Questión de Logica 1

Introducción a la Lógica modal
Ramon Jansana
7 de mayo de 2006
2
Índice general
1. Introducción
5
2. El lenguaje de la lógica modal
9
3. La semántica relacional
3.1. Fórmulas válidas y reglas válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Lógicas modales normales
4.1. Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales . . . . . . .
4.2. Relaciones de consecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Relaciones de deducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
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5. Algunos resultados de correspondencia
19
6. Teoremas de completud
6.0.1. L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias
maximales y L-consistente maximales . . . .
6.1. El modelo canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Los teoremas de completud . . . . . . . . . .
6.2. Some more results . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
7. Lógica proposicional clásica
7.1. Lenguaje formal . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Cálculo de secuentes . . . . . . . . . . . .
7.3.1. El cálculo LK para la lógica clásica
7.3.2. Corrección de LK . . . . . . . . . .
7.3.3. La relación de deducibilidad . . . .
7.3.4. El teorema de completud . . . . .
8. Lógica Intuicionista
8.1. El lenguaje de de la lógica
8.2. Semántica de Kripke . . .
8.3. El cálculo LJ . . . . . . .
8.4. Teorema de completud . .
intuicionista
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primas, relativamente
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ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Introducción
El inicio de la lógica modal se puede retrotraer al análisis de Aristóteles de los enunciados
que contienen los términos “necesario” y “posible”. Los lógicos medievales continuaron el
análisis de estos términos pero estudiaron también otras modalidades como por ejemplo las
epistémicas. La lógica modal moderna en sus comienzos (C.I. Lewis, Hugh McColl...) se
ocupó de las modalidades “necesario” y “posible” tratadas por Aristóteles, pero pronto se
ocupó de otras modalidades. Hoy en dı́a lo que se conoce, en sentido amplio, como lógica
modal trata de una variedad de modalidades que incluye además de las tradicionalmente
consideradas otras modalidades que han surgido en las ciencias de la computación y en el
estudio de los fundamentos de las matemáticas.
Brevemente podemos decir que
una modalidad es una expresión que aplicada a una oración S proporciona una
nueva oración sobre el modo en que S es verdadera o sobre el modo en que es
aceptada
Por ejemplo sobre cuando es verdadera, donde es verdadera, cómo es verdadera, en que
circunstancias es verdadera; o sobre el modo en que un sujeto o colectividad la acepta:
como conocida, creida, demostrada, etc.
Las modalidades usualmente se dan en pares de modalidades duales (“necesario” / “possible”, “siempre” / “alguna vez”): “necesario” equivale a “no es posbile que no”, “siempre”
equivale a “no es el caso que alguna vez no”.
La lógica clásica es extensional. Esto significa que vale el principio de sustitución de
equivalentes materiales, o sustitución salva veritate, conocido también como principio de
extensionalidad:
si dos enunciados β y γ tienen el mismo valor de verdad, entonces en todo
enunciado α(p/β) en el que aparezca β, puede sustituirse β por γ y se obtiene un
nuevo enunciado, α(p/γ), con el mismo valor de verdad que el inicial (α(p/β)).
Las modalidades infringen el principio de extensionalidad. Veamos ejemplos.
1. La oración (3) no se sigue de (1) y (2):
(1) 3 + 2 = 5 si y sólo si Juan Carlos I es rey de España
(2) Es necesario que 3 + 2 = 5
(3) Es necesario que Juan Carlos I es rey de España.
5
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
2. La oración (6) no se sigue de (4) y (5):
(4) Felipe de Borbón es rey de España si y sólo si Paris está en Australia
(5) En el futuro Felipe de Borbón será rey de España
(6) En el futuro Paris estará en Australia
3. Del mismo modo, la oración (9) no se sigue de (7) y (8):
(7) El autor de El Quijote es el autor de El Quijote si y sólo si el autor de El Quijote
es Cervantes
(8) Juan cree que el autor de El Quijote es el autor de El Quijote
(9) Juan cree que el autor de El Quijote es Cervantes.
4. La oración (12) no se sigue de (10) y (11)
(10) 3+2 = 5 si y sólo si no hay un número primo mayor que todos los demás números
primos
(11) Juan sabe que 3 + 2 = 5
(12) Juan sabe que no hay un número primo mayor que todos los demás números
primos.
La razón de que el principio de extensionalidad falle en los ejemplos 1 y 2 anteriores se
explica por el hecho de que el valor de verdad de las oracioness (2), (3), (5), (6) no depende,
a diferencia de lo que ocurre con las oraciones (1) y (4), únicamente de lo que ocurre en
la situación en que se evalua la oración, sino que depende también de lo que ocurre en las
situaciones alternativas pertinentes en cada caso. Por ejemplo, el valor de verdad de (3) no
depende sólo de si Juan Carlos I es o no rey de España, depende de si lo es en situaciones
alternativas a la actual. Que (3) sea verdadero significa que en cualquier situación posible
(no sólo en la actual) Juan Carlos I es rey de España. Puesto que esto no es asi, (3) es
falsa. Análogamente, el valor de verdad de (6) no depende de si ahora Parı́s está o no en
Australis, depende de si en algún momento futuro será el caso que Parı́s está en Australia.
Puesto que ésto no es ası́, (6) es falsa.
Un listado de modalidades
Modalidades aléticas: necesario, posible, imposible
Modalidades temporales: siempre, nunca, siempre en el pasado, siempre en el futuro,
en algún momento futuro, en algún momento pasado, a partir de ahora, etc.
Modalidades deónticas: es obligatorio, está permitido, está prohibido, es legal, etc.
Modalidades doxásticas: j cree que, se cree que.
Modalidades epistémicas: j sabe que, se sabe que, todos saben que, etc.
Modalidades de la lógica dinámica: después de que la computación se acabe, durante
la computación, el programa permite que, etc.
Modalidades de la metalógica: es válido, es satisfacible, es demostrable, es consistente,
es demostrable en la teorı́a T .
Modalidades espaciales: en todas partes, en alguna parte, etc.
7
La semántica relacional
La semántica relacional para las lógicas de las diferentes modalidades considera seriamente la idea expresada antes. Dada una modalidad 2 y un enunciado ϕ (interperetado en
la situación actual), el valor de verdad del enunciado 2ϕ en la situación actual w, o en el
estado actual w, depende de lo que ocurre en situaciones (o estados) alternativas(os) a w.
Las situaciones alternativas, o posibles, se respresentan en esta semántica r por puntos; que
a menudo se han llamado mundos posibles. Y la relación de ser una alternativa se representa
entonces por una relación entre puntos. Por esta razón esta semantica se conoce como relacional, y frecuentemente también, en particular en los cı́rculos de filosofı́a analı́tica, como
semántica de mundos posibles.
La semántica de mundos posibles para las modalidades aléticas la introdujo Carnap, y
para las modalidades temporales Prior. La semántica relacional tal como la formulamos hoy
en dia la introdujeron, independientemente uno de otro, Kripke, Hintikka y Kanger, aunque
el tratamiento de Kripke es el mas general. Implı́citamente se halla en un artı́culo mucho
anterior de Jónsson y Tarski.
La semántica relacional tal como la presentó Kripke es completamente general, en el
sentido de que es aplicable a multitud de modalidades. En este caso los modelos constan
de:
1. Un conjunto no vacı́o de puntos que representan las situaciones pertinentes. Cada una
de ellas puede ser la actual.
2. Una relación R entre puntos que indica que situaciones son alternativas a cuales.
3. Una interpretación que en cada situación establece qué enunciados son verdaderos y
cuales falsos de modo que 2ϕ es verdadero en una situación w sii ϕ es verdadera en toda
situación w0 tal que wRw0 .
A pesar de que he usado la palabra ‘situación’ más a menudo que la expresión ‘mundo
posible’, he usado ambas expresiones metafóricamente, como por otra parte es muy común.
También es frecuente utilizar con el mismo propósito la expresión ‘estado de cosas’ (state
of affairs). Con el uso de estas expresiones no se pretende sugerir ni mucho menos que se
dispone de una concepción de lo que es una situación o lo que es un mundo posible, ni que
tdisponer de una tal concpión sea necesario para elaborar la semántica relacional. De hecho,
la semántica relacional es compatible con diferentes concepciones de lo que puede ser desde
un punto de vista metafı́sico un mundo posible, incluso es compatible con concepciones que
niegan, desde este punto de vista metafı́sico, los mundos posibles.
Conviene observar una caracterı́stica importante de la semántica relacional de mundos
posibles. En cada punto, bajo cada interpretación, cada fórmula tiene un valor de verdad
(es verdadera o falsa). Debido a esta caracterı́stica a veces puede parecer más apropiada la
metáfora de los mundos posibles que la de las situaciones puesto que, según una actitud
realista, en el mundo está determinado de cada enunciado si es verdadero o falso, pero en
una situación no tiene porque ser ası́.
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capı́tulo 2
El lenguaje de la lógica modal
El lenguaje de la lógica modal proposicional es una extensión del lenguaje de la lógica
proposicional clásica. Se obtiene de éste añadiendo dos operadores modales. Las conectivas
∧, ∨, → de la lógica clásica y las constantes proposicionales ⊥, > se siguen interpretando
intuitivamente del modo en que se hace en lógica proposicional, es decir como funciones de
valores de verdad. Los operadores modales pueden interpretarse intuitivamente de muchas
maneras, según la modalidad que se pretenda tratar. Uno de ellos se interpreta como una
modalidad y el otro como la modalidad dual. Usualmente se utiliza el cuadrado 2 para
la modalidad universal y el diamante 3 para la existencial. Ası́ si entendemos 2 como “es
necesario”, 3 se entenderá como “es posible”; si entendemos 2 como “siempre en el futuro”,
3 se entenderá como “en algún momento futuro”, y si entendemos 2 como “es demostrable
en la aritmética de Peano”, 3 se entenderá como “es consistente con la aritmética de Peano”.
El lenguaje formal de la lógica modal proposicional consta pues del siguiente vocabulario:
1. Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . .
2. Conectivas: ∧, ∨, →
3. Operadortes modales: 2, 3
4. Paréntesis
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas
atómicas son las variables proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las
siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es una fórmula,
2. Si α es una fórmula, lo son ¬α, 2α y 3α
3. Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β)
El sı́mbolo ↔ se define del modo usual en lógica clásica como
ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
El árbol genealógico de una fórmula se define de modo análogo a como se hace en lógica
proposicional (no modal), ası́ como el concepto de subfórmula.
Una fórmula de la forma 2ϕ se lee “cuadrado ϕ” y también “es necesario que ϕ” aunque
no consideremos ninguna interpretación intuitiva. Análogamente una fórmula de la forma
3ϕ se lee “rombo ϕ”, “diamante ϕ” y también “es posible que ϕ”.
