Bronson

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RICHARD BRONSON
TEORIA Y
409
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11,14
SERIE DE COMPE'VDIOS SCHAUM
TEORIA Y PROBLEMAS
de
ECUACIONES
DIFERENCIALES
MODERNAS
con
Transformaciones de Laplace
Métodos Numéricos • Métodos de Matrices
Problemas de Valor Eigen
Richard Bronson, Ph.D.
`Iraducción:
Juana Inés Caro de Brigard
Catedrática de Matemáticas
Arturo de Brigard Montoya
Ingeniero Civil
Universidad Javeriana
McGRAW-HiLL
MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA
MADRID • NUEVA YORK • PANAMA • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO
AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MONTREAL • NUEVA DELHI
PARÍS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS
SIDNEY • TOKIO • TORONTO
ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS
Prombida la reproduccion totai u pdreial ae esta obra,
por cualquier medio , sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1985„ respecto a la primera edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE MEXICO, S.A. DE C.V.
Atlacomulco 499-501 , Fracc . Industrial San Andrés Atoto
53500 Naucalpan de Juárez , Edo. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890
ISBN 968-451-318-6
Traducido de la primera edición en inglés de
MODERN INTRODUCTORY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Copyrigh' © MCMLXXIII, by McGraw-Hill Book Co., U. S. A.
ISBN 0-07-009009-7
1609875432
LINSA-76
Impreso en México
Esta obra se terminó de
imprimir en marzo de 1991
en Avalos Garcia G.F.
Arenas No. 18
Col. Acueducto de Guadalupe
Deleg. Gustavo A. Madero
07270 México, D.F.
Se tiraron 1000 ejemplares
9087654321
Printed in Mexico
Prefacio
Durante los últimos veinte años se han hecho significativos adelantos en e]
campo de las ecuaciones diferenciales. El advenimiento de computadoras muy
veloces ha hecho posibles las soluciones mediante técnicas numéricas y ha dado
como resultado una multitud de métodos nuevos. Los sistemas preferidos en
muchos de los problemas de ingeniería de la actualidad, conducen tanto a métodos de matrices como a transformaciones de Laplace.
En este libro se describen, con muchos problemas resueltos, tanto las
teorías clásicas de ecuaciones diferenciales como las técnicas mas modernas disponibles actualmente. El único requisito previo para cualquiera de los temas tratados
es el cálculo. Como suplemento para los libros de texto ordinarios o como libro de
texto en sí mismo, demostrará su utilidad para cursos de pregrado y para estudios
individuales.
Los capítulos 1 al 21 y 37 a 39 abarcan el material clásico incluyendo
ecuaciones separables y exactas, soluciones de ecuaciones lineales con coeficientes
constantes por el método de la ecuación característica, variación de parámetros y
e] método de coeficientes indeterminados, soluciones de series infinitas y problemas de valor límite y de Sturm-Liouville. En contraste, los capítulos 22 a 36
tratan de las técnicas establecidas mas recientemente, en particular los métodos de
las transformaciones de Laplace, y de matrices y las técnicas ntunéricas. Debido a
su gran importancia práctica, este último tema se ha desarrollado más completamente de lo que se acostumbra a este nivel.
Cada capítulo del libro se divide en tres partes. En la primera se describen
los puntos más importantes, llamando la atención sobre las dificultades potenciales y señalando subtítulos que puedan pasarse por alto fácilmente. La segunda
parte consiste en problemas completamente desarrollados, que aclaran el material
presentado en la primera, y que, algunas veces, amplían también ese desarrollo.
Finalmente, hay una sección de problemas con respuestas, mediante los cuales
puede comprobar el estudiante su comprensión del material.
Quisiera agradecer a las muchas personas que me ayudaron a hacer una
realidad este libro. Estoy muy reconocido por todas las valiosas sugerencias de
Joseph Klein y Jack Mieses para los Capítulos 22 a 27 y por las de Mabel Duke.sshire. En particular debo agradecer a Raymond Raggi quien programó la mayoría de los métodos numéricos y a David Beckwith del personal directivo de
Schaum por su espléndida edición. Finalmente, mi mayor deuda es para con mi
esposa Evelyn , quien, además de haber hecho la mayor parte del trabajo de copia,
contribuyó sustancialmente en las fases de edición y lectura de pruebas de este
proyecto.
RICHARD BRONSON
Fairleigh Dickins
Octubre de 1973
Contenido
Página
Capítulo Y CONCEPTOS BASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Orden y Grado. Ecuaciones Diferenciales
Lineales . Notación.
Capítulo 2 SOLUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ..
5
Definición de Solución. Soluciones Particulares y Generales. Problemas de
Valor Inicial. Problemas de Valor Límite.
Capítulo 3 CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN .....................................11
Forma Ordinaria y Forma Diferencial. Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Homogéneas. Ecuaciones Separables . Ecuaciones Exactas.
Capítulo 4
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN . . . . 15
Solución General. Problemas de Valor Inicial.
Capítulo
5 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN . . . 20
Primer Método de Solución. Método Alterno de Solución.
. . . . .
25
Capítulo 7 FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Capítulo 6 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN
Definición. Método de Solución.
Qué es un Factor de Integración? Solución usando un Factor de Integración. Cómo hallar un Factor de Integración.
Capítulo 8 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . .
35
Un Factor de Integración. Método de Solución.
Capítulo 9 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
...................................
ORDEN
Problemas de Enfriamiento. Problemas de Crecimiento y Decrecimiento. Calda de Cuerpos con Resistencia del Aire. Problemas de Diluciones. Circuitos
Eléctricos. Trayectorias Ortogonales.
40
CONTENIDO
Página
Capítulo 10
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: OBSERVACIONES GENERALES .................................... 56
Definiciones. Teorema de la Solución Unica. El Operador Diferencial Lineal.
Capítulo 11
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORIA DE LAS SOLUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Dependencia Lineal. Independencia Lineal. Soluciones Linealmente Independientes, El Wronskiano.
Capítulo 12
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE
SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . 67
La Ecuación Característica. Solución en Términos de Las Raíces Características.
Capítulo 13
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE ORDEN
a CON COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
La Ecuación Característica. Solución en Términos de Las Raíces Características.
Capítulo 14 EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . 74
Forma Simple del Método. Modificaciones, Generalizaciones. Limitaciones de
este Método.
Capítulo 1-5
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Variaciones de Parámetros . Alcance del Método.
Capítulo 16
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Capítulo 17 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . 89
Capítulo 18
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Introducción. Funciones Analíticas . Puntos Ordinarios y Puntos Singulares.
Capítulo 19
SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN
PUNTO ORDINARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
\letodo para Ecuaciones Homogéneas. Método para Ecuaciones no Homogénea.(.
Capítulo 20 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS . . . 113
Teorema de Existencia . Método de Frobenius . Solución General.
4*
UNTE
Página
Capítulo 21 FUNCION GAMMA. FUNCION BESSEL . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Función Gamma. Funciones de Bessel. Operaciones Algebraicas con Series
Infinitas.
Capítulo 22 LA TRANFORMACION DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
Integrales Impropias. Definición de Transformación de Laplace . Convergencia
de la Transformación de Laplace.
Capítulo 231 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
Capítulo 24
. . . . . . .. 143
TRANSFORMACION INVERSA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . 150
Definición. Teorema de la Solución Unica. Método de Completar el Cuadrado. 'Método de Fracciones Parciales.
Capítulo 27
CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO
. . . . . . . 157
Circunvoluciones. Función de Paso Unitario.
Capítulo 26
SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON
COEFICIENTES CONSTANTES POR LAS TRANSFORMACIONES DE
LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Transformaciones de Laplace de Derivadas . Solución del Problema de Valor
Inicial.
Capítulo 27 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES POR LAS TRANSFORMACIONES DE LAPLACE• • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Capítulo 28
MATRICES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Matrices y Vectores. Suma de Matrices . Multiplicación Escalar y Matricial.
Matrices Identidad y Cero. Potencias de una Matriz Cuadrada . Derivación e
Integración de Matrices . La Ecuación Característica.
Capítulo
29
e^` . ... .. .. . . . . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .. . 182
Definición . Cálculo de , •a'.
Capítulo 30 REDUCCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
Capítulo 31
SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONS.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
TANTES
Introducción . Solución del Problema de Valor Inicial. Comparación de los Mé-
CONTENIDO
Página
Capítulo
32
METODOS NUMERICOS SENCILLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Observaciones Generales. Método de Euler. Método de Heun. Método de la
Serie de Taylor de Tres Términos. Método de Nystrom, Orden de un Método
Numérico.
Capítulo 33 METODOS DE RUNGE -KUTTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Introducción. Un Método de Runge-Kutta de Tercer Orden. Un Método de
Runge-Kutta de Cuarto Orden
Capítulo 34 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
. . . . . . . . . . . . . . . . 237
Introducción. Un Método de Segundo Orden. Método de Milne. Método de
Hamming. Valores de Partida.
Capítulo 35
METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION MODIFICADOS
. . . . . . . . 253
Introducción. Método de Milne Modificado. Método de Hamming Modificado. Valores Iniciales.
Capítulo 36 METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS DE PROBLEMAS
. . . . . . . . 263
Observaciones Generales. Método de Euler. Un Método Runge-Kutta de Cuarto Orden. Método de Milne. Método de Hamming.
Capítulo 37 PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN
. . . . . . . . . 279
Problemas Homogéneos y no Homogéneos. Propiedad de las Soluciones de ser
Unicas. Problemas de Valor Eigen.
Capítulo 38
PROBLEMAS DE STURM -LIUOVILLE . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 286
Definición. Propiedades de estos Problemas.
Capítulo 39 DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES DE EIGEN . . . . . . . . . . . . . . 291
Funciones de Curva Suave. Serie de Senos de Fourier. Serie de Cosenos de
Fourier.
ApéndiceA LA FUNCION GAMMA (1.00 = x 1.99) . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Apéndice B
FUNCIONES DE BESSEL (0.0 ^ x- 14.9) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apéndice C
TRANSFORMACIONES DE LAPLACE ADICIONALES . . . . . . . . . . . 301
298
INDICE ..................... ...................... 307
Capítulo 1
Conceptos básicos
1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Urca ecuación diferencial es una ecuación que contiene una variable desconocida y sus
derivadas.
Ejemplo 1.1. Las siguientes son ecuaciones diferenciales que contienten la variable desconocida y.
dy
dr
e.vdx + 2(dx J¿ = 1
(1.2)
4 d-ly + ( sen x ) d "y /+ 5xy = 0
W dx=
(1.3)
(
)3 + 3
() y (dx} _
5x
(1.4)
2y z
dt'
4¿7x2 - 0
(1.5)
Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria si la variable desconocida
depende solamente de una variable independiente. Si la variable desconocida depende de dos o
más variables independientes, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial.
Ejemplo 1 . 2. Las ecuaciones ( 1.1) hasta ( 1.4) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias porque la
variable desconocida y depende solamente de la variable x. La ecuación ( 1.5) es una ecuación diferencial
parcial , puesto que y depende tanto de la variable independiente t como de x.
En este libro estudiaremos únicamente las ecuaciones diferenciales ordinarias.
ORDEN Y GRADO
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la
ecuación.
Ejemplo 1 . 3. La ecuación ( 1.1) es una ecuación diferencial de primer orden ; las ecuaciones ( 1.2) (1.4 ) y (1.5)
son ecuaciones diferenciales de segundo orden . (Nótese que en la ecuación ( 1.4) la mayor derivada que aparece
es de orden dos). La ecuación ( 1.3) es una ecuación diferencial de tercer orden.
El grado de una ecuación diferencial, que puede escribirse como un polinomio en la
variable desconocida y sus derivadas es la potencia a la cual está elevada su derivada de mayor
orden.
1
2 CONCEPTOS BASICOS
[CAP. 1
Ejemplo 1 . 4. La ecuación (1.4) es una ecuación diferencial de tercer grado puesto que su derivada de mayor
orden , en este caso segundo, está elevada a la tercera potencia . Las ecuaciones (1.1) y (1. 3) son ejemplos de
ecuaciones diferenciales de primer grado.
No todas las ecuaciones pueden clasificarse por grado. Por ejemplo la ecuación (1.2) no
tiene grado puesto que no puede escribirse como un polinomio en la función desconocida y sus
derivadas (a causa del término (," ).
1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n en la función desconocida y y la variable
independiente x es lineal si tiene la forma:
+ b,,-,(.x.) d„ ,ii + ... + bi(x) - + bo(x)y
dx' d.^ dx
= g(x) (1.6)
Las funciones b,(x) (j = 0 , 1, 2, ..., v) y g (x) se suponen conocidas y dependen solamente de
la variable a'. Las ecuaciones diferenciales que no pueden escribirse en la forma ( 1.6) son no
lineales.
Ejemplo I . S. La ecuación ( 1.1) es una ecuación lineal de primer orden , con bl (x) = 1, b,i(.r) = 0, y
g(x) 5x
3. La ecuación (1.3) es una ecuación lineal de tercer orden con b .;(x) = 4, b.,(x) = sen x,
bc(.r) 0, b,1(x) = 5x, y g(.r) = 0. Las ecuaciones (1.2) y (1 .4) son no lineales.
1.4 NOTACION
Las expresiones y', 71", y"', y('', ..., y
se usan frecuentemente para representar
respectivamente la primera, segunda , tercera, cuarta , ... , enésima derivada de y con respecto a
la variable independiente en consideración . Por lo tanto y" representa d2y/dx= Si la variable
independiente es x, pero representaría también d2y/dp2 Si la variable independiente es p. Si la
variable independiente es tiempo, generalmente representado por t, las primas se reemplazan
por lo general por puntos. Así y, 3i, y 7 representan dy/dt, d "y/dt2, y djy/dt', respectivamente.
Obsérvese que el paréntesis se usa en y`„) para distinguirlo de la potencia enésima, y" .
Problemas resueltos
En los siguientes problemas, clasifique cada ecuación diferencial según su orden, grado (si es
posible) y si es lineal o no. Determine la función desconocida y la variable independiente.
1.1.
y"'-5xy' = exT+1.
Tercer orden : la derivada de mayor orden es de tercero . Primer grado : la ecuación tiene la forma pedida
en la Sección 1.2, y la tercera derivada está elevada a la primera potencia. Es lineal: b.;(.r) = 1, b,(x) _
0, b1(a•) b('(x) - O.
1.2.
c, 4- 1. La función desconocida es y, la variable independiente es X.
ti¡ + t' il - (sen t) t1 = t"- - t + 1.
Segundo orden: la derivada de mayor orden es de segundo . No tiene grado : a causa del término V-1-1, la
ecuación no puede escribirse como un polinomio en +y y sus derivadas . No es lineal: la ecuación no
puede ponerse en la forma (1.6). La función desconocida es y: la variable independiente es t.
CAP. 1 1 CONCEPTOS BASICOS 3
1.3.
s'' (1- + st ls = s,
Segundo orden . Primer grado : la ecuación es un polinomio en la función desconocida t y sus derivadas
(con coeficientes en s), y la segunda derivada está elevada a la primera potencia. No es lineal : 1, ..t,
que depende tanto des como de t, La función desconocida es t; la variable independiente es s.
1.4.
dab'' (db\lo
5 rlp,) 4- 7^dp .t- fr
b' = 1t.
Cuarto orden . Quinto grado: La ecuación tiene la forma pedida en la Sección 1.2, y la cuarta derivada
está elevada a la quinta potencia. No es lineal . La función desconocida es b: la variable independiente es
1.5.
"^z = y2+1.
d rt
Segundo orden. Primer grado : Lineal : = y, bj(j1) = 0, b,((I) = 0,
desconocida es x; la variable independiente es u.
y g(y) = r¡'-' + 1.
La función
Problemas suplementarios
En las siguientes ecuaciones diferenciales determinar (a) orden, (b) grado (si es posible), (c) si es
lineal o no, (d) función desconocida, y (e) variable independiente.
1.6.
(rj';2
31fy
'
- x71
1.11 .
0.
1.12.
1.7. .Y 411'
/fl'r+ -(1 'r
I
-
ld^
(Ir
IfU.
!1 )3/2 __t_
\d,r-
I.S. t '; - ts
r17b _
1.13. = 3¡^.
1 - sen t.
i
", ^r1„
(1p%
1.14.
sen il = 0.
r lb
(! rl p ,
= 3p.
lo
Respuestas a los problemas suplementarios
1.6.
(a) 2
(b) 2
(e) no lineal
(( 1) u
(e) .,'
1.7.
(a) 4
(b) 1
( c) lineal
((1) y
(e) x
1.8.
(a) 2
(b) 1
(c) lineal
(( 1) s
(e) t
1.9.
(a) -1
(b) n inguno
(e) no lineal
( el) 11
(e) .r
1.10.
(a) n
( b) 1
(cl lineal
( el) x
(e) 11
4
CONCEPTOS BÁSICOS
1.11.
(a) 2
(b) 2
(e) no lineal
(d) r
(e) y
1.12.
(a) 2
(b) ninguno
(c) no lineal
(d) y
(e) x
1.13.
(a) 7
( b) 1
(c) lineal
(d) b
(e) p
1.14
(a) 1
(b) 7
(c) no lineal
(d) b
(e) p
[CAP. 1
Ca pítulo 2
Soluciones
2.1 DEFINICION DE SOLUCIONES
Una solución para una ecuación diferencial en la variable desconocida y y la variable
independiente x en el intervalo J es una función y(x) que satisface la ecuación diferencial para
todos los valores de x en J.
Ejemplo 2 .1. Es
+4y = 0?
y( x) = cl sen 2x + c2 cos 2x, donde cl y c, son constantes arbitrarias , una solución para y"
Derivando y encontramos:
y' = 2c1 cos 2x - 2c., sen2x
y„
-4c1 sen 2x - 4c, cos 2x
Por lo tanto,
y" + 4y =
(-4c1 sen 2x - 4e, cos 2x) + 4(c1 sen 2x + e2 cos 2x)
(-4c1 + 4c1) sen 2x +
(-4c2 + 4c,) cos 2x
= 0
Así, y = c1 sen 2x + c., cos 2x satisface la ecuación diferencial para todos los valores de a- y es una solución
en el intervalo (--, -o).
Ejemplo 2.2. Determine si y = x2 - 1 es una solución de (y')4 + y2 = -1.
Nótese que el lado izquierdo de la igualdad en la ecuación diferencial debe ser no negativo para
cualquier función y(x) y cualquier x puesto que es una suma de términos elevados a la segunda y cuarta
potencias , mientras que el lado derecho de la ecuación es negativo . Como ninguna función y(x) satisface esta
condición , la ecuación diferencial dada no tiene solución.
Se ve que algunas ecuaciones diferenciales tienen infinitas soluciones (Ejemplo 2.1),
mientras que otras ecuaciones diferenciales no tienen soluciones (Ejemplo 2.2). También es
posible que una ecuación diferencial tenga exactamente una solución. Considérese la ecuación
(y')4 + y`2 = 0, que por razones idénticas a aquellas dadas en el ejemplo 2.2 tiene únicamente la
solución y = 0.
2.2 SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES
Una solución particular de una ecuación diferencial es una solución cualquiera. La
solución general de una ecuación diferencial es el conjunto de todas las soluciones.
Ejemplo 2.3. La solución general para la ecuación diferencial en el ejemplo 2 . 1 puede demostrarse que es (ver
Capítulos 11 y 12) y = cl sen 2x + c2 cos 2x. Es decir , cualquier solución particular de la ecuación diferencial
tiene esta forma general . Algunas soluciones particulares son:
(a ) y = 5 sen 2x - 3 cos 2x (escogiendo cl = 5 y c2 = -3), (b) y = sen 2x (escogiendo c1 = 1 y c2 = 0), y (c) y = 0 (escogiendo cl = c., = 0).
La solución general de una ecuación diferencial no siempre puede expresarse como
fórmula única. Como un ejemplo considere la ecuación diferencial y' + y2 = 0, que tiene
5
SOLUCIONES [CAP. 2
6
dos soluciones particulares y = 1 y y = 0. Las ecuaciones diferenciales lineales son especiales a este respecto y sus soluciones generales se discuten en el Capítulo 11.
2.3. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL. PROBLEMAS DE VALOR LIMITE
Una ecuación diferencial junto con las condiciones complementarias de la variable desconocida y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de valor inicial. Las condiciones complementarias son condiciones iniciales.
Si las condiciones complementarias están dadas para más de un valor de la variable independiente, el problema es un problema de valor límite y las condiciones son las condiciones límite.
Ejemplo 2.4. El problema y" + 2u' = ex: y(-) = 1, y'(-) = 2 es un problema de valor inicial , porque las dos
condiciones complementarias están ambas dadas para x = -. El problema y" + 2y' = ex; y(0) = 1, y(1) = 1
es un problema de valor límite porque las dos condiciones complementarias están dadas para diferentes valores
x=0 y x=1.
Una solución para un problema de valor inicial o un problema de valor límite es una
función y(x) que satisface tanto la ecuación diferencial (en el sentido de la Sección 2.1) como
todas las condiciones complementarias dadas.
Ejemplo 2 . 5. Determine si alguna de las funciones ( a) y1 = sen2x , (b) y0(x) = x, o (c) y3(x) = 1 sen2x
es una solución oara el problema de valor inicial y" + 411 = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1. ( a) y1(x) es una
solución para la ecuación diferencial y satisface la primera condición inicial
y(0) = 0. Sinembargo,
y1(x)
no satisface la segunda condición inicial (yí(x) = 2 cos 2x; y¡(0) = 2 cos 0 = 2 v' 1); por lo tanto no es
una solución de) problema de valor inicial . (b) y.,(x) satisface ambas condiciones iniciales pero no satisface la
ecuación diferencial ; por lo tanto y_(x) no es una solución .
( c) y„(x) satisface la ecuación diferencial y
ambas condiciones iniciales ; por lo tanto esa es una solución del problema de valor inicial.
Problemas resueltos
2.1. Determine si
y(x ) = 2e-x + xe- x
es una solución de y" + 2y' + y = 0.
Derivando y(x), se sigue que
y'(x) _
-2e' + e-x - xe -x = -e-x - xe-x
y„ (,r) = e' - e r + xe-x = xe x
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial , obtenemos:
y" + 2y' + y = .re -.r + 2(- e—- xe -x) + (2e-x + xe-x) - 0
Por lo tanto y(x) es una solución.
2.2. Es y(x) = 1 una solución de y" + 2y' + y x?
De y(x) , 1 se sigue que y'(x) - 0 y y"( x) = O. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial
obtenemos
y"+2y'-i-y = 0+2(0)+1 = 1 x
Por lo tanto y(x) - 1 no es una solución.
2.3. Demuestre que y = In x es una solución para
una solución en ¿1 (-o, co).
xy" + y' = 0 en fJ = (0, -)
pero no es
7
CAP. 2] SOLUCIONES
En 10, x) tenemos
nemos
y' = 1/x y y" = -1/x2. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial obte-
x y', + y' = x (- ) + = 0
X2 x
Por lo tanto y = In x es una solución en (0, oc)
Nótese que y = In x no puede ser una solución en puesto que el logaritmo no está definido
para números negativos y cero.
2.4. Demuestre que y = 1/(x2 - 1) es una solución de
en ningún otro intervalo mayor que contenga ¿J.
y' + 2xy2 = 0 en l = (-1, 1) pero no
En (-1, 1), y - 1/(x2 - 1) y su derivada
y' = -2x/( x2 - 1)2 son funciones bien definidas . Reemplazando estos valores en la ecuación diferencial , tenemos
¡¡^^
y' - 2xy2
- (X 2 - 1 )2
+ 2x
1 x2 1
11
= 0
Por lo tanto , y = 1/(x22 - 1) es una solución en ,(/ = (-1, 1).
Nótese, sinembargo, que 1/(x2 - 1) no está definido para x = -- 1 y por lo tanto no puede ser una
solución para ningún intervalo que contenga cualquiera de esos dos puntos.
2.5. Halle la solución al problema de valor inicial y' + y = 0; y( 3) = 2, si se sabe que la
solución general de la ecuación diferencial es y(x) = cie-=, (ver capítulo 8 ) donde e, es
una constante arbitraria.
Como ,'(x) es una solución de la ecuación diferencial para cualquier valor de el, buscamos aquel valor
de c, que también satisfaga la condición inicial. Note que y(3) = cle-3. Para satisfacer la condición
inicial y(3) = 2, es suficiente escoger c, de tal manera que cie-3 = 2, es decir, escoger el - 2e3.
Reemplazando este valor de e, en y(x), obtenemos y(.r) = 2e3e-x = 2e3-x como solución al problema de valor inicial.
2.6. Halle la solución al problema del valor inicial y" + 4y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1, si se sabe
que la solución general de la ecuación diferencial (ver capítulo 12) es y(x)
c, sen 2x + c2 cos 2x.
Como y(x) es una solución de la ecuación diferencial para todos los valores de e, y e2 (ver Ejemplo
2.1 ), escogemos aquellos valores de el y e2 que también satisfacen las condiciones iniciales. Nótese que
y(0) = c , seno c_ cos 0 = e Para satisfacer la primera condición inicial y(0) = 0, escogemos e, = 0.
Además y'(x) = 2c, cos 2x 2c., sen2x; por lo tanto y'(0) = 2c, cos 0 - 2c., sen0 = 2c1. Para satisfacer
la segunda condición inicial y'(0) = 1, escogemos 2c1 - 1, o c, _ ¿ . Sustituyendo estos valores de el y c.,
en y(x) obtenemos y(x) _- ' sen2x como solución al problema de valor inicial. (Ver Ejemplo 2.5).
2.7. Halle una solución para el problema de valor límite y" + 4y = 0; y( g) = o, y
1, si la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = e, sen 2x + c, cos 2x.
Nótese que
yl
J
= el sen ` 4 ) + c., cos^4 J
necesitamos que
= e, (ZV `)
+ e2(1VL)
8
SOLUCIONES [CAP. 2
cl(2V) + c(/) = 0
Además
el sen( 3
)
+ c2 cos( Ir)
=
ci(jV 3) + c2(4)
Para satisfacer la segunda condición y( 6 ) = 1, necesitamos que
4/
cl
+
c2
=
1
(2)
Resolviendo ( 1) y (2) simultáneamente , encontramos
2
-c2
cl
V - 1
Sustituyendo estos valores en y(x), obtenemos
2
(sen2x - cos 2x)
V3- 1
como una solución al problema de valor límite.
2.8. Halle una solución para el problema de valor límite y" + 4y = 0; y(0) = 1, y(T/2) = 2,
si se sabe que la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = cl sen 2x + C2 cos 2x.
Como y( o) = cl sen 0 + c2 COSO = c2i debemos escoger c2 = 1 para satisfacer la condición
Como
y ( 2) = ci sen- + c2 cos -co,
y(0) = 1.
debemos escoger c2 = -2 para satisfacer la segunda con-
dición, y( -71 = 2. Entonces para satisfacer ambas condiciones límites simultáneamente , se necesita
que c2 sea igual tanto a 1 como a -2, lo cual es imposible . Por lo tanto no existe una solución para este
problema.
2.9. Determinar el y c2 de tal manera que y ( x) = el sen 2x + c2 cos 2x + 1 satisfaga las condiciones y/l g) = 0 y y'(8)
Note que
\
\
cl sen ^4 J + c2 cos 1 4) + 1
= c1(4V2 ) + c) + 1
Para satisfacer la condición y( 8) = 0, se necesitan c,(J / ) + c2(2 f) + 1
= 0, o su equivalente,
C ci+c2 = -VL
(1)
Como y'(x) = 2c1 cos 2x - 2c2 sen 2x,
y'( g) = 2c1 cos (-
)
- 2c2 sen 14)
2,,(, ,,r2-) - 2c2(V) = cl -
Para satisfacer la condición
y' 18) _ v,
Nr2 c2
se necesita vci - v c2 = f, o su equivalente,
cl-c2 = 1
Resolviendo ( 1) y (2) simultáneamente , obtenemos c - -
(2)
SOLUCIONES
CAP. 2 1
2.10. Determinar e, y C2 para que
?I(0)=0 y Y'(0)=1.
y(x) = cle2x + c2ex + 2 senx satisfaga la condición
y(0) = el + e2. Para satisfacer la condición y(0) = 0, se necesita
Como sen 0 -= 0,
cl+c2 = 0
(1)
y'(x) = 2c,c2x + c.,ex + 2 cos x
De
tenemos
9
que y'(0) = 2c1 + c, + 2.
Para satisfacer la condición y'(0) = 1, se necesita que 2c1 +
c2 + 2 = 1, o bien
2e1
+
c,
=
-1
(2)
Resolviendo simultáneamente (1) y (2), obtenemos e, = -1 y
Problemas suplementarios
y" - y = 0? (a ) ex, (b)
2.11. Cuáles de las siguientes funciones son soluciones dé la ecuación diferencial
senx , (c) 4e-x, (d) 0, (e) ?x'2+1.
2.12. Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial
y" - 4y' + 4y = ex? (a) ex,
(b) e22x, (e) e22x + ex, (d) xe2r + ex, (e) e22x + xex.
En los problemas 2.13 a 2.22, hallar cl y c, de tal modo que y(x) = el senx -(- e2 cosx satisfaga las condiciones dadas. Determinar si las condiciones dadas son condiciones iniciales o condiciones límite.
2.13. y(0) = 1, y'(0) = 2.
2.18.
y(0) = 1, y'(r) = 1.
2.14. y(0) = 2, y'(0) = 1.
2.19.
y(0 ) = 1, y(r,) = 2.
2.15.
2.20. y (0) = 0, y'(0) = 0.
y\2/ = 1'
2.16. y(0) = 1,
2.17. y'(0) = 1,
y121 = 2.
yÍ
= 1.
1
y'12
J
2.21.
=1.
y(4 1 = 0,
2.22. y(0) = 0,
y(; I = 1.
y'l Z J = 1.
En los problemas 2.23 a 2.27, hallar los valores de el y c.2 de tal modo que las funciones dadas satisfagan las
condiciones iniciales establecidas.
2.23.
y ( x) = clex + c.,e-x + 4 sen x; y(0) = 1, y'(0) = -1-
2.24. y ( x) = clx + e2 + x2 - 1;
y(1) = 1 , y'(1) = 2.
2.25. y (x) = e,ex + c,e2x + 3e3x; y( 0) = 0, y'(0) = 0.
2.26.
y (x) = el senx + e2 cos x + 1;
y(r) = 0, y'(r) = O.
10
SOLUCIONES
2.27. y ( x) = clez + c2xex + x2e=;
[CAP.
y (1) = 1, y'(1) = -1.
Respuestas a los problemas suplementarios
2.11. (a), (c), (d)
2.12.
(a), (c), (d)
2.13.
cl = 2, c2 = 1;
condiciones iniciales
2.14. c, = 1, c,, = 2; condiciones iniciales
2.15. Cl = 1 , c2 _ -2; condiciones iniciales
2.16. ci = c2 = 1; condiciones límite
2.17. el = 1, c2 = -1; condiciones límite
2.18. c, = -1, c2 = 1; condiciones límite
2.19.
no hay valores; condiciones límite
2.20. cl = c., = 0; condiciones iniciales
2.21. ci = -2 c2 = 2
737-1'
condiciones límite
2.22. no hay valores ; condiciones límite
2.23. el = -2, c2 = 3
2.24. cl = 0, c2 = 1
2.25. ci =3, c2=-6
2.26. cl = 0, c,> = 1
2.27. el = 1 + 3-, c2 = -2 - 2
e
e
2
Capítulo 3
Clasificación de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
3.1 FORMA STANDARD Y FORMA DIFERENCIAL
La forma standard de una ecuación diferencial de primer orden es
y' = f(x, y)
Ejemplo 3 . 1. Para la ecuación diferencial y' = -y + senx, tenemos que f(x,y) _ -y + senx. Para
y'
3yx2/(x3 + y4), f(x, y) = 3yx2/(x3 + y4). La ecuación diferencial exy' + e2ry = senx no se da en su forma standard pero puede transformarse en ella, sinembargo , resolviéndola algebráicamente para y'. Entonces
exy' = _e2xy + sen x, o y' = -exy + e-x sen x, y f (x, y ) _ -exy + e-x sen x.
Teorema 3 .1. Si f (x, y) y af _1y) son continuos en el rectángulo % : Ix - xo1 G a, ly - yol b,
entonces existe un intervalo alrededor de xo en el cual el problema de valor
inicial y' = f (x, y); y( xo) = yo tiene una solución única.
La función f (x, y) dada en el ejemplo (3.1) siempre puede escribirse como el cociente de
otras dos funciones M(x, y) y -N(x, y). (El signo menos se usa únicamente por conveniencia).
Entonces, recordando que y'= d y/dx, podemos escribir (3.1) como dy/dx = M(x, y)/-N(x, y),
que es equivalente a la forma diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (3.2)
Ejemplo 3 . 2. Dada una función f(x, y), hay infinitas formas de descomponerla en un cociente de otras dos
funciones. Por ejemplo si
f(x, y)
2 y, entonces hay cuatro posibles descomposiciones que son:
y
(a) M(x, y) = x + y, N(x, y) _ -y2, y
M(x, y)
x+y x+y
-(-y2) = y2
-N(x, y)
(b) M(x,y ) = -1, N(x,y) =
-1 - x+y
-y2/(x + y)
(c) M(x, y) =
_
x+y
2
N(x, y)
'
= Z 2 , Y
M(x, y)
-N(x, y)
(d) M(x, y) =
-xX2
y2
o
_ (x+y)/2 _ x + y
_(_y2/2) y2
2
y, N(x, y) = :, y
M(x, y)
-N(.x, y)
(-x - y)/x2 _ x +y
-y2/x2 - y2
11
12 CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 3
En el resto de este capítulo emplearemos la forma standard o la forma diferencial para
definir cuatro categorías de ecuaciones diferenciales . Es importante hacer énfasis en que muchas de las ecuaciones diferenciales de primer orden no caen en, y no pueden ser transformadas
en ninguna de estas categorías . Para estas ecuaciones diferenciales generalmente existen técnicas no analíticas que permitan llegar a la solución . Lo mejor que puede hacerse es usar técnicas
numéricas (ver C apítulos 32 - 35) para obtener soluciones aproximadas.
3.2 ECUACIONES LINEALES
Considere una ecuación diferencial en la forma standard (3.1). Si f (x, y) puede escribirse
como f(.r, y) _ -p(.r)y + q(x)
(es decir, como una función de x veces y, más otra función de
x), la ecuación diferencial es lineal . Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
pueden escribirse siempre como
y,+ 1)(x)J = q(x)
(3.3)
Las ecuaciones lineales se resuelven en el Capítulo 8. La ecuación ( 3.3) es un caso especial de
( 1.6) de la página 2, con n = 1, p(x) = bo(x)/bi(x), y q(x) = g(x)/b,(x).
3.3 ECUACIONES H OMOG ENEA S
Una ecuación diferencial en forma standard ( 3.1) es homogénea si
f(ta-, ty) = f(x, y) (3.4)
para cualquier valor real t . Las ecuaciones homogéneas se resuelven en el Capítulo 5.
Nota: En la estructura general de las ecuaciones diferenciales , la palabra "homogénea" tiene
un signi { ' do completamente diferente ( ver Sección 10.1). Unicamente en el contexto
de las ecuaciones diferenciales de primer orden la palabra "homogénea " tiene el significado definido arriba.
3.4 ECUACIONES SEPARABLES
Considere una ecuación diferencial en la forma diferencial (3.2). Si M(x, y) = A(x) (una
función solamente de x) y N(x, y) = B(y) (una función solamente de y), la ecuación diferencial es separable, o tiene sus variables separadas . Las ecuaciones separables se resuelven en el
Capítulo 4.
3.5 ECUACIONES EXACTAS
Una ecuación diferencial en la forma diferencial ( 3.2) es exacta si
(W(x, y) F)N(x, y) (3.5)
oy ci x
Las ecuaciones exactas se resuelven en el Capítulo 6 (donde se da una definición más precisa de
exactitud).
Problemas resueltos
3.1. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:
CAP. 31 CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 13
(a) y' = (senx)y + ez (b) y' = x sen y + el
(a) La ecuación es lineal ; en este caso
(e) y' = 5 (d) y' = y2 + x
p(x) = -sen x y q(x) = eT.
( b) La ecuación no es lineal ; a causa del término sen y.
(c) La ecuación es lineal; en este caso p(x) = 0 y q(x) = 5.
(d)
La ecuación no es lineal a causa del término y2
3.2. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas:
_ ^^•,
(a) y' = y + x (b) y '
y' _
(e)
x
2xyeT/''
(d) y' = X 2 x•+ y
X` + y`sen
(a) La ecuación es homogénea , porque
ty + tx
tx
f(tx, ty) =
t(y+x) = z/+x
tx x
- f(x , y)
(b) La ecuación no es homogénea, porque
f(tx, ty)
(c)
=
(ty)2
t-
t2,/2 -
=
tx
tx
1(x_, yl
x
La ecuación es homogénea porque
f(tx, ty)
2(tx)(ty)eir/1!1
t'2xy Cx/y
tx
(tx)2 + (ty)2-sen
ty
12x2 + t2y2 sen
x
Y
2xy el/Y
= f(x, y)
x2 + y-sen x
y
(d)
La ecuación no es homogénea , porque
f(tx,ty) _ (tx)2 + ty - t2x2 + ty
(tx)3 t;IX3
tx2+y
t2x3
# f(x, y)
3.3. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son separables:
(a)
sen x dx + y2 dy = 0 (c) (1 + xy) dx + y dy = 0
(b) xy2 dx - x2y2 dy = 0
( a) La ecuación diferencial es separable; en este caso M(x, y) = A( x, =senx
y N(x, y) = B(y) = y2.
(b) La ecuación no es separable en su forma presente , puesto que M(x, y) = xy2 no es una funcion
de x solamente. Pero si dividimos ambos lados de la ecuación por x2y2, obtenemos la ecuación
(1/x) dx + (-1) dy = 0, que es separable . En este caso A(x) = 1/x y B(y) = -1.
(e) La ecuación no es separable , puesto que M(x, y) = 1 + xy, que no es función de x solamente.
3.4. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:
(a)
3x2y dx + (y + x3) dy = 0 (b) xy dx + y2 dy = 0
(a) La ecuación es exacta ; en este caso M(x, y) = 3x2y, N(x, y) = y + x3, y
aM=aN
= 3x2.
ay ax
(b) La ecuación no es exacta. En este caso M ( x, y) = xy y N(x, y) = y2; por lo tanto am = x,
ay
aNO y aMaN
14
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 3
3.5. Demuestre que la ecuación separable es siempre exacta.
Para una ecuación diferencial separable ,
,M(x, y)
M(x, y) = A(x) y N(x, y ) = B(y).
- )A(x) = 0
8y - (11/
)M
y
Entonces,
r)N(x, y ) - r)B(y) = 0
r)x
8x
()N
Como la ecuación diferencial es exacta.
dy r)x
3.6. El problema de valor inicial y' = 2 !F; y(0) = 0 tiene las dos soluciones y = xixI y
y - 0. Estará este resultado violando el teorema 3.1?
No. En este caso f(x, y) = 2 1/11 yl, y por lo tanto no existe en el origen.
r)zr
Problemas suplementarios
Las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden se dan en forma standard y en forma diferencial.
Determine si las ecuaciones en forma standard son lineales y/u homogéneas y si las ecuaciones en forma
diferencial , como están dadas , son separables y/o exactas.
3.7. y' = xy; xy dx - dy = 0.
xdx-1dy = 0.
Y
3.8.
y' = xy;
3.9.
y' = xy+1; (xy + 1) dx - dy = 0.
3.10.
Y' _ x,; Jdx - dy = 0.
3.11.
Y' = x -x2 dx + y2 dy = 0.
3.12.
Y' _ -2i^;
X
3.13.
- xy2
y x2 y + y3
3.14.
y'
=
2xydx+x2dy = 0.
xy2dx - (x2y+y3)dy = 0.
-x?/"
x2y + yz xy2 dx + (x'-y + y2) dy = 0.
Respuestas a los problemas suplementarios
3.7. lineal 3.11. homogénea , separable y exacta
3.8. lineal , separable y exacta 3.12. lineal, homogénea y exacta
3.9. lineal
3.13. homogénea
3.10. homogénea
3.14. exacta
Ca pítulo 4
Ecuaciones diferenciales separables
de primer orden
4.1 SOLUCION GENERAL
Considere la ecuación diferencial separable de primer orden (ver Sección 3.4):
A(x) dx + B(y) dy
=
(4.1)
0
Como se muestra en el Problema 4.8, la solución de (4.1) es
J A(x) dx + J B(y) dy =
c
(4.2)
donde c representa una constante arbitraria.
Las integrales obtenidas en (4.2) pueden ser, para los propósitos prácticos, imposibles de
evaluar. En este caso pueden usarse técnicas numéricas para obtener resultados aproximados
(ver Capítulos 32-35). Aún si las integrales indicadas en (4.2) pueden realizarse, puede no ser
algebráicamente posible resolver explícitamente para y en términos de x. En este caso la
solución se deja en forma implícita. (Ver Problema 4.4).
4.2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
La solución del problema de valor inicial
A(x) dx + B(y) dy = 0; y(xo) = yo (4.3)
puede obtenerse corrientemente, usando primero (4.2) para resolver la ecuación diferencial y
después aplicando la condición inicial directamente para calcular c. (Ver Problema 4.5).
Como alternativa, la solución (4.3) puede obtenerse de
5 0 Adx + £B(ydy = 0 (4.4)
Sin embargo la ecuación (4.4), puede no determinar la solución de (4.3 ) únicamente ; esdecir,
(4.4) puede tener muchas soluciones , solamente una de las cuales satisface el problema de valor
inicial. (Ver Problema 4.6).
Problemas resueltos
4.1. Resolver
x dx - y2 dy = 0.
Para esta ecuación diferencial , A(x) =x y B( y)=-y2. Sustituyendo estos valores en (4.2), tenemos
15
16 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN [CAP. 4
f x dx + f (-y2) dy = c,
que, después de realizar las integrales indicadas , se convierte en
x2/2 - y3/ 3 = e. Resolviendo explícitamente para y, obtenemos la solución como
y = (sx2+k)1/3 k = -3c
4.2. Resolver
y' = y2x3
Primero transformamos esta ecuación en la forma diferencial (ver Sección 3.1) x3 dx - (1/y22) dy = 0.
Entonces A(x) = x3 y B(y) = -1/y2 Sustituyendo estos valores en ( 4.2), tenemos
J, x3 dx + f (-1/y22) dy = e
o efectuando las integrales indicadas ,
la solución copio
x4/4 + 1/y = e.
-4
x4+k'
Resolviendo explícitamente para y obtenemos
k = -4c
4.3. Resolver y' = 5y.
Primero se transforma esta ecuación en la forma diferencial 5 dx - (1/y) dy = 0. Entonces A(x) = 5
y B(y) = -1/ y. Sustituyendo estos resultados en (4.2 ), obtenemos la solución implícitamente como
f 5 dx +
I (-1/y) dy = e
o, por evaluación , como 5x - In !y¡ = e.
Para resolver explícitamente para y, primero transformamos la solución en In ¡y^ = 5x- e y después
tomamos exponenciales a ambos lados . Entonces e1n I I = esx-—. Teniendo en cuenta que e!n ¡y] !y^,
obtenemos ly! = e5xe -0, o y = -±ete
La solución se da explícitamente por y = ke3r, k = :te—.
Nótese que la presencia del término (-1/y) en la forma diferencial de la ecuación diferencial requiere
la restricción y 0 en la derivada de la solución. Esta restricción es equivalente a la restricción k s 0,
porque y = ke5x. Sin embargo, por inspección y = 0 es una solución de la ecuación diferencial en
su forma original. Entonces , y = ke5x es la solución para todos los k.
La ecuación diferencial en su forma original también es lineal . Ver el Problema 8.5 para un método
alterno de solución.
4 4 Resolver y
' -
x+1
y4+1.
Esta ecuación en su forma diferencial , es (x + 1 ) dx + (-y4 - 1) dy = 0.
Entonces, A(x) = x + 1 y
B(y) = -y4 - 1. La solución se da por ( 4.2) implícitamente como f (x + 1) dx+ f (-y4 - 1) dy = e,
o por evaluación como
x2
y5
2 +x - 5 -y = e
Como es imposible resolver algebraicamente esta ecuación explícitamente para y, la solución debe
dejarse en esta forma implícita.
4.5. Resolver
ex dx - y dy = 0;
y(0) = 1.
La solución para la ecuación diferencial está dada por (4. 2) como f ex dx + f (-y) dy = e, o, por
evaluación , como y2 = 2ex + k, k = -2c. Aplicando la condición inicial, obtenemos (1)2 = 2e° + k,
1 = 2 -r k, o k = -1. Entonces, la solución al problema de valor inicial es
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN 17
CAP. 4]
y2 = ter - 1 o y = 2,- - 1
(Nótese que no podemos escoger la raíz cuadrada negativa , porque entonces
contradice la condición inicial).
y(0) _ -1,
lo cual
Para asegurarse de que y permanezca real, debemos restringir x de tal manera que 2c' - 1 ' 0. Para
garantizar que y.' exista ( nótese que y'(x) = dy/dx = e=/y), debemos restringir x de tal modo que
2e-r - 1 - 0. Estas condiciones ; untas implican que 2cr - 1 > 0, o x > In 1.
4.6. Use (4.4) para resolver el Problema 4.5.
er, y B (y) = -y.
Para este problema 0 0, yo = 1, A(.)
obtenemos
r
5
r
^
e x dx +
JL
(-y) dy =
Sustituyendo estos valores en (4.4),
0
Evaluando estas integrales tenemos
+
y'
a
^
.-
2
0
O
Cr
- e0
JI,
+ ^L2
y2 = 2er - 1, y como en el Problema 4.5, y =
Entonces
4.7. Resolver
- ( -1)
_
p
2
2e r - 1, x > ln ?,.
x cos x dx + (1 - 6y5) dy = 0; y(T) = 0.
Aquí xo = -, y,) - 0,
(4.4), obtenemos
Reemplazando estos valores en
A(x) = x cos x, y B(y) = 1 - 6y5.
xcosxdx +
(1-6115)dy = 0
Evaluando estas integrales (la primera por integración por partes ), encontramos
lr
xsen xj + cosx
=
+ (y - ys)
0
U
o
x
sen x + cosx + 1 = y6 - y
Como no se puede resolver esta última ecuación explícitamente para y debemos limitarnos a la solución
en la presente forma implícita.
4.8. Demuestre que cualquier solución de (4.1) satisface (4.2).
Transforme (4.1) en A(x) - B(y)y' = 0. Si y(x) es una solución , debe satisfacer esta ecuación para
todos los x; por lo tanto
A(x) B[y(x)j, y'(x) = 0
Integrando a ambos lados de¡`esta ecuación , con respecto a x obtenemos
f
B[y(x) y'(x) dx = e
A(x) dx +
f
En la segunda integral, haga el cambio de variables y = y(x), entonces dy = y'(x) dx. El resultado de
esta substitución es (4.2)
4.9. Demostrar que cualquier solución del sistema (4.3) es una solución para (4.4).
Siguiendo el mismo razonamiento del Problema 4.8, pero integrando ahora de
enemos
x = xo a x = x,
ob-
18 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN [CAP. 4
Í
SA(x) d.r + j 2 B[y(x)] y' (x) dx = 0
La sustitución y = y(x) produce nuevamente el resultado deseado . Nótese que mientras x varía de xo
a x, y variará de y(xo) = yo a y(x) = y.
Problemas suplementarios
4.10. Resolver
x dx + y dy = 0.
4.11. Resolver
1 dx - 1 dy = 0.
x y
4.12. Resolver
1- dx + dy = 0.
x
4.13. Resolver
xdx+
l dy = 0.
y
4.14. Resolver
( x2 + 1) (lx + (y=
4.15. Resolver
sen x dx + y dy = 0;
4.16. Resolver
(x2 + 1) dx + 1 dy
y
% 4.17. Resolver
y) cly
= 0;
=- 0.
y(0) = -2.
y(-1) = 1.
xe.V2 dx + (yes - 1) dy = 0;
y(0) = 0.
4.18. Transformar las siguientes ecuaciones diferenciales en las formas diferenciales que sean separables y
después resolver:
(u) y' y' = áe (c) y, x-lJ - y ; y(3) _ -1
2y y f 1
Respuestas a los problemas suplementarios
4.10.
y = -- k -x''k = 2c
4.11.
y
= kx, k = *-e-e
4.12. y = In
4.13.
k
x
, c = ln'kl
y = ke-x'Z/'' , k = -te,
4.14. 2x3 + Gx + 2y3 + 3y2 =
k, k = 6c
CAP. 41 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN 19
4.15. y = -
2+2cosx
4.16.
y = e-'( x3+3x+4)
4.17.
lex2+ y6-y = 1
4.18. (a) 12 dx - 1 dy = 0; y = ke - l/x, k = ±e-C
X2 y
(b) xex dx - 2y dy = 0; y = -* xex - ex - c
(c) (x2-1)dx -
\
1+
1 dy
= 0;
3
3-
x-y-Inly1 = 7
Capítulo 5
Ecuaciones diferenciales de primer
orden homogéneas
5.1 PRIMER METODO DE SOLUCION
En la ecuación diferencial homogénea
d1/
da - f (•i J)
(5.1)
donde según la Sección 3.3 f (t.r, t!) = f (a•, y), se sustituye
y -= xv
y su correspondiente derivada
di/ dv
= 2 + a' r)x
da
Después de simplificar, la ecuación diferencial resultante será de variable separáble (v y x), que
puede resolverse por los métodos dados en el Capítulo 4. La solución para ( 5.1) requerida se
obtiene haciendo de nuevo el cambio de variable . (Ver los Problemas Resueltos).
5.2 METODO ALTERNO DE SOLUCION
Transformando la ecuación diferencial en
dx
dy
--
f( x y)
(5.4)
y después sustituyendo
x = 111?
(5.5)
y su correspondiente derivada
dt/
u
• ay
(5 . 6)
en (5.4 ). Después de simplificar la ecuación diferencial resultante será de variable ( en este caso,
u y Y) separable , que puede resolverse por los métodos dados en el Capítulo 4. La solución
requerida para ( 5.4) se obtiene entonces haciendo de nuevo el cambio de variable.
Como cualquier método de solución requiere resolver una ecuación diferencial separable
asociada, la discusión de la Sección 4.1 es importante aquí . Generalmente es indiferente cual
método de solución se use ( ver Problemas 5.2 y 5.3). En ocasiones sinembargo , una de las sustituciones ( 5.2) 6 (5. 5) es definitivamente mejor que la otra. En estos casos , la mejor sustitución es
visible generalmente por la forma de la ecuación diferencial en sí misma. (Ver Problema 5.7). El
Problema 5 . 8 aclara ambos métodos. Ver los Problemas 5 .9 y 5.10.
20
CAP. 51 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS
21
Problemas resueltos
5.1. Resolver Y' =
y+x
x
Sustituyendo (5.2) y (5.3) en la ecuación diferencial, obtenemos
v
+
dv XV
x- _
dx
+
x
x
que puede simplificarse algebraicamente en
x x = 1 0 -dx - dv = 0
Esta última ecuación es separable ; su solución es (Sección 4.1) v = In Ix1 - c, o
v = In I kxl
(1)
donde se tiene c = - In k] , notando que In ;xl + In ,k1 = In jkx!. Finalmente , sustituyendo v = y/x,
ver (5.2 ), en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada que es y = x In !kx'.
5.2. Resolver
Y' = 2y4 + x'
X Y3
Sustituyendo (5.2) y (5. 3) en la ecuación diferencial , se obtiene
2(xv)4 + x^
v + x dv =
dx x(xv)3
que puede simplificarse algebraicamente en
dv
,l,
X-
_
114 + 1 1 v; o
x dx - v} + 1 dv - 0
Esta última ecuación es separable ; su solución es (Sección 4.1) In ¡x; - 1,1 (v4 + 1) = e, u
v4 + 1 = (kx)4
(1)
donde se tiene e = - In kj y luego se usan las identidades
In xj + In'k; = In kx' y
4 ln 'kx', = In (kx)4
Finalmente , sustituyendo v = y/x, ver ( 5.2), en (1), se obtiene
y4
= c1x8 - XI
(el = k4)
5.3. Resolver la ecuación diferencial del Problema 5.2 utilizando (5.4)-(5.6).
Primero transformarnos la ecuación diferencial en
dx _ xy3
dy 2y1 + x4
Luego , sustituyendo (5.5) y (5. 6) en esta nueva ecuación diferencial, se obtiene
7t + z dtt _ (7Jtt)y3
J dy
2y4 + (jjn)a
que puede simplificarse algebraicamente en
rlst
y dy
_ _ zt + 115
2 + ze4
1 o -dy
+2+aa
t'dzt = 0
i< + 11'
Esta última ecuación es separable ; usando fracciones parciales
(2)
22 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS [CAP. 5
2+u4
_
2+714
2
263
u+u5 u(1+u4) zt 2í4
obtenemos In ¡y¡ + 2 In ¡u¡ - 1 In (1 + u4) = c, que puede escribirse como
ky4u8
=
1
+
u4
(1)
donde e = -Á In ¡k]. Reemplazando u = x/y, ver (5.6), en(1), obtenemos de nuevo ( 2) del Problema
5.2.
5.4. Resolver
y' =
2xy
x2
- y2
Sustituyendo (5.2) y (5. 3) en la ecuación diferencial , tenemos
dv 2x(xv)
- dx - x2 - (xv)2
que puede simplificarse algebraicamente en
dv
xdx
o
xx
+
1
d
v(v',,
v(v2 + 1)
v'9-1
v2 +
dv =
1) 0
(1)
Utilizando fracciones parciales , se puede desarrollar (1) en
l dx + (- 1 +
x
v
v-
2v
\
La solución de esta ecuación separable es In !x ! - In ¡v¡ + In (v'-+ 1) = c, que puede simplificarse en
x(v2 + 1) = kv (c = In ¡k])
(2)
Sustituyendo v = y/x en ( 2), encontramos la solución de la ecuación diferencial dada que es x2 + y2 _
ky.
5.5. Resolver
y' = xz + yy
xy
Sustituyendo (5.2) y (5. 3) en la ecuación diferencial , obtenemos
dv
v+ x-
x2 + (xv)'-
que puede simplificarse algebraicamente en
xdx = 1
o -dx - vdv = 0
La solución de esta ecuación separable es In ;x - v212 = e, o su equivalente
(1)
Reemplazando v = y/x en ( 1), encontramos que la solución de la ecuación diferencial dada es
y2 = x2 Inx'+kx'
x2 + y2
5.6. Resolver y' _ y ; y(1) = -2.
La solución de la ecuación diferencial se dá en el Problema 5.5 como
y2 = x2 In r'' + kx2.
CAP. 5] ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS 23
Aplicando la condición inicial , obtenemos (-2)2 = (1)2 In (1)2 + k(1) 2, o k = 4. (Recuerde que In 1
0). Entonces, la solución para el problema de valor inicial es
y2 = x2 In x2 + 4x2
o y = - x2 In x2 + 4x2
Se toma la raíz cuadrada negativa , de acuerdo con la condición inicial.
5.7 .
R eso l ver y ' =
2xy
e(x/y)'
y2 + y2 e( x/y)' + 2x2 e ( x/y)2 .
Notando el término (x/y) en el exponente , ensayamos la sustitución u = x/y, que es una forma equivalente de (5.5). Escribiendo la ecuación diferencial como
y2 + y2 e ( x/y)2 + 2x2 e(x/y)'
dx
dy
2xy e(x/y)2
tenemos, al usar las sustituciones (5.5) y (5. 6) y simplificar,
du _
1 + eu2 1 _ 2ueeu2
y dy
o y dy 1 + eu2 du = 0
2ueu2
Esta ecuación es separable ; su solución es
In jyj - In (1 + eu2) = c
que puede escribirse como
y = k(1 + eu2)
(e = In'k1)
(1)
Sustituyendo u = x/y en ( 1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada como
y = k[1 + e (x/y)2]
5.8. Demostrar que si y' = f(x, y) es homogénea, entonces la ecuación diferencial puede
escribirse como y' = g(y/x), donde g(y/x) depende solamente del cociente y/x.
Por (3. 4) de la página 11, tenemos que
f(x, y) = f(tx, ty ). Como esta ecuación es válida para todos
los t, debe ser válida en particular para t = 1/x. Entonces f(x, y) = f(1, y/x). Si definimos ahora
g(y/x) = f(1, y/x), tenemos y' = f(x, y) = f(1, y/x) = g(y/x) como se pedía.
Nótese que esta forma sugiere la sustitución v = y/x que es equivalente a (5.2). Si arriba se hubiera
puesto t = 1/y, entonces f(x, y) = f(xly, 1) = h(x/y), que sugiere la sustitución alterna (5.5).
5.9. Una función g(x, y) es homogénea de grado n si g ( tx, ty) = t" g(x, y ) para cualquier t.
Determine si las siguientes funciones son homogéneas y, si lo son, halle su grado:
( a) xy + y2, (b) x + y sen (y/x)2, (c) x3 + xy2ex 'y, y (d) x + xy.
(a) (tx)(ty) + (ty)2 = t2(xy + y2);
(
(b) tx + ty sen
homogénea de grado dos.
r
)2 = t Lx + y sen ( y)]; homogénea de grado uno.
(e) (tx)3 + (tx)(ty)2 etxlty = t3(x3 + xy2 e xxly);
(d) tx + (tx)(ty) = tx + t2xy;
homogénea de grado tres
no homogénea.
5.10. Otra definición de ecuación diferencial homogénea es como sigue : Una ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es homogénea si tanto M(x, y) como N(x, y) son
homogéneas del mismo grado (ver Problema 5.9). Demuestre que esta definición implica
la definición dada en la Sección 3.3.
24 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS
[CAP. 5
Si M(x, y) y N(x, y ) son homogéneas de grado n, entonces
f(tx,ty) _
M(tx, ty ) _
t"M(x, y) M(x, y)
-N(tx, ty)
- -t"N(x, y) -N(x, y)
= f(x, y)
Problemas suplementarios
En los siguientes problemas, determine si las ecuaciones diferenciales dadas son homogéneas y, si lo son,
resuélvalas.
5.11.
y' = y-x
x
5.12.
y' _
5.13.
y' --
• 5 . 16 .
2y + x
5.17.
x
Y' =
2xy
y- - x-
y
y
x + xy
x2 + 2y2
xy
- 2 x + y2
xy
5.18.
y' -
5 . 19 .
y
=
y2
xy + (xy2)"i3
x 4 + 3x2 y 2 -1_ y 4
x3y
x2+.y2
5.15.
y' _
2xy
Respuestas a los problemas suplementarios
y = x In
5.12.
y = kx2-x
5.17. -2/7 y+lnly; = c
5.13.
y2 = kx4 - x2
5.18.
no homogénea
5.14. no homogénea
5.19.
y2
5.15.
y2 = x" - kx
Ik/xl
5.16.
3yx2 - y3 = k
5.11.
= -x2 (1 +
\ In kx2
)
Capítulo 6
Ecuaciones diferenciales exactas
de primer orden
6.1 DEFINICION
Una ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (6.1)
es exacta si existe una función g(x, y) tal que
dg(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy (6.2)
Prueba de exactitud : Si M(x, y) y N(x, y) son funciones continuas y tienen primeras derivadas
parciales continuas en algún rectángulo del plano xy, entonces (6.1) es
exacto si, y solamente si,
aM(x, y ) _ aN(x, y)
ay ax
Ejemplo 6.1. En la ecuación diferencial
1 + x2. Como
f1 = ^ = 2x,
ay
2xy dx + (1 + x2) dy = 0,
se tiene
M(x, y) = 2xy
y N(x, y) _
la ecuación diferencial es exacta.
6.2 METODO DE SOLUCION
Para resolver (6.1), asumiendo que es exacta, primero se resuelven las ecuaciones
ag(x, y)
ax
M(x , y)
(6.4)
ag(x, y ) =
ay
N(x , y )
(6.5)
para g(x, y) (ver los Problemas Resueltos). La solución de (6.1) se dá entonces implícitamente
por
g(x,y)
=
c
(6.6)
donde c representa una constante arbitraria.
La ecuación ( 6.6) es inmediata de (6.1 ) y (6.2). De hecho, si (6.2 ) se sustituye en (6.1),
se obtiene dg(x, y(x)) = 0. Integrando esta ecuación ( nótese que puede escribirse 0 como 0 dx),
se tiene J dg(x, y(x)) = J 0 dx, que a su vez implica (6.6).
25
26 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN [CAP. 6
Problemas resueltos
6.1. Resolver 2xy dx + (1 + x2) dy = 0.
Esta ecuación es exacta ( ver Ejemplo 6.1). Ahora determinamos una función g(x, y) que satisface (6.4)
y (6.5). Sustituyendo M(x, y) = 2xy en (6.4 ), obtenemos ag = 2xy . Integrando ambos lados de esta
ecuación con respecto a x encontramos
^a9 dx
o
g(x,
y)
=
x2y
2xy dx
+
(1)
h(y)
Nótese que al integrar con respecto a x, la constante (con respecto a x) de integración puede depender
de y.
Ahora determinamos h(y). Derivando ( 1) con respecto a y, obtenemos
yendo esta ecuación , junto con N(x, y) = 1 + x2 en ( 6.5), tenemos
og
8y
= x2 + h'(y).
Sustitu-
x2 + h'(y) = 1 + x2 o h'(y) = 1
Integrando esta ú ltima ecuación con respecto a y, se obtiene
yendo esta expresión en (1) tenemos
h(y) = y + c,
( cl = constante ). Susti-
g(x, y) = x2y + y + c1
La solución de la ecuación diferencial , que está dada implícitamente por (6. 6) como g(x, y) = c, es
t ? - x2y + y = c2 (c2 = c - c1)
Resolviendo explícitamente para y obtenemos la solución como
y =
c2
2
x+1
6.2. Resolver (x + sen y) dx + (x cos y - 2y) dy = 0.
E n este caso M(x, y) = x +sen y y N(x, y) = x cos y - 2y. Entonces
= cos y, y la ecuaa y = aN
ción diferencial es exacta . Ahora buscamos una función g(x, y) que satisfaga (6.4) y (6.5 ). Sustituyendo M(x, y) en ( 6.4), obtenemos ax = ; x + sen y. Integrando ambos lados de esta ecuación con
respecto a x, encontramos
f
o
g(x,
y)
ax
dx
=
f
(x + sen y) dx
x- + x sen y + h(y)
(1)
Para (y),
encontrar
h B-y = x cos y + h'( y), y después susderivamos ( 1) con respecto a y, obteniendo
tituyendo este resultado junto con N(x, y) = x cos y - 2y en ( 6.5). Entonces encontramos
x cos y + h'(y) = x cos y - 2y o h'(y) = -2y
de lo cual se sigue que h(y) = -y22 + el.
Sustituyendo este h(y) en ( 1 ) se obtiene
g(x,y) = 2x2 + x seny - y2 + cl
La solución de la ecuación diferencial está dada implícitamente por (6 . 6) como
zx'- +
xseny - y2 = c2 (c2 = e - e,)
CAP. 6] ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN
6.3.
27
Resolver (xy + x2) dx + (-1) dy = 0.
am aN aM aN
ay -- x y ax = O. Como a- J
la
ax ,
ecuación no es exacta y el método dado en este capítulo no es aplicable. (Sin embargo , la ecuación
puede escribirse como una ecuación lineal , a la cual se aplica el método del Capítulo 8).
Aquí,
M(x, y) = xy + x2
6.4. Resolver
y N(x, y) = - 1; entonces
y' = 2 + yexy
2y - xexy
Escribiendo esta ecuación en forma diferencial , obtenemos
(2 + yexy)
dx
+
(xe xy
- 2y) dy = 0
y, como 3^1 - aN = exy + xyexy, la ecuación
ax
ay
"y = 2' + yexy; luego, integrando
diferencial es exacta . Sustituyendo M(x, y) en ( 6.4), encontramos
ax
con respecto a x, obtenemos
Aquí M(x, y) = 2 + yexy y N(x, y) = xexy - 2y
lx
o
g(x,
dx =
f 12
+ yexy] dx
y ) = 2x + cxy + h(y)
Para encontrar h(y), primero derivamos ( 1) con respecto a y, obteniendo
(1)
ag xexy + h'(y);
ay
des-
pués reemplazamos este resultado junto con N(x, y) en ( 6.5) para obtener
xexy + h'(y) = xexy - 2y o h'(y) = -2y
Se sigue que h (y) _ -y2 + e1. Sustituyendo este h(y) en ( 1), obtenemos
g(x, y) = 2x + exy - y2 + el
La solución de la ecuación diferencial se dá implícitamente por (6.6) como
2x+e'y y2 = c_ (co = e-e1)
6.5. Resolver
y' = -2xy ; y(2) _ -5.
1+x'
La solución de la ecuación diferencial ( escrita en forma diferencial ) se dá en el Problema 6.1 como
(2)2 (-5) + (-5) = c.,, o c2 = -25. La
Utilizando la condición inicial, obtenemos
x'-y +y = c2.
solución del problema de valor inicial es, por lo tanto x2y + y = -25 o y = -251(x22 + 1).
Problemas suplementarios
Halle la exactitud de las siguientes ecuaciones diferenciales y resuelva todas las que sean exactas.
6.6.
(2xy + x) dx + (x2 + y) dy = 0.
6.7. (y + 2xy3) dx + (1 + 3x2y2 + x) dy = 0.
6.8.
yexy dx + xexy dy = 0.
6.9.
xexy dx + ye- dy = 0.
28
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN [CAP. 6
6.10. 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0.
6.11.
ydx+xdy = 0.
6.12.
(x - y)dx+(x+y)dy = 0.
6.13.
(y sen x + xy cos x) dx + (x sen x + 1) dy = 0.
Respuestas a los problemas suplementarios
6.6.
yx2 + ix2 + 1y2 =
6.7.
6.10.
x3y2 + y4 = c2
xy + x2y3 + y = c2
6.11.
xy = c2
6.8.
e' = c2
6.12.
no exacta
6.9.
no exacta
6.13.
xy sen x + y = c2
C2
Capítulo 7
Factores de integración
7.1 QUE ES UN FACTOR DE INTEGRACION?
En general, la ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) d y = 0 - (7.1)
no es exacta . Ocasionalmente , sinembargo , es posible transformar (7.1) en una ecuación diferencial exacta por una atinada multiplicación.
Definición: Una función 1(x, y) es un factor de integración para ( 7.1) si la ecuación
I(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 (7.2)
es exacta.
Ejemplo 7.1. Determinar si -1/x2 es un factor de integración para y dx - x dy = 0.
Multiplicando la ecuación diferencial dada por -1 /x2, obtenemos
x2 (ydx- xdy) = 0 o 2dx + xdy = O
Esta última ecuación es exacta ; por lo tanto - 1/x2 es un factor de integración.
Ejemplo 7.2. Determinar si -1/xy es un factor de integración para y dx - x dy = 0.
Multiplicando la ecuación diferencial dada por - 1/xy, obtenemos
x1(ydx-xdy) = 0 o -1-dx + -dy = 0
Esta última ecuación es exacta ; por lo tanto - 1/xy es un factor de integración.
Comparando con el Ejemplo 7.1, vemos que una ecuación diferencial puede tener más de un factor de
integración.
7.2 SOLUCION POR MEDIO DEL USO DE UN FACTOR DE INTEGRACION
Si I(x, y) es un factor de integración para ( 7.1), entonces (7.2) es exacta y puede
resolverse por el método de la Sección 6.2 , o frecuentemente , por integración directa. La
solución de (7.2) es también la solución de (7.1).
7.3 COMO HALLAR UN FACTOR DE INTEGRACION
De la prueba de exactitud dada en la Sección 6.1 se deduce que el factor de integración
es una solución para cierta ecuación diferencial parcial. Sin embargo, esta ecuación es general.
29
30 FACTORES DE INTEGRACION [CAP. 7
mente más difícil de resolver que la ecuación diferencial original en consideración. En consecuencia, los factores de integración se obtienen generalmente por inspección. El éxito del
método depende entonces de la habilidad del usuario para reconocer o conjeturar que un grupo
particular de términos forma una derivada exacta dlc(x, y). Para esto, la Tabla 7-1 puede ser
muy útil.
Tabla 7-1
Grupo de Términos
Factor de Integración ](x, y)
Derivada Exacta dh(x, y)
xdy - ;ydx = d
ydx - xdy
ró
ydx - xdy
1
y_, .
ydx - xdy
- 1
x'
ydx - xdy = d/x
( ,
y2
xdy - ydx = d i in y
xy
xy
1
- x2 y2
y d,r - x d y
xdy - ydx
yd.r + xdy
aydx + bxdy
cr
(ln y)
ydx+xdy = c1
I1d?I+x dx
x2+1,2
+y
1)(xy)"-t ^
=
_rldy+xdx =
ri
(x"- y')'
r+. > 1
(x ' + y2)"
u 1 b- 1
y
(a,b constantes )
/
(xy)"
ydy + xdx
)
aretan x f
xy
1 rt> 1
x2
x
ydx+xdy = d
(xy)"
ydy + x,lx
=d
x' + 2
1
xy
yd.C + X (ly
x
( P . I,
In
(
'
')
-i -1
2(1r - 1 )(x2 + y -)" -1
1
b(aydx
-1
au y
+ bx (1r i)
J
di,-y 1 ,)
En algunos casos , un factor de integración es fácilmente visible si los términos de la
ecuación diferencial se agrupan estratégicamente. (Ver Problemas 7.3 - 7.5).
Si M(x, y) y N(x, y) en (7.1) obedecen ciertas condiciones, los factores de integración son
conocidos.
(a)
Si
(aM - a
1
y
g ( x ),
) =
un a func ió n d e x so l amente, entonces
x
1(x, y)
(Ver Problema 7.6).
(b)
Si
(7.0)
1(M-aN\
h (y), una f unc ió n d e y so l amente , entonces
M ay ax J =
1(x.,
( Ver Problema 7.8).
(c)
= eJ s(x)dz
Si M = y f(xy) y N = xg( xy),
( Ver Problema 7.7).
y) = e-f 6(y)d'
(7.4)
entonces
1(x, y) =
xM - y:V
(7.5)
31
CAP. 7] FACTORES DE INTEGRA.CION
Problemas resueltos
7.1. Resolver ydx - xdy = 0.
Usando el factor de integración 1(x, y) - -1/ x2 (ver Ejemplo 7.1 o Tabla 7-1), podemos escribir la
ecuación diferencial como
x dy - y dx
x2
(1)
= 0
Como ( 1) es exacto , puede resolverse por el método de la Sección 6.2. Como alternativa, vemos por la
Tabla 7-1 que ( 1) puede escribirse como d(y/x) = 0. Entonces , por integración directa, tenemos y/x=
c o y = cx, como la solución.
7.2. Resolver la ecuación diferencial del Problema 7.1 usando un factor de integración diferente.
Usando el factor de integración I(x, y) = -11xy (ver Ejemplo 7.2 o Tabla 7- 1), podemos escribir la
ecuación diferencial como
x dy - y dx
xy
= 0
(1)
Como( 1) es exacto , puede resolverse por el método de la Sección 6.2. Como alternativa , vemos de la
Tabla 7-1 que ( 1) puede escribirse como d[ln (y/x)] = 0. Entonces, por integración directa,
1n (y/x) = cl. Tomando exponenciales a ambos lados , encontramos
= ec', o finalmente
y = cx (c = eci)
7.3. Resolver (y2 - y) dx + x dy = 0.
No aparece inmediatamente ningún factor de integración . Nótese, sin embargo, que si los términos se
vuelven a agrupar estratégicamente , la ecuación diferencial puede escribirse como
-(y dx - xdy) + y2 dx = 0 (1)
El grupo de términos dentro del paréntesis tiene muchos factores de integración (ver Tabla 7-1).
Ensayando cada factor de integración por separado , encontramos que el único que hace exacta toda la
ecuación es I(x, y) = 1/y2. Utilizando este factor de integración, podemos escribir ( 1) como
ydx - xdy
+ ldx = 0
2
(2)
Como (2) es exacto , puede resolverse por el método de la Sección 6.2. Como alternativa vemos de la
Tabla 7- 1, que ( 2) puede escribirse como -d(x/y) + 1 dx = 0, o como d(x/y) = 1 dx. Integrando,
obtenemos la solución
= x+c o y = x
x
7.4. Resolver (y - xy2) dx + (x + x2y2) dy = 0.
No aparece inmediatamente ningún factor de integración. Nótese, sin embargo, que la ecuación diferencial puede escribirse como
(y dx + x dy) + (- xy2 dx + x2y2 dy) = 0 (1)
El primer grupo de términos tiene muchos factores de integración (ver Tabla 7- 1). Uno de estos
factores , a saber I (x, y) = 1/(xy)2, es un factor de integración para toda la ecuación. Multiplicando
(1) por 1/(xy)2, obtenemos
32
FACTORES DE INTEGRACION [CAP. 7
y dx + x dy
+ -xy2 dx + x2y2 dy
0
(xy)2 (xy)2
o su equivalente
ydx+xdy = 1 dx-1dy
(xy)2 x
(2)
De la Tabla 7-1,
ydx+xdy
de manera que (2 ) puede escribirse como
dx-ldy
d( 1)
xy
Integrando ambos lados de esta última ecuación encontramos
1 = in x1 - y + c
xy
que es la solución en forma implícita.
y' - 3 yx2
7.5. Resolver
x'+2y4'
Escribiendo la ecuación en forma diferencial, tenemos
(3yx2) dx + (-x3 - 2y4) dy = 0
No aparece inmediatamente ningún factor de integración . Sin embargo , podemos reagrupar esta ecuación
como
x2(3y dx - xdy) - 2y4 dy = 0
(1)
El grupo entre paréntesis es de la forma ay dx + bx dy, donde a = 3 y b = -1 , que tiene un factor de
integración x2y-2. Como la expresión entre paréntesis ya está multiplicada por x2, ensayamos un factor
de integración de la forma I(x, y) = y- 2. Multiplicando (1) por y-2, tenemos
x2y-2(3y dx - x dy) - 2y2 dy = 0
que puede simplificarse (ver Tabla 7-1) en
d(x3y-1)
= 2y2 dy
(2)
Integrando ambos lados de (2) tenemos
x3y 1 = y3 + e
como la solución en forma implícita.
7.6. Resolver y' = 2xy - x.
Escribiendo esta ecuación en forma diferencial , tenemos
(-2xy + x) dx + dy = 0
(1)
No aparece inmediatamente ningún factor de integración. Nótese, sin embargo , que para esta ecuación
M(x, y) = -2xy + x y N(x, y ) = 1; de tal modo que
i aM _ aN
__ (-2x) - (o) _ _2x
N ay ax } 1
es una función de x solamente . Entonces , por (7. 3) tenemos
factor de integración . Multiplicando (1) por e-x2 obtenemos
I(x,y) = J-
2XIlx
= e- x' como un
CAP. 7] FACTORES DE INTEGRACION
33
(-2xye -=2 + xe- =2 ) dx + e- =2 dy = 0
(2)
que es exacto . Resolviendo (2) por el método de la Sección 6.2, obtenemos la solución como
y = Cex2 + 2
Nótese que la ecuación diferencial dada también es lineal . (En particular, ver Problema 8.2).
7.7. Resolver y' = xy2-y
Escribiendo esta ecuación en forma diferencial , tenemos
y(1 - xy) dx + x(1) dy = 0 (1)
De (7.5) escogemos
1
-1
x[y(1 - xy) Í - yx (xy)2
Multiplicando (1) por I( x, y), obtenemos
xy-l1
x2y dx - xyd y
=
0
que es exacta . Usando el método de la Sección 6 . 2, encontramos que la solución es
y = -1/(x In ]ex]).
Nótese que hubiéramos podido escribir (1) como
(y dx + x dy) - xy2 dx = 0
que también sugiere ( ver Tabla 7-1) el factor de integración
7.8. Resolver
I(x, y) = 1/(xy)2.
y2 dx + xy dy = 0.
Aquí M(x, y) = y2 y N(x, y ) = xy;
por lo tanto
1 aM_aN _ 2y-y 1
M( ay ax y2 y
una función de y solamente . De (7.4. ), I(x, y) = e-f (1/y) dy = e -In y = 1/y. Multiplicando la ecuación diferencial dada por I(x, y) = 1/y, obtenemos la ecuación exacta y dx + x dy = 0, que tiene la
solución y = c/x.
Otro método sería dividir primero la ecuación diferencial dada por xy2 y después ver que la ecuación
resultante es separable.
Problemas suplementarios
En los problemas 7.9 - 7.23, halle un factor de integración adecuado para cada ecuación diferencial y resuélvala.
7.9.
(y + 1 ) dx - x dy =
7.10.
y dx + ( 1- x) dy
7.11.
(x2 + y + y2) dx -xdy = 0 .
=
0.
0.
7.12.
(y + x3y3) dx + x dy = 0.
7.13.
( y + x4y2 ) dx +xdy = 0.
7.14.
(3x2y - x2) dx + dy = 0.
34
FACTORES DE INTEGRACION
[CAP. 7
7.15. dx - 2x1/ dy 0.
7.20. xy-' dx + rey d1/ 0.
7.16. 2.ry d.r + 112 dr/ = O.
7.21.
7.17.
7.22. (x 3y2 - y) rl.r + (x2y4 - x) (11y = 0.
1/ d.r + 3.r dl/ = 0.
(y+x3+xy2)dx x dy = 0.
7.23. 3.r2y2 (la! -)
7.18. 12r•?¡2 !- 'r dr -f- 4x'2y dl/ = 0.
1/ 2 )
7.19. .rl /2 (IX
(2x3y + x37/') dl/ = 0.
f- (.r2)¡2 -F x2y) dy 0.
Respuestas a los problemas suplementarios
7.9. 1(x, +/)
7.17. I(x, 1/)
x2
C
= y2; y:3
x
2
7.10.
1(x, y) = 31, cl/ = x - 1
7.18.
J(x, y ) = y-; x22y4 + 2
= c
7.11.
I(x.y) _ --1-; y = xtan (x+el
7.19.
l(x,y) =
= e - y
7.20.
I( x, y) = 1
7.21.
1
I(x , y) _ - X2 + .^2 :
7.12. 1 (.r, y) =
1 . 1
= 2.r2(x - c)
7.13.
I (x, y) =
1 • 1 = ?:3 x4 - ex
(xy)2 y
7.14.
1(x, y) = ex'; y = ce - I' + 1
7.22. I(x, y) _
7.15.
1(.r, y) = e- y2;
7.23.
7.16.
1(x, y) = 1
y '
y2 - in 'kx
Y2 = 2(c - x22)
1 ,•
(xy)2
in'lxyI
(la ecuación es exacta ):
1/)= '
I(.r, y) = c0/3;
x2y2 = r.
y = x tan ( 1 .X2 + c)
3r;y + 2xy4 + kxy = -6
1.3Y2(.,''1/3 = e
Capítulo 8
Ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden
8.1 UN FACTOR DE INTEGRACION
La ecuación diferencial lineal de primer orden se definió en (3.3) como
(8.1)
y' + p(x)y = q(x)
Un factor de integración para (8.1) está dado por
e f P(X) da
I (X, y) _
(8.2)
Nótese que para una ecuación lineal el factor de integración no depende de y. Recordamos que el factor de integración se definió originalmente para ecuaciones en forma diferencial
(ver Sección 7.1). Sin embargo, es más conveniente trabajar con ecuaciones diferenciales lineales en la forma (8.1).
Ejemplo 8.1. Hallar un factor de integración para y'- 2xy = x.
Aquí, p(x) = -2x.
Entonces
J,
Y
I(x,y)
p(x) dx = f (-2x) dx = -x2,
=
ef
pCI)d.r =
e_'2
Si escribimos la ecuación dada en forma diferencial y después multiplicamos por I(x, y), obtenemos
(-2xye-r2 - xe-T2) dx + e '2 d?I = 0
que es exacta . Entonces , I(x, y) = e-r 2 es un factor de integración como se definió en la Sección 7.1.
8.2 METODO DE SOLUCION
Multiplique (8.1) por I( x, y) como se definió en (8.2 ). El lado izquierdo de la ecuación
resultante será igual a d[yI(x, y) ]
La integración directa de esta ecuación resultante dá enton-
dx
ces la solución de (8.1 ) (ver Problemas 8.1-8.5).
Problemas resueltos
8.1. Resolver y' - 3y = 6.
Aquí p(x) = -3.
Resolviendo para el factor de integración , tenemos
35
36 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 8
J
p(x) dx =
J -3 dx =
- 3x
I(x, y) = e-°l-r
de donde
Multiplicando la ecuación diferencial por I ( x, y), obtenemos
e --sry' - 3r 3xy
= oe- 3r
o dx (ye-
3x)
= 6e-3x
Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto a x, obtenemos
f (ye 3x) dx = .^ 6e 3x dx
ye-3x =
-2e-3x + e
y = ce3z - 2
8.2. Resolver y' - 2xy = x.
Del Ejemplo 8.1, 1(x, y ) = e-x2. Multiplicando la ecuación diferencial por I(x, y) obtenemos
e-'2y' - 2xe-x2y = xe-r2 o
^x [ye-z2]
= xe-x2
Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, encontramos que
cex
8.3. Resolver y' + (4/x)y = x4.
Aquí p(x) = 4/x: por lo tanto
f p(x) dx f 4 dx
X
I (x, y)
de donde
= 4 In ;xi = In x4
= e.íp(x)dx _ elnx4
= x4
Multiplicando la ecuación diferencial por I( x, y), encontramos
xa4 4x3y = xR o
dx (yx4) = XI
Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos
y.r4 =
xq c
o y = 4 +
X. 9x5
8.4. Resolver y' + y = sen x.
Aquí p(x) = 1: por lo tanto 1(x, y) = e ^' dx = ex. Multiplicando la ecuación diferencial por I(x, y),
obtenemos
exy' + exy =
ex sen x o
d
(yex) = ex sen x
x
Integrando ambos lados de la última ecuación con respecto a x (para integrar el lado derecho , usamos
integración por partes dos veces ) encontramos
yex =
cx( senx - cos x ) + e o y = ce-x + + sen x - - cos x
7
CAP. 81 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
37
8.5. Resolver y' - 5y = 0.
5jds = e-
Aquí p (x) = -5 y I ( x, y) = e•r1
mos
5x . Multiplicando la ecuación diferencial por I(x,
obtene-
o (d'. (ye s. r) = O
e--i.ry' - 5e - 5.ry = O
Integrando , obtenemos ye 3_ = e, o y = ces'.
Nótese que la ecuación diferencial también es separable y puede resolverse por el método de la Sección
4.1. (Ver Problema 4.3).
8.6. Resolver el problema de valor inicial
y' + y = sena; - y(-) = 1.
Del Problema 8.4 la solución de la ecuación diferencial es
y = ce r + Z sena - Zcos x
Aplicando la condición inicial directamente , obtenemos
o c =
Entonces y =
2 ene -I + 2 senx - 2 cos x
e-
= Z (eme-= + senx - cos x)
8.7. Resolver y' + xy = xy2.
Esta ecuación no es lineal. Es, sin embargo, un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli,
y' + p(x)y = q(x)yn, donde n es cualquier número real. En nuestra ecuación, p(x) = x, q(x) = x, y
n = 2. Para resolver la ecuación de Bernoulli, haga la sustitución z = y1-n. La ecuación diferencial
resultante será lirieal y por lo tanto puede resolverse por el método de este capítulo.
Como n = 2 en la ecuación dada , hacemos la sustitución 2 = y1 -2 = y-1, de la cual se sigue
y
1
=
Z
Y
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación diferencial , obtenemos
z +x - x
72 z z2
0
2'-xz = -x
Esta última ecuación es lineal . Resolviéndola por el método utilizado en este capítulo, encontramos
z = ce='/2 + 1. La solución de la ecuación diferencial original es entonces
y
8.8. Resolver
1
Z
1
cex'12 + 1
y' - 3 y = x4y1 13.
Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli con
sustitución
z = yl-(1/3) = y2/3.
Entonces
p(x)
y = z3/2
3
q(x) = x1, y n. = i.
y y' _ z1j2z'.
Sustituyendo estos valores en
la ecuación diferencial , obtenemos
2 z1/2z' - x z3/2 = x4z1/2
Hacemos la
o z' - 2 z = 3x4
38 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 8
La solución de esta última ecuación , que es lineal, es z = ex2 + 2^x5. Como z = y213, la solución del
problema original se dá implícitamente por y2/3= cx2 + 2x5, o explícitamente por y = ±(cx2 + 2x5)3/2.
