PRESENTACIÓN
La educación es uno de los procesos sociales
más importantes en la vida del hombre y de la
sociedad, porque permite el surgir y el progreso de
los pueblos. Gracias a la educación, hoy tenemos
hombres de éxito y una sociedad más desarrollada.
En este contexto, el Gobierno Regional de
Huancavelica, mediante el servicio educativo de
la Academia “Talento Beca 18”, impulsa una
política educativa regional de apoyo a la juventud
huancavelicana más destacada de la región y de
escasos recursos económicos, ofreciéndoles una
preparación académica preuniversitaria de alto
nivel, garantizando su ingreso a las diferentes
universidades e institutos del país.
La Academia “Talento Beca 18”, es un centro
de preparación preuniversitaria que brinda
oportunidad a la juventud que tiene deseos
de enfrentar retos y desafíos en su formación
académica; que busca formarse como profesional
competente para contribuir al desarrollo de la
nación, de su región y familia. El servicio de la
academia se ha descentralizado en 34 sedes en las
siete provincias de la región.
La preparación preuniversitaria de la Academia se
basa en la concepción de una educación científica
y humanista, por lo que contamos con docentes
de amplia experiencia y alto nivel académico.
El desarrollo de las diferentes competencias
de nuestros estudiantes se fortalece mediante
compendios académicos, que contienen la
temática de las áreas como: matemática, ciencia
y tecnología, ciencias sociales, comunicación,
desarrollo personal, ciudadanía y cívica.
Los compendios académicos son herramientas
útiles para reforzar los conocimientos de nuestros
estudiantes, porque contienen la recopilación de
un trabajo práctico y teórico; elaborado por un
equipo de profesionales de amplia trayectoria en la
preparación preuniversitaria. Los temas y prácticas
presentadas en estos materiales educativos
contribuyen al desarrollo del pensamiento crítico
de nuestros estudiantes.
Cabe resaltar, que desde la creación de la Academia
“Talento Beca 18” en el 2012 (Acuerdo de
Consejo Regional N°054-2012), durante la gestión
del gobernador regional, Maciste Díaz Abad se
Maciste Díaz Abad
ha logrado el ingreso de muchos jóvenes a las
Gobernador Regional de Huancavelica
diferentes universidades e institutos del país, en
convenio con el Programa Nacional de Becas y
Crédito Educativo – PRONABEC. El compromiso con la juventud huancavelicana conlleva una gran responsabilidad, que
hoy se asume con entera convicción.
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)
ACADEMIA “TALENTO BECA 18”
Educación Rumbo al Bicentenario
DEDICATORIA:
A la juventud estudiosa y emprendedora huancavelicana,
organizaciones sociales; al gobernador regional, Maciste
Díaz Abad por su compromiso con la educación y a todas
las personas e instituciones que hacen posible este material
académico.
Educación Rumbo al Bicentenario
EQUIPO TÉCNICO PEDAGÓGICO ACADEMIA “TALENTO BECA 18”
Mg. ROSA ANGÉLICA, PAREDES CHANHUALLA
Gerente Regional de Desarrollo Social
Lic. TIMOTEO, POMA HUAMÁN
Inspector
Mg. PERCY ISAÍ, RAMOS GÓMEZ
Coordinador General Regional
Econ. FREDY, HUAMÁN MADRID
Asistente de Coordinador General
Lic. GILMER, MEDINA MAYORCA
Coordinador Académico Regional
Lic. RAÚL HUMBERTO, PINEDO SOTO
Coordinador Pedagógico Regional
Mg. EDGARD ROLANDO, HUARCAYA HUARANCA
Sub Coordinador Académico
Lic. TAINE, URBINA HUAMÁN
Monitor Académico Regional Online
Lic. AMANCIO, HUAMÁN MORÁN
Monitor Académico Regional Online
Lic. EDWIN CESAR, LIZANA ESPINOZA
Administrador
Lic. MEDIAN. HUACHO ALLCA
Comunicador Social
Ing. PAVEL, QUISPE TUNQUE
Operador PAD
Bach. JHONY , ESCOBAR TAIPE
Digitador
Lic. PAUL ANTONIO, LACHO CAYLLAHUA
Asistente Administrativo
Bach. MARIBEL, RAMÍREZ ESPINOZA
Auxiliar Administrativo
Lic. ROCIO NERY, ORÉ MACHUCA
Apoyo administrativo
Lic. LILIANA, CANALES FERNÁNDEZ
Apoyo Logístico
Tec. MALVINA, MARTINEZ CUSI
Secretaria
APOYO
Sra. OFELIA, SEDANO GOMEZ
Vigilante
Sr. JOSE ANTONIO, ESPINOZA ABREGÚ
Vigilante
Sra. ELIZABETH, PAITAN CRISPÍN
Personal de Servicio
Educación Rumbo al Bicentenario
INDICE
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO LOGÍCO RECREATIVO....................................................................................................................10
RAZONAMIENTO LOGÍCO FORMAL...........................................................................................................................16
RAZONAMIENTO ANALÍTICO....................................................................................................................................20
RAZONAMIENTO INDUCTIVO...................................................................................................................................24
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO..................................................................................................................................28
OPERADORES MATEMÁTICOS..................................................................................................................................32
PLANTEO DE ECUCACIONES....................................................................................................................................37
EDADES.................................................................................................................................................................40
MÓVILES................................................................................................................................................................43
CRONOMETRÍA.......................................................................................................................................................46
ÁLGEBRA
TEORIA DE EXPONENTES II.....................................................................................................................................51
EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS Y POLINÓMICAS..........................................................................................................55
PRODUCTOS NOTABLES II.......................................................................................................................................60
BINOMIO DE NEWTON............................................................................................................................................63
DIVISIÓN ALGEBRAÍCA...........................................................................................................................................67
COCIENTES NOTABLES............................................................................................................................................70
FACTORIZACIÓN.....................................................................................................................................................73
MCD Y MCM DE POLINOMIOS..................................................................................................................................77
FRACCIONES Y RADICACIÓN...................................................................................................................................80
TEORÍA DE ECUACIONES.........................................................................................................................................85
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS I.......................................................................................................................................91
TEORÍA DE CONJUNTOS II......................................................................................................................................94
SISTEMA DE NUMERACIÓN I...................................................................................................................................98
SISTEMA DE NUMERACIÓN II..................................................................................................................................101
SUMA Y RESTA........................................................................................................................................................104
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN..................................................................................................................................107
DIVISIBILIDAD I.....................................................................................................................................................109
DIVISIBILIDAD II....................................................................................................................................................113
NÚMEROS PRIMOS..................................................................................................................................................117
MCM - MCD............................................................................................................................................................121
GEOMETRÍA
SEGMENTOS...........................................................................................................................................................125
ÁNGULOS...............................................................................................................................................................127
TRIÁNGULOS I .......................................................................................................................................................132
TRIÁNGULOS II......................................................................................................................................................137
CONGRUENCIA.......................................................................................................................................................142
TEOREMAS DERIVADOS DE CONGRUENCIAS DE TRIÁNGULOS................................................................................... 146
POLÍGONOS............................................................................................................................................................150
CUADRILÁTEROS....................................................................................................................................................154
CIRCUNFERENCIA I.................................................................................................................................................159
CIRCUNFERENCIA II................................................................................................................................................165
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO ...................................................................................................................................171
SISTEMA DE MEDIDAS ANGUALRES.........................................................................................................................175
CONVERSIÓN DE SISTEMAS....................................................................................................................................178
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.............................................................................................. 182
RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO .................................................................................. 185
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA I ...................................................................................................... 189
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA II...................................................................................................... 192
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL............................................................................................................................195
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE.......................................................................................................................200
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I....................................................................................................................202
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
ANÁLISIS DIMENSIONAL.........................................................................................................................................207
VECTORES I...........................................................................................................................................................211
VECTORES II..........................................................................................................................................................217
CINEMÁTICA I........................................................................................................................................................222
CINEMÁTICA II.......................................................................................................................................................228
CINEMÁTICA III......................................................................................................................................................234
ESTÁTICA I.............................................................................................................................................................241
ESTÁTICA II...........................................................................................................................................................247
DINÁMICA I............................................................................................................................................................251
DINÁMICA II...........................................................................................................................................................255
QUÍMICA
CIENCIA - MATERIA................................................................................................................................................260
ESTRUCTURA ATÓMICA I........................................................................................................................................265
ZONA EXTRANUCLEAR.............................................................................................................................................270
TABLA PERIÓDICA...................................................................................................................................................273
ENLACE QUÍMICO I.................................................................................................................................................276
ENLACE QUÍMICO II................................................................................................................................................280
NOMENCLATURA INORGÁNICA I..............................................................................................................................284
NOMENCLATURA INORGÁNICA II.............................................................................................................................288
UNIDADES QUÍMICAS DE MASA...............................................................................................................................292
ESTADO GASEOSO..................................................................................................................................................295
BIOLOGÍA
CÉLULA..................................................................................................................................................................300
ESTRUCTURA DE LA CÉLULA EUCARIÓTICA..............................................................................................................304
FISIOLOGÍA CELULAR I...........................................................................................................................................310
FISIOLOGÍA CELULAR II..........................................................................................................................................315
HISTOLOGÍA ANIMAL..............................................................................................................................................319
TEJIDO MUSCULAR - NERVIOSO..............................................................................................................................326
TEJIDO VEGETAL....................................................................................................................................................331
NUTRICIÓN AUTÓTROFA.........................................................................................................................................334
SISTEMA DIGESTIVO HUMANO................................................................................................................................338
LA CIRCULACIÓN EN LOS ANIMALES........................................................................................................................343
Educación Rumbo al Bicentenario
REsUELVE PROBLEMAs DE cANTIDAD.
REsUELVE PROBLEMAs DE cANTIDAD.
- Traduce cantIdades a expresIones nume´rIcas.
- comunIca su comprensIo´n sobre los nu´meros y las operacIones.
- Usa estrategIas y procedImIentos de estImacIo´n y ca´lculo.
- Argumenta aFIrmacIones sobre las relacIones nume´rIcas y las operacIones.
REsUELVE PROBLEMAs DE REgULARIDAD,
EQUIVALENcIA Y cAMBIO.
- Traduce datos y condIcIones a expresIones algebraIcas.
- comunIca su comprensIo´n sobre las relacIones algebraIcas.
- Usa estrategIas y procedImIentos para encontrar reglas generales.
- Argumenta aFIrmacIones sobre relacIones de cambIo y equIvalencIa.
REsUELVE PROBLEMAs DE gEsTIO´N DE DATOs
E INcERTIDUMBRE.
- Representa datos con gra´FIcos y medIdas estadi´stIcas o probabIli´stIcas.
- comunIca la comprensIo´n de los conceptos estadi´stIcos y probabIli´stIcos.
- Usa estrategIas y procedImIentos para recopIlar y procesar datos.
- Sustenta conclusIones o decIsIones basado en InFOrmacIo´n obtenIda.
RESUELVE PROBLEMAS DE FORMA,
MOVIMIENTO Y LOcALIZAcIO´N.
- Modela objetos con Formas geome´trIcas y sus transformacIones.
- comunIca su comprensIo´n sobre las Formas y relacIones geome´trIcas.
- Usa estrategIas y procedImIentos para orIentarse en el espacIo.
- Argumenta aFIrmacIones sobre relacIones geome´trIcas.
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO LÓGICO RECREATIVO
6
INDICADORES DE LOGRO:
ñana de anteayer?
-
Resolución:
Resuelve problemas de relaciones de tiempo y de parentesco.
Analiza problemas sobre el mínimo número de integrantes
en una familia.
Propicia la creatividad a partir de la resolución de problemas con fósforos o cerillos, facilitando el manejo de estrategia para aprender a pensar. Interpreta juegos de ingenio,
diagramas y cerillos.
Desarrolla a través de situaciones cotidianas y lúdicas, habilidades y destrezas lógicas con monedas y dados.
Resuelve problemas que involucren, viajes, traslados, trasvases y problemas de ingenio.
-
-
Si:
ayer - pdo. mañana = sábado
-1
+2
⇒
+ 1 = sábado
mañana
hoy = viernes
entonces:
RELACIÓN DE TIEMPO:
manaña - anteayer - viernes
Es la relación que se establece entre los días de la semana, teniendo en cuenta el pasado, presente y futuro.
El día que precede al mañana es hoy.
Mañana del lunes es martes.
Anteayer del sábado fue jueves.
Si mañana será jueves, anteayer fue lunes.
El posterior día del subsiguiente día del martes será viernes.
+1
- 2
⇒
viernes
- 1
jueves
Rpta. Jueves
EQUIVALENCIAS:
RELACIONES FAMILIARES:
Para la resolución de problemas de este ítem se sugiere el uso de
la siguiente recta numérica de equivalencias
*
*
Para determinar la relación de parentesco entre dos personas, uno de los criterios para aplicar es el de realizar una
lectura desde la parte final del enunciado e ir estableciendo
las relaciones de parentesco, siguiendo un procedimiento
regresivo hasta llegar al inicio del enunciado. Por ejemplo:
- El hermano de mi padre, es mi tío.
- El hijo de mi hermana, es mi sobrino.
- La suegra de mi padre, es mi abuela.
Otro criterio que se puede considerar es el de establecer
mediante un gráfico el árbol genealógico familiar e ir determinando las relaciones de parentesco, comenzando de
la parte final del enunciado hasta determinar la última persona (relación de parentesco) ubicada en el enunciado.
Ejemplo 3
¿Quién es el hijo del hermano de la esposa de mi padre?
Resolución:
Ejemplo 1
Hijo - hermano - esposa - mi padre
Qué día de la semana será, el mañana de anteayer de mañana
de pasado mañana del viernes.
mi madre
Resolución:
Hijo - hermano - mi madre
mi tío
mañana - anteayer - mañana - pasado mañana - viernes
+1
-2
viernes
+1
+2
Hijo - mi tío
mi primo
+ 2
domingo
Rpta. Mi primo
Rpta. Domingo
Ejemplo 4
Ejemplo 2
La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi
padre es mí:
Si el ayer de pasado mañana fue sábado. ¿Qué día será el ma-
Educación Rumbo al Bicentenario-
10
HABILIDAD MATEMÁTICA
resolución:
Relacionando de lo último hacia delante:
Hermano de mi padre
:
El hijo de mi tío
:
Hermana de mi primo
:
Hijo de mi prima
:
Hermana de mi sobrino
:
mi
mi
mi
mi
mi
tío
primo
prima
sobrino
sobrina
Rpta: Mi sobrina
NÚMERO MÍNIMO DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA:
Rpta: total de viajes 7
Para determinar el número mínimo de integrantes de una familia
se debe aplicar los siguientes criterios:
*
Reconozca la cantidad de generaciones que integran la familia.
*
Ubique a los integrantes que pertenecen a la generación
de mayor jerarquía (primera generación) y a la de menor
jerarquía (última generación). Iniciando el árbol genealógico con la(s) persona(s) de mayor edad, teniendo en cuenta
que cada persona asuma la mayor cantidad de roles familiares (hijo, padre, tío, yerno, etc).
*
Finalmente se completa el resto de relaciones de parentesco priorizando a los de mayor jerarquía
PROBLEMAS SOBRE TRASVASES:
Se deberá vertir líquido de un recipiente a otro hasta obtener
el volumen del líquido requerido, pero con el menor número de
traslados. La mayor dificultad reside en que los recipientes estarán sin graduar.
Ejemplo 7
Se tiene un envase lleno con 8 litros de leche, del cual se requiere
separar un litro; como el envase no tiene marcas emplearemos 2
envases de 3 y 5 litros de capacidad, respectivamente ¿cuántos
trasvases se tendrán que realizar como mínimo?
Ejemplo 5
Resolución:
Danny, que se encuentra en una reunión comenta: «en esta reunión veo dos padres, dos hijos, un abuelo y un nieto». ¿Cuántas
personas como mínimo habrá en dicha reunión?
Una forma de conseguir un litro sería vaciar en el envase de 5
litros el contenido del envase de 3 litros dos veces consecutivamente. En el segundo vaciado quedará un litro en este envase.
Vemos esto detalladamente en la siguiente tabla.
Resolución:
En primer lugar, para que exista un abuelo, debe haber como
mínimo 3 personas. Así:
Abuelo
A
Padre
B
Padre
C
Luego, como mínimo hay 3 + Danny = 4 personas
Rpta : 4 personas
PROBLEMAS SOBRE VIAJES:
Bajo ciertas condiciones del problema trasladaremos personas,
animales u objetos hacia otra posición, con el menor número de
movimientos.
Ejemplo 6
Un viajero que debe cruzar un río, tiene un lobo, una oveja y
un atado de alfalfa el único bote disponible es muy pequeño y
sólo puede llevar al viajero y a uno de sus bienes a la otra orilla.
¿Cuántas veces cruzó el río en el bote?
el litro
solicitado
Rpta: 4 trasvases
Resolución:
PROBLEMAS SOBRE PESADAS:
Debe pasar primero a la oveja y dejarla en la otra orilla. A continuación, volver por el lobo y dejarlo también en la otra orilla,
pero regresando a buscar el atado de alfalfa volviendo a traerse
a la oveja para que el lobo no la mate, dejará la oveja en la orilla
inicial y se llevará el atado de alfalfa que dejará en la otra orilla
junto al amigo lobo. No queda sino regresar a recoger de nuevo
a la oveja.
Ejemplo 8
Se tiene una balanza de dos platillos y 17 bolas de billar aparentemente iguales, pero una de ellas es más pesada, ¿cuál es
el mínimo número de pesadas que debe realizarse para hallar la
bola más pesada?
Resolución:
Ubicación de las bolas por cada pesada
11
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
Platillo 1
Platillo 2
Resto
1era. Pesada
6
6
5
2da. Pesada
2
2
2
3era. Pesada
1
1
-
y en forma tangente, 6 monedas de igual tamaño a ella(
igual denominación)
Una moneda dará dos vueltas alrededor y en forma tangente a otra de igual tamaño.
Ejemplo 10
¿Cuántas monedas de S/2 se pueden colocar, como máximo, alrededor de las que se muestran en el gráfico, tangencialmente
a éstas?
Se observa que en cada pesada se considera lo máximo que puede haber en una de los platillos, porque si no se estaría obviando
una de las bolas y quizá esta sea la más pesada y generaría error.
POR TANTO:
1ra. Pesada: Los platillos pesan igual por tanto estaría la bola
más pesada en el suelo, pero si el 1er. Platillo pesa más que el
2do platillo se extraería 6 por lo cual tomamos el máximo.
2da. Pesada: Como los platillos y el suelo su repartición es equitativa cada dos bolas, en cualquier caso que ya sea que los dos
platillos pesan igual o uno de los platillos pesa más que el otro
siempre quedan 2 bolas.
3ra. Pesada: Al tener solo dos bolas se puede afirmar en la balanza cuál de ellos es la más pesada, ubicando uno en cada platillo.
Resolución:
Se pide la mayor cantidad de monedas tangencialmente, a las
mostradas y que sean de S/2. Como sabemos que se pueden
ubicar 6 monedas alrededor de otra, tangencialmente, entonces
haremos lo siguiente:
Rpta: 3 pesadas
PROBLEMAS SOBRE PALITOS DE FÓSFORO O CERILLOS:
Las condiciones para resolver problemas que involucren palitos
de fósforo son:
*
Los palitos de fósforo no se pueden romper ni doblar
*
No pueden quedar cabos sueltos, es decir es incorrecto
dejar un palito libre.
Ejemplo 9
¿Cuántos cerillos se deben mover como mínimo para que la
igualdad que se muestra en el gráfico se correcta?
Rpta: 12 monedas como máximo
PROBLEMAS SOBRE DADOS:
En este tipo de problemas generalmente se debe calcular el total
de puntos de las caras no visibles de un dado en la mayoría de
situaciones se considera a los dados comunes, pero también se
pueden incluir a los no comunes.
En todo dado común la suma de las caras opuestas deben sumar
siempre 7 quiere decir que al 1 se opone el 6, al 2 se opone el 5
y al 3 se opone el 4 y viceversa.
Resolución:
En la igualdad moveremos un cerillo para que sea correcta de la
siguiente manera:
Ejemplo 11
En el gráfico se muestran 4 dados comunes calcule el total de
puntos de las caras en contacto con la mesa.
Rpta: se moverá un cerillo
PROBLEMAS SOBRE MONEDAS:
En este tipo de problemas debemos de tener en cuenta las siguientes pautas:
Cuando dos monedas son de la misma denominación, entonces son del mismo tamaño y peso.
Se dice que dos monedas son tangentes cuando están en
contacto.
Alrededor de una moneda se pueden ubicar exactamente
Educación Rumbo al Bicentenario
Resolución:
Restamos de 7 a los números que están en la cara superior para
obtener los que están en contacto con la mesa así
7-3 +7-1+7-1+7-4 = 4+6+6+3 = 19
Rpta: La suma es 19
12
HABILIDAD MATEMÁTICA
6.
1.
Relaciona:
I.
II.
A.
B.
C.
Siendo lunes el pasado mañana de ayer, ¿qué día será
el mañana de anteayer?.
Si el pasado mañana del día que precede al
subsiguiente día del ayer es el anteayer del día
posterior del ayer de pasado mañana del siguiente
día del martes, ¿qué día de la semana será dentro de
297 días?
Jueves
Domingo
Sábado
¿Cuántas monedas deben ser cambiadas de lugar, como
mínimo, para formar dos figuras; en la primera de 4 filas
de 5 monedas cada uno y en la otra de 3 filas también de 5
monedas cada uno?
A) 2 – 3
B) 3 – 4
C) 3 – 2
D) 4 – 3
E) 5 – 5
A) IA, IIB
B) IB, IIC
C) IC, IIA
D) IC, IIB
E) IB, IIA
2.
7.
Si dentro de (n-3) días será el pasado mañana de ayer del
día anterior de hace 4 días del día que antecede a miércoles,
¿qué día será dentro de (8n+5) días? Considere que n?Z
A) Miércoles
B) Sábado
C) Lunes
D) Domingo
E) Jueves
3.
Relaciona:
8.
¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi
padre, si soy el único vástago?
II.
Si Corazón Valiente dice: "Ayer visité al padre de la
madre del hermano del hijo del suegro de la esposa
de mi hermano". ¿A quién visitó Corazón Valiente?
P. Su suegro
Q. Su esposo
R. Su abuelo
9.
En una cena se encuentra: 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres,
2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 1 hermano, 2 hermanas, 2
hijos varones, 2 hijas, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿Cuál
es el menor número de personas que satisface dichos
parentescos?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 18
E) 23
Indique el cerillo que debe ser cambiado de lugar para que
se genere una correcta igualdad.
A) e
B) d
C) c
D) b
E) a
¿Cuántas monedas de S/.1 adicionales se podrán colocar,
como máximo, tangencialmente y alrededor de las monedas
del arreglo mostrado si estas son inamovibles?
A) 21
C) 16
E) 20
Hay cuatro botes en una de las orillas del río, sus nombres
son ocho, cuatro, dos y uno, porque esa es la cantidad de
horas que tarda cada uno en cruzar el río. Se puede atar
un bote a otro pero no más de uno, entonces el tiempo
que tardan en cruzar es igual al del más lento de los botes.
Si un solo marinero debe llevar todos los botes a la otra
orilla, ¿cuál es la menor cantidad de horas que necesita para
completar el traslado?
A) 16
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A) IP, IIQ
B) IQ, IIR
C) IP, IIR
D) IR, IIQ
E) IQ, IIP
5.
Si el peso que puede llevar una canoa no excede de los 100
kg, ¿cuántos viajes, como mínimo, debe hacerse para que
esta canoa logre llevar, de una orilla a otra de un río, a 4
mujeres que pesan 50 kg cada una y 4 varones que pesan
70 kg cada uno?
A) 25
B) 19
C) 17
D) 21
E) 23
I.
4.
Según el gráfico mostrado
10. La gráfica muestra a 12 palitos de fósforo (todos del mismo
tamaño). Donde el número de palitos que se mueven de tal
manera que:
B) 15
D) 19
13
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
-
queden 10 cuadrados es «x»
queden 3 cuadrados iguales es «y»
se formen 7 cuadrados es «z»
D) 72
E) 68
15. Sobre la mesa, Ronald formó una ruma con seis dados no
necesariamente idénticos, tal como se muestra en la figura.
¿Cuántos puntos como máximo en total no son visibles para
él?
Determine: x + y + z
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
11. Se tiene un barril y 2 jarras con capacidades de 12; 5 y 3
litros, respectivamente las cuales no tienen ninguna marca.
Si se sabe que solo el barril está lleno de vino, ¿cuántos
trasvases hay que realizar, como mínimo para medir un litro
de vino sin desperdiciar ni una gota?
A) 66
B) 67
C) 68
D) 69
E) 70
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
16. Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado
mañana será jueves. ¿Qué día fue el anteayer del ayer del
mañana de hace 2 días?
12. Se dispone de tres baldes sin graduar de 20; 3 y 5 litros,
respectivamente. El balde de 20 litros está lleno con vino,
los demás están vacíos. ¿Cuántas veces, como mínimo, se
tendrá que pasar el vino de un balde a otro para obtener 16
litros de vino en uno de ellos?
A) domingo
E) martes
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) jueves C) lunes D) viernes
17. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener
una verdadera igualdad?
13. Si el dado común mostrado se va desplazando apoyándose
sobre sus aristas y siempre por el camino de cuadriculas,
indique la suma de los puntos correspondientes a las caras
en contacto con las cuadrículas A, B y C.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18. Martha distingue en la vereda a un hombre y dice: “El único
hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi
esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre
con Martha?
A) padre
B) abuelo
C) tío
D) tío abuelo
E) suegro
A) 13
B) 12
C) 11
D) 9
E) 8
19. ¿Cuántas monedas de S/.1 se pueden colocar, como máximo,
alrededor y en contacto con las monedas mostradas en el
arreglo?
14. De acuerdo al gráfico siguiente, ¿cuál es el total de puntos
no visibles, si se sabe que todos los dados son comunes pero
no necesariamente idénticos?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 16
A) 70
B) 76
C) 71
Educación Rumbo al Bicentenario
14
HABILIDAD MATEMÁTICA
20. Un vendedor de abarrotes solo cuenta con una balanza de
dos platillos y dos pesas una de 2 kg y otra de 9 kg. Si
un cliente le pide 21 kg de azúcar, ¿cuántas pesadas como
mínimo deberá realizar?
5.
A) 4
B) 5
C) 3
D) 2
E) 6
Tres parejas de esposos se fueron de excursión a Loreto. En
uno de sus paseos llegaron a la orilla de un río y acordaron
cruzarlo. Disponían para ello de una balsa inflable con
capacidad máxima para dos personas. Sin embargo, un
obstáculo por poco impide que lo hagan: las esposas se
negaban rotundamente a quedarse en compañía de otros
que no fuesen sus esposos, es decir, preferían estar solas
o acompañadas por otra persona siempre y cuando esté su
respectivo esposo. Si las 6 personas lograron pasar a la otra
orilla, ¿cuántos viajes realizaron como mínimo?
A) 15
D) 9
1.
En el aniversario de bodas de los abuelos de Pipo se observó
a 2 abuelos, 2 abuelas, 2 primas, un primo, 3 hijos, 3 hijas,
4 padres, 3 madres, un yerno, una nuera, 2 suegros, 2
suegras, 2 tíos, una tía, 2 hermanas, 2 hermanos, 2 sobrinas,
un sobrino, 2 nietas y un nieto. ¿Cuál es el mínimo número
de personas presentes en dicho aniversario?
3.
B) 11
E) 15
C) 12
Si el ayer del subsiguiente día de hace 28 días fue martes
2 de enero del 2007, ¿qué día será el día que antecede al
posterior día del mañana del día que subsigue, al día que
subsigue, al día que subsigue y así sucesivamente tantas
veces como cantidad de lunes haya como máximo en un
año, respecto al 4 de febrero del 2008?
A) jueves
D) domingo
4.
(Descartes)
En la siguiente caja de esferas, un movimiento consiste en
sacar una esfera por A o B e inmediatamente introducirla por
C. Si queremos ordenar las esferas de manera descendente
(de arriba hacia abajo), ¿cuántos movimientos serán
necesarios?
A) 10
D) 14
B) lunes
E) miércoles
C) martes
¿Cuántas monedas se deben agregar, como mínimo, para
que se formen diez líneas de tres monedas cada una?
A) 1
D) 4
B) 2
E) 6
C) 11
““Los números perfectos, como los hombres
perfectos, son muy extraños”.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
2.
B) 13
E) 7
C) 3
15
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO LÓGICO FORMAL
7
INDICADORES DE LOGRO:
-
-
-
(camino más corto), para ello analizamos el siguiente gráfico.
Identificar e interpretar el concepto de certeza lograr diferenciar lo certero de lo probable, manifestando flexibilidad
y tolerancia.
Entender la importancia de la optimización; aumentar la
diversidad de recursos para maximizar o minimizar ciertas
expresiones con teorías elementales; agudizar el sentido
de análisis frente a situaciones matemáticas que se presenten.
Desarrollar nuestra capacidad de deducción para distribuir números bajo ciertas condiciones; conocer y aplicar
propiedades de cuadrados mágicos para la resolución de
problemas.
Determina y resuelve problemas de aplicación sobre cortes, estacas y pastillas.
a
A
B
Consideramos una mesa de billar y una esfera en el punto A, la
cual debe llegar al punto B (tocando los lados de la mesa como
indican las flechas).
APLICAR SIMETRÍA:
PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS:
A
El objetivo de estos problemas es la de escoger entre varias posibilidades la más óptima, es decir, la que con el mínimo esfuerzo
estemos completamente seguros que va a ocurrir la condición
planteada.
a
Ejemplo 01
a
En una caja hay 10 esferas amarillas, 12 azules y 15 verdes.
¿Cuál es el mínimo número de esferas que se debe extraer al
azar de manera que se obtengan 10 de un mismo color?
A
Resolución:
B
Se busca extraer 10 esferas del mismo color, el peor de los casos
sería extraer la mayor cantidad de esferas en colores diferentes.
Números de extracciones:
9 amarillas+9 azules +9 verdes+1 = 28
b
b
B
Donde A' y B' son simétricos de A y B respectivamente. Entonces
el recorrido mínimo es la distancia A'B'
Ejemplo 02
Rpta: Como mínimo se debe extraer 28
Si: M=a(20-a); 0<a<20 y nos piden su máximo valor,
esferas.
Resolución:
MAXIMOS Y MÍNIMOS
como: a+(20-a)=20
entonces hacemos: a = 20-a = 20/2 = 10
Por lo tanto
Máximo= 10x10=100
EN SITUACIONES ALGEBRAICAS:
Generalmente en este tipo de ejercicios se pedirá encontrar el
valor máximo o mínimo, de expresiones de la forma:
Rpta: Máx.=100
M( x ) = 9 − x 2 − 2x
DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS:
H( t ) = 5t 2 − 2t + 1
7
P( x ) =
100 + 2x 2 − 5x
Este tipo de problemas consiste en distribuir un conjunto de números (o letras) bajo ciertas condiciones dadas.
Ejemplo 03
En el siguiente triángulo numérico, la suma de los números por
cada lado es la misma. Si los números a utilizar son del 1 al 9.
Para ello se debe tener presente.
Completar cuadrados:
9 − x 2 − 2x = 9 − ( x 2 + 2x + 1) + 1 = 10 − ( x + 1)2
x 2 − 4x + 7 = ( x 2 − 4x + 4 ) + 3 = ( x − 2)2 + 3
2
b
2
2
5
13
5
5
x 2 + 5x + 3 = x 2 + 5x + + 3 − = x + −
2
4
2
2
EN SITUACIONES GEOMÉTRICAS:
Generalmente en estos ejercicios se pide el recorrido mínimo
Educación Rumbo al Bicentenario-
16
HABILIDAD MATEMÁTICA
¿Cuál es la máxima suma que se puede obtener por lado? (Cada
digito se utiliza una sola vez)
longitud total lineal entonces:
Resolución:
Estaca
Asignando variables a cada una de las casillas y planteando
ecuaciones de acuerdo al enunciado del problema, tenemos:
x
y
z
Ejemplo 05
Sea K la suma de cada lado.
3K = x + y + z + 45
Tomando los máximos valores para
x+y+z, sería 9+8+7=24
3K = 24 + 45
K = 23
¿En una pista de salto de vallas hay 23 de éstas separadas por
una distancia de 3 metros. ¿Cuál es la longitud entre la primera
y la última valla?
Resolución:
lo que nos piden es la longitud total entonces:
23=Lt/3 +1 --> 22=Lt/3
Lt=66m
Rpta: K = 23
Rpta: La longitud total es 66m
CUADRADOS MÁGICOS:
Son distribuciones numéricas particulares, en arreglos cuadrados, donde se cumple que la suma de los números ubicados en
cada fila, columna y diagonal sea la misma.
Cuadrado mágico de orden 3
Ubiquemos los números naturales del 1 al 9, de modo que en
cada fila, columna o diagonal la suma sea siempre la misma
Observación: La constante mágica es 15.
1.
Se tiene una bolsa con 15 chapas, 6 de la marca “pulpo” y las
9 restantes de la marca “pepo”. ¿Cuál es el menor número
de chapas que deben extraerse para tener la seguridad de
haber extraído una de cada marca?
A) 2
D) 10
2.
B) 3
E) 14
De una baraja de 52 cartas ¿Cuántas habrá se debe extraer
consecutivamente y sin reposición para obtener con certeza
una carta de color rojo?
A) 2
D) 45
CORTES, ESTACAS Y PASTILLAS:
3.
Hay una gran variedad de problemas referentes a cortes, estacas
y pastillas los cuales tienen la particularidad común que es el
conteo de intervalos. Los intervalos pueden ser de longitud o
de tiempo.
CORTES: como los cortes a una soga, alambre, etc no se realizan a los extremos entonces:
B) 20
E) 27
4.
C) 3
En cierto bolso hay 30 bolos, numerados en el orden de
los primeros 30 enteros positivos. ¿Cuántos bolos se deben
extraer al azar para obtener con certeza un bolo cuyo
número sea primo?
A) 21
D) 25
Corte
C) 7
B) 10
E) 30
C) 12
Se tienen los rótulos que indican el contenido de las mismas,
tal como muestra el siguiente esquema:
Letra
E
colores
6 azules
5 blancas
Letra
V
colores
4 azules
7 blancas
Letra
A
colores
6 azules
6 blancas
¿Cuántas letras se tiene que extraer, como mínimo para
tener la certeza de que con las extraídas se forme la palabra
EVA, utilizando para ello las letras del mismo color?
Ejemplo 04
¿Cuántos cortes se le debe hacer a una varilla de metal de 8m de
longitud para obtener trozos de 2m?
A) 14
D) 16
Resolución:
B) 17
E) 18
Se obtiene: # de cortes=8/2 -1 =
Rpta: el número de cortes es 3
ESTACAS: como los estacas se plantan de inicio a final en una
17
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 15
HABILIDAD MATEMÁTICA
5.
¿Cuál es el máximo valor de:
ab
F = 20 + 10x - x2?
A) 45
D) 40
6.
21
B) 65
E) 25
A) 0
D) 2
A) 8
D) 17
36
x + 4x + 7
C) -1
B) 625
E) 750
d
b
C) 1 250
c
a
Una persona debe entrar por la puerta M, tocar la pared A,
luego tocar la pared B y finalmente salir por la puerta N.
¿Cuánto tiempo como mínimo se demorará en hacer esto;
si su rapidez constante es de 1m/s?
A) 96
D) 120
4m
A) 50
D) 53
N
1m
3m
6m
B) 7 s
E) 9 s
C) 10 s
A) 8
D) 4
En la figura distribuir los números del 1 al 12 de modo
que la suma de los números que se hallan en cada lado
del cuadrado sea 22. Dar como respuesta la suma de los
números que van en los vértices: (a + b + c + d)
A) 12
D) 16
a
b
c
d
B) 22
E) 18
C) 108
B) 48
E) 55
C) 51
14. Un hojalatero tiene una plancha de aluminio de 25m de largo
por 1,5m de ancho, diario corta 5m de largo. ¿En cuántos
días habrá cortado íntegramente la plancha?
Pared B
A) 8 s
D) 12 s
B) 102
E) 144
13. Janet compra un frasco conteniendo pastillas, y tiene que
tomarlos durante los 3 días que está en cama, a razón de 2
pastillas cada 3 horas; si empezó a tomarlas apenas empezó
su reposo hasta que culminó. ¿Cuántas pastillas contenía el
frasco?
6m
2m
M
C) 7
12. Distribuya los 16 primeros múltiplos positivos de 3 en las
casillas del recuadro mostrado de modo que la suma de los
números ubicados en cada fila, columna y diagonal sea la
misma. Dé como respuesta el valor de: a+b+c+d.
Pared A
9.
B) 11
E) 13
Determine el área máxima en m2 de un rectángulo de 100
metros de perímetro.
A) 250
D) 100
8.
Habiendo completado la tabla, ¿qué valor tendrá a + b + c?
2
B) 1
E) -2
c 19
11
¿Para qué valor de “x”, la expresión “P” toma su máximo
valor?
P=
7.
C) 30
B) 7
E) 5
C) 6
15. El profesor Percy, debe tomar 3 pastillas cada 4 horas
durante 6 días, empieza un lunes a las 4 p.m. ¿Cuántas
pastillas toma y qué día y hora acabará?
A) 109, domingo 4 a.m.
B) 109, domingo 4 p.m.
C) 111, sábado 4 a.m.
D) 111, domingo 4 p.m.
E) 147, domingo 4p.m
16. En cierto depósito se tiene 3 pares de guantes rojos y 3
pares de guantes negros. ¿Cuántos guantes deben extraerse
al azar para obtener con certeza un par útil de color negro?
C) 10
10. Distribuya los números del 1 al 15, uno en cada casillero;
tal que la suma de cada lado sea 27. Dé como respuesta la
suma de los números ubicados en los vértices de la figura.
A) 8
D) 10
B) 7
E) 11
C) 9
17. ¿Cuál es el mínimo valor de:
P = x2 - 6x + 10?
A) 10
D) 2
A) 18
D) 14
B) 22
E) 15
C) 1
18. Coloca los números del 1 al 16 una por casilla; de modo
que la suma horizontal, vertical y diagonal resulte siempre
34. Dar como respuesta la suma de los números que estas
ubicados en las los vértices.
C) 12
11. Alfredo se divierte completando la tabla, rellena con
números enteros las casillas, de modo que la suma de las
filas, columnas y diagonales sea la misma.
Educación Rumbo al Bicentenario
B) 5
E) 0
18
HABILIDAD MATEMÁTICA
3.
A) 36
D) 30
B) 34
E) 28
C) 32
-
19. En el siguiente arreglo deben estar ubicados números
enteros positivos y diferentes, de tal manera que la suma
de los números ubicados en cada fila, columna y diagonal
resulte lo mismo.
p
18
Tres esferas de diferentes colores.
Cinco esferas de un solo color.
Dos esferas rojas y 3 azules.
Un color por completo.
Tres de igual color en 2 de los cuatro colores.
Dé como respuesta la suma de los cinco resultados.
8
q
A) 148
D) 151
24
4.
Calcula el valor de: q - p
A) 8
D) 18
Una caja contiene 13 esferas rojas, 15 blancas, 10 azules y 9
verdes. ¿Cuántas esferas como mínimo se deben extraer al
azar para tener la certeza de obtener:
B) 19
E) 9
C) 150
Ubica los números enteros del 1 al 12 en las casillas, de tal
modo que la suma de cada lado del cuadrado mayor sea 26.
C) 20
B
20. Se quiere cercar una granja de 20m de ancho por 30m de
largo con estacas de 1,65m de alto. Si las estacas están
separados cada 5m cada uno, y se ubican una estaca en
cada esquina. ¿Cuántas estacas serán necesarias?
A) 22
D) 19
B) 149
E) 152
B) 17
E) 20
K 2 +2
2
I
K 2 +3
H
K
K 2 +1
C) 18
K2
A
S
Calcula B + A + S + H + I
1.
En un juego de tiro al blanco, ¿cuánta es la diferencia entre
lo máximo y mínimo que se puede obtener con 3 tiros si
cada zona permite un máximo de 2 tiros, si los disparos
deben dar en el tablero?
A) 32
D) 21
5.
B) 26
E) 27
C) 28
Se quiere cercar el jardín mostrado utilizando para ello 720
m de cerca. Calcula el área máxima que puede tener dicho
jardín.
8a
10 9 8 7 5 1
4b
A) 25
D) 24
2.
B) 22
E) 36
a
b
jardín
4a
a
casa
b
jardín 10b
jardín
C) 20
8a
Distribuya los números del 3 al 10 en las casillas circulares,
sin repetir, de modo que él número ubicado en cada
segmento indique la suma de los números ubicados en los
extremos de dichos segmentos.
A) 20 440 m2
D) 24 240 m2
B) 28 880 m2
E) 24 440 m2
C) 20 880 m2
Calcula el valor de a + b + c.
a
15
13
14
12
11
A) 20
D) 21
14
B) 24
E) 26
16
11
c
b
““El 99% de todas las estadísticas solo
cuentan el 49% de la historia”.
17
13
(Ron DeLegge)
C) 22
19
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO ANALÍTICO
8
INDICADOR DE LOGRO:
-
Organiza la información dada para determinar conclusiones.
Resuelve problemas sobre verdades y mentiras a partir de
enunciados contradictorios.
Elabora diagramas, gráficos de proposiciones categóricas.
Determina negaciones de las proposiciones categóricas.
Deduce conclusiones validas a partir de premisas.
IZQUIERDA
(SINIESTRA)
ORDEN DE INFORMACIÓN LINEAL
Ejemplo 2
Ordenamiento Creciente o Decreciente
En estos problemas encontraremos elementos relacionados de
forma vertical u horizontal, mayor a menor o de más a menos,
para estos problemas se debe tener en cuenta lo siguiente:
*
Decir: «A no es mayor que B»: Equivale a que A puede ser
menor o igual que B.
*
Decir: «A no es menor que B»: Equivale a que A puede ser
mayor o igual que B.
Aníbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda Daniel, Eduardo y Felipe: este último, por razones de fuerza mayor, no pudo
asistir. Se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.
Si
*
Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel.
*
Frente a Eduardo se sienta Betty.
*
Junto a un Hombre no se encuentra el asiento vacío.
¿Entre quienes se sienta Eduardo?
Ejemplo 1
Respecto a la edad de cuatro amigos, se sabe que:
- Adriano es mayor que Francisco.
- Guillermo es menor que Gustavo.
- Francisco es mayor que Gustavo.
¿Quién es el mayor de todos?
Resolución:
�
Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel.
�
"Frente a Eduardo se siente Betty"
�
"Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío".
Entonces, dicho asiento está ubicado entre las dos mujeres; luego:
Resolución:
Se tiene:
*
Adriano es mayor que Francisco entonces: Francisco<Adriano(a)
*
Guillermo es menor que Gustavo:
Guillermo<Gustavo (b)
*
Francisco es mayor que Gustavo entonces: G u s t a v o < Francisco(c)
*
Relacionando (b), (c) y (a) en ese orden tenemos:
Guillermo<(b) Gustavo<(c) Francisco<(a) Adriano
El mayor de todos es Adriano
MUJER
VARÓN
Ordenamiento Lateral
Los problemas de ordenamiento lateral son fáciles de identificar
pues nos presentan elementos ordenados de la siguiente manera:
-
-
VARÓN
Rpta. Eduardo se sienta entre Aníbal y Celinda
DERECHA
ESTE
OCCIDENTE
ABAJO
ORDENAMIENTO DE INFORMACIÓN EN TABLAS DE DOBLE
ENTRADA:
En estos problemas los datos están relacionados bajo un mismo patrón pero con diferentes características. Se debe tener en
cuenta:
*
La característica de A solo lo tendrá A, no puede haber otro
elemento con la misma característica.
*
Los datos se van ordenando en una tabla de doble entrada,
de preferencia en la primera columna, se ubican los nombres de las personas.
"A" está a la derecha de "B" es diferente que decir "A" está
junto y a la derecha de "B"
"A" esta entre "B" y "C" no necesariamente significa que
"A" estará en el medio y junto a ellos (adyacentes).
Ejemplo 3
ORDENAMIENTO DE INFORMACIÓN CIRCULAR
Tres amigos tienen cada uno un animal diferente, se sabe que:
I.
El perro y el gato se peleaban.
II.
Juan le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene
un canario
III.
Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario.
En el ordenamiento circular los lugares tienen que ser equidistantes, con una distribución simétrica. Hay que tener en cuenta
la posición derecha (diestra) e izquierda (siniestra) y frente (diametralmente opuesto).
Educación Rumbo al Bicentenario-
A
VARÓN
DEBEMOS TENER PRESENTE:
-
MUJER
E
Rpta: Adriano
IZQUIERDA
OESTE
ORIENTE
ARRIBA
DERECHA
(DIESTRA)
20
HABILIDAD MATEMÁTICA
IV. JULIO LE DICE AL DUEÑO DEL GATO QUE ESTE QUISO
COMERSE AL CANARIO:
¿Qué animal tiene Luis?
1.
Resolución:
"Juan le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario"
De Aquí deducimos que Juan no es dueño del gato ni del canario;
es decir que es dueño del perro, lo cual elimina como dueños en
este animal a Julio y Luis
Perro
Gato
Canario
Juan
SI
No
NO
Julio
NO
Luis
NO
A) Sandra
D) Lucía
2.
Se deduce que Juan
es Dueño del Gato
Gato
Canario
Juan
SI
No
NO
Julio
NO
NO
SI
Luis
NO
SI
NO
C) Mariana
B) 6 km
E) 12 km
C) 9 km
En una mesa circular se sientan cuatro amigas: Nancy, lucía,
Carla y Carmen, se sabe que:
-
"Julio le dice al dueño del gato que este quiso comerse al canario"
Entonces, Julio no es dueño del gato, y por el dato anterior no es
dueño del perro; entonces es dueño del canario.
B) Rosa
E) Paola
Un ciclista sale a entrenar y realiza el siguiente recorrido:
5 km al oeste, 2 km al norte, 7 km al oeste y 11 km al sur.
¿A cuántos kilómetros de distancia del punto de partida se
encuentra el ciclista?
A) 15 km
D) 18 km
3.
Perro
Si se sabe que Rosa es más alta que Lucía pero más baja que
Mariana y Sandra es más baja que Lucía. ¿Quién es la más
baja?
Nancy se sienta frente a Lucía.
Carla se sienta junto y a la derecha de Lucía.
¿Quién sienta frente a Carmen?
A) Carla
D) Nancy
4.
Por lo
Tanto
Julio es
dueño del
canario
B) Carmen
E) Lucía
C) Rocío
Kelly, Ruth y Carla son amigas. Una soltera, otra es casada
y la tercera es viuda (no necesariamente en ese orden), se
sabe que:
-
Carla es soltera
La viuda y Kelly tienen ocupaciones diferentes.
Entonces:
A) Kelly es viuda
C) Ruth es soltera
E) Carla es viuda
Finalmente Luis es
dueño del gato
5.
Rpta: Luis
VERDADES Y MENTIRAS:
B) Kelly es soltera
D) Ruth es viuda
Un padre repartió moneda de S/ 5; S/ 2; S/ 1 y S/ 0,5; entre
sus cuatro hijos, si cada uno de ellos dijo:
Juan : Yo recibí S/ 0,5
José : Luis recibió S/ 0,5
Carlos: Yo recibí S/ 1
Luis : Yo recibí S/ 5
En este tipo de problemas vamos a encontrar una o varias proposiciones cuyos valores de verdad se desconocen, pero podemos
relacionarlas entre sí mediante la búsqueda de CONTRADICCIONES entre ellas o partiendo de una SUPOSICIÓN, dependiendo
de las condiciones dadas, y de esta manera llegar a deducir el
valor de verdad de cada una.
Determina la cantidad que recibieron entre José y Luis,
juntos, si se sabe que solo uno de los hijos miente.
A) S/ 5,5
D) S/ 1,5
Ejemplo 4
Cuatro amigos: Danny, Carlos, Raúl y Wladimir se reúnen para
averiguar quién de ellos contó el chiste a Marcelino. Las afirmaciones de cada uno con respecto al tema fueron las siguientes:
Danny: Carlos contó el chiste.
Carlos: Raúl contó el chiste.
Raúl: Carlos no dice la verdad.
Wladimir: Yo no fui.
Si además se sabe que sólo uno contó el chiste y sólo uno de
ellos miente, ¿quién contó el chiste?
Resolución:
Datos:
Sólo uno de los cuatro amigos contó el chiste a Marcelino.
De las proposiciones sólo 1F, entonces 3V.
Bastará encontrar la proposición falsa y las otras tres serán verdaderas.
De esta suposición se deduce que las otras dos proposiciones
deben ser verdaderas.
Danny:
Carlos contó el chiste……...
(V)
Wladimir:
Yo no fui……..………………
(V)
6.
B) S/ 3
E) S/ 7
C) S/ 6
En un edificio de 5 pisos viven las familias: Marcelo,
Castañeda, Julca, Beraún y Basilio, cada uno en un piso
diferente, se sabe que:
-
La familia Marcelo ocupa el último piso.
La familia Basilio vive en el primer piso.
La familia Julca vive en un piso inferior a la familia
Marcelo.
El segundo piso lo ocupa la familia Castañeda.
¿En qué piso vive la familia Beraún?
A) Primero
D) Quinto
7.
21
C) Segundo
Cuatro personas, Ana, Beatriz, Carlos y Diana se sientan en
una mesa circular. Ana y Beatriz no se sientan juntas, si
Carlos está sentado junto y a la derecha de Beatriz, ¿quién
está sentado junto y a la derecha de Diana?
A) Carlos
D) Diana
Rpta. Por lo tanto Carlos contó el chiste a Marcelino.
B) Cuarto
E) Tercero
B) Ana
E) Beatriz
Educación Rumbo al Bicentenario
C) Jorge
HABILIDAD MATEMÁTICA
8.
En una competencia atlética, Carlos está más atrás que Juan,
quien se encuentra un lugar más atrás que Mario. Daniel
está más adelante que Carlos pero un lugar más atrás que
Iván, quien está más atrás que Roberto que se encuentra
entre Iván y Juan. ¿Quién está en el tercer lugar?
A) Carlos
D) Iván
9.
B) Daniel
E) Roberto
A) Rodrigo
D) Juliana
B) 5 km
E) 3 km
C) Juan
A) Andrés 2, Beto 3, Toño 5
B) Andrés 5, Beto 2, Toño 3
C) Andrés 5, Beto 3, Toño 2
D) Andrés 3, Beto 5, Toño 2
E) Andrés 2, Beto 5, Toño 3
C) 6 km
16. En un examen, José obtuvo más puntaje que Moisés, Antonio
más puntaje que Henry, Andrés el mismo puntaje que Jorge,
José menos puntaje que Alfredo, Antonio el mismo puntaje
que Moisés y Andrés menos puntaje que Henry. ¿Quién
obtuvo el mayor puntaje?
10. Las fechas de cumpleaños de Ángela, Beatriz, Carla y Diana
son el 05 de mayo, 23 de mayo, 24 de junio y 05 de agosto,
no necesariamente en ese orden. Sabemos que Diana nació
el mismo mes que Beatriz y que el número de día en que
nacieron Beatriz y Carla es el mismo, aunque nacieron en
meses distintos.
A) Antonio
D) Alfredo
¿Quién nació el 24 de junio?
A) Ángela
D) Evelin
B) Beatriz
E) Diana
:
:
:
:
C) Carla
-
«Liliana fue»
«Maribel fue»
«Liliana miente al decir que fui yo»
«Yo no fui»
-
-
Adrián llegó antes que Renato.
Claudio llegó después de Félix
Tomás llegó antes que Adrián.
Félix llegó después de Renato.
A) Antonio
D) Carlos
C) Félix
Preguntas
1.ª
2.ª
3.ª
Paola está sentada frente a Yasi, y junto y a la derecha
de Sayuri.
Briz está sentada frente al sitio vacío
Evelin no está sentada junto a Briz.
B) Briz
E) El asiento vacío
A) Daisy
D) Ninguna
C) Yasi
14. Cuatro compañeros ven la lista de promedios. Carlos está
más abajo, Juliana quien se encuentra un lugar más abajo
que Ciro quien está más abajo que Rodrigo. Miguel está en
la lista entre Juliana y Carlos. ¿Quién está en tercer lugar?
Educación Rumbo al Bicentenario
C) Gabriel
Jacky
V
V
F
Sonia Daisy
V
F
F
F
F
V
Se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas
correctamente; otra falló en todas y la tercera solo falló en
una pregunta. ¿Quién acertó todas las preguntas?
¿Quién está sentada frente a Evelin?
A) Paola
D) Sayuri
B) Mario
E) Faltan datos
19. Tres alumnas (Jacky, Sonia y Daisy) responden verdadero
(V) o falso (F) en un examen de 3 preguntas de la siguiente
manera:
13. Cinco amigas, Paola, Yasi, Sayuri, Evelin y Briz, están
sentados alrededor de una mesa circular con seis asientos
distribuidos simétrica mente. Si se sabe que:
II.
III.
A la derecha de la novia de Antonio se sienta Gabriel
Maritza, que está sentada a la derecha de Dora, está
al frente de su propio novio
Antonio está a la izquierda de Mario
Esperanza está al frente de la novia de Gabriel
¿Quién es el novio de Dora?
¿Quién llegó en primer lugar?
I.
B) María - Tercero
D) María - Tercero
18. Tres parejas se sientan alrededor de una mesa circular con 6
asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que:
12. En una carrera de 100 m planos, se obtuvo el siguiente
resultado:
B) Adrián
E) Claudio
La abogada tiene su oficina en el primer piso.
Jassy tiene su oficina en el segundo piso y siempre
sube a visitar a su amiga Carla al tercer piso.
La ingeniera se llama Jassy.
A) Jassy – Segundo
C) Carla - Segundo
E) Carla - Tercero
A) Katia
B) Zulema
C) Liliana
D) Maribel
E) No se puede determinar
A) Tomás
D) Renato
C) Jorge
¿Quién es el médico y en qué piso queda su oficina?
Si la madre sabe que solo una de ellas dice la verdad, ¿quién
es la culpable?
-
B) Moisés
E) José
17. Carla, Jassy y María son tres profesionales, una de ellas
es médico, la otra ingeniera y la última abogada; las tres
tienen sus oficinas en el mismo edificio, cada una en un piso
diferente. Además se sabe que:
11. Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una
de ellas usó sus joyas en una fiesta sin su permiso:
Katia
Liliana
Maribel
Zulema
C) Ciro
15. Tres niños, Andrés, Beto y Toño, tienen 5 caramelos,
3 caramelos y 2 caramelos; Beto le dice al que tiene 3
caramelos, el que tiene 2 caramelos es simpático. El que
tiene 3 caramelos le pregunta a Toño por su estado de
ánimo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Un ciclista hace un recorrido de la siguiente manera: 8 km
al Este, 10 km al Norte, 4 km al Este y finalmente «n» km al
Norte, si la distancia desde el punto de partida al punto de
llegada es de 20 km. Determina el valor de «n».
A) 8 km
D) 4 km
B) Miguel
E) Carlos
22
B) Sonia
E) Todas ellas
C) Jacky
HABILIDAD MATEMÁTICA
20. Tres universitarios con sus respectivas novias no universitarias
se encuentran sentados en una banca. Se sabe que:
*
*
*
*
*
4.
El que estudia Administración está a la izquierda del
novio de Elizabeth.
El estudiante de Ingeniería Metalúrgica y Cecilia están
a la izquierda de Antonio, quien no estudia Educación.
Julio tiene a su derecha al novio de Elizabeth.
El estudiante de Educación está junto y a la derecha
del novio de Kelly.
El novio de Cecilia está a la izquierda de Juan.
Aldo :
José :
Kevin :
Carlos :
A) José
D) Kevin
Antonio estudia Administración
El novio de Kelly es Juan
El que estudia Educación es novio de Elizabeth
A) Sólo I
D) l y II
1.
B) Sólo II
E) I y III
5.
C) Sólo III
-
2.
A) Sofía y Rosa
C) Raúl y Tania
E) Sofía y Carlos
C) Miriam
*
*
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
Mario se sienta frente a Norma y junto a Paulino.
Jorge se sienta frente a Paulino y a la izquierda de
Norma.
Sofía no se sienta junto a Jorge.
A Rafaela le gusta el curso de Razonamiento
Matemático.
B) Rosa y Raúl
D) Raúl y Carlos
(Johann von Neumann)
¿Quién se sienta junto y a la derecha de Rafaela?
A) Paulino
D) Mario
3.
B) Sofía
E) Norma
C) Jorge
Miguel, Manuel y Enrique son tres profesores que enseñan
actuación, baile y canto, pero no necesariamente en ese
orden.
Se sabe que:
*
*
El profesor de canto es el menor, y es el mejor amigo
de Manuel.
El profesor de baile es menor que el profesor Enrique.
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I.
II.
III.
Manuel es el profesor de baile.
Miguel es el profesor de canto.
Enrique es menor que el profesor de actuación.
A) VVF
D) VVV
B) VFF
E) FVF
F
V
V
V
F
““En las matemáticas no entiendes las cosas.
Te acostumbras a ellas”.
En una mesa circular hay seis asientos distribuidos
simétricamente, en los cuales se sientan seis amigos. De
ellos se sabe lo siguiente:
*
*
Sofía Rosa Raúl Carlos Tania
Si uno de ellos contestó todas correctamente, otro falló en
todas, y los otros tres fallaron respectivamente, en una, en
dos y en tres preguntas, ¿quiénes ocuparon los dos últimos
lugares?
¿Cuál de ellas trabaja en el sexto piso?
B) Isabel
E) Cecilia
C) Alex
En un concurso de Lógico Matemática se presentan
5 alumnos: Sofía, Rosa, Raúl, Carlos y Tania, quienes
respondieron verdadero (V) o falso (F) a una prueba de cinco
preguntas. Los resultados obtenidos son los siguientes:
1.ª
2.ª
3.ª
4.ª
5.ª
Susana trabaja en un piso adyacente al de Isabel y
Miriam
Para ir del piso de Susana a la de Cecilia hay que bajar
tres pisos
Flor trabaja en el segundo piso
A) Susana
D) Rocío
B) Carlos
E) Aldo
Preguntas
En el edificio administrativo de la UNH, en seis pisos
consecutivos trabajan 6 secretarias: Flor, Miriam, Isabel,
Rocío, Susana y Cecilia. Cada una en un piso diferente. Se
sabe que:
-
Yo no llego tarde a entregar reportes.
Aldo miente.
José miente
José llega tarde a entregar reportes.
Determina quién no es el que entrega tarde los reportes.
Luego, son ciertos:
I.
II.
III.
Alex, jefe de planta, estaba convencido que tres de los cuatro
trabajadores: Aldo, José, Kevin o Carlos, eran los tardones
en entregar reportes. Cada uno hizo una afirmación, pero
sólo una de las cuatro afirmaciones es verdadera.
C) FVV
23
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
9
-
Analiza, identifica y formula a través de situaciones particulares casos generales (razonamiento inductivo).
Caso1:
Caso2:
Caso3:
INDUCCIÓN:
F1 =
F2 =
F3 =
5
11
19
=2x3-1
=3x4-1
=4x5-1
LUEGO POR INDUCCIÓN:
Consiste en obtener conclusiones generales a partir de casos
particulares, sencillos, del caso general.
Tenga en cuenta:
Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares.
Estos casos particulares deben tener la misma forma y características del caso general(problema)
F10 = 11 x 12 - 1 = 131
Entonces, el número de círculo sin pintar es 131
Rpta. 131
Ejemplo 3
C
A
S
O
C
A
S
O
C
A
S
O
I
II
III
C
A
S
O
IN D U C C IÓN
Determina el valor de:
G
E
N
E
R
A
L
M=
1x22 + 1x2x32 + ... + 1x2x...x29x30 2
(1x2x3x...x30x31) − 2
C as os Partic ulares
Resolución:
Por inducción
Ejemplo 1
Determina la suma de los números en la fila 30, si se sigue la
secuencia mostrada.
fila 1 :
1
fila 2 :
1
3
fila 3 :
1
3
5
fila 4 :
1
3
5
7
Resolución:
Para resolver el problema es necesario aprovechar el razonamiento inductivo.
Cas o 1 :
4
1x22
= =1
(1x2x3) − 2 4
Cas o 2 :
1x22 + 1x2x32 22
=
=1
(1x2x3x4 ) − 2 22
Cas o 3 :
1x22 + 1x2x32 + 1x2x3x4 2 118
=
=1
(1x2x3x4x5) − 2
118
Luego por inducción el valor de M es 1
SUMA DE NÚMEROS:
Rpta.: 1
Caso 1: fila 1
1
1 = (1)2
Caso 2: fila 2
1
3
4 = (2)2
Caso 3: fila 3
1
3
5
9 = (3)2
Luego por inducción
fila 30
1 3 5 .....
(30)2 = 900
Entonces, la suma de término en la fila 30 es 900.
1.
Rpta. 900
El sueldo en soles de un trabajador de la empresa «BASHI»
está dado por la suma de cifras del resultado de:
N = 3 x (8888 ... 88)
Ejemplo 2
370 cifras
En la siguiente sucesión, determine el número de círculos sin
pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.
¿Cuánto es el sueldo en soles de Manuel, si es un trabajador
de dicha empresa?
A) 2 226
D) 1 110
2.
F
1
F
2
F
Determina el valor de S.
S=
3
A) 22/3
C) 25/3
E) 8
Resolución:
Por inducción.
N° de círculos sin pintar
Educación Rumbo al Bicentenario-
B) 2 220
E) 1 107
24
1x 2 + 2x 3 + 3 x 4 + ...20x 21
2 + 4 + 6... + 40
B) 23/3
D) 7
C) 2 214
HABILIDAD MATEMÁTICA
3.
8.
Determine la suma de cifras del resultado de operar la
siguiente expresión.
E = (222...2 - 333...3 + 555...5 - 777...7)
2357
cifras
2357
cifras
2357
cifras
2
2357
cifras
A) 19/271
D) 19/399
Determine la suma de las cifras de:
A) 3
D) 7
B) 5
E) 9
9.
H(2)
B) 19/101
E) 19/21
H(3)
1
2
3
8
9
10
Halla «2a»
Dos alumnos juegan contando palabras cuando ven un
arreglo, y Valito le pregunta a Pipo ¿de cuántas formas
diferentes se puede leer la palabra «ROSA» uniendo letras
vecinas?
A) 12
D) 8
B) 6
E) 2
C) 10
11. Juancito observa la figura y decide calcular la cantidad total
de cerillos que necesita para formar la figura hasta la fila 20
Fila 1
Fila 2
C) 31
Fila 3
Calcula la suma de cifras del resultado de:
M=
R
RO R
R O S O R
R O S A S O R
R O S A
A S O R
7.
C) 96
10. Tíntín necesita triángulos en total para construir una torre,
como se muestra en la figura. (0)
A) 342
B) 300
C) 285
D) 258
E) 225
B) 63
E) 127
C) 19/191
B) 92
E) 102
Si en H(10) hay "x" rombos más que el total de rombos de
las tres primeras figuras, determine el valor de "x".
A) 15
D) 51
H18
¿De cuántas formas distintas se puede leer la palabra
LOBITO, uniendo letras vecinas?
A) 94
D) 86
6.
; ...
H3
L L L L L L
L O O O O O L
L O B B B B O L
L O B I I I B O L
L O B I T T I B O L
L O B I T O T I B O L
C) 6
Dada la sucesión de figuras.
H(1)
;
H2
Halla la relación de las bolitas sombreadas con las no
sombreadas en H18
123456789 − 2468
5.
;
H1
A) 12 123
B) 12 132
C) 13 122
D) 13 221
E) 21 213
4.
En la siguiente secuencia gráfica:
A) 480
D) 690
4444...444
− 8888...888
200 cifras
100 cifras
B) 520
E) 720
C) 630
12. Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo:
A) 1200
B) 600
C) 400
D) 330
E) 666
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4 ... 10
5 ... 11
6 ... 12
10 11 12 13 ... 19
A) 2 000
D) 1 440
25
B) 1 000
E) 1 800
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 1 200
HABILIDAD MATEMÁTICA
13. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra
CORREAS uniendo letras vecinas en el siguiente arreglo?
17. En el siguiente arreglo, ¿cuántos palitos se necesitaron para
construirlo?
C
O O
R R R
E E E E
A A A A A
S S S S S S
A) 48
B) 128
C) 32
D) 64
E) 256
1
2
4 37
3
38
39
40
A) 2175
B) 2300
C) 2425
D) 2457
E) 2510
14. En el siguiente arreglo:
18. Determina el valor de E.
Fila 1
1
Fila 2
1
Fila 3
1
2
1
E = 999...97 x 977...77
20 cifras
1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Fila 4
Dé como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 250
B) 253
C) 262
D) 248
E) 256
Calcula la suma de los términos de la fila 41.
19. En el siguiente arreglo, ¿cuántas palabras AMABILIDAD se
cuentan en total uniendo letras vecinas?
A) 239
B) 220
C) 240
D) 241
E) 282
15. ¿Cuántas cerillas se utilizan al formar la figura de posición N°
20?
A
F2
A) 640
B) 840
C) 720
D) 480
E) 520
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
3
3
A
D
I
A
B
A
I
L
D
I
A
2 4 6
4 6 8
6 8 10
100 102 104
16. Dado la siguiente estructura numérica:
A
D
I
L
I
M
B
L
D
I
I
A
L
D
I
A
D
A
20. Halla la suma de los elementos de la siguiente matriz de 50
x 50:
F3
Nivel 10
D
I
L
I
B
A
A) 508
B) 506
C) 504
D) 502
E) 500
F1
Nivel 4
20 cifras
3
3
3
3
3
3
3
3
3
102
104
198
Dé como respuesta la suma de cifras del resultado.
3
A) 8
B) 7
C) 9
D) 14
E) 16
3
3
3
Calcula la suma total de los términos.
A) 325
B) 55
C) 625
D) 165
E) 515
Educación Rumbo al Bicentenario
26
HABILIDAD MATEMÁTICA
4.
1.
Correlaciona el valor del resultado de cada operación
I.
20x22x24x26 + 16
II.
23x24x26x27 + 25
A. 623
2
A
B. 2050
III. 2024x2026 + 1
J
N
A
A
J
A
R
N
A
A
J
N
R
N
A
A
A
J
R
N
A
A
J
N
A
A) IA - IIC – IIIB
B) IC - IIA - IIIB
C) IB - IIA – IIID
D) IA - IIB - IIIC
E) IC - IIA – IIID
5.
A
Si se dispone de 300 cerillos y se desea construir el siguiente
arreglo, ¿sobrarán o faltarán cerillos y cuántos?
Para construir el siguiente castillo se utilizaron palitos de
fósforo. ¿Cuántos se emplearon en total?
1
1
2
3
49
50
51
2
3
8
9
10
A) sobran 10 cerillos.
B) faltan 10 cerillos.
C) sobran 11 cerillos.
D) faltan 11 cerillos.
E) sobran 9 cerillos.
A) 5050
B) 4910
C) 5150
D) 5120
E) 5051
3.
J
A) 320
B) 288
C) 256
D) 128
E) 64
C. 524
D. 2025
2.
En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se
puede leer la palabra NARANJA, uniendo letras contiguas?
Dada la siguiente secuencia conformada por esferas numeradas.
3 7
1 11 9
7
5 9
3 19 11
1 17 15 13
Fig. (3)
Fig. (4)
5
3
1 5
1
Fig. (1) Fig. (2)
...
“Las matemáticas expresan valores
que reflejan el cosmos, incluyendo el orden,
¿Indica el valor veritativo de la suma de las numeraciones de
las esferas que corresponden al arreglo?
I.
II.
III.
equilibrio, armonía, lógica y belleza abstracta”.
Fig.(5) = 225
Fig.(8) = 1296
Fig.(10) = 3205
(Adrien-Marie Legendre)
A) VFV
B) VVF
C) VFF
D) VVV
E) FFF
27
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
10
INDICADORES DE LOGRO:
CASO II: Para números que terminen en 4 ó 9:
-
Como:
-
Interpreta, contrasta y valida las soluciones de un problema aplicando una ley general a algo en particular (razonamiento deductivo).
Ejercitar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de los problemas.
41 = 4
4 = 16
4 3 = 64 (....4) par = .... 6; (..... 4) impar = ..... 4
4 4 = 256
... ... ...
2
DEDUCCIÓN:
Consiste en aplicar conocimientos previos, criterios o casos generales a casos particulares.
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
CASO I
DEDUCCIÓN
91 = 9
9 2 = 81
9 3 = 729 (....9) par = .... 1; (..... 9) impar = ..... 9
9 4 = 6561
... ... ...
CASO II
CASO III
Ejemplo 1
Determina el valor de E:
CASO III: Para números que terminan en: 2, 3, 7 ó 8 se
realiza el siguiente análisis
E = (7000 )3 − (6999 )3 − (6999 )2 − 7(6999 )x10 3
Como:
Resolución:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
2 4 = 16
0
4 = .....6
5
(....2)
2 = 32
2 6 = 64
grupo de 4 se repite
7
2 = 128
8
2 = 256
... ... ...
Sabemos que:
Aplicando en el problema tenemos:
CRIPTO ARITMÉTICA:
Rpta. 70002
Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por
letras o por otros símbolos; los cuáles intervienen en la formación de números, en las operaciones aritméticas y otros, teniendo en cuenta las propiedades:
*
A cada letra le corresponde una y solamente una cifra o
viceversa.
*
A letras iguales le corresponden cifras iguales
*
Si las cantidades vienen expresadas por otros símbolos que
no son letras, cada símbolo no equivale necesariamente a
cifras diferentes a no ser que se indique en el problema.
PROBLEMAS SOBRE CIFRAS TERMINALES:
En esta parte nos dedicamos a calcular la última cifra del resultado de un número que va a ser expuesto a sucesivas operaciones.
CASO I: Para números que terminan en: 0, 1, 5 ó 6
(.... 0)n = ........ 0
(..... 1)n = ....... 1
(.... 5)n = ...... 5
+
n ∈ Z
n =
(..... 6)
...... 6
Ejemplo 2
Calcular A+M+O+R en:
Resolución:
Educación Rumbo al Bicentenario-
28
RAMOX4 = OMAR
HABILIDAD MATEMÁTICA
5.
De:
Calcula "h + u + a + n + d + o", si:
huando x 999999 = ...348766
RAMO X
4
A) 20
D) 23
________
6.
OMAR
* En el multiplicando: 4xR+...=0 --> R=1 ó R= 2
* Pero el producto:
0x4=...R --> R es par, luego
R=2 y O=8, además que (ya que A es diferente de R)
4xA+...=M --> A=1 además 4xM+3=...A--> M=7
Piden: A+M+O+R=1+7+8+2=18
*
*
*
*
-
F(1) = 2 - 1 × 2
F(2) = 6 - 4 × 4
F(3) = 12 - 9 × 8
::
7.
B) 12
E) 10
-
5
3 2 5
*
1
*
*
* *
5
5
*
*
- -
xyzw + yxwz + wzyx + zwxy
C) 13
Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
Determine la última cifra del desarrollo total en:
A) 24
D) 25
E = 997RM42 + 998SJ97 + 999BOSCO9
A) 1
D) 6
B) 2
E) 0
8.
C) 3
Calcule: (b + c)2, si:
C) 34
(3628)(3572) +784
(107)(93) +49
Pepo el mejor alumno de su clase cumplió el reto en 2
minutos y dio cómo respuesta el número ab . Calcula a + b
(2n+1) 2sumandos
A) 36
B) 64
C) 25
D) 81
E) 49
A) 12
D) 7
9.
Las letras diferentes tienen valores diferentes, determina el
valor de mnp − nmp , a partir de los valores de m, n y p de
B) 9
E) 6
* * 6
2 * *
- 3 *
* *
- 1
*
x
* * * *
* * *
-
A) 12
D) 20
* 5 1 8
C) 5
Reconstruir y dar como respuesta la suma de cifras del
dividendo (cada * representa un dígito)
la siguiente expresión.
m n p
1 4
B) 17
E) 32
El profesor Percy presenta un reto matemático a sus
estudiantes, el reto consiste en resolver la siguiente
operación sin hacer uso de la calculadora.
95 2 + 9952 + 9995 2 + ... = 4 ...cb
4.
*
0
9
*
*
*
*
*
*
-
Si: (x + y + z + w)2 = 289, hallar
Dar como respuesta la suma de cifras:
3.
2
A) 27
B) 25
C) 24
D) 18
E) 16
1. Calcular F(10); Si:
2.
C) 22
Reconstruya la siguiente división donde cada asterisco
representa una cifra y determine la suma de cifras de la
suma del dividendo y el cociente
Rpta: 18
A) 11
D) 14
B) 21
E) 24
* *
* *
*
* 2
*
*
5 *
* 0
- -
B) 18
E) 21
A) 180
B) 200
C) 220
D) 270
E) 350
29
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 14
HABILIDAD MATEMÁTICA
10. Calcula el valor de "P + E + R + U", reconstruyendo la
siguiente división exacta:
P E R U
R U
- M R
U N
15. Si:
ab + ba + cc =
dae
R U
además:
E R U
D=c-b
B) 8
E) 11
A) 15
D) 19
B) 16
E) 20
C) 18
16. ¿En qué cifra termina?
C) 9
P = ( MERVEL 2014 )2013 + ( RM 9)555 + 5 2
11. Si se cumple que:
A) 2
D) 6
ANUIG x 11111 = ...271143
B) 3
E) 8
83
C) 5
17. Si: (x + y + z + w)2 = 196, hallar
xyzw + yxwz + wzyx + zwxy
Halle el valor de:
AN + UI + IG
A) 123
D) 134
B) 143
E) 172
Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 15
B) 17
C) 20
D) 25
E) 22
C) 153
12. Si:
1 + 12 + 123 + 1234 + .... = ...abc - 90
18. Calcular el segundo producto parcial:
9 sumandos
5 4 * x
* 2
* * 9 *
* * 4 4
* * * * 6
Hallar el valor de: (a.b.c)2
Dar como respuesta la suma de cifras del resultado:
A) 9
D) 10
B) 16
E) 15
C) 7
13. Halle el resultado de la siguiente expresión.
A) 1 344
B) 1 544
C) 1 844
D) 1 644
E) 1 744
985 x 1015 + 225
25( 49 + 33 x 47 )
19. Si: (a + b + c)2 = 169.
A) 4
B) 3
C) 6
D) 5
E) 8
Calcular:
abc + bca + cab
14. Si:
dar como respuesta el producto de las cifras del resultado.
abc x a = 470
A) 42
B) 48
C) 56
D) 72
E) 81
abc x b = 705
abc x c = 1175
20. Calcule el valor de M, si
Hallar el valor de:
abc
e = 2b
Hallar el valor de: a + b + c
E R U
E R U
- - A) 7
D) 10
y
2
M= 1020×960+900
110×70+400
A) 56 225
B) 55 225
C) 25 526
D) 56 552
E) 54 654
A) 12
B) 10
C) 11
D) 13
E) 15
Educación Rumbo al Bicentenario
30
HABILIDAD MATEMÁTICA
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
1.
5.
En la siguiente adición, las letras diferentes, representan
cifras diferentes, además, O + C = 14 y H es cero.
(...abcd ) x 9999
ESTUD I O +
MUCHO
= ...2417
A) 14
B) 23
C) 13
D) 26
E) 28
Determine:
T + E + M + ID + O S
A) 63
B) 78
C) 99
D) 120
E) 126
“No supongas
que la matemática
es dura y repulsiva
para el sentido común,
se trata simplemente de la idealización
del sentido común”.
(W iliam Thomson)
Si:
x+
8888777
Calcºular: a+b+c+d
333 9 3 28
2.
Si:
1
=2
x
Determinar el valor de "P" :
P = x + x −1 + x 2 + x −2 + x 4 + x −4 + ...
...+ x1024 + x −1024
A) 10
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
3.
Si;
(mnpq4) x +12 = ...4
x ∈ Z+
Determina la cifra terminal de
2
A = (999...999) x + 3
x cifras
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 9
4.
Determine la última cifra de
xxx
2012
+ xx
2010
si se sabe que:
2014x + 2009( x +1) = ...x
31
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
OPERACIONES MATEMÁTICAS
11
INDICADORES DE LOGRO:
-
Ejemplo 2:
*
Identifica los elementos de una operación matemática.
Relaciona nuevas estructuras simbólicas matemáticas con
las ya conocidas.
Aplica las propiedades elementales de las operaciones matemáticas.
3 4
1 2 3
4 1
2 3 4 1 2
3 4 1 2
4 1
OPERACIÓN MATEMÁTICA:
3
2 3 4
En el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define:
Calcular:
(1 * 2) * (2 * 4)
E=
(3 * 3) * (4 * 1)
Es un proceso que consiste en la transformación de una o más
cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la
identifica llamado operador matemático.
Rpta.: ____
OPERADOR MATEMÁTICO:
PRINCIPALES PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA
Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *.
Es aquel símbolo que representa a una operación matemática.
Nos permite reconocer a la operación matemática a realizar con
su respectiva regla de definición:
Ejemplo: * ; # ; $ ; @ ; & ; ∆ ; ۞ ; □ ; ◊ ; ♥ ; .......
Las reglas de operación se basan en las operaciones matemáticas ya definidas, veamos los siguientes ejemplos:
I.
CLAUSURA:
∀ a , b∈ A ⇒ a ∗ b∈ A
REPRESENTACIÓN DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA:
Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos
la operación definida. Si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple
la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada
en el conjunto A.
Una operación matemática se puede representar con una regla
de definición, mediante una fórmula o una tabla de doble entrada.
A. MEDIANTE FÓRMULA:
Ejemplo:
En este caso, la regla de definición está representada por una
fórmula, en la cual solamente hay que reconocer los elementos y
reemplazarlos en la regla de definición para obtener el resultado
buscado.
1.
Se define en N: a * b = 2a2 + b
Análisis: a y b son N
Entonces:
Ejemplos 1:
N ∗ N = 2(N)2 + N
1. Se define la nueva operación matemática en R mediante el
operador ∆ como:
a3 + 2b2
a∆b =
8b − 3a
N∗N = N + N
Calcular: E = 3 ∆ 2
N∗N = N
Rpta.: ____
Se observa que, para todo número natural, el resultado es un
número natural.
Por lo tanto, la operación (*) es cerrada en N.
B. MEDIANTE UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA:
Para este caso, tenemos:
II. CONMUTATIVA:
Fila de entrada
*
a
b c
d
a a
b c
d
∀ a,b∈A ⇒ a ∗b = b∗a
El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
Columna b b c d a
de entrada c c d a b
d d
b*c=d
1 2
,
a
b
Ejemplo:
c
1.
d*b=a
En N se define la adición: 5 + 8 = 8 + 5
la adición es conmutativa en N.
2.
En N se define la sustracción: 6 – 9 ≠ 9 - 6
la sustracción no es conmutativa en N.
Educación Rumbo al Bicentenario-
32
HABILIDAD MATEMÁTICA
EN TABLAS:
3.
*
1 2 3 4
1 3 4 1 2
¿La siguiente operación en la tabla es conmutativa?
2 4 1 2
3
*
a
b
c
d
3 1 2 3 4
a
a
b
c
d
4 2
b b c
d
a
d a
b
c
c
d d
⇒e=
Rpta.: ____
b c
a
3 4 1
CRITERIO:
a.
b.
CRITERIOS DE LA DIAGONAL:
a.
Se ordena la fila y la columna de entrada. En el mismo
orden y a partir del vértice del operador.
b.
Se traza la diagonal principal (desde el vértice del operador).
c.
Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma
simétrica queden elementos iguales.
d.
Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación
es conmutativa.
e.
Si al menos en un caso uno de los elementos es diferente, la
operación no es conmutativa.
IV. ELEMENTO INVERSO:
a ∈ A , ∃ a−1 / a∗ a−1 = a−1 ∗ a = e
a-1 elemento inverso de "a"
Ejemplo:
Se define en R: a * b = a + b - 2
Calcular: 3-1 ; 4-1 ; 6-1
Obs: a-1 elemento inverso de "a"
Ejemplo:
1.
Se verifica que la operación sea conmutativa.
En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la fila
de entrada y una columna igual a la columna de entrada.
Donde se intersecten, se encontrará el elemento neutro
"e".
Rpta.: ____
¿La siguiente operación en la tabla es conmutativa?
1 2
3 4
2 3 4
*
1 2
OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
a.
b.
c.
4 1 2 3 4
1 2 3
3 4
Se verifica que la operación sea conmutativa.
Se busca el elemento neutro "e".
Aplicamos la teoría del elemento inverso.
Resolución:
4 1
Verificando si es conmutativa.
1 2 3
Calculando "e"
Rpta.: ____
Rpta.: ____
III. ELEMENTO NEUTRO (e):
Calculando " a-1"
∃ e ∈ A / ∀ a ⇒ a ∗ e = e∗ a = a
EN TABLAS:
i)
En la adición, el elemento neutro es el cero (0)
ii)
En la multiplicación el elemento neutro es el uno (1)
ax1=a
→
a=a
2.
En la siguiente tabla:
*
Ejemplos:
1 3
5 7
1 3 5
7 1
3 5 7 1 3
Se define en el conjunto de los el operador "*"
5 7 1 3
a*b=a+b+3
Calcular: el elemento neutro.
7 1
Rpta.: ____
5
3 5 7
Hallar:
EN TABLAS:
2.
a ∗ e −1 = e
Rpta.: ____
e : ELEMENTO NEUTRO:
1.
a∗e = a
E = (3 ∗ 5
En la siguiente tabla, hallar el elemento neutro.
−1
−1
) ∗ (1
−1
∗ 7)
∗7
−1
Rpta.: ___
33
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
5.
1.
1
f(x+2) =
Si:
a b
∆ = ab + a + b
3 4
A) 120
D) 110
B) 146
E) 88
A) 99
D) 19
6.
C) 113
m2
+3
2
= (a − 1) 2
Determine "x", en:
Determine:
x
E=
4 ∗
(5
∗
(6
∗ .....))
2019 operadores
B) 2017
E) 110
Si: x ∈ Z
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
E) 5
C) 120
3. Si:
H
= P + H + 15
2
P
x
3
7.
= 14
+
y
P(4)
P(2)
A) 1
D) – 2
2
8.
5
= 64
P(x) − P(y)
Si: P=
x
Calcule:
Determine:
x
C) 100
Se define " ∆ " como:
a
A) 12
D) 11
x + 5x + 6
B) 98
E) 0,99
Si:
m∗n =
2
Calcule: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(99)
Determine: 2∆5
2.
Si:
B) – 1
E) 1/2
Dada la siguiente tabla:
* a
a b
A) 125
B) 120
C) 205
D) 81
E) 60
b
c
b
c
c d
d a
c d
d a
a b
b c
d a
4. Si:
C) 2
b
c
d
Determine el valor de "x", en:
[( x ∗ b) ∗ c] ∗ (d ∗ d) = (a ∗ c) ∗ b
x −8 = 3x + 1
x + 3 = 12
A) b
D) d
−2x
9.
B) c
E) a ó b
Sabiendo que:
Determine:
x
6
+
7
=(x − 1)2 + m
Efectúe:
A) 47
B) 40
C) 52
D) 39
E) 42
E=
A) m
D) 4
Educación Rumbo al Bicentenario
C) a
34
x
B) m + 4
E) - m
− x+2
x
C) – 4
HABILIDAD MATEMÁTICA
10. Determine:
E = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ ....
Obs.: a-1 es el elemento inverso de “a”
A) 2
D) 1
=
* n (2n)2 − 3m
Si: m
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
B) 3
E) 5
C) 4
16. Si: a * b = 3a + 2b + 1,
x # y = x2 - xy + y2
11. Si:
Determina el valor de n, en: 4 # n = 2 * n
x =
A) 3
D) -6
x 2 +8
B) -3
E) 0
17. Si se define:
Además
x = (x − 6)
1 = 2
x+1
Determina el valor de “A”, en:
Determine:
M =
C) 6
7 +
A =
9
A) 70
D) 60
B) 55
E) 50
C) 35
A) 0
D) 2012
12. Si: a * b = 2a + b – 3(b * a)
2017
B) 1
E) 12581
C) 25
18. Si:
Determine: (8*16)
A) 10
D) 25
3 4
2
1
B) 15
E) 11
C) 23
x
= 64x − 63
13. Se define la operación matemática en Z.
@
3
10
12
14
103
147
199
4
Determina:
5
−2
66
5
110 49
162 101
A) - 2
D) - 10
B) 802
E) 640
C) 502
n+ 1
n−1
14. Si: a # b = a + b + 2
Donde: a-1 es el elemento inverso de “a”
B) -3
E) -6
C) 4
3 × 5 × 7 × ........
15. Se define en el conjunto A = {1, 2, 3, 4 }
*
1
1 2
4 1
2
3
1 2 3 4
2 3 4 1
4 3
4
A) 25
D) 90
3 4
2 3
1
=n
Calcula:
Determine: (3 # 2-1) # 3-1
A) 3
D) 6
C) - 11
19. Si:
Determine: 50 @ 12
A) 800
D) 512
B) - 7
E) - 9
B) 30
E) 50
× 99
C) 45
20. Definida la operación: m * n = m - 3 + n, en el conjunto de
los números reales R.
Determina:
−1
L = 1
2
Halle:
−1
∗ 2 ∗ 3
Obs.: a-1 es el elemento inverso de "a".
A) 1
D) 4
35
B) 2
E) 0
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 3
HABILIDAD MATEMÁTICA
1.
Sabiendo que: m % n = 5m - 10
Determina:
“El estudio de las matemáticas, como el
Nilo, comienza con minuciosidad pero termina con magnificencia”.
(Charles Caleb Colton)
R = 13 % (33 % (53 % (73 % (....))))
2014 operadores
A) 3
D) -3
2.
B) -5
E) 5
C) 7
Si: (x + y) # (y + z) # (x + z) = x.x + y.y + z.z
Halle: 8 # 14 # 12
A) 115
D) 287
3.
B) 197
E) 301
C) 243
Si: 32 & 20 = 36
40 & 33 = 53
18 & 25 = 34
Calcular "x" en: 30 & x = x & 30
A) 28
D) 31
4.
B) 29
E) 32
C) 30
Se define en el conjunto T = {1, 3, 6, 10, 15} la operación
matemática # mediante la siguiente tabla.
#
1
3
6
10
15
3
10
1
15
6
10 6 3
1 10 15
15 3 1
3 15 6
6 1 10
15
6
10
1
3
1
3
6
10
15
Halla el valor de x que verifica la siguiente ecuación:
[(15 # 10) # (3 # x)] # (10 # 15) = (10 # 1) # 6
A) 15
D) 10
5.
B) 3
E) 1
C) 6
Si:
x
= 64x + 105
Compara:
COLUMNA A
8
COLUMNA B
1
-4
A) A es mayor que B
B) A es menor que B
C) A es igual que B
D) ¡No utilice esta opción!
E) No se puede comparar
Educación Rumbo al Bicentenario
36
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
PLANTEO DE ECUACIONES
12
INDICADORES DE LOGRO:
PROCEDIMIENTO:
-
Para resolver los problemas, primero se representa simbólicamente la expresión literal, luego se resuelve la ecuación planteada y finalmente se determina la respuesta.
TEO
AN
PL
Esta noción se resume en el siguiente esquema.
DE LA ECUA
CIÓ
N
PROBLEMA
ECUACIÓN
RESPUESTA
EXPRESIÓN
EXPRESIÓN
CONJUNTO
LITERAL
SIMBÓLICA
SOLUCIÓN
RE
Enunciado
del problema
Lenguaje literal
LEER
INTERPRETAR
SO
ÓN
Realiza representaciones simbólicas de las expresiones literales.
Resuelve problemas, aplicando las nociones básicas de las
ecuaciones.
Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza para traducir un problema dado en nuestro
idioma al lenguaje matemático, estableciendo para ello una o
más ecuaciones.
LU
C IÓ N
C
DE L A E
UA
CI
TRADUCIR
Ejemplo 1
Lenguaje`matemático
Para plantear un problema, es importante tener en cuenta las
siguientes sugerencias:
*
Leer cuidadosamente el problema hasta comprender de
que se trata.
*
Ubicar los datos y la pregunta.
*
Elegir las variables con las cuales se va atrabajar.
*
Relacionar los datos con las variables para plantear una o
más ecuaciones.
*
Resolver las ecuaciones y dar respuesta.
Para realizar un correcto planteo de ecuaciones, es necesario
interpretar apropiadamente el enunciado del problema y para
esto es necesario conocer cómo simbolizar algunos fragmentos.
Si anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo
hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue S/.50 menos que
ante ayer, ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder
comprar un pantalón que cuesta S/.60?
Ejemplos:
Rpta: S/.40
Resolución:
Según el enunciado, se tiene:
Por dato:
6x – x = 50
x = 10
Luego, hoy tengo: 2(10) = S/.20
Debo agregar 60 – 20 = S/.40
LENGUAJE
LENGUAJE
ESCRITO
MATEMÁTICO
1.
La suma de 3 # consecutivos ........
n+(n+1)+(n+2)
2.
n menos x ......................................
n–x
3.
n menos de x .................................
x–n
4.
M excede a N en 10 ......................
M – N = 10
5.
El triple de un número menos 6 ....
3x – 6
6.
El triple, de un número menos 6 ...
3(x – 6)
7.
A es dos veces B ..........................
A = 2B
8.
A es dos veces más que B ........... A =3B
9.
M es a N como 3 es a 7 ................
M/N = 3/7
10. El triple de un número par .............
3(2n)
11. El cuadruple de un número impar.. 4(2n -1)
12. La suma de tres número ...............
x+y+z
13. El recíproco de un número ............
1/n
14. ¿Qué parte de A es B? ................ B/A
15. El cuadrado de la suma de dos números
.............................
(x+y)2
16. La suma de los cuadrados de dos números
.............................
x2 + y2
17. La diferencia de cuadrados de dos números
............................
x2 – y2
18. El cuadrado de la suma de un número con otro
............................
(a + b)2
19. El doble de lo que tengo, aumentado en 9
............................
2x + 9
20. Yo tengo 20 más que tú ................yo: x + 20 tú : x
Ejemplo 2
Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más
que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tiene la
escalera?
Resolución:
En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo
caso; por lo tanto: x = 60
La escalera tiene 60 escalones.
Rpta: 60
Ejemplo 3
El alcalde de un distrito ha observado con respecto a las mascotas de su distrito que por cada mono hay 3 gatos y por cada gato
hay 4 perros. Si en total se han contado 768 extremidades de
animales. ¿Cuántos monos hay?
Resolución:
# extremidades:
4(16a) = 768
a = 12
Rpta: Hay 12 monos
37
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
Ejemplo 4
8.
Un niño le dice a su amigo: "Dame 5 de tus canicas, y tendremos
tanto el uno como el otro". Este le responde: "Dame 10 de las
tuyas, y tendré dos veces más de las que te queden". ¿Cuántas
canicas tiene el niño?
A) 40
D) 50
Resolución:
9.
De lo que dice el niño:
a+5 =b–5
a + 10 = b ............(I)
De lo que dice el amigo:
3(a – 10) = b + 10 .......(II)
Reemplazando (I) en (II):
3(a – 10) = a + 10 + 10
A) 14
D) 17
Rpta: 25
2.
3.
4.
6.
C) 8 am
B) 30
E) 200
C) 60
C) 16
B) 2
E) 5
B) 66
E) 86
B) 9
E) 6
B) 170
E) 180
C) 3
14. En una veterinaria se encuentran 34 animales entre perros,
conejos y gatos. Si hubiera 7 perros más, 5 conejos menos y
12 gatos más; habría el mismo número de animales de cada
clase. ¿Cuántos conejos hay?
C) 76
A) 28
D) 25
B) 30
E) 16
C) 21
15. Tommy tiene 10 veces lo que tiene Memo y Roky tiene tres
veces más de lo que tiene Memo. Además, el exceso de lo
que tiene Tommy y Roky juntos sobre el séxtuplo de lo que
tiene Memo es S/ 48. ¿Cuánto tienen entre los tres?
C) 8
A) 70
B) 80
C) 90
D) 95
E) 98
C) 216
16. Una cantidad de S/. 700 se ha pagado con billetes de 20 y
50 soles ¿Cuántos billetes de S/. 20 se han utilizado? si los
billetes de S/. 50 son 7 menos que los de S/. 20?
A) 12
D) 13
C) 24225
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 40
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles
cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra,
recibiendo en total 391 carteras. ¿Cuál fue la inversión del
comerciante?
B) 24522
E) 25422
B) 70
E) 68
13. A una fiesta asistieron 20 personas, Ana bailó con 7
muchachos, Betty con 8, Carla con 9 y así sucesivamente
hasta llegar a Sara que bailó con todos ellos. ¿Cuántos
muchachos había en la fiesta?
Gasté los 5/6 de mi dinero, si en lugar de gastar los 5/6
hubiera gastado los 3/4 del dinero tendría ahora 18 soles
más de lo que tengo. ¿Cuánto gasté?
A) 22425
D) 42225
B) 15
E) 27
A) 164
B) 120
C) 172
D) 104
E) 136
Una cantidad de S/. 1350 se ha pagado con billetes de 100
y 50 soles. ¿Cuántos billetes de 100 soles han pagado, si los
billetes de 50 soles son 6 más que los de 100 soles?
A) 135
D) 162
7.
B) 8 pm
E) 4 pm
Si se forman filas de 8 niños sobran 4; pero si se forman 3
filas más de 7 niños faltarían 8 niños. ¿Cuántos niños son?
A) 10
D) 7
C) 44
12. Shaony le dice a su madre: “De los 240 soles que me diste,
gasté 32 soles más de lo que no gasté. ¿Cuánto no llegó a
gastar Shaony?
En una granja de tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar
las palomas tenemos 6 aves; sin contar los loros tenemos 9
aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el
número de palomas?
A) 67
D) 56
5.
A) 80
D) 35
Una persona sube una escalera de 2 en 2 gradas y desciende
de 3 en 3, dando un total de 150 pasos. ¿Cuántos escalones
tiene la escalera?
A) 1
D) 4
B) 52
E) 82
11. Si se forman filas de 6 niños sobran 4, pero si se disminuye
3 filas y se aumentan 3 niños por fila, faltarían 2 niños.
¿Cuántos niños son?
Pedro le dice a Isabel: Nos vemos en la puerta del cine
cuando las horas transcurridas sean el triple de las que
faltan transcurrir. ¿A qué hora se verán?
A) 240
D) 180
C) 48
10. En una granja se observan entre conejos y pollos 48
animales, además, se han contado un total de 124 patas.
¿Cuántos conejos hay en la granja?
a = 25
El niño tiene 25 canicas.
A) 6 am
D) 6 pm
B) 42
E) 62
En un estante se puede colocar 24 libros de castellano y 20
libros de inglés; ó 36 de castellano y 15 de inglés. ¿Cuántos
libros de castellano únicamente entran en el estante?
A) 62
D) 72
Resolviendo
1.
En una ciudad se observa que existen 5 gatos por cada 2
ratones, pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos,
sobreviviendo 84 gatos y ningún ratón. ¿Cuántos ratones
había inicialmente?
38
B) 18
E) 17
C) 15
HABILIDAD MATEMÁTICA
17. Miguel tiene 10 veces lo que tiene Pedro, y Luis tiene tres
veces más de lo que tiene Pedro. Además, el exceso de lo
que tiene Miguel y Luis juntos sobre el séxtuplo de lo que
tiene Pedro es S/. 48. ¿Cuánto tienen entre los tres?
A) S/ .70
D) S/. 95
B) S/. 80
E) S/. 98
5.
C) S/. 90
I.
II.
III.
En el tercer piso hay 7 oficinas.
En el quinto piso hay 121 ventanas.
La diferencia entre el número de ventanas del cuarto
piso con el número de oficinas del segundo piso es
92.
A) FVV
B) FFF
C) VVV
D) VFV
E) VVF
18. Una persona concurre al hipódromo con S/. 500 y apostó
en 10 carreras. Por cada carrera que acierta gana S/. 250 y
por cada desacierto pierde S/. 150. Si se retira con S/. 1400.
¿Cuántas apuestas acertó?
A) 5
D) 7
B) 6
E) 4
Un edificio inteligente tiene 6 pisos, el número de oficinas
de cada piso son números consecutivos, crecientes, y cada
oficina del edificio tiene tantas ventanas como oficinas
hay en el piso. El número de ventanas del último piso y el
número de oficinas del primer piso suman 151. Determina
el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
C) 8
19. Entre 6 personas tienen que pagar en partes iguales S/ 300,
como algunos de ellos no pueden hacerlo, cada uno de los
restantes tienen que pagar S/ 25 más. ¿Cuántas personas no
pagaron?
A) 5
D) 2
B) 4
E) 6
C) 3
“Todas las verdades de las matemáticas
están vinculadas entre si”.
(Adrien-Marie Legendre)
20. En un examen de 40 preguntas por cada respuesta correcta
se da 3 puntos y por cada Incorrecta se quita 1 punto.
Si Katia obtiene en dicha prueba 88 puntos, habiendo
respondido todas las preguntas. ¿En cuántas preguntas se
equivocó?
A) 12
D) 22
1.
B) 9
E) 8
C) 7
La gallina Tata conversa con la gallina Clota: «Si yo triplicase
mi producción diaria y tú lo duplicaras, pondríamos 151
huevos. Pero si hiciéramos al revés solo podríamos 139
huevos». ¿Cuántos huevos semanales recoge el, dueño de
Tata y Clota de ser cierto de lo que afirma Tata?
A) 58
D) 455
3.
C) 8
Una fábrica contrata a un obrero con la siguiente condición:
por cada día que trabaje le pagaran S/ 55 y por cada día que
no trabaje le descontaran S/ 60. Si luego de 30 días el obrero
recibió S/ 730. ¿Cuántos días no trabaja?
A) 10
D) 6
2.
B) 32
E) 20
B) 396
E) 460
C) 406
Una viuda debe repartirse con el hijo que debía nacer, una
herencia de S/.3500 que le dejó su marido. Si nacía una
niña, la madre, de acuerdo al testamento, debería recibir el
doble de la hija. Si nacía un niño, la madre recibiría la mitad
de la parte del hijo. Pero nacieron mellizos: Un niño y una
niña. ¿Cuánto recibió la madre?
A) S/.500
D) S/.2000
B) S/.1000
E) S/.2250
C) S/.1250
4. Con 3125 soles se pueden hacer tantos grupos iguales con
monedas de 5 soles como monedas tenga cada grupo, la
suma de las cifras del número que representa el valor, en
soles de cada grupo es:
A) 18
D) 10
B) 11
E) 8
C) 7
39
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
EDADES
13
INDICADORES DE LOGRO:
-
las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tenía
el abuelo cuando nació Pablo?
Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de
problemas sobre edades.
Resolución:
PROBLEMAS SOBRE EDADES:
Recuerda, el año actual en referencia es 1928
Para Marcel (nieto)
Planteando:
En esta parte estudiaremos la resolución de los problemas en los
cuáles la incógnita es la edad de uno o más sujetos. La importancia de este tema queda evidenciando por cuanto contribuye
a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo
y resolución de ecuaciones, consolidando lo ya estudiado en el
tema planteo de ecuaciones. Generalmente en los problemas
sobre edades, para su correcta solución, primero se ordenan y
relacionan los datos, enseguida se plantea la ecuación para su
posterior resolución.
19ab + ab = 1928
ab = 14
Para el abuelo de Marcel
Planteando:
18cd + cd = 1928
cd = 64
Rpta: 64-14 = 50
CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO
Pasado
hace 5 años
Presente
actual
Futuro
dentro de 10 años
(x - 5)
x
(x + 10)
CUANDO INTERVIENEN LAS EDADES DE DOS O MÁS SUJETOS:
En este caso, generalmente se emplean tablas de doble entrada
para que los datos (edades), estén correctamente ubicados en
su tiempo respectivo. Para la solución de un problema, en el cual
intervienen las edades de dos o más sujetos debemos tener en
cuenta lo siguiente:
La diferencia de edades de dos personas es la misma en
cualquier tiempo.
La suma en forma de aspa(x) de valores ubicados simétricamente da un mismo resultado.
Ejemplo 1
Marcel le dice a Yhajaira; “si al triple de mi edad se le quita 16
años, tendría lo que me falta para tener 88 años”. Yhajaira le
responde: “si al triple de la edad que tendré dentro de 4 años le
sumo el cuádruple de la edad que tenía hace 9 años, resultará el
séxtuplo de mi edad”. ¿Cuánto suman sus edades?
Las edades de dos o más personas
Para este tipo de problemas se recomienda emplear las
tablas de doble entrada y para poder ubicar correctamente
los datos revisemos el siguiente cuadro
Resolución:
Sea la edad actual de Marcel «M»
Planteando: 3M - 16 = 88 - M
M = 26
Sea la edad actual de Yhajaira «Y»
Planteando: 3(Y+4) + 4(Y-9) = 6(Y)
Y = 24
Rpta: 26+24 = 50
CUANDO INTERVIENEN LOS AÑOS DE NACIMIENTO
Si intervienen la edad, año de nacimiento y el año actual de una
persona, ten en cuenta las siguientes relaciones:
Pasado
Presente
Futuro
Yo
tenía
tuve
tengo
tendré
tenga
Tú
tenías
tuviste
tienes
tendrás
tengas
Él
tenía
tuvo
tiene
tendrá
tenga
Veamos ahora una observación muy importante,
asumimos que las edades de tres personas en el
pasado, en el presente, en el futuro sean:
Año de nacimiento + Edad = Año actual
Si ya cumplió años
Año de nacimiento + Edad = Año actual
1
Si aún no cumple años
Pasado
Presente
Futuro
Yo
10
18
30
Tú
14
22
34
Él
20
28
40
“La suma en aspas (de valores ubicados
simétricamente) es constante”
¡Tenga en cuenta que ... !
Ejemplo 3
A veces asumiremos como año actual al año en que
nos remite como referencia las condiciones del problema.
Tú tienes la edad que yo tenía, cuando tu tenías la mitad de la
edad que yo tengo; pero cuando tu tengas mi edad, yo tendré 10
años más de lo que actualmente tienes. ¿Cuántos años tengo?
Ejemplo 2
Marcel y su abuelo tenían en 1928 tantos años como indicaban
Educación Rumbo al Bicentenario-
40
HABILIDAD MATEMÁTICA
Resolución:
10. Hace diez años una madre tenía diez veces la edad de su
hija. Si actualmente la suma de la edad de la madre con el
doble de la edad de la hija es igual a 66 años. ¿Cuál es la
diferencia de sus edades?
Por propiedad, planteando las siguientes ecuaciones:
x+x = y + 2y ..... (I)
2x = 3y
2y+2y = x + (x+10) ..... (II)
4y= 2x + 10
Reemplazando I en II:
4y = 3y + 10
y = 10
A) 20 años
D) 25
2.