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CAPÍTULO 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA MODAL
Ejercicios
1. Interpretando 2 como “es necesario” y su dual 3 como “es posible”, formalice:
1. Es posible que el Barça gane La Liga, pero no es necesario.
2. Es posible que si el Barça gana La Liga, pierda la “Champions”.
3. Si es posible que el Barça gane La Liga, es necesario que la pierda el Valencia.
4. Si el Barça pierde La Liga, es necesario que la gane el Valencia.
5. No es posible que el Barça gane La Liga, pero es posible que gane la copa de la UEFA.
6. Es posible que el Valencia gane La Liga y posiblemente es necesario que sea ası́.
7. Es imposible que que el Barça y el Valencia ganen La Liga.
2. Interpretando 2 como “siempre en el futuro” y su dual 3 como “alguna vez en el futuro”,
formalice:
1. El Barça ganará siempre La Liga.
2. Si el Barça gana alguna vez La Liga, siempre perderá la “Champions”.
3. Siempre ocurrirá que si el Barça gana La Liga, la perderá el Valencia.
4. Si el Barça pierde alguna vez La Liga, siempre la ganará el Valencia.
5. No siempre ocurrirá que el Barça gane La Liga, pero alguna vez ganará la copa de la
UEFA.
6. No siempre ocurrirá que el Barça o el Valencia ganen La Liga.
Instancias de sustitución
Dada una fórmula α una instancia de sustitución de α es cualquier fórmula que se obtiene
reemplazando simultánemente alguna o todas las letras proposicionales que aparecen en α
por fórmulas. Asi (r ∧ p) → ¬r es una instancia de sustitución de p → q. También es una
instancia de sustitución de (r ∧ q) → p y de (p ∧ q) → r, entre otras.
Capı́tulo 3
La semántica relacional
Presentamos la semántica relacional para el lenguaje de la lógica modal proposicional.
Primero definiremos los modelos y después, para cada modelo. la relación de verdad de una
fórmula en un punto del modelo.
Un marco (de Kripke) es una estructura F = hW, Ri donde
1. W es un conjunto no vacı́o y
2. R es una relación binaria en W .
Los elementos de W se llaman los puntos, los ı́ndices, los mundos posibles o los estados del
marco. Utilizaremos indistintamente todos estos términos.
Un modelo (de Kripke) es una estructura M = hW, R, V i, donde
1. hW, Ri es un marco y
2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto de W .
Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco hW, Ri, y que el
modelo hW, R, V i es un modelo sobre hW, Ri.
Dado un modelo M = hW, R, V i, la definición de fórmula verdadera en un punto
w ∈ W es la siguiente:
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
|= p sii w ∈ V (p), para cada letra proposicional p
|= (ϕ1 ∧ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 y M, w |= ϕ2
|= (ϕ1 ∨ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 o M, w |= ϕ2
|= (ϕ1 → ϕ2 ) sii M, w 6|= ϕ1 o M, w |= ϕ2
|= ¬ϕ sii M, w 6|= ϕ
|= 2ϕ sii para cada v ∈ W tal que wRv, M, v |= ϕ
|= 3ϕ sii existe v ∈ W tal que wRv y M, v |= ϕ
Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula o que la fórmula
es satisfecha en el punto. Con V (ϕ) se denota el conjunto de puntos en que ϕ es verdadera.
Si ϕ es verdadera en todo punto de M se dice que es válida en M. Dado un marco F, se
dice que ϕ es válida en F si ϕ es válida en todo modelo hF, V i sobre F. Una fórmula es
válida en una clase de modelos M si es válida en cada uno de sus elementos. Análogamente
se dice que una fórmula es válida en una clase F de marcos.
Observación 1. 2ϕ es equivalente a ¬3¬ϕ y 3ϕ es equivalente a ¬2¬ϕ. Es decir, en
todo modelo y en todo punto ámbas son verdaderas o ambas falsas.
11
12
CAPÍTULO 3. LA SEMÁNTICA RELACIONAL
3.1.
Fórmulas válidas y reglas válidas
La semántica relacional obliga a que ciertas fórmulas sean válidas y a que ciertas reglas
de inferencia preserven la validez. Una fórmula es válida si es válida en todo modelo y una
regla de inferencia preserva la validez si aplicada a fórmulas válidas proporciona fórmulas
válidas.
Proposición 2.
1. Las fórmulas de la forma 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) son verdaderas en todo punto de
todo modelo, por tanto son válidas en todo modelo.
2. Las fórmulas de la forma de una tautologı́a (las instacnias de sustitución de tautologı́as) son válidas en todo modelo.
3. Si ϕ es válida en un modelo, lo es 2ϕ. Ası́ el conjunto de fórmulas válidas en un
modelo está cerrado por la regla de inferencia
ϕ
2ϕ
que se llama regla de necesidad, o también regla de generalización modal.
4. Si ϕ es válida en un marco F, entonces toda instancia de sustitución σϕ de ϕ es
válida también en F. Ası́ el conjunto de fórmulas válidas en un marco está cerrado
por las regla de inferencias
ϕ
σϕ
donde σϕ es una instancia de sustitución de ϕ cualquiera. Estas reglas se llaman
reglas de sustitución.
5. Las fórmulas de la forma 2α ↔ ¬3¬α, y las de la forma 3α ↔ ¬2¬α son verdaderas
en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas.
Capı́tulo 4
Lógicas modales normales
Sea F una clase de marcos. Consideremos el conjunto de fómulas
L(F) = {ϕ : para todo F ∈ F, F |= ϕ}.
De acuerdo con los resultados de la sección anterior L(F) contiene todas las instancias de
sustitución de las tautologı́as, todos los axiomas distributivos (o axiomas K) y está cerrado
bajo Modus Ponens, la regla de necesidad e instancias de sustitución. Un conjunto de
fórmulas modales con estas caracterı́sticas se dice que es una lógica modal normal.
Definición 3. Una lógica modal normal es un conjunto de fórmulas modales L tal que
1. contiene todas las instancias de sustitución de las tautologı́as
2. contiene todas las fórmulas de la forma
(K)
2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ).
3. contiene todas las fórmulas de las fomas 2α ↔ ¬3¬α y 3α ↔ ¬2¬α,
4. está cerrado bajo Modus Ponens: si ϕ, ϕ → ψ ∈ L, entonces ψ ∈ L
5. está cerrado bajo Necesidad: si ϕ ∈ L, entonces 2ϕ ∈ L,
6. está cerrado bajo instancias de sustitución: si ϕ ∈ L y ψ es una instancia de sustitución
de ϕ, entonces ψ ∈ L.
Ejemplos:
1. Para cada clase de marcos F, L(F) es una lógica modal normal.
2. El conjunto de todas las fórmulas modales es una lógica modal normal
Una lógica modal normal L es una sublógica de una lógica modal normal L0 si L ⊆ L0 ;
es este caso también decimos que L0 es una extensión de L.
Las fórmulas que pertenecen a una lógica modal normal L se llaman a menudo los
teoremas de L.
Lema 4. Si {Li : i ∈ I} es una colección no vacı́a de lógicas modales normales entonces
T
i∈I Li es una lógica modal normal.
13
14
CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES
Puesto que hay lógica modales normales (por ejemplo el conjunto de todas las fórmulas
modales), hay la menor lógica modal normal, que es la intersección de la familia de todas
las lógicas modales normales. Se denota por K en honor a Saul Kripke.
Corolario 5. Para cada conjunto de fórmulas modales Γ, hay la menor lógica modal normal
que contiene a Γ.
Demostración. Sea X la colección de todas las lógicas modales normales que contienen a Γ.
Puesto que hay una lógica modal normal
que contiene a Γ, a saber el conjunto de todas
T
T las
fórmulas, X es no vaı́ca. Por tanto X es una lógica modal normal. Claramente, Γ ⊆ X .
Por
T otra parte, si L es una lógica modal normal ty Γ ⊆ L, entonces L ∈ X . Por tanto,
X ⊆ L.
QED
La menor lógica modal normal que contiene a Γ se denota por L(Γ). Obsérvese que al
estar L(Γ) cerrado bajo instancias de sustitución, toda instancia de sustitución de cualquier
fórmula de Γ pertenece a L(Γ). Ası́, K = L(∅),
Sea L una lógica modal normal. Diremos que un modelo es un modelo de L si todo
teorema de L es valido en el modelo. Análogamente, diremos que un marco es un marco de
L si todo teorema de L es válido en el marco. Dada una lógica modal normal L, consideremos
su clase de marcos
Marc(L) = {F : para cada ϕ ∈ L, F |= ϕ}
es decir la clase de los marcos en los que son válidas todos los teoremas de L. Consideraremos
también la clase de sus modelos
Mod(L) = {hW, R, V i : para cada ϕ ∈ L, hW, R, V i |= ϕ}
Evidentemente:
L ⊆ L(Marc(L))
pero esta inclusión no tiene porque ser una igualdad. Por otra parte,
{hW, R, V i : hW, Ri ∈ Marc(L)} ⊆ Mod(L)
Ahora bien, de que hW, R, V i ∈ Mod(L) no se sigue que el marco hW, Ri pertenezca a
Marc(L). Debe tenerse en cuenta que hW, Ri ∈ Marc(L) si y sólo si para toda valoración V
en hW, Ri, el modelo hW, R, V i ∈ Mod(L).
4.1.
Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales
Dada una lógica modal normal L, un conjunto de fórmulas Σ es un conjunto de axiomas
para L si L = L(Σ), es decir si L es la menor lógica modal normal que incluye a Σ. Se dice
que L es finitamente axiomatizable si tiene un conjunto finito de axiomas.
Dado un conjunto finito Σ de axiomas para L existe un cálculo estilo Hilbert H(Σ) para
L. Consta de los siguientes axiomas:
Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de las tautologı́as,
Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β),
Axiomas propios: las instancias de sustitución de las fórmulas en Σ,
4.1. AXIOMATIZACIONES TIPO HILBERT DE LAS LÓGICAS MODALES NORMALES15
Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α
y de las siguientes reglas de inferencia:
Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β.
Regla de necesidad: de α inferir 2α.
Diremos que las instacias de sustitución de las fórmulas elemento de Σ son los axiomas
propios del cálculo H(Σ).
Una demostración en un cálculo estilo Hilbert es una sucesión finita de fórmulas tal que
cada uno de los miembros de la sucesión o es un axioma del cálculo o se obtiene de fórmulas
anteriores en la sucesión por aplicación de alguna de las reglas de inferencia. Se dice que
una demostración es una demostración de su última fórmula. Una fórmula es demostrable
en el cálculo si hay una demostración (en el cálculo) de ella.