8.9. Halle la fórmula general de la solución de (8.1).
Multiplicando (8.1) por ( 8.2), tenemos
e f p(x) dxy, + e Cp(x) dx p(x)y = e
d ¡ f p(x)dx,
Como
dx
✓ p(x) dxq(x)
(1)
= e f p(x) d.rp(x)
e
se sigue de la regla para la derivada de un producto que el lado izquierdo de (1) es igual a d
(1x
Entonces, ( 1) puede escribirse como
fp(x)d.r
(1
(1x [e y]
_
fr,c.r)dx
e- q(x)
[f p(x) d.r y]
(2)
Integrando ambos lados de (2) con respecto a x, tenemos
f d f P(x) dx
dx [e y^ dx =
1 p(r) dx
j e q(x) dx
O ef p(x) dx y + c) = f eljp( x) d., q(x) dx
(3)
Finalmente , haciendo el = -c y resolviendo (3) para y, obtenemos
y = Ce- f p(x) dx + - f j,(x) dx f e,) n(x) dxq(x) dx
Problemas suplementarios
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.
8.16.
y'-- y = x2
8.10.
y'-7y = ex.
8.11.
y' - 7y = 14x. 8.17. Y' = cos x.
8.12.
y' - 7y
8.13.
y' + x2y = x2 .
8.19.
y' +-y = y2.
8.14.
2
y' + -y = x ; y(1) = 0.
X
8.20.
y' + xy = 6x^Fy-.
8.15.
y' + 6xy = 0 ;
=
sen
2x.
8.18.
y(es) = 5. 8. 21.
y' + 2xy = 2x3; y(0) = 1.
2
y' + z y = -x9y5;
y(-1) = 2.
Respuestas a los problemas suplementarios
8.10.
y = ce7x - lex
u
8.12.
5 cos 2x - 35 sen 2x
y = ce7x - 3
8.11.
y
8.13.
y = ce - x'13 + 1
=
ce7x - 2x 2
(4)
CAP. 8]
8.14.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
y =
%(-x-2 + x2)
8.18. y = 2e-x2 + x2 - 1
8.15. y =
5e-3(x2-7r2) 8.19. 1 = ce= + 1
y
8.16.
y =
ce-31x - 1
8.20. y
8.17.
y
c + sen x
31
8.21. y4 1 6 x8 + 2x1°
=
39
= (ce-x214 + 6)2
i
Capítulo 9
Aplicación de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
9.1 PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO
La ley de Newton sobre el enfriamiento establece que la rata de cambio en tiempo de la
temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el
medio ambiente. Hagamos T igual a la temperatura del cuerpo y T,,, la temperatura del medio
ambiente. Entonces, el tiempo necesario para el cambio de la temperatura del cuerpo es dT/dt
y la ley del enfriamiento de Newton puede formularse como dT/dt = -k(T - T,,,), o como
(9.1)
dT t k T = kT.
donde k es una constante positiva de proporcionalidad. (Ver Problemas 9.1, 9.2 y 9.3). Una
vez que k se escoge positiva, el signo menos se necesita en la ley de Newton para hacer dT/dt
negativa en el proceso de enfriamiento. Nótese que en este proceso, T es mayor que T>„
entonces T --- T,., es positivo.
9.2 PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Llámese N(t) la cantidad de sustancia ( o población ) que está creciendo o decreciendo. Si
asumimos que dN/dt, el tiempo necesario para el cambio de esta sustancia , es proporcional a la
cantidad de sustancia presente , entonces dN/dt = kN, o
dN - kN =
(t-
0
(9.2)
donde k es la constante de proporcionalidad. (Ver Problemas 9.4, 9.5 y 9.6).
Estamos asumiendo que N(t) es una función de tiempo derivable y por lo tanto continua. Para problemas de población, donde N(t) es un valor entero y discreto, esta suposición es
incorrecta. Sin embargo, (9.2) dá una buena aproximación a las leyes físicas del crecimiento
que rigen tal sistema. (Ver Problema 9.6).
9.3 CAIDA DE LOS CUERPOS CON RESISTENCIA DEL AIRE
Considérese un cuerpo de masa 7n cayendo verticalmente, que solo sufre la influencia de
la gravedad g y una resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del cuerpo. Asúmase
que tanto la gravedad como la masa permanecen constantes y, por conveniencia, escójase la
dirección hacia abajo como la dirección positiva.
Segunda ley del movimiento de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la
rata de cambio en tiempo del momento del cuerpo o, para una masa constante,
40
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 41
donde F es la fuerza neta sobre el cuerpo y v es la velocidad del cuerpo, ambos'en el tiempo
t.
Para este problema, hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo: (1) la fuerza debida a la
gravedad dada por el peso i . del cuerpo, que es igual a ¿i g y (2) la fuerza debida a la resistencia
del aire, dada por -kv, donde k - 0 es una constante de proporcionalidad. El signo menos es
necesario debido a que esta fuerza se opone a la velocidad; es decir, actúa hacia arriba, o en
dirección negativa (ver Fig. 9-1). La fuerza neta F sobre el cuerpo es, por consiguiente,
F = mg - kv. Sustituyendo este resultado en (9.3) obtenemos
di)
»?g - kv = »n y
-, o
dv k _
dt + 7n. v - g (9.4)
como la ecuación de movimiento del cuerpo.
en
Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = Oy (9.4) se simplifica
dv _
dt
g
(9.5)
(Ver Problema 9.7). Cuando k > 0, la velocidad limitante v, se define por
vi
mg
k
Advertencia: Las ecuaciones (9.4), (9.5) y (9.6) son válidas únicamente si las condiciones dadas
se satisfacen. Estas ecuaciones no son válidas si, por ejemplo, la resistencia del aire no es
proporcional a la velocidad sino al cuadrado de la velocidad o si la dirección hacia arriba es
tomada como la dirección positiva. (Ver Problemas 9.9 y 9.10).
1.
Tierra
Dirección x positiva
Fig. 9-1
Fig. 9-2
9.4 PROBLEMAS DE DILUCIONES
Considérese un tanque que contiene inicialmente Vp galones de solución salina que
contiene -a lb de sal. Otra solución salina que contiene b lb de sal por galón, se vierte en el
ORDEN [CAP. 9
42 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
tanque a la rata de e gal/minuto mientras que, simultáneamente, la solución bien mezclada sale
del tanque a la rata de f gal/min (Fig. 9-2). El problema es encontrar la cantidad de sal que
hay en el tanque en un momento t.
Hagamos Q igual a la cantidad (en libras) de sal en el tanque en un momento. La rata de
cambio en tiempo de Q, dQ/dt, es igual a la rata a la cual entra la sal en el tanque menos la rata
a la cual sale de éste. La sal entra al tanque a la rata de be lb/min. Para determinar la rata a la
cual sale del tanque, primero calculamos el volumen de solución salina que hay en el tanque en
un momento t, que es el volumen inicial V„ más el volumen de solución salina agregada et
menos el volumen de solución salina que ha salido f t. Entonces, el volumen de solución salina
en cualquier momento es
Vo
+
et
-
ft
(9.7)
La concentración de sal en el tanque en cualquier momento es Q/(V o + et - f t), de donde se
deduce que la sal sale del tanque a una rata de f [Q/(Vo + et - f t)] lb/min. Entonces, dQldt
= be - f [Q/(V0 + et - f t)] o
f
d- + V„ + (e - f)t Q =
(9.S)
be
(Ver Problemas 9.11-9.13).
9.5 CIRCUITOS ELECTRICOS
La ecuación básica que rige la cantidad de corriente 1 (en amperios ) en un circuito
simple RL ( Fig. 9 - 3) que consiste en una resistencia R (en ohmios ), un condensador L (en
henrios ), y una fuerza electromotriz ( abreviada fem) E ( en voltios ) es
dt
+
L
L
(9.9)
Para un circuito RC que consiste en una resistencia, una capacitancia C (en faradios ), una fem
y ninguna inductancia (Fig. 9-4), la ecuación que rige la cantidad de carga eléctrica q (en
culombios) del condensador es
dq 1 _
dt + RCq R
E
(9.10)
La relación entre q e 1 es
dq
w
(9.11)
(Ver Problemas 9.14-9 . 17). Para circuitos más complejos ver Capítulo 17.
R
L
E
Fig. 9 - 3
1
R
Fig.
C
El
9-4
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 43
9.6 TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Considérese una familia de curvas monoparamétricas en el plano xy definida por
F(x, y, c) = 0
(.9.12)
donde e es el parámetro. El problema es hallar otra familia de curvas, de un parámetro, llamada
l as trayectorias ortogonales de la familia (9.12) y dada analíticamente por
G(x, y, k) = 0
(.9.13)
de manera que cada curva de esta nueva familia ( 9.13) corte en ángulos rectos a cada curva de
la familia original (9.12).
Primero derivamos implícitamente (9.12) con respecto a x, después eliminamos e entre
esta ecuación derivada y (9.12 ). Esto nos dá una ecuación relacionando x, y y y',
que resolvemos para y' obteniendo la ecuación diferencial de la forma
dy
dx,
f(x, y)
-
(9.14)
Las trayectorias ortogonales de (9.12 ) son las soluciones de
( Ver problemas 9.18-9.20).
dy
dx
f(x, y)
(.9.15)
Muchas familias de curvas no pueden resolverse explícitamente para dy/dx y obtener
una ecuación diferencial de la forma (9.14). No consideramos tales curvas en este libro.
Problemas resueltos
9.1. Una barra metálica a una temperatura de 100°F se pone en un cuarto a una temperatura
constante de 0° F. Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es 50°F, hallar
(a) el tiempo que gastará la barra para llegar a una temperatura de 25° F y (b) la
temperatura de la barra después de 10 minutos.
Use (9. 1) con T. = 0: el medio aquí es el cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 0°F.
Entonces tenemos
dt + kT = 0, una ecuación lineal cuya solución es (ver Capítulo 8)
T = ce -k1
(1)
Como T = 100 cuando t = 0 (la temperatura de la barra es inicialmente 100° F), se sigue de
(1) que
100 = ce-k(O)
100 = c. Sustituyendo este valor en (1) obtenemos
T = l00e-kt
(9)
Para t = 20, se dá que T = 50; por lo tanto, de (2)
50 = 100e-20k
de donde
k = -1 In 50 = -1 (-0.693) = 0.035
20 100 20
Sustituyendo este valor en (2), obtenemos la temperatura de la barra en un momento t como
T = 100e- 0.0351
(3)
44 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 9
(a)
Se requiere t cuando T = 25. Sustituyendo T = 25 en (3), obtenemos
25 = 100e-0.035t o -0.035 t = In 4
Resolviendo , encontramos que t = 39.6 minutos.
10 en (3) y después resolviendo para T,
(b) Se requiere T cuando t = 10. Sustituyendo t =
encontramos que
T = 100e(-0.035)(10> = 100(0.705) = 70.5° F
Debe notarse que como la ley de Newton es válida únicamente para pequeñas diferencias de
temperatura , los cálculos hechos arriba representan solamente una primera aproximación a la situación
física.
9.2. Un cuerpo a una temperatura de 50° F se coloca al aire libre donde la temperatura es de
100° F. Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60° F, encontrar (a)
cuánto tiempo gastará el cuerpo en llegar a una temperatura de 75° F y (b) la temperatura
del cuerpo después de 20 minutos.
tenemos dt + kT = 100k. Esta ecuaUsando (9.1) con T,,, = 100 (el medio ambiente es el aire libre ),
ver
Capítulo
8)
(
ción diferencial es lineal y su solución es
(1)
T = ee-kt + 100
o e = -50 . Sustituyendo
Como T = 50 cuando t = 0, se deduce de (1) que 50 = ce-k(°) + 100 ,
este valor en (1 ), obtenemos
T = -50e-kt + 100 (2)
Resolviendo para k, obtenemos
Para t = 5, se dá que T = 60; entonces de (2), 60 = -50e-5k + 100.
-40 50e-5k o k = 51 ln 50 51(-0.223) = 0.045
Sustituyendo este valor en (2), obtenemos la temperatura del cuerpo en un momento t como
(3)
T = -50e-0.045t + 100
(a)
Se necesita t cuando T = 75. Reemplazando T = 75 en (3) tenemos
75 = -50,-0.045t + 100 0
e 0,045t = 1
Resolviendo para t, encontramos
-0.045 t = In 1 , o
t = 15.4 tnin
3) y después resolviendo para T,
(b) Se requiere T cuando t = 20. Sustituyendo t = 20 en (
encontramos
T = -50el-0.045)(20) + 100 = -50(0.41) + 100 = 79.5° F
9.3. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una
temperatura constante de 30° F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es
de 0°F y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15° F, hallar la temperatura inicial desconocida del cuerpo.
De (9.1 ), dt + kT = 30k. Resolviéndola obtenemos
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 45
T = ce-kt + 30
(1)
Para t = 10 se dió que T = 0. Entonces, de (1),
o ce-10k = -30
0 = ce- t°k + 30
(2)
Para t = 20 se dió que T = 15. Entonces , de (1) de nuevo obtenemos
15 = ce-20k + 30 o ce-20k = -15
(3)
Resolviendo ( 2) y (3) para k y c, encontramos
k = 10 In 2 = 0.069
y c = -30el0k = -30 (2) = -60
Sustituyendo estos valores en (1) tenemos para la temperatura del cuerpo en un momento t
T = -60e-u.069t + 30
(4)
Como se requiere Ten el tiempo inicial t = 0, se sigue de (4) que
T = -60et-0.°59>(° + 30 = -60 + 30 = -300 F
9.4. Se sabe que cierto material radioactivo se desintegra a una rata proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material presente y después de dos
horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, hallar (a) una
expresión para la masa de material restante en un momento t, (b) la masa de material
después de cuatro horas y (c) el tiempo al cabo del cual el material se ha desintegrado
en la mitad de su masa inicial.
(a)
Llamemos N la cantidad de material presente en un momento t. De (9 .2)
Esta ecuación diferencial es lineal ; su solución es
N
=
dN - kN = 0.
Cekt
(1)
Para t = 0, se dió que N = 50. Entonces, de (1), 50 = cekc°>, o c = 50. Luego
N
=
50ekr
(2)
Para t = 2, la masa original de 50 mg . se ha desintegrado un 101 o sea 5 mg. Entonces para t =
2, N = 50 - 5 = 45. Reemplazando estos valores en (2) y resolviendo para k obtenemos
45 = 50e2k
o k = 2 In 45
5-0
- 0.053
Sustituyendo este valor en (2) obtenemos la cantidad de masa presente en un momento t como
N
=
50e-0.053t
(3)
donde t se mide en horas.
(b) Se requiere N para t = 4. Sustituyendo t = 4 en (3) y después resolviendo para N, encontramos
que
,V = 50et - 0s3>( 4) = 50(0 . 809) = 40.5 mg
(c) Se requiere / cuando t' 50/2 = 25. Sustituyendo V - 25 en (3) y resolviendo para t, encontramos
25 - 50r-0oat o -0.053t = l n1 o t
=
13 horas
El tiempo necesario para reducir un material que se desintegra a la mitad de su masa original se
llama la vida media del material. Para este problema, la vida media es de 13 horas.
9.5. Se sabe que un cultivo de bacterias crece a una rata proporcional a la cantidad presente.
Después de una hora se observan en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de
46 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 9
cuatro horas, 3000 familias. Encontrar (a) la expresión para el número de familias de la
bacteria presentes en el cultivo en un momento t y (b) el número de familias de bacterias
que había originalmente en el cultivo.
(a )
D e (9 . 2 )
dt
- kN --
0 . L a solución de esta ecuación diferencial es
N = eekt
(1)
1000 = cek
(2)
3000 = ce4k
(3)
Para t = 1, N -- 1000: por lo tanto
Para t = 4, N = 3000 ; por lo tanto
Resolviendo (2) y (3) para k y e, encontramos
e = 1000e - 0.366 = 694
k 3 In 3 0.366 y
Sustituyendo estos valores de k y e en (1), obtenemos
N
-
694c°
36r,
t
(4)
como la expresión para la cantidad de bacterias presentes en un momento t.
( b) Se requiere Nparat = 0. Reemplazando t = 0 en ( 4), obtenemos N = 694e(0. 366)'° = 694.
9.6. Se sabe que la población de cierto país aumenta a una rata proporcional al número de
habitantes actuales del país. Si después de dos años la población se ha duplicado y
después de tres años la población es de 20 000 habitantes, hallar el número de habitantes
que había inicialmente en el país.
Llamemos N al número de habitantes en el país en un momento t, y llamemos No al número de
habitantes que había inicialmente en el país . Tenemos de (9.2) dN - kN = 0, que tiene la solución
(1)
N = cckt
Para t = 0. N = N,,; entonces , se sigue de ( 1) que N„ = eek(0), o que c = N0. Entonces,
N - N, ekr
(2)
Para t 2, N .= 2N,,. Sustituyendo estos valores en (2) tenemos
2N0 - N,)e2 k
de donde
k = 2 In 2 = 0.347
Sustituyendo este valor en (2) obtenemos
N = NO e0.347 t
(3)
Cuerpo que cae
Para t = 3, N = 20, 000. Sustituyendo estos valores en
(3), obtenemos
20,000 =- N0e' 0 347 t' 3 ' = N0 (2.832 )
N0 = 7062
9.7. Un cuerpo con una masa de 5 slugs se suelta de
una altura de 100 pies con una velocidad de
cero. Asumiendo que no hay resistencia del Tierra
=loo
o
aire, hallar (a) una expresión para la velocidad
del cuerpo en un momento t, (b) una expresión
para la posición del cuerpo en un momento t y Dirección positiva de x
(c) el tiempo requerido por el cuerpo para llegar a la tierra.
Fig. 9-5
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DEFIRENCIALES DE PRIMER ORDEN
47
(a) Se escoge el sistema coordenado como en la Fig . 9-5. Entonces , puesto que no hay resistencia
del aire, (9.5) se aplica así: df = g. Esta ecuación diferencial es lineal o, en forma diferencial.
separable ; su solución es v = gt + e. Cuando t = 0, v = 0 ( inicialmente la velocidad del
cuerpo era 0); entonces 0 = g(0) + e, o e = 0. Entonces , v = gt o, asumiendo g = 32
pies/seg2,
v
=
32t
(1)
(b) Recuerde que la velocidad es la rata de cambio en tiempo del desplazamiento , designada aquí
por x. Entonces, v = dx/dt y (1) se convierte en dt = 32t. Esta ecuación diferencial es tamtanto lineal como separable ; su solución es
x
=
1612
+
cl
(2)
Pero para t = 0, x = 0 ( ver Fig . 9-5). Entonces, 0 = (16)(0) 2 + e1, o el = 0. Reemplazando este
valor en (2), tenemos
x = 16t2 (3)
( c) Se requiere t cuando x = 100. De (3) t = (100)/( 16) = 2.5 seg.
9.8. Un cuerpo que pesa 64 lb se suelta desde una altura de 100 pies con una velocidad inicial
de 10 pies/seg. Suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del
cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 128 pies/seg, encontrar (a) una
expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t y (b) una expresión para la
posición del cuerpo en un momento t.
(a)
Sitúe el sistema coordenado como en la Fig . 9-5. Aquí w = 64 lb. Como w = mg, se deduce que
mg = 64, o m = 2 slugs. Dado que v, = 128 pies/seg, se sigue de ( 9.6 ) que 128 = 64/k, o k = 4.
Sustituyendo estos valores en(9.4) obtenemos la ecuación diferencial lineal
dt + 4v
= 32
que tiene la solución
v = ce-t/4 + 128 (1)
Para t = 0, se da que v = 10. Reemplazando estos valores en ( 1) tenemos 10 = ces + 128, o
c = -118. La velocidad en cualquier momento t está dada por
v = -118e-t/4 + 128
(b)
(2)
Como v = dx/dt, donde x es desplazamiento , (2) puede escribirse como
dx =
dt
-118e-t/4 + 128
Esta última ecuación, en forma diferencial , es separable ; su solución es
x = 472e-t/4 + 128t + el
(3)
Para t = 0, tenemos x = 0 (ver Fig. 9 -5). Entonces, (3) dá
0 = 4720 + (128)(0) + c1 o el = -472
El desplazamiento en cualquier momento t está dado entonces por
x = 472e-t/4 + 128t - 472
9.9. Un cuerpo de masa m se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial vo. Si el
cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad, encontrar (a) la
ecuación del movimiento en el sistema coordenado de la Fig. 9-6, (b) una expresión para
la velocidad del cuerpo en cualquier momento t, y (c) el tiempo al cabo del cual el
cuerpo llega a su máxima altura.
48 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
(a) En este sistema coordenado , ( 9.4) puede no ser
la ecuación del movimiento . Para encontrar la
ecuación apropiada notamos que hay dos fuerzas sobre el cuerpo : ( 1) la fuerza debida a la
gravedad dada por mg y (2) la fuerza debida a la
resistencia del aire dada por kv que disminuye
la velocidad del cuerpo . Como ambas fuerzas
,.!túan en la dirección hacia abajo o negativa, la
fuerza neta sobre el cuerpo es -mg - kv. Usando (9.3) y reagrupando , obtenemos
[CAP. 9
Dirección positiva
de x
1 Cuerpo que sube
mg
1
kv
k
dt
+ m v - -9 (1)
Tierra 1
como la ecuación del movimiento.
(b) La ecuación ( 1) es una ecuación diferencial
lineal y su solución es v=ce -(k/m)t-mg/k. Pav0 = ce-(k/m)0 ra t = 0, v = v0; entonces
(mg/k), o c = vo + (mg/k). La velocid ad del cuerpo en cualquier momento t es
mg
k
mJ
\\ e -(k/m)t
V = va + 9
k /
(c)
(2)
El cuerpo alcanza su altura máxima cuando v = 0. Entonces se requiere t cuando v = 0.
Sustituyendo v = 0 en (2) y resolviendo para t, encontramos
0
C
=
vo + k1 e-( k /m)t
- k
1
e-(k/m)t
vok
1
-(k/m)t
+ mg
= In
mg
vk
m
t = k In 1+ n°9
9.10. Un cuerpo de masa de 2 slugs se deja caer sin velocidad inicial y encuentra una resistencia del aire que es proporcional al cuadrado de su velocidad. Hallar una expresión para la
velocidad del cuerpo en un momento t.
La fuerza debida a la resistencia del aire es -kv2, de tal manera que la segunda ley de Newton para el
movimiento se convierte en
m dt = mg - kv2
0 2
dt
= 64 - kv2
Transformando esta ecuación en forma diferencial , tenemos
2 dv - dt =
64 - kv2
0
(1)
que es separable . Por fracciones parciales,
2
64 - kv2
2
=
k +
(8-Vv)(8 +fv) 8-^v 8+Vv
entonces ( 1) puede reagruparse como
CAP. 91 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1( 1 + 1 )
dv - dt =
8 8-.v 8+\v
49
0
Según el Capítulo 4, la solución es
1 1
In;B8
V'k
v1 +1n18+^rk vi
k
que puede escribirse como
In
=
Cle8
t
c
8+Vv
8 / t + 8,ík- c
8-av
o
-
(Cl
=
±e81'c)
Para t = 0, se dá aquí v = 0. Esto implica que c1 = 1, y la velocidad está dada por
8+-Vrk- v 8
Irk t
= e
8-av
o
v
=
8 tanh 4^/-k t
Vk
Nótese que sin una información adicional, no podemos obtener un valor numérico para la constante k.
9.11. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 20 lb
de sal. Para t = 0, se vierte agua dulce en el tanque a la rata de 5 gal/min, mientras que
sale del tanque una solución bien mezclada a la misma rata. Halle la cantidad de sal en el
tanque para un momento t.
Aquí, Vo = 100, a = 20, b = 0, y e = f = S. La ecuación ( 9.8) se convierte
en dQ + 1 Q = 0. La
dt
solución de esta ecuación lineal es
20
Q = ce-tito
(1)
Para t = 0, se dió Q = a = 20. Reemplazando estos valores en (1), encontramos que c =
20, de modo
que (1) puede escribirse como Q = 20e-ti20
Nótese que mientras t - 0
tanque.
Q - 0 como debería ser, puesto que solamente se agrega agua dulce al
9.12. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 1 lb de
sal. Para t = 0, otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega al tanque
a la rata de 3 gal/min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a la
misma rata. Hallar (a) la cantidad de sal en el tanque en un momento t y (b) el momento
en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 lb de sal.
(a)
Aquí Vo = 100, a = 1, b = 1, y e = f = 3; por lo tanto, (9.8) se convierte en Q + 0.03 Q = 3.
La solución para esta ecuación lineal diferencial es dt
Q = ce-0.03t + 100
(1)
Para t = 0, Q = a = 1. Sustituyendo estos valores en (1), encontramos
1 = ceo + 100, o
c = -99. Entonces ( 1) puede escribirse como
Q = -99e-003t+ 100 (2)
(b) Se necesita t cuando Q = 2. Sustituyendo Q = 2 en (2) obtenemos
2 = -99e-0.03t + 100 0
de donde t
e-0.03t = 98
99
0 03 In 99 = 0.338 min
50 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 9
9.13. Un tanque de 50 galones contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para t = 0, una
solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se vierte en el tanque a la rata de 4
gal/min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a la rata de 2 gal/min.
Hallar (a) la cantidad de tiempo necesaria para que se llene el tanque y (b) la cantidad de
sal que hay en el tanque en el momento en que se llena.
(a)
Aquí a = 0, b = 1, e = 4, f = 2, y V0 = 10. El volumen de solución salina en el tanque en un
momento t está dado por (9. 7 ) como V. + et - f t = 10 + 2t. Se requiere t cuando 10 + 2t = 50;
entonces, t = 20 min.
(b) Para este problema , ( 9.8) se convierte en
dQ
dt
+ 2 Q
10 + 2t
4
-
Esta es una ecuación lineal; su solución [ver Capítulo 8, con p(t) = 2/(10 2t) y q(t) = 4] puede escribirse como
Q = 40t + 4t2 + e
10 + 2t
(1)
Para t = 0, Q = a = 0. Sustituyendo estos valores en ( 1), encontramos que e = 0. Se requiere Q
en el momento en que está lleno, lo cual por la parte (a) es t = 20. Entonces,
Q _ 40(20) + 4(20)2 = 48 lb
10 + 2(20)
9.14. Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Halle la corriente en el circuito para un
momento t.
dI
Aquí E = 5, R = 50, y L = 1; por lo tanto (9.9) se convierte en dt + 501 = 5. Esta ecuación es lineal,
su solución es
ce - sot
1
10
La corriente en cualquier momento t es por
Para t = 0, I = 0; entonces , 0 = ce-so(o ) + 110, o e =- -L.
10
consiguiente
1
1 e-50t + 1
10 1-0-
(1)
La cantidad --L e-50t en (1) se llama la corriente transitoria , puesto que esta cantidad se acerca a cero
("muere ") cuando t -> oo . La cantidad 1'o en (1 ) se llama corriente en condiciones estables. Cuando
t - -, la corriente I se acerca al valor de la corriente en condiciones estables.
9.15. Un circuito RL tiene una fem dada (en voltios) por 3 sen 2t, una resistencia de 10
ohmios, una inductancia de 0.5 henrios y una corriente inicial de 6 amperios. Halle la
corriente en el circuito en un momento t.
Aquí, E = 3 sen2t, R = 10, y L = 0.5; por lo tanto ( 9.9)) se convierte en
Esta ecuación es lineal y la solución (ver Capítulo 8) es
di + 201 = 6 sen2t.
f d(Ie2Ot) = f 6e20t sen 2t dt.
las integraciones ( la segunda integral requiere dos integraciones por partes), obtenemos
30
I = ce- 20t + 10 1 sen2t - 101 cos 2t
Efectuando
CAP. 9} APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 51
Para t = 0, I = 6; por lo tanto,
30 3
ce-20(0) + 101
sen2 (0) - 101 cos 2(0)
6 =
donde
609
101
0 6 =
3
C 101
La corriente en cualquier momento t es
3I10-9e2t+ cos 2t
1/ sen2t - 101
Como en el Problema 9 . 14, la corriente es la suma de una corriente transitoria
, aquí 109 e-20t, y una
corriente en condiciones estables , 10o sen 2t - 101 cos 2t.
9.16. Transforme la corriente estacionaria del Problema 9.15 en la forma A sen (2t - SS). El
ángulo 0 se llama el ángulo de fase.
Como A sen (2t - 95) = A ( sen2t cos 0 - cos 2t sen o), necesitamos
30
3
sen 2t - 101 cos 2t = A cos ¢ sen 2t - A sen cos 2t
IS = 101
Entonces , A cos ¢ = 0¡-o A sen 0 = 101
3 ' Ahora se sigue que
3 )2
30
1 01) 2 + (1
y
tan
0
A2 cos2 0 + A2sen2 0
=
A2(cos2 0 + sen2 0)
= A2
A sen o = (13 `/( 30 ` 1
A cos 01 101 10
En consecuencia , Istiene la forma requerida si
A
=
909 - 3 1
(101)2 101 y = arctan 10
9.17. Un circuito RC tiene una fem dada (en voltios) por 400 cos 2t, una resistencia de 100
ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Halle la corriente en el circuito en un momento t.
Primero encontramos la carga q y después , usando ( 9.11) obtenemos la corriente
. Aquí, E = 400 x
por lo tanto ( 9.10) se convierte en ilq + q = 4 cos 2t. Esta ecuación es
cos 2t, R = 100, y C = 10
lineal y su solución es (se necesitan dos integraciones por partes)
q
=
ce-t
+5
sen2t + 4 cos 2t
Para t = 0, q = 0; entonces
0 = ce-0) + 5 sen2 (0) + 4 cos 2(0) o c 4
5
5
Luego
q
-5e
t + 5 sen2t + 5 cos2t
y usando ( 9.11) obtenemos
I = dt
= 4 e - t + 16 cos 2t - 5 sen2t
9.18. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = c2
La fanp ilia, que está dada por (9.12) con F(x, y, c) = x2 + y2 - c2 ,
consiste en circunferencias con
centro en el origen y radio e. Derivando implícitamente la ecuación dada con respecto a x, obtenemos
52 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 9
2x + 2yy' = 0 0
dy
x
dx
y
Aquí f(x, y) = -xly, de manera que (9.15) se convierte en
dy _ y
dx x
Esta ecuación es lineal ( y, en forma diferencial , separable ); su solución es
y = kx
(1)
que representa las trayectorias ortogonales.
En la Fig . 9-7 algunos miembros de la familia de circunferencias se muestran en línea continua y
se muestran en línea
algunos miembros de la familia ( 1) que son líneas rectas ilue pasan por el origen ,
Obsérvese
que
cada
línea
recta
intersecta
cada
circunferencia
en
ángulo
recto.
punteada .
9.19. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx2.
consiste en parábolas simétricas al eje y,
La familia que está dada por (9.12) con F(x, y, e) = y - cx2,
con su vértice en el origen. Derivando implícitamente la ecuación dada con respecto a x, obtenemos
d}/
dy
=
2y
c = ylx2; por lo tanto
dx = 2cx. Para eliminar e, observamos , de la ecuación dada , que
dx x
Aquí
f(x, y) = 2ylx,
de modo que (9 . 15) se convierte en
dy _ -x
dx y
La solución de esta ecuación separable es
o x dx + 2y d y = 0
X2 + y2 = k.
Estas trayectorias ortogonales son elipses . Algunos miembros de esta familia , junto con algunos miembros de la familia original de parábolas , se muestran en la Fig . 9-8. Nótese que cada elipse intersecta
cada parábola en ángulo recto.
9.20. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = cx.
9.12). Derivando implícitamente la ecuación dada con respecto a
Aquí F(x, y, e) = x2 + y2 - cx en (
ex = 0, encontramos
x, obtenemos 2x + 2y dz = e. Eliminando c entre esta ecuación y x2 -+ y2 -dy _ 2 - x2
dx 2xy
Aquí f (X, y) = (y2 - x2)l2xy, entonces ( 9.15) se convierte en
dy _ 2x,
dx
x2 - !/
ver Problema 5.4) dá las trayectorias ortogonales como
Esta ecuación es homogénea y su solución (
x2 + y2 = ky.
Problemas suplementarios
9.21. Un cuerpo a ana temperatura de 0°F se coloca en un cuarto cuya temperatura se mantiene a 100°F. Si
después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 25 F , encontrar (a) el tiempo requerido por el
cuerpo para llegar a una temperatura de 50 ° F y (b) la temperatura del cuerpo después de 20 minutos.
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Fig. 9-7
y2+zx2=2
y2 + 1x2 = 1
y2 + 1x2 =
Fig. 9-S
53
54 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [CAP. 9
9.22. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante de
0° F. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es 40° F y después de 40 minutos la
temperatura del cuerpo es de 20 ° F, hallar la temperatura inicial de éste.
9.23. Un cuerpo a una temperatura de 50°F se pone en un horno cuya temperatura se mantiene a 150°F. Si
después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 75° F, halle el tiempo requerido por el cuerpo
para llegar a una temperatura de 100°F.
9.24. Se sabe que un material radioactivo se desintegra a una rata proporcional a la cantidad presente. Si
inicialmente hay 100 miligramos de material presente y si después de dos años se observa que el 57%%
de la masa original se ha desintegrado, hallar (a) una expresión para la masa en un momento t y (b) el
tiempo necesario para que se haya desintegrado el 101%'(" de la masa original.
9.25. Se sabe que un material radioactivo se desintegra a una rata proporcional a la cantidad presente. Si
después de una hora se observa que el 1070 del material se ha desintegrado, hallar la vida media del
material.( Sugerencia. Llame la masa inicial del material N,. No es necesario conocer No explícitamente).
9.26. Se sabe que la población de un estado crece a una rata proporcional al número de habitantes que viven
actualemente en el estado. Si después de 10 años la población se ha triplicado y después de 20 años la
población es de 150000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el estado.
9.27. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta de una altura de 1000 pies sin velocidad inicial. El cuerpo
encuentra una resistencia del aire porporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 320
pies/segundo, encontrar (a) una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t, (b) una
expresión para la posición del cuerpo en un momento t y (c) el tiempo que necesita el cuerpo para
alcanzar la velocidad de 160 pies/segundo.
9.28. Un cuerpo de masa m se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial v0. El cuerpo no
encuentra resistencia del aire. Hallar (a) la ecuación del movimiento en el sistema coordenado de la Fig.
9-6, (b) una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t, (c) el momento t,,, en el cual
llega el cuerpo a su altura máxima, (d) una expresión para la posición del cuerpo en un momento t, y
(e) la altura máxima alcanzada por el cuerpo.
9.29. Un cuerpo de masa 1 slug se suelta con una velocidad inicial de 1 pie/seg. y encuentra una fuerza
debida a la resistencia del aire dada exactamente por -8v2. Hallar la velocidad para cualquier momento
t.
9.30. Un tanque contiene inicialmente 10 gal de agua pura. Para t = 0, una solución salina que contiene 1
lb de sal por galón se agrega en el tanque a una rata de 2 gal/minuto, mientras que una solución bien
mezclada sale del tanque a la misma rata. Hallar (a) la cantidad y (b) la concentración de sal en el
tanque en cualquier momento t.
9.31. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con s de lb de sal por galón. Para t =
0, otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega en el tanque a una rata de 4 gal/min,
mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a una rata de 8 gal/minuto. Hallar la cantidad
de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal de solución .
9.32. Un circuito RC tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 10 ohmios, una capacitancia de 10-2
faradios y una carga inicial de 5 culombios en el condensador. Hallar (a) la corriente transitoria y (b) la
corriente en condiciones estables.
9.33. Un circuito RL que no tiene fuente fem, tiene una corriente inicial dada por Io. Hallar la corriente en
cualquier momento t.
9.34. Un circuito RL tiene una fem dada (en voltios) por 4 sen t, una resistencia de 100 ohmios, una
inductancia de 4 henrios y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente en cualquier momento t.
9.35. La corriente en condiciones estables de un circuito es 5 sen t - cos t. Transformar esta corriente
en la forma A sen (t - 0).
[Suge9.36. Transformar la corriente en condiciones estables del Problema 9.17 en la forma A cos (2t + o).
x
sen
y.]
sen
x
cos
(x
+
y)
=
cos
y
rencia : Utilice la identidad cos
CAP. 9] APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 55
9.37. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x2 - y2 = c2.
9.38. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
y = ce=.
9.39. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x" - y2 = cx.
Respuestas a los problemas suplementarios
9.21.
T = -100e- 0.0291 + 100;
(a) 23.9 min, (b) 440 F
9.22. T = 80e-0 .0351. T. = 800 F
9.23. T = -100e-0.0291 + 150; t100 = 23.9 min
9.24.
(a) N= 100e- 0.026t
9.25.
N = N0e-0.10sr;
9.26.
N = 16,620e0.11t;
9.27.
(a) v = -320e-0.i t + 320
9.28.
(b) 4.05 yr
t112 = 6.6 hr
N0 = 16,620
(b) x = 3200e-0.1t + 320t - 3200 ( c) 6.9 seg.
(a) dt g (e) t,, = 9 (e) xm = 29
(b) v = -gt + v0 (d) x = - gt2 + v0t
9.29.
2+v = 3e32t
2-v
o v = 2(3e32 1 - 1)/(3e3" t + 1)
9.30. (a ) Q = -5e-0.2t + 5
(b) Q = 2(-e-0.2t + 1)
9.31. Q = - 40 (20 - t)2 + 4(20 - t); a
(Note que
t = 10, Q = 22.5 lb
a = 80(1/8) = 10 lb.)
9.32. (a ) - 29 e- 10t
(b) 0 amp
9.33. 1 = 10e-(R/L)t
9.34. 1 = 626 (e-251 + 25 sen t - cos t)
9.35. A = 234 = arctan 3
9.36. A = 8
irs9.37.
xy = k
9.38.
y2 = -2x + k
9.39.
x2y + y3 = k
= arctan 2
1
Ca pí tulo 10
Ecuaciones diferenciales lineales
Observaciones generales
10.1 DEFINICIONES. TEOREMA DE LA SOLUCION UNICA
Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma
b„(x)y<n' + b„-,(x)y'n-,> + • • • + bo(x)y" + bo(x)y' + bo(x)y = g(x) (10.1)
x.
donde g(x) y los coeficientes b;(x) (j = 0, 1, 2, . . . , n) dependen únicamente de la variable
En otras palabras, ellos no dependen de y ni de ninguna derivada de y.
Teorema 10.1. Considere el problema de valor inicial dado por la ecuación diferencial lineal
(10.1) y las n condiciones iniciales
cn-, (10.2)
y(xo) = co, y'( xo) = e,, y "( x0) = C2, ..., y(n-1)(xo ) =
Si g(x) y b;(x) (j = 0, 1, 2, ... , n ) son continuos en algún intervalo ,1 que
contiene xo y si bn(x) + 0 en ,1 , entonces el problema de valor inicial dado
por (10. 1) y (10. 2) tiene una solución única ( solamente una) definida para J.
(Ver Problemas 10.4-10.6).
(10.1)
Cuando las condiciones de b„(x ) l en el Teorema 10.1 son válidas, podemos dividir
por bn ( x) para obtener
y(n) + an-,y'n-„ + ... + a2(x)y" + al(x) y' + ao (x)y = ^(x)
(10.3)
j(x) = g(x)/bn(x).
donde a,(x) = b;(x )/bn(x) (j = 0, 1, ..., n-1)
Ejemplo 10 . 1. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma
o, si b2 (x) 0,
b,(x)y" + bi(x)y' + bo(x)y = g(x)
(10.4)
y" + al(x)y' + ao(x)y = O(x)
(10.5)
se dice que son
Si sb(x) = 0 [o g(x ) = 0], entonces (10.3) y (10.5) [o (10.1) y ( 10.4 )]
homogéneas . Si no se cumple , son no homogéneas . (Ver Problema 10.2).
) y (10 .4)] son
Si todos los coeficientes a;(x) [o b;(x)] en (10:3) y (10. 5) [o (10.1
. Si cualquiera
constantes , se dice que las ecuaciones diferenciales tienen coeficientes constantes
(Ver
coeficientes
variables.
de los coeficientes no es constante, la ecuación diferencial tiene
Problema 10.3).
10.2 EL OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL
Definamos el operador diferencial L(y) como
56
CAP. 10] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
: OBSERVACIONES GENERALES
L(y)
= y"" + a ,, -1(x)y",~') + ... +
a2(x)y"
+
ai(x)y'
+ ao(x)y
57
( 1 0.6)
donde a,(x) (i 0, 1,2, ...,n-1)
es continuo en algún intervalo de interés . Entonces (10.3)
puede escribirse como
L(y) = <p(x)
(10.7)
y, en particular, una ecuación diferencial lineal homogénea puede expresarse como
L(y) = 0
(10.8)
Teorema 10 .2. El operador L(y) es lineal; es decir,
L(c,y, + c2y2) = c1L(y1 ) + c2L(y2) (10.9)
donde c1 y c2 son constantes arbitrarias y y, y y2
son funciones arbitrarias
derivables n-veces.
(Ver Problema 10.7).
Teorema 10.3. (Principio de superposición ). Si y,
Y ,Y2 son dos soluciones de L(y ) = 0, entonces c1y, + c2y2 es también una solución de L(y ) =
0 para cualesquiera dos
constantes c1 y c2.
(Ver Problema 10.8).
Problemas resueltos
10.1. Establezca el orden y si la ecuación es lineal o no:
(a) 2x y" + x2y' - (senx)y = 2
(c) y" -y = 0
(b) yy"' -- .Y•y' + y = x- (d) 3y' + xy = e-r2
(a) Segundo orden . Aquí b2(x) = 2x, b,(x) = x2, b0 (x) senx,
y g(x) = 2. Como ninguno de
estos términos depende de y ni de ninguna derivada de y,
la ecuación diferencial es lineal.
(b) Tercer orden.
Como b. = y, que si depende de y, la ecuación diferencial no es
lineal.
(c) Segundo orden , Aquí b.>(x) = 1, b,(x) = 0, b0(x) = 1, y g( x) = 0.
Ninguno de estos términos
depende de y ni de ninguna derivada de y; por lo tanto la ecuación diferencial es lineal.
(d) Primer orden . Aquí b,(x) = 3, b0(x) = x, y g (x) = e-'2;
entonces la ecuación diferencial es
lineal. (Ver también Capítulo 8).
10.2. Cuáles de las ecuaciones diferenciales dadas en el problema 10.1 son homogéneas?
(a) no es homogénea , puesto que o(x) = 1/x - 0; ( c) es homogénea puesto que
O(x)
homogénea puesto que <p(x) = -je-'2 0.
0; (d) no es
10.3. Cuáles de las ecuaciones lineales dadas en el Problema 10.1 tienen coeficientes constantes?
Unicamente (c) tiene coeficientes constantes , puesto que únicamente en esta ecuación todos los coeficientes son constantes.
58 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES : OBSERVACIONES GENERALES
[CAP. 10
10.4. Aplique el Teorema 10.1 a los problemas de valor inicial de segundo orden.
Teorema :
Considere el problema de valor inicial
b.>(x)y" + b1 (x)y' + bo(x)y = g(x); y(x0) = CO,
y'(xo) = c1 (1)
que contenga xo, y si b,>(x) ' 0 en
Si g(x ), b.,(x), b1(x), y bo( x) son continuas en algún intervalo <)
1)
tiene
una
única
solución
definida para ).
,), entonces el problema de valor inicial (
10.5. El problema de valor inicial y' = 2 x/T; y(0) = 0 tiene las dos soluciones y = xixj y
y = 0. Van estas soluciones en contra del Teorema 10.1 ?
y1, que depende de y; por lo tanto la ecuación diferencial no es lineal y el Teorema
No. Aquí 0 = 2^ll10.1 no se aplica. (Ver también Problema 3.6).
10.6. Determine todas las soluciones del problema de valor inicial
y" + exy' + (x + 1) y = 0;
y(1) = 0, y'(1) = 0.
10.1; entonces,
Aquí b2(x) = 1, b1(x) = ez, bo(x) = x + 1, y g( x) = 0 satisfacen la hipótesis del Teorema
la solución del problema de valor inicial es única . Por inspección , y = 0 es una solución . Se sigue que
y = 0 es la única solución.
10.7. Demuestre el Teorema 10.2 para una ecuación diferencial lineal de segundo orden.
De (10.5) y (10. 6), L(Y) = y " + a1(x)y' + ao(x)y. Entonces
L(c1yl + c2y2 ) _
( cly1 + C2y2 )" + a1(x)(clyl + C2y2 )' + a0(x)(cjy1 + C2y2)
clyt + c2y2 + a1 ( x)clyi + a1 ( x)c2ys + ao(x)cly1 + ao (x)c2y2
= cl[y' + al(x)yi + ao (x)y1] + c2[y2 + a1(x)y2 + ao(x)y2]
c1 L(y1 ) + c2L(y2)
10.8. Demuestre el Teorema 10.3.
Supongamos que y1 y Y2 son dos soluciones de L(y ) = 0; es decir L(y1) = 0
(10.9) nos da
L(y2) = 0 . Entonces
L(c1y1 + c2y2) = c1L(y1) + c2L(y2) = cl(0) + c2(0) - 0
Por lo tanto, cly1 + c2y2 es también una solución de L(y) = 0.
Problemas suplementarios
En los Problemas 10.9 a 10. 16, halle el orden de las ecuaciones diferenciales dadas y determine si las
ecuaciones son lineales . Para aquellas ecuaciones que sean lineales , también determine si son homogéneas y/o
tienen coeficientes constantes.
10.9.
y" + xy' + 2y = 0.
10.10.
y"' - y = X.
CAP. 101 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: OBSERVACIONES GENERALES 59
10.11.
y'- 5y = 0
10.12.
y(4)+x2y "'+xy"-e'y'+2y = x2+x+1.
10.13.
y " + 2xy' + y = 4xy2.
10.14 .
y'-2y = xy.
10.15.
y" + yy' = x22.
10.16.
y - t (x2 - 1)y" - 2y' + y = 5 senx.
10.17 .
E l problema de valor inicial y' - x y = 0;
y(0) = 0 tiene dos soluciones y = 0 y y = x22. Por qué
este resultado no va en contra del Teorema 10.1?
10.18. Puede aplicarse el Teorema 10.1 al problema de valor inicial y' - 2 y = 0: y(1) = 3?
x
10.19. El problema de valor inicial xy' 2y
0: y(0) = 0 tiene dos soluciones y = 0 y y = x2. Por qué estos
resultados no van en contra del Teorema 10.1?
Respuestas a los problemas suplementarios
10.9. segundo orden, lineal , homogénea, de coeficientes variables
10.10. tercer orden, lineal, no homogénea, de coeficientes constantes
10.11. primer orden, lineal, homogéneas con coeficientes constantes
10.12. cuarto orden, lineal , no homogénea, con coeficientes variables
10.13. segundo orden, no lineal
10.14. (Transfórmese en y' - (2 + x)y = 0.)
primer orden, lineal , homogénea, de coeficientes variables
10.15. segundo orden, no lineal
10.16. tercer orden, lineal , no homogénea, de coeficientes variables
10.17. El Teorema 10.1 no se aplica puesto que a o( x )
2
no es continuo alrededor de xo=0.
10.18 .. Sí; a0(x) es continuo alrededor de xo = 1.
10.19. El Teorema 10.1 no se aplica puesto que b1(x) es cero en el origen.
Capítu lo 11
Ecuaciones diferenciales lineales
Teoría de las soluciones
11.1 DEPENDENCIA LINEAL
Un conjunto de funciones {yl(x), Y2(X), ..., y„(x)} es linealmente dependiente en
a x ¿ b si existen constantes cl, C2, ... , c,,, no todas cero, tales que
cly1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x) = 0 (11.1)
en a::!:5^ x'b.
Ejemplo 11 .1. El conjunto {x, 5x, 1, sen x} es linealmente dependiente en [-1,11 puesto que existen
constantes cl = -5, c2 = 1, c3 = 0, y c4 = 0, no todas cero , tales que satisfacen ( 11.1). En particular,
-5•x + 1.5x + 0.1 + 0•senx -- 0
Note que cl = C2 = • • • = c„ = 0 es un conjunto de constantes que siempre satisfacen
(11.1). Un conjunto de funciones es linealmente dependiente si existe otro conjunto de
constantes, no todas cero, que también satisfacen (11.1).
11.2 INDEPENDENCIA LINEAL
Un conjunto de funciones ( y1(x),y2 ( x), ..., y„(x)} es linealmente independiente en
a ^- x b si no es linealmente dependiente en el mismo intervalo ; es decir, si las únicas
constantes que satisfacen ( 11.1) para a x b son Cl = C2 = = c,, = 0. (Ver Problemas 11 .1-11.4).
11.3 SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES . EL WRONSKIANO
tiene siempre n
Teorema 11 . 1. La ecuación diferencial lineal homogénea de orden n,.L(y) = 0
soluciones linealmente independientes . Si y1(x), y2(x), ... , y„(x) representa estas
soluciones , entonces la solución general de L(y) = 0 es
y(x) = ciyt ( x) + c2y 2(x) + • - - + c„y„(x) ( 11.2)
donde cl, C2, • • •, C„ denotan constantes arbitrarias.
Ejemplo 11 . 2. Dos soluciones de y" + 4y = 0 son y1(x) = sen 2x y y_(.r) = cos 2x. Como estas soluciones son
linealmente independientes (ver Ejemplo 11.4), la solución general es
y(x) = cl sen2x + c., cos 2x
El Teorema 11.1 aclara la importancia de poder establecer si un-conjunto de soluciones
L(y) = 0 es o no linealmente independiente. Esta condición no puede establecerse por lo general
60
CAP. 11] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORIA DE LAS SOLUCIONES
61
directamente de (11.1);
no siempre pueden ensayarse todos los valores posibles de las constantes. Afortunadamente existe un método alterno.
Definición: Hagamos que {z1(x),z2(x), . . •,zn(x)}
sea un conjunto de funciones en a x
b, cada una de las cuales tiene n - 1 derivadas. El determinante
z1 z2 ...
z
W(z1, z2, ... , zn) =
Z 11
z,
z_
z...
z„
n
z"
(11.3)
zn1) z(n-1) z(1,-11
1
2
,r
se llama el Wronskiano del conjunto dado de funciones.
Ejemplo 11 . 3. El Wronskiano del conjunto {x, x2, x3} es
W(x, x2, x3)
x
x'-
x3
d(x)
dx
d(x2)
dx
d(x3)
dx
d2(x)
dx2
d2(x2)
d2(X3)
(1x2
(1x22
x x2
x3
1 2x
3x-
0 2
6x
= 2x3
El ejemplo muestra que el Wronskiano es en general una función no constante.
Teorema 11 . 2. Hagamos que {yl (x), y2(x), ...,
yn(x)} sea un conjunto de n soluciones para la
ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, L(y) = 0.
Este conjunto es
linealmente independiente en a x b si, y solamente si, el Wronskiano del
conjunto no es idénticamente igual a cero en dicho intervalo.
Ejemplo 11.4. Las dos soluciones y1(x) = sen 2x y y2(x) = cos 2x
independientes para todos los valores de x, puesto que
de
y" + 4y
son linealmente
sen2x cos 2x
W(sen2x, cos 2x) =
d(sen2x ) d(cos 2x)
dx dx
sen 2x cos 2x
= -2 0
2 cos 2x - 2 sen2x
Advertencia: (1)
Recuérdese que según la Sección 10.2 los coeficientes de L(y) deben ser
continuos en el intervalo en consideración, el cual según el Teorema 11.2 es [a, b]. Si esas
condiciones de continuidad no se satisfacen, el Teorema es falso (ver Problema 11.7). (2) El
Teorema 11.2 no se aplica para un conjunto arbitrario
de funciones. Unicamente puede usarse
para verificar la independencia lineal cuando las funciones en consideración son todas
62 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORIA DE LAS SOLUCIONES [CAP. 11
soluciones de la misma ecuación L(y) = 0. (Ver Problemas 11.4-11.6). Para funciones
arbitrarias, debe verificarse la dependencia o independencia lineales según sea que satisfagan o
no a (11.1). (Ver Problemas 11.1 - 11.4).
Ahora considérese la ecuación diferencial lineal general (no homogénea) L(y) - q4(x). Hagamos
cualquiera (Sección 2.2) de esta ecuación y que y,,
que yp represente una solución particular
represente la solución general
(llamada en adelante la solución homogénea o complementaria )
de la ecuación homogénea asociada L(y) = 0 (Ver Teorema 11.1). Entonces
Teorema 11 .3. La solución general de L(y) = q>(x) es
y = y,, +
y,,
(11.4)
Ejemplo 11.5. Considere la ecuación diferencial y" + 4y e. Una solución particular es y„ = 4x ( ver Capítulo
14). La solución general de la ecuación homogénea asociada y" + 4y = 0, es y,, = e, sen2x + e2 cos 2x (ver
Ejemplo 11 . 2). La solución general de la ecuación diferencial dada es, por lo tanto
y c, sen 2.^ c> cos 2x + 4 x
Problemas resueltos
11.1. Determine si el conjunto {er, e--r; es linealmente dependiente en el intervalo (--, °).
Considere la ecuación
e,ez
+
c,e-.r
-
0
(1)
que satisfagan (1 ).
Debemos determinar si existen valores de c, y c„ uno de los dos diferente de cero ,
_e
=
-c,e_r
o
Transformando ( 1), tenemos c
e,
-
-cie2.r
(2)
Para cualquier valor de c, diferente de cero, el lado izquierdo de (2) es una constante mientras que el
solución de
lado derecho no lo es; por lo tanto , la igualdad en (2) no es válida . Se deduce que la única
el conjunto no es linealmente dependiente; más aún,
(2) y por lo tanto de (1 ), es e, -- e_ = 0. Entonces ,
es linealmente independiente.
11.2. Es linealmente dependiente el conjunto {x x, 1} en (—e, :,-)?
Considere la ecuación
c1I2
+
c,x
+
c3
=
0
(1)
c•, = 0, el conjunto
Como esta ecuación es válida para todos los valores de x únicamente si e, = e ., =
dado es linealmente independiente. Nótese que si cualquiera de las constantes e no fuera cero, la
ecuación cuadrática ( 1) podría ser válida como máximo para dos valores de x, las raíces de la ecuación,
y no para todos los valores de x.
11.3. Determine si el conjunto {1 - x, 1 + x, 1 - 3x} es linealmente dependiente en el intervalo
(-c, 00).
Considere la ecuación
cl(1-x)+c2(1+x)+c3(1-3x) = 0 (1)
CAP. 11] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORIA DE LAS SOLUCIONES 63
que puede reordenarse como
(-el + c2 - 3c.{)x + (c1 + c2 + c3) = 0
Esta ecuación lineal se satisface para todos los valores de x únicamente si ambos coeficientes son cero.
Entonces
-el + C2 - 3c3 = 0
y Cl+C2+C3 = 0
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente , encontramos que c, = -2c3r c2 = c3, con c3 arbitrario.
Escogiendo c.; = 1 (cualquier otro número diferente de cero serviría ), obtenemos cl = -2, e2 = 1, y
c3 = 1 como un conjunto de constantes , no todas cero , que satisfacen ( 1 ). Entonces , el conjunto dado
de funciones es linealmente dependiente.
11.4. Determine si el conjunto {x3, x31} es linealmente dependiente en el intervalo [-1, 1].
Considere la ecuación
el-C3 + C2Ix3^ = 0 (1)
Recuerde que Ix31 = x3 si x ' 0, y jx3 ¡ = -x3 si x < 0. Entonces , cuando x 0 (1) se convierte en
C1x3 + c.2x3
0
(2)
mientras que cuando x < 0, (1) se convierte en
clxa
-
c.,x3
=
0
(3)
Resolviendo ( 2) y (3) simultáneamente para el y c2, encontramos que la única solución es Cl = e2 = 0.
El conjunto dado es, por lo tanto , linealmente independiente.
11.5. Hallar W(x3, x3) en [-1, 1].
Tenemos
1X31
=
3x2 Si x > 0
x3 si x^l: 0
d( x3
dx
-x3 si x < 0
Entonces, para x > 0, W(x3, x3) _
x3 x3
0
3x2 3x2
Para x < 0, W(x3, x3) _
x3 -x3
0
3x2 -3x2
Para x = 0, W(x3, x3) _
0 si x = 0
-3x2 si x < 0
0 0
0 0
= 0
Entonces W(x3, x) = 0 en [-1,1].
11.6. Contradicen los resultados de los Problemas 11.4 y 11.5 el Teorema 11.2?
No. Puesto que el Wronskiano de dos funciones linealmente independientes es idénticamente cero, se
deduce del Teorema 11 . 2, que estas dos funciones x3 y ;x3' , no son ambas soluciones de la misma
ecuación diferencial lineal homogénea de la forma L(y) = 0. (Ver Observación ( 2) que sigue al Ejemplo
11.4).
11.7. Dos soluciones de y" - 2 y = 0 en el intervalo [-1, 1] son y = x3 y y = Ix3J.
x
este resultado la solución del problema 11.6?
Contradice
64 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORIA DE LAS SOLUCIONES [CAP. 11
No. Aunque
W(x3, x3) ° 0 y tanto
y = x3 como
y = ¡x3
son soluciones linealmente indepen-
y" - 2 y' = 0, esta ecuación diferencial
x
no es de la forma L(y) = 0. (El coeficiente - 2/x, es discontinuo para x = 0. Ver Observación (1)
que sigue al Ejemplo 11.4).
dientes de la misma ecuación diferencial lineal homogénea
11.8. Puede demostrarse por sustitución directa que tanto ex como e-x son soluciones de la
ecuación diferencial y" - y = 0. Demuestre que esas funciones son linealmente
independientes.
T enemos
ex e-x
W(ex, e-x) =
ex -e-x
= -2 $ 0
= ex(-e-x) - e-x (ex)
Como el Wronakiano no es idénticamente cero y las dos funciones son ambas soluciones de la misma
ecuación diferencial de la forma L(y) = 0, se deduce del Teorema 11.2 que las funciones son linealmente independientes.
Ver Problema 11.1 para otro método de solución.
11.9. Halle la solución general de y" - y = 0.
Del Problema 11.8, ex y e-x son dos soluciones linealmente independientes de y" - y = 0. Utilizando
el Teorema 11.1, obtenemos la solución general y = c,ex + c2e-x.
11.10. Halle la solución general de y" - y = 2 sen x, si se sabe que una solución particular es
yp = -senx.
Del Problema 11.9, la solución general de la ecuación homogénea asociada y" - y = 0 es
yh = clex + c2e-x: Ahora se deduce del Teorema 11.3 que la solución general para la ecuación diferencial
dada es
y = yh + yp
= clex + c2e-x - senx
11.11 . Dos soluciones de y" - 2y' + y = 0 son ( ver Capítulo 12.) e' y 5e-x. Es y = cle-x +
e25e-x la solución general?
e-z 5e-x
Calculamos
W(e-x, 5e-x) =
= 0
-e-' -5e-x
Por lo tanto, las funciones e-x y 5e-x son linealmente dependientes (ver Teorema 11.2) y concluimos
por el Teorema 11.1, que y = eje-x + c;5e-x no es la solución general.
11.12. Halle la solución general de y" - 2y' +y = x2, Si una de las soluciones es (ver Capítulo
14) y = x2 + 4x + 6, y dos soluciones de y" - 2y' + y = 0 son (ver Capítulo 12) ex y
xex.
ex xex
Debido a que
W(ex, xex) =
e2z
EPÉ
0
ex ex + xex
se deduce del Teorema 11.2 que ex y xex son linealmente independientes en (-oc, oc ). Tenemos, por
lo tanto, por el Teorema 11.1 que la solución general de y" - 2y' + y = 0 es
yh
= clex + c2xex
CAP. 11] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES : TEORIA DE
LAS SOLUCIONES
65
Dado que yp = x2 + 4x + 6, se deduce
del Teorema 11.3 que
y
= clex + c2xex + x2 + 4x + 6
11.13. Demostrar el Teorema 11.3.
Como L(yh) = 0 y L(yp) _ o( x), se deduce por el hecho de que L es lineal, que
L(y) = L(Yh + y„)
= L(yh) + L(y„) = 0 + o(x) = o(x)
Entonces , y es una solución.
Para demostrar que es la solución general , debemos mostrar que cualquier solución de
L(Y) = ¢(x) es de
la forma (11.4).
Supongamos que y es una solución de L(y) = o(x) y hagamos z = y - yp. Entonces
L(z) = L(y - yp) = L(Y) - L(yl,)
= o(x) - $(x) = 0
de tal manera que z es una solución de la ecuación homogénea L(Y) = 0. Como z = y - y,, se deduce
que y = z + y,, donde z es una solución de L(Y) = 0.
Problemas suplementarios
En los Problemas 11.14 a 11.18,
determine si el conjunto de funciones dadas son linealmente dependientes en
el intervalo (-m, x).
11.18 .
{x+1, x2+x, 2x2-x-3}.
11.19. Halle el Wronskiano de (a)
{x2, x};
(b) {senx, 2 cos x, 3 senx + cos x}; (c) {ex, e-x, e2x}.
11.20 . Halle la solución general de y" + y = x2,
si una solución es y = X2 -2,y Si dos soluciones de y" + y =
0 sonsen x ycos x.
11.21 .
Halle la solución general de
y" - y = 0 son ex y 3e7.
11.22.
Halle la solución general de y"' - y" - y + 1 = 5,
si una solución es y = -4, y si tres soluciones de
y"' - y" - y + 1 = 0 son ex, e-x y xex.
y" - y = x2,
si una solución es
y = -x2 - 2, y si dos soluciones de
Respuestas a los problemas suplementarios
11.14 .
independiente
11.15.
independiente
66 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES : TEORIA DE LAS SOLUCIONES
11.16.
dependiente ; c1 = -2, c2 = 7, e3 = 1
11.17.
independiente
[CAP. 11
11.18 . dependiente ; cl = 3, e2 _ -2, c3 = 1
11.19.
(a) -x2; (b) 0; (c) -6e22
11.20 .
y
= c1 senx + c2 cos x -r x2 - 2
11.21. Como ex y 3ex son linealmente dependientes ,
general.
11.22 .
y = clez + c2e-x + c3xe= - 4
no hay suficiente información para encontrar la solución
Ca pí tulo 12
Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas de segundo orden con
coeficientes constantes
12.1 LA ECUACION CARACTERISTICA
Correspondiente a la ecuación diferencial
y"+a,y'+aoy = 0 (12.1)
en la cual a, y ao son constantes, es la ecuación algebraica
;^2 + a1,1 +
ao
=
0
(12.2)
que se obtiene de (12.1), reemplazando y", y', y y
por k2 ^k, y ko = 1, respectivamente. La
ecuación (12.2) se llama la ecuación característica
de (12.1).
Ejemplo 12 . 1. La ecuación característica de y" + 3y' - 4y = 0 es X2 + 3a 4 = 0; la ecuación característica de
y"-2y'+y = 0 es r2-2a+1 = 0.
La ecuación característica puede descomponerse en factores de la forma
(A - k1)(Á - A2) = 0
(12.3)
12.2 SOLUCION EN TERMINOS DE LAS RAICES CARACTERISTICAS
La solución de (12.1) se obtiene directamente de las raíces de
(12.3). Se pueden
considerar tres casos.
Caso 1. al y k 2 son ambas reales y diferentes
. Dos soluciones linealmente independientes
son eXIx y eX2x, y la solución general es (Teorema 11.1)
y = cie,t'x + c2ex2x (12.4)
(Ver Problemas 12.1-12.3). En el caso especial de a2 = -,k,, la solución (12.4) puede
escribirse como
y = k, cosh Á,x + k2senh A1x
Donde k1 = c1 + c2 y k2 = Cl - C2, y hemos utilizado las identidades
cosh A1x =
-(ex1x + e - xix) senh X1x = .1>( exix - e-nix)
( Ver Problema 12.3).
67
(12.5)
68 ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 12
Caso 2. k, = a + ib, un número complejo . Como a, y a„ en (12.1) y (12.2) se
supone que son reales , las raíces de (12.2) deben aparecer en pares conjugados; entonDos soluciones linealmente independientes son
ces, la otra raíz es k2 = a - ib.
e(a+ib)x y e(a-ib)x, y la solución compleja general es
y = d,era +ih)x + d2e(a -ih)x
Usando las relaciones de Euler
eibx
= cos bx + i sen bx
e -ibx = cos bx - i sen bx
podemos escribir la solución como
y =
dieaxeibx + d2eaxe -tbx
=
eax (dleibx
+
d 2e-ibx)
eax[d,(cos bx + i sen bx) + d2(cos bx - i sen bx)]
ea=[(d, + d2) cos bx + i(di - d2) sen bx]
Si definimos c, = d, + d2 y C2 = i(di - d2) como dos nuevas constantes arbitrarias,
podemos dar la solución general como
y = c,eax cos bx + c2eax sen bx
(12.6)
La ecuación (12.6) es real si, y solamente si, c, y c2 son ambas reales, lo que ocurre si, y
solamente si, d, y d2 son complejos conjugados. Como estamos interesados en la
solución general real para (12.1), limitamos d, y d2 a que sean un par conjugado. (Ver
Problemas 12.4-12.6).
Caso 3. a, = k2. Dos soluciones linealmente independientes son
solución general es
e11,x y xexIx, y la
y = cieX,x + c2xexlx (12.7)
(Ver Problemas 12.7 y 12.8).
Advertencia : Las soluciones dadas arriba no son válidas si la ecuación diferencial no es lineal o
no tiene coeficientes constantes . Considere por ejemplo la ecuación y" - x2y = 0. Las raíces
de la ecuación característica son k, = x y X2 = -x, pero la solución no es
)
y = c,e(x ) ' + C2e(-x x = c,ex2 + C2e-x2
Las ecuaciones lineales con coeficientes variables se consideran en los Capítulos 18 a 21.
Problemas resueltos
12.1. Resolver
y" - y' - 2y = 0.
La ecuación característica es X2- X-2 = 0, que puede descomponerse en factores en
(X + 1)(X - 2) = 0. Como las raíces x1=-1 y >2=2 son reales y diferentes , la solución está dada
por (12.4) como
y = c1e- x + c2e2x
12.2. Resolver y" - 7y' = 0.
La ecuación característica es >,2 - 7X = 0, que puede descomponerse en factores en
- 0) (X - 7) = 0. Como las raíces xi = 0 y X2 = 7 son reales y diferentes , la solución está dada por
(12.4) como
y = cleox + c2e7x = Cl + c2e7x
CAP. 12 ]
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES 69
12.3. Resolver
y" - 5y = 0.
La ecuación característica es >,2 5 = 0, que puede descomponerse en factores en (X - -) (a +
V) = 0. Como las raíces X1 = ií5 Y X2 = --Vrs- son reales y diferentes , la solución está dada por
(12.4) como
y = eje
o por ( 12.5) como
y
12.4. Resolver
= kl cosh \ x + k2 senh 15 x
y" + 4y' + 5y = 0.
La ecuación característica es X2 + 4X + 5 = 0, cuyas raíces son- X1 = -2 + i y X2=-2-i. La
solución está dada por ( 12.6) como
y = eje-2x cos x + c2e- 2x senx
12.5. Resolver y" + 4y = 0.
La ecuación característica es X2 + 4 = 0, cuyas raíces son X1 = 2i y X2 = - 2i. La solución está dada
por (12. 6) como
y = el cos 2x + c2 sen 2x
Nótese que las partes reales de estas raíces complejas son iguales a cero.
12.6. Resolver y_' - 3y' + 4y = 0.
La ecuación característica es X2 - 3X + 4 = 0, cuyas raíces son
y
3
.7
L2
La solución está dada por (12. 6) como
y
J17
= cle(312)x cos
J7
x+ c2e(312 ) x sen 2 x
2
12.7. Resolver
y" + 4y' + 4y = 0.
La ecuación característica es X2 + 4x + 4 = 0, cuyas raíces son X1 = X2 = -2 .
por (12. 7) como
La solución está dada
y cle- 2x + e2xe-2x
12.8. Resolver y" = 0.
La ecuación característica es X2 = 0, cuyas raíces son NI = X2 = 0. La solución está dada por (12.7)
como
y = cle°x + c2xe °x = Cl + c2x
70 ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 12
Problemas suplementarios
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
12.9.
y" -y = 0.
12.14.
y," - 7y = 0.
12.10 .
y" - y' - 30y = 0.
12.15.
y"+ 6y' 9y =
0.
12.11 .
y" - 2y' + y =
12.16.
y" + 2y' + 3y =
0.
12.12 .
y" + y = 0.
12.17.
y"-3y'-5y = 0.
12.13 .
y" + 2y' + 2y = 0.
12.18 .
y"+y'+ .y = 0.
0.
Respuestas a los problemas suplementarios
12.9.
y = clex + c2e-x
12.15.
y = cle - 3x + c2xe-3x
12.10 .
y = cle-Sx + C2e6x
12.16 .
y = cle-x cos V' x + c2e-x sen -^f2-x
12.11.
y = clex + c2xex
12.17 .
y = cle[c 3+
12.12.
y = cl cos x + c2 sen x
12.13 .
Y
12.14 .
y = ele"x + c2e- %r7x
= ele-x cos x + c2e-x sen x
z9) /21x
= e(3/2)x f k 1 cos
12.18 .
y =
+ c2e1 c3- z9 >/2)x
h 2 99
x + k 2 sen h
cle-(1/2 ) x + c2xe - ci/2)x
\
9 x)
Capítul o 13
Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas de orden n con
coeficientes constantes
13.1 LA ECUACION CARACTERISTICA
Un método para resolver una ecuación de orden n es una ampliación directa del método
dado en el capítulo anterior para resolver una ecuación de segundo orden.
La ecuación diferencial en consideración es
y(n) + a„-,y<n-n + ... + a,y' + aoy = 0
(13.1)
donde a; (j = 0, 1, ..., n-1) es una constante. La ecuación característica asociada con (13.1) es
(13.2)
An + an-1An-1 + ... + a1A + ao = 0
Esta se obtiene de (13.1), reemplazando yW" por A' (j = 0, 1, ..., n).
Ejemplo 13.1. La ecuación característica del y(4) - 3y"' + 2y" - y = 0 es
X4 - 3x3 + 2x2 - 1 = 0.
13.2 SOLUCION EN TERMINOS DE LAS RAICES CARACTERISTICAS
Las raíces de la ecuación característica determinan nuevamente la solución de (13.1). Si
las raíces Al, Az, ..., X. son todas reales y diferentes, la solución es
y = c,eXIx + C2e^,2x + ... + cne''
(13.3)
Si las raíces son diferentes, pero algunas de ellas son complejas, entonces la solución está dada
de nuevo por (13.3). Una vez más, aquellos términos que envuelven exponenciales complejos,
pueden combinarse para llevar a términos que contengan senos y cosenos. Si Ak es una raiz de
multiplicidad p (es decir, Si (X - Ak)p es un factor de la ecuación característica, pero (A - Ak)p+'
no lo es) entonces habrá p soluciones linealmenteindependientes asociadas con Ak dadas por
exkX, xexkx, x2ekk=, ..., xp-le>Ik2. Estas soluciones se combinan en la forma usual con las soluciones asociadas con las otras raíces para obtener la solución completa. (Ver Problemas
13.6-13.9).
En teoría es siempre posible descomponer en factores la ecuación característica pero, en
la práctica, esto puede ser sumamente difícil, especialmente para ecuaciones diferenciales de
orden más alto. En tales casos se usan por lo general técnicas numéricas para encontrar las
raíces aproximadas o se desarrolla otro método de solución. Ver Capítulos 32-35.
Problemas resueltos
13.1. Resolver
y"' - 6y" + 11y' - 6y = 0.
La ecuación característica es x3 - W + 11x - 6 = 0, que puede descomponerse en factores en
71
72 ECUACIONES DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 13
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
Las raíces son x1 = 1, x2 = 2, y xc1 = 3; por lo tanto la solución es
y = caer + c„e2T + e.;e3x
13.2. Resolver y(4) - 9y" + 20y = 0.
La ecuación característica es x4 - 9x2 + 20 = 0, que puede descomponerse en factores en
(x - 2)(x + 2)(x - ^)(X + ^) = 0
Las raíces son x1 = 2, x2 = -2, x3 = V,5-, y x4 = -\; por lo tanto
, la solución es
y = c1e2x + c2e-2x + c3e ✓ s= + e4e 5x
= k1 cosh 2x + k2senh 2x + k3 cosh í x + k4senh Vg x
13.3. Resolver y' - 5y = 0.
La ecuación característica es x - 5 = 0, que tiene como única raiz x1 = 5. La solución es, entonces,
y = c1esx. ( Compare este resultado con el del Problema 8.5. Los dos métodos son equivalentes para
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de primer orden con coeficientes constantes).
13.4. Resolver
y"' - 6y" + 2y' + 36y = 0.
La ecuación característica , x3 - 6x2 + 2x + 36 = 0, tiene como raíces x1 = -2, x2 = 4 + i y'2, y
x3 = 4 - i f . La solución es
y = c1e-2x + d2e(4+i' )x .+ d8ec4-tC2)x
que puede escribirse , usando las relaciones de Euler (ver Sección 12.2), como
y = cle-2x + c2e4x cos Vr2x + cae4x sen^,r2-x
13.5. Resolver yc4) - 4y"' + 7y" - 4y' + 6y = 0.
La ecuacion característica
x4 - 4x3 + 7x2 - 4x + 6 = 0,
2 - i/, x3 = i, Y x4 = - i. La solución es
y = d1e(2+tV2)x + d2e(2 -iV)x +
tiene como raíces
d3e¡x
x1 = 2 + i -Ir2, X 2 =
+ d4e -ix
Si, usando las relaciones de Euler combinamos los dos primeros términos y después combinamos en
forma similar los últimos dos términos , podemos transformar la solución en
y = c1e2x cos V-2 x + c2e2x
sen x + c3 cos x + c4 sen x
13.6. Resolver y(41 + 8y" + 24y" + 32y' + 16y = 0.
La ecuación característica x4 + 8x3 + 24x22 + 32x + 16 = 0, puede factorizarse en (x + 2)4 = 0. Aquí
x1 = -2 es una raíz de multiplicidad cuatro ; por lo tanto la solución es
y = c1e-2x + c2xe-2x + c3x2e-2x + c4x3e-2x
13.7. Resolver ycs) - y(4) - 2y"' + 2y" + y' - y = 0.
La ecuación característica puede descomponerse en factores en (x - 1)3(x + 1)2 T 0; por lo tanto x1 = 1
es una raíz de multiplicidad tres y x2 = -1 es una raíz de multiplicidad dos. La solución es
y = clex + e2xe-x + c3x2ex + c4e-x + csxe-x
CAP. 13]
ECUACIONES DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES
13.8. Resolver
73
y(4) - 8y"' + 32y" - 64y' + 64y = 0.
La ecuación característica tiene como raíces 2 -- i2 y 2 -t i2; por lo tanto x) = 2 + i2 Y a2=2-i2
son ambas raíces de multiplicidad dos. La solución es
y =
d1e(2+í2)r
+ d9xe(2+i2)x +
e2r(dlei2r + d.3e-i2..)
d3e(2-i2)r + d4xe( 2-i2)r
+ xe2r(d7et2x + d4e-i2x)
e22x(c) cos 2x + c2 sen2x ) + xe2r(c2 cos 2x + c4 sen2x)
(c1 + c2x)e2x cos 2x + (e3 + C4x) e2x sen2x
13.9. Resolver y(s) - 5y(4) + 16y"' + 36y" - 16y' - 32y = 0.
Las raíces de la ecuación característica son 2 -t i2,-2,-2, 1, y -1. Todas las raíces son diferentes con
excepción de la raíz X3 = -2, cuya multiplicidad es dos. La solución es
y = C1e2r cos 2x + C2e2r sen2x + Cae-2x + C4xe-2r + c5ex + che-x
Problemas suplementarios
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
13.10 .
y"'-2y"-y'+2y = 0.
13.15.
13.11.
ylit -y"-y'+y = 0.
13.16 . y(4)+2y"-2y'-y = 0.
13.12.
y"-3y"+3y'-y = 0.
13.17 .
y(4) - 4y" + 16y' + 32y = 0.
13.13.
y"'-y"+y'-y = O.
13.18.
y(4) + 5y"' = 0.
13.14. y(4) + 2y" + y = 0.
y(4) - y = 0.
13.19 . y(4)+2y"'+3y"+ 2y' + y = 0.
Respuestas a los problemas suplementarios
13.10.
y = ele-x + ele= + c3e2x
13.11.
y = clex + c2xex + cae-x
13.12.
y = clex + c2xex + e3x2ex
13.13 .
y = clex + e2 cos x + e3 senx
13.14 .
y =
13.15.
y = c1 ex + c2e-x + c3 cos x + e4 senx
13.16.
y = e1ex + e2e-x + c3xe-x + c4x2e-x
13.17.
y
(e1 + c2x ) cos x + (C3 + c4x) senx
= ele-2x + c3xe-2x + c3e2x cos 2x + c4e2r sen 2x
13.18. y = Cl + c2x + c3x2 + c4e-5x
13.19 .
y = (cl + c3x)e-(1/2) 2 cos 2 x 4 (e2 + c4x) e-(1/2 ) x sen 2 x
Capítulo 14
El método de los coeficientes
indeterminados
La solución general de la ecuación diferencial lineal
L(y) _ 4(x) (Ver Sección 10.2)
está dada por el Teorema 11.3 como y = y,, +y, En los Capítulos 12 y 13 se dan métodos
para obtener y,z cuando la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes. En este Capítulo y
en el siguiente, daremos métodos para obtener yp cuando y,, es conocido.
El método de los coeficientes indeterminados se inicia ensayando la forma de y, hasta
llegara constantes multiplicativas arbitrarias. Estas constantes arbitrarias se calculan luego sustituyendo la solución propuesta en la ecuación diferencial dada e igualando los coeficientes de los
términos semejantes.
14.1 FORMA SIMPLE DEL METODO
Se asume que el y,, buscado puede expresarse como una suma de aquellos términos que
forman O(x) y todas las derivadas de j(x) (haciendo caso omiso de las constantes multiplicativas).
Caso 1 : O(x) = pn( x), un polinomio en x de grado n. Suponga una solución de la forma
y„ = Anxn + A„-,xn-' + • • • + A,x + Ao
(14.1)
donde At (j = 0, 1, 2, ..., n) es una constante que debe determinarse . (Ver Problema
14.1).
Caso 2 : ¢(x) = e"=pn(x), donde a es una constante conocida y pn(x) es como en el
Caso 1. Suponga una solución de la forma
yn =
e"=(A
xn
+An-lxn -'+ . . .
+A l x
+Ao
)
(14.2)
donde A; es como en el Caso 1. (Ver Problemas 14.2 y 14.4).
Caso 3 : «x) = e"rpn(x) sen ¡3x, donde a y ¡3 son constantes conocidas y pn(x) es como en el Caso 1. Suponga una solución de la forma
y„ =
e"= sin ¡3x (Anxn + .. • + Alx + A0) + e"= cos ¡3x (B„xn + • • + Blx + BO) (14.3)
donde A; y B; (j = 0, 1, ... , n) son constantes que todavía están por determinar. (Ver
Problema 14.3).
Caso 4 : <p(x) = e"xpn(x) cos ¡3x, donde a, ¡3, y pn( x) son como en el Caso 3. Suponga la solución de la misma forma de (14.3).
14.2 MODIFICACIONES
Si cualquier término de la solución asumida, haciendo caso omiso de las constantes
multiplicativas, es también un término de yn (la solución homogénea), entonces la solución
74
CAP. 14] EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
75
asumida debe modificarse multiplicándola por xm, donde m es el menor entero positivo tal que
el producto de xm por la solución asumida no tenga términos en común con yh. (Ver Problemas 14.5 y 14.6).
Ejemplo 14 . 1. Considere una ecuación diferencial con y,, = clx + c„ y O(x) = 9x2 + 2x - 1. Como ¢( x) es un
polinomio de segundo grado (Ver Caso 1 arriba ) primero ensayamos yp = A2X2 + A,x + A0. Nótese sin
embargo que esta solución asumida tiene términos en común con y, haciendo caso omiso de las constantes
multiplicativas , en particular el término de primer grado y el término constante . Por lo tanto debemos
determinar el menor entero positivo m tal que x"(A2x2 + A,x + A.) no tenga términos en común con y,,.
Para m = 1, obtenemos
x(A.,x2 + A,x + Ap) = A2x3 + A,x2 + A„x
que todavía tiene un término de primer grado en común con Yh. Para m = 2, obtenemos
x2(A,x2 +A1x+Ao) = A2X4 + Alx3 + Aox2
que no tiene términos en común con yh; por lo tanto , asumimos una expresión de esta forma para yp.
14.3 GENERALIZACIONES
Si ¢(x) es la suma (o diferencia) de términos ya considerados, entonces tomamos y, tal
que sea la suma (o diferencia) de las soluciones asumidas correspondientes y combinamos
algebraicamente las constantes arbitrarias donde sea posible. (Ver Problemas 14.7-14.9).
Ejemplo 14.2. Considere O(x) = (x - 1) sen x + (x + 1) cos x.
dada por ( 14.3) (con a = 0) como
(A1x+A„ )senx +
Una solución asumida para (x-1)senx está
(B,x+Bo) cosx
y una solución asumida para (x + 1) cos x está dada por (14. 3) también, como
(C,x+C0 ) senx + (D1x+D„) cosx
( Nótese que hemos usado C y D en la última expresión , puesto que las constantes A y B ya se han usado).
Tomamos por lo tanto
y, = (A,x + AD) sen x + (B,x + Bo) cos x + (Clx + Co) senx + (D1x + Do) cos x
Combinando términos semejantes , llegamos a
yp
= (E1x + Eo) senx + (F,x + F„) cos x
como la solución supuesta , donde Ei = Aj + C; y F j= B; + Dj (j = 0, 1).
14.4 LIMITACIONES DEL METODO
En general, si O(x) no es uno de los tipos de funciones considerados arriba, o si la
ecuación diferencial no tiene coeficientes constantes, entonces debe preferirse el método dado
en el Capítulo 15.
Problemas resueltos
14.1. Resolver y"-y'-2y = 4x2.
Del Problema 12.1, y,, = c,e-= + c2e2z. Aquí ¢(x) - 4x2, un polinomio de segundo grado . Usando
(14.1) suponemos que
76 EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
[CAP. 14
yp = A2x2 + Alx + Ao (1)
Entonces yr, = 2A2x+Al y y„ = 2A2. Substituyendo estos resultados en la ecuación diferencial tenemos
2A, - (2A2x+A1) - 2(A2x2+A1x+A0) = 4x2
o su equivalente
-2A2x2 + (-2A2 - 2A1)x + (2A2 - A l - 2A0) = 4X2+(O)X+0
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos
-2A2 = 4 -2A2 - 2A1 = 0 2A2 - Al - 2Ao = 0
Resolviendo este sistema encontramos que A2 = -2, Al = 2, y Ao = -3. Entonces (1) se convierte en
yp = -2x2 + 2x - 3
y la solución general es
y = yh + yp = ele-x + c2e2x - 2x2 + 2x - 3
14.2. Resolver y" - y' - 2y = e3x.
Del Problema 12.1, Yh = cle-x + c2e2x. Aquí o(x) = eaxp„(x), donde
nomio de grado cero . Utilizando ( 14.2), asumimos que
yp =
Entonces
tenemos
yy = 3Aoe3x
y yp = 9Aoe3x.
a = 3 y p„ (x) = 1,
ADe3x
un poli-
(1)
Substituyendo estos resultados en la ecuación diferencial
9A oe3z - 3A oesx - 2A pe3x = e3s o 4A oe3x = e3x
Se deduce que 4A0 = 1, Ao = j, así que (1) se convierte en y, = le3x. La solución general entonces es
y = cle-x + c2e2x + 4 e3x
14.3. Resolver
y" - y' - 2y = sen 2x.
De nuevo por el Problema 12.1, Yh = cle-x + c2e2x. Aquí O(x) = eaxp,( x) sen /3x, donde a = 0, /3 = 2,
y p„(x) = 1. Utilizando (14.3), asumimos que
yp
= A. sen2x + Bo
cos
Entonces y' = 2A 0 cos 2x - 2Bo sen2x
y y, = -4Aa sen2x - 4Bo cos 2x.
resultados en la ecuación diferencial tenemos
2x
(1)
Reemplazando estos
(-4Aa sen 2x - 4Bo cos 2x) - (2Ao cos 2x - 2Bo sen 2x ) - 2(A0 sen 2x + B. cos 2x) = sen 2x
o su equivalente
(-6A0 + 2Bo) sen 2x + (-6Bo - 2A 0) cos 2x = (1) sin 2x + (0) cos 2x
Igualando los coeficientes de los términos semejantes , obtenemos
-6Aa + 2Ba = 1 -2Ao - 6Bo = 0
Resolviendo este sistema encontramos que Ao = -3/20 y B0 = 1/20. Entonces de (1)
yp
= - 20 sen
2x + 20 cos 2x
y la solución general es
y
= cle-x + c2e2x - 230 sen2x + 20 cos 2x
CAP. 14]
EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
77
14.4. Resolver y` - 6y" + 11y' - 6y = 2xe-x.
Del Problema 13.1, Yh = clex + c2e2x + c3e3x. Aquí O(x) = eaxp„ ( x), donde a = -1 y p„ (x) = 2x, un
polinomio de primer grado. Utilizando ( 14.2) asumimos , que y, = e-x(A 1x + A0), o
yp = A1xe-x + Aoe-x
Entonces
(1)
yp
-A1xe-x + Ale-x - Aoe-x
y P"
A1xe-x - 2A1e-x + Aoe-x
yP' = -Alxe-x + 3Ale-x - Aoe-x
Reemplazando estos resultados en la ecuación diferencial y simplificando obtenemos
-24A,xe--x + (26A1 - 24Ao)e-x = 2xe- x + (0)e-x
Igualando los coeficientes de los términos semejantes tenemos
-24A1 = 2 26A, - 24A 0= 0
de donde Al = -1/12 Ao = -13/144.
