REVISION DEL DISEÑO EN ACERO SUB-CAPITULO 4 DISEÑO A COMPRESION DOCENTE: ING. PABLO LINDAO TOMALA, Mg. E. ELEMENTOS A COMPRESIÓN o 4.1 Introducción o 4.1.1 Definición o Una columna es un elemento sometido a fuerzas de compresión . También se utilizan los nombres de poste o puntales. Otros tipos de elementos a compresión son: o Miembros de arriostramiento o Las cuerdas superiores de armaduras o Alas a compresión de vigas laminadas y armadas 4.1.2 Modos de Falla • El modo mas común en columnas a compresión es el Pandeo • Se denomina pandeo cuando la columna, al estar sometida a una carga axial igual a la carga crítica 𝑃𝑐𝑟 , cesa de la deformación por acortamiento y ocurre entonces una DEFORMACION REPENTINA LATERAL Y/O ROTACIONAL en una dirección normal al eje de la columna, limitando así la capacidad por carga axial. • Existen 4 tipos de pandeo: 1. Pandeo Flexionante: Llamado también pandeo de Euler. Excesiva flexión alrededor de uno de los ejes ( eje crítico ) de su sección transversal. 2. Pandeo Torsional: Rotación alrededor del centro de corte de la sección transversal. 3. Pandeo Flexo-Torsional: combinada con rotación Existe flexión 4. Pandeo Local: Pandeo de los elementos (placas) de la sección transversal de un perfil. Cuando ocurre, sucede antes de los dos tipos de pandeos. Mientras mas larga es una columna, mayor es su tendencia a pandearse y menor será la carga que pueda soportar. 4.1.3 Factores que afectan la resistencia de los elementos a compresión • Efecto P-d y P-D. Producen momentos de segundo orden que afectan la capacidad del elemento.. 1 𝛿< 1000 Otro caso de imperfecciones: Imperfecciones en las columnas: No hay problema en miembros a tensión, pero es grave en columnas. Esfuerzos residuales en columnas: Son aquellos que quedan en los miembros estructurales después del laminado o fabricación. Se producen debido a la tasa desigual de enfriamiento después del laminado: - Enfriamiento más rápido = Compresión (-) - Enfriamiento más lento= Tensión (+) En cualquier sección transversal, la fuerza axial y momento obtenidos por la integración de los esfuerzos residuales de tensión y compresión son iguales a cero. La aplicación de cargas a los miembros estructurales con esfuerzos residuales ocasiona generalmente alguna acción inelástica prematura. Figura 3.1: Esfuerzos Residuales - La magnitud de estos esfuerzos varía hasta un valor máximo de Fy/3 - Columnas menos resistentes. Otros factores que afectan en la capacidad: o Longitud efectiva del miembro o Tipo de