INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Definición. Un número complejo es cualquier número de la forma 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃, donde 𝒂 y 𝒃 son números reales e 𝒊 es la unidad imaginaria. Definición. Los números complejos 𝒛𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏 𝒊, 𝒛𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒊 son iguales 𝑧1 = 𝑧2 si y solo si 𝑎1 = 𝑎2 y 𝑏1 = 𝑏2 . Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Las leyes conmutativa, asociativa y distributiva valen para los números complejos. Para sumar o restar números complejos, solamente sume o reste las correspondientes partes reales y partes imaginarias. Recordar que 𝒊𝟐 = −𝟏 Cero y Unidad. El cero de los números complejos es el elemento cero 𝟎 + 𝟎𝒊 y la unidad es 𝟏 + 𝟎𝒊. Conjugado. Si 𝒛 es un número complejo, el número que se obtiene al cambiar el signo de su parte imaginaria se llama complejo conjugado. Si 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, entonces el conjugado de 𝒛 es 𝒛ത = 𝒂 − 𝒃𝒊 Propiedades: o 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 o 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 o 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 𝒛𝟐 o 𝒛𝟏 𝒛𝟐 o 𝒛 𝟐 = 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒛ത𝒛 (módulo de z) PLANO COMPLEJO Un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 está unívocamente(único) determinado por un par ordenado de números reales (𝑥, 𝑦). De esta forma se puede asociar un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 con un punto 𝑥, 𝑦 en un plano coordenado. Definición Modulo o valor absoluto de 𝑧. El módulo de un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 es el número real 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 Propiedades: o 𝒛 𝟐 = 𝒛ത𝒛 o 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 𝒛𝟐 o 𝒛𝟏 𝒛𝟐 o 𝒛 = 𝟐 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 o 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ≤ 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 (desigualdad triangular) La suma de números complejos 𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 y 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 cuando se establece en términos de pares ordenados 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 es la definición de las componentes del vector suma. La interpretación vectorial de la suma es el vector como la diagonal principal de un paralelogramo. El módulo de la resta también se puede representar como la distancia entre puntos. Distancia entre puntos 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 Si se cumple la desigualdad triangular, 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ≤ 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 También se cumple que 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 ≤ 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 ≥ 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 Cota superior e inferior Forma de números complejos 𝒓 es la distancia dirigida del polo a 𝑷 𝜽 es el ángulo de inclinación (radianes) medido del eje polar a la recta 𝑶𝑷. El punto se describe con el par ordenado (𝑟, 𝜃) llamado coordenadas polares de 𝑃. 𝒙, 𝒚, 𝒓, 𝜽 están relacionados por 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 . Estas ecuaciones permiten expresar un número complejo diferente de cero 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 como 𝒛 = (𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽) + 𝒊(𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝜽) Decimos que es la forma polar o representación polar del número complejo 𝒛. 