La ecuación ( 1) se convierte en
1 xe -x - 13 e _
12 144
y la solución general es
13
y = cien + c2e2x + c3e3x - 12 xe x- 4
e-x
14.5. Resolver
y" = 9x2 + 2x - 1.
La solución de y" = 0 es yh = c1x + co, que tiene términos en común conO(x). Entonces asumimos que
(ver ejemplo 14.1)
yp = A2X4 + A,x3 + Aox2
(1)
Reemplazando ( 1) en la ecuación diferencial obtenemos
12A,x2 + 6A1x + 2Ao = 9x2 + 2x - 1
de donde
A, = 314, Al = 1/3 Y Ao = -1/ 2. Entonces ( 1) se convierte en
yp = 4x4 + 3x3 - 2x2
y la solución general es
y = c,x + CO + 4x4 + 3x3 - 2x2
La solución puede obtenerse también simplemente integrando dos veces ambos miembros de la ecuación diferencial con respecto a x.
14.6. Resolver y' - 5y = 2e51.
Del Problema 13.3, y,= c,esx. Como O(x) = 2eOx, se deduciría de (14.2) que el tanteo para yp debería
por lo tanto
ser yz,=Apesx . Nótese sinembargo que éste yp tiene exactamente la misma forma de yh;
(Ver Sección 14.2) debemos modificar y,,. Multiplicando yp por x (m = 1), obtenemos
yp
=
Aaxesx
(1)
Como esta expresión no tiene términos en común con yh , es una posible solución particular . Substituyendo (1) y y, = Aoe5x + 5Aoxe5z en la ecuación diferencial y simplificando , obtenemos Aoe5r = 2e5x,
+ 2x)e5x.
de donde Ao = 2. La ecuación ( 1) se convierte en yp = 2xe5x, y la solución general es y = (c1
78 EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS [CAP. 14
14.7. Resolver y' - 5y = (x -1) sen x + (x + 1) cos x.
Del problema 13.3, yh = c1e5r. Utilizando el Ejemplo 14.2 suponemos que
yp = (E1x + E0) sen x + (F1x + Fa) cos x
Entonces
(1)
yp = (E1 - F1x - Fo ) sen x + (E1x + Eo + F1) cos x
Reemplazando estos valores en la ecuación diferencial y simplificando obtenemos
(-5E1 - FI) x senx + (-5Eo + El - Fo) sen x
+ (-5F1 + E1)x cosx + (-5Fa + Eo + F1) cos x
= (1)x senx - ( 1) senx + (1)x cos x + (1) cos x
Igualando los coeficientes de los términos semejantes tenemos
-5E1 - F1 = 1
-5Eo + E, - Fo = -1
El - 5F1 = 1
- 5Fo + F1 = 1
Ea
Resolviendo obtenemos
El = -2/13, Eo = 71/338, F1 = -3/13, y Fo = -69/338. Entonces de (1)
_ 3 senx
_ 69 l
+ ( 13x 338/ cosx
13x + 338)
yp
y la solución general es
y =
14.8. Resolver
clesx + (13
x x + 338)sen
F3 1 + 38) cos
(3
x
y' - 5y = 3ex - 2x + 1.
Del Problema 13.3, Yh = c1eSx. Aquí, podemos escribir O(x) como la suma de dos funciones utilizables p(x) = (3ex) + (- 2x + 1). Para el término 3ex debemos suponer una solución de la forma
Aoex
(por (14. 2) con a = 1 y p„ (x) = 3); para el término -2x + 1
debemos suponer una solución de la
forma B1x + Bo. Entonces ensayamos
yp = Aoex + B1x + Bo
(1)
Reemplazando (1) en la ecuación diferencial y simplificando , obtenemos
(-4Ao)ex + (-5B1)x + (B1 - 5Bo) = (3)ex + (-2)x + (1)
Igualando los coeficientes de los términos semejantes , encontramos que A. = -3/4, B1 = 2/5,
y
Bo = -3/25.
Por lo tanto ( 1) se convierte en
yp =
3
-3 4 ex + 5 2 x - 25
y la solución general es
y
= clesx _
4
ex + 2 x 3
5 25
14.9. Resolver y' - 5y = x2ex - xe5i.
Del Problema 13.3, yy1i c1e5z.
Aquí ¢(x) = x2ex - xe5x,
que es la diferencia de dos términos
cada uno en forma utilizable. Para x2ex debemos suponer una solución de la forma
ex(A2x2 + A1x + Ao)
Para xeOt debemos ensayar inicialmente una solución de la forma
e5i(Blx + BO) = B1xe5X + Boe5x
(1)
79
CAP. 14] EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Pero esta supuesta solución tendría , haciendo caso omiso de las constantes multiplicativas , el término
esx en común con y,,. Nos lleva entonces a la expresión modificada
xes=(Blx + B°) = esx(Blx2 +
B°x)
(2)
Ahora tomamos y, como la diferencia de (1) y (2):
yp = ex(A2x2 + A,x + A 0) - esx(B1x2 + B°x)
Sustituyendo ( 3) en la ecuación diferencial y simplificando obtenemos
ex[(-4A2)x2 + (2A2 - 4A 1)x + (A 1 - 4A0)] + esx[(-2B1)x - B°]
= ex[(1)x2 + ( 0)x + (0)] + e5i[(-1)x + (0)]
Igualando los coeficientes de los términos semejantes obtenemos
-4A2 = 1 2A2 - 4A1 = 0 Al - 4A° = 0
-2B, = -1 -B° = 0
= 1 = - 1
A2 - 4 Al `4 ° 32
de donde
B1 = 2 B° = 0
La ecuación (3) entonces da
yp
= ex
C
- 12 x2es
- 4x2
1 - ix
8 x - 32 J
y la solución general es
y =
cle5x + ex \- 4x2 - 8 x - 32 - 1 x2e5x
Problemas suplementarios
Halle las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.
14.15.
y' - y = ex.
= 3e2r.
14.16.
y' - y = xe2i+1.
= 4 cos x.
14.17.
Y' - y
14.18.
y` -3y"+ 3y'-y = ex+1.
14.10.
y" - 2y' + y = x2-1.
14.11.
y" - 2y' + y
14.12.
y" - 2y' + y
14.13.
y" - 2y' + y = 3ex.
14.14.
y" - 2y' + y = xex.
= sen x + cos 2x.
Respuestas a los problemas suplementarios
14.10.
y
= clex + c2xex + x2 + 4x + 5
14.11.
y = clex + c2xex + 3e2x
(3)
80 EL METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
14.12.
y
14.13.
y = clez + c2xex + 2 x2ex
14.14 .
y
= clex + c2xex + 6 x3ex
14.15.
y
=
= clex + C2xex - 2 sen x
clex + xex
14.16.
y
14.17.
y = clex - 2 senx - 1 cos x
[CAP. 14
= clez + xe2i - e2x - 1
+ 5 &en 2x - 5 cos 2x
14.18.
y =
clex + c2xex + c3x2ex + 6 x3ex - 1
Capítu lo 15
Variación de parámetros
La variación de parámetros es un método alternativo, más general que el del Capítulo
14, para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial lineal de orden n
L(y) = $(x) (15.1)
una vez que se conoce la solución de la ecuación homogénea asociada L(y) = 0. Recuerde del
Teorema 11.1 que si y1 (x), y2(x), ..., yn(x) son n soluciones linealmente independientes de
L(y) = 0, entonces la solución general de L(y) = 0 es
ye = ciy1(x) + c2y2(x) + + CnYn(X) (15.2)
15.1 VARIACION DE PARAMETROS
Una solución particular de L(y) = ¢(x) tiene la forma
yp = viyi + v2y2 + • • + Vnyn (15.3)
donde y; = y,(x) (i = 1, 2, ... , n) se da en (15.2) y vl (i = 1, 2, ... , n) es una función desconocidade x que debe ser determinada.
Para encontrar vt, resuelva primero las siguientes ecuaciones lineales simultáneamente
para ví :
vlyI + v2y2 + ... + Vn
=
0
víyí + v2y2 +- ... + vñyñ = 0
(15.1)
v1 (n-2) + vI (n-2) + .. . + v'y(n-2) = 0
1
2y2
n
n
Vi
fn-I ) + . .. + vñy(nn-1)
(n-1) + vr
y
ly 1 2 2
_ 'p(x)
Después integramos cada ví para obtener vi, olvidando todas las constantes de integración.
Esto es permisible porque estamos buscando solamente una solución particular.
Ejemplo 15 .1. Para el caso especial n = 3 las ecuaciones (15.4) se reducen a
v1y1 + v2y2 + v3y3 =
0
viyi + v2y2 + v3y3 =
0
(15.5)
vly1 + v2y2 + v3y3 = O(x)
Para el caso n = 2las ecuaciones ( 15.4) se convierten en
viyi + v2y2 = 0
viyi + v2y2 = O(x)
81
15.6)
82 VARIACION DE PARAMETROS
[CAP. 15
y para el caso n = 1 obtenemos la ecuación única
vi?fi =
o(x)
(15.7)
Las primeras n-1 ecuaciones de (15.4) resultan de buscar que las primeras
n-1
derivadas de y,,, (15.3) y y,,, (15.2) sean las mismas (con la de v reemplazando la de e).
Entonces la última ecuación de (15.4) es un resultado directo de satisfacer L(yp) _ ^(x).
Como y1(x), yz(x), ..., yn(x) son n soluciones linealmente independientes de la misma
ecuación L(y) = 0, su Wronskiano no es cero (Teorema 11.2). Esto significa que el sistema
(15.4) tiene un determinante diferente de cero y puede resolverse únicamente para v' (x), v'(x),
v^'(x).
15.2 ALCANCE DEL METODO
El método de variación de parámetros puede aplicarse para todas las ecuaciones diferenciales lineales. Es por lo tanto más eficaz que el método de los coeficientes indeterminados
que generalmente está restringido a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y formas particulares de c(x). Sin embargo en aquellos casos donde ambos métodos son
aplicables, el método de los coeficientes indeterminados es usualmente el más eficiente y por lo
tanto el preferible. (Ver Problema 15.3).
Como un hecho práctico , la integración de v.'(.x) puede ser imposible de realizar. En tal
caso deben emplearse otros métodos ( en particular métodos numéricos).
Problemas resueltos
15.1. Resolver
y"'+ y' = sec x.
Aquí n = 3 y yi, = c1 + c_ cos x + c3 sen x; por lo tanto
?1p =
vi + v., cos x +
Como y1 = 1, Y._, = cos x, y., = senx , y ,o(x) = sec x ,
v3 sen x
(1)
se deduce de (15.5) que
v,(1) + v(cos x) + v.3(sen x) = 0
v¿(0) + v.,(- senx ) + v3(cos x) = 0
v,(0) + v.>(- cos x) + v3(- senx) = sec x
Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos
- tan x.
Entonces
J
v,
=
vz
= f v _i dx = f dx = -x
f ví dx
v3 = f
v3 dx
=
=
J
sec x dx
- tan x dx
ví = sec x, vz
= In sec x + tan x'
=
-nx dx
f cos x
=
In ;cos xi
Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos
y„ = In sec x + tan x¡ - x cos x + ( sen x ) In jcos x1
y v3 =
83
CAP. 151 VARIACION DE PARÁMETROS
La solución general es por lo tanto
y = yh + yp
15.2. Resolver
=
Cl + c2 cos x + c3 sen x + In Isec x + tan x1
- x cos x + (senx ) In ¡cos x1
y" - 2y' + y = ex
x
En este caso n = 2 y Yh = ciex + c2xex; por lo tanto
yp = vlex + v2xex
(1)
Como yl = ex, Y2 = xex, y O(x) = ex/x, se deduce de (15.6) que
v'(ex) + v2(xex) = 0
v1(ex) + v2(ex + xex) = x
Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos vi = -1 y v2 = 1/x. Entonces,
= f vi dx = f -1 dx = -x
VI
v2 = f v2 dx = f 1 dx
x
= ln lx1
Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos
yp = -xex + xex In IxI
La solución general es por lo tanto
y = Yh + yp
= clex + c2xex - xex + xex InIx1
= elex + c3xex + xex In x1 (e3 = e2 - 1)
15.3. Resolver
y" - y' - 2y = e3x.
Aquí n = 2 y Yh = cle-x + c2e2x ; por lo tanto
yp = vle -x + v2e2x
(1)
Como yl = e-x, Y2 = e2x, y O(x) = e3x, se deduce de (15.6) que
v'(e -x) + v2( e2x)
vi(-e -x) +
= 0
v2( 2e 2x) = e3x
Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos vi = -e4x/3
donde vi = -e4x/12 y v2 = ex/3. Sustituyendo estos resultados en (1 ) obtenemos
yp
=
y v2 = ex/3, de
1 e4xe-x + 1 exe2x = 1 e3x + 1 e3x = 1 e3x
12
3
12
3
4
La solución general es por lo tanto
y = cle-x + c2e2x + e3x
(Compárese con el Problema 14.2.)
15.4. Resolver
y' + 4 y = x4.
x
Aquí n = 1 y (del Capítulo 8)
Yh = elx-4;
por lo tanto
yp
=
vlx-4
(1)
84
VARIACION DE PARÁMETROS
[CAP. 15
Como yi = x-4 y O(x) = x4, (15. 7) se convierte en vix - 4 = x4, de donde obtenemos vi = x8 y
vi = x9/9. La ecuación ( 1) se convierte ahora en yp = x5/9, y la solución general es por lo tanto
y =
Cix-4 + 9x5
(Compárese con el Problema 8.3).
15.5. Resuelva yi4) = 5x por variación de parámetros.
Aquí n = 4 y yh = Cl +C2x + C3x2 + C4x3; por lo tanto
yp
(1)
= Vi + V2X + V3X2 + V4X3
Como yi = 1, Y2 = x, y3 = X2, y4 = x3, y O( x) = 5x, se deduce de ( 15.4) con n = 4 que
vi(1) + VI(x) + v3(x2) + V41 (X3) = 0
vi(0) + v2(1) + v3(2x) + v4'(3x2) = 0
vi(0) + v2(0) + v3(2) + v4 (6x) = 0
v'(0) + v'(0) + v3(0) + v'(6) = 5x
Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente obtenemos
entonces
v4 =
5 2
12x
Ahora de (1),
yp = - 1x5 + 5 x4(x) - 5 x3(x2) + 5 x2(x3) = 1 xs
6
8
6
12
24
y la solución general es
Yh
= C1 + C2x +
C3X2 +
C4 X3
+ 2 4x5
La solución también puede obtenerse simplemente integrando a ambos lados de la ecuación diferencial
cuatro veces con respecto a x.
Problemas suplementarios
Usese la variación de parámetros para encontrar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.
15.6.
y"_2y'+y = x5.
15.9.
y'-1y = x2.
15.7.
y"+y = see x.
15.10 .
y' + 2xy = x.
15.8.
y" + 4y = sen2 2x.
15.11.
y` = 12.
CAP. 15] VARIACION DE PARÁMETROS
85
Respuestas a los problemas suplementarios
15.6.
y
= clex + c2xex +
x-3ex
15.7.
y
=
15.8.
y
= cl cos 2x + c2 sen 2x +
12
Cl cos x + c2 sen x + (cos x) In Icos xj + x senx
cose 2x - 12 coso 2x + 12 seno 2x
cl cos 2x + c2 sen 2x + cose 2x + 12 sen2 2x
donde hemos usado la identidad
12 (seno 2x - cosa 2x ) =
15.9.
y = clx + 2x3
15.11.
y
= el + c2x + c3x2 + 2x3
2 (sen2 2x - cose 2x)(sen22x + cose 2x)
1
12 (sen2 2x - cose 2x)
Capítulo 16
Problemas de valor inicial
Vimos en el Capítulo 2 (Problemas 2.5 y 2.6) que puede resolverse un problema de
valor inicial aplicando las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación diferencial.
Debe hacerse énfasis en que las condiciones iniciales se aplican únicamente a la solución general
y no a la solución homogénea yh, a pesar de que es Yh la que posee todas las constantes
arbitrarias que deben calcularse. La única excepción es cuando la solución general es la solución homogénea; es decir, cuando la ecuación diferencial en consideración es de por sí homogénea.
Problemas resueltos
16.1. Resolver
y" - y' - 2y = 4x2; y(0) = 1, y'(0) = 4.
La solución general de la ecuación diferencial se dá en el Problema 14.1 como
y = cle-x+c2e2x-2x2+2x-3
(1)
y' = -cle-= + 2c2e2x - 4x + 2
(2)
Por lo tanto
Aplicando la primera condición inicial en (1) obtenemos
cle-(o) + c2e2(° ) - 2(0)2 + 2 (0) - 3 = 1 o
el + e., = 4 (3)
Aplicando la segunda condición inicial en (2) obtenemos
-cle-(°) + 2c2e2(0 ) - 4(0) + 2 = 4
o
-el + 2c2 = 2 (4)
Resolviendo ( 3) y (4) simultáneamente encontramos cl = 2 y c2 = 2. Sustituyendo estos valores en(1)
obtenemos la solución del problema de valor inicial como
y = 2e-x+2e2x-2x2+2x-3
16.2. Resolver
y" - 2y' + y = x -; y(1) = 0, y'(1) = 1.
La solución general de la ecuación diferencial se dá en el Problema 15,2 como
y = clex + c3xex + xex In Ix1
Por lo tanto
y' =
(1)
clex + c3ex + c3xex + ex In x1 + xex In IxI +
ex
(2)
Aplicando la primera condición inicial en (1) obtenemos
clel + e3 (1)el + (1)e' In 1 = 0
o (teniendo en cuenta que In 1 = 0),
cle
86
+
cae
=
0
(3)
CAP. 16] VARIACION DE PARÁMETROS
87
Aplicando la segunda condición inicial en ( 2) obtenemos
eje' + c3e' + ca(1)el + el In 1 + (1)e' In 1 + el = 1
o
eje
+
2c1e
=
1
-
e
(4)
Resolviendo ( 3) y (4) simultáneamente encontramos que c, = - e3 = (e - 1 )/ e. Sustituyendo estos
valores en ( 1) obtenemos la solución del Problema de valor inicial como
y = ex-' (e - 1)(1 - x) + xex In x1
16.3. Resolver
y" + 4y' + 8y = sen x; y(0) = 1, y'(0) = 0.
Aquí yh = e-2i(ej cos 2x + e2 sen2x ), y por el método de los coeficientes indeterminados
_ 7 4
senx - 65 cos x
yP _ 65
Entonces , la solución general de la ecuación diferencial es
y
= e-2x( el cos 2x + c2 sen 2x) + 55 sen x - 65 cos x
(1)
Por lo tanto
y'
= -2e-2x( cl cos2x + e2 sen2x) + e-2x(-2cj sen 2x + 2c2 cos2x) + 65 cos x + fi5 sen x
Aplicando la primera condición inicial en (1) obtenemos
69
el 65
(3)
Aplicando la segunda condición inicial en (2) obtenemos
-2cj + 2e2 = - 7
65
(4)
Resolviendo (3) y (4) simultáneamente , encontramos que el = 69/65 y e2 = 131/130. Substituyendo
estos valores en (1) obtenemos la solución del Problema de valor inicial como
131
y = e-2x 65 cos 2x + 1 30 sen2x
16.4. Resolver
)
+ 55 senx - fi5 cos x
y` - 6y" + 11y' - 6y = 0; y(ir) = 0, y'(ir) = 0, y"(7r) = 1.
Del Problema 13.1, tenemos
yh
= clex + c2e2x + e3e3x
yk'; = ejex + 2e2e2z + 3c3e3x
(1)
yh = cjex + 4c2e2x + 9c3e3z
Como la ecuación diferencial dada es homogénea , Yh es también la solución general. Aplicando cada
condición inicial por separado obtenemos
eje" + e2e2 " + c3e3' = 0
cle" + 2e2e2 " + 3c3e3" = 0
ele" + 4c2e2 " + 9e3e3" = 1
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente , encontramos
cj = 2 e-" e2 = -e-2" e3 = 2 e-a"
Substituyendo estos valores en la primera ecuación (1) tenemos
y = 2 e(x-1r) - e2(x-v)
e3cx-")
+ 2
88 VARIACION DE PARÁMETROS [CAP. 16
Problemas suplementarios
Resuelva los siguientes problemas de valor inicial.
y" - y' - 2y = e3x;
y(0) = 1, y'(0) = 2.
16.6. y " - y' - 2y = e3x;
y(0) = 2, y'(0) = 1.
16.5.
16.7.
y" - y' - 2y = 0;
16.8.
y " - y' - 2y =
16.9.
y" + y = x;
16.10 .
y" + 4y = sen2 2x;
16.11.
y" + y = 0;
e3.r;
y(0) = 2, y'(0) = 1.
y(1) = 2, y'(1) = 1.
y(1) = 0, y'(1) = 1.
y(r) = 0, y'(-) = 0.
y(2) = 0, y'(2) = 0.
16.12 . y` = 12; y(1) = 0, y'(1) = 0, y"(1) = 0.
16.13.
V + 2y + 2y = sen 2t + cos 2t; y(0) = 0, y(0) = 1.
Respuestas a los problemas suplementarios
= 12 e-x + 3e2x _+ ;e3x
16.5.
y
16.6.
y = 12 e-x + 3 e2x + 1 e3x
16.7.
u =
e-x + e2x
16.8.
y
(1 +
=
12 )
1
e3 e-(x -1) +
- 3 e3)
c2(x -1)
+ e3x
\
16.9.
y =
- cos 1 cos x - sen 1 sen x + x
16.10 .
y = - 6 cos 2x + 4 cose 2x - 12 cosa 2x + 2 sen; 2x
= - cos (x - 1) + x
16.11. y = 0
16.12 .
y = -2 + 6x - 6x2 + 2x3
16.13 . y = e-( p
i cost+Ll
10 sent J + 10 sen 2t - io cos2t
Cap ítulo 11
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales lineales de segundo
orden con coeficientes constantes
Considere un sistema físico cuyas pequeñas oscilaciones están regidas por la ecuación
diferencial lineal
Y+ a,x + aox = f (t)
(17.1)
Aquí la función f (t) y las constantes a, y ao son conocidas y x y x representan las cantidades
d2x/dt2 y dx/dt, respectivamente. Dos de tales sistemas son un resorte simple cargado, (ver
Problema 17.1) y un circuito eléctrico simple. (Ver Problema 17.10).
Si f (t) = 0 y a, = 0, el movimiento es libre y no amortiguado . Si f (t) es idéntico a cero
pero a, no es cero el movimiento es libre y amortiguado . Para el movimiento amortiguado
debemos considerar tres casos separados, según que las raíces de la ecuación característica
asociada (ver Capítulo 12) sean (1) reales y diferentes (2) iguales o (3) complejas conjugadas.
Estos casos se clasifican respectivamente como (1) sobreamortiguados ( 2) amortiguados en
punto crítico y (3) amortiguado oscilatorio (o en problemas eléctricos subamortiguado. (Ver
Problemas 17.4 y 17.7). Si f(t) no es idénticamente cero, el movimiento es forzado. (Ver los
Problemas 17.8 y 17.9).
Un movimiento o corriente es transitorio si éste "muere" (es decir si tiende a cero) cuando
Un movimiento o corriente en condiciones estables es el que no es transitorio y no se
t
transforma en ilimitado. Los sistemas libres amortiguados siempre producen movimientos transitorios, mientras que los sistemas amortiguados forzados (asumiendo que la fuerza externa sea
sinusoidal) producen tanto movimientos transitorios como de-condiciones estables.
En los problemas de este capítulo se necesitan las tres leyes de física siguientes:
Segunda ley de Newton (ver Página 37).
Ley del anillo de Kirchhoff: La suma algebraica de las caídas de voltaje en un circuito eléctrico
cerrado simple es cero.
La ley de Hooke: F = -kl, donde F representa la fuerza de reposición en un resorte, que es
igual y opuesta a la fuerza aplicada al resorte; 1 es la extensión del resorte como resultado de la
fuerza aplicada y k es la constante del resorte.
Ejemplo 17.1. Una bola de hierro que pesa 128 lb. se suspende de un resorte, debido a lo cual el resorte se
alarga 2 pies de su longitud natural . Cuál es el valor de la constante del resorte?
La fuerza aplicada causante del desplazamiento de 2 pies es el peso de la bola , 128 lb . Así F = -128 lb.
La ley de Kooke dá entonces -128 = -k(2) o k = 64 lb/pie.
89
90 APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
[CAP. 17
Problemas resueltos
RESORTES VIBRATORIOS
En los siguientes problemas se debe despreciar la masa propia del resorte,
17.1. Se suspende verticalmente de un soporte un resorte con una masa m colgada de su
extremo más bajo y se deja que alcance una posición de equilibrio. El sistema entonces
se pone en movimiento soltando la masa con una velocidad inicial vo a una distancia xo
debajo de su posición de equilibrio y aplicando simultáneamente a la masa una fuerza
externa F(t) en la dirección hacia abajo. Demuestre que el movimiento de este sistema
está regido por (17.1).
Posición de Equilibrio
Posición Inicial para t = 0
x=0
F(t)
Dirección Positiva x
Fig. 17-1
Por conveniencia , escogemos la dirección hacia abajo como la dirección positiva y tomamos el origen
como el centro de gravedad de la masa en su posición de equilibrio (ver Fig . 17-1). Más aún, asumimos
que se presenta una resistencia del aire y que es proporcional a la velocidad de la masa . Entonces, en
cualquier momento t , hay tres fuerzas que actúan sobre el sistema : (1) F(t), medida en la dirección
positiva ; ( 2) una fuerza de restauración dada por la ley de Hooke como F. = -kx, k > 0; y (3) una
fuerza debida a la resistencia del aire dada por F. = -az, a > 0 , donde a es la constante de proporcionalidad . Note que la fuerza de restauración FS siempre actúa en la dirección tendiente a volver el sistema a
la posición de equilibrio : si la masa está debajo de la posición de equilibrio, entonces x es positivo y -kx
es negativo ; pero si la masa está encima de la posición de equilibrio , entonces x es negativo y -kx es
positivo . También note que debido a que a > 0, la fuerza Fa debida a la resistencia del aire actúa en la
dirección opuesta a la de la velocidad y entonces tiende a retardar o amortiguar el movimiento de la
masa.
Se deduce ahora de la segunda ley de Newton que m x = -kx - az + F(t), o
x + al + kx
m m
F(t)
m
(1)
Si definimos al = a/m, ao = k/m, y f(t) = F(t)/m, entonces ( 1) es exactamente (17.1). Como el
sistema empieza para t = 0 con una velocidad inicial vo y desde una posición inicial xo, tenemos junto
con (1) las condiciones iniciales
CAP. 17] APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 91
x(0)
=
xo
x(0)
=
vo
(2)
La fuerza de gravedad no aparece explícitamente en (1), pero sin embargo se presenta . Automáticamente compensamos esta fuerza midiendo la distancia desde la posición de equilibrio del resorte. Si se
quiere que aparezca la gravedad explícitamente , entonces la distancia debe medirse desde el extremo
inferior de la longitud natural del resorte . Es decir , el movimiento de un resorte vibratorio puede darse
por
+ á x + k x =
m m
+ F(t)
m
si el origen , x == 0 es el punto terminal del resorte sin alargar antes de que la masa
m se añada.
17.2. Halle una solución para el Problema 17.1 si las vibraciones son libres y no amortiguadas.
Con F( t) = 0 y a = 0, la ecuación ( 1) del Problema 17.1 se convierte en
(1)
Las raíces de la ecuació ,i característica para ( 1) son j k/m y a2
o, como tanto k
como m son positivas , Al = i k/m
y ^_ _
La solución de (1) es ( ver Sección 12.2)
x =
c, cos
k/m t + e2 sen
k/m
t
(2)
Aplicando las condiciones iniciales , ( 2) del Problema 17.1, obtenemos el = xo y e2 = vo m/k. Entonces
(2) se convierte en
x
= xa cos
k/m t + vo
rnik sen vf-k-/m
t
(8)
Usando las técnicas dadas en el Problema 9.36, (3) puede simplificarse más en
x = A cos ( k/m t - 0)
donde A =
xó vvo(m/k)
(4)
y donde el ángulo de fase o está dado implícitamente por
xo
cos 0 = Á
vo m/k
y seno = A
Cualquier movimiento descrito por (2 ) se llama un movimiento armónico simple. La frecuencia circular
de este movimiento está dada por = k/m, mientras que la frecuencia natural o número de oscilaciones completas por segundo es
1 U
f" 2r, 2a^7YL
(5)
El período del sistema o el tiempo requerido para completar una oscilación es
T = fn = 2,r11 k
(6)
17.3. Se suspende una bola de acero que pesa 128 lb de un resorte, por lo cual el resorte se
alarga 2 pies de su longitud natural. Se pone en movimiento la bola sin velocidad inicial
desplazándola 6 pulgadas sobre la posición de equilibrio. Asumiendo que no hay resistencia del aire, hallar (a) la posición de la bola para t =7r/12 seg. (b) la frecuencia natural
y (c) el período.
(a) Este es un movimiento libre no amortiguado para el cual m = 128 /32 = 4 slugs, k = 64 lb/pie
(ver Ejemplo 17.1), xo = - 4 pie ( se necesita el signo menos puesto que la bola se desplaza
inicialmente sobre la posición de equilibrio , es decir en la dirección negativa ) y vo = 0 pies/seg.
Sustituyendo estos valores en (3) del Problema 17.2, obtenemos x(t)
cos 4t. Por lo tanto,
para t = 7r/12,
92 APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
1 4,r
= -2 cos12
x 12
(b)
1
- 4 pie
De (5 ) del Problema 17.2,
fn
(c)
[CAP. 17
-
2 ciclos/seg.
1
7r
2rrY m
De (6 ) del Problema 17.2,
T
fn
2
1.57 seg.
17.4. Se suspende una masa de 10 kilogramos de un resorte, alargándolo 0.7 metro de su
longitud natural . La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una
velocidad inicial de 1 m/seg . en la dirección hacia arriba . Halle el movimiento resultante
si la fuerza debida a la resistencia del aire es - 90k newton.
Tomando g = 9.8 m/sec2, tenemos w = mg = 98 newton y k = w/l = 140 N/m. Además, a = 90
y F(t) = 0 (no hay fuerza externa ). Por lo tanto ( 1) del Problema 17.1 se convierte en
z+9z+14x
=
0
(1)
Las raíces de la ecuación característica asociada son Xl = -2 y A2 = -7, que son reales y diferentes;
por lo tanto este problema es un ejemplo de movimiento sobreamortiguado , L a solución de (1) es
x =
cle-2t + c2e-7t
Las condiciones iniciales son x(0) = 0 (la masa empieza en la posición de equilibrio ) y x(0) = -1 (la
velocidad inicial es en la dirección negativa ). Aplicando estas condiciones encontramos que el = -c2
= - , de tal modo que x = 41(e-7t - e-2t). Nótese x - 0 si t
entonces el movimiento
es transitorio.
17.5. Se suspende de un resorte una masa de 1/4 slug por lo cual el resorte se alarga 1.28 pies
de su longitud natural . La masa se pone en movimiento de la posición de equilibrio con
una velocidad inicial de 4 pies / seg. en la dirección hacia abajo . Halle el movimiento
resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es -2z lb.
Aquí m = 1/4, a = 2, F(t) = 0 (no hay fuerza externa), y de la ley de Hooke k =mg/l = (1/4)(32)
/1.28 = 6. 25. Entonces ( 1) del Problema 17.1 se convierte en
x + 81 + 25x _ 0 (1)
Las raíces de la ecuación característica asociada son rl = -4 + i3 y ?2 = -4 - i3, que son
complejas conjugadas ; entonces este problema es un ejemplo de movimiento oscilatorio amortiguado.
La solución de (1) es
x = e_4t ( el cos 3t + c2 sen3t)
Las condiciones iniciales son x(0) = 0 y 1(0) = 4. Aplicando estas condiciones, encontramos que
el = 0 y e2 = ; entonces
x = 4 e-4t sen 3t. Como x -> 0 cuando t el movimiento es
transitorio.
17.6. Se suspende una masa de 1 /4 slug de un resorte que tiene una constante de 1 lb/pie. La
masa se pone en movimiento por un desplazamiento inicial de 2 pies en la dirección
hacia abajo y dándole una velocidad inicial de 2 pies/ seg. en la dirección hacia arriba.
Halle el movimiento resultante de la masa , si la fuerza debida a la resistencia del aire es
-1L lb.
Aquí m = 1/4, a = 1, k = 1, y F(t) -- 0. La ecuación (1) del Problema 17.1 se convierte en
CAP. 17] APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 93
1
+4x+4x
=
0
(1)
Las raíces de la ecuación característica asociada son At = x2 = -2, que son iguales ; entonces este
problema es un ejemplo de movimiento amortiguado en un punto crítico. La solución de (1) es
x = cle-2t + c2te-2t
Las condiciones iniciales son x (0) = 2 y x(0) = -2 (la velocidad inicial es en la dirección negativa).
Aplicando estas condiciones , encontramos que Cl = c2 = 2. Entonces
x = 2e-2t + 2te-2t
Como x - 0 cuando t -> -, el movimiento es transitorio.
17.7. Demuestre que los tipos de movimiento que resultan de los problemas libres amortiguados estan determinados completamente por la cantidad a2 - 4km.
Para movimientos libres amortiguados F(t) = 0 y ( 1) del Problema 17.1 se convierte en
x+ á x + k x
m m
=
0
Las raíces de la ecuación característica asociada son
_ -a + a2 - 4km - -a - a - 4km
2m ^- 2m
las raíces son reales y diferentes ; si a2 - 4krn = 0, las raíces son iguales; si
Si
a2 - 4km > 0,
a2 - 4km < 0, las raíces son complejas conjugadas . Los movimientos correspondientes son, respectivamente , sobreamortiguado , amortiguado en punto crítico y amortiguado oscilatorio. Como las
partes reales de ambas raíces son siempre negativas, el movimiento resultante es en los tres casos
transitorio . ( Para movimiento sobreamortiguado , necesitamos únicamente tener en cuenta que
a2 - 4km < a, mientras que para los otros dos casos las partes reales son ambas - a/2m.)
17.8. Se suspende una masa de 10-kg de un resorte que tiene una constante de 140 N/m. La
masa se pone en movimiento de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1
m/seg. en la dirección hacia arriba y aplicando una fuerza externa de F(t) = 5 sen t. Halle
el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es -90z N.
Aquí m = 10, k = 140, a = 90, y F( t) = 5sen t. La ecuación del movimiento ( 1) para el Problema
17.1 se convierte en
x+9x+14x
La solución general de la ecuación homogénea asociada
xh
= 2sent
(1)
x + 9x + 14x = 0 es (ver Problema 17.4).
= eie - 2t + c2e-7t
Utilizando el método de los coeficientes indeterminados (Sección 14.1, Caso 3 ), encontramos
xp
13
9
sen t - 500 cos t
500
La solución general de ( 1) es por lo tanto
x = xh + xp
= cle-2t + c_,e-7t +
13 0 sen t t
50
500 cos
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = 0 y 1( 0) _ -1, obtenemos
x
500 (-90e-2t + 99e-7t + 13 sent - 9 cos t)
Nótese que los términos exponenciales , que vienen de xh y por lo tanto representan un movimiento
94 APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN [CAP. 17
libre sobre amortiguado (ver Problema 17.4), desaparecen rápidamente . Estos términos son la parte
transitoria de la solución . Los términos provenientes de xy, no desaparecen sinembargo cuando t -^
estos son la parte de la solución en condiciones estables.
17.9. Se suspende un peso de 128 lb de un resorte que tiene una constante de 64 lb/pie. El
peso se pone en movimiento sin velocidad inicial desplazándolo 6 pulg. sobre la posición
de equilibrio y aplicando simultáneamente al peso una fuerza externa de F(t) = 8 sen 4t.
Suponiendo que no hay resistencia del aire, halle el movimiento resultante del peso.
Aquí m = 4, k = 64, a = 0, y F(t) = 8sen 4t; por lo tanto (1) del Problema 17.1 se convierte en
x + 16x
=
2 sen4t
(1)
Este problema es , por lo tanto, un ejemplo del movimiento forzado no amortiguado . La solución de la
ecuación homogénea asociada es
xh = cl cos 4t + c2 sen4t
Se encuentra una solución particular por el método de los coeficientes indeterminados (es necesaria la
modificación descrita en la Sección 14.2) xF, = - 14 t cos 4t. La solución de (1) es entonces
x
= c, cos 4t + c., sen4t - 4 t cos 4t
Aplicando las condiciones iniciales
x(0)
x(0) = 0, obtenemos
x = - 2 cos 4t + 16 sen4t - 4 t cos 4t
Nótese que xf -> - cuando t - -o. Este fenómeno se llama resonancia pura. Se debe a que la
función de fuerza F(t) tiene la misma frecuencia circular que la del sistema asociado libre no amortiguado (ver Problema 17.2).
CIRCUITOS ELECTRICO S
17.10.Demuestre que un circuito eléctrico simple, que consiste en una resistencia, un condensador, una inductancia y una fuerza electromotriz (generalmente una batería o un generador), conectados en serie está regida por (17.1). También, suponiendo una carga inicial
en el condensador de qo culombios y una corriente inicial en el circuito de Io amperios,
halle las condiciones iniciales del sistema.
El circuito se muestra en la Fig . 17-2 donde R es la
resistencia en ohmios , C es la capacitancia en faradios,
L es la inductancia en henrios , E(t) es la fuerza electromotriz ( fem) en voltios e I es la corriente en amperios. Se sabe que la caída de voltaje a través de una
resistencia , un condensador y una inductancia son real
pectivamente RI,C
q, y L dt donde q es la carga del
condensador . La caída de voltaje a través de una fem
es -E(t). Entonces por la ley del anillo de Kirchhoff
tenemos
R
1
+
E(t)I
0
C^
RI+Ldt+Cq-E(t) = 0 (1)
Fig. 17-2
Recuerde del Capítulo 9 que
I - dq
dt
Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos
d7 d2q
dt dt2
(2)
CAP. 17] APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
dd-2q Rdq + 1 - 1E t
dt2 L dt LC q
()
95
(3)
Si definimos a, = R/L, ao = 1/LC, y f(t) = E( t)/L, entonces (3) es exactamente (
17.1) reemplazando x por q . Las condiciones iniciales para q son
dq
dt t=0 = I(0) = Io
q(0) = q0
(4)
Para obtener la ecuación diferencial que rige la corriente , primero derivamos ( 1) con respecto a t y
después sustituimos ( 2) directamente en la ecuación resultante. La nueva ecuación es
d21 R dI 1 dE(t)
dt2 + L dt + LC L dt
(5)
Si ahora definimos a, = R/L, a0 = 1/LC, y f(t) = (1/L)(dE/dt), entonces ( 5) es exactamente (17.1)
reemplazando ahora x por 1. La primera condición inicial es I(0 ) = Io. La segunda condición inicial se
obtiene de (1) resolviéndola para dI/dt y después haciendo t = 0. Entonces
dI
dt t=o
(6)
L E(0) L I0 7c ',u
Vemos que la corriente en el circuito puede obtenerse tanto resolviendo (5) directamente como
resolviendo ( 3) para la carga y después derivando la carga para obtener la corriente.
Como (3) y (5) son idénticos en su forma a (1) del Problema 17.1, las soluciones de (3) y ( 5) deben ser
idénticas en su forma a las soluciones para los resortes vibratorios. Es decir para los sistemas libres no
amortiguados (R = 0 y E( t) - 0), las soluciones son movimientos armónicos simples ( ver Problema 17.2);
mientras que para los sistemas libres amortiguados ( E(t) = 0), los movimientos son sobreamortiguados, amortiguados en punto crítico , o amortiguados oscilatorios ( subamortiguados ) dependiendo del
signo de R2 - 4(L/C). (Ver Problema 17.7).
17.11.Un circuito RCL (ver Fig. 17.2) tiene R = 180 ohmios, C = 1/280 faradios, L = 20
henrios, y un voltaje aplicado de E(t) = 10 sen t. Suponiendo que no hay carga inicial en
el condensador sino una corriente inicial de 1 amperio para t = 0 cuando se aplica por
primera vez el voltaje, halle la carga resultante en el condensador.
Sustituyendo las cantidades dadas en (3) del Problema 17.10 obtenemos
q + 91 + 14q
= 2sen t
Esta ecuación es idéntica en su foma a (1) del Problema 17.8; entonces la solución debe ser idéntica en
su forma a la solución de aquella ecuación . Entonces
q =
Aplicando las soluciones iniciales q(0) = 0 y 4(0) = 1, obtenemos el = 110/500
y c2 = -101/500.
E ntonces,
q 500 (110e-2t - 101e-7t + 13 sen t - 9 cos t)
Como en el Problema 17. 8, la solución es la suma de los términos , en condiciones transitorias y
estables.
17.12. Un circuito RCL (ver Fig . 17.2) tiene R =''10 ohmios , C = 10-2 faradios, L = J henrios,
y un voltaje aplicado E = 12 voltios. Asumiendo que no hay corriente inicial y no hay
carga inicial en t = 0 cuando el voltaje se aplica por primera vez, halle la corriente
resultante en el sistema.
Sustituyendo los valores dados en ( 5) del Problema 17.10 obtenemos la ecuación homogénea (como
E(t) = 12, dE/dt = 0)
i
96 APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN [CAP. 17
d 21 + 20 dt + 2001 = 0
Las raíces de la ecuación característica asociada son Al = -10 + 10i y X2 = -10 - 10i; entonces, este
es un ejemplo de un sistema libre subamortiguado para la corriente . La solución es
I = e-l0t(c1 cos 10t + c2 senl0t)
(1)
Las condiciones iniciales son 1(0) = 0 y, de (6) del Problema 17.10,
dI
dt t=o
=
12
/2 - (1/2)(0) (1/2)(10_2) (0) = 24
Aplicando estas condiciones a (1) obtenemos el = 0 yc ., = 2; entonces I = is e-lot senl0t, que es
completamente transitoria.
17.13.Resuelva el Problema 17.12 encontrando primero la carga del condensador.
Primero resolvemos para la carga q y después usamos I = dq/dt para obtener la corriente. Sustituyendo
q + 201 + 200q = 24,
los valores dados en el Problema 17.12, en ( 3) del Problema 17.10, tenemos
que representa un sistema forzado para la carga , en contraste con el sistema libre amortiguado obtenido en el Problema 17 . 12 para la corriente . Utilizando el método de los coeficientes indeterminados
para encontrar una solución particular , obtenemos la solución general
q = e-lot(c1 cos 10t + c2 senl0t) + 25
Las condiciones iniciales para la carga son q(0) = 0 y 1 (0) = 0; aplicándolas obtenemos el = c2 = -3/25.
Por lo tanto
q - -e 101(25 cos IOz + 25 sen 10t) + 25
y
I dq = b e - lot sen lOt
t
como antes.
Note que a pesar de que la corriente es completamente transitoria , la carga en el condensador es la
suma de los dos términos, transitorio y en condiciones estables.
Problemas suplementarios
17.14 .
Se suspende un peso de 10-lb de un resorte y lo alarga 2 pulgadas de su longitud natural. Halle la
constante del resorte.
17.15. Se cuelga de un resorte una masa de J slug, con lo cual el resorte se alarga 6 pulgadas de su longitud
natural. La masa se pone en movimiento de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 4
pies/seg. en la dirección hacia arriba. Halle el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la
resistencia del aire es -21 lb.
17.16. Se suspende de un resorte unamasa de % slug de tal manera que el resorte se alarga 2 pies de su longitud
natural. La masa se pone en movimiento sin velocidad inicial desplazándola -1 pie en la dirección hacia
arriba. Halle el movimiento resultante de la masa, si el medio ofrece una resistencia de -4i lb.
17.17. Se suspende un peso de 32 lb de un resorte , alargándolo 8 pies de su longitud natural. El peso se pone
en movimiento desplazándolo 1 pie en la dirección hacia arriba y dándole una velocidad inicial de 2
pies/seg. en la dirección hacia abajo . Halle el movimiento resultante del peso si el medio ofrece una
resistencia despreciable.
CAP. 17] APLICACION DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
97
17.18.
Se suspende una masa de :- slug de un resorte que tiene una constante de 6 lb/pie. La masa se pone en
movimiento desplazándola 6 pulgadas por debajo de su posición de equilibrio sin velocidad inicial.
Halle el movimiento resultante de la masa, si la fuerza debida al medio es-4x lb.
17.19.
Se suspende una masa de 1 slug de un resorte que tiene una constante de 8 lb/pie. La masa se pone
inicialmente en movimiento de la posición de equilibrio sin velocidad inicial aplicándole una fuerza
externa F(t) = 16 cos 4t. Halle el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia
del aire es -4x lb.
17.20. Un circuito RCL, como se muestra en la Fig . 17-2, con R = 6 ohmios, C = 0.02 faradio, y L = 0.1
henrio, tiene un voltaje aplicado E(t) = 6 voltios . Suponiendo que no hay corriente inicial y no hay
carga inicial para t 0 cuando se aplica el voltaje por primera vez , halle la carga resultante en el
condensador y la corriente en el circuito.
17.21. Un circuito RCL, como se muestra en la Fig . 17.2, con R = 6 ohmios, C = 0.02 faradio y L = 0.1
henrio no tiene voltaje aplicado . Halle la corriente resultante en el circuito si la carga inicial en el
condensador es de 1?- culombio y la corriente inicial es cero.
17.22. Un circuito RCL, como se muestra en la Fig . 17-2 tiene R = 5 ohmios, C = 10 2 faradios L = H
henrio , y no tiene voltaje aplicado . Halle la corriente resultante en condiciones estables en el circuito.
(Sugerencia. No se necesitan las condiciones iniciales).
17.23. Un circuito RCL, como se muestra en la Fig . 17-2 con R = 5 ohmios C = 10-2 faradios y L = N
herio, tiene un voltaje aplicado E(t) = sen t. Halle la corriente en condiciones estables en el circuito.
(Sugerencia . Las condiciones iniciales no se necesitan).
Respuestas a los problemas suplementarios
17.14.
k =
60 lb/ft
17.15.
x =
-3Ve-4tsen4/t
17.16.
x =
- 2 e-4t - 2te-4t
17.17.
x = sen 2t - cos 2t
17.18 .
x= 4 e-2t - 4 e-6t
17.19.
x =
e-2t ( 5 cos 2t - 5 sen2t I + 5 sen 4t - 5 cos 4t
17.20.
q
15
e-50t - e-10t + 12
100 100 100
=
2 (e-10t - e-50t)
17.21.
1 =
4 (e-50t - e - iot)
17.22.
0
17 . 23 .
1
6392 cos t + 320 sen t)
640,001 (
I
Capí tul o 1 8
Ecuaciones diferenciales lineales
con coeficientes variables
18.1 INTRODUCCION
En los Capítulos 12 y 13 se discutieron las soluciones para las ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes . Ahora consideramos las ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas con coeficientes variables (ver Sección 10.1). Para estas ecuaciones permanecen
válidos todos los teoremas dados en los Capítulos 10 y 11, en particular el Teorema 11.3
puesto que esos Teoremas se aplican a todas las ecuaciones diferenciales lineales.
Específicamente , estamos interesados en la ecuación lineal homogénea de segundo orden.
bz(x)y "+ bi(x)y' + bo(x)y = 0
(18.1)
Dividiendo por bz(x), podemos escribir ( 18.1) como
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0
(18.2)
donde P(x) = b,(x)/bz(x) y Q(x) = bo(x)/bz(x), y se supone que P(x) y Q(x) no son ambos
constantes. La razón para limitar nuestra atención a los casos de segundo orden, es que los
métodos para resolver ecuaciones lineales de mayor orden son ampliaciones directas de los
métodos que se desarrollarán para las ecuaciones de segundo orden.
18.2 FUNCIONES ANALITICAS
Una función f (x) es analítica para xo si su serie Taylor alrededor de xo
f(n)(x0)(x - xo)n
n=0
n
(18.3)
converge a f (x) en los alrededores de xo. (Ver Problemas 18.1-18.3).
Los polinomios sen x, cos x, y ex son analíticos en todos sus puntos; lo mismo son las
sumas, diferencias y productos de esas funciones. Los cocientes de dos cualesquiera de esas
funciones son analíticos en todos los puntos donde el donominador es diferente de cero.
18.3 PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS ESPECIALES
El punto xo es un punto ordinario de la ecuación diferencial (18.2) si tanto P(x), como
Q(x) son analíticos en xo. Si alguna de esas funciones no es analítica en xo, entonces xo es un
punto especial de (18.2).
El punto xo es un punto especial regular de (18.2) si (1) xo es un punto especial de
(x - xo) P(x) y (x - xo)2 Q(x) son analíticas en xo. Los
(18.2) y (2) ambas funciones
puntos especiales que no son regulares se llaman irregulares.
98
CAP. 18] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES 99
Problemas resueltos
18.1. Determine si In x posee una serie de Taylor alrededor de x = 1.
Aquí x0 = 1 y f(x) = In x. Entonces
f'(x) = x ,
f,,(x)
= - x ... f(n)(x) =
(-1)n-1(n_1)!
(n 1)
2'
Luego tenemos que f(1) = In 1 = 0 y
f'(') = 1, r(1) = -1, ..., f(n)(1) _ (-1)n 1(n- 1)!
(n 1)
Reemplazando estos valores en (18. 3) donde recordamos que 0! = 1 y n! = n( n - 1) ! , encontramos
tt=0
f 1n'(J)(X - 1)n =
n!
f(1)(x - 1)° f( n)(1)(x - 1)n
n!
0! + n^t
0 + (-1)n - 1(n-1)!(x-1)n
n=1
n!
(-1)n 1 (x - 1)n
n=1 n
(x-1) - 2(x-1)2 + 1(x-1)3 -
18.2. Tiene el In x una serie de Taylor alrededor de x = 0?
No. Ni In x ni ninguna de sus derivadas existe para x = 0; por lo tanto (18.3) no puede calcularse cuando x=0.
18.3. Use la prueba de cociente para determinar aquellos valores de x para los cuales converge
la serie de Taylor encontrada en el Problema 18.1.
Por la prueba del cociente , la serie 5 an converge si lim I an+.1 I < 1 .
n=0
L = +^, la serie es divergente; mientras que si
series del Problema 18.1,
00
n_.
an
Si el límite L > 1 o
L = 1, no puede sacarse ninguna conclusión. Para las
(-1)n-1 (x - 1)n
(1)
n=1 n
tenemos ao = 0 y
- 1(x - 1)n
an = (-1)n
n
( n > 1);
por lo tanto,
(-1)n(x - 1)n+1
lim la»+1
+11 lim n+1 lim n x-1' _ IX-11
n-•00 an n-. r.
(-1)n-1(x - 1)n n-.= n + 1
n
Concluimos de la prueba del cociente que la serie (1) converge cuando ix - 11 < 1 o su equivalente, cuando 0 < x < 2.
Los puntos x = 0 y x = 2 deben probarse separadamente puesto que la prueba del cociente no da
ninguna conclusión en esos puntos. Sustituyendo x = 0 en ( 1) obtenemos
______ 1(-1) n = - 1
n=1
n
n=1
n
Esta es la serie armónica, que se sabe que es divergente. Sustituyendo x = 2 en (1) obtenemos
100 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES
(-1)n-1(1)n =
n=1 n
[ CAP.18
(-1)n
n=1 n
que es convergente por la prueba de las series alternadas . Entonces, la serie del Problema 18.1 converge
para 0<x:!5 2.
18.4. Determine si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial
y"-xy'+2y = 0
Aquí P(x) = -x y Q( x) = 2 son ambos polinomios , por lo tanto son analíticos en cualquier punto.
En consecuencia cualquier valor de x, en particular x = 0, es un punto ordinario.
18.5. Determine si x = 1 o x = 2 son puntos ordinarios de la ecuación diferencial
(x2-4)y"+y = 0
Primero escribimos la ecuación diferencial en la forma (18.2) dividiendo por x2-4. Entonces P(x) = 0
y Q(x) = 1/(x2 - 4). Como tanto P(x) como Q( x) son analíticos para x = 1, este punto es un punto
ordinario . Para x = 2, sinembargo , el denominador de Q(x) es cero ; entonces Q(x) no es analítico en ese
punto . Entonces x = 2 no es un punto ordinario sino un punto especial.
Note que (x - 2) P(x) = 0 y (x - 2)2 Q(x) = (x - 2)/(x + 2) son analíticos para x = 2, por lo tanto
x = 2 es un punto especial regular (ver Sección 18.3).
18.6. Determine si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial
2x2y" + 7x(x + 1)y' - 3y = 0
Diviviendo por 2x2, tenemos
P(x) =
7(x + 1)
2x
Q(x) _ -3
2x2
Como ninguna de estas funciones es analítica para x = 0 (ambos denominadores son cero allí), x = 0
no es un punto ordinario, sino mas bien es un punto especial.
Note que (x - 0) P(x) _ (x + 1) y (x - 0)2 Q( x) 8 son ambas analíticas para x = 0; entonces
x = 0 es un punto especial regular.
18.7. Determine si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial.
x2y" + 2y' + xy = 0
Aquí P(x) = 2/x2 y Q(x) = 11x. Ninguna de esas funciones es analítica para x = 0, entonces x = 0 no es
un punto ordinario sino un punto especial . Mas aún como (x - 0) P(x) = 2/x no es analítica para x = 0,
x = 0 tampoco es un punto especial regular, es un punto especial irregular.
Problemas suplementarios
18.8. Halle una serie de Taylor para sen x alrededor de x = 0 y después use la prueba del cociente para
probar que esta serie es convergente en todos sus puntos.
18.9. Halle una serie de Taylor para ex alrededor de x = 1 y después use la prueba del cociente para
demostrar que esta serie de Taylor es convergente en cualquier punto.
18.10. Determine aquellos valores de x para los cuales la serie de Taylor para 1/x2 es convergente en x = 1.
CAP. 18] ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES 101
En los Problemas 18.11 a 18.19 determine si el valor dado de x es un punto ordinario, un punto especial
regular, o un punto especial irregular de la ecuación diferencial dada.
18.11. x = 1;
y" + 3y' + 2xy = 0.
18.12.
x = 2; (x - 2)y" + 3(x2 - 3x + 2)y' + (x - 2)2y = 0.
18.13.
x = 0; (x+1)y"+ly'+xy = 0.
x
18.14.
x = -1; (x + 1)y" + x y' + xy = O.
18.15.
x = 0; x3y" +y = 0.
18.16 .
X = 0; x3y" + xy = 0.
18.17.
x = 0; exy" + ( senx )y' + xy = 0.
18.18.
X = -1;
18.19.
x = 2; x4(x2 - 4)y" + (x + 1)y' + (x2 - 3x + 2)y = 0.
(x + 1)3y" + (x2 - 1)(x + 1)y' + (x - 1)y = O.
Respuestas a los problemas suplementarios
18.8.
18.9.
(- 1)nx2n +1
n== o (2n+1)!
1)n
n=o n!
18.10 . - 2 = (-1)n(n + 1)(x - 1) n; y es convergente para 0 < x < 2
n=o
18.11 .
punto ordinario
18.12.
punto ordinario
18.13.
punto especial regular
18.14.
punto especial regular
18.15. punto especial irregular
18.16.
punto especial regular
18.17. punto ordinario
18.18.
punto especial irregular
18.19.
punto especial regular
Capítu lo 1 9
Soluciones por series de potencias
alrededor de un punto ordinario
19.1 MÉTODO PARA LAS ECUACIONES HOMOGENEAS
Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
(19.1)
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0
Teorema 19.1. Si xo es un punto ordinario de (19.1), entonces la solución general en un
intervalo que contenga a xo es
y =
i an(x - xo)n
aoy,(x ) + a,y2(x ) (19.2)
n=0
donde ao y a, son constantes arbitrarias y
linealmente independientes analíticas en xo.
yi(x) y y2(x) son funciones
Para calcular los coeficientes an en la solución dada por el Teorema 19.1, proceda como sigue.
Primero, sustituya en el lado izquierdo de (19.1) la serie de potencias.
a ,, (x
y =
- xo)n
(19.3)
n=0
junto con la serie de potencias para y' y y" obtenidas de (19.3) por derivación por términos, así
como los desarrollos de las series de potencias de P(x) y Q(x) alrededor x = xo. Segundo, reuna
las potencias de x - xo y haga cada uno de estos coeficientes igual a cero. Tercero, resuelva las
ecuaciones resultantes para an (n = 2, 3, 4, ...) en términos de ao y a,. Pueden obtenerse
ahora las funciones yi(x)y y2(x) combinando todos los términos de (19.3) que contienen ao [el
y todos los términos que contiene a, [el resultado será a,y2(x)].
resultado debe ser aoy,(x)]
(Ver los Problemas 19.1-19.4).
Nota 1. Si el punto ordinario xo + 0, generalmente se simplifican las operaciones algebraicas si xo se traslada al origen por medio del cambio de variables t = x - xo. La
solución de la nueva ecuación diferencial resultante puede obtenerse por el método de
las series de potencias alrededor de t = 0. Entonces la solución de la ecuación original se
encuentra fácilmente haciendo la sustitución en sentido contrario. (Ver los Problemas
19.3 y 19.4).
Nota 2. Si en (19.1), P(x) y Q(x) son ambas constantes, entonces cualquier punto es un
punto ordinario, y es aplicable el método de las series de potencias alrededor de cualquier punto. Sinembargo se ve claramente que los métodos dados en el Capítulo 12 para
ecuaciones de este tipo, son más efectivos. (Vea Problema 19.2). Generalmente es más
fácil multiplicar primero (19.1) por su mínimo común denominador, si P(x) y Q(x) son
cocientes de polinomios. El método de las series de potencias se aplica sin cambio a la
ecuación resultante, que tiene la forma (18.1) con coeficientes polinomios. (Ver los
Problemas 19.9 y 19.11).
102
CAP. 19] SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO 103
Nota 3 . Los problemas de valor inicial pueden resolverse en la forma usual: primero se
obtiene la solución general , que según ( 19.1) esta dada por (19.2) y
después se aplican
las condiciones iniciales . Se da un método alternativo en los Problemas
19.6 y 19.7.
19.2 METODOS PARA LAS ECUACIONES NO HOMOGENEAS
La solución general cerca a x = xo de la ecuación diferencial
y" + P(x)y' + Q(x)y = O(x)
(19.1)
donde P(x) y Q(x) son analíticos alrededor de xo y donde c(x)
es una función conocida que no
es idénticamente cero, es y = yh +y„ (ver Teorema 11.3). Aquí yh puede encontrarse por los
métodos de las series de potencias de la Sección 19.1, y yp puede obtenerse por variación de
parámetros. En general no es aplicable el método de los coeficientes indeterminados (ver
Problema 19.8). Como alternativa si O(x) también es analítica en xo, la solución general puede
obtenerse completamente aplicando el método de las series de potencias directamente a (19.4)
en cuyo caso igualamos los coeficientes de (x - xo)n en los dos lados de la ecuación. Este
último procedimiento es frecuentemente el más efectivo. (Ver Problemas 19.9 y 19.10).
Problemas resueltos
19.1. Halle la solución general cerca de x = 0 para y" - xy' + 2y = 0.
Note que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial dada . Utilizando
el método de las series
de potencias , asumimos
y = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +
+ anxn + an + ixn+l + an+2xn +2 + ...
(1)
Por lo tanto , derivando por términos tenemos
y' = al + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ... + nanxn-1 + (n + 1)an+1xn +
(n + 2)an+2xn +1 + ... (2)
y" = 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + • • • + n(n - 1)anxn-2 + (n+ 1)(n)an+lxn-1
+ (n + 2)(n + 1) an+2xn
+
Sustituyendo (1), (2), y (3) en la ecuación diferencial encontramos
[2a2 + 6a3x + 12a4x2 + ••• + n(n - 1)anxn-2
+ (n+1)(n)an+ixn-1 + (n+2)(n+1) an+2xn + ...]
- x[a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ••• + nanxn-1
+ (n+1)an+Ixn + (n+2)an+2xn +1 + ...]
+ 2[ao + alx + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ... + anxn + an+lxn+1
+ an+2xn + 2 + ...]
= 0
Agrupando los términos que contengan potencias iguales de x tenemos
(2a2 + lao) + x(6a3 + a1) + x2(12a4) + x3(20a5 - a3)
+ + xn[(n + 2)(n + 1)an+2 - nan + 2an] +
= O+Ox+0x2+0x3+ ••• + Oxn+ •••
...
(3)
104 SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO [CAP. 19
Esta última ecuación es válida si y solamente si cada coeficiente del lado izquierdo es igual a cero.
Entonces,
(4)
2a2 + lao = 0, 6a3 + al = 0, 12a4 = 0, 20a5 - a3 = 0,
En general (n + 2)(n + 1)an+2 - (n - 2)an = 0,
o
(n - 2)
an+2 = (n + 2)(n + 1) an
(5)
La ecuación ( 5) es la fórmula de recurrencia para este problema . En general una fórmula de recurrencia
es una ecuación que relaciona a, (o an11, an+2, etc.) con los aprecedentes . En (5) an+ 2 esta relacionada con an.
Resolviendo las ecuaciones ( 4), o, como alternativa , sustituyendo valores sucesivos de n en (5) obtenemos
a2 =
-a0
a3 =
1
- 6-1
a4 =
0
a5
20 a3
20(
2
30 a4
16 (0)
3
42 a5
i
4 (
bó a, =
14 (0)
a6
a7
as
_
1
120`
6 a1)
(6)
= 0
120) al
1
1680 al
= 0
Note que como a4 = 0, se deduce de (5) que todos los coeficientes pares después de a4 son también
cero . Sustituyendo ( 6) en (1 ) tenemos,
ao + a1x - aox2 - 6 a1x3 + Ox4 - 120 a1x5 + Ox6 - 1680 a1x7
y =
x7 - ... )
ao(1 - x2) + al ` x - 6x3 120 xs 1 680
1
Si definimos y, (x) = 1 - x2 y, 112(x) = x - 6x3
120 x5 1680 x7
(7)
, entonces la solución gene-
ral (7) puede escribirse como y = aoyl(x) + a1y2(x).
19.2. Use-el método de las series de potencias para encontrar la solución general cerca de x = 0
de y"+y=0.
x (ver Capítulo
Como esta ecuación tiene coeficientes constantes , la solución es y = Cl cos x + c2 sen
12). Para obtener esta solución por el método de las series de potencias, primero sustituímos (1) y (3)
del Problema 19.1 en la ecuación diferencial, para obtener
[2a2 + 6a3x + 12a4x2 + ••• + n(n - 1)a"x"-2
+ (n + 1)nan+Ixn-1 + (n + 2)(n + 1)an+2xn + ...]
+ (a0 + a1x + a2 X2 + a3x3 + a4 X4 + ••• + anxn
+ an+lxn+1 + an+2xn
+2 + ...) = 0
o (2a2 + a0) + x(6a3 + a1) + x2(12a4 + a2) + x3(20a5 + a3)
+ ... + xn[(n+2)(n+ 1) a„+2 + an] +
= O + Ox + 0x2 + ••' + Oxn + ••.
^ei^n 1 n W4 1 1 .. ... W
CAP. 19] SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO 105
Igualando cada coeficiente a cero tenemos
2a.2 + a0 = 0, 6a3 + al = 0, 12a4 + a2 = 0,
En general
20a5 + a3 = 0,
(1)
(n + 2)(n + 1)a„ . 2 + a„ = 0, que es equivalente a
a„+2
-1
= (n+2)(n+1)a"
(2)
la fórmula de recurrencia para este problema . Resolvien*raas ecuaciones (1), o, como alternativa,
sustituyendo valores sucesivos de u en (2) obtenemos
a, =
-2aa =
1
1
-2!a0
1
-sal
1
a3 =
a,
a4
a5
ae
a7
%)
l ao
(4)(3) a2
74)(3) (
(5)(4) a3
(5)(4)
(6)(5) `
(6) (5) 4! %)
ao
(7)(6)'
(7)(6) ( 5! a 1 )
l al
2!
3! al J
=
-j-, al
Recordando que para un entero positivo n, n!, que se nombra n factorial , se define como
n! = n(n - 1)(n - 2)...(3)(2)(1)
y 0! se define como uno. Entonces 4! = (4)(3)(2)(1) = 24 y 5! _ (5)(4)(3)(2)(1) = 5(4!) = 120. En
general n! = n(n - 1)!.
Ahora sustituyendo los valores de arriba para
a,, a3, a4, ...
en (1) del Problema 19.1 tenemos
?! = ao + alx - a0x2 - a;x3 + 4¡aox4
+ alx5 - ó^ aox6 - 7^ alxr + ...
ao(1 - 2^ x' + x4 x6 + ...
(3)
+ al x - 3x3 + 57x5 - 7!x7 + ...
Pero
cos x
senx
(-1)nx2
1 , 1
n=o (2??)! = 1
- 2 T x2 + 4 xa - 6 xe
(-1)nx2n+1
n_o (2n+1)!
x x3 + x5 - ^' x7 + .. .
Sustituyendo estos dos resultados en (3) y haciendo c1 = ao y c2 = al, obtenemos como antes,
y = cl cos x + c,sen x
19.3. Halle la solución general cerca de
x = 2 de y" - (x - 2)y'+ 2y = 0.
Para este problema xo = 2, que es un punto ordinario de la ecuación diferencial dada . Primero hacemos
el cambio de variables t = x - 2 (ver Nota 1 página 102). Por la regla de la cadena encontramos las
transformaciones correspondientes de las derivadas de y:
106 SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO [CAP.19
dy dy dt dy dy
dx dt dx dt(1) dt
d2y d2y
d dy dt
d2y = d (^dy
x) dxdt} dt dt dx dt2 dt2
dx2 dx
Sustituyendo estos resultados en la ecuación diferencial obtenemos
z
t2-t
d
dt+2y = 0
y esta ecuación debe resolverse alrededor de t = 0 . Del Problema 19.1 reemplazando x por t, vemos que
la solución es
y = ao(1 - t2) + alt - 1t3 - 11 t5 11 t7 - •••1
Sustituyendo t = x - 2 en esta última ecuación , obtenemos la solución del problema original como
y = ao[1 - (x - 2)2] + al
[ ( x - 2)
19.4. Halle la solución general cerca de
- ó (x - 2 )3 -
x - 2) 7
120 (x - 2)5 - 1680 (
x = -1 de y" + xy' + (2x - 1)y = 0.
Aquí xo = -1 es un punto ordinario . Aplicando la Nota 1, de la página 102, primero hacemos la
dy = dy y d2y = d2y .
sustitución t = x - (-1) = x + 1. Entonces como en el Problema 19 .3 dx dt dx2 dt2 Reem-
plazando estos resultados en la ecuación diferencial , obtenemos
jt2
+ (t - 1)
dt
+ (2t - 3)y = 0
(1)
Ahora buscamos una solución de (1) cerca de t = 0. Sustituyendo (1), (2) y (3 ) del Problema 19.1 en
(1) y reemplazando x por t, tenemos
[2a2 + 6a3t + 12a4t2 +
+ n(n - 1)a„t"'2
+ (n + 1)nan+ ltn-1 + (n + 2)(n + 1)an+2t" + • ]
+ (t - 1) [al + 2a2t + 3a3t2 + 4a4t3 + • • • + nantn-1
+ (n+ 1)an+ltn + ( n + 2)an + 2 tn+1 + ...]
+ (2t - 3)[ao + a1t + a2 t2 + a3t3 + a4t4 +
+ an+ltn
+ ant"
+ l + an+2tn + 2 + ...] = 0
o (2a2 - al - 3ao) + t(6a3 + al - 2a2 + 2ao - 3a1)
+ t2(12a4 + 2a2 - 3a3 + 2a1- 3a2) +
+ tn[(n + 2)(n + 1)an+2 + nan - (n + 1)an+ 1 + 2an_1 - 3an] +
O + Ot + Ot2 + ••• + Otn +
Igualando cada coeficiente a cero obtenemos,
2a2 - (L1 - 3ao = 0, 6a3 - 2a2 - 2a1 + 2ao = 0, 12a4 - 3a3 - a2 + 2a1 = 0,
(2)
(n+2)(n+1)an+2-(n+1)an+1+( n-3)an+2an_1 = 0
En general
que es equivalente a
an+2
=
1 (n - 3) _ 2
(n+2 )(n+1)an-1
n+2an+1 - ( n+2)(n+l ) an
(3)
CAP. 19] SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO 107
La ecuación (3) es la fórmula de recurrencia para este problema . Note sinembargo que no es válida para
n = 0, puesto que a _1 es una cantidad indefinida . Para obtener una ecuación para n = 0, utilizamos la
primera ecuación ( 2) que da a2 = ¡a1 + Jao. Entonces , usando en (3) valores sucesivos den empezando con n = 1 encontramos que
a3 = 1 a2 + 3 al - 3 ao
a4
=
3(2 al + 2ao) + 51a1 Sao a1 + óao
a3 + 2 a2 6 al
4(2a1+6ao) + 12^2a1+ 2ao} - 6a1 = óao
Entonces, la solución de (1) es
y =
ao + a1t + (.. ai +
ao ) t2 + (tal +
ao)t3 + (sao) t4 + •
ao1 +2t2+t3+t4 + ...) + al t+t2 +
t3+Ot4+ ...)
Recordando que t = x + 1, obtenemos finalmente la solución del problema original como
y = ao[1 + 2(x+1)2 + s(x+1)3 + s(x+1)4 +
+ al L (x + 1) + 2 (x + 1)2 + 2 (x + 1)3 + 0(x + 1)4 +
19.5. Resolver
(4)
y" + xy' + (2x - 1)y = 0; y(-1) = 2, y'(-1) = -2.
Como las condiciones iniciales están dadas en x = -1, es ventajoso obtener la solución general de la
ecuación diferencial cerca de x = -1. Esto ya se hizo en (4) del Problema 19 . 4. Aplicando las condiciones iniciales , encontramos que ao = 2 y al = -2 . Entonces la solución es
y = 2
[ 1 + 2- (x + 1)2 + 1 (x + 1)3 + 1 (x + 1)4 +
- 2
[ (x + 1) + (x + 1)2 + (x + 1)3 + 0(x + 1)4 +
2 - 2(x + 1 ) + 2(x + 1)2 - 3 (x + 1)3 + 3 (x + 1)4 +
19.6. Resolver el Problema 19.5 por otro método.
METODO DE LA SERIE TAYLOR. Un método alternativo para resolver los problemas de valor inicial
se basa en la suposición de que la solución puede desarrollarse en una serie de Taylor alrededor del
punto inicial xo; esto es
y
=
y(n)(xo)
(x - xo)n
n=0 nt
y(x0) y' ( x0) y"(x0)
0 + (x - x0) +
2 (x - xo)2 + .. .
(1)
Se dan como condiciones iniciales los términos y(x0) y y'(xo); los otros términos y(n>(xo).( n = 2, 3, • • •)
pueden obtenerse por derivaciones sucesivas de la ecuación diferencial . Para el Problema 19.5.
tenemos xo = -1, y(x0) = y(-1) = 2, y y'(x0) = y'(-1) = -2. Resolviendo la ecuación diferencial del
Problema 19.5 para y", encontramos que
y" = -xy' - (2x - 1)y
(2)
Obtenemos y"(x0) = y"(-1) sustituyendo xo = -1 en (2) y utilizando las condiciones iniciales dadas.
Entonces
108 SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO [CAP. 19
Y"(-1) = -(-1)y'(-1) - [2(-1) - l]y(-1) = 1(-2) - (-3)(2) = 4 (S)
Para obtener y"'(-1), derivamos (2) y después sustituimos x0= -1 en la ecuación resultante . Entonces
y"'(x) _ -y' - xy" - 2y - (2x - 1)y'
(4)
y -y'(-1) - (-1)y"(-1) - 2y(-1) - [2(-1) -1]y'(-1)
-(-2) + 4 - 2(2) - (-3)(-2) = -4 (5)
Para obtener y(4)(-1), derivamos (4) y después sustituimos xo = -1 en la ecuación resultante.
Entonces
yc4)(x) _ -xy"' - (2x + 1)y" - 4y' (6)
y yc4>(-1) _ -(-1)y,,,(-1) - [2(-1) + 1]y"(-1) - 4y'(-1)
-4 - (-1)(4) - 4(-2) = 8 (7)
Este proceso puede continuarse indefinidamente . Sustituyendo (3), (5), (7}, y las condiciones iniciales
en (1), obtenemos , como antes,
y = 2 + 1 ^ (x + 1) + 4 (x + 1)22 + 3 4 (x + 1)3 + 8 (X+1)4 +
2 - 2(x + 1) + 2(x + 1)2 - 3 (x + 1)3 + !(X + 1)`' +
Una ventaja de usar ese método alternativo , comparado con .íl método usual de resolver primero la
ecuación diferencial y después aplicar las condiciones iniciales es que el método de las series de Taylor
es mas fácil de aplicar cuando se necesitan únicamente unos pocos de los primeros términos de la
solución. Una desventaja es que la fórmula de recurrencia no puede encontrarse por el método de la
serie de Taylor , y por lo tanto no se puede obtener una expresión general para el término n de la
solución. Note que este método alternativo también es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales
sin condiciones iniciales . En estos casos , hacemos y(xo) = ao y y'(x0) = al, donde ao y al son las
constantes desconocidas , y procedemos como antes.
19.7. Use el método explicado en el Problema 19.6 para resolver
y'(2) = 0.
y" - 2xy = 0;
y(2) = 1,
Utilizando ( 1) del Problema 19.6 asumimos una solución de la forma
+ y,,,(2) (x
y(x) = y(2) + y'(2) (x - 2) + y"(2) (x
- 2) 2
- 2)3 + .. .
0! 1! 2! 3!
(1)
De. la ecuación diferencial,
y"(x) = 2xy, y"'(x) = 2y + 2xy', yc4>(x) = 4y' +, 2xy",
Sustituyendo x = 2 en estas ecuaciones y utilizando las condiciones iniciales , encontramos que
y"(2) = 2(2)y(2) = 4(1) = 4
y"'(2) = 2y(2) + 2(2)y'(2) = 2(1) + 4(0) = 2
yf4>(2) = 4y'(2) + 2(2)y"(2) = 4(0) + 4(4) = 16
Sustituyendo estos resultados en (1), encontramos la solución como
y = 1 + 2(x - 2)22 + 3 (x - 2)3 + 3 (x - 2)4 +
19.8. Demuestre que el método de los coeficientes indeterminados no puede usarse para
obtener una solución particular de y" + xy = 2.
CAP. 19 1
SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO 109
Por el método de los coeficientes indeterminados , asumimos una solución particular de la forma
yp = A0-,r- donde m puede ser cero si la suposición sencilla y, = A° no
necesita modificaciones (ver
Sección 14 . 2), Sustituyendo yp en la ecuación diferencial , encontramos
m(m- 1)Aoxm-2 + A0x,n+ 1
=
2
(1)
Es imposible asignar a A° ningún valor constante que satisfaga ( 1),
no importa cual sea el valor de m,
Se deduce que no es aplicable el método de los coeficientes indeterminados.
19.9. Use el método de las series de potencias para encontrar la solución general cerca de x =
0 de
(x2+4)y"+xy = x+2
Dividiendo la ecuación dada por x2 + 4, vemos que x = 0 es un punto ordinario y que o(x) _
(x + 2)/(x22 + 4) es analítico aquí. Entonces, el método de series de potencias es aplicable a toda la
ecuación, la cual, por le; demás, podemos dejar en la forma dada originalmente (compare con la Nota 2,
página 102). Sustituyendo (1), (2) y (3) del problema 19.1 en la ecuación
original encontramos
(x2 + 4) [2a2 + 6a3x + 12a4x2 + • -- + n(n - 1)anxn-2
+ (n+1)nan+Ixn-1 + (n+2)(n+l)an+2xn +
+ x[ao + alx + a2 X2 + a3x3 + • • • +
an-1xn-1
+
"']
= x + 2
o (8a2) + x(24a3 + a0) + x2(2a2 + 48a4 + al) + x3(6a3 + 80a5 + a2) +
+ xn[n(n-1)an+4(n+2)(n+1)an+2+an-1] + (1)
2 + (1)x + (0)x2 + (0)x3 + '..
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x tenemos
8a2 = 2 , 24a3 + ao = 1,
2a2 + 48a4 + al = 0, 6a3 + 80a5 + a2 = 0,
(2)
En general
n(n - 1)an + 4(n + 2)(n + 1)an+2 + an_ 1 = 0 (n = 2, 3, ... )
que es equivalente a
an+2
=
_ n(n - 1) - 1
4(n + 2)(n + 1) an 4 (n + 2)(n + 1)
(3)
(n = 2, 3, ... ). Note que la fórmula de recurrencia (3) no es válida para n = 0 o n = 1, puesto que
los coeficientes de x0 y x1 en el lado derecho de (1) no son cero. En cambio, usamos las primeras dos
ecuaciones (2) para obtener
1
a2 = 4
a3
=
1 1
24
24 a0
Entonces, de (3)
- 14-
a4
a5
a2 48 a l
40 -3 - 80 a2
1 1 1 1 1
24 4 48 al 96 48 al
3 1_ 1 1 1 _ -1 1
40 24 24 a0)
804) 160 + 320 ao
............................••............................................
Y así
y = a +ax +i x2+ ( 1 _ao) xa+ (_
_ai)x4
+ +
( j+ao)x5
0
1
96
48
(
4x
2+xa
x4 _xs + ... l
24 _I
160
110 SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO [CAP. 19
+ ao(1 -24x:1+320x5+ ... J + al(x-48x4+ ...1
La primera serie es la solución particular . La segunda y tercera series juntas representan la solución
general de la ecuación homogénea asociada (x2 + 4)y" + xy = 0.
19.10. Halle la solución general cerca de x = 1 para y" + (x - 1) y = ex.
Haciendo t = x - 1, la ecuación diferencial se convierte ( ver Problema 19.3) en
d2y + ty = et+1
dt2
Sustituyendo (1), (2) y (3) del Problema 19.1 y reemplazando x por t en esta nueva ecuación tenemos
[2a2 + 6a.;t + 12a.1t2 + • • • + (n + 2)(n + 1)an+2tn +
+ t(a0 + alt +
a,t2 + ... + a,,
-
ltn-1 + ...) = et+l
Vi/n! alrededor de t
Recuérdese que el + 1 tiene el desarrollo de Taylor el + 1 = e
última ecuación puede escribirse como n=o
0. Entonces, la
(2a2) + t(6a:1 + a0) + t2(12a4 + al) +
-4- tn[(n+2)(n+ 1)an+2 + an-11 + ...
al ilt + 21 t'- + ... + nltn +
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de t, tenemos
(1)
2a, _= pt, 6a3 +a0 = i 12a4 + al
En general (n + 2)(n + 1)a,, 2 + a„_ 1 = cln !
para n = 1 , 2, ... , o
e
1
(n+2)(n+l ) an-1 + (n+2 )(n+1)n!
(2)
para n = 1, 2, .... Se deduce de (1) que a2 = e/2, y entonces de (2) que
-6a0 + 6' a4 12 al + 24
Entonces y
ao +alt + 2t-- (_ao +)t: + (_ jai +) tt+ ...
- (cr2t2+t2 2 1 t4+ ...1 r ao(1 ._s ts+ ...^ + al t- -2 ti +
y la solución de la ecuación diferencial original es
y =
cr1 (.r -1)2 +
-2
+ a11
6(x
-1)11 + 1
r4 (x-1)1
L 1-s(x-1)3+
+ al
4.
...1
1 (x -1)
1
12
-l)4+...1
19.11. Demuestre que cuando n es un entero positivo, una solución cerca de x = 0 de la
ecuación de Legendre
(1 - x2)y" - 2xy' + n(n+ 1)y = 0
es un polinomio de grado n.
CAP. 19] SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO 111
Aquí x = 0 es un punto ordinario y es conveniente mantener la forma ( 18.1)
para la ecuación, mejor
que transformarla en (19. 1) (ver la Nota 2 de la página 102). Sustituyendo (1), (2), y (3) del Problema
19.1 en la ecuación de Legendre ( para evitar confusiones reemplazamos el índice figurado n en (1),
(2), y (3) por el índice figurado k) y simplificando tenemos
[2a2 + (n2 + n)%] + x[6a3 + (n2 + n - 2)a1] +
+ xk[(k+2)(k+1)ak+2+ (n2 + n - k2 - k)ak] + = 0
Notando que
n2 + n - k2 - k = (n - k)(n + k + 1),
"k+2
obtenemos la fórmula de recurrencia
(n-k)(n+k+1)
ak
( k + 2)(k + 1)
(1)
A causa del factor n - k en ( 1), encontramos, haciendo k = n, que ai+2 =0. Se deduce enseguida que
0 = an+4 = a,,,.6 = a„+8 = • . Entonces , si n es impar todos los coeficientes impares ak (k> n)
son cero; mientras que si n es par , todos los coeficientes pares ak (k > n) son cero. Por lo tanto o bien
y1(x) o y2(x) en ( 19.2) (según si n es par o impar respectivamente ), contendrán únicamente un
número finito de términos diferentes de cero hasta incluir un término en zn; por lo tanto es un
polinomio de grado n.
Como ao y al son arbitrarias , es costumbre escogerlas de tal modo que y1(x) y y2(x), cualquiera que
sea el polinomio , satisfagan la condición y(1) =1. El polinomio resultante nombrado como Pn (x), se
conoce como el polinomio de Legendre de grado n . Los primeros de ellos son
PO(x) = 1 P1(x) = x P2( x) = 2(3x2-1)
1
P3 (x) = í ( 5X3 - 3x )
P4 (x) = 8 (35x4 - 30x2 + 3)
Problemas suplementarios
19.12. Halle la solución general alrededor de x = 0 para y" - y' = 0. Pruebe su respuesta resolviendo la
ecuación por el método del Capítulo 12 y después desarrollando el resultado en una serie de potencias
alrededor de x = 0.
En los Problemas 19.13-19.19, halle la solución general de la ecuación diferencial dada alrededor del punto
indicado.
19.13.
X = 0;
19.14.
x = 0; y" - xy = 0.
19.15 .
x = 1; y" - xy = 0.
19.16.
x = -2; y" - x2y' + (x + 2)y = 0.
(x2 - 1)y" + xy' - y = 0.
19.17. X = 0; (x2 + 4)y" + y = X.
19.18.
x = 1; y" - (x - 1)y' = x2 - 2x.
19.19.
x = 0; y" - xy' = e—.
19.20.
Use el método de la serie de Taylor descrito en el Problema 19.6 para resolver
(a) y" - 2xy' + x2y = 0;
(b) y" - 2xy = x2;
y(0) = 1, y'(0) = -1
y(1) = 0, y'(1) = 2
112 SOLUCIONES POR SERIES DE POTENCIAS ALREDEDOR DE UN PUNTO ORDINARIO [CAP. 19
Respuestas a los problemas suplementarios
19.12.
y
= ao + al
x3
x+ x2
6 + •• _
2+
19.13 . RF (fórmula de recurrencia ):
donde cl = a0 - al
ante = n + 2 a"
.5811--1x2-1x4 -L,6 -...
\\ 2 8 16
19.14
Cl + c2ex,
+ a1x
1
. RF: an+2 = (n+2)(n+1) an-1
ao11+x3+180x8+...1
+ a1[ x+12x4+504x7
1
an+r
r2 = (n + 2)(n + 1) (a " + an_1)
ao
[1 +
2(x-1)2 + 6(x-1)3 + 24(x- 1)4 + ...
+ al (x-1) + (x-1)3 + 12 ( x-1)4 + ...^
4n
19.16. RF: a"+2 =
- (n + 2)( n + 1) a" + 4+2
a"+1
(n+n2)(
-n2+1) an-1
r
n
r
y = ao L1 - 6 (x + 2)3 - 6 (x + 2)4 + ...