Proposición 6. Si Σ es un conjunto finito de axiomas para L, entonces L es el conjunto
de fórmulas demostrables en el cálculo H(Σ).
La menor lógica modal normal K se axiomatiza mediante el conjunto vacı́o de axiomas.
Su cálculo estilo Hilbert H(∅) consta pues de los axiomas :
Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de las tautologı́as,
Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β),
Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α
y de las siguientes reglas de inferencia:
Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β.
Regla de necesidad: de α inferir 2α.
este cálculo no tiene axiomas propios. Lo denotaremos por HK para recordar que es el
cálculo que axiomatiza la lógica K.
La siguiente proposición nos da una lista de teoremas de la of any normal modal logic.
Proposición 7. Para cualesquiera fórmulas α and β las fórmulas
(1) 2(α ∧ β) ↔ (2α ∧ 2β)
(2) 3(α ∨ β) ↔ (3α ∨ 3i β)
(3) (2α ∨ 2β) → 2(α ∨ β)
(4) 3(α ∧ β) → (3α ∧ 3i β)
(5) ¬2α ↔ 3¬α.
son teoremas de K y por tanto de toda lógica modal normal.
Algunas fórmulas importantes que sirven para axiomatizar las lógicas modales normales
más estudiadas son:
16
CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES
T
4
B
E
D
M
G
L
Grz
2p → p
2p → 22p
p → 23p
3p → 23p
2p → 3p
23p → 32p
32p → 23p
2(2p → p) → 2p, axioma de Löb
2(2(p → 2p) → p) → p
Las lógicas modales normales se suelen denotar con la letra K seguida de las letras de
las fórmulas que las axiomatizan. Por ejemplo KT denota la lógica axiomatizada por la
fórmula T . Por razones históricas, ahy lógicas que se denotan de otro modo. Vamos a dar
una lista de lógicas importantes. Primero daremos su nombre más común.
S4
S5
T
B
GL
D
D4
4.2.
es
es
es
es
es
es
es
la
la
la
la
la
la
la
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
KT 4.
KT 4B, también la KT 4E.
KT
KT B
KL, llamada también lógica de la demostrabilidad.
KD
KD4
Relaciones de consecuencia
Sea L una lógica modal normal. La relación de consecuencia local asociada a L se
define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se
dice que ϕ es una L-consecuencia local de Σ, y escribimos Σ |=lL ϕ, si para todo modelo
hW, R, V i ∈ Mod(L) y para todo w ∈ W tal que para cada ψ ∈ Σ, w sat. ψ ocurre que w
sat. ϕ.
La relación de consecuencia global asociada a L se define como sigue. Sean ϕ una
fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es una L-consecuencia
global de Σ, y escribimos Σ |=gL ϕ, si para todo modelo hW, R, V i ∈ Mod(L) tal que para
cada ψ ∈ Σ, hW, R, V i |= ψ ocurre que hW, R, V i |= ϕ.
4.3.
Relaciones de deducibilidad
A cada lógica modal normal podemos asociar dos relaciones de deducibilidad, la local o
débil y la global o fuerte.
Sea L una lógica modal normal. Una demostración de ϕ a partir de Σ en L es una
sucesión finita de fórmulas cuyos elementos son elementos de L o de Σ, o se obtienen de
fórmulas anteriores en la sucesión por aplicación de la regla Modus Ponens.
Diremos que ϕ es localmente deducible en L, o L-deducible para abreviar, de un
conjunto de fórmulas Σ, en sı́mbolos Σ `L ϕ, si existe una demostración de ϕ a partir de Σ
en L.
De la definición se sigue que si ϕ is localmente deducible de Σ en L, lo es de un subconjunto finito de Σ. Claramente las fórmulas localmente deducibles de el conjunto vacı́o
de fórmulas en L son los teoremas de L.
4.3. RELACIONES DE DEDUCIBILIDAD
17
La relación de deducibilidad local hereda de la lógica clásica algunas de sus propiedades:
Proposición 8 (Teorema de deducción). Para toda lógica modal normal L, todo conjunto
de fórmulas Σ y cualesquiera fórmulas α, β,
si Σ ∪ {α} `L β entonces Σ `L (α → β).
El estudio de la deducibilidad local en L se reduce, gracias al teorema de deducción, al
estudio de los teoremas de L.
Proposición 9. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas β0 , . . . , βn , α,
{β0 , . . . , βn } `L α sii β0 ∧ . . . ∧ β1 → α ∈ L.
Demostración. Recuérdese que la fórmula
(β0 ∧ . . . ∧ β1 → α) ↔ (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .)
es una instancia de sustitución de una tautologı́a.
Supongamos que {β0 , . . . , βn } `L α. El teorema de deducción aplicado reiteradamente
nos da que (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .) es un teorema de L. Utilizando la tautologı́a
anterior obtenemos que lo es (β0 ∧ . . . ∧ β1 → α). La otra implicación se obtiene de la
tautologı́a anterior por aplicación repetida de Modus Ponens.
QED
Lema 10. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas β0 , . . . , βn , α,
si {β0 , . . . , βn } `L α entonces {2β0 , . . . , 2βn } `L 2α.
Demostración. Por la proposición 9. Se deja como ejercicio.
QED
La relación de deducibilidad débil en L es correcta y completa relativamente a la relación
de consequencia local de L, la determinada por la clase de todos los modelos de L. Es decir:
Σ `L ϕ iff Σ |=lL ϕ.
Este resultado se demostrará más adelante.
18
CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES
Capı́tulo 5
Algunos resultados de
correspondencia
Presentamos algunos resultados de la forma
La fórmula α es válida en el marco F sii F tiene la propiedad Φ.
Cuando se dispone de un resultado de este tipo se dice que la fórmula α corresponda a la
propiedad Φ.
Desde la perspectiva que este tipo de resultados introducen se puede afirmar que las
fórmulas modales, y más en general los conjuntos de fórmulas modales, sirven para describir
propiedades de los marcos de Kripke. Los lenguajes modales sirven para este fin. Algunas
clases de marcos pueden definirse mediante fórmulas modales de este modo pero otra no.
Demostraremos algunas de las correspondencias de la tabla que hay a continuación.
2p → p
2p → 22p
p → 23p
2p → 3p
3p → 2p
3p ↔ 2p
R
R
R
R
R
R
es
es
es
es
es
es
reflexiva
transitiva
semétrica
serial
una función
una función con dominio W
Proposición 11. La fórmula 2p → p es válida en un marco F sii la relación R es reflexiva.
Demostración. Supongamos que R es reflexiva. Seat V una valoración en F y sea w ∈ W .
Si 2p es verdadera en w, puesto que wRw, tenemos que p es verdadera en w. Por tanto,
2p → p es verdadera en w. Concluimos pues que 2p → p es válida en F. Para demostrar
la otra implicación, supongamos que 2p → p es válida en F. Sea w ∈ W y consideremso
cualquier valoración V en F al que V (p) = {v ∈ W : wRv}. En tal caso, 2p es verdadera
en w en el modelo hF, V i. Puesto que 2p → p es verdadera en w en el modelo hF, V i, pes
verdadera en w en el modelo hF, V i. Por tanto, w ∈ V (p), con lo cual wRw. Concluimos
que R es reflexiva.
QED
Proposición 12. La fórmula 2p → 22p es válida en un marco F sii la relación R es
transitiva.
19
20
CAPÍTULO 5. ALGUNOS RESULTADOS DE CORRESPONDENCIA
Demostración. La demostración de la parte fácil, que es la implicación de derecha a izquierda se deja como ejercicio. Para demostrar la otra implicación, supongamos que 2p → 22p
es válida en F y que w, v, u ∈ W son tales que wRv and vRu. Sea V una valoración en
F tal que V (p) = {x ∈ W : wRi x}. Claramente, 2p es verdadera en w en hF, V i. Puesto
que por suposición 2p → 22p también es verdadera en w, 22p es verdadera en w. Por
tanto, 2p ies verdadera en v y p lo es en u. Por tanto, wRu. Concluimos pues que R es
transitiva.
QED
Proposición 13. La fórmula p → 23p es válida en un marco F sii la relación R es
simétrica.
Demostración. Supongamos que p → 23p es válida en F y que w, v ∈ W son tales que
wRv. Sea V una valoración cualquiera tal que V (p) = {w}. Puesto que p y p → 23p son
verdaderas en w, 23p es verdadera en w. Por tanto, 3p es verdadera en v. La única posibilidad de que esto sea ası́ es que vRw. Concluimos pues que R es simétrica. La demostración
de la otra implicación se deja como ejercicio.
QED
Proposición 14. La fórmula 2p → 3p es válida en un marco F sii la relación R es serial
(i.e. para cada w ∈ W existe v ∈ W tal que wRv).
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
Capı́tulo 6
Teoremas de completud
Para cada lógica modal normal disponemos de tres objetos definidos sintácticamente.
La lógica misma, la deducibilidad local asociada y la deducibilidad global.
Como hemos visto, una clase de marcos F define una lógica L(F), el conjunto de las
fórmulas válidas en todo marco de F. Por otra parte, una lógica L puede utilizarse para
definir la clase de marcos Marc(L) cuyos elementos son los marcos en que todo teorema de
L es válido.
Dada una lógica L es natural preguntarse si la lógica L(Fr(L)) es o no igual a L. Es
claro que L ⊆ L(Fr(L)). La otra inclusión es la problemática. Se cumple para unas lógicas
y para otras no.
Podemos formular la pregunta análoga respecto a los modelos. A cada lógica L le corresponde la clase de modelos Mod(L), la de los modelos en los que todos los teoremas de L
son válidos. Para cada lógica L, podemos preguntarnos si el conjunto Val(Mod(L)) de todas las fórmulas válidas en todos los modelos en Mod(L) es igual o no a L. Es claro que
L ⊆ Val(Mod(L)). En este caso la otra inclusión se cumple para toda lógica.
Una lógica modal normal L se dice que es completa respecto a marcos si L = L(Marc(L)).
Una lógica L se dice que está determinada por una clase de marcos F si L = L(F).
La observación siguiente es importante.
Proposición 15. Si una lógica está determinada por alguna clase de marcos entonces es
completa respecto a marcos.
Demostración. Supongamos que L está determinada por la clase de marcos F. Entonces,
F ⊆ Fr(L). Por tanto la lógica de la clase de marcos Fr(L) está incluida en la lógica de la
clase de marcos F. Puesto que esta última lógica es L, concluimos que L = L(Marc(L)), en
otras palabras que es completa respecto a marcos.
