TEMA 01 FACTORIZACIÓN APRENDIZAJE Y SUPERACIÓN: Factor Primo: Si admite por divisores a 1 y a si mismo. Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Por supuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidad de fracasos que a través de ellos aseguran el éxito. Así: P( x ;y ) = xy 2 Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en la vida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador. La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que no ha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce un tema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanente desarrollo. No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitido para aquellos que tienen la osadía de buscar su superación día a día. CONCEPTOS PREVIOS: Factor: Es todo polinomio que divide en forma exacta a otro polinomio. Así: P( x; y ) Sus Factores son: P1( x; y ) = 1 } P2 ( x; y ) = x P3( x; y ) = y P4 ( x; y ) = y 2 únicos factores primos P5( xy ) = xy P6 ( xy ) = xy 2 FACTORIZACIÓN DEFINICIÓN: Consiste en transformar un polinomio, en una multiplicación indicada de factores primos sobre un determinado campo numérico. OBSERVACIONES Un polinomio está sobre un determinado campo numérico si sus coeficientes pertenecen a dicho campo numérico. Así: P( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 en Ζ (enteros) = xy Sus Factores son: P1( x; y ) = 1 P =x 2 ( x; y ) P3( x; y ) = y P4( xy ) = xy Factor Algebraico: Es todo polinomio de grado no nulo que divide en forma exacta a otro polinomio. Así: P( x; y ) = x( y − 1) Sus Factores son: P1( x; y ) = 1 → No es factor algebraico P2 ( x; y ) = x P3( x; y ) = y − 1 P4 ( x; y ) = x( y − 1) Q( x ) = 5 x 3 + 3 x 2 − 1 x +1 2 En IR (reales) R ( x ) 3 x 2 2ix i3 en C (complejos) Factor primo o polinomio irreductible es todo polinomio de grado no nulo (no constante) que no se puede expresar como la multiplicación de dos o más factores. Así: P( x ) = x 2 − 4 no es primo pues: P( x ) ( x 2) ( x − 2) Q( x ) = x − 6 es primo R( x ) = x 2 + 1 es primo 59 ÁLGEBRA La factorización de un polinomio lo realizamos en el campo de los números enteros (Z) es decir los factores primos deben presentar únicamente coeficientes enteros. Así: Factorizar en Z: 9 x 2 - 4y 2 (3 x 2y )(3 x - 2y ) Aspa Doble Especial: Forma general Coeficientes enteros 4n 3n 2n n P( x ) ax bx cx dx f Factorizar en IR: 2 x 2 −3y 2 ( 2 x 3 y )( 2 x − 3 y ) Procedimiento Paso 1: Aspa simple a los términos: t1; t2 y t3 Paso 2: Aspa simple a los términos : t3; t5 y t6 Paso 3: Aspa simple de comprobación: t1; t4 y t6 Paso 4: Los factores se adoptan horizontalmente t1 t2 t3 t4 t5 Si le faltase un término, completar con el cero Coeficientes reales Procedimiento Factorizar en C: 4 x 2 1 ( 2 x i)( 2 x - i) Paso 1: Descomponer los términos “t1” y “t5” de modo que el producto en aspa determine un término cuadrático. Coeficientes complejos Paso 2: Descomponer el término que resulta de hacer la diferencia del término central y el término cuadrático obtenido en el paso 1. Todo polinomio de primer grado: P( x ) ax b ; es irreductible en cualquier campo numérico. Así: P( x ) = 4 x − 3 R( x; y ; z ) Q( x; y ) = x + y − 1 = 2x − 3y + 4z Paso 3: Si esta expresión fuese correcta, al multiplicar en aspa debe verificar los términos segundo (t2) y cuarto (t4). Paso 4: Los factores se adoptan horizontalmente. DIVISORES BINÓMICOS Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a tres. Son Polinomios Irreductibles CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN Procedimiento: Factor Común: Se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente. Agrupación: Se seleccionan convenientemente los términos de tal manera que genere un factor común. Identidades: Es la aplicación inmediata de algunos productos notables. Aspa Simple: Es aplicable generalmente a trinomios. El proceso consta de 3 pasos: - Descomponer los extremos - Prueba de aspa - Escritura de los factores Aspa Doble: Paso 1: Determinar el rango de aquellos posibles valores que anulan al polinomio. Forma general NOTA: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado. 2n n m 2m n m P( x ;y ) ax y cy bx ey dx f t1 t2 t3 t4 t5 t6 Si el coeficiente principal del polinomio es uno (polinomio mónico), se trabaja con ± [Divisores del término independie nte ] Si no es mónico el polinomio, usaremos Divisores del término independie nte ± Divisores del coeficiente principal Paso 2 : En base a estos valores realice evaluaciones hasta conseguir algún valor que logre anularlo. Paso 3: Para conseguir el otro factor o factores. aplicaremos Ruffini cuántas veces sea necesario. Si le faltase un término, completar con el cero 60 ÁLGEBRA PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Factorizar: P( x ) = x3 ( x − 3) + 3 x 2 ( x − 3) indicando el número de factores primos. A) 3 C) 4 B) 2 D) 1 2. Factorizar: P( x ;y ) 15 x 2 11xy 2y 2 16 x 6 y 4 Indicar un factor primo A) 3x + y C) 5x + 2y B) 3x + y + 2 D) 5x – 2y + 2 3. Factorizar: P( x ) x 2 ( x 7) 4 x ( x 7) 4 x 28 Indicando un factor primo. A) x + 1 C) x + 3 B) x + 2 D) x + 8 4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio? P( x ;y ) x 5 y ax 4 y x 3 y ax 2 y A) 1 B) 2 5. Factorizar: C) 3 D) 4 F( x ) = 8 x 6 + 7 x3 − 1 Indicar el número de factores primos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos lineales de p(x). P ( x) = ( x + 4)( x + 2) ( x 3 − 5 ) − (2 x + 6)( x + 4) − x 2 − 4 x A)2 B)12 7. Factorice: C)8 D)4 P( x ) = x 2 (x + 2) 2 + x 2 + 2x − 12 i. Existen 2 factores primos de 2do grado. ii. Existe un factor primo de 1er grado. iii. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos. A) FFF B) FVV C) FFV D) VVV 10. Factorizar: P( x; y ) = x 9 y − x 3 y 7 Indicar un factor primo. 2 2 A) x + xy + y B) x 2 + y 2 C) x 2 - xy - y 2 2 D) x + y 11. Indicar el número de factores primos de: P( x ) ( x 2 7 x 5) 2 3( x 2 1) 21x 2 A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 12. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos de: P( x ,y ) x 2 2 x xy y 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 13. Determine el producto de los coeficientes de uno de los factores primos en p(x;y) p ( x, y )= 2 x 4 − 5 x 2 ( y + 1) − (7 y − 3)( y − 4) A) -8 B) 24 C) 6 D) -42 14. Indicar el número de factores de: P( m;n;p ) ( 2m 3n - p) 2 -14m - 21n 7p -18 A) 2 P( x ) = x 4 -16 Indicar un factor primo. A) x + 4 2 C) x − 2 9. Al factorizar: B) 3 C) 4 D) 5 15. Indicar un factor de: 2 B) x + 4 2 D) x − 4 8. Indicar el número de factores primos de: P( a ) a12 − 6a 8 5a 4 2a 6 − 6a 2 1 A) C) a 6 + 1 a6 − 1 − a2 6 2 B) a + 1 − 5a D) a6 – 1 – a 2 P( x ;y ;z ) = ( x 2 - y 2 - z 2 ) 2 - ( 2yz ) 2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 61