+ al [(x + 2) + 2(x + 2)2 + 2(x + 2)3 + 3 (x + 2)4 + •
19.17. RF:
n2-n+1
a"+- = -4(n+2 )(n+1)a", n>1
7
(24
1 x3 1920 x5 + ... l + ao I 1 - 8x2 + 128 x4 +
+ a1 x 24 x3 + 1920 x.5 + ...1
n
a"+2 = (n + 2 )(n + 1) an, n > 2
- 2 (x - 1)2 + a8 + al L(x - 1) + s (x - 1)3 + 40 (X-1 )5 + ...
a"+2
11
=
(n+2 )(n+1)a" + n! (n+2)(n+1)
Zx2- .X3+gx4-30x5+ ... 1
+ ao + al
19.20 . (a)
(_1)n
n
y = 1-x-3x3
(
x +6x3+40x5+...1
12^
(b) y = 2(x - 1) + 2 (x - 1)2 + (x - 1)3 +
Y
Capítulo 20
Puntos especiales regulares y
el método de Frobenius
10.1 TEOREMA DE EXISTENCIA
Considérese la ecuación diferencial homogénea
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0
(20.1)
que tiene un punto especial regular (ver Sección 18.3) para xo. Podemos suponer que xo = 0;
si este no es el caso, entonces el cambio de variables t = x - xo (ver Nota 1, página 102)
trasladará xo al origen.
Teorema 20 .1. Si x = 0 es un punto regular especial de (20.1) entonces la ecuación tiene por
lo menos una solución de la forma
x
y =
anxn
(20.2)
n=0
donde k y an ( n = 0, 1, 2 , ...) son constantes . Esta solución es válida en un
intervalo 0 < x < R para algún número real R.
20.2 EL METODO DE FROBENIUS
En este método , se asume una solución para (20.1) de la forma (20.2). Entonces se
procede como en el método de las series de potencias del Capítulo 19 para determinar sucesivamente las constantes A y an ( n = 0, 1, 2, ... ).
La constante A debe determinarse por una ecuación cuadrática , llamada la ecuación índice. Las dos raíces de la ecuación índice pueden ser reales o complejas . Si son complejas estarán
dadas por un par conjugado , y las soluciones complejas que producen pueden combinarse
(utilizando las relaciones de Euler y la identidad de x°--iz = x°e±' bIn r) para formar soluciones
reales . En este libro , para mayor simplicidad , supondremos que ambas raíces de la ecuación
índice son reales. Entonces si A se toma como la mayor raíz índice , k = a, = k2, el método
de Frobenius siempre lleva a una solución
y1(x)
=
xXl
1
an(Áj)xn
(20.3)
n=o
para (20.1). (Hemos escrito a„(Á1) para indicar los coeficientes producidos por el método
cuando . =,k,).
Si P(x) y Q(x) son cocientes de polinomios, generalmente es mas fácil multiplicar
primero (20.1) por su mínimo común denominador y después aplicar el método de Frobenius
para la ecuación resultante.
113
114 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS [CAP. 20
20.3 SOLUCION GENERAL
El método de Frobenius, modificado si es necesario como en el Problema 20.4 o el 20.6,
da también una segunda solución y2(x) que es linealmente independiente de yl(x). La solución
general de (20.1) se obtiene entonces por superposición. Resuminos los resultados finales en el
siguiente teorema.
Teorema 20.2. Hagamos que x = 0 sea un punto especial regular de (20.1) y hagamos que Al
y A2^A1 sean las raíces de la ecuación índice asociada. Entonces la solución
general de (20.1) es y = c1y1(x) + c2y2(x), donde e, y c2 son constantes arbitrarias, y1(x) está dada por (20.3), y:
Caso 1 . Si Al - A2 no es un entero , entonces
y2(x)
=
x x2
an(
A 2)xn
(20.4)
n=0
C aso2 . Si Al = A2, entonces
y2(x) = y1(x) In x + xXl bn(A1)xn
X20.5)
n=o
Caso 3 . Si Al - A2 = N, un entero positivo , entonces
y2(x) = d-,y,(x) In x + xXZ ± dn(A2)xn
(20.6)
n=0
Los coeficientes an(A1), an(A2), bn(A1), dn(A2) y d-1 son todos constantes que
pueden en ocasiones ser cero. En todos los casos la solución es válida en un
intervalo 0 < x < R.
Vemos del Teorema 20.2 que el método simple de Frobenius puede usarse para obtener
y2(x) en el Caso 1, así como en el Caso 3 si la constante d-1 es cero, puesto que la forma de
y2(x) es entonces idéntica a la forma de y1(x). Las posibilidades restantes para y2(x) están
incluidas en las modificaciones del método que se describen en los Problemas 20.4 y 20.6.
Ocasionalmente, una ecuación particular puede resolverse más eficazmente por otro
método. Ver Problemas 20.11 y 20.12.
Problemas resueltos
LAS RAICES INDICE TIENEN UNA DIFERENCIA NO-ENTERA
20.1. Halle la solución general cerca de x = 0 de 8x2y" + lOxy' + (x -1)y = 0.
5
En este caso P(x) = 4
x y Q(x) =IX - Sx2' entonces x = 0 es un punto especial regular . Utilizando el
método de Frobenius, asumimos que
y
=
a nxn
x,
n=0
=
Y. anx1.+
n=0
= aox? + a1x^,+1 + a2xX+2 + ... + an_1xX+n-1 + anx^`+n + an+1xa+n+ 1 + ...
(1)
y por consiguiente,
y' = XaoxX-1 + (X + 1)a1xX + (X + 2)a2xa+1 + .. .
+ (X + n - 1)an_1xT+n-2 + (x+ n)anxX+n-1 + (x+n+ 1)an+1xa+n + ... (2)
CAP. 20] PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS
115
y" = X(X - 1)a0xA-2 + (X + 1)(X)alxX1-1 + (X + 2)(X + 1)a2xÁ + • • •
+ (X+n-1)(X+n-2)an_1xa+n-3 + (X+n)(X+n- 1)a,,xX+n-2
+ (X + n + l)(X + n) an+ lxX+n-1 + .. .
(3)
Reemplazando (1), (2) y (3 ) en la ecuación diferencial y combinando , obtenemos
xa[8X(X - 1)a0 + 10Xa0 - a0]
+ xa+1[8(X + 1)Xa1 + 10(x + 1 )a1 + a0 - al] +
+ xa+n[8 (X + n)(X + n - Dan + 10(X + n)an + an-1 - an] + .. .
= 0
Dividiendo por xa y simplificando , tenemos
[8X2 + 2X - 1]a0 + x[(8X2 + 18X + 9) a1 + a0] +
+ xn{[8(X+n)2 + 2(X+n) - 1]an + an_1} + = 0
Descomponiendo en factores el coeficiente de an e igualando el coeficiente de cada potencia de x a
cero, encontramos
(8X2 + 2X - 1)a0 = 0 (4)
ypara n-1,
[4(X + n) - 1] [2(X + n) + 1] an + an_ 1 = 0
o
-1
[4(X+n) - 1][ 2(X+n) + 11 an-1
an
(5)
De (4), bien sea a0 = 0 o
8X2 + 2X - 1 = 0 (6)
Es conveniente mantener a0 arbitraria ; por lo tanto debemos escoger x para satisfacer ( 6), que es la
ecuación índice . Las raíces son X1 = 1 y X2 = -1. Como X1 - X2 = u, la solución está dada por (20.3)
y (20.4). Sustituyendo X = á en la fórmula de recurrencia (5) y simplificando, obtenemos
-1
2n(4n + 3) an-1
an
(n ' 1)
-1 -1 1
Entonces , al = 14
a0, a2
44 al 616 ao,
y1(x) = a0xlia (1 - 14 x + 616 x2 + ...1
y
Sustituyendo x = -1 en ( 5) y simplificando , obtenemos
an
-1
2n(4n-3) an-1
_ 1 -1
1
_
_
al 2 ao ,
a2
20 al
40 a0,
Entonces,
y
y2(x)
= aox -1/ 2(1 - 2 x + 40 x2 + ...l
La solución general es
y = c1y1 (x) + c2y2(x)
k1x114(1 - 4 x + 616 x2 + ...l + k2x - 1/2(1
donde k1 = c1a0 y k2 = c2a0.
-2
x + 4Ó x2 +
1
[CAP. 20
116 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS
20.2. Halle la solución general cerca de x = 0 de 2x2y" + 7x(x + 1)y' - 3y = 0.
En este caso P(x) = 7(x + 1)/2x y Q(x) = -3/2x2; entonces, x = 0 es un punto especial regular y puede
aplicarse el método de Frobenius . Sustituyendo (1), (2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación
diferencial y combinando términos, obtenemos
xX [2X(X - 1)a0 + 7Xa0 - Sao]
+ xa+'[2(X + 1)aal + 7Xa0 + 7(X + 1)a1 - 3a1] + •
+ xX +^[2(Á+n)(X+n-1)a„+7(ñ +n-1)a„_1 + 7(Á+ n)a„-3a„]
= 0
Dividiendo por x^, y simplificando obtenemos
(taz + 5X - 3)a0 + x[(2X2 + 9X + 4)a1 + 7Xa0] +
+ x'{[2(X+ n)2+5(X+n)-3]a„ + 7(X+n-1)ai_1} +
= 0
Descomponiendo en factores el coeficiente de a,, e igualando cada coeficiente a cero , encontramos
(2X2 + 5X - 3)a0 = 0
(1)
y, para n - 1,
[2(x + n) - 1] [( r + n) + 3]a„ + 7(a + n - 1) a„_1 = 0
-7(a+n-1)
° a„ [2(X+n) - 1][(X+n) + 3] a„-1
(2)
De (1) bien sea ao = 0 6
2X2+5X-3
=
0
(8)
Es conveniente mantener ao arbitrario; por lo tanto necesitamos X para satisfacer la ecuación índice
(3). Las raíces de (3) son X1 = 1 y X2 = -3. Como X1 - a2 = , la solución se da por (20.3) y (20.4).
Sustituyendo x _ en (2) y simplificando, obtenemos
-7(2n - 1)
a„ 2n(2n+7) an-1 (u -- 1)
_ _ 7 _ 21
18 a0, a2 44 al
al
Entonces,
147
792 %,
147
y yt(x) = a0x112 (1 - 8 x + 7 92 xz + .. .
Sustituyendo x = -3 en (2) y simplificando , obtenemos
-7(n - 4)
n(2n-7)
Entonces
a n-1
(n '- 1)
7 343
al = - 21 ao, a2 = - 7 al = 49 ao, a3 = - 3 a2 = 15 a0, a4 0
y, como a4 = 0, a„ = 0 para n 4. Entonces
112(x)
= aox-3(1 -
21 x + 49 x2 _
15 x3
La solución general es
11 = c1y1(x) + c2y2(x)
7 147
49 343
792 xz + ... / +21
k,x-3 l 1 - 5 x + 5 xz - 15 xa
klxvz (1 - 18
x+
donde k1 = cla0 y k2 = c2ao.
CAP. 20] PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS 117
20.3. Halle la solución general cerca de x = 0 de 3x2y" - xy' + y = 0.
Aquí P(x) = -113x y Q(x) = 1/3x2; por lo tanto x = 0 es un punto especial regular y puede
aplicarse el método de Frobenius . Sustituyendo (1), (2), y (3) del Problema 20.1 en la ecuación
diferencial y simplificando , tenemos
xX[3X2 - 4X + 1]a0 + xa+1[3X2 + 2X]a1 +
+ xX+n[3(X + n)2 - 4(x + n) + flan + = 0
Dividiendo por xX e igualando todos los coeficientes a cero, encontramos
(3X2 - 4X + 1)a0 = 0
(1)
y [3(X + n)2 - 4(X + n) + 1]an = 0 (n ' 1)
(2)
De (1) se deduce que la ecuación índice es 3X2 - 4X + 1 = 0, cuyas raíces son X1 = 1 y X2 = 1. Como X1 - X2 = , la solución está dada por (20.3) y (20.4). Nótese que para cualquier valor de X, (2) se
satisface escogiendo simplemente an = 0, n > 1. Entonces
711(x)
= x1
., a,nxn
aox
=
n=0
7!2(x) = xi13 .1
n=0
anxn
= a0x1/3
y la solución general es
= c1y1 (x) + c2y2 (x) = kix + k2x1/3
y
donde
k1 = clan y k2 = c2a0.
LAS RAICES INDICE SON IGUALES
20.4. Halle la solución general cerca de x = 0 de x2y" + xy' + x2y = 0.
Aquí P(x) =1/x y Q(x) =1, luego x = 0 es un punto especial regular . Sustituyendo (1), (2) y (3) del
Problema 20 .1 en la ecuación diferencial y combinando, obtenemos
XÁ[X2ao] + xa+1[(X +
+ xx+2[(X + 2)2a2 + a0] + ..
1)2a1]
+ Xk+n[(X + n)2a,, + art
- 2]
+ ... = 0
Entonces X2a0 = 0
(X + 1)2a1 = 0
y para n '- 2, (X + n) 2an + an-2 = 0,
an J (X + n) 2 an-2 (n ' 2)
(3)
La condición n 1t 2 se requiere en (3) porque an_2 no está definido para n = 0 6 n = 1. De (1), la
ecuación índice es x2 = 0, cuyas raíces son X1 = X2 = 0. Entonces, obtendremos únicamente una solución de la forma ( 20.3); la segunda solución y2(x), tendrá la forma (20.5).
Sustituyendo X = 0 en ( 2) y (3), encontramos que al = 0
deduce que 0 = a3 = a5 = a7 = ••• . Además,
1
1
a2 = - 4 ao = - 22(11)2 ao
a4
y, en general
y
a.= -(1/n2 ) a.-2. COMO al=0, se
_ 1
1
36 a4 ='! _
- ao
8(3!)2
ae
1
1
1
1
= _ 16 a2 = 24(21)2 ao as = - 64 ae = 28(41)2 ao
, (_1)k a
o
=0
1 2 3,
( ...
).
a2k = 22k ( kl)2
7/1(x) = a0x0
a
1 - 22(11)2 X 2 +
o =0 22n(n!)2
Entonces
1)2 x4
24(2
k
+ ... + 22k(k !)2 x2k +
118 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS [CAP. 20
PARA HALLAR y2(x) CUANDO LAS RAICES INDICE SON IGUALES, debe mantenerse la fórmula de recurrencia en términos de x y usarla para encontrar los coeficientes
a„ (n - 1) en términos
tanto de x como de a0, mientras que el coeficiente a0 permanece arbitrario. Sustituyendo este a„ en
(20.2) para obtener una función y ( X, x) que depende de las variables x y x. Entonces
(x) = ay(X, x)
y2
(5)
ax ix=a,
Para este problema , la fórmula de recurrencia es (3), complementada por (2 ) para el caso especial de n
= 1. De (2 ), al = 0, lo cual implica que 0 = a3 = a5 = a7 = • • • . Entonces de (3),
= -1 -1
a2 (X + 2)2 a°' a4 _ (a + 4)2 a2
1
(_X+ 4)22(x + 2)2 a0,
Sustituyendo estos valores en (20. 2), tenemos
1 x a+z
1
X+4
x)° =
a (X + 2)2
x +
11(
x + (X + 4)2(a + 2)2
(XX+k) = xa+k I n x. (Al derivar con respecto a X, x puede tomarse como una
Téngase en cuenta que
constante ). Entonces,
ay(a, x) aa
a0
L xa In x +
(a+2)3xÁ+z - (X+2)2xX +2lnx
2 xx+4 - 2
(X + 4)3(X + 2)2 (X + 4)2(X + 2)3 xx+4
1 a+4
x
ln x +
+ (X + 4)2(?, + 2)2
y
1!2(x) = ay(>,, x)
ax
a°(In x + 2i x2 - 2zx-lnx
a=0
2 r' - g111
2 x'E +
1 x4 In j +
4121
4222
(In x)a0
Ll -
22(1 !)
x'- + 24(2
!)2
x4 + .. .
X 44
x2
+ a0 22 (1 i)z (1) - !1(2!)2 + 1
+
1 /
y1(x) In x + a°
que es la forma pedida en ( 20.5). La solución general es
L 22(1
24(2!)2 (1 + 2 + .. .
(6)
y = cly1 ( x) + c2y2(x).
20.5. Halle la solución general cerca de x = 0 de x2y" - xy' + y = 0.
Aquí P(x) = -1/x y Q(x) = 1/x2, entonces x = 0 es un punto especial regular. Sustituyendo (1),
(2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación diferencial y agrupando, obtenemos
X1 (X - 1)2a0 + xa+ 1 [>,2a1] + .. .
+ xa+n[(X+n)2-2(x+n)+1]a„ + ••• = 0
Entonces,
y, en general,
(X - 1)2a0 = 0
(1)
[(a + n)2 - 2(x + n) + 1]an = 0
(2)
De (1) la ecuación índice es (a - 1)2 = 0, cuyas raíces son ^,, = r2 = 1. Sustituyendo a = 1 en (2)
obtenemos n2an = 0, que implica que an = 0, n "r 1. Entonces, y1(x) = a0x.
119
CAP. 20] PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS
Para encontrar la segunda solución usamos el método descrito en el Problema 20.4. De (2), la fórmula
de recurrencia para an (n -- 1) en términos de X es todavía a, = 0. Sustituyendo estos resultados en
(20.2), tenemos y(X, x) = aox1. Entonces,
ay(a, x)
ax = aoxn In x
ay(X, x)
ax
y1(x)
In x
X=1
que es precisamente la forma de ( 20.5), donde , para esta ecuación diferencial particular bn(X1) = 0
(n = 0, 1, 2, ... ). La solución general es
y = cly1(x) + c2y2(x) = kix + k2x In x
donde k1 = clan y k2 = c2ao.
LAS RAICES INDICE DIFIEREN EN UN ENTERO POSITIVO
20.6. Halle la solución general cerca de x = 0 de x2y" + (x2 - 2x)y' + 2y = 0.
Aquí p(x)=j_ x y Q(x) = x2; entonces , x = 0 es un punto especial regular . Sustituyendo (1), (2) y
(3) del Problema 20.1 en la ecuación diferencial y simplificando , tenemos
XX [(>,2 - 3X + 2)a0] + xr+1[(1.2 - X)a1 + aao] + .. .
+ xa+n{[(a+ n)2-3(X+n)+2]an+(a--n- 1)an_1} + ••• = 0
Diviviendo por xT, descomponiendo en factores los coeficientes de a,,, e igualando los coeficientes de
cada potencia de x a 0, obtenemos
(X22-31,+2)a0 = 0 (1)
y, en general
[(a+n) - 2]» +n) - 1]a,, + (X+n-1)an_1 = 0, o
an ñ + n - 2 an-1 (1t ' 1)
(2)
De (1), la ecuación índice es >,2 - 3X + 2 = 0, que tiene como raíces X1 = 2 y X2 = 1. Como al - >12
= 1, un entero positivo , la solución está dada por (20.3) y ( 20.6). Sustituyendo X = 2 en (2), tenemos
an = -(1/n) an_1, de donde obtenemos
al
-a0
a2
1
-2a1
1
ao
1 __ 1 1 1
= _
3a2
3 2!ao
3!a0
a3
y, en general, ak = (-1)k ao. Entonces
k!
^
n
y1(x) = aox2 ' (_1) "
n=0
n!
XVI
aox2e-=
Obsérvese que no podemos encontrar la segunda solución y2(x) por repetición del método de Frobenius con la menor raíz a2. En efecto , si sustitiuimos x = 1 en (2), obtenemos
a„
Ahora, sinembargo , al no está definido, puesto que el denominador es cero cuando n = 1.
PARA ENCONTRAR y2(x) CUANDO LAS RAICES INDICE DIFIEREN EN UN ENTERO POSITIVO, primero ensaye el método simple de Frobenius con a = x2. Si no es aplicable este procedimiento, use el método dado en el Problema 20.4 para raíces iguales para obtener y(a, x). Entonces
y2(x)
_ ax [(X - %2)y(a, x)]
=x2
(S)
120 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS [CAP. 20
Para este problema, la fórmula general de recurrencia está dada por (2). Por lo tanto
1
a(a - 1) a0,
al = -^ 1 lao, a2 = -Xa1 =
-1
a3 + 1)X(X - 1) a0,
Sustituyendo estos valores en (20 . 2) obtenemos
y(X,x)
y, como
= ao rxx - (X 1 1)XX+1 +
1)xA+2
1 xA+3
+ 1)X(X - 1)
>1 - x2 = a - 1,
(a - X2)y (X, x)
Entonces
= ao
L(X - 1)xX
- xA+1 + 1
1
+
xA
x A +3 +
2 - a(a + 1)
= ao rxx + (X - 1)xX In x - xA+1 In x
aX[(x - 12) y(X, x)]
y12 XA+z + xA+2 In x
+
1 xA+3 + 1 xA+3
>,2(X + 1) X(a + 1)2
1 A+3
x
ln x +
a(, + 1)
y
y2(x)
_ ^a
10' - a2)y(X, x)
A=A2=1
X2
+1x1-Zx41nx+...l
(-In x)ao
(
- x3 + x4 +
+
ao
x2
(
x
- x3 + 4x4 +
-y1(x) In x + aox I 1 - x22 + 3x3 +
Esta es la forma pedida en (20.6) con d_1 = -1, do = a0,
La solución general es y = cly1(x) + coy2(x).
d1 = 0, d2
-a0, d3 = -4,a0,
20.7. Halle la solución general cerca de x = 0 de x2y" + xy' + (x2 - j) y = O.
Aquí P(x) = x-1 y Q(x) = 1 - x-2, por lo tanto x = 0 es un punto especial regular . Sustituyendo (1),
(2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación diferencial , obtenemos
xX[(X2 - 1)ao] + xA+1[(a + 1)2 - 1]a1
+ xA+2{[(x + 2)2 - 1]a2 + a0} + .. .
+ xA+n{[(X +n) 2 - 1]a„ + a „-2} + • .. = 0
Entonces,
(X2
»
y, para n -- 2,
+
-
1)22
1)a0
-
=
1]a1
0
=
0
(1)
(2)
[(Á + n)2 - 1]a „ + a, -2 = 0, o
a„
(ñ + n)2 - 1
a„
-2
(n-'- 2)
(3)
De (1), la ecuación índice es X2 - 1 = 0, que tiene las raíces x1 = 1 y X2 = -1. Puesto que
X1 - X2 = 2,
un entero positivo , la solución está dada por (20.3) y (20.6). Sustituyendo X = 1 en
(2) y (3) obtenemos al = 0 y
CAP. 201 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS 121
an
(n 2)
n(n + 2) ars-2
Como al = 0, se deduce que 0 = a3 = a5 = a7 Además,
-1
-1
-1
1
-1
-1
a2 = 2(4) ao = 221! 2, ao, a4 = 4(6) a2 = 242!3 ! ao, afi = 6( 8) a4 = 263! 4! ao
y, en general,
(-1)k
a2k
(k=1,2,3,...)
22kk! ( k + 1) ! ao
(-1)n 2n
Entonces ,
y1(x) =
aox
(4)
22nn ! (n + 1) 1 x
-1
en (3), obtenemos a„ = n(n
an_2, que no define a2. Entonces, el
-2)
método simple de Frobenius no nos da la segunda solución y2(x), y debemos usar la modificación
descrita en el Problema 20.6. De (2) y (3), 0 = al = a3 = a5 = • • • y
Si sustituimos
X = >12 = -1
-1
ao, a4 =
a2 (x + 3)(x + 1)
1
(a + 5)(X + 3 ) 2(X + 1) a0,
Como a - X2 = X + 1,
J + 3)2 xA+4 + .. .
(a - X2)y (1, x) = ao [(?^ + 1)xX - (X 1 3) xx +2 (X + 5)(
y
y(X, x)] = ao[xk + (X + 1)xX In x + x + 3)2 xX+2
(
dA» - X2)
(X + 3)
x a+z l nx - (X + 5)2(X + 3)2
(X+5)(X+3)3xk+4 + >, + 5)(a+3)2x1 +4lnx
Entonces
Y2(X) =
ú [(Á->,2)y(^,x)]
aolx-1+0+4x- 1xlnx - fi4x3
2 x3+ 1 x3 In x +
16
32
- 2 (In x)aox (1 - g x2 + ••• I + aol x-1 + 1 x
5
4 f4
( 1
x
3
1 x2 - 4x4 + - 6
+ 4
ao, dt = 0, con
d2 = lao, d3
Esta es
forma
d_
= 0, d4
\ =
-5
64 ao,
( la
), 1
do =20.6
solución general es y = c1y1 ( x) + c0y2(x).
_ -1(lnx)yt ( x) + aox_1
2
(5)
La
20.8. Halle la solución general cerca de x = 0 de x 2y" + (x2 + 2x)y' - 2y = 0.
Aquí P(x) = 1 + (2/x) y Q(x) = -2/ x2; entonces x = 0 es un punto especial regular . Sustituyendo
(1), (2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación diferencial y simplificando , tenemos
122 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS [CAP. 20
XA[(ñ2 + X - 2)a0] + xx+1[(N'-+ 3X)a1 + Xao] + .. .
+ xa+n([(X+n)2+(X+n)-2]a,, + (x+n-1)a„_1}
+ ... = 0
Dividiendo por xT , factorizando los coeficientes dea,,e igualando a cero el coeficiente de cada potencia
de x, obtenemos
(A2 + X - 2) a0
=
0
(1)
y, para n 1,
[(X+n) + 2][(a+n) - 1]an + (A+n-1)a,-1 = 0
que es equivalente a
an = +n +2an '
(n'1)
(2)
De (1), la ecuación índice es
X2 + X - 2 = 0 , cuyas raíces son x, = 1 y X, = -2. Como
X1 - X2 = 3, un entero positivo , la solución está dada por (20.3) y (20.6). Sustituyendo X en
(2) obtenemos an = [-1/(n + 3)] a
,_1, la cual a su turno nos da
1
al = -4a°
-5a1
a2
3!
-4! ao
\/ i1
- -5 l
4! lao
J
1
a3 - - a.2 3 . a
6-2 6! °
y, en general,
ak
Por lo tanto ,
y1(x) =
=
(_1)k3!
(k + 3)! ao
aox 1+ 3!
(-1)nxn n
n
t x
(-1) 3.
= a x Y
n=^ (n+3)! ° n=o (n+3)!
que puede simplificarse en
3ao
y1(x) = x2 (2 - 2x + x2 - 2e-')
Para encontrar y2(x), ensayamos a repetir el método de Frobenius con X _ X2. Sustituyendo
X = -2 en (2), obtenemos an = (-1/n)an_1, n 1. Nótese que en contraste con los Problemas
20.6 y 20.7 no hay ningún valor an (n 1) que no esté definido, entonces puede sarse el método
simple de Frobenius para encontrar y2(x). Obtenemos
1
1
1
al = --a° = - ! a° a2 2 a, = 2 ^ ao
y, en general, ak = (-1)kao/k! . Por lo tanto
y2(x)
aox 2
aox-2
k
1 _ 1' x + 2 ! X2 + ... + ( k ! xk +
(-1)nxn
n==ro n!
a°x-'-e-=
Esta es precisamente en la forma (20.6) con d_1 = 0 y d„ = (- 1)na°/n! .
La solución general es y=
C1y1(x) + C2y2(x)•
PROBLEMAS VARIOS
20.9. Halle una expresión general para la ecuación índice de (20.1).
Como x = 0 es un punto especial regular xP(x) y x2Q(x) son analíticos cerca del origen y pueden
desarrollarse en una serie de Taylor en ese punto. Entonces,
CAP. 20 ]
PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS 123
xP(x) = 1 Pnxn = p0 + plx + P2 X2 +
n=0
x2Q(x )
=
^
gnxn
q0 + q1x + q2 X2 + ...
=
n=o
Dividiendo por x y x2, respectivamente , tenemos
Q(x) = q0x
P(x) = Pox-1 + Pi + p2x -'r ...
2 + q1x-1 + q2 + ...
Sustituyendo estos dos resultados junto con (1), (2) y (3) del Problema 20.1 en (20.1) y agrupando,
obtenemos
xX-2[1<(a - 1)a0 + XaOPo + aogoI + ... = 0
que es válida únicamente si
ao[x2 + (po - 1)X + qo]
= 0
Como ao = 0 (a0 es una constante arbitraria y por lo tanto puede escogerse diferente de cero), la
ecuación índice es
(1)
X2 + (Po - 1 ) X + q0 = 0
si la solución se necesita alrede-
20.10 . Halle la ecuación índice de x2y" + xezy' + (x3 - 1)y = 0
dor de x = 0.
Aquí P(x)
e= 1
x Y Q(x) = x - x2, y tenemos
xP(x) = ex =
x2Q(x)
2
1 + x + x2 +
= x3 - 1 = -1 + Ox + Ox2 + 1x3 + Ox4 + • • •
de donde po = 1 y q0 = - 1. Utilizando (1) del Problema 20.9, obtenemos la ecuación índice como
Á2-1=0.
20.11. Resolver por otro método el Problema 20.3.
La ecuación diferencial dada 3x2y" - xy' + y = 0, es un caso especial de la Ecuación de Euler
bnxny(n) + bn-1xn-ly(n-1) + ...
+ b2x2y" + blxy' + boy
O(x) (1)
donde b (j = 0, 1, ..., n) es una constante . La ecuación de Euler puede transformarse siempre en una
ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes por medio del cambio de variables
z = ln x
o x = ez
(2)
Se deduce de (2) y de la regla de la cadena y de la regla de derivación de un producto que
dy _ dy dz _ 1 dy = e-zdy
dx dz dx x dz dz
(3)
d2z _ y d _ d _ dy dy dz
dx) dx^e dz) [dz^e z dx ]dx
dx2 dx(L
e zl dz) + e-z(d 2)^ e-: =
e-2 z( 12) - e-2z(d1 ) (4)
Sustituyendo (2), (3) y (4) en la ècuación diferencial dada y simplificando , obtenemos
d2y 4dy + 1y = 0
dz2 3 dz 3
Utilizando el método del capítulo 12, encontramos que la solución de esta última ecuación es y = clez+
ele<1/3)7. Después utilizando (2) y teniendo en cuenta que e(1/3)z = (ez)113, tenemos, como antes,
y = clx + c2xli3
124 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS [CAP. 20
20.12. Resolver por otro método el Problema 20.5.
La ecuación diferencial dada X2 y" - xy' + y = 0, es un caso especial de la ecuación de Euler , (1) del
Problema 20.11. Utilizando las transformaciones (2), (3), y (4) del Problema 20.11, reducimos la
ecuación dada a
d2 y
dz2 - 2 dz + y = 0
La solución de esta ecuación es (ver capítulo 12) y= ciez+coze-. Entonces, utilizando ( 2) del Problema
20.11 , tenemos para la solución de la ecuación diferencial original
y = cix + c2x In x
como antes.
20.13. Halle la solución general cerca de x = 0 de la ecuación hipergeométriea.
x(1 - x)y" + [C - (A + B + 1)x]y' - ABy = 0
donde A y B son números reales cualesquiera y C es cualquier número real no-entero.
El método de Frobenius puede aplicarse , puesto que x = 0 es un punto especial regular. Sustituyendo
(1), (2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación diferencial , simplificando e igualando los coeficientes de
cada potencia de x a cero , obtenemos
a2
+
(C
-
1)x
=
0
(1)
como la ecuación índice y
(X + n)(X + n + A + B) + AB (^)
- (a+n+1)(a+n+C) an
a"+1
como la fórmula de recurrencia . Las raíces de (1) son X1 = 0 y X2 = 1 - C; por lo tanto, X1 - a2 =
C - 1. Como C no es un entero , la solución de la ecuación hipergeométrica está dada por (20.3) y
(20.4).
Sustituyendo a = 0 en ( 2), tenemos
_ n(n + A + B) + AB
(n + 1)(n + C) a„
an+1
que es equivalente a
a„+1 =
(A + n)(B + n)
(n+1)(n+C) a„
Entonces
al
AB AB
C ao = 1iCao
a2
(A + 1)(B + 1 )
al
a3
(A + 2)(B + 2 ) _ A(A + 1)(A + 2)B(B + 1)(B + 2)
3(C + 2) a2
3!C(C+1)( C+2) ao
2(C
y y1(x) = aoF(A, B; C; x ),
+
_
1)
+ 1)B(B + 1)
2 ! C(C + 1) ao
donde
F(A, B; C; x) - 1 + AB x + A (A 1)B(B + 1) x2
1.C 2!C(C+1)
+ A(A+1)(A+2)B(B+1)( B+2) x3 +
3! C(C + 1)(C + 2)
La serie F(A, B; C; x) se conoce como la serie hipergeométrica ; puede demostrarse que esta serie es
convergente para - 1 < x < 1. Se acostumbra asignar a la constante arbitraria ao el valor de 1.
Entonces
y1(x) = F(A, B; C; x)
y la serie hipergeométrica es una solución de la ecuación hipergeométrica.
Para encontrar y2(x), sustituirnos A = 1 - C en ( 2) y obtenemos
an+1 =
(n+1 -C)(n+1+A+B-C) +AB
a„
(n+2-C)(n+1)
CAP. 20] PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS 125
o
ante
(A-C+n+1)(B-C+n+1)
_ (n.+2-C)(n+l) a,
Resolviendo para a,, en términos de ao, y de nuevo haciendo ao = 1, se deduce que
y2(x) = x1 -CF(A - C + 1, B - C + 1; 2 - C; x)
la solución general es
y = c1y1(x) + c2y0(x).
Problemas suplementarios
En los Problemas 20.14 20.22 halle por el método de Frobenius dos soluciones linealmente independientes
cerca de x = 0, utilizando cuando sea necesario las modificaciones dadas en los Problemas 20.4 y 20.6.
20.14.
2x2y"-xy'+(1-x)y = 0.
20.15 .
2x2y" + (x2 - x)y' + y = 0.
20.16.
3x2y" - 2xy' - (2 + x2)y = 0.
20.17.
xy" + y' - y = 0.
20.18 .
x2y"+xy'+x3y = 0.
20.19.
x2y"+(x-x2)y'-y = 0.
20.20.
xy" - (x + 1)y' - y = 0.
20.21 .
4x2y" + (4x + 2x2)y' + (3x - 1)y = 0.
20.22.
x2y" + (x2 - 3x)y' - (x - 4)y = 0.
20.23 . Utilice el método dado en el Problema 20.11 para hallar la solución general de
(a) 4x2y" + 4xy' - y = 0 (b) x2y" - 3xy' + 4y = 0
Respuestas a los problemas suplementarios
RF = fórmula de recurrencia
20.14 . RF: a„ =
yi(x)
= aax¡
1
[2(X + n) - 1 ] [( X + n) - 1] an-1
1
1
1 + 3 x + 30 x2 + 630 x3 +
y2(x) = aofx / 1 + x + 6x2 + 1 0 x3 +
126 PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIUS
20.15. RF: a,, = 2(X + ) - 1 an-1
1
x'
5
y1(x)
= aox I 1 - 3 x +
Y2(X)
= aox I 1 - 2 + 8 xz - 48 x3 +
20.16. RF: a„ =
105 x3 +
1
[3(X +n) + 1 ][( ^+n) - 2] an-z
yi(x)
y2(x)
20.17.
aox-110 1 -
1 1 1
2 x2 40 x4
2640 x6
Primero, por conveniencia , multiplique la ecuación diferencial por x. Entonces
RF: a,, _ (a
y,(x)
1
+ n)2an- 1
= aot 1 + x + x2 + 3 x3 + .. .
y2(x) = y,(x) In x + ao (-2x - 4x2 +
20.18. RF: a - -1 a n-3
n (,+ n)2
Y1(X)
y2(x) = y,(x) In x
20.19. RF: a,, =
+ ao ( 27x3 314 x6 +
1
+n.)+lan-^
y,(x) = aox (1 + x + 12 x2 + 60 x3 + ... /
1 1 /
y2(X) = aox - i 1 + x + 2 ^ x2 + 3^ x3 + l = aox- lex
20.20. Primero , por conveniencia , multiplique la ecuación diferencial por x. Entonces
RF: an = 1 an-1
(X+n)-2
y, (x)
= aox2 (1 + x + 2 ^ x2 + 3 ^ x3 +
y2(x)
= -yl(x) In x + a0(1 - x + x2 + 0x3 + • . • )
a0x2ex
[CAP. 20
CAP. 20] PUNTOS ESPECIALES REGULARES Y EL METODO DE FROBENIÚS 127
20.21. RF: a = 2(X+n) - 1 an-1
yt(x) = aoV-x-
1
1
1
1 - 2 x + x2 - 1 48 x3
1!2(x) _ -2y1(x) lnx + x-112(1 - 8x2 + 64x3 + ...
20.22. RF: an = - 1
-C>,+ n)-2 -n - 1
yt(x)
aox2 (1 - x + 2 x2 - 31 x3
a0x2e - _
y2(x) = y1(x) In x + aox2' x - 4 x2 + 31 x3 + .. .
20.23 . (a)
y = clx'12 + c2x -'12 (b) y = c1x2 +
c2x2 In x
Cap í tulo 21
Función Gamma . Funciones de Bessel
21.1 FUNCION GAMMA
La función gamma 1'(p), está definida para cualquier número real positivo p como
r(p) =
f
0
" xp-le-z dx
(21.1)
La ecuación funcional básica que se satisface por r(p) es
r(p + 1) = p r(p) (21.2)
(ver Problema 21.1). De ( 21.2) se puede demostrar ( ver Problema 21.3) que cuando p = n, un
entero positivo, entonces
r(n + 1) = n ! (21.3)
Por lo tanto, la función gamma (que está definida para todos los números reales positivos) es
una ampliación de la función factorial (que se define únicamente para los enteros no-negativos).
Ampliamos la definición de r(p) a los valores negativos no-enteros de p por medio de (21.2).
Por lo tanto,
1'(p) = 1 r(p + 1)
(p < 0 y no-entero )
(21.4)
Como I'(1) = 1 (Problema 21 . 2), tenemos
lim r(p) = lim r(p + 1) _ 00
p0+
p...
0+
p
lim 1'(p) =
y
p o-
lim r(p+ 1)
P-0-
= -x
P
Por lo tanto r(0) no está definido, y se deduce inmediatamente de (21.4) que r(p) no está
definido para ningúi, valor entero negativo de p.
En el Apéndice A se tabula la función gamma para 1<p<2. Con esta tabla pueden
utilizarse las ecuaciones (21.2) y (21.4) para obtener otros valores de r(p).
Ejemplo 21 . 1. Para I'(1.5) = 0.8862, con cuatro cifras decimales . Hallar (a) ['(3.5) y (6) 1'(-0.5).
(a)
De (21.2 ) con p 2.5, obtenemos 1'(3.5) = (2.5) 1'(2.5). Pero también de (21.2 ), con p = 1.5,
tenemos 1'(2.5) = (1.5) r(1.5). Entonces r(3.5) = (2.5)(1.5) r(1.5) = (3.75)(0.8862) = 3.3233.
(b) De (21 . 4), con p = 0.5, obtenemos 1'(0.5) = 2r( 1.5). Pero también de (21 . 4), con p = -0.5,
tenemos 1'(-0.5) _ -21'(0.5). Entonces, r(-0.5) = (-2)(2) r(1.5) _ -4(0.8862) = -3.5448.
21.2 FUNCIONES DE BESSEL
Supongamos que p representa un número real. La función de Bessel de la primera clase
de orden p, J, (x), es
(-1)kx1k+p
Jp(x) =
22k+pk ! r(p + k + 1)
128
(21.5)
CAP. 21 1
FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL 129
La función J„(x) es una solución cerca del punto especial regular x = 0 de la ecuación
diferencial de Bessel de orden p:
(21.6)
x2y" + xy' + (x2 - p"'2)y = 0
En realidad, J,,(x)es la solución de (21.6) garantizada por el Teorema 20.1 (ver Problema 21.6).
Si p no es un entero, entonces J,(x) es una segunda solución linealmente independiente
(21.6).
Cuando p = n, un entero, J-p(x) ya no es linealmente independiente de J, (x); en este
de
caso, la segunda solución linealmente independiente, llamada la función de Bessel de la
segunda clase de orden p, puede encontrarse por los métodos descritos en el Capítulo 20 que se
aplican a los casos 2 y 3 del Teorema 20.2. En los Problemas 21.7 y 21.8 se consideran los
casos especiales cuando p = 0 y p = 1.
En los Problemas 21.11-21.14 se dan algunas de las propiedades más importantes de
J„ (x). En el Apéndice B se dan los valores tabulados de Jo (x) y J1(x) .
21.3 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON SERIES INFINITAS
Cambio de los índices figurados . El índice figurado en una serie infinita puede cambiarse
a voluntad sin alterar la serie. Por ejemplo,
1 = 1 _
(k+1)! o (n+1)!
1 _ 1 1 1 1 1
(p+1)! - 1! + 2! * 3! + 4! + 5! + ••
Cambio de variables . Considere la serie infinita
variables j = k + 1, 6 k = j - 1, entonces
k=o (k+1)!
Si hacemos el cambio de
(k+1)! ;=1 j!
Note que el cambio de variables generalemente cambia los límites de la sumatoria. Por
ejemplo si j = k + 1, se deduce que j = 1 cuando k = 0, j = x cuando k = c, y,
mientras k va de 0 a -, j va de l a -.
Las dos operaciones dadas arriba se usan frecuentemente juntas (ver Problemas 21.9 y
21.10). Por ejemplo,
(k+1)! & (j-1)! (k1)!
Aquí, la segunda serie resulta del cambio de variables j = k + 2 en la primera serie, mientras
que la tercera es el resultado simplemente de cambiar el índice figurado de la segunda serie de j
a k. Nótese que las tres series son iguales a 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 !r + = e - 1.
Problemas resueltos
21.1. Demostrar que
r(p + 1) = p r(p), p > 0.
Utilizando (21.1), e integración por partes , tenemos,
r
r(p+1) _ (•^x(+i)-le-=dx
0
llm
r_.
r -xne-x 0
+
lim f xpe-z dx
r - x
Jí rpxp-1e-=dx,
130 FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
[CAP. 21
+0) + p J ^xp-1e-rdx = pr(p)
litn (-roe
r
»r.
o
El resultado lim roe-r = 0
se obtiene fácilmente escribiendo primero
roe-r
como
ro/er
y
utilizando después la regla de L'Hópital,
21.2. Demostrar que r(1) = 1.
Usando ( 21.1) encontramos que
r(1)
= J x1- le-^ dx
lim
r- f
0
_ ]im -e-z
e-= dx
lim (-e-r+1) = 1
0
21.3. Demuestre que si p = n, un entero positivo, entonces r(n + 1) = n! .
Esta demostración se hace por inducción . Primero consideramos n = 1. Utilizando el Problema 21.1
con p = 1 y después el Problema 21.2, tenemos
r(1 + 1) = 1 r(1) = 1(1) = 1 = i!
Ahora suponemos que r(n + 1) = n! es cierto para n = k y después tratamos de probar su validez
para n=k+1:
r[(k + 1) + i] _ (k + 1) r(k + 1) (Problema 21.1 con p = k + 1)
(k+ 1)(k!) (de la hipótesis de inducción)
(k + 1)!
Por lo tanto, por inducción , r(n+ 1) = n!
es verdadera.
Note que ahora podemos utilizar esta igualdad para definir 0! ; esto es,
o! = r(0 + 1) = r(1) = 1
21.4. Demostrar que
r(p+k+1) = (p+k)(p+k-1) • • • (p+2)(p+1) r(p+1).
Utilizando varias veces el Problema 21 . 1, donde primero p se reemplaza por p + k, después por p + k 1, etc ., obtenemos
1'(p+k+1) = r[(p+k)+1] _ (p+k)r(p+k)
(p+k)r[(p+k-1)+1] = (p+k)(p+k-1) 1'(p+k-1)
... _ (p + k)(p + k - 1)...(p + 2)(p + 1) r(p + 1)
21.5. Exprese
f
e-x2 dx como una función gamma.
0
Hagamos z = x2; por lo tanto x = x112 y dx = 1iz-112 *. Sustituyendo estos valores en la integral y
teniendo en cuenta que mientras x va de 0 a , z hace lo mismo , tenemos
f e-x2 dx
0
= J e-z(1 z-1121 dz
0
2
/
= 1 r 1
= 1 x(112)-Ie-z dz
2
0
(2
La última igualdad viene de (21.1 ) reemplazando la variable figurada x por z y con p =.
21.6 Utilice el método de Frobenius para encontrar una solución de la ecuación de Bessel de
orden p : x2y" + xy' + (
x2 - p2)y = 0
131
CAP. 21 ] FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
Sustituyendo (1), (2) y (3) del Problema 20.1 en la ecuación de Bessel y simplificando , encontramos
que
xk(X2 - p2)a0 + xk+1[(x + 1)2 - p2]a1
+ xa+2{[(X + 2)2 - p2]a2 + a0) + .. .
+ xk+n{[(A + n) 2 - p2]an + an-2} + ... = 0
Por lo tanto,
y, en general
(X2 - p2)ao = 0
[(a + 1)2 - p2] al = 0
(1)
[(a + n)2 - p2] an + an_2 = 0, o,
1
(1\ + n) 2 - p2 an-2
a,,
(2)
La ecuación índice es X2 - p2 = 0,que tiene las raíces X1 = p Y ?12 =-P (pno-negativo). Sustituyendo
x = p en (1) y (2) y simplificando, encontramos que al = 0 Y
1
+n) an-2 (n '- 2)
an = - n(2p_
Por lo tanto, 0=al=a3= as=a7_ ••.
y
-1
221 ((p+1)ao
a.,
a4
F2(p + 2) a2 = 242!
_
as
(p + 2)(p + 1) ao
1
-1
a4
223(p + 3 )
=
263! ( p + 3)(p + 2 )( p + 1) ao
y, en general,
(-1)k
a2k
Entonces ,
y1(x) _
22kk! (p+k)(p+k-1)• •( p+2)(p+l)ao
x?,
n=0
x p [ao
+
aokx2k
k_1
(_1)kx2k
k 1 22kk! (p+k)(p+k-1)...(p+2)(p+1)]
Se acostumbra escoger la constante arbitraria ao como a, = 2p r(p + 1) .
( 3)
Entonces incluyendo aoxp
dentro del paréntesis y la sumatoria en (3), agrupando y finalmente utilizando el Problema 21.4,
obtenemos
1 (-1)kx2k+p
y1(x) = 20I' (p+1)xp + k=1 22k+nk!
I'(p+k+1)
(-1)kx2k+p
k=o 22k 'pk!1'(p+k+1) JU(x)
21.7. Halle la solución general de la ecuación de Bessel de orden cero.
Para p = 0, la ecuación es x2y" + xy ' + x2y = 0, que se resolvió en el Problema 20.4. Por (4) del
Problema 20 . 4, una solución es
c (-1)nx2n
x
y1( ) = a0
o 22n(n!)2
n=
Cambiando n por k, utilizando el Problema 21.3, y haciendo ao = 20 I'(0 + 1) = 1 como se indica en
el Problema 21.6, se deduce que y1 (x) = J0(x). Una segunda solución es (ver (6) del Problema 20.4,
escogiendo de nuevo ao igual a 1)
Y2(x)
=
Jo (x) In x +
X2
X4
[ 22(1!)2 (1) 24(2 !)2+ 2{
1
xs 1
+ 26(!)2 1 + 2
1 +
3\
- ...1
132
FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
[CAP. 21
que generalmente se designa por N0( x). Entonces, la solución general de la ecuación de Bessel de orden
cero es y = c1 Jo (x) + c2 No (x).
Se obtiene otra forma común de la solución general cuando la segunda solución linealmente independiente no se hace N0(x), sino una combinación de No(x) y J0( x). En particular , si definimos
Yo (x)
= 2 [No(x) + (y - In 2)Jo (x)]
(1)
donde y es la constante de Euler definida como \
/
y = lim (1 + 2 + 3 + + k - In k 0.57721566
k-+oo \
/
puede darse la solución general de la ecuación de Bessel de orden cero como y=c1Jo( x) + c2Yo(x). En
el Apéndice B está tabulada parcialmente la función Y0(x).
21.8. Halle la solución general de la función de Bessel de orden 1.
Para p = 1, la ecuación es x2y" + xy' + (x2 - 1)y =0, que se resolvió en el Problema 20.7. Una solución
está dada por (4) del Problema 20.7; esta solución puede transformarse fácilmente en JI ( x) si se escoge
ao igual 1 / 2x(2) como se indica en el Problema 21 . 6. Una segunda solución está dada por (5) del
Problema 20 . 7 como y2(x). De nuevo se acostumbra tomar como la segunda solución, no y2(x), sino
una combinación lineal especial de y2(x) y J1 ( x) que se llama Y1 (x) y está tabulada parcialmente en el
Apéndice B. La solución general de la ecuación de Bessel de orden uno es y = cI J1(x) + c2 Y1(x).
21.9. Demuestre que
(-1)k(2k)x2k-1 _
22k+„k!r(p+k+1)
(-1)kx2k+1
-
k=O
22k +p +1k!r(p+k+2)
Escribiendo el término k = 0 separadamente , tenemos
i (-1)k(2k) x2k-1 = O +
k=0 22k+pk! r(p + k + 1)
(-1)k(2k)x2k-1
k=1
h••••'rw:1\p T"w7 1J
la cual , haciendo el cambio de variables j = k - 1, se convierte en
(-1)i+12 (j + 1)x2(1+ 1)-1
i
J=o 22(i+1 )+p(j + 1)! r( p+ j + 1 + 1)
(-1)(-1)j2( j + 1)x21+ 1
i=o 22i +p+2(j + 1)! r(p+ j + 2)
(-1)i2(j + 1)x21+1
- i=o 22i+p+ 1(2)(j + 1)(j!) r(p + j + 2)
(-1)ix2i + 1
-i0 22i+p+ 1j!r(p+j+2)
El resultado deseado se obtiene cambiando la variable figurada en la última sumatoria de j a k.
21.10. Demuestre que
(-1)kx2k +p + 2
(- 1)k(2k)x2k +p
- 22k +p +1k ! r(p + k + 2) 22k+pk ! r(p + Tc + 1)
Haga el cambio de variables j = k + 1:
(-1)kx2k+P+2
ko 22k+p+1k!r(p+k+2)
i11 22
(-1)i-1x2 (i-1)+p+2
0 -1)+p+1 (j - 1)! r(p + j - 1 + 2)
(-1)ix2i+p
i=1 22i+p -1(j - 1) ! r(p + j + 1)
CAP. 21]
133
FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
Ahora, multiplique el numerador y el denominador de la última sumatoria por 2j, teniendo en cuenta
que j (j - 1)! = j! y 22i+P- 1(2) = 22i+P. El resultado es
(-1)i(2j)x2i+p
i=1 22i+Pj ! r(p + j + 1)
Debido al factor j en el numerador, la última serie infinita no se altera si el límite mínimo en la suma se
cambia de j = 1 a j = 0. Una vez hecho esto, el resultado deseado se consigue simplemente cambiando
el índice figurado de j a k.
21.11 . Demuestre que
x
[xP+'JP+ 1(x)1 = xp +'J9(x).
Podemos derivar la serie para la función de Bessel término por término. Por lo tanto,
d [xp + 1JP
dx
(_1)kx2k+P+1
d xp+1
+1(x)]
k-0 22k+P+Ik!1'(k+p+1+1)
dx
d
dx
(-1)kx2k+21,+2
k=o 22k +P(2)k!r(k+p+2)
(-1)k(2k + 2p + 2)X2k+2P+1
k=o 22k+Pk! 21'(k + p + 2)
Notando que
nemos
2r (k + p + 2) = 2(k + p + 1) r( k + p + 1)
dx
[xP
+1JP +
y que el factor
(-1)kx2k+2p+1
1 (x)]
2 (k + p + 1) se cancela, texP+1JP(x)
k=o 22k1Pk!I'(k+p+1)
En el caso particular p = 0, se deduce que
d [xJ1 (x)]
dx
21.12 . Demuestre que
(1)
xJp (x) = pJp (x) - xJP + 1(x).
Tenemos
pJP(x) - xJP+1(x)
(_1)kx2k+p
k= 22k+pk !I'(p+k+1)
(-1) k
px k
2 +P
k-0 22k + Pk ! r (p + k + 1)
(_1)kx2k+P+1
x k=o 22k+P +Ik! r(p + k+2)
(-1)kx2k+p+2
k=0 22k+p+Ik! r(p+k+2)
Utilizando el Problema 21.10 en la última sumatoria , encontramos
pJp (x)
- xJP + 1 (x)
tes-. (-1)kpx2k+P +
(-1)k(2k)x2k+p
k== r0 22k+Pk! r(p+k+1) o 22k+Pk! 1(p+k+1)
. (-1)k(p + 2k)x2k+P k=o 22k +"k! I'(p+k+1)
En el caso particular p = 0 se deduce que
xJp(x)
xJÓ(x) _ -xJ1(x), ó
(1)
Jó(x) -J1(x)
21.13 . Demuestre que
xJp (x) = -pJP (x) + xJP-1(x).
1 k 2k+p
(_1)kx2k+p-1
(-pJ x
1) x + x Y.
p() + xJP-1(x) = -p k1 o 2zk+Pk! 1'(p +k+ 1)
k=0 22k+P-1k! I'(p + k)
Multiplicando el numerador y el denominador en la segunda sumatoria por 2 ( p + k) y notando que
(p + k) r(p + k) = r(p + k + 1), encontramos
134 FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
-pJp(x) + xJp _1(x)
=
kl
(- 1)k(- p)x2k + p
22k +Pk!1'(p + k+1) +
(-1)k
[CAP. 21
k rte
-'-^ (-1 ) k2(p+k)x2k+p
00
22k+-,k! 1'(p+k+1)
[-p + 2(p + k)]x2k +P
k=0 22k+Pk!1'(p+k+1)
(-1)k(2k + p)x2k+p =
x
22k +Pk! 1"(p + k + 1)xJ
P
k=0
21.14 . Utilice los Problemas 21.12 y 21 .13 para encontrar la fórmula de recurrencia.
Jp+1(x) = 2p J,(x) - Jp-1(x)
Restando el resultado del Problema 21.13 del resultado del Problema 21.12, encontramos que
0 = 2pJp(x) - xJp_1(x) - xJl,+l(x)
Ahora resolviendo para Jp+ 1 (x), obtenemos el resultado deseado.
Los valores J0 (x) y J1 (x) se han tabulado ampliamente . ( Ver,por ejemplo , el Apéndice B). Los valores
de Jp ( x) para cualquier otro entero positivo p pueden obtenerse fácilmente con la ayuda de la fórmula
de recurrencia dada arriba . Por ejemplo , haciendo p = 1, tenemos J2(x) = (21x)J1 (x) - Jo (x).
21.15. Demuestre que y = xJi (x) es una solución de x y- - y' - x2Jó (x) = 0.
Primero note que J1 ( x) es una solución de la ecuación de Bessel de orden uno:
x2Ji'(x) + xJ; (x) + (x2 - 1)J1 (x) = 0 (1)
Ahora sustituya y = xJ1(x) en el lado izquierdo de la ecuación diferencial dada:
x[xJ1(x)]" - [xJ1(x)]' - x2J' (x)
= x[2Ji(x) + xJ¡'(x)] - [J1(x) + xJ¿(x)] - x2Jo(x)
Pero Jo '(x) _ -J1 (x)
(por ( 1) del Problema 21.12 ), de tal modo que el lado derecho se convierte en
x2Ji'(x) + 2xJi (x) - J1(x) - xJi (x) + x2J1(x)
= x2Ji'(x) + xJi (x) + (x2 - 1)J1(X) = 0
la última igualdad se deduce de (1).
21.16. Demuestre que
y = iJ3/2(x)
es una solución de x2y" + (x2 - 2)y = 0.
Observe que J3/2 (x) es una solución de la ecuación de Bessel de orden -s1 :
)
x2J3 12(x) + xJ3/2( x) + (x2 - 4 J3i 2(x) = 0
Ahora sustituya
y = VX J3/ 2 (x) en el lado izquierdo de la ecuación diferencial dada, para obtener
I r' +
(x2 - 2 ) -vf-x- J3/2
x2[ y X- J312(X)F'
312 (x )
(x)
x2I - x -3/2J3/2
(x)
+ x-1/2,312(x)
+ x1/2J3/2(x)1
+ (x2 - 2)x1/2J312(x)
V X [x2J3/ 2 (x) + xJ3/2 (x) +
=
1x2 - 4 )J3i2(x)]
0
La última igualdad se deduce de (1). Por lo tanto , /J312( x) satisface la ecuación diferencial dada.
(1)
CAP. 21] FUNCION GAMMA. FUNCIONES DE BESSEL
135
Problemas suplementarios
21.17. I'(1.6) con cuatro cifras decimales es 0.8935. Hallar (a) 1'(2.6) y (b) I'(-1.4).
21.18. Exprese
como una función gamma.
e - =' dx
f,0z
21.19.
Calcule
21.20 .
Demuestre que
x3e-X' dx.
I
.0
(-1)k(2k)x2k-1 - - 1 (-1)kx2k+1
k-U 22k-¡k!1'(p+k)
k=o 22kk!I'(p+k+1)
21.21. Demuestre que
dx [x-PJp(x)] = -x-pJp+1( x). (Sugerencia . Utilice el Problema 21.9).
21.22.
Jy(x) - Jp (x) = 2J'(x).
Demuestre que
21.23. ( a) Demuestre que la derivada de
(^x'')[J02
(x) + Ji(x)] es
2 xJó(x).
2
(Sugerencia. Use (1 ) del Problema 21.11 y (1) del Problema 21.12).
(b) Calcule
21.24.
1
J xJá(x) dx
0
Demuestre que y = xJ,,(x )
en términos de las funciones de Bessel.
es una solución de
21.25. Demuestre que y = x2J2( x) es una solución de
x2y" - xy' + (1 + x2 - n2)y = 0.
xy" - 3y' + xy =
Respuestas a los problemas suplementarios
21.17 .
(a) 1.4296
21.20.
Primero separe el término k = 0 de la serie , después haga el cambio de variables j = k - 1 y finalmente
cambie el índice figurado de j a k.
(b) 2.6592
21.23. (b ) [J0(1) + Ji (1)]
21.18. 4 I'(4 ) 21.19. 1 1'(2) _
Capítulo 22
La transformación de Laplace
22.1 INTEGRALES IMPROPIAS
Sí g(x) está definida para a G x < -, donde a es una constante , entonces la integral impropia f g(x) dx está definida como
f 'g(x) dx =
j im f g(x) dx (22.1)
si existe el límite. Cuando existe el límite se dice que la integral impropia es convergente; de
otro modo, la integral impropia es divergente . (Ver Problemas 22.1 a 22.3).
22.2 DEFINICION DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
Suponga que f( x) sea definida para 0 L x < oc y sea s una variable real arbitraria. La
transformación de Laplace de f (x ) expresada por .( f (x)} o bien por F(s), es
{ f (x) } = F(s) = f e-sx f (x) dx (22.2)
n
para todos los valores des para los cuales la integral impropia es convergente.
Al calcular la integral en (22.2) la variable s se trata como una constante, puesto que la
integración es con respecto a x. (ver Problemas 22.3 a 22 . 8). Se calculan en los Problemas 22.4
a 22.8 las transformaciones de Laplace* para un cierto número de funciones elementales.
Algunas transformaciones adicionales se dan en la Tabla 22 - 1 y en el Apéndice C.
22.3 CONVERGENCIA EN LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
No todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Abajo se dan las condiciones en f (x) que garantizan la convergencia de la integral impropia (22.2).
Definición: Una función f (x) es de orden exponencial a si existen constantes a, M, y xo tales
que e-x1f(x)J M para todos los x xo.
(Ver Problemas 22.9-22.11).
Definición :
Una función f (x) es continua por intervalos en el intervalo abierto a < x < b si
(1) f (x) es continua en todos los puntos en a < x < b con la posible excepción,
como máximo, de un número finito de puntos X1, xz, ..., x ,,, y (2) en esos
puntos de discontinuidad , existen los límites a la derecha y a la izquierda de f (x),
respectivamente lim f (x) y lim f (x), (j = 1, 2, ... , n).
x-.x, x_.r,
( Note que una función continua es continua por intervalos).
136
k
CAP. 22]
137
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
Tabla 22-1
f(x)
F(s) {f(x)}
1.
1
1 (s > 0)
s
2.
x
22 (s>0)
3.
xn-1 (n = 1, 2, ...)
(n
2
2
4.
sn l)! (
8- 3/2 (R > 0)
s-112
1
s>0)
(s > 0)
(1)(3)( 5)...(2n-1 ) 8-n-1/ 2 (s>0)
6.
xn-112 (n=1,2,...)
7.
eax
1 (s > a)
s - a
8.
sen ax
a (s > 0)
82 + a:.
9.
cos ax
s
s-' + a2
10.
senh ax
11.
cosh ax
12.
xsen ax
13.
x cos ax
14.
xn-1eQx (n=1,2,...)
(n- 1)! (
s>a)
(s - a)n
15.
eOx sen ax
a
(s - b)2 + a2 (s > b)
16.
ebx cos ax
b
(s -sb)2 + a2
17.
sen ax - ax cos ax
20
(s2 4- a'2)2
a2 a a2
s2 8 a2
(S > 0)
( s > la^)
(s > ¡a!)
,
2as a2)2 (8>0)
(s ^ +
( s?+ a )2 (s > 0)
(a > b)
(s > 0)
138
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
[CAP. 22
Definición : Una función f (x) es continua por intervalos en el intervalo cerrado a x b si (1)
es continua por intervalos en el intervalo abierto a < x < b, (2) el límite a la
derecha de f (x) existe para x = a, y (3) el límite a la izquierda de f (x) existe para
x = b.
( Ver Problemas 22.12 y 22.13).
Teorema 22.1. Si f(x) es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado 0 x
b, b > 0, y si f (x) es de orden exponencial a, entonces la transformación de
Laplace para f(x) existe para s > a.
Problemas resueltos
(^x 1zdx
J? x'
22.1. Determine si la integral impropia
es converge„te.
R
Como
al valor
lim f
l,dx =
R-.r. ✓ 2
lim (-
r2..»
1
^
R im (- R + 2 J = 2 , la integral impropia converge
1•
22.2. Determine si la integral impropia
R
1 dx es convergente.
Y x
R
Como lim 1 dx =
linm In jxJ = lim (In R - In 9) la integral impropia es divergente . R- D X R-.x 0 R--
22.3. Demuestre aquellos valores de s para los cuales la integral impropia
Ivergente
para 8 = 0,
(
1 e-sx dx
R
ff
e-c0> (x) dx = lim
(1) dx
f
l e-sx dx
es con
R
= lim x
= lim R =
por lo tanto la integral es divergente . Para s 0,
x
R
c-Sxdx =
O
R-.
1
Jo
lim
R-
x=R
e-Sxdx =
lim
_
(-
lim -e $x
R-.x1-8
1
x=O
1 e-sR + 11
8
8
Cuando s < 0, -sR > 0; por lo tanto el límite es - y la integral es divergente. Cuando 8 > 0,
- sR < 0; por lo tanto, el límite es lis y la integral es convergente.
22.4. Halle la transformación de Laplace de f (x) = 1.
Utilizando ( 22.2) y los resultados del Problema 22.3, tenemos
para s > 0.
F(s) _ .c{1} = f
0
e-Sx(1) dx
1
CAP. 22] LA TRANSFORMACION DE LAPLACE 139
22.5. Halle la transformación de Laplace de f (x) = x2.
Utilizando (22.2) e integrando dos veces por partes , encontramos que
R
e-sxx2 dx
F(s)
lim
R-. ,,
✓p
x2e-Sxdx
x=R
lim r- x2 e -sx
2x e-sx 2 e-Sxl
R-.r S
lim -
3'
R2 e-sR
33
x=0
2
2R e-sR - s e-sR + 8
R-.m 8
Para
s < 0, lim - y la integral impropia es divergente . Para s > 0, se deduce del
R-.m
uso repetido de la regla de L'Hópital que
lim - R e-sR
R-.oo 8
lim
11!j2
R- 8esR
R_. \ 82e R /
= 0
lim -21
R -.x 83eSRJ
lim
R-
C
2R e -SR 1
S
)
= lim (-2R)
R - . seSR
También Rim (- l e-SR) = 0 directamente ; por lo tanto la integral es convergente y F(s)=2/s3«
Para el caso especial . s = 0, tenemos
Ja
e-sxx2 dx
✓p
e-s(0)x2 dx
lim 1
Rx2 dx =
R
Finalmente combinando todos los casos , obtenemos
-.x
f
3
lim R
R-.
3
.({ x2} = 2/83, 8 > 0.
22.6. Hallar .«eax}.
Utilizando (22.2), obtenemos
R
F(s)
e-sxeax
= P{eax} =
✓ pp
dx =
lim f e(a-S)x dx
R-.ao 0
e(a-s)R - 1^
lim
Hm
1
R -.. a - 8
R-' L
s - a'
para s > a
Nótese que cuando s ^ a, la integral impropia es divergente.
22.7. Hallar ^{senax}.
Utilizando (22.2) e integrando por partes dos veces, obtenemos
R
.C{senax}
e-sx senax dx =
✓p
= Rim
se-sx senax
82+ a2 -
lim se-sR sen aR R-.a s2 + a2
a
s2+a2'
para s>0
lim e-sx senax dx
R-.m
0
ae-Sx cos ax_x=R
82 + a2 x=0
ae-SR cos aR + a
82 + a2 82 +
[ CAP. 22
140 LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
22.8. Hallar P (f (x) } si
f (x)
= 1
x^4
x>4
.C(f(x)) = J^^ e-sxf(x) dx = f ;
e-sx(-1) dx +
f,
^
x=4 R
+ lim f e-32 dx
a
x=0 R-. r 4
4s
= e - 1 + lim (!l e-R£ + 1 e-4s
8 a R...oo\ a 8
4s
te _ s' para a > 0
8
22.9. Demuestre que f (X) = x2 es de orden exponencial a para todo a > 0.
Utilizando la regla de L'Hópital, obtenemos
2x
lim e-axIx21 = ]im 22
= lim = lim 2 = 0
x -.oo a2eax
x_. eax x.-.oo aeax
x-.oo
Escoja M = 1 (cualquier otro número positivo también sirve ). Entonces como lim e-axIx2l = 0, se
deduce que existe un x0 tal que e-ax¡x2I 1 = M para x L- x0.
22.10. Demuestre que f (x) = sen ax es de orden exponencial a para cualquier a 0.
Note que Isenax1 1 y que lim e-ax = 0 para a > 0. Entonces , escogiendo M = 1, se deduce que
existe un xo tal que e-ax M si x ' x0. Para a = 0, e-ax = M. Entonces
e-axisenaxI < e-ax -- M,
si x - x0
22.11 . Demuestre que f(x) = JJ(11'x-) es de orden exponencial a para cualquier a > 1.
22k+p 1
Note que para p 0 y para cualquier entero no negativo k, tenemos
Entonces, para x aL 0,
y r(k+p+1) : ¡.
(-1)k(V X )2k+p
IJp(V1)1 =
k=0 22k +pk! r(k + p + 1)
^x
I(-1)ki Ixk+P/2I
+
k=0 22k +Pk! I'(k + p + 1)
x P /2
-
xk
T
k=o 22k +Pk! 1'(k +p+1)
25 xp/2 Y. xk = 2xP/2ex
k=o (1)k! (í))
Por lo tanto,
Iim e-axIJp (V )J Iim e- ax2xP/2ex
X-4 x -.
Finalmente , escogiendo M = 1, se deduce que si
para x 1- xo.
22.12. Determine si
f(x) = x2 + 1 x 0
{ 1/x x < < 0
= lim
2xP/2
x-. ooeca-1>x
0
si a> 1
a > 1 existe un x0 tal que e—1,14 (V7)1
25 1 = M
es continua por intervalos en [-1, 11.
141
CAP. 22] LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
La función dada es continua en todos los puntos en x = 0, excepto en [-1,1 ]. Por lo tanto si
existen los límites a la derecha e izquierda para x = 0, f(x) será continuo por intervalos en [-1, 1].
Tenemos
lim 1 = -^
lim f(x) = lim (x222+1) = 1 lim f( x) = x-.0
x
x-• 0
s-0 x-.0
x
x
>0
>0
Como no existe el límite a la izquierda ,
x<0
f(x)
x<0
no es continuo por intervalos en [-1, 1].
sen -x. x > 1
22.13 Es
0 O-.!E5 x=E5 1
f (x)
continua por intervalos en [-2, 5] ?
e•' -1 <x<0
x3 xt-= -1
con excepción de los dos puntos x, = 0 y x2 = -1. (Note
La función dada es continua en [-2,5 1
que f (x) es continuo para x = 1.) En los dos puntos de discontinuidad , encontramos que
lim f(x) = lim 0 = 0 lim f( x) = lim ex = e0 = 1
x-.0 x-.0 x-. 0 .r-.0
x>0
y
]im f(x) =
lim
x<0
lim f(x) =
ex = e-1
lim x3 = -1
x-.-1
-+-1
x-1
x--1
x>-1
x<-1
Como existen todos los límites requeridos , I (x) es continua por intervalos en [-2, 5].
Problemas suplementarios
22.14 .
Determine si las siguientes integrales impropias son convergentes :
(a)
J x-1/2 dx, (b) J x x-312 dx.
1
s
22.15. Determine los valores de s, si existen, para los cuales son convergentes las siguientes integrales
impropias:
xe -sx dx
(a) J a esx dx (b)
o
o
fs
22.16.
Halle la transformación de Laplace de
(a) x,
(b) cos bx, (c) x3, (d) xeax.
22.17. Halle P{& », si
1
x 0 < x 2
(a) f(x) = 12 x > 2
(b) f(x) =
ex
0
22.18 .
1
x
x
1
<x4
>
4
Demuestre que f( x) = elx es de orden exponencial a para cualquier a 4.
22.19. Demuestre que f( x) = cos 7x
22.20.
0
es de orden exponencial a para cualquier a a 0.
Determine si las siguientes funciones son continuas por intervalos en [-1, 5]:
X2 x-2
í11(x-2)22 x>2
(a) fi x) =
4 0< x< 2
X
(e) f(x) = (x 1 2)2
x
(b) f(x) _
0
(d) f( x) = (x + 2)2
5x2-1 x:E^ 2
142
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE [CAP. 22
Respuestas a los problemas suplementarios
22.14.
( a) es divergente
22.15.
(a) s < 0
( b) es convergente
(b) s > 0
22.16. Ver Tabla 22-1.
22.17.
(a) F(s) = 1 - e-2s
82
e-(s-I) - e-4(s-1)
(b) F(s) = 1 - e-s
s
22.20.
(a)
s
-
1
Sí; (b) no, lim f(x) _ oc;
(e) no, lim f(x) (d)
x-•2 x-.2
x>2
x>'2
sí, f(x) es continua en (-1, 5]
Capítulo 23
Propiedades de la transformación
de Laplace
Los seis teoremas que se dan abajo son muy útiles, entre otras cosas, en el cálculo de las
transformaciones de Laplace. Para simplificar el enunciado de los teoremas, hacemos la:
Definición : f (x) E Ea si (1) f (x) está definida para todos los 0 x < -; (2)1(x) es continua
por intervalos en cualquier intervalo cerrado 0 x b, b > 0; y (3) f ( X) es de
orden exponencial a.
En otras palabras, estamos considerando funciones que cumplen la hipótesis del Teorema 22.1
y que además, están bien definidas en sus puntos de discontinuidad. Del Teorema 22.1 se
deduce que si f (x) E Ea entonces F(s) = e { f (x) } existe para s > a.
Teorema 23 . 1 (Linealidad ). Si f (x) E Ea y f2 (x) E Ea, entonces para dos constantes cualesquiera c, y c2, clf l(x) + c2f2(x) E Ea y
,e{clf,(x) + c2f2(x)} = cl.e{f,(x)} + c2.e{f2(x)} (23.1)
(Ver Problemas 23.1 a 23.3).
Teorema 23 .2. Si f (x) E Ea,
entonces para cualquier constante a,
.e { eaxf (x) } = F(s - a) ( s > a+ a) (23.2)
(Ver Problemas 23.4 a 23.6).
Teorema 23 .3. Si f (x) E Ea, entonces para cualquier entero positivo n,
d
^{xnf(x)}
n
_ (-1)n n [F(s)]
(23.3)
(Ver Problemas 23.4, 23.7, y 23.8).
Ejemplo 23 .1. (23.3) en los casos particulares n = 1 y n = 2 se reduce a
.^{x f(x)} = -F'(s) (23.4)
y
.C{x2 f(x)}
f (x)
Teorema 23 .4. Si f (x) E Ea y si existe lim
X_0
X
=
F„
(s)
(23.5)
entonces
x>0
f(x) } = f F(t) dt
(Ver Problema 23.9).
143
(23.6)
144 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE [CAP. 23
Teorema 23 .5. Si f(x) E Ea, entonces
{f f(t) dt}
(23.7)
S F(s)
(Ver Problema 23.10).
Teorema 23.6. Si ,f (x) es periódico con período es decir f (x + ) = f (x),
entonces,
5ef(x) dx
(23.8)
(Ver Problemas 23.12 y 23.13).
Problemas resueltos
23.1. Hallar F(s) si f (x) = 3 + W.
De (23. 1) y la Tabla 22-1,
F(s) _{3+2x2} = 3,.e{1}
+ 21{x'2}
3 + 4
8
= 3
(s)
-I- 2(2)
83
23.2. Hallar F(s) si f (x) = 2 sen x + 3 cos 2x.
De (23.1) y la Tabla 22-1,
F(s) .,({2 senx + 3 cos 2x} = 2 .P{senx} + 3 ,,C{cos 2x}
1 8
282+1 + 382+4
2 + 3s
82+1 82+4
Note que f( x) es periódico , por lo tanto puede también aplicarse el Teorema 23.6 con w = 2--
23.3. Hallar F(s) si f (x) = 2x'- - 3x + 4.
Usando varias veces (23.1), obtenemos
F(s) = .^{2x2 - 3x + 4} = 2 .e{x2} - 3.e{x} + 4 . {1}
21 83
1
- 3 ;) + 4(8)
4 _ 3 4
83 82 8
23.4. Halle t{xe4x}.
Este problema puede hacerse de tres maneras diferentes.
(a) Utilizando la ecuación de definición (22.2) directamente, obtenemos
Ver Tabla 22-1, línea 14.
.<:{xe4x} = 1/(s - 4)2.
CAP. 23 ]
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
(b) Utilizando el Teorema 23.2 con a = 4 y f( x) = x, tenemos
F(s) = e(f(x)} = C{x} _
{e4ix} = F(s - 4) = 1
(s-4)'2
(c)
Utilizando el Teorema 23.3 donde ahora f(x) = e4x y n = 1, encontramos que
F(s)
.e{f(x)}
.({xe4x} =
1
s-4
= .{{e4z} =
d( 1 ) _ 1
ds s- 4
(s-4)2
-F'(s) =
23.5. Hallar C{e-2x sen5x}.
Este problema puede hacerse de dos maneras diferentes.
(a) Utilizando la ecuación de definición ( 22.2) directamente , obtenemos
5
(s + 2)2 + 25
.({e-2t sen5x}
Ver la Tabla 22-1, línea 15.
(b) Utilizando el Teorema 23 .2 con a = -2 y fi x) = sen 5x, obtenemos
F(s) = ^{f( x)}
5
s2 + 25
_ ..e{sen5x}
5
(s+2)2 + 25
{e--2rsen5x } = F(s+2) _
23.6. Hallar e{x cosax}, donde a es una constante.
Tomando f(x) = cos ax, tenemos de la Tabla 22-1
s
F(s) = ,C{f(x)}
s2+a2
Después, usando (23.4), obtenemos
{x cos ax} _ -
d / s
l\
ds 82 + a2
82 - a2
( s2 + a2)2
que está de acuerdo con la Tabla 22-1, linea 13.
23.7. Hallar j{e-xx cos2x}.
Hagamos f(x) = x cos 2x. Del Problema 23 . 6 con a = 2, o la Tabla 22-1, linea 13, obtenemos
F(s) _
Entonces , de (23.2) con
s'--4
( s2 + 4)2
a = -1,
.e {e-=x cos 2x} =
F(s + 1) _
(s + - 4
[(s + 1))2 2 + 412
23.8. Hallar e {x712}; .
Definamos f (x) = V.
Entonces x712 = x3 = x3 f ( x) y, de la Tabla 22-1, línea 4,
F(s) C{f(x)} = ^{Vx = 2 312
145
146 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
[CAP. 23
Se deduce ahora de ( 23.3) que
(-1) s(I8
(2
y ; s-
sil) = 16
s
-9i2
que está de acuerdo con la Tabla 22-1, línea 6 , para n = 4.
23.9. Hallar {sen3x}
x
Haciendo f(x) = sen3x,
encontramos de la Tabla 22-1
F(s) = s, 3 9 o
F(t) = t2 + 9
Entonces , usando ( 23.6), obtenemos
H 3
?im
,JS t2+3g dt
1,-.r_J
t2+9
dt
= hm aretan 3
R_ im (aretan R - arctan
3)
2 - arctan 3
23.10 . Hallar {5senh2t dtj .
Tomando f( t) = senh 2t, tenemos f(x) = senh 2x. Se deduce ahora de la Tabla 22-1 que F(s)
2/(s2 - 4), y entonces , de (23. 7), que
{
j
r
1( 2 '\ - 2
S s2 - 4 S(82-4)
2t dt
J
23.11 . Demostrar que si f (x + <,) = -f ( x), entonces
5ef(x) dx
--C1 f(x)1,1, =
f(x
+ 2w)
= f [(x + w)
+ w]
1
_: -f(x
.
- 1,1
+ w)
_
-
(1)
_ -[-f(x)] = f(x)
i ( ) es periódica con período 2w. Entonces usando el Teorema 23.6 y reemplazando w por 2w,
tenemos
f 2w
¡w 2w
e - sr
f (x) dx
J e sr f(x) dx + J e-s= f(x) dx
-e U (x)}
0
1 - e-"-u.,
w
1 - e-2.s
Sustituyendo y = x - w en la segunda integral, encontramos que
f
w
2w
w
w
e - sr f (x) dx = j e-.,(„ +w)f (y + w) dy = e -ws
o
e -ws
e—,
f
0
e- su[ -f(y)] dy
f(y) dy
Q
La última integral , cambiando la variable figurada de integración a x, es igual a
-e-ws
J0
w
e -sr f (x) dx
CAP. 23] PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE
147
Entonces
(1 - e-ws ) J
e-SX f(x) dx
0
-C{f(x)} =
1 - e -2WS
(J
41
(1-e-°)J e - saf(x)dx e-sxf(x) dx
o _ .o
(1 - e-WS)(1 +
1+
e- ws)
e—s
23.12. Hallar .^{f(x)} para la onda cuadrada que se muestra en la Fig. 23-1Este problema puede hacerse de dos maneras diferentes.
(a) Note que f(x) es periódica con período m = 2, y en el intervalo 0 < x 2 puede definirse
analíticamente como
r 1 0<x=1
1 <x=2
{ -1
De (23.8), tenemos
, e sc f(x) dx
0
1-e-2s
Como
¡^ 2
J0
Jo
e-sX(1)
e -sz f(x) dx
dx + J
>
e- Sr(-1) dx
1 (e-2s - 2e-s + 1 ) = 1 (e 1)
S
s
se deduce que
(1 - e-s)2 _ 1 - e-S
s(1 - e-8)(1 + e-.,) s(1 + e-s)
(e-s - 1)2
s(1 - e- 2s)
F(s) _
esr2 1- e-s es/2 - e-sil
1 s
L
J +e
- ( s/re se
'2)
_S - tanh
sil
e]
s(1
+es 2
(b) La onda cuadrada f(x) también satisface la ecuación f(x + 1) = -f( x). Entonces , usando (1 ) del
Problema 23 .11 con w = 1, obtenemos
{f(x)} =
fo
e f(x) _
dx
e-1'(1) dx
o
1 + c -' 1 + e-s
(1/s)(1 - e-s) 1 s
_ - tanh -
1 + e-s s 2
>
1
I2
I
1
1
13
I
Fig. 23-1
4
I
le
I
17
x
I
Fig. 23-2
148 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE [CAP. 23
23.13. Halle la transformación de Laplace de la función representada en la Fig. 23-2.
Note que f(x) es periódica con período w = 2-, y en el intervalo 0 x < 2- puede definirse analíticamente como
x o- x
7 - x - x<2De (23.8), tenemos
f )re st f(x) dx
0
"e{f(x)}
Como
J^
2-
1 - e-2-5
a
e - s' f( x) dx =
^o e
- -1xx dx
+
e-sx ( 2r, - x) dx
1 (e - 27s -2e --5+1) =
(e --s
82
-1)2
se deduce que
(1/s2)(e-cs - 1)2
-{f(x)}
_ _
(1/s2 )( e-ra
1-c..._s (1-e -s)(1+e-^s)
1-e1S1 1
1
-s
s2 tanh 2
s2 1 + e r.. l
C
23.14. Hallar
{e4xx f te-4t sen3t dt
Utilizando (23.2) con a = -4 en los resultados del Problema 23.9, obtenemos
.^ e 4.v sen3x}
2 - arctan
s + 4
3
Se deduce ahora de (23.7) que
or
L e-9t sen 3t dt}
2s s arctan s 3 4
y entonces de (23.4) que
{xj e4t sen3t dt l , arctan s 4 + 3
j
s[9 + (s + 4)2]
Finalmente, usando (23.2) con a = 4, concluimos que la transformación requerida es
2(s-4)2
1
s
3
(s 4) arctan (s - 4)(s2 + 9)
Problemas suplementarios
Halle las transformaciones de Laplace de las siguientes funciones.
23.15. X3 + 3 cos 2x.
23.19.
x2 sen 4x.
23.23.
V_X e22x.
23.24. f(x) en Fig. 23-4, página 149
23.16.
5e2x + 7e-x.
23.20 .
23.17.
2x2 cosh x.
23.21.
23.18 .
2x2e -1 :osh x.
23.22 . (xe3t cos t dt.
0
x senh t d,'. 23.25.
1o t
f (x) en Fig. 23-3, página 149
f (x) en Fig . 23-5, página 149
w
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE 149
CAP. 23]
Respuestas a los problemas suplementarios
6
23.15. 74
3s
82 + 4
23.21.
(32 2- 1)2
23.22. 1 s - 3
s [(s-3)2 + 1
23.16 . 5 + 7
s-2 s+1
23.17.
23.18.
23.19.
48(82 + 3)
(82- 1)3
23.23.
4(s + 1)[(s + 1)2 + 31
23.24 ,
[(s + 1)2 - 1] 3
8(382-16)
( 32+ 16)3
23 .25.
1
s(1 + e-s)
1 - e-s - se-2s
s2(1 - e-2s)
(s + 1)e-2s + 8 - 1
32(1 - e-2s)
23.20 . 2) -312
ax
1 2 3 4 5 6 7
Fig. 23-4
Fig.23-3
1
NNN
1
Fig. 23-5
Capítulo 24
Transformaciones inversas de Laplace
24.1 DEFINICION. TEOREMA DE LA SOLUCION UNICA
Una transformación inversa de Laplace de una función dada F(s), designada por
es otra función f (x) que tiene la propiedad .^ ; f (x) } = F(s).
Ejemplo 24 .1. Si F(s) = 1/s, entonces ,e 1{F(s)} = 1, porque ..^{1} = 1/s. Si F(s) =
1/(822+1), entonces
P -1{F(s)} = sen x, puesto que .'{senx} = 1/(s2 + 1).
Teorema 24 .1. Si i{f(x)} 'g(x)} y si f(x) y g(x ) son ambas cñtinuas en 0 6 x<-O, entonces
f(x) = g(x).
Una función dada F(s) puede tener muchas, o una, o no tener transformación de
Laplace. El Teorema 24.1 sinembargo, asegura que si F(s) tiene una transformación de Laplace
inversa continua, f(x), entonces f(x) es la única transformación inversa continua de Lapláce.
de F(s). En lo sucesivo, aceptaremos que `{F(s)} representa, cuando existe, esa transformación de Laplace inversa continua y única.
Teorema 24 . 2. (Linealidad ). Si existen las transformaciones inversas de Laplace de dos funciones F, (s) y F2( s) entonces para unas constantes cualesquiera c1 y c2,
-' {c1F1(s) + c2F2 (s)} = cl.-'(Fi(s)} + c 2.e- ' {F2(s)}
Los dos métodos siguientes, junto con el Teorema 23.2, son muy útiles para calcular las
transformaciones inversas.
24.2 METODO DE COMPLETAR EL CUADRADO
Cualquier polinomio cuadrático real en s puede escribirse en la forma a (s + k)2 + h2.