𝒓 = 𝒛 es la distancia del origen al punto (𝒙, 𝒚). 𝜃 es el argumento de 𝑧, 𝜃 = Arg(𝑧). Ángulo en posición estándar. 𝜽 es positivo si va en contra de las manecillas del reloj, si va a favor es negativo. Algunas fórmulas Potencias enteras de 𝒛 para cualquier entero 𝒏 𝑟= 𝑧 𝒛𝒏 = 𝒓𝒏 (𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝜽)) 𝐴𝑟𝑔 𝑧 = 𝜃, −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 arg 𝑧 = 𝜃 + 2𝑛𝜋, 𝑛𝜖ℤ Raíz enésima de un número complejo 𝒛 Si 𝑤 𝑛 = 𝑧 donde 𝑛 es un entero positivo, entonces 𝑤 es una enésima raíz. Existen 𝑛 soluciones de la ecuación 𝑤 𝑛 = 𝑧 . 𝒘𝒌 = 𝒏 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒓 𝐜𝐨𝐬 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏 𝒏 CONJUNTO DE PUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO Suponga que 𝒛𝟎 = 𝒙𝟎 + 𝒊𝒚𝟎 . Dado que 𝒛 − 𝒛𝟎 = (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 +(𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 es la distancia entre los puntos 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 y 𝒛𝟎 = 𝒙𝟎 + 𝒊𝒚𝟎 , los puntos 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 que satisfacen la ecuación 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝝆, 𝝆 > 𝟎 se encuentran en la circunferencia de un círculo de radio 𝝆 centrado en el punto 𝒛𝟎 . Conjuntos acotados. Un conjunto 𝑺 en el plano complejo está acotado si existe un número real 𝑹 > 𝟎 tal que 𝒛 < 𝑹 para cada 𝑧 en 𝑆. El conjunto S está acotado ya que cierta vecindad del origen encierra totalmente a S. APLICACIONES Examinar la forma de resolver una ecuación cuadrática con coeficientes complejos, usando la fórmula cuadrática. −𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝐳= 𝟐𝒂 Utilizar los números complejos y la exponencial compleja en ecuaciones diferenciales. 𝒆𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝜽 forma exponencial de un número complejo Fórmulas de algunas equivalencias 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 Número complejo 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜽) Forma polar 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝜽 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 Forma exponencial 𝒆𝒛 = 𝒆𝒙+𝒊𝒚 = 𝒆𝒙 (𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒚) Forma exponencial de un número complejo Mapeo Mapeo es una correspondencia determinada por una función compleja 𝑤 = 𝑓(𝑧) entre puntos en el plano 𝑧 e imágenes en el plano 𝑤 , es decir si 𝑤0 = 𝑓 𝑧0 , entonces 𝑓 mapea 𝑧0 en 𝑤0 o equivalente que 𝑧0 es mapeado en 𝑤0 con 𝑓. Mapeo Curvas paramétricas en el plano cartesiano Límite Límite de una función real 𝒇(𝒙) Límite de una función compleja 𝒇(𝒛) Límite “Diferentes trayectorias” Para límites de funciones complejas a 𝑧, se le permite acercarse en cualquier dirección a 𝒛𝟎 en el plano complejo, es decir a lo largo de cualquier curva o trayectoria que pase por 𝑧0 . Se requiere que 𝒇 𝒛 se aproxime al mismo número complejo 𝑳 a lo largo de toda curva posible que pase por 𝒛𝟎 . Criterio para la no existencia de un límite Límites por teorema Continuidad Si el límite de una función real 𝑓 conforme 𝑥 se aproxima al punto 𝑥0 existe y concuerda con el valor de la función 𝑓 en 𝑥0 , entonces decimos que 𝑓 es continua en el punto 𝑥0 . Números complejos Propiedades que se mantienen en los números complejos Campos vectoriales Además de los mapeos, hay otras formas de visualizar a las funciones complejas. Las funciones complejas dan las representaciones complejas de campos vectoriales bidimensionales. Las funciones complejas en los campos vectoriales permiten resolver problemas en áreas de flujo de calor, flujo de fluidos, gravitación y electrostática. Existe