Laboratorio 01 fisica moderna

UNIVERSIDAD DISTRITAL
FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
Determinación experimental de la relación fundamental
carga-masa del electrón a partir del experimento de Thomson
modificado
F. Elmasri, , R. López, F. Santos.a
a Universidad
b Proyecto
Distrital Francisco José de Caldas
Curricular de Licenciatura en Fı́sica
RESUMEN
El presente informe se propone determinar la relación fundamental carga-masa del electrón a partir de tres
métodos diferentes, bajo el mismo experimento, pero con la modificación de tres parámetros: la diferencia
de potencial de la fuente de aceleración y con ello estudiamos la trayectoria de un haz de electrones
impulsados por un potencial de aceleración y sumergido dentro de un campo magnético, la intensidad
de corriente eléctrica y el radio de la trayectoria circular de los electrones, a partir de estos parámetros
encontramos cuál de los casos es mejor o más eficiente para hallar la relación carga-masa. Para lo anterior,
se da una introducción que contextualiza el experimento, un marco teórico que da cuenta de la explicación
conceptual y las expresiones matemáticas a considerar para lograr el objetivo, el montaje experimental,
los resultados con su respectivo análisis de errores y finalmente, las conclusiones.
Palabras clave: electrón, relación carga-masa, radio, diferencia de potencial, corriente.
ABSTRAC
In this article we suggest determinate the funtamental relation charge-mass of electron from three method
diferents but with the same mouting with the modification of three parameters: the diference of potential
from the source of acceleration with this analysis we study the behavior of the electrons with acceleration
and field magnetic, the intesity of courrent electricity and the radio of the circle trayectory of electrons.
For the above, we give a little introdution of conceps and definitions, the contex about experiment and the
mathematic expressions also all this for achieve the objective, the experiment mounting, the results with
own error analysis and endly the conclusions
Key words: Magnetic field, particle, electric charge, radio, voltage, current electricity.
1. Introducción
En este trabajo se estudia el comportamiento de un haz de electrones confinado en una
cámara de vidrio con forma circular sellada al
vació. se comprende que un electrón posee ca-
racterı́sticas especificas, se establece que la trayectoria del electrón puede verse perturbada de
acuerdo a fuerzas externas que actúen sobre el,
en este caso un campo magnético emitido a partir de dos bobinas de Helmholtz. Luego el campo eléctrico será despreciado en este trabajo.
2
De modo que se halla la relación que tiene el
voltaje de aceleración el cual calienta los electrones, con su recorrido y tipo de recorrido.
MARCO TEÓRICO
si dicha pieza es hueca podemos deducir que el
flujo del campo magnético la atravesarı́a.
La fuerza magnética de dicho campo que interacciona con la partı́cula cargada se describe
de la siguiente forma:
2. Marco Teórico
2.1. Cuantización especifica de la carga eléctrica
Fm = qvBsinθ
(1)
donde q es la carga de la partı́cula, v la velocidad de la misma y θ es el ángulo que esta comprendido entre la velocidad y el campo
magnético B. La dirección de la fuerza se le
conoce bajo la ley de la mano derecha. Como
dicha fuerza hace que la partı́cula desvı́e su trayectoria circularmente entonces con la segunda ley de Newton tenemos una expresión para
conocer la carga especifica.
A través de la historia de la electricidad y el
magnetismo, se ha surgido muchas preguntas
de dichos fenómenos y muchos se han atrevido
a observar el fenómeno mas detalladamente en
el punto de vista microscópica. Como principal
autor de dichos estudios podemos hablar sobre
William Thompson el cual tragaba de coincidir
con sus ideas. Se sabia o al menos se suponı́a
que la electricidad son partı́culas negativas en
movimiento y para entonces Thompson querı́a
deducir lo que seria una relación entre carga
masa de dicha partı́cula que actualmente se le
conoce como electrón.