conexión en los extremos 4.1.4 Perfiles usados para columnas o Cierta similitud con respecto a los usados para miembros a tensión. o El uso de perfiles tubulares está ganando popularidad en los últimos años (más eficientes, más fáciles de pintar, más atractivos, más resistente a la torsión. . Perfiles Usados para Columnas Figura 3.2: Tipos de miembros a compresión 4.2 Fórmula de Euler Leonard Euler (matemático suizo) en 1757 publicó un artículo relacionado al pandeo de las columnas. En la actualidad la fórmula de Euler es escrita de la siguiente forma: 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2 𝐸𝐼 𝐿𝑒 2 (4.1) En donde: Pcr = Carga crítica de pandeo de la columna (Carga de Euler) E = Módulo de Elasticidad I = Momento de Inercia Le = longitud efectiva de la columna 𝑳𝒆 = 𝑲𝑳 (4.2) K = Factor de longitud efectiva (depende del tipo de apoyos) L = Longitud del miembro Reemplazando (4.2) en (4.1) y tomando en cuenta: 𝐼 = 𝑟 2 𝐴𝑔 𝜋 2 𝐸 𝑟 2 𝐴𝑔 𝑃𝑐𝑟 = (𝐾𝐿)2 𝑃𝑐𝑟 = 𝐹𝑐𝑟 = 𝜋2 𝐸 𝜋 2 𝐸 𝐴𝑔 𝐾𝐿 2 𝑟 (4.3) 𝐾𝐿 2 𝑟 (3.4) Fcr = Esfuerzo crítico o de pandeo (Euler) Ag = Área total de la sección transversal del miembro r = Radio de giro alrededor del eje de pandeo. 𝐾𝑙 2 𝑟 Se conoce como relación de esbeltez La carga de pandeo no depende de la resistencia del acero utilizado. Figura 3.3: Longitudes efectivas en columnas. 4.3 Clasificación de las Columnas Las columnas se clasifican de la siguiente forma: 𝐹𝑐𝑟 Aplastamiento parábola Formula de Euler (Hipérbola) Columna corta Columna intermedia Columna larga Figura 3.4: Clasificación de las Columnas Columna corta - 𝐹𝑐𝑟 = 𝐹𝑦 - No hay pandeo. Hay acortamiento solamente. - Rara vez se aplica en ingeniería civil. Columna Intermedia - Ciertas fibras alcanzan Fy, otras no. - Falla combinada (fluencia y pandeo) - Falla inelástica. Fórmula de Euler no es aplicable; pero puede utilizarse reemplazando: E por Et ó Er Et = Módulo de elasticidad tangente Er = Módulo de elasticidad reducido Columna Larga 𝜋2 𝐸 - 𝐹𝑐𝑟 = - 𝐹𝑐𝑟 < 𝐹𝑦 ; Fallan elásticamente. 𝐾𝑙 𝑟 ( )2 => Euler Ejemplo 4.1 Una W10x22 se usa como columna articulada en sus apoyos. Usando la expresión de Euler, determine la carga crítica o de pandeo 𝑷𝒄𝒓 de la columna: a) si H = 15 pies de altura b) si H = 8 pies de altura Asuma que el acero tiene un límite proporcional fy de 36 ksi. W10x22: Ag = 6.49 𝑝𝑢𝑙𝑔2 ; rx = 4.27 pulg; 𝑟𝑦 = 1.33 pulg r = 𝑟𝑚í𝑛 = 𝑟𝑦 =1.33 pulg. Columna articulada: K=1.0 (Caso d en Figura 3.3). Aplicar ec. (3.4) a) 𝐹𝑐𝑟 = 𝜋2 (29000) 15×12 2 1× 1.33 = 15.63𝐾𝑠𝑖 < 36𝐾𝑠𝑖 La columna es larga; falla en rango elástico. La carga crítica 𝑃𝑐𝑟 es según ec. (3.3): 𝑃𝑐𝑟 = 15.63 × 6.49 = 101,4 Kips b) 𝐹𝑐𝑟 = 𝜋2 (29000) 1× 8×12 2 1.33 = 54.94𝐾𝑠𝑖 > 36𝐾𝑠𝑖 La columna falla en el rango inelástico, la ecuación de Euler no es aplicable. 