A) 10 años
D) 18
C) 10
B) 13
E) 17
B) 20
E) 22
B) 4
E) 8
B) 3
E) 8
B) 26
E) 22
A) 2012
D) 2028
C) 12
B) 12-24
E) 14-28
B) 1990
E) 1985
C) 1984
B) 15
E) 24
C) 23
B) 2023
E) 2025
C) 2034
16. Tú tienes 12 años; cuando tengas el doble de mi edad,
entonces mi edad será el triple de lo que actualmente tienes.
¿Dentro de cuántos años cumpliré 20 años?
A) 10 años
D) 16
C) 24
B) 4
E) 8
C) 12
17. Luisa le dice a Luis: «Yo tengo el triple de la edad que tú
tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tengas
la edad que tengo, nuestras edades sumarán 35 años. ¿Qué
edad tiene Luis?
A) 10 años
D) 25
C) 5
B) 15
E) 20
C) 5
18. Alex le dice a Mary: cuando yo tenía tu edad, tu edad era el
menor número de 2 cifras, pero cuando tu tengas mi edad,
la suma de nuestras edades será 65 años. ¿Cuántos años
tengo?
C) 5
A) 28 años
D) 30
B) 25
E) 12
C) 27
19. Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad. Dentro de 8
años mi edad será 30 veces la edad que tu tenías cuando yo
tenía la edad que tu tendrás dentro de 9 años. ¿Qué edad
tenía cuando tu naciste?.
C) 28
A) 22 años
D) 15
Sofía tiene el doble de la edad de Rosa. Dentro de 6 años
Sofía tendrá el triple de la edad que Rosa tenía hace 2 años.
Determinar las edades actuales.
A) 11-23 años
D) 10-20
C) 17
15. El jefe nació en 19ab y en 1993 cumplió (a + b) años. Por
tanto, El jefe cumplirá (a.b) años en:
Dentro de 6 años tendré el triple de tu edad y actualmente
nuestras edades suman 28 años. ¿Cuántos años tenía hace
3 años?.
A) 24 años
D) 21
9.
B) 8
E) 12
B) 15
E) 18
14. Carlos en 1950 tenía tantos años como lo indicaba las 2/3
partes del número formado por las dos últimas cifras del año
de su nacimiento. ¿Qué edad tenía en 1953?
Sabueso tiene 3 años más que Pelusa y dentro de 5 años sus
edades sumarán 23 años. ¿Cuántos años tiene pelusa?
A) 2 años
D) 6
8.
A) 1994
D) 1992
C) 20
Juan le dice a Rosa: «Mi edad es el cuádruple de la tuya pero
dentro de 10 años sólo será el doble». ¿Cuántos años tiene
Rosa?
A) 3 años
D) 7
7.
B) 21
E) 18
C) 24
13. El Che nació en 19ba y en el año 19ab cumplió (a+b) años.
¿En qué año cumplió 2.a.b años?.
Calín manifiesta que la edad que tendrá dentro de 8 años y
la edad que tuvo hace 4 años, están en la relación de 8 a 5.
¿Cuál es la edad actual de Calín?
A) 15 años
D) 16
6.
A) 16
D) 12
Si al doble de la edad que tendré dentro de dos años le resto
el doble de la edad que tenía hace dos años, se obtiene la
edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de cinco años?
A) 8 años
D) 15
5.
C) 18
Luhana dice: «dentro de 8 años mi edad será el doble de la
edad que tuve hace 4 años. ¿Dentro de cuántos años tendré
el doble de la edad que tuve hace 6 años?
A) 4 años
D) 20
4.
B) 21
E) 17
B) 20
E) 22
12. Las edades de Rosario y Marleni están actualmente en
relación 3 a 5, luego de 12 años estarán en la relación de
7 a 9. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que dichas
edades sumen 60 años?
Le preguntaron por su edad a Laura y ella contestó: «Dentro
de 12 años mi edad será la suma de la edad que tengo con
la edad que tenía hace 6 años». ¿Cuál es la edad de Laura?
A) 17 años
D) 19
3.
A) 26
D) 28
Dentro de 2 años, Erick tendrá el doble de la edad que tenía
hace 8 años. ¿Cuál es la edad de Erick?
A) 14 años
D) 16
C) 30
11. Hace 8 años la edad de Chío y la edad de Ale estaban en la
relación de 1 a 4; pero dentro de 7 años, sus edades serán
como 4 a 7. ¿Cuál es la edad de Ale?
Rpta: 2(10) = 20 años
1.
B) 27
E) 37
B) 7
E) 18
C) 10
20. Rosa le pregunta a Roció sobre los años que tiene, entonces
Roció le responde: «Tengo el doble de la edad que tú tenías
cuando yo tenía la edad que tú tienes», ¿Cuál es la edad
actual de Roció, sabiendo además, que dentro de 6 años sus
edades sumarán 68 años?
C) 18-36
41
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
A) 26
D) 32
1.
B) 28
E) 22
C) 27
B) 2
E) 6
C) 3
Ayer 14 de Junio de 1981, dos amigas, Sarita y Tatiana,
hicieron lo siguiente: Sarita sumó a su año de nacimiento
la edad de Tatiana, y Tatiana sumó a su año de nacimiento
la edad de Sarita, se sumaron después ambos resultados,
obteniéndose 3951. Ven que están equivocadas y que Sarita
por distraída obtuvo un resultado 1973 incorrectamente si
Sarita cumplió años ya éste año y Tatiana aún no. ¿Cuál es
la diferencia de las edades de Sarita y Tatiana?
A) 1
D) 4
5.
C) 5
Angélica dice: “el año pasado fue bisiesto, en el cual mi
edad fue tanto como las dos últimas cifras del año de mi
nacimiento” y Adolfo contesta: “el próximo año mi edad
también será las dos últimas cifra del año de mi nacimiento”.
¿Cuántos años tenía Adolfo cuando la edad de uno era el
doble del otro?
A) 1
D) 4
4.
B) 6
E) 7
“Difícilmente he conocido alguna vez a un
matemático que sea capaz de razonar”.
(Platón)
En un salón donde hay 40 alumnos, el profesor suma los
años de nacimiento de todos ellos y luego suma las edades
de los 40 alumnos; a continuación suma los 2 resultados,
obteniéndose finalmente 78868. Si la suma se hizo ayer.
¿Cuántos cumplieron años ya este año? (Considerar el año
1972)
A) 29
D) 20
3.
C) 30
Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas
veces como años tendré y restémosle los años que tuve
hace los mismos algunos años, tantas veces como años tuve
y obtendremos una cantidad 23 veces mayor que mi edad
actual. De aquellos años que tuve, ¿cuántos años más son
los que tengo?
A) 3
D) 4
2.
B) 28
E) 34
B) 2
E) 5
C) 3
Yo tengo doce veces la edad que tu tenías, cuando yo tenía
dos veces la edad que tu tuviste, cuando yo tuve un exceso
de 10 años sobre tu edad actual, y cuando tenga dos veces
la edad que tú tienes la suma de nuestras edades será 105.
¿Qué edad tendré dentro de 1 año?
A) 60
D) 58
B) 61
E) 63
C) 68
Educación Rumbo al Bicentenario
42
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
MÓVILES
14
INDICADORES DE LOGRO:
-
Rpta: 45km/h
Comprende y aplica la relación existente entre las magnitudes “d”, “V” y “t” componentes del movimiento rectilíneo
uniforme.
ECUACIONES ESPECIALES:
suma de los recorridos de
los móviles en simultaneo
Tiempo de encuentro (t e )
PROBLEMAS SOBRE MOVILES:
En este capítulo plantearemos problemas que involucren el movimiento rectilíneo uniforme que es aquel movimiento mecánico
donde el móvil se desplaza por una línea recta recorriendo distancias iguales en tiempos iguales debido a que su velocidad es
constante.
te
1
te=
2
d
ECUACIONES DE MRU:
t = 2s
t = 2s
8m
8m
Si:
d
2
rapidez
tiempo
v2
d
t=
v
t2
Relación entre las rapideces y recorridos para un mismo tiempo.- En un mismo
tiempo la relación de rapideces es igual a la relación de recorridos.
v1
Ejemplo 1
v2
v1 d1
v2 = d
2
Ejemplo 2
Dos móviles separados 240m, con rapideces de 7m/s y 5m/s van
al encuentro uno del otro con direcciones contrarias. ¿En cuánto
tiempo se encontrarán?
Realizando el esquema:
v=
t
d2
Resolución:
Luego:
t
d1
Un automóvil va por la carretera con rapidez constante. En un
momento dado pasa por delante de una marca kilométrica con
un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante
de otra marca que lleva las mismas cifras pero en orden inverso.
Una hora más tarde, pasa por delante de una tercera marca que
lleva las misma cifras de la primera pero separadas por un cero.
¿Con qué rapidez vá el automóvil?
v
Resolución:
Te=240m/(7m/s+5m/s)
Te=240m/12m/s
Te=20s
a0b
v
v2
v1
t2
v2 = t1
d
v=
t
ba
d
Relación entre las rapideces y el tiempo para espacios iguales.- Cuando dos
móviles recorren el mismo espacio la relación de tiempo es inversa a la relación de
rapideces.
t1
v1
De donde:
ab
ta= v
1
ta
d
d = v.t
t
v
1
8m
recorrido
diferencia de recorridos de
los móviles en simultaneo
Tiempo de alcance (t a )
v = cte
t = 2s
d
Rpta: 20s
v
ba - ab
a0b - ba
=
1
1
6a = 1b
43
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
1.
Una tortuga logra avanzar una distancia de 144m. en 1 hora.
Determinar la rapidez de dicha tortuga.
A) 5 cm/s
D) 1,5 cm/s
2.
B) 300 m
E) 800 m
B) 92 m
E) 80 m
B) 15 m/s
E) 10 m/s
7.
B) 1,2 h
E) 1,5 h
C) 90 m
A) 40 m/min
C) 50 m/min
E) 45 m/min
C) 12 m/s
A) 15 m/s
D) 13 m/s
B) 0,5 s
E) 2,5 s
C) 85 km/h
A) 9:00 h
D) 10:00 h
B) 25 m/min
D) 35 m/min
B) 7 m/s
E) 11 m/s
C) 9 m/s
B) 7:00 h
E) 11:00 h
C) 8:00 h
15. Dos móviles "A" y "B" se encuentran separados 2 km.
Ambos parten simultáneamente en sentidos opuestos con
velocidades de 5 m/s y 7 m/s uno al encuentro del otro.
¿Cuánto tiempo demorarán en estar separados 800 m por
primera vez?
C) 1,6 h
A) 20 s
D) 80 s
B) 40 s
E) 100 s
C) 60 s
16. Juana se dirige desde su casa a la academia, en bicicleta,
empleando un tiempo de 30 minutos; para volver, aumenta
su velocidad inicial en 4m/min, demorándose esta vez 6
minutos menos. ¿Cuál es la distancia que recorrió en total?
A) 960 m
D) 880 m
B) 920 m
E) 940 m
C) 860 m
17. Félix va de A a B en dos horas. Al volver, como él ha recorrido
11m más por minuto, ha recorrido el trayecto en 15 minutos
menos. Calcula la distancia entre A y B.
C) 300 km
A) 10,75 km
D) 11,5 km
B) 12,5 km
E) 9,24 km
C) 8,84 km
16. La rapidez de 2 móviles son entre sí como 3 es a 4. ¿Dentro
de cuánto tiempo estarán separados una distancia de 60km,
si partieron juntos en el mismo sentido, sabiendo además
que la diferencia de sus velocidades es de 10 km/h?
C) 1 s
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 120 m
14. Todos los días sale del Cuzco a Arequipa un auto a 40 Km/h
y se cruza todos los días a las 11:00 h con un auto que sale
de Arequipa a Cuzco a una velocidad de 35 Km/h. Cierto día
el auto que sale del Cuzco encuentra malogrado al otro a las
12:45 h.
Dos trenes de 100 m y 200 m de longitud se acercan
mutuamente con velocidades constantes de 70 m/s y 80 m/s
respectivamente. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse
totalmente.
A) 0,2 s
D) 2 s
B) 180 m
E) 40 m
13. Dos ciclistas, uno de ellos más veloz que el otro en 2 m/s,
parten de un mismo punto y corren en sentido contrario en
una pista circular de 400 m. Si se encuentran 20 segundos
después, calcula la rapidez del más lento.
B) 96 m/min
D) 110 m/min
B) 560 km
E) 35 km
C) 8
12. Un tren demora 3 minutos para pasar delante de un
observador y 8 minutos para atravesar completamente un
túnel de 250 m de longitud. Calcule la velocidad del tren.
Dos automóviles parten simultáneamente al encuentro con
rapideces que están en la relación de 5 a 4. El encuentro se
produce cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el
otro. ¿Cuál es la distancia recorrida por el más lento hasta el
encuentro?
A) 250 km
D) 240 km
9.
A) 200 m
D) 80 m
Un alumno razona diciendo: si voy a 80 m/min llegaré al
examen 1 hora después, pero si lo hago a 120 m/min llegaré
1 hora antes. ¿A qué velocidad debe ir para llegar a la hora
exacta?
A) 90 m/min
C) 100 m/min
E) 102 m/min
8.
C) 400 m
Tín tín recorre todos los días la distancia entre su casa y
el colegio, empleando un tiempo de 2 horas y su padre lo
realiza en 8 horas. Cierto día, Tín tín parte del colegio hacia
su casa justo cuando su padre, que partía de ella, se dirigía
a él. ¿Al cabo de qué tiempo se encontrarán?
A) 1,1 h
D) 1,7 h
B) 9
E) 10
11. Dos partículas "a" y "b" se encuentran separadas 200 m. Si
parten una hacia la otra con velocidades constantes de 20
m/s y 50 m/s respectivamente, ¿qué distancia separa a las
partículas cuando "b" pasa por el punto de partida de "a"?
Un niño ha estado caminando durante 20 horas. Si hubiera
caminado 2 horas menos, con una velocidad mayor en 10
Km/h, habría recorrido 10 km menos.
¿Cuál es su velocidad?
A) 80 km/h
B) 95 km/h
D) 36 km/h
E) 90 km/h
6.
A) 5s
D) 6
Dos atletas están separados 150 m, si corren al encuentro,
éste se produce al cabo de 10 segundos; pero si corren el
uno en pos del otro, el alcance se produce a los 30 segundos.
Hallar la rapidez del atleta que da alcance al otro.
A) 20 m/s
D) 5 m/s
5.
C) 3,5 cm/s
Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta
tienda, observa que caminando a razón de 6 m/s tarda 4
segundos más que si lo hace a razón de 8 m/s. ¿Cuál es la
distancia mencionada?
A) 82 m
D) 96 m
4.
B) 4 cm/s
E) 2,5 cm/s
Una niña en patines viaja a razón de 18 km/h durante 1 min.
¿Qué distancia logra recorrer dicha niña?
A) 200 m
D) 600 m
3.
10. Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa
frente a un poste con una rapidez constante de 5 m/s. Si
luego de 10s pasa frente al poste un automóvil con una
rapidez constante de 15 m/s y en la misma dirección que
el ciclista, determine luego de cuánto tiempo el ciclista es
alcanzado por el automóvil.
A) 6 h
D) 9 h
44
B) 7 h
E) 5 h
C) 8 h
HABILIDAD MATEMÁTICA
17. Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino a las 19
horas. Viajando a 150 km/h llegaría a las 17 horas. ¿Con qué
velocidad debe viajar si desea llegar a las 18 horas?
3.
A) 125 km/h
B) 120 km/h
C) 130 km/h
D) 135 km/h
E) 132 km/h
A) 24 Km/h
B) 34
C) 14
D) 44
E) 54
18. Alex y Luisa discuten acaloradamente en una de las esquinas
de la avenida Arequipa, de pronto dan por terminada su
relación partiendo en direcciones perpendiculares con
velocidades de 16 m/s y 12 m/s respectivamente. ¿Después
de qué tiempo estos personajes estarán a una distancia de
90m, lamentando su decisión?
4.
A) 4 s
B) 5 s
C) 6 s
D) 4,5 s
E) 7 s
5.
A) 39 km/h
B) 40
C) 48
D) 57
E) 68
20. Valito desea hallar la distancia que hay entre su casa y
la academia; observa que si va a una rapidez de 2 m/s
emplea 12 segundos más que si va a una rapidez de 5 m/s.
Determina cuál es la distancia.
Si al pequeño helicóptero le toma 3s pasar sobre el puente.
¿Durante cuánto tiempo estará por encima del tren de 120m
de longitud, si a éste le tomó 18s cruzar completamente
dicho puente? (Considere que ambos móviles van a rapidez
constante)
60m
A) 5 s
B) 6 s
C) 15 s
D) 10 s
E) 12 s
A) 40 m
B) 38
C) 32
D) 36
E) 34
Dos móviles pasan simultáneamente por un punto A, uno
va a 35 km/h y el otro a 56 km/h. Ambos corren durante
cierto tiempo al cabo del cual están separados 294 Km. Si en
ese instante, el más rápido dista de B 120 km. Determina la
distancia que separa a B de A.
“Ninguna investigación humana puede ser
llamada verdadera ciencia si no puede ser
demostrada matemáticamente”.
(Leonardo da V inci)
A) 925 Km
B) 805
C) 904
D) 745
E) 655
2.
Dos autos separados 250m salen simultáneamente con
rapideces constantes de 30 m/s y 20m/s para luego
encontrarse en el punto A. Si el segundo auto demorase
2 segundos; en salir, se encontraría con el otro auto a “x”
metros antes de A. Indica el valor de “x”.
A) 24
B) 34
C) 54
D) 14
E) 64
19. Un postulante calcula que si viaja a 40 km/h llega a su
destino una hora después del mediodía y si viaja a 60 km/h
llega una hora antes del mediodía. ¿A qué velocidad debe
viajar el postulante para llegar al medio día?
1.
Un Hombre rema 60 Km río abajo, empleando el mismo
tiempo que emplea en remar 25 Km río arriba. Determina
la rapidez del bote, en aguas tranquilas, si la rapidez de la
corriente del río es de 14 Km/h.
Para ir de un punto a otro un ciclista corre a razón de 10
Km/h y para volver al punto de partida, lo hace a razón de 8
Km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos,
sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado, en
total, 9 horas. Indique la distancia.
A) 170 Km
B) 210
C) 200
D) 160
E) 145
45
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
HABILIDAD MATEMÁTICA
CRONOMETRÍA
15
INDICADORES DE LOGRO:
La hora es 8h = 8:00 a.m.
-
Rpta: 8h o 8:00 a.m.
-
Resuelve problemas sobre campanadas con intervalos de
tiempo, tiempo transcurrido y que falta transcurrir.
Relaciona los ángulos entre manecillas y los minutos que
representan, además encuentra la hora correcta en relojes
malogrados.
PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS:
En el caso de problemas con campanadas, se debe resolver con
los intervalos entre campanadas, ya que el intervalo mide el
tiempo entre campanadas.
PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO
QUE FALTA TRANSCURRIR:
En este grupo de problemas desarrollaremos aquellos casos en
los que se involucran el transcurrir del tiempo y por consiguiente también al tiempo que falta transcurrir, ya sea en un día, una
semana, una hora, un mes, etc.
12s
En 5 campanadas se presentan
4 intervalos (4 = 5-1) de 3 segundos
cada uno
3s
1
I
2
3s
3s
I
I
3
3s
4
I
5
Donde “I” es el tiempo que hay de campanada a campanada.
Podemos concluir:
Hora
actual
Tiempo transcurrido
Nº de Duración de
Tiempo total =
x
int ervalos cada intervalo
Tiempo que falta transcurrir
También:
Hora
referencial 2
Hora
referencial 1
Nº de
N º de intervalos =
−1
Campanadas
Si las horas de referencia son de 0h a 24h, es decir un día, se
cumple:
Tiempo
transcurrido
0h
Hora
exacta
Recuerda que:
Tiempo total (DP) N° de intervalos
Tiempo
que falta
x
24 - x
Ejemplo 2
24h
Un campanario tarda segundos en tocar campanadas. ¿Cuántas
campanadas tocará en 1 segundo?
Resolución:
Tiempo tiempo por
+
= 24h
transcurrido transcurrir
Ten en cuenta también:
Hora actual = Tiempo transcurrido
# Campanada
# Intervalo
Tiempo
m
m -1
(m+1)seg
2
2
x
x-1
1 seg
Ejemplo 1
1seg (m 2 − 1)
x −1 =
(m + 1)seg
1seg (m − 1)(m + 1)
x −1 =
(m + 1)seg
x −1 = m −1
x =m
Un alumno que debería ir temprano a la academia, se levanta
tarde y pregunta la hora a su madre y esta responde: El duplo
de las horas transcurridas del día es igual al cuádruple de las que
faltan por transcurrir para llegar a las 12 m. ¿Qué hora es?
Resolución:
Tiempo
transcurrido
0h
Hora
exacta
Tiempo
que falta
x
12 - x
En un segundo tocara m campanadas
Rpta: m campanadas
12h
Planteando:
PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS:
2x 4(12 − x )
=
2=
x 48 − 4 x
En esta parte veremos aquellos problemas que involucren relojes
que por un mal funcionamiento se adelanten o atrasan. Para
calcular el adelanto o atraso ocurrido en un cierto intervalo utili-
x =8
Educación Rumbo al Bicentenario-
46
HABILIDAD MATEMÁTICA
zaremos la razón de adelanto o atraso, respectivamente.
Si se adelanta 3 min. cada
hora tendremos:
Si se atrasa 4 min. cada
hora tendremos:
x3
x2
en
se atrasa
1h
2h
3h
4 min x2
8 min
12 min
x3
x3
x2
en
se adelanta
1h
2h
3h
3 min
6 min
9 min
x2
1.
A) 9
B) 12
C) 10
D) 13
E) 11
x3
Para relojes que se adelantan se cumple:
2.
Hora marcada = Hora real + Adelanto total
Hora marcada = Hora real - Atraso total
3.
¡Importante!
¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 8h
30min?
A) 80º
B) 75º
C) 60º
D) 70º
E) 85º
Para que un reloj que se adelanta o atrasa
vuelva a marcar la hora correcta por primera
vez, debe adelantarse o atrasarse según sea
el caso; 12 horas <>720 minutos
4.
Para que dos relojes defectuosos (que se
adelantan o atrasan) vuelvan a marcar la misma
hora es necesario que exista una diferencia entre
lo que marcan de: 12 horas <>720 minutos
Un reloj señala la hora con igual número de campanadas;
para indicar las 5:00, demoró 20 segundos. ¿Cuánto tiempo
empleará para indicar las 10:00?
A) 43s
B) 40s
C) 42s
D) 44s
E) 45s
Ejemplo 3
El reloj del Colegio se adelanta un minuto cada 15 minutos. Si en
ese momento marca las 6:30 p.m. y hace 9 horas que se adelanta, ¿qué hora es realmente?
5.
Resolución:
¿Qué hora es si el tiempo transcurrido del día hasta hace
diez minutos es dos veces más que el tiempo que faltaría
transcurrir para que sea las 5 de la mañana del mismo día si
fuera diez minutos más tarde?
A) 3:58 a.m.
B) 3:50 a.m.
C) 3:55 a.m.
D) 3:40 a.m.
E) 4:10 a.m.
Adelanta
1 min
x
9h x 1min
15min
9h x 1min
x =
15min
Sí el doble de las horas transcurridas en un día es igual al
cuádruplo de las que faltan para terminar el día; ¿Qué hora
será dentro de 4 horas?
A) 8:00 p.m.
B) 6:00 p.m.
C) 7:20 p.m.
D) 4:00 p.m.
E) 9:00 p.m.
Y para relojes que se atrasan se cumple:
En
15 min
9h
Un reloj da siete campanadas en 10 segundos. ¿Cuántas
campanadas dará en 15 segundos?
6.
x =
60 min
1h
Son más de las 4 de la tarde sin ser aún las 8 de la noche,
además, dentro de 20 minutos el tiempo que faltará para las
8 será 9/5 del tiempo que ha transcurrido desde las 4 hasta
hace 10 minutos. ¿Cuánto tiempo falta para acabar el día?
A) 4h 45’
B) 5h 25’
C) 5h 50’
D) 6h 35’
E) 7h 15’
x = 36 min
sabemos que: HM = HR + adelanto
La hora real es 5h54 min
Rpta: 5h54min
7.
Un campanario toca campanadas en x2 segundos. ¿Cuántos
segundos demora en tocar (x+2) campanadas?
A) xy + 2
B) y(x-1)
47
C)
yx
x −1
D)
y
x −1
E)
y
x(x − 2)
Educación Rumbo al Bicentenario
HABILIDAD MATEMÁTICA
8.
El reloj de una de las oficinas del colegio marca la hora
con igual número de campanadas; para indicar las 8 de la
mañana demoró 14 segundos ¿Cuánto tiempo empleará
para indicar el mediodía?
13. Se tiene dos relojes sincronizados a las 12 del mediodía
(hora correcta). Si el primero se adelanta 2 min. cada hora
y el segundo se atrasa 3 min. cada hora. ¿Dentro de cuánto
tiempo marcarán nuevamente la hora correcta los 2 relojes
simultáneamente y dentro de cuánto tiempo marcarán la
misma hora?
A) 22s
B) 18s
C) 30s
D) 20s
E) 32s
9.
A) 2 días - 6 días
B) 5 días - 6 días
C) 7 días - 3 días
D) 9 días - 3 días
E) 30 días - 6 días
Un reloj indica la hora con igual número de campanadas;
además, se sabe que tardó 24 s en tocar tantas campanadas
como dos veces más el tiempo (en segundos) que hay entre
campanada y campanada.
14. Siendo las 6 a.m. empieza a adelantarse un reloj a razón
de 6 minutos cada hora con 15 minutos. ¿Qué hora estará
marcando este reloj cuando en realidad sean las 9 p.m. del
mismo día?
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A) 10:12
B) 11:24
C) 10:24
D) 11:20
E) 11:12
I.
Se escucharon 8 campanadas.
II.
El tiempo entre campanada y campanada es 3s.
III. Para indicar las 4 p.m. este campanario empleará 9s
.
A) VVV
B) FVV
C) VVF
D) VFV
E) FFF
15. Un reloj marca las 7 p.m. ¿Qué hora es en realidad, si hace 8
horas que se atrasa a razón de 4 minutos cada hora con 20
minutos?
A) 7:10
B) 7:12
C) 7:20
D) 7:24
E) 7:30
10. Sayuri le pide a su hermano mayor, que le ayude hallar el
valor del ángulo « θ », en la figura que se muestra; Dar la
respuesta correcta de los hermanos.
12
9
θ
16. A las 12 m un reloj comienza a atrasarse a razón de 6
minutos cada hora y otro reloj empieza a adelantarse a
razón de 4 minutos cada hora. Después de cuánto tiempo
ambos relojes estarán marcando la misma hora, por primera
vez?
3
A) 20 días
B) 3 días
C) 4 días
D) 5 días
E) 5 días
6
A) 100º
B) 130º
C) 150º
D) 110º
E) 165º
17. Si:
A = ángulo que forman las agujas de un reloj a las 3:30 p.m.
B = ángulo que forman las manecillas de un reloj a las
4:20pm
11. Entre las 13 y 14 horas, Isabel le pregunta a Josmar, ¿qué
hora es, si el horario y el minutero forman un ángulo de 90°?
A) 13 h 21
Determina el valor de «A+B»
2
min
11
A) 85º
B) 100º
C) 128,7º
D) 102º
E) 24º
2
B) 13h 23
min
11
C) 13h 23
9
min
11
18. ¿A qué hora, inmediatamente después de las 7:00 p.m. las
agujas de un reloj forman un ángulo de 50º por segunda
vez?
9
D) 13h 21
min
11
7
min
11
12. Durante una conversación, Nicol le pregunta a Jahaslit; si un
reloj se adelanta 4 minutos cada 5 horas, ¿qué hora será en
realidad cuando el reloj marque las 14h 10min, si hace 20
horas empezó a adelantarse?
E) 13h 22
3
min
11
B) 7h45
2
min
11
4
min
11
7
D) 7h45 11 min
C) 7h46
A) 13h 28min
B) 13h 42min
C) 13h 18min
D) 13h 26min
E) 13h 54min
Educación Rumbo al Bicentenario
A) 7h47
E) 7h48
48
5
min
11
HABILIDAD MATEMÁTICA
19. ¿Qué hora es según el gráfico?
¿Qué hora es?
A) 6h 12min
B) 6h 11min
C) 6h 13min
12
3α
9
3
D) 6h 13
11
min
13
E) 6h 12
11
min
13
α
6
4.
A) 5 h 8 min.
B) 5 h 9 min.
C) 5 h 12 min.
D) 5 h 7 min.
E) 5 h 6 min.
Pablo comenta con sus compañeros que nació en el mes
de Junio, y que un día de dicho mes verifica que la fracción
transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del
año. Si él nació 4 días antes, qué día cumple años? (considere
un año bisiesto)
A) 09
B) 10
C) 11
D) 12
E) 08
20. Son más de las 5 pero aun no son las 7 de ésta mañana. Si
el tiempo que había transcurrido desde las 5 hasta hace 20
minutos es igual a del tiempo que faltará transcurrir hasta
las 7, pero dentro de 40 minutos. ¿Qué hora es?
A) 5:30
B) 5:25
C) 5:20
D) 6:10
E) 6:15
5.
de junio
de junio
de junio
de junio
de junio
Una tarde soleada Valito va camino a la SANFER (tiene una
clase de matemática de 2 a 4 p.m.); pero al olvidar su reloj,
observa que una antena de 8m de longitud proyecta una
sombra de 6 m. de largo, después de lo cual concluye que
llegará tarde ¿Qué hora es?
A) 2:15
B) 2:20
C) 2:25
D) 2:28
E) 2:30
1.
Un reloj se atrasa 4 minutos por hora y otro se adelanta 6
minutos por hora. Si empiezan el martes 12 de mayo a las
12 m, en qué fecha volverán a señalar la misma hora?
“Las matemáticas del ritmo son
universales. No pertenecen a un tipo
particular de cultura”.
(John McLaughlin)
A) viernes 15 de mayo
B) sábado 16 de mayo
C) jueves 14 de mayo
D) miércoles 13 de mayo
E) domingo 17 de mayo
2.
Según el gráfico ¿Qué hora es?
12
2α
α
9
3
6
A) 2:50
B) 2:51
C) 2:52
D) 2:53
E) 2:54
3.
Araceli al regresar de la academia observa en el reloj de su
sala lo siguiente:
12
α
9
3
α
6
49
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
TEORIA DE EXPONENTES II
6
INDICADORES DE LOGRO
−n
Analizar y aplicar las definiciones y teoremas de la
potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.
B. TEOREMAS:
Simplificar expresiones, a través de la potenciación y
radicación.
1. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES:
xm
=
⋅ x n x m + n ; x ∈ ; x ≠ 0
TEORÍA DE EXPONENTES EN :
En este capítulo, trataremos dos operaciones:
n
x=
p
14444244443
POTENCIACIÓN
I.
+ 3+...+11
33 ...311 31+ 2=
366
Ejemplo: 3 ⋅ 32 ⋅=
=
x np
/ x ⋅p ≥0
1444442444443
⇔
n
x
yn
y
; xy ≠ 0
=
=
x
y
xn
2. DIVISIÓN DE BASES IGUALES:
RADICACIÓN
(n∈ −{1})
xm
= x m −n ; x ≠ 0 ; x ∈
xn
POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática, que consiste en hallar un
tercer elemento a partir de otros dos llamados base y
exponente.
Ejemplo:
ïìï p : potencia; p Î
p = xn ïí x : base; x Î
ïï
ïî n : exponente; n Î
NOTA:
7 x −5
2
49
= 7 x −5 −(x −7)
= 7=
7 x −7
3. POTENCIA DE POTENCIA:
( )
p
m n
x
xm⋅n⋅p ; x ∈
=
p
mn
X
Z
A. DEFINICIONES:
]]Xmgngp
1444442444443
!
Ejemplo: Exponente de exponente Potencia de potencia
1. EXPONENTE NATURAL:
3
−5
−6
0
2−7
... = 2( −7)( −6)( −5)...(0)...(2)(3)
1
= 2=
( )
x
× x×
x × × ×
x = xn ; n Î ; x Î
n veces
CADENA DE EXPONENTES:
Nota:
314444444244444443
3 3 ... 3 ≠ 3 5
"
5 " veces
4. POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN:
5 no es un número natural.
puesto que
( x ⋅ y )n = xn ⋅ yn
2. EXPONENTE CERO:
x0 = 1 ; x ≠ 0 ; x ∈
Ejemplo:
Nota:
∧ n∈
( 6 ⋅ 7 )5 =65 ⋅ 75
5. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN:
La base x debe ser un número real distinto de cero.
n
x
xn
; x ∈ ; y ∈ − {0} ; n ∈
=
y
yn
0
0 = No está definido
4
4
4
Ejemplo: 25= 25 = 5=
625
5
54
3. EXPONENTE NEGATIVO:
n
x −=
; x, y ∈
1
xn
;x≠0
∧
x∈ ;n>0
II. RADICACIÓN:
COROLARIO:
Es una operación matemática, que consiste en hallar un tercer
elemento a partir de otros dos llamados radicando e índice.
51
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
n : Índice n ∈ − {1}
n x = b x : radicando
b : es la raíz enésima de x
5.
Si tenemos:
6.
Si tenemos:
A. Definición:
1. EXPONENTE FRACCIONARIO:
m
n m
=
xn
; ∀n ∈ − {1}
x
x
B. TEOREMAS:
7.
xx
Si: n= par → x ≥ 0
n
Ejemplo:
33 ⋅ 2=
54=
8.
y≥0
∧
n
x =
∧
y>0
345
Ejemplo:
x
;
p
n
×
2.
m
−
n
α
×
β
p
∞
=x⇒x =a
x
Si: a=
b x ; a ≠ b ⇒=
x 0 ; a ;b ∈ + − {1}
5
5
Ejemplo: (2x − 7) = x → 2x − 7 = x → x = 7
3ER CASO: BASES Y EXPONENTES IGUALES:
m⋅n⋅p ( αn +β )p + γ
x
x ≠ 0 ; 1 / 2 ; 1 / 4
x x = y y ⇒ x= y
y ≠ 0 ; 1 / 2 ; 1 / 4
γ
=
m⋅n⋅p ( αn −β )p + γ
n n n
a=
a a....∞ n −1 a
x
x
4
x
2 4
x
8
Ejemplo: x = 64 → x = (8 ) → x = 8 → x = 8
;
4TO CASO: ANALOGÍAS DE TÉRMINOS:
ay x = y ⋅ ax ⇒ x = y
n ≥ 2 ;n∈
Ejemplo:
2.
m
b÷
m
b=
÷ m b ÷ ....∞ m +1 b
;
3
m ≥ 2 ;m∈
8
(x − 1) ⋅ x = 8 ⋅ x
(x −1)3
3
⇒ (x − 1) = 8
⇒
x+
3.
x + ...∞ = p + 1
p(p+1) p(p+1) p(p+1)
y−
4.
x+
(q-1)q
y−
(q-1)q
∧ a ≠1
x
Si: a=
b x ; x ≠ 0 ⇒=
a b ; a ;b ∈ + − {1}
120
IV. CASOS ESPECIALES:
1.
2DO CASO: EXPONENTES IGUALES:
+
x ÷ x ÷ x
a
b
ab a
a b
75x −2 = 343 → 75x −2 = 73 → 5x − 2 = 3 → x = 1
m,n,p ∈ ∧ x ∈
Si: mnp= par → x ≥ 0
120
120
2
4 = 3⋅4⋅5 4 = 60 4 = 4=
16
x α xβ x γ =
=E ⇒E =n
Ejemplo:
× + × +
m
∞
ax= ay ⇒ x= y ; a > 0
III. RADICALES CON BASES IGUALES:
1.
1ER CASO: BASES IGUALES:
64 8
=
25 5
n⋅m⋅p
nn
n n
V. ECUACIONES EXPONENCIALES:
3. RAÍZ DE RAÍZ:
nmp
=n ⇒ x =nn ; 0 < x ≤ e
Si tenemos:
b
x nx
=
; y≠0
y ny
Si: n= par → x ≥ 0
64
=
Ejemplo: 25
n
33 ⋅ 2= 3 2
2. RAÍZ DE UNA DIVISIÓN:
∞
Si tenemos:
1. RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN:
n x ⋅ y = n x ⋅ n y ; n ∈ ; n ≥ 2
;
p ∈ +
y − ...∞ = q − 1
(q-1)q
; q ∈ + − {1}
Educación Rumbo al Bicentenario-
52
x=3
ÁLGEBRA
8.
1.
Determinar cuál (es) de las siguientes expresiones son
correctos.
3
−42 =
16
I.
−(−9)3 =93
III.
A) I y II
D) II
4
5 4
x 3 5 x x3
x
A) 10
D) 2
(−6)−2 =
36
II.
9.
B) II y III
E) I y III
C) III
x en:
Determina el exponente final de
B) 6
E) 8
C) 4
Determina el valor de "n" en la expresión:
3n + 5
x
= 1; 6x d R - ! 0 +
x.x.fx
144424443
"n" veces
2.
Determinar el valor de:
T=
(22 )3 + (23 )2
4
B) 25
E) 28
B) 3
13
12
D)
E)
3
B) 2x
E) 4
C) 3.2x
a + bn
B)
D) 2 3
E) 2 5
+ b−n
B) ab
E) abn
A=
C) bn
Efectúa:
A)
1
M= 8 3 − (−2−2 (−2)2 )−1 − (−2)0
A) -1
D) 2
B) 1
E) -2
D)
C) 4
R
(x ) . x
−46
A) 0
D) -1
.x
3
23
x
1
( −2)12
3
4
32x 4
128x 3
4
x
12
12 x
7
2
C) 12 x
x
E) 10
x x 2 x x .16 x
A=
; x≠0
1
A) x 8
B) x
E) 1/x
1
B) 2 3 .x 3
13. Determinar el valor de:
Simplifica:
6 4
11
C) 2 4
12. Determinar la expresión.
A) an
D) (ab)n
7.
211
A) 11 22
1
n n
a
2
x x = 5 25
2 3 1 2
A = 2 3.4 4 .8 2
2x
n −n
−
−1
11. Determinar el valor de:
Determinar la expresión:
T=
6.
C) 5
12
13
2.4 x +1 + 4 x
A) 4x
D) 3
COLUMNA B
A) A es mayor que B.
b) A es menor que B
c) A es igual a B.
d) No se puede determinar.
e) ¡No utilice ésta opción!
Determinar la expresión:
A=
5.
xx = 3 3
2−1 + 3−1 + 4 −1
A) 3-1
4.
COLUMNA A
C) 27
Determinar el valor de:
A=
B) 5/2
C) -5/2
E) no existe tal "n"
10. Con respecto al valor de "x", compara:
A) 24
D) 26
3.
A) 1
D) 2
5
C) 1
D) x 16
53
5
B) x 4
1
E) x 9
Educación Rumbo al Bicentenario
3
C) x 16
ÁLGEBRA
14. Determinar el equivalente reducido de la expresión.
2+ 8
1.
12 + 75 + 27 1+ 2
L=
12
A) 25
B) 5
5
D)
C) 3
N=
E) 9
B) x
1
E)
x
x
D)
4
3
4
x 2012 . x 2008 . x1990
B) x
E) 0
C) x3
2. Si:
9
x x 3 x5 x 7 x 16
; x > 0
x x x
A) 1
3
x 2014 . x 2014 . x 2014
A) x2014
D) 1
15. Determina la expresión
L
Simplifique
x3 y =
3 ∧ y3 y =
81
Calcule:
5 3 5 3
x x. y y
C) x2
5 5
B) y3 3
E) 27
A) 5 27
D) 3
C)
53
16. Determinar el valor de “x” en:
2
3
x
3.
=9
A) -3
B) 4
D) ½
E) ¼
L = xn xn −1 xn −2 ... x 3 x 2 x
C) 2
2
D) n x
n
x . x x Es 11/4
Determinar el valor de “n”
4.
B) 2
E) 5
C) 3
B) x −2
E) x + 1
A) x x −1
D) x – 1
C) 10
5.
= 2− 2
y
x y. x
=
Si:
8 7 2
2
C) x
;x>y
Determinar el valor de (xy)
COLUMNA A
El valor de: 16x
A) 8
D) 4
COLUMNA B
El valor de: x-1
A) A es mayor que B
B) A es menor que B
C) A es igual a B
D) No se puede determinar
E) No se puede usar esta opción
3 3 3 $$$ 3
14444444444244444444443
"n" radicales
Determinar la última cifra de:
B) 7
E) 6
4
x 77
x 75
B) 16
E) 2
C) 32
“Las matemáticas consisten en demostrar las
cosas más obvias de la forma menos obvia”.
(George Polye)
20. Si se cumple que:
A) 3
D) 0
Si: x ≠ 1 , tal que:
A = x2 − x x + 1
Comparar
Xn =
E) x
Determina el equivalente de:
x
E
x+
Determine el valor de: =
4
A) 12
B) 15
D) 9
E) 18
x
n
n −1
C) x .2 x
2
2
2
x
x x + 2 − x x +1 + x x =
x 2x + x −1
18. Luego de resolver: x x = 672
19. Si: x x
B) xn −1n x
A) x n x
17. Si el exponente final de “x” en:
A) 4
D) 1
Simplificar.
C) 5
Educación Rumbo al Bicentenario-
54
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS Y POLINOMIOS
7
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Es un conjunto formado por números y/o letras enlazados
por diferentes operadores matemáticos.
I.1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA (EARE):
Una expresión racional se llama entera respecto de
las variables dadas, cuando los exponentes de es
tas son enteros positivos.
1. NOTACIÓN MATEMÁTICA:
Es aquella representación simbólica de una expresión
matemática que nos permite diferenciar a las constantes de
las variables.
Ejemplo:
• P(x)
= 2019x 77 + 2020x 7 + 2021
VARIABLES: Son aquellas expresiones que para cada problema cambian de valor. Generalmente se les representa mediante las últimas letras del alfabeto (x; y; z).
I.2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA
(EARF):
CONSTANTES: Son aquellas expresiones que tienen un valor permanente (valor fijo).
Una expresión racional se denomina fraccionaria con
respecto de las variables dadas, si por lo menos una de
estas tienen exponente enteros negativos o tener
variable en el denominador.
COEFICIENTES: Son aquellas expresiones que acompañan
a la parte literal.
Ejemplos:
Ejemplo: Sea la siguiente expresión:
2x − y
−7
• Q=
(x) 3x + 2y +5x
P(x;y) =10abx5 − abcx 7 y 9 + 3
II.
Notamos que:
3
3
Coeficientes: 10ab; – abc;
Es una expresión matemática en la cual con las constantes
y variables se realizan operaciones de adición, sustracción,
multiplicación, división, elevación a exponente natural y extracción de una raíz aritmética, en un número limitado de
veces.
−
• T(x) =−9 x − 1 + 3
• S(x;y) = 39(x5 − xy + z) + 3 xyz +
1.
2.
3.
4.
x
x+z
Expresión exponencial: 3x; 2x; ax; (x + y)x
Expresión logarítmica: log x; ln x.
Expresión trigonométrica: sen x; cos x; tan x; arcsen x
Expresión de infinitos términos: 1 + x + x2 + x3 + x4 +..
POLINOMIOS
3. TÉRMINO ALGEBRAICO:
Es aquella expresión algebraica que sólo contiene productos
y cocientes de constantes y variables.
DEFINICIÓN: Se denominará polinomio a toda expresión algebraica racional entera respecto de toda variable que figura en
dicha expresión. Los polinomios pueden clasificarse como:
Ejemplos:
=
• A (x;y) 2019x y
• R (y;z) =−7y + 2z
2
3
5. EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES:
(x es variable)
Ejemplos:
1
4 2
EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (EAI):
Ejemplos:
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
• P(x;y) = 6x + 2y − x − y
4x + 3y
− 3z + x −1
5z
Una expresión algebraica se denomina irracional, si en ella se
prevé la operación de unaQraíz
Z aritmética respecto de una de
las variables que la integran o el exponente de las variables
pertenecen al conjunto − .
Variables: x; y
Constantes: 10; a; b; c;
• P(x;y;z)
=
MONOMIO: Polinomio de un término.
BINOMIO: Polinomio de dos términos.
TRINOMIO: Polinomio de tres términos.
PARA ‘‘N’’ TÉRMINOS: se denominará polinomio de ‘‘n’’ términos
2 −3
=
• C(x;z) 7x z
4. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Ejemplos:
P(x;y) = 4x7y; R(x;y;z) = 2019x7yz4 Son monomios.
P(x;y) = 25x + y; R(x;y;z) = 15x7 – 17xyz4 Son binomios.
P(x) = 1 + 7x – 7x2 ; R(x;y;z) = x3 – 16y + 7z Son trinomios.
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando
en cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por
su extensión o número de términos.
I. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (EAR)
POLINOMIO DE UNA VARIABLE:
P(x) = a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + ... + an–1 x + an
Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes de las variables son números enteros.
55
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
a0 , a1 , a2 , a3 ,............, an
x
a0 ≠ 0
GRADOS DE UN POLINOMIO:
Coeficientes
Variable
P(x;y) =7x 4 y 6 − 15x 3 y 4 + 12xy 7
Coeficiente Principal
an Z
G.R.(x) = 4
G.R.(y) = 7
G.A.(P) = 10
Término Independiente
n ∈ +
Grado
Ejemplo:
OPERACIONES CON GRADOS:
Dados los polinomios P(x) de grado ‘‘m’’ y Q(x) de grado ‘‘n’’,
siendo m > n.
Grado
Operación
Procedimiento
Resultante
Adición:
P (x) + Q (x)
Sustracción:
P (x) − Q (x)
m−n
Potenciación:
[P(x)] k
Multiplicamos el grado del
polinomio base por el exponente.
mk
Radicación:
Dividimos el grado del polinomio
radicando entre el índice del
radical.
m
k
P (x) ÷ Q (x)
Q(x) =2019x 3 + x14 − 7x10 + 24 ; es mónico
R (x;y) =17x 7 + 18x 3 y5 + 1970 ; no es mónico
1
2
M(x) =x 9 + x 4 − x + 3
; no es mónico
2
3
6. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
k P
(x)
9. POLINOMIOS ESPECIALES O IMPORTANTES:
Consiste en sustituir las variables por números o
constantes efectuando las operaciones indicadas, el
valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la
expresión matemática.
Ejemplo:
Sea: P(x)
En la división de polinomios, se
restan los grados; el grado del
polinomio numerador menos el
grado del polinomio denominador.
División:
Ejemplos:
3x – 2
Para:
m
m+n
P (x) . Q (x)
El polinomio mónico, es un polinomio de coeficientes enteros
y de una sola variable, cuyo coeficiente principal es 1.
m
En la multiplicación de polinomios
se suman los grados de los
factores.
Multiplicación:
5. Polinomio Mónico o Normalizado (Unitario):
En la adición o sustracción de
polinomios se conserva el grado
del polinomio de mayor grado.
9.1 POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Es aquel que posee, sus términos de igual grado, mínimo
debe tener dos variables.
x=2
P(2)= 3(2) − 2= 4
Ejemplo:
3 2
4
3 2
M( x;y ) = 2019x
y + 2020x
y − 2021x
y +
x5
5°
5°
5°
5°
Grado de homogeneidad es 5.
R
TEOREMA:
7. CAMBIO DE VARIABLE:
Si P(x;y) es un po lin omio hom ogéneo de grado n ≥ 1
Consiste en reemplazar una o más variables de la expresión
matemática por una nueva variable o nuevas variables.
n
⇒ se cumple : P=
(kx;ky) k P(x;y) ; ∀k ∈
9.2 POLINOMIO ORDENADO:
8. GRADO DE UN POLINOMIO:
Es aquel polinomio donde los exponentes de la variable en
referencia van aumentando o disminuyendo.
Es una característica de todo polinomio.
A) GRADO RELATIVO (G.R.)
Ejemplos:
Es con respecto a cada variable.
1.
"Ordenado descendentemente"
B) GRADO ABSOLUTO (G.A.)
También llamado "GRADO"; con respecto al polinomio.
2.
En un polinomio de una sola variable el grado absoluto y
relativo son iguales.
M(x; y) = 7y8+15x9y5 + 21x15y13+ 37x21y2
Con respecto a "x": ordenado ascendentemente
Con respecto a "y": desordenado.
GRADOS DE UN MONOMIO:
9.3 POLINOMIO COMPLETO:
Es aquel que presenta todos los exponentes de la variable,
desde el cero hasta el valor máximo.
Sea: P(x;y) = 2019abx7y16
Grado Relativo a "x"
⇒
G.R.(x) =
7
Grado Relativo a "y"
⇒
G.R.(y) =
16
Grado Absoluto de "P" ⇒
G.A.(P) =
7 + 16 = 23
Educación Rumbo al Bicentenario-
F(x) = 16x12 – 5x7 + 12x + 3
Ejemplos:
1.
P(x) = Lx2 + Ax4 – Tx3 + Ix – NO
56
ÁLGEBRA
2.
M(x; y) = x2y + 4y3 + y2x + x
El polinomio P es constante
⇒
=
P(15) 2020 y=
P( −15) 2020
Completo con respecto a "y"
NOTA:
Por lo tanto se tiene:
N ° tér min os =+
G.A. 1
E = 2020 + 2020 = 4040.
9.4 POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los
mismos valores numéricos para cualquier valor que se
asigne a sus variables.
1.
Es decir:
P(x) = (a − 2b)x x + (b − 4)senx + (a − b)x5
VN
= VN
P
Q
(x)
(x)
Es algebraica. Determinar el valor de su coeficiente.
A) 4
D) 5
Notación:
P(x) ≡ Q(x)
2.
B) 8
E) 3
C) 7
B) 14 x2y8
E) 17 x2y8
C) 15 x2y8
Si los términos dados
P(x,y) = nxn −1ym + 4
TEOREMA:
Q(x,y)
= (m + n)xn −1y 8
Dos o más polinomios del mismo grado son idénticos, si y solo
si sus términos semejantes poseen los mismos coeficientes.
R(x, y) = mx 2 ym + 4
Son Semejantes.
Ejemplo:
Determina la expresión:
Si: N(x) ≡ E(x) entonces:
N(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
a=m ;b=n
E(x) = mx 3 + nx 2 + px + q
c = p; d = q
P(x,y) + Q(x,y) + R(x, y)
A) 12x2y8
D) 18 x2y8
9.5 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:
Un polinomio es idénticamente nulo si sus valores
numéricos para cualquier valor o valores asignados a las
variables resultan ser siempre cero.
3.
Respecto al siguiente polinomio:
P(x,y) = 2x5 + 4x 2 + 7x 6 − 14 + 8x
Notación:
Determinar cuántas proposiciones son correctas:
P(x;y) ≡ 0
I.
II.
III.
IV.
TEOREMA:
Un polinomio de la forma:
Su grado es 5
Su coeficiente principal es 2
El término independiente es 14
La suma de sus coeficientes es 7
A) 1
D) 4
P(x) =a0 xn + a1xn −1 + a2 xn −2 ... + an
4.
es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son ceros, es
decir: a0= a1= a2= ...= an= 0
B) 2
E) 5
C) 3
Dado el polinomio:
P(x) = (2x − 1)7 (2x − 3)8 + (3x − 1)4
Ejemplo:
Determine la suma de coeficientes de P.
Si: M(x) = Lx3 + Ax2 + Tx + INO; es idénticamente nulo.
Entonces: L = 0; A = 0; C = 0; INO = 0.
9.6 POLINOMIO CONSTANTE:
Si la siguiente expresión:
A) 16
D) 18
R
5.
Es el polinomio de una o más variables, que tiene la
siguiente forma: P=
(x) k ; k ∈ − {0} .
B) 14
E) 15
C) 17
Dado el polinomio:
P(x −2) = (3x − 6)7 + x 2 − 3x + 8
Definición: El grado de un polinomio constante es cero.
Determine el término independiente de P.
A) 7
B) 6
D) 1
E) 8
Ejemplo:
0.
Dado el polinomio constante: P(x)=7 ⇒ G.A.(P) =
TEOREMA:
Dado el polinomio constante P(x) = k , el valor numérico de
6.
P para cualquier valor de "x", siempre es k.
Si la siguiente expresión
P(x) = x
Ejemplo:
=
E P(15) + P( −15)
Si: P(x) = 2020 . Determina el valor de:
n2 −6
5
− 3x5 −n + 5x
2n +1
3
+1
es un polinomio. Determina el valor de "n".
57
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 2
ÁLGEBRA
A) 5
D) 6
7.
B) 3
E) 2
C) 4
14. Si: T(x −5)
= 4x + 6
Determina T(2x +1)
Sean:
P(x +1) = x 2 + x + 1
y
Q(x) =
B) 15
E) 12
(x)
L G(1) + G(2)
Determine el valor de:=
A) 12
D) 18
P(2 x −1)
= 6x + 1
A) 15x
D) 15x + 7
B) 5x
E) 7x + 6
a −b
P(x,y) = a3 x a
C) 6x + 15
n
I.
II.
III.
= 2x + x + 3n
Donde la suma de coeficientes es 14.
B) 3
E) 0
C) 4
B) Sólo II
E) I y III
P(x,y) = (aa − 1)x5 y5 + (ba + 1)y 6
3
Q(x,y) =
− x5 y5 + 37y 6
4
ab
Son idénticos
es de grado 30. Determina el mayor valor de su coeficiente.
Determine el valor de: L = a + 6b + 5
A) 8
D) 6
A) 1
D) 4
B) 9
E) 30
C) 5
11. El siguiente polinomio:
Con abc ≠ 0 es idénticamente nulo.
Determinar el valor de P(2)
B) 7
E) 5
C) 2
Determina el valor de: L =
A) 6
D) 4
12. Si el grado absoluto del monomio:
A (x,y) = lucix 3 yn + 2 es 7.
C) 12
Tal que P(x) sea de grado 240
A) 8
D) 10
13. Sea P(x) un polinomio constante, de modo que:
( 2019)
+ P(2020)
P(PERU) + 6
B) 7
E) 11
C) 6
20. Sean P(x) y Q(x) son dos polinomios tales que el grado
de [P2(x).Q3(x)] es igual a 36, además el grado de
[P3(x)÷Q4(x)] es igual a 3. Determina el grado de:
=1
5 P .Q
+ P(x) ÷ Q(x)
(x) (x)
Determina el valor de: P(2019)
A) 2019
D) 0
C) 5
P(x) =(x 2 + 1)(x 6 + 2)(x12 + 3)
B(x,y) = 6x 4n y5
B) 8
E) 24
B) 8
E) 2
a+b+c
abc
19. Determina la cantidad de factores que se deben considerar
en la expresión.
Determinar el grado relativo a “x” en el siguiente monomio.
P
C) 3
P(x,y) = (a + c − 2abc)x 4 y + (a + b − 4abc)xy + (b + c − 6abc)
Es cuadrático
A) 4
D) 20
B) 2
E) 5
18. Si el polinomio:
P(x)= (2a − 8)x 3 + (a − 3)x 2 − x + 2
A) 6
D) 4
C) Sólo III
17. Si los polinomios
10. Si el siguiente monomio
)
a+b=1
ab = 4
La suma de sus coeficientes es 11
A) Solo I
D) I y II
Determina el valor de "n".
A) 2
D) 5
a +b
+ b(xy 3 )2 + a2 x 6 y a
Determinar lo correcto
6
(
C) 14
Un polinomio Homogéneo
9. Sea P(x) un polinomio, tal que
P(x;y) = ab x a yb
B) 15
E) 17
16. Sea:
Determina el equivalente de P(5x +1) .
2x +5
3
C) 4x + 15
Además: F(G =
) 4x + 7
C) 21
8. Sea el polinomio:
P
B) 8x + 27
E) 2x + 13
15. Si: F(x + 2)= x + 6
Determina el valor de: P(Q )
(2)
A) 10
D) 13
A) 8x + 30
D) 4x + 17
x+2
x −1
B) 4032
E) 6
C) 1
A) 3
D) 15
Educación Rumbo al Bicentenario-
58
B) 5
E) 5 15
C) 2
ÁLGEBRA
1. Dada la expresión algebraica
f(x) =
“ En la vida real, te lo aseguro,
no hay algo como el álgebra”.
3
(3 x + 1)2
(Fran Lebowitz)
Si: f(2)
= 3 a + 3 b , calcule ab.
A) 2
D) -2
B) 4
E) 1
C) -4
2. Sea la expresión
P(x)= 1 −
1
102x −1 + 1
Al evaluar:
P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + .... + P 12
13
13
13
13
13
Resulta
A) 13
D) 6
B) 5/13
E) 2
C) 10/13
3. Si el polinomio
12
P(x;y)= 5x n + 2xyn −5 + (n − 12)y 2
Se reduce a dos términos, indique el valor de P(n;0)
A) 0
D) 100
B) 50
E) 80
C) 60
4. Sea n un entero positivo y sean
f(n) = 1!+ 2!+ 3!+ ... + n!
=
f(n + 2) P(n) f(n +1) + Q(n) .f(n) ; ∀ n ≥ 1
Si P(x) y Q(x) son los polinomios que cumplen dicha condición,
halle P(1) + Q(1).
A) -1
D) 2
B) 0
E) -2
C) 1
5. Si se verifica la igualdad
a0 (x − 1)25 + a1 (x − 1)24 + a2 (x − 1)23 + .... + a24 (x − 1) + a25= 7x 25 − 3x + 2
Halle el coeficiente a24
A) 172
D) 176
B) 168
E) 174
C) 175
59
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES II
8
INDICADORES DE LOGRO
7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN
COMÚN (REGLAS DE STEVEN)
Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ca+bc)x+abc
Conocer el manejo de los Productos Notables por ser de
suma importancia en la simplificación y factorización.
8. IDENTIDAD TRINÓMICA O DE ARGAN’D
(a2+a+1)(a2–a+1)=a4+a2+1
(a2+ab+b2)(a2–ab+b2)=a4+a2b2+b4
PRODUCTOS NOTABLES:
Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, los cuales
se pueden obtener por simple inspección y directamente,
también conocidas como identidades algebraicas. Los
principales productos notables son:
En General:
(a2n+anbm+b2m)(a2n – anbm+b2m)=a4n+a2nb2m+b4m
9. IDENTIDAD DE GAUSS:
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Nota: (a – b)2n = (b – a)2n;
.......
.......
a3+b3+c3–3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)
TCP
TCP
10. IDENTIDADES AUXILIARES:
a2+b2+c2–ab–bc–ca=[(a–b)2+(a–c)2+(b–c)2]
(a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
(a–b)3+(b–c)3+(c–a)3=3(a–b)(b–c)(c–a)
TEOREMA:
Todo trinomio de la forma : P(x) = ax 2 + bx + c ; a ≠ 0
11. IDENTIDADES CONDICIONALES:
es cuadrado perfecto si y sólo si : b2 = 4ac
I.
COROLARIO:
Entonces se cumple las siguientes relaciones:
IDENTIDADES DE LEGENDRE:
a3+b3+c3=3abc
a2+b2+c2= –2(ab+bc+ca)
a4+b4+c4=2[(ab)2+(bc)2+(ca)2]
a5+b5+c5= –5abc(ab+ca+bc)
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
2. DIFERENCIA DE CUADRADOS:
(a + b)(a – b) = a2 – b2;
En General:
a2 + b2 + c 2 a3 + b3 + c 3 a5 + b5 + c5
=
2
3
5
(a + b)(b – a) = b2 – a2
(a + b )(an – bn) = a2n – b2n
n
n
a2 + b2 + c 2 a5 + b5 + c5 a7 + b7 + c 7
=
2
5
7
3. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
II. Si: a2+b2+c2=ab+ac+bc / a; b; c ∈R
4. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO:
(a
(a
(a
(a
(a
(a
(a
Si: a+b+c=0
Entonces se cumple: a=b=c
+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)....... Identidad de Cauchy
– b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
– b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)....... Identidad de Cauchy
+ b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2)
+ b)3 – (a – b)3 = 2b(b2 + 3a2)
+ b)6 – (a – b)6 = 4ab(a2 + 3b2)(b2 + 3a2)
III. Si: a3+b3+c3=3abc
Entonces se cumple:
a=b=c a+b+c=0 {a;b;c} ⊂ R
IV. Si: a2+b2+c2+ ….. +n2=0
5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:
Entonces se cumple: a=b=c= …..=n=0
En general: Si a2α + b2β + c 2 γ + ..... + n2δ =
0
Entonces se cumple:
a=b=c= …..=n=0
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
6. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO:
12. IMPLICACIONES NOTABLES:
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+ca+bc)–3abc
(a+b+c)3=3(a+b+c)(a2+b2+c2)–2(a3+b3+c3)+6abc
Educación Rumbo al Bicentenario-
12.1.Si: x + x–1 = a entonces:
x2 + x–2 = a2 – 2
60
y
x3 + x–3 = a3 – 3a
ÁLGEBRA
12.2. i: x – x–1 = a entonces:
x2 + x–2 = a2 + 2
1.
y
8.
x3 – x–3 = a3 + 3a
=
E
9.
1
(x + 3)(x + 2) + (x + 4)(x + 1) x(x +5) − 4
A) 2
D) 1
B) 4
E) 3
C) 8
3.
L2 − 4 =
0
2L + 1 =
5
I.
II.
L3 − 5 =
4
III.
b=
(x + 6)2 − (x + 3)(x + 9)
A) VVV
D) FV
C) 3
B) 2 2
E) 5
A=
C) 4
11. Si:
3
Calcule el valor negativo de a – b
B) 2 + 3
C) 1
D) 1 + 3
A) 0
D) xy
Indique verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones
y determine la secuencia correcta.
J=
I. Si :x + x −1 =2 → x 2 + x −2 =2
III.1x3x5x17x257 + 1 =
216
B) VVF
E) VFF
C) FVF
C) y
tal que xy > 1, determinar el valor reducido
xy − 2 xy + 1
( x + y )2 − ( x − y )2 − 4
A) -1
D) 2
B) 1/4
E) 1/5
C) 1
1
α
B) 0
E) -2
C) 1
14. Si: se cumple que:
a2 + b2
=1 − c = a + b − 2
1+c
E = (x + 2)2 − (x − 3)2 + 12 − 10x
A) x + 3
D) 7
B) x – 7
E) – 7
C) 4x – 7
Determine el equivalente numérico de
7. Si: se cumple que:
y
ab + bc + ac
2
2
=
m +n
7
A) 1
D) 4
Determina el valor de:=
E 6m ⋅n
A) 18
D) 27
+
B) x
E) x2y3
13. Si: α2 + α + 1 = 0 , calcule el valor de α 4 +
6. Efectúa:
=
m+n 4
x 2 y5
A) 1/2
D) 2
II.Si :x + x −1 =2 → x 3 + x −3 =2
C) 3
x3 − y3
12. Si: x; y d R
de J.
E) 2 − 3
A) FVV
D) VVV
B) 2
E) 5
x y
+ = 2; x; y ∈ +
y x
Calcule
A) −2 + 3
C) VFV
(x + 12)(x − 12) + (13 + x)(13 − x)
A) x
D) 4
Si: a∧b son números reales, tal que
7 ∧ ab =
B) VVF
E) FFF
10. Determina el valor de:
2
Si: la expresión x + a bx + 2 es un trinomio cuadrado
perfecto, calcule el mayor valor de ab (considere a y b
enteros)
a+b=
5.
(x − y)2
(x + 5)2 − (x + 2)(x + 8)
A) 6
D) 8
4.
(x + y)2 + (x − y)2 − 4xy
a=
B) 4
E) 5
C) 6
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
02. Determinar el valor de a + b, si
A) 7
D) 6
B) 14
E) 21
Luego de simplificar:
L=
3
(x + y)2 − (x − y)2
+ 2019
xy
A) 2023
D) 5
Si: x 2 + 5x =
7 , determinar el equivalente numérico de
Determina la suma de cifras del valor de:
B) 9
E) 24
B) 2
E) 5
15. Si:
C) 12
a − 1 =2018
b + 1 =2019
c + 2018 + 2019 =
0
61
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 3
ÁLGEBRA
Calcule J.
J=
a2 (a − 1) + b2 (b − 1) + c 2 (c − 1)
ab(3c + 2) + 2c(a + b)
A) -1
D) 1
B) 3
E) -2
16. Si: m2 +
m3 −
1
m2
3
3
91
1. Si: y − x =
C) 2
Además x; y son enteros positivos, ¿Cuántos valores
diferentes toma x?
=
8 , calcule el valor numérico de.
A) 0
D) 3
1
m3
1
m−
m
A) 1
D) 4
2. Si:
B) 2
E) 5
C) 3
A) 0
D) -1
B) 22019
E) -2
A) 0
D)-1
B) 1
E) -2
x 2 + y 2 1 + 3xy
+
1 + xy
(x + y)2
, es:
B) 2
E) 0
C) 3
x 2 − yz y 2 − xz z2 − xy
+
+
=
0
x
y
z
C) 1
Entonces el valor de:
(x + y)(y + z)(x + z)
M=
C) 2
x 3 + y 3 + z3
A) 4/3
D) 8/3
19. Si: se cumple que:
4. Si:
1
x+ =
−1 ; x ≠ 0
x
B) 5/3
E) 2
3 3
C) 7/3
3
a + 3a + 6b2 + 2c 2 + a3 + 3a − 6b2 − 2c 2 =
b
Entonces el valor de:
Compara:
COLUMNA A
El valor de:
3 3
3
a + 3a + 6b2 + 2c 2 − a3 + 3a − 6b2 − 2c 2 ; es:
COLUMNA B
El valor de:
x 999 + x 99 + x 9 + 1
A) 4
D) 2ab
x 666 + 2x 333 + 1
A) A es mayor que B.
B) A es menor que B.
C) A es igual que B.
D) No se puede determinar.
E) ¡No utilice ésta opción!
5. Si: x =
J=
20. Si: a + b + c = 0
B) 32
E) 16
C) 8
4 3 +1
,entonces el valor de
4 3 −1
(x 2 + 2x + 1)2 + (x 2 − 2x + 1)2
(x 2 + 2x + 1)2 − (x 2 − 2x + 1)2 , es:
A) 4/5
D) 6/7
Además:
K=3
a3b3 + b3c 3 + a3c 3
tal que satisface:
3. Si: x, y, z ∈ R
3
3
18. Si: x + y = x + y ; x ≠ − y
Determina el valor=
de: E
(a + b + c)6 − a6 − b6 − c 6
A) 1
D) 4
2
C) 2
1 1 1
1
+ + =
, entonces el valor de:
a b c a+b+c
E=
3x − 3x =
− 3 , entonces ¿Cuál es el valor numérico
1
2019
x
+
x 2019 ?
de
17. Si:
B) 1
E) 5
B) 3/10
E) 3/8
C) 5/4
(a + b − 3c)3 + (b + c − 3a)3 + (a + c − 3b)3
3abc
Determina lo correcto:
I.
II.
III.
“ En la vida real, te lo aseguro,
no hay algo como el álgebra”.
El valor de K, es -4.
El valor de K, es un número primo.
K es un número complejo.
A) Sólo I
D) I y II
B) Sólo II
E) I y III
C)Sólo III
Educación Rumbo al Bicentenario-
(Fran Lebowitz)
62
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
BINOMIO DE NEWTON
9
DEGRADACIÓN DE ÍNDICES
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
1. AMBOS ÍNDICES:
1. NOTACIÓN: n! ó n ; n ∈ N
Crn =
Se lee “factorial de n” o “n factorial"
n n −1
C
r r −1 r ≠ 0
2. SOLO ÍNDICE INFERIOR:
2. DEFINICIÓN:
Crn =
1 si n = 1
n! =
1 × 2 × 3 × ... × n; si n ∈
N ∧n≥2
Ejemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
3. SOLO ÍNDICE SUPERIOR:
Cnr
=
3. POR CONVENCIÓN:
n − r +1 n
Cr −1
r
r≠0
0! = 1
n n −1
C
; n≠r
n−r r
DESARROLLO DEL BINOMIO DE “NEWTON”:
4. PROPIEDADES:
(a ± b)n
n! = n(n − 1)! ; si a! = b! → a = b
Semifactorial (n!!)
1 × 3 × 5....n
=
n n!!
=
2 × 4 × 6....n
CASO 1: SI “n” ES UN NÚMERO NATURAL.
(a ±=
b)n Cn0 an ± C1nan −1b + Cn2an −2b2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± Cnnbn
si n =
impar
Término General:
si n =
par
(x ± y)n ; n ∈ N
En: A (x,y) =
n n −k
=
tk +1 Ck x
(± y)k ; =
k + 1 lugar buscado de
Ojo n!! ≠ (n!)!
Ejemplo: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
→
izquierda a derecha
NÚMERO COMBINATORIO
n k
n −k
tk=
; k +=
1 lugar buscado de
+1 Ck x (± y)
El número combinatorio se representa así:
←
Cnk ; n Ck ; Cn;k
derecha a izquierda
PROPIEDADES:
1. DEFINICIÓN:
n!
Cnk =
k !(n − k)!
CONSECUENCIA:
Cn0 = 1
EN GENERAL:
;0 ≤ k ≤ n
A (x;y)
= (axp + by q )n
;n,k ∈ Z
+0 ∧ n ≥ k
Cnn = 1
1) El número de términos de su desarrollo es "n+1"
2) La suma de sus coeficientes de su desarrollo es:
C1n = n
coef=
∑
2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS:
(a + b)n
=
x 1;=
y 1
Suma de números combinatorios:
3) La suma de exponentes de su desarrollo es:
Cnk + Ckn +1 =
Cnk ++11 Ejemplo: C52 + C15 =
C62
∑ exp onentes=
Combinaciones complementarias:
(p + q)
n(n + 1)
2
CASO PARTICULAR:
m
7
7
Cm
k = Cm −k Ejemplo: C3 = C 4
A (x,y) =
(x + y)n ; n ∈
IGUALDAD DE NÚMEROS COMBINATORIOS:
a)
p = k
Si: Cnp = Cnk ⇒ ∨
p + k =
n
El desarrollo es un polinomio homogéneo, completo y
ordenado de grado “n”.
b) El número de términos de su desarrollo es “n + 1”.
63
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
c)
Los coeficientes de los términos equidistantes de los
extremos son iguales.
d) La suma de sus coeficientes de su desarrollo es 2n.
e)
1. Simplificar:
83!
40!+ 41!
.
81!+ 82!
42!
La suma de exponentes de su desarrollo es:
=
∑ exponentes
(n)(n + 1)
A) 1
D) 2
CASO 2: SI “n” ES UN NÚMERO REAL (NO NATURAL)
NOTA:
n
Ck
U+
n;k d Z0
o#k#n
E=
n d R
k d R
4! − 5! + 6!
5! + 6! − 7!
Señale el numerador:
! e o
k
V
A) 81
D) 50
n
A) 32
D) 33
A) 1
D) 4
e o xk
B) 2
E) 6
C) 3
5. Calcular:
k
donde “n” es cualquier número racional.
=
E
2. NÚMERO DE TÉRMINOS:
En la expansión de (1 – x)n, cuando “n” no es natural, el
número de términos es ilimitado.
10!
100!
+
9!+ 8! 99! + 98!
A) 100
D) 98
3. POTENCIA DE UN POLINOMIO:
L = 3!
En el desarrollo de: (a+b+c+...)n
C) 108
25!+ 26!+ 27!
25!
A) 1
D) 6
n
aαbβc γ ...
α β γ ...
B) 3
E) 9
C) 5
7. Calcula el valor de de x + y, si:
α + β + γ + ... = n
x (y !)!.(x − 1)!(y !)! =
120720
{α;β; γ;...} ⊂ +0
A) 6
C) 9
E) 10
5: NÚMERO DE TÉRMINOS:
(a
+ b
+
c + ... +
p)n
" r " tér min os
B) 7
D) 8
8. Simplificar:
El desarrollo de: ; n ∈
n + r −1
términos
n. r − 1
L=
31
32
33
C31
4 + C26 + C6 + C26
34
C7
A) 4
D) 31
Educación Rumbo al Bicentenario-
B) 99
E) 81
6. Efectuar:
FÓRMULA DE LEIBNITZ:
Tiene:
C) 8
41! 19!+ 20!
E=
40!+ 39! 21!
n
donde:
B) 16
E) 17
4. Simplificar:
1. TÉRMINO GENERAL:
∑
C) 26
33! 15! + 16! 9!
E=
31! + 32! 17! 7! + 8!
n
Buscamos el desarrollo de: (1 + x) ; " n" ∈ no natural
.
n n
n
2
n
(1 + x)=
+
x
+
x + ⋅⋅⋅
0 1
2
(a+b+c+...)n =
B) 43
E) 75
3. Calcular:
nd R
k d Z+
0
FORMA GENERAL DEL DESARROLLO:
tk + 1 =
C) 3
2. Al simplificar:
COEFICIENTE BINOMIAL:
JKn NO
KK OO n ^n - 1h^n - 2h g ^n - k + 1h
KK OO =
k!
KK OO
k
L P
B) 5
E) 4
64
B) 34
E) 1
C) 2
ÁLGEBRA
9. Identifique el coeficiente del término 7 de:
12
15
E)
35
7
16. Determina el lugar del término independiente en el desarrollo
de:
D)
8
1
;
R (x,y)
= x3 +
y≠0
y 2
A) 42
B) 5
D) 32
E) 48
C) 28
20
5
=
L (x) 2019x 24 +
x 24
10. Calcula el término cinco de:
A) 5
D) 8
A (x,y)
= (5x 4 − 4y5 )9 ; compara:
COLUMNA A
El exponente
de “x”
R (x;y)
=
18. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
4
C .C
M= 4 3
5
C3
I.
B) 6
E) 4
C) 2
II.
III.
5C15
6
B) 5
E) 4
C) 3
1
2
E) 4
D) 2
C)
1
2
E) 4
D) 3
A)
C)
1
4
6
7
(2019x2 + y3 )
4
, es 50.
Al efectuar el desarrollo de:=
R (x;y)
, se obtiene 7 términos.
de:
( 4x2019 + 5y 4 )
7
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
17 20
C21
8 C 6 C5
B)
La suma de exponentes del desarrollo
11
20 19
C18
7 C15 C6
7
10
de:
x6
9
R (x) =
+
− 3x 2
4 x2
15. Simplificar:
E=
desarrollo
A) 2047
B) 1023
C) 1024
D) 512
E) 1023
10
20. En el desarrollo de:
1
4
19
20
C18 + C18
6 + C7 + C 8
E= 5
21
21
C8 + C13
B)
del
C9
C9 C9 C9
L = C09 + 1 + 2 + 3 + + 9
2
3
4
10
14. Reducir:
A) 2
coeficientes
8
19. Efectuar.
16
16
17
18
C + C6 + C7 + C8
E= 5
19
19
C 8 + C11
B)
de
(5x − 3) , es 256.
A) VFV
B) VVF
C)VFF
D)FVF
E)FVV
13. Determine el valor de “E”
A) 1
suma
=
Q(x;y)
15
2C15
6 + 8C 9
A) 1
D) 2
La
P(x)
=
12. Simplificar:
E=
( 3x + 2y )5
A) 2560
B) 2160
C)1280
D) 5760
E) 7200
11. Reducir:
A) 1
D) 5
C) 9
17. Determina el coeficiente del término de lugar 3 en el
desarrollo de:
COLUMNA B
El exponente
de “y”
A) A es mayor que B
B) A es menor que A
C) A es igual que B
D) No se puede determinar
E) ¡No utilice esta opción!
6
B) 6
E)7
C)
I.
II.
Numero de términos del desarrollo es 12.
Tiene un solo término central
III.
La suma de coeficientes de todos los términos es
A) VVV
B) FVV
C) FFV
D) FFF
E) FVF
21
5
65
Educación Rumbo al Bicentenario
22
3
ÁLGEBRA
1.
Halle 2n en la ecuación
“ Las leyes de la naturaleza
no son más que los pensamientos
matemáticos de Dios”.
(C1nCn2Cn3...Cnn )(1!.2!.3!....n!)2 = (40320)9
A) 12
B) 14
C) 10
D) 16
E) 18
(Euclides)
2. De la expresión
de
N
(axb + bxa )
a +b
, la raíz cuadrada de la
suma de coeficientes es 216, y la parte literal (variable) del
quinto término es x20. Halle el coeficiente del cuarto término
si (a+b) ∈ .
A) 10240
B) 20480
C) 5120
D) 2560
E) 51200
3. Halle el término independiente de x en el desarrollo de:
3 2 1
2 x − 3x
9
A) 5/18
B) 1/3
C) 7/18
D) 4/9
E) ½
4. Halle el término independiente de x en el desarrollo de:
1
x +1 + x
4
A) 18
B) 15
C) 17
D) 19
E) 16
100
1 1
5. Halle el término de mayor valor en el desarrollo de + x
2 2
Cuando x = 1.
Educación Rumbo al Bicentenario-
66
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
10
DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
q(x) = q0 x2 + q1 x + q2
Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados no nulos llamados
dividendo y divisor, respectivamente, efectuar la división
consiste en hallar otros dos únicos polinomios llamados
cociente q(x) y residuo R(x), de tal manera que cumplan la
siguiente identidad.
Sea la división:
a0 x 4 + a1x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4
Ax + B
Dónde: a0 ≠ 0 y A ≠ 0.
Se presentan dos casos:
Identidad fundamental de la división de Euclides.
2. CLASES DE DIVISIÓN:
CASO I: Cuando A = 1
A. DIVISIÓN EXACTA:
Coeficientes del D (x)
x+B=0
Es división exacta ⇔ R(x) ≡ 0; D(x) ≡ d(x) . q(x)
B. DIVISIÓN INEXACTA:
a0
a1
a2
a3
q1
q2
q3
q0
Coeficientes del
Q (x)
OBSERVACIÓN:
Coeficientes del D (x)
Ax+B=0
A. o[q(x)] = o[D(x)] – o[d(x)]
x = −
B. Si R(x) es distinto del nulo, entonces:
=
D(1) d(1) q(1) + R (1)
IMPORTANTE :
=
D(0) d(0) q(0) + R (0)
a0
a1
a2
a3
a4
a0
b1
b2
b3
R
q0
q1
q2
q3
Resto
B
A
Máximo o[R(x)] = o[d(x)] – 1
÷A
Coeficientes del
Q (x)
4. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS:
q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3
A. MÉTODO DE GUILLERMO HORNER:
Es un método general para dividir polinomios de cualquier
grado.
Se utiliza para hallar el resto en una división de polinomios,
sin efectuarla, es decir, de una manera directa.
Enunciado:
"En toda división de la forma P(x) ÷ (ax + b); a ≠ 0, el residuo
a0 x 4 + a1x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4
b0 x 2 + b1x + b2
es igual al valor numérico de P(x) cuando x toma el valor de
Coeficientes del d (x)
Dónde: a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0
b
− "
a
Coeficientes del D (x)
a3
a4
Es decir :
-b1
-b2
q0
q1
q2
Coeficientes del
Q (x)
R(x) = R
C. TEOREMA DEL RESTO:
Sea la división:
a2
R(x) = R
CASO II: Cuando A ≠ 1
3. PROPIEDADES DE GRADO:
a1
R
Resto
q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3
R(x) ≡ 0, tenemos: D(x) ≡ d(x) . q(x) , luego podemos decir:
es divisor de D(x)
es factor de D(x)
es divisible por d(x)
a0
a4
x=-B
Es división inexacta ⇔ R(x) 0; D(x) ≡ d(x) . q(x) + R(x)
b0
R(x) = r0 x + r1
Es un caso particular del Método de Horner, se aplica cuando
el divisor es de primer grado o transformable a esta forma.
D(x) ≡ d(x) . q(x) + R(x)
Si:
D(x)
D(x)
D(x)
∧
B. REGLA DE PAOLO RUFFINI:
1. DEFINICIÓN:
r0
P(x)
ax + b
⇒ Re sto =
P b
−
a
r1
Coeficientes del
R (x)
67
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
2
1.
D) x − 2x − 3
Luego de dividir:
4
2
C) x + x + 3
2
B) x + 2x + 3
A) x 2 + x + 1
2
E) x − 2x + 3
8. Divide el siguiente polinomio e indica el residuo
3
2
12x − 13x − 57x + 32x + 8
8x5 + x 2 + 2x − 1
2
4x + 5x − 6
2x 3 + x 2 + 1
Determina el cociente.
A) 3x2-7x-1
D) 3x2+7x+5
2.
B) 3x2-7x+1
E) 3x2-5x-1
A) −4x 2 + 4x − 2
C) 3x2+5x-1
D) 4x 2 − x − 2
Determina la suma de coeficientes del cociente si la división:
4
2x + 3x − ax + b
6x 3 + 4x 2 + ax + b
2x 2 + 2x + 3
x 2 − 3x + 1
es exacta.
3.
B) 2
C) 3
D) 4
A) 220
E) 5
x 4 − 3x 3 + ax − 2b
Determina el valor de verdad con respecto a cada
proposición:
A) 38
B) VFV
C) FVF
D) VFF
E) FVV
5.
B) 43
3x − 5x + 2
x+2
Determina el valor de:
Determina el valor de verdad con respecto a cada
proposición:
A) 31
B) FFV
C) VVF
D) FVF
A) q(x) = 4x2 - 10x + 6
C) q(x) = 2x2 - 6x + 3
E) q(x) = 2x2 + 3x - 5
E) FVV
A) 5
B) q(x) = 4x2 - 5x + 6
D) q(x) = 2x2 - 5x + 3
A) 8
E) 3
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
B) 7
C) 3
D) 6
E) 4
14. Determina el resto en:
x10 − 4x 8 + x 3 + x − 2
2
x2 − 4
2
x + 2x − 5
A) 5x-1
C) 3x – 20
D) 3x – 1
E) 3x + 20
4x 4 − 23x 2 + 16x
2
2x 2 + 5x − 1
5x − 11x + 15x + x − 6
2
5x − x − 2
Educación Rumbo al Bicentenario-
B) 5x+1
15. Al efectuar la división:
7. Divide el siguiente polinomio e indica el cociente.
3
D) 7
2x 20 + x15 − x 2 + 4
x +1
x + 2x − 3x + 7x + 10
4
C) 43
13. Determina el resto en:
6. Divide el siguiente polinomio e indica el residuo
B) 2x + 10
B) 21
2x5 + x − 65
x −2
6x 3 − 19x 2 + 19x − 16
3x − 2
A) 3x
E) 45
12. Determina el resto en:
Su cociente es 3x3-6x2+12x-30
La suma de coeficientes del cociente es -10
Su resto es 60
3
D) 41
L = n2+n+1
Determina el cociente al dividir:
4
C) 47
el término lineal del cociente presenta la forma: nx
4
A) VFV
E) 250
6x 4 + x 3 + 2x 2 + 8x + 5
1
x−
2
Dada la división:
I.
II.
III.
D) 230
11. Al efectuar:
a + b = 21
b-a=4
3a = 2b
A) VVV
C) 260
8x 3 + 4bx 2 + 6bx + 13
2x + 1
x 2 − 2x + 4
4.
B) 240
10. Si el residuo de la división es -8. Calcula la suma de
coeficientes del cociente:
Si la división es exacta:
I.
II.
III.
2
E) x + 3x − 1
9. Calcular ab, si 70x es el residuo de la siguiente división:
2
A) 1
2
C) x + x − 3
B) x 2 + 2x − 1
68
C) 5x+2
D) 5x-2
E) 8
ÁLGEBRA
Se obtiene un cociente de la forma:
III.
q(x) = ax2-bx+a
y un resto de la forma:
R(x) = x+a
A) VFV
José y Luis tienen la misma cantidad de dinero
B) VFF
C) FVF
C) FFV
E) FVV
Determina lo correcto:
I.
II.
III.
a+b = 7
b-a = 3
ab = 8
A) Sólo I
1. Si la siguiente división:
4ax 6 + 6bx5 + (2c − 5)x 4 + 6x 3 + 9
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
−2x 3 + x 2 + 3
E) I y III
16. Al efectuar la división:
3
es exacta. Determinar el valor de L= a + b + c
2
A) 1
6x + x + 3x
x+2
Se obtiene un cociente de la forma:
Determina el valor de: L = (a-5)a
C) 36
D) 5
A) 0
B)1
D)3
E) 4
ax5 + bx 4 + cx 3 − 5x − 3
2x 3 + x 2 − x − 2
Determine el resto si se sabe que la suma de coeficientes del
cociente es igual a 80.
es: 7x 2 + 8x − 3
A)1
A) 5
B)12
C)10
D)3
E)15
18. Si la división.
B) 10
C)12
D)15
E) 20
4. Hallar el residuo de la división algebraica:
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 4n −1
2
(1 + x)(1 + x 2 )
x + (p − 3)x + q + 3
2
x + x −1
B) -2
C) 2
D)-1
A) (10-n)x+4
D) 2x+4n
E) 8
19. Si el residuo de la división:
A) x + 1
D) x3 + x
es de la forma:
R (x)
= ax + b
A)
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
C)
3a + b = 1
R(a) = – 1
R(b) = 17
A) VFV
D)FVF
E)
B) VFF
E) FVV
B) (4n-1)x+n
E) x2 – x + 1
C) 0
5. Al dividir P(x) entre (x2 + x +1) se obtuvo por residuo x+1, y
al dividir P(x) entre (x2 - x +1) el resto es x – 1. Calcule el
resto de dividir P(x) entre (x4 + x2 + 1)
(x − 5)10 + (x − 6)7 + 6
(x − 5)(x − 6)
I.
II.
III.
C)2
3. Calcula el valor de «a + b + c», si el resto de la división
2x 37 + nx + 7
x −1
A) 1
E) 5
y luego evalúa cuando: x = 1
E) 25
17. En la siguiente división indicada
4
D) 4
x 2 − 3x + 2
q(x) = ax -11x+25
B) 6
C) 3
(x − 1)10 + (x − 2)8 − 2x + 3
2
A) 1
B) 2
2. Determina el residuo de la división
C) VVF
B) x3
E) x3 - 1
100!.2−100
2
(49!)
100!.2−99
50!.50!
B)
100!.2−100
50!.51!
D)
100!.2−99
51!.49!
C) x3 – x
100!.2−100
(50!)2
20. De la división:
“ La esencia de las matemáticas
reside en su libertad”.
4x 80 − 2x 79 + x + 160
x −1
Se sabe que:
(Georg Cantor)
La suma de coeficientes del cociente representa la cantidad
de dinero que tiene José (en soles) y el residuo de la división
representa la cantidad de dinero que tiene Luis (en soles).
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
II.
José tiene S/. 163
Luis tiene S/. 162
69
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
COCIENTES NOTABLES
11
INDICADORES DE LOGRO:
Resolución:
Calcular cocientes de ciertas divisiones de forma directa.
Denominaremos cocientes notables (C.N.) a los cocientes que se
obtienen en forma directa, es decir, sin necesidad de efectuar la
operación de división. Las divisiones que originan a estos cocientes notables son de la forma:
m
n
a
b
∆ ±
∆ ±
División
indicada
x −y
x−y
x
x +y
x+ y
n
x +y
x−y
y+x
n−3 2
y + ... + y
n −1
x
n −1
−x
n−2
Nulo ∀n∈N
y+x
n−3 2
y − ... + y
n −1
n
-2y; si n impar
x
n −1
−x
n−2
y+x
n−3 2
n −1
2y;n si n par
x
n −1
+x
n−2
y+x
n−3 2
n −1
2y;n ∀n∈N
t k = ( 1) k
y − ... − y
También:
=x
y + ... + y
1.
n− k k −1
y
; k = 1;2;3;...n
a
Si la división:
x a +5 − yb −1
genera un cociente notable de
x2 − y3
ocho términos. Determina el valor de: L= a + b
a + 5 b −1
= = 8
2
3
a = 11 y b = 25
←
a + 5 16
→=
→
2.
L = a + b = 11 + 25
Del cociente notable generado de la siguiente división:
x 24 − y 48
x2 − y 4
, determina el término de lugar ocho.
Resolución:
, genera un cociente notable.
x 24 − y 48
x2 − y 4
Determina el t 6
=
(x 2 )12 − (y 4 )12
x2 − y 4
Dónde: n = 12 ^ k = 8
Por fórmula:
tk = an – k . bk – 1
t8 = (x2)12 – 8 . (y4)8 – 1
t8 = (x2)4 . (y4)7
t8 = x8y28
Educación Rumbo al Bicentenario-
y=
b − 1 24
L = 36
Ejemplo:
x2 − y3
x
Genera un cociente notable, si:
tk = x k −1 y n −k
x 28 − y 42
1 n k k 1
Resolución:
IMPORTANTE: Para aplicar la fórmula, la división debe tener la
forma de divisiones notables.
Si la división:
3
Ejemplos:
x n − y n , un término cualesquiera t es igual:
k
x− y
tk
→
y
Así tendremos:
TEOREMA:
Dado:
2
n
x n −1 − x n − 2 y + x n − 3 y 2 − ... + y n −1 Nulo; si n impar
n
x
xn + an
xn − an Nota : términ o de lugar par :(−)
términ o de lugar impar :(+)
x+a y x+a ,
x n −1 − x n − 2 y + x n − 3 y 2 − ... − y n −1 Nulo; si n par
xn − y n
x+ y
n
+x
n−2
42
OBSERVACIÓN: La misma fórmula puede aplicarse para los
casos:
Residuo
n −1
y
3 6 −1
=
t 6 (x 2 )14 −6 (y=
)
→ t 6 x16 y15
Mediante la combinación de los signos se presentarán 4 casos:
n
28
14
Condición
necesaria
Número de
m n
Términos del =
=
a b
C.N.
Dónde: N ∈ Z
+ ; N ≥ 2
n
x
14
70
ÁLGEBRA
8.
x 260 − y 80
1. Hallar el número de términos en el desarrollo del siguiente
cociente notable.
x
56
−y
x13 − y 4
32
A) 10
D) 9
x7 + y 4
A) 2
D) 5
B) 3
E) 7
9.
C) 8
A) 31
D) 14
B) 20
E) 28
21 162
A) x y
C) 26
x 30 + x 27 + x 24 + ... + x 3 + 1
+n
m+n
es el desarrollo de la siguiente división:
A) –m13n17
C) –m14n16
E) –m17n13
xa − 1
B) –m15n16
D) –m15n15
xb − 1
Determina el valor de: L =
Hallar el número de términos del cociente notable.
A) 12
D) 16
mP − n507
m3 − np
B) 13
E) 18
C) 15
+a
a
8
x 80 + x 60 + ... + x 20 + 1
Se obtiene como cociente:
2
A) x15 – x10 +1
B) x15 + x10 + x5 + 1
C) x15 - x10 + x5 – 1
D) x20+ x15 + x10 + x5 + 1
E) x20- x15 + x10 - x5 + 1
+ .... + a + 1
2
+ a + ... + a + 1
A) a12 – 1
C) 1 - a12
E) a6 + 1
6.
B) a12 + 1
D) a6 - 1
12. Hallar el tercer término del desarrollo del cociente notable.
Si la división:
an − b5n −18
a2 − b9
x5a + 3 − y5a + 30
x a −1 − y a + 2
E indicar su grado absoluto
A) 32
D) 40
genera un cociente notable.
Determina el valor de: "a".
A) 5
D) 8
7.
B) 3
E) 10
x
−y
x 4m − y5n
x2 + y
A) 8
D) 6
48
C) 36
si t5 es de grado 32.
B) 7
E) 19
C) 12
14. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo en el cociente notable:
x5 + y 4
A) − x15 y 32
B) x15 y 32
D) − x y
E) x y
3 8
B) 34
E) 48
13. ¿Cuántos términos tiene el siguiente cociente notable.
C) 9
Determina el término noveno, del cociente notable generado
por:
60
C) 10
x 95 − x 90 + x 85 − x 80 + .... + x5 + 1
5. Hallar el cociente de:
10
B) 11
E) 9
a
b
11. Luego de dividir:
A) 12
D) 16
a
E) x192 y18
48 72
C) x y
10. Si:
31
20
148 18
B) x y
200 15
y
D) x
3. Hallar el termino de lugar 14, del desarrollo de:
22
En el cociente notable generado por:
Determina el término de lugar 25 contado a partir del
extremo final.
xn + y 7
4.
C) 11
x 8 − y3
x112 + yn
m
B) 13
E) 12
x 248 − y 93
2. Halla el valor de “n” del siguiente cociente notable:
31
Determina el lugar que ocupa el término x143 y 32 del
cociente notable generado por:
15 34
x 40 − y 20
3 8
C) x y
x2 + y
71
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
El término que tiene grado absoluto es igual a 34.
A) 3
D) 9
B) 5
E) 12
C) 7
1. Encontrar el vigesimo término que se obtiene al desarrollar:
15. Hallar (m+n) si el termino 25 del desarrollo de:
x129m − a86n
x 3m − a2n
A) 3
D) 9
es x
x 2 − 2x
20
270 288
a
B) 5
E) 11
C) 7
usando C.N.
A) x - 1
16. La suma de todos los exponentes de las variables del
desarrollo de:
x100 − y100
x4 − y4
10
x −1
E) 1
A) 16
D) 19
B) 15
E) 18
C) 14
3. Si el grado absoluto del quinto término del cociente notable
(x − 2)5n − (y − 3)10n
es 18, halle el valor numérico del
x − y 2 + 6y − 11
término de lugar 14 cuando y = 2 y x = 1.
x5 − a
El término de lugar 8 contado a partir del extremo final,
tiene grado absoluto 37, determinar cuál es el valor de “m”.
B) 15
E) 16
A) -2
D) 1
C) 10
B) -1
E) 2
4. Si el primer término central del desarrollo
18. Uno de los términos del desarrollo del cociente notable
generado por:
notable
x 2 ⋅ y a −1 − y a + 2
=
J
es: x10.
x100 − y 60
x5 − y 3
( x3 − ya )
19
y el
C) 10
tienen el mismo grado, halle el valor de
( 2aa−2 ) + ( aa++52 )
A) 216
D) 269
Determina el lugar de dicho término.
B) 13
E) 9
C) 0
segundo término central del desarrollo del cociente
x a − y a +b
B) 204
E) 124
C) 240
5. Luego de efectuar:
19. Determina el número de términos del cociente notable
generado por los siguientes términos consecutivos:
(a + b)n − (a − b)n
ab + b2
.. + x 70 y12 − x 63 y15 + ...
A) 14
D) 12
C)
Hallar el número de terminos del cociente.
x5m − am
A) 11
D) 12
x −1
... - x18y27 + x16y30 - ...
17. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:
A) 12
D) 9
5
2. En el desarrollo de un C.N. se obtuvieron dos terminos
consecutivos:
B) 2400
D) 2700
P ( x, a) =
B)
x −1
D)
; es
A) 2500
C) 2600
E) 2800
x −1 −1
Se obtiene uno de los términos de su cociente notable es:
B) 15
E) 21
2(a2 − b2 )5
C) 10
Determina el valor de L = n2 + n + 1
20. En el desarrollo del cociente generado por:
A) 157
D) 324
(11x + 3)21 + (11x − 3)21
3x
B) 144
E) 225
C) 256
Se obtiene un término de la forma:
a(121x 2 − b)n
“En mi opinión, todas las cosas
en la naturaleza ocurren matemáticamente ”.
(René Descartes)
Determina el valor de:
T = 6a + b + n
A) 63
C) 45
E) 87
B) 60
D) 70
Educación Rumbo al Bicentenario-
72
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN
12
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
I.
II. Definición Sobre Factorización:
DEFINICIONES PREVIAS:
Es un proceso de transformaciones sucesivas en la cual un
polinomio se expresa como una multiplicación indicada de
sus factores primos, dentro de un campo numérico.
FACTOR O DIVISOR:
Un polinomio es factor de otro cuando lo divide exactamente, por
lo cual también es denominado divisor.
Ejemplo:
F
x2 + 7x + 12 ≡ (x + 3)(x + 4)
A
x+3
C
x+4
T
2
x + 7x + 12 O
R
1
E
S
TIPOS DE FACTORES:
POLINOMIO PRIMO O IRREDUCTIBLE:
Es aquel polinomio que no acepta transformación a
multiplicación indicada de dos o más polinomios no
constantes.
III. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN:
A. CRITERIO DEL FACTOR COMÚN Y/O AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS:
El factor común es el factor que más se repite en todos
los términos de una expresión, para factorizar se extrae el
factor común pero elevado a su menor exponente.
Ejemplo:
Factoriza: P( x;y;z ) = xy + xz + 2y + 2z
Resolución:
Agrupando:
P( x;y;z ) = x(y + z) + 2(y + z)
P( x;y;z ) =
(y + z)(x + 2)
Dónde:
Nº
Nº
Nº
Nº
F.
F.
F.
F.
B. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES:
P. = 2
T. = (2+1)(1+1) = 6
A. = Nº F. T. – 1 = 6 – 1 = 5
No P. = Nº F. A. – Nº F. P. = 5 – 2 = 3
En estos casos se debe tener en cuenta los diversos produ_
ctos notables.
Ejemplo:
FACTOR ALGEBRAICO:
Factoriza: P( a;b ) = a2 − b2 + 3a + 3b
Es aquel polinomio no constante que está contenido en
forma exacta en otro polinomio.
Sea el polinomio: E(x) = 5(x–5)(x+7)2 los factores
algebraicos de E(x) son:
(x − 5);(x + 7);(x − 5)(x + 7);(x + 7)2 ;(x − 5)(x + 7)
Resolución:
P( a;b ) = (a + b)(a − b) + 3(a + b)
2
P( a;b ) = (a + b)(a − b + 3)
CONTEO DE FACTORES:
C.CRITERIO DEL ASPA SIMPLE:
P( x ) = ( x − 1)α( x − 2 )β( x − 3 )θ......( x − n )γ
Se utilizan en polinomios que adoptan la forma:
tenemos
# factores = (α + 1)( β + 1)( θ + 1)...( γ + 1)
P(x;y) =ax 2n + bxn ym + cy 2m
# factores primos = n → ( x − 1); ( x − 2 ); ( x − 3);...; ( x − n )
# factores algebraicos = # factores − 1
PASOS A SEGUIR:
# factores compuestos = # factores a lgebraicos − # factores primos
(o factores no primos)
Descomponer los extremos, a los cuales vamos a llamar
términos fijos.
73
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
Resolución:
Multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos reproduzca
el término central.
Los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo:
Factoriza: P( x ) = 8x 2 + 2x − 21
Resolución:
P(x) = (x2 + 4x + 1)(x2 + 12x + 1)
F.
CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS:
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y
de una sola variable que aceptan factores binomios de la
forma: (ax ± b).
(4x + 7)(2x − 3)
Finalmente: P( x ) =
RAÍZ DE UN POLINOMIO:
D. CRITERIO DEL ASPA DOBLE:
Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de
anular a un determinado polinomio.
Este criterio se utiliza para factorizar polinomios que tienen
la siguiente forma
Ejemplo:
P(x;y) = Ax 2n + Bxn ym + Cy 2m + Dxn + Eym + F
En el polinomio: F(x) = x3 + 4x – 5
Pasos a seguir:
Para: x = 1.
Se adecúa el polinomio a dicha forma, en caso falte uno o
más términos se completa con ceros.
Tenemos: F(1) = 13 + 4(1) – 5 = 0
1 será una "raíz" de F.
A los tres primeros términos se le aplica el aspa simple para
comprobar el término Bxnym.
REGLA PARA CALCULAR LAS POSIBLES RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO:
Luego el último término se descompone en 2 factores primos
con la finalidad de comprobar los términos Dxn y Eym,
utilizando para ello dos veces el aspa simple.
Divisores de Tér min o Independiente
P.R.R. = ±
Divisores de Coeficiente Principal
Los factores serán las sumas horizontales.
TEOREMA DEL FACTOR:
Sea P(x) un polinomio de grado n ≥ 1
Ejemplo:
Factoriza: P( x;y ) = x 2 + 8xy + 15y 2 + 6x + 22y + 8
Resolución:
α es raíz de P(x) ⇒ (x − α) es factor de P(x)
Ejemplo:
En el polinomio: F(x) = x3 + 4x – 5
Si 1 es una raíz de F(x) entonces (x – 1) es factor de F(x)
El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x – 1)
Finalmente: P( x;y ) = (x + 3y + 2)(x + 5y + 4)
E. CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL:
1
Este criterio se utiliza para factorizar polinomios que tienen
la siguiente forma:
P(x;y) = Ax
4n
+ Bx
3n
+ Cx
2n
1
0
4
–5
1
1
5
1
5
0
n
+ Dx + E
1
El método consiste en descomponer los términos extremos
de tal manera que al efectuar el producto en aspa y
sumar los resultados nos de un valor igual o próximo al
término central, la cantidad que falte o sobre será la que
se descomponga en los términos centrales de los nuevos
dos factores de tal manera que comprueba cada uno de los
términos del polinomio.
es decir:
F(x)=(x – 1)(x2 + x + 5)
Ejemplo:
Factoriza: L(x) = x3 + 6x2 + 5x – 12
Ejemplo:
Factoriza: P( x ) =x 4 + 16x 3 + 50x 2 + 16x + 1
Educación Rumbo al Bicentenario-
Resolución:
74
ÁLGEBRA
I.
LAS POSIBLES RAÍCES RACIONALES SON:
A) x+1
B) x+2
C) x+3
E) x–1
6. Factorizar:
1;2 ;3; 4;6;12
P.R.R. =
±
± {1;2;3; 4;6;12}
=
1
M(a, b) = 64a7b7 – ab13;
Para: x = 1 se anula
Indicar un factor primo:
L(1) = (1) + 6(1) + 5(1) – 12 = 0
A) a
D) 4a2 + 2ab – b2
3
D) x+4
2
Entonces (x – 1) es un factor de L(x)
C) 2a - 3b
B) b2
E) a + b3
7. Factorizar:
Es decir: L(x) = (x – 1)q(x)
P = x5y + 2x4y2 + x3y3;
II. EL OTRO FACTOR LO DETERMINAMOS POR LA REGLA
DE RUFFINI.
Indicar un factor primo:
A) x + y
B) x – y
C) x – 2y
D) x + 2y
E) x – 3y
8. Factorizar:
M(x, y) = 12(x - y)2 + 7(x - y) – 12;
Dar el número de factores primos.
A) 1
L(x) = (x – 1)(x + 7x + 12)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9. Factorizar:
L(x) = (x – 1)(x + 3)(x + 4)
F(x, y) = 6x2 + xy – 2y2 + 18y + 5y + 12;
Indique un factor primo:
A) 2x + y – 4
D) 2x – 3y + 1
1.
Con respecto al polinomio factorizado
P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6;
El número de factores primos lineales es "a" y el número de
factores primos cuadráticos es "b".
Indique un factor primo.