Dicho trabajo experimental se realizó construyendo un cañón de electrones y luego dicha
trayectoria que dejaba el electrón se podı́a desviarla con un campo eléctrico, siendo el primer
intento para conocer dicha relación que se obtuvo un valor de 2 ∗ 1011 C/Kg. Actualmente
es más preciso trabajar con un campo magnético que desvı́a la trayectoria de la partı́cula de
manera circular y ası́ tener mediciones con bajo ı́ndice de error.
qvBsinθ = mac
(2)
siendo ac la aceleración centrı́peta
qvBsinθ = m
v2
r
(3)
q
v
=
(4)
m
Br
Como los electrones están siendo acelerados
por un potencial U dentro del cañón y ası́ estos salgan eyectados con una velocidad v, por
conservación de la energı́a se sabe que la velocidad de las partı́culas es de:
e
(5)
m
Entonces ya conociendo la velocidad, la
ecuación (4) quedarı́a
r
2.2. Movimiento en un campo magnético
v=
Recordamos que un campo magnético es
una región del espacio donde existen fuerzas
magnéticas (fuerzas que atraen o repelen metales). Esta propiedad de atraer metales se llama magnetismo. Un campo magnético lo puede generar un imán con dos polos, polo Norte
(N) y polo sur (S). Los polos se encuentran en
los extremos del campo generado por el imán.
De otra manera podemos también generar un
campo magnético al construir bobinas, hilos de
cobre enrollados en una pieza metálica, la cual
2U
q
2U
= 2 2
m
B r
(6)
2.3. Campo magnético de las bobinas de Helmholtz
Mediante la ley de Biot-Savart se deduce el
campo magnético de una espira que circula una
corriente eléctrica.
2
2
MARCO TEÓRICO
2.3
⃗
⃗ = µ0 I dl × ρ⃗
dB
4π ρ3
Campo magnético de las bobinas de Helmholtz
por lo tanto el modulo del campo magnético
serı́a:
(7)
B=
N µ0 I
1
2a (1 + ( Za )2 ) 32
(14)
figura 1:Esquema de campo magnético en una espira. Tomado del [2]
siendo ρ⃗ un vector que es desde el punto de
observación hasta la longitud de la espira d⃗l.
A lo largo del eje de la espira, se considera
el eje Z. Para entonces la suma de los campos
magnético a lo largo de la componente Z para
cada una de los diferenciales de longitud tenemos:
figura 2: Bobina de Helmholtz. Tomado de [2]
Ahora si consideramos dos bobinas que están
a una distancia desde el origen como se ve en
la figura 2 siendo que las distancia para cada
bobinas es de d = z − 2b y d = z + 2b por lo
tanto al sumar los campos magnéticos de cada
bobina entonces el campo total quedarı́a:
dB⃗1 +dB⃗2 = (dB1Z +dB2Z )⃗k = 2dB1Z ⃗k (8)
siendo dB1Z
a
dB1Z = −|dB⃗1 |sinα = −|dB⃗1 |
(9)
ρ
siendo a el radio de la espira. Se cumple que
ρ⃗ ⊥ d⃗l entonces el módulo del campo magnético se escribe de la siguiente manera:
µ0 I dl
dB = |dB⃗1 | =
4π ρ2
3
4 2 N µ0 I
(16)
5
a
Luego de hallar el campo magnético podemos ya reemplazar en la ecuación (6) por lo
tanto sustituyendo constantes tenemos nuestro
modelo para hallar la relación carga-masa.
B=
(10)
µ0 Ia Z
dl
(11)
4πρ3
La integral de linea de la espira es el perı́metro del semi-circulo del mismo, por lo tanto el
campo magnético de reducirı́a a:
dB = −2
Z
dl = πa


N µ0 I 
1
1

B=
+
b
b
3
3
Z+
Z+
2a
2 2 2
2 2 2
(1 + ( a ) )
(1 + ( a ) )
(15)
Que reduciendo matemáticamente la expresión (15) al evaluar en z = 0 entonces tenemos
que el campo magnético total es igual a:
3
q
5
=
m
4
2U a2
(N µ0 I)2 r2
siendo µ0 = 4π ∗ 10−7
N = 130
(12)
semi−circulo
µ0 Ia2 ⃗
k
(13)
2ρ3
Finalmente, si consideramos el numero
de
√
2
espiras en una bobina N y que ρ = z + a2
Vs
,
Am
r = 0, 15 m y
q
U
= 3,29 ∗ 106 2 2
m
r I
B=−
3
(17)
(18)
