Algebra

Cuadernillo de algebra
LAURA A. OREJEL ORTIZ
1 UAT
VALERIA LÓPEZ
COLEGIO REGENTS DE REYNOSA
Temas
Productos notables:





Binomio al cuadrado (cuadrado de binomio)
Binomio al cubo (cubo de un binomio)
Producto de dos binomios conjugados
Productos de dos binomios con un término común
Producto de dos binomios con términos semejantes
Factorización:




Factorización por factor común
Factorización por agrupación
Trinomio cuadrado perfecto
Diferencia de cuadrados
Fracciones algebraicas:
 Suma y resta
 Multiplicación y división
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del
primer término, más el doble producto del primero por el segundo
más el cuadrado segundo.
La fórmula utilizada en el cuadrado de la suma de un binomio es:
(x+a)2=x2+2xa+a2
Ejemplo:
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x2 + 2 · x ·3 + 32 = x2 + 6 x + 9
Binomio al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple
del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero
por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
La fórmula utilizada en el cubo de la suma de un binomio es:
(x+a)3=x3+3x2a+3xa2+a3
Ejemplo:
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x3 + 9x2 + 27x + 27
Producto de dos binomios conjugados
El producto de binomios conjugados, es decir la suma de dos
cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado de la
primera cantidad menos el cuadrado de la segunda.
La fórmula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:
(x+a)(x-a)= x2-a2
Ejemplo:
(a-b) su conjugado es (a+b)
(x+5) su conjugado es (x-5)
Producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios que tienen un término común, se
obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común,
el producto de este término por la suma algebraica de los términos
no comunes y el producto de estos dos últimos términos.
La fórmula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:
(x+a)(x+b)= x2 + (a+b)x + ab
Ejemplos:
Dado los binomios P(x)=(x+a) y Q(x)=(x+b)
común (x)
tienen el término
Productos de dos binomios de términos semejantes
Tienen la forma (ax+by)(mx-ny) Para realizar el producto de dos
binomios con términos semejantes se siguen los siguientes pasos:

Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.

Se multiplican los términos extremos.

Se multiplican los términos interiores.

Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.

Se reducen los términos semejantes.
Ejemplo:
Factorización por factor común
Es aquella en la cual podemos representar una suma de términos
como un producto, donde uno de los factores contiene a los
elementos que cada sumando tiene en común.
Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, la
aplicación correcta de la propiedad distributiva nos permitirá
expresar el polinomio como el producto de dos factores donde uno
de ellos será el factor común.
Busca las variables o coeficientes que se repiten:
5xy + 4 x5x2 + 5 x 2xy
Apártalos del grupo:
5x
Anota entre paréntesis, las letras y números que sobran si les quitas
el factor común:
5x (y + 4x – 2z)
Factorización por agrupación
El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en
cantidades iguales para luego factorizar cada grupo por factor
común y finalmente volver a factorizar por factor común, en donde
el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor
común.
En este tipo de factorización lo que se tiene que hacer es agrupar 2
y 2 términos para poder factorizar
a² + ab + ax + bx
a (a+x) + b (a + x)
(a+x) (a+b)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres
términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el
otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Se eleva al cuadrado El signo se define en el segundo termino.
Ejemplo: Factorizar x2 + 6x + 9.
 x2 + 3x + 3x + 9
Reescribe 6x como 3x + 3x, como 3 • 3 = 9, el último término, y 3 + 3
= 6, el término central.
 (x2 + 3x) + (3x + 9)
Agrupa pares de términos.
 x(x + 3) + 3(x + 3)
Saca el factor x del primer par, y el factor 3 del segundo par.
 (x + 3)(x + 3) o (x + 3)2
Saca el factor x + 3.
(x + 3)(x + 3) también puede escribirse como (x + 3)2.
Respuesta: (x + 3)(x + 3) o (x + 3)2
Diferencia de cuadrados
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos
términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Donde
siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma
por la diferencia de sus bases.
Formula:
Ejemplos:
a) Factoriza la expresión x2 - 9
> Raíz de x² = x y raíz de 9 = 3
x² – 9 = (x+3)(x-3)
Fracciones algebraicas (suma y resta)
Una fracción algebraica es un tipo de fracción cuyo numerador y
cuyo denominador son expresiones algebraicas.
Para sumar o restar dos fracciones algebraicas con distinto
denominador se multiplican los denominadores entre si, luego los
numeradores de cada fracción se multiplican por los denominadores
de la otra fracción.
Ejemplos:
Suma
Resta
Fracciones algebraicas (Multiplicación y división)
Para multiplicar potencias de la misma base se suman los
exponentes y para dividir se restan.
Ejemplos:
Multiplicación
División