3
2
Compara:
COLUMNA A
El valor de "a"
2
A) x + 1
A) 4x
C) 4x+2
P(x;y) = x 6 y 2 + x5 y 3 + x 4 y 3
Determina un factor primo
A) 3x+2y+1
D) 5x+4y+2
C) 4
D) 1
B) 5x+4y+1
E) x - y + 2
P(x) = x4+7x3+14x2+7x+1
P(x;y)
= x5 y 4 − x 3 y 6
Se obtiene:
C) 4
D) 5
(x2+ax+1)(x2+3x+b)
E) 6
Compara:
Factorizar:
COLUMNA A
El valor de "a"
B) x–y+5
C) x–y+4
D) x–y
COLUMNA B
El valor de "b"
A) A es mayor que B
B) A es menor que B
C) A es igual a B
D) No se puede comparar
E) !No utilice esta opción!
Determina el factor primo de mayor suma de coeficientes.
A) x+y–5
E) x - 2
E) 4x+1
C) 2x+3y+1
13. Al factorizar el polinomio:
E) 3
Determina el número de factores primos de:
B) 3
D) 4x–2
12. Luego de factorizar el polinomio sobre Z :
P(x;y) = x 2 − 10x + 25 − y 2
5.
B) x+5
P(x;y) = 5x2 - xy - 4y2+7x+2y+2
B) 5
D) x + 6
Determina la suma de sus factores primos.
Factoriza el polinomio:
A) 2
4.
C) x + 2
P(x) = 3x 2 − 4x − 15
Determina el número de factores primos.
3.
B) x – 1
11. Factorizar sobre Z :
COLUMNA B
El valor de "b"
A) A es mayor que B
B) A es menor que B
C) A es igual a B
D) No se puede comparar
E) !No utilice esta opción!
A) 2
C) 3x + 2y + 3
10. Factorizar:
sobre
P(x;y) = 2017x (6x-y) (x+4) (x +y2)
2
2.
B) 2x + y – 1
E) 3x + 2y + 4
E) x–y–5
Factorizar:
14. Luego de factorizar el polinomio
P(x)= x 2 (x + 5) + 4x(x + 5) + 4(x + 5)
P(x) = x3-7x+6
Se tiene las siguientes proposiciones:
Determina un factor primo
75
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
I.
II.
III.
Un factor primo es (x+1)
Un factor primo es (x-2)
Tiene 3 factores primos
Determina lo incorrecto
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
1. Respecto al polinomio sobre Z
E) II y III
S(x) = 2x 4 − x 3 + 6x 2 − 5x + 1
15. Factorizar:
Indique lo correcto
P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) − 10
A) No es factorizable.
B) Admite tres factores primos.
C) Admite un factor primo cuadrático.
D) Admite un factor primo cúbico.
E) Admite un factor primo.
Un factor primo es :
A) x2–6x+10
D) x2+6x+3
B) x2+6x–10
E) x2+6x–3
C) x2–6x–10
16. Del polinomio:
2. Si el polinomio definido sobre Z
P(n) =8n6 − 63n3 − 8
P(x) = x 4 − 2ax 3 + (a2 − 2)x 2 + 1; a > 0
Determina el número de factores primos
A) 1
B) 4
C) 2
D) 5
Admite una raíz racional, indique lo incorrecto respecto a
dicho polinomio.
E) 3
17. Sea el polinomio:
A) Admite dos factores primos.
B) Admite un factor primo lineal.
C) Admite un factor primo cuadrático.
D) Admite un factor primo cúbico.
E) Admite un factor primo de grado cuatro.
P(x) = x -26x +25
4
2
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Tienen cuatro factores primos
II. Un factor primo es: x+1
III. La suma de factores primos es: 4x+1
A) FVF
B) FFV
C) FVV
D) VFF
3. Halle la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.
P`Xj = X5 - 2 # 4 + 2 # 3 - 2 # 2 # - 1 en Z`Xj
E) VVF
A) 4 B) 1
18. Factorizar el polinomio:
P
(x)
D) 2
E) 5
4. Halle m - n sabiendo que en los factores primos de
PbX;Yl = X64 - X44 Y8 - X20 Y20 en ZbX;Y l
= x 3 + 2x 2 − 5x − 6
representa el mayor exponente de “x”
exponente de la variable “y”.
Luego, comparar:
COLUMNA A
El número de
factores primos.
factores primos.
C) 3
COLUMNA B
El mayor término
independiente de los
A) 20
D) 42
B) 22
E) 34
y
m
n el menor
C) 12
5. Si h(x) es la suma de los factores primos que se obtienen al
factorizar el polinomio
A) A es mayor que B
B) A es menor que B
C) A es igual a B
D) No se puede determinar
E) ¡No utilizar esta opción!
P`Xj = X6 - X5 - 2X4 + 3X3 - X2 - 2X + 2 en Z`Xj
Halle h(-3)
A) 13
D) - 12
19. Luego de factorizar el polinomio sobre :
B) 12
E) 14
C) - 13
P(x;y) = (4x2-y2+10x+y+6)xy3
Determina lo correcto:
I. Presenta 4 factores primos
II. Un factor primo es: 2x+y+2
III. Un factor primo es: 2x-y+1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
“Algún matemático dijo que el verdadero
placer no reside en el descubrimiento
de la verdad, sino en su búsqueda
(Tolstoy)
E) II y III
20. Al factorizar el polinomio:
P(x) = x5+3x4-x3-7x2+4
Determina lo correcto:
I.
II.
III.
Presenta 5 factores primos
Un factor primo es: 3x+1
Un factor primo es: x+1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
Educación Rumbo al Bicentenario-
76
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
MCD Y MCM DE POLINOMIOS
13
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
El
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
Sea M
el M.C.M. de P
entonces se cumple que:
El
PROPIEDADES
MCD(A;B) . MCM(A;B) = A . B
2. Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4
S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3
1. Hallar el MCD de los polinomios:
A) (x + 5)(x - 6)(x - 1)
B) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3
C) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2
D) (x + 1)(x - 2)(x + 9)
E) (x - 1)3(x - 6)4
A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4
B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3
A) x + 9
B) (x - 7)2 (x + 6)2
C) x + 10
D) (x - 7)3 (x + 6)3
E) (x - 7)3(x + 6)3
77
Educación Rumbo al Bicentenario
yQ
,
ÁLGEBRA
3. Hallar el MCD de los polinomios:
11. Hallar el grado absoluto del m.c.m. de:
A(x) = (x + 2) (x - 1) (x - 2) (x + 3)
B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2
C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2
6
4
6
A) (x - 1)(x + 2)
C) (x - 1)2(x + 2)2
E) (x - 1)2
A(x; y) = x5 - xy4
B(x; y) =(x2 + y2)(x4 + y4)
4
A) 5
D) 9
B) (x + 1)(x + 3)
D) (x + 2)2
P(x; y) = x2 – y2
F(x; y) = x2 – 2xy + y2
S(x; y) = x2 + 2xy + y2
P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2
S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
A) x – y
D) (x2 – y2)3
A) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8
B) (x + 7)4(x + 6)8
C) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3
D) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2
E) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3
A) x2 + y2
D) y2 + 1
C) x2y2z5
A) 3x2 + 4x – 4
D) x2 – 4x + 4
De:
C) x + 1
A) x + y
D) (x + y)(x – 3y)
Q(x; y; z) = x4y3z9
S(x; y; z) = x5y2z10
C) x3y5z2
es (x - 1). Hallar: “m + n”
A) -8
D) 6
Hallar el m.c.m. de:
P(x; y) = x2 - y2
F(x; y) = x2 - 2xy + y2
S(x; y) = x2 + 2xy + y2
9.
B) 8
E) 2
C) 4
17. Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:
x2 + 2x - 3
B) (x + y)3
E)(x - y)3
si uno de los polinomios es:
C) (x2 - y2)2
P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B
Hallar el m.c.m. de:
entonces “A + B” es:
A(x) = x - 4
B(x) = x3 + 8
C(x) = x2 - x - 6
A) 33
D) -6
2
A) x2 + xy
D) x + y
C) 12
A(x) = x2 - 5x + 6
B(x) = x2 - 4
x6 – 2x4 + x2
C) 4x
Educación Rumbo al Bicentenario-
B) xy + y2
E) 2x + 2y
C) (x + y)2
19. El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su
MCM por su MCD es:
10. Hallar la suma de los factores primos del m.c.m. de:
B) 3x - 3
E) 2x + 1
B) -3
E) 1
18. El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM
por su MCD es: 2x3(x + y)2 entonces uno de los polinomios
es:
A) (x + 2)(x - 2)(x2 - 2x + 4)(x - 3)
B) (x + 2)(x - 2)(x2 - 2x + 4)
C) (x + 2)(x - 2)(x - 3)
D) (x + 2)(x - 2)(x2 - 2x - 4)(x - 3)
E) 1
A) 4x – 5
D) 3x - 5
c) x2 – y2
P(x) = x3 – 6x2 + 11x – m
Q(x ) = x3 + 2x2 – x - n
B) x3y2z3
E) xyz
A)x – y
D) (x2 - y2)3
B) x – y
E) x2 – y4
16. Si el MCD de:
Hallar el mcm.
8.
C) 3x2 + x - 4
P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3
F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3
C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4
P(x; y; z) = x2y7z8
A) x3y5z
D) x5y7z10
B) 3x2 – 4x + 4
E) x + 2
15. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = x4 – 1
B(x) = x2 – 3x + 2
7.
C) x2 + 1
P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
6. Señale el MCD de los polinomios:
B) x – 1
E) x2 + 1
B) x2 – y2
E) x + y
14. Indique el MCD de:
E) xyz
A) x – 2
D) x2 – 1
C) (x2 – y2)2
P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3
Q(x; y) = x3 – x2y + xy2 – y3
R(x; y) = x4 – y4
A(x; y; z) = x4y3z6
B(x; y; z) = x5y4z10
C(x; y; z) = x6y2z5
D) xyz
B) (x + y)3
E) (x - y)3
13. Indique el MCD de:
5. Dados los polinomios:
4
C) 8
12. Hallar el MCM de:
4. Hallar el MCM de los polinomios:
MCM(A; B; C)
Indicar: S =
MCD(A; B; C)
A) x2y4z6
B) x2y4z3
B) 7
E) 10
78
ÁLGEBRA
Halle la suma de factores primos del MCM.
A) 2x
D) 2x + x2
B) 4x – 1
E) 3x + 1
C) 3x
20. El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su
MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD.
B) x2 + 1
E) x - 1
A) x + 1
D) (x - 1)2
C ) (x + 1)2
“ Desde que los matemáticos
han invadido la teoría de la relatividad,
ya no la entiendo más”.
(Albert Einstein)
1. Si el MCM de los polinomios:
x +x–2
x4 + 5x2 + 4
x2 – x - 2
es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D
2
Determinar: “A + B + C + D”
A) 0
D) 2
B) 1
E) -2
C) -1
2. Sean los polinomios:
P(x) =+
(x 6)2 (x − 7)3 (x + 9)4
Q(x) =+
(x 10)3 (x − 7)2 (x + 6)3
Determina el grado del M.C.D. de dichos polinomios.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
3. Determina el M.C.M. de los polinomios:
P(x) =
(x − 2)(x + 2)2
Q(x) = x 3 + 5x 2 + 8x + 4
A) (x + 2)2 (x − 4)(x − 1)
B) (x + 2)(x − 2)(x + 4)2
2
D) (x + 2)(x − 2) (x + 1)
2
C) (x + 2)(x − 2)(x + 1)
2
E) (x + 2) (x − 2)(x + 1)
4. Si el producto de dos polinomios es:
x 4 − 8x 2 + 16
y el cociente de su M.C.M. y M.C.D. es:
x 2 − 4x + 4
Entonces el M.C.D. de dichos polinomios es:
A) x +1
D) x + 5
B) x + 4
E) x + 3
C) x + 2
5. Determina el grado del M.C.M. de los polinomios:
P(x) = 1 + x + x 2 + ... + x5
Q(x) = 1 + x + x 2 + ... + x 7
R (x) = 1 + x + x 2 + ... + x11
A) 10
D) 15
B) 12
E) 16
C) 14
79
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FRACCIONES Y RADICACIÓN
14
INDICADORES DE LOGRO
2.3. DIVISIÓN:
Identificar una fracción algebraica.
a c ad
÷ =
b d bc
Resolver ejercicios utilizando fracciones algebraicas.
Ejemplo:
Transformar redicales dobles en simples.
3. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES:
Racionalizar expresiones irracionales.
De acuerdo al grado de sus términos tenemos:
3.1 . FRACCIÓN PROPIA: Si el grado del numerador es menor
que el grado del denominador.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x)
Se denota: f(x) =
Ejemplo:
N(x)
D(x)
x + 11 x + 11 (x + 11)(x + 6) x + 6
÷=
=
x −2
x+6
(x − 2)(x + 11) x − 2
Ejemplo:
; D(x) ≠ 0 ∧ D(x) ≠ cons tan te
f(x) =
x2 + 5
x8 + 2
3.2. FRACCIÓN IMPROPIA: Si el grado del numerador es
mayor o igual que el grado del denominador.
x+4
3
=
-1 + ; f]xg
+
3
2020
x
2444444
3
14444442
44444433 1444444
Si
es
fracción
No es fracción
algebraica
algebraica
f]xg =
Ejemplo:
f(x) =
1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES:
x 7 − 2x + 6
x3 + x + 9 ;
Se factoriza el numerador y denominador, para eliminar los
factores comunes, siempre que sean distintos de cero.
TEOREMA:
Ejemplo:
Si la fracción:
Simplifique:
f(x,y) =
K (y) =
y8 − 1
y6 + y 4 + y2 + 1
(y 2 − 1)(y 2 + 1)(y 4 + 1)
= y2 − 1
(y 2 + 1)(y 4 + 1)
ax 2 + bxy + cy 2
nx 2 + mxy + py 2
Ejemplo: Determina el valor de: L = m + n, si la fracción:
2.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:
f(x;y) =
a c ad + bc
+ =
b d
bd
(m− 5)x 6 + (n+ 4)xy − 8
xy + 3x 6 − 4
es independiente de sus variables:
1
1
x − 5 − (x − 7)
2
−=
=
x − 7 x − 5 (x − 7)(x − 5) (x − 7)(x − 5)
⇒
m − 5 n + 4 −8
= =
3
1
−4
m=
11 ∧ n =
−2
L=m+n=9
2.2. MULTIPLICACIÓN:
a c ac
. =
b d bd
4. FRACCIONES PARCIALES:
Son fracciones simples obtenidos a partir de una fracción
propia e irreducible.
(x + 2) (x + 7) x + 2
Ejemplo:
⋅
=
(x + 7) (x + 6) x + 6
Casos:
1.-
Educación Rumbo al Bicentenario-
x9 − 5
a b c
= =
n m p , m,n,p ≠ 0
2. OPERACIONES CON FRACCIONES:
Ejemplo:
x9 + 3
Es independiente de "x" y "y" o tiene un valor constante
para todos los valores reales de "x" y de "y", entonces se
cumplirá:
Factorizando y simplificando:
=
K (y)
g(x) =
80
8x + 1
A
B
≡
+
(x − 1)(x + 2) x − 1 x + 2
ÁLGEBRA
2.3.4.-
3x
(x − 3)
2
≡
2. RADICALES DOBLES:
A
B
+
x − 3 (x − 3)2
2
3x − 7x + 8
(x + 1)(x − 2)
2
Formas:
A± B
A
B
C
+
+
x + 1 x − 2 (x − 2)2
≡
x 2 + 2x + 1
(x − 1)(x 2 + 2x + 2)
≡
A± B
A
Cx + D
≡
+
5.(x + 3)(x 2 + 1) x + 3 x 2 + 1
A+ B± C± D
Donde:
A+C
=
;
y
2
=
x
7x − 13
A
B
≡
+
(x + 1)(x − 3) x + 1 x − 3
C = A2 −
2
( B)
A−C
2
→ raíz exacta
Forma Práctica:
Operando en aspa y simplificando, tenemos:
+
A
B
T !2
T = X ! Y " X;X;YfQ
X+Y
XY
7x − 13 ≡ A(x − 3) + B(x + 1)
⇒ Si : x = −1 ⇒ −20 = A(−4)
=
y B 2
A 5=
Si : x = 3 ⇒ 8 = B(4)
Ejemplo:
Transforma a radicales simples:
L=A+B=7
D e m o
RADICACIÓN
=
PEX
`
Es la operación inversa de la potenciación, que consiste en
calcular una expresión llamada raíz (r) tal que elevada al
índice del radical (n) reproduzca el radicando (A).
j
- X45 -3
= X86 −
2X4 + 3X3 - X2 - 2X + 2 en Z`Xj
Resolución:
E= 8 - 4 3 =
n A (x) =r(x) ⇔ rn(x) =A (x) / r(x) A (x) ≥ 0
8
2 12
X = 6- 2
T 6.2
6+2
Forma 2:
donde: n ∈ N
; n ≥ 2
3
A± B =
x± y
Procedimiento:
D e m o
TEOREMA:
3
3 - X2
A-2X5− -B2X4→
exacta
+ 3Xraíz
- 2X + 2 en Z`Xj
PC`X=j = X6
x ; s i "n" es par
x =
x; s i "n" es impar
n n
4x 3 − 3xC =
A (se reduce el valor de "x" que verifique la
igualdad)
1. CLASES DE RADICALES:
y x2 − C
Ejemplo: =
1. RADICALES SEMEJANTES:
Deben tener índice y radicando iguales:
Transforma a radicales simples:
Ejemplo: Reduce:
3
E = 18 + 50 = 3 2 + 5 2 = 8 2
7+5 2
2. RADICALES HOMOGÉNEOS:
Resolución:
Deben tener índices iguales.
3
C = 72 − 50
Ejemplo: Reduce:
M = 7 2 ⋅ 7 5 = 7 2.5 = 7 10
→ C =3 −1 =−1
4x 3 − 3x(−1) = 7 → x = 1
3. HOMOGENIZAR RADICALES:
y= 12 − (−1)= 2
Se determina el M.C.M. de los índices.
Ejemplo: Reduce:
=
N
;
A± B = x ± y
3x 2 + x − 4
Ejemplo: Determina el valor de: L = A + B , en:
3
Forma 1:
A
Bx + C
+
x − 1 x 2 + 2x + 2
Nota: El denominador debe ser factorizable:
;
∴ 3 7 + 5 2 =1 + 2
3
3 2
6 27.
6 9 6 243
=
3.3 3
33 . =
3
=
Forma 3:
Nota: M.C.M. (2 ; 3) = 6
A
B +2 C
2 D
X + Y + Z ;X;Y;ZfQ+
+2X
T
- + X=
XZ
X+Y+Z
XY
YZ
D e m o
81
Educación
Rumbo
al Bicentenario
6 5
4
3
2
P`Xj = X - X - 2X + 3X - X - 2X + 2 en Z`Xj
ÁLGEBRA
Ejemplo:
Ejemplo:
Determina los radicales simples de
Determina el denominador racionalizado de:
10 + 2 18 + 2 6 + 12
latino
L=
Resolución:
7 −2
El factor racionalizante es: F.R.
=
10 + 2 18 + 2 6 + 2 3 =
10 + 2 18 + 2 6 + 12 =
10
2 18
2 3
X
X +
T
L
6+3+1
6.3
1.3=
6 + 3 +1
latino( 7 + 2)
latino( 7 + 2)
=
3
( 7 − 2)( 7 + 2)
∴ El deno min ador racionalizado es 3
RACIONALIZACIÓN
D e m o
7 +2
Ejemplo: Determina el denominador racionalizado de:
Es transformar una expresión irracional en otra racional:
6
P`Xj = X6 - X5 - 2X4 + 3X3 - X2 - 2X + 2 en Z`Xj
5 3 −1
N (F.R.)
N (F.R.)
N
F =
=
=
Radicales (Radicales )(F.R.) sin radicales
Tenemos:
Casos de Racionalización:
F.R.=
A. CASO I:
⇒
Cuando el denominador irracional es un monomio.
5 4
5
3 + 33 + + 1
6
5 3 −1
=
(
6 (F.R.)
)(
=
)
5 3 − 1 F.R.
6 (F.R.)
3 −1
=
3(F.R.)
1
∴ El deno min ador es 1.
n −1
N
N (F.R.)
N(F.R.)
→ F.R.
= na
→ =
=
na
na
a
n a ⋅ n a n −1
N
B. CASO II:
1.
Cuando el denominador irracional es un binomio.
N
a b
→ F.R. =
a± b
N (F.R.)
N (F.R.)
N
⇒=
=
a−b
a ± b ( a ± b)( a b)
C. CASO III:
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
f(x) =
II.
F(x;y) =
III.
f(x;y) =
EN FORMA GENERAL:
N
=
na ± nb
=
F.R.
a±b
a
Si: n = par
N
=
na ± nb
2.
n
n
± an −2 ⋅ n b + ... + bn −1
)
Ejemplo:
5x 2 + xy
)
3.
1
Racionalice: 7
8
B) VVF
E) FVV
x 2 − 5x + 6
2
x + x −6
+
C) VFV
x 2 + 6x − 27
x2 − 9
12
B) 2
x+3
6
D)
E) 1
x+3
Determina el verdadero valor de:
E(x) =
4
El factor racionalizante es: F.R. = 7 2
C)
2x − 3
x+3
2019 2x − 1
2019 x − 1
para: x = 0
A) 0
D) 2
7 4
2
7 16
1
= =
78
3
4
2
7 2 7 2
Educación Rumbo al Bicentenario-
es una fracción propia.
A)
N (F.R.)
N (F.R.)
=
n a ± n b F.R.
( ) a±b
(
6x 2 − 3xy
es fracción algebraica.
donde x ∈ − {−3; −2;3}
Si: n = impar
N
=
na ± nb
x 2 + 2z
Simplifica la siguiente fracción algebraica:
=
F(x)
N (F.R.)
N (F.R.)
=
n a ± n b F.R.
( ) a−b
(
3xy + 6 z
A) VVV
D) FFV
N (F.R.)
n n −1
x + 2019
es fracción algebraica impropia.
2019
I.
4.
Si la fracción
f(x;y) =
82
B) 1
E) 2019
(a − 1)x + (b − 2)y + 10
3x + 4y + (c + 3)
C) 3
ÁLGEBRA
se reduce a una constante igual a 2, para todo valor real de
sus variables.
D) 1
Determina el valor de: a + b + c
A) 10
D) 17
5.
B) 13
E) 9
12 + 84 + 24 + 56
C) 15
Dada la igualdad:
9x + 1
L
A
=
+
x − 2x − 3 x − 3 x + 1
2
6.
7.
B) 2
E) 5
3
Reducir:
D)
8.
3
7+ 3+ 2
E)
7 + 3 +1
2
5+ 3
C)
3
F(x) =
x −3
B)
x −1
D)
x+4
E)
x+3
C)
x+2
3
3
3
7−
5 ;
F(x) =
B) 2
E) 5
C) 3
x2 + 1
x +1
x −1
x2 − 1
B) 1/2
E) 1
C) 4
6x 2 + 9x − 31
(x + 4)(x 2 − 2x − 3)
Determina el valor de "L".
A) 1
D) 4
( 5 − 5)2 + 5 + 5
B) 2 5 + 10
E) 1
f(x) =
C) 2
x2 + 1
(x − 1)4
Calcula la suma de los numeradores de estos.
E = 10 + 4 6 + 15 − 2 54
B) 5
B) 3
E) – 2
19. Luego de descomponer en fracciones simples:
C) 10
12. Reduce la siguiente expresión:
A) 2 6 + 5
E)
C)
L
Una de ellas tiene la forma: x + 1
11. Reduce la expresión "E":
A) 2 5
D) 0
B) – 1
18. Si al descomponer a fracciones parciales:
Indicar el denominador:
=
E
(x 2 + 1)2 − (x 2 − 2x − 1)2
A) 3
D) 2
7)
A) 1
D) 4
(x 2 + 2x − 1)2 − (x 2 + 1)2
c
h
a
+
+
c +1 h +1 a +1
C) x
10. Racionalizar:
3
C) 7
Determina el valor de:
B) 2
E) 3
( 5+
B) 3
E) 5
x =+
y h z a ; y =+
x c z a ; z =+
yh xa
Indicar el denominador:
2
C) 2
17. Si se sabe que:
x ;
A) 1
D) 0
1
5 +2
B) 5
E) 1
A) 1
x −1
D)
x +1
Racionalizar:
3
−
16. Simplifica la siguiente fracción algebraica:
E) 3
A)
2x −
2
3 +1
A) 4
D) 2
3
indicar un radical.
3
+
1
Convertir a radicales simples:
3
6+ 3+ 2
37 − 32
2x + 4 + 2 x 2 + 4x + 3
9.
D)
C)
15. Racionaliza y determina el denominador.
C) 3
B) 2
2
7+ 5+ 2
A) 11
D) 4
9 + 80 − 6 + 20
A) 1
B)
C) 5
8 + 2 7 + 16 − 2 63
A) 1
D) 4
7+ 3− 2
E=
B) 6
E) 14
Reducir:
A)
14. Efectúa:
Determina el valor de: "L ⋅ A "
A) 9
D) 10
E) 2 6 − 1
13. Transforma a radicales simples:
A) 1
D) 2
C) 6
83
B) 3
E) 5
Educación Rumbo al Bicentenario
C) - 3
ÁLGEBRA
20. Sean los números reales a, b y c tales que
a+b+c = 6 ∧
a
b
c
+
+
= 1
a+b b+c c+a
Determina el valor de:
a +b x
N =
a x
bc
ca
ab
+
+
a+b b+c c+a
A) x
D) –x
A) 0
D) 12
B) 1
E) 36
7 − n + 3− n
B) 3
E) 1/3
C) 21
4 x + 3 + 4 x + 2 + 4 x +1
22x −1 + 22x −2 + 22x −3
A) 96
D) 48
B) 6
E) 56
C) 3/2
3. Si: 2n = 3m; reducir:
L=
52 . 2n + 2n +1 − 32 . 2n
3m + 3 − 22 . 3m +1
A) 3/4
D) 2/9
B) 4/3
E) 7/5
C) 6/5
B) 3
E) 1/5
C) 1/3
4. Simplificar:
N=
2n + 4 − 2n + 3
2n + 4
A) 2
D) 1/2
B) 2x
E) x/4
(Edward Griffith Begle)
2. Calcular:
A=
a
C) x/2
“ La educación en matemáticas
es mucho más complicada
que lo que esperabas,
incluso si esperabas que es más
complicada que lo que esperabas”.
7 n + 3n
A) 7
D) 1/7
C) 6
1. Efectuar:
S=n
b
a +b x
+
b
x
5. Sabiendo que:
1 1
1
+ =
a b a+b
Reducir:
Educación Rumbo al Bicentenario-
84
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
TEORÍA DE ECUACIONES
15
IGUALDAD
1. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES:
Es la comparación entre dos expresiones algebraicas, puede
ser:
Numérica:
Algebraica o literal:
10 + 8 = 14 + 4
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
POR SU ESTRUCTURA
Ecuación algebraica
COEFICIENTES NUMÉRICOS
Racional
En el siguiente cuadro, se puede ver una clasificación de las
igualdades algebraicas teniendo en cuenta si se verifica para
algunos o para todos los números reales.
grado = Nº de raíces
Polinomial
Fraccionaria
denominador ≠ 0
2n
Irracional
Ecuación no algebraica
P(x) ⇒ P(x) ≥ 0
Se resuelve
en
exponenciales
trigonométricas
logarítmicas
Ejemplo:
Determina el valor de L = a+b, si la ecuación: (a – 2)x + b
= 5, es indeterminada.
Resolución:
x=
ECUACIÓN:
5−b
a−2
si es indeterminada:
Igualdad de las expresiones matemáticas, en la que existe
por lo menos una variable.
5–b=0 b=5
a–2=0 a=2
L=a+b=7
E_x:y;z;fi = P_x:y;z;f i
1444442444443
D e m o
1°miembro
1444442444443
2. ECUACIONES LINEALES:
2°miembro
Llamadas también ecuaciones polinomiales de primer grado,
cuya forma general es:
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:
Valor de la variable que verifica la
ax + b = 0 ; a 0
igualdad.
Ejemplo: Sea la ecuación: x3 = 4x
TIENE UNA SOLA RAÍZ:
Las soluciones son: –2 v 0 v 2
−b
a ≠ 0 ∧ b ∈R ⇒ x =
a
CONJUNTO SOLUCIÓN: Es el conjunto formado por las
soluciones de la ecuación.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
3. ECUACIONES CUADRÁTICAS:
Llamada, también ecuaciones de segundo grado, tienen la
forma:
x3 = 4x
C. S. = {–2 ; 0 ; 2}
85
Educación Rumbo al Bicentenario
ÁLGEBRA
Resolución:
Por definición: ∆ = 22 – 4(3)(–5)
∆ = 64
DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
S
PRIMER CASO: ( ∆ > 0)
Las raíces son reales y diferentes.
Si " ∆ " es un cuadrado perfecto, las raíces x1 y x2 son
racionales.
Sí: a, b y c ≠ 0 entonces: ax2+bx+c=0 se llama ecuación
completa de segundo grado.
Si " ∆ " no es un cuadrado perfecto, las raíces x1 y x2 son
irracionales conjugadas.
SEGUNDO CASO: ( ∆ > 0)
entonces: ax 2 + c = 0 se llama
Si: c = 0,
entonces: ax 2 + bx = 0 ecuaciones
incompletas
Si: b = c = 0, entonces: ax 2 = 0
Si: b = 0,
Las raíces son reales e iguales. (solución única, raíz doble,
raíz múltiple, el polinomio que genera la ecuación es TCP)
−b
Se cumple: x=
1 x=
2 2a
TERCER CASO: ( ∆ > 0)
OBSERVACIÓN :
*Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces.
Las raíces son complejas y conjugadas.
*Una ecuación cuadrática puede tener una o dos soluciones.
Las raíces: x1 = a + bi ; x2 = a – bi.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN:
Resumiendo:
A. FACTORIZACIÓN:
+ bx + c 0; {a;b;c} ⊂
Dada la ecuación cuadrática: ax 2 =
de raíces: x1 y x 2 , se cumple:
Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado:
P1: Se trasladan todos los términos al primer miembro.
P2: Se factoriza este miembro por agrupación o aspa simple.
P3: Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada
factor a cero.
Si ∆= b2 − 4ac > 0
Si ∆= b2 − 4ac= 0
Si ∆= b2 − 4ac < 0
Ejemplo:
(son complejas y conjugadas)
Las raíces reales se pueden interpretar geométricamente
Resolución:
y
y
Sea "x" la cantidad de dinero que tiene César,
35
Entonces: x 2 + 2x =
0
Luego factorizando se tiene: (x + 7)(x – 5) = 0
x = – 7; x = 5
x1
x2
y
x
0
x 1= x 2
x
0
x
C. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO:
Como la cantidad de dinero no puede ser negativa, entonces
César tiene 5 soles.
Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0; y sus
raíces x1 y x2.
B. FÓRMULA:
De la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se deduce:
Tienen las siguientes propiedades:
−b ± b2 − 4ac
2a
A. SUMA DE RAÍCES:
−b
x1 + x 2 =
a
Donde, el discriminante es: D = ∆ = b2 − 4ac
B. PRODUCTO DE RAÍCES:
c
x1 ⋅ x 2 =
a
Ejemplo:
Determina el discriminante del polinomio que originó la
ecuación:
C. DIFERENCIA DE RAÍCES:
3x2 + 2x – 5 = 0
Educación Rumbo al Bicentenario-
(única solución; raíz doble)
x1 y x 2 no son reales.
INTERPRETACIÓN GRÁFICA:
Al sumar el cuadrado de la cantidad de dinero que tiene
César con el doble de la misma cantidad resulta 35 soles.
Determina cuánto tiene César.
x=
x1 y x 2 son reales diferentes.
x1 y x 2 son reales iguales.
86
ÁLGEBRA
x1 – x 2 = ±
mx 2 + nx + p= 0 ; ∀ m ≠ 0
b2 − 4ac
a
admiten una raíz común, se cumplirá:
(a ⋅ n – m ⋅ b)(b ⋅ p – n ⋅ c) = (a ⋅ p – m ⋅ c)2
Recuerda :
2
( x1 + x2 )
2
− ( x1 − x 2 ) = 4x1 ⋅ x 2
PARIDAD DE RAÍCES:
D. SUMA DE CUADRADOS DE LAS RAÍCES:
Si una ecuación cuadrática presenta una raíz de la forma;
x1= m + n
b2 − 2ac
x12 + x 22 =
a2
x 2= m − n
cuadrática.
Ejemplo:
Sean "m" y "n" las raíces de la ecuación cuadrática:
2x2 + 4x + 1 = 0.
1 1
Determine el valor de: =
L
+
m n
1.
De la relación:
Luego:
Si es una solución de:
Determina el valor de: E =
1 1
n+m
L=
+
m⋅n
m n ⇒
Entonces: L =
con coeficiente racional de la ecuación
x 2 − 3x + 4 =
0
Resolución:
=
L
entonces la otra raíz es su conjugada
A) ½
D) 1/4
4
2 = −4
1
2
L = −4
−
2.
β2 + 4
6β
B) 3
E) 1/3
C) 1
Resolver:
2(x + 3) = 5(x − 1) − 7(x − 3)
PROPIEDADES ADICIONALES:
3.
A) {5}
B) {5 / 2}
D) {3 / 2}
E) {2}
C) {2 / 5}
Resolver la ecuación en "x":
(a – 3)x2 + (a2 – 4a + 5)x + 7 – 5a = 0
si es de primer grado.
A) 3
D) 5
RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
Conocidas las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo
grado, esta se reconstruye empleando la suma y el producto
de dichas raíces.
4.
x – Sx + P = 0
Determina el valor de: " β " .
S = x1 + x2
P = x1 . x2
A) –3
D) 10
TEOREMA DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES:
5.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces.
Si:
mx 2 + nx + p = 0
Si la ecuación en “x”
es incompatible.
Donde:
ax + bx + c = 0
C) 2
β ( x + 1=) 3 ( 3x + 4 )
2
2
B) 1
E) 4
⇒
B) 9
E) 6
C) 3
Si la ecuación en x:
mx − 10 = 3(x − 2) − n
Es compatible indeterminada.
a b c
==
m n p
Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
II.
III.
TEOREMA DE LA RAÍZ COMÚN:
m+n=7
m=3 n=2
n=4
A) FVV
D) FFF
Si las ecuaciones:
ax 2 + bx + c= 0 ; ∀ a ≠ 0
87
B) FVF
E) VFV
Educación Rumbo al Bicentenario
C) VFV
ÁLGEBRA
6.
A) 60
D) -61
7.
A) –7
D) 5
x x x x
+ + + = x − 17
2 3 4 5
Resolver:
B) 61
E) 62
D)
25x 2 + 20x + m − 3 =
0,
Tenga raíces iguales.
A) 4
D) 7
E)
21
13
A) 0
D) 1
9.
B) 2
E) 8
C) 3
Determina el valor de: "x + 1".
A) 3
D) 4
Siendo "p" y "q" sus raíces (p > q),
B)
3
C)
Calcula: =
E p4 + q5
6
A) 82
D) 15
E) − 6
B) 80
E) 9
C) 17
19. Determina el valor de "k", si la suma de las raíces de:
11. Resolver la ecuación cuadrática:
3kx + 5= 2x 2 − 8x + k , es 1.
2x 2 − 7x = x 2 − 2x − 6
{−2 ; − 3}
A) {−2 ;3}
B)
D) {6 ; − 1}
E) {2 ;3}
C)
A) 0
D) 3
{2 ; − 3}
B) 1
E) 4
20. Hallar el valor de "k" que hace la suma de
ecuación en "x":
C) 2
las raíces de la
x 2 + kx + 2x − k 2 + 4 =
0 ,(k<0)
12. Dada la ecuación:
Sea igual al producto de las mismas.
3x 2 + 5x = 7x − 5 ;
A) –3
D) –1
Halla el producto de sus raíces.
A) –3/5
D) 5/3
C) 2
(x − 3)2 − (2x − 6) =9 − x 2 ;
C) -4
10. Hallar una raíz de: x 2 + 2x + 3x + 6 =
0
D) − 2
B) 5
E) 6
18. Resolver:
B) -1
E) 5
2
C) a + b
x
1 + x 1 − x 3
1 − x − 1 + x 4x + 4 − x =x − 1
Indicar la mayor raíz:
A)
B) ab
E) a/b
17. Luego de resolver:
x
−1
=
Resolver:
4 x +5
A) 1
D) 4
C) 6
a
a b
b
1
1 − + 1 − =
b
x a
x
08. Resolver: x − 2 − 12 − x = 5x − 36 − 1
3
2
4
A) 1
D) 6
B) 5
E) 8
16. Calcula el valor de "x" en:
24
C) −
13
24
B)
13
26
13
C) –8
15. H a l l a r e l v a l o r d e " m " p a r a q u e l a e c u a c i ó n :
C) -60
10x + 3 3x − 1
−
=
x −2
Resolver:
3
5
23
A) −
11
B) –8
E) 6
B) –5/3
E) 5
B) –2
E) –4
C) 3/5
13. Formar la ecuación de 2do grado si tiene por raíces: 2 y 5
A) x2 –7x + 10 = 0
C) x2 – 7x – 10 = 0
E) x2 + 10x + 7 = 0
B) x2 + 7x –10 = 0
D) x2 + 7x + 10 = 0
1.
P(x) = 2x 2 − 2x + 1
14. Si las raíces de la ecuación:
Determina el valor de:
(m + 3)x 2 + 6x − 2 =
0,
b
Son reales y diferentes.
a
a a b b
K −
=
b
a
El menor valor entero de "x", es:
Educación Rumbo al Bicentenario-
Sean a; b raíces del polinomio:
88
C) 0
ÁLGEBRA
A) 1
D) - 1
2.
B) 2
E)- 2
C) 0
0 es
Si una de las raíces de la ecuación en “x” x 2 + px + q =
el cubo de la otra.
Determina el valor de:
“ Las matemáticas es una ciencia
que dibuja conclusiones necesarias”.
K = q(1 + q)2 − (p2 − 2q)2
A) 1
D) -1
3.
B) 0
E) -2
C) 2
(Benjamin Peirce)
Si α es una raíz de P(x) = x 2 + ax + b y β es una raíz de
Q(x) = x 2 + mx + n
.
Determina una raíz del polinomio:
h(x)
= 2x 2 + (aβ + mα)x + bβ2 + nα2
a) 1
b) α + β
c) αβ
d) 2
e) α2 + β2
4.
Dada la ecuación en "x"
2ax 2 + (3a − 1)x + a + b =
0
Determina el valor de b para que exista un solo valor de
“a” que permite que las raíces de la ecuación sean iguales.
A) -3/2
D) 1/2
5.
B) -1
E) 1
C) 2
Sea la ecuación cuadrática:
x 2 − (m − 2)x +=
2n 1; m; n ∈
a
b
De C.S =1 + ;1 +
a
b
Determina el valor de: R =
A) 1/2
D) 2
B) 1
E) -1
m +1
n +1
C) 3/2
89
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
TEORIA DE CONJUNTOS I
6
NOCIÓN DE CONJUNTO:
Nota:
Se entiende por conjunto a la agrupación, colección, reunión,
agregado clase o familia de integrantes reales o abstractos de
una determinada característica que reciben el nombre de conjunto. Cada uno de estos integrantes recibe el nombre de elemento.
Notación: Los conjuntos se denotan mediante letras mayúsculas (A; B; C;…) y sus elementos van separados por comas y
encerrados entre llaves y corchetes.
∀A : A ⊂ A
∀A : ϕ ⊂ A ( ϕ = conjunto vació)
A ⊂ B ∧B ⊂ A ⇔ A =
B (conjuntos iguales)
DETERMINACION DE UN CONJUNTO:
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando solo uno de
ellos esta incluido en el otro.
Por extensión (Forma tabular) se menciona a todos los elementos del conjunto dado, si es posible. Ejemplo:
B) DISJUNTOS:
A = {lunes; martes; miércoles;…; domingo}
Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo:
B = {9; 99; 999; 9999; 99999}
A = {x/x es varón}
Por comprensión (Forma constructiva): Se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que
les es valida únicamente a estos. Ejemplo
C) EQUIVALENTES:
y
B = {x/x es mujer}
Se dice que dos conjuntos son equivalentes cuando tienen la
misma cantidad de elementos.
A = {x/x es un día de la semana}
A <> B ⇔ n ( A ) = n (B )
B = { 10 x − 1 / x ∈ Ν; 0 < x < 6 }
CONJUNTOS ESPECIALES:
RELACION DE PERTENENCIA: ( ∈ ) Vincula a un elemento con
el conjunto del cual forma o no parte. Elemento ∈;∉ Conjunto
Ejemplo:
A) CONJUNTO VACÍO O NULO: Aquel conjunto que no posee
ϕ
ó {}
elementos. Se le denota comúnmente por
Ejemplo:
Sea M = {x, y, z, a, b, {1} , {2}}
k +3
M
= k + 1 / x=
∧ x ∈ Ν ∧ k ∈ Ζ−
7
x∈M
y∈M
m∉M
1∉ M
{1} ∈ M
2∉M
B) CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN: Aquel conjunto
que consta de un solo elemento.
{2} ∈ M
b∈M
e∉M
Ejemplo:
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:
B=
A) INCLUSIÓN( ⊂ )
{y ∈ Ν / y2 − y − 2= 0}
C) CONJUNTO UNIVERSAL: Aquel conjunto que se toma
como referencia para determinado problema y en el que se encuentran todos los elementos con los que se esta trabajando.
Se dice que el conjunto A esta incluido en el conjunto B, cuando
todos los elementos de A pertenecen a B
NOTACIÓN: U
A ⊂ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈B
D) CONJUNTO POTENCIA (P): Es aquel conjunto formado por
todos los subconjuntos de determinado conjunto. Ejemplo:
Sea : A = {a;b}
P(A)
= φ; {a} ; {b} ; {a;b}
14444244443
subconj.propios(SP)
n P ( A ) =
4=
22 ∴ n P ( x ) =
2 ( )
n x
91
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
7.
Sea U= { x ∈ Z+ / X< 10} conjunto universal y sean :
A = { X ∈ U/ x es par}
B = {X ∈ U / X 2 < 30}
1.
Dado el conjunto A:
Halle la suma del númerLo de subconjuntos propios de A
con el número de subconjuntos propios de B.
A= {3, {8}, 4,{2,5}}
A) 8
D) 46
Coloque el valor de verdad a cada afirmación E indique el
número de proposiciones verdaderas:
3 ∈A
2∈A
8∈A
( )
( )
( )
{4} ⊂ A
{ 3; {8}} ∈ A
n(A) = 5
8.
( )
( )
( )
9.
A) 111
D) 117
Determine la suma de los elementos del conjunto
(
(
(
C = {X ∈ Z / X2 – 18X –40 =0}
D = {X ∈ Z / X2 -17X –60 = 0}
X −1
2 ∈Z
+
X <73}
B) 113
E) 119
C) 115
A ∪ B =B
) Si A ⊂ B ⇒
) Si A ⊂ B ⇒
A ∩ B= φ
φ
⇒
) Si A ∩ B =
A–B=A
12. Dados A y B contenido en U y además: n (A) = 20, n (B) =
30, n (A ∩ B) = 10,
Halle: C ∩ D
A) {-3}
B) {20}
C) {-3,20}
D) {-2,20}
E) {-2,-3,20}
n ( U)= 45, halle n(A ∆ B) + n(A ∪ B)´
A) 35
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
Dados los conjuntos.
A = {X /X ∈ N; 5 ≤ x < 11}
B = {X /X ∈ N; 7 < x ≤ 13}
C = { X /X ∈ N; 2 < x < 11}
13. Para dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene
3 elementos más que el otro, se cumple que la suma de
los cardinales de sus conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos
subconjuntos propios tiene la unión de ellos?
B ∩ C
A) {10}
B) {8,9}
C) {8, 9,10}
D) {7, 8,9}
E) {6, 9,10}
6.
C) 18
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFF
E) FFV
Dados los conjuntos:
Halle: A ∩
B) 30
E) 42
11. Indique si es verdadero ( V) o falso ( F):
A) 15
B) 30
C) 33
D) 13
E) 19
5.
Si n [P(A)] + n [P(B)] = 48, entonces la suma del número
de subconjuntos propios de A con el número de subconjuntos
propios de B es igual a:
F={X/
A = {(2X+ 3) ε Z/ –3 < X < 3}
4.
C) 10
10. Halle la suma de los elementos de F:
A = {X2 + 1/ X ∈ Z Λ –3 < X < 3}
A) 10
B) 20
C) 12
D) 8
E) 11
3.
B) 5
E) 6
A) 46
D) 28
Determine la suma de los elementos del conjunto
C) 32
La suma del número de subconjuntos de A con el número
de subconjuntos de B es igual a 20. Halle: n(A) + n(B)
A) 4
D) 8
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2.
B) 30
E) 48
A) 511
D) 107
B) 15
E) 255
C) 31
14. P y Q son subconjuntos del universo y se cumple que :
P∩Q =
ϕ Q´ tiene 128 subconjuntos n(Q) = 2n(P) los
subconjuntos de Q exceden a los subconjuntos propios de
P en 993.
Calcule “a+ b” siendo el siguiente un conjunto unitario:
E = {4a +1; 3a + 4; 2b +9}
¿Cuántos subconjuntos tiene P´?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 4096
D) 512
Educación Rumbo al Bicentenario-
92
B) 2047
E) 256
C) 1024
ARITMÉTICA
15. Se tienen 3 conjuntos A, B, C cuyos números cardinales son
números consecutivos, además se sabe que:
n(P(A)) + n(P(B)) +n(P(C)) = 896
1.
Calcule el número de subconjuntos propios que puede tener
como mínimo el conjunto A ∪ B ∪ C .
A) 1023
D) 31
B) 127
E) 63
Compara:
COLUMNA A
Cardinalidad
C) 511
A=
16. Se sabe que “U” es el conjunto universal
COLUMNA B
Cardinalidad
{(2x + 5)∈ /2 ⟨ x ⟨ 7} B= {(2x + 1)/x ∈ ; 2 ⟨ x ⟨ 7}
A) A mayor que B
B) A menor que B
C) A es igual a B
D) No se puede determinar
E) ¡No utilice esta opción!
n (B ) = 28
n ( C ) = 19
n (A ∩ B) =
14
2.
n ( A′ ∩ B ∩ C ) =
5
n ( A ∩ C′ ) =
12
Para a y bVQ; A y B son conjuntos tales que B
unitario.
n ( A ∩ B ∩ C) =
6
A = a2 +2b;
n ( U ) = 50
AUB =
Determine n ( A ∪ B ) ∩ C '
A) 18
D) 20
B) 21
E) N.A.
b2 + 1
{a + 4b; b + 1 - 3a}
Calcula: (a+ b) máximo.
C) 19
A) 2
D) 4
17. Dados los conjuntos:
B) 1
E) 5
C) 3
Si: A =
{x∈Ζ / −12 < x +6 < 20} y
Determine: [(B∆C)′ - (A∆B′)]
B = x
∈ /10 < x2 < 400
Rpta. :___________________________
Determina: n(A)+ n(B)
3.
U = {2,4,5,6,9}; A = {2,5,9}; B = {4,5,6};
C = {5,6,9 }
18. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 4; 6; 7; 9}
B = {2; 4; 6}
A) 63
B) 7
C) 31
D) 30
E) 25
A = {4; 6; 9}
C = {1; 4; 7}
Determine:
4.
[A’∪ (B - C)] ∆ [A - (B’∩ C)]
Rpta. :___________________________
Dados los siguientes conjuntos unitarios:
A={(
19. Considere el conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4}. Determine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
B={(
a + b ) ; 8}
a − b ) ; 4}
Halla el valor numérico de: a - 4b.
∀ x ∈ A; x2 + 2x < 25
∃ x ∈ A; x2 + 3 = 19
∃ x ∈ A; 10 < x3 +2 < 19
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
A) FVV
B) VVV
C) FVF
D) VVF
E) VFV
5.
Dados los conjuntos:
A = 2; n2 + 1; 7;
B = b-3; n2 +1 ; c
C = 2x + 1/ x ∈Ζ ;
20. Sean A y B dos conjuntos comparables y diferentes del vacío,
además el número de subconjuntos propios del conjunto
potencia de A es 255. Calcula el total de subconjuntos
propios y diferentes del vacío que tendrá B, si este posee 3
elementos más que A.
A) 2047
B) 63
C) 62
D) 127
E) 126
c + 3
+3
1 ⟨ 5− x ⟨ 4
A) 13
B) 10
C) 8
D) 16
E) 20
93
Educación Rumbo al Bicentenario
≠φ
A es
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
TEORIA DE CONJUNTOS II
7
DIFERENCIA:
Dados los conjuntos “A” y “B” contenidos en el conjunto universal
“U”.
Unión
AUB={x/x ∈ A л x ∈ B}
Por ejemplo:
Por ejemplo:
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
A - B = { x / x ∈ A л x ∈ B}
M U N = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }
M - N = { 1; 2; 3 }
N - M = { 6; 7 }
Gráficamente “A U B:
Gráficamente “A - B”:
A
B
A
B
A
A
B
"A" y "B" son disjuntos
"A" y "B" no disjuntos
"A" y "B" no disjuntos
"A" y "B" disjuntos
B
A
B
A
B
B⊂A
DIFERENCIA SIMÉTRICA:
A ∆ VB = {x / ( x ∈ A
Por ejemplo:
A⊂B
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
INTERSECCIÓN:
A ∩ B={x/x ∈ A л x ∈ B}
Por ejemplo:
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
M ∆ VN = { 1; 2; 3; 6; 7 }
Gráficamente “A ∆ VB”:
M ∩ N = { 4; 5 }
A
Gráficamente “A ∩ B:
A
л x ∈ B) Ú (x ∈ A л x ∈ B)}
B
A
B
"A" y "B" no disjuntos
A
"A" y "B" no disjuntos
A
B
B
"A" y "B" disjuntos
"A" y "B" son disjuntos
A
B
A⊂B
COMPLEMENTO:
A’ = { x / x ∈ U л x ∈ A}
A⊂ B
Educación Rumbo al Bicentenario-
Por ejemplo:
94
B
ARITMÉTICA
U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
M = { 2; 4; 6; 8 }
M’ = { 1; 3; 5; 7; 9 }
5.
Gráficamente “A’”:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
U
A
6.
1.
A un grupo de 100 personas se les pregunto si practicaban
fútbol y básquet. El resultado fue: 20 no practicaban estos
dos deportes, 30 no practicaban fútbol y 60 no practicaban
básquet ¿Cuántos practicaban fútbol y básquet?
7.
En una fiesta donde habían 70 personas 10 eran hombres
que no les gustaba la música “salsa”,20 eran mujeres que
gustaban de esta música. Si el número de hombres que
gustaba de la música “salsa” es la tercera parte de las
mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta
la música salsa?
mujeres
niños
peruanos
extranjeros
niños peruanos
extranjeros entre mujeres y niños
peruanos entre hombres y mujeres
Determine en cuánto excede la cantidad de hombres
extranjeros a la de los peruanos.
A) 15
B) 25
C) 20
D) 10
E) 5
8.
De un grupo de 95 deportistas se observó que:
En un salón de 140 alumnos donde todos hablan por lo
menos un idioma entre español, inglés y francés, se observa
que:
15 son atletas, que practicaban el fútbol y la natación.
52 son atletas.
55 son nadadores.
Todos los futbolistas son atletas y 12 son deportistas que
solo practican el atletismo.
15 deportistas no practican ninguno de los deportes
mencionados.
135 hablan a lo más 2 idiomas
50 hablan por lo menos 2 idiomas
15 hablan español y francés pero no inglés
35 sólo hablan inglés
40 hablan francés pero no inglés
45 hablan francés pero no español
45 hablan español pero no inglés
¿Cuántos deportistas son
futbolistas?
Determine cuántos alumnos hablan los 3 idiomas
atletas y nadadores pero no
A) 5
D) 25
A) 14
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
4.
En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres, mujeres
y niños, se observa que hay:
20
55
40
65
25
45
15
A) 20
B) 26
C) 26
D) 28
E) 30
3.
En un congreso donde asistieron 100 personas se observó
que 70 son mujeres, 30 son mujeres matemáticas, 60
personas no son matemáticos. Determine cuántos hombres
son matemáticos
A) 8
B) 10
C) 20
D) 5
E) 15
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
2.
En una oficina 20 empleados conversan en voz baja para
no despertar a los 10 que duermen, 18 están echados 3 de
ellos duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total hay
50 empleados ¿De cuántos se puede decir “quizás están
trabajando”?
9.
B) 20
E) 15
C) 10
De un grupo de 310 personas se realizó una encuesta donde
se observó que:
110 leen “Caretas”
170 leen “Oiga” o
50 sólo leen la revista “Caretas”
60 sólo leen la revista “Gente”
90 sólo leen la revista “Oiga”
100 leen por lo menos 2 revistas
10 leen las tres revistas
De 200 personas
consultadas sobre el deporte que
practican, se obtuvo la siguiente información : 68 juegan
fútbol 138 juegan básquet, 160 juegan vóley, 120 juegan
básquet y vóley, 20 juegan fútbol y no básquet, 13 juegan
fútbol y no vóley y 15 juegan fútbol y vóley pero no básquet
¿Cuántos juegan básquet y vóley pero no fútbol?
Determine cuántas personas no leen ninguna de las revistas
mencionadas
A) 40
B) 17
C) 80
D) 57
E) 97
A) 20
D) 5
95
B) 10
E) 20
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 15
ARITMÉTICA
10. En un corral donde se encuentra 90 pollos se observa que:
Los que comen maíz son el doble de los que comen solo
trigo, los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los
que comen solo maíz. ¿Cuántos pollos comen uno solo de
estos alimentos?
16. De 55 alumnos que estudian en una universidad se obtuvo
la siguiente información:
32
22
45
10
A) 30
B) 75
C) 60
D) 45
E) 20
estudian
estudian
estudian
estudian
el curso A
el curso B
el curso C
los tres cursos
¿Cuántos estudian simultáneamente dos cursos?
A) 23
B) 22
C) 25
D) 21
E) 24
11. En un salón de clase, 25 aprobaron aritmética, 23 álgebra, 25
razonamiento matemático; 9 aprobaron aritmética y álgebra
solamente, 6 álgebra y razonamiento matemático; 12
aritmética y razonamiento matemático. Determine el mínimo
número de personas que aprobaron sólo razonamiento
matemático.
17. Cierto número de medallas es distribuido entre 100 atletas.
45 reciben medallas de oro, 45 de plata, 60 de bronce, 15
de oro y de plata, 25 de plata y de bronce, 20 de oro y de
bronce y 5 de los tres. ¿Cuántos no reciben medalla?
A) 7
B) 5
C) 3
D) 6
E) 13
A) 2
B) 10
C) 4
D) 8
E) 5
12. De una muestra recogida a 200 secretarias 40 eran rubias,
50 eran morenas y 90 tienen ojos azules; de estas últimas
65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas de las
secretarias no eran rubias ni morenas, ni tienen ojos azules?
18. De 100 personas que leen por lo menos 2 de tres revistas,
se observo que 40 leen A y B, 50 A y C, y 60 B y C. ¿Cuántos
leen solo 2 revistas?
A) 35
B) 110
C) 90
D) 105
E) 75
A) 75
B) 25
C) 45
D) 80
E) 50
13. De 190 personalidades, entre americanos y europeos que
asistieron a un congreso se supo que 110 eran varones,
100 eran americanos y 16 mujeres eran europeas. ¿Cuántos
varones europeos asistieron?
19. De 50 personas se sabe que:
5 mujeres tienen ojos negros
16 mujeres no tienen ojos negros
14 mujeres no tienen ojos azules
10 hombres no tienen ojos negros o azules.
A) 86
B) 84
C) 80
D) 76
E) 74
¿Cuántos hombres tienen ojos azules o
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
14. En un combate intervienen 120 hombres, de los cuales:
45 fueron heridos en la cabeza
42 fueron heridos en el brazo
40 fueron heridos en la pierna
7 fueron heridos en la cabeza y brazo
12 fueron heridos en la pierna y brazo
15 fueron heridos en la pierna y cabeza
20. Sean: A; B y C conjuntos, tales que: A ⊂ C ; B ⊂ C , se sabe
además que:
n(A ∩ B) =
30
n(A ∪ B) =
90
= n(B) + 30
n(A)
n(C) = 120
Determina: n [(C-A) ∪ (B-A)]
Si 22 no fueron heridos ¿Cuántos fueron heridos en tres
lugares a la vez?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
A) 82
B) 92
C) 60
D) 52
E) 45
15. En una encuesta a 150 estudiantes se sabe que 60 son
mujeres; 80 estudiaban biología; 20 son mujeres que no
estudiaban biología ¿Cuántos hombres no estudian biología?
A) 20
B) 10
C) 40
D) 80
E) 50
Educación Rumbo al Bicentenario-
negros?
96
ARITMÉTICA
1.
Si: A ⊂ B y (A ∪ B) ∩ C=φ
{
}
Simplificar: (A-B c ) ∪ (C-B c ) − B c ∩ C
“ La matemática es la reina de la ciencia,
y la aritmética la reina de la matemática”.
A) A
B) B
C) C
D) A-B
E) B-C
2.
(Karl Friedrich)
En una fábrica de confecciones trabajan 42 mujeres, de las
cuales 15 no son casadas. De los varones, 36 son obreros y
12 empleados son casados. Si 58 trabajadores son casados
(entre varones y mujeres) y 35 varones no son casados.
Calcula, ¿cuántos empleados varones tienen la fábrica?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 36
E) 24
3.
En un aula de seminario de la Academia Talento Beca 18,
se evaluó sus rendimientos llegando a la conclusión que 42
alumnos dominan aritmética; 42 álgebra; 58 geometría; 52
física; 18 aritmética y álgebra; 28 aritmética y geometría;
30 álgebra y geometría; 21 álgebra y física; 27 física y
geometría; 24 física y aritmética; 11 aritmética, algebra y
geometría; 10 aritmética, algebra y física; 15 álgebra, física
y geometría y 6 dominan los 4 cursos. Calcula, ¿cuántos no
dominan ninguno de los 4 cursos, si el aula cuenta con 101
alumnos?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
4.
En una reunión hay 180 personas, de las mujeres 23 usan
reloj; 30 no bailan y 12 no bailan ni usan reloj. De los
varones 24 no bailan y además 7 de ellos no tienen terno,
pero si reloj.
De los que bailan 16 tienen reloj y 6 mujeres no usan
falda ni reloj. ¿Cuántas mujeres con falda que bailan no
usan reloj, si 20 varones lo usan, además se sabe que 5
varones con reloj y terno bailan?
A) 45
B) 52
C) 44
D) 46
E) 53
5.
De 55 alumnos que estudian en una universidad se obtuvo
la siguiente información:
32
22
45
10
alumnos
alumnos
alumnos
alumnos
estudian
estudian
estudian
estudian
el curso A.
el curso B.
el curso C.
los tres cursos.
Determina el número de
simultáneamente dos cursos.
alumnos
que
estudian
A) 10
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
97
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE NUMERACIÓN I
8
NÚMERO
Es un ente matemático sin definición, el cual nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza.
NUMERAL:
Es la representación grafica de los números, mediante símbolos
o signos. Ejemplo: 3; III;…
Notario
9
Decimal
10
Undecimal
11
Duodecimal
12
III) DEL VALOR:
CIFRA:
Toda cifra que forma parte de un numeral posee 2 valores:
Valor absoluto (VA): Es la cantidad de unidades simples que
representa.
Valor Relativo (VR): Es lo que representa en función al orden que
ocupa dentro del numeral. Ejemplo:
Denominada también digito o guarismo. Es el símbolo convencionalmente aceptado en un sistema de numeración. Ejemplo:
0; 1, 2; 3, …
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN:
Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios
que nos permiten escribir y leer números.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:
I) DEL ORDEN:
a
= c ⇔ a = bc
b
REPRESENTACIÓN LITERAL: Se utiliza cuando una o mas cifras del numeral son desconocidas.
II) DE LA BASE:
ab ∈ {10;11;12;...; 99}
Es aquel entero mayor que la unidad que nos indica cuantas
unidades de un cierto orden se necesitan para formar una unidad
de orden inmediato superior. Ejemplo:
abc 6 ∈ {1006 ;1016 ;1026 ;...;5556 }
xxx 8 ∈ {1118 ; 2228 ; 3338 ;...; 7778 }
NUMERAL CAPICÚA: Aquellos cuyas cifras equidistantes de los
extremos son iguales.
mm ∈ {11; 22; 33;...; 99}
Principales sistemas de numeración:
Sistema
Base
Binario
2
Terciario
3
Cuaternario
4
Quinario
5
Senario
6
Heptanario
7
Octanario
8
Educación Rumbo al Bicentenario-
mam ∈ {101;111;121;131;...; 999}
xyx 6 ∈ {1016 ;1116 ;1216 ;...;5556 }
CAMBIOS DE BASE
I) Caso 1: De base n a base 10, ( n ≠ 0 )
45328 a base 10.
Por descomposición polinómica: (DP)
4.83 + 5.82 + 3.81 + 2.80 = 2394
Entonces 45328 = 2394
98
ARITMÉTICA
II)
CASO 2: De base 10 a base “n”. ( n ≠ 10 )
547 en base 7
Por divisiones sucesivas
7659 = 2120123
Entonces 547 = 14117
III) CASO 3: De base “n” a base “m” (n y m ≠ 10)
1.
1 ( a + 1) a14 =
1a1
A) 1
D) 4
PROPIEDADES:
I)
Halle “a” en :
2.
n − 1)( n − 1)( n − 1) ... ( n − 1)n =n
(14444444444444
42444444444444443
x
B) 2
E) 0
C) 3
Halle ”a + n” en :
−1
aaa6 = nna7
" x " cifras
A) 5
D) 8
II) Si Nb tiene “K” cifras:
3.
bK −1 ≤ Nb < bK
B) 6
E) 9
Si : a64n = a208 . Halle “a + n”
A) 7
D) 10
III)
4.
B) 8
E) 11
C) 9
Halle “k” en :
(k − 1)(k − 1)k
A) 12
D) 14
5.
C) 7
=
143
B) 11
E) 15
C) 13
Si : 7nmx = 5849
El valor de “m + n + x” es:
A) 11
D) 12
CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE:
I)
6.
Base “n” a base “nk” ( K ∈ Ζ + )
B) 13
E) 16
¿En qué sistema de numeración el numeral 25 se duplica al
invertir el orden de sus cifras? Halle la base.
A) 9
D) 11
10111012 a base 4
Como: 4 = 22 entonces agrupamos de 2 en 2
7.
B) 8
E) 6
( )
A) 6
D) 9
∴ 10111012 =
11314
+
II) Base “nK” a base “n” ( K ∈ Ζ )
9.
7659 a base 3
Como: 9 = 32 entonces una cifras de la base 9 se convierte en
2 cifras de la base 3.
C) 7
Halle “a + n”
Si: aaa(14 ) = n2 n10
8.
C) 14
( a)
B) 7
E) 10
Exprese el número 3465(n) en el sistema de numeración de
base (n+1)
A) 2470(n +1)
B) 2(n − 2)07 n +1
( )
C) 2(n − 4)70(n +1)
E) N. A.
D) 2(n − 4)60(n +1)
Si: 1122( 3) = abcdef ( x )
Calcule ” a + b + c + d + e + f + x”
99
C) 8
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
A) 3
D) 6
B) 2
E) 4
C) 5
20. Al pasar a la base 3 el número 2424.....24(29)
De treinta cifras.
10. Halle: a2 + b2 si:
¿Cuántos ceros habrá en su escritura?
15425 ( a) = a1 (b ) • b3 ( 8)
A) 85
D) 83
B) 80
E) 79
11. Sabiendo que 1414
14.
..
n
= 2213(5)
C) 61
A) 6
D) 9
B) 7
E)10
C) 8
1.
" n " cifras
A) 215
D) 218
=
555...5
1442443
(x)
" 3n " cifras (6)
B) 216
E) 219
" x " cifras
A) 23
D) 26
B) 24
E) 27
B) 6
E) 7
B) 7
E) 30
Determina en que sistema de numeración el número 38 del
sistema decimal se escribe como el mayor número de dos
cifras impares distintas.
B) 3
E) 12
B) 10
E) 7
A) 4
D) 8
B) 5
E) 10
C) 6
Al expresar el número 1212323(n) en base n2 se obtuvo
otro número cuya suma de cifras es 50. Calcula la suma de
valores de: a + k, si:
1n
"k" veces
Halla: x + y + a.
17. Expresar N en la base 4 y dar como resultado la suma de las
cifras:
C) 9
Si: 12345(n) se expresa en base (n + 1)2 la suma de sus cifras
1n1n
C) 9
C) 4
Si el numeral ab3 , es el mayor posible y de cifras diferentes;
halla la suma de sus cifras al expresarlo en base cinco.
16. Se sabe que: xyxy (a) = 5(11010(3) )
B) 10
E) 7
C) 10
es 69. Halla «n».
5.
C) 12
B) 7
E) 11
A) 11
D) 12
C) 8
ababn = 407.
A) 0
D) 25
3.
4.
15. Calcule “a + b + n” , si :
A) 11
D) 8
a11bc (n) = 3(2a)7(n2 )
A) 2
D) 7
C) 25
= 600 Determine el valor de m.
“m” veces
A) 5
D) 9
2.
C) 217
13. Sabiendo que aaa...a
1444244423 = mnp5 Halle “a + x + m + n + p”
1m
Si se cumple que:
A) 6
D) 5
(x
− 1)(x − 1)(x − 1)....(x − 1)
14444444444444244444444444443
C) 26
Calcula: a + b + c.
12. Halle “x” en :
14. Si mm1m1m...
B) 14
E) 30
Halle “n”
14(n)
75 veces
A) 13
D) 15
A) 94
D) 97
= (n-2)(n-1)
a
; k es par
B) 95
E) 98
N = 3.83 +2.82 -3.8 +1
A) 7
D) 10
B) 8
E) 11
C) 9
18. El siguiente número es capicúa:
“ Dios hace aritmética”.
c b+1
(8-b)(a2 )( )(
)(a-1)
3
2
(Karl Friedrich)
Calcula el máximo valor de: a . b . c
A) 63
D) 252
B) 126
E) 378
C) 246
19. Expresar el menor numeral de la base 8 cuya suma de cifras
es 278, al sistema cuaternario. Dar como respuesta la suma
de cifras.
A) 179
D) 120
B) 177
E) 125
C) 130
Educación Rumbo al Bicentenario- 100
C) 96
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE NUMERACIÓN II
9
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión de números, en el cual cada término es igual al
anterior mas una cantidad constante llamada razón de la progresión aritmética.
1.
A) 1200
B) 1500
C) 1800
D) 2000
E) 1400
DONDE:
t1:
tn:
r:
Determina la cantidad de números de 4 cifras que empiezan
o terminan en cifra 7.
2.
primer término
ultimo término
Razón de la PA.
A) 125
B) 168
C) 176
D) 208
E) 216
TÉRMINO DE LUGAR K:
tk = t1+r(k – 1)
Ejemplo: Sea: 18, 23, 28, …
t41 = 18 + 5(40)
t41 = 218
3.
NÚMERO DE TÉRMINOS:
Determina el sistema de numeración en el que existen 440
números de la forma:
(a+3)(a-2)(
tn − t1
+1
r
#t =
b+3
)(2b)(c+4)c
2
A) 17
B) 15
C) 14
D) 18
E) 19
Ejemplo: Sea: 23; 27; 31; 35; …; 425
#t =
¿Cuántos números de la forma: Si tenemos que: (k-1)p(k+1)
, en el sistema hexadecimal existen?
435 − 23
+1
4
4.
#t = 104
MÉTODO COMBINATORIO APLICADO A LA NUMERACIÓN:
Una progresión aritmética empieza en 43 y termina en 120.
Calcula el valor de la razón si es un número comprendido
entre 1 y 10.
A) 6
B) 9
C) 5
D) 3
E) 7
La cantidad total de números que se pueden formar con varios
ordenes independientes es igual al producto de valores que pueden adoptar dichos ordenes. Ejemplo: ¿Cuántos números tienen
la siguiente forma?
5.
¿Cuántos números de la forma:
n
(5-m)( )(p+5)(7-p)
2
(B)
Datos:
I. B = 12
II. m, n , p
PAGINACIÓN:
Para resolver el problema.
La cantidad de cifras utilizados al escribir los números “N” números positivos, donde N posee “K” cifras:
11...11
N° cifras = K(N + 1) - 1442443
A) El dato I es suficiente y II no lo es.
B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.
C) Es suficiente I y II conjuntamente.
D) Cada dato por separado es suficiente.
E) Faltan datos.
" K " cifras
101
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
6.
Calcula el total de páginas de un libro sabiendo que al
enumerar las primeras 63 páginas se utilizó la misma
cantidad de tipos de imprenta que al enumerar sus 36
últimas páginas.
A) 1140
B) 1200
C) 1008
D) 1120
E) 1250
7.
13. Un libro de a00 páginas (a ⟩ 1) , se divide en dos tomos
iguales y se observa que en la numeración de las páginas de
estos dos tomos se utilizan 100 tipos
Determina la mínima base de numeración donde existen x0
números de la forma:
(a+6)(
a x+1
)(
)(4-x)
2
5
(m)
A) 6
B) 4
C) 5
D) 7
E) 3
¿Cuántas cifras más se han escrito en las 333 últimas
páginas que en las 333 primeras?
En una P.A. la suma de los «n» primeros términos está dada
por n(7n + 3). Calcula el décimo término.
A) 132
B) 134
C) 135
D) 136
E) 138
9.
De imprenta, menos respecto al tomo original. Calcula «a».
14. Un libro tiene 900 páginas que se han enumerado en base 7
empezando de: 247; 257; 267; .....
A) 80
B) 82
C) 84
D) 85
E) 86
8.
A) 32
B) 36
C) 40
D) 42
E) 44
Dada la siguiente progresión aritmética:
A) 230
B) 197
C) 341
D) 356
E) 427
15. Si: 4ab y ab7 son el primero y el último término de una
serie en progresión aritmética cuya cantidad de términos es
22, calcula el décimo séptimo término, además:
aa0 ; ab(a+2) ; a(b+1)(3b) ; …. ; (3a)05 que tiene «n» términos.
A + b = 11.
Halla: a + b + n.
A) 885
B) 654
C) 569
D) 571
E) 682
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
10. En la siguiente progresión aritmética:
4a6;.....;68b;6c(b
− 2);70d3
1444444444444424444444444444
32 términos
Calcula: a + b + c + d.
A) 22
B) 26
C) 28
D) 32
E) 25
16. Sea el número 4096. Determina en ¿cuántos sistemas de
numeración de base impar se escribe con tres cifras?
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
17. Determina la cantidad de números de la forma: a(a-2)(b-2)b
que existen, tal que el producto de sus cifras centrales sea
par.
11. En la siguiente sucesión aritmética:
cdu ;…… ; 2a4 ;…..; a69 ; …. ; am7
Siendo y equidistantes de los extremos y entre ellos hay 14
términos. Calcula ( a + c + d + u + m) si la sucesión tiene
20 términos y la diferencia constante es mínima y positiva.
A) 22
B) 24
C) 20
D) 16
E) 26
12. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema notario existen
tales que su cifra de tercer orden es la suma de sus cifras del
primer y segundo orden?
Educación Rumbo al Bicentenario- 102
A) 48
B) 128
C) 86
D) 76
E) 108
18. Determina la cantidad de páginas iniciales que se arrancan,
de un libro de 300 páginas si en las que quedan se han
utilizado 625 tipos de imprenta.
A) 80
B) 88
C) 78
D) 90
E) 75
ARITMÉTICA
19. Determina la cantidad de números de la forma:
(2a-3)a(3b+2)b(
5.
Si:
2c+3
)(8c)
5
(88)
aaa...a
( a +1) cifras
A) 5104
B) 2552
C) 8592
D) 464
E) 3528
= ( a − 1) 0cb(5 )
( a +1)
Calcular: a + c + b
A) 3
B) 5
C) 4
D) 2
E) 6
20. Se tiene una sucesión mediante:
a1 = 2 ; an = an-1 + 2n ; n > 1 ; n є z
Si la suma de los «n primeros términos es 3080. Calcula «n»
A) 26
B) 22
C) 19
D) 25
E) 20
1.
“ Las matemáticas son la
música de la razón”.
(James Joseph)
Sabiendo que:
N = ... 2438 ; N = ...xyz 4 .
Hallar: “x + y + z”
A) 5
B) 8
C) 6
D) 9
E) 4
2.
¿Cuántas cifras tiene 4096250 en base 2?
A) 2999
B) 3000
C) 3002
D) 3001
E) 2989
3.
Si:
( a − 2 ) cc6 (3a)
abba ( =
)
a⋅b
221( a) = 1 00...0
" b " cifras
(n)
y n es mínimo. Hallar a + b + n + c
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
4.
Convertir el menor numeral de la base 9 cuya suma de cifras
es de 324 al sistema de base 27. Dá como respuesta la suma
de cifras
A) 692
B) 394
C) 450
D) 692
E) 694
103
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
SUMA Y RESTA
10
ADICIÓN:
6.
Es una operación directa que consiste en unir dos cantidades
homogéneas llamados sumandos y obtener una tercera llamada
suma.
La suma de los términos de una progresión aritmética:
Sea la P.A.:
T , T2 , T3 , ...... , Tn
1
"n" tér min os
a+b=s
en donde:“a” y “b” : sumandos
“s” : suma
La suma “S” de dichos términos es:
SUSTRACCIÓN:
S =
Es la operación inversa a la adición que consiste en quitarle a una
cantidad llamada minuendo otra llamada sustraendo y obtener
una tercera llamada diferencia.
( T1 + Tn ) n
2
M-S=D
en donde:“M” : minuendo
“S” : sustraendo
“D” : diferencia
Complemento aritmético (C.A.)
Es lo que le falta a un numeral para ser igual a una unidad del
orden inmediato superior del mayor de los ordenes de sus cifras.
Por ejemplo:
1.
Halle “ a + b“ si :
a1b + a2b + a3b + ....... + a9b =
5922
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
C.A. (72) = 100 - 72
C.A. (72) = 28
C.A. (5438) = 10008 - 5438
C.A. (5438) = 2358
2.
C.A. (302506) = 1000006 - 302506
Halle “a + b - c” sabiendo que :
cba3 + ba5a + accb =
221b7
C.A. (302506) = 253106
PRINCIPALES SUMATORIAS:
1.
La suma de los “n” primeros números enteros positivos
1 + 2 + 3 + .... + n =
2.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 5
n(n + 1)
2
4.
La suma de los “n” primeros números pares positivos:
432x ( 8 ) + x325( 8 ) =
abc0( 8 )
2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2n = n(n + 1)
3.
Halle “a + b + c + x”
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 24
La suma de los “n” primeros números impares.
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = n2
4.
Si :
La suma de los “n” primeros cuadrados perfectos.
5.
Sabiendo que
n(n + 1)( 2n + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + .... + n =
6
2
5.
2
2
2
2
La suma de los “n” primeros cubos perfectos:
n(n + 1)
13 + 2 3 + 33 + 4 3 + .... + n3 =
2
4a3b( 8 ) + c7d28 =
10465( 8 )
Halle: a + b + c + d
2
Educación Rumbo al Bicentenario- 104
A) 14
B) 13
C) 12
D) 9
E) 10
ARITMÉTICA
6.
Si se sabe que :
A) 1275
B) 1872
C) 3240
D) 3450
E) 4150
abc − cba =
eab
eab − bae =
99
12. En que sistema de base “n” la suma de todos los capicúas de
2 cifras es igual a 440(n)
Halle abce
A) 7
B) 8
C) 9
D) 11
E) 12
A) 9435
B) 9237
C) 9534
D) 9633
E) 9138
7.
La suma del minuendo sustraendo y diferencia de una
sustracción es 19456 y el minuendo es el cuádruple del
sustraendo. ¿Cuál es el valor del triple de la mitad del
sustraendo?
13. Si:
Hallar: a x c + b
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
A) 3620
B) 3648
C) 1920
D) 2040
E) 3200
7.
14. La suma de los tres términos de una sustracción es 1092. Si
el sustraendo es la sexta parte del minuendo. Hallar la suma
de cifras del complemento de la diferencia.
Si :
(
)
C.A. ab2c = mma
A) 12
B) 14
C) 17
D) 18
E) 20
Halle “a + b + c + m”
A) 20
B) 18
C) 17
D) 19
E) 21
8.
15. Si: C A ⋅ ab4 = c ( c + 1) c
Halle “a + b + c” si:
Hallar: C A ⋅ abc
a
C.A. abc = ( 2b ) ( 4c )
2
( )
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 9
9.
ab + bc + dd = ( c − 1) dd
A) 664
B) 674
C) 684
D) 774
E) 874
16. Si: pqr − rqp =
abc ; b + c = 14 y
Halle la suma de cifras de un número de 3 cifras tal que su
complemento aritmético y el complemento aritmético de su
quíntuplo suman 8522.
p = 2c – a. Hallar
A) 1
B) 7
C) 5
D) 6
E) 8
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
+a−c
17. Hallar el valor de U + S + M
atexa = 1068
10. Si: atext = 1780
Si: S UM + SMU + S U =
USM
atexe = 2136
2
Halle la suma de cifras de ate
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A) 24
B) 36
C) 25
D) 49
E) 22
11. Sumar:
p
r
18. Se conoce:
abc + C A ( cba ) =
m4np De modo que:
S=2
+1 + 4 +
4
+ 6 + 9 + 8 +
...
mab
= nm + np
40 sumandos
Hallar: a + b + c
105
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
4.
x = 1982(1 + 2 + 3 +...+ 1982)
y = 1982(1 + 2 + 3 +...+ 1981)
Entonces:
19. Hallar la suma de los 30 términos de la progresión aritmética
creciente.
A) x
B) x
C) x
D) x
E) x
aaa;ab4 ; ac1 ; ...
A) 26355
B) 23655
C) 25355
D) 26350
E) 24666
5.
A) 68
B) 42
C) 20
D) 18
E) 16
Una persona camina 2km el primer día, 4 km el segundo,
6km el siguiente y así sucesivamente, después de tres días
otra persona recorre 5 km el primer día 9 km el segundo, 13
el tercer día y así sucesivamente ¿Cuántos días tardará la
segunda persona en alcanzar a la primera?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 6
E) nunca
2.
Si:
abc (n) − cba (n) =
xyz ( )
n
xyz (
n)
+ zyx (
n)
=
pqrs ( )
n
Además: p + q + r + s = 12.
Hallar “n”
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 14
3.
<
<
<
>
=
y
y
y
y
y
–1
–2
–3
– (1/2)
Sabiendo que:
C A ( abc ) − C A ( cba ) =
xyz
20. Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio
abierto disponibles sin paredes, que sólo permite poner
horizontalmente 50 postes. Formando así un lecho horizontal
de 50 postes, formando el primer lecho en el suelo, cada
lecho sucesivo debe contener un poste menos que el
precedente para no derrumbarse. Se pregunta ¿Cuántos
lechos pueden unirse?
1.
Si:
Hallar un número de la forma abab tal que el complemento
Aritmético de este número menos el complemento aritmético
de sus dos primeras cifras es igual a la cuarta parte del
número del complemento aritmético del número más 2660.
A) 4242
B) 3232
C) 6464
D) 7272
E) 5656
Educación Rumbo al Bicentenario- 106
Además:
( ( (
(
) )))
C A C A C A ... C A yy0 ... = N
3
( X+Z ) veces
Calcule: E = 1 + 2 + 3 +...+ N
A) 54
B) 55
C) 66
D) 78
E) 91
“ La verdad se encuentra en la simplicidad
y no en la multiplicidad
Y confusión de las cosas”.
(Isaac Newton)
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
11
MULTIPLICACIÓN
Es una operación directa, en donde a cada par ordenado de números “a”
y “b” se le hace corresponder un tercer número: a ´ b.
a´b=p
1.
En donde:
“a”
“b”
“p”
: multiplicando
: multiplicador
: producto
Calcule: C+O+P+A+S.
A) 20
D) 28
DIVISIÓN ENTERA:
Se llama división a la operación inversa que hace corresponder a los pares
2.
ordenados (a;b) su cociente . a
b
a
= c + a = bc
b
ó
3.
72 9
8
91
= 7
13
ó
91 13
7
4.
1.
EXACTA:
Por ejemplo:
42 7
6
42 = 7 ´ 6
2.
En general:
D
D = dc
d
c
Donde:
D : dividendo
d : divisor
c : cociente
73 7
3
10
D
r
5.
Donde:
6.
c : cociente por defecto
r : residuo por defecto
2.2. POR EXCESO:
73 7
4
11
En general:
Donde:
D d
r* c + 1
c+1 : cociente por exceso
r* : residuo por exceso
7.
8.
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN INEXACTA:
(cero) < (residuo) < (divisor)
residuo mínimo = 1
Residuo máximo = (divisor) – 1
2.
107
C) 72
B) 187
E) 204
C) 219
B) 96
E) 77
C) 85
(
)
B) 23
E) 18
C) 32
Se realiza una división inexacta por defecto y exceso, se
observa que el residuo por exceso es 1/8 del residuo por
defecto. Halle la suma de las cifras del divisor sabiendo que
al sumarle 62 al dividendo, el cociente aumenta en 2 y el
nuevo residuo es 2.
A) 8
D) 54
[residuo por defecto]+[residuo por exceso]=(divisor)
B) 70
E) 76
Halle la suma de las cifras del producto del numeral: abcd
. 753, sabiendo que la suma de sus productos parciales es
96315.
A) 24
D) 64
73 = 7 ´ 11 - 4 D = d (q + 1) - r*
1.
C) 14
En una multiplicación, el multiplicador es 23. Si el
multiplicador se aumenta en 12 unidades y el multiplicando
disminuye en 5 unidades, el producto aumenta en 965, halle
el multiplicando original?
A) 92
D) 95
73 = 7 ´ 10 + 3 D = dc + r
Por ejemplo:
B) 15
E) 20
Juan multiplica un número por 50 pero al hacerlo olvida
ponerle el cero a la derecha, hallando así un producto que
se diferencia del verdadero en 11610 ¿Cuál es el número?
A)2 18
D) 258
d
c
C) 25521
Al residuo de una división le falta 8 unidades para ser
máximo, si le sumamos 6416 unidades al dividendo, el
cociente aumenta en 89 y el residuo se vuelve máximo.
A) 60
D) 84
2.1. POR DEFECTO:
En general:
B) 25251
E) 25321
¿Cuál es el divisor?
INEXACTA:
Por ejemplo:
C) 26
En una división inexacta por exceso la suma de todos sus
términos es 617, además el cociente por defecto es 4 y el
residuo por defecto es el séxtuplo del cociente por exceso.
Determine la suma de las cifras del dividendo.
A) 16
D) 18
CLASES DE DIVISIÓN:
B) 22
E) 27
Al multiplicar por 47 se comete el error de colocar los
productos parciales, uno debajo del otro, sin dejar un lugar
vació a la derecha, obteniéndose como resultado 5973.
Calcule el producto, correcto.
A) 28543
D) 28240
Por ejemplo, dividamos:
72
= 8
9
Si: COPASx99999 = ...23518
B) 9
E) 12
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 10
ARITMÉTICA
9.
En una división inexacta por defecto y exceso, se observa
que el residuo por exceso le faltan 12 unidades para ser
igual al otro residuo, a este residuo le falta 15 para ser igual
al divisor, mientras que el divisor le falta 21 para ser igual
al cociente. ¿Cuánto le falta al cociente para ser igual al
dividendo?
A) 2646
D) 2846
B) 2346
E) 1246
C) 2610
10. En una división le falta al residuo 42 unidades para ser
máximo y si le restamos 23 el residuo sería mínimo. Halle el
dividendo si el cociente es los ¾ del residuo.
A) 1530
D) 1230
NIVEL I
B) 1850
E) 1560
C) 1730
con ¿cuántos pasajeros partió del paradero inicial?
A) 28
D) 26
B) 29
E) 32
C) 30
19. Dividir 827 entre 45. Calcular el producto de la máxima
cantidad que se puede agregar al dividendo, para que el
cociente aumente en 3, por el nuevo resto que se genera.
A) 7121
D) 7130
B) 7125
E) 7216
C) 7128
20. La suma de dos números es 166, los cocientes obtenidos
al dividir estos dos números entre un tercero son 5 y 7
obteniéndose en ambos casos residuos máximos. Determine
la diferencia de dichos números.
A) 20
D) 26
11. Si:
B) 22
E) 28
C) 24
N x 375 = ... 625
N x 427 = ... 021
Hallar la suma de las 3 últimas cifras de N x 156.
A) 16
D) 19
B) 17
E) 20
C) 18
12. En una multiplicación la suma de los 3 términos es 1997.
Si al multiplicador se le multiplica por 3, la suma de sus
3 nuevos términos es 5845. Halle la cifra de decenas del
multiplicando.
A) 4
D) 8
B) 5
E) 9
B) 31
E) 36
A) 560
D) 952
B) 224
E) 1022
A) 17
D) 16
2.
3.
A) 462
D) 458
B) 468
E) 478
C) 482
aa x bb = bcd3
Calcular: a + b + c + d
B) 23
E) 26
4.
Si:
B) 44424
E) 46124
C) 24
18. Un omnibus llegó a su paradero final con 53 pasajeros,
además se observó durante el trayecto que en cada
paradero, por cada un pasajero que bajaba subían 3; si;
cada pasaje cuesta S/.0,60 y se recaudó un total de S/.39,
Educación Rumbo al Bicentenario- 108
C) 45324
abcd x 9992 = ...6578
B) 21
E) 24
5.
C) 22
Hallar un número entero que dividido entre 82 deje como
resto por defecto el duplo del cociente por exceso y como
resto por exceso el triple del cociente por defecto.
A) 1256
D) 1446
C) 142
17. Sabiendo que:
A) 22
D) 25
Al multiplicar un número m(2m) por se cometió el error
de colocar los productos parciales uno exac-tamente debajo
del otro, por lo cual se obtuvo 11106. ¿Cuál fue el producto
verdadero?
A) 20
D) 23
16. Al dividir un número entre 43 se nota que el resto por defecto
excede al resto por exceso en 13. Hallar dicho número si
esta comprendido entre 450 y 500.
C) 15
Entonces (a + b + c + d) es:
C) 840
15. Se divide el complemento aritmético de un número de 3
cifras entre dicho número y se obtiene por cociente 5 y por
residuo el máximo posible. Hallar el número de 3 cifras.
B) 143
E) 138
B) 14
E) 18
A) 42324
D) 47824
NIVEL II
A) 135
D) 140
abcd7 x 6667 = ...32117
A+b+c+d en base 10
C) 32
14. ¿Cuál es el mayor entero que dividido entre 53 da un resto
igual al triple del cociente?
Si:
Hallar el valor de:
C) 7
13. En un torneo de ajedrez se jugaron en total 524 partidas
sabiendo que hubieron 2 ruedas. En la primera jugarán
todos contra todos y en la segunda rueda jugaron los 8
primeros. ¿Cuántos jugadores participaron?
A) 30
D) 34
1.
B) 1346
E) 1344
C) 1420
Calcule la suma de las cifras del mayor número de la forma
abcd que dividido entre ba
por residuo
A) 14
D) 31
se obtiene 175 de cociente y
cd .
B) 23
E) 37
C) 24
“ Los matemáticos han alcanzado
lo más alto del pensamiento humano”.
( Havelock Ellis)
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
DIVISIBILIDAD I
12
INTRODUCCIÓN:
En este capítulo abordaremos una parte de la llamada aritmética
superior o teoría de los números la cual tiene diversas aplicaciones que van desde la resolución de problemas de las ramas más
sofisticadas de la matepótica, pasando por aplicaciones en la
ingeniería, distribuciones, optimización, etc, hasta la resolución
de problemas sencillos por su apariencia o de juegos y “trucos”
aritméticos.
La aplicación practica de esta teoría no solo requiere saber las
reglas teóricas sino también agudeza mental, la cual se adquiere
por medio del desarrollo mental que exige el conocimiento en las
diversas facetas, las situaciones serias o de simples entretenimientos. Ejemplo: la cual se adquiere por medio del desarrollo
mental que exige el conocimiento en las diversas facetas, las
situaciones serias o de simples entretenimientos. Ejemplo\:”
3(5)
15 = 3
5(3)
15 = 5
15(1)
15 = 15
APLICACIÓN:
Determine en forma explícita los divisores y los múltiplos de 15.
RESOLUCIÓN:
Los divisores positivos de 15 son: D15 = {1; 3; 5; 15}
Los múltiplos de 15 son:
15(1) , 15(2), 15(3), 15(4), ...(positivos)
15 = 15k
Una persona desea vender barriles de vino de 46l, 31l, 22l, 20l,
8l y 6l. Se presentaron dos clientes: el primero compró dos barriles, los otros 3 barriles y observó que el volumen total comprado
era dos veces más de lo que compró el primero. ¿Cuántas posibilidades de comprar, según las condiciones tiene, el segundo?
¿Qué barril no se vendió?
15(0) = cero
15(-1), 15(-2), 15(-3), 15(-4), ...(negativos)
Donde “k” es un entero cualquiera
Observaciones:
i)
Los divisores de un número entero forman un conjunto
finito. Los múltiplos de un número entero positivo forman
un conjunto infinito.
ii)
La unidad es divisor de todo entero, se le llama divisor
universal.
iii)
El cero es múltiplo de todo entero positivo.
*
Hasta ahora se ha visto el caso cuando un número es divisible por otro, sin embargo, dicho número puede resultar
no divisible entre algún otro número. Esto es cuando la
división es inexacta.
*
Ejemplo inductivo:
Averiguar si 72 es divisible entre 15
Veamos; efectuando la división por:
DIVISIBILIDAD:
Un número entero “A” es divisible entre un entero positivo “B”
si al dividir “A” entre “B” la división entera es exacta, es decir, el
residuo es igual a cero.
Ejemplo inductivo:
Averiguar si 72 es divisible entre 6.
Veamos:
0
15 = 1
15
LOS BARRILES:
72
1(15)
6
12
Defecto
Como la división es exacta:
72 es divisible entre 6
6 es divisor de 72
Ahora, esta división, según su algoritmo es equivalente a: 72 =
6(12)
Exceso
72
15
72
12
4
3
15
5
Según el algoritmo de la división:
72 = 15(4) + 12
72 = 15(5) - 3
Se observa que 72 no es divisible entre 15, sin embargo se puede
expresar en función de este módulo:
De esta multiplicación, diremos:
72 es múltiplo de 6
6 es módulo de 72
0
72 = 15 + 12
OBSERVACIÓN:
ó
0
72 = 15 - 3
Además, debes recordar que la suma de los residuos es igual al
divisor (módulo): 12 + 3 = 15
Si “72 es divisible entre 6 “ entonces “ 72 es múltiplo de 6” y
viceversa, es decir, son equivalentes.
Luego:
NOTACIÓN: Para expresar simbólicamente que “A” es múltiplo
de “B” escribiremos: A = Bº(notación de Leibniz)
Nota: Todo entero es múltiplo de los factores positivos o divisores que contiene:
o
Si: N = 15 + 4 , significa que al dividir “N” entre 15 el residuo
por defecto es 4.
o
Si: A = 9 − 2, significa que al dividir “A” entre 9 el residuo
por exceso es 2.
Ejemplo:
109
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
PRINCIPIOS DE MULTIPLICIDAD:
Potenciación:
PRIMER PRINCIPIO:
(10)3
Z¯
Operaciones aritméticas elementales con múltiplos de un mismo
módulo.
0
44
+
o
( 5 )3
ADICIÓN:
11(4)
= 1000
Z¯
= AK = n
o
33
=
Luego, si: A = n entonces: donde “K” es un entero positivo.
77
SEGUNDO PRINCIPIO:
+ 11(3) = 11(7)
Ejemplos:
Si:
+
11
11
=
11
o
N = 15 = 15k = 1
o
A = n y B = n entonces:
Luego, si:
3
N
N
N
N
5k
0
n
A +B=
-
63
-
abc = 35
= 36
9(11) - 9(7)
9
= 9(4)
=
9
5
abc
7
Ejemplos:
9
o
→
TERCER PRINCIPIO:
Si:
0
o
Luego, si: A = n y B = n , entonces: A - B =
n
4
11
5
55
44 = 11 entonces: 44(5) =
Así también:
N = 7
N=7
no comparten divisores
comunes, aparte del uno
MULTIPLICACIÓN:
Si:
9
A = 8
Si:
6
ab = 11
A=8
→
ab = 11
→
OTROS CASOS:
Si:
9
A = 7 entonces: 11A =
7
11
77
i)
N = 15
divisores comunes: 1 y 3
En este caso, en forma practica, se simplifica y queda:
0
o
Luego, si: A = n y “k” es un número entero positivo.
3N = 5
ii)
n
k
k.A =
divisores
de 15
Si:
SUSTRACCIÓN:
99
=1
=3
=5
= 15
0
Þ N =5
3 N = 10 + 9
1 N = 10 + 3
÷3
(kn)
o
o
NOTA: Si un número es n + a y otro es n + b entonces el proo
ducto de ambos es: n + a × b
Ejemplos:
1.
En la siguiente secuencia:
(7 + 2) . (7 + 3) = 7 + 2 × 3 = 7 + 6
1, 2, 3, 4, 5,............400
(11 - 3) . (11 + 4) = 11 - 12
¿Cuántos
¿Cuántos
¿Cuántos
¿Cuántos
¿Cuántos
(9 + 2) . (9 - 4) . (9 + 3) = 9 - 24
números
números
números
números
números
son
son
son
son
son
divisibles
divisibles
divisibles
divisibles
divisibles
por
por
por
por
por
5?
3?
6?
8?
15?
Indique cuál no es respuesta de las preguntas anteriores.
Educación Rumbo al Bicentenario- 110
ARITMÉTICA
A) 180
B) 133
C) 66
D) 26
E) 50
2.
9.
A) 15
B) 12
C) 17
D) 20
E) 32
En la siguiente secuencia:
1, 2, 3, 4............ 500
ο
A) 100
B) 300
C) 400
D) 600
E) 700
Indique la suma de las respuestas de las preguntas
anteriores.
A) 100
B) 299
C) 166
D) 33
E) 180
11. ¿Cuál será el mayor numeral de tres cifras, si al dividirlo
entre 5; 6 y 8 se obtienen residuos máximos?
ο
A) 689
B) 779
C) 859
D) 949
E) 959
ο
¿Cuántos números 3 ó 5 existen en los 1500
primeros números naturales?
A) 100
B) 200
C) 400
D) 700
E) 800
4.
ο
12. En un barco habían 180 personas, ocurre un naufragio y de
los sobrevivientes, 2/5 fuman; 3/7 son casados y los 2/3 son
ingenieros. Determina la cantidad de personas que murieron
en dicho accidente.
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
ο
¿Cuántos números 2 y 3 existen en los 1200 primeros
números naturales?
A) 100
B) 200
C) 300
D) 400
E) 500
5.
13. Un número de 4 cifras al ser dividido entre 4; 7; 11 y 25 da
como residuos: 0 ; 4 ; 1 y 3 respectivamente. Determina la
suma de cifras de dicho número.
¿Cuántos números del uno al mil son múltiplos de 5 pero no
de 25?
A) 15
B) 17
C) 19
D) 18
E) 21
A) 80
B) 150
C) 100
D) 160
E) 120
6.
5
5
55
22 exponentes
14. Si: N = 28
entre 5 es:
¿Cuántos números del 1 al 2000 son múltiplos de 3 pero no
de 9?
15. Calcula el residuo de dividir:
E = 17.3 + 172.33 + 173.35 + ...... + 17389.3777
¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 5000
son múltiplos de 5 y 6 a la vez pero no de 7?
entre 5.
A) 134
B) 139
C) 143
D) 120
E) 138
8.
, luego el resto de dividir N
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 222
B) 333
C) 555
D) 444
E) 111
7.
ο
10. ¿Cuántos números 5 pero no 7 existe en los 3500 primeros
números naturales?
¿Cuántos números son divisibles por 5?
¿Cuántos números son divisibles por 3?
¿Cuántos números son divisibles por 15?
3.
¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles por 3, pero no
divisibles por 2?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 6000
son múltiplos de 4 y 5 a la vez pero no de 7?
16. Calcula la suma de todos los valores de «n», si:
A) 258
B) 230
C) 240
D) 150
E) 180
o
(356359)n45n= 13+ 9
111
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 7
4.
¿Cuál es el residuo de dividir E entre 6?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 15 pero no
de 25?
A) 46
B) 47
C) 48
D) 49
E) 50
18. Si:
a4a
Si: E= 8.7100 + 82.799 + 83.798 + ...... + 8100.7
5.
a4a
Calcula el residuo de dividir «E» entre 8.
E = (4532139)UNCP2007
o
= 5+ 1 , ¿cuántos valores puede tomar «a».
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
CEPRE2008
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
19. De los 1008 primeros números naturales, la cantidad de
números que no son múltiplos de 3 ni de 7 es:
“ Las matemáticas están escritas
para matemáticos”.
A) 432
B) 486
C) 576
D) 584
E) 624
20. Si el número: 8abc se divide entre 37, se obtiene 4 de
residuo. Entonces el residuo que se obtiene al dividir abc6
entre 37 es:
A) 0
B) 3
C) 13
D) 23
E) 33
1.
Si: aaa7
entre 7.
aaa7
o
= 5+ 2 ; determina el menor resto de dividir
A) 0
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
2.
Al expresar el número 8100 en el sistema de base 15, halla la
suma de las 2 últimas cifras.
A) 6
B) 1
C) 2
D) 10
E) 8
3.
En cierta aula de la Academia Talento Beca 18, donde hay
80 alumno; el 80% de los alumnos son varones; de éstos
el 50% tiene el cabello corto y la 1/7 parte de ellos usan
jeans, mientras que el 50% de las mujeres usan anteojos.
¿Cuántas mujeres no usan anteojos?
A) 7
B) 8
C) 6
D) 5
E) 9
Educación Rumbo al Bicentenario- 112
( Nicolas Copérnico)
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
DIVISIBILIDAD II
13
Se llama divisibilidad a la parte de la aritmética que estudia las
condiciones que debe reunir un número para que sea divisible
por otro. Estas condiciones (necesarias y suficientes) se llaman
caracteres o criterios de divisibilidad.
58 = 7(8) + 2= 7(9)-5
58 = 7 + 2 = 7 − 5
EN GENERAL:
DEFINICIÓN:
Defecto
Un número entero “A” es divisible entre otro número entero positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” el cociente es entero y el
residuo cero.
A
r
B
Dónde: r + rEX =
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:
“30 es divisible entre 5”
“5 es divisor de 30”
Pero: 30=5(6); en este caso se dice que:
“30 es múltiplo de 5” (ya que resulta de multiplicar 5 por otro
entero).
Operaciones con múltiplos de un mismo módulo.
EN GENERAL:
B
k
A B
rEX k+1
∴ A = B + r = B − rEX
30 5
0 6
A
0
B
k
A= B(k) + r= B(k + 1) − rEX
Ejemplo: sean los números 30 y 5, como:
Dónde:
(módulo)
Exceso
A∈Z
B ∈ Z+
K ∈Z
SUSTRACCIÓN
20 – 18 = 2
2 2 2
∴ n + n =
n
∴ n + n =
n
MULTIPLICACIÓN
26 x 5 = 130
13 13 13
POTENCIACIÓN
∴
=
nk
n donde K ∈ Z
“A es divisible entre B”
=
83 8.8.8
= 512
a 4 ∴ =
k n donde k ∈ Z
(4)
(4)
Si A = B , entonces A es múltiplo de todos los divisores de B.
“B es divisor de A”
Además, A=B(K), en este caso: “A es múltiplo de B” y se indica
así:
A = B
ADICIÓN
14 + 35 = 49
7 7 7
Ejemplo: 24 = 6 y los divisores de 6, son : 1, 2, 3y6
Luego se cumple que:
=
24 1=
24 3
Ejemplos:
o
=
24 2=
24 6
=
12 3,
=
porque 12 3(4)
o
−56 = 8, porque 56 = 8(−7)
Si un número es divisible por varios módulos, será divisible por el
mínimo común múltiplo de dichos módulos.
o
=
13 13,
=
porque 13 13(1)
Ejemplos:
o
=
0 2,
=
porque 0 2(0)
=
N 4=
y N 6
OBSERVACIONES:
+
Todo número z es múltiplo de sí mismo.
El cero es múltiplo de todo número entero positivo.
Ejemplo: 58 no es divisible entre 7 porque la división de 58
entre 7 es inexacta, esto es:
Defecto
58
2
7
8
Exceso
58
5
=
∴ N MCM(4, 6)
=
→ N 12
=
=
=
A 3,
A 5,
y a 6
=
∴ a MCM(3, 5,
=
6) → N 30
7
9
113
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
De Arquímedes.
una de las potencias sucesivas de 5 entre 8.
=
SI : AxB n donde B ≠ n y n no tiene divisores comunes, excepto la unidad, entonces A = n .
Resolución: Lo que se desea es:
Ejemplos:
=
=
5N 7,
entonces : N 7
o
5n =
8+ rn , n ∈ Z +
Dando valores a “n” obtenemos:
o
12N = 16
50 = 1= 8+ 1
Se observa que 12 y 16 se pueden simplificar luego:
3N = 4 → N = 4
52 = 25= 8+ 1
DIVISIBILIDAD APLICADO AL BINOMIO DE NEWTON:
PRIMER CASO:
Ejemplos:
(11 + 2)3 =
(11 + 2)(11 + 2)(11 + 2) =
11 + 23
o
51 = 5= 8+ 5
o
o
53 = 125= 8+ 5
o
54 = 625= 8+ 1
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
Para saber en forma inmediata si un número es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la división
correspondiente, porque bastará conocer algunas características
de tal situación de divisibilidad; a estas características las conocemos como criterios de divisibilidad.
(17 + 3)2 =
(17 + 3)(17 + 3)(17 + 3) =
17 + 32
POR UNA POTENCIA DE 2: (2n)
EN GENERAL:
Un número es divisible por 2nsi sus “n” últimas cifras forman un
número múltiplo de 2n.
(a + b)n =
a + bn ; n ∈ Z +
abcde = 2 ⇔e = 2
SEGUNDO CASO:
abcde = 4 ⇔ de = 4
o
Ejemplos:
(91 − 4)3 =
(91 − 4)(91 − 4)(91 − 4) =
91 − 43
(29 − 5)2 = (29 + 5)(29 + 5) = 29 + 52
EN GENERAL:
o
o
o
o
abcde = 8 ⇔ cde = 8
POR UNA POTENCIA DE 5: (5n)
Un número es divisible por 5n si sus “n” últimas cifras son ceros
(0) o forman un número múltiplo de “5n”.
o
o
abcde = 5 ⇔ e = 5 ó 0
a − bn ; si n es impar
(a − b)n
o
n
a + b ; si n es par
APLICACIÓN:
UNH2013
entre 7.