una forma de natural de representar un campo vectorial 𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝑷 𝒙, 𝒚 𝒊 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒋 con una función compleja; se usan a las funciones 𝑃 y 𝑄 como partes real e imaginaria de 𝑓 en tal caso, decimos que la función compleja 𝒇 𝒛 = 𝑷 𝒙, 𝒚 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒊 es la representación compleja del vectorial 𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝑷 𝒙, 𝒚 𝒊 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒋. campo Campos vectoriales 𝒇 𝒛 = 𝑷 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝑸 𝒙, 𝒚 vector cuyo punto inicial es 𝒛. 𝑭(𝒙, 𝒚) o 𝒇(𝒛) se llama un campo de velocidades. Representan el campo de velocidades de cualquier flujo. La familia de todas las soluciones de corriente del flujo. 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝑷 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 , 𝒅𝒕 = 𝑸(𝒙, 𝒚) se llamó líneas Campos vectoriales Un campo vectorial asocia un vector a cada punto en el espacio. El campo vectorial se compone de vectores que representan las velocidades en varios puntos en el flujo. La magnitud ∥ 𝐹 ∥ de 𝐹 o el módulo de 𝑓 𝑧 de la representación compleja 𝑓, se llama rapidez. La dirección del vector indica la dirección en la que se mueve el objeto. Circulación en torno a 𝑪. Flujo neto a través de 𝑪. El flujo tiene circulación positiva alrededor de 𝑪 si el fluido tiende a fluir en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de 𝑪. Es cero si el sentido es perpendicular a 𝑪. El flujo neto positivo significa que el fluido sale de la región delimitada por la curva 𝑪 con una velocidad mayor de la que entra(positivo si solo sale de la región). Es cero cuando el fluido entra y sale con la misma velocidad (no cruza). Potencial complejo Suponga que 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑗 es el campo de velocidades del flujo de un fluido ideal en un dominio 𝐷 del plano y que Ω 𝑧 = 𝜙 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦) es el potencial de velocidad complejo del flujo, 𝜓(𝑥, 𝑦) es la función de corriente y sus curvas de nivel 𝜓 𝑥, 𝑦 = 𝑐2 líneas de corriente . 𝑔 𝑧 = Ω′ 𝑧 𝑓 𝑧 = Ω′ 𝑧 Debido a que 𝑓(𝑧) es una representación compleja del campo vectorial de velocidad, la cantidad Ω′ 𝑧 a veces se conoce como la velocidad compleja. Funciones elementales. En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división. Función exponencial La función entera u holomorfa es aquella que es infinitamente diferenciable. 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥 arg 𝑧 = 𝑦 + 2𝑛𝜋 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑧ҧ Función exponencial La función exponencial compleja 𝑒 𝑧 es periódica con un imaginario puro 2𝜋𝑖. 𝑒 𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒 𝑧 periodo Función logarítmica Se define, a menudo, como la función inversa de la función exponencial 𝐥𝐧 𝒛 = 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒓 + 𝒊(𝜽 + 𝟐𝒏𝝅) Funciones trigonométricas e hiperbólicas Definición. Funciones 𝑠𝑒𝑛𝑜 y 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 complejas. El seno y coseno complejos se definen por: 𝐬𝐢𝐧 𝒛 = 𝒆𝒊𝒛 −𝒆−𝒊𝒛 , 𝟐𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝒛 = 𝒆𝒊𝒛 +𝒆−𝒊𝒛 𝟐 Periodicidad 𝐬𝐢𝐧(𝒛 + 𝟐𝝅) = 𝐬𝐢𝐧 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝒛 + 𝟐𝝅 = 𝐜𝐨𝐬 𝒛 Definición. Funciones 𝑠𝑒𝑛𝑜 y 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 hiperbólicas complejas. El 𝑠𝑒𝑛𝑜 y 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 hiperbólicas complejos se definen por: 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 = 𝒆𝒛 −𝒆−𝒛 , 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 = 𝒆𝒛 +𝒆−𝒛 𝟐 Derivadas de funciones complejas Ecuaciones de Cauchy-Riemann Nos indican si la función no es derivable en un punto. El teorema no nos dice dónde es derivable 𝒇. Pero, si las ecuaciones no se satisfacen en un punto 𝒛, entonces, 𝒇 no puede ser derivable en 𝒇. Analiticidad implica derivabilidad, pero no a la inversa. Son convenientes en funciones 𝒇(𝒛) en las que están en términos de 𝒙, 𝒚. La función 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑟, 𝜃 + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃) en coordenadas polares las ecuaciones de Cauchy-Riemann se convierten en 𝝏𝒖 𝟏 𝝏𝒗 = , 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝜽 𝝏𝒗 𝟏 𝝏𝒖 =− 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝜽 Entonces, ′ 𝒇 𝒛 =𝒆 −𝒊𝜽 𝝏𝒖 𝝏𝒗 𝟏 −𝒊𝜽 𝝏𝒗 𝝏𝒖 +𝒊 = 𝒆 −𝒊 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝜽 𝝏𝜽 Ecuaciones de Laplace Existe una conexión entre las partes real e imaginaria de una función analítica 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 y la ecuación diferencial parcial de segundo orden: 𝝏𝟐 𝝓 𝝏𝟐 𝝓 + =𝟎 𝟐 𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒚 Esta ecuación se conoce como la ecuación de Laplace. Se abrevia como 𝜵𝟐 𝝓 = 𝟎 el lado izquierdo se conoce como laplaciano de 𝝓 Definición. Funciones armónicas: Una función de valores reales 𝜙 de dos variables reales 𝑥 y 𝑦 que tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en un dominio 𝐷, y satisface la ecuación de Laplace, se dice que es armónica en 𝐷. Las funciones armónicas se encuentran en el estudio de las temperaturas y potenciales. Teorema. Funciones armónicas: Suponga que la función compleja 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) es analítica en un dominio 𝐷. Entonces las funciones 𝑢 𝑥, 𝑦 y 𝑣 𝑥, 𝑦 son armónicas en 𝐷. Si es posible encontrar otra función real armónica 𝒗 𝒙, 𝒚 tal que 𝒖 y 𝒗 satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio 𝑫 entonces la función 𝒗(𝒙, 𝒚) se llama una armónica conjugada de 𝒖(𝒙, 𝒚). Ejercicios. Compruebe que la función dada 𝑢 es armónica en un dominio apropiado 𝐷, determine 𝑣(𝑥, 𝑦), la armónica conjugada de 𝑢, y forme la correspondiente función analítica 𝑓 𝑧 = 𝑢 + 𝑖𝑣. 1. 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 2. 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 3. 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin 𝑦) Términos o Curva suave: Si 𝒙′ y 𝒚′ son continuas en el intervalo cerrado 𝒂, 𝒃 y no son simultáneamente cero en el intervalo abierto 𝒂, 𝒃 . o Curva suave por tramos: Si consiste de un número finito de curvas suaves unidad una al extremo de la otra. o Curva simple: Si la curva 𝑪 no se cruza consigo misma, excepto en 𝒕 = 𝟎 y 𝒕 = 𝒃. o Curva simple cerrada: Si la curva 𝑪 no se cruza consigo misma y 𝑨 = 𝑩, es decir, 𝑪 es simple y cerrada. Integral de línea definida paramétricamente Integral de línea definida paramétricamente para una función Teorema de Cauchy Goursat Si 𝑓 𝑧 es analítica en un dominio simplemente conexo 𝐷, el valor de 𝑧𝑑 𝑧 𝑓 ׯdonde 𝐶 es una curva cerrada simple con orientación positiva es el mismo para cualquier curva cerrada simple dentro de 𝐷. Dominio simplemente conexo Dominio múltiplemente conexo Todos los puntos dentro de cualquier curva cerrada simple están dentro de 𝐷. Hay curvas cerradas simples para las cuales no todos los puntos interiores están dentro de 𝐷. Orientación positiva: en contra de las manecillas del reloj. Los puntos al interior de la curva estarán a la izquierda de donde nos desplazamos. Si 𝑓 𝑧 es analítica en un dominio simplemente conexo 𝐷 y 𝑓 ′ 𝑧 es continua en 𝐷 entonces