QED
Una lógica se dice que es completa respecto a modelos si L = Val(Mod(L)). Como
veremos toda lógica es completa respecto a modelos.
Los teoremas de corrección para las relaciones de deducibilidad asociadas a una lógica
normal L son los siguientes:
Teorema 16. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ
si Σ `L ϕ, entonces Σ |=lL ϕ.
21
(6.1)
22
CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD
Teorema 17. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ
si Σ `gL ϕ, entonces Σ |=gL ϕ.
(6.2)
Procedemos a demostrar el primer teorema. Supongamos que Σ `L ϕ. Sea ϕ0 , . . . , ϕn
una demostración en L de ϕ a partir de Σ. Demostremos por inducción completa que para
cada i si i ≤ n, Σ |=lL ϕi . Supongamos que para todo k ≤ i ocurre que si k ≤ n, entonces
Σ |=lL ϕk . Supongamos que i ≤ n y veamos que Σ |=lL ϕi . Si ϕi ∈ Σ, es claro. Si ϕi ∈ L,
también pues en tal caso ϕi es verdadera en todo punto de todo modelo se L, en particular
en los puntos en los que las fórmulas de Σ son veraderas. Si ϕi se obtiene por Modus
Ponens de fórmulas anteriores, digamos ϕm y ϕl , supongamos que ϕl es ϕm → ϕi . Entonces
m, l ≤ i ≤ n. Por tanto por la hipótesis inductiva Σ |=lL ϕm y Σ |=lL ϕm → ϕi . Supongamos
que hW, R, V i es un modelo de L y w ∈ W es tal que toda fórmula de Σ es verdadera en
w. Entonces ϕm y ϕm → ϕi son verdaderas en w. Por tanto lo es ϕi . Concluimos pues que
Σ |=lL ϕi .
Se deja como ejercicio la demostración del otro teorema de corrección.
6.0.1.
L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas, relativamente maximales y L-consistente maximales
Por comodidad abreviemos una contradicción fijada, por ejemplo p ∧ ¬p con ⊥. Asi en
todo modelo M y en todo punto w del modelo, M, w 6|= ⊥.
Una logica modal normal es consistente si no es el conjunto de todas las fórmulas. Asi,
Lema 18. Una lógica modal normal L es consistente sii ⊥ 6∈ L
Demostración. Observemos que ⊥ → ϕ es de la forma de una tautologı́a, para cada fórmula
ϕ. Por tanto ⊥ → ϕ ∈ L. Por tanto si ⊥ ∈ L, puesto que L esta cerrada por Modus Ponens,
ϕ ∈ L. Asi si ⊥ ∈ L, L no es consistente. Por otra parte si L no es consistente, puesto que
toda fórmula pertenece a L, ⊥ ∈ L.
QED
Fijemos una lógica modal normal consistente L.
Lema 19. Para cada fórmula ϕ,
1. ¬ϕ `L ϕ → ⊥
2. ϕ → ⊥ `L ¬ϕ
3. ⊥ `L ϕ
Demostración. 1. Tenemos que ¬ϕ → (ϕ → ⊥) es una tautologı́a. Por tanto pertenece a L.
Utilizando Modus Ponens obtenemos que ¬ϕ `L ϕ → ⊥.
2. Se demuestra de modo análogo.
3. Se deja como ejercicio.
QED
Lema 20. Para cada fórmula ϕ,
1. Si Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn y {ϕ0 , . . . , ϕn } `L ψ, entonces Σ `L ψ.
2. Si Σ `L ϕ y Σ `L ϕ → ψ, entonces Σ `L ψ.
23
3.
Demostración. (1) Supongamos que Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn . Sea para cada i ≤ n Di una
demostración en L de ϕi a partir de Σ. Sea D una demostración en L de ψ a partir
de {ϕ0 , . . . , ϕn }. Claramente la concatenación D0 . . . Dn D de las demostaciones es una
demostración en L de ψ a partir de Σ.
(2) Utilizaremos (1). Es claro que {ϕ, ϕ → ψ} `L ψ. Entonces si Σ `L ϕ y Σ `L ϕ → ψ,
por (1) obtenemos que Σ `L ψ.
QED
Lema 21. Si Σ `L ϕ, entonces para cada conjunto de fórmulas ∆, Σ ∪ ∆ `L ϕ.
Demostración. Toda demostración de ϕ en L a partir de Σ es también una demostración
de ϕ en L a partir de Σ ∪ ∆.
QED
Un conjunto Σ de fórmulas es L-consistente si Σ 6`L ⊥. En caso contrario se dice que
es L-inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente que Σ es L-inconsistente si
y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
Lema 22. Σ `L ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente.
Demostración. Si Σ `L ϕ, puesto que Σ ∪ {¬ϕ} `L ϕ → ⊥, obtenemos que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥,
es decir que Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente. Por otra parte, si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente,
Σ ∪ {¬ϕ} `L ⊥. Por tanto, por el teorema de deducción, Σ `L ¬ϕ → ⊥. Ahora bien,
¬ϕ → ⊥ `L ϕ. Por tanto Σ `L ϕ.
QED
Lema 23. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ.
Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ, en particular Σ `L ⊥, por lo que es Linconsistente. Si Σ es L-inconsistente, Σ `L ⊥. Por tanto, puesto que para toda fórmula ϕ,
⊥ `L ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ.
QED
Un conjunto de fórmulas Σ es una L-teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que Σ `L ϕ
ocurre que ϕ ∈ Σ.
Una L-teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6`L ϕ y para toda fórmula ψ 6∈ Σ,
Σ ∪ {ψ} `L ϕ.
Una L-teorı́a Σ es prima si es L-consistente y para cualesquiera fórmulas ϕ, ψ, si ϕ∨ψ ∈
Σ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ.
Una L-teoria Σ es relativamente maximal si hay una fórmula ϕ tal que Σ es ϕrelativamente maximal.
Una L-teorı́a Σ es L-consistente maximal si es L-consistente y para cada fórmula
ϕ 6∈ Σ, Σ ∪ {ϕ} es L- inconsistente.
Lema 24. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que Γ 6`L ϕ, entonces
existe una L-teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ.
24
CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD
Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . . de las fórmulas del
lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . ,
Σn , . . . tal que
1. Σ0 = Γ
2. Para cada n, Σn 6`L ϕ
3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1
La definición de la sucesión es:
Σ0
=
Σn+1
=
Γ
Σn
Σn ∪ {ψn }
si Σn ∪ {ψn } `L ϕ
si Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ
Claramente se cumplen las condiciones deseadas. Sea
[
Σ=
Σn
n
Es decir, para cada fórmula ψ,
ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn .
Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal.
1. Σ 6`L ϕ. En efecto, si Σ `L ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ `L ϕ. De la condición 3
anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆ ⊆ Σn . Por tanto, Σn ` ϕ. Pero
esto contracide la condición 2 anterior.
2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ∪{ψ} `L ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ y que Σ∪{ψ} 6`L ϕ
Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ. Por tanto ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es
absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} `L ϕ.
QED
Corolario 25. Para cada conjunto de fórmulas Σ y cada fórmula α, Σ `L α sii α pertenece
a toda L-teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ.
Demostración. Si Σ `L α y Γ es L-teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ, entonces
Γ `L α. Por tanto α ∈ Γ. Por otra parte, si Σ 6`L α entonces hay L-teorı́a Γ α-relativamente
maximal tal que Σ ⊆ Γ. Puesto que α 6∈ Γ, tenemos que α no pertenece a toda L-teorı́a
relativamente maximal que incluye a Σ.
QED
Proposición 26. Sea Σ una L-teorı́a. Son equivalentes
1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ.
2. Σ es prima
3. Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
4. Σ es L-consistente maximal.
Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos
que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} `L ϕ y
Σ ∪ {δ} `L ϕ. Por el teorema de la deducción Σ `L ψ → ϕ y Σ `L δ → ϕ. Además
(ψ → ϕ) → ((δ → ϕ) → ((ψ ∨ δ) → ϕ)) es instancia de sustitución de una tautologı́a. Por
tanto pertenece a L. Se sigue que Σ `L (ψ ∨ δ) → ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} `L ϕ. Esto
6.1. EL MODELO CANÓNICO
25
implica que, Σ `L ϕ, pero esto no es posible al ser Σ ϕ-relativamente maximal. Ası́ ψ ∈ Σ
o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una L-teorı́a prima.
2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es L-consistente. Además, para cada
ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
3 implica 4. Supongamso que Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
Supongamos que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es
L-consistente maximal.
4 implica 1. Si Σ es L-consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es ϕ-relativamente
maximal.
QED
Proposición 27. Para todo conjunto de fórmulas L-consistent y maximal Σ,
(1) Si Σ `L α, entonces α ∈ Σ,
(2) α ∧ β ∈ Σ sii α ∈ Σ and β ∈ Σ,
(3) α ∨ β ∈ Σ sii α ∈ Σ o β ∈ Σ,
(4) α → β ∈ Σ sii α 6∈ Σ o β ∈ Σ,
(5) ¬α ∈ Σ sii α 6∈ Σ.
Demostración. Se deja como ejercicio.
6.1.
QED
El modelo canónico
Para motivar la definición del modelo canónico consideremos un modelo cualquiera
hF, V i. Dado w ∈ W observemos que el conjunto
Σ(w) = {α : hF, V i, w |= α}
es un conjunto maximal K-consistente que contiene toda fórmula válida en el modelo. Ası́,
si el modelo es un modelo de L, Σ(w) es L-consistente.
Puede ocurrir que existan w, w0 ∈ W distintos que no se puedan distinguir mediante una
fórmula modal, es decir que tengan la propiedad de que los conjuntos Σ(w) y Σ(w0 ) sean
el mismo. Desde este punto de vista podemos decir que un conjunto de fórmulas maximal
K-consistente caracteriza un tipo de estado o de mundo posible.
Un tipo de estado es compatible con una lógica L si todo teorema de L pertenece a él.
El conjunto de estados del modelo canónico para una lógica L consiste en todos los tipos de
estados compatibles con L. Una fórmula será verdadera en un estado del modelo canónico
si y sólo si pertenece al estado. De este modo, puesto que si una fórmula α no es un teorems
de L, el conjunto L ∪ {¬α} es L-consistente, habrá un conjunto maximal L-consistente tal
que incluye a L ∪ {¬α}, por tanto α no será válida en el modelo canónico.
Para explicar como definir la relación de accesibilidad del modelo canónico de una lógica
modal normal L, consideremos un modelo hF, V i de L y observemos que si w, v ∈ W son
tales quet wRv entonces {α : 2α ∈ Σ(w)} ⊆ Σ(v). Tomaremso esta urltima condición como
la condición para definir la relación de accesibilidad del modelo canónico.