Calcular el residuo al dividir 13
Resolución:
13UNH2013 =+
7 r; (r < 7) (7 − 1)UNH2013 =
7 + r
(7 − 1)UNH2013 =
7 + r
7 − 1 UNH2013 =
7 + r
7 − 1 = 7 + r
7 + 6 = 7 + r → r = 6
RESTOS POTENCIALES:
Se llaman restos potenciales a todos los residuos diferentes que
dejan las potencias sucesivas enteras de un número entero (diferente de cero), al ser dividido entre un cierto módulo.
Ejemplo 1: Halle los residuos que se obtienen al dividir cada
Educación Rumbo al Bicentenario- 114
o
o
abcde = 25 ⇔ de = 00, 25
o
o
abcde = 125 ⇔ cde = 000, 125
POR 3 o 9:
Un numeral es divisible por 3 o 9 si y solo si la suma de sus cifras
es divisible entre 3 (o entre 9).
o
o
o
o
abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = 3
abcd = 9 ⇔ a + b + c + d = 9
POR 11:
Un numeral es divisible entre 11 si y solo si la diferencia entre
la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de
orden par es divisible entre 11.
o
o
abcde = 11 ⇔ a - b + c - d + e = 11
POR 7:
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de
sus cifras de derecha a izquierda por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, … y
luego efectuar su suma algebraica resulta divisible entre 7.
ARITMÉTICA
o
ab c de f g = 7
6.
o
A) 6
B) 8
C) 5
D) 3
E) 4
⇔ g + 3f + 2e– d – 3c – 2b + a = 7
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de “a” si el numeral 13a372 es divisible por 7?
o
Solución: 1 3 a 3 7 2 = 7
7.
o
2 + 21 + 6 – a – 9 – 2 = 7
8.
Halle “a” para que la siguiente suma sea divisible por 7
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 3
9.
E = 22 + 4 2 + 62 + ..... + 10002
Si: E =
a(a + 1)(2a)0 =
13
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) No se puede determinar
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
10. Halla la cantidad de numerales capicúas de la forma: xyz
que al dividirse por 5 y por 11, dejan como residuo 4 y 3
respectivamente.
Halle “x” si:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
°
1x2x3x.....9x = 11
A) 2
B) 4
C) 6
D) 3
E)5
4.
o
Halla: E = 32x – 22y
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
Halle el resto de dividir entre 13 el siguiente número:
100 cifras
A) 10
B) 9
C) 8
D) 11
E) 4
12. Determina la cantidad de valores que puede tomar ab , si se
cumple que: aa6abab = 56
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Halle el residuo de dividir “M” entre 7 si :
M = 13
xyz xyz
...... xyz3
14444444
4244444444
13. El número ababab.... de 111 cifras está escrito en base 8 y es
14 cifras
A) 2
D) 0
o
11. Se cumple que: 532x13 = 9 . Además: xxyyxx = 7 .
N = 4444
......... 44
144444424444443
5.
Determina el residuo de dividir E entre 4.
o
Halle la suma de cifras de E.
3.
o
Halle “m” si: 1m( m + 3) 2 = 2
3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 a + 2 a + 3 a + ... + 40 a
2.
°
Halle el valor de “x” si: 1x2x4 = 19
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
o
18 – a = 7 → a = 4
1.
°
Halle el valor de “a”, si: 14a52 = 17
B) 4
E) 1
divisible por 9. Si «a» excede a «b» en 2. Calcula: a + b.
C) 6
A) 8
B) 5
C) 10
D) 12
E) 14
115
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
o
14. Halla el valor de «a», si: 5a1a7 = 8
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1.
Dado la serie:
; 39; 43; 51; . . . . . ; 247.
¿Cuántos términos son
A) 5
B) 3
C) 2
D) 6
E) 4
o
15. Determina «a + b», si: aba2b = 99
A) 8
B) 9
C) 10
D) 6
E) 7
2.
o
16. Si el número de la forma: abcd 6 = 4 se cumple:
o
o
C) 2a + b + 2c + d = 4
o
D) 2c + d = 4
3.
o
E) d = 4
Calcula el residuo de dividir
y se cumple que:
abcd entre 12 si «a» es máximo
o
o
COLUMNA B
b+6
5c27d4
= 99+ 35
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) A es mayor que B.
B) A es menor que B
C) A es igual a B.
D) No se puede determinar.
E) ¡No utilice esta opción!
4.
= 29 + 2
18. Sabiendo que: 7abc
abc7 para que sea 29 .
A) 4
B) 20
C) 25
D) 8
E) 17
Determina la cantidad de números de 3 cifras del sistema
senario que son divisibles entre 4 pero no entre 8.
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) Ninguna anterior
¿Cuál es el menor número positivo que se debe añadir a
5.
Si el número: abccba12 es divisible por 7, siendo «a» mayor
que «c». Halla el residuo que se obtiene al dividir el número:
caca.......caca12
19. ¿Cuántos números de la forma 1a1bab son divisibles entre
63 ?
A) 1
D) 4
son múltiplos de
a3524b= 33+ 21
17. Si: ababa es múltiplo de 126.
COLUMNA A
A
cabca
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
o
A) a + b + c + d = 4
B) a – b + c – d = 4
¿Cuántos números de la forma:
56.
B) 2
E) 5
C) 3
20. Determina la suma de todos los valores que puede tomar
De 400 cifras entre 13.
A) 6
B) 9
C) 7
D) 8
E) 5
ab , si: 1234567ababab es un número que termina en 9.
A) 825
B) 1650
C) 1232
D) 1650
E) 1242
“ Obvio es la palabra más peligrosa
del mundo en matemáticas”.
(E. T. Bell)
Educación Rumbo al Bicentenario- 116
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
NÚMEROS PRIMOS
14
2, 3, 5, 7, 11, 13.
CLASIFICACIÓN DE LOS ENTEROS POSITIVOS DE ACUERDO A
SU CANTIDAD DE DIVISORES ENTEROS POSITIVOS
3ER.PASO:
Se clasifican en números simples y compuestos, dado que todo
número tiene como divisor a la unidad y a dicho número.
Observación:
Z + = {1, 2, 3, 4, 5, 6,.........}
1. NÚMEROS SIMPLES:
LA UNIDAD: Es el único número que posee un solo divisor, el
cual es él mismo.
NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos números que poseen exactamente 2 divisores, también se le denominan primos absolutos.
Ejemplo:
3
5
7
11
13
17
:
:
:
:
:
.
∴ 211
1,
1,
1,
1,
1,
1,
3
5
7
11
13
17
es primo.
Ejemplo 2: ¿187 es primo?
187
1ER.PASO:
2. NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que
poseen más de 2 divisores.
,...
3ER.PASO:
o
Ejemplo:
:
:
:
:
:
:
13
Parte entera
2DO.PASO: Los números primos menores o iguales que 13 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13.
Divisores
4
6
8
10
12
49
=
2+ 1 (Inexacta)
o
1,
1,
1,
1,
1,
1,
3+ 1 (
2, 4
2, 3, 6
2, 4, 8
2, 5, 10
2, 3, 4, 6, 12
7, 49
187
"
o
5+ 2 (
o
7+ 5 (
o
11
)
"
"
)
)
( Exacta )
∴ 187 Noes primo, tiene como divisores a (1 , 187 , 11 , ...) más
de 2 divisores.
Divisores
PROPIEDADES
ALGORITMO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO “N” ES
PRIMO:
1.
La sucesión de los números primos es ilimitada.
La sucesión es: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
1ER. PASO:
Se determina la parte entera de la raíz cuadrada de dicho número.
2.
Todos los números primos, a excepción del 2 son impares.
2DO. PASO:
3.
Los únicos números consecutivos que son primos absolutos
son el 2 y el 3.
4.
Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4 + 1 ó 4 − 1
.
Se determina los números primos menores o iguales que dicha
parte entera.
3ER. PASO:
Se realiza una división entera entre el número N y cada uno de
los números primos determinados en el paso anterior. Se dirá
que N es primo, si todas las divisiones resultan inexactas, se
dirá que N es compuesto, si por lo menos una división es exacta.
o
(Lo contrario no siempre se cumple).
5.
Ejemplo 1: ¿211 es primo?
1ER.PASO:
o
Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6 + 1 ó 6 − 1
.
(Lo contrario no siempre se cumple).
211 = 14,...
2DO.PASO: Los números primos menores o iguales que 14 son:
117
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE DIVISORES COMUNES
1. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
Se denomina números primos entre sí, primos relativos o coprimos al grupo de números enteros que poseen un solo divisor
común, es decir la unidad.
Ejemplo 1:
22 :
21 :
25 :
1, 2, 11, 22
1, 3, 7, 21
1, 5, 25
Divisores
Divisores de 32
Dado que el único divisor común es la unidad, entonces: 22, 21 y 25 son PESI.
DIVISORES DE 3:
Ejemplo 2:
33 :
1, 3, 11, 33
12 :
1, 2, 3, 4, 6, 12
16 :
1, 2, 4, 8, 16
Divisores
3
* 120 = 2 × 3 × 5
n
2 2 n
2n
n
2n
n
* 2100 = (3.7 × 2 .5 ) = 2 × 3 × 5 × 7
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO:
1. TABLA DE DIVISORES:
Ejemplo: 36 = 22× 32
Divisores de 22
Dado que el único divisor común es la unidad, entonces: 33, 12
y 16 son PESI.
Ejemplo 3:
24 :
1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24
16 :
1, 2, 4, 8, 16
18 :
1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores
Dado que 1 y 2 son los divisores comunes (más de uno), entonces 24, 16 y 18 no son PESI.
2. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 A 2 (PESI 2 A 2)
Son aquellos grupos de números que en todas las agrupaciones
de 2 números que se puedan formar con ellos siempre son PESI.
OBSERVACIÓN: En toda tabla de divisores se observa como
primer divisor al 1 y como último divisor al mismo número.
El producto de los términos equidistantes de los extremos de la
tabla es el mismo número.
Del ejemplo 1 anterior:
22 y 21 son PESI
22 y 25 son PESI
21 y 25 son PESI
22, 21 y 25 son PESI 2 a 2
Del ejemplo 2 anterior:
33 y 12 no son PESI
33, 12 y 16 no son PESI 2 a 2 (basta que un par de números
no sean PESI para indicar que todos no son PESI 2 a 2)
2. NÚMERO DE DIVISORES (DN)
Sea:
N = aα × bβ × c γ (DC)
PROPIEDADES:
DN = (α + 1)(β + 1)( γ + 1)
1.
DN = D Comp + D Pr imos + 1
2.
3.
Si varios números son PESI 2 a 2, entonces son PESI, lo
contrario no siempre ocurre.
Dos números consecutivos siempre son PESI.
Varios números primos absolutos son PESI.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:
Todo número mayor que 1 se puede descomponer como el producto de factores primos y diferentes, elevados a un determinado exponente, esta descomposición es única y se llama “descomposición canónica” de un número.
Ejemplo:
3. SUMA DE DIVISORES (SDN)
α
β
γ
Sea: N = a × b × c (DC)
aα+1 − 1 bβ+1 − 1 c γ +1 − 1
SDN =
×
×
a −1 b −1 C −1
4. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES ( SIDN )
SIDN =
SDN
N
5. PRODUCTO DE DIVISORES ( PDN )
PDN = NDN
Educación Rumbo al Bicentenario- 118
ARITMÉTICA
APLICACIÓN: Dado el número 360, determinar su:
a)
b)
Número de divisores (DN)
Suma de divisores (SDN)
c)
Suma de las inversas de los divisores (
P
Producto de divisores ( DN )
d)
SIDN
5.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
)
3
2
1
Resolución: N = 360 = 2 × 3 × 5 (DC)
a)
b)
c)
d)
6.
DN = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24
=
PDN
SDN 1170 13
= =
N
360
4
=
NDN
7.
24
360
=
36012
Nos indica la cantidad de números PESI con N, entre 2 múltiplos
consecutivos de N.
En forma particular la cantidad de números enteros positivos menores o iguales que N que son PESI con N.
8.
Ejemplo:
ϕ(N)
= aα−1 (a − 1)bβ−1 (b − 1)
9.
Halle el valor de “a” si N = 40 x 15a, tiene 116 divisores
compuestos.
10. ¿Cuántos términos debe tener la siguiente multiplicación
para que el producto tenga 961 divisores : P = 36 x 362 x
363 x …..x36n?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Calcule “n” si el número E = 12n x 28 tiene 152 divisores
compuestos.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11. ¿Cuántos divisores primos tiene el número ababab , si ab
es un número primo mayor que 37?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Halle “n”, Si 36n tiene 46 divisores compuestos:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
4.
Si el número P = 72 x 72 x 72.... (n factores) tiene 117
divisores. ¿Cuál es valor de “n”?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 8
B) 4
C) 5
D) 7
E) 6
3.
¿Cuántos ceros debe tener el número:
N = 2 000...00 para que admita 56 divisores.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
α
β
Sea N = a xb (D.C.)
2.
¿Cuántos “ceros” es necesario colocar a la derecha del
número 75 para que el número resultante tenga 96 divisores?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
INDICADOR DE UN NÚMERO (ϕ(N) )
1.
¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 a 420 para que
el producto resultante tenga 180 divisores?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
23 +1 − 1 32 +1 − 1 51+1 − 1
SDN =
×
×
= 1170
2 −1 3 −1 5 −1
S=
IDN
Si 300n tiene igual cantidad de divisores que 16x90n. Halle
el valor de “n”
12. ¿Cuántos números naturales menores o iguales a 800 son
primos con él?
Si 6n tiene 30 divisores más que 7n ¿cuántos divisores
tendrá 12n?
A) 80
B) 160
C) 320
D) 360
E) 300
A) 44
B) 50
C) 32
D) 66
E) 45
119
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
13. Halle ∅ (7) +∅ (13)
A) 16
B) 12
C) 10
D) 17
E) 18
1.
14. Halle ∅ (20) +∅ (24)
Si N =52p + 52p +1 + 52p + 2 + 52p + 3 tiene 156 divisores. Halle
“p”
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 9
A) 15
B) 12
C) 10
D) 17
E) N.A.
2.
15. Al multiplicar “N” por 27 su número de divisores aumenta en
= 16 × 5a . Halle “a”
90. N
Sea la descomposición canónica de ab0 = ax ⋅ x a ⋅ y de
modo que b = a.x . Halle la suma de los divisores de ab
A) 80
B) 82
C) 91
D) 92
E) 100
A) 3
B) 4
C) 6
D) 5
E) 7
3.
n +1
16. Halle “n” sabiendo que: Q
= 42 × 35
que no son primos absolutos.
tiene 620 divisores
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 5
B) 2
C) 6
D) 3
E) 4
4.
M = 35 × 352 × 353 × × 3510 ?
5.
18. Halle “K” sabiendo que A = 2K.3 tiene como suma de
divisores a 124.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Si: N = 52p + 52p+1 + 52p+2+52p+3; tiene 156 divisores.
Halla “p”.
A) 9
B) 7
C) 2
D) 6
E) 4
17. ¿ Cuántos divisores tiene
A) 3136
B) 3146
C) 3025
D) 3226
E) 3106
Si: 300n tiene igual cantidad de divisores que 16 x 90n. Halla
el valor de “n”.
¿Cuántos divisores de 20790010 terminan en 1; 3; 7 ó 9?
A) 3273
B) 1120
C) 3574
D) 3751
E) 2137
b+2
− 4b tiene 92 divisores. Calcule el valor de “ b + 5 “
19. Si 4
A) 16
B 12
C) 13
D) 14
E) 15
20. Halle el valor de “a” para que : aaaa( 7 ) tenga 21 divisores
A) 2
B) 4
C) 3
D) 5
E) 6
Educación Rumbo al Bicentenario- 120
“ Estudié matemáticas,
la locura de la razóns”.
(Benjamin Moser)
ARITMÉTICA
TRIGONOMETRÍA
MCM – MCD
15
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA: De varios números
descompuestos canónicamente.
Dado un conjunto de números enteros positivos:
El MCD: de dichos números es el mayor número entero que está
contenido exactamente en ellos.
El MCD. de dichos números es el producto de sus divisores primos
comunes elevados cada uno a su menor exponente.
El MCM: de dichos números es el menor número entero positivo
que los contiene exactamente.
El MCM. de dichos números es el producto de sus divisores
primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor
exponente.
Ejemplo: Dado los números 12 y 18
DIVISORES:
De 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
De 18:1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6
Ejemplo: Dados los números:
A = 25x32x53
B = 23 x 34 x 52x71
C = 24x 36x5 x111
MAYOR:
ENTONCES: MCD (A, B, C) = 23x32x 5
MCD (12,18)=6
MÚLTIPLOS POSITIVOS:
MCM (A, B, C) = 25x 36x53x7 x11
De 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,....
De 18: 18, 36, 65, 72, 90, 108, 126, 144,……
Múltiplos comunes de 12 y 18, 36, 72, 108
POR DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES):
Se utiliza en forma directa para la obtención del MCD de 2 números.
MENOR:
Ejemplo: Calcular el MCD de 91 y 403
MCM (12,18)= 36
Observación: Los múltiplos de 12 y 18 son los múltiplos de 36.
LUEGO:
⊕
Los divisores comunes de un conjunto de números enteros positivos, son los divisores del MCD de dichos números.
Los múltiplos comunes de un conjunto de números enteros positivos son los múltiplos del MCM de dichos números.
⊕
MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM:
Por descomposición simultanea:
MCD. Se extraen de los números los factores comunes hasta
obtener números PESI. El producto de los factores comunes extraídos es el MCD de los números.
MCM. Se extraen de los números los factores comunes y no
comunes hasta obtener la unidad en cada uno.
El producto de los factores extraídos es el MCM de dichos números.
⊕
Ejemplo:
MCD [91, 403] = 13
Calcular el MCD y MCM de los números 72, 180 y 240.
PARA EL MCD:
72 - 180 - 240
2
36 - 90 - 120
2
18 - 45 - 60
3
6 - 15 - 20
MCD (72, 180, 240) = 2 x 2 x 3 = 12
PARA EL MCM
Nota: Las divisiones se pueden realizar por defecto o por exceso.
72 - 180 - 240
12
6 - 15 - 20
2
3 - 15 - 10
2
3 - 15 - 5
3
1 - 5 - 5
5
1 - 1 - 1
MCM [72, 180, 240] = 12 x 2 x 2 x 3 x 5=720
o
1.
Si A = B
MCD (A, B) = B
MCM (A, B) = A
121
Educación Rumbo al Bicentenario
ARITMÉTICA
2.
Si A y B son números PESI
4.
MCD (A, B) = 1
MCM (A,B) = A x B
Halle A.B Si:
MC M (36A, 6B) = 144
MCD (66 A, 11 B) = 88
3. Si a varios números se les divide a cada uno entre su MCD,
los cocientes que se obtienen son números PESI.
A) 20
B) 24
C) 28
D) 30
E) 32
5.
Si el MCD (15A, 25B) = 560
MCD (A, B, C) = K
MCD (25A, 15B) = 480
4.
Halle el MCD (A, B)
Dados 2 números A y B se cumple que:
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
6.
Halle A.B Si:
MCM (42A, 6B) = 8064
MCD (77A, 11B) = 88
A) 1230
B) 1536
C) 1300
D) 1624
E) 1800
5.
Si a varios números se les multiplica o divide por una misma
cantidad, entonces el MCD y MCM de dichos números queda
7.
Al determinar el MCD de dos números enteros por el
algoritmo de Euclides los cocientes sucesivos fueron 1, 2,
4,9 y 2 y los números son PESI. Determinar el mayor de los
números.
A) 152
B) 250
C) 251
D) 253
E) 260
8.
6.
Dados:
Al calcular el MCD de 2 números mediante el algoritmo
de Euclides los cocientes sucesivos forman una progresión
aritmética y los residuos obtenidos fueron 161, 46 y 23.
Calcular el número mayor.
A) 3611
B) 3500
C) 3612
D) 3620
E) 3680
9.
1.
Halle el valor de “n” en los números A = 12x 34n y B =
12nx45 para que el MCM tenga 150 divisores.
A) 1
D) 4
2.
B) 2
E) 5
La relación de dos números es 5/8 y su MCM es 840 ¿Cuál es
el mayor?
A) 168
D) 174
3.
C) 3
B) 152
E) 154
C) 160
Si MCD (8A, 6B) = 42
MCD (6A, 8B) = 252
Calcular la suma de cifras del MCD (A,B)
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
Educación Rumbo al Bicentenario- 122
Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides
se obtuvieron los cocientes sucesivos 1, 2, 3 y 5. Si los
números suman 630.Halle el menor de ellos.
A) 230
B) 242
C) 258
D) 260
E) 259
10. Al calcular el MCD de dos números mediante el Algoritmo
de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos 1; p; 3 y 2.
Calcular el valor de p, si la suma de los números es igual a
53 veces el MCD.
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
ARITMÉTICA
11. Determinar la diferencia de dos números enteros sabiendo
que su MCD es 48 y que su suma es 288.
A) 192
D) 360
B) 240
E) 96
20. La suma de dos números es a su diferencia como 8 es a 3.
El mínimo común múltiplo de los números es 55 veces su
máximo común divisor. Halle la suma de dichos números,
sabiendo que son los mayores posibles y que tienen dos
cifras
C) 252
12. Un número entero de tres cifras y su C.A. tiene como MCD a
100. ¿Cuántos números cumplen esta condición?
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
A) 156
B) 127
C) 132
D) 151
E) 154
C) 3
13. Calcular “n” si el MCD de:
n(n + 1)(n + 2)
A) 1
D) 4
y (n + 3)(n + 4)(n + 5) es 9.
B) 2
E) 5
C) 3
1.
14. Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritmo de
Euclides se obtuvo por cocientes 1, 2, 1, 3 y 2. Si la suma
de los números es 236, Halle la suma de cifras de menor
número.
A) 6
D) 2
B) 7
E) 3
El mínimo común múltiplo de dos números es 15 120, si se
desea obtener el MCD mediante el Algoritmo de Euclides, los
cocientes sucesivos son: 1; 1; 6 y 2. Luego la diferencia de
los números es:
A) 458
B) 460
C) 468
D) 470
E) 560
C) 1
15. El MCM de cuatro números consecutivos es 5 460.Calcular
la suma de los dígitos del menor de los números si éste es
múltiplo de 3.
2.
¿En qué cifra termina el MCD de los números:
(756 − 1) ; (772 -1) ; (7120 -1)?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
A) 0
B) 3
C) 8
D) 2
E) 6
16. El MCM de tres números naturales que suman 255 es 1 785.
Si el MCD de cada par de ellos es 17. ¿Cuál es el mayor?
A) 119
B) 136
C) 153
D) 170
E) 102
3.
Halla la última cifra del resultado de hallar el MCD de
y de 8!
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
17. Determinar el mayor número de cuatro cifras que al dividirlo
entre 6; 7; 8 y 9 nos de residuos iguales, tal que éste sea el
máximo posible
4.
A) 9 589
B) 9 587
C) 9 585
D) 9 583
E) 9 581
Calcula en ¿qué cifra termina el MCM de: ?
51311 − 1
y
4532 − 1
A) 3
B) 5
C) 7
D) 6
E) 9
18. Se tiene un millar de ladrillos cuyas dimensiones son 20 cm.,
15cm y 6cm ¿Cuántos ladrillos como mínimo sobrarán si se
formó un cubo compacto?
A) 20
B) 30
C) 36
D) 40
E) 50
5.
Siendo: a, b y c primos absolutos y además: .
MCM(ab ; ba ; c) = b(2b)0
19. Se divide dos números y el cociente exacto resulta igual a
su MCD; la suma del MCD y MCM resulta ser igual a 56.
Determinar el producto de ambos números.
Compara:
COLUMNA A
A+b
A) 256
B) 289
C) 320
D) 343
E) 450
COLUMNA B
c
A) A es mayor que B.
B) A es menor que B
C) A es igual a B.
D) No se puede determinar.
E) ¡No utilice esta opción!
123
Educación Rumbo al Bicentenario
abc !
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
SEGMENTOS
6
1. SEGMENTO DE RECTA:
Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.
a
1.
Calcula AM
B
A
8
A
NOTACION:
AB
B
M D
10
: Segmento AB
A) 9
D) 8,4
AB: LONGITUD DEL SEGMENTO AB:
2.
AB = a
B) 8,5
E) 9,4
C) 9,5
Según el gráfico, AC = 26cm. Calcula «x»
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
A
A) 9
D) 5
B
M
3.
B) 7
E) 6
C) 8
Si: AD = 44. Calcular «x»
SI M ES PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB:
⇒ AM = MB
2. OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE LOS
SEGMENTOS:
A) 9
D) 4
SUMA:
a
M
A
4.
b
A
Si: BE=4AB y AE=60cm. Hallar «AB»
A) 12
D) 48
5.
RESTA:
B) 8
E) 6
P
B
A) 39
D) 40
6.
MB = AB - AM también x = d - a
E
M
B) 19
E) 50
Q
C) 41
Calcular «x». Si AM = MD, AC = 5, AD = 16
A) 3
D) 5
125
c) 4
Si: PE = 13 cm; MQ = 14 cm y "M" es punto medio del
segmento EQ, hallar PQ.
x
M
C) 8
B
x
AB = AM+MB también x = a+b
a
B) 12
E) 10
B) 4
E) 7
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 6
GEOMETRÍA
7.
Calcular BC. Si: AC+BD=21
A
B
8.
AB + CD = 13 y BM – MC = 1. Calcula CD, sabiendo que “M”
es punto medio de AD.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
D
B) 10
E) 5
C) 2
19. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C, D, E tal que “C” es un punto medio de AE; AC = BD y
AD + BE = 15. Calcular BD.
En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC
= 30, BC = 12.Calcula AB
A) 16
D) 18
9.
C
8
7
A) 1
D)3
18. Se tienen los punto colineales A, B, C, D tal que:
B) 15
E) 20
Calcula BC, si AD = 12, AC = BD = 7
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
A) 3
D) 6
C) 14
C) 3
B) 8
E) 11
A) 100
D) 120
B) 10
E) 40
B) 3
E) 7
1.
C) 20
12. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D
tal que CD=4(AC), BD – 4 (AB) = 20. Calcular BC.
A) 2
D) 5
B) 9
E) 14
C) 4
2.
C) 10
B) 4
E) 5
3.
4.
C) 30
16. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D,
BC
3
si C es punto medio del BD y AC = 2 ; AD = 12. Calcula
CD.
A) 2,4
D) 4,2
B) 3,5
E) 4,8
C) 4
17. Sean los puntos A, B, C, D y E sobre una recta F y G puntos
medios de AB y DE respectivamente. Si AB = BC, CD = DE y
AB + DE = 10, calcula FG.
A) 20
D) 60
B) 15
E) 3,3
C) 40
Educación Rumbo al Bicentenario- 126
(AB)2 + (AC)2 =
40
manera que P es punto medio de BC y
C) 30
B) 3
E) 3,5
C) 2,5
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D
de modo que
A) 20
D) 80
5.
B) 40
E) 35
La distancia AB mediada en cm es 150 unidades mayor que
25 veces la la misma distancia medida en metros. ¿Cuál es
la distancia AB en metros?
A) 2
D) 1,5
C) 16
BD.
B) 20
E) 60
C) 1,5
En una recta se ubica los puntos consecutivos A, B, P y C de
A) 20
D) 25
15. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y
BC CD DE
AB
= = =
, AE
= 80
3
5
7
.Calcula
E. Si se cumple que:
A) 10
D) 40
B) 2,5
E) 1
2
2
. Calcula (AP) + (BP)
14. Sean los puntos consecutivos A, B, C y D en una recta tal
que AB = BD = 3 (CD) y AD=12. Calcula CD.
A) 2
D) 18
C) 140
En una recta se ubican los puntos A, B, C y D de manera
que AB = 3 y CD = 2. Calcular la distancia entre los puntos
medios de AC y BD .
A) 5
D) 3,5
13. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C
tal que 5(AB) = 2(AC), BC=6, entonces la distancia de A al
punto medio de BC es:
A) 7
D) 12
B) 150
E) 110
C) 9
11. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y
D. Calcular AD. Si: AC = 10 y AD + CD = 30.
A) 5
D) 25
C) 5
20. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C,
D, E, F, G, H, tal que: AD + BE CF + DG + EH = 310.
2
3
=
BG =
AH y CF
BG
3
5
. Calcula AH.
10. En una recta se hallan los puntos colineales A, B, C y D de
modo que AB = 12, BC = 3AB y AD = 55, Calcular CD.
A) 7
D) 10
B) 4
E) 8
3
1
1
AB 3(AD)
+
=. Calcula AC.
=
y
AB AD 20
BC
CD
B) 40
E) 100
C) 60
En una recta se ubican los puntos consecutivas A, M y B (AM
2
1
1
+
yC
> MB) se manera que (AM)(AB)=16; =
AM AC 2(MB)
es punto medio de AB
Calcula MB.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
ÁNGULOS
7
ÁNGULO OBTUSO: Es aquel ángulo cuya medida es mayor a
90° y menor a 180°
ÁNGULO: Es aquella figura geométrica formada por dos rayos
que tienen el mismo origen.
A dichos rayos se les denomina lados y al origen común
vértice del ángulo.
α
A
90º < α < 180º
Región interior
del ángulo AOB
3. ÁNGULO LLANO: Es aquel ángulo cuya medida es igual a
180°.
O
θ
=
B
B
µ 0I
(cos ?α + cos β)
4 πd
ELEMENTOS:
Lados: OA y OB
Vértice: O
α = 180º
NOTACIÓN:
B.
∠ AOB: Ángulo AOB
m ∠ AOB : Medida del ángulo AOB
POR SU POSICIÓN:
1. ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos que tienen el
mismo vértice y además están situados a distinto lado de un
lado común.
m∠ AOB= θ
Bisectriz de un ángulo: Es aquel rayo que forma con sus lados
del ángulo, ángulos de igual medida.
OM Bisectriz del ∠ POQ
A
B
m∠ AOB= θ
CLASIFICACIÓN:
O
A. POR SU MEDIDA:
1. ÁNGULO NULO: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 0°.
C
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes
2. ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Se denominan así a dos o
más ángulos que son adyacentes con su inmediato.
= 0°
A
B
C
2. ÁNGULOS CONVEXOS: 0º < θ < 180º
D
αβ
ÁNGULO AGUDO: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que
0° y menor que 90°
O
θ
γ
E
Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.
α
3. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos
ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de
uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en
sentido contrario.
0º < α < 90º
ÁNGULO RECTO: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.
α
α = 90º
127
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
M
A
O
α
L1
α
β
N
B
m
cα
C. SEGÚN LA SUMA DE SUS ÁNGULOS:
Sea: L1//L2.
α=m
1. Ángulos Complementarios:
Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas
es 90º.
Sα=180-α
α
L2
α=β
C? = 90º - ?α
Nota
//: Se lee paralelo
2. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
µ 0I
=
B
(cos
C: Complemento
de α + cos β)
4 πd
α
2. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
L1
Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es
180º.
µ 0I
=
B
(cos
S: Suplemento
de α + cos β)
4 πd OPERACIONES CON ÁNGULOS
m
SUMA:
B
A
C
αβ
O
L2
Sea: L1//L2.
3. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS:
D
x
α=m
θ
γ
L1
E
θ
x = α + β+θ+γ
RESTA:
m
A
L2
B
θ
α
Sea: L1//L2.
x
O
C
x = θ−α
θ+ m = 180º
PROPIEDADES:
Propiedad 1
Sea L1//L2
ÁNGULOS II
α
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y
UNA RECTA SECANTE:
x
Al trazar una recta secante o transversal a dos rectas paralelas,
se forman ocho ángulos cuyas medidas guardan ciertas relaciones, así tenemos:
θ
1. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
Se cumple:
Educación Rumbo al Bicentenario- 128
L1
x=
α
+θ
L2
GEOMETRÍA
PROPIEDAD 2
A) 12º
D) 15º
L1//L2. (Regla de Sarrus)
4.
L1
a
b
5.
θ
β
L2
6.
α+ θ +β= a+b+c
PROPIEDAD 3
Sea L1//L2.
L1
α
B) 170°
E) 120°
C) 160°
Calcular la medida de un ángulo. Si el suplemento de dicho
ángulo es igual al cuádruple del complemento del mismo.
A) 45°
D) 60°
c
C) 10º
Calcular el suplemento del complemento del complemento
de 20°
A) 180°
D) 140°
α
B) 20º
E) 16º
B) 30°
E) 36°
C) 75°
Se tienen los ángulos consecutivos A0C y C0B tal que el
ángulo A0B es recto, si m< A0C = 2m<C0B. Calcula m< A0C
A) 20º
D) 60º
C) 40º
7.
B) 30º
E) 70º
En la figura. Si L1 / / L 2 , calcula “x”.
C) 50°
8.
A) 60°
B) 40°
D) 35°
E) 20°
L / / L2
Si 1
. Calcular “β”.
A) 80°
D) 40°
C) 70°
β
θ
γ
φ
L2
α+β+θ+γ+φ=180°
1.
En la figura. Calcula “x”
α
3x
4x
A) 20º
D) 40º
2.
C) 30º
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD.
Calcular m<AOB, si m<BOC =3(m<AOB), m<COD =40º y
m<AOC=120º.
A) 25º
D) 15º
3.
B) 10º
E) 15º
2x
B) 20º
E) 30º
9.
B) 20°
E) 75°
L / / L2
En el gráfico, calcula “x”. Si: 1
C) 10º
120º
L1
x
En la figura, calcula α
160º
A) 60°
D) 120°
B) 80°
E) 110°
10. Del gráfico: α − θ =
129
x
. Calcular: x
3
Educación Rumbo al Bicentenario
L2
C) 100°
GEOMETRÍA
R
α
60° x
A
O
θ
C
A) 110°
D) 100°
D
A) 36°
D) 30°
B) 24°
E) 18°
C) 45°
→
Calcular m<AOC, siendo OC bisectriz del <BOD y m<AOB
+ m<AOD = 56º.
B) 28°
E) 7°
C) 30°
12. En la figura hallar m<MOC. Si OM bisectriz del ángulo AOB
y m<BOC- m<AOC = 40°.
x
6α
4α
A) 14°
D) 30°
B) 10°
E) 18°
3θ
B) 15°
E) 36°
C) 18°
13. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de
modo que m<BOC=20° y la m<AOD = 130°, luego se trazan
las bisectrices OM del <AOB y ON del < COD. Calcular la m
MON.
A) 65°
D) 85°
B) 75°
E) 35°
L1
60º
6α
L2
C) 20°
L1 / / L 2
17. En la figura, calcular “x”. Si:
A) 12°
D) 20°
C) 130°
L / / L2
16. En la figura, calcular “x”. Si: 1
11. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD.
A) 56°
D) 14°
B) 90°
C) 120°
L1
α
30º
x
3α 40º
θ
L2
A) 10°
D) 12°
B) 20°
C) 30°
E) 25°
18. En el gráfico L1 / / L 2 y L 3 / / L 4 . Calcule m + n.
L3
E) 55°
)
α4α
14. En la figura el ángulo AOD es recto. Calcular el menor valor
entero que puede formar x:
m
L1
L4
A
B
θ
C
α
O
)
n 4θ
L2
α
x+
4x−α
A) 10°
B) 9°
D) 13°
E) 12°
15. Si L1 / / L 2 . Calcular “θ”.
D
c) 11°
A) 140°
D) 144°
C) 139°
19. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que:
m<AOD = 6m<BOC y m<AOB + m<COD = 75°. Calcular la
m<BOC.
A) 5°
D) 20°
Educación Rumbo al Bicentenario- 130
B) 145°
E) 137°
B) 10°
E) 25°
C) 15°
GEOMETRÍA
5.
20. Calcule: “x”. Si: L1 // L2 // L3 y α + β = 200°
Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD
y DOE de manera que A, O y E son colineales,
m∠BOE = m∠AOB + m∠COD y la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos BOC y DOE es
60°. Calcula m∠AOB .
A) 60°
D) 90°
B) 80°
E) 100°
C) 75°
β
A) 100°
D) 40°
1.
B) 80°
E) 120°
“ El poder de las matemáticas
está a menudo en cambiar
una cosa en otra,
cambiar la geometría en lenguaje”.
C) 60°
(Marcus du Sautoy)
Según el gráfico, calcule x si m + n = 270°.
x
β
2x
?β
m
n
?
A) 35°
D) 45°
2.
B) 30°
E) 50°
C) 40°
Se tienen los ángulos consecutivos DOC, COB y BOA de
modo que m<AOC = 50° y m<BOD = 20°. Si OX es
bisectriz del <AOB y OY es bisectriz del <COD, calcular la
m<XOY.
A) 45°
D) 35°
3.
B) 25°
E) 75°
L / / L2
. Calcular x:
En la figura 1
α
ω
α
C) 10°
x
30°
θ
β
A) 120°
D) 97,5°
4.
β
φ
B) 135°
E) 63,5°
L1
ω
φ
L2
C) 150°
Si el suplemento del complemento de un ángulo se le agrega
el complemento del suplemento del mismo ángulo, resulta
90° más que el suplemento de dicho ángulo. Hallar la
medida de tal ángulo.
A) 50°
D) 110°
B) 70°
E) 130°
C) 90°
131
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS I
8
TRIÁNGULO RECTILINEO
Es aquella figura geométrica que se forma al conectar tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
PROPIEDAD 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.
B
?β
?α
A
θ?
Se cumple:
α + β + θ = 180°
PROPIEDAD 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior.
C
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, BC, AC
NOTACIÓN:
?ABC: Triángulo de vértices A, B y C
?β
Se cumple:
z=α+β
PROPIEDAD 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice.
B
RE GIÓ N E XTE RIO R
RE LATIVO AL BC
RE GIÓ N E XTE RIO R
RE LATIVO AL AB
A
RE GIÓ N
INTE RIO R
y
C
x
RE GIÓ N E XTE RIO R
RE LATIVO AL AC
z
ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DEL TRIÁNGULO:
Q
y
B
Se cumple:
x + y + z = 360°
PROPIEDAD 4. De correspondencia.
?
x
P
?
A
?
z
ÁNGULOS INTERIORES:
BAC; m?BAC = ?
?ABC; m?ABC = ?
?BCA; m?BCA = ?
z
?α
REGIÓN EXTERIOR E INTERIOR DEL TRIÁNGULO:
c
b
?β
θ
?
Si: β > θ
C
R
ÁNGULOS EXTERIORES:
Se cumple:
b>c
PROPIEDAD 5. Relación de existencia del triángulo.
?PAB; m?PAB = x
?QBC; m?QBC = y
?RCA; m?RCA = z
b
c
a
Si: a > b > c
Se cumple:
Educación Rumbo al Bicentenario- 132
b–c<a<b+c
GEOMETRÍA
PROPIEDADES AUXILIARES:
1. Se cumple.
Se cumple: α ≠ β ≠ θ
α+β+ θ=x
TRIÁNGULO ISÓSCELES:
Β
β
a
α
θ
X
)α
Α
2. Se cumple:
a
α+β =M+N
α
(
C
AC : Base
TRIÁNGULO EQUILÁTERO:
β
m
B
60º
n
a
α
3.
Se cumple: x =
60º
º
A
m+n
2
a
60º
a
C
2. SEGÚN SU ÁNGULOS:
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS:
x
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO.
n
m
Β
)
α
4.
β
α
β
β
)α
Α
Se cumple: α+β = m + n
α < 90°
m
θ
;
β < 90°
(
;
C
θ < 90°
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO.
Β
α
?
)
β
n
α
θ
)
?β
Α
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:
α > 90°
;
β < 90°
;
Α
)
TRIÁNGULO ESCALENO: (a ≠b ≠ c)
AB y BC : Catetos
AC : Hipotenusa
β
b2 = a2 + c2 T. de Pitágoras
θ
α
α
b
c
Se cumple:
a
c
C
θ < 90°
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
1. SEGÚN SUS LADOS:
(
Β
a
b
133
Educación Rumbo al Bicentenario
β(
C
GEOMETRÍA
5.
Del gráfico, calcula el valor de "x"
x
1.
En la figura, calcular el valor de x,
16
º+
x
β
β
α
2α
20°
3x
A) 15°
D) 30°
A) 30°
D) 60°
68º
B) 42°
E) 24°
C) 19°
6.
2.
C) 50°
B) 15º
E) 80º
C) 40º
En la figura, hallar “x”
En la figura, calcular el valor de φ.
3φ
3φ
β
4φ
5φ
A) 50º
D) 10º
9φ
A) 20°
D) 17°
3.
B) 40°
E) 70°
B) 55°
E) 10°
C) 15°
7.
En la figura el triángulo ABC es escaleno. ¿Cuántos triángulos
existen, si la medida del lado
es entero?
En la figura, calcular “x
20º
10º
x
8º
A) 18°
D) 21°
4.
x
B) 19°
E) 22°
xº
A) 5
D) 6
C) 20°
8.
B) 4
E) 7
C) 3
Calcular el mínimo valor de “x”.
X+3
X-3
En la figura, calcular el valor de α,
si: BD = BC
8
A) 5
D) 6
9.
A) 20º
D) 50º
B) 30º
E) 40º
C) 60º
Educación Rumbo al Bicentenario- 134
B) 4
E) 8
C) 3
Dado un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en BC se ubica
el punto “D” tal que: AD =AC. Calcular la m
ABD=15°
A) 50°
D) 40°
B) 30°
E) 20°
ABC, si m
C) 45°
GEOMETRÍA
10. Calcular x + y + z
15. En el gráfico mostrado, determina θ.
100º
x°
z°
θ
y°
A) 540º
D) 360º
20º
B) 90º
E) 180º
40º 80º
C) 240º
A) 30°
D) 50°
11. En el gráfico; calcule “x”
B) 10°
E) 20°
C) 55°
16. De la figura, calcula x+y+z+α.
70 - q
x
y
θ
60º
A) 40º
D) 60º
100°
B) 20º
E) 30º
x
C) 80º
A) 25º
D) 30º
B) 180°
E) 400°
C) 150°
17. En la figura, calcular "x"
B
2x
20º
x
z
α
A) 100°
D) 200°
12. En la figura, determina el valor de x
A
θ
40 + q
F
θ
C
T
B) 40º
E) 20º
C) 10º
13. Del gráfico, determina el valor de: E=α+ω+ θ
A) 9º
D) 36º
110º
B) 18º
E) 42º
C) 27º
18. Del gráfico, calcule x, si: ω - θ = 20º
100º
70º
β
x
β
A) 10°
D) 60°
B) 30°
E) 10°
C) 50°
14. En la figura mostrada. Calcular x.
B
N
α+ θ
x
θ
ω
A) 80°
D) 40°
α
α
B) 90°
E) 50
C) 60°
19. En el gráfico mostrado; AB=BC y AD=BC+CD. Determina θ.
B
θ
A
A) 165°
D) 120°
4α
α E
B) 105°
E) 150°
α
4θ
F θ
3θ
C
C) 100°
A
135
60°
C
θ
Educación Rumbo al Bicentenario
D
GEOMETRÍA
A) 30°
E) 60°
B) 45°
E) 50°
C) 40°
20. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcula xº.
B
xº
θ
2θ
45º
θ
θ
A) 10º
D) 15º
70º
A
C
A) 10°
D) 72°
B) 45°
E) 30°
C) 36°
5.
B) 20º
E) 45º
C) 30º
Determina "x"
x
1.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican M
y N en los segmentos AB y BC, respectivamente, tal que
AM=MC y MN=NC. Si m<BAC=2(m<MNB), determina la
m<MNB.
A) 10º
D) 20º
2.
B) 12º
E) 18º
C) 15º
B) 20°
E) 45°
40º
C) 15°
“ La única forma de aprender
matemáticas es hacer matemática”.
θθ
(Paul Halmos)
F
A
A) 4
D) 9
α
α
C
α
T
B) 5
E) 6.5
c) 6
En el gráfico mostrado, BD=4 y BC=6, determina el valor de
AD.
B
3α
4α
A
A) 6
D) 8
4.
A) 25°
D) 30°
20º
En la figura, BC=7 y AF=2. Determina el valor de AB.
B
3.
40º
D
B) 9
E) 10
2α
C
.
C) 12
Calcular "θ" en la gráfica.
Educación Rumbo al Bicentenario- 136
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS II
9
INCENTRO (I): Es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores de un triángulo
LÍNEAS NOTABLES
B
1. CEVIANA:
I: Incentro
θ θ
Es el segmento de recta que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
N
P
B
I
A
N
A
M
α
α
β
β
M
C
b) BISECTRIZ EXTERIOR:
C
En el ∆ ABC:
BM : Ceviana interior relativa a AC
BN : Ceviana exterior relativa a AC
B
BN : Bisectriz exterior
relativo a BC.
θ
θ
2. MEDIANA:
Segmento que une un vértice con el punto medio del
opuesto a dicho vértice.
lado
B
A
C
N
EXCENTRO (E): Es el punto de concurrencia de dos bisectrices
exteriores con una bisectriz exterior.
A
b
b
N
B
C
En el triángulo ABC:
BN : Mediana relativo a AC
B
BARICENTRO (G):
Es el punto donde
concurren las tres
m ed i a n a s d e un
triángulo.
N
M
A
c
G
a
A
w
w
c
a
b
S
b
θ
Es el segmento que une; un vértice con el lado opuesto o la
prolongación del lado opuesto; de forma perpendicular.
C
B
En el ∆ABC
BH : Altura relativo a AC
Es el segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos
ángulos de igual medida.
a) BISECTRIZ INTERIOR
A
θ
C
3. BISECTRIZ:
M
E
4. ALTURA:
«G»: Baricentro en el ABC
B
α
α
En el ∆ABC:
AM : Bisectriz interior
relativo a BC.
A
H
C
θ
θ
C
137
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
ORTOCENTRO (O): Es el punto de concurrencia de las tres
alturas en un triángulo.
2.
En un triángulo acutángulo ABC:
B
a
“O” Ortocentro
O
A
x
α
α
C
5. MEDIATRIZ: Es una recta que pasa por el punto medio de
un lado cortándolo en forma perpendicular.
x = 90°+
β
β
3.
a
En el triángulo ABC:
L
B
a
2
x = 90° -
L : Mediatriz de AC
αα
a
2
β β
x
a
A
a
C
CIRCUNCENTRO (C): Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo.
1.
Si BD es mediana. Calcula AC, si DC=4.
B
a
a
A
B
b
b
c
d
d
A
D
A) 7
D) 8
C
2.
C
B) 6
E) 9
C) 5
En la figura. Si L es mediatriz del BC , calcula x
C: Circuncentro del ∆ V
ABC
B
ÁNGULOS FORMADOS POR BISECTRICES
70º
1.
a
x
x=
α
α
80º
a
2
β β
Educación Rumbo al Bicentenario- 138
x
A
C
L
A) 30º
D) 60º
B) 40º
E) 75º
C) 50º
GEOMETRÍA
3.
C) AP
D) A, B, C
En la figura. AP altura del triángulo equilátero ABC , calcula x
B
6.
8.
100º .
En un triángulo ABC se cumple: m∠ABC + m∠ACB =
Calcule la medida del ángulo agudo que determinan la altura
y la bisectriz exterior trazadas desde el vértice A.
B) 40
E) 55
C) 60
En la figura. Calcula x
x
C
A) 30º
D) 50º
4.
) Mediatriz
) Mediana
A) 50
D) 48
P
A
(
(
B) 53º
E) 45º
α
α
C) 60º
5x
En la figura, AH altura del triángulo ABC y CD bisectriz
interior del triángulo AHC. Calcula x.
θ
θ
x
B
A) 18°
D) 10°
H
9.
B) 12°
E) 20°
C) 15°
En la figura. Calcula x
D
A
A) 10°
D) 20°
5.
10º
x
50º
α
C
B) 15°
E) 40°
α
C) 25°
x
En la figura, AM mediana del triángulo ABC. Calcula θ, si
AD=BM=DC
A) 160°
D) 150°
B
θ
θ
B) 120°
E) 100°
C) 130°
10. En la figura. Calcular “x”
M
θ
A
θ
A) 10°
D) 60°
6.
B) 30°
E) 25°
C) 37°
En un DABC; recto en B. Se traza la bisectriz interior AE ;
Si AE=EC. Calcular m∠ACE .
A) 60º
D) 40º
7.
C
D
B) 50º
E) 30º
A) 20°
B) 25°
C) 30°
D) 15°
E) 18°
C) 20º
De acuerdo a la figura relaciona
columnas de manera adecuada.
los datos de ambas
11. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP (“P” en AC ) tal
que: AB = BP = PC. Calcular la medida del ángulo interior
L
B
“C”, si m
A) 40°
D) 20°
P
A
A) BM (
B) L (
α
α
M
A=80°.
B) 80°
E) 30°
C
) Bisectriz
) Vértices
139
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 60°
GEOMETRÍA
12. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD tal que;
A = 75°. Calcular m
BD = DC. Si m
A) 45°
D) 35°
C”.
B) 60°
E) 25°
C) 30°
18. En un triángulo ABC se sabe que: m B=62° y m C=
18°. Calcular la medida del ángulo que forman las alturas
trazadas desde los vértices “B” y “C”.
A) 100°
D) 90°
13. En un triángulo “ABC” se traza la ceviana BP tal que: AP =
PB y PB = BC. Calcular “m
A) 10°
D) 40°
ABP”, siendo m
B) 20°
E) 15°
C=40°
C) 30°
14. En la figura mostrada: m BAC=64°, m
altura y CE bisectriz. Hallar “x”
ABC=42°. AD es
B) 80°
E) 72°
C) 60°
19. En un triángulo ABD se trazan las cevianas AE y BC , tal que
60º . Calcula m∠EAC
AB = BE = AC, CE = ED y m∠BAC =
A) 8°
D) 12°
B) 9°
E) 15°
C) 10°
20. En la figura se cumple a + 2b = 100, calcula el valor de x.
A
a
b
β
β
B
A) 111°
D) 138°
B) 127°
E) 140º
A) 140°
D) 130°
C) 112°
α
α
x
b
3b
C
B) 110°
E) 135°
C) 120°
15. En la figura, calcula x.
80º
1.
En la figura. Calcula “a + b”. BD es bisectriz de ∠ABC .
x
θ
α α
θ
A) 100°
D) 130°
B) 105°
E) 86°
C) 50°
16. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH y la
bisectriz interior AE que se cortan en “P”.
Hallar “PH” ; si BH = 7 y BE = 4
A) 3
D) 6
B) 4
E) 2
A) 60°
D) 90°
C) 5
2.
17. Calcule "x°".
B) 75°
E) 80°
C) 100°
En la figura Calcular (x + y). Si a + b = 120°
B
80º
α
A
A) 140°
D) 110°
α
θ
xº
B) 130°
E) 125°
θ
C
C) 120°
Educación Rumbo al Bicentenario- 140
A) 100°
D) 60°
B) 70°
E) 80°
C) 50°
GEOMETRÍA
3.
En un triángulo ABC, se trazan la altura relativa al lado AC
y la bisectriz exterior del ángulo A que se cortan en el punto
P. Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos
C Â P y P B̂ C de modo que 2m
A) 82°
D) 60°
4.
A=128°.
B) 48°
E) 21°
C) 58°
“Admito que las ciencias matemáticas
son algo bueno. Pero excesiva
devoción a ella es algo malo”.
En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores
BD y BE tal que BE es bisectriz del ∠DBC y
m∠BCA =∠
m ABD =∠
m DBC si AD = EC, calcula la m∠DBE
A) 18°
D) 24°
5.
B+m
B) 36°
E) 16°
C) 15°
(Aldous Huxley)
Según el gráfico, calcule x/y
y
m
θ
2n
m
α
θ
α
n
x
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 1
E) 2
141
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
CONGRUENCIA
10
DE TRIÁNGULOS
3ER CASO (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados congruentes. Ejemplo:
TRIÁNGULOS CONGRUENTES:
R
Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia
uno a uno entre sus vértices de tal manera que sus pares angulares y lados correspondientes son congruentes.
B
E
β
β
Q
A
θ
A
α
C
D
θ
α
F
NOTACIÓN:
Emplearemos la notación ∆ABC ≅ ∆DEF para indicar que el
∆ABC es congruente con el ∆DEF
CASOS DE CONGRUENCIA:
Para poder afirmar que los triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida
que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de
los que, por lo menos uno, debe ser un lado.
Los casos más comunes son:
C
M
T
En la figura se observa que el ∆ARC ≅ ∆MQT
Entonces
m ∠ A=m ∠M ,
1.
m ∠ R =m∠ T y m ∠ C=m∠ Q
En la figura, calcula “α”
1ER CASO (A.L.A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y
sus dos ángulos adyacentes también congruentes. Ejemplo:
B
A) 45°
D) 50°
N
2.
β
B) 70°
E) 60°
C) 40°
En la figura: PQ=AC, calcular: BP.
Q
B
A
β
θ
C
M θ
α
Q
6
En la figura se observa que el ∆ABC ≅ ∆MNQ
Entonces
A
2DO CASO (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes
y congruente el ángulo comprendido por dicho lados. Ejemplo:
T
θ
A
θ
C
N
Q
En la figura se observa que el ∆ABC ≅ ∆NTQ
Entonces
m ∠ C=m∠Q , m ∠ B=m∠N y BC = NQ
Educación Rumbo al Bicentenario- 142
A) 3
D) 1
θ
10
α
θ
AB = NQ , BC = MQ y m ∠ B=m∠Q
B
P
C
B) 4
E) 2
C) 8
GEOMETRÍA
3.
En la figura, calcula x
7.
Del grafico calcular "x" si AP = PL y BP = LC
B
x
L
70º
A
50º
50º
A) 55º
D) 30º
4.
B) 40º
E) 50º
50°
A) 60º
D) 50º
C) 70º
8.
C) 20º
En el gráfico, AB=CD. Determina el valor de α.
B
En la figura, calcula x
80º
β
a
70º
α
C
20º
β
x
50º
A) 50º
D) 30º
C
B) 25º
E) 40º
A
5.
x
P
B) 40º
E) 20º
a
D
A) 70º
D) 40º
C) 60º
9.
En la figura, calcula x
B) 35º
E) 20º
C) 50º
En la figura, calcula x
x
50º
A) 80º
D) 50º
6.
20°
60º
B) 40º
E) 70º
x°
20°
A) 15º
D) 25º
C) 60º
B) 10º
E) 35º
C) 20º
10. Del gráfico, calcular x, si: AB = CD.
En la figura, calcula y
B
x 70º
E
40º
A
A) 35º
D) 30º
A) 134º
D) 50º
B) 46º
E) 54º
40º
D
C
B) 60º
E) 45º
C) 44º
143
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 20º
GEOMETRÍA
11. En el gráfico, calcular MQ; Si: AQ=QR
15. En el gráfico, AM=QC, AP=CN y AB=BC. Determina el valor
de x.
Q
M
B
12
A
x
P
R
M
P
8
A) 13
D) 6
110º
A
B) 4
E) 12
C) 8
12. En la figura, Determina la m
C
A) 55º
D) 35º
B) 50º
E) 60º
C) 40º
16. En el gráfico, ABC equilátero.
CAQ
Determina x si AE=BF.
B
B
θ
x
E
30º
75º
C
α
µ 0I
(cos
A) α + θcos β)
4 πd
2θ−α
B)
D)
D)
θ−α
C) 60º
2θ+α
C
A
Q
θ
D
A) 60º
D) 70º
B) 45º
E) 105º
C) 25º
17. Calcular x. Si: AB=ED y AE=CD.
13. Determina el valor "x", si AB=BD y BE=BC
B
F
120º
2α+θ
A
B
N
Q
C
E
x
x
B
x
140º
C
A
A
A) 15º
D) 65º
D
A) 60°
D) 80°
B) 50°
E) 40°
C) 70°
14. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y AD=BE.
Determine α
B
D
E
C
B) 53º
E) 15º
C) 60º
Educación Rumbo al Bicentenario- 144
E
B) 30º
E) 55º
D
C) 45º
18. En un triángulo rectángulo ABC se trazan las cevianas BD y
m∠BAC = 2(m∠EBC)
BE de modo que AB = DC, BD = BE. Si
. Calcula la m∠ABD .
A) 45
D)
α
A
A) 45º
D) 30º
α
70°
70°
53º
2
B)
E)
45º
2
37º
2
C) 37
GEOMETRÍA
19. En el gráfico. Determina el valor de x, si m
BCD=70º y el triángulo ABC es equilátero.
A) 10°
D) 18°
BDC=m
3.
B) 12°
E) 20°
C) 15°
Determina el valor de "x"
B
10º
L
A
D
A) 30º
D) 40º
x
x
4x
C
10º
B) 20º
E) 15º
A) 18°
D) 30°
C) 10º
4.
B) 20°
E) 45°
B
B
x
M Φ
N
D
Φ
Φ
H
5x
x
P
A
A) 18°
D) 15°
C
A) 10
D) 9
C) 16°
Determina el valor de "x".
20. En la figura, AB=MN, MC=12 y AH=3. Determina PH
A
2x
B) 12
E) 6
C)8
5.
x
C
B) 10°
E) 25°
C) 40°
A partir de figura mostrada determina el valor de "x".
B
1.
2θ
60°-θ
En el gráfico; AB=EC y AD=DE. Determina el valor de θ
B
D
θ
x
C
A
A
20°
θ
E
C
3θ
80°
A) 30°- θ
D) 30°+ θ
B) 30º
E) 40º
C) 20°
D
A) 15°
D) 16°
2.
B) 20°
E) 18°
C) 10°
“Dios no se preocupa sobre nuestras
dificultades en matemáticas;
él se integra empíricamente ”.
En el gráfico, determina el valor de "x".
40°
(Albert Einstein)
x
10°
40°
80°
145
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
TEOREMAS DERIVADOS DE CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
11
1. TEOREMA DE LA BISECTRIZ:
Todo punto situado en la bisectriz de un ángulo, equidista de
sus lados.
A
4. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA DE UN TRIANGULO
RECTANGULO:
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a su hipotenusa
es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa.
Se
cumple:
B
P
α
α
O
B
A
Se cumple:
PA = PB y
C
E
OA = OB
Se cumple:
2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ:
Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de
sus extremos. Se cumple:
P
AC
BE = 2
TEOREMAS :
1. PARA TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 15º Y 75º.
B
A
B
H
A
75º
15º
H
Se cumple:
C
BH = AC
PA = PB
4
3. TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS:
En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos
lados, es paralelo al tercer lado y su medida es igual a su mitad.
2. PARA TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES ABC(AB=BC)
B
B
H
D
E
a
C
A
A
C
AH = a+b
Se cumple:
DE // AC y DE =
b
AC
2
Educación Rumbo al Bicentenario- 146
GEOMETRÍA
6
1.
8
En el gráfico, Calcular “x”
C
B
A) 5
D) 7
6.
B) 10
E) 14
C) 20
En el gráfico, AC=6.Determina PQ.
P
B
A) 10
B) 12
C) 8
D) 17
E) 20
ω ω
m
β
A) 6
D) 3
7.
5
z
β
C
B) 9
E) 7
x
B) 2/3
E) 1/3
C) 3/2
En la figura. Calcular “x”
B
8.
B) 4
E) 17
A) 10º
D) 25º
A) 37º
D) 60º
10°
A
5.
A
B
B) 15º
E) 30º
C) 84º
En la figura, AM=MC=BP. Calcula “x”
C) 6
En la figura, calcular “x”
C
B) 80º
E) 40º
B
x°
: Mediana
M
x
4
A) 2
D) 16
BM
A
A) 42º
D) 21º
4.
C) 4
En el gráfico. Calcular “x” Si:
3
A) 3
D) 1
3.
A
x+z
En el gráfico. Determina el valor de
.
m
42°
2.
Q
α°
x°
P
α°
M
C
B) 53º
E) 22.5º
C
C) 20º
En el gráfico, determina BC.
147
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 45º
GEOMETRÍA
9.
El perímetro del triángulo ABC es 36u. Calcula el perímetro
del triángulo formado al unir los puntos medios del triángulo
MNE.
14. Si: AB = 16u, BC = 18u y AC = 20u. Calcula la longitud del
segmento MN
A) 25u
B) 27
C) 23
D) 24
E) 19
A) 12u
B) 18
C) 9
D) 6
E) 16
15. Calcula BE, si MN = 8u y BD // MN
10. En la figura. Calcula “x”
A) 40°
D) 70°
B) 100°
E) 110°
C) 120°
11. Se tiene el triángulo ABC; tal que: m<ABC=140°. Luego se
trazan las mediatrices de AB y BC que se cortan en Q.
Hallar m<QAC.
A) 40°
D) 60°
B) 30°
E) 35°
A) 8u
B) 16
C) 14
D) 12
A) 15
16. Calcula “AB”, si: PN = 3 y AQ = 8
C) 50°
12. Determina el valor de "x". Si: OA=2(OD)
B
β
A
A) 53°/2
C) 37°/2
x
β
O
B) 30°
E) 60°
θ
C
θ
D
A) 4
D) 3
B) 11
E) 5.5
C) 5
17. Calcula MD, si AD = 24u
B) 20°
13. Si: AM = MB y AN = NC. Calcula: α+θ
A) 8u
D) 14
A) 90°
D) 180°
B) 75°
E) 135°
C) 120°
C) 12
18. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, en el cual se
traza la bisectriz interior AD , la mediatriz de AD intersecta
a AB en "E" y a la prolongación de CB en "F". Si AE=CD,
calcula FD si AC=6.
A) 4
D) 7
Educación Rumbo al Bicentenario- 148
B) 10
E) 16
B) 5
E) 8
C) 6
GEOMETRÍA
19. Según la figura, L es mediatriz de NB , BC=ND y el
triángulo CAD es isósceles donde la base es DC . Calcula el
valor de "x".
3.
Si: BM=MC, AB=2DM. Determina θ
B
3θ
L
B
M
C
A
D
2x
N
θ
A
C
A) 10
D) 18
x
4.
D
A) 14°
D) 20°
B) 16°
E) 30°
B) 12
E) 20
C) 15
Del gráfico, calcule "x" si MD bisectriz en el triángulo AMC y
BH=HC.
B
C) 18°
20. En el gráfico, BC=2(AD) y BM=MC. Determina x.
H
M
B
A
A
x
M
D
A) 53º
D) 53º/2
En el gráfico AP=3 y PB=1. Calcule PC.
P
C) 45º
A
Del gráfico, calcula el valor de β, si: m?< BAC=65º y AM=MC.
B
M
60°
C
B
A) 5
D) 7
70°
E
D
C
M
A) 80°
D) 75°
B) 70°
E) 85°
B
A) 8
D) 14
C) 4
“No te preocupes por tus dificultades
en matemáticas. Te puedo asegurar
que las mías son aún mayores”.
C) 60°
En la figura mostrada determina el valor de "AN", si: BH = 4.
A
B) 6
E) 3
β
A
2.
C) 60º- α
θ C
B) 37º
E) 37º/2
C
B) 45º-α
E) 60º- α
60°
1.
α
x
D
A) 30º+α
D) 90º-2α
5.
θ
α
(Albert Einstein)
N
α
H
B) 12
E) 9
α
C
C) 16
149
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
POLÍGONOS
12
1. POLIGONO:
Es la figura geométrica formada por tres o más segmentos de
recta que unen ordenadamente tres o mas puntos no colineales.
P1 α1
Pn
β1
POLÍGONO EQUIÁNGULO: Cuando todos sus ángulos
internos tiene la misma medida.
β
Región interior
del polígono
β
β
θ
β
β
β
θ
θ
θ
α2
P2 β 2
α3
P5
β3
P3
β4
α4 P4
NOTACIÓN:
Polígono P1 P2 P3 ... Pn
ELEMENTOS:
•
Vértices P1, P2, P3,... Pn
•
Lados
POLÍGONO EQUILÁTERO:
Cuando todos sus lados son iguales entre sí.
P1P2 ,P2P3 ,P3P4 ,....,Pn P1
POLÍGONO REGULAR:
Cuando es equilátero y equiángulo simultáneamente.
•
•
•
•
Internos
b1, b2, b3, ......, bn
Externos
a1, a2, a3, ....., an
Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
Diagonal media: Es el segmento cuyos extremos son los
puntos medios de dos lados.
2. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS:
C
B
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS:
A
β
θ
β
β
O
φ
β
φ
D
θ
β
β
F
θ
E
O: Centro del polígono regular
Ángulo central: ∠ COD, ∠ DOE.....
POLÍGONO CONVEXO:
Cuando todos sus ángulos interiores son convexos, o sea menor
de 180°.
3. NOMBRE DE LOS POLÍGONOS:
N° DE LADOS
POLÍGONO CÓNCAVO:
Cuando tiene un ángulo interior cóncavo, por lo menos, o sea
mayor de 180°.
Educación Rumbo al Bicentenario- 150
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
NOMBRE
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
GEOMETRÍA
4. PROPIEDADES DEL POLÍGONO:
5.
PARA UN POLÍGONO DE N LADOS:
Cuántos lados tiene el polígono cuya suma de las medidas
de sus ángulos interiores es 900º.
A) 11
D) 8
1.N° vértices = N° lados = N° de ángulos
internos = N° de ángulos externos = n.
6.
B) 10
E) 7
Un ángulo interno de un polígono regular mide 150º. ¿Cómo
se llama este polígono?.
A) Decágono
D) Pentágono
2. N° de diagonales trazadas
=n -3
desde un vértice
7.
3. N° total de diagonales = n( n-3 )
B) Dodecágono
E) Heptágono
)
4. N° total de diagonales medias = n ( n-1
2
8.
C) Hexágono
La suma de las medidas de los ángulos interiores con la de
los exteriores es 900º. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A) 6
D) 8
2
C) 9
B) 5
E) 9
C) 7
En el polígono regular. Calcular (x + y)
y°
5. Suma de medidas de ángulos = 180°(n-2)
internos.
x°
6. Suma de medidas de ángulos
=360°
externos.(Solo para convexos)
A) 90°
D) 100°
PARA UN POLÍGONO EQUIÁNGULO Y REGULAR:
Medida de un ángulo exterior =
C) 120°
En la figura. Calcula “α”.
n
360º
5∝
Medida de un ángulo interior =
9.
180º (n -2 )
B) 60°
E) 80°
3∝
n
PARA UN POLÍGONO REGULAR:
7∝
360°
Medida de un ángulo central=
n
3∝
A) 3°
B) 5°
C) 7°
D) 9°
E) 10°
10. Si el polígono ABCDE es regular. Calcular “x”
1.
A) 7
D) 10
2.
x°
C)9
A
B) 110º
E) 135º
C) 120º
B) 15
E) 9
C
D
E
En un polígono se tiene que el triple de su número
diagonales trazados desde un vértice es igual a su número
de diagonales total. Calcula su número de diagonales
medias.. dodecágono regular.
A) 12
D) 6
4.
B)8
E) 11
Calcular la medida de un ángulo interno de un polígono
equiángulo de 8 lados.
A) 100º
D) 140º
3.
B
Cuántos lados tiene el polígono regular cuyo número total de
diagonales es el doble del número de lados.
A) 36°
D) 18°
B) 48°
E) 72°
C) 14
Calcular la medida de un ángulo externo de un icoságono
regular.
A) 18º
D) 15º
B) 20º
E) 17º
C) 30º
151
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 52°
GEOMETRÍA
11. En el polígono, calcula la suma de sus ángulos interiores.
17. Dos números consecutivos, representan los números de
vértices de dos polígonos convexos. Si la diferencia de los
números de diagonales totales es 3. ¿Cómo se llama el
polígono mayor?
A) Icoságono
D) Heptágono
B) Nonágono
E) Endecágono
C) Pentágono
18. En un polígono equiángulo ABCEF. Las bisectrices de los
ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcular el número
de diagonales de dicho polígono.
A) 2520°
B) 1440°
C) 2880°
D) 900°
E) 2440°
A) 58
D) 54
B) 50
E) 51
C) 52
19. Se tiene un octágono equiángulo ABCDEFGH en el cual:
AB = 2m; BC= 2 m; CD=3m. Calcular la longitud de la
diagonal AD.
12. En un polígono el número de diagonales medias es igual al
doble del número de ángulos exteriores. ¿Cómo se llama el
polígono?
A) Triángulo
D) Hexágono
B) Cuadrilátero
E) Octógono
13. En un polígono regular se cumple que la suma de las
medidas de un ángulo central, ángulo exterior y un ángulo
interior es 210º. Calcular el número total de diagonales
A) 50
D) 14
A)
C) Pentágono
B) 64
E) 54
C) 44
B) 35
E) 10
C) 9
B)
5m
C) 4m
E) 3 2 m
D) 5m
20. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es “p” y
el número que expresa su número de diagonales es igual al
perímetro. Además su ángulo interior es “p” veces su ángulo
exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?
A) 1/3
D) 1
14. En cierto polígono convexo, el número de triángulos
obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con los
vértices, es 6. Hallar el número de diagonales de dicho
polígono.
A) 18
D) 8
3m
1.
B) 1/5
E) ½
C) 1/4
En la figura, se presenta parte de un polígono regular de “n”
lados. ¿Cuánto vale “n”?
15. Se tienen un polígono regular cuyo perímetro es P y en el
cual el número que expresa su número de diagonales es
igual al perímetro. Además su ángulo interior es P veces su
ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?
A) 1/8
B) 1/6
D) ½
E)
C) 1/4
2 −1
2
A) 40
D) 18
16. En la figura. UNCPE polígono regular,
2.
ω
B) 36
E) 24
ABCD... y QRST ... son polígonos regulares. Si el primero
tiene 18 lados y la medida de los ángulos FSR y HGT suman
29. Calcula, el número de diagonales del segundo polígono.
C
F
N
U
Calcula
A) 60°
D) 85°
ρ
ω
E
P
ρ
C) 45
D
C
E
S
G
T
H
R
Q
B
A
B) 70°
E) 80°
C) 75°
Educación Rumbo al Bicentenario- 152
A) 405
D) 710
B) 740
E) 820
C) 560
GEOMETRÍA
3.
Si el número de lados de un polígono regular aumenta en
10, cada ángulo interior del nuevo polígono mide 3° más que
cada ángulo interior del polígono original. Calcula la medida
del ángulo exterior del polígono original.
A) 18°
D) 10°
4.
B) 15°
E) 8°
C) 12°
En la figura se muestra un polígono regular. Calcula la suma
de ángulos internos del polígono.
“ Las matemáticas son la ciencia
de lo que está claro por sí mismo”.
θ
(Carl Jacob Jacobi)
7θ
A) 8 cm
D) 12 cm
5.
B) 6 cm
E) 4 cm
C) 10 cm
En la figura, ABCDEFGH es un octógono equiángulo. Calcula
AE, si AB=CD, BC=DE y BD= 5
C
D
B
E
A
F
H
A) 8
D) 10
2.
B) 12
E) 16
G
C) 20
153
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
CUADRILÁTEROS
13
B)
CUADRILÁTERO:
Es el polígono de cuatro lados. Se presentan de dos formas
TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO:
C
B
D
A
NO CONVEXO
CONVEXO
2) TRAPECIO: Es el cuadrilátero que tiene solo un par de
lados opuestos paralelas, a los cuales denominan bases.
CARACTERÍSTICAS:
1. LA SUMA DE SUS ÁNGULOS INTERNOS ES 360º.
C
B
Sí BC / /AD entonces cuadrilátero ABCD trapecio.
Q
Ψ
A
α+β+θ+φ= 360º
M
Y
X
D
S
Z
X + Y + Z +W = 360º
N
A
R
P
B
B
PROPIEDADES:
1.
D
C
A
D
A
En todo trapecio la base media es paralela a las bases y su
longitud es la semisuma de las longitudes de dicha base.
MN = Media y MN / / AD / /BC
a
B
AC: Diagonal
BD: Diagonal
1) TRAPEZOIDES.- Son cuadriláteros, cuyos lados opuestos
no son paralelos.
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO:
C
A
N
A
x=
2.
B
D
b
a+b
2
En cualquier trapecio el segmento que une los puntos medios
de sus diagonales es paralelo a las bases y su longitud es la
semidiferencia de las longitudes de las bases.
BC / /PQ / /AD
a
B
P
D
A
b−a
2
Educación Rumbo al Bicentenario- 154
C
M
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS
A)
D
H
Elementos:
Base Menor: BC
Base Mayor: AD
Base Media: MN
Altura:
CH
2. PRESENTA DOS DIAGONALES.
C
C
B
W
C
Q
x
b
D
GEOMETRÍA
CLASIFICACIÓN:
2. ROMBO:
1. TRAPECIO ESCALENO:
2. TRAPECIO RECTÁNGULO:
B
B
C
C
B
A
A
D
D
A
D
3. TRAPECIO ISÓSCELES:
B
3. RECTÁNGULO:
C
θ
A
θ
Propiedades
B
C
A
M
C
A
D
4. CUADRADO:
AC= BD
θ
B
D
AM = ND
θ
C
B
C
A
D
D
N
3) PARALELOGRAMO: Es aquel cuadrilátero en el cual los
lados opuestos son paralelos.
ABCD: Paralelogramo ⇒ AB / /CD ;BC / /AD
PROPIEDADES AUXILIARES
B
C
1. PROPIEDAD:
Si: 2p es perímetro del trapezoide ABCD, se cumple:
C
B
A
D
PROPIEDADES: ABCD: Paralelogramo
B
p < AC + BD < 2p
M
β
A
D
A
C
ω
θ
2. PROPIEDAD: TRAPECIO:
D
Los ángulos opuestos miden iguales
β=ω
a
x
b
La suma de dos ángulos consecutivos suman 180º
β + θ =180º
Las diagonales se bisecan
AM=MC
y
BM=MD
x=
CLASIFICACIÓN:
a+b
2
1. ROMBOIDE:
a
C
B
x
b
A
D
x=
155
a−b
2
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
3.
a
2n
2m
En el gráfico: ABCD es un romboide. Calcular x. M es punto
medio de AD .
M
a + 2b
3
6
x
D
A) 37º
D) 45º
Si: G baricentro, se cumple:
4.
b
B
n
b
x=
5
A
x
m
C
B) 53º
E) 20º
C) 30º
Siendo ABCD un rectángulo. Calcula x.
G
c
x
a
x=
a+b+c
3
A) 46º
D) 48º
5.
3. PROPIEDAD: Paralelogramo
B) 56º
E) 62º
En la figura, ABCD Trapecio. Calcula x
B
b
m
c
m
d
a
M
C
n
N
n
D
x+1
A) 7
D) 6
6.
3u
x-1
A
a+c=b+d
C) 52º
B) 4
E) 10
C) 5
En la figura: ABCD es un trapecio isósceles. Calcular 2θ.
P
1.
A) 30º
D) 90º
2.
B) 45º
E) 72º
C) 135º
A
A) 36º
D) 32,5º
Si: ABCD es un romboide, BO = 2x;
OD = 16u y AO = 3x. Calcula AC.
A) 36
D) 32
B) 48
E) 44
3θ
B
En un cuadrilátero ABCD: m<A =θ; m<B= m<C = 2θ y
m<D = 3θ. Calcula la m<C.
7.
C
D
B) 22º
E) 21,5º
2θ
R
C )22,5°
En el gráfico ABCD es un trapecio de base menor BC = 8 y
CD = 13u. Calcula AD. Si además ABCE es un romboide.
C) 28
A) 20u
D) 18
Educación Rumbo al Bicentenario- 156
B) 22
E) 17
C) 21
GEOMETRÍA
8.
En la figura. Calcula AD, si ABCD es un romboide.
12. Del gráfico, UNAT rombo. Calcula x, si UA=8 y TM=5
C
x
N
A) 2m+n
C) 2(m+n)
E) 2(m-n)
9.
B) m+2n
D) m+n
B
α°
α°
A) 37º
D) 53º
B) 16º
E) 18º
c) 45º/2
13. Se tiene un cuadrado ABCD. Tal que «E» es un punto de AC
Si AE = 7(EC), calcula m∠CBE .
C
A) 8°
D) 12°
Q
M
B) 15°
E) 10°
C) 18°
14. Si: ABCD es un paralelogramo, PQ = 12, EF=17. Calcula: EL.
D
A
A) 8
D) 6
53º
2
U
Si ABCD es un cuadrado y PBCQ es un paralelogramo, calcula
"PM", si: AB=10 u y PB=6 u
P
M
P
B) 4
E) 5
C) 7
10. En el gráfico, ABCD es un rectángulo y EC=BD. Determina el
valor de x.
E
A) 5
D) 9
x
B) 7
E) 10
C) 8
15. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD). Calcula m
B
ADC
C
40º
20º
A
A) 40º
D) 55º
D
B) 25º
E) 45º
C) 30º
A) 37°
B) 53°
C) 90°
D) 30°
E) 60°
11. Si "O", es centro del cuadrado ABCD y OE = 20. Determina
la CE.
C
B
16. En el gráfico ABCD es un trapecio isósceles, AP=2(BD).
Calcule el valor de "x"
45
°
B
O
°
30
A
A) 20 3
D) 10
D
B) 5 3
E) 20
C
E
C) 10 3
D
A
x
A) 30°
D) 53°
157
B) 37°
E) 60°
Educación Rumbo al Bicentenario
P
C) 45°
GEOMETRÍA
17. Si los rectángulos ABCD y DMNP son congruentes, y sus
dimensiones miden 1 y 7, calcula la distancia entre sus
centros.
P
N
1.
En el paralelogramo ABCD mostrado BM=MC; ME=9 y EC=5.
Calcula AM
E
2φ
M
D
C
A
B) 6
E) 5 2
C) 7
A
2.
C
L
3.
D
A) 24°
D) 36°
B) 28°
E) 40°
C) 32°
19. En la figura, QUIM es un paralelogramo. Calcula TH, si
QN=NU=5 y NT=TI.
U
B) 40
E) 45
C) 50
En un paralelogramo ABCD, se traza exteriormente los
115º . Calcula
rectángulos ABEF y BCGH, tal que m∠GDF =
la medida del ángulo determinado por AH y EC .
A) 55°
D) 85°
4.
B) 75°
E) 65°
C) 45°
Si ABCD es un rombo y AM+MO=8, determina "x"
B
N
C
θ
x
37º
A) 9
D) 3
B) 6
E) 10
T
C) 4.5
20. En la figura mostrada ABQC y PQRS son cuadrados. Calcular
“x”
Q
B
M
2θ
M
H
C) 14
En un trapezoide ABCD, BD biseca en “Q” a AC , las
mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P”
m∠PQD =
40º
que pertenece a AD . Calcular la m∠BPC , si
.
I
T
Q
B) 4 14
E) 7
A) 80
D) 60
N
A
D
A) 2 14
D) 21
18. En el gráfico, ABCD es un cuadrado; AL=5 y LN=3. determina
AB.
B
C
φ
B
A) 5
D) 4
M
B
A) 8
D) 10
5.
A
O
B) 6
E) 9
D
C) 4
Se tiene un trapecio rectángulo ABCD, donde AB es
la altura. Si las bisectrices de los ángulos BCD y ADC se
intersecan en P, determina el valor de la distancia de P a
AB , sabiendo que AB= 2 3 y BC=CD=4
R
x
P
A
A) 2θ
D) 3θ
A) 2 3
θ
C
D) 4
B) 2
E)
C) 3
3
S
B) 90º – 2θ
E) 4θ
C) 90º –θ
“ Las matemáticas son la creación
más poderosa y bella del espíritu humano”.
(S te fan Banach)
Educación Rumbo al Bicentenario- 158
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA I: PROPIEDADES
FUNDAMENTALES EN LA CIRCUNFERENCIA
14
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN:
Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de otro
punto de dicho plano denominado centro.
A la distancia constante de estos puntos al centro de estos puntos al centro se le denomina radio.
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA:
1. La recta tangente a una CIRCUNFERENCIA es perpendicular
al radio trazado en el punto de tangencia.
L
?
r
T
O
O
Si L es tangente y OT radio
Entonces
ELEMENTOS:
2. Todo radio perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda
y a los arcos que subtiende.
O:Centro
r: Radio
LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA:
N
O
Q
A
B
M
M
P
α = 90º
N
A
B
L2
Si el radio ON es perpendicular a la cuerda AB
Entonces
AM = MB y mAN =mNB
T
3. En una misma circunferencia; si dos arcos de igual medida
sus cuerdas correspondientes son de igual longitud y además
dichas cuerdas equidistan del centro.
L1
PQ: Cuerda
B
AB: Diámetro
M
PQ: Arco
MN: Flecha o Sagita
A
L1: Recta tangente
C
O
L2: Recta secante
N
D
Si la mAB =mCD
Entonces
AB =CD y ON =OM
159
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
4. En una circunferencia los arcos comprendidos entre dos
cuerdas paralelas son de igual medida.
B
A
TEOREMA DE PITHOT:
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma
de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las
longitudes de los otros dos lados.
C
b
B
D
C
c
a
m
T
A
Si el AB // CD // m
Se cumple:
a+c = b+d
Entonces
mAC =mBD
D
d
y mCT =mTD
5. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados
desde un punto exterior son de igual longitud.
?
A
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
COPLANARES:
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES:
P
R
r
?
O1
O2
O
B
O1 O2 > R + r
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES:
Si PA y PB son tangentes y O es centro
Entonces
R
PA = PB
r
y PO es bisectriz
O1
O2
TEOREMA DE PONCELET:
En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los
catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el
diámetro de la circunferencia inscrita.
O1 O2 = R + r
CIRCUNFERENCIAS SECANTES:
C
a
b
R
r
r
O1
A
c
B
Se cumple:
a + b = c + 2r
NOTA:
Inradio: Radio de la circunferencia inscrita.
Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita.
Educación Rumbo al Bicentenario- 160
R – r < O1 O2 < R + r
O2
GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES:
2.
En el gráfico. Calcula α si «P» y «Q» son centros de las
circunferencias.
R
α
r
O1
P
T
O2
A) 60º
D) 16º
3.
O1 O2 = R – r
B) 90º
E) 30º
C) 45º
En el gráfico. Calcula x; si: “A” y “B” son puntos de tangencia.
64º
A
CIRCUNFERENCIAS INTERIORES:
R
Q
r
O1
x
B
O2
A) 50º
D) 53º
4.
P
B) 42º
E) 74º
C) 52º
En la circunferencia de centro “O”, calcule el valor de “x”.
O1 O2 < R – r
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS:
x
O
4
R
r
O
5.
A)3
B)2
D)1
E)
C)
2
3
En el gráfico: «P» y «Q» son puntos de tangencia: “O” es
centro. Calcular x
P
O
1.
En el gráfico, si AB= R 3 , «O» es centro y A punto de
tangencia. Calcula x.
36º
x
A
Q
R
A) 64º
D) 44º
O
x
A
A) 53º
D) 55º
B) 45º
E) 30º
B) 54º
E) 84º
B
C) 60º
161
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 74º
GEOMETRÍA
6.
10. En la circunferencia de centro “O”, calcule el valor de “x”.
En la figura, calcule el radio “x”.
a
x
6
O
x
2
a+x
A) 3
D) 4
7.
3
B) 2
E) 5
C) 1
En el gráfico: Calcular la longitud de la flecha correspondiente
A)5
D)4
B)2
E)3
C)6
11. De la figura adjunta AE–CE = 26. Calcular BD.
a AB . Si: AB=8 y r=5
A
B
A
r
O
B
C
O
D
O'
E
A) 4,1
D) 4
8.
B) 2
E) 8
C) 2,1
En la circunferencia, calcule el valor de “x”.
A) 8
D) 10
B) 12
E) 13
12. Calcule el valor de “x”, si “A, B C, y D” son puntos de
tangencia con las circunferencias.
5
X
C) 16
A
E xº
7
A)3
D)4
9.
B) 6
E) 2
C
B
C)7
D
En la figura mostrada, calcule el valor de “x”
A) 130º
E) 120º
x
B) 150º
E) 127º
C) 90º
13. De la figura, AB = 8 y BC = 10. Calcular PQ, si M, N,
Puntos de tangencia.
x
A) 135º
D) 120º
B) 150º
E) 127º
B
N
M
C) 100º
L
A P
A) 5
D) 4
Educación Rumbo al Bicentenario- 162
C
Q D
B) 2
E) 3
C)8
L:
GEOMETRÍA
14. Calcular “r” si AC – BC = 4
18. Calcular el perímetro del ∆ VABC, si A; B y C son centros. Si
las circunferencias son tangentes
B
A
B
A
r
C
45º
D
A) 1
D) 4
C
B) 2
E) 1,5
6
C) 3
A) 6
D) 18
15. En la figura mostrada, hallar “X”.
B) 9
E) 15
C) 12
19. En la figura, calcular "x" (T, P y Q son puntos de tangencia)
A) 135º
D) 120º
A) 45º
D) 30º
B) 53º
E) 37º
B) 90º
E) 127º
C) 122º,5
20. En la figura, ABCD es un cuadrado y ADC cuadrante,
determina el valor de "x".
C) 60º
A
16. Calcular el perímetro de la región trapecial ABCD.
B
x
C
D
A) 20º
D) 42º
A) 26
D) 30
B) 28
E) 23
1.
A
En la figura mostrada D, E y F son puntos de tangencia, BD//
AO y el triangulo ABC es equilátero. Determina el valor de
"x". (O: centro)
B
M
D
P
x
O
A) 2
D) 2 3
C) 30°
C) 22
17. Calcula "x", si M, N y P son puntos de tangencia y R=12.
R
B) 15º
E) 44º
N
B) 3
E
O
B
A
C) 4
E) 3 2
A) 36°
D) 40°
163
x
F
C
B) 45°
E) 42°
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 30°
GEOMETRÍA
2.
Las circunferencias están inscritas en los polígonos ABCD y
PCD. Si MP=4. Determina R–r.
B
A
D
P
M
A) 3/2
D) 1
B) 4
E) 2
C) 3
A partir del gráfico SA=NI=DR, la mAN = mDI
mSR =90º . Determina SA.
y la
N
A
D
6
S
I
R
A) 6 B
D) 8
D) 6 2
E) 10
C) 6 3
En el gráfico, P; Q y T son puntos de tangencia. Si r=6.
Determina MB.
P
T
r
M
D) 6 2
5
Q
B
B) 3 2
A) 6
C) 3
E) 3 3
En la figura: BM + AP = NC + QD. Si: AB = 4, Determinar
CD.
B
A
C) 4
“ La esencia de las matemáticas
no es hacer las cosas simples
complicadas, sino hacer las cosas
complicadas simples”.
r
4.
B) 2
E) 5
C
R
3.
A) 8
D) 3
M
P
N
Q
C
D
Educación Rumbo al Bicentenario- 164
(S. Gudder)
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA II: ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO E
15
4. ÁNGULO EX – INSCRITO:
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Son ángulos cuyos vértices pueden estar ubicados en la circunferencia, en la región interna o externa de de ésta, y sus lados
siempre intersecan a la circunferencia. Estos ángulos son:
1. ÁNGULO CENTRAL:
Recta Tangente
α
R
θ
θ
α
O
R
α=
O : CENTRO:
θ
2
5. ÁNGULO INTERIOR:
α=θ
2. ÁNGULO INSCRITO:
θ
θ
P
α
α
α=
α=
θ
2
θ+β
2
6. ÁNGULO EXTERIOR:
θ
3. ÁNGULO SEMI – INSCRITO:
θ
β
θ
α
α=
β
α
α
Recta Tangente
θ
2
α=
165
θ−β
2
Educación Rumbo al Bicentenario
GEOMETRÍA
7. TEOREMA:
EN LA FIGURA:
Si α + β = 180º o α= ω
Entonces
α
θ
ABC D
Inscriptible
SEGÚNDO CASO:
Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan
con dos lados opuestos ángulos de igual medida, es
inscriptible.
B
C
α + θ = 180°
β
CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE
CUADRILÁTERO INSCRITO:
D
α
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenece a una misma circunferencia.
A
EN LA FIGURA:
α
α
θ
Si
θ
α =β
Entonces
ABC D
Inscriptible
α= θ
α + θ = 180 °
1.
En la figura, Calcula “x”
120º
θ
x
α =θ
70º
α
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE:
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pueden ser ubicados
en una misma circunferencia.
Condición para que un cuadrilátero sea inscriptible:
PRIMER CASO:
Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores opuestos son
suplementarios; es inscriptible.
A) 40º
D) 35º
2.
B) 60º
E) 45º
C 50º
En la figura, Calcular “x”. Si P es punto de tangencia.
P
β
ω
x
α
x
A) 30º
D) 60º
Educación Rumbo al Bicentenario- 166
B) 45º
E) 37º
C) 50º
GEOMETRÍA
3.
7.
En la figura. Calcular “x”
En el gráfico. Calcular x
B
B
α
C
5α
A
160º
C
x
80º x
D
6α
8α
A
A) 50º
D) 60º
4.
B) 40º
E) 80º
C) 70º
A) 16º
D) 63º
En la figura. Calcular “x”. Si A y B son puntos de tangencia.
8.
D
B) 60º
E) 13º
C) 53º
Según el gráfico, calcule x:
A
x
70º
x
x
A) 140º
D) 115º
B
A) 60º
D) 80º
5.
B) 30º
E) 40º
9.
C) 45º
A
D
100º
P
x
2θ
6.
B
C
O
x
R
C
A) 30°
D) 125°/2
B
A) 26º
D) 48º
C) 110º
En la figura, calcula θ:
En la figura. Calcular “x”. Si: AP = PB
A
B) 100º
E) 120º
B) 31º
E) 32º
B) 135°/2
E) 135°
C) 90°
10. En la figura mostrada, calcular “x” si: “O” es centro.
C) 52º
En la figura. Calcular “x”, si “O” es centro
120º
O
A) 54º
D) 50º
A) 20º
D) 18º
B) 10º
E) 12º
B) 36º
E) 40º
C) 15º
167
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 30º
GEOMETRÍA
11. En la figura, si mEU=130º , determina la m ∠ECR
15. En la figura. Calcular “x”, si O es centro.
U
E
D
C
A
R
x
x
O
120°
B
P
A) 40º
D) 65º
C
B) 130º
E) 60º
C) 75º
A) 50°
D) 45°
12. En la figura mostrada, calcular “x”, si ABCD es un romboide.
A) 20º
D) 55º
B) 15º
E) 30º
C) 35°
16. En la figura mostrada. Calcular α siendo M y N puntos de
tangencia.
A) 80°
D) 110°
C) 25º
13. En la figura mostrada, DP//AC y T es punto de tangencia.
Determina el valor de x.
B) 100°
E) 155°
C) 130°
17. En la figura, O es centro de la circunferencia, C punto de
tangencia y CF / /EO . Calcula "x".
B
P
T
B) 60°
E) 40°
x
A
62°
F
C
D
C
20º
A
A) 40º
D) 35º
D
B) 30º
E) 60º
C) 45º
14. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, determina el valor
de x.
B
O
E
B
O
x
A) 12°
D) 15°
B) 13°
E) 16°
C) 14°
18. En el gráfico mostrado, T es punto de tangencia. Si TB=BC,
calcula α.
C
B
T
x
70º
A
A) 10º
D) 40º
α
D
B) 20º
E) 70º
C) 30º
Educación Rumbo al Bicentenario- 168
31°
C
GEOMETRÍA
2.
A) 15°
B) 30°
C) 31°
D) 59°
E) 42°
En el gráfico, determine la medida del arco PC.
P
B
19. A, B, C, son puntos de tangencia. Calcular α . Si la suma de
las medidas de los arcos AB y BC es igual a 160º.
A
C
A) 75°
D) 90°
3.
B) 40°
E) 85°
C) 60°
Dado el grafico, calcular el valor de x, si
β+ θ = 100
A) 20°
B) 40°
C) 15°
D) 30°
E) 32°
20. En la figura,
y
mAB=24º . Calcula la
mME
x
A) 40
D) 30
4.
B) 50
E) 80
C) 60
Si “O” es centro de la semicircunferencia; M y N son puntos
de tangencia, calcular α.
N
A) 6°
B) 12°
C) 18°
D) 24°
E) 48°
α°
M
O
1.
A) 100º
D) 105º
Sean T y Q puntos de tangencia. Calcule x.
5.
T
B) 120º
E) 160º
C) 135º
Calcula ?, si A, B, C, y E son puntos de tangencia.
θ°
θ°
B
x
Q
C
130°
D
A) 50°
B) 55°
C) 60°
D) 65°
E) 70°
A
A) 15
D) 30
169
E
B) 20
E) 36
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 22,5
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
6
OBJETIVOS:
1.
Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas.
2.
Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia
y sus diversas aplicaciones.
13
32
ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
ÁNGULO NULO: Es aquel ángulo donde no hay rotación alguna.
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
A
O
1. DEFINICIÓN: Es aquel ángulo que se genera por la
rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (llamado
vértice), desde una posición inicial (lado inicial) hasta una
posición final (lado final).
ÁNGULO DE UNA VUELTA: Es aquel ángulo generado por
una rotación completa.
2. ELEMENTOS:
θ = 1 vuelta o 1 revolución
Donde:
O
:
Vértice
OA y OB :
Rayos
17
:
Medida del ángulo trigonométrico.
32
3. CARACTERÍSTICAS
ÁNGULO COTERMINALES: Dos o más ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final
diferenciándolos solamente el número de vueltas.
Nota:
La diferencia entre dos ángulos coterminales nos dará siempre
un número entero de vueltas o múltiplo de 360°.
Son rotacionales (requieren movimiento para su formación).
Un ángulo trigonométrico será positivo si la rotación se
efectúa en sentido antihorario.
α −=
β 360° n
α − β = 2π n
Donde n : Número entero.
Antihorario
Un ángulo trigonométrico será negativo si la rotación se
efectúa en sentido horario.
1.
Si un ángulo que es llano mide (10x + 20)°, ¿cuál es el valor
de “x”?
A) 11
D) 8
Horario
La magnitud de los ángulos trigonométricos no tiene límites
2.
B) 9
E) 12
C) 10
Si un ángulo agudo mide 3x°, ¿cuál es el máximo valor
entero que toma “x”?
A) 17
D) 29
171
C) 16
Si un ángulo recto mide (7x+ 6)°, ¿cuál es el valor de
“x”?
A) 8
D) 11
3.
B) 12
E) 10
B) 27
E) 89
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 28
TRIGONOMETRÍA
4.
Si un ángulo obtuso mide (5x + 10)°, ¿cuál es el máximo
valor entero que toma “x”?
A) 31
B) 32
C) 33
D) 34
E) 35
5.
D
Si un ángulo obtuso mide (3x - 18)°, ¿cuál es la suma del
máximo y mínimo valor entero que toma “x”?
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
(6x + 10)º
C
(7x - 4)º
A
A) 6
D) 12
B) 14
E) 16
x
θ
M
C) 3
B
x
M
C
α β
(8x - 26)º
θ
O
A) α + β + θ
D) θ - β + α
B) 7
E) 16
A
C) 12
α
O
D
A
β
B
m>AOB = m>COD ò α = β
Según lo anterior, en el gráfico calcular “x”.
Educación Rumbo al Bicentenario- 172
D
B) α - β - θ
E) α - θ + β
C) θ - α - β
13. Hallar “x” en función de “α”.
C
En geometría es común decir que los ángulos cuyos lados
son rayos opuestos se denominen opuestos por el vértice y
son de igual medida. En el gráfico, por ejemplo
y
son
opuestos por el vértice y se cumple:
C
C) θ - α
12. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos
trigonométricos.
A
(5x + 10)º
9.
B) α - θ
E) F.D.
Si OM es bisectriz, calcular “x”.
O
α
A
A) α + θ
D) - α - θ
A
B) 2
E) 6
B
O
(7x + 3)º
A) 6
D) 14
C) 10
C
(10x - 6)º
B
B
11. Del gráfico, señalar “x” en función de los otros ángulos
trigonométricos mostrados.
En el gráfico, OM es bisectriz, calcular “x”.
O
D
(8y + 6)º
O
Si un ángulo agudo mide (6x - 12)°, ¿cuál es la suma del
máximo y mínimo valor entero que toma “x”?
A) 1
D) 4
C) 4
10. En el gráfico, calcular “y”.
B
8.
(5x + 9)º
O
A
A) 8
B) 10
C) 12
D) 17
E) 19
7.
C
(7x - 1)º
A) 112
B) 102
C) 114
D) 104
E) 96
6.
B
x
D
A) α - 180°
D) α - 270°
α
O
B) α + 180°
E) 270° - α
B
A
C) α + 270°
TRIGONOMETRÍA
14. Halle “x” en función de “α”.
18. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos
trigonométricos mostrados.
A
C
O
α
C
x
x
B
A) 450° - α
D) α - 360°
D) α - 450°
E) α - 270°
O
C) 360° - α
A) 90° - α
D) 90° + α
15. Halle “x” en función de los otros ángulos trigonométricos
mostrados.
D
B) α - 90°
E) -90° - α
B
C
x
B
O
A
O
A) θ - 90°
D) -90° - θ
D
B) 90° - θ
E) -180° + θ
C) 90° + θ
20. Del gráfico, calcular “x”.
C
(12 - 11x)º
16. Halle “x” en función de los otros ángulos trigonométricos
mostrados.
C
x
α
β
D
5xº
A
O
O
A) 2
D) 12
B
B
B) 4
E) 10
C) 8
A
1.
+α-β
-α+β
+α-β
-α+β
+α+β
Del gráfico, calcular “x”.
B
17. Halle “x” en función de “α”, si OM es bisectriz del ángulo
BOC.
(9 - 9x)º
(5x + 1)º
O
M
C
A) 135° + α
D) 225° - α
θ
A
- α - 90°
+ α - 90°
- α + 90°
- β + 90°
- β - 90°
D
C) 180° + α
19. En el gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos
trigonométricos mostrados.
C
α
A) 180°
B) 180°
C) 270°
D) 270°
E) 180°
A
x
β
A) β
B) β
C) β
D) α
E) α
B
α
x
α
O
B) 135° - α
E) 225° + α
A) 3
D) 6
B
2.
A
B) 4
E) 7
C) 5
Hallar “x”, en función de los ángulos mostrados.
A
B
C) α - 135°
A
o
α
x
θ
C
A) α - θ
D) - α - θ
173
B) θ - α
E) N.A.
Educación Rumbo al Bicentenario
C) θ + α
TRIGONOMETRÍA
3.
De la figura, hallar “x”:
A
B
θ
α
x
“ No es que no puede ver la solución.
Es que no puede ver el problema”.
D
o
A) 2a - q
D) q - a
4.
C
B) a - q
E) a + q
C) - a - q
Del gráfico, hallar “x”:
α
x
β
A) 90° - a - b
C) 270° - a + b
E) 270° + a + b
5.
B) 270° - a - b
D) 90° + a + b
Del gráfico, indicar lo correcto:
b
c
a
A) a + b + c = p
C) b – a – c = p
E) c – a – b = p
B) a – b – c = p
D) c + a – b = p
Educación Rumbo al Bicentenario- 174
(GK Chesterton)
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
7
Un ángulo trigonométrico puede ser medido en los siguientes
sistemas:
1.
Sistema sexagesimal, llamado también sistema inglés.
2.
Sistema centesimal, llamado también sistema francés.
3.
Sistema radial, llamado también sistema internacional, circular.
El ángulo θ mide 1 rad
RELACIÓN DE CONVERSIONES DE LOS TRES SISTEMAS:
1. SISTEMA SEXAGESIMAL:
1 vuelta
2πrad
<>
2πrad = 360° = 400g
En este sistema:
<>
<>
<>
<>
<>
360° (grados)
400g (grados)
Entonces:
Su unidad fundamental es el grado sexagesimal y se denota por
( 0 ) que es igual a la 360 ava parte de una vuelta.
1 vuelta
1°
1´
1°
Si: 1 vuelta <>
1 vuelta
<>
πrad = 180° = 200g
360°
60´
60´´
3600´´
equivale
(grados)
(minutos)
(segundos)
(segundos)
FACTOR DE CONVERSIÓN:
Es una fracción equivalente a la unidad.
A la medida angular que se va a convertir se le multiplica por una
fracción de la forma.
2. SISTEMA CENTESIMAL:
Su unidad fundamental es el grado centesimal y se denota por (
g
) que es igual a la 400 ava parte de un ángulo de una vuelta.
En este sistema:
1 vuelta
1g
1g
1g
<>
<>
<>
<>
EJEMPLOSAPLICATIVOS:
400g (grados)
100m (minutos)
100s (segundos)
10000s (segundos)
1.
Convertir 45° al sistema radial
Solución
3. SISTEMA RADIAL:
πrad πrad
45°= 45°
=
4
180°
Su unidad fundamental es el radián.
UN RADIÁN: Es la unidad del ángulo central que subtiende en
cualquier circunferencia una longitud de arco igual a la de su
radio.
En la figura adjunta:
2.
πrad
al sistema sexagesimal
8
Convertir
Solución
r rad = r rad ^ 180c h = 45c
r rad
2
8
8
D e m o
r rad = 22c30´
8
D e m o
45°
1°
2
22°
60´
2
0 30´
Al residuo se multiplica por 60
Si: L = R entonces θ =1 rad
1° = 60´
En la figura adjunta:
175
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
IMPORTANTE
Sabemos:
180° = 200g
De donde:
3.
11. Reducir:
Θ = 2° 40› 32›› + 3° 31› 52››
9° = 10g
A) 6° 12’ 34’’ D) 6° 12’ 16’’
D) 5° 24’ 12’’ E) 5° 12’ 24’’
5πrad al sistema sexagesimal
7
Convertir
Solución
12. Reducir:
Θ = 4° 17’ 51’’ + 8° 24’ 17’’ + 5° 32’ 20’’
A) 18° 16’ 32’’
C) 18° 16’ 28’’
E) 18° 16’ 26’’
5πrad 5πrad 180° 900°
=
=
7
7 πrad
7
4°=240´
C) 6° 12’ 24’’
B) 18° 14’ 26’’
D) 18° 14’ 28’’
13. Siendo:
2´= 120¨
23° 41’ 17’’ + 17° 32’ 56’’ = a° b’ c’’
Calcular:
a-b
c-4
K=
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
14. Siendo:
18° 32’ 41’’ + 21° 14’ 22’’ + 3° 26’ 12’’ = a° b’ c’’
1.
A) π/10 rad
D) 2π/9
2.
B) 3π/20
E) π/9
C) 2π/17
B) π/4
E) π/9
C) π/5
B) 24°
E) 42°
C) 30°
B) 12°
E) 40°
B) 36g
E) 70g
B) 20g
E) 36g
C) 18°
C) 45g
B) 60g
E) 72g
C) 30g
c) 63g
B) 81°
E) 96°
15. Calcular: K =
B) 1/9
E) 3/5
16. Calcular: K =
C) 72°
Educación Rumbo al Bicentenario- 176
C) 3
π
rad + 5°
12
100 g
A) 1/3
D) 2/5
C) 2/9
π
rad - 20 g
3
6°
B) 3
E) 9
C) 5
B) 61
E) 72
C) 62
17. Calcular:
K=
2°3' 1°2'
+
3'
2'
18. Calcular:
K=
2 g30 m
20 m
A) 21
D) 21,5
10. Exprese 90g en el sistema inglés.
A) 100°
D) 86°
B) 2
E) 5
A) 23
D) 71
Exprese 54° en el sistema francés.
