šssassas 6(9)( 5) 10( 7)( 6) Efectúc las multiplicacioncs indicadas: 101. 104. 107. 110. 113. 4(d 2) 5(3d 4) 12(3) ri) B(3b 6) 2(3d b I) 102. 105. 103. lll. 114. 3(b 2(a 7(a 2(a 9(o 5) + 6) 8) b 4) + b 1) 103. 8(2a 106. 109. 6(o + 7) 2(4 So) 112. 3(2a 115. 3) 3(o b + 6) b 2) 2 DESARROLLODEIOOHJUNTODELOSIIÚIHBSREALB División de números enteros De la multiplicación se tiene 4 >< 6 = 24. Cuando el número 6 se multiplica por 4, el resultado es 24. Dicho número se llama cociente de 24 dividido por 4. En simbolos, escribimos 24 + 4 = 6, o bien = 6. El simbolo + se lee “entre” o “dividido por" y significa división. DEHMCIÓN Si rr, b. c E I con b 1* 0 y d = bc, enton CCS H b _ C_ Cuando 3; = c, el número o se denomina dividendo, b es el divisor y c o % se llama cociente. El cociente % también se denomina fracción: e es el numerador v b el deno minador de la fracción. A veces, nos referimos a rr y b como los términos de la fracción. ló l_ ï=8 yaque 2. 21 †_ ;¡ = 3 3. %= 9 4. _T“= s 2><8=ló puesto que ( 73(3) = 21 dado que ( (5)( 9) = 54 saque 3( s›= is NOÍB _ _ __ El cociente de dos ntimcros positivos o dos ne gativos es uno positivo. El cociente de un nú mero positivo dividido por uno negativo, o bien un número negativo entre uno positivo es un número negativo. Cuando una expresión contiene inultiplicaciones y divisiones sin simbolos de agrupa ción, se efectúan dichas operaciones en el orden que aparezcan. 2_2 Elfifilbïllfiflfldldiêflføfds 33 l_6><2+4=l2+4=3 2. 24( 3) : 9= 72 : 9= 8 3.48 s 8><2=ó>t2=l2 4.96 : ( (›)><8= 16><8= 128 5.104 : 13 1 2=8 2 2=4 Cuando una expresión contiene las cuatro operaciones aritméticas sin simbolos de agru pación, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparc; :can, antes de efectuar las sumas y restas. l. 36 I l2+6=3+6=9 2. l6+8 4=2 4= 2 3. 7+28+( 7)='i+( 4)=7 4=3 4. 27+9:›<3+2><8 8=3><3+16 8 =9+l6 3=25 8=l7 5. 32 : 4x'2 6 : 2+4= 8x2 3+4 = 16 3+4 = l9+4= 15 Si la expresión contiene simbolos de agrupación con solamente números especificos en su interior, primero se llevan a cabo las operaciones incluidas en dichos simbolos. 1. (21 .t nss+4(s v;=(z4)+s+4( 2) =3 s= 5 2. 72 i ( 8)x2 4+(6 4)=( 9)><2 4+(2) = 18 2 = 20 El cero y la división El producto de cero y cualquier número ri E I es cero. ()><5=0, O( 6)=0_ 2 I DESAIIOLLODELC OUJUITODELOSNÚIIHOSIEILES La división se define a partir de la multiplicación: É =4 porque 2›<4=8 Y % = 3 ya que at 3) = ts. _ _ 0 . . Constderese š ; se busca un numero a E I tal que 8 X o = 0. Este numero es el cero _ _ 4 _ Ahora bien. consideremos ~ò ; en este caso buscamos un numero o G I tal que 0 >< 4. H Tal número a no existe, puesto que 0 :›< tr = 0 para todo a 6 I. _ . . 0 . Constdérese por ultimo H; ahora se busca un numero b E 1 tal que 0 x ¡J = 0. Este enunciado es cierto para cualquier número b e I: 0) t4=Ú, 0( l2)=O 0) <0=0. Es decir. b no es un número único y un cociente debe serlo. Por consiguiente, para cualquier número u af 0 se tiene: 0 = U ¿J o Ó o U no está definido no es un número único, es indeterminado. observación Puesto que g no está definido cuando q = 0, todos los denominadores de las fracciones se supondrán diferentes a cero. Ejercicios 2.20 Obtenga el valor de cada una de ias siguientes expresiones: II O I U Itl i le ¢\t.H\¦›I.nH I 56 : 8 2. 24+( 6) 6. l6~r 8 10. 18 1 ( 9) 98 : { 14) 54 + 9 3. 48 I 16 4. 51 : 17 20 : ( 4) 7. 48+( 8) 8. 57 : ( 19) 35 e 7 ll. 36 +4 12. 52+ 13 14. 36+( 4) IS.. 63+( 7) 17. 2x8 +4 18.. 3x14 e 7 2.2 Elfiflfflllfllflflfllfiibifffifflfi 19. IO >< 6 + 22_ 25. 16 >< 9 : lo + 28. 20 + 31. ut › 6) I XX t _›ro 43 + s_n r= S}><3 22 +11 >=I( 4) 34. 37. 43 + 4 + 6 40_ 49 e 7 : 7 43. 36 6 + 6 46. 64 32 lo 49. 24 + ( 6) 52. 84 + ( 7) 55. 24 + 12 + 6 _8 ><5+l0 18 X 4 : ( 8) 28% _ 30 2 6><5 29. 18 2 ( 3):›<2 32. 32 fe ( 2)><:8 35. 38. 41. 44. 47 _ 50. 53 _ 56. 59. 62. 65. 68. 71. se 21. 24. 27. 30. 33. 24><4 : __3) 32>< 18 1 6 54 l5+ 3) lo : 72 Lg_.t ooooU|>< __. _7'iï be I. t><)<"'t.J"¬r"~ 54 : 9><{ 4) 96+ 3+3 3 6. 39. 40 8+2 24. 8 +4 42. o0+ l0+5 3 "H F' 45. i6 : 16 8 48. 72 1 9 1 98: I4 7 ¡Z Sl. 68 +( 17) 17 32 ( 4) 54. 12 i 9 5 3 6+ l2+4 57. 18 l2+6 i5+ 20+5 60. 56 I4 +7 27 18 e 9 58. 16 3 : 4 63. i4+7+( 7) i6+ 4+( 4) 61. 9 + 6 : ( 3) 66. i3+26+( 13) 9+ 9 : ( 9) 64. 18 + 12 2 ( 6) 69. 32 16 + ( 3) 20 10 + ( 5) 67. 12 6 + ( 3) 72. 55 33* ( ll) 42 28+{ 7) 24 1 ( 6) 70. 48 74. 28 +?+l5+5 73. 6 1 2+9+ 3 76. 6~: 2 24 : 8 75. 48 : lo 4><:2 78. 16 e ( 8)+20+4 77.15 2 ( 3)+B I 2 $0_ 20 : 4 Ó( 5) 79. 18 + ( 3) + l4( 2) 82. 3+2> (4 6 e 3><3 81. 9+3><2+7:›<8 3 84. 36+9><2 15 + 5><3 83 _ l2+4><3 8+4><2 86. 8›<6+ 5(3 7) 85. 27) :3+9+2(o 4) Kw I J 8(l2 7) 87 _ 24:›<5+l2 i0(6 3] 88. 64+ _ 2(7 55 Ch + (4 IO) 89_ 7+3(8 S) 4+( 2) _ 4+3( l2)+(6 34) I ( 7) 91. IS 2( 5) (20 4) 2 8 12) _ (5 2l)+( 8)+3(9 I) IOÍS 93. (26 + 2) : ( 4) .36 I ( 6)><6 6>~' 23 l 95. (4 l4)+( 2) 7(2 3) _ 2(}( 4) : IO o+(5 7) 97. 8+( 4):›<2 2><6 5 _ '?2 : ( l8)><4"(3 l2)+( 9) 99. l8+3> 16 '(7 35) : 14 1 Gn ! tt ¡_ F í _ šeaees Factorización de números nenutctón El conjunto de ios números primos consta de todo aquel número natural mayor que 1 que sea divisibic únicamente por él mismo y 1. Los números primos menores que 100 son 2_ 3_ 5, 7, ll, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37 41. 43. 47. 53. 59.. 61. 67, 71. 73, 79, 83, 39. 97. osrtmctóu Un número natural mayor que 1 se llama compuesto si no es primo. 2 I DE$_IEIfll_I_ODEI_CO#JUflTODEI.OSI|ÚIIHO$IEÃLE$ Todo número compuesto puede expresarse como un producto de primos en una y sola mente una forma, sin tener en cuenta el orden de los factores_ Este enunciado se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética. Las notas siguientes son útiles para factorizar un número compuesto en sus factores primos: NOÍ3 Un número es dieisible por 2 si termina en 0. 2, 4, 6, 8. El número 714 es elivisiblc por 2, ya que termina en 4, NOM _ _ _ _ _ Un numero es drrtstble por 3 st la suma de sus digitos es divisible por 3. E@ ist nútnem szs es diva. tinte por 3. cada que ta suma de un _ digitos es s + 2 + 8 = l5_ NOÍEI _ _ _ _ _ _ Un numero es titvtstble por 5 si termina en O o5_ EI número 930 es dìvisible por 5, puesto que termina en t)_ Para encontrar los factores primos de un número dado, se empieza con los números primos ett orden. Se verifica si ei número es tlivisibie por 2: si es asi, se divide por 2 y se obtiene ei cociente. Si este último también es divisiblc por 2, se divide nuevamente por la misma cantidad, 3' asi sucesivamente, hasta obtener un cociente que no sea divisi bie por 2. Luego se analiaa si el cociente es divisibie por 3. Citando se haya dividido por 3 todas las veces posibles, se verifica si el cocieme resultante es divisible por 5, 3; asi se continúa con los primos mayores sucesivos hasta que el cociente sea I. Todos ios divi sores obtenidos son los factores primos del número dado. wm Encontrar todos los factores primos de 780. SOLUCIÓN I 780 I 'Í n 390 195 65 + + + 13 + I I *"~.I'LúI*~JLH l¬~J 2.3 B conjunto de los números raclonates 37 Por lo tanto, los factores primos de 780 son 2, 2, 3, 5, 13. Estoes,'?8{ì = _' 1 2' 3 5 13. Nota Es posible concluir la prueba de divisibilidad de un número dado cuando se llega a uno pri mo tal, que al multipliearse por si mismo, da como resultado un producto mayor que el nú mero dado. I. 59 es primo y las únicas pruebas que se requieren son las de 2, 3, 5 y 7_ El número siguiente que hay que probar es ll, pero ll X ll = 121, que es mayor que 59. 2. En el caso de 1 19 se analizan 2. 3. 5, 7 y ll y se finaliza, ya que 13 xt 13 = 169. Ejercicios 2.25 Escriba ios números siguientes en terminos de sus factores primos. 1. 5. 9. 13. IT. 21. 25. 29. 33. 37. 41. 45. 12 24 36 44 50 64 73 96 131 157 225 396 2. 16 6. 26 10. 38 14. 45 18. 52 22. 63 261 30 30. 108 34. 137 _ 168 _ 252 _ 468 aaa 3. 18 7. 28 ll. 40 15. 46 19. 56 23. TU 27. 84 31. ll2 35_ 144 39. 176 43. 344 47. 504 4. B. 12. 16. 20. 24. 28. 32. _ _ _ seca 20 30 42 48 60 72 92 ll3 156 216 360 319 El conjunto de los números racionales Dados rr, b ef. I, li se O, el cociente no siempre existe en el conjunto de los enteros, por ejemplo cuando a = 2 y b = É*"'b et Esto pone de manifiesto la necesidad de ampliar el conjunto de los enteros. 2 › iiesmtottooacoruunroosiossúnaoseiaitas DEFINICIÓN Cuando el conjunto de los enteros se extien de para incluir todos los cocìenies de la for ma donde p, q E 1, q ri 0, se obtiene el conjunto de los números racionales, denota do por Q. Q={å p,qE!_q=›t=0} Observamos que 5 en Q es igual a o en ¡_ Del mismo modo gg en Q es igual a of I 2 en ¡_ De este hecho resulta que las representaciones fraccionales de los enteros no son únicas, lo cual coiiduee a la siguiente definición. DEFINICIÓN ff f' ._._t¿ .ƒ 5 si y solo Si q 3' É E Q, t.ntont_es Q si ps _ _ ._ _ qr_ _ ii De la definicioti se tiene que si ig 6 Q 1.* K et I, k si 0, entonces % = 1% _ ,z..Q tf1 '3_5(3) is ) __21 ,' ;t4 _ 1'›<:›* st) 12 __ nota _ Si 4 _ ¡J it Q, entonces ff oerimctoiv Las _ fracciones E _ rr R¿› t iH i ¡H Iii fi) B 3.' se llaman fƒ kr; nes equivalentes. ip fi _ fraccio Citando la fraccion % se escribe en la lòrina It 1 _ _ _ _ ¡á , se dice que esta en terminos mayores. I _ Si P la _lraccion _ _ RV kit se expresa en la forma _ _ É, donde p y q no tienen factores comunes, se considera que esta en términos mínimos, o reducida. 2.3 Erconiuntodelosnúmeresracionates 39 5 Escribir utia fraccion equivalente 7 con 42 como denominador. SOLUCIÓN Puesto que 42 = ( 6)?, se tiene que 5 l 61(5) 30 7 i aim L 42 Expresar la fraccion SOLUCIÓN 72 8 zx 9 L 30 _ . en su forma reducida, 9 í 8 >< IO i IO Reducción de fracciones DEFINICIÓN El entero mayor que divide a un conjunto de enteros se denomina su máximo común divi sor to factor) y se denota con la abreviatura M.C_D_ El máximo común divisor de un conjunto de números contiene todos los factores pri mos que soii comunes a todos los miembros del conjunto, y a cada factor primo lo con tiene el niiiiimo número de veces que esta contenido en cualquiera de los números. Encontrar el M_C_D_ de los números 60, 72, 84. SOLUCION Primero factorìzamos los números eii sus factores primos: so = 2 2 ~ 3 5 '72 = 2 2 2 3 3 84 = 2 2 3 7 El máximo nútiiero divisor es 2 2 3 = t2_ Cuando el máximo común divisor de dos números e y b es 1, decimos que ambos son relativamente primos. El M_C_[)_ de 64 y 75 es 1. Por lo tanto, estos núrrieros son rela tivamente primos. 2 0 OESIIIIIOLLO DEL CONJUNTO DE LOS NÍIIHOS REALES Una aplicacion del M_C.D_ es la reducción de una fracción a sus terminos mini mos, empleando la regia .ffcsc M e 24 Reducir la fraccion SOLUCIÓN Í a sus términos minimos. Se expresan 24 y 36 eii sus factores primos y luego se obtiene su M_C_D_ 24 = 2 2 2 3 36 = 2 2 i 3 3 (Í.¡CD== 2 2 3 = 12 P _ _ §_|r2_g GI' CÚHSIQUIEULC ' 3 3 _ ._ 252 _ _ _ Reducir la fraccion 2 83 a sus términos minimos. sotucioni zs2=z›z 3 3 i zss=z 2 2 2 2 3 3 iu.c.n. =2 2: 3 3=3e Por lo tanto, 252 288 = 36 ~ 7 36~8 = 7 8 Nota I* J' U1 I* JI ã= I* ¡É I* J Es posible reducir una fraccion sin calcular el ii i_C_ D. Se factorizan ambos números v se di t ide tanto el numeraclor como el denomina dor por los factores eomuiies_ = 6H šh I í $J 2.3 El Cønittnto de los números racionales NOM 9% significa (rr + b) + t' l_ 4+9_g s s 3. ì†lZ'___'_5._§ 9 215 4_Q ' iz "u "9`3 NOI.'3 5% significa rr : (b + c) I. 3. 3+4 7 'v 3_4 _J__JL__i 9 w 40" 5 NOL3 % ïiå significa (u + b) : (e + df) 1. 3. Observación s+9=g 4+3 r ir+4_ä_3 is s`7` 216 4_3 'is 2'n , __ _, _ Reduzcase siempre la fraccion linal_ EÍEÍCÍCIOS 2.511 Encuentre el niimerador o denominador faltante: i l'2`s i * s'm i 2'sÈ 2_ _ 5 3ù i 1 s_n 3 a 4 5 2 iiesiitiritottoost conwnroestosnúirseosnsniss 5 °'~ 'rio 10. í_4_2 ti 13. 5 7 lO 16. 4 = 9 I6 ir. í=_ 13 65 22. 25. 5=_ ts 4 s S 36 28. ;4 _. 31 _L=:_g§ ' 34' 7 ` se 13 7 is _ I 64 14 17 20 2 is :ía É E 7 É __ is 4 É 9 Z s 26 29 2__.3í 13" Li 3 ¿___ ti 44 .L2 _;3 3 .15 18 40 _ 7 ll 3 2 T: 54 4 l_.._¡Í s 9 32 ' 1: 35 [6 27 3_ 23 .1 2 iii 4 ll 28 __Í5___.._'2 12 í 63 _; 7*. is 66 í Iï :_§ iz 36 ' :is ní ¡_ 43 Reduzca las fracciones siguientes a sus terminos tiiininios_ 4 37. iz 41. 12 su 45. El 40 49. É to se s. 3 12s í is E 20 39. Ã 12 40 2. 21 43_ '_6 64 44 E ss É. is 47. É :ts 48 .É 72 Sl. 22. ies 52 'ji ire 55. E 56 360 43 se .É ios Éië 360 Obtenga los valores de las expresiones siguientes: 57_ 2 + ll _ 2 6 + 9 60. í 6 58. 3 +4 _ 3 6 I7 61. 1 3 S9 _ 7 + 4 í 4 14 30 _ * 62 7 2.3 El conjunto de los niinieros racionales m_ëÉ%Í 66. M. s is w 67. 9 n rn m 1 3 13. iz n s+r 76 _ 30 ll 'T s su EÍÉ s 12. 4 _ 16 5+3 '7_ 5 3+' 73. s s m_ 3_4 B4. r m m. _? 9 1. ¡is m m 74. io w M 9 1_ 7 u+3 6+4 13 20 3 + 5 9 5 s m_ s l4+|0 12 79. IO 4 5 2 80. m_ 6 22 3 ll m iz m.7 3 s m sa ï¿¶; 25 36 5 9 85. 14 6 7 3 Suma de números racionales osriivicióiv Si ¡J Q r 'II ¿I E Q, entonces p ¡I + r pi r fl ff Es decir, la suma de dos números racionales con un mismo denominador es un iitimero racional cuyo numerador es la su ma de los numeradores y cuyo denoiiiinador es el de nominador común. ¡_â,5 2+å 1. 2 3+§___å_l_ ' U 3'_ is" U 'n 5 ' m"is"ie m 2 La definìcid tt de sunia se puede extender al caso de ntimeros racionales con denomina dores distintos. Puesto que = y = 2 omuitottoustcoiininroosiosirústuositenies r seticne s + r %+%=%+ 3 š= F%Sf ' Y _ 1 I El número qs cs un múltiple común de q jr s. 5+ 1: Q + mm no _+ g1_¿i_i¿ 1 6 no (tito ' mio 24 + 7 U 31 ` 42 definicion `4i El menor entero positivo divisible por cada uno de los ntiettibros de un conjunto de ente ros se llama sti minimo común múiliplo v se denota con la abreviatura iii_c_iu_ El miitiino común tnúltiplo dc uit conjunto de enteros debe contener todos los factores primos, cada uno de ellos el maximo número de veces que esté contenido en cualquiera de los números. Encontrar el minimo común múltiplo de 12, 16, l8_ SOLUCIÓN Se factotixan los números en sus factores primos: l2 = i 1. . l6 = 18 = m.c_m= I¬ Jl' ›.I ”~J'_ i il_› .li 1. tir ._›t_l ›i~Í_›t_` _ 2 3 3=I44 Obtener el niiiiimo común múltiple de 36, 48, 60. SOLUCIÓN Se factorizan los números en sus factores primos: 36 = 48 = $0 = m_c_m = I' JI”¬Jl.'* JI* J i¬Í.~_¬i~Í_›i~Í.›iÍ.› i1.»_L›iÂ_›«_` _› il_› 6. _Í ›_ `_ el»eli ¿__ 5 = 720 El minimo común múli.ìplo de los dciiominadores de un conjunto de fracciones se de nomina mínimo común denominador 3.' se denota con ia abreviatura nt_c_d_ (N. del T. con minúscuias para distinguirlo del M_C_D_, que es ia del máximo común divisor.) 2.3 Hconjuntodelosnúnierosracíonales 45 Para suniar fracciones con denominadores diferentes primero se halla el minimo común denominador de las fracciones, Se escriben fracciones equivalentes con el m_c.d_ como su denominador y luego se conibinan uiiliitando la regla e,:=a:¿ ¿I ¿I Q Efectuar Í ¡E + F2 + ã SOLUCIÓN El minimo común denominador es tti_c_d_ 36, Etitoitccs l+í,2=ä+E+å 12 ts 9 ss se se _2i+w+s_39_n "*ï__'š"E En vc: i de escribir fracciones equivalentes con denominadores iguales al minimo común denominador m_c.d_ y luego combinar los numeradores de las fracciones, se escribe una sola fraccion con el m_c.d_ como denoininador_ Se divide el m_c.d_ por el denominador de la primera fraccion y luego se multiplica el cociente resultante por el iiumerador de dicha fraccion para obtener la primera expresion del numerador_ Se repite el procedi miento para cada fracción 1.* se conectan las expresiones obtenidas empleando los sig nos de las fraccioiics correspondientes. Combinar É + SOLUCIÓN 7 + % m_c.d_ = 24 §_+:i'_+_l_l _4(5)+3(7_)+¿2(lI) 6 8 12 24 _2t)_†2l+22__6§__ë 24 `24' s sustracción de números racionales _ _ _ _ __ _ " De la definición de adicioii o suma se tiene que ig + qp _ ' U «P +¿¡É p) == 5 = 0. 2 ossiutitotio ost ixwuiiiro es ios uúirecos rentes ,_ _ “P _ _ _ P Por consiguiente, T es el inverso aditivo de También 'É PDI' lO % = O; o sea, rr ,Ieifllü, _ P fra I? 2 2 PDI' CJEIUDIO, “T 2 es el inverso aditivo de ri í_q _ 2 sí _3 _ l_a sustracción o resta de números racionales se define en base a la adición. Esto es, p ï. r í ¢? _ p+ r :P ¿I í í fi ii' p+( r) : p Li' r í 'fi fi También p r q rr : p ti 1 r _ S pts) + (q)( r) .= í els) (cif osririiciolv ps + q( r) _ ' ft Y __ ¡_t_ r Si q _ q Ó í ps qr =*_i“ fi F r 5 C Q, entonces I H _.¡Í_r__íp#' c Ef' ¡å_Í._3__"7 ;4_ _l 's 2 3" s ` s _ 2__!_=§(å)___`(5) 5 2 51(2) , 9 Lfectuar ¡Ó SOLUCIÓN 2 ç_5. .L IO 10 5 12. El iniiiinio común denominador es in_e_d_ = 48. ï_5___3(9› 45_s¿_27 2o_1_ te 12 is " «is "vis fi .fl__Í____P""'7f_ yc r” es 2.3 Bconiuntodelosniirnerosracionales 5 5 + Combinar É SOLUCION el m.i_ .u. = 36. l_§+¿§Lnn nn+ani m 9 m M “_ 2U+_ë_§_š 36 36 4 Eiercicios 2.35 Encuentre el miniino común múliiplo de cada uno de los siguientes conjuntos de numeros 1 2 oeI" .II '7 10 I3 16. 19. IIIg! l 8 Il. 14. 17. 20. ui'LJ1 IImf .i'.rs " `_1*'“0, ?`*I “N 20, 30 14, 21, 28 52, 65, 78 Ln O\Lidca .J I* JI¬ J '°?” 21 PPP " '25, 3, l2_ I6 12, 16.24 24, 36, 43 60, Sil, IDO t_,i ¡___ PNP? nos0, IS 12_ IS. 24 30, 45, 60 56, 64, 72 Efectúe las siguientes operaciones con fraceioncs y exprese cl resultado en forma reducida 22. 26. 30. l 5 2 ri ll 6 _ I4 13 I E I š n M_ 9 38. 2 5 31 â l 'e s 39. 5 6 É 4I_ 7 + + 7 7 9 U 7 M w+É É 9 É 27 . 2 cl 7 7 351616 3 i 3+'á' 20 24 í_E * C3' il' 'L.rJLIi i Í+É 3 3 28_ É + Í 9 9 1 32 2 s s 7 ie M mìs 23 .3 lrš 6 fi.~ _ U n+n 42. 4 4 5 9 + ii 8 7 S _93 33.77 2 M 3mì§`š §,Í+É 5 5 5 2 s s U U U J +2 t 3 4 5 7 u. 6+@ 5 s ”'n+m í+_.__,_.í, 45.1 1+ 2 L ã 16 16 lo 3 Il s 4s9 1 _ w _s w i9+w n 3 9+9 7 ll 10 ll ___1 .í..,.+,ì._ 49 2 Ii DESAIIOLLOOELCONJLINTODELOSNLIIEROSREÃLES 6416 l5ll Si r for 7 3 ll 5.3. 'stats 9 ¿"¿'s' l_l§_ “ '24 24 7 i 1 3 1 2 60. 2 3 É e 5 64. É 3 1 s 2 2 82 6.3 â s Í 6 56_ 72. ¶ + 33. 86, 2 3 sin E' " 95 _ 98. 101. 0'ten*ir.U'4 1 4 66. É _l 4 3 M. s§__ 14 Í s 70_ l n 5 É 4 n s _ iz 9 81. i 2 4 É 6 84. I É +1 6 s 37. Í _fl s Q Â 89, É ,Í 6 9 9 6 + IS asu 1 1 + § _Q e 9 IÉ É 3 7 e+s u sI 4 7 n ii M _ .i.i._.E,,í_í_ 90. H 7 É 2 1 3 Í H' i 6 +. É s 5 8 6 B it 'is dos ci U s 7% 4 Ó 9 š_l+å 4 s s 7 8 l 12 2 3 + l 2. 1 _. 4. '¡T_f, i i,2_å 2 3 4 +1 3 4 ri5 " l 1 É.. EL 4 14 71. 3 7. _ I2 3 i +1 _ 88' | *É ii I í 2 1 s n I* JI* ' 9'. 3 96. 99. L,p¡¬ JG* t. . 42” D Cl* *w í t_.i .i 9* I 2 _Í_Í 2 3 7 3 Í I +, 6 í._ I2 í l6 Ill2_ ï_i_i 26 39 105 r fn ii 4 +~ m H L' I 3 S l04_6+_¡ 3 nÄ E_H 27 27 21 62. _§ Í e _ 53 58. 6 1 2 19 :2 ¿t 3 1 9. 4 +s 1 4 m. 4 5 É M. me 80. + 5*'n2+u 12 1 3 5 6 3 5 3 4 ílít É 3 2 3 3 + 1175 52 se Ji 1.113 c¦t,g_¡ ¡L›Jf*J ¡D_¦¦, ,LhFI› Í_å_i 3 7 M s ii U m 24 m 1 1 2 n is m ..+. i _._ï å+E_E 9 is M 2 to 2.3 El conjunto de los números raolonaies es Multiplicación de números racionales oeriiiición ,p Si r _p r_ ¡Y &Q,< .ntoncesï '>< ? pr T5 _ Es decir. el producto dc dos números racionales es un número racional cuyo numera dor es el producio dc los respectivos numerodores y cuyo denominador es el producto de los denominadores respectivos. 2 5 2x5 10 1. > < = = 3 7 3x? 21 2'âxjÉ.= 5 21 =i.g__ 5(2l) I05 7 X I5 7 División de números racionales DEHMCIÓN Si el producto de dos números es igual a 1. se dice que los números son inversos multi plicalivos o reciprocos. P Q' PG Si. .iiQ E Q y Pqafiüenioirs =_ , ¡ces q ><¬~ p gp = 1. _ _. . P G' . Por consiguiente.. H Y B son rcciprocos. La division de números racionales sc define a partir de la multiplicación. _ J Si r fš E Q 3' 1 se 0, entonces II 2 exe exf f.~:'._. : ï.._i'__i"_i¿,_¢f ii' 3 _ r rXS S S I' I ¿I f' 'r 2 DESAIROLLODBCGIJIJIITODELOGNIIIEIDSIEAIES osriuición _,o Si? r r __ ¿_~EQ 3 ïsfií), entonces II P r P 'ff' s r; X r' De modo que dividir por una fraeciòn es equivalente a multiplicar por el recíproco de ella. '4`3"4 5 6 2. 3 2 25 : 31 = ._.l3.*.. '35' 8 5 3! ›< 6 25 E . 5><3l i62425 i= 27 10 ..@.¿'ì8 ._;x28 ze É 3s`9`3s›¢9"|5 Cuando las operaciones con fracciones son multiplieaciones y divisiones, primero se cambian éstas últimas a multiplicacioncs. Simplìfiear el producto es escribir la respues ta como una fracción en forma reducida. Se Factorizan los números tanto en los nume radores como en los denominadores de las fracciones. Se consideran los numcradorcs como en solo numerador, y ios denorninadores como un único denominador. y se reduce. 6 4 33 21 6 IO 21 : >< = >< >< IO IS 4 33 23 15 25 3 'i =2†2x3 iixšï ____________._l _§ì__ìE__Éc En ãxä _?_%a f'4___><**') 35' 25 za '35' 2s> :ze _?2,<2¿3Ä__5_ '35 e4›<siìs 2.3 Hwnluntodelosnónicrosraclonaies Ejercicios 2.36 Efeciúc las operaciones indicadas y simplifique. 2 3 1.5: :Z 3 7 2.¿><l8 Z 7 S, 4 Xïì' 8 Ó. 9. 63 25 ii. 4o( M) 22 16 9 32 'ãxršfizl 21. âåï 4ìe ens 33 'rr s X o_ n is 48" ã * (48 X ao) 4 Ii 'II _ s _Éa§ 24 i4 9 6 Eoå m`s ÉÉXE 9 6 É n @_ nfzl 35 aïxi E w 18 28 + x (27 35) E Ir E s 2 9`3 E _ 9 2 xëcâ 5 u'3 E + is>( 9 m 1 35 E n 66 _ íaë šxâcë 21 _ 14 45. 9 I4 šo E M m 13 a32 _.' . (o) 8 48 ( 10 ___;_ m' Q 34 zi_1 ”'šXš†3 39' 56 † 39 X 9 'šš)< É? _ìl_§ x as e X 14 X w 35 9 3 4 3 8. I4 _l§ ï u 20 Í X iz m 9 m 1 É aâ e 's §_ë 9 21 57 ïš ¬ |2 _* _"( _2) I m_ M m'21ì3J 12 E(__E) I 21`m 7 9 4.3><M šxïó' _E_2 _ë¿å 21 7. 6 “*n¬'íš 33. šxì S íxí 18. 27. 15 25 3 8 15 15. zx 9 :›< lo 1 5 8 3. 2x15 É Q 2 M 9 X i í I X (s ›< 2) 26 w (24 sr) _ x _ E n' m 2.... ( 22 n' 9 45 43 28 + ' 's X 15 63 m 43'X o' (35 se 2 oesniiirotto oe: oonuiinfo of tos ivúnimos ¡entes Operaciones combinadas Los ejemplos siguientes ilustran como encontrar el valor de una e: :presión aritmética que contiene operaciones combinadas. 1l+§x§=¿+ie›<p3=¿+4_1(1_›±2_@ ' 6 9 4 o Q><4 _| i li 7± = l4 '27`9 5 Ó 7: _ 8 3 6 9_3 6 2 6 9 )( 2 5 7I><9 5 =ì 2714 it 27x14 4(t) 3(5) 4 15 24 is || l 5 o 8 = 24 'HA 'E 3 '36ll'}836›<l03343 1+§x¿*2_±+¿¿¿_z_1+±_2 ñsii|)+ei1) ari) 8+@ 21 _l 24 ` 24 ` 24 Efectuar las operaciones indicadas: 2+±2_± 3 2 9 6 ' $01 UCFÚN 2+t(2 3 29 1)_2 i(14 3 6 "3+2is"Íš 2 l 14 3 2 1 ll = + >< = + ›< 3 2 18 3 2 18 = 2_ + il =i2i2)+i(1i) 3 36 36 _m+n_§ se "36 Efectuar las operaciones indicadas: ll _ 1 _.. 2 _ _! iz 12 ` 3 is 2.3 El conjunto de los números racionales SOLUclóltl 11 _.._.._... 2 1 H___§..._ 12 12*se"'12 12' 5 í 11' .5.. IZ __$ 24 ¿HD HC'|'l I 12 IN l lä .E_í 12 12 24 _Li_.5_,.¿ÉÍ_.'_'._åi*. 12 12 5 12 12 th,. . I 1`. ` ll 24 ` "iz 13 ` 'É Efectuar las operaciones indicadas: 1 22222 is 32 (9 411) solución l_Q_L(2__E)___1_¿›___ 32 si is 32's 4s"|a 32' 144 _.l_E2(_L9_ is :l l ts É 32' 144 19 X 144 32 19 'I + + __ 7 + BI 1.rue ` is es Ejercicios 2.3D Electric las operaciones indicadas 3; simplifique: Lëxå I 1+ Íxí `2 s 2 5 9 l 4. 1. ll). 13 El Ã)<š s Xfil 133 _ 7 12 to 7 íx..._ §_,<.l_§ '21 9 3 20' 12 3 3 4 8 i,.<å+3. 33 G lä 2 3 3 3 4 8 Il 5 3 7 IO _.__>(_ 7 6 _ K I 2! 1 1, 4 9 _. å+2> tí '8 6. 3 14 É >tE+2 13 12 4 5 9 4 l 2 15 7 3 3 1 §'a*§ 12. ls. g 321228 SKH Z 2 _ eesnnnouoosioounmfoosiosuúaseosimies 11 3 1 16' 9x2_3 4 2 21 5 3_9 17' 12+i1`2 is 4 s 3 9_§ 18' i1+1|`2 2 25 ts '° aiaiìï 1 2** =i+z*'§ 2' «:›*a*'a s11_22 22' 12_3i fis 11 23' 24 Q_s_2g M' 9 22 ' 21 + DC :ug 16's hi F* I .FL tu I i;_,_¡\.› 'I ^* J .¡;. ¢~l. n Lúahg L" P~Li l n. tu xš+š su 4 29.š+ï+l 31. 1 šr 4 #5' f. .n + urea' " " X Eu i I Ii m.i:r . i 1 I* J l 2 ss) X . r . .i .;s.'f. › JEJE sn + FI Lie 30. + ' 32 _ + "' [~.J n_n setas) GGUJ o .I . t .› i * oca, I» E la utaosfi l=› t~J 4 z~+s<s+s) 4 2 ai) 37' š+1í?.Í(š_%) 38' 152 41. ã %+(š+¡4 5) 42. ã É : (š+å ) s+s<s~s) as: f(s~§) se (s~%) 47.' Ól % : (É šš) 181@ 4 4 iii s) 48. EJ + lr tLhhl ¬.i ï ñ_ñ HGKJ1 | ¡ I DOLIJ GG .I '¬ . _ _, . v" Forma decimal de los números racionales El sistema hindú arábigo es un sistema de valor relativo o posicional. Se usa un punto decimal para indicar el valor posicional de un numeral (simbolo numérico). Dicho pun to separa los valores relativos menores que l de los que son iguales o mayores que l. 2.3 Elooltlllntotlelosiiúnierosraclonales 55 Cada valor relativo es ¡ 0del que sigue a su iaquicrda, El primer numeral a la izquierda del punto decimal ocupa el lugar de las unidades. El segundo a la izquierda de dicho punto está en el de las decenas. El tercer numeral a la izquierda del punto decimal se encuentra en el lugar de las centenas, etc. El primer numeral a la derecha del punto decinial ocupa el de las décimas. El segundo numeral a la derecha del punto decimal está en el lugar de las centésimas, etc. De esta manera el número 325.68 significa + l 'l' 'fr 6 XT Ó + 8 1 X fm. Cuando no hay numerales a la derecha del punto decimal, iiorrnalmcnte no se escribe dicho punto. De manera que 674 es igual a 674.0 y significa 6(l00) + 7(l0) + 4(l). Dado un número decimal, podemos encontrar su equivalente fraccional, también llamada fracción común como se muestra en los ejemplos siguientes: l 101 . .25= l><m+ l 10 2 100 2 1 1 ><l00+5><l00Ú _ _ 5 1000 100 1000 20 IOUO 5 IOOO 125 1000 Asique 0.125 125 ¡O00 l 8 ii 2 2. o.es= = › too 25 225 si . _ = = 3 2 25 me 4 nos :in . , =_= 4 '2 68 ion 25 Dada una l`raccit'in ctiimin, es posible obtener su decimal equivalente empleando la ope ración de división larga. A partir de ésta hallar: I. l * = 0.5 2 3. 3 25= O12 . 2. l = 0.25 4 4. 6 ï= 125 0043 _ Al usar de nuevo la división larga à = 0.333: la raya colocada arriba del último nu meral indica que dicho numeral se repite infinitamente. Obsérvcse que % sé 0,333. . l . . _ Cuando se escribe T = 0.l428S7l 42857 la raya superior indica que el grupo de nume rales se repite en forma infinita. 2 oesneeouooaconitiiwooetosntiuatosneates Nota Cuando el denominador de una fraccion co mún es un múltiplo de 2 o 5, la forma d mal finaliza; delo contrario, se rcpetira cier to grupo de números indefinidamente Algunas veces, especialmente cuando se trabaja con números en forma decimal sc requiere redondear ari miiiiero a una cantidad determinada de cifras deciinales Para redondear un número se observan las siguientes reglas l. Si el priiner dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5, se eliminan todos los digitos de la parte descartada. 6.2743 = 6.274 a tres cifras decimales 2. Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que 5 o bien si dicho dígito es 5 y los dígitos restantes de tal parte no son todos cero, se incrementa el último dígito en una unidad. 57.261 = 57,3 8.9'?53 = 8.98 a una cifra decimal. a dos cifras decimales, 3. Si el dígito a descartar es 5, se suma uno al último dígito retenido si este es impar, de lo contrario, se deja sola la parte retenida. 2.475 = 2.48 7.25 = 7.2 a dos cifras decimales. a una cifra decimal. EÍGFCÍCÍOS 2.35 Obtenga la fraccion común equivalente a cada uno de los números decimales siguientes i*"':" É FP 'Fien 0.04 324 18.336 !`¬' 6. 10. 14. F3 ï 0,025 7 .05 11.064 5'" 7. ll 15. P Si 0,003 13 45 l.l44 es 8. 12 16 0.36 0.334 9.16 2.884 Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal: 17. É2 21. 9 16 18. 22 24 L3. ió 19.. 2 23. 2 5 3 Z s l 25 Eioonjtintoilelosnúineresmlonales ll 25 2 e l 12 É 33 El 25 2 7 Ã 15 2. sr 26 30 34 33 __3_ 125 É 9 E 33 Él 32 3.2. 125 1 11 22 33 L lei Redondee los siguientes núiiicros a dos cifras decimales 9376 4.6371 9.4523 53.635 24,385 42 46 50 54 58 7.7815 68.1782 37.7352 32,1 15 69.345 l .S946 26.2573 3.6151 21.595 33,925 46.8529 74.139 6.3454 18.355 42.765 Números mixtos DEHMUÓH Fracción propia es aquella cuyo nutnerador es menor que su denominador. Fracción impropia es aquella cuyo nuinrador es mayor o igual a su derioniiriador i 1. u al ii 1 Considereinos la traccion impropia †. El numerador se puede escribir como la suma de dos números: Un número es divisible por el denominador y cl otro es menor que el deiioininador. __'l__14+ i 7 7 Usando la definición de suma de fracciones, " ii ir "'¦ Ii CJ" l c .i›+a si.. obtiene l7 *'_7 * __ 14 '_T7¬ 'l' 3 __ 2 + 3 ï. 2 DESIIIULLDDELCGIJIITODEIGSHÚIHGSIEJILES Cuando se trata con núineros especificos se acostumbra escribir 2 + como 2 ~ lo cual se llama número miitto. l7 De esta manera † _ 3 2 7. El número I7 se denoinina dividendo, 7 es el divisor, 2 cl cociente y 3 el residuo Obser vese que este último siempre es tiienor que el divisor, Para escribir una fraccion intpropia como niimero mixto, se emplea la opcracioii de division larga. Para escribir %38 como número misto, se tiene I9 cociente divisor 23 i 448 dividendo .ë_ 21s E 11 448 Por lo tanto, 2 Í residu U ll 19 Í Para convertir un número mixto a fraccion coinún (dc la adicion de fracciones) se ticni. l25_l2+5 8 1 8 I2:›<8+5 8 101 8 De modo que para convertir un número mi: no en fraccion, se multiplica el cociente por el divisor, y ltiego se suma el residuo al producto resultante. Se escribe la suma como cl nurnerador de la fraccion y el divisor como el denominador. Ejercicios 2.3F Escriba las fracciones impropias siguientes como números mixtos: l. 5. 9. 2 2 É 3 322 s 13, ÉQÉ' 13 17 _@ '21 Í 4 ÉÉ 6 É 5 É 9 É 7 L' s 152 4 É ii É 12 14. ìïìë 15 22 te .É la 18. E?. 23 Íìå 19' 29 22': 3:1 2. 6. 10. 2.4 ltleineros ¡nacionales tf reales 59 Convierta los números mixtos siguientes en fracciones comunes: 21. 2 l 3 22. 3 2 5 23. 6 2 7 25 ' 27 354 26 ` 31;6Í 27 ' 15%ii 29. 3 l2a 30. 2 313 31. 4 41: 33. 3 ÉIE 34. 13 IÓE 35. 9 läfi 37. I9 Büš 38. 8 IÉ27 39. 3 3632 24 . 8 39 23 ' 2537 32. 9 lfií 36. li 23'@ 40. 25 Zfiïl Números irracionales y reales Dado un número racional cualquiera, podemos encontrar tin pttnto en una recta nume rica que es la griilica de tal número. Sin embargo, dada una recta numérica, existen infinidad de puntos eii ella cuyas coordenadas no son números racionales. En la Figura 2.10 se muestra el ejemplo de un punto en la recta cuya coordenada no es un número racional. Se traza la recta numérica OX con el punto 0 como origen. Se toma el punto /l como la grafica del número l. En A sc traza A Y perpendicular a OX. Se toma B en .fl Y de modo que AB = OA, Se unen los puntos (J y B y se toma el punto C en OX de tal manera que OC = OB. es 'H \ \ 1 I o ,ii c X FIGURA 2.10 La coordenada del punto C no es uri número racional. Su valor se Ilatna raíz cuadrada de 2 ¿v se denota por i.'2. DEHMCIÓN Un número que no pueda ser expresado en la forma %, donde q se 0, p, o E I, se denomi na número irracional. 2 I* DESIIRROLIO DEL CONJUNTO DE LOS IIIÍIIHOS REALES nsruwclóu Nota I_.a union de ¡os números irracionales y racio nalos constituye cl conjunto de los números reales, que se denota por R. Supondmnìos que dada una recta numérica, cs posible graficar en olla cualquier número real. Además, dado cualquier punto en una recta numérica. existo un númflo real que es la coordenada do dicho punto. valor absoluto de números reales nsnmclón El valor absoluto do un número nf, denotado por Iul _ es uno de los dos números + a o a. el que sea se considera positivo, y el núm .=:ro 0 si u = 0. _ _ a si a 2 0 Es dcclr. |a| = u si a si 0 Por consiguiente. |u| 2 0 para :odo a E R. 1. |3|=3 2. | 1u|= 1 10)=10 3. |s f›|=|2|=2 4. |7 1s|= | 1 ;|= m as) = as La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son a y b cs la b|. NOÍ3 la bI=ìb HI |n s|=|6|=fi ys n|=| @|= < fi›=@ 2.5 valor absoluto de números mates I. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 5 y 12 es Ii5) (Í2)i _ i 7| _ 7 2. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son IO y 3 (Figura 2 li) Ls |(l0) (' 3)] = IIO + 3| = |i3| = 13. 3. La distancia entre los puntos cuyas coordenadas son 8 y 20 es |( 3) ( 20)| = I 8 t 20] = |l2| = 12. 4 í ia 2 O 2 4 (1 '5 3 Í FIGURA 2.11 I' Ejercicios 2.5 Encuentre el valor de cada una de ias expresiones siguientes: I. 4. tutti” 2. |9| f 5. | e| 1 al H i n.Uo+nf m.p0 dia n.U4 H .U9 wl *" . w td |2|; " |50| “ 1. 201 10. 1 + ts! » 1' If 13. Lia ist 1 ts. to + :sl 19. I 8 8| zz. |s ts| »__ zs. | 3 t|t zs. | 20 2o| ¿ J sus ¶ I lla ` 'flåttfld 12 15 IB 21 24 27 í |3+Ói 1' |23+5| | 6+U|f 32 16| _ '2 lll ,to 30| ' t3 9|i Determine la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: un .':" '1"¦' 37. 41. 451 ¬.":?.i '." Dt n É 8; *'t:›ut .à.n › _8 àfiäïä .99 ~ot~. › * .taco 7; .tr .› 6; 16 31. 35. 2; 20 2; 8 . 7; 18 1; 16 13; 2 43. 47. 5; 6 20; “ 5 $33?É 6; 14 2 I DESÃIIOLLODHCOHHWIÍUDELOSIIÍIEROSIEALES Repaso del Capítulo 2 Obtenga el valor de cada una de las siguientes expresiones: 1. 4. 8><:4+6><3 t5+5(it+9) 9›<7+3:><l2 l2+( 7) ( 8) 7. ll) _(|2.. l5+( l6+7) 6 t 4( 3) 20 8( 5) 8+| 2(3 9) 15 SÍ4 10) 20 lO"ï"("5] 10. 12 (13 4) 7 6(4) 13. 16. I9. 22. IOÍ 8)+ 9) 6(|3 9 33 ll st ll) 44. Reste 12 de 20 . 3.7+8(4+5) 6. 134 (8 10) 9. 12. 15. IB.. 21. 24. 3 (9 15) l5+5( 2) 7( 3) l 6 4 + 7(7 12) 35 14 : 7 l2 8 I ( ) 20 23 40+4+4 27. lt;'›+8><( 2) 25. l8+t'›+3 26 29. 10 +5( 4) 6( 2) '7(3) 23.7 2( 3)+6(4) 8 31. 9 9( 2]+3( I) 7 30. ló+4( 5)+7(2) I 33. 6 >=: 2+3( 8) 7+( 3) 32. 13 3><5+6( 8)+lI 35. 15 5(6 l0)+4(7+2) 34. IO 5(3 6)+2(8 7) 37. 7 2(8+4) 7(2 5) 36. 9 4(5 5)+ó(2+3) ` 39. 28 ~: 4+3 3 1 4+2 38. 4 +4x4 4x4+4 4 7: 7 + 3 41. 32 + 8 x 4 40. l2+6><2 2+B><2 43. Reste 8 de 9 42. Reste 15 de 45. Restc 16 de 3. Encuentre el M.C.D. 5 ' el m.c.m. de ios números siguientes: 46. 49. 4. 6. 15 9.12 15 55. 34. 63. 102 6. 8. 10 8. l8.3f› 24. 32. 40 36. 45. 54 sz. 24. sit. se 48. 51. 54. 57. 7, 3.14 21.23.42 27. 36. 54 39. 52. 65 Efectúe las siguientes operaciones con fracciones 37 reduzca: 58. 62 . 5 B ì+§ ll 2 Ó 9 "†* 70. + 73 + 79. 63. Sš+š5 66. 76. 59 Ó?. + U + 61. 7 l 4 6 2 7 7 9 ' '_ M'§`š 65 n_s 10 i5 4 s 4 s_ .'19 m. 9 r 5 'aqii 6 _l 72. 6 + _i TS. n L.I'¡D¢L ' F ›'«.›J 7 .._+.7 Í 78. FI LhG'\Lfl'L› il* J 9 n tu 9 BL C¦'\'l J! +1 "ide OG 1C m o\ o t4cr 1 2 __+i + 84. 14 R UN'l J'I 'HD U 83' 'PJ 9 7 +__ fi. t~¡l" J' Ph' *b J' Tí H 5 82' TE _`ts "24 ~.|°`*'“' 60. [0 _. ..|.. .í í I¦?\Lfl'LnJÚ\Lfl nJ' 4 +ïï.± 1. + 7 7 m+t2 .Fi bJ¬ J L1 Ilëbåfdå 1f.:lLJ'IF' l.rI ltepaeodettanftuloz 9 85' te 7 te 13 24 19 s tt 86 2 U2 3 +ì E_E_ï so 35 40 Efectúe las operaciones indicadas y simplifique 88. 91. 94. 18 I4 .is X 35 27 24 34 16 20 97' Ex ts X 21 15 §É.x:2 95 _ë+(_§) l2 46 93 7 12 16 _~>(_><_ 8 28 9 7 9 22 ts >< t 7 14 55 E st+27 8 xzt 36 92 st X 40 En _@ ss' ss 9 26 32 s 39 12 _ ts šš†š 89. . ._ 10 4 Wtarnxs 101 í X .tí 24 _ë:ë s1'1s 38 S7 E 103. 10 64 IÓX 3 = 20 104 106. 32 6417 1 1 39 Si 52 107 ¿ateos ss' 57 13 110 _+_><_ 5 4 7 w9'33f› 112. IIS. 9 3 4 3 105 108 lll i_Bxl 114 š+š†2 116 z+2:s 3 4't3 117 ÃÉ_ÃsÍ 119 ü_ës9 120 3 14 ? ìx É 5 t_s tt ` 3 l 6 É 123. ' 2 à Iutl ãfl . t 1n. àw +I É s *I.›Ìl3 I*.`J*¦.tJl' 1 23 m' 14 _ I' Ja*I '7_,_¡`*'¬"o:t.n_t¬.› _ 25) + >t " '¡. ¬..___+_ 9 3 9 26 3`5 is [5 . _ La G, .t + L _B so 25 23 .J "'_"'“ , n 7 131' ãìì ¬' (as 9) 69 9 8 3 34 130. 132. 8 ššx'í7+Tš ?_5.s.i_§s.å 2s`t4`9 ía ¶,,;.1.â 27' st te 7 5 4 4 te ts 5 17 3 12 12 34 15. + E al 9 27 ` 3 B__?..._ì*. s s`9 .í í í. ía. IZB. 27 8 6 5 122. 1 _ì,<§.+l 2 to 4 s 3 ___t_+ 124. GDLI"I 32 4 126. _+Z(É'.._.'.§ fl'\U't 612 ts í¡ 129. 102 113 IU ns' tt 121. 3 3 42 1,1ut_ ll ll I4 7 11_¿:(§_n 17 l7'89 a:¿:@ 1 zo 2o`31o _,,. .I_¦I JI X í 2 I DBSARROLLODHCONJUHTODELOSNÚHHDSIEIIES Redondee los siguientes números a dos cifras decimales: 133. 2.8614 137. 43.7152 141. 54.275 134. 89.7323 133. 23.4653 142. 72.165 135. 1263 139. 7.3l5 143. 18.345 136. 48.6131 140. 23.635 144. 29.725 Halle el valor para cada uno de los siguientes valores absolutos: 145. | s| 149. |6 ts| tee. | 3s| 150. |7 23| 147. |s tt 151. ¡ts + 41 uta. |to 21 152. | 29 + 91 Encuentre la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 153. 1:12 157. IS: l lól. 2; 3 154. S' 1 I 158. 12: 6 162. 4; 10 Í U1U1 159. 163. '¬' il 3 ' * 19 160. 8: O IM. 12; 7 Í U1 ' I IkflliW 1' MDHÚ 3 P P Encuentre el valor de cada una de las siguientes expresiones: 165. Juan hizo un trabajo por $100 dolares. Si el material que empleo lc costo $13 do lares. ¿cuánto gano por hora si en total trabajo 6 horas? 166. Un comerciante compro 30 piezas de lechuga a 30€! cada una. Si vendio 75 de ellas a razon de 60€ la pieza v desecho el resto. ¿cuanto obtuvo de ganancia? 167. Tomas corta el césped de un prado una vez cada dos semanas y cobra S 19.50 dola res al mes. ¿Cuánto cobra cada vez que corta el césped? N58. Un pescador capturo 72 libras de pescado en 6 horas. Decìdio cortar el pescado en filetes 3' venderlo a un restaurante a razón de $1.30 dólares la libra. Si se des . _ l . . perdtcto E del total del pescado y el pescador demoro 2 horas en cerrarlo ¿cuanto gano por hora? 169. Maria manejo 432 millas, de las cuales 42 fueron en la ciudad y el resto en carrete ra. Su automovil tiene un rendimiento de 28 millas por galón de combustible en la ciudad y de 36 en carretera. ¿Cuánto le costó el viaje si un galon de combustible cuesta $1.20 dolares? CAPITULO 3 Operaciones básicas con polinomios __ ._í__í..__.Z___.__í___ 5.1 Notación V terminologla algeoraicas 3.2 Evaluación de expresiones 3.3 Adición de polinomios 3.4 Sustracción de polinomios 3.5 Simbolos de agrupación 3.6 Multiplicación de polinomios 3.7 División de polinomios 65 3 I OPERACIONES BÁSICIS CON POLINOIIIOS El álgebra se ocupa de sistemas matemáticos. El más fundamental de ellos es el sistema numérico. El álgebra elemental es una generalización de la aritmética. Mientras que en la aritmética usamos números reales, que son especificos, en el algebra se emplean simbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados como números generales o literales. Los números literales que se utilizan cn el álgebra para permitirnos considerar propiedades generales de los números, y no sus atributos especificos. Notación y terminología algebraicas La notacion que se emplea en algebra es siinple y compacta. Para representar el pro ducto del número especifico 5 y el literal e, escribimos Se. Asimismo se escribe 217 para indicar el producto del número específico 2 y el literal b. En cuanto al producto dc dos números literales, por ejemplo ir y b, se escribe simplemente eii. Un término puede ser un número específico, tin número literal, un producto de . ., . . So 7 . ellos, cociente, o una cxtraccioit de raiz, Las cantidades 5, 3a, xy, ¿_¬ , ¬~. 7: consti tuyen ejemplos de términos. Normalmente se escribe el número especifico presente en un térinino como el pri mer simbolo de éste y se le llama coeficiente numérico del término. Cuando no aparece ningún número especifico en un término, como por ejemplo en xy, el coeficiente numé rico es l. Si un térinino no tiene signo indicado que lo preeeda, como en 3a. se toma como implícito el signo positivo, En la multiplicacióii numérica, cada uno de los números contenidos en el producto se denomina factor del producto. De esta manera algunos de los factores de l4abc son 2, 7, 14, ri, b, c, 2:7, Tb, 2c, ab, Zbc. El coeficiente numérico de un término puede ser asociado con cualquier factor lite ral del término, no solamente el primero de ellos. Una expresión simboliza una combinacion dc términos mediante adicion y sustrac cion. Las cantidades 12, od, 10.1' gi, ïnbc + w/šson ejemplos de expresiones. Cuando los iitiineros literales de una expresion aparecen únicamente en sumas, di ferencias o productos, se dice que la expresion es un polinomio. Las cantidades l2ab, Se dede, Ivy + cz 211 + 3 son polinomios. Se llama monomio a un polinomio que contiene solo un término, como 2xy. Un polinomio con dos términos, como Ilab 2, se llama binomio. Uno con tres, como tïuryt: 'ly + a, se denomina trinomio. Evaluación de expresiones El valor numérico de una expresion puede calctilarse cuando a cada número literal de la expresion se le asigna un valor especifico. Se llanta evaluacion al proceso de calcular el valor numérico de una expresion. 3.2 Eïãlllâflåfl GH GIFIUSÍOIIOS G? Para evaluar una expresion se sustituye el valor especifico dado de cada número literal. Los cálculos se facilitan, y la posibilidad de errores se reduce, cuando el valor especifico de cada literal se sustituye usando paréntesis antes de efectuar las operaciones. Nfifêl El valor especifico asignado a una literal pue de variar de un problema a otro, pero perma nece fijo para dicha literal durante un proble ma determinado. Evaluar la expresion 3:7 + Soc, dado que i:i=2,b=3yc= l. sowciolti se + sar = mi + soii ti = 6 is = 9 "Wa s sis s›=s :itzi sais si =5 6 =1 Calcular el valor de la expresion o 2(3b + c) cuando a=3,o== i yc=* 4, sowcioiii 71 zoe + fi = 2[3( 1) + ( 4)] 2[ í .í 3 4] #= ll 3 4] 2( 7) i _ + =i'= l( 7) 14 Iì í 3 ab Hallar el valor de _ solucion sas 4 te Zcd Í, puesto que ri = 2,19 = 3, c = 1 y ci = 2. 27. ri __ si ziisi " zi i)t2› «it 2›< 1) l3+4 14 7 =_""s_=T=_Z .ff 3 OFEIIICIOIIES BÁSICAS COI POIJIOIIIOS Emnmmmäfl Evalúe las expresiones siguientes, dado que ri = 2, [7 = La 4 5.a+b 9. 3ri+d 2.b 2 6.ci b 10. 3.6 b 7.b d 2a 3c ll. 4a d 13.2o l 3d' 14.217 3d 15.3o b 6 17. tt 2b+c l8..a+2b 3c 20. d+3c 4o 2l.oo Sb d 23. b+d Sc 24. 3b 8c+2d 26.3o' 4€ 2b+o 27.a b+2c+3d 29.4o b 3c+d 30.0 4b+3c 7d 32. ¿ri +(c+d) 33 Q' (c 2d) 35. b 2(3c dl 36. a + 3(b 2d) 33. 2: + 5(7i:' 3d) 41. 44. 47. oi c Ése + Sbd 2a l b(2a d) 4. 5 d 3.2o+b 12. 2€ 16. 2b+4o' 7 '33' i:i b Eì' 4c+3b Bin .ii 3o 2d+l0 ri+2b c+Ód (b rc) *(2G'*d) 2[3c 279) seas ~ ri 39. ab+d 42. 45. 48. bd 3€ Soc Sao' 3b b(3 d) ab 3cd ocd 3bda n+d ct d ì+3c ri l 3c a+2b c d 2bc+bd ab bd Zab 2d 50. 3c+b(2o+d) 51 53. al b a c 54 Sad + 417:' 57 56 3, c = l v d = 72: ' 3er! 3n+d(b dl 3d ac c 59. 3b Zad T 60. 20€ Bbd' T E+ë 62. d b E + H 63. E_É 3€ d ä_E b ri c b Adición de polinomios La suma de dos números especificos se puede escribir como un tercer número especifi co. Dados los números especificos 2 37 3, podemos expresar su suma como 2 + 3, o bien 5. La suma de dos números literales a y o puede indicarse simplemente como a + b Los números ri v b se llaman términos de la suma. Se denominan términos semejantes los que poseen factores literales idénticos: Zabi: 3bai:, lücbri son ejemplos de dichos términos. Por otro lado, Zebc y Jafbd son térmi 3.3 Adldon de polinomios 69 nos no semejantes, va que 2eoc tiene a e como fr.ctor, mientras que 3. :rbd no lo tiene. Los coeficientes numéricos de los términos no afectan la semejanza o no de éstos. Cuando los términos que hay que sumar son seriejantes, tales como Se y Ta, la suma Se + ia se puede simplificar mediante el uso de la ley distribntiva de la multipli eacion. LEY Si e, b, c G R, entonces alo + el = eli + cc elo el = rilb + { †cj| = elo) t al e) == ab i.i(o + e) = alo) + ( e){c) = eh ac aio cl = l alihl ( clic) = cb + er. tic Utilizando la ley distributiva de la mtiitiplicacion, se tiene 5a+7a=(5+7)a= 12a También 4a+n Se =(4+ l)a Su =5a 80 =(5 8)n = 3o obien 4~a+a 3a=(4+l 3}a == 3a Es importante observar que 2a + 4a = (2 + 4}a = oa y Sa Ja = (5 3)e = la (no solamente 2), Cuando se suman polinomios, se combinan únicamente los términos semejantes pre sentes en ellos. Suinar 3a sowcioiti Sb ji 2a + 317. oa si››+t 2t~i+si››=:is si 2a+si› =(3a 2u)+( 5b+3b) =<3 z)a+( s+:ni›=s 2.9 Sumar ,ia Zb + c y tio + 4o Sc. soiucioivtsa .2i›+¢)+(ea+4b sr )=se 2i›+. ;+sa+4i› se =(3e+6a_)+( 2t›+4i›)+(c Sc) =(3+6)a+( 2¬ 4)i›+(i s)¢ =9a+2b 4c 3 I OPEIÃCÍONE5 BÁSICÃS COI! FOIJHGIIIOS Una manera sencilla de encontrar la suma de polinomios consiste en escribirlos en ren glones sucesivos, de manera que los términos semejantes queden colocados en una mis ma columna. Esto se asemeja a la adición de números especificos, cuando los escribi mos por renglones, de manera que las unidades, decenas, ceiitenas, y asi sucesivamente, quedan en columnas separadas. Obtener la suma de los polinomios siguientes: solucion zas er + ri; se sa; me zu aaa + «ir Zab 6c+ d +3c Sd 4ab+4c+2d 2ab+ c 2d (Zab 6c+a')+(3c Sd)+(2d 4ab+4c)= 2ab+c 2d sustracción de polinomios En lenguaje algebraico la operación de sustraer o restar b de ri se simboliza a' b, que es lo mismo que a + ( b). O sea, para restar ii de ri, sumamos el inverso aditivo to negativo) de b al número ci. El inverso aditivo de t ox es 6x. Es decir, ( iox) = ox, El inverso aditivo de l0,v es + l0y. O sea, ( l0y) = + l0y. Cuando los términos que hay que restar son semejantes, se puede simplificar la di ferencia empleando la ley distributiva de la multiplicacion. I. Sustraer (3a) de (Sa) (Sa) (3a) = 8:7 3o = (8 3)u == Se. 2. Sustraer ( Ba) de (Hu). (3fi') l 3o) = Sri + 3a = (8 + 3)a = lla 3. Sustraer (3a) de ( Se) ( Su) (3a) = Se Ba = { 8 3}ri = lla 4. Sustraer ( Bo) de ( Be) ( Sc) ( 30) = 8:7 + 3a = ( 8 + 3)d = Sd, 3.4 $lI$tl'3¢€|6fl GB IIQIÍIIUIDIOS . 71 Para efectuar la sustracción de un polinomio, llamado el sustraendo, de otro polino mio, llamado el rninuendo, se suma este último con el inverso aditivo del sustraendo y se combinan los términos semejantes. El inverso aditivo de un polinomio es el que se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del polinomio. El inverso aditivo de Se Gb + 8 es Sa + ob 8. 0 sea, (Sr: 6b+ 3) = 5n+ Gb 8 Sustraer (3a sowclón tea 511) de (6a rs) « «sa Tb). sin = sa 'rs su + sa =(6a 3a)+( 7b+5b) =(6 3)a+( 7+5)b =3a 21? __ Sustraer t3a r 2b + S) de (Sa + ób 2). sotuctóu (8a+6b 2i t,Íiu 2h+5ì=3a+6b 2 3o+?.b 5 =(8a 3a)+(ob+2b)+( 2 5) =(3 3)a+(6+2)b+( 2 5) =5u+Bb 7 La sustracción df polinomios puede efectuarse de una manera más sencilla escribiendo Ios en renglones Se escribe el minucndo en el primer renglón y el sustraendo en el sc gundo, de manefa que los términos semejantes queden colocados en una misma colum na. El inverso aditivo de un polinomio es el que se obtiene cambiando los signos de los términos del polinomio. Así que se cambian los signos de cada uno de ios términos dei sustraendo, se escriben los nuevos signos encerrados en circulos arriba de los signos originales, y se suman términos semejantes usando los nuevos signos. l solución De 'lab 2e + 8 sustraer Sab Sc + 4. ras 2.1 + s 61 ) ( 3 ( 9 ¡Sab 5c+4 ab+3c+4 (Tab 2c+3) (Sab 5t¬+4)= ab+3C I 4 Sustraer 2x 3)' 6 de 4x 3y + 10. 3 urnnåslsrcnseonrotsvoluos SOLUCIÓN 41 G) 3y + IO É) G) 211 32 6 u+w+w Dado que 0 y = 0, no es necesario, escribir ese término. (41 3y+ IO) (lr 3y 6)=2r+ 16 Sustraer (tab + Zc Sowclón 4 de Bob 2b + 3. sao se + 3 6 GD G ms 4+a 2@ eb+1 a (Sab 2b+3) (6ab+2c 4)=2ab 2b t 7 2€ Ejercicios 3.5 3.4 Reduzca terminos semejantes en cada una de las expresiones siguientes: PE' 7. So si 2. “É” 5b+4b 5. É+ lübx Qbx 4a.r 3.1 7.r+.r 3. 3 I2y 3)? Zab bi óab 6. l0xy+y 7xy 8. 3xy zy+51jv Zye Obtenga la suma de los siguientes polinomios: 9. ll. 13. IS. 17. 18.. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. . . una 2a + ób, 7a 2b 10. 4x 3)', 2.r Óy x 3y,2y Sir 12. 7o+b, 3a 4b .r+y 3.2.1 _v 5 I4. 3x+2y 4.6y 4.1r+l 2x 3y+4.2}= Jr 2 16. .r+y 7.3y 4x I 3x 8,7 4.x,2.r i 5.1r+6. 3.1r+2,.r 9 21 3y. 4.1: + 7y. .r 23; x 33:, 61 33;, .r + 23: 3x 2y+l_.2x+5y 6,3 Jr 3y 4x 3y+l3.7.r+8y 6,2y 5 8x 5x 3y+l,2y Jr 7,i2+6_v l5x 2x 3y+z,2_v .1r,3y 22 3x a+iOb 9.3.2 5b+4c.2c+b 6 Sab 2a+b,ab+2a 3.5a ob l0b+5be 6c7bc 4b+c,9r: Bbc Sxy 2_vz.2xy ,z+6yz.9yz 7y.r 32 En cada uno de los ejercicios siguientes sustracr 29. Sa de Ta 30. 2a de 3a 3l. 9:1' de rr 3.5 Simbolos de Ififllflâdón 73 32. 6o de 2o 35. a de 4a 38. 2o de 9o 33. 6o de 3a 36. Ta dc lüo 39. 2 de Zn 34. 2o de So 37. 3o' de 2. :t 40. rr de ab En cada uno de los siguientes ejercicios sustraiga el primer polinomio del segundo: 41. 3x l,:r IO 43. 2x l,.r+3 45.2x y 3.2.1: 3y 6 47. 4x 3y+l2,6x 23, +9 49. 2a+3b+6c,3a 2b+c Sl.. 6o lOb+3C.5o+'7b c 52. ob+4bc 2,3ab Zbc + 4x, 10 . 'I .r,7.r .r+y 2° Quo + _v 5 ._v r+ 2. 1*' 1 t 51.* 15 Sâåfitñ.2a+5b 5§`=. .› Taiiåb Gt* Efcctúe las sustraeciones indicadas: 53. De 2a Sb + 8 sustraer a 611 + 3. 54. De 3x + 4y + z sustraer 9.1' Sy I. 55. De (ix + Zy + 3z sustracr 8x 3_v + 3. 56. De Sax + Zby 'Ice sustraer Zby 3ax 7 cz. ¿Qué debe sumarse al primer polinomio para obtener el segundo? 57. 60. 63. 65. 67. 69. ct, So S3. 20, 2ob S9. 10, lüa 6, Óab 61. x+ l,2x 1 62. 3x 1,2x+l .x+4y,3.r 4y + 'LJ 21* 2x 3y 12,41: + Sy + 20 2x)t 2.6.r 7v 8 'hr Óy 17,31 +_v 13 'Lv 10. 8.1' + IJ; ; 6 .tr 2y+z,0 iit* :"*3` '~¬ r FH3" G 'I` ëââï Efectúe las operaciones indicadas: 71. Sustracr la suma de 5.1' + óy 72. 73. 74. 5:/r + 7y 9. Sustraer la suma de 8:1' 7x IS. Ty 8 y 'iy _; 2.1' t 1 ulí 3 de la suma de dx 4 y Iv 4y + 5 de la suma de 4.1' Sy 2_v + I y 9 v 9y De la suma de Ze + b e y 3o b + Zc sustraer la suma de e 2b + tic y Se + ób + 4c. De la suma de 3a b + 9c y 2a' + .fio Se sustraer la suma de .ia + Mb 2:' ya Zb +c. Símbl o os de agrupacion " ' Los simbolos de agrupación, como son los paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ], se utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operacion. Cuando se escribe el binomio 3a + Sb como (3a + 51;), se está considerando la suma dc 3a y So como una cantiad. La expresion a (b + e) significa que la suma de b y c se va a sustraer de e. 3 onsenctoutulstcns oourouuomos El enunciado “tres veces .ir menos cuatro veces la suma de y y z", puede escribirse en notación algebraica como 3x 4(y + 2:). Eliminar o suprimir los simbolos de agrupación significa elèctuar las operaciones indi cadas por ellos. Se eliminan los simbolos de uno en uno, empezando con el que este situado mas adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones que hay que efectuar. Eliminar los simboios de agrupación y reducir terminos semejantes: 2x (Sx SOLUCIÓN 2,1 f) + (ir lr óy) (Ss: 2_v) + (Jr 6_v) = lr = (Zx = 5x + 23 4 Jr 6_v 5.r + .r) + (2y by) 2.1: 41' II Suprimir los símbolos de agrupación v reducir terminos semejantes: Ta + 2(2b ' 3(3o Solucion! 5b)] 7a + 212@ 3t3a sw] = ra + 212» sa + ¡sal =7a + 4?) l8a + 3015 = 34h llo Eliminar los simbolos de agrupacion y reducir términos semejantes: Go {2b+ [3 (rr+ b) + (Sa 2)]} SOLUCIÓN ea {2a+|3 (a+m+t5a 211} =6a {2b+[3 ut b+5fl 2I} =oa {2b+3 a b+5a 2} =f›t1 Zb 3 l~rt+b 5r1+2 =(6u+a Sa)+( 2b+b)+( 3 +2] =2a b l A veces, es necesario agrupar algunos términos de una espresion. Esto se puede llevar a cabo mediante el uso de paréntesis. Cuando un simbolo de agrupacion esta precedido por un signo positivo (“más"), los signos de los términos no se alteran: cuando va precedido por un signo negativo (“mcnos"), se utilizan los inversos aditivos (negativos) de los términos. 3.5 SÍMIIOÍOS GB ãflfllflãdfill Agrupar los tres últimos terminos del polinomio 3a Sb + c 2 con un simbolo de agrupacion en dos formas, una precedida por un signo positivo y la otra precedida por uno negativo. SUIUCÍÓH 3:1 Sb + t' 2 = 3a + tt* SI: + t' 2] I ÍIÚ hay cambio de signos 3a 5b+c 2=3o (Sb r +2) I _.l negativos Ejercicios 3.5 Elimine los simbolos de agrupacion y reduzca términos semejantes: 28. 30. 32. 34. 36. 38. 39. 3u+(2+5a) n+(2a+3) 2a+(8 a) 3r1+(4 2a) .7a (n+7) PP' 2a (a+6) .r ('2x 4) 3r (Jr 3) 9. 5.: (I 3x) lr (2 Jr) 4 + 6(.r I) 12. S+5(2x 3) 7 2(3.r 3) 3(2.r ii .*F"'?9°'*"! ' 6 I) I5. I3 3(5x I) I7 7(3,r 4) 17, (Zr 3,v) 4[.r Sy) 2(5x 4y) (7.r + Jr) I9. 3(2n b) " 4(o + b) SU) 4a) 6(b 3o) 21. (rr 3b) 3(t' I Zb) 8(2a b) _ 4(b ri) 23. 3a {2b+3o) +(b+a) 9 2(a+3)+(u+2) 25. l3+2(u+5) (7+a) .r 3(2_x + 3) + (.r + I) 27. l2.r (12 5.1:) + 2(3.r 4) 7 4(2.r 5) + 3(x 3) 29. 3.r+[2 (J: 3)] 5.r + [6 (lr 1)] 31. 9_v + [lr Lv + 4.rli 33. 10 [3 2[.r + 5)] ct [7 3(4 a)] 35. .t 17 nz; 4)] 3x [6 2(2 3x)] 37. 4.1: [9 4(3 x)] _4.r + lx (lr 3)] [5 2(l .r)] x [31 + (4 .til [8 3l.r 2)] 40 3 1' r ly (I ~ 2_\')I ' ll* _ U' _ 21)! 41 3)' r lx 2(3.r 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. S2. lr Lv + (1 .r)] Il (_v 31)] 7 2].r + (lr l)] [S 2{;r + 3)] 6 + 4|,r (lr + 3)] I? + 3(.t: 2)] 3 + 2[2r (3.r l)] + [9 H 4(.r + 3)] 8 3]3 + 4(x 4)] |2,r 3(1r 3)] 15 : 514 2(.r + l)] [fix 5(.r + 4)] lr {5_v [lr jr + Li: y)]} IO + {.r [y + (Jr 3] _ (F _ 6)]} 3o+{b 2 ](a b)+(b l)]} { 2b [3 +5a ( r1+ 2 b) (7a+ 2)]} 2a ¬ {2b + [ 4 (3a Zb) + [ba b)|} 1. 4. 7. 10. 13. 16. 18. 20. 22. 24. 26. m + tv rs › ›1 :ol 123* of + 3_rll s omtnctones slstcits con Potmosuos 53. 2:1 + {3rr [5 + 2(rt + 3b) 3(b rI)]} 54. rr {2a [7 3(rt b) + 2(2a bil) SS.b 2{ n+]b+2(u I) 3(2b 3)]} 56. 3 + 2{2b lu 2(b 4) + .3{o 2)]} 57. 6 5{a + 2[3b 2(a I) + 2(a ¬ b)]} 58. 4+4¦b¬ [ n+5(b 3) 2{:"l u)l+3} S9.8 3{u 2]a (b 2)+3(b 3)]: 6} En cada uno de los ejercicios siguientes escriba un polinomio equivalente en el que los tres últimos términos esten encerrados entre parti ntcsis prcccdidos por (a) un signo po sitivo, (b) uno negativo: 60.3a+5b+6c+7 62..x+2_v :+8 64.1: y+z 4 66. 5.1: 6y+3z 1 61. a+b+c 2 63. .ir by 32 6 65.31: 23.' :+5 67. 61 3y 42 2 Esprcse los siguientes enunciados en notación algebraica: 68. Tres veces x más dos veces y. 69. Dos veces Jr más cinco veces y. 70. La suma de x y cuatro veces _v. 71. 72. 73. 74.. 75. 76. La suma de cuatro veces x y siete veces y. Ocho veces .›: menos y. Seis veces x menos dos veces y. Tres veces .rr menos diez veces y. Dos veces x menos tres vcccs y. Sustraer ocho veces x de y. 77. 78. 79. 80. 81. Sustracr .v de nueve veces y. Siete veces la suma de x y y. Cuatro veces la suma de .r v y. z más tres veces la suma de .ir v y. Tres veces z más dos veces la suma de x y y. 82. 83. B4. Dos veces z más cinco veces la suma de x y y. Seis veces z más once veces la suma de x y _v. z menos dos veces la suma de .ir v y. 85. B6. 87. Cuatro veces z menos tres veces la suma de .r y y. Sustraer tres veces 2 de cinco veces la suma de x jr y. Sustracr cuatro veces z de once veces la suma de .ir y y. Multiplicacion de polinomios flal' Definición y Notación El producto de dos números naturales, 3 y 4 por ejemplo, se define como 3 >< 4 = 4 + 4 + 4 tres términos de 4. se Iwtttøtlcactønacpouncnua; 77 Análogamcnte, Sa = 5 a = a + a + n + a + a cinco términos de tr 4ah = ab + ab + ab + ab cuatro términos de ab ub=a><b=b+b+ +b aterminosdeb Las siguientes son algttnas de las leves de la multiplicación de números reales 1. Ley conmutativa de la multiplicación: 2. Ley asociativa de la multiplicación: 3. Ley distributiva de la multiplicación: no = ba. tito: ) = (nb)r. rrtb + ff) = tb + c)a = db + dt' 4. Multiplicación de números con signo: (+ :Ill +11) = +ui›: ( cN+b)= ob: (+¢1l( Í? l tt)( b) lí í ob +nb Cuando se tiene 2 2 2 2, esto cs, cuatro factores de 2, se emplea la notación 2*', la cual se lee, “dos a la potencia cuatro", o bien “dos a la cuarta potencia" Del mismo modo, a a c ' rr o = ci significa cinco factores de o. El número rr se llama base 5' el 5, exponente. Cuando no hay este último, como en .r, se supone siempre .r a la potencia l. DEHMCIÓN Si rr ER, rn E N, entonces rn factors a'"=u orfla Nótse la diferencia entre (~2)"= ( 3' )( 2)( 2)( 2)= +16 r ~2"= Obsérvesc también que 2:13 = 2(a ora) mientras .|tte (1"1)= ¬(2~2 2:2) = lö (2a)3 = Í2rt)(2d)(2rr) = (2 2 2)(u rr rr) : 21a; = sus Observación ] 2 , . tt, rr , tr , L 7a o:rr~a=7r.t" 2 "('*3)( 3)(“3)( 3) = _ no son terminos semejantes. ( 3)* 3. a « tr 't sit t›)( si = ai . (af I 3 orennclonsssflsrcascoflnolmømos 4. (x 1) l)3 = (x l)(x l)(x 5. ;›_1+23=:_›. 2+2 2 2=4+3=12 6. 2* 2=2 2 2 2=s 1. 22 3* 8. a2( bi) í $1 9. 2f*( 41) 103 a rr ( b b 128 S( 16) = 10. 3% 5)* 4 27 = (2 2 )(3 3 3)= iv _ 6 2: 9(25) = 225 Ejercicios 1.2 Escriba las siguientes expresìunes empleando exponentes: U1 Í 4 7 10. =¬¿. auu Q* .lb I fu _: (2x)(2x)(2.r) í 13. (5m(5 f.\')(51›') 16. 18. 20. 23 26 29. 32. 35 un 41 Iínl amp 'Ñ )(3b}(3b) uàghp:.LlJ"'1 ._ 3) 3b b b b (ub)(ab)(ab) Í 2)( 21( 21( í ' IJÍ ' I) Í b)( b)f b) 5.1.' .I ' .r .Ir _: U' _2.2.3. 'U I 2 2'2 2 2 a a í 5f)( 51') U'b¦,à gl I I I IB ( 5}( 5)( 5) ( fl)( a)( u)( a)( a) 2a u a 21 24 27 1*JI J ¢Í.›¿› f L .L¿J¿.› «.`¬.› 30 333 33 .r . r ' vc v v 36 '("¿"¿') 39 42 It' › *ta :aura gun ++ mw gw 1 3. U1 _.. _b) I' “ta U1 * 'JI F2!Ñ@.«JHI' J °“=:*=.;. =Í~.=}.±Í.›" É"2 .=+Í.I¿› f.+'€'?¿.~l.'› É''?"'°?"`:"=å ¿J ' I ' .I ÉIÍHJ QI'~J¦¦| 519 N@ É: lu = Wwa: fi"'*""JÑJJ Escriba las siguientes expresiflncs un fnrnma desarrollada' 44. .23 45 . 3*' 46. af 47. 20" 43. 115 49 4fl3 50. 51. aba 55. cI2b4 59. 53 63. 31114 67. '7l. 75. 79. :lay: ( a)`* (x 2)1 ag + bf' 1' 52. .r“_v 53 rïv* 55. ¬ Zñ 57 _ 31 6 0.. 64. 68. 72. 51:3 72.r3 ( 2)3 ¢:3( b): 61 3.14 65 ab] 6.1:" 54. aìba 58. 25 62. 22.11 66. agb* 70. ( ar): 69 (__. 73 . :ff ba) 74. (x + 1)* 76. (zx +1 )J 77 . (Jr 78. ,maz I bz 80. 81 .ta _v3 3) v)`* 4 Í`”.ï` no ¦ 'I"" J 3.6 lluttíplkraeidn de polinomios 79 Obtenga el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones: sz. ss. 90. 94. 21 + 31 (2 + 3)* (5 7)* ( 2)* H _Ji.: I t)*'(2“) 2 " )( 2)* 2 *)( 3*) 1I. I › " ' . " ~. I i lt @ l1nl||fl`=I' te §¦'ât~¬tW lIg! _. Im., " 'u.øIP"H.,_ I *Hu I" 'hu H' 33. B7. st. ss. 99 103 to? 111 ns 11 + 2* (3 + 1)* (s 9) 1 ( 3)* 84. sa. 92. 96. too. 104 los 112 no l“¬ J I li! I . " ' t.« I' tu .al I .\!J~| . * . ¿_ 4) ›""¦":. I ~. |)*(« 2)* 3=)( 2)* 21')( 31) IIII 5 * 4* (4 3)” ( 3)* ( 3)* 21 31 . 2.' 21') t) *( 3)* 5*' )( 2) * 51)( 2*) ss. ss. 93. 97. 101. 105 109. 113.. 3* 2* (6 2) * ( 4)* ( 2)* 21 31 2`( 3*) ( 2) '*( 3)* ( 4)2( 5*) f In. "' . I ' .,1_, ¿ Faetoriee los números siguientes en sus factores primos y escriba sus respuestas usando exponentes: 117. 123. 13 96 IIS. 124. 32 103 119. 125. 36 120 120. 126. 43 I44 121. 127. Sl) 162 122. 123. 72 216 Multiplicación de monomios Se examinará la multiplieaeìon de monomios, luego la de un monomio y un polinomio y. por úitìmo, la de dos polinomios. De la definicion de exponentes se tiene que al as=(o o a)(o ct o o a) =a o o~a o a o'a :U3 :at s TEOREMÂ 1 Si of E R y rn. tt E N, entonces a'" * af” = a"'*". m factores n faetores i If I uemosrmctóu a" fl"=w a ww a fa) (nt + rr) factores = ,_ i ft ~ a :I l'I'1'+fl 1. 2” zf*=2t****=2“ 3. 5. _24_23 :_ ct ' 'I _2 ¡+3 = 2. a= ¿~_.==a2+ ==af _2? 4' _3x1.I2 = .ri x=.t:5"' =x° 6. (a +1)1 (a +1)~* = (a + 1) 1** = (a + 1)* __3x3I2= _3_¡.5 3 I UPERICIOHES IÁSFCÃS CON POIJIIOHIOS Observación 2; _ 2, = ZM = zw* y no 4,.,_ observación 2" ' 35 = 2" ' 35'; para encontrar el produc to se multiplica 2" = 16 por 35 = 243; esto es, 2* 3* = t1s)(243) = ases. Puesto que las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación son validas para nti meros, lo mismo especificos que generales. se tiene 1. (2ab2)(3o`*be1) = (2 3)(a' a'*)(b2 b')(c2) = safbfië 2. ( 3b1¢'3)(8eb3c) = (_ 3 3)(b1 b3)(c3 e)(o) = 24b5t"'a 3 (2 fiyziìt 4.1'“y“) = (2)( 4)(r* ' rilty * y2)(z”) = 8.1 f_v “R 4. ( 31x_v2)( 5.r3}=3) = ( 9.ry2)( 5x2_)†3) = ( 9)( 5)(I' f2)(›'1'›†`) = 45 viv” De la definicion de exponentes se tiene W = (fl'i)(fl2)(fl2) í .í .í (ai =12)(e2) al r 2 _ al '_ a2+2 2 í alt C2 ___.: aìi C3 i. tí U6 TEOREMA 2 Si o E R y m, ft E N. entonces (a"')" = a””'. n factores Iííil DEMOSTRACIÓN (fl"')“ = ( fl'“)(¢1”') I (ff '") rn factores =(asa tt E 1 =¿¡”"' H n t m factores |'_“”“¬ a...a) .a).(a.a...a)...(a mn factores Í m factores n 1 a _ 3.8 &NMMfii ¡_ (32) t = 32 4 = 2. (a3)5 = om = o 15 33 3. ( 32) `* = 3” = 3* ¿_ (_aJ)2 = as 2 = as NOÍG 23 24 = 23” = 27, mientras que 3)* = 23* 1 :___ 212. De la definición de exponentes se tiene s*=(z a)~†= (2 3)(2 ~ 3)(2 3)(2 3) (2 sz 2 zya ( 3 3 3) 2*' 3 TEOREHÃ 5 Si o, b E R y m E N, entonces (ob)'" = o"'b'". m factores nsuosmtctóttt (at›)~ = (ab) (as) (ab) rn factores m factores '._._. Il I (ero "a)(b b* 'b} a"'b'“ Nota oybson làctores.Sia= 3 b=.1rym = 5, (3.x)i = 35x5. No olvidar elevar el name ro 3 a la potencia 5. Aplicando el Teorema 3 repetidamente obtenemos (abcd)1' 'I l(flb)(fd)] (fl¿*)'”(¢d)'" ct"'b'"C”'a'" 3 oranaouesstlscnsoourotmomos observación La cantidad (a + b)5 se ai + bi' ts + 3)* = (sf = 64, pero 52+31= 2s+9=s 4. Si consideramos (rr + b) como una cantidad EHÍUHCES (a + mi = to + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) El método para calcular el producto se explicará mas adelante. COROLÃRIO Al aplicar los Teorema 3 y 2, cuando a, b E R y nt, rr. k E N, se obttenc (a”'b" )* = l(¢1"')(b")l* (I "" )*(b")* = 1. (5. .~. 1t›)f'* = (5) *(ai)1*(b)1 = s“a°t›* = tzsafitfl 2 (_2a2b3)3 __: (_2)3(“2).'t(b3)3 = ___8aob9 3. ( 3ob2)ì = ( 3)"(o)4(b1)'* = Bloibii Efectuar la siguiente multiplicación: 2i'o"'(ob'i)'. SOLUCIÓN ' SÚLUCÍÓN 22o3(ob3)3 = 4o3(a2b°) = 4(. si ~ a1)(b"') = 4a5b ñ Efectuar la siguiente multiplicación: (3xïy)'i(2xy3)i'. (3*r*xi)(2iIir°) = (32*2"')(1"~ri)(Jfi vi) (3x2)=)1(Zxy3)3 í il (9 _ 3)x7yil = ïzxïyll 3.6 %flcad6n de polinomios Ob$Ervt ICÍÓI1 Primero se toman en cuenta los exponentes exteriores. Efectuar la siguiente multiplicación: sowctófl ( zas*)2( 3a1f›)3( t›.±~1)" ( 2at›1) ' *( 3a2t›)”( «¬ tm* = ( 2)2a2¿›* ( 3)%1°t›f* ( t)*'t›*'t~t' = ( 2)i( 3)3( l)"(fli e°)(b" ' bi b"')( 1'" = (4)( 27)(+1)a“o"c* = l03a3b“c3 Efectuar las operaciones indicadas y simplifiearlas. solución (:o1›)*( rfit›)1 ( 3.. 12)*(a2t›*)1 (zae )*( tf. f*t›)1' ( sa1)*(a2tf )2 = (1ea*t›*)(afib2) ( mfi)(a*t›fi) = 1ea'"t›“ + 21a*"¿›° = 43rt'"b" NOÉB Para evaluar expresiones que contienen expo nentes, primero se reemplaza cada literal con su valor especifico indicado. Se usan simbo los de agrupación donde sea necesario con el fin de no confundir signos de operaciones con los de números. Evaluar eibi, dado que a = sotuctón 3 jr b = 2. afb* = ( 92(2)* = (9)(8) = 72 Evaluar la expresión hi a2(c:3 bi), dado que tr = c= 1. SOLUCIÓN ff etc* bt) = 0)* ( 2)*l( 1)* (3) "J (+4)l( 1) (27)1 4( t 27) 4( 28) 9 I ll2 = tzt 2, I) = 3 y 3 I* “Qfl$wNPfl..flOÚO5 Ejercicios 3.68 Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 1. 21 23 5. 2 2* 2. 2:2” 3. s. _22 . 25 7.. 23 23 _23 . 21 4. 2* 22 s. _22 _ 26 “Las 9. rr oi' 10. ai oi ll. ui ai 12. L3. ha ' b 14. te bi 15. Tal ' bi 16. 3a 'bl 17. 5:12 bi' 18. 19. To oi* 512 x" 22. . 20. 24. 28. 29. tI( bg) . 33. tI( b)3 fiää Zai ai' 3x .ri lr* xi' a“( bi) ai'( b)i 3:13 aì 21. 25.. 9:13 bi oa ct 37. 40. 44. ( o)2( b)3 r"( .x)3 41. (.r l)2(x I) 46. 43. 3(x + l)i'(.r + 1): .ri + .tr 49. 52. 56. .rz x 31:3 + .ri 3x4 sr" (a2b)(a3) 53. 57. til. 65. 60. 64. ss. (21"iy)(>*i) 11. (1I2)(31o'2i) 14. ( › ob)(3oi) 17. 3riri(2I“›') so. ( 21 ni )(u3b) 33. _ 2sxs},( _ 523,2) ss. ___x3y1( _ 339,5) sr. 3x(4.r3y)( .r'i_v3) 89. 4.1r3: .ri rr'i( 102. tos. 109. 113. 117. ( 23)* ( mi" (3x1):' (zv*_v)2 106. 110. 114. us. 31. u3( __ 35. 38.. xi( .r)" _¡:›( _x)s 42. 39. x2( .r)" si x" 1' 71:2 + xr 3x2 5x2 (aib)(bi) 69. (r.›†i)(fr) 72. (4ab)(abi) 75. za `*( sala) 78. 81. (HEY (¬1i)i ( 115)* (2ir)i (3›o›i)i _¿,,2.x 91° .ri ==2( b)“' 36. cil 1?) 32. .r2( .r)i :ri t xi ri” .ri 51': + 5.12 31:5 Tr" (u2b2 )(a3 70. (.r2jv )(.ry) 73. (3a2b)(ob3) 21: ) 79 82. 1'f}'( "' 3:39) 21 a1b( Qnbi) 34. _ 2.i›x2( ___ 32x},.i) ss. (7 ri›'i)(4 o*)( 2r) ss. .r¬i.ri( _t'3`:)(2.r4jt*) 90. 6.r'i_vi(_r'si')( 31:22) 92. .ri( 4.r_v2 )( Sxiv) 94. 2o'ib(3o2)( 96. (22 ii 99. (sti) i 103. Í '" 22? 107. Í " Hi): tn. (21 'f'i)2 115.. 119. ) 76. 4«2¿›( cole) or'(2o"') 52ab2( .r3( Jr) 3 43. 45. (ax + |)=(zr +1) 47. Zlr + y)*`( r + r)" st. su. .ri + .ri 54. 1,. :_ ts ss. ss. ss. se + er* 63. sz. 4.r'i 6x3 ss. (ob'i)(a") 67. x + .ri 91. 3r›:i'( 5 =fi:›:')( 4›*2) 93. 3»o*( 2i›')(5 ri) ss. 3r:t2b1(22ob" )( 32u3b) 97. (31*)2 98. (ei): (a2)ì 27. bi) rir(3r2x“)( ri) 101. 23. (Zara): (2 1372)* 52113) 100. 104. 103. 112. 116. 120. l 113)" (_ 32): (_a]) il (3f1i)i (32xs)s (3 *2›")i 3.6 H Iflllllclldfifl GE DOEFIDINOI 121. tzs. 129. 132. tas. tas. (s.r1y2)f* 122. (zä ,›*)2 123. ( xy2)“ ( .t2y)1* 126. ( :u1y)1 121. ( .=. t›>)f '= ( 2 `*. .tl›2)f* tau. ( sao? )“ 131. :u(.r 1)* 133. 4;(.r2)= 134. 1 =(2fi)“ 136. 3;3(3;2)° 131. 3at›2(2t›1)~'* 139. sa2t›(2tu›2)2 140. 124. ( 13y*)"' tzs. ( ztaib ;(zx*)2 sx(z=1'*)1 a%›(at›1)= 141. (rI1b)2(2Gb2 )3 142. (5o2b3)2(a2c)3 143. 145. 147. (22ab)i(ob2)3' (22ab" )3(3a2b )“' (ab1)2(2bci)3(aic) 144. (23ob3)¡(o2c)3 (ob2)3(3a2)2 146. (2ia2t›)i(b*¢)* 148. (ub2)3(2o2bc2)1(oc2) 149 (1iy)“( ri.v)i lso. ( z2ab*)*(a2b)f 151. 153. ( .r2y)3( 2ix3y)2 ( xyi)i'(2.r2yzi)2( 5x23) 152 (_ I2)3( _.v)°( _ I2)'2)3 154. ( 2ob2)2(3o2b3)( oie 3)* 155. (ob1c)1( 156. (2ob3)2( 151. ( a1t›2)i(2iflt›¢i)*( str'c”)" 153 Ífl2(r _ y)i][fl( I _ 10212 159. 160. [a(x 161. [xi(x + 3)1']2[.r3(.x + 3)i] 152 (12)( Ii) _ (_ f2)(I) 163. 164. 166. ( 22a2)(e3) + (32o3)( oz) 3o3(o3b) + ( o")(o2b) 167. 2a2( bi) + (4a2)( t›)i 163. ( 22612? l69. (3o)3( 170 (_5X3)2(_J"') _ (_6J*2 13): 171. ( 21oi)( b2)3 + ( 3a)2( bi): 165. 2bc3)3(3o2bc)"" [2o2(x + l)]2[ 3a(x + l)]¡ 2o2(b1) ( 2ox)i oi( b)3 ( o2)(x:") o2)3 + a( a")2 agb 173. 176. rs. 1" 177. bai lso. Â me 134. 3. si + sb i 136. 183. 190. ¡st ' fi oi t Zbcï + di oi d2(3b2 od) bi l d2(oe + Zbzd) 192. ai 2. :to'2 2t›2(t~2 + dt) .ie d, 174. 178. taz. d, tas. te zab 131. si + 21» 189. 8 l)]¡ ¢l2( 241)* I, c = 4 v d = dzc a'id2 bc? o"bc2)5 l)2]3[o2(x Evalúe las siguientes expresiones cuando o = 2, b = 172. 32a2c)3( 175. 179. 2 b2c2 bc4 3b3d 133. _a,c si sa* a3(d1 + bi) 191. st; 2 2a2(a3 cl) 193. 2a=t› + f1(2t›= ba) Multiplicación de un polinomio por un monomio A veces, es necesario usar muchos números literales en un problema. Para no emplear gran parte del alfabeto, puede utilizarse una letra con subindices, como en a, , que se lee “a sub uno", al, que se lee “tt sub dos", o; que se lee “rr sub tres”, y asi sucesiva mente. Recuérdese que a, , a 2, a3, . _ . representan números diferentes. 3 I OPHICDHEIÁSICISCOHPOLINOIDS La ley distributiva extendida de la multiplicación, a(b| + bg + + bn) = ai: 1+ ob; + + ab,, se aplica para multiplicar un monomio por un polinomio. Multiplicar 3x2 + x 50|_UC|fiN x(3.r1 + .r 2') = .t{3x3) + .r(.r) l ,r( 2) = 3x3 + .ri 2x Multiplicar .ri sotuctont 2 por x. Jr + 4 por 23:2. _ Multiplicar agb SOLUCIÓN 3oib(aib 8x2 Zhlc + Sega por Brtzb. 3u3b(a2b) + 3o:b('_2b2f.') + 3rt3b(5r:2rt Zbic + Sega) 3o4b2 Óulbic + l5o3bc2 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: 2X(3x _ 4) _: 6x{.tt' _ 2) 2x(3:r Multiplicar 2'? sowctotv 4) 6x(.x' 2) = 6x3 8.1: ox: + 12.1: = 4.1: ï6_¿ por 12. 12 í. :tr 2 2.; 1__12 3;___2 ._ 1:1 lr 1 J _. tu I 4 6 l 4 l 6 sta.t: 2) ztzr n í Í 9.r 5.r 6 4.1: + 2 4 Ejercicios 3.66 Efeetúe las multiplicaciones indicadas: l. 4. 7. _ (~ 2»fi)(t "`* _ X + 4) = ( ¿till tz) + (U 2Ii)(_I) + ( 2 ri)(4) 2:" + 2x3 SOLUCION _ 6(x + 7) 8{x I) 4(x 2) 2. 5. 8. 5(.x + 3) 2(2x + 5) 5(x 3) 3. 6. 9. 7(x 4) 3(4.1r + 1) .r(y + 3) 3.6 llllfliflitãdúlì dfiflflflliøflllos 10. 13. 16 19 7 ' 'U' + 1) IU” _ 2) 22. 25 3x(x I 2) 28. 31. 34. 37. Zrtfiy 5) 2r(2.v 7) Ú«\'( 1' _ 3) 4x(.r 4) 2x(3x2 lr) 4x2(x + 2) .r3(3 2x) z±*(s,± + 3) 4.t:2(.r3 'ëåãgfiå 52 54 56 53 60 62 64 66 l) ll. r(2y + 5) 12. 2›:(3y + 4) 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 3x(_y 15. 5x(2y 7.r(2.r2 + x 4) .r(.r2 + .x 5) 4x(3x2 Jr l) 3x2(x3 21:2 + l) 2.›:3(.r2 31 2) 3at›(2a2 + 4t › ° 1) a t›=( si zaãb + bt) ob3(a1 Zab 4b2) a 2b(3a2 + bl' ~ 1) 3x(2.›t t) so 3) x(3x 2) 3.r(x + 2) 63 70 r( ri 1x+ 5) +s2(zt 3I2(2 X2 + x 4) x(3.r2 '71 x2(2r2 4) 3:r .t{x3 l1"'¡ 3 *+1 12. eí+ 3 2 .I+2 74. or; 13. 31@ _ 2) 2yl 21. arts 2x(x + 4) x(2x + 7) 24. 113 _3 fl? I 1) 4x(2.r2 + 1) .r2(x + 6) x3(2 x) x2(.r2 1) .r(x2 Zr+ 47. 49. Sl. S3. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 4) 69. 2113.1' + 3) 30. 33. 5x(.r2 2) 6.r(x2 4.1:) 36. 2.r2(.x II Il L"""'Ht .JI*hGHJ.g l'ï" 'I "ïiI|'i¬f 1 t 1+ 'U J ¡ 4 ti x(Zr2 Jr 3.1:* Zt:(3.r2 .tr 3.r(3 5.1: 2.x3(3.r2 + J: .r4(x3 4) Jrz) 5) .tr l~ 2) 2at›( a2 + sab bi) zaibw + sais* 35') 5a'ib2(ob2 b + 4a) zas' (2fl= 2.r(5.1r 4..r[.r ste 2) 6) 3.:r(x 4) É 1›:(2›: 2x(3.r2 4) 3) 4.: + 6) x2(Jr 4;) x+4 x+l ;3,4___+___ 2 4 ¡+2 l8[ st. x 8 9 + .r I l 79. 1) 3.\'(J.'2 _ 3.1' + 2) 3.1: l 77.6_ [2 lx* le 3) x2(3.r + l) 2x2(.r2 2) 45. 3 Jr l í_+“"_' 9 4:| ' 7J 6) 27. 75. _? 4.r(.r 39. 42. I) ty; 9x + I) .tr 4_.r+2 78 3) 3) if +'† ] il t 76 80 .1"'i"3 I) ZIICÍ5 2.1' l “ls 1 3 2:r+3 _ 3] Jr 2 7 ] x 8 si _ 8) 3 I Wfllïflfiflflfllåwfllflí Multiplicación de polinomios La multiplicación de dos polinomios es semejante a ia de un monomio y un polinomio, donde el primer polinomio se estima como una sola cantidad. Para multiplicar (x + 2) por (Jr 3), se considera (x + 2) como una cantidad y se aplica la ley distributiva: of 1› = < 1 1+ ( 31 = .I(I + 2) + ( 3)(..'t' + 2) Luego se vuelve a aplicar dicha ley: = .ri + 2.1' = .rz .r 3x 6 6 Nótese que cada término del segundo polinomio ha sido multiplicado por cada uno de los términos del primer polinomio. Es posible obtener el mismo resultado acomodando los polinomios en dos renglo nes v multiplicando el polinomio superior por cada uno de los términos del polinomio inferior. Los términos semejantes obtenidos en el producto se adorno dan en una misma columna, de manera que la adición se facilite. .rt.r + 2) = 3l.r+2l= sumar De esta manera ¡+2 x 3 .tz + 2x 3x 6 xi x 6 (Jr + 2)(x 3) = xl observacion Multiplicar (3x x 6. (x + mx _ 3) 9, X, _ ¿_ 4)2. Sotllclóltl (ss 4)2 = (sx 4).;3.x 4) 31 4 3x 4 3.t est _ el = 413. .~ tu = sumar Por consiguiente (3x 91 121 12; + te 912 24; + te 4)i = 9x2 °””"“'°" ' 1 24.1' + 16. 3.6 Iuldpllcoclondepollnontlos le notas 1. (a+b)2=ai+2oo+b2 z.(a ¿›)=' =a 2 2e¿›+t›i 3. (d+b)(a b)=o2 bz Multiplicar (xi 2x + 1) por (Zx H 3). SOLUCION x2 2x+l 2.1' 3 2r(.r2 2x+l)= 3(.r2 2.x+l)= sumar Por lo tanto, (x2 2x + l)(2.x 213 4x2 l 21 3.r2+6.r 3 2:3 712 + 8.: 3) = 2x3 Tx* + 8x 3 3 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: (Zx 3)(x + 4) (Jr + 2)(x 6) SOLUCION (21 3)(x+ 4) (:r+2)(x 6)=(2›:"i+5.r 12) (Jr: 4x 12) =2t2+5.r 12 x2+4x+l2 =x2+9Jr Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: (sx + 2)(.t + 6) sotttclóll so. 2)* (sx + 2)@ + 6) so 2)* = (asi + zox + 12) 3(.r2 4x + 4) = sx* + zm + 12 3.1 2 +12.v 12 = 32x Elercicios 3.60 Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: Fl" 7. 10. 13. 16. (Jr (Jr (x (x (x (x l 3)(x + l) + 4)(.r + 3) + 3)(x 6) 4)(x + 6) + l)(.r 1) 7)(x + 7) Ulb J 8 ll 14 17 (.r + 2)(x + 4) (x + 5)(x 2) (x + 1)(x 8) (Jr 7)(.r + 4) (x + 3)(x (x l)(x 3) 6) flltfifl 9 12 15. 18 (x + 6)(.r + 2) (x + 7)(x 3) (J: l)(x + 3) (Jr 9)(x + 2) (J: 6)(x + 6) (J: 2)(x 4) 3 GPHICIOIBIÁSICÂSCOIPUIJÉOIIOS (x 3)(:c 5) (3.1: + 2)(x + 4) (4.1: I)(.r + 7) (3x l)(x 6) (3.r l)(3x + 4) (21: + 7)(2x 3) (lt + 1)(2x 1) (4.1: + 3)(4x 3) (9x 2)(4x 3) (4 + x)(5 x) (2 x)(2 + x) (6 .r)(2 x) (3 2J:)(3 + 4.1:) (x + 3)(2 x) (x + 7)(3 x) 823% 29 32 35 33 41 44 47 50 53 56. 59 62. 65. (1 69. (X 2)2 (_: + 2y)(.t + 3y) (I + 5›')(x (3.1: + 2)(3x (3x (2 1' (6 (6 (5 (2 (x + 4)* T3. 31') 2) I)(4x 3) ' 5)(3x ' 7] x)(4 + x) .r)(6 + x) x)(7 x) 9x)(3 + x) l)(6 x) (lr + ¡)(3 (.r + 3)* 66. (x + 1)* (Zx + l)(x + 3) (31: + 2)(x 6) (lr 3)(x 4) (41 + l)(6x + 5) (3.1 I I)((4x 1) (51: + 2)(3x S) (21: + 5)(2.r 5) (2.1: 4)(3x 2) (2 + .r)(3 x) (1 .r)(9 + x) (3 x)(l x) (4 .r)(9 x) (7 + 3.r)(8 Sx) (x + 4)(l x) (x 2)(x 3) (lt + l)(x 5) (Sx 2)(x + 2) (lr + l)(3.r + 2) (Zx 3)(3.t + 5) (4: + 1)(2x 9) lr) (2: + 1): 10. (2.1 1)2 (3x + 4)(2 67. (2x + 3): 11. (31 2)2 (x + y)(.r + 5y) 74. (x + 3)')(x 76 . (2.x + 5Jf)(lr Sy) 4y) 77. 79. (3.1: + 2}')(3x (x 4)')(3.r 231) 43;) 81. (xy + 3)(1')' 4) (lr 3y)(3r 2?) (xy + 21(1)» 2) (xy 61(1)* 4) 33 (rr 5) (xl + 3)(x2 35. 87. 39. 91. (Zar: 3)(3x2 5) (x + !)(?.x2 7.1' + 3) (x 2)(x2 + 2x 4) (Jr + l)(.t2 x + 1) 93. (21 95. (Jr 97. 4(.t + 3)(.t 7)(1?~' 93. l)(3.1'3 2: 2) (x + 2)(3x1 61 5) 2(.' r + l)(x + 4) 2(.r + 3(x .r(2.v: (xa + 3.1 108. (212 _ 3.! + Ó)(.I2 + 2.! 4) 110. (x2 + x + 1): (.12 113. 115. 117. (xa 2.: 1): (x + l)(.t l)(x 2) (lr 3)(.r 2)(3.r + I) 127. 129. 131. (Jr (2 I 100 . 102. 104. 106. 119. (x + 1) ”'* 123. (x 1)* y): 3)(_.r2 I 3x + 9) (3x + l)(9.r1 2_v)(x1 + 2.1@ + 43,3) 2)(2x 1) 3)(x + 5) l)(.r 3) + 2)(.r2 3x + 2) lll. 120. (.›; + 2)* 124. (1 3)* (x + l)(x + 3) + x(x 4) (2.1: + l)(x 2) + .x(x + 3) (x + 2)(x 4) x(x 2) 2) (31 (x l)(4I2+2X+ 1) 1) 3x) 101 3x + 1) ›')(4 I* + 2 0' + F2) 99. 3(x + 2)(x 4) 4(.1: + 3)(.r 2) 2(2.r + l)(.r 4) ›:(3x l)(3x 2) (x3+2x l)(x“1' 2x+l) (3):: x+2)(2x2+x 3) x + 2): (x 112. (xl + lt 1)(.r + 2)(x 3): 3) (Zx + l)(x i)(.x (.r + 2)(2x 1)(3; (.± + _›~)f' 122. (zu + 1)* (Zx 126. (Br 1)” 4) 2) 2)* (.r+ 2)(x 3)+x(x+ 1) (x 1)(.r+4) x(x+3) (2.r+3)(x+ 1) ›:(2x+5) 3.7 Divlolúndepolinomlos 3)(3.1r 91 133. (lt 4) + (.r + 6)(.r 134. (31: i l_)(4,r 135. 137. (x + |)(.r 2) (x + 2)[.=r (.r 2)(.:r + 8) + (Jr 3): 5) + (3 2) 21')(i + 69:) 3) 139. (31 + 1)(.r + 4) (.± + 2)* 1n,(m 3m«+n cu+3F 1a.@ of u+6f 136. 