En particular,
ase+bs+c =
a
S + e
)2
= a [ S2 + a S + (b
L
a
] +
/
a(s +2+ ( c-4a)
(
a(s + k)2 + h2
donde k
=b
yh=
z
c-4
á . (Ver Problemas 24.3 a 24.5).
150
L
C _ b2
4a
CAP. 24] TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE
151
24.3 METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES
Toda función de la forma a(s)/b(s), donde tanto a(s) como b(s) son polinomios en s,
puede reducirse a la suma de otras fracciones tales que el denominador de cada nueva fracción
sea un polinomio de primer grado o cuadrático elevado a alguna potencia. El método requiere
únicamente que (1) el grado de a(s) sea menor que el grado de b(s) (si este no es el caso,
efectúe primero la división y considere el residuo) y (2) b(s) sea descompuesto en el producto
de diferentes polinomios lineales y cuadráticos elevados a varias potencias.
El método se desarrolla como sigue. A cada factor de b(s) de la forma (s - a)m, se asigna una suma de m fracciones, de la forma
Al A2 A,„
s - a + (s-a)2 + ... + (s-a)A cada factor de b(s) de la forma (2 + bs + c)", se asigna una suma de p fracciones, de la
forma,
Bis + C,
Bes + C2
Bps + Cp
s2 + bs + c + (s2 + bs + e)2 + • + (2 + bs + c)°
Aquí A;, B;, y Ck (i = 1, 2, ..., m; j, k = 1, 2, ..., p) son constantes que todavía están por
determinar.
Haga la fracción original a(s)/b(s) iguala la suma de las nuevas fracciones construidas.
Simplifique la ecuación de fracciones resultante y después iguale los coeficientes de las potencias
iguales de s obteniendo por lo tanto, un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, en las
constantes desconocidas A;, B;, y Ck. Finalmente resuelva estas ecuaciones para A;, B; y
Ck. (Ver Problemas 24.6 a 24.9).
Problemas resueltos
24.1. Hallar
,^--1
2s 1
(2 +1)2 f
De la Tabla 22-1,lfnea 12 con a = 1,
-({x sen x} =
2s
(82 + 1)2
Por consiguiente , -1 {(s2 2s )2} = x sen x
1
24.2. Hallar
De la Tabla 22-1, línea 5, j{1//} _ /f; luego P-1{f/ / } = 1/,vrx. Entonces, utilizando el
Teorema 24.2, obtenemos
1
8}
24.3. Hallar ^ -1
1
1
1 s2-2s+9}
En la Tabla 22-1 no aparece ninguna función de esta forma. Pero completando el cuadrado , obtenemos
82 - 2s + 9 =
Luego,
1
82 - 28 + 9
(s2 - 2s + 1) + (9 - 1) = (s - 1)2 + (/)2
=
1
=
1
(s - 1)2 + ( V' )2 (
y^
8) ( s - 1)2 + (V '8_ )2
152 TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE
CAP. 24]
Entonces , utilizando el Teorema 24.2 y la Tabla 22-1, línea 15 , a = ^/8 y b = 1, encontramos que
1f
l
1
_
21
s'' - 2s + 9 (s - 1)2 + (Vi)2
1-e=sen^x
-V/a
24.4. Hallars +4
{s2+4s+8
En la Tabla 22 -1 no aparece ninguna función de esta forma . Completando el cuadrado en el denominador tenemos
s2 + 4s + 8 = (s22 + 4s + 4) + (8 - 4) = (s + 2)'' + (2)2
s + 4 _ s + 4
s22+4s+8
(s + 2)2 +-(2)'5
Luego,
Esta expresión tampoco se encuentra en la Tabla 22 -1. Sinembargo , si transformamos el numerador en
s + 4 = (s + 2) + 2 y después descomponemos la fracción , tenemos
s+
4
_
s+
2
2
S2 + 4s + 8 (s + 2)2 + (2)2 + (s + 2)2 + (2)2
Entonces, de las líneas 15 y 16 de la Tabla 22-1,
s+4 s+2
82+4s+8 } X (s+2)222+(2)''
+ .P-)
2
L(s + 2)2 + (2)2
e-2r cos 2x + e - 2T sen 2x
24.5. Hallar
s+2
1 s2-3s+4}
En la Tabla 22 -1 no aparece ninguna función de esta forma . Completando el cuadrado en el denominador, obtenemos
2)_
(
3
s2 - 38 + 4 = (82 - 3s + 4 1 + (4 4) l s 2
de tal modo que
s+2
s2- 3s+4
s+2
3 2
-
s-2 )
/
Ahora transformamos el numerador en
7 =
2
de tal modo que
8
s+2
s2-3s+4
3
(8-
3
2
2)+-,í7_ (
y" _7)
2
2
vr7
(s 2)2 + ( 2 )'
2 2
2) 2
Entonces,
(
s+2 1 - s 2
2
s23s+4 °e 1
3
_)
+ ( 2 )
e(3/2) x cos 2 x +
0
S
-2\2+ /2\2
^e(3 /2)•=sen-2 x
153
CAP. 24] TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE
24.6. Utilice fracciones parciales para descomponer
1
(s + 1)(s2 + 1)
Al factor lineal s + 1, asociamos la fracción A/(s + 1); mientras que al factor cuadrático
asociamos la fracción (Bs + C)/(s2 + 1). Entonces hacemos
Bs+
1 _ A
(s+1)(82 + 1) 8 + 1 + 82 + 1
32
+ 1,
(1)
Simplificando las fracciones , obtenemos
1 = A(s2+1) + (Bs+C)(s+1) (2)
o
s2(0 ) + s(0) + 1 = s2 (A + B) + s(B + C) + (A + C)
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s, concluímos que A + B = 0, B + C = 0, y
A+ C = 1. La solución de este conjunto de ecuaciones es A = 1, B = -4 y C =. . Reemplazando estos
valores en ( 1), obtenemos la descomposición en fracciones parciales
1 ? -s+4
(s + 1)(s2 + 1) s + 1 + s2 + 1
Otro procedimiento para encontrar las constantes A, B, y C en (1) es el siguiente . Como (2) debe ser
válido para todos los s, debe ser válido en particular para s=-1. Sustituyendo este valor en (2),
encontramos inmediatamente A 1. La ecuación ( 2) debe ser válida también para s = O. Sustituyendo
este valor junto con A = , en (2), obtenemos C = z. Finalmente sustituyendo otro valor cualquiera de s
en (2), encontramos que B = -z.
1
94 7 Use fracciones arciales ara descoco oner
p p p (s2 + 1)(s2 +4s+8)'
A los factores cuadráticos s2 + 1 y s2 + 4s + 8, asociamos las fracciones (As + B)/(s2 + 1) y
(s2 -I- 4s + 8). Hacemos
1 _ As+B
Cs+D
(s2 ++4s+8)
1)(s2s2
- +
82+4s+8
+ 1
(Cs + D)/
(1)
y simplificamos las fracciones para obtener
1 = (As + B)(s2 + 4s + 8) + (Cs + D)(s2 + 1)
o s1(0) + s2(0) + 8(0) + 1 = s3(A + C) + s2(4A + B + D)
+ s(8A + 4B + C) + (8B + D)
Igualando los coeficientes de las mismas potencias de s, obtenemos
A+C = 0, 4A+B+D = 0,
8A+4B+C = 0,
y 8B+D = 1
La solución de este conjunto de ecuaciones es
A -- 4
B=
7
C=
4
65
65
65
Por lo tanto ,
D=
9
65
4
7
4
9
1 _ 65 s + 65 65 s + 65
(S2 + 1) (82 + 4s + 8) 32 + 1 + 32 + 4s + 8
24.8. Utilice las fracciones parciales para descomponer 8+3
(s-2)(s +-1)
A los factores lineales s - 2 y s + 1, asociamos respectivamente las fracciones A/(s - 2) y B/(s + 1).
Establecemos
s+3
A
B
(s - 2)(s +_1)
s-2 +s+1
y, simplificando las fracciones, obtenemos
a + 3 = A(s + 1) + B(s - 2) (1)
154 TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE
[CAP. 24
Para encontrar A y E, utilizamos el otro procedimiento sugerido en el Problema 24.6. Sustituyendo
s = -1 y después s - 2 en (1), obtenemos inmediatamente A = 5/3 y B - -2/3. Entonces,
s + 3 5/3 _ 2/3
(s-2)(s+1) - 7-2 s+1
24.9. Utilice las fracciones parciales para descomponer
8
s3(s2
s-2)'
Note que.82 - 8 -- 2 se descompone en (a - 2 )(s + 1). Al factor a3; = (s - 0)1, que es un polinomio
lineal de primer grado elevado a la tercera potencia , asociamos la suma A 1/s + A 2/s2 + A 3/s3. A los
factores lineales (s - 2) y (s -r 1), asociamos las fracciones B/(s - 2) y C/(s + 1). Entonces
8 Al A., A11 B C
s3(s2 - a - 2) s + s'- + 83 s - 2 + s + 1
o, simplificando las fracciones
8 = A1s2( s - 2)(s + 1 ) + A2s(s - 2)(s + 1)
+ A3(s - 2)(s + 1) + Ba2(s + 1) + Cs:l(s - 2)
Haciendo s = -1, 2, y 0, consecutivamente , obtenemos respectivamente C = f^, B = , y A3 = -4.
Entonces escogiendo s = 1 y s = -2,, y simplificando obtenemos las ecuaciones A 1 + A., _ -1 y
2A 1 - A., _ -8, que tienen la solución A 1 = -3 y A., = 2. Note que otros dos valores cualesquiera
para s (distintos de -1, 2, 6 0), servirían también ; las ecuaciones resultantes pueden ser diferentes, pero
la solución será idéntica. Finalmente,
2 3 + 2 4 + 1/3 813
83(82 - s - 2) - E 82 83 s- 2 s+ 1
24.10 . Hallar -C- 1 l 8+3
1(s - 2)(s + 1)
En la Tabla 22-1 no aparece ninguna función de esta forma . Utilizando los resultados del Problema
24.8 y el Teorema 24.2, obtenemos
s+3 t = 5 .l1 1 2 J - ,
{(s - 2)(s + 1 ) f 3 1 s - 2j 3 ls + 1}
3^
24.11. Hallar (- 1 Í 8
1.8 3 (82--s-2)f
En la Tabla 22-1 no aparece ninguna función de esta forma . Utilizando los resultados del Problema
24.9 y el Teorema 24.2, obtenemos
1'i 8 } = 3 l j l} + 2 1 l f
-2
} + 3.( 1•^s
{1}
1
j
+ lí
1171-2
1
_
+1 }
-3 + 2x - 2x2 + 3 r2.r + 3 ^.
24.12. Hallar
(s + 1)(s2 + 1)}
Usando los resultados del Problema 24.6, y notando que
-1s
+}
82 +1
-.f
CAP. 24]
TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE
155
Encontramos que
) 1 1 ' 1 1 j s 1
^^(st11(s'-+1)f L ^^s+l^ 2L Is2+1^ 2^
1
1 1
-1'
= ^c
- 2cosx - 2senx
24.13. Hallar (-' 1 1
(s2 + 1)(s2 + 48+8 )f
Del Problema 24.7, tenemos
f
1
1(82+ 1)(s2+4s+8)
4 -65s + b 66W5S2 +1
+ s2+4s+8
J
El primer término puede calcularse fácilmente si notamos que
5s + 65
4 7 1
_ (_S22-rl 65Js2+1 (65)S2+1
Para encontrar el segundo término , debemos completar primero los cuadrados en el denominador,
s2 + 4s + 8 = (s + 2)2 + ( 2)2, y después t ener en cuenta que
4
9
65s+65 4 s+2 1 2
s2 + 4s + 8 65 L(s + 2)2 + (2)2] + 130 ^(s + 2)2 + (2)2]
Por lo tanto
1
(s2 + 1)(s2 + 4s T8)
4 s t 7
65 e {s' + l j + 65 e
4 s+2
+ 65 C (s + 2)2 + (2)2
+ 130 e-1 {
2)2 (2)2}
-b5cosx + c5senx + 5e-2a cos 2x + 140 e- ?= sen2x
24.14.Hallar
ls(s2+4)j
Por el método de fracciones parciales , obtenemos
1 _ 1/4 + (-1/4)s
8(82 + 4) s s2 + 4
Luego,
i'
) j 1 = 1 i jll _ 1
s(s2 + 4
4 e s J 4
r
s2 + 4 J 4
Problemas suplementarios
24.15. Usando la Tabla 22 - 1, halle la transformación inversa de Laplace de
1
(a) s + 2
(e)
1
(b) s2 + 4
(d)
2
(s - 2)2 + 9
8
(S+ 1)2 + 5
(e)
2s + 1
(8 - 1)2 + 7
(f)
1
282 + 1
4 cos 2 x
TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE [CAP. 24
156
24.16.
Completando primero el cuadrado , halle la transformación inversa de Laplace de
1
(a) 82 - 2s + 2
24.17 .
( b) 82+2s + 5 (c) s2-s +17/4
s+1
(d) 82+3s+5
Use el método de fracciones parciales para descomponer
282
O
(b) s2-1
(a) (8 -1)(82 + 1)
2
(82 + 1)(s - 1)2
24.18 .
Halle las transformaciones inversas de Laplace de las funciones dadas en el Problema 24.17.
24.19.
Halle las transformaciones inversas de Laplace de
(a)
2s - 13
8(82 - 48 + 13)
(b)
2(s- 1)
82 - 8 + 1
B
()
1
1/2
2(s - 1)(s2 - s - 1) (8 - 1 )(82 - 8 - 1)
(d)
88
( e) 282 + 4s + 5/2
s2 + 2s + 5/4
8
(s2 + 9)2
Respuestas a los problemas suplementarios
24.15 .
(a)
e-x cos x - ^e-x sen'x
(d)
e-2x
(b) 2 sen2x (e)
2excos/x + ^exsenVx
( e) 3 e2x sen 3x (f)
1 1
^senr2x
24.16. ( a) ex sen x
(e) e(112)x cos 2x + 4 e(1/ 2)x sen 2x
(b) e-x cos 2x + e-x sen2x
(d)
1 e-(312)x sen 11 x
e- (312)X cos 11 x 2 11 2
24.17. (a)
(e) s + -1 + 1
1 + 8 + 1 (b) } +
s-1 82 + 1 s -1 8 + 1 82+1 8-1 (s-1)2
24.18. (a)
ex + cos x + senx
(c) cos x - ex + xex
(b) 2 ex - 2 e-x
24.19 . (a) -1 + e21 cos 3x
(b)
2e(1/2)x cos V x - 2 ec1/2)x sen - x
2
2
(e) 6 x sen3x
(d)
( Tabla 22-1, línea 12)
1 x + 2lel
e(1/2)x cosh e<1 12>xsenh x
-2e
2
(e) 2excos2x - e-xsen2x
2V5
2
Capítulo 25
Circunvoluciones y la función
de paso unitario
25.1 CIRCUNVOLUCIONES
Hagamos f(x) E Ea y g(x) E E« ( ver Definición en el Capítulo 23). La circunvolución (o
faltung ) * de f(x) y g(x) es
1(x) * g(x) = 5f(t) g( x - t) dt
Ejemplo 25 .1. Si f(x) = e3x y g(x) = e2x, entonces
f(x) * g(x) =
Teorema 25 .1.
f(t) = e3t , g(x - t) = e2(x-t)
e3te2<x-q dt =
e3te2xe-2t
fo r
^x
e2x
(25.1)
r Lox
f¡^x
et dt = e2x er
a
[
=
y
dt
e2X(ex - 1)
= e3x - e2x
f(x) * g(x) = g(x) * f(x).
(Ver Problema 25.3).
Teorema 25 . 2. (Teorema de circunvolución ). Si e {f (x) } = F(s) y ^ {g(x) } = G( s), entonces
.^{f(x) *g(x)} = -C{f(x)}.P{g(x)} = F(s)G(s)
Para las aplicaciones , es muy útil expresar el Teorema 25.2 como
o(-1{F(s) G(s)} = f(x) * g(x) (25.2)
Algunas veces es más fácil efectuar g(x) *f (x ) que &) * g(x). Entonces se transforma (25.2)
utilizando el Teorema 25 . 1, como .(- 1{F(s) G ( s)} = g(x) * f( x). (Ver Problema 25.4).
25.2 LA FUNCION DE PASO UNITARIO
La función de paso unitario u(x) se define como
0 x<0
1 x^0
Como una consecuencia inmediata de la definición , tenemos para cualquier número c,
* Nota del traductor: Se usa aquí el término `circunvolución" como equivalente en español de la palabra alemana " faltan`",
aunque está muy extendido el empleo de la expresión "convolución" con el mismo significado.
157
[CAP. 25
158 CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO
La representación gráfica de u(x - e) se ve en la Fig.
rt(x - e)
25-1.
4
Teorema 25 .3.
{u(x-c)} = se
(Ver Problema 25.7).
Dada una función f (x) definida para x -- 0, la función
f
u(x - c) f (x - c)
e
x<c
0
1f(x-c) x-c
representa una translación o translado de la función
f (x), e unidades en la dirección positiva de x. Por
ejemplo, si f(x) se representa gráficamente en la Fig.
25-2 entonces u(x - c) f (x - e) está representado gráficamente en la Fig. 25-3.
Fig. 25-1
it(x - c) f(x - e)
f(x)
e
Fig.25-2
Fig.25-3
(f(x)}, entonces
Teorema 25 .4. Si f(x) E Ea, y F(s) _
A la inversa,
,e [u(x-c) f(x-e)} = e—SF(s).
0
.,e-l{e-F (s)}
= u(x - c ) f(x- c) =
x<c
f(x-c) x,c
Problemas resueltos
25.1. Para g(x) y f (x) como en el ejemplo 25.1, hallar g(x) * f (x) y verificar después el Teorema 25.1.
Con f ( x - t) = e3 ( x-t) y g(t) = e21,
g(x) ' f(x) = f x g(t) f(x - t) dt
e3x f
e-t dt
=
_
J e2te3(x-t> dt
r
t==
e3xl -e-t]'.0
= e3x(-e x + 1) = e3x - e2x
que es igual a f(x) * g(x),
como en el Ejemplo 25-1.
CAP. 25] CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO 159
25.2. Hallar f (x) * y(x) si f (x) = x y y(x) = x2.
Aquí
f (t) = t y g(x - t) =. (x - t) 2 = x2 - 2xt + t2. Entonces,
f(x) * g(x)
f t(x2 - 2xt + t2) dt
0
:
t2 dt + f t3 dt
x2 f t dt - 2x
0
J
0
0
X2 x2 - 2x x3 + x4 =
1 x4
2 3 4 12
25.3. Demuestre el Teorema 25.1.
Haciendo la sustitución
r = x - t en el lado derecho de ( 25.1), tenemos
fx o
f(x) * g(x)
x -- t) dt
f f(t) g(
-
f
=
o
f( x - T) g( T) (-dr)
x
g(r) f (x - r) d r = f
x
g( T)
f (x - r) dr
o
g(x) * 1(x)
25.4. Hallar e_ 1
1 por medio de circunvoluciones.
s(82 ;4)}
Note que
1 8(S2+ 4)
1 1
8 82 + 4
Definiendo F(s) = 1/s y G(s) = 1/( 82 + 4), tenemos , de la Tabla 22 -1, f(x) = 1 y g(x)
De los Teoremas 25.2 y 25.1 se deduce ahora que
.e-1{s(s2+4)} 1 {F( s)G(s)} = g (x)*f(x)
f xg(t) f(x - t) dt
0
f \sen2t(1) dt
4 (1 - cos 2x)
Ver también el Problema 24.14.
25.5. Hallar Q-1 {(hl)2} por circunvoluciones.
Si definimos F(s) = G(s ) = 1/(9 - 1),
entonces f(x) = g(x) = ex y
.e-1 {(s 11)2 } = e-1 {F(s) G(s)} = f( x) * g(x)
o f(t) g(x - t) dt =
etex-1 dt
o
o
x
ex f (1) dt = xex
o
sen 2x.
160 CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO [CAP. 25
25.6. Demuestre que
f (x) * [g(x) + h(x)] = f (x) * g(x) + f (x) * h(x).
&) * [g(x) + h(x)] = f z f( t) [g(x - t ) + h(x - t)] dt
0
fs
[f(t) g(x - t) + f(t) h(x - t)] dt
0
J0
Xf(t) g(x-t)dt + ^f(t)h( x-t) dt
0
f(x) * g(x) + f(x) * h(x)
25.7. Demuestre el Teorema 25.3.
.p{u(x - c)}
= J e--u(x - c) dx =
0
J
e -sx dx =
c
J e-57(0) (1x + f. e-5x(1) dx
e sR - e - se
lim e ckr.
lim
R -..
R-+'t..
-s
le-Sc (sis>0)
25.8. Haga la representación gráfica de la función f (x) = u(x - 2) - u(x - 3).
Note que
y u(x - 3) =
1 x _ 3
1 x'2
0-0 = 0 x < 2
f(x) = u(x- 2) - u(x - 3)
Entonces,
1-0=1 2x<3
1 -1 = 0 x ' 3
cuya representación gráfica se da en la Fig. 25-4.
u(x - 2) - u(x - 3)
Pendiente = 1
I
I
Ly^'
1
2
3
4
^ x
5
Fig.25-4
1
2
3
4
5
6
Fig.25-5
25.9. Utilice la función de paso unitario para dar una expresión analítica a la función f (x)
representada gráficamente en la Fig. 25-5.
Note que f(x) es la función g(x) = x, x
Entonces
0, transladada cuatro unidades en la dirección positiva de x.
f(x) = u(x - ,-)g(x - 4) = u(x - 4) (x - 4).
t
CAP. 251 CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO
25.10 . Hallar
g(x) =
si
Í
161
0 x<4
(x -4)2
x'4
Si definimos f(x) = x2 entonces g(x) puede darse en forma compacta como g(x) = u(x - 4)
f(x - 4) = u(x - 4)(x - 4)2. Entonces , teniendo en cuenta que . {f(x)} = F(s) = 2 /s3
y utilizando
el Teorema 25.4 concluimos que
e--4s 2
s3
{g(x)} _ .C{u(x - 4)(x - 4)2} =
g(x) =
25.11 . Hallar . {9(x)} si
Primero determinamos una función f(x) tal que f(x - 4) = x2. Una vez hecho esto , g(x) puede
escribirse como g(x) = u(x - 4)f (x - 4) y puede aplicarse el Teorema 25.4. Ahora , f (x - 4) = x2 únicamente si
f (x) = f (x + 4 - 4) = (x + 4 )2 = x2 + 8x + 16
Como
s
2 + 8 + 16
{f(x)} = .C{x22} + 8.C{x} + 16 C{1} =
Se deduce que
P{g(x)} = .e{u (x - 4) f(x - 4)}
= e-45 (33 + 8 + 6
82 1 )
Problemas suplementarios
25.12 .
Determine
25.13.
Use las circunvoluciones para encontrar la transformación inversa de Laplace de
(a)
f (x) * g(x) y g(x) * f (x) si f (x) = 4x y
1
(s- 1)(s -2)
g(x) = e2x.
1
2
(b) (s)(8) (e) 8(8+ 1)
25.14. Halle -C-1 {8(821+ 4)} por cincunvoluciones , haciendo F(s) = 1/s2 y G(s) = s/( s2 + 4). Compare sus
resultados con los del Problema 25.4.
25.15.
Demuestre que para cualquier constante k, [kf(x)] * g(x) = k[f(x) * g(x)].
25.16.
Represente gráficamente
f (x) = 2u(x - 2) - u(x - 4).
25.17.
Represente gráficamente
f (x) = u(x - 2) - 2u(x - 3) + u(x - 4).
25.18. Halle .C{g(x)} para
0 x<2
0 x < 1
(a) g(x) =
25.19.
Determine
.C-1{F(s)} = f(x)
(a) F(s) = s25.20.
sen (x - 1)
8
4 e-T's
x 1
(b) g(x) =
x3+1 x?^: 2
para
(b) F(s) = e-s
s3
Represente gráficamente las funciones f(x) halladas en el Problema 25.19.
162 CIRCUNVOLUCIONES Y LA FUNCION DE PASO UNITARIO [CAP. 25
Respuestas a los problemas suplementarios
25.12.
e'! - (2x + 1)
1
25.18. (a) e
s2
+1
(b) g(x) = le(x - 2) f(x - 2)
25.13.
(a) e2i'-e ' (b) x (c) 2(1 - e - r)
12 12 91
G(s) e
25.16. Ver Fig. 25-6.
S3
25.17. Ver Fig. 25-7.
3-
25.19. (a) v(x - -) cos 2(x - -) (b) 2 (x - 1)''o(x - 1)
25.20.
(a)
Ver Fig. 25 - 8.
(b)
4 f(x)
4 f(x)
t-^
1
1
2'
1
si
f (.r) = x:1 + 6x2 + 12x + 9;
2
3
4
5
6
Fig. 25-7
Fig. 25-6
Fig.
25-8
Fig.
25-9
Ver Fig. 25-9.
Capítulo `1Ó
Soluciones de las ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes por
medio de las transformaciones de Laplace
26.1 TRANSFORMACIONES DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS
La transformación de Laplace se usa para resolver problemas de valor inicial dados por la
ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
n
n
1
... + bl dx + boy = 9(x) (26.1)
bn drn ± bn-i din J +
junto con las condiciones iniciales
ry(n
y(0) = Co, y,( 0) = e
-I)(
0)
(26.2)
= Crt-1
Se necesita el siguiente resultado.
Teorema 26 .1. Denote
Q{y(x)}
por Y(s). Si
y(x) y sus primeras ?¿ - 1 derivadas son
continuas para x -- 0 y son de orden exponencial a, y si d t/ E E,,, entonces
dx
d ny
dxnf
=
Sn
ly(0) _
- ... _
y,(0)
s 2
5.,,(n
->,(0) -
Y,n
1)(0)
(26.3)
Utilizando ( 26.2) podemos transformar (26.3) en
fdrd _
1dx"}
snY(S ) - CoSn 1 - C,Sn '? - ... - Crc 2s - C., l (26.4)
En particular, para n = 1 y n = 2 , obtenemos
{Y,(x)} = sY(s) - co
(26.5)
{y"(x)} = s2Y( s) - cos - cl
(26.6)
26.2 SOLUCION DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Para resolver el problema de valor inicial dado por (26. 1) y (26. 2) tome primero la
transformación de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial ( 26.1), obteniendo por lo
tanto una ecuación algebraica que contiene Y(s). Resuelva esta ecuación para Y ( s) y después
tome la transformación inversa de Laplace para obtener y(x) = -'{Y( s)}. (Ver Problemas 26.1
a 26.12).
A diferencia de los métodos anteriores , donde se resuelve primero la ecuación diferencial
y después se aplican las condiciones iniciales para encontrar las constantes arbitrarias, el método de la transformación de Laplace generalmente resuelve el problema completo de valor
inicial en un solo paso. Hay una excepción cuando las condiciones iniciales no se dan para x =
0. En los Problemas 26.3 y 26 . 9 se encuentra un procedimiento para desarrollar este caso.
163
7
164 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE [CAP. 26
Problemas resueltos
26.1. Resolver y' - 5y = 0; y(0) = 2.
Tomando la transformación de Laplace de ambos lados de esta ecuación diferencial y usando el
Teorema 23 . 1, obtenemos
5 .C{y} =
{0}. Entonces , usando (26.5) con co = 2, encontramos
[sY(s) - 2] - 5Y(s) = 0
de lo cual Y(s) = 2
- 5
Finalmente , tomando la transformación inversa de Laplace de Y(s), obtenemos
{___
s 2 5^ = 2 i {s 5} = 2e5x
y(x) i{Y(s)}
26.2. Resolver y' - 5y = e5t ; y(0) = 0.
Tomando la transformación de Laplace a ambos lados de esta ecuación diferencial y utilizando el
Teorema 23 . 1, encontramos que ¿{y'} - 5 J{y} = {e5s}. Entonces, usando la Tabla 22-1 y (26.5)
con co = 0, obtenemos
[sY(s) - 0] - 5Y(s) = 1
s
-
de donde Y(s) = 1
5 (s - 5)'
Finalmente , tomando la transformación inversa de Laplace de Y(s), obtenemos
l_ =
y(x) = t-({Y(s)} = -1 { 1
(s - 5)2J
(ver Tabla 22-1, línea 14).
xe5x
26.3. Resolver y' - 5y = 0; y(-) = 2.
Tomando la transformación de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial , obtenemos
.¿{y'} - 5 C{y} = ,e f0}
Entonces , utilizando (26.5) dejando arbitrario
co = y(0)
tenemos
[sY(s) - co] - 5Y( s) = 0 o Y(s) = co
5
Tomando la transformación inversa de Laplace , encontramos que
v(x) =
!-1l Yfsll
= r,. r - (
Ahora usamos las condiciones iniciales y desarrollamos para co (ver Capítulo 16). El resultado es
co = 2e -51y, y( x) = 2e5 (z-,;).
26.4. Resolver
y' + y = senx; y(0) = 1.
Tomando la transformación de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial , obtenemos
P{y'} + .({y} = {senx} o [sY(s) - 1] + Y(s) = 1
s'= + 1
Resolviendo para Y(s), encontramos
_
1
1
Y(s) (s + 1)(s2 + 1) + s + 1
Tomando la transformación inversa de Laplace , y usando el resultado del Problema 24.12, obtenemos
1
y(x) _ {y(s)) = -1{ 1 } + e-i { 1
(s + 1)(82 + 1) + 11
- (2e z - 2 cos x + 2 senx ) + e- =
e-x - 2 cos x + 1 senx
2
CAP. 26] SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE 165
y" + 4y = 0; y(0) = 2, y'(0) = 2.
26.5. Resolver
Entonces , utilizando (26.6)
Tomando la transformación de Laplace , tenemos ,C {y"} + 4
con cp = 2 y el = 2, obtenemos
[s'2Y(s) - 2s - 2] + 4Y(s) = 0
o
Y(s)
=
2s+2 2s 2
s2+4 s2+4 s'-+4
Finalmente, tomando la transformación inversa de Laplace , obtenemos
y(x) _ 1{Y(s)}
= 2 1 {3, +.41 + P
- + 4} = 2 cos 2x + sen 2x
( Ver Problemas 12.5).
26.6. Resolver
y" - 3y' + 4y = 0; y(0) = 1, y'(0) = 5.
Tomando las transformaciones de Laplace , obtenemos .e{y"} - 3.p{y'} + 4..C{y} =
ces, utilizando tanto ( 26.5) como ( 26.6) con co = 1 y cl = 5, tenemos
p{0}. Enton-
[s2Y(s) - s - 5] - 3ísY(s) - 1] + 4Y(s) = 0
s+2
Y(s) s2 - 3s + 4
o
Finalmente , tomando la transformación inversa de Laplace y usando el resultado del Problmea 24.5,
obtenemos
y(x) = e(s,'')T cos
26.7. Resolver
y" - y' - 2y = 4x2;
2
x + e(312) x sen 2 x
y(0) = 1, y'(0) = 4.
.^{y"} - .e{y'} - 2 . {y}
Tomando las transformaciones de Laplace , tenemos
usando tanto ( 26.5) como (26.6) con co = 1 y el = 4, obtenemos
[82Y(s) - s - 4] - [sY(s) - 1] - 2Y(s) _
= 4 . {x222}.
Después,
8
s3
o, resolviendo además para Y(s),
() _ s+3 8
f s s'--s-2 + s"(s2 -s-2)
Finalmente , tomando la transformación inversa de Laplace y usando los resultados de los Problemas.
24.10 y 24. 11 obtenemos
y(x) =
+ 3 e - --T
1 3 e2x - 3 e-x +
+ 2x - 2x'- + 3 e'
(_3
2e2x+2e-x-2x2+2x-3
26.8. Resolver
y" + 4y' + 8y = senx; y(0) = 1, y'(0) = 0.
Tomando las transformaciones de Laplace . obtenemos
cc = 1 y cl = 0, se convierte en
.({y"} ± 4 .e{y'} + 8 .L{y} = ,.e{senx}. Como
[s2Y(s) - s - 0] + 4[sY(s) - 1] + 8Y(s) =
1
82 + 1
_ s+4 1
Luego, Y ( s) - 82 + 4s + 8 + (s2 + 1 )( s2 -i- 4s + 8)
166 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE [CAP. 26
Finalmente , tomando la transformación inversa de Laplace y usando los resultados de los Problemas
24.4 y 24. 13, obtenemos
y(x) = (e-2x cos 2x + e-2x sen2x)
1
+ (- 65 cos x + 6j sen x + fi5 e -- 2x cos 2x + 130
e 2x sen 2x
e-2x `6 cos 2x + 131 sen2x I + 65 senx 65
- cosx
(Ver Problema 16.3).
26.9. Resolver
y" - 3y' ± 2y = ex; y(1) = 0, y'(1) = 0.
Tomando las transformaciones de Laplace , tenemos
({y"} - 3 P{y'} + 2.C{y}
fs2Y(s) - scp - c1i - 3[sY(s) - co] + 2[Y(s)] =
1/(s + 1)
Aquí co y cl deben permanecer arbitrarias, puesto que representan y(0) y y'( 0), respectivamente, que
todavía son desconocidas . Entonces,
Y(s)
s-3
1
1
- CO s2 - 3s + 2 + c1 82 - 3s + 2 + (s + 1)(s2 -3s+ 2)
Usando el método de las fracciones parciales ( Sección 24 . 3) y notando que s22-3s +2=(s-1)(s-2),
obtenemos
y(r)
= coC_+s
2
en(2ex - e2x)
=
1/6 -1/2 1/3
s-2 `^ +s-1+s-2
+ +
+Is-1
1 {í7+_1
-2f
+ c1(-ex + e2x) + l 1 e-= - 2 ex + 3 e2x)
( 2co-c1- 12)ex +
(_
l ` e2x +
C0 + c1 ±-
1e-x
dpex + dle2x + e—
donde d1, = 2c0 - el
,
y di _ J.
-e0 + el + i
Aplicando las condiciones iniciales a esta última ecuación , encontramos que clc=-te - y d1 = le-3•
luego,
Y(X) =
26.10 . Resolver
- 2 e' -2 + e2x-3 + 6 e-x
y" - 2y' + y = f(.r); y(0) = 0, y'(0) = 0.
En esta ecuación f(x) no está especificado . Tomando las transformaciones de Laplace y llamando
,,C {f(x)} como F(s), obtenemos
[s2Y(s) - (0)s - 01 - 2[sY(s) - 0] + Y(s) = F(s) o
Y(s) = F(s)
(s - 1)2
De la Tabla 22-1, línea 14 , . -1 { 1/(s - 1)2) = xex. Luego , tomando la transformación inversa de Y(s)
y usando circunvoluciones , concluímos que
y(x). = xex * f(x) =
J n 'ter f( x - t) dt
M l 1
¿13.1 l . Kesolver
y" + y = /(x);
1(( 0) = 0. v'(0 ) = 0 si f(.r.l =
X -- 1
Note que
f(.r) = 2r1(x - 1).
Tomando las transformaciones de Laplace , obtenemos
[s2Y(s) - (0)s - 0] + Y(s) =
./{f(x)}
= 2^{e^(x 1)} = 2e-s/s
CAP. 26] SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE 167
2
Y(s) = e s(s'+ 1)
0
Como C
2
y(s° + 1)1
2,e-
1
2e
1sJ t82 + 1 1
^.^i^
-1
1R
2 - 2 cos x
se deduce del Teorema 25.4 que
Ja ( x )
s 2
= e t.^
] e s(s
1)=
- [2 - 2 cos (x - 1)]u(x - 1)
26.12 .Resolver y"' + y' = e.r; y(0) = y'(0) = y"(0) = 0.
Tomando las transformaciones de Laplace , obtenemos
el Teorema 26.1 con n = 3 y (26 . 5), tenemos
-c{y"'; + .e{y'} = . e{ex}.
Entonces , usando
[s3Y(s) - (0)92 - (0)s - 01 + [sY(s) - 0] = 1
o Y(s) = 1
S - 1 (s - 1)(s" + s)
Finalmente , usando el método de fracciones parciales y tomando las transformaciones inversas, obtenemos
1 1
_s-1
4
s 1 + s' f 1}
-1 + 2 ex + 2 cos x - 2 sen x
Problemas suplementarios
Use las transformaciones de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial.
26.13. y' + 2y = 0; y(0) = 1.
26.14. y' + 2y = 2; y(0) = 1.
26.15. y' + 2y e•r; y(0) = 1.
26.16. y' + 2y = 0; y(1) = 1.
26.17 . r/' + 5y = 0; y(1) = 0.
26.18. y" - y = 0: y(0) = 1, y'(0) = 1.
26.19.
y" - y = sen x;
y(0) = 0, y'(0) = 1.
26.20 . y" - y = ex; y(0) = 1, y'(0) = 0.
26.21.
y" + 2y' - 3y = sen 2x; y (0) = y'(0) = 0.
26.22. y" + y = senx; y (0) = 0, 00) = 2.
26.23 .
Y" + y' + y = 0:
y(0) = 4, y'(0) = -3.
26.24 . y" + 2y' + 5y = 3e-2z; y(0) = 1, y'(0) = 1.
26.25.
Y" + 5y' - 3y = u(x - 4):
y(0) = 0, y'(0) = 0.
168 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE [CAP. 26
26.26.
Y" + y = 0; y ( es) = 0, y'(ir) _ -1.
26.27. Y- - y 5; y ( 0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = O.
26.28 . y(a) y = 0; y( 0) = 1, y'(0 ) = 0, y"(0) = 0 ,
y"'(0) = 0.
Respuestas a los problemas suplementarios
26.13.
y = e-2x
26.14. y = 1
26.15 . y = 2 e-2x + 3 e'
26.16. y
= e-2(x -1)
26.17. y = 0
26.18. y = ex
26.19. y = 4e' - 4 e-' - 1 eenx
26.20.
y = 4ex + 4 e-' + 2 xex
26.21. y = 10 ex - 26 e-3x - fi5 cos 2x - 65 sen2x
26.22.
y = 5eenx - 1 2- cosx
? e-(1/2)xsen 3x
2
26.23. y
4e 112>' cos 2 x
26.24. y
6 e-2x + 5.e-xcos2x + 3
i e-' sen2x
26.25. y
6 e-(512)(X- 4)senh 37 (x-4)
+ 1 e-(512)('-4> cosh 37(x-4) +
3
2
3 ,í37
1- 3
2
26.26 .
y
= sen x
26.27. y = -5 + 3 ex + 3ó e-(1121' cos 2 x
26.28 .
1 ex + 4 e-' + 2 cos x
y 4
1
u(x-4)
Ca pítulo 27
Soluciones de sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes
constantes por medio de las
transformaciones de Laplace
Las transformaciones de Laplace también se usan para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes. El método es idéntico al que se di6 en el
Capítulo 26, con la excepción de que ahora debemos resolver un sistema de ecuaciones algebráicas lineales simultáneas en vez de una ecuación algebráica lineal.
Problemas resueltos
27.1. Resolver el sistema
y'+z = x
z' + 4y = 0;
y(0) = 1, z(0) = -1
Llame C(y(x)} y .,J(z(x)} como Y(s) y Z( s) respectivamente . Entonces , tomando las transformaciones
de Laplace en ambas ecuaciones diferenciales y usando el Teorema 26 . 1, obtenemos
sY(s) + Z(
[sY(s) - 11 + Z(s) = 1
s) = s2 + 1
s'=
o
[sZ(s) + 1] + 4Y(s) = 0 4Y(s) + sZ(s) = -1
La solución de éste último conjunto de ecuaciones simultáneas lineales es
Y(s) =
s= .r-s 7(s)
1
s+ 4s" + 4
s(s2 4) 82(42 _ 4)
Finalmente, usando el método de fracciones parciales y tomando las transformaciones inversas , obtenemos
1/4 _ 7/8 + 3/8 1
s s-2 s+2
?1(T) = 1 (Y(s)}
4 + 7^2.r .+ óc-2s
1 7/4 3/4 1
ls- s-2 + s+2
Z(X) klz(s)
x- 4 c"1 + 4 e- x
169
170 SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE [CAP. 27
27.2. Resolver el sistema
w' +y = senx
y'- z = ex
z'+w+y = 1;
w(0) = 0, y(0) = 1,
z(0)
Llame .e{w(x)}, i{y(x)}, y ({z(x)} como W(s), Y(s ), y Zis), respectivamente . Entonces tomando las
transformaciones de Laplace de las tres ecuaciones diferenciales , tenemos
[8W(s) - 01 + Y(s) = 1
22+1
1
s2+1
sW(s) + Y(s)
1
[aY(s) - 1] - Z(s) = - - 1 o
sY(s) - Z(s) _
[sZ(s) - 11 + W(s) + Y(s ) = 1
s-1
TV(s) + Y( s) + sZ(s) = s + 1
s
La solución de este último sistema de ecuaciones simultáneas lineales es
W(s) = -1
S(S -
1)
Y(s) = - s'- + s 7(5) (s -- 1)(s 2 + 1) s'- +
S
1
Utilizando el método de fracciones parciales y después tomando las transformaciones inversas , obtenemos
w(x)
y(x) = P,-3{Y(s)}
z(x)
- e=
{ js-s11f
--
1 1
ls-l- s2+1
3 í
_ ,^- {Z (s)} _ )
sen.e
s' + 1 I - cos x
27.3. Resolver el sistema
y" + z + y = 0
z' + y' = 0;
y(0) = 0, y'(0) = 0, z(0)
Tomando las transformaciones de Laplace de ambas ecuaciones diferenciales , obtenemos
[s2Y(s) - (0) s - (0)] + Z(s ) + Y(s) 0
[sz(s) -1] + [SY (s) - 0] = 0
(s2 + 1)} (s) + Z(s) _= 0
0
Y(s) + z(s) = 1
Resolviendo este último sistema para Y(s) y Z( s), encontramos que
Y (s) =83
- 1 Z(s)
1 +
S=
S.3
Luego, tomando las transformaciones inversas, concluimos que
y(2') _ -1 x2
2
z(2-) = 1 + 1 X2
2
SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE 171
CAP. 27 1
27.4. Resolver el sistema
z" + y' = cos x
y" - z = sen x;
z(0) = -1,
z'( 0)
_ -1,
y(0)
= 1, y'(0) = 0
Tomando las transformaciones de Laplace de ambas ecuaciones diferenciales obtenemos
s
[s2Z(s) + s + 1] + [sY(s) - 11 = 82 + 1
[s2Y(s) - s - O] - Z(s) = 2S 21j1
s2Z(s ) + sY(s) _ - S3
s='+1
0
-Z(s) + 82Y(s)
= s3 + s + 1
S2 + 1
Resolviendo este último sistema para Z(s) y Y( s), encontramos que
Z(s) _ s + 1
s2+1
Y(s) =
s
s2+1
Finalmente, tomando las transformaciones inversas , obtenemos
z(x)
= - cos x - sen x
= cos x
y (x)
27.5. Resolver el sistema
w"- y +2z = 3e-y
-2w' + 2y' + z = 0
2w'-2y+
z'+2z"=0;
w(0) = 1, w'(0) = 1,
y(0) = 2, z(0) = 2, z'(0) = -2
Tomando las transformaciones de Laplace en las tres ecuaciones diferenciales, encontramos que
[s2W(s) - s - 1] - Y(s) + 2Z(s) = 3
+1
-2[sW(s) - 11 + 2[sY(s) - 2] + Z(s) = 0
2fsW(s) - 1] - 2Y(s) + [sZ(s) - 2] + 2[s2Z(s) - 2s + 2] = 0
o
s22W (s) - Y(s) + 2Z(s)
s2+2s+4
S + 1
-2sW(s) + 2sY(s) + Z(s) = 2
2sW(s) -
2Y(s) + (2s ° + s)Z(s) = 4s
La solución de este sistema es
1
W(s) - s - 1
_
Y(s)
- (s -2s
1)(s + 1)
Z(s) _
Luego
u(x) = c, y(x)
_ -t 1 s 1 1 + s + 1} = ex + e-x
z( x) = 2e-x
172 SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES POR LAS TRANSF. DE LAPLACE [CAP. 27
Problemas suplementarios
Use las transformaciones de Laplace para resolver los siguientes sistemas.
27.6.
Y' + z = x
27.10 .
u"+v = 0
z' - y = 0;
u" - v' -2er;
y(0) = 1, z(0) = 0
u(0) = 0, u'(0) _ -2, v(0) = 0, v'(0) = 2
27.7. y' -z = 0
y
27.11.
0;
u" - 2v = 2
u +v' = 5e2x +1;
y(O) = 1, z(O) = 1
27.8. w'- w-2y = 1
u(0) = 2, u'(0) = 2, v(0) = 1
27.12. w"-2z = 0
y' -4w-3y = -1;
w' + y' - z = 2x
w(0) = 1, y(0) = 2
w' -2y+z" = 0:
w(0) = 0, w'(0) = 0,
27.9. 2v' - y = 0
y(0) = 0,
z(0) = 1, z'(0) = 0
2v + y' + z
w - y + z' = 2 sen x:
27.13.
w"+y + z = -1
w +y"-z = 0
11'(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1
-w' -y' +z" = 0;
w(O) = 0, w' ( 0) = 1,
y(0) = 0,
y'(0) = 0, z (0) _ -1, z'(0) = 1
Respuestas a los problemas suplementarios
27.6. y(x) = 1 z(x) = x
27.10.
u(x) = -er + c - x
27.7. y(x)
27.11.
2((x)
27.12.
w(x) = x2 y(x) _= x z(x) = 1
27.13.
w(x)
= sen x
cos x + sen x
y(x)
= -1 +cos x
= cos x - sen x
z(x)
= senx - cos x
27.8.
z(x) = ex
w(x) = e5r - e-x + 1
Y(x)
27.9.
= ex
w(x)
y(x)
= c2r 4- 1
v(x)
v(x) = 2e2x - 1
= 2e5= + e-r - 1
z(x) = 1
= er - e-S
Capítulo 28
Matrices
28.1 MATRICES Y VECTORES
Una matriz (designada por una letra mayúscula en negrilla) es una ordenación rectangular de elementos colocados en filas horizontales y columnas verticales. En este libro, los
elementos de las matrices serán siempre números o funciones de la variable t. Si todos los
elementos son numéricos, entonces la matriz se llama una matriz constante.
Ejemplo 28.1.
2
2
[3 4]' [t e'1 1]'
y [1 t'2 cos t]
todas son matrices . En particular , la primera matriz es una matriz constante, mientras que las otras dos no lo son.
Una matriz general A que tiene p filas y n columnas está dada por
a„ a,. ... a,,
a_, a22 . . .
A
a,,,
a,-> .
ap9 ... a1,
donde a;; representa aquel elemento que aparece en la fila i y en la columna j. Una matriz es
cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas.
Un vector (designado por una letra minúscula en negrilla) es una matriz que tiene
únicamente una columna o una fila. (La tercera matriz dada en el Ejemplo 28.1 es un vector).
28.2 SUMA DE MATRICES
La suma A + B de dos matrices A = [a;;] y B = [ b;;] que tiene el mismo número de filas
y el mismo número de columnas , es la matriz obtenida sumando los elementos correspondientes de A y B. Es decir
A + B = [a;;] +
[b;;]
= [a;; + b;,]
(Ver Problema 28.1).
La suma de matrices es asociativa y conmutativa. Luego A + (B + C) = (A + B) + C
y A+B = B+A.
28.3 MULTIPLICACION ESCALAR Y MATRICIAL
Si A es un número o una función de t, entonces , se define XA (o, su equivalente, Aa )
como la matriz obtenida multiplicando cada elemento de A por k. Es decir
aA =
k[a;;]
_ [Xa;;]
(Ver Problema 28.2).
173
174
MATRICES
[CAP. 28
Hagamos que A= [a,;] y B= [v,;J sean dos matrices tales que A tenga r filas y n columnas
y B tenga n filas y p columnas. Entonces el producto AB se define como la matriz
C = [ci;] dada por
cii
y
a ik b kj
(i=1,2,...,r; j=1,2,...,p)
k=1
De acuerdo con esta definición, ci; se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A
por los correspondientes elementos de la columna j de B y sumando los resultados. (Ver
Problema 28.3 a 28.6).
La multiplicación matricial es asociativa y distributiva con respecto a la suma; en general
sinembargo no es conmutativa. Luego
A(BC) _ (AB)C, A(B + C) = AB + AC, y (B + C)A = BA + CA
pero en general AB BA.
28.4 MATRICES CERO E IDENTIDAD
Una matriz identidad I es una matriz cuadrada de la forma
1 0 0 ... 0 0
0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
I
0 0 0 ... 1 0
o0 0 ... 0 1
Por la definición de multiplicación matricial, AI = IA = A para cualquier matriz cuadrada A.
Una matriz cero 0 es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero.
28.5. POTENCIAS DE UNA MATRIZ CUADRADA
Si n es un entero positivo y A es una matriz cuadrada entonces
A' = AA. • •A
n veces
En particular A2 = AA y A3 = AAA. Por definición Al = I.
28.6 DERIVACION E INTEGRACION DE MATRICES
La derivada de A = [a;;] es la matriz obtenida derivando cada elemento de A; esto es
dA dai;
dt L di
En forma similar, la integral de A, tanto definida como indefinida, se obtiene integrando cada
elemento de A. Luego
f Adt =
a
(Ver Problemas 28.7 a 28.10).
[ S b ajj dt
f Adt =
[ 5aJdtl
175
CAP. 28] MATRICES
28.7 LA ECUACION CARACTERISTICA
La ecuación característica de una matriz cuadrada A es la ecuación polinomia en A
dada por
det (A - AI) = 0 (28.1)
donde det () significa "el determinante de ( )". Aquellos valores de k que satisfacen (28.1) es
decir las raíces de (28.1), son los valores eigen * de A, llamando un valor eigen de multiplicidad
k, a una raíz que se repite k veces. (Ver Problemas 28.11 a 28.14).
Teorema 28 . 1. (Teorema de Cayley y Hamilton). Cualquier matriz cuadrada satisface su pro pia ecuación característica . Es decir si
det(A - AI) = bnXn + b„-,An-1 + + b2 Á2 + b,A + bo
entonces bnAn + b„-,An-1 + • • • + b2A2 + b,A + bol = 0
(Ver Problemas 28.15 y 28.16).
Problemas resueltos
28.1. Demuestre que A + B = B + A para
B =
A
C
A + B
B + A =
C
5 6
7 8
1
2]
+
3 4
[7 8] +
C 1 61
[3
L
7
L6
L
1+5 2+ 6
[ 3+7 4+ 8
8
4]
5+1 6+ 2 ]
7+3 8+ 4
2
10
12
6
8
12
10
Como los elementos correspondientes de las matrices resultantes son iguales , la igualdad es válida.
28.2. Hallar 3A - B para las matrices dadas en el Problema 28.1.
+ (-2 )
3A - B
6
L7 8J
5
_
3
[9
6
12
2
7
2
3+1-2 6+(-3)
9+(-2) 12+(-4)
L
21
carac•
Las expresiones "uelor eigen" y -funciones eigen " pueden ser traducidas como ' ualor característico" Y 'función
teri'stica ". Se usa en este libro la expresión original por ser le corriente en los textos de matemáticas.
176 MATRICES
CAP. 281
28.3. Hallar AB y BA para las matrices dadas en el Problema 28.1.
1 2 5 6 _ 1(5) + 2(7) 1(6) + 2(8) _ 11 22
AB
3 4][7 8] [3(5) + 4(7) 3(6) +4(8) ] [43 50]
[3
BA _ 5 6 1 2 _ 5(1) + 6 ( 3) 5(2) + 6 ( 4) _ 23 34
7 8
4] [7(1) + 8(3) 7(2) + 8(4)] [31 46]
Note que para estas matrices AB = BA.
28.4. Hallar AB y BA para A =
1 2 3
4 5 6]'
B
Como A tiene tres columnas y B tiene dos filas , el producto AB no está definido. Pero
BA _ 7 1] 1 2 3 _ 7(1) + (0)(4) 7(2) + (0)(5) 7(3) + (0)(6)
8 -1[4 5 6] [8(1) + (-1)(4) 8(2) + (-1)(5) 8(3) + (-1)(6)]
7 14 21
4 11 18
28.5. Hallar AB y AC si
4 2
A = 2 1 0
0
2
3
1
3
1
-3-
B = 2-2-2 C 0 2 6
-2 -1 1 -1 2 1 -1 2 1
r 4(2) + 2(2) + (0)(-1) 4(3) + 2(-2) + (0)(2 ) 4(1) + 2(-2) + (0)(1)
AB = 2(2 ) + 1(2) + (0)(-1) 2(3) + 1(-2) + (0)(2) 2(1) + 1(-2) + (0)(1)
-2(2) + (-1)(2) + 1(-1) -2(3) + (-1)(-2) + 1(2) -2(1) + (-1)(-2) + 1(1)
r
12 8 o 6 4 0
1 -7 -2 1
J
4(3) + 2(0) + (0)(-1) 4(1) + 2(2) + (0)(2) 4(-3) + 2(6 ) + (0)(1)
AC = 2(3 ) + 1(0) + (0)(-1) 2(1) + 1(2 ) + (0)(2) 2(-3 ) + 1(6) + (0)(1)
-2(3) + (-1)(0) + 1(-1) -2(1) + (- 1)(2) + 1(2 ) -2(-3) + (-1)(6) + 1(1)
12 8
01
6 4 0
-7 -2 1
Note que para estas matrices AB = AC y además B C. Por lo tanto, la ley cancelativa no es válida
para multiplicación de matrices.
CAP. 28] MAT RICES
177
28.6. Hallar Ax si
9
r1 2 3
A = i
15 6 7
-1
4i
x =
8
-2
o
1(9) + 2(-1) + 3(-2) + 4(0)7
Ax
28.7. Hallar
A
si A =
[ 5(9) + 6(-1) + 7(-2) + 8(0)
t2+1
e2tl
sen t
45 1 -
l dt (t2 + 1)
d (e2t)1
[2t 2e2 t^
dA
dt
cos t 0
t (sent)
28.8. Hallar
dt
1
25 J
t
(45)
si x
dxi(t)
dt
dx
dt
dx.,(t)
dt
<'X3(t)
dt
28.9. Hallar f A dt para A dado en el Problema 28.7.
f (t22
J
+ 1) dt
f e2t dtl
t3+ t+c1 e2t+c2
A dt
(, sen t dt f 45(1t
28.10 . Hallar 5'xdt si x et
0
- cos t + c3 45t + C4
178
MATRICES
[CAP.
28
L1 3]
28.11. Hallar los valores eigen de
A
L4
21
Tenemos
A - UI
C
3 ]
l -A
4 2 -X
Luego
det(A - XI( = det
1 - x 3
4
Z
X
(1 - A)(2 - X) - ( 3)(4)
3a - 10
La ecuación característica de A es \2 - 3X - 10 = 0, que puede descomponerse en factores en (x - 5)
(X + 2) = 0. Las raíces de esta ecuación son al = 5 y X2 = -2, que son los valores eigen de A.
28.12. Hallar los valores eigen de At si A =
At - XI
=
1
2
-1 -2] t + (
-A)
L
2 5-1 -2
[1
0 1]
C
Luego
det (A - XI) = det
C
2t
2t
-x
5t x ]
-t -2t -
-x
]
5t
-t -2t - X
(2t - X)(-2t - X) - (5t)(-t) =
%2
+ t2
y la ecuación característica de At es x2 + t2 = 0. Las raíces de esta ecuación , que son los valores eigen
de At, son X1 = it y X2 = - it, donde i = VI.
4 1 0
28.13. Halle los valores eigen de A
-1 2 0
2 1 -3
4 1 0
1 0 0
A - \I = -1 2 0
- X 0 1 0
2 1 -3
L0
0 1
4 - X 1 0
-1 2-X 0
2 1 -3-x
CAP. 28] MATRICES
r
Luego
179
4 - x 1 0
det (A - XI) = det -1 2 - X 0
2 1 -3-X
(-3 - X)[(4 - X )(2 - X) - (1)(-1),
(-3 - X)(X - 3)(X - 3)
La ecuación característica de A es
(-3-X)(X-3)(X-3) = 0
por lo tanto, los valores eigen de A son X1 = -3, X2 = 3, y X3 =3. Aquí X = 3 es un valor eigen de
multiplicidad dos, mientras X = -3 es un valor eigen de multiplicidad uno.
28.14. Halle los valores eigen de
r 5 7 0 0-1
3 -5 0 0
A =
0 0 -2 1
L
5-X 7 0 0
1
-3 -5-X 0 0
A - XI =
y
det
0 0 0 -2
0
0
0
0
-2-X
0
1
-2-X
( A - XI) = [(5 - X )(-5 - X) - (-3)(7)x(-2 - X)(-2 - X)
= (X22-4)(-2-A)(-2-X)
La ecuación característica de A es
(X2-4)(-2-;,)(-2-X) = 0
cuyas raíces son X1 = 2, X2 = -2, X3 = -2, y X4 = -2. Luego X = -2 es un valor eigen de multiplicidad tres, mientras X = 2 es un valor eigen de multiplicidad uno.
2 -7
28.15 . Verifique el Teorema de Cayley-Hamilton para A
3 6
Para esta matriz tenemos det (A - XI) _ X2 - 8X + 33; por lo tanto
A2 - 8A + 331 =
1
C
I
32
6] [3 6] -
8[3
6] + 33
-56
16 217 4 15 ] - [24 48 ] +
0 0]
[3
L
3 0
33
o 01
180
MATRICES [CAP. 28
28.16. Verifique el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz del Problema 28.13.
Para aquella matriz encontramos
de t (A - \I) = - (X + 3 )(X - 3)2 ; por lo tanto
A+31RA-31)2 =
-
r
1
0
- 1 -1
0
7
1
0
1
-1
5
0
2
1
0
7
1
0
0
0
0
-1
5
0
0
0
0
2
1
0' 1
- 11 -5
36
1 -6
2
0
0
0
0
0
0
0
0
Problemas suplementarios
En los Problemas 28.17 a 28. 25, haga
3 5 0'
A
[-1
r
-2]
1 0 27
D = 1 0 1
L
B
C1
x=C
-4]
- 2 -3 0
3 1 C
1
-2]
y =
2 0 4
1
1
1
2
28.17. Hallar (a) A + B, (b) 3A - 2B, y (c) C - D.
28.18. Hallar (a) AB y (b) BA.
28.19. Hallar (a) CD y (b) DC.
28.20. Hallar (a) Ax y (b) xA.
28.21. Hallar ¡C + D)y.
28.22. Hallar la ecuación característica y los valores eigen de A.
28.23. Hallar la ecuación característica y los valores eigen de B.
28.24. Hallar la ecuación característica y los valores eigen de C. Determine la multiplicidad de cada valor eigen.
28.25. Hallar la ecuación característica y los valores eigen de D. Determine la multiplicidad de cada valor eigen.
28.26 .
Halle la ecuación característica y los valores eigen de A = [
t t2
1 2t
CAP.
28]
MATRICES
181
t 6t 0
28.27.
Halle la ecuación característica y los valores eigen de A =
4t -t 0
0 1 5t
Halle
`A
28.29. Halle
dA
lit
28.28.
para A como se da en el Problema 28.26.
C
para A
cos 2t]
te312
1
28.30. Halle
fo
A dt para A como se da en el Problema 28.29.
Respuestas a los problemas suplementarios
2 5 -2
3 -1
28.17. (a)
28.18 . (a)
(b)
2 -1
L
L
0
-9 4 18] (e)
-1 1 -3
L5
1 -5
17 2] (b)
8
-3 -3 -1
6 11
7
11
5
7
2
28.19 . (a) -5 0 -7 (b) 4 6 1
L
9920 (n l
4 0 7 10 14 4
[-4 ]
(b) indefinido
13
28.21. -2
L141
28.22 . X2 - 1 = 0; X1=1, X2=-1
28.23 . a'-2X+13 = 0; )`1 = 1+2^f3-i, X., = 1-2'i
28.24 . (1 - X)(>2 + 1) = 0; x1 = 1, A, = i, X3 = -i
Cada valor eigen tiene multiplicidad uno.
28.25 . (-X)(X2 - 5X) = 0; X1 = 0, X 2 = 0, >3 = 5
El valor eigen x = 0 tiene multiplicidad dos, mientras que X = 5 tiene multiplicidad uno.
28.26 .
X2-
3ta
+t2
= 0;
x1 =
( -2
+2vIt,
X2
=
C2
28.27.
(5t - X)(a2 - 25t2) = 0 ; X1 = 5t, ?2 = 5t, X3 = -5t
28.28.
[
L
0 2t
]
28.29.
-2v )t
L sen2
(-2 senet 2]
1 + 6t2)e31
28.30.
L
3
6 (e - 1)
1
Capítulo 29
e At
29.1 DEFINICION
Para una matriz A cuadrada,
lr A ntn
n.
e At I + i i At + 2 A2t2 + ...
(29.1)
La serie infinita (29.1) es convergente para cualquier A y t, así que eAt está definido para
todas las matrices cuadradas.
29.2 COMPUTO DE eAt
En la actualidad el cómputo de los elementos de eAt, (29.1) no es generalmente muy
útil. Sinembargo se deduce (con algún esfuerzo) del Teorema 28.1, aplicado a la matriz At, que
la serie infinita puede reducirse a un polinomio en t. Entonces:
Teorema 29.1. Si A es una matriz que tiene n filas y n columnas, entonces
eAt = a
1A" ltn-1 + a„-2An-2tn-2 + ... + a,A2t2 + a1At + a0I (29.2)
donde ao, al, ..., a,i_1 son funciones de t que deben determinarse para cada A.
Ejemplo 29 .1. Cuando A tiene dos filas y dos columnas , entonces n = 2 y
eAt =
a1At + a0I
(29.3)
Cuando A tiene tres filas y tres columnas , entonces, n = 3 y
eAt = a,A2t2+ a1At + aj
(29.4)
Teorema 29.2. Hagamos A como en el Teorema 29.1, y definamos
+ an
Entonces si
k¡
2A,t
2
+ + a•> l2 + a1 A + ao
(29.5)
es un valor eigen de At,
eh` = r('\,) (29.6)
Más aún, si A; es un valor propio de multiplicidad
siguientes ecuaciones también son válidas:
k, k > 1, entonces las
ex = d 7•(A)
dA
X=a,
ex¡
(29.7)
dk-1
e^' dA k -1 r
182
(A) r=r
CAP. 29 1
eAt
183
Nótese que el Teorema 29.2 incluye los valores eigen de At; son t veces los valores
eigen de A. (Ver Problema 29.11). Cuando se computan las varias derivadas en (29.7), primero
se calculan las derivadas apropiadas de la expresión (29.5) con respecto a k, y después se
sustituye \ _ Á;. El procedimiento inverso que consiste en sustituir primero ,\ = a; (una
función de t) en (29.5), y después calcular las derivadas con respecto a t, puede dar resultados
erróneos.
Ejemplo 29.2. Hagamos que A tenga cuatro filas y cuatro columnas y hagamos X = 5t y a = 2t los valores
eigen de At de multiplicidades tres y uno respectivamente . Entonces, n = 4 y
r'ÍX)
,,X3 + a2X2 + a1? + ao
=
r'(T) = 3a3X2 + 2a.,,a + al
6a: IX + 2a.,
Como .\ = 5t es un valor eigen de multiplicidad tres se deduce que e5t = r(5t), est = r'(5t) y est = r"(5t) Luego
e5t = a3(5t)3 + a2(5t)2 + al( 5t) + ao
es' = 3a,;(5t)2 + 2a.,(5t) + al
est = 6a3(5t) + 2a2
También, como X = 2t es un valor eigen de multiplicidad uno, se deduce que e2= r(2t), o
e2t = a3(2t)'1 + a2(2t)2 + al(2t) + ao
Nótese que ahora tenemos cuatro ecuaciones en las cuatro incógnitas a.
Método de cálculo : Para cada valor eigen x, de At, aplique el Teorema 29.2 para obtener un
conjunto de ecuaciones lineales. Cuando se ha hecho ésto, para cada valor eigen, el conjunto de
todas las ecuaciones así obtenidas puede resolverse para a0, al, ..., ar_1. Esos valores se
sustituyen en (29.2), el cual a su vez, se usa para calcular eAt.
Problemas resueltos
29.1. Hallar eAt para A =
1
21
4 3
Aquí, u = 2. De (29.3),
r a1t + ao 2a,t J
eAt = a1At + a01 = 4alt
3att +
y de (29.5) r(X) = a1X + a0.
(1)
Los valores eigen de At son X1 = -t y X2 = 5t, que son ambos de
multiplicidad uno. Sustituyendo estos valores sucesivamente en (29.6), obtenemos las dos ecuaciones
e-t = al(-t) + ao est = a1(5t) + ao
Resolviendo estas ecuaciones para al y a0, encontramos que
al = fit ( e5t - e - t )
ao = 6 (e5t + 5e-1)
Finalmente , sustituyendo estos valores en (1) y simplificando , tenemos
eAt - 1 2e5' + 4e-t 2e5t - 2e-t
6 4e5t - 4e-t 4e5t + 2e-t
ent
184
29.2. Hallar
[CAP. 29
0 1
eAt para A =
8 -2
Como n = 2, se deduce de (29.3) y (29.5) que
eAt =
rL
alAt + aoI =
ao
alt
8a,t
(1)
-2a,t + ao]
y r(X) = a1X + ao. Los valores eigen de At son N , = 2t y x2 = - 4t, que son ambos de multiplicidad uno.
Sustituyendo estos valores sucesivamente en (29. 6) obtenemos
e2t = a1(2t) + ao
e--4t = al(-4t) + no
Resolviendo estas ecuaciones para a, y ao encontramos que
a, = fit (e2t - e 4t) aa = 3 (2e2t + e-4t)
Sustituyendo estos valores en (1) y simplificando , tenemos
eAt - 1 L4e2t + 2e-4t
6 8e2t - 8e-4t
29.3. Hallar
e2t - e-4t -j
2e2t + 4e-4t J
eAt para A =
Aquí n = 2, por lo tanto
-ap
eAt
=
a,At
+
a,t a,t
ao
aoI
=
(1)
y r(X) = a,a + ao. Los valores eigen de At son x, = it y X2 = -it, que son ambos de multiplicidad uno.
Sustituyendo estos valores sucesivamente en (29 . 6) obtenemos
ett = a, (it) + ap
e-;t = a,(-
Resolviendo estas ecuaciones para al y ao y utilizando las relaciones de Euler (página 69 ), encontramos
que
sen t
al = 1 (eit _ e-it) _
lit
t
1
ao = 2 (eit + e - 't) = cos t
Sustituyendo estos valores en (1 ) obtenemos
eAt =
cos t sen t
- sent cos t
3 1 0
29.4. Hallar
eAt para A = 0 3 1
0 0 3
Aquí n = 3 De (29.4) y (29.5) tenemos
eAt = a.>A2t2 + alAt + aoI
a2 0 9 6 t2 + al
1 90 60 9
3 1 0
1 0 0
0 3 1 j t + ao
0 1 0
0 0 3
L0
0 1
CAP.
29]
185
eAt
a.,t2
9a2t2 + 3alt + ao 6a2t2 + alt
(1)
0 9a2t2 + 3alt + a° 6a,t2 + alt
0
y Y(A) = a2 X2 + alñ + ao.
9a2t2 + 3alt + a°
0
Luego,
dr(a)
d2r(X)
da2
= 2a2ñ + al
dX
= 2a.)
Como los valores eigen de At son X1 = x.^ = A3 = 3t, un valor eigen de multiplicidad tres , se deduce del
Teorema 29.2 que
e3t = a,9t2 + a13t + a°
e3t = a26t + al
e3t = 2a2
La solución de este conjunto de ecuaciones es
a.2 = 2e3t
= (1 - 3t)e3t
ao = (1_3t+1t2
) 03t
Sustituyendo estos valores en ( 1) y simplificando , obtenemos
eAt =
e3t
0 0 07
29.5. Hallar
eA1 para A = 1 0 0
1 0 1
Aquí n = 3, luego
eAt =
(12A2t2 + alAt + a°I
a°
0
alt
a2 t2 + alt
0
a°
0
(1)
0 a2 t2 + alt + aoJ
y r(a) = a2X2 + a1X + a°. Los valores eigen de At son Xl = X, = 0, A.1 = t; luego X = 0 es un valor
eigen de multiplicidad dos, mientras que A = t es un valor eigen de multiplicidad uno. Entonces, se
deduce del Teorema 29.2 que e° = r(0), e° = r'(0), y et =r (t). Como r'(N) = 2a2X ± a, estas ecuaciones
se convierten en
e° = a2(0)- + al(0) + a°
e° = 2a2(0) + al
1 = ao
o
1
=
et
el = a2(t)2 + al(t) + a°
Entonces, a, = (et - t - 111t
obtenemos
al
= a2 t2 + alt + ao
al 1, y a° = 1. Sustituyendo estos resultados en (1) y simplificando,
eAt
1
0
0
t
1
0
et- 1 0 et
J
186
eAt
[CAP.
29
29.6. Establezca las ecuaciones necesarias para encontrar eAl Si
61
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A =
0 02 3 4 5
0 0 0 2 3 4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
Aquí n = 6, luego
a2A2t2 + a1At + a01
eAt = a5A5t5 + a4A4t4 + a3A3t3 +
r(ñ) = a5X5 + a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + alñ + ap
y
r'(X) = 5a5ñ4 + 4a4 >,3 + 3a3X2 + 2a2X + al
r"(X) = 20a5ñ3 + 12a4X2 + 6a3X + 2a2
Los valores eigen de At son Xi = X2 = X3 = t, X4 = x5 = 2t, y X6 = 0. (Recuerde que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal ). Por lo tanto
x = t es un valor eigen de multiplicidad tres, X = 2t es un valor eigen de multiplicidad dos, y a = 0 es
un valor eigen de multiplicidad uno. Ahora se deduce del Teorema 29.2 que
e2t = r(2t) = a5( 2t)5 + a4(2t)4 + a3 ( 2t)3 + a2 (2t)2 + al (2t) + ao
e2t
r'(2t) = 5a5(2t)4 + 4a4(2t)3 + 3a3(2t)2 + 2a2(2t) + al
e2t
r"(2t) = 20a5(2t)3 + 12a4(2t)2 + 6a3(2t) + 2a2
el
r(t)
el
r'(t) = 5a5(t)4 + 4a4(t)3 + 3a3(t)2 + 2a2(t) + al
CO =
r(0) = a5(O)5 + a4(O)4 + a3(0)3 + a2(O)2 + al(0) + ap
= a5 ( t)5 + a4(t ) 4 + a3(t ) 3 + a2(t ) 2 + al(t) + ap
o, mas simplemente
e2t
32t5a5 + 16t4a,t + St3a3 + 4t2a2 + 2tal + ao
e2t = 80t4a5 + 32t3a4 + 12t2a3 + 4ta2 + al
e2t = 160t3a5 + 48t2a4 + 12ta3 + 2a2
el
=
t5a5
+
t4a4
+
t3a3
+
t2a2 +
tal + ao
el = 5t4a5 + 4t3a4 + 3t2a3 + 2ta_, + al
1
=
ap
29.7. Hallar eAteBt y e(A+B)t para
ro 1
A =
0 0
y
B
=
y verificar que para estas matrices, eAteBt e(A+B)t
Aquí A + B
tramos que
0
-1
1
0
1
Utilizando el Teorema 29.1 y el resultado del Problema 29.3, encon-
eAt = 1 t eBt
0 1]
e(A+B)t
cos t
sen t
[- sent cos t
CAP.
29]
Luego eAtest =
1 t 1[
eAt
187
[ 1 - 2 t] e(A+B>t
-t 1
L
-
29.8. Demuestre que eAteBt = e(A + B)t Si y solamente si se conmutan las matrices A y B.
Si AB = BA , y solamente entonces , tenemos
A2+AB+BA ± B2 = A2 + 2AB + B2
(A+B)2 = (A+ B)(A+B) =
( ' ) A- kBk
k0 k
n
y, en general
donde
C
k
'i/
(A + B)n =
k! (n- k)!
(1)
( " ) A-kB1
k 00 k
es el coeficiente del binomio (" n elementos tomados k cada vez").
Ahora, de acuerdo con la ecuación de definición (29.1) tenemos para cualquier A y B:
„ An-ktn-k Bktk
eAteBt
=
-)t
yt
n 0 kYt)
(1lBntn)
rI n Al' kBkjJ t
tn
y también
e(A+B)t =
k!
n
An kBk
n0 L k0
(n-k)!
í I
(n. - k) ! k !
o Lko
k
n!
t^
1 (A+B)nt
-0 n.
1 (A + B)^tn
1-0 xt
(2)
(3)
Podemos igualar la última serie en (3) con la última serie en ( 2) si y solamente si, (1) es válido ; es decir,
si y solamente si A y B se conmutan.
29.9. Demuestre que eAte -As = e- s).
Haciendo t = 1 en el Problema 29.8, concluimos que
matrices At y --As se conmutan , puesto que
eAeB = e(A+B)
si se conmutan A y B. Pero las
(A0(-As) = (AA)(-ts) = (AA)(-8t) = (-As)(At)
En consecuencia , eAte - As = e(At -A5) = eA(t -S).
29.10. D emuestre que e° = I.
De la definición de multiplicación matricial , 0" = 0 para n - 1. Por lo tanto,
Ontn
e0 = e0t
n=o
+
Ontn
t=-1
29.11.Demuestre que los valores eigen de At son t veces los valores eigen de A.
Suponga que x es un valor eigen de la matriz cuadrada de n filas A; debemos demostrar que Xt es un
valor eigeri de At. Como x es un valor eigen de A, se deduce de la Sección 28.7 que det (A - XI) = 0.
Pero
det (At - XtI) = det [t(A - XI)1 = tn det (A - AI) = tn(0) = 0
y concluimos, de nuevo de la Sección 28.7 que Mt es un valor eigen de At.
188
eAt
[ CAP. 29
Problemas suplementarios
Hallar eAt para las siguientes matrices A.
29.12.
29.13.
29.14.
29.15.
29.16.
2
2
r 0 -3 ] '
29.18.
0 0
0
2 1
0
0 2
3 2
r4 1
L
L
o 2
J.
29.19.
2 2].
o
29.20.
4
r -i
1 0
1 0
2 1
L0
02
0
0
0
0 0
0
0 0
[00
0 0
0
0 1
0
1 - 4 -4 ] '
1 0^
2 1 0
29.17.
0 2 1
L
29.21.
.
0 o 2
Respuestas a los problemas suplementarios
re2t
29.12 . X1 = 2t, X2 = -3t;
29.13 . X1 = -t, X2 = 5t;
29.14.
29.15 .
X1 = X2 = 2t; e2t I
Xl
0
0
e3t
1 4e5t + 2e-t 2est - 2e-t7
6 L4e5t - 4e-t 2e5t + 4e-tj
1 o7
1
0
= a2 = 2t; e2t 1 t
l o 1j
29.16 . X = 2ti, X2 = -2ti;
Ccos 2t + 2 sen2t
-2sen2t
1 t t2/2
29.17 . a1=X2=a3=2t; e2t
0
L0
1
t
0 1
( 5/2) *en 2t
cos2t- 2sen2t]
C AP. 29]
189
eAt
Ti o o
29.18.
0
Ni _ X, _ \a = 2t;
1
t
0 0 1
r 9c -3c-s + 3c2t
29.19.
a,=-t, a2=a;,=2t; 9
0
e-s - e2t + 3te2t
9c2t
0
0
1 0 0
29.20.
X, = a•, = X2 = 0;
0 1 0
0 0 1
r
29.21.
X, =\.= 0, Xj= t;
1 t. 0
0 1 0
0 0 es
( ver Problema 29. 10)
9te2,
9e2C
Capítulo 30
Reducción de las ecuaciones diferenciales
lineales a un sistema de primer orden
Todo problema de valor inicial de la forma
bn(t)
dtx
+ b,^-1(t) dtn lx + .. . + bo(t)x + bo(t)x = g(t); (30.1)
a(to)
=
CO,
x(t0) = el, . .
x(n-1)(t.)
.,
(30.2)
puede reducirse al sistema de matrices de primer orden
¡(t) = A(t) x(t) + f(t)
x(tu) = c
donde son conocidos
mo sigue.
A(t), f(t), c,
(30.3)
y el tiempo inicial to. El método de reducción es co-
d"x
1 . Transforme (30.1) para que dtñ aparezca solo. Luego
dn
dtn = a„ -1(t) dtn-l + + a1(t)x + ao(t)x + f(t) (30.4)
donde a;(t) = -b;(t)/bn(t)
(j = 0, 1, ..., n-1)
y f(t) = g(t)/b„#).
Paso 2 . Defina n variable nuevas (el mismo número del orden de la ecuación diferencial original), x1(t), x2(t), ..., xn(t), por medio de las ecuaciones
x 1(t)
= x(t),
x2(t)
d2x(t) dn- 1 x(t)
dx(t)
= dt x3(t) = dtl
xn(t)
=
dtn
-1 (30.5)
Estas nuevas variables están 1 nterrelacio nadas por las ecuaciones
xl(
t)
= x2(t)
x2(t) = xa(t)
x3(t) = x4(t) (30.6)
xn-1(t) = xn(t)
dx.
Paso 3 . Exprese dt
en términos de las nuevas variables. Procedemos primero derivando la
última ecuación de (30 . 5) para obtener
xn(t) - d rdn-lx(t )^ - dnx(t)
dt
L
190
dtn 1
dtn
CAP. 301 REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN 191
Entonces , de (30.4) y (30.5),
x"(t) = a°-1 (t) d^dt'x
an-1(t)
xn(t)
(t) + + a1(t) x(t) + ao (t) x(t) + f(t)
+ • • • + a1(t)
x2(t)
+ ao(t) x1 (t) + f (t)
Por conveniencia , escribimos esta última ecuación de tal modo que x1 ( t) aparezca antes de x2(t), etc . Por lo tanto
+ a„-1(t) x„(t) + f (t) (30.7)
i (t) = ao ( t) x1(t) + a1(t)X2 ( t) +
Paso 4. Las ecuaciones (30.6) y (30.7) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden en xl(t), xz(t), . . ., xn(t). Este sistema es equivalente a la ecuación
matricial única z(t) = A(t) x(t) + f(t) si definimos
r x1(t)
x2(t)
x(t) =
.
(30.8)
x n( t)
r
ol
o
(30.9)
f(t)
0
f(t)
A(t)
0
1
0 0 . ..
0
0
0
1 0 . ..
0
0
0
0
. ..
0
o
o
o o . ..
1
ao(t)
a1(t)
a2(t )
1
(30.10)
a ,,-1(t)
as(t) . . .
co
e,
Paso 5 . Defina e
cn
Entonces pueden expresarse las condiciones iniciales (30.2) por la ecuación matricial
(vectorial) x(to) = c. Esta última ecuación es una consecuencia inmediata de (30.8),
(30.5) y (30.2), puesto que
xl(to)
x(to)
co
x2(to)
^x(to)
C1
xn(to ) I
1
x(n-1)
c
( t0) I 1 Cn-1
Observe que si no se definen las condiciones iniciales, los Pasos 1 a 4 reducen por sí
192 REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN [CAP. 30
mismos cualquier ecuación diferencial lineal (30.1) ala ecuación atricial x(t) _
A(t) x(t) + f(t). (Ver Problema 30.4).
Cuando la ecuación diferencial original (30.1) tiene coeficientes constantes, el sistema
matricial (30.3) puede resolverse por el método general del Capítulo 31. Nótese que una vez
conocida x(t), su primer componente, x(t) dá la solución del problema de valor inicial (30.1) y
(30.2).
Un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales apropiadas
también puede reducirse al sistema (30.3). El procedimiento es completamente análogo al
método dado para reducir una ecuación a la forma matricial; únicamente que, para un conjunto de ecuaciones, el Paso 2 debe generalizarse de manera que las nuevas variables estén definidas para cada una de las funciones desconocidas buscadas. (Ver Problemas 30.5 a 30.7).
Problemas resueltos
30.1. Exprese el problema de valor inicial
Y + 2x - 8x = e ; x(0) = 1, x(0) = -4
en la forma (30.3).
Siguiendo el Paso 1 , escribimos x = -21 + 8x + et; por lo tanto a1(t) = -2, a0(t) = 8, y f(t) = et.
Entonces definiendo x1(t) = x y x2( t) = 1 (la ecuación diferencial es de segundo orden, luego necesitamos dos variables nuevas ), obtenemos xl = x2. Siguiendo el Paso 3, encontramos
x_
d-x -21 + 8x + et
dt2
Luego
= - 2x2
+ 8x + et
z
1
xl - 0x1 + 1x., + 0
12 8x1-2.r -t- (-1
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación matricial
it(t) = A(t)
A(t) = 18 -2]
x(t) X2(t)
x(t) + f( t) si definimos
f(t) =
°]
1
Más aún , si definimos también c
x(ta) = e, donde t„ = 0.
-4
entonces las condiciones iniciales pueden darse por
30.2. Reduzca el problema de valor inicial
et
d4x (12X dx
dt^ - dt" + elt' dt
x(1) = 2, x(1) = 3,
= 5e ^;
Y(1) = 4,
a la forma (30.3).
Siguiendo el Paso 1, obtenemos
d4
x d
et-x- +5
dt4 dtz dt
Por lo tanto a;1(t) = 0, a .>( t) = et,
nuevas variables,
al ( t) = -t2e2t,
a0(t) = 0,
y f( t) = 5.
Si definimos cuatro
x1(t) = x x .>(t) = dx xs(t) = dzxt)d3x
=
dt dt2 xa(
_it3
obtenemos 11 = x_>,
12 = x3r 13 = x4, y, siguiendo el Paso 3
a
1y = dt4 =
et t '-2 e2tz + 5 =
etx.{ - t 2 e2tx2 + 5
CAP. 30] REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN 193
Entonces , zl = Ox1 + 1x2 + Ox3 + Ox4 + 0
x., = Ox1 + Ox2 +
lx3 + Ox4 + 0
x3 = Ox1 + Ox2 + Ox3 + 1x4 + 0
14 = Ox1 - t2e21x2 + e1x3 + Ox4 + 5
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación matricial
¡(t) = A(t) x(t) f(t) si definimos
ro
0
A(t)
f(t)
0
--
0
Más aún, si definimos también c
x(t0) = c, donde t0 = 1.
entonces las condiciones iniciales pueden darse por
30.3. Reduzca el problema de valor inicial
x + 2x - 8x = 0;
x(1) = 2, x(1) = 3
a la forma (30.3)
Procediendo como en el Problema 30 . 1, reeemplazando et por cero , definimos
f(t)
A(t)
- [0]
La ecuación diferencial es entonces equivalente a la ecuación matricial z(t) = A(t) x(t) + f(t), o
simplemente ic(t) = A(t) x(t), puesto que f( t) = 0. Las condiciones iniciales pueden darse por
x(t,) = csi definimos te = 1 y c
[
jj
.
X(t) = A(t) x(t) + f(t)
Aquí omitimos el Paso 5, puesto que la ecuación diferencial no tiene condiciones iniciales prescritas.
Siguiendo el Paso 1, obtenemos
x = 61-9x+t
Donde al(t) = 6, ao(t) _ -9, y f( t) = t. Si definimos dos nuevas variables x1(t) = x y x2(t)
nemos
xl = x2
y
Entonces
12 = x = 6x-9x+t = 6x2-9x1+t
11 = Ox1 + 1x2 + 0
12 = -9x1 + 6x2 + t
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación matricial k(t) = A(t) x(t) + f( t) si definimos
x(t) _ [x2(t )]
A(t) _
[
-9 6] f(t) [0]
te-
194 REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN [CAP. 30
30.5. Escriba el siguiente sistema en la forma (30.1):
ty+x - b + t + 1
(sent)x + x - y + t2;
x(1) = 2, x(1) = 3, y(1) = 4, y(1) = 5, i(1) = 6
Como este sistema contiene una ecuación diferencial de tercer orden en x y una ecuación diferencial de
segundo orden en y, necesitaremos tres nuevas variables en x y dos nuevas variables en y. Generalizando
el Paso 2, definimos
d2x
dx
xi(t) = x
x3(t) = d t2
x2( t) = dt
yl(t) = y y2(t) = dy
dt
Entonces
xl = x2
x2 = x3
3 = d3x
dt; =
t x + x - y + t + 1 = tx a + X 1 - Y2 + t + 1
yl
= y2
d2y
y2 - di,
_ (sent ).r + x y + t2 =
( sent)x2 + xl - yl + t2
o xl = 0x1 + 1x, + Ox.3 + Oy1 + Oye + 0
x, = 0x1 + Ox, + 1x3 + Oyl + Oye + 0
x3 = 1x1 +
Oa'2 + tX:1 + Oyl - 1y2 + (t + 1)
y, = Oxl+ O.r,+Ox3+ Oyl+ly2+0
J, = 1x1 + (sent ).x, + Ox3 - lyl + Oye + t2
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación matricial z(t) = A(t) x(t) + f(t) si definimos
xl(t)
x2(t)
x(t) = xa (t)
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
A(t) 1 0 t 0 -1 f(t) = t + 1
y1(t)
0 0 0 0 1 0
Y2(t) 1 sen t 0 -1 0 t2
[2
Más aún, si definimos c = 4
x(tu)
=
c.