4.4 ELEMENTOS RIGIDIZADOS Y NO RIGIDIZADOS . Figura 3.5: Elementos rigidizados y no rigidizados AISC – LRFD distingue dos categorías: o Elementos rigidizados (atiesados) o Elementos no rigidizados (no atiesados) Un “elemento no rigidizado” es una pieza con un borde libre paralelo a la dirección de la fuerza de compresión. Un “elemento rigidizado” es una pieza que no tiene bordes libres. 4.4 ELEMENTOS RIGIDIZADOS Y NO RIGIDIZADOS . Figura 4.6: Ejemplos de elementos rigidizados y no rigidizados Los elementos sometidos a compresión se pandearan localmente dependiendo de la relación ancho – espesor (𝜆 = 𝑏/𝑡) y de si son rigidizados o no. Dependiendo del valor de 𝜆 , las especificaciones AISC 2010 en su sección B4 agrupan a los miembros de la siguiente forma: o o o Secciones compactas Secciones no compactas Secciones con elementos esbeltos 4.4.1 SECCIONES COMPACTAS (Perfiles resistentes): Son aquellos en que toda la sección alcanza el esfuerzo de fluencia antes de pandearse. Dos requisitos: 1. las alas deben estar conectadas en forma continua al alma o almas. 2. 𝜆 = b /t ≤ 𝜆𝑝 (Tabla B4.1) Alcanzan fluencia Soldadura continua 𝜆𝑝 = Parámetro de esbeltez máxima para elementos compactos. 𝒃 𝜆𝑓 =𝒕 ≤ 𝜆𝑝 𝒇 𝑡𝑤 𝒉 𝜆𝑤 =𝒕 ≤ 𝜆𝑝 𝒘 4.4.2 SECCIONES NO COMPACTAS Son aquellas en que algunas partes de la sección alcanzan Fy antes de que ocurra pandeo. Un requisito: 1. Por lo menos para un elemento de la sección: 𝜆𝑝 < 𝜆 = b /t ≤ 𝜆𝑟 𝜆𝑟 =Parámetro de esbeltez máxima para elementos no compactos. 4.4.3 SECCIONES CON ELEMENTOS ESBELTOS (Perfiles débiles): Son aquellos en los cuales ninguna parte de la sección alcanza Fy al pandearse. 1. Por lo menos para un elemento de la sección: 𝜆 = 𝑏/𝑡 > 𝜆𝑟 El diseño es muy complicado. En lo posible evitar usar estas secciones. (LRFD Ap. B5.3) Casi todos los perfiles W, M y S dados en el manual LRFD-AISC son compactos, para aceros con Fy = 36 y 50 ksi. Unos pocos son no compactos (se indican en manual). Ninguno es esbelto para estos dos esfuerzos de fluencia. Graficamente: Compacta 𝜆𝑝 Esbelta No Compacta 𝜆𝑟 4.5 RESISTENCIA DE DISEÑO PARA PANDEO FLEXIONANTE Para el diseño de miembros a compresión axial se hace referencia al Capítulo E de la AISC. El capítulo está organizado así: E1: Disposiciones Generales E2: Limitaciones