CALCULO VARIACIONAL
Notas
Cesar Ricardo Altamirano Nava
UNAM
2023
1
Contents
1 Cálculo en Espacios Funcionales
1.1 Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Teorema de Noether
2.1 Leyes de conservación
2.2 Simetrı́as variacionales
2.2.1 Ejemplos . . .
2.3 Teorema de Noether .
2.4 Citation . . . . . . . .
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3
4
5
. 5
. 6
. 8
. 9
. 12
1
Cálculo en Espacios Funcionales
Empezaremos estudiando al espacio de las funciones lineales y continuas entre dos espacios
de Banach V = (V, ∥ · ∥V ) y W = (W, ∥ · ∥W )
Proposición 1.1. Si T : V → W es una función lineal, son equivalentes las siguientes
afirmaciones
1. T es continua
2. T es continua en 0
3. Existe c ∈ R tal que ∥Tv ∥V ≤ c∥v∥V
4. T es Lipschitz continua
Dem.- Las implicaciones 1) ⇒ 2) y 4) ⇒ 1) son evidentes
2) ⇒ 3) Si T es continua en 0 existe δ > 0 tal que
∥Tv ∥V < 1
si ∥v∥V < δ
En consecuencia,
∥T v∥W =
2
∥v∥V T
δ
δ v
2 ∥v∥V
<
W
2
∥v∥V
δ
∀v ∈ V
3) ⇒ 4) Si existe c > 0 tal que ∥Tv ∥V ≤ c∥v∥V ∀v ∈ V , entonces
∥T v1 − T v2 ∥W = ∥T (v1 − v2 )∥W ≤ c∥v1 − v2 ∥V
∀v1 , v2 ∈ V
Esto prueba que T es Lipschitz continua. ■
Definición 1.2. Denotamos por
L(V, W ) := {T : V → W : T es lineal y continua}
y definimos
∥T ∥L(V,W ) := sup
v∈V
∥T v∥W
||v||V
v ̸= 0
y
∀T ∈ L(V, W ).
(1)
Proposición 1.3. L(V, W ) con la norma ∥T ∥L(V,W ) es un espacio de Banach
Recuerda que, si dimV < 1; cualquier función lineal T es continua de modo que L(V, W )
es simplemente el espacio de funciones lineales de V a W : En particular, L(Rn , Rm ) es
isomorfo Rnm y cualquier isomorsmo resulta ser un homeomorsmo para cualquier norma.
3
1.1
Diferenciabilidad
Para hablar de diferenciabilidad requerimos la noción de lı́mite.
Definición 1.4. Sea X, Y espacios métricos, A un subconjunto de X, f : A → Y
una función, x0 ∈ A y y0 ∈ Y Decimos que
y0 = lim f (x)
x→x0
si, dada ε > 0, existe δ > 0 tal que
dY (f (x), y0 ) < ε
∀x ∈ A con dX (x, x0 ) < δ.
Nota que f no necesariamente está definida en x0 ; pero x0 debe pertenecer a la cerradura
del dominio de f .
Sean V y W espacios de Banach y Ω un subconjunto abierto de V . La noción de derivada
de una función entre espacios euclidianos se extiende a funciones entre espacios de Banach
como sigue.
Definición 1.5. Una función ϖ : Ω → W es Fréchet-diferenciable en el punto
si u0 ∈ Ω existe T ∈ L(V, W ) tal que
lim
v→0
∥φ(u0 + v) − φ(u0 ) − T v∥W
=0
||v||V
T se llama la derivada (de Fréchet) de φ en u0 y se denota por
φ′ u0 )
o bien por
4
Dφ(u0 ).