1
y t0 = 1, entonces las condiciones iniciales pueden darse por
5
G
30.6. Transforme el siguiente sistema en la forma (30.1):
-2x-5y+3
x + 2y;
x(0) = 0, x(0) = 0,
y(0) = 1
CAP. 301 REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN 195
Como el sistema contiene una ecuación diferencial de segundo orden en y una ecuación diferencial de
primer orden en y, definimos las tres nuevas variables
x2(t)
x,(t) = x
Entonces,
= dx
N1(t) = y
t
á'1 =
i'., = s = -2i - 5y + 3 = -2x2 - 5y1 - 3
Ji = y = 1 + 2+y - x., 2y1
o,
T, = Ox1 + 1x2 - 0y, + 0
x2 = Ox1-2x,-5y1+3
0x1+1x.0+2y1+0
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación matricial
xl(t)
z(t) = A(t) x(t) f(t) si definimos
0
10
Po
A(t) = 0 -2 -5 f(t) = 3
x(t) = x.,(t)
y1(t)
0
1
2
0
[0-1
Si definimos también t0 = 0 y c
x(111)
=
c.
0 entonces las condiciones iniciales pueden darse por
1
30.7. Transforme el siguiente sistema en la forma matricial:
x+y
j = 9x + y
Procedemos exactamente como en los Problemas 30 .5 y 30. 6, con la excepción de que ahora no se
consideran condiciones iniciales . Como el sistema consiste en dos ecuaciones diferenciales de primer
orden, definimos dos nuevas variables x1(t) = x y y1(t) = y. Luego
r1 + y, T 0
:(1 = x = x + y y1 = = 9x + y
= 9x, + y1 + 0
Si definimos
x(t) =
[
(t )T
J
A(t) =
C9
Jyl(t)
1
11
f(t)
[0]^
entonces este último conjunto de ecuaciones es equivalente a la ecuación matricial k(t) _
A(t) x(t) + f (t), o simplemente a ¡(t) = A(t) x(t), puesto que f(t) = 0.
196 REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN [CAP. 30
Problemas suplementarios
Defina x(t), A(t), f(t), c y to de tal manera que el sistema dado sea equivalente al sistema
(30.1).
30.8.
Y - 2x + x = t + 1;
30.9.
2 Y+ x = 4et;
30.10. et '1' - t x +
x(1) = 1, 1(1) = 2.
x(0) = 1, 1(0) = 1.
etx = 0;
x(-1) = 1, 1(- 1) = 0, 7(-1) = 1.
30.11. 71' = t; x(0) = 0, 1(0) = 0, 7(0) = 0.
30.12.
Y = 1+y-z+t
= tx+y-2y+t2+1
= x-y+y+z;
x(1) = 1, 1( 1) = 15, y ( 1) = 0, y(1 ) = - 7, z(1) = 4.
30.13.
Y = 21+5y+3
y = -1 - 2y;
x(0) = 0, 1(0) = 0, y(0) = 1.
30.14 .
i = x+2y
y = 4x + 3y;
x(7) = 2, y(7) = -3.
Respuestas a los problemas suplementarios
r xl(t)
30.8. x(t)
30.9.
X (t)
L x2(t)
=
L
A(t)
x2(t)1 A(t) [-
xt(t)
30.10. x(t) -
x2(t)
x3(t)
r xi(t)
30.11 . x(t)
f(t)
x.,(t)
A(t)
01
f(t)
c =
[°
0
0 0 1 f(t)
0
1 -e-t te-t
0
0 1 0
0
A(t) 0 0 1 f(t)
0
t
to = 1
to = 0
2 erIj
0 1 0
X.3 t) 0 0 0
L2]
to = -1
e
0
e =
0
0
to = 0
CAP. 30] REDUCCION DE LAS ECUACIONES LINEALES A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN 197
xl(t)
0 1 0 0 0
x2(t)
0 1 0 1 -1
30.12 . x(t) = yi(t) A(t) = 0 0 0 1 0
y2(t)
zi(t)
t
0
-2
1
0
1
0
-1
1
1
to = 1
f(t)
r xi(t)
30.13 .
30.14 .
x(t)
x(t)
L
-
0
0 1 0
x^(t)
A(t) = 0 2 5 f(t)
yi(t)
0 -1 -2
[11:(t)]
A(t)
-
31
1
L4
e =
0
to = 0
1
[
20
f (t) _
o]
L
2
-3] to = 7
J
Capítulo 31
Soluciones de sistemas lineales con
coeficientes constantes
31.1 INTRODUCCION
Por el procedimiento del Capítulo 30, cualquier sistema lineal con coeficientes constantes puede reducirse a una ecuación diferencial matricial única z(t) = Ax(t) + f(t), donde A es
una matriz constante. Tal ecuación es formalmente equivalente a (8.1) siendo p(x) = -a, una
constante, y su solución, dada abajo, debe compararse con el resultado del Problema 8.9.
31.2 SOLUCIONES DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL
El sistema matricial
k(t) = Ax ( t) + f(t);
x ( to) = c
(31.1)
tiene la sol
solución
x(t) = eA ` t-to)c + eAt J e-Asf( s) ds
ta
(31.2)
o su equivalente (ver Problema 29.9)
x(t) =
eA `t
-t°'c + J
eA(t-
Of(s) ds
(31.3)
tn
En particular, si el problema de valor inicial es homogéneo (es decir, f(t) = 0), entonces ambas
ecuaciones (31.2) y (31.3) se reducen a
x(t) = eAU-tn>c
(31.4)
En las soluciones dadas arriba, las matrices eAtt-to), e -Asy eA't-'' se calculan fácilmente
de cA' reemplazando la variable t por t - to, -s, y t - s, respectivamente. Generalmente x(t)
se obtiene más rápidamente de (31.3) que de (31.2) puesto que la ecuación anterior contiene
una multiplicación matricial menos. Sin embargo, las integrales resultantes en (31.3) son, por
lo general, más difíciles de calcular que las de (31.2) (Ver los Problemas 31.2 y 31.3).
Si no se dan condiciones iniciales, la solución de ;c(t) = Ax (t) + f(t) es
x(t)
o, cuando
= CA'k + eA'
f(t) = 0,
f
e- Atf(t) dt
x(t) = eA'k
(31.5)
(31.6)
donde k es un vector constante arbitrario. Todas las constantes de integración pueden dejarse
de lado cuando se calcula la integral en (31.5), puesto que ya están incluídas en k.
31.3 COMPARACION DE LOS METO DOS DE SOLUCION
Hemos desarrollado tres caminos para resolver las ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes: (1) el método de la ecuación característica, complementado con la
variación de parámetros o el método de los coeficientes indeterminados; (2) las transformaciones de Laplace y (3) el método de matrices. Por lo tanto, es necesaria una comparación.
198
CAP. 31] SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 199
Los tres métodos implican encontrar raíces y, generalmente, integración, dos procedimientos que pueden ser imposibles de efectuar en la práctica. Calcular las raíces de una
ecuación polinomia es un paso obvio en el método de la ecuación característica. Es también
una parte del método de matrices (donde se deben calcular los valores eigen de A para
encontrar eA') y de las transformaciones de Laplace (donde se descomponen factores cuadráticos para hallar las transformaciones inversas). La integración es un paso necesario tanto en la
variación de parámetros como en el método de matrices. El camino usual para obtener .C -' con
las transformaciones de Laplace, cuando la transformación inversa no está tabulada, es la
integración compleja por residuos.
Cuando puede aplicarse el método de los coeficientes indeterminados, entonces el método
de la ecuación característica o las transformaciones de Laplace son la técnica más eficiente.
Para ecuaciones diferenciales más complicadas y también para sistemas de ecuaciones diferenciales donde no es apropiado el método de la ecuación característica, la técnica preferida es el
método de las transformaciones de Laplace o bien el método de las matrices. Si e-' está
tabulado, entonces las transformaciones de Laplace son generalmente más rápidas que el método de matrices; esto mismo es cierto si í -' no está tabulado pero puede obtenerse de la teoría
de los residuos (un procedimiento que está fuera del alcance de este libro). Cuando { 1 no
puede obtenerse fácilmente, entonces el método de las matrices es más eficiente si pueden
efectuarse las integrales requeridas por este método. En general, sin embargo, hay poco que
escoger entre las transformaciones de Laplace y el método de las matrices. En aquellos casos en
los que se demuestra que ninguno de los dos métodos es aplicable, deben usarse métodos
numéricos (Capítulos 32-36).
Una ventaja notoria del método de las matrices, es que proporciona fácilmente una
expresión de la solución (31.2). En ocasiones, esta expresión puede usarse para obtener información sobre la solución sin necesidad de calcularla explícitamente.
Problemas resueltos
31.1. Resolver
x + 2. - 8.r = 0;
.r(1) = 2, .i•(1) = 3.
Según el Problema 30.3, este problema de valor inicial es equivalente a (31.1) con
x(t)
1
2] f(t) = 0 e =
X2 (t)i A [o8
3
to = 1
La solución de este sistema está dada por (31. 4). Para éste A, eAt se dá en el Problema 29.2; por lo
tanto,
e2(t-1) - e - 4(t-1)
1 4e2(t-1) + 2e-4(t-1)
eA(t - to)
6 [8(,2(t- 1) - 8e-4(t-1) 2e2(t-1) + 4e-4(t-1)
En consecuencia x(t) =
e" t-1) - e-4(t-1) 112
1 r4e2«-u + 2e-40-1 )
6 8e22(1 -1) - 8e-4(t-1) 2e2(t-1) + 4e-4(t-1) 3
1 2(4e2(t-u + 2e-4(t-u) + 3(e2(t-u - e- 4(t-1))
6 12(8e2u -1) - $e-4 (t-1)) + 3(2e22(1-1) + 4e-4(t-n)
1 61 e'(t 1) ±
s e-4(t-1)]
L 22 e s l t-n - 4e-4(t 1)]
y la solución al problema original de valor inicial es
e2(t-1) + se-4(t-1)
x(t) = x1(t)
= 6
200 SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 31
31.2. Resolver :i' + 2i - 8x = et; x(0) = 1, x(0) = -4.
Del Problema 30.1 este problema de valor inicial es equivalente a (31.1) con
A 0 1
x(t) = x((t)
x2(t)]
f(t) _ [ij
= L8 -2]
L-^J
c =
y t„ = 0. La solución se dá tanto por (31. 2) como
por (31.3). Aquí, usamos ( 31.2); la solución
utilizando ( 31.3) se encuentra en el Problema 31.3. Para éste A, eAt
ya ha sido calculado en el Problema
29.2. Por lo tanto,
eA(t-to)c = eAtc
e-Asf(s)
11 4e2t + 2e-4t
6 Se2t - Se-4t
e2t - e-4c 1
e-4t
2e2t + 4e-4t -4] =
-4e-4t
4e-2s + 2e4s e-2s - e4s 0
res 6 ess1
8e - 2s - 8e4s 2e_ 2s + 4e4sJLes] -
L
frs + 6essJ
rc
Jt
ro
(hes - 6 essl tls]
o
//
e-Asf(s) ds
(i e
s
+ 2 e5s)ds
Lt
t
eAt f e - Asf(s) ds
tó
-5e-t-e5C+6
30 -10e -t + 4e5t + 6]
J
(1)(áj_)[4e2, + 2e-4t
e2t - e-4t -5e-t - e5t + 6
60 8e2t - 8e-4t 2e2t + 4e-4t] I -l0e-t + 4e5t + 6
1 L (4e2t + 2e-4t)(-5e-t - ent + 6) + (e2t - e-4t)(-10e- t + 4e5t + 6)
180 (8e2t - 8e--4t)(-5e-t - e5t + 6) + (2e2t + 4e-4t)(-loe t + 4e5t + 6)
1 r -6et + 5e2t + e-4t ]
30 L-6et + 10e2t - 4e-4t
Luego,
eA(t - ta)c
t
+ eAt e-Asf(s) ds
ro
e-4t 1 r - 6et + 5e2t + e-4t ]
-4e-4t] + 30 L-6et + 1001 - 4e-4t
y
x(t)
31 e-4t + 6 etc - b et1
L
-65e-4t +
3
e2t - bet
= xt(t) = 30 e-4t + B e2t - b et
313. Utilice (31.3) para resolver el problema de valor inicial del Problema 31.2.
El vector eA(t-c o ) c permanece
eA(t-s)f(s)
e-4r
-4e-4t
Además ,
1 4e2( t-s) + 2e-4 ( t-3) e2 ( t-9)
e-4]
( t -s) r o
6 8e2 ( t-8) - Se - 4(t-s) 2e2 ( t-s) + 4e-4(t-s)][es
1 [ e(2t-s) - e(-4t+Ss)
6 2e(2t-s) + 4e(-4t+59)
j
CAP. 31] SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 201
J
I stie(2t-s) - et-4t+5s)[ ds
t
1
eA(t- 5)f(s) ds =
co
6
¡
c
J
[2e(2t- s) + 4e(- 4t +5s)] ds
s
=- 1 e<-4t+5s)]
r
1
I _ 5 et + e2t + le-4t
1
6
`-o
=2
r 2e(2t - 8) + 4 e(-4t+5s)
L
5
- 5 et + 2e2t - 5 e-41
s=o
Entonces,
f eA(t-s)f(s) ds
to
r- 31
I - 5 e( + e2t + e-4t
+
1 e2t -Ser
30 e 4t +
1
6
L_ 15 e_4t + 3 e2t - 5 et
- 5 et + 2e2t - 5 e-4t
como antes.
31.4. Resolver
x + x = 3; x(r) = 1, x(-) = 2.
Este problema de valor inicial es equivalente a (31. 1) con
x(t) =
r xt(t)
A =
x2(t)]
1
-10
11
f(1) = [3] c = Dl
y to = r, Entonces, usando (31.3) y los resultados del Problema 29.3, encontramos que
cos(t --) + 2sen(t-r)
- sen (t - -) + 2 cos (t - r)
cos(t --) sen(t - r) 1
eA(t - to)e
[- sen (t - r )
eA(t-8)f(8)
cos (t - r)] 2
C3
cos(t- s) sen(t-s) 0
^- sen (t - s) cos (t - s)
[3sen(t_s)1
3 cos (t - s)
t
F 3 sen (t-s) ds]
eA(t-s)f(s) ds
t^
L
3 cos (t - s) as
E
J
S = t -
3 cos (t - s)
3 - 3 cos (t
S = T
s = t
-3 sen(t - s)
L
3 sen t - r)
202 SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 31
t
Luego, x(t) _
eA(t -'o'c + f
ds
oo
r cos(t-r) + 2sen(t-sen(t -r, + 2 cos(t -
C
- 3cos(t
3sen(t-
3 - 2cos( t--. ) + 2sen (t -r,)^
2 cos (t - r) + 2 sen (t - r)
y x(t) = x1(t) = 3-2cos( t-+2sen (t-7, ).
Teniendo en cuenta que cos (t -r) _ - cos t y sen(t - r) sen t, también obtenemos
x(t)
= 3+2cost-2sent
31.5. Resuelva la ecuación diferencial
x - 6x + 9x = t.
Esta ecuación diferencial es equivalente a la ecuación diferencial matricial ordinaria con
[
xl(t) ^
x2 (t)
(ver Problema 30.4). Para este A , calculamos
eAt -
L
3t)e31
te3t e At =
-91 e.3t
(1 + 3t)e3t
-
(1
f(t) =
611
L(1
[IIJ
+ 3t)e ar -te-3t
9te 3t (1 - 3t)e 3t]
Entonces , usando (31.5), obtenemos
eAtk =
e-Atf(t)
(1 - 3t)e3t
kt
tea'
-9te1t (1 +3t)e3t]Lk2]
L
(1 + 3t)e-3t -te - 3t
9te
31
[(-3k1 + k2)t + k1]e3f
[(-9k1 + 3k,)t + k2 ]e31]
i rol - tze st
(1 - 31)e-3t
t, L(t - 3t2)e
L .í t'-'e - 3t di
t'+9t+271est-
J e-A'f(t) di
(t - 3t2)e 31 di
(1 - 3t)e31 te3t
eAt f e-Atf(t) di =
-9te3t
y
x(t)
=
(1 + 3t)e31
L
Ct2+3t+9}e-3t
r(t2+t+)e _3t1 L9t 271
L (12
+ t + 91e st
1
9
eAtk + eAt f e -Atf(t) di
r
[(-3k1 + k2)t)+ k1]e3t + 9 t + 27
[(-9k1 + 3k .,) t + k2]eSt +
Luego,
donde
Y(t)
= x1(t) = [(-3k1 + k.,)t + k1]e31 + 1 t + 2 _ (k1 + k3t)e3' + 1 t + 2
17- 9 27
k3 = -3k1 + k2.
203
CAP. 31] SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
31.6. Resolver el sistema
-2x-5y+3
x+ 2y;
x(O) = 0, 4 0) = 0,
y(0) = 1
Este problema de valor inicial es equivalente a (31.1 ) con (ver Problema 30.6)
0
xl(t)
f(t)
= 3 c =
1
0
A =[00
-2 -05]
x(t) = x2(t)
[ y1(t)
0
1
2
0
0
y to = 0. Para este A, calculamos
1 -2 + 2 cos t + sen t -5 + 5 cos t
0 cos t - 2 sen t -5 sen t
eAt
cos t + 2 sen t
0 sen t
Después, usando ( 31.3), encontramos que
1 -2 + 2 cos t + sen t
I -5 + 5 cos t
-5 + 5 cos t
-5 sen t
0 c^s t - 2 sen t -5 sen t
eA(t-to)c =
Lcos t + 2 sen t j
0 sen t cos t+ 2 sen t
r
eA(t- s)f(s)
1 -2 + 2 cos ( t - s) + sen (t - s) -5 + 5 cos (t - s)
-5 sen (t - s)
= 0 cos ( t - s) - 2 sen ( t - s)
L 0 sen (t - s) cos (t - s) + 2 sen(t - s)
6 + 6 cos ( t - s) + 3 sen(t - s)
3 cos (t - s) - 6 sen (t - s)
3 sen(t - s)
rJ
¡t
y
t
0
[-6 + 6 cos ( t - s) + 3 sen (t - 8)] ds
f
eA(t-s ) f(s) ds
0
t [3 cos ( t - s) - 6 sen (t - s)] ds
3 sen (t - s) ds
r
s
6s - 6 sen (t - s) + 3 cos ( t - s)^
J s=o
1-
[ _3sen( t_s) - 6 cos (t - s)
s=t
3 cos (t - s)
s=0
P-6t + 3 + 6 sen t - 3 cos ti
-6 + 3 sent + 6 cos t
3 - 3 cest
li s=t
s=0
1
0
3
0
204 SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES [CAP. 31
t
Luego, x(t) =
eA( t - t„)c + f eAtt- s)f(s)ds
t„
-5 + 5 cos t
-5 sen t
-6t + 3 + 6sent - 3costi
+
-6 + 3sent + 6cost
L cos t + 2 sen t
3 - 3 cos t
r-2 - 6t + 2 cos t + 6 sen ti
-6 + 6 cos t - 2 sen t
3 - 2 cos t + 2 sen t
Finalmente ,
.x(t) = xt(t)
= 2 cos t + 6 sent - 2 - 6t
y(t) = yi(t) = - 2 cos t + 2 sent + 3
31.7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales
x+y
J = 9x +y
Este conjunto de ecuaciones es equivalente al sistema de mat .'°es
*(t ) = Ax(t)
con (ver Problema
30.7)
=
La solución está dada por (31.6). Para este A, calculamos
eAt
luego,
x(t)
=
= eAtk
1
e4t
1
3e4' + 3e -
6
9e41 - 9e 21 3e41
22
- e-2t
+ 3e-2t
1 [3e4t + 3e-2t e4t - e-2t kt1
1
6 9e4t - 9e - 2t 3e4t + 3e -2tJLk2J
r6 (3k1 + k.>)e4t + 6 (3k1 - k2)e-2t1
L 3 (3k1 + k2) e4t - 3 (3k1 - k2)e-2t
6
6
Entonces ,
x(t) = x1(t)
y(t) =
(3k1 + k2)e4t + 6 (3k1 - k2)e-2t
3
3
yl(t) = 6 (3k1 + k2) e4t - 6 (3k1 - k2)e-2t
Si definimos dos nuevas constantes arbitrarias
x(t) = k3e4t + k 4e-2t
k3 = (3k1 + k0)/6 y k4 = (3k1 - k2)/ 6, entonces
y(t) = 3k3e4t - 3k4e-2t
4
CAP. 31] SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 205
Problemas suplementarios
Resuelva cada uno de los siguientes sistemas por el método de matrices . Note que eAt para los Problemas 31.8
a 31.12 ha sido calculado en el Problema 29.2.
31.8.
Y + 2x - 8x = 0; x(1) = 1 , z(1) = 0.
31.9.
Y + 21 - 8x = 4;
31.10.
z + 2x - Sx = 4; x (1) = 0, 1(1) = 0.
31.11 .
z + 21 - Sx = 4;
31.12 .
Y +-21-8x = 9e-t; x( 0) = 0, 1(0) = 0.
31.13 .
El sistema del Problema 31.4, utilizando (31.2).
x(0) = 0, x(0) = 0.
x(0) = 1,
x(0) = 2.
31.14 . x = 2z+5y+3,
_ -x - 2y;
x(O) = 0, x(0) = 0,
31.15.
y(0) = 1.
x + 2y
4x + 3y. ( Sugerencia. Ver Problema 29.1).
31.16. 'x = 6t; x(0) = 0, 1(0) = 0, z (0) = 12.
Respuestas a los problemas suplementarios
31.8. x
3 e-4(t-1) + 3 e2(t-1)
31.9. x = e-4t + e"t - 2
31.10 . x = 6 e 4<t-u + e°t 1)
31.11 . x = 1e-4t + 4e2t - 2
31.12 . x e-4t + e2t - e-t
31.14 . x = -8 cos t - 6 sen t + 8 + 6t
y = 4 cos t - 2 sen t- 3
31.15 .
x = k3est + k4e-t
donde
y = 2k3est - k4e-1
k3 = 3 (k1 + k2) y k4 = 3 (2k, - k2)
31.16 . x = 1 t4 + 6t2
Capítul o 32
Métodos numéricos simples
32.1 OBSERVACIONES GENERALES
Un método numérico para resolver un problema de valor inicial es un procedimiento
que conduce a soluciones aproximadas en puntos especiales, usando solamente las operaciones
de adición, sustracción, multiplicación y división y cálculos de funciones.
En los Capítulos 32 y 35 nos limitaremos a los problemas de valor inicial de primer
orden de la forma [ver (3.1) ]
y' = f (x, y) ; y(xo) = Jo (32.1)
Las generalizaciones para los problemas de mayor orden se dan en el Capítulo 36.
Ejemplo 32 . 1. (a) Para el problema de valor inicial y' = -y + x + 2; y(0) =
2, tenemos f(x, y) = -y + x +
2, xn = 0, y y 0 == 2. (b) Para el problema y' = y2 + 1; y(1) _= 0, tenemos f(x, y) = y2 + 1, xo = 1, y yo = O.
(c) Para el problema y' = 3; y(0) = 0, tenemos f(x, y) - 3, xo = 0, y yo = O.
Observe que , en un problema particular f(x, y) puede ser independiente de x, de y o de x y y.
Todos los métodos numéricos implican encontrar soluciones aproximadas en xo, x1,
x2, ..., donde la diferencia entre dos valores sucesivos cualesquiera de x es una constante h;
es decir, xn+1 - x„ = h (n = 0, 1, 2, ... ). El valor de h se escoge arbitrariamente; en general,
mientras más pequeño es h, la solución aproximada es más exacta.
La solución aproximada en xn se designarán por y(xn), o simplemente yn. La solución
verdadera en x„ se designará tanto por Y(xn) como por Y,,. Tenga en cuenta que una vez
conocido yn , puede usarse (32.1) para obtener yn' Como
y", = f(xn, yn)
(32.2)
32.2 METODO DE EULER
yn'1
o, por (32.2)
yn - 1
= yn + hyn
(32.3)
(32.4)
= yn + hf (xn, yn)
(Ver Problemas 32.1 a 32.8).
32.3 METODO DE HEUN
Este es una mejora del método de Euler y está dado por
yn+1
o, de (32.2),
yn+1
=
yn
+
[y'
yn + 2h [f(xn ,
+
y,)
(Ver Problemas 32.9 a 32.11 )..
206
f( x n
+h, yn
+ h yn)]
+ f(xn + h, y„ + h y;,)]
(32.5)
(32.6)
207
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES
32.4 METODO DE LA SERIE DE TAYLOR DE TRES TERMINOS
h,2
(32.7)
ynrl = y„ + hyn + 2 yn
(Ver Problemas 32.12 y 32. 13). Aquí se obtiene yñ' derivando la ecuación de primer orden
dada con respecto a x y después calculando para x = xn.
32.5 METODO DE NYSTROM
(32.8)
y n + 1 = yn-1 + 2hyn'
(Ver Problemas 32.14 a 32.16). El método de Nystrom no se inicia por sí mismo; esta
dificultad se explica y resuelve en el Problema 32.14.
32.6 ORDEN DE UN METODO NUMERICO
Un método numérico es de orden n, donde n es un entero positivo, si el método es
exacto para polinomios de grado n o menor. En otras palabras, si la verdadera solución del
problema de valor inicial es un polinomio de grado n o menor, entonces la solución aproximada y la solución verdadera serán idénticas para un método de orden n.
En general, mientras mayor sea el orden, más exacto es el método. El método de Euler
es de orden uno, mientras que cada uno de los otros tres métodos es de orden dos.
Generalmente se evita el método de la serie Taylor puesto que requiere la operación de
derivación , que, puede ser tediosa y complicada. Como tanto el método de Heun como el
método de Nystrom son del mismo orden que el método de la serie de Taylor de tres términos
y no contienen derivación , deben preferirse.
Problemas resueltos
32.1. Hallar y ( 1) para y ' = y - x; y(0) = 2, utilizando el método de Euler con h = 1.
Para este problema xo = 0, yo = 2, y
yn - x,,. Puesto que h = í,
1(x, y) - y - .r; de manera que ( 32.2) se convierte en
x1 = xo+h = 4 x., x1+h = 2
x3 = xz+h = 4
yR
x4 = x3 + h = 1
Usando (32.3) con n=0,1,2, 3 sucesivamente calculamos ahora los correspondientes valores de y.
n = 0:
y1 = yo + hyñ
Pero
yó = f(xo, yo) = yo - xo = 2 - 0 = 2
Por lo tanto , y1 = 2 + 4 (2) - 2
n = 1: Y2
= y1 + hyi
Pero
5
yi = f(x1, y1) = y1 - x1 = 2 - 1 4 - 94
Por lo tanto,
(
y., = 5 +1 9) = 49
2 4 4 16
208 METODOS NUMERICOS SIMPLES
n = 2:
Y3 = y2 + hyi
Pero
49
16
y2 = !(x2 , y 2 ) = y 2 - x 2
_
Por lo tanto
n = 3:
[CAP. 32
y3
(
1 _41
2
16
49
1 41 ) = 237
16 +4 16
64
y4 = y3 + hy3,
Pero
y3 -
f(x3• y3)
Por lo tanto
y4 __
=
y3 - x3
237 - 3 = 189
64
4 64
=
237
1891
64 + 14 1 64 J
= 1137
256
Entonces , y(1) = y4 = 2 67 = 4.441. Nótese q ue la solución verdadera es Y ( r. )=e=+x+1, así que
Y(1) = 4.718.
32.2. Resolver el Problema 32.1 con h = 0.1.
Con h = 0.1, y(1) = yio. Como antes
sucesivamente , obtenemos
n = 0: xo = 0,
y, = y„ - x,.
Entonces , usando (32.3) con
n = 0, 1, ..., 9
yo = 2, Yo = yo - xo = 2 - 0 = 2
y, = yo + hyÓ = 2 + (0.1)(2) = 2.2
n = 1: xj
= 0 .1, yl = 2.2, yl = yi - xi = 2.2 - 0.1 = 2.1
1/2 = .u, + hy¿ = 2.2 + (0.1)(2.1) = 2.41
n = 2: x2 = 0. 2, y2 = 2 .41,
yL = y2 - x2 = 2.41 - 0.2 = 2.21
Y3 = y2 + hyz = 2.41 + (0.1)(2.21) = 2.631
n = 3: x3 = 0.3,
y3 = 2.631, y3 = y3 - x3 = 2.631 - 0.3 = 2.331
y4 = y3 - hy3 = 2.631 + (0.1)(2.331) = 2.864
n = 4: x4 = 0.4, y4 = 2.864, y4 = y4 - x4 = 2.864 - 0.4 = 2.464
y5 = y4 + hy4' = 2. 864 + (0.1 )( 2.464 ) = 3.110
n = 5: x5 = 0.5,
y; = 3 .110,
y = Y,,> - x; = 3.110 - 0.5 = 2.610
y6 = y5 + hy; = 3.110 + (0.1)(2.610) = 3.371
n = 6: x6 = 0 .6, y6 = 3.371, y9 = yo - x6 = 3.371 - 0.6 = 2.771
Y7 = y6 + hyé = 3.371 + (0.1)(2.771) = 3.648
n = 7: x7 = 0.7,
y7 = 3.648,
y7 = y7 - x7 = 3.648 - 0.7 = 2.948
ye = y7 + hy, = 3.648 + (0.1)(2.948) = 3.943
n = 8: x8 = 0.8, ys = 3.943, yR = y8 - xs = 3.943 - 0.8 = 3.143
yo = y8 + hv3
n = 9:
= 3.943 + (0.1)(3.143) = 4.257
x9 = 0.9, yo = 4.257,
y9 = yo - x9 = 4.257 - 0.9 = 3.357
y,o = y9 + hy9 = 4.257 + (0.1)(3.357) = 4.593
Los resultados de arriba se muestran en la Tabla 32-1. La Tabla 32-1 también contiene resultados
para h = 0.05, h = 0.01, y h = 0.005, con todos los cálculos aproximados a cuatro cifras decimales
para poder comparar . Note que los resultados más exactos se obtienen cuando se usan los valores más
pequeños de h.
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES 209
Tabla 32.1
Método :
METODO DE EULER
Problema :
y' = y - x;
y(0) = 2
Solución verdadera
yn
xn
h = 0.1
h = 0.05
h = 0.01
h = 0.005
Y(x) = ex + x + 1
0.0
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
0.1
2.2000
2.2025
2.2046
2.2049
2.2052
0.2
2.4100
2.4155
2.4202
2.4208
2.4214
0.3
2.6310
2.6401
2.6478
2.6489
2.6499
0.4
2.8641
2.8775
2.8889
2.8903
2.8918
0.5
3.1105
3.1289
3.1446
3.1467
3.1487
0.6
3.3716
3.3959
3.4167
3.4194
3.4221
0.7
3.6487
3.6799
3.7068
3.7102
3.7138
0.8
3.9436
3.9829
4.0167
4.0211
4.0255
0.9
4.2579
4.3066
4.3486
4.3541
4.3596
1.0
4.5937
4.6533
4.7048
4.7115
4.7183
Tabla 32.2
Método :
METODO DE EULER
Problema : y' = y; y(0) = 1
X.
yn
Solución verdadera
h = 0.1
h = 0.05
h =0.01
Ii=0.005
Y(x)=ex
0.0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.1
1.1000
1.1025
1.1046
1.1049
1.1052
0.2
1.2100
1.2155
1.2'20 2
1.2208
1.2214
0.3
1.3310
1.3401
1.3478
1.3489
1.3499
0.4
1.4641
1.4775
1.4889
1.4903
1.4918
0.5
1.6105
1.6289
1.6446
1.6467
1.6487
0.6
1.7716
1.7959
1.8167
1.8194
1.8221
0.7
1.9487
1.9799
2.0068
2.0102
2.0138
0.8
2.1436
2.1829
2.2167
2.2211
2.2255
0.9
2.3579
2.4066
2.4486
2.4541
2.4596
1.0
2.5937
2.6533
2.7048
2.7115
2.7183
210 METODOS NUMERICOS SIMPLES [CAP. 32
32.3. Hallar y(0.5) para Y' = y; y(0) = 1, utilizando el método de Euler con h = 0.1.
Para este problema f(x, y) - y, x„ = 0, y J„ _= 1; por lo tanto , de (32.2), y,', = f(x,,, y„) = y,,.
Con
h = 0.1, y(0.5) _ ?1,. Entonces, utilizando (32.3) con n 0, 1, 2, 3, 4 sucesivamente , obtenemos
n = 0: xo
= 0, yo
1, Jo yo =
1
yt
= y33 + hy,i --
1 + (0.1)(1) = 1.1
n = 1: x3
= 0.1, y, =
1.1,
?12 = 1i + hyi =
n = 2: r2 = 0.2, y2 =
Y3 = y2 + hY =
Yi = y3
n = 4: .x3
= 0 . 4, 04 =
Y.-. = ?13 + h yá =
1.1
1.21
1.21, y2 = ?/2 = 1.21
1.21 + (0.1)(1.21)
n = 3: x3 = 0.3, Y3 = 1.331,
?l} = y:i + h y3 =
=
1.1 + (0.1)(1.1) =
Y:í = Ya
= 1.331
= 1.331
1.331 + (0.1)(1.331) = 1.464
1.464,
y. = y_3 = 1.464
1.464 + (0.1)(1.464) = 1.610
Entonces , y(0.5) = y;; = 1.610. Note que, como la verdadera solución es Y(x) = ex, Y(0.5) = eo 5 = 1.649.
32.4. Hallar y(1) para y' _ y; y(0) = 1, utilizando el método de Euler con
h = 0.1.
Procedemos exactamente como en el Problema 32.3, excepto que ahora calculamos hasta n = 9. Los
resultados de estos cálculos se dan en la Tabla 32 -2. Como comparación , la Tabla 32 - 2 también
contiene resultados para h = 0.05, h = 0.01, y h = 0.005, con todos los cálculos aproximados a cuatro
cifras decimales.
32.5. Hallar y(1) para y' = y2 + 1;
y(0) = 0, utilizando el método de Euler con
h = 0.1.
Aquí f(x, y) = y 2 + 1, xo = 0, y yo = 0; por lo tanto, de (32.3), y,', = f (X,', y„) _ (y„ )2 + 1.
h = 0.1, y( 1) = y10. Entonces , usando (32.3) con n = 0, 1, ..., 9 sucesivamente, obtenemos
n =- 0:
x3,
0, yo = 0, yo
Con
= (yo)" + 1 = (0 )2 + 1 = 1
y¡ _ Yo + hyo = 0 + (0.1)(1) = 0.1
t+ 1: x3 = 0.1, y3 = 0.1, yi = (y3)22 + 1 = (0.1)2 + 1 = 1.01
Y2 = yi + hyi
n = 2: x, = 0 . 2,
= 0.1 + (0.1)(1.01) = 0.201
y2 = 0.201
Y _ (y2)22 + 1 = (0.201)22 + 1 == 1.040
Y3 = y2 + hy.; = 0.201 + (0.1)(1.040) 0.305
n = 3: x3 = 0.3,
Y3 = 0.305
y: = (1/3)2 + 1 = (0.305)2 11 = 1.093
ya = y3 + hy3'
= 0.305 + (0.1)(1.093) = 0.414
n = 1: x4 = 0.4, yA = 0.414
y.¡ = (y.,)2 + 1 = (0.414)2 + 1 = 1.171
Y,, = y4 + hyo. = 0.414 + (0.1)(1.171) = 0.531
4
Continuando así, encontramos que yo = 1.396.
Los cálculos se encuentran en la Tabla 32 -3. Para comparaciones , la Tabla 32- 3 también contiene los
resultados para h = 0.05, h = 0.01 y h = 0.005, con todos los cómputos aproximados a cuatro cifras
decimales. La verdadera solución de este problema es Y(x) = tan x, por lo tanto Y(1) = 1.557.
CAP. 321 METODOS NUMERICOS SIMPLES 211
Tabla 32-3
Método : METODO DE EULER
Problema : y' = y2 + 1; y(0) = 0
Y11
xn
Solución verdadera
h=0.1
h = 0.05
h=0.01
h = 0.005
Y(x)=tanx
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.1
0.1000
0.1001
0.1003
0.1003
0.1003
0.2
0.2010
0.2018
0.2025
0.2026
0.2027
0.3
0.3050
0.3070
0.3088
0.3091
0.3093
0.4
0.4143
0,4183
0.4218
0.4223
0.4228
0.5
0.5315
0.5384
0.5446
0.5455
0.5463
0.6
0.6598
0.6711
0.6814
0.6827
0.6841
0.7
0.8033
0.8212
0.8378
0.8400
0.8423
0.8
0.9678
0.9959
1.0223
1.0260
1.0296
0.9
1.1615
1.2055
1.2482
1.2511
1.2602
1.0
1.3964
1.4663
1.5370
1.5470
1.5574
32.6. Hallar y(9) para y' = 3; y(1) = 6, usando el método de Euler con h = 2.
Aquí f(x, 1) = 3, xo = 1, y yo = 6; por lo tanto
Entonces,
y(9) = y(x0 + 4h) = y(x4) = y4.
n = 0:
y;, = f(x,,, y,,) = 3.
Con
h = 2,
tenemos
xo = 1, yo = 6, yó = 3
y' = yo + hyó = 6 + (2)(3) = 12
n = 1: xl = 3, yl = 12,
yi = 3
=
12
+
(2)(3) = 18
Y-, = y] + hyi
n = 2:
X2
5, y2 = 18,
y3
Y2 + hy, = 18 + (2)(3) = 24
n = 3: x3 = 7, y3 = 24,
y = 3
ys = 3
Y4 = y3 + hys = 24 + (2)(3) =
30
Luego , y(9) = y4 = 30.
La verdadera solución de este problema es Y(x) = 3x + 3; por lo tanto , Y(9) = 30, que concuerda
exactamente con y ( 9). Debido a que Y( x) es un polinomio de primer grado y el método de Euler es un
método de primer orden ( Sección 32 . 6), esta concordancia se esperaba aún con un h muy grande.
32.7. Dé una expresión analítica del método de Euler.
Haga que Y( x) represente.la verdadera solución . Entonces , usando la definición de derivada , tenemos
Y(x,, + 'áx) - Y(x„)
Y'(x„) =
]im
oX-. 0
:]x
212
METODOS NUMERICOS SIMPLES
[CAP. 32
Si ¿Sx es pequeño , entonces
Y'(xn) Y(x„ + Ax) - Y(xn)
¡IX
Estableciendo Ox = h y resolviendo para Y(xn + ix) = Y(x„+ 1), obtenemos
Y(xn+1) Y(xn) + hY'(xn)
(1)
Finalmente , si usamos yn y y;, para aproximar Y(xn) y Y'(xn), respectivamente, el lado derecho de (1)
puede usarse para aproximar Y(xn + 1). Entonces,
yn+1
= yn + hy'
que es el método de Euler.
32.8. Dé una expresión geométrica del método de Euler.
1'J
y n+1
=
1(x„
+1)
(x2, y2
1
xo
x1, y1)
(xo, yo)
Fig. 32-1
Suponga que y„ = y(x„) ya ha sido calculado, de manera que y,, también se conoce , según (•'.32.2).
Dibuje una línea recta 1(x) partiendo de (x,,, y,,) y con una pendiente y,,, y utilice 1(x) para aproximar
Y(x) en el intervalo [x,,, xn + 1] (ver Fig . 32-1). El valor 1(xn+1) se toma como yn+1. Entonces
1(x) = (yn)x + )yn - (yñ)xn]
y
1(xn+1)
(yn)xn+ 1 +
[y,, - (y,,)xn]
yn + (y,)( xn+1 - x,, ) = yn + hyñ
Por lo tanto , y , + 1 = yn + hy,,,
que es el método de Euler.
32.9. Hallar y(1) para y' = y - x; y(0) = 2, usando el método de Heun con h = 0.1.
Aquí xo = 0, yo = 2, y f(x, y ) = y - x; por lo tanto , y;, = f(x,,, yn) = Y. - x,,. Además, como
h = 0.1, y(1) = yio. Entonces , usando (32.5) con n = 0, 1, ..., 9 sucesivamente , obtenemos
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES
n = 0: xo = 0,
213
yo = 2, yo = yo - xo = 2
f(xo + h, yo + hyo) = f[0+0.1,2+(0.1)(2)1
= f(0.1, 2.2) = 2.2 - 0.1 = 2.1
yi
= yo + (h/2 ) [y' + f(xo+ h, yo+ hy0')1.
= 2 + 2 (0.1 )( 2 + 2.1) = 2.205
n = 1: xl = 0.1 , yl = 2.205,
yi = yl - xl = 2.205 - 0.1 = 2.105
f (xl + h, y1 + hyi) = f [0.1 + 0.1, 2.205 + (0.1)(2.105)]
= f(0.2,2.416) = 2.416 - 0.2 = 2.216
Y2
yi + (h/2)[y1' + f(x1 + h, yi + hyi)]
2.205 + 2 (0.1)(2.105 + 2.216) = 2.421
n = 2: x2 = 0.2, y2 = 2.421, y' = y2 - x2 = 2.421 - 0.2 = 2.221
f(x2+h,y2+hy2')
= f[0.2+0.1,2.421+(0.1)(2.221)]
= f(0.3, 2.643) = 2.643 - 0.3 = 2.343
y3 = y2 + (h/2)[y2 ' + f(x2 + h, y2 + hys)]
= 2.421 + 2 (0.1)(2.221 + 2.343) = 2.649
n = 3: x3 = 0.3,
y3 = 2.649, y3 = y3 - x3 = 2.649 - 0.3 = 2.349
f(x3 + h, y3 + hyi)
= f [0.3 + 0.1, 2.649 + (0.1)(2.349)J
f(0.4, 2.884) = 2.884 - 0.4 = 2.484
y4
Y3 + (h/2) [y' + f(x3 + h, y3 + hy3)J
2.649 + 2 (0.1)(2.349 + 2.484 ) =
Continuando así, encontramos que
4.718.
2.891
y,o = y(1) = 4.714,
mientras que la verdadera solución es Y(1) _
En la Tabla 32-4 se dan los cálculos aproximados a siete cifras decimales , junto con los resultados para
h = 0.05 y h = 0.01. Compare estos resultados con los de la Tabla 32 - 1. Para este Problema, el método
de Heun con h = 0.1 es más exacto que el método de Euler con h = 0.005.
214 METODOS NUMERICOS SIMPLES
[CAP. 32
Tabla 32-4
Método : METODO DE HEUN
Problema :
xr
y' = y - x; y(0) = 2
yn
Solución verdadera
h = 0.1
h = 0.05
h=0.01
Y(x)=ex+x+1
0.0
2.0000000
2.0000000
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2050000
2.2051266
2.2051691
2.2051709
0.2
2.4210250
2.4213047
2.4213987
2.4214028
0.3
2.6492326
2.6496963
2.6498521
2.6498588
0.4
2.8909021
2.8915852
2.8918148
2.8918247
0.5
3.1474468
3.1483904
3.1487076
3.1487213
0.6
3.4204287
3.4216801
3.4221007
3.4221188
0.7
3.7115737
3.7131870
3.7137294
3.7137527
0.8
4.0227889
4.0248265
4.0255115
4.0255409
0.9
4.3561818
4.3587148
4.3595665
4.3596031
1.0
4.7140809
4.7171911
4.7182369
4.7182818
Tabla 32-5
Método : METODO DE HEUN
Problema :
xn
y' = y; y(0) = 1
yn
Solución verdadera
h= 0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y(x)=ex
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
1.1050000
1.1051266
1.1051691
1.1051709
0.2
1.2210250
1.2213047
1.2213987
1.2214028
0.3
1.3492326
1.3496963
1.3498521
1.3498588
0.4
1.4909021
1.4915852
1.4918148
1.4918247
0.5
1.64 744 68
1.6483904
1.6 48 7076
1.6487213
0.6
1.8204287
1.8216801
1.8221007
1.8221188
0.7
2.0115737
2.0131873
2.0137294
2.0137527
0.8
2.2227889
2.2248265
2.2255115
2.2255409
0.9
2.4561818
2.4587148
2.4595665
2.4596031
1.0
2.7140809
2.7171911
2.7182369
2.7182818
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES
215
23.1O .Hallar y(1) para y' = y; y(0) = 1, Usando el método de Heun con h = 0.1.
Aquí x0 = 0, y0 = 1, y f(x, y) = y; por lo tanto , yn = f(x,,, y„) = y,,. Entonces , usando (32.5) con
n = 0, 1, ... , 9 sucesivamente , obtenemos
n = 0: x0 = 0, yo = 1, yo = Yo = 1
f(xo+h, yo+hyó) = f[0+0.1, 1+(0.1)(1)] = f(0.1, 1.1) = 1.1
yl = yo + (h/2)[y' + f (xo + h, yo + hy')]
= 1 + 2 (0.1)(1 + 1.1) = 1.105
n = 1: xl ^- 0 . 1, yi = 1 . 105, yi = yl = 1.105
f (x1 + h, yl + hyi )
= f[0.1 -r 0.1, 1.105 + ( 0.1)(1.105)]
= f(0.2, 1. 216) = 1.216
y, + (h/2)[yí + f(x1 + h, yi + hyi)]
1.105 + 2 (0.1)(1 . 105 + 1.216 ) =
n = 2: x., = 0 .2, y2 = 1.221,
f (x2 + h, y 2 + h y)
1.221
y. = Y2 = 1.221
= f[0.2+0.1, 1.221+(0.1)(1.221)]
= f(0.3, 1.343) = 1.343
Y3 = y2 + (h/2)[y2 + f(x2 + h, y2 + hy')]
= 1.221 + 2 (0.1)(1.221 + 1.343) = 1.349
n = 3: x3 = 0.3, y3 = 1.349,
f(x3+h, y3+hy¡)
yá = y3 = 1.349
= f[0.3 + 0.1, 1.349 + (0.1)(1.349)]
f(0.4, 1.484) = 1.484
y4 y3 + (h/2) [y3' + f(x3 + h, y3 + hy3)]
-= 1.349 + 2 (0.1)(1.349 + 1.484) = 1.491
Continuando así, encontramos y10 = y(1) = 2.714, mientras que la verdadera solución es Y(1) = 2.718.
Los cálculos , aproximados a siete cifras decimales, junto con los resultados para h = 0.05 y h = 0.01, se
dan en la Tabla 32-5. Compare estos resultados con la Tabla 32-2.
32.11.Hallar y(1.6) para
y' = 2x; y(l) = 1,
usando el método de Heun con h = 0.2.
Aquí xo = 1, yo = 1, y f(x, y) = 2x; por lo tanto yn = f(x, , yn) = 2xn. Entonces usando (32.5) con n =
0, 1, 2 sucesivamente , obtenemos
n = 0: xo = 1, yo = 1, yo = 2x0 = 2(1) = 2
f(x0 + h, yo + hy'0) = f[1 + 0.2, 1 + (0.2)(2)] = f(1.2,1.4) = 2(1.2) = 2.4
yl = yo + (h/2)[yo + f (xo + h, yo + hy')] = 1 + 2 (0.2)(2 + 2.4) = 1.44
n = 1: x1 = x0 + h = 1 + 0.2 = 1.2, yl = 1.44
y, = 2x1 = 2(1.2) = 2.4
216 METODOS NUMERICOS SIMPLES [CAP. 32
f(x, + h, y1 + hyÍ)
= f 1.2 + 0.2, 1.44 + (0.2)(2.4)]
f(1.4, 1.92) __- 2(1.4) = 2.8
y, = yl + (h / 2)[yi + f(•ri + h , yi - hyi)Í
1.44 + 2 ( 0.2)(2.4 + 2.8) = 1.96
n = 2: x, =
1 .4,
y, =
f(x.>+h, y2+hy',)
1.96,
y.; = 2x., = 2(1 . 4) = 2.8
= f[1. 4+0.2, 1.96 +( 0.2)(2.8)]
f(1.6,2. 52) = 2(1.6) = 3.2
y3 = y, + (h/2)[y_+f(x,+h, y2+hy_)]
1.96 + 2 (0.2)(2.8 + 3.2) = 2.56
Entonces,
y(1.6) = ya - 2.56.
La verdadera solución es )'(x) - a2, por lo tanto Y(1.6) = y(1.6) = 2.56. Como la verdadera solución
es un polinomio de segundo grado y el método de Heun es un método de segundo orden, esta
concordancia era previsible.
32.12 .Hallar y(1) para J' = y - x; y(0) -- 2, usando el método de la serie de 'Taylor de tres
términos con h = 0.1.
Aquí x„ = 0, y„ - 2, y f(x, y) _ y Como !i' -= y -- x, se deduce , derivando esta ecuación,
que y" = y' 1. Luego ti,, I, -- .r„ y
y,', - 1. Entonces , usando (32, 7) con ,e = 0, 1, ..., 9
y•'
sucesivamente , obtenemos
n 0: xu
yó
0, yo
2, ,j'
- Uu ' xu = 2 - 0 -- 2
- yo - 1 2 -- 1 ==
' + Ir r„
i!
= Lío
2 (0.1)2 -(1) -2.20
i
1
Lío + h J o
^ Ju 0.21
n 1:
.ri = 0 . 1, yl 2.205,
Ui' = uÍ - 1
yi yr - .,',
2.205 - 0.1 2.105
2 . 105 --- 1 = 1.105
1,2
y2 - y, + hyí + 2 yl
2.205 (0.1))2.10.50.01
) 2 (1.105) 2.421
n = 2: x,
0 .2, y., - 2.421, y_, = y2 - .r2 - 2.421 - 0.2 -_ 2.221
yz = y' - 1 2.221 1 1.221
y3 = y2 + hy, + 22 y•_''
2.421 + (0.1)(2.221) + 0.01 -(1.221) = 2.649
n = 3: x3 = 0 .3, y3 = 2.649, y; = y3 - x,; - 2.649 -- 0.3 2.349
ys = y^ - 1
= 2.349 - 1 = 1.349
y4 = y3 + hy + 2 ys
2.649 + (0.1)(2.349) + 01 (1.349) = 2.891
Siguiendo así (ver Tabla 32-6) encontramos que Y,, y(1) = 4.714. Compare estos resultados tanto
con los de la Tabla 32-1 como con los de la Tabla 32-4.
CAP. 321 METODOS NUMERICOS SIMPLES 217
Tabla 32-6
Método : METODO DE LA SERIE DE TAYLOR DE TRES TERMINOS
Problema :
y' = y - x; y(0) - 2
x"
Solución verdadera
y"
h= 0.1
h =0.05
h=0.01.
1'(a•)=ca +x+1
0.0
2.0000000
2.0000000
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2050000
2.2051266
2.2051691
2.2051709
0.2
2.4210250
2.1213047
2.4213987
2.4214028
0.3
2.6492327
2.6496963
2.6498521
2.6498588
0,4
2.8909021
2.8915852
2.8918148
2.8918247
0.5
3.1474468
3.1483904
3.1487076
3.1487213
0.6
3.4204287
3.4216801
3.4221007
3.4221188
0.7
3.7115737
3.7131870
3.7137294
3.7137527
0.8
4.0227889
4.0248265
4.0255115
4.0255409
0.9
4.3561818
4.3587148
4.3595665
4.3596031
1.0
-1.7140809
4.7171011
-1.7182369
4.7182818
Tabla 32-7
Método : METODO DE LA SERIE DE TAYLOR DE TRES TERMINOS
Problema: y' = y2 -'- 1: y(0) - 0
11 ,1
Solución verdadera
Y(x) - tan .r
h = 0.1
h - 0.05
h = 0.01
0.0
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.1 i
0.1000000
0.1002503
0.1003313
0.1003347
0.2
0.2020100
0.2025322
0.2027028
0.2027100
0.3
0.3081933
0.3090436
0.3093243
0.3093363
0.4
0.4210663
0.4223474
0.4227749
0.4227932
0.5
0.5437532
0.5456384
0.5462751
0.5463025
0.6
0.6803652
0.6831445
0.6840955
0.6841368
0.7
0.8366079
0.8407771
0.8422249
0.8422884
0.8
1.0208208
1.0272615
1.0295378
1.0296386
0.9
1.2458742
1.2562453
1.2599903
1.2601582
1.0
1.5328917
1.5505515
1.5571088
1.5574077
1
218
METODOS NUMERICOS SIMPLES
[CAP. 32
32.13 . Hallar 1y(1) para y' = y2 + 1; y( 0) = 0, usando el método de la serie de Taylor de tres
términos con h = 0.1.
Aquí x„ = 0, y„ 0. Y f(x, y) = y2 + 1. Puesto que U'
1, se deduce que y" = 2yy';
por lo tanto ,
y, 112 + 1 y y, = 2y„y;,. Entonces, usando (32.7) varias veces , obtenemos
n = 0:
n = 1:
n-2:
xo
yo = y2 + 1 = (0 )2 + 1 = 1
0, yo = 0,
=
=
y¿'
=
2yuy0
y,
-=
1,2
yo + hyo + 2 y,
x,
0.1 ,
=
2(0)(1) = 0
= 0 + (0.1 )( 1) + 0.21 (0)
y, = 0.1, y
= 0.1
y¡ + 1 = (0.1)2 + 1 = 1.01
yi =
2y,yi = 2( 0.1)(1.01 ) =
112 =
Jr1 +hy', 2
+ 0.1+
(0.1)(1.01
4-0.01
) 2
(0.202)
= 0.202
0 .2,
r2 =
y, = 0.202,
y2
0.202
2=y+1
2y,y2' = 2( 0.202 )( 1.041 ) =
Y2
=_ (0.202)22 + 1 = 1.041
0.421
2
Y3
n = 3:
=
y2 + hy.' , + 2 y'.,' =
x:l = 0.3,
y3 = 0.308,
2y3ys =
U4
0.202 + (0.1)(1.041) + 0 '2 (0.421)
y' = y2 + 1 = (0.308 )2 + 1 = 1.095
2(0.308 )( 1.095 ) =
y:, + hy; +
2
y
= 0.308
0.675
= 0.308 + ( 0.1)(1.095 ) +
21
(0.675) =
Continuando en esta forma ( ver Tabla 32 - 7), encontramos que y,o -= y(1) = 1.533.
tados con los de la Tabla 32-3.
0.421
Compare estos resul-
32.14 . Hallar y(1) para y' = y - x; y(0) = 2, usando el método de Nystrom con h = 0.1.
Aquí :r„ = 0, y„ = 2, y y;, = y„ - x ,,. Reemplazando 11 = 0 en (32.8), tenemos y, = y_, + 2hyQ',
que no puede utilizarse puesto que y_1 no está definido . Iniciando el método de Nystrom con n = 1,
obtenemos +J2 = yo + 2h y,. Pero para calcular y', necesitamos y,, un valor que todavía no se conoce.
VALORES DE PARTIDA . El método de Nystrom no puede usarse hasta que se establezcan valores de
partida adicionales ; en particular y, debe conocerse . Este valor puede obtenerse tanto por el método de
Heun , como por el método de la serie de Taylor de tres términos. De la Sección 32.6, se prefiere el
método de Heun . Nótese que como el método de Euler es de menor orden que el método de Nystrom,
es menos exacto y por lo tanto no debe utilizarse para iniciar el método de Nystrom.
Usando el método de Heun (Problema 32 . 9) en el presente problema, encontramos y, = 2.205. Entonces, usando el método de Nystrom con n = 1 , 2, ... , 9 sucesivamente , obtenemos
n = 1: x1 = 0.1,
Y2 =
y, = 2.205, y;
= y, - x, = 2.205 - 0.1 = 2.105
yo + 2hyi = 2 + 2(0.1)(2.105) = 2.421
n = 2: x., = 0.2 ,
Y2 = 2.421,
y2 = y2 - x_, = 2.421 - 0.2 = 2.221
y3 = 111 + 21¿y, = 2.205 + 2(0.1)(2.221) = 2.649
n = 3: x3 = 0.3 , y3 = 2.649, y3 = y3 - x3 = 2.649 - 0.3
2.349
Y4 = y2 + 2hy3' = 2.421 + 2(0.1)(2.349) = 2.891
n = 4: x4 = 0.4, y4 = 2.891,
ys
y = y4 - x4 = 2.891 - 0.4
2.491
y3 + 2hy' = 2.649 + 2(0.1)(2.491) = 3.147
Siguiendo así (ver Tabla 32-8), encontramos que
Tablas 32-1, 32 -4 y 32-6.
y (1) = y10 = 4.714.
Compare el resultado con las
METODOS NUMERICOS SIMPLES 219
CAP. 32 1
Tabla 32-8
Método : METODO DE NYSTROM
Problema :
y' = y - x; y(0) = 2
y,,
xn
Solución verdadera
h= 0.1
h=0.05
h = 0.01
Y(x)=ex+x+1
0.0
2.0000000
2.0000000
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2050000
2.2051250
2.2051691
2.2051709
0.2
2.4210000
2.4213013
2.4213987
2.4214028
0.3
2.6492000
2.6496905
2.6498521
2.6498588
0.4
2.8908400
2.8915767
2.8918148
2.8918247
0.5
3.1473680
3.1483786
3.1487075
3.1487213
0.6
3.4203136
3.4216643
3.4221006
3.4221188
0.7
3.7114307
3.7131667
3.7137292
3.7137527
0.8
4.0225997
4.0248007
4.0255113
4.0255409
0.9
4.3559507
4.3586828
4.3595662
4.3596031
1.0
4.7137899
4.7171516
4.7182365
4.7182818
Tabla 32-9
Método : METODO DE NYSTROM
Problema :
y' = y;
y(o) = 1
Y71
xn
Solución verdadera
h 0.1
h = 0.05
h=0.01
Y(x)=ex
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
1.1050000
1.1051250
1.1051691
1.10517 09
0.2
1.2210000
1.2213013
1.2213987
1.2214028
0.3
1.3492000
1.3496905
1.3498521
1.3498588
0.4
1.4908400
1.4915767
1.4918148
1.4918247
0.5
1.6473680
1.6483786
1.6487075
1.6487213
0.6
1.8203136
1.8216643
1.8221006
1.8221188
0.7
2.0114307
2.0131667
2.0137292
2.0137527
0.8
2.2225997
2.2248007
2.2255113
2.2255409
0.9
2.4559507
2.4586828
2.4595662
2.4596031
1.0
2.7137899
2.7171516
2.7182365
2.7182818
220 METODOS NUMERICOS SIMPLES [CAP. 32
32.15. Hallar y(1) para y' = y; y(0) = 1,
usando el método de Nystrom con h = 0.1.
Aquí x0 = 0, y, = 1, y f(x, y) = y. Usando el método de Heun ( ver Problema 32.10),
calculamos
y, = 1.105. Entonces , usando ( 32.8), obtenemos
n = 1: xi = 0.1, yi = 1.105 ,
Y2 = yo + 2hyí
n = 2: x2 = 0.2,
= 1 -1- 2(0.1)( 1.105 ) = 1.221
y.,
1 .221,
Y3 = yi + 2hy.; =
n = 3: x3 = 0.3, y3 =
!l4 = y2 + 2hys =
n = 4: x4 = 0.4,
!yi = yi = 1.105
y4
1.105 - 2(0.1 )(1.221) = 1.319
1.349,
ys = y3 = 1.341)
1.221 + 2(0.1)(1.349)
1.491,
y5 = y3 + 2hy4' =
y2' = y2 = 1.221
= 1.491
yá = y., = 1.491
1.349 4- 2(0.1 )(1.491) = 1.647
Siguiendo así (ver Tabla 32-9), encontramos que y(1) = y^^ = 2.714. Compare el resultado con la Tabla
32-5 y la Tabla 32-2.
32.16 . Hallar y( 1) para
y' = y2 + 1;
y(0) = 0, usando el método de Nystrom con
1i = 0.1.
Aquí x, = 0, yo = 0, y +i2 r 1. Usando el método de Heun , calculamos yl = 0.101. Entonces, usando (32.8) obtenemos
n = 1: xl = 0 .1, yi = 0.101,
yí =_ (j)j)'2 + 1
-- (0.101)2 + 1 =
1.01
y2 = yo + 21?yÍ = 0 + 2(0.1)(1.01) = 0.202
n = 2: x2 = 0.2, y2 = 0.202, y _ (y,)2 i- 1 _ (0.202) 2 -t 1 =
Y3 = yl + 2h1l._
1.041
0.101 + 2(0.1)(1.041) = 0.309
n = 3: x3 = 0.3, ys = 0.309, y;; - (Y1)2 + 1 = (0.309)2 + 1 =
1.095
Y4 = Y2 + 2hy.; (0.202) -- 2(0.1)(1.095) -- 0.421
n = 4: x4 = 0.4, y, = 0.421,
y5 = y3 + 2hy4'
yí = i1l)2
1 = (0.421) ~ 1 = 1.177
= 0.309 H- 2(0.1)(1.]77) = 0.544
Siguiendo así (ver Tabla 32-10) encontramos que y(1) = y,, ) - : 1.530. Compare el resultado con la Tabla
32-7 y la Tabla 32-3.
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES 221
Tabla 32-10
Método : METODO DE NYSTROM
Problema :
y' = y2 + 1;
y(0) = 0
yn
xn
Solución verdadera
h=0.1
h = 0.05
h=0.01
Y(x) = tan x
0.0
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.1
0.1005000
0.1002506
0.1003313
0.1003347
0.2
0.2020201
0.2025328
0.2027028
0.2027100
0.3
0.3086624
0.3090439
0.3093243
0.3093363
0.4
0.4210746
0.4223460
0.4227749
0.4227932
0.5
0.5441232
0.5456322
0.5462750
0.5463025
0.6
0.6802886
0.6831269
0.6840953
0.6841368
0.7
0.8366817
0.8407344
0.8422245
0.8422884
0.8
1.0202958
1.0271647
1.0295368
1.0296386
0.9
1.2448824
1.2560293
1.2599880
1.2601582
1.0
1.5302422
1.5500594
1.5571037
1.5574077
Problemas suplementarios
Efectúe todos los cálculos con tres cifras decimales.
32.17 .
Hallar y(1.0) para y' = -y; y(0 ) = 1, usando el método de Euler con h = 0-1-
32.18 .
Hallar y(0.5) para
32.19. Hallar y(0.5) para
32.20 .
y' = 2x; y(0) = 0, usando el método de Euler con h = 0.1.
y' _ --y + x + 2; y ( 0) = 2, usando el método de Euler con
h = 0.1.
Hallar y(0.5) para y' = 4x3; y( 0) = 0, usando el método de Euler con h = 0.1.
32.21. Vuelva a hacer el Problema 32 . 17 usando el método de Heun.
32.22 .
Vuelva a hacer el Problema 32.18 usando el método de Heun.
32.23 .
Vuelva a hacer el Problema 32 .19 usando el método de Heun.
32.24 .
Vuelva a hacer el Problema 32.20 usando el método de Heun.
32.25. Vuelva a hacer el Problema 32.17 usando el método de la serie de Taylor de tres términos.
32.26 . Vuelva a hacer el Problema 32 . 19 usando el método de la serie de Taylor de tres términos.
32.27 .
Vuelva a hacer el Problema 32.17 usando el método de Nystrom . Halle y1 por el método de Heun.
32.28.
Vuelva a hacer el Problema 32.19 usando el método de Nystrom . Halle y1 por el método de Heun.
32.29.
Vuelva a hacer el Problema 32.20 usando el método de Nystrom . (Sugerencia. Como y' no depende de
y, yi puede encontrarse directamente . No necesita entonces usar el método de Heun para encontrar los
valores de partida).
222 METODOS NUMERICOS SIMPLES [CAP. 32
Respuestas a los problemas suplementarios
Para comparar con otros métodos que se presentarán en los siguientes capítulos , las respuestas se aproximan a
cuatro cifras decimales (para el método de Euler) o siete cifras decimales ( para los métodos de segundo
orden ). Las respuestas se buscan con x = 1.0 y se dan para valores adicionales de h.
32.17.
Método : METODO DE EULER
Problema : y' -y; y(o) = 1
J„
Solución verdadera
h==0.1
h=0.05
h=0.01
Y(.r)-.r
0.0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.1
0.9000
0.9025
0.9044
0.9048
0.2
0.8100
0.8145
0.8179
0.8187
0.3
0.7290
0.7351
0.7397
0.7408
0.4
0.6561
0.6634
0.6690
0.6703
0.5
0.5905
0.5987
0.6050
0.6065
0.6
0.5314
0.5404
0.5472
0.5488
0.7
0.4783
0.4877
0.4948
0.4966
0.8
0.4305
0.4401
0.4475
0.4493
0.9
0.3874
0.3972
0.40-17
0.4066
1.0
0.3487
0.3585
0.3660
0.3679
32.18.
Método : METODO DE EULER
Problema : y' = 2x; y(0) = 0
yn
xn
Solución verdadera
h = 0.1
h - 0.05
h = 0.01
Y(x)=x'
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.1
0.0000
0.0050
0.0090
0.0100
0.2
0.0200
0.0300
0.0380
0.0400
0.3
0.0600
0.0750
0.0870
0.0900
0.4
0.1200
0.1400
0.1560
0.1600
0.5
0.2000
0.2250
0.2450
0.2500
0.6
0.3000
0.3300
0.3540
0.3600
0.7
0.4200
0.4550
0.4830
0.4900
0.8
0.5600
0.6000
0.6320
0.6400
0.9
0.7200
0.7650
0.8010
0.8100
1.0
0.9000
0.9500
0.9900
1.0000
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES 223
32.19.
Método :
METODO DE EULER
Problema :
y' _ -y + x + 2; y(o) = 2
xit
y,l
Solución verdadera
h= 0.1
h = 0.05
h==0.01
Y(x)=e-L+x+1
0.0
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
0.1
2.0000
2.0025
2.0044
2.0048
0.2
2.0100
2.0145
2.0179
2.0187
0.3
2.0290
2.0351
2.0397
2.0408
0.4
2.0561
2.0634
2.0690
2.0703
0.5
2.0905
2.0987
2.1050
2.1065
0.6
2.1314
2.1404
2.1472
2.1488
0.7
2.1783
2.1877
2.1948
2.1966
0.8
2.2305
2.2401
2.2475
2.2493
0,9
2.2874
2.2972
2.3047
2.3066
1.0
2.3487
2.3585
2.3660
2.3679
32.20.
Método ::
METODO DE EULER
Problema :
y' = 4x3; y(0) = 0
xn
Solución verdadera
h= 0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y(x)=x1
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.1
0.0000
0 . 0000
0 . 0001
0.0001
0.2
0.0004
0.0009
0.0014
0.0016
0.3
0.0036
0 .0056
0.0076
0.0081
0.4
0.0144
0 . 0196
0.0243
0.0256
0.5
0.0400
0.0506
0.0600
0.0625
0.6
0.0900
0. 1089
0.1253
0.1296
0.7
0.1764
0 . 2070
0.2333
0.2401
0.8
0.3136
0 . 3600
0.3994
0.4096
0.9
0.5184
0 . 5852
0.6416
0.6561
1.0
0.8100
0.9028
L 01
1.0000
1
224
METODOS NUMERICOS SIMPLES
[CAP. 32
32.21.
Metodo :l: METODO DE HEUN
Problema :
y„
-rn
32.22. Como
0.25.
y' = -y; y(0) -= 1
Solución verdadera
h= 0.1
h==0.05
h=0.01
Y(x)==e =
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
0.9050000
0.9048766
0.9048389
0.9048374
0.2
0.8190250
0.8188016
0.8187335
0.8187308
0.3
0.7412176
0.7409144
0.7408220
0.7408182
0.4
0.6708020
0.6704361
0.6703246
0.6703201
0.5
0.6070758
0.6066619
0.6065358
0.6065307
0.6
0.5494036
0.5489541
0.5488172
0.5488116
0.7
0.4972102
0.4967357
0.4965911
0.4965853
0.8
0.4499753
0.4194845
0.4493350
0.4493290
0.9
0.407. 2276
0.40(37280
0.4065758
0.4065697
1.0
0.3685410
0.3680386
0.3678856
0.3678794
Y(x) = x=' es un polinomio de segundo grado , el método de Heun es exacto y y(0.5) = Y(0.5) _
32.23.
Método : METODO DE HEUN
Problema :
xn
y' - y + x + 2: y(0) = 2
y"
Solución verdadera
h - 0.1
h = 0.05
h == 0.01
0.0
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
0.1
2.005000
2.004877
2.004839
2.001837
0.2
2.019025
2.018802
2.018734
2.018731
0.3
2.041218
2.040914
2.040822
2.040818
0.4
2.070802
2.070436
2.070325
2.070320
0.5
2.107076
2.106662
2.106536
2.106531
0.6
2.149404
2.148954
2.148817
2.148812
0.7
2.197210
2.196736
2.196591
2.196585
0.8
2.249975
2.249485
2.249335
2.249329
0.9
2.307228
2.306728
2.306576
2.306570
1.0
2.368541
2.368039
2.367886
2.367879
Y(x) = e
x -f x + 1
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES 225
32.24.
Método : METODO DE HEUN
Problema : y' = 4x3; y(0) = 0
Solución verdadera
h = 0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y(x)=x4
0.0
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.1
0.0002000
0.0001250
0.0001010
0.0001000
0.2
0.0020000
0.0017000
0.0016040
0.0016000
0.3
0.0090000
0.0083250
0.0081090
0.0081000
0.4
0.0272000
0.0260000
0.0256160
0.0256000
0.5
0.0650000
0.0631250
0.0625250
0.0625000
0.6
0.1332000
0.1305000
0.1296360
0.1296000
0.7
0.2450000
0.2413250
0.2401490
0.2401000
0.8
0.4160000
0.4112000
0.4096640
0.4096000
0.9
0.6642000
0.6581250
0.6561810
0.6561000
1.0
1.0100000
1.0025000
1.0001000
1.0000000
32.25.
Método : METODO DE LA SERIE DE TAYLOR DE TRES TERMINOS
Problema : y' = -y; y(o) = 1
y^
xn
Solución verdadera
h = 0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y(x)=e-=
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
0.9050000
0.9048766
0.9048389
0.9048374
0.2
0.8190250
0.8188016
0.8187335
0.8187308
0.3
0.7412176
0.7409144
0.7408220
0.7408182
0.4
0.6708020
0.6704361
0.6703246
0.6703201
0.5
0.6070758
0.6066619
0.6065358
0.6065306
0.6
0.5494036
0.5489541
0.5488172
0.5488116
0.7
0.4972102
0.4967357
0.4965911
0.4965853
0.8
0.4499753
0.4494845
0.4493350
0.4493290
0.9
0.4072276
0.4067280
0.4065758
0.4065697
1.0
0.3685410
0.3680386
0.3678856
0.3678794
226
[CAP. 32
METODOS NUMERICOS SIMPLES
32.26.
Método : METODO DE LA SERIE DE TAYLOR DE TRES TERMINOS
Problema :
y' _ -y + x + 2;
x,,
y(0) = 2
y^
Solución verdadera
!t 0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y(x) = e-z + x + 1
0.0
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
0.1
2.005000
2.004877
2.004839
2.004837
0.2
2.019025
2.018802
2.018734
2.018731
0.3
2.041218
2.040914
2.040822
2.040818
0.4
2.070802
2.070436
2.070325
2.070320
0.5
2.107076
2.106662
2.106536
2.106531
0.6
2.149404
2.148954
2.148817
2.148812
0.7
2.197210
2.196736
2.196591
2.196585
0.8
2.249975
2.249485
2.249335
2.249329
0.9
2.307228
2.306728
2.306576
2.306570
1.0
2.368541
2.368039
2.367886
2.367879
32.27.
Método :
METODO DE NYSTROM
Problema :
y' = -y; y(0) = 1
y
x*Z
Solución verdadera
lt=0.1
h = 0.05
h = 0.01
Y( x)=e-s
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
0.9050000
0.9048750
0.9048389
0.9048374
0.2
0.8190000
0.8187988
0.8187335
0.8187308
0.3
0.7412000
0.7409105
0.7408219
0.7408182
0.4
0.6707600
0.6704313
0.6703245
0.6703201
0.5
0.6070480
0.6066565
0.6065357
0.6065306
0.6
0.5493504
0.5489482
0.5488171
0.5488116
0.7
0.4971779
0.4967294
0.4965911
0.4965853
0.8
0.4499145
0.4494779
0.4493350
0.4493290
0.9
0.4071950
0.4067212
0.4065758
0.4065697
1.0
0.3684758
0.3680317
0.3678856
0.3678794
CAP. 32] METODOS NUMERICOS SIMPLES 227
32.28.
Método : METODO DE NYSTROM
Problema :
xn
y' _ -y + x + 2;
y(0) = 2
y,
Solución verdadera
h=0.1
h=0.05
h=0.01
Y(x) - e .1 *.r+1
0.0
2.000000
2.000000
2.000000
2.000000
0.1
2.005000
2.004875
2.004839
2.004837
0.2
2.019000
2.018799
2.018734
2.018731
0.3
2.041200
2.040911
2.040822
2.040818
0.4
2.070760
2.070431
2.070325
2.070320
0.5
2.107048
2.106657
2.106536
2.106531
0.6
2.149350
2.148948
2.148817
2.148817
0.7
2.197178
2.196729
2.196591
2.196585
0.8
2.249915
2249478
2.249335
2.249329
0.9
2.307195
2.306721
2.306576
2.306570
1.0
2.368476
2.368032
2.367886
2.367879
32.29.
Método : METOD O DE NYSTROM
Problema : y' = 4x3; y(0) = 0
ytl
xn
h = 0.1 h = 0.05
Solución verdadera
h = 0.01 Y(x) - x1
0.0
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.1
0.0000000
0.0000500
0.0000980
0.0001000
0.2
0.0008000
0.0014000
0.0015920
0.0016000
0.3
0.0064000
0.0076500
0.0080820
0.0081000
0.4
0.0224000
0.0248000
0.0255680
0.0256000
0.5
0.0576000
0.0612500
0.0624500
0.0625000
0.6
0.1224000
0.1278000
0.1295280
0.1296000
0.7
0.2304000
0.2376500
0.2400020
0.2401000
0.8
0.3968000
0.4064000
0.4094720
0.4096000
0.9
0.6400000
0.6520500
0.6559380
0.6561000
1.0
0.9800000
0.9950000
0.9998000
1.0000000
Capí tulo 33
Métodos Runge-Kutta
33.1 INTRODUCCION
Los métodos Runge-Kutta son un conjunto especial de métodos numéricos que se inician por sí mismos. El método de Euler (32.3) es un método de Runge-Kutta de primer orden;
el método de Heun (32.5) es un método de Runge-Kutta de orden dos.
Los métodos Runge-Kutta pueden utilizarse para encontrar soluciones completas, pero
estos métodos son más lentos y más confusos que los métodos de estimación-corrección
presentados en el Capítulo 34. Estos últimos métodos, sin embargo, requieren valores de
partida (ver Problema 32.14), que se obtienen mejor por los métodos de Runge-Kutta.
33.2 UN METODO RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN
yn -1 = yn + b (k, + 4k2 + ks) (33.1)
donde
k, = hf (xn, yn)
k2 = hf(xn + zh, yn +
Ik1)
k3 = hf (x^ + h, yn - k, + 2k2)
Al usar ( 33.1) [o ( 33.2) abajo ], se calculan primero las diferentes k y
después se determina yn+
Note que como cada k depende de xn y yn, debe calcularse nuevamente para cada
n.
33.3 UN METODO RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN
yn
donde
+1
= yn
+ J( k, + 2k2 + 2k3 + k4) (33.2)
k1 = : hf ( xn, yn)
k2 = hf(xn+sh ,yn+Ik1)
k3 = h f (xn + l h, y, + Jk2)
k4 = hf( xn+h, yn+k3)
228
CAP. 33] METODOS RUNGE-KUTTA
229
Problemas resueltos
33.1. Hallar y (1) para y' = y - x; y(0) = 2, usando el método Runge -Kutta de tercer orden
con h = 0.1.
Aquí
f(x, y) = y - x.
Usando (33.1) con
0, 1, 2, ..., 9, calculamos
n _ 0: xo = 0, y,, = 2
ki = hf(xo, yo) = hf(0, 2) = (0.1)(2-0) 0.2
k2 = hf(xo+4h,yo+jk1)
_ hf[0+',(0.1),2±1(0.2)1
h f(0.05, 2.1) = (0.1)(2.1-0.05) = 0.205
k3 = hf(xo - h, yo - ki + 2k_)
= hf[0 0.1, 2 - 0.2 -- 2i0.205),
hf(0.1, 2.21) - (0.1)(2.21-0.1) - 0.211
yl = yo + F, (k1 + 4k2 + k3) = 2 + (I. [0.2 + 4(0.205) + 0.211 = 2.205
n 1: x,
= 0.1,
y, = 2.205
k, = hf(x1,y1) = hf(0.1,2.205) = (0.1)(2.205-0.1) = 0.211
k, = hf(x,+?h,y,+!,k1) = hf[0.1+¿(0.1),2.205+!,(0.211)¡
= hf(0.15,2.311) _ (0.11(2.311-0.15) = 0.216
ks
hf(x1 + h,y1-k1+2k ,)
hf[0.1+ 0.1,2.205 -(1.211+2( 0.216).
h f (0.2, 2.426) = (0.1)(2.426 - 0.2) = 0.223
y, + 1-(kl+4k.,+k;3)
2.205 + 1 [ 0.211 + 4(0.216 ) + 0.223 1 = 2.421
u 2: .r , = 0.2,
y., = 2.421
k1 = hf(x,, y_) = hf(0.2, 2.421) _ (0.1)(2.421--0.2) = 0.222
1,•, = hf(x2+ ^h, y2+ 4k1) = hf[0.2 +
(0.1), 2.421 + J,(0.222)1
= hf(0.25, 2.532) = (0.1)(2.532-0.25) = 0.228
k3 = h f (x., + h, y2 - k1 + 2k.,)
= h f [0.2 -!- 0.1, 2.421 - 0.222 + 2(0.228)1
h f(0.3, 2.655) = (0.1)(2.655-0.3) 0.236
y:3
112+ 1(k1+4k2+k.3)
2.421+ -h [0.222 + 4(0.228 ) + 0.236; = 2.649
Continuando así, (ver Tabla 33-1), obtenemos !i(1) - y,,, 4.718.
Nótese de la Tabla 33 - 1 que este método Runge-Kutta de tercer orden con h - 0.1 es más exacto que el
método de Euler con h = 0.005 ( Tabla 32 - 1, página 209) o que el método de Heun con 11 = 0.05
(Tabla 32-4, página 214). También compare la Tabla 33-1 con las Tablas 32-6, página 217 y 32-8
página 219.
33.2. Hallar y(1) para 7y' = y - x; y( 0) = 2, usando un método Runge-Kutta de cuarto orden
con la = G.1.
De nuevo
f(x, y) = y - x. Usando ( 33.2) con n = 0, 1, ... , 9, calculamos
n = 0: xo = 0,
yo = 2
kl = hf( xo, yo) = hf(0, 2) _ (0.1)(2 - 0) = 0.2
k2 = hf(x0 +-h,yo+4k1) = hf[0+4(0.1),2+!(0.2)1
= h f(0.05, 2.1) = (0.1)(2.1 - 0.05) = 0.205
230
METODOS RUNGE-KUTTA
[CAP. 33
Tabla 33-1
Método : METO DO RUNGE-KUTTA
DE TERCER ORDEN
Problema : y' _= y - x; y(0) - 2
xa
Solución verdadera
y"
h = 0.1
h- 0.05
Y(x) = ex + x + 1
0.0
2.0000000
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2051667
2.2051704
2.2051709
0.2
2.4213934
2.4214015
2.4214028
0.3
2.6498432
2.6498568
2.6498588
0.4
2.8918017
2.8918217
2.8918247
0.5
3.1486896
3.1487172
3.1487213
0.6
3.4220767
3.4221133
3.4221188
0.7
3.7136985
3.7137457
3.7137527
0.8
4.0254724
4.0255320
4.0255409
0.9
4.3595180
4.3595920
4.3596031
1.0
4.-1181773
4.7182682
4.7182818
Tabla 33-2
Método : METODO DE RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema :
y' = y - x; y(0) = 2
11 = 0.1
Solución verdadera
xn
yn
Y(x) = e'' + x + 1
0.0
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2051708
2.2051709
0.2
2.4214026
2.4214028
0.3
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918242
2.8918247
0.5
3.1487206
3.1487213
0.6
3.4221180
3.4221188
0.7
3.7137516
3.7137527
0.8
4.0255396
4.0255409
0.9
4.3596014
4.3596031
1.0
4.7182797
4.7182818
CAP. 33] METODOS RUNGE-KUTTA
231
k3 = hf(xo+4h, yo +4k2) = hf[0 +- 1(0.1), 2 + 2(0.205)'
= hf(0.05, 2.103 ) = (0.1)(2.103 - 0.05) = 0.205
k4 = hf(xo + h, yo + k3) = hf(0 + 0.1, 2 + 0.205)
= hf(0.1, 2.205) = (0.1)(2.205-0.1) = 0.211
y'
= yo+ ^(k,+2k2+2k3+k4)
= 2+1[0.2+2(0.205)+ 2(0.205 )+0.2111 = 2.205
n = 1: x1 = 0.1, y1 = 2.205
k, = hf( x1, y1 ) = hf(0.1, 2.205) = (0.1)(2.205-0.1) = 0.211
k2 = hf(x1 + 4h, y,+ lk1) = hf[0.1 + 1(0.1), 2.205 + 1(0.211)]
hf(0.15, 2.311 ) = ( 0.1)(2.311 - 0.15) = 0.216
k3
hf(x1 + 4h, yl + 4k2) = hf [0.1 + 1(0.1), 2.205 + 1( 0.216)]
hf(0. 15, 2.313 ) = ( 0.1)(2.313 - 0.15) = 0.216
k4 = hf( x,+h,yl +k3) = hf( 0.1+0.1 , 2.205 + 0.216)
hf (0.2, 2.421) = (0.1)(2.421 - 0.2) = 0.222
Y2
y, + 1(k1+2k2+ 2k3+k4)
2.205 + 1[0.211 + 2(0.216 ) + 2(0.216) + 0.222] = 2.421
n = 2: x2 = 0 .2, Y2 = 2.421
kl = hf(x2, y2) = hf(0.2, 2.421) = (0.1)(2.421-0.2) = 0.222
k2 = hf(x2
+ 1h, Y2 + 1k1)
= hf[0.2 + 1(0.1), 2.421 + 1(0.222)]
= hf(0.25, 2.532) = ( 0.1)(2.532 - 0.25) = 0.228
k3 = hf(x2+1h, y2+1k2) = h.f[0.2 + ,((0.1), 2.421+ }(0.228)]
= hf(0.25, 2.535 ) = (0.1)(2.535- 0.25) = 0.229
k4 = hf(x2 + h, y2 + k3)
= hf(0.2 + 0.1, 2.421 + 0.229)
= hf(0.3, 2.650) = (0.1)(2.650- 0.3) = 0.235
Y3
Y2 + s (k, + 2k2 + 2k3 + k4)
2.421 + 1,-[0.222 + 2(0.228) + 2(0.229) + 0.235] = 2.650
Continuando así (Tabla 33-2), obtenemos
exactos que los de la Tabla 33-1.
y(1) = ylo = 4.718. Note que estos resultados son más
33.3. Hallar y(1) para y' = y; y(0) = 1, usando un método Runge-Kutta de cuarto orden con
h = 0.1.