La definición del modelo canónico deuna lógica modal normal es la siguiente.
26
CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD
Sea L una lógica consistente. Definamos el conjunto de estados del modelo canónico por:
WL = {∆ : ∆ es un conjunto maximal L-consitent de fórmulas },
y la relación RL en WL por
∆RL ∆0 sii {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0 .
El marco FL = hWL , RL i es el marco canónico de L. El modelo canónico de L es el
modelo ML = hFL , VL i, donde VL es la valoración en el marco canónico de L definida por:
VL (p) = {∆ ∈ WL : p ∈ ∆},
para cada letra proposicional p.
El resultado principal sobre el modelo canónico de L es el lema fundamental.
Lema 28 (Lema Fundamental). Parta todo conjunto maximal y L-consistente de fórmulas
∆ y toda fórmula α,
hFL , VL i, ∆ sat. α sii α ∈ ∆.
Demostración. Se demuestra por inducción en α. Para las letras proposicionales vale por
la definición de la valoración VL . Para las conectivas se sigue de las propiedades de los
conjuntos maximal L-consistentes del lema 27. para el operador modal se argumenta como
sigue. Observemos primero que gracias a la hipótesis inductiva temenemos que
hFL , VL i, ∆ |= 2α sii ∀∆0 ∈ WL si ∆RL ∆0 entonces α ∈ ∆0
sii ∀∆0 ∈ WL si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 entonces α ∈ ∆0
Ahora, si 2α ∈ ∆ y {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 , claramente tenemos que α ∈ ∆0 . Por tanto
obtenemos la implicación dr izquierda a derecha de la condición que estamos demostrando.
Para demostrar la otra implicación, supongamos que ∀∆0 ∈ WL , si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0
entonces α ∈ ∆0 . Veamos que el conjunto {β : 2β ∈ ∆} ∪ {¬α} no es L-consistente. Si
lo fuera existirı́a un conjunto maximal L-consistente que lo extiende y por la suposición
tendrı́a como elemento a α, lo que no es posible. Por tanto, {β : 2β ∈ ∆} `L α. Sea ahora
{β0 , . . . , βn } ⊆ {β : 2β ∈ ∆} tal que {β0 , . . . , βn } `L α. Entonces, {2β0 , . . . , 2βn } `L 2α,
y puesto que {2β0 , . . . , 2βn } ⊆ ∆, obtenemos que 2α ∈ ∆.
QED
Corolario 29. Para toda lógica consistente L y toda fórmula α,
α ∈ L sii α es válida en el modelo canónico de L.
Demostración. Por el lema 25, una fórmula α ∈ L sii α pertenece a toco conjunto maximal
L-consistente. Por tanto, α ∈ L sii α es verdadera en todo punto del modelo canónico de
L.
QED
6.1. EL MODELO CANÓNICO
6.1.1.
27
Los teoremas de completud
El primer teorema de completitud que demostramos es una consecuencia inmediata del
último corolario. .
Teorema 30. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda fórmula α,
Σ `L α iff Σ |=lL α.
Demostración. La dirección de izquierda a derecha es una consecuencia de que el conjunto
de fórmulas verdadera en un punto de un modelo de L contiene todas las fórmulas de L y
está cerrado bajo Modus Ponens. Para demostrar la otra inclusión supongamos que Σ 6`L α.
En tal caso, el conjunto Σ ∪ {¬α} es L-consistente. Se pues ∆ un conjunto L- consistente
y maximal que lo incluye. Este conjunto es uno de los elementos del modelo canónico de L,
toda fórmula de Σ es verdadera en ∆ y α es falsa en ∆. Puesto que el modelo canónico de
L es un modelo de L, concluimos que Σ 6|=lL α.
QED
Teorema 31. Toda lógica es completa respecto a modelos.
Demostración. Sea L una lógica. Si L es la lógica insonsistente, no tiene modelos. Por
tantoel conjunto de fórmulas válidas en todo modelo de L es el conjunto de todas las
fórmulas. Por tanto es la lógica inconsistente. Si L es consistente, por el último corolario
el modelo canónico de L es un modelo de L. Por tanto si una fórmula es válida en todo
modelo de L, lo es en el modelo canónico de L. Oir tanto es un teorema de L.
QED
Teorema 32. La lógica K es completa respecto a marcos.
Demostración. Puesto que K is la menor lógica modal normal, es claro que todo teorema
de K es válido en todo marco. Ası́, la clase de marcos de K es la clase de todos los marcos.
Pero además, si una fórmula es válida en todo marco, lo es en el modelo canónico de K.
Por tanto es un teorema de K.
QED
Corolario 33. Una fórmula es un teorema de K sii es válida en el marco canónico de K.
El paso fundamental en la demostración de que K es completa respecto a marcos consiste
en la observación de que el marco canónico de K es un marco de K, es decir es un marco en el
que todo teorema de K es válido. Cualquier lógica modal normal que tenga esta propiedad
es completa respecto a marcos. Las lógicas con esta propiedad, las que sus teorems son
válidos en su marco canónico, se llaman canónicas.
Teorema 34. Toda lógica canónica es completa respecto a marcos.
Demostración. Si L es canónica, FL ∈ Fr(L) y por tanto toda fórmula válida en todos los
marcos de L es válida en FL y por tanto en el modelo canónico de L, lo que implica que es
un teorema de L.
QED
28
CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD
Uno de los métodos para demostrar que una lógica es completa respecto a marcos
consiste en demostrar que es canónica. El modo más común de hacerlo consiste en seleccionar
un conjunto de axiomas de la lógica y encontrar una propiedad de los marcos que sea la que
corresponde a los axiomas. Una vez hecho esto se demuestra que el marco del modelo
canónico (el marco canónico) tiene la propiedad. Ası́, demostra la completitud de una
lógica mediante el marco canónico puede verse como una aplicación de un resultado de
correspondencia. A continuación demostraremos que algunas lógicas son completas respecto
a marcos por este método.
Proposición 35. Sea L una lógica.
(1) Si T ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es reflexiva.
(2) Si 4 ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es transitiva.
(3) Si B ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es simétrica.
(4) Si D ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es serial.
Demostración. (1) Supongamos que 2p → p ∈ L. En tal caso, para cada fórmula α, 2α → α
es verdadera en todo punto del modelo canónico. Sea Let ∆ ∈ WL y supongamos que
2α ∈ ∆. Ası́, 2α es verdadera en ∆ y por tanto α es verdadera en ∆ (ya que lo es 2p → p)
. Es decir α ∈ ∆. Concluimos pues que ∆RL ∆.
(2) Supongamos que 4 ∈ L. Por tanto toda fórmula α, 2α → 22α es verdadera en todo
punto del modelo canónico de L. Supongamos que ∆, ∆0 , ∆00 ∈ WL son tales que ∆RL ∆0
y ∆0 RL ∆00 . Si 2α ∈ ∆, entonces esta fórmula es verdadera en ∆ lo que implica que lo es
22α, pues 2α → 22α es verdadera en ∆ . Por tanto, 22α ∈ ∆. Ası́, 2α ∈ ∆0 y α ∈ ∆00 .
Concluimos que ∆RL ∆00 .
(3) Supongamos que B ∈ L. Entonces, para cada fórmula α, α → 23α es verdadera en
todo punto del modelo canonica de L. Supongamos que ∆, ∆0 ∈ WL0 son tales que ∆RL ∆0
y que 2α ∈ ∆0 . Entonces 2α es verdadera en ∆0 con lo que 32α también es verdadera en
∆. De este modo 23¬α es falsa en ∆ y lo es ¬α. Por ello, α es verdadera en ∆ con lo cual
α ∈ ∆. Concluimos que ∆0 RL ∆.
(4) Supongamos que D ∈ L. Entonces, cada fórmula α, 2α → 3α es verdadera en todo
punto del modelo canonica de L. Sea ∆ ∈ WL . Consideremos el conjunto {α : 2α ∈ ∆}.
Este conjunto es L-consistent. De lo contrario, 2⊥ serı́a deducible debilmente (sólo con MP)
de ∆ en L. Pero en tal caso 3⊥ serı́a verdadera en ∆. Por lo que habrı́a un punto en el que
⊥ serı́a verdadera y esto no es posible. Por el lema de Lindenbaum el conjunto {α : 2α ∈ ∆}
puede extenderse a un conjunto L-consistente maximal s∆0 . Entonces, ∆RL ∆0 .
QED
Teorema 36. Cualquier lógica axiomatizada con fórmulas pertenecientes al conjunto
{T, 4, B, D}
es canónica y por tanto completa respecto a marcos. En particular lo son las lógicas KT ,
S4, S5, B, KD.
Demostración. Por los teoremas de correspondencia y la última proposición.
QED
6.1. EL MODELO CANÓNICO
29
Hay lógicas que son completas respecto a marcos pero sin embargo no son canónicas.
Ub ejemplo es la lógica de la demostrabilidad GL
Para conluir la sección demostramos los teoremas de completitud para las relaciones de
deducibilidad global.
Corolario 37. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda fórmula α,
Σ `gL α iff Σ |=gL α.
Demostración. Utilizamos los teoremas anteriores y los resultados que relacionan ña deducibilidad logcal con la global asi como los que relacionan la consecuencia local y la global.
Σ `gL α
iff
iff
iff
2Σ `lL α
2Σ |=lL α
Σ |=gL α.
QED
30
CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD
Capı́tulo 7
Lógica proposicional clásica
Dedicamos este capı́tulo a presentar la lógica proposicional clásica. Primero introduciremos el lenguaje. La elección de las conectivas primitivas y de las constantes proposicionales
que hacemos se debe a que queremos un lenguaje que sirva para formular las diferentes lógicas que estudiaremos durante el curso para poderlas comparar con facilidad. La semántica
que presentamos es la habitual: la de asignaciones de valores de verdad. El cálculo es el
cálculo de secuentes de Gentzen. El capı́tulo finaliza con la demostración del teorema de
completud.
7.1.
Lenguaje formal
El lenguaje formal que hemos escogido para presentar la lógica proposicional consta del
siguiente vocabulario:
1. Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . .
2. Conectivas: ∧, ∨, →
3. Constantes proposicionales: ⊥, >
4. Paréntesis
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas
atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Las fórmulas se
definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es una fórmula,
2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) y (ϕ → ψ).
La negación se introduce del siguiente modo. Si ϕ es una fórmula
¬ϕ := (ϕ → ⊥)
donde := significa que la expresión de la izquierda se define como una abreviación de la
expresión de la derecha.
31
32
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
7.2.