(2)
2
Teorema de Noether
2.1
Leyes de conservación
Sea J un funcional
Z
x1
J(y) =
f (x, y, y ′ , · · ·, y (n) ) dx
(3)
x0
Si hay una función ϕ(x, y, y ′ , · · ·, y (k) ) tal que:
d
ϕ(x, y, y ′ , · · ·, y (k) ) = 0
dx
(4)
Para todos los extremos de J, entonces la relación 4 se denomina ley de conservación
de orden k para J (y la ecuación de Euler-Lagrange asociada). Por ejemplo
H = y′
∂f
−f
∂y ′
(5)
es una ley de conservación de primer orden para cualquier funcional de la forma
Z
x1
J(y) =
f (y, y ′ ) dx
(6)
x0
La definición de una ley de conservación se puede adaptar para hacer frente a funcionales
que involucran varias variables dependientes. La definición también se puede generalizar
para funcionales que involucran varias variables independientes. En este caso es una función
vectorial y las leyes de conservación se caracterizan por la condición de divergencia.
∇·ϕ=0
Nos centramos exclusivamente en el caso de una sola variable independiente, pero observamos que los resultados se pueden ampliar para funcionales que involucran varias variables
independientes.
Las leyes de conservación suelen tener una interpretación fı́sica importante/interesante
(por ejemplo, conservación de energı́a). Además, pueden simplificar materialmente el problema de encontrar extremos cuando el orden de la ley de conservación es menor que el
de la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente. La ecuación de Euler-Lagrange para el
funcional definido por 3 es de orden 2n, y la ecuación 4 implica que
ϕ(x, y, y ′ , · · ·, y (k) ) = const.
(7)
Si k < 2n entonces la relación anterior es una ecuación diferencial de orden inferior que cada
extremo debe satisfacer. Estas relaciones se denominan primera integral de la ecuación
de Euler-Lagrange. El lado derecho de la relación es una constante de integración que está
determinada por condiciones de frontera.
Dado un funcional de la forma 3, no es obvio cómo se podrı́a derivar una ley de conservación, o incluso si tiene una ley de conservación. Si el funcional surge de algún modelo,
5
entonces la aplicación misma podrı́a sugerir la existencia de una ley de conservación (por
ejemplo, conservación de la energı́a). Algunos funcionales pueden tener varias leyes de conservación; otros pueden no tener leyes de conservación. Por tanto, el problema es desarrollar
un método sistemático para identificar funcionales que tengan leyes de conservación y derivar
un algoritmo para su construcción.
Un resultado central llamado teorema de Noether vincula las leyes de conservación con
ciertas propiedades de invariancia del funcional y proporciona un algoritmo para encontrar
la ley de conservación. En este capı́tulo presentamos una versión simple del teorema de
Noether que está motivada principalmente por el deseo pragmático de encontrar primeras
integrales. Limitamos nuestra discusión principalmente al caso más simple cuando n = 1.
Se puede encontrar un estudio más completo del teorema de Noether en Bluman y Kumei
[11] y Olver [57], especialmente para el caso de varias variables independientes.
2.2
Simetrı́as variacionales
La clave para encontrar una ley de conservación para un funcional radica en identificar
transformaciones bajo las cuales el funcional es invariante. Sea
Z
x1
J(y) =
f (x, y, y ′ )dx.
(8)
x0
Vamos a considerar una familia de transformaciones uniparametricas de la forma
Xϵ = θϵ (x, y), Yϵ = ψϵ (x, y)
(9)
Donde θ y ψ son funciones suaves de x, y y del parametro ϵ. Ademas necesitamos
θ0 (x, y) = x, ψ0 (x, y) = y
(10)
de manera que el valor del parámetro ϵ = 0 corresponde a la transformación identidad.
Ejemplos de tales familias vienen dados por las transformaciones de translación.
X = x + ϵ,
Y = y,
(11)
X = x, Y = y + ϵ,
(12)
y la transformación rotación
Y = −x sin ϵ + y cos ϵ.
X = x cos ϵ + y sin ϵ,
La matriz Jacobina de la transformación 9 es
θx θy
ψx ψy
∂(xx, Y )
=
∂(x, y)
!