3
3. Montaje experimental
MONTAJE EXPERIMENTAL
3.2. Instrumentos de medición
3.1. Partes del montaje.
1. Multimetro digital
2. Pie de rey digital
3. Bobinas de Helmholtz de 130 espiras.
4. Fuente de voltaje y corriente variable.
5. Fuente de voltaje variable
6. Tubo de rayos catódicos.
Para recrear las condiciones del experimento de J.J Thompson, pero con algunas modificaciones, se utiliza un tubo de rayos catódicos al cual se le proporciona un voltaje a partir de dos fuentes, una de voltaje variable, y
la segunda de voltaje y corriente variables, las
cuales vamos midiendo con un multı́metro digital para poder definir los rangos e intervalos
en los cuales obtenemos el haz de electrones,
el campo magnético, siendo este el cambio en
el montaje, es inducido a partir de las bobinas
de Helmholtz pero no se conocen sus parámetros constructivos ya que, como se puede ver
en las fotografı́as, los bobinados están sellados,
una vez descrita la trayectoria de los electrones procedimos hacer uso de los instrumentos
de medición proporcionados por el laboratorio
y realizamos 3 casos diferentes para el planteamiento del mismo experimento los cuales son:
1. Corriente fija.
2. Voltaje fijo.
3. Radio fijo.
Para cada uno de estos casos se hizo una toma
total de 19, 14 y 15 datos respectivamente para
hallar las relaciones gráficas correspondientes
y hacer el respectivo análisis que se introdujo
en el marco teórico, los diámetros de las trayectoria se midieron con un pie de rey digital y
con ayuda de unas marcas de medición que se
encuentran en el montaje.
figura 3:pie de rey digital con un error de medición de 0.01
mm
figura 4:Multimetro digital con un error de medición de
0.01 V
figura 5:Bobinas de Helmholtz.
figura 6:fuente que determina el voltaje y corriente entre el
ánodo y el cátodo.
4
4
RESULTADOS
ran un campo ecléctico pero en este caso sera
despreciado el campo eléctrico. Luego como
el campo magnético es constante la trayectoria
describe un moviente circular. como en la siguiente imagen.
figura 7:Fuente que controla el voltaje de aceleración del
haz de electrones y la intensidad de las bobinas.
3.2.1. ¿Cómo funciona?
La conexión es la siguiente a grandes rasgos, el multı́metro va conectado a la fuente de
V variable y a partir de la misma fuente logramos con las placas de aceleración definir el
parámetro inicial, y a su vez a partir del circuito integrado del montaje, podemos conectar la
fuente de corriente y voltaje variable con las
bobinas generando el campo magnético en el
tubo de rayos catódicos, y el cátodo con filamento de tungsteno permite la salida de electrones que escapan por un agujero del ánodo,
y el multı́metro nos ayuda a medir la diferencia de potencial que existe en esa región la conexión a tierra es desde la fuente aceleradora
y se conecta directamente al montaje, una vez
la conexión este como en la figura 8 en minutos se calentara el tungsteno y despedirá haz de
electrones.
figura 9:Del haz de electrones A, salen a una velocidad la cual esta
afectada por una campo magnético logrando la trayectoria circular
B.
4. Resultados
4.1. Primer caso: Corriente fija. 1,81 A
La primera fase de toma de datos se establece el campo magnético fijo que depende de la
corriente que se le suministra a las bobinas y
ası́ variar nuestra variable independiente, voltaje de aceleración, para medir distintos valores de diámetros de la trayectoria circular que
se observa en la figura 9.
Para está toma de datos se obtuvieron 19 mediciones, al lineal-izar los datos obteniendo una
relación de radio al cuadrado contra el voltaje de aceleración. Con los datos se obtienen
de dos maneras la relación carga-masa: como
primer modo se toma cada uno de los datos
registrados y se evalúa en la ecuación (18) para luego obtener un promedio que el orden de
figura 8: Conexión eléctrica. Tomado de [1]
De este montaje, la trayectoria del electrón se
ve influenciada gracias a la interacción de un
campo magnético inducido por dos bobinas.