A) 54g
D) 70g
a-b
c
A) 1
D) 7
Exprese π/10 rad en el sistema centesimal.
A) 10g
D) 18g
9.
A) 1
D) 4
Exprese π/4 rad en el sistema centesimal.
A) 40g
D) 50g
8.
C) 2π/5
Exprese π/9 rad en el sistema sexagesimal.
A) 10°
D) 20°
7.
B) 2π/9
E) π/3
Exprese π/6 rad en el sistema sexagesimal.
A) 18°
D) 36°
6.
K=
Exprese 40g en el sistema internacional.
A) π/3rad
D) π/6
5.
C) π/9
Exprese 30g en el sistema radial.
A) 5π/18 rad
D) π/6
4.
B) π/40
E) π/18
Exprese 50° en el sistema circular.
A) 5π/18 rad
D) π/5
3.
Calcular:
Expresar 40° en el sistema circular.
+
1g10 m
10 m
B) 20,5
E) 33,5
C) 22,5
TRIGONOMETRÍA
19. Sabiendo que:
4.
π/18 rad = (3n + 1)°
π/n+2 rad = (7m + 5)g
E
=
Calcular:
Calcular: E = (m + n)m - n
A) 27
D) 49
B) 81
E) 64
Si: (a − b)2 =
4ab
A) 120
B) 122
C) 124
D) 126
E) 128
C) 729
20. Sabiendo que:
π/12rad = (7n + 1)°
π/2n+6 rad = (7m - 1)g
5.
Calcular:
Hallar: E =
A) 2,25
B) 2,15
C) 3,15
D) 3,35
E) 3,75
E = (m + n)2n - m
A) 5
B) 7
C) 25
D) 49
E) 125
6.
a0b ' b0 a '
+
a'
b'
40g + 270
πrad
9
Calcular:
E=
1.
Se ha creado un nuevo sistema “A” en el cual 1A
23
18
18
B)
23
C) 1
A)
3
(grado A) equivale a las
partes del ángulo de una vuelta.
4
Simplificar:
E=
A) 10
1
C)
2
πrad
+ 110g + 90
6
πrad
20g +
2
7 πrad
2
180
3A −
13
9
9
E)
13
D)
B) 9
D) 1
E) 5
2.
Si se cumple:
Hallar:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3.
πrad
<> A 0B '
8
πrad
45
E=
(A + B)0
13
“ Las matemáticas son un lugar
donde puedes hacer cosas que no
puedes hacer en el mundo real”.
Si se verifica:
πrad
<> x 0 y ' z ''
64
(Marcus du Sautoy)
Calcular el complemento de:
(x + y − z)0
A) 80°
B) 81°
C) 82°
D) 84°
E) 85°
177
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
CONVERSIÓN DE SISTEMAS
8
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN DE SISTEMAS
Si
360° = 400g = 2πrad
Entonces:
S
C
R
=
=
360 400 2π
Finalmente:
S
C
R
=
= =k
180 200 π
RELACIONES ENTRE GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS
1.
Relación entre grados sexagesimales y centesimales.
Sabemos:
180° = 200g
9° = 10g
S : # grados sexagesimales.
C : # grados centesimales.
Donde:
S : # de grados sexagesimales.
C : # de grados centesimales.
R : # de radianes.
Equivalentemente:
Demostración:
2.
Relación entre
centesimales
minutos
sexagesimales
y
minutos
Sabemos:
9° = 10g
54´= 100m
27´= 50m
Se sabe que:
S
C
R
=
=
180 200 π
Dividiendo m a m entre 20:
Donde:
A : # minutos sexagesimales.
B : # minutos centesimales.
3.
Relación entre
centesimales
segundos
sexagesimales
y
segundos
Sabemos: 9° = 10g
81’’ = 250s
De donde:
Donde:
P
Q
: # de segundos sexagesimales.
: # de segundos centesimales.
RESUMEN:
El siguiente cuadro será de mucha utilidad para resolver problemas
Educación Rumbo al Bicentenario- 178
TRIGONOMETRÍA
RELACIONES ENTRE GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS:
Sexagesimales
Calcular el valor de “A” en:
Centesimales
# de grados
S
C
# de minutos
60S
100C
3600S
10000C
# de segundos
6.
S −1 + C −1 =
(
A −1
S − C −1
2
)
Sabiendo que S, C son lo convencional.
7.
Hallar “R”, si:
PROBLEMAS APLICATIVOS:
1.
Convertir
2.
Hallar “R”
3π
rad al sistema sexagesimal.
4
S, C y R son lo convencional.
8.
Hallar “x”
9.
En el gráfico mostrado, hallar “x”.
80R
C+S
=
+ 60
π
Siendo S, C y R los sistemas conocidos.
3.
Calcular “x”
o
(2x)
=
(2x + 6)g
4.
Reducir:
π
rad + 30º
E= 6
π
rad + 50g
4
α
x
10. Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un cierto ángulo no
nulo, simplificar:
1.
Convierte 40º al sistema radial.
2.
Convertir
3.
Calcular:
rad al sistema sexagesimal.
1 π
280
rad +
9
0
9
A =
π
rad + 7°
6
0
4.
πC
- 40R
A= 2
πS
3
11. Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un mismo ángulo no
nulo; reducir:
g
P=
π 2 (C - S)( C + S)
380R 2
12. Sabiendo que “S” y “C” representan los números de grados
sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo no
nulo, respectivamente; calcular:
Hallar “x”:
3
2S - C
C-S
E=
3S − C
C −S
J=
13. Calcular el valor de:
5.
Calcular el valor de:
A =
C+S
−
C−S
2S − C
+1
C−S
Siendo Sy C lo convencional para una medida angular
A) 18
D) 15
Si S y C son convencionales.
179
B) 17
E) 14
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 16
TRIGONOMETRÍA
14. Calcular:
20. Siendo “S” y “C” lo convencional.
=
E
Calcular “x”
C +S
+6
C −S
S: # grados sexagesimales
C: # grados centesimales
A) 5
D) 25
B) 4
E) 2
C) 3
S=x+8
C=2x
15. Reducir:
E=
A) 2
D) 5
C +S
C +S
+
+ 17
C −S
C −S
B) 3
E) 6
A) 2
D) 8
S: # grados sexagesimales
C: # grados centesimales
Hallar “R” en:
πS
S = 2x + 10
C = 5x
+ 20R
E= 3
πC
− 10R
4
B) 4
E) 1
A)
C) 3
D)
17. Reducir:
E=
200R
B) 2
E) 6
π
5
π
4
rad
B)
rad
E)
π
10
π
9
rad
C)
π
18
A)
C) 3
D)
18. Si:
rad
π
6
π
3
rad
B)
rad
E)
π
5
π
2
rad
C)
π
4
rad
rad
23. Hallar el ángulo en radianes que cumpla con:
2S + 3C = 80
C +S
SC
+
=
150
2
10
Hallar el ángulo en grados sexagesimales.
A) 10°
D) 21°
B) 15°
E) 36°
c) 18°
6S + 5C = 1040
A) 4
π
D) 2
rad
π
B) 5
rad
2π
B) 5
E)
π
πS
Siendo S y C lo convencional para un ángulo.
rad
π
A) 5
4π
D)
5
19. Calcular el ángulo en radianes si:
π
rad
22. La suma del doble de número de grados sexagesimal con el
número de grados centesimales de un ángulo es igual a 140.
Determinar la medida circular de dicho ángulo.
π C + π S + 20R
Siendo: S, C y R lo convencional.
A) 1
D) 4
C) 6
21. Si:
C) 4
16. Calcular el valor de la expresión:
A) 5
D) 2
B) 4
E) 10
π
C) 3
3
24. Reducir la expresión: E =
πC
rad
E) prad
Educación Rumbo al Bicentenario- 180
4
+ 40R
+ 30R
Siendo S, C y R lo convencional
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 5/4
3π
C) 5
TRIGONOMETRÍA
25. Calcular R
Si:
S: # grados sexagesimales
C: # grados centesimales.
S−4
50R 2 + π R
=
C + 4 100R 2 + 2Rπ
A) 17
D) 20
4π
B) 18
E) 21
C) 19
A) 5
3π
B) 4
2π
C) 3
4π
D) 3
“ Toda formula que expresa una ley
de la naturaleza, es un himno
de alabanza a Dios”.
5π
E) 3
1.
(Maria Mitchell)
Si a la cuarta parte del número de grados sexagesimales
de un ángulo se le aumenta en 22, resulta la mitad de su
número de grados centesimales. Calcular la medida radial de
dicho ángulo:
4π
rad
5
2π
rad
D)
5
A)
2.
B)
6π
rad
5
C)
π
5
rad
E) prad
Determinar la medida circular del ángulo que cumple con la
relación siguiente:
2C + 3S + 4R = 235 + π
A)
D)
3.
2
π
6
rad
B)
rad
E)
π
3
C)
rad
π
10
π
4
rad
rad
Si el doble del número de grados sexagesimales excede al
número de grados centesimales en 24. Calcula la medida del
ángulo en radianes.
A)
D)
4.
π
π
rad
B)
3π
rad
20
9π
rad
20
E)
11π
rad
20
20
C)
7π
rad
20
Hallar el ángulo que cumple:
C S−2
=
6
5
Siendo:
S: # grados sexagesimales.
C: # grados centesimales.
A) 27°
D) 33°
5.
B) 30°
E) 22°
C) 25°
Hallar “N”
(
1
S −1 + C −=
N S −1 − C −1
)
181
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICOS DE ÁNGULOS
AGUDOS
9
I.
TRIÁNGULOS RECTANGULOS:
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos
es recto, los lados que forman el ángulo recto son los catetos
del triángulo el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo
recto.
Tg
=
θ
CO a
=
CA b
ELEMENTOS:
Ctg
=
θ
CA b
=
CO a
Sec
=
θ
H
c
=
CA b
Csc
=
θ
H
c
=
CO a
ayb
c
: catetos
: hipotenusa.
B
c
A
a
θ
b
C
PROBLEMAS APLICATIVOS:
TEOREMA DE PITÁGORAS:
“La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos”
2
c=
a2 + b2
3
(θ ángulo agudo de un triángulo rectángulo)
4
Calcular:=
E ( tgθ + ctgθ ) senθ cosθ
1. Si: tgθ =
Solución:
De la conclusión: tgθ=
3 CO
=
4 CA
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA:
Es la comparación de dos lados de un triángulo rectángulo.
m=5
c
a
θ
4
θ
Por Pitágoras
m2 = 32 + 42
m2 = 9 + 16
m2 = 25
m=5
b
Con respecto al ángulo “θ”
a: cateto opuesto
b: cateto adyacente
c: hipotenusa
REMPLAZANDO EN LA INCÓGNITA.
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON 6:
Sen
=
θ
Cos
=
θ
3
CO a
=
H
c
CA b
=
H
c
3 4 3 4
=
E +
4 3 5 5
9 + 16 12
E =
12 25
25 12
=
E =
1
12 25
Educación Rumbo al Bicentenario- 182
TRIGONOMETRÍA
2
10. Si senθ = ∧ tgα = 7
5
1.
Calcular: E =
Se tiene un triángulo rectángulo ABC
11. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, se cumple que:
Calcular:
7SecA = 3SecB
P = b.tanC + c.tanB - c
2.
Calcular SenA.
En un triángulo ABC, Simplificar:
E = a.cotA - c.senB
12. En un triángulo rectángulo ABC (c=90°) se sabe que:
5senA=6senB.
8
,
3. Siendo “θ” un ángulo y además se tiene que, tan θ =
15
calcule:
Determinar la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo
rectángulo.
1
senθ + 2 cos θ
2
E =
sec x =
13.Si: tga = 0,5; “a” es agudo, calcular “seca”.
A)
B)
C)
D)
E)
7
E = tan2 x +
4.
Si:
5.
Si: Determine “tanθ”
42 . senx Calcular: tan α =
5
8
A)
B)
C) 2
D) 2
E) 3
α
7.
A)
B) 2
C)
D)
E)
En un triángulo rectángulo ABC recto en C reducir:
Si: tgx =
3
7
3
2
3
2
2
2 /3
2 /3
2 /4
2 /6
2 /8
16. Siendo “a” un ángulo agudo tal que sena =
Calcular “cosa”
2
=
E cos2 x +
Calcular
9.
5
5 2
15. Siendo “a” un ángulo agudo tal que seca = 3. Calcular “sena”
En un triángulo ABC hallar “senA”, si se cumple: 2cotA =
3cotB.
E = aSenB + cSecB − bSecC
8.
3
3 2
14. Siendo “a” un ángulo agudo tal que; calcular “tga”.
θ
6.
4csc θ + 7ctg 2α
11
senA + cos A.ctgA
cos A. csc A
A) 1/3
B) 3 /3
C) 7 /3
D) 2 7 /3
E) 2/3
3
5
Del gráfico calcular E = 6tgα tgθ
17. En el gráfico; calcular “x”:
α
θ
a
2a
183
A) 3 13
B) 2 13
D) 6 13
E) 4 13
Educación Rumbo al Bicentenario
C)
13
.
TRIGONOMETRÍA
C
18. Del gráfico , calcular B
en términos de m, aÙq
3.
En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º), que representa
“b/c”.
A) senA
B) cosA
C) tgA
D) cotA
E) secA
4.
A) mSen .Csc
B) mCos .Sec
C) mTg .Tg
D) mTg .Cot
E) mCot .Cot
19. Del siguiente gráfico, indicar la relación correcta:
En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º), que representa
“c/a”.
A) senC
B) cosC
C) tgC
D) cotC
E) secC
5.
En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe que: a =
3 y c = 4. Obtener el valor de:
J = senA + senC
A) 1
B) 1,1
C) 1,2
D) 1,4
E) 1,5
A) mSen =nSen
B) mCos = nCos
C) mTg = nTg
D) mTg = nTg
E) mCos = nCos
20. Del gráfico, calcular el perímetro del cuadrado ABCD.
A) 4mSen
B) 4mCos
C) 4mTg
D) 4mCot
E) 4mSec
1.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide “m” y la
medida de uno de los ángulos agudos es “ ”. Indicar el
perímetro de dicho ángulo.
A) m(Sen + Cos )
B) m(Tg + Cot )
C) m(1+Sen + Cos )
D) m(1+Tg + Cot )
E) m(Sec + Csc )
2.
En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º), que representa
“a/b”
A) senA
B) cosA
C) tgA
D) cotA
E) secA
Educación Rumbo al Bicentenario- 184
“ La naturaleza está escrita
en lenguaje matemático”.
(Galileo Galilei)
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
RELACION DE ELEMENTOS EN EL TRIANGULO
RECTANGULO.
10
Cuando en un triángulo rectángulo se conoce un lado y un ángulo agudo se pueden hallar los lados restantes:
Forma de resolver:
I.
Al lado que se busca se le asigna una
letra: x,y,z
II.
Se toma la razón trigonométrica que divide la
incógnita con el dato.
III. Se despeja, la incógnita.
z=?
PRIMER CASO:
Despejando:
z
= sec θ
b
z = b sec θ
ÁREA DE LA REGIÓN TRIÁNGULAR:
a
Conociendo dos lados y el ángulo entre ellos se puede hallar el
área de la región triangular.
x
θ
a
x=?
senθ =
x
a
Despejando:
θ
b
x = asenθ
A=
SEGUNDO CASO:
Demostración:
y
a
θ
h
θ
b
b
y=?
y
= tgθ
b
Despejando:
absenθ
2
De la figura:
A=
bh
.........(1)
2
h
= senθ
a
y = btgθ
h = asenθ
REMPLAZANDO EN (1)
b(asenθ )
A=
2
absenθ
A=
2
lqqd
TERCER CASO:
II. ÁNGULO MITAD
z
θ
tg =
2 csc θ − ctgθ
θ
ctg =
2 csc θ + ctgθ
θ
b
185
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
1.
2.
3.
6.
Del gráfico, Hallar AC.
7.
Del gráfico, Hallar “x”:
8.
Del gráfico, hallar “x”
9.
Indicar el área del triángulo mostrado.
Determinar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
Del gráfico, Hallar “x”:
Del gráfico, hallar “x”
4.
Del gráfico, Hallar AB.
5.
Determinar “x” del gráfico:
Educación Rumbo al Bicentenario- 186
10. Del gráfico, Calcular HC
H
C en función de m y θ.
TRIGONOMETRÍA
15. Del cuadrado mostrado, Hallar “x”.
11. Del gráfico, determinar E
EF , si E
ED =m
D
F
12. Del gráfico, determinar CD
C
D en función de m,α,θ
µ 0I
=
B A)µm(1
senα)+ cos β)
I d -(cos
0π
4
=
B B)
(cos
α)+ cos β)
m(1-cos
µ Id
=
B C)4µ0πm(1-tg
(cos α)+ cos β)
I
πd0 (cos α)+ cos β)
=
Bµ4
D)
I πm(1-ctg
µd0I
=
=
B B0E)4 (cos
α(cos
+ cos
α)+β)cos β)
-ctg
m(tg
4 πd 4 πd
16. Del gráfico, Hallar el valor de “x” en función de m, a y q.
13. Determinar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
=
B
=
B
=
B
=
B
=
B
µ 0I
(cos α.+senθ
cos β)
A)Imsen
4µB)
π0dmcos
(cos α +. senθ
cos β)
µ
I
0
4C)
πdmcos
(cos α.+cosθ
cos β)
4µ
π0dImsen
(cos
α
+
cos β)
D)
.
cosθ
µ
0 Id (cos α + cos β)
4E)π
mcos . secθ
4 πd
17. Del gráfico, hallar “x” en función de m,
y
µ 0I µ 0I
=
=
B A) µm(1+sen
BI (cos
(cos
+ cos
αβ
)+) cos β)
µ40πI dα+cos
4
π0d
=
=
B B) µ
Bm(1+sec
(cos
α
(cos
+
cos
α
+
β
cos
) β)
+tg
)
I 4µπd
0I
π0d
=
=
B µ
B
(cos
α(cos
+ cos
α)β+) cos β)
C)4Im(1+csc
+ctg
µ
I
π(cos
d 04απ+cos
d+ cos
=
=
B µ D)
B04m(sen
(cos
αβ+) cos β)
Iπ
dµ 04Iαπ(cos
d
=
=
B
B04E)m(tg
(cos
+ cos
α)β+) cos β)
+ctg
4 πd 4 πd
14. Determinar el área del triángulo rectángulo mostrado.
=
B
=
B
=
B
=
B
=
B
µ 0I
(cos α.cscθ
+ cos β)
A)I msen
4µB)
π0dmsen
(cos α.secθ
+ cos β)
µ
I
4 C)
π0d mcos
+ cos β)
I (cos α.cscθ
0d
4µπ
(cos α.secθ
+ cos β)
D)
mcos
µ
I
4 E)
π0 dmcos
(cos α.senθ
+ cos β)
4 πd
18. Del gráfico, Hallar “x”:
A)
m2
senθ
2
B)
m2
cosθ
2
C)
m2
tgθ
2
D)
m2
ctgθ
2
E)
m2
2
µ 0I
µ 0I
=
B µ A)
(cos α +
=
cos β) B µB)
(cos α + cos β)
I dmsen
I mcos
0
0d
4
π
4
πD)
=
B
(cos
α
+
=
cos
β
)
B
(cos
α + cos β)
C)
mtg
mctg
µd0I µ 0I
=
=
B 4 πBE)
(cos α(cos
+ cos
α +β)cos β) 4 πd
msen
.cos
4 πd 4 πd
187
Educación Rumbo al Bicentenario
.
TRIGONOMETRÍA
19. Del gráfico, hallar AC
A) mSen .Csc
B) mCos .Sec
C) mTg .Tg
D) mTg .Cot
E) mCot .Cot
3.
µ I
=
B µA)0I mcos(
(cos α+ncosθ)
+ cos β)
0πd
4
=
B µB)
(cos
α
+
cos β)
+nsenθ
msen
I
π0d
=
B 4µC)
(cos α+nsenθ
+ cos β)
msec
I
0d
=
B 4 πD)
(cos
α+ncscθ
+ cos β)
µmcsc
0 I (cos α + cos β)
=
B4 πE)d m+n)sen
+senθ
4 πd
µ 0I
µ 0I
=
B µ A)
(cos α=nSenθ
+
=
cos β) B
(cos
cos β)
B) mCos
I dmSen
µ 0α
I =+ nCosθ
0π
4
4
πBd mTgθ
=
B
β) =
C)(cos
mTgαµ+
=Icos
nTgθ
D)
=(cos
nTgα + cos β)
0
4 πE)
d mCosθ
4 πd
=
B
= (cos
nCosα + cos β)
4 πd
20. Del gráfico, Hallar “x”:
4.
Del gráfico, calcular el perímetro del cuadrado ABCD.
A) 4mSenθ
C) 4mTgθ
E) 4mSecθ
R(1-senθ)
R(1-cosθ)
R(1-tgθ)
R(1-ctgθ)
R(tgθ-ctgθ)
1.
Del siguiente gráfico, indicar la relación correcta:
5.
Del gráfico, determinar AP
A
P
Si: A
AC
C
2.
. Calcular “Tgθ+Cotθ”
en términos de “R” y “ ”
A) 2
d) 5
A) R(1-Senθ)
C) R(Secθ-1)
E) R(1-Tgθ)
= 33BH
B
H
B) 4mCosθ
D) 4mCoθ
B) 3
E) 6
C) 4
B) R(1-Cosθ)
D) R(Cscθ-1)
Del gráfico , calcular BC en términos de m, α,θ
Educación Rumbo al Bicentenario- 188
“Los agujeros negros resultan de Dios
dividiendo el universo entre cero”.
(Math Ulab)
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA I
11
1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
(PLANO CARTESIANO O BIDIMENSIONAL)
Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas)
perpendicular entre sí, llamados Ejes Coordenados.
Sabemos que:
X´X : Eje de Abscisas (eje X)
Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y)
O
: Origen de Coordenadas
Y(+)
IC
IIC
X´(-)
IIIC
O
X(+)
Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento.
Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que
divide al segmento P1P2 en una razón r.
IVC
Es decir:
Y´(-)
P .P
r= 1
P.P2
Ejemplo:
Del gráfico determinar las coordenadas de A, B, C y D.
Entonces las coordenadas de P son:
x + +r.x 2
x= 1
1+r
y + r.y 2
y= 1
1+r
Nota
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
de
de
de
de
Si P es externo al segmento P1P2 entonces la razón (r) es negativa.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
P2 (x2 ;y2 )
A: (1;2)
B: (-3;1)
C: (3;-2)
D: (-2;-1)
M(x; y)
Nota
P1 (x1 ;y1 )
Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero.
Y si un punto pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero.
x + x2
x= 1
2
y1 + y 2
y=
2
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO:
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices del triángulo ABC, las
coordenadas de su baricentro G son:
La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a
la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de
abscisas y su diferencia de ordenadas.
x1 + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3
;
3
3
G(x;y)=
ÁREA DE UN TRIÁNGULO:
Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices de un triángulo ABC,
el área (S) del triángulo es:
P1 P2 =
(x1 − x 2 )2 + (y1 − y 2 )2
189
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
6.
(4, 2) es el punto del segmento formado al unir los puntos
A(a, -3) y B(5, b). Determinar : E =
A) 2
D) 3
7.
1.
4.
B) 12
E) 8
A)
13
B)
D)
26
E) 5
Determine
D)
b−a
3
C)
B) 2
E) 2
7
C) 2
10
13
8.
Señale el punto P que divide el segmento de extremos A(-5,
AP
1) y B(3, 5), si se sabe que : PB = 3
A) (1, 2)
B) (2, 3)
C) (2, 4)
D) (1, 4)
E) (1, 1)
9.
Si dos vértices de un cuadrado son (1, 3) y
perímetro de cuadrado sería :
3
A) 4
5
B) 8
E) 4
(-1, 2) el
C) 12
6
10. Calcular el perímetro del rectángulo ABCD
del gráfico:
E) 2
11
D) 4
B) 3
7
20
5
D) 2
C) 13
Determine el radio vector del punto medio del segmento que
se forma al unir los puntos (-8, 7) y (6, 3)
A) 2
5.
C) 2
Del gráfico, hallar “x”
A) 2
Halle la distancia del punto (1, -2) al punto (4, 2)
A) 5
D) 4
3.
3
Señale la alternativa incorrecta:
A) (5, 3) ∈ IC
B) (3, 0) esta ubicado en el semi eje positivo de las abscisas
C) (-2, -1) ∈ IIIC
D) (0, 6) ∈ IC ó IIC
E) (2, -5) ∈ IV
2.
B)
E) 5
b−a
C)
5
3
Del gráfico, calcular “b - a”
A) 10
B) 20
C) 12
D) 24
E)36
11. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(-1, 1) y B(3,
-2). ¿Cuál es el área del cuadrado?
A) 5 u2
D) 50
B) 100
E) 35
C) 25
12. Si dos vértices de un triángulo equilátero son (3, 1) y (1, -1).
¿Cuál es su área?
A)
A) -2
B) 10
C) 14
D) -10
E) -14
D) 6
Educación Rumbo al Bicentenario- 190
3
B) 2
3
E) 8
3
3
C) 4
3
TRIGONOMETRÍA
13. En un paralelogramo tres vértices consecutivos son A(1, 1),
B(3, 5) y C(7, 3). Calcular la suma de coordenadas del cuarto
vértice.
20. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes
triángulos:
(2:5); (6;4); (7;9)
(7;-8); (-12;12); (-16;14)
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
1.
14. Si ABCD es un paralelogramo, hallar las coordenadas del
punto “P”.
Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmento
dada las condiciones:
A) A(0;7); B (6;1) / AP = 2PB
B) A(-3;2); B (4;9) / 3AP = 4PB
C) A(-1; -4); B (7;4) / 5AP = 3PB
2.
A) 21
B) 20
C) 31
D) 41
E) 51
A) (2, 2)
B) (9/2, 2)
C) (5, 2)
D) (6, 3)
E) (5, 3)
3.
15. Calcular el baricentro del triángulo cuyos vértices son A(2, 3)
, B(7, 5) y C(-3, 1)
A) (1, 2)
D) (1, 3)
En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son
(6:7) el punto medio AB es (4;5) y de CB (2;3) determinar la
suma de las coordenadas del vértice” C”.
B) (2, 1)
E) (2, 3)
Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A (2;4);
B (3; -1); C (-5;3). Hallar la distancia de A hasta el baricentro
del triángulo.
A)
C) (3, 1)
2
B) 2 2
C)
16. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares
de puntos:
2 /2
D) 4 3
A) (5;6) � (-2;3)
B) (3;6) � (4; -1)
C) (1;3) � (1; -2)
D) (-4; -12) � (-8;-7)
E)
E)
4.
3
En la figura determinar: a+b
17. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de
este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo
es 12, calcular la ordenada sabiendo que es un número
entero positivo.
A) 12
D) 42
B) 11
E) 31
C) 8
18. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al
origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es
7u más que la abscisa.
A) 19
B) –19
C) –14
D) –18
E)-10
A) (-12; 5)
B) (12; 5)
C) (5; 12)
D) (-5; -12)
E) a y b son soluciones
5.
19. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos
(-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene
por coordenadas (3; -2). La distancia o longitud de la base
mayor es:
A) 6u
D) 9u
B) 7u
E) 10u
La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5)
y C (-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área
del triángulo.
A) 10u2
D) 13u2
C) 8u
191
B) 11u2
E) 24u2
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 12u2
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA II
(RECTAS)
12
PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la
tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo
o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u
obtuso respectivamente.
m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente
de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque
de acuerdo con la figura el lado final del ángulo θ está en L1, lo
mismo sucede con L2.
Observaciones:
Si dos rectas L1 y L2 son paralelas entonces tienen igual pendiente.
L1 // L2
⇔ m =m
1
2
Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto de
sus pendientes es igual a –1.
L1
⊥L ⇔m
2
1
. m2= -1
RECTA:
Pendiente de L1:m1=Tgθ
En este caso m1 > 0
(+)
La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman
dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía.
Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L,
entonces se cumple que:
mAB = mCD = mBD ...... = mL
Pendiente de L2 : m1=Tgθ
En este caso m2 < 0 (-)
Nota: La pendiente de las rectas horizontales es igual a cero (y
viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente.
Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente:
Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos de la recta, entonces la
pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula:
y − y1
m= 2
x 2 − x1
, Si: x1 ≠ x2
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS:
Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se forman cuatro
ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por
los lados que se alejan del vértice.
Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se
puede calcular dicho ángulo.
m − m2
Tgα = 1
1 + m1.m2
Educación Rumbo al Bicentenario- 192
a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de
paso es p1(x1;y1).
y – y1 = m(x – x1)
b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p1(x1,y1)
y p2(x2;y2)
y 2 − y1
y=
− y1
(x − x1 )
x 2 − x1
c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con
el eje de ordenadas es (0;b).
y=mx+b
y=mx+b
TRIGONOMETRÍA
d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los
ejes coordenados.
6.
Señale la ecuación de la recta que pasando por
(-3;5) sea perpendicular a la recta de ecuación:
2x – 3y + 7 = 0
A) x + y + 7 = 0
B) 2x + 2y + 3 = 0
C) x + y + 8 = 0
D) 3x + 2y – 1 = 0
E) x + 3y – 4 = 0
7.
Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0
¿Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta
entre los ejes cartesianos?
A)
x y
1
+ =
a b
E) 5 5
8.
A) 5
D) 20
9.
2.
3.
(
)
2; 6 y
Una recta que pasa por los puntos
tiene como pendiente y ángulo de inclinación a:
B) 1,30°
E) 4,60°
( 1; 3 )
B) −
D) −
4
7
5
E) − 7
2
7
C) −
A) -2
D) 8
3
7
C) –3
B) 2
E) 10
C) 6
11. Calcular el área del triángulo formado por
L1: x =4
L2: x + y = 8 y el eje x.
A) 2
D) 8
Señale la ecuación de la recta que pase por (3; 2) y cuyo
ángulo de inclinación sea de 37°.
B) 4
E) 10
c) 6
12. Calcular el área que se forma al graficar: y = lxl, y = 12.
A) 144
D) 36
B) 68
E) 45
C) 49
13. Señale la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB :
Si A (-3;1) y B (5;5).
Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P
(1;5) y Q (-3;2).
A) 2x + y – 5 = 0
C) x + y – 3 = 0
E) x + y – 7 = 0
A) 3x + 4y – 17 = 0
B) 3x – 4y + 17 = 0
C) 3x + 4y – 17 = 0
D) 2x + y + 4 = 0
E) x + y – 2 = 0
5.
B) –2
E) -5
10. Dada la recta “L” con ecuación 3x + 4y – 4 = 0 y el punto P
(-2,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L.
Hallar la pendiente de la recta: 4x + 7y – 3 = 0.
1
7
C) 15
Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de
las rectas:
A) –1
D) –4
C) 2,45°
A) −
B) 10
E) 25
L1: 3x – y – 7 = 0
L2: x – 3y – 13 = 0
A) 3x - 4y - 1 = 0
B) 2x + 3y - 12 = 0
C) x – y - 1 = 0
D) x + y + 1 = 0
E) x + y – 1 = 0
4.
Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes
coordenados y la recta cuya ecuación es:
5x + 4y + 20 = 0
en donde la pendiente es:
A
m= (B≠0)
B
A) 3,60°
D) 5,37°
D) 4 5
C) 3 5
A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta.
Ecuación General de la Recta
La foma general de la ecuación de una recta es:
Ax + By + C =
0
1.
B) 2 5
5
B) x + 2y – 5 = 0
D) 2x – y – 5 = 0
14. Dado el segmento AB, con extremos:
A = (2; -2), B = (6; 2)
Señale la ecuación de la recta que pasando por (1;2) sea
paralela a la recta de ecuación: 3x + y – 1 = 0.
Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva
que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes
cuyas longitudes están en la relación 5 a 3.
A) 3x + y – 5 = 0
b) x – y – 5 = 0
C) 3x – y + 5 = 0
D) 2x + 2y – 5 = 0
E) x + y – 1 = 0
A) x – 9y = 0
C) 9x + y = 0
E) x – y = 0
193
B) x + 9y = 0
D) 9x – y = 0
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
15. Calcular el área del triángulo formado por las rectas:
L1 : 3x − y + 2 =
0 L 2 : x + 2y − 4 L 3 : x − y =
0
,
,
7 2
u
2
B) 7u2
C) 6u2
7 2
D) u
3
E) 3u2
A)
16. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2 ; -1)
y cuya pendiente es: -3/5
17. Hallar el área del rectángulo formado por los ejes cartesianos
y las rectas: y = 2 ; x = 4
18. Graficar la recta: L: x–3y–6 = 0
19. En el gráfico, L1 ^ L2. Calcular la distancia del punto P a la
recta L2.
y
(0 ; 8)
P(15 ; 5)
(6 ; 0)
x
20. Hallar la ecuación de la recta de pendiente -0,75 y que
forme con los semiejes coordenados positivos un triángulo
de perímetro 36.
1.
Halle la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos
extremos son A(-1 ; 3) y
B(5 ; 7)
2.
Hallar la proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta:
4x – 5y + 3 = 0
3.
Hallar el punto “Q” simétrico al punto P(-5 ; 13), relativo a la
recta: 2x – 3y – 3 = 0
4.
Sean las rectas:
L1: 3x – 4y + 2 = 0
L2: 7x – y + 1 = 0
Determinar el ángulo agudo que forman L1 y L2
5.
Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta
que pasa por el punto M (2 ; 1) y es perpendicular a la recta
dada.
Educación Rumbo al Bicentenario- 194
“ Sin matemáticas, no hay nada que puedas
hacer. Todo a tu alrededor es matemáticas.
Todo a tu alrededor son números”.
(Shakuntala Devi)
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
13
I.
SISTEMA DE CORDENADAS RECTANGULARES:
y
Es un plano que se forma al intersecarse dos rectas, una horizontal (eje de abscisas) y otra vertical (eje de ordenadas)
y
Q2
x
x
x
Q1
y
- - - - - + + +- +- + x
(Eje de abscisas)
Q3
Q4
y
y
270º
x
x
360º
Donde:
O = origen del sistema de coordenadas.
Q1, Q2, Q3, Q4, = cuadrantes
Ox
180º
90º
(Eje de abscisas)
+
+
+
+
+
y
II. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL:
Son Aquellos ángulos que están ubicados en el plano cartesiano,
su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas.
= semieje
PAR ORDENADO P(X, Y)
NOTA:
Tiene dos componentes
El ángulo de referencia siempre se opone a la vertical.
P(x, y)
III.ÁNGULOS CUADRANTES:
ordenada
abscisa
Son aquellos ángulos cuyo lado final coincide con los semiejes.
y
y
P(x,y)
θ
y
o
α
x
α∈IQ
x
x
θ∈IIQ
y
y
φ
β
x
φ∈IIIQ
x
β∈IVQ
IV. ÁNGULOS COTERMINALES:
Dos o más ángulos son coterminales si tienen el mismo lado
final y mismo lado inicial, cuya característica principal es que la
diferencia es un múltiplo de 360º.
195
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
y
EJEMPLO APLICATIVO:
y
φ
θ
1.
Del gráfico mostrado, calcular
θ
φ
x
y
(-2,1)
x
E = senθ cos θ
θ
Representación:
y
x
Lado final
β
α
Lado inicial
Resolución:
x
Del gráfico:
r 2 = 12 + ( −2)2
r 2 = 1+ 4
r= 5
α y β son coterminales
β − α = 360º n
y
(-2,1)
Donde n = {1,2,3 …………………}
1
V. DEFINICIONES DE LAS R.T. DE UN ÁNGULO EN
POSICIÓN NORMAL.
r= 5
θ
θ
-2
P(x,y)
r
θ
o
y
x
Nos piden:
E = senθ cos θ
1 −2
E=
5 5
−2
E=
5
Donde:
x = abscisa
y = ordenada
r = radio vector
Del gráfico:
r2 = x2 + y2
=
r
x2 + y2
y
sen θ = r
y
cosθ = r
y
tgθ = r
y
ctg θ = r
y
secθ = r
y
cscθ = r
Educación Rumbo al Bicentenario- 196
1.
De la figura calcular el valor de:
E=
5
csc θ - cot θ
x
TRIGONOMETRÍA
2.
De la figura calcular el valor de:
P=
3.
9.
Hallar “a” si tan θ= 3
3 senα - cosα)
2ab
De la figura, hallar:
4ab
10. Del gráfico, hallar “tan α”, si: OABC es un cuadrado:
E = (sen θ + cos θ) csc θ
4.
Si cot α = 2,4 siendo “α” un ángulo estándar del tercer
cuadrante, calcular el valor de:
E = 2sen α +
5.
1
4
11. Calcular: Tgα
cos α
Siendo “θ un ángulo en posición estándar del II cuadrante,
donde tan θ =
P=5+
43
1
3
−
3 , calcular:
2
sen θ - cos θ
6.
Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de un ángulo en
posición estándar “q”. Calcular:
7.
Calcular a/b si se tiene que:
R = sen θ . cot θ
A) 1/3
D) –3/7
^a + bh2 cos0 + 2ab tan2r + 4ab sec r
3r
r
2
+ b2 csc
a sen
2
2
8.
B) –7/3
E) 7/3
C) 3/7
12. Calcular: Secw
Del gráfico, hallar:
Q=
tan β
2 cos α
+
cos β
tan α
197
A) 2
B)
5
D) –2
E)
1
0
10
C) -
5
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
13. Del gráfico, calcular: Tgθ + Ctgθ
A) –1
D) 1,5
B) –1,5
E) 2,5
17. Hallar “a” si tan θ = 3
C) –2,5
14. De la figura calcular el valor de:
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
18. Si cotα = 2.4 siendo “α” un ángulo estándar del tercer
cuadrante, calcular el valor de:
µ 0I µ 0I
31
=
=
B (cos
(cos
cosαβ)+) cos β)
3
(senα +
- cos
PB
= 1
4 πd 4 πd
E = 2senα +
A) –2
D) 1
1
cosα
4
B) –1
E) 2
C) 1/2
19. Siendo “θ” un ángulo en posición estándar del II cuadrante,
donde tan q = −
A) –5
D) 1
B) –3
E) 2
C) –2
15. De la figura Calcular el valor de:
E=
5
3
, calcular:
2
P=3+
A) 1
D) 4
(Senθ + Cosθ)
1
3
B) 2
E) 5
C) 3
20. Hallar:
cscθ - cotθ
31
A) 1
D) 7
B) 3
E) 9
C) 5
16. De la figura, Hallar:
E = (senθ + cosθ) cscθ
A) 17/24
B) 24/17
D) –17/24
C) 7/24
E)–7/24
Educación Rumbo al Bicentenario- 198
31
A) 3/5
D) -5/3
B) –3/5
E) –3/4
C) 5/3
TRIGONOMETRÍA
1.
Calcular: Tgα
“ Si alguien no cree que las matemáticas
son simples, es porque no entienden
lo complicada que es la vida”.
(Johann von Neumann)
A) 1/3
D) –3/7
2.
C) 3/7
De la figura, Calcular “Senα”
A)
D) 3.
B) –7/3
E) 7/3
5 /5
5 /5
B) 2
E) -2
5 /5
C) 1/5
5 /5
Si los puntos P(-5; 12) y Q(3; 4) son puntos que pertenecen
a los lados terminales de los ángulos en posición normal “a”
y “b”, respectivamente. Calcular:
E = Csca + Ctgb
A) 1
4.
B)
1
D)
2
C) 3
E) 2
Indicar el signo de:
E=
sen220° cos 370° tan 275°
sen45
4
5 ° cos 120° sec 240°
A) +
D) Cero
5.
1
3
B) E) FD
C) + y –
Siendo θ y α ángulos del II y III cuadrante respectivamente,
hallar el signo de:
E=
A) +
D) Cero
senθ. cos α . tan θ
cot θ. sec α. csc θ
B) E) Faltan datos
C) (+)
199
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
14
y
Reducir un ángulo al primer cuadrante significa encontrar los valores de las R.T. de cualquier ángulo en forma directa mediante
reglas prácticas las cuales a continuación indicamos.
CASO I: Para ángulos positivos menores de una vuelta.
90º ±α
R.T
±COR.T.(α)
=
270º ±α
180º ±α
R.T
±R.T.(α)
=
360º ±α
*
*
sen
(+)
csc
Positivas
todas
tg (+)
ctg
cosθ (+)
secθ
El signos + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir.
α se consideran un ángulo agudo.
x
Ejemplo:
Reducir al primer cuadrante cos130º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
CUADRANTES:
Resolución:
y
−sen130º
cos(90º +40º ) =
cos130º
− cos 50º
cos(180º −50) =
90º (0,1)
CASO II: Para ángulos positivos mayores de una vuelta.
Aquí se divide el ángulo en consideración entre 360º, descartando.
(-1,0)
180º
R.T.(360º n +=
θ) R.T.(θ); n ∈
se elimin an múltiplo de 360º
El cociente pero tomando el residuo en lugar del ángulo original.
1140º
C
T
cos sen
(1,0)
0º
3
2
1.
360º
1080º 3
60º
CASO III: Para ángulos negativos.
Para todo ángulo “θ” positivo
Se cumple:
2.
sen(−θ) = −senθ
cos(−θ
=
) cos θ
tg(−θ) = −tgθ
P
275º (0,-1)
Ejemplo:
sen1140º
= sen60º
=
S
P(x, y)
ctg(−θ) = −ctgθ
sec(−θ
=
) sec θ
csc(−θ) = − csc θ
Si: θ ∈ al Ic se reduce por casos anteriores:
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:
Educación Rumbo al Bicentenario- 200
Indicar verdadero (V) o falso (F):
(
π
) Sen + x = Cosx
2
(
) Cos (3p + x) = -Cosx
(
) Tg(-x) = -Tgx
Calcular:
C= cos(-60). Sen (-240)
3.
Reducir:
P=
3Sen20° − 2 Cos110°
Cos 70°
x
TRIGONOMETRÍA
4.
Reducir:
20. Calcular:
Y=
5.
A) 1
D) –3
Calcular:
B) 2
E) –2
C) 3
21. Afirmar si es (V) o (F):
=
E Cos
6.
A = 4cos(-120°) –3cot(-315°) + 4sec(-300°)
Sen140° − Sen220°
Sen130° − Sen310°
(
) sec (90° + x) = cscx
(
) cot (270° - x) = tanx
(
) csc (270° + x) = secx
A) FFF
B) FFV
C) VVF
D) FVF
E) FVV
5π
16 π
41π
.Tg
− Cos
3
3
6
Calcular: Sec840°
22. Simplificar:
Si: Tg10° = -k
7.
Calcular: Csc1000°
8.
Calcular : E= Sen 150° + 2tan 217°
9.
Señale el valor de: Tan 315°
3π
+ x
cos
2
− tan ( 2π + x )
=
A
sen ( − x )
tan ( − x )
A) 1
D) –2
B) 2
E) 0
C) -1
10. Reducir:
=
P
Sen ( − x )
Cos ( 90° + x )
−
Tg ( 270° − x )
Ctg ( − x )
1.
a + b son suplementarios, reducir:
11. Calcular: tan 1110°
A=
12. Si: a + b = 60°
Reducir:
=
y
Sen ( 2α + β )
Sen ( α + 2β )
+
A) 1
D) -tanb
Cos 6α
Cos 6β
2.
B) –1
E) -cosa
15. Calcular : E= sen 150° + 2tan217°
A) 1
D) 1/3
16. Calcular: E= sec(-60) + tan (-45)
3.
17. Calcular:
Cc) 3
E)
C) 3
C) 1/2
4. Reducir:
tan ( 90+x ) sec(360-x)
E=
A = sen170°.csc190°+6sen150°-2cos180°
C) 3
A) 1
D) -1
19. Calcular:
sec(270°-x)
B) 2
E) 0
C) -2
5.Reducir:
A=
A) –14
D) 12
3
3 /3
B) - 3 /2
E)-1
18. Simplificar:
B) 2
E) 5
B)
Señale el valor de: Sen1680°
A) 1
D) -1/2
E = 3csc150° + tg225° - sec300°
A) 1
D) 4
C) -tana
Sen1490° + Tg765° − Cos1120°
Sen1460° + Tg780° − Cos1550°
14. Señala el valor de: Cos 120°
B) 2
E) 5
β
sen ( α + 2β ) tan α +
2
α
sen ( 2α + β ) cot β +
2
Simplificar:
13. Señale el valor de: Cos (-135°)
A) 1
D) 4
α+β
5 tan 485° + 4 cos 2100°
cos120°
B) 14
E) –10
sen (180-x ) cos(270+x)
E=
C) –12
A)senx
D) -cosx
201
sec(360°-x)
B)cosx
E) –senx.cosx
Educación Rumbo al Bicentenario
C) -senx
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
15
La circunferencia trigonométrica es una circunferencia inscrita en
un sistema de coordenadas rectangulares a la cual hemos denominado plano cartesiano. Tiene como características principales:
- El valor de su radio es la unidad (R = 1)
- Su centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano.
Veámosla gráficamente
O
:
Origen de coordenadas
R
:
Radio (R = 1)
A
:
Origen de arco
M
:
Extremo de arco
θ
:
Medida del arco
θ Rad
:
Medida del ángulo MÔA
C.T.
:
Circunferencia Trigonométrica
NOTA
Los arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido
antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.
θ : Arco positivo
α : Arco negativo
ARCO EN POSICIÓN NORMAL:
Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto
“A” y su extremo final, se encuentra en cualquier parte de la C.T.
Ejemplo 1 : Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos e indicar
el cuadrante al que pertenecen.
A) 60º B) 90º C) 150º
D) 225º
E) -30º
Educación Rumbo al Bicentenario- 202
REPRESENTACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C.T
Seno.- El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco
y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de
abscisas hasta el extremo de arco.
TRIGONOMETRÍA
2.
Indicar el signo de comparación que debe ir en Sen 50º
Sen 80º
A) >
D) ≥
3.
5.
C) =
B) >
E) ≤
C) <
Que signo de comparación se coloca en : Sen 190º
Cos 190º
A) ≥
D) >
6.
B) >
E) ≤
B) ≤
E) <
En la C.T. mostrada. Hallar : E =
C) =
Sen α
Sen β
A) -2
B) -1e
C) 0
D) 1
E) 2
7.
1.
En la grafica se muestra una C.T. Hallar la medida de PB, si
: A’P =
A) 0,5
C) 1,0
E) 2,5
De la C.T. mostrada. Hallar “OP”
A) 1/2 Sen θ
B) 1/2 Cos θ
C) 1/4 Sen θ
D) 1/4 Cos θ
E) 1/2
5
B) 1,5
D) 2,0
203
Cos
Indicar el signo de comparación que debe ir en Sen 200º
Sen 260º
A) =
D) ≥
COSENO.- El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de
arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el
eje de ordenadas hasta el extremo del arco.
C) =
Que signo de comparación se coloca en Cos 25º
75º
A) <
D) ≥
4.
B) <
E) ≤
Educación Rumbo al Bicentenario
TRIGONOMETRÍA
8.
Del gráfico mostrado. Hallar la altura del triángulo APA’,
relativa al lado AA’.
A) Cos θ
D) 2 Sen θ
9.
B) Sen θ
E) 1
C) 2 Cos θ
Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo
sombreado.
12. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo
sombreado.
A) senq
B) cosq
C) -senq
D) -cosq
E) 2senq
13. Del gráfico calcular “sena + senq”
A) senθ
D) -cosθ
B) cosθ
E) 2senθ
C) -senθ
10. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo
sombreado.
A) 0
B) 1
C) -1
D) 1/2
E) -1/2
14. Ordenar en forma creciente los siguientes valores.
a = sen50º ;b = sen100º
A) abc
D) acb
∧
c = sen150º
B) cba
E) bca
C) cab
15. Del gráfico mostrado calcular el area del cuadrilátero
sombreado.
A) senθ
D) -cosθ
B) cosθ
E) 2cosθ
C) -senθ
11. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo
sombreado.
A) senθ
D) -cosθ
B) cosθ
E) 2cosθ
C) -senθ
Educación Rumbo al Bicentenario- 204
A)
1
(senθ + cos θ)
2
B)
1
(senθ − cos θ)
2
C)
1
(cos θ − senθ)
2
D)
1
senθ
2
E)
1
cos θ
2
INDAcA MEDIANTE ME´TODOs
cIENTI´FIcOs PARA cONsTRUIR
cONOcIMIENTOs.
- ProblematIza sItuacIones.
- DIsen˜a estrategIas para hacer IndagacIo´n.
- genera y regIstra datos e InFormacIo´n.
- AnalIza datos e InFormacIo´n.
- Evalu´a y comunIca el proceso y los resultados de su
IndagacIo´n.
EXPLIcA EL MUNDO FI´sIcO BAsA´NDOsE
EN cONOcIMIENTOs SOBRE LOs sEREs
VIVOs; MATERIA Y ENERgI´A;
BIODIVERsIDAD, TIERRA Y UNIVERsO.
- comprende y usa conocImIentos sobre los seres vIvos;
materIa y energi´a; bIodIversIdad, TIerra y unIverso.
- Evalu´a las ImplIcancIas del saber y del quehacer cIenti´FIco
y tecnolo´gIco.
DIsEN˜A Y cONsTRUYE sOLUcIONEs
TEcNOLO´gIcAS PARA REsOLVER
PROBLEMAs DE sU ENTORNO.
- DetermIna una alternatIva de solucIo´n tecnolo´gIca.
- DIsen˜a la alternatIva de solucIo´n tecnolo´gIca.
- Implementa y valIda alternatIvas de solucIo´n tecnolo´gIca.
- Evalu´a y comunIca el FuncIonamIento y los Impactos de su
alternatIva de solucIo´n tecnolo´gIca.
FÍSICA
FÍSICA
ANÁLISIS DIMENSIONAL
6
Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan
las magnitudes derivadas con las fundamentales.
Finalidades del Análisis Dimensional:
Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las
fundamentales
Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional.
Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales
Temperatura
Termodinámica
θ
Kelvin
K
Cantidad de
Sustancia
N
mol
mol
MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS
O SUPLEMENTARIAS
Nombre
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Ángulo Plano
Unidad Básica
Símbolo
rad
En Octubre de 1960, en la 11º Conferencia Internacional sobre
Pesos y Medidas, además de afirmarse la definición de algunas
Ángulo Sólido
Estereorradián
sr
unidades métricas originales, se amplió con otras unidades fíMAGNITUDES DERIVADAS:
sicas, fijándose siete unidades fundamentales, que al incluir el
kilogramo masa como unidad fundamental, el sistema tiene las
En número es el grupo más grande (ilimitado) son aquellas que
características de absoluto.
quedan expresadas en función de las magnitudes fundamentales
En realidad, el Sistema Internacional, tiene sus raíces en el sisy/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las
tema absoluto propuesto por Giorgi en 1901, y conocido como
operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicasistema Giorgi, o simplemente G, que sustituía el gramo masa del
ción.
sistema cgs, por el kilogramo masa, e incluso definió en función
Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma:
del kilogramo masa, el metro y el segundo, a la unidad derivada
[X]
La . Mb . T c . Id . Je . θf . Ng
de fuerza que denominó Newton, que empezó a ser=
conocida
como “dina grande”. Aun cuando comenzó a usarse, y en 1960
Donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen
ya estaba muy generalizado, quedó finalmente definido este año
como dimensiones. y son números reales
como el SI, que determinaba también las unidades derivadas,
Ejemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabaaún no definidas por Giorgi, y su utilización se declaraba oficial.
jo, energía, calor, etc.
MAGNITUDES Y UNIDADES
POR SU NATURALEZA:
Magnitud es todo aquello que sea susceptible de aceptar una
comparación con otra de su misma especie, es una magnitud
MAGNITUDES ESCALARES:
(con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por
ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área,
Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determiel volumen, etc.
nadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o
Llamamos unidad de medida así a aquella cantidad elegida
cantidad y su respectiva unidad de medida.
como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener
Ejemplo: Área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, cavarias unidades de medida.
lor, etc.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES:
MAGNITUDES VECTORIALES:
Por su origen
a) Fundamentales
b) Derivadas
Por su naturaleza
a) Escalares
b) Vectoriales
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesitan la dirección y sentido para que
dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada.
Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, etc.
POR SU ORIGEN
ECUACIONES DIMENSIONALES:
MAGNITUDES FUNDAMENTALES:
Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones
matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en
función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas
básicas del álgebra, excepto la suma y resta.
Notación:
A: se lee magnitud “A”
[A]: se lee Ecuación Dimensional de “A”.
Toda magnitud se expresa en función a las Magnitudes Fundamentales.
Ecuaciones dimensionales básicas.
Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar
presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además
sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.
De acuerdo al Sistema Internacional (S.I.) se considera siete (7)
las magnitudes como fundamentales.
Magnitud
Radian
Dimensión
Unidad
Básica
Símbolo
Longitud.
L
metro
m
Masa
M
kilogramo
kg
Tiempo
T
segundo
s
Intensidad de
corriente eléctrica
I
Ampere
A
Intensidad Luminosa
J
candela
cd
[Área]
2
= L
3
[Volumen] = L
L
desplazamiento
[Velocidad] =
= T
tiempo
= LT-1
LT −1
−2
∆ velocidad
[Aceleración] =
=
= LT
T
tiempo
207
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
−2
[Fuerza] = masa aceleración = MLT
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES:
Términos Adimensionales:
Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como π) y las funciones trigonométricas, se consideran
como términos adimensionales porque no tienen dimensiones,
pero para los efectos de cálculo, se asume que es la unidad,
siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.
[30º] = 1
[π] = 1
[cosα] =1
A
[log4] =1
[A.B] =1
B =1
[A]n
[An] =
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL:
El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de
la ecuación dimensional será iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los signos de
SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD).
C
A-B =
D
T-2
rad/s2
V
Caudal o Gasto
3 -1
LT
3
m /s
E
Calor Latente específico
L2T-2
cal/g
E
Capacidad Calorífica
ML2T-2 θ
cal/°K
E
Calor Específico
L2T-2 θ
cal/g.°K
E
Carga Eléctrica
IT
A. s = Coulomb (C)
E
Potencial Eléctrico
ML2T-3I-1
J/C = Voltio
(V)
E
Resistencia Eléctrica
ML2T-3I-2
V/A = Ohm (
Ω)
E
N/C
V
C/V = Faradio
(f)
E
-1
-1
Intensidad de Campo
MLT-3I-1
Eléctrico
M-1L-2T4I2
Capacidad Eléctrica
C
⇒ A = B =
D
2
2
Aceleración Angular
Nota: E = escalar y
V = vectorial
FORMULAS EMPÍRICAS:
Para obtener una fórmula empírica de la magnitud “x” que se
encuentra en función de a, b, c se debe cumplir:
X=kax.by.cz
Siendo k la constante numérica de proporcionalidad; x, y, z son
números reales
1.
Determina las dimensiones de “x” considerando la relación:
FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USUALES EN EL
X = (velocidad).(tiempo)
SISTEMA INTERNACIONAL (SI)
A) M
D) LT
Magnitud Derivada
F.D.
Unidad
Tipo
2.
B) L
E) LT-1
Determina las dimensiones de “Y” en la relación:
Área o Superficie
L2
m2
E
Y = (masa).(área)
Volumen o Capacidad
L
m
E
Velocidad lineal
LT-1
m/s
V
A) ML
D) ML3
Aceleración lineal
LT-2
m/s2
V
Aceleración de la Gravedad
LT-2
m/s2
V
A=
Kg. m/s2
= Newton (N)
V
A) ML-2
D) MLT
3
3
Fuerza, Peso, Tensión,
MLT-2
Reacción
3.
4.
B) M
E) MLT-1
(densidad)(volumen)
(tiempo)
B) ML3T-1
E) MT-1
N. m
V
Trabajo, Energía, Calor
ML2T-2
N. m = Joule
(J)
E
Z = (fuerza).(tiempo)2
Potencia
ML2T-3
Joule/s
Watt (W)
E
A) MLT-1
D) ML
Densidad
ML-3
kg/m3
E
Peso específico
ML-2T-2
N/m3
E
Impulso, Ímpetu, ImMLT-1
pulsión
N. s
V
Cantidad de MovimienMLT-1
to
kg. m/s
V
E
E
Presión
ML T
N/m2 = Pascal
(Pa)
Periodo
T
S
Frecuencia Angular
T-1
s-1 =
(Hz)
Velocidad Angular
T-1
rad/s
-1 -2
Hertz
E
V
Educación Rumbo al Bicentenario- 208
B) MLT-2
E) ML2
(presión)(área)
(velocidad)2
A) LM
D) LMT-1
B) LM-1
E) LMT
C) L-1M
Si: cantidad de movimiento = masa. velocidad, entonces su
fórmula dimensional es:
A) LMT
D) L2MT-2
7.
C) MT-2
Determina las dimensiones de “B” en la ecuación:
B=
6.
C) MT-2
Determina las dimensiones de “Z” en la siguiente relación:
ML2T-2
5.
C) ML2
Determina las dimensiones de “A” en la siguiente relación:
Torque o Momento
=
C) T
El peso específico (
γ=
peso
volumen
B) LMT-1
E) MT-1
γ
) está definido por:
C) L2MT-2
FÍSICA
A) LMT-1
D) L-2MT2
8.
B) L-1MT-2
E) L-1MT-1
Dónde: E = trabajo, v = velocidad , F = fuerza
A) ML
B) M-1L-1
C) LT-2
D)LT
E) ML-1
Determina las dimensiones de “E”:
E=
(calor)(densidad)
V =A + BT + CT 2
16. Si:
(impulso)2
A) L-2
D) L
9.
C) L-1MT-3
B) L2
E) L3
Dónde: V = Velocidad; T = Tiempo
C) L-3
AC
Halla: B
Determina las dimensiones de “G”:
A) LT-1
D) L
(potencia mecánica)
G=
(aceleración de la gravedad)(densidad)
A) LT-1
D) L4T-1
B) L2T-1
E) L4T
B) LT-2
E) T
C) LT
17. Halla [B2] si:
C) L3T
Wsenθ
A=
10. Halla las dimensiones de “V” siendo: R el radio de la base y
h la altura del cono.
m(B2 + S)
Donde: S = Volumen; m = Área
A) L
B) L3/2
2
E) ML
D) L
C) L3
18. Si se sabe que:
ap
+ bc 2
d
=
N
h
Dónde:
N = Fuerza; p = Presión; d = Diámetro; c = Densidad.
R
A) L-2
D) L
Halla: [a]
1
V= πR 2 .h
3
B) L2
E) L3
A) L
D) T
C) L4
19. Del ejercicio anterior halla [ b ]
A) ML
D) T2
11. Halla la dimensión del calor específico (Ce).
Ce =
calor
temperatura.masa
A) L2T-2
D) L2T-2θ-1
B) LT-2
E) L-2θ-1
2
Donde: V = velocidad; D = densidad; C = masa
DV
(sen α)g
A) ML-2T-1
D) M-1L2T
D: densidad; V: velocidad; g: aceleración
A) ML-2
B) ML-1
E) ML-3
D) M-1L-1
1.
La ecuación dimensionalmente correcta:
Z=
=
E w A2 − X2
Dónde: A = Potencia; W = Período
A) ML2T-3
B) LT-2
D) ML-2
E) ML-3T2
B) ML2T-1 C) ML2T
E) ML-1T-2
C) ML
13. Halla [x] si:
B tan α
A 2C(1 + sen2θ)
Halla [Z]
C) ML
Si: B = Volumen; A = Área; C = Velocidad
14. Encontrar [ P ] en la ecuación:
B) L-1T
E) L-2T
A) LT-1
D) LT-1
2
m(V + K)
2t
2.
Dónde: m = masa; V = Velocidad; t = tiempo
A) ML
B) ML2T-3
C) LT3
D) LT-3
E) ML-2T3
C) L-2T-2
En la ecuación homogénea hallar [K] si:
h=
4K(x − m)3
3t 2
Donde: m = Masa; t = Tiempo; h = Altura;
B) MT-1
C) MT-2
A) LM-3
D) MT2
E) MT3
β
α
15. Determinar si:
=
E
C) M-1L7T-2
B E
K 3= v + +
D C
C) ML2θ
2
4P =
B) T-1
E) LT-2
20. En la siguiente expresión determina [B]
12. Halla la dimensión de “E”.
E=
C) MLT-2
B) L3
E) ML-1
v2 F
+
α β
209
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
3.
La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene
dada por la siguiente fórmula:
P = kR x W yDZ
Dónde:
[W] = T-1
R: Radio de la hélice
D: Densidad del aire
K: Número
Calcula: x + y + z
A) 5
D) 11
4.
B) 7
E) 13
C) 9
La magnitud de la fuerza que actúa sobre una partícula está
dada por:
Donde m: masa; encuentre la dimensión de:
[ ]
B) LT
C) L2T-1
A) LT-2
D) L-1T2
E) MLT
5.
La velocidad (V) de un fluido está dada por la ecuación
dimensionalmente correcta:
Dónde: P es presión y h altura; las cantidades que
representan A y B, respectivamente, son:
a) densidad, aceleración.
B) densidad, velocidad.
C) presión, aceleración.
D) fuerza, densidad.
E) presión, fuerza.
Educación Rumbo al Bicentenario- 210
“ Física cuántica, la razón se queda
perpleja ante el azar
(Javier Sanz)
FÍSICA
FÍSICA
VECTORES I
7
Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.
ANÁLISIS VECTORIAL
Algunas magnitudes como el tiempo, masa, densidad, etc., se
pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero
algunos fenómenos físicos requieren para su descripción, del uso
de magnitudes vectoriales como el desplazamiento de un ciclista,
la velocidad de un automóvil, la fuerza aplicada a un bloque, etc.
La importancia que tienen los vectores para la física es que a
través de ellos se representan las magnitudes vectoriales; lo cual
permite una mejor descripción y comprensión de los fenómenos
físicos.
CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES:
Vectores Colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.
VECTORES IGUALES: Dos vectores serán iguales cuando tieL / /L 2
nen la misma dirección, módulo y sentido. 1
VECTORES PARALELOS:
El vector representa la acción aplicada por la persona al bloque.
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.
DEFINICIÓN DE UN VECTOR
Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con
orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la
cantidad.
Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han
ideado a los VECTORES.
Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.
NOTACIÓN:
: Se lee vector “A”
: Se lee módulo del vector “A”.
En la figura: θ = α = β
Dadas las rectas paralelas: L1 / /L 2 / /L 3
Los vectores: A / /B / /C también son paralelos.
ELEMENTOS DE UN VECTOR:
Por consiguiente se cumple también:
A
B
C
=
=
Vectores unitarios iguales
A
B
C
VECTORES COPLANARES:
Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.
MÓDULO: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida
de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la
notación:
DIRECCIÓN: Es el ángulo que forma el vector con respecto a
un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma
la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).
SENTIDO: Representado por la flecha del vector.
VECTORES OPUESTOS: Dos vectores serán opuestos cuando
tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario. L1 / /L 2
211
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
Si: A = 2µ
B = 3µ C = 1µ D = 1µ
E = 3µ F = 5µ
Resolución: En este caso procedemos del siguiente modo:
Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:
→ → → → → →
VECTORES CONCURRENTES:
A , C y F : A + C + F = 2 + 1 + 5 = 8 (→)
Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un
mismo punto.
C
B
→ →
→ → → →
B , D y E : B + D + E = 3 + 1 + 3 = 7 (←)
→
R = 8 − 7 = 1 (→)
Luego
O
(Sentidos opuestos se restan).
A
Se observa que las líneas de acción de los vectores A , B y C
concurren en el punto “O”
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
(ESCALAR)
Si el número es positivo
θ
θ
MÉTODO DEL POLÍGONO:
Método del Polígono Abierto:
Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su
VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que
parte del origen del primero y llega al extremo del último.
|
| 2A | =
1
A| =
2
Si el número es negativo
θ
| B |= 4µ
θ
| 2B | =
θ
MÉTODOS PARA SUMAR VECTORES
Ejemplo:
| A |= 8µ
θ
θ
Construyendo el polígono:
1
|– B| =
2
Para números positivos:
Mayores que 1: Crece y se mantiene el sentido.
Menores que 1: Decrece y se mantiene el sentido.
Para números negativos: Cambia de sentido.
SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único
vector llamado RESULTANTE
SUMA DE VECTORES PARALELOS Y/O COLINEALES
Ejemplo:
Halla el vector resultante para el sistema de vectores.
Educación Rumbo al Bicentenario- 212
→
→ → → →
La resultante es: R = a + b + c + d
FÍSICA
POLÍGONO CERRADO:
En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero.
¿Podrás cerrar el polígono?
La Resultante es:
→
→ → → → → →
→
R = A+ B + C+ D+ E + F = 0
MÉTODO DEL TRIÁNGULO:
Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes
A = a+b=S
PASOS A SEGUIR:
Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores.
Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos:
R
a
b
= =
sen β sen γ sen α
EJEMPLOS:
MÉTODO DEL POLÍGONO.- Consiste en colocar un vector a
continuación del otro.
1.
En los siguientes casos determina el vector resultante.
A)
B)
C)
213
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
2.
→
En el siguiente sistema, halla el módulo del A
resultante es vertical.
si la
6.
En el siguiente hexágono regular. Determina el módulo del
vector resultante. L=5u
12
A
8
9
A) 2
D) 6
A) 5u
D) 25u
B) 4
E) 8
.
C) 5
B) 10u
E) 20u
C) 15u
En el siguiente paralelogramo. Halla el módulo del vector
resultante.
→
3.
En el sistema de vectores, halla el módulo del B si la
resultante es vertical.
A) 6
D) 9
8.
B) 7
E) 10
Compara respecto al vector resultante del sistema de
vectores mostrado:
COLUMNA “A”
COLUMNA “B”
9+x
A) 12
D) 16
B) 14
E) 18
C) 15
4-x
5-2x
12
12-x
7+x
A) A es igual que B
B) A es mayor que B
C) B es mayor que A
D) No se puede comparar
E) ¡No utilice esta opción!
→
4.
C) 8
En el siguiente sistema, halla el módulo del X si la resultante
es horizontal.
9.
Si se tiene los vectores A y B ; Sabiendo que: A = B = 20 u
A
B
A) 2
D) 6
5.
B) 4
E) 8
C) 5
En el siguiente rectángulo determina el módulo del vector
resultante.
A) 12
D) 26
B) 14
E) 28
C) 15
Educación Rumbo al Bicentenario- 214
Determina:
A) -40u
D) 10u
B) -10u
E) 40u
C) 0
10. Para los vectores mostrados: A = 8u , B = 10 u y C = 6 u .
→
→
→
→
Halla el módulo de: R , Si R = 2 A − 3 B + 4 C
A) 26u
D) 38u
B) 28u
E) 42u
C) 32u
FÍSICA
En los siguientes casos determina el vector resultante.
15.
11.
→
→
A) 2 d
B) a
D) 2 b
E) c
→
→
→
C) 2 a
12.
→
→
→
A) 2 b
B) 3 c
D) Cero
E) 2 a
C) 3 e
→
16. Determina la resultante del sistema de vectores mostrado en
el paralelogramo
→
A) b
→
D) 2 a
→
B) 2 c
→
→
C) 3 c
E) 3 a
→
→
B) 3 c
D) 3 f
E) 2 b
→
→
B)
D)
E)
C)
17. Halla el valor de la resultante:
13.
A) 2 a
A)
→
A) 8
D) 14
C) 3 d
B) 10
E) 16
C) 12
18. En el trapecio se indican dos vectores. Determina el módulo
de la suma vectorial,
(M: punto medio)
14.
M
→
A) 2 c
→
D) b
→
B) 2 b
→
A) 4 u
D) 20 u
C) Cero
B) 10 u
E) 16 u
E) 2 d
215
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 12 u
FÍSICA
19. Del caso mostrado halla el módulo del vector resultante:
C
B
A) VVF
D) FFV
3.
A
A) 4 u
D) 2 u
B) 10 u
E) 6 u
B) FVF
E) VVV
C) VFF
Halla el módulo de la resultante si: “M”, “N”, “O” son puntos
medios:
C) 12 u
20. Halla el valor del vector resultante:
6 cm
4 cm
A) 4 cm
D) 10 cm
B) 5 cm
E) 20 cm
→
→
A) 14 u
D) 18 u
1.
B) 10 u
E) 22 u
→
→
4.
C) 12 u
C) 8 cm
→
A y B
Halla x en función de
→
Halla x , en función de m y n .
(AB = BC = CD)
→
A)
→
→
(A + 2 B)
2
→
B)
→
→
→
A)
→
→
m − n
2
→
B)
→
n − m
D)
3
2.
E)
→
→
n − m
2
→
2 →
( n − m)
3
→
C)
→
m − n
3
C)
→
(A + B)
2
→
(2 A − B )
E)
2
(A − 2 B)
D)
2
5.
→
→
(2 A + B )
2
En el siguiente triángulo equilátero de lado 4 unidades de
longitud. Halla la resultante, además M, N y P son puntos
medios.
M
→
N
En la figura los vectores B y R son paralelos y sus
magnitudes son 6 m y 10 m respectivamente. Determina
e idéntica si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes
proposiciones:
(
P
) La magnitud de la resultante de los vectores
→
→
A) 2 19
D) 19
A y C =4m
→
→
(
) El vector R = 2 B
(
) La magnitud de la resultante de los vectores B y R
es 18 m
→
→
Educación Rumbo al Bicentenario- 216
B) 19
E) 76
C) 2 13
FÍSICA
FÍSICA
VECTORES II
8
B. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO:
Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí.
Ejemplo:
A
?
B
Resolución:
En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma
paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.
=
R
A 2 + B2
1.
Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°.
A =X y B =X
2.
Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman
120°. A = X y B = X
3.
Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°.
A =X
B =X
y
A
?
B
Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: paralelogramo.
→
→ →
R= A + B
Recuerda:
Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos:
R=
A 2 + B2 + 2AB cos θ
Si: θ = 0º
A la resultante obtenida se le conoce como: resultante máxima
R max= A + B
Si: θ = 180º
→
DIFERENCIA ( D ) La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.
A la resultante obtenida se le conoce como: resultante mínima
R min= A − B
→
→
→
→
→ →
Vectorialmente: D = A + (− B ) ⇒ D = A − B
Si: θ = 90° (Vectores Perpendiculares)
217
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
(r > x > 0)
=
r
x
=
y
=
POR LA LEY DE COSENOS:
=
D
x2 + y2
r2 − y2
r2 − x2
x2 + y2 =
r2
A 2 + B2 + 2AB cos(180° − θ)
MÉTODO PRÁCTICO
Pero existe un método práctico para descomponer vectores,
usando los triángulos notables, pero antes recuerda:
TRIÁNGULOS NOTABLES
Pero se sabe que: cos(180° − θ) = − cos θ
D=
(r > y > 0)
A 2 + B2 − 2AB cos θ
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTÁNGULAR:
Y
A
=
A y Asenθ
θ
→
→
A
Expresión vectorial del
=
A A cos θi + Asenθj
X
=
A x A cos θ
:
AX i + Ay j
=
A
=
A A(cos θi + senθj)
Como par ordenado: A = A(cos θ, senθ)
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO:
Las componentes rectangulares están dadas por:
=
A x A cos θ
A y Asenθ
=
→
Módulo del vector A =
:A
→
Dirección del vector A
A x2 + A y2
respecto al eje X:
tanθ =
Ay
Ax
TEOREMA DE PITÁGORAS:
Se cumple solo para triángulos rectángulos, nos dice que la suma
de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Si tenemos:
MÉTODO PARA HALLAR LA RESULTANTE USANDO DESCOMPOSICIÓN:
PASO # 1: Los vectores que se sumaran se disponen partiendo
del origen de coordenadas.
PASO # 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus componentes rectangulares.
PASO # 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como
la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje.
PASO # 4: Se calcula finalmente el módulo y dirección de la
resultante, Así:
Educación Rumbo al Bicentenario- 218
FÍSICA
1.
La resultante máxima de dos vectores es 21 u y la mínima es
3 u. Calcula el módulo de la resultante cuando formen 90º
entre sí.
A) 10 u
D) 18 u
2.
B) 15 u
E) 20 u
C) 16 u
7.
Respecto al módulo de la resultante,
Columna “A”
compara:
4.
D)
E)
C)
Determina el módulo de la resultante de los vectores
mostrados:
A) 6
D) 12
Determina el ángulo que forman dos vectores de igual
modulo si su resultante tiene el mismo modulo que los
vectores componentes.
A) 37°
D) 90°
B)
Columna “B”
A) A es igual que B
B) A es mayor que B
C) B es mayor que A
D) No se puede determinar
E) No usar esta opción
3.
A)
B) 53°
E) 120°
8.
B) 8
E) 14
C) 10
Halla el módulo de la resultante.
C) 60°
Dos vectores de módulos iguales a 5 cm, forman un ángulo
de 60°. Determina el módulo del vector resultante.
A) 5 cm
D) 10
cm
B)
cm
C) 10cm
E) 20cm
05. Determina el módulo del vector resultante
A) 10
D) 40
6 cm
9.
30°
B) 20
E) 50
C) 30
Determina la dirección del vector resultante del sistema
mostrado.
23°
2 cm
A) 7 cm
D)
B)
cm
cm
C) 3 cm
E) 10 cm
06. Determina el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
A) 30°
D) 53°
219
B) 37°
E) 60°
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 45°
FÍSICA
10. En el sistema mostrado, halla:
A =5 2
B =2 2
y
C =4
A + B − C sabiendo que:
15. Si la resultante del sistema de vectores mostrados es,
→
−k B
.
determina el valor de
A
B
C
//
A) -3
D) 1
A)
B)
D)
E)
C)
2k-1.
//
B) -2
E) 2
C) -1
16. Calcula " α " , para que la resultante sea vertical.
A=6yB=8
11. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre si un
de 60º, y poseen una resultante que mide 35. Sabiendo
además que uno de ellos es los 3/5 del otro. Halla la suma
de los módulos de dichos vectores componentes.
A) 10
D) 40
B) 20
E) 50
C) 30
12. Determina el módulo del vector resultante de los vectores,
→
→
A y B
siendo: A = 39
B =15.
A) 30°
D) 53°
B) 37°
E) 60°
C) 45°
17. Halla el módulo de la resultante, sabiendo que es vertical.
A
B
57°
A) 3
D) 25
y
33°
B) 10
E) 39
C) 13
13. Halla la resultante de los vectores mostrados.
A) 2
D) 8
B)
E) 10
C) 6
18. Determina el valor de B para que la resultante se encuentre
en el eje “x”
A) 500
D) 800
B) 600
E) 900
y
C) 700
20 2
45°
14. Determina el módulo del vector resultante:
a
)60°
A)
B) a
D) 2a
E)
53°
B
a
C)
Educación Rumbo al Bicentenario- 220
A) 11
D) 15
B) 12
E) 25
x
60°
16
C) 13
FÍSICA
19. Si la resultante tienen un módulo de 50 y es horizontal
dirigiéndose hacia la izquierda. Determina el módulo del
vector A .
M
4u
3u
A) 5
B)
D)
A) 12 u
D) 18 u
C) 12
3.
E) 20
→
→
→
→
B) 15 u
E) 20 u
C) 16 u
Halla el módulo de la resultante de los dos vectores
mostrados, si “M” es punto medio.
20. Si en el sistema mostrado se cumple: x + y = m A + n B
; siendo “G” baricentro del triángulo. Halla el valor de:
m (n + m)n
A) 1/6
D) 3
1.
→
B) 1/3
E) 6
→
A) 7
D) 35
C) 2/3
4.
C) 21
Determina el módulo de la resultante del siguiente sistema
B =2 2
de vectores, si: A = 10 ,
→
Halla x en función de A y B
5.
→ →
(A+ B)
a) 2
2 → →
d) ( A + B )
3
2.
B) 14
E) 40
→ →
(A+ B)
b)
3
2 → →
e) - ( A + B )
3
A)
B)
D)
E)
C)
En el siguiente conjunto de vectores, determina la expresión
y
→ →
(A+ B)
c) 6
A
B
x
Determina el módulo del vector resultante:
C
D
cartesiana de:
A) (3; -2)
D) (3; -1)
221
B) (3; -3)
E) (4; -2)
C) (2; -2)
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
FÍSICA
CINEMÁTICA I
9
CINEMÁTICA
INTRODUCCIÓN:
En nuestro entorno podemos observar a una gran cantidad de
objetos y seres vivientes que se encuentran en continuo movimiento también es sabido que los planetas, al Sol, nuestra galaxia, ¡el universo! están en continuo movimiento.
En este capítulo trataremos de describir los movimientos sin preocuparnos de sus causas. Por ejemplo para analizar el desplazamiento de un automóvil, diremos que se mueve en línea recta,
que su rapidez es de 50 km/h y luego aumenta a 70 km/h, pero
no tratamos de explicar las causas de cada uno de estos hechos.
CONCEPTO:
Es una parte de la Mecánica, que tiene por finalidad describir matemáticamente todos los tipos posibles de movimiento mecánico sin relacionarlo con las causas que determinan
cada tipo concreto de movimiento.
En Cinemática, a menudo evaluaremos y describiremos cuatro características fundamentales del movimiento: ESPACIO,
TIEMPO, VELOCIDAD y ACELERACION, para lo cual previamente plantearemos los siguientes conceptos:
MOVIMIENTO MECÁNICO
Es aquel cambio de posición que realiza o experimenta un
cuerpo con respecto a un observador situado en un SISTEMA DE
REFERENCIA.
ESPACIO.- Es todo aquello que lo ocupa todo sin tener fronteras.
TIEMPO.- Idea fundamental que va ligada al espacio, luego será
otra forma de la existencia de la materia, una noción del paso del
tiempo es el cambio.
MOVIMIENTO
En general es una propiedad fundamental de la materia asociada
a ella y que se manifiesta a través de cambios, transformaciones
y desarrollo.
Los cuerpos macroscópicos poseen internamente múltiples
movimientos moleculares tales como: Movimiento Térmico,
Movimiento
Biológico, Movimiento Electrónico, etc.
Externamente los cuerpos macroscópicos con el tiempo experimentan transformaciones, cambios en cantidad y calidad, esta realidad objetiva es precisamente la materia en
movimiento.
En Mecánica Clásica estudiamos macroscópicamente a los
cuerpos y/o partículas, y cuando planteamos el movimiento
lo hacemos por lo que en el momento impresiona nuestros
sentidos, este movimiento elemental se denomina Movimiento Mecánico.
SISTEMA DE REFERENCIA.- Es aquel lugar del espacio
en donde en forma real o imaginaria se sitúa un observador
para analizar un fenómeno.
Convencionalmente al sistema de referencia se le asocia un
sistema de coordenadas que permite ubicar al fenómeno
en el espacio y en el tiempo, éste sistema de referencia se
denomina sistema temporal o sistema horario.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO:
MÓVIL.- Es el cuerpo o partícula que realiza un movimiento mecánico.
TRAYECTORIA.- Es la línea y/o curva que describe en el espacio el móvil al desplazarse de una posición a otra.
EJEMPLO
RECORRIDO ( e) .- Es la medida de la longitud de la trayectoria. Es una magnitud física escalar.
VECTOR POSICIÓN ( r ) .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en el espacio y en el tiempo, al
móvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen
de coordenadas) al móvil en un cierto instante.
DESPLAZAMIENTO ( d ) .- Es una magnitud física vectorial,
Educación Rumbo al Bicentenario- 222
FÍSICA
que sirve para expresar el cambio de posición efectivo entre dos
→
puntos efectuado por un móvil.
→
V=
→ →
d =
∆r =
rf − ro
e
t
La rapidez media es la rapidez uniforme con la cual, en el mismo
tiempo, el móvil haría el mismo recorrido.
DISTANCIA (D).- Es el módulo del vector desplazamiento
(siempre es rectilínea).
→
ACELERACIÓN ( a ).- Magnitud vectorial cuyo valor nos indica
el cambio de velocidad que experimenta un móvil por unidad de
tiempo, también nos indica la rapidez con que cambia la velocidad.
TIEMPO: Es una forma real de existencia de la materia, que se
encuentra asociada a su movimiento y espacio ocupado.
El Tiempo en Mecánica sirve para medir la duración de un fenómeno físico y su ubicación respectiva.
El Tiempo para un evento físico definido previamente se puede
clasificar en:
Intervalo de Tiempo (t).- Denominado también tiempo transcurrido, es aquel que sirve para medir la duración de un evento
físico.
Instante de Tiempo (t0).- Es aquel intervalo de tiempo pequeñísimo que nos permitirá ubicar la tendencia de ocurrencia de
un fenómeno físico y su ubicación principalmente en el espacio.
UNIDADES:
2
En el S.I.: m/s
2
2
2
OTRAS UNIDADES: km/h , pies/s , cm/s , etc.
→
ACELERACIÓN MEDIA ( a m ).- Un móvil acelera cuando
cambia el módulo y/o dirección de su velocidad con respecto al
tiempo.
Es el vector que se define como el vector cambio de velocidad
(diferencia de vectores).
MEDIDAS DE MOVIMIENTO:
→
VELOCIDAD ( V )
am =
Es una magnitud física vectorial. Mide la rapidez del cambio de
posición.
∆V
t
⇒
am =
V f − V0
t
→
VELOCIDAD MEDIA ( V m ): Magnitud física vectorial que indica la relación que existe entre vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) es el más simple de
la cinemática, su característica principal es que la velocidad del
móvil permanece constante, es decir el móvil avanza distancias
iguales en tiempos iguales.
d ∆ r ∆ rf − ∆ r0
= =
V=
m
∆t ∆t
tf − t0
Y
CONSECUENCIAS DE UNA VELOCIDAD CONSTANTE:
d
Un móvil con M.R.U. no debe cambiar la dirección de su velocidad; por lo tanto, la trayectoria debe ser necesariamente una
recta.
Una velocidad constante solamente se puede dar en una trayectoria recta.
Un móvil con M.R.U. no debe cambiar el módulo de su velocidad;
o sea su rapidez debe ser constante.
Un movimiento con rapidez constante es denominado uniforme
Un móvil con M.R.U. no cambia la dirección ni el módulo de la
velocidad, o sea no acelera.
Si un móvil no acelera su trayectoria es una recta y su rapidez
permanece constante
Si el móvil tiene velocidad constante su rapidez también será
constante y el móvil recorrerá distancias iguales en tiempos iguales
rf
r0
X
UNIDADES DE VELOCIDAD:
En el S.I.: m/s
OTRAS UNIDADES: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc.
→
VELOCIDAD INSTANTÁNEA ( V i ): Se evalúa cuando Δt0, se
grafica tangente a la trayectoria.
Y
t2
t1
V1
V2
t3
dr
V=
dt
Características:
V3
d
v
X
Trayectoria: recta
Velocidad: constante
* V1: velocidad instantánea en el instante t1.
Aceleración: cero
RAPIDEZ MEDIA (V): Es la relación entre el espacio recorrido
por el móvil con respecto al tiempo que emplea. La rapidez media es una cantidad escalar y se expresa de la siguiente manera:
t
d = vt
OBS:
a)
223
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
X(
ECUACIONES ESCALARES DEL MRUV:
km
5 m
)= X • ( )
h
18 s
b)
m
18 km
Y( )= Y • ( )
s
5 h
EL SONIDO COMO (MRU)
El sonido es producido por la vibración de los objetos. Para transmitirse se requiere de un medio elástico que puede ser sólido,
liquido o gaseoso.
EN EL VACÍO EL SONIDO NO SE PROPAGA (V = 0)
Aire
(20°)
Hidrogeno (0°)
Oxigeno (0°)
Agua de mar
Agua dulce
=
=
=
=
=
340 m/s
1286 m/s
317 m/s
1500 m/s
1435 m/s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
(MRUV)
Una partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente
variado (M.R.U.V.) si al desplazarse su trayectoria es una recta y
su rapidez aumenta o disminuye uniformemente.
Como la rapidez del móvil varía uniformemente con el tiempo,
podemos utilizar:
V + Vf
d= 0
t
2 (Ecuación práctica)
Espacio recorrido en el n-ésimo segundo para una partícula con
M.R.U.V.
Características
Trayectoria
Velocidad
Aceleración
( + ) cuando el movimiento es acelerado (si la rapidez aumenta).
( - ) cuando el movimiento es desacelerado (si la rapidez disminuye).
: recta
: variable
: constante
Debido a la trayectoria recta se puede decir que la dirección de
la velocidad no cambia.
La aceleración es colineal con la velocidad
Si la rapidez aumenta se dice que el móvil está acelerando. La
aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.
Si la rapidez del móvil disminuye se dice que el móvil está desacelerando. La aceleración tiene sentido contrario a la velocidad.
dn° =±
V0
1
a(2n − 1)
2
MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS:
Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo. Los tiempos empleados por cada móvil serán iguales.
t=
1 t=
2 t
LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE:
En el siguiente diagrama la aceleración es constante porque cada
4 s la velocidad varía en 3 m/s.
ACELERACIÓN LINEAL (a):
∆v
a=
∆t
V −V
0
a= f
t f − t0
Educación Rumbo al Bicentenario- 224
MOVIMIENTOS NO SIMULTÁNEOS:
Dos móviles tendrán movimientos no simultáneos cuando uno
de ellos se adelanta en la partida o el otro tarda en partir, los
tiempos empleados por cada móvil serán diferentes.
t1 =
tiempo del primer móvil que partió
t2 =
tiempo del móvil que partió rezagado
∆t =tiempo de adelanto del primero o de atraso del segundo
t1= t 2 + ∆t
FÍSICA
CRUCE O ENCUENTRO DE DOS MÓVILES:
TIEMPO DE CRUCE (tc)
El movimiento se da en direcciones opuestas.
Cuando están separados una distancia “d”, la posición de los
móviles es la siguiente:
Vtren
Ltunel
L + L2
tc = 1
Vtren
Transcurrido un tiempo “t”, el auto y el camión se encuentran.
L1
L2
V
1.
t = tB
Se sabe que: A
=
d dA + dB
d t(VA + VB )
⇒=
Luego el tiempo de encuentro estará dado por:
t encuentro =
: longitud del tren
: longitud del túnel
: velocidad del tren
“En el movimiento........... el desplazamiento y la velocidad
son siempre.................”.
A) rectilíneo, perpendiculares
B) rectilíneo, colineales
C) desacelerado, codirigidos
D) curvilíneo, iguales
E) acelerado, opuestas
Del gráfico se deduce:
=
d VA t + VB t
Ltren
2.
d
VA + VB
Identifica la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I.
II.
ALCANCE DE DOS MÓVILES:
III.
El movimiento se da en la misma dirección.
Cuando están separados una distancia “d”
Una partícula tiene velocidad constante cuando su
rapidez es constante.
Cuando una partícula se mueve con MRU la trayectoria
y el desplazamiento son iguales.
La velocidad apunta en la dirección del desplazamiento.
A) FFF
D) VFV
3.
B) VFF
E) FVF
C) FW
Dadas las siguientes proposiciones:
( ) El desplazamiento es
un vector.
( ) El cambio de posición de un móvil viene dado por el
desplazamiento.
( ) La longitud del vector desplazamiento nos indica la
distancia
existente entre el punto de partida y el
punto de llegada.
Identifica la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda.
A) VFF
D) FW
4.
t = tB
Se sabe que: A
II.
dB= d + dA ⇒ dB − dA =
d
La velocidad mide los cambios de posición de un
móvil a través del tiempo.
Un móvil en reposo puede presentar una velocidad no
nula.
En el M.R.U. la velocidad es variable.
VB t − VA t =
d ⇒=
d t(VB − VA )
III.
Luego el tiempo de alcance estará dado por:
A) I
D) II y III
t alcance =
d
VB − VA
5.
B) II
E) I y III
C) II
Para un móvil que desarrolla un M.R.U.V. identifica la verdad
(V) o falsedad (F).
I.
II.
III.
Su aceleración es constante.
La dirección de la aceleración siempre es igual a la
velocidad.
Su aceleración es perpendicular a su desplazamiento.
A) VFF
D) FW
225
C) VVV
Identifica la(s) proposición(es) incorrecta(s)
I.
Del gráfico se deduce:
B) VFV
E) FFF
B) WF
E) FFF
Educación Rumbo al Bicentenario
C) VFV
FÍSICA
06. Sabiendo que el desplazamiento es -15 m Calcula X0
12. Determina e Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
I.
II.
A) 5 m
D) 20 m
B) 10 m
E) 25 m
C) 15 m
07. Sabiendo que la distancia recorrida es de 150 m. Calcula : Xf
y el desplazamiento
III.
Un automóvil que lleva una rapidez de 108 km/h,
recorre 150 m en 5 s
Un vehículo tiene un desplazamiento rectilíneo de
0,5 km si lleva una rapidez de 20 m/s durante medio
minuto.
Una partícula recorre 75 m durante 3 s con una
rapidez de 25 m/s.
A) VVV
D) FFV
B) VVF
E) VFF
C) VFV
13. Si la posición x de una partícula es descrita por la relación
=
x 5t 2 + 20t , donde x esta en m,
A) 50 m; 90 m
C) 150 m; 100 m
E) 100 m; 90 m
B) 100 m; -90 m
D) 200 m; -100 m
A) 320
D) 55
→
08. Determina la velocidad media ( V m ) y la rapidez media.
(vm)
09. Determina
(vm)
B) 7 m/s; 9 m/s
D) 10 m/s; 9 m/s
→
la velocidad media ( V m ) y la rapidez media.
A) 1 m/s; 9 m/s
C) 3 m/s; 5 m/s
E) 1 m/s; 3 m/s
B) 7 m/s; 5 m/s
D) 1 m/s; 5 m/s
10. Un móvil con MRU. Se mueve a 72 km/h. Determina la
distancia que avanzara en 1 min.
A) 300 m
D) 1 000 m
B) 600 m
E) 1 200 m
C) 900 m
11. Una partícula realiza un M.R.U. con una rapidez igual a 5
m/s. Si en
to= 0, se tiene xo =10 m, halla el tiempo
transcurrido cuando la distancia recorrida es 30 m.
A) 5 s
D) 3
B) 6
E) 2
C) 4
Educación Rumbo al Bicentenario- 226
B) 160
E) 16
C) 95
14. Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa
frente a un poste con una rapidez constante de 6 m/s. Si
luego de 10 s pasa frente al poste un automóvil con una
rapidez constante de 20 m/s y en la misma dirección que
el ciclista. Determina luego de cuánto tiempo el ciclista es
alcanzado por el automóvil.
A) 3 s
D) 6
A) 3 m/s; 9 m/s
C) 3 m/s; 8,5 m/s
E) 3 m/s; 8 m/s
t en s ; entonces el
t=3s y
módulo de su velocidad media entre los instantes
t = 4 s ; en m/s es:
B) 2
E) 8
C)4
15. La rapidez al final de un móvil que recorre
100 m en
línea recta es 35 m/s. Si su aceleración es constante e igual
a 3 m/s2, calcula la rapidez de partida en m/s.
A) 38
D) 30
B) 26
E) 27
C) 25
16. A partir del instante mostrado el chofer del auto reduce
su rapidez a razón constante de 3 m/s cada 2 segundos.
Determina la distancia que recorre hasta que se detiene:
A) 27 m
D) 25
B) 35
E) 10
C) 18
17. Un móvil que realiza un M.R.U.V. en 2 s recorre 8 m y triplica
su rapidez. Determina el valor de su aceleración.
A) 1 m/s2
D) 1,5
B) 0,5
E) 4
C) 2
18. Dos partículas se mueven con M.R.U., la partícula “A” tiene
una rapidez de 20 m/s según el eje “x” y pasa por el origen
en t = 0 s, la partícula “B” tiene una rapidez de 30 m/s
según el eje “y” y se dirige al origen pasando por y = 30 m
en t = 0 s. ¿A qué distancia se encuentran entre sí a los 0,5
s?
A) 5 13 m
B) 2 13
D) 5 5
E) 10 13
C) 3 13
FÍSICA
19. Un tren de 80 m de longitud viaja a 72 km/h ¿Qué tiempo
empleara en pasar completamente un túnel de 120 m de
largo?
A) 2 s
D) 8
B) 4
E) 10
C) 6
20. Un joven que se dirige a una muralla con una rapidez de
6 m/s emite un sonido y escucha el eco cuando avanza 12
m. Calcula la distancia del joven a la muralla en el instante
inicial. (vsonido = 340 m/s)
A) 340 m
D) 368 m
1.
C) 100
B) 2
E) 4
C) 3
B) 32,2
E) 64,2´
C) 48,2
Un tren de 80 m de longitud viaja a 72 km/h ¿Qué tiempo
empleara en pasar completamente un túnel de 120 m de
largo?
A) 2 s
D) 8 s
5.
B) 5
E) 20
Un móvil se desplaza con velocidad constante igual a 2 m/s,
durante 10 s, luego acelera uniformemente con a=1 m/s2
durante 5 s y después desacelera uniformemente con 2 m/
s2. Halla el tiempo en el cual la velocidad llega a cero y dar
como respuesta la distancia recorrida.
A) 12,2 m
D) 54,75
4.
(Nietzsche)
Un auto se desplaza en una pista rectilínea observándose
que su rapidez disminuye en 4 m/s cada 2 s. Determina
su recorrido un segundo antes de detenerse, si su rapidez
inicial es 10 m/s.
A) 1 m
D) 5
3.
C) 360 m
Dos móviles parten desde un mismo punto siguiendo
trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí con
velocidades de 6 m/s y 8 m/s. ¿Después de que tiempo
ambos móviles estarán distanciados 200 m?
A) 25 s
D) 18
2.
B) 346 m
E) 400 m
“ La física no es más que una interpretación
del mundo a la medida de nuestros deseos”.
B) 4 s
E) 10 s
C) 6 s
El móvil “A” tiene V = 6 m/s constante y el móvil “B” parte del
reposo con a = 2 m/s2. Determina el tiempo de encuentro.
A) 5 s
D) 12 s
B) 7 s
E) 15 s
C) 10 s
227
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
FÍSICA
CINEMÁTICA II
10
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE
(MVCL)
Es aquel tipo de movimiento uniformemente acelerado (MRUA)
cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la
presencia de la gravedad más no del peso del cuerpo ya que
no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se
refiere cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, o simplemente
es soltado. Este tipo de MVCL es INDEPENDIENTE DEL PESO
DEL CUERPO.
CAÍDA LIBRE:
4.
1. Concepto: Es aquel movimiento vertical ideal que posee
una aceleración constante llamada gravedad, siempre
dirigido hacia abajo.
Todos los cuerpos que se dejan caer simultáneamente con
la misma velocidad inicial desde una altura, utilizan el mismo
tiempo para llegar al suelo.
5.
Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza
su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más
alto es igual a cero.
Se denomina caída libre por que no se toma en cuenta la resistencia del aire.
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE:
1.
No se considera la resistencia del aire, o sea el medio es
vacío.
2.
El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración
para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta
aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal,
cuyo valor es 45° de latitud es:
g = 9,81 m/s² = 981 cm/s² = 32,2
pies/s²
3.
Si un cuerpo es disparado verticalmente hacia arriba desde
una determinada altura, se cumple que la intensidad de la
velocidad subida (VS) es igual a la intensidad de la velocidad
de bajada (VB), y que el tiempo empleado para subir (tS) y
bajar (tB) un mismo tramo o altura, son iguales.
El Signo de “g” toma el signo positivo cuando cae y toma el
signo negativo cuando sube.
OBSERVACIONES:
1.
La gravedad no es el mismo para todos los lugares de la
tierra, depende de la altura sobre el nivel del mas y de la
latitud.
En los polos: g = 9,83 m/s² (Máxima)
En el Ecuador: g = 9,78 m/s² (Mínima)
2.
Educación Rumbo al Bicentenario- 228
No sólo la tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y
todo astro. Se entiende por “gravedad” a la región de espacio
que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos
(CAMPO GRAVITATORIO) y aceleración de la gravedad es la
FÍSICA
rapidez con que es atraído un cuerpo
GLuna =
3.
g Tierra
NÚMEROS DE GALILEO: (si la g = 10 m/s2)
gSol = 28 gTierra
6
La aceleración de la gravedad g depende de la masa y el
radio terrestre, asimismo de la corteza terrestre de la tierra
(SIAL y SIMA) ósea:
g= G
Donde:
MT
(R T )2
G = Constante de gravitación universal (6,67.10-11)
MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kg
RT = radio de la tierra
04. Como las características en sus movimientos tanto en el
MVCL y MRUV son equivalentes, las ecuaciones o fórmulas y
los gráficos también lo son.
MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAIDA LIBRE
(MPCL)
Cuando lanzamos un cuerpo al aire vemos que él se ve obligado
a bajar por causa de la gravedad. Si el tiro fuera inclinado y el
medio fuese el vació, el móvil describiría una trayectoria curva
llamada parábola, la cual tendrá una forma final que dependerá
de la velocidad y el ángulo de disparo.
Galileo demostró que el movimiento parabólico debido a la gravedad es un movimiento compuesto por otros dos: uno horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento
horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. y el movimiento
vertical es un M.R.U.V. con aceleración igual a “g”
OSEA:
MRUV
MVCL
V=
Vi ± at
f
V=
Vi ± gt
f
2
V=
Vi2 ± 2ad
f
2
V=
Vi2 ± 2gh
f
=
d Vit ± 1 at 2
=
h Vit ± 1 gt 2
V +V
d = ( i f )t
V +V
h = ( i f )t
2
2
Movimiento Mov. Horizontal Mov. Vertical
=
+
Parabólico
(M.R.U.)
(M.R.U.V.)
∗ Recomendación:
Cuando estudies un movimiento parabólico haz una separación
imaginaria de sus movimientos componentes Así, del ejemplo de
la figura, tendremos que:
2
2
TIRO SEMIPARABÓLICO:
En la figura se muestra un cuerpo lanzado en “A” de manera
V x,
que se mantendrá constante
horizontal con una velocidad
a lo largo del movimiento vertical se observa que la velocidad
vertical en “A” es nula (Viy=0), pero a medida que el cuerpo cae,
esta velocidad va aumentando de valor. Las distancias recorridas
tanto en el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en
intervalos de tiempos iguales.
229
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
La velocidad resultante del cuerpo en cualquier punto es:
=
VR
Vx2 + Vy2
ECUACIONES ESPECIALES:
El siguiente grupo de fórmulas solo se aplican para movimientos
parabólicos como el que aparece en la figura. Así tenemos:
T=
a) Tiempo de vuelo:
b) Altura Máxima:
Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones:
c)Alcance horizontal:
Para cualquier instante de tiempo:
gt2
2
=
D
x = Vx t
Y en la horizontal:
El alcance horizontal x está dado por:
TV =
El tiempo de vuelo del cuerpo es:
2H
g
x = Vx .
g
V 2 Sen2θ
H= i
2g
¡RECUERDA!
H=
2V i Senθ
2Vi2senθ.cos θ) Vi2sen2θ
=
g
g
OBSERVACIONES:
1°. Relaciones entre la altura máxima y el alcance horizontal.
2H
g
4H
Tgθ =
D
2°. Relaciones entre la altura máxima y el tiempo de vuelo:
H=
g.T 2
8
3°. Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual modulo
(vi) y con distintas inclinaciones “α” y “β”, de manera que los
alcances horizontales sean iguales en los dos casos, se verificara:
(figura “a”)
α + β = 90°
ALCANCE MÁXIMO:
TIRO PARABÓLICO:
Una partícula a lanzado desde “A” con una velocidad “vi” y una
inclinación “θ”, tal como se muestra en la figura. Por efecto de la
gravedad, a medida de que el proyectil sube de manera inclinada
se ve forzada a bajar, retornando al piso en “B”.
Vy =0
Vx
y
Cuando regamos el jardín con una manguera comprobamos que
el alcance cambia a medida que inclinamos más la manguera,
y cuando continuamos con este proceso observamos que luego
de un aumento de alcance, este empieza a reducirse. Se puede
demostrar que de todos los alcances, el máximo se logra cuando
el ángulo de disparo es de 45°, de este modo se obtiene que:
vi2
Dmax = g
k
3k
Hmax
Vy
V
Vx
h=y
e
e
e
e
e
e
5k
Vx
x
x
D
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO:
En el movimiento horizontal la velocidad Vx es constante.
=
D (Vi cos θ).Tvuelo
El alcance horizontal máximo (D) es:
En el movimiento vertical:
V=
θ).t − gt
y (Vsen
i
Educación Rumbo al Bicentenario- 230
FORMULAS:
FÍSICA
2.
Si lanzamos una moneda al aire y verticalmente hacia arriba:
I.
II.
III.
HMAX
2
2
= Vo Sen α
R=
2g
Tmáx =
2 Voy
g
Identifica si es verdadero (V) o falso (F):
2.Vo2 Senα.Cosα
Tgα =
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
(
)
En la parte más alta de su trayectoria la velocidad es
nula.
(
)
La velocidad de retorno es igual a la velocidad de
lanzamiento.
(
)
A) FVV
D) VVF
g
3.
4H
R
Identifica la verdad (V) o falsedad (F) con respecto al
movimiento parabólico:
La componente horizontal de la velocidad permanece
constante.
(
)
II.
La componente vertical de la velocidad puede ser
nula en un instante.
(
)
III. La velocidad en todo momento es tangente a la
trayectoria.
(
)
A) FVV
B) FFV
C) VFF
D) VVF
E) VVV
Un cuerpo se deja caer desde lo alto de un edificio de 45 m
de altura, ¿qué tiempo demora en llegar al piso? (g=10 m/
s²)
A) 1 s
D) 4
5.
α + β = 90°
6.
7.
8.
d
Señalar verdadero (V) o falso (F) según como corresponda:
I.
II.
III.
Todo cuerpo en caída libre tiene movimiento uniforme.
( )
Solo existe gravedad en la Tierra. ( )
La aceleración de caída libre depende del tamaño de
los cuerpos.
( )
A) VFV
D) VVV
B) FFV
E) VFF
B) 4
E) 10
C) 5
B) 100
E) 180
C) 120
B) 45
E) 60
C) 50
Desde lo alto de una torre se lanza horizontalmente un
proyectil, con una rapidez de 20 m/s. Si el proyectil empleó
3 s en su caída. ¿Cuál fue la altura de la torre y el alcance
horizontal que logró a partir de la base de la torre? (g = 10
m/s2)
A) 30 m y 15
C) 45 m y 20
E) 45 m y 60
B) 60 m y 30
D) 25 m y 30
C) FFF
231
C) 8
Un objeto se lanza desde el piso verticalmente hacia arriba
con una rapidez de 30 m/s. Halla su altura máxima. (g=10
m/s²)
A) 40 m
D) 55
9.