,
Con determinante
∆ϵ (x, y) = θx ψy − θy ψx .
6
(13)
Ahora, θ y ψ son funciones suaves; por lo tanto, ∆ es una función suave. Además, dado que
∆0 (x, y) = 1,
la continuidad de ∆ con respecto a ϵ indica que
∆ϵ (x, y) ̸= 0
(14)
para |ϵ| suficientemente pequeño. La relación 14 implica que la transformación 9 tiene una
inversa única
x = Θϵ (X, Y ), y = ψϵ (X, Y ),
(15)
proporcionado |ϵ| pequeño, la inversa de la transformación 11 es
x = X − ϵ, y = Y,
y la inversa de la transformación 13 es
x = X cos ϵ − Y sin ϵ,
y = X sin ϵ + Y cos ϵ.
Para una función dada y(x) podemos usar las relaciones 15 para eliminar x y determinar
Y como función de X. En la siguiente discusión tendremos ocasión de considerar Y como
función de X y podrı́a surgir cierta confusión. Por tanto, utilizamos el sı́mbolo Yϵ (X)
para distinguir este caso de Y (x). Consideremos, por ejemplo, la transformación 11. Aquı́
x = X − ϵ y por tanto para cualquier y
y(x) = Y (x) = y(X − ϵ) = Yϵ (X)
Si, por ejemplo, y(x) = cos(x), entonces Yϵ (X) = cos(X − ϵ). Para otro ejemplo, considere
la transformación 13 con y(x) = x. Entonces,
x = X cos ϵ − Y sin ϵ = y(x) = X sin ϵ + Y cos ϵ
Resolver la relación anterior para Y en términos de X y ϵ da
Yϵ (X) =
cos ϵ − sin ϵ
X.
sin ϵ + cos ϵ
Usaremos la notación
d
Yϵ (X).
dX
Observa que para las transformaciones 9 y 15
Ẏϵ (X) =
dx = (ΘX + ΘY Ẏϵ (X))dX,
(16)
dy = (ψX + ψY Ẏϵ (X))dX,
(17)
ΨX + ΨY Ẏϵ (X)
.
ΘX + ΘY Ẏϵ (X)
(18)
y por lo tanto
y ′ (x) =
7
El integrando que define los cambios funcionales bajo una transformación. De especial
interés aquı́ son las transformaciones que no cambian la forma del integrando. Se dice que
el integrando f (x, y, y ′ ) del funcional J es variacionalmente invariante en el intervalo
[x0, x1] bajo la transformación 9 si, para todo ϵ suficientemente pequeño, en cualquier
subintervalo [a, b] ⊆ [x0, x1] tenemos
Z
b
f (x, y(x), y ′ (x)) dx =
Z
bϵ
f (X, Yϵ (X), Ẏϵ (X)) dX
(19)
aϵ
a
Para todo función suave y ∈ [a, b]. Ahora
aϵ = θϵ (a, y(a)),
ϵ
= θϵ (b, y(b)).
En este caso la transformación 9 se llama simetrı́a variacional de J.
De hecho, se puede demostrar que la transformación 11 es una simetrı́a variacional para
cualquier funcional de la forma 6. También se puede demostrar que la transformación 12 es
una simetrı́a variacional para cualquier funcional de la forma
x1
Z
J(y) =
f (x, y ′ ) dx.
(20)
x0
La noción de invariancia variacional se puede extender a funcionales que involucran varias
variables dependientes. Sea q = (q1 , · · ·, qn ) y
Z
t1
J(q) =
L(t, q, q̇) dt.
t0
Vamos a considerar la transformación de la forma
Tϵ = θϵ (t, q),
Qϵk = ψϵk (t, q),
(21)
donde k = 1, ..., n. Aquı́, θϵ y ψϵk son funciones suaves que satisfacen
T0 = θ0 (t, q) = t,
2.2.1
Q0k = ψ0k (t, q) = qk
Ejemplos
Ejemplo 1.-
Sea x0 = 0, x1 = 1
f (x, y, y ′ ) = y ′2 (x) + y 2 (x),
y considerando la transformación 11. Para toda ϵ tenemos la ecuación 16 dx = dX, y la
ecuación 18
y ′ (x) = Ẏϵ (X).