Semántica
Una asignación de valores de verdad es una función v que asigna a cada letra proposicional un elemento de {V, F }. V representa el valor de verdad verdadero y F el valor de
verdad falso. Para abreviar hablaremos simplemente de asignaciones.
Definimos inductivamente la relación de satisfacción entre asignaciones y fórmulas, sat.,
como sigue. Dada una asignación v,
v
v
v
v
v
v
sat.
sat.
sat.
sat.
sat.
sat.
p sii v(p) = V
>
⊥
(ϕ ∧ ψ) sii v sat. ϕ y v sat. ψ
(ϕ ∨ ψ) sii v sat. ϕ o v sat. ψ
(ϕ → ψ) sii v no sat. ϕ o v sat. ψ
De la definición se sigue inmediatamente que
v sat. ¬ϕ sii v no sat. ϕ.
Diremos que v satisface ϕ, si v sat. ϕ. Análogamente, si Σ es un conjunto de fórmulas,
decimos que v satisface Σ si para cada ϕ ∈ Σ, v sat. ϕ. Si existe una asignación v tal que
v satisface Σ, decimos que Σ es satisfacible
Una fórmula ϕ es una tautologı́a si toda asignación satisface ϕ. Es una contradicción si
ninguna asignación la satisface.
Si Σ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula, decimos que ϕ es consecuencia de
Σ, y escribimos Σ |= ϕ, si toda asignación que satisface Σ satisface ϕ.
7.3.
Cálculo de secuentes
Vamos a considerar el cálculo para la lógica clásica proposicional que introdujo Gentzen
en “Untersuchungen über das logische Schliessen” (Mathematische Zeitschrift 39 (1935)
pp. 176-210, 405-431)1 . El cálculo que damos es una adaptación del de Gentzen al lenguaje
L = {∧, ∨, →, ⊥, >}.
Un secuente es un par hΓ, ∆i donde Γ y ∆ son sucesiones finitas, posiblemente vacı́as,
de fórmulas. Las letras griegas mayúsculas Γ, ∆, Π varian en lo sucesivo sobre este tipo de
sucesiones. La concatenación de sucesiones se indica con la coma. Ası́, Γ, ∆ es la sucesión
que resulta al concatenar Γ con ∆, en este orden. En este contexo, Γ, ϕ, ∆ es la sucesión
Γ, hϕi, ∆. La sucesión vacı́a la denotamos por ∅. Ası́, ∅ ∅ es un secuente.
Un secuente tı́pico es de la forma
ϕ1 , . . . , ϕn ψ 1 , . . . , ψ n
pero tenemos secuentes de las formas
ϕ1 , . . . , ϕn ∅
∅ ψ1 , . . . , ψ n
Amenudo abreviaremos con ∆ y Γ las expresiones ∅ ∆ y Γ ∅, respectivamente.
1 Hay
traduccióm inglesa en M.E. Szabo (ed.) Collected papers of Gerhard Gentzen, North-Holland,
Amsterdam 1969.
7.3. CÁLCULO DE SECUENTES
7.3.1.
33
El cálculo LK para la lógica clásica
Reglas estructurales
Identidad
ϕϕ
Intercambio
Γ, ϕ, ψ, ∆ Π
(II)
Γ, ψ, ϕ, ∆ Π
Γ Π, ϕ, ψ, ∆
(ID)
Γ Π, ϕ, ψ, ∆
Debilitación
Γ∆
(DI)
Γ, ϕ ∆
Γ∆
(DD)
Γ ϕ, ∆
Contracción
Γ ϕ, ϕ, ∆
(CD)
Γ ϕ, ∆
Γ, ϕ, ϕ ∆
(CI)
Γ, ϕ ∆
Corte
Γ ϕ, ∆ Π, ϕ Σ
(Corte)
Γ, Π ∆, Σ
Reglas operacionales
Γ, ⊥ ∆
Γ, ϕ ∆
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
(Bot)
Γ, ψ ∆
(∧ I)
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ ∆ Γ, ψ ∆
(∨ I)
Γ ∆, ϕ ∨ ψ
Γ ϕ, Σ Π, ψ ∆
(→ I)
Γ, Π, ϕ → ψ Σ, ∆
Γ >, ∆
(Top)
Γ ϕ, ∆ Γ ψ, ∆
(∧ D)
Γ ϕ ∧ ψ, ∆
Γ ϕ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ψ, ∆
(∨ D)
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ, ϕ ψ, ∆
(→ D)
Γ ϕ → ψ, ∆
Una derivación en LK es una sucesión finita y no vacı́a de secuentes tal que cada uno de
sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesión mediante la
aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación
lo es de su último secuente. Un secuente es derivable en LK si tiene una derivación en LK.
A continuación prersentamos algunas reglas estructurales derivadas.
34
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
Obsérvese que gracias a la regla de Intercambio, si ϕ1 , . . . , ϕn es una sucesión de fórmulas
y ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) es una reordenación de las fórmulas de la sucesión, el secuente Γ, ϕ1 , . . . , ϕn ∆ es derivable si y sólo si lo es el secuente Γ, ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) ∆. En otras palabras, la
regla
Γ, ϕ1 , . . . , ϕn ∆
Γ, ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) ∆
es una regla estructural derivada. La llamaremos regla de Intercambio generalizada.
Otra regla estructural derivada importante es la del Corte Generalizado
Σ ϕ1 , ∆
...
Σ ϕn , ∆ Π, ϕ1 . . . , ϕn ∆0
(Corte G.)
Σ, Π ∆, ∆0
Gracias a la regla de Intercambio y la de Contracción tenemos que las reglas
Π, Γ, Γ, Π0 ∆
Π, Γ, Γ, Π0 ∆
Γ Σ, ∆, ∆, Σ0
Γ Σ, ∆, Σ0
son derivadas. Las llamaremos reglas de Contracción generalizada.
Aunque la negación no sea un sı́molo primitivo de nuestro lenguaje conviene tener las
reglas derivadas fundamentales que la gobiernan, la regla de introducción a la derecha y la
regla de introducción a la izquierda. Estas reglas son
Γ, ϕ ∆
Γ ¬ϕ, ∆
Γ ϕ, ∆
Γ, ¬ϕ ∆
Se justifican mediante las derivaciones:
Γ, ϕ ∆
(DD)
Γ, ϕ ⊥, ∆
(→D)
Γ ϕ → ⊥, ∆
Γ ¬ϕ, ∆
y
Γ ϕ, ∆
⊥∅
Γ, ϕ → ⊥ ∆
Γ, ¬ϕ ∆
(→I)
Proposición 38. Las reglas
Γ ϕ, ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ, ψ, ∆
Γ, ϕ, ψ ∆
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ, ψ ∆
son derivadas.
Demostración. Justificamos las de la disyunción. Las de la conjunción se dejan como ejercicio.
Γ ϕ, ψ, ∆
ψψ
Γ ϕ ∨ ψ, ψ, ∆
ψϕ∨ψ
Γ ϕ ∨ ψ, ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
7.3. CÁLCULO DE SECUENTES
35
ϕϕ
ψψ
ϕ ϕ, ψ
ϕ ϕ, ψ
ϕ ∨ ψ ϕ, ψ
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ∆, ϕ, ψ
Γ ϕ, ψ, ∆
QED
Proposición 39. Los secuentes
1. ϕ ∧ ψ ϕ, ϕ ∧ ψ ψ
2. ϕ ∧ ψ ψ ∧ ϕ
3. ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ (ψ ∧ δ)
4. ϕ ∧ ϕ ϕ
5. ϕ ϕ ∨ ψ, ψ ϕ ∨ ψ
6. ϕ ∨ ψ ψ ∨ ϕ
7. ϕ ∨ (ψ ∨ δ) ϕ ∨ (ψ ∨ δ)
8. ϕ ∨ ϕ ϕ
son derivables sin utilizar las reglas estructurales.
Demostración. Demostraremos 1, 2, 3, y 4. El resto de demostraciones se dejan como ejercicio.
1.
ϕϕ
ϕ∧ψϕ
ψψ
ϕ∧ψψ
2.
ψψ
ϕϕ
ϕ∧ψψ
ϕ∧ψϕ
ϕ∧ψψ∧ϕ
36
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
3.
ψψ
ϕϕ
ψ∧δψ
δδ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ψ
ψ∧δδ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ ψ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) δ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) (ϕ ∧ ψ) ∧ δ
4. Es un caso particular de 1.
QED
Utilizando las dos últimas proposiciones es fácil demostrar que las reglas
ϕ1 , . . . , ϕ n ψ 1 , . . . , ψ k
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ψ 1 ∨ . . . ∨ ψ k
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕ n ψ 1 ∨ . . . ∨ ψ k
ϕ1 , . . . , ϕ n ψ 1 , . . . , ψ k
son derivadas. Estas reglas junto con los secuentes derivables de la proposición anterior
muestran que la conjunción simula el comportamiento de la coma a la izquierda de los
secuentes y la disyunción lo simula a la derecha.
Proposición 40. Los secuentes
1. ϕ, ϕ → ψ ψ
2. ϕ ¬¬ϕ
3. ∅ ϕ ∨ ¬ϕ
4. ¬¬ϕ ϕ
son derivables
Demostración. 1.
ϕϕ
ψψ
ϕ, ϕ → ψ ψ
2.
ϕϕ
⊥⊥
ϕ, ϕ → ⊥ ⊥
ϕ (ϕ → ⊥) → ⊥
ϕ ¬¬ϕ
3.
ϕϕ
¬ϕ, ϕ
ϕ, ¬ϕ
ϕ ∨ ¬ϕ
4.
ϕϕ
¬ϕ, ϕ
¬¬ϕ ϕ
QED
7.3. CÁLCULO DE SECUENTES
37
Proposición 41. Las siguientes reglas
Σ, ϕ ψ
Σϕ→ψ
Σϕ→ψ
Σ, ϕ ψ
derivadas para el condicional.
Demostración. Se deja como ejercicio.
7.3.2.
QED
Corrección de LK
A continuación demostraremos que el cálculo LK es correcto. Diremos que un secuente
Γ ∆ es correcto si toda asignación v que satisface todas las fórmulas de la secuencia Γ
satisface al menos una fórmula de la secuencia ∆. En particular, ∅ ∆ es correcto si toda
asignación satisface alguna fórmula de ∆, Γ ∅ es correcto si ninguna asignación satisface
todas las fórmulas de Γ y ∅ ∅ no es correcto.
Teorema 42 (Corrección de LK). Todo secuente derivable de LK es correcto.
Demostración. Los secuentes que permiten derivar los axiomas de LK son correctos. Las
reglas de inferencia aplicadas a secuentes correctos nos permiten derivar secuentes correctos.