Luego, el montaje tiene unas placas que gene5
4.2
Segundo caso: Voltaje de aceleración fijo. 256.5 V
4
RESULTADOS
magnitud coinciden perfectamente mientras
que el valor entero se aleja demasiado al teórico (e/m)t = 1, 76 ∗ 1011C/Kg .
(e/m)m 3, 09x1011 75.59
Va ±0, 1(V ) R2 ±0, 00005( m2 )
(e/m)p 2,51x1011 42.65
TABLA 2. Relación e/m y su respectivo error.
128,6
3, 8x10−4
139,9
4x10−4
153,9
4,2x10−4
160,4
4,6x10−4
174,9
5,2x10−4
188,4
6x10−4
197,4
6,3x10−4
208,0
6,8x10−4
228,0
7x10−4
242,0
7,3x10−4
255,0
7,8x10−4
276,0
8,4x10−4
299,0
−4
I
Como ya se habı́a mencionado se obtiene el
orden de magnitud deseada pero aun ası́ se calcula un error porcentual mayor del 50 % lo cual
se le asocia dicho error por la poca cantidad de
medidas, al calcular la desviación tı́pica, que es
del 23 %, por lo tantos no se tienes una buena
exactitud en el valor promedio, mientras que al
calcular la relación mediante la pendiente de la
gráfica se mejora mucho mas, además se tiene
un error porcentual de las medidas tomadas del
12 %. Es importante tener en cuenta la desviación tı́pica porque nos dice la cantidad de datos
que se debe tomar,y que mas adelante veremos
como esta desviación aumenta al no suficientes
datos.
4.2. Segundo caso: Voltaje de aceleración fijo. 256.5 V
8,8x10
323,0
1x10−3
352,0
1,2x10−3
379,0
1,3x10−3
413,0
1,4x10−3
437,0
1,4x10−3
1.81 A Error %
Para la siguiente toma de datos se coloca un
voltaje de aceleración fija con el fin de colocar
la relación que tiene el radio del haz de electrones con la corriente, la cual se nota que es
inversamente proporcional al mismo orden, no
como el caso anterior que el radio al cuadrado
es directamente proporcional al voltaje.
481,0
1,6x10−3
TABLA 1. Toma de datos para el primer caso
6
4
RESULTADOS
4.3
I −2 ±0, 001(A−2 ) R2 ±0, 00005( m2 )
V
Tercer caso: Radio fijo. 0,0314 m
256.5
Error %
0.841
2,25x10−3
(e/m)m 3, 27x1011 85.82
0.797
2,06x10−3
0.730
1,93x10−3
(e/m)p 2, 81x1011 59,83
TABLA 4. Relación e/m y su respectivo error.
0.660
1,85x10−3
0.600
1,58x10−3
0.556
1,45x10−3
0.517
1,29x10−3
0.469
1,17x10−3
0.450
1,08x10−3
0.421
1,02x10−3
0.390
9,15x10−4
0.362
8,41x10−4
0.346
7,32x10−4
0.319
6,81x10−4
0.289
6,10x10−4
0.257
5,66x10−4
4.3. Tercer caso: Radio fijo. 0,0314 m
Como ultimo caso se trabaja con el radio fijo
de la trayectoria del haz. Se puede notar que el
radio fijado depende del aumento del voltaje y
de la disminución de la corriente, por el cual se
afirmó dentro de ambos casos anteriores. para
esta toma de datos solo se obtuvieron 15 medidas y a comparación de los otras mediciones
se observa que los dos primeros casos se tiene
mayor exactitud a la hora de trazar linea y esos
puntos están bien cercanos a dicha linea. mientras que esta medida se tiene una baja exactitud y menos precesión que los otros casos. aun
que se tuvo mucho mejor los datos teniendo un
error porcentual de medida de 0,5 %, la desviación tı́pica de dichas mediciones no es favorable
0.235
5,24x10−4
TABLA 3. Toma de datos para el segundo caso
Además en este caso como solo se tomaron
17 medidas y son dos medidas menos, de igual
manera la precesión es menos certero que en
el caso primero, se obtuvo una desviación tı́pica mayor del 30 %, como se habı́a mencionado
antes que se esperaba que aumentara y se nota
que se tiene mayor porcentaje de error en las
medidas del 12 %. Lo que conlleva a un aumento de error en las distintas relaciones , tanto el
promedio como por mı́nimos cuadrados.