B) 7
E) 15
Desde lo alto de una torre se suelta un cuerpo y se observa
que tarda 6 s. en llegar al piso. Halla la altura de la torre.
(g=10 m/s²)
A) 80 m
D) 140
V
C) 3
Un objeto en caída libre aumenta su rapidez de 10 m/s
a 60 m/s en 10 s. Halla el valor de la aceleración de la
gravedad.
A) 2 m/s²
D) 7
gt 2
=h
2
B) 2
E) 5
Desde una altura “H” es lanzado un objeto verticalmente
hacia abajo con una rapidez de 5 m/s llegando al piso con
una rapidez de15 m/s. Halla “H”. (g=10 m/s²)
A) 5 m
D) 10
Relación geométrica del movimiento parabólico.
1.
C) VFF
I.
4.
v.t
D=
B) FFV
E) VVV
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
10. En la figura, ¿qué tiempo duró el movimiento? (g = 10 m/s2)
16. Con una inclinación de 30º se lanza un proyectil con una
rapidez de 20 m/s sobre el horizonte. Halla el tiempo que
debe transcurrir para que impacte en el piso. (g = 10 m/s2)
A) 6 s
D) 3 s
B) 5 s
E) 2 s
C) 4 s
17. El alcance horizontal de un proyectil disparado por un cañón
, con una rapidez de 75 m/s y un ángulo de inclinación de
37º sobre la horizontal es de:
(g = 10 m/
s2)
A) 520 m
D) 560 m
A) 1 s
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
11. Un cuerpo se lanza horizontalmente con una rapidez de 10
m/s. Calcula “x”. (g = 10 m/s2)
B) 530 m
E) 580 m
C) 540 m
18. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una
partícula con una rapidez de 8 m/s. Si la azotea está a 80
m del piso. ¿A qué distancia del pie del edificio logra caer la
piedra? (g = 10 m/s2)
A) 18 m
D) 50 m
B) 32 m
E) 80 m
C) 40 m
19. Desde lo alto de una torre se lanza horizontalmente un
proyectil, con una rapidez de 20 m/s. Si el proyectil empleó
3 s en su caída. ¿Cuál fue la altura de la torre y el alcance
horizontal que logró a partir de la base de la torre? (g = 10
m/s2)
A) 30 m y 15
C) 45 m y 20
E) 45 m y 60
A) 10 m
D) 40 m
B) 20 m
E) 50 m
C) 30 m
B) 60 m y 30
D) 25 m y 30
20. La trayectoria mostrada pertenece a un movimiento
parabólico. Determina “H”, si la rapidez en “A” es 100 m/s.
(g = 10 m/s2)
12. Halla “H” del gráfico, si la componente horizontal de la
velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es 20 m/s.
(g =
10 m/s2)
A) 10 m
D) 40 m
B) 36 m
E) 80 m
C) 45 m
A) 30 m
D) 100 m
13. Desde un helicóptero que está descendiendo a una rapidez
uniforme de 3 m/s, se deja caer una pelota verticalmente.
Calcula la rapidez de la pelota en m/s al final del primer
segundo. No considere la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)
A) 13 m/s
D) 16,6
B) 6,8
E) 22,6
C) 12,8
1.
14. Se suelta un objeto desde una altura de 250 m. Determina a
qué altura del piso se encuentra luego de 6 s de ser soltada.
(g = 10 m/s2)
A) 40 m
D) 80
B) 60
E) 90
C) 70
15. Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba.
Determina la rapidez de disparo, si luego de ascender 25 m
su rapidez es de 20 m/s.
(g = 10 m/s2)
A) 10 m/s
D) 35
B) 20
E) 40
C) 30
Educación Rumbo al Bicentenario- 232
C) 70 m
¿Desde qué altura se debe soltar una canica para que en el
último segundo de su caída libre recorra 25 m?
(g = 10
m/s2)
A) 45 m
D) 20
2.
B) 60 m
E) 140 m
B) 25
E) 30
C) 40
Un objeto es soltado en el vacío y recorre 35 m en su último
segundo de caída libre. Calcula desde que altura fue soltado.
(g = 10 m/s2)
A) 70 m
D) 60
B) 75
E) 125
C) 80
FÍSICA
3.
En la figura, halla “x” para que el avión suelte el mensaje y
llegue al barco. (g = 10 m/s2)
“ La La magia es tan sólo una extensión
de la física. La fantasía son números.
Ése es el trucoco”.
A) 1 km
D) 3,5 km
4.
(Carlos Ruiz Zafón)
C) 2,5 km
En la figura la pelotita impacta en B, si: AB = 25 m,
determinar el valor de “vo”. (g = 10 m/s2)
A) 16 m/s
D) 7,5 m/s
5.
B) 2 km
E) 5 km
B) 15 m/s
E) 4,5 m/s
C) 8 m/s
Halla “x”, de la figura : (g = 10 m/s2)
A) 100 m
D) 150 m
B) 120 m
E) 200 m
C) 135 m
233
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
FÍSICA
CINEMÁTICA III
11
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
SE DEFINE:
Movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.
DEFINICIONES BÁSICAS:
Consideremos que un insecto realiza la trayectoria indicada, entonces:
1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (q)
Mide el ángulo central barrido.
Unidad (S.I.): rad
2. DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)
Viene a ser la longitud del arco recorrido.
Unidad (S.I.): m
vt =
s m
( )
s
t
ω=
θ
t
( rad )
s
Como: S = qR;
m
También:
m
rad
m
3. PERIODO (T)
Tiempo que demora en dar una vuelta.
4. FRECUENCIA (f)
Número de vueltas en un segundo.
f=
1
T
Aceleración Angular (a) y Aceleración Tangencial (aT)
La aceleración angular (a), es un vector perpendicular al plano
de rotación.
Se define:
=
α
∆ω ω1 − ω2
=
∆t
∆t
( rad )
s2
Unidad (S.I.):
Hertz (Hz)
1 Hz = 1 oscilación/s
Oscilación <>
ciclo <> vuelta <> revolución
Velocidad angular (w) y Velocidad tangencial (vT)
El módulo de la aceleración tangencial se define:
La velocidad o frecuencia angular (w) es perpendicular al plano
de rotación.
(m)
a=
T
∆v v1 − v 2
=
∆t
∆t
s2
Recuerde: v1 y v2 son velocidades tangenciales (lineales) instantáneas.
Educación Rumbo al Bicentenario- 234
FÍSICA
w = cte
vT = v = cte
ECUACIÓN BÁSICA:
Θ = w.t
S = v.t
Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
m
La velocidad angular (o módulo de velocidad tangencial) va cambiando uniformemente en el tiempo.
Aceleración total (a), Aceleración tangencial (aT) y Aceleración
Centrípeta (acp)
En un instante del Movimiento Circular.
a = cte
aT = cte
Su acp es variable en el tiempo.
v = w.R
a = aT + acp
acp
2
a = a2T + acp
ECUACIONES:
→
v : Velocidad lineal (velocidad tangencial instantánea)
w : velocidad angular o frecuencia angular
Son análogas a las del movimiento rectilíneo (MRUV)
LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA:
acp =
v2
=
= ω2R
R
2
v
= ω2R
R
ωf = ωo ± αt
v f = v o ± aT t
ω2f = ωo2 ± 2αθ
v 2f = v o2 ± 2aTS
θ = ωo t ±
NOTA: En cualquier movimiento curvo siempre la aN (aceleración normal o radial). En el movimiento circular se llama “aceleración centrípeta”
1 2
αt
2
ω + ωf
θ= o
t
2
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Barre ángulos centrales (o longitudes de arco) iguales en intervalos de tiempo iguales.
S = v ot ±
v + vf
S= o
t
2
USAR:
(+)
(–)
Cuando hay aumento de velocidad
Cuando disminuye su velocidad
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO CIRCULAR:
I.
235
1
aT t 2
2
Los puntos 1 y 2 pertenecen a la rueda.
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
x(m)
Xf
Xo
Luego:
w1 = w2 = w
t
0
II.
t(s)
Análisis: La gráfica nos muestra el alejamiento del móvil de origen de coordenadas hacia el eje positivo de las «x».
PROPIEDAD:
Tan θ = velocidad
Demostrando: de la figura se tiene:
x − x O d
= = V
Tanθ= F
t
t
v1 = v2 = vT
También: aT1 = aT2
GRÁFICAS DEL M.R.U.V.
w1.r =
Aceleración (a) Vs Tiempo (t)
La aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea
paralela al eje del tiempo.
III.
a(m/s2)
a
Área= V
v1 = v2 = v3
w1.R = w2.r
0
GRAFICA DE MOVIMIENTOS
t
t(s)
En esta gráfica el área sombreada nos da el cambio de velocidad
que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo (t).
GRÁFICAS DEL MRU
De la figura se tiene:
1. VELOCIDAD (V) VS TIEMPO (t)
La gráfica es una recta paralela al eje del tiempo.
Área = a.t
Vf - Vo = a.t
Por lo tanto: Área = Cambio de velocidad
V(m/s)
→
Velocidad ( v ) Vs tiempo (t)
V
V(m)
Área=d
0
t
t(s)
vf
Note que la velocidad permanece constante en todo el movimiento. Para un determinado tiempo (t) el área del rectángulo
nos da la distancia.
vo
2. POSICIÓN (x) - TIEMPO (t)
0
A2
A1
t
t(s)
En este caso la velocidad aumenta uniformemente desde Vo hasta Vf.
El área debajo la gráfica es numéricamente igual a la distancia:
Demostrando: De la gráfica se obtiene:
Área =A1(rectángulo) + A2(triángulo rec.)
Educación Rumbo al Bicentenario- 236
FÍSICA
1
área =
Vo .t + (V f − V o ).t
2
1.
Al segundo elemento de la ecuación multiplicamos y dividimos
por «t»:
1 (V f − V o )
= V o .t +
área
.t.t
2
t
1
= V o .t + a.t 2
área
2
Determina el número de vueltas que dará un disco en 10 s,
si su rapidez angular es constante y tiene un valor de 6 π
rad/s
A) 15
D) 30 π
a
2.
Dis tan cia
3.
* Además se puede notar que:
V f − Vo
Tgθ = (
)
t
4.
B) 5 π rad
E) 60 π rad
C) 20 π rad
Un disco de 45 R.P.M. se encuentra rotando
sobre la tornamesa de un equipo estereofónico. ¿Qué ángulo
habrá girado un punto de su periferia en 2 segundos?
A) 3 π rad
D) π /2 rad
Aceleración
C) 60 π
Un punto de una rueda, gira a razón constante de 60 R.P.M.
determina la medida del ángulo que barre el radio de dicha
rueda en 5 s.
A) 10 π rad
D) 40 π rad
área = DISTANCIA
B) 30
E) 45
B) 2 π rad
E) π /6 rad
C) π rad
B) 1/30 Hz
E) 1/12 Hz
C) 1/6 Hz
Determina la frecuencia
Tgθ = Aceleración
POSICIÓN(X) VS TIEMPO (t)
La gráfica es una parábola, debido a que la posición de la partícula en movimiento varía con el cuadrado del tiempo.
1
x =x 0 + v 0 .t + at 2
2
A) 1/10 Hz
D) 1/15 Hz
5.
Movimiento acelerado (aumento de velocidad).
Del ejercicio anterior, determina su período
A) 10 s
D) 30
x(m)
6.
B) 20
E) 60
C) 25
Halla la posición inicial del móvil en esta gráfica:
xo
t
0
t(s)
Tan θ=Velocidad, para el instante «t».
A) 0 m
D) 10 m
MOVIMIENTO DESACELERADO.
7.
Recta
tangente
x(m)
B) +2 m
E) 12 m
C) +5 m
Determina la rapidez del móvil en esta gráfica
xo
0
t
t(s)
A) 0 m/s
D) 4 m/s
Tan = Velocidad….. Para el instante (t)
237
B) 1 m/s
E) 5 m/s
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 2 m/s
FÍSICA
8.
Determina la rapidez del móvil para t=3 s, en la gráfica
mostrada:
A) 3 m/s
D) +6 m/s
9.
B) +4 m/s
E) +2 m/s
C) +5 m/s
Determina la rapidez para t=4 s, si el móvil realiza un MRU
como se muestra en la gráfica.
A) 10 m/s
D) 4 m/s
B) 8 m/s
E) 2 m/s
12. Determine la rapidez inicial del móvil según nos muestra la
gráfica “v - t”.
A) -16 m/s
D) -32 m/s
B) -24 m/s
E) -2 m/s
C) -48 m/s
13. En la figura, halla la velocidad angular
C) 6 m/s
A) p/3 rad/s
D) 2p/3
10. Determine la rapidez del móvil en t=5 s
B) p/4
E) 3p/2
C) p/6
14. Del ejercicio anterior, determina su velocidad lineal.
A) p/3 m/s
D) 2p/3
B) p/4
E) 3p/2
C) p/6
15. Una rueda de bicicleta efectúa 30 vueltas en 5 segundos.
¿Cuánto será su rapidez angular?
A) 6p rad/s
D) 12p
A) +4 m/s
D) -8 m/s
B) -4 m/s
E) -2 m/s
C) +8 m/s
11. En la gráfica “x” vs “t”, halla la rapidez del móvil en
s
B) -6 m/s
E) -3 m/s
C) 14p
16. Halla la diferencia entre las rapideces tangenciales de los
puntos A y B que se encuentran girando sobre un disco cuya
rapidez angular es 12 rad/s.
t=10
A) 24 m/s
D) 60
A) +2 m/s
D) -2 m/s
B) 18p
E) 24p
C) +4 m/s
Educación Rumbo al Bicentenario- 238
B) 48
E) 12
C) 36
FÍSICA
17. Halla la diferencia entre las rapideces tangenciales de los
puntos “A” y “B” que se encuentran girando sobre un disco
cuya rapidez angular es 7 rad/s.
1.
A) 3 m/s
D) 49
B) 21
E) 35
De acuerdo al gráfico “v vs t” mostrado, determina qué
rapidez tiene el móvil en t=12s
C) 28
18. Determina la rapidez inicial del móvil
A) -4 m/s
D) -6 m/s
2.
A) 6,5 m/s
D) 7,5 m/s
B) -4,5 m/s
E) -7,5 m/s
B) -2 m/s
E) -12 m/s
C) -8 m/s
De acuerdo al gráfico v – t mostrado, halla la distancia
recorrida por el móvil.
C)4,5 m/s
19. Halla la rapidez que tiene el móvil en t = 5s.
A) 10 m/s
D) 48 m/s
3.
B) 24 m/s
E) 72 m/s
C) 36 m/s
Determina Wc, si A gira a razón de 2 rad/s.
(RA = r, RB = 4r, RC = 2r)
A) 14 m/s
D) 20 m/s
B) 15 m/s
E) 30 m/s
C) 16 m/s
20. De acuerdo al gráfico “v vs t” mostrado, halla la rapidez que
tiene el móvil en t = 3.
A) 3 rad/s
D) 4
4.
B) 5
E) 2
Calcula la rapidez de los puntos periféricos del disco “A”.
Además: VC = 48 m/s
RA = 2r; RB = 8r; RC = 3r
A) 10 m/s
D) 16 m/s
B) 12 m/s
E) 18 m/s
C) 14 m/s
239
C) 8/3
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
A) 36 m/s
D) 30
6.
B) 24
E) 12
C) 18
Determina e identifica que móvil posee menor rapidez en la
gráfica siguiente:
“Los principios de la Física, tal y como yo los
entiendo, no niegan la posibilidad de manipular
las cosas átomo por átomo”.
(Karl Friedrich)
A) A
D) iguales
7.
C) C
Determina el instante para el cual los dos móviles se
encuentran
A) 18s
D) 25,5
8.
B) B
E) A y B
B) 22,5
E) 30
C) 20,0
Según el gráfico mostrado, determine la aceleración del
móvil en t = 6.
A) -1 m/s2
D) -5
B) -2
E) -6
C) -3
Educación Rumbo al Bicentenario- 240
FÍSICA
FÍSICA
ESTÁTICA I
12
ESTÁTICA
Es aquella parte de la mecánica que tiene por objetivo estudiar
el equilibrio mecánico de los cuerpos cuando están a la acción
de fuerzas.
FUERZA: Es toda acción que produce, modifica o anula el estado
de equilibrio de un cuerpo.
UNIDAD: NEWTON (N)
La fuerza se representa por medio de un segmento dirigido (vector)
F =F
: medida o módulo de F
θ : Dirección de la fuerza
IMPORTANTE: “Toda fuerza aparece como resultado de la interacción de los cuerpos”
De acuerdo a su origen las fuerzas se caracterizan en:
Fuerzas débiles
Fuerzas gravitacionales
Fuerzas mecánicas
Fuerzas electromagnéticas
Fuerzas nucleares
FUERZA ELÁSTICA ( Fe ).- Es aquella fuerza externa que se
manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas
externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud
original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación longitudinal.
FUERZAS MÁS USUALES EN MECÁNICA:
Tensión o Tracción
Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos
(cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras).
Fe = Kx
K=Constante de elasticidad o rigidez :
COMPRESIÓN.- Es aquella fuerza interna que se manifiesta en
los cuerpos cuando son comprimidos o aplastados por fuerzas
externas.
N
N
ó
m cm
x = Elongación o deformación:m ó cm
FUERZA NORMAL ( FN ).- Es una fuerza externa que se en-
241
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
cuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies, surge debido
a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro.
LA FUERZA NORMAL SIEMPRE ES PERPENDICULAR: a la
superficie donde se apoya un cuerpo.
•
•
Se dibuja el peso vertical y hacia abajo
Si un cuerpo interacciona con una superficie lisa, ésta (la
superficie) ejerce sobre el cuerpo una fuerza que es perpendicular a dicha superficie y aplicada en el punto de contacto.
Ejemplos:
FUERZA DE ROZAMIENTO: Un cuerpo sometido a fuerzas externas se mantiene en equilibrio o se mueve dependiendo de la
intensidad de dichas fuerzas, pero se podrá notar la existencia de
otras fuerzas que impiden el movimiento libre de dicho cuerpo,
debido generalmente al contacto entre el cuerpo y la superficie
sobre la cual se apoya, a dichas fuerzas internas se denominan
fuerzas de fricción o rozamiento.
LEYES DE NEWTON: Las leyes de newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra
de Newton “Principios matemáticos de la filosofía natural”
publicada en 1686 y de ellas son conocidas como la 1ra. 2da. y
3ra. Ley de Newton, de acuerdo al orden que aparecen en la
obra citada en este capítulo estudiaremos la primera y la tercera
ley que nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo dentro del
estudio de la estática; la segunda ley será estudiada en el capítulo de dinámica.
EQUILIBRIO MECÁNICO
EQUILIBRIO MECÁNICO: Un cuerpo se halla en equilibrio
cuando se halla en reposo (equilibrio estático); o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio cinético).
Equilibrio Estático:
Si el cuerpo está en reposo
v=0
a=0
b.
Equilibrio Cinético:
Si el cuerpo se mueve con M.R.U.
1RA LEY DE NEWTON (Ley de Inercia):
“Todo cuerpo en estado de reposo o de M.R.U., mantendrá dicho
estado siempre y cuando la acción neta de las fuerzas externas
que actúan sobre él sea nula”.
3RA LEY DE NEWTON (Ley de Acción y Reacción):
“A toda fuerza de acción siempre le corresponde una reacción
la cual es del mismo valor, colineal y de sentido opuesto a la de
acción”.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.):
Es la representación gráfica de todas las fuerzas externas que
actúan sobre un cuerpo.
Todo lo visto hasta aquí te permitirá plantear un problema de Estática. Sin embargo, dada la naturaleza vectorial de las fuerzas,
es necesario que el cuerpo o sistema analizado quede graficado
con el total de fuerzas que lo afectan. Hacer ésto significa elaborar un diagrama de cuerpo libre.
Un diagrama de cuerpo libre es el gráfico de un cuerpo o conjunto de cuerpos que se representa aislado de su medio original, y
en donde se señalan las fuerzas externas a aquel, tales como las
fuerzas aplicadas visibles: El peso, las reacciones en los apoyos,
la fuerza de rozamiento en los contactos, y además la tensión y/o
compresión si se efectúan cortes imaginarios.
¿Cómo se realiza un D.C.L.?
Consiste en aislar al cuerpo en estudio y graficar a todas las
fuerzas externas que actúan sobre él.
Pasos a seguir.
•
Se aísla el cuerpo
Educación Rumbo al Bicentenario- 242
V
= cte; =
a 0; ω
= 0
;
V
= 0; =
a 0; ω
= cte
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO:
⇒ ∑ F externas =
0
Si existe equilibrio:
Consecuencias:
0 ∧ ∑ Fy =
0
∑ Fx =
•
•
Las fuerzas forman un polígono vectorial cerrado.
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO MECÁNICO:
(PARA UNA PARTÍCULA) Un cuerpo se encuentra en equilibrio
cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, es igual a cero;
para esto las fuerzas componentes deben ser necesariamente
coplanares y concurrentes, esto implica que en cada eje, la sumatoria de fuerzas también debe ser cero.
FÍSICA
Solución
Hacemos el D.C.L. del punto “A”
T
Comparando este
F
53º
triángulo con el
triángulo notable.
4k
48N
Condición Algebraica
5k
3k
Nos damos cuenta que:
R = F1 + F2 + F3 + F 4
triángulo con estas
R X = 0
R=
0 ⇒ R Y =
0
R Z = 0
fuerzas, sin alterar
∑ F(→=) ∑ F(←)
En el eje Y:
∑ F(↑=) ∑ F(↓)
48
k = 12
T
y
la dirección y sentido
de las fuerzas.
53º
F
∑F = 0
En el eje X:
4k = 48
Ahora formamos un
F = 3k
F = 36Tolenadas
∴ Sansón:
Una fuerza de 36 Toneladas
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos el D.C.L. y resulta
que sólo le afectan 3 fuerzas entonces dichas fuerzas dibujadas
en secuencia formarán un triángulo.
Método Práctico
CONDICIONES GRAFICAS.- Se sabe que si la resultante de
un sistema de vectores forma un polígono cerrado entonces la
resultante es cero.
OBSERVACIÓN!!!
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos el D.C.L. y resulta
que sólo le afectan 3 fuerzas entonces dichas fuerzas dibujadas
en secuencia formarán un triángulo.
F1 + F2 + F3 + F 4 =
0
TEOREMA DE LAMY.- Si un sólido se encuentra en equilibrio
bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes en un
plano el valor de cada una de estas fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone.
1.
En cada caso realiza el diagrama de cuerpo libre (D. C. L.):
A)
F3
F1
F2
=
=
Senα Senβ Senθ
B)
Ejemplo:
Calcula la fuerza que hace Sansón para mantener el bloque en
equilibrio. (WBLOQUE = 48 Toneladas).
53º
C)
A
243
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
6.
D)
Halla el valor de la tensión en la cuerda 1, si el peso del
bloque es 120 N. (considere poleas ingrávidas).
E)
2.
I.
II.
III.
El peso se expresa en Newton. (
)
La reacción normal (N) es igual al peso si el cuerpo se
encuentra apoyado en un piso horizontal.(
)
Si un cuerpo posee M.R.U. entonces está en equilibrio
cinético. (
)
A) VVV
D) FFF
3.
A) 10 N
D) 40 N
Identifica como verdadero o falso:
B) VFV
E) VVF
7.
4.
El valor de la fuerza que se aplica sobre el resorte es 20 N.
Halla la deformación. Si: K = 5 N/cm.
C) FFV
A) 3 cm
D) 6
8.
B) 5
E) 12
C) 30 N
F
Si el cuerpo se encuentra en equilibrio, halla el valor de “F”.
A) 10 N
D) 8
B) 20 N
E) 50 N
B) 4
E) 8
C) 5
La esfera de la figura pesa 60 N. Calcula el valor de la reacción
de la pared y de la tensión en la cuerda. (Superficies lisas)
C) 15
Si el bloque de peso 15 N está subiendo a velocidad
constante, halla el valor de “F”.
A) 50 N y 100 N
B) 30 y 60
C) 60 3 y 120
D) 40 y 80
E) 80 y 80 3
9.
A) 6
D) 10
5.
B) 8
E) 4
En el sistema mostrado en la figura, calcula el valor de la
fuerza, para que el cuerpo permanezca en equilibrio. W = 40
N.
C) 2
Si la esfera homogénea de peso 45 N está en equilibrio.
Halla el valor de la normal en la pared vertical lisa.
A) 50 N
D) 40
A) 45 N
D) 15
B) 75
E) 30
C) 60
Educación Rumbo al Bicentenario- 244
B) 30
E) 80
C) 60
FÍSICA
14. Halla la magnitud de la tensión en la cuerda 1, si el peso del
bloque es 40 N. (considere poleas ingrávidas)
10. Halla el valor de la tensión en la cuerda 1, si W = 30 N.
A) 50 N
D) 25
11. Halla
B) 60
E) 40
la magnitud de la
C) 15
tensión en la cuerda 1, si:
A) 20 N
D) 40
W=5 2 N
B) 30
E) 50
C) 10
15. Determina la lectura del dinamómetro, en el sistema en
equilibrio. (Q = 600 N)
A) 4 N
D) 5,5
B) 5
E) 2,5
C) 10
12. Halla el valor de la normal de la pared, si el peso de la esfera
tiene como módulo 90 N. (superficies lisas)
A) 100 N
D) 1 200
B) 200
E) 1 500
C) 300
16. Halla el valor del peso del bloque B, si el sistema se encuentra
en equilibrio. WA = 280 N
A) 150 N
D) 180
B) 170
E) 200
C) 120
A) 100 N
D) 1 200
13. Halla el módulo de la normal, si el peso del bloque es 16 N.
(Superficies lisas)
A) 15 N
D) 24
B) 12
E) 20
B) 200
E) 1 500
C) 300
17. Determine la masa de la barra que se encuentra en equilibrio.
Si el hombre tira de la cuerda con una fuerza de magnitud 80
N. (g=10 m/s2)
C) 18
A) 12 kg
D) 24
245
B) 18
E) 30
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 20
FÍSICA
18. Halla la magnitud de la normal de la pared vertical, si el peso
de la esfera es 8 N.
A) 1 N
D) 7
2.
A) 2 N
D) 8
B) 4
E) 10
19. Halla la magnitud de la reacción en el piso. Si el sistema está
en equilibrio además la barra pesa 62 N
3.
4.
A) 11 N
D) 62
B) 20
E) 82
C) 42
B) 20 N
E) 50 N
C) 30 N
Halla el módulo de la tensión en la cuerda 1 si: W=100 N.
A) 20 N
D) 80 N
.
C) 5
Halla la magnitud de la tensión en la cuerda 2, si: W=100 N
A) 10 N
D) 40 N
C) 6
B) 3
E) 9
B) 40 N
E) 100 N
C) 60 N
La esfera homogénea pesa W y se encuentra en equilibrio.
Halla la magnitud de la tensión en la cuerda
20. Determina el valor de la tensión, si el peso del bloque es 15
N
A) 3 N
D) 12
B) 6
E) 15
C) 9
5.
1.
A) W
B) W 3
3
D) 3
E) 3W
C)
3W
3
Determina la magnitud de las reacciones producidas por las
esferas sobre las pared lisa, si son de 30 N de peso cada una
y 5 cm de radio.
Halla la magnitud de la tensión, si el peso del bloque es 8 N.
A) 20 N
D) 50 N
Educación Rumbo al Bicentenario- 246
B) 30 N
E) 60 N
C) 40 N
FÍSICA
FÍSICA
ESTÁTICA II
13
EFECTO DE ROTACIÓN DE LAS FUERZAS
Resulta muy conocido el efecto de rotación de las fuerzas sobre
los cuerpos rígidos, como el hecho de que una persona para mover un cuerpo pesado utilice una palanca y un punto de apoyo.
Del mismo modo, cuando un albañil levanta una carretilla aplica
una fuerza y produce un giro tal que logra desplazar su carga.
Si sacamos un clavo notamos que es más fácil sacarlo con un
martillo que con un alicate. Cuando abrimos la llave del agua o
aplicamos los frenos, remamos en el agua, cortamos con una
tijera o utilizamos una balanza, etc..., estamos siempre aplicando
fuerzas y produciendo rotación en los cuerpos. Parece pues necesario agregar un nuevo concepto físico que pueda medir estos
efectos, y se ha convenido en denominarlo: MOMENTO DE UNA
FUERZA O TORQUE.
OBSERVACIÓN:
Cuando hacemos uso de la relación, es común indicar el sentido
del momento de la fuerza adicionando un signo, el mismo que
deberá satisfacer la regla establecida en la figura. Las unidades
S.I del momento de una fuerza son:
(M)= newton. metro=N.m
MOMENTO DE UNA FUERZA (MF)
También se le denomina Torque (t), y viene a ser aquella magnitud física de tipo vectorial que nos indica la capacidad de una
fuerza para producir rotación sobre un cuerpo rígido. Como toda
magnitud vectorial, el momento de una fuerza tiene:
CÁLCULO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA Y
CONVENCIÓN DE SIGNOS
DIRECCIÓN:
CASO 1:
Es la recta perpendicular al plano de rotación. En el ejemplo de
la fig (a). Es la recta EE’ a la que en adelante se le llamará “eje
de rotación”.
SENTIDO:
El vector que representa al momento de la fuerza tiene una
orientación que viene dada por la regla de la mano derecha.
MÓDULO:
El efecto de rotación es más intenso cuanto mayores son la fuerza aplicada y el brazo de la palanca. Luego, el módulo está dado
por:
Caso 2:
247
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
Nota:
2.
MOMENTO NULO:
Cuando una fuerza “F” o su prolongación pasa por el punto de
giro, su momento es cero
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO:
Si un cuerpo está en equilibrio, entonces el momento resultante,
o sea, la suma de los momentos causados por todas las fuerzas
que le afectan debe ser cero.
La barra mide 10 m
A) 30 N m
D) 20 N m
B) 25 N m
E) 15 N m
C) 24 N m
A) 30 N m
D) -40 N m
B) 40 N m
E) -50 N m
C) -30 N m
A) 130 N m
D) -140 N m
B) 120 N m
E) -120 N m
C) -130 N m
A) 30 N m
D) 20 N m
B) 25 N m
E) 24 N m
C) -24 N m
3.
4.
Ejemplo:
5.
En cada caso calcular el momento generado por F, respecto
a su punto de giro en “O”. (La barra es ingrávida.)
1.
A) 35 N m
D) 20 N m
B) 10 N m
E) 25 N m
En cada caso halla el momento resultante para un punto de
giro en “O”. (La barra es ingrávida.)
6.
C) 15 N m
Educación Rumbo al Bicentenario- 248
A) 5 N m
D) -5 N m
B) -10 N m
E) 10 N m
C) -8 N m
FÍSICA
13. Calcula el valor de F, para que exista equilibrio. La barra es
ingrávida.
7.
A) 40 N m
D) -7 N m
B) -40 N m
E) 47 N m
C) -47 N m
A) 12 N
D) 21 N
8.
C) 18 N
14. Halla el valor de la fuerza “F” para que exista equilibrio. La
estructura metálica no pesa
A) 166 N m
D) 86 N m
9.
B) 6 N
E) 24 N
B) -166 N m
E) 80 N m
C) -86 N m
La barra pesa 16 N, halla el valor de la tensión en la cuerda
A.
A) 24 N
D) 6 N
B) 12 N
E) 3 N
C) 18 N
15. ¿Con qué fuerza sostiene el niño a la barra horizontal?
(WBARRA = 100 N)
A) 2 N
D) 8
B) 4
E) 10
C) 6
10. En el problema anterior, halla el valor de la tensión en la
cuerda B
A) 5 N
D) 14
B) 10
E) 16
C) 12
A) 100 N
D) 200
11. Colocándose en los extremos de una barra de 2 m de
longitud, dos cazadores transportan una gacela de 600 N de
peso colgada a 0,5 m de uno de los extremos. ¿Qué peso
soporta cada cazador? (desprecie el peso de la barra)
A) 150 N; 200 N
C) 200; 400
E) 500; 100
B) 300
E) 400
C) 500
16. Halla F para mantener a la barra horizontal. La barra pesa 35
N.
B) 450; 150
D) 300; 300
12. La barra homogénea pesa 100 N, y es mantenida en
equilibrio y en posición horizontal. Halla la magnitud de la
tensión en la cuerda A.
A) 10 N
D) 40
A) 50N
D) 200
B) 100
E) 250
B) 20
E) 50
C) 30
“Nadie comprende la física cuántica”.
(Richard Feynman)
C) 150
249
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
17. Determina el valor de “F” para el equilibrio si la barra
uniforme tiene un peso de 80N. (B=40N).
1.
Si la esferita de 4 kg está en equilibrio, determine el módulo
de la tensión T1.
(g = 10 m/s2)
A) 240 N
D) 700 N
B) 500 N
E) 800 N
C) 600 N
18. Se tiene una tabla homogénea de 100 N de peso, y 10 m
de longitud. Determina la distancia x que podrá avanzar el
muchacho de 80 N de peso, antes que la barra vuelque.
A) 10 N
D) 40
2.
A) 2,4 m
D) 3,4 m
B) 1,2 m
E) 2,5 m
B) 20
E) 50
C) 30
Si la barra homogénea doblada en forma de “L” se mantiene
en la posición mostrada. Determine m. (mbarra = 3 kg; g
= 10 m/s2.)
C) 1,8 m
19. Determina x, si la barra ingrávida de 10 m de longitud se
encuentra en equilibrio. (WA=20 N; WB=4 N)
A) 13/6 kg
D) 5/3
3.
A) 1 m
D) 6 m
B) 2 m
E) 8 m
B) 15/7
E) 12/7
C) 13/7
Una barra homogénea de 10 N se encuentra en equilibrio,
apoyada en una pared vertical áspera. Determina el valor de
la tensión en la cuerda.
C) 4 m
20. Determina la tensión de la cuerda si el peso de una varilla
homogénea es de 28 N.
A) 4 N
D) 10
A) 10 N
D) 40
B) 20
E) 50
C) 30
Educación Rumbo al Bicentenario- 250
B) 6
E) 12
C) 8
FÍSICA
FÍSICA
DINÁMICA I
14
DINAMICA
Es la parte de la mecánica que se encargada de estudiar el movimiento de los cuerpos, teniendo en cuenta las causas que lo
producen.
LA PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: que se
conoce como ley de inercia, es otra forma de expresar la idea
de Galileo:
Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento
en línea recta con rapidez constante, a menos que se leapliquen
fuerzas que lo obliguen a cambiar dicho estado.
La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo o movimiento (mantener su velocidad) recibe el nombre de inercia.
FR : Fuerza resultante
a : Aceleración
m : Masa del cuerpo
LA MASA: una medida de la inercia
Si pateas una lata vacía, la lata se mueve con mucha facilidad, en
cambio si está llena de arena no lo hará con tanta facilidad, y si
está llena de plomo además de hacerte daño no se moverá. Una
lata llena de plomo tiene más inercia que una lata llena de arena
y esta a su vez tiene más inercia que una vacía.
Consideremos un pequeño ladrillo que es lanzado sobre una superficie horizontal áspera:
ma
2DA. LEY DE NEWTON ⇒ FR =
OBSERVACIONES:
La fórmula para la 2da. Ley Newton en muchos casos puede
aplicarse del siguiente modo:
La aceleración ( a ) de un cuerpo tiene igual dirección que la
fuerza resultante ( FR ) sobre él.
Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y es factible descomponerlos en los ejes cartesianos, entonces conviene aplicar:
POR CONSIGUIENTE: un cuerpo cambia su velocidad debido a
las fuerzas externas que lo afectan.
∑ Fx
= m ax
∑ Fy
= m ay
∑ Fz = m az
2. SEGUNDA LEY DE NEWTON:
A esta se le conoce también con el nombre de Ley de la Fuerza,
y fue publicada simultáneamente con la 1ra y 3ra, vistas anteriormente. Según esta ley, establece que:
“Toda fuerza resultante desequilibrada que actúa sobre un cuerpo determinado le producirá una aceleración que desde un sistema de referencia inercial, será codirigida con la fuerza, y su
valor deberá ser directamente proporcional con la fuerza aplicada, pero inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo”.
251
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
4.
1.
Halla el módulo de la aceleración que experimenta el bloque
de
8 kg.
En los siguientes casos halla el módulo y dirección de la
fuerza resultante.
A)
FR = ______ (
A) 10 m/s2
D) 5
)
B)
5.
FR = ______ (
)
FR = ______ (
)
B) 25
E) 18
C) 12
Determina el módulo de la aceleración en el siguiente caso,
si:
m = 15 kg
C)
2.
En los siguientes casos halla el módulo y dirección de la
fuerza resultante.
A) 6 m/s2
D) 8
6.
B) 4
E) 3
C) 12
Determina el módulo de la aceleración en el sistema
A)
A) 12 m/s2
D) 4
FR = ____ (
)
7.
B) 15
E) 6
C) 10
Halla el módulo de la aceleración del sistema
B)
FR = ____ (
A) 8 m/s2
D) 10
)
8.
C)
FR = ____ (
3.
9.
Halla el módulo de la aceleración que adquiere el bloque de
4 kg
A) 6 m/s2
D) 9
B) 5
E) 8
C) 11
Educación Rumbo al Bicentenario- 252
C) 5
Halla el módulo de la aceleración de del sistema
A) 6 m/s2
D) 12
)
B) 20
E) 4
B) 10
E) 9
C) 8
Del ejercicio anterior, determine el valor de la tensión en la
cuerda.
A) 40N
D) 50
B) 10
E) 34
C) 30
FÍSICA
15. Si la masa del bloque es de 2 kg, halla el valor de “F”.
10. Encuentre el valor de “F” para que el bloque de 4 kg acelere
a razón de 6 m/s2.
A) 60 N
D) 10
B) 12
E) 40
C) 18
A) 10N
D) 15
11. Determina el valor de “F” para que el bloque de 6 kg acelere
a razón de 8 m/s2.
A) 104 N
D) 36
B) 8
E) 100
A) 6 m/s2
D) 4
B) 6
E) 5
C) 14
16. Halla el módulo de la fuerza de interacción entre los bloques
si no existe rozamiento. m1 = 6 kg; m2 = 4 kg.
A) 18 N
D) 26 N
C) 48
12. Determina el módulo de la aceleración del bloque de
B) 20
E) 18
B) 20 N
E) 34 N
C) 22 N
17. Si se suelta el bloque de 10 kg a partir de la posición
mostrada, determina el valor de la aceleración que
experimenta cuando el resorte está comprimido 20 cm. K
= 1 000 N/m.
(g = 10 m/s2)
5 kg.
C) 8
13. Si el bloque de 4 kg sube a razón de 2 m/s2, determina el
valor de la fuerza “F”.
A) 5 m/s2
D) 10 m/s2
B) 10 m/s2
E) 30 m/s2
C) 5 m/s2)
18. Calcula el valor de la tensión en la cuerda que une a los
bloques. No hay rozamiento.
(g = 10 m/s2)
A) 8N
D) 48
E) 12
B) 24
C) 36
14. Halla el módulo de la aceleración en el sistema mostrado:
mA=6 kg; mB=4 kg; g=10 m/s2
A) 20 N
D) 35
B) 25
E) 50
C) 30
19. Dos masas mA = 4 kg y mB = 1 kg cuelgan de una cuerda
que pasa por una polea sin rozamiento. Halla la tensión de
la cuerda. (g = 10 m/s2)
A) 2 m/s2
D) 6
B) 4
E) 1
C) 5
253
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
A) 4 N
D) 12
B) 8
E) 16
C) 10
20. Calcula el valor de F si el bloque se mantiene respecto de la
cuña, si: M = 2m. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
A) 30 N
D) 100
1.
C) 20
B) 4,5
E) 7
C) 6
Determina el valor de la reacción entre los bloques lisos
cuando el resorte está comprimido 10 cm. (K = 800 N/m, m
= 2 kg)
A) 2 N
D) 8
4.
B) 35
E) 10
Si la esfera no se mueve respecto al coche y la lectura del
dinamómetro es 50 N. Determina el módulo de la aceleración
del coche.
(g = 10 m/s2)
A) 5 m/s2
D) 7,5
3.
C) 40
5.
B) 1
E) 5
C) 3
Si el motor desplaza el bloque de 2 kg a partir del instante
mostrado mediante una fuerza de tensión constante de 20
N. Determina la rapidez del bloque cuando pasa por B.
Si el coche acelera como se muestra en la figura, determina
la lectura del dinamómetro ideal. (mbloque = 2 kg)
A) 25 N
D) 30
2.
B) 80
E) 50
A) 2 s
D) 4
B) 4
E) 10
C) 6
Si el joven eleva el bloque de 5 kg mediante una fuerza
de tensión constante de 60 N. Determina luego de cuánto
tiempo llegará a B. (g = 10 m/s2)
Educación Rumbo al Bicentenario- 254
A) 10 m/s
B) 15
D) 5
E) 10 2
C) 2
“ El amor es una cuestión de química,
pero el sexo es una cuestión de física”.
(Richard Feynman)
FÍSICA
FÍSICA
DINÁMICA II
15
DINAMICA CIRCUNFERENCIAL
T + mgsenθ
Fuerza centrípeta: Fc =
Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los
cuerpos, cuya trayectoria es una circunferencia y las causas o
efectos que la producen. Consideremos el movimiento de un satélite alrededor de la tierra.
Fuerza centrífuga: Fcf = Fc
Observe que el satélite describe una trayectoria curvilínea alrededor de la Tierra. Si despreciamos la influencia de los otros
planetas, podríamos considerar a la trayectoria como una circunferencia, pero, ¿qué sucede con la velocidad?
EL ESTUDIO DE LA POLEA MÓVIL:
Existe una gran variedad de problemas en dinámica donde resulta muy útil conocer la aceleración de una polea móvil; para
a
ello examinemos una polea que asciende con p como indica
la figura.
DE LA 2DA. LEY DE NEWTON:
→
→
FR = m a
→
⇒
→
Fc = m ac
La aceleración centrípeta mide el cambio de dirección y sentido
de la velocidad tangencial a través del tiempo y se calcula así:
ac =
ac =
v2
R
ω2R
pero: V = ωR
⇒
ac =
ω2R
Donde:
V
ω
R
El punto A, para el observador situado en la polea, supongamos
que se le acercó 1 m; entonces el punto B, como pertenece a la
misma cuerda, se alejará también un metro en el mismo intervalo de tiempo, esto nos lleva a plantear que:
: Rapidez tangencial o lineal (m/s)
: Rapidez angular (rad/s)
: Radio de la circunferencia (m)
Ahora es posible definir la fuerza centrípeta:
FC =
mV 2
R
aacercamiento = aalejamiento
de A
Vectorialmente, para que aA/p (↑) sea igual a aB/p (↑) , hacemos
aA/p = (−)aB/p
.
Pero cuando existe más de una fuerza radial actuando en el cuerpo, se aplica:
=
FC
Fuerzas que
Fuerzas que
∑ van al centro −∑ salen del centro
Reemplazando:
aA − ap =
−(aB − ap )
En un movimiento circunferencial, se tiene:
Fcf
mgsenθ
T
Fc
de B
De esta igualdad deducimos que:
aA + aB
ap = 2
θ mg cos θ
Esta es la ecuación para la polea móvil.
mg
255
Educación Rumbo al Bicentenario
FÍSICA
R = 0,3 . Halla
10. En el péndulo cónico de la figura; θ =37º y
la velocidad angular del movimiento de “m”.
(g=10
m/s2).
1.
Una piedra atada a una cuerda de 50 cm, se le hace girar en
un plano horizontal con una rapidez de 3 m/s. determina la
fuerza centrípeta que experimenta la piedra de m=4 kg.
A) 50 N
D) 90 N
2.
B) 70 N
E) 92 N
Si a la piedra del problema anterior, le hacemos girar en un
plano vertical, determina el valor de la tensión de la cuerda
en el punto más alto. (g=10 m/s2)
A) 32 N
D) 90 N
3.
B) 42 N
E) 92 N
B) 42 N
E) 112 N
B) 172 N
E) 212 N
B) 128 N
E) 32 N
B) 32,7 N
E) 45 N
m/s 2 . En su superficie de forma semicilíndrica descansa
una esferita. Despreciando toda fricción hallar " θ " . (g=10
m/s2)
.
A) 30°
D) 53°
B) 37°
E) 60°
C) 45°
12. La pequeña esfera de 1 kg es soltada en la posición mostrada.
Si al pasar por la posición “A”, el dinamómetro indica 25 N
y al pasar por “B” indica 15 N, determina el módulo de la
aceleración centrípeta en dichas posiciones. (g=10 m/s2)
C) 37,5 N
B) 15 m/s
E) 30 m/s
C) 20 m/s
Si un automóvil ingresa a una pista circular, determina la
rapidez en el punto más alto, para que en ese momento este
por desprenderse de la pista. R=160 cm; g=10 m/s2
A) 1 m/s
D) 6 m/s
9.
C) 112 N
Un automóvil se desplaza sobre un puente circular, de radio
igual a 125 m. Determina la rapidez con que se mueve el
auto, sabiendo que cuando pasa por el límite superior del
puente, el conductor siente que pesa el 50% de su peso real
(g=10 m/s2)
A) 10 m/s
D) 25 m/s
8.
C) 4 rad/s
Un automóvil experimenta una curva de 9 km de radio.
Determina el módulo de la fuerza de rozamiento de los
neumáticos cuando viaja a razón de 27 km/h.
mAuto=6
000 kg
A) 32 N
D) 42,5 N
7.
B) 2 rad/s
E) 8 rad/s
11. El cochecito de la figura se mueve con aceleración de 7,5
C) 182 N
Empleando una cuerda de 2 m se hace girar a un objeto de
1 kg de masa sobre un plano horizontal a razón de 8 rad/s.
Determina el valor de la tensión en la cuerda.
A) 132 N
D) 64 N
6.
C) 52 N
A) 1 rad/s
D) 6 rad/s
Si hacemos girar un objeto de 8 kg de masa en un plano
vertical mediante una cuerda, determina el valor de la
tensión en la cuerda cuando forma un ángulo de 37° con la
vertical después de alcanzar su altura máxima.
(g=10 m/
s2; radio= 2 m; rapidez = 8 m/s )
A) 152 N
D) 192 N
5.
C) 52 N
Si a la piedra del problema 1, le hacemos girar en un plano
vertical, determina el valor de la tensión de la cuerda en el
punto más bajo. (g=10 m/s2)
A) 32 N
D) 90 N
4.
C) 72 N
B) 2 m/s
E) 8 m/s
C) 4 m/s
A) 15 m/s2; 7 m/s2
C) 15 m/s2; 8 m/s2
E) 5 m/s2; 8 m/s2
B) 12 m/s2; 7 m/s2
D) 5 m/s2 ; 4 m/s2
13. La esfera de 2 kg es lanzada tal como se muestra, si al pasar
por “M” experimenta una rapidez de 8 m/s. Determina el
módulo de la fuerza de reacción de la superficie lisa, sobre la
esfera (g=10 m/s2)
Una motocicleta de 500 kg se mueve en una pista circular de
5 m de radio en un plano vertical con una rapidez de 10 m/s.
Determina la reacción (en N) de la pista sobre la motocicleta
en el punto más alto de su trayectoria.
(g=10 m/s2).
A) 500 N
D) 900 N
B) 700 N
E) 920 N
C) 720 N
A) 64 N
D) 96 N
Educación Rumbo al Bicentenario- 256
B) 72 N
E) 84 N
C) 76 N
FÍSICA
14. Mediante un hilo de 0,5 m de longitud y una esfera pequeña,
se construye el péndulo mostrado. ¿Cuál es la rapidez
angular que experimenta la esfera en la situación mostrada?
(g=10 m/s2)
19. Sabiendo que la partícula mostrada experimenta una fuerza
resultante F = 150 N. ¿Cuál es el valor de “R”? m = 6 kg; v
= 15 m/s; g = 10 m/s2
A) 9 N
D) 7
A) 4, 5 rad/s
D) 4 rad/s
B) 1, 5 rad/s
E) 5 rad/s
B) 4 m/s
E) 8 m/s
(g = 10 m/s2)
C) 5 m/s
A) 70 N
D) 130
16. Para el sistema mostrado, ¿cuál es el valor de Fc?. Si: m = 3
kg, v = 10 m/s y R = 6 m.
A) 60 N
D) 30
B) 80
E) 25
1.
C) 6.103 N
B) 2
E) 0,3
B) 12
E) 15
B) 72
E) 42
C) 0,5
257
C) 14
Calcula la reacción del rizo, si se sabe que la esferilla de 4 kg
en la posición indicada posee una velocidad tangencial de 12
m/s.
Radio = 6 m
A) 62 N
D) 60
18. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un
plano vertical. Encontrar la masa de la piedra, si la diferencia
entre la tensión máxima y mínima en la cuerda es 20 N. (g
= 10 m/s2)
A) 1 kg
D) 3
C) 120
Una piedra de masa 2 kg se hace girar en un plano horizontal
mediante una cuerda de longitud 0,9 m. La tensión de rotura
de la cuerda es 180 N. ¿Cuál es la máxima velocidad angular
a la que puede girar la piedra?
A) 10 rad/s
D) 16
2.
B) 4.103 N
E) 10.103 N
B) 110
E) 150
C) 50
17. Un automóvil de 1000 kg. de masa circular con velocidad
v=10 m/s por un puente que tiene la forma de un aro
circular vertical de 50 m de radio. Calcular el valor de la
fuerza de reacción del puente sobre el automóvil en el punto
mas alto de la trayectoria circular. (g = 10 m/s2)
A) 2.103 N
D) 8.103 N
C) 13
20. El sistema mecánico mostrado en la figura gira con velocidad
angular constante de 5 rad/s. Si la esfera tiene una masa de
4 kg, determina la tensión en la cuerda (2) de longitud 1 m.
C) 2, 5 rad/s
15. Un patinador pasa por una superficie convexa, ¿con qué
rapidez máxima “V” pasa por el punto “P” tal que logre el
recorrido indicado.
(g=10 m/s2)
A) 6 m/s
D) 10 m/s
B) 11
E) 15
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 82
FÍSICA
3.
Una esfera (m = 2 kg) atada a una cuerda describe en el
plano vertical un movimiento circular (R = 2 m). Halla la
tensión de la cuerda en la posición mostrada, si: v = 5 m/s.
(g = 10 m/s2)
“ No hay nadie en la Tierra que pueda leer
en su totalidad la avalancha
de publicaciones sobre física”.
A) 30 N
D) 15
4.
B) 25
E) 10
¿Qué velocidad angular debe tener el sistema mostrado para
que la tensión en la cuerda «A» sea 1,6 veces la tensión en
la cuerda «B», sabiendo que «A» tiene 25 cm de longitud.
(g = 10 m/s2)
A) 2 rad/s
D) 8
5.
C) 20
B) 4
E) 10
C) 6
Un disco horizontal contiene un bloque de 2 kg sujeto a
un resorte. El bloque se encuentra a
20 cm del centro
cuando el disco no gira, y cuando el disco gira a razón de 4
rad/s alrededor de su eje vertical, que pasa por su centro, el
resorte se deforma 5 cm. Halla la rigidez del resorte.
A) 0,8 N/cm
C) 1,6 N/cm
E) 3,6 N/cm
B) 1 N/cm
D) 2 N/cm
Educación Rumbo al Bicentenario- 258
(Abraham Pais)
QUÍMICA
QUÍMICA
CIENCIA
6
INDICADORES DE LOGRO:
-
PRINCIPALES EQUIVALENCIAS DE UNIDADES
Analizar el concepto de materia y energía que le permite
clasificar en forma coherente, así como comparar sus propiedades y fenómenos.
Aplicar ecuaciones de Albert Einstein en la resolución de
problemas.
UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD:
CIENCIA
DEFINICIÓN:
Ciencia es el conjunto de conocimientos ordenados sistemáticamente acerca del universo, obtenidos por la observación y el
razonamiento, que permiten la deducción de principios y leyes
generales.
CLASIFICACIÓN DE LAS CIENCIAS:
UNIDADES FUNDAMENTALES DE VOLUMEN:
UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO:
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
TECNOLOGÍA:
Es la aplicación de los conocimientos científicos en forma práctica
sobre la naturaleza, transformándola y sirviendo a la satisfacción
de las necesidades humanas.
MEDICIÓN Y SISTEMA DE UNIDADES
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:
UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SISTEMA INTERNACIONAL:
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
LONGITUD
Metro
m
MASA
Kilogramo
kg
TIEMPO
Segundo
s
INTENSIDAD DE CORRIENTE Ampere
ELÉCTRICA
A
TEMPERATURA
Kelvin
K
INTENSIDAD LUMINOSA
Candela
cd
CANTIDAD DE SUSTANCIA
Mol
mol
Educación Rumbo al Bicentenario- 260
QUÍMICA
UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA:
CAMBIOS DE ESTADO FÍSICO:
PREFIJOS Y SUFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL:
CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA:
PROPIEDADES DE LA MATERIA:
PROPIEDADES EXTENSIVAS O GENERALES
MATERIA
Es todo lo que ocupa espacio y tiene masa. La materia incluye
lo que se puede ver y tocar (como el agua, la tierra y los árboles) y lo que no se puede ver ni tocar (como el aire).
Todo en el universo tiene una conexión "química".
ESTADOS DE LA MATERIA:
E
SÓLIDO
- Las F atracción > F repulsión
- Pre
- Ejm: Tiza, pizarra
LÍQUIDO
- Las F atracción ≅ F repulsión
- Presentan forma variable
- Ejm. Agua, alcohol
S
T
A
D
GASEOSO
O
S
PLASMÁTICO
-
Las F atracción < F repulsión
Presentan forma variable
Presentan volumen variable
Ejm. Oxígeno, hidrogeno
-
Materia totalmente ionizada
Formado por iones y electrones libres.
Se encuentra a elevadas temperaturas
Es el más abundante en el universo
Se encuentra en el Sol, Universo y en el
interior de los volcanes
261
M
A
S
A
P
E
S
O
es la
cantidad
de
materia
contenida en
fuerza
con
que la
tierra
atrae
a los
cuerpos
por
acción
I
N
E
R
C
I
A
resistencia
de un
cuerpo
al cambio de
movi-
V
O
L
U
M
E
N
es el
espacio
que
ocupa
un
cuerpo
I
M
P
E
N
E
T
R
A
B
I
L
I
D
A
D
D
I
V
I
S
I
B
I
L
I
D
A
D
El
despacio que
ocupa
un
cuerpo
no
puede
ser
ocupado por
la materia se
divide
cada
vez en
estructuras
más
pequeñas
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
PROPIEDADES PARTICULARES
PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS:
- Dureza: resistencia de los cuerpos a ser rayados, cortados
- Tenacidad: Resistencia de los cuerpos a ser roto o quebrado
- Ductibilidad: Faciliadad de los sólidos para formar hilos
- Maleabilidad: facilidadde los sólidos para formar láminas
- Elasticidad: Facilidad de los cuerpos para deformarse por una
fuerza y recobrar su estado inicial.
FASES: Es toda materia (masa) homogénea, por ejemplo:
Las sustancias puras y mezclas.
COMPONENTES: Es el tipo de sustancia química (simple o
compuesta) presente en el sistema.
CONSTITUYENTES: Son los elementos químicos que constituyen el sistema.
METODOS DE SEPARACION DE LAS MEZCLAS
ALOTROPÍA:
Es la existencia en un mismo estado físico de dos o más formas,
moleculares o cristalinas de un elemento químico. Ejm. Diamante
y Grafito que son alotropías del carbono. También (O, S, P, Se,
As, Bi, Fe,…)
FENÓMENOS DE LA MATERIA
A) FÍSICOS:
-
No alteran la composición interna del cuerpo.
Son reversibles.
No se generan nuevas sustancias.
Mantienen sus propiedades iniciales.
Ejemplo: calentar un trozo de hierro, trozar una madera,
los cambios de estado.
B) QUÍMICOS:
-
Cambian la composición química.
Se forman sustancias nuevas.
Cambian sus propiedades químicas iniciales.
Ejemplo: quemar papel, corrosión de un clavo, oxidación
de un metal, fotosíntesis, etc.
I.
En los siguientes enunciados indicar verdadero o falso.
según corresponda.
1.
2.
3.
SISTEMA QUÍMICO:
4.
Es una porción de cuerpo material con límites específicos y que
es objetivo de estudio y/o análisis con algunos fines específicos.
Es la parte específica del universo que nos interesa. Para los químicos, los sistemas incluyen las sustancias que están implicadas
en los cambios químicos y físicos.
5.
TIPOS DE SISTEMA:
Abierto (que permite el intercambio tanto de energía y masa).
Cerrado (permite el intercambio de energía pero no de masa).
Cerrado aislado (que no permite el intercambio de energía ni
de masa).
Educación Rumbo al Bicentenario- 262
6.
7.
8.
9.
10.
El peso de un cuerpo determina la cantidad de
materia del mismo. ( )
En un cambio físico, no varía la composición de la
materia. ( )
Toda materia puede sufrir cambios físicos como
químicos. ( )
La materia que tiene idénticas propiedades en todas
sus partes es homogénea. ( )
Una sustancia es homogénea y no presenta
composición definida. ( )
Un sistema que tiene más de una fase es heterogéneo.
()
La característica principal de una mezcla es su
composición definida. ( )
Un material homogéneo de composición variable es
un compuesto químico. ( )
La química es la ciencia que se ocupa de la composición
de las sustancias y de las transformaciones que
experimentan.
La inflamabilidad de los compuestos orgánicos es una
propiedad física. ( )
QUÍMICA
II. Señale la alternativa correcta respecto a las siguientes
proposiciones.
1.
9.
1. Cambios energéticos.
2. Ocurrir sólo en los elementos químicos.
3. Cambios en la composición de la materia.
4. Cambios de color.
5. Cambios en las propiedades.
A) 1 y 3
B) 1, 2 y 5
C) 1, 3 y 5
D) 3, 4 y 5
E) Todos
Marcar lo que corresponde a un cambio físico:
A) Obtención del vinagre a partir del vino.
B) Extracción de la sal común del agua de mar.
C) Combustión de la gasolina.
D) Oxidación de un alambre de hierro.
E) Descomposición del agua por acción de la corriente
eléctrica.
2.
A) Sustancia
B) Elemento
C) Compuesto
D) Mezcla homogénea
E) Mezcla heterogénea
El punto de ebullición de alcohol etílico es 78°C.
La cocción de un alimento.
La evaporación de un charco de agua.
La infección de una herida.
A) FQFQ
D) QQFF
3.
10. Un material homogéneo de composición constante se
denomina:
Dadas las siguientes ocurrencias, señale cuáles son
fenómenos químicos (Q) y cuáles son fenómenos físicos (F):
I.
II.
III.
IV.
B) FFQQ
E) QFQF
11. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
C) FQFF
I.
II.
III.
¿Cuál de los siguientes no es cambio químico?
A) Calentamiento del cobre en el aire.
B) Combustión de la gasolina.
C) Enfriamiento de un trozo de hierro.
D) Digestión de los alimentos.
E) Corrosión de los metales.
4.
Podemos reconocerlas simplemente........................ la
sustancia o sometiendo a la muestra a un cambio reversible.
A) Calculando
C) Observando
E) Destruyendo
"Un cambio físico es un cambio debido a una causa externa
a la sustancia examinada. El efecto desaparecerá cuando
la causa cese, por lo tanto, no se altera la................ de la
sustancia".
A) Las mezclas se pueden separar por medios físicos.
B) Las mezclas homogéneas conservan sus propiedades
físicas.
C) Las mezclas homogéneas conservan sus propiedades
químicas.
D) Los compuestos son combinaciones químicas de dos o
más sustancias.
E) Las mezclas presentan propiedades independientes de
su origen.
C) Masa
Escribir a la derecha de cada enunciado si se trata de un
fenómeno físico o químico:
14. ¿Cuál de las alternativas representa una propiedad
extensiva?
A) Corrosión de los metales.
B) Dureza de los minerales.
C) Combustión de la gasolina.
D) Volumen de los cuerpos.
E) Viscosidad de los líquidos.
Identificar un cambio físico:
A) Inflamabilidad.
B) Corrosión.
C) Oxidación del hierro.
D) Volatilización.
E) Combustión del alcohol.
8.
B) Midiendo
D) Construyendo
13. Con relación a mezclas y compuestos, marque la alternativa
falsa:
La licuación del aire. ...............................................
La formación de nubes. ..........................................
Una vela en combustión. ........................................
La fusión del hielo. ................................................
Sublimación del yodo. ...........................................
7.
C) FFV
Denominaremos "propiedades físicas" a aquellas propiedades
que son intrínsecas en una sustancia.
5. Completar el siguiente párrafo:
6.
B) FFF
E) VVV
12. Completar el siguiente párrafo:
A) Pérdida de brillo metálico de la plata.
B) Calentamiento de los filamentos de una lámpara, para
producir luz.
C) Quemar hidrógeno.
D) Oxidación del vino para producir vinagre.
E) Oxidación de metales.
B) Composición
E) Energía cinética
Toda sustancia es un compuesto.
Las soluciones son mezclas homogéneas.
En las mezclas heterogéneas se presentan varias
fases.
A) FVF
D) FVV
¿Cuál de los siguientes cambios se considera físico?
A) Propiedad
D) Energía
Los cambios químicos se caracterizan por:
15. Los siguientes datos se refieren al elemento carbono.
¿Cuál de los siguientes cambios se consideran químicos?
Determine ¿Cuántas propiedades son físicas?
A) Cambios de los estados de agregación.
B) Punto de fusión del hielo.
C) Inflamabilidad del alcohol.
D) Condensación del vapor de agua.
E) Sublimación del hielo seco.
I.
II.
III.
IV. Se
A) 0
D) 3
263
Reacciona con el oxígeno para dar óxidos.
Es insoluble en agua.
A 25°C y 1 atm es sólido.
puede usar como combustible.
B) 1
E) 4
C) 2
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
16. Sobre las sustancias: ozono (O3) y azufre rómbico (S8).
¿cuántos enunciados son incorrectos?
I.
II.
III.
IV.
A) 0
D) 3
Son sustancias simples.
Son isótopos.
Son formas alotrópicas de los correspondientes
elementos.
Al mezclarse, formarían un material homogéneo.
B) 1
E) 4
4.
A) 3, 2
D) 1, 4
5.
A) 3
D) 6
C) 2
Los cambios en los estados de agregación son:
A) Cambios químicos.
B) Cambios alotrópicos.
C) Cambios transmutativos.
D) Cambios físicos.
E) Cambios biológicos.
De las siguientes especies químicas que se indican a
continuación:
Acido nítrico.
II.
S8 (rómbico).
Punto de fusión.
Calor absorbido por el agua.
Peso.
Viscosidad.
Maleabilidad.
Corrosión.
B) 4
E) 2
C) 5
“ La química es la melodía que puedes tocar
en cuerdas vibrantes”.
¿Cuántas propiedades se consideran físicas?
I.
C) 4, 1
Una propiedad intensiva no depende de la masa.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
20. Al transformar hidrógeno y oxígeno en agua, se está
produciendo:
3.
B) 2, 3
E) 5, 0
¿Cuántas de las siguientes propiedades son intensivas?
A) Evaporación del agua.
B) Fusión del hielo.
C) Trituración de rocas.
D) Opacado de una moneda.
E) Licuación del oxígeno.
2.
Considere las siguientes propiedades del diamante (una
forma alotrópica del carbono)
¿Cuántas propiedades son físicas y químicas respectivamente?
19. ¿Cuál de los siguientes se considera un cambio químico?
B) 1
E) 5
C) 2
E. Densidad de 3,51 g / cm3.
A) Volatilidad
B) Densidad
C) Calor absorbido en la fusión del hielo
D) Reducción del sodio
E) Oxidación del sodio
A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
CO2.
18. ¿Qué propiedad es extensiva?
Estado de agregación.
Combustibilidad.
Inflamabilidad.
Corrosión.
Calor Específico.
Forma.
Alcohol yodado: I2(alcohol) .
Oro de 24 quilates.
A. Aislador eléctrico.
B. Elevado punto de fusión.
C. Extremadamente duro.
D.
Combustión en presencia de oxígeno para producir
A) Punto de ebullición.
B) Estados de agregación.
C) Color de los cuerpos.
D) La acción blanqueadora de la lejía.
E) Determinación de la densidad.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
IV.
V.
A) 0
D) 3
17. Marcar la respuesta correcta, respecto a la propiedad que no
es física.
1.
Alcohol isopropílico: CH3CH(OH)CH3 .
¿Cuántos compuestos químicos existen?
C) 2
A) Cambio químico.
B) Cambio físico.
C) Reacción de conservación.
D) No aparece la respuesta correcta.
E) Cambio biológico.
III.
Educación Rumbo al Bicentenario- 264
(Karl Friedrich)
QUÍMICA
QUÍMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA I
7
INDICADORES DE LOGRO:
-
CARACTERÍSTICAS DE LAS PRINCIPALES PARTÍCULAS
SUBATÓMICAS FUNDAMENTALES:
Comparan la estructura de los átomos de la materia, relacionando semejanzas y diferencias.
Diferencian los tipos de átomos según el núclido que presenta
EL ÁTOMO
DEFINICIÓN:
Es un sistema dinámico, energético en equilibrio; constituido por
dos partes: núcleo y nube electrónica.
El núcleo es la parte central que concentra la mayor cantidad
de masa, contiene a los protones, neutrones y otras partículas
subatómicas.
La nube electrónica, es la parte externa del átomo que envuelve al núcleo y contiene partículas subatómicas de masa ligera
denominados leptones, siendo la principal partícula subatómica,
los electrones.
NÚCLIDO:
Es la representación del núcleo del átomo de un elemento químico.
REPRESENTACIÓN DE UN NÚCLIDO:
Átomo neutro:
A
Z
EN
Z = Nº Atómico (Indica la cantidad de Protones en el Núcleo)
Z = # P+= # e-Neutro
A = Nº de Masa
A=Z+N
IÓN: Átomo que gana o pierde electrones.
A
Z
q
EN
A
EN
Z
+
C
A
T
IÓ
N
PARTÍCULAS SUB ATÓMICAS DEL ÁTOMO:
C a r g a d e l ió n
A
EN
Z
-
ANIÓN
TIPOS DE NÚCLIDOS:
265
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
MODELOS ATÓMICOS
¿QUE ES UN MODELO ATÓMICO?
Cuando hablamos de “modelo” hablamos de una representación o esquema de forma gráfica que nos sirve como referencia
para entender algo de forma más sencilla y cuando hablamos de
“atómico” hablamos de conceptos relacionados con los átomos.
Según esto.
Un modelo atómico es una representación gráfica de la estructura que
tienen los átomos. Un modelo atómico representa una explicación
o esquema de como son y cómo se comportan los átomos.
EVOLUCIÓN DE LOS MODELOS ATÓMICOS
Veamos todos los modelos atómicos y creadores a lo largo de
la historia.
MODELO ATÓMICO DE DEMÓCRITO DE ABDERA:
Este fue el primer modelo atómico, inventado por el filósofo griego Demócrito de Abderaque vivió entre los años 460 al 370
a.c (antes de Cristo).
Demócrito fue el desarrollador de la “Teoría Atómica Del Universo”. Fue el primer filósofo-científico que afirmó que los átomos son eternos, inmutables e indivisibles, es decir, que
duran siempre, que no cambian y que no pueden dividirse en
partículas más pequeñas.
Para Demócrito el átomo era la partícula más pequeña que había,
una partícula homogénea, que no se puede comprimir y que
además no se podía ver. Su teoría era filosófica, no científica.
De hecho la palabra “átomo” proviene del griego “á-tómo” que
significa “sin división”.
MODELO ATÓMICO DE DALTON:
John Dalton fue un químico y matemático británico (entre otras
muchas cosas) que vivió durante los años 1766 y 1844, de donde
procede la palabra “Daltonismo”.
Seguro que sabrás que las personas daltónicas son aquellas que
les es muy difícil distinguir los colores por un defecto genético.
Esto te lo contamos como curiosidad ya que fue Dalton quien
escribió sobre esto porque él mismo lo padecía. Aparte, fue el
primero en desarrollar un modelo atómico con bases científicas.
Basándose en la idea de Demócrito, Dalton concluyó que el átomo era algo parecido a una esfera pequeñísima, también indivisible e inmutable.
Dalton hizo los siguientes “postulados” (afirmaciones o supuestos):
1.
La materia está compuesta por partículas diminutas, indivisibles e indestructibles llamadas átomos.
Educación Rumbo al Bicentenario- 266
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Los átomos de un mismo elemento son idénticos entre sí
(es decir, con igual masa y propiedades).
Los átomos de diferentes elementos tienen masas y propiedades distintas.
Los átomos permanecen sin división, incluso cuando se
combinan en reacciones químicas.
Los átomos, al combinarse para formar compuestos (lo
que hoy llamamos moléculas) mantienen relaciones simples.
Los átomos de elementos diferentes se pueden combinar
en proporciones distintas y formar más de un compuesto.
Los compuestos químicos se forman al unirse átomos de
dos o más elementos distintos. Para Dalton un átomo era
algo así como una pequeña esfera.
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Dalton:
Tanto Dalton como Demócrito ya se adelantaban y ya vislumbraban el Principio de Conservación de la Energía en donde
nada se crea ni se destruye, pero ambos modelos tienen insuficiencias o errores que se conocieron mucho después y es que
los átomos sí pueden cambiar y también pueden dividirse en
partículas más pequeñas.
El átomo NO es la partícula más pequeña. Sabemos ya que existen partículas subatómicas (que significa más pequeño que el
átomo) como por ejemplo los “quarks”, los “neutrinos” o los
“bosones”.
Modelo Atómico De Thomson Joseph John Thomson fue
un científico británico que vivió entre los años 1856 y 1940
que descubrió el electrón y los isótopos. Ganó el Premio
Nobel de Física en 1906 y su teoría sobre el átomo decía que los
átomos estaban compuestos por electrones de carga negativa en
un átomo positivo, es decir, como si tuviéramos una bola cargada
positivamente rellena de electrones (carga negativa), también
conocido como Modelo del Pudin De Pasas porque parece un
bizcocho relleno de pasas.
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Thomson:
La electricidad fue lo que ayudó a Thomson a desarrollar su modelo. El error que cometió Thomson fue que hizo suposiciones
incorrectas de cómo se distribuía la carga positiva en el interior
del átomo.
Modelo Atómico Cúbico De Lewis: Gilbert Newton Lewis fue un
QUÍMICA
MODELO ATÓMICO DE BOHR
físico y químico estadounidense que vivió entre los años 1875
y 1946 que realizó numerosos trabajos científicos de los cuáles
se destacan la “Estructura De Lewis” también conocida como
el “Diagrama De Punto”. El modelo atómico de Lewis está basado en un cubo, donde decía que los electrones de un átomo se
colocaban de forma cúbica, es decir, los electrones de un átomo
estaban colocados en los vértices de un cubo.
Gracias a ésta teoría se conoció el concepto de “valencia de un
electrón” es decir, esos electrones en el último nivel de energía
de un elemento que pueden reaccionar o enlazarse con otro elemento.
Veamos una imagen del Modelo Atómico Cúbico De Lewis:
Este modelo también se llama de Bohr-Rutherford. Niels Henrik
David Bohr fue un físico danés que vivió entre los años 1885 y
1962 que se basó en las teorías de Rutherford para explicar su
modelo atómico.
En el modelo de Bohr se introdujo ya la teoría de la mecánica
cuántica que pudo explicar cómo giraban los electrones alrededor del núcleo del átomo. Los electrones al girar entorno al núcleo definían unas órbitas circulares estables que Bohr explicó
como que los electrones se pasaban de unas órbitas a otras para
ganar o perder energía.
Demostró que cuando un electrón pasaba de una órbita más externa a otra más interna emitía radiación electromagnética. Cada
órbita tiene un nivel diferente de energía.
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Bohr:
El modelo de Lewis fue un paso importante en la historia para
entender el significado del átomo pero se abandonó pronto esta
teoría.
MODELO ATÓMICO DE RUTHERFORD:
Ernest Rutherford fue un químico y físico neozelandés que vivió
entre los años 1871 y 1937 que dedicó gran parte de su vida a
estudiar las partículas radioactivas (partículas alfa, beta y gamma) y fue el primero de todos en definir un modelo atómico en el
que pudo demostrar que un átomo está compuesto de un núcleo
y una corteza. Ganó el Premio Nobel De La Química en 1908.
Para Rutherford el átomo estaba compuesto de un núcleo atómico cargado positivamente y una corteza en los que los electrones (de carga negativa) giran a gran velocidad alrededor del
núcleo donde estaba prácticamente toda la masa del átomo.
Para Rutherford esa masa era muy muy pequeña. Esa masa la
definía como una concentración de carga positiva.
Los estudios de Rutherford demostraron que el átomo estaba
vació en su mayor parte ya que el núcleo abarcaba casi el 100%
de la masa del átomo.
Modelo Atómico De Sommerfeld Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld fue un físico alemán que vivió entre los años 1868 y
1951. La aportación más importante de este físico alemán fue
cambiar el concepto de las órbitas circulares que definían los
electrones en el modelo atómico de Bohr por órbitas elípticas.
Lo que hizo Sommerfeld fue perfeccionar el modelo de Bohr con
las órbitas elípticas lo que dio lugar al descubrimiento del numero cuántico Azimutal (o secundario). Cuanto mayor era este
número mayor era la excentricidad de la órbita elíptica que describía el electrón.
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Sommerfeld:
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Rutherford:
267
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
MODELO ATÓMICO DE SCHRÖDINGER: Erwin Rudolf Josef
Alexander Schrödinger fue un físico austriaco que vivió entre los
años 1887 y 1961 cuyo modelo cuántico y no relativista explica
que los electrones no están en órbitas determinadas.
Describió la evolución del electrón alrededor del núcleo mediante
ecuaciones matemáticas, pero no su posición.
Decía que su posición no se podía determinar con exactitud.
Schrödinger propuso entonces una ecuación de onda que ayuda
a predecir las regiones donde se encuentra el electrón, que se
conoce como “ecuación de Schrödinger”.
Veamos una imagen del Modelo Atómico De Schrödinger:
Esquema de Los Modelos Atómicos
3.
¿Cuál de las siguientes partículas no tiene carga eléctrica
neta?
A) Un electrón.
C) Un átomo.
E) Un nucleón.
4.
B) Un protón.
D) Un núcleo.
Si un elemento está formado por varios isótopos, todos ellos
tienen:
A) La misma masa.
B) La misma carga nuclear.
C) El mismo número de nucleones.
D) El mismo número de neutrones.
E) El mismo número de positrones.
5.
Las especies: F - , Ne , Na+ y Mg2+ todos tienen el mismo
número de: Dato: Z(F= 9, Ne = 10, Mg =12, Na =11)
A) Protones.
C) Neutrones.
E) Positrones.
6.
B) Isótopos.
E) Electrones.
Los números de electrones de 3 isóbaros eléctricamente
neutros suman 242. Además, los números de neutrones
suman 262. Hallar el número de masa.
A) 124
D) 87
8.
B) 168
E) 81
En cierto átomo, el número de neutrones es el doble del
número de protones. Si la suma del número de masa y de
neutrones es 120. Calcular el número de neutrones que
posee.
A) 10
D) 48
9.
C) 86
B) 20
E) 40
C) 30
La diferencia de los números de masa de dos isótonos es 3 y
la suma de sus números atómicos es 21. ¿Cuántos protones
tiene el átomo más liviano?
A) 9
D) 12
B) 10
E) 7
C) 8
10. La suma de los números de masa de dos isótopos es 146 y
la suma de sus neutrones es 74. ¿Cuántos electrones tiene
el elemento en su estado fundamental?
A) 36
D) 54
1.
En los siguientes enunciados indique como falso (F) o
verdadero (V), según corresponda:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
2.
El electrón fue descubierto por J.J. Thomson.
El protón fue descubierto por James Chadwick en
1932.
Un átomo de 108Ag (Z=47) contiene 47 protones, 47
electrones y 108 neutrones.
El electrón está formado por quarks.
El protón está formado por quarks.
Todos los isótopos de un elemento tienen el mismo
número de neutrones.
El isótopo más común del hidrógeno es el protio.
Un núcleo de 63Cu2+ ( Z = 29 ) contiene:
A) 29 protones, 27 electrones y 34 neutrones.
B) 29 protones, 29 electrones y 34 neutrones.
C) 29 protones y 34 neutrones.
D) 27 protones y 34 neutrones.
E) 27 electrones y 34 neutrones.
Educación Rumbo al Bicentenario- 268
B) 45
E) 18
C) 72
11. El elemento cloro está formado por dos isótopos naturales:
35Cl y 37Cl, cuyas abundancias están en una relación de 3
a 1 respectivamente. Hallar la masa atómica promedio del
elemento cloro.
A) 10
D) 36
B) 36
E) 36,5
C) 35,5
12. La diferencia de números de neutrones de dos isótopos de
un elemento es 2 y la suma de los números de masa es 72.
¿Cuántos neutrones tiene el isótopo más pesado, si el átomo
neutro de dicho elemento contiene 17 electrones?
A) 16
D) 11
B) 19
E) 17
C) 20
13. El número de masa y el número de protones en un átomo
están en la relación de 16 a 7. Si el número de neutrones de
su catión pentavalente es 15 unidades mayor que su número
de electrones. Determine la carga nuclear de dicho átomo.
A) 30
D) 45
B) 35
E) 50
C) 40
QUÍMICA
14. El elemento X está formado por dos isótopos cuya diferencia
en el número de neutrones es 2. Sabiendo que la masa
atómica promedio X del es 63,3; el núclido más liviano
tienen una abundancia de 85 % y es isótono con el 62Ni
(Z=28). Determinar que relación presenta el núclido más
pesado con 65Zn (Z= 30).
A) Isótopos.
C) Isoelectrónicos.
E) Isómeros.
4.
A) 10
D) 18
b) Isóbaros.
D) Isótonos.
15. Los iones E2- y J3+ tienen un total de 41 electrones. Si
sus nucleones neutros suman 46. Determine el promedio
aritmético de sus números másicos.
A) 88
D) 92
B) 82
E) 48
5.
C) 44
B) 34
E) 37
B) 30
E) 85
E) 30
C) 15
B) 76
E) 33
(Pierre Teilhard de Chardin)
C) 37
18. La suma de los electrones de los iones J5- y L4+ es 51.
Determine la suma de los electrones de los iones J1+ y L 2+.
A) 17
D) 48
B) 35
E) 51
C 47
19. La relación entre el número de masa y el número atómico
de un átomo neutro es de 16 a 7. Si posee 45 neutrones,
¿cuántos electrones posee su catión divalente?
A) 43
D) 37
B) 45
E) 33
C) 35
20. En un átomo neutro el número de protones es al número
de neutrones como 3 es a 7. Si su número de masa es 80,
determine su número atómico.
A) 24
D) 48
1.
B) 20
E) 26
C) 22
La diferencia de los números de masa de dos isótonos es
1 y la suma de sus números atómicos es 69. Determine el
número atómico del átomo más ligero.
A) 35
D) 32
3.
C) 32
La diferencia de los números atómicos de dos isóbaros es 2
y la suma de sus neutrones es 42. Determine el número de
neutrones del isóbaro con mayor carga nuclear.
A) 18
D) 24
2.
B) 56
E) 104
B) 34
E) 31
C) 33
La suma de los electrones de las siguientes especies
isoelectrónicas: S2- y Ca2+ es 36. Si el de mayor carga
nuclear posee 22 neutrones, determine su número de masa.
A) 16
D) 38
B) 18
E) 42
C) 88
“ El hombre sólo puede entenderse
por orden ascendente desde la física,
la química, la biología y la geología”.
C) 35
17. La diferencia de los números de masas de dos isótonos es
12 y la suma de sus números atómicos es 72. Determine el
menor número atómico.
A) 23
D) 42
B) 12
Un catión divalente y un anión trivalente poseen igual
número de electrones y 71 protones totales. Si el catión
posee 50 neutrones. ¿Cuál es el número de masa del catión?
A) 49
D) 91
16. La suma de los números de masa de los 5 isótopos de un
elemento es 360. Si el promedio aritmético de sus neutrones
es 39. Determine la carga nuclear de uno de ellos.
A) 33
D) 36
La suma de los números de masa de dos isótopos es 42 y su
diferencia es 2. Si, además, el número atómico es la mitad
del menor número de masa. Determine cuántos neutrones
posee el isótopo más pesado.
C) 20
269
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
ZONA EXTRANUCLEAR – NÚMEROS CUÁNTICOS
8
INDICADORES DE LOGRO
* Reconoce la estructura de la nube electrónica
* Diferencia los números cuánticos
Se denomina nube de electrones, nube atómica o corteza atómica a la parte externa de un átomo, región que rodea al núcleo
atómico, y en la cual orbitan los electrones
ESTRUCTURA
A) NIVELES DE ENERGÍA (N):
CONFIGURACIÓN ELECTRONICA
Configuración electrónica indica la manera en la cual los electrones se ordenan, estructuran, comunican u organizan en un
átomo en sus respectivos niveles, subniveles y orbitales en forma
creciente a su energía relativa.
Energía Relativa (ER):
Si entiendes que es la energía discreta asociada a los distintos
niveles de energía del electrón
ER = n + l
B) SUBNIVELES DE ENERGÍA (l)
Los subniveles de energía en el átomo son la forma en la cual los
electrones se organizan en las capas electrónicas, su distribución
en la molécula o átomo
C) ORBITALES:
Un orbital atómico es la región del espacio donde se mueven
los electrones, los cuales no tienen una trayectoria definida, ya
que es imposible conocer la posición de un electrón de un orbital
en un momento determinado
Regla de Moeller
Educación Rumbo al Bicentenario- 270
QUÍMICA
2.
En base a los siguientes átomos o iones: 3Li, 12Mg, 18S,
30Zn, 56Ba, 29Cu2+, 26Fe3+. Responda verdadero (V) o
falso (F) a las siguientes proposiciones:
I.
II.
III.
Existen más paramagnéticos que diamagnéticos.
Los 2 iones son paramagnéticos.
El Mg es diamagnético.
A) VVV
D) FVF
3.
4.
B) 2
E) 5
B) 12
E) 7
B) 2
E) 5
B) 23
E) 52
1.
De las siguientes proposiciones, indicar cuáles son
verdaderas (V) o falsas (F), en el orden en que se presentan.
I.
II.
III.
El espectro de emisión se produce cuando el electrón
absorbe energía.
El número cuántico principal que corresponde a un
subnivel " f " es n=4.
No hay diferencia entre la definición de órbita y
orbital.
A) FFF
D) VVV
B) FVF
E) VFV
C) 64
Señale verdadero (V) o falso (F) cada proposición:
I.
El 26Fe es un elemento diamagnético.
II.
III.
El 12C6 en su estado basal es paramagnético.
Un elemento paramagnético tiene todos
electrones desapareados.
IV.
El 28Ni es ferromagnético.
A) FVFV
D) VVFV
9.
C) 3
Determine la carga nuclear de un átomo que posee 6
electrones desapareados y 5 niveles de energía.
A) 24
D) 42
8.
B) 5 - paramagnético.
D) 0 - diamagnético.
Hallar la configuración electrónica de un átomo que presenta
12 orbitales llenos. Dar como respuesta el número de
electrones desapareados.
A) 1
D) 4
7.
C) 9
En el estado basal de un átomo de 27Co hay ..................
electrones no apareados y el átomo es..............
A) 3 - paramagnético.
C) 2 - diamagnético.
E) 3 - ferromagnético.
6.
C) 3
Considere el átomo de cobalto del problema anterior. El
número total de orbitales ocupados por uno o más electrones
es:
A) 15
D) 6
5.
C) FVV
En un átomo de cobalto (Z=27) en su estado basal, el
número total de niveles ocupados por uno o más electrones
es:
A) 1
D) 4
NÚMEROS CUÁNTICOS
B) VFF
E) FFF
B) FVVV
E) VVFF
sus
C) VFVV
La molécula del Flúor (z=9) está formada por dos átomos,
los que están unidos por un enlace covalente. ¿Cuántos
electrones tendrá cada átomo de la molécula del Flúor en su
último nivel?
A) 8 y 8
D) 6 y 6
B) 8 y 6
E) 7 y 7
C) 7 y 6
10. ¿Cuál es el número atómico del elemento de Símbolo D; si su
configuración electrónica por niveles: 2, 8, 16, 2
A) 28
D) 2
C) FVV
B) 24
E) 18
C) 10
11. ¿Cuántos electrones no apareados habrá en un ion X2+ con
Z=14?
A) 3
D) 2
271
B) 1
E) 4
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 0
QUÍMICA
12. ¿Cuál de las siguientes configuraciones es la correcta para el
Argón, si presenta 18 protones?
A) 1s22s22p63s23p4
19. De las siguientes combinaciones de números cuánticos,
indique la que no es solución permitida de la ecuación de
Schrödinger.
A) 3, 2, 0, +1/2
C) 4, 3, -3, +1/2
E) 5, 4, 3, -1/2
B) 1s22s22p63s23p64s2
C) 1s22s22p63s23p6
B) 7, 0, 0, -1/2
D) 2, 2, 2, -1/2
20. Indicar qué representación cuántica es correcta:
D) 1s22s22p63s23p2
A) 2, 2, 0, -1/2
C) 3, 0, -3, +1/2
E) 5, 2, -1, -1/4
E) 1s22s23p64s25p6
13. Si un átomo cumple la siguiente relación:
B) 2, 1, -2, +1/2
D) 4, 2, 2, +1/2
Donde:
A = número de masa
Z = número atómico
n° = cantidad de neutrones
1.
Además tiene 5 electrones en su 5to nivel. ¿Cuál es el valor
del número másico?
A) 51
D) 100
B) 76
E) 102
A) 5, 0, 0, +1/2
C) 5, 2, 2, +1/2
E) 5, 1, -1, +1/2
C) 95
14. Un elemento tiene átomos con la siguiente distribución
electrónica:
2.
Teniendo, además, sólo 3 electrones en su última capa.
Hallar el valor de:
A) 31
D) 37
B) 33
E) 39
C) 35
15. El número de neutrones de un átomo "x" excede en dos
a la semisuma de sus electrones y protones. Además su
carga nuclear excede en uno a la carga nuclear máxima de
un átomo "y" que tiene 2 subniveles "p" llenos. Hallar la
cantidad de nucleones del átomo "x".
A) 130
D) 160
B) 140
E) 175
B) 68
E) 92
C) 48
17. La suma de los número atómicos de dos isótonos X e Y
es 18. Si sus números de masa son el doble y el triple de
sus respectivos números atómicos. Determine, ¿cuántos
electrones desapareados presenta el átomo Y?
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
18. Se tiene 3 isótopos de un elemento "x" cuyos números de
masa suman "a" y la cantidad total de neutrones es "b" si
uno de los isótopos posee "c" electrones en la cuarta capa y
2<c<8. ¿Qué relación puede establecerse entre a, b y c?
A) a-b-3c = 84
C) a-b-3c = 90
E) a-b+3c = 84
Determinar el número cuántico magnético para el último
electrón de 3d4.
B) 0
E) - 2
C) + 1
Un ión Xb+ tiene "a" electrones en el cuarto nivel, 8 < a < 18.
Determine, ¿cuánto electrones tiene X+2.
A) 30 + a + b
B) 28 + a + b
C) 32 + a + b
5.
C) 3d
D) 30 + a - b
E) 28 + a - b
Hallar el máximo valor de:
C) 74
16. La suma del número másico y número atómico es 136.
Determinar el número de neutrones; si se sabe, además,
que en su cuarto nivel posee 14 electrones.
A) 47
D) 89
B) 4s
E) 5s
A) - 1
D) + 2
4.
U = x+y+z+w+n
B) 5, 1, 2, -1/2
D) 5, 2, 0, -1/2
De los siguientes subniveles, ¿cuál tendrá mayor energía?
A) 5p
D) 4f
3.
[Xe] nsx (n-1) dy (n-2) f z npw
¿Cuál de las representaciones correspondería un electrón
ubicado en el subnivel 5p?
B) a+b+c=72
D) a+b-3c=54
Educación Rumbo al Bicentenario- 272
para todo ml ≠ 0 y además donde el mayor valor de "n"
puede ser 3.
A) 2
D) 7
B) 1
E) 15
C) 5
“La química debe convertirse
en la astronomía del mundo molecular”.
(Isaac Newton)
QUÍMICA
QUÍMICA
TABLA PERIÓDICA
9
DESARROLLO HISTÓRICO
BERZELLIUS: (1814): Clasificación de los elementos en metales y no metales.
PROUST (1815): Propuso organizarlos de acuerdo a sus masas
atómicas en forma creciente, tomando como referencia la masa
atómica del hidrogeno.
DOBEREINER (1829): Ordeno en grupos de 3 en 3. Denominados LEY DE TRIADAS, los elementos de cada triada tenían
propiedades similares como masa atómica, color y reactividad,
y el peso atómico del elemento central de la triada era aproximadamente igual al promedio de los pesos atómicos de los otros
dos de los extremos.
a
b
c
MOSELEY (1913): Cuando los elementos, se arreglan en orden
de sus números atómicos, sus propiedades físicas y químicas
muestran tendencia periódica.
ALFRED WERNER (1915): Diseña la tabla periódica en su forma actual (forma larga) en base a la Ley de Moseley, y toma
como referencia la tabla de Mendeleiev.
A B C
CHANCOURTOIS: (1862): Había similitudes en los elementos
colocados en una línea vertical cuando se acomodaban en orden
creciente de sus pesos atómicos a lo largo de una hélice. Conocido como el tornillo telúrico.
DESCRIPCION DE LA TABLA PERIODICA ACTUAL.
Periodos: Filas, niveles o capas
NEWLANDS (1856): Establece la LEY DE OCTAVAS, formando
grupos de siete elementos, analogía entre cosas tan diferentes como son los elementos químicos y las notas de una escala
musical.
Grupos: Columnas o Familias
MENDELEIEV – MEYER (1869): Los elementos están ordenados de acuerdo a sus pesos atómicos, presentan una periodicidad en sus propiedades. El arreglo de los elementos en grupos,
en orden de sus pesos atómicos corresponde tanto a sus valencias como a sus propiedades químicas específicas
Tabla periódica: Basada en sus propiedades físicas el cual establece Meyer (1870) función del peso atómico.
273
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
PROPIEDADES PERIODICAS DE LOS ELEMENTOS
6.
Los gases nobles son elementos monoatómicos de gran
estabilidad química, razón por la cuál, se le usa como
atmósfera inerte en muchas reacciones y se les encuentra
en el aire atmosférico, excepto:
A) Helio.
D) Kriptón.
7.
B) Neón.
E) Radón.
Identificar como verdadero (V) o falso (F) según
corresponda, a las siguientes proposiciones:
*
*
*
Los no metales son dúctiles y maleables.
Los metales tienen tendencia a ganar electrones y
formar cationes.
Los gases nobles son monoatómicos.
A) FFV
D) VFV
8.
C) Argón.
B) FVF
E) FFF
C) VVF
Sea la siguiente triada de Döbereiner:
S 79Se XTe
32
1.
En los siguientes enunciados indique verdadero o falso.
Estimar la masa atómica (X) aproximada del teluro.
I.
A) 124
D) 130
II.
III.
IV.
V.
Todo elemento que termina en ns2 pertenece a la
familia de los alcalinos-térreos.
Los elementos Z= 51 y Z = 15 pertenecen al mismo
grupo que el elemento Z=33
Los elementos Z= 55 y Z=11 reaccionan violentamente
con el agua.
Los elementos Z= 38 y Z=56 tienden a formar
cationes divalentes.
El elemento, Z=49 pertenece a la familia del boro
A) VFFVV
D) VVVVV
2.
B) FFFFF
E) FVFVV
Completar el siguiente párrafo, respecto a un elemento de
la tabla periódica: "El elemento _____________ , es sólido
blanco plateado que se oscurece cuando se deja expuesto al
aire, reacciona violentamente con el agua y no se encuentra
al estado libre en la naturaleza".
A) cobre
D) sodio
3.
B) plata
E) yodo
B) calcio
E) berilio
C) cesio
El _____________, es un elemento líquido de color rojizo,
olor picante y asfixiante cuya volatilidad elevada lo hace
peligroso ya que ataca a los ojos, a los ductos nasales,
produciendo, además, quemaduras severas al entrar en
contacto con la piel. El cuerpo humano sólo puede soportar
0,1 ppm de éste elemento sin efectos adversos.
A) sodio
D) cloro
5.
C) oro
El _____________, es un metal que conserva su brillo
metálico, dúctil, maleable, conductor de la electricidad y se
le puede encontrar al estado libre en la naturaleza, debido a
su baja reactividad química.
A) oro
D) flúor
4.
C) VFVFF
B) bromo
E) flúor
C) cesio
Los __________ son elementos de gran carácter metálico
cuyo color varía en tonalidad de blanco plateado , reaccionan
con el agua para formar hidróxidos de fórmula M(OH)2,
reaccionan con el oxígeno para formar óxidos de fórmula
MO, y no se les encuentra al estado libre en la naturaleza.
Esta descripción corresponde a los:
A) alcalinos
C) halógenos
E) gases nobles
B) alcalinos-térreos
D) calcógenos
Educación Rumbo al Bicentenario- 274
9.
B) 126
E) 126,7
C) 128
Los elementos de la tabla actual son ordenados de acuerdo
a:
A) Sus números atómicos.
B) Pesos atómicos.
C) El número de electrones de valencia.
D) La carga nuclear de los átomos de los elementos.
E) Del número de nucleones.
10. Dos características físicas de los metales son:
A) Disuelven en el agua y son quebradizos.
B) Son conductores del calor, electricidad y presentan
elevadas densidades.
C) Presentan altos puntos de fusión y elevadas
conductividades eléctricas.
D) Presentan bajos puntos de fusión y bajas conductividades
eléctricas.
E) Presentan bajas densidades y son malos conductores de
la electricidad.
11. Los metales preciosos: plata, oro y platino, se denominan así
debido:
A) A su elevada reactividad.
B) A su elevada dureza en la escala de mohs.
C) A su solubilidad en ácido sulfúrico.
D) Conservan su brillo metálico.
E) A su fácil capacidad de oxidación.
12. En la tabla periódica, hay un grupo de elementos que se
denomina no metales. Estos se caracterizan por algunas
propiedades generales:
A) Se encuentran formando cristales monoatómicos.
B) Son dúctiles, maleables y reflejan la luz.
C) Son malos conductores de la electricidad y se presentan
en la naturaleza bajo diferentes formas alotrópicas.
D) Sus densidades son elevadas y son buenos conductores
del calor.
E) Sus combinaciones con el oxígeno forman óxidos básicos
típicamente.
QUÍMICA
13. ¿Qué propiedad no caracteriza a los metales?
A) Son dúctiles, maleables, y conductores de la electricidad.
B) Debidos a sus bajos potenciales de ionización pueden
actuar como agentes reductores.
C) Los átomos tienden a ganar electrones para formar iones
positivos.
D) Son sólidos a temperatura ambiente a excepción del
mercurio que es líquido.
E) Presentan elevadas densidades.
1.
A) Cuarto periodo y IV - B.
B) Cuarto periodo y VI - B.
C) Quinto periodo y VI - B.
D) Cuarto periodo y VII - B.
E) Cuarto periodo y VII - A.
14. Con respecto a la Tabla Periódica Actual:
I.
II.
III.
Los elementos están ordenados en orden creciente de
sus números de masa.
Los elementos de la familia A son denominados
representativos o típicos.
Los elementos de un mismo periodo tienen
propiedades físicas similares
2.
B) Sólo I y III
D) Sólo II
3.
4.
A) Los átomos son cada vez más grandes.
B) Los electrones están sujetos con mayor fuerza.
C) Los átomos son cada vez más reactivos
D) Aumenta el carácter metálico.
E) Disminuye su potencial de ionización.
C) 24
B) 36
E) 56
C) 37
Los átomos de cierto elemento de transición del quinto
periodo presenta 3 electrones desapareados.
Determinar a qué grupo de la tabla pertenece, considerando
la máxima configuración posible.
A) VIII-A
D) IV-A
16. ¿A qué grupo de la tabla pertenece el elemento cuyos átomos
tienen en su configuración 11 orbitales completamente
llenos?
B) VIII-A
E) I-B
B) 11
E) 20
Determinar el número atómico del primer elemento el quinto
periodo.
A) 35
D) 55
15. De las siguientes afirmaciones, con respecto a los metales
alcalinos. ¿Cuál es falsa conforme aumenta el número
atómico de los elementos del grupo:
A) I-A
D) II-A
Un elemento químico del 4to periodo posee en su
configuración electrónica 4 orbitales semillenos. Si su
número atómico es el máximo posible. Señalar el número de
orbitales llenos.
A) 10
D) 26
Es correcto afirmar:
A) Sólo I y II
C) Sólo II y III
E) I , II y III
Se tiene un elemento cuya configuración electrónica por
niveles es: 2, 8, 13, 1. Determinar a que periodo y grupo de
la tabla pertence el elemento implicado:
5.
C) VIII-B
B) III-A
E) IV-B
C) VIII-B
¿Qué combinación de números atómicos ubican a los
elementos en el mismo grupo de la tabla?
A) 2, 45, 6
D) 21, 53, 37
B) 12, 34, 52
E) 4, 5, 6
C) 5, 31, 13
17. Los átomos de cierto elemento del quinto periodo presenta
3 electrones desapareados. Considerando que se trata de un
elemento representativo, determinar el número atómico y
grupo de la tabla al cual pertenece.
A) 51 y VA
D) 53 y VIA
B) 50 y IIIA
E) 49 y VA
C) 51 y IVA
18. ¿A qué periodo y grupo pertenece el elemento cuyos átomos
contienen 74 neutrones, 53 protones y 53 electrones?
A) Quinto periodo y V-A.
C) Quinto periodo y VI-A.
E) Quinto periodo y VI-B.
B) Quinto periodo y V-B.
D) Quinto periodo y VII-A.
19. ¿A qué periodo y grupo pertenece el plomo (Z=82)?
A) Quinto periodo y IV-A.
B) Cuarto periodo y IV-A.
C) Sexto periodo y IV-A.
D) Sexto periodo y II-A.
E) sexto periodo y V-B.
“ En cierto sentido, lo que quizás habrás
sospechado de la química el primer día de
escuela secundaria es verdad: la tabla periódica
en una colosal pérdida de tiempo.”.
(Sam Kean)
20. ¿A qué periodo y grupo pertenece la plata (Z = 47)?
A) Quinto periodo y I - A.
B) Quinto periodo y VIII - A.
C) Quinto periodo y I - B.
D) Quinto periodo y VIII - B.
E) Quinto periodo y II - B.
275
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
ENLACE QUIMICO I
10
Lewis, Gilbert Newton (1875-1946), químico estadounidense,
célebre por su teoría de la interpretación del enlace covalente.
Nació en Weymouth, Massachusetts, y estudió en las universidades de Nebraska, Harvard, Leipzig y Götinga. Enseñó química en
Harvard desde 1899 hasta 1900 y desde 1901 hasta 1906, y en
el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1907 a 1912.
A partir de ese año y hasta su muerte, fue profesor de
Química Física en la Universidad de California en Berkeley, y también fue decano de la Escuela de Química. Lewis hizo importantes aportaciones en el campo de la Física teórica, sobre todo al
estudio de la termodinámica química. Desarrolló una teoría sobre
la atracción y valencia químicas con el químico estadounidense Irving Langmuir, basándose en la estructura atómica de las
sustancias, conocida como teoría Langmuir-Lewis. También se
le conoce por su trabajo sobre la teoría de las disoluciones y la
aplicación de los principios de la termodinámica a los problemas
químicos.
NOTACIÓN DE LEWIS
DEFINICIÓN:
Mientras que sólo hay alrededor de 118 elementos catalogados en la tabla periódica, obviamente hay más substancias en
la naturaleza que los 118 elementos puros. Esto es, porque los
átomos pueden reaccionar unos con otros para formar nuevas
sustancias denominadas compuestos.
Un enlace químico se forma cuando dos o más átomos se enlazan fuertemente, por interacción de sus electrones de valencia,
cada uno en la búsqueda de mayor estabilidad química (proceso
exotérmico). El compuesto que resulta de este enlace es química
y físicamente único y diferente de sus átomos originarios.
ELECTRONES DE VALENCIA:
Son los electrones que se encuentran en la capa de mayor nivel
de energía del átomo, siendo estos los responsables de la interacción entre átomos de distintos elementos o entre los átomos
de uno mismo. Los electrones en los niveles de energía externos
son aquellos que serán utilizados en la formación de compuestos, a los cuales se les denomina como electrones de valencia.
CLASIFICACIÓN DEL ENLACE QUÍMICO
IÓNICO
INTERATÓMICO
COVALENTE
POLAR
NORMAL
APOLAR
DATIVO
METÁLICO
ENLACE
QUÍMICO
DIPOLO - DIPOLO
INTERMOLECULAR
PUENTE DE HIDRÓGENO
DISPERSIÓN DE LONDON
ENLACE INTERATÓMICO
ENLACE IÓNICO:
REGLA DEL OCTETO:
Los átomos en su último nivel deben llegar a ocho electrones,
ganando, perdiendo o compartiendo electrones. Excepto: H, He,
Li, Be, B,
Educación Rumbo al Bicentenario- 276
Fue propuesto por W. Kossel en 1916 y es el resultado de la
transferencia de uno o más electrones de un átomo o grupo
de átomos a otro generando un ión positivo (catión) y un ión
negativo (anión), los cuales se mantienen unidos debido a una
atracción electrostática. Este tipo de enlace se produce con mayor facilidad entre los elementos metálicos y no metálicos, dado
que los primeros poseen baja energía de ionización y por lo tanto
pierden electrones con facilidad mientras que los no metales tienen alta afinidad electrónica y tienden a ganar electrones.
Na + Cl ------ (Na)+ ( Cl )-
QUÍMICA
Una condición necesaria, pero no suficiente para que se dé el
enlace iónico es que la diferencia de electronegatividades entre
los átomos implicados sea mayor o igual a 1,7.
Obs: Los compuestos iónicos no forman moléculas cristal de NaCl
ENLACE COVALENTE:
1.
En los siguientes enunciados indicar verdadero o falso.
I.
Los compuestos iónicos son conductores de la
electricidad a temperatura ambiente.
II.
El CaF2, BeCl2 y BaO, son compuestos típicamente
iónicos.
III.
El HNO3 es una molécula cuya estructura tiene un
enlace dativo.
PROPIEDADES GENERALES DE LOS COMPUESTOS IÓNICOS Y COVALENTES:
IV.
El SO3 presenta resonancia.
V.
El CaSO4 es un compuesto netamente covalente.
COMPUESTOS IÓNICOS:
A) VFVFV
D) VVFFV
* Son sólidos con elevado punto de fusión (típicamente mayor
a 400°C)
* Muchos son solubles en solventes polares como el agua.