Aquí f(x, y) = y. Usando ( 33.2), calculamos
n = 0: xo = 0,
yo = 1
kl = hf( xo, yo ) = hf(0, 1) (0.1)(1) = 0.1
k2 = hf(xo
+ 4h, yo + 4k1)
= hf [0 + 1(0.1), 1 + 1(0.1)]
= hf(0.05,1.05) = (0.1)(1.05) = 0.105
k3 = hf(xo +
4h, yo + ik2)
= hf [0 + 1(0.1), 1 + 1(0.105)]
= hf(0.05, 1.053) = (0.1)(1.053) = 0.105
232 METODOS RUNGE-KUTTA
[CAP. 33
k., = hf( xo+h, yo+k3 ) = hf(0 + 0.1, 1+0.105)
= hf(0.1, 1.105) = (0.1)(1.105) = 0.111
y1 = yo + ú (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
1 + b [0.1 + 2(0.105) + 2(0.105) + 0.111] = 1.105
n = 1: xl = 0.1 , 'y, = 1.105
kl = hf(xi, yj) = hf( 0.1, 1.105 ) = (0.1)(1.105) = 0.111
Ic, = hf(xl+}h, y1+4k1) = hf [0.1+. (0.1), 1.105 + (0.111)]
= hf(0.15, 1.161) = (0.1)(1.161) = 0.116
k3 = hf(x1 + jh, y1 + -k2) = hf[0.1 + 1( 0.1), 1.105 + (0.116)]
hf(0.15, 1.163 ) = (0.1)(1.163) = 0.116
k4 = hf(xl+h, y1+k3) = hf(0.1+0.1, 1.105 + 0.116)
hf(0.2, 1.221) = (0.1)(1.221) = 0.122
Y2
y, + ¡(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
1.105 + *[0.111 + 2(0.116) + 2(0.116) + 0.122] = 1.221
n=2: x2 = 0.2,
y2 = 1.221
kl = hf( x2, y2) = hf(0.2, 1.221) = (0.1)(1.221 ) = 0.122
k2 = hf( x2+ jh, y2+;}k1 ) = hf [0.2 + 40.1), 1. 221 + (0.122)]
hf(0.25, 1.282 ) = ( 0.1)(1.282 ) = 0.128
k3 = hf (x2 + --h, y2 + 1k2 ) = hf [0.2 +
(0.1), 1.221 + z (0.128)]
hf(0.25, 1 . 285) = (0.1 )( 1.285 ) = 0.129
k4 = hf( x2+h, y2 +k3) = hf(0.2+0.1, 1. 221+0.129)
hf(0.3, 1.350 ) = (0.1)(1.350 ) = 0.135
Y3 = y2 + *(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
1.221+ J [0.122+2(0.128)+2(0.129)+0.1351 = 1.350
Siguiendo así (Tabla 33 - 2) obtenemos y(1) = ylo = 2. 718. Compare los resultados con las Tablas 32-2
32-5 y 32-9 en las páginas 209, 214 y 219, respectivamente.
33.4. Hallar y ( 1) para y ' = y2 + 1; y( 0) = 0, usando un método Runge- Kutta de cuarto orden
con h = 0.1
Para este problema ,
n = 0: xo = 0,
f (x, y) = y2 + 1. Usando ( 33.2) calculamos
yo = 0
kl = hf(xo, yo)
= hf(0, 0) = (0.1)[(0)2 + 1] = 0.1
k2 = hf(xo + jh, yo + . k1) = hf[0 + j(0.1), 0 + }(0.1)]
= hf(0.05, 0.05) = (0.1)[(0.05)2 + 1] = 0.1
k3 = hf(xo+jh, yo+Jk2) = hf[0+,x(0.1), 0+- (0.1)]
= hf(0.05, 0.05) = (0.1)[(0.05)2 + 1] = 0.1
CAP. 33] METODOS RUNGE-KUTTA 233
Tabla 33-3
Método : METODO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema : y' = y; u(0) = 1
h = 0.1
Solución verdadera
xn
yn
Y(x) = e2
0.0
1.0000000
1.0000000
0.1
1.1051708
1.1051709
0.2
1.2214026
1.2214028
0.3
1.3498585
1.3498588
0.4
1.4918242
1.4918247
0.5
1.6487206
1.648 7213
0.6
1.8221180
1.8221188
0.7
2.0137516
2.0137527
0.8
2.2255396
2.2255409
0.9
2.4596014
2.4596031
1.0
2.7182797
2.7182818
Tabla 33-4
Problema : METODO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema : y' = y2 + 1; y(0) = 0
h = 0.1
Solución verdadera
xn
yn
Y(x) = tan x
0.0
0.0000000
0.0000000
0.1
0.1003346
0.1003347
0.2
0.2027099
0.2027100
0.3
0.3093360
0.3093363
0.4
0.4227930
0.4227932
0.5
0.5463023
0.5463025
0.6
0.6841368
0.6841368
0.7
0.8422886
0.8422884
0.8
1.0296391
1.0296386
0.9
1.2601588
1.2601582
1.0
1.5574064
1.5574077
234
METODOS RUNGE-KUTTA [ CAP. 33
k4 = hf(xo + h, yo + k3) = hf[0 + 0.1, 0 + 0.1]
= hf(0.1, 0.1) = (0.1)[(0.1)2 + 1] = 0.101
yt = yo+ *(k1+2k2+2k3+k4)
- 0 + j[0.1 + 2(0.1) + 2(0.1) + 0.101] = 0.1
n = l: xl = 0.1, y, = 0.1
k, = hf(x1, y1) = hf(0.1, 0.1) _ (0.1)[(0.1)2+1] = 0.101
k2 = hf(x1 + 4h, y1 + 4k1) = hf[0.1 + 4(0.1), (0.1) + 4(0.101)]
= hf(0.15, 0.151) _ (0.1)[(0,151)2+1] = 0.102
k3 = hf(xl + 4h, y1 + 4k2) = hf[0.1 + 4(0.1), (0.1) + 4(0.102)]
= hf(0.15, 0.151) = (0.1)[(0.151)2+11 = 0.102
k4 = hf(x1+h, y1+k3) = hf(0.1+0.1, 0.1+0.102)
= hf(0.2, 0.202) = (0.1)[(0.202 )2+11 = 0.104
y2 = y1 + I (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0.1 + 4 [0.101 + 2(0.102) + 2(0.102) + 0.104] =
0.202
n = 2: x2 = 0.2, y2 = 0.202
k1 = hf( x2, Y2) = h f (0.2, 0.202) = (0.1)[(0.202)2+11 = 0.104
k2 = hf(x2 + Jh, Y2 + 4k1) = hf [0.2 + 4(0.1), 0.202 + 4(0.104)]
= hf(0.25, 0.254) = (0.1)[(0.254)2+11 = 0.106
k3 = hf(x2+1h, Y2 + 4 k2) = hf[0.2 + 4(0.1), 0.202 + 4(0.106)]
= hf(0.25, 0.255) = (0.1)[(0.255)2+11 = 0.107
k4 = hf(x2 + h, y2 + k3) = h f (0.2 + 0.1, 0.202 + 0.107)
hf(0.3, 0.309) = (0.1)[(0.309)2 + 1] = 0.110
y3 = y2 + 4(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
0.202 + 4[0.104 + 2(0.106) + 2(0.107) + 0.11Q] = 0.309
Siguiendo así (Tabla 33-4), obtenemos y(1) = y10 = 1.557. Compare los resultados con laa Tablas
32-3, 32-7, y 32-10 en las páginas 211, 217 y 221, respectivamente.
Problemas suplementarios
33.5. Hallar y(0.3) para y' = -y; y(0) = 1, usando un método Runge -Kutta de tercer orden con
Haga todos los cálculos con tres cifras decimales.
En los Problemas 33.6 a 33.9 use un método Runge- Kutta de cuarto orden para hallar
Haga todos los cálculos con tres cifras decimales.
33.6.
y' = -y;
33.7.
Y' = -y + x + 2;
y(0) = 1.
y(0) = 2.
33.8. Y ' = 4x3; y(0) = 0.
33.9. y ' = 5x4; y(0) = 0.
h = 0.1.
y(0.3) con h = 0.1.
CAP. 33
1
235
METODOS RUNGE-KUTTA
Respuestas a los problemas suplementarios
Para comparación con los métodos dados en otros capítulos , todas las respuestas se aproximan a siete cifras
decimales para x = 1.0.
33.5.
Método : METODO RUNGE -KUTTA
DE TERCER ORDEN
Problema :
y' = -y;
xn
y(0) = 1
yn
Solución verdadera
h = 0.1
h=0.05
Y(x)=e-s
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
0.9048333
0.9048369
0.9048374
0.2
0.8187234
0.8187299
0.8187308
0.3
0.7408082
0.7408170
0.7408182
0.4
0.6703079
0.6703186
0.6703201
0.5
0.6065170
0.6065290
0.6065306
0.6
0.5487968
0.5488099
0.5488116
0.7
0.4965696
0.4965834
0.4965853
0.8
0.4493127
0.4493270
0.4493290
0.9
0.4065531
0.4065677
0.4065697
1.0
0.3678628
0.3678775
0.3678794
33.6.
Método : METODO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema :
y' = -y; y(0) = 1
h = 0.1
Solución verdadera
xn
y„
Y(x) = e-
0.0
1.0000000
1.0000000
0.1
0.9048375
0.9048374
0.2
0.8187309
0.8187308
0.3
0.7408184
0.7408182
0.4
0.6703203
0.6703201
0.5
0.6065309
0.6065307
0.6
0.5488119
0.5488116
0.7
0.4965856
0.4965853
0.8
0.4493293
0.4493290
0.9
0.4065700
0.4065697
1.0
0.3678798
0.3678794
I
236
METODOS RUNGE-KUTTA
[CAP. 33
33.7.
Método : METO DO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDE N
Problema :
y' = -y + x + 2;
y(0) = 2
h = 0.1
Solución verdadera
xn
yn
Y(x) = e-T + x + 1
0.0
2.000000
2.000000
0.1
2.004838
2.004837
0.2
2.018731
2.018731
0.3
2.040818
2.040818
0.4
2.070320
2.070320
0.5
2.106531
2.106531
0.6
2.148812
2.148812
0.7
2.196586
2.196585
0.8
2.249329
2.249329
0.9
2.306570
2.306a 10
33.8. Como Y(x) = x4 es un polinomio de cuarto grado, un método Runge -Kutta de cuarto orden es exacto y
y(0.3) = Y(0.3) = 0.0081.
33.9.
Método : METODO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema : y' = 5x4; y(0) = 0
xn
h = 0.1
yn
Solución verdadera
Y(x) = x5
0.0
0.0000000
0.0000000
0.1
0.0000104
0.0000100
0.2
0.0003208
0.0003200
0.3
0.0024313
0.0024300
0.4
0.0102417
0.0102400
0.5
0.0312521
0.0312500
0.6
0.0777625
0.0777600
0.7
0.1680729
0.1680700
0.8
0.3276833
0.3276800
0.9
0.5904938
0.5904900
1.0
1.0000042
1.0000000
Capítulo 34
Métodos de estimación - corrección
34.1 INTRODUCCION
Un método de estimación - corrección es un conjunto de dos ecuaciones para yn+1. La
primera ecuación , que se llama la estimación, se usa para predecir (obtener una primera
aproximación a) yn, ; - la segunda ecuación , llamada la corrección , se usa entonces para obtener un valor corregido ( segunda aproximación ) de y„+1. En general , la corrección depende del
valor estimado.
34.2 UN METODO DE SEGUNDO ORDEN
Un método simplé de segundo orden de estimación-corrección, se obtiene combinando
el método de Nystrom (32.8) con el método trapezoidal
h
)
(yn
yn+1 - Yn +
+yn+1
2
Las ecuaciones resultantes son
estimación : yrz+1 = yn-1 + 2hy n'
corrección:
yn+1
Y. + 2
(yn
+yn +
(34.1)
Por conveniencia de notación, designamos los valores estimados de yn por pyn. Entonces se
deduce de (32.2) que
pytt = f
(34.2)
(xn, Pyn)
y (34.1) se convierte en
estimación:
pyn+1
corrección:
y n +1
yn -1 + 2hyn
Y n + 2 (Y, + p y, + 1)
(34.3)
( Ver Problemas 34.1 y 34.2).
34.3 METODO DE MILNE
Este método de cuarto orden se da como:
estimación :
43a
pyn+1 = Yn-3 +
corrección : yn +1
= yn-1 +
3
(2y n - ytt-1 + 2yn-2)
(pyñ +1 + 4yn' + yn-1)
(34.4)
( Ver Problemas 34.3, 34.5 y 34.7).
34.4 METODO DE HAMMING
Este es otro método de cuarto orden; se usa en él la misma estimación que en el método
de Milne.
4h
estimación :
PYn+ 1
corrección:
yn+1
= yn-3 +
3
(2yn - yñ- 1 + 2yn-2)
8(9yn-yn-2) +
237
8
(pyn +l + 2yn -yñ -
(34.5)
238 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
[CAP. 34
(Ver los Problemas 34.4, 34.6 y 34.8). En general, cuando se necesitan muchos valores de x,,
(por ejemplo, si y(30) se calcula con h = 0.1, lo cual hace necesarios 301 valores diferentes de
xn), se prefiere el método de Hamming al método de Milne. En contraste, si se requieren
solamente unos pocos valores de x, , se prefiere el método de Milne. Nótese que para todos los
problemas de este capítulo se requieren solamente once valores diferentes de x, (xo, x,, ...,
Xio) ; por lo tanto el método de Milne da resultados ligeramente mejores que el método de
Hamming.
34.5 VALORES DE PARTIDA
Cada uno de los tres métodos presentados arriba requiere más valores de partida (ver
Problema 32 . 14) de los que pueden obtenerse en un problema de valor inicial de primer orden.
En pa1rticular , el método (34.3) requiere y, además de la condición inicial yo; y tanto el
método de Milne como el método de Hamming requieren y,, Y2, y 113.
Para encontrar los valores de partida para el método de segundo orden ( 34.3), generalmente se usa un método de segundo orden Runge -Kutta ( por ejemplo el método de Heun). Por
lo general se usa un método de cuarto orden Runge-Kutta ( 33.2) para obtener, valores de
partida tanto para los métodos de Milne como de Hamming, que son en sí mismos de cuarto
orden. Debe evitarse obtener valores de partida por los métodos de las series de Taylor (compare con la Sección 32.6).
Problemas resueltos
34.1. Hallar y(1) para y' = y - x; y(0) = 2, usando un método de estimación-corrección de
segundo orden con h = 0.1.
Para este problema
- . r , x, -= 0, y yo = 2; por lo tanto yó = yo - xo = 2 - 0 = 2. Del
método de Heun, Problema 32 . 9, obtenemos el valor de partida adicional requerido y, = 2.205.
Entonces , utilizando (34.3) y (34.2) calculamos
n = 1: x, = 0.1, yi = 2.205
yi = y, - x, = 2.205 - 0.1 = 2.105
P112 = yo + 2hyi = 2 + 2(0.1)(2.105) = 2.421
P112 = Pys - x2 = 2.421 - 0.2 = 2.221
112 = 111 + h2 (y, T Py2) = 2.205 + O1 (2.105 + 2.221) = 2.421
7-
n = 2: x2 = 0.2, 112 = 2.421
112 = 1112-x2 = 2.421-0.2 = 2.221
Py3 = y, + 2hy; = 2.205 + 2(0.1)(2.221) = 2.649
Py3 = Py3 - x3 = 2.649 - 0.3 = 2.349
113 = 112 + 2 (yp + Py3)
= 2.421 + 21 (2.221 + 2.349) = 2.650
3: x3 = 0.3, y3 = 2.650
113 = 113-x3 = 2.650-0.3 = 2.350
P114 = 112 + 2h11 3 = 2.421 + 2(0.1)(2.350) = 2.891
P114 = P114 - x4 = 2.891 - 0.4 = 2.491
114 = 113 + 2 (113 + Py4) = 2.650 + 021 (2.350 + 2.491) = 2.892
Siguiendo así (Tabla 34-1), encontramos que y (1) = 4.719.
página 219.
Compare los resultados con la Tabla 32-8,
CAP. 341 METODOS DE ESTIMACION -CORRECCION 239
Tabla 34-1
Método : METODO ESTIMACION-CORRECCION
DE SEGUNDO ORDEN
y' = y - x; y(0) = 2
Problema :
h = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
yn
Y(x) = ex + x + 1
0.0
-
2.0000000
2.0000000
0.1
-
2.2050000
2.2051709
0.2
2.4210000
2.4213000
2.4214028
0.3
2.6492600
2.6498280
2.6498588
0.4
2.8912656
2.8918827
2.8918247
0.5
3.1482045
3.1488870
3.1487213
0.6
3.4216601
3.4224144
3.4221188
0.7
3.7133699
3.7142036
3.7137527
0.8
4.0252551
4.0261766
4.0255409
0.9
4.3594389
4.3604573
4.3596031
1.0
4.7182680
4.7193936
4.7182818
Tabla 34-2
Método : METODO DE ESTIMACION-CORRECCION
DE SEGUNDO ORDEN
Problema : y' = y2 + 1; y(o) = 0
h = 0. 1
xn
Solución verdadera
pyn
yn
Y(x) = tan x
0.0
-
0.0000000
0.0000000
0.1
-
0.1005000
0.1003347
0.2
0.2020201
0.2030456
0.2027100
0.3
0.3087455
0.3098732
0.3093363
0.4
0.4222500
0.4235890
0.4227932
0.5
0.5457587
0.5474530
0.5463025
0.6
0.6835300
0.6857989
0.6841368
0.7
0.8415170
0.8447225
0.8422884
0.8
1.0285101
1.0332919
1.0296386
0.9
1.2582609
1.26,58376
1.2601582
1.0
1.5537608
1.5666634
1.5574077
240 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
[CAP. 34
34.2. Hallar ,y(1) para y' = y2 + 1; y(0) = 0, usando un método de estimación-corrección de
segundo orden con h = 0.1.
Aquí f(x, y) = y-' + 1, xo = 0, y yo = 0; por lo tanto , yó = y^¡+ 1 = 1 . Utilizando el método de Heun,
calculamos el valor de partida adicional y, = 0.101. Entonces , usando (34.3) y ( 34.2), obtenemos
n = 1: x, = 0.1, y, = 0.101
yí = (y1 )'- + 1 = (0.101 ) 2 + 1 = 1.01
PY2 = yo + 2hyi = 0 + 2(0.1)(1.01) = 0.202
p1J 2' = (Py2 ) 2 + 1 = (0.202 )2 + 1 = 1.041
Y2 = 211
n = 2:
+2
x2 = 0.2,
( y1 + py2 ) = 0.101 +
21
(1.01 + 1.041)
0.204
y 2 = 0.204
Y2' = (y2)2 + 1
= ( 0.204)2 + 1 = 1.042
py3 = yl + 2hy2' = 0.101 + 2(0.1)(1 . 042) = 0.309
py3 = (py3)2 + 1 = (0.309 ) 2 + 1 = 1.095
y3 = y2 +
(y2' + py3) = 0.204 + 21 (1.042 + 1.095 ) = 0.311
n = 3: x3 = 0.3, y3 = 0.311
Y3 = (y3)2 + 1 = (0.311)2 + 1 = 1.097
p114 = y2 + 2hy3' =
0.204 + 2(0.1)(1.097) = 0.423
py4 = (py1)2 + 1 = (0.423)2 + 1 = 1.179
(y3' + Py4)
Y4 = Y3 +
= 0.311 +
2
Continuando así (Tabla 34-2), obtenemos
de la página 221.
2
(1.097 + 1.179) = 0.425
y(1) = 1.566.
Compare los resultados con la Tabla 32-10
34.3. Hallar y(1) para y' = y - x; y(0) = 2,. usando el método de Milne con h = 0.1.
Aquí, f (x, y) = y - x, xo = 0, y yo = 2. Usando la Tabla 33-2 de la página 230, encontramos los
tres valores de partida adicionales necesarios : yl = 2.2051708, y2 = 2.4214026, y y3 = 2.6498585.
Luego,
yo=
yo - xo
= 2 - yl
0 = 2 yi x,= 2.1051708
=
Y2 = y2 - x2 = 2.2214026 y3 = y3 - x3 = 2.3498585
Entonces, usando ( 34.4), calculamos
n = 3:. py4 = Yo + 3 (2y3 - y2 + 2yi)
= 2 + 4(31)[2(2.3498585) - 2.2214026+2(2.1051708)]
= 2.8918208
py4 = PY4 - 2.4 = 2.4918208
V4 = y2 + h3 (py4 + 4y3 + y2)
= 2.4214026 + 2 [2.4918208 + 4(2.3498585) + 2.22140263
= 2.8918245
CAP. 34] METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
n = 4: x.;
= 0.4,
l ¿ = yq - xa
241
= 2.4918245
Py,, = Jt + 4; (2+J - yá + 2y )
2.2051708 + 413'1) 2(2.4918245) - 2.3498585 + 2(2.2214026)]
= 3.1487169
Pys = Py., - x, =
2.6487169
Js = Js + 3 (PJs + 4y4' + ys)
2.6498585 + 031 [2.6487169 ;- 4(2.4918245) + 2.3498585'
= 3.1487209
n = 5: x3
= 0.5,
PJs = Js -
y;' = y, - x5
= 2.6487209
4h
3 (2Jc - J3 + 2y,3)
2.4214026 + 3.1) [2(2.6487209) - 2.4918245 ^ 2(2.3498585)]
= 3.4221138
PJñ =
Pye - 3'r. = 2.8221138
h
Je = ¡JI + 3 (mi¿ 4y ^ + yi)
= 2.89182 4 5 + 31 [2.8221138 + 4(2.6487209 ) + 2.4918245
= 3.1221186
Continuando así (Tabla 34 -3) obtenemos y(1) _= 4.7182815. Compare el resultado con las Tablas 33-2,
32-4, 32- 6 y 32-8.
34.4. Vuelva a hacer el Problema 34.3 por el método de Hamming.
Usamos de nuevo la Tabla 33- 2 para encontrar los 3 valores de partida adicionales, Por lo tanto
Jn. Ji, y2, J3, y sus derivadas son exactamente las que se dan en el Problema 34.3. Entonces , usando
(34.5), calculamos
1, = 3:
Py4 = Yo
3h (2Já-y2+2Ji)
= 2 + 413'1) [2(2.3498585) - 2.2214026 + 2(2.1051708)]
= 2.8918208
Pyá = Py4 - x4 = 2.4918208
Y4 = 1 (9y3 - Ji) +
3h
(PJ.í + 2J3' - y2)
[9(2.6498585) - 2.2051708_. + 111L) [2.4918208 + 2(2.3498585) - 2.22140261
= 2.8918245
n = 4: x4 = 0.4,
y4 = y4 - x4 = 2.4918245
73J5 = ?11 + 4h ( 2yá - y3' + 2Y )
2.2051708
= 3.1487169
+ 4(81) [2(
2.4918245 ) - 2.3498585 + 2(2.2214026)1.
242 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
Tabla 34-3
Método : METODO DE MILNE
Problema :
X,
,j' _ - x: y(0) = 2
!c - 0.1
Solución verdadera
M/n
y,
Y(x) = ex + x + 1
0.0
-
2.0000000
2.0000000
0.1
-
2.2051708
2.2051709
0.2
-
2.4214026
2.4214028
0.3
-
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918208
2.8918245
2.8918247
0.5
3.1487169
3.1487209
3.1487213
0.6
3.4221138
3.4221186
3.4221188
0.7
3.7137472
3.7137524
3.7137527
0.8
4.0255349
4.0255407
4.0255409
0.9
4.3595964
4.3596027
4.3596031
1.0
4.7182745
4.7182815
4.7182818
Tabla 34-4
Método : METODO DE HAMMING
Problema : y' = y -- x; y(0) = 2
x„
h _= 0.1
Solución verdadera
py,,
y,,
Y(.x) = er + x + 1
0.0
-
2.0000000
2.0000000
0.1
-
2.2051708
2.2051709
2.4214026
2.4214028
0.2
0.3
-
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918208
2.8918245
2.8918247
0.5
3.1487169
3.1487213
3.1487213
0.6
3.4221139
3.4221191
3.4221188
0.7
3.7137473
3,7137533
3.7137527
0.8
4.0255352
4.0255419
4.0255409
0.9
4.3595971
4.3596046
4.3596031
1.0
4.7182756
4.7182838
4.7182818
[CAP. 34
CAP. 34] METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION 243
2.6487169
Py, = py5
1 3h
y -, = 8 (99.1 - y ,) + 8 (pul ; + 2r1.¡ - y3)
8 19(2.8918245 ) - 2.42140261 + 3(08.1) [2.6487169 + 2(2.4918245) - 2.3498585
= 3.1487213
n = 5: x,-, = 0.5, y = y5 - x;, = 2.6487213
4h ,
Py6 = y2 + 3 (2y - y', + 2y3)
2.4214026 + 4(0.1) [2(2.6487213) - 2.4918245 + 2(2.3498585)
3.4221139
Pyfi = Pyr, - x6 = 2.8221139
y6
8 (9y-, - ya) + 8 (py6 + 2ys - y4)
[9(3.1487213 ) - 2.6498585] + 3(81) [2.8221139 + 2(2.6487213 ) - 2.4918245
= 3.4221191
Siguiendo así (Tabla 34 -4), obtenemos y(1) = 4.7182838. Compare los resultados con la Tabla 34-3.
34.5. Hallar y(1) para
y' = y; y(0) = 1, utilizando el método de Milne con
h = 0.1.
Aquí f(x, y) = y, x0 = 0, y yo = 1. De la Tabla 33 - 3, página 233, encontramos los tres valores de
y, = 1.1051708, y.> = 1.2214026, y yi = 1.3498585. Note que y¿ = y1,
partida adicionales
y2 = y2, y yá = y3. Entonces, usando ( 34.4), calculamos
4h
n = 3: py4 = yo + 3 (2y3 ' - y2 + 2yi)
1 + 4(0 1 )[
2(1.3498585 ) - 1.2214026 + 2(1.1051708)]
1.4918208
py4 = py4 = 1.4918208
h
y4
= y2 + s (uy4 + 4y2 + y'2)
= 1.2214026 + 031 [1.4918208 + 4(1.3498585) + 1.2214026]
= 1.4918245
n = 4: x4 = 0.4, y4 = y4 = 1.4918245
PY5 = yi + 43
(2y4
- y3 + 2y2)
1.1051708 + 4(3'1) [2(1.4918245) - 1.3498585 + 2(1.2214026)]
= 1.6487169
pys = pys =
1.6487169
ys = y3 + 3 (py5 + 4y4 + y5)
1.3498585 + 031 [1.6487169 + 4(1.4918245) + 1.34985851
= 1.6487209
244 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
n = 5: z ; = 0.5, Y . Í
[CAP. 34
y5 = 1.6487209
¡)Y(; = 212 + 3 (2y5 - J i + 2y3)
1.2214026 + 4(3'1) [2(1.6487209) - 1.4918245 + 2(1.3498585)]
= 1.8221138
Pyr, = P96
=
1.8221138
Y6 = y4 + 3 (Pys + 4y-5 '+ ya)
1.4918245 + 031 [1.8221138 + 4(1.6487209) + 1.4918245]
1.8221186
Continuando así (Tabla 34 -5), obtenemos
33-3, 32-2 , 32-5 y 32-9.
y(1) = 2.7182815 . Compare estos resultados con las Tablas
34.6. Haga de nuevo el Problema 34.5 utilizando el método de Hamming.
Los valores de ya yi, y2, y3,
Calculamos usando (34.5).
n = 3:
Py4
y sus derivadas son exactamente los que se dan en el Problema (34.5).
4h
= yo + 3(2y3- y.,+ 2yi)
= 1 + 4(81) [ 2(1.3498585 ) - 1.2214026 + 2(1.1051708)]
= 1.4918208
Pyi = Py4 = 1.4918208
y4 = 1 (9y3 - yi) + 3h (Py4 + 2y3 - Y2)
8 [9(1.3498585) - 1.1051708] +
3(81)
[1.4918208 -r 2(1.3498585) - 1.2214026]
1.4918245
n = 4: x4
= 0.4,
y4 = Y. =
1.4918245
Py5 = yi + 3 (2y4' -- y'3 + 2y_)
= 1.1051708 4- 4(3'1) [2(1.4918245 ) - 1.3498585 + 2(1.2214026)]
= 1.6487169
Pys = Py5 = 1.6487169
ys = ó (9y4 - y2) + 8 (Py5 + 2y4 - y3)
8 [9(1.4918245) - 1.2214026] + 3(81) [1.6487169 + 2(1.4918245) - 1.3498585]
1.6487213
n = 5: x5 = 0.5,
Py6
ys = ys = 1.6487213
= y2 + 4h
3 (2ys - y4 + 2y3)
1.2214026 + 4(3'1) [2(1.6487213) - 1.4918245 + 2(1.3498585)]
= 1.8221139
CAP. 34] METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION 245
Tabla 34-5
Método : METODO DE MILNE
Problema : y' _ y; 11(0) = 1
h 0.1
Solución verdadera
Y(X) = ex
yr,
0.0
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
1.1051708
1.1051709
0.2
-
1.2214026
1.2214028
0.3
-
1.3498585
1.3498588
0.4
1.4918208
1.4918245
1.4918247
0.5
1.648 7109
1.648 7209
1.6487213
0.6
1.8221138
1.8221186
1.8221188
0.7
2.0137472
2.0137524
2.0137527
0.8
2.2255349
2.2255407
2.2255409
0.9
2.4595964
2.4596027
2.4596031
1.0
2.7182745
2.7182815
2.7182818
Tabla 34-6
Método : METODO DE HAMMING
Problema : y' _ 31; y(0) = 1
h = 0.1
X„
Solución verdadera
yyI
Y(X) x
0.0
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
1.1051708
1.1051709
0.2
-
1.2214026
1.221 '.028
0.3
-
1.3498585
1.3498588
0.4
1.4918208
1.4918245
1.4918247
0.5
1.6487169
1.6487213
1.6487213
0.6
1.8221139
1.8221191
1.8221188
0.7
2.0137473
2.0137533
2.0137527
0.8
2.2255352.
2.2255419
2.2255409
0.9
2.4595971
2.4596046
2.4596031
1.0
2.7182756
2.7182838
2.7182818
246 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
[CAP. 34
py6 = py6 = 1.8221139
1
Y6 = 8 (9y3-`y.) + 38h (Py6' + 2y5' -y4)
8 [9(1.6487213) - 1.3498585] + 3(8'1) [1.8221139 + 2(1.6487213) - 1.4918245]
1.8221191
Continuando así (Tabla 34 -6), obtenemos y(1) = 2.7182838 . Compare los resultados con la Tabla 32-5.
34.7. Halle y(1) para y' = y2 + 1; y(0) = 0, utilizando el método de Milne con h = 0.1.
En este caso , f(x, y) = y2 + 1, xo = 0, yo = 0. Utilizando la Tabla 33 - 4, página 233 , encontramos
que los tres valores de partida adicionales son yl = 0.1003346 ,
y2 = 0.2027099, y y3 =
0.3093360. Luego,
yó = (yo)2 + 1 = (0)2 + 1 = 1
yi = (y1)2 + 1 = (0.1003346)2 + 1 = 1.0100670
Y2 = (y2)2 + 1 =
(0.2027099)2 + 1 = 1.0410913
ys = (y3)2 + 1 = (0.3093360 ) 2 + 1 = 1.0956888
Entonces , usando ( 34.4), calculamos
n = 3: PY4 = Yo +
34h
(2y3' - y2 + 2y í)
0 + [2(1.0 56888) - 1.0410913 + 2(1.0100670)]
= 0 . 4227227
pyi = (py4)2 + 1 = (0.4227227)2 + 1 = 1.1786945
y4 =
h
Y2 + 3 (Py4 + 4y3 + y2)
0.2027099 + 031 [1.1786945 + 4(1.0956888) + 1.04109131
0.4227946
n = 4:
x4 = 0.4,
py5 =
y. = (y4)2 + 1 = (0.4227946)2 + 1 = 1.1787553
3 (2y4 - y3 + 2y2)
yi + 4h
0 . 1003346 + 4(31) [ 2(1 . 1787553 ) - 1 . 0956 888 + 2 (1.0410913)]
0.5462019
py5' =
(py5)2 + 1
= (0.5462019)2 + 1 = 1.2983365
Y5 = Y3 + h (py5 + 4y4 ' + y3)
= 0.3093360 + 031 [1.2983365 + 4(1.1787553) + 1.0956888]
= 0.5463042
n = 5:
x5 = 0.5, ys = (y5)2 + 1 = (0.5463042)2 + 1 = 1.2984484
4h ,
py6 = Y2 + 8 ( 2y5 - y4 + 2y3)
0.2027099 + 4(31) [2( 1.2984484 ) - 1.1787553 + 2(1.0956888)]
0.6839791
CAP.
341
METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
247
Pyá = (py6 ) 2 + 1 = (0.6839791 )2 + 1 = 1.4678274
Y6 = y_, + 3 (pyá + 4ys + yi)
0.4227946 + 031 [1.4678274 + 4(1.2984484 ) + 1.1787553]
0.6841405
Continuando así (Tabla 34 - 7), obtenemos
33-4, 32 -3, 32-7 y 32-10.
y(1) = 1.5573578.
Compare los resultados con las Tablas
34.8. Haga de nuevo el Problema 34.7 usando el método de Hamming.
Los valores de yo, yt, y2, y3, y sus derivadas son exactamente los que se dan en el Problema 34.7. Usando (34. 5), calculamos
n = 3: py4
= yo + 43 (2y3 - y2 + 2yí)
= 0 + 4(3'1) [2(1.0956888) - 1.0410913 + 2(1.0100670)]
= 0.4227227
py4' = (py4)2 + 1
= (0.4227227)2 + 1 = 1.1786945
1
3h
_
Y4 = 8 (9y3 - yt) + ó (py4 + 2y3 y2)
8[9(0.3093360) - 0.1003346] + 3(8'1)[1.1786945 + 2(1.0956888) - 1.04109131
0.4227980
n = 4: x4 = 0.4,
y. = (y4)2 + 1 = (0.4227980)2 + 1 = 1.1787581
4h
PY5 = y1 + 3 (2y4 - y3 + 2y2)
0.1003346 + 4(3'1) [2(1.1787581) - 1.0956888 + 2(1.0410913)]
= 0.5462026
pys = (py5)2 + 1 = (0.5462026)2 + 1 = 1.2983373
1 3h
y5 (9y4 - Y2) + 8 (py5 + 2y4 - y5)
= 8 [9(0.4227980) - 0.2027099] + 3(81) [1.2983373 + 2(1.1787581) -1.0956888]
= 0.5463152
n = 5: x5 = 0.5, ys = (y5)2 + 1 = (0.5463152)2 + 1 = 1.2984603
4h
Py6 = y2 + 3 (2y5 - y4 + 2y3)
= 0.2027099 + 4(31) [2(1.2984603) - 1.1787581 + 2(1.0956888)]
= 0.6839819
pys = (py6)2 + 1 = (0.6839819 )2 + 1 = 1.4678312
1
3h
Y6 = 8 (9y5 - y3 ) + 8 (py66 + 2115 - y4)
8 [9(0.5463152 ) - 0.3093360 ] + 331) [1. 4678312 + 2(1.2984603 ) - 1.17875811
0.6841624
Continuando así (Tabla 34-8), obtenemos y(1) = 1.5576487 . Compare los resultados con la Tabla 34-7.
248 METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION [CAP. 34
Tabla 34-7
METODO DE MILNE
Método :
Problema : y' _ y2 + 1; y(0) = 0
h. = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
y„
Y(x) = tan x
0.0
-
0.0000000
0.0000000
0.1
-
0.1003346
0.1003347
0.2
-
0.2027099
0.2027100
0.3
-
0.3093360
0.3093363
0.4
0.4227227
0.4227946
0.4227932
0.5
0.5462019
0.5463042
0.5463025
0.6
0.6839791
0.6841405
0.6841368
0.7
0.8420238
0.8422924
0.8422884
0.8
1.0291628
1.0296421
1.0296386
0.9
1.2592330
1.2601516
1.2601582
1.0
1.5554357
1.5573578
1.5574077
Tabla 34-8
Método :
METODO DE HAMMING
Problema :
y' = y2 + 1;
h = 0.1
xn
pyn
y(0) = 0
Solución verdadera
J„
Y(x) = tan x
0.0
-
0.0000000
0.0000000
0.1
-
0.1003346
0.1003347
0.2
-
0.2027099
0.2027100
0.3
-
0.3093360
0.3093363
0.4
0.4227227
0.4227980
0.4227932
0.5
0.5462026
0.5463152
0.5463025
0.6
0.6839819
0.6841624
0.6841368
0.7
0.8420310
0.8423346
0.8422884
0.8
1.0291844
1.0297194
1.0296386
0.9
1.2592849
1.2602984
1.2601582
1.0
1.5555540
1.5576487
1.5574077
249
CAP. 34] METODOS DE ESTIMACION -CORRECCION
Problemas suplementarios
34.9. Hallar y(0.5) para
con h = 0.1.
y' = -y; y(0) = 1, usando un método de estimación-corrección de segundo orden,
34.10. Hallar y(0.5) para y' = -y + x + 2;
segundo orden con h = 0.1.
34.11.
y (0) =- 2, utilizando un método de estimación -corrección de
Haga de nuevo el Problema 34.9 usando el método de Milne.
34.12. Haga de nuevo el Problema 34 .10 usando el método de Milne.
34.13.
Haga de nuevo el Problema 34 .9 usando el método de Hamming.
34.14.
Haga de nuevo el Problema 34. 10 usando el método de Hamming.
34.15.
Halle y(5) para y' = 4x3; y(0 ) = 0, usando el método de Milne con h = 1.
Respuestas a los problemas suplementarios
Para comparación con los métodos dados en otros capítulos, todas las respuestas se buscan con .r = 1.0.
34.9.
Método : ESTIMACION-CORRECCION
DE SEGUNDO ORDEN
Problema : y' = -y; y(0) - 1
X',
h = 0.1
pyn
0.0
Solución verdadera
yn
1 (.r) _ ('
1.0000000
1.0000000
0.1
-
0.9050000
0.9048374
0.2
0.8190000
0.8188000
0.8187308
0.3
0.7412400
0.7407980
0.7408182
0.4
0.6706104
0.6702261
0.6703201
0.5
0.6067528
0.6063771
0.6065307
0.6
0.5489507
0.5486108
0.5488116
0.7
0.4966550
0.4963475
0.4965853
0.8
0.4493413
0.4490630
0.4493290
0.9
0.4065349
0.4062831
0.4065697
LO
0.36 80 i-1
0.3675787
94
250
METODOS DE ESTIMACION -CORRECCION
34.10.
Método : METODO DE ESTIMACION-CORRECCION
DE SEGUNDO ORDEN
Problema :
y' = -y + x + 2; y(0) = 2
h = 0. 1
x,
Solución verdadera
Pyn
yn
Y(x) = e _s + x + 1
0.0
-
2.000000
2.000000
0.1
-
2.005000
2.004837
0.2
2.019000
2.018800
2.018731
0.3
2.041240
2.040798
2.040818
0.4
2.070640
2.070226
2.070320
0.5
2.106753
2.106377
2.106531
0.6
2.148951
2.148611
2.148812
0.7
2.196655
2.196348
2.196585
0.8
2.249341
2.249063
2.249329
0.9
2.306535
2.306283
2.306570
1.0
2.367806
2.367579
2.367879
I
34.11.
Método :
METODO DE MILNE
Problema :
y' = -y; y(0) = 1
xn
h = 0. 1
Solución verdadera
Ñyn
yn
Y(x) = e-s
0.0
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
0.9048375
0.9048374
0.2
-
0.8187309
0.8187308
0.3
-
0.7408184
0.7408182
0.4
0.6703225
0.6703200
0.6703201
0.5
0.6065331
0.6065307
0.6065307
0.6
0.5488138
0.5488114
0.5488116
0.7
0.4965875
0.4965852
0.4965853
0.8
0.4493306
0.4493287
0.4493290
0.9
0.4065714
0.4065695
0.4065697
1.0
0.3678807
0.3678791
0.3678794
[CAP. 34
CAP. 34] METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION 251
34.12.
Método :
METODO DE MILNE
Problema :
y' _ -y -
x 1 2; ,y(0) - 2
0.1
xn
Solución verdadera
x+1
Y(x)
0.0
-
2.000000
2.000000
0.1
-
2.001838
2.00-1837
0.2
-
2.018731
2.018731
0.3
-
2.040818
2.040818
0.4
2.070323
2.070320
2.070320
0.5
2.106533
2.106531
2.106531
0.6
2.148814
2.148811
2.148812
0.7
2.196588
2.196585
2 .196585
0.8
2.249331
2.249329
2.249329
0.9
2.306571
2.306570
2.306570
1.0
2.367881
2.367879
2.367879
34.13.
Método : METODO DE HAMMING
Problema : y' = -y; y(0) = 1
h = 0.1
xn
Solución verdadera
Pyn
un
Y(x) = e-T
0.0
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
0.9048375
0.9048374
0.2
-
0.8187309
0.8187308
0.3
-
0.7408184
0.7408182
0.4
0.6703225
0.6703200
0.6703201
0.5
0.6065331
0.6065303
0.6065307
0.6
0.5488139
0.5488110
0.5488116
0.7
0.4965875
0.4965844
0.4965853
0.8
0.4493309
0.4493278
0.4493290
10.9
0.4065 712
0.4065684
0.4065697
1.0
0.3678806
0.3678780
0.3678794
252
METODOS DE ESTIMACION-CORRECCION
[CAP. 34
31.14.
Método : METODO DE HAMMING
Problema :
h = 0.1
xn
34.15.
y' = -y -^ x + 2;
y(0) = 2
Solución verdadera
PYn
yn
Y(xj = e--_r+x+1
0.0
-
2.000000
2.000000
0.1
-
2.004838
2.004837
0.2
-
2.018731
2.018731
0.3
-
2.040818
2.040818
0.4
2.070323
2.070320
2.070320
0.5
2.106533
2.106530
2.106531
0.6
2.148814
2.148811
2.148812
0.7
2.196588
2.196584
2.196585
0.8
2.249331
2.249328
2.249329
0.9
2.306571
2.306568
2.306570
1 1.0
2.367881
2.367878
2.367879
Como Y( x) = x4 es un polinomio de cuarto grado , el método de Milne es exacto y y(5) = Y(5) = 625.
1
Capítulo 35
Métodos modificados de
estimación - corrección
35.1 INTRODUCCION
De un análisis de los errores de los métodos de estimación -corrección , se puede modificar (esto es, mejorar ) el valor estimado de y,. Este valor modificado de yn se usa después en la
corrección en vez del valor estimado calculado originalmente.
Para conveniencia de notación , hacemos de nuevo que pyn represente el valor estimado
de y,,; además llamamos el valor modificado de y, como my,,. Se deduce de (32.2) que
myn
=
{
1 (xn,
?ny„)
(35.1)
35.2 METODO MODIFICADO DE MILNE
es ti mac ió n :
pyn+i
modificación:
myn+,
corrección: yn+,
3
yn-a + 4 h (2 y, - y ñ -, + 2 y ;,-2)
28
pyn; , + 28 (y,, - 1)yn)
(35.2)
+ la
(niy„ +, + 4y, + yñ - ,)
3
yn-i
( Ver Problemas 35.1 y 35.3).
35.3 METODO MODIFICADO DE HAMMING
est i mac ió n:
pyn+,
modificación:
myn+,
corrección:
yn
+,
=
=
=
4/1
Yn-3 +
pyn+,
3(
2 y,, - y,1 -, + 2 y ; -2}
112
+ 121
(yn - py„)
(35.3)
g(9yn-yn-2) + 3-(nay;+2y;-y,-,)
(Ver Problemas 35.2 y 35.4)
35.4
VALORES DE PARTIDA
El método modificado dado arriba tampoco puede iniciarse sin que se conozcan
yo, y,,
y2, ya, y y4 . El valor yo está definido por la condición inicial. Como fué el caso en el
Capítulo 34 , y,, y2 y ya se calculan por el método de Runge -Kutta de cuarto orden (33.2). El
valor de y4 se calcula con el método de estimación - corrección no modificado , correspondiente,
dado en el Capítulo 34. (Nótese que no puede usarse un método de estimación -corrección
modificado para encontrar y4. Para n = 3, y4 se da en términos de my4, el cual a su vez
depende de Pya, un valor que no se conoce y no puede obtenerse).
253
254 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION [CAP. 35
Problemas resueltos
35.1. Hallar y(1) para y' = y - x; y(0) = 2, usando el método modificado de Milne con h = 0.1.
Para este problema f(x, J) = y - x y yo = 2. Usando el Problema 33.2, encontramos yl = 2.2051708,
y = 2.4214026, y y3 2.6498585. Además, tenemos del Problema 34. 3 que py4
= 2.8918208
y Y4 = 2.8918245. Entonces , de (32.2)
yo = yo - x0 = 2
yi = yt - xi
Y3 =
Y:, - x:; = 2.3498585
2.1051708 y_ = y., - x, = 2.2214026
y4 = y.a - x4 = 2.4918245
Después, usando (35.2), calculamos
n = 4: py5 = Y i + 4
4 h (2y.Í - ys + 2y.,)
2.2051708 + 4(0.1) [2(2.4918245) - 2.3498585 + 2(2.2214026)]
= 3.1487169
my5 = py5
- 28
29 (y4 - py4)
= 3.1487169 +
g
(2.8918245 - 2.8918208 ) = 3.1487205
my; = m y5 - x5 = 2.6487205
h
Y5 = y3+
(uy;+4y{+ys)
= 2.6498585 + 0 11 [2.6487205 + 4(2.4918245) + 2.3498585]]
= 3.1487211
n = 5: yé = y5 - x5 = 2.6487211
PY6 = y2+ 3 (2y -y¡+2y3)
2,4214026 + 4(31) [2(2.6487211) - 2.4918245 + 2(2.3498585)]
3.4221139
28
mys = pys + 29 (ys - py5)
= 3.4221139 +
29
(3.1487211 - 3.1487169) = 3.4221180
my6 = my6 - xfi = 2.8221180
Y6 = y4 + 3(my6' + 4y +'yi)
= 2.8918245 + 031 [2.8221180 -- 4(2.6487211) + 2.4918245]
= 3.4221187
Siguiendo así, obtenemos (Tabla 35-1) y(1) = 4.7182822 , que difiere de la verdadera solución solamente en 0 .0000004. Compare estos resultados con las Tablas 34-3, 33-2, 32-1, 32-4, 32-6 y 32-8.
CAP. 35] METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION 255
Tabla 35-1
Método : METODO MODIFICADO DE MILNE
Problema :
y' = y - x; y(0) = 2
h = 0. 1
xn
Solución verdadera
pyn
myn
yn
Y(x) = ex + x + 1
0.0
-
-
2.0000000
2.0000000
0.1
-
-
2.2051708
2.2051709
0.2
-
-
2.4214026
2.4214028
0.3
-
-
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918208
-
2.8918245
2.8918247
0.5
3.1487169
3.1487205
3.1487211
3.1487213
0.6
3.4221139
3.4221180
3.4221187
3.4221188
0.7
3.7137472
3.7137519
3.7137527
3.7137527
0.8
4.0255350
4.0255402
4.0255410
4.0255409
0.9
4.3595966
4.3596025
4.3596033
4.3596031
1.0
4.7182748
4.7182813
4.7182822
4.7182818
Tabla 35-2
Método : METODO MODIFICADO DE HAMMING
Problema :
y' = y - x; y(0) = 2
h = 0. 1
xn
Solución verdadera
pyn
ntyn
yn
Y(x) = ex + x + 1
0.0
-
-
2.0000000
2.0000000
0.1
-
-
2.2051708
2.2051709
0.2
-
-
2.4214026
2.4214028
0.3
-
-
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918208
-
2.8918245
2.8918247
0.5
3.1487169
3.1487204
3.1487214
3.1487213
0.6
3.4221140
3.4221182
3.4221194
3.4221188
0.7
3.7137474
3.7137524
3.7137539
3.7137527
0.8
4.0255354
4.0255414
4.0255428
4.0255409
0.9
4.3595975
4.3596044
4.3596059
4.3596031
1.0
4.7182763
4.7182840
4.7182856
4.7182818
256 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION
[CAP. 35
35.2. Haga de nuevo el Problema 35.1 usando el método modificado de Hamming.
Los valores de partida YO, y1, y,, yi, y sus derivadas son idénticos a los que se dan en el Problema
35.1. Del Problema 34 . 4 encontramos que py4 = .2.8918208 y y4 = 2.8918245;
por lo tanto ,
yá = y4 - x4 = 2.4918245. Entonces, usando (35.3), calculamos
n=4:
pys = yi + 3 (2y4 - y3 + 2112)
2.2051708 + 4(31) [2(2.4918245) - 2.3498585 + 2(2.2214026)]
= 3.1487169
"ny5 = py5 +
112
121 (y4 - py4)
= 3.1487169 + 121 (2.8918245 - 2.8918208) = 3.1487203
mys = mys - x5 = 2.6487203
Y5 = 1 (9y4 - y2) + 8 (mys + 2y4 - yá)
8 [9(2.8918245) - 2.4214026; + 3(8'1) [2.6487203 + 2(2.4918245) - 2.3498585]
= 3.1487214
n = 5: ys = ys - xs = 2.6487214
P116 = y2 + ah ( 2ys - yá + 2y3)
= 2.4214026 + 41311 [2(2.6487214) - 2.4918245 + 2(2.3498585)]
= 3.4221140
tny6
PY6 + 112 (y5 - py5)
121
112
3.4221140 + 1 21 (3.1487214 - 3.1487169) = 3.4221182
mys = mny6 - xs = 2.8221182
'J6
8 (9y5 - y3) +
3h
(mys + 2ys - y4)
8 [9(3.1487214) - 2.6498585] + 81) [2.8221182 + 2(2.6487214) - 2.4918245]
2.4221194
Siguiendo así (Tabla 35 - 2), obtenemos y(1) = 4.7182856. Compare los resultados con la Tabla 35-1.
Note que lo establecido en la sección 34.4 con respecto a la relativa exactitud , sigue siendo válido para
los métodos modificados.
35.3. Hallar y(1) para y' = y; y(0) = 1, utilizando el método modificado de Milne con h = 0.1.
Para este problema f(x, y) = y y yo = 1. Usando el Problema 33.3, encontramos yl = 1.1051708,
y2 = 1.2214026, y y3 = 1.3498585.
También, del Problema 34 . 5, tenemos
py4 = 1.4918208
Y4 = 1.4918245. Tenga en cuenta que yi = y,, Ys = Y2, ys = y3, Y y4 =
y4. Entonces , usando (35.2),
calculamos
n =4:
pys = Yi +
3
(2y4 - y3 + 2y2)
1.1051708 + 4(31) [2(1.4918245) - 1.3498585 + 2(1.2214026)'
= 1.6487169
CAP. 351 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION
257
my5 = PY5 + 29 (y4 - py4) = 1.6487169 + 29 (1.4918245 - 1.4918208)
= 1.6487205
mys = mys = 1.6487205
Y5 = Y3+ h(my5' +4y4' +y')
3
3
= 1.3498585 + 03 [1.6487205 + 4(1.4918245) + 1.3498585]
= 1.6487211
n = 5:
Y5 = Y5 = 1.6487211
PYs = Y2 + 43 (2Y5 ' - y4 + 2Y3)
1.2214026 + 4(31) [2(1.6487211) - 1.4918245 + 2(1.3498585)]
1.8221139
1.8221139 +
29
(1.6487211 - 1.6487169 ) = 1.8221180
mys = my6 = 1.8221180
Y6 = Y4 + 3 (my6 + 4Y5 + Y4)
= 1.4918245 + 031 [1.8221180 + 4(1.6487211) + 1.4918245]
= 1.8221187
Siguiendo así (Tabla 35 -3), obtenemos
33-3, 32 -2, 32-5 y 32-9.
y(1) = 2.7182822 . Compare los resultados con las Tablas 34-5,
35.4. Hallar y(1) para y' = y2 + 1; y(0) = 0, usando el método modificado de Hamming con
h = 0.1.
Usando el Problema 33.4, encontramos yl =
En este problema , f (x, y) = y2 + 1 y yo = 0.
0.1003346, y2 = 0.2027099, y y3 = 0.3093360. También , del Problema 34.8, tenemos py4 = 0.4227227
y y4 = 0.4227980. Se deduce ahora de (32.2) que
Yo yo + 1 (0)2 + 1 = 1
Yi y1 + 1 (0.1003346)2 + 1 = 1.0100670
Y2 + 1 (0.20 27099)2 + 1 = 1.0410913
Yz
Y3 y3 + 1 (0.30 93360 )2 + 1 = 1.0956888
Y4 Y4 + 1
(0.42 27980)2 + 1 = 1.1787582
Entonces, usando (35.3), calculamos
n = 4:
4h
pYs = Yi + 3 (2Y4 - y3 + 2112)
0 . 1003346 + 4(31) [ 2(1 . 1787582 ) - 1 . 0956888 + 2(1 . 0410913)]
= 0.5462026
mys pYs + 1212 ( Y4 - pYa )
= 0 . 5462026 +
= 0.5462723
121
( 0 . 4227980 - 0 . 4227227)
258 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION [CAP. 35
Tabla 35-3
Método : METODO MODIFICADO DE MILNE
Problema :
y' = y; y(0) = 1
h = 0.1
XI,
Solución verdadera
py n
myn
yn
Y(x) = ex
0.0
-
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
-
1.1051708
1.1051709
0.2
-
-
1.2214026
1.2214028
0.3
-
-
1.3498585
1.3498588
0.4
1.4918208
-
1.4918245
1.4918247
0.5
1.6487169
1.6487205
1.6487211
1.6487213
0.6
1.8221139
1.8221180
1.8221187
1.8221188
0.7
2.0137472
2.01-37519
2.0137527
2.0137527
0.8
2.2255350
2.2255402
2.2255410
2.2255409
0.9
2.4595966
2.4596025
2.4596033
2.4596031
1.0
2.7182748
2.7182813
2.7182822
2.7182818
Tabla 35-4
Método : METODO MODIFICADO DE HAMMING
Problema :
y' = y2 + 1;
y(0) = 0
h = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
mnyn
yn
Y(x) = tan x
0.0
-
-
0.0000000
0.0000000
0.1
-
-
0.1003346
0.1003347
0.2
-
-
0.2027099
0.2027100
0.3
-
-
0.3093360
0.3093363
0.4
0.4227227
-
0.4227980
0.4227932
0.5
0.5462026
0.5462723
0.5463181
0.5463025
0.6
0.6839828
0.6840897
0.6841714
0.6841368
0.7
0.8420339
0.8422084
0.8423567
0.8422884
0.8
1.0291935
1.0294923
1.0297701
1.0296386
0.9
1.2593138
1.2598476
1.2604138
1.2601582
1.0
1.5556365
1.5566546
1.5579221
1.5574077
CAP. 35] METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION
259
my6 = (my5)2 + 1 = (0.5462723)2 + 1 = 1.2984134
1
3h
ys 8 (9y4 - y2) + ó (my5 + 2y4 - y3)
8 [9(0.4227980) - 0.2027099] + 3(81) [1.2984134 + 2(1.1787582) - 1.0956888]
0.5463181
n = 5: ys = (ys)2 + 1 = (0.5463181)2 + 1 = 1.2984635
h
Pys = y2 + 43 (2y5 - y4 + 2y3)
0.2027099 + 4(0.1)
3 [ 2( 1.2984635
) - 1.1757582 + 2(1.0956888)]
= 0.6839828
112
0.6839828 + 1 21 (0.5463181 - 0.5462026) = 0.6840897
my6 = (my6 )2 + 1 = (0.6840897)2 + 1 = 1.4679787
1
3h
y6 = 8 (9ys - y3) + 8 (my6 ± 2y5 - y.')
8 [9(0.5463181 ) - 0.3093360 ] + 3(81) [1.4679787 + 2(1.2984635) - 1.1787582]
= 0.6841714
Continuando así (Tabla 35 -4), obtenemos y(1) = 1.5579221. Compare los resultados con las Tablas 34-7,
34-8, 33-4, 32-3, 32-7 y 32-10.
Problemas suplementarios
35.5. Haga de nuevo el Problema 35.3 usando el método modificado de Hamming.
35.6. Haga de nuevo el Problema 35.4 usando el método modificado de Milne.
35.7. Hallar y(0.6) para y' _ -y; y(0) - 1, usando el método modificado de Milne con h = 0.1.
35.8. Hallar y(0.6) para y' _ --y + x
2; y( 0) 2, usando el método modificado de Hamming con h = 0-1-
35.9. Hallar y( 0.6) para y' = 5x4; y(0) = 0, usando el método modificado de Milne con h = 0.1.
260 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION [CAP. 35
Respuestas a los problemas suplementarios
Para comparación con los métodos dados en los capítulos previos, todas las respuestas serán dadas para
x = 1.0.
35.5.
Método : METODO MODIFICADO DE HAMMING
Problema :
xn
y' = y; y(0) = 1
h = 0.1
Solución verdadera
Pyn
myn
yn
Y(x) = ex
0.0
-
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
-
1.1051708
1.1051709
0.2
-
-
1.2214026
1.2214028
0.3
-
-
1.3498585
1.3498588
0.4
1.4918208
-
1.4918245
1.4918247
0.5
1.6487169
1.6487203
1.6487214
1.6487213
0.6
1.8221140
1.8221181
1.8221194
1.8221188
0.7
2.0137474
2.0137524
2.0137539
2.0137527
0.8
2.2255354
2.2255414
2.2255428
2.2255409
0.9
2.4595975
2.4596044
2.4596059
2.4596031
1.0
2.7182763
2.7182840
2.7182856
2.7182818
35.6.
Método : METODO MODIFICADO DE MILNE
Problema : y' = y2 + 1; y(0) = 0
h = 0.1
xn
7^y„
myn
0.0
-
-
0.1
-
0.2
-
0.3
Solución verdadera
Y.
Y(x) = tan x
0.0000000
0.0000000
0.1003346
0.1003347
-
0.2027099
0.2027100
-
-
0.3093360
0.3093363
0.4
0.4227227
-
0.4227946
0.4227932
0.5
0.5462018
0.5462712
0.5463068
0.5463025
0.6
0.6839798
0.6840811
0.6841455
0.6841368
0.7
0.8420253
0.8421852
0.8423050
0.8422884
0.8
1.0291683
1.0294383
1.0296691
1.0296386
0.9
1.2592493
1.2597329
1.2602143
1.2601582
1.0
1.5554811
1.5564128
1.5575091
1.5574077
CAP. 35] METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION -CORRECCION 261
35.7.
Método: METODO MODIFICADO DE MILNE
Problema : y' = -y; y(0) = 1
h = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
myn
yn
Y(x) = e-x
0.0
-
-
1.0000000
1.0000000
0.1
-
-
0.9048375
0.9048374
0.2
-
-
0.8187309
0.8187308
0.3
-
-
0.7408184
0.7408182
0.4
0.6703225
-
0.6703200
0.6703201
0.5
0.6065331
0.6065306
0.6065308
0.6065307
0.6
0.5488138
0.5488116
0.5488115
0.5488116
0.7
0.4965875
0.4965858
0.4965854
0.4965853
0.8
0.4493306
0.4493286
0.4493288
0.4493290
0.9
0.4065714
0.4065697
0.4065697
0.4065697
1.0
0.3678807
0.3678790
0.3678792
0.3678794
35.8.
Método :
METODO MODIFICADO HAMMING
Problema :
y' _ -y + x + 2 ;
y(0) = 2
h = 0. 1
xn
Solución verdadera
Y(x) = e-X + x + 1
pyn
myn
yn
0.0
-
-
2.000000
2.000000
0.1
-
-
2.004838
2.004837
0.2
-
-
2.018731
2.018731
0.3
-
-
2.040818
2.040818
0.4
2.070323
-
2.070320
2 .070320
0.5
2.106533
2.106531
2. 106530
2.106531
0.6
2.148814
2.148811
2 . 148811
2 .148812
0.7
2.196588
2.196585
2.196585
2.196585
0.8
2.249331
2.249328
2 .249328
2.249329
0.9
2.306571
2.306569
2.306569
2.306570
1.0
2.367881
2.367879
2.367879
2.367879
262 METODOS MODIFICADOS DE ESTIMACION-CORRECCION [CAP. 35
35.9.
• Método : METODO MODIFICADO DE MILNE
Problema : y' = 5x4; y(0) = 0
xn
h = 0. 1
Solución verdadera
pyn
myn
7!n
Y(x) = x5
0.0
-
-
0.0000000
0.0000000
0.1
-
-
0.0000104
0.0000100
0.2
-
-
0.0003208
0.0003200
0.3
-
-
0.0024313
0.0024300
0.4
0.0098667
-
0.0102542
0.0102400
0.5
0.0308771
0.0312512
0.0312646
0.0312500
0.6
0.0773875
0.0777616
0.0777875
0.0777600
0.7
0.1676979
0.1680841
0.1680979
0.1680700
0.8
0.3273208
0.3277070
0.3277208
0.3276800
0.9
0.5901313
0.5905175
0.5905313
0.5904900
1.0
0.9996542
1.0000404
1.0000542
1.0000000
Capítul o 36
Métodos numéricos para sistemas
36.1 OBSERVACIONES GENERALES
Todos los métodos dados en los Capítulos 32 a 35 para problemas de valor inicial de
primer orden, pueden ampliarse fácilmente a un sistema de problemas de valor inicial de primer
orden, o a la mayoría de los problemas de valor inicial de mayor orden . (Cualquier problema
de mayor orden puede reducirse a un sistema de problemas de primer orden por medio de los
Pasos 2 y 3 del Capítulo 30 si puede efectuarse el Paso 1 del Capítulo 30).
Abajo damos la generalización de cuatro métodos numéricos, limitándonos , para simplicidad , a un sistema de dos ecuaciones solamente.
y' = f(x, y, z)
z' = g(x, y, z); (36.1)
z(xo) = zo
y(xo) = Yo,
Notamos que , con
y, = f (x, y, z) = z,
el sistema ( 36.1) representa el problema de valor inicial
de segundo orden
y— = g(x, y, y,); y(xo) = yo, y' (xo) = za
(Ver problemas 36.1 a 36.4).
36.2 METODO DE EULER
yn +
= yn + hyn
,
z, +, =
zn
(36.2)
+ hzá
(Ver Problemas 36.5 y 36.6).
36.3 UN METODO RUNGE -KUTTA DE CUARTO ORDEN
(k, + 2k2 + 2k3 + k4)
yn,, = yn +
z„ - , =
donde
hf (
zn
x n,
+ 6(1, +212+213 +1 4 )
(36.3)
yn, zn)
hg(xn, yn,
hf (xn +
zn)
'2h,
yn
+
4k,,
zn
+ 2l,)
J h, yn + 4k,, z, + Zl,)
hf (xn + 4 h, yn + 4k2, Z. + 2 1 2)
hg(xn + 4h, yn + 4 k2, Zn + 212)
hg(xn +
hf (xn+h , yn+k3, zn+13)
hg(xn + h, yn + k3, Z n + 1 3)
(Ver Problemas 36.7 y 36.8). Este método puede usarse para encontrar valores de partida
adicionales para los métodos de Milne y Hamming dados abajo.
263
264 METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS [CAP. 36
36.4 METODO DE MILNE
n
py n +1 = y n -3 + 4h (2yn - y -1 + 2yn-2)
Zn-3
+ 3 (2z n - zn-1 + 2zn-2)
(36.4)
h
+ -(pyn +1 +4yn+yn -1)
yn+1
yn-1
zn+1
zn-1 + 3-(pzn+l+4zñ+zn-1)
(Ver Problema 36.9).
36.5 METODO DE HAMMING
yn-3 + 3h (2yn - yn-1 + 2yn-2)
pzn+l
yn+1
zn-3
+
3
(2zn - z í - 1 + 2zn -2)
1 3h
g (9yn - yn-2) + 8 (pyn+1 + 2yn'- yn-1)
g (9zn - zn-2) +
(36.5)
8h (pzn+1 + 2zn - zn-1)
(Ver Problema 36.10).
Problemas resueltos
36.1. Reduzca el problema de valor inicial
(36.1).
y" -Y = x;
y(0) = 0, y'(0) = 1 al sistema
Definiendo z = y', tenemos z(0) = y'(0) = 1 y z' = y". La ecuación diferencial dada puede escribirse
como y" = y + x, o z' = y + x. Obtenemos entonces el sistema de primer orden
y' = Z
Z, = y + x;
y(0) = 0, z(0) = 1
36.2. Reduzca el problema de valor inicial y" - 3y' + 2y = 0; y(0) = -1, y'( 0) = 0 al sistema
(36.1).
Definiendo, z = y', tenemos z(0) = y'(0) = 0 y z' = y". La ecuación diferencial dada puede escribirse
como y " = 3y' - 2y, o z' = 3z -'Ly. Entonces obtenemos el sistema de primer orden
y' = z
z' = 3z - 2y;
y(0) = -1, z(O) = 0
CAP. 36] METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS 265
36.3. Reduzca el problema de valor inicial
2yy" - 4xy2y' + 2(senx)y4 = 6; y(1) = 0, y'(1) = 15
al sistema (36.1).
Definiendo z = y', tenemos z(1) = y'(1) = 15 y z' = y ".
La ecuación diferencial dada puede escribirse
como
y" = 2xyy' - ( senx)y3 + (3/y),
o z' = 2xyz - (senx )y3 + (3/y).
Entonces obtenemos el sistema de primer orden
y' = z
z' = 2xyz - ( senx)y3 + 3 ;
y
y(1) = 0, z(1) = 15
36.4. Reduzca el problema de valor inicial
y` - 2xy" + 4y' - x2 y = 1;
y(0) = 1, y'(0) = 2, y"(0) = 3
a un sistema de primer orden.
Siguiendo los Pasos 1 a 3 del Capítulo 30, obtenemos el sistema
Y1 = y2
Y2 = y3
Y3 = x2y1 - 4y2 + 2xy3 + 1;
y1(0) = 1, y2(0) = 2, y3(0) = 3
Para eliminar los subíndices , definimos y = yl, z = y2, Y w = y3.
Entonces el sistema se convierte
en
y' = z
z' = w
w' = x2y - 4z + 2xw + 1;
Y(O) = 1, z(0) = 2, w(0) = 3
36.5. Hallar y(1) para y" - y = x;
y(0) = 0, y'(0) = 1, usando el método de Euler con h = 0.1.
Usando los resultados del Problema 36.1, tenemos
f(x, y, z) = z, g(x, y, z) = y + x,
xo = 0,
u^ = 0- y z 0 = 1 . Entonces , usan d o ( 36 . 2 ), calculamos:
n = 0: yo = f(xo, yo, zo) = zo = 1
zó = g(xo, yo, zo) = yo + xo = 0 + 0 = 0
Y¡ = yo + hyá = 0 + (0.1)(1) = 0.1
zi = zo + hzó = 1 + (0.1)(0) = 1
y1
= f(xi, y1, z1) = zi = 1
zi = 9(x1, y1,
z1)
= y1 + x1 = 0.1 + 0,1
0.2
112 = yl + hyi 0.1 + (0.1)(1) = 0.2
z2 = z1 + hzi = 1 + (0.1)(0.2) = 1.02
n = 2:
Y2' = f (X2, y2, z2) = z2 = 1.02
Z2 = 9(x2, Y2, z2) = Y2 + X2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
y3 = y2 + h.y. = 0.2 + (0.1)(1.02) = 0.302
23 = z2 + hz2 = 1.02 + (0.1)(0.4) = 1.06
Continuando así (Tabla 36-1) obtenemos y(1) = ylo = 1.2451.
Compare esta tabla con las Tablas 36-3,
36-5 y 36-6, que contienen los resultados para la misma ecuación diferencial usando
métodos de mayor
orden.
266
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
Tabla 36-1
Método : METODO DE EULER
Problema :
y(o) = o, y'(o) = 1
y" - y = x;
h = 0. 1
xn
Solución verdadera
Y(x) = ex - e-F - x
yn
zn
0.0
0.0000
1.0000
0.0000
0.1
0.1000
1.0000
0.1003
0.2
0.2000
1.0200
0.2027
0.3
0.3020
1.0600
0.3090
0.4
0.4080
1.1202
0.4215
0.5
0.5200
1.2010
0.5422
0.6
0.6401
1.3030
0.6733
0.7
0.7704
1.4270
0.8172
0.8
0.9131
1.5741
0.9762
0.9
1.0705
1.7454
1.1530
1.0
1.2451
1.9424
1.3504
Tabla 36-2
Método : METODO DE EULER
y" - 3y' + 2y = 0;
y(0) = -1, y'(0) = 0
Problema :
h = 0.1
xn
yn
Solución verdadera
zn
Y(z) = e2x - 2e=
0.0
-1.0000
0.0000
-1.0000
0.1
-1.0000
0.2000
-0.9889
0.2
-0.9800
0.4600
-0.9510
0.3
-0.9340
0.7940
-0.8776
0.4
-0.8546
1.2190
-0.7581
0.5
-0.7327
1.7556
-0.5792
0.6
-0.5571
2.4288
-0.3241
0.7
-0.3143
3.2689
0.0277
0.8
0.0126
4.3125
0.5020
0.9
0.4439
5.6037
1.1304
1.0
1.0043
7.1960
1.9525
[ CAP. 36
CAP. 36] METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
36.6. Hallar y(1) para y" - 3y' + 2y = 0;
con h = 0.1.
267
y(0) = -1, y'(0) = 0, usando el método de Euler
Usando los resultados del Problema 36.2, tenemos f(x, y, z) = z, g(x, y, z) =
3z - 2y, x0 = 0, yo =
-1, Y zo = 0. Entonces , usando ( 36.2), calculamos:
n = 0: yo = f(xo, Yo, zo) = z0 = 0
zá = g(xo, yo, zo) = 3z0 - 2yo = 3(0) - 2(-1) = 2
y1 = yo + hyó = -1 + (0.1)(0) = -1
z1 = zo + hz' = 0 + (0.1)(2) = 0.2
n = 1: yi = f(x1, y1, z1) = zl = 0.2
z1 = g(x1, y1, z1) = 3z1 - 2y1 = 3(0.2) - 2(-1) = 2.6
Y2 = y1 + hy1 = -1 + (0.1)(0.2) _ -0.98
z2 = z1 + hzí = 0.2 + (0.1)(2.6) = 0.46
Siguiendo así (Tabla 36 - 2), obtenemos y(1) = y10 = 1.0043.
Compare esta tablli con la Tabla 36-4,
que contiene los resultados para la misma ecuación diferencial usando un método de Runge-Kutta de
cuarto orden.
36.7. Hallar y(1) para y" - y = x;
de cuarto orden con h = 0.1.
y(0) = 0, y'(0) = 1, usando un método de Runge-Kutta
Usando los resultados del Problema 36.1, tenemos
y z0 = 1 . Entonces , usando ( 36.3), calculamos
n = 0:
f(x, y, z) = z, g(x, Y"-` = y + x, x0 = 0, Yo = 0,
k1 = hf(x0, y0, zo) = hf(0, 0, 1) = (0.1)(1) = 0.1
11 = hg(x0, yo, zo) = hg(0, 0, 1) = (0.1)(0+0) = 0
k2 = hf(x0 + h, yo + k1i zo + --11)
= hf [0 + ^(0.1), 0 + -(0.1), 1 + j(0)]
= hf(0.05, 0.05, 1) = (0.1)(1) = 0.1
12 = hg(xo + 4h, yo + jk1, zo + 111)
= hg(0.05, 0.05, 1) _ (0.1)(0.05 + 0.05) = 0.01
k3 = hf(xo + h, yo + ¡k2,
z0 + 112)
= hf[0 + 4(0.1), 0 + .(0.1), 1 + -(0.01)]
= hf(0.05, 0.05, 1.005) = (0.1)(1.005) = 0.101
13 = hg(xo + h, yo + i k2, z0 + ¡12)
= hg(0.05, 0.05, 1.005) = (0.1)(0.05 + 0.05) = 0.01
k4 = hf( xo + h, yo + k3, zo + 13)
= hf(0+0.1, 0 + 0.101, 1 + 0.01)
= hf(0.1, 0.101, 1.01) = (0.1)(1.01) = 0.101
14 = hg(xo + h, yo + k3, zo + 13)
= hg(0.1, 0.101, 1.01) = (0.1)(0.101 + 0.1) = 0.02
Yi = Yo + ¡(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0 + j[0.1 + 2(0.1) + 2(0.101) + (0.101)] = 0.101
z1
= zp + ¿( 11+212+213+14)
= 1 + *[0 + 2(0.01) + 2(0.01) + (0.02)] = 1.01
268 METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS [CAP. 36
n = 1: k1 = hf(x1, y1, z1) = hf(0.1, 0.101, 1.01)
= (0.1)(1.01) = 0.101
11 = hg(x1, y1, z1) = hg(0.1, 0.101, 1.01)
= (0.1)(0.101+0.1) = 0.02
k2 = hf(x1 + 4h, y1 + Ik1, z1 + 411)
= hf [0.1 + (0.1), 0.101 + (0.101), 1.01 + j(0.02)]
= hf (0.15, 0.152,1.02) = (0.1)(1.02) = 0.102
12 = hg(x1 + h, y1 + jk1, z1 + 111)
= hg(0.15, 0.152, 1.02) = (0.1)(0.152 + 0.15) = 0.03
k3 = hf(x1 + 4h, y1 + }k2, z1 + j12)
= hf [0.1 + (0.1), 0.101 + j(0.102), 1.01 + 4(0.03)]
= hf(0.15, 0.152, 1.025) = (0.1)(1.025) = 0.103
hg(x1 + 4h, y1 + k2, z1 + . l2)
= hg(0.15 , 0.152 , 1.025) = (0.1)(0.152+0.15) = 0.03
13 =
k4 = hf(x1 + h, y1 + k3, z1 + l3)
= hf(0.1 + 0.1, 0.101 + 0.103, 1.01 + 0.03)
= hf(0.2, 0.204,1.04) = (0.1)(1.04) = 0.104
14 = hg(x1 + h, y1 + k3, z1 + 13)
= hg(0.2, 0.204,1.04) = (0.1)(0.204 + 0.2) = 0.04
Y2 = y1 + 1(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0.101 + ,[0.101 + 2(0.102) + 2(0.103) + (0.104)]
= 0.204
z2 = z1+ b(11+212+213+ 14)
1.01 + [0.02 + 2(0.03) + 2(0.03) + 0.04] = 1.04
36-3), obtenemos y(1) = ylo = 1.350. Es interesante notar que cuando
Siguiendo así (Tabla
las siete primeras
h - 0.01, la solución calculada y,, y la solución verdadera para x11 tienen
0
x„
`
1•
cifras decimales idénticas para cualquier
36.8. Hallar y (1) para y" - 3y' + 2y = 0; y(0) -1, y'(0) = 0, usando un método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.1.
xo = 0, yo
Usando los resultados del Problema 36.2, tenemos f(x, y, z) = z, g(x, y, z ) = 3z - 2y ,
y zo = 0. Entonces , usando ( 36.3), calculamos
n = 0: k1 = hf(x0, yo, zo) = hf(0, -1, 0) = (0.1)(0) = 0
) = hg(0, -1, 0) _ (0.1)[3(0)-2(-1)] = 0.2
11 = hg(x0, yo, zo
k2 = hf(x0 + h, yo + lk1, z0 + - l1)
= hf[0+j(0.1), -1+j(0), 0+-x(0.2)]
= hf(0.05, -1, 0.1) = (0.1)(0.1) = 0.01
l2 = hg(xo + j h, yo + ¡k1, zo + 111)
= hg(0.05, -1, 0.1) = (0.1)[3(0.1)-2(-1)] = 0.23
k3 = h& o + h, yo + ¡k2, z0 + - 12)
= hf[0 + (0.1), -1 + (0.01), 0 + 4(0.23)]
= hf(0.05, -0.995, 0.115) = (0.1)(0.115) = 0.012
CAP. 36] METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS 269
Tabla 36-3
Método : METODO RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN
Problema : y" - y = x;
xn
y(0) = 0, y'(0) = 1
h = 0.1
Solución verdadera
Y(x) = Es-e_i-x
yn ii_- zn
0.0
0.0000000
1.0000000
0.0000000
0.1
0.1003333
1.0100083
0.1003335
0.2
0.2026717
1.0401335
0.2026720
0.3
0.3090401
1.0906769
0.3090406
0.4
0.4215040
1.1621445
0.4215047
0.5
0.5421897
1.2552516
0.5421906
0.6
0.6733060
1.3709300
0.6733072
0.7
0.8171660
1.5103373
0.8171674
0.8
0.9762103
1.6748689
0.9762120
0.9
1.1530314
1.8661714
1.1530335
1.0
1.3504000
2.0861595
1.3504024
Tabla 36-4
Método : METODO RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN
Problema :
y" - 3y' + 2y = 0;
x„
y(0) _ -1, y'(0) = 0
h = 0.1
Y.
Solución verdadera
zn
Y(x) = e2' - 2e'
0.0
-1.0000000
0.0000000
-1.0000000
0.1
-0.9889417
0.2324583
-0.9889391
0.2
-0.9509872
0.5408308
-0.9509808
0.3
-0.8776105
0.9444959
-0.8775988
0.4
-0.7581277
1.4673932
-0.7581085
0.5
-0.5791901
2.1390610
-0.5791607
0.6
-0.3241640
2.9959080
-0.3241207
0.7
0.0276326
4.0827685
0.0276946
0.8
0.5018638
5.4548068
0:5019506
0.9
1.1303217
7.1798462
1.1304412
1.0
1.9523298
9.3412190
1.9524924
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
270
[CAP. 36
13 = hg(x0 + h, ¡lo + zo +
hg(0.05, -0.995, 0.115) _ (0.1)[3(0.115) - 2(-0.995)1
0.234
k, = hf(xo+h, yo+k3, z0+13)
= hf(0+0.1, -1 +0.012, 0 + 0.234)
= hf(0.1, -0.988, 0.234) = (0.1)(0.234) = 0.023
1,
hg(x0 + h, y0 + k3, z0 + 13)
hg(0.1, -0.988, 0.234) _ (0.1)[3(0.234) - 2(-0.988)]
= 0.268
?h = yo+ 1(k[+2k,+2k.;-rk4)
-1 + l, [0 ^ 2(0.01) + 2(0.012) + 0.023] -0.989
z, = z0+ (1. (11+ 212 213+14)
0 + -ti; [0.2 + 2(0.23) 2(0.234) + 0.2681 = 0.233
Siguiendo así (Tabla 36-4), obtenemos
y(1) = y,o = 1.952.
h = 0.1.
36.9. Hallar y(1) para y" - y = x; y(0) = 0, y'(0) = 1, usando el método de Mi1ne con
y„ = 0, y, = 0.1003333, y2 = 0.2026717, y3 =
Usando los resultados de la Tabla 36 -3, tenemos
0.3090401, z0 = 1, z, - 1.0100083, z , = 1.0401335, y z3 = 1.01.106 769. En este Problema f (x, y, z)
1.0401335, y3 = z3 =
=z y g(x,y,z ) -- y + x, luego y ó = zo = 1, y'= z, = 1.0100083, y = z2
x.2 =, 0.4026717, z4 = y3 + x3 = 0.6090401.
1.0906769, z3 yo + x0 = 0, z¡ = y, 4- x, = 0.2003333,z'
Entonces usando ( 36.4) calculamos:
n = 3:
4h
py.,, = yo + 8 (2y3' - y=+ 2y[)
0 + 4(.1) [2(1.0906769) - 1.0401335 + 211.0100083)]
3
= 0-4214983
pza = z„ +
4h
(2z3 2z,)
1 + 410. 1
12(0.6090401 ) - 0.4026717 + 2(0.2003333)1
- 1.1621433
py4 =
pz, == 1.1621433
pz,i =
p1/., + X, = 0.4214983 -- 0.4 = 0.821-11183
y-, = y2 + ( p11 - 4)/:i + !1')
= 0.202617 + 031 [1.1621433 + 4(1.0906769) + 1.0401335]
= 0.4215045
h
Z4 = z2 + 3 (pz.í+'lz:;+z_)
1.0401335 041 [0.8214983 + 4(0.6090401) + 0.402671 71
= 1.1621445
n = 4: y3 = z4 = 1.1621445
z = ya + x 4 = 0.4215045 + 0.4 = 0.8215045
CAP. 361 METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS 271
4h ,
Yi + 3 (2y4 - y3 + 2y3)
PY5 =
= 0.1003333 + 4(3'1} [2(1.1621445) - 1.0906769 + 2(1.0401335)]
= 0.5421838
pz5
= Z1 +
3 (2z4 -
z3 +
2z2)
= 1.0100083 + 4(3'1) [2 ( 0.8215045) - 0.6090401 + 2(0.4026717)]
= 1.2552500
1.2552500
pys = pz5 =
pz5 = py5 + x5
= 0.5421838 + 0.5 = 1.0421838
Y5 = y3 + 3 (py5 + 4y4 + y3)
0.3090401 + 31 [1.2552500 + 4(1.1621445) + 1.0906769]
= 0.5421903
h
z5 = z3 + 3 (pz5 + 4x4 + z3)
= 1.0906769 + 31 [1.0421838 + 4(0.8215045) + 0.6090401]
= 1.2552517
Siguiendo así (Tabla 36 -5), obtenemos y(1) = y10 = 1.3504024.
Y(x„) en la Tabla 36 - 5, especialmente para x10.
Compare la exactitud de y(x„) para
36.10 . Haga de nuevo el Problema 36.9 usando el método de Hamming.
Todos los valores de partida y sus derivadas son idénticos a los que se dan en el Problema 36.9. Usando
(36.5), calculamos:
n = 3:
py4
4h
YO + 3 (2y5 - y2 + 2yi)
= 0 + 4( 1) [2(1.0906769) - 1.0401335 + 2(1.0100083)]
3
0.4214983
pz4
(2z3 -
z0
+
3
z2 + 2z;)
1 + 4(31)[2(0.6090401) - 0.4026717 + 2(0.200333)]
1.1621433
py4
pz4 = 1.1621433
pz4
7Jy4 + x4 = 0.4214983 + 0.4 = 0.8214983
Y4
3h
8(9y3-Y¡) + 8 (py4 +2y3'-y2)
8
[9(0.3090401) - 0.1003333] + 3(01
8 [1.1621433 + 2(1.0906769) - 1.0401335]
0.4215046
z4
3h
'
(9z3 - z1 ) + 8 (pz4 + 2z3 - z2)
[9(1.0906769) - 1.0100083 ] + 3(31) [0.8214983 + 2 (0.6090401) - 0.4026717]
1.1621445
n = 4: y4 = z4 = 1.1621445
z4 = y4 + x4 = 0.4215046 + 0.4 = 0.8215046
[CAP. 36
272 METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
Tabla 36-5
Método : METODO DE MILNE
Problema :
y" -y = x;
y(0) = 0, y'(0) = 1
h = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
pzn
yn
zn
Y(x) = e= - e-= - x
0.0
-
-
0.0000000
1.0000000
0.0000000
0.1
-
-
0.1003333
1.0100083
0.1003335
0.2
-
-
0.2026717
1.0401335
0.2026720
0.3
-
-
0.3090401
1.0906769
0.3090406
0.4
0.4214983
1.1621433
0.4215045
1.1621445
0.4215047
0.5
0.5421838
1.2552500
0.5421903
1.2552517
0.5421906
0.6
0.6733000
1.3709276
0.6733071
1.3709300
0.6733072
0.7
0.8171597
1.5103347
0.8171671
1.5103376
0.8171674
0.8
0.9762043
1.6748655
0.9762120
1.6748693
0.9762120
0.9
1.1530250
1.8661678
1.1530332
1.8661723
1.1530335
1.0
1.3503938
2.0861552
1.3504024
2.0861606
1.3504024
Tabla 36-6
Método : METODO DE HAMMING
Problema :
y" -y = x;
y(0) = 0, y'(0) = 1
h = 0.1
xn
Solución verdadera
zn
Y(x) = e= - e-= - x
0.0000000
1.0000000
0.0000000
--
0.1003333
1.0100083
0.1003335
-
-
0.2026717
1.0401335
0.2026720
0.3
-
-
0.3090401
1.0906769
0.3090406
0.4
0.4214983
1.1621433
0.4215046
1.1621445
0.4215047
0.5
0.5421838
1.2552500
0.5421909
1.2552516
0.5421906
0.6
0.6733000
1.3709278
0.6733081
1.3709301
0.6733072
0.7
0.8171598
1.5103348
0.8171689
1.5103377
0.8171674
0.8
0.9762044
1.6748661
0.9762141
1.6748698
0.9762120
0.9
1.1530259
1.8661683
1.1530362
1.8661729
1.1530335
1.0
1.3503950
2.0861563
1.3504059
2.0861618
1.3504024
1^yn
^zn
0.0
-
-
0.1
-
0.2
yn
CAP. 36]
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS 273
4h ,
py5 = yi + 3 (2y4 - y3 + 2y2)
= 0.1003333 + 4(31)[2(1.1621445) - 1.0906769 + 2(1.0401335)
= 0.5421838
pz5 = zl + 3h (2z4 - z3 + 2z.)
= 1.0100083 + 4(31)(2(0.8215045) - 0.6090401 + 2(0.4026717)]
= 1.2552500
py5 = pz5 = 1.2552500
pz5 = py5 + x5 = 0.5421838 + 0.5 = 1.0421838
1
Y:,
= (9y4 -
3h
,
+ s (py + 2 94 - y3)
y2)
8 [9(0.4215045 ) - 0.2026717 1 + 3t g.1) [1.2552500 + 2(1.1621445) - 1.0906769]
= 0.5421909
z5 (9z., - z,) + 8(pz5 + 2z'- z ' )4.13
= S !