para cualquier contorno cerrado simple 𝐶 en 𝐷 ර 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 0 Evalúe 1 𝑧 ׯ2 𝑑𝑧 donde el contorno 𝐶 es la elipse 𝑥 − 2 2 + La función 𝒇 = 1 4 𝟏 𝒛𝟐 𝑦−5 2 =1 es analítica en todo su dominio. Es decir, en todos los reales tal que 𝒛 ≠ 𝟎. Y 𝒛 = 𝟎 no está en el interior o sobre el contorno elíptico. Deformación de contornos Consideremos dos contornos cerrados simples 𝐶1 , y 𝐶2 en un dominio múltiplemente conexo 𝐷 tales que 𝐶2 rodea a 𝐶1 y 𝐶1 rodea un hoyo en el dominio 𝐷: Deformación de contornos Si 𝑧0 es cualquier número complejo constante interior a cualquier contorno cerrado simple 𝐶, entonces para un 𝑛 entero tenemos: 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ර = ቊ 0, (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 𝑛=1 𝑛≠1 1 ර 𝑧−𝑖 sobre 5 − + 8 𝑑𝑧 3 𝑧−𝑖 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 = 1 Analice las integrales de línea siguientes y Resuelva. 𝑑𝑧 ර , 𝑧 Sobre 𝑑𝑧 ර 2, 𝑧 𝑥 4 + 𝑦 4 = 16 5 ර 𝑑𝑧 𝑧+1+𝑖 Para cualquier contorno cerrado simple 𝑪 y para cualquier función entera 𝒇, se cumple que . 𝑧 ර 𝑒 𝑑𝑧 = 0 𝑐 . ර cos 𝑧 𝑑𝑧 = 0 𝑐 . ර sin 𝑧 𝑑𝑧 = 0 𝑐 . ර 𝑝(𝑧)𝑑𝑧 = 0 𝑐 Integrales de funciones 𝒇(𝒛) 𝒛−𝒛𝟎 Integrales de funciones 𝒇(𝒛) (𝒛−𝒛𝟎 )𝑛+1 𝑛=1𝑛=2𝑛=3𝑛=4𝑛=5 Serie infinita y su 𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 suma parcial. Serie geométrica. Convergencia absoluta o condicional Convergencia absoluta, implica convergencia. Criterios de convergencia El concepto de serie de potencias es importante en el estudio de las funciones analíticas. Una serie infinita de la forma: Donde los coeficientes 𝑎𝑘 son constantes complejas, se llama una serie de potencias de 𝑧 − 𝑧0 . La serie de potencias se dice que está centrada en 𝑧0 . Se define (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟎 = 𝟏, incluso cuando 𝒛 = 𝒛𝟎 . Cada serie de potencias complejas tiene un radio de convergencia. Una serie de potencias complejas tiene un círculo de convergencia, que es el círculo centrado en 𝑧0 . Una serie de potencias converge absolutamente en todos los puntos dentro de su círculo de convergencia, es decir para todo 𝑧 que satisface que 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅. 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 Criterio de convergencia 𝑧 − 𝑧0 = 𝑅 Círculo de convergencia 𝑅 Radio de convergencia S E R I E D E TAY L O R Una serie de potencias define una función infinitamente derivable dentro de su círculo de convergencia. Y cada serie derivada tiene el mismo radio de convergencia que la serie de potencias original. Una serie de potencias representa una función analítica dentro de su círculo de convergencia. Si se tiene una función que es analítica en algún dominio D, se puede representar a la serie de potencias como anteriormente se estableció, es decir: El radio de convergencia 𝑹 es la distancia del centro 𝒛𝟎 de la serie a la mas cercana singularidad aislada de 𝒇. Si una función compleja 𝑓 no es analítica en un punto 𝑧 = 𝑧0 , entonces este punto se dice que es una singularidad o punto singular de la función. Supongamos que 𝑧 = 𝑧0 es una singularidad de una función compleja 𝑓. El punto 𝑧 = 𝑧0 se dice que es una singularidad aislada de la función 𝑓 si existe alguna vecindad excluida o disco abierto perforado 0 < |𝑧 − 𝑧0 | < 𝑅, de 𝑧0 en la que 𝑓 es analítica. Si 𝐳 = 𝐳𝟎 es una singularidad de una función 𝒇 entonces, ciertamente 𝒇 no se puede desarrollar en una serie de potencias con 𝐳𝟎 como centro. Sin embargo, alrededor de una singularidad aislada 𝐳 = 𝐳𝟎 , es posible representar a 𝒇 por una serie que involucra potencias enteras de 𝐳 − 𝐳𝟎 tanto negativas como no negativas. De forma compacta:
