CORRECCIONES Bases Fısicas y Quımicas del Medio Ambiente

CORRECCIONES
Bases Fı́sicas y Quı́micas del Medio Ambiente 2004/2005 Hoja 5
Área de Quı́mica-Fı́sica. Universidad Pablo de Olavide
28.- La suma de las fuerzas en los ejes y y z debe ser 0 para que la partı́cula no se
desvı́e. Sobre la partı́cula actúan la fuerza de Lorentz (qv × B, donde × es el producto
vectorial) y la fuerza electrostática, lo cual se puede escribir en forma vectorial:
F = qv × B + qE
= qv0 Bj × i + qEk
= qv0 B(−k) + qEk
Proyectamos estos vectores sobre los ejes x, y, y z:
Fx = 0
Fy = 0
Fz = q(E − v0 B)
Ası́ que la condición sobre la velocidad de entrada es:
v0 = E/B
Aplicación: v0 = 375 m/s.
b) El dispositivo permite seleccionar partı́culas de una determinada velocidad.
29.- Tal como se supone que la velocidad es perpendicular al campo magnético, la
orbita serı́a circular debido a la fuerza de Lorentz. En realidad, es más bien una espiral
que se va acercando a la tierra. La condición de equilibrio que determina la órbita estable
es que la fuerza centrı́fuga contrarecta la fuerza de Lorentz: Si se escoge un referencial
situado en el electrón y que gira con él, la proyección sobre los ejes se puede escribir:
Fx = 0 (eje de v)
Fy = 0 (eje de B)
v2
Fz = qv0 B − m 0
R
De la condición
Fz = 0
se deduce la expresión de R:
R=
mv0
qB
Aplicación: (a) R=1423 m
(b) R=28.47 m
30.- La resistencia y la resistividad se relacionan a través de la fórmula:
R=ρ
πr2
L
⇒ρ=R
S
L
Aplicación:
ρ = 0.2 × 109
π · (5 × 10−6 )2
= 1.96Ωm.
8 × 10−3
A tı́tulo de comparación, las resistividades de algunos materiales son: Cobre (metal conductor) 1.7 × 10−8 Ωm, semiconductores 10−6 − 104 Ωm, diamante 2.7Ωm, agua de mar
0.15Ωm, sangre 2.0Ωm, agua destilada 1.8 × 105 Ωm,
La resistividad del axón es parecida a la de la sangre y no es un buen conductor de la
electricidad.
CORRECCIONES
Bases Fı́sicas y Quı́micas del Medio Ambiente 2004/2005 Hoja 5
Área de Quı́mica-Fı́sica. Universidad Pablo de Olavide
31.- Se asume que se quiere lograr una determinada potencia útil P.
Pu = U I
donde U es la tensión en las bornas del sistema en el punto final adonde se va a consumir
(en la práctica, antes del transformador que lo lleve a la tensión de 220 o 380V) e I
es la intensidad que pasa por el cable. Sea R la resistencia del cable que transporta la
electricidad. La potencia térmica que se pierde en el camino es:
Pt = RI 2 ⇒ Pt = RPu 2 /U 2
Para minimizar las pérdidas en el transporte, es conveniente que la tensión aplicada sea
la mayor posible.
32.- En primer lugar observamos que podemos reducir las resistencias R2 y R3 a una
única resistencia asociandolas en serie
R23 = R2 + R3 = 100 + 15 = 115Ω
Lo mismo podemos hacer con R4 y R6 , asociandolas en paralelo
1
1
1
R46 = R4 + R6
Obteniendo que
R6
1000·100
R46 = RR44+R
= 1000+100
= 90.91Ω
6
Esta resistencia la podemos asociar con R5 en serie
R465 = R5 + R46 = 90.91 + 30 = 120.91Ω
Y esta en paralelo con R23
R465
R23456 = RR2323+R
= 58.94Ω
465
Finalmente esta resistencia se asocia en serie con R1 , obteniendo la resistencia equivalente del sistema:
RT = R1 + R23456 = 58.94 + 50 = 108.94Ω
33.-
Figure 1: Figura del problema 33
Podemos representar el problema mediante el esquema de la figura, donde vemos que
podemos realizar una asociación de resistencias en paralelo para las piernas, para a continuación asociar la resistencia resultante en serie con el resto:
R4
R34 = RR33+R
= 2.5 kΩ
4
RT = R1 + R2 + R34 = 3 + 2 + 2.5 = 7.5 kΩ
Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos calcular la intensidad
220
I = VR = 7.5·10
3 = 29.33 mA
La potencia disipada, aplicando la ley de Joule:
P = RI 2 = 7.5 · 103 (29.3 · 10−3 )2 = 6.45W
CORRECCIONES
Bases Fı́sicas y Quı́micas del Medio Ambiente 2004/2005 Hoja 5
Área de Quı́mica-Fı́sica. Universidad Pablo de Olavide
En el caso de que el hombre tuviese unas suelas de goma, la resistencia de estas se
asociarı́an en serie a cada una la de las piernas, que pasarán a tener ahora una resistencia
total de:
Rp = 5000 + 5 = 5005kΩ
Repitiendo los cálculos anteriores
R R
Rpp = Rpp+Rpp = 2502.5kΩ
RT = R1 + R2 + Rpp = 2507.5kΩ
I = VR = 0.088 mA
P = RI 2 = 19.3 mW
Tengase en cuenta que los efectos biológicos sobre el organismo comienza a manifestarse
a partir de aproximadamente 12 mA (calambre), produciendo corrientes de entorno a 100
mA un paro cardiaco. Extrae conclusiones.
34.- El campo magnético creado por un cable muy largo en un punto es B = K Ir ,
siendo K = 2 · 10−7 N s2 C −2 , I la intensidad de corriente que circula por el cable y r la
distancia al cable. Con ello, la distancia a la que se alcanza una intensidad de campo
determinada será:
r = K BI
Esta distancia para los casos lı́mite planteados en el problema será:
267
r(0.4µT) = 2 · 10−7 0.4·−6
= 133.5 m
267
−7
r(100µT) = 2 · 10 100·−6 = 0.53 m
Como el cable se encuentra a H=7 metros de altura, podemos calcular la distancia a
nivel de suelo
p aplicando el teorema de Pitagoras
D = (r2 − H 2 )
Con ello obtenemos que para el caso de B = 0.4µT la distancia de seguridad (es decir,
aquella para la que a distancias mayores no se supera dicho nivel) es D = 133.33 m,
mientras que el nivel de B = 100µT no se alcanza nunca a nivel del suelo.
35.- Según la ley de Faraday, la intensidad generada por un campo magnético es
i = R1 dΦ
dt ,
donde Φ es el flujo del campo magnético a través del conductor, que en este caso será
Φ = BS = BS cos 2πf t
Siendo B la intensidad del campo magnético, S la superficie del conductor, t el tiempo,
f la frecuencia del giro (vueltas por segundo, ω = 2πf ) y R la resistencia total del circuito.
Derivando obtenemos que
i = BS2πf
sen(2πf t)
R
La resistencia total del circuito será la resultante de la asociación en serie de la resistencia del aro y de la resistencia de la bombilla:
RT = Ra + Rb = 50 + 7 = 57Ω
Con lo que obtenemos una intensidad
i(t) = 0.01558 sen(628t) A
La caida de potencial en el aro, aplicando la ley de Ohm
∆V = ri = 7 · 0.01558 sen(628t) = 0.109 sen(628t) V
Por lo tanto, el potencial en los extremos del aro se obtiene como: V (t) = Ra i(t) =
RT i(t) − Rb i(t) = 0.779 sen(628t) V
Para la potencia disipada en el instante t = 1.25 ms, consideramos el valor de la
intensidad en ese instante
i(1.25ms) = 0.01558 sen(200π · 1.25 · 10−3 ) = 0.0110 A
Y aplicamos la ley de Joule, considerando únicamente la resistencia de la bombilla
P = Rb i2 = 50 · 0.01102 = 6.06 mW
Nota: El valor de P = 8.58 mW que aparece en la hoja de enunciados estaba equivocado.