QED
7.3.3.
La relación de deducibilidad
En este apartado las letra griegas mayúsculas se utilizaran para conjuntos de fórmulas
y las letras griegas mayúsculas subrayadas para sucesiones finitas de fórmulas.
Dado un conjunto de fórmulas Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es deducible de Σ,
y escribiremos Σ ` ϕ, si el secuente ∅ ϕ es derivable o hay ϕ1 , . . . , ϕn ∈ Σ tales que
el secuente ϕ1 , . . . , ϕn ϕ es derivable. Obsérvese que gracias a la regla de Intercambio
generalizado el orden en que consideremos los miembros de la secuencia no importa.
Un conjunto Σ de fórmulas es consistente si Σ 6` ⊥. En caso contrario se dice que es
inconsistente.
De la definición se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y sólo si alguno de
sus subconjuntos finitos lo es.
Proposición 43. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades:
1. Si ϕ ∈ ∆, entonces ∆ ` ϕ,
2. Si para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ, y ∆ ` ψ, entonces Σ ` ψ.
3. Si Σ ` ϕ, entonces Σ ∪ ∆ ` ϕ.
Demostración. 1. Se sigue de que el secuente ϕ ϕ es derivable.
2. Se sigue del Corte Generalizado. Supongamos que ∆ ` ψ y que para toda ϕ ∈ ∆,
Σ ` ϕ. Si el secuente ∅ ψ es derivable, es claro que Σ ` ψ. En caso contrario hay sucesión
ψ0 , . . . , ψn de elementos de ∆ tal que el secuente ψ0 , . . . , ψn ψ es derivable. Consideremos
para cada i ≤ n una sucesión de fórmulas elemento de Σ, Σi , tal que el secuente Σi ψi es
38
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
derivable. Esta secuencia existe puesto que, por suposición, Σ ` ψi . Utilizando la regla de
Debilitación tenemos que los secuentes
Σ0 , . . . , Σn ψ i
son derivables. Utilizando el Corte Generalizado obtenemos que
Σ0 , . . . , Σn ψ
es derivable. Puesto que Σ0 , . . . , Σn es una secuencia de fórmulas elemento de Σ obtenemos
que Σ ` ψ.
3. Es inmediato por la definición.
QED
Obsérvese que las propiedades de la proposición dependen exclusivamente de las reglas
estructurales del cálculo.
Proposición 44. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades:
1. Si Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ, entonces Σ ` ψ.
2. Σ ` ϕ ∧ ψ sii Σ ` ϕ y Σ ` ψ.
3. Si Σ ` ϕ o Σ ` ψ, entonces Σ ` ϕ ∨ ψ.
4. Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ sii Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ.
5. Σ, ϕ ` ψ sii Σ ` ϕ → ψ.
6. Para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ.
Demostración. 1. Supongamos que Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ. Sean Σ0 y Σ00 sucesiónes de
elementos de Σ tales que los secuentes Σ0 ϕ → ψ y Σ00 ϕ son derivables. Por la regla de
debilitación los secuentes Σ0 , Σ00 ϕ → ψ y Σ0 , Σ00 ϕ resultan derivables. Sabemos que el
secuente ϕ → ψ, ϕ ψ es derivable. Utilizando la regla de Corte Generalizado obtenemos
que Σ, Σ0 ψ es derivable. Esto implica que Σ ` ψ.
2. Parecida a la demostración de 1. utilizando que los secuentes ϕ ∧ ψ ϕ, ϕ ∧ ψ ψ y
ϕ, ψ ϕ ∧ ψ son derivables.
3. Parecida a la demostración de 1. utilizando que los secuentes ϕ ϕ ∨ ψ y ψ ϕ ∨ ψ
son derivables.
4. Supongamos que Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ. Existen pues secuentes derivables
∆, ϕ δ y ∆0 , ψ δ tales que ∆ ⊆ Σ y ∆0 ⊆ σ. Entonces, gracias a la regla (∨D), el
secuente ∆, ∆0 , ϕ ∨ ψ δ es derivable. Por tanto, Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Por otra parte, si
Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Puesto que ϕ ` ϕ ∨ ψ y ψ ` ϕ ∨ ψ, utilizando 2. de la última proposición
obtenemos que Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ.
5. Deben utilizarse las reglas derivadas para el condicional que se han dado anteriormente.
6. El secuente ⊥ ϕ es claramente derivable.
QED
Corolario 45. Si Σ ` ϕ, entonces Σ |= ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ ` ϕ. Sea Σ0 una sucesión de fórmulas de Σ tal que
Σ0 ϕ es derivable. Por el teorema de corrección de LK, este secuente es correcto. Ası́ toda
asignación que satisface toda fórmula de Σ0 satisface ϕ. Por tanto toda asignación que
satisface Σ sartisface ϕ, es decir Σ |= ϕ.
QED
7.3. CÁLCULO DE SECUENTES
7.3.4.
39
El teorema de completud
Demostremos que LK es completo, es decir que todo secuente correcto es derivable en
LK. Además demostraremos el teorema de completud, a saber: si Σ |= ϕ entonces Σ ` ϕ.
Para ello necesitamos introducir algunos conceptos y demostrar varios resultados.
Lema 46. Σ ` ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente.
Demostración. Si Σ ` ϕ, puesto que Σ ∪ {¬ϕ} ` ϕ → ⊥, obtenemos que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es
decir que Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Por otra parte, si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente, Σ ∪ {¬ϕ} `
⊥. Por tanto Σ ` ¬ϕ → ⊥. Ahora bien, ¬ϕ → ⊥ ` ϕ. Por tanto Σ ` ϕ.
QED
Lema 47. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ.
Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ, en particular Σ ` ⊥, por lo que es inconsistente. Si Σ es inconsistente, Σ ` ⊥. Por tanto puesto que para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ,
tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ.
QED
Un conjunto de fórmulas Σ es una teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que Σ ` ϕ ocurre
que ϕ ∈ Σ.
Una teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6` ϕ y para toda fórmulas ψ 6∈ Σ, Σ∪{ψ} `
ϕ.
Una teorı́a Σ es prima si es consistente y para cualesquiera fórmulas ϕ, ψ, si Σ ` ϕ ∨ ψ,
entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ.
Una teorı́a Σ es consistente maximal si es consistente y para cada fórmula ϕ 6∈ Σ, Σ∪{ϕ}
es inconsistente.
Lema 48. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que Γ 6` ϕ, entonces
existe una teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ.
Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . . de las fórmulas del
lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . ,
Σn , . . . tal que
1. Σ0 = Γ
2. Para cada n, Σn 6` ϕ
3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1
La definición de la sucesión es:
Σ0
=
Σn+1
=
Γ
Σn
Σn ∪ {ψn }
si Σn ∪ {ψn } ` ϕ
si Σn ∪ {ψn } 6` ϕ
Claramente se cumplen las condiciones deseadas. Sea
[
Σ=
Σn
n
Es decir, para cada fórmula ψ, ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn . Veamos que Σ es
ϕ-relativamente maximal.
1. Σ 6` ϕ. En efecto, si Σ ` ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ ϕ es derivable. De la
condición 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆ ⊆ Σn . Por tanto,
Σn ` ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior.
40
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ ∪ {ψ} ` ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ y que Σ ∪ {ψ} 6` ϕ
Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6` ϕ. Por tanto ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es
absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} ` ϕ.
QED
Proposición 49. Sea Σ una teorı́a. Son equivalentes
1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ.
2. Σ es prima
3. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
4. Σ es consistente maximal.
Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos
que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} ` ϕ y
Σ ∪ {δ} ` ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} ` ϕ. Es decir, Σ ` ϕ, pero esto no es posible al ser Σ es
ϕ-relativamente maximal. Ası́ ψ ∈ Σ o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una teorı́a prima.
2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es consistente. Además, para cada
ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
3 implica 4. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. Supongamos
que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es consistente
maximal.
4 implica 1. Si Σ es consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es ϕ-relativamente maximal.
QED
Teorı́as consistentes maximales y asignaciones
Vamos a demostrar que hay una correspondencia biunı́voca entre las asignaciones de
valores de verdad y las teorı́as consistentes maximales.
1. Consideremos una asignación v. Sea
Σ(v) = {ϕ : v sat. ϕ}
Este conjunto de fórmulas es una teorı́a, gracias al teorema de corrección. En efecto, supongamos que Σ(v) ` ϕ. Entonces Σ(v) |= ϕ. Puesto que claramente v satisface Σ(v), tenemos
que v sartisface ϕ. Por tanto ϕ ∈ Σ(v). Por otra parte, es claro que ⊥ 6∈ Σ(v). Por tanto
Σ(v) es consistente. Finalmente Σ(v) es prima pues si ϕ ∨ ψ ∈ Σ(v), entonces v satisface
ϕ ∨ ψ, con lo que v satisface ϕ o v satisface ψ; es decir, ϕ ∈ Σ(v) o ψ ∈ Σ(v). Conluimos
pues que Σ(v) es una teorı́a consistente maximal.
Si dos asignaciones v y v 0 son diferentes, hay una letra proposicional al menos, digamos
p, tal que v(p) 6= v 0 (p). Por tanto Σ(v) 6= Σ(v 0 ).
2. Observemos que si Γ es una teorı́a consistentes maximal
1.
2.
3.
4.
5.
>∈Γ
⊥ 6∈ Γ
ϕ ∧ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Σ y ψ ∈ Γ;
ϕ ∨ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Γ
ϕ → ψ ∈ Γ sii ϕ 6∈ Σ o ψ ∈ Γ
7.3. CÁLCULO DE SECUENTES
41
6. ϕ ∈ Γ sii ¬ϕ 6∈ Γ
Sea Γ una teorı́a consistente maximal. Definamos la asignación vΓ como sigue: para cada
letra proposicional p,
vΓ (p) = V sii p ∈ Σ
Gracias a la observación anterior tenemos que para toda fórmula ϕ
vΓ sat. ϕ
sii
ϕ ∈ Γ.
Además, para cada teorı́a maximal consistente Γ y cada asignación v,
Σ(vΓ ) = Γ
y
vΣ(v) = v.
Teorema 50 (Completud de LK). Todo secuente correcto es derivable.
Demostración. Supongamos que Γ ∆ es un secuente correcto. Supongamos que no es
derivable. Entonces no es derivable el secuente Γ ⊥, Por tanto el conjunto de las fórmulas
de Γ, digamos Γs , es consistente. Si la disyunción de las fórmulas de ∆ fuese deducible de
Γs , el secuente Γ ∆ serı́a derivable. Por tanto la disyunción, digamos α, de las fórmulas
de ∆ no es deducible de Γs . Sea Σ una teorı́a prima tal que Γs ⊆ Σ y α 6∈ Σ. Puesto que
Σ es maximal consistente, consideremos la asignación vΣ . Esta asignación satisface todas
las fórmulas de Γ, por tanto, puesto que el secuente Γ ∆ es correcto, satisface alguna
fórmula de ∆, por tanto la disyunción de todas ellas, es decir α. Ası́, α ∈ Σ, pero esto es
absurdo.