[9(1.1621445) - 1.04013351 +
3 31)
)1.0421838 + 2(0.8215045) - 0.6090401]
1.2552516
Continuando así (Tabla 36-6), encontramos que y (li) = yio = 1.3504059.
Problemas suplementarios
36.11. Reduzca el Problema de valor inicial
36.12. Reduzca el problema de valor inicial
36.13.
Reduzca el problema de valor inicial
sistema de primer orden.
y" + y = 0; y(0) = 1, y'(0) = 0 al sistema (36.1).
y" - y = x;
y(0) = 0, y'( 0) -1 al sistema ( 36.1).
xy- - x2y" + (y')2y = 0; y(0) 1, y'(0) _= 2, y"( 0) = 3 a un
En los problemas 36.14 a 36.21 aproxime todos los cálculos a tres cifras decimales.
36.14. Halle y(0.5) para y" '- y = 0; y(0) = 1, y'(0) = 0, usando el método de Euler con h = 0.1.
36.15. Halle . y(0.5) para
y" - y = x; y(0) = 0, y'(0) = -1, utilizando el método de Euler con h = 0.1.
36.16.
Haga de nuevo el Problema 36.14 usando un método Runge -Kutta de cuarto orden.
36.17.
Haga de nuevo el Problema 36.15 usando un método Runge -Kutta de cuarto orden.
36.18 .
Haga de nuevo el Problema 36,14 usando el método de Milne.
36.19. Haga de nuevo el Problema 36.14 usando el método de Hamming.
274
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS [CAP. 36
36.20 .
Hallar y(0.5) para y" - 3y' + 2y = 0; y(0) _ -1, y'( 0) = 0, usando el método de Milne con h = 0.1.
Para los valores de partida use la Tabla 36-4.
36.21 .
Haga de nuevo el Problema 36 . 20 usando el método de Hamming.
36.22 .
Encuentre las fórmulas del método modificado de Milne para el sistema (36.1).
36.23. Encuentre la fórmula del método modificado de Hamming para el sistema (36.1).
36.24 .
Encuentre la fórmula del método de Milne para el sistema
y, = Í (x, y, z, w)
z' = g(x, y, z, w)
w' = r(x, y, z, w);
y(xo) = yo,
z (xo) = zo, w(x0) = Ivo
36.25. Encuentre la fórmula del método de Runge - Kutta de cuarto orden para el sistema del Problema 36.24.
Respuestas a los problemas suplementarios
36.11.
y' = z, z' = -y;
36.12 .
y' = z, z' = y + x;
36.13.
y' =
y ( 0) = 1, z(O) = 0
y(0) = 0, z(0) = -1
z, z' = w, iv' = xw Z2y ;
x
y(0) = 1, z (0) = 2, w(0) = 3
36.14.
Método : METODO DE EULER
Problema : y" + y = 0: y(0) = 1, y'(0) = 0
h = 0.1
X„
Solución verdadera
iln
zn
Y(x) = COS x
0.0
1.0000
0.0000
1.0000
0.1
1.0000
-0.1000
0.9950
0.2
0.9900
-0.2000
0.9801
0.3
0.9700
-0.2990
0.9553
0.4
0.9401
-0.3960
0.9211
0.5
0.9005
-0.4900
0.8776
0.6
0.8515
-0.5801
0.8253
0.7
0.7935
-0.6652
0.7648
0.8
0.7270
-0.7446
0.6967
0.9
0.6525
-0.8173
-
0.6216
1.0
0.5708
;
CAP. 36]
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
275
36.15. Como 1 '( r) -- -x es un polinomio de primer grado, el método de Euler es exacto
y y(0.5) = Y(0.5)
_ -0.5.
36.16.
Método : METODO RUNGE-KUTTA
DE CUARTO ORDEN
Problema : y" - y =- 0: ?r(0) = 1, y'(0) - 0
z„
5 0.1
Solución verdadera
5'(.0 cos
0.0
1.0000000
0.0000000
1.0000000
0.1
0.9950042
-0.0998333
0.9950042
0.2
0.9800666
-0.1986692
0.9800666
0.3
0.9553365
-0.2955200
0.955331;5
0.4
0.9210611
-0.3894180
0.92101;10
0.5
0.8775827
-0.4794252
0.8775826
0.6
0.8253359
-0.5646420
0.8253356
0.7
0.7648425
-0,6442172
0.7648422
0.8
0.6967071
-0.7173556
0.6967067
0.9
0.6216105
-0.7833264
0.6216100
1.0
0.5403030
--0.8414705
0.5403023
36.17. Como Y(x)=-x es un polinomio de primer grado, el método Runge-Kutta de cuarto orden es exacto
y y(0.5) = Y(0.5) _ -0.5.
36.18.
Método : METODO DE MILNE
Problema : y" -f y = o; y(0) = 1,
j'íOl = 0
h - 0.1
Solución verdadera
p?y„
Y(x) = cos x
0.0
-
-
1.0000000
0.1
-
-
0.2
-
-
0.3
0.0000000
1.0000000
0.9950042
-0.0998333
0.9950042
0.9800666
-0.1986092
0.9800666
0.9553365
-0.2955200
0.9553365
0.4
0.9210617
-0.3894153
0.9210611
-0.3894183
0.9210610
0.5
0.8775835
-0.4794225
0.8775827
- 0.4794254
0.8775826
0.6
0.8253369
-0.5646395
0.8253358
-0.5646426
0.8253356
0.7
0.7648437
-0.6442148
0.7648423
-0.6442178
0.7648422
0.8
0.6967086
-0.7173535
0.6967069
-0.7173564
0.6967067
0.9
0.6216120
-0.7833245
0.6216101
-0.7833272
0.6216100
1.0
0.5403047
-0.8414690
0.5403021
-0.841-1715
0.5403023
[CAP. 36
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
276
36.19.
Método : METODO DE HAMMING
Problema :
y—+ y = 0;
y(0) = 1, y'(0) = 0
h = 0.1
xn
Solución verdadera
pyn
pzn
yn
zn
Y(x) = cos x
0.0
-
-
1.0000000
0.0000000
1.0000000
0.1
-
-
0.9950042
-0.0998333
0.9950042
0.2
-
-
0.9800666
-0.1986692
0.9800666
0.3
-
-
0.9553365
-0.2955200
0.9553365
0.4
0.9210617
-0.3894153
0.9210611
-0.3894183
0.9210610
0.5
0.8775835
-0.4794225
0.8775827
-0.4794258
0.8775826
0.6
0.8253368
-0.5646395
0.8253357
-0.5646431
0.8253356
0.7
0.7648436
-0.6442148
0.7648423
-0.6442187
0.7648422
0.8
0.6967083
-0.7173536
0.6967067
-0.7173574
0.6967067
0.9
0.6216117
-0.7833248
0.6216097
-0.7833286
0.6216100
1.0
0.5403041
-0.8414694
0.5403018
-0.8414729
0.5403023
36.20.
Método : METODO DE MILNE
Problema : y" - 3y' + 2y = 0; y(0) -1, y'(0) = 0
h = 0.1
xn
Solución verdadera
y(X) = e-r - 2e1.
pyn
pz,,
0.0
-
-
-1.0000000
0.0000000
-1.0000000
0.1
-
-
-0.9889417
0.2324583
-0.9889391
0.2
-
-
-0.9509872
0.5408308
-0.9509808
0.3
-
-
-0.8776105
0.9444959
-0.8775988
yn
zn
0.4
-0.7582563
1.4671290
-0.7581224
1.4674042
-0.7581085
0.5
-0.5793451
2.1387436
-0.5791820
2.1390779
-0.5791607
0.6
-0.3243547
2.9955182
-0.3241479
2.9959412
-0.3241207
0.7
0.0274045
4.0823034
0.0276562
4.0828171
0.0276946
0.8
0.5015908
5.4542513
0.5019008
5.4548828
0.5019506
0.9
1.1299955
7.1791838
1.1303739
7.1799534
1.1304412
1.0
1.9519398
9.3404286
1.9524049
9.2413729
1.9524924
CAP. 36]
277
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS
36.21.
Método : METODO DE HAMMING
Problema : y" - 3y' + 2y = 0; y(0) -1, y'(0) = 0
h
xn
36.22 .
0.1
Solución verdadera
Pz n
0.0
-
-
-1.0000000
0.0000000
-1.0000000
0.1
-
-
-0.9889417
0.2324583
-0.9889391
0.2
-
-
-0.9509872
0.5408308
-0.9509808
0.3
-
-
-0.8776105
0.9444959
-0.8775988
yn
-0.7582563
1.4671290
-0.7581208
1.4674075
-0.7581085
0.5
-0.5793442
2.1387454
-0.5791725
2.1390975
-0.5791607
0.6
-0.3243499
2.9955280
-0.3241310
2.9959763
-0.3241207
0.7
0.0274121
4.0823189
0.0276868
4.0828802
0.0276946
0.8
0.5016098
5.4542900
0.5019470
5.4549778
0.5019506
0.9
1.1300312
7.1792566
1.1304442
7.1800975
1.1304412
1.0
1.9519994
9.3405500
1.9525051
9.3415779
1.9524924
Pzn+1 = zn _3+ 3^1(2zñ-z,_1+2zn-2)
28
= Pyn + 1 + 29 (yn - Pyn)
28
mzn + 1 =
36.23.
Pzn + 1 + 29 (zn - Pzn)
Y. +1
h
yn-1 + 3 (myn'+ 1 + 4yn' + yn'-1)
zn+1
h
zn-1 + 3 (mzn + 1 + 4zn + zñ-1)
4h
Pyn+1 = yn-3 + 3 (2yñ - Yn' -1 + 2yn-2)
4h
Pzn+1
=
z_3 + 3 ( 2zñ-zn -1+2zn-2)
112
myn+ 1 =
mzn+ 1
zn
0.4
4h
Pyn+1 = yn-3 + 3 (2yn'-yn-1+2yn'-2)
myn + 1
Y(x) = e2x - 2ex
Pyn
i yn+ 1 + 121 (yn - Pyn)
112
= Pzn+ l + 121 (zn - Pzn)
Yn+1 = 8(9Yn -Y,>•2)+ 8h(myn+1+2yñ-yñ-1)
1
3h
zn+1 = 8(9zn-zn - 2)+ 8 (mzñ+1 +2zn-z;-1)
278
36.24 .
METODOS NUMERICOS PARA SISTEMAS [CAP. 36
Ecuaciones ( 36.4) junto con:
p'vn+1
= -.-3 + 4h (2w,^ - wñ-1 + 2wñ-2)
wn+1 = wn - 1 + 3(pwn
36.25.
+4wñ+w,-1)
yn + 1 = yn + 6 (k1 + 2k., + 2k3 + k4)
zn+1 - z„ +' ( 11+212+213+14)
wn+ 1 = wn + 2(m1 + 2m2 + 2m3 + rn4)
donde
k1
= hf( xn, y, , x n, w, )
11 = hg(x,, , y,,, zn, wn)
m1 = hr(xn, yn, zn, w,,)
1k1, zn + 211, wn + 2m1)
h9(xn + -lh, yn + 1 k1, zn + 111, wn + 1 m1)
k2 = hf(xn + -lh,
12 =
m2 = hr (x,, +
1 h,
k3 = hf (xn + 2h ,
yn +
yn + 1k1, zn + 211, wn +
y,^ +
2k2,
zn
+ 112,
wn
Zn11)
+ 2m2)
13 = h9(xn + lh , yn + 2k2, zn + 212, wn + 2m2)
m3 = hr (xn + Zh, yn + 2k2,
k4 = hf( xn+ h,
yn
+ k3,
zn
zn +
+ 2 12, wn +
13,
wn
+m3)
14 = h9(x,, +h, yn+k3 , z n+13, wn+m3)
m4 = hr(xn + h, yn + k3, zn + 13 , wn + m3)
4m2)
Capítulo 37
Problemas de valor límite de
segundo orden
37.1 PROBLEMAS HOMOGENEOS Y NO HOMOGENEOS
Consideramos el problema de valor límite dado por la ecuación diferencial lineal de
segundo orden
y" + P(X)Y, + Q(x)y = o(x) (37.1)
y las condiciones límite
a,y(a) + 13,y'(a) = y,
a2y(b) + R2y'(b) = y2 (37.2)
Aquí P(x), Q(x), y 41(x) son continuas en [a, b ] y a,, a„ ¡31, ¡3.1, y1, y 72 son todas
constantes reales. Mas aún, se supone que at y /31 no son iguales a cero ala vez y tampoco a2 y
I2
Se dice que el problema de valor límite es homogéneo si tanto la ecuación diferencial
como las condiciones límite son homogéneas , ( esto es , j(x) = 0 y y, = y2 = 0). De lo
contrario el problema es no homogéneo . Entonces un problema de valor límite homogéneo,
tiene la forma
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0;
a,y(a) + /31y'(a) = 0 (37.3)
a2y(b ) + /32y'(b) = 0
Cuando los coeficientes P(x) y Q( x) también dependen de una constante arbitraria X, se
presenta un problema de valor límite homogéneo algo más general que el (37.3). Tal problema
tiene la forma
y— + P(x,.k)y' + Q(x, x)y = 0;
a,y(a) + R,y'(a) = 0 (37.4)
a2y(b) + /2y'(b) = 0
Observe que (37.3) o (37.4) admiten siempre la solución trivial y(x) = 0.
37.2 SOLUCIONES UNICAS
El problema de valor límite se resuelve obteniendo primero la solución general de la
ecuación diferencial, usando cualquiera de los métodos apropiados que se presentaron anteriormente y después aplicando las condiciones límite para calcular las constantes arbitrarias. (Ver
los Problemas 37.1 a 37.5).
Por medio de los siguientes teoremas se dan las condiciones bajo las cuales un problema
de valor límite dado tiene una solución única.
279
280 PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN [CAP. 37
Teorema 37.1. En el sistema de ecuaciones lineales algebraicas pc, + qc2 = 0, rcl + sc2 = 0
las incógnitas c, y e2 tienen por lo menos una solución además de Cl = c2
= 0 si y solamente si el determinante
p q
r s
es igual a cero.
El Teorema 37.1 implica junto con el Teorema 11.1 de la página 60 el:
Teorema 37 .2. Cuando yi(x) y y2 (x) son dos soluciones linealmente independientes de
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0
Existen soluciones no triviales ( es decir soluciones no idénticamente iguales a
cero ) del problema de valor límite homogéneo ( 37.3) si y solamente si el
determinante
aiyl(a) + f3iyi(a)
a1y 2 ( a)
+ Rly2(a)
R 2yí( b )
a 2y2( b)
+
a2y1 (
b)
+
R 2y 2(b)
(37.5)
es igual a cero.
(Ver los Problemas 37.1 y 37.2).
Teorema 37 .3. El problema de valor límite no homogéneo definido por (37.1) y(37.2) tiene
una solución única si y solamente si el problema homogéneo asociado (37.3)
tiene únicamente la solución trivial.
(Ver los Problemas 37.3 a 37.5). En otras palabras, el problema no homogéneo tiene una
solución única solamente cuando el problema homogéneo asociado tiene una solución única.
37.3 PROBLEMAS DE VALOR EIGEN
Al aplicar el Teorema 37.2 al problema de valor límite (37.4) se demuestra que pueden
existir soluciones no triviales para ciertos valores de X pero no para otros valores de X. Aquellos
valores de k para los cuales existen soluciones no triviales se llaman valores eigen ; las correspondientes soluciones no triviales se llaman funciones eigen.
Problemas resueltos
37.1. Resolver
y" + 2y' - 3y = 0;
y(0) = 0, y'(1) = 0.
Este es un problema de valor límite homogéneo de la forma (37.3) con P(x) = 2, Q(x) = -3, al = 1,
y b = 1. La solución general de la ecuación diferencial es y =
Pl = 0, a2 = 0, 12 = 1, a = 0,
eje-3x + c2ex.
Aplicando las condiciones límite, encontramos que Cl = c2 = 0; por lo tanto la
solución es y = 0.
Del Teorema 37.2 se deduce el mismo resultado . Dos soluciones linealmente independientes son
yl(x) = e-3i
y y2(x) = ex; por lo tanto el determinante ( 3 7.5) se convierte en
1
1
e + 3e-3
-3e-3 e
Como este determinante no es cero , la única solución es la solución trivial y(x) -- 0.
CAP. 371
PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN 281
37.2. Resolver y" = 0; y(-1) = 0, y(1) - 2y'(1) = 0.
Este es un problema de valor límite homogéneo (37.3), donde
P(x) = Q(x) = 0,
al = 1, ¡e = 0,
2 == 1, 13., _ -2, a = -1, y b = 1. La solución general de la ecuación diferencial es
y = c1 + c2x.
Aplicando las condiciones límite , obtenemos las ecuaciones
c1 - c., = 0
que
y
el - e2 = 0,
tienen la solución c, = c2, para c2 arbitrario. Luego, la solución del problema de valor límite es
y = c,(1 + x), c, arbitrario. Como se obtiene una solución diferente para cada valor de e2 i el
problema tiene infinitas soluciones no triviales.
Del Teorema 37.2 también se ven en forma inmediata la existencia de soluciones no triviales. Aquí
y el determinante ( 3 7.5) se convierte en
y1(x) = 1, y2(x) = x,
I1 1 0
1 -1
37.3. Resolver
y" + 2y' - 3y = 9x;
y(0) = 1, y'(1) = 2.
Este es un problema de valor límite no homogéneo , (37.1) y ( 37.2), donde c,(x) = x, y1 = 1, y
y2 = 2.
Como el problema homogéneo asociado tiene únicamente la solución trivial ( Problema 37.1),
se deduce del Teorema ( 37.3) que el problema dado tiene una solución única . Resolviendo la ecuación
diferencial por el método del Capítulo 14, obtenemos
y = clc,- s.,
c.,e., - 3x - 2
Aplicando las condiciones límite , encontramos
c1+c,-2 = 1 -3c1e-3 +c,e-3 = 2
luego
Finalmente
37.4. Resolver
c - 3c - 5 c - 5 + 9e-3
1 3(-3 - c + 3c-3
, y = (3c -- 5)c f:;! 3((53 - 9e_ 3)er - 3x - 2
y" = 2; y(-1 ) = 5, b(1) - 2y '( 1) = 1.
Este es un problema de valor límite no homogéneo , (37.1) y (37.2) donde ¢(x) = 2, y1 = 5, y
y, = 1. Como el problema homogéneo asociado tiene soluciones no triviales (Problema 37 . 2), este
problema no tiene una solución única . Hay por lo tanto mas de una solución , o no hay soluciones.
Resolviendo la ecuación diferencial , encontramos que
y = Cl + c2x + x2
Entonces , aplicando las
condiciones límite , obtenemos las ecuaciones c, - c., = 4 y el - c., = 4; por lo tanto c1 = 4 + c2, y
c2 arbitrario . Finalmente y = c.,(1 + x ) + 4 -1- x22; y este problema tiene infinitas soluciones , una para
cada valor de la constante arbitraria e2.
37.5. Resolver y" = 2; y(-1) = 0, y(1) - 2y'(1) = 0.
Este es un problema de valor límite no homogéneo , (37.1) y (37.2), donde O(x) = 2 y y1 = 72 = 0•
Como en el Problema 37.4 puede haber más de una solución o puede no haber ninguna . La solución de
la ecuación diferencial es y = c, + c_ax +- x2. Aplicando las condiciones límite, obtenemos las ecuaciones
c, - c, = -1 y el - c, - 3. Como estas ecuaciones no tienen solución, el problema de valor límite no
tiene solución.
37.6. Hallar los valores eigen y las funciones eigen de
y" - 4Xy' + 4Á2y = 0; y(0) = 0, y(1) + y'(1) = 0
Los coeficientes de la ecuación diferencial dada, son constantes ( con respecto a x); por lo tanto, la
solución general puede encontrarse usando la ecuación característica . Escribimos la ecuación característica en términos de la variable ni puesto que 7X ( ver Sección 12.1) tiene ahora un significado diferente.
282
PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN [CAP. 37
Entonces,
m2 - 4aan + 4X2 = 0,
que tiene la raíz doble ni = 2x; la solución de la ecuación diferencial es
y = c1e21= + c.>xc''AS.
Aplicando las condiciones límite y simplificando obtenemos
c, = 0 c,(1 + 2X) + c,(2 + 2X) = 0
Se deduce ahora que cl = 0 y c2 = 0 o X = -1. Si se escoge c2 = 0 resulta la solución trivial
y = 0; si se escoge X = -1 resulta la solución no trivial
y = c2xe--'x,
c2 arbitraria . Entonces
el problema de valor límite tiene el valor eigen X = -1 y la función eigen
y = c2xe-2r.
37.7. Hallar los valores eigen y las funciones eigen de
y" - 4Áy' + 4.2y = 0; y'(1) = 0, y(2) + 2y'(2) = 0
Como en el Problema 37.6, la solución de la ecuación diferencial es
do las condiciones límite y simplificando obtenemos las ecuaciones
y = c1e2AS + c2xe2As.
Aplican-
(2X)cl + (1 + 2X)c2 = 0
(1)
(1 + 4a)ci + (4 + 8X)c2 = 0
Por el Teorema 37.1, (1 ) tiene una solución no trivial para el y c2 si y solamente si el determinante
2X 1+2X1
11
+4a 4+8X
= (1 + 2X)(4X - 1)
es cero; esto es si y solamente si x = - o X = . Cuando X = -, (1) tiene la solución
el = 0, c2 arbitrario ; cuando
a (1) tiene la solución
e] = -3c.>, c ., arbitrario . Se deduce
que los valores eigen son X, = -^ y X2 = } y las funciones eigen correspondientes son yt =
c2xe - z Y Y2 = c2(-3 + x)e=12.
37.8. Hallar los valores eigen y las funciones eigen de
y" + ky' = 0; y(0) + y'(0) = 0, y'(1) = 0
La ecuación característica es
m22 + Xm = 0, en términos de la variable rn.. Consideramos los casos
X = 0 y X : 0 por separado puesto que conducen a soluciones diferentes (ver Capítulo 12).
>t = 0: La solución de la ecuación diferencial es
Aplicando las condiciones límite,
y = el + c2x.
obtenemos las ecuaciones
el + e2 = 0 y c2 = O. Se deduce que el = c2 = 0, y
y = 0. Por lo tanto X = 0 no es un valor eigen.
X 0: La solución de la ecuación diferencial es
obtenemos
y = el c -
Aplicando las condiciones límite
cl + (1 - X)c2 = 0
(-Xe'-")C2 = 0
Estas ecuaciones tienen una solución no trivial para cl y c2 si y solamente si (Teorema 37.1).
1 1
-a
0 -Xe -A
-Xe--" = 0
lo cual es una imposibilidad puesto que x m 0.
Como obtenemos únicamente la solución trivial para
problema no tiene ningún valor eigen.
X = 0 y X
0, podemos concluir que el
37.9. Hallar los valores eigen y las funciones eigen de
y" - 4Ay' + 4Á2y = 0;
y(0) + y'(0) = 0, y(1) - y'(1) = 0
CAP. 37 1
PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN 283
Como en el Problema 37.6 la solución de la ecuación diferencial es
las condiciones límite y simplificando , obtenemos las ecuaciones
(1 + 2X)c1 + c2 =
11 = e,(, 11-1 + c,xe21r .
Aplicando
0
(1)
(1 - 2X)c1 + (-2X)c2 = 0
Las ecuaciones ( 1) tienen una solución no trivial para cl y c, si y solamente si (Teorema 37.1) el
determinante
1+2X 1
-4X2 - 1
1 - 2X -2x
es cero; es decir si y solamente si X =
Estos valores eigen son complejos . Necesitamos que X sea
real para mantener real la ecuación diferencial en consideración . Por lo tanto este problema no tiene
valores eigen ( reales ) y la única solúción (real) es la solución trivial y(x) - 0.
37.10 . Halle los valores eigen y las funciones eigen de
y" + ay = 0; y(0) = 0, y(1) = 0.
La ecuación característica es ni2 + X = 0. Consideramos los casos
separado , puesto que llevan a soluciones diferentes ( ver Capítulo 12).
X 0, x < 0,
X = 0: La solución es y = c1 + c>x. Aplicando las condiciones límite , obtenemos
lleva a la solución trivial.
X < 0: La solución es y = c,c
ciones límite, obtenemos
c,e-
y X > 0 por
c1 = 2 = 0, que
donde - X son positivos . Aplicando las condi -
C.1+c2 = 0
eje x+c.,e- = 0
Usando el Teorema 37 . 1, encontramos
1
1
er-x e-f=X
el cual no es cero para ningún valor de x < 0.
= e - o^ ->_ Por lo tanto
cl = c2 = 0 y y = 0.
X > 0: La solución es A sen ^x + B cos \ x . Aplicando las condiciones límite, obtenemos B = 0 y
A sen
= 0. Note que seno = 0 si y solamente si e = n -, donde n = 0, .... Más
aún si o > 0, entonces n debe ser positivo. Para satisfacer las condiciones límite, B = 0 y,
o bien A = 0 o sen f = 0. Esta última ecuación es equivalente a irX_ = n- donde n =
1 , 2, 3, ... . El escoger A = 0 conduce a la solución trivial; el escoger fX = a1- conduce a la
solución no trivial y,, = A,, semi-x. Aquí la notación A„ significa que la constante arbitraria
A,, puede ser diferente para diferentes valores de n.
Reuniendo los resultados de los tres casos , concluimos que los valores eigen son X,, = fl r2
funciones eigen correspondientes son y,, = A,, sen n-, x, para n=1,2,3—— .
y que las
37.11 . Hallar los valores eigen y las funciones eigen de
y" + Ay = 0; y(0) = 0, y'(T) = 0.
Como en el Problema 37.10 , los casos
X = 0: La solución es
y = c1 + c2x.
por lo tanto y -- 0.
x = 0, x < 0,
y x > 0 deben considerarse por separado.
Aplicando las condiciones límite , obtenemos
c1 = e2 = 0,
284 PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN [CAP. 37
A < 0: La solución es y = c,e' x - e .,e- ^ ÁI,
condiciones límite , obtenemos
donde -X y lí--x
son positivos . Aplicando las
- c2V -n e - V-,\
el + c2 = 0 clYf_-X eVI-X7
- - = 0
Usando el Teorema 37.1, encontramos que la única solución de estas ecuaciones es cl = c2
= 0, y por lo tanto y = 0.
X > 0: La solución es
y = A sen\x + B cos
x.
Aplicando las condiciones límite , obtenemos
B = 0 y AV cos '/3 - = 0. Para e > 0, cos e = 0 si y solamente si e es un múltiplo impar
positivo de-/2; es decir cuando e = (2n - 1)
= (n - ;1);r, donde n = 1, 2, 3, ... .
2
Por lo tanto , para satisfacer las condiciones límite , debemos tener B = 0 y, o bien A = 0 o
cos,,r,\-7 = 0. Esta última ecuación es equivalente a = n - J. Al escoger A = 0 resulta la
solución trivial ; al escoger lí-X = n - 1 resulta la solución no trivial y„ = A. sen (n - )x.
Xn = (n - 4)2 y las correspondientes
Reuniendo los tres casos , concluimos que los valores eigen son
funciones eigen son
y„ = A„ sen ( n - ;;)x, donde n = 1 , 2, 3, ... .
Problemas suplementarios
En los Problemas 37.12 a 37 .19 encuentre todas las soluciones , si existen , para los problemas de valor límite
dados.
37.12.
y"+y
0;
y(0) = 0,
y(-/2) = 0.
37.13.
y"+y
x;
y(0) = 0,
y(r,/2) = 0.
37.14.
y"+y
0;
y(0) = 0,
y(-/2) = 1.
37.15.
y"+y
x;
y(0) = -1,
37.16.
y"+y
0;
y'(0) = 0,
y(ir/2) = 0.
37.17.
y"+y
0;
y'(0) = 1,
y(-/2) = 0.
37.18.
y"+y
x;
y'(O) = 1,
y(r/2) = 0.
37.19.
y"+y
x;
y'(0) = 1,
y(-/2) = 7/2.
y(-/2) = 1.
En los Problemas 37.20 a 37.26, halle los valores eigen y las funciones eigen , si las hay, de los problemas de
valor límite dados.
37.20 . y" + 2Xy' + X2y = 0; y(O) + y'(O) = o, y(1) + y'(1) = 0.
37.21 .
y" + 2ay ' + X2y = 0 ;
y(0) = 0, y(1) = 0.
37.22 . y" + 2Xy' + X2y = 0; y(1) + y'(1) = 0, 3y(2) + 2y'(2) = 0
37.23 .
y" + Ay' = 0 ; y(0) + y'(0) = 0;
37.24.
y" - ?y = 0; y(O) = 0, y(1) = 0.
37.25.
y" + Xy = 0; y'(O) = 0, y(5) = 0.
y(2) + y'(2) = 0.
37.26. y" + Xy = 0; y'(O) = 0, y'(7) = 0.
CAP. 37]
PROBLEMAS DE VALOR LIMITE DE SEGUNDO ORDEN
285
Respuestas a los problemas suplementarios
37.12. y = 0
37.13. y = x - Z sen x
37.14.
y = sen x
37.15.
y = x+ (1-. ir) sen x -cos x
37.16.
Y = B cos x, B arbitrario
37.17. no hay solución
37.18. no hay solución
37.19.
y = x + B cos x,
37.20.
X = 1, y = cle-z
37.21.
no hay valores eigen ni funciones eigen
37.22.
X = 2, y = C2xe-2=
37.23.
X = 1, y = c2e_x
37.24.
Xn = -n2ir2, yn = Ansen n7rx,
B arbitrario
y X = 11
y = c2(-3 + x)e-X/2
( c2 arbitrario)
para
n = 1, 2, ... (An arbitrario)
3725. an = (in - i )2,r2, yn = B,, cos (-n - J ),rx,
10
3726. Xn = n2, yn = Bn cos nx,
para
para
n = 1, 2, ... (B,, arbitrario)
n = 0,1,2,— ( Bn arbitrario)
7
Capítulo 38
Problemas de Sturm -Liouville
38.1 DEFINICION
Un problema de Sturm-Liouville de segundo orden es un problema de valor límite
homogéneo de la forma
(38.1)
[p(x)y']' + q(x)y + aw(x)y = 0;
a,y(a) + fl,y'(a) = 0
(38.2)
azy(b) + fl2y'(b) = 0
donde p(x), p'(x), q(x), y wv(x)
positivas en [a, b].
son continuas en [a, b], y tanto
Ejemplo 38 .1. El Problema 37.10 es un problema Sturm -Liouville con
problema
(xy')' + [x2-} 1 + Xex] y = 0;
y(1) + 2y'(1) = 0,
p(x)
como
p(x) = 1, q(x) = 0 y
w(x)
son
w(x) = 1. El
y(2) - 3y'(2) = 0
w(x) = ex.
q(z) = x2 + 1, y
p(x) = x,
es un problema Sturm -Liouville con
[1, 2], que es el intervalo de interés , tanto p(x) como w(x) son positivos.
Tenga en cuenta que en
La ecuación diferencial de segundo orden
a2(x)y" + al(x)y' + ao (x)y + Xr( x)y = 0 (38.3)
donde a2(x) no desaparece en [a, b], es equivalente a (38.1 ) si y solamente si a2(x ) = ai(x).
(Ver Problema 38.2). Esta condición puede conseguirse siempre multiplicando (38.3) por un
factor apropiado . ( Ver Problema 38.3).
38.2 PROPIEDADES DE LOS PROBLEMAS STURM-LIOUVILLE
Los problemas Sturm-Liouville tienen características convenientes que no son compartidas por los problemas de valor eigen mas generales.
Teorema 38 .1. Los valores eigen de un problema Sturm-Liouville son todos reales y no
negativos.
(Compare este teorema con el resultado del Problema 37.9).
Teorema 38 .2. Los valores eigen de un problema Sturm-Liouville pueden ordenarse en la
forma de una secuencia infinita extrictamente creciente; es decir 0
,k] < az < X3 < • • • . Mas aún cuando n—.
(Compare este teorema con los resultados de los Problemas 37.6 a 37.8).
286
CAP. 38] PROBLEMAS DE STURM -LIOUVILLE
287
Teorema 38.3. Para cada valor eigen de un problema Sturm-Liouville, existe una y solamente una función eigen linealmente independiente.
(Por este teorema a cada valor eigen x„ corresponde una función eigen única con coeficiente
principal unitario; denotamos esta función eigen por en(x)).
Teorema 38.4. El conjunto de funciones eigen { e,(x), ez (( x), ...) de un problema SturmLiouville satisface la relación
(38.4)
J bw(x)e„ (x)em(x) dx = 0
a
para n m, donde w(x) está dado en (38.1).
Problemas resueltos
38.1. Determine cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones límite
y(0) = 0, y'(1) = 0 forman problemas Sturm-Liouville:
(a) exy" + ery' + ,1y = 0 (d) y" + k(1 + x)y = 0
(b) xy" + y' + (x2 + 1 + a)y = 0 (e) ery" + e2xy' + Ay = 0
(e) (Y')'+(x+A)y = 0
(a) La ecuación puede escribirse como (exy')' + Xy = 0;
w(x) ° 1. Este es un problema Sturm -Liouville.
por lo tanto
p(x) = ex, q(x) = 0, y
(xy')' + (x2 + 1)y + Xy = 0;
(b) La ecuación es equivalente a
p(x) = x,
por lo tanto
q(x) = x2 + 1, y w(x ) = 1. Puesto que p(x) es cero en un punto en el intervalo [0, 1], este no
es un problema Sturm -Liouville.
(c) Aquí p(x) = 11x, q(x) = x, y w(x) = 1. Puesto que p(x) no es continua en [0,1 ], en particular para x = 0, este no es un problema Sturm-Liouville.
(d) La ecuación puede escribirse como
(y')' + x(1 + x) y = 0;
w(x) = 1 + x. Este es un problema Sturm -Liouville.
donde
p(x) = 1, q(x) = 0, y
(e) La ecuación , en su forma presente , no es equivalente a (38.1 ); no es un problema SturmLíouville. Sinembargo, si primero multiplicamos la ecuación por e-=, obtenemos (exy')7 +
Ae-xy = 0; este es un problema Sturm-Liouville con p(x) = ex, q(x) = 0, y w(x) = e-x.
38.2. Demuestre que (38.1) es equivalente a (38.3) si y solamente si
a2(x) = a,(x).
Aplicando la regla del producto de derivadas a (38.1), encontramos que
p(x)y" + p'(x)y' + q(x)y + Xw(x)y = 0 (1)
Haciendo a2(x) = p(x), al(x) = p'(x), a0(x) = q(x), y r (x) = w(x), se deduce que (1 ), que es (38.1)
transformado , es precisamente (38.3) con a2(x) = p'(x) = al(x).
En forma inversa , si a.2 ( x) = al(x), entonces (38.3) tiene la forma
a2(x)y" + a2(x)y' + ao(x)y + Xr(x)y = 0
que es equivalente a [a2(x)y']' + ao(x)y + xr(x)y = 0.
con p(x) = a2(x ), q(x) = ao(x), y w(x) = r(x).
Esta última ecuación es precisamente (38.1)
288 PROBLEMAS DE STURM -LIOUVILLE
[CAP. 38
38.3. Demuestre que si se multiplica (38.3) por 1(x) = ef [°j(x)1a2(X)" dx, la ecuación resultante es
equivalente a (38.1).
Multiplicando ( 38.3) por I (x), obtenemos
I(x)a2(x)y" + I(x)al(x)y' + I( x)a0(x )y + X1(x)r(x)y = 0
que puede escribirse como
a2(x)[I(x)y']' + I(x) a0(x)y + a1(x)r(x)y = 0 (1)
Dividiendo ( 1) por a2(x) y después haciendo p(x) = I(x), q(x) = I(x) a0(x)la2(x) y w(x) = I(x)r(x)/
a2(x); la ecuación resultante es precisamente (38.1). Tenga en cuenta que como I(x) es un exponencial, y como a2(x) no desaparece , I(x) es positiva.
38.4. Transformar y" + 2xy' + (x + a)y = 0 en (38.1) por medio del procedimiento descrito
en el Problema 38.3.
Aquí a2( x) = 1 y al (x ) = 2x; por lo tanto a t( x ) /a z( x ) = 2x
ecuación diferencial dada por I(x), obtenemos
y
I(x ) = ef 2xdr = ex2. Multiplicando la
ex2y" + 2xex2y' + xex2y + XexZy = 0
que puede escribirse como
(ey2y')' + xexZy + Xex2y = 0
Esta última ecuación es precisamente (38.1) con p(x) = ex2, q(x) = xex2, y w(x) = ext.
38.5. Transformar (x + 2)y" + 4y' + xy + kery = 0 en (38 . 1) por medio del procedimiento
descrito en el Problema 38.3.
Aquí a2(x) = x + 2 y al(x ) = f4; por lo tanto al(x)/a2 (x) = 4/(x + 2) y
1(x) = eJ
14/(x+2)7 dr -
e4 ]n ix+21 = e1n (x+2)` -- (x + 2)4
Multiplicando la ecuación diferencial dada por 1( x), obtenemos
(x + 2)5y" + 4(x + 2)4y' + (x + 2)4xy + A(x + 2)4exy = 0
que puede escribirse como
(x + 2) [(x + 2)4y']' + (x + 2)4xy + X(x + 2)4exy = 0
O [(x + 2)4y']' + (x + 2)3y + X(x + 2)3exy = O
y 2v(x) _
p(x) _ (x + 2)4, q(x) = (x + 2)3,
Esta última ecuación es precisamente (38.1) con
(x + 2)3ex. Tenga en cuenta que como dividimos por a2( x), es necesario restringir x -2. Más aún
para que tanto p(x) como w(x) sean positivos, necesitamos x > -2.
38.6. Verifique los Teoremas 38.1 a 38.4 para el problema Sturm-Liouville
y" + rey = 0;
y(0) = 0, y(1) = 0
Usando los resultados del Problema 37.10 tenemos que los valores eigen son Xn = n22 y las funciones
eigen correspondientes son yn (x) = An sennrrx , para n = 1, 2, 3, .... Los valores eigen son obviamente
Cada valor
reales y no negativos, y pueden ordenarse como al = 72 < X2 = 472 < )3 = 9-2 <
eigen tiene una función eigen linealmente independiente , ú nica e„(x) = sennrx asociada con el.
Finalmente, como
senn rx
2cos (n-m)rx - 2cos (n+m)7x
sen m-x
tenemos para n 9,6 m y w(x) = 1:
b
1
J w(x)en( x)en(x) dx =
a
f,
[4 cos (n - m) 7x - f cos (n + m) rrx] dx
r- 1
1
sen (n - m ) rrx - 2 n + m)- sen (n + m)
(
[2(n 1 m)7
7x]x=0
= 0
CAP. 38] PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 289
38.7. Verifique los Teoremas 38.1 a 38.4 para el problema Sturm-Liouville.
Y" + ).y = 0; y'(0) = 0, y(r) = 0
Para este problema, calculamos los valores eigen X. = (n - ¿)2 y las funciones eigen correspondientes
y>,(x) = A„ cos ( n - 1)x, para
n = 1, 2, .... Los valores eigen son reales y positivos, y pueden
ordenarse como
al = 1 < ñ2 = 9 < X3 = 25 <
Cada valor eigen tiene asociada únicamente una función eigen linealmente independiente
cos (n - ,I)x. También para n m y w(x) 1,
b
^a
ea(x) _
r
w(x) e„ (x)em (x) dx
cos (n - -)x cos (ni [^ cos ( n + in 1)x
)
)x
-
dx
cos ( i - na)x] dx
[ 1 sen (n + m -1)x + 1
sen (n - m)x1
2(n + m - 1) 2(n - m)
X =0
38.8. Demuestre que si el conjunto de funciones diferentes de cero {yl(x), y2(x), ...
yp(x)} satisface (38.4), entonces el conjunto es linealmente independiente en [a, b].
Usando la Sección 11.2, consideramos la ecuación
cly1(x) -- c2y2(x) + ... + Ckyk(x) + ... + cpyp(x) = 0 (1)
Multiplicando esta ecuación por w(x)yk(x) y después integrando de a a b, obtenemos
b
b
Cl J w(x)yk(x)y1(x) dx + c., w(x)yk(x)y2(x) dx +
a
a
r
+ Ck f
b
(^
w(x)yk(x)yk(x) dx + • • • + Cp
a
b
J w(x)yk(x)yp(x) dx = O
a
De (38. 4) concluímos que para i # k,
b
w(x)yk(x)yt(x)
Ck f
a
dx
=
O
Pero como yk(x) es una función diferente de cero y w(x) es positiva en [a, b_, se deduce que
w(x)[yk(x)]2dx # 0
f b
por lo tanto ck = 0. Puesto que Ck = 0, k = 1, 2, .. , , p, es la única solución de (1), el conjunto de
funciones dado es linealmente independiente en [a, b].
Problemas suplementarios
En los Problemas 38.9 a 38.15 determine cuales de las ecuaciones diferenciales dadas con las condiciones
límite y(-1) + 2y'(-1) = 0, y(1) + 2y'(1) = 0 son un problema Sturm-Liouville.
38.9.
(2 + senx)y" + (cos x )y' + (1 + x)y
=
0.
38.10.
(senrx )y" + (7r cos rx)y' + (x + X)y
=
0.
38.11 .
(senx)y" + (cos x)y' + (1 + X)y =
0.
1
290
PROBLEMAS DE STURM -LIOUVILLE
[CAP. 38
38.12.
(x + 2)2y" + 2(x + 2)y' + (ex + Xe2x)y = 0.
38.13.
(x + 2)2y" + (x + 2 ) y' + (ex + Xe2x)y = 0.
38.14 .
y" + x2 7'y = 0.
38.15.
y" + (x 3 4)2 Xy = 0.
38.16.
Transforme e2xy"+ e2xy '+ (x + a)y = 0 en (38. 1) por medio del procedimiento descrito en el Problema
38.3.
38.17. Transforme x2y"+ xy'+ Xxy = 0 en (38. 1) por medio del procedimiento descrito en el Problema 38.3.
38.18.
Verifique los Teoremas 38.1 a 38 . 4 para el problema Sturm -Liouville
y" + Xy = 0;
38.19.
y'(0) = 0,
y'(r) = 0
Verifique los Teoremas 38.1 a 38 . 4 para el problema Sturm-Liouville
y" + Xy = 0;
y(0) = 0, y(2r) = 0
Respuestas a los problemas suplementarios
38.9. si
38.10. no, p(x) = sen rrx es cero para
38.11 .
no, p(x ) = sen x es cero para
x = ± 1, 0
x=0
38.12. si
38.13.
no, la ecuación no es equivalente a (38.1 )
38.14 .
no,
w(x ) = 2 no es continua para
x
x=0
39.15. si
38.16.
1(x) = ex; (exy')' + xe-xy + Xe-xy = 0
38.17.
I(x) = x; (xy')' + Ay = 0
38.18 . X,, = n2, e„( x) = cos nx (n = 0, 1, 2, ...
38.19.
a„ = 42,
e„(x) = sen 2
(n = 1, 2, ... )
Capítulo 39
Desarrollos de las funciones Eigen
39.1 FUNCIONES DE CURVA SUAVE POR INTERVALOS
Se puede representar una amplia gama de funciones por series infinitas de funciones
eigen de un problema Sturm-Liouville. Decimos que una función f (x) es de curva suave por
intervalos en [a, b] si tanto f(x) como su derivada f'(x) son continuas por intervalos (Sección 22.3) en [a, b].
Teorema 39 .1. Si f(x) es de curva suave por intervalos en [a, b] 'y si (en(x)} es el conjunto
de todas las funciones eigen de un problema Sturm-Liouville (Teorema38.3),
entonces
(39.1)
f(x)
c en(x)
Y
n=1
w(x) f (x) en(x) dx
(39.2)
donde en
f w(x) eñ(x) dx
n
La expresión ( 39.1) es válida para todos los puntos en el intervalo abierto
( a, b) donde f (x) es continua. La función w(r) en (39.2) está dada por (38.1).
A causa de que los diferentes problemas Sturm - Liouville generalmente producen conjuntos diferentes de funciones eigen, una función de curva suave por intervalos tendrá varios
desarrollos de la forma (39.1). Las características básicas de tales desarrollos se muestran en las
series trigonométricas discutidas abajo.
39.2 SERIE DE SENO DE FOURIER
Las funciones eigen del problema Sturm-Liouville
i/" - y = 0; y(0) = 0, y(L) = 0,
donde L es un número real positivo, son e„(x) = sen (12 1, 2, 3, ... ). Sustituyendo
estas funciones en (39.1), obtenemos
11
rz-x
(39.3)
f (x)
vn sen
Para este problema Sturm-Liouville,
u'(x) = 1, a = 0,
b = L; de tal modo que
z 11-x L
Jfw(x) en( x ) dx
sen- L dx
= 2
n
o
y (39.2) se convierte en
c„ =
2
n- dx
L Jo ¡ Í(x) sen _r
(39.4)
El desarrollo ( 39.3) con los coeficientes dados por (39 .4) es la serie de seno de Fourier para
f (x) en (0, L). (Ver los Problemas 39.3, 39.5, y 39.6).
291
292 DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES EIGEN
[CAP. 39
39.3 SERIE DE COSENO DE FOURIER
Las funciones eigen del problema Sturm-Liouville y" + Ay = 0; y'(0) = 0, y'(L) = 0,
donde L es un número real positivo, son eo()
x=y
1 ()en
x n^x
L (n = 1, 2, 3, ... ). Aquí
=cos
A = 0 es un valor eigen con su correspondiente función eigen eo(x) = 1. Sustituyendo estas
funciones en (39.1), donde a causa de la función eigen adicional, eo(x) la sumatoria empieza
ahora en n = 0, obtenemos
1
f(x) = co +
L
cn cos
(39.5)
n=I
Para este problema Sturm -Liouville w(x) = 1, a = 0, y b = L; por lo tanto
fa
b
be(x ) dx s
=Ldx
= L
w(x) e(x) dx =
J
cose Lx dx = L
Entonces (39.2) se convierte en
Co
= dx
cos
= JI
Lx dx
(n = 1, 2, ...)
(39.6)
El desarrollo ( 39.5) con los coeficientes dados por (39 . 6) es la serie de coseno de Fourier para
f(x) en (0, L). (Ver los Problemas 39.4 y 39.7).
Problemas resueltos
39.1. Es la función
x2+1 x<0
f(x)
1 Ox1
2x+1 x>1
de curva suave por intervalos en [-2, 2] ?
La función es continua en todos los puntos de [-2, 2 ] con excepción de xi 1. Como existen los
límites requeridos para xi, f(x) es continua por intervalos . Derivandof(x), obtenemos
2x x < 0
f'(x) =
0 Ox<1
2
x
>
1
La derivada no existe para x, = 1 pero es continua para todos los otros puntos en [-2, 2 ]. Para xl
los límites requeridos existen , por lo tanto f'(x) es continua por intervalos . Se deduce que f(x) es de
curva suave por intervalos en [-2, 2].
39.2. La función
f(x) _
1 x<0
V-x Ox1
x>1
es de curva suave por intervalos en [-1, 3] ?
293
CAP. 39] DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES EIGEN
La función fi,,) es continua en todos los puntos en [-1, 31 con excepción de x, 0. Como existen
los límites requeridos para .r,, f(x) es continua por intervalos . Derivando f(x), obtenemos
0
x
<
0
1
2^x 0<.r<1
3x2 x > 1
que es continua en todos los puntos en [-1, 3 ', con excepción de los dos puntos x,=0 y x,=1
donde la derivada no existe , Para x,
lim f'(.r) == lim
x.-..rl
z>x,
1
=
r•0 2,,X_
r>0
entonces uno de los límites requeridos no existe . Se deduce que f' ( x) no es continua por intervalos y
por lo tanto ¡(x) no es de curva suave por intervalos en [-1, 31.
39.3. Halle una serie de senos de Fourier para f (x) = 1 en (0, 5).
Usando (39.4) con L = 5, tenemos
3x
cn = L (x) sen
_ 2 5
5 nz
5 Jos(1) sen 3x
dx
^i-x
r-^
_
dx
2
cos 5 cos n7 1
2
= n- [1 - (-1)n1
Entonces , ( 39.3) se convierte en
2 [1 - (-1)n] sen
n-
1
sen
n- x
5
-x 1 3-x 1 5rx
sen + - sen
3
5 5
5
(1)
Como f(x) = 1 es de curva suave por intervalos en [0, 5[ y continua en todos los puntos en el
intervalo abierto (0, 5), se deduce del Teorema 39.1 que ( 1) es válido para todos los valores de x en
(0, 5).
39.4. Halle una serie de cosenos de Fourier para
f (x) = x en (0, 3).
Usando ( 39.6) con L = 3, tenemos
L
¡^
co = LJ f(x)dx =
a
L nr, x
f(x) cos L dx
J
2
Í
c„
3
J xdx =
n
2
n-x
= 3 f x cos---- dx
Q
0
n-x x=3
2 3x
9
"-"X + .,sen cos
3 n- 3 n2r,- 3 lr-o
2 9
„ COS n7r -
3 n•r
n6 2 [(-1)n - 1]
n?2)
Entonces ( 39.5) se convierte en
X
2 + n3 ns 22
[(-1)n - 1] cos n3x
3 12
7rx 1 3-x 1 57rx
2 - 2 cos 3 + 9 cos 3 + 25 cos 3 + (1)
Como f(x) = x es de curva suave por intervalos en [0, 31 y continua en todos los puntos en el intervalo abierto ( 0, 3), se deduce del Teorema 39.1 que ( 1) es válido para todos los valores x en (0, 3).
294
DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES EIGEN [CAP. 39
39.5. Halle una serie de senos de Fourier para
Usando (39.4) con L = 3, obtenemos
3
2
en
3 f J(x)sen
f (x)
=
0 x :155 2
2 x>2
en (0, 3).
dx
n
2 2 nrx 2 3
n rx
(0) sen 3 dx + 3 J (2) sen 3 dx
3
J
n-x r-3
cos - 1
4 _ 3
= 0 +
4 r 2nr
cos 3
3
3 Tac 3 J,: =2
Entonces , (39.3) se convierte en
X41
Mas aún,
L cos 23
sen,n3x
2r 7 4- 1 G.cos3
3
cos 3 = - 2 cos 2 = 1,
por lo tanto,
4(1
rx
3 2-x 2 3-x
f(x) _ 2 sen - sen
3 3 sen3
(1)
Como fi x) es de curva suave por intervalos en [0, 3 1 y continua en todos los puntos en (0, 3 )
con excepción de x = 2, se deduce del Teorema 39.1 que ( 1) es válida en todos los puntos en (0, 3
) con excepción de x = 2.
39.6. Halle una serie de senos de Fourier para f (x) = er en (0, -).
Usando (39.4) con L = -, obtenemos
cn
2
,.r
sen
2
ex
r
-- 2 (sennx - n cos
nx)1z=0
dx
77
1 + 712)(1 - e COSnr)
Luego (39.3) se convierte en
2
n
c _ 1 n2 [1 - er(-1)n] sennx
„=7
Se deduce del Teorema 39.1 que esta ecuación es válida para todos los valores de x en (0, r).
39.7. Halle una serie de cosenos de Fourier para
f (x) = e en (0, -).
Usando (39.6) con 1. = r, tenemos
e()
- - ¡ ex dx = (e - 1)
1
J
1
r
O
2 7zr, x
ev cos - d x
2
ex
z
n sen nx)
r, 1 + n2 (cos nx +
:=n
1
(er cos nr, - 1)
1+n`2
Por lo tanto ( 39.5) se convierte en
ex =
1 (e - 1) + 2 1 [(-1)T1er 1] cos nx
z n_) l + n2
Como en el Problema 39.6, esta última ecuación es válida para todos los valores de x en (0, -).
uwa^n.wlfww,.. i ^^w „ i4 u 1 a... - •IN sps ^
CAP. 39] DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES EIGEN 295
39.8. Halle un desarrollo para f(x) = ex en términos de las funciones eigen del problema
Sturm-Liouville y" + ky = 0; y'(0) = 0, y(,) - 0.
Del Problema 38.7, tenemos en(x) = cos ( n - )x para n = 1, 2, .... Sustituyendo estas funciones y
w(x) = 1, a = 0, y b = - en ( 39.2), obtenemos para el numerador
1,7
w(x) f (x) en(x) dx =
J excos( n - z)xdx
1 + (n - ;)2 [cos
(n - )x + (n - )sen (n - 'J i'
x=0
-1
1 + (n - z)2 +
y para el denominador
fb
w(x) en (x) dx
f cose (n - s )x dx
n
• n
x + sen (2n-1)x 1
2 4(n-!) Jx-o
Por lo tanto
[ces{n
v,z i L1 + ( n- !_)21
77
2
)(-1)" +
y (39.1) se convierte en
ex
-2
=
' 1 + (-1)"e7(n cos(n
1)
-
?)x
Por el Teorema 39.1, esta última ecuación es válida para todos los valores de x en (0,-,,).
39.9 Halle un desarrollo para f (x) = 1 en términos de las funciones eigen del problema
Sturm-Liouville y" + ay = 0; y(0) = 0, y'(1) = O.
Podemos demostrar que las funciones eigen son e„(x) = sen (n - 3 )-x (n = 1, 2, . .). Sustituyendo estas funciones y ?o(x) = 1, a = o, b = 1 en (39.2), obtenemos para el numerador:
n
t
f a w(x) f(x) e„(x) dx
f sin (n - 11J7,xdx
cos (n - 1):,7x
(n
_
1
0 (n - 1)-
y para el denominador
w(x) e2( x) dx = 1 sen2 (n. - 4)rrx dx
a
o
sen (2n- 1);rxlx=' _
1
2 - 4(n- 1) Jx=o 2
x
Por lo tanto
2
(n-1)-,r
Cn
y (39.1) se convierte en
2 x sen (n - 1),7x
1
7
n
1
l
n
-
2
Por el Teorema 39.1 esta última ecuación es válida para todos los valores de x en (0, 1).
r
296
DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES EIGEN
[CAP. 39
Problemas suplementarios
39.10.
Halle una serie de senos de Fourier para f(x) = 1 en (0, 1).
39.11. Halle una serie de senos de Fourier para f (x) = x en (0, 3).
39.12.
Halle una serie de cosenos de Fourier para f (X) = x2 en (0, r).
39.13.
Halle una serie de cosenos de Fourier para
0 x^2
f(x) =
en (0, 3).
2x>2
39.14 . Halle una serie de cosenos de Fourier para f (x) = 1 en (0, 7).
x x-- 1
39.15. Halle una serie de senos de Fourier para
f(x) =
en (0, 2).
2 x 1
39.16.
Halle un desarrollo para f( x) = 1 en términos de las funciones eigen del problema Sturm -Liouville
y"+Xy = 0; y'(0)=0, y(1r)=0.
39.17.
Halle un desarrollo para f(x) = x en términos de las funciones eigen del problema Sturm -Liouville
y"+hy = 0; y(0)=0, y'(7r)=0.
39.18 .
Cuáles de las siguientes funciones son de curva suave por intervalos en
[-2, 3] ?
x<0
0 ` x ` 1 (c )
(a) f(x) =
f(x) = In 1x'
X>1
ex x<1
(x - 1)2 x 1
(b) f(x) =
(d) f(x) =
(x - 1)1/3 x > 1
Respuestas a los problemas suplementarios M.,
x
39.10. ? 1 [1 - (-1)n] sen n rx
T
n=1 n
39.13
39.11. -
b (-1)n son nax
a n=1 n 3
. 2 - 4 x 1
2nr, n>rx
sen
3 - ^n=1
n 3 cos 3
39.15.
39.16.
39.14. 1
4 sen
nzr 2 nir 4
+ n^ cos 2
cos nr,
n'
,.= 1 z,2
2
- -
sen n-x
2
n
39.17. - 2 -1) z son (n - ;})x
- 2 ( - 1) n
" cos (n - )x
r n-1 (n-^)
n=1
39.18. (a) si
39.12 . 1 ' 2 + 4 ( )n cos nx
3 n=1 n2
(c) no, puesto que lim In x1 _ -^
X70
x0
(b) si (d )
no, puesto que lim 1 =
x-.1 3(x - 1)2/3
x>1
.OiTn}Fa
.4 O#Molqw~
Apéndice A
LA FUNCION GAMMA
(1.00 x G 1.99)
x
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.00000000
0.99432585
0.98884420
0.98354995
0.97843820
0.9735 0427
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
0. 8862 2693
0.8865 9169
0.8870 3878
0.8875 6763
0.88817766
0.8888 6835
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
0.9687 4365
0.9641 5204
0.95972531
0.95545949
0.95135077
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
0 . 8896 3920
0.8904 8975
0.8914 1955
0.8924 2821
0.89351535
1.11
1.12
1.13
1.15
0.94739550
0.94359019
0.93993145
0.93641607
0.9330 4093
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
0.8946, 8061
0.8959 2367
0.8972 4423
0.8986 4203
0.9001 1682
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
0.92980307
0.92669961
0.92372781
0.92088504
0.91816874
1.66
1.67
1.68
1.69
0.9016 6837
0.9032 9650
0.9050 0103
0.9067 8182
1.70
0.9086 3873
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
0.91557649
0.9131 0595
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1.72
1.73
1.74
1.75
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0.9125 8058
0.9146 6537
0.9168 26n3
0.9190 62.`x'
1,26
1.27
1.28
1.29
1.30
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1.76
1.77
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1.32
1.33
1.34
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1.82
1.83
1.84
1.85
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0.9456 11 k;
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
0.89018453
0.88931351
0.88853715
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382
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
0.9486 8704
0.9518 4019
0 . 9550 7085
0.9583 7931
0.9617 6583
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
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0.88603624
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38
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
0.965'2 3073
0 . 9787 7431
0.9723 9692
6. 9760 9891
0.9798 8065
1.46
1.47
1.48
1.49
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1.96
1.97
1.98
1.99 1
0.9837 4254
0 . 9876 8498
0 . 9917 0841
0 . 99581326
1.14
297
i
Apéndice B
FUNCIONES BESSEL
(0.0 -- x ^ 14.9)
Y, (X)
x
J,(X)
J1(x)
Yo(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0000 0000
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0.9776 2625
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0.0000 0000
0.0499 3753
0.0995 0083
0.14831882
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0.2422 6846
- 'a
-1.5342 3865
-1.0811 0532
-0,8072 7358
-0.6060 2457
-0.4445 1873
-^
-6.4589 5109
-3.3238 2499
-2.2931 0514
-1.7808 7204
-1.4714 7239
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.9120 0486
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+0.0056 2831
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-0.9781 4418
-0.8731 2658
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
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1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
0.4554 0217
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2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
0.1666 0698
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0.0555 3978
+0.0025 0768
-0.0483 8378
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0.5559 6305
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0.4980 7036
-0.0516 7861
+0.0014 8779
0.0522 7732
0.1004 8894
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2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
-0.0968 0495
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0.2959 4005
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
-0.2920 6435
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0.1373 7753
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0.2296 1534
0.1890 2194
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0.3878 5293
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3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
-0.3917 6898
-0.3992 3020
-0.4025 5641
-0.4018 2601
-0.3971 4981
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0.0538 3399
+0.0128 2100
-0.0272 4404
-0.0660 4333
0.1477 1001
0.1060 7432
0.0645 0325
+0.0233 7591
-0.0169 4074
0.4153 9176
0.4166 7437
0.4141 1469
0.4078 2002
0.3979 2571
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
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4.6
4.7
4.8
4.9
-0.2961 3782
-0.2693 3079
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-0.2984 9986
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-0.2493 8765
-0.2723 0379
-0.2920 5459
0.2737 4524
0.2445 0130
0.2135 6517
0.1812 4669
298
APENDICE B]
299
FUNCIONES BESSEL
lol'')
J1 (x) l^n(.i)
Y1 (x)
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
-0.1775 9677
-0.1443 3475
-0.11.02 9044
-0.0758 0311
-0.0412 1010
-0.0068 4387
-0.3275 7914
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5.6
5.7
5.8
5.9
6.0
-0.0269 7088
0.0599 2001
0.091 7 0257
0.1220 3335
0.1506 4526
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-0.3241 4768
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--0.3043 6593 -0.1480 7715
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6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
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6.6
6.7
0.2740 4336
0.2850 647'
-0.1249 8017
-0.0953 4212
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7.0
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7.1
0.2990 5138
+0.0251 5327
+0.0041 8179 -0.2994 7887
7.2
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7.3
7.4
7.5
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7.6
7.7
7.8
7.9
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8.0
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0.2235 2149 ' -0.1580 6046
8.1
8.2
8.3
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8.5
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8.6
8.7
8.8
+0.0146 2299
-0.0125 2273
-0.0392 3380
0.2 727 5484
0.20-, 1902
0.2640 7370
0.271-15771 +0.0010 8:399
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8.9
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0.2559 0237
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9.0
-0.0903 3361
0_2453 1179
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9.1
9.2
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9.3
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9.5
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9.6
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9.7
9.8
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0.10-15 2708 0.2:378 9:32-1
9.9
-0.2403 4111
0.0683 6983
0.0803 7731 0.2446 9241
300 FUNCIONES BESSEL [APENDICE B
x
Jo(x)
J1(x)
YO(X)
Y, (X)
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
-0.2459 3576
-0.2490 2965
-0.2496 1707
-0.2477 1681
-0.2433 7175
-0.2366 4819
0.0434 7275
+0.0183 9552
-0.0066 1574
-0.0313 1783
-0.0554 7276
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+0.0055 8523
-0.0192 9785
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10.6
10.7
10.8
10.9
11.0
-0.2276 3505
-0.2164 4274
-0.2032 0197
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0.2236 2929
0.2114 4478
0.1972 8909
0.1813 1851
0.1637 0554
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
-0.1527 6830
-0.1329 9194
-0.1120 6846
-0.0902 1450
-0.0676 5395
-0.1913 2829
-0.2038 5315
-0.2142 5503
-0.2224 5059
-0.2283 7862
-0.1842 7577
-0.1977 3287
-0.2091 0343
-0.2182 9371
-0.2252 3211
0.1446 3711
0.1243 1268
0.1029 4219
0.0807 4397
0.0579 4255
11.6
11.7
11.8
11.9
12.0
-0.0446 1567
-0.0213 3128
+0.0019 6717
0.0250 4944
0.0476 8931
-0.2320 0047
-0.2333 0024
-0.2322 8473
-0.2289 8325
-0.2234 4710
-0.2298 '973
-0.2321 8u59
-0.2321 6178
- 0.2298 3321
-0.2252 3731
0.0347 6647
+0.0114 4601
-0.0117 8901
-0.0347 1150
-0.0570 9922
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
0.0696 6677
0.0907 7012
0.1107 9795
0.1295 6103
0.1468 8405
-0.2157 4897
-0.2059 8202
-0.1942 5885
-0.1807 1025
-0.1654 8380
-0.2184 3838
-0.2095 2181
-0.1985 9309
-0.1857 7662
-0.1712 1431
-0.0787 3693
-0.0994 1842
-0.1189 4840
-0.1371 4438
-0.1538 3826
12.6
12.7
12.8
12.9
13.0
0.1626 0727
0.1765 8789
0.1887 0135
0.1988 4244
0.2069 2610
-0.1487 4234
-0.1306 6223
-0.1114 3156
--0.0912 4825
-0.0703 1805
-0.1550 6412
-0.1374 9838
-0.1187 0195
-0.0988 7037
-0.0782 0786
-0.1688 7792
-0.1821 2855
-0.1934 7385
-0.2028 1697
-0.2100 8141
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
0. 2128 8820
0.2166 8592
0.2182 9809
0.2177 2518
0.2149 8917
-0.0488 5247
-0.0270 6670
-0.0051 7748
+0.0165 9902
0.0380 4929
-0.0569 2526
-0.0352 3788
-0.0133 6342
+0.0084 8021
0.0300 7701
-0.2152 1151
-0.2181 7291
-0.2189 5271
-0.2175 5947
-0.2140 2293
13.6
13.7
13.8
13.9
14.0
0.2101 3316
0.2032 2083
0.1943 3564
0.1835 7986
0.1710 7348
0.0589 6456
0.0791 4277
0.0983 9052
0.1165 2489
0.1333 7515
0.0512 1501
0.0716 8830
0.0912 9901
0.1098 5919
0.1271 9257
-0.2083 9360
-0.2007 4215'
-0.1911 5851
-0.1797 5095
-0.1666 4484
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
0.1569 5288
0.1413 6938
0.1244 8769
0.1064 $412
0.0875 4487
0.1487 8435
0.1626 1073
0.1747 2905
0.1850 3166
0.1934 2946
0.1431 3623
0.1575 4209
0.1702 7826
0.1812 3024
0.1903 0189
-0.1519 8133
-0.1359 1587
-0.1186 1660
-0.1002 6259
-0.0810 4209
14.6
14.7
14.8
14.9
0.0678 6407
0.0476 4185
0.0270 8231
0 .0063 9154
0.1998 5265
0.2042 5127
0.2065 9557
0.2068 7617
0.1974 1629
0.2025 1632
0.2055 6516
0.2065 4643
-0.0611 5056
-0.0407 8875
-0.0201 6071
+0.0005 2828
Apéndice C
TRANSFORMACIONES DE LAPLACE ADICIONALES
Las siguientes líneas complementan la Tabla 22-1, página 137.
f(x)
1e
a
18.
1
a (e ar - 1 )
20.
1 - e-xIa
21.
1 xe-xIa
a2
23.
24.
1
1 + as
- x1-
19.
22.
F(s) = r{f(x)}
1
s(s - a)
1
s(1 + as)
1
(1 + as)2
en.r _ eh.r
1
a-b
(s-a)(s- b)
e-x / a - e-.r/I
1
(1 + as )( 1 + bs)
a-b
8
(1 + ax)eax
(s - a)2
25.
26.
27.
28.
a3 (a
$
(1 + as)2
- x ) e - x /a
,s
(s - a)(s - b)
- bela-b
aea.r
ae-.r/h - be-x/a
8
ab(a - b )
( 1 + as)(1 ^ bs)
1
1 ( e ax - 1 - ax )
s2(s-a)
29.
sen2 ax
30.
senh2ax
2a2
s(s2+ 4a2)
s(S2
31.
1 ax ax Ex ax
cosh y^ sen - - senh - cos '2
í2- )
2a2
- 4a2
a3
s 4 f a' t
301
J
302
TRANSFORMACIONES ADICIONALES DE LAPLACE
f(x)
sen
32.
ax
F(s) _ gil( t)i
senh
í2
33.
axx
-
/2
1 ax ax ax ax
- (cos senh + sen - cosh
,r2 -Vr2
-vr2 V'2
34.
cos x cosh ax
35.
1 (senh ax - sen ax)
a2s
S 4 ^- at
aS2
st a4
s3
S4+a't
VG V^
36.
37.
38.
1 (cosh ax - cos ax)
2
1
2
(senh ax + sen ax)
1(cosh ax + cos ax)
3
stá at
a2s
sa-a4
as"
S4
- a4
s3
84 - a
39.
senax senh ax
40.
cos ax senh ax
2a2s
S4 + 4at
a(s - 2a2)
S4+4a}
41.
sen a x cosh ax
42.
cos ax cosh ax
43.
44.
45.
16.
47.
48.
(sen ax -1 ax cos ax)
cos ax -
a y.
2
a(s2 + 2o2,
s4 + 4a1
13
st .-lot
n^
q,t
senax
(s2 + ct°j°-
(a:c cosh ax -senh ox)
a3
s2 - a=)
senh ax
as
(s2 - a2)2
(senh ax ^- ax cosh ax)
as2
(s '2 - a 2 )
2
cosh a.x -
ax
2
senh ax
s
(s 2 - a2) 2
[APENDICE C
APENDICE C] TRANSFORMACIONES ADICIONALES DE LAPLACE 303
f(x)
F(s)
a sen bx - b sen ax
49
a2
b2
cos bx - cos ax
ab
(s2 a-)I,,_
a2 b2
s
(s2 (12)(s2 + b2)
51.
a sen ax - b sen bx
P - b'
s2
(s2 + a2)(s22 + b2)
52.
a2 cos ax - b2 cos bx
a2 - b2
(s2 + a2)(s2 + b2.)
53.
bsenh ax - asenh bx
a2 - b2
ab
(s2 - a2)(s2 - b2)
cosh ax - cosh bx
s
(s2 - a2)(s2 - b2)
50.
51
a2 - b2
55.
ss
asenh ax - bsenh bx
s22
a- - b2
(s' - a2)(82 - b2)
a2 cosh ax - b2 cosh bx
s3
a' -- b"-
(822 - a2)(s2 - b2)
57.
x - 1 sen ax
a
a2
s 2(82 + a2)
58.
-senh ax - x
56
a2
S2 (S2 - a2)
59.
1 - cos ax - ? senax
60.
1 - cosh ax + 2 senh ax
C) l .
1 + b'- cos ax - a2 cos bx
a2 2 - b-2
62.
1 , b2 cosh ax - a2 cosh bx
a- - b'
63.
1 [(3 - a2x2) sen ax - 3ax cos ax]
8
64.
x [sen ax - ax cos ax]
65.
8
1
8
^(1 -+ 02x2) sen ax - ax cos ax]
s(s 2 + a 2 ) 2
a4
a2b2
s(s22 + a2)(s2 - b2)
a2b2
s(s2 - a2)(s2 - - b'-)
a'
(s2 +
a3s
(s2 + a•>):1
a3s2
(s --+
' a2)3
304
TRANSFORMACIONES ADICIONALES DE LAPLACE
66.
67.
f(x)
F(s) = .1(f(x)}
1 [(3 + a2x2) senh ax - 3ax cosh ax]
8
a
(s-' - a2)s
x
(ax cosh ax - senh ax)
i
a s
(s2 - a 2)3
8
68.
69.
S [ax cosh ax - (1 - a2x2) senh ax]
1 ( x/n)n
aas2
2
a2)3
(s '
1
s( as + 1)(as + 2)••.(as + n)
70.
sen (ax + b)
s sen b + a cos b
s2+a2
71.
cos ( ax + b)
s cos b - a sen b
s2+a2
72.
/
axV3 ax^
e - ax _ eazi2(cos
2
- y3 sen 2
1+2ax
73 .
74.
e - ax/
s+a
sVT
1
,X
s+a
ebx - eax
75.
2x irx (
76.
3a2
ss + a;
)
1 cos 2 ax
-a- s-b
1 e-ais
rx
77.
cosh 2
ax
S ea /s
rx
78.
an
79.
80.
81.
82.
sen 2
ax
1 senh2 ax
Jp ( 2 ax)
xlaJi( 2 ax)
(x/a)(P-1)/2,)r-1 (2V(_a-x) (p>0)
s-s/2e-ais
s-3/2ea/s
e-a/s
j2e-a/s
s-ne - a/s
[APENDICE C
APENDICE Cl TRANSFORMACIONES ADICIONALES DE LAPLACE 305
F(s)
f(x)
1
83.
J,(X)
84.
.1,(x)
s2+1
s2+1-s
s2+1
85.
Jp (x) (p > -1)
( s2+1-sp'
s2+1
(2a)PF(p+
86.
xPJ (a x) (p > -12)
xp--1
87.
1
sv
(p > 0)
P(p)
4n 77!
88.
1
sn^
xn-(1/•2)
(2)2)1
89.
xp e ax (p > 0)
(p)
1 -e'
90.
1
(s + a)1'
In
s-a
x
el,x - enx
91.
x
In s - a
s-b
lns+a
92.
2senhax
x
93.
2(1 - cos ax)
94.
2 (cos bx - cos ax)
x
In 82 + a
s2 + b-
senax
arctan a
95.
sa
In s^
x
s
x
96 .
2 senax cos bx
x
97.
sen ax
arctan
2as
s2- ai2+b-
^^ 1 e (r,la)n"
a
s2 + 02 1 - e-(R/A) .
1
í
Indice
Derivada
de una matriz, 174
Amortiguado, movimiento, 89
Aplicaciones
a circuitos eléctricos, 42, 94
de una Transformación de Laplace, 153
Diferencial, ecuación, 1
a problemas de cuerpos que caen, 40
a problemas de crecimiento y decrecimiento,
40
forma diferencial, 11
Diluciones, problemas de, 41
a problemas de diluciones, 41
a problemas de enfriamiento, 40
a problemas de resortes, 90
Ea, 143
eAt, 182
Ecuación característica, 67
de una matriz, 175
a trayectorias ortogonales, 43
de ecuaciones de primer orden, 40
de ecuaciones de segundo orden, 89
para una ecuación diferencial lineal, 67, 71
valor de la (ver Valor eigen)
Ecuación diferencial, 1
con condiciones iniciales, 6
con condiciones límite, 6
exacta, 12, 25, 29
grado de la, 1
homogénea, 56 (ver también Ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas)
lineal , 2, 56 ( ver también Ecuación diferencial lineal)
Bernoulli, ecuación de, 37
Bessel, ecuación de
de orden uno, 132
de orden cero, 131
de orden p, 129
Bessel, funciones de, 128
de primera clase, 128
de segunda clase, 129
fórmula de recurrencia, 134
J,) (x), 131
no homogénea, 56 (ver Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas)
J, (x), 132
J,(x), 128
\ (x), 132
propiedades de, 133, 134
tablas de, 299, 301
no lineal, 2
orden de la, 1
ordinaria o parcial, 1
solución de la, 5 (ver Soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias)
Ecuación diferencial de primer orden
aplicaciones de, 40
Y, (x), 132
Y,(x), 132
de Bernoulli, 37
Característica (ver Ecuación característica)
Característico, valor (ver Valor eigen)
Cayley-Hamilton, teorema de, 175
Cero factorial, 105, 130
Circuitos,
en forma standard,11
en forma diferencial, 11
exacta, 12, 25, 29
factores de integración para la, 29, 30, 35
homogénea, 12, 20, 23
eléctricos, 42, 94
R.C., 42
R.C.L., 94
R.L., 42
Circunvoluciones, 157
Coeficientes constantes, 56, 67, 71, 74
variables, 56, 98, 102, 113
lineal, 12, 35
separable, 12, 15
sistemas de (ver Sistemas de ecuaciones diferenciales)
soluciones numéricas de (ver Métodos numéricos)
teorema de existencia y solución única, 11
Ecuaciones diferenciales lineales, 2, 56
aplicaciones de, 40, 89
con coeficientes constantes , 56, 67, 71, 74
con coeficientes variables, 56, 98, 102, 113
de primer orden, 12, 35
indeterminados (ver Método de los coeficientes indeterminados)
Condiciones iniciales, 6
Condiciones límite homogéneas, 279
no homogéneas, 279
Corriente en condiciones estables, 50, 89
Corriente transitoria, 50, 89
Crecimiento, problemas de, 40
de segundo orden, 67, 98
de orden », 71
ecuación característica para, 67, 71
existencia y solución única, 56, 60, 102, 113
homogéneas , 56, 60, 67, 71, 102, 113
no homogéneas , 56, 62, 74, 81, 103
punto especial de, 98
Crítico, movimiento amortiguado en punto, 89
Cuerpos que caen, problemas de, 40
Decrecimiento, problemas de, 40
Dependencia lineal
de funciones, 60
de soluciones, 61
puntos especiales irregulares de, 98
puntos especiales regulares de, 98
307
308
puntos ordinarios de, 98
sistemas de (ver Sistemas de ecuaciones diferenciales)
solución general de, 62
solución por series de (ver Soluciones de
ecuaciones diferenciales)
superposición de las soluciones de, 57
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, 67
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, 56,
57
con coeficientes constantes, 67, 71
con coeficientes variables, 102
ecuación característica para, 67, 71
solución de (ver Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias)
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas,
56
coeficientes indeterminados, 74, 108
existencia y soluciones únicas, 56, 62
solución por series de potencias, 103
variación de parámetros, 81
Ecuación índice, 113, 122
Ecuaciones separables, 12, 15
Eigen, funciones (ver Funciones de eigen)
valores (ver Valores eigen)
Enfriamiento, problemas de, 40
Euler , constante de, 132
ecuación de, 123
método de, 206, 228
método de, para un sistema, 263
relaciones de, 68
Existencia de la Transformación de Laplace, 138
Existencia de soluciones,
cerca de un punto ordinario, 102
cerca de un punto regular especial, 113, 114
de ecuaciones de primer orden, 11
de ecuaciones lineales, 56, 60, 62
de problemas lineales de valor inicial, 56
Exponentes complejos, 68
Exponentes de una matriz, 182
Exponencial, orden, 136
Factores de integración, 29, 35
tabla de, 30
Factorial, 105, 128
Fase, ángulo de, 51
Faltung, 157 (ver Circunvolución)
Fórmula de recurrencia, 104
para la función gamma, 128
Fourier, series de cosenos de, 292
series de senos de, 291
Fracciones parciales, método de las, 151
Frecuencia
circular, 91
natural, 91
Frobenius (ver Método de Frobenius)
Función
analítica, 98
continua por partes en un intervalo abierto,
136
continua por partes en un intervalo cerrado,
138
de curva suave por intervalos, 291
homogénea de grado n, 23
eigen , 280, 287, 291
gamma, 128
Gamma , función, 128
tabla de la función, 298
General, (ver Solución general) 5
INDICE
Grado de una ecuación diferencial ordinaria, 1
Hamming (ver Método de Hamming)
Heun (ver Método de Heun)
Hipergeométrica, ecuación, 124
serie, 124
Homogéneas, condiciones límite, 279
Hooke, ley de, 89
Identidad, matriz de, 174
Implícita, solución, 15
Indice (ver Ecuación índice)
Independencia lineal
de funciones, 60
de soluciones de una ecuación diferencial lineal, 61
Irregular , punto especial, 98
Integral, de una matriz, 174
Integral impropia, 136
Inversa (ver Trasnformación inversa de Laplace)
JP(x) (ver Funciones de Bessel)
Kirchhoff, ley de las ondas de, 89
Laplace (ver Transformación de Laplace)
Legendre,
ecuación de, 110
polinomios de, 111
Libre (ver Movimiento libre) 89
Límite, Problemas de valor
definición, 6, 279
de funciones eigen, 280
de valores eigen, 280
homogéneo, 279
no homogéneo, 279
de Sturm-Liouville, 286
soluciones de, 6, 279
Límite,
condiciones, 6
homogéneo, 279
no homogéneo, 279
Lineal ( ver Ecuaciones diferenciales lineales)
Matriz, 173
cero, 174
constante, 173
cuadrada, 173
derivada de, 174
ecuación característica de, 175
eAt, 182
identidad de, 174
integral de, 174
multiplicación de, 174
multiplicación escalar de, 173
potencias de, 174
suma de, 173
valores eigen de, 175
Método de:
completar el cuadrado, 150
coeficientes indeterminados , 74, 108
fracciones parciales, 151
Hamming, 237
Hamming modificado, 253, 274 (Prob.
36.23)
Hamming para sistemas, 264
Heun, 206, 228
Frobenius, 113, 114
Frobenius modificado, 117, 119
la serie de Taylor de tres términos, 207
Milne, 237
309
INDICE
Milne modificado, 253, 274 (Problema
36.22)
Milne para sistemas , 264, 274 ( Problema
36.22)
Nystrom, 207
estimación-corrección, 237
estimación -corrección modificado, 253
estimación-corrección para sistemas, 264,
274 (Problemas 36.22 y 36.24)
Runge-Kutta, 228
Runge-Kutta para sistemas , 263-274 ( Problema 36.25)
series de potencias, 102
Métodos numéricos, 206
1
modificados, 253, 274 (Problemas 36.22 y
36.33)
orden de los, 207
para sistemas, 263, 274 (Problemas 36.22 y
36.25)
valores de partida de los, 218, 228, 238, 253
Método trapezoidal, 237
Movimiento armónico simple, 91
amortiguado, 89
amortiguado en punto crítico, 89
en condiciones estables, 89
libre, 89
no amortiguado, 89
oscilatorio amortiguado, 89
sobreamortiguado, 89
transitorio, 89
N,,, 132
n!, 105, 128
Newton , ley del enfriamiento de, 40
segunda ley del movimiento de, 40
No lineales , ecuaciones diferenciales, 2
No triviales , soluciones, 280
Nystrom ( ver Método de Nystrom)
Operador diferencial lineal, 56, 57, 62
Orden de una ecuación diferencial, 1
Orden de un método numérico, 202
Ordinario ( ver Ecuación diferencial ordinaria)
Ortogonal, trayectoria, 43
Oscilatorio ( ver Movimiento oscilatorio)
Parcial , ecuación diferencial, 1
Particular , solución , 5, 74, 81
Periódica , función, 144
Período, 91
Potencias , de una matriz , 174 (ver Método de
series de potencias)
Primer orden ( ver Ecuación diferencial de primer
orden)
Problemas de valor inicial, 6
Problemas de valor límite,
definición de, 6
funciones eigen de, 280
de Sturm - Liouville, 286
homogéneos, 279
no homogéneos, 279
valores eigen de, 280
solución de, 279
Propiedad de ser únicas de las soluciones de
ecuaciones de primer orden, 11
ecuaciones lineales, 56
problemas de valor límite, 280
Propiedad de ser única de la Transformación inversa de Laplace, 150
Prueba del cociente, 99
Punto especial, 98
irregular, 98
regular, 98
Punto ordinario, 98
R.C., circuito, 99
R.C.L., circuito, 42
R.L., circuito, 42
Recurrencia (ver Fórmula de recurrencia)
Reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales, 190
Regular, punto especial, 98
solución alrededor de un, 113
Resonancia pura, 94
Resortes,
constante de, 89
problemas de, 90
vibratorios, 90
Runge-Kutta ( ver Método de Runge-Kutta)
Segundor orden (ver Ecuación diferencial de segundo orden)
Separables ( ver Ecuaciones separables)
Series, soluciones por,
cerca de un punto ordinario 102, 103
cerca de un punto regular especial, 113, 114
cuando las raíces de la ecuación índice difieren en un entero, 119
cuando las raíces de la ecuación índice son
iguales, 117
ecuación índice de, 113, 122
método de Frobenius de, 113
método de la serie de Taylor de, 107
relación de recurrencia de, 104
teoremas de existencia de, 102
Simple ( ver Movimiento armónico simple)
Sistemas de ecuaciones diferenciales
en notación matricial, 190, 198
homogéneas, 198
soluciones de, 169, 198, 263, 274 ( Problemas 36 .22 y 36.25)
Sobreamortiguado ( ver Movimiento)
Solución
asumida, 74
alrededor de un punto, 102
cerca de un punto regular especial, 113
cerca de un punto ordinario, 102
complementaria, 62
comparación de métodos de, 198
de ecuaciones diferenciales ordinarias, 5
de la ecuación característica, 67, 71
de problemas de valor límite, 6, 279
de problemas de valor inicial , 6, 15, 56, 86
existencia de (ver Existencia de soluciones)
general, 5, 60 , 62, 67, 68, 71, 74, 102, 114
homogénea , 60, 67, 71, 102
linealmente independiente, 60, 61
por el método de Frobenius, 113
por el método de matrices
por factores de integración, 29
por los coeficientes indeterminados , 74, 108
por métodos numéricos ( ver Métodos numéricos)
por series de potencias, 102
por series de Taylor, 107
por series infinitas ( ver Series)
por superposición, 57
por Transformaciones de Laplace, 163, 169
por variación de parámetros, 81
particulares , 5, 74, 81
triviales, 280
no triviales, 280
310
INDICE
Soluciones, propiedad de ser únicas de las,
de problemas de valor límite, 280
de ecuaciones de primer orden, 11
de ecuaciones lineales, 56
Standard, forma, 11
propiedades de la, 143
tablas de la, 137, 302, 306
solución única de la, 149
Trayectoria ortogonal, 43
Trivial (ver solución trivial) 280
Sturm-Liouville, problema de, 286
desarrollo de la función eigen del, 291
Superposición, 57
Unitario, función de paso, 157
Taylor, serie de, 98
método de, 107
serie de tres términos de, 207
Trapezoidal, método, 237
Transformación de Laplace, 136
aplicaciones a ecuaciones diferenciales de la,
163, 169
aplicación a sistemas de la, 169
de circunvoluciones, 157
de derivadas, 163
de funciones periódicas, 144
de integrales, 144
Valor de partida, 218, 228, 238, 253
Valor eigen, 279
de una matriz, 175
para un problema de valor límite, 280
para un problema de Sturm-Liouville, 286,
287
Variables (ver Coeficientes variables)
Variación de parámetros, método de, 81
Velocidad limitante, 41
Vectores, 173
Vibratorios, resortes, 90
Vida media, 45
de la función de paso unitario, 158
derivadas de la, 143
Wronskiano, el, 61
existencia de la, 138
inverso de la, 150
Y, (x), 132
Y, (x), 132
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2
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ISBN % a^,31 -6 1:111 ,