* La mayoría son insolubles en solventes apolares como el benceno: C6H6
* Los compuestos fundidos y en disolución acuosa conducen
bien la electricidad debido a que tienen partículas cargadas en
movimiento (iones).
* En fase sólida no conducen la electricidad.
* Poseen un ordenamiento regular de iones positivos y negativos
dispuestos en forma de red cristalina iónica.
* Generalmente, involucran a metales alcalinos y alcalinos térreos (excepto el berilio) y no metales tales como los halógenos
o calcógenos.
* No existen moléculas separadas (discretas) de sustancias iónicas; por eso, nos referimos a ellas como unidades fórmula y no
como fórmulas moleculares.
2.
B) FVFVF
E) FFVFF
C) FFVVF
¿Qué propiedad caracteriza a los compuestos iónicos?
A) No disuelven en el agua.
B) Bajos puntos de fusión.
C) Conducen la electricidad en fase sólida.
D) Sus unidades químicas son moléculas.
E) Elevados puntos de ebullición.
3.
4.
¿Qué molécula presenta enlaces phi (π) ?
A) C2H6
B) CH4
D) CO
E) F2
¿Qué molécula presenta un átomo central que no cumple el
octeto?
A) O2F2
D) AlCl3
COMPUESTOS COVALENTES:
5.
* Son gases, líquidos o sólidos con bajos puntos de fusión (típicamente menor de 300°C).
* Muchos son insolubles en solventes polares como el agua
* La mayoría son solubles en solventes apolares como el benceno: C6H6
* Los compuestos fundidos y líquidos no conducen la electricidad
* Las disoluciones acuosas son habitualmente malas conductoras
eléctricas.
* Sus unidades químicas son moléculas.
* Típicamente se producen entre elementos no metálicos o cuya
diferencia de electronegatividad sea menor que 1,7.
B) CHF3
E) NH3
B) SO2
E) N2O4 (los "N" unidos)
E) O2
B) (CO3)-2
D) N2O4(los "N" unidos)
C) (NO3)-1
E) HNO3
¿Qué compuesto presenta enlaces phi (π) ?
A) BeCl2
D) SF4
277
C) BeCl2
¿Qué molécula presenta 2 enlaces phi (π) ?
A) (NO2)-1
7.
C) OF2
¿Qué molécula presenta 2 enlaces dativos?
A) O3
6.
C) H2S
B) CCl4
E) H3S+
Educación Rumbo al Bicentenario
C) CS2
QUÍMICA
8.
¿Qué molécula presenta un átomo con octeto expandido?
B) BeH2
E) NO2
A) PCl3
D) BH3
9.
C) XeF2
Datos de electronegatividad:
Se combina químicamente el Calcio con el Nitrógeno.
Determine la fórmula del compuesto formado y el tipo de
enlace químico implicado.
A) CaN2 y enlace covalente.
C) Ca3N2 y enlace covalente.
D) CaN2 y enlace iónico.
E) Ca3N2 y enlace iónico.
10. ¿Cuáles de los siguientes pares de elementos posiblemente
forman compuestos iónicos?
Nitrógeno y Bromo.
Litio y Teluro.
Magnesio y Flúor.
Calcio y Nitrógeno.
Selenio y Cloro.
Bario y Yodo.
Sodio y Nitrógeno.
Carbono y Oxígeno.
A) II, III, IV, VI, VII, VIII
C) III, IV, V, VII, VIII
E) III, IV, VI, VII, VIII
B) II, III, IV, VI, VII
D) III, IV, VI, VII
B) 3
E) 1
C) 4
12. ¿Cuáles de los siguientes elementos formarán moléculas
diatómicas con enlaces covalentes?
H
He
Br
Hg
C) C - O
A) En el enlace covalente, hay por lo menos un par de
electrones compartidos.
B) En el enlace dativo o covalente coordinado, el par de
electrones compartidos es proporcionado por un solo
átomo.
C) La resonancia se presenta cuando en una molécula, los
electrones de un enlace s están deslocalizados.
D) En el enlace iónico, se produce transferencia de electrones
de un átomo a otro.
E) En el enlace covalente no polar, los electrones se
encuentran igualmente compartidos.
A) El N2 tiene enlace covalente triple y el MgO enlace iónico.
B) Todos los átomos de las dos especies cumplen con la
regla del octeto.
C) Ambas moléculas tienen enlaces iónicos.
D) En condiciones comunes el N2 se encuentra en estado
gaseoso y el MgO en estado sólido.
18. Se combinan químicamente 17X y 37W. ¿Qué propiedad
probablemente, no se le asocia al compuesto formado?
A) Presenta elevado punto de fusión.
B) Sus unidades químicas son las moléculas.
C) Es posible que sea soluble en agua.
D) En fase sólida, no conduce la electricidad.
E) Sus soluciones acuosas sí conducen la electricidad.
19. Señalar falso (F) verdadero (V) según corresponda:
I.
Dato: (Z): H=1; He=2; Br=35, Hg=80
A) Sólo I, II, III
C) Sólo II, III y IV
E) Todos
II.
B) Sólo I, III
D) Sólo I, III y IV
III.
13. Indicar cuáles de las siguientes moléculas presentan enlaces
moleculares pi (π)
I. COCl2
A) I, II y III.
D) Sólo I y II.
II. C2H2
III. O2
B) Sólo I.
E) Sólo I y III.
C) Sólo II.
14. Indique cuál de los siguientes enlaces es de esperar que sea
el menos polar. Electronegatividad:
O=3,5; B=2; P=2,1; N=3,0; H=2,1.
A) O - B
D) N - H
B) S – F
E) C - N
E) El N2 no reacciona con el agua y el MgO sí.
Cl2, SO2, CH3F, CF4, BF3, H2, BeCl2
I.
II.
III.
IV.
A) N - O
D) O - F
17. Con respecto a las sustancias N2 y MgO, indicar la afirmación
incorrecta:
11. ¿Cuántas sustancias tienen enlaces polares:
A) 2
D) 5
C=2,5; S=2,5; N=3,0; O=3,5 y F=4,0
16. Cuál de las siguientes alternativas es falsa:
B) Ca3N y enlace covalente.
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
15. Considerando sólo la electronegatividad, ¿cuál de las
siguientes alternativas presenta la mayor polaridad de
enlace?
B) P - O
E) P - H
C) N - O
Educación Rumbo al Bicentenario- 278
IV.
Los compuestos iónicos son generalmente solubles en
agua.
Los compuestos covalentes pueden ser gases, líquidos
o sólidos a temperatura ambiente.
Los compuestos covalentes poseen moléculas en su
estructura interna mientras que en los compuestos
iónicos no tiene significado físico hablar de moléculas.
Toda molécula que sólo tienen enlaces polares
resultan apolar.
A) VVVV
D) VFVV
B) VVFV
E) VVFF
C) VVVF
20. Indicar lo incorrecto:
A) N2
--- enlace covalente triple.
B) H2SO4
C) BH3
----- 2 enlaces dativos.
D) BeCl2
E) NaCl
--- 1 enlace covalente doble.
---- enlace iónico.
---- 3 enlaces covalentes simples.
QUÍMICA
1.
Se combinan químicamente 7X y 9W, qué propiedad
probablemente no se le asocia al compuesto formado.
A) Presenta bajo punto de ebullición.
B) Sus unidades químicas son las moléculas.
C) Su geometría es piramidal.
D) En fase sólida no conduce la electricidad.
E) Sus soluciones acuosas sí conducen la electricidad.
2.
“ La química es necesariamente una ciencia
experimental: las conclusiones se extraen de
datos y sus principios son apoyados por la
evidencia de los hechos”.
¿Cuál es el total de enlaces dativos en los compuestos:
H2SO4, SO3, HNO3, H2CO3?. Suponer que los átomos
centrales cumplen el octeto.
A) 3
D) 6
3.
B) 4
E) 7
Indicar con (V) verdadero y (F) falso según corresponda:
I.
II.
III.
Los compuestos que tienen enlaces iónicos existen
como sólidos cristalinos a temperatura ambiente.
En los enlaces metálicos, los iones metálicos positivos
permanecen fijos en una red cristalina.
Los compuestos moleculares conducen la corriente
eléctrica y son miscibles con los líquidos apolares.
A) I, II
D) Sólo II
4.
(Michael Faraday)
C) 5
B) II, III
E) III, IV
C) II, III, IV
X e Y son dos elementos de la tabla periódica, donde,
respectivamente, en su capa de valencia X presenta
5 electrones, mientras que el elemento Y presenta 2
electrones. Determine la fórmula más probable que resulta
cuando X e Y y se combinan químicamente así como el tipo
de enlace asociado.
A) X2Y5 : covalente.
B) X5Y2 : covalente.
C) X2Y3 : covalente.
D) X2Y5 : iónico.
E) X2Y3 : iónico.
5. ¿En cuál de las siguientes especies encontramos dos enlaces
covalentes coordinados? Suponer que los átomos centrales
cumplen el octeto.
6.
A) (NH4)+1
B) HNO3
D) N2O3
E) N2O
C) N2O5
Indicar con (V) verdadero y (F) falso:
I.
El cloruro de sodio NaCl es soluble en agua.
II.
El enlace O-H en el H2O posee mayor polaridad que el
enlace Cl-H del HCl.
III.
En el hielo seco (CO2), los enlaces interatómicos son
polares.
A) VVV
D) FVV
B) VFV
E) FVF
C) VFF
279
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
ENLACE QUÍMICO II
11
INDICADORES DE LOGRO.
* Diferencia los enlaces intermoleculares
* Explica el fenómeno de hibridación
COMPARACIÓN MOLECULAR DE LÍQUIDOS Y SÓLIDOS
Los gases consisten en una colección de moléculas separadas
por grandes distancias y en constante movimiento caótico. La
energía cinética media de las moléculas es mucho mayor que la
energía media de las atracciones entre ellas, lo cual le permite a
un gas expandirse para llenar el recipiente que lo contiene.
En los líquidos, las fuerzas de atracción intermoleculares son lo
suficientemente fuertes como para mantener juntas las moléculas. Así, los líquidos son mucho más densos y menos compresibles que los gases. A diferencia de los gases, los líquidos tienen
un volumen definido, independiente del tamaño y la forma de
sus recipientes. Sin embargo, las fuerzas de atracción en los líquidos no tienen la intensidad suficiente como para evitar que las
moléculas se muevan unas respecto a otras. Por ello, los líquidos
presentan la propiedad de difusión (aunque en forma restringida): pueden vertirse a otro recipiente adoptando la forma del
mismo. En los sólidos, las fuerzas de atracción intermoleculares son mucho más intensas, no sólo para mantener unidas las
unidades químicas, sino para fijarlas prácticamente en su sitio,
evitando movimientos traslacionales. Los sólidos, al igual que los
líquidos, prácticamente son incompresibles; porque las moléculas no tienen mucho espacio libre entre ellas. Es común que las
moléculas ocupen posiciones en un patrón altamente regular.
Los sólidos que poseen estructuras muy ordenadas se clasifican
como cristalinos.
FUERZAS INTERMOLECULARES:
¿Qué son las fuerzas intermoleculares?
Las fuerzas o uniones intermoleculares son aquellas interacciones que mantienen unidas las moléculas. Se tratan de fuerzas
electrostáticas.
La presencia de estas fuerzas explica, por ejemplo, las propiedades de los sólidos y los líquidos.
Se diferencian de las fuerzas interatómicas, por estas, corresponden a interacciones que mantienen juntos a los átomos en una
molécula. Por lo general, las fuerzas intermoleculares son mucho
más débiles que las fuerzas interatómicas.
Hay varios tipos de fuerzas intermoleculares, como las fuerzas
de Van der Waals y los puentes de hidrógeno.
Fuerzas de Van der Waals
Son fuerzas intermoleculares que determinan las propiedades físicas de las sustancias. Entre estas fuerzas tenemos las siguientes:
A. LAS FUERZAS DIPOLO-DIPOLO: son fuerzas de atracción
entre moléculas polares, dado que, éstas moléculas se atraen
cuando el extremo positivo de una de ellas está cerca del negativo de la otra.
Educación Rumbo al Bicentenario- 280
En los líquidos, cuando las moléculas se encuentran en libertad
para poder moverse, pueden encontrarse en orientaciones atractivas o repulsivas. Por lo general, en los sólidos, predominan las
atractivas.
BLAS FUERZAS DE DISPERSIÓN DE LONDON: se da
entre moléculas apolares, y ocurren porque al acercase
dos moléculas se origina una distorsión de las nubes electrónicas de ambas, generándose en ellas, dipolos inducidos
transitorios, debido al movimiento de los electrones, por lo
que permite que interactúen entre sí. La intensidad de la
fuerza depende de la cantidad de electrones que posea la
molécula, dado que si presenta mayor número de electrones, habrá una mayor polarización de ella, lo que generará
que la fuerza de dispersión de London sea mayor.
Las siguientes fuerzas también están incluidas en las fuerzas de Van der Waals:
C.
LAS FUERZAS DIPOLO-DIPOLO INDUCIDO: corresponden a fuerzas que se generan cuando se acerca un
ión o un dipolo a una molécula apolar, generando en ésta
última, una distorsión de su nube electrónica, originando
un dipolo temporal inducido. Esta fuerza explica la disolución de algunos gases no polares, como el cloro Cl2, en
solventes polares.
QUÍMICA
-
D.
LAS FUERZAS IÓN-DIPOLO: son fuerzas de atracción
entre un ión, es decir, un átomo que ha perdido o ganado
un electrón y por ende, tiene carga, y una molécula polar.
De esta manera, el ión se une a la parte de la molécula
que tenga su carga opuesta. Mientras mayor sea la carga
del ión o de la molécula, la magnitud de la atracción será
mayor. Estas fuerzas son importantes en los procesos de
disolución de sales.
e-
Fuerzas ion-dipolo inducido, parecida a la anterior, pero el
dipolo es previamente inducido por el campo electrostático
del ion.
Es localizado, de ahí que se lo denomine enlace.
Su energía es superior a la de las fuerzas de Van der Waals,
pero menor que la de los enlaces covalente e iónico.
Produce altos puntos de ebullición y de fusión.- En él siempre interviene el hidrógeno unido a un átomo electronegativo.
¿Sabías qué los enlaces puente de hidrógeno son los responsables de que el agua no se evapore tan fácilmente y que por lo
tanto, permanezca líquida? Esto permite la vida en el planeta
Tierra.
¿Cómo es la fuerza de cada una de estas interacciones?
Es importante destacar, que ninguna de estas interacciones son
más fuertes que los enlaces iónicos o covalentes, ya que, en
ellos, están participando los electrones, mientras que en las interacciones entre moléculas, solamente hay fuerzas que se atraen.
Sin embargo, es posible establecer, diferencias en cuanto a la
intensidad de estas fuerzas, dependiendo de la polaridad de las
moléculas participantes, y de la polarización de su nube electrónica.
Esto se puede ver representado, según el punto de fusión y/o
ebullición que presenta una sustancia, debido a que, para que
se produzca un cambio de estado, deben debilitarse e incluso
romperse estas fuerzas que mantienen unidas a las moléculas,
y mientras mayor sea la fuerza de ésta, mayor será el punto de
fusión y/o ebullición de la sustancia, pues, se requerirá mayor
energía para poder vencerla.
PUENTE DE HIDRÓGENO:
Los puentes de hidrógeno, son un tipo de fuerza dipolo-dipolo,
sin embargo, en esta interacción interactúa una molécula que
presenta hidrógeno en su estructura, con otra que presenta un
átomo con una elevada electronegatividad, como oxígeno, flúor
o nitrógeno ( O, F, N).
De esta manera, entre el hidrógeno, que presenta una baja electronegatividad y el átomo electronegativo, se establece una interacción, debido a sus cargas opuestas, lo que provoca que estas
fuerzas sean muy fuertes. Este tipo de interacción, se da por
ejemplo, entre moléculas de H2O, HF y NH3.
1.
De las proposiciones:
I.
II.
III.
En el HCl el enlace es covalente.
En el H2O el enlace O y H es iónico.
En el NH3 el enlace N y H es covalente.
Son correctas:
A) I y II
D) Solo III
B) I y III
E) Todas
δ+ = Parte deficiente de electrones en el agua es el hidrógeno.
δ- = Parte rica en electrones en el agua es el oxígeno.
Las características de este enlace son las siguientes:
281
Educación Rumbo al Bicentenario
C) Solo I
QUÍMICA
2.
En un enlace iónico ocurre una ............... de electrones
periféricos, en cambio en un enlace covalente ocurre una
............... de electrones periféricos. Del párrafo anterior,
completar con la alternativa correcta.
A) compartición - transferencia.
B) migración - transferencia.
C) transferencia - compartición.
D) transferencia - repulsión.
E) a y b.
3.
4.
5.
6.
C) 6
B) 3
E) 6
C) 4
A) NH3
B) HCl
D) CH4
E) PH3
C) SO2
15. Con respecto a las proposiciones:
En la estructura del ácido carbónico H2CO3:
I.
los siguientes compuestos son iónicos: MgO, NaF,
Indique la cantidad de enlaces covalentes sigma «σ» y phi
«π», respectivamente:
II.
A) 1; 5
D) 4; 2
BeCl2.
las siguientes moléculas: N2, P4 y Cl2 forman enlace
covalente apolar.
III.
El H2O presenta 2 enlaces sigmas. Es(son) correctas:
B) 5; 1
E) 5; 2
C) 11; 1
Señalar el número de enlaces múltiples en: CO2
B) 4
E) 6
C) 5
B) 1 y 1
E) 2 y 2
C) 2 y 4
¿Cuántos de los siguientes elementos son excepción a la
regla del octeto?
A) 1
D) 4
• Be
B) 2
E) 5
A) I y II
D) II y III
B) I y III
E) I, II y III
C) Solo II
16. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta?
Hallar el número de enlaces sigma en los compuestos:
dióxido de carbono y agua.
• Cl • O • B
9.
C) 5 y 0
14. ¿Qué sustancia no se disuelve en H2O?
A) 3 y 4
D) 2 y 3
8.
B) 3 y 2
E) 1 y 4
• H2 • H2O • CH4 • H2F2 • NH3 • HCl • CH3OH
A) 2
D) 5
B) E.C. iónico.
D) E.C. saturado.
B) 4
E) 3
A) 2
D) 9
7.
¿Cuántos tienen enlace iónico y cuántos tienen enlace
covalente?
13. ¿Cuántas sustancias poseen enlace puente hidrógeno?
¿Cuántos electrones no compartidos quedan en el NH3? (7N)
A) 2
D) 8
I. Na2O II. K2O III. BCl3 IV. BF3 V. LiCl
A) 4 y 1
D) 2 y 3
Cuando solo un átomo aporta el par de electrones para
formar el enlace se dice que es:
A) E.C. normal.
C) E. iónico.
E) E.C. dativo.
12. Indique de la relación mostrada:
• Na
C) 3
Hallar el número de enlaces phi« π » en:
A) en el enlace covalente hay por lo menos un par de
electrones compartidos.
B) en el enlace dativo el par de electrones compartidos es
proporcionado por un solo átomo.
C) la resonancia se presenta cuando en un enlace, los
electrones están totalmente deslocalizados.
D) en el enlace iónico hay transferencia de electrones de un
átomo al otro.
E) en el enlace covalente apolar hay compartición equitativa
de electrones.
17. Con respecto a la estructura del sulfato: (SO4)2I.
II.
III.
Presenta 2 enlaces dativos.
No presenta resonancia.
Su geometría es tetraédrica.
Es correcto afirmar:
A) 1
D) 19
B) 5
E) 21
C) 10
10. Un compuesto covalente se caracteriza por:
A) Ser cristalino y alto punto de fusión.
B) Estar formado por pares iónicos.
C) Compartir los electrones.
D) Se disuelven siempre en el agua.
E) Estar formado por partículas que no son moléculas.
11. Indique el tipo de enlace químico existente entre un cristal
de cloruro de sodio (NaCl) y una molécula de propano
(C3H8).
A) Covalente coordinado y metálico.
B) Covalente y covalente apolar.
C) Iónico y covalente.
D) Iónico y covalente coordinado.
E) Covalente coordinado y covalente apolar.
Educación Rumbo al Bicentenario- 282
A) I y II
D) Solo II
B) I y III
E) I, II y III
C) II y III
18. ¿Cuál es la geometría y polaridad de la molécula de CH4?
A) Lineal, polar.
C) Tetraédrica y apolar.
E) Trigonal y polar.
B) Triangular, polar.
D) Piramidal y polar.
19. Indicar el número de covalencias coordinadas en el
compuesto: H3PO4 Z (P = 15; O = 8)
A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
A) H2
B) O2
C) N2
D) HCl
E) CO2
20. ¿Qué molécula es polar?
QUÍMICA
1.
Indique cuál de los siguientes enlaces es de esperar que sea
el menos polar.
Electronegatividad: O = 3,5; B = 2; P = 2,1; N = 3; H=2,1.
A) B - O
D) N - H
2.
b) P - O
E) P - H
“ Creemos que no hay color,
pensamos que no es dulce,
pensamos que no es amargo,
pero en realidad hay átomos y el vacío”.
C) N - O
De acuerdo a los valores de electronegatividad:
F = 4; O = 3,5; N = 3,0; Cl = 3,0; As = 2,0; Be = 1,5;
H = 2,1
(Demócrito)
Indique las proposiciones correctas:
I.
II.
III.
IV.
V.
Be - Cl enlace iónico.
N - Cl covalente no polar.
O - H covalente polar.
F - H covalente polar.
As - O covalente polar.
A) III y IV
D) I, II, III y V
3.
B) II, III y IV
E) II y III
c) II, III, IV y V
Con respecto de la molécula del Amoniaco (NH3), es
incorrecto afirmar:
A) El átomo central posee un par solitario.
B) Su geometría es tetraédrica.
C) El nitrógeno se hibridiza sp3.
D) No presenta resonancia.
E) Se comparten 6 electrones.
4.
5.
¿Cuál de las siguientes sustancias se espera que tenga el
menor punto de ebullición?
A) O2
b) HF
D) NH3
E) HCl
C) Cl2
¿Cuál de las siguientes sustancias tiene el mayor punto de
ebullición?
A) O2
D) HF
B) Ar
E) HCl
C) He
283
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
NOMENCLATURA INORGÁNICA I
12
ESTADOS DE OXIDACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS
CARACTERISTICAS:
*
*
DETERMINACIÓN DE ESTADOS DE OXIDACIÓN:
*
Para Atomos Libres:
Au0; Cu0; O20; N20
Para Moléculas Neutras
*
+1 X -2
H2SO4
*
2+X+(-8)=0
X=+6
Para Iones
X -2
(Cr2O7)
-2
2X+(-14)=-2
X=+6
FUNCIONES QUÍMICAS:
Una función química es un conjunto de compuestos que tienen
propiedades muy parecidas en virtud a que sus moléculas contienen uno o más átomos iguales
Todos son térmicamente inestables y algunos explotan al
contacto con el aire o la humedad.
En los hidruros metálicos el número de oxidación del hidrógeno es de -1.
En los hidruros no metálicos el número de oxidación del
hidrógeno es +1.
Dependiendo de la clase de elemento con el que se combina, el hidrógeno de los hidruros puede formar enlaces
iónicos o covalentes.
Son catalogados como compuestos inorgánicos binarios porque tienen dos elementos químicos.
USOS Y APLICACIONES:
Algunos de los usos de los hidruros los podemos mencionar a
continuación:
*
Funcionan como desecantes y reductores, y algunos se utilizan como fuentes de hidrógeno puro.
*
Baterías de níquel metal hidruro que son recargables y de
uso tanto doméstico como industrial.
*
Algunos de ellos pueden ser usados en limpieza, para desteñir cabellos y en lavandería.
*
Son usados como plaguicidas en fumigación, pero este uso
es restringido para comercios.
*
Aplicaciones técnica como por ejemplo la creación de abonos, explosivos, colorantes de plásticos, fibras textiles, pinturas, y pilas.
*
Algunos funcionan en la síntesis de los compuestos orgánicos e inorgánicos del yodo.
*
En el área de la medicina también pueden algunos de ellos
ser usados como suplementos
HIDRURO METÁLICO:
-1
METAL + H ----- HIDRURO METÁLICO
1. FUNCIÓN HIDRURO:
HIDRURO NO METÁLICO:
Educación Rumbo al Bicentenario- 284
QUÍMICA
B. ÓXIDO ÁCIDO (ANHIDRIDO)
NO METAL + H +1 ----- HIDRURO NO METÁLICO
+7
-2
Cl + O
A. HIDRUROS ÁCIDOS:
FÓRMULA
NORMAL
DISUELTO EN AGUA
H2S
Sulfuro de hidrógeno
ácido sulfhídrico
H2Se
Selenuro de hidrógeno
ácido selenhídrico
H2Te
Teleruro de hidrógeno
ácido telurhidrico
HF
Fluoruro de hidrógeno
ácido fluorhídrico
HCl
Cloruro de hidrógeno
ácido clorhídrico
HBr
Bromuro de hidrógeno
ácido bromhidrico
HI
Yoduro de hidrógeno
ácido yodhidrico
Cl 2O7
TRADICIONAL : ANHIDRIDO PERCLORICO:
STOCK : ÓXIDO DE CLORO (VII)
IUPAC : HEPTÓXIDO DE DICLORO
B. HIDRUROS ESPECIALES:
3. FUNCIÓN HIDRÓXIDO (OH)-1
Fe2O3 + H 2O
Fe(OH) 3
ÓXIDO BÁSICO + H 2O
HIDRÓXIDO
TRADICIONAL : HIDRÓXIDO FÉRRICO
STOCK
: HIDRÓXIDO DE HIERRO (III)
IUPAC : TRIHIDRÓXIDO DE HIERRO
CARACTERISTICAS DE LOS HIDRÓXIDOS
*
*
*
2. FUNCIÓN ÓXIDO:
ELEMENTO + OXÍGENO
METAL + OXÍGENO
ÓXIDO
*
*
*
*
*
ÓXIDO BÁSICO
A. OXIDO BÁSICO (METÁLICO)
+3
-2
Fe + O
TRADICIONAL
Fe 2O3
: ÓXIDO FÉRRICO
STOCK
: ÓXIDO DE HIERRO (III)
IUPAC
: TRIÓXIDO DE DIHIERRO
NOMETAL+OXIGENO
Presentan sabor a lejía (amargo como el jabón).
Son resbaladizas al tacto.
Con el indicador anaranjado de metilo aparece coloración
amarilla, la fenolftaleína presenta coloración roja intensa y
con el tornasol cambia a color azul.
Conducen la corriente eléctrica en disolución acuosa (sonelectrólitos).
Generalmente son corrosivas.
Poseen propiedades detergentes y jabonosas.
Disuelven los aceites y el azufre.
Reaccionan con los ácidos para producir sales.
I.
ÓXIDOACIDO
285
FORMULAR LOS SIGUIENTES COMPUESTOS
01. Óxido de plata.
..........................................
02. Hidróxido férrico.
..........................................
03. Óxido plúmbico.
..........................................
04. Hidróxido auroso.
..........................................
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
05. Óxido de bromo (V). ..........................................
06. Hidróxido estañoso.
..........................................
07. anhídrido nitroso.
..........................................
D) óxidos - O2 - OH–.
E) ácidos - H+ - O– 2.
5.
A) Al2O3: óxido aluminoso
B) Li2O: óxido de litio (I)
C) BaO: óxido de bario (II)
D) MgO: óxido de magnesio
08. Hidróxido de magnesio. ..........................................
09. Óxido cuproso.
..........................................
10. Óxido de cobalto (III). ..........................................
E) Na2O: óxido sódico (I)
6.
..........................................
02. NiO:
..........................................
03. I2O3 :
..........................................
04. Mn(OH)3.
..........................................
05. AuOH :
..........................................
06. NaH :
..........................................
07. CoH3 :
..........................................
08. PbO :
..........................................
09. Sn(OH)4 :
..........................................
I. PCl5
10. NH3 :
..........................................
A) solo I
D) I, II y III
En una fórmula química se logra conocer los ...............
que la conforman y la ............... indica el número total de
átomos que la constituyen.
Indique la proposición correcta.
A) Siempre la valencia es igual que el estado de oxidación.
B) El estado de oxidación del oxígeno en el OF2 es – 2.
C) El estado de oxidación no puede ser una fracción.
D) La valencia no puede ser una fracción.
E) El estado de oxidación del hidrógeno en el H2 es +1.
3.
Determine el estado de oxidación del fósforo, del carbono
y del manganeso, respectivamente, en los siguientes
compuestos.
H3PO3, C2H2, H2MnO4
A) +1, +2, +7 |
C) +5, – 2, +6
E) +1, – 1, +6
4.
A) – 2
D) –1/3
01. CuO :
A) compuestos - representación
B) átomos - fórmula
C) elementos - atomicidad
D) átomos - elementos
E) elementos - fórmula
2.
Determine la suma de los estados de oxidación del nitrógeno
y del azufre en N3H y S2O3–2.
II. NOMBRAR LOS SIGUIENTES COMPUESTOS:
1.
Indique el óxido correctamente nombrado.
B) +3, +1, +6
D) +3, – 1, +6
El grupo funcional de los ............... es el ion ............... y el
de los hidróxidos es el ion ...............
A) ácidos - H– - OH–.
B) óxidos - O– 2 - OH–.
C) hidrácidos - H+ - H–.
Educación Rumbo al Bicentenario- 286
7.
B) +3
E) +5/3
Indique el óxido que presenta menor atomicidad.
A) óxido plumboso
C) trióxido de digalio
E) óxido niquélico
8.
C) +2/3
B) óxido de cobalto (III)
D) óxido áurico
Los óxidos ............... presentan propiedades ...............,
en cambio, los óxidos ............... presentan propiedades
...............
A) no metálicos - ácidas - metálicos - básicas.
B) metálicos - ácidas - no metálicos - básicas.
C) metálicos - básicas - no metálicos - neutras.
D) no metálicos - neutras - metálicos ácidas.
E) metálicos - neutras - no metálicos - ácidas.
9.
Indique aquellos compuestos que presentan un átomo
pentavalente.
II. NH+4
III. H3O+
B) solo III
E) I y II
C) II y III
10. ¿Cuáles son las características de un óxido metálico?
I.
II.
III.
Cuando reaccionan con el agua forman ácidos
oxácidos.
Pueden neutralizar a los ácidos.
El compuesto formado con el agua azulea el papel de
tornasol.
A) solo I
D) I y III
B) solo II
E) II y III
C) solo III
11. Indique el número de óxidos básicos y de óxidos ácidos,
respectivamente, en FeO, N2O3, Na2O, BaO, Cl2O y SO3.
A) 2 y 4
D) 5 y 1
B) 4 y 2
E) 1 y 5
C) 3 y 3
12. Señale la atomicidad del anhídrido mangánico.
A) 5
D) 6
B) 7
E) 3
C) 4
13. Respecto a los hidróxidos, señale la secuencia correcta de
verdad (V) o falsedad (F).
I.
II.
III.
Provienen de la reacción entre un óxido metálico y el
agua.
Son compuestos ternarios.
Se les llama también bases inorgánicas.
A) FVV
D) VVV
B) VFV
E) FFV
C) VVF
QUÍMICA
14. Indique la fórmula correcta del hidróxido plomo (II).
A) PbOH
B) Pb(OH)2
D) Pb2OH
C) PbOH2
3.
E) Pb(OH)4
15. Indique el óxido correctamente nombrado.
4.
C) SO2 - óxido de azufre (VI)
D) Cr2O3 - óxido crómico
16. ¿Cuál será la fórmula del hidróxido que se forma cuando el
óxido auroso reacciona con el agua?
D) Au(OH)2
E) Au3OH
C) Au(OH)3
5.
B) 4
E) 5
E) X(OH)5
Un hidróxido tiene atomicidad igual a 3, entonces el óxido
que puede formar el metal correspondiente tiene molécula
B) triatómica
D) Pentaatómica
Indicar cual de los siguientes compuestos presenta mayor
cantidad de átomos de oxígeno:
Indicar la alternativa incorrecta:
A) Hidrógeno + metal = Hidruro metálico
B) Oxígeno + no metal = óxido ácido
C) Hidrácido + hidróxido = sal haloidea
D) Óxido básico + agua = hidróxido
E) Óxido básico + agua = hidrácido
17. Determine la atomicidad del hidróxido que se forma cuando
un óxido pentatómico reacciona con el agua.
A) 3
D) 9
D) X(OH)4
C) X(OH)3
A) Oxido doble de hierro
B) Hidróxido férrico
C) Hidróxido niquélico
D) Oxido férrico
E) Peróxido de Bario
E) PtO2 - óxido de platino (II)
B) AuOH
B) X(OH)
A) Diatómica
C) Tetraatómica
E) Heptaatómica
A) Ag2O - óxido argéntico (I)
B) CuO - anhidrido cúprico
A) Au(OH)4
A) X(OH)2
C) 7
18. Respecto a los hidróxidos indicar verdadero (V) o falso (F):
I.
II.
III.
IV.
V.
Algunos se emplean como antiácidos caseros
Se obtienen a partir de los óxidos metálicos
“ La química es un negocio para la gente
sin suficiente imaginación para ser físicos”.
Metal Alcalino + H2O = Hidróxido
El grupo funcional es el ión oxidrilo, (OH)-1
Neutralizan a los ácidos
A) VVVFV
D) VVVVV
B) VVVVF
E) FVFVF
(Arthur C. Clarke)
C) VFVFV
19. Señale la alternativa donde se indica el número de oxidación
incorrecto:
A) (PO4)3-
P = 5+
C) H2O2
O = 1-
B) (Cr2O7)2D) H2MnO4
E) CuNO3
Cr = 6+
Mn = 6+
Cu = 2+
20. Cuál es el estado de oxidación de “X” en:
XO2 , H3XO4 , Li2X , X(OH)3
A) +2, +3, +5, +1
C) +4, +5, +2, +3
E) +4, +5, -1, +3
1.
B) +4, +5, +1, +3
D) +1, +2, +3, +4
¿Cuál de las alternativas es no correcta?.
A) BaO: Oxido de bario.
B) CH4 Estibina.
C) Na2O2 Peróxido de sodio.
D) PH3 Fosfina.
E) NH3 Amoniaco
2.
La fórmula del óxido básico es X2O3 ¿Cuál será la fórmula
del respectivo hidróxido de “X”?
287
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
NOMENCLATURA INORGANICA II
13
FUNCIÓN ÁCIDO
FORMULACIÓN DIRECTA:
CARACTERÍSTICAS:
Incoloro.
Olor fuerte y asfixiante.
Sabor agrio, ácido o amargo.
pH inferior a 7.
Estado físico: líquido.
Bajo punto de fusión y ebullición.
Conducen la electricidad en medio acuoso.
Reaccionan con metales (hierro, magnesio, cinc.).
Forman soluciones conductoras de electricidad, pues al ionizarse liberan iones responsables de este proceso.
Cambian la coloración de ciertas sustancias.
APLICACIONES:
Ácido sulfúrico: encontrado en la solución de las baterías
de los autos.
Ácido nítrico: usado en la identificación de muestras de oro
y en la fabricación de diamantes.
Ácido carbónico: es uno de los constituyentes de las aguas
gasificadas y de los refrescos.
Ácido sulfhídrico: cuando se presenta en forma de gas sulfhídrico tiene olor a huevo podrido.
Ácido cianhídrico: puede liberar un gas extremadamente
tóxico
1+
VIA: S,Se,Te (-2)
+ H
VIIA: F, Cl, Br, I (-1)
OXACIDOS ESPECIALES:
Ac. Hidrácido
CIDO HIDRÁCIDO:
FORMULA
NOMBRE
H2S(ac)
Ácido Sulfhídrico
H2Se(ac)
Ácido Selenhídrico
H2Te(ac)
Ácido Telurhídrico
HF(ac)
Ácido Fluorhídrico
HCl(ac)
Ácido Clorhídrico
HBr(ac)
Ácido Bromhídrico
Ac. POLIÁCIDOS
3SO3 + H2O ------ H2S3O10
Ácido trisulfúrico
HI(ac)
Ácido Yodhídrico
TIOÁCIDOS:
ÁCIDOS OXÁCIDOS.
so3 +
H 2O
ANHIDRIDO + H 2O
H2SO4
OXÁCIDO
TRADICIONAL: Ácido sulfúrico
Educación Rumbo al Bicentenario- 288
Ac. POLIHIDRATADOS:
“n”ANHIDRIDO + H 2O
O X O Á C ID O
#O
O1
O2
O3
:
nO
x
POLIÁCIDO
nS
T IO Á C ID O
x #S ---- PREFIJO
S 1 ----- Tio
x S 2 ----- Ditio
x S 3 ----- Tritio
:
:
Todo x igual --- Sulfo
x
QUÍMICA
los fosfolípidos de la membrana celular; fosfoproteínas
como la caseína de la leche, la molécula de hemoglobina que contiene hierro ...)
HNO3 ---------------- HNOS2
Ac. Nítrico
Ác. ditionítrico
HNO3 -------------- HNS3
Ác. sulfonítrico
NOMENCLATURA
FUNCIÓN SAL:
ÁCIDO + HIDRÓXIDO
OXACIDO
------OSO
------ ICO
SAL + H 2O
SAL HALOIDEA:
HIDRÁCIDO+ HIDRÓXIDO
X
H2SO4 + Fe(OH)3 ------- Fe2(SO4)3 + H2O
Ac. Sulfúrico
Sulfato férrico
HNO2 + Al(OH)3 ------ Al(NO2)3 + H2O
Ac. Nitroso
Nitrito de aluminio
SAL HALOIDEA + H2O
CLASES DE SALES OXISALES
NOMENCLATURA:
HIDRACIDO
----- HÍDRICO
X
OXISAL
----- ITO
----- ATO
X
HALOIDEA
-------- URO
I.
Nitrato de sodio:
Sulfito cobaltico:
Cloruro niqueloso:
Fosfato de calcio
Sulfuro de amonio
Carbonato ácido de sodio
Ácido pirocarbonico
Ácido dicrómico
Ácido perclórico
Ácido ortoperbrómico
SAL OXISAL:
OXACIDO + HIDRÓXIDO
FORMULAR LAS SIGUIENTES SUSTANCIAS
OXISAL + H2O
CARACTERISTICAS:
Las sales se encuentran o bien en forma de mineral como parte
de las rocas (como la halita), o bien disueltas en el agua (por
ejemplo, el agua de mar). Son un componente vital de los seres
vivos, en los que las podemos encontrar de diferentes formas:
Disueltas dentro de los organismos en los iones que las
constituyen, los cuales pueden actuar en determinados
procesos biológicos:
Transmisión de los impulsos nerviosos
Contracción muscular
Síntesis y actividad de la clorofila
Transporte del oxígeno de la hemoglobina
Cofactores que ayudan a las enzimas
Formando parte de estructuras sólidas insolubles que proporcionan protección o sostenimiento (huesos, conchas...)
Asociadas a moléculas orgánicas: hay iones que son
imprescindibles para la síntesis de algunas biomoléculas (como por ejemplo el yodo para las hormonas fabricadas en la glándula tiroides), o para determinadas funciones (por ejemplo, el ion fosfato asociado a lípidos forma
II. NOMBRAR LOS SIGUIENTES COMPUESTOS
NaClO2
LiBrO4
MgSO3
HIO3
H3BO3
H2MnO4
H2SeO3
H2Cr2O7
KHSO4
Mg(OH)NO3
289
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
1.
Los ............... hidrácidos como el ............... enrojecen
...............
A) hidróxidos - HCl(ac) - el recipiente.
B) ácidos - NaOH(ac) - el tornasol.
C) óxidos - HBr(ac) - las bases.
D) ácidos - H2S(ac) - el tornasol.
E) ácidos - CuOH(ac) - el tornasol.
2.
III.
Son compuestos binarios.
Los hidrácidos están formados por todos los elementos
del grupo VIA y VIIA.
Se obtienen al mezclarlos con agua.
A) solo I
D) II y III
3.
B) solo III
E) I y II
Es un ácido del grupo VIIA.
Disuelve el vidrio.
El elemento que lo forma tiene la particularidad
de tener un estado de oxidación negativo frente al
oxígeno.
A) HCl(ac)
D) HI(ac)
4.
D) H2MnO3
B) nitroso - hiposulfuroso.
D) nítrico - sulfuroso.
B) H2MnO4
E) HMnO2
Indique el número
respectivamente, en
C) HMnO4
B) ion clorito; +5
D) ion clorato; +5
de
sales
oxisales
y
haloideas,
KI, CaCO3, H2SO4, Na2O, BaCl2 y KClO3.
A) 3 y 3
D) 2 y 2
8.
B) 5 y 1
E) 2 y 4
C) 4 y 2
Respecto a las sales, indique las proposiciones correctas.
I.
II.
III.
Son compuestos iónicos.
Generalmente son binarias y ternarias.
Se obtienen mediante el proceso de neutralización
entre un ácido y una base.
A) II y III
D) solo III
B) solo I
E) I y III
A) H3PO3: ácido fosfórico
D) H2SeO4: ácido selénico
E) HIO4: ácido iodhídrico
10. ¿Qué ion está correctamente nombrado?
A) Pt+2: ion platínico
C) BrO32–: ion bromuro
E) IO21–: ion iodito
B) CO32–: ion carbonito
D) Co3+: ion cobaltoso
11. Indique el nombre de la siguiente sal oxisal. NaNO2
A) nitrato de sodio
B) nitrito de sodio
C) nitrato sódico
D) hiponitrito sódico
E) nitroso de sodio
12. ¿Cuál es el nombre de la sal que se obtiene al hacer reaccionar
el hidróxido de plomo IV con el ácido permangánico?
A) permangánico plumboso
B) permanganato de plomo IV
C) manganato plúmbico
D) manganato plumboso
E) permanganato plumboso
13. Indique la sal correctamente nombrada.
A) KClO4: clorato de potasio
B) AgBr: bromato de plata
C) Li2CO3: carbonato de litio (I)
Determine el nombre del siguiente ion y el estado de
oxidación del elemento diferente al oxígeno. (ClO4)1–
A) ion cloroso; +3
C) ion clorato; +7
E) ion perclorato; +7
7.
C) H2Se(ac)
Determine la fórmula del ácido permangánico.
A) HMnO3
6.
B) HF(ac)
E) H2S(ac)
El HNO2 se llama ácido ............... y el H2SO2 es el ácido
...............
A) nítrico - sulfúrico.
C) nitroso - sulfúrico.
E) nitroso - sulfuroso.
5.
C) solo II
Determine la fórmula del ácido hidrácido que presenta la
siguiente información.
I.
II.
III.
¿Qué ácido está correctamente nombrado?
B) H3BO3: ácido boroso
C) H2SO3: ácido hiposulfuroso
Respecto a los ácidos hidrácidos, indique las proposiciones
correctas.
I.
II.
9.
C) I, II y III
D) Ca(ClO)2: dicloruro de calcio
E) Ni3(PO4)2: fosfato niqueloso
14. Determine los estados de oxidación del carbono y fósforo
respectivamente en: C6H12O6 y H4P2O5
A) +4, +5
D) 0, +5
B) +2, +3
E) 0,0
C) 0, +3
15. Con respecto a los óxidos señale la afirmación incorrecta:
A) Fe3O4: Tetraóxido de trihierro
B) Al2O3: Óxido Alumínico
C) CaO: Monóxido de calcio
D) Na2O: Óxido de sodio
E) PbO2: oxido Plumboso
16. Indique las relaciones correctas
I.
H4SiO4: ácido Ortosilícico
II.
H2C2O3: ácido Pirocarbónico
III.
H4N2O5: ácido Pironitroso
A) sólo II
D) I y III
B) sólo I
E)II y III
C) I y II
17. Indique, ¿cuál de las siguientes sales es haloidea?
A) NaHCO3
B) CaCO3
C) Ca3(PO4)2
D) NH4NO3
E) CaCl2
Educación Rumbo al Bicentenario- 290
QUÍMICA
18. Relacione correctamente nombre y atomicidad:
I.
II.
III.
IV.
Ac.
Ac.
Ac.
Ac.
Manganoso
Hipo Cloroso
Di Crómico
Tri Carbónico
A) Ia; IIc; IIId; Ivb
C) Ic; IIb; IId; IVa
E) Ic; IIb; IIId; IVa
5.
a. 12
b. 3
c. 6
d. 11
3H2SO4+2Fe(OH)3 → A + 6H2O
La sustancia “A” es:
B) Ic; IId;IIIa; IVb
D) Ic; IIa; IIId; IVb
A) Fe(SO4)
C) Fe2(SO4)3
E) Fe2S3
19. ¿Qué compuesto presenta mayor atomicidad?
A) Dicromato de Bario
C) Sulfato Plúmbico
E) Ac. Clorhídrico
1.
2.
B) Fe(SO4)3
D) Fe3(SO4)2
B) Triclorito de Cinc
D) Ac. Perclórico
20. ¿Cuál es la atomicidad del permanganato di básico de Niquel
(III)
A) 10
D) 17
En la siguiente reacción:
B) 12
E) 11
“ La vida es una reacción química
que sólo requiere de equilibrio”.
C) 15
(Priyavrat Gupta)
Señalar la alternativa que muestra la relación incorrecta.
A) HNO3
Ácido Nítrico
B) CuI2
Yoduro Cúprico
C) SO3
Trióxido de Azufre
D) KMnO4
Permanganato de Potasio
E) Al(ClO2)3
Triclorato de Aluminio
Respecto al IÓN TRICARBONATO, indica si es verdadero (V)
o falso (F):
( ) Se forma a partir del ácido tricarbonoso
( ) Proviene del ácido trinitrico
( ) Su representación es (C3O7)-2
A) FFV
D) VFV
3.
B) VFF
E) FFF
C) VVF
Indique las fórmulas de :
I.
II.
III.
IV.
Ácido
Ácido
Ácido
Ácido
perclórico
hipofosforoso
silícico
mangánico
a) HClO3 , HPO2 , H2SiO3 , HMnO4
b) HClO4 , HPO , H2SiO3, H2MnO4
c) HClO2 , HPO , H2SiO3 , H2MnO4
d) HClO4 , H3PO2 , H2SiO3, HMnO4
e) HClO4 , H3PO2 , H2SiO3, H2MnO4
4.
Señalar el compuesto que tiene mayor cantidad de átomos
de azufre por molécula:
A) ácido ditioselenioso
B) ácido sulfonítrico
C) ácido ortosulfúrico
D) ácido piroyodoso
E) ácido sulfuroso
291
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
QUÍMICA
UNIDADES QUÍMICAS DE MASA
14
UNIDADES QUÍMICAS DE MASA
Definición: Son las diferentes formas que se utilizan para expresar la cantidad de masa y volumen de las sustancias.
Entonces:
¿POR QUÉ SE USAN LAS UNIDADES QUÍMICAS DE MASA?
Los átomos y las moléculas son tan diminutos que es casi imposible detectarlos individualmente o a simple vista (mas aun es
imposible contarlos o pesarlos)
La mínima cantidad apreciable de materia contiene un número
enorme de átomos, por eso los químicos han creado las siguientes unidades:
a)
Una unidad de conteo suficientemente grande:
El mol o mol–g (del latín moles = montón)
b)
Una unidad suficientemente pequeña:
La unidad de masa atómica o u.m.a (1/12 de la masa del isótopo
del carbono -12).
MASA ISOTÓPICA:
Es la masa atómica relativa de un isótopo, se mide con un instrumento llamado espectómetro de masas, para ello se fija una
unidad, llamada unidad de masa atómica (u.m.a) que viene a
ser la doceava parte de la masa del átomo de carbono-12 , así:
1uma = 1,66 × 10-24 g
MASA ATÓMICA PROMEDIO:
Es un valor que se obtiene al promediar los números de masa de
todos los isótopos que presenta un elemento.
El promedio será ponderado y el factor de ponderación lo determina la abundancia o % de cada isótopo.
m.A.(E) =
A1 %1 + A 2 %2 + A 3 %3 + ... + An %n
100%
Ejm: Masas Atómicas Notables
H= 1 C=12 N= 14 O= 16
Mg= 24
Al= 27 P=31 Cl=35,5 K= 39
Mn= 55 Br= 81 Fe= 56, etc.
Na=23
Ca=40
Cu=63,5
MASA MOLECULAR (M):
Es la suma de los pesos atómicos de los elementos conformantes
de la molécula.
Se determina así:
H2O = 2 x P.A. (H) + 1 x P.A.(O)
= 2 x 1 + 1 x 16 = 18 u.m.a.
H2SO4 = 2 x P.A. (H) +1 x P.A. (S) + 4 x P.A. (O)
= 2 x 1 + 1 x 32 + 4 x 16= 98 u.m.a.
MOL.
Es la cantidad de sustancia que contiene tantas unidades estructurales (átomos; moléculas, iones, electrones, etc.) como
átomos hay exactamente en 12 g de carbono –12. La cantidad
de átomos en 12 g de C-12 es 6,022x1023 (llamado número de
Avogrado NA)
1 mol = 6,022x1023 unidades = NA unidades
Así, tendríamos entonces:
Educación Rumbo al Bicentenario- 292
1 mol (átomos)
= 6,022x1023 átomos
1 mol (moléculas) = 6,022x1023 moléculas
1 mol (electrones) = 6,022x1023 electrones
ÁTOMO GRAMO (at -g):
Es la masa de un mol de átomos o de 6,022x1023, átomos.
NOTA: Nº = Número de avogadro = 6,022x1023
Ejms:
1 at-g(Na)= 23 g= NA átomos de Sodio.
1 at-g (Cl)= 35,5 g = NA átomos de cloro
MOLÉCULA GRAMO (mol - g):
Es la masa de un mol de moléculas de una sustancia (x) o de
6.1023 moléculas.
23
1 mol - g(x) =M(x)g= 6x10
moléculas (x)
Ejms:
1 mol-g(HNO3) =63 g= 1NA moléculas de HNO3.
1 mol-g(C6H12O6)=180g = 1NA moléculas de C6HZ<O6
Número de moles en una cierta muestra (n)
En los ejercicios aplicativos, haciendo uso de la regla de tres simple, se pueden deducir fórmulas para hallar el número de átomos
gramos y número de mol-gramos.
Generalizando las fórmulas tenemos:
# átomos(E) =
m
x N0
m.A.(E)
m
# at − g(E) =
m.A.(E)
# moléculas(comp.) =
m
M (comp.)
x N0
m
# mol − g(comp.) =
M (comp.)
QUÍMICA
11. Se tiene las siguientes columnas
COLUMNA P
Ácido sulfúrico
1.
Compare de acuerdo a su peso molecular de cada
compuesto.
En los siguientes enunciados indicar verdadero o falso,
según corresponda.
A) P es mayor que Q
C) P es igual a Q
E) P – Q = 2
La masa atómica promedio de un elemento es la
masa de un átomo de dicho elemento expresado en
gramos.
Un átomo-gramo de Potasio (K - 39) posee mayor
cantidad de átomos que un átomo-gramo de
Oxígeno(O - 16).
Un mol de agua pesa más que un mol de gas
2.
B) FVV
E) FFV
hidrocarburo es 2,291.10-22g. P.A. (C = 12, H = 1)
ISOTOPO
ABUNDANCIA
A) 50,8
D) 52,3
3.
C) 39,6
B) 3.1023
E) 5.1023.
C) 24
B) 214
E) 175
C) 178
Ba(NO3)2 se necesita?
C) 5.1023
P.A. (Ba = 137; N = 14; O = 16)
A) 0,68 g
D) 2,60
C) 16
B) 0,32
E) 1,15
C) 1,30
17. Por análisis de una muestra Fe2(SO4)3 nos proporciona 1,2
mol de oxígeno. ¿Cuántas moles de hierro están presentes
en la muestra?
C) 10
A) 0,2 mol
D) 1,0
B) 0,4
E) 0,8
C) 0,6
18. Si el peso fórmula de FeXO4 es 232. Hallar el peso fórmula
de N2OX. Dato: m.A. [Fe = 56 , N = 14].
C) 0,5
10. ¿Cuánto pesa un átomo de 16S32 ?
A) 0,19.10-22 g
C) 0,16.10-23
E) 6 g
B) 21
E) 12
16. Supóngase que en una reacción necesitamos 3.1021 iones
de Ba y queremos tomarlas de Ba(NO3)2. ¿Qué masa de
¿Cuántos átomos hay en 10g de Neón: 10Ne20 ?
A) 6.1023
D) 42
E) 3.10-23
A) 120g
D) 500
¿Cuánto pesan 3.1023 átomos de Litio? P.A. (Li = 7)
B) 5
E) 3,5
D) 39,8.10-23
C) 27,3.10-23
15. Una muestra de Fe(OH)3 contiene 3.1024 átomos de Oxígeno.
¿Cuánto pesa la muestra? P.A. (Fe = 56)
C) 23
b) 4
E) 0,4
B) 6.10-23
A) 20
D) 17
C) 50%
B) 5
E) 18.10-23
A) 42.10-23g
P.A. (Ca = 40, O = 16)
¿Cuántos at-g hay en 160g de Calcio? P.A. (Ca = 40)
A) 2,5g
D) 1,25
9.
B) 32
E) 96.
E) C9H16
14. En un platillo de una balanza se coloca 7 moles de Fe2O3.
¿Cuántas moles de óxido de Calcio (CaO) se deben colocar
en otro platillo para equilibrar ambos platillos?
¿Cuántos átomos hay en 120g de Magnesio? P.A. (Mg = 24)
A) 0,25
D) 2
8.
C) 51,8
B) 40%
E) 70%
D) C7H12
C) C10H18
P.A. (Fe = 56, S = 32, Pb = 207)
¿Cuánto pesan 3 at-g de Sodio? P.A. (Na = 23)
A) 10
D) 30.1023
7.
E
40%
B) 39,5
E) 39,9
B) C8H14
que el peso molecular de Fe2Ox es 160, hallar la masa de
una molécula de PbOy.
Un elemento presenta dos isótopos cuyos números de masa
son 33 y 35. Si el peso atómico es 33,8; hallar la abundancia
del isótopo pesado.
A) 69g
D) 46
6.
60%
A) C8H18
13. El peso molecular del compuesto Fey(SO4)x es 400. Sabiendo
Cierto elemento presenta dos isótopos 40E, 39E. Si por cada
5 átomos ligeros existen 3 átomos pesados, determinar el
peso atómico.
A) 30%
D) 60%
5.
E
53
B) 51
E) 58,1
A) 39,4
D) 39,8
4.
C) VFV
Determinar el peso atómico a partir de los siguientes datos:
51
B) Q es mayor que P
D) 2P es igual a Q
12. Determine la fórmula de un hidrocarburo acetilénico (CnH2n-2),
si se ha comprobado que el peso de una molécula de dicho
hidrógeno (H2).
A) VVF
D) FVF
COLUMNA Q
Ácido fosfórico
A) 28
D) 92
B) 3.1023 g
D) 5,3.10-23 g
B) 46
E) 112
C) 76
19. Si el peso fórmula del Na2SO4.XH2O es 322. Determinar el
peso fórmula del P4OX. Dato: m.A. [Na=23, S=32, P=31].
A) 184
D) 304
293
B) 284
E) 144
Educación Rumbo al Bicentenario
C) 267
QUÍMICA
20. El compuesto MgSO4.XH2O tiene una masa molar de 246 g/
mol. Determinar cuál es la masa molar de Cl2OX. Dato: m.A.
[Mg=24, S=32,Cl=35,5]
A) 183 g/mol
D) 87
1.
C) 4 No
Un átomo de plomo tiene una masa de 3,437.10-22 gramos.
Determinar la masa atómica promedio del plomo.
B) 207
E) 200,2
C) 191
La molécula de menor masa molar es: Dato: m.A. (C=12;
Cl=35.5; O=16)
A) Dióxido de Carbono.
C) Monóxido de Carbono.
E) Ozono.
5.
C) 0,3
B) 3 No
E) 1,4 No
A) 203
D) 210
4.
B) 0,2
E) 0,6
Se tiene 112 litros de trióxido de azufre gaseoso, SO3, a
condiciones normales. Determinar ¿cuántas moléculas de
SO3 están presentes en dicha cantidad de sustancia. Dato:
No=número de Avogadro, m.A. [S=32]
A) 2 No
D) 5 No
3.
C) 119
Se tiene 32 gramos de óxido férrico, Fe2O3. Determinar,
cuántas moles de hierro están presentes en dicha cantidad
de sustancia. Dato: m.A.[ Fe=56].
A) 0,1 mol
D) 0,4
2.
B) 171
E) 176
B) Cloro gaseoso.
D) Oxígeno molecular.
¿Cuántos átomos de cobre están contenidos en 2 g de cobre
puro? m.A. (Cu=63,5); No =6,02.1023
A) 1,9.1022
B) 2,1.1022
D) 5,5.1023
E) 7,9.1023
C) 3,5.1023
Educación Rumbo al Bicentenario- 294
“ Cuando te comportas como si fueras una
persona diferente cambias en un nivel muy
básico, incluso tu química cambia”.
(Bernie Siegel)
QUÍMICA
QUÍMICA
ESTADO GASEOSO
15
CARCTERISTICAS
*
*
*
*
*
*
*
Se adaptan a la forma y el volumen del recipiente que los
contiene.
Se dejan comprimir fácilmente. Al existir espacios intermoleculares, las moléculas se pueden acercar unas a otras
reduciendo su volumen, cuando aplicamos una presión.
Se difunden fácilmente. Al no existir fuerza de atracción
intermolecular entre sus partículas, los gases se esparcen
en forma espontánea.
Se dilatan, la energía cinética promedio de sus moléculas
es directamente proporcional a la temperatura aplicada
Las moléculas se mueven en todas direcciones y a velocidades diferentes.
La dirección y la rapidez del movimiento de cualquiera de
las moléculas puede cambiar bruscamente en los choques
con las paredes o con otras moléculas
Los choques son elásticos y de duración despreciable
ECUACIÓN UNIVERSAL DE GASES
Es denominada también ecuación de estado de los gases ideales, porque nos permite establecer una relación de funciones de
estado, que definen un estado particular de una cierta cantidad
de gas (n)
PV = nRT
R = constante universal de gases
V = volumen de gas en litros (L)
T = temperatura del gas, debe medirse en escala Kelvin
(K)
P = presion absoluta del gas
n = número de moles
Valores de R, si la presión se expresa en:
Atmósfera → R = 0.082 atm L / K mol
Kilopascal → R = 8.3 KPa L / K mol
mmHg ó Torr → R = 62.4 mmHg L / K mol
VARIABLES DE ESTADO
Masa (m ó n): es la cantidad de sustancia que tiene el
sistema. En el Sistema Internacional se expresa respectivamente en kilogramos (kg) o en número de moles (mol).
Volumen (V): es el espacio tridimensional que ocupa el sistema. En el Sistema Internacional se expresa en metros
cúbicos (m3). Si bien el litro (l) no es una unidad del Sistema Internacional, es ampliamente utilizada. Su conversión
a metros cúbicos es: 1 l = 10-3 m3.
Presión (p): Es la fuerza por unidad de área aplicada sobre
un cuerpo en la dirección perpendicular a su superficie.
En el Sistema Internacional se expresa en pascales (Pa).
La atmósfera es una unidad de presión comúnmente utilizada. Su conversión a pascales es: 1 atm � 105 Pa.
Temperatura (T ó t): A nivel microscópico la temperatura
de un sistema está relacionada con la energía cinética que
tienen las moléculas que lo constituyen. Macroscópicamente, la temperatura es una magnitud que determina el sentido en que se produce el flujo de calor cuando dos cuerpos
se ponen en contacto. En el Sistema Internacional se mide
en kelvin (K), aunque la escala Celsius se emplea con frecuencia. La conversión entre las dos escalas es: T (K) = t
(ºC) + 273.
VOLUMEN MOLAR
Es el volumen que ocupa 1 mol-g de un gas a una determinada
presión y temperatura. Su valor no depende de la naturaleza del
gas, es decir que si se tiene el valor de la presión y temperatura
se conoce el volumen molar.
De la ecuación universal tenemos:
PV = nRT
Si n = 1 mol → V = Vm
Por lo tanto la ecuación universal quedaría:
En la siguiente figura se ha representado un gas encerrado en
un recipiente y las variables termodinámicas que describen su
estado.
295
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
ECUACIÓN GENERAL DE GASES
V (L)
Pa
V2
V1
2
1
T1
T2
isóbara
P1 = P2
T (ºk)
P (atm)
P2
P1
isócora
T1
PROCESOS RESTRINGIDOS
T2
T (ºk)
MEZCLA DE GASES
El estudio de las mezclas gaseosas tiene tanta importancia como
el de los gases puros. Por ejemplo, el aire seco es una mezcla
de 78,1 % (en volumen) de nitrógeno, N2; 20,9 % de oxígeno,
O2; y 0,9 % de argón, Ar; el 0,1 % restante es principalmente dióxido de carbono, CO2. Las mezclas de gases son sumamente importantes en la industria, por ejemplo, aquellas en las que
se requiere O2 o N2, usan directamente el aire.
Debemos introducir algunas definiciones para poder comprender
las leyes de los gases que gobiernan las mezclas gaseosas, así
tenemos los términos:
Presión parcial (Pp), es la presión que ejerce cada gas dentro de una mezcla gaseosa.
Fracción molar, (x), de cada componente en la mezcla, es
la fracción del número de moles de un determinado componente respecto al número total de moles de todos los
componentes de la mezcla.
Analicemos el ejemplo que se muestra en la figura a continuación:
El primer recipiente, con un volumen V, contiene 3 moléculas del gas A, 3 del gas B y 2 del gas C. Como son gases,
se encuentran en una mezcla homogénea.
Luego se muestra 3 recipientes del mismo volumen V, conteniendo cada uno, un solo tipo de gas.
Cada uno de los recipientes puede ser caracterizado por su
presión, P, el número de moles, n, y el volumen, V, siendo
éste constante en los 4 casos.
V
nT
PT
V
nA
PA
PRESIÓN TOTAL
PRESIÓN PARCIAL
Educación Rumbo al Bicentenario- 296
V
nA
PB
V
nc
Pc
QUÍMICA
Fracción molar (Fm)
A) solo I
D) I, II y III
Nos indica la relación del número de moles de un componente
respecto al número de moles totales de una mezcla.
Sea la mezcla:
5.
6.
B) 20 litros
E) 0,2 litros
9.
A la misma temperatura y presión 2 L de nitrógeno y 2 L de
hidrógeno.
2.
A) 12,5 atm
D) 18 atm
En dos recipientes se pesan, separadamente, 24 g de
hidrógeno y 336 g de nitrógeno. ¿Qué afirmación es
verdadera?
A) 1,32 g/L
D) 5,3 g/L
III.
C) 80%
B) 15 atm
E) 10 atm
C) 7,5 atm
B) 2,67 g/L
E) 1,6 g/L
C) 2,5 g/L
A) Amoniaco
B) Oxígeno
C) Monóxido de carbono
D) Cloro
E) Anhídrido sulfúrico
13. ¿Cuál es el volumen ocupado por 56 g de nitrógeno gaseoso
a condiciones normales?
A) 11,2 L
D) 44,8 L
B) 22,4 L
E) 5,6 L
C) 33,6 L
14. Se tienen dos recipientes con volúmenes iguales. En el
primero hay metano, CH4; y en el segundo, 48 g de dióxido
de azufre, SO2.
Respecto de las variables de estado, indique los enunciados
incorrectos.
II.
B) 20%
E) 130%
12. ¿Cuál de los siguientes gases tiene la mayor densidad a 37
ºC y 620 mmHg.
Señale la alternativa que no corresponde con una propiedad
de los gases.
I.
C) 0,2 atm
11. ¿Cuál es la densidad del gas metano, CH4, a 27 ºC y 4,1 atm?
A) Presentan mayor entropía que los líquidos.
B) Se expanden debido a la alta energía cinética de sus
moléculas.
C) Están constituidos por moléculas monoatómicas o
poliatómicas.
D) El olor agradable de las flores se debe a una propiedad
llamada difusión.
E) Poseen forma y volumen definido.
4.
B) 2 atm
E) 2,5 atm
10. Cierto gas se encuentra a 5atm. ¿Hasta qué presión debe
comprimirse manteniendo constante la temperatura para
reducir su volumen a la mitad?
A) En ambos recipientes, los gases ejercen igual presión.
B) En ambos recipientes, hay el mismo número de moléculas.
C) En ambos recipientes, los gases ocupan el mismo
volumen.
D) En ambos recipientes, hay diferente número de moléculas.
E) En ambos recipientes, los gases tienen la misma densidad.
3.
C) 50%
El volumen de un gas varía de 300lt a 500lt cuando su
temperatura varía de 27ºC a 127ºC. ¿En qué porcentaje
disminuye la presión con respecto a la inicial?
A) 120%
D) 60%
A) Tienen igual densidad.
B) Tienen el mismo número de moléculas. Pero diferente
masa.
C) Tienen igual número de oxidación.
D) Tienen igual número de atómico.
E) Ocupan diferente volumen.
B) 40%
E) 45%
A 27ºC el valor de la presión es 1 atmósfera, ¿cuál será el
valor de la presión a 327ºC, si el proceso es isócoro?
A) 20 atm
D) 0,3 atm
1.
B) Disminuyó en 50%.
D) Aumentó en 70%.
Se calienta un gas desde 27ºC hasta 87ºC. ¿En qué
porcentaje debería aumentarse la presión para que el
volumen no varíe?
A) 30%
D) 20%
8.
C) 10 litros
Cuando la presión de un gas se incrementa de 3 a 8atm y la
temperatura de 27ºC a 127ºC. ¿Cuál es el % de variación de
volumen?
A) Aumentó en 40%.
C) Aumentó en 50%.
E) Aumentó en 25%.
7.
C) solo III
Cierta masa de gas se encuentra a la presión de 2atm y a
la temperatura de 27ºC ocupando un volumen de 30 litros.
¿Cuál será el volumen que ocupa el gas, si la temperatura ha
cambiado a 127ºC y la presión es de 4atm?
A) 2 litros
D) 0,1 litros
LEY DE AVOGADRO
B) II y III
E) I y III
¿Cuántos gramos de metano hay en el primer recipiente si
ambos están poseen la misma presión y temperatura?
A) 24 g
B) 12 g
C) 30 g
D) 40 g
E) 60 g
La temperatura de un gas es producida por los
choques de las moléculas con la pared del recipiente
que lo contiene.
La presión de un gas se genera cuando las moléculas
que la conforman colisionan entre sí.
El volumen de un gas es el volumen del recipiente que
lo contiene, el cual resulta de sumar el volumen de
todas las moléculas.
397
Educación Rumbo al Bicentenario
QUÍMICA
15. Cierta cantidad de gas pestilente, H2S, presenta un volumen
de 5 L a una temperatura y presión de 227 ºC y 4,1 atm.
Calcule el volumen que ocuparía el gas en condiciones
normales.
A) 33,6 L
D) 22,4 L
B) 48,6 L
E) 11,2 L
A) 2 L
D) 3 L
3.
B) 1 L
E) 5 L
Calcular la temperatura en el punto "B".
C) 5,6 L
P(atm)
8l
16. Un recipiente con 20 L de oxígeno a 2 atm y 27 ºC se trasvasa
a un tanque de 5 L. Calcule la presión del gas oxígeno si la
temperatura cambia a 37 ºC.
A) 8,3 atm
D) 6,0 atm
B) 2,8 atm
E) 6,3 atm
1
A
A) La temperatura no cambia.
B) La temperatura aumenta en 20 %.
C) La temperatura disminuye en 26 %.
D) La masa varía con el volumen.
E) La temperatura aumenta en 26 %.
400
A) 320
D) 273
4.
B) 0,36
E) 0,25
B) 300
E) 310
GAS
Calcule el peso molecular promedio de la mezcla.
20. Determinar el volumen de una mezcla gaseosa que contiene
3 moles de CO, 4 moles de H2 y 3 moles de H2S, si se
encuentran a una temperatura de 27°C y una presión total
de 8,2 atm.
A) 48,6 L
D) 52,5 L
1.
B) 15,4 L
E) 30 L
C) 62,8 L
La composición en presión de una mezcla de gases es:
O2= 50%, CO2= 25%, N2 = 25%
Determinar el peso molecular de la mezcla:
P.A. (O = 16, C = 12, N = 14)
A) 32
D) 35
2.
B) 33
E) 36
C) 34
Del gráfico, calcular «x».
P(atm)
1
10
2
600K
2
3
X
4
T
(V)l
Educación Rumbo al Bicentenario- 298
20cm
Hg
19. En una mezcla gaseosa de C3H8 (propano) N2 y C2H2
(acetileno), las moles son 3, 5 y 2 respectivamente.
C) 35,3
C) 360
Dado el esquema de un gas ideal determinar: ¿Cuántas
moléculas están contenidas en dicho recipiente?
C) 0,68
B) 29,7
E) 34,2
T(K)
Dato: No = número de avogadro. Vgas = 4 L, T=27°C
18. Se tiene una mezcla de gases en un recipiente formado por
64 g de O2, 51 g de NH3 y 48 g de CH4. Determinar la fracción
molar de oxígeno. P.A. (O = 16, N = 14, C = 12)
P.A. (C = 12, N = 14)
A) 32,4
D) 28,2
10l
B
C) 4,1 atm
17. Si el volumen de un gas aumenta en un 40 % y su presión
disminuye en 10 %. Indique lo correcto.
A) 0,24
D) 0,96
C) 0,5 L
A) No
D) 0,29 No
5.
B) 0,5 No
E) 0,46 No
C) 0,12 No
Determinar cuántos átomos de nitrógeno existirán en un
balón que contiene 500 mL de nitrógeno gaseoso, a una
presión de 3 atm y 27°C. No = Número de avogadro.
A) 0,06 No
D) 0,30 No
B) 0,52 No
E) 0,35 No
C) 0,12 No
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
LA CÉLULA
6
Es la unidad biológica, estructural, funcional y genética que forma a todos los seres vivos.
Es el primer nivel biótico
TEORÍA CELULAR
En 1838, Mathías Schleiden, realizó estudios de la estructura celular en las plantas. Un año después Theodor
Schwann, estudio la constitución celular en tejidos animales. En 1831 R. Brown descubrió el núcleo celular.
En 1855 Rudolph Virchow sustento que toda célula se origina de otra preexistente, con lo que se desarrollaría la moderna teoría celular.
Postulados
•
Todo ser vivo esta formado por una o mas células.
•
La célula es la unidad funcional y estructural de todo ser vivo
•
Toda célula proviene de otra célula
Clasificación: Por su complejidad:
Procariótica. No tiene carioteca, el material genético se halla disperso en el citoplasma (molécula de ADN
circular), carece de histonas, citoesqueleto, organelos membranosos y presentan ribosomas 70S para elaborar
proteínas, todas las bacterias son de este tipo celular. Ejemplo: Arqueobacterias.
Eucariótica. Tiene carioteca, el ADN se asocia a histonas, constituyendo la cromatina. Posee citoesqueleto, organelos membranosos sistema de endomembranas, tiene ribosomas 80S.
Educación Rumbo al Bicentenario
300
BIOLOGÍA
Las células procariotas :
flagelos bacterianos que sirven para el movimiento de la célula.
Su disposición es característica en cada especie y resulta útil
para identificarlas. Su estructura y modo de actuar son muy diferentes a los de los flagelos de las células eucarióticas. No están
rodeados por la membrana celular, sino que constan de una sola
estructura alargada, formada por la proteína flagelina, anclada
mediante anillos en la membrana. Mueven la célula girando,
como si fueran las hélices de un motor. Muchas especies tienen
también fimbrias o Pili (pelos), proteínas filamentosas cortas que
se proyectan por fuera de la pared celular. Algunos Pili ayudan a
las bacterias a adherirse a superficies, otros facilitan la unión a
otras bacterias para que se pueda producir la conjugación, esto
es, una transmisión de genes entre ellas.
Estructuralmente son las más simples y pequeñas. Como toda
célula, están delimitadas por una membrana plasmática que contiene pliegues hacia el interior (invaginaciones) algunos de los
cuales son denominados laminillas y otro es denominado mesosoma y está relacionado con la división de la célula. La célula
procariota por fuera de la membrana está rodeada por una pared
celular que le brinda protección. El interior de la célula se denomina citoplasma. En el centro es posible hallar una región más
densa, llamada nucleoide, donde se encuentra el material genético o ADN. Es decir que el ADN no está separado del resto del
citoplasma y está asociado al mesosoma. En el citoplasma también hay ribosomas, que son estructuras que tienen la función
de fabricar proteínas. Pueden estar libres o formando conjuntos
denominados poli ribosomas. Las células procariotas pueden tener distintas estructuras que le permiten la locomoción, como
por ejemplo las cilias (que parecen pelitos) o flagelos (filamentos
más largos que las cilias).
El nucleoide o zona en que está situado el cromosoma bacteriano está formado por una única molécula de ADN circular de
doble cadena, asociada con unas pocas proteínas no histónicas.
Esta molécula permanece anclada en un punto de la membrana
plasmática.
Las bacterias pueden tener uno o más plásmidos, son moléculas de ADN extra cromosómico circular o lineal que se replican
y transcriben independientes del ADN cromosómico. Están presentes normalmente en bacterias, y en algunas ocasiones en
organismos eucariotas como las levaduras pequeños círculos
auto replicante de ADN que tienen unos pocos genes. Hay algunos plásmidos integrativos, vale decir tienen la capacidad de
insertarse en el cromosoma bacteriano. Digamos que rompe el
cromosoma y se sitúa en medio, con lo cual, automáticamente la
maquinaria celular también reproduce el plásmido. Cuando ese
plásmido se ha insertado se les da el nombre de episomas.
Las células procariotas son unas 10 veces más pequeñas que las
eucarióticas. Su estructura es muy sencilla: sin núcleo definido
en su interior y la mayoría sin compartimentos internos delimitados por membranas. Esta simplicidad no significa que las procariotas sean inferiores a las células eucarióticas. Hay tres formas
básicas muy comunes en las bacterias.
Coco: forma esférica u ovalada.
Bacilo: forma alargada o cilíndrica.
Espirilo: forma espiral.
En la mayoría de estas células, una pared celular rígida, permeable, rodea por fuera a la membrana plasmática, ayudando a
mantener la forma de la célula y a resistir la presión interna que
puede causar la entrada de agua por osmosis. En las bacterias
más típicas, la pared tiene como compuesto representativo un
peptidoglucano como la muerina. La estructura y composición
de la pared se utiliza para identificar bacterias. Un método muy
utilizado en la Tinción de Gram.
Gram +: La pared es muy ancha y esta formada por numerosas capas de peptidoglicano, reforzadas por moléculas de ácido
teicoico (compuesto complejo que incluye azucares, fosfatos y
animoácidos).
Gram -: Es más estrecha y compleja, ya que hay una sola capa
de peptidoglicano y, por fuera de ella, hay una bicapa lipídica que
forma una membrana externa muy permeable, pues posee numerosas porinas, proteínas que forman amplios canales acuosos.
Fuera de la pared suele haber una capa pegajosa o Glicocálix,
con polisacáridos, proteínas o mezclas de ambos compuestos.
Cuando tiene una estructura muy organizada y está unida firmemente a la pared se llama Cápsula. Estos materiales ayudan a las
bacterias a adherirse a diferentes superficies (dientes, células,
rocas, etc.) y las hacen más virulentas al protegerlas, a modo de
coraza, del ataque de otras células.
1.
De las siguientes proposiciones
identifica cuales son
correctas con respecto al coloide celular:
I.
II.
III.
IV.
Tiene dos fases la dispersa y la dispersante.
En él se realizan las reacciones metabólicas.
El citosol es su parte diluida.
El citogel es su porción más densa y viscosa.
A) I y IV
C) I, II, III y IV
E) II y IV
2.
Relaciona las propiedades del coloide celular con su
característica correspondiente:
A.
B.
C.
( )
( )
La membrana plasmática esta formada al igual que en las células
eucariotas, a excepción de las arqueobacterias, por una bicapa
de lípidos con proteínas, pero más fluida y permeable por no tener colesterol. Asociadas a la membrana se encuentran muchas
enzimas, como las que intervienen en los procesos de utilización
del oxígeno. Cuando las bacterias realizan la respiración celular
necesitan aumentar la superficie de su membrana, por lo que
presentan invaginaciones hacia el interior, los mesosomas. En
las células procarióticas fotosintéticas hay invaginaciones asociadas a la presencia de las moléculas que aprovechan la luz, son
los llamados cromatóforos, que se utilizan para llevar a cabo la
fotosíntesis y se componen de pigmentos de bacterioclorofila y
carotenoides.
( )
Tixotropía
Fenómeno Tyndall
Movimiento Browniano
Movimiento al azar de las micelas.
Desviación del haz luminoso y su registro en el
hialoplasma.
Capacidad para pasar del estado gel al estado sol.
A) BAC
C) CAB
E) ABC
3.
B) I, II y III
D) I, III y IV
B) CBA
D) BCA
Relaciona correctamente las siguientes funciones con las
estructuras bacterianas que las realizan:
U.
Síntesis de proteínas
N.
Respiración celular
AC.
Resistencia a antibióticos
TP.
Resistencia al calor
A) ATNU
b) TANU
D) UNTN
e) NATU
En el interior celular, dispersos por el citoplasma, se encuentran
una gran cantidad de ribosomas, un poco más pequeños que los
ribosomas eucarióticos (70S en lugar de 80S), pero con la misma configuración general. Algunas bacterias tienen uno o más
301
(
(
(
(
)
)
)
)
Cápsula
Plásmido
Mesosomas
Ribosomas 70S
c) ANTU
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
4.
Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados
respecto a la teoría celular:
I.
II.
III.
IV.
La unidad más pequeña de la vida es la célula.
Virchow sustenta que la célula se origina de otra
célula preexistente.
Schleiden estudio las células de los tejidos animales.
Schwann estudio la estructura de las células vegetales.
A) VVVV
D) FFVV
5.
B) VFVV
E) FVFV
12. Es una bacteria que produce una enfermedad en el tracto
intestinal:
A) Neisseria meningitides
B) Haemophilus influenza
C) Streptococcus pneumonia
D) Corynebacterium diphtheriae
E) Clostridium botulinum
C) VVFF
13. Antibióticos que inhiben la síntesis proteica, excepto:
I.
II.
III.
IV.
14. Agente causal de la sífilis
A) Estreptomicina
C) Gentamicina
E) Penicilina
No tiene núcleo definido.
Es la forma más compleja de la organización celular.
Tiene organelos.
Su ADN es lineal y muy grande
B) FVFV
E) FFFV
Agente causal de la tos ferina:
3. Plásmido
4. Nucleoide
A) 3142
D) 3412
8.
A) Neisseria meningitides
B) Haemophilus influenza
C) Streptococcus pneumonia
D) Corynebacterium diphtheriae
E) Bordetella pertussis
( ) Segmento circular de ADN
( ) Región donde se encuentra el ADN
circular
( ) Permite la adherencia
( ) Contiene peptidoglucano
B) 4312
E) 4132
16. Compara:
A
Procarionte
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
C) 1324
B) Mesosoma
D) Mitocondria
presentan ribosomas 80s y B 55s.
y B tienen organelos bimembranosos.
y B carecen de carioteca.
tiene ADN con histonas y B sin histonas
tiene mesosomas y B mitocondrias
17. Identifica cuáles de los siguientes organismos son células
procariotas:
Identifica cuáles de las siguientes características pertenecen
a la célula procarionte:
I.
III.
V.
I.
II.
III.
IV.
A) II y III
C) I y II
E) I, III y IV
Posee sistema de endomembranas
Tiene ADN pequeño y circular.
Presenta ribosomas.
Presenta invaginaciones en su membrana celular
donde realiza la respiración.
A) I, II y III
C) I, II y IV
E) I, II, III y IV
I.
II.
III.
IV.
B) I, III y IV
D) II, III y IV
Síntesis de proteínas
Respiración celular
Resistencia a antibióticos
Resistencia al calor
(
(
(
(
)
)
)
)
B) I, II, III y IV
D) II y IV
Robert Hooke
Mathias Schleiden
Johanes Purkinge
Theodor Schwan
A) I y II
C) I y IV
E) II y IV
cápsula
plásmido
mesosomas
polisomas
Educación Rumbo al Bicentenario
II. Bacterias
IV. Virus
Luego: suelen ser considerados los que plantearon la teoría
celular:
B) Lepra
D) Cólera
11. Relacione correctamente sobre la célula eucarionte:
U.
N.
C.
P.
Hongos
Cianofitas
Ameba
18. Se tienen los siguientes científicos:
10. Enfermedad bacteriana de transmisión sexual:
A) Botulismo
C) Gonorrea
E) Tuberculosis
B
Eucarionte
De los tipos de células se determina que:
Estructura de una bacteria encargada de realizar la
respiración:
A) Pared celular
C) Ribosoma 70S
E) Carioteca.
9.
15. Agente causal de la gripe:
Relaciona las siguientes estructuras bacterianas con su
función, característica y/o composición química:
1. Pili
2. Pared celular
B) Kanamicina
D) Tobramicina
A) Neisseria gonorrhoeae
B) Escherichia coli
C) Chlamydia trachomatis
D) Treponema pallidum
E) Campylobacter jejuni
C) VVFF
A) Neisseria meningitides
B) Haemophilus influenza
C) Streptococcus pneumonidae
D) Corynebacterium diphtheriae
E) Bordetella pertussis
7.
B) P - C - N - U
D) U - N - P - C
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la célula procarionte:
A) VFFF
D) FFVV
6.
A) C - P - N - U
C) C - N - P - U
E) N - C - P – U
B) I y III
D) II, III y IV
19. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la célula procarionte:
•
•
•
•
302
Presenta mesosomas para la respiración.
En su núcleo se encuentra el ADN circular.
Carece de sistema de endomembranas
Su pared celular contiene celulosa, hemicelulosa y
BIOLOGÍA
queratina.
A) VFVF
C) VFFV
E) VVFF
B) VVVF
D) FVVF
20. De las siguientes proposiciones:
A.
B.
C.
D.
Carecen de sistema de endomembranas
Presentan cromatina
Poseen ribosomas de tipo 70 S
Carecen de citoesqueleto.
“ La biología es la ciencia. La evolución es el
concepto que hace a la biología singular”.
(Jared Diamond)
¿Cuáles no caracterizan a las células procariontes?
A) I y II
C) I y IV
E) Sólo II
1.
B) II y III
D) Sólo I
¿Qué es un antibiotico?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
2.
¿Cual fue el primer antibiótico descubierto?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
3.
¿Qué acción antibiótica tienen las cefalosporinas, explique.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.....................................................................................
4.
¿Cuál es la forma de reproducción más común en las
bacterias?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
5.
¿Que es un nucleoide?, explique.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.....................................................................................
303
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
ESTRUCTURA DE LA CÉLULA EUCARIÓTICA
7
1.
ENVOLTURA
PARED CELULAR (Presente en células vegetales)
• Estructura rígida formada principalmente por celulosa
• Brinda protección al contenido celular, además por ser rígida le otorga forma a las células vegetales
GLUCOCÁLIX
• Conjunto de glúcidos que se proyectan sobre la membrana celular de animales y protozoos y forman parte de ella.
• Participa en la adhesión celular
• Interviene en el reconocimiento celular.
2.
MEMBRANA CITOPLASMÁTICA O PLASMALEMA
• Está constituida por una doble capa de fosfolípidos en la cual hay proteínas
asociadas, las que se encuentran sumergidas se llaman integrales o intrínsecas,
mientras que las asociadas sólo a la superficie se llaman periféricas o extrínsecas.
Además presenta glúcidos adheridos a las proteínas y lípidos.
Funciones:
•
•
•
•
•
Compartamentalización (Separa el medio intracelular del extracelular)
Permite las uniones intercelulares.
Comunicación intercelular (Posee receptores y mensajeros intercelulares)
Reconocimiento celular (reconocen la superficie de otras células).
Transporte (Permite el intercambio de materiales con su medio externo),
Educación Rumbo al Bicentenario
304
BIOLOGÍA
3.
Citoplasma:
• Es la región comprendida entre el núcleo y la membrana
citoplasmática y constituido por: la matriz citoplasmática
y las estructuras citoplasmáticas
3.1 Matriz Citoplasmática.- constituida a su vez por el
citoesqueleto y el citosol
3. Aparato de Golgi.- Es un conjunto de sacos o cisternas,
formados a partir del retículo endoplasmático, tiene las
siguientes funciones:
• Citoesqueleto, formado por:
Los microfilamentos, tienen la proteína actina que
interviene en el movimiento de la célula y permite la
fagocitosis y exocitosis.
Los filamentos intermedios formados por diversas
proteínas fibrosas.
Los microtúbulos están formados por la proteína
tubulina que participa en la formación de centríolos, cilios
y flagelos.
• Citosol, de naturaleza coloidal, constituido por una
fase dispersa y otra dispersante, dentro de la célula se
encuentra en forma de citosol y de citogel. Posee una
propiedad llamada tixotropía (cambia de sol a gel y
viceversa).
- Selección, concentración y empaquetamiento de
proteínas de acción enzimática para luego ser enviadas a
su destino final,
- Glucosidación proteica
- Formación de lisosomas primarios y demás citosomas.
- Sintetiza polisacáridos como la hemicelulosa, sustancias
pécticas para formar la pared en células vegetales.
- Forma el acrosoma de los espermatozoides.
ORGANELOS: CON DOBLE MEMBRANA
1. Mitocondrias.-
3.2 Estructuras Citoplasmáticas.- aquí encontramos al
sistema de endomembranas, organelos y organoides
SISTEMA DE ENDOMEMBRANAS
1. Carioteca.- Es una doble membrana que rodea al contenido
nuclear. Presenta poros que permiten el transporte de
moléculas entre el núcleo y la matriz citoplasmática.
Contiene ribosomas adheridos en su superficie.
2. Retículo Endoplasmático.- Es una red complicada de
túbulos y vesículas aplanadas y redondeadas, comunicadas
entre sí y con la carioteca. Dividen compartimientos el
interior celular. Puede ser:
Rugoso (RER). Con ribosomas adheridos a la superficie
externa. Sus ribosomas sintetizan proteínas e inicia la
glucosidación de proteínas
más complejas. Se encuentra
muy desarrollada en células
de secreción de proteínas,
como las células pancreáticas.
Liso (REL). Sin ribosomas,
interviene en: la síntesis de
lípidos como esteroides, detoxifica a la célula de drogas
y venenos, En los miocitos
recibe el nombre de retículo
sarcoplasmático acumula calcio, que al ser liberado inicia
la contracción muscular
Son organelos semiautónomos, están formado por dos membranas que rodean una matriz coloidal, entre ambas membranas
se encuentra la camara externa, la membrana interna es mas
grande que la externa, es por ello que se pliega hacia adentro y
forma las crestas mitocondriales que contiene todo un complejo
enzimático que participa en el transporte de electrones y fosforilación oxidativa.
La cámara interna o mitosol posee enzimas que participan en
el ciclo de Krebs, degradación de aminoácidos y ácidos grasos.
En la matriz se encuentran suspendidos ribosomas 55S y una
molécula de ADN circular. Realiza la respiración celular y la producción de ATP.
305
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
2.
PLASTIDIOS.-
secundarios, y cuando contienen desechos son llamados
lisosomas terciarios, cuando los lisosomas primarios se
rompen la célula se destruye (autólisis)
• Peroxisomas.- Contienen enzimas que forman y
degradan los peróxidos, protegiendo así a la célula de la
acción tóxica de dichos oxidantes. Una enzima importante
es la catalasa que acelera la degradación del meróxido de
hidrógeno en agua y oxígeno.
• Glioxisomas.- Son exclusivas de células vegetales,
principalmente en las semillas aceitosas donde actúan
durante la germinación, sus enzimas convierten los
lípidos a glúcidos, y de éstos se obtiene energía.
Organoides.-
Organelos semiautónomos exclusivas de células vegetales y algas.
Cloroplastos.- Posee dos membranas envolventes, y en su interior se encuentran sacos aplanados denominados tilacoides que
están rodeados de coloide o estroma, también se encuentran
ribosomas pequeños y ADN circular. Participa en la fotosíntesis.
Leucoplastos.- Almacenan sustancias de reserva y son los:
Amiloplastos, Oleoplastos, Proteinoplastos.
Son asociaciones supramoleculares que carecen de membrana.
Cromoplastos.- Acumulan pigmentos que dan la coloración caracteristica a los vegetales como el licopeno (rojo), xantófilas
(amarillo), caroteno (anaranjado), etc.
1. Ribosomas.- Están constituidas por proteínas y ARN
ribosómico. Son ensambladas en el núcleolo. Participan en la
sintésis de proteínas.En la síntesis de proteínas se asocian al
ARN mensajero formando polisomas. Se pueden encontrar
en la matriz citoplásmica, en la membrana del R.E.R., en el
estroma del cloroplasto y la matriz de las mitocondrias.
ORGANELAS CON UNA MEMBRANA
1. Vacuolas.En las células vegetales se encuentran las vacuolas de agua que
ocupan la mayor parte de la célula, almacenan agua que ejerce
presión sobre la pared celular, contribuyendo al soporte del cuerpo vegetal, su membrana se denomina tonoplasto.
En protistas de agua dulce las vacuolas vibrátiles o pulsátiles
eliminan el exceso de agua del citoplasma.
2. CITOSOMAS
Se caracterizan por contener enzimas, están delimitadas por una
membrana.
• LISOSOMAS. Se originan del Aparato de Golgi,
contienen enzimas hidrolíticas o digestivas (nucleasas,
fosfatasas, lisozimas, etc); su función es la digestión
celular. Cuando recién son liberadas de las membranas
del Golgi, son llamadas lisosomas primarios, cuando éstos
se unen a vesículas endocíticas, se denominan lisosomas
Educación Rumbo al Bicentenario
2. Centrosomas.- Constituidos por dos cilindros huecos
llamados centríolos, cada centríolo esta formado por 9
tripletes de microtubulos. Su función es formar el huso
306
BIOLOGÍA
mitótico durante la división en células animales. Sirven como
base para la formación de cilios y flagelos, así como también
es el centro de organización del citoesqueleto.
3.
C) VVFF
E) FVFV
2.
Cilios y Flagelos.-
4.
Identifica, cuáles son características de la pared celular:
I.
II.
III.
Permiten la locomoción celular, presentan dos partes el cinetosoma (de estructura similar a la del centríolo), y axonema (conformado por nueve pares de microtubulos y dos microtubulos
en el centro)
IV.
Núcleo.-
D) FFVV
Está presente en móneras, algas, hongos y plantas.
Está constituida principalmente por glúcidos.
La quitina le otorga flexibilidad a la pared secundaria
de las plantas.
La pared primaria está constituida por abundante
hemicelulosa.
A) I, II y III
C) I, III y IV
E) I, II, III y IV
Es la porción celular que contiene al material genético, encargado de controlar y dirigir todas las actividades celulares. Presenta
dos partes:
3.
1. Carioteca.- (karión = núcleo, teca = envoltura)
Conformado por dos capas bilipídicas, de aspecto rugoso por la
presencia de ribosomas en la cara externa, separa el contenido
nuclear del citoplasma.
Entre la membrana externa e interna se encuentra el espacio
perinuclear. Presenta poros con proteínas selectivas que permiten el ingreso y salida de moléculas para el metabolismo y control genético. Debajo de la membrana interna se encuentra la
lámina nuclear, en cuya cara interna se fija la cromatina.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la membrana celular:
I.
II.
III.
IV.
Las proteínas mantienen su fluidez.
Se le llama también plasmalema.
El glucocálix permite la adhesión celular.
Está presente en toda célula.
A) VFVF
C) FVFV
E) FVVF
2. Región Intranuclear.- Está constituido por:
4.
A. Carioplasma, nucleoplasma o jugo nuclear.- masa
coloidal con macromoléculas orgánicas e iones.
B. Nucléolo.- Área en donde se sintetizan las sub unidades
ribosómicas.
C. Cromatina.- Estructura supramolecular formada por
ADN mas histonas.
B) FVVV
D) FFVV
Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones son
correctas respecto a la membrana celular:
I.
II.
III.
IV.
Todas presentan envoltura.
Es permeable a toda sustancia.
El modelo del “Mosaico fluido” fue propuesto por
Singer y Nicholson.
Es asimétrica.
A) II y III
C) II, III y IV
E) I, II, III y IV
5.
B) I, III y IV
D) I y II
Relaciona las propiedades del coloide celular con su
característica correspondiente:
D. Tixotropía
(
E. Fenómeno Tyndall
(
F.
Movimiento Browniano (
A) BAC
D) BCA
6.
B) I, II y IV
D) II, III y IV
B) CBA
E) ABC
) Movimiento al azar de las
micelas.
) Desviación del haz
luminoso y su registro en
el hialoplasma.
) Capacidad para pasar del
estado gel al estado sol.
C) CAB
Completa el siguiente
párrafo: los ........................
están constituidos por……………, actúan dando soporte al
citoplasma y orientan el movimiento celular.
A) Ribosomas - actina
B) Fibroblastos - miosina
C) Microtúbulos - tubulina
D) Ribosomas - elastina
E) Centrosomas - fibroína
7.
1.
I.
II.
III.
IV.
Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados
respecto a la teoría celular:
I.
II.
III.
IV.
La unidad más pequeña de la vida es la célula.
Virchow sustenta que la célula se origina de otra
célula preexistente.
Schleiden estudio las células de los tejidos animales.
Schwann estudio la estructura de las células vegetales.
A) VVVV
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto al retículo endoplasmático rugoso.
Su membrana externa posee ribosomas adheridos.
Son exclusivas de las células vegetales.
Su membrana se denomina tonoplasto.
Forma el huso acromático en la división celular.
A) VFFF
B) VVFF
C) FVFV
D) VFVF
B) VFVV
307
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
E) VVVF
8.
E) NCPU
Identifica cuáles de las siguientes funciones corresponden al
aparato de Golgi:
I.
II.
III.
IV.
Participa en la formación del huso acromático.
Interviene en la secreción celular.
Biogénesis de lisosomas primarios.
Participa en la respiración celular.
A) II y III
C) I, II y III
E) III y IV
9.
13. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las funciones del glucocálix:
I.
II.
III.
IV.
B) I y II
D) II y IV
A) VVVV
C) VFVV
E) VVVF
De las siguientes proposiciones identifica cuáles caracterizan
a los cloroplastos:
I.
II.
III.
IV.
A
Glicerol, úrea, glucosa
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
10. El siguiente gráfico representa al centrosoma, identifica las
estructuras que señalan “X” y “Z” respectivamente:
A) Fosfolípido y colesterol
B) Proteína externas y fosfolípido
C) Proteína integral y glúcido.
D) Fosfolípido y glícido.
E) Proteína interna y colesterol.
11. Relaciona las siguientes estructuras celulares con su
característica o función:
(
N.
Carioplasma
(
C.
Cromatina
(
P.
Nucleolo
(
A) PUNC
C) NUPC
E) CPUN
) Estructura esférica formada por
ARN y proteínas.
) Al condensarse forma los
cromosomas.
) Llamada también envoltura
nuclear.
) Constituye la matriz del núcleo
16. Identifica en el siguiente gráfico la estructura que señala “x”
B) PCUN
D) UCPN
A) Nucleoplasma
B) Eucromatina
C) Nucleosoma
D) Heterocromatina
E) Nucleolo
12. Relaciona correctamente las siguientes funciones con las
estructuras bacterianas que las realizan:
U.
N.
C.
P.
A)
B)
C)
D)
mediante ósmosis y B por fagocitosis.
y B a través de transporte activo.
mediante bombas y B por difusión
por difusión y B por pinocitosis
por transporte pasivo y B activo.
15. En el siguiente gráfico que representa la estructura
de la membrana celular, identifica los números 1 y 2
respectivamente:
A) Aster – triada
B) Membrana interna – membrana externa
C) Triada – diada
D) Diplosoma – centrosoma
E) Centriolos – áster
Carioteca
B
Células muertas, Na, K
Por su tipo de transporte a través de la membrana celular
se afirma que:
B) I, II y III
D) II, III y IV
U.
B) FVVV
D) VVFV
14. Compara las siguientes sustancias:
Organelos de membrana simple.
Participan en la fotosíntesis.
En la oscuridad se desorganizan y se denominan
etioplastos.
Presentan discos tilacoidales y estroma.
A) II y III
C) Solo I
E) I, II, III y IV
Proporciona la carga eléctrica de la célula.
Sintetiza fosfolípidos y esteroides.
Permite la adhesión celular para la formación de
tejidos.
Permite el reconocimiento celular durante las
reacciones inmunitarias
Síntesis de proteínas
Respiración celular
Resistencia a antibióticos
Resistencia al calor
(
(
(
(
)
)
)
)
Cápsula
Plásmido
Mesosomas
Ribosomas 70S
17. Relaciona las estructuras de la célula con su respectiva
función:
CPNU
PCNU
CNPU
UNPC
1.
2.
3.
4.
Educación Rumbo al Bicentenario
X
308
Glucocálix (
Ribosomas (
Mitocondrias (
Peroxisomas (
)
)
)
)
Transforma lípidos en glucidos
Descompone peroxidos
Reconocimiento celular
Proteogénesis
BIOLOGÍA
4.
5. Glioxisomas ( ) Respiración celular
A) 12345
B) 54123
C) 13524
D) 53124
E) 43251
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
18. Compara los tipos de retículo endoplasmático
A
R.E.R
B
R.E.L
5.
Respecto a sus funciones se determina que:
A) A degrada peróxidos y B síntesis de proteínas.
B) B forma el acrosoma de espermatozoides y A lisosomas
primarios.
C) A y B participan en la autólisis y autofagia.
D) B elimina sustancias toxicas y A origina a la carioteca.
E) A y B sintetizan proteínas de exportación.
“ Nada en biología tiene sentido,
excepto a la luz de la evolución”.
Descubierto por Robeth Hooke.
El nucleosoma es la unidad de la cromatina
Se encuentra en procariotas y eucariotas.
Su carioteca es porosa asociada a ribosomas.
A) VVVV
C) FVFV
E) VFVF
¿Que importancia tiene el colesterol en las membranas
celulares?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
19. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto al núcleo de la célula:
I.
II.
III.
IV.
¿Que diferencia hay entre organelo y organoide?
(Teodosio Dobzhansky)
B) FFVV
D) VVFF
20. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto a las estructuras citoplasmáticas:
•
•
•
•
Las mitocondrias son organelos con membrana doble.
El cloroplasto presenta membrana simple
Los ribosomas participan en la proteogénesis
El Golgisoma es parte del sistema de endomembranas.
A) FVFV
B) VVFF
C) VFVV
D) VFFV
E) VVVV
1.
Define brevemente la autólisis.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
2.
¿Qué es una inclusión citoplasmática?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
3.
¿Qué es la compartamentalización?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
......................................................................................
309
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
FISIOLOGÍA CELULAR I
8
TRANSPORTE A TRAVÉS DE LA MEMBRANA
PASIVO (Difusión)
Es el movimiento de moléculas a través de la membrana a favor
de la gradiente de concentración, no hay gasto de ATP. A su
vez puede ser:
a) DIFUSIÓN SIMPLE. Es la difusión de moléculas liposolubles y
de agua (por ser pequeña)
La difusión de las moléculas de agua por una membrana semipermeable se denomina osmosis, y la difusión de cualquier
otra sustancia que se encuentre disuelta en agua de denomina diálisis.
b) DIFUSIÓN FACILITADA. Se da a través de las proteínas
(transportadores proteicos). Sirve para la difusión de monosacáridos y aminoácidos
ACTIVO
Se realiza con gasto de energía (ATP). Es un movimiento de moléculas en contra del gradiente de concentración. Puede ser
a) TRANSPORTE POR BOMBAS. La bomba de sodio y potasio
que transporta tres iones de sodio (3Na) al exterior de la
célula en contra de la gradiente, y al mismo tiempo bombea
dos iones de potasio (2K) hacia el interior en contra de la gradiente. Participa en la generación y conducción del impulso
nervioso.
b) TRANSPORTE EN MASA
Endocitosis (incorporación)
• Fagocitosis. Ingreso de material sólido.
• Pinocitosis. Ingreso de material líquido.
Exocitosis (eliminación)
• Egestión. Eliminación de sustancias no digeridas (desechos).
• Secreción. Eliminación de productos anabólicos que cumplen
la función fuera de la célula.
Ciclo Celular.• Es el conjunto de acontecimientos por los que
atraviesa una célula desde su formación hasta
su posterior división.
• El ciclo celular comprende dos etapas sucesivas:
la interfase y la división
Interfase.• Es la etapa donde la célula se prepara para la
división
• Comprende tres sub etapas:
G1, (presíntesis del ADN) se incrementa el volumen celular ya que las estructuras celulares se duplican.
S, se duplica el ADN y los centrosomas.
G2, (postsíntesis del ADN) la célula almacena energía.
Educación Rumbo al Bicentenario
310
BIOLOGÍA
División celular.• Proceso de repartición de lo duplicado en la interfase
• Existen dos tipos de división: la mitosis y la meiosis:
Mitosis.• Se da en células somáticas.
• Consta de una sola división.
• Se forman dos células hijas diploides genéticamente iguales
• Estas células pueden seguir dividiéndose.
• Se conserva el número de cromosomas
Fases.1.
Profase.- La cromatina se condensa (empiezan a
formarse los cromosomas), la carioteca comienza a
desaparecer (el núcleo se desorganiza), se forman el
huso acromático.
2.
Metafase.- Los cromosomas se notan claramente y se
alinean en el ecuador celular constituyendo la placa
ecuatorial.
3.
Anafase.- Las cromosomas se parten por la mitad e
inician su viaje hacia los polos, al mismo tiempo las
fibras mitóticas se acortan progresivamente, comienza
la citocinesis
4.
Telofase.- Los cromosomas se desenrollan, reaparece
la carioteca, desaparece el huso acromático y finaliza
la citocinesis.
Meiosis.•
•
•
•
•
Se da en células sexuales.
Consta de dos divisiones sucesivas.
Se forman cuatro células hijas haploides genéticamente distintas
Estas células no pueden seguir dividiéndose.
El número de cromosomas se reduce a la mitad.
Primera división meiotica.A) Profase I.- Presenta 5 subfases:
a) Leptonema.- Los cromosomas se observan como largos filamentos semejantes a
un collar de perlas.
b) Cigonema.- Los cromosomas homólogos se aparean en un proceso llamado
sinapsis.
c) Paquinema.- Se produce la recombinación genética (crossing over).
d) Diplonema.- Los cromosomas apareados se separan, pero permanecen unidos a
través de quiasmas.
e) Diacinesis.- La carioteca comienza a desaparecer, se forman el huso acromático.
B) Metafase I.- El par de cromosomas homólogos se disponen en el plano ecuatorial de la célula.
C) Anafase I.- Los cromosomas homólogos se separan y se dirigen hacia los polos opuestos.
D) Telofase I.- Se forman dos células hijas haploides.
Segunda división meiotica.A) Profase II.- Formación de huso acromático.