QED
Corolario 51. Si Σ |= ϕ, entonces Σ ` ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ |= ϕ y que Σ 6` ϕ. Sea Γ una teorı́a maximal consistente
tal que Σ ⊆ Γ y ϕ 6∈ Γ. Entonces vΓ satisface Σ. Por tanto vΓ satisface ϕ, con lo que ϕ ∈ Γ
y ello es absurdo.
QED
42
CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA
Teorema 52 (Corrección y completud de LK).
1. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si la fórmula (ϕ0 ∧
. . . ∧ ϕn ) → (ψ0 ∨ . . . ∨ ψm ) es una tautologı́a.
2. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LK si y sólo si la fórmula ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn es
una contradicción en lógica clásica.
3. Un secuente ∅ ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si la fórmula ψ0 ∨ . . . ∨ ψm
es una tautologı́a.
Capı́tulo 8
Lógica Intuicionista
El intuicionismo es una concepción de las matemáticas que se origina en la obra del matemático holandes L.E.J. Brouwer (1881-1966). Brouwer sostiene que las matemáticas son
una actividad mental, la parte rigurosa, o exacta, del pensamiento humano. El resultado,
o producto, de esta actividad es una creación libre. Los objetos matemáticos son construcciones mentales y sus propiedades se establecen mediante construcciones mentales. La
actividad matemática no consiste en la manipulación formal de sı́mbolos. En algún sentido
es una actividad que está más allá del lenguaje. El lenguaje no desempaña ningún papel en
ella, únicamente sirve en el proceso de comunicación con los demás y con uno mismo. En
esta concepción la lógica es lo que queda cuando se eliminan las construcciones matemáticas
especı́ficas que llevan de un estadio del conocimiento matemático a otro. Ası́ la matemática
es lo primero y la lógica viene después. La lógica es en esta concepción algo ası́ como “la
lógica de las construcciones”.
La concepción de las matemáticas de Brouwer lleva a rechazar el infinito actual, la lógica
clásica y las definiciones no constructivas.
La crı́tica de Brouwer a la lógica clásica, que supone que todo enunciado es verdadero
o falso (y no ambas cosas), consiste en que 1) los lógicos dan precedencia a la lógica sobre
las matemáticas y 2) la lógica no es fiable, el principio de tercio excluso no es correcto.
La idea que motiva la lógica intuicionista es la equiparación de lo verdadero con lo demostrable. Decir que un enunciado matemático es verdadero es decir que tiene una demostración. Decir que es falso equivale a tener una demostración de que no tiene demostración.
La idea es considerar que las demostraciones son los valores semánticos de los enuncidos
en lugar de los valores de verdad. De este modo aseverar un enunciado de la forma “ ϕ or
no-ϕ” es aseverar que hay una demostración de ϕ or una demostración de no-ϕ. Y aseverar
que no-ϕ es aseverar que hay una demostración de que ϕ no es demostrable.
Los primeros matemáticos que estudiaron la lógica del intuicionismo de un modo formal fueron Glivenko, que presentó un fragmento de la lógica proposicional, y Kolmogorov,
que hizo lo mismo con un fragmento de la lógica de predicados. En 1928 Heyting formalizó de modo independiente la lógica de predicados pero no dió ninguna semántica ni
ninguna interpretación especial. En 1932 presentó su versión de lo que hoy se conoce como
la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov. Es la siguiente:
1. Una demostración de ϕ ∧ ψ se dá presentando una demostración de ϕ y una demostración de ψ.
2. Una demostración de ϕ ∨ ψ se dá presentando una demostración de ϕ o una de ψ más
la estipulación de consideremos la demostración como evidencia para ϕ ∨ ψ.
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CAPÍTULO 8. LÓGICA INTUICIONISTA
3. Una demostración de ϕ → ψ es una construcción o procedimiento que convierte cada
demostración de ϕ en una demostración de ψ.
4. El absurdo ⊥ no tiene demsotración.
5. Una demostración de ¬ϕ ies una construcción que permite convertir toda demostración hipotética de ϕ en una (pretendida) demostración de ⊥.
Esta interpretación informal es suficiente para ver que algunas de las verdades lógicas
de la lógica clásica no valen, pero que otras sı́.
1. La ley del tercio excluso no vale. Dar una demostración de ϕ ∨ ¬ϕ significa dar una
demostración de ϕ o una demostración de que ϕ no tiene demostración.
2. La ley ϕ → (ψ → ϕ) vale en lógica intuicionista: definamos una función que envia cada
demostración p de ϕ a la función que asigna a cada demostración q de ϕ, la demostración
p.
3. La ley ¬¬(ϕ∨¬ϕ) vale en lógica intuicionista: supongamos que c demuestra ¬(ϕ∨¬ϕ);
ası́ si d demuestra ϕ ∨ ¬ϕ, c(d) demuestra ⊥. Claramente hay operaciones e y f tales que
si x es demostración de ϕ, entonces e(x) es una demostración de ϕ ∨ ¬ϕ y si x es una
demostración de ¬ϕ, entonces f (x) es una demostración de ϕ∨ ¬ϕ. Ası́ la función g definida
por g(x) = c(e(x)) es una demostración de ¬ϕ y la función h definida por h(x) = c(f (x))
es una demostración de ¬¬ϕ. Por tanto h(g) es una demostración de ⊥.
4. La ley ϕ → ¬¬ϕ es válida en lógica intuicionsita, pero su inversa ¬¬ϕ → ϕ no lo es.
Gentzen introdujo en 1934 un cálculo de deducción natural para la lógica intuicionista
y el cálculo de secuentes LJ. Estos cálculos reflejan el significado de las conectivas intuicionistas mucho mejor que los cálculos estilo Hilbert.
A continuación presentamos el lenguaje de la lógica intuicionista y la semántica de
Kripke, considerada hoy standard.
8.1.
El lenguaje de de la lógica intuicionista
El lenguaje de la lógica intuicionista proposicional es el mismo que el de la lógica clásica.
Conviene en este caso tomar como conectivas primitivas ∧, ∨, → y añadir las constantes
proposicionales >, ⊥. El lenguaje formal de la lógica intuicionista proposicional consta
pues del siguiente vocabulario: las conectivas, las constantes proposicionales, los paréntesis
y las variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , etc.
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas
atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales ⊥ y >. Las
fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es una fórmula,
2. Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β).
8.2.
Semántica de Kripke
Como se verá la semántica de Kripke para la lógica intuicionista se parece mucho a la
semántica de la lógica modal.
Un marco intuicionista es una estructura F = hW, ≤i donde
1. W es un conjunto no vacı́o y
8.3. EL CÁLCULO LJ
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2. ≤ es una relación de orden parcial en W , es decir es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Un modelo intuicionista es una estructura M = hW, ≤, V i, donde
1. hW, ≤i es un marco intuicionista
2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto creciente de
W , es decir para cada letra proposicional p, V (p) ⊆ W y para cada w, w0 ∈ W , si w ∈ V (p)
y w ≤ w0 , entonces w0 ∈ V (p).
Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco hW, ≤i, y que el
modelo hW, ≤, V i es un modelo sobre hW, ≤i.
Dado un modelo intuicionista M = hW, ≤, V i, la definición de fórmula verdadera en un
punto w ∈ W es la siguiente:
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
|= p sii w ∈ V (p), para cada letra proposicional p
|= >
6|= ⊥
|= (ϕ1 ∧ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 y M, w |= ϕ2
|= (ϕ1 ∨ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 o M, w |= ϕ2
|= (ϕ1 → ϕ2 ) sii para cada v ∈ W , si w ≤ v y M, v |= ϕ1 ,
entonces M, v |= ϕ2
Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula o que la fórmula
es satisfecha en el punto. Si ϕ es verdadera en todo punto de M se dice que es válida en
M. Dado un marco F, se dice que ϕ es válida en F si ϕ es válida en todo modelo hF, V i
sobre F.
8.3.
El cálculo LJ
El cálculo LJ de Gentzen es un cálculo para la lógica intuicionista. Fue introducido por
Gentzen en el mismo artı́culo en que introdujo el cálculo LK. Tiene las mismas reglas pero
opera sobre seceuntes de diferente forma. Se aplica a secuentes de la forma Γ ∆ donde ∆
es la sucesión vacı́a o es de longitud uno, es decir consta de una sola fórmula. Es pues de la
forma Γ ϕ o Γ ∅, que se abrevia con Γ.
Teorema 53 (Corrección y completud de LJ).
1. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ψ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula (ϕ0 ∧. . .∧ϕn ) → ψ
es válida en la semántica intuicionista.
2. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn es
una contradicción en la semántica intuicionista.
3. Un secuente ∅ψ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula ψ es válida en la semántica
intuicionista.
Las reglas
son derivadas en LJ.
En LJ las reglas
son derivadas.
ϕ1 , . . . , ϕn ψ
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ϕ
ϕ∧ψδ
ϕψ →δ
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ϕ
ϕ1 , . . . , ϕ n ψ
ϕψ →δ
ϕ∧ψδ
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CAPÍTULO 8. LÓGICA INTUICIONISTA
Axioma estructural
ϕϕ
Reglas estructurales
Intercambio
Γ, ϕ, ψ, ∆ δ
(EL)
Γ, ψ, ϕ, ∆ δ
Debilitamiento
Γδ
(WL)
ϕ, Γ δ
Contracción
ϕ, ϕ, Γ δ
(CL)
ϕ, Γ δ
Corte
Γ ϕ ϕ, Π δ
(Cut)
Γ, Π δ
Axiomas operacionales
⊥, Γ ϕ
(Bot)
Γ>
(Top)
Reglas operacionales
ϕ, Γ δ
ϕ ∧ ψ, Γ δ
ψ, Γ δ
(∧ L)
ϕ ∧ ψ, Γ δ
ϕ, Γ δ ψ, Γ δ
(∨ L)
ϕ ∨ ψ, Γ δ
Γ ϕ ψ, Π δ
(→ L)
ϕ → ψ, Γ, Π δ
8.4.
Teorema de completud
Γϕ Γψ
(∧ R)
Γϕ∧ψ
Γϕ
Γϕ∨ψ
Γψ
(∨ R)
Γϕ∨ψ
ϕ, Γ ψ
(→ R)
Γϕ→ψ