7
5
5. Resultados Gráficos
Va ± 0, 1(V ) I 2 ±0, 01( A2 )
240
1,96
286
2,56
330
3,027
370
3,31
400
3,84
450
4,04
520
4,88
200
1,87
220
1,96
180
1,51
150
1,32
100
0,62
425
3,24
225
2,28
RESULTADOS GRÁFICOS
Después del tratamiento estadı́stico de los
tres casos distintos, llegamos a las siguientes
gráficas.
Gráfica 1:Corriente fija, Radio2 Vs Voltaje(V)
420
3,13
TABLA 5. Toma de datos para el tercer caso,
Al tener pocos datos tenemos una desviación
del 59 %, la cual se debió registrar mas medidas para un un valor de carga-masa mas precisa
y ası́ no tener errores porcentuales mayores del
100 %.
R
0.031
Error %
(e/m)m 3, 5x1011 98.67
Gráfica 2:Voltaje aceleración fijo, Radio2 m2 Vs I− 2 Amp
(e/m)p 3,75x1011 112.89
TABLA 6. Relación e/m y su respectivo error.
Además de tener en cuenta los valores iniciales de cada caso, se debe de trabajar con mayor
numero de datos para mayor exactitud y precesión, aun ası́ se obtiene en los tres casos el orden de magnitud a la 11, que se espera al tratar
dichas medidas.
8
−2
6
CONCLUSIONES
componen el átomo y son más pequeñas que el mismo.
El error en los datos se le puede atribuir a varios factores en este experimento, el primero que tenemos que
considerar es el error humano, que tenemos que aclarar
fue uno de los que mas afecto a la toma de datos ya
que no fue lo suficientemente rigurosa porque el montaje mostrado en las figuras no tienen la facilidad para
que la medida del diámetro de la trayectoria fuera exacta y la medición dependı́a mucho desde la perspectiva
que se mirara entonces el haz de luz a través del vidrio,
otro de los errores que afecto en gran medida la toma
de datos fue el numero de ellos que tomo, si analizamos los errores obtenidos en los diferentes casos en el
presente informe podemos dar cuenta de que a medida que tomamos más número de datos menor va ser el
error, luego para tener una medición mas exacta y tener
un rango de error mas bajo deberı́amos tomar aproximadamente el orden de 50 datos en cada caso.
En cuanto al comportamiento de las gráficas en relación
a los casos particulares se reconoce un comportamiento lineal y proporcional al caso 1 donde la corriente es
fija. Es decir que a medida que aumentamos su voltaje de aceleración para los electrones el diámetro de su
trayectoria aumenta en una proporción directa.
Gráfica 3:Radio fijo, Voltaje en vatios Vs corriente en Amperios
6. Conclusiones
Como se puede notar por el análisis de datos, y la
parte conceptual se puede concluir que el haz esta compuesto principalmente por partı́culas elementales de carga negativa ya que obedecen a los principios matemáticos estipulados para electrones sumergidos dentro de
un campo magnético, luego el haz de luz que describe una trayectoria circular es un haz de electrones, los
resultados de este experimento nos permiten estimar el
valor, con un grado de error en 2 de los 3 casos considerable, la relación entre la masa y la carga. Este experimento nos ayuda a comprender un poco como están
conformados los átomos en los diferente elementos y
en esencial en el tungsteno, este experimento rompe el
paradigma de los siglos anteriores del siglo XIX en el
cual se creı́a que los átomos eran indivisibles, ya que la
relación obtenida es menor a la ya conocida del átomo
de hidrógeno se puede concluir que existen partes que
Referencias
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Fı́sica atómica y nuclear
Laboratorio virtual
Determinación de la carga especı́fica del electrón.
Teoria de errores
MEDIDAS, GRÁFICAS Y CÁLCULO DE ERRORES EN EL
LABORATORIO DE FÍSICA
[6] Apuntes en clase
9