138. (x + 4)(x 3) (x + 5)(x (Jr 3)(x + 5) + (Jr l)2 4) 140. (ss 2)(3.t + 1) (sx 1)* nm 01 Uu+s) ns U* 1M.ua+flL4m 3? Exprcsc los siguientes enunciados en notación algcbraica: 145. 146. Z más el producto dc .tr y y. Dos veces z más tres veces el producto de Jr y y. 147. Tres veces z menos dos veces el producto de :r y y. 148. Cinco veces z menos cuatro veces el producto de x y y. 149. z multiplicado por la suma de x y y. 150. 151. 152. El doble de .T multiplicado por la suma de x y y. El producto del triple dc E 3' la suma de x y y. El producto dc cuatro veces z y la suma de Jr y el doble de y. 153. x más tres veces el cuadrado de y. 154. El doble de Jr más cinco veces el cuadrado de y. 155. 2 menos cl cuadrado de la suma de .tf y y. 156. Cuatro veces z menos cl cuadrado de la suma de x y y. División de polinomios Las siguientes son algunas de las propiedades propias de las fracciones. estas propieda des se tratan en el Capítulo 2. ,_2='ï b bc 2_f¿fa=2¬.2 c c Nflfã c 3 É: fi _Ef`.. TI É .I "aa . . .. 4 E.:..E. E ._a 's'a"t›¢ . Puesto que la drvtston por cero no está defi nida, todos los denominadores se suponen dis tintos de cero. Primero consideraremos la division de monomios, luego la de un polinomio por un mo nomio 5', finalmente, la de dos polinomios. División de monomios De las propiedades de las fracciones y reglas que rigen a los exponentes se tiene Gs a s rr 3 a3 3:?? '1'=T= as = as _ 5 92 3 I OPBÃCIOUB IÁSICÃS CDIPOLÄOS ad l a4 tt? aro ni l av as 1 as L ID 'J' a Si of G R, a ¢ 0, y m. n E N, entonces TEOREMA 4 f _ tt" _ o'""" cuando rn 3: rr l cuandom = rr i añ HI oetnosrnnclon É afl É nn' Í tr' cuando m < n n,afn n = % T* = fl”'_" cuando m 3 1 H a" = É = I cuando m H a”"l I =fi=a'ï, cuandom <'. H 26 1. 22 “T 2. H, : 26 2 = 24 :aa s=az (fl 1)* 3. (G U3 =(fl l)'*'“=(fl 1) 54 4. 5,, 5. 6. (x+ l)3 (x . .ii ) 5 + 3" 8. 1 1 312 _ 312 8 _ 34 as 7. 1 1 ¿.19 _ a9 3 _ añ (.r+2)“"__ 1 _ 1 (1 + 2)* _ (1 + 2)fi'* " (1 + 2)* 3.7 Dlvislondopollnonlios 93 _ . . 30o3b2 . Simplificar W aplicando las leyes de los exponentes. sotucioiv _ .3°f¢3¿'Í izan; 4 2 ' 3 ' 5“"'f>2 2 t 2 sata* “L ^' I i aio f.li«.`.i 1 1 I 1 ¬ inf rou ns: .2L bI __§.e.i F 21 bi _ Si zbl De las propiedades de las fracciones y la definicion de exponentes se tiene g_"_g_z_2_z _2 2 2 2 Ej 3 's 3 :i 3 3 3 3 3`s* TEOREIIÃS Si e,bER,bsf0,yni€N, entonces es 1; 'se rn factores nsiuosrnncion «ff tí ¬ = _._. _ ¦ l"'¡'¦i TQ m I'actores __ '¦3"fi'i 13 2 % _ gl3 l_í__.I m factores COROLARIO Si tr, b, c, d E R, c ss 0, d se 0, y in, ri, p, q. k E N, entonces haciendo uso de los Tcorcmas 2 y 3 de la Seccion 3.6 v el Teorema S, tenemos ¿tmbn I: _ _ amkbnk Zlì F * (Mr * ms* . . _ . . Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar ia expresión SDLUCIÓN Zxirs 3 . Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el expo nente exterior. [2r"yz]3 [x3zJ3 .r°z3 x9z3 fixyï' _ 3). _' 33)? _ 27y3 3 It OPHICIOIIEBÁSICÃSCGHFDUIOIIDS siist ` te(2 32)@ .3›* `.rf2* 3* 34 _ÉÍ.Í...Í.L..2 "'23 s*ì 32'" 9 Simplificar SOIUCIÓN 2 3 J aplicando las leyes de los exponentes. a _ En este caso no es posible simplificar primero, ya que el ntimerador y de nominador tienen potencias diferentes. Primeramente se aplican los exponentes exte riores y luego se simplifica. (2a2bc3)3 Ziafibici' _ Suicq (3a bi): 3 32a2b" 9b Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: idea* : ( zas) * + ames* + ( 3a=i›)2 solución isa W + ( 2ai›)i + ssaibi + ( 3a2s)2 _ isrrvfi + sama* _ tartas + santa@ "` ( za; )1 ( sa›2t›)1 ztatte 3%. *f›2 ieaiai seafiiil' =' _a:f›~n+W=“*'†““=2“ Ejercicios 3. 7A Simplifique aplicando las leyes de los exponentes. L 5. 22 Í 2 13. ( 2)3 T a2 53 ll) ;§Í 36 ll. 14 ( 3)3 is. 1_3Í)d( ai 17. 1. 36 35 34 24 32 1" 2 27 3. 26 _ 2l4 9. 28 32 _ .._5fi Iii IS x4 Í 33 EÍ So 75 mi ...72 ( 2)” 23 G9 1913 'ir a3 DM¦I6III¦l¢l¦0Iln0nfl0$ R4 É I HI2 añ ¡.10 x? ¡IO x7 all ~Éaz _: SÍ ( af" all _ 5* ( HP G5 al al ( 1)” ( fl)° _aio __ ( 11)* (I * 2)* (.r+ If (.ir+ l)" El (I _ 5) (I (ir + _r)° (1 (I ¿fi xa .Ei E É 4rx` Zrii» 3h 4_v3 of .ray 5)* xl 'Oi Ir sii xivi 36at'ib lil 32a5b2 isaiai _ gaibfi 2b4 3 ( 3:13 4 sf) Ei' 2y is xy) 'P' f""' "" IU aiii se i i '*se” ==,_,g¬`. .ryi FEF* É aiii* la) zfll daba Maia* SH fioab 25u'5b° Sambi (a) a2b fi keys 3 fixãy 4 4x_v“ _v 1 : .7' 82' ( 12x32 y z 44 ) (axyiigì) _a1 te (if) 3 3 xy 88' i cf) "í__` 3 2 (äìiiš) 6:23 .r"y2z7 3 ëfi 25x“ izii iii* ¡aya s x4}_,s 4 .!5¿“ 36a1üb'? ta) zx 3 V427) r) y)° 26a¿'b2 39b5c*` __ óalibï 112)" ¡ys Ei aio 70a c (sf) (I 1)? (I + i=)" (I + y)” x2 rr 420%* __? 9i:i2b5 (x __ ])Ifl sx 'l 1 x 31:2 ( fl)“ 7 (ir + 3)3 (it + 3) (X 2)”' (I + r)i' . " .†"' t. " “'›i ae ( ef ( s)“ x5y3z b1 **_"" _ bb añ aa .I x5 za. .I8 _ as ai 2 " fi 1 W223 _l8a9 3 xy te si 2 39' ( ff) _'_"'_" s 4 s 2 3 ab 9° (za b) ii T 3 I' 0PHIt`¦IOIBBÂQCÃSCOlIPOI..|HOIIO$ 91. 95. 99. 2 113 92. 221 3 72 212 96. % 12' * 100. ( 8)' 92 1 103. 1 104. 107. 110. 113. (alìbä )2 (a2bc3)"" (H br) ""a' :Ti ( 19 1 _, (lüaïbc ) 112. (Mb ) íÍT 120 121. as + al o(2a)?' 603 + ( a3)1 3a(2a 122 124 ( 5)" ïï.%'b†)¡, I) ÉW (l4xSy2zfi)§ 113. ( ___ (__2lx¿y¿z ,)¿ 33.1.'4yóZ5 )2 ( 2lrÍv°25)3 3a' + ( ag) + a(3a2)2 905 : ( a)3 + 3a(3o 127. sab* + ( bi): Sa *b = ( 2flb)* aafibfl + ( aa 2)f* + 3of1"'¿›** + (3fl2b)* 430% '° + (zob*)* azofibf 1 ( 2›:rf›)" IZS. (2o1b)“ + ( 'H *f=)" + 540%* 1 ( 3flb)” 126. ( 25 "5' (aab2¢2)1 (l8a2b )'1 119. 125. Divisuon de un polinomio por un monomio De las propiedades de las I`rm:cioncs lenennos que (I fÍ¦+[Íì+"'+a | _ 1 I.__r_I_*E! Íl _.__ l'_J (I 1+. III 2 (I Rccuérdcse que a + b ;_ sìgnifìwzn tu + b) + Í' (1 + 251 (_2¿¡2b3¿.)2 (12af›3)* ( _ 6x3y2z2 )3 123. ( 10)' (6a›ib2)§ * 111. _§;_¢_ry2r)' ( _ 2_¡_.2F¿,3 )3 5ab4c3)3 ¡oz ' 109. 24 114. (l6a2b2)3 116' 105 (2fl*b)" “' (3fl3¿=”)" ( 101 (E3 4)” (fl:"b)” 108. (a3b2 )2 (02:73 ) 1 rs* os. 6€, 192 | 5* 1 (zi) “Il 63 97 4G 3 15) 93. äì Q 21 s 2 3* I 1 I .+. un E CI 2) 3.7 DIVISIÓN GB DUÚIHBÍOS 97 NOÍ3 %_b ifi b. a+b o pero f) b “T ='iï+'ä'=1+Tr Para dividir un polinomio por un monomio, se divido cada término del polinomio por el monomio. :_ 1 Dividir ysimplificar. wwwfl mi if* +.1§›f. _ 12 5'; + _ of + of fix 6.1.' = 2.1:: 3 3 Dividir 'ii 21121; ab sowcióu za 3 a _ bz 5°*"°'°^' ÚI .ic + 3 y simplificar. 2 zoo _ 2 ¢ii›=3. .i3 + ob Dividir Q X `* ÓX _ ab 2 2iib+ ob _ 2 2 ¢i¿›=_§_¢¿__+2a+b ab 2 ._ +3S'” `ì`l) y simplificar. (3x + ir): a{3x + of) (ax + .ii (3.1: + rr): ___ a(.'{i{ +_ :Q oi. + ai iii + ai =(3x+a} of = 3x+a a=3x Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: 12a* + #2 of SOLUCIÓN b 4 3 _ 12@ + Liz 32.91 (aii mi + 1) 2 32o _ Ga __ Wa + U =(3a3+o 3) (3a: Sa 8) =3a2+a 8 3a2+5a+3==6a 3 I OFERJICIOIIESBÄSICASCONPGLHOIIIBS EIEVCÍCÍOS 3.73 Efouiúc las operaciones indicadas y simpiifiquc: lr + 2 2 7 + 7.1' T 1. 4. ta . _+_ El 3 4 11 ...I 1. ~_ I s. 12. 1' ¡0_ ff* _'*._____"*_. 13. IG. i ri + 2.1:; ' 'T' '^ lr' 81'! ic 19 14. =` † 20. 41'* 22. 24. 26. 28. 121 " + 18.1* 6.1:: lr 9 3x :i: II I 12. 4x3 + 6x1 2.1: ï 5.1: 15_ Zax _'“'"__i'*~'2 ¡3_ 6.23 21. .r'“ Box _'ía* 7'Íf3 _ I: ,_.. za. `4.i:1_v 2x2 51:3 + 612 x2 Iüxìy + 15.13 __ sf aii fix' 21.1"` + 7.1 1 ..ff;ïr' l4.r3 27 14.1%' 2 lxyì ' Try 4 1 _ ¿iva 1,: l8.r3_r w ï*+“f .T 3}'1 9.n¬ u ri), i _¡_ _.¡. 13,1 rav* _ 30___.:_.._ 31 36x3_i†1 i' %4.r2_i'“ Í ¡ly! __ 32 llr 2jr' ' Ì 3l1r 1'. _» ¡_ 45 .r EJ _i 2 l5.r')'3 33 2.1" x+I 1 1 34 ' 40. .I 12 ...r ___ 35. 15.6 Ó 3, . fi ~"i+ lr;.if 3.1:_ .Í :ii `= + fii 1 31:* 9x1 oxy Á 12322 ¿_ _ f 3.ri= 2x4}_: _ _,¡_,¡,_.i)..1« _,_ ¿Kay i 39 2¡,_iJ_I__: '_ _ 4¿.2},.i _¡_ xy i ' Dí .'~ 1133. 5.1: _. .r'+3x 2 ï_..__.____ _ _ x 36. 38. . _ ¿,_.z},2 xo __ zx, 1},1' _ 3x2). 1 41 10.1: lr 25. gi* + |3.i Í 4.1:* + 8.iii_i' 4..ri 2?.ry2 fix? 6 + 3.: 3 ox: + 3.r 6. Tr* 2013 or* 81 .I J " 3.17 Ii¬" .1_ (ir om + 3:1 _ 30 4 10.1' 5 5 3_ ' 3.r3y3 3.7 flivisiondepoiinomioo 42. S1' + rr): _(.rL Lrìl 43 E *ÍÍ ›+ iii 'lr ui 99 rr 1 (lr u 48 ~ _ (.r i 3; rl 3(.r 45_ (.r (:r + 3rr)_: i 2ri(.r I 3:: ' rr): + 3(.1: ` rr lr rrl ~› ö(.it e) gr + ?.rr)'L i ¿(¿i_r_ i S0. _ í 1 41. (.?_r + rr): 49. (li gi + rr(2u + 5) rr' 3 1 sz. i ¬ rr 3 54. % " so. 'I 3rr“' 40! 1 toi. ,i « :ii oki] + ¡Sri! _, + ¬, _ +iii .im 3; 3o* 58. _ H., ~ » iii lio; + 3; rr)' * 2ri"i› 4a'1b3 + 20311" _ """'“i _, í"“" ..a"¡r “ (rr l 1;): _ Zn* 1 rr) 1 _` _, of 1 * ¬" ¬† ¿L + n"(r| 2:1* isir' I) :mi + mi .; 3:1' ss. 57. rr* fil. _(2.r 11 .: (lr tio: + 4 al 59. .illr + ii) (lr + ul sa. 2 _ 1 'ï+iii+ iii.«i+:2i af' 4o"+éirr" 60. Sl. oi 3:2): + ?.rr(.r * 3:1) (.r 3o] Lt + Zu] .Ñ er) zorro _ zi 2:14 2(l ,_ ;_›+r.¢i |›i¢i+3› ri" + 2:1" _, ri iii 1›w+2› 4u5 Ga' Sol ¿ ;¡ 121: lio; + 2) rriiri 21:35' i5obf` ¬ ' "'_"':¿';T "_" “ (ff _ 5)' ' Division de dos polinomios La diifisioii se define como la operación im er: ia de la multiplicación; aiii que empera mos con un prohienia de multiplicación 3,* luego deducinios la operación de division. (12 + 3.1' 5)(2.r 7) = :r2(2.r = Ínl' 1:3 = 2:r3 7) + 3x(2.r 7) + ( 5)(2.a: 7) 7.r'i) † (ox: 2l.r) + ( 10,1: I 35) Jr: 31.1: + 35 Por eonsiguienle si (2..r5 ¬ .ri 31.1: + 35) se divide por i2.r 7), el resultado es (xl + 3.\'F 5). es decir, el primer polinomio del problema de multiplicaeiòn. El poïi nomio (2.r3 .ri 3l.r + 35) se llama dividendo. (2.i: 7) es. el divisor, y l.r7" i 31: 5]. el eoeienle. El primer uirniìno del dividendo, 2x1. proviene de mulii pliear el primer término del cociente. 1:2. por el primer término del divisor. 2.1', De modo que para obtener ei primer iérmino del eoeienie. xl. dividìiuos el primer 1érrnì› no del dividendo. 2.i:3 . por el primer lèrmino del divisor, 2.1:. ivlultìplieanclo todo el di visor (2.r 7) por eiie primer término del cociente. AJ', oblenenms 2x3' 'i'.'r“i. M rest ar Zxi 7.r2 del dividendo, resulta rar* › .ii sm + ss) (zii ri 'fi = avi 31.i + :is 3 r OPHIQOIB BÁSICAS COI POLlflOIIiD$ La cantidad 6x2 3lx + 35 es el nuevo dividendo. El primer término, org, del nuevo dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x, por el primero del divisor, 2x. Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x, se divide el primero del nuevo dividendo, 6x1, por el primer término del divisor, 2x. Multiplican do el divisor (ZX Restando ox: (avi 7) por el segundo término del cociente, 3x, se obtiene 6x2 21.1', 2l.r del nuevo dividendo, resulta str + 35) (eri 21.1 i = ¡ox + 35 La cantidad lüx + 35 es ahora el nuevo dividendo. M dividir el primer término, ( lüx). de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x, se obtiene el tercer término, ( 5), del cociente. Multiplìcando el divisor (Zx 7) por el tercer término del cociente, ( 5), se obtiene l0x + 35. Restando ( l0x + 35) del dividendo ( lO.r + 35), resulta cero. lniciemos nuevamente el problema dìsponiéndolo de una manera semejante a la de la division larga en aritmética. El primer termino del cociente es ¿rs is 2 i . n divisor 21 + x + 3'* _ 5 Cücìi 'nie I lr .r 31,1: + 35 ÚWIÚÚUÚÚ 3 7 _ 2 ' " = 4 x2. zx 1 El segundo término del cociente es 9 ru! _ 7) = is 9* Í = +31. 2Y 3 ® L: _ 7': 613 '_ 311€ + 35 9 ¡G3 3I( 21 " 7) =' El tercer término del cociente es ¡S “ 101 __ _5_ 2 ox 5(? r v' 7) = | .. Por consiguiente restar 10; + 35 G) 9 101 + 35 ' 2.1' 211 restar restar 0 2ri~.i2 31.i+35 Í_ 7 DEFINICIÓN , 1 .r + 3x 5 El grado de un polinomio con respecto a un número literal es el exponente mayor de este número presente en el polinomio. xsy 7x"y2 2x3y3 + 9y" es un polinomio de grado S en x y de gra do 4 en y. Para efectuar la division de dos polinomios, se procede como sigue: l. Se ordenan los términos del dividendo de acuerdo a los exponentes decrecientes de una de las literales, incluyendo términos con coeficientes cero para las potencias làl tantes, o bien dejando espacios para los términos con dichas potencias faltantes. 2. Se ordenan los términos del divisor también de acuerdo a los exponentes decrecien tes de ia misma literal empleada en la ordenación de los términos del dividendo. 3.7 Dlïiiiórl G8 IIOIIHOWIIOS 101 3. Se divide el primer término del dividendo por el primer termino del divisor para ob tener el primer término del cociente. 4. Se multiplica el primer termino del cociente por cada uno de los términos del divisor y se escribe el producto resultante poniendo sus terminos debajo de los correspon dientes términos semejantes del dividendo. 5. Se resta el producto del dividendo para llegar a la obtención de un nuevo dividendo. 6. Para encontrar el siguiente y todos los términos consecutivos del cociente, se trata el nuevo dividendo como si fuera el original. 7. Se continúa este procedimiento hasta obtener cero o bien hasta que el grado del poli nomio recién obtenido, con respecto a la literal empleada en la ordenación del divi dendo, sea por lo menos una unidad menor que el grado del divisor en dicha literal. É Dividir (eri SOLUCIÓN rtvi + ts) por (sr 4). Escribimos el dividendo como 6x3 divisor 3x 613 = +2_v2 3 .r _9x2 3 + Zri i 613 4 lr 2 (3.r I I lïlxi + Ox + 16. 2 4) _@ ox 1@ 8.r_ __' 9 í* .r2+ I = 3.1' 4 2 I7x + Gx + 16 (3 3x 3I(3«1' _ 4) = restar 0.1' l 16 C3 9.1:* + 12.1 "' _31,,, = cociente . . d""de"d° restar ter + te 4 4(3.r cs l2x en+ 16 4) = 0 Por consiguiente ari 17 2 í T Dividir (1<, tri 1 = 21:2 tesi + rr* 3x SOLUCIÓN Se escribe el dividendo corno .ri + Uxi' divisor como ,v2 2x + I. .ri 2.r+l 7x + lOx3 + l9.v2 3 |.r5+0x" l0.r3+l9x2 I4.r+6 G 36)@ x5 2.r"`+ 13 zri t1.r 3+ 1912 (É) 6') +2.r" ¬ to +6 (9 4.r3+ residuo 4 14; + si por (ri + 1 x3+2x1 restar 212 7:3 + 17.12 l4x+ 6 zx). 141' + 6, y el 3 arsuaosssustcnscounanmomas › C9 O. C9 ¡1 'H 713 + 7;\' '___ + 3.12 'Lt + 6 9 6') G + 3.1:: f›.r+3 x+3 Por lcrlantu 1*' › im” + 19.1@ Y .tg 2x+l ' __; 14.1 + 6 x4 11: . Ú bifllì. ¿___ x i 3 '?.1+3+x¿_2 l_+l = .I3 + 2.11 _' 7.1' 4.* 3 _* Nota . Esta furma es semujunlc a la usada en arn. métìca cuandu se escribe: 2€) .?~ É Dividir zar* SOLUCIÓN 3_v* 6 2 I 7. 11.1 ~*_» 2 + 14.11; 3) pm (.11 + 2.1 y ~ JW). Sc escribe ul divìchrndu corno 23"' + U.\'7'_1' lr: .1 1 + zw 3»~'~| .t 3 .r'1 'lr *ïí +1 I3.r3_v1 + l4.~:,›'3 4x__v + _1,f3 2.1 + ofy 13.63.» “ ' + 14.1; * al < 3 ca @› H + 21'* + 4x31' ' 4x3_\= FH . Li' 4.1% sy* 6.1:“'2" 7.1: HI: + |4.\'_v3 G) + G3 + 35"' O s.r=v= + ::›.fy * j .tlf + 1111 'E' 35" (ci) G9 .tavl +_ 2.tƒ_ _3_'¿†_'Í U ¡_ _ 21'* 'ur c› :¬| uienic. H' g 13.691 + Im* ' 333 xl + sv* ` 1 ., = J' ' Dividir 1l2(2.1r. ¬ _» F 1 7[..'?..\" ' y) ' |.?.| pm* [3(2.~: SOLUCIÓN Entonces Sea 2.1' l2(2.r 4 + ¬ J ¬* y] + 4]. _v = 2,. 3 ): + 7(I'.1: 1') 12 = 12:3 + 7: 12 3_v“'. 3.7 DMSIÚH IÍQPOÚIIDIIIÍGS Y 3(2_x y)+4=3.~.›+.4 I2:=+7z 1 13 = 4; ._ 3 3z+4 Puesto que [g¡¬¡.[1_ 11195 = ¿{'2_ ¿ ,_ F] _ 3 jr) +4 3(2r EflHUÑWNH17C Efectúe las divisiones siguiemf. s 2 I. 4. 7 10. . .r + 3.1:' + 2 .X1 1 4x+3 2. .r+3 .I 1 l .ri + 7:: + 12 I + 4 5. .t :+21 15 x 3 8 x3 9.r+20 __ _ x 5 8x5 '+l6.r+€› 13. + 2.r+1 lfi. 20.1: + 412 + 25 i 19. 13.1: ~ 5 + 6.1:: ¬ 22. 25. 27. 29. 31. 34. 5+ 2.1: 3.1: 1 9.1:: + 4 lr __ 2 35 + af* l2x 'I' ll. M . 17. 2 0. za. su .tz 9x+|4 9. _ .t 7 12. 9x3 + 9.1: + 2 3.1: + 2 ¡5_ 9 * .Í 65 * 1. 12%* † F 3 _+ 255:' Is. 3.1: 4 21' 22.r+ Sar: 2! 4x 3 .f 6 lr* 'ix 6 41: .3 3 4. 1' lr 3 jm* + 1 .f__ _'l2+Ó.1'2 ' xl 2.: 20 6.1:: + l3.r+6 lr I 3 2 lr + l 3 + 4.1: 30 2.t+l .ri 2.1' 8 xa i4x4 43 .tf S 3.r'*+2r3+3.1' 6x2 2 32' .r+'.! xl 4.1: 12 .sc 6 28. .f+s ' fi.ì .r 4 .ti 4x 2.x'2+8 .ta 4 x1+.f 2 .x1+3,± 12 ¿r::+5.r;+ 6 1:3 +.r 6 .t 2 26. 'lr 7 3 3 24 4.1: ¬~ l l5.t:" + 12 23.1'. 51' 6 35.1' + lltg 3x 8 .ri + 4:11 64 12.11 +6 8x xl! f›x`* 3x3 .r3+.r+2 zi 2 .f 1 .H mx+24 33' 91:2 2lx+l2 35' Q.: 3.1' 2 .r 3 3 I' OPHlfl0IE$IÁflCÄS¢OIPOl.|fiIIO$ 7x2+I+2.x3 x :m.1+z± í_ av ' 2x3+5.r 9x2+8 33 †'__' 3 39' 40, 6;*+13.x 11.x* _ ____i 42 xz I __ .1:+l 46 43 50 ii :+3.: 4x3 71:2 2lx+9 “í_'*"' _" 41 3 úx 3 141 Il .ri 2 21' 5 1 4 44.4.12 __ 45911 __' 2.! 1 3 I"'2 41. ±__ 3x 4 43 3.123 .I 4.r2+6 9 .x2 i :+3 x'*+5.r*+9 I"_? I3+12_¡ x+x1+3 47' T2 ¡+1 x" 4x2+4.r l 1ï4_1112_¡5“'39 'f _¡2+7_¡ | 3.r+x2+S af* 511 3;* s SL 8x"+l5x 24 1,9 _ 6; _ 1 212 171* + zm + 23;* 52. (239 53. 54. (4,±~* 4,›. 1 1318+ 10; 2) = (212 4+x) (m * + ms 19, R 21; ax* 30) + (s I + 612) SS. (151 f 56. (x”+4x2 Sr3_3)+( r2_I_2) 57 (_¡4+54)+(_¡2+3 4_1_ ) 59. (1r*' ¡lx3+3x5+1{1x+4)+(I+ 12 2) 60 (2512 61 (2.1 * 1112 40x 20)+(2r*'* 3 6x) 62 (1615 11 40.r+ 16) : (4x2+x 6) 2712 71* 21) 1 (49 x+ 4 7; + es) 1 (512 + 1 4;* + 5;* 11.: + 10) s (11 + 3 $23 (214 235 + Sxay 33;* 1) 58.(x3+x“+I)+(.r2+x+l (315 1612 + 151: + 5) 1_ (12 (2x"' 3 f + 6) 2.1) 21 +1) Bxzyz + 7xy3) +(r1 + 3 Y? _ 5,1 y3 + 3x3y + 3x2y2) 2 (212 11)' _ yz) 66 (af ››* + zw* + 41 2% 11x“›~› + tu* 1:1» + ››“› 6'? (4x" + 133, + 4x2y1 68 (x4 69 (6x** 70 (3f* + hay l3.:*y2 + 2y") + (xl + lry 71 (4x" + xzyl 5.ty3 _ ÓY4) '¡' (2 12 “ 'FJ' “ 2)'2) 72 (xfi _ yfi) : (1 y) (x4 16y“) : (E + 49) 74 'ïxya 2y““.' + (412 _ 31)* _ yz) 7113:: + l3I)'3 _ 3)'4) + ( 1"' + 3 ' 'Y “ 2}'2) Sxiyi Sry” y") I (112 + 2 fy + 1*) yz) 13. (af + 27,9) + (3y + 21) 75 («'f° Byfi) + (11 _ 2y') llønãødeltapftuløs 105 76. [(.r + y)2+2(x+_v) 3] : [(.r+y) 1] 77 [(1 _ NE _ 4( I _ Jr) _ 12] _ [fr _ Y) + 2] 73. [4(x + 2y)2 4(x + 23:) 79. [6(:c _ 3y)2 25(x 80. [2(x + y)2 + Sfx + y) 12] : [2(x + y) 81. [SLI 15] + [4(.r 32. ]2l(2I I y): l› 2(2r + y) _v)2 2(.r 3] + [2(.x + 2y) 3y) + 14] e [3(: r _v) 3] 3y) 2] 3] _v) + 5] 3] + [7(2.r + y) 4] Repaso del Capítulo 3 Sume los siguientes polinomios: 2y+l,4y 2x 7,.: y+2 2.r+3y 6,2y 3.r 1.4.1: 5y+3 3.ry 5y+6.3}*_2.Iy_3.3_xy_2y noH mi 1sx 30.7s 9s1+2o,1s ax 1311 13+2.12 2x+5,Zr2 5.r3+7.r+4,8x 5x2 6 '.?"'P¦¡*É" !"'¦"' llx2y+5xy2_3.8xy2 2.r1y+ l0.7x2y .ry2+3 Reste el primer polinomio del segundo: 7. 10. 2;, 10,: 8. 11. .r, 4.1: 312,11 12. 13. 14. 4)', 15. 16.. 19. 21. 23. 26.. 61'. 4x Ty, _3y 9. 2)* 5x, _ 21 612, sx* 15.1: _ 1, 101' _ 4 31: + 6, 7.: + 2 17. 21:2 .r, 2x 1 18. 9x 2,x1 + 3x l5Jr+6y 4,101 5_v+l 20. 3.r_v 101 5.6.1.3' 3.1' 5 212 + 3y2, 2/rzy + 3y2 22. x2,.r3 x, .II 24. 5.1:, Sxy 25. 4a, 4a: az, aïb 27. 3.112, 3 al 28. 8, Ba Elimine los simbolos de agrupación y reduzca términos semejantes: 29. 31. 33. 3(.I _ 4) + 4(x + l) 5(2x _ I) _ 2{3.lr + l) ZÍ4 _ (x _ 3)] 35. 3|y+2(.r 3) 4b›+fa)1 30. 32. 34. 4(x _ I) + (lt _ 2) 2(3.I _ 4) _ 31(2); _ 7) 3[l _ 2(3x _ 4)] ss. 4¡_v 2(.r+1)+9(y 1)] 37. 23; 33. 7 + 3120: 39. 40. J: 3.1' 41. 42. 412 2{3.r + 2[.r x(.r 3)I] 9 _ 4{x [?.r(x 6) x(3x + l)]} [5.r(x _v) 2y(3 x)] 4) (2: + 1)] [7 + 3(.I: 4)] + 2[9 _ 4(2.›: + 3)] 2[2y + 3(x 1)] _ 3|5 _ 2(y _ 2)] Escriba expresiones equivalentes en las que los tres últimos términos estén encerrados entre paréntesis precedìdos por (a) un signo positivo, (b) un signo negativo: 43.x+2y 3z+l 45. x3 3x2+.r 2 44.6x+2y 32 8 46. x4 3x3 x2+x 3 I OPEQMHOHES IÁSJCAS CON PGIJNOMIOS Evalúe las siguientes expresiones alado que rr = 2, b = 3, r: = 1 y ¿I = _ 47. fiar* _ da S0. oe? bd rr(:›2 « 53. se 56. aa + . fa (b t 59. 62. 65. 63. 48. 51. 42) 4ab + cid .?.ae2(ab _ cd) 54. sa* :›=(.. 1 ss. aa .›¬ + ¢P(a1 ab _ 453d sa › a 60' 4€ ) 61' 63 zs ma ai M sa* sf* b + r:{2d _ n) a' gi 3c(o _ ri) 5:: + dtb + F) . i o2_b2+2{'2 2 ar' + Zb c a (rr _ b)(r' _ d) of + b Zbì r 3) 4d + ab: c3(od _ 3r:b)¡ 21:2) 57. (e + z›)*(sd + aim* ss. (sì + aa)f'(a= + af) Zar" _ bd ai 49. 52. 64. bd C1 + ÉHUP _ F) .ic + bib _ ri) 67 4a* .41 30': + Se: 69. a a 44:12 + ([2 70. a' Zb _ c a' _ f' t _ d 'd H Realice las operaciones indicadas v simplifiquc: 71. 2.x_v2(_ry2) 72. 74 '76 '78 ( _ 2ri;v'2z)( _ 3.r;r3) ( _ .tjw ")(y4z )( _ I ] 1]) 75 ( _ =r2›*")(2 r==)( _ 1423) ( _ f3J~')( _ 5 '0'3)( _ 1`2)'2) 79.. (.r:;v3)"' (3 o*2)“ 3.r_v( _.r2}') 73. .r_v3( _x3_:~) rr. < se†›< 1¬e 2›(4›››f› 31 (_2r›"`)* ( n›*')i(3rÍs)3 ( _ lr*›'3)1(3 ffs) sz. ( :ml )* B3. t 2,6; . )“ 85. (1r2.:)3(5.r_v'2): ( _ 3x3_v~2)3( _ 2:.r2_:*"`)( _.r_v:)" 37 89. Í " 12\'2)']Í_ ï3}`3)3 (5s}*3)3(_v:3)`*( _ .r5z)*' Éëäïâ 4(_2rI1b)3 _ b3( _r¡)¡' st. st a1›~')f 92 94 (_rr"'b3)3 + b(rt3b1)" 93. Íir1(o= _ 2a + 4) + 6u:(n + l) ss. 2a(sat + za* 96 97 a(2a*] _ 3:11 + l) _ a2(2a2 + 3) a3(a3 _ 2o + l) _ a(a3 _ Zar + o ) 98. un + nn + 3) lül. ( 4x _ Iii ox _ 3) 104 (4.r + 5): 105. (7.1: _ 4): 106 (2a 107. (Ea + l)(4a'i _ 2a + l) 108. (21 _ 3)(4.r1 _ lr + 1) 110 (x2 +1: _ l)(.r3 HZ (x3_ 21: II 4. 99. rar + sim 102. (r:5b)3 + 2ub(u"b)1 2) (5.1: _ 2)l5.r + 2) 3)( W + ou + 9) zsïaa 1)* 1) 4«2(3a" mo. (ar + 3)@ 1 03. 3) {4x _ 9)(4.r + 9) 109. (si + l)(3.i 1 + tir 8) lll. (xx _ .r + 2)(.r3 + .r + 2) II3.. (lr: _ x _ 3)(2r3 + .r + 3) (xa + .tr _ I): U5. (lr: _ 3.1' + I): 116. (I + 2)(.l' _ 2){.I + 1) Il?. (x l l](2r _ l)(.t _ 3) 118. Jï(2.X _ 1) † (J: __ l)(2I+ 3) 119. 3.r(.r + 2) + _(.r + 3)(.r _ 9) .r I) l)(x3 + lr P l) Repaso del Capítulo 3 10? 120. (lr 1)* _ (1: + 1)* 12]. (Jr _ 3)(2..r + S) _ (lr I 2)(,r _ l) 122 (.r _ 2)(,r3 + 2.1' + 4) _ (x + 2)(.r _ 2) 123 (2 .r + 3)`(4.r2 _ 6:: + 9) _ (x _ 2)(.r1 + 2.1: + 4) _.22x5v7)'¡ 124. 127. 130. 133. (I4_¡.1`. I ___ _'_ 125. ( lIx°_t'5 , (3 *$2513 5 !$x2\,1 ___ Zlxyi 126 Í3~fJ'1)?' (ra *)1 128' tema* (63.r3_¬ve )2 (_ t*':›'=`)" 131. (9.r_t~3e)2 ¬,3 (4r_v =' 'l ( __ ¿_¡s},s¿,'t )z (_ ¿$1 T tZe)s 134 , 2 l0.rjv") (.51J}'ì'] '29' u:.›.t=,. 2)> 4 (3 W* =r')*` 132' (9xa_1.¬"e°)2 ( _ HXEFZJ ) l * ( _ l6,t=j›.'3:'1)7] ' (43.r4_vei)"' 136. 138. (6.152 _ 13.1' _ 23) _ [31 + 4) U7. (Illa _ 23.1.' ¬` 10) (ISI: _ |".7¡. .*. ' + |2) 5 (SI _ 3) I39. (X3 _ ft": _ 14.! + 8) _ (I _ 4) 140. 142. 143. (Bu 3 + at 144. 145. 146. 147. l 18. «tr 1 + s) f (3.1 + 2) 141. (ar1 ~ 7.1 Í (4 .tt _ 5) .t »¬ + 1) : (zx ~ ty (.r" + 64': _ (ur + Sr] _ 18.) I Lt + 3) (l'2.t'3 + 31;" _ 37.1' _ 4.11 + 30) E (3.t _ 4) (l8.r" _ 242:: _ 3.r3 _ lr _ 27) 2 (3.t'i + 2) (2.r" + 31"* + llt _ 36) + [ri + 4) (28.1: _ 5x3 + 3.15 _ lil.r" + lä) _ (3.r'i _ 4.1' _ l) (tlf + ze* 25.6 los + un + (sf 6+ es 2) (lrfi _ l ix _ 1"' _ .rx + 6) + (Jr: _ lt* +1) (sf .H sr* 3... 2 sn) : (5. _ 1 _ uu + 7) 149. 150. ISI. l52. (S.r" _ lU.r]r _ .tlf _ l2_r~'*) + (lr: _ .r_v + lva) Lt* _ IÚ.r "sf + 25.111: 'E _ 6_v") L (Jr: _ 6.r_r + 3_v:) Í lS.r" _ 29.r¿}'2 + lS.r_v] _ 4_v`*) I (3.13 + 2.r_r _ 4_v=) 153. (at ' 9.11» 1 + 1|.t v` et "› : ( t~ 1 + .tv 2» 1) Er tprese los enunciados siguientes en notación algebraica: 154 El perímetro P tie un rectángulo es igual al doble de la suma de su longituclJ y su anchura tv. 155 El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base 1': v su altura h. 156 El área .fl de un circulo cs igual a 3.14 veces el cuadrado de su radio r. 157 El volumen V de una esfera es igual a 3.14 veces los cuatro tercios del cubo (terce ra potencia) de su radio r. 158 El volumen V de un cilindro circular recto es igual tt 3.14 veces el protlucto del cuadrado de su radio r y su altura It. 159 El tirea de la superficie S de una esfera es igual al producto de 3:14 _v cuatro veces el cuadrado de su radio r. l60. El área A de un trapecio es igual al protlttcttt de la mitad de su altura ft y la suma de sus bases paralelas h, y bg. cAPí'ru|.o 4 Ecu_ac¡ones lineales en una varlable 4.1 Ecuaciones equivalentes 4.2 Solucion de ecuaciones 4.3 PfÒDfE'm3$ DBFIÉEBÓOS COU D3Í3D!`ä5 109 4 I ECUACIONES UHEÃLE5 EN Uflå VARIABLE Los siguientes son ejemplos de enunciados de igualdacl de dos expresìiirics aigebraicas: .L 4(.r 3) 3. 5. .Í ¬"' 2 = IO +5=:r 7 aii 4.1: 'í' 12 . 3 + f. 1 ' 2. Ji* + .i' 4. 6. x2 3.ir= IS .ri 4.ir=.r1 4(:r+3) 1' '1 .ir if.. l_.os enunciiidos I 3' 2 son veriladeros para todos los valores permisibles de Jr. Tales emin ciados se llaman identidades. Nótese que no es permisible asignar el valor lì a Jr en el eiiiirieiado 2. Los eniiiieìados 3 5 4 son verdaderos para algunos pero no lodos los valores de .r. FI enunciado 3 es verdadero iinicanieiiie si .ir es igual a 8. El enunciado 4 es verdadero verlo si .ir es 3 o 6. Dichos enunciados se llaman ecuaciones. Los eniiiieiados 5 3' 6 no son verdaderos para niiigiiii valor de .v 1.' se denominan eiiiineinrlos falsos li Í Ir DEHMCIÓN El conjunto de todos los niirneros que satis facen una ecuacion llama conjunto soiueión de dicha ecuacion. Los elementos del corijiinto solucion se denominan raices de la ecuación. I to 1 I I I I l Para ieriiicar si un valor de la iariabie es raw de una eciiaciuii, se reernplafa dicha va rialile en la ecuaeioii por el valor, con objeto de ver si los valores niiiiicrieos de ambos niiembiiis. de la eciiiicioii son igiiaies r r Ii 1: I . _; ¬ 1 'I 1. : _ 1 'I l I I 0 1 _ 1 ' la ¡I ¡I I I I I 1 ' 1 I ' .. li I Q Dspmmmn I U I | I Si, di .e que una ee iiacioii es lineal si iodas las 1 * 1 r 1 iv L . I . I 1 + ii 1 ii _; variables presentes en ella tiuien etponenies 1., I J I F r 1 1 _ ii r iguales ii 1 \ niiigun terniiiio de la ecuacioii 1 1 i ¬ tiene ines di.ii una variable Lomo factor ' I _ .r 1 1 I r . Iii . I I Il I I la eeiiacioii i ~L i l es una eeiiiicion lineal en 1 i 3 .| * 1 I ¡I La c.i.iiai.ioii a"' i _ 'i fi no es lineal La ei.uai.ion li' i iv _ 9 no es eenacioii lineal en i. if I I \ Í' I I I . * II 'Hi . I _ . 1' ¡I i II 1 I 'I I| 1 I __ 'I pl 1 . I' 1 ' .I " 1 l ' . p 1 5 I H ii ' I. Í' 1 II 'F u 'I Fate capittilii traia de las eeuaciiiiies liiienlcs en una iariabli. ¿ I I 'If ¡U Ii *_ . 1" 1 ' _ I' I' 1 'I il' I i ii 1 Pg i. 1 1, _ ¡ I 1., . Ecuaciones equivalentes DEFINICIÓN _ i u 'I u Se dice que dos eeuiieioiies son equivalentes si iieiieii el niisiiio coiijitnto solución. 4.1 Eetlaclenes equivalentes 111 Las ecuaciones 5.1' + 7 = 2 y .r = I son equivalentes. Las dos ecuaciones. tienen el mismo conjunto solucion, l l | . Dichos conjuntos de algunas ecuaciones resultan ser obvios por inspección. El con junto solucion de la ecuacion .v + ' 1 = ID es {6}, ya que este núrnero es el único que suniado con 4 da por resultado 10.. El conjunto solucion de la ecuacion 5.1' 2 = 3t;v + 4) no es tan obvio. Para resolver una ecuación. esto es. criconl rar su conjunto solucion, se pueden aplicar dos teoremas con el fin de obtener una ecuacion equivalente cava soiiiciún sea obvia TEOREMA 1 Si P. Q 3.' Tson polinomios cn una inisnia variable y P = Q es una ecua cion, entonces P = Q y P i T = Q + Tson eqiiivaleiues. El Teorenia I dice que, dada una ecuacion P = Q, es posible sumar cualquier polino mio Ten la inìsina variable que P y Q a ambos niieinbros de Ia eciiacidn, obteniéndose asi' una ecuacion equivalente P + T = Q + T. Las ecuaciones 4.v t = 3.v + 5 si 4.1 i + ti lr) = 31' t 5 + (1 cual se reduce a .v = 6. son equivalentes. Su conjunto solucion es {€›}. 3x) la TEOREIUI 2 Si P y Q son polinomios en la rriisma variable. ri cf R. ri si 0.. y si P = Q es una eeuaeióiii entonces P = Q sf' nf' = nQ son equivalentes. El Teorema 2 establece tine.. dada una solucion P = Q. podemos multiplicar ambos miembros de ella por un número real ci se ll, obtenìendosc así una ecuación equivalente :IP = oQ. Las dos ecuaciones .sv = 2 1; Six) = S(2), esto es. 5.1: = 10. son equivalentes. Sii conjunto solucion es {2}. Cuando ambos miembros de una ecuacion se multiplican por una constante dife rente de cero, la ecuacion resultante es equivalente a la original. Sin embargo, citando dichos miembros se ntultiplicnn por una espresióri que contiene a la variable. la ecua cion rcsi Iiante puede no ser equivaleine a la original. Las iios ecuaciones Ex s S 3' :r(2.r) = .r{8). esto es. 29:: : Ss', no son equivalen tes. El cor junio solucion de la ecuacion 11.1 = 8 es Hi. inieniras que el de 2.i ii = Ba' es 10. 4}. Las dos ecuaciones .v = 3 y .i¬(.v : 2) == 3t.v + 2) no son equivalentes. El conjun to soliicidn de x = 3 es {3}. mientras que el de .v(.v + 2 ) = 3(.r + 2) es { 2. 3}. De manera semejante, si elevamos ambos niienibros de una ecuacion a cualquier potencia, difereiite de cero o uno. la ecuación rcsultanie puede no ser equivalente a la original. Las ecuaciones .v = 5 ji' tir): = (5):, es decir, .ri = 25. no son eqiiivalenies. El con junto solución de .r = 5 es {5'}, mientras que el de .vi = 25 es l 5, Sl. "ata lil conjiiiito solucion de una ecuacion lineal en una variable tiene exactamente un eleinento. 4 I ECUICIOHES LINEÃLES EN UNA VARIABLE Solución de ecuaciones Dada una ecuación lineal en una variable, puede hacerse uso de uno o ambos de los dos teorenias anteriores para formar una ecuacion equivalente de la forma lx = ri, cuyo conjunto solucion es {o}. _ . . . la Cuando el coelicieiite de la variable en la ecuacion no es 1, como en Tx = ri, se puede obtener una ecuacion equivalente de la forma lx = ri multiplicando ambos miembros de la ecuacion por el inverso multiplicativo (recíproco) del coeficiente de iv en la ecuacion original. ¬ . . . . ¡J c _ b l:l inverso multiplicativo de F es 5 , ya que E c 5 = l. Asi que cuando el coeliciente de la variable es de la forma T, se multiplican ambos . .. c miembros de la ecuacion por Í. Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 14.1: = 21. SOLUCIÓN El coeficiente de .tr es 14. El inverso multiplìeativo de 14 es Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por ¬ I (l4.r) r I t' 21' 14 ` 14 l ¡.x=_ë. I4 .r_ 2É _ . .. El conjunto solucion es 3 2 . . _. .. x Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion _? = l2. SULUCÍÓN El término _ìl¡ = åx. 4.2 Solución de ecuaciones . . El coeficiente de .ir es 113 1 3 _ ._ , . _ . lil inverso multiplicativo de 1 E es 4 1. . . _ ., Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por 4 .ir 4 1. 'l 'I (T4) ` Um) .r = 48 El conjunto solucion es { 48}. . _. . 5 Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion Tx = IS. sotuclólii si essficissis es .t si _ . . . 5 7 El inverso niultiplicativo de T es ï. _ . . , 7 Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por É . 7 S 7 :_š' 5.1' = šllfil . . 7 Por consiguiente, .v = ï r I 15 = 21. El conjunto solucion es (21 }. Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 1.3.1' = SOLUCIÓN Cuando el coeficiente de la variedad está en forma decimal, será mas fá cil si se cambia a una fracción común: . es equivalente a l.3.t' = “.39 13 1 Ó .ir = 39. . . . _. 10 Se multiplican ambos miembros de la ectiacion por 1 T . to 13 _..__. is io' 39. = tu __ 13' _,3 9) 4 I* ECUICIOHESLIIEILESHUIÄVIRIÃBLE Por lo tanto, 10 39 10 x 39 30 x=fiXi "13 El conjunto solucion es { 30] Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion SOLUCIÓN 7x 8 = 35 35. El coeficiente de ir es El inverso multiplicativo de % es 2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 2, . ã _?._, = §(š2 i s en Por consi uiente 3 x ' Sig E veas 9 El conjunto solución es { Ejercicios 4.2lt Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones I. 4. 7. 10. 13. 16 lr = 4 ox = 6 o4.r = lo 38.r = .I Z .r 'É = 8 = 27 l 3x = 19 . 22 . l33 1 l šI=š 2 3x=27 lox=0 o4.r= 7.r= 14 7x= 5 26.r= 91 I ll. ¬=v 21 I 14. i=u n Í ir 17. .tr _2_5 20 . l 'r 61 = ' 3 l =__4 .__ 8.1' 2. S. 3. 23. fi 9 .t, _ ¿ 3 =4 31 8 64 2 =4 ._ 3x 4.2 solución de ecuaciones 25. 31: 7 23. 5 4x 60 9 26. 33:9 27 _r=20 29. z = 72 si_ *rd OD* D_¡¡_ 31 o si sy _ = 6 By _ = _ 5 33. 6 Hz 10 36 _. ï'¿ 7 =42 35 _ 5 ay 31. Í; gi' = 2 38. By _ 5 2 4 4ii.sx = 9 i s is 41 _ = 'ly is 42 44 ELE 4 2 45. 1 I .ir 3 47 25: 19 ti 33 48 2, 50. 5¿_ 16 8 25 34. 1, ¿L 6 7)' 32: 7 " J'Il“' 3 Dl!¦fL.n =3 3;: 27 _ = l1 22 2 2 “ti _? 2 šx 49. 52 _ 55 . 53 . 42 7 E 3_lx = 62 l.'l'.r = 0.34 0_03x = 0.06 53 56. 59. 12 l_ly = 33 2.3.r = 0.69 0.02311 = 0.46 39. E. __8 51 21 = 4 31 2.. 's ' ' 54 _. 57 . G0. zo É 8 7 E 7y _ 6 56 12 35 1,32 = 5.2 O_`7y = 2.1 0.19: = 0.038 Cuando la ecuacion tiene más de un término que contiene a la variable como factor, se combinan los términos, utilizando la ley distributiva de la multiplicación Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion 3x + 4x ggujçjág 3.: + 4x (3 + 4 2: 2),: 5.: = =s s s Por lo tanto, x 1 _ ._ 8 El conjunto solucion es I š 1. Cuando algunos términos de una ecuacion contienen fracciones, para facilitar la reduc cion de términos semejantes, se forma una ecuacion equivalente que contenga solamen te enteros. Con objeto de lograrlo anterior, se multiplican ambos miembros de la eeuu cion por el minimo común múltiple de los denominadores de las fracciones 4 Il ECUACIONES UHHLES EN WII WIRIÃILE Recucrdese que al multiplicar ambos miembros de una ecuacion por un número diferente de cero, se obtiene una ecuacion equivalente. Nota El minimo común múltiple puede obtenerse como sigue: 1. Se factoriaait los enteros en sus factores priinos, ji escriben los factores empleando eiipottctttcs. 2. Se toman todas las bases, cada una de ellas con su exponente maximo. Encontrar el m_c.m_ de 12, 16, 18. solucion i2=z 2 aa .22 :i is=2 2 2 2 =2 ' is=2 3 a=2 :ii l_as bases soii 2 y 3. El exponente máximo de 2 es 4 y el de 3 es 2. Por consiguiente el m.¢.m. == 2* 32 e to 9 = 144. . _ ._ _ 3 Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion É _v SOLUCIÓN 4=2i_ I ía: = 5. Primeramente sc obtiene el in_c_m_ de 4 3,' 3. 3= 3 m_c_rn. = 23 ' 3 = 12 Se miiltiplican ambos miembros de la ecuacion por l†2; to Lo 12 3 I 1 lex 2 ii _ = I2 i l J tu Tliifi *Tl"*l =“° tu .i H 9.1' 4_r = 60 Ss = 69 .r = I?. El conjunto solucion es ll2]_ S 4.2 SOHICÍÓH UB ECUQCÍOHGS lmlg Encontrar el eonjunto solucion de la ecuaeión §9'” __L1. .1. 12' 3' Comprobar la respuesta. SOLUCIÓN Primero se obtiene el rn.c.m. de 9. I2.› y 8 9=3*. 12.=2= 3, s=23 m.c.m. = 23 ~ 33 = 72. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por ?2 3 1 3 E I _ ¿Ji _ SI) (af) + H) + 1 ( auf) 7_2 8 É I! 72 3 64.1' ¡lr (64 12 =9 54.r 9 54l.r =9 zx 9 í í r= Para eomprobar la respuesta, se sustituye r~.›~¬i':›" "`° ecuación original separadamente. en vez de x en Lada miembro de la i Primer miembro 3€ fi) I 9 1 1 2 j 1( 9) 1 ïpfln 6 2 _... Segunda ppreirfbrø _; 3( 9) _ 1,1 1 4 2 3 3 4 4+ +5B Í _ 32+6~¡ E2 8 J. _.l *s I . .. 9 El eomtmto solucion es te ir. ' erar los elementos del conjunto {.1r|2i. + .Lx 5 = O, r E R} 4 ' ECIIICIOHESLIHEÃLESHUIIÃVÃRIIBLE SOLUCIÓN Consideremos el enunciado ?.›.'+3x 5,1: = O (2+3 5):r = 0 0.1' = 0 Dado que Ox = 0 es falso para cualquier valor real de x. se sigue que {x\2.r + 3x 5x = 0,.rER} = {.r[xER} Listar los elementos del conjunto {x|l0x SOLUCIÓN 8x 2.1' = 4. x E R} Consìderese el enunciado l0.r Ex 2x= 4 (IO 8 2)x= 4 01 = 4 Dado que (lx = 4 es falso para cualquier valor real de .r se sigue que {.'ril0..r 8.1 2x = 4..1'ER} = Q Ejercicios 4.28 Encuentre el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones .lLnI. | Jr I 9 ll 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 ?_r+ 3x== 7x 4.r= 5.! lr.. HOHLH =20 2x+ 5.1: 3x=32 lr .r+üx= 4 7.: 5.1t+.r= 3 .r 6.r+l0.1r= l3.r 3x 7.r= 9 lóx .r 8.t= l4 .t lI.r+13: r= 12 9.1r 6x 3.1: = 20 3.r Jr l2.r== 30 4x 2.t+6.I= 0 7.1' l0.r+lr=0 x+4.r 9;r= l2 .r+ox lÚJt= 20 lr l0x+5x=8 'lx 2.x+9.r=2l åx+%.r=9 33. 3.r+x=3 10.1' 4.1: = 12 F'*“!`° 4x+2x 3x=9 8.1: 3x+5.r=l0 10 3.r+4x ?.r=7 12 5x+9:r 8x=ll 14 8.r 3x x= 16 16 2x 5x+9x 18 6x 8x+l5.r= 20 3x+5x lOx= 6 22 x 17.1' +51: =ll 24 2.1r+4x 9x =2l 26 SJ: '7.r+4x =0 llx 6x 7.r= 0 23 3.r llx+.r= 2.r 3x 5x= 3.1: 20.t+llx= äiífifiä l3x+4x 'Zx= åx +%.r=7 39. åur I É = 4.2 soluclóndeecuaclones 4112+ !=l0 ' sx 43. 41 4*' 4 å'J¡+šI=3 es. .t 49. x .I ¡¦ Iä 'LH 119 ' 2 42 6 45. 21 s 41 4a. x=2 50 llx 43 =1 HH=5 ¦ t¡vc Lu I * ¦h›L| 'l D * '1 A ìl'~J 7x 5.r É .1r+lx=l9 ' 7 2 l 44.š.1' ì.I=' Ó I',u_u¿.,]|_› 71 § x+l.r=3 2 l l šx šJt'=3 if Sl. x I¦l' à ION' ' 9 3.1' H =2 x=l I¦ '\ PI Pe' 41 2 52' É+T`_t› 53' tt_2z`22 54' ï_5"ì 4.: . 55 5 3.1' S. 6 4 5x . S7 12 7x 9 = 8 20 2.: 5.1' 17 llx 58' É_`Tš""1z 59' 61. 62. 64. %x+3.1r=23 5 7 .r ~2x= 3 14 65. 81 5 = 9 18 'Tx 5 3.1' s "t›"3 9 .r+.r= 2): 1 6°' "s" 9`”4 É x 2.r=% l 7.1: ll = 8 3 63. 5 66. 2 šx .r= â 5 .tr Jr 12 = 7 ã Enumere los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R. 67. 69. {x|6x {:r¦5.t .tr 5.1: = 0} 8.1' + 3x = 0} 71. {.v|3.t + ¿tr 73. 75. 77 79 81 {.r|4x + 5x {.r|3.tr + .vr 71 = s} 9:: = l} 2;: = 0} šx + åx = 0} 7.1' 9.1' .r Sx É llx x 4 +4 0} tí §+4 5] 68. 70. {x|l2x + x {x|9x lt 12. {.v|s.t l3x = 0] 7x = 0} 10; + zv = |5} 74. 76. {x|lr + 6.1' 3x = 2} {.r].r 1 4x + Sx = 0} 78. {.t: ga: + šcr = Ú} 3.1' 2.1: 80. {.r 5+5 .r 4} 82. x 31 131 {.r3+4 12 0} En algunos casos ambos miembros de una ecuación contienen términos con la variable como factor. y también términos que no tienen a esta última como factor. Para encon trar el conjunto solucion de la ecuación. se forma una ecuación equivalente que tenga todos sus terminos con la variable como factor en un miembro de la ecuación. Los ter minos que no tengan a dicha variable como factor deben aparecer en el otro miembro de la ecuación. 4 I ECUÄCIOHES LIHEILES EN UNA VÃRÍIBLE La ecuación equivalente se puede formar sumando los negativos (inversos aditivos) de los términos a ambos miembros de la ecuacion. Consìdérese la ecuacion 8x Se suma {+ 5) a ambos miembros: 31 5 = Gir + 7 5 + 5 = 6x + 7 + 5 Eltr + O = (ix + 12 3.1' = 6.12 + I2 Se suma ( 6.1:) a ambos miembros: 8x + ( 6x) = ox + 12 + ( 61) 2: = 12 .r =6 El conjunto solución es {6}. obsewaflón Es importante darse cuenta de la difereiicìa que hay entre las dos ecuaciones 3.1.' = IS y 3 + .ir IS. En 3x = 15, 3 es el coeficiente de x; asi que para despejar Jr, se niiitiplican ambos miem _. l bros de la ecuacion por l 3(3.r) 1 3(l5) .ir = 5 El conjunto solucion es {5|. En 3 + .ir = 15. 3 es un termino; asi' que para despejar Jr. se suma ( 3) a ambos iniein bros de la ecuación. 3+.1r+( 3)=l5+( 3) :r=l2 El conjunto solución es 112]. Resolver la ecuación 2.1' .ir 3 = 10 + 'Lv 4. SOLUCION Sumainos (+ 3 Tx) a ambos miembros de la ecuacion. 2.: .r 3+t+3 7.ri=t0+7x 4+t+3 ?.ri lt x 3+3 7.r=l0+7x 4+3 7.1' 6.r=9 x _ _? _ __?. 6 . .. El conjunto solucion es { 3 2 1.2 solución de ecuaciones Nata Cuando la ecuación contiene ntimeros mixtos, estos se transforman en fracciones impropias Resolver la ecuación I ._ _: 7 )..5 li) _ _ 32.1: 48 ...ó.x+324. SOLUCIÓN Primeramente sc cambian los números mixtos a fraccioiics impropias z,._¢:2..i1,+a 2 8 6 24 Se multiplican anibos miembros dc la ecuacion por el minimo común múltiplo de 2 3, 6 y 3. cl cual cs 6. É'lÍ__32..?i!l_I+9_' i2“'sìs 24 E22 i 2" +?ì(_ë)_ë(.L"..,)+ë(*2J.) i s 8 'lx Se suma (+ I I? "i s' 1 24 117 = 68.1: + 91 681) ambos miembros de la ecuacion. 34.r 117 + II7' 68 68.: + 91 i 117 ox 203 68.: l3 J' El conjunto solucion cs {l3 j. Ejercicios 4.26 Resuelva las ecuaciones siguientes: I..r 8=0 4. 2 21:0 '7..r t 5:5 10. .ir l= 2 I3.5~.r=3 16. 19. lr+7=ll 3.r+6=ó 22. ha l5=l 25. 28. 3.1:* 5=4 Il r fi =27 2 S B Il I4. I7. 20. 23. 26. 29. IIII =ti + í í I el t.s›.¦ r P Ú Ii :ti =i =3 7 i J I:it. ›i. i =Q 3.r + 1 =iti 5.r + 4=4 1l'+ 17 =7 4.r l0=l0 H = 20 3.r + r~. ›¦I ti ri :t.A í . . . = 2 C¡Ht I'*I¬ Ji.¢ el ¦ = i + is + 13 + llf 4 4.ir fur 7.1' 6.r ar _. 1! =t› =3 =s 3: 9:. 3 . 1 I ECUÃCIOHES IJHEALES EN URI VMIMEIE 31. 34. 37. 40. 43. 46. 49. 52. 55. 58. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 73. 32 5x 6 31 33. 3x+3 7.: 3= 17 lo 4 36. lr + 5 35 3x+5 lìir +lI=l2 61+7 38 4x+3 20 7 39. 9x + 1 = l 42. ll + 3.1: = 2 3 41 8+2_r 6+4.r 13 7.ir=l5 44 2 5.›:= w 45. IO 4.1: = 7 9.. 4.r 47 2 6x= I4 3 48. 8 3x = 4+ X Sl. 5.1: = 8+3.x S0 4x=3 + .ir 3x 6+ 4x 7x S3 2.r=7 54. 6x=ll 5.1: 5x 8_ 3x 7x 3x S7. 2: + l2=7.r+ 56 9.ir=2 4+x 59 3x+6 5.1: 2x+7 60. 8 .›:=2 ' J@ 5.: 9 3x 62. 3.r+l5=8+x Sx I 4: .ir 3 64. l0x+2l=25 2x 23 .ir 3=3.i: +7 66. 7.r+ll=2 2).' 6+ 5.t 2=4 5.1' 63. Ilx 6.r 6=20 8.1: 4+ 5.r 8x 3+.r 70. lr 3 .ir=l0+7.r 8+2x l=.t' 2 72. l0+5.r 2=4.r+4 7x+2 '9.r=6+4.ir 3 74. l0x+5 l8.r=7 5.ir 75. 2 77. 2 í_ i_l 79. mi í í. _ if D í í í _ 'ír _' í ìl Í@ í í Í l + 2 6 2x 3 2 3 4 323 .r :ir x l _+_ 1222 ë_â ,_t 73. f_l l_i 80. í 4 76. 3 2" 3 2 4`3 5.1: 4 l 2.1' l 4+i2`3 Í i_a+± 6 3 4 81. B 3 1: 5 3.1' 464 82. E 33. 2 6 37.r2 8 4 3 34. ë_Z_ä_i 85. E 3 2 B6. E_â_2_Zf 87. E ¿_ë+l 88 . 89. 2 É: É 2 90 91 ã 92. 95. 3.1' 4 7 18 _ _+._. 9 1s"e 5 6 +4 '1 93. 4 _+.ï l s w+s 4 9 Zrl 9 3 ï._|,.... l l 22.' t'+7 E Ji' l l .ir 26.1' l'2š 5 2 8 4 8 12 3 4 9 llx 9 lo 8 + 12 18 x 5 3 12 = + 2í_§_ä_2 '12 4 5 3 2x 9 l 4 3.1' 3 l 13 94 . 96 . .___=í+í 1 1 2 32.1' IU š lšx 3 2 l 34.1.' ISI .I 4'š 4.2 solución de ecuaciones 3 2 I l 97.119: 23 13x 6 2 2 98. 2 99.š.'(+2šJ 3I+3 101 . 5 1 5 33 = las llzx 1 I I 2 1 l 4 . lgr 3 1 I 23x l5 5.1: 3 100.161 13 8 Ã l l 02. 22 24 = 6 3 Cuando una ecuación contiene simbolos de agrupación, primero se eliminan estos util: zando la ley distributiva. Resolver la ecuacion 3(2.ir SOLUCION I) 2(5 5) = 3 Aplicamos la ley distributiva para eliminar los paréntesis fix 3 lU+2.r 3 3x=l6 .x=2 El conjunto solucion es {2j. Resolver la ecuacion 3.1r(:i: SOLUCION (3.r2 I) (x + 3)(3.v 2) = 26 Primeramente se efectúan las multiplica ciones 3.1:) (3.r2 + 7.1' 6) = 26 Es importante encerrar los productos entre paréntesis primero v, luego. aplicar la ley distributiva, para evitar cometer errores con los signos de algunos de los terminos 311' :u 3.1. 2 9.1. + t5= 10.1: I zs zo 2 EI conjunto solucion es { 2} Resolver la ecuacion (sr 4)(x + 6) (x 3)' = SOLUCION Se efectúan las multiplicaciones y se encierra el producto entre parentc sis. luego se aplica la ley distributiva. (si + 2.1 24) ts 1 se + 9) = is .tri + 2.1* 24 .ri + (tr 9 = 8x = x=6 El conjunto solucion es {6}. 4 Ii ECUACIONES LIIIEÃLESEHUHI VÄRIABLE EÍGTCÍCÍOS 4. 2D Rcsuelva cada una de las siguientes ecuaciones: ' ¬IUIb ti 2(.r+4)+7=l9 7(.t + 6) + lt) 4(3:r+7)+5=33 3(2.r + 9) + 4 t it.: i 3)+4=22 9+2(x+2)=19 FFF 7 + 2(3:r+ l) =0 9+ 2(2.t+ 3) =17 8+ 2(_3.r I) =2i l3+3(4x 3)= 3 3 2(3x 4)=l4 I 7(3 .i:)= 20 4(2 .1r)+3(.r l)= IS 2(7.=r 8_)+7(2 .it)= 26 7(.r 1) 2(x+l)= 41: . 4(3 Jr) 3(2 .r)=6 2(_3.r 1) = ll +(3 _r) 2(3 .r)=4+3(4 x) 5(8.r 3) = 3 2(4.r 3) 3(7.1r 2) = ll 4(2x 3) 2(3 3.1:) = 5 _ 4(| _. I) (5 Jr)(2 x) .r(.r 3)=0 2(.r + l)(.r I) (Zar + 3)(.ir 2) = 0 Óxlx 3) (lr l)(3.r + 5) = 50 (4.r 3)(3.r + 2) (6.1: 7)(2.r 5) = (x + 4)(3.i: 5) 3(.i: + 6)(x l) = 0 (ZX 3_)(3.t' + 2) 6(.t: 2)(.r I 3) = 46. 47. 4(x l)2 (4.r + 3)(.r (2.1: 3): 4(x 49 (1t'+ 3)(2.t 51 (.r 2)(4.r + I) 53. {.r 3): 2 3 2) 6)(_.r + 2) (lr +1): = U (lr + 3) 1' = (.r l2(.1r + 3) + 5 i 8. t1+4(.r+1) 9. ll. 13. 15. 17 19 21 23 .. 25 27 29 31 33. 35. 37. 39. 41. 42. 43. 44. 45. 5) 45 31 50 3 4): = 3 10. 5+ 3(2›r+ l) = 0 I2. I3+3(4,r+5)=4 14. 16 I + 5(Zr 17 + Elx 18. 20.. 22. 8 3(.i: 4)=2 2 5(2 x)= 5 3(Zx 2)+2(l .ir)= 2(7x+ l)+5tL`4.r 2)=9 l3(3 +x) 3(5 x)= 2(.r 5) 3(2.r 3)= 5(2.r 1) = 25+3(x ) 3(5 2x) = 8 +71 l 3(4.r + 3) = 5 4(.ir 6(2x 3) = 2 _7(3... 5(4 xl= l3 3(5 (2 + 3x)[4 Jr) 3.113 24. 26. 23 Sëäfitifi; 14 1 9) I) 2 3 48. (.r 2)(.r + 4) (.r + 't 50. [lr 4)(4.r + 3) (lr 52. (lr 2)(3.t' + 4) tf 54. (Ílr l 3): (.?.r _`¬l)` = 6 Enurncre los elementos de los conjuntos siguientes dado que .ir E R: 57 {.r|s 3(.i 4) = 20 {.r||5 str + 4) = 2 59 {.r*(.r + l)(.r 60 61 {.i'l(.r 55 62 2)(?_tr I) I) {x (.r + 2)(.ir + 3) {.rl(.r + l)(x 4) 3.1. } 5.1 } .r(.t: ss. {.r|ii su ss. {.r|7 2(3x ir) 1) ¿I _ ii tn) 2) = _ ¡t 2.r{.fr .t(.r + 5) .r(.r 3) 3) _ . 1 1 É. = = 2; Uì _4} . .. rr + I; . La traccion ic es otra forma de expresar el cociente to + b) É. = _ ._ 3 4.2 solución de ecuaciones Cuando una ecuacioii contiene fracciones de esta forma, es aconsejable eticcrrar los numeradores entre paréntesis antes de multiplicar por el iniiiinio comun denoimiiador. como se ilustra eii los ejemplos siguientes: Resolver la ecuacion 2. *_†_ã___?¿:__t 2 4 3 SOLUCION "' Se multiplican anibos miembros de la ecuacion por l2 12 3.r+5 il 4 :ts I 12 't ]ì(2) l2 ._ (31 + 5) l2 (2.r _ _í..._.. ___ll = 4 l 4 l 3 2 3{3.r+5) 4(2.ir l)=24 9.1. +15 8.t+4=24 x=5 El conjunto solucion es {5}. Resolver la siguiente ecuacion y comprobar la rcspiicsta 5 š(6.it 3 š(3.r 7) SOLUCION _ 2) 2 š(5.r 6) Miiltiplicamos ambos miembros de la ecuacitin por 2 l 24 5 |[6{6.r 7) 3 8(_3x 24 2 ¡[3(5.t 2)] 6)] 24 5 24 3 24 2 T št6.t 7) T'š(3.r 21 T štii 6) .Ílülox 7) llllx 9(3.t' 2) = lÓ[5.ir l4'U " 271 + lll = lillstt 6.) 96 l3.t' = 26 .r = 2 Para comprobar, sustittiimos 2 en vez de .ir en la ecuacion original evaluando cada iniem bro ¡Sor separado. :L Prfrrier tri: èrri¿ir'o 5 ¿(64 íí i ii í G'~LI'tO*~'U"t 7) 3 ¿tir 2) ÍÓI2) " 7] _ šl3(2) (12 3 7) šf(ú 2) 2| i Segtrnrlo rttierttbru _ . 2 3(5x l = 'l5(2) _ 61 ' =*ll0 6) La l' ~J'l .I \'I* J 6) «II *I ECIMCIONES IJHEÂLE5 EN UNA VÃRMBLE 5 3 ¿(5) 8(4) ¬.› il* J G í É_2 If' J UJOUDJÉ DIGG@ El conjunta salución es {2]. Resulvcr la ecuación 0.05x + 0.06(30000 SOLUCIÓN 1:) = 630 Se cambian los decimales a fraccnoncb Lomunes åx + i%](30,00Ú x) = 1680 Muìtìplicamos ambos miembros de la ecuacion por IO I) x) = 163.000 6x = 168.000 12.000 I = 12,000 Sx + 600.000 5.1' + 130.000 El conjunto solución es {12000}. Ejercicios 4.25 Resuchfa las siguientes ecuaciones: I. .r .r+3 . 3 Ó 2+ 1 _: ¡_ 7. 3 x+4 2 x+2 "_ 2 + .t+| 4 x I 5 2 4+ 4 ?¿:_ì+f. _, ' x 3 ' 6 .r+3 n 3 x 2 1 1. ~= 3 3 + 2 3 M §___2 __ %3_ 8. i: 7 5 .>¿L1_,ë_ 3 .fl.'x_:S4:_1+.2;.;;l.=¡ x í: 4 .x I 3 6 x+l0 2' x+4 'Í .r:+7 12_2ìil_¡_¿.= I x 4. 3 2 = 2 Soludún de ecuaciones 3x I_2r+3_¡ 2 3 16 *` x 4_2x+3___L ' 3 4 '12 _"ï._â 1' '_t¿_l la _f*_ 'f_+_2__12“_1_l 2¿+_4._›±¿..± s 3 "4 2.,' §_›1=_±_4__~_4 ±_1_1 '2 12 4 .r+2 9 3 x 8 3 x 3 .I 7 234 6 ' 24. ï:_1._~.Fi...Z 5 6 "a 26. í_4i L â 'i_§¿:_%..l. 1 4 14 "3 2 2x I 3.1: 5 *"T'=T 4 ` 3 6 5 3 š(.t' '*9)+4(.t l) 13 5 7 š(Zx I)+4(l 1) 3 2 š(x 3)+ šíx 2)=5 3 š(2x 4 2 3) š(.r 2)=š 2 3 l 3 3 ã(x 3) š(2x 5) 3 z(2.x 9 _ 12 ,_ì_±'_i2 3 6 36 %(x+4)+%(.r l)= 14 38. g{x+l)+å(.›: l)=Í 3 4 3 7 5 40 š(2.r 5)+š (x ›4) 42 ë(ll'+l) ÉL! 2)=l 7 44. I) 1 x+l_x 2_.ï 3 7 2 S ¿(1 1) š(2 r I) l %(3.1: + 5) = ã (2 2 7.1: 4 š(6 I) ¿(5 7 I) š(3 I) š(4x + 7) `12 21: l_4x 3_ __l_ 3*' .›:+3__2 x_x+l 2 `T"†=š 32 3 x 4 4 4 x 3 30 3 8x_7 x_.ï 3 9 28. 1 1 1 6 2 22. x 4_5 2x_l 8 3 4 4 2.r+l3 3 3 I 5 l 1'? 5 E 4 ' ECUACIONES LIHEÃLES EN UPUI VARIABLE 5 . 43 . 7: 33. 7 ._ s) 4m si = 2 ~ani 49. Sl. 0.Ú3(.r + 20] ~ {i.{)3.t' = 2.4 0.07(l2,()(l() .t') 0.03: t' = 600 50. 52. S3. 55. (1.251 * Ú.l(|2.Ú'ÚU ¬' .ri = 3713 Ú.25Í30.0U0 I] “t U.lt' = 3ÚÚ'Ú 54. 56. 57. O.{l65(.r + 2400) 58. 0.0751: = l38 300 520 1080 0.0.5.1 Ú.ÚÓ(X * 20.000) 1330 Ú.l5(|5.,ÚÚU _ Jr) 0.081 0.05259: + 0.075(_20.0Ú0 1') = l3o*i (3.033: 0.()3(2l,000 .ri ()._(l6(6U,000 .t') 0.031 .í í ï. tí' í P|"Ob|Em3$ D|3|1f€3dOS COU II3|3UI"3$ Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresion del problema a una cena cion algebraìea que 'pueda resolverse por medios conocidos. Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue: _ Se determina la cantidad incógnita 3' se le representa con una variable. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en terminos de la nnsma tartabl . Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuacion algcbratea . Se resuelve la ecuacion para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades reouertdi '.I' I '.u›L.›Il"~J ' . Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la eeuaetti Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales 3.' sus equivalente. s algcbraicos: 1. Un número aumentado en (1. .ir + 6 2. Un número disminuido en 3. .tr 3 3. Un número supera en 8 a otro. Primer mimero Segtrnrƒo rnirnero .r + 8 .r 4. Un número es 3 unidades tncnor que otro. Primer rnirriero .tr H 3 Segurrdo mimero .r 4.3 Problemas planteados con palabras 5. La suma de dos números es 20. Primer ntimero Segundo rnimero .r 20 X 6. Tres enteros consecutivos. Primer entero x Segundo entero .rr + 1 Tercer en¡ero Jr + 2 7. Tres enteros imparcs consecutivos. Primer emero x Segundo entero .ir + 2 Tercer entero x + 4 8. Tres enteros pares consecutivos. Primer entero Segundo entero Tercer emero :r .fr + 2 .tr + 4 9. Un número es la mitad de un segundo número. Prirner rnimero Segtmdo rnirnero 2 ' .t . .v 2.1' v o bien 10. Un número es el triple de otro. Primer número 3.r Segundo mimero x ll. Un número es 3 unidades menor que el doble de un segundo número Primer rnimero 2.1: 3 Segundo rnimero .tt 12. Un número supera en 5 al triple de un segundo número. Primer mimero Segtrrrdo rnirnero 3.1: + 5 .tr 13. Ei número rr supera en 6 al ntimero Ir. a 6=b obien e==b 1 6 14. El nt'|tnero rr es ll) unidades menor que el número h. o'+i0 ' ¡J obien rr* =b 10 4 r ECUACIOHESIJIEAI.E$B¡UIUIIfARlABI.E 15. Escribir el número 128 en forma desarrollada. 128 = ¡(8) + 10(2) + l00(l) 16. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las unidades es 3x y el de las decenas es Jr? Dijgim de ¡ns unidades 3x Dilgiio de los decenas .vr El número es l(I lx) + 10{x) = 3.1' + l0x I7. ¿Cuál es el número cuyo dígito de las decenas es el doble del de las unidades? Drfgiro de ios unidades x Dr"gr`ro de ¡as decenes 2x El número es l(x) + l0(2..r) = .r + 20x. 18. ¿A que es igual la suma de los digitos de un número de tres cifras cuyo dígito de las unidades supera en 3 al de las decenas, y el de las ccntenas es I unidad menor que el de las decenas? ¿Cuál es el número? Drjgiro de los unidades Drfgirn de ¡os decenas x + 3 x .tt La suma de los digitos es tx + 3) + x + (ar El número es 1(x + 3) + l0(.1r} + 10 D{x Dúgiro de ¡us cenrenns 1). 1). 19. Un 6% de impuesto sobre .r dolares. Impuesto › 6°¡nx _ 6 >< Ñ1 Ó .t_ n Í 06 5.1. 20. Un descuento de 15% sobre x dolares. Descuento = l5%x = 15 >< ` i .›: 100 o E r 100 ' 21. El valor de x estampìlla de veinticinco centavos. Valor = 25(x) = 25.141' 22.. El valor de x cuartos de dólar en centavos de dolar. Valor = 25(.r) = 25x¢ 23. El valor de (x + 2) monedas de cinco centavos de dolar en centavos. Valor = 5(x + 2)@ 1 4.3 PI"0UÍOI'I'l3I PÍQÍIÚBIGOS Cflll DQÍIUPBS 131 24. El valor en dolares de x billetes de cinco dólares. Valor = 5(x) = $5x 25. La cantidad de plata contenida en Jr libras de una aleación de plata al 6%. Cantidad de plata = 6%x libras. 26. La cantidad de alcohol en (x + 5) galones de una solución de alcohol al 80%. Cantidad de alcohol = 80%(x + 5) galones 27. Si Roberto puede caminar .tr millas por hora, ¿que distancia recorrerá en 3 horas? Distancia = 3.1' millas 28. Si Catalina conduce a 55 millas por hora. ¿qué distancia puede recorrer en I horas? Distancia = 55:' millas 29. Si J uan tardó 20 minutos en conducir 15 millas, ¿a que velocidad estuvo manejando? _ 20 ITIIIHIIÚS 20 É l 3 hüffl velocidad = ¡S minas 15 ›< Í = 45 minas por hera 11 hora 30. Gregorio puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por hora, ¿cuánto dernorará en recorrer .tr millas? Tiempo = › minas _ = x horas 15 millas por hora 1.5 31. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es su perímetro si su longitud es el doble de su anchura? Anchura .tr Longitud 2x Perlmetro = 2(x + 2x) pies, o bien 2(x) + 2(2x) 32. La anchura de un rectángulo es de x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo si su longi tud rnide 4 pies más que su anchura? Anchura Jr pies Longitud (x + 4) pies Área = (x)(.›: + 4) pies cuadrados. 4 ecuaciones mentes su unit vnniasts Pffiblemas Que Se fêfleffifl 3 nUmQfO$ La tercera parte de un numero es 7 unidades menor que la mitad di. Encontrar el número. SOLUCIÓN Sea el número = 3' 2' 1' 3 2 Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 6 obtenemos 2.r+42=3x .r=42 El número = 42 EJEM Un número es el quintuplo de otro La suma de ambos es 9€) Determiiiar los dins números. SOLUCIÓN Primer riiimero Segiiririo mmiero 5.1 1. 5.r+x=90 6x=90 .ir=l5 Primer número = 5 tx: 15 = Segundo número = 15. Hallar dos números cuya siiriia ica 27 ii que i.l scatuplo del menor supere. en 9 unidades al triple del mayor SOLUCIÓN Número menor .rl + 9 (it ' = M27 6.1.' = 31 Niinicio mayoi li' + *J 9.i' = 90 .ir = IO Número meiior Número mayor 1 _ . . 1 r l0= Encontrar dos enteros pares coii icciitivos tales que el cuadriiplo del nm; or sea 8 unidades meiios que el quintuplo del menor 4.3 Problemas planteados con palabras SOLUCION Printer entero por Segundo entero por (ir + 2) X 4(x+2)+8= 5x 4.r+8 8= 51 xì l6 Primer entero par = 16. Segundo entero par = le + 2 = I8. a suma e tres numeros es 63 El seguiido numero es el doble del primero y el tercero supera en 3 al segundo. Determinar los números. SOLUCION Printer niirnero Segundo ntirnero Tercer ntimero .tr 2.1:' (2.t' + 3) x+2x+(2.r+3)=63 5.r+3=63 5x=60 x=l2 Primer número = 12. Segundo número = 2 >< l2 = 24 Tercer número = 24 + 3 = 27. La dilèrencia de dos números es 4 y la de sus cuadrados es 5 unidades mc nos que nueve veces el menor de los números. Obtener los dos números. SOLUCION Núrriero menor Niirriero nioyor .Y (..i: + 4) (.r+4)2 .ra 5 .r'!+8x+l6 x2 í Iì 5 II í 8.r+l6 _ _ 9.1: lo (.r+4)2 x2= x ] 'I 1 .r Número menor = El Número mayor = 21 + 4 = El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 3 al di no de las unidades. Si el número supera en 8 al seiiluplo de la suma de los digitos, liallar el número. SOLUCION Digite de las unidades Digiio de las decenas i (Jr + 3) Número = l(..r) + l0(:r + 3) = lla: + 30. 4 I' ECUICIONESLINEÃLBSENUNÃVÃIMBLE Suma de los dígitos = x + (ir + 3) = 2.1' + 3. |l.r+3ti=t.':›{2_r+3}+tt ll.r+30=llr+ I8 l li .r=4 Dlgito de las unidades = 4. Digito de las decenas = 4 + 3 = 7. Número = 74. J En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es una unidad me nor quc el de las decenas y la suma de los tres digitos es 17. Si se intercambian los digi tos de las unidades y las centenas. el número disminuye en 495. Encontrar el número original. sotucióu Drjgiro de los unidades Digno de los decenas Digite de los centenos l7 [;r+(x 1)] 13 2x x .tt (J: 1) (J: 1) _ (18 21') + l0(x)+100(.x l] 495 =(x 1) + l0(.ir) + l00(l8 lx) l8 2.r+l0x+100x IOO 495=Jr l+l0x +1800 200.r 2971 = 2376 x = 3 Digito de las unidades = 18 2(8) = 2. Digito de las decenas = 8. Digite de las centenas = 8 I = 7. El número original cs 782. Ejercicios 4.3A Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine cl número. . Cuando se resta ll de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número. . Si al doble de un número se le aumenta 7. resulta 35. Halle el número. El triple de un número disminuido en 19 es 53. determine el número. t.I1¿Ih¦.fiI.Ir 1 Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre el numero. Problemas planteados con palabras 135 Si a siete tantos de un número se le suma 6., resulta el número aumentado en 24. Obtenga el número. La mitad de un número supera en 2 a un tercio de éste. Detcrniinelo. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de el en 3 unidades. Encuen tre el número. Tres medios de un número superan a cinco serios del número en 4 unidades. Ob tenga el iiúntero. La diferencia entre tin tercio de un entero y un cuarto del mismo es 3. Halle el número. Dos séptimos de un número es 30 menos que el mismo. Encuentre el número.. Un número supera en 35 a tres octavos del mismo. Determine el número. Un número es igual al cuadruplo de otro y la suma de ambos es 80. Halle los dos. Un número es igual a 7 veces otro, y la suma de ambos es 176. Encuentre los dos. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga ambos. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es 29. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma es 280. I 4 P Un numero es 3 de otro numero y la suma de los dos es 126. Encuentre los números. Un número es ã de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos. La suma de dos números es 48. El cuádruple del menor es igual al doble del ina yor. Encuctitrc los números. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el cuúdrtiplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor. La mitad de tin entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si su sunia es 27. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del meiior es igual a un quinto del mayor. Un número es 9 unidades menor que otro. Halle los números si tres medios del mayor superan al menor en 3. La diferencia de dos números es 5. Si el triple del mayor supera en uno al quintu plo del menor, obtenga ambos. La suma de dos números es 34. El quintuplo del mctior supera en 10 al triple del mayor. Encuéntrelos. Un número supera en 7 a otro. Determine ambos si el doble del mayor excede al triple del menor en 2. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero. y el tercero es 4 menos que el primero. Htìllelos. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero. 3' el tercero es el triple del primero. Obtenga los números. La suma de tres números es 94. El segundo es 2 unidades menor que el primero, y el tercero supera en ti al primero. Encuentrelos. La suma de tres números es 136. El segundo supera en 8 al primero. y el tercero es 15 menos que el segundo. Obtenga los números. La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son esos números? La suina de tres números ìmpares consecutivos es 69. ¿Cuáles son ellos? I' ECUACIONES IJNEÃLES EN UNI VÃRMBLE La suma de tres números pares consecutivos es 54. Determínelos. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la sunta del segundo v el tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en 20 al tercero. Obtenga tres enteros ímpares consecutivos tales que el doble de la sunta del pri mero y el segundo supere en uno al triple del tercero. Determine tres enteros pares consecutivos tales que el doble de la suma del segun do y el tercero sea 28 unidades menor que el quíntuplo del primero. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es l5. El dígito de las unidades es el cuádruple del de las centenas. El doble dígito de las decenas es igual a la sunta de dígitos de las unidades y las centenas. Obtenga el número. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 20. El dígito de las unidades supea en uno al de las centenas. El cuádruple del dígito de las centenas supera en 2 al doble de la suma de los dígitos de las unidades y de las decenas. Encuentre el número. Halle dos enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 31. La diferencia de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es 84. Determine ambos enteros. El producto de dos enteros consecutivos es 28 unidades menos que el cuadrado del segundo. Encuéntrelos. Halle tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primero y el ter cero menos el producto del primero y el segundo supere en 3 al tercero. Determine tres enteros pares consecutivos tales que el producto del segundo y el tercero supere en 20 al producto del primero y el tercero. Obtenga dos números cuya diferencia sea 3, y la diferencia de sus cuadrados su pere cn uno al séptuplo del núntcro menor. Halle dos números cuya diferencia sea 8 y la de sus cuadrados supere en 20 a I3 veces el número mayor. Encuentre dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto supere en 24 al cua drado del menor. Determine dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 195 unidades menos que el cuadrado del número mayor. La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 13. Si el número supera en 2 al quintuplo de la sunta de sus dígitos, ltúllelos. El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 2 unidades menor que el dígito de las decenas. Si el número es uno menos que 8 veces la suma de sus digitos, encuentre el número. La suma de los dígitos de ttn número de tres cifras es 12. El dígito de las unidades sttpera en 1 al de las centenas. Si 90 veces el dígito de las unidades supera en 6 al número. obtenga el número.. La suma de los digitos de un número de tres cifras es 17. El dígito de las unidades supera en l al de las decenas. Si el número es 2 menos que 40 veces el dígito de las decenas, halle el número. En cierto número de tres cifras el dígito de las centenas es el triple del de las dece nas, v la suma de los dígitos es 13. Si el número supera en 25 al céntuplo del dígito de las centenas, encuentrelo. 4.3 PFODÍQITIRS DIBIIÍEQIIOS COI! B31317735 55. En cierto número de tres cifras el dígito de las unidades es el doble del de las cen tcnas, y la suma de los dígitos es 19. Si se intercambian los digitos de las unidades 56. 137 v las centenas. el número se ittcrementa en 396. Obtenga el número original. En un núntero de tres cifras el dígito de las centenas supera en uno al de las dece nas, v la suma de los digitos es IQ. Si los digitos de las unidades y las centenas se intercambian, el número aumenta en l98. Halle el número original. 57. En un número de tres cifras el dígito de las unidades supera en dos al de las dece nas, y la suma de los digitos es 16. Si sc intercambian los dígitos de las unidades _v las ccntettas, el número disminuye en 2.97. Encuentre el número original. Problemas de porcentaje A veces la relacion entre dos números se expresa como un porcentaje. Tonto por cíertro sigttifìca “por cada cien" y se representa con el simbolo 07:1. De esta manera 49% 45'l00 dfix I 45 ' “ ` ` ` too' too t = te 23 ¡¬=23 +too ~te sii s s X too son | 300 soon = son + t oo = set 1 st mu = Im Para determinar que tanto por ciento es utt número de otro, se divide el primer número entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica. Obsérvese que 100070 = IO 0 : 100 = l. mg ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40'? 5°' "Cia" E s |oosf.¬ = me = atte 40 40 ¿Que tanto por ciento es 238 de 350? sotucrón 23 ,., ,,;.,,t,;;, = ...___ 23800 Q, = ,M __ì un no Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100% y se simplifica. Escribir 2 como un tanto por ciento. $0|.'UCtóN 4 = 4(tot1f et = 400% 4 tt ECUJICIGHES IJHEILES H UH! VARIABLE í 57 . Expresar šš como un tanto por ciento. solución sr= 100% sr 89 89( = svoo %=64 4% ) 89 89 Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de tanto por ciento a luego se multiplica por el número y se simplifica. ¿Cual es el 70% de 48'? 5°' "má" rentes) = 70 st lå 0 ›< es = 33.6 l ¿A que es igual el 9 ; % de 360? sotucton 9,Ef %3w) 914KlmX 1 360 4Xï(ï)'X3Ú'Ú 3; 1 33.3 La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con porcentajes. En esta seccion tratamos problemas de negocios. Cuando se realizan depositos de dinero en un banco, la cantidad que se deposita se llanta capital o principal y denota por P. La tasa de interés anual se denota por r. El interés que se recibe está representado por I. El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de interés. .F = Pr La fòrtnula anterior es útil en la solucion de problemas de tanto por ciento. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360 dola res. Si se ofrece en venta a precio de $297, ¿cuál es el porcentaje de reducción? sotuctótv Reducción de pas.. tu = ase 291 = ses. Porcentaje de reduccion = >< 100% 633603 “Fe = 17.5%. ¿A que es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de impuesto es 6*/suis? 4.3 Problemas planteados con nalabras SOLUCIÓN 139 Impuesto = 6%%(5 40) 13 I É X ñ K = $35.10 ¿,'E n cu ¬' á nto .se ven d era' un re frtg ` crador si el precio marcado es de $760 y la tienda ofrece un 12% de descuento? SOLUCIÓN Descuento = l2%(760) = $91.20 Precio de venta = 760 91.20 = $668.80 Al Sr. Noble le costó $17 466 comprar un coche, incluido tm 6.5% de im puesto de venta, ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar el impuesto? SOLUCIÓN Sea el precio de venta del coche sin impuesto = Sx. Impuesto = $6.5%.t: Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total. . . i". = 17,466 Í + 6 SM o .r + Fã0.r = 17,466 _ _ (Se multtpltca por 100) I000.r + 65.r = l7.46t'›.lì0f) l0f›.5.r = 17.466.000 .r = 16.400 Precio de venta sin impuesto = $Ifi.400. El precio de venta de una caja fuerte es de S350 luego de aplicar un 30% de descuento. ¿Cual es el precio regular de la cata fuerte? SOLUCIÓN Sea el precio regular = Ss', Descuento = $300/ïox (no solo 3()%). El precio de venta es igual ai precio regular menos el descuento. x 30%.r = 350 .tr %.r = 350 100.1: (Se multiplica por 100) 30:: == 35,000 70.1' = 35.000 Jr = 500 Precio regular de la caja fuerte = $500. 4 I* ECUACIONES IJHEIIIES EN UPM VÃRIÃBLE DEFINICIÓN Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un articulo para determinar el precio de venta de tai articulo. El margen de utilidad se expresa nor ntalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta. Un radio costo $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho precio? SOLUCIÓN Sea .rr el costo cuando el margen de utilidad se calcula sobre el costo , si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, este se denota por x. PCTÚ Sea el precio de venta = San Margen de utilidad = $200; 'u.t:. El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo. Jt' ' 2Ú°It'rix = 30 x 2 ¿sr = 80 IÚOI (Se multiplica por 100) 20.1' = 800 0 8.1' † 8000 .r = 100 Precio de venta = S100. El precio de venta de un campo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la utilidad es el 25% del mismo? SOLUCIÓN Sea el costo = = Sx. Utilidad = S25°ïu.t'. Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta. ,t + 25% .r = 584 + is 584 x |00'r _ (Se multiplica por 100) 100.1 + 25.r == 58.400 l25x = 58 400 .tt = 467.2 Costo = $467.20. Dos sumas de dinero que totalizan $20 000 ganan, respectivamente, 5% y 6%' de interes anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $l(l30. SQLUCIÓN Capital Tasa Interés Primera eartridad $1: 5% 5%x Segunda r.'frnnò'a'd $(20000 * Jr) 6% 6°?s(20000 x) 4.3 Problemas planteados con palabras 5'%.r + 6%i2Ú.ÚÚ'U 141 I) = IÚSÚ 5 Ó 100.1' + Í6(2Ú.Ú'ÚÚ '_ X) IOBO [Se multiplica por 100) 5.1' + 6(20.D00 ¬~ .r) = 103.000 51 + 120.000 fu' = 108.000 .tr = 12.000 Cantidad invertida al 5% = $12000. Cantidad invertida al 6% = $8 000. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo ut a pérdida de 12%. Si la pérdida neta fue de S540. ¿Qué cantidad tenia en cada inversión? PFÍIÍIÉÍH ÍHVEÍSÍÓH Sx Ganancia ganada = Iüflíux Sfgufldy ¡'f¡1r¿=r_§ já” SU0000 xl Perdida de 12% Cantidad ganada = l0%.t' Cantidad perdida = l2%(l0000 _c). Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta. |2¶'=ÍI(l,()0D ' I) “t 10% .t = 540 [2 10 B D(l0.ÚÚU l2(l0.000 120.000 Il mt' = 540 .ri lle (Se multiplica por I00) 10.1: = 54.000 10.1' = 54.000 .I = 3000 Primera .nversion = $3000. Segunda inversion = $7000. EJEMPLO El interés anual producido por $24000 supera en $156 al producido por $17000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual de interés aplicada a cada cantidad? sotuctdttt $24.000 $17.000 .r% (Jr + l.3)% 24.0U0l.r%) l7.000[(x + l.8)%| 2›fl,000x 17.0000: + 1.8) 24.0001: 17.0001: 30.600 7000.1; x Las tasas de interes son 6.6% 1; 8.4".f'a. 1 1 un ¡ 1 I tg i _ II IS6 (se multiplica por l00) 15.600 15.600 46,200 6.6 J I ECUICIDNES IJIEILES E UPM VJIRIIBLE Ejercicios 4.33 Cierto automovil se vendió en $16000 dolares hace dos años. El mismo modelo se vende este año en S18 000. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de compra? Ana obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual? El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dolares en el año presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál es el porcentaje de aumento del precio por libra? Si se asignan 8.4 millones de barriles de petroleo diarios para el consumo de cierto pais y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué porcentaje de la asignación no se consume? Edith gasta S75 dolares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá gastar a la sc mana si su precio aumenta 8%? Martín gana $2 100 dolares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si su salario se incrementa un 6W'o. El ingreso bruto de una empresa es de $450 000. ¿Cual es el nuevo ingreso si las ventas aumentan |2%? Una casa se vendio en S 168 50 0 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario si el corre dor de bienes raices tiene una comision del 6% sobre el precio de venta? Este año, la depreciación de un automovil es de $22608 dolares en base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cuál era el precio del auto? Un corredor de bienes raices recibio una comision de S31 440 por la venta de una casa en Los Angeles. ¿En cuánto se vendió la casa si el corredor cobro un 6% del precio de venta? El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1 164.6 en base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo? Juana compro un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en $8 903. ¿Cuál fue el precio de venta del abrigo sin impuesto? El Sr. Gil compro un televisor a color con un impuesto del 6.5% incluido, en S788. l . ¿Cual es el precio de venta del televisor antes de aplicar el impuesto? ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la tienda ofrece un t'5"?u de descuento? Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo? ¿Cual es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de aplicar un l2.S% de descuento? El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo? El costo de una botella de licor es 5.19.25 y su precio de venta es $25. ¿Cuál es el margen de utiiidad sobre ei precio de venta? El precio de venta de un reloj es de S126. ¿Cuál es el costo si el margen de utilidad es el 40% del costo? El precio de venta de una estufa electrica es de $756. ¿Cuál es el costo sì la ganan cia es el 35% del costo? El costo de una alfombra cs de $581. ¿Cuál es el precio de venta sì el margen de utilidad es el 30' i ia del precio de venta? 4.3 Pfülllfifllài PIGIIÚBBGGS t¦0l'l flãlflhrãi 143 22. El costo de un automóvil es de $7 320. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 25% del precio de venta? 23. Dos sumas de dinero que totalizan $30 000 ganan, respectivamente, 6% v 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conj unto, producen una ganan cia de S2 340. 24 27 Dos sumas de dinero que totalizan $45 000 ganan, respectivamente, 6.8% v 8.4% de interes anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una ganancia de $3 524. Diana tiene $10000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2 400? Jorge tiene $9000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4 862? La Sra. Pérez invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la otra de 28. 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interes fue dc $1 040? El Sr. Ramirez rcalieó dos inversiones cuya diferencia es $18000. La inversión 25 26 29. menor es al 7.8% v la mayor al 8.6%. Determine las cantidades invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2 860. El Sr. Barba invirtió una parte de $40 000 al 6.2% v el resto al 7.4%. Si su ingreso por la inversión al 7.4% fue de Sl 440 más que el de la inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido a cada tasa? 30. 31. Alfredo v Juana invirtieron parte de $52000 al 7.5% y el resto al 11.5%. Si su ingreso por la inversión al 7.5% fue de $670 más que el de la inversión al l 1.5 %, ¿cuánto fue invertido a cada tasa? Francisco tiene $12 000 invertidos al 5.5%. ¿Cuánto dinero adicional debe inver tir al 8% para que su ingreso anual total sea igual al 7% de la inversión total? 32. 33. Beatriz y .l uan tienen S8 500 invertidos al 6%. ¿Qué cantidad adicional deben in vertir al 13% para que su ingreso anual total sea igual al 10.5% dela inversión total? Guillermo hizo dos inversiones que sumaban $15 000. En una de ellas obtuvo 8% de utilidad, pero en la otra tuvo una perdida de 15%. Si la pérdida neta fue de 34 35. Sl 330, ¿cuánto tenia en cada inversión? Roberto realizó dos inversiones con un total de $30 000. En una de ellas obtuvo 20% de ganancia, pero en la otra perdió un 25%. Si la pérdida neta fue dc $3 000, ¿cuánto tenia en cada inversión? Arturo hizo dos inversiones con un total de $20 000. En una de ellas obtuvo una utilidad de 24%, pero en la otra perdió un 11%. Si la ganancia neta fue de $600, ¿cuánto tenia en cada inversión? 36. El monto de interés anual producido por S15 000 cs Si l4 menos que el producido por $18 000 con 0.5% menos de interes anual. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada a cada cantidad? 37. _ 38. 39. El monto de interes anual producido por $8 000 es $180 menos que el producido por $12 000 con 0.75% menos de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interes aplica da a cada cantidad? El monto de interés anual producido por $20000 es $540 más que el producido por $14000 con 1.5% más de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada a cada cantidad? El monto de interés anual producido por $28 000 es de $448 más que el producido por $16 000 con 2% más de interés anual. ¿Cuál es la tasa de interes aplicada a cada cantidad? 144 4 I* ECUACIONES LINEALES EN IINÃ VÂRIABLE PI'0bIEII'I3$ OE MGZCIBS ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal? SOLUCIÓN Una solución de sal al 8% significa que el 8% de esta es sal v el 92% agua. Dicha cantidad en la solucion original mas la cantidad en el agua agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final. Cantidar! origina! Cantidad agregada Cantidad _/irte! 6 litros 8% de sal .tr litros 0% de sal (Jr + 6) litros 5% de sal 3%(6) + 0%(.t) = 5%(.r + 6) åtn) + åtx) = ¡%U(.r + 6) (Se multiplica por 100) SÍÓ) + 0(.t'l == 5(.t' + Ó) 48+0=5.r+30 5.r = l8 .r =? .6 La cantidad de agua que debe agregarse es 3.6 litros. i Un hombre mezcló 48 onzas de una solución dc yodo al 4% con 40 onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje dc yodo en la mezcla? SOLUCIÓN Cottsidcrcrnos la cantidad de yodo en la solución. Primerrr ,solttr.v'rirr Segunda solueidrt .Mearflu 48 onras 4% de yodo 40 onzas 15% de yodo 88 onzas .Wa de yodo 4" iïrl48) + I5%( 40) = .r%[33) 5 . åüt ist + ätctn = àtsst . _ (se nmtnpttea por too) 4( 43) + !5( 10) = 83.1' l92 + 600 = 88.1' 792 = 3i'l.r .r = 9 La ntcacla es una solución al 9% dc yodo. 4.3 Problema planteados con nalabras 145 Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% con otra al 72% para pro ducir una aleacion de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la aleación al 48% que de la aleacion al 72%, ¿cuántas libras hay en la mezcla total? solución of + zo) libras s libras (zx + zo) libras 43% 72% 57°7t| 48% (.r + 20) + 72% (x) = 57%(2r + 20) (Se multiplica por 100) 48(.r + 20) + 72.1: = 57(2r + 20) 48.1: + 960 l 72.1' = Il4.r +1140 ox = [80 J: = 30 El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras. EÍEPCÍCÍOS 4.3C I. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%? 2, 3, ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 omras de una solucion al 12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo? ¿Cuántos litros de una solucion de sal al 30% deben agregarse a 10 litros de igual solucion al 16% para producir una al 20%? 4, 5, 6. 7, 8. 9 ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60 onzas del mismo tipo de solucion al 3% para obtener una al 8%? ¿Cuántas pintas dc una solucion con desinfectante al 4% deben agregarse a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%? ¿(."t|ántos litros de una solucion de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros de igual solucion al 6% para hacer una al 20%? Un hombre mezelo 100 libras de una aleacion de cobre al 90% con 150 libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla? Un platero mezclò 20 kilogramos de una aleacion de plata al 70% con 55 l :ilogra~ mos de la misma aleacion al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en la mezcla? Susana mezclò 800 gramos de una solucion de yodo al 6% con 700 gramos de una solucion de yodo al 9%. ¿Cual es el porcentaje de yodo en la mezcla? 10. .lairne mezclò 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de una Il. al 32%. ¿Cuál es el procentaje de ácido en la mezcla? Rodrigo mezcló GO libras de una aleacion de aluminio al 30% con 140 libras de la misma aleacion. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda aleación si la mezcla es de 65% de aluminio? 4 I' ECUIIUONES UNEILES EN UPM VARIABLE 12. Un quimico mczcló 200 gramos de una solucion de yodo al 30% con 500 gramos de otra solucion de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la segunda solucion si la mezcla es de 20% de yodo? 13. Margarita mczclo 30 litros de una solucion desinfectante al 46% con 55 litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la mezcla contiene 24% de desinfectante? 14. René mczcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con '78 kg de otra aleacion. ¿Cual es el porcentaje de cobre en la segunda aleacion si la mezcla es dc 57.25% de cobre? 15. Julia mezclo una aleacion de plata al 40% con otra. al 90%, para hacer una al 75 %. Si hay 20 onzas más dela aleación al 90% que de la de 40%, ¿cuantas onzas hay en la mezcla total? 16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro de 60% para hacer nn fertilizante con 34% de nitrogeno. Si hay 36 kg menos del fer tilizante de 60% que del de 20%, ¿cuántos kilogramos hay en la mezcla total? 17. Una planta procesadora de alimentos desea producir I 020 litros de salsa de toma : con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra con 50%. ,qué cantidad de cada clase de salsa deben emplear? 18. Joa planta procesadora de alimentos desea producir 1 200 litros de mermelada :on 55% de azúcar.. Si disponen de una mermelada con 30% de azúcar y otra con 70%. ¿qué cantidad de cada clase de mermelada deben utilizar? li. Un joyero mezclo I 000 gr de una aleacion de oro con 2 000 gr de otra que contie ne 37.5% mas de oro que la primera. Si la aleación resultante tiene 75% de oro, ¿cuál es el porcentaje de dicho metal en cada aleacion? 20. La Casa de Moneda mezclo l0 000 gr de una aleacion de plata con 4 000 gr de otra que contiene 35°? menos que la primera. Si la aieacidn final contiene 85% de pla ta. ¿cual es el porcentaje de este metal en cada aleación? Problemas de Valor Monetario Elenca tiene $4.45 en monedas de 10€ y 25117. Si dispone en total de 28 monedas. ¿cuántas tiene de cada clase? SOLUCIÓN Monedas de 1002 Monedas de 25€ .r monedas (28 Jr) monedas La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de dinero. loto + 2508 xl = 445 l0x + 700 25.1 = 445 l5x = 255 (Nota: 445. no 4 45) .r = 17 23 .r = ll Número de monedas de 10€ = l'7. Número de monedas de 25€ = 28 17 = ll. 4.3 Problemas planteados con palabras 147 Ramona compro $l0.o0 dolares de estampillas de l0¢ . 15€ y 25€ con un total de S2 estampillas. Si la cantidad de estampillas de 25 Gi que com pro es el cuá druplo de la de ltltlf. ¿cuantas estampillas de cada clase compro? sowctont me :sc :r estampillas (52 :ise 5.r) estampillas 4x estampillas La suma de los valores de las clases individuales de estampillas cs igual a la cantidad total. l0(.r) + 15(52 10.1' + 780 5.1 J + 25{4.r) = 1060 (Nota: 1060. no 10.60). '?5x + l00.r = 1060 35:: = 280 .tr = 8 Núrncro de estampillas de 10€ = 8. Número de estampillas de 15412 = 52 5{8) = 12. Número de estampillas de 25@ = 4(8) = 32. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida. una de 1890.” la libra y otra de 129€ . Si la combinacion pesa 450 libras y se vende a l45 GT cada una. ¿cuántas Ii hras de cada clase forman la mezcla? SOLUCIÓN tasa ¡mr :rafa ¡zac ¡rar rom 145 c por ¡ram (450 sr) libras 450 libras .tr libras La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la mezcla. l39(.t) + 1290450 Jr) 139.1' + 58.050 129.1' 60.1' .r = = = = 450045) 65.250 7200 120 Número de libras a l89¢ = l20 libras. Ntimero de libras a l29(l` = 330 libras. Ejercicios 4.30 1. Guillermo tiene $3.40 en monedas de 5 G1 y 10€. Si dispone en total de 4? mone das. ¿cuántas de cada clase posee? 2. Roberto tiene $4 en monedas de 5 ¡I y 25 III . Si posee en total 32 monedas, ¿citan tas tiene de cada clase? 3. Cristina tiene $7.60 en monedas de 10@ y 25€ . Si en total dispone de 40 mone das, ¿cuántas de cada clase posee? 4 ECUÃCMIIES LIHEALES EH UNI VIRMBII Diana tiene 6 monedas mas de 25€ que de 10€ . Si el valor total es de $9.20. ¿cuantas tiene de cada clase? Nadia posee 8 monedas mas de 5 € que de 10€ . Si el valor total es $3.10, ;,cuán~ tas monedas de cada clase dispone? Marcos compro 38.7 dolares de estampillas de 15 € y 25 € . Si adquirió 42 de éstas en total. ¿cuántas de cada clase compro? Rogelio tiene S99 dolares en billetes de $1, S5 5' S10. Hay 26 de ellos en total y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de S5. ¿Cuántos tiene de cada clase? Raymundo tiene $13 dolares en monedas de 5€ . 10€ 3,' 25€. Si en total posee 92 monedas y el número de éstas de 10€ es el doble del de 5€ , ¿cuantas posee de cada clase? Norma tiene el doble de monedas de 25€ que de 5€ y tiene 3 mas de 5€ que de 10€ . Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada clase? Isabel compro $9.20 dolares de estampillas de 10€ . 15 € y 25 € con un total de 50. Si la cantidad de las de 25€ que compro es el doble de la correspondiente a las de 15€ , ¿cuantas estampillas adquirió de cada clase? Cristobal compro $615 dolares de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15€ es el triple de la de 10€. ¿cuántas consiguio de cada clase? David compro $11 dolares de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de 58. Si la cantidad de las de 25€ es el cuádruple de la de 15€ , ¿cuantas obtuvo de cada clase? Un abarrotero mezcla 2 clases de nuez.. una vale $2.59 la libra y, la otra, $3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra. ¿cuántas libras de cada clase utiliza? Un tendero mezcla 2 clases de grano de café uno vale $2.79 la libra y el otro, $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende a $3.09 la libra. ¿cuántas libras de cada clase de grano emplea? Un conlìtero mezcla caramelo que vale 139€ la libra con otro a 84€ la libra. Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177€ la libra. ¿cuantas libras de cada clase de caramelo usa? ¿Cuántas libras de to de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 del mismo produc to de $3.79 la libra para producir una mezcla con ttn precio de $3.99 la libra? Migttelina compro $13.55 de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de 62. Si hay 2 estampillas más de 15€ que el doble de las de 10€ , ¿curintas adquirió de cada clase? Rosa Maria compro $10.70 de estampillas de 10€ . 15€ y 25€ con un total de 53. Si el número de las de 25 € es 4 menos que ci quirttuplo delas de 10€ . ¿cuan tas consiguio de cada clase? Sofia tiene $7 dolares en monedas de 5 € . 10€ y 25 € . Si posee 39 en total v hay 5 más de 25 € que el doble de las de 10€ . ¿cttántas monedas de cada clase tiene? Beatriz dispone de $20 dolares en monedas de 10€. 25 € y 50€. Si en total tiene 110 v hay 2 menos de 10€ que el séstuplo de las dc 50€ . ¿cuántas posee de cada clase? La recaudacion por la venta de 35 000 boletos para un partido de fútbol america~ no fue de $305 500.00. Si se vendieron a S8 3* $1 1. ¿cut 'tntos de cada clase fueron vendidos? Una sala de cinc vendio 800 boletos por un total dc $4 150. Si se vendieron a $4.50 3' $6.50, ¿cutìntos se vendieron de cada clase? 4.3 Pl'Ob|EII'I3$ DIBIICQHGOS IDH DIIBUFQS 149 23. Los ingresos por la venta de 68 000 boletos para un partido de fútbol americano fueron de $6000Ot). Los boletos se vendieron a $14, $10 y $6, y la cantidad de los de $6 fue 3.5 veces la correspondiente a los de $14. ¿Cuántos fueron vendidos de cada clase? 24. Un abarrotero mezcla 3 tipos de grano de cafe, uno vale $1.95 la libra; otro, $2.45, y el tercero, $3.50. La meacla pesa 1 660 libras y se vende a $2.75 la libra. Si la cantidad del grano de $1.95 es el doble de la correspondiente al de $2.45, ¿cuántas libras de cada tipo de grano utiliza? Problemas de movimiento La distancia recorrida, en millas, es igual al producto de la velocidad, en millas por hora, y el tiempo, en horas. En simbolos, ri = rr. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 millas entre si y cuyas velocidades difieren cn 5 millas por hora, se dirigen cl uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil? SOLUCIÓN Primer auto Segundo anto Velocidad Tiempo .r mph 3 hrs (A: + 5) mph 3 hrs Distancia 3x millar 3(x + 5) millas La suma de las distancias recorridas es igual a 375 millas. 3.r+3(x+5)= 375 3x+3x+l5=37S ox=36Ú x=60 Velocidad del primer auto = 60 millas por hora. Velocidad del segundo auto = 65 millas por hora. I Dos automoviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones opues tas. El primer automovil hace un promedio de 55 millas por hora, mientras el segundo tiene uno de 65 millas. ¿En cuántas horas se encontraran a 720 millas entre sí? SOLUCIÓN Velocidad Tiempo Distancia Primer anto 55 mph .r hr 55.1' millas Segundo auto 65 mph .lr hr 65.r millas J If ECUBCIONESLIHEILESEHUNÃVARMBLE La suma de las distancias rccorrìdas es igual a 720 millas. 55x + 65.1* l2Ú.r Í' í 11 í' 720 720 x=o Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 millas entre si = fi horas Un avion a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora ia a alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas 1: está volando a una velocidad de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avion eii alcanzar al segundo* SULUCIÓN Velocidad Tiempo Distancia Primer atviriri 650 mph Segiritdo avion 400 mph i tir 650: iniìlas (1 + 4) lir 4000 + 4) millas El primer avion alcanzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la inisina distaiieia 650: 650: 250: 4 Elüti + 4) 400: + 1600 :see 62 "' 5 í 11 _ . . 2 . . E .l tiempo requerido es (i š horas, o 6 horas, 24 minutos. Q Paula condujo sii automovil 45 minutos a cierta velocidad. Luerio la aiinieii to en 16 millas por hora durante el resto del viaje. Si la distancia total recorrida fue de l l 4 millas, y le llevó 2 horas 15 minutos, ¿que distancia manejo ala velocidad mas or” soi.uctdm velar ¡aaa .v min Tiempo ett mittittos 45 (Jr + lo) mph 135 ¬' 45 = 90 . Tiempo en horas 3 H _ 3. 2 . . . Distancia recorrida 3 3 Epi) + É (,r + 16) = 114 3.1* + 6{.r + lol 3x 1 6.1: i 96 9.: .tr = 3 _ 3 2' ji (Ji) [.\ .|.. . 16] . _ por 4) (se multiplica 456 456 369 40 Distancia recorrida a la velocidad mayor = (40+ 16) = 84 millas 43 Problemas planteados con palabras 151 Ejercicios 4.35 Dos clubes que se hallan a 25 millas entre si decidieron acampar juntos eii cierto punto inierniedio. Si uno de los grupos cantina % de milla por hora mas aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas, ¿cuál es la velocidad de cada grupo? Dos automoviles que están a una distancia de 464 ttiillas entre si 1; cuyas velocida des difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil? Dos automóviles parten del mismo lugar 3; viajan en direcciones opuestas. El pri mer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo, tiene uno de 50 mph. ¿En cuantas horas se encontrarán a 570 niillas entre si? Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de ellos hace un promedio de 6 inph más que el otro. Determine las velocidades de ambos si al cabo de 5'/i horas se encuentran a 528 millas entre si. Un avion a reaccion que vuela a una velocidad de 750 mph va a alcanzar a otro que partio 2 horas antes y que vuela a una velocidad de 500 mph. ¿A qué distan cia dcl punto de partida encontrara el primer avion al segundo? Un automovil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3 horas más tar de a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero. ¿En cuantas horas alcan aará el segundo auto al primero? Un hombre cabalgo de ida a una velocidad de 30 inph y de regreso a una de 35 mph. Su viaje redondo duro 6!/i horas. ¿Qué distancia recorrio? Bertha condujo su automovil 43 niinutos a cierta velocidad. Una descontpostura la obligo a reducirla cn 30 mpli por el resto del viaje. Si la distancia total recorrida fue de 65 millas v le tomo 2 horas v 3 minutos, ¿qué distancia nianejo a la veloci dad baja? Enrique manejo 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60 mph 3. con dujo Ias restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? Un hombre manejo 20 millas a una velocidad media de 30 mph gr las siguientes 80 a la de oümph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? Samuel viajo cn autobús a una ciudad a 60 millas de distancia 1,* regresó a casa en su bicicleta. El autobús viajo al doble de la velocidad de la bicicleta y cl' viaje redondo duro 4% horas. ¿A que velocidad viajo Samuel en su bicicleta? Jorge tenia una cita para una comida a 96 millas de distancia. Manejo a una velo cidad media de 28 mph en la ciudad y a óllntph en carretera. Si el viaje duró 2 horas, ¿quo distancia manejo en la ciudad? Un tnuchaelio que se encontraba en una parada de autobús se entero qiie este par tiria dentro de 38 minutos; asi que decidió irse corriendo a casa. Corrio a una velocidad promedio de I2 mph y llego a su casa al mismo tiempo que el autobús. Si éste viajo a una velocidad promedio de 50 inph ¿a quo distancia estaba de su casa el muchacho? El oficial de un portaaviones no alcanzó a abordar su nave. Cruzo en avion el inuelle, 17 minutos después de que el barco lo habia abandonado. El portaavio nes viaja a tin promedio de 36 mph, mientras que el avion viaja .i uno de 240 mph. Si transcurrieron 5 minutos para que el avión alcarizara y aterrizara en el porta viones, ¿a quo distattcia se hallaba el barco del muelle cuando el oficial salio del avion? Il I ECUICIBIESLIHEILESEHUIIVAIIIÃBLE 15. Una division rnecanizada del ejército se mueve en columna a 12 mph. Un mensa jero va desde el final de la columna hacia el frente de la misma, y luego regresa a la parte posterior, contabilizando en total 15 minut.os. Si el mensajero viajó a una velocidad de 20 mph, determine la longitud de la columna. Pl'Ob|B|I'I3$ de fêlflpefãfflfã Tres escalas que se emplean para medir temperatura son las de Fahrenheit, Celsius (cen tígrados) y Kelvin. En la escala Fahrenheit, el punto de congelacion del agua se calibra como 32, y el de ebullicion como 212. Existen 180 divisiones iguales entre la temperatu ra de congelación del agua y su punto de ebullición, Cada división constituye un grado Fahrenheit y se denota por °F. En la escala Celsius, el punto de congelacion del agua se calibra como ll, y el de ebullicion del agua, como 100, I lay 100 divisiones iguales entre el piinto de congelación del agua y el de ebullición. Cada division es un grado Celsius y se denota por "C, La escala Kelvin tiene las mismas divisiones que la Celsius, excepto que el punto de congelación del agua en la escala Kelvin es 273. Cada division se denota por °K, Observese que 180 divisiones de la escala Fahrenheit equivalen a 100 divisiones de la escala Celsius, Cada grado Fahrenheit es igual a % de un grado Celsiiis. Cada grado 9 Celsius es igual a É de uno Fahrenheit. Puesto que una lectura de 32 en la escala Fahrenheit equivale a una de 0 en la escala Celsius, tenemos lo siguiente: 1, Dada una lectura Fahrenheit, se resta 32 de ella 3' se multiplica por 3 para obtener la lectura Celsius correspondiente. se = ¡É ter 32). . , . 9 2. Se multiplica utia lectura Celsius por É , y se suma 32 para obtener la lectura Fahrenheit equivalente. “F = %°C + 32. 3. Se suma 273 a una lectura Celsius para obtener la correspondiente lectura Kelvin. “K = “C 273. La temperatura normal del cuerpo humano es de 37°C. ¿A qué equivale en la escala Fahrenheit? sauna" F = gc + 32 = gran + 32 = 66.6 + 32 = 93,6 4,3 Pfflbiüfllfli Illãlltfiãdfli MH D3l3IN'3$ 153 La temperatura ambiente normal es de ?l)"li. ¿Cutil es su equivalente en la escala Celsius? solucion C = åfl, __ 32) = _(.,0 _ 32) LflfiDLH = 608) = 2l.ll Nota Dada una lectura en la escala Falirenhcit, para obtener la correspondiente lectura Kelvin, pri mero se encuentra la lectura Celsius equiva lente jr luego se deterinina la lectura Kelvin, Eiicontrar la temperatura Kelvin que corresponda a una lectura de 86“F, SOLUCIÓN Para obtener la temperatura cn la escala Kelvin determinantes primero la lectura Celsius correspondiente, C = å(8o 32) = š(54) = 30 K=C+273=30+273 = 303 Ejercicios 4.3F Convierta las siguientes lecturas Fahrenheit en las que corrcspondcii a las escalas Cel sius y Kelvin: 1. 4. o8F 239F 2. 5. 95F 22F 3. 6. l49F SF Convierta las lectiiras Celsius siguientes en sus correspondientes lecturas Fahrenheit: 7. ll). 30€ 273€ 8. Il. 4lC I25C 9. 12. SOC 600€ Convierta las siguientes lecturas Kelvin a las que corresponden a la escala Fahrenheit: 13. 15. 28814. 7001€ 14. 16. SOSK IOÚK II ' ECUACIONES IJNEALES EN UNI VAIÍAILE 17. 18. Si la temperatura desciende 45°F, determine el descenso que corresponde a la es cala Celsius. Si la ternperatttra aumenta 15°C. determine el aumento correspondiente en la es cala Fahrenheit. Problemas referentes a edades Catalina tiene actualmente la mitad de la edad de Dora. y dentro de doce años tendra 5 de la que Dora tenga entonces. ¿Cuales son sus edades actuales? ll 5 \ SOLUCIÓN Crrrrrlirtrr Jr años (Jr 1 12) Edad actual Edad dentro de I2 años _¡ .;. 12 = .å(2_¡ + [21 I Dora 2.1: años (Zar + 12) (se multiplica por 6) t'1(.c + 12) = 5(2.t: + 12) ox + 7?. = l0.r + 60 4.1' = 12 .r = 3 Catalina tiene actualntente 3 años. Dora tiene fi. . I . Hace dos años Blanca lenta í de la correspondtente edad de su madre. 5 de la que entonces tenga su manta. ¿Cttál Dentro de catorce la edad de Blanca sera. ¡É es la edad actual de Blanca? Edad hace 2 años Edad dentro de I4 años 5 J: + lo = ïãlåa' 4 16) l2l.r + tm ¬ St8.t + ts) 12.1: + [92 = 40.1* t 80 23.1: = 112 J; = 4 Edad actual de Blanca =~ 4 + 2 = 6 anos. Bffln('U Azlafnd _¬›; .tr ¬+ 16 ¿ 8,1 1» 16 43 F|"0b|8I'l'I3$ Plflflfflilflfli CON DRIBIWBS 155 Ejercicios 4.36 La edad actual de Pablo es el doble de la de su hermano. Hace cuatro años Pablo tenia el triple de la correspondiente a su hermano. ¿Cual es la edad actual de Pablo? La edad actual de Bernardo es el triple de la de Amalia. Hace dos años él tenia el quintuplo de la edad que correspondía a Amalia. ¿Cuales son sus edades actuales? . . 1 . . Ricardo tiene actualmente E de la edad de su padre. Dentro de dtez años tendra la mitad de la edad correcpondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de Ricardo? l . La edad actual de Dulce es í de la de su hermana. Dentro de stete años Dulce . 2 . tendra É de la edad de su hermana. ¿Coal es la edad actual de su hermana? _ . . . . l . Hace dos anos (rtstma tema (5 de la edad que correspondta a la de su mamá. . . . 7 . _ . Dentro de lo años Cristina tendra lš de la edad de su mama. ¿Cual es la edad actual de la manta de Cristina? _ . l , 2 Hace 3 años Linda tema 6 de ia edad de su padre y dentro de once. tendra 3 de la de su papa. ¿Cuáles son sus edades actuales? _ l Hace dos años la edad de Caroltna era š~ de la de su padre y dentro de cuatro l I' 'I I ¡ años sera T de la de su papa. ¿Cual es la edad actual del padre? Yolantla es seis años menor que Teresa. Dentro de cinco años la primera tendrá 5 de ia edad de la segttnda. ¿(.uales son sus edades actuales? 4 1 . _ . _ É . . 4 Vtrgtnta es 8 años menor que Soma y hace diez años la edad de aquella era $ de la de esta. ¿Cuales son sus edades actuales? Problemas de palancas Cuando una barra uniforme de peso despreciable se pone en equilibrio sobre un sopor tr. con cargas en ambos lados del soporte, se tiene una palanca (Figura 4.1 ). El soporte se denomina punto de apoyo o fulero 5' se denota por F. Las cargas se representan por _W_ ¿_ lfl '_,, _ _ ., (primera. segunda carga, etc.) 1' | t í¡,, tt _ › .t ¬'mi 1,, it ¦ t* 1 It', FIGURA 4.1 it', | ¬› 1 t IIIII jíl íl I I H lt '_, lt 1,, 4 I ECUACIONES UHEILES EN UNA VÃRIIILE La distancia de una carga al punto de apoyo se llama brazo de palanca de la carga. La longitud de tal brazo de la primera carga se representa por L, , la segunda por L1. y así sucesivamente. Para que la palanca quede en equilibrio, la sttma de los productos de las cargas situadas de un lado del punto de apoyo por sus respectivos brazos de palanca, debe ser igual a la suma de los productos de las cargas del otro lado del punto de apoyo por sus brazos de palanca. H"'|f.¡ 'l' i"'V1f 2 = I"V_ ¡L_1 'I' H/¿L4 Algunas maquinas simples a las que se aplica la ley de las palancas son el subibaja. el cascanueces, las tijeras y la balanza. Beto y Paty pesan juntos 75 libras. Si en un subibaja el primero se sitúa a 4 pies del punto de apoyo y la segunda a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. De terminar sus pesos respectivos. SOLUCIÓN Véase la Figura 4.2. Peso de Beto = .r libras. Peso de Paty = (75 4.1: 4x 10.1' .tr = = = = 6(75 450 450 45 Jr) libras. .r) 6x Peso de Beto = 45 libras. Peso de Paty = 75 45 =› 30 libras. 4' suma F 45' uâ a libras FIGURA 4.2 Una barra de peso despreciable se encuentra en equilibrio cuando una car ga de 9') libras se sitúa a 8 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas de 40 y 120 libras se ubican a 2 pies de distancia entre si del otro lado del punto de apoyo, con la carga de 40 libras mas cercana a diclto punto. ¿A que distancia del punto de apoyo se encuentra la carga de 40 libras? 43 Problemas planteados con palabras SOLUCIÓN 157 Véase la Figura 4.3. Supongamos que la carga de 40 libras está a .r pies del punto de apoyo. La carga de 120 libras estara a (Jr + 2) pics del punto de apoyo. 90(8) = 40(.r) + l20(.t' + 2) 720 = 401: +1201: + 240 60.›:=480 .r=3 La Larga de 40 libras está a 3 pies del punto de apoyo. | I ¡_. Mí H. mi | I 901 libras tx t 2) en t I ' . ¡gi .T I i.¬ I 40 p libras 120 pt libras FIGURA 4.3 Ejercicios 4.3H Juana pesa IIS libras y se sienta en un subibaja a 8 pies del punto de apoyo. Si Beatriz lo hace a 10 pies del punto de apoyo para lograr el justo equilibrio. deter mine el peso de Beatriz. Sofia pesa 80 libras y se encuentra en un subibaja a 3 pics del punto de apoyo. Si Nadia se situa a 5 pies del punto de apoyo, se equilibra con Sofia. ¿Cuanto pesa Nadia? David pesa 96 libras y se halla en un subibaja a 5 pies del punto de apoyo. Si Mar _cos pesa 60 libras, ¿a que distancia del punto de apoyo se debe situar para ponerse en equilibrio con David? Guillermo pesa 240 libras y se sienta en un subibaja a 6 pies del punto de apoyo. Si Gustavo pesa 180 libras. ¿a que distancia del punto de apoyo se debe situar para lograr cl equilibrio con Gttillernto? A y B pesan juntos 250 libras. Si en un subibaja A se encuentra a 6 pies del punto de apoyo yt B a 4 del mismo, quedan en equilibrio. Determine sus pesos. Un subibaja de 7 pies de longitud es puesto en equilibrio por A y B que pesan 90 3; 120 libras. respectivamente. Halle la distancia de cada uno de ellos al punto dc apoyo. Una barra de peso despreciable esta en equilibrio cuando una carga de 200 libras se sitúa a 12 pies de ttn lado del punto de apoyti, 3; dos cargas de 80 y 240 libras se encuentran a 2 pics de distancia entre si del otro lado del punto dc apoyo. de la carga de 80 libras mas cercana a dicho punto. ¿A que distancia del punto de apoyo se ubica la carga de SO libras? 4 ECUACIONES IJIIEALES EN UNA VARIABLE Una barra de peso despreciable se pone eii equilibrio cuando una carga de Iótl libras se coloca a 9 pies a un lado del punto de apoyo, y dos cargas de 90 y 108 libras se sitúan a 6 pies de distancia entre si del otro lado del punto de apoyo, con la carga de 90 libras más cercana a tal punto. ¿A que distancia del punto de apoyo está la cttrga de 90 libras? Una barra de peso despreciable se equilibra cuando una carga de 240 libras se ubi can a 8 pies de un lado del punto dc apoyo, y dos cargas que difieren en 30 libras se encuentran del otro lado de este punto, detal manera. que la carga menor está a 6 pies del punto de apoyo y la mayor a 14 pies del mismo. Determine los valores de las cargas. Una barra de peso despreciable se equilibra si una carga de 300 libras se coloca a 12 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas que difieren en ISO libras se sitúan del otro lado de dicho punto, de tal modo, que la carga menor queda a 16 pies del punto de apoyo y la mayor a 9 pies de éste. Encuentre los valores de las cargas. Problemas de geometría El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base mas el doble de su altura. LI área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. La suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180°. El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura. Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90”. Dos angulos son suplementarios si su siima es ISO”. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, 3* el perimetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo. sotuctotit veas@ is Figura 4.4. Altura .ir pies 2(x) + 2(2r Base (2.r 3) = 42 2.r+4.t* o=42 6.r=48 .x=3 3) pies 4.3 Pmblamas planteadas con palabras 159 lr 3 .I .r 11.' 3 FIGURA 4.4 Altura del rectángulo = 8 pics. Base del rectángulo = 2(S) ~ 3 = 13 pies. La base de una pi nfulra r Éctanštiïar as É pulgadas ruanarïfualel doble de su altura. Si al marca tiene 4 pulgadas de ancha 1.' un area de 816 pulgadas cuadradas, hallar las dimcnsiuncs de ia pintura sin al marco. SOLUCIÓN Véase la Figura 4.5. Altura .tr pulgadas Base 8) pulgadas Área .u[2.1' H 8) Sin marca {2x Con marca (Jr + S) pulgadas 2.1' pulgadas 2.1r(;r + 8) El arca de la pintura incluyendo al marca. me nos el área dr: la pintura sin esta último, es igual al arca del marco. 2t(.r + 8) 1x1 + lar .r(2.x 3) = 816 2.1 1 + 8x = San 24.1' = S16 .r = 34 Altura fic la pintura = 34 pulgadas. Base de la pintura = 2(3 4) S 60 pulgadas. .t' lr ~ 8 li' FIGURÃ 4.5 .I + 8 4 I ECUACIONES MUELLES EN UIA VARIABLE La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el area del triángulo si su base es de 8 pies menos que el doble de su altura. SOLUCIÓN _ Base (2.1: 8) i (2.t' Altura .Jr 3) + .tr = 28 zx s + s = es 3.r = 36 .tr = 12 ase = 2(l2) 8 = lo pies. Altura = 12 pics Area = %(l6)(l2) = 96 pies cuadrados. Ejercicios 4.3! La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el perímetro del rec tángulo es de 60 pies. halle las dimensiones de éste. La base de un rectángulo es ei triple de la altura, y el perímetro es de 256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo. La base de un rectángulo mide 4 pics más que el doble de la altura, y el perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud, y el perí metro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo. La base de un rectángulo mide IO pics más que el doble de su altura 3' el perímetro es de 170 pies. Haile el área. del rectángulo. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas cada uno 3 ' los otros dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta 8 pulgadas cuadradas. En cuentre el lado del cuadrado. Si dos tados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área de incrementa en 33 pulgadas cuadradas. Oh tenga el lado dei cuadrado. Si dos lados opuestos de un cttadrado se ìncrententan en 6 pulgadas cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área permanece constante. Determi ne ei lado del cuadrado. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno 3; los otros dos disminuyen S cada uno, el area decrece 20 pultaas cuadradas. Halle el lado del cuadrado. La base de un cuatlro sin marco mide el doble de su altura. Si el marco tiene 2 pulgadas de ancho 1.' su area es de 208 pulgadas cuadradas, encuentre las dimen siones del cuadro sin el marco. Repaso det capítulo 4 12. 161 La base de una pintura sin marco es 3' pulgadas menos que el doble de su altura. Si el marco tiene l pulgada de ancho y su área es de 34 pulgadas cuadradas, ¿cuá les son las dintensiones de la pintura sin marco. 13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 10 pies de anchura y un área de 4 600 pics cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el edificio? 14. Una construcción se asienta en un terrno rectangular que mide de largo 10 pies menos que el doble de stt ancho. La banqueta que rodea a la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2 496 pies cuadrados. Determine las dimensiones IS. del terreno de la construcción. La longitud de un edificio es de 20 pics menos que el doble de su anchura. El alero de la asotea es de 2 pies de anclto en todos los lados del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo. 16. 17.. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura. La alfom bra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la alfombra. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado es de 6 pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de los lados. 13. l..a suma de la base 3; la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el área del triángulo si su base mide IO pies menos que el doble de su altura. 19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies.. Encuentre el área del 20. triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su base. La suma de la base y la altura de un triángulo es 8] pies. Determine el área del 21. 22. triángulo si cl triple de su altura supera cn 18 pies al doble de su base. l.a suma de la base y la altura de un triángulo es 63 pies. Obtenga el área del trián gulo si el triple de su base supera en 7 pies al cuádruple de su altura. El segundo ángulo de un triángulo es 10" mayor que el primero. El tercero mide IO" menos que el doble del segundo. ¿Cuántos grados mide cada uno de los án gulos? 11 Út 24. Uno de dos ángulos complementarios mide 6*" más que el doble del otro. Encuen tre las medidas dc los dos. Si uno de dos ángulos suplemeutarios es el cuádruple del otro, obtenga ambos. Repaso del Capítulo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones: l5.r 9+Í.›'.r=7+3.r 3.4.17 20 1r=5 3x 5. 2.r+l2 9.r=3 6.1: Jr l l .r 7 z"z=§'§ 2.b.r+4+3.r=4 7x 4..r 3 7.t'=4 2.! 6..r+l0 3x=4.t I2 2.1.' l .I 2 b s"z=a+§ I* Eflllflflãllflflliiiflüfllïllillli 9 . ll. .tr 2 l 3.r l = 6 8+3 21 5 l .r I l 5 z+6 0 12 f_.!._.1._i s 3`"e 4 7¿+â ilf+Z 12 2 3 4 3(zt+7› nz .t ›=3 9 suas 6)=11(2 su I3. 7(2x 3) + 2(3.r I) = 17 14 15. ll l3(2 xl = 5(3x 7) 16 1) + 3(3 51') = 25 17. 5(3 x) 6(3 21) = 13 13 1l(2.¦r IO) = 7(3x l) 19. 6(5x 2) + 7(2 3x) = 5 20 6 + 4(3.1r 21. 8(.r + 3) ¬ 7(2x + 1) = 4(x 2) 22. 9(2x 1) 3(3.r 2) = 4(3.r + 1) 41:) = ll l6(2.r 3) 24. 4(6.r 17) = 20 l9(7 Jr) 23 . 5('? 25. 2(5 4.1:) + 5(l + x) = 3(3.r 7) 26. 4(3 8x)+7(2.x 9)=6(l 21) 27. 6{.r 3) 4(5 + 31) = 'i'(x 6) 28. 3(;r l) 2(2.r 3)=5(.r 3) 29. (4x 7)(.t' 5) + (3 2x)(l + 2x) == 30. (3.1: + l)(x 2) 3(.t 4)(.r + 6) = 4 3l. x + 4.r{.r 2) = (41 + 5)(.r 8) 32. 3x .r(3 Sr) = (5.1: 2)(.r + 4) 2(3.r 4)(x 3) = (9 Zx)(8 + 31) 33 . l 34. (3.1: l)2 3(.r + 4)(3x 7) = 15 35. 6(2.r + l)(.t' 7) (3.1: 2)(4.r 1) = 23 5)(x + I) (2.1: + 9)(3.r + 4) = IO 36 . (dr 37. (5.1: + 2)2 (7.r + 3)(3x 2) = 4x1 38. (8x+ 3)(5.1r 9) (dx 7)2=4(x2 1) 39 . .tr 2 T=l 40. x+2 .r 2 l 41 . í6 _ 3 = 2 4. 2 43 , 45 . :_ l .r 3 2.1' 3 _ 13 3(4x 5 Jr 4 l _= 6 9 1) 44. 4:: 3 = es 5 ztzx 7)_3(3 rr): í 4 1 47 .íïå 5(.r 2) , i 49 4 'l(.r 3) 2 ï = 6 3 2(.r+3) 2.1: l í ¿ = Sl . 5 2 3(2 x) ¿ 4 2 Tx 5(3x 4) 4 + 9í = 53 .í 2 f¿_t,a;t_, s s ' §__:_3_í i 9 3 'Q ii... l 12 4 e 46. †¿Lft__1'¿fï_ ri. 43. 7{x l0)_S(3.t: 6 3 50. 10 .r_3(I 4x)_S(2›:+7) 3 8 24 52. 54. s 3(l 2 _ .r)+4x+5 2 3 12§9.r+4_)_ ll 9(?.r 4 3 l)=l _S(x l) 6 l)=4 RB|¦l2$0dO|C3|IÍl.'IliD4 ns vs) + so + .t › sts 21) 22 tt 4 3(.t+1o›_2(2.t+ u)=s+s 7 3(2x 3) 11 5 2 .r + _' =s 2 3 l 1 ss. 31: 7 3 3 5 z(l Gx) š(lr+5) .r 2 = 3(x+4) 60.13.1r 2 3 l 4 0.(l6(32000 ¬¬ x) + 0.0'?2Jr = 2088 62 63 64 0.068(26000 rr) + 0.0841' = 1960 0.076(x + 8000) ~ 0.07:r = 698 0.08x 0.03(21 000 ar) = 800 Enumere los elementos de los conjuntos siguientes, dado que .r E R {.r|3x(.r l) {.r|(2.r + 3)(.r 67. lxlrlx 4] ss ts ¡(11 + nos (31 + l)(.t 2) 3) ' '(2 'f ' 3) fx 21 + 2] I Z; _ gt í í. 2l(x t 2) = l " 4 fl 2) sxtzr 1) = 2.r} 69{x|(2x 3l(.r 1)'(2x + ¡K f'”4l = "' 70{sus + 2)(3s 1) (31 + 2)t.r 1) = ol En los Ejercicios 65 76, dada la primera ecuación resuelva la segunda para .Y Dada y = .tr + 7, resolver Sa' y = el para t Dada y = 5 Jr, resolver 3x y = 3 para Ji Dada y = 2x 3, resolver 3x 2_r = 4 para r Dada y 5 2x, resolver 5.1: + 4y = ll para r l I :_ 3,1 + 1, resolver 3 .tf + Í y = 6 ara r Dada y Dada y = 2 3 2 3 Ty = x, resolver :›: + Dada ,r = 'r 5 resolver 5 Jr Í y ' 6 8 Dada _v = ir 2, resolver Dada y = x Dada y = .rr Dada y = Jr 8, resolver xl' 3, resolver x2 9. resolver (2.r 9 para 1 2 (Jr+ l) + Dada y = 3x 4, resolver É (2,r para t 1) Í (y 4 .= 3 parax 117 (y + 6) = xy = 3 para .r ,vi = 6 para x 3): 4y = l5 para t 1 para t 4 I* ECUICIOIESUNEÃLESENIINÃVÃRMBLE 83. La suma de dos números es 56. El septuplo del menor supera en 12 al triple del mayor. Halle los dos. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 17. El dígito de las unidades es uno menos que el de las centenas. El sestuplo del dígito de las centenas supera en 2 al cuádruple de la suma de los digitos de las unidades y decenas. Obtenga el ntimero. 85. Encuentre tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primero v el tercero menos el del primero y segundo supere en ll al tercero. 86 Determine dos ntinteros cuya diferencia sea 4 y la diferencia de sus cuadradas sea uno menos que el septuplo del número mayor. 87. La suma de los digitos de un número de tres cifras es I4. El dígito de las unidades supera en 3 al de las decenas. Si el numero es 2 menos que 20 veces el dígito de las unidades, encuentre el número. 88. El costo de una grabadora es S570 dolares. ¿Cuál es el precio de venta si el mar gen de utilidad es el 40% de dicho precio? 89. una persona paga por concepto de impuestos el 35% de su salario. Teniendo en 84. cuenta los impuestos, ¿cuánto debe ganar para cubrir una deuda de $78? 90. Georgina tiene $3 300 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 11.75% para que 91. el interés de ambas inversiones sea de $1,044? Alicia tiene 52400 invertidos al 5.75%. Determine que cantidad adicional debe 92.. 93. 94 invertir al 12% para que el interés anual total sea igual al ltl.5% de la inversión total. Un tendero compro 500 libras de naranja. Incremento su precio en un t '›O"fn y ven dio 490 libras; las otras 10 libras se echaron a perder. Su ganancia fue de S71. Obtenga el costo y el precio de venta por libra. Jacinto decidio comprar regalos de Navidad para sus amigas. Sin embargo. gas tando 25 "fu menos en cada uno de los regalos, pudo adquirir un regalo equivalen te para su hermana, y ahorrar $3 dolares. ¿Cuánto gasto en cada regalo? Cecilia invirtió una parte de S20 000 al 7.4% y el resto al 9.2%. Si los intereses de la primera inversión superaron en S484 a los de la segunga, determine que can tidad invirtid en cada una de las tasas. 95. El monto de interés anual producido por S 18 000 supera en $296 al producido por 96 $16000 u un interés anual menor un 0.8%. ¿Cuál es la tasa de interés aplicada a cada cantidad? ¿Cuántos litros de una solucion de ácido al 90% se deben agregar a 30 litros de otra igual al 50% para obtener una al 74%? 97. Una persona meztelo 120 libras de una aleacion de plata al 54% con 40 libras de otra al 78%. ¿Cuál es el porcentaje de plata presente en la mezcla? 93. 99. Gabriel tiene $5.70 en monedas de SG? , 10€ y 250?. Si en total son 37 monedas y hay el doble de las de 25@ que de las de 5€ , ¿cuántas tiene de cada clase? Juan compró $9.20 dolares de estampillas de 10€, 15€ y 25€ con un total de 55 estampillas. Si el ntimcro de éstas dc 15 II fue el quintuplo del de las de l0(I`, ¿cuántas de cada clase compro? I00. Juana compró $8.10 dolares de estampillas de IOGÍ, l5Q` 3' 25€ con un total dc 42. Si de las de 25€ hay 3 menos que el cutidruplo del ntimero de las de ltlfif . ¿cuántas de cada clase compro? Repaso del Caflffltto 4 165 Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $1.59 y la otra de $2.49 la libra. Si la combinacion pesa 240 libras y se vende a $2.19 cada una. ¿cuántas libras de cada clase emplea? ¿Cuántas libras de cafe de $5.25 la libra se deben mezclar con 45 de café de $3 cada una para formar una combinación que se venda a $4 la libra? El propietario de un bar gana, después de gastos, un promedio de $2.50 por bebi da mezclada y $1.60 por cerveza. Si obtiene una ganancia de $1518 en 780 ventas, ¿cuántas cervezas se vendieron? Un negocio de barbacoa para llevar a casa gana $1.65 en cada orden de pollo y 53.42 en cada orden de carne. En cierto día hubo una venta de 250 ordenes con una ganancia de $571.80. ¿Cuántas órdenes de cada clase se vendieron? Los ingresos por la venta de 800 boletos para utt partido de basketbol, fueron de 54 363. Si los precios de éstos fueron de $4.95 y $6.50, ¿cuántos boletos de cada clase se vendieron? Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 6l8 millas entre si y cuyas velocidades difieren en 7 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán den tro de 6 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automovil? Un automovil parte a una velocidad de 45 mph. Un segundo automóvil sale 4 ho ras más tarde a la de 60 mph para alcanzar al primero. ¿En cuántas horas lo logrará? Encuentre la lectura Celsius correspondiente a 230°F. Determine la lectura Fahrenheit que corresponde a l40"C. Fclipellicnc actualmente el cuádruple de la edad de stt hermano. Dentro de IS . 3 . . anos tendra í de la correspondiente de su hermano. ¿Cual es la edad actual de Felipe? La edad actual de Miguel es % de la de su hermana y dentro de 4 años tendrá I . É de la que entonces tenga su hertnana. Determtne la edad actual de la hermana. Hace 2 años la edad de Marcela era É de la que tenia su hermano, y dentro de . 4 6 años tendra 3 de la que entonces tenga su hermano. Encuentre la edad actual de Marcela. Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 465 libras se sitúa a 8 pies de un lado del punto de apoyo, v dos cargas que difieren entre si en 80 libras se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 9 pies del punto de apoyo y la menor a 6 del mismo. Determine los valores de las cargas. Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 400 libras se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo, y dos cargas que difieren entre sí en 150 libras se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 12 pies del punto de apoyo y la menor a 8 del mismo. En cuentre los valores de las cargas. El doble de la longitud de un lote rectangular supera en 40 pies al triple de la an chura. El perímetro del lote es de 440 pies. Encuentre el área del lote. El doble de la longitud de un edificio rectangular es de 80 pies menos que el triple de su anchura. El perímetro del edificio es de 1120 pies. Determine el área que ocupa el edificio. 4 ECUÄCIOHÉSLIHEÃIHHIHIVAIIIILE Si dos lados. opuestos de un cuadrado se incrementan en 7 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 3 pulgadas cada uno. el área aumenta 31 pulgadas cua dradas. Obtenga el lado del cuadrado. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 15 pies menos que el triple de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 7 pies de anchura y un área de 2 506 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el edificio? La suma de la base y la altura de un triángulo es de 69 pies. Encuentre el área del triángulo si el triple de la altura es 3 pics menor que el doble de la base. La suma de la base y la altura de un triángulo es 104 pies. Encontrar el área del triángulo si el cuádruple de la base es 24 pies menor que el triple de la altura. cAPí†uLo 5 Desigualdades lineales y valores apsolutos en una variable 5.1 5.2 5.3 5.4 Definiciones v notación Propiedades de las relaciones de orden Solucion de desigualdades lineales en una variable Solución de sistemas de desigualdades lineales en una variable 5.5 SOIUCÍÓH UE BCUHCÍOHGS lÍi`l€ãl€$ COU VBÍOFBS HDSOIUÉOS 167 5 I DESIGUILDÃDESLIIIEÃLESYVILOIESIBSDLUTOSHIUHA VARIABLE Definiciones y Notación Cuando dos números reales tr y b se representan por puntos sobre una recta numérica. se cumple una de las siguientes relaciones: L Si la grafica de u se encuentra a la derecha de la de b, entonces a es mayor que b, lo que se denota por of > b. 2. Si u y b representan un mismo punto, entonces o es igual a b, lo cual se expresa rr = b. 3. Si la grafica de o esta a la izquierda de la de b, entonces u es menor que b y se denota por o =: b. Obsérvese que los enunciados a '.:› b y b <: a son equivalentes. mi 5 se encuentra a la derecha de 2, entonces 5 2: 2. 8 esta a la izquierda de 6, luego 8 ci 6. El conjunto de los números positivos es {.›:|.t' > O, .rr E Ri. :'*i~"!"°'! * El conjunto de los números negativos es {.t'|x <: 0, .r E R1. El enunciado 10 :.> 4 significa que si se resta 4 de 10, se obtiene un número positivo, 10 4 = +6. El enunciado 3 > 8 quiere decir que si restamos 8 de 3. resulta un número positi vo. [ 3) ( 3) = 3 l 8 = +5. DEFINICIÓN Si tr Para tr, ¡J E R., rr > b significa que of un número positivo. b cs ir es un número positivo, podemos escribir de b=k, Como rr e la b b = k dottdcn,iJ,kER,k2:= 0. 3' significa a = b + .it son enunciados equivalentes, u = b + ir donde k t> 0. Si nf es mayor o igual a I), se emplea la t¬ :nación u 2 b. De esta manera. rr 2 b significa que rr ::› b. o bien tr = b. Si tr es menor o igual a b, se utiliza la notación ar 5 h. De modo que rr 5 b quiere decir quer: < bobientr = b. nsrlulctóu Las relaciones :›. <:, 2, 5 sc llaman rela ciones de orden. 5.1 DGFIIIÍCÍOIIGS Y flfiflflfifl 169 Para representar el conjunto {x¦.r > 3, x E Rl gráficamente, se traza un rayo a par tir del punto cuya coordenada es 3 en la direccion positiva. Se coloca un circulo hueco en el punto para denotar que éste último no está incluido en el rayo (Figura 5.1.) 3 FIGURA 5.1 Para representar gráficamente el conjunto {x|.r =: 5, .r E R} se traza un rayo a partir del punto cuya coordenada es 5 en la direccion negativa. Se pone un circulo hueco en el punto para indicar que este no se incluye en el rayo (Figura 5.2). › 5 FIGURA 5.2 Para representar el conjunto lxlx ' 2: 2, .r E Rl grálicamente, se traza un rayo desde el punto cuya coordenada es 2 en la direccion positiva. Se coloca un circulo lleno en el punto para señalar que este último está incluido en el rayo (Figura 5.3). 2 FIGURA 5.5 Para representar gráficamente el conjunto {x|.r 5 l, x E R) se traza un rayo desde el punto cuya coordenada es 1 en la direccion negativa. Se pone un circulo lleno en el punto para señalar que dicho punto se incluye en el rayo (Figura 5.4). . s1 FIGURA 5.4 5 I DESIGUÃLDADESLIHEILESYVQLOIESIBSGLUTOSEIIHIIVARIÁILE Propiedades de las relaciones de orden Como o > b y b < e son enunciados equivalentes, de los teorcntas que se dan a conti nuacion para la relacion “mayor que” se pueden obtener tcoremas análogos para la relación “menor que". TEOREIIÂ 1 Sean tr, b, ce R; si a > b y b > c, entonces d 2> c. "ora Sean of, h, c E R; si rr <: b y lr < c, entonces e <:ï c. 1. 2 :.› 10 y 10 > 20: por consiguiente 2. l 2 > 20. ='.17y7 1:13; ¡por lo tanto TEOREHA 2 I ¬ :I I3. Sean rr, 11, c, d E R; si of := Lt y c '.> ri, entonces d + c : = b + d. Nota 1. 5 3 2 5 + ( S) = 3 Sean ef, L1, c, de R; si rr <: b y c <: ci, en toncesa + c < b + d. y 8 Ia 20 jr 2 + ( 20) = 13 Como 3 :› 18, entonces 5 + ( 8) 7: 2 + ( 20). 2. 2 <: 0 y ll) <I I4 2+l0=8 y 0+l4= I4 Dado que 8 =: 14, entonces se cumple que 2 + 10 =: t) + 14. TEGREIIÃ 3 Scan rr, b, c E R; si te 2: b, entonces n + e 3: b + c. Nata Sean tr, b, c E R; si rr < b, entonces rr t c < b+c. 5.2 Propledaclcsdelasrelaclonesrleorden l. 171 20 :> 7 20 + ( 30) = Como IO :== 10 y 7 + ( 30) = 23 23, entonces 20 + ( 30) I: › 7 + ( 30). 2. lü+5 5 lO <: 2 y 2+5=3 Puesto que 5 <: 3, entonces 10 + 5 < 2 + 5. TEGREIM 4 Sean u, lr, c, cf G R y e, b, c, d > 0; si a ::› ir y c > d, entonces ec > bd. Nota Sean o, h, c E R y a, b, c, o' :> 0; si rr <I b 5' r: <: d, entonces de < bd. 1. 7 > 3 y S > 2 703) = 56 Y 3(2) = 6 Dado que 56 > 6, entonces 7(8) > 3(2). 2. 4 <: 9 4(5) = 20 y y 5 < 7 9(7) = 63 Como 20 < 63, entonces 4(5) si 9(7). TEOREMA 5 Sean u, b, c G R, c :› O; si u > ii, entonces ec :> bc. Nota 1. S> 2 S(3) = 15 y y Sean o, b, c E R, r' > 0; si tr <: b, entonces ec 1' bc. 3: 0 2(3) = 6 Puesto que IS > 6, entonces 5(3) :› 2(3). 2. 8 <: 3 8{5) = 40 y y 5 ':› 0 3(5) = 15 Dado que 40 < IS, entonces 8(5) < 3(5). 5 ' DEÉÍGUÃIDÃDES UÑEÃIES Y VÃIORES Ã5$0lUTO$ FN UHÃ VÃRIÃHIE TEGREMÃ 5 Scan tr, fr, c E R, t' =: U; si rr 1> I), entonces oc :Z ht', Nota Scan rr. b, c E R, c 1: (1: si rr ei b, entonces oc > he. I. 15 3° l2 l5( 2) = 1.' 30 jr 2 si 0 l2( 2) 2 2=l Como 30 <: 2:1, entonces l5( 2) < I2( 2). 2. IO si 3 y 4 22 0 lÍ)( 4) = 40 Y 3( 4) = ¬ l2 Puesto que 40 :=› 12, entonces lO( 4) 3: 3( 4). Nota Si rr, 11 e R y tr > b, entonces rr c ~b. 20 > 6 Nota por consiguiente 20 < l 15 :› 4 por lo tanto El I": › 9 entonces l,¿J¡#fl Si uf, ¡J t "_ R gr a < b, entonces rr > 2 <: 7 por consiguiente "'10 < 4 15 <: por le tanto l por consiguiente AA 9*~.o¿t:›. b. 2 :› 7 10 :=› 4 IS :› I Solucion de desigualdades lineales en una variable J' Los siguientes son ejemplos de enunciados de orden entre dos espresions algebraicas: l. 5.r si 5.r + 2 3.'7.r+2<:3s l8 S. 3x + 7 E 3(x + I) 2. 4(.r + 8) :> 4(.r + 2) 4. 2r+9ax+20 6. o(.r + 3) r=› 2(3.r + IO) Los enunciados l 3; 2 son verdaderos para todos los valores reales de las variables con tenidas. Los enunciados de este tipo se llaman enunciados absolutos. Los enunciados 5.3 Solución de deslaualdadas llneaies en una variable 173 3 y 4 son verdaderos para algunos, pero no todos los valores reales dela variable inclui da. El enunciado 3 es verdadero cuando :r es menor que 5. El enunciado 4 es verdade ro cuando x es mayor o igual a l l. Los enunciados de este tipo se denominan desigual dades eendieionales o simplemente desigualdades. l.os enunciados 5 y 6 no son verdaderos para ningún valor de .r y se llaman entrttcfurios _f.5`t'J.ï . DEFm'c¡Ó~ El conjunto de todos los números que satis facen una desigualdad se llanta conjunto so lucion de la desigualdad. Nata Una ectmcidn lineal en una variable tiene un solo elemento en su conjunto solucion. El con junto solucion de la ecuacion 3.1' 4 = 5 es l3l Una riesigrtalritrri lineal en una variable posee más de un elemento en su conjunto solucion. El conjunto solucion de la desigualdad 3.1' 4 > 5 es {.r|,t' :› 3], es decir, todos los números reales mayores que 3. DEFINICIÓN Se dice que dos desigualdades son equivalen tes si poseen el mismo conjunto solucion. Para encontrar el conjunto solucion de una desigualdad. se deben establecer primero algunos tcorcmas. TEOREMÃ 1 Si P, Q y Tson polinomios en una misma variable y P 1: Q es una desi gualdad, entonces P :> Q jr P + T > Q + T son equivalentes. Nota Si P, Q 3' Tson polinomios en una misma va riable y P ci Q es una desigualdad, entonces P < Q sf P + T _: Q + Tson equivalentes. El Teorema I muestra que se puede sumar un mismo polinomio a ambos tnietubros de una desigualdad y obtenerse asi una desigualdad equivalente. ìí__í I. Si .r + 7: l5 entonces _t + 7 +{ 7): 15 + 1 7) .tr 3 3 5 1* DESIGUÃLDIDES LIHEÃLES Y VILOIES 185010705 EN UNI VIRMBIE x :> 8 es equivalente ax + 7 > IS 2.Si 2.1* 13* Z.: 2 entonces 2.1: 13 + (13 x) fix 2 + (13 x) .Ir ' ill .tr < ll es equivalente a 2x 13 < x 2. Con objeto de encontrar el conjunto solucion de una desigualdad lineal en una vana ble, se aplica cl teorema anterior para obtener una desigualdad equivalente de la forma .r :=› a cuyo conjunto solucion es {x|x > rr, x 6 R1, o bien de la forma x =: b cuyo conjunto solucion es {x|x ' 1 b, x E R}. NDÚEI Cuando ambos miembros de una desigualdad contienen términos con la variable conto fac tor, y términos que no la tienen, se forma una desigualdad equivalente que tenga todos los terminos en los que la variable es factor en un miembro, y los restantes, en el otro miem bro. Esto se puede lograr sumando los inver sos aditivos (negativos) de los términos a los dos lados de la desigualdad. Encontrar el conjunto solucion de la desigualdad x+5:>2. SOLUCIÓN Sumando 5 a ambos miembros de la desigualdad. obtenemos .r+5 5? = 2 5 I) Por consiguiente el conjunto solucion es {x|x 2: 3, x te Rj (Figura 5.5). 3 FIGURA 5.5 Hallar el conjunto solucion de la desigualdad 5Jt'+l 2x52.r __ 1' 5.3 Saittclúndedesløttalttadesllrtealosentrnavarlable SOLUCIÓN 175 Al reducir términos semejantes, se obtiene 3.1: + l 5 lr + 3 Sumando ( 1 2x) a ambos lados de la desigualdad, se tiene 3x+l I 2,rs.2.r+3 1 lr x52 Por lo tanto el conjunto solución es {x|x 5 2. x G R} (Figura 5.6). < _ * 2 FIGURA 5.6 "ata Cuando una desigualdad contiene simbolos de agrupacion, primeramente se efectúan las ope raciones señaladas por ellos. Determinar el conjunto solucion de la desigualdad 3(2›: SOLUCIÓN 5) 7(l .r) 2 4(4 3.1:) Aplicando la ley distributiva para eliminar los paréntesis, resulta 3(2r lír S) 7{l l5 x) se 4(4 ~ 3.1:) 7 +'7.r1 "_ 16 + ¡lr Al reducir términos semejantes, se obtiene l3.r Sumando (22 22 1' lfi + llr l2x) a ambos lados de la desigualdad, se tiene l3x 22+22 11:2 t6+ l2.r+2.2 Ilr .rštft Por consiguiente el conjunto solucion es {.r|x .=.± 6, x E Rj. Nota El Teorema l establece que se puede sumar un mismo polinomio a ambos miembros de una desigualdad para obtener una equivalen te. El teorema no menciona nada acerca de multiplicar la desigualdad por ningún núme ro. Por lo tanto, sien una desigualdad el coe ficiente de la variable en el paso final es ne gativo, se suma el positivo del término a ambos lados de la desigualdad. 5 1 OESIGUALOAOES IJNÉLES Y VALORES AISOLUTOS El UNA VARIABLE Encontrar el conjunto solucion de la desigualdad SOLUCION .r + 2( 4.1' 5) te 5(2.r 3) .tf + ?.[4,t' .r t 8:: 5)` 1* Sllt' IO? > l0.r 3) lS Rcducìendo términos semejantes, se obtiene 9.1: Al sumar (IS IO la lllx 15 9x) a ambos miembros, resulta 9.1: IÚ +15 '~).r ` 7' IÚJI H IS + If» 91 5>.r O sea, I '=ï 5 El conjttnto solucion cs {x'I,t' 1': 5, :r E Rj. Hallar el conjunto solucion de la desigualdad (et satuctóm 3): (31 2) 1 a.f(r.t ( tt» (ref 3) ” 24.: + 9) l6.r3 (9.6 (sx af 2 .mat tau. + 4) 1. 7.11 92:3 + ¡lr ts) 13.: 4 2 7.r'i 13.1: Reducicndo términos semejantes, se obtiene 7.1 3 12:: + 5 2 7.r1 13.1: Al sumar ( 5 24.1: + 9 ts) 7x2 + l3x) a ambos miembros de la desigualdad. 1 71:2 llt' i 5 El conjunto solucion es {.t'|.t' 2 5 71: t l3.t' 3 Tx* .r 2 5 _ llt 5, .tr E Rj. Describir los elementos del conjunto {.t|l{.r SOLUCION 5) + 7 f 13 (3 2.r),rER} (Íonsidéresc el enunciado .?.t.r 5)+7<'.'.8 (3 ?..r) lr lü+7 :'18 3+2.r lt' lr '.'.8*3+l0 7 0.1: $23 Puesto que Ox =: 3 es verdadero para todo valor real de Jr, tenemos {..tI2l.r Sl + 7 si 8 H (3 1r),.rER} == {.r|.rE R} _ ft › ¬ 7.1" + Int' 5.3 $0III¢ItII1¢IBt'I¢$IfllI¢IdIIHIINIB$`0fltlII3V¡I'IflIQ i 177 Describir los elementos del conjunto {.t:|5 SOLUCION 3(2 x) >4 3(l _ .r),.xER} Considérese el enunciado 5 3(2 x`)> 4 3(l x) 5 6+3.r3= 4 3 1 3.r 3.1' 3x.`> 4 3 5+6 01:» 2 Dado que Ox :=› 2 no es verdadero para ningún valor real de Jr, se tiene {.r|5 3(2 x)ï` >4 3(l .r),xER} = ø Ejercicios 5.3A Encuentre el conjunto solucion de cada una de las desigualdades siguientes: .r 3>5 .r 2 =':3 .r+l> 2 x t 354 21t+61ì .rr 2 ' lU'IiHI I 9 l1 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 4l 43 44 45 46 47 49 Sl S2 Gt Fhlthl 8 x (4 2.: 6.1: 8>'I.r+2 3.r+5<7+4.r 9 4x?_ 6 3x 3.1r 2 lr =.24 3. 10. 12. 14 16 18 20 22 24 26 28 4.r+7 .r<Z2.t' 3 lüx 1 2.r>7.r S l3.r 15 6.r27.t' .r IÚ.t'+5 l3.›:<.'S 7.1' t5.v+ 1 20121 4x SII Zt').`>5(3 Ó+(2 .r)'55 31) 2) + l9.1r5(4.r + 3)(2.t' .r(l mr) (2.r+ l)(.r 2) Zr(.r 3):>2x lle l)(.r+4) lrtx I 3)ì'0 fiàäääää 3.r 2(l +.r)<Z2 5 3(2 .r)52(5+2.r) 6 7(2 3..r)>5[l +4.x') 8+4(8 7x) sil 9(l +3.r) lO 9(.r l)> 6 8(.r+2) 3.r{x+ l)<(3x l_)(.tt+ l) 48 50 5.1' 3.r(l (x + l)(x 53. (3.1: I) .?.x+2.r{.r 8)3 (2.r l)(,r 7) l3x + 5.t'(.r 3)~<i5.r 3){:r l I) .r .r(.tr+3) ' I(2 x)(3+.r] (A: 4)[.r+ 2)5.3 l0(x + 2) =:3(l + 3.1 ) 2.1.' (.r+ l)3= 7 4 tx 63210 'I 2(l xl ==í8+.r 3 2(7 8.1122 3(4+5.r) 4+2(2 .t')`3>7 3t`.r 1) 7 + 3(2 7.r) =:3 2(l0.r 6) Ztlx l]1 1'(2.1r+l)(.r¬ 2) 3.r(2.r + 7) 9.r> (Zr + 5)(3.tr 2] 3.1r{.r 3.1* 2521: I 12 2›:<'.'.l5 3x 3x l5a2+9x 10.1' I 654+ llx ll ?.r>7 3.1' o,r l 5.r<7 4.'r 8' .r<2`.4+2x lr 6+.r2= 2.: 12 3x x+65.I:+7 7.r+2 9.r? = 2 .r 3.1: 9 4x5 9 xl 2 tx + 2)(3.r 5) 3)5.r x(4 xl 2)(.r + 3) 3.r(.r + 2) S 0 5 * OESIGUALOADESLINEALESYVALOIESABSOLUTOSHUNAVAIIIABLE 54. 55. 56. 57. 58. 3x(x (3x (4.r (4): + (3,r + 1) (3x+4)(.r 2)<Z l l)(x I l) (31 + 2)(.r 3) . 2 8x 3)(x + 2) (lr l)(2x + I) 1" >4.t l)(x 3) (2.1: l)(2.r S) '10 2)(6x 5) 2(3,t' 1)* 5 SI 59. (2.r 3)i (2.:+ 0155 l7.r 60. (3.1: +1): (3.t'+ 2)2 23 7.1: Describa los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R: 61. 63. 65. sv. tt ls 69. 70. 62 {.r|3(x 4) .`> 3x l7} {›:|7.r + 6 <Z 'I(x + 3)} {x|o(.r 2) si ox i9} {x|6(2x {xl2(7.r 11. {.v|s 3; > ste {.r|4(x + 2) : › 3(.r I) + xl {.r|5(x l) <.' Sx + 4} {.r\4x + ll <4(x + l)} ââì ,vn {.v|9 71 > 'for 3)) 3) La 7(.r 4) + 5.r} I) > 9 l4(I .r)} ser +n<11 sus 72. {.I|4(.I I) _ 5 '¬ ' Í 7 * 2(3 73. {.t'l7(3.t' + 1) *fl 3 _ 3(2 n} 2.1)) 7x)} 74. {.t|5 4t3x 5) <: 5 + 2(7 ex)} 75. {.=|(2.r 3)(4.r + 1) ::› sm 1) 2.:} vs. {;|(3.t + |)(sx 4) (sx 1)* :› sx) 11. {,t|(4x 1)(.v + 3) (zw + 3)' f =:1 1} 73. {;|(1t t)2 4(.›. + 2)* =; 1 20s} TEOREIIA 2 Si P y Q son polinomios en una misma variable, a :› 0, a e R, y si P :› Q es una desigualdad, entonces P :› Q y aP ':› r:rQ son equivalentes. Nota Si P y Q son polinomios en una misma varia ble, rr > 0,aER,ysi P :I Qcs una desi gualdad, entonces P < Q y aP =': uQ sort equivalentes. El Teorema 2 muestra que si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un mismo número real positivo, obtenemos una desigualdad equivalente. 1. 2.1 .`> 6 l l ã(2x) 3> š(6), esto es, .:c > 3 x > 3 es equivalente a 2x :> 6. 5.3 SOIII¢¦ItII'IIl9€I9$I¶IIäI!3¢IO$IIl'I88IG$&IfIIII'IflIf2I'I3lIIB 2. ã_t si Í3 :Í4 Y :r =: 12 y 3 1.79 9 :it 3 9 lv ' es d ec1r,x< 12 . .r <: 9 son equivalentes. Determinar el conjunto solucion de la desigualdad 3(7.t' H 2) 5 7 4(2.x' SOLUCIÓN 3) 3(7.r 2) E 7 ~ 4(2_t' * 3) 21.1' 657 3x+ 12 Sumando (6 + 8x) a ambos lados de la desigualdad, obtenemos 2l.r o+o+8.r57 8x+l2+6+8,r 29x:f 325 Al tnultiplicar ambos miembros de esta desigualdad por ¿IT resulta .tr 5 É 29 El conjunto solucion es: {.r|.r es 25 .r E R}. Hallar el conjunto solucion de la desigualdad §,,t,z,_2 2 6 3 3 SOLUCION Se multiplican ambos miembros de la desigualdad por el minimo común denominador, que es 6. 9x + l La 4.1' Sumando [ 1 4. 4x) a ambos lados, se obtiene 5x :> S AI multiplicar ambos miembros de esta desigualdad por %, resulta Jr :› ..r 3* l El conjunto solucion es {.r|x :> l, x es R). I. 5 ' OESIGLIALOAOBLÉALÉYVALOIISAISOLUTOSHIUNAVAIIABLE TEOREMA 5 Si P y Q son polinomios en una mismarvariablc, rr <: 0, a E R, y sì P > Q es una desigualdad, entonces P .T › Q y aP < ¿IQ son equivalentes. "ata Si P 3. Q son polinomios en una misma varia ble, rr <: 0, ae R, y si < Qes una desi gualdad, entonces P : Q y ¿IP I> aQ son equivalentes. El Teorema 3 establece que si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un mismo número negativo, se obtiene una desigualdad equivalente con la direccion de la relacion de orden invertida. ãtäfiä 1. 5.r l'> 10 l gi Sxl <: š(lÚ). esto es, .tt < x í 2 y fix :> ll) son equivalentes. 2. 4.1: si l z( 4.1:) 3* 3 l El 3), 2 o sea, .r > 2. .r > 2 y 4x <: 8 son equivalentes. Hallar el conjunto solucion de la desigualdad 3.r(.r 7) SOLUCION (Jr 2)(3.r + l) ` 2 2(4 3.r(.r 7) (Jr 3x) 2)(3.r + l)=:2(4 3.1:) 312 2ts~ (sf sx 2)as sv sf 21.1: 3s2+5.v+2as es 21.v+ss +2as tu Sumando ( 2 + ox) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene lU:r Is: 6. 10.1' 21 6 Se multiplican ambos miembros de esta desigualdad por cion de la relacion de orden: l ìöf l lili) 'Ã r* 10(6) .te 35 _ 3 El conjunto solucion es {.r|.r E š. x E R}. v se invierte la direc 5.3 Soltrclortrtedcsløualdadcslncalccenurtavartable Encontrar el conjunto solucion de lt desigualdad (41 + 5)(3x SOLUCIÓN 2) 4(.r + l)(3.r (41 + 5)(3.v 2) I) < 6 4o + 1›(3.›.~ 1) <: 6 llri+7.r 10 tlf* 8.1 +4< 6 .r 6 = Í 6 Al sumar (+6) a ambos lados: .r < 0 Se multiplican ambos miembros de esta desigualdad por ( l) y se invierte la dtrcceton de la relacion de orden: x>0 El conjunto solucion es {x|x > 0, x 6 R). Hallar el conjunto solucion de la desigualdad 5(x + 4) 2 SOLUCION 4(Jr 1) †<9. Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 6, se obtiene l5(.r+4) B{.r l)<S4 l5Jr+óO 8.r+8<I54 '7.r<'. I4 El conjunto solucion es {.r|.r < 2, x E R). Ejercicios 5.38 Obtenga el conjunto solución de cada una de las desigualdades siguientes Il lnn hi I¬~¦I . ' nt.¢ al I› 15 17 3.1: i 5 .r?:7 2.1: 3<2 3.:r .1r+o<Il0 4.r 4x+7220x 9 l2+5.r>2lJ+ lüx 91' 2<f.l7.r+4 5x l 8<.`l?_r+8 lx 3 5 gr <2 + I r 5' l5' 3 123' _ ZIP: 3 l0.r+457.r 8 3.11 QsfiN 3 10 12 14 l0>5x IO 2.r+I5 =:3 tir 9 23:59 1 6: 6 7.r<4.r lo 5x 352.: 3 1 ox? o,r+9 16. 2 l l 3 .r+6x_2.t o 18 I 1+ âx ígx l 5 15 3 5 I OESIGUALIIADES LÉALBYVALOIESAISOLUTOSHIINA VARIABLE l l ll 19. šr 5.1'>ìx i E 21. 2 71 23. 4 ì?í.ï+3Sñ'.t'+5 25. šx åIr›%.r l 27. l l 3 l 2?!! + 25 3' lšzl' _ E 29. 31. 3(x I) 31=š2*"5(.1:+l) 7(2 .r)+3<.'6 (x l) i_ 2<I9.1r 7 20. 2 tz' 2. 6 l 22t . I I3 r sil 1 261' 28. Iiåx lllì :la lšs' . . .tr 2(3 7 4(.r 5.1' (2 3x(2 x) 43. (2.x 3)(2.1r l)`.>4(.r+1)[x I) 44. (3.r + l)(3.x 2) 46. .r + 3.r(.1r + 7) '1 (J: 48. 50. 3.1: .r .t')28 (o+.t') 6) 111 3(.r + l) 7.r) si 7 3(8x 3) PI (3.r ll(2 xl . . . . 52 e a aea 3)(x 6)(3.1r + 8) 47, .r) lr) 49. 51. lrlr ¬ 4) (lr + l)(.t + 4) E 13 53. 54. 4.r(.r + 1) (4.r + 3)(.1r S5. 56. (21 + l)(3.t' 2) r ('61 l)(.t' + 2) l'>0 (lr l)(x + 2) (3.r + 2)(.t' l) 120 53. 59. 60. 61 ' 63. t)2 + (av .r 3 3 s si 2(l 31) 43›l()+3(I Jr) 5(3 lr) '8<l 2(3 x) 2x+5(l 2.r)>x 2(l + Jr) l 3(.t' l_)>2(.r 3) .r 3(lr ~ l)53 3(.r l) ..r(6.r l)<ï(3.r + 5)(lr 7) 2)2 a (sv 4x l l 3 <8 69 . s<.=+2›_2o+s)>_1 6 9 18 6) 2 (3 x`)(l + .r) l) 5 '.(l + 3..r)5 sr) (.r +l)(?..1r + 3) si 5 (Jr + 2)(3.r 4) 2 0 1): "s su 1› «aer u ss. í 3 s > 21 1 so 2) s 67. 3 4 < :Ó 2.r .r(.r + .r 3.r(.r .r{2.r 3) .r(3.t' 2) 2) > ll (51 l): (4.r 3)i :S (4 + .r)(2 + 9.t' (..r 2)2 (.r+3)353.r 2(l .r) (6.r+ 7): (4x+ 3)35 l0.r(2x+ 3) 3x+l 2.x+â_:_l 62. 4 ts 2›(2_x + t) 2.r(.r + 2) 3: (l + 2x)(4 4x{.r 2) 5 (l + 2x)(7 57. (41 Í r 6+4(2r+l) 113 4(2+.r) 35. 37. 39. 41. tt) + :tri <:: zo. 5 Ex Zxšåx I lx <l 2 24. 33. 9 3(e+.r):=›7+2t4 .ri 45. for 3 š.\' ã.If.`3 `rš.I'+l 22. 2) `:= 9(.r 5 64. 1 ss. lr l 5 .r l 3 .r 3 41 3 l 5 íìíïììåï 2 _ s 'I(.r 3) il(.t' Hi 4) l _ ._í......í.¢_ :__ s 9 2 ss. .ï':ì_'t_1___§lï"_32;,_L s 4 12 70. 2(6 r)_ 3(5 Zxlqfl 3 4 24 5.4 Solución de sistemas de desfoualtlades lineales en una variable 183 Solqcion de sistemas de _ desigualdades lineales en una variable ÚI' A veces se requiere determinar la solucion común, o conjunto solucion, de dos o más desigualdades, las cuales forman lo que se llama un sistema de desigualdades. El con junto solucion de ttn sistema de desigualdades es entonces la intersección de los conjun tos solucion de cada una de las desigualdades del sistema. Encontrar el conjunto solucion del sistema siguiente: fur l 322.1 5 and 3.r `7<i5.t' 9 SOLUCION Primeramente se obtiene el conjunto solucion de cada desigualdad. 6x+3ë:2x 5 4x1.: 8 1:2 2 3.r 7 =í5.t: 9 lr si 2 .r>l El conjunto solucion es {.tl.r 13 El conjunto solucion es 2) {.t'l.t' le l} no _ ir ¡_ lili ~ 2 l FIGURA 5.7 El conjunto solucion del sistema (Figura 5.7) es {.tl.t' ïì' 2) F) {x|.t' D I) = {.r|.=r `.> l} Hallar el eonjuiito solucion del sistema siguiente: 4[3 SOLUCION .r) sí? l 3(2 H .r) and 3(.r I) «'14 (1 .r) Primero obtenemos el conjunto solucion de cada desigualdad. 4(3 .tt :'r+3(2 .ri 12 4.r<'.'i l 6 3.r xr fl .t`> I sti t›<:4 il .n L 3.r 3 214 I+.r ¿rio .ti 131;. El conjunto solución es El conjunto solucion es lll 1' > ~1l l fl I < 3) 5 I DåGIIALDADESLIIIHLEYVALOIESA.ISOLU1'OSHIflAVAEIABLE ¢ ï_ l *É 3 o i 4 ir o FIGURA 5.8 El conjunto solucion del sistema (Figura 5.3) es {.t'|x.`> l}|"){,r|.r< 3} = {.rl l <ïx*' 1 3) Encontrar el conjunto solucion del sistema 5(2.t.' SOLUCION 1) 3(Jr 3) T: 13 y 2('?x + 1) r 5(4Jr + i) 2 15 Primero se encuentra el conjunto solucion de cada desigualdad. Stlx I) 3o: 3)zl8I lux 5 3x+9.=el8 Ham 2(7,r+l) 5(4x+ U2 15 14;: l 2 2o.r Sa IS ma H x22 x52 El conjunto soliicìon es {x|x 2 2) Q El conjunto solucion es {.1r|:r 5 2) ii I .ir FIGURA 5.9 El conjunto solucion del sistema (ver Figura 5.9) es {.1r|.t' 2 2) F) {x|x 5 2} = l2}. Elercicios 5.4 Determine el conjunto solucion de cada uno dc los sistemas siguientes: l. xï>l, ,rr 2.'4 2.. _r';= 3. .rsïtl 3. xïe l. .r ==ï5 4. 1:22. .ir tí? 5. .ra 2. 6. .ree 8. 7. .ri > 3, S. 2:25. ,iso 9. .r 26. .IS l .i si 4 10. x <8. .r =í3 ,tal ll. .va 7. .r S7 .r>9 12. .va 1. .ri 1 5.4 soluclóndesisteniasdedesløualdadesllnealesenunavarlaote I4. .ir Dr 4, 1:54 .r1> 4, Jr < 6 Jr) ll, J: <9 .r Z> 3, ¿'53 17. 3.r 5<.`?.ir l 6, 4.1: l2?.r+9 13. 4.1r+5 2.›:`.`> 4.1' 7, 5.r+2 3,rï¿:6.r' '10 19. 6x+ll> 3x+2. 5x 2a7x 6 20. 4x+9Ex+l2, 21. 4:: 3 <4 3.r, 7(x l)a2{2.r+ 7) 22. 3ox 7(5.v 23. 6(3.t'+ l)>7(8 Jr). 3.! 4x<C3(2.r 7) 24. 2(x 4(,1r 5) 3* 3(:t' 2), 3) 3* S[,ir + 3) 25. .ir 9<I2 3(2.r I), 3(7x 2)? 7 4(.r 3) 26. 2(l 7x)E3 1I+llšÚ.l` 9 27. 'I(.t I) 4(.r+2)23, 2(.›.' 5)+5(,r 3)5l7 2.8. 4(.r+2) (,t' ?)¬:. =ll'l, 6(.It' 3(2›: ~ I) S(x + 3) 30. ox(x (41 31. lx (Jr 32. (.r + 3)(.t + l) 33. 34. 3) E55 + (2: l)(3.r + 5), |)(2›: 3)E4I(2 Y _ 5) _ 9 .rlx + 2)E=7, .r(.r + 3)5 6 .r(.r 2) E: 3, l)(.lr +1) (3.t' + 2](.Jt ' 3)5 (x + 4)(.lt' (2x 4(.r + U2 l, 3(3.r + U2 4 3)(.r ~ I) 2)(.r l) I) (21 + l)(.tf 4 .t'(.'r + 2) .E ' 2, l)(.r t 1) 3) 2(.r 2)(x + 3)> 7 (I + 2)(2x 3). EU. (3x 2)(2.x+l) (61 l)(x+l)<I2 2) I) 35. (4.1: l)(.r (3.r + 2){.t' 36. (ir 3)(x + 2) ,r[.r + 3)3> 0, (2.r+3)(.r 2) 2r(.›r+3)'.:›8 37. (J.' 4)(.1'+5') 1(.ll' ' |).T > 10, 2(lt 1)(.r + 2)`.>0 3x{x + 3) E4 (4.1: l)(.1r+ 1) 2(2 I 3)( \'+2)7 '°'Ú 38. (SX (lr l)(x + 2) * 3(.r 3)(Jr + 1] 2 13 l)(3x + 1) 2x(3.x + 4) C ll 39.. (41 3)(.1' +1) (2.1: + 5)(Zr (3.r 4)(x + 4) 40. (4.r + l){2.r (2.1: + 3)(3.t 3) l) IS.: a 4(3 + Sr), 2) < 6(6 i 5.1:) 4 2(3x I) 'I(.Ir 2)57 29. (fix IS. 16. 13. l)Í >9 3.1:(.r + o) < 36 4.r(2_r l) 1' I2, .rlox + S)29 5(2.r 7), 3)I¿ l4+3(.r ) 5 I OESIGUALOAOES LINEALES Y VALORES ABSOLUTOS EN UNA VARIABLE Solución de ecuaciones lineales con valores absolutos El valor absoluto de un número real ri E R, denotado por Iril, es + rr o ri, cualquiera resulta positivo, y cero si ri o 0. Es decir, rr rli Si ri P' ll _ 'il Sl tt * 1 ll Éfirí _____"'í_ t. |sl=s 2. | 4|= ( 4)=4 Observar que el valor absoluto de cualquier número real es cero o un ittimero positivo, nunca un ntitnero negativo, o sea, |rr| 2 0 para todo rr G R. Cuando se tiene el valor absoluto de una cantidad que contiene una variable, tal como [.r ll, la cantidad, en este caso x l, puede ser 1. mayor o igual a cero, o bien 2. menor que cero. Si .ir l es mayor o igual a cero, o sea, .ir l:r Si .ir ll = Jr I. l es menor que cero, es decir, .ir lx ll = (x I 2 O, cittoitces l) = l < 0, entonces .r +1. Los ejemplos siguientes ilustran como resolver una ecuacion lineal eii una variable que incluye valor absoluto. Resolver la ecuacion |.›: 3| = 5. SOLUCION Para encontrar el conjunto solucion de esta ecuacion, tenemos que consi derar dos casos. Printer caso: Citando .ir 3 1;: ll, esto es, .ir 2 3 lx ~ 3| = ,ir 3. La ecuacion se convierte entonces en lx 3|=:r 3:5 o x=8. 5.5 sotuclondeecuaclonesllriealescon valores absolutos 137 El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solucion de Jr 2 3 y .ir L 8. [il conjunto solucion (Figura 5.10) es {8). Q I _ ïíi› 3 li FIGURA 5.10 Segundo ceso: Cuando .ir 3 <: 0 |.ir (.r 3| = es decir, .ir < 3 3) = .r + 3. La ecuacion se convierte entonces en lx 3|= x+3=5 o x= 2. El conjunto solucion es la interscccion delos conjuntos solucion de .ir si 3 3* Ji' = 2. El conjunto solucion (Figura 5.1 I) cs { 2]. I 2 3 FIGURA 5.11 El conjunto solucion de lx 3] = 5 es la union de los conjuntos solucion de los dos casos. por lo tanto, el conjunto solucion es { 2, 8]. Hallar el conjunto solucion de |2x + 3| = 9, SOLUCIÓN Primer coso: Cuando 2.1 + 3 2 0, esto es, .r ar %. l2.r + 3| == 2x + 3. La ecuacion se convierte entonces en l2.r+3|=2.r+3=9, o x=3. 5 I DESIGUALDADES LINEAL$ Y IIALDIESAISOLUTOSEN UNA VARIAILE El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solucion 3 df .IE ' E Y J' = 3. El conjunto solución (Figura 5.12) es {3}. Í É 3 2 FIGURA 5.12 Segundo caso: Cuando 2.1' + 3 < 0, es decir, |2.r + 3| = (ZX + 3) = .ir < âi, 2..ir 3. La ecuación entonces se convierte en |2.r+3|= 2:r 3=9, o x= 6. El conjunto solucion es la interseccion de los conjuntos solucioii de Ji' <: 3 í y .ir = 6 El conjunto solucion (Figura 5.13) es { 6). I + fi _§_ 2 FIGURA 5.13 El conjunto solucion de l2.r + 3| = 9 es la unión de los conjuntos solución de los dos casos. Por consiguiente, el conjunto solucion es I 6, 3). NOIJ3 . . Puesto que el valor absoluto de cualquier nu mero real nunca es negativo, el conjunto so lucion de la ecuación l3.ir + SI = 4 es d›. Determinar el conjunto solución de |2.r 5] == .ir + 3. 5.5 SUIICÍÚHÚGGCIIICÍGIIOSÍÍHGIÍGSCDIIVGÍOIBSBUIOÍIIÍOS sol.uctóu . Primer caso. Cuando 2.1' 139 5 5 2 0, esto cs, .tr 2 Í ; se tiene que |2.It' Así que |2x SI = 2.1' ¬ 5. SI = x + 3 se convierta cn 2x 5=x+3, obien x=8. El conjunto solucion es la tntcrscccton de los conjuntos solución dc ..t' 2 É y x = 8 I x 5 8 FIGURA 5.14 ' El conjunto solución (ver Figura 5.14) es {8}. Segundo raso: es decir, x <_' â ; Si 2,1 resulta que |2.t' SI = Dc esta manera, |2.›: (2x 5) = 5 <.: 0, 2,1; + 5, 5] = .r + 3 se convierte en _ 2.t+5=_x'+3, o 2 x=ï. . _ .. . ._ . .. 5 2 El conjunto solucion es la ¡nte rscccion de los conjuntos solucion de x <: Í y x = ._¡ Q ¡ HGURA 5.15 2 S 3 2 ' . _ .. . El conjunto solucion (ver Figura 5.15) es El conjunto solución do [2..t' ción de los dos casos. 2 SI = .t' + 3 «constituye la union dc los conjuntos solu Por lo tanto, el conjunto solución us 3}. 5 I* DESIGUÃLDÃDES UHEILES Y VÃLOIES ÃBSÚLUTDS EN Uflfl VÃRIÃBLE Hallar cl conjunto solucion dc |2.i: SOLUCIÓN Cuando 2.1: PFÍIIIPF <'¿ 'S0 ' sc tiene que |2.i' 5. 1 2 0, esto es. .ir 2 ll = 2x De modo que 122: 2.1' ll = 6x I = ox l. ll = (ix 5 sc convierte en 5, esto es..1r = I. El conjunto solucion es la intersección dc los conjuntos solucion de ic 1; ~ï 3: :c = 1. I i} .I 1 I FIGURA 5. 16 . El conjunto solución (ver Figura 5.16) es . . . ¬_ S€3""m' 'mw' | Quando 2.1' 1 =: U, esto es. x 2 ì . se tiene que ]2x Así que 2.1* I I I Í (2.t' I I = 6x 2x + I = (ix li Il = l) = 2.1* + l. 5 se convierte en . 3 5. es decir, .ir = 4~. F 1 I I 3 El conjunto solucion es la intcrscccion de los conjuntos solucion de .if < 2 y .ir == É . _ _ Q . 1 2 _›ì 4 FIGURA 5.17 9 El conjunto solucion (ver Figura 5.17) es ¢. E] conjunto solucion de |2.r l I = 6.1' 5 cs la union de los conjuntos solucion dc los dos casos. Por consiguiente cl conjunto solucìciti es {l}. Hallar cl conjunto solucion de I4 3x| = 3x 4. 5.5 someten de ecuaciones tlneates con valores absolutos 191 SOLUCIÓN Primer caso: _ Cuando 4 , 4 3.1' 2 O, es decir, x 5 í; (1) se tiene que [4 3.r| = 4 3x. Así que I4 3x| = 3.1' 4 se convierte en 4 3.v = 3.1' 4, es decir, .ir = _. . _ . _ . . 4 4 El conjunto solucion es la intersección de los conjuntos solución de .v 5 É y .tr = Í. I . x ¿Í 7. FIGURA 5.18 . El conjunto solucion (ver Figura 5.18) es Segundo caso: Cuando 4 3.1 <: 0, esto es, x > %; (3) resulta que [4 3x| = (4 31:) = 4 + 3x De modo que [4 3x| = 3x 4 se convierte en 4+3..e=3.v 4, o 0x=0 lo cual es verdadero para todo .ir E R. (4) El conjunto solucion es la interscccion de los conjuntos solucion de Jr :› 3 y 0.1' = 0. . Qí_ ±› x 3 3 FIGURA 5.19 El conjunto solucion (ver Figura 5.19) es {_›_›],¡ :> El conjunto solucion de I4 dos casos. . . _ 3x| = 3x _ es la union de los conjuiitos solucion de los Por consiguiente, el conjunto solucion es {x|.ir 2 4 5 I DESIGUALDADES UNEALE5 'FVALORESAISDIUTOSEIUPIA VARIABLE 1 Ejercicios 5.5 Encuentre el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes: L ¡I “jj =j 4. Ix 7. |.ï.'+Ú|=3 10 13. 16. 19. 22. 25. 28. 3l. 33. 35. 2» 4 |=Ú jr 9| 0 f`x| = 4 lx + l3| = 3 i|= 9 2.1' 3.1: 5|= 7 7.1: + 9|= I2 'Sr + f›|= 6 7|= x+l 3.1: =5 Ix t 5; =7 ¦x+8 =2 .r + 3, =ti .t| = ic 15 ¿__ 18 IX `2.i: . 37. 39. 3|= lt t 3 4x .x+9|=2.1: 9 7.t IU 1r+ 31 7 3x 41. 4.1: + I ll n_ III s|= z|= 3|= lr l 4x 7 I. .ir 3|=3 .i: st. _.'u 3|=s z›. 24 lx 3l~=3 I.i*+7|=l |.t ll|=0 |.tf+l2|=t) |.if+9|= I |.t 10 = |3.t 2 =8 |5.t+'?_=23 27 |sx 3 =ii 30 |4.i'+3 =3 Ó 9 12 13 21 Il |4x+ |9.t' + 4| = 5 I 3.1: + ll l 32 Ilr 34 |e 36 38 |3.i: 40 I4.: 43. 71 4|= ts. 1 i|=f | 41. 2.1 i|=;u i 49. 3. 2] 1 . 1 42 |5..i' 44 46 48 50 I3.r 52 |3x + II = .ir + 3 su = zi 1 4|=3x 3 + + _ _ _ í 1 I Sx Sx 3.1* 2.›: '|. I'tJ¦I l' J'l. H 2|=i' 2 |3.r I 2| =3t' 2 4 l =4 .ir 4|=4 3.: Rep3$O del Cãpíftllfl 5 Determine el conjunto solución de cada una dc las desigualdades siguientes . . ji toi: ':la.I . 4.t'+'?ï .':?`_i† 3 2. 3.t'+8Z '>.r 4 3. 2.t'+3<5.1t .i'+l 56s 4 .r 2<Z4x+t'› 5. 8. 7x 2>l0.r 9 4.1' lri¢9x+l4 6. 9. 2.t 7;:. 8.i'+ 6 2(.i' lja 7 .ir 1:1». .i. '«ti'~›'J¬. Stx 4) 2 4 14. (1 .t )(s + .1 )e 2.1 .fo + 1) ie. .i 1' + us ii :~› te + 4;(2.f 3) 17. 13. 19. t_.i' (31 (4.r II 13. '?v .=1r't . ox is. (zw (›)t3.t' 5) 3(.t' 2)(_.t' + l) > 40 2)(.i: + 4) 3(x l)(x + 5) E: 0 5)¿ 4(2.i; 3): =ii 1 71: .irtx + 3) ¬=Z (2 if + 7 := 4(.t 1 t ,i'i(2 4 il 2): Itenamdetcanfwlos 20 21 22 (3x 4)2 (Sx + 2): (ox +1): 23. 4x 3 5 6 (4.1: l)(2x l)>x2 (Gx + l)(4x 3) D xl (5.1: 2)(7.t + 8) =:.r2 10 l _. > _. 3.1' 2 _ .... 2 3 “ a'5<z+z 25 2 5 3; := 3 4 t 6 2: 3x 3<: 3 26 . 7 4 2'? 24 2x l 29 E2 B + 3 t ,ir 4 l.r7.ir3 28 . l C1 ¬ ~ 3 4 I 5.1: ¡0>3 3 2 .ir 3 31. ..ì> 33. 2(x 3 35. 3(.;i: + 6) + 5(2x 8 9 8.1: 3.1' 9 l>2¬t 9 47.1: EL ,r+l1... 6 32 2)_3x l_:5.r+l 2 _ 6 34 23 5x ll e"4<2'jn 3(x ' 2 l)_x+2>3(x 4 Éüïïl ' s 3 3) s 7'4,ì;2 3 " U l)< 7(3x + 2) 12 su 1 ì%í<2 ïšì Obtenga el conjunto solución de cada uno de los sistemas siguientes: 37. 3.1: 5>x+7. 33. 7.r+ l<4x 3 3') . 9(2x+ l)+8(x 6)? '0. 2(2 .r) (5 4.t)<1l3 40 . 41 . 5( l+fix)+9(3+.r)+7<Ú, .T 2{.r + 3) si 5.: 3(.r 4) 42. 43 3t7.r 2) fi ll 4t2.x 3). 44. 5(3 8.1:) 1'. 1` 16 7(4.i: 5) 4(8 IO x)e7(l lx) 45. 47. 5. 46. l3(2 I) ` 1' 5(3.t' 2) 2(3.i' 8) 3> 'I(`l + Jr) 27, 4(2r+5)<.Z9('2+.r) 2 49 , .r(3.t' .t'(2›t' 50. 2.r(.r 4) (x 5)(2x+ l)::› I, 3x(.t + 3) (Jr + 4)(3x Sl . l) (3.17 2)(.t' + I) Z> 2, l) (.t' + 4)(2.r + 3)' 210 2) > 1 x(2.r+3) (2.x I)(x+ U23. 4x(x l) (2.t'+3)(2.r 3)=¿'5 48. 4.1' l 2<.i: 4, 2.1'+7> 5.1' 2 2(5x 3)+7(2 3.ir)<I 14 7 3(x+ l)a2(.t' 3) 2 2(7 21) =ï3[3 x). 3(4,t + 3) ':= I7 4(.t 2) 7(2r 3) 5 I7 2(3x 1). 3(2x+7) 4(2 x) 53 ll(2x 9) E 25 8(3 4x), 9(x + 15) 2(3 .ir) 5 19 5(.r 2) < ötli' 3) I3, 6+4(x 6)Z>3(2.r 5) 5 I' DEflGUALDADE5I.lIfifilE$YVAlORE$AB$OlUI'O$HlUHAVARIABlE 52 . 3x(x 4) 4.ic(x + 3) 53 . 6.t(.r .i:(4x l) 5) 54. xtlr (3x 2. 2.r+I)(2.r+3)=¿~ 19 l)(3x + l)< 9, (2.1: l ) >3 ( 4.t+3x )( 1) Ztx 4x(3x + 1) 2)(x 3) ' 2 2)(.x + l)<: 2. 3(.i' + l)(4x + l) < 19 Describa los elementos de los conjuntos siguientes, dado que x E R: 55, {.›.~|3t'2x + 5) m.lx|2(4x 3) 4(l 2(3 57, ¦.t|2.t md.r|3.if 2(6.: 1) <: 61) 3(3.r + 1) > .ir} 31) <I 7(2x + l)} x) > 5(x 2)) Halle el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones siguientes: ,Jr ' _4|= 0 m o.h+u 3 m.h H 4 n IZI II = 5 |4.i: 74, 61 .ic 5|=4 64 67 70 _, 73 x+l|= 7 76 79 % U= 4 l| = lfi jlt + 3] = 3 |3x 2| =x +6 |2.±+5| I? X 7| ãää u.h Q Ix 63. 66, 59, ls + 7| = 0 72, 13.1: 2| = 13 75, 17.: + 4| = 3 |3.r + SI = ll n.D d =4 mlfi+fl .ir+ il í 78. l0 4| = 8x 9 l| = 3x l =fi.I.' 7 83. |5x =n 1 86. |3x 89. |4x + l| = 2x 5 8|=8 .r Ix 8| = 4 |.t + 3| = 9 I3 lr| = 7 31, |.r+3|=2x 1 84. B7. 90. |2x+3[=4.r lx 6|=6 .r |Sx+9|=2.t' 3 Repaso acumulativo amüwoz Some 528 y 469 . :O¬ lf.I1Ll I I Rcste Reste Reste Reste 94 de IS 62 de 87 54 de 28 47 de 80 . . Siime 256 jf 94 Reste 85 de 72 . Reste *30 de 12 . Iii* penes i=›i .› Rcste 18 de 36 Rcste 32 de 17 Efectúe las operaciones indicadas y simplifìque: 2) ' 3(6) 7{4) ÍHJ' 2) + 7(8 9) '7{4 L¡¡.› . . .LH in un 1 ti :“'5*"S* '."' 19. 21. 23. Ea 'ifltn IS+J <+ IS : 28 + ' ( 3) 5 +( 4] X..L vá 3+ __I\ Ì D HG* 28. 6 _ 7 31. 1 6 s+s 16 3) 6) 0* T 4 _ + 27 _9(4_ + Gi@ Fl. I i G* H f un "l" ' I . t. ll' f 8) Í . nLa 1 ¬ ' 4(7 3)+6(3 1) 4 H. F.`ï. 'G >( l 24 4 oe"'I~: u 3(l2 5 10) ._ ..._ 4(9 *I roceoo +( 7) `*"t.uoe mxii 'lu I I* J 1 (II 26. n. s_7 9 l4 29. §_H__ 7 9 12 w m 1 m 3 E_§_å m 9 s n. H H. ëxëså. x. É i 15 34. ãxãïí 37.. 6 27 45 § + i<: 35 23 lo 38' 22 äsäxë n'e3 M 19) 5 864 § 2,z 649 56 32 ` 123 l2_) .:.(_..2) i_§,u 6 812 3 1 7 5. 4+s ~3 _ 12 14 16 IB 20 22. 24. o 39. 2 u E2 E xisxn 4064 .Li 57 Sl xi _26_49 5 *I RPASO ACUIUI.A'l'lVO is_ 2 7 _ lo 4°' ti9†sa ' zi 41 3 5 7 43. d t _¡:› :8 no axe '5i'ss 27 “ i_§.,.'_4 7 3`9 l '_22_§ 49.. 3 + s(:i 3) 4 2 5 'i 51. 9 ii is 4 3 ii_7s 53' §"`í†(f› 9) . 7 2 *I 55 4 + 21 5 (9 7 ,,'44`99i2s m,(Q,,_ 3 2 3 *ata e 5 5 5 3 45 zrsxn 5 1 9 _3 7_å2_l 5° s :(9 2) 3 16(9) 7 52. + 4 3 te 12 5 i3_32 54' s is`(4 1) 7 3 56. iz) 2 + 5 9 3 (4 ¬ 8 9) Encuentre la fraccion común equivalente a cada uno de los siguientes números decimales 57. 61. .4 l.2S 58. 62. .08 2.48 59. 63. .U72 3.04 60. 64. .O75 3.032 Escriba las siguientes fracciones comunes en forma decimal: 65. 5 7 69. 4 IS 66. ll 9 7 . 0 8 33 7. 6 7 ll . IO 33 71 68 72 . 17 12 . 4 3'? Redondce los siguientes núnieros hasta dos cifras decimales: 73. 77. 8.6729 2.845 74. 78. 28.4643 5.365 75. 79. l5.325l 9.275 76. 80. 32.2354 l.ol5 Obtenga la distancia entre los dos puntos cuyas coordenadas son dadas: 81. 85. 4:9 l5:.3 82. 86. 8:l2 l8:ll 83. 7: I3 84. 87. 38. 2: I4 6: IO 7; l Capítulo 3. Elimine los símbolos de agrupacion jr reduzca términos semejantes: 89. 4:: 2(.r 5) 91. 3[.r 4t.r l)] 93. li |4 2t.r + l)| 95. 6 + { 2[5tx I) 3(.i: + 4lll 90. 'Fx 3t4.r + l) 92. 2|3 '?(.r 2)| 94. 4,: + lo 4t.r 3)] 96. 7 { 3|(x 4) 2(.r + 3))} RGDHSD Elflllllllãflïfl 5 Evalúe las siguientes expresiones. dado que rr = 2, b = 3 y e = 2: 97. 100. 3a ble Sc + abjcj ios. af* i›(a=..~ 3a+2f› 105. b _ (_ 98. 101. bj' Zac! 2a(ub cz) t›) 99. 102. 104. te atz. 1 'f «I ef 106. 6a __ zbc 4b 3ur3 b(nc bz) atfi) Efcctúe las operaciones indicadas jf sìmplifique: 107. ( 3x2j†e)(4j*2e3) 103. (41jv2)( 33x2j'3) 109. ( 22.ry2)3 tie. (3.›Fy“)'* iii. ( 23.qe)1 iiz. ( 3.¢=;;=1')=' iia. ( 2iv*;t~=)*( 3.1 ;w`*)= 114. ( 2äf'y2)1( .±1j~“)= 115 t .fä =)=(2~› “=)( 442)* 116. t4xìv)1(››*z)“( .t W* 117. [a2(.r 118. [n3(x + l)2]2[ a3(.r + l)]3 119. 4n( a3)3 3a3( a)" 120. a:"( 311)" + a3( 22a)3 I2l.. (lr .ir + 1) 122. (.r 2)]2[ 2a(.i: 3)(.t2 2)2]:" 4)(3.›:2 + .ir 123. (.i t)(.€+s + i) 124. (3x 125. 2)(.r2 + 2x + 4) I26. (Jr 2) t)(9x*+3.r+ 1) (lx: + .ir 3)(2r1 .ir 3) 127. (st "+.t 2)(3x2 x 2) tzs. (2.12 3.: |)(2§+3.t i) 129. 3) 130.. 1)* isz. (1 + 2)(:u i) 4 I wz: xsyzrs 2x(.r ist. (4.1 133 ' I) (Jr + l)(x i)(.›. + i) 6”4x 3),gyúi 3 i 4 ,±yi ~ f* ,› 3 i: ie. ( 2Ix,},z,) (zu 134 * (3.1: + l)(3.t 3(.r 5) 2)* J 12* ias. W (4a2b 4)] 'í' (allb l›)3 . '_' (óaìb' I _ )1 . (2la:bc ) 5 "' ""_.,:† (l4u3b*t*" )"' 142. (3n"b3)3 'í . , .; (loasff )" 145. 4a3b" E ( ob)" + u:( ar) 147. (lt " 6.1:" + 413) + (lrz) (_: + l)(x 148. (915 3.r“' + 6x3) + (313) (31 + l)(.t M3 146. 1 . 144.. '_ ' " ,_' (9a2b.) 1 (25113b"c3)3 " "¬'_; (I5a3b'T )" Blowb' + (2rt3b)2 4) 2) 149. tm* sf 51 + 2) : (zu i) iso. (4.1 1 its* + io.: 3) + (41 3) ist. (fa ' +11' 14. ; io) + (3.1 + 2) 152. 4) rss ' is* 131. 20, (af b5)1 . 6" U3 9x2},r› 3x(.t: (o.r3 + Ir* + 9x + IS) a (lr + 3) 153. tr' + 3;* + ir* + 4; 4) + (1 1' +1 1) 154. (6.t" 5x2 2x7`+3.r 6)+(3x1 1+2) 155. (8.r" 4x2+3.x 2)+(2x2 x+l) ( 311%): 5 I* E9150 ÃCUIIUIJHVO 156. (1334 ¬ 23.12 + IÚI 3) 1 (612 2.1'+ 1) 151. (9.1. * 158.. 159. 160. 'uz + ex 12)+(3,r2 .r + 3) (I6x"' 5x2+8x 3)+(4x2+3x I) (3.x" + Bxìy + I9.ry3 6y") + (xa + 31)* yg) (2x" 3x33' + Ilxyj I2y") i (x2 2.@ + 3312) Capitulo 4.. Resuelve las siguientes ecuaciones: 161. 163. 165. 167. 169. 170. 171. 172. 173 "S 3+2(x l)= 3 162. 7 3(.r+2)=I0 2(.r 3) 3(x+l)=4 164. 4(.r+l)+5(.r I)=8 3(x 1) = 2{x + 2) 6 166. 7(.r 2) = 10 2(x + 3) (x l)(.r + 3) x(x + 4) = I 168. (x 3)(.r + 4) .r(.r 5) = 0 (3.r + I)(x 4) 3.r(x 2) = ll (lr l)(4x + 3) x(3.r 1) = 3 (Zr + 3)(x 4) (J: l)(2r 5) = 3 (Gx l)(2x 1) 4(x l)(3.r + 2) =l 3.1: 2 .r+4 3.1' 4 2.1 3 T_"+† . _ 4 I 5 174. _= 2 + 6 3 179. 2 6 2 EÍZI 7) š'(3x l)=š 0.06(2 4.000 0.()7(l5.000 0.065(l3.000 0.l2(20.000 xl + 0.08x = .ri + 0.091 = .tì + 0,105.1' 1:) O.U4x = "' .Ir l 3 I 6 x I 4 l 2 e 3 = 3x+4 17. 8 2 x+5 = 3 2 I 130. ¡sn . ¿(3 3.1' 1) ¿fs 3.1' n 1 2 133. 184. 185. 186. 2 x +6 11. 2x 5 .r 6 I .í _ = "T 4 3 2 1 2x 3 2 7 š'(3.t 2)+'i(2.r+l) E ¡sz 4¿(2.1 3) âu 1;=1 1740 IIIO = 1330 640 Describa ¡os elementos de los conjuntos siguientes: ns?. {.r|4 213.1 + 3› = 315 I83. {.1r|9 + 3( 4.1' + 5) = 4{3x 189. {.r|3 + 2(.1r 191. {.\ |.±(.f 193. {.›:]2.t{3.r 194. {x|x(4x 2.f›} 2)} I) == 2(x + 5)} 2) (1 190. 1)* = 1} 5) " (3.1: + I)(2.r 3) ~ (x + l){4.e {.t]5 + 4(3.r + 1) = 3(4.r + 3)} wz. {.f|›(,w + 4) (1 + 2)* = 4} 3) = 3} I) = l} 195. Un número es 9 unidades menor que otro. Encuentre ambos números si ei químu plo del menor supera en 7 al triple del mayor. ÉBPQSO ilfillflllflãflïfi 5 199 196. Halle tres enteros pares consecutivos tales que el triple de la suma del segundo y el tercero supere en 4 al séptuplo del primero. 197. Determine 2 números cuya diferencia sea 7 y que la diferencia de sus cuadrados supere en 9 al producto de 12 por el número mayor. 198. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es 3 menos que el de las unida des. Si el número es 7 menos que el quintuplo de la suma de los dígitos, obtenga dicho número. 199. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es I9. El digíto de las unidades es 2 menos que el de las centenas. Si el número es 26 menos que 80 veces el dígito de las decenas, encuentre tal número. 200. En cierto número de tres cifras, el dígito de las unidades supera en 3 al de las dece nas y la suma de sus digitos es 16. Si se intercambian los dígitos de las decenas y centenas. el número se incrementa en 180. Halle el número original. 201. El descuento aplicado a una aspiradora fue de $20.14 dólares en base a una tasa del 10.6%. ¿Cuál era el precio regular del aparato? 202. Un horno de microondas se vendio en $287.76 dolares tras un descuento del 12.8%. ¿Cuál era el precio normal del horno? 203. El precio de venta de una lavadora es de S435 dólares. ¿Cuál es el costo si la ga nancia es 16% de dicho costo? 204. Dos sumas de dinero que totalizan $68 000 dolares ganan, respectivamente. 6% y 8% de interés anual. Obtenga ambas cantidades si juntas producen una ganan cia de $4 960. 205. Daniel tiene S12 000 dolares invetidos al 6.5%. ¿Cuánto debe invertir al 9% para que el interés de ambas inversiones le produzca un ingreso de $2040? 206. El monto de interés anual producido por $11 000 dólares es $265 más que el pro ducido por $8 000 a un interés anual 0.5% menor. ¿Cuál es la tasa de interés apli cada a cada una de las cantidades? 207. ¿Cuántos galones de una solución de ácido al 8% deben agregarse a 32 galones de otra igual al 28% para producir una solución al 12%? 208. Una persona mezcld 40 libras de una aleación de cobre al 96% con 24 libras de otra al 72%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla? 209. Una persona mezcle 36 libras de una aleación de aluminio al 40% con 80 libras de otra semejante. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio de la segunda aleación, si la mezcla contiene 80% de este último? 210. Ricardo tiene $12.40 dólares en monedas de 10€ . 25 df y 50€. Si son 46 monedas en total. y hay 6 monedas más de 25 (if que de 10 (I , ¿cuántas posee de cada clase? 211. Bárbara compró S I0.85 dólares de estampillas de l0¢, 15€ y 25 'I con un total de S9 estampillas. Si el número de estampillas de 10€ es 4 menos que el de 15 ¢ , ¿cuantas compró de cada clase? 212. Los ingresos por la venta de 42 O 00 boletos para un juego de béisbol totalizaron $241 500 dólares. Los boletos se vendieron a $4.50, $6.50 y $9.50. El número de boletos vendidos de $4.50 fue el quintuplo del de los de $9.50. ¿_Cuanto_s se ven dieron de cada clase? 213. Carlos tenia una cita a 98 millas de distancia y condujo su automóvil a una veloci dad promedio de 24 millas por hora en la ciudad y de 54 en carretera. Si el viaje duró 2 horas, ¿qué distancia manejó en la ciudad? 214 Encuentre las lecturas Celsius y Kelvin correspondientes a una temperatura de 86” F. 215. Halle la lectura Fahrenheit que corresponde a 22°C. 5 IEPASO ICIIIULIUVO Hace 4 años Cristina tenia 'A de la edad de su madre y dentro de 8 años tendrá la mitad de su edad. ¿Cuál es la edad actual de ésta? Tomás pesa 54 libras y se sienta en un subibaja a 8 pies del punto de apoyo. Si Roberto pesa 72 libras, ¿a qué distancia de dicho punto se debe sentar para equili brarse con Tomás? Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio cuando una carga de 148 libras se coloca de un lado del punto de apoyo a 6 pies del mismo y 2 cargas de 60 y 72 libras se sitúan a S pies de distancia entre si del otro lado del punto men cionado, con la carga de 60 libras mas cercana a este último. ¿A qué distancia del punto de apoyo está la carga de 60 libras? Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 7 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen también 2 pulgadas, el área aumenta 41 pulgadas cua dradas. Halle el lado del cuadrado. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide 20 pies menos de largo que el doble de su ancho. La banqueta que rodea al edificio tiene 12 pies de anchura y un área de 3 336 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el edificio? El segundo ángulo de un triángulo mide 6" menos que cl primero y el tercero mide 3° menos que 1.5 veces el primero. ¿Cuántos grados mide cada ángulo? La suma de la base y la altura de un triángulo es 113 pies. Encuentre el area del triángulo si el triple de la altura mide 1 pie menos que el doble de la base. La suma de la base y la altura de un triangulo es 95 pies. Determine el área del triángulo si el triple de la base supera en 19 pics al cuádruple de la altura. Capítulo 5. Determine el conjunto solucion de cada una de las desigualdades siguientes: 3.: 4`.>.r+6 225.. 5.1: 2<2_r 3 2x 954.1 +3 227. 4x+la7.r 5 3+4(2.t l):> 7 229. 7+2(.r 3) ==:9 10 3(4.r+ll 5. 2 (.r + 5)(.r I) xl.: 231. 4 ïlx 2)> 3 3) > l2 lx 6ll.t'+2)* .tl.t Slš 12 (Jr + 4)(.'r 2) .ttlx + 3) 1 3 (Jr + l)(.r 6.r(:r I) 7) .rlx l}<3 (lr + l)(3.x 2)> 3 Sx(.t' 2) (417 l l){2.t 5)I> l r _ lr 3 x 5 71: 3 " fï"§ E. 4 '">a'z www 2” s"'¿Es"z 5:' 2*' 'r'§>s"z r 9 .t +12; I 6 =: 4 x+3 243. 2 x 1 lr I 3 =: Ó 24s.x+l 2: l__=_3x 2 6 :¬ .Jr l .r+2>2.r+l `T"`T""`_¿"` := i H Ft un "'§""_š`"'“"_ i`_ Renan acumtllatlvo 5 Halle el conjunto solucion de cada uno de los sistemas siguientes: 2x+t'›>3.r+5. 5.r+42.r 4 4.r+]l]<í7.t' l 1, 247. 3.r 2å'2r 3. 4.r 3>5.r 8 243. .tr 6<3x +2 2x+7<.t: +6 250. 2.r+5.=2:.r +3 3x las + I 252. .t 3<4.t +6. S.r l>3.1r 3 l. 254. 'lr 7<.r 3x 2?. 4x 5 256. 4.1: 32.r+3. SX 75x+l 253. Zr+724.1r l. 5.: 621' + ll) Zfilfl. 3:.r+23= x+ 3. .r l S>4.1r 262. 3x 7) 5 1'. 4.1' 3<x l2 4. 264. .r 853,1' 3 (1x+7<2.r 246. 249. ox 9~=:2x+ 15 251. 3.r Zšex + 2. 4.r+3=¿'3.r+ Il) 253 . 2.! *9< "7,t'+2l. .r+8 =215.r 8 255 . 3.1' 5521: 9, 4x 82= 7x ll lt 623.1' .S, 7.1' t 5a3.x+l 3x+72x+3, úx+l52r 7 x+9<2x+5, 6.r+I|<x l Ó 5:: 2* '17x 3, 3x 2 flíx 9 7x 41.' ' '3.t'+ lo. .r+9`;>4.r 6 257 . 259 . 261 . 263 . 265 . Describa los elementos de los siguientes conjuntos: 266. {sl3(s + 3) 268. {.r19(_.r 2o: {.r|4(3.v 1) cm ti :› |} 269. ts leo 2) su + 2; <.t } 1) r › x} 267. ll ' 3(3.t' + l) < Úl 270. {.rf2t3.r 272. {.r 9(2.r 4) I) 6(.r 2) =: 3} 613.: + 2) > Ill 273. 3) 3l3.r {.r 6(4x 271. {x|4(2.r + l) 7(.r 3) <'.;r} ll 3°' 7l Encuentre el conjunto solucion de las ecuaciones siguientes: 214. ls sl = 4 275. fs 277. lx + Sl = 5 278. .It 280. |.r + 8] = 0 281. fx 133, |4_r 2|=7 9 3 5| 0 234. 'mt 7|=3 276. 279. 232. |.t' + 2] = 3 |.r + II = 4 |3.r 4|=S 235. |3.r+s|=t0 zas. ¡st 1|=.t+3 zar. |ar+s|= .t 5 288. |.r+6|=2r 5 289. |2x+7|=4.t +3 291. |4.r + 3] = 7.1' .I l II = 3 6 ]4.1r l SI = I 293.. [112 3l=3 2.1.' 295. |7x + '.!| = 5.1* + l |'.?..r 292. |3.t' 294. l| = dr S 290. Ó CAPÍTULO 6 Factorízacíón de polinomios 6.1 Factores comunes a todos los términos 6.2 Factorizacion de un binomio 6.3 Factorlzacion de un trlnomlo , I Z G › rncrotttznctont oe Pounomos Cada uno de los números que se multiplican entre si para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorizacion. En particular, nos ocuparemos de fac torizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está faetorizado completamente si se expresa como el pro ducto de polinornios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresion se puede ya escribir como el producto de dos polinomios. con coeficientes enteros. A continuacion, consideratnos la factorizacion de algunos polinomios especiales. Factores comunes a todos los términos El máximo factor común (M.F.C.) o máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los números de dicho conjunto. El M.F.C. se puede obtener como sigue: I. Se factorizan los enteros en sus factores primos. 2. Se escriben los factores empleando exponentes. 3. Se toman las bases comunes, cada una con su exponente minimo. Encontrar el M.F.C. de 30, 45, ol). sotucton se = 2 3 5 45=3 'f 5 se =2“ `* 3 5 Las bases comunes son 3 y 5. El minimo exponente de 3 es 1, 3.' el de 5 es l. Por consiguiente, el l'vl.F.C. = 3' ' 5' IS. Hallar el M.F.C. de 48, 72. l20. SOLUCIÓN 48 = 2'* 3 72 = 23 ~ 32 120 = 2] ~ 3 ' 5 Las bases comunes son 2 v 3. El_minimo exponente de 2 es 3 y el de 3 es I. Por lo tanto, el M.F.(J. = 23 ' 3' = 24. El máximo factor común de un conjunto de monomios puede determinarse tomando el producto del M.F.C. de los coeficientes de los monomios y las bases literales comu nes, cada una a su minima potencia. 6.1 Factores comunes a todos los términos É obtener el 1vt.r~'.c. tu ts 3. sti, tzx. sotuctolv 4.@ = 2213 on' 3 2 3.1": 12.1: = 23 3.1' l as bases comunes son 2 y x. El mínimo exponente de 2 es l y cl de :c es l. Por consiguiente, el M.F.C. == 2'.r' = 2x. É Hallar el tvt.F.c. de si iyä 12.1 iv, ts.v“. SOLUCIÓN 9.r3jv3 = 32.t'i_t'2 l2.r"l_t' = 21 ' 3.t"'_jv l5.t5 = 3 5.15 Las bases comunes son 3 y .r. El minimo exponente de 3 es l y el de x es 3. Por lo tanto, el M.li.C. = 3x3. Encontrar el M.F.C. de .r3y1, .v'*_v, .c3_v3.: :. SOLUCIÓN Las bases comunes son x v y. El minimo exponente de .r es 2 y el de y es I. Por consiguiente, el M.F.C. = xly. Obtener el M.l*`.C. de 6n"(x SOLUCIÓN sam 1. ii = 2 3.fr't.r 9n3(.r ¬ _v)3 = 31u`(.r l2a3(.r "ma _v)". j 11 _v)“' y). El mínimo exponente de 3 es 1, el de a es 2 y el de (Jr Por lo tanto, cl M.F.C. = 3a2(.x yli, l2tr3(.r y)3 _v)"' = 22 3n"*'(.t Las bases comunes son 3. rr y (x y)2, 9n3(x y) es 2. ylz. Dado que (1 nlx l)1v b(I .vi =. ot 1). el 1vt.F.c. de :c)es(.r l)o bien (I x). 6 I FÃCYORIZAC 'ION DEPOLIIIOHÍOS Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común, se emplea la ley dism butìva ob, + air; + ob; + + nb,, = alo, +11; + b; + + b,,) para factorizar el polinomio. Uno de los làctorcs es el M.F.C. de todos los términos del polinomio. El otro es el cociente completo, que se obtiene dividiendo cada ter mino del polinomio por el factor común; esto es. rrb¡ b_ uh; l tro" rr + + + rt rr rr 'U nl: ¡ + rtlr . rtrltt t b "I =n(b,+b2+b ,+ " + rr +t:›,,) Factorizar el polinomio 3o: ' n. SOLUCION El máximo factor común es cr 3G: ü=rt(ï É) rl tt = ttlfirt 1) Factorizar el polinomio 8x3 SOLUCIÓN 4x2 + l2x. El máximo factor común es 4x. .t 2 3.1t3 4x2+l2..t.'=4.t8i ï l gr 41 41 41 = 4.x(2.r2 .tr + 3) 1 Ú III Factorizar el polinomio óxiyz + l2x2y2 SOLUCION 24xy2. El máximo factor común es oxyï. Óïayg + llïzjfl _ 24.I'_[ll2 = ¬ 613yz f).t'_'t"(É :Q + 12.1: zyi E ":'.¿" ty = f›«o¬“( si + 2 I Factorizar el polinomio 4x3(2x SOLUCION l) El maximo factor común es 4x(2x 4x2(2x l) 8x(?.r 8x(2x 24.ry2 _' 4) I): l). _ 4.r2(21r l)1 = 41(2J _ “li 4x(2.t' 1) _ 3.r(2.r I) 4.t'(2.t' 4..t'(2.t l)[.t' 2(2.t' 4x(2.r 4.t(?.r l)[x l)(2 4x + 2] 3x) 1)] 6.1 Fattoreseonmrtesatodostostfirnttnos Factorìzar 24x(x 207 2)* + 36x2(2 x). sowctou El maxima factor común es tzrtv 2). '.l' 24.r(.r 2): + 36.r2(2 rr) = |2,r(.r + = 12 'ft " 21 2) 1 = t2.r(.r 2)|2(r 2) = 12.r(r 2)(2r 4 = t2.r(.r 2)( .r = Nota 24.r(r l2.r(.r serits “ en :srl : ;.r1 ar) 4) 2)(.r + 4) 1. (x tr) = (nf ¬ Jr) 2. lx tt): = (rr ~¬ x)2. 3. tr . ni = (rr .ri `* Ejercicios 6.1 Encuentre el máximo factor común en cada uno de los ejercicios siguientes: I. 4, 6. ll) 2. 4.12, 20 3. l2, IS, 24 4. lo, 24, 40 5. 15, 20, 25 6. I4, 21. 23 7. ri. .tu .tg 3. 21:1, 313. 4x 9. org, 9x3, llr to. sr *_ 1€. sr' ta. 4.1 = '_ s.r»*_r . tar; 2 ~ tt. tsri. 25.1 tt. sor” ' tz. 12.1 1.. 1s.r'.:st›r 14. zry*,s.r1', 2. sr 'f ts. tar 5 _ 1sr~i_ri. eri ts. seryi, 4s.r;r, eo.r;.~ * 17. 19. 2]. 23. 25. 27.. 29. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 54x3_v2. 72r2_t¿'z, 90x:y":1' 6(.r + 2), 9(.r + 2) 9(.r + I). 3(x + I): .r(.r + 2)¿', .r3(.r 1 2) (_r + 3)2. (Jr + 3)(x + l) (rr + 4)(x l), (x 2)(.r + 4) 4(.r 3), 8(3 x) 31. tr 2) 1, s(2 r) 28x3_vr. 42r3_v2z2, 56.r"_jv“ 3x(x 3), o.r3(.r 3) 4(x › l)3, o(.r ¿ I) x3(.r 2), 2.r(x 2)2 (Jr + l)2, (rr + l)(.x + 2) (.r ~ 3)(.t' 2), (.t 3)(.r x`(.r 4), x2(4 x) 32. (.r 3)i, (3 r)1 Factorice los siguientes polinomios: 33. 36. 39. 4x + 4 l2x+ 6 10.1: 5 34. 3'?. 40. 6x + 12 3.r 6 l8.r 27 35. 38. 41. 3.1' + 9 4.1: 6 8 4x 2) l) 6 FACTORIZÃCION DE POLINOHIOS 46. eri + zr 49. tir* › 119 44. 47. S0 . 24 8x 91"* 6 lr' t lt 3b.r + fib 52. 90.1' r llid S3. r_r + t t 3o.r + oa_v 55. 4.r_r S6. l0a.t'3 l3x2_t† SB. 61. .tj .r3_t' |3x'lv3 9.r2_t'2 64. 67. 3.t'3_v" H l2.r"_t*" ot: t'xr_v ox I2 Itlx 43. 5 4.r1' + 4.r tr* 14.1 '* ?.4.t:_v2 lb.rl}'3 l .'?.4.r`*_t* 9.t¿_v'l + 2'ix3_'r1 9.r3 + 6.1; + 3 4.1:" 8.r2_t* 70 . Sr' + lic: 1rl_v + x3_v 1.1% l5x 5.r_v 72. 74 . to.r'*_t›~“ + cris” l5n1x 59. 4.r' ff 62. 1111 4.tr3;v2 65. sr 2 t 4r + te 63. Eur" + 9ra + .t2_t'3 _ x_v3 + 33:3 o.t¿_v 4.r_v3 + l0.t'_t .t'¬`,t"1 ?_r3_i"' 4.t'_v5 ` le¡_t~3 + 4x :srl .t:_t* I 27.t *_~.~ e.r 5 1 + 3f›.r~'_r i 76. Óllt' l l) + .tllr + ll 73 4t2.r 3(3.t* + l) + .t*(3:r + l) 30 Zlx 2): + l(_.t' 3(.r + 4)* r o(.r + 4) 82 4(.r 3): + 6(.'t 6(lr+ I): 84 |5(3.r + |)= 9(Jt+l)' 3(.t'+l)2 B6 S(.r + 3) 4(.r + 1) S(x .r2('.r 4) 1) (J: + l)(..t lx 2(1Lr+ l) 5(3r + l0(.t' 4): 38 '?(.r H* 5) l4(.t' .r(.t' I): 90 x3(.r + 2) .rlx + 7 2) + (,r 2.)(.r + 3) l)(_.r + I) + Lt' l)(x + 2) (_: + 2)(?.r + I) tx + Zltlr (lr (lr l)(x + 4) 4) le (I + 1r)(4 (lr + 5)(.r 3) (7 + .r)(3 2): + 4(2 3) l)(3.r +1) (3.1 + 2)(.r l2(.r l) + .rllt .r) Jr) x) 93 2x(2.r 3)* + .r1(3 et (sr 1)* + 2.r1(t sr) too 4.r=(í tr l3(3.r 4): lt) 102 x(lr I): .t2(3.t' 2): .t'(2 3.t')` 104 4x3(,r tr): .t3(2.r 513 + .r{5 2.t)" 106. .r2(4.1r 3): + .t(3 l2I(4 5)1 + sr* 5 (1 21 ...tr llrlo ) r Factorizacton de un binomio 'III' l os métodos de factoriracìon de polinomios se presentaran según el numero de termi nos del polinomio que hay que factorixar. Un monomio es una forma factortzada, ast que el primer tipo de polinomio que se considerará es el binomio. Aqui trataremos la laetorizacion de cierta clase de binomios. s.2 ramnxacron ne un etnomto m CUOÚTHCIOS Y fakes Cuadfadafi Los cuadrados de los números 3, 2 52, o, x2, y b3 22 son, respectivamente, . 32, 5*', ng, 2 x", y bi' . 22 Los numeros 3, 53, É, tr, xa y bi' se llaman raices cuadradas de 32, S", 5, tt 2, Jr* y 3 '[1 o , respectivamente. La raíz cuadrada de un número n se denota por \i/Ã. El simbolo w/ se denomina ra Qal, el 2 que se incluye es el índice y el número a se llama radieando. Cuando no se gfieribe ningún indice, se supone que es 2. si.'121% 1°) Aunque los cuadrados de ( + 3) y ( 3) son iguales a 9, cuando se hable de la raiz "cuadrada de 9, nos referiremos al número positivo 3 y no a ( 3). .”,¬~ DEHNICIÓN Se dice que un número es un cuadrado per fecto si su raiz cuadrada es un número ra cional. La raiz cuadrada de un número especifico puede encontrarse descomponiendo el núme ro en sus factores primos, con sus exponentes respectivos, y luego dividir entre 2 a cada exponente de su potencia original (cuando se eleva un número al cuadrado, multiplica mos su exponente por 2). 1. 2. = =2*=s 2 3 go _ ìš : 2 3 2 osrtmcton 4 I: 12 lo r: 3. \/2; 2 \/; _ 2 2 5 = = 4 5 Si rr es un número literal y n E N, se define \/nz" como (v'Í )1"' = rr". Si el exponente no es divisible por 2, el número no es cuadrado perfecto. l. = al sin = 13:3 3. = = mi Los números 2, 3, 5, 7, 8, lt), etc., no son cuadrados perfectos. Esto significa que no existen números racionales cuyos cuadrados sean 2, 3, 5, etc. 6 I' FICTOIIIZIGÓNBEPÚLWOIIOS _ DEFINICIÓN Las raices cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos. se llaman números irracionales. Diferencia de cuadrados El producto de los factores (e + b) y (e h) es ea ~ bi. es decir, la diferencia de dos términos euadrados perfectos. Los faetores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de las raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados. Faetorìzar 9a3 SOIUCIÓN 4. La raíz cuadrada de 9:11 es 3a y la de 4 es 2. Por consiguiente, 9:12 H 4 = (3a + 2)(3a Nata 2). Reeuerdese factorìzar el polinomio comple IHITIEHIE. Faetorizar eompletamente Jr" SOLUCIÓN x" 81y4. 81 y""' = (xz + 9y2)(.r2 9y1) = (12 + 9y2)(› ' + 3r)(1 "ata 31v) Antes de verìfìear si el binomio es una dife reneìa de euadrados, véase si hay algún fae tor común. Este es siempre el primer paso a efectuar. Faetorizar completamente 6x* SOLUCIÓN 6x" 6 = 6(x“' 6. I) = 6(.1'2 +1)(x2 l) = 6(.r2 + l)(.r + l)(x Nata (a + b)(a I) h) = (a b)(e + b). 6.2 Factorixadón de un binomio Faetorizar completamente xl SOLUCIÓN .ri 4(_v 3)* 4( y [I + 2(.v 'ì .í (x + 23: ní í 3_)1. 3)ll 1' 6)(x 2(y 2y + 6) I' àelori;›:ar eomplelamente (x ' l)~[ + yztl SÚLUCIÓN (x __ U1 _¡_ yan __ I) ¬1)(.f 1+, )(_f 1 ,»›) ._ ._ Paetoruzar completamente x2 SOLUCIÓN x). =(r 1)* y'°'(1 I) = (X 1)[( f U3 fl :(1 _ 3)] La raíz cuadrada de 9 es f¬%=(~%>(~%) Ejercicios 6.2 Faetoriee eompletamente: 1ÉLII I .tz 11 xa + Sl 64;: 4x2 1 4') 25 xt 2 6 10 14 18 22 13 17 I 21 81 25 1612 9 26 29 4 491:? 30 33 41.2 _ yì 34 37 912 43;" 41 añ _ bd 45. 4x3 [6 àâä 49. 19 @ 52. 28%* 635% 55 òxj 24.: 58 l44x2_v“ 3la"b2 61. .rá 16 64. mx 1 _ ye 67. 21'* 323.13 70 x7 x3 Jr 2 9 xa 64 xl l Sl II l2l 31.13 1 9x2 16 1611 49 9 25.1' 2 9.112 16312 xd 64 2x1 3. x2 16 1. .x2 100 11. 4 1:2 ls. 9x2 1 19. 411 9 23. 9x2 25 21. 16:2 81 31. 49 l2lx2 ss. 912 25y2 39. mx.: _ ya 43. sx* 13 41. 611 + 24 18 9.1: 2_ 8 l 50. 3ax2 27:13 $3 9xzyz _ ye 56. 201% 45)@ 59. 36¿¡Bbl2 _ gclü 62. x' 81 65. 31:4 yd GB. 30:45 5.1: 71. 4x° 641:: 51. S4. 57.. 60. 63. 66. G9. 72. 4. xl 36 . . .ri 25 I4 4 1:3 . 3611 1 4x2 49 . 9.12 100 . 4 25113 x2 _ 9)@ . x" Blyz . 404 * 9b2(.'2 . . 3x2 12 13 x 72.02 šìïe exe aeaew H*Hb 75:11 ¬¦'.'h * 161:" 8ly" 3x" 4333 (x +1): yz 6 I FÄCTDIIZÃCIÓNDEFULIÉOS 73. 76. 74. (_: (.r + 3): 43,12 .ri (y+ 1)* 19. ref 77. se. 12 (y + 5)* 41:2 (3) 41:2 83. 86. 1): 82. 85. .r 3 x2(_r+ I) 2 33. 90. 2)'= 18(3)' 8x2 (.t' 2): (_v+ I)2 9x2 3:42 2)? sy* rs (y + 3): '73 (y 1)* st (23: l)2 27(y 4): 89. .rzyl 93. 94. (1 95. (sx 98. l02 1 I X2 2 E _ 1) 99. 4 1 31 1 03o I X2 5 X2 16 49 _ _' Ã 106. 2512 108 .ir ›__1 16 (2.1 412 9(y 3): 1:1 32(2y + 1)* 4)2 (zy + 1)1 l)2 (_r 1)* + _» 1 '(1 4 100 _ 11 9 104. I): 16312 (jr + 4)! x2__(y_2)2 84 37 y2(_v 91. (r + 3)? oz. (r_ I) 2 (›» 1)* 3)* + v1(3 (Jr 9x2 l 412 lo 101. 2)* sx) 4 25 .11 ¬. 105. 9.1* I 25 107. 49.6 g IÓ 109. 16 1 _ ._ .r 8] Factorización de un trinomio La factorizacìdn de trinomios se divide en dos casos: 1. El trìnomio es de la forma .ri + bx + c, c, c e I, b rs O, c af U. 2. El trinomio tiene la forma ax; + bx + c, rr es I., rr, b, c E I, b es O, c ae O. Trínomios dela forma X2 +bX+ C,b,Ce|Vb¢0,C¢0 Considerense los productos siguientes: +(m+n)x+mn (.r + m)(.r + rr) m)(x (.r + m)(.r (1 rrr)(.r + rr) 1 +( rn rt).r+mn (Jr r'I'_ Ii' .r1+(m n).r mn x2+( m+n)x mr: Se observan las siguientes relaciones entre los productos y sus factores: I. El primer término de cada factor es la raiz cuadrada del término que aparece al cua drado en el trinomìo. 6.3 Factormción de un trinonio 213 2. El producto de los segundos términos de los factores es el tercer término del trinomio. 3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es el coeficiente del término central del trinomio. Nota Para encontrar los segundos términos de los factores, se buscan dos números cuyo produc to sea el tercer término del trinomio y cuya suma sea el coeficiente del término central del trinomio. Ndfã Cuando el signo del tercer término del trino mio es positivo los dos números tienen signos iguales al signo del término central del tri nomio. NOÍ3 Cuando el signo del tercer término del trino mio es negativo. los dos números tienen sig nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie ne el signo del término central del trinomio. Factorizar .cz + Sar + 15. SOLUCIÓN El primer término de cada factor es Hi = x. Por consiguiente, .ri + 8x + 15 = (Jr )(.r ) Como el signo del último término (+ 15) es positivo, los números que faltan en los fac tores deben tener el mismo signo. Dado que el signo del termino central ( + 8x) es positivo, los dos números faltantes también deben serlo. x2+sx+15=(x+ )(x+› Buscamos dos números naturales cuyo producto sea l5 y cuya suma sea 8. Los núme ros son 3 y 5. Por lo tanto, x2 + 81 + 15 = (I + 3)(Jr + 5) Factorizar X2 SOLUCION lüx + 24. El primer término de cada factor es ¬/.ri = x. Por consiguiente.. xl lüx + 24 = (x )(.r ) Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los factores deben tener signos iguales. 6.3 Facmrlxadóndeuntrtncnio 213 2. El producto de los segundos términos delos factores es el tercer término del trinomto 3. La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es ei coeficiente dei término central del trinomio. NOI73 Para encontrar los segundos términos de los factores, se buscan dos números cuyo produc to sea el tercer término del trinomio y cuya suma sea el coeficiente del término central del trinomio. NOII3 Cuando ei signo del tercer término del trino mio es positivo los dos números tienen signos iguales al signo del término central del tri nomio. NOÚG Cuando el signo del tercer término del trino mio es negativo, los dos números tienen sig nos opuestos y el de mayor valor absoluto tie ne el signo del término central del trinomio. Faetorizar x2 + 8.1' + IS. SOLUCION El primer término de cada factor es VÍÍ2 = Jr. Por consiguiente, .ri + 8x + 15 == (x )(x ) Como el signo del último término { I 15) es positivo, los números que faltan en los fac tores deben tener el mismo signo. Dado que el signo del término central (+ 8x) es positivo, los dos números faltantes también deben serlo. .t'2+8x l l5=(.r+ )(.r+ Buscamos dos números naturales cuyo producto sea IS 3* cuya suma sea 8. Los núme ros son 3 y 5. Por lo tanto, 1 'I 4' 3 1' + 15 = (J ' + 3)( 1' + 5) Factorizar .ri SOLUCION 10.1: + 24. El primer término de cada factor es Jr* = x. Por consiguiente, xl 10.1' + 24 = (x )(.r ) Puesto que el signo del último término (+ 24) es positivo, los números faltantes en los factores deben tener signos iguales 6.3 Factorización de un trinomio SOLUCION 215 El primer término de cada factor es \/y" = yi. Por lo tanto, 324 _ Óyì ' 16 = (yz _ 3)(J 'I + 2) Factorizar y" SOLUCION jr* l3yi + 36 completamente. 133;: + 36 = (jr: 4)(_v2 = (jr + 2)(_v ' 2ì(y + 3)Í_'|›' 3) Factorìzar 3yz + 2 tyz *¬ 60272. SOLUCION 33:2 + 24_vs 60:2 = 3(_v2 + Bye ~ 2022) = 3(_t' + l0z)(}' 22) Factorixar .ri SOLUCION 9) 18 '?.r. Primeramente escribimos el trinomio en la forma .ri + bx + c. .fi ls 7r=,r1 r.r 1s=(.r s)(,r+2› af,t1f tt SOLUCION (.r _r): _; › 1 su yy 10. 3 tx y) IO es de la forma si 3a 10, cuyos factores son (rr ¬ 5)(rr + 2). Por consiguicntt, (_r _t )¿' Nota 3(,r 3:) IU = = (.r jr) 5][(.r jr) + 2] jr 5)(.r _v + 2) Cuando el tercer término del trinomio es un número grande 3' sus factores no son inme diatos, se escribe cl número como ei produc to de sus factores primos, luego se analizan productos de factores formados con combi naciones de los primos. NOI3 No todo polinomio es factorizablc en el con junto de los enteros; por ejemplo: .ri + .ir + 2, .ri + 3.1' + 4, .ra Jr 8. Nm | (_: + ans + at = of + rm ¬ 1). i 6 r Elfiflflflflflfllfllflififllllflflfii EIEFCICÍOS OJÃ Factorice completamente 1 4. 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49. S2. S5 58. 61. 64. 67. 70. 73. 76. 79. 82. 35. X2 +3.r+2 X2 +8.t'+l2 xa +9.r+2O .tz + 15.r+56 5.r+6 l3.r+30 l2x+35 +7.r 8 +41: 21 +7x 44 x 2 HI Gx 16 2.1' 24 4x 60 +.r+4 + i0x+2l 8x+l2 13. r+36 + 101 39 4x 21 3.r+8 l8+ll.r 40 13.1 ++ + 48 191 i8+7.r 42 .r + I3x+42 I5.r+56 5x 24 l?_x) +3235 + 12:) +2031: *6rr+9.v2 238 96 98 100 102 104 106 103 110 112 114 116 + l9.ty+84y2 +51) 50312 +4.ry 60_r2 Hw wru uwr.iuaorurwu HHHHHHHH .ri oxi 31:2 7.1r2 8x2 bxz .rzy _.¿y._ 30y2 l0.r_v 24; 2 + 30.1: + 24 24, r + 21 42 + 71 24.1: 32 + l4b.r + 45h 4xy+4y xlyl _ 213,2 _ 7.r+6 Tx +12 › tu 4 F + 101 + 24 2r+l 7x+l0 9.r+20 l3.r+42 I'¬.Il'¬1'I¬JI'›I"il nì + 6.r 16 2 + 12: 45 2 + 2x 35 2 5:: 6 2 3.r 2 7.1: 44 2 .tr 3 1 + .r+6 FJÍNJ giligfrfiznegnp 29 32 35 38 41 44 47 50 53 S6 S9 62 65 68 71 74 77 80 83 86. II|_ il + llx l 24 + + 2 7x+ 4x 4..r 9.r 7.1: 18 ll.r 24 ! 18 lH.iI'¬.I ' .iI'¬.I'~vJI'¬|I'J .I' HHHHHHHHHH 16.: + 63 ar es 39 91 93 ss 97 99 101 103 los 107 espe + + ir í 60+ + + x2 +4:r+4 + 9.r+l8 + li.r+30 6.r+5 8.r+l5 l2.r+32 3 30 36 +4 + + 48 2.: 8 40 72 13,1 48 3x 40 5.1: 4 6tr+8 8x+l6 l5.r+36 + ox 27 8.: 20 ÚU. 3x 28 + 604 171 63. P J' + 28+ll.1: 56. + 32 IB.: 69. 72. 80+2.r M 75. 35 2.1: 78. 36 161 ll.r+30 31. 84. 9ti ¦vrnti1' tir¦›tä~ ¦19tH*3¡it'r13tìi' + .r 30 87. I ruwwwwwMHM HMH MH M+ l2.ry + 27y2 30+ l3x ++ 9. ¡Z 15. 13. 21. 24. 27. 30. 33. 35. 39. 42. 45. 43. 51. 54. 57. mi 2 II 12. 1 2 3. 6. .ra + t uy + 43;@ 9.r_v + låyz .rì 1 llxy + 23y 2 xi + 9.1) 36) 2 xz + .r_jv ssyi x 7.1.3 3Oy2 ¡_ x _ 1' 1 lo 63:? 109. 41:2 + 24.1: + 36 212 l8x + lb Sxï + 5.1: 10 9x 2 36.! 45 115 117 .r4+?.r3 313 3.r 1 111 mi +5a.r+6a 113 si 12:2 +20.: sx: l8x 6.3 118 120 122 124 126 128 131 134 137 140 143 146 149 151 153 F3¢f0fI¦'ã|¦I6I'ItI8IlIltI'IIl0|IÍO lriy 81) 24) 119. 121. 123. .rlyz + 1813: + 32 .rlyi l4xy + 24 xa; 2 + 4.1.3.' 45 xzyì Sxy 14 1'* + 7.1:: + I2 + 3x2 4 31:2 4 .riyl + l6xy+60 xiyz l2xy+36 .rzyz + 3x) 54 125. .tiyi tu y 42 127. Jr" + 5x3 + 6 3x2 10 130 + 312 129 13 I Tx: 132 3 133 + x3 20 135 4x2 + 3 136 712 + 6 'Lri + 12 139 138 oxi + 8 S.r2 + 4 lüxi + 9 141 37.r2 + 36 142 50x2 +' 49 la HHHHH 144 2O.r1 + 64 40.r2 + 144 145 212 + 1 rr 1.lso «ne 8x2 + 16 147 if15tH¦ti tir ¿stonesun 131* + SI 148 HHHHHHH slas»rs .rs 32;* + 256 (:r+y)1+3(.r+y)+2 150. (.r + y)i + 4(x + y) + 3 152. (x 2y)2 l2(.r 23;) + 32 (.r+3y)2 9(..r+3y)+ 18 (Jr+y)2+(.t'+y) 2 154. (x (2.›: + y)2 + 6(2x + y) (x 3y)2 7(.r 33;) (2.1' 155 157 (.r+2y)2+(.r+2y) 6 (lr y)i (lr y) 20 156. 158. 159 (31 y)2 4(3.r y) 32 160. y): + (x 3y)2 y) 9(Ztr 12 3) 1) 16 18 36 Trinomios dela forma ax2 + bx + c, a ¢ 1 , a,b,cG|,b†0,¢¢0. Considérese el producto (zx + out + 3) = 2.›. 2 + 10.1 + 12 El primer factor a Ia izquierda contiene el factor común 2: x+4=2(..r+2) También el producto desarrollado contiene el factor común 2: 2x3 +10): +12 = 2(x2 + 5x + 6) En general, si un factor de un producto contiene un factor común entonces el producto desarrollado también contendrá ese factor común. Por otro lado, si ningún factor de un producto, por ejemplo (x + 5)(3x 2), con tiene un factor común, entonces el producto desarrollado, en este caso 3x2 + l3x IO, no tendrá factor común. Reciprocamente, si los términos de un producto no poseen un factor común, entonces tampoco lo tendran ninguno de sus factores. Para aprender a factorìzar un trinomio de la forma ax* + bx + c, veamos pri meramente cómo se multiplican dos factores para obtener un producto de esta forma Se multiplica (Zx + 3)(4.r 2.t+3 fi Y 5 _ s.f2+|2r 1.0~t' 15 sx* t zx ts 5) como sigue: 213 6 I FICTOIÍIICION DE POIINOIUS 'I Ettamincmos nuevamente esta multiplicación, como se muestra en la Figura 6.1. _,_,_, ,_ +l2x "Pr +3 H flür 5 c H SI 3 Q = gps ii il sri + 111' lO.r +21 _ 4 ls its ""`* 10 * 8:1 2 1S FIGURÃ 5.1 Las flechas cruzadas >< se denominarán tijeras. A la izquierda de las tijeras, ix >< son factores de 89:1, que es el primer térmi .r no del trinomio. .. . 'I' + 3 A la derecha de las meras. X __ 5 son factores de 15, que es el tercer térmi no del trinomio. La suma de los productos en dirección de las flechas, zx +3 ><: = 10. r 5 >< 4x =+t2.r, |0.r +t2_x + 2.1: es el término central del trinomio. El siguiente ejemplo ilustra como emplear las tijeras en la lactorizaciún de un trinomio ax: + ¿zur + c, aa* l, a, b,cEI. Factorizar 6x3 SOLUCION Ss' 6. Se encttentran todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el primer termino del trinomio; cada factor debe contener la raiz cuadrada del número literal. Se escriben estos factores del lado izquierdo de las tijeras. Ñ ><: .r lx >< 3.r Se determinan todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el tercer término del trinomio, sin tener en cuenta los signos, y se anotan del lado derecho de las tijeras. 6.3 Factorfracidrl de un trinomio 6x 6 219 6x l 6x 2 6.! 3 .r><l x>.<'/16 x><:3 ,r><2 (1) (2) (3) (4) h><6 2.r><l 2r> <2 2.r><:3 3.r 3x 3,1' 3x l (5) 6 (6) 3 (7) 2 (3) Se escriben todos los arreglos posibles con los factores del primero y tercer terminos. Las ocho tijeras mostradas ofrecen todos los arreglos posibles de los factores del prime ro y tercer término del trinomio, Los términos de la parte superior de las tijeras forman el primer factor del producto, y los de la parte inferior, forman el segundo. Puesto que no existe ningún factor común en el trinomio, no debe haber factor común entre los términos de la parte superior de las tijeras y los de la parte inferior. Si existe factor común entre los términos de la parte superior o entre los de la inferior, el arreglo no puede estar correcto. Los arreglos (I), (3), (4), (5), (6) 3. (7) tienen factores comunes y, por tanto, se eliminan. Los candidatos se limitan ahora a los dos arreglos 6.: l 2.r ><: .tr r 6 y J, 3 X 3x 2 El término central del trinomio, el cual es igual a la suma de los productos en la direc ción de las flechas, indicará cuál arreglo es el correcto. Dado que el primer arreglo da .r y 36.1: para formar el término central, de lo cual no puede obtenerse 5x como suma, dicho arreglo no es el correcto. El segundo arreglo da 9x y 4x para formar el término central, y tomando 9.1' con signo negativo y 4x con signo positivo, se obtiene 9.r + 4. r = 5x. Por consiguiente. el arreglo correcto es 2r>< 3 3x 2 Los factores del primer termino del trinomio se toman siempre positivos. De esta ma nera, para llegar a obtener 9x, el 3 a la derecha de las tijeras hay que tomarlo con signo negativo, mientras que ei 2 se debe tomar con signo positivo para obtener + 4x. El arreglo completo es zr><: 3 3.1' Por to tanto, 61:2 +2 5.1' 6 = (2.r 3)(3x + 2). 6 I FÄCÍURIZACION DE POLINOHIOS "ata Cuando el trinomio tiene un factor común, este se determina antes de intentar factorizar con el método de las tijers. Nota No hay razon para escribir arreglos con fac tor común entre Ios términos de la parte su perior o entre los de la inferior. Nota Cuando el coeficiente del primero o tercer tér mino del trinomio, es un número grande, se escribe el número como el producto de sus factores primos, y se analizan productos de factores formados con combinaciones de los primos. Factorizar óxi + 19,1 + 15. 2.1' SOLUCIÓN +3 >< 3,r +5 Por to rante. tn* + un + ts = (lr + 3›(3r + 5) Factorizar 12. ri SOLUCIÓN +91 + 10.1' = + I9.r mi 45.1: + 42. 45.: + 42 = 3(4.t “f 4.r 7 >< rr Por consiguiente, 71 |2.ri' 45.1 + 42 = 3t4.t x +5 3x 4 Factorizar 36 I5.t' llri 3'7.r mr 2) 20. 4; Por lo tanto, 8.1' = 2 Factorizar l2x'¬"' sowctón rss + 14) .r 20 = (4x + 5)(3.r 48x¡". 4) 6.3 Factcrlracldn de un trinomio SOLUCION 4 9 >< Por consiguiente, ~l 3.r + :vt 16; 36 37.1: Factorizar 3611"' sotuctotr 221 au 37 1. 4812 = (4 + 3.r)(9 I6.r) 24l.r2 + 100. ol' >< 25 912 Int 1 :est 1 = 241.1 ` 4 Por lo tanto, 361* 241.1 3 + 100 = (4.1. 3 25)(9,r2 = (2. r + 5)(2.1.' ' Factoria :ar 2(x y)i 5(.r SOLUCION 2(.r y)2 son (Ze + 3}(a 4). 5(x y) Por consiguiente, 2(.r 3 ): y) 5)(3.1' i 2)(3x y) Se I2, cuyos factores 12 = [2(.r › y) + 3][(;r y) =(2t 2_v+3)(.r _~,› 4) una No todo trinomio es factorizable en el con junto de los enteros; por ejemplo: 31:1 4x 6, 4x2 Sur 3, óxi + 5.1' + 2. Ejercicios 6.SB Factoricc completamente: 1. 4. 7. 13. 16.. Zri + 3.r + l 4x2 + l3.r + 3 Bxi + l4.r + 8 mi + 'ix + 2 lr: 4.r+ I lri 5.11 +2 19. 22. 4x3 ¬~ B.r+3 Zri + ll.r 6 25. lr: + .r 6 31 3 + l6x l2 ari lr 2 10. 28. 31. + . . lr? 4.r2 + l 212 . 4x2 . 31:3 6.r2 . . . 21:2 Zrz 4ri 2x3 *l l l 2) 12. 12 es de la forma 21. ri 5(.r 4) 9.r+4 7.r+6 li.r+6 5.r+2 9x+2 ll.r+6 llrr l 4 l5x 8 5x I2 9.: 9 7x 4 3. 313 s. 212 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 3 0. 33. 'i 7x+2 + l3:r+l5 4.r3 + 4.:r+l 2x llx t 5 2: 9x+9 412 7.r+3 2x2 + 5.1: 3 312 I ll.r 4 3,1 2 + 'Tx 6 412 + 2l.r 18 2x2 í. 13.1' 7 4] 6 I FICTOIIZÄCIONDEPOLINOIIOS 34. 37 4 0. 43 46 49 52 55 58 61. 64. 67. 70 73 76 79 82 34 36 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 103 111 114 1 I? 119 121 124 13? 130 133 136 139 142 E451 148. 151 153. 155 157. 3x2 8.1' 2.r2 ~ 9.r 4.r2 5.r 3.r2 + 7.r tn , 6x2 7.1' t 2 6x2 7.r 3 6x2 + ll. r 4 3x2 14.1: + 3 412 l7.r 15 61:2 . + llx+3 63. 4x2 20x+9 3 69. 4.r2 + 8.17 + 5 4 ss. 61 2+ 23s l(1.r 8.r2 ts en + s fui + su + ts _ F 6r2 I l9.r llr2 5.1: 35.1' + 36 rs 43 . S1. 9r2 6x2 + l7.t.' + 12 sti l3.r + IS 2 6.r2 + .r 3.r2 + 12 + zar 191 4.r2 + t2 4s 4 tu +5 sr 4 mi 6 + 5.1' 4x2 + 27.1' + lg 6tr2 4.r2 l5.r 4 . mi 211 11:2 + :r 3 4x2 161 9 6.r2 36. 71 2 kn 212 + |5.1r + IS ari + s l7x 6 312 3x2 3 13 6 4 20 36 2 33. tzriyi 39. 312 las to 42. 3.ti+«=u›+7 45. 21 i+|t.r+|2 54. «tri + 12 + nu 57. eri 3 + rs 60.3.» 1 3 zr sc. 9.6 + su 12 . tz1:2 'ts . 6x 1' 78 . 81. l2.r2y2 + xy l2.r2_v2 7,t'_v oxï' + 1 l.r_v + 43"° 9x2 + 1213 + 4_r2 91. 6x2 + i3.r;v + 6). 2 93. 6x2 ari 97. 6.r2 + 5.r_} 4;r2 99. 912 + 6111' 3322 3x2 41:2 63:2 5_jr2 eri 23.t_ , + 21_vi 63:2 + .r_r 6x2 l 7.r_v sf ten; 6.r2 51)' l2_t 2 20;; 2 2x2 5.r2 3. : 4.1r2_} + ?.r_v + 3_v 2.1r2_t 2 + 3.r_r2 9) '2 4.12 2.r2 llr 4 f¬i,r 312 't lfr 4.1:: 2 + .r 312 I2 + 5.1' 21'" lr* + 71:2 + 3 51" + 3x2 4 4 2x" 1314 5x2 12 29.12 + 3 41:4 l3.r2 + 9 9.112' i3.r2 + 4 16x2 12 llxjt + 3_v2 zssy + t2,v1' 7.1) 8.r_v tos. 9.1 2 1+ ser + 12 6_t'2 20,1: + 4 4;* + 1512 101. 103. 12_ ri 8x2 + l8.r + 4 16.152 ss. tr si tu _t~ + |2_t 2 l3.r + 6 6 ss. 4.1 1 + sn + sy* 24 6 tun + 2 35. 37. 23.@ l7.r l2r2 + 5x 2 6x23, 2 + 2313 + 20 l2x2y2 + 25x11 + 12 l2r2) 2 l7.r_v + 6 l2r2t 2 + l9.rv IB lztiyi 4 107. 6x2 + 27;: 312 + 512 lr" + 2r" 118. l0.r 45;: + 20 15 110. 28.r2 + 2lx 7 lr 113. 2x2y + 5.ry + 3; 6x2 116. 3.1:" 8x2 + 4x2 4.r2_v2 + |3.rjt 2 123. 2 120. sexi ts sr «tt 1 15 7.: 2.6 sexi 123. 126. 3 + Jr 129. 4 + to. 132. 18 + 2311 6x2 612 + 23.r2 4 91:2 29.r2 + 6 lr* x2 1 12 + .r ef' + . tr' sf' + st 'i 2; si «tt 1 3.12 1' l Bix* l3.r2 t 1 3(.r + y)2 l l0(. r +3 )+3 4x2 6.12 'tri + 2 11.6 + e 1412 s st 2 27 sor* + s 45.6 + st 152. 154. 156. 158. I 1 sr 3 21 2r 5x 8x2 612 :ni 135. tits. 141. 144. sr' zas* 12 147. sex* 1312 + 1 150. 2 36:2 85.3 + 9 25.r" 104,1: + 16 16.12 72x2 + 81' 256x" 238.112 + 81 4(.r y)2+9(.r y)+2 Renasodeicaaltubs 159. 6(?_r y): 25(2 I y)+4 2(x+y)2 3(x+y)+l S(x 3(1 y): + (I Ú(?.1r Py): +(2..1:+y) 12 36(x 6(.r l2(.r y)2 + 5(x y) 24 23'): ll(x Zy) 2 3y)?' 5(x 33') 3 F) 2y)1 l4(x 6(.r + 2y)2 2 4(.r 23;) + 3 l1(x + 2y) + 4 y): ll(x y) 3 Ú(2 *“"}')2"5(2I"}')"'Ú l2(3x + y): 7(3x + y) l2 Repaso del Capítulo 6 I acmrice compleiameme: 1 24.1' + 13 4 9.r2}' . 40«1 9x2 la su 2 xl 2.13 9.1:: 95"' 32 I 44 x2 + 15; + 54 J 1:* + lfur + 48 l3.r + 22 14.1' + 43 ++ *'99 32 27 . ll. l8x2y2 27xy3 31 xl 14. 9 l7. 20. 23. 49 _ xa 144 xa 91:2 49 26. 4 su* 29. 32. 35. 38. 41. 44. 47. 50. 53. 56 412 xf' llrz x ”' x2 + x" + 253:: lóyì 27 xl É'UIhI .tz 25 1 .tz 36 13 100 .tz 4.13 121 4 3. úxs 9. 12. IS. I8. 21. 24. xx 1 .r 16 64 4x 16:12 . 23;; 1 + 21.15» 313* ¡em 212 + lO.r 9 72 4.: fax 59. 62 j I J lfix l4x 11.1' 161 Jr ++ Hfurulvlu =¬: ›<:= 4:¦ hi 6. af + 4413 21. 9 45. 48 Sl ¡(111 xl + l4x + 40 151; + 50 161 + 63 54 + Gx ss 57 + 5x sa 60 _ 30 I 11 :5 :HH l3.r 63.1 w14r¬. ›HHH IS lr 71: J 1:" 4 l7xjr 1 303" 1' :¦› ri ¦ :¦ mi ci' : + l3.ry + 72_'_#'2 .$2 161;* + Óüyl xl _. hr). +. 8}.2 .fi + 10,@ 24~›~f .tz + 16.111' x 42)" .ta .ríyz + lårjr + SI xl) 2 9,13; + 13 .raya + 3.13* IS .tïyz 2111 ' 43 61:2 + 24;: + IB 3.1:: 24.1' + 21 212 + l6x 40 1:3 + lfixz + 231 .r2y I7,ry + 30_1v 25 25 ÍÍÍ C I I.rl¬.rt.JI¬J±. 1| .¡~|, Il: ty 4 121 I: I2 30. x 4 4;/2 33. xI 253.'n 3 6. 4.11 36 1 39. 4:; "31' J' 42. ¿zz' +17 x+72 + 64 + 24 + 24 + 39 20 40 56 60 3.1:! f›.r_v 361:: 40_¬r3 .rgf + 19.1@ + 43 .rlyï lóxy + 48 .tlf + 7.111' Jrìj '3 33. 7.12 ss. af* l4.r_\' 30 32 4.1": + 20.1: I~ 24 35.: + 23 sx 96 89. 91. 84. 5.11 + ¡sx 20 B1. 3.6 9x 30 13 + 132:: + 45.1' xzy lSxy + 723,1 s rncrmlznaúnnslmmounos $23 98. 100 103 106 109 112 115 113 121 123 125 127 129 131 133 135 133 141 144 147 149 151 153 156 159 162 165 167 93. x" + 6x2 7lr2 x2 22:4 80.12 21:2 + 5x + 2 3x2 + 17.: + IO 612 + 35.1: + 36 3x2 20.1' + 12 99. 3.1:' 2 + Mx + 3 101 104 107 110 113 116 119 I 21:2 3.1:' 9 6x2 19.1' 36 6.r2y2 + 2313; + 21 6x2y2 23.r_v + 20 1212312 + 71:3' 12 4x2y2 21.13* IS 12x2 + l7.ry + 63:2 ax* 2x2 15.1: + 13 4x2 105. 4x2 l6.r + 15 lll. 4x2 + 161: 1212 154 4.12 157 4x2 160 2x2 163 4x2 x(x + 2) + 6(x +1) 2(x 2)2 169 171 (x 173 175 178 181 (21 1): _ 311 2)2 + 3(2 41; + 24 132. 134. 412 241 * + 32.: + 3 13@ 12;@ 137. 1312 + sm + 12 4x2 5 ' 1x2 140. 143. x) 21') 22.: + 24 9x 9 9.1 2 + 6x2 + x 3x” + 5.1: 3 148. 150. af" 3 152. 4 .r 4x2 5 sx 412 5 + 14x 312 15 + 4.1: 4x2 166. 4(.r 13.1 y + 43, 9.1 212 155. 10 13.1' 3x2 1ss.fi+|11 211 8 + 101 164. 12 + 2x 1] x(x I) 3x2 24.r2 163. su + 3)* + 12(,f + 3) rm. x(3x 1) 4(3x 1)* 172. 174. 625.12 I (J: (3.1: Jr" + 3.12 4x2 45 184 .E2 187 'xd 65x2+64 7.12 I 3 190 41:2 135 .r`2 1712 + 16 133 12 8212 + Sl 191 sx* 35.1 1 + 13 243y'* 180. 51 '* 23 IB3. 136. 189. xd x4 x" 9 192. sf' 4x2 4x2 1312 75 25.x'2 + 36 (x + 3)2 414 3'?x2 + 9 91'* l48x2 + 64 198. zoo .12 l)2 + 4(l x) 2)2 2(2 31') 177. 3112 16y`2 2612 194. 196. (1 2)* 9y2 3.1: 'lx 6 7 _ 2x2 161. ¡sz 197 199 1212 + 21.1: 5612 I4.: 146. 3,: 2y 16 121* 9 sx* + 2; 21 114. 4.11 1.: 2 ar? x 2 117. 9; 1 sx 3 12;* 19.: la 120. 3.f1;.›2 + 11@ + o 122. 4.63. 1 27.1 y + la 124. 4.17231 1 + 4x3; 3 126. 4x2y2 9.@ 9 Iza. 9.12 + I8xy + 8y2 43;* .H + 15.@ los. 4;* + 23.; › f› 3 176 179 193 195 1631" 64 15.1' + 9 3x2 + l0x 4.». 5 l9x 15 17.1' 8 + 15.1: 3 + 4x 3(x + 2) 2(,r + l)2 x(x 2) x4 4x2 102. 31111: + l8y2 4x2 + 4.1)* ' l5y2 zm + 21;. 1' 4.12 1212 + 35.1: + IS 130. 6x2 12.x2 + 2313* 24y2 136 IZI2 .ty 6y2 139 8x2 28.1: + 12 142 15.12 + 5x 10 145 8x2 + lUx2 + 3.1' 4x2y llry + 5)' 8x"' + 10.r2' 3x2 43;* 48x2 95. 1* 11:* 4511 97. 4.6 + 25.1 + 6 91;* 15; + 4 212 + 9; ls 1112 + .I Jr" + 3x2 (zy + 1)* 405,1 7x2 13 26x2 + 25 29x2 + 100 mi + 1 3:2 201. xl (3y + 2)1 Rfllliflidllüäpítllløô 202 'I f Y 312 203 12 (y 2)* 205 ( 1' + y)2 + 2( Y + jv) 207 (21 4' 1'): 209 311 + 3/12 " 5(.r + y) 211. 4(2.x + y)2 213. |2(.r 23 )2 (I y)2+3(1 y) 28 IS 3(2x + y) 204. 9x2 46 1)* 13 2 8(2,r + y) + 3 5(; _ gy) _ (31 y): 5(3Jr 21 1' “ 3112 “ 911 y) 24 y) 18 6(.r + 2y)2 + 13(.r + Zy) 6(2x y)2 17(2): y) + cAPí†uLo 7 Fracciones algebraicas 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Simplificación de fracciones algebraicas Adición de fracciones algebraicas Multiplicación de fracciones División de fracciones Operaciones combinadas v fracciones complejas Ecuaciones literales Ecuaciones que contienen fracciones algeoraicas Problemas planteados con palabras 7 I FRACCIONES .ILGERIICIS Las fracciones algebraicas son semejantes a las aritnu 'iiicas en cuanto que ambas indi can una operacion de division. El numero especifico 5 significa 3 + 4; en numeros _ ri _ _ _ _ _ _ _ _ literales, 5 signilìca ii : b. Cuando un numero especifico se divide entre uno literal, _ _ _ _ _ _ 2 P or eJ em P lo ¿_ b o uno literal se divide entre otro i B nal, por ejemplo H_ el resultado es una fracción algebraica. __ La noiacioii '^ IC ri + b C significa quiere decir 1ü..'¬ '."rtí' Hit , _ H , (H + bl I C (ii + b) + (c + ci). ._ . . En la fraccion 5 _ el numero n se llama numerador y el b denominador de la fraccion_ Nota A los números literales que aparezcan en los denominadores de fracciones algebraieas, no se ies puede asignar valores específicos que ha gan que el denominador sea igual a cero, ya que la división por cero no está definida. Simplificación de fracciones algebraicas _ _ _ _ _ n ec De las propiedades de fracciones estudiadas en el Capiiulo 2. se tiene que Í; = ¶ _ _ _ ri de _ _ _ Las fracciones algcbraicas Í y ¿ì¡ se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores especificos a sus números literales. Una fraccion está expresada en términos minimos, o reducida. cuando ci numera dor y el denominador no poseen factor común. _ _ _ _ __ _ ni _ _ _ _ _ Para reducir o simplificar la fraccion algebraica E5 a sus tiirmiiios minimos, divi dimos tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener a b _ Nota _ __ nc Los numeros ii y i: en la expresion W son làctores del numerador, no terminos como en ii + e. También los números b y e son Iàcto res del denominador, no tiI:rminos_ ¡Ii 7.1 slnintiflcadonderriiocionesalgeoraicas La fracción ci cl E. si sa=ii ++ ri si 229 no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a í _ Análogamente, ci =ii ++ 5ii+b 5+b í=r= ï oa 6 5n+b Se b 5 b __= +__= + 6a 6a 6a 6 oa pero Para encontrar el máximo factor común, M_F_C_, de un conjunto de polinomios, se factorìzan los polinomios completamente y se tornan todos los factores comunes, cada uno con el minimo exponente con que aparece en los polinomios dados. Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el numerador como el denominador entre su máximo factor común. Reducir a sus términos m'n`m s s4ai›¢ 1 2 ' °' SOLUCIÓN El máximo factor común de los monomios 36o2b2c y 54ribe2 es l8abc_ Dividiendo numerador y denominador entre lârrbc, se obtiene 36a2b2c __ grill: 54abc2 3c2 Reducir a su minima expresión 36.r2_v2'(x 2) zoifiiif 2) 1" SOLUCIÓN El máximo factor común es 4xy2(_r 2). Al dividir el numerador y denominador entre 4xy2(x 36x2y'2'(x 20_rji=2(x 2), obtenemos 2) = 9.r2_v" 2)* 5(x 2)2 Para reducir a sus términos minimos una fraccion cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este. , 30 2 3 13 Reducir 42 2íì IT” _ términos 2 a sus 5010053 301232 _ 13 ff = fi1)*2(5 fi' '* 3) l2Jr2)'2 minimos. lZr2y2 7 0 FIÃCCIDÉ llfiïllfilã Dìvidìendo numerador y denominador por óxyz, se'obtiene 30x2y3 l8.ry2 i 6.\f(§,›.')__›__~: __3_›_)_ = Sxy l_2.X2jP2 _ 1212); 24.9 2.1' _ Reducir ï¡F; a su mínima expresión. 24x3y .. » 36.r3y* + 4S.r"y solución 3 = 24x3y _ I2x3'yÍ_3y + 49:) Se dividen numerador y denominador entre 12.13'y para obtener 24x3y __ 24x3y __ _ 2 36.z"'*y2 + 48.r"_v l2x3y(3y + 4x) 3y + 4.1' . 21:2 + x Reducir ~ SOLUCIÓN IE l 3 , _ _, a su minima expresion. Al faetorizar el numerador y denominador. obtenemos 2.f=+x 3H(2;_+3)ç.r _|_› 1: I (x+l)(.r I] Dìvidiendo el numerador y denominador entre su máximo faelor común, (x 1), resulta 1 .ë*:~ 'f 3 <_1'~f_+2'››<› +› 2 ›f+â x2 1 (,¢+1)(.e_ T 1 ›`,±+1 NOÍ3 .. 2x + 3 . _ La fraccion ?:_ ì esta reducida; el nu merador 3* el denominador no poseen ningún faelor eomún. Nata; l.a b= fr+a= (b a). 2 (ff rn” = I (b ol* = mb af 3. (a ¿nf " = 1 (b ml? = (b af. ?.1 sírnøliñeaclón de fracciones algebraicas 231 ì'...1'”;'*').__, I; el (b er) §%1 §;= 1(f '_;¿f')¬}Í= (1 ¢.›=.i 1 e obsen .(.f:.:_UÍ .(“í'.l'Í eo _. U_U): (a_|)2 l _ . rr + h . La fraccion _? no puede reducirse a una "ata a b forma más simple, ya que a + b no se puede escribir como rnúltiplo de a b. Hay que observar también que .11 __ +b 'L +9. b _ _". b' _ 312 14.1 + 3 Reducir 2 _ 7; _ 415. $g|_Uc|Ó" 8.1:: 2 I4.: + 3 _ (4: 7.: l)(1r 4x* _ (2 + .nu 3) an' = u~= 1«~›<:›.f 3) (2+x)(J = 4=r”› __ 2.: 3 __.r+2 Reducir 1 2 SOLUCIÓN 5. 6 3x + 1" .tz 5.r + É 2 3x+x2 (_: 3)(.x 2 )U'( .(2 1 )(l Jr) _ i lx 3) I .t F 3 1 | _ . obien x = _ x_ g_, ;¦.¡>. ¡ _ [W __ I) _ U ` 4*” 7 FRACCIOFE ILGEIAICAS Ejercicios 7.1 Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos: ff re *ens .E ¡IU 1.2 F xr .ëì l lx" | 2.12 I Br' É ¿_ sv: xzyi P í 24x° 40.13 2 1:13 54a"b3c 17Gfi›' 63¿I2b$C2 64.rgy"z5 Süxfiyazì _ ¿webs 57x”y3'z 96.t5y7z" 72x°y"z'* l2a2b2 Tfixfiyfi 1301:; 2 7203.5 3603112 Züabci' l5o2b _ asbscs óoaib a3b4c3 o2b"c afibscz (W) ( ___a4b5)4 zaïìb (2fl3b)3 (l4aGb9)2 (6a2b2)2 < :+«1f››* (2la'5'b")3 (fiflblf ( 1)* ( 13): ( ' I2)3 ( 4x2(x + y): 8.r(x + y) 3x3(a + b)3 6.t(a + b): 5x'(2a + 1)* 1zx=(,± 2)2 25a2(x 3)3 `1ex^(2¿ + 155 14fr*( r y): l6x(x 2)3 l0a3(x 3)* Tr 24o b aóbi 4r')3 _3,1)2 21o*”( I 41. 3) Jr): ¿S ' 5 .r 42.x_5 l2(x l8(2 (1 (x + 2)(.x + 4) (x + 3)(x 51' (I _ 1): T3 4)* (4 ' I): (I (2 3)* cx + 2) 43. x(.r 2)3' x) (1 1)* (1 + si l0x"')3 ,r + 4 .x x+3 x 3 3_x 3 ( 1519)* _3_. .v)" x+2 x_2 x2(x x(3 ( r as) 30177 ( 1)* F'~.f 'H 9s«=z›* 1) 2)* 1)* ( x + l)(x + 2) (x + 2)(.r + 3) 7.1 Slnmüflcadóndemeeimesalfiebfzlcas (x i)(x + I) __ :mx Z _ (I U 53. (ar + 2)(x 56. 54. 3) ( i :$6 :_ 5 $9. 62. 4:r+4 † í 3x2 T 68. 4x" 1215 + 41" 74. 77. 63. .I G5. 71. 60. ¡"1)' 6:3 66. 69. 312 + 4x 'Ñ _? 313 72. óxzy 'zïi im 75. .r"+.›:2 78. x3+x2 x2 4 . 80 2x+4 8 3. 86 ' 8* 92. a2 1. 8 9b2 ' 84. .r2+2x 8 .r2+3.r 4 S7. .tz l0x+24 x2 x 12 2x2+.r IS 101. 1611 + 24.1: + 9 (2 + x)(l si ns ox 12 F ¿_ x2 J: 1) l4.1r2 + Tx í _ l4x2 9x + 6 12.1 f 8 2713 + 91:2 211 * + six* Zalb Zabì 4 al 442% x l b3 ble bi _ C2 x2 5x + 6 .ra 6x+9 93. 2:2 un +12 í _ 41:2 9 612 23x+ 20 í 6x2+x 12 2011+ 131 15 _ _ m' 1211 13; 35 ios. 6 5x x2 (x + 4)(3.r 1) 4) su no+ (2 1)” ss. _ (x + 2)(.r “I 64 67 70 .Í .___§§__ 3x2 ox 313' 31:3 612 ab+ac ab ac 73 76. zifib as 2 zas* si 1» xl 9 .r+3 82 (cr b): ss 2 xi+x 8x + 16;* 16:2 + 32.9 12 11.x+24 9° 99. 55. x2 4 .r2+.x 6 í _ .ri o.r+S I4 15;* + sx » 12 6 x .tz . í 104 x2+2x 8 (x + i)(2.r + I) ss. 4;1+11; 3 12.12 + 25.1 + 12 611 + 17.1' 2)(.r +' 1) 4:.r2+7.x 2 2.›:2+J: I ._ _ 95 3x2+4x+l 98. 57. 2(x ¿¡2_b2 .tz 1 :c2+4.x+3 ' X2 3x i 2 .tz Gx i 5 I mi 1 x2+9x+20 .r2+2.t 15 94 91:2 1 91:2 3.1' 2 97 . 9 100 14.12 + 19.: 211:: 311 + lex* 45.: l8.r2 33x nos 12 I x .tz xz 2.: 3 '“ 10 + 13.1' 31:2 .tz 21 15 7 1 FRACGONES ALGEBIAICJIS arms 2 107. ii 3 4.1: 4.1:: 110. ros. 3174+ |4x2 24 ..r" + 4x2 l2 lll. 14 s 4;* 2 12.1: l3.r 14 tos.. 31* 1112 4 ta ox Jr I 2(x+_u)2+(.r+_}') Ó ' ¬ ' í 2(.r + y)* + 5(.r + 3:) 12 Adición de fracciones algebraicas La adición de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empe zaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales y, lue go. estcndercmos cl análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores dis~ tintos. Fracciones con denominadores iguales En el Capitulo 2 se definio la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relacion a_. c ¡J c + 1 1 a + h c oi Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fraccion cuyo numerador es la suma de los numeradorcs, y cuyo denominador es el denomina dor común. Efectuar 2 + .I sowctóu I 3X 2Jl.” observación 1*`+2_5_ Jl' .X Para evitar errores al sumar los numeradores, es recomendable encerrarlos entre paréntesis. aplicar la ley distributiva y luego efectuar ope raciones. ohsewacmn Despues de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su.n1inima expresión. 7.2 Adicióndefraccionesalpebraicas Efectuar 2 + 2.x 235 2x .i:+3 .r 3__(x+3)+(.r 3) __.r+3+x 3 _ë_l 2x2 .r Efectuar L + .ir + 2 x + 2 .r+2 .r+2 .r+2 .r+2 " 1 Efectuar x' 1 2 Jr* .r2+.t 2 2x '_ x2+.1r 2 .ri 2 5°' “°'°" ___ si lr (x2 2) (x2 2x) .ri 2 .r3+2.I 2.1' 2 2(.r I) (x+2)(x I) H ' '*'““a' 4.6 *°“*'°'°" :ri + flr tu 51:2 3 3x 412 11.›. .ri + 9x 2 .r+2 ' 3 Ss? ~ 3x :ri + 9.1' .ri + 9x 5x2 =( 4,. =)_ 1Í:fï“") 5.1:: + 31 = _ÍÍ=T|_1Í¬Í 12.1' ` 16 411 4x(3 in l 3 4Jr(.r 3x 3) .r) (4.rÍ H fit? _ïn _ 4x :(4.1 +1›(.= 3)' "4,i+t 1 reacciones Atcmurcns Observación La regla para sumar fraccioncs se puede cx tender a cualquier número de ellas. u+o+o+H. 1"": fi f"'.'i +fi=.a lá _ +a2+EÉ+...+& C C' C C _fl|+fl2+fl3+"'+fln If Efectuar 4x2 + x _ 2:1 sx 12 souflóu 2.12 + l5.r 5x2 211 51 12 4.r¡+.r L + _ 141 2.11 ss; 12' ___?:r2+i5x 211 ss 12 + 212 5.: 12 (4x2 + x) 5x2 l4x 2.12 5.: 12 (lr: + l5x) + (5.r2 l4x) zw* sx 12 _4.±2+.± 212 |s.r+s.r2 14.r ` 7.12 Ii' Iì 28x_ _ 7x(x 4) 16 51 12"(21+3›(.r 4) 7x _ 1: + 3 Ejercicios 7.2A Efeetúe las siguientes operaciones con fracciones y simplifique: ,_2+2_§ Jr Jr .r 20 15 'ílï 4' .tz 5 .I írlíilliíín Jr: x ,_1__¿_¿ 2x 2.: Zx .xz 4 7'2.r ¡+21 1 en 5' 3 1' Iii x+2+,r+2 2.1: ,_¿,,±_§_ .rz .tz xl 5 ¿'31 s+3.r 5 mi 6' _ 1 i x+3+x+3 .ir 2 9'zr+7_:›.x+7 3.1' 4 w'5x 4 51: 4 x+l .r ¡Lx 2 .r 2 .ir 3 21 n'2x+l+2.x+I .'f_*_2i.__ 13' .:+4+x+4 1*;'"3*._L_ “'21 1 s+2.x+:s i._._3_ 15' 4; 3 4.: 3 7.2 Iflldúlidfiflãotiülldiäfldbfàltãi s 1s. L I s 15 3.r+2 1 1 1 ; . 17 2.: :+21: 3 x 2 lr+I 19' 2.f+3+2;+3 22' 25 23' 7 312 612 29' t 3.1:* 26' _ 4x2 2 31__6~=_.__"¿_ 3x 4 .ir 6 33' 2.: s+:.u 3x+l 37. .r+4 4x2 8.1' 39 .ri ' 4.12 1 7x3 3 2 x l .r 32' x2+.r .r2+x 34 4.r2+3x+.r2 x 5x i 2 5.r+2 ' 2:r+3 J: l I 4.1: 2 4x 2 41:2 xa 5 35' _ 2x 30. _ x I 3x3 6.1: 7 2:2 1 23 "$ '_a="' 1 61 7 Jr+2 3x 2 6:3 + 6x3 24' .ti 3 31:2 M3 7x 2 2" 'n+2"`rx+2 Zrii 1 .r2+4 9.1:: + 7 M3 14.1' 4.1: i 3x+l 5x2 + 5.12 3.T'+ï 27. x+8 mas 1'3x 7 .ir I x+l 31:2 + 3x2 51:2 4 2; 1 1 2.: . 18 sx 2+: ix 2 3 x “'31 6 3; 6 x 4 412 3x 71:2 38' su 2 4' 9;* 4 x ,ri 4.12 1 Gx 212 40. 2x3 t .r 12 21' .ri 9_.r2 9 51 7 l J: ' _m_,....L_ .tz 3x 4 x2 3x 4 42. 43. xa 3.1' ¬. x* 3.r+2 .ri r + ,m '*' Jr' 3x+2 ex* 11.r+3+fi.¢= 1i1+3 .ri 4.r 4; 4 44' xl 46 .r3+3x xl 12 Tí l2" x+x ii'12 x+.r 41 45. 47 2x2 2.x2+S.r 3 x i í 2.r2+5.1r 3 _.r 2 + 2 _ 1x 2 _ Gx ..3x' 5x 2 3x' 5x 2 6_r1+x 212 x «wíì 'srl 1 2_s;= .f 2 51. 53. 3.r+|6 ' :; í 1' x* lr 8 3x 4.1:: 6x1+5x 6 .r3+3.r Tí" .r 2x 3 _ 212 .r 6.t2+5.t 6 48 ' í Jr Iíl í 6* si _ x _ ii 6 2.12 3.1' _ x1+3x 2:2 Ilx 6 2x1 lla' 6 l6xi+3 3 4x . 5°' ì'š=`+1s.e+_:s` 'tex=+|s;+3 2.r1+9 2x*+6x 52'2.›f2 11.r+12'2.v1' 11.r+i2 3.1' .ri 54. í ar* zx t 3.r3'+.:~r i ari 2: 1 ?'ÉICflÚflEfl 55. 58 59 60 61 62 l = 2r1+7 56 57 .ri 3 lr l , ¬, .i:* 8.r+I2+x* 8.r+I2 'I .ri 3x .v2+zv 3' _6.r1'+.r I '7 .v +2; 3+,vT +1: 3 F `__2.r + 9_| ?.t2 9.174 9 ' 31:2 2 3.r1+IO.r 8 eri* ox 3x:+l0,r 3 _ _?.r2 2_Q¿r _ +_ _4.r ff 2x3 91 I 9 ' tar 1 43. . +27 `22.r+l5 ' .r+2 xl 8.r+l2 .r 4 ' .r+l0 3.r1+l0x 8 _t:'_ix1:†_¬l0i__ ter" ' 4s.v+27 _ l2.r1+52.r 9 2x2 9.1r+9 20 30,1: _ t2.r2+52r 9 __ 61 3x2 taxi 4s.r+2r 4 2x l2x2+5?_r 9 _ ¿Hitos __ 12;* 31 ' 20x2+7.r 6 20x2+7x 6 ' x2+4Jr + .rz 2x _ 3x 4x4 I3.r2+3 41" l3.r2+3 4.1:" l3.r2+3 63 _.r2_ _l_y2 'x2_(›,_2)2 64 í ' _ y2+3y _ 5.f+9.r2 20.r2+7x 6 _.r2 3:: 6 x2__(›,_2)z xz___(y_2)z .r2+2.r 12 _ .ra yz (.r+y)2 8(x l y)+l2 (x 1 y)2 8(x+y)+l2 _ sz 2y (.r+y)2 3(x+y)+l2 Mínimo común múltiple de polinomios Para obtener el minimo común múltiple (m.c.m.) de un conjunto de números, se des componen estos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor. DEFIHIGÓN Un polinomio P cs el mínimo común múlti ple (m.c.m.) de un conjunto de polinomios, si I. cada polinomio del conjunto divide a P, y 2. cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también divi sible por P. 7.2 AIIICIÓII de Frätdoflei EIIOIIPBICIIS 239 Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios. se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados. Determinar el m.c.m. de ,1r"_v, a'y'¡ 5' yzz. SOLUCIÓN Los factores literales son Jr, y y .:. La potencia máxima de x es 2, la de ,tf es 3. y la de 2.' es 1. Por consiguiente, m.c.m. = xiyic. Hallar el m.c.m. de 60.r'¡, '?2y' y Süxy. solucion I se = 22 3 s 12=2f'› si so=2“ 5 Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2"' ' 33 ' 5 1 720. El m.c.m. de los monomios _ 'i20.1r3y2. ' SOLUCIÓN Determinar le m.c.m. de .r(x 2), (Jr Los factores distintos son x, ix La mayor potencia de .r es I, la de (x Por consiguiente, m.c.m. = .r(.r Obsérvese que el m.c.m. de (Jr _ ' ' 2') y lx 2) 3* (Jr 2)2(x 3) es I. 3). 3) y (Jr 5) cs tx 3)(.rr 5). íí_í .r y xr l. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente. .tz .r=.r(x l) .ra l=(.x+i)(.r l) Por lo tanto, m.c.m. = xtx l)(›: + I). Hallar el m.c.m. de 2x1 + 3x solucion 2)*. 3). 2) es 2, y la de (x _ Encontrar el m.c.m. de xr SOLUCION 3)(.›." zi* + sx 2 = (zx 2 y 2.1 5 no + 2) 2x2 7.1r+3=(2x l)(x 3) Entonces, m.c.m. = (Zx l)(x + 2)(x 3). 'lx + 3. 7 II FIIICCIOÉÃIÉJIICÃS Determinar el m.c.m. de 9x* sowclólll av* 4 y 9x! + l2x + 4. 4 = (ar + 2›(3x 2) 9.». 2 +12; + 4 = (3.1: + 2)(3x + 2) = (3.1: + 2)* Por consiguiente, m.c.m. = (3.:r + 2)3(3.r Obtener el m.e.rn. de 2x* Solución 2.6 2). 3x + l, l xï y 2x' + .vr 1. 3.1 +1=(2.± no n 1 .r2=(l+..r)(l x) 2.x1+x 1=(2x 1)(x+1) Puesto que (I como (1 x) = tx 1), podemos escribir (l x) como (x I), o bien (x x). Recuérdese que I + x = x + l. Por lo tanto, 2x3 3x+l=(2r l){x 1) t s1= (s+t)(x 1) 2.r2+.± t=(21 nn±+t) Asi que. m.c.m. = (Zx l)(x l)(x + 1). EIEFCÍCÍOS 7.28 En cada uno de los siguientes ejercicios. encuentre el minimo común múltiplo: I.. 8,12 y 18 4. 18, 24 y 30 7. x, .ri y 4.1' 6, 8 y 14 24, 28 y 42 9x, l2:r y 4x2 10 .r1..ry r yi Í ¦" ?°I '¬'!* 13. 4xy, l4xy3 y Sxiy Xïv. avi Y fi' É' 18. 6›.'(x 2), 9(x 19, .r2(.r + 3), x{.r t 3) yr 3 (x + 3) n if A *tx n 21, .'r+l,x 2y{.c+l)(x 2) 22, 2x l,2x 3;; (2x l)(2x 3) 23. x 4.4(x I) r (r 4l(x I) 24. tx + 211', .v + s v tt + zip + si 25. (X 26.. tr 27. 2.8. 3)l r 2)( Y 6) Y (I r 2)l.r 4) r (X 2)( 1' xy. tri Y «¬o"" ts. si y, tzt By y tsxïv xlx + 3), 4x3 y 2(x + l) zo. tx ni, xo PP?? I4. 4.r2y, l0y1 y l4x ts. ss , tu 'fy v 32;» * 17. 12,15 y 20 36, 48 y 60 3x, Sy y 2x2 6) 3) {3x + l)( .r + 3) y (3..r + I): (Jr 3)(x + 2), (x + 2)(.r 6) y (x 3)(x 6) 2) 3' xllx 2) 1) 12 Ãl¦IICIåI'|dBI°I"IO¢IOII98flflOB|'3I¢ã$ 29. 30. 31. 32. (2: + 3)(3.r + 2), (lr + 3)(.r 4), (Jr l)(.r l 3), (3 + .r)(2 ¬¬ .r), y (Zar l)(.r + 4),(x + l)(.r + 4`),ly (lr + 3)(3.r I). (2.1: t 3)(.r + 5). 34. 35. 36. 37. 38. (4 + .r)(2 ..r), (Jr + I)(.r 2), y ix + l)(.r + 4) (2.1 3)(3.x + 1). (3 2x)(l + .r), y (3.r + l)(.r + 1) .tz + l,x + l, ¿v (.r + I): (x 2)2..r"'+4, y .r 2 4x I6,(tx 24.51 9x 36 33. (1 zm 6). tx 241 y (31: + 2)(.r 4) (x l)(.tr 2) lil 2.›:)(l + 1) y (5 + .r)(l 3x) zjn + 21, y (2 + .nte xl 39. .ri 3.1 ,ex 6. v 7.: 21 40. 6.r+3.8,r+4,y 4.1 2+2.r 41.. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 2.r3+2Jr,3.r2+3.r, x2 .r,.r3 xa, y .ri 16,2: 8, y II 9. l2.r IS, ?.r..r2 4, y .r,x2 l,y 12;, .ri 48 49. 50. 51. 52. ts; + 43. 1' 4; 5.1: I 6, .ri + 2.1:. ' E `†~.l J ' Ito 3..r2 4x, 3.' l i at i,.r3+4.r+3.y .r* l lr 3 +l 2.x2 4.r+3,y .ri .r 6 3x 4,.r2+3.r+2.y xl 2.1: 8 ' ì1= =¬e 53. 5 4. 55. 56. y 4x+4 2): 2 3›:+i2 3' I8x 27 .r2+2.r .r2+x +.r e.r=+2x ay .±1+7x+t2 wuw wro duw à ¦ 3.r+l2,.r'i 6tt'+li. 3' .rg l0x l 24 .ri 7.r+ I2,.r1 llx+24, y 1:2 i2x +32 ?.x2+7.r 4,3.r2+l0.r 3,y 6x3 7.r+2 >eltie ti :l ¦~r ti I'=~ 57. 3x*+7.r+2,1r "f+5.r+2. 3, tin? '+5x+l 58. 59.. 8.1:: + ox 9, 211 + l5.r + 18, y 4.13 + Zlx 3.r3+ll.r 4,2 5x 3.r2. y ,ri+6.r t 8 61. 62. 3.1:: .vc 14,13 + Tx + IO, 3' 35 8.1: 31:2 24.r2 7.r~6,8,r2 + lI.r+3. 1 f 2 .r 313 ee. 412 tn + 4.6 23.1» 4.6. y si + :uf IS 24 Fracciones con denominadores distintos Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtiene su minimo común múltiplo, llamado minimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se cambia cada fraccion a una equivalente que tenga el m.c.d. como denomi nador mediante la regla ¿_ b ec bc' 7 I RICCIOIIES IILOÉAICIS y luego se efectúan operaciones. l a suma de ffacciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fraccion cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el minimo común denominador (m.c.d.). La fraccion final debe reducirse a sus términos minimos. 7 6 Efectuar 5 + _; ¿ 2 solucion Et m.c.d. = se. Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x3 y luego se realizan opera ciones. 7 2x i 'I' Ó., .rr _ tí 2 31 E' II 7(3.r) 2.r(3.r) 7(3.r) + 6(6) 2(2›r) .r*"(o) 3x(?_›:) 6(o) 2{2.rl ¿_ j I. 1 l 12 __ 7(3x) + 61(6) 2(2.r) _ i... _ ma _21.v+3s 4.f_17.v+3<› _ .r + 2 Efflüllliìl' T SOLUCION ' 3.1' 6x2 _ 6 1.2 1 El m.c.d. = l2s'2. Jr+2 3x l _3x(x l 2) 2(3.r 1) _4.tr_ _T5.rï_ H 3x(4x) ü 2(6.r2) _ 3x(x + 2) 2(3x 1) W" ' tm? _ 3x(.r + 2) 2(3.r 1) _*Ts,†*' 3.r2+6.r 6ur+2_3x2+2 = _¬rs_ W' Efectuar la operacion y simplificar 4.1' + I 7.2 edicion de fracciones oløebralcas N _4.x__+ l 1 solucló 243 _ l 3.1' 2 _ _(_4.r _+ l)(3.r (3:r 2) ,_ l_ (3.r _ 2) .*l _ (3.1: 12.1 1 12;: _ 2) ss (lr __ 2) 2 1 2) 5.1' 3x 3 * 2 (3.1: + l)(4.r _ (lr 2) 3) Efectuar la operacion y simplificar .¿.,_2_. x+3 .tr 2* sotucloltl e.1m.¢.a. = ts + no 2). Al escribir fracciones equivalentes con denominador (Jr + 3)(.r 2) y efectuar luego la suma, obtenemos .r .r+3 2 xlx 2) (.r+3)(.r 2) 2(x+3) (Jr 2)(.r+3) í._.+i_.=.___í._..__.+_í._.íí .r 2 = ss. 2>+2< *+32 (x+3)(x 2) _¿r_f 2.r+?.r+6__ 1146 (x+3)(.r 2) "(.r+3)(.r 2) Realizar la operacion y simplificar 91 20_ _ 6x 13 .tz t .r 12 .ri .r 6' SOLUCIOII _ Prirreramente se factorizan los denominadores. 9x 20 ,r 1+.: 12 _ 6x 13 .ri lr 6 _ 9.1: 2€) t.r+4)(.r 3) _ 6.1' 13 of 31(,v+2) El m.c.d. = (Jr + 4)(x r 3)(x + 2). En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d., y luego com binar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fraccion con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multipiea el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la pri mera expresion del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se rela cionan con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes. 7 *I FIÃCCIOÉILÉIICIS ® (9.1: 20) _ (sx 13) _ of +. zjtsu 20) @ 4`)(.= 3) of :nlx + 2) Z(í§+i4)ì._›. of + ore; 3)o + 2)) 13) (3 El numerador no se encuentra factorizado; asi que no es posible efectuar reduccion. Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis precedido por el signo adecuado. _ (9.r2 lr 40) (fur 2 + ll.r 52) (.r + 4)(.r 3)(.r + 2) _9.r2 2r 40 ott2 ll.r+52 _ of + nt.: :ntr + 2) sti 13.1 + 12 _ __ (31 cin 3) of + 4)t.t :nn + 2) _ of L 4)(.v :no + 2) _ 3.: 4 ` of + «not + 2) Em Efectuar operaciones v simplificar .r+2 _ ;›_x1 ,t 1 $°““ "°" 3.1' _2 _+ 2.1 * +9.r+4 x l 2 5 4 3x .ri 3x 2 5 E _.trï"r:f+t›r+t+4 st .t= I .r~l 2 (lr + l)(x Tomamos el m.c.d. = (2.r + l)(.r .tr + 2 í í (lr + l)(.t l) It ¿ I) l)l`.r + 4) 3.1: 2 5 | ›¬ (lr + l)(_r + 4) (4 + .r)(.r = H 'É 3.r_ 2 + 5 (21 l l)(.r + 4) (4 + .r)(l ííí .r + 2 3x 2 (lr + l)(.r l) (lr + l)(.r + 4) (.r + 4)(.r + 2) (.r l)f3.r 2) (2.1: + l)(.r l)(.r + 4) E4 | í 1 5 (4 +.r)(.r $(2r +1) í _(.ri~+f›.r+8) (3.r1 5x+2_) ltlx 5 _ (zx + llo no + 4› ___; 2 +s1+s :tr 2 +5x A2 10; 5 _ (2.r+1›(.r t)t.›.› +4) _ 1+; 112 _ (t+zr)t1 1) _ (2.1 + no no + 4)_(2r+1›(.r t)(.v + 4) _ *"l_¡+2I)(.r 1) ___ _(2.r+t)t.v nt.r+4¡_ l J. +4 I) U sr) 7.2 Adlclonderraceionesalnenralcas Efectuar operaciones y simplificar: 5x 4_F+ 3.r+4 _ 3.1: _ 212 llx 6 2x2+7.r+3 x2 É' x l8 solucion 5;: 4 lr: llx 6 + 3.r+4 3.1' p 2.x1+7x+3 .ri 3.1 18 (5.1: 4) _ (3.r+4) 3.1: (Zr+ l)(.r 6)+(2.r+ l)(.t+3)_(.r+3)(x 6) (_.r + 3)(5.r ~ 4) + (x 6)(3.r + 4) 3.\'(2r t 1) (lr + l)(.r 6)(.r + 3) ufi+in in+(nL me M) mf+3fl l _ _ (2 Y 4' Illa' 6)( T + 3) 5.r2+ Ilx l2+3.r1 l4x 24 6x2 3.1: __ (lr + l)(.i: 6)(.r + 3) 2x2 6x 36 2(.ir2 3.1: 18) (lr + Iltx oil.: + 3) 2(.r + 3)(x (2: + t)(x Ó) _ 6)t.r + 3) 2 'í í (m+im sm+sƒ_u+i Ejercicios 7.2c Reducir a una sola fraccion y simplificar: 5 4. .I 3 35 48 7 2 27 32 I3 24 ï+___ _ 3.r + 2x 5' 8 10. ¡¬,___¡' 1:3 t 13. ¬c 2.1' ___ui3% . , x” 3.r+ lx 2 5_+2x ¡Six 2 Jr l 5 Trtm 1. 7 .r+l 2.1' 2x+ 3 í 3x ll. 13 LÍ Í+l._K9. â_l+.É .ir ,H + ll lr lr 7y 6. 5x 3 IÚ 20 9 7 1 4x+9x_l2r 31 Jr _ + I4y 4y 9. .É._1+É. ¿+1 3 L 12. E+ï_.L x II 3.1: 212 3x xl .ir 4 .I 3 l4.¶ +6! 1 3x+2 4.r 2.x+5 .ir +6 1* T*T . mi la 6x 4.: xl 3x3 5x 2x2 1 7¢FlMCClONE$AI.GÉM¬CA5 19. .r+3 x+ 4 í í l2.r 16.1 21. 'Tx 6 I4.I x+6` mL x 3 ¿ 7.1: + 3 _ ._¬_ 5.1: I 23_ 'fi 3.1' 5.1:* 3.r+l0 .r wz' U1 22' 5x 2 ¡Of 24' x+6 9.1: 3.: 4 6x2 81 3 Y 1?.: 5 25. .\+4+T__ã I f v.x 2 ~ií .?.x I 29. \"'1 ¡ 7 4 x'+l ' 28' 3 'irá 1" 26\"x+l M. 2.1 + 5 3x a I 4 1" I' 31. 3_+ L .r+3 32 I 4 34 . .t 5 _í.+_ _ x+4 .Ir 5 35 37 _ì___L_ n 3x 3x 1 41 40 2.1 I 3 . .t +1 í lr 2.r+ I ' 43 . 45 3x .r x2+.x* 2+x+2 47 49 Í 3.1: 3 3.._¡,._¡__ 4x 3 3.r+l 1' 36' 3 3x 4+x 6 39___2.ï_ ,I 1 2.1: 2 2x l 2 x+I inn r 1 It IS .II x l2 3:' F _____i___,_._._ _,|_ __¿_,ì_._ +.Í1+2 42 x* l .I I l + x +11: 3 .\'+4 46 . Tx _' .r"+x I2 “'+'í 48 . 6.1 +1 7 i _* 2x +5.: 3 14 Í ›~\'+2 52 _ .r 3 .tl 21: 3+.I2“ I 12 S6 31 + 6 .r2+.r 20 58 5.1: l lr” 9x+9 x' 4 2 fi._¿11___ 57, __'j"^*`í5__1__'L_. 3 '“"í x+3 x* 2.1' 8 í ix 2 4 .r2+2.r 3 ' 4.1:* + 9.1' +2 4x' + 5.1: + l x3+.r 2 2 "__*_š x2+5.r*~ I x+4 50. ___¡__ï*:”.._.+..¬_4_. S4. 21:2 5.! 3 14.1' I I' 4 s1_;ïii_+__i__ .x3+x 12 2 *IL 2 _r2+3.x+2 I lr 4 3+x 2 .¬¿__+¬3_. 51 a Í l 'zf 7; 4_u+4 f J 2 33__.;"f_.+__ì_ x+2 21' 3 +6 3 _T¿___+._.. 44 (nf .r í + .ra 9 .r+3 ii I .Y xl 6.›:+B _ 2.›:+2 x2+5.x +6 7.2. AdId6n`defl'acclonesaueh|"alcas 31 2 x I' 2 s9...____.._..._i 12 3x 4 4.1: 4 _ 7x+l4 .x+6 w._í_..______ xa 5x I 4 3 4 x+2 x 2 3.1r"+l0x B 2! x 9 3.r2+x 2 2 I x+3 x 3 sa ___'.3_____É__+_J2_ l8x2 21.1: 4 64. 3x 4 6x+l 3 *+_4_+_L___¿ 6Jr2+x 1 ¿5_ 2.1 7 2.1 i I + lr I 1 11 12 7x+l2 ___|_ .r2+2x IS x 4 as. ¬2 J.f_ii__+_1¿*_5___l_ .t'+4x+3 .$1 .r 2 .r+3 a1.__1_.*ìfü_i*l_+..;_fì.'4 63 x"+?.t 3 1'* lr 24 3.t+l .r3+ 'lx 3 1' Il .tï x 12 7.1 _' + 7.1' + 1 lrï 3.r+! 71. I .r 1 1 73 4x+'_ 2 I _ +5.1' Ii n 1,". I 2 ¿_ x 4 _ 1 3 .r 2 .r+4 7z._ïë;§.,+3 x+l x 2 I x 2x' 5x 3 ______.__..__._ .11 2.1.' 24 6 .r .r .3__ 2 r JI" x 3 .r+l7 6 1'* _1'. IÍ __, 1"' ZI 8 74 _ï.__5_,.,.__.å..___..+___._å__ `x2+.x 12 75. lx 341 .1 1 .f1'+1o.±+24 _ _.'t_2'.._.. 2.1:: 5x 3 5113+.: I _ 2'rÍ2_. 31': lUx+3 76. __L_+ 4.±2+4.f 3 77. rs. 41 + 4, 1' J..¬,,__...§ìi_. 11:2 3_1+1 I 1,f2+.1 3 __ 2.11 +1 6 Gx: 7.1' 3 l 7 3.: +5.r+2 6x2+.r 2 1' _ 3 3r2+7.t+.'?. 3.1 11 +.r 1 19. ____l?___+_f!~ï_:_i . 6x1+5.± 6 3;* sx+4 zx* .~¢ 2x*+llx+15 3x=+7x 6 6.x*+11,r 10 + 1 I Jr* 7x+ 2@ 7 I FIICCIOHB ILGTBRAICAS 7 17 3x+7 a1. __í_ í__+_.._i a,r=+1o; 3+4.±2+1s.r 4 2.±1'+11.r+12 al __1o _ 13 4; 7 ax* 2; 3 4.12 19. r+12+211 7; 4 ex 20 83 _ +__.í.ìí 12:2 5.: 2 4;* 23.r 6 3x2 2ox+12 “_ 4x+r + sir 15 + 5.1 3 3.r1+10;+3 126 71 12 ox* 5.: 4 __! _?. b 3I“"5 .r+x 6 2 2.r+5x 2 35 7x 5 + 3 4.11 5 2x 2 .r+ 5 .1r+l4 2 .r+7 '3;* 5.r+'i+3.=2+1.r e_12+2.± 3 Multiplicación de Fracciones El producto de las fracciones % y â sc definió en cl Capítuio 2 como få: o :aca ¿,¢¿=L b d bd' Asi quc cl producto dc dos fracciones es una fraccion cuyo numerador es el pro ducto dc los numcradorcs, y cuyo denominador lo cs dc los dcnomìnadorcs. En gcncral, *Tr 01 ' '13 H» _¢`¡1fl: 03 04 G» bi ll?? bn bn bj b,¦, “1..“2“; _ _ “fa . .à 515253 54 ___. I 1 bn 1 v.b1a, › ››,, Nota Encontrar el producto 27;; 11;* and ¡mir sfiy alaibi' Rcdúzcasc sicmprc la fraccion resultante a sus mínimos términos. 7.3 Illllfllilítãflfifl G8 FIHUCIOIFBS 5g|_U¢¡ÓN 249 27a3b1' _ lútrly = 311; sraibi NW@ l6a"'b3x3¿' :_ gr :cr s atxäaiai sa E s mas. I.,au__' rcd ucrr. 218†816¡ que E4 432É , que cs cl rcsultado dc los productos dc los coefi cicntcs. Es decir, no sc dc bcn multiplicar los núrncros hasta quc la fraccion haya sido simplificada. Simplifìcar < r=›a››~' = ›* _ <4ff›2 1 1 2 ,3 3' (2'fy”) (99.1 ) ( 32 r1›†")”' _ (4152): _ ( 3”I2.v“')3 _ (22r”.v“)' 5°“'°'°" (21.1 *›P)* (QHW " (2ä2››”)* ìïfïfi _ _3fi¡byì2 "" zaxayfi zrlxfiy 4 ' 3o_¡.9_vs› 3!! i ZÃIIZIFIÍI = za _ 3s¡|sy|s = L = _.ï 23.1' 4.1: Para multiplicar Fracciones cuyos numcradorcs o dcnominadorcs son polinomios. pri meramente sc factorizan éstos completamente. Sc consideran las fracciones como una sola, y sc dividen los numcradorcs y dcnomìnadorcs por su máximo factor común para obtcncr una fraccion cquivalcntc ya reducida. Simplifìcar .ri 3x 2.r2+llx l 5 6.1r1+x I 3.1:: l0x+3` sor.uctón .ra 3x 6.: 2 + .r I í ii 12 f lr +ll.r+5 3.1' l0.1+3 Í 1 1 1 .r(1r "'37 iii ( 31 'f'I')(%t 'F"l') l 2:r íF"1”){.r+5) :í I .r+5 7 1 nuccromrs uomtuucns Sìmplìficar _ 6 l_.'!.r3 131 ij3__?.rL' .r 3.1:: Ss 2 9 ox Srl' sowctóu 111 1 ., 13s + 3 2:2 '_ si ía" al _ _ _ s 1 1 1 (3. ; ~ nraf fin la zyt ±r F*3) rs '_ . 1 4.. . 1 __.ìLï _ übicn _ ¿__? 'É 3.1r+l` l+3x Ejercicios 7.3 Efcctúc las siguicntcs multiplicacioncs 3; simplifìquc: , 'ssuna 32 27 28 xl 3x s. .ri 42 5 9. H 13 3'$52743 §±..8§.; 15. .6 _'1f'2.É?...'.*Í 35 ai' I4 7 '?ìÍ.2¿2 lÚ.rf'_v3 12. 5:4? i l3o'”'b 39rr3i: 6l'}.rfl_v° 23rr7b: 5 (sw * jr 23. 24.1' 25.. M' sm *' saw' 'ssxïfi la la 20. (T f`_\')" (9.13): 22' 21.1: tu s [6 63 i ¿llt 1 1 _ , 2 1,: :2.1 (3.r_t) _ ("'2 YF) (11%F' ( ds" F (6.Pv2)* ( 5129)* .oi _ (i0.r_v'¡ )" (1S.r"_\"')' (4 \2v')" 1411 oaÚb5 'B' rizo* t of (4.='2›')= _ (3 91* )“` ra. 2I. 56rr"i›¿' _ 9.r`_t~2: 27Jr_°r" 35:15bz Y I' (613): _ (9:›'2)”' (3.r)" ( I 7r1'"")" :fr _7.r_v za 4ab _ (3 Ú3 ( * 9r)“ 17. ¬ = 1. f (9 111':)` l5ab 231:: .r 22ab3 85.r'*}'? _3.r (4_\=)” 43, 3 5 , ._ fiaffiš fifi.¿_ 123 2 t.r= '_r * sia* suis saw" ssflr _gf:›a '*r›*_ tr›x_ fi» ' ' 10 27.ï3_1r" _ 32rrbì Éóaab ' 2 'ì"?š'šï 51.@ 66 6.1:" 30x_ 3.1r2+.r úx2+2x 4.1:: 20 24 30.111" 1 (3.x*_v"' )" 181:: _ 42.1' + 35 ar* + sf 26. _ nos ss 11:3 + 4213 _ l5.r 30 ., , 31' 6.1' 14.1' + 34x 7.3 Ilultlølicadfindefiracdønes 27_ .$2 + 31 + 2 _ .1i3'}*3 __ .r"y 29 .ri 31 33_ HL 37 43_ 47 _ .ri + 3x 4 .1rj\ 'I .ri +6.r+ 9H.rÍ + 'ï}¿+ 20 “_ .rr 3.r 4_.1f+Sx+6 xl 7x+l2 .ra 3x IS Jrì 101 + 21 _J:3 10.: + 16 1:* 9x+l4 .r¡"'+2.r IS “_ .ra + 'ix + l(i_.r1 + 9x +18 .Ig '“ 38' 4" 2.1' X2 '¬ + 51 .l `*f+s.r +1s.r2+11.r+1s .r2+3x l3_x2+2.r+3 40, 42. 4.r2+ll.r+6_2.r2 44. [lx 6 3.1* tio. 6 4x2+3x 1 3 612 7.r+2 ___ï_.._í_. Gx: .I 2 6.r2+7.›: 3 46. 24.@ 521' + 20 11€ + sì en __27›E 13; 24 las 1 .sar + lo 11€' + 4112 + 24... 49_ 7.1:: 36.1:y + Syz _ 32:2 + 'ixy 6192 7x2 + 201)' 3_v1 312 19.13' + 203.13 2x2 1:2 7.10' + 63:2 i x3 .1}* I2;r2 ¡uy +12;.›* 2:2 91;; +1oy2 5¡_ .mi + 7.1 y 3; =_1zr2 + 13.1 y 9x2 fixy+,›2 e.±2+s.¢y ay* 52_ 2412 xy 9.122 2lxy 53. X2 l0I+24_.1'1"2..l'“'48 30+.1r .tz 4;? 3311 _ 91:3 83:2 24.112 36.13' + 32); 4lxy + l2_v2 .tz lZ1:+32 40+3x xa .ra .r 42 ". lí""" .ri ' x' lr 35 x* l4.r+43 llx si 10.: 24 12 .r +6 xl" fur 16 3x1+l3.r+4__3x2“+llx+6 3.= `='+14.x+s 4.r*+1s.r+3 1:2 7.1 4 sf 161 12 ' 3x"+20x+l2 zar + o _ar 3 + 11.1 1 + ur [2.1 l3.r .ri l 28 .ra t .r I2 2.r2+l7.r+3_2.r2+7x+6 2x2+9.1r+9 4.r3+9.r+2 tax* 11' +20 su __›;= + 42 131 .ri + 40 43 _ 54' 6 2 _ i 5 _.rI2__&r_ + I 2 l2.r3 + 7x3 50, .r_v5 rr .ri + 'tr +12 .ri + ss +15 4.12 .r 3 45. .ri 32. .r2+?_sx 3 .x*+5.r 6 ¿L .t3_}' x3+x 6 .rl lr 3 1 , x 5.r+6 xr 4x 5 x2+l6 8.r_.r2+54+l5:.r 39_ 2 ¡ .ra + fur + 8 3 .r*+3.r IO x*+2_r+l 35_ Jr: + .r .fivi .ri + 4x + 3 ?.r + I .r'2_'1r" .r`*y3 .rin + lr ' 28_ ZI2 151 B &r=+;os+§__fir2+.r 1 4.r1+4.r+l9x2+9x 4 1 mccioncsatamarcns 55 1212 11,r+2 4x1 16s+ 15 S6 sf 14.i+3 2o+7.r cu' 'f 1212+ i7I“|'6 41': i5.`l.'+9 ' 57. s+7.r sf `4.r1 13.r 12 I4' X3 |2_.I'2+3I+2 .r4+.1r2 2 59_ 58 X4” l0I2'|'_9_I2""5.1'+6 .r2+x 6 .rá '7.1r2+l2 .t2+4.:r+3 (Jr+y)2 5(.r+y)+6_2(.r+_v)2+7(x+y) 4 2(.r+_v)2+3(x i y) 2 (.r+y)2+2(.r+__v) 3 ¿0_ (I Jr): 16 J 'Ji 1l( I 1') 1 _6(r 2 *)" '?( I .r) 3 4 2( r 3*): + 5( r y) 12 3( r ¿L .12 + 11r+30_.:1+13x+42_s›1+10.r+1r› x2+lZx+36 :ri +l3.t'+40 .r2+2x 35 ¿L 2.r2+1s.›f+1s_|2s1 23; 24_¿2x1 2s,g+¿:§ 12.12 41.±+24 4.r1+2'n +13 3x1+1ox 3 División de fracciones Dc la dcfinición dc división dc fracciones, considerada cn cl Capitulo 2. tcncrnos que ri' b ...;... rr ti d _ b 1 _ il ' 'í' í I d t' ` Ii El resultado anterior muestra como transformar la division dc fracciones cn una multi plicacion dc fracciones. _ . t: d . _ . . Las Iraccroncs J y 7 sc llaman nnversas multipltcatrvas o recrprocas. Nota La rcciproca dc la cxprcsidn a + b cs 1 no 1 + L a + b' rr b' Nota . 1 1 La rccrproca dc + es H . _ . ma SlIT1piIflL3.dH, b ab l 1 1 a b _ ..¡_ _ o cn for 7.4 División de Fracciones 253 _'____;..% 1+1'±+±«b rr b a b __af>____íflf' ...Lin ob(| 1' ._._+_ I ob ab G b b+a '+' ' H Simplificar 3_fl'Ít9_ff ss* ' zoo' solución sai 9112 ' 3 3 zoa ra Sbi' 3b _,ü!. 5b3 ' 201? "Wa . __.. 9:11 observe .ie la air mi nata una e rr c c c d e ¿›+d`_;':ï"r 'jr Y _rr_ __adc :nf r'_e_ _ r¡__r;'e___ ¢:r_ df __ a (if bi ff f *f›*r¿r“í ii E~'"E F' Simplifìcar aaïïtft _ «ia _ _:_t¿ 49.fä†f* ` 14.6; ahi' 501 UCIÓN aula* É. _._¬__._>*= a ' 1; 21 sai* tr* 4 2 _¬. ___..t._~'~i›'.¶ 494 ryi l4.r"_v ab! 49x2_t'3 rzìb abz _. É flir t fÉ!*.Í.=_ .rlyi I Sm UCÍÓN Simplificar .tstt rr ab3 o"'b2 .rzyi ' mi T albs x53; í r3'_v2 ab] ' Iïflrlofl criba .r3_t¬3 ozbfi riyi .rsy nba 1 ' íìíïá 1 † __ ata* ii; aa* __ al ¡Ey! ¿¿2b5 , _¡.3y2 yl 3' I* FRÃCCIOIES ILÉIICÃS Simpiificar si 1' +__:›,¿t 41'? l7.t' SOLUCIÓN s_ 116: zos +_7 15 _ 6.112 37.1: + 35' Como cn la multiplicación dc fracciones, factorizamos los nttntcradorcs y dc nominadorcs: 3,» 1+2.t 3 mi 2ox+? 4.1 2' 11.r ts 1' mi 37.±+35 __@ 1¿r_ tr + 3) (zx 5) ` tf ( ts + 31@ l I ; lito» 71 5)us.r 7) l . 1 = F.t`cctuar las opcracioncs indicadas y siniplificar. 241:: t 49.1' _ 54.1' 1 +'š'n 40 Bfxri + 63.1' 83 72.11 + IBI 14 1 `27.i=`ï 301 i ' s sii 77 sn + zo SOLUCIÓN 24.ri + 491: _ 54.1 1* + su 40 14 36x'i † 63.1' E *L 3 271 + 30.1 = (81 L S8 Tlri + liìr i 77 ' s sf 311 + 20 5)(3.r + 8) ___ (3.1: + 3](l2.r rat + v)(<›.r l 2) ` ws l : 2)(3.x + 4) 4 Ejercicios 7.4 Efcctúc las operaciones indicadas jr simplifiquc: L5. .._±ã 26 '39 3. 56 38 ...Q 27 5. 22 34 .âlt 32 'sv to 55' si sus t~&r"ì=*5`)tr _§_ ±1_ü 1. ( l 1 l _ ___t fìfií f "2`)__(__.Ifx +_4)_ iéx =F'7)( i~2:r""†1") t6rïr'7ìt9x :'27 X ) (ox + 5_*_.._ï1 es ` 343 'f›s`77 12 !ë...1ë_t_åâ s410o`2s 4) Divisiótrctefraccicnes _s __ zaga) 29; ia ` 25 ` 30 42 10.1 1 4.6 9_t 27_t' 1. .51 13 L” t. 2. aa* ' sb* HI traia” sofa 7rsI 2 + 13.rr" _'4›f._*›: t barba _ 15 ati b . _ __ _ïì""í 8.1' y lrv 28a“'b° ___ 35a"b"' 22.r3y5 i 55x_v5 4a1b" _ Sa" bi' i†_ 9x y* ' 27.1: 3 3 ri' __.o__,a__,9 _ 4 3 .r3y db mi I. alb í Í .ir Iyl ¬.í zi; i 27. 1 "r› 9» * _*¬__2 Bnb' .ri ¿UI 3 biy .+ï Sxïy 1 _.. _'__6“2 .í zsa 1 ` som» si í±; tí2.1.' _¡5_,_,8¡? 4 tai _¿¿f*_ toa ai ¬+ ' 13a* __¡3b2_.s T _,__ tb|s¿_tt› bl Ii' 14 ai zsa 9a! 3o.r2 Uy: _ _ ba), 3 by: bi.: (I ix ¬ 1 b 3_,_, . b.r í ¿ly _¡.2____, 1 _ xlyfi ¿_.`.ìb4 aìx I _ uìxï by! “lb ' afibfiì 14),! ¿,s_.___: ' ¿_ i__,s ai al bi 1 _ albfi afllb .r";t 1 .rvi .tii 'J cab: I .fly abs 'I' I šiaiir : nbì __ ÓEÍ _2Eb_ .ri ' Jr" 4x3 3x3 _ 3.13 xl .ri 3;: .r3+.r_ xi .ri .ri x .ri 2.r+l .H +9 ___.ri' ss 27 Jr _ .ri 14:13 + Zlnzb i (ia: + Qab Mx” _ 4:5 lfixi ltãjri I 3.r}† + 3_v'i 3x1 12 ___.r1 2x1 x2+4.r+4 .ri 1 1: .r3+2_r 3'.r3 l0.r+9 .ri 2.r+3__.r'i+B.r+l6 .ri 3x+2' .r1+lr 8 .r:2+2.x 8___.r'°' 4.x_ I _4 .wi 7x+to___.t1'+s.r 14 si 3.: 4 ri 6.r+5 .ii fn+s .ri +8.›:+7 xi 4.r l2____r2+l0x+|Q .ra 7x+6' .ra t 7x 8 x3+7.r IS _ .1r2_+ll.t'+24 Jt'2 3: ¡+2 .ri 4.r+3____x1+l0x+24_ .t2+ÓX 16 .t'2+Ó.I' 27..t2+§.I' 24 .ri ss +4* ,~.›=+.r zo 12 6x+9'x1+3x 13 .r¡"+4.r 2I___.r3+l4.t+43 .rz+3.t' 28 ' .r2+4Jt 32 .1:2+5.r+4 .tz l2.›:+35 x2+l2.1r+32+x1+3.r 40 7 I 43. 45. 47. MïÃIfl$ 1h¿2.r1+|3.r+6 22.x2+ *ft 3x_¿| 5.r+3 ' zf2+u.1 +12 44 3x1 3.r+4___3.r2+.r 2 ¡ió ' zx* 3.1 2 ` 4.±2+11.1 3 4x1 5x 6'4x1+7.r+3 3x1 l9.r+6¿3x'É+5x 2 4 __.x: 4* 4x2' 6 4.111 + 25.: + 6 ' 311 |4.±+s 2; 2 11x+12 ` 6x2 5x+_l_4.r2 Sn: 5 121:: x I'8x2+6x+I 48 2.r1+7.r l5`2r1+.r 6 __:I ox* _t+ ll. 49 lt* 7x+6¿ 2x2 +3.! 9 ' __t la 9 51. 52. 13 5x2 2¿§x * ._r3 + l_0x2 2x2 9xy + 9y2 54. _§.1:2 2.9' 3; 2 57. 59. 24.: 4.6 ¡zx 72' zx* 4; 43% 31:2 56. ' 6x*+sx 6 T 4;* 2o,f+9 1212+ l2x+3___ 9x2 21x+6 4x2 14.1' 8 * 121:: 52.r+ 16 53. 55. 6.f=+13x+f›_(›x`*` 23; ls 50 6fi+23x+2o`4x2+4x 15 23: 12.r2 ___ 6x2 1913; + l5y2 13@ + 129 ` 3.6 + my _ . 59.@ + ny* 24; 1* 4x2+l6x_v+7y3 312 + 10.@ 63; 1 ph _E)__;† 9.1' x2_L :(2 SI 20 x* 7.1' 8 x* I0x+l6 _g§_ _+ 13,; 6x2___1n@f* 39.r+ 14 1e;*+24.±+9' 2ofi+7.± 6 3 1 5.1' 42.12 12.=f '*+n.±+(›_ 612 5.: 6 ss. 12+7.›; 12.r ; . ar* m+12 34x2+32.r+3 1 H ~ |2.x1+u.; 5 24.1 =+34.±+s .11 3¿y+2;~=¿_v*+2.±y 312 xa 21)* 3y2'}~¡"+4.r_3u+3.r3 6., .____›f «ff 12›f. fu 3 +. 12; 2»ff I 61. 63. xa Bxy l8_v2 xl 7.111 + 633 ¿rj+¿r2 ?__¿r" 2x2 8 .tz 2x+l .r2+3:r+2. 2(.r + _v)1 + (¿r 1 ¿_) 6 è 3(.r + _v')2 (x + y): 3 ` 3(.r + _›=)2 2(.r + y) «I 2 .r 4 8.1: 2 9 ___.: l5.r lö x"+úx+' ) x2 .r 12 62 2(x y)1+3(_.r _v) 9 _ 6 1l(,r + _; ) 4 l7(.r + 3;) 9(x 31): 4 64. "ï_' 1 65. Zrz : 15.1 + l8_6.r1 + Bflx + IS ¿ lr; l3x +15 613 + 35.1' + 36 3x1 20;: + I2 * 91:2 + IS.: + 4 66. ' "_ " ' 2(I ' 3 f)* + 5( I ' y) ' _' ¡Z II II ' ' 3( I ø12+23x+21 41 1 1 14 2;) 1 + I0( 1 sx1+2m+2¡ 611 11.¢+1o'3x2 zf 21:ml 23.r+1s I' .v) 3 7.5 67 øperaclones combinadas y Fracciones comnielas 12;* ass + ls ¿_ 9.1* 23.» 1s_¿4_.¿2 + 19.1» + 12 ' 212 |v.=+3s ` asi 191 se 11€ 11; 36 68. ae* 23.1 +21_ 4.1; 1 9 __ìí___.__:._.ì 3.: +5.r 12 69 257 . es¿__? '=+.r 12 4.1.' +9.r 9 6x" 5x 21 srl ze; + 21: Ef __+_2s.i 5e_3s1+|o.r 12 ' 3.r¿" 20.1' +12 ' 31:3 ll.r 42 fir1+5.r 21 ss 1 4 4 ___ 111* 17.1 + s _ _4.s 2 + 13; : 112 70 ' 4.6 + 23.1 + 2s`s.r1 + 2.1 21 mi 19.: ls 15.6 ns 42 27.6 su zs 10.6 3.1 rs 11 ' 12.6 641 + 45 : 14si 75.1 + 54 54.6 21.1 20] 40.6 + sas gl [4312 + ses 1__ .ri + es 12] 7 . ., , _, . 2 101: 43.1: + 12 121:* + l43.r 12 llìr* 65.1* 28 Operacipnes combinadas y Fracciones comp|e¡as En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, asi como su multiplicación y division. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta seccion se usarán las cuatro operaciones en un solo problema gr también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida. Cuando no hay simbolos de agrupacion en el problema, primero se efectúan las neultiplicaeiones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sus lra ccioncs. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: 5 2x'+l sorucróu zi +6 _2.ri+5ir 3 .tí 4x+3'2..\'2 3.r+l L_ zr+1 = 1' + Ó. _.. si 4s+3'2.r2 3.r+1 5 _ zfs +3) ¿rar 1›(.f+s) 2.1 +1 o. 3›(.r 1141: 1›(.s 1) 5 lr +1 1 P 2{±r ¬Fl'3)| (x 3)Er TD 1 l 7 I RÃCGOHESMGEIINCIS .r 3) 2(2x+ =_5__._2_=L_______l! 2x+l (2.1 + l)(.1r 3) 3 .r _s.›.› 15;4.›. ¿_ (2.r + l)(.r 3) .›. 17 (lr i l)(.r 3) Cuando hay simbolos de agrupacion, como en el problema I x+2 Jr 2 se tiene la opcion de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los términos, dentro de los paréntesis. Esto último es mas sencillo como se ilustra en los ejemplos siguientes: Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: (1 ' _ï. 3+.L .r+2 .vc 2 solución (gg _ 41 )(§_ + 12 ) 1 .r i 2 sr 2 l .r(.r+2) 4x 3(x 2)+ = (.r+2) i (x 2) __.r2+2x 4.r_3.r 6+ 12 _ (s +2) rs 2) x2 2x'3.r+6 (x+2) (J: 2) .r(x 2)_3(x + 2) (Jr i 2) (Jr 2) =3x Realizar las operaciones indicadas y simplificar: x L 2x 3 +(x+ 9 _) 1x+9 solución (.¿__ l 9 )¿(¿+_9 )_.i(1r 3) 9_.a2.r+9)+9 "11 _3)_'" (2.1 +9) 21 3 ' 1 2.1' +9 ( 2.; '* 3.: size +9x+9 = (zu 3) " (zi+9› í Ii _ í (2x+3)(.r 3)_ (2x l 9) (lr 3) (2.1: + 3)(.r + 3) (J: 3)(?.r + 9) (Zx 3)(x + 3) 7.5 Operaciones combinadas 1 fracciones comprarlas Nota 259 Puesto que (a + Ii) : (e + d) se puede es . . a + b cnbir como (3 e' l d . podemos expresar I I+%) : (3+Í .r .r .r 4 1) x* en la forma 3 3 + ll 6 _ + .› .r xr 4 x _ 4 '5 x la cual se llama fracción compleja Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en fo: ma de fracción. o escribirlo en forma de division, y simplificar. A veces puede simplificarse facilmente una fraccion compleja multiplicando numerador y denominador por el mi nimo común múltiplo de todos los denominadorcs que intervienen. I] Simplifiear 4 9 3 8 7 ll' ii " E SOLUCIÓN El m.c.m. de los denominadores es 72. 4 3 sìws 7 ÍÉ(É__) '9 CIDLPJ Il=72 ïì"iš |¡)=42 44 '_' r›. i'“~' 'g I _.l_ § " 2"_2 A Siniplificar 3 ll 3+' Ó 4 j .r .r 4 I 4 :, 1"' 32 27 7 9 FIACOIOHESIIGHIÃICÃS ir SOLUCION 3 El m.c.m. de ios dcnominadores es .r`: 11 __ + sfús ~x l 4 _; Y 11_+ s) l O s1(s + ll Fi šfiufi * r* 4 4) 1 1* 11:1 li._r~_1:_§___(3.r 2)(.r 3) :sr 3 4`¶n 2m+e) s+2 3x2 + 4:: ¡car x 2 i 4. :r+2 “ 1: l 'I SOLUCIÓN El m.c m. de los denominadores es (Jr r l). x 2 ,r+2 ll' _ |)( I ' * 2) _"¡"¡('f'+2. srl 1 __ 1 11 tx 1)(.r _2)r l)(x + 2) 4 (Jr Lt l)(.r 22_=(:r l)(x 2) .r2+:r 2 4 .r'i+.x 6 _ 1 ¿:'Uf§_': 2) .I'_' (.r + 3)[.r 2) .r + 3 Simplificar Í) .+3+ I .r 4 '___7T' x +5 +r_4 SOLUCIÓN I El m.c.m. de los denominadores es .ir f 4 i+5+ É f~4 1 1 4. s~4 r' 1;íïi¿+_BL 1 1 s 4 __@ md+m+s _.¡I I n+s ts 4)(.r + 5) + 18 .ri +1 20 + 18 =å;¿;E=E;lE±ì2_¿;} :r2+.r 2 (.r+2)(x 1) x l 7.5 operaciones combinadas y Fracciones complejas 261 Simplilìcar I3 *'5*1;;T. 3 +;›_+~e4 'I 3.: s SOI.UCION .T s + 4» 4'@ 31 + (3. + I I3. "F He) ` | ï 5) 1 its si + 9 13 3.1' † I J = 31. + 2 + ir 5 gi |)¡Qx; 5) {Í3.r + 2) + 31.13%] _ (3.r;5_l|ï(3.r_+ lllx (3.1: + lll(3.r 5) + i3] 5)[3.r + 2) + l2] (3.1 silsrf 141 5 + 13] rss + lilstf 9.: lo + 12] (ss 5)(3.i1 14; + s) I _ _l í í (31: + I)(9.r: l`3.r 9x + 2) 5}(3.r 2}(.r 4) ` Eu + 1113.11 :nas 1) l3.r 5)Í.r 4) 1 t3_i›_+ ìÍr3.s 1) Ejercicios 7.5 I`:Ìèc1úe las operaciones indicadas y simplifique: 2 liïd' ' 2* x+3 . 3_. .i 2 3.r+3 " .rz lr ¡1 'hi' 1 É 8.1: 4 2 “T 3 :H + xl x 6 .. 2.»~ 5.1* 32.: +3.; 2 3.r'i+3.r _.t'1l+}›r:3'_å1t' 3 '3x2 3x+4x2+5.r+4 2.1' l 4 5 .r 3.1: i 12 .ri+Bx+i6 .ffisïfi 1 11:2 4.f 3s1+s,« 3 ì+*“s x I 4x "' llx 3"=_†“ x 9 " of 121 of 5,i+2 6 ' 2r+3x si 9 ††í lr +5.r 3 3 x+lí ) 0_x ({( 1" un L H__," ¿II H_lflú_ _ + I I 2__ ___4 _ _`|_. _ _¡|_ _ ,_ ,'lÍ¡"'l. .l`._"l`_\`¡ ¡I'l'.I. " X_ I_¿I 3_x l_x I Rm nnL _ I_ 2_ I I: 32 269 _+ _ 94 9E I 1 II 14 1 1 I ) 2_ 1 2 n"fl 1 ___* É 1” _ __” I _ ____"+ H I I un 4_ _ _JJm 3I _ 1 R BBMH_+__ h_+ _” 2 nn _ 4I II_ `_ _ I'_ _¡ _ 3 ¡I I I . ."`\ I r____ 1___ _ _ _ \|'_ _ _ _ _ k _ _ _ _ _|._ _ ¡ _ _ (I _ _' |\rn _`_ _ I_” _) I 3 l _4 ___”+ + Y _ _ _ _ |f + m+ 9_ _ I“___ 2 _ _,Up _ _ _|I _ _ ) 2 42 ¡L _) M __ (_ ___1_4 5 d__x ) l + t _|__x_) ( 2un H 3 M BT" 6 _ ++ I I I .. ___ I _ 2 _ _|___x ¡III I \__ l _ m 2 _____ll_ __ _?_x _____x 3__5__b _fi ) _ $ __? _? 8 B ü_I +_____ ____¿u______ _______ _____ 3 _ _ _____ ___' _ _ _ 3__)_ hM 1; 2_I 3____" ____¡í_ 4í_ _ 32 _” M xl! _) _l\_ ¡L _ )3' + 33 1 ) 3_ x__ B ¡Í 3 1* ¡ƒ_|_\f|_\ H M _ ___ __ I 2 +4 +___¡_ l gí ¡HK + ) _ 2 ___" _¡¡lI. . l"`\` B 2 Ifi_ _ _ ¡_I__"4 _ ¿X2 31 +_ 4ru4 __ ___'X 213 IX 3 ¡__ ¡___ 2 \_ _ _I ¡_ ' + _ _ ¡_¡I _ _ `_ _ ) B____+{(3+7+ M+_M_"_ I IX I _!! _ É(_ (__ _ ¡_I _` _ _ ú__ ______ ¡HK 4_x xl; 2 5 "___" 1 I ¡ix 1 + _ '¡_|__\ 3 I (__ _ 5 _ _ ._ |¡_ _ I _ _|__I) '__ 4 XII; 2í_ _¡ |`_ _ _ _ 2 1J Ii ' lÌ.`l""" 3_+ ¡V __9_x_) (_ I ) + 3 Í I I__+ |__x_) ¡IK (` (_ __|J __I 9_2I _) 4 _ ___ _ ü M H _Y 7_4 3 3í+ _4í+ (_( ) _) 32 37” ___ ___ ___” __” ) + 3 X 3 un ü üM Qü % un M y4a 1 ¡_i___________ X _ k 5 6 251_4¡_|___h __|__fi _5 + 6 xI _113 I x __h ___" _|_2__”_+ __ ___ + _ ¡____33 w _ ) __' _ I I m 3 i_J ¡L .__ 2 .I 2_+ ( _) 3%* ( MH 2 '_ 2_+ ¡px )) 7†+9†_ (( _ “_ I _) 2† '_ _ _ .I|_ _ "_ _ I _ _¡ _'I_ _ _ `_ _ I _ _ _ _ |I_'¡ _¿í_ ( I ___ M ) 4í+ M 4 _ M ¡_ |`_ _ _ _ ii _ ) ZÍ I + 3 ___" +¡l_ƒggü X¡_ ___ ¡uk H _M Q ¡III _” IK mi_ mT 8í_ TÍ _Dí+ ¡íh I_III ”_ `_ _ _ ______ ___ _______ I______¡ Mí+ 2í+ _4í_ fm H __+ _M __' 7_25__4 +_ h 32 2_2x2__¿x ¡_ _I II _m 6___ ___" _í '¡____ ___¡STD _l_” ¿___ñ__¡13___4H ì __ 2_3|_|__2_2_ _ _4 Ó3¿l2_š¿2l3š¡wš _) _+_ 3 4_x TSI _H __3________ |__|_¬_ ____¿_ _ + _ ___ _ +_ |_J_|__m ___J?¡__ I ___J___J ____ _f _5__|_ _9_ __+ _+__ Q ü wü ___!5 __D 3_2 __2_ _2____ 2__¿X 2 _ + H 5 254 7' un 2° mmmmnmmms 24 1_ H 16 _ _ .›_ 1 “'"¦,_,_,_. _,.› :r~ ¿_ 62. 8 4 15 _ :T i _ + 12 17 É; †_~ 3 1"' xI 63 E+l_¿ I: Í ' . .¡I uglï ¦"¢Í*'~J' “ ¡____._ "E" 3 mí t+_ 3.I'+3+ 275 6 ',_._.___ 13 .t+3 'F+I J: 4 2 I _;ï_ I _¿L n. Il 30 *“”+5ïì 1 **“*;?z 9 .r+5+ 78 2.r+3+ F2 .r _ 1 x _ x 2 x+2 x__ ___: _ :_: 2+.r+2 .lL"'_'3+%4 7L I 31 6 .r+l x l x+_ x _ M x+2 * x+2 8 1 _ .t+l .r I x__ _ .r+I L 3.1' _ 2 l Í ¬ x _ p4__l_ í. +x_3 í..¿+ _ 9+ _ Jr 4 2 3+n+2 m. 7 30 2. 9 r +.r+4 ¿L 42 zx.. .r 3 15 2x+3 í .r+l .x+ I 2 gíì s 1+2u _ m. % 2.1' _ í 2x 3 _ 5+§ïì x+2~š'x [É __' w x__i_ m. ¿ïlL 8 3.1' 2 I 'Ó+'2Í]' ii u 3 .rl2 L 22 x+_ 2xì_ 2 x+_ _' 2.r+S 67. .I l 4 ._:+.?.. ì ___' _ lr+_ ,_:+3 2.1 _ *"“"§%ì 26 w. ' .t+4 _ I" .I 3 x I 4 .t+2 ii .I:+l ¿ .t 3 n. .T ¡+3 F 65. 2 __, “L'4¬T_ï ¬; 3 I* I 2.1' +1 82. 9 I"'6'*_"2i *Í ë;l_äil u+_ m _ ii 85' 2.1' 1 2.x+_ u+1+m _ 7.6 Ecuaciones ltterates 87. (3.1: 83. (Jr 2 2.1: 265 5 _ )(2.t.'+l 5 )'(31: I ' _'i.r+ _ 3+i)(21+3 x+2 5 3) ,_: _ _ 6):(zx 9+Ä ) .r+_ .t'+2 __.+. _~f+ )_;.(M+_f›_).(,_f+5+; .r _ M (M1 2. 2.r+l 4 .r 2 _ %Íl)+(3x+4+ FI) (3.r+5+x_ Él) ECUBCÍOHES |Íf9|"3|€S Algunas ecuaciones, llamadas ecuaciones literales, contienen más de un número literal. Se puede resolver la ecuación para alguna delas Iiterales, llamada la variable. en térmi nos de las otras. De esta manera, asignando valores a esas otras iiterales. se obtienen los valores correspondientes de la variab_e..Para encontrar el conjunto solución de una ecuacion literal, se forma una ecuacion equivalente con todos los términos que tengan la variable como factor en un miembro de la ecuación, y aquelios que no la tengan, cn cl otro miembro. Se saca como factor de variable de los lermios que la contengan 1. ' luego sc dividen ambos tniembros de la ecuacion entre el coeficiente de la varible. Se simplifica la respuesta y comprueba sustituyendo ei valor obtenido para la va riable en la ecuacion original. Resolver la siguiente ecuación para Jr: 2_v sowctóu 2; 3; = s n=s n ___8 2)' .t ii), _ . . _ Por consiguiente el conjunto solucion es ._ obten 23 __2y 8 x 3 S ¿_ _ La contprobacirin se deja como ejercicio. Em Resolver la siguiente ecuación para .vz _::r(.r 3) =2(l solución 3.1: = 8. x) ao 3) =2(_ 1) ax 3a=2 2.1: a.r+2_r=3o+2 x(a+2)=3a+2 7 I' FRACCIONES ÃLÉÃICÄS Si nf + 2 af 0,, o sea, a =# 2, podemos dividir ambos miembros de la ecuación entre (cr + 2)' para obtener _,,_§_e_+_2 a+2 _ ,_ Por lo tanto. el conjunto solucion es Nota 3:1 + 2 m a =# 2 . Cuando a = 2. se tiene un enunciado falso. Resolver para Jr la ecuación Iiox + 4 = 2x + 6a. sowclófl swf + 4 =z; + en 3a.x .r(3a 2.1: = Ga 2) = 6a Si (3a 2) =f= 0, esto es, a #= por (3a 2) y obtener 4 4 se pueden dividir ambos miembros de la eeuaeion I _ í _ _ 'Wi _ 2 3:1 Por 2 . consiguiente. 3o el 2 _ . conjunto solucion NOÉB es {2 a 4= 2š _ 2 Cuando u = É. la eeuaei rm se convierte en una identidad. es deeir, un enuneìado que es verdadero para todo:¬ los valores de x. Resolver la siguiente ecuación para .r 3' eomprobar: a(.r + 2) = oi + 4(.t 2) sowclóu | a(.r+2)=o1+4{.1r 2) a.1r+2a=a3+4.r S ax 4x=a2 8 2a .r(a 4}=a2 2a 8 7.6 Efillãfiíflllfi HIEPHOI Si (a 4) ss 0, o sea, a ss 4. podemos dividir ambos miembros de la ecuacion entre (a 4) para obtener al 2a 8 .r ü o 4 (ti _ 4)(r:.t + 2) tt 4 =o+2 Para comprobar, sustìtuimos (cr + 2) en vez de x en la ecuacion original. PFÍIHGF fllfülflbfü S@g¡¡fl¿¡'g y,\¡|`g¡¡¡f)r¡) a[(a + 2) + 2] o2+4l(ct+2) 2] o(a + 2 + 2] a '*+4(a+2 2) r:t( :t + 4) rt2+4(a) a2+4a ai + 4o Por lo tanto. el conjunto solucion es {a + 21a es dl. Nata Cuando a = 4, la ecuación se convierte en identidad. esto es, un enunciado que es ver dadero para todos los valores de .r. l. ss Formulas son reglas expresadas por medio de simbolos o números literales. Se usan ampliamente en muchas áreas de estudio. Las fórmulas pueden considerarse como tt pos especiales de ecuaciones literales. Muchos problemas requieren resolver una for mula para una de las literales involucradas. La resistencia R equivalente a dos resistencias R, y R1, dispuestas en pa ralelo, esta dada por la ecuacion I 1 l R R, R; _.=._...+..._. Resolver para R y R1. 1 I. IN SOUCÓ l I R =R1+R2 R1 R1 R: ___R¡+ Por lo tanto, R = R,R2 R2 + R. _ 263 7 I Fflñflfíí ÃLGEBRÃICÄS L_._'__i R, R R2 R2 R :WT _ . Por consiguiente, RR R1 = 1 2 R2 R Ejercicios 7.6 Resuelva las siguientes ecuaciones para 1:, y compruebe sus respuestas: 1 4 Zy = y = 2. 5. .r t 3_v=0 3. x y+2=0 2x 331 =s 6. 3.1t+_v=9 7 S. 3.r:+2y= 12 !?'!ì“' + y = LACIJCI 9. 4.r+7_v=l4 10. 2.r + y + 3 = 0 ll. 3x+5_v+ |s=e 12. 4x 3y+l2= 0 13. ox 2_v+9=O 14. 3)' .r= 2 15. y 2x=5 16. 23' 4.: = 7 17. y 3.1' 18. 7_v 4.t'= 2 19. 2.1: + 5 = a 20. 7.1' 2 3a 21. 2a 2x=3 22. Sa 3.1' = 6 23. a.x+2=a 24. ox 3=o 25. ax 2a = 5 26. 4a 3ex 27. Se 5o.r=2 28. 3a 3a.x = 4 29. 2o.r a= 4 30. Sax 3a 2 31. str b = ct 32. bx b 33. 3a.r¬3o b 2a 34. ar y = 2 35. b:r+_v =4 36. tt.: y=b 37. ox by = c 38. o.r+by=c 39. 3ax=a.r+6 40. Tex = ' lex + 9 41. 6ox=l4 ax 42. 8ox=3c1x 10 43. ox = a 3x 44. ar=3o lr 45. 3u.t'=a+7x 46. 4.1' + So = Zea' 47. Sa x=o.r 5 48. x+l2o=4ax+ 49.11 3.r=cor 3 S0. 2x+a=ar 2 S1. 7.1: 4=ax az 52. a.r+2=2a1+ .r J: S3. 1+ Zwt = 402 54. a(x+l)=a2+2(x I) 55. az 4(x+2)=a(x 2) 56. . :t(2r+3)=2a2+x+l 2) + 302 = o(3x 4) 57. 2(.t' ss. su 3)+2a==a(1t 3 ) su +4) = a(.›.~ +1) 59. al 60. ea* 4(.t + 1) = «(3.1 5) 61. atar + 13) = 3a 1 + tot; t) 62. 3a(.x ct) + 100 = 4(3.r lüa 63. 3r1(.r + at) = 2(x + 4) 2) 64. 4(x + 3) Sa = 3¿t(a + x) oz = a(x + b) 65. 2b(3b + x) Iì í i í 66. El area A de un rectángulo es /l = tw, donde ¡es la medida de la base del rectan gulo, y tv es la medida de la altura. Resuelva para tv. 67. La distancia d'recorrida a una velocidad de r kilometros por hora durante t horas es d = rr. Resuelva para r 68. El área A de un triángulo es A = % bh. donde b es la medida de una base del 1 69. triángulo y h es la altura correspondiente. Resuelva para It. El interés simple I está dado por I == Prt, donde P es el principal (o capital) r es la tasa de interés anual y 1 es el tiempo en años. Resuelva para r. 7.7 Ecuaciones que contienen mociones atøeoraicas 70. 269 l.a fuerza de atraccion gravitacional F entre dos objetos de masas ni, y iii; es F o krtnrir 1 gy* , donde ir es una constante if (1 es la distancia entre los centros de gravedad de los dos objetos. Restielva para ni,. 71 La lectura Celsius de uiia teiiipcratura C esta dada por (I = %t_F 72. l ` es la correspondiente lectura en la escala Fahrenheit. Rcsuelva para F. La aceleracion niedia ri de tin objeto durante tin periodo de tiempo r es rr = iii "ri _ . . . . ' †, donde v,, es la velocidad inicial y if, la final. Resuelva para v,,. 73. 74. 32), donde El monto /1 acumulado en la inversion de un capital P a interés simple es A = P + Fri, donde r es la tasa de interes anual v r es el niimero de años. Resuelva para r 3.' P. l.a suma 5,, de ri términos consecutivos de una progrcsion aritmética es 8,, = H . . . . . . 3 (rr, i rr,,), donde ri, y r.i,, soii el primero y el ri ésiino terminos. respectiva 75. mente. Resuelva para ri v rr,. El ii ésimo término rr,, de una progresion aritmética es rr,, ; rr, + (ri Ud, don de a, cs cl primer termino y d es la diferencia coniún. Resuelva para ri y ri. 76. l...a distancia focalfdc una lente delgada está dada por % = di + % . donde Í) 77, Í r¡,, es la distancia entre el objeto 3; la lente, 5' di es la distancia entre la imagen y la lente. Resuelve para fy ri, _ La suma s,, de rr términos consecutivos de uiia progresión aritmética es ri [2a, + (ii 5,,. = ~ï . . _ . . lldl. donde ri, es el primer terinino y ri es la difcreiicia cointin. Resuelva para rr, if d. Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas Cuando uiia ecuacion contiene Fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se mitltiplican ainbos tnieinbros por el minimo comtin denominador (m.c.d.) de to das las fracciones de la ecuacion. Si una ecuacion se multiplica por el m.c.d. (que es un polinomio en la variable), la ecuacion resultante puede no ser equivalente a la original. Dicha ecuacion puede te ner tin conjunto solucion coii eleiiieiitos que no satisfagan la ectiacion original. En to dos estos casos, los eleineiitos del conjunto solucion deben comprobarse en la ecuacion original. Los valores de la variable que no satisfagan la ecuacion original se llaman rai ces extrañas. 7 I FIUICCIOHESÃLGBIÄICÄS Resolver la ecuacion .¿.i__L__5_ 4.1' 3.iri_o.r' SOLUCIÓN 3(_3.r) 9.1: Multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por t2 i 4 = 5(lr_l 4= IOJ: .r= 4 El conjunto solucion es { 4]. Resolver la ecuacion lt' _ 2=U. 31 4 SOLUCIÓN Se inultiplica la ecuacion por t3t ) li: 2(3.r 4)=0 lr 6x+8=0 4.i:= 8 .t:=2 El conjunto solucion es {2}. La coinprobacion se deja como ejercicio Resolver la siguiente ecuacion 3 comprobar 3 Jr 4 xí .ir 2x+3 sotucioiii í .ri 2x2 5.i:~ I .Í .›.~ I _. I '2_~¢+3_:›.t ss 12 .__±_.. l'¦Ii›'l.n¬l äl .i 1 2.1' F3 X” (2x+3)(.r 4) in.c.d. = tx 4)(2.v + 3). Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por (t (2x + 3)(.r 3) x(x 4) (zii 3.: 9) (si 4; 2.12 3:: 9 x2+ 4x x 4)(2¬t + 3) obtenemos 7.7 Ecuaciones que contienen fracciones atgenratcas Para comprobar, se sustituye 9 en vez de x en la ecuacion original. Printer mieriioro 9 s_ 9 4 .Segtmdo miembrri 9 m l8+3 162 45 I2 'É' 'iv 3. _' _ ___ . i<.›.iE,¿, Ui¬D\l.J'iO\ R í E '!_¡..J i_DO I L" E. E ss 'ss El conjunto solucion es {9}. Resolver la siguiente ecuacion: .ir 2” 212 si +3 3:; eii ri 3 sotucioiii Iv (lr 3 se zi 1 _ 31(3); + ll .r 2 (lr 3`l(.r _ ll {3.i: + l)(.t Al tnultìplicar ambos niicmbros de la ecuacion por {2.ir r 3](3:r + l)(.t' 3.=:(.r l) (J: 2)(3x +_l) = 3(2x 3) (3x2 3x) (3ir2 5x 2)=6x 9 3.6 3.i~3.ti+5x+z=sx 9 3.r+5.r 6x= 9 2 4.r= ll ,..u4 . _. El conjunto solucion es ll La comprobacion se deja como ejercicio. Resolver la siguiente ecuacioii .ir 13 '3_›.†i"ï=í__ 131:: 27.1' + 4 X 3 comprobar: sotucio. ii 2.1' 5 .t 3 zx s_ .t is 3.: 4`s; i"rss tits; 4) 3 1), obtenemos 7 I FRIECIONE5 MÉMCIS Muliiplicando ambos miembros de la ecuacion por (6.1: l)(3x 4), se obtiene (6.r l)(x 3} [3.r 4)(2.x 5)=x 13 (6xi l9.r+3) (612 23x+20)=x 13 (tri 19s +3 6 xi'+23x 20= 13 3:: = .r= La I ä li ¡ut 1. 1 4 1 ; r 1 I Al stistttuir 3 en vez de .ir en la ecuacion original, resulta que cl denominador dc la priniera fraccion se hace cero. Puesto que la division por cero no esta definida, el con junto solueion de la ecuacion es 21 EÍGFCÍCÍOS 7. 7 Resuclva las ectiacioncs siguientes y compruebe sus respuestas: 7 3 l.;~¬Z, § 5 2 5 l Lïr *É 2 z,¿_1 .ir .ri 2.1: ¿,¿_¿ 41' 21:2 1:2 7 4' 4; _ 3;. _ ti 3 1.2.1' 10. I 5 ¬= tt 3r 3 1 .it Z?. 2 x+2 5 9 13. 3x_2 1 3.1' 1 š_2__ 1 .r * 2'. 5 *=" .=r+4 o .tz 41 2.: 4x 1+±_¿_ ox .r2_9.i:2 _¿_ , 21' 3 ¿_3=,, 0 4.1* m . h_5i =o l_í_H 4 _5_+3= I 9. 2 3 I3 3.1 l' sx 2 .ir l 11 2 0 :r+5 3 .t l 3 .ir 4 3 4 zz i=š I I 5 2 9 22'.r+4+2.x+5_4.r¬` lO 23' M'ss +fi_,? , i i ¡+4 sum 5 H__±_s¿_=___ zi 4 s+2 4.1.. +3 3 2 4 ” ;?3"rrï sia 28 , 7 _ 5 .ir l 3 = l .ir 2 lr 1 I 3 2.r l+3x+2_4x 2 2 l 1 ”*i+i s 4"sss 29. 4 2 .ir 2 3 _=í 3 .r 4 21 7.7 Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas l 4 7 1 I l 3° m'ï.=¿"3.t+9 3' íñïïfsrm 32. 3 ¿._+ x+l 34. ¿_=.íL_ x 2 xl x 2 3 3 7.r+l9 9 +,_ = _ x+3 .tt +5.t+6 x+2 ss. 7 3 9x+26 36' .x 6+.1t+4_.i:2 2.: 24 ¿_+i_=ïíL 2.! l l 6 37' x+3 2x 5 2.12 3 ;r+2_x l=.t†2+.r 2 40. 2 2 "i 'í+' ií= ';L .ir +5x+6 .ir2+x 2 .t:2+2.t 3 41 .___.;xí._+i;4_í _¿.í_ ;5____;_ 1 ';2+2x 24 42' x2 .ir 6 s*+4.t 12's* sx+s .i:1+.r 2 .tri 4x+3 ,, '2.i:= .__f›____¿_ _1*›__ ' ss 2 312 sx+4`s;2 1 2 4,, __ *í___«*i__.._l_ '2.f2+s.i 3 2x*+3.± 2 .s2+si+ti ._| 2 3 _ 6x +7.: 3 3x l 45' 2x+3 Jr +2 x+o 46 41. J: 3 31:2 _'=†'“' 4.1: l 4.1' +2311 6 .ir 2 _ 212 3x .ir 3 3x +14; +8 3.i:+2 , __ ví x+4 .r+l .ir 2 x2+6 48' zx a`s.t +1=si* 'uf 3 ,, ' x¿._¿=_._10__ 3 21 1 2x2 Tx l 3 S0 Jr __ 4 __3.t2 11.1' 5 '2.1 +1 5,_ si i 1512+; i 2.6 _2f__2í“fli$_=_fi_. 3x+4 3.: +'l9x+20 x+5 2x2 7x 4 3 l0x+5 6 ¿+ † _=_ 2.1: l Zr 7x+3 Jr 3 3, ' ¿__¿=._›=_¿ 3.1: 1 lx 3 611 1l.r+3 39' x 4 9 lr 59 2.: Tfllxz .ir 21 7 I FIICCIUHES ÃLGÉÃICÃS _¿__Ei;&LLE__å_. 52 n 2 mP+m 6 "u+s ¿+1 2.1' 3 ¿i:+i__ .tz 31 4 Gx: l7x+l2 53. .ri 2 2.1: l .t'+2 5* m'1T<›3ñ"'añ=_m 2;: 3 +_.ir 4__ 3.1: .ri .ir 2 Jr: 5.r+6 x2 2.1: 3 S5. ;+s 56' r i _ u 1 .1r2+3x+2+x2 Jr 6_.r1 2x 3 3x+l 57 _ xk o iz _ .it 5 E im+a4"fi 2; s 3x 4 58. 2x 3 _ oi ms+5 .i: l _ ze in+i5 2x+l mi Ms+3 3x 2.: 5 ox _'_i__"`__'=_ïí' 6x :_ l l9x+3 61 +l7x 3 36.1' l 59' 8.1' l _ 2x 7 m __ .ir 5 'añ 7; 3 ze iu+i2 mi us 4 n+s _ n 3 H n+m 61. zfl ss 3 mi+h i 4% in+3 62 . 63' 64. x2+l 3.it+l __ '¬.*'* ' "=l x2 3.1' 18 sr* 5x 24 J: l Jr l 2 4x+5 2:2 7.r+3+2.1t2 5.: 3_4.r2 l n 2 + n+s _ n 5 iukim zs mP+n 2i"os n1+u 2.1: I 7 1* .it 51 l $ 3?.I+ÓÚ.li' 27 '+"ï _*= 1_ " 24.1' * +5Ú.l' 9 43.! 2fiX+ 66.. _¿i;ì___jìiì_=, 7_ 6 .tz 7x+i0 .ri x 20 .ic l 3 x 3 __ 'I' __.____=_ _ .ir1+.r 3x2+7.i:+4 x2 2.1' 68 _..._.._í_2x+I +._.ïiç__ ' 41:2 4.r+l 2x2+7x 4 í.._.ì.ï .i:2+.t: l2 7.8 PFOIIIEMBS DIBMGOGOS Cflll Dãiäflfãã 2?5 PFODIEIIIBS D|3IÌÍ.'€3dO$ COI1 D3|3b|"ã$ Las siguientes constituyen una ilustracion de algunas frases y problemas verbales con sus equivalentes algebraicos: 1. El denominador de una fraccion supera al nuiiicrador en 5. ¿Cual es la fraeción? Sea .ir el numerador. El denominador es .ir + S. i La fracctoii es lx x + 5 . 2. ¿Cut il es la fraccion cuyo numerador es 2 unidades menor que sti denoininador? Sea .v el denoininador. El nutiierador es .ir 2. _ .. .tr 2 La traccion es ir . 3. Si 72 se divide por x. el cocieiite es 5 v el residuo cs 7. ji 5+ l. .v .ir 4. Si un hombre puede realizar un trabajo en 40 horas, ¿qué parte del trabajo puede desarrollar en 27 horas? El hombre puede hacer 4% del trabajo eii una hora. El hombre puede realizar %å del trabajo en 27 horas. 5. Si una persona puede efectuar un trabajo en .ir horas, ¿qué parte del trabajo puede desarrollar en '2 horas? . l . En una liora la persona puede hacer T del trabajo. En 12 horas. puede realizar del trabajo. 6. Si Arnulfo puede desarrollar un trabajo en 72 horas y Bruno puede hacer el mismo en 96 horas, ¿qtie parte del trabajo pueden efectuar ambos trabajando juntos du rante .ir horas? Tƒerrtpo de Arrnrifo .soio 72 horas Tiempo de Brtmo .solo 96 horas Tiempo de trabajo en conjunto .tr horas_ 7 I FRICCIONB'ilI.GBRiIICA$ Arnulfo puede realizar del trabajo. J Bruno puede efectuar É 1 ¿T del trabajo. Trabajando juntos pueden llevar a cabo .§% + 5% del trabajo. 7. Si el agua que sale de una tuberia puede llenar una piscina en 30 horas, y la de otra tuberia en x horas, ¿qué parte de la piscina se llenará en l l horas si ambas tuberias se abren al mismo tiempo? Tiempo de la primera tuoeriitt Tiempo de Io segimdrt Tiempo en conjirnto 30 horas .ir lioras ll horas _ _ ll _ _ La irimera tuberia llena ã Ó de la piscina. _ ll _ _ La segunda tuberia llena T de la piscina. I ll _ untas llenan 3 Ó + ll _ _ T de la piscina. ¿Qué número debe suinarse tanto al nttmerador como al denominador de la fraccion gg para que resulte una fraccion igual a .É ? SOLUCIÓN Sea .ir el número que hay que sumar. å±_›*`__å B+;"7 Multiplicando ambos niiembros de la ecuacion por 7('i3 + x), obtenemos 7(25 + .r) = 3(73 + Jr) l75 + 'lx = 219 + 3x 4x = 44 .tt = ll El número que debe sumarse es Il. El denominador de una fraccion simple excede al numerador en 32. Si se _ ._ 5 suma 3 al numerador y 7 al denominador. el valor de la fraccion resulta ser 8_ En contrar la fraccion original. SOLUCIÓN Sea .ir el numerador de la fraccion, entonces el denominador de la frac cion = x + 32. 7.8 Pl"0H0|II85DliI'IIO3fl080DlIP&làlIf3$ La fracción es asi, E . .r + 32 .r+3 5 _í= obìen x+32+7 3 x i 3 i= â .r i 39 AI multiplicar ambos miembros de la ecuacion por 8(x + 39), obtenemos 3(x + 3) = 5(x + 39) 8x+24=5.r+l95 3x=l7l .r=57 . . _. 57 Por consiguiente, la fraccion es 8 9 . Un número supera en 34 a otro. Si el mayor se divide entre el menor el cociente es 3 y el residuo es 2. Determinar los números. SOLUCIÓN Sea .ir el número menor y Jr + 34, el mayor. x+34 2 .í.=3.|... J: x Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por Jr, se obtiene x + 34 = 3x + 2 2.1: = 32 x = 16 Por lo tanto, los números son 16 y 50. El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 5 al de las unidades. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el coeficiente es 7 y el residuo es 3. Hallar el número. SOLUCIÓN Drjeiro de las unidades .r Drjgifo de fas decem:r.s (Jr + 5) Suma de los digitos = .vr + {.1r i 5) = 2.1' + 5. El número = .ir + l()(.r + 5) = llx + Ilx + 50 3 2x+5 2.r+5 _.._i._.....='7_¡._......í AI multiplicar ambos miembros de la ecuación por (lx + 5), se obtiene ll.r t›50=7(2_r+5)+3 ll.r+50=l4.r+35+3 3.r=l2 .r=4 El número buscado es 94. 7 I FUNCIONES ILGÉIICAS _. . . 1 Si una persona puede realizar un trabajo en IO horas, entonces puede efectuar 16 del trabajo en una hora. Esta es la idea básica para resolver problemas de trabajo. La parte del trabajo realizado por una persona en una unidad especifica de tiempo mas la parte del trabajo efectuado por otra en la misma unidad de tiempo es igual a la parte del trabajo realizado por ambas actuando juntas durante la misma unidad de tiempo. Si A es capaz de hacer un trabajo en 55 horas y B puede realizarlo en 66 horas, ¿cuanto demorarán efectuando juntos ese trabajo? sotuctóra A B AyB 55 horas 66 horas .ir horas A puede efectuar š] 5 del trabajo en I hora. B es capaz de realiaar àã del trabajo en 1 hora. A v B pueden hacer _ Entonces 1 55 + del trabajo en l hora. l 66 __ _L _ _* _ I Multiplicando ambos miembros de la ecuacion por 330.1', obtenemos úr+ 5x= 339 llx=330 x=30 Por consiguiente, A y B emplearán 30 horas para llevar a cabo el trabajo juntos. _ . 4 . . . A realiza un trabajo en 5 del tiempo en que B lo efectua. Si A y B pueden hacer el trabajo juntos en Iütl horas, ¿cuanto demora cada uno en realizar el trabajo solo? Sflwctóu A B g .tr horas A 1,» rr Jr horas 100 horas A es capaz de hacer ¿L del trabajo en 1 hora. š 1' B puede realizar del trabajo en 1 hora. A y B juntos pueden efectuar del trabajo en 1 hora. 7.8 Protiteniasptaimiadosceri%I›ras _'_+.'._._ì_. 4 r 5 x 100 ob bere “q”4_m5“m' t~ u~ I 'É 1 i , _ . f š"l 'I' 'É ì+l.___'_. 4_r .r 100 Al multiplicar ambos miembros de la ecuacion por l00x, obtenemos I25 +1010 .ir 225 I Por lo tanto, A puede efectuar el trabajo en %(225) = 180 horas B puede realizar el trabajo en 225 horas. Un tanque puede ser llenado por una tuberia eii IS horas. y vaciado por otra en 20 horas. ¿En cuanto tiempo se llenará el tanque si ambs se abren simultá iieaiiiente? SULUCIÓN Primerrr tirberiir IS horas _ _ Segiirtrfu tiiìierfu 20 horas Ambar iirberrrrs .r horas I La primera tuberia llena ¡T del tanque en I hora. La segunda tubf ria vacia del tanque en I hora. 1 del tanque en _i hora_ Arribas llenan T 1" L__.l...' 15 20 .r Se multiplica por 60_r. 4.: 3.1* x í í í í 60 60 Por eotlsiguiettte, las dos tubería i llenan juntas el tanque eri 60 horas. EÍEÍCÍCÍOS 7.3 I. ¿Qué número debe sumarse tanto al nuriieradiir como al denominador de la frac _ ción 10 _ _ _ _ para obtener una fracción igual a É ': 27 1 FIÃCCUÉILÉÃICJS ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción % __ _ 2 para que resulte una fraccion igual a Í? ¿Qué número debe restarse tanto del denominador como del denominador de la _ Sl __ _ 2 fracción É para que resulte una fraccion igual a 5 _ ¿Qué número debe restarse tanto al numerador como al denominador de la frac ción % para obtener una fracción igual a É? ¿Qué número debe restarse al numerador v sumarse al denoiniriador de la frac __ 59 __ _ 29 cion É) Í para obtener una fraccion igual a .T _ ¿Qué número debe restarse al numerador y sumarse al denominador de la frac _ _ 113 ._ _ 3 _, cion Í É Í para que resulte una fraccion igual a ï _ El denominador de una fraccion simple supera en 5 a sii numerador. Si se suma _ _ _ l l al numerador y 2 al denominador, el valor de la tracción es 3 _ Encuentre la fraccion original. El denominador de una fracción simple supera en 4 a su numerador. Si se suma _ __ 2 _ I al numerador y 3 al denominador, el valor de la fraccion es í. Determine la fraccion original. El denominador de una fraccion simple excede a su numerador en 5. Si se resta l al numerador y se suma 2 al denominador, el valor de la fraccion resiiltantc es â _ Halle la fracción original. El denominador de una fracción simple supera a su numerador en lo. Si se rcst.a ll al numerador y se suma 3 al denoniinador, el valor de la fracción resultante 2 __ _ _ es 5 _ Obtenga la fracciori original. El numerador de una fraccion simple es 7 unidades menor que su denominador. Si se suma 2 al numerador y se resta 2 al denominador, el valor de la fracciún que _ 4 __ _ _ se obtiene es É. Halle la fraccion original. El numerador de una fraccion simple es 24 unidades menor que su denoininador_ Si se suma S al nunierador 1.' se resta ll al denominador, cl valor de la fraccion re 6 _ _ _ sultante es .Í _ Encuentre la fracción original. Un número supera en 22 a otro. Si el ni'imero mayor se divide entre el inciior, el cociente es 3 gr el residuo es 6. Halle ambos números. Un núniero excede en 94 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 4 y el residuo es 13. Obtenga ambos números. Un número supera en 79 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 5 y el residuo es ll. Determine ambos números. Un número escede en 141 a otro. Si el mayor se divide entre el nieiior, el cociente es 4 5' ei residuo es 3. Halle ambos números. El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede al de las decenas en Ffüblfllilãfilllifllffiãflflififllìflflållfflã 281 5. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 3 ji el residuo es 5. Obtenga el número, El dígito de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en 2. Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo es 2. Encuentre el número. El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas. Si el número se divide entre la suma de sus digitos, el cociente es 4 ji el residuo es 3. Halle el núniero_ El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades, Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 7 y el residuo es 3. Determine el número, El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede en 2 al de las decenas. Si el número se divide por el séptuplo del dígito de las unidades, el cociente es 1 y el residuo es 4. Encuentre el número, El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 6 al de las decenas. Si el número se divide por el triple del dígito de las unidades, el cociente es l jr el residuo es 4. Halle el número, Si A es capaz de hacer un trabajo en 78 horas y B lo puede desarrollar en 91 ho ras, ¿cuánto tiempo emplearán en realizarlo juntos? Si A puede efectuar un trabajo en 35 horas y B puede hacerlo en I4 horas, ¿citan to tiempo demorarán para realizarlo en conjunto? Si A puede desempeñar un trabajo en 104 horas, v A jf B trabajando juntos lo efectúan en 40 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo solo? Si A puede desarrollar un trabajo eii 110 horas ji A ji B trabajando en conjunto lo realizan en 60 horas, ¿cuánto tiempo demora B en hacerlo sólo? B demora el doble de lo que A tarda en realizar un trabajo, Juntos, terminan el trabajo en 4 horas. ¿Cuanto. tiempo empleará cada uno en efectiiar separadamen te dicho trabajo? 4 _ _ _ _ A demora É del tiempo que emplea B en hacer un trabajo. Si A jr B juntos pue den efectuar el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tarda cada uno solo en realizar ese trabajo? A demora 3 del tiempo que utiliza B en hacer un trabajo, Si A y B juntos pueden efectuarlo en 12 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en desarrollar dicho trabajo? 2 _ _ _ _ A demora 3 del tiempo que emplea B en hacer tin trabajo. St A y B juntos pue den efectuar el trabajo en 36 horas, ¿cuánto tardará cada uno solo en realizar ese trabajo? Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 10 minutos, y por otra en IS. ¿Cuánto tiempo demorarán ambas tuberias en llenar juntas el tanque? Uri tanque puede ser llenado por una tuberia en 42 minutos, jr por otra en 56 mi nutos, ¿Ciiáiito tiempo tardarán ambas en llenar el tanque juntas? Una tuberia demora el doble de lo que einplea otra eii llenar un tanque. Si ainbas tiiberias juntas llenan el tanque en l2 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo sola? _ 2 _ ,_ Una tuberia demora ï del tiempo que emplea otra eii llenar un tanque. Si am bas llenan el tanque juntas en 6 minutos, ¿cuánto tarda cada una en llenarlo sola? I' FRÃCCIOÉ ILGÉIIICIS Un tanque puede ser llenado por una tuberia en lS minutos, y vaciado por otra en 24 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque si ambas tuberias se abren al mismo tiempo? Una iiiberia de abastecimiento puede llenar un tanque en 35 minutos. ¿Cuánto tardará un sistema de dreriaje en vaciar el tanque si cuando ambos sistemas fiin cioiian simultáneamente, dicho tanque se llena en 84 tninutos? Viviana manejo 5 millas a través de la ciudad en el mismo tiempo en que manejo 18 millas en carretera, En esta velocidad fue de 39 millas por hora más que su velocidad en la ciudad. ¿Cual fue sii velocidad media en la ciudad? Felipe manejo 12 inillas por la ciudad durante el mismo tiempo en que manejo 19 millas eii carretera. Su velocidad en ésta fue de 21 millas por hora mas que su velocidad en la ciudad. ¿Cuál fue la velocidad media en carretera? Susana y Jaime emplearon en manejar 15 millas, el mismo tiempo que utilizaron en volar 100 inillas_ La velocidad media del avion fuc de 8 mph, menos que el séptuplo de la velocidad del automovil, ¿Cuál fue la velocidad inedia del coche? Guillermo tardo en manejar 30 millas el mismo tiempo que le llevo volar 378. La velocidad media del avion fue de 20 mph, menos que 13 veces la velocidad del automovil, ¿_(Íùá| fue la velocidad inedia del avion? Repaso del Capítulo 7 Ltecrúe las operaciones indicadas gr simplifique: l03_r'Ív" 2 l5'i_t2_i*'¡' lo1_r'“_i~“ ' 6.r1+6_r í 3_r5 1 3x3 5. 3 lš3_rf'_jr" ' 3_r1+li' l c 9_r" l 361:: l9_r 6 llri .ir 6 6. l. 0 6 4 ,r + 3_r 4_r 7_3_r 4 13 ,rr 2_1_r 3 .i'+l 2_r 3 .ir 9.1' .r 3 si or 9 ' is. 4 24_r: H 361:" 7,1' 5 li' ñ .r 2 19' ,r _i'+l 3 22.í .r 3 2.r+l 5 x3+_ir 2+.r2 .ir 6 5 _ lr 5.1; 7 í .t 3 _i.' 5+_r 4 2 X _r+2 4_t"1 + 413 24 x:+2Z1'+3 _.;, __ 4x* 13.1' 12 fi,r3+7_i 3 s_ 4 ll_r 3x2 2 3 I ¬ .r 4_r + 7,1: llr 21:3 + 2.12 7 2.1:: ,t'+4 Jr 2 M' 2.1: + 4 + .it + 2 11. .ir 1 í .r 4 Zir 2.r+l+_r 4 2 Á ,r 2 25' _ 8 2 ¬ , _i:'“ 3x .ir 3 í 3_r 12 Jr 20'3_1r+2+2.1r I 2x . í 23 ?_r+3 3_r _ 3_r 2 4_r+5 3 2.r3+5_r 3+2x2 5_r+2 Rfifläiüflflfiüfflllbï 4.1: +4_i' 4 ze. 3x, 21 3 3,1: 2 l ,ir e + 2 27 ' se 'ht 9.1: 2.r+'?_›: 4 + 4x 4 3.1' 2 l tu+3 2.1: 2x+9_1r+ 3 _ 6 3_r 4 1:2 2x 3 ' 3 __'?r+l si ' .ir3l .rï+_ 2 _r' 3_i:+2 7_r+4 :+3 30. _ ¬. _ 3_r1 l 2x 8 3_r* ,r 4 3 32 '_t'+l 2x+3 l3.r+4 _5_+ 4_r+3 _r+2 x2+3.r+2 .ir 4 2x t 2 ,ir l 8 __________._ì__¿_ _r2 3_r+2+_r3+2.r 3+.r1+.r 33' _2r 2 21 9 _r+'l 34'.it zi s+.i1 1. ;+iz+_i1 1 e 31.' l~2 Jr l ll .lr l I x"+3.r 4 _ir+_r 12 Jr' ____:i 4_r+ lis. r,'_' "' 1* zm l _, 2x l _ 3x l 3x 7 .tz .r 2 xl 2.1: 3 + J: 2 51 +6 36' 37 7 'zv2+s. t 3 38 ,ir l 2 4 x+4 + ef? .i i + _ ,ir 5 + ox ' of 4_t 3 '?_r zv2+.r 6 __] 2x 3_ti+iei +3 .ir l 2.i1+5.i ' _ x +2 2 39' 4.t1+.t 3+at= tei+3+1 .t« 40 4I_5 _ 'sii 1i_v+s 41 42 43 '.f_3 ex* .v 2 5,1: 3 2__r I + lr: .t+4 s+s.i zii 2ir+l "li_tf si +z+¡zi 2 '1.t+i_3.›;1 7_t+2 '7_r+ ll + 2_r ll) ','›_i "f+'i_t+3 si 2 si 4 izstjr* seais' _ i _ 64a"b2 45 28x3j' l›:2+7_ir_3x3 _r ' 9;* :ti 2 tu + zs _r2 __r 2__r3+4,r L2' 47' il* 4.i+4 .v2+zi +6 49 oi i_'i_r+ i__3.i2 4_i 4 ' 3x2 101: 8 4_r2+7.ir 2 4.1' 14 +ì_, iz si í 3x' 44. 32r.i2b 75_r_v3 'if ' 'iii l25_r_v 48ah 46. .ri ,r 6 1: .r l2 .r2+5_r+6 xl l0x+24 48. _r2+ll.ir+28 .ri l llr+27 ,i'1+l0x+2l .r2+l3_x+36 50, 1 I 4; =+1zv+9_6x1 |is+4 6_r2+7x 20 4.r2+4_r 3 7 I FlÃCCI%.lI.G$'.IlCI$ 51. 27a"r›' _ atrae* mi ¬ T3 los y S2. 321 ji 534 äb 13 ba S2 *'35 fi = 'xy": ti =› É abc “_ xyz' 55* 57 ' 23a"b3 _ 42a5b" aab 31x21, "' lszxsya " 539.1 _i 2+14x+24 S4 abc _r";vz 56 ray": _ xjr3z4 a3b usb: 'í' azbz ` 58 ' x2+t2_i+2o 60 h Í i I' 4x2 2l_ir l3 1 62 65. 70. 1* 16x+43 Gx* l7x+l2_ si tax +72 ex* .r 12 l8+9_r 212 x2+2_r 24¿_r2 5x+4 x2+5_r+6'2 .r x2 69, ¡#922 _:_ 159322 _ abafz 439463 4452€; 12);2 Ã 64. 63. _tjvz ' 12;* 7.: izfizv *+zs.v+ is rss izti ¿$11 31_i+is_ ai* zsi +20 'ef 3sx+3s 67. ibcït si 13x+3e .if tsi. +54 _ í + ì 4x2 41 :i`s..t2 i:u+s «ui at 9 zi* :ii 9 1 Égãxy' ìb 12 GL _6xì_+'?.r+z_9_r2+12r+4 _ 49_r y 3 12 x3y2z è .rsyazi _ a3b3c a2b"c2 ' albúci _r2j›"'z .vf+is.›i +3t ;__.±=+i3.i+3o ss. _ í _ 63 zii. *iii _ tania* 'm _ í, 66 2ir2+3_r 2_2 .ir 612 '2 5.1' 3.r2_"3x2+8_r 3 x2 6.r+8__r2+7x+l2____r2 9 .tf 2.: 24 si 'u+io`.i~2 se s.i2+_t 1 _at2+ii_~i io__ si "= .v 2 411 4.: 35iz,i2+23_v 9`s.v= ir.: 14 Ex* 41r+27¿ 2r2+7_i: 72 _8x2+73s+72 2412 5.: 3e'12t2+iix se mi 4i.i±+24 301* in. 21_;_ 612 43_t+42_511 46; 40 1212 i2s_v+so` 2 ti* '4s,i+is ita* su 9 .ir lr:"'+6x 2x2+3_r 2_ 71__í.___†_._.____ï 2x 3 4.1' +7_t' 2 2x l 5.1: 3 72.. 3_ir2+l2x _2i:3+3__r+l 6.r2+_r 1 _r2+5_r+4 ,ir .ir 3 41 31_,_ 42 5 ¡3_ .2.1 ;ï_i.1_É___ *__ x +4x 12 4x .r +3_r+l2 ox: ox _2_r1 5.r+3 74' zx 1_ru2+i3_ _ +s¬' ii. (1 +x_3)(i ¿__ 2) I _r+3 l 412 9 ' it. (i_x_+3)(i x H) 10 2 RBIIIWGEICIFÍÍIIIOT «alivia ei 77 _r+4 6 ___2_______ _›:+3) 79 <~+><~e) _r+2 _I'+4 il _ l 7' x+3 _]_+...í_. _r+4 7) ' (I 4+ 'E' ) 3i'_+ l É el IPT El 81 !'F `“"._ 3É l+í(x+3 L) x I*H JD ._*¬ ._ ."_ _,. _ _ _ _r 8 _(_»+i r "' """_" ," ¬ 1 " " _"'k›"' 1"" __ 14 ,ir t 5 ~«__. flì' 3.1' 2 H +"_ '* te V H _. 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"';*lr* ,f" ' _, "'* ._ "' “¬_,›'*_ )( 5 _ n ze n+h+4)†(m+s+__3) _3.1:%)_.(t_ ._.._2›.1_).(i_+i+_%) _r+6 I7 _ .it + 4 7+n+z)`(h+3 13 ze J b+5+3e Q Resuelve las siguientes ecuaciones para ,r y compruebe sus respuestas: 113. 3.1: 2_v = 4 II4. t1s_2j_~ ai›=a se 119.3 51 6_v = ll) iii. š+š=e Q_ __ 9 115. ax + 3)* = tt z 3 its. É" i f=i r+i y 4_ 120. 3+ 2 3 121. ?(2x5 ll yšâ 123. 126. ax a=_i' 2 ax a2=?.r l l 124, 122. a_r a=3 3_r a_r+b=a br 125. a.1r=a2 4x 127. ax a=a2 3.: 6 123. 2a(_t+3j=saf =~3(_v 3) 129. zar.: 2a+s)=9(_r 1) 130. 132. 131. 133. 3(x 3)=at_r a 5) a(2_ir 5) =2a2+3(_r 4l 5(l .i:)=2a(.r 2a 6) a(4_r+ l)=2a1 6(_ir+ I) tteiimiieicairfruior 134. 2a(6x 5) = 3a2 + 8(x 1) 3 l_ ï 36 2x t l 138. 135. l l = 3x 4 4.›:+2 2 3 _ ,ir 3+_r+2 (Jr 2a)2 _?. 3 _ ¿_ U7 3x 5+lr 4 3,1 l 7 xl .r 6 139 7 _ lr l 3 5 _ ._.,_._._1.___ì_1_fi_. .ir l 4 3,1: ›2 3.1' +10.: 3 l 2 2 141' _r2+3_r+2+_r2+_r 2 _r2 l 142 __§_+__!_. ' .cz .ir 2 Z* _ x2+4_r+3 '_r2+x 6 l 10 5 143.' _ í* ¬ " 1% _ “ 2_r2+_r l+?.r2 7_t'+3 x" 2.1: 3 mi 2 x' 21 3 _r3+.r l2 5x .ir x2+5_r+4 3 5_r 145' lr: Sx+2 ,ra l_3x1+x 2 146 _4_+_ìl'_l5."__L ' “__ x+5 7 _r3+8.r+l5__r l 3 _ 2x l 143 3 _: 3x+4 _ 'si +2 149 ' 2 4 _is_v+3i ox l~5_i: 4 ___l7_r IB tu 1 iz.t=+s_i› 2 .ir 3 .ir 2 2_1r+l _r ri .r 12 +2 .ir 5x+4"""z .r t “í 2.1: 3 2x l ___ ,ir 2 [50 '_r2+4_r 5 .ri l(lx+9 151 _1:+3 la 52 153 x1+2r 8 155 3_r 5 .ri .i 2 4_1r 3 2x l 3 lr 7 `_1l='_í" _r2+5_r+6 .rr .ir 6 xl 9 .ir I _ '2_t2+ii.i e 154 3x 12 ,tz 4x 45 _____2.r+l_ `_r*+5.r+4 ____r+2 _ 'sii 41 4 __?¿_t' 2 '4.v=+9_r 9 _t'+I __ ___! 6 3.1 =+i9_i+s"ai .i 1 __r 3 _ Si 3.: `= 7s+2`9_t1+3_i 2 _ .r+l (x + 3): = 0 __ 2x+l 2_›i2+9.i +sà±2+e_r 9 _ 2 J: 4 29 =í l?.r 20 ____r 10 _, lx* 9_r+ 7 FIICCIOIE MGÉÃICÄS x 2 r__ x+2 _: .Jr+l rss. 4; , 29.r+3o 512 21; ts 2011 13; 15 ts?. _ ,_ J 'T7 .+__ì†_'_=__2 *__ 20; 7,1» 6 x 2 inf' |t.›. 6 __ sf 3u+ ts .tr 3_ sf' ts.r+9 __ 4zf2 1u.›r 12 2r+l 1412 su 27 El volumen Vde una caja rectangular es V = Itvh, donde I, tv y h son la longitud, anchura y altura, respectivamente, de la caja. Despeje h El perímetro P de un rectángulo es P = 2(I + tv), donde I es la longitud de la base y tv la de la altura. Resuelva para w. Pl V. La ley general de los gases es T | Ps*/1 . ar a, donde P. y P; son las presiones, 1 If, y V3 los volúmenes y T, y T2 las temperaturas Kelvin. Encuentre V, y T¡. La adición 5,, de rr términos consecutivos de una progresión geométrica es S., = e,,r el ,_ : Í , donde rr, y en son el primero y el rr esimo terminos y r es la razón co mún. Resuelva para a,y r. El área A de un trapecio es A = '/rhtb, + bg). donde b1 y bz son las longitudes de las bases paralelas y h es la altura. Obtenga para h y b,. La ecuación del efecto Doppler del movimiento colineal cuando la fuente emisora . , v + v y el observador se mueven una hacia otro, está dada por f = f T_ v ¿L , don s def ' es la frecuencia observada, f la frecuencia emitida, v la velocidad de la onda en el medio trasmisor, v,, la velocidad del observador, y v, la velocidad de la I'uen te. Resuelva para v,, y v. ¿Qué número debe restarse del numerador y sumarse al denominador de la frac .. 86 .. . 3 ., cion É para que resulte una fraccion tgual a í. ¿Qué número debe sumarse al numerador y restarse del denominador de la frac . 67 ._ . 6 cion Í Ó Í para obtener una fraccion igual a 7? El denominador de una fraccion simple supera en S al numerador. Si se suma 9 . . 8 al numerador y 19 al denominador, el valor de la fracción resulta ser Í. En cuentre ia fraccion original. El numerador de una fracción simple es 19 unidades menor que el denominador. Si se suma 7 al numerador y 14 al denominador, el valor de la fraccion resultante es Halle la fracción original. Un número supera en 43 a otro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es S y el residuo es 7. Obtenga ambos números. Un número excede a otro en 77. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 4 y el residuo es 17. Determine ambos números. El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 4 menos que el de las dece nas. Si el número se divide por el quíntuplo del dígito de las decenas, el cociente es 2 y el residuo es 3. Halle el número. Retraso del Capitulo 7 289 El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera cn 3 al de las unidades. Si el número se divide por la suma de sus digitos, el cociente es 6 y el residuo es 7. Encuentre dicho número. Si A puede hacer un trabajo en 120 lioras y A y B demoran juntos 72 horas en rcali; :ar el niisrno trabajo, ¿cuánto tiempo empleará B en efectuar el trabajo solo? S . . n . A demora (T del tiempo que eniplea B en hacer tin trabajo. Si 1 A y B juntos pue den efecttiario cn 90 horas, ¿cuåitto tarda cada uno en realizar ese trabajo? _ 3 _ _ . Uiia tuberia demora T del tiempo que otra en llenar un tanque. Si las dos juntas llenan el tanque en 45 minutos, ¿ctiiinto tiempo dura cada tuberia sola eii llenar el tanque? Un tanque puede ser llenado por una tuberia en 24 miniitos y vaciado por otra en 1 hora. ¿En cuánto tieinpo se llenará el tanque si ambas se abren simultá iteameiite? CAPÍTULO 8 Ecuaciones y desigualdades lineales en dos variables 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Coordenadas rectangulares o cartesianas Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables Pendiente de una recta Ecuaciones de rectas Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables que contienen simbolos de agrupación y fracciones 8.8 Ecuaciones fraccionarias que pueden hacerse lineales 8.9 Problemas planteados con palabras 8.10 Gráficas de desigualdades lineales en dos variables 291 B I ECUJICIOIES 'I' DESIGUÃLDÃDES LIHEÃLES EN DOS VARIABLES Ett el Capitulo 4 se trataron las eciiaciones liiteales en uiia variable 3 ' sii soluciiiin. En el presente estudiarentos ecuaciones lineales en dos variables 5' sisteinas de ellas. Coordenadas recïngulares o cartesianas Cuando se habla de la cotttbiiiaciiiii de uiia cerradura. como por ejemplo SI, 200, se esta tratando coii lo que se llama una pareja ordenada de números. Es iiiiporiante sa ber que núinero se usa priniero _v cuiil después para poder abrir la cerradura. El primer iiúniero se denomina primera eompiiriente, o bien primera coordenada de la pareja, y el segundo es la segunda componente o segunda coordenada. La pareja ordenada cu yas coordenadas soii u y ii se denota por {u, fi). Para establecer la relacioit entre parejas ordenadas de números reales 3. ' puntos de tin plano. se construyen dos rectas numéricas pcrpeiidictilares, una horiaontal 1.' otra vertical, como aparece eii la Figura 8.1. eje _i' 4 J II .t I i 4 1 2 toni “tasa i eje .r i " 2 [kt 3 4 FIGURA 8.1 DEFINICIÓN Se dice que dos rectas son perpendiculares si se iniersectan forniaiido un iingtilo de 90". La recta nuinérica horir. ontal se llama eje ir, v la vertical, eje _i'. Se hace que las dos rectas nuinéricas se iiitersecteii en sus origenes. Los números positivos de la recta hori zontal se enctientran a la derecha de su origen. y los de la vertical, arriba de sii origen. Las rectas horizontal 3; vertical se denominan ejes coordenadas, v su ptinto de iii icrscccitin cs el origen. El sisteina coinpieio se llama sistema de coordenadas rectangu lares o carlesianas. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones denoiuiitadas cua 8.1 Coordenadas rectangulares o eartesianas 293 drantes. El cuadrante superior derecho se conoce eoino primer cuadrante. el superior izquierdo, coiiio segundo cuadrante; el inferior izquierdo, como tercer cuadrante; y el inferior derecho, como cuarto cuadrante. Dado un sistema de coordenadas cartesianas en tiii plano, cualquier punto P de dicho plano se puede asociar con una pareja ordenada de ntimeros reales, la cual se denota por (Jr, yl. como se muestra en la Figura 8.2.. Las componentes .i.' 3.' ,tf de la pareja Lv, __r) se llaiiiati r. riorderiao'u.s del punto P. eje _i Mmm 0 ìfí l eur FIGURA 3.2 l.a primera coordenada, .ir se deiiomina abscisa o coordenada .ir del punto P. La segun da coordenada, _v, se llaiiia ordenada o coordenada _v del punto P. La abscisa de un punto describe el ntinicro de unidades a la dereclia o izquierda del origen. La ordenada de tin punto describe el número de unidades arriba o abajo del origen. Se emplea la iititacitin P(.t'. Ji) Para iiidicar el punto P cuyas coordenadas soii tx, jr). Las coordenadas de tin punto dado del plano se pueden determinar trazando per pendiculares a los ejes coordenadas. La coordenada del punto de intersección de la per pendicular sobre el eje .r es la ahscisa del punto. La coordenada del puitto de intersec cion de la perpcndictilar sobre el eje y es la ordenada del punto. Para localizar un punto P cuyas coordenadas soii (rr, fi), se dibuja una recta verti cal a traves del punto cuya coordenada en ei eje .tr es ri, gr una recta lioriziiiital a traves del punto ctiva coordenada en el eje _if es ii (Figura 8.3). El putito de intersección de estas dos rectas es el punto P correspondiente a (ri, bl, o la gráfica de la pareja ordena da to, ii). eje _i' †¬,IE H FIGURA 8.3 iii b 0 eje .tr 3 tt ECUACIUNESYUÉGUALDADESLINEALESENDOSVARIABLES Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor denadas son (4, 3). SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se traza una recta vertical a través del punto cuya coordenada en el eje x es 4, y una recta horizontal a traves del punto cuya coordenada en el eje y es 3 iFigura 8.4). El punto de intcrscccióI_i de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii (4, 3). P se encuentra en el printer cuadrante. ejc_v 4 3 (4,11 _ _ _ _ _ _ __ _... ._ tu. . . . __.. ._. .†._;. 1 2 i 0 1 2 3 4 mx FIGURA 8.4 Localizar en un sistema de coordenadas cartesiaitas el punto P cuyas coor denadas son ( 2, l). SULUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje .ir es 2, v una recta horizontal por el punto cuya coordciiada eii el eje y es 1 (Figura 8.5). eje _v 2 Pi tu : I :Í 'í :ig 10123 i mx FIGURA 8.5 El punto de intersección de estas dos rectas es el punto P cuyas coordeiiadas soii ; 2, I). P se halla en el segundo cuadrante. 8.1 COOPIIEHQCIBS ffitfâflfllllãfêi O Cãftflfiífllifli 295 Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor denadas son ( 4, 2). SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se dibuja una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje x es 4 y una recta horizontal por el punto cuya coordenada en el eje y es 2 (Figura 8.6). El punto de intersección de estas 2 rectas es el punto P cuyas coordenadas son ( 4, 2). P se encuentra eii el tercer cuadrante. eje ,v 2 4 3 2 1012 1 id' 11111 4, 1 34 ejex _2 21! 3 Fiouim 3.6 4 Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas el punto P cuyas coor denadas son (3, 4). SOLUCION Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. vivir 3 2 l _2 IL 0 eje .tr lä 'LI il 2 s is._ I I._ I l lil J l 'Í3Í 4) ""I|i riouiui a.7 "5 B I ECUACIONES Y DESIGUALDADES IJNEALES EN DOS VARIABLES Se traza una recta vertical por el punto cuya coordenada en el eje Jr es 3, v una recta horizontal por el piinto cuya coordenada en el eje _v es 4 (Figura 8.7), El punto de intersección de estas dos rectas es P cuyas coordenadas son (3, 4). P se halla en cl cuarto cuadrante. observación Dado que las coordenadas del origen de un sistema de coordenadas cartesianas son (0, 0). se tiene: . Todos los puntos del eje ii' tienen ordenada cero. . Todos los pinitos del eje y tienen abscisa cero. Todos los puntos del primer cuadrante tienen ambas coordenadas positivas. eee Todos los puntos del segundo cuadraiiic tienen abscisas negativas v ordenadas po sllivas. 5. Todos los puntos del tercer cuadrante tienen ambas coordenadas negativas. 6. Todos los puntos del cuarto ctiadrante tiencii abscisas positivas v ordenadas negativas. Ejercicios 8.1 Diga en que cuadrante dc un sistema de coordenadas cartesianas se localiza la griifica de cada una de las siguientes parejas ordenadas, suponiendo que las coordenadas del origen son (0, 0). I. (l.3)_ 2. (l5.4l 4. to. 8) 5. ( 7. IO) 7* B 3. (5. 2) ri, t 20, 30) Cirafiqtie las siguientes parejas ordenadas de numeros en un conjunto de ejes de tin sis tema de coordenadas cartesianas, v marque cada punto coii sus coordenadas. 9. iz. is. is. i2.2› iz. si ( 4. fo i 2.ei io. is. is. 19. ti. ti toa) i 1. .ii i 1.0; ii. 14. 17. 20. ts. ii (ti. si i 3.ii 14.01 Proporcioiie las coordenadas de los siguientes puntos que aparecen en la Figura 8.8: 21. 14. A D 22. 25, B E 23. 26. C F 27. (irafique las parejas ordenadas (4, Il y ( 2, 2) y concctclas con una recta. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor denados? 8.2 Graficas de ecuaciones lineales en dos variables 297 eje _v 1 b í ï 1 _ _Il í II 1 í 1! il 1 í _ í í í Z 11 í j 1 íìjìv 11 'tí í ï ¶ ll' 1 I í III hn IU' 1 ¶ í 1 1 1 1 í í 1 qu _ In 1 1 _ Ú . j í í I¬'J_unWJ1.Ii J ì 1 Z K 1 1 í ¶. _ 1 I _ Ii u_u 1! III UI í j 1. ì í 1 1 k í _ .í í í, í Í í í _; í eje ,v à _ $1 _ _, Â 11 'j I I í ju 1 _; lI l Il lI l _I +++¢+ +~+ l++ +=+.+›~I l+ +++s+ + + + +I+ +l+_:l +_+w ++`+ + +¿É`f+ ~+ + |+ + + +¿4` + #" ¡ *+ I'+ï'+ + I l l +M;+ l ++++s+ + +1+.l I ig S 1 I _, 1 I ¬_| 1 .H i 1.! 1 ; í .¿¡, +1+ +i Í+.+ I +s. 1+ + + +.+J + r† + +†<†=+=+ I If¬l l l:"Fl" †:" L.: . l ++~+ + +_ _ `+ + + 1 FIGURA 8.8 28. 29. Cirafique las parejas ordenadas (2. 3) jr ( 1. ¬6)1r únalas con una recta. ¿Cuales son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coor donados? Graf¡que las parejas ordenadas (0. 4) gv (2, 0) 3' únalas con una linea recta. En el mismo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (2. 5) jv ( I, 4) y conec Iclas con una linea recta. Encuentre las coordenadas del ponlo de imerseccion de ambas rectas. 30. (iraiique las parejas orclenadas (I. I ) v (2, 3] v trace una linea reela. En el rnis mo sistema de ejes grafique las parejas ordenadas (I. O) v ( 3, 6) v (malas con una Ii nea recta. Halle las coordenadas del punto de intersección de ambas rcclas. Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables La forma general de una ecuación lineal en dos variables .v viv es ,fix + B_v (Í, donde A. B. C te R. 3' A v B no son cero a la ver.. Los elementos del conjunlo solucion de una ecuacion lineal en dos variables son las parejas ordenadas Lv, _v) que salisfacen la ecuacion. El conjunto solución de la ecuacion. 1.1' l By = C es |(x.. _v)|A.v + By = (.."}. Para determinar algunos de los elementos del conjunlo solucion. se asignan valores arbitrarios a .v._. v se calculan los corrcspondienles valores de _v. El conjunto solución de la ecuacion contiene un ruimero infinilo de parejas ordenadas. ya que podemos asig nar cnalqnier valor real a Jr. Encontrar algunos elementos del conjunto solucion de 2.1: + y = 4. SOLUCIÓN Sustiluimos 2 en ve¿ de .v en la ecuacion para obtener 2( 2)+_v=4 obien y 4+ 4: 8. 8 ' ECUACIONESYDESIGUALDÃDESLJHEILESEIIDDSUÃRIÃBLES Por consiguiente, la pareja ordenada ( 2, 8) es un elemento del conjunto solucion. Sustituimos 0 en vez de Jr en la ecuacion, y resulta 2(0) + y = 4 o y = 4. Por lo tanto, la pareja ordenada (O, 4) pertenece al conjunto solución. Sustituimos .r por l en la ecuacion y se obtiene 2(l) + y = 4 o y = 4 2 = 2. Asi que la pareja ordenada (1, 2) es otro elemento del conjunto solucion. De manera semejante, las parejas ordenadas (2, 0) y (3, 2) son elementos del con junto solucion de la ecuacion dada. Si introducimos un sistema de coordenadas cartesianas en un plano v loealizamos las parejas ordenadas obtenidas anteriormente, se obtiene como resultado la Figura 8,9, eje _v 9 t' 2.310 3 7 6 5 4 lU,~ll 3 2 ' 5,4 3 21:7 2 ,u.2› t:.o› ejex 123456 IU. Él 3 FIGURA 8.9 Si unimos estos puntos con una linea suave, observamos que se encuentran sobre una linea recta. Dicha recta se llama gráfica de la ecuación lineal 2.1' + y = 4. Para simplificar el trazo de la gráfica, se tabulan algunos elementos del conjunto solu cion cotno se ilustra enseguida. Las flechas incluidas en los extremos de la gráfica indican que la recta continúa indefinidamente en ambas direcciones (Figura 8.10). La grafica de cualquier pareja ordenada de números que satisfagan la ecuacion, tal como (4, 4), se halla sobre la linea recta. Además si se escoge un punto P sobre esta recta, la pareja ordenada de números formada con las coordenadas del punto P, ( I, 6), satisface la ecuacion. 2x+y=2( l)+(6)= 2+6= 4. 8.2 Gráficas de ecuaciones lineales en dos variables 299 eje _t ' H+r†4 lo 9 2.t+y=4 Br H t as) l t› El (U. 4l __ IEEE “H _ _ l' J 1 (1.2) L. 4P.t,W I lI I (2. 0) s 5 4 3 2 10* _¡_L eje .v 'tae U1 Q* .I 24 (3. 2) _3 ¡at 4I acusa s.1o ' La gráfica de cualquier ecuacion lineal de la forma Ax + By = C, donde A, B, C E R, y a y b no son cero a la vez., es una recta. l.a gráfica de cualquier pareja de números que satisfagan la ecuacion, se encuentra sobre la linea recta. Además las coordenadas de cualquier punto situado sobre la recta, satisfacen la ecuacion. NOÍB Si bien dos puntos son suficientes para deter minar una recta única, conviene hallar por lo menos tres puntos como comprobación, Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es 4.v SOLUCIÓN 3y + 12 = 0. Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Hacemos una tabla con tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuacion 4x 3y + l2 = 0, y se localizan los puntos que representan a tales parejas ordenadas. Unitnos estos puntos con una linea recta. La gráfica de la recta se ilustra en la Figu ra 8.1 1. Traztar la gráfica de la recta cuya ecuacion es 3.1' + Zy = 6. SOLUCIÓN Se construye un sistema de coordenadas cartesianas. Se hace una tabla con tres parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación 3.1' + 2y = 6, y selocali aan los puntos correspondientes. B «I ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES EN D O5 VARIABLES cjc _v kv fit' + If! =ii 7 _ ' + I*. . :L " ti. 5 (2'::i 6) 6 4 (0 4) 'iE ci ( 3, O) "iit rooi1: s s 4 ejes: 3 2 1;912 3 4 s FIGURA 8.1 1 ejc_i' .¬i.t' l It' *" ti 7 lt' i 2)' ' ti ( _2` 6.) É 4 n 3 (0.3) H B 2 i til il s í l s 4 iil i 1_ l 3 2 í í 10 II (2.0) 1 2 3 4 5 6 bcje.t' :I FIGURA 3.12 Se unen estos puntos ctin uiia linea recta. l.a Figura 8. I2 es la grtilica de la recta. La ecuacion By C es equivalente a Ia ecuacion 0.1' + By 1 C_ Asi que para todos i _ los valores dc .v se tiene que jr = C É . Por coiisiguieute, By ; L¬ representa una recta horiitontal, Trazar la gráfica de la recta cuya ecuacion es _v + 3 SOLUCION U. La ecuacion y + 3 = 0 es equivalente a la ecuación Oi: + _v = 3. Graficas de ecuaciones tlneales eri dos variables 8.2 301 Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solucion de la ecuacion gr se loca liiian sus puntos correspondieiites, eii un sistcina de coordenadas cartesianas. Se unen estos puiitos con una linea recta. l.a Figura l š.l3 es la gr: .ilìca dc la recta. eje _i' 4 3 il '†' "..i i 'É H 2 l "¬iiI"' If* .il ¶. 1 ¬s 5 4 l La I s_2 110 "LiLt.ii .lI'l ( 2, 3) sicunii 3.13 2 12 3 4 ii, 3) 5 s c_|e.t' _t +3 =ii (3. 4 3) La ecuacion Ax (T es equivalente a Ax + Qif _ (Í. De modo que para todo valor _ C' . . . dc _v se tiene .ir = Í . Por consiguiente 11.1' C' representa una recta vertical. Trazar la grafica de la recta cuya ecuacion es le = 5. SOLUCION La ecuacion 2.1' = 5 es equivalente a 2.t' + tl_i' = 5. cjey le ¬ 5 6 5 li' = 5 4 3 2 2 2 2 (É fi I 4 1 4 3 2 1012 3 4 2 1! si__4 FIGURA 8.14 (É ') (%› 3) 5 6 ejes' 3 ' ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES H DOS VARIABLES Se hace una tabla con tres elementos del conjunto solución de la ecuación, toman do prìmerarnente valores para y, y se localizan los puntos correspondientes en tin siste ma de coordenadas cartesianas. Se unen estos puntos con una recta. La Figura ti.l4 es la grafica de la ecuacion. Nota La ecuacion del eje .v es _v = 0. Nota La ecuacion del eje y es ,ir = 0. DEFINICION La abscìsa del punto de intersección de una recta con el eje ir se llama intersección .ir (o abscisa en el origen). La ordenada del punto de interseccion de una recta con el eje y se denomina intersección y (u ordenada en el origen). Nata La intersección .tr de una recta es el valor de .ir cuando y = 0. Nota La intersección y de una recta es cl valor de y cuando .ir = 0. Encontrar las interseccìones .ir y y de la recta cuya ecuación es 3,1' * 4_,v = 9. SOLUCION Cuando _v = 0, tenemos 3,1: = 9, o .ir = 3. . . (..uando .ir = tl, se tiene que 4_v = 9, o _v = Por consiguiente, 9 lá . la intersección .ir es 3; . .. 9 la intersección y es í. Nota Si los valores que se obtienen para .v o _v soii fracciones con denominador 3, se toman las escalas en los ejes, de tal manera, que cada tres divisiones del papel cuadriculado repre senten uiia unidad. Ett general, si los valores que se obtieiieii para las variables son fracciones con de nominadores ri y b, se toman cada no divisiones del papel cuadrìculado para represen tar una unidad. 3.3 PEHUÍGHÉQ G8 llflã ÍGCÍB 303 Ejercicios 8.2 Dclcrmìnc si la pareja ordenada dada satisface la ecuacion indicada: I. 3. 5. 3x + y U. (0.0) .fr 2)' + I =0., (5.3) y + lr 5. (3.1) 2. 4. 6 í. _ ¡_ 2.: 3y=0.. (3. 23 _). '+4.r 6=Ú. (2. 2) 41 .Ir ll. ( I. 3) l _ í í _. 1 Tracc_Ias gráficas dc las rectas rcprcscntadas por las siguicntcs ccuaciones: 7. 10. 13 IG. 19. 22. 25. 28. 31. 34. 37. .1:+y=l ›:+2y= 2 x y=5 4.r + y 6 3.1: + y 9 x 33 ' 4 3.1: + _'1› ' 0 .r = 3 gr = 4 41 H 3;* 12 3.1* 43; 7 8. ll. I4. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38. ì 1. . í í x+__v =:s y =3 31 + .Ir 2)' .t 5)' lr + _\' lt I _ 4 lo =s y 2;* 0 .'?_r= 3 2.1: 3v= 6 3x 5)' 15 4): + 71' I4 F í í '_ í É 9 12 IS 18 21 24 27 30 33 36 39 .It + Jr 'rx .V 4 =2 .xt + 3)' = lr ¬~ J. .Ir + 2)* = x+_1.'=O s s 3 2.: 3¬r=0 2.v 3x 3.1: 6.1 + s 2)* =1z 2)* =s S_1' =s Hallc las intcrscccioncs x y y dc las rectas rcprcscntadas por las ccuacioncs siguientes: 40. 43. 46. 49. 4.1' + 5x + 4.1' 5x. 7.›' 61» 5: i. 1 1 n_ 1 I0 2 6 41 44 47 50 3 I I I l 2.1' 1 5)' 4:; 7.1" 3.1: Sy = 7 21' I' 3 I 42. 2 45. 48. 51. 3.: + By = 4 2x 3)' = 4 3x= 2 lh' = 8 Pefldfeflfê de Uflã l'€Cf3 Considcrcsc un sistema dc coordenadas cartcsianas. Scan .›1{x, , _v,) y B(.\'¡, yg) dos puntos dc una rccta 1.. Traccmos una recta horizontal por cl punto A y una vertical por cl punto B. Sea C' cl punto dc inlcrscccion de estas dos rectas. Las coordenadas cjc J' L BÍ `*'a › J'1) [1 '¬ 1 1) Atxlwyl) fx; 0 FIGURA 3.1 5 .\'| } C(x2syl ) cjc .r 8 I ECUACIONES Y DEIGUÃLDIDES IJIUEÃLES EN DOS VARMBLES del punto C son (:r _¿. ,iq }. (Figura 8.15.) La distancia dirigida de A a C es tx; distancia dirigida de (Í a B cs LP; _t',). . .'*':: _ _1 .it _ _ .cl i; la _ F.I coctente üíwïi , st .'r¿. se .r,, se llanta pendtcnte de la recta. Cuando 1:; = xt la pendiente no esta definida. TEOREMA 1 La pendiente de una recta cs independiente dc los pares de puntos selec ciütlntltts. DEMOSTRACIÓN Por geometria, los triattgttlos /lBt'.` 1»' A DE dc la Figura 8.16 son scrncjalttcs. Por ctntsiguiente ` = .f\(_` AE ` EJE' _I* D L H I (I Í' ` 0 eje .tr FIGURA 8.16 listo es. la pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos A y B es igual a la calculada en relacion con los puntos fi 1.' D. Nota Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta, se puede calcular la pendiente de ésta dividiendo la diferencia dc la ordenada del se gundo punto 3.' la dei primero entre la dife rencia de ia abscisa del segundo punto y la del primero. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos At 3. 6) y B(3. 2). SOLUCIÓN _\'¡ Si totnaznos .fl corno primer punto. lcnctnos 1 1. ' _t' *t't. 8.3 PBIHÍOHÍOGOUIIHIECII 505 Si B es el segundo punto, se tiene X2 = 3 Y ys = 2 La pendiente de la recta es = m 12 “ It __ t 2) t o _ (3) ( 3) =:ìi2=i=2 3+3 Nota 6 3 Las coordenadas de un punto de una recta forman una pareja ordenada de números que satisfacen la ecuación de la recta. Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 3x + 4y = 7. SOLUCÍÓN Primeramente se obtienen las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta, esto es, dos parejas ordenadas de números que satisfagan la ecuación. Consideremos por ejemplo, los puntos P¡ y P; cuyas coordenadas son (1, l) y ( 3, 4), respectivamente. Entonces x, = 1, yl = l, Jr; = 3, y yz = 4. La pendiente de la recta es _ (4) _ U) ( 3) ' (1) _ 41 " 3 1 =_å 4 Nota La ecuación By = C es equivalente a la ecua ción Gx + By = C. Consideremos las parejas ordenadas (I, ecuacion. Q La pendiente de la recta es = 1 í. _' 'ì _ C Q y (2, las cuales satisfacen la 8 *I ECUICIÚÉYDESIGIM LDIIIEUHEÃLESEHDDSVIIIIBLES Por lo tanto. la pendiente de una recta cuya ecuación es de la forma By = C, o sea una recta horizontal, es U. Nota La ecuación /lx = C es equivalente a la ecua cion Ax + Uy = C. . . C Consideremos las parejas ordenadas ( Ã , l C . . y 2 , 2 , las cuales satisfacen la ecua ción. . 2 La pendiente de la recta es = C A l 1 _. _ = , la cual no está delinida. C 0 A Por consiguiente, la pendiente de una recta cuya ecuacion es de la iornia Ax _ C. o sea una recta vertical. no está definida. TEOREIIÄ 2 La pendiente de una recta cuya ecuacion es y = mx + Ii, es iii. DEIIOSTRACIÓN Consideremos los puntos cuyas coordenadas son (0, b) v (I, in + Ii). . b La pendiente de la recta es = !Eï;_ ) E É = $ = ni Nota Si la ecuacion de la recta se escribe en la for ma y = mx + b, entonces la pendiente es m, o sea el coeficiente de .r. Nota Cuando la ecuación de la recta esta en la tòr ma general Ax + By = C. B si 0, entonces jr' = /1 _ ¿ix 1 C É' . v la pendiente es ni _ 1 Encontrar la pendiente de la recta cuva ecuacion es 3)' SDLUCIÓN . La ecuacion 3y v = ¿tr + Â W ' 3 . 2 La pendiente de la recta es É. 2.1' = 8 es equivalente a la ecuacion 2.1' == 8. 8.3 Pendiente de una recta Hallar la pendiente de la recta cuya ecuación es 5.1* + Ty = SOIJICIÓN t» _ La ecuacion 5.1' + Ty = 3 es equivalente a la ecuacion it 1' + Â 7' La pendiente de la recta es % . De lo anterior podemos ver que dada la ecuacion de una recta, se puede calcular la pen diente eii una de las dos formas siguientes: I. Se deterininan las coordenadas de dos puntos de la recta y se sustituyen en la relación V1 "' F1 I: ""` X] ` xl a .r I . 