Por lo tanto, para toda [a, b] ⊆ [0, 1] tenemos
Z
a
b
′2
2
y (x) + y (x) dx =
Z
b+ϵ
a+ϵ
8
Ẏϵ2 (X) + Yϵ2 (X) dX
Z
b+ϵ
=
f X, Yϵ (X), Ẏϵ (X) dX.
a+ϵ
Por tanto, concluimos que la transformación (11 es una simetrı́a variacional para J.
2.3
Teorema de Noether
Sabemos que la cantidad H (el hamiltoniano) definida por la ecuación 5 es constante a
lo largo de cualquier extremo para funcionales de la forma 6 y por que dichos funcionales
tienen la simetrı́a variacional 11. Además, sabemos que cualquier funcional de la forma 20
tiene una ley de conservación, a saber,
∂f
= const.,
∂y ′
y que la transformación 12 es una simetrı́a variacional para tal funcional. Aunque se trata
de una selección especial, podemos sospechar que la existencia de una ley de conservación
está vinculada con la de una simetrı́a variacional. En esta sección presentamos un resultado
llamado teorema de Noether, que muestra que cada simetrı́a variacional para un funcional
corresponde a una ley de conservación. El teorema de Noether también proporciona la ley
de conservación.
Antes de enunciar el teorema de Noether, debemos introducir otro término. El teorema
de Taylor muestra que la transformación 9 se puede escribir
X = θ0 (x, y) + ϵ
Y = θ0 (x, y) + ϵ
∂θ
∂ϵ
+ O(ϵ2 )
ϵ=0
∂ψ
∂ϵ
ϵ=0
∂θ
∂ϵ
ϵ=0
+ O(ϵ2 )
proporcionado |ϵ| es pequeño. Sea
ξ(x, y) =
η(x, y) =
,
∂ψ
∂ϵ
ϵ=0
Las funciones ξ y η se denominan generadores infinitesimales de la transformación
9. De manera similar, los generadores infinitesimales para una transformación de la forma
21 están dados por
∂θ
ξ(t, q) =
,
∂ϵ ϵ=0
ηk (t, q) =
9
∂ψk
∂ϵ
ϵ=0
Teorema 2.1. (Noether) Supongamos que f (x, y, y ′ ) es variacionalmente invariante en [x0 , x1 ] bajo la transformación 9 con generadores infinitesimales ξ y η. Entonces
∂f
∂f ′
η ′ + ξ f − ′ y = const.
(22)
∂y
∂y
A lo largo del extreman de
Z
x1
J(y) =
f (x, y, y ′ ) dx.
x0
Observación 2.2. Podemos escribir:
ηp − ξH = const
(23)
El lado izquierdo de esta ecuación es precisamente la misma cantidad que se encuentra en la condición de variación general. El teorema de Noether se puede demostrar
mediante un cálculo similar al que conduce a esta condición. La principal diferencia
es que ya no estamos tratando con variaciones arbitrarias; en cambio, estamos restringidos a la familia de funciones de un parámetro definida por la transformación
9.
10
Tarea 8
Problema 1.-
Sea
Z
x1
J(y) =
xy ′2 dx
x0
Demuestra que la transformación
X = x + ϵ2x ln x,
Y = (1 + ϵ)y
es una simetrı́a variacional para J.
X ′ = x + ϵ2x ln x,
11
Y ′ = (1 + ϵ)y
2.4
Citation
This is a citation[1].
12
References
[1] H. Ren, “Template for math notes,” 2021.
13