B) Metafase II.- Los cromosomas se ubican en el plano ecuatorial.
C) Anafase II.- Las cromátides hijas se dirigen hacia los polos de las células.
D) Telofase II.- Se forman cuatro células haploides.
311
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
Gametogénesis.Definición.- Conjunto de procesos meióticos para
la formación de gametos. Tiene lugar a nivel de
las células germinativas diploides ubicadas en los
órganos de reproducción de animales y vegetales.
1. Espermatogénesis.
En el varón y los animales machos comprende el
proceso de formación de espermatozoides o gameto masculino haploides (n).
Las células germinativas que se van a diferenciar
en espermatozoides se denominan espermatogonias (2n), estas se ubican en las paredes de los
túbulos seminíferos y son nutridas por las células
de Sertoli, las cuales por tres procesos mitóticos
(fase de profileración) aseguran la producción de
futuras células madre y gametos.
A partir de la tercera mitosis se originan células diferenciadas denominadas espermatocito primario
(diploide), los cuales entran a un proceso meíotico.
Durante la primera meiosis (proceso reduccional) se originan los espermatocitos secundarios (haploide).
Luego en la segunda división meiótica (proceso ecuacional) los espermatocitos secundarios originan espermátidas (haploides).
Posteriormente estas espermátidas entran a un proceso de maduración denominado espermiogénesis, luego en el conducto ependimario
completan su maduración en 10 días en caso del hombre.
La espermatogénesis es regulada por las células intersticiales o de leydig que secretan testosterona y por acción de la hormona FSH
secretada por la adenohipófisis.
Espermatogonia (2n)
2. Ovogénesis.
Consiste en la producción de óvulos (haploides) a partir de las ovogonias
(diploides) que se ubican en los ovarios.
Las ovogonias se dividen mitóticamente y dan origen a los ovocitos primarios (2n). En el humano después del tercer mes de vida fetal ya no
existen ovogonias, ni se forman nuevas durante el resto de vida; y al
nacer posee unos 2 millones de ovocitos primarios.
Producto de la primera división meiótica se origina ovocito secundario (n)
y el primer cuerpo polar.
La segunda división meiótica da como resultado al ovotide y tres cuerpos
polares que degeneran.
Posteriormente el ovotide madura y da origen al óvulo.
En el humano la segunda división meiótica no sucede en el ovario, esta
tiene lugar en la trompa de Falopio y sólo si el ovocito II ha sido fecundado.
Ovogonia (2n)
Ovocito I (2n)
Ovocito II (n)
Corpúsculo I
Ovótide (n)
Corpúsculo II
Óvulo (n)
Educación Rumbo al Bicentenario
312
Espermatocito I(2n)
Espermatocito II(n)
Espermatida (n)
Espermiogénesis
BIOLOGÍA
semipermeable y A también
D) A difusión de partículas de soluto y B de moléculas de
solvente por una membrana
E) No se pueden comparar A y B.
1.
Compara las siguientes sustancias:
A
Glicerol, úrea, glucosa
7.
B
Células muertas, Na, K
1.
Por su tipo de transporte a través de la membrana celular
se afirma que:
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
2.
2.
mediante ósmosis y B por fagocitosis.
y B a través de transporte activo.
mediante bombas y B por difusión
por difusión y B por pinocitosis
por transporte pasivo y B activo.
3.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las funciones del glucocálix:
8.
Proporciona la carga eléctrica de la célula.
Sintetiza fosfolípidos y esteroides.
Permite la adhesión celular para la formación de
tejidos.
IV.
Permite el reconocimiento celular durante las
reacciones inmunitarias
A) VVVV
B) FVVV
C) VFVV
D) VVFV
E) VVVF
9.
Todas presentan envoltura.
Es permeable a toda sustancia.
El modelo del “Mosaico fluido” fue propuesto por
Singer y Nicholson.
VIII. Es asimétrica.
5.
6.
B) I, III y IV
D) I y II
de
la
Espermatozoide
Espermátide
Espermatogonia
Espermatocito II
B) II, III y IV
D) III y IV
I.
II.
III.
IV.
Ocurre en las gónadas.
Permite la recombinación genética.
Las células hijas son iguales a las progenitoras.
Permite la reducción del número de cromosomas
A) VVVV
C) VFFV
E) VVFV
B) FVVV
D) FFVV
B) VFVF
D) FVFV
11. Relaciona las fases de la mitosis con su característica:
Identifica cuál de las siguientes proposiciones no caracteriza
a la bomba de calcio.
A. Telofase
B. Anafase
(
(
A) Mantiene una concentración baja de Ca en el líquido
intracelular
B) Bombea Ca al interior del retículo sarcoplasmático
C) Se encuentra solo en la membrana del retículo
sarcoplasmático.
D) Es indispensable para la contracción muscular.
E) La proteína encargada del bombeo es una ATPasa.
C. Profase
D. Metafase
(
(
A) CABD
C) DABC
E) CADB
Compara los siguientes tipos de transportes pasivo:
A
Diálisis
células
10. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la gametogénesis:
Las proteínas mantienen su fluidez.
Se le llama también plasmalema.
El glucocálix permite la adhesión celular.
Está presente en toda célula.
A) VFVF
C) FVFV
E) FVVF
Identifica cuáles de las siguientes
espermatogénesis son haploides:
A) I y II
C) Sólo II
E) I, II y IV
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la membrana celular:
I.
II.
III.
IV.
Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados
respecto al transporte activo:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
4.
B) Sólo II
D) Todas
I.
Se realiza contra un gradiente de concentración.
II.
Se requiere el uso de energía.
III. Se requiere de una proteína transportadora.
IV.
Una de sus formas es la difusión simple.
A) VFVF
b) VVVF
C) VVVV
D) VVFF
E) FVVV
Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones son
correctas respecto a la membrana celular:
A) II y III
C) II, III y IV
E) I, II, III y IV
Es responsable de mantener las diferencias de
concentración de sodio y potasio a través de la
membrana celular.
Establece un potencial eléctrico negativo en el exterior
de las células.
Es la base de la función nerviosa
A) Ninguna
C) Sólo I
E) I y III
I.
II.
III.
3.
Cuáles de las siguientes proposiciones respecto a la bomba
de Na/K son ciertas:
) Se forma el huso acromático.
) Los cromosomas se alinean en el
ecuador.
) Desaparece el huso acromático.
) los cromosomas se parten por la
mitad.
B) CDAB
D) BADC
12. Compara las fases de la mitosis:
B
Osmosis
P
PROFASE
T
TELOFASE
Con respecto a sus características se afirma que:
A) A difusión de soluciones y B también
B) A difusión de partículas de soluto a través de una
membrana y B también
C) B difusión de moléculas de solvente a través de membrana
A) En P se realiza la citocinesis y en T la cariocinesis.
B) P y T son buenas fases para estudiar cariotipos.
C) E n P se desorganiza el huso acromático y en T se
313
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
organiza.
D) En P y T se condensa la cromatina haciendo visibles a los
cromosomas.
E) En T se realiza la citocinesis y en P se forma el huso
acromático.
A) Sólo II
C) I, II y III
E) I, II, III y IV
19. En el siguiente gráfico respecto al
espermatogénesis que representa la letra D
13. Compara:
A
MEIOSIS
B) I y III
D) Sólo IV
proceso
de
B
MITOSIS
De los tipos de división celular se afirma que:
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
ocurre en células somáticas y B en sexuales.
y B ocurren solo en células somáticas.
origina cuatro células haploides y B dos diploides.
origina dos células diploides y B cuatro haploides.
y B originan dos células diploides.
14. Relaciona las
características:
A.
B.
formas
Meiosis
Mitosis
A) ABBA
D) BBAA
de
división
(
(
)
)
(
)
(
)
Genera dos células diploides.
Se realiza en células
germinales.
Origina
cuatro
células
haploides.
Mantiene el número de
cromosomas.
C) BAAB
B) BABA
E) AABB
celular
con
sus
A) Espermatozoide
B) Espermatocito I
C) Espermatocito II
D) Espermatogonia
E) Espermátidas
20. Compara las fases de la mitosis:
P
Profase
Con respecto a sus características se afirma que:
15. Relaciona los periodos de la profase I con su característica:
A.
B.
Leptonema
Paquinema
(
(
C.
D.
Cigonema
Diplonema
(
(
A) DCBA
C) BCAD
E) ACBD
A) En P los cromosomas migran a los polos opuestos y en T
se ubica en el centro.
B) P y T permite la condensación de los cromosomas.
C) En P la cromatina se condensan y en T se forma el huso
mitótico.
D) En P se inicia la citocinesis y en T termina.
E) En P el material genético se condensa y en T se
descondensa.
)
)
Se observan los quiasmas.
Los
cromosomas
homólogos se unen
)
Se realiza el crossing over
)
Se
observan
los
cromosomas en ramillete.
B) CBAD
D) CABD
16. Relaciona las etapas de la mitosis con su característica
respectiva:
1.
2.
3.
Telofase
Anafase
Profase
4.
Metafase
A) 4321
C) 2143
E) 2431
1.
(
(
(
) Inicio de la citocinesis
) Reorganización de la carioteca.
) cromosomas
en
máxima
condensación
( ) aparece el huso acromático.
2.
B
Ovocito II
3.
es haploide y B diploide
y B son células somáticas.
es diploide y B haploide.
y B sonhaploides.
y B células diploides.
4.
Se da el movimiento de solutos a favor de la gradiente.
Sus tipos son. Transporte mediante bombas y en
masa.
No hay gasto de energía
Se realiza la fagocitosis y pinocitosis.
Educación Rumbo al Bicentenario
¿Qué es el cinetocoro?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
18. De las siguientes proposiciones identifica cuáles caracterizan
al transporte pasivo.
III.
IV.
¿Qué es la cariocinesis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
Con respecto a sus características se afirma que:
I.
II.
¿Que es la presión coloidosmótica?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Compara las siguientes células
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
Define la emecitosis.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
B) 1234
D) 3142
A
Espermatocito I
T
Telofase
5.
¿Cómo se hace un cariotipo?
................................................................................
................................................................................
314
ÁLGEBRA
BIOLOGÍA
FISIOLOGÍA CELULAR II
9
La biosíntesis de proteínas es el proceso anabólico mediante el cual se forman las proteínas. El proceso consta de dos etapas, la traducción
del ARN mensajero, mediante el cual los aminoácidos del polipéptido son ordenados de manera precisa a partir de la información contenida en la secuencia de nucleótidos del ADN, y las modificaciones postraducción que sufren los polipéptidos así formados hasta alcanzar
su estado funcional. Dado que la traducción es la fase más importante la biosíntesis de proteínas a menudo se considera sinónimo de
traducción.
Componentes del equipo de traducción
•
ARN mensajero.- El ARN mensajero (ARNm) transmite la información genética almacenada en el ADN. Mediante el proceso conocido
como transcripción, secuencias específicas de ADN son copiadas en forma de ARNm que transporta el mensaje contenido en el ADN
a los sitios de síntesis proteica (los ribosomas). ARN de transferencia y aminoácidos.
•
Los aminoácidos.- (componentes de las proteínas) son unidos a los ARN de transferencia (ARNt) que los llevarán hasta el lugar
de síntesis proteica, donde serán encadenados uno tras otro. La enzima aminoacil-ARNt-sintetasa se encarga de dicha unión, en un
proceso que consume ATP.
•
Ribosomas.- Los ribosomas son los orgánulos citoplasmáticos encargados de la biosíntesis proteica; ellos son los encargados de la
unión de los aminoácidos que transportan los ARNt siguiendo la secuencia de codones del ARNm según las equivalencias del código
genético.
Iniciación de la traducción.Es la primera etapa de la biosíntesis de proteínas. El ARNm se une a la subunidad menor de los ribosomas. A éstos se asocia el aminoacil-ARNt, gracias a que el ARNt tiene en una de sus asas un triplete de nucleótidos denominado anticodón, que se asocia al primer codón
del ARNm según la complementariedad de las bases. A este grupo de moléculas se une la subunidad ribosómica mayor, formándose el
complejo ribosomal o complejo activo. Todos estos procesos están catalizados por los llamados factores de iniciación (FI). El primer codón
que se traduce es generalmente el AUG, que corresponde con el aminoácido metionina en eucariotas. En procariotas es la formilmetionina.
Elongación de la cadena polipeptídica.El complejo ribosomal posee dos sitios de unión o centros. El centro peptidil o centro P, donde se sitúa el primer aminoacil-ARNt y el
centro aceptor de nuevos aminoacil-ARNt o centro A. El carboxilo terminal (-COOH) del aminoácido iniciado se une con el amino terminal (-NH2) del aminoácido siguiente mediante enlace peptídico. Esta unión es catalizada por la enzima peptidil transferasa. El centro P
queda pues ocupado por un ARNt sin aminoácido. El ARNt sin aminoácido sale del ribosoma. Se produce la translocación ribosomal. El
dipeptil-ARNt queda ahora en el centro P. Todo ello es catalizado por los factores de elongación (FE) y precisa GTP. Según la terminación
del tercer codón, aparece el tercer aminoacil-ARNt y ocupa el centro A. Luego se forma el tripéptido en A y posteriormente el ribosoma
realiza su segunda translocación. Estos pasos se pueden repetir múltiples veces, hasta cientos de veces, según el número de aminoácidos
que contenga el polipéptido. La traslocación del ribosoma implica el desplazamiento del ribosoma a lo largo de ARNm en sentido 5'-> 3'.
Terminación de la síntesis de la cadena polipeptídica.Los codones UAA, UAG y UGA son señales de paro que no especifican ningún aminoácido y se conocen como codones de terminación;
determinan el final de la síntesis proteica. No existe ningún ARNt cuyo anticodón sea complementario de dichos codones y, por lo tanto,
la biosíntesis del polipéptido se interrumpe. Indican que la cadena polipeptídica ya ha terminado. Este proceso viene regulado por los factores de liberación, de naturaleza proteica, que se sitúan en el sitio A y hacen que la peptidil transferasa separe, por hidrólisis, la cadena
polipeptídica del ARNt. Un ARNm, si es lo suficientemente largo, puede ser leído o traducido, por varios ribosomas a la vez, uno detrás de
otro. Al microscopio electrónico, se observa como un rosario de ribosomas, que se denomina polirribosoma o polisoma.
Una vez finalizada la síntesis de una proteína, el ARN mensajero queda libre y puede ser leído de nuevo. De hecho, es muy frecuente que
antes de que finalice una proteína ya está comenzando otra, con lo cual, una misma molécula de ARN mensajero, está siendo utilizada
por varios ribosomas simultáneamente.
315
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
Código genético
Respiración Celular
Es un proceso catabólico, en el cual,
la energía contenida en distintas biomoléculas, como los glúcidos y lípidos, es liberada de manera controlada. Durante la respiración una parte
de la energía libre desprendida en
estas reacciones exotérmicas, es incorporada a la molécula de ATP, que
puede ser a continuación utilizada en
los procesos endotérmicos, como son
los de mantenimiento y desarrollo del
organismo (anabolismo).
Existen dos tipos de respiración celular: la anaeróbica y la aeróbica.
A) Respiración anaeróbica.
Se realiza sin la intervención del oxígeno, en este tipo de respiración se
produce poca energía. Tiene dos etapas: la glucólisis y la fermentación.
•
Glucólisis: Se lleva acabo en el
citoplasma, consiste en una serie
de reacciones en donde la glucosa
se degrada hasta llegar a formar
dos compuesto de tres carbonos:
los ácidos pirúvicos. Al romperse
los enlaces de la glucosa se
libera energía que se transfiere
al ATP (2 ATP por molécula de
glucosa). También se liberan
iones hidrógeno y electrones, que
son recibidos por el NAD+ para
formar 2 NADH + 2H+. Los ácidos
pirúvicos formados continúan en
la siguiente etapa.
•
Fermentación:
Los
acido
pirúvicos
se
degradan
incompletamente hasta CO2,
etanol o ácido láctico sin producir
mas energía. Si se produce
etanol la fermentación se llama
alcohólica (utilizada para producir
licores y en la panificación), pero
si produce ácido láctico la fermentación se llama láctica
(utilizada para elaborar yogurt) esta última también se da en
los músculos y es responsable de la fatiga muscular.
electrones estos últimos son recogidos por el NAD+ y
el FAD+ y transportados a la membrana interna de la
mitocondria donde ocurre el siguiente proceso.
Cadena respiratoria de electrones: La membrana
interna de la mitocondria contiene proteínas especiales
denominadas citocromos (dispuestos uno detrás del
otro), los electrones capturados por el NAD+ y el FAD+
son transferidos a los citocromos y se movilizan a través
de ellos hasta llegar al oxígeno que sirve como ultimo
aceptor de electrones.
Fosforilación oxidativa: Cada vez que un electrón salta
de un citocromo a otro, los H+ son impulsados hacia el
espacio intermembranal, lo que genera un desequilibrio.
Los H+ al regresar hacia la matriz a través de la ATPasa
(enzima dentro de la membrana mitocondrial interna)
generan la energía necesaria para producir ATP.
En este tipo de respiración solo se producen 2 ATP por molécula
de glucosa
B) Respiración aeróbica.
Se realiza con la intervención del oxigeno, este tipo de respiración produce mas energía, también tiene dos etapas: la glucólisis
y la etapa mitocondrial:
•
Glucólisis: Es idéntica a la de la respiración anaeróbica,
produce 2 ATP y dos piruvatos (ácidos pirúvicos).
•
Etapa mitocondrial: Se realiza dentro de las mitocondrias,
en su matriz y en su membrana interna. Esta etapa tiene a
su vez las siguientes procesos:
En este tipo de respiración se producen de 36 a 38 ATP por
molécula de glucosa, es más eficiente que la anaeróbica.
Ciclo de Krebs: Se realiza en la matriz mitocondrial,
consiste en una serie de reacciones enzimáticas que
tienen por objetivo descomponer totalmente los piruvatos
hasta CO2, durante este proceso se liberan ATP, H+ y
Educación Rumbo al Bicentenario
316
BIOLOGÍA
9.
1.
A) Fotofosforilación
B) Fermentación
C) Fotorreducción
D) Fosforilación oxidativa
E) Ciclo de Cori
Triplete del ARN mensajero que codifica un aminoácido:
A) Anticodón.
B) Nucleótido
C) Codón
D) Nucleósido
E) Purina
2.
10. Identifica de las siguientes proposiciones cuál es la que
causa la fatiga muscular:
A) Poco esfuerzo físico
B) Producción de etanol
C) Acumulación de citrato
D) Acumulación de lactato
E) Acumulación de oxalacetato
Proceso por el cual la información genética se decodifica en
la síntesis de proteínas:
A) Conjugación
B) Clonación
C) Traducción
D) Transducción
E) Transcripción
3.
11. Compara los tipos de fermentación:
A
Alcohólica
Toda proteína tiene como primer aminoácido a:
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
Que proposición es incorrecta sobre el código genético:
A) Produce 38 ATP
B) Necesita oxígeno
C) Sus productos son el CO2, el alcohol o ácido láctico.
D) Degrada los ácidos nucleicos.
E) Una de sus fases es el ciclo de Krebs.
Respecto al dogma central de la Biología, identifica la
alternativa incorrecta:
13. Identifica la estructura dónde ocurre la glucólisis.
A) Fue establecido por Beadle y Tatum.
B) Tiene dos partes: la transcripción y la traducción.
C) Watson y Crick plantearon la colinearidad.
D) Plantea que hay una correspondencia entre la secuencia
de nucleótidos y la secuencia de aminoácidos de una
proteína.
E) Plantea un proceso por el cual se sintetizan lípidos.
6.
A) Citosol
B) Mitocondrias
C) Mitosol
D) Tilacoides
E) Estroma
14. Compara los siguientes procesos:
Es un triplete de terminación y liberación:
A
Glucólisis
A) UAC
B) UAU
C) CAA
D) AUG
E) UGA
7.
A) En A la glucosa se descompone formando 2 piruvatos y
en B el acetil es transportado por el CoA.
B) En A se da la formación de 36 ATP y en B de 2 ATP.
C) En A y B se realiza el transporte de electrones.
D) B es llamada también vía de Embden Meyerhof Parnas y
A ciclo del ácido cítrico.
E) En A y B ocurre la cadena respiratoria.
Identifica cuál de las siguientes proposiciones no corresponde
a la glucólisis:
15. Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
a la fermentación:
I.
II.
III.
IV.
Compara los siguientes procesos:
A
Glucólisis
B
Ciclo de Krebs
Con respecto a sus características se determina que:
A) Se realiza en el citosol.
B) Es un proceso catabólico.
C) En el, la glucosa se descompone en 2 piruvatos.
D) En el proceso se obtiene una ganancia neta de 2 ATP
E) Produce ácido láctico
8.
y B se realizan en los músculos.
produce etanol y B lactato.
y B se llevan a cabo en presencia de oxígeno.
y B producen 36 moléculas de ATP.
y B se realizan en las mitocondrias.
12. Identifica la proposición correcta con respecto a la
fermentación:
A) Formado por tripletes de bases o codones.
B) Los tripletes pueden estar formados por A, G, C y T.
C) Tiene 64 combinaciones.
D) Existen varios codones para un aminoácido.
E) Es universal y degenerado.
5.
B
Láctica
Con respecto a sus características se afirma que:
A) Cisteina
B) Fenilalanina
C) Triptófano
D) Cisteina
E) Metionina.
4.
Identifica el proceso por el cual se forma ATP en las crestas
mitocondriales:
B
Ciclo de Krebs
Con respecto a sus características se afirma que:
En ella se realiza el ciclo de Krebs.
Se realiza sin la intervención del oxígeno
Se transportan los electrones hasta el oxígeno
La glucólisis y la fosforilación oxidativa son sus
procesos
A) I y II
B)
II y IV
C)
I y IV
D) II y III
E)
Solo II
A) A y B se realizan dentro de las mitocondrias.
B) A y B se realizan en el mitosol.
C) A y B producen la misma cantidad de ATP.
D) B es llamado ciclo del citrato y A vía de Embden Meyerhof
Parnas.
E) A es parte de B.
317
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
3.
16. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
sobre la respiración celular.
I.
II.
III.
IV.
¿Qué es la gluconeogénesis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
Es un proceso catabólico.
Se produce la glucosa.
En la glucolisis se producen dos ATP como ganancia
neta.
Produce de 36 a 38 ATP por molécula de glucosa.
4.
A) FVFV
B) FVVV
C) VVFV
D) VFVV
E) VFFV
¿Qué es la fermentación pútrida?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Identifica cuál de las siguientes sustancias se produce en la
oxidación del piruvato.
5.
A) 2 glucosas
B) 2 acetil
C) 2 CoA
D) 36 ATP
E) 2 citratos
¿Qué es el NAD?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
18. Respecto al dogma central de la Biología, identifica la
alternativa incorrecta:
“ La política es biología aplicada”.
A) Fue establecido por Beadle y Tatum.
B) Tiene dos partes: la transcripción y la traducción.
C) Watson y Crick plantearon la colinearidad.
D) Plantea que hay una correspondencia entre la secuencia
de nucleótidos y la secuencia de aminoácidos de una
proteína.
E) Plantea un proceso por el cual se sintetizan lípidos.
(Ernst Haeckel)
19. Es un triplete de terminación y liberación:
A) UAC
B) UAU
C) CAA
D) AUG
E) UGA
20. Identifica cuántos ATPs se obtienen como ganancia neta en
el ciclo de Embden-Meyerhof
A) 2
B) 34
C) 36
D) 24
E) 4
1.
¿Cuál es la primera reacción de la glucólisis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
2.
¿Qué es la CoA?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
Educación Rumbo al Bicentenario
318
ÁLGEBRA
BIOLOGÍA
HISTOLOGÍA ANIMAL
10
La Histología animal comprende todos los tejidos que constituye a los animales y el hombre. Todo tejido está constituido por:
1. Células, que poseen características morfológicas comunes y un mismo origen.
2. Sustancia intercelular, que mantienen unidas las células, formado por fibras, sustancia fundamental como proteínas, azúcares,
lípidos y agua.
I.
Tejido Epitelial.-
Características:
• Constituido de abundantes células generalmente geométricas y fuertemente adheridas unas
a otras formando capas celulares continuas.
• Escasa sustancia intercelular
• Carece de vasos sanguíneos (es avascular)
• Se nutre por difusión a través del tejido conjuntivo.
• Presenta terminaciones nerviosas libres ( es inervado).
• Se renuevan constantemente por mitosis.
Clasificación y función:
Epitelio de cubierta y revestimiento.- Recubre y reviste distintas estructuras corporales. Se
divide en:
Monoestratificado
Poliestratificado
Polimorfo
Seudoestratificado
Monoestratificado (simple).-
Formado por una sola capa de células.
-
Se localiza en zonas donde permite la difusión, filtración, absorción de diversas sustancias
• Plano: Alvéolos pulmonares, endotelio de vasos sanguíneos
• Cúbico: Ovarios
• Cilíndrico (columnar)
Mucoso: Estómago, intestino grueso, útero
Con microvellosidades: Intestino delgado, vesícula biliar.
Ciliado: Trompas de Falopio
Poliestratificado.- Está formado por dos o más capas de células
- Es más fuerte y puede proteger a los tejidos a los que recubre del ambiente externo, de desgaste y rotura
• Plano (escamoso)
No queratinizado: Esófago, boca, lengua y vagina.
Queratinizado (tiene queratina).-Piel.
• Cúbico: Glándulas sudoríparas, esófago fetal
• Cilíndrico: Uretra
319
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
Polimorfo (De transición).- Sus células adoptan diversas formas. Se encuentra en la vejiga,
Seudoestratificado (falsa imagen).-
Da la apariencia de estar formado por varias capas pero en realidad es una sola. Se encuentra en las fosas nasales, laringe, traquea
y los bronquios
Epitelio glandular.-Sus células producen secreciones y se clasifican en glándulas: exocrinas, endocrinas y mixtas
• Exocrinas: Presentan adenómero y conducto excretor, su secreción es liberada hacia una cavidad o superficie corporal. Ej.:
glándulas sudoríparas, sebáceas, salivales, mamarias, ceruminales.
• Endocrinas: Solo presentan adenómero, su secreción va directamente a la sangre Ej.: glándulas tiroides, paratiroides, hipófisis,
suprarrenales, timo, hipotálamo.
• Mixtas o Anficrinas: Poseen una porción endocrina y exocrina: Ej.: Páncreas, hígado, gónadas, estómago, intestino delgado, riñón.
II. Tejido Conectivo o Conjuntivo.Se le llama así porque es el que une a los
o
Células conjuntivas:
•
Mesenquimales
:
•
Fibroblastos
:
•
Adipocitos
•
Macrófago
• Plasmocitos
:
• Leucocitos
:
• Célula cebada
:
demás tejidos. Está formado por:
célula madre.
células jóvenes en crecimiento activo.
: tienen en su citoplasma abundante grasa.
: células muy grandes con alto poder de fagocitosis.
participan en la inmunidad humana (producen anticuerpos).
protegen al cuerpo contra enfermedades.
Contienen histamina (alergias) y heparina (anticoagulante).
Sustancia intercelular ( matriz conjuntiva).- Es abundante y está constituida por:
1. Fibras conjuntivas: colágenas, reticulares y elásticas
Educación Rumbo al Bicentenario
320
BIOLOGÍA
2. Sustancia fundamental amorfa: constituida por agua, sales minerales y proteínas.
PROPIAMENTE DICHO
1. Laxo:
es
el
más
abundante,
delicado,
flexible y poco resistente
a las tracciones. Se ubica
alrededor de los vasos
sanguíneos y linfáticos.
2. Denso:
es
menos
flexible, ofrece resistencia
a las tracciones y se
ubica en los tendones,
ligamentos,
dermis,
aponeurosis (membrana
de
los
músculos),
periostio (membrana de
los huesos), pericondrio
(membrana
de
los
cartílagos).
ADIPOSO: Se dispone en
capas,
es
vascularizado,
posee
abundantes
terminaciones
nerviosas.
Sus
células (adipositos)
almacenan y metabolizan las
grasas neutras.
CLASES.1. Grasa Amarilla o Unilocular.- Contienen una gran gota de grasa, se encuentra en el hombre y es el responsable de la forma
corporal.
2. Grasa Parda o Multilocular.- Contiene múltiples pequeñas gotas de grasa, se encuentra en el recien nacido y en animales
hibernantes especializándose en la producción de calor.
CARTILAGINOSO.- Es el que realiza menos metabolismo,
no tiene vasos sanguíneos ni terminaciones nerviosas,
está formado por los condroblastos y los condorcitos, su
matriz contiene abundantes fibras (colágenas y elásticas) y
azúcares compuestos.
Clases y ubicación.1. Hialino: Esqueleto cartilaginoso fetal, cartílagos costales,
tabique nasal.
2. Elástico: Epiglotis, pabellón auricular y conducto auditivo
externo.
3. Fibroso: Carece de pericondrio. Se ubica en los discos
intervertebrales meniscos, sínfisis púbica.
321
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
Óseo.- Es el más sólido y resistente de los tejidos, tiene vasos sanguíneos, forma a los huesos, sirve como reservorio de calcio, es
el elemento pasivo de la locomoción, sirve para sostener a las demás estructuras corporales, forma a la sangre (hematopoyesis).
Tiene tres tipos de células los osteoblastos, los osteocitos y los osteoclastos, Su matriz esta constituida en un75 % de sustancias
inorgánicas y el resto de sustancia orgánica. Existen dos tipos de tejido óseo: el esponjoso (representado por las travéculas) y el
compacto (representado por los sistemas de Havers).
Educación Rumbo al Bicentenario
322
BIOLOGÍA
Sanguíneo.- Tejido conjuntivo líquido, discurre dentro de los vasos sanguíneos
Tejido Sanguíneo
Formado
Plasma
Componentes
Células
Eritrocitos
Función
Agua 92%
Azúcares
Lípidos
Proteínas
Vitaminas
Hormonas, etc.
Transporte
Defensa
Trombocitos
Función
Coagulación
Eosinófilos
Basófilos
Agranulocitos
Clases
Neutrofilos
1.
Función
Granuloci tos
-
Leucocitos
Monocitos
Linfocitos
Relaciona los tipos de tejidos epiteliales con su respectiva ubicación.
T.
E.
L.
I.
O.
Pseudoestartificado cilíndrico ciliado
Simple cúbico
Polimorfo
Poliestratificado plano queratinizado
Simple plano
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
Vejiga
Trompa de Eustaquio
Mesotelios
Corteza ovárica
Epidermis
A) TOEIL
B) EIOTL
C) LTOEI
D) OIETL
E) IEOTL
2.
Identifica de las siguientes proposiciones, las que caracterizan al tejido conjuntivo verdadero:
I.
II.
III.
IV.
Es avascular.
Tiene abundante sustancia intercelular.
Presentan células de otros tejidos.
Tiene función de nutrición y sostenimiento.
A) I, II y III.
B) I y II
C) II, III y IV
D) I y III
E) I, II, III y IV
323
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
3.
Identifica, la verdad o falsedad
de las siguientes
proposiciones con respecto al tejido óseo:
I.
II.
III.
IV.
8.
Sus osteocitos se ubican en los osteoplastos.
Sus osteoclastos son células polinucleadas.
Crece gracias al tejido cartilaginoso.
Forma el órgano activo del movimiento.
C. Compacto
E. Esponjoso
A) CCEE
B) ECCE
C) CECE
D) ECEC
E) CCCE
A) VVVV
B) VVFF
C) FFVV
D) VVVF
E) VFVF
4.
9.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las características del tejido adiposo amarillo:
I.
II.
III.
IV.
II.
III.
IV.
Fija órganos y rellena espacios.
Forma cavidades articulares.
Participa en la hematopoyesis.
Permite el crecimiento de los huesos largos.
A
Glóbulos rojos
Se ubica alrededor de vasos sanguíneos, miocitos y
nervios.
Se rompe fácilmente.
Es más abundante que el tipo denso.
Es muy flexible.
B
Plaquetas
Con respecto a sus características se afirma que:
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
y B participan en la defensa del organismo.
realizan diapédesis y B quimiotaxis.
son nucleados y B no
transportan gases y B participan en la hemostasia.
y B viven 120 días.
11. Compara los tipos de epitelio:
E
Endocrino
A
Anficrino
Identifica cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
al tejido óseo.
Con respecto a las glándulas en las que se ubican se
determina que:
I.
II.
III.
IV.
A) E, en las sudoríparas y A en las mamarias.
B) E y A en las salivales.
C) A en la hipófisis y E en el páncreas.
D) E en la hipófisis y A en los ovarios.
E) E y A en las glándulas sudoríparas.
Está cubierta por el pericondrio
Presenta abundante sustancia intercelular
Contiene sulfatos, carbonatos, fosfatos, etc.
Los osteocitos mantienen al tejido óseo.
A) I,II,III y IV
B) I,II y III
C) I y II
D) II, III y IV
E) I y IV
7.
Se ubica en la diáfisis.
Contienen a la MOA.
Su unidad estructural es la trabécula.
Tiene función hematopoyética.
10. Compara los siguientes elementos formes de la sangre:
A) VFVV
B) FFVV
C) FVFV
D) VVVV
E) VFVF
6.
)
)
)
)
A) VVVV
B) VFVV
C) FVFV
D) FFVV
E) FVFF
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las características del tejido conjuntivo laxo:
I.
(
(
(
(
Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados
respecto a las funciones del tejido cartilaginoso:
I.
II.
III.
IV.
Sus células presentan una gran gota de grasa.
Su núcleo es central.
Almacena triglicéridos.
Se le conoce también como unilocular.
A) VVVV
B) VVFV
C) VVVF
D) VFVV
E) FVVV
5.
Relaciona las clases de tejido óseo con su característica o
función.
12. Compara los siguientes tejidos adiposos:
U
UNILOCULAR
Respecto al lugar donde se localizan se determina que:
Identifica
la
verdad o falsedad de
las siguientes
proposiciones con respecto a los hematíes:
I.
II.
III.
IV.
A) U
B) U
C) U
D) U
E) U
Contienen hemoglobina.
Tienen forma bicóncava y carecen de núcleo.
La eritrocitosis es su proceso de formación en la MOR.
Tienen la capacidad de escapar por los capilares
sanguíneos.
en tabique nasal y M en el recién nacido.
en la hipodermis y M en animales hibernantes.
y M en el cartílago costal
en los tendones y M alrededor de las visceras.
y M en los huesos largos.
13. Identifica cuáles son correctas respecto a la hemostasia:
I
A) VVFV
B) VFVF
C) VVFF
D) FVFV
E) FVVF
II
III
En la fase vascular las plaquetas eliminan tromboxano
A2 y serotonina.
El tapón plaquetario se forma en la fibrinolisis.
En la fase de coagulación el fibrinógeno se transforma
en fibrina.
A) I y III
C) I y II
E) Solo III
Educación Rumbo al Bicentenario
M
MULTILOCULAR
324
B) II y III
D) I, II y III
BIOLOGÍA
14. Correlaciona las siguientes células sanguíneas con su
característica o función:
Q.
R.
S.
T.
1.
2.
3.
4.
18. Identifica, cuál de las
corresponde al tejido óseo.
Monocitos
Neutrófilos
Trombocitos
Linfocitos B
Hemostasia
Primera línea de defensa.
Su núcleo tiene forma arriñonada.
Forman anticuerpos
A) Q3,R2,
B) Q2,R3,
C) Q1,R3,
D) Q3,R2,
E) Q4,R1,
S5,
S1,
S5,
S1,
S2,
siguientes proposiciones no
A) Constituye el elemento pasivo de la locomoción.
B) Almacena calcio y fósforo
C) Se convierte en tejido cartilaginoso
D) Contiene a la médula ósea roja
E) Formado en mayoria por sustancias inorgánicas.
19. Identifica, cuáles de las
siguientes
caracterizan al tejido cartilaginoso.
I.
II.
III.
IV.
T4
T4
T2
T4
T3
proposiciones
Posee abundante sustancia intercelular
Es avascular
Rodeado por una membrana llamada sarcolema
Posee escasas células
A) Sólo I
B) I y II
C) I, II y IV
D) Sólo III
E) I, II, III y IV.
15. Relaciona las siguiente funciones con los elementos del
tejido conjuntivo que se indican en la figura:
20. Identifica qué tipo de cartílago se ubica en la metáfisis de
los huesos largos:
A) Elástico
B) Fibroso
C) Hialino
D) Amarillo
E) Pardo
(
(
(
(
)
)
)
)
Produce las fibras de la matriz
Contiene histamina y heparina.
Brinda resistencia.
Produce anticuerpos
1.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
A) DABC
B) DCBA
C) ACDB
D) DACB
E) ADCB
2.
¿Qué es la osteoartritis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
16. Identifica el epitelio que se encuentra en los alveolos
pulmonares:
A) Simple cúbico
B) Columnar ciliado
C) Columnar con microvellosidades
D) Simple plano
E) Polimorfo
3.
¿En qué consiste un trasplante de células madre?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al tejido conectivo
I.
II.
III.
IV.
¿Qué es la metaplasia?
El laxo es el más abundante
Los ligamentos poseen tejido conectivo laxo
El denso es el más resistente
El periostio es un tipo de denso
4.
¿Qué es la hibernación?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
A) VVVV
B) VFVV
C) VFFV
D) FFVV
E) VFVF
5.
¿En qué consiste una hernia de disco?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
325
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
TEJIDO MUSCULAR
11
Características.
Tejido más abundante del organismo (40 al 50% del peso
corporal).
Sus células son llamados miocitos o fibra muscular, no se
reproducen.
Posee escasa sustancia intercelular
Está muy vascularizado.
Posee terminaciones nerviosas (es inervado).
Funciones.
Elemento activo de la locomoción
Permite el movimiento de vísceras y de todo el cuerpo.
Produce calor
Almacena glucógeno
Propiedades. Excitabilidad, capacidad de responder a estímulos mecánicos,
químicos y eléctricos.
Contractibilidad, capacidad de acortar su longitud y aumentar su grosor para generar fuerza o tensión.
Tonicidad, capacidad de mantenerse semicontraído.
Elasticidad, capacidad de retornar a su forma inicial.
Clasificación. Liso
Estriado: a su vez se clasifica en: Esquelético y Cardíaco.
Tejido muscular liso o visceral. Sus células son fusiformes, miden 20 a 200 um de longitud y de 3 a 8 um de diámetro, presentan un solo núcleo central y ovalado
Carece de sarcómeros y estriaciones.
Su contracción es lenta e involuntaria y de larga duración pues no se fatigan.
Se encuentra formando las paredes de órganos huecos (vísceras) como el tubo digestivo, próstata, pezones, útero.
Gobernada por el sistema nervioso vegetativo.
Tejido muscular estriado.a.
Esquelético
Es el más abundante constituye los músculos que se insertan en los huesos
Sus células son cilíndricas y las más largas del tejido muscular (1 a 4 cm.), tiene varios núcleos periféricos
Sus células presentan estriaciones transversales (son estriadas) debido a la presencia de las proteínas actina y miosina. Las estrías
se disponen formando bandas intercaladas: claras y oscuras.
Su unidad anatómica y funcional es el sarcomero que se dispone entre las líneas Z (se encuentra en las miofibrinas), en reposo su
longitud es de 2 µm.
Su contracción es rápida, potente, voluntaria y de poca duración, se fatiga.
Gobernada por el sistema nervioso central.
b.
Cardíaco
Sus células son cilíndricas, estriadas, presentan uno o dos núcleos
centrales
Presenta sarcómeros y discos intercalares
Su contracción es rápida, potente, rítmica e involuntaria y no se fatiga.
Se encuentra formando las paredes del corazón (miocardio)
Gobernada por el sistema nervioso vegetativo
Tejido Nervioso.Características
Es el tejido animal más especializado que existe
Está formado por abundantes células de dos tipos: neuronas
neuroglias.
Tiene escasa sustancia intercelular
Posee abundante vascularización
Educación Rumbo al Bicentenario
326
y
BIOLOGÍA
Neurona
Definición.- Es la célula nerviosa altamente especializada. Es la unidad anatómica, fisiológica y genética del tejido nervioso. No se regeneran, requiere gran aporte de oxígeno y glucosa.
Propiedades.• Excitabilidad: provoca potenciales eléctricos.
• Conductibilidad: conduce los impulsos nerviosos que se han provocado en la excitabilidad.
• Transmitibilidad: transmite los impulsos nerviosos.
Partes:
a. Soma.- Llamado también cuerpo o pericarión y es de forma variada, posee un núcleo, con un nucleolo visible; presenta: corpúsculo
de Nissl (sustancia cromófila que elabora proteínas); neurofibrillas (dan sostén interno al soma); golgisomas y mitocondrias
(escasas a este nivel, pero abundante en las prolongaciones). El soma constituye la sustancia gris.
b. Prolongaciones.- Son dos, que van a determinar la sustancia blanca.
• Dendritas.- Son pequeñas y de conducción centrípeta.
• Axón: Es único, largo y de conducción centrífuga. Está revestida por las células de Schwann, que elabora a la mielina. El axón
presenta una ramificación terminal llamada telodendrón, que contiene los botones terminales con abundantes vesículas sinápticas
y mitocondrias.
Clasificación:
Por su estructura:
a) Unipolar.- Llamados también monopolares, tienen una sola prolongación, es decir un axón, son raras en el adulto, pero abundantes
en el embrión.
b) Bipolar.- Tienen el axón y la dendrita en conos opuestos. Se halla en la retina, hipófisis.
c) Multipolar: Son las que más abundan, poseen abundantes dendritas y un solo axón.
Por su función y conducción.a) Sensorial: Lleva estímulos desde la periferia (piel u órganos) hacia el sistema nervioso central, es de conducción aferente.
b) Motoras: Lleva respuestas desde el sistema nervioso central a la periferia. Estas respuestas son trasmitidas a órganos efectores
(glándulas, músculos, etc). Es de conducción eferente.
c) Intercalarse: Llamadas también de asociación y establece conexiones entre neuronas, formando circuitos.
Función:
Generar, conducir y trasmitir el impulso nervioso.
Neuroglias:
Células conjuntivas que se han especializado en la protección, nutrición y sostenimiento de la neurona.
Son las más numerosas del tejido nervioso (10 por cada neurona aprox.)
Se reproducen por mitosis
No generan ni conducen, ni transmiten los impulsos nerviosos
Tipos
Astrocitos (pies chupadores), nutren a la neurona y forman parte de la barrera hematoencefálica
Oligodendrocitos, sintetizan la vaina de mielina en el sistema nervioso central
Células de Schwan, sintetizan la vaina de mielina en el sistema nervioso periférico
Célula ependimaria, revisten las cavidades del sistema nerviosos central y elaboran el líquido cefalorraquídeo
Microglia, fagocitan productos de desecho
327
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
4.
1.
B. Tonicidad
C. Elasticidad
D: Irritabilidad
A) CDBA
C) ABDC
E) ADCB
2.
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
( ) Recupera su forma inicial
después de una contracción.
( ) Responde
a
un
estímulo
generalmente
con
una
contracción.
( ) Acorta su longitud y aumenta su
grosor
( ) Siempre
conserva un ligero
estado de contracción.
5.
Compara las clases de tejido muscular.
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
6.
y B contracción rápida.
contracción lenta y B rápida
contracción rápida y B lenta
y B contracción lenta
y B contracción involuntaria
Identifica cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
al tejido muscular esquelético.
I.
II.
III.
B) VFFF
D) VVFF
Posee células polinucleadas.
Se inserta en los huesos mediante los tendones.
Carece de sarcómeras
A) I, II y III
C) I y II
E) I y III
7.
Su unidad anatómica y funcional es el sarcómero.
Está regulado por el sistema nervioso de relación
Presenta discos intercalares
Sus células son fusiformes.
Almacena glucógeno
Es fuente de calor
Es responsable del movimiento
Sus células se denominan histiocitos
A) VVVV
C) VVVF
E) FVFV
328
B) Sólo III
D) Sólo I
Identifica el criterio de verdad o falsedad de los siguientes
enunciados respecto al tejido muscular.
•
•
•
•
A) VFVF
B) VVFV
C) VVFF
D) FFFV
E) FVFV
Educación Rumbo al Bicentenario
B
Liso
Por su contracción se afirma que:
B) BCDA
D) CDAB
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones;
respecto al tejido muscular liso:
I.
II.
III.
IV.
B
y B poseen estructuras iguales.
tiene movimiento involuntario y B voluntario.
posee movimiento voluntario y B involuntario
y B presentan contracción lenta y voluntaria
y B presentan movimiento involuntario.
A
Esquelético
Contiene fibras largas cilíndricas
Posee células con núcleos periféricos
Está controlado por el sistema nervioso central
Su contracción es involuntaria
A) VVVF
C) VFFV
E) FVVF
Cardiaco
Con respecto a sus características se establece que:
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al tejido muscular esquelético.
I.
II.
III.
IV.
3.
A
Liso
Relaciona las propiedades del tejido muscular con su
definición:
A. Contractibilidad
Compara las clases de tejido muscular:
B) VFVF
D) FFVF
BIOLOGÍA
8.
Relaciona los tipos de neuronas, con sus respectivas
características.
N.
A.
Multipolar
Bipolar
(
(
D.
Monopolar
(
13. Identifica qué tipo de neuroglia se observa en la figura:
) un solo axón y muchas dendritas.
) posee una sola proyección que sale
del soma.
) una dendrita y un axón.
A) NAD
B) ADN
C) NDA
D) ADN
E) DAN
9.
A) Microglia
B) Astrocito
C) Célula ependimaria
D) Célula de Schwann
E) Oligodendrocito
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con relación a la fibra muscular estriada esquelética:
I.
II.
III.
IV.
Su membrana presenta invaginaciones llamadas
túbulos T.
La mioglobina es un pigmento que le da el color rojo.
Las miofibrillas están formados por miosina y actina.
La sinapsis que forma con la neurona se llama unión
mioneural.
14. Compara las siguientes neuroglias:
A
Microglia
Respecto a sus funciones se establece que:
A) FFVV
B) VVFF
C) VFVF
D) VVVV
E) FVFV
A) A
B) B
C) A
D) A
E) A
y B forman melina en el S.N. Central.
realiza fagocitocis y A nutre a la neurona
y B forman mielina en el S.N. Periférico
protege a la neurona y B nutre a la neurona.
realiza fagocitocis y B forma mielina en el S.N. Central
15. Compara las siguientes partes de la neurona:
10. Compara las siguientes estructuras nerviosas:
A
Encéfalo
B
Oligodendroglia
A
Dendritas
B
Retina del ojo
B
Axón
Con respecto a sus características se afirma que:
Con respecto a la conducción de los impulsos nerviosos, se
afirma que:
A) A y B solo están formados por neuronas motoras.
B) Las neuronas de A son unipolares y de B motoras.
C) A esta formado solo por neuronas motoras y B sensoriales.
D) A y B no tienen neuronas motoras.
E) A tiene neuronas multipolares y B sensoriales.
A) A
B) A
C) A
D) A
E) A
11. Identifica cuáles de los siguientes enunciados son correctos
respecto a las neuroglias:
I.
II.
III.
IV.
16. Identifica, cuáles de las
caracterizan al tejido muscular.
Se dividen por mitosis.
Son más numerosas que las neuronas.
Generan, conducen y transmiten los impulsos
nerviosos.
No se reproducen, solo se regeneran.
I.
II.
III.
proposiciones
Sus células contienen actina y miosina.
Es el tejido más abundante.
Almacena glucosa en forma de almidón.
17. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al tejido muscular liso.
12. Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados,
con respeto a la neurona:
II.
III.
IV.
siguientes
A) I, II y III
B) I y III
C) II y III
D) Sólo III
E) I y II
A) Sólo IV
B) II y III
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y IV
I.
y B de la periferie al soma.
de la periferie al soma y B del soma a la periferie.
del soma a la periferie y B de la periferie al soma.
del soma al telodendrón y B del telodendrón al soma.
y B del soma a la periferie.
I.
II.
III.
IV.
Especializada en la generación, conducción y
transmisión de impulsos nerviosos.
No se reproduce porque carece de centríolos.
Requiere un gran aporte de oxígeno y glucosa.
El soma o cuerpo celular posee abundante
neurofibrillas.
Su contracción es lenta
Presenta sarcómeras
Se localiza en las vísceras
Su movimiento es controlado por el sistema nervioso
vegetativo.
A) VFVF
B) VFVV
C) FVFV
D) FFVV
E) VFFV
A) VVVV
B) VFVF
C) VVFF
D) VVVF
E) FVFV
329
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
4. ¿Qué es un neurotransmisor?
18. Relaciona las neuroglias con sus funciones:
I.
Astrocitos
(
II.
Microglias
(
III.
Oligodendrocitos
(
IV.
Células de Schwann
(
) Sintetizan mielina en
el SNC
) Fagocitan sustancias
extrañas.
) Sintetizan
mielina en el SNP
) Nutren
a
las
neuronas
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
5.¿Porque se produce el Alzheimer?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
A) III, I, II, IV
B) I, II, IV, III
C) III, II, IV, I
D) IV,III, II, I
E)
II, III, I, IV
19. Identifica cuales de las siguientes proposiciones, caracterizan
a la neurona:
I.
II.
III.
IV.
“ La mente humana evolucionó
para creer en los dioses.
No evolucionó para creer en la biología”.
Es la unidad anátomo - funcional del tejido nervioso.
Los corpúsculos de Nissl sintetizan proteínas.
Sus dendritas generalmente están mielinizadas.
Su cuerpo celular contiene al núcleo rodeado de
citoplasma.
(Edward O. W ilson)
A) I, II y IV.
B) I y II
C) II, III y IV
D) I y III
E) I, II, III y IV
20. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones;
respecto al tejido muscular esquelético:
I.
II.
III.
IV.
El sarcómero es su unidad anatómica y funcional
Está regulado por el sistema nervioso de relación
Presenta discos intercalares
Sus células almacenan glucógeno
A) VFVF
B) VVFV
C) VVFF
D) FFVV
E) FVFV
1. ¿Qué es la fibrosis quística?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
2. ¿Qué es el potencial de membrana?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
3. ¿Qué es una caveola?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
Educación Rumbo al Bicentenario
330
ÁLGEBRA
BIOLOGÍA
TEJIDOS VEGETALES
12
La estructura básica de la célula vegetal y sus elementos presenta muchas diferencias a la célula animal. Las células similares
se organizan en unidades estructurales y funcionales llamadas
tejidos que constituyen en conjunto la planta
Los tejidos vegetales se pueden agrupar en dos grandes grupos:
los meristemáticos y los permanentes.
•
•
Tejidos Meristemáticos:
Llamados también embrionarios
Se encuentran en zonas de crecimiento (los meristemos).
Están formados por células en constante división.
Estos tejidos son responsables del crecimiento de la
planta, al realizarlo forman a los demás tejidos.
Los tejidos meristemáticos son dos, uno se encuentran
en los extremos (apices) de los tallos y las raíces
(meristemos apicales), donde causan el crecimiento
en longitud de los vegetales, el otro se encuentra en
las paredes de tallos y raíces (meristemos laterales),
donde inducen el crecimiento en grosor.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Protectores:
•
•
Llamados también tegumentarios.
Están formados por una o varias capas de células que
protegen las partes internas de la planta.
Los tejidos protectores son dos: la epidermis y la peridermis
La epidermis, está formada por una sola capa de células
vivas traslucidas (para dejar pasar la luz solar), protege
las partes jóvenes de la planta, tiene unas perforaciones
llamadas estomas que permiten el intercambio gaseoso.
La peridermis (suber o corcho) esta formada por varias
capas de células muertas cuyas paredes contienen suberina
(cera que las vuelve impermeables), protege las partes
viejas de la planta como los troncos, tiene perforaciones
llamadas lentícelas que permiten el intercambio gaseoso.
•
Llamados también adultos o permanentes.
A diferencia de los meristemáticos estos tejidos
generalmente no se dividen.
Sus células se especializan en funciones específicas.
Estos tejidos son cinco: los parenquimáticos, los de
sostén, los vasculares, los protectores y el secretor.
•
•
•
Tejidos Maduros:
paredes celulares con lignina. Transporta la savia bruta
(agua y sales minerales) desde las raíces hacia las hojas.
El floema.- o vaso liberiano, este tejido tiene dos elementos
de conducción muertos: las células cribosas y los tubos
cribosos, se llaman así porque presentan perforaciones
(cribas) en sus paredes para mantener conectados los
citoplasmas de las células contiguas. Transporta la savia
elaborada (contiene glucosa) desde las hojas hacia las otras
partes de la planta.
Secretor:
Parenquimáticos:
•
Llamados también fundamentales porque se encuentran en
toda la planta
Sus células están vivas (conservan su citoplasma).
Mantiene la capacidad de división celular durante la madurez
Existen dos tipos básicos: el parénquima fotosintético
(clorénquima o asimilador), se encuentra en las partes
verdes de la planta y es el que realiza la fotosíntesis; y el
parénquima incoloro, que se encuentra en las partes
internas de la planta y se encarga de almacenar diversas
sustancias como: almidón, agua, aire o aceites.
De sostén
Llamados también mecánicos
Están formados por células muy resistentes que forman el
armazón de la planta.
Existen dos tipos de tejidos de sostén: el colénquima y el
esclerénquima.
El colénquima, está formado por células vivas, sus paredes
celulares son delgadas y contienen celulosa, se encuentra
en las partes jóvenes de la planta donde brinda flexibilidad y
resistencia.
El esclerénquima, está formado por células muertas
(esclereidas y células pétreas) sus paredes celulares
acumulan lignina, se encuentra en las partes viejas de la
planta donde brinda dureza y rigidez,
•
Está formado por células vivas que producen diversas
secreciones.
Las estructuras secretoras son muy diversas, entre las que
podemos nombrar: los nectarios de las flores (producen
nectar), los tubos laticíferos (producen latex como el
caucho), etc.
Vasculares:
•
•
•
•
Llamados también de conducción.
Están formados por células cilíndricas que conducen la savia.
Hay dos clases de tejido vascular: el xilema y el floema.
El xilema, o vaso leñoso, está formado por dos clases tipos
de células muertas : traqueidas y vasos, estas células tienen
1.
Identifica ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
características del tejido meristemático?
I.
II.
III.
IV.
Se divide constantemente por mitosis.
Genera otros tejidos vegetales.
Permite el crecimiento de las plantas.
Está formado por células pequeñas con núcleos
grandes.
A) I y III
B) I, II, III y IV
C) III y IV
D) I y IV
E) I y II
2.
De los siguientes enunciados identifica las proposiciones
correctas respecto a los tejidos parenquimáticos:
I.
II.
III.
331
Llamados también tejidos fundamentales.
Formados por células vivas.
El asimilador está encargado de sintetizar compuestos
orgánicos a partir de compuestos inorgánicos.
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
A) Sólo II
B) I, II y III
C) Sólo I
D) Sólo III
E) I y III
3.
IV.
A) FFFV
C) FFFF
E) VFVF
Identifica el tejido vegetal que otorga dureza y rigidez a las
partes viejas de la planta:
9.
A) Floemático
B) Clorénquima
C) Esclerénquima
D) Colenquima
E) Parénquima reservante
4.
IV.
B
Aerífero
5.
y B almacenan almidón
en el lirio de agua y A en el cactus
almacena látex y B alcaloides
y B se conocen como rizodermis
es mecánico y A secretor
Identifica, ¿Cuáles de las
caracterizan el colénquima?
I.
II.
III.
siguientes
10. Compara las siguientes estructuras epidérmicas:
L
Lenticelas
proposiciones
A) L y E se encuentran en la epidermis y peridermis
respectivamente.
B) Ambos permiten el intercambio de agua.
C) A través de L ingresa el oxígeno y por E el anhídrido
carbónico.
D) L presentan ostiolo y E células suberosas.
E) L se ubican en el haz de las hojas y E en el envés.
11. Identifica, cuáles de los siguientes enunciados
incorrectos con respecto al tejido secretor:
Relaciona los tipos de tejido meristemático con su función:
U. Apical
C. Cambium suberoso
P. Cambium vascular
I.
II.
III.
( ) Origina tejidos protectores
( ) Origina tejidos vasculares
( ) Crecimiento en altura.
I.
II.
III.
IV.
Se encuentra en los ápices de la planta.
Responsable del crecimiento en grosor.
Transporta la savia elaborada.
Sus células se dividen constantemente.
13. Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
al floema:
Identifica el criterio de verdad o falsedad de los siguientes
enunciados con respecto a las características de los tejidos
vasculares:
I.
II.
III.
I.
II.
III.
El floema está constituido por la reunión de traqueidas.
Los vasos leñosos están formados por células
cribosas.
El xilema se encarga del transporte de la savia
Educación Rumbo al Bicentenario
Es un tipo de tejido embrionario.
Forma el armazón estructural de la planta.
También es denominado fundamental.
El xilema forma parte de él.
A) FVFV
B) VFVF
C) FFFF
D) FFVV
E) VVFV
A) VVVF
B) VFVF
C) FVFV
D) VFFV
E) FFFV
8.
Está formado por células vivas.
Produce diversas secreciones.
Los látex son producidos en los tubos laticíferos.
12. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto al tejido de sostén:
Identifica el criterio de verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones con respecto al tejido meristemático
secundario:
I.
II.
III.
IV.
son
A) I y II
B) II y III
C) I, II y III
D) I y III
E) Solo II
A) UPC
B) CPU
C) PUC
D) CUP
E) UCP
7.
E
Estomas
De acuerdo a su estructura y función, es correcto afirmar
que:
Constituido por células vivas.
Posee células con paredes fuertemente engrosadas
por lignina.
Brinda flexibilidad a partes jóvenes de la planta.
A) Sólo I
B) I y III
C) II y III
D) I, II y III
E) Sólo II
6.
La peridermis se origina del cambium suberoso.
Una modificación de la epidermis son las lenticelas.
Los estomas y tricomas son modificaciones de la
peridermis
La cutina es un pólisacárido que recubre la epidermis
y evita la pérdida de agua.
A) FVFV
B) FVVF
C) VFVF
D) FFVV
E) VFFF
Se establece que:
A) A
B) B
C) A
D) A
E) B
B) VVVF
D) VVFF
Identifica la veracidad o falsedad de los siguientes
enunciados con respecto a los tejidos protectores de los
vegetales:
I.
II.
III.
Al comparar los tejidos parenquimáticos de reserva:
A
Acuífero
elaborada.
El floema tiene un flujo bidireccional.
Formado por células muertas.
Presenta células acompañantes.
Transporta la savia bruta.
A) I , II y III
B) Solo II
332
BIOLOGÍA
C) I y III
D) Solo II
E) II y III
9.
A. Nectarios
B. Pelos glandulares
C. Tubos laticíferos
D. Hidátodos
A) DACB
B) CADB
C) DCAB
D) BADC
E) DABC
14. De
las siguientes proposiciones identifica cuáles no
caracterizan al tejido protector:
I.
II.
III.
La suberina, evita la perdida de H2O en las hojas.
La epidermis, está formado por células muertas.
Los estomas se ubican en la corteza de los árboles y
permiten el intercambio de gases.
A) I y II
B) I, II y III
C) I y III
D) Solo II
E) II y III
i.
ii.
iii.
iv.
1.
2.
3.
4.
5.
A. Meristemo primario ( ) Se ubica a lo largo de la raíz,
tallo y ramas.
B. Vaso leñoso ( ) Responsable del crecimiento longitudinal
de la planta.
C. Epidermis ( ) Revestida por una sustancia llamada
cutina.
D. Meristemo secundario ( ) Conduce la savia bruta.
A) ADBC
B) DCAB
C) ABCD
D) DACB
E) CBDA
)
)
)
)
Agua en forma líquida
Látex
Líquidos azucarados
Aceites esenciales.
Se divide constantemente por mitosis.
Genera otros tejidos vegetales.
Conduce savia bruta
Está formado por células pétreas
I y III
II, III y IV
III y IV
I y IV
I y II
1. ¿Qué es el metaxilema?
16. Compara los siguientes tejidos embrionarios:
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
S
SECUNDARIOS
Respecto a su función se determina que:
2. ¿Qué es un estoma?
A) P es responsable del crecimiento en grosor de la planta y
S del crecimiento en longitud.
B) P y S son responsables del crecimiento en grosor de la
planta.
C) P es responsable del crecimiento en longitud de la
planta y S del crecimiento en grosor.
D) P otorga flexibilidad y resistencia a la planta y S es
responsable del crecimiento en longitud.
E) P y S son responsables de la flexibilidad y resistencia en
las plantas.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
3. ¿Qué es la felodermis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones son
correctas con respecto al tejido fundamental:
I.
El tipo colenquimático realiza la fotosíntesis.
II.
Almacena diversas sustancias.
III. Formado por células con lignina
IV.
El tipo amiláceo contiene almidón
A) I y III
B) I, II y III
C) I y IV
D) II y IV
E) I, II y IV
4. ¿Qué es la cofia?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
5. ¿Qué es un etioplasto?
18. Compara los siguientes tejidos vegetales:
P
Clorenquimático
(
(
(
(
estructuras
20. Identifica ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
características del tejido meristemático?
15. Relaciona los siguientes tipos de tejidos vegetales, con su
respectiva característica y/o función:
P
PRIMARIOS
Relaciona correctamente
las siguientes
secretoras con las sustancias que producen:
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
M
Mecánico
Respecto a sus características o función se afirma que:
A) P transporta sustancias y M las sintetiza.
B) P y M son tejidos de secreción.
C) P tienen función protectora y M de sostén.
D) P se encarga de la fotosíntesis y M forma el esqueleto de
la planta.
E) P da flexibilidad a las plantas y M resistencia.
333
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
NUTRICIÓN AUTÓTROFA
13
FOTOSÍNTESIS
grasos.
ECUACION GENERAL
La fotosíntesis es un proceso celular por el cual la mayoría de organismos autótrofos producen sustancias orgánicas. Es realizada
por las plantas pero también por algas y ciertas bacterias (cianobacterias). En este proceso se utiliza la energía luminosa como
fuente de energía para poder transformar sustancias inorgánicas
(CO2 y H2O) en compuestos orgánicos (Glucosa), además libera
oxígeno.
En las plantas este proceso ocurre en el clorénquima, (variedad
de parénquima cuyas células contienen abundantes cloroplastos)
es decir en las partes verdes.
12H2O + 6CO2
Nutricion Heterótrofa:
La Digestión en los animales
El sistema digestivo es un conjunto de órganos encargados de
la transformación mecánica y química de los alimentos, de esta
forma podemos aprovechar ciertas sustancias (nutrientes) de
nuestros alimentos.
En los animales, existen dos tipos de sistemas digestivos: el incompleto y el completo.
• Sistema digestivo incompleto:
Llamado también celenterónico.
Presenta un solo orificio que funciona como boca y ano
a la vez, es decir por el ingresan los alimentos y también
salen los desechos.
• Sistema digestivo completo:
Llamado también enterónico.
Es más especializado que el anterior.
Tiene dos aberturas: una boca por donde ingresan los
alimentos y un ano por donde salen los desechos.
Los cloroplastos:
• Son organelos especiales de las células vegetales
• Tienen dos membranas que rodean un espacio interno
llamado estroma.
• La membrana externa rodea al organelo aislándolo del
citoplasma.
• La membrana interna se pliega varias veces hacia adentro
formando un sistema de membranas en forma de sacos
aplanados, circulares, semejantes a monedas llamados
tilacoides, los cuales se encuentran apilados formando
una grana.
• Dentro de los tilacoides se encuentran los cuantosomas
(unidades fotosintéticas), estos están formados por
pigmentos asociados a proteínas integrados a la
membrana tilacoidal.
• El principal pigmento fotosintético es la clorofila (contiene
Mg), captura la energía luminosa y la transforma en
energía química.
01. Sistemas digestivos en los invertebrados:
Los poríferos no tienen sistema digestivo, su digestión
seda directamente en sus células (digestión intracelular).
Los celenterados y platelmintos tienen sistema
digestivo incompleto:
Los celenterados presentan una cavidad digestiva llamado
celenterón,
La planaria (platelminto), tienen una faringe evaginable
(se puede proyectar fuera del cuerpo)
La tenia (platelminto) no tiene sistema digestivo.
Los
nemátodos,
moluscos,
artrópodos
y
equinodermos tienen sistema digestivo completo:
La lombriz intestinal (nematodo) tiene una faringe
succionadora.
El caracol (molusco) tiene una lengua quitinosa que se
llama rádula.
Los insectos (artrópodos) tienen un aparato bucal
especializado para su alimentación.
La estrella de mar (equinodermo) tiene estómago
evaginable, es decir puede salir de su cuerpo.
El erizo de mar (equinodermo) presenta un aparato bucal
llamado “Linterna de Aristóteles”
La fotosíntesis se realiza en dos etapas o fases: la luminosa
y la oscura.
Fase Luminosa (REACCIÓN DE HILL)
• Ocurre en la membrana de los tilacoides en los
cuantosomas.
• Requiere de energía luminosa
• La luz solar es absorbida por la clorofila, la cual pierde sus
electrones.
• La energía absorbida provoca la ruptura de las moléculas
de agua (fotólisis del agua), como consecuencia se libera
O2 y electrones.
• Los electrones (de las moléculas de agua) son transferidos
por la cadena transportadora de electrones para formar
NADPH2
• También se forma ATP.
02. Sistemas digestivos en los vertebrados:
Son los más especializados, su estructura y
funcionamiento van ligados a su función en el ecosistema
(nicho ecológico)
Presentan un tubo con varios segmentos y glándulas
anexas.
El tubo digestivo es más largo en los herbívoros que en
los carnívoros.
Fase Oscura (CICLO DE CALVIN)
• Se lleva a cabo en el estroma del cloroplasto.
• No requiere de energía luminosa, es más, es independiente
de esta.
• En este proceso se fijan moléculas de CO2 a la ribulosa
(compuesto orgánico que tiene 5 carbonos) usando el
ATP y NADH2 formados en la fase luminosa.
• Su producto final son moléculas de PGA, ácido
fosfoglicerico (molécula orgánica que tiene 3 carbonos).
• La unión de 2 PGA
forma una molécula de glucosa.
• Los PGA también pueden producir otros compuestos
orgánicos como celulosa, aminoácidos y ácidos
Educación Rumbo al Bicentenario
C6H12O6 + 6O2 + 6H2O
Peces:
•
•
•
•
334
Su estómago es muy reducido.
La digestión se realiza en el intestino
No poseen glándulas salivales sino mucosas
Presentan hígado y páncreas
BIOLOGÍA
• Al final del intestino hay una glándula rectal para la
eliminación del exceso de sales.
E) Esponjas y tenia
3.
Reptiles:
Identifica que alternativa es correcta respecto a la digestión
del animal que se muestra.
• Su estómago es globular que interviene en la trituración
del alimento y en la digestión química (producción de
enzimas).
• El intestino desemboca en la cloaca.
• Presentan hígado y páncreas
Anfibios:
• Son depredadores.
• Tienen una boca ancha con lengua que produce
secreciones pegajosas.
• Tienen estómago tubular e intestino delgado y grueso, el
cual termina en la cloaca.
• Tienen hígado y páncreas
Aves:
A) Tiene sistema digestivo incompleto.
B) Posee sistema digestivo completo.
C) Carece de sistema digestivo.
D) Presenta citopigio para la excreción.
E) En su boca presenta rádula.
• En su tubo digestivo tienen buche, proventrículo, molleja
e intestino
• En el buche se almacenan sus alimentos.
• El proventrículo es el verdadero estómago ya que segrega
las enzimas digestivas
• La molleja es el estómago mecánico, porque aquí se
muelen los alimentos gracias a sus paredes musculares
gruesas y a las ocasionales piedras que las aves ingieren.
• Su intestino termina en la cloaca
• Tienen hígado y páncreas
4.
A. Llama
B. Sapo
C. Trucha
D. Paloma
A) DCBA
B) ABCD
C) BCDA
D) CDAB
E) BADC
Mamíferos: En los mamíferos se puede notar dos casos: el
de los herbívoros y el de los carnívoros:
• Mamíferos herbívoros:
Tienen un intestino muy largo y delgado, por que la
digestión de los vegetales es muy larga y lenta debido a
que tienen celulosa.
Los herbívoros rumiantes, como las vacas y las ovejas,
poseen un estómago con cuatro cavidades que les
permiten digerir mejor la celulosa: la panza, el bonete,
el libro y el cuajar. El cuajar es el verdadero estómago de
los rumiantes, porque segrega el jugo gástrico.
• Mamíferos carnívoros:
Tienen un sistema digestivo más corto lo que facilita la
digestión de la carne
La digestión se realiza en el estómago y en el intestino.
Sus glándulas anexas son las salivales, el hígado y el
páncreas.
1.
5.
(
(
(
(
)
)
)
)
Lengua protráctil
Cuajar
Proventrículo
Boca ventral
Compara:
O
Oscura
L
Luminosa
Respecto a las fases de la fotosíntesis se afirma que:
A) O genera ATP y L, la consume.
B) O se realiza en los tilacoides y L en los estomas.
C) O corresponde a la reacción de Hill y L, al ciclo de Calvin.
D) En O se libera oxígeno y en L, glucosa.
E) Durante L se genera ATP y en O glucosa.
NIVEL II
6.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a la digestión en los vertebrados.
I.
Las tortugas son heterodontos.
II.
Las aves poseen estómago bilobular.
III. Los condrictios poseen intestino en espiral.
IV.
Los cocodrillos son homodontos.
A) VVFF
B) FFVV
C) FVFV
D) VVVV
E) FVVV
Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
la fase luminosa de la fotosíntesis:
I.
Ocurre en la tilacoides.
II.
Por fotólisis el agua libera O2.
III. También se denomina reacción de Hill.
IV.
En ella se da la fotofosforilacion.
A) I, II y IV
B) I, II, III y IV
C) Sólo II
D) II, III, y IV
E) I, II y III
2.
Relaciona los animales con el órgano digestivo que presentan
7.
De los siguientes organismos, cuáles presentan sistema
digestivo incompleto.
Identifica cuales de los siguientes animales presentan
sistema digestivo incompleto:
A) Esponja y ameba
B) Choro y caracol
C) Araña y pulpo
D) Hidra y planaria
A) B y C
C) A y B
335
B) A Y C
D) A y C
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
E) C y D
8.
P. Medusa
Compara:
Q
Quimiosíntesis
A) CUPN
B) CUNP
C) PUNC
D) NUCP
E) UPCN
F
Fotosíntesis
Respecto a los organismos que lo realizan
que:
se
afirma
14. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al sistema digestivo de los peces:
A) Q es propia de los protozoarios y F de las algas.
B) Q y F no la realizan las bacterias.
c) Q es propia de bacterias y F de las algas.
D) Q utiliza energía solar y F energía química.
E) Q la realizan los animales y F las plantas.
9.
I.
Los osteictios presentan válvula en espiral.
II.
Los condrictios tienen tiflosol.
III. La boca terminal es característico de los osteictios.
IV.
Son adontos.
A) VFVF
B) FVVF
C) VVVF
D) VFFV
E) FVVV
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto a la fotosíntesis:
I.
II.
III.
IV.
( ) Proboscide
En la fase luminosa se forma la glucosa.
El agua se descompone en la fase fotoquímica.
En el ciclo de Calvin se realiza la
carboxilación.
La fase oscura se lleva a cabo en el tilacoide.
15. Compara las siguientes estructuras digestivas:
A
Estómago evaginable
A) VVVF
B) VVFF
C) FVVF
D) VFVF
E) FFVF
B
Linterna de aristóteles
Con relación a los animales que las presentan
que:
afirma
a) A y B en los anélidos
b) A en los moluscos y B en insectos.
c) B en el cangrejo y A en caracol.
d) A en la estrella de mar y B en el erizo de mar
e) B en el lirio de mar y A en el pepino de mar.
10. Identifica, cuál de los siguientes tipos de nutrición
corresponde al organismo que se nutre a partir de materia
orgánica descompuesta de origen vegetal:
A) Parásito
B) Necrófago
C) Saprozoico
D) Saprofítico
E) Omnívoro
16. Identifica, cuáles son correctas respecto a la nutrición
autótrofa:
I.
II.
III.
La fotosíntesis y quimiosíntesis son sus tipos.
Es un proceso anabólico.
En la fase oscura de la fotosíntesis se sintetiza
glucosa.
IV.
La carboxilación ocurre en la fase luminosa de la
quimiosíntesis.
A) I y III
B) I y II
C) I, II, III
D) II y III
E) Sólo I
11. De las siguientes proposiciones identifica cuáles caracterizan
a la digestión de los animales invertebrados:
I.
II.
La tenia carece de sistema digestivo.
Los celentéreos poseen sistema
digestivo
incompleto.
III. Los anélidos pueden sacar el estómago del cuerpo.
IV.
Los bivalvos presentan rádula como órgano raspador
de los alimentos.
A) II y IV
B) I, II y III
C) I, II y IV
D) I y III
E) I y IV
17. Identifica cuál de las siguientes proposiciones con respecto
al sistema digestivo en invertebrados es falsa:
A) El ósculo es el orificio de los poríferos por donde expulsan
sus desechos.
B) Los nematocistos de celentéreos sirven para almacenar
alimentos.
C) Los ciegos gástricos en insectos elaboran enzimas
digestivas.
D) Los moluscos bivalvos carecen de rádula.
E) Los erizos de mar presentan la linterna de Aristóteles.
12. Relaciona las fases de la fotosíntesis con los procesos que se
dan en ellas:
1.
Luminosa.
2.
Oscura.
( ) Transporte de electrones
( ) Lisis del agua.
( ) Activación de la ribulosa.
( ) Regeneración de la ribulosa.
A) 1212
B) 1221
C) 1122
D) 2211
E) 2221
18. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al sistema digestivo en invertebrados:
I.
Las esponjas realizan digestión intracelular.
II.
Los nematodos, poseen sistema digestivo incompleto.
III. El aparato bucal del zancudo consta de estilete.
IV.
Las planarias poseen estómago evaginable.
A) VVFF
B) VFVF
C) VVVV
D) FVFV
E) FFVV
13. Relaciona los siguientes organismos con las estructuras
digestivas que presentan:
U. Araña
N. Planaria
C. Tiburón
se
( ) Tiflosol
( ) Quelíceros
( ) Celenterón
Educación Rumbo al Bicentenario
336
BIOLOGÍA
19. Identifica en el siguiente gráfico la estructura digestiva que
señala “x”.
“ El más poderoso antígeno en la biología
humana es una idea nueva”.
A) Tiflosol
B) Buche
C) Proventrículo
D) Coanocito
E) Ciego
(Autor desconocido)
20. Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados
respecto a la fotosíntesis.
I.
Es un proceso catabólico
II.
Realizada por autótrofos y heterótrofos.
III. La fase oscura ocurre en el estoma
IV.
En la fase luminosa se da la fijación de CO2
1. VFVF
2. FFFF
3. FFVF
4. VFFF
5. FVVF
1.
¿Qué función tiene la molleja en las aves?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
2.
¿Que es la ranfoteca?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
3.
¿Qué son los quelíceros?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
4.
¿Qué es la rádula?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
5.
¿Qué es un nematocisto?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
337
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
ÁLGEBRA
SISTEMA DIGESTIVO HUMANO
14
• Conjunto de órganos encargados de la digestión
(transformación mecánica y química) de los alimentos.
• Esta constituido por dos partes: el tracto digestivo y las
glándulas anexas.
• Se divide en 3 regiones, Rinofaringe, Orofaringe,
Laringofaringe.
• Tiene función mixta ya que por ella pasa el bolo
alimenticio y el aire.
01. Tracto digestivo.- Constituido por la boca, faringe,
esófago, estómago, intestino delgado y el intestino grueso.
1.3 El esófago:
• Es un conducto tubular que mide aproximadamente 25
cm
• Comunica la faringe con el estómago
• Transporta del bolo alimenticio desde la faringe hasta el
esófago mediante sus movimientos peristálticos
1.1 La boca:
• Cavidad situada debajo de la nariz
• Contienen a los órganos de la masticación: los dientes y
la lengua.
• Los dientes son órganos muy duros que tienen por
función desmenuzar los alimentos. Cada diente tienen
tres partes: la corona el cuello y la raíz. Hay cuatro tipos
de dientes: los incisivos, los caninos, los premolares y
los molares. Existen dos tipos de dentición, una cuando
somos niños, los dientes de leche, estos son 20, luego
son reemplazados por los dientes permanentes que son
32 incluyendo los dientes de juicio.
1.4 El estómago:
• Parte más dilatada del tracto digestivo.
• Tiene la forma de una "J".
• Sus paredes están formadas por capas gruesas de tejido
muscular.
• Sus paredes poseen células especiales que producen el
jugo gástrico (formado por mucina, ácido clorhídrico y
pepsina).
• Almacena temporalmente los alimentos.
• Forma el quimo (el bolo alimenticio se transforma en
quimo por acción del jugo gástrico).
• Inicio de la digestión de la proteínas por acción de la
pepsina (enzima).
• Tiene función defensiva, gracias a la acción antimicrobiana
del ácido clorhídrico.
• Absorbe ácidos grasos, agua, iones y alcohol.
1.5 El intestino delgado:
• Es la porción más delgada pero a su vez más larga del
tubo digestivo,
• Mide aproximadamente de 6 a 8m de largo.
• Tiene 3 partes: el duodeno, el yeyuno y el ileon
• Produce el jugo intestinal.
• En él se transforma el quimo en quilo (quilificación), en
esta sustancia los alimentos
han sido degradados hasta nutrientes.
• Absorbe los nutrientes.
• La lengua es un órgano muscular que tiene células
especiales para percibir los distintos estímulos gustativos.
• La boca decepciona la saliva producida por las glándulas
salivales, gracias a la salivación y la masticación aquí se
forma el bolo alimenticio.
1.6 Intestino Grueso:
Tubo musculoso de mayor diámetro que el delgado.
Mide aproximadamente 1, 5 m.
Presenta numerosas abolladuras (haustras)
Tiene tres partes: Ciego (tiene al apéndice vermiforme),
el colon (ascendente,
transverso, descendente y el sigmoideo) y el recto (finaliza
en el ano).
• Forma, almacena y evacua las heces (gracias a la
reabsorción de agua y
producción de moco).
• Síntesis de vitamina K (gracias a la flora bacteriana).
•
•
•
•
02. Glándulas Anexas
Glándulas que con su secreción ayudan en el proceso de digestión. Son tres: salivales, el hígado y el páncreas.
2.1 Glándulas Salivales.- Son tres:
1.2 La faringe:
1. Parótidas:
• Son las más grandes
• Se ubican en las mejillas por debajo y delante del pabellón
• Es un tubo fibromusculoso corto en forma de embudo
• Mide aproximadamente 12 cm
Educación Rumbo al Bicentenario
338
BIOLOGÍA
Vesícula biliar.- Saco relacionado al hígado
Almacena y concentra la bilis
auricular.
• Su conducto se denomina el de Stenon (finaliza a la altura
del segundo molar superior).
2. Submaxilares:
• Se encuentran debajo del maxilar superior.
• Son las que elaboran la mayor cantidad de saliva.
• Su conducto se denomina el de Wharton (finaliza en la
base del frenillo lingual).
3. Sublinguales:
• Se encuentran debajo de la lengua.
• Son las más pequeñas.
• Su conducto se denomina el de Rivinus o Bartholin.
Saliva:
• Secreción serosa – mucosa.
• Se produce aproximadamente 1,5 litros por día.
• Contiene: agua, mucina, sales y enzimas
lizocima que destruye microorganismos
ptialiana o amilasa salival que degrada glúcidos.
• Ayuda en la formación del bolo alimenticio.
Bilis.- Líquido verde amarillento.
Compuesto por agua y sales biliares
Aproximadamente se producen 1 litro por día.
Emulsifica las grasas (divide las grandes gotas de grasa).
Evita la putrefacción intestinal de los alimentos.
2.3 El Páncreas:
• Glándula mixta que se ubica debajo y detrás del
estómago.
• Su porción exocrina esta representada por los acinis
pancreáticos.
• Vierte su producto en la ampolla de Vater a través del
conducto de Wirsung.
• Produce el jugo pancreático el que está compuesto por:
- Agua.
- Bicarbonato (neutraliza la acidez del quimo)
- Principales enzimas digestivas: amilasa pancreática,
lipasa pancreática, peptidasas y nucleasas.
2.2 El Hígado:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Es la glándula más voluminosa del cuerpo.
Se encuentra en el lado derecho del abdomen.
Tiene cuatro lóbulos.
Esta recubierto por la cápsula de Glisson (tejido
conjuntivo).
Produce bilis.
Realiza hematopoyesis fetal (forma células sanguíneas en
la etapa fetal).
Degrada drogas y venenos (destoxificación)
Forma glucógeno a partir de glucosas (Glucogénesis).
Degrada el glucógeno en glucosas (Glucogenólisis).
Síntetiza proteínas
Almacena Fe.
Almacena vitaminas ( A, B12, D, K y E)
Destruye de glóbulos rojos viejos (Hemocateresis)
Almacena glucógeno.
Los alimentos:
Sustancias que al ser ingeridas cumplen funciones
específicas en el organismo:
• Reconstruyen e intervienen en el crecimiento del
organismo.
• Fuente de calor y energía para el metabolismo.
• Regulan funciones corporales.
Clasificación
Energéticos
(Proporcionan
energía)
Alimentos
Contienen glúcidos y lípidos
(tubérculos
y
aceites
vegetales)
Constructores
o Plásticos
No Energéticos
(No proporcionan
energía)
(Reconstruyen
y reparan el
organismo)
Reguladores
(Regulan
funciones y el
equilibrio
interno)
339
Contienen proteínas
(carnes, queso, leche,
etc.)
Contienen agua, sales
y vitaminas (verduras y
frutas)
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
Vitaminas:
Compuestos orgánicos que se necesitan en pequeñas cantidades.
La mayoría son de origen vegetal.
Se eliminan en
la orina, se
requieren
constantemente
Hidrosolubles
Vitamina C y del
complejo B
Vitaminas
Se almacenan en
el hígado
Liposolubles
Vitaminas A, D, K y E
Clasificación:
Vitamina
1.
Nombre
Enfermedad por deficiencia
A
Retinol
Xeroftalmia
Zanahoria, hígado
B1
Tiamina
Anorexia, beri –beri
Levadura de cerveza
B2
Riboflavina
Conjuntivitis, dermatitis
Levadura de cerveza
B3
Niacina
Pelagra
Levadura de cerveza
B9
Ac. Fólico
Anemia Megaloblástica
Hígado, hortalizas
B12
Cianocobalamina
Anemia Perniciosa
Hígado, harina de pescado
C
Ac. Ascórbico
Escorbuto, gingivitis
Frutas cítricas
D
Calciferol
Raquitismo, osteoporosis, osteomalacia
Leche, huevos, hígado de bacalao
E
Tocoferol
Esterilidad
Aceites vegetales
K
Foliquinona
Hemorragias
Verduras verdes
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones con respecto a las glándulas salivales:
I. Las parótidas son las más grandes.
II. Su secreción contiene lisozima y ptialina.
III. La submaxilar produce la mayor cantidad de saliva.
IV. Son consideradas glándulas endocrinas.
A) VVVF
B) FFVV
C) FFFF
2.
D) VVFF
Identifica , cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan al hígado:
I. Es la glándula más voluminosa del cuerpo.
II. Es una glándula anficrina.
III. Se ubica en el hipocondrio izquierdo.
IV. Su conducto se denomina colédoco.
A) I y II
B) I, II y IV
C) Solo I
D) II y III
E) I, II, III y IV
3.
Fuente
Relaciona los siguientes órganos del tubo digestivo con sus respectivas funciones:
A. Estómago
B. Intestino delgado
C. Esófago
D Intestino grueso
(
(
(
(
)
)
)
)
Produce la naftoquinona
Evita el reflujo gástrico
Produce el factor intrínseco de Castlé
Produce la secretina.
A) CDBA
C) CDAB
E) DCBA
B) DCAB
D) BCDA
Educación Rumbo al Bicentenario
340
E) VFVF
BIOLOGÍA
4.
Compara los tipos de intestinos:
D
Delgado
10. Compara las siguientes glándulas salivales:
G
Grueso
A
Parótidas
Con relación a sus funciones o clasificación se determina
que:
Luego se afirma que:
A) A drena la saliva por el conducto de Wharton y B por el
Stenon.
B) La secreción de A es de tipo seromucosa y de B, serosa.
C) A y B se ubican debajo de la lengua.
D) A sintetiza saliva serosa y B, saliva seromucosa.
E) A producen mayor cantidad de saliva que B.
A) D absorbe agua y electrolitos y G finaliza la digestión de
carbohidratos, proteínas y lípidos.
B) D finaliza la digestión de carbohidratos, proteínas y
lípidos y G absorbe agua y electrolitos.
C) D y G tienen haustras.
D) D y G elaboran el jugo intestinal
E) D y G finalizan la digestión de carbohidratos, proteínas
y lípidos.
5.
11. Compara las siguientes células que componen los islotes de
Langerhans:
A
Células G
Relaciona las siguientes estructuras del tubo digestivo con
su respectiva función:
A. Vesícula biliar
B. Intestino grueso
(
) Produce vitaminas por acción de su flora bacteriana.
(
) Concentra la bilis.
(
) Almacena las heces.
(
) Realiza movimientos de propulsión.
A) ABAB
B) BAAB
C) AABB
D) BABB
E) ABBA
6.
7.
12. Identifica, cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
a los dientes:
I.
El esmalte es producido por los ameloblastos.
II. La dentina es el tejido más duro de todo el organismo.
III. El ser humano es difiodonte.
IV. Los incisivos sirven para cortar.
A) I y III
B) I y IV
C) I, III y IV
D) I, II y III
E) II y III
Realiza la formación del quimo.
En el interior presenta placas de Peyer.
Sintetiza el factor intrínseco de Castlé.
Inicia digestión de carbohidratos.
A) FFVV
C) VFVF
E) VVVV
B) VFFV
D) FVFV
13. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no corresponde al
estómago?
Identifica cual de las siguientes proposiciones es incorrecta
respecto al intestino delgado:
A) Elabora y libera jugo gástrico que al mezclarse con el bolo
alimenticio forma el quimo.
B) Inicia la digestión de las proteínas.
C) Destruye gérmenes gracias a la acidez del HCl.
D) Sus células oxínticas producen el factor intrínseco.
E) Finaliza la digestión de carbohidratos y lípidos.
A) Presenta a las glándulas de Lieberkhun.
B) Tiene epitelio pseudoestratificado.
C) En el duodeno se ubican las glándulas de Bruner
D) Las placas de Peyer se encuentra en el ileon.
E) Realiza la absorción de los nutrientes.
8.
Identifica cuál de las siguientes proposiciones son correctas
con respecto al páncreas.
I.
II.
III.
IV.
9.
14. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al tubo digestivo humano:
Presente el conducto de Santorini.
La porción exocrina está constituido por los acinos
pancreáticos.
Secretan jugo pancreático y lo vierte al duodeno.
Los islotes de Langerhans producen el jugo
pancreático.
A) I y III
C) I y II
E) I, II y IV
B
Células FF
a) A y B producen la insulina.
B) A produce glucagón y B somatostatina.
C) B produce STH y A insulina.
D) La secreción de A y B regulan la producción de
somatotropina.
E) B produce el polipeptido pancreático y A una hormona
que estimula la producción de HCl.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al estómago.
I.
II.
III.
IV.
B
Submaxilares
I.
II.
III.
IV.
B) I, II y III
D) II y III
La rinofaringe tienen función mixta.
La boca por la parte posterior se comunica con la
faringe a través del istmo
de las fauces.
El esófago presenta las placas de Peyer.
Las porciones del esófago son: cervical, toráxica,
diafragmática y abdominal.
A) VFVF
C) FFVF
E) FFFF
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al hígado.
B) VVFV
D) FVFV
15. Relaciona las glándulas anexas del sistema digestivo con su
respectivo conducto.
I.
Se localiza en el hipocondrio izquierdo.
II.
Sus hepatocitos producen bilis.
III. Realiza la glucogénesis y la glucogenólisis.
IV.
Sus unidades funcionales son los lobulillos hepáticos.
A) FVFV
B) FFVV
C) VVFF
D) VFVF
E) FVVV
A. Páncreas
B. Hígado
C. Parótida
D. Submaxilar
A) DCBA
B) ABCD
C) BCDA
D) CABD
E) BADC
341
(
(
(
(
)
)
)
)
Stenon
Wirsung
Hepático
Wharton
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
22. ¿Cuál es función de la secretina?
16. Identifica, cuáles de los siguientes animales tienen sistema
digestivo celenterónico:
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
I.
Planaria
II.
Tenia
III. Medusa
IV.
Caracol
A) I, II y III
B) I y III
C) II y IV
D) Solo I
E) Solo IV
23. ¿Dónde se encuentran las células de Kupffer?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Identifica cuáles de las siguientes proposiciones son
funciones del intestino grueso:
24. ¿Qué hormonas produce el intestino delgado?
I.
Quilificación.
II.
Reabsorción de agua.
III. Producción de moco.
IV.
Producción de vitamina K gracias a su flora bacteriana.
A) I, II y III
B) I, III y IV
C) II, III y IV
D) I, II, y IV
E) I, II, III y IV
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
25. ¿Qué es la peritonitis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
18. Identifica cuáles de las siguientes proposiciones caracterizan
al páncreas:
“ Muchas diferencias tienen sus raíces
en la biología y refuerzan
a través de la cultura”.
I.
Su conducto principal es el de Winsung.
II.
Es la glándula más voluminosa del cuerpo.
III. Su porción endocrina son los acinos pancreáticos.
IV.
Está rodeado por la cápsula de Glison.
A) Solo I
B) II, III y IV
C) III y IV
D) I, III y IV
E) II y III
(Dee Dee Myers)
19. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
respecto a los dientes:
I.
Los odontoblastos forman la dentina.
II.
Se implantan en los alvéolos dentarios.
III. La dentición temporal en total 24
IV.
Los molares permiten cortar el alimento.
A) VVVV
B) VVFF
C) VVFF
D) FFVV
E) FVFV
20. Identifica, la verdad
o falsedad
de las siguientes
proposiciones con respecto a las características del hígado:
I.
Glándula mixta ubicada en el hipocondrio izquierdo.
II.
Produce bilis que emulsifica las grasas
III. Su unidad funcional se denomina lobulillo hepático.
IV.
Tiene función hematopoyética y uropoyética.
A) VFVF
B) VVVV
C) FVVV
D) VVFF
E) FVFV
21. ¿Qué es la gingivitis?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
Educación Rumbo al Bicentenario
342
ÁLGEBRA
BIOLOGÍA
LA CIRCULACIÓN EN LOS ANIMALES
15
Sistema Circulatorio Humano:
Conjunto de órganos encargados de mantener en constante circulación la sangre.
Está formado por el corazón y los vasos sanguíneos:
La circulación permite fundamentalmente distribuir los nutrientes
y el oxígeno a las células y recoger las sustancias de desechos
y transportarlas a los órganos excretores. En los animales más
sencillos como las esponjas, los celenterados, platelmintos, nematodos, no existe ningún sistema circulatorio, pues los nutrientes y el oxígeno llegan directamente a todas sus células. Sin embargo, la mayor parte de los animales necesitan de un sistema
circulatorio conformado por:
• Un fluido circulante que transporta las sustancias (sangre,
hemolinfa, hidrolinfa);
• Un sistema de conductos constituido por órganos tubulares
por donde circula el fluido y
• El corazón que bombea constantemente el fluido circulante.
Sistemas Circulatorios:
•
•
Consisten, básicamente, en una red de conductos por los
que circula un fluido y una o varias bombas que lo impulsan.
Varía en estructura y complejidad en los diferentes animales,
debe asegurar el adecuado aporte de sangre a las distintas
partes del organismo.
Existen dos tipos básicos de sistema circulatorio: el abierto y
el cerrado.
Abierto o lagunar: Donde el fluido es transportado por
vasos carentes de capilares, este fluido se vierte directamente
a lagunas tisulares denominadas celomas (hemocele). Es el
caso de algunos moluscos y artrópodos.
Cerrado: En este caso existen capilares que conectan
arteriolas y vénulas, formando un circuito cerrado con
el corazón, este tiene una posición ventral. Este tipo de
sistema se encuentra en invertebrados como los anélidos,
equinodermos, los pulpos, y todos los vertebrados. A
su vez puede ser:
Simple: si tiene un solo circuito, es decir la sangre pasa
una sola vez por el corazón. Se encuentra en los peces. El
corazón tiene sólo una aurícula y un ventrículo.
Doble: si tiene dos circuitos, la sangre pasa dos veces por el
corazón. Puede ser:
Incompleta: Cuando la sangre venosa y arterial se mezclan
en forma total o parcial en el corazón, caso de los anfibios
y reptiles.
Completa: En este caso no se produce mezcla de sangre
arterial con venosa, está presente en aves y mamíferos.
Tanto la aurícula como el ventrículo están divididos en dos
cámaras separadas una bombea la sangre pobremente
oxigenada hacia los pulmones y la otra bombea la sangre
rica en oxígeno hacia los tejidos del cuerpo.
El Corazón:
-
-
-
343
Es un órgano muscular hueco que funciona como una bomba
aspirante e impelente que pone en movimiento la sangre
por los vasos sanguíneos.
Está ubicado en la parte media del tórax, en el mediastino
(espacio que dejan los pulmones).
Pesa aproximadamente de 275 g.
El corazón presenta tres capas formando sus paredes:
endocardio, miocardio y epicardio. El pericardio es un saco
fibroso que lo envuelve.
El corazón presenta cuatro cavidades dos superiores o
aurículas y dos inferiores o ventrículos; el corazón esta
dividido en dos partes por el tabique interaurículoventricular
o septum. Cada aurícula se comunica con su respectivo
ventrículo mediante válvulas válvula tricúspide a la derecha
y válvula bicúspide o mitral al lado izquierdo.
El corazón se mueve independientemente de nuestra
voluntad a través del sistema nodal.
El ciclo cardíaco está representado por el latido cardíaco
y corresponde a una sístole (contracción) y una diástole
(dilatación).
Los ruidos cardíacos son dos. El primer ruido cardíaco se da
cuando las válvulas mitral y tricúspide se cierran, el segundo
ruido cardíaco se da cuando las válvulas sigmoideas (aórtica
y pulmonar) se cierran.
La frecuencia cardiaca es el número de latidos que da el
corazón en un minuto, 70 como promedio.
El gasto o débito cardíaco, es el volumen de sangre
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
-
-
bombeado por el corazón en un minuto, aproximadamente 5
litros de sangre por minuto.
La presión arterial, es la fuerza ejercida por la sangre sobre
las paredes de las arterias, u valor máximo o sistólico es de
120 mm de Hg y el mínimo o diastólico es de 70 mm Hg.
-
Son convergentes (se van uniendo).
Presentan válvulas en todo su recorrido.
Transportan sangre venosa (con CO2), excepto las venas
pulmonares
Su dilatación anormal se denominan várice.
Los capilares:
• Son los vasos sanguíneos más pequeños y numerosos.
• Están formados por las finalizaciones de las arterias
(arteriolas) y los inicios de las venas (vénulas).
• La sangre a través de ellos circula muy lentamente, lo
que permite el intercambio de sustancias.
El pulso arterial, son los movimientos pulsativos de las
arterias, su valor es semejante a la frecuencia cardiaca, es
decir 70 pulsaciones por minuto en promedio.
Los Vasos Sanguíneos:
Órganos tubulares a lo largo de los cuales fluye la sangre, estos
son tres:
1.
Identifica el animal con sistema circulatorio cerrado:
A) Caracol
B) Almeja
C) Abeja
D) Mosca
E) Pulpo
2.
El foramen de Panizza se encuentra en:
A) La tortuga
B) El cocodrilo
C) Un pez
D) Una ave
E) Pulpo
3.
A) No tiene capilares
B) El fluido sale de los vasos
C) Es llamado también lagunar
D) Lo tienen todos los moluscos.
E) En los insectos el corazón es tubular.
Las arterias:
-
Se inician en los ventrículos y terminan en los capilares.
Soportan alta presión sanguínea.
Son divergentes (se van dividiendo)
Presentan válvulas en su origen
Transportan sangre arterial (con oxígeno), excepto la arteria
pulmonar.
Su dilatación anormal se denomina aneurisma
4.
-
Se ubica en el mediastino medio inferior.
Su parte derecha contiene sangre solo con
oxihemoglobina.
III. Las paredes de los ventrículos son más gruesas que
las aurículas.
IV.
Las fibras de Purkinje generan los estímulos eléctricos.
A) VFVF
B) VVVV
C) FFVV
D) VVVF
E) FFFV
Se inician en los capilares y terminan en las aurículas del
corazón.
Soportan baja presión sanguínea.
Educación Rumbo al Bicentenario
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al corazón humano:
I.
II.
Las venas:
-
Son características del sistema circulatorio abierto, excepto:
344
BIOLOGÍA
5.
Identifica, cuáles de las siguientes venas forman la vena
cava superior:
A) FVFV
B) FFFV
C) VVVF
D) VFVF
E) VVVV
I.
Yugular derecha.
II.
Subclavia izquierda.
III. Porta.
IV.
Esplénica.
A) I, II y IV.
B) I y II
C) II, III y IV
D) Solo IV
E) I, II, III y IV
6.
11. Compara las siguientes túnicas que forman las paredes de
los vasos sanguíneos:
A
Media
A) A y B son parte de la capa externa.
B) A es llamada endotelio y B está muy desarrollada en los
capilares.
C) En las arterias B es muy desarrollada y A en las venas.
D) A y B forman el endotelio.
E) A y B no están presentes en los capilares.
Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las arterias:
I.
Tienen válvulas en su inicio.
II.
Soportan alta presión sanguínea.
III. Su dilatación anormal origina varices.
IV.
Tienen un recorrido convergente.
A) VFVV
B) FFVF
C) FVFV
D) VVFF
E) FVVF
7.
12. Identifica los siguientes vasos sanguíneos
con las letras A, B y C respectivamente:
A) Arteria, vena, capilar
B) Vena, capilar, arteria
C) Arteria, vena, capilar
D) Arteria, capilar, vena
E) Capilar, vena, arteria
Identifica, cuales de las siguientes proposiciones son los
órganos linfoides secundarios:
13. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones,
respecto al sistema linfático.
I.
Timo
II.
Bazo
III. Ganglio linfático
IV.
Conducto torácico
V.
Amígdalas
A) I, II y III
B) II, III y IV
C) I, II y V
D) II, III y V
E) I, II y IV
9.
indicados
Recoge linfa de la parte derecha de la cabeza cuello, tórax y
extremidad superior derecha:
A) Ganglios linfáticos
B) Vasos linfáticos
C) Conducto torácico
D) Bazo
E) Gran vena linfática
8.
B
Adventicia
I.
Los capilares linfáticos presentan un inicio
ciego.
II.
La linfa es un fluido transparente formado a nivel de
los tejidos.
III. El conducto torácico desemboca en el ángulo yugulosubclavio izquierdo.
IV.
La linfa que proviene de los intestinos contiene gran
cantidad de lípidos.
A) VVVV
B) FVVV
C) VVFF
D) FFVV
E) FVFV
Identifica cuál de las siguientes proposiciones son correctas
con respecto al corazón:
I.
II.
III.
El epicardio se denomina también pericardio visceral.
En la aurícula derecha desembocan las venas cavas
De los ventrículos salen las arterias
pulmonar y
aórtica.
IV.
El pericardio es una envoltura que rodea al corazón.
A) I y II
B) II y III
C) I, II, III y IV
D) III y IV
E) I, III y IV
14. Compara los siguientes órganos linfáticos:
A
B
BAZO
GANGLIO LINFÁTICO
Respecto a sus funciones se determina que:
A) A produce anticuerpos y B filtra sangre
B) A filtra sangre y B la linfa
C) A produce timopoyetina y B filtra la linfa
D) A forma linfa y B sangre.
E) A y B forman eritrocitos.
10. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto al ciclo cardiaco:
I.
II.
III.
IV.
Durante el llenado la sangre pasa de aurículas a
ventrículos.
Durante la contracción isovolumétrica las válvulas A
- V se cierran produciendo el 1er
r u i d o
cardiaco.
En la eyección, las válvulas sigmoideas se
abren y la sangre sale hacia las arterias.
En la relajación isovolumética las válvulas
sigmoideas se cierran produciendo el 2do
ruido cardiaco.
345
Educación Rumbo al Bicentenario
BIOLOGÍA
15. En el siguiente gráfico del sistema linfático, identifica los
órganos linfáticos secundarios:
19. Identifica
la verdad o falsedad de
las siguientes
proposiciones con respecto a la circulación cerrada:
I.
II.
III.
IV.
Existe un corazón de posición ventral.
Posee arterias, venas y capilares.
Es característico de los cefalópodos, anélidos y
vertebrados.
La sangre es vertida en grandes espacios llamados
hemocele.
A) VFVF
B) FVFV
C) VVFF
D) VVVF
E) FVVF
20. Identifica cuales de las siguientes estructuras forman el
sistema nodal:
I.
II.
III.
IV.
A) I, II, III y IV
B) II, IV, V y VII
C) I, III, V, VI y VII
D) II, IV, VI y VIII
E) III, V, VI y VIII
A) I y II
B) II y IV
C) Solo IV
D) Solo I
E) I, II, III y IV
16. Identifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
con respecto a las arterias:
I.
Tienen válvulas en su inicio.
II.
Soportan alta presión sanguínea.
III. Su dilatación anormal origina varices.
IV.
Tienen un recorrido convergente.
A) VFVV
B) FFVF
C) FVFV
D) VVFF
E) FVVF
1.
(
(
(
(
)
)
)
)
2.
Seno venoso coronario
Orificio A-V izquierdo
Orificio A-V derecho
Vena cava inferior
¿Qué es el volumen de eyección?
.......................................................................................
.......................................................................................
........................................................................
A) I, II, III, IV
B) I, II, IV, III
C) II, I, III, IV
D) IV, II, I, III
E) II, III, IV, I
3.
¿Cómo se obtiene el gasto cardiaco?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
18. De las siguientes proposiciones identifica, cuales son
correctas con respecto a la circulación de los
4.
vertebrados:
I.
Los anfibios presentan un corazón con tres cavidades.
II.
Los peces poseen circulación cerrada simple completa.
III. Los glóbulos rojos de los reptiles son anucleados.
IV
El corazón de las aves presenta un arco aórtico
derecho.
¿Qué es la angiología?
.......................................................................................
.......................................................................................
........................................................................
5.
Diferencia entre paro cardiaco e infarto cardiaco.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
A) I y III
B) I, II y III
C) II y IV
D) I, II y IV
E) III y IV
Educación Rumbo al Bicentenario
¿Qué es un EKG ?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
17. Relaciona las siguientes válvulas del corazón con su
respectiva ubicación:
I. Tricúspide
II. Bicúspide
III. Eustaquio
IV. Thebesio
Nódulo sinusal
Fibras internodales
Has de Hiss
Red de Purkinje
346