2. Se escribe la ecuacion de ia recta eii la forma y = mx + b. El cocIìi.u.ntt. dr. 1 es la pendiente de la recta. Ejercicios 8.3 Encuentre las pendientes de las rectas que pasan por las puntas indicados A(0, 7), B(2, 3) A(9, 6), B(3, 2) A(4, 2). B(8. 4) PFP A(3, 5), B(5, 1) A(2, 4), B(6, 4) 3. A(2, 4), B(l0, 4) "45".'!" A(5, 2).. B(8, 2) 9. A(4, 6). B(7, 6) 10. A( 3, 1), B(3, l) ll. A(3, I), B(3, 3) 12. A( I, 6), B( I, 2) 13. A( 5,4). B( 5, 2) 14. A(6, 7). B(6, 9) 15. A( 5.11). B(I, 2) 16. A[4. 0), B( 16, 4) 17. A( 4, 5), B(ll, 7) 18. A(3, 8), B( 2, 7) 19. A( 12, 9), B(0. 15) 20. A(r 3,4), B( 1, 2) Obtenga las pendientes de las rectas representadas por las siguientes ecuaciones, en dos formas: 1 A(2, I), B(5, 7) 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. 4x 3y= 0 4.r+5y= 0 2x+5=0 x+y=2 .r+4y= 5 3.1' 2y= 5 4x+3y= 6 2x+Sy= 1 4.i:+6y= 7 3y 2.x= O 23. 25..r+3_v=0 28. ?.1r+7y=0 31. 4y+9=O 26. 34. 3.x+y=4 37. 40. 43. 46. 49. .tr 2y=3 2.1: 3y== 6 2y 5.r= 3 7.i:+8y= 10 2.r+6y= 3 29. 32. 35. 38. 41. 44, 47. 50. Zy 5x=0 3x+ 2y=O 3x 8 2)* 3 .r + Gy QWGG y 2.1' 2x 4y=9 4y 3x=7 9.r+4_v= 5x+2y=3 8 I' ECUÃCHESYDÉGUÃLDIDESLÉEILESHDOSVAIIIILES Ecuaciones de rectas Una ecuacion lineal en dos variables representa una recta. Dada la ecuacion, podemos encontrar coordenadas de puntos de la recta, ias intersecciones x y y, y también la peti dìente de la recta. Ahora estudiaretnos como encontrar la ecuacion de la recta, contan do con parte de la informacion sobre ella. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados Dada la ecuación de una recta y un sistema de coordenadas cartesianas, es posible en contrar Ias coordenadas de dos de sus puntos Y hallar asi, tal recta. Puesto que dos pun tos distintos deterrninan una recta única, encontraremos la ecuacion de una recta dados dos puntos de ella. Su aongamos que los dos puntos dados son P, (x, , y,) y P¿(.r¡ , yz). Sea Ptx, y) un punto tenérìco de la recta, diferente de los puntos P, y PE, como se muestra en la Fi gura F.I7. eje _i ' P¡t.t¿, _r;_›l Pla', _v) Pifïi .Vil 0 A B eje .tr FIGURA 8.17 La pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos P,(x, , ,i ,) v P(.r, _i›) es .V " .Vi X _ .xt ' La pendiente de la recta calculada en relacion con los puntos P¡(.r¡, _v,) y P, ¿(.=r¿, y_ 3) es Ji: .Vi ' ì."'“_'“'__`2 _, xl ', Â: ¢ Ã] . Puesto que la pendiente de una recta es la misma pat'a todos sus puntos, tenemos J' "` Jit .V2 _ .Pt Ã' _' .Yi X3 _ .ri que es la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados. 3.4 Ecuitdoiiesderectias HOÚBS 1. Cuando x1 x, = o, la pendiente de la recta no esta definida. La recta es vertical y su ecuacion es x = tt. La ecuacion del eje y es x = O. 2. Cuando yz = y, = b, la recta es horizon tal y su ecuacion es y = b. La ecuación del eje x es y = 0. Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) BU, 3). SOLUCION O SGH. La ecuacion dela recta es y ( 2) x '(3) H: + H _ ili I Lai 5 . =†= 4', o bien, 5x 3 l 2) 7 3' 4y = 23. Ecuación de una recta, dado uno de sus puntos P1tx1, y.,) y su pendiente m Para cualquier punto Pix, y) si P,(x, , y,) de una recta, la pendiente es m = % Por consiguiente, la ecuacion de una recta, dado un punto v la pendiente, es y_ .Pi_ ¡._xl ni. Obtener la ecuacion de la recta que pasa por el punto At 4, 1) con pen diente 3 SOLUCION Esto es, La ecuacion de la recta es 'He H + FI , o bieii NOÉ3 y _ 1 P ~ 3. x ( 4) 3.r y = 13. La ecuación de la recta que pasa por el punto b (0, bl y de pendiente ni es = rn, esto es,y b = m:roy= mx+ b. Puesto que ni es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen, la ecuacion y = mx + b se llama ecuacion de la recta dados la pendiente y la ordenada al origen". 8 ECUiItCtOiiE$ Y BESIGUALDADES IJNEALES EN Do! VARIABLES Ecuación de una recta, dadas sus intersecciones Si ri v ii soii las intersecciones ir y _if, respectivamente, y ambas son distintas de cero. entonces los puntos ta, O) v (0, ii) pertenecen a la recta. Por lo tanto. la ecuacion de la recta es v 0 .ir a1 __' _ _ _ Es decir, 1 ii 0 ti si ` _ _i ' X. _ ¿, = ti _? _ o bien ¿ix + ey = db. Í Divìdicndo atnbos mienibros de la ecuacion por ob, obtenemos xtry t tt b_ que es ia llamada ecudcitin si'irieiri`cri de la recta o bien su formo iriierseccidn. Nota Si la recta pasa por el origen, no se puede eit presar en la forma intersección. ¿Por que? Determinar la ecuacion de la recta cuyas intersecciones .ir y _i«' son 2 y 7, respectivamente. SOLUCION O sea, La ecuacion de la recta es 7.1' + = l. 2_v = I4. Ejercicios 8.4 Encuentre la ectiacìon de la recta que pasa por los puntos dados: . M0, 0). B(2, 3) . A(0, 3), B(4, 0) . M0, l), B(2..U) A( 2, 2), B(3, I) lUIi'. n I .I 9. A(l, l), B(2, 2) ll. A(2, l), B( 4, 2) 13. A(3, 5), B(3, 2) 15. A( 2, l), B(6, 1) . fliàgd. 3. 10. 12 I4. 16. M0, 0). Bl _ l, 2) A(0, 2). Bi 5, 0) A(0, 4). Bi 6, 0) A( 3, 4). B(o, 2) A(4, l), B( 4, 5) :lb f 4), BU, 2) A(' B( 2, 9) A( PPT _F_f f ¿I B(7, 4) Determine la ecuacion de la recta que pasa por el punto dado coii la pendiente indicada: 17. 20. 23. 26. A(3, A(0, A(3, A(2, ll; U 4); 0 1); 2 1); 3 13. 21. 24. 27. A(2,5); 0 A(l,2); 3 A(4, 3); l A{3,2); 5 19. 22. 25. 28. A( 2. ll; O A(2,4); 5 Atl, 3); 2 A(2,2); 4 8.4 Ecuaciones de rectas 29. 2 At *3,2l, 3. 32. A(2. 3); 311 30. l r; A(5, 33. .fl( l. 3 I), Z 2): 31. 5 5 34. 2 A( l,4), š 3 5 A( 5, 3): Halle la ecuacion de la recta correspondiente a las ìntersecciones .ir y _i dadas: E 39. 4s.3 41. Sl. .33 'io IJ t H' 4 3.3 te 2: .PF 1 .ta oi¦"'I."' 5 9@ La J' 3 ' U1 .Hbui .s; 49. 3; t› IiUI 53. o: $5 so. 54 _t ,›osÍ. Ã. 2*' 7; 2 3: Lhb1 I' J ss. N Lai 'fl t,:i'. t:r .ihl ss. lä te1 »¡opio ¿si I' J ¬J sv. l''U't J¬ J U1 FI CT* ss. lä tu .i 'J Li I' ¡í sistemas d_e dos ecuaciones lineales en dOS V3|'|3bIe$ Los elctnciitos del conjunto solucion de una ccttacion lineal dx + by = t* constituyen una caiitìdad itilìnit ide parejas ordetiadas tx, iv) que pueden representarse gráficatiien tc con tina línea recta. Cuando se dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en tin sistema de coordenadas cartesianas surge utia de las siguientes posibilidades: I. Las dos rectas coinciden. 2. Las rectas nt. se iittersccttn: en tal caso se llaman rectas paralelas. 3. Las rectas se ititersccan precisamente en un punto. QI' QOIUCIOII U6 SISÍGITIQS U9 O05 ECUBCÍOIIES I|I'I93I€$ EN UOS VBFIBDIES A veces se requiere cticontrar la solucion común, o conjunto solución común de dos ti mas ecuaciones que iortnan lo que se denomina tin sistema de ecuaciones. El conjunto solucioti de un sistema de ecuaciones es, por consiguiente, la intersec cion de los conjuntos solucion de cada una de las ecuaciones del sistema. DEFINICION El conjunto solución de un sistetna de dos ecuaciones en dos variables es el conjttnto de todas las parejas ordenadas de ntiiiieros que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solucion de una de las ecuaciones con el de la otra. I *I ECIMUOÉYDEGUILDIDBLÉILISBIDOSVIIIIHB El conjunto solución del sistema al r+b1r=f| Y fl2r+b2r=f± GS {( ï›.'F)|flt Í + bt? = ft] n {( f JÚIU2 Í + ¿LV = Czi Nata 1. Cuando las dos rectas coinciden, el con junto solución del sistema es el de cualquie ra de las ecuaciones. 2. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es fa. 3. Cuando las dos rectas se intersecan exac tamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada forma da por las coordenadas del punto de inter seccion. Solución gráfica Para resolver grtifìcamente un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, se dibujan las gráficas de ambas ecuaciones en un sistema de ejes coordenados. Las coor denadas del punto de intersección, si existe, proporcionan la pareja ordenada de núme ros que es el conjunto solución del sistema. Nota Las coordenadas del punto de intersección no siempre se pueden leer exactamente, de esta manera, la solución gráfica resulta ser apro : timada. El conjunto solución del sistema 5x + Sy = 14 3* 9x + 4y = 18 es (1.36, 1.44). NOCH Las rectas se podrian intersecar en un punto muy alejado del campo visual abarcado por la gráfica, dando por consiguiente la aparien cia de ser paralelas. El conjunto solución del sistema 3x + fly = 5 y 2x + 3y = (35, 25). Encontrar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones. x+,if=6 y 3.1' y=2. 5 es 8.6 solttelúndesütemasdedoseerradoneslnealenndasvafiables SDLUCIÓN Se dibujan las rectas correspondientes a las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. Se trazan perpendiculares del punto de intersección de las dos rectas a los ejes x y y, y se determinan las coordenadas de dicho punto (Figura 8.18). El conjunto solución es {(2, 4)}. eje y 7 6 31' y=2 S 4 3 2 ss a4 es 2 x+y=ó eje .r B 112345678 “Ñ 4 í Ii' FIGURA 3.18 Ejercicios 8.6A Resueiva gráficamente los sistemas de ecuaciones siguientes: I. x = l .r l y = 2 4.' y= 3 lr y='? 7. 10. 13. .r y 3 l .r+y x+y D 2x+ Y =4 .r y= 5 3.r+2y=5 2. .r 2 x+3y=5 5.x+y=3 2.1: 1 y= 4 8 x+2y= 5 2x 5 ll. 5 t _.2},= 0 y= 6 I4. y=2 9"? 3y=l ±}!'= "" 3.y= I 3.r+y= 2 6..r+y=4 .r+2_v=7 9.x 3y=4 lr 3y= 12.1f+; =n 3x 2y= 1s.:›.r+3y= 3;: y= 8 I ECUÃCIONESYDESIGUAIDÃDESLINEALESEHDOSVÃRMBLES 16. .r 2_v=3 2.r+3y= fl 19. 5.: + 4;* = 2 ?.r+3y=5 22. 5.r+2_v=2 4.r+3jv= 4 25.x+2_v=3 2x+4_v=l I7. 20. 23. 26. 3.r+ =7 3 2x =ii 3x 2x+ SF: ll .tr 2_jv=3 3.1' 4_V= 6 lr _,v=4 ox 3jr=4 18.1' 2v=4 I' 3.1' i v= 21.41' 3t'=2 24. 27. 5.r+v= 2.1: v= 4.r+v=5 21r+6_r=ll .r+3_jv=3 Solución algebraica La solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables pro porciona el conjunto solucion preciso, no uno aproximado, como en el caso del nte todo gráfico. Existen dos métodos para resolver algebraicamcnte un sistema de dos ecua ciones lineales en dos variables: eliminación (o adición) y sustitución. Método de eliminación Las rectas .r rr 3' _t' = h se intersecan en el punto cuyas coordenadas son (rr, b). Asi que cl conjunto solucitin del sistema de ecuaciones lineales .vr = of y y = b es {(a, b)}. Para obtener algcbraicamcntc cl conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, transformamos las ecuaciones dadas en ecuaciones equivalen tes de la forma .r = a y y = b, entonces el conjunto solución es lts. _r)|x = Hi Ñ llx. _r1|:›" = bl = lla. bil TEOREMÃ 3 Si (Jr, . _v¡) es una solucion de la ecuación ara' + bl): + c, = 0 y tam bién de la ecuacion es + bgy + cg = 0, entonces es solución de la ecuacion p(a,.r + bry + cl) + q(a1x + hay + cg) = 0 donde p, 1; E R y ¡J y q no son cero a la vez. DEMOSTRACIÓN Dado que tx, , ju) es solución de la ecuación u,.t* + 11,31 + c, = 0 entonces (I) u,.r| + b,y¡ + cl = 0. Como Lv, , y|) es también solución de la ecuacion azar + bay + ¿ 3 = (_) (2) 8.6 Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables entonces 315 agar, + t›¿›_.v¡ + c; = 0. Consiclérese la ecuación p(u|.r + b,_v + c.) + r¡(u¿.v + b_ ¿ty + t'_¬, `) = 0. (3) Sustituvendo X v y en la ecuación (3) por los valores x, v _v¡ , respectivamente, se obtiene Asi que si (x1, yl) es una solución de las ecuaciones (I) v (2), también es solución de la ecuación (3). El primer miembro de la ecuación (3) se llama combinación lineal delos primeros miem bros de las ecuaciones (1) y (2). Puesto que el conjunto solución del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es subconjunto del conjunto solución de la ecuación (3), el sistema formado por las ecuaciones (3) y (1), o las ecuaciones (3) v (2), es equivalente al sistema formado por las ecuaciones (l) v (2). La ecuación (3) se puede reducir a una de la forma rx + r = 0, (o r'y + f' = 0), eligiendo p y q, de tal manera, que los coeficientes de y (o x) se vuelvan inversos aditi vos Una vez que se ha encontrado el valor de x (o y), se puede determinar el valor de y to Jr) a partir de la otra ecuación del sistema. Puesto que p v q se eligen, de tal manera que el coeficiente dc y sea cero, esto es, se elimina y, el método se llama de eliminación. Aplicando el método de eliminación, determinan el conjunto solución del sistema de ecuaciones 2x y 7=O SOLUCIÓN y 3,v+4_v 5:0. Consideremos la ecuación p(2..t' Tomando p jv 7) + r¡(3.v + 4_v 3 v q = 2, se tiene 3(2›.' Y"7]+( 2)@ f+4}"'5)=Ú Gx 33; 2] óx 3jv+l0=0 ll_v=ll y= l Por lo tanto, el sistema original es equivalente al sistema 2.1: y 7:0 y Al sustituir y por ( l) en 2.1' 2.1' ( I) Por consiguiente, x=3. 7 = 0, _v= l. _t * o bien 7 = 0, se obtiene 2x = 6. 5) = 0. 8 Ewlí Y LMflBHDG WIIIIAIIB El sistema original es equivalente al sistema x == 3 v y = 1. En consecuencia, el conjunto solución es ll Y. yìl 1' = 3l U ltsnyìly = 1l={(3.. I)l Cuando las ecuaciones están escritas en la forma ax + by = c, la tecnica de solu ción del sistema dc ecuaciones por eliminación empleando el principio anterior, se ilus tra mediante el ejemplo siguiente: Utilizando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del siste ma de ecuaciones 3x+2_v=l2 y Sx 3y=l. SOLUCIÓN Con el fin de eliminar x, nacemos sus coeficientes en ambas ecuaciones numértcamente iguales al minimo común mtiltiplo de sus coeficientes originales pero con signos opuestos. El minimo común mtiltiplo de 3 y 5 es I5. ¡(1 3.r+2y=l2 4 It l5x+l0y=6Ú sx 3y=1to 1 t_s_t †sy= 3 Sumando, obtenemos Por lo tanto. 19)' = 37 .V = 3 El sistema original es equivalente al sistema 3x + 2y = l2 y y = 3. Al sustituir y por 3 en 3x + 2y = 12. obtenemos 3.1: + 2(3) = 12 o bien 3x = 6. Por consiguiente, x = 2. El sistema original es equivalente al sistema I = 2 Y y = 3. el cual tiene el conjunto solución. lts ›*)| X = 2l f`1l(r.›')|y = 3l = l(2. 3)l Para comprobar la solución, se sustituye (2, 3) en la ecuación 5x SX 3y=5(2) 3{3)=l0 9=l Por lo tanto, el conjunto solución es {(2, 3)). y I=l. 3y = l. 8.6 Sotuciúndcsistienrasdedosectlacioneslínealcsendosvarlattlcs Nota 317 Sumar las ecuaciones (I) y (2) del Teorema 3 de la página 314, tal como se ilustró en el ejemplo anterior, es otra forma de escribir p(c¡.r i b,_v + c¡) + elegi* + by + cg) == 0. Aplicando el método de eliminación, hallar el conjunto solución del sistema de ecuaciones 4x + 3y = SOLUCIÓN 6 3,' 3.t' óy = 10. El minimo común múltiple de los coeficientes de y es 6. 4.r+3y= 6 ii › 3.r+óy= l2 3.1' 6,v= 10 _ Li* La 3.1: ó_v= 10 llx = 22 Al sumar_ se_, obtiene Por consiguiente, .r = 2. .t_ _ _ 2 El sistema original es equivalente al sistema 4.t'+3_v= 6 y .r= 2. Sustituyendo, Jr por ( 2) en 4.1: + 3y = 4{ 2) + 3)* = 6 o bien ó, se obtiene 3_v = 2. Por lo tanto, y = É . El sistema original cs eqiiivalente al sistema Ji' = "'2 Y 2 ji = É . Por consiguiente, el conjunto solución es its. ,vil 1' = "Él Ñ {(I.›') _v = Nota = H 2. {(.r,_v)|0x + Uy = a. a ss 0} = (25 y lor. :dlllt + Uy = 0} = lts iflls. y E R} Con cl método de eliminación, encontrar el conjunto solución del sistema x+2y=3 y 2.r+4y=7. 8 I ECUICIOHES Y DESIGUILDIDE LIIEILES EN DOS VÃRIÃBLES SOLUCION El miniino común múltiplo de los cocficiciitcs de J: es 2. .r+2_v=3 lr dy 2.r+4_v=7 ía 2x I;_4_v Sumando se obtiene 0.1: + Uv l 6 .I í í II l El sistema original es equivalente al sistcnia .v + 2,v = 3 y Us + Oy = Por lo tanto, el conjunto solución es (ts, _ _t››|.i + 2; = 3} n toi. .viltn + ev = ll = {(.r¬.}')|.t + 2)' = 3} Fl 21 = ø Aplicando cl método dc eliminación, hallar el conjunto solución del sistema 2x SOLUCIÓN 2x ,if = 5 y Eur 3_v = 15. El niinimo coiniin múltiplo de los coeficientes de y es 3. v= (ur 3v=l5 ir fix 3_v= Al sumar se obtictie l5 (lx + Oy = El sistema original es equivalente al sistema 2;: f _v = 5 3' 0.1' + Oy = 0. Por consiguiente, el coiijunto solución es {(_x, _v)|2.t _v = 5} 1') {(.t, y)|0x + Oy = 0} = ll r.y)l? I _ .v = 5i f`l {(.r.}')lI Y G Rl = lt I. ›')|lf _ if = Sl Ejercicios 8.63 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por eliminación: l..r+y=2 2.t'* y=l 4. .r+4_v = 5 3:: 4y= I7 7o 10. 3x+2_v= *Í 2J.'+y=4 3.1' 2y=27 3.1' _v 2.i'+_v 5. .r+ 23' .r+3_v MJOGCHLHCJ* su J' 2x+.iy=9 ll..1: 2_v== l2 6x+_v= I9 4.1: _v=6 3x+y=l J: l 4y=3 x y= 2 2. 2.: y=3 12. 3.r+2y=8 3x 2y=7 4x+y=2 4 3.6 Satuctóndesistetnasdedosccuaclonesllncatesendosvariabtes 13. ,t:+3y= 2 3x + 5_v= 6 Tx 6y=l7 3x + y=* 13 4x + 3y=ó 5y=l9 3.1' 3.1: r=*l Zx + : '=6 .tt y=l 2x+ 3y= 16. 19. 22. 25. 23. 31. 34. 2.: 3y=l2 4.t'+5y= 20 5.r+2y=3 'ix 3y=lO 61 7y=l0 8x l3_v=ó 5x l _v= l ll.t+4y= l 2.1 4j;=l 4x 2y=3 l5.t: 9y= 5 8x l y=7 fur 3y=4 2x y=3 5x 5y=3 .r y=7 3.r+4_v=5 9x+4y=9 .ir 2y=l 2x 4y=3 3x + r=1 ox + 2y=5 37. 40. 2y=7 3x óx _. 4y=l4 3x ›*=: 1 2y 6x=2 381 4.1: óy=3 41. _v 3.r=l 9.1' 3y= 3 21' 7y= 26 5.t'+y=9 2x+5y= l 3x 2y=27 3.r+y=l .r+2_v=3 ? I .v =2 6.: 7y=3 4.1' 9y= 9 2.t+óy=l3 4.t:+6y=7 3x+5y=6 2.t+y=3 3.t'+4y=9 .t'+3_v=3 2.r+6_v=l3 x+2y= 2 3x+óy= 6 3y .r=2 x 3y= 2 Método de sustitución El conjunto solución de un sistema de dos ocuacioiics lineales en dos variables contiene parejas ordenadas de números reales (ir, y) que satisfacen ambas ecuaciones. Esto es, si (x, y) pertenece al conjunto solución del sistema, entonces (Jr, y) debe estar en el conjun to solución de cada uiia de las ecuaciones. El método de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables se basa eii este principio.. Para determinar el conjunto solución dc un sistema dc dos ecuaciones lineales en dos variables por sustitución: I. Se expresa una de las variables en terminos de la otra a partir de una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la csprcsión obtenida en el paso l en la otra ecuación para hallar una ecuación lineal eii una variable. 3. Se resuelve la ecuación lineal resultaiite en una variable para encontrar el valor especi fico de esa variable. 4. Se sustituye la solución obtenida eii el paso 3 en la ecuacióii resultante en el paso I para determinar el valor especifico de la otra variable. Resolver por sustitución el siguiente sistenia de ecuaciones: .v ji' = 6 SOLUCION .ir 3' 3.1: + fit = 2. De la primera ecuación cspresamos .ir en terminos de y. _v + 6. B I ECUICIOIESYDESIGUILDADBLHEIIBHDOSVAHIIIH Sustìtuimos x por (y + 6) en la segunda ecuación. 3(y+6)+y 3y+l3+y 4)' J' 2 2 .__ '12 í í 14. í 4 í í El sistema original es equivalente al sistema x=y+6 y y= 4. Sustituyendo y por ( 4) en x = y + 6, obtenemos 2. x=( 4)+6 El sistema original es equivalente al sistema x 2 y y 4 El conjunto solución es {( r.y)| If = 2} Ñ {(1 ›')|.v = 4} = {(2. 4>} Con el método de sustitución, obtener ci conjunto solución del sistema de ecuaciones dx 9y=l2 SOLUCIÓN y 2x+6y= I. De la primera ecuación, x . Susmuycndo .rc por 91»ì+ 12 __ 9y +12 4 .. en la segunda ecuacion 2(9%2) +6y= 1 9)* + 12 __ 2 + 6¿Y = 1 Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos 9)» + 12 + l2y 2ly í j Por consiguiente, v= ' 14 2] 2 3 3.5 SOIIICÍÓII UE SÍSÍEIIIHS G9 UU! ECIIHCÍÚIIBS IÍIIBEIES EN UDS UHFÍBIIÍES El sistema original es cqttivaiente al sistema ` 9*+ [2 4 1' : L 3: ._ _ bnstltuycndo y por 2 ~_š 9< at 2 'V' _ 4 V = 2 3 en Jr = 9'+ 17._ t resuita 1*':'±3._É=§ 4 4 2 El sistema origittal es equitfalente al sistema 1. ., 2 tf t , _ ..¿_* . El conjunto solucion es s~tt=t<;~s>t E¡erc|c|os 8.66 C't¬›n el metodo de sustitución, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones 1. 4. 7. .tt _v=ü 3.t+2y=5 .c+ 2y=0 3.t'+2y= 4 J: 31 '=2 2) 4.1: lr 4,1' 9.r lr 4.1' F1 10. 13. 16. 41' + 22.. 3.t + 3.1' + 4.1: + 23. 4x '?.t' L 3 7 + _ +I IO 1 7y= l3 19. 25. Sy _ I u I_ =s 35* 33: 23* Zu 3)' Sy 2.1: 2y=0 .r+2_y=8 S r _; =l 2x+y= 8 x y= 5 x+4_\†= IO 5x+ 3.t' Íy = IO 4.1: 3, Il 3.1: Sy= 4 21... 9 7.I+ 2;* = 2.r+ Sy = 3.t'+ Ty = ln í. = = = = SÃ _ Ty Im '_ 'Lt 4_,v 5 3x 41v 4.1' 51.' = l 2x+ 3y = 3 .t'+5y= 4 _ í = 6.1' + St' = 'Lt + by = í _' 't fl¬ Jafl ìü ' JL› ¡LH .I F1 Lnu ¡= 3..t:+3y 421 y 6.1' 21' .r+3_v 5.1' .V 3x+_1u í. í i í ì í ' í. í yn. Iï _ 3x+ Y _ í ~3l .1 . i .I' 1¦= 5 4.t'+ 3 }'= 5 3.1' y=l4 5x 7)* 2 1,... 3y = 6 3x 2y 3.r+ 4y= l 21: t~ 3y 5x+ óy = lO 4x+ 9)' zx 33; = S 3.r+ 4› lx + 6y= 5 'ix J' l P : B ' ECUICIOHESYDESIGUÃLDIDESLIIEILESEHDOSVIRIJIBLES sistema; de ecuaciones lineales en dps variables que contlenen _ simbolos de agrupaclón y fracciones Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen simbolos de agrupacion, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma ax + by = c ¬_v, luego, se resuelve. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3(.t' + y) = 2(.1r fly) + I3 y 5(2x + y) = 3x + 19. 5€ simplìfican ambas ecuaciones separadamente: SOLUCIÓN 3(x + y) 3.1r+3y í ig. 2(x 45') + 13 lt' 8y+l3 5(2x + y) ¡U1 I Sy 7x+5y Jr t ll,v=l3 Resolvemos ahora el sistema .tr + lly = 13 x+lly=t3 7x+ 5y= í .j K il? 2 1» 7.1: 773; 19 _* 211' $2 Sumando resulta 72y Por lo tanto, 3, _ Í y LX Ii 72 í Tí í 7:: + Sy = m _w _ í Iì 3x + 19 3x + 19 19 1 El sistema es equivalente a .t'+lly=l3 y y=l. Sustìtuyendo y por l en .tr + lly = i3, obtenemos x + 11(1) = I3 o bien .tr = 2. El sistema original es equivalente al sistema J: = 2 y y = 1. El conjunto solucion es {u›.. ¿olx = 2} n {t.r.y›|,v = ll = {t2. t)} Cuando una ecuacion lineal tiene coeficientes fraccionarios, se puede obtener una ecua cion equivalente con coeficientes enteros, multiplicando ambos miembros de la ecuacion por el minimo común mtiltiplo de los denominadores presentes en la ecuacion. 8.8 Ecuaciones fracclonarlas que pueden hacerse lineales Resolver el siguiente sistema de ecuaciones l 3 it 1 t~ 'I SOLUCIÓN solvemos. zi 7 I 3 _ v 5 3 .t + É _; 313 _ 1 Mnltiplicamos la primera ecuacion por 4 ia segunda por I2 y luego re sy = ze 3 › ztn lll' su + toy = lso ”"i'i ›› :toy í 27.: + 30;; I Sumando se obtiene Por consiguiente, 47.1' J: El sistema es equivalente al sistema 2:r 3,1; = 28 y .tr = 4. Sustituyendo .ir por 4 en 2.1' 2(4) Jy = 23, 3y = o bien 28, obtenemos y = 12. El sistema original es equivalente al sistema .tr = 4 y y = 12. El conjunto solucion es lts. sil 1' = 4}1¬l(.r.yJ|›f = l2} = lt 4, 12)} Ecuaciones fraccionarías que pueden hacerse lineales A menudo, encontramos ecuaciones fraccionarias con tartables en el denominador La eliminacion de las fracciones da lugar a ecuaciones de grado mayor En algunos casos un cambio de variables proporciona una ecuacion lineal Consideremos por ejemplo la ecuacion Ã, .tr 5 2_v _3_3_ _ l2' l'v1ultiplicando por el m.c.m., l2.t'_v, se obtiene la ecuacion 24» + 30.t = 2311', la cual no es lineal. 8 r ECUACIONES Y DESIGUILDJIDE LIIEÄLES EN DOS VAIIIIIBLES .. . I Sam embargo. st hacemos rr = ecuacion 2« y b : l . .. entonces la sustuucton da lugar a la e que es ttna ecttaciún lineal en rr 3' b. De esta manera se obtienen ecuaciones lineales en a y li que pueden resolverse por los metodos vistos. Despues de encontrar los valores de rr gr ii, podernos calcular los de .tr 3.* _t '. Resolver el siguiente sistema de ecttaciones: .å+_.§__ _ ? _3f_ t' ,_. .?.v_l2 SOLUCÍON __1__+Ã....Â ' 2.1: AI rccmpittaar 5 Ze + 241 v 3 por rr 3; por It. obtenemos 23 ¡rá (1) L tÍ 2a+3[J_ 3. (2) Se multiplica la ecuacion ll) por 12 y la (2) por 6, y se resuelve. 24a+sot›=23 Li” › sa+tst›=1o L”, 72a+eot›= se tsa aet›= se Sumando resulta 57a = Por consiguiente. tt = l9 l 3 El sistema es equivalente a 24:: + Jüb : 23 v n = Al sustituir rr por ã en 24a + 30h = 23, se obtiene 24(å) + 30b = 23 Puesto q ue rr Jr = 3 I I .t y Esto es. b = 'b f L .t 1* _t ' _t i 2' se tiene 2. El conjunto solucicin del sistettta original es lts. _v›|.t s sl U tor. _v)|,t› _ :tt _ lts, zi). ' 8.8 Ecuaclrmes Fraccionaria: que pueden hacerse lineales EIEÍCÍCÍOS 3.7 8.3 Resuclva los siguientes sistemas de ecuaciones: I .ix + 2{_v 2.1: 3) † 2_v 2, 2(_v + 7) :2 4(.t' + 6) + 7;, =2s 5 2l3..r 4) + 3l2_v 7) = 35 lt rr l3_v + .r) = 7 7. 3(:r 2_'v) + 2{.r + 3) = 4 4t I' + _vi 3(.r 1 25') = 2 9. 5{.r 31') 2(2.r 5_v) = El 212.1 + _v) Lt' ._¡,}=9 2[.r l Syl : 3l.t' 21:) = 10 7(.t' 3_r) = 4_v_) + 2l.r 2 IJ. 21' 3 1 t|_ __ ¡xv = II Q : UI I' '. › I 15. `1I __ 'f"¦ `.*I t to" + Ei' " .r M i + I rd" 1. “I + 'ft v=7 .lt st. t H ' 12 .IL | 1 _ _.=4 11 ¦ tI t ll :I trs.:. ›J.ta› 11 Í 3 tt = L? e _.¡.= 1. 24 F=›t.›t~.t' .¦ J,_nt. ›~_›.¡:t. 1 es 2.r t: 3_v 3 _ ,._.___¿ La t¦r~ti lt. '.› _. _ [2 ìfl 1 31 ttt¦~t I++ _, ,_4_f› 'Ó _,\1 I: r+ v= + '_: ___ 5 3 so out eatuioe soesp .r+_v “alM”»Js 3.1' í .t"`2 .r 3.r Sv ~_l 3 s "2 I lfi Ú .r _í*+ ig 'E 2 3 .r+_v__3..r+4_v s I_ `fi t~¬›_f. cot.›vsr.t~icr~t. t = .t'+_t ...__ .t + .ir _í¡__ 12 l2 v 'í __3I J' 4 1 ir ¿tr 4 2 r _ __,,___1_ _¡, i 25 §,_.+l ..3 tt' 23' H 9I ¡¡, C3* Ii MJ (Jr + _v) = 19 5(3.r + 8_vl + 2t.x + Zv) = 3 55 r + :.__.= ii. 21 C71' .J'?| 23. 4(?.r + 7_v) 29 H '11 $C"¬.r il' JI¬ .lU'Il"\J' 21. 3t2r + 33') + 4{`3.r t) = 6(.r + _v) (4.r + _; ) = 13 II 3t,r + 2) = 3(2t + :ri = 2tx Zy) + 26 P (I jr) = 3(2.t + 3;) 22 L¡.I 1 u . t' “_ 19. _ 6. 5.1: + 4(,t' 3) = 9 3.1: 2(2_v + 3) = 4 7( 1' '_ JF) + 2(_;r + 4_v) = 3. ~:›. 1 t U1 17. *lts + I) mts.: Ls l*~. 'tL . ›¬.iDo = 4 2 "¡_ 3_tf) + 3(2_v 411 ~ |› tu _»› (_t ' + 2.1:) = 4 3. 3.1: .'.i(.r 6 "s ZÍI 1.1 I 2 Zr _v_.r _t__l 3 2 6 3x _t .t 3_t_ 4 t 1 “tz 3 ' ECUACIONES Y OESIGIMLDIOES IJIEALES EN OOS VARIABLES 27. 2y_ .r 4yi.r 1 e 2 "s n sy_o+sy_§ 4 3 "4 ze. f_ï_ “._§~*+>'._. 1 3 s e 4 9 4 v 41' 3x ....___¡ 1 4 3v + Jr 23.2 _T"' Í_'2s äƒiï Iï_ _m .._ã=() 2 2 5 s 1 l7 = 12 Í §.._ s I 1+ 5.: Jï'fL› 1 * it. t~I¦' It iv t n.__É=š Z í si í. .Í ,. ...ill Z l.. å_l § 2 y .___¦¡"l'iJ'I 3.: 5t 2 .íìï . í ¦ tt lä ìwí 3_vd2 4 7 + v 6 I v F 2 11' 1 21 1'.._å 4? 1.* 54 ..31_fi .__Ltnwti tlf .t +3. _. 1.? 2 2 + M.. 3v 23; l2 l 5 7 3): + 4)* 3 1' 24 3x 5 e t v_ 4 + _v ïlt "~.r 'I¦"tI* 1 39. _' 3 ji' 35 3I:_____ être if .±*=__, 3 31. I+_y 5 I3 ?.r3_v6 4 Zv F' v .tl_ j*».r:§_ft. nl;' .t 3 IS Lil '5 jr 6 É l_?_3. .r 2_v I2 Problemas planteados con palabras Muchos problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones en dos variables. Se representan dos de las cantidades incógnitas del problema mediante dos va riables. Las demas cantidades incógnitas se cspresan en términos de las dos variables. Se traducen los enunciados verbales a dos ecuaciones. Se resuelven las ecuaciones ett las variables y se calculan las cantidades incógnitas. Por último se comprueba la respuesta ett el problema inicial planteado con palabras. Los ejemplos siguientes ilustran algunos tipos de problemas que pueden resolverse utilizando ecuaciones en dos variables. 8.9 Pfflfilflfllãã Dlàlìffiitlfli l¦0|I PIIHIIIIS 327 El doble de un número supera en 9 al triple de otro mientras que 12 veces el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos. SOIUCIÓH Prirrrer mimcro Segundo número .r y zx = 'i' 9, esta es, l2_v = 'ix + 12, Resolviendo el sistema 2x Zr es decir, 3_,v = 9 y 7.1' 3y=9 st n › 7.1' l2_v= 12 2.1' H _ + Sumando, se obtiene Tx l2y = : 9 l2y = 12. I2, se obtiene 8x+ l2y= 36 7.1: l2y= 12 x = 48 .r = 48 Al sustituir x por 48, resulta y = 29 Los números son 48 v 29. Un número de dos cifras es 6 unidades menor que el séptuplo de la suma de sus digitos. Si los dígitos se intercambian, el resultado excede 3 a ll veces el dígito de las unidades del número original. Encontrar dicho número. SOI.IJCION Número original Número nuevo Drfgilo de los Drigiro de los Drgilo de las Dtjgiro de los unƒrƒrrrƒes .tr decerras y trnidndes _v decertns .tr Número = .tr + 10)' Número = _v + l0x Suma delos digitos = .r + y .tr + l0y = ?(:r + _v) 6 _v + 10.1' = ll.¬r + 3 .t:+ l0y=7.t'+?y 6 ox + 3_v = 6 lr _v = 2 Resolviendo el sistema 2.t' lr v= 2 J _ Iv: . . 3 .t _v = 2 3.' Jr it ll .L Q AI sumar resulta Sustituvendo .tr por 5, se tiene Por consiguiente, el número es 85. y=3 _v = 3, se obtiene 2.1: v=2 'I' .I +\_'Z3 = 5 _v = 8 B I' ECUACIONES Y DESIGUALOADES LIHEALE EH DOS VARIABLES Si se resta 4 al numerador 1; se stima 3 al denominador de una fracciòit, sti l . valor resttlta ser Í _ Sii se suma 2 tanto al numerador como al denominador, el valor 'i qtie se obtiene es 2 . Hallar la fraccion. SOLUCION .tr Sea la fracciriit buscada. 'ill 1 jr * 3 2 .r+2ñ_..fi , CS! 2 ur esto es, 3.1' *_ Fl' ll. "' 2__v = (|) 2. (2) _v t 2 3 Resolviendo el sistema 2.v lr 3.t' _v 2)' = mi ..ï. ii fe _i ' = ll v 3.1' al El › _› Sumando resulta 2_t ' = 2. obtenemos at +› 2; = 2:: 3. . .tv = 2 ig. .r = .r = Al sustituir x por 24, se obtiene _v = 24 24 37 Por lo tanto. la fraccion es Catalina invirtió parte de sti dinero al ii'ïVti y el resto al l2“Fu. El ingreso oh tenido por ambas inversiones totaliao S2 440. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totaliitado $2 760. ¿Que cantidad de dinero habia en cada inversión? SOLUCIÓN ƒrittersitiiies riri'gi'riu!c.s S .v al S _v al 3% 8%.r + l2%_t* iltr + l2_v 'lr + 33 Iitttersioites irtrr rt'uriibiur!rr.s S .v al S _l' al 12% 12% 3% _ 'íf 2240 Í ÄÍ 24 4,000 Ilr + 33' f›l.0ü0 3.1: + 2_v i _ Resolviendo el sistema 2.r = 3,1 ' 12* `ri*.t: + 8%_v 2760 276.000 69.000 61000 1v 3.1: t 2__v ~= (19 tllltl, obtenetnos at + st = 61.000 3.1: + ?._'r = 69.000 .tt 6)' = _ ?_t:_+ Éijir : Sumando resulta 5.1' .í 34. .T = Sustituyendo .tr por 17 Otltl, sc obtiene Las inversiones son S17 0.00 y S9 (100. ¿v = 122.000 39.7 9@ 85,000 17,000 9,000 8.9 Problemas planteados con palabras Si tiria solución de glicerina al 40% se agrega a otia al 60% la mezcla resul ta al 54%. Si hubiera IO partes mas de la solucion al 60% la mcrcla seria .il 55% de glicerina. ¿Cttántas partes de cada solticion se tienen* SOLUCION Primero: Sean .tr partes 40% _v parte (t + v) partes fiüiiit 5494 4(i'"ii .r + fi(l%_v = 54*ì islx + jr] flllr + t'iU_v 'Í í l4.r + ot' 'I _ 54(.r + _vi 0 'Tx 3)' = O .r partes t_v i IO) partes 40% 60% Segundo: Scan 40'%x + f›ll%t_v + IO) 40.1: + 60(_v + IO) 40.r + 60_v + 600 l5.r t Sjr 3.1: jr Rcsolviendo el sisteina 7.v is 3.r 3,» == ti í _ í í' :I 1+ í ít L 'tt :ri 1.) ` ` r 5511.1: + _v + 10) 55.r + 55_v + 550 50 lll _v = lll st. oliticiti. 3; = 9,i:+3_ji'== Sumando resulta _i i 10) pa ii 55%(Jt + _t. + IU) 3__v = ll y 3.t: it › _v= 10 H' t lr = U 30 30 15 Al sustituir .v por IS. obtenemos _v = 35 Las partes corrcspoiidienlcs a las soluciones de gliccritta son IS t 35 Uti avion empleó 4 Itoras eii recorrer 2400 millas con cl siento a su favor mientras que volando en coittra del viento dentoro 6 horas Dctcriitiintr la ttlottdatl del viento gr la del avion con el viento en calma SOLUCION Sea la velocidad del viettto = .vmph Sea la velocidad del avion coit cl viento eii calma = i mph Entonces, la velocidad dei avion coii el viento a làvor sera dt. i i t mph t con el siento en contra, de __t ' " .t'm|¬ih. l :¡:~_ 4(_v+.rl=2400 ii › y+.t=60'U 5 ' i __v : .tj 400 j:i . 6(y .r) = 2400 Sumando rcstilta 2v Por consigttiente, Al sustituir y por 500, se obtiene x 'Iv' í .í il _ l OOO 500 l U0 8 ¢ ECUÃOOIESYDEIGUÃLHÃDESLIIEÃLESEIDOSVÃIIÃBIES Velocidad del viento = 100 millas por hora. Velocidad del avion con el viento en calma = 500 mph. Hace seis años Beatriz tenía % de la edad de Guillermo. y dentro de 12 años tendrá â de su edad. Hallar sus edades actuales SOLUCIÓN en años. .tr ü Sea .rr la edad actual de Beatritt en años. Sea y la edad actual de Guillermo 6 = â (y 6), esto es. 3.1' ~ 2_v = 6. .r + l2 L já (y + 12), es deeir, 6x Sy = Resolviendo el sistema 3.1' 3; :tv 6 6x 5y= I2 Zy == 6 y ox Sy = ie “H” 6x+4y 1 1 i + 6x Sy ir í Al sumar resulta jr Sustituyendo y por 24. SC Dbliflflfl l2. 12, se obtiene tz 12 24 24 ts Por lo tanto. Bcatria tiene IS años y Guillermo 24. Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 60 y l20 li bras se equilbren. Si se agregan 30 libras a la carga de 60, la de l20 debe recorrerse a un pie mas de distancia del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Hallar la dis tancia original entre ambas cargas. SOLUCIÓN Sea ,tr el brazo de palanca en pies de la carga de 60 libras. Sea _v el brazo de palanca en pies de la carga de 120 libras. Entonces oüx = 120)', esto es, x Zy = 0. (1) Slüx = l20(y + 1), es decir, 3x 4y = 4. (2) Resolviendo el sistema x x 2y=0 3.: 4y=4 2y = 0 y 3.1' iís 1 Sumando resulta AI sustituir .tr por 4, obtenemos fly = 4, se obtiene Zr+4y 3:r 4y .r y Por consiguiente, la distancia original entre las cargas es 6 pies. as emblemas ptarimrtos een patata as 351 Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su área se incrementa en 16 pttltadas cuadradas. Si la base aumenta S pulgadas y la altura disminuye 3. el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo original, SOLUCIÓN Sea la altura del rectángulo en pulgadas = .tz Sea la base del rectángulo en pulgadas = y. Primero.” Segtrrtrƒn: (y 2)(..r+2)=.¬ry+l6 xy 2x+2y 4 ;.r_v+l6 2x + Zy = 20 .t:+ _v= IO (y+5)(.t' 3)=.ry+l5 xy+ 5.1' 3y l5=:ry+l5 Ss' 3_v = 30 Resolviendo el sistetna .r + y == lO y 5.1' y x=l0 it Sx 3y=30 3,v = 30, se obtiene 3x+3y=3l) it Al sumar resulta 5.ï3_v=30 21 Sustituyendo x por 30 obtenemos = 60 .tr = 30 y = 40 Por consiguiente. el área del rectángulo original = 30 ><: 40 = 1200 pulgadas cuadradas. A y B juntos pueden realizar un trabajo en 42 horas. Si A trabaja solo du rante l5 horas y luego B completa el trabajo en 60 horas. ¿Cuántas horas demorará cada uno en hacer el trabajo solo? SOLUCIÓN Sea el número de horas en las que A puede realizar el trabajo solo = .tn Sea el número de horas ett las que B puede efectuar el trabajo solo = y. 2+ Q=t (1) E r@=I .r ¬› (2) x _r 1' I AI sustituir por tt y por b y resolver para tt y b, obtenemos 42a + 42s =t ¿La › ftzoa + 42ot›= to 1sa+eot›= t É rosa 42ot›= 1 Sumando resulta 315o = 3 8 I ECUÃCIOIES Y DESIGUÃLDÃDES LWEALES El DOS VARMILE I Po titanio, tt =_* ' " tos . _ l _ . Al sustituir tr por T”. st. obtiene ¿J . . " 1' _' " _ Por t..onsigiiii_ntt., i : l H_ ll 151 y _i 1' : l .m . I ¡J 2 : 70 _ A puede realirar el trabajo solo ett l05 horas. B puede efecttiarlti stilo en 70 horas. Ejercicios 8.9 I. 2. 3. 4. 5. F.I triple de tin nt'|niet'o supera eii I a otro, mientras que el ttiiintuplo del primero es 4 unidades ntenor que el doble del segundo. Eiieuentre ambos números. El doble de utt itiinicrti es 4 unidades nienoi' que otro, mientras que el quintttplo del primero cs 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números. El triple de uti ntìttiero es 3 unidades menor que el doble de otro, mientras que el sépttiplo del primer supera en 5 al t.'tiátlrtiplo del segundo. (`)bteiiga anihos tiúmeros. El cuádrttplo de tin niiniero excede en 6 al triple de otro, mientras que el òetttplo del prin o es 22 unidades nienor que el séptuplo del segundo. l)etcrniitie ambos numeros. _. l . l ._ I Si Í de tin nutnero se suma a 1 de otro, el resultado cs 9. Si se resta ., del scgtiii 5 . . do a los 6 del primero, el resultado es I. Encueiitre ambos nutiieros. 6.. _ _ t S . 3 La mitad de un tiuiiiero nieiios _, de otro es 2. gi' 15 del primero menos ¡~ ¿ del segiiitdo es ll. Halle los dos números, 7. . l 2 I.a tercera parte de un numero stipera en 2 a T de otro. 5' 1 del segundo esccdc l , ._ , _ ett 2 a 5 del primero. ¿L uales son esos ittimeros? 8. tu . 1 5 ,g Siete octatros de un numero es 4 unidades tiiciios que ¿ de otro, si É del segundo . l . _ es Ill riias que ï del primero. Obtenga atnhos numeros. 9. l a suma de los rcctproeos de dos numeros es 1., . 3' la dilcrciicta de tliclios reci I .I procos es S4 . Determine aiiibos numeros. 10. . , I . . , l.a stima de Ilos reciprocos de dos ttitmeros es .M , gr la difereiicia de tales reci I . prontos es W. Encuentre ambos nuineros. 8.9 Pfflllllêlflflâ IIIBIIÍBEIIOS CON Pãtlãbfäfi 333 Il. _ _ 3 jr sii diferencia _ _ es 6I _ ¿C_ uales _ l_a suma de los rectprocos de dos numeros es 7.. soii esos itt'tniet'os? 12. _ _ _ . _ es ¡ 52 _ ltiiciicn _ l_a suma de los reciprocos de dos nutneros es 43 _ sf sti tlitcrencia tre aiii bos numeros. 13. Un iitìittero de dos cilras supera eii 4 al sestuplti de la suma de sus digitos. Si los digitos se intercambian, cl resultado es 2 ttiiidades meiior que el octttplo del dígito de las decenas del niiinero original. Halle diclto |itiittero_ I4. Un núiiiero de dos cifras es 6 unidades menor que el cuádrupto de la suma de ' stts digitos, Si los digitos se intercambian, el nuevo número es 5 unidades menor que el óctuplo de la suma de los digitos. Determine el ntimero original. IS. Un número de dos cifras supera cn 3 al septuplo de la sunta de sus digitos. Si estos 16. se intercainbian, el ntievo número esccdc en 4 al quintuplo del dígito de las dece nas del número original. Halle diclto rit'imero_ Uit ntiinero de dos cifras supera en 5 al sestuplo de la sunta de sus digitos. Si los digitos se intercanibiati, cl resultado excede en 3 al ctiádruplo de la suma de los digitos. Obtenga ei número original. 17. Si se suma 3 tanto al numerador como al denominador dc ttiia fraccion, su valor 2 __ _ _ resitlta ser _, _ Si se resta 2 al iiutncrador y al denominador. el valor se convierte I _ Í __ en Í. ¿Cual es la fraccion? 18. Si se resta l al titiitterador 1.' se sttma l al denominador de una traccion. su valor se convierte en _ Si se suma 3 al numerador 1; se resta 3 al denominador. el valor I* .Ji I resultante es 2. Encuentre la fraccion. 19. Si se suma 2 al nuincrador gr 4 al denotiiittador de una fraccion, su valor resulta 2 'Ii I Q ser ï_ bi se resta 2 al iitttnerador gr se suma l al detiomtnador, el valor dela trac __ _ l _ __ cioti se convierte eii 5 _ Halle la traccion. 20. Si se suma 3 al ntitnerador y 5 al denominador de una fraccioii, su valor resulta 4 _ _ _ 5 ser 1,.. _ Si se resta 2 tanto al numerador como al denominador, se obtiene 6 _ Encuentre la fracción. 21. 22. 23. Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%, El ingreso por ambas inversiones totalizò S300 D. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el in greso habria totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversion? Utia señora invirtió parte de su dinero al 9%, y el resto al 13%. El ingreso por ambas inversiones dio un total de $3690. Si hubiera intercambiado sus inversio nes, el ingreso habria sido de $3570 en total. ¿Que cantidad tenia eii cada inversion? El interés total de dos inversiones de $20,090 3* $25,000 tìie de $4,900. Si las inver siones se intercanibiaran, el interés total seria de $5,000. Determine la tasa de in teres de cada inversión. 8 ECUÃCIUIESYDBIGUÃLDADHLIHEILBHDDSUAIIIBLES El interés total de dos inversiones de $4.000 y $6,000 fue de $1,320. Si las inver siones se intercambiaran, el interes total seria de $1,280. Obtenga la tasa de inte rés de cada inversion. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dolares, mientras que 8 li bras de almendras v 6 de nueces cuestan $47.20 dolares, encuentre el precio por libra de cada producto. Si 6 libras de naranja y 5 de manzanas cuestan $4.19 dolares, mientras que 5 Ii bras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dolares, determine el precio por libra de cada fruta. Si lO paquetes de maiz y 7 de chicharos cuestan $12.53, mientras que 7 de maiz y 9 de chicharos cuestan $12.52 dolares. halle el precio por paquete de cada producto. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dolares, mientras que 9 libras de papas y I3 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra dc cada producto? Si una solucion de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tienen de cada solucion? Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla conten dria 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleacion al 8% v 10 más de la aleacion al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de cada aleacion se tienen? Un joyero combina oro de 24 y de 8 quilates y obtiene oro de 12. Si tuviera 6 onzas más de oro de 24 quilates, obtendría oro de 14.4. ¿Cuántas onzas de cada clase tiene? Una bolsa contiene S3 dolares en monedas de 5 y l0 centavos. Si las monedas de 10€ fueran de 5 (II y viceversa, el valor total de las monedas seria de $3.30 dola res. ¿Cuántas hay de cada clase en la bolsa? Una bolsa contiene $13.80 dólares en monedas de 10€ y 25€ _ Si las de 25tlï fue ran de 10€ y viceversa, el valor total resultaría ser de $15.60 dolares. ¿Cuántas monedas de cada clase hay en la bolsa? Un hombre remo 8 milias en un rio contra corriente durante 2 horas, 3' de regreso hizo una hora. Encuentre la velocidad de la corriente y la del hombre re mando en aguas tranquilas. Un avion dcmoro 5 horas en recorrer 3,500 millas volando en direccion del vien to, mientras que en contra de él, demoró 7 horas. Determine la velocidad del vien to y la del avion con el viento en calma. Un avion voto 640 millas en direccion del viento en una hora y 36 minutos. De regreso, voló contra el viento y demoro 2 horas en realizar el vuelo. Obtenga la velocidad del viento y la del avion con el viento en calma. Cuando una persona maneja de su casa al trabajo a 60 millas por hora, arriba 4 minutos antes de lo normal, y cuando lo hace a 40 millas por hora, llega 6 minu tos después de lo usual. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad a la que normalmente conduce. Hace S años la edad de un muchacho era % de la que tenia su papá, y dentro de 10 años el hijo tendra la mitad de la edad del papá. Determine las edades actuales. PI'0II|9I'II3$ lllâllfflãflúå COI! 93130735 335 Hace 30 años la edad de una señora era % de la edad de su esposo, y dentro de 15 años ella tendrá É de la edad de el. Halle las edades actuales. Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos cargas de 80 y 120 libras que dan en equilibrio. Si se agregan l0 0 libras a la carga de 80, el punto de apoyo debe recorrerse un pie hacia la carga de 80 libras para preservar el equilibrio. En cuentre la distancia entre las cargas originales. El punto de apoyo de una palanca está situado, de tal manera, que dos cargas de 36 y 48 libras colocadas en sus extremos quedan en equilibrio. Si se agregan 28 libras a la carga de 36, el punto de apoyo debe recorrerse un pic hacia la carga de 36 libras para preservar el equilibrio. Obtenga la longitud de la palanca. Un punto de apoyo está situado, de tal manera, que 2 cargas de 60 y 90 libras quedan en equilibrio. Si se agregan IS libras a la carga de 60, la de 90 debe reco rrerse 2 pies más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Halle la distancia original entre las cargas de 60 y 90 libras. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye lo pulgadas cuadradas. Si la base disminuye l pulgada y la altura aumen ta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la anchura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cuadrados. Si la longitud crece 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original. A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Si A trabaja solo durante 6 horas y luego B completa el trabajo en 36 horas, ¿cuántas horas dernorará cada uno en hacer el trabajo solo? A y B juntos pueden efectuar un trabajo en 36 horas. Si A trabaja solo durante l0 horas y luego B completa el trabajo en 75 horas, ¿cuántas horas demorará cada uno desarrollando el trabajo solo? A y B juntos pueden realizar un trabajo en 24 horas. Despues de que A trabajó solo durante 7 horas, B se unio al trabajo y juntos terminaron el resto en 20 ho ras. ¿Cuánto tiempo demora cada uno en hacer el trabajo solo? Un tanque puede ser llenado por dos tuberias abiertas simultáneamente durante 80 minutos. Si la primera tubería estuvo abierta durante solamente l hora y la segunda lleno cl resto del tanque en l05 minutos, ¿cuánto tardaría cada tuberia en llenar el tanque separadamente? Un edificio de oficinas con un área total de piso de 60,000 pies cuadrados está dividida en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de $4 dolares para la oficina A, S3 dolares para la oficina B y $2.50 para la oficina C. La renta de la oficina B es el dobla de la de C. Si la renta total del edificio es de $l92,500, ¿cuál es el valor de la renta de cada oficina? Un edificio de oficinas con un área total de piso de 8000 pies cuadrados está divi dido en 3 oficinas A, B y C. La renta por pie cuadrado de área de piso es de $5 dolares para la oficina A, $3 dolares para la B y $2 para la C. La renta de la ofici na A es $1,500 más que el cuádrtiplo de la renta de C. Si la renta total es de $27,900, ¿cuál es el valor de la renta de cada oficina? 3 I ECUÃCIOHES Y DESIGUÃLDÃDES IJIÍEÃLES EN DOS VIRIIBLES Gráficas de desigualdades lineales en dos variables l ll conjunto stiliicioit de una desigualdad litieal en dos variables, por ejemplo _i ,r :> 3, es nit conjunto itifittito dc parejas ordenadas de iii'tmcros_ lts', _v)l_t .r :> 3}_ Para graficar el coiijtitito solttcioii de la desigualdad _r v 2: 3 se considera primeramciite la ecttaciott lineal ,it .r 3. l_a grtilica del conjunto solucioii de esta ectiacion es titia recta, como se muestra cn la Figiira 8.19. Si .r r l, entonces _v 4: o sea, (I, 4) es titt elctttciito del conjtiiiio solucion de la ecuacion. Tambitl ii (2, 5). tel. 2) y l _' 1, l) son elementos del conjunto soiticit`m_ ,_ 5 4 3 I 4 3 2 i 1012 3 4 FIGURA 8.19 (.ò|isidcrcit'ios ahora la tlcsigttaldttd __v rr .r ':› 3. (_Ítiatit_lt:i,t' ; l, se tiene _t I 2 3; es decir, __v : 4. Asi que para .ir l, cualquier iiiiittcio real y mayor que 4 satisface la desigualdad. l__as coordenadas de todos los pini tos dc la recta _r l que sc cnctietitrati arriba de la recta ,v .r 1 3 soii elementos del _;titijttttlt`”~ t 't_ilti :ititt de la tii: «ii_t_ttttt|f.iít¢.|_ ~__ùat.do.r _?, sc tieiie__ . 2 : : 3; cstoes_v > 5. Asi que paras* = 2, todo número icul rita; or que F satisface la desigualdad. Las coordettadas de todos los puntos de la |'ccta _r = _? utic se cticucntriin arriba de la recta y _t' L 3 son elementos del conjun to solucion tlc la tlesigiialdad_ l ti itiisino se cumple para las coordenadas de todos los puntos de las rectas .r ¬ "I y _' : ¬2 que se hallan arriba dela recta _i' .r 3, como aparece eii la Figttra l i_2tl_ l)c modo que para .r _ _ i. las ct'i›ord eitttdas de todos los puntos de la recta x = rr que se encuentran arriba dt. l:t recta _r r ¬ 3 soii elementos del conjunto solucion de la dcsigtialtlad_ l_as ctiorrlt n .idas de cada ptinto del plano que se halla arriba de la recta _l' .r = 3, satisfacen la desigtialditd _i' .r > 3. 3.10 Gráficas de desigualdades lineales en dos variables 5 4 3 ìïíìhïhHS! ïí j 4 3 2 1012 I 34 FIGURA 3.20 Por consiguiente, la solucíoit gráfica de la desigualdad _i ' ,ir "_> 3 es el semiplano que se cticucntra arriba de la rccta_v .r 3, La gráfica de esta desigualdad se muestra en la Figura 8.21 mediante el semíplano sombreado. l_a recta putiteada ,v J: = 3 itidi ca que la recta no es parte del conjunto solucion de la desigualdad, 3. 2 l 3 2 i Gt 2 t 4 .r 3 \</¿¿ // 3 FIGURA 8.21 Iii , I 'I FIGURA 8.22 l_a gráfica de la desigualdad .r + 2_v st 4 es el semíplano sombreado que se halla bajo la recta .tr + 2_t' = 4 mostrado ett la Figura 3,22. La líiiea recta continua itidica tinc la ret:ta es parte del conjunto solticion de la desigualdad, 8 I EflM$ÉY lflIL5HDfiVÃ¶flB Para resolver gráficamente una desigualdad lineal en dos variables. se reemplaza la re lacion de orden por un signo de igualdad. Se dibuja la recta que representa la ecuación. Se traza una recta punteada si la relación de orden es > o <: (la recta no es parte del conjunto solución), y una recta continua si la relación de orden es 2 o 5 (la recta es parte del conjunto solución). Se consideran las coordenadas de un punto que no pertenezca a la recta. Si éstas satisfacen la desigualdad, el semíplano en el cual el punto se localiza es el conjunto so lucion de la desigualdad; de lo contrario, el conjunto solución es el semíplano comple mentarìo _ Graficar el conjunto solucion de la desigualdad x + y 2 2. $O|.l.ICIÓN Se dibuja la linea recta continua x + y = 2 (Figura 8.23). El punto (0, 0) no satisface la desigualdad. Por consiguiente, el semíplano que se encuentra arriba de la recta es la gráfica de la desigualdad. La propia recta es parte de la solucion. Jf' 2 I I 1 0 1 "Í I 1 FIGURA 8.23 Nota El conjunto solución de un sistema de desi gualdades es la intersección de los conjuntos solucion de cada una de las desigualdades del sistema. Graficar el conjunto soluc.ion del sistema de desigualdades 2x+y> 4 y x 2y> 2. SOLUCIÓN Se dibujan lineas rectas punteadas que representan las gráficas de las ecua ciones lineales 2x+y=4 y x 2y=2. Se sombrea el conjunto solucion de cada desigualdad. “m$0 mmwmw mn mn mm ms omb TQ ad ofi dm `njur| ws MM.mn m¡ 5151€ m Íl¡ie La ¡N Iwflfi 2 a (F*Bu fa .Y \ 4 2 \.\ _j .1 I I Ii I IIII .f iiii ii . F' iili 1 iiiil iii iiili laIiii la ncfiãì ¡nooo 1no oo¬fii'¬: '1Ffi:¬::¬no *lil ooo 'iii 'lil 1 ¿S1 _ 'I 1... I .'|¡_' Í .ru ¿ff " ¡. '| 1 R I " 'Iii 'li Tfil i“IIi ii “iii il flii alli iiii liiii iiiiu .Úfãj IIIi lIi Ii IIi iiiiii ' ff ~ Il "'| 'N ¿Q/" RA G fafìqu É '31 Jun w ÉQ"1_ Südu Chó Í} tjfi Cat! B I Ii iqrl: ui. iiiii i ii una L 6 . x2_3 x> I 5_x>¡ I'¿: 2 U .yaz M Jun m Sffl Ugi. Un de Cai' au no 8 re; 'r<'2 "`3 1 12_ H 4 Y r: I< “S I›4:,4 Y < >o M'x_ 24' .x+)' li; +y¿4 2. fl'I+Y> " 0 ys _ 213 'zy ef) on' S.ug" lgrì lgs 4 m`1+ Ú:Y56 n_I_2 .r__ y_0 yc: me 1 7 la íjfl Sign BLÓ agb: S M m . yz) “2 H . yt: 2 M .ya 3 `y> "I Hfi que i 1 ii 31 'O I cìf ii III Ii a¿4 Euflfümui 9 1 ii I IIUIIO Iiillii IIÚIIUUUII carril conocen ¡comun cuenco IIÚIIÚIII ii ¡encore ¡conoci ¡censor ¡conoce IIUIIIII Ílill ¡HL¡¬ II I 1 '31 ya M tm. Sist em % W R Sign 3|d aü sm Bu lentes H .x>l 2 1* '_ x+y> rÍ"3 2)' _0 cl 25 x 9 xíš +yE1 w ÉÍ2 1 ir Fl 1 H. X3' h 4 ?> .Y:.= 3 H x<3 _? :zx 0 y 3' < 3 m ' hÍš>3 H Y<2 Repaso del Cap..¡gmc 8 Sin hace r Sá Ñ a .M M my¡nte Fgec fiü nes x yy tf tas pen dk nte Sd ec ma um ü la fmtu L Y h”3 m 3x+% 4 H L í _ y_ S `7 ï'a 3 ¿ 3+ w_f y+ W'O 8 I ECUÃCIOHES Y DESIGUILDIDES LINEÃLES EN DOS VÃIIIÁBLES Determine la ecuacion de la recta que pasa por los puntos dados 7. mz. 5).B{ 3,4) l 9. A(3. 2) ll. 3. .› t( 2. 1).B( 7 B(5.2) I 2 2 5 A(3. I). B(3 10. 7 8 fi(š.3), Bqš 3) ) 5 l2. ) I /l( 4. 3). B('¿¬3) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente tntlteada 2 13. A(_ 4. 3): 3 16 1 i 2 f1(l n _2) :ut _5 I4. A(3. 2): 3 17 1 2 4 A(51 _3) ; 5 _ _ 3 IS. 18 n A( A ( '_ ) 5 '_ 6) _ 7 _ 6 Encu ntre la ecuacion de la recta con las interseceiones .r s 1 trtdtcadas 19. 1:6 20. 23 22' š'E 3;5 21. :'›_ 3 23 2' 7 _§ _f_t_ 24' s 3 Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones .tr + _¬_v .r jr 27. 3.1' + 2)' ss 26. 3 3 25. 4 3 4¬,« 28. lr t†= lt+_1,†= 2r+_'r= .r+2y= 1' LH* 'LALH lincuent re ios siguientes sistemas de ecuaciones por el metodo de el1nnn.n.1on 29. 3l. 3.1* 2)* 21' 3)* . 1 .Ir + 3_t' = 3 lt + *Jr í ¡__ 'Í 33. ? 3 30. 11' + 3)* = Óur 7): = 32. 4.: 3.1: 34. 3.1* + _» 2 Rx 31: = 28 3_v= 5 1r+t'=3 3.1; 4». ' = 12 2 3.1* + 41' I i 35. ¡ïn í 1 ftt 31. .t l2_\f= st = 36. I 38. lr 6\'=3 8 .tt + 2\ 3.1 + sy = ll lr t l 2 4.t' 4 3.1' + 2)* 8 (Lt + 43 I' 39. 41. 43. ¡ __.. í 121» 40. 12. í í 'ÁT 1 ' 44. 5.1 Si = 45' = 7.1: i lljr = 17 lr + Iv : 4 4.1' + ?.jr=7 .tr t'=5 3.1' 31 213 lt' + jr = 3 fix ¬l 31' ' = 9 .tr 21' ' ' 5 3.1' (iv ' ¬ 15 ttepaso det ünftuto 3 341 Halle los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución: 45. 3x v = 9 47. 2.r+3__tf=5 3.1: + |4_r = 2 46. .r 48. x 2_r= I 49. 51. 41* == 17 3.1'+y= 1 lr + 3y = 1 4.1 +_v=I 7.r + 21* = 3 6.r+_v= I 5x 2_v= 9 S0. 'I' 52. 4.1' S_t'= 3 .r 3)' = l 5x ll_r=9 7.r 5_t'= 5 9.r 3jl*= 19 Determine los sistemas de ecuaciones siguientes: U1 P' 3 IÍÃ _ 3 r *i “= nl": '¶+¶=ñ I'¬JLnJ L|l'I " 1' “wm tt: I 55. S7. amunwh 3 =3 _v= 4 '5 r5 4 1: S6. =¿t o¬tu¬›°'°` 2.1* _v_ 4 5.r+y 3 lr y + _l_ 4 58. 61. 3 I `¬!2' *'¬'¦I J 2 y 67.. f 3' tb J¦ t'Lh 69. 13 = 2 1:' y .= w 3 4 3y+x 4 = 6 2¿:_~ ì_ 4 5(4x + je) (.r 3)*) = 5 2{.=r Zy) + (Zx jr) = I9 63. 2{x+_v) (x+3_v)= I 5(2.r 331) + 2[3.r + jr) = I Ii M..r + =t É ._ ._ = 10 3x+y_l_l 2 6 Wwmuhmu + 7 v+.r = 6 2 3 wmmmwww mua@ 3.1: 5y__2.r 3y__l í_.?»f_ .¿*t._l 4 y= .r+ t~= 'H 3.1' 2_';_.t'+2y__§ 3 4 3 sn 1 315r t*=3 3_v 5 h|_I` 'J LH 62. 64. ` "' 1$'¡bJl I 3(1r 3;) * (Jr y) = 6 5(3.r Zy) + (x 23;) = 3 3(.r+y) 2(lt' y)=7 4(.r 231) + 3(.r + 33:) = 13 m.Í+§= 1 .I jr Ó É _ Z ,_ É .r ,tf 3 7 3 15 . = 68 x+}* 2 å+É=J. x y 2 El quíntuplo de un número es 2 unidades menor que el triple de otro, mientras que el oetuplo del primero es I I menos que el quíntuplo del segundo. Encuentre ambos números. B EWl%ÉY l$IlBHDfiVlfllflB . l . . La tercera parte de un numero excede en 5 a Í de otro numero, mientras que 2 il 3 I ï del primero es 6 unidades menor que 5 del segundo. Halle ambos numeros. . . 13 . . 1 . La suma de los reeiprocos de dos numeros es B y su diferencia es í. ¿Cuales son esos numeros? Un número de dos cifras supera en 3 al cuadrúplo de la suma de sus dígitos. Si los digitos se intercambian el nuevo número es 3 unidades menor que ll veces el dígito de las unidades del número original. Determine dicho número. Si se suma 2 al numerador y 7 al denominador de una fracción, su valor resulta 3 . 'P _ ser í. Si se restìa 3 tanto al numerador como al denominador, el valor de la frac . 2 _. . . cion resultante es ã . Haile la fraccion original. Una persona invirtió parte de su dinero al 12% v el resto al 15%. El interés total por ambas inversiones fue de $3930 dólares. Si se hubieran intercambiado las in versiones, el interes total seria de $4440 dolares. ¿Qué cantidad tenía en cada in versión? El interés total de dos inversiones de $18 000 y $8 000 fue de $3 960. Si se inter cambiaran las inversiones. el interés total seria de $4 360. Obtenga la tasa de inte rés de eada inversión. Si una solucion de ácido al 30% se agraga a otra al 45%, la mezcla es una solu ción de ácido al 36%. Si hubiera 10 galones más de la solucion al 30%, la nueva mezcla sería una solucion de ácido al 34.5%. ¿Cuántos galones de cada solucion se tienen? Una bolsa contiene $9.80 dólares en monedas de 10 y 25 centavos. Si las monedas de 25 (li fueran de 10€ y viceversa. el valor total de las monedas seria de $7.70. ¿Cuántas monedas de cada clase hay en la bolsa? Un avión voló l 920 millas con el viento a favor en 2 horas y 40 minutos. De re greso volo contra el viento y empleo 3 horas en realizar el viaje. Encuentre la velo cidad dcl viento y la del avión con el viento en calma. Un avion voló l 890 milas con el viento a favor en 3'/1 horas. De regreso lo hizo contra el viento y tardó 4'/Lt horas en realizar el viaje. Determine la velocidad del viento y la del avión con el viento en calma. Cuando una persona maneja de su casa a trabajo a 60 millas por hora, llega 6 minutos antes de lo usual. Cuando lo hace a 36 millas por hora, llega 10 minutos más tarde de lo normal. Halle la distancia de la casa a su oficina y la velocidad a la que normalmente conduce. Hace 3 años una niña tenia Á de la edad que tenia su papa y dentro de 9 años tendra % de la edad de su papá. Encuentre sus edades actuales. Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que 2 cargas de 80 y 120 libras quedan en equiiibrio. Si se agregan 20 libras a la carga de 30, la carga de 120 debe reco rrerse un pie más lejos del punto de apoyo para preservar el equilibrio. Obtenga la distancia original entre las cargas de 80 y 120 libras. J IOPBSDGQICIDÍIIIIDB 83. 84. . 313 Si la longitud de un lote rectangular disminuye 20 pies y la anchura aumenta 16 pies, el área del lote permanece constante. Si la longitud crece 10 pies y la anchura disminuye 5, el área lo hace en ISO pies cuadrados. Obtenga el area del lote original. A y B pueden realizar un trabajo en 24 horas trabajando juntos. Después de que A trabajo solo durante 20 horas, 3 se unió al trabajo y juntos terminaron el resto en I6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno en hacer el trabajo solo? Grafique el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades: 3:53 89. x+y<3 .ir y>3 90. 1:55 .ir+y>l 3.1' ys4 91. .i:+3y< l .ir y< 2 .tr ys 4 .tr 2y<' 20 92. x 2y> 2 .ir+2y<4 CAPÍTULO 9 , Exponentes y aplicaciones 9.1 Exoonentes fraccionarios positivos 9.2 Exponente cero v exponentes negativos _ í l 345 9' YlWflfl0% _ El proposito de este capitulo es extender el campo de accion de las reglas de los expo nentes tratadas en el Capitulo 3, y estudiar alguna de sus aplicaciones en álgebra. Si a. b e R, a si 0, b si 0, v m, n e N, tenemos los siguientes teoremas del Capitulo 3: TEOREIIÃ 1 t:i”' si" = n"'“' (página 79) TEGREHÃ 2 (n'")" = n'"" (página 80) TEOREHÃ 3 (nb)"' = a"'b"' (página 3]) TEÚREMÃ 4 m [1 ff fi'"_" ; = I rsoeiaun s ,, ff' in .`> ri: cuando si = ii; i afl cuando , cuando H1' . . (resina 92) rn si ii. ,,~› á_ ) (P 2131393 Exponentes fraccionarios positivos Con el fin de que el Teorema 2 para exponentes sea válido para exponentes fracciona rios positivos, se debe tener la siguiente definición: DEFINICIÓN Si tt E R y rn, ri E N, se define I 1 ni E (fl'"% = (tf) = tt" De la defitticitfin se tiene ln 5 (ti) =fl"=a Cuando nt es un número par, o”' es positiva tanto si rr es positivo como negativo; por ejemplo, (+2)'* = te y ( 2)" = is. Cuando in es un número impar, nm es positivo si ir lo es, y es negativo si e lo es: por ejemplo, (+3) i = 21 y ( 3)* =. 27. 9.1 exponentes H aocionarloltiodtlvos 547 I DEFINICIÓN I La notación ri" representa un número cuya potencia ri ésima es a (si a" = b, entonces b" = ii), con las condiciones siguientes: i I. Siiies pary nI>0. e"> 0. 1 (I6)" = 2 I Si ii es par v e < 0. a" no es un número real. 1 ( 4)* no es real. 1 2. Sinesimpary ri; O. a":= 0. 1 (27)3 = 3 1 Siri es impar y a<O. a" <D. 1 ( 32)* = 2 1 DEFINICIÓN Para ri e R y iii, ri E N, siempre que a" esté definido, definimos af ii" J. 'H como (tf) De acuerdo a las definiciones anteriores, se puede demostrar que los Teoremas 1 a 3 de la página 346 son válidos cuando ii > O, b > 0, y iii, ii son exponentes fracciona rios positivos. "ata Los Teoremas I 3 son ciertos para exponen tes fraccionarios positivos cuando ri y b lo son. Por consiguiente, no se puede asignar valo res especificos negativos a los números li teraies. Las siguientes son aplicaciones directas de los teoremas: 1. 22 22=2 i=2i iii T.: J 'UI :i. si si=3ì+ì=s2=s 2.1 ,ti=,t i=s i ¡1 4. R fi= 'LH 'I' linu I iütl "' ›1¬JI1 =ii 9 I EXPOHEHTES Y APLICÃCIDNES ' @ .= 5. (2 *) * = 2'* *= 2? = 4 7. 1 1 _; cs. (s|)* = (3*)* = 34 * = af* = 27 g La 5 Íx`)" = Jr "= .F 3 au 90 _ 'Jl ¿II E ¡I ¡F u. (=H')f' = .f = H _. H ww 1 8. _ : .. É”, 14 ¡_ (51) = 53 4 = 53 = 25 Í g ÉÍ I* J I JaI' :II H r» ,›__ É = 23' _ E 13.11 .J IHÍ = .H ¦J\fl"" I _: ¿IL |. 'fih 12. (3.1) '* = sw _ _ ns. (.13 )1 = ,».~_¬. % ¡ ,¡ «I Q ._¡¬,f | Nota Cuando a, b G R. a > 0, [J lv 0, y p, f¡. r, s. u, v E N, se tiene E Í." aq bc 1 L' 'l' ,___ aqrbn ï1í | Multiplicar 3.1:: 3' 2.t1_¬r. 7 ( SÚLUCÍÓN 1 ) 3.r2 11%* (X = (3 * 2) ! 3 +1 2 '.r2)_v = 6.1' É' ly = 6x1_\* _*¿__í`"_*`í 2 Multiplicar 2.1';}*å $OI.UC|ÓH y . Sxïyš. = (2 3)(.1:% | 2 1 ._ ìv 1 :4 = fu lui = cm 1 | Evaluar (1124):. SOLUCION .'. 1 3.1 4.1 (324) 2 = (22 3*): = 2 1 3 2 = 2 31' = 13 9.1 Exponentes fracclanariufposltlvus $49 _ ` 1 ` _ 24 Simplìfìsmr (.t"_¬_v:) . $OI.UCIÓN '¡ Ha_ '¬ f"Í nu..› "' u I" 1 :_ RL _.: ìiä ` 3 .in " = ¡L hi ' I . ¦ P .A D* J. Sin1plific:. 11' (.t"_'_r5)*. .É SOLUCIÓN ..|. mi Í (.t4_v5): = xa :jr 2 = .r'2_\': g .1 Ã l1|lIi|1lìcar(x3_1;°)3 jr (.t*'_\'4)`¦. É SOLUCIÓN É (1'1y")3(x"_\"')" = (.r3_3†'*)(.1f`}*3 ) = .r3_\†7 A '__"“__”`í 'JSH «¦ ll M1|l1ìpIica|'(.r”_\'“)? solución (tå\_š)§(Aš nf . 1 J 1 Multiplicar .r3(2.r'¬` Ps IuIlì¡1Ii::ur (3.1.“% axš 1: ¿92¡bh ",¡I |'I¿I n ¡ aqi', 1 1' "' I1|I " ' 2 1 x3+3 1 H|¦I'¬J Ir ¡I __.. un1., ¡If ¡ ¡ If*_ J I" "IIíI I"r 1. . í 1 1I ff 'Í ' I" Jl "|H"Í1J' I gi' I J 'IIJ .I : T H. 1. 3). 5 1 3) = .1" 2.1:: r sowcfóm (.\"'_\*7)3. Í ï _ I l'{ 1 .tg lr' 3» 9! .13 3 = lr: ¡L + 3). I' 3,1 3 " " 9*ElPíTBYlP'I.lCICIOfE$ : 1 3x 21:1 1 +9x2 6 . 1 3x + 712 6 1 1 Pur consiguiente, (312 2){x2 + 3) = 3x + 7.1:* Multiplicar (Jr SOLUCION 1 4): = 6 4)” 4)(¢š 4) å4 K.. 4 1 x 4x: 1 4x2 +16 É .x Por lo tanlu 8x24 I6 1 (12 2 4) = ›: 1 Sxì + 16 NOÉB : '¬=:: .›'.fk :""'JI* Ii'I¦_ › xy + '¬"''ï 'Í.¦_ .LJLI = J: + 2.1' + y, no (x + y). Ejercicios 9.1A Efectúc las operacìuncs indicadas 5' sìmplìfìque: 1 E 1. 3* 33 22 23 2 1 1 2. 3* 3* I 5. 3. 6. 23 25 1 1 1 .|. 3. 52 52 7. 22 2" 1 4. 2 22 1 8. E 72 73 9.1 nmmnm fracdonarlos positivos 11. 9 3%* 10. 3 21 'G 14. un bå 24 15. 3.1' x e É IunI F*F' *L 'Ci É 20 un 21. I !2'› H. ¿_«ZM=:: x"y2 *xy 3 F I 22. 312 25. 1;. 21 12)? ff É 3ä1_ É' .tilluliI¬ I É 27.. gs É "'%. › _.. xr min ' l r¬.|›I I É 3;* 3;* 19. I I ¿I 28. mln Í ';¡`_"__ É É xsyzf _ xayv 30. (23) 31. (aå)° 32. fa I DJ 34. 22 2 (2›)2 35. (333 36. (53% (13% fu I ' ¡I as. (x3 )"7 39. 40. (x“)% 44. (ÉF 43. ( ' 27) I' I 'G I . tf) 1% *L."_h'5. ___."¡.3"._¡LM! .nu _¿.'Iu“_ ,um*.'¡H..u.|\ 1 H..,. IIi._ älu 2 ILU1 46. *Lun' àëh 1:; `Q"" LH” msn ¿lahi: ' .› 49 41 I J. so. ( <;›)` Í ( 4)* 1253 S4. 325 58. 2 362 2 57. 646 H sl 16% 52. 3% 55. 31% ss. 2É 2 1 S3 47. 43. §3 41 W (ÉT ( mà H E 2 ao. 2163 É É É lg 59. 1002 1 'I T 61 64 (.r3\*2)1 62. (1“y“)å(r°›'*)å (IÍv°)š(I2›'“)2 63. (15_v2)3 65 (r1y3)%( r"y”) 11 n (19 §)š( 1'. .¡.'.*)å _v°)å 66 131 68. 67 69 (å1)*(ê*)š 73 (xïyì)ì(.r11†¡)ï 362 343 ¿aya s ¡aya 2 ya 9 yã 3 70 (27a¡bì)§(16a§bï')¡ 11 (aeašbâ)ã(ašbåffifi '72 x(.|š 73. x=(,å _ 2) I) I 74 xì(x2 + I) 75. .rå(11 + 2) 76 xå(xå + 3) 77. + 4) 73 xåtrš 79. ¿(3 3) 2) 9 I EXPOIEITES YAPIJCÃCIONES ll 80. 1 1 x 21': 11 ví _5 ll 31. .r`¦\†3' x* I) 83. (31 34. (É + .2)(.= É H 2) as. s2.(2.f+1.~ sf. _ . I" "' I . ill 1 J'H 1 #1 _ ""IíI "" Ii» 1) 1 _¡ + . F?'I 1. sv 2)(_f= _ 4) _ 88. V 1 I)(2.š ' + 4)(.rš 4) +3)(«š+2) Il 3». l 'Mil ' J' 15 .«)(.«_.~% ¬.. .) I HJ H: IJ 'I II¿É I Él'!JI@ Í lg .jl_ 1 90. E P* H F1 + J 91. (1. HD 1"” '_ › ' 3): 92. + 4): I I 93. 'J ¬¡| II Q . I ."¦.._.. I LJ IJ _ “Í I `¬r 96. I ¿_ .É _ ¬nJ"1¬ + Â I 98. 3 "E119"í I I ì yë) (117% + 2_\'å) I 102. 2 (If "'l¬I:É I (ti + _¬r¿')(.r: 100. L. 1 ' ". "¢_"` 4* Í' 99. (31% + _\'ë)_(3x; IOI. + l)(.tš rá + I) I= 2)(.1"` + ll" + 4) De .=.u:11 crnlu 11 las r.lflfi¦1if.:i0ncs dadas en las págìna:›; 346 3.' 34'?. Ius Teorennas 4 x 5 :IL lu piìgina 346 mn válidas cuundu u > 0, b :'› O. y m, n sun uxpuxnelìlcs Iraççlunarlu |1m.ìl iv ns. Las siguientes son aplicacìonìcs directas de los lcorema:¬: 21 I. 3. ' 1 3 1 'Í' =zf==;'›. _ un Jr" _ ."_š _ s › .x r 'I 2 I Ñ `.'¡ 22 .\"` 2 53 Z '.. l 2 51 5: Í Í 2I 5. LE =2'¦ 4: e 4. 53 xl' Jr* 2 f›. =_¡ "uni ul' 1 1 1 É 7h _l_l nai": 72:2: 4 1"* 2 xl 21 J _ ¡Ml F2 .11 I 5 I' 7h 7. 5 Í ,a B. I' ' »Ji _; _ _ 1 In 5 ì I' .\` .tú " E5 í I 2 I 9.1 1 EIDGIIBHÍBS FIHCCIGUBIIOS IIOSIIIVDS É1 353 1 J. ! I I 2 =ìš m 54 _ = = H..*`: . _. ¦¦ K..r › É É _ _ `_ .x Jf Smlphhcar à . X3) Uv 'H I' SOLUCIÓN Fl * .: 2; HFII I'uI 1 ' n I LI ' I I* 4 I _ 1 " " 1_1¿'¿ 5 3 .r v 1' I y” 'Í' EEEE_*__“____________' ` U ___ â 2 Í3 a Ibfi Simplifìcar Í aabï solución 2.315 433 212.5 4333 É 11 Ii 1 IU! Ji ¦I~' .r Q =i=“`f'._““ í_9. 22 å.ì å.ì 1 ._! 3 aäbl aii Íibì 3 G2 2 ¿› ›› ` 1' ¿J 3 Simplificar 2 IM fazíš sowuóu 3 3 É 4 E fi ÉQ=Q=%=23=s (zmš (W . < (W cs Simplificar lóxjy Sr yfl , 9 I* EXFOVIHITESYÃPIICÃCIOIIES sowclou (1 6x;y§)1' (2_,Ã_gy§)1 ( Sršyã) 1 _ (2“1šyš)I 'I 2121.4 v2 = y ¿_? 2|2¡øy2 2 (9xz},4¡f›)2 Sìmplìficar É. (axøyoznz) 3 É SOLUCIÓN É (9x2yÌz°)2F __ _(32x2y"z¿')3 (3xøy9zrz)§ (zsxf 3,9212): _ 33.rIy°z° 272 _ 22x"yf'z" _ 4x É ¿LH 'Lnil' J í Sìmplìfìcar 1 Í (Iìy )3 (KE1,911 ._5.)É _ 5 SOLUCION (ff 3 ¡_'.Hlb ¬.¡l ~ = = % x13 Y I ¿ya Ejercicios 9.1B Efeclúe las opcracionc s indicadas y simplìlìquez 2 33 22 3. 2. I. LH 'I. JI 54 371 22 72 7. F* U” fl*I ! bil» L1... Ii'LH J'II 7 _* al 5. Í 'É 7 ¦ I* J ra OI ¡HI u~1› EIHUNBIIÍGS fi'i¢¢ÍOlI3|'ÍOI PONÍÍVOS 2 .Í 4 11 .Éã 10. I .L 32 22 2 1. xa Si 14. 12 27 ls . 22 9 .$3 2 ¿.3 1 2 16. 18. xl 3 Is 3 I..1 É _, X3 .r G" Il .Hy I Inn H _! a4 2 .=r'y í' x\»†3 "1,fil ¡I! «HÍI F H3Ju '¬_ JI`:fiulwl_`ì .¢|. Q ad " i i' ul É I' |.I I ¡I 28' 3 2 xa JU il Him .r _'F1' 1 añ H.. *'!"'.. ¿.1 Q al 11 tu Mi x udI .L_v ht I 2 1 .t9v"` É" .H 20. IB É X3 3 E xa xq» .tú ã X3 11 Is x"_v 12. x3 I xa 1 Jn. 5 33 .rjv z 1 2 xsysrw I Q q 1 L1 32. Ã'1 Ã “_ """“'""':tun 'n |l.n ¬|I I "I+ "' `_ìIì¡¡ QI! f 1 É H ". .II I balla H .1 5 É .H" *_ "' ._ "* .ì,. f " ' 1 É u" 11° _l_§ af' ff' 2 ¡3 aah" É' Él af' u"b" J. Í _', % afibš 1 9 40 a 1:35 Qua 22 ai' bli 1 1 3. bb I ss. 11:* u:b"3 ai? b 1 Ã' 1* šfi 224 3 É 41 :›; * IIJ adb" aãbš 1 É E 3 «Li 1 27 * 915 33 Ú 46 ( \jy°)n _ I 41. 41..la.1. i (xUI) =H.al a 16.191" _ ±( ( Bar"19)'ã 9 I EXPOIIEHTES YAPUCÂCIGHES 43. Ã É É (_4.t3_1"' )2 (2.r3_\ 5): (8 lxäyhzl Y 2 (8r`_¬›~")¡ _ 49. 1 I (4 f“`.v")3 fl § 1 Sl. uh" I I.nl ¡I 53. _:"" ,1 . flihIII' _ Il" ""líIF"'r `.uflü 'IW II" A 'HugeH" 2 S4. 1 ¬I G4 :_ (9 f*'›*"=)2 2 §_ 52. L.."' . I In (xk, fi 50. ¿.51 'J ¡nl _.H n I ' "n 'Wei' _ ""¬'. cï. › ¦I¦|' IH H `Ji'¦" 'I' J*'J "'lIiI"" Exponente cero y exponentes negativos (Len el fin de que la primera 3; la segunda partes del Teorema 4 para exp¢1r1e|1tes(pz'1gì11a 346) sean eongruenles. se debe tener. para n = m y e #= 0, a'" '" e 1. e bien rr" + I Por ennáguiente. se define si ¢~. †n,u“ † ¡_ Cuando a = 0, se tiene 0". le eual es ìndelermìnadn. De acuerde a esta definieiún. puede de|nC›strurse que les teuremas anierieres para er »ipnnenles son válidos cuando se presenta un e:› :pnnente eeru. 1. 2° = 1 2. ( 20)" = 1 3. (a3b")“ == 1 Notas ' 4Il' J' Zu" = 2(l) : 2. Si u al ¬b. (ef . b)“ “ $ ¬I " I r I PH."ln . I""I| I. 2. I Nue». ameme. een el fin de que las partes primera 3.* lereera del Tenrema 4 para eme nentes sean eeuìgruenlee, se debe tener. euancìe m 0 u we U.. l l)n______ H _an(ì 9.2 exponente :ere v exponentes neeatlves De mode que definimos _ Si tt if (L 357 1 tt " = "; fl _ _ . _ ._ l Cen base en la definición de expcnentes negativos, ((51 a se 0, a " = T, probar que les teeremas para exponentes sem aún válidos. . se puede t 1. 3 s2_l_!. 32 9 2' 5 _*" 1 51 : _ 1 125 = í 1 . 4 .... __ 3 I A 1 4 .Í _! 4. | x1= I I'\Jlu I 01,59"amó" Les Teoremas 1 S de ia página 346 sen ver daderos cuande ct > 0. b > 0. Y HL H 5011 UÚ nterns racionales. Ahora el Tenrema 4 puede escribirse ce mo fL”'=,_,»› ~ af! las siguientes sen aplicaciones directas de los teuremas: l..r1 x5=.r"2*i'=r` _ fi 3' _: xlf .H : 1 :__ 5' (I É)'f' _: I II 5] = xill 1 F5 _ _ ,_ I 2. .r2 .t3¬=x'3=.t'5=15 4. (It 6. (xy)'2 = X _ 3 _Í 3 1' tz =' 1 F2 2'}|'1 = xy: I' \*¡_. 7_ 1 T3: ¡=x3 Í m=.x3`°=x9 E 9' '° ¢~ L _ y`fi = B. x 4 = lo l 4 _ï 4“_ Í=;:† ¿“T,=."3 I* .tú I 004 IÚUO = lÚ3 = 4 1093 X 9 exeeueìvresreeucectoues Notas 1. tf" '=" I ; 1 2.Í="l"'=a" a n l HH 3 (¶)""_2;'I=ï.. è" H b b`" a" Í 4.(fl+b)_"= e ai b 1 1 ¿›"+e" 5. " t›"= = _ “ + ¢f'+r›" wa" ' sotuclóu Expresar .t1tf`* ctm exponentes pnsitivns. _ I .t 1* yt .fy 2 = 1 1; = ¬ E ' sowclónr Multiplicar .r"y" E 3; .1r'“_t"" y escribir la respuesta con expetterttes pnsitivas. (1 'v *)(,f2» 2) = (fui *)(r› 15» 1') = I I+.`±}, 3 2 _ I J" Simplìficar (_3x"'_v) E y escribir Ia respuesta con expnnentes positives. 1 SOLUCIÓN J SOLUCIÓN (3x`2y)3 = 33x"'5y3 = 33 3 ¿_ yi = % r .r Sintplificar (2.t'*_t " i) ' y escribir la respuesta con csponctttes positivas. (2x3_v`3)`2 = 2'1.r`4}"i` _l.l. <› .Lfi. 22 x"' y _4:r" Sirnpiifìcar (xy 'Ia ")"2`|.t'"“}':"¡)“¡ y escribir la respuesta con exponentes pnsitives. 9.2 exponente cero ir exponentes negativos SOIUCÍÓN 359 (.ry"z`2)2(2"x`2yz`3)`3 = (x3y`2z"')(23x°y 32") = 2*<›f2›«°›o~1,i~1›<f*z*› = 818317515 =. . _. .r`3y2z"2 . . _. Simplificar †_1;_ 3 y escribir la respuesta con exponentes positivos. x.r JL....._.._.& 2 IE), 4z+3 _'¡;3..;)ì.å.Í X2 y~4 Z 3 NOÍB xïxfil 1 1 F' b T C' dd 22 ri 1 mi "' b2fl( 1 1 es decir 1 cuando se tiene un factor en el numerador de una fraccion y se escribe en el denominador. o bien un factor en el denominador y se escribe en el numera dor, se torna dicho factor con el negativo de SU BXPOÍIBTIÍQ. (xa iii) 2 Simplifiear ( 1 3 _ g 53 y escribir la respuesta con exponentes positivos. x y z txìyj 423) ã 2 Ieårflï (Ir _ .. Sirnplificar SGLUCIÓN 3)! 13 1)? I Ey 42 2 = I 4+6 i JE i 1 1 1 zfi2+€i = x2yl2 Z il 2fl'* 3 ¿V2 ._ .. ar, + 2b_¡ y escribir la respuesta con exponentes positivos. tu o'__ 2a ¡__ 3b 1 i =í a" + 2b` 2 _l_ + __ i .i'¢;', _,t.›.i ri bl AI multiplicar numerador y denominador de la fraccion compleja por noi.. obtenemos _2b2 3a ' 1›2+2a 9¢ Y Se puede llegar al último resultado, multiplicando tanto el numerador como el de nominador de la fraccion original por ahi. za ' si; 2 a¿›i(za ' abri) es 1 su tf' +2i. › 2 "fii›1(a'+2t› 2) = .i›2 i za I ii ' . _ . . ._ _ ... 2 + 3o ' Escribir con exponentes positivos 3,' simplilicar T_ 3??. mm 2+3fl'I=G2(2+3fl_')=ü(2ü+3) 4 es 'I ¿(4 aari) of o(2fl+3) (h+3)(2a 3) 9 a 20 3 Todo número positivo en notación decimal se puede escribir como el producto de un número entre I y IO y una potencia de 10. Por ejemplo: I. 32.5 = 3.25 X 10' 2. 733.6 = 7.336 >< 100 = 7.386 :> t 102 3. 6.73 = 6.78 >< 10" 4. 0.967 == 5. 0.064 6.4 __ en mo É 102 6.4 ›< IO = 9.67 K 10'! _: 3.0 3.Ú _ 0.(Í)S= l'(ìí)='¡ì)"§=l'l.0>( ll] 3 Ó. El punto decimal se sitúa siempre después del primer dígito distinto de cero contando desde la izquierda. Esta se conoce como notación cientifica de un número. Ejercicios 9.2 Sirriplifique las siguientes expresiones 3' escriba las respuestas con exponentes positivos: 1. it* 2. 2 4. 7. 3" 3. ro 4)" ,Ii '55 25 0 E io. (2i*)'"" 3 si 3 Ó. 8. lr" 9. ti. (.i °)“ 0 3°x iz. (3“°)" 9.2 EIDODIÍIÍO CEN Y GIPBIIHIÉBS Ileflãflïflä 13. (2 + 70)* (sti + 1)* is (3 16. (4 (5 f°)'i 18 (2t_l_¡.)it 19. 22. (3.r")° 4.r(.r3 + 12)" JU 21 24 2.r°(x 3fl]3 (2 + .r")3 25.4' al 28» F 27 _1_. 3 5' 30 7%' 4 l LHLA 1.11%' 3.6: : 10 2 39. 4x10" x'3 44. è I _. 47. 50. 53. IW" 20"' ss se 2'* 2 '* 24_2 1 34. 3 ' 3* 41. (2 . I s_x2 lr`3~.r " Íixly 2 Zr""r . 2 38. 2.17 `.>( lll 40. 7.83 x IO" _'l 3.r"' 43. L x 3 .ri .it ' 46 .r 5 .ri 2.15 .ir " 7 49 .r 31:4 .ir 'y 3 S2 3xi'*x"` ¿ev ii ,I 3): T. ss. zru '=* .†= 2 tt tt» * i_i 'I' 1 54. 56. 2.ri 3:" .i" _i` :' 4.r 'r 4 3 *i.i"i¬r ' 57. 59. 2'3x3y*' i 2".r'3jr3 (xa) 3 53. 3“".i'"3;r"" ' 3"1rr"i 60. (x ')" 61. (x 3') 2 fi2. (lr 3) 3 63' (_¡3}, l)2 64. (.r':_i' 3)i 65. (Jr 'y2)ì' 66. (.i' ì'_i" I) 3 57. (xa), 22 4) Lt t},2)_¬l(¿. EYE) 3 71. 73. 70. (.r3_i¬ ` ' )2{.i'_i'1) ` 1 (x`3y_')"2(x2_i'l ' '72 (ir 1 i (2 I 'r"')"(2 'I Ey) ` 1 i 14. (2 to 1) 1(:›. tf 't )= i i 76. (3'=a“i›¬'f) *(3¢i"¬z›“') “' Í 15. (21u**s") `f(za†'s 1) 1' 77. (3.r" + 2)(.r`¡ 79. (.t"' + 2): 2i 3) 78. É _ 2 ) 2 (r r ll t I' 3 I ) (2r" + _i¬"3)(x" šj 83 2.1 i 5i 86 ¿_ 3 É 23 F I 3. `2) so. (tzt 1 _t=') i 3 l 87. 1 U Ú 1 84. 2 É ss. (t_~*~_¬. *¬ '* ) 2 59. 81. 2] 52 31. 2 si 37. 5°? 2 1 31 88. ã 13 89. _ ' J* I U* Ii 9 EXPONHTES Y ÃPUCÃCÍIDNES _ í II i _ +1 Is ..... o .¬ _1 '1 ini. i*J H? U"iH)UI¦,ã¦I Qgl t J .i I .I X I ¡ .I I * e* r: _ ' ') haH iH (of) (r"*›')“ (I ' 'fr ( HI ._ tf' 2)* ( y'3)' y_'ì) Q, _ _ )_ _Y (rev 33 3 _ ._ ... _; + Z. _ 2e"+3 zar' + b" i n"' 2 3a" 6a __.. ]__†¿| §' 112 l+ Íåeiil ì I 9a'2 " _ _ cl' 114 + 3:1” l + 2a`1 _ ' Escriba los siguientes nunit.ros cn iiotacitin cicntilica 115 119 l23 127 26.7 98.600 0.645 0.0059 117 25 138 0 524 000314 84 125 129 000 0 0163 000031 0 098 000014 RQDBSO del CãD|fl||0 9 Efeciuc las opcracioiics indicadas y sirnpliliqui. 1 _. x A2 2 x í "i.....nio *ts ”'t. . . H.. "'i=~.. Hg 'WW *oo"' is. › ¿_ I ¬eH__ un kldlnbfi *LH. . Q.._. I I I~'ue xy 'ÓU'Ii'L|'LHI I' J En I Él Il 'lu 4 el. GFÍLH "31' I' 'ir . i I *i.i F1. II 11 16' °'t. _. IHJ _ 18 9' "<t. i›.› td 16 I I' | ., ¡_ HIJ .ri ¡ui J LilI Ii G' 'uh xv H ¡ 1 '¬'.¦a___ É' 'I J _ 19 83 20 252 ROP350deIC8DÍüI|09 353 i 21. 273 2 22. 32 " 2 23. izsi i 24. si* 25. (åål"` 26. lâfïli 21. (sisi: 28. (,i,š)° 2 29. _ _ (x"_i;°)1 30. .13 39_ 31. 34. ixitìlziãyili ss 1 .i (xlyl) i(¿_4},a)s 221 .i 41. (ri + 2li.€i 4' É fifl' J I' "'Hi¿|I " H 1 ` as. idyiliiiååli _ _ _ 3s_ (¿4}2)3(_,_.2}.I3)ó «lis5*' 32. 2 33. ifiyilg 3 ¡_ (x3y")å 2 H 42. I* J " Ii| ï|rI' 44. 