de Esbeltez y Longitud Efectiva E3: Resistencia a la Compresión para Pandeo Flexionante de Secciones Compactas y No compactas. E4: Resistencia a la Compresión para Pandeo Torsional y pandeo Flexo-Torsional de Secciones Compactas y No compactas. E5: Ángulos Simples a Compresión E6: Miembros Armados E7: Miembros con Elementos Esbeltos AISC: Pág. 33; E3 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 𝑨𝒈 (4.5) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 =Resistencia de Diseño para Pandeo Flexionante (Euler) 𝑷𝒏 =Resistencia Teórica o Nominal 𝝓𝑪 =Factor de resistencia debida al pandeo (0.90) 𝑭𝒄𝒓 =Esfuerzo de Pandeo Flexionante. Figura 4.7. Comparación de Esfuerzos de Diseño Para : λ < 𝜆𝑟 Secciones Compactas y no Compactas. Sea Fe = Esfuerzo Crítico de Pandeo Elástico 𝐹𝑒 = 𝜋2 𝐸 (4.6) 𝐾𝐿 ( 𝑟 )2 Caso a: Cuando KL / r ≤ 4.71 𝐸 Τ𝐹𝑦 (o 𝐹𝑒 ≥ 0.44𝐹𝑦): Columnas cortas e intermedias; Intervalo inelástico 𝑭𝒚 𝑭𝒄𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟖𝑭𝒆 𝑭𝒚 (4.7) Caso b: Cuando KL / r > 4.71 𝐸 Τ𝐹𝑦 (o Fe < 0.44Fy): Columna larga; Pandeo elástico 𝑭𝒄𝒓 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟕𝑭𝒆 (4.8) Las ecuaciones (4.7) y (4.8) incluyen los efectos de los esfuerzos residuales y la falta de rectitud inicial de las columnas. 4.6 MÁXIMA RELACIÓN DE ESBELTEZ 𝑹𝑬∗ = 𝑲𝑳 𝒓 ≤ 𝟐𝟎𝟎 𝑹𝑬∗ = Relación de esbeltez para los miembros a compresión. Notar que RE* ≠ RE (excepto cuando K=1.0) (4.9) Ejemplo 3.2. Determinar la resistencia de diseño de una columna W14x132, ASTM A992, asuma L = 30 pies y extremos articulados. La columna está arriostrada lateralmente en los extremos en ambas direcciones. Datos: ASTM A992: Fy = 50 ksi, Fu = 65 ksi. W14X132: Ag = 38.8 pulg2, rx = 6.28 pulg, ry = 3.76 pulg. Paso 1: Determinar 𝜆𝑓 , 𝜆𝑤 . (Tabla 1.1). Determinar 𝜆𝑟 (Tabla B4.1) 𝒃/𝟐 𝒕𝒇 Alas: 𝜆𝑓 = Almas:𝜆𝑤 = 𝒕 = 17.7 = 𝟕. 𝟏𝟓 𝒉 𝒘 Alas de viga W son elementos no rigidizados (compresión) (Caso 3) 𝜆𝑟 = 0,56 𝐸 Τ𝐹𝑦 = 13,50 7.15 < 13.50 𝜆𝑓 < 𝜆𝑟 "𝐴𝑙𝑎𝑠 𝑁𝑂𝐸𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠" Alma de viga W es rigidizada (compresión) Caso 10 𝜆𝑟 = 1.49 𝐸 Τ𝐹𝑦 = 35.9 17.7< 𝟑𝟓. 𝟗 𝜆𝑤 < 𝜆𝑟 "𝐴𝑙𝑚𝑎 𝑁𝑂𝐸𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎“ Como 𝜆𝑓 y 𝜆𝑤 < 𝜆𝑟 , la sección no es esbelta y por lo tanto, se pueden usar las ec. (4.5) a (4.8) Paso 2: Determinar Fe. Usar (3.6). K = 1.0 de Fig. 3.3. 