4 ___ I) ` 'Í' N ¡sioiuii ilisiš 45. ir' + 3): 46. ,_r,. flel±l ._.N .F1.ei __ IlI1.I 47. 3): 4) : i ¬I:. ¡H,'aFBI n .pf E IiI lo H H ¬ ifihlw 1.1: *LJ *Sal äi 14 H HIi Ib_i I.¡| I ' 1 40 2) )5 '*¬;_ ef"ese .›_ ill” 48. I) IU + + ll 'I 1 1' ¬ 49. (at * + iliofi fl ze* + il so. :ii xr' ii rr L ¡l¬I HG' J rr 51. ' ¿L ' iii xsfa sz. 1 H 1 _ .I|'I I . ul' . S3 9 *JI«IA S4. G* "JII crei ¡4 :110 '"É 114 ii ss. _ (lag)|` se. (4.r5_i'3 ): i' 57 LI "'Í)ú 1..; : .ri ;; 1._ 'uflI' .I "'_.pq 'H . ""I| IF" É).1H' ¿J I fi. .ur L ) 3 53 (4 Y" “' 3lm 59 (501 _ 4): 60. (6"x + I): Ól. (ÉÚU _ 3)” 62. 3.t“"(5.t' fi3. ú_r(,r3 + 4)” 2) '.uI | 1 fa I off. 'aehl ."¡ › *É Ph .''IIi=›~ ..i...f Efcctúe las operaciones indicadas 5' escriba las respuestas con exponentes positivos: 64. .r :_i"` .r 'y"'1" 67. (2 'ir 'yïf 70 Í? T 'Jr' :)'iÍ4 1' 'i_\*4) 1 l 65. .r"_i' " 'Ji' "1_'r: 66. 4 'Jr' "_i' 68. Í3" 3.1" i'_ir`)" 69. (2_i_ Ey 3)": 71. _! 72 (1 xy "')i(27.r"';i› 3) "' 14. 1 1 Fy ¬. ., .i""y_' _ __' 2' r "'›†' ã 73. (8tr¿`_¬t ' `) ~"(.r"“_i›"')* rs. .r 1 i..___ I ' .r` i'_i' 3:" (2 78 Bu* '+t›r' so' 2e"+bì {x3_i*"')` '(2' 3.1' 'y 3): _; 2 Fx 7),* 77 231* 'ii “'* 81' 76 _ lx 2¡,)3 ' .ii †¬, (2"r.i"')'* .ir .¿, si 4 :t1 _ _ ,r'*`_ ii'“;'3 (3211,, 4) 2 79 . _' (3r'1.i""i) 3 2«i"= ab* sar* 4a '+1 2.a1+b¬'* 82' oa* 5. :. *'+I I I I I I I I I "' .i i ¡ i 1' _ I I , I .r l¬ . I 1 iL i 1" I' ' 1 I JL I | U1 _ |_i_| ii I _ ii " _ . CAPÍTULO 10 Radicales 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Definiciones v notación Forma estándar de radicales Combinación de radicales Multiplicación de radicales División de radicales Introducción alos números complejos 365 10'RIDlCåLE$ Definiciones y notación Las potencias ri esinias de 2, rr. 33 y bi' son, respectivamente, 2", af", 33" 3 oi". Los iiúmeros 2, o, 33' v bi se Ilaniaii raices ri esimas de 2". ri”. 3:” y bw. Nota Cuando n es un número par. rr" es un núme ro positivo si rr es positivo o negativo. Por ejemplo. (+3)*' = +81 y ( 3)* = +31. Cuando n es un número impar, e" es un nú mero positivo si cr es positivo, y un número negativo si of cs negativo. Por ejemplo, ii 2)* = +32 v i zii = 32. DEFINICIÓN La raiz rr ésima de un número real u se denota por el simbolo %, el cual se llanta radical. La raiz ri ésima de n es un número cuya potencia ri ésinia es e: esto es, (\i/n)" = af, con las condiciones siguientes: 1. Cuando ii es par y of > 0, \'/Ã :› 0. llamada raiz principal. Citando ri es par y o =ii 0, \'/.É no es número real. 2. Cuando ri es irnpar y cr > 0, % 3: 0. Cuando ri es impar 3* o <: 0. Wo ci 0. El número natural ri presente eii el radical % se llama indice u orden del radical, y n se denomina radicando. Citando no se escribe ningún indice, como en s/rr, se so breentiende que el indice es 2 y se lee “raiz cuadrada de at". Si el indice es 3. como en como en Yi/H. se lee “raiz eúhica de ni". La expresiúii se define como (liiin )"' . siempre que observación 1. \/ ì=@=(\/i)1=7 42': oi fien fl@ e definida. El indice de un radical siempre es un núincro iiatural mayor que uno. 10.1 oeflniciones y natacion 367 2. \/z_s= \/G_)f= (\/š)1= 5 3. \/74 no aun suma of est. 4. 9/š=\V(2_)5= (\`/ì)i=2 s.\i7 _32=“5`/(†D*=(\1`/'T2)i= 2= \f7;E s. \"'/?=\*/i.ï±`1T=(\"/.?)*=,±= 7. Q/š'3=\*`/(?í*= (si/P) *=ii De la definicion de exponentes fraccionarios (página 347) y de la de radicales, para o E R, rn, n E N, tenemos I e W = ri" y V" 0"' = ri" i siempre que 'Í'/Ã y n" estén definidos. Las relaciones anteriores nos permiten expresar radicales como potenceias fraccio narias y viceversa. i i. \Vš=:ii i 4. f= x5/P i 2.. W=2i s s. 3x*= sx*/P i 3.\/1+3=(s+3)2 ii s. ›1yi= \/R/P Cuando el valor de un radicales un número racional, se dice que es una raíz perfecta. Puesto que Ñ'/o¶ = ed', un radical es raiz perfecta si el radicando se puede expre sar como un producto de factores, cada uno de los cuales con un exponente que sea un múltiple entero del indice del radical. El valor del radical se obtiene formando el producto de los factores, donde el expo nente de cada factor es su exponente original dividido por el indice del radical. 1. 2. _@ \/§'i=5i=5i a \/..tim=x2=x5` 3 3 ise 3. x/sšiyi = \/FF? = zifiyi == 212;@ 10 IEADICALES HOÍB Las raices que no son perfectas, como por »ri oflr›1<1\/i,\¿'7ì, \/5, \'Vš. \*'71i. 1 + '\/'I Í. r 5 \3/*Í son números irracionales. Un núme ro irracional cs aquel que no puede expresarse eii la forma ii donde p. q r: I. q =ii 0. NOM I. Puesto que para todo ri := 0, tire R. v ,iqiii. ri F E N, li' te Q, lr > 0. se tieneIr . _ Vd" = \/n""¡ , siempre que nk y :fix E Ps. \i'q=\{ytT! ji' V4i'Il"=% P 2.l"= I :if <'±= =l. l Ejercicios 10.1 Escriba las sigiiieiiics expresiones eii forma de radical. l I li J _ i ha 52 3. si 4. 7" =': É É 2. s. ii is 7. .T 5 2 9. ._2 10 1 1 5311 17. 7¬. i " '.LI [4 'I .t ji (.t'_v)3 _i')" .i Sxi' l2.. 2¿.r l .i:i 3 15. .r2_ii2 16. .r i 20. f _ri.JI R1 *Ii JIU* 1 (_2.r)'i 19. 22 i (I + 3)” za. (1 mi 24. is + yii 1 i 1 1 .ri _v'i .ri Zyi 1 i (.r xa 18 i 25. ll. 3.r 3 U 3. E 1 13. 21. .ri 1 ,ri 2 16 1 .ri + _ ,F 27. (3.t')š 23. (x_v)å Escriba las exprttsitiiics siguieiites eniplcaiido exponentes: 29. \/É í 33. \/xr" so. \;`/EL 34. Vi' G, ""`?I' 31. t'/If ss. 41. ia. *~ 'ff 3 \'/.i 45. vi.t Í». i is C/f W 49. 50 \i.r Vx + 2 ri 31. ss se 43 sz. \/F sii. 40. s`/:E 44. @ 47 si. \/3. ¬ F Ta 43. t'/P? 52. \/Fït 10.2 53. FOHIIH Bifåfldill' dé FBUINIES VE + ya S4. 51. \/(.›. |)›`* 61. \/E + \/3 V1.r" _\"1' SS. ss. V" (1 2) * 62. víf \/š N/.v3 + jr 3 \/(x + I): sa. \/" (1 + 2)* Vb( f+3)* 63. \/Í' \/Í* \/Ã + F.vaIúc los radicales sìguicnics: ss. \/ã 69. as. 10. 74. vs. sz. 36. \/36 13. \/144 77. \/P 31. 85. 'V1 _r31'f` \/šì \/E xìfš \/F' 71 75 Lala; ââåã 79. xfa? 33. V(.t 2)4 sv. V* mx = VU' + 2)¡ \/4 311” Forma estándar de radicales TEOREMÃ 1 Si af, ¿J E R, ¿J I:= 0. h :› U 3. ' n 5 N., cnI:ons:es *Í Í; ~ *$5 Í: Ã. É DEMUSTRÃCIÓN II fi' 1 1 _ _ *Í ""r:I: = (uh)" L u“J.›"' ; `¢"f: *Í "E1 ¡IFÍ ¿fu? 1. »'32 = vr = x '2 ~2' ; x» 2 * xrì = 2 V5 = 4\›":Í .ai 2. ¡¬_ \ "I('›.\1\' = Rf 24.1 _\ _ ,_ __r__ \`2".\".\'_'f 4 ¬ \ ' 24.1' \ .ur _ _ __ '~ 211 `\ .r.'_\ 4.\'\ .U 3. *if *.¬r¬~' .› 1.' 'r'¬ 2' \ 27.\'_\"' = \ ' 3 _\'_\' = \ 3.1 jr _». ; \Í“'_1 1 1.1 1 \.`* I†"† 3\ \ì~aÍP] .. . . La :c.¬~.pr«:~. ›u¬›11 3_~. \“J _r_~.¬ su llama forma estandar du V¡.f'._í'›'_" 27.1"_v". Se dm: que un radlu ¡I cada. un Ínrina uslaìndm' ai se «:mn¡?±I<ì n [an ¬.:1;mdi::iu||c. ¬› ~§.i§_.111icI1t±2*.¬~2: I. I. LI radhzzuldu us pmiliu 1;, 2. El índice clul radical ua cl nìcnor |m: .ibI¢:. 10 ' RRDICÃIES 3. El exponente de cada factor del radicando es un mi mero natural menor que el indice del radical. 1. No hay fracciones en el radicando. 5. No hay radicales cn el denominador de ninguna traccion. Sintplifìcar un radical significa espresarlo en forma estandar. (Tuando el radicando es negativo, la dcfinìciútt da lugar a io siguiente: Si n es par y tr 1:» 0. V" *ri no es número real. Sin cs irnpar jr a .'> 0. V" 1. ¬ì`/Í _5= N"/š 2. V5 x'y3= n = \'.'/fr. Ñ5/P? Cuando el índice del radica! y los exponentes de todos los factores del radicando poseen un factor común. tanto el indice dei radical como los exponentes de los factores del radicando se dividen entre su factor común. Es decir. se aplica = \'Jf”`F para ob tener el minirno índice del radical posible. . í'/Eft?=\`/F1 Cuando los exponentes dc algunos factores del radicando sort mayores que cl índice del radical. pero no tntiltìplos enteros de este, cada uno de dichos factores se escriben como producto de dos factores: uno con exponente múltiple entero del indice del radi cal y cl otro con exponente menor que el índice del radical. Por ejemplo, <1"_ «J == *r"tï*_ '\.«f.t" .r Luego se aplica el teorema V" ab = \'/Ã \'.'/É. Se escriben los factores que tienen espo ncmcs que son rn últiplos enteros del indice dentro de un radical, obteniéndose así una rain perfecta y ios demás factores con exponentes menores que el indice., dentro dei otro radical. NV? = ã s .r = *É/F \"/.É = .r1\3/Í? Los casos en los que hay fracciones cn el radicando y radicales en el denominador de una t`racciòtt_, se tratarán posteriormente. 10.2 Forma estandar de radicales Expresar ¬~¬/2 ¡J3 en forma estattdat'. $°“'°'°" = \/'if . :re .› = V2"'.r" = zrfx/ïr ' SOLUCIÓN Expresar V315; 'P en forma estándar. \/¡§1:;z;:› _ 'V 2§xzy"z*' \/fue 2ryz3'\/2ì* ' SOLUCIÓN E. WTCSEII' V3 2".r¡_t3z¡ü en forma estandar. V; 2¡.r°)r;zlü = V3 (2 ' Í' ).t"`(_\' jr' IÍI" ' I) = V3 23.rE_¬,t'¡z§ V3 2_t".=: = 2.r 2_t=:3 V3 23;": ' sotuctón Expresar V3 _?.r“_~_r3 cn forma estándar. e/ ¬'1¬_ 1,, 3,. V" 2Í.t" ~ .t"' ](_t í í _t') _ ¬.3;'¿.§}.3 x3/lx 5). x33.'V3 Zrjr f ' SOLUCIÓN Expresar \"ff;4_r'*_ ¡JH en forma estandar. = = = \/(21 z›.f=t * _~ › = 11 . * \/ïf ll', " X Hub" = (lb V"(rr + b)" = (rr + b) \/"rr' + tr' ± (a + 1›) 10 RADICALES Ejercicios 10.2 Expresc los siguientes radicales cn lòrn1a cslándttr: 1.\/ía s. zsfš 9. \/E 13. 17. 21. 25. 29. sx/f_›u \/su \/162 \/9 4 s “Fi z.\/E ts. \/13 10. 3x/E 14. \/ã 3 \/tì s@ 7. 11. s/šö 15. \/:E ttt. \fÍ› 22. 4 19 23 4 33. ¬~”P}` $333. ìsaas 35 50;. _t 39 37. 9:r'_t"i 41. \ i6.t'*_'_r':¦ 42. \ 'lZt'_t«*".›':'¡ 44. `Vi20.r"_r:“ 45. Vxj + 3 \/rr4t'i'(.r + 'r)" 41. via i(.t 1 SU. _» 1) Q Í 43 46 49 52 V.ry'i(.r + 2)' 54 ss ¬if' 54 57. \/*sz ss 59 st. VU. *+t† * ss. s`/ .HP sz 66 Vi .ratdzã 70 . aìga Í Éïgäfimn 32. 'II 'I' I if lr” rtz É? <' I r Í H' \/a * *(~. “ 2) 1 ii tuI rL1'" 56. 8:1:ijtri V" 144 60. 74. \/"st.r '_r~i`“ 77. 73. rs 64. _.<j¿. .f=,. V x*¡_r 68. ¡ 72. \3f' 54.t'¡¡_t*5 .LI F: 1;. 76. Wii' 64.r3t¬¿` 71 åä*"== .: tf": di. › Mi I i 63 ~<}"T3ì¬ ¬s f «¡ __?,., sr ,__ 73. V"st ~*_~ri VG 9.r¿_r“ 'I L ss. s/"st 69. sx/É zxfšã \/iš 'I \/fì \/E 21. \/í5Í+í|6 31 .r 's/20 I Vh 3.t'¡}"` 'III' COMDÍHHCIOI1 de l'3dÍC3|€$ DEFINICÍÓN Se dice qttc dos o más radicales son semejantes si tienen el rnisnto tntltu. sf el mismo radicando. __ [_ Los radicales Ss? Ã _s' Ss Í son semejantes 2, Se puede detn ost rar que los radicales s Í 'l jr s 54 son scnteiantcs. ,_Í . 11 1í _ . s/2_4=s»'2 3 V2 2 3 :We s v§=\/2 3 *=\/2. 3 ` 3=s\/E 10.3 Combinación de radicaies 373 3. los radicales V 18 y \ "'ï'i'. no son semejantes. \/ts = V2 3 ' = 3\/E ±. \/2`v=¬~/í *=\/3 ` 3=sv'š F.s posible combinar los radicales solamente cuando son semejantes. Primero se escri bcn los radicales ett Forma estandar st luego se combinan radicales sctncjantes emplean do la Icy distributiva. ' 50| UCÍÚN Sirnplificar \/É V2 4 + V150 5' combinar radicales semejantes. \/É \/ÍÍ+\/Í§Ó=\/2 3* \/2 'E 3+\/2 3 5*' =3\/Ei '¿'.\f¿'+5\/fi =t3 2 ssix/E =r›\/5 Sintplificat' .rïf 147; F' + _r\/'75 '“'_ JF \/4l±l.r~_r E 5' contbinat' radicales seme ul* jantes. sal UCÍÓN .rs/147)" + yk/75.r"_r 's/48.r'_t"¡ = + = 7.t gr + 5.r_r\/É = l 7x'_¬r + 5.r_r ' james. Simpliiicar 3\/Í; sdtuctóttt ss/'š \`/Ñ V3 Si Q 1 4.r_r) + S. ' 4.r3r\/Í = 3.r_r\/íji' al 1»' cotnbinar radicales sente 4.Q \/ïš + \/`:ns = sx/5 ' =3 2\/§ = es/'E = to oa ¿JI \/El + V"3 5 * 2s"\/§+5\"/Í *_ .fl sti/'fi ss/E + 5€/3 8)\ 5 + t 3 + 5)\"/Í = 2\/. 2 + 3\i"§ Ejercicios 10.3 f¬ìmplilìqt|e gr combine radicales sctnejantcs: 1. t›\/i sx/ì+s/Ii 2. \/3 mx/3 .¬±\/3 10 'iä' lI`.hloi+ RÃDICÃLES 'fx/š 10\/š 4\/š 3\/:I 4\/ï+\/5 3\3/Í+4\i/Í Mi/É ?.\'i/Ã 5*:/Ã+\3fi ss"/ã ss*/š~s\f7š efi zx/.I 4\/.i ss*/§+s\'*/ã si'/ã ax/.?;t= es/,É~†+2\/ït .r\/Í + 2y\/Í 3.r\/_i' 2.r\/_i›+.r\/;' 3.1 X"/5 4.r\/Í 6; xi/5 + mi/E VW 2\/Ñš \/Tšñ 8\/É 4\3/§+6\"/Í 7\/É 6\"/Ã 2\/Í+\'i/Ã 3\/Í \/1 17 \/'f'i+\/.É \/š+\/1 2 \/4 9 \/Íš \/tÍ)+\/É \/Í \/Éš+\/Íšö \/fÍ+\/§+\/É \/§+\/ÍÍ+\/Í@ 27 29 3I 33 35 37 \/Íii +\/š+\/4 5 \/Ñ+\/3_t'›+\/É \/4 9 \./'27 \/4 8 \/¡Íš+\/É \/fiï \/t_É+\/É \/'E \/:Ti \/4 3 \/Ñ \/iš \/'É 39 6.r\/f: '7\/P+ s. iv? + :ts/.I * És/.P 13. IS.. 17. 19 21 23 25 1€/6 sx/š+5\/š t"/E 4\/É t~\/Ñ \/3 2 2\/Ñ t Ã \/3_6 \/Í \/ š+\/Wii \/Íi+\/É \/¶ \/Í . _a.~% .É \/ «E Vš + \/E \/371 \/Ñ \/É+\/mii "ãšâ J 41. Vdiìr + ¿V lll? ;33V32.r'¦ 43. 3.r\›'.r'¡_r + 2jt'\/.r_r¡ + 2V.r5_'r 4S.\/5§+¬ti/_8_| \/É Í'/ÍTBÍ 47. \/:íi xi/ì+\/ 4 5 Y"/ã 2.r\/.r_r* 3_jr\/F + 4V.r;_v* 2V.t"i_t= + 'šV25.r'¡_t"¡ %'v'x¡_r \i/iÍ§+\/É \/9 8 \"/Í: \/WS' t N71 Í \3/ÍÍ \./"É 49.\/š~+\/Ír \3/'§.i *É/'fif 50.%+\;i/' 2Ílx_“' \/.%' i+\"/'ST' 51. x V1 8.tjr'¡ l ;V1.r¦jr'¡ I 1 _, 3 sz. \/"54.1%' + ¿\”/is.t y sa. ss. sr. ss. ss. so. ¿Vi 1. 64.r¡_r¡i 'I' |¿ \/" t2sr"'_t~ ' \/"c4+\/E sx/se siii' + \/3 st ~\%› \/rst P + vi 2 añ' + \/“`nea* \'7.. ii? ~ av”sr. tr* t›\/3zvtcs 1*/'tzsai ax/" za? + x/'*Mali* vea ia 1 + sx/"' isa “si sv”aiii* $4. \/“`ts V” s4+\/“ass ss. \/"' isa '* + \/*s1a~" \/asa 10. tt Iluitiøiicación de radicales 375 Multiplicación de radicales La multiplicaci :in de radicales es posible aplicando la regla “if *fi it Ñ' nit |?tttt'tt tt. lt 5.' it', tr ll. it li t. \/:ix/'3=\/1 ì=\/E 2. \/š\/?Íš=\/6_ Í! =\/"Í _Í› _It=3\/.Í 3.2\/}\/iZr=2v's_ .Fy=z\/E1; =2s\@ 4. s€@›2\"/š=t† 2)\”72_ 5=f›*\"/1_ti 5. si/ » i¬€/'š=\i”ši=\Vï*_›_š=2€”/É Nata I El radical Iìnal debe estar en forma estandar. i Para multiplicar t.n radical por una expresion que contiene mas de un ter mino. se em plea la Icy tlistrilttt ira: rrih + t') = ¿tir + nc. Ítt¡sIit'ar 3*» '”'§(5`sf"š SOLUCIÓN 3\f'ì(s~t«"ë 2\/ITÍ) 1.' simplilìcat'. asfìïi) = ssfì sx/B s\/ì zsfiñ = tssfñ fo/'."±_e = sm/`š Multiplicttt' SOLUCIÓN tax/š y_sitt1plilìcttr. 2s›"Í'š}(4\f'I .ts "I ) = s\/s.t 1_¬. ~ es›f's.rs~ "P = s.it s fšì e_w"šÍi Para multiplicar dos cxpresioncs radicales. cada una con mas dc ttn termino, sc sigue el mismo orden que se entplca . n la tnttltiplicaciott dc polinomios. Multiplicar (1 + s'5) por (3 SOLUCIÓN l ~t 3 \/ƒš :ts "Íš 3 + 3\ “É 2x/š › zxfš 3 + < un lvš .is Si jr sitttplilìcttr. A _ 10 RIIDICILES Por lo tanto (1 ¬. \,/§)(3 _ 3\/š) 't+\/É 2\/25 't+\/É IO 'i+\/§ í 'il Multiplicar (2s3 solución 4x92) por (3s§ t t2) 5 sttttpltftcat ws/5 rwã 3\/` + \/Si en/`§ t2\/'E 2\/E 4% eva Í tu\/E «tx/Ã Por consiguiente, (2\/§ es/š tm/E 4\/Z 4\/ì)(3\/3 + \/':Í) Int 4 tr 1s to\/š to 1\/E uItrpltcar \/ Í* SOLUCIÓN por 5\/Iii' + 2\/5;' s stmpltl`tt.ar \/53 3 sx/:ff + 5 V 9.1: + 5 'V 9.1: zx/5 s\/G 2\/tíy sx/aty zx/Z' 2\/Ñ Por lo tanto (\/Í' + s\/«F :tx/ìï z\/¿E? 15.1 ss/sí; 4;; 15.1' | solucion esttrrollar \/r + 3 + Vfr sf + 3 3 \r”t+3): + \/ + 3)* Xfx + sit .t' + 7) Lu 1' *~/55» 3 stntpltltcar \»_r I † fly ___ r »fra mt; 2"' »"i(.t (tr _ 7 _ _ +_ ;*¬ 4 t _ I 1n.4 Multiplicación de radicales Por consiguiente. 1'. 2) (Nr '. + 3 l~ \ ".r ¬ \ f"(.t + 3)* + 2\f'l.r + Íiillft Él + ¬v'(.r e 2)' r+`l+2\ "t" +1' i'1+t .Í | = lt + I i 2V.r' ¬t .r nota 6 f (\ rr i \ h)' ± tt ir lr (sfš + \ Ã): s (NZ + sB)(s« I] +» \ ti) s rr › :ME + rr» ri mi .~" aiii. Cuando los radicales tienen indices difcrnctrcs. aplicamos la regla \ 'rt"' \ tr" p ra hacer los indices iguales a su ntininto comtin tnultiplo. lr luego aplicamos ti' ¿Q \'_' Í, . 'grill fs ,I 2. <.. 'sal ;: Ti” = s{ïf"š \T«"' 4 \/ti* \/É = (fo :rc ,I :T5: #1!"¬~ *il ai] si Il? s = rr\f rr EÍGFCÍCÍOS 10.4 Efecttic las mttltipiicacioncs indicadas y sitnplilìt:|uc: I. 4. 7. \/'E \/É S\r“2( 4x fi ) :va( sv: ) /_ \/_i\/"i 5 3v%( asa) ts/E;( ss/š) 3 3x t"š( t\@) . :HVE I sf? v€(«2v§) ví siii' \/š \/iš 10. 5v'i`('›\ 3) lI 13. *Ji_. \/I e I4 16. l7 25. \s'Ñ sf'6 X»“É \ /37; 2 \fÍi(3 vii ) ts/Tr \/ii 28. 19. 3 s/Í:_ \ 'Íš 2 .ws \.~"_ti s if:_, \ i" te_ 2.0 \/14 \/'ii vii s/É 3 le .t' V _r . sx/:z`T (twfii) 2.3 4\»"I(3\ fr) 26 SX *'_r_t' \"_t' \/.i' \/.r + l 29 \ f”.t' \ 'It' 31. \./3 \/.tr + 3 32 \f"ir + 3 \ "'.t' + 3 \ "sr 2 VJ: 2 34. 37. \/.r+ I Vx \/.t+2\/.r+.3 \/.ti Vxjt ¬ + .r Vx 2 Vx 8 \/:ifvxy .tr \'Í'/ï~i/«i xl/Ex*/t_r,› s*/sì~:2/3 \%'t\/3 a 22. 40. 43. \/š\/as T 3 Vljy +.r xi/š\/125 35 38 41 44 I I l I sx/E VF l \/ii \ *'.r + 2 10 *I RÃDICALES \`/Tñf/5 x3/Ex*/G x*/11 V*sa' ¬â'/21«~* \/5 ¡off V" rw* 41. so. 53. \/3 ¡oy sn. V*na " V*M 59. \/E WE 43. íx/3 49 60 _ V Zu V1 4a 62. É V3 9:15 63. 'V 2a\Í/4? 65. \/Í(\/É + \/Í) 66.*/.§(V3 51. 54. \/*` 6.: *V1 law 51. V”4a ' \/5sa* \/š \"/š V 3:1 V4 9a \/§(\/É 2\/Í) 68. \/ì(2\/'F + \/É) . \/š(3\/Ñ + 2\/É) \/'š(\/6 \/Í) \/š(s\/É \/T2) \/.ì(2\/Í \/ì) \/E(3\/(71 + 2\/Í H) v'}(\/E + \/jf) vfí. (\/E + xfš) (3 + \/š)(3 \/'š (\/ií.{{ \/5) \/ã) (1 + \/5)(| (3 + \/š)(3 \/E) \/3) (5 + \/Í)(7 (›\/É) (\/š + \/§)(\/š \/i) (\/ã 2v§)(\/E + 2\/iì) (3\/Í 4\/š)(\/5 3\/Í) \/fi(\/Ei' \/fr) (2 + \/§)(2 (2 + \/.Í)(2 \/É) \/Í) (2 + \/§)(4 3\/Í) (\/Í + \/§)(\/Í \/.'.'Í) (\/É \/§)(\/É + \/Ã) (3\/É + \/§.)(\/É 4\@) (\/É + 2\/ï)(3\/š + \/ff) (I + VE): (2 (3 (I + 2\/Í): zx/5)* \/ÉÍ~) V5): (\/É + 5\/É): (\/É + 2\f2)"~" (zx/fš \/3): (2 + x/})(3 \/1) (\/E :ax/š)1 (\/.É 3)(\/Í + 4) (x/5 1f)(z\/5 + x) (V5 + 3x) (1 + \/ì)(.f x Tr) (.r + \/:ï)(.1 (.r + \/I )(_f \/É) (2.1 + \/š)(.2x \/É) (1 + 2\/_? )(~ 2\/_í†) (\/E \/§)(\/E + ví) (\/I + 3\/_Í4)(2\/fr \/_¬Í~) \/š) (31 + \/Ã *)(3x (\/Tv + \/Í§*)(\/5' (\/ìì + \/.T )(\/ïf + INE) (VE + I): (J (\/3* \/5): (Vš + \/ï~)* (\/1 ~ 2\/5)* (\/šš ~ 2\/EF (\/.Í + 2)* (\/.1:_4 2 + 4)* (\/¿T3 2)* (3 \/ATP (\/Í (4 (\/Ã* + \/'.Í+íl)'2 V2_r 3): \/5) (f› 3)2 \/2.†|)1' 10.5 División de radicaies 379 129. (VE _ \/_ ..†|)= 131. (\/3_3› + 2\/Í? 130. (2v'ÍE + 3v'1†í)2 132. (\/. LT: E › \/Tï_2)= 133. (\/Íf Í \/Í): 135. (vi + 3 + zx/.Ía)2 IM. (\/SÍ + v'.ïÍ_3)= 136. (\/2.iÍ_1 iii? 3 _ É l División de radicales _ H TEOREMA 1 4 Si fi, ii F R, u :› (I, 1: > 0. 5' nf 1 N. irnluiices | .fn ' .~ *Í 'Ji ' ' .É nmosrnAciu ó V" bš~ “H (“)š={fi' Mi b b Las |'adical¢:3 ¡3L|c:dc|1 clivìdiiac de acuercin al li; nrirma afin: rior mlarincillu cuancln Im in dica: 3 dc las radicales. sun los nlìsmos. Para iiidices ciifermilca. se debia rfraiizar cl paso pneliminar (lc liairc |'li3s iguales. \/T5' U1 *~ T/;=\/3**/3 2. 11 \,*' il 1 333 ff d 3 ,5 ` = \/.r*_v ššç = 'V.r_¬›"` = _v2\/_; _' Algunas ¬.=f.¬:cc~1'› el miinü ra¢.i0r de un rafilicaildo I`rai:i:i011a|'io no es un múllipln u.¬~:actn del dcnnmìnadur. Cuandu hay |`ra¬.:cìum:s un el |'ai|icamìo. se multiplican el numcradnr 3; el dcnominadnr del radicandn pm al m`nm:ru mininm que haga que el df. nnminador ¿ea una raí¿ pi: rIì:i:la. Nata I. 3= \/3 32 \/ìš %=. í V2 2 2 iz! ilcimmiiìailor es raiz |1i3riì: uta si el i::~;po|1<':n › li: di": ¢:a<ia unn Lic :als factores es un múltipln cnttro del indìcir del radical. “ 1 2`/F' 10 * RÄDICALES 2 `/EE ¬ ' Iuiiì h \¡l*›'b fr «J 'Il' 3. É 3 = == 'IJ al ff' . . II“ J (1. Í ""“i f_ ¿JQA É (Íuando ziparccc un radical cn el clennrninadur dc una l`:'aci:iú|1. 1301110 por cjenipln ri . . _ , 1 _ í dmuii: m :í fi. .c luulupliiran numerador y dcnnminador por Va" '". H/I F' ¡_¿__ 2 \/3_2v'š .«~x37"*.= \,3 ws 3“ 2 _' 3 a ' < .3 «W 4 ay H x ”3~`« i _ 3a\/5 ' 3m/.fi \/G =¶.†=¶ crï./E _ :›. 4_ 4 \/so sx/2 3 _ 2% .. = ' _; ' \~*/_ 1; 4 \/ì_4\/ì_2¬./E s\/ã" vz _ lo _' 5 2\/* 2 * \ 1,5 \ 1@ 2%'/š _ Ñ,/š 2 `\/ii 1 3f_. 3% 3\/ii: a = i' 3€/E va* 3" Dividir V 15€ ntrev 21 gr expresar cl resultado en forma estándar. solucion _`f_'5 ._ \/L2 .¬ ¡É \/5 ' 21 " V1 /Ñ _1 " W? W@ ' Dividir entre N/'4_frEi.› y expresar cl re.~;ulladn un Ibrma estándar. ii 3.l'ì' SOLUCIÓN ) 337)' uh V 4.1; ¡b _ \/2211311 _ \ 2' Écilb iii* _ 3.'I:_\'rIfJ _ 221140: I ,fi == _¬, V 3.\'_\`¢iÍJ Zirh 10.5 División de radicales 381 l _ ` _ Íìillbx E~.xpresar _ _ _. “_____ _ F en Ioima ic: aaiidai. .`L"'t" i 3a 3 b 3. : J Ein 3 b3 _;¬_i_\ , 2.0.r_r* 21 ' 5.\'_r5 Ii 1 1 5g¡_U¢|0fl _ P I 5cr2!›3.r_\' 21 5:.t2i'° _ mn__,\f'i5b.1'_\ Hb f """. ' D INIfd ll" {'....› ' J__i entre \/21) 3* expresar ei i'±:~a1|¦adc_›i:|1 inrrna estandar. fuí' 3 I _: 3 3 ¬¿'..›'§¡¡` \f21 5" 2 . 5 21 s':Í 'Ñ _ 1/3 2 si _ 21,53 =¡'¿) Q/m _ï"' _ I:x¡¬|'u›;ar J Bixúyï _ jul _ ã ¿BE un lurlmi Calailidair. a solucion 1 /g|_. ff J 3/ig; 1_, «›_¬, † _ 3 3~*.f›_»' =' Hiisbm _ \¡2`:i*i›"' _ _ 2"c:“b'" abì 1 1 ¡tb 'J' ¿Í 2': Él" P J 1 Ubll Í J. 1=.__¿ 3.ï:\*2 3 = 'ïï V 3'mh“ _ _ r:+h u _ 11 .. La dctiiìncimi de adlcmn de ir1u:«.'n:iin.:.¬›; : _ _ + I _ nc uliìuta para :Jn |:.l|r una ! ii l <:.'~:prc~;i<.`m |'a=¿iif:ai mn |na.~i Lli: un |<i|'mi|m eiltrc un radi<:al de un término. ';________í__" D'lïl'ci'll' V «'11 .II 'il ì't"IC a I' ' ' _“""'_ "_i. 3\/6 _ M/Ñ 3\/5 10 I* IMDICALES SOLUCIÓN 3\/5 en/E _ ax/6 en/ñ 3\/i 'Éhïf/Í _\/6 zx/lì `_\7`_\_/É* _ __2.,/E | 2 = 3.3,... 2\/š 1)'¡VI11'Il' ' rr' " $1I¶_ 1 ICÉÍÍ › sowción D 7'! H 2)' 'ì'í'_". \/l4x1v \/ ,Ti @ _ x/ïf _ \/143;; _' 4.rv _ 7.1' _ J: = 1 2 ` = 23 2)' 14.1' iafifiaa 7z_¡: _ _ \/_ 7.1' Tx Si se multiplican las e:<¡iresienes de radicales (xfa + vb) y (vii vb), se ebtiene la expre sión racional ia bi. Cada una de las expresiones (xfa + eii) 1; (va sb) se llama fae tnr raeinnaliitadnr de la mira. 1. x 2 x3 es Ià elur raeienalizader de \«2 + U3. 2. 2 + Ji '2 es laelur racim1'=|Ii.›fadm' de 2 J. x5 33. '='2. I es faelnr riieinilalifadur :le 15 + I. Cnando se tiene una fraeeiön een nsas de un radical en el deneminador, per ejemplo _; ” . se cambia la l`ra<;eiún a una equivalente een denominador racional. Este se vb + ¬. 'e puede lograr multiplieaecle numeraclor ga dene minader per el faemr raeiemalizader del deneminader. wii af . 10.5 división de radicaies Nota El faelor raeionalizador de iirr + iii no es ie iib.. ya que (ifrr + i 'b)(iu ih) ifar' ifƒii. el eual no es número rauonal . ¬` ¬ omnia R auona i'¡zar e I d en ` d or d e 2 _V3\/ã. SOLUCIÓN \/'Í \/Í?.'(2 + \/3) 2\/Í + \/É í \,f;r'(;›. \/;.†›(2;~';/3")**“:"†;›,_=1`*”ï+*/" _ _ \/§+\/É Rarionalimr L I Lil denomimdor I d¬'L en + W solución _\_/š_ + \/3 __ (~/'zi + \/š)(3\/ã \/ì_)_ zx/ã + Vš ` (zx/5 + \/:i)(2\/ã \/3) _1+\/É ` s~3 =š(|+\/É EIerC¡Cí0$ 10.5 Dividir y simplificar las siguientes expresiones de radicales: vi \/Í + vs + vi I. \/§ + 4. 7 2. S. +› \/É :~ \/É 8. + \/fi flâåâ 11. + 3\/š 14 7 : 3./:Ñ 10 E 13 + 16 19. fi + 20. 4x/š + ex/5 22. rx/3 + 23. 3\/É : lx/E 25. 28. 31. 34. 26. 29. s##¿_ mas \/Í + \/§ + \37Í› + *Í/Í + ssšagäâ 17.. IO + \/45 \/É + Ñ \/Í) : \/Í › 32. \V3_l 1 \i/É 35. Ni/É ~+ Ñ I mi 'I \/š \/'i I í 'F Ii 'ì I' 'i í 'I I š““ "åä í í 1 aa asas _ $ ââ äšâaâa I 1 1 'I H 10 I RADICÃLES \/314 : \/“as 37. \J/iñ : 315 38. 40. 43. xf'/1É+ Q@ 41. z+\/_? 46. 49. 52. 55. 58. +\/¢Í +V¡l_2_ if ; \`/šïf +\f›~ïi.ì +\/Tx 47. +\"/SÉ +¬š`/Ñ 50. 1; H e ri 67. 66. H J â : V3 oaìb 72. ; 74. s a s as aesreÍ i V.r 2 2 V.t+2 30. 81. B3. BS. (2\/ñ+ 4\/Ñ) r \/.Í (5\/Í) 2\/E) : \/3 (i2+\/š)+\/3 82. 87. (3 \/2_l)+\/'Í 89. (\/'§+\/§)+\/É 91.. (3\/É 2\/.¶)+\/l_ 4 93. (\/5r+\/§')+\/«E 88. 90. 92. 94. 96. 98. J +\/.r+2 ' r+'i 76. 73. í OI I '\/21.17.' (\/fTf+\/É.i') V 3U:r_1 4 +(I+\/Í) .'i+(l VE) \/š : (3+\/Í) \/li : (3 \/É) IU É ¬.\/¬¬ É 'I í 31, fi † .v † "'=:¦ ='' :, .1 1 " Í :H._b'1, + Lñ Ísããsägsa , + 3 + â. ~3 34. (N/Flïf + \/Í (\/Í; + \/É) + \/Í (4 + \/É) + \/Í 36. (2 \/Ñ) + \/É + : (3\/Íš ~ zx/B) + x/Ñ + He) : \/.;' \/nï ) + : \¡Fer 2 1 (I + Vi) 100.. 1 ~:~ (I \ 5) 102. V3 : (2 + \/Fi) \f 7 2 (1 \/É) 109. lll. 113. \/Í + (ZX/'Í + 3* /3) (2+\/Í_]+(2 \/Í) (\/É \/š) s (\/€i+\f..'i) 104. 106. 103. 110. 112. U4. II5. (sx/'E + vio) + (3~¿Í:` xfš) 116. (\"Tš re \/E) :~ II?. (ví + zx/fi) : (ENE .1\f}) IIS. (ïfì 1: + II9. \/És (\/§~ + eifã \/š+V'_,r É 57. 70. 77. 79. 95. 97. 99. 101. 103. 105. 107. 54. 63. 3. s`/mii * "" (2 :_ 64. iii 65. H I* J `¿'_å: flr ›:.~= i~.›r. ›f › *'~› Q.í 62. "".'f sa «Ii «Ii ›'¦.H .: ¬ : \f_'* i__,_¡ ¦""L 63. 1% \/Í:+\/Ã 56. \/_Í; ; 59. ¬v"ÍiÍ +\/'É?_T'¡ 53. : \/§._1'r 61. 69. 71. 73. 75. 44. F \/5) + (?.\/F1? \/Ã : (VE + X/Í) X/Tí : (Vï \ fì) (1 3+ \/5) + (1 (VE + \/Í) + vii) \/Í) (2\/Í + 3\fÍ) + (4\/Í + \/Í) : + 10.6 Introducción a los niinieros compleios 385 introducción a los números complejos Cuando el indice ri del radical % es par. el nútiiero rr se restringe a los reales positivos. En el sistema de los números rcalessiïf no esta definida. Para que la raiz cuadrada de tin número negativo tenga significado se introdiice una iiueira unidad llamada uni dad imaginaria, sti. denotada por i. Puesto que (ire): se defiiiio como rr, por confor midad i` se define de manera que il = l. DEFINICIÓN Si rr E R, ri > O, se define s. " rr ¬. " 1 »Í = iii?. Todo iiúmero de ia forma ui, e G R, i' = QÍT, se llama número imaginario puro. i. 2. 3. \/ 4=\/ ixf'Z=r\fÃ=2t \/ 7=\/ iv"ì=Nì \/ i2=\/ i \/E=r(2v”š)=2i\/Íi Nota Se escribe i' if? en lugar de Wi para indicar cla ramente que el núniero i iio esta incluido deri tro del signo radical. Cuando rr. b gr c soii niinicro reales.. rr ' b + c tanibien es real. Sin embargo. la espre sion oi hi + ci = abr' + ci = ab i ci no es numero real ni imaginario puro. 1 . DEFINICIÓN . 1 . + .i 1 ii 1 | Un número complejo es un número de la forma rr + Iii', donde cr y b son itúnicros reales e i' = ¬~. I. El número rr se llama parie real del núiiicro complejo 3.' ¡J se deiioniiiia parte imaginaria. El conjunto de niinicros complejos. denotado por C`. es C _ ta + ¿›r|a, se R, i = ¬rïìi. Cuando un ntiniero complejo se escribe eii la forma ri + hi, se dicc que esta en forma simplificada o estándar. La forma ri + iii se denoniìiia a veces forma eartesiana o rectangular de un niiiiiero com plejo. NOÉH I. El núnicrocompiejoe + Oi cres un nú niero real. lis decir, ci conjunto de los nú meros reales R es un subconjunto del con › junto de los números complejos e. 10 IUIDEALES El iiiiniero complejo O + bi, ii as 0, es un ntimero imaginario puro. Es decir, el con junto de los niirneros imaginarios puros es un subconjunto del conjunto de los minie ros complejos. Ejercicios 10.6 Eitprese los siguientes radicales en forma estandar: i s. 9. 13. iv. 21. zs. 133 › _ W333 'Tìš is. \/Tin \/` Éã \/Tri x/Tí si 14. is. ví 22. \/~_.'rii 23. \/ïì sf †is za. \/"Í._~tti 27. xfflì 29. V 72 \/T6 \/É \/ _3í=› vì ie. \/ Tx) ._ <ïïï Éäš ifiäïë 'É 31. m \/Tai 3 0. 4. 3. 12. is. Repaso del Capitulo 10 Eitprcse los siguientes radicales en forma estandar: É íí i. vias 5. sïfäš 9. i'/íš L3. 2. 6. 10. Vl2.r'i}'1 17. I _ 4 _ .icI* J 'É <=.s _.. ceCH3€ `| ci_,r .i 14. `¡I I8 V3 8 x' _it" I " :¬".:*' x unf,_]1u_I¦"ifl'\ãJ'* LH II :TI_ <:<Í_ Q¢i 19 3 viïrš 23. É + \/É \/Íš 24. [N/75.r`l_i. 3 + j \/3x2y'¡ 25. .r y l ';Vl3.X'_)i:! l ti Jt¬ J List t G»O ii' 16. 2.1: _i 20 “iii zz. \/to ~ \/zs + \/¡iz V27.r5_i 'i l V3?y5 + I; V755) I' l 26. 1 V4.r;y3 › 27. l + V.r¡_r*¡ VP+P_}¬+\/xy“+y3 '\r'(x+yP` zs. W \/*ie +=€/E U1 12. Simplifique y combine las expresiones de radicales semejantes: zi. \/54 + \/iso _ za. \/“ai \i/š+\/*si Li1» I ' f' *I ._¿: Repaso del Capitulo 10 30. vize + . fzx/3543 * 32. _i. ïì ¿¡ i .. xv” tar . _. + .rï/¡Í! š`_?' 33. .t stay* + 31. visiii + Qšv”27.~fi_v“ 4 lv”.±' ,ir , \'Vs¬±*_T'* Realice las operaciones indicadas y simplifique: 34. av. 40. 43. WT \/ E VE; v“ÍšÍi i/'š` Ti' si/6 Mi 35. 33. 41. 44. \/si vš \/1775 v'ì`.ì \/«FH il/'E V"25 36. \/Ei.i'_i' V2Iy 39. vfi \/.›. + 2 42. 45. V2.r_i' + _i' si/E V”36 4o. V"es " 41. \Í'«"«E MF 48. V"211 ” vi'49.: so. (zx/ã + 3)(2fi 3) 49. (2 + \/š_)(2 \/5) sz. (4\/6 + \/ši)(\/E 2\/3) si. (xfi 2\/š)(3\/i ¬ x/E) 54. (2 + vai + 3)1 ss. (\/?+_3 + 3)* ss. (vÍ›.~ 12 + :i)1 ss. (\/':iÍ~ 57. (\/fi + \/'Í T2 )i 58. (\/ÍFÍÍ3' 59. + \4/_* E 'HI 66. 69. ¡ILS e 152.2 r +\/Í) 4 : \/Í 61. S +¶ 'IUlII"1lJ É; ..rs _,G ___: _ I If 77. 2.; j “ «sr"' "¬›Í ii V9.t'*_i: + 1 .r"_i¬ _* " .r3_i ' if: 1 u_u I lr, /1; _ Lfl ''b' ¬' I.J """¦G1. I' Ia* JI' 19 U*:O i =r. ¿0_.. Hsans 'f +ïljk _s + ”""i te I fi_ _ï Li""'¦ iiI I' ll. <"5i"tä _"', oe `*i'^s.J"' so1.i. . . 1 li Í: 'LH W ,J s.5% t¡iä .É si _,I __ _ N”"“`3;¡ig7:¬_.É *'+2.... "¬'333% «*¬=:i..ña _. *'iio <:'si; t '›"`4I» + ¿ i .ÉL 5'! FJ toi 'I' 'I . .l_i I' _ Iii ha te1.H.: ui. .;ti . .i I 'Í I í G +</Z vs. TBI \/_2.i†i)*' _ 72. 76 \/Í? ãtì + \`/.É to gg :_ :B.Q ââåg+ V3 49jrj 388 'IO I' RIIDICIILES 9 J 32, .rs/ il + y\/Äš V4.iry*¡ si rr.../es .r es/~¬r¬st. _ _¬_/es _ 1 2 3)' x* 3:2 633 3_v3 › t :i :i ici* : 2x3 .ir y 6 3 8*' FV? * ?\/Tr_ " *2>'“\/:fs 2 í 35`2 \/fi 3 86's N/5 4 si. Z \/š+i 3 3.5 ss. ___ 3+\/5 s+\/š so. _ 5__`/š \/š+\/š 90. _í\/¿_\/5 zx/'i+\/i 91. í_\/5 \/ìTi+\/E 92. \/ñ_ñ í zx/si \/Wi 93. \/Í. + zx/ã 3% “r 3\/ji 95* \/5? Esprese los siguientes radicales eii forma estándar: 9 .¡. â tuo. \/733 91. x/756 ini. É GNCIO ss. \/T_ 102. \/' sì 99. \/ _.I0* ios. \/É CAPÍTULO 11 Ecu_ac¡ones cuadráticas en una varlable 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.5 11.6 introduccion Solución de ecuaciones cuadraticas por factorizacion Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Solucion de ecuaciones cuadráticas por la formula general Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadratlcas Problemas planteadas con palabras Gráficas de ecuaciones cuadrálficas 339 11 ' ECUACIONES CUADRÁTICÃS EN UIM VARIÂBIE í 'U I J' ||1fl'OdUCClO|'| Un polinomio en unn variable Jr ee una ci;preaion dc la lortnn rr,,.\'” + r:¡:c”"' + o¿.'c"_3 + donde rr”. cn.. u¿, i un ., ri 1,, .son nutncros. reales 3. ' n le ll 1. tes decir, n es entero no ne gufivoL Si un af 0. el polinomio ci. dc grado n. (Íuando n ll. el polinomio es de la forma uu. se llama polinomio constante 3.' nu grado es cero. Cuando n = I. el poliuoinio tiene la forma d¡,.'c + n'¡ y se denomina polinomio lineal. (ùundo n = 2. cl polinoruio es de la forma ufix + u,.¬e + u¿. y se llama polinomio cuadrático. F.l min :ero rr., se denomina coeficiente del término de mayor grado. gr un en el término constante. L! na ecuacion polinomial (o polintimica) en J: es un polinomio en x. con n f; N, igualado a cero. Una ecuacion polinomio! de la forma ox: + hx + c 0, donde o # 0.. o. h, c G R y :e es la variable, se llama ecuacion de segundo grado o ecuacion cua drática en la variable x. La expresion c.\"i + llo: + c U se denomina forma estándar de la ecuacion cuadrática. Los valoren. de .c que satisfacen la ecuacion son las raices de la ecuacion o los elementos del conjunto solución de la ecuacion. TEOREMA 1 Si Py Q son polinomios 1; P * Q DEMOSTRÃCÍÓN (J. entonces. P = U o hicn Q _ U. Si P if 0. se dìciclc la cctlaci fui entre P ' Q P Q_U T F _* i;: ,toes ll entre P. _ Q ll Por cotlnigtlielìtc, Si P ' Q = 0. entonces. P ¬ 0 o bien Q 1* ll. Solucion de ecuaciones cuadráticas por factorizacton III' (Íuundo cl polinomio ox: + 1.1.1* + c se puede factoriaar cn el producto de dos làctore±› Iiriealesr. la ecuacion cuadratica ox: l ox + ¢ 0 puede re~solveree ig._ualundo ;eparu damentc cada uno de Im Iùclorcf~. u cero. De cata ntancrn. lu ecuacion cuaL'l1'; itica quccln cirprcsada como dm ecuaciones Iineaien. El conjunto s.olucion de la ecuacion cuadrati ca cf» la union de los conjuntos soluctin de las dos ecuaciones lineales.. í I I I I I ` Enconmu' el conJunto solucion de la ecuacion 3.1" + tío' SOLUCIÓN 3.t“i + fo: = 3.1r(.c + 2) _ ll. Por cotuiiguicnlc. 3.1' = U o sea. .lr o hicn .r = .ir + 2 L 0 es decir. ff) 2. ti. 11.2 Solucion de ecuaciones cuadrãttcas por Factorizacion 391 Por lo tanto., el conjunto soliicion de la ecuacion cuadrática 3.1": + ox O es la union del conjunto solucion de la ecuacion Jr = 0 con el de la ecuacion .r = 2. El conjunto solucion de la ecuacion cuadràtica es l 2, (ll. Hallar cl conjunto solucion dc la ecuacion .r“ soiuciotii ,t 1 .i iz = u Por ciitisigiiictitc, .ir o hicn .e + 3 .ir l2 = ll. uu + si 1 ii. 4 = ll ti esto cs.. .fc 2 4 es decir. J: = 3. El conjunto solucion de la ecuacion cuadriitica es { 3. 4}. Encontrar el conjunto solucion de 6.1' i + .ir = I2. SOLUCIÓN Priineranicnte se escribe la ecuacion en lòrn'ia estandar. Por lo tanto. 3.1' _ o hicii . 4 = 0 le + 3 4 es decir. 0 :r = T o sea. x ; 3 5. . . . 4 l. .I conjunto solución es [c ã , 1 Resolver para .ir la ecuacion sc SOLUCION .ri ro: + Ziller Li' altar i Zbl == 0 .t 1 + i a + zliu ox l Zbx 2ab = O. Zrii; = tl zas _ ti Por lo tanto .ir cr 0, esto es, Jr o _r i 2o = 0. esto es. :r ¬ 211. o lil conjunto solucion es la. 2b}. DEFINICION Cuando las dos raices dc una ecuacion cuadrálica soii iguales, se dice que la ecuacion tiene una raia doble.. o de multiplicidad dos. Encontrar el conjunto solucion de 'lx' t 4.17 t Í ¬; O. soiucioiii at 2 + «is t i = os to iitzs + ii = 0, Por consigtiiente. 2.1: + I ll o sea, .ir = † o bien 2.¬r + I 0 es decir. .tr = JI '|“ l" * _ . El conjunto solucion es I 2 . l Í _ 11 II ECUACIONES CUAORÁ1'ICå$ EN UNI VIRIANE Nfltá El conjunto solucion se escribe como l É. l I í . y no l _. 1_ ï , para iitdicar qui. . . .. Í es una raiz doble. Lo anterior tambien espresa que la ecuacion original es la ecuacion cuadrátiea 4.1:: + 4.1* + I = (l y no la ecua cion Iineal 2.1' + l = 0. DEFINICION Una ecuacion cuadrática pura es aquella que tiene la lòrrna .el Resoltficndo .ri .ri ei = lx rr: = 0 al = 0 por factorizaeioii. se obtiene e)(.t: + al = 0 Por consiguiente, Jr rr = 0 o bien .ir + e = 0 es decir, .r o sea, .tr rr it. El conjunto solucion de la ecuacion euadriitica piira .ri ai 0 es la union del con junto solucion de la ecuacion .tr = + rr y el de la J: = tri. Ambas ecuaciones lineales se escriben. a menudo. como una sola ecuacion en la forma .ir = ±o. E .I conjunto solucion es { ri. o} Por consiguiente. . ci htctt si xi = ai, . 1 si :c'" = tt 2 , se escribe x = ±e EIIIDIICES, ii, E3 ; ±\fg1 Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion x* 3 = 0. sotucioiit ,t 1 3 = ii. Jr: 3=0 .t'2=3 .r=±_\/É El conjunto solucion es { U3. s'3}. Hallar el conjunto solucion de la ecuacion 3.1" soiuctóiti .is 2 3.1:: 2=(l .ti == Éfi 2 = ii. 2 = U. 11.2 Solución de eotitatlonltts tttädráflcas por Fattflrlfltlón I es 1 š_...,/_.Ä*..+l \/i" ì 3 3" í El conjunto solucion es { i í avg i É \/5.. 5 II Encontrar el conjunto solucion de la ecuacion .r' + 4 f tt. SOLUCION t“+4 X í ...__ 2 0. 4 im .Í =±\/ 4=±2i El conjunto solucion es {2i. lil Resolver para :r la siguiente cctiacion: (Jr + 3u)' SOLUCIÓN uf + :tail loli "~ = loli* = 0. 0 (Jr + fin): = lobi (Jr + 3a) = 1. \/¡ob ' = ± to I = 3a ±4b El conjunto solucion es { 3o + 411, 3a «lol Resolver para .c la ccuacioii ,vi = «lui SOLUCIÓN .r 40: .ri l ga... ik): .li l2nb + 91: 3. l2ob + 9b3 Q ±\/(za ±(2a sin* 3h) El conjunto solucion es {(2u 3o), (Ein 3o)|. EÍerCíCÍO$ 1 1.2 Resuclva para .r las siguientes ecuaciones: .ri .r= 'O .12 l 7x=0 .I ¡' 1 F Z' ri 3.x= 0 10 . 2.12 +4x= 0 13 16 . l=U .tri 36=0 2. S. 8. ll. I4. 17. 1' 3.r=[l 3'" . .t3+lr=0 4x2 + .tr = 0 5.r3+.r=0 3.13 lüf 3.ri+ox= 21' 50 l5.r = *L _4=U *is 2=o 0 of 4.t= 0 .xa 9=0 ..t'3 l2=0 11 I ECUACIONES CUÃDEÄTICAS EN UNA WIRIABLE 3=o 19. 4.12 22. lor: =o tt =o m+bfi=o w. n. zo w. n. x. aa 0 2.t'i+3 713 h 0 'l il.*ll ~or=o o'i+b2=0 41. Lt' 44. lx + í 7 = 0 25. .to + 2 =o 28. Jr* + l2 =o 1 31. lt +4 34. 5.12 37. xr 40. ¿ 1 .ri í. 'Q 3 94'! _2= 0 3.t _4_= 0 21. 25 ri 3=0 24. .tri + 3 = 0 27. 8=0 .r'i+9=0 Zrii + l =o lr: + m=o .ri o l b=ü *is ¬o2 b"= I L' (.r + ll” š=Ú 46. (Jr l of %=o o. (.r 49. 52. .ri xl i .r 2=0 50. .I l 3.1: = lll 53. .ci ox S7 8 = (J 9.1: ' _ "t. *t¬.*'is°'ts + ox + 9 = 0 63. 65. l0.ir+25=0 .ri .ri 4.r+4=O 67. 69. 71. 73. 2x1 6.: 3=0 3x1 llt'+9=0 3x3 5x = 2 4.1r3 + 4.1: 3 75. of + .tt 77. 4.t'3 le 4.t: '= IS 79. 3x1 31. 83. 35. 87. 39. 91. 91: + 4 = llr 4x3 llr + 9 = U .ci + ou.: + ilirti = 0 .ri + 2n.t' fin: = ll lr: rt.t' ~ oo: = 0 93. .tj + a.t + ht + nl: * ll 411. 97. .ri 99. 101. .tri .tri l03. .tz =i .í í í í í tr 0 45. (I + ct): 0 0 48 Sl. (tr x'i+7.r+l2= S4. .ri 4.r=2l =l2 2a) 1 m .r3+21 IS (J w .tr2+ l0x= 24 w .tc + 4.: l 4=0 m .ri 3.t:+l6 0 M .I2 2t'+l=0 M 3.1": 3.t'=lS m 41:3 4x 0 m ha 3.1: 0 n 4.11 3.1: M lt: +3.t'= m (tir: 35.1: = 6 H mi 64 5.t' m (ari I?. .r m of 4.r+l 0 M 9.t“" o.t:+l li M .ti o.t l2o3=0 w .Í 2 9o.r + lflai = 0 w li''i ~ 7m' tia: = U M ot'3 I 9nur + 3:11 = 0 M .l.` + tir ~ bar no = 0 M. mi 4b.t' l fictb = m. rr! l Ztlb + bg tw. *'1.*"t. *ì. 4:12 + 4úlb + Í): + 2a,r+a2 im. hi' im. I' l 2a.r+a'i ¿lb b = 3s= í q. . 1,. 'í' oí ¡ 1 1 *I q.. (1 no = O tft: 4 ttb l 4h 1 9:12 oab+b3 2ax+u3=o3 I › í 1 ha + tub = 0 2u.r + 3h¬t' 5.1: +4 42. í í llrt.t' 1» .itti ¬ ll nt' o 2 _4l , __.: 3 ll 'LAI *'I¬ l¦l'¦ ll?. ¬ 5.1' . 1. + mi 39 í .í .í %.H 'í í 1 2 É 3 36. 'J 18 lil . Gx: Í IU 33. í 5.1' = 36 'I Â' S9 + 30. ¡_ Iru 43. 55 0 + 3.13 1 xl 1 1 nf 0 11.3 Solución de ecuaciones cuadraticas completando el cuadrado 395 Solucion de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado QI' La cantidad Lt' + nl: es tin citatlratlo perl`ccIo. Pticstti t|ue Lt' + rr): Jr: + Zeit' + ill. la csprcsiott .ri + 2tr.r i af: cs tiii trinomio cttttdraclo pcrlècto. La csprcsioii .tri i 2n.v no es un cuadrado perfecto. sin eiiiliititgo. si se siuiia tii.. el resultado es un trino inio cuadrado perfecto. Obsürvcse que el lorniitto tu: es el ciitnlrado de la tititad del coeficiente de .tz Del tnisnio motlo. Jr: lao: sc puede con'vci'tir en tin trinoinio cuadrado perfecto siiintitidolc tri. puesto que (.v ali .vi NOÍB .`l'.a.v + ui. El totritino cjuc til suniarsc a ln csprcsioti Ji" t l't_t' la convierte eii ttit trinoiiiio ctttttlra _ li 3 dit ¡*it:rlccltt es .Ii ¡.13 __* _ Lncoiitrar el termino que debe siiniarse a .vr + 4.1', para obtener tin trino mio cuadrado perl`ccto jr csprcsar ostc cn lòrnia làctot'i;l:titla. SOLUCION . ._ _ _ 4 La ntitatl del coclictentc de J; es .¡¬ ° _, .__ l .l torniino buscado es till” _ 4. _t;i + f lx + 4 Lt" i 21:. T _ Hallar el termino une ilcbe suinarsc a .vr ?.v para oliteiiet' titi trinorriio cuadrado perfecto gr espresar il sic en forina làctori2.ada. SOLUCION Í . .. . la initad del coelicientc de .r es j El tcrrriino biiscado cs K 7* f ¿j '' 7 T. te ¡_.' . . .t'" ll? ' 7.1' ~ _4 _ (1 7 *I ïf ) ' I mi ¬ Dctcrnntiar el termino que debe sumarse a Jr' "_ï_ 3 _ . ¡ .tr para obtener un trinoinio cuadra do perfecto 3. csprcsar osle en forma làctori.›fada. 11 I' ECUÃCIONES CLIIOÉÄTICÃS EN UNÃ VÃIIÃBLE SOLUCION La mitad del coeficiente de :r es 5 J .¬_ _ 5__¿_ + 25 __ 3 se _: I .I 't _ El tcrinino buscado es ( ~ (~i)=~å :is í' = E l _ 5)* _ s El mii todo de completar el cuadrado permite expresar cualquier ecuactiäit cuadratica en la Iòrma de una cuadrtitiea pura y. por consiguiente, obtener facilmente el conjunto solucion. Consideremos la ecuacion dl.t'2+b.tt+t*= U.. oil) ari + ln' = t Se dividen ambos miembros de la ecuacion entre ir: , b t x*+ .t' ct c ri El cuadrado de la mitad del coeficiente de x es lili li = lili De modo que ¿ti . _ . . _ H es el termttto que hara que el printer miembro de la ecuacion st. _ _ _ iii convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Sumamos T; ü a ambos ntieinbros dt. la ecuacion y se obtiene .tr 2 + ox + b: ri ¿lui = bz c' 4o: ti Se lactoriza luego el primer miembro v restilta ( .1'+ l›)1 r al = si tae «ta La ecuacion anterior es la forma cuadrritica pura de la eciiacion ut Ahora se puede resolver la ecuacion como euadr: :itica pura. Nota + ht' + t = O El mi”. todo de lactorizacion proporciona el conjunto solución de una ecuacion ciiadrati ca solamente citando se puede laetorizar el po linomio cuadrtitico. El metodo de completar el cuadrado, ett cambio. proporciona el con junto solucion de ciialqiiicr ct. nacion cuadra tica. 11.! Solucion de ecuaciones ctiadrátlcas completando el cuadrado Resolver s" SOLUCIÓN .i 1 .tz 5.:r l 6 = 0 completando el cuadrado ss + is = ii. 5.1:: Ó ll 5 " 25 :; = 1 a atnbos miembros dc la ecuacion. Se sutna I X2 5.t:+2Í5= o+2ìâ (J i)¬ si 1 ..t' §=±$ 2 4 5 l .:___,___ ,i ¬..2 . _. El conjunto solucion es 5 + ¿_ H JL!! Ji Resolver 2.1" + 3.t' solucion :it 1 + st 2. ll completando cl cuadtado 2 =o 1 lr* t .ii 1 tt iii. zi. ¿_ ii 2 1 _ _: _ t+¬t I 1 i _ i kt Se suma , 1 t"+ t;+ § I 7 .i = '41 'il = I I» lfi "i ¬ IF' a ambos niientliros di. la eciiacion il lfi 'io 3 .+__í `4 .r ll __ '.i I lä t¬. t'i J' _ . _, lil cott_|uttto solucion es si 3 5 *_ 5 _.. 4 _ 5 4 É 4.obii.n .fi , 4 ' 5. 11 1 ECLIÃCIONES CUIDIÄTICÃS EN UNÂ UARIÃBLE Resolver 3.'r' SOLUCIÓN 3.1 l' 'ls' 7.1 3 _ 7 .t" . 7 r' 3 == I) completando cl cuadrado. 3 i' I 3 W fr + (. ti l + fi fi (ii _ _ fifi fi ti A t. 'ss " ts o+ sas _t»` t› ,lt _ _ ,iii Í): _ 3 Í ji FI il) I __ 7 ' ll Iljlclll I lil HU ' ' '_' Lli l.I'l...iÚI'l LH 7 “' 6 l* Resolver 2.v*" + .r + 'l SOLUCION *Í _ 6 6 citfš ' ' "* ó . 0 conipletaitdo el cuadrado. lil + ir + 4 = 0 lt: + .tt = 4 1 + .t = 2 I . .li 1n ¬, l .t*¬+ 2 l l .ri = c2+~ lo lo ( _r+ if .i = ¡›i.l i si te l;_E. "4_"\l .t'¬ is 'Ti ±t`\/:lg I . +± '\f`.3l 4l' s= .t __ El conjunto solucion es { 1 I _ .. Á ¬ ;i'v'3l. l I _ EH/3l}. 11.3 solucion de ecuacioiies cuadráticas completando el cuadrado Resolver para .v Ifi ecuacion 3.1:: 4u_v 399 Zrii 0 completando el cuadrado. sotucioiti 3.6 tai af = ti 3.1:: lio: = Iii: __ _t* lo 2:13 3 1 ~.t 'F' _ 4o _ __ Se suma ~9_ a ambos itneinhros de la ecuacion. I: _ 4:1 2o: + __. *lui __¡. + 402 __ = ..._ 3 9 3 9 ( .r Zn): lllai _ == _ 3 9 1" 'lllui r _ï==±vl_.š_. 2o \/Illa _r = 1 3 3 _ _j El conjunto solucion cs 2a * 7; + V 10a lo rš V Illa T . Elercicios 11.3 Etictieiitre el término que debe sumarse a cada una de las siguientes espresiones para obtener un trinomio cuadrado perfecto jr exprese oste en forma factoriaada: 'I 1 l. ir* + 6.1' 2. x" + I0_r 3. .tz 4. .ti l.?.i: 5. .ri + .r 6. .ri 7. ici 9x 8. .ri l3_t 9. .ri + ll. .ri .tr 12. IO. 7 ir' + _t" 30.1' + .tz .t I .It lä 13. .ri + .lr I4. .ri t IG. .ri ~ 17. .ri .r t .¡l'L.nl' J ¬ .t r ft "~¡l'. ¦l Ii 'l.t›¬ l'~¬.lf I lt J 1 `t i t. i ¬.t' .` ' I IiI P'5. " + t i3 _ 1Hi l I't* D I: un Rcsuclva para ir las siguientes ecuaciones completando el cuadrado: 19. zz. + 'lt' 3=0 *is*ls s ~i2=o 20. _r2+7_r+6=0 2a..t1 'tt 3o=o 21. xl 3x l0=0 24. .ii 3.: is=o 11 ecuaciones cuitoiuincits en una vittttitate 25. .ri + 14 = l5x 26. .el + 4x = 2l 27. .ti + 14.1 = 28. _t'2 = x l 72 29. .cl + 4_li' = 30. .tz = oi' 3l. .il + 3x + 5 == U 32. .ri + 3 = lr 33. 34 .ri + 8 = 35. xa + .tr = O 36. 16 37 3.1:: + 5_t' = 0 33. 2.12 40 1» ¬ ' = t +1 43 3.t'i = 32 + 2U_r 44. 3.1:: 46 41: + 24 = 35.1* 47.. 4_r3 49 4.1:: + *J + llt = Ú 50. it: 52 lr: ¬ 6_i i 3 = (J 53. 4_r'i + 2U_r = 55 3_t'i lt' 56. 3x: 53 1 ti' 'ls + 4 = ii 4.1: ii. zi 2 2 = ll 4 Tx + Sir f c + 8 = l4_t: 2 3 8.1: l¬l2.'r=l) .tri + 7 = Ss' :ix = o 42. 4x3 + l = 5.1: 45. Siri 'lr l3.t +6= 48. 9_tri=2+3.tr 51. 25 I 3.1" QI: I + 5_t 57. fix: + 3 = l0_r c0.t›.t 1 <›.t+2 ss. si si + 10 66'. lr: 4 = ll 62. lr: 64 .ri + 3_r + ll ¬ O 65. lr: 3_t' 67 .ri + ¿tr 3rt'¬' = 0 68. .ri 69 . .ti + 3tt_t' + ti: = U 70. .ri + 7u_r + 3a: = ll 7l .ti 72. .ii 73 lil ~ iii' 75 lt 1 + su + af' 77 3_i' _ìti_t' e Sil: = il 4 t.t.r 3_t'3 5.1: + 3 4tt3 = U su auf =¬ ti 74. lt": 4 3ri_r 76. _ì.t'3 + ri_t' * 3o: = 0 lt": + 7ti_t + Ãtl: = ll 73. lt: + ti_t' 79 lio' 30. lr: + tor + 403 == ll 81 3 1": + Értt' te Zrii '* U 82. 3.1:: fin: _ ll ii iii + ri: = ll tt: = 0 Zrii = ll 4ti.t + 2a: = 0 solucion de ecuaciones cuaclrátícas por la fórmula general CJ' La lòrtna cuadratica pura de la cciiacion rav: + bie + c + b )' _ .l.` "'“' 2n_ bg filtiit' = '_"" ___' 4o: Rcsolviendo esta ecuacion para .r_ se obtiene . .r l + b lb 1 ltïlt* É' H = I 1 __¬¬:'_' 2:: N slo' ƒ 1 , = __! '_ ._. \/*_';4± Z i "il i' I 4rt: J _\ :': h ±¬ lil Vo' _ ~ lt I 4rit' › li ± \›"h' ' _1 ..t'l 'kit' _' 0 ' 24.1' + IÓ = 6I + 2 = S4. si +s=ti si t 59. 3.6 9 39. 2.1 1 + 3x + I .n.n.|. í. 1 . í 24 0 es 4 ... í. Pi _. 11.c sotiictondeecuaclones cuadratlcasportafdrntulapenerat 401 Por consiguiente, si aiii + ox + c = 0, rr =ii 0, ¬¬ o± “It 1'" \ It .it ' _. lu; Zn Esta expresion se conoce como fórmula cuadråtica (o formula de las euadrálieas). De la formula euadrtitica resulta que el eonjtinto solucion de ta ecuacion i:r.r¡" + bi: + c = 0 es { l› + \/si «tae s 2a ` \/si i ~¬ «im } 2o Para resolver utia ecuacion cuadratica dada mediante la formula cuadratiea, se compa ra la ecuacion con la forma estándar, aiii + oir + c = 0. con el fin de encontrar los valores de ci, o y c. Luego se sustituyen dichos valores en la formula. Obsérvese que at es el coelìcientc de .trit O es el de x, y e es el tértnino constante cuando la ecuacion se escribe en forma estándar. En la ecuacion 3x2 + 2_r En ui ecuacion En is ecuacion rs 2 is* Resolver _r" 5 = 0. o = 3, b = 2 gr c = 5. zi = t›_ fi = 1, ls = 2 y f ; o. si .= 0, ri = 4. i› = 0 y e = 9. 2x = 24 mediante la formula cuadrática_ *L 2.›t=24 *ts lr 24=Ú SOLUCÚ tt'l ft* 2 i' '~ 2 l Siistituyendo ct por l_ tb por 2 y e por 24 en la formula.. se obtiene ¡._ _t 2l ± \/(~2)"' Ztll 2 ± V4 + 96 3 z±\/tod z±io ” 2 " 2 2(l±5) 1† = l ± 5 ir, = I + 5 = fi .rs = l 5 == 4 El conjunto solucion es { 4. 6l_ 4(ll( 24) 11 :cunciones cunmuimas En una vnmms Rcsnlvcr 3.1" + 5.1' = O mediante la fórmula Luadralluì 3.1:: + 5.1' = 0 SULUCIÓN u"3 11:5 ±'=l) Al sustituir' u por 3. ¡J por S y c pnr (1 cn la fórnmla resulta _.1%_ m ± \/(1 "F ` 4T3›f0› 213) 5 ± *UE 6 5±5 :T 1 ~ 1: ~ 5+5 ' 0 6 IU 5 5 5 *_±s_:T=_š El .mljunlü süluciún c.=.{ Rcsulvcr 3.1" SOLUCIÓN 3x3 5 O3. 6x + 2 = 0 medìantc la Iurmula <.uadr..1Iu..1 6.1: + 2 = 0 U = Í? 1" Ó 1 Í _ 1 6) ± v”< 961* ' zm = 2 4ì3`›(i`ì §± V3_6 24 6 Ci 1;» ± x/E í 6 6±2\/5 <:› 2(3 1 ví) 6 3±\/É 3 El conjunto sfllución ¢S {3+\/É3 \/§} * 1 _ 3 3 11.4 Solución de ecuaclnnei cuadráflcas por la fdrmuia general Rcsulvcr 2x' sowcmn 16 3.1* + 6 = 0 mediante la fórmula cuadraìtìm 3.1 + 6 = 0 u 2", I: 3 r Í) f 3) ± \/( 3)* 4r2›uf›› 12(2) . ± V9 43 = _3±\/ 39 3±f\/E 4 4 El ccmjuntn solución es ' Resolver 2.13 sowcmn ze {3 + fx/39 3 ~ ~. 4 ¬. ' I lx fx/3<›} 4 3 = 0 por la fórmula cuadrátìcn. \/¡T1 3 = o =2. ¿›= x/11. «. = 3 _ ( \/1 1) ± V( \/Ñ): 4(2)( 3) I' zm H = \/fi+\/|1+24 "4 ,= \/1_1+\/E 'Ã _ El conjunto snlucìú|1 es {% 4 ¬ ¬› }% \/Ñ \/1 ›*_5\/fi+\/:E Ejercicios 11.4 Rusm Iva las siguicrwlcs fxuaciunfirss nwdìantc la fórmula cuadrálicaz* I. r1+2.r= 2. xl 6x2 + .r = Í) 4. Íìrz + 3.1: = 0 5. 7. Jr! 4 = 0 3. .H 10. xl 3 = 0 13. I6. 41:1 31:3 I = I9. 2.152 + r í .í í ll. 36 = 0 .ra + 3 = 0 14. 9.11 17. 511 20. 3.1: == U 25 = 0 6=0 4.1:: + 9 = 0 3x2 4x2 5.1' 3.1' x3 ~2={) xa i 9=0 2:3 3 3x1 7 5.1:: + 3 =0 11' ECUMIIOÉ CUÃDIÄTICÃS EN UNA VARIÃBLE 22. 25. 2.3. 31.. 34. 37. 8.1: l `7 =o xl' .ri + `?x+ 12 =o xl' + óx 16 =o 3x= IB .rx 4= 4.1' x2 xl + 6x+9 = Í) .rx + 2x l 2 =ii + $33 32. 3.1' 4 = 0 ._6.= 0 s=o í xl í Eli* =2 35. 2 3x 38. .r + 36= un .I 2 3x+4=0 53. 41 44 .Jr 1 _: i 7= mi .E + 2.r+3 =u 2 l8.r3 Z7x+4=0 47 .óx +.r 2=0 50 2.1_: = l7.r 36 9.r2=3x § 20 S3 . 24.r3+2l=65.r l0.r2+9x 9= S6 . lr! 41 3=0 3.1:: + I0.r+f›= 0 59 .9.r+l 6,1: =0 512 9+3.r 61. ak n+s =o 62 .2.5 64. 67. 4,: 1+ .r3+\/šx=4 65 63 1 70. Jr: 2\/šx 72. .[2 5 \/ir 74. 2xI+\/šx 76. 3\/ìr'1'+7.t+\/§= 0 73. \/šxz 3x 2\//š= 0 40. 43. 4 Ó. 49. S2. S5. 'I vu 2.1r+l=0 .Ir l l=0 13 +6x+3=0 X2 8 24. 27. 30. 33. 36. 39. 1 x'_± xl 'ii .r* x2+ 1 x" = _ ra 42.1: 1 24=0 5x 91 + 20=0 4.1: í. íll 2x í í. 4x I Í 32 4 4 +1 =ii lx +5=0 +IO=l9.r fi.afi fi.sr*=|m+1s 51. 54. 57. 60. 63. 66. lll' 3+9=3l.r lie: = 30.1: + 27 3.1:: + 6.: _;›_= 0 4.113 + 9+ lle = 3x2 P.: +2 =ii sr: + \/ir = 5 \/:Ju: = 5 xl' R/š.r = 2 69. 71. xl + 3\/Í.: = s 73. 11' 6\/ lx = 1 4\/:hr + I = 0 75. 3.1:: 0 77. \/ir: + 5x 2\/Í 0 79. \/ax: + 4.: 2\/6 í fI _ Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse cn una forma mas simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el minimo común clcnu|11in:.u.lur (m.c.d.) de las fracciones prcscmcs en la ecuación. Si una ecuacion se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuacion resultan te podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resullame puc clc poseer raices que un salisIàce|1 la ecuacion original. Los valores cluenirlos para la variable que satisfagan la ecuación original. son las raices lle esla. o _, Resolver la ecuacion 2.1: 14 _; = I. .Í _ ¿ 11.5 Ecuaciones que dan lunar a ecuaciones cuadràticas SOLUCIÓN 1r(.r Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x 2) I4 == (.r 2). 2) 1:1 4.†~ 14=s 2 21:1' 5.r~ 12 =ii (2.1: + 3){.r 4) = ll 3 5 21 +3=0. estoes. .1:= o bien x 4 = ll. cs decir, .t = 4 ._ FJ conjunto solucion es { Í' 3 4} . La comprobaeron se deja como ejercicio lO. Í .r3+.r (fr Resolver 3 ï = x3+2.t' 8 .ri l 7.r+I2 I0.r 5°' "U9" 3 I2 ft §`+ 1 6 si + zi s _ ___tos h 3 _ 12 of zm + 3) (1 no + 4) _ of + :no +11) Se multiplican ambos miembros de la ecuacion por (x l0.r(.t + 4) 3(.tf + 3) = l2{.r 10.11 + 40.1 3.1 9 = 121 10.12 + 251 + 15 = 0 2)(.r + 3)(.r + 4). 2) 24 lr2+5.r+3= 'U (Zr + 3)(.r + I) === 0 2r+3=0. esdccir, x= o bien El _ conjunto . solucion es { .r + l = 0. esto cs., 3 .r = e IÍ. La comprobación se deja como ejercicio. Ejercicios 11.5 Resuelva las ecuaciones siguientes: 8 1.1: =2 x 2. l 3x+ =4 x 3; I 11 I ECUICIOIES CUIDRÁTICÃS EN UPM VARMBLE 4 6.r = 5 .it 3. x 5. 8. 10 . ¿I =3x 1 8 2 3.1 1 I3. 15 12 L =3.t 2 x+l 4 2 J: 2 .1r+l 1 .r l .=:+2 19 _5 f_+_¿_._.3 2.1' l 3.: 1 2 2.1: 3 23. 3.1' .tí + .r 24 25 ' 23 _ 30 22 .tr + 5.1' + (1 .t'3+5x+4 si .t'3+x¬I2 IS ìií* .r* 4.1' S .r _.í_ +. _ .trl 1 .r 2 .\3+3.t'+2 32.. _.L_ .tt 2 5 +1: 4 24 + í=5 ..í_= ¿Ó .t I 3 _±§L_ï_, 3.1' 4 lr 3 2l .r 4 + I 7.1* lt+3 3 .ri 2 .ff +1 6.1:: 12 71.: 5.1' r 6 I3 .,_ lr' lr 1': P. í=i _ 20 H 3.1' + I .is 1' + un 4 .tj I I I .tr ¿ mi 14 3.1' 'l' no lr: | III .tï lt' 3 .r “ * 9.1: + 20 H 5.1' + 2 9.1' 31 .T É 2 .12 + lr: + lr: I 7 =Zr+l .r IS ll si +¬. ~ es _ 1 L5 x' ox + 8 .r' « 3.1' 4 .r* .r 5.1' 2 2 + .rì .I 6 .r3+.r 2 xl 4.r+3 3.1' 22 lll 1 su 29 'ñ Jr 22 I le + l 2 9 20 1 I 26. 27 _... l I 13 17 3.1: 19 %'=lI.'+7 lo 4 í É' ~2X+9 14. _2L+._í=5 21 l x+3= x 151: 6. _ =4 K .r l 3 .tr 15 Ó. 7 4 =5 I x 2 21 5.r+x+4 6 9. H I 5 l l=;_ 7 lle 12 1 B=0 x 4. .rr I' 4 81' ll] |4.r + 3 + .t' 7.1' , .r 12. 3.1' + 2 8 __ si 1 † un + 3 19.1 llc: i 5.1' 2 38.1 + =ii ll 21. : + llr + IS _ +80 11.6 33 v 34 ' Problemas planteados con palabras Ilšrr _ _ 1 (sv + r 2.0 31:3 lx ss. lr' ¬. 36 37 38 39 40 41 42 I .15 l 4 + 1 " 6.1" i 5.1' + I + 4.r + 33.1' 8 4.14 9x + 2 lle: + 13.1' se 3 .r lt": c. 3.1:' + lr: 13.1 + 4 3¿t .i:* lr zu 4 3 'I ' .r' + 2.1; + 1 3.1 1 .ri 3.1' .r o ~ .rr 6.1: + 8 .L 'Tí' 7.1 4 4 4.1 2 es + 5 5 12 † 'Lt' + l2 4 ' 1" “ir ï .r 9 ¬.† 3 .r +1 3 __ ' 167 .tr :r e 5 r' ' ir i 2 .r + 7' . al 1 .t 3 .r 'I' 2 lr + 4 .r 4 5 1. __ .t 1 ' 111 1 + s 0 I 5.1' + 2 '_ 4.r"' +4.r 4.1' I 3.1' | 4 H 1 s 6.1”=, Il.t' __ +3 3.1' + I .r 6 lr + l ' 3.6 3 4lr 1+ 4.1' + lll ' 25.r 1 9.1* l l __ .1' 8 '1 _ r' \' (1 Jr 3 í Jr' +1' 6 1:" .i:+ 2 ~ 1:3 3.1' __ 4 3.1' + 15 .r + 4 1': .r 7 PI'Ob|Gm3$ p|3l1f€3dO$ COI1 D8|3D|'3$ H." La suma tic dos ntimeros naturales es 18 s la driè|enua de sus cuadrados supera cn 36 al producto de los números. Encontrar ambos numeros SÚLUCÍÓN Prhrrer rrrirrierrr .'Sègu.odo mhiienir 1: (48 Jr: 148 sf): 36 í dí .cl .r(4l'l 1) .cl ¬ 2304 + 96.1' .ri 36 = 48.1' 2 + 48.1' .Í 2340 ll l .r + 78)( .r 30ì 0 í ai .í o bien .r + 78 = U. esto es. .r = .t cs decir. .r = BU Los nú|nc|'os. son 3 (1 1.' 48 Se elimina 30 ll. 30 = 13. 78 porque no es numero natural. 78 11 ecuaciones cunnulncns en un emm: La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recipro 2 . eos es ;¡ ;¡ . Hallar los numeros. SOLUCION Primer mimero Segundo nuimero (.r + 8) X 1 ¬] .K â I+8 Nt I: .=› 77 oa 1 77(.r + 3) 77.r 77.: + 616 77.1: 2.ri.r + 8) 2x2 + l6.r 211 + lúx 6l6 0 .ra + 3.1' 308 14) 0 0 (x + 22)(,r o bien í Hí .r + 22 = 0, esto es, .tr .r es decir, .r = I4 I4 = 0, 1 ¡+8 22 Los números son 14 y 14 + 8 = 22. Se elimina 22, puesto que no es número natural. U rta persona realizo un trabajo por $192 dolares. El trabajo le llevó 4 ho ras más delo que se suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En cuanto tiempo se suponía que llevaria a cabo ese trabajo? SOLUCIÓN Sea x horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo. La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real que gano la persona. @_.,,,,__2¿_ .r M Jr l 4 l92(.t' + 4) 1921' l 763 2.4.r(.tr + 4) = l92.r 2.4.r3 9.6.1' = l92r 2.413 l 9.6.1' " 763 = 0 .r2+4.r 320=U (Jr + 20)(.r o bien lb) = 0 ,r + 20 = 0.. es decir, .r = .r o sea, .r = lö lo = 0, 20 El tiempo esperado para realìaar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido. ' La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo. 11.6 Problemas planteados con palabras SOIUCION A It ura Ba se x pies (2.v + 4) pics x(2r + 4) = 448 2.r2+4.1r 448=0 .ri + 21: (.r + l6)(.r 224=l) I4) = 0 .ir+lf› = 0, .r I4 = 0. o bien esto es, es decir, .ir .ir #1! í .1 _ _ te I4 La altura del rectángulo es l4 pies y su base es 2(l4) + 4 32 pies. Un equipo de remeros puede viajar 16 millas rio abajo y regresar en un total de ti horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 millas por hora, hallar la veloci dad a la que el equipo puede remar en aguas tranquilas. SOLUCION Sea Jr ntillas por hora la velocidad a la que puede remar cl equipo en aguas tranquilas. El tiempo para remar rio abajo más el tiempo para remar rio arriba es igual a óhoras. ¿_ _, ._'f'_ .r + 2 lotx .r 6 2 2) + Io(.ir + 2) lfix * 32 + lfix + 32 tir* 32.r 24 3;* ist 12 (fix + 2)(.r 6) tí ' 6(.ir + 2)(.r í nt* HI É í í í í _ í 24 0 0 0 3.1: t 2=0, estocs, .r= o bien ,ir 2) 2 5 6 = 0, es decir, .r = 6 La velocidad de remo en aguas tranquilas es de 6 millas por hora. Ejercicios 11.6 1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números. 2. El producto de dos números pares consecutivos es IO unidades menor que 13 ve ces el siguiente número par. Halle los dos números. 3. 4. 5. l..a suma de dos números es 2! y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números. La suma de dos números es 25 v la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números. 419 11 1 ECUJICIONES CUAORÄTICIIS EN UNII WIRIABLE La diferencia de dos ntimcros naturales es 9 _v la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números. 7. La stima de dos ntimeros nattirales es 1'?. l.a diferencia de sus cuadrados supera en l9 al producto de los números. Determine dichos ntiinerds. 8. La suma de dos números es 28 v la de stis cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números. . _ _ 7 . 9. l.a suma de dos numeros es 14 gr la de sus rectprocos es sm . Obtenga los nu 6. l0. meros. .. . . _ . 4 La dtlcrcncia de dos numeros naturales es 4 y la stima de sus rectprocos es 7 . ll. Encuentre los números. La difereiicia de dos números tiaturales es o si la de sus reciprocos es ¡ Halle los números. 12. Una ettcursion geológica costo $120 dolares. Si ltttbicran ido 3 estudiantes más, cl costo por estudiante habri, sido de S?. menos. ¿Cuantos estudiantes fueron a la excursion? 13. Uiia ei tcursion a esquiar costo $300. dolares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costo por persona habria sido de S5 mi tis. ¿Cuantos miembros hay en cl cltib? I4. Un hombre pinto una casa por S800 dolares. El trabajo le llevo 20 horas menos de lo que se suponía 5' cntoriccs gano $2 más por hora de lo previsto. ¿En ctttintti tiempo se suponía que pintaria la casa? 5. Una persona realizo un trabajo por S90 dolares. Empleo 3 horas nias de lo que sc suponía 1: entonces gano S5 menos por hora de lo que esperaba. ¿_F.n ctitinto tiempo se suponía que llevaria a cabo el trabajo? 16. 17. La base de tm recttingulo mide 4 pies mas que sti altura 3' el tirea es de 192 pies cuadrados. lincuentre las dimeiisiottes del rectaitgulo. l.a base de tin rcctritigtilo mide 3 pies mas que el doble de sti altura y el iirea es de l89 pies cttadrados. l lalle las dirnensìones del rectángulo. 18. 19. 20. 21. Un hombre desea construir una caja metalica abierta. l.a caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5 184 pulgadas ctibicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja. Si cada uno de dos lados opuestos de tin ciiadrado se duplica 3.' cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el tirea del rccttingulo rcstiltantc sttpera eii 32 pies cuadrados al area del cuadrado original. lincuetitre la longitud del lado del cuatlrado, Si cada uno dc dos lados opuestos de un cuadrado se ittcrcntcnla 5 pulgadas mas que el doble del lado del cuadrado. 3 ' cada uno de los otros lados opuestos se dis minuye en 7 pulgadas. el tirea del rcctiingulo rcsttltantc supera eii 55 pulgadas cua tlradas al tirea tlcl cuadrado inicial. Halle la longitud del lado del cuadrado. llo ctiuipo de remcros puede recorrer 12 millas río abajo v regresar en un total de 5 horas. Si la velocidad de la corriente es de I milla por hora. encuentre la velo « cidad a la que puede remar el equipo cti aguas tranquilas. 22. Un equipo de rcmeros puede viajar IS millas rio abajo gr rcgres.ar en tm total de 9 horas, Si la velocidad de la corricntc cs de l ie millas por liora, liallc la velocidad a la que ci equipo puede remar ett aguas tranquilas. 23. Un avion vuela entre dos ciudades separadas 300 millas. Cuando el viento sopla 11.7 24. 25. 26. Graficas de ecuaciones cuadratlcas 411 a favor a 30 millas por bora, el avion alcaiira sti destino '. 'lt ltora antes, ,'_(.`tiriI es la velocidad del avion? Un avion vuela entre dos ciiidadcs separadas 3 20 0 tnillas. Citando el viciito sopla en contra a 40 millas por liora, el avion alcanza su destino ,?.ll minutos mtis tarde. ¿Cual es la velocidad del avion? Paulina vive a 30 millas de su oficina. Si maneja su automovil a 5 millas por hora mas de lo usual, llega a su oficina 5 minutos mas teiitpraito. ¿A quo velocidad maneja normalmente? lneremeiitando la velocidad de un automovil en 3 millas por liora. fue posible rea liitar tin viaje de 360 millas en '/1 llora menos de tieiiipo. ¿_(.ù.til era la velocidad 27. 28. 29. 30. 31. 32. original? _ Un inucliaclio desea cortar cl césped de tiit prado rectangular de (tt) por 45 vardas cii dos períodos iguales de tiempo. Dcterniinc la anclittra de la I`raiija qtie debe cortar alrededor del prado en el printer periodo. l.a base de un tritittgtilo mide 4 pies ittciios que la altura. El tiren es de 48 pies cuadrados. [iiiciientre la base si la altura del triangulo. La altura de tin triángulo mide 2 pies menos que el doble de la base. Fl arca es de 56 pies cuadrados. Halle la base gr la alttira del triringtilo. El porcciitaje de utilidad de tin traje fue igual al precio de costo eii dolares. Si el traje se vendio a S144, ¿cual fue el precio de costo del traje? A demora 5 horas mtis en realizar tin trabajo de lo que demora B. Si A gr B traba~ jando juntos pueden cfcctuario en 6 horas, ¿cutirtto tarda cada uno cn ltaccrlo solo? A demora 7 horas mas eii realirar tin trabajo de lo que demora B. Si . \ v li traba jaitdo juntos pueden efecttiarlo eii 12 horas, ¿cuoiito tarda cada tiiio eii liaccrlo solo? 33. 34. A demora I l lloras metios del doble del tiempo que tarda B eii realirtar un iiiisiiio trabajo. Si A sf B trabajando juntos ptiedeii tertiiiiiarlo cii 23 horas. ¿ctitiiito tarda cada uno en liacerlo solo? A demora I4 horas menos del doble del tiempo que emplea B en realixar tin mis mo trabajo. Si A y B trabajando juntos pueden tcrrninarlo en 45 lioras, ,'_cttaiito tarda cada uno en liaccrlo solo? Gráficas de ecuaciones cuadráticas l.a gt'tilìca de una ccttacioit cttatlrtilica _i' ii.t'3 i hƒr t it', rr i¿ 0. ri, li, t' E R, cs cl coti Jtmto de puntos cuyas cooideiiadas soii las parejas ortleiiadas Lv, _r) qtie satis|àccii la cctiacion. l a representacion grafica de la ectiacioii ctiadrt`ttica es iiiia curva llamada pa rtiliiila. Las parejas ordenadas se pueden encontrar asigiiaiido t alorcs arbitrarios ti .v. v detei'iiiiiiaiido los valores corrcsponi.lieiites de _t _ f;òiisidei'einos la ecuacioii _i * .vi 2.v 3. (.`titttii;lo .r 3. _i' = l 3)” ll 3) 3 “ 12: por ctiitsigttieitlc. la pareja iirdc nada t¬3, 12) es una soliicioit de la ecuacion. (fiiaiido .v = _?. _v ¬ ( 2): 2( 2) 3 f 5: por lo tanto. la pareja ordctiada l 2, 5) es una solucion de la cctiacioii. 11 ECUICFOIES CUÄDRÂTICÃS EN UNA VÃIMILE eje _i 1: I2 10 8 6 4 1 2 il I'¬I_'¦ I 1I*1 G H 'ue un ~tu. h 6 eje .ir 4 _: ` 4 6 _2 ¬4 I I FIGURA 11.1 Dei mismo mode, las parejas ( 1, 0), (0, 3). (I, 4), (2. ¬3). (3, 0), (4, 5) y (5, 12) son solucìnnes de ia ecuación. Se ccinstruye una tabla con las parejas ordenadas. Ai localizar estas parejas ordenadas de números 3.' ceneclarlas con una curva suave se nbliene la grafica de la ecuación. cemo aparece en la Figura 11.1. Nüfà A medida que .rr aumenta, la curva desciende (es decir, y disminuye) hasta que X = I. y 4, la curva deja de descender y empieza a elevarse cuando .r aumenta. El punto dende la curva deja de descender y empieza a ascen der se llama punln minima de la curva; tam bién se denomina vértice de la parábola. NOÍB La recta vertical que pasa per el vértice divi de a la curva en dos ramas simetricas. Esta recta se llama recta de simetría e eje de la pa rábula. Cualquier par de puntos de ia pará bola cuyas abscìsas Jr. y :cg sen sirnérricas con respeclef al eje de la parábola (equidislanles de ei) tienen ordenadas iguales. 11.7 Graficas de ecuaciones cuadràttcas 413 Coordenadas del vértice y ecuación de la recta de símetría Conslderese la ecuacion y lx' = ax: + ¿Lv + ir". u ifi U, rr. fr, tr' E R. furl + bat) t e Ì = ¿I I' + É _ 1] + t H .Z =` t'.'I.l.+ le .r + tf! = 1 ( Jr + b _. . Cal '2 .ti + ba , 4:1' 1 4:1* 2 ~ br.. 2:1 b 113 l r' 4:1' 2 bì r 211) _ + tr' 4 rr b 1' f›`' = rr .ir + ~ Zo) , ¬., «i 1 4ac 40 Para cr > 0. puesto que ,v + . adquiere cuando .i t + t IJ Zrr 1 ' . . 2 0. el valor minimo de v ' ¿J ¿Í _ ti., o .t 1 ir* " 4 Hl'.` 4o b ìà . De esta manera las coordenadas del punto minimo. el verlicc de la parábola. son l _ì._ .52 « 20 40 4ae ) .. . . l.a ecuacion del eje dc la parabola es .v ¿J 1” . ÚD$El'V3CÍÓfl Cuando e <: il, el vértice de una parábola es su punto máximo, y la parábola se cstiende hacia abajo. NOÍB Cuando se construye una tabla, se colocan las coordenadas del vertice de la parábola como la pareja central de la tahla. Puesto que los valores de .v que son sitnetricos con ¡J respecto a ,U _ dan lugar a valores tle _t ' iguales. el trabajo se retlttce a la mitad. Se _ . . toman valores de .v su11etr1co›s a †”fr 3.' los valores de _v correspondientes a ellos, son iguales. 11 ECUACIONES CUÃDRÁTICÄS EN UNA VÄRIÃBLE I: . . Encontrar lasli coordenadas del vcrtict. 3 la eciiacioii del eje de l. .i paranoia eiiva ecuacion es _i' 2.v 3. solución _t _ zx* 3 s as of 3. las coordenadas del vértice son (il, 3). l.a ecuación del eje es .r lv* 0. Hallar las coordenadas del vértice y la ci. nacion del eii. dc la parabola ii = 3.v + l. SOLUCIÓN 3.1: +l _v =¬ ¬. LJJ .i I 2" J' 3.ir + ì_ì k I J lr' .Ó . «,) 2 ,¬ 'IA 'A 1 ..i ¬J 9 3 lo Fši ›'. . J i í. +l F4*.,ff_ DJ =2.=: ) 4 +l I 32 =2.¬r . " '“"' . " " ' . Haciendo .v 4) É' 'ï'¬ Cl' 3 Í = . U. obtenemos .ir 3 4 . _ . 3 las coortlciiadas del verticc son (3 , l 8 . .. _ 3 la ecuacion del cie es .ir = í. Graficar y soi.ucióiii 4.1" 4.r2 4(.r2 4.1' 4;: Jr) 3. 3 3 ri) ,r x+1 .~ 12 i (f 2) í. _ _ i al 12 E) l 3 IP. : =ritis=t H H 2) 4 3 11.7 Gráficas de ecuaciones cuadráticas 4 _ _ I Las coordenadas del verticc soii ( 5 _ 4 _ Se construye ahora una tabla coii ( 4) como pareja central ¦ ,_| . , _ _ _ I _ _ Se tornan valores de _v simetricos a 5 gr se obtienen los correspondientes valores de y _ Ohservese que .v . _ _ _ 0 gr .v = I son sinietricos con irespeeto a _i' Iores de _i' son iguales, _r = Para .t l 3 2 jr _i. = É ,_i« Para .ir = I jv _v = 2, _r l ï v ciitonces los vt 3. 5. .__3 isa .__ 2__i 5. Puras AI localizar las parejas ordenadas de nt'iit1eros jr i:oncetarlas con una curva suase ob iiemos la grafica deseada como se iniiesirii en la I ì_eura I I_2_ eje H fl' 6 * el 5 4 3 l*Í¬11lJ~a I ll ¡._..... _¦..h. i J 2 s «ie l 3 § I 3 _] 0 4 3 2 2 eje .i i l l 2345 4 FIGURA 11.2 Dibujar la grafica de _r * _v* t 2.v + 2. SOLUCIÓN _v 'll' __v'i 2_v+2 +11: i l)+l + l)""+ I 11 ectincmries cuannfincas su me ramas eje ,v l2 ll ,O 4 to “P T 22 _ I _ 6 l 5 0 4 ¡ 3 _ 2 2 Ii II1 I O ~Ó 5 4 3 2~ll ejes' I 2 3 4 5 (It 2 FIGURA 11.5 Las coordenadas del vertice son ( l, 1). Se construye una tabla con t l, I) corno pareja central. Localizando las parejas ordenadas de números v uiiiciidolas con una curva suave, se obtiene la grafica buscada, tal como se ilusrra en la Figura II_3_ Traxar la _i__ti'álìcti de _r SOLUCIÓN v r .r " + li + s tf == " xv" + 2.1: i 8. (.i:" [liw ~t.t lt) 1 s li' + I ll' l] + 8 l] + li iif`+s› las coordeiiadas del se' i'ticc soii (l. 9). (òiistruìiiios un:_i ialil:_i con ijl, fi) coiiii_i pareja central. Al le calircai' las parejas oislciiailas ile iitiniei eis 3. ' conectarlas con una curva suave, obtenemos la _i_:raiìca tleseada {l~'¡1.f ,urzi ll_› l). 11. 7 Graficas de ecuaciones cuadráticas eje _i .I ji' ' 3 7 l 2 U I 5 l' 1U I 0i8 I A 2 2 9i s 8 6 4 2 ¿J ion» eje Ji' tr 8 2 Ao 3 4 5 4 4 U t___í_ (1 5 7 8 IO FIGURA 11.4 Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas Si existen las abscisas de los puntos de iiiterseccìon eii las graficas de la pariibola cuia ecuacion es y rr rr_v'i i br + c v la recta cuya ecuaciciii es _r = 0 (el eje 1), son las rai ces reales de la ecuacion ax* s bs* t c 0. , , *I _. .. . . , 'li Encontrar gralicaiuentc cl coiijurito ioluciori de _v“ + _v cje_v S 4 3 2 __'1 s a4 3 FIGURA 11.5 l eje .v 2345 _. il 11 ecuaciones cunoiulricas eiii uiu viiitinete SOLUCION Se grafica la parábola cuya eciiaeion es y = _v'i + .r 2. Las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la recta y = 0, el eje .i son 2 y I (Figura ll_5)_ Por consiguiente. el conjunto solución es { 2, l}_ Hallar gráficamente el conjunto solución dc _r" + 2_v + 4 = 0 SOLUCIÓN Se traza la gráfica de la parábola _r = .vi + lx + 4. De la Figura I 1.6 encontramos que la parábola no interseeta al eje _r_ De rriodo que el conjunto solucion es eje _r 8 6 4 s __ i 3 2 110123 is cjc .v FIGURA 11.6 Ejercicios 11.7 Encuentre las coordenadas del vértice, las cciiaciones de las rectas de siinetria, i. clibuii las parábolas cuyas ecuaciones se indican: 1. v = ir 2. 4. _1r ' ri 3 sl 7. 10. 13. v= iii' l~l _v = _v = N Jr' .ls L 1 i' I lr: = .tri li. ll. 14. 4 J. ti. .ri + 2 9 =s 1 1. 1 ¬ i" 1 41 r 4 li .__ í $1 1 , s I 3 + 1 il I 12. 15. í í .¬_¡. í 1 lt." tii' + *J Repaso del Capitulo 11 16. _v = 1:3 + 8.1' + IÓ _ _ _ _ _ _ _ _v = .ri + 2_r › 3 3_r + Ó _v = si 25. _v = (lr 3): 23. y = t3.i + 4)? 31. _v = si + .ir 34. jv = .ri 8_r 37. _v = 11': l0_r i 5 39. v = 6 + .r lei' 42. _t = 3_r'i 4.1' + 2 19. 22. jr _v _v _v _v _r _v = = = = = = = 'I Ir.. 3_ir+`?_. 1 1. .. +3_t 4 3+2_t _' t' 72 (li 1 ti + lt _v = si 21. ii' = si + lr + 3 24. _v = 8 + lr 27. _v = t3_r + 2): _v = .ri + 4_r 30. = .t 'i .ri + lt 33. _v T: 36. jr = .ri 5_r 38. _ 18. tu + 3 .ri isi 7.1: jr = Zrii + 9_ir + 4 _v = 4 + 7.1' lr: 41. 5 44. 2_v = ri + 3.1' _v == lr: + lr + l 3_v = .ri J: + 2 Determine gráficaineiite los conjuntos solucion de las siguientes ecuaciones: 45. .il 43. .ri 1 4=U SL .ri 3.1' t l2=Ú 1r=Ú _ _ 1 .Í 1 .ft T 54.11' .i |2=o 57__r3 _r 2=0 60__t'i+2.r+3=(i 63. 'iii tir + I = 0 66. 69. 2 3 0 1' 4_r + 3=(l .ri + lr __ 1.5 = ti _r 1 li' l =ii X' í 2 _' _2 4_ri 3_ir*i+7_r 6=0 'l_r: + 4_1r 3 = 0 47. 50. í si + I=U _ti _?__r 8=0 ss. .if si IO =ii ss. .t ' '*+1i› i =ii 59. .ri 4_r + 2 =ii 62. .ri 3_r + 3 =ii 3_i: I = 0 1 ii + 4 = 0 iii* + =ii iss_:›_ ;1' :›.i› 2=o (sr 2 'is 6 = 0 63. 4_r¿' + 4.1' lr: 5.1' + 4 = 0 71 _ 7__i:3+3_ir+_"1=0 l5=U RED3$O OEI G3DÍfUIO 11 Resuelva las siguientes ecuaciotics por factorittacidii: I _ 1.2=0 JI' 2..i 1~9.i +s=0 i3.i 4s=o 1112 ~ i =ii: = 21 24_t›P + zi = is s. 20.t 1"~.i 3e=ti tur.i ¡I t5 t ?°9"*_'F'¦"' 1.0. ari' i .ri 12. .r"' l5_r = il “I 7.. l2.i + 35.1: = 52 9. 54.1": ¡ II.. los* + s) = ti U' _ ¿U1 + fl' ¬' til] 3..i 1'+5,t 6:0 l7_r llt” + 5.1:: =sts 3;; = 0 13, ,fi _ 5,, 1 + 4 = 0 6 = fi (1 + ff): {_i; + Q) « = 0 Resuelva las siguientes ecuaciones por el nietodo de completar el cuadrado: 16. ¬ .r' + hs' = U is. _ tf si + 4 22. .if si I?. 0 si = ii 25.. 3.173 .L li = l 28. ti'i_r: i brt_t ¬r 27 " = 0 i li" zii. .i 'f 7_i: ' 1 0 si i la _= ii 23. lt 2 ss 26. 7_t = 41 3 29. i = ii aLhI .i ___É 'J 18. 3x2 5.1' = 0 21. 24. .ti 3.1: 4=0 3x1 + 4_t 2 =ii 27. 51:3 ' 3.1' i 2 4a.t ¬ 21 = Ú =ii 11 ecuitcioim cwtoitäricns su una viiitatete so. a=.if zac s=u sz. ,il zas :asii 'f = 0 si. .if +ia 3o«2=o 33. .t 1' isa; + ica* = 0 Resuelva las siguientes ecuaciones por medio de la formula euadrática: 34. ai* 7=0 35. tai 1 i3=u ss. 3.›. 2 4.i=0 37. (ix: + Il_r = il 38. 39. 40. 43. 46. 4s. so. 2511 + sui = ~ i 41. si 1 + 'is = 4 42. sisi 1 + «iv = ios 44. ii 1 si + 4 = 0 45. .tf + aa sal = ii 47. .G izia + .i 1+\/š.t~ ti =o 49. _i 1' \/ìi \/iii si + si/E = ii si. \/šf zi 3_i': '_!tl_r = 32 8x3 + llx = 54 ise' + si = 2 tt su 'f + is + 2 = 3202 = 0 i2=o zx/š = 0 Resuelva las ecuaciones siguientes: 52. 3.1' I + ¬ = I _i+I .r 3 53, 54. 3.' _r'i + .ir _' .r 551 5_r 1 _r" + .r Sfi I S7. 53. . S9. ¿ _ 1. 11" + ía (1 li 5.1: 9. i lr _ 2 _ 1 lt' 3 _; I2_r' + II_i' + 5 1. 2.1." + l5_t _' IS _i: 5_r + 2 _ J _ _. lS_r' 253' 2 _r' 2 ":' __ 1 fix' .tf _ i , 4_r' l 4.' i `?_t i 3 2 35.1* Á f = ~ ii ll_r + 2 2(l_r* + i'I_i' _ e.i1 .t 3 _¡____Lj.l_í..._ïL___._ lr: 3_i' 9 lr: .r 6 .ti 5_i'+(i 62. _t+l 3.1:: 4_i: + l _r+l , lr' + _t' 1 , ” fit* + 'Is' .it + 6 1.71 4.r" 9.1' .r + 2 'ii lr' 5_i: .it ll _r' 2x 3 _ i "asi ›11t +5 ' 63* l IU_t , f 3_i" + lili' ~ 8 2 _i' 2.1' _r 2 3 7.1 + l2 1 |l_r 'e_i 1 131 5 61.. _ % .ti 7 + 1 2 lr' + '*)_t + 4 9.1: 60 1 4_r § _ .rr + lt' 20 oo: ,† tin' .r ; 8.1:' 2 .rr + 4.1' + 3 tii' ¬ _r I 9 .r l _t“' 5_r+t'i 64. _ í+.. 3 _* 3 _' 3 I 1 _ ist" + |(l_i: + 3 .rr 3 .rr _i' 2 aí IO 3 REDES!! del CIDIÚIIIO 11 65 I +1 __i+e _. :+6 1 + «_ _r*+5_t+(¬i _r'+_r (› «_ _i'“ 4 Encuentre las coordenadas del vértice, la ecuacion de la recta de simetría, y trace la gráfica de cada una de las parábolas indicadas por su ecuación: 66. jr = si 2 67. 69. v = xi 4.1' 70. 72. 75. v = .ri + 5_r + 4 v=?.ri+5_i' 3 73. v = _i"i + 4 'Í' 1 v = si 3_r 4 v = (li + lll' r 76. 63. r 71. 'r ¿_ í 74. _v _ +fitr í.. 5.i:+4 +11' _r'i *II _v=2+_i: 3_r“ El producto de dos ntinicros naturales pares consecutivos es 24 tinidades nienor que [2 veces el siguiente número par. Halle los dos números. La suma de dos números naturales es 48 v la diferencia entre sus cuadrados es 36 unidades más que su producto. Encuentre los dos números. _ _ _ La stima de dos numeros naturales es 20 y la de sus reciprocos es 25¿ _ Determine los dos númcros_ Una excursirfiii geológica costo S288 dolares. Si hubieran ido 4 estudiantes más, ei costo por estudiante habria sido Si menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión? Un hombre pintó una casa por $1200 dolares. El trabajo le llevo 10 horas más de lo que se suponía y entonces ganó S0@ menos por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaria la casa? La base de un rectángulo mide 6 pies más que la altura. El área es de 216 pics cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo. Si cada uno de los dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y los otros dos se disminuyen 3 pies, el área del rectángulo resultante es de 27 pies cuadrados más que el área del cuadrado. Halle la longitud del lado del cuadrado. Un hombre reina cn un bote 20 millas rio abajo y regresa en I I horas y 20 minutos en total. Si puede rentar 4% millas por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velo cidad de Ia corriente dci rio? La base de un triángulo inide 6 pics menos que la altura. El área es de 216 pies cuadrados. Encuentre la base si la altura del triángulo. La altura de un triángulo mide 10 pies menos que el doble de la base_ El área es de 1 I lo pies cuadrados. Determine la base y la altura del trianguio_ El gerente de un teatro encontró que coii un cobro de admision de $2.50 dolares por persona, la asistencia diaria promedio era de 4000, mientras que por cada aumento de 25 (E la asistencia disminuia en 200 personas. ¿Cuál debe ser el precio de admisión para que el ingreso economico diario sea el másinio posible? Un nuevo contrato de trabajo estipuiaba un incremento salarial de $1 dolar por liora y una reducción de 5 horas en la semana laboral. Un trabajador que habia estado recibiendo $240 dolares seinanales obtendría $5 dolares de auinento a la semana según el nuevo contrato. Determine dc cuántas horas era ia semana labo ral antes del nuevo contrato. Repaso acumulativo C3DÍI.'UIO 5 _ .i:{_t' + I) + vt_t I) 2_r(_r 2) + 4_vt_ 2 .tt _ .if $"l_l' ¦.H' _ Factoricc coinpletaiiieiite: .th 2. 