𝐾𝐿 1×30×12 = 𝑟 𝑥 6.28 𝐾𝐿 1×30×12 = 𝑟 𝑦 3.76 𝐾𝐿 𝐾𝐿 > 𝑟 𝑦 𝑟 𝑥 𝐾𝐿 = 𝑟 𝑦 𝐾𝐿 𝑟 =57.3 =95.7 => Pandeo alrededor de eje y = 95.7 < 200; 𝑂𝐾 𝐸 𝐹𝑦 4.71 = 113.43 95.7 < 113.43 → 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒂, 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐹𝑒 = 0.44𝐹𝑦 = 0.44(50) = 22 31.25 > 22 → Se comprueba el caso a, 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 Paso 3: Determinar ∅𝑐 𝑃𝑛 , formula caso a: (4.7) 𝜋2 𝐸 𝐾𝐿 𝑟 2= 𝜋2 (290000) 95.7 2 = 31.25 Ksi. 𝐹𝑐𝑟 = (0.65850/31.25)*50 = 25.59 Ksi 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 𝑨𝒈 𝝓𝑪 𝑷𝒏 =0.9 (25.59) (38.8) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝟖𝟗𝟑. 𝟕𝟑 𝑲𝒊𝒑𝒔 En comparación con la resistencia a tracción: 𝝓𝑪 𝑻𝒏 = 𝟎. 𝟗𝟎(𝟓𝟎)(𝟑𝟖. 𝟖) 𝝓𝑪 𝑻𝒏 = 𝟏𝟕𝟒𝟔 𝑲𝒊𝒑𝒔 𝝓 𝑪 𝑷𝒏 𝟖𝟗𝟑. 𝟕𝟑 = = 𝟎. 𝟓𝟏 𝝓𝑪 𝑻𝒏 𝟏𝟕𝟒𝟔 ""Los elementos sometidos a compresión son mas críticos que a tracción " Otro método: 𝜙𝐶 𝑃𝑛 (𝐾𝐿)𝑦 = 1 30′ = 30' Tabla 4.1, pág. 4 – 13 => 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 892 Kips Valor esencialmente igual al obtenido manualmente. TABLA 4-1 AISC Ejemplo 3.3: Resuelva el problema 3.2 asumiendo que la columna esta arriostrada adicionalmente de forma lateral, perpendicular al eje y en el punto medio. Paso 1: Igual a 3.2 Paso 2: Determinar Fe. Usar (3.6) 𝐾𝐿 𝑟 𝑥 𝐾𝐿 𝑟 𝑦 𝐹𝑒 = 6.28 15×12 =1 𝐾𝐿 𝑟 𝑥 𝐾𝐿 𝑟 𝑥 30×12 =1 3.76 𝐾𝐿 𝑟 𝑦 > > 𝐾𝐿 𝑟 𝑦 =57.3 < 200 =47.9 < 200 => Pandeo alrededor del eje x => Pandeo alrededor del eje x 𝜋2 𝐸 𝜋2 (290000) 𝐾𝐿 𝑟 57.3 2 2= =87.18 0.44 Fy = 0.44(50)=22 87.18 > 22 → Intervalo inelástico Paso 3: Determinar 𝝓𝑪 𝑷𝒏 (3.7) 𝐹𝑐𝑟 = (0.65850/87.18 )50 = 39.33 Ksi De (3.5) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 0.9(39.33)(38.8) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝟏𝟑𝟕𝟑. 𝟒𝟎 𝑲𝒊𝒑𝒔 Otro método: EJEMPLO EN CLASE Calcular la resistencia a la compresión de un perfil w14x26. ASTM A36, Fy=36 Ksi. H=15 pies. La columna esta empotrada en la base y fijo en la parte superior Desarrollo Chequeo por compacidad. Ok. Relacion Kl/r rx=5.65 pulg. ry= 1.08 pulg. K=0.7 KL/r = 116.67 4.71 116.67 < 133.68. Caso a 𝐸 𝐹𝑦 = 133.68 𝐹𝑒 = 𝜋2 𝐸 𝐾𝐿 2 𝑟 = 𝜋2 (290000) 116.67 2 = 21.03 Ksi. 0.44𝐹𝑦 = 0.44(36) = 15.84 21.03 > 15.84 → Confirma 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒂 Determinar ∅𝑐 𝑃𝑛 (3.7) 𝐹𝑐𝑟 = (0.65836/21.03 )36 = 17.58 Ksi De (3.5) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 =0.9(17.58)(7.69) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝟏𝟐𝟏. 𝟕𝟎 𝑲𝒊𝒑𝒔 Desarrollo Chequeo por compacidad. Paso 1: Determinar 𝜆𝑓 , 𝜆𝑤 . (Tabla 1.1). Determinar 𝜆𝑟 (Tabla B4.1) 𝒃/𝟐 𝟏𝟔−𝟐∗𝟎,𝟒𝟔𝟓 Alas: 𝜆𝑓 = 𝒕 = 𝟎.𝟒𝟔𝟓 = 𝟑𝟐, 𝟒𝟏 𝒇 𝒉 Almas:𝜆𝑤 = 𝒕 = 32,41 𝒘 HSS16X4X1/2 A= h= b= t(des) = wt./ft. = Ix = Sx = rx = Zx = Iy = Sy = ry = 17,2 16 4 0,465 62,33 455 56,9 5,15 77,3 47 23,5 1,65 in.^2 in. in. in. plf. in.^4 in.^3 in. in.^3 in.^4 in.^3 in. 1,12 2,42 𝐸 𝐹𝑦 𝐸 𝐹𝑦 1,40 = 28,2 𝐸 𝐹𝑦 = 35,15 = 60,76 La columna con respecto al ala es compacta en el rango inelástico Alma es totalmente compacta. 𝐾𝐿 1∗18×12 = 𝑟 𝑦 1,65 4.71 𝐹𝑒 = =130,91 < 200 𝐸 = 29000 = 118.26 𝐹𝑦 = 46 𝜋2 𝐸 𝐾𝐿 2 𝑟 = 𝜋2 (29000) 130,91 2 = 16,70 Ksi. 0.44𝐹𝑦 = 0.44(46) = 20,24 ksi 116.67 < 133.68. Caso b 20,24 > 16,70 → Confirma caso b 𝑭𝒄𝒓 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟕𝑭𝒆 = 0,877 * 16,70 = 14,65 ksi Determinar ∅𝑐 𝑃𝑛 De (3.5) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 =0.9(14,65)(28,30) 𝝓𝑪 𝑷𝒏 = 𝟑𝟕𝟑, 𝟏𝟑 𝑲𝒊𝒑𝒔 3.7 DISEÑO DE MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE A COMPRESIÓN Ejemplo 3.4: Seleccionar el perfil W14 más ligero disponible de acero A36 para las cargas de servicio PD = 100 kips y PL=160 kips. Asuma Le = 10 pies Paso 1: Determinar Pu. Usar (1.4b). P u = 1.2(1OO)+1.6(160) =376 kips Paso 2: Asumir un valor de KL/r (no conocemos la sección) y determinar el “Esfuerzo Crítico Disponible para Miembros a Compresión” 𝜙𝐶 𝐹𝑐𝑟 𝐾𝐿 = 50 𝑐𝑜𝑛 𝐹𝑦 = 36 𝐾𝑠𝑖 ⇒ 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 4 − 22 𝑟 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 = 28.4 Ksi Nota: el valor de 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 con 𝝓𝑪 = 0.85 (edición de 1999) es de 26.85 ksi Paso 3: Determinar Ag y escoger perfil 𝑷𝒖 𝟑𝟕𝟔 𝑨𝒈 = = = 𝟏𝟑. 𝟐𝟒"𝟐 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 𝟐𝟖. 𝟒 Tabla 1- 1 ⇒ 𝐖 𝟏𝟒 × 𝟒𝟖 ∶ 𝑨𝒈 = 14.1 𝑝𝑢𝑙𝑔2 , 𝒓𝒚 = 𝟏. 𝟗𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝐿𝑒 = 10′ ⇒ Paso 4: Verificar sección 𝐾𝐿 𝑟 𝑦 > 𝐾𝐿 𝑟 𝑥 𝐾𝐿 => 𝑟 = 𝐾𝐿 𝑟 𝑦 = 10×12 = 62.83 < 200;OK 1,91 De tabla 4-22 e interpolando 𝝓𝑪 𝑭𝒄𝒓 = 26.33 ksi 𝝓𝑪 Pn = 26.33(14.1) = 371.25 kips < Pu = 376 kips Ensayar W14x53 (Ag=15.6 pulg2; rx =5.89 pulg; ry =1.92 pulg) 𝐾𝐿 10×12 = = 62.5 < 200 ; 𝑂𝐾 𝑟 𝑦 1,92 De tabla 4-22 e interpolando ∅𝐶 𝐹𝑐𝑟 = 26,40 ∅𝐶 𝑃𝑛= 26.40(15.6) = 411.84kips > Pu ;OK Adoptar W14x53; Generalmente Las W14 son compactas por lo que general no es necesario comprobar el paso 1 de ejemplos 3.2 y 3.3 Tabla 4-22. Esfuerzo Crítico Disponible para Miembros a Compresión para 1 ≤ KL/r ≤ 80 Tabla 4-22. Esfuerzo Crítico Disponible para Miembros a Compresión para 81 ≤ KL/r ≤ 160 Tabla 4-22. Esfuerzo Crítico Disponible para Miembros a Compresión para 161 ≤ KL/r ≤ 200 Tabla 4-22. Esfuerzo Crítico Disponible para Miembros a Compresión para 161 ≤ KL/r ≤ 200