4. 36 ts iit 'f _r3v" 9 1 t (lt ll* 4_v* 13 _ .ri t__v + 2)* is ts + _vi 1 i.i Iii ii _ si + ltix + 2.4 20 _ .ri + 6_r + 9 23 _ .ri ~ l4_t: + 43 zii _ .ri + lr IS 29 _ .ri 5_t' i 36 32 .ri lli' 45 35 (_r vii 3(_i' vi 37 (tri + l5_r + Ó 39 41 * + i_?._›. + si 41 24.13 44.1: + lb 43 firi 23_r + IS 45 91': + 6.1: 24 47 3Ó_t'3 l9_r ~¬ 6 49 I8_t'3 lla: 24 si sei “f « 23.1 s ss 9 + t'i_r 8.1:: ss 24 _?_9_.¬r 4_r'i si 4.1:" + ll_r3 3 59 9x4 l3_r2 + 4 si 2t.r + _rii 5(_r + _v} 1 to t + vr' i 1 12 I (3.1: + ll'1 14. 4.1 1 16. 18 _ 21 24 27 1 (_i' eii Qii _* ii* jifii _ Lt' + Él: X' + ll_t' + Iii 19. .ti + Il.t + 23 QZI l7_r + 42 22. .ri 14.1: + 2 4 25. .ri + 5.1' 5.1: za. .if + ist _ es 31. si' lt › as 4 .. + 24 30 lr ~ l3 33 ` 10 4) .ri .E ,E 7. su_ I .ii iii. is ~ vi 2 ¬~ si _ "J P 3_rt_r H 4) + _vt_i' tÍi_rt_i_' 3) ~ 3vt3 2 12 36. 38. 10. 42. 44. 46. 48. S0. 52. 54. 56. 34. 1 _i:" ll_t' + 30 36 l8_r3 + 8 ts + vii' + 4i.r + __1 32 312 + l3_t' + I2 4_r3 + l9_i' + l2 4.t 1' ~ iii + ti iz 5 its + ti Ss: 6.1' llri + _'.i3_i 131:: ~¬ 9.1.' 24_t'3 54 24 20 23.1' 12 36 + 3_r * 31:: 16 + (sr 2`7_i:'i 58. 4.1 * i5.i 1' 4 60. 4_t"" 25_t': + 36 62. Bo _ _ i + 2t.i ri 3 itetrasø acumuiatiiro CBDÍIIIIIO 7 _\.s),:› 423 Efecttie las operaciones indicadas y simplifiqtie: xvyz xzyzs lid. er. 64 L Sxsyi' 4 l0x`*J." 4x3 .FF (6xi_i'*):' _ , (9x'jr' )" I2_t 65. "' Iy¡,_z3 se _r"(_r __ .r 2.1:: + 4_r ri. I, _ M + 9 72. 1' si is 74_'i, .i “f zi 24 1. _ _tt' 5.1: 24 5 I, _ 4 _i:' 21:2 + 5x 79. .+4 .r 3 3% 4_r + 3_r si. lr l 9_r ' li: ' 37 ' 33 89 l2 r l or 3_r 24_r Xi, l0_r + 24 4x, _ 9 l0_r+24 76 6.1:* 5_r 4 78' I2 + 5.1' lr: sii. .r 2 _r+l ¿ _ 6.r + 3x sz _ it 2 t .ir + l x 2 2.r + l l sii í '.t2+_v s`.v= :t.t+2 lr*7 5 .ri 7_r+l2 .ri 3.1' 4 36 _3¿i__+ ._'t“3 ' 2x3+5x+2 __4_ + 3_t'+l 4_r2+4x 3 2.t'1 _i: 6 2.r+I 3 4.1:' »i ii si 3_r* '?_i:+2+_i:1 _r 2+3_r'+1r I ' ' 3x 4 _____ir 3 ___ 5 Ziri 7_r+3 2.t':+3_t 2 .ri .ir 6 5_t' 4 'iii 6.1:: zi* Ss 3 _3_r+5 + 5 _ 2: l _ri+4_i:+3 .iii+.r fi .ci .ir 2 90 (4* E3) 4.1 2 ias 4 sai í 'iii 3 at 1 85 G6. 412 + Ilr + 9 13. e+es sii' 77' l)3 ,U Í), _ fixiy 1 4_ir+ I 91. 2t1+_t s+3.¢=+s.i 2 ez ' lr l 2x 4 í .ri .r 6+_t3 4.r+3 es ' lr: .iz 3 3_i:1 8.1: lo _ 3_ir3 t 7_r+4 lr: 5_r+3 94' 3x3 4_t 4 4_r3+ll_r 3 _r“+_t' 6 .3_r'+ l4_t: t 8 _ 51' 4 ati ii_i+3 2_t'+l .ri + .ir 2 _ 2.r2+9_r+4 11 I REPASOACUIULATWO 1 lÚx+ lt: t 7_r+6 ,S ì~fí__§.._.___. ' 2 96 5x 3x3 .tri 31 +15 +2i 3.6 zi '=+i:ii +6 '3.i2+ie.v+s`:u= .is +1 l 97. 412 7.v 2_4_i2 ii.i 3 2.1: 1 7s+o`3.i 1 ii.v+e 98. lr: l|x+I2 2.1:: .it 6 4x2 3:; + 3 l 4.1:: + 4_r 3 *I III Ã 99.' 2.1:: x l 102 103 3_r3 8x 3 +i|.t 3':`4.i= s.t+2 4x3 +71: 9_lr2+5_t 3___ lri+_r 3 '3.t=+5.i iz zi*+.i 3s`3s= |sv+is ' 4_i: 2 i li_r+ó 4_t'i 27_i:+l8 _ 4_r'i 7_t+3 4_r'i_ 2l_i: 13. lr: ¬_r HIO $12.113 3_i: 5 ' 3x2 20.1: + l2 4.1:: + 2l_i: l&i_4_ri + 29_r 24 _r2+4_r 32 l _i:'i+2.r 24 .ri ii_r+l2 104. 105 '2.1ri+5_r+2 3_ri + ltlt + 3 2x1 101 Í 7 _t+_ 3 3 lt' _ fit: 41:: 100. l 26 3.t+ 1 __ :if + iii +s..___.___ .i 1 si 24 __.__lfi 15.1' 3 3_ri+5x+2 ,¿_+_z± s_ 1,.. .ri l 21 s ___ 6_r+3 3_r*+l0.i_' 3 9.1: 3 +3_r 2 3 2.1' 3 ox 15 4 M' tÍf7' ii_t~ie`3.v1+s_v 3 _t+s 3 .vi ' i 12 .if ss 4 sí 107 _ i+íí ur 2 108 109 4 4.: 2 4_r3 3.1: l 3.1:: .r 2 4_r2+9_r+2' 3_r+6 1 ' j. l iì if såilfå) _L lll 112 2_x2+5_r 3 _r+3 24 E? H (ei 2' i)(f~:%i) +6+L x .r l lo __±+2)†("+2'.i+2) REPBSO 3€! IIIIIIIGÚÍVO ll3 _ (x+ L)+(_r+l0+3¿) 114. 5 _ (_r 2 †_¡)¬ (lr 115 3_r+ 2 mà .ir 5 _3_r IO + .r 5 14 3+x+4 6 28 I1 .r+3 Pi r 2 m í 24 1 is _r t 8+ Z .r 2 .r l í8 izo _r+2 _r+4 51 fl 4_r _ir 4+ ¿ .r l .r l+†_I 4.i 9+ ii Í i 19 lr l í_í__í_ l3 + _r+4 3 _ir 2r+l 3 2_i'+I+ J: i 3 Rcsuclva las siguientes ecuaciones para .vr 121 123 125 1' 127 ri.r+2u=2.t'+d'i 122 2d.t'+u=lr4 ri: .v+2n=rt_i:+2ai n(.i: ri) =5n 3(_i: 2) a(2.r n)= Sn 2(_ir 2) 124 4.1' + 120 = 3a: + ox 126 1 128 ri{_i: 129 3 .__¿,,, _t' 3 .ir 4 131. l.,+i_=ì, 132 2 _r+l 133 I ' 3 121 3 3 _r+2 6 Í' 34 ' 135. U6 ' 13 l lr* l 7. 130 2u{3_r s _r l _r 2 l 3.1' t 3 5 .tr 2 2 1 ¿_ +ï= i _ _r+3 _r"+5_x+6 _r+2 2_r+3 5 _ 2:: l _, _, _ , _r"+3_r+2+_i:' .ir 6 _t:" 1r `_i'š 2.r 3 .ti ` 3_r+2 .it t l _ 2x*+7_r 4 6 2_r+l '__Z`='zì_ _ir2+2_r 8 J: +3.t 4 .ir _ I _ 2x"_ 7_r+3 x2+_ir l2 2(_r el = 3(.r + I) s 2 3_ir 2 20 + _ _i: i 3 _i:"+_r 6 ri) == 3a _ U ll 11 REPASO ACUIIULATWO 3.1' _ I : 2 _ _ 3 138' 6.1:: 7.r 3 139. ¿Que número debe sumarse tanto al numerador como al denominador de la frac .. 23 _ .. . 3 ,, cion 47 140 lr: 5x+3i 3x1 lr l para obtener una lracctott igual a 5 . El denominador de una fraccion simple excede al nutnerador en 29. Si se suma (1 . .. 7 al numerador y 22 al denominador. cl valor dela nueva fraccion es IT. Encuen 14]. tre la fraccion original. Un número supera en 57 a otro. Si el número mayor se divide entre el menor. el cociente es 3 y el residuo es 5. Halle los números. 142. El dígito de las decenas de un número de dos cifras supera en 4 al de las unidades. Si el número se divide entre la suma de sus digitos. el cociente es 6 y el residuo es ll. Encuentre el número. 143. El dígito de las unidades de un número de dos cifras supera en 2 al de las decenas. Si el número se divide entr el doble del dígito de las unidades. el cociente es 4 y el residuo es 1. Obtenga el número. 144. Si A puede hacer un trabajo en 42 horas y B en 56 horas, ¿cuánto demoraran en hacer el trabajo juntos? 145. Si A puede realizar un trabajo en 60 horas y /l y B haciéndolo juntos lo efectúan en 35 horas, ¿cuánto tardará B en hacer el trabajo solo? 146. Juan tardó en manejar 14 millas el mismo tiempo que em pico en volar 45. La ve locidad media del helicoptero fue 9 mph superior al triple dc la del automovil. ¿Cuál Iùe la velocidad media del auto? CQDÍCUIO 8 Encuentre las pendientes de las rectas representadas por las siguientes ecuaciones, de dos maneras distintas: 147. .r 21' == 0 153. 156. 3.1' 4)' ¬ 7 5,1: + 41.' = IB 1 iso. .t + t = o 143. I 'r IS4. 157. 4.1.' + 7_¬r = ll 9x 81' = I 151. _t lt* = 0 149. 2=0 lr ¡_ + 1 lun ¿ 1 _ 1. _ 1 rr tsz. 1. 155. ISS. 71' Zur 6.1' O 5 lt Obtenga las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos dados: 159. 161. I63. .~'t[0.{l). Bll. Il Al ¬ I.. Il. Bll. 4] M3. I). Blc?. 31 160. 162. 16 ' I. Alli. I). B(3.Ú) All. 2). Bl 2. 7) A(2.ü). Bi 4. Encuentre la ecuacion dela recta que pasa por el punto dado con la pendìentt. prcscrtta 165. 163. l7l. M2. I): U M3. 2): 4 A(l.4): ã 166. 169. All. ~3): U Al I. 2): * 1 167. 170. All. I). 3 fl{5.2l1 * 2 172. 2 Al 2.5); "É 173. Al 4.2); É Repaso aeumulativo Determine la ecuacion de la recta con las interseeeiones .v _v _v indicadas: 174. 2: 2 178. I : 2 175. 1:4 179. 2; 5 176. 180. 2; 3 3: 7 177. ISI. 3, 6 4: Resuelva gráficamertte los siguientes sistemas de ecuaciones: 132. .r _ | :O3 I 1' s + 2.r+_t' __ I* J «'~=5 ¿=`“` 185. 2; r=2 1 "i*"'¦E' .il 2. 187 3v=3 .T + 3jr = 8 QJ' iI"t¦"'¢' 'L' ++_ 3 i`:`”'*ì:' 9 'É' I ín í í. «st Soiuciotte por eliminacion los siguientes sistemas de ecuaciones: N58. lr 3x l _v = Jr ._3_.,.= at. l9l. `¡ 139. = 192. 2.1' + _t' = 194. 197. UULH PG* lt' + 3_v = I 4.1' + 63* = 5 .c + 5): = 2. Zr+lli_v=4 195. .Ir v=5., 2.1: + _t 4 .t' + 2)* 3. lr + 3)' =3 .tr 2; =4. lr 4v=9 x + 3_'| ' = ¬2. 3.t'+9_v= 6 190. U 2x y= 3 x+2_v=9 3x 4y = 10, 5.1: l 3y= 7 193. Í i 196.; 3y= 3.r 9y= 4 I' l93. 2. 199. 3x y = 6_x 2y= Despeje los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el metodo de sustttuuon 200. .r í `* 0 ':' 1 6 _ 5. 2v= 7 201. lr 204. lt' + v 2x 3t' 3.: 21.' lt' I _'t' = 203. .r I It. › I mi : v 0. IO 202. I. x+y= 2. lt l y=3 lr + 33; = 2 3.r+5y= 2 205. 6 Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes: ztts. .t + ett + 3; = 5. 'ilr 2l3.t' ' ll lr Q 203. I) Zlv + 2) = 0 Jr) ¬ 5(.r jr) = 5.. 3_v) `7(.fr 2_v] = 4 I 3.1' St: 2. 104 t == 2. É 212. 214. 5_ .t ' : _.í .+....L. _ ,_,r¿_.›t. J t ' 2 ._t'_+_t: 4 stas ¬J 2. 213. __. ;± l ` 2 .t = et .5 3 ts 31.__ ll ¿r 3 12 2;) ëï 3 Stx É 3.t' 2)* + + É É + 4.1' Sy) = l __§4. 3 fl 1:' .. B 3 5 *I F ' 4 1 21' y 3 mi yt. Il ii l 12 í ?L_±___;__2 _ 3 I. sy) = 3*; =s. 'É 31: =2 Í 3.1: 215. 4(2.v 4,r) 5.1' + =~= 2 . 2.1: 3():+l)=3, 3(.r+2}+5y= 6 ótr 71' "¦ 4 3.t 4 209 211 2 3.1' 207 fs 4x + 2 u 6 1 11 I REPÃSO ÃCUHUIATIVO 216. er 6 É t =3. X 217. 3 19 +?=s 'I 1 ,r 5 3)' 3` lr l 4 ll + = lr 3t' 3 1. zts. J' t . 1.1. tt. 221 , + 3 1 F .ts. ¿_¿ ¿ 5.1' 2).' IO ±3.t' ¿5): 21IS 41' :i 3_+_..= 2 _ I3. .r _v 4___;2 5 .r _v I l _ 2 3x r 3 4 3 49 + = .tt lv 4 + 3r l 2. =l.tt' 3): 36 El doble de un número supera en 7 al triple de otro, mientras que ll veces el se gundo número es 6 unidades menor que el septuplo del primero. Encuentre am bos números, Un número de dos cifras supera en 5 a 8 veces la suma de sus dígitos. Si los dígitos se intercambian, el resultado excede en 4 al doble del dígito de las decenas del número original. Halle este número. Si se suma l al numerador y 4 al denominador de una fraccion, su valor se con . 2 . _ vterte en 3 . St se resta 4 del nutnerador v se suma 9 al denominador, el valor l _ .. _ _ resultante es 2 _ Determine la fraccion ortgtnal. Un hombre invirtió parte de su dinero al 6% y el resto al 7.5%. El ingreso por ambas inversiones totalizo S3 600 dolares. Si hubiera intercambiado sus inversio nes el ingreso habría totaliaado $3 420. ¿Que cantidad tenia en cada inversion? Si una aleacion de cobre al 60% se combinara cott otra al 90%, la mezcla conten dría 66% de cobre.. Si hubiera 20 libras mas de la aleacion al 60%, la mezcla resul taría al 65% de cobre. ¿Cuántas libras hay de cada aleacion? Un punto de apoyo esta situado, de tal manera, que dos cargas de 90 y 120 libras quedan en equilibrio. Si se agregan 30 libras a la carga de 120, la de 90 debe mo verse 2 pies más lejos del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Encuentre la distancia original entre las cargas de 90 y 120 libras. Si la base de un rectángulo se incrementa 4 pulgadas y su altura disminuye 2, su area aumenta 6 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 3 pulgadas y la altura aumenta 2, el área disminuye 6 pulgadas cuadradas. Obtenga el área del rectangu lo original. A y B pueden realizar un trabajo juntos en 18 horas. Si A trabaja sólo durante 6 horas y luego B lo completa en 36 horas, ¿cuántas horas demorarri cada uno en hacer el trabajo solo? Grafique el conjunto solucion de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades: x l _}'<3.. 3.1' _v<Zl .tt 2y>2, 2.r+y54 231. 234. .tr _vEO, x+2_rE3 Jr 3y< l, x t 2_v> 4 232. 235. lr _t*E5. .t'+2jr3¬ 0 lr _t 52. .r+3;t :58 REDBSG BCUIIIUÍBÍÍUD CBDÍÚIIIO 9 1 Efeetúe las operaciones indicadas y simpliiique: 2 1 2: : 22 2.36 237. _ 238 . 1 t J.t I 240 27 31 3'* I 'I l¬.|LI ¬: F' _ I'¿' E 1'! JI' I J If 5'” 'J 247 ee t al_ J,... l'¬.ì' : ,. _.¡_. |___t .__ I* II: I 'É11 "IIìIl"¡I¡"ì¡"'IF" I Jt 'J""'II '¿¿ FE "I l'.Il'.n|fi› ¡JI Nfi """'I íI"Í"' É _¿,. ì.¡|_ t t .r° .ri 1;' tt 242. .r 'fe .e*_ tf' I' n_ *J 243 239. t s I 't I I J .Ia1 ¬"¦ t .ri .ri (eli at. (sti si zso. t tzstå ( . Í .¡.)3( 1 ly* 25 I Y 252 ( t"`_t:" )"(.t'“_t'3 ): 253 254 11111 l.t åt3)il.t it iii 255 :ss .r'Ít†“ .r"_t ri _! I (I tyl ).`!(xo},3 )3 ( 2 1)s( ± ±)t .I“R_,'l'ú 7 .K'?}'] 2 l 257 _' “.__ Í 260 . 1 et INIUI@ Í 'H . Et.. “ + 1) I 'Il' I zst. .t . ÍJJl' ' É A 259. .tìlxf Ú F1 H I J_II_ III* _». 1) . 1 263 265 fl' ¡J'I IJI I r1d __' +._."..'""'§"'I.ïI`"'i""*ffelÉ""~'"¬ _I'" .H 'H I F.gp 267 II I¬.l I › .`._._. se~ (3.15 + 2)(3xå hiGNÉ' (lrš 270 (ti _ ¿T É ¡"""'Q I 'i i' qiiílf 'bi ÌIíII'f ¦¬J ¦ , 269 I J'_l l l| 'I .:JI .t " I ±I "I,. . in., Í,._:. ,_.. I.,_I _._ 262. t (.r + 2)(.rì 2) + I) 2) lxlrš + 3) 'I 'F íi ¡ ql ,I I 271 2 E 272. 31 5 273 1.2 *É 275 I' J "I I «B I :¬.n ¬.n ¿› _I 45'* ll .,¬t \ "tt HG i : rI ¡_ :I 1'" 't` II la Í »J I'.|:I W 'rd tu IG ""? «I t 2: 1 III' tt ± 3 279 'L 'ul ¬ :s I __ zstt. í nt'.t 11I» L*:.+| .Í H 1 1 ¡Hi É ¡F1 ': S ln La,Í '.11F I@ 1.» †.toto ..tt. LA 'ut'Iau "l"'IíII""' IìII""' I' I I í _ 1.__:111IZI'|H n¬`HII: laE '.14IF:'12 :la HELL..LIIII iI 't¬.¦'~lnl'¬,ii.thf 'I'.t¦oer.|u 1.tia = ' :'¬ r: Simplifitguc las siguientes csprcsiones ,\' escriba las respuestas con exponentes postttttts dado que .r si U, _t ' a '= U: ll 283. 3” 284. ( 6)" 287 . t .t ')" zas. ts" 291. 3' l" 292. 4.t 1 tt" 285. 286. 2“.t': zss. (2_t" 1)* 290. tx 293. .tv ¬`=' 294. 3* tt r * :tt "J" 11 I IEPJISO ÄCUIIULAUVO zas. 2 * 2' zeta t tt 1 t tv 2 zas. 2' :H 302. .r 3_t:3:.r '_t=`3 303. 305. (.t'_v 1)"'(.ri_t'ii)`3 307 (`r"t2)"3(t"\)` I lt I ¡ 299. 301. 1 sao. .t t'*_¬t .f "rr ' . I I I 1 (.1t'5) ' 306. o 308. L.'u.ut 313. 317. 319. H _ I! .Jn ¦t 314. 'J : =¬ I' J ¦: "†¬ I""l¦ 31]. LH jr G e lf 'fl t' “vs stz. t "' ts JI .r_t" t ' .tr ,tir 'ur 'v 4 304 . (x`3)`2 xy s) t (I ' 3;r)2( 'I “ 7"'SF 'H 22 .IE .IT 3 t H?? Id 315. I I 1I I 316. .r "gr ' SP5 .r ` “va (_¡, tv 2 ) t 2_\_,1: I] 1 il it: _ (:r '_¬r: .r1jt"3 2 3 Í J '¬| I 309 297 . 3,. t 318. (.r3jt*' '_ ': 3) 3 1r“ 2.tr' I r'3 .r ' + 4.1: 2 tztff l+.t" 1' ) 320. (¿..iI.`. Irl J I I 321 ' I' 3.1:: l 5.1" + or": 322. Escriba los números siguientes en notación cicntífica: 323. 327. 3.78 0.413 324. 328.. Câpíflllü 10 325. 329. X/|6.r"t ' \/(.r U5 344. \/.ri + 1 348. *Í/.r:¡y“ sst. x/ïš \/E x/ši as; t. WW vi 54 si ""èn .r\/4.rt 1 l t 1 D I .r 3 \/3otr3 .t'\/_. 5 t 1. 1 ' 'l 357. .t vs. t s,~t \'/ t=\/48.t"¡t'* 334. \/tzs sas. V” se 342. \/(tt + tt* V” nui 3 ts. \/Javi; ° 349 'V5 .tr 13:3 350. :tsz tu un B e â ãšt + *ii .r'_v1' tae tt t t I' ''S HH? *Í e I F1' 1' l2l.3 0.00333 345 Simplifiqtte 3' combine radicales semcjatcs: 353. 326. 330. sas ¬t/'šã 337 ~'l~"T2' \/si 'vi 341 332. \/35 sas. \/*` 1:1: sao.. ví? F set. \"/st.= Ef 355. 356. 98.6 0.039! Escriba los siguientes radicales en forma estándar: 331. ¬t/«i`ti sets. \/`32 339. 343. 6.32 0.573 sf ”343.ti 'li gí ft r .r”*Ú"l44.t't>ã + .rt"\/'ullilitrte II D Ó Eiecttic las rnultipiicaciones indicadas gr simplifique: ass. tfš vì aso. \/Ex/Tš 361. ¬$f'? ix*/6 asa. vi ts \/25 ass. vi* to ti'/ vs :«tr›4. % wifi? ass. VE \/ts@ äP* 369. se Hi + 3É veJ 367. ¬~Í"ÍE É/F 368. \f.r + t \/.r + l 310. \/5 fl/É 371. v"š V'27 ¡terme aeumulatlva \/3 x?/sì \/š(\/Tš 313. \/E xl*/4?; \/E) ans. si/`<.š(s“/ Tt xl/ã \/§)(l \/5) sw (3 (I + (\/É + \/§)(\/Í \/Í) (4\/Í \/§)(3\/É \/ÍÍ) (zx/š (V1 \†'; Í () ) \/5) (\/Í + \./É): . (\/_? + 4\/,I )(2\/_? + \/_í ) I + 2)(V:r i 2) 387 (\/.T7 _t` + t)2 sas. (3\/.›. + 2 (\/:Tr + zx/:tt 2)* 'tt/.tt + \/'_?_)(2 (zx/':š + \/ì)(2\/É \/§)'= (Vx + 3 314. fitjz + \/5) 371. VE x/5 + \/T 4): (viv + 2 + 3)(\/.t + 2 3) 4)* ase. (\/Tr + .ws'ii ~ (zx/.r + 3 \/.t t)1' (lt/lr I I 2'*/2.1' I): Dtvtda 'fr simplifiqttc las siguientes expresiones de radicales: , | lío \/E âjo .Lie vn ¿ V l 2.t'_t"` \/2,r_t" V 2?.t*¡_t*'* V 3rt'b .Jl \/it 51:11; â x/¿Ei lt/4.r¡ \«“'27n*¡l':›" t<~set /"'_.." . \/É1 V Ttt ¡ff i V i5rtb4 'I ¬t \f'.r_t:' lil' I lt' t" ts 4 \/Ef' 415. Vlr 413. .5 í _ 1+\/Í 1 416. ¬v 5 \/E 2 V3 is. \/3 V2 H “v” 2 I. 2 1 'V r "kr .t Fl 418 _ 420 ï= 2 \;".r V5 ' *_,= " ' V5 + '.2¬v*'Í í. \/"H F R/§+\/Í , 1 t 412. i 4 t \/Ei ví x fš 1" V llr '_v V I 8.rLt"¡ .. I' \/;t+ t' ' xr ¬ . vii + ¬v'Íï w'1`tÍ{ ___ \/*Í ì I _ *tf3.1: + `v'2.v lscrtba los siguictttcs radicales en forma estandar: ezt 425 *_/' 13 tf _ no 422. ví ts 42s. v* se 423. v' ¡st 427. vt' ss 424. v 144 423. \/ ss 42 v' so 430. sf az 431. xt sv 432. \/ t::'š 4 CHDICIJID 11 l'_íï¬'_ Resuclva para .r las siguientes ecuaciones por factorizacidn 3. .~ 1' + at = tt 134. :tf :ts = tt ri + 4 = tt 43?. .lt ›. 1' + 5 = 0 435. tt 1 se = 0 438. 3.1 1' + 2 = 0 2 11 I* REPÄSO ACUIIUUITIIIO 439. 44I. 444. .rx (tt lt): = ll .tr1 + lr + 3 ' ' 0 tt: lr 8 = U 446. it.. “ + tttt 440. (x + Zu): Bb = ctii' ri 8x + l2 = 0 4 43 445. 91': 3:r 2 = c. ›+ .r*` 442. s = tt 441. tar 1' + st 2 =t= 3 = tt Solucionc las siguientes ecttaciottcs cotnpletattdo el cuadrado: 449. .t ¬ lt' e 5 == ll :ts = ts 443. .ri 451. 453. .rr + 7.1. l 3 ' ' ll .t* 31' i 3 _ U 452. 455. 2.1:: 456 .r 4 45?. 311' + st 459. .rr lt": + Sn' + l = tt 0 l .?..'t'¿ + 3.1' tt 3.6' + 'lt' + l) 51:2 P 1 tt 454. (J ¿t = tt l 453. 41': + *lr + 4 = 0 460. 461. lv* + .t + 4 = tt 450. .t 1' + ss + t = tt lr + 4 = tt 462. 3.6 + lr 0 i Rcsuelva las siguientes ecuaciones con la fútrntttla cuaclrritica: 463. .tf 3 tt 464. .tt 1 466. .ir 4= tt 468. .vi + .t I = ll 470 .."t¬ _.t'+5¬0 7 2 = tt 465. tf 4t57.t1+t t tt .' . 1 .tr + .tr 5 = U ,ri +1t'+2=ll :uf ' + 'i.r+l 0 lt 1' lt' l I (1 U lt'' + 4.1' +3 469. 471. 472. si 1 .tt t tt 414. lt 1' + st + t = tt 476. 2.t'~* t 3.r + 2 = tt es = tt 473. 475. 417. Rcsuelva las siguientes ecuaciones: 9 413. _ 4.r + 480. 432. 433. 484. 485. 486. 487. 488. _ 4 3 11 J' L te es .t"' + lt' _t 1_ H Jr: t lt .t S . _ . 15 .ri 2 III iii .tí __ s t _._ 3 ll' 2 2* Y . Ã ' .tr + 'lr + ft si IS ti .It + 3 .t' .r lil _ 1:3 + lt .tt i 9 l tr: i tir J 1 3 .'t': _ .li _ 2 2 5.1' .ri 4 t 11': 2 I__ .t' + 4 .tt =. ' .t" + 5.1: + (1 1" + 5.1' + 4 .ri i .t c 20 I' I ; : .t' + .tr 2 .ti + lr .tt+l 6 = tt _ t 1 L ¬_¡ í ¡ = + 4.t' 48I| l + 3 N 8 4 .. lt' + 2 + .t"' l .t" .r e 2 3 I I ¿í_ .tt 479. 5 5 2 ' H tr + I 3.t' _ ft . ` .t:' .t: + l(t Fit": t lt' ¬ l 3 7.1' + ll 7 fat": llflt* + 3 t' l _ I Repaso acumttlattvo fi9__ï2 3x2 8.tr l 4 433 , 3x¿J__ 3.r2 4.r 4 911 . 4 490. La suma de dos números naturales es 41 y la de sus cuadrados 853. Encuentre ambos nútncros. 491. La diferencia entre dos números naturales es li. La que hay entre sus cuadrados supera en 6I al producto de los números. Halle ambos números. 492. La diferencia entre dos números naturales es 8 y la sutna de sus reciprocos es 'tt Í 5 . Determine los numeros. 493. A tarda 28 horas mas que B en hacer un mismo trabajo. Si A y B juntos pueden realizar el trabajo en 48 horas, ¿cuánto tarda cada uno en hacer el trabajo? A demora 8 horas menos del doble del tiempo que tarda B en hacer cierto trabajo. 494. Si A y B juntos pueden realizarltt en IS horas, ¿cuánto tarda cada uno en efectuar el trabajo? 495. Un hombre hizo un trabajo por $96 dolares. El trabajo le llevó 2 horas menos de lo que suponía y, por consiguiente, ganó $4 más por hora de lo que esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía qtte terminaría ei trabajo? 496. Un hombre hizo un trabajo por $150 dolares. El trabajo le llevo 2 horas mas de lo que suponía 3', por consiguiente, gano $2.50 menos por hora de lo que espera ba. ¿En cuánto tiempo se suponía que terminaría el trabajo? 497. La longitud de un lote rectangular mide 100 pics más que el doble de la anchura. El área del lote es de 6600 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del lote. 498. Un equipo de rcmeros puede recorrer 30 millas río abajo y regresar en un total de 8 horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 mph, halle la velocidad a la que el equipo puede remar en aguas tranquilas. 499. Un avion vuela entre dos ciudades separadas 2 450 millas. Cuando el viento sopla en contra a 40 mph, el avion alcanza su destino 15 minutos mas tarde que cuando no sopla el viento. ¿Cuál es la velocidad del avion con el viento en calma? Determine las coordenadas del vértice, ia ecuacion de la recta de simetría y dibuje cada una de las parábolas cuya ecuacion se indica: 500. jr = I J' sos. _~. = 506. S09. jr = tf = stt. _t = ¦...|¡ l¬.|I |l¬.t tf t¡ r t. ›.t .ri ox t 9 lr 3 .r ft 501. t 504. 507. t _v Í i. í. .ri ft ri 1+ 5.r 510. _t 512. v 502. S05. 508. .rz .tr í 'It' v .rl 3 t' .tri + 2x i l ¡2 v lr 2 I2 il Z APÉNDICE A Factorizacion de un binomio B Factorizacion de polinomios de cuatro términos C Teorema de Pitágoras D Tabla de medidas rtsétttntces Factorización de un binomio Liu esta scccitin se consideran otros dos tipos de binotttios que se pueden factorizar. Suma de cubos Cottsidcrcnttts los siguientes productos: (tt + h)(_o'i (I + 2_v)( ri (2 + 3u)( 1 (3.r2 + 4_v'i)(9.r" ab + bg) = oi' + bi ltzr + 4:5) = si + St” oa + 9a i) = 8 + 27 si 12123;: + lójtfl) = 27.r" + 6434' En cat tt caso cl producto es la stttna de dos terminos que son cubos perfectos. F.l pri t :r factor es la suma cle las raíces cúbicas respectivas de los dos terminos cúbicos. (13 + 27b3 = (ct + 3b)i_ L _) l raiz ciibicaj raiz cúbica i El segundo factor consta de tres terminos Lv se puede obtener facilntetttc a partir del |_trin"tcro. Los terminos del segundo son el cuadrado del primer termino del primer factor. el negativo del producto dc los dos terminos del pritner factor. cl cuadrado del segundo tertttitto del printer factor. tteeat ivo [__¡:?I¬.Iel ri roducto¬| (tt + 3b)(t.t: 3ttb I Qbg) cuadrado _ I cuadrado 1. s.f*+ t =(zt + t)(4.r1 1r+ t) 2. t€›4+b~"=(4+i›)(t6 4t›+i›'i) 3. (tt + b):" + te* = [(u + ii) + t ][(a t ii):" c(u + b) + ai] 4. staff + tab* = ztatai + sai) = 1(:ta + sattsai 5. .th + y? = (tr: + y2)(:r" .cif + _v`*) sus + tai) Anéndices 437 DÍÍEFGHCÍ8 de CUDOS (_ònsideremos los siguientes productos: (a b)(a3 + ab + bé) = a3 (za .t›)(4a= + zas + bi) = sai (Sa 3)(25a2 + 15a + 9) = l25a" bl tf* 27 En cada easo ei producto es la diferencia de tios términos que son eubos perfectos. El primer factor es la diferencia de las raices cúbieas respectivas de los dos términos cúbicos. F.i segundo consta de tres términos y se puede obtener fácilntente a partir del primero. Los términos del segundo factor son el cuadrado del primer término del printer factor. el negalit o del producto de los dos términos del primer factor y el euadrado del segundo término del primer faetor. I. af* 64=(a 4)(n3+4¬a+ I6) 2. 211 * 1 = (3.1 3. 250_'r3 = 2(8.r3 loxé' t)(s›f + 31 + 1) 1253;; ) = 2(:u 4. (a M3 = [(fl (e 5; )(4.f= + 10.@ + 25;. 2) d)3 bi (f d)]l(¢1 NOCB .rfi iv): + (H . b)(f d) + (f _ . Cuando el polinomio se puede faetorlzar eo mo diferencia de cuadrados o de cubos, debe faetorizarse como diferencia de cuadrados. 3*" = (xl + _v3)(x1 H 323) =(.r + y)(.t 2 qtjv + y2)(.r y)(.r3 + xy + yé) Ejercicios del Apéndice A Faetoriee eompletamente: l..x"*+l 2. df] .›.3+8 3._1t3+27 Antuntcss s 7. 10. 13. 15. 17. 19. 21. 2.3. l xt. .tr Í 5. fl+2|f› 6. _ .J 1 833 8. 27 9. ll. 8.15 64.1' 1 3'" .›. ›f*_¬, + _ te 54. s* + 2.1; 1 .t *si .rs fi 1.6* say* .te + se 40.9 + sf .ri 27_r'¬ 14. 16. is. 20. 22. 24. zs. :ue + to 3 27. 54.: ' 23. so “ 29. .th .ri 30 32. x" l 33 33. .t * + ty 4.1” + 32; 1'* te ~ ze 250.1 1 2 4.1 ' 32 tati + 54;. 1 str* + 24_~.~›* 125 .ri + 8.1' 26. .o{¬. tf + tu :tt 35. 64.1 ' " + I 12. .tj " 39 _" É 27_t'“ + I 36 3) * te + ' =¬=*Í 3SGH : + (gr + 2)* 'LH 'LH ' II: I 'i' H Á. 'IIIIJ ts É 2 III I¬IIÍ 2)” I. 4l. (Jr + 2)` + si 45. (tr + bli + (r' 43. (1 + 3)* _ 27; * 42. (.r 46. (Jr + _r)'i 44. tt dll I)'i + Sjri 2) * sy* (tt 17)! Factqrizacron de polinomios de cuatro termmos til' Los métodos de factoriracion de polinomios que contienen más de tres términos se lia› man ftrr'rori.:uc¡r:irr por tr_grupucr`rin. Has' dos tipos de polinomios de cuatro término . que pueden ser factoriatados. En el primer tipo se reúnen tres términos en un grupo, 3: el cuarto fortna el otro grupo. En el segtnttlo tipo los términos se agrupan cn parejas. Agrupación en tres y uno El polinomio Lt' t _; J: :il puede ¦àctori¿arse como diferencia de cuadrados. Cuando ix + _r)' :gr se desarrolla. ohtenemos '\ (x + j.')'3 1 :I = si + 2.r_r + ri :3 Ohsérccse que, sin letter en cuento los signos, tres de los cutttro térmi|to~.. 1:3. _t ':. 3:. son cuadrados. El cuarto término. 2.t'_r. es igual a 2* .\'3*~_t':. lìste cuarto término gt los dos términos cuadrados re acionados forman un grupo que al làctori¿a1'se da por resul tado una cantidad al cuadrado. Jr: + 2.111' + _t': _ Lt' + _r]:. lfactoriaar Jr' _1 '“ + 4:' 4.\':. 439 Apénditfiâ SOLUCIÓN Hay tres términos cuadrados xl. yï' y 4.13. El cuarto término es 4.rr. = 2\/F \/4:*". Los dos términos cuadrados relacionados con lara, son .tri y 4:.:¬. Por consiguiente. xi, 4.1:: _: 3.' 42:: forman un grupo. .ri 3:3 + 4:2 4.r: = (xa (Jr í ..._ = (.r Factorizar 9.1:' 9.1 1 _t«= 22) + .r]I( f 2: : + jr)(.r _r' 25; 1 + rose 'II a í i JIU í í solucion .t 1 _»~= y' 22) ~ .ri 2a jr) 25:” + lU}':. T Factorìzar Jr' je: 1 [(1 .í .gi sotuctónt 4.1:: + 4:3) tr' 22): 9 su 1 (si 'ici e (r [lr + (sf (3.1: + gr too. + 25:1) S: :)3 5e)][3.r (v 52)] 5:)(3.›; › y + 52) 6_v. 9 sy =. . 1 (_t 3 + 6).' + 9) (jr + 3)¿ JI' .= ¡1 =. (_._ + (F + 3)|l«t + _r + 3)(.r (Jr + 3)] _r 3) Agrupacicin en parejas Cuando los términos no pueden agruparse en tres gr uno. se agrupan en parejas. Los ejemplos siguientes ilustran el principio en que se basa la agrupacion en parejas. l actorizar _' :'¦ + nc' t 2.1' + 2. SOLUCIÓN Se reúnen los dos primeros términos en un grupo 3; los dos últimos en otro. .H + .t 1 + 2.1 + 2 = ts* + .Hi + 1.1.1 † 2; † .t ts f 11 ;~ :(1 ¬~» 11 '.l Ahora se tiene el factor común Lt + I) .ri + .ri + 2.1' + 2 = {.r + l)(.r: + 1) Factorìzar ox + uy + ¡sr + Lu . Avances sor.ucton af + ay + at + by = (ax + ay) + (br + by) o(.r + gr] + b(x + _\=) tx + site + bl NOC3 En algunos problemas es posible una agrupa cion dìferente, pero recuérdese que los facto res finales deben ser los mismos. excepto por el orden. wc + ay + bx + by í .__› (ro: + bx) + (ajr + by) í .í .rio + Ia) + y(o + b) í Í Factorizar Ilax (H + bill' + _i') 20b.c 9a_,v + Iãby. SOLUCIÓN 1211.1' 2011.1* *I lay + l5b_t' = (l2o.t' 20t'r.=r) (Stay l5b_v). Cuando se encierra Quy + lSb_v en un paréntesis precedido por un signo menos. se obtiene (9oy l5!1›_r). l2wr 20b,t' 9d_'_r + lfiby 4.r(3o (3a NOÉB SII] 3y(3o 5b}(4.r 33;) Sb) Si no hay ningún factor, se agrupan los tér minos en forma diferente. Faetoriaar xl + Jr' + 2.1' SOLUCION 8. Reuniendo los dos primeros términos en un grupo y los otros dos en otro, no resulta ningún factor común. .x3+x2 Zx S=(x3+.t'z) (2.r+8) =.fio. +1) 2t.=+4) Puesto que no hay factor común. se prueba otra agrupación. xJ+.1r2 2x 8 (r* (I (x (x (x 3) + (.1rz 21') Iìv ì í al 2).: (2 +2.x+4)+.r(x 2) 2)[(.x 2 + 2x+4) +x] 2)(.r3+2.r+4+.x) 2)(.t'1+3.r+4) Apéndice! 4 G1 _ Nota Cuando aparecen dos cubos en el polinomio, se intenta agruparlos. . _ Factortzar 211: + 9.1" + _v + y . SOLUCION 27x3 911 + yi + 3 3 = (27.r3 + yi) (9.13 = (lr + y)(9.t'2 yz) 3x) * + yi) (lt + _v)(3.r = (3 I + .i')Í(9I3 '* 31)' + F2) = (3.t + _¬r)(9.r2 Factorizar 8..r'E + 12.1: sotucróu sf* + zx yt Nota ¡ri 3.r_v + yz (3.r yli 3:: + _v) __r. y = (ae yfl) + (zx _» ) = (2›: r)(4 si + lo + ri) + (21 ~¬ Jr) = (2x = (lr y)[(4.r2 + Zxy + 3:1) + I] ;r)(4.ri + 2.13 + yz + I) Cuando se saca un factor común, el segundo factor resulta de dividir cada término del po linomio entre dicho factor común. Ejercicios del Apéndice B liactorizar completamente: . x2+2.ry+y2 si . 4x3 4x_v + ya 4:2 .xl y2+4.r+4 9x3 + by + 9 amu. ya 9. 4.1:: + 4.r_t* 25 + 3:3 11. 4.6 + 4;@ + s.t _¬. 25 13. 15. 17 . 19. 21. 23. 25. 2x3 + 2_v2 l8 4.1)' x3 16.1 + ?.r2_t' + sy: x2 ya :tz 23;.: 9x: 9 yi by 25.x3 93;: 9 ¡By 4 4.ry .ri dyi 9 41:3 813* 4;@ 29. ,(3 21. 2.6 zyf .t tay .ryi 2.ry 32 . . dog un. 10. .ri 2.t'y+_1.f2 zi' .ri + 4.9* + 411 ri 1622 vii 4x2+2y+l .ri 4 + 4_'r2 4xy 91:2 + yi 6.1)' 36 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 4x3 I + 24.13 + 36_v2 4.r2y 9); 4.r_t 2 + _v3 4.1:: 4:2 ra 4'r: xl 43': löy 16 l .ri 3:3 ley l6 32 4x1' 4.ry 49 Elx: 54.10' 93': 30. 16 tz. 91* 28. io* 4 + 9; 1 12;* 41'* 3:1 4_v2 lsxy 12, 2 Sxiy y) Ammmoa 31. 33. yz 9x' 37. I 43. 6.1', ': + 3_'r1 47 . 49. 51. 53. 55. 57. 59. Ól. lriy lr: .ri ox) ' 2713 l4a.r l2x3 Ii' 35. tesi 4 xl 4:2 .ti + 4.r.¬: 9_'r'i 4 + 123' _»* st" 1 4.1:* Bojri ts + ss 2 4y2 + 4.ri_r 39. 9 4; 1 sad + 24.@ 41. 25 .H + sa se 45. 4 + ao .f 3.1.3 125;* . 4.1' + _v3' 67. 6.9. 71. 73. 75. 77. 813 6.1: + jrì 3)' .ri Sjri by + 3.1: Sri 4x3 27_t*"1 + 9_\;3 .ri 2533 + I2.5_tr` + .ri ,ri + 3.t'2 9.1' 27 41'* + 2 I ¬ 811 54 | 4 tae 25.6 Sl + 543* l i lr: yd + 413 : tay + 321 y 25;@ + 50.@ 1 'I ISI 183* 45.12 + 45 5;» 1 .t{¬›,~i sf' + les .r*+_r+.r+r_v 21:3 + 5.1' 2.t'_v3 5_\'2 8.r_¬r + 32 8x: 3)' 2o.r + Bb): + 2b.e + 3n_jr ' úaixi + 3ni_3.›' + Óbixi + 3h3y 40m: 45b.r + 24o_1 ~ 27b_v 8.13 + 27y3 + 2.1: + 3)' 3.1: + 27.=ri 2)' ' 3293' 4x t si 4¬r 66 . .ri 68 x3+6y ox sti 'I 1 s 2 1 3)* 43 70 . .tr + .r 361:: 72 . ,tri + 311 + 2i{1.t" logra + .ri .ri 6439 74 '76 . .ri+3 lr 4.1* '78 l3.r3 lo 32.1: + 91:1 80 . .r"' 16% 213 81 82 M+MH+wm _\* I a. il' í I í `& 1 W.fi+H+x+1 st. se 413 ìãâä flä àãfi ëä ïid .r 65. 1 9)" .rá 4 30.1 y sm* Ms 1 + 4.1' .tri .rra .ry fur + 2_t * 3y 3.1' + xy 33': l4x + 72 + l2x lSxjr 8)' + 7I›_r l4¿åy 7i›.t' 4.113.* 4_tf' t llrjri :r _tr'i + :f ss. .H + sy zi' + 23223 8 + 36tr3.' 322 tes* ya 2.9 + 27.: Teorema de Pitágoras rsOREMA 1~cuadraa o de la si potcnusa ~ i de un triangulo " LI rtr.t.tt1,+___ulo es igttal ft la suma de los cuadrados de los otros dos lados tcatctos). Consideremos el triángulo recttingulo ,›«'lBt' ` cuyo angulo C' es recto. El lado opuesto al angulo recto se denomina hipolenusa del triangulo. F A b C' Si se denota el lado opuesto al angulo .›1 por rr. el opuesto al angulo B por ¡J 1» la lupotl. nusa por tt. el teorema de Pitágoras establece que 1 t" 'It 1 tr' + Ir. Apéndice! Dados dos lados de un tritingiilo iecttingtilo. se puede encontrar el tercero aplicando la rclticion anterior. Eiicoiitrar la longitud de la liipotenusa del triángulo i*ectaiigiilo cusos La tetos miden 2 gr 3. SOLUCION Longitud dela liipotenusa = V2* + 3* = V4 + 9 = \/T3' Hallar la longitud del tercer lado de im triángulo rcctangiilo cuya lnpoic ntisa mide 7 gr tino de los catctos 5. SOLUCION longitud del tercer lado = V7' 5* = V49 25 = \/Ñ = 2\/5 Ejercicios del Apéndice C Si ri sf ii deiiotaii las longitudes de los catetos de un triangulo rcctaiieiilo s t la di. la liipotenusa.. calcule la longitud del lado faltante: =4 *'¦:i"ü fl'. ¢.: 1 =2\/ii =\/ì í í §,."_3"''. i IUUÍ ali 1 ìïifitfläfi 9 ¿. 3.,o=2 10 C ll 13 if' 2.o= \/E 2\/š.i::i= \/Í 12 14 C ¿_. C 1 Wfli BN 'š*:" ' L üià í. Fx gr. .'.~›".I:s e'i o ifr =\/5 i i. “ = 2 \/2_2.e=2 4fi.o=2\/Í ÃPÉPIDICES Tabla de M9dÍU3$ Pasos ss' sii;iiiinis i :si et sistema sii ':'t'iti(:o Longhud lil niilíinctros (mm) lll centimetros ltì decirnctros I ceiitimctro tcnil = 1 dcciinetro tdiiii l inetro ltttl lt) metros l(l dcciiinctros it! hectonictros I ilecaniciro (dani) l Iieciornctio thnil l ltiloriieiro lltnil IODO metros ltt litros IO tlccalitros lll Iicctolitros I decalitro [dalt I hectolitro lhll l ltilolitro (lil) 1000 litros Voltiiiicii lll niililitros tnil) lü ccntilitros lo deciliiros I ceritiliiro tell l deciliiro (dll _i. l litro lll Peso lll rriiligraiiios littitl ltì ceiiiieranios ID dcciitraiiios J lil gramos l ccritigramo leg) I tlcci__eraino ldgl l gramo lg) ,_ . 1 IO dccagraiiios lt) heciogranios _ _ l decagraino tdagl l hectogramti lhgl I kilogramo tltgl IODG gramos 1000 liilogrtiiiios = I tonelada métrica lil coisveitsiori ni: Mizinniss Loiigiiud l ¡iiilgada l pic I 1. aida ¬ 2.5 lllll cin li.3il' ¡S m _ ll." Jl Li nt l cm l iii l milla = l.(iÚ93 l tltt I ltm ll.393'l pulg. í Ii 3.2309 pics 1.0936 yardas ll.62l~l millas Volumen l piilgaila ciibica l pic cúbico l galoii _ tl.tllo 1 litros 2tt.3It31 '. litros I litro I litro 3.7853 litros I litro l litro 1 r 1 _.. til .[1250 pulgadas ciiliictis 0.0353 pics cúbicos 0.2642 galones l.lt5ñ7 cuartos de galoii Peso Masa I onza l libra es el peso de 28.3 495 g es el peso de 0.4536 ke l tonelada (corta) es el peso de 9Uì.Ili IS kg l g pesa 0.0353 onaas tcial l l tg pesa 2.2046 libras llhl l I te pesa 0.0011 lottelatias (cortas) Respuesças a los ejercicios de numero impar 445 RESPUESTAS A LOS EJEÉCICIOS DE NÚMERO IIIPAR Ejercicios 1.2, página 5 I. 3. 5. i Q __¡.._¢ ti 2 7. is + 1 l F3 ts l Qlr 5 l I* J 'LT t s io P I* ¬J' Ir iz I* J 'Z 'HI I* J ii I ia is i 7 I4 2I 23 49 56 zo Q zs su ss 35 42 .ui l_ ~ .is se ss ¬ 96 ll. 15. 19. 23. o= =› l ¬ 0 9. s~= "'l""' 93 III) l02 104 2. 5. 7, 10. ll 36. 42, 54, 63, 72 77,91, lil. |I9, l33. l 10 ISO km 106 13. 17. 21. 25. IUS lll] 6, lú. 23, 46. 56 26, 42, 66. 74. I 14, l22 100 km 255 km Ejercicios 1.3, página 8 lluncs, inartcs, miércoles, jueves, viernes, sabado, domingol lencro, mareo, mayo. julio, agosto, octubre, diciembrel {At`rica, América, Antartida, Asia, Europa, Occanial i./klabitma, Alaska, Arizona, .=1ir.ltansasl lCalilòrnia, Colorado, (Ionriectictitl {2,=i.6,it, lll, I2, l4l 13. lfi, It), 15, 31.25. _ . .l 17. ïjì '~ãf.l't ¬© .I!ih'LiI 23 27 31 35 39 43 45 {l.2.3.4.5..6, . . .l lll), 20. 30, 40, . _ .} {4s} 21. ø { 4. 5. 7l {8. 9. lil, II, . . .} 25. 29. lla Lunal l0.5. IO, 15,. . .} ll. 7,12.. I7,.. .l 33. l l. ll. 13. 25, . . lI,(i,|l,l(i,...i~ 37. l3.'~).l5,2I,.,.} lis. 12.24. i. ut 41. 121 las. I2. 15. ist t i. tt. iii. is. .tr _ 14. 214.32. ss. =io} RESDUESCBS 3 III! EIBICICIDS CIE |II.il'l1El"fl IMDB? Ejercicios 1.4, página 10 I. 9. Si ri E A 3. ll. No if' É A {ri} C A 17. lrt, el GI El 19. F V 25. F 27. V No l I l, 9 7. I5. lo. bl C A 23.5.' V l"JI\l' F i°i"'i""i"' Ejercicios 1.5, página 12 1. 7. 13. is. si Si ll.2 . .'i . 4 . _. s ia, 7. it] i "'1'¦"':"* 21 21. to 27 ll.2,3,4.5.ú,7,8 9, ll} 29. 33. 37. 39. {2, 5., 8} ii fï No S., Nci No ll. Si pasan n m to, in. 20. in I"iI ; "' i. PP PP lb JL wn;an PP: šš E n.oav .8.9} 2.@ s 31. 35. {5, ll} ll), I4. 23.42 ...} 41. {l,2, 3,4,5,€i,9} Repaso del Capítulo 1, página 15 BCA.CCA.D<IA,ECA,BCC.BCD.BCE,C¢D,C=E,D¢E 5. <¦l,5,9,l'š } {2 3 4 5 6. 7 til {5, ll, I?, 23. . , .} Il. Si No ln, b, c .d'.ƒ} 17. No No fišäfi. {I.i, ¿Il 23. {h, dl. e..f. ,el {o, b, c, ri, e.f} 29. ifl 25 H l*~Jl'¬ J' H~wswr 1 Sii I I Ejercicios 2.1, página 20 l. 9. 17. 25. 33.. 41. 49. 57. 65. 73. Sl. 89. l4O 30 2700 GI ll9 55 132 120 50 57 7o~+ 21 200 + 60 3. ll. 19. 27. 35. 43. SI. 59. 67. 75. S3. 9]. 42. 96 O Ilä Úb 59 ll4 23 I44 270 ob + 3. :t 20 + 4h hlhil fl Hit If.: It.I'*i 37 45 53 6I 69 77 85 93 ISO 56 fl 92 30 147 IOS I IS 80 120 ob + Sa llrt + [Sii [$1.71..i 31. 39. 47. S5. 63. 71. 79. 87. 80 Í:*.7( 23 45 68 50 S8 60 66 Zn +2 fio +3 RESPUESTAS A LOS EJERCICIDS DE NÚMERO IMPAR Ejercicios 2.2A, página 24 9. 17. 5 3 4 3. Il. I9. 4 8 3 5. 13. 2l. 3 Ú 0 7. 15.. 23. 2 2 4 EÍGÍCÍCIOS 2.23, Dågiflã 27 1 9 17 25 33 4I 49 57 65 73 SI 89. 97 105 113 9 l2 i4 . s. 3 13. .si . s 1 . ii lä E3 S 23 6 3 l2 21 13 l55 3 ll 74 402 . . . 5 l5 IO " I '. .i ui . il . 293 soicio ricsm.i t.i t.ri¡ .i. pfÚt.i ¬i:.'i, Í i:¡. i 8 99. I? 107. ol? 115. l22l 29. 37. 45 . 53. 61. 69. 77. 85. 93. 101. 109. ll?. O* ll 22 0 16 6 Il 519 I4 ll 916 SIS G kw@ S5. 63. 71. 79. 37. 95. 103. lll. II9. 8 19 ll 12 276 417 19 l2 94'? 206 Ejercicios 2.26, página 31 30 42 i ii '^ Ì" Q' I 25 33 4I 49 57 65 '73 31 39 97 IDS III 43 57 36 I 26 55 4 52 7 '.74 6 lo I2 2:: Í Eb 3 3. ll. 19. 27. 35. 43. Sl. 59. 67. 75. 83. 91. 99. 56 0 löü 3 18 28 24 ll2 27 5 3I (il I32 107. U3. 5. 60 13. l26 21. 72 29. 58 37. I7 45. 43 53. Sil 61 69 77 85 93 Iíll ¿5 o io~Eâ=:› 3 36 + Ilo IU9. (ia 2?: 2 115. 7. 240 15. 68 23. l0l 31. 22 39. 46 47. 60 55. 46 63. 35 7]. 79 79. 22 37. 60 95. 25 103. loa 3 + lflii 8u+8h+ lo WW W WW m m 7365 _4H6_ _ _ ”Juwflümw fiümw k __'OS 2 _'____. _. '___'_ ¡9"B3M_4_5“l_q7“m_h_8_W_Wü_H P ____ W I”_ma 34Sunwyfiüflw üfi '_'_ _ 4omu_äH_5BR9H5 26 “_ 616 9M27 1 _9_ _3U2L%_ _4 T5 975 _2_ 2_97M_B4HT 1_2 _."_'.".) i. _ _” _ _¬ _ 345“n739 3 Ú 698_ M _m 2J¿_ H I _ h_ "ï_ H_ :h_ "_ Í 2 ¬¿2 1_l1_ S D á 9 _m3 3 7 JQH H ÉM 2222327É_ 371212 1__ 'iii _ _fi_ '_I _ _. I 2 2 2_¡2 32222122 Sn n äafl 33 23 i.Ji. _' 2 2 2 32 2 5 2 32 22572252 352253 *_ _' _". 3 ¬_ _ _¡_ 23 112334 3 1.3_ 4 7 1. 2 lu 2 233 337 3__ H19"_e_ r ¿C _ jum 7 _mS 2M ¿mn 2 5gÍH3 p9w¡D__á 4 3@ 9 _?_ 53_7L_ 41 É qh .___ '_ i * __.' 4_5B¡_ 3 _5 3_4 ME üH unn_J _u 43B45M 11 m L_ S 22 ¡_ _4643' _|_|I_ 4¡_ 3 un _______H ___”___ ________2 1à ______.___ 4 ;3 b HH Hü luäum A3_¬___J5_1 _ _ _J 4_ 2326 nssvuesms A Los usncfaos nz uúamo mm: 7.3. 8]. '75 5 2 77 |3 † 2 35. I 79. 2 bl 1* Ejercicios 2.38, página 47 I2 30 36 43 ÓU 7 15 17 144 780 4032 23 25 1 É 7 l 31 I 9 33 4 É É. 16 2 EI Ó 'F 42 41 36 5 13 2 5 U '2 É Ii 57 3 34 65 3! 7.3 fl 24 IS 1 T5 E 81 I2 89 '11 :Í 2 15 13 l32 LÍ la 42 I Illñ 24 2' J 30 23 117 | “ii fis "E 23 12 I `.n'¬.J'\* .n I 47 H 55 63 15 H 7 39 su '12 É 3 2 3 '_' 4 71 9 Él E .Ã. 2:4 183 '79 g ÍÍÍ 23 S7 É I 95 É É _' lt cu ¡U3 ÍTÍF Ejercicios 2.56, página 51 1 J. 4. '1 HI l II' _ 1. '| ¡Ii 4 3 2 5 1.3. l (1 Í* 4 7 la 2 't; ' l Respuestas a las ekrdchs de número imnar Í7. I fl' 19. I zs. 33. _4 9 4l. I E 21. S 21 . 4 3 23. ..1 zm 1; 3 M EE __ i __ rin ¡cn H 35. 2 37. ji' 39. 2 43 . I 29 45. I 47. 2 3 49. I' J' I' 'I ¦l Ejercicios 2.3D, página 55 I. | 3. 15 ï 5. 12 s 7. 17. 12 24 19 22 27 22 ' 9 7 6 25. l_ aa 27 li 6 L1 36 35 1 4 1 s 9. 33. 31 42 5 18 11. 11 _.Eì 12 'J 43 šï 4 1 ,Ã J. 12 15. 23. 31. Él 9 __ÉL zo ji 24 2 3 39. ll su 47. 122 33 7 _l_ [5 I 13 125 Ejercicios 2.35, página 56 3 L 5 9. 17. 35. 8! ff H. ll 1.5 (L4 '1 I9 27 35 ' L3 5I 'T9 33. fLfis2ì Il. N. 5'?. 3 ?4.':¡Í ' ' 1 45 2 1_3H 3 1 Zfl 25 HHU 1191 Íií 125 125 (1.625 Lì.5í›25 1.3 fl_n24 n_z¬'3§ U 43 IB T.`?H 8Íf`.";'\) fr* ¡Â 3 ([3434 Ph' J 31 .39 1'? 0.4* 0.33 {l.5b7'ì6? 158.13 55 H 1 55 32.12 nesrussus A Los umciclos oc uünno mu Ejercicios 2.3F, página 58 I. 1% 3. 4å . 7 4 3 3 5. 32% 7. 12% 13. ll 1513 IS. 9 nm 23. E 6 31. E U 39. l|55 32 ll. 4 1 211 17. 13 122! I9. I8 2529 21. 5 'ã 25 El 27. E2 s 29. E2 9 35. 22 n 37. E2 m 9 33 '4 ' E9 U Ejercicios 2.5, página 61 P un .Í nun kfil I ?§5§Pr r 3I5&~J'~üI I 27. 35. 43. I* J GI* U01 J¦|›Í.lI '\ Il"¬I¡ 1 Pfi rw. Iibib I LH* I_"Ifi Ii G"* flfirçäfl É LHFÉIÉ' Repaso del Capítulo 2, página 62 Ci 2 M Qun n M. 9 w.mm› www PPHFP I ›.J| Il I ' I'¬DI U I 35 43 5I 57. 131780 S9 65. 13 24 67 Ã M M 31. Q 3 M. ã 73. w 6 w 4 75 83 91 oc:= L › .I .Iuw. ¡ E Ã M L M s ã 2 É 5. 13. 21. 29. 37 45 53 61 69 77 m m m I3 31 33 19 n_n 4: . Gli f.:› UläbiUfth.I' Il¬u.l'~rflfiI IU 2; 120 34; 20 4 63 E co |=IN~l*~D*"U'I E ' n Z 71. " .I 30 3 79 'Q I'~J*_ Í Ì› I .I 53 35. ~¬ 'm 87 93. 3 45 95 me T@ Í 3 Respuestas a los ejercidos de número impar la É É. 97. 105. l 20 9 š rr E 2 5 Íš 3 Ã 44 Ill 121. I29. I37. 145. 153. lúl . 169. |0I. IU9. II7. 1 _E 49 75 43.72 8 II 6 514.8 12 zs 2? 9 7 6 É 21 125. 24 7 .82 7 I2 I2 2 3 103. 127. H Í É. 9 Él lll. 119. 210 133. 2.86 135. 39.13 141. 149. IS7. 165. 54.28 9 16 514.5 143. 15]. 159. 167. 13.34 I4 I3 S9 5.. l3. 21. 29. 37. 45. 53. I 12 7. I5. 23. 31. 39. 47. S5. 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I' ':'__ mi 37: 'ÚI Ú' nsseussrns n Los sseecicios os museo Inem: Ejercicios 4.25, página 126 3. {4} 5. ¦5¦ """"“1.3. ¦2} 1. m Í. {fi} 9. ¦3} ll 17. ã 4} 19. 25. ¦4} 17 l3I 29. { 4|› .SL { I} 33. {5} 35. ll} 37. { 3} 39. { li 41. {7} 43. 45. 47. {%} 53. {45u<›} ss. { I 0.0()Í1} {2} 15. 23. m 21. 'H4f,i. °'~.__.. _¬I',.I_. J.JJ'JJ _._ "' oí" ' fi 49. {m} sl. nooo: 131 57. {1Huu} Ejercicios 4.5A, página 134 I. (1 3. I4 . 15 9. 1'?. (1 1201 HHU ll. 19. 42 G9 _. :I_ CIC . . 64; lfi 3: ll 25. 33. ll. 49. 5'?. 'F1 12 21: 23; 25 IS; ¡(1 34; 39 835 27. 35. 43. Sl. I9; 12 12; I3: 14 27: 28 31 . . . I3: 26: 3*) 9:11:13 fr. S: IU 278 U1 Ii U Ibl* JU* E.uf. I1 lifi I'L| I¬!I' 12 18:6 ID: lf› 45:53:38 258 20: 28 'UI li '5.1 I¢. ›UI,' .¡iInNÉI.n ¡UI I US Ejercicios 4.38, página 142 1 I_“ñ'i ¬¡H_H4u 3. ll. ñfii $o47fl ur. 4; 14. $111) >.“JHflr.~«+fi;$¡fi1uH›;.ufii ' ._uH1n 5. 13. En S740 21. $3311 17, ìifijflur _1q_ ÍLÂ'§;h¢UJ ".<.H¦“` .= |~ I" L . 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Ejercicios 4.3F, página_153 I 9 17 IU (1293 K SH F 2.5 3. ll. 65 (`.`; 338 K 257 If S. I3. Í ii C; 2 13 K 7. 5*) F 15. HG F 800.6 F Ejercicios 4.30, página 155 II Q 5. 9. lia ¿u`1u~. 2*) aìímr . 42 ;uìn~¬: HI u|'m~ 3. 7. IU ;n`m 12 111111». Ejercicios 4.3H, página 157 I. 7. * JI lil1|;¦ (1 |¬›i±:¬ 3. 9 `¬' ¦¬.›i : ¬F ¦ìh1':r~ x ¦U_”¡ l:!*›|.±~¬ É. \: I HH ¦1¡"›¦;r~.; H: If* H ¦|l¬*¦ 1 esseussrns A Los mecrcios os minimo mean Ejercicios 4.31, página 160 ji 21 pies; 27 pics 3. 32 pies; 96 pics 5. 204 pies cuadrados 14 pulgadas 9. Il. 32 pulgadas; l6 pulgadas 12 pulgadas 130 Dìf 'Si 30 Pìflfi 15 $16 329 60 17. 4 pulgadas; 6 pulgadas: 8 pulgadas !'¦":*':*".¦" 4'. '6 pies cuadrados 21. 481 pies cuadradus 23. 28“; 62" Repaso del capitulo 4, página 161 I. {4} 3. {5} 9. {4} ll. 11. {a} 19. 21. za. {z¦ zs. m 21. 29. {:›.} aa. { al 33. {3} 35. { Il 37. 41. {3} 43. {7} 45. { 24} 5. {9} 7.. 13. {2} 15. ;l 39. {l0} {5} 47. 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I7 2.5 33 4l 49 162 11% I4 ._ É 5 3 2 3 20 1 13 49 .ie 51 35 inn 24 2 H 14 .L is 5. 13. 21. 42 13 u 7. IS. 23. 29. 5 I2 31. E 3 "S 1 36 Sl.) 37. 3 D. É 3 45. 9 É 47. li 9 55. _'_'. 53. 3 li I2 } Rfifllfliflãllflålflflflflåülífiflll 57. 2 5 _?._ 125 S9. Í 65. 73 31. .7 [4285 8.67 5 .6363 15 .33 20 67. 75. 83 61. 69.. T7. 85. 5 É 25 63. Z .zfiš 2.34 la 71. .3030 9.23 12 95. 10. 37. Capítula 3 89 97 105. 113 121 127 9x + I2 36 24 99 I 2r3y3:" 0 107 lr“\ ' 'f '3 721:' '_\'"" 115 3 123. .ri I lr; 5.1:: + 5.1* 129. Jr: + 3 9.1 * 13.6 + 4 2.1: + IU 91 1 .f. 133 141 1?*_=, 8.1:' 1 .t _\'°' ns LH 9:15 .II I 701 I (›¢::h"r*" I43 93 101. 109. 117. 40 103. 40 4x 7 64.r'Í\'” lll. 64.193"" U9. Tu? 4.: 2 8a7(.r 2)* 125. .rx 3 131. 7.1' 2 I37 1°64É 139. I 45 3u"' 147. 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"` ' ¬":_` In (1 i`1H_"" 11; H Respuestasaloselorduosdenúnnroímpar Capítulo 5 225. |x|.\' fi .?.} 229. {.\'|.1' =ii 4} 233. {.r|.r 3 0 235. 239. {.f'.f E _!2 } .I xS%} {.'r|.r 2' 7} 257. { H 259. 265. {.r|.r fi 5} 291 2.1". {.t'|x < 'I 3]' Ix|.r > 2} 237. 235. 3 3¦ 247. {.r| 25.1' =ii I} 2 49. {.t|3<.r<(›} 253. ¦x|x > 4} 255. {x|x 5 { 2} { Ó. zas . 4 {xI.r l'> 24;. {.~f| ›: > 12› 261. ø {.=r|.I: E R} 269.. ø {x|.r E R} 275. { 5. 13} 231. {s} 2 287. .I I 4} 253. 213. ø 219. ø 5 9 Ã. 233 {.r|.\' 'E 2} w {.=f|.›: > 21 267. 211. ø 217 1o.n} 227. ø = 3É 289. 295. {2} ø f'ï" "ari" @." "' Ejercicios 6.1, página 207 I. 7. 13. I9. 2 .Ir 4.1' 3(.r + 21 3. 9. IS.. 21. 6 3x (lr: 3(x + 1) 5. ll. 17. 23. 5 51:2 13.1' :jr: .mr + 2) 25. Lt + 3] 27. (x + 4) 29. 4(.r 31. (Jr 33. 4(.1: + I) 35. JU' + 3) 37. 43. 49. 3l:r 2) SH 3.11 Il.t“'(I Jr) 39. 45. Sl. 5111' I) 4.t'(.1' + I) 3b(.r + I) 41. 47. 53. 4(2 Jr) 3.r2(3.r 2) .r_\'{l + .\'_\') 55. 4.\*_\'{| 57. (11:11 3.1' 59. 4.r:_v(_\' I 3) úl. 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I 1 .r 2 lr+'? __l_ ¡ 1 lx U 2.1' i 3 5.1: 2 3 .If ím * 1.1' .vr .Í .Í 2 lt I 2 lr 1 4 1' l 3'?. 2 2 \(r 2) "' 1 1 1 45. I *' ' .r +3 .Í lr+ I 2 .vr Z ¡respuestas a los ejercicios de número impar 49 . 57' 71' `ï 31 2 .r i 4 SI. 3.1: + Í! ,r 3 S3_. .I + 2 la ~_ lr + 3 4.1* .t 6 3 4.1' 41 59' 55. .x + 1* 3 61' 4x + 3 63' .Ir + \ Ejercicios 7.28, página 240 1, 72 3. 60 5. 7 412 9. 3o.f=_¬. u.smä* 11. li xgva 17. 4.1 11.: + I) 19. 3fu+3› 2l. I68 (x + I)(.r: 25. ix 29. 3)t.r 2') óìix 2) (11: + 3)(3.›: + 2)[.t 31, (11 33. tx 35. (lr 23. ¿(1 4)(.›: I) 27 131 + ¡Fu + 3) lrltx + 4)(.r + I) 61€.: + 2) nrix 2)(6 3)(3.›; + Iii! + .r)nr{3 37. 1. ; 961:¿rx 4) |)(,;~ + 4)@ + I1or(I 2)(.=r III .UU + 7 ) 1.1')(3.r + |)(:c + l) 39 14.111' 3) 2) *tf + 11 43. Ófx + 4)!! ' 47 .\'(.t w.fu mu+2› SL (x + 2)(.x' ¡Nx 53. (J: + Íåìíx 55 Lt 4)(.~: 57. (lr + l)l.r + lìílr + 1) 59. (3.1: I){.\' + 4)Í.t + 2l0rÍl 3.tì{.1' + 411 Y + 2) 5], (31 'I›'}¢,r + 2)l.r + 5]nr(7 3.1:)l.r + ZILY + 5) 41. I2.rI.r + I) 45. .1'(.r + ZM.: 2) 2){.1¬ + 4ì I2)i.r 3)(.w: 4) 4) 3! 3) Ejercicios 7.2C, página 245 I. 25 _ 24 3. 7. _ 9' I3 ~ 8 “_ 10).' 13. ll.\' 3 _ IU.r S. I 5.1" 15. 7 20 7 IOJ: 15 +`2f'.›.\ {1.\" I7.. J; + Â _ fu' RIFIIBTÃS I LOS EJEIUCI DS DE HÚIHU IIIPIR 5 5.r1'+3 48 14 1512 ix + 3)(.r + Il L1' 1: 3.?.L. *' '.32 .L (.11: 2;* +6 (.r+ 210.1 3) 2.x2+| 5 3)(x + I) (lr I .t 3 x l 3.1' 4 Lt 2)(.r (J: (x + l)(x (x + l)(x 3) _5_. ._L_ 6ur+l .r+5 _ì_ .ii (1 nu +1) _2__ x 6 2 2 .t 4 3.:†l __f.'__ _f'__ _? '___ .t 6 _5__ 3x+l .L 3x 2 4.1' I 3.1' 2 _3__ zx 1 Ejercicios 7.3, página 250 1 3 2 2 W 3.zJ_\"'a"' 8 l.r_¬r 17 " _; * .\' ~ s 2 .91 s. 5 3 1 1 ' “ti av” 19. zs. 13. 21,' I' 21; _ _; ~' 15. 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(Jr IJU * II ~ ix + 2)(.r 2) (J: i 4)(.r + 5) 67. ss ' .r .r _ 4" 4x: + I lv; + I I lì rr jnflr + 3) (11r 3)Í.\' + ll .\: 2 . . sí .r 5 (3.r lìíx + 3) (lt + 1)(3.t + 4) . 11.' + I Respuestas a los ejercicios de número impar Ejercicios 7.6, página 268 I. {2_v} 3. {v I* J ¿L 4 } 11. { 7)' 9 1 {%'} ll} ' 5)' 3 [5 "'I 1911I" IT . } 41 J.. ._r~. : "'¦'FL'› í 1 IS 'I' 3} 19. { 2} _v+4 17 1: 5 '.~¢ . .› I J' É I' J |¡I±|±›,¡|"I'I|11¡'Ifiìi u 2 *í 4:1 23 2 QF 27 Sa a+¡.› í u 31 1 .|› r:=# Í' JJ .JII 39 {* ¬ 20 3:1 11 ' b=›'=U ¿¡¢D} a } F a±ü} a a=.¢=0} 3 {i a..0} . HH) b ,,.0} u I 4 0} a c¡±0 } __' "_ ,,.Z 43 a __ L: 1 3 agb 47 {5|a ± l} 51 . {a + 2|a ¢ 2.} {~E›«±¢} 55 . {a 2|n at 4} {a i 2 aah š} S9 ¦u 4|u1= 3} {..2_.... } 63 67 u r = rf I 2 " "' v'v 1'" " u *I i' 35 u#=0 E +2 ej 3 se 1 " } . {l|u ± 3 3} 3:1 i 2 { u fl unt 69. I = Í Pr 3b]rr =†= 2b} 71. F= ÉC4 32 eeseuesrns A Los ¡Juarros of minimo :une Ã “P A 73.r T.P 17 . S = '¿ H' n _an_“l_ 75.1!! n l+r.' (H _ 2 S_,¡ f_¡r|___¶_!_ +__ 'JI d Zfif| í: I = _ ' 2 3 nin I) 1' ' n I Ejercicios 7.7, página 272 1 3. no ï} {š} 5. {2} 7. { 6} 11 11. { Z } 13 19. {s} 21 11 n za. ¿4} 27. {2} ss. { 2} 29 . 37 . {7} {10} 31. 39. { 3} 41. {« 4} 43. {|} 45 47. {4} 49. ø 51. ø 53 . 57. { :1s} 5 59. { 5} cs. cv. { 4} 9 11. rs. {s} J`\ÚÚ¦ ¡| Lfl __,,. ,_. .r 25 33. I D* |_I"I q I\_HIJ o el . 25 { li 55. 4 {(1} G3. {*“' Ejercicios 7.8, página 279 3. IQ 5. Q H ll . ÍÉ 13_. 3: 311 15. IT: 96 33 (15 hr 1*). ll. 4h 23. 12 hr I. 7 9. I7. 2.5. I7 35 27.. 23 AI(1h|'; R: 12 hr 7. 2 7 29. . \: IR hr; H:1l hr Respuestas 2 los ejercicios de número impar 31. 37. (1 min IS mph 33. 39. 36 min; 18 min 24 mph 35. 40 min Repaso del Capitulo 7, página 282 ¡ ' 9' 15. 40. _¿" 3 9_r“ 22 H. 28.1' 45' í 3) 3(2.r 33. 41. #9' 57. 2, fx + I){.r + 2) 1' 7 4ì(.I' _ 3) _i_ 21 25' :r 2 2.915 Í 3a_'r 31 . lr + I lx + 3)(.r x 5.1' 3)! 1.1' 67. li I 77. SI. Lt + 4lÍ1r 3) 87. L1' Bìl 1 1' + 3) 131: "ll 11' 3) 33 39. 45. 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' :ww = l ._ ... =5 = 12 =6 Ii ¡inPitel “2*'. ï';=* É”. ?'.;?' ++":_1. ›_L. ›_u¬': = 6 ss. :sx + sy = 10 : :: 3.: + 4;; = 12 x+6_¬r=8 1' = I 5. 13. .r .t=3 21. 3x + y = 17 + 33 = ll _1'= 2 5)* = IU 27. 33. 39. 45. 5.1' 5.: lr 2.1: 51. 57.. .t + 3;' = 2 20.1' + 6)* = 23* = 2 7. 3x 15. 23 _v= Sa = .zw _1. = 2.1 3; = 3' = I 29. 35. 41. 47. S x+_¬r=l 5.r 3)' = .1:+2¬r= 2 r lÓv= 53. 5 Ejercicios 8.6A, página 313 1. {c1. l)} 3. {t1. ll} 1 I † ¡+1 U Í' 1D :LH U 4 1 _ 1* I' H. Ii RESPUESTÃS Ã ¡.05 EJERCICIOS DE NÚHERO IHPÃR s.¦u.m¦ ' T lu. un ` ll H 1 U I_ 1 I) í .T 9. H 2. en (2. IL {M.h}f 1 1 14.21 21 J" h I I 1.' 72 1ET 13. {(3. 2); 1' IS. {(l.2)} ' 'I P II',I (J † 1.1. 21 I I I 1' U 1 Respuestas a los ejercicios de número impar 17 h2.1›} "' 489 19 {< 2.3›} " f 2.31 (1. I) o I 0 .V 21.. '¦("1. 21]' J' 3 23. .V {(0. š)} + ¬l I 0 I fi I I 1 °~'i) ( 1. El Inj III † 25. C25 27. E 9' I"_I ll. _ 1 ¡I UI ¢ + ±+ + 0 I 1 1' RESPUESTÂS A LOS EJERCICIOS DE IÚIIERO IHPÃR Ejercicios 8.63, página 318 1. 9. {{I.I)} {(2.I)} 3. ll. 11. {u. n} {il. 2)} {(2.7)} S. l3. 19. ¦c3. 2» 21. 25 (š~ š)} 33 37 41 H III I 2'*:= ' f :* f: "11F"'I " 1€ I 'J {(% %)} 35. 39. = 7} 3.1' = 1] _r~¬*.¦¬.› {c2,2›} {¢ 2.0» 1. {( 1, 2›} us. {u_4›} {(~;§>} ='~ {<f¿»%>} {(;§>} ø 25 {i 1'. : 'ìlr + 2.1' = 2} Ejercicios 8.66, página 321 1. {(I.l›} 9. {u.4›} 11. {(2, 17. {(2. 5}} 19. {( 25. 27. {Í6..3)} 2*" 3. {(3, 2)} ï 'LI l '* 1"' * . f' f* ' . f u H . + {( 2. 3)} s›} I Jl I I *Q lU'lsuIr {< 1. ni 15. {(f›.4›} 23 it 3. 4›} tu 29. 1 "* ¬"'. :¬"'I " .`¬'Ä` "''¬.sw «.J"1'un Ejercicios 8.7 8.8, página 525 1. {(2, 4)} 3. {(4. 2)} 5. {(1. 2)} 7. {(2, 21} 9. {( 1.4)} 11. {(6.l)} 13. {(s.3›} 15. {¢1s.1s›} 17. {(3_ 1)} 19. {(4.2)} 21. 23. us. z›} 25. {(3. 2)} 271 291 {( |. 1)} 31. {(4.e›} 33. {(2.3›} 35. {( 4. 2)} 37. uz. zu as. l2;l8 7. '_ 3. Ejercicios 8.9, página 352 I. 9. 17 . f›;I7 21:23 12 1 3. ll. ll;l8 6 3 : 5 2 5. 13. 64 19 . É. 11 IS. |5:2I 94 Respuestas a los ejercicios de número impar 21. 25. 29.. 33, 37. 41. 45, 49. 491 SI0000 al 12%; 12000 al 15% Almendras a $3.50; nueces a $3.20 20 galones; 30 galones 48 monedas de 10€; 36 de 25€ 20 millas; 50 mph 7 pios 60 hr; 40 hr $80 000; $75 000; S37 500 23. $20000 al 12%; $25000 al 10% 27. Maíz a 63€ ; chicharos a 89€ 31. 6 onzas: 13 onzas 35. 100 mph; 600 mph 39. 45 años; 60 años 43. 160 pulgadas <:ua.dr: idas 117. 42 hr; 56 hr Ejercicios 8.10, página 339 I. Y 3. E WW T... W JHWJL M ¬ _í..._____ ííí _______ 0 Í 2 _.. I I __ 1; 2 el io io El o 5. E _. __ 11 T: il í _.q. _ __.í..|í_. ... 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Qfil 'I' \ Ejercicios 9.1A, página 350 __: 1.3 9. 2 17. 1 _ 5 3 Jr: 9 3. 5 5. 1 11. 3 * I9. 1 9.1* 13. * 4I IJ 5 .ur T I IS. .tg 23. .És 5 21. lr ty Lfl 1 1 2 eeseuesrns A Los esencicros es uúueeo mese I 25 _1'¿\* 27. 71 = 49 33 41 , 49 ,$4 S3 61 5 43. 3 31. of * 39. Il I' 45. 51 . 3 8 47. 2 27 57. 32 59. lo* 29. 'É 1 No es número real. S5. r3\"` 63. 75 . 1' ! 13 + 21': 8I . I .J JH I 2" = 3 65. .\"'r" .Ñ1'? 73. .ri 2 ! A. .1\ .r'_v' lr* 1 .r + 4.1” 77 1 *F 31(m"¡›f.; “ '71 'I 67. s 5 69 .. 91 . 31. .t'2"|›`: ss. 32 Í .tj1' 85 . 'É 79. 1 fu? 83. 9.1: 'ì.1'3 J: | lr: + 3 Q .t 16 37 . 1 .r + 5.11 + 6 93 4.r 413 + I 99 9.1' jr Í 1 .I 6.r'+9 39. 2'* 1'1. 5.1' É É 95 . I 97 _ .H '+2_f'+1 4,ï:}': + 4 _\' 101. .t + 1 Ejercicios 9.13, página 354 '_ 1 22 1 9 3o 3 .L s Si 5. 3 7. _! 21' |3 ' 4 IS. 7I ¡Í 1 ti 31 I 5 17 .T 21. sf* 1 23. .IA I \1 ¡1 .\ I 25 J' _: lÌ ní ,_ TH .33 I | 1 1:* 1 ia "...._. 29. ' 1 1 «T u' ,I :r`¡1=: 31. I 37. b si 39. I I ! 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Zl. *as. 7 'fr 'U1 1 H 'Jul| :I I II ¬"'¦ 32 1 : l;¡¡¡| “J ¡_ H .__ H 29. .r"_v¡J 31 \"~"` 37. 39. .\':.'~'5 ,1 'É “J HE' ¡IF_ 1 ulllullli I;_ 'I lc I. ` im 'H 'un 33, i 1 1 ff 35. É J"1 nt". ,JIR x“_v“' , 4 1 M.R 4 1 xv _. 1 1 u.r+x 6 45. n 4.1' + lltl 4* 63. ÓI 69 X4 Yin T vi ! n.f fif+ø4m±o+I Sl. ' 'E .ri ã 'i 1 53. S5. 4 ¬. .r : 57. .rÍ\'3 l`! *I .xl 8.r+l6 S9. ! 65. 61 67. I 1 _ . 64,r"_v3 71. 73. 64 ' 6 4:r2 | 75. 4.tH_\' 81 'I 4 .Z 1 I ".` 2b` Ju: I $*1 77. 79. ' 31'" Ejercicios 10.1, página 368 \/Í . ¬ï«“' ïf u I Í l¡*¢'U"1" ' 17 \`/P í'/3? x*/.TN/:›' ` âšåå (3. ›1 FI 2113 + al Respuestas a los ejercicios de número impar 21 23. ví 2 21 ` ¦ ¬`1 31. 3(__¬_.__ =.= L¬'¦ ' _' F1 se 25 1fs* . 1 F1 ¬'\. I"'\. _.,€¿.| uff ¡Í 29 I 33 _'I 1 1 I" = .ft .Í 37 41 35. I .ri = Jr: 39. 1': s .tx 1 ' I" Í' (5 ="`)"I` 43. ?xfs I 45 (l`__` Iv.\)1 _'_ Z ' (J: + 2): 1 'F l 47. (.1'_\'¿)3 = .fly Sl. | (Jr: + 9): #= .r + 3 1 49 S 53 (xr + jr): =j`= I + 'r 55. (xl + _\¬"'):" 57 [ix ¡F1! = r S9. 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(31 25. 31. 37. 43. 49. 55. vx/š sx"/5 0 123' 15 6ÑVš4+42\/5 4\/72 + 9 7\/E 6 2 + sx/E 9 en/ã 3*./5 + zx/Íš 4\/E (5.1 2 + 2y2)v'š§ 21 27 33 39. 45 7\/5 sx@ 51. 10% 4 4\/5 1\/i \/6 ms@ ¡zx/Í; s\/š 4\¿`/Í lux/5 tom?/1? 2_v)\1/Í 5€'/E 4 26/5 sv. 5+5\/É ax/3 2\/5 0 3\/5 \"/3 Sak/3:1 ~ ZGVE 3:: 3x]\/Í Ei: zrcicios 10.4, página 377 7. I2 13. 2\/š 19. 13»./5 25. 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I { š.0} 1. 1 Ejercicios 11.4, página 403 I. {' 2.0} 2} 9. {\/5. \/ï} 11. {¿\/3. fx/š} _ . 11 2 15 . {.fi 2 . ..fi} 2 11 . 5 21. \/ïš_ {Tr. 23. { 4. |} 27. {4. S} 7 13. 19. 3 ax/ã 1 2 } ÉJÚFJ '_'«I . 25 31 le |~.› 3} 3+\/ìì 3 \/fi} í 2 ' 2 I ¡\/21 il fx/É 39. 2 2 1 + Nï. 1 41. fx/ì} . 37 M . . 45. ss.. .. .n + < .¡ì 5 { 1+\/š. 1 \/š} {_31 _ Lv ¡I 'fl'|*'';H.r 7FI' É +¡\/"F3 fx/5 2 ' 2 Il I JU! 1 1 i cow HH â ' *14 1 .1 . ~ 57. 61. 3 \.»É} H wmf. .›+ UI un i'gfllàl 3} LaII'* J \/'F 'i"""ï""` ."í:;í_} "†_,..f1 __@} 5 ~¬_._,._ si 59. . 29. { 2.4} 49. mi ¿if 55 \/B. 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IS horas; 10 horas 33. 77 horas; 44 horas 5:13 12; IS u = 9 pics; b = 21 pies 120 mph b = 8 pics; u = 14 pics Respuestas a los ejercicios de número impar Ejercicios 11.7, página 418 I. 1/(0.0). .I = U 3. WO, _}' I), .r = U If' 1' 2.41 12,41 ¡` 2 3¡ 13 39 .r I Í I.I) (LI) + I I U 5. WO. 0 I 1 I 1 1 11.1' = 0 7. WÚ. l)..t = 0 J. 1 1 1 3_51 f3.5| I 3.111) [_ì_ IU) † T T É I' I I' U! 'F I 4 PI I 2.51 I II 1 1. 31 † † 1' ¡.21 ll. 3]' + ¬| + + 0 'FÉ (2.5) I» ¡L2! ü.I} i + + ¡ | .r eeseuesrns A Los Ejercicios DE mineno mens 9. VIO., 31.1 = U II. VN), 3). x = U r Y {0.3› 1 2.1) 12.v› I l. ' H 1 ' 1* (L4) 3 "' f: :_ 11 I (~3. L3. 0 fa, H 0 “ 21 1/(l.0),.r=I 15. 6) (3. ¿él V( 3.Ú)..r= 3 Y .I 'H ¡I 'I . nn 13.4 .L'il r (0.1) C? ï›I_|›íI± fïp|_ .ï|¿ .í ¿ ,í {Lü) u ?` " U'Wi' { S. 1) às 'II F' 3.Il'¡|.¡I jIï lï'“_F'_ "' I 1'íbdï 1' < 2¡ n (4 (2. 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I J II Í í›I Ií I ›I I_ r lflï lïíïí fl' lu. 11 i < 1;) I' |l'i U"I <« _) F' I 0 I _ ) 45. 53. 61. 42%) ( ; af) _" 21 {0., 2 _ { 2.5; C3 47 .. 55 63 3! '5 5 69. í; (1 §> rH I' Ji I 125 { U.4.2.4} 49 57. {';Í;~":›ï_ {l 3} { _.2} 51 . 59. 4.s› _ 7. P' _íI r " "1¬. 13. _.*¬J 17. ' ' :_ ¡_ iIÑ¡ uu`*" " "^ 21. _ Il' J í' 55 l.l.?.} 65' _'š'2_ 'W' _"§ §_ 71 3. 1 6,1 _ {_ 5. ¡ \. 1,., _.¢" LA J F' . iilt ii 'i í ví?. FJ ¬ JI* I' J_..›J 1 ¬ ._. , . _.f fïn J"¬ í ` { a 3." a+ '__ 19. {l..4} 23 _; I I _ í í SF›'L.I'| mi í 1 J'I.C¦h›_"'!.› I IS. 1 I { 2.6 } {0.6.3.4} 3 Repaso del Capítulo 11, página 419 I. 5 _; _ 2.51 f¬ 1,1; 3 1 ¡_ `¡JI I Respue stasalosehrdclosdenúuvoroimpar 25. { 1 \/ì_ 1 \/i_} + 1. 1:. › 1 33 {3 \/:Í_3 \/.T_ 21. |o¦o|n|o_ +_«. . {_ãZ 29. 31 ¿fa 33. {5a.8a} 35 37. {~L '~°} 39 41 . { 7 \/E 10 45. { 1 + fx/23 1 N23 la as 1_ _ íí 7+\/Í@ 10 _ _ ïíïtíïïí ¢ 1' 1 I _ 6fl.5r «_ { \/É\/55 6 6} _ % 2} 43 {š š} 47 {4a. 3a} {\/5 \/5_5\/š+\/šš} 49. { 2\/5. :sx/§} 5I 53. { 2.3} 55 { 3.5} 57. {%«2} 59 12 4'3 61. {I \/š..|+\/š} ss. 67. _ J VÍO.4);.r = 0 V(2, 4):,.1' = 2 69. '_?¬ T 1,3 as. {|} _ _ 3. U) 1 ú (3. 131 L5) _ 2. 3) _ 1.51 (2. 3) (1.5) __; 4 I _ (5. 51 ||¦,,.,1|||+ F F 1 (1. ¿ 31 'ln í (1 | {2_ _” í 3) RÉIIESTIS Ã LOS EJHCICIOS DE NIÍÃO HIM! 5 9 V(š. " 71. 5 E 73. _›"( 1" _ 2,U)..I .V _ 2.9) (0, 4) __. 91 (5. 41 ¡ (J 'I' 1 1.1) 1 `2_ S (0, U I (31 (21 _ *E 2) ._ 9 1 1 (2 ' _ 1) 75. 5 V( 'z. 49 8).x 5 4 J* ($4) ll. 11 1 (§ 3) , 10. .H 1 ('›1 f) 1 :.41 Ã .. M _“Éf“)'"'"'/ _ H '__ ¢§I'_II .I ¬¬ 77. 85. «lun = rá¬ _ ' I2:l ' _ 79. 3:12 Base I8 pies; altura 24 pies ¡_ I. BI.. 87. l50hr $3.75 83. Qpics Respuestas a los elercicioš de númom impar Repaso Acumulativo, página 422 CBDÍCUIO 6 I. (Jr + _I_.t' + _\'_) 5. (I + f›](.t _ Ó) 9. 13. 17. (.1:+_¬_r+l)f.r+_v I) (Jr _ __ + 2}I_.t y 2) (.11: + 4)(.1: + 6) 21. Lt 25. (Jr + 9)[.r 29. 33. (Jr 9}l.r: + 4) (xa + 3)(x + 2)(.r 3)(.r 2(x 2}(.r 2y) x2(3x + y)(3x y) (lr I+2,v)(2x _ Zy) (lr + y 14) 23 4) 27 31 35 2) I)(y + I) (x + 4)(.t + 7) (x 6)(x 3) (Jr + 8)(x 3) (x 3)(x + 6) (r'"y 5)( I**)'+2) 37. 312: + I)(.r + 2) 39. (zw + 3)* 41. 4(2.1' _)_3.r 43 Íóx 45. M3.: 4)(x + 2) 47 (91 + 2)(4.r 49. 53. (Qx + 3)(lt (3 + 4: r)(3 SS 59 (4x + 1)(9x 8) (3 4x)(8 + x) (3.1: + 2)(3x 2)(x + I)(x 4) 3) lr) 57. (__. 1 + 3)(z=.› + |)(2.r 61. .far + 2;. + nu + y 1) 3) 5)(x 3) 3] I) Capítulo 7 6;. ïšJr' 73. ss. 'Íy lt + 3 š'¬:' 1*' 75. .t + _ 31 “ra” 87. 3(x (lr I) ~ UI.: 21 95. f 107. H3 2.1: _ † + 3 "ir _ Hi" lx 2)(.r + 1) .r 3 _ '.1 +7 l 19 . 125. (J: 3_(.1r + 2) * ' + ' 4)' (I _ mx ia + 2|u 4' ' 3] X' _ Iöy' _.L4 ,«, .r 4 33. . 4 93. 3% t I 101. 61. 89. _ . 69 ii (4.1: 3)(6.r l í x_3 1r+3 _ x S 97 103. 3.1' 2 1__ 2I 109. (x + 3)(x “S .r+3 i _) . _ 71 I 4.: x 85 . 2(.r I) _ * (x 3)(x +1) 3 91' 31 2 . 99_ 21' 3 3) x+2 4.1: 3 ___? 4 3x ¡05_ _.___.. _:."¡'í (3.1: 2)(21r 3) lll. (x + 4)(.r _ 2) 6 1.f U x+2 {a_fl #= 2 _ l27. 3 ,,_ 112 x+4 '1 1 121 . x í ' Tx .tz 123. f. :+4 a =# _ 2a|a =# __ _} ïflflïflllfilflflflfliflfluflïfll 129. {f›} 139. 13 l3l. 141. Capitulo 8 1 147. 133. 83:26 2 5 149. 2 157. 5.1' =I = 3 16.3. 169. 52" 181. 133. {7} 4 I35. 143. 125 57 137. 145. É 4 151. 0 ¡S911 .Í '_' J' =' 165. 171. y =I .I 211 1770 24: '_ y 0 7 6 í 84 horas 155. _ 4 lól 5.1: + 31' = 167 173 I79 3.: y=2 3;: 21: = 16 51 2)' = IO ++ 135. {f2_ 2›} `*G T 'I' ¿,':.'fi“:_ü°° ` `¦fb.J~*<'~:__¢ .V 3 *Hi2 .I I 2 34 J: I 5 I I2 3 I 2 187. É v I 2 3 'I _ | 4 5 J": '_ 2 189. M3. 2›} 197. 191. {(2, |1} {(x. _1r)_.r + 55* = 2} 193. 112. _|1} 199. {L.\'. _\')¡3.›. 195. 93 ff = I} Iespuestasaloselcrtidasdenúnrerahnpar 201 {<2.4›} zos. ns. 2» 207. {t|. 3›} 209. {r 1.213 213. ¡12. 31} 211. 219. 225. $20000 al 6%; $32 000 al 7.5% 227. 14 pies U3 4)_ {(;¿)} 215. {u. 3›} 2 2 “S., 3)} 231 205* 221 . {r1. :››} 229. A: 30 hu ras; B: 45 horas 233. I F J' ¦¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦" Eiåäììiïllëiìiìëìíåìiiìiëf' 'UIIIIUII I I I I I Illfji U I I U lr '' I 4 _ Í ÚÚÚI IÍIIIIDI III.ÌiI' "lll Iiilliiltilllr ' '| ` ÌI“IIIIIlIl* ¡ I ¡ ¡ unünuur 1.”._ . . _ Í F zm 0 . 2 3 _ I P _ 4 .¿"" É' ;; filllšfnià. 1:4: ..:¦¦¦¦¦:¦:¦. .¡¦'"¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦. ¦¦ II åi ¦¦¦¦¦g:¦¦¦› ¡Il I 1l¡¡E¦¦` I ¡Iii 235. wi ' .`_ :9 44 | _| ¢› ¢ ;† i ' '¦¦¦¦i.:'Í_ ""' *P _', †I¦¦¦'¦¦¡.` 2'. ' '** ¢¦L¦'¦¦¦¦`¦¦_' ;;.=.. Li H ' ' H ¬H . . ' l I l›I I ¡min I¦ # I †*'I'1"*"""`_. un ¿'13 ' 'C Í 4 II¬'filQ' *dll II Il 1. 1I 'Q II “U Ii I» Il I I'I 'fiI' | 11ç› pqu. 1 II 'l I I I '!'l'__I ¿II10 4,H I i E + I ri Il 1. I __ Eiãill EEšE'§EE.m. T: Iumnruu un .__,_. nssrursusunsullaaosnsmhlnomnu Cãpíflllfl 9 El 237. 33 1 1' z4s. si 253. 259. 1 239. H 241. 241. ff* 249. 2" = |f› 255. xsyì 5 | .112 2.1:: 261. 267.. 265. x I 271. 279. 237. 2 273. .I .r 257. .J I .tj Ã* 1 .r I 291 ' x_"Í 295. 21 = 4 r .¡ 6 2: 251. fi.._."11 un .tj +13 1 I 1_+x__xÍ__ 263 I 269.. .r + 2.1' 1 .t à 303. .Í 305. ,1 I al I' _ .FF 1 É 2.83. l 235. l 291. 3 4 293. .T 2 1: "I Ú 299. lx 301. 307. 309. .Í ,S J 1' v* í,J Hum; 277. 275. É 289. I .rr 281. v* I 243. IU _? xy '_' 2*1 .ry° Ii ¬¬.|¦ x `__:4 c 1 3 .Í tv 311. 319. x5 xzy 5 313. li JE ans. 32]. 323. ans >< |0“ 329. 3.91 >< IO' x 2 327. 4.13 >< 10 317. vlilz 325. 9.86 X 10' Q H4 _ __ `:*¦Ifi Cãpítülü 10 ¡__ 333. zx/1 7 331. zx» lo 330.. 4.1 =v§ 345. 2.r\V1Tf 335. P' 337. :W/'E :Q 341. 3.r_\':\/Íš' 343. (1 111% 347. 3x_1'3 349. .t V5 .r'\"¡ 'F asu. sx/ã 3 ss?. 0 353. 31% + W 355. 359. :n/'E 361 . 2.t_\'V .\'_\' 1€/E 'R P' ass. sx'/5 3 65. 3.:\/T@ 367. .\ Y .r 369. 371 . 3:' *Jl 373. 7\/" 5@ 3\/lr + 3 Respuestas a los ejercidos de número impar 375.. 379. 385. 339. 393. 399. 405. 411. 417. svš 3 :sx/5 331. 10 2x + 4p +9 ,ãâ 91 + 34 ¬ 24 1; 1 2\/rs + :nu I' í\"fñ 429. Bi V IO 12 + 4\/211.5: :N/ì 397. à 5\/5 4) 2) ass. † 403 ìf_..._ W* ' Qazb ¬ .1 f jzy 407. Sab: 421. I4.: 3 nf 2«\/fT`:Q V 10 39]. 2\/1? 401. 5 \/3 . \/2_v + 21* 371. an/3@ + 3;. \/5 asa. s + zx/ls sa7. .r 7 É' 413. 2.1' 3 419. 423. 409. 3\/ã \/5 .r_v ff. :ax/3 4W~z 2@ "41 425. 431. llí 415. 5 +\/10 X/~5+1ï + J' zn/10 :sn/1 1 421. sn/'Í Capítulo 11 433.. {o. 21 \/ïfì 431. 441. 449. 453. 457. 46] ' 43s. { 3.31 x/E 439. {..= ››. H + ¿›} _ › _ › 445. ,_ W _ “_ {_ \/rì._+\f“ƒì} 45L 3. 1 443. s {'É'+'ï { I ¬¬.¡<` 8.3 6 Iâ .* ffiww * U* . 6+ b} _1+:\/“15 4 4' Y37 1 4 .¢ï1Î|lu±` 7 N15 4 3_ _ V3? 3 T. 'ã _ 7 .M3 Ei? «2 LI J «BU1 5'" 'T} ,.a_;. fl II| $r _ 12 . LJ _+í._ 8 9 hï 4} I» D .J' I 3 + _*/É 3 I§IE$1"l$lI.0$E.BClCfl$DEIIÍOIIPlfl 463. { \/š.\/§} ass. {o,2} 461. W. 471. I \/Ñ |+\/17 _ _ { _+:.. l ¡_ 415. .flí" " I 1 H+ JH.. 473. li |" Í' 2 5 3 479. { 485.. { l.3} 491. 495. 499. 501. IS: 26 8 horas 640 mph _/(0. 6);x = 0 |+\/Í 7 V3? 7+\/LÍ _ ¿_ .'¬ 411. Ig _ 42 1 \/ÍÍ ƒI íI_"h_¶If|I_ |I"'I |¡l| ¬ 6 2+r\/Í; 2 ¡\/Í Í 2 . ï 2Í 481. { 2,5} 4 B3. {¬ 1,21' 487. { 3.5} 489. { 4.%} J' 493. 497. 112 horas: 84 horas 55 pies; 120 pics 503. _/(0. l);.r = 0 J' O I Í } ¡apuestas a nos elerdcíos de número impar M. 1. sm. v( ;.¬.);,.f=_ 5 25 1* 5 2 1' 0 0 509. I VI. 4:.= Í )r 1 5 ll . J' I V(2 , 25 1 4);_= r 2 J" ' | | .I Í Í nsseuesnsn Los ¡Juanes ne minimo mas Ejercicios del Apéndice A, página 457 I. (_: + |)(.1 1 .r + I) 3. (_: + 3)(x1 5. (1 + 6)(.Ir1 (zu: + 36) 7. 9. (I 5)(.r: + 5.1.' + 25) ll. (lt 15. 21131 + y)(9.r2 I9. 23. 7(.t 2_v)(.r2 + Zry + 4_v2) 5x1(2.t + l)(4.r1 lr + I) 13. _\'(.t + _v)(.1*` xy + _v2) 17. 21. .r_1r3(x _\')(x*` + .xy + yz) (xa + _\')(.\"' .ray + _v2) zs. 2(.6 + 2_»~)(f' 29. .r`(.t ¿fly + 4; 1) 33. (2 + .r)(4 35. (412 + 1)(1fif' 37. 31. lx + .r1)(2 (x ~ 2_r)(.t2 + '2..t_v + 4192) 3_'_r}(4.r2 + (uy + 93:3) 27. 2143.1 I)(.r2 + .›: + I) 3.: + 9) (12 Iìxy + ya) |)(9.› 2 + 3; + 1) 3_v¿)(x'* + 3.r2y2 + 9394) x)(4 + 2.1 + E) 4.16 + 1) [Jr + (jr + 'Jill 1': x{_¬_›' + 2) + (_\= + 2)2] 39. [11 ~<2_¬. + 1›1l4,r= + zffzg. + 1) + rzy + 112] 41. [lx + 2) + _». ][{.›; + 2)! 43. [(11 + 3) 111 + 2) + yz] 3_'r][(.r + 3)1 + 3_v{_.t + 3) + 9_}*:] 45. [ia + by + (f d›][¢. .~.› + L . F (a + bin. da + (< df] Eiercicios del Apéndice B, página 441 (x + _v + : .')(.t + _v 2) 3. Lx + 2 + _v)(.r + 2 gr) `:'°S "¦" (lr + y + Slflr + 3, S) 13. 2(x y + 3)(.1: _\' 17. (x + _~. + :)(.r 21. .mr + y + l)(.r 33. (lr: + 3).' 37. (1 + .12 41 . (5 + .r 2)(3.r2 2}')(I 3_\*)Í5 (lr sv.. 'zm 61. (.r (x x(.r + _v + 4)(.r + y 2;. J 3) (2 + .r + 2_v)(_2 ' .I 2y) I) 31. (_v + 1: 3_v + 2) 35. (4.1: + ya 39. (3 + 6.1: 43. 3{_1.' + .r › lr + 4; 1 4)(4.r 3': + 4) 2j.')(3 ~ 6,1' + 2_\*) 47. x12 + .r _; n12 Sl. ur 3›(,r + gr! _: + gr) zm 1› 59. 4(3.\ 63. I) x + 2:) .t + . .) 55. I) 22)@ ..){_\' 7) 4.19 + _»1 4) 27. 20: + _¬. + 4ìr.f _ 3,. _ 4) xa + 23') _\ )(.r: + .ty + _» 3 2:) 3 ::}(3_\' os. (4.1: + _» )(|m1 69. 23. .r + 3;] 4a. 4(| + 11 4; )(| 49. 13.: y}¢_f 21 53. 3) zx _; jr 19. (3x + _v + 3){3.r 3): 25. (3 + 'lx + 2_¬›*›(3 29. 15. 2) (5.1: + 3)' ' + 3)(5.t jr + 2:](11: 7. (y + 3 + 3.=r)i_~. + 3 3x) II. (21: + 2;. + 5}t2x + 2.3 5) 3) 3 (2.1: (9.r + 4)(3,r (x _¬. )(,›. 1 + _\~=) 5_\')(x2 + Sxjr + 253:: 67.. (2.1 + ; )( 4.f= 2_v)(.t: + .?.r_v + 4] " i 3) 71. (zw 3_¬.~)(4.f † + cm + 9;@ 2: 3; ) 73. (.r + 5; )(.f 5;» + .fl 5.13 + zsf) ly) my + _@ 3 Respuestas a los ejercicios de número impar 75. Íx 3)(,r + 3)2 79. (x + l):(.x3 .Ir + I) 77. Lt Éiflr + Iiílt 31. (1 2)(:r + 3)(.r: I) 31 + 9) Ejercicios del Apéndice C, página 443 ir 1. 5 9. \/š 3. \/š 5. \/21 11. \/5, 13. 3\/ì 7. 3v"ã índice MC \'€¡«'¡~H. 293 ángulos: (`.ò ordcnadaislt al origen. 302 complcrncrnarios, ISS dc un punto. 4. 293 supluriezitarioa, 158 ,›. _ 292 Área de: un cuadrado. ISS un reetãilsulo. 158 un triángulo. 158 y. 293 Cata superior. HD Cuadrado perfecto. 209. 395 Cuadrantca. 293 BBK. 2. 77 Dcnominador. 32, 228 Binomio. oh Dcsigualdadas, ¡T2 Brazo de palanca dc la carga. I$6 condicionaiea. 173 Cffüï equivalentes.. l'?3 aistenta de. 1173 düuoifiiún nor. 33 er sponeme. 356 multiplica :ion pm. 11 Cflcicnic. 32. 57. 99 Codo. 2 wlueion oe. 113 Desigualdades lineales: grafieae ne. 113 con una variable, I73 Diferencia de cubos. 43o Coelìcierite numérico. no de cuadrados. 210 Cúlnbinaciún lineal, 315 Común mftllìplo. 44 Dircci:it'in negativa, 21 positiva. 22 C0“JUIll06($). G de niunerm complejos. 385 enteros. 6 natural es. ti racionales. 37 reaiea. S4 Distancia entre dos puntos. 60 Dividcn do. 32. $8. 99 División, 32 dc monornios. 33 de polinomios. 99 por oero, 33 I1i$jLmlflo. il l)ivis.or, 32, 58, 99 eiemcntos de z ruiz. 15 enteros. 21 ¡$1181 GS. IO intersección de ll miembro dc. 5 nulo. 3 Ecuación de una recta. 309 dado un punto y la pendiente. 309 dados doo puntoa. 308 inreraeocionca. 310 Ecnaciónteal: Unión dl?. ll Uflìreffifli. 12 ratio. 3 524 con literales, 265 con ra.cia.Ie S. 365 combinación de. 372 división de 3?9 multiplicación de. 372 similares, 3'T2 conjunto solución, IIO euadráriixn. 390 pura. 392 forma estándar de., 390 Solucion oomple montando el cuadrado. 395 solución grálìm. 4l'? solucion mediante la fònnuia cuadrática. 390 solucion por factoiiración. 390 equivalentes, Ilü fraccionarias. 269 gráficas de, 29?. ill lineales. HO oon una variable, 110 con dos variables. 291 método de eliminacion. 314 método de mstitucion. 319 rnétodo graifco, 312 que contienen frnccåoriea, 322. que contienen signos de agrupación, 322 solucion de aigebraieas. 314 con valores absolutos. IGS literal. 265 polinornial. 390 grado dc, 390 que contienen fi aoeiones, HS, 118 que oonti encn :simbolos de ilEl1lP›H=¢'¡Ún. 123 que oonlienen valores absolutos, IES que se pueden llevar a la forma cuadrática. 404 raices. llü Eje(s}: ooordcnados. 292 ir. 292 ,r. 292_ Índice Elemento identidad aditivo, 1? muhiplicaiivo. ri Enteros. 21 'I Iipotenusa. 44! ltlmtidad. I?. IIO literales. to naiumtä 3 para contar. 3 division de. 32 Índice. 209 primos. 35 multiplicación de. 29 negativos. 21 resta de. 25 suma de. 22 interés, 138 interseo. it'_in con el eje. 302 inverso aditivo, 25 multipliearivo. 49. 252 racionales. 37 division de. 49 fuma ¢|¢,; ¡msj df 54 muttiplìeaeion de. 49 Enunciatlos absolutos. 172 re .eta de, 45 Estela. 3 Celsius. 152 Fahrenheit. l52 Kelvin. 152 Ley asociativa de la multiplicación. IS de la suma. I? oonmulativa de la muhipiicacion, iii de la suma. lo Efilflfiïífiflflfi. 66 E XP0fl<¦I1l=! . 77. 346 cero. 355 distributiva de la multiplicación, 69 Leyes de la multiplicación. 18 de ia suma. ió Ordenado al origen, 301 302 de un punto. 292 Operaciones binarias. lo combinadas, 52. 25'? Linea de simetría, 412 Origen. 3. 292 fraecionario. 346 positivo. 3 46 negativo. 356 reglas. T9. 91 Expresiones faim. 110, 173 Factor. IT. tio, 204 de 332 común a todos los términos. 20 l Factores primos. 36 Faetoriaaciún. 35. 204 GI flüfllfiflïo. 35 de polinomios. 204 9€ UH bìflflmifir 213 . 435 Clífflfflit 'ii ¿C llfl CI Hhdradfl. 204 diferencia de cubos. 436 Fomia decimal de los números lflfiíflflfilfifi 54 Lin ms mraiclas. 31! suma de. 43 reales. S9 Palanca. 155 Mayor o igual a. 168 que, 4 Máitimu divisor común. 39 factor errrniin, 39. 201, 229 Menor o igual a, [68 que, 4, las Minimo común denominador. =l 1. 241 múltipio. 44. 238 Minuentto, 'il Mmm ¡¡m_ 155 Multiplicación: de enteros, 29 de expresiones radicales. 375 dc fracciones. 49, 248 Paráh ola. dll ejes, =ll2 linea de simetría. 412 Pares de números, componentes de 292 ordenados de números 292 gráfica de. 292 primer componente. 292 segundo componente. 292 Pendiente de una linea, 30 1 Perinietro dc: un cuadrado, 158 un rectángulo. 158 Perpendicular. 292 Polinomiotsl. 66. 390 de monomioe, 19 constante. 390 ¡k | ¡11|11,¢|'Q5 g¡'¡¡¢¦ 05. [5 tìllêldfâillfü. 391) cuadnirien, 401 de números racionales. 49 division de. 91. 99 Fracsiéntol. 32. 2:28 ae polinomios, vs. ss., ss ecuacion. 390 algobraicas. 228 por cam, 13 facloriraeion. 204 complejas. 25? Mi ttipfieidad de una FÚlìTlI.Iiil{!i}. 257 comunes. 55 division de. 252 equivalentes. 33. 228 impropias. 5? Pl'9P¡fi$ 57 reducidas. 38. 228 suma de. 234. Í HI ténninos de. 32 mayores. 38 minimos. 38. 223 Grado de un polinomio. IW. JW Grtilìcas: de desigualdades lineales. 336 de ecuaciones cuadráiicas, 411 lineales. 297 de números. 3. 21. 292 de paràbolas. 41! Grupo. 2 391 Negativo de un número. 25 Notación cientifiea de un ninriero. ìotì Numerador. 228 Númerois): combinados. S8 complejos. 385 forma earn siaria. 385 fomia estsindar. 385 forma rectangular. 385 parte itntntinaria. 385 parte rtai. 335 compuestos. JS enteros. 3. lo mpecilioos, IIS generales. no iniagjnarios. 385 puro. 385 i|'¬¦“'._*¦¡,_'i¡¦f†r'|_1l1I""1 ¡Q '_ "fl Íftfi grado de. 99. 390 lineal. 390 minimo común rnúlnplo 238 nnrltiplieacitin tlf. 33 resta de. 90 suma dc. 68 Por ciento.. 137 Porcentaje. 13'? Potencia. 2 Primo relativo. 39 Pfiflfiimì 133 Pfüblflflllìfl con eaiores. 1 $6 de geometria. ISS de meaclas. I4 fl de movimiento. I49 de palancas. 155 de porcentaje. 137 de temperatura. IS2 de !nth:rin_ .'f'.` "i 215' 526 ¡unica df. mr m¬mfi=›, 1+ s mmm. sas e›r.pres ados een palabras. 66. l28. 275. üflhlfi. 391 s me im a¢ _a¢siaw›1dfld=f›. 172 ¿ff ¢¢"fi¢'Ú“'5› U2 33,5' 4,07 méginm, 366 Subwfljünlm. 9 ¢ ualuaçiòn (Ig, fifi IHIIIIÍPÍÍCÍÚEIÉ, 391 Sübãllatflflll» 70 wfww 36'* S*1'11fl› 16 22 mm. nu nllmérieus. 132 que se refieren a númems. 132 ' . 154 H “ md* fmúf' .1¢ ef. Pfififiìpfll 355 Reeíprneus. 49. 335 R ' ` . 3 R§2,,2:fï'Íúm,¢,m_ 5,5 R¢|a¢ian de mm. ms Pumg dç gpuìfg n fulcrú, 155 i . Wüfliüåâflfi, 170 1 ¿3 d* W595 435 "rm ¢= ¡nm =: 5. las TW@ <'° Püfiflflflfi 4*" ftlflåfllïififllfll dt' lil H.|'IU'I1I¦1IC&, 35 SB. mnimìï 4': Ífl, 22, ña Ram. 19 Cfiìflfidflfilfi HUIHÉTÍCÚ df. Ñ de una framtióll. 32 leeienaumeian aa dcmminaum. :sz Ra¿¡,_,.¿|¿fi¡_ mg 355 _ _ äcmlplane. 33'? 1 ` “'ì¡“¿'9“16 B fuma fizmmr a¢. 369 Mim. d._._ zm 3@ Sisflflfi df flswvfiflfifl 73 simmia. 412 _ 'B“a' 69 m§›f_m'. 33 0r,¿¡m de. 3,55 Sìmplilìcaeiòn de fraeemnee. 38. 228 nnmmu. 33. 223 mu ml; sm m wn .mr 1.1 31. 2. 54 simplifieaeiòn. 370 Rauimau. sae R ' 'tf _ .mr määfimlmm i Rai: ' mdmaa. sw. 209. sea eeerdcnacfl D, 292 Tnnemm, 66 flflmflfl ïåz ffifilflfli' “W~ de umiglmdaafi. 133. 339 valer ammuxo. se lfldefifflbìflfl 2 '“"” '¬'“'°'E~ 7 2'” 4., .,,_¬E.;¡;.n.ä_ :.11 Impreso en: Tìpográfìea Bnrse. SA. Pino Ne. 343 ¬ I m:. 'H 72 C01. Nueva Santa Mana 06400 Méxien. DJ?. Oelu bre, 1990. 4.11109 ejemplares más sebrantes 90! 074 fiicms. fflflflfimrifm. 218 e:uaeiòn mn. 186 s|s'r|aMA Mêrnuco Prefiios Básicos kilo kiln significa [O00 veces la unidad básica heeln significa 100 veces la unidad basica dee: significa Hi veces la unidad basica IU 1 ff iüflfl hecln deca HF = 100 Ifl 10' deci Iii ' = 1 = 0.1 10 deci significa 0.1 veces la unidad básica ccnli IO": = L = 0.01 me centi significa 0.01 veces la unidad basica mili 10 ' = L ._ 0.001 mou mili significa 0.001 veces la unidad basica Longitud El metro es la unidad basica 1 kiiómetre = 1000 metres 1 hertómclru = IDO metros 1 decámelre = IO metres I km = 1000111 l hm [00 rn I (lam = IO m I deeimeire I dm = 0.1 m I cm : 0.01 m l mm = 0.001 m = lg de melru 1 centímetro = _ . 1 mllimclre = 1 de metru 100 I i íiflfl de rnetrn Volumen [ii Iiirn es la unidad basica I kilniitru I heclnlirrn 1 decaiitrc = 1000 litros = iü 0 Iitres = 10 litros lkl. 1 hi. ldal. == 1000 L 1 HK) l. = ID L I ilecililfn = 1 de Iirre 1 dl. ; 0.1 l. 1 eenliiiire = 1 eL = 0.01 L 10 I . de htrn 100 'I Musa HI grama es ia unidad básica I kiingramu E000 graxnus I kg l Ileetugrarnu = ltiti granms I deeagramn _ I decrgrame I ¡tg _ IO grarnus I dag I = 1 Ó de grama n_n. í. 1 _... 'ri de I eentigrarriu Tâ G de granie I eg l miligramu 1 I mg de _s_.f_..ramn tuna g 100 2. Hi 11 O.Ig 0.01 g = fJ.tiU¡ g IÚÚÚ Algunas Comparaciones Aprnxirnadas Entre los Sistemas Mritricu e Ingles (snnbuin significa “es aprnuiimadameme igual a“). Longitud 1 pulgada i pie 2.54 eemimetrus 3il.48 centinlclres I cenlimelru tì 39 df.. pulgada I cenlimetrcr ti [H de ¡nc l guarda 0.' Jl de melru I melru LD9 de yardas I milla 1.61 I zilúrnetrns I kilúnielru ti 62 de milla Volumen I pinta 0.48 de litro I euarte de galón 0.95 de Iitru I galón 3.79 Iitrus l Iilru I litre 1 litro Peso I I I I unaa es el peso de 28.35 grarne s enaa :reg: es el ne su de 3I.l granies libra es el ¡iesu de 453.6 gramos libra es el pese de 0.45 de un kilugranm 2.08 pintas 1.05 euarlus de gaien (1.26 ch. ealnn Musa I I I I grama pesa 0.04 de unaa gramo pesa 01102 de libra kiiogramn pesa 2 2 libras kilcgrarnu pesa 0 001! tunetadas teoria] I. Otros Libros de Grupo Editorial Iberoamérica: I Álgebra y trigonometría con geometría analítica 2Ie. Ear W. Swokowski ¢ Álgebra Lineal 2le. Stanley I.. Grossman ° Cálculo con geometria analítica 2Ie. Earl W. Swokowski ~ Cálculo con geometria análitica Dennis G. Zill ~ Ecuaciones diferenciales 2Ie. Dennis G. Zill I Elementos de muestreo Richard L. Schealfer 1 Matemáticas para administración y economia Emest F. Haeussler 0 Estadística elemental Robert Johnson › Estadistica para administradores William Mendenhall flly Gmrpo Editorial Iberoamérica Wadsworth InternacionaIllberoamårica s. " asii" 5.; Ú` 1].¬ f§_ ”§iÉ 's ïiifih * Á' 1' \\\\\\\\\\ui ~ ¡uiài 1 T :f :sia I *“'“ f' «.I 'I l 'Í I1'I OI I